Tổng ôn cực trị số phức – Phạm Minh Tuấn Toán 12

Tổng ôn cực trị số phức – Phạm Minh Tuấn Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

42 21 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

TỔNG ÔN

CỰC TRỊ SỐ PHỨC

Wednesday, 21 April

Luôn yêu để Sống, luôn sống để học Toán, luôn học toán để Yêu

Sưu tầm và biên soạn: Phạm Minh Tuấn

PMT

Contents

CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC ........................................................................................................ 1

1. MỘT SỐ VÍ DỤ MÌNH HỌA ......................................................................................................... 1

2. ĐỀ TỰ LUYỆN ................................................................................................................................... 4

ĐỀ SỐ 1 ................................................................................................................................................... 4

 ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 1 ................................................................................................... 7

ĐỀ SỐ 2 ................................................................................................................................................. 14

 ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 2 ................................................................................................. 16

ĐỀ SỐ 3 ................................................................................................................................................. 22

 ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 3 ................................................................................................. 25

ĐỀ SỐ 4 ................................................................................................................................................. 33

 ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 4 ................................................................................................. 35

ĐỀ SỐ 5 ................................................................................................................................................. 44

 ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 5 ................................................................................................. 48

CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC

1. MỘT SỐ VÍ DỤ MÌNH HỌA

Ví dụ 1: [THPT Nguyễn Khuyến] Xét số phức

thỏa mãn

   2 1 3 2 2.z z i

Mệnh đề nào

dưới đây đúng?

 2z

. B.



. C.



. D.



HƯỚNG DẪN GIẢI

Cách 1. Chọn

zi

Cách 2.

 

         2 2 2 1 3 2 1z z i z z i z i

 

     21z z i z i

       2 1 2 2 2 2i z i z i

Dấu

""

xảy ra khi

0zi

hay

zi

   1.zi

PMT

Ví dụ 2: [THPT Kim Liên-HN - 2017] Cho số phức

thỏa mãn

  2 3 1zi

. Tìm giá trị lớn nhất

của

1zi

. B.

13 1

. C.

13 2

. D.

HƯỚNG DẪN GIẢI

Đặt

  1w z i

Ta có

          2 3 1 2 3 1 2 3 1z i z i z i

     1 3 2 1z i i

   3 2 1wi

Ta có:

 

        1 3 2 3 2 1 13w i w i w

    1 1 13Max z i

Ví dụ 3: [THPT Hùng Vương-PT ] Cho số phức

thỏa mãn điều kiện

 

  11z i z

. Đặt

mz

, tìm giá trị lớn nhất của

A. 1. B.

. C.

21

. D.

21

HƯỚNG DẪN GIẢI

Đặt

z x iy

với

,xy

Ta có

 

      1 1 1 1 .z i z z i z

 



   

2 2 2

12x y x y

    

2 1 0x y x



tập các điểm biểu diễn

là đường tròn tâm

 

1

;0I

và bán kính

 2R

PMT

     

12Max z OM OI R

Ví dụ 4: [THPT chuyên Phan Bội Châu] Cho số phức

thỏa mãn

  2 3 1zi

. Giá trị lớn nhất

của

1zi

là.

. B.

13 1

. C.

13 2

. D.

HƯỚNG DẪN GIẢI

Gọi

z x yi

ta có

 



        2 3 2 3 2 3z i x yi i x y i

Theo giả thiết

   



  

2 3 1xy

nên điểm

biểu diễn cho số phức

nằm trên đường

tròn tâm

 

;3I

bán kính

 1R

Ta có

     

             

1 1 1 1 1 1z i x yi i x y i x y

Gọi

 

x y

và

 

1

;1H

thì

   

   

11HM x y

chạy trên đường tròn,

cố định nên

lớn nhất khi

là giao của

với đường

tròn.

Phương trình

  







, giao của

và đường tròn ứng với

thỏa mãn:

    

9 4 1

t t t

nên

   

   

   

   

3 2 3 2

2 ;3 , 2 ;3

13 13 13 13

Tính độ dài

ta lấy kết quả

13 1HM

Ví dụ 5: [TT Hiếu Học Minh Châu] Cho số phức

thỏa mãn

không phải số thực và





là số thực. Giá trị lớn nhất của biểu thức

  1P z i

là.

PMT

. B.

. C.

. D.

HƯỚNG DẪN GIẢI

Cách 1. Xét

 0z

suy ra



. Gọi

  ,0z a bi b

Suy ra

   

     

   



   

2 2 2 2

1 2 2 2

z a b i

a b a b

Vì



nên





  













Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức

trên mặt phẳng

Oxy

là đường tròn

 



:2C

x y

Xét điểm

 

1

;1A

là điểm biểu diễn số phức

  

1zi

suy ra

    max 2 2P MA P OA r

Với

là bán kính đường tròn

 



:2C

x y

Cách 2.

 

       



2 2 0 *

w w z z z z

 

là phương trình bậc hai với hệ

số thực









. Vì

thỏa

 

nên

là nghiệm phương trình

 

. Gọi

,zz

là hai nghiệm

của

 

suy ra

      

1 2 1 2 1 2

. 2 . 2 2 2z z z z z z z

. Suy ra

        1 1 2 2 2 2P z i z i

. Dấu bằng xảy ra khi

1zi

2. ĐỀ TỰ LUYỆN

ĐỀ SỐ 1

THỜI GIAN LÀM BÀI: 60 PHÚT

Câu 1: (Sở GD Cần Thơ-Đề 324-2018) Cho số phức

thoả mãn đồng thời hai điều kiện

  3 4 5zi

và biểu thức

   

2M z z i

đạt giá trị lớn nhất. Môđun của số

phức

2zi

bằng

. B.

. C.

. D.

PMT

Câu 2: Cho số phức

,zz

thỏa mãn



được biểu diễn trong mặt phẳng phức

lần lượt là các điểm

,MN

. Biết

 



,

OM ON

, tính giá trị của biểu thức





. B.

. C.

. D.

Câu 3: (THTT - Số 484 - Tháng 10 - 2017 - BTN) Cho số phức

z a bi

 



,ab

. Biết tập

hợp các điểm

biểu diễn hình học số phức

là đường tròn

 

có tâm

 

;3I

và

bán kính

 3R

. Đặt

là giá trị lớn nhất,

là giá trị nhỏ nhất của

  4 3 1F a b

Tính giá trị

Mm

63Mm

. B.

48Mm

. C.

50Mm

. D.

41Mm

Câu 4: (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Q Trị - HKII) Cho số phức

thỏa mãn



. Tính

giá trị lớn nhất của

23

. B.

45

. C.

43

. D.

25

Câu 5: (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Q Trị - HKII) Gọi

và

là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

của môđun số phức

thỏa mãn

12z

. Tính

Mm

. B.

. C.

. D.

Câu 6: [THPT Hà Huy Tập - 2017] Cho số phức

thỏa mãn

  1z z i

. Tìm mô đun nhỏ

nhất của số phức

  w 2 2zi

. B.

. C.

. D.

Câu 7: [THPT TH Cao Nguyên - 2017] Cho các số phức



3zi

  

13zi



2z m i

Tập giá trị tham số

để số phức

có môđun nhỏ nhất trong 3 số phức đã cho là.

 

 5; 5

. B.

   

   ; 5 5;







5; 5

. D.

 

 5; 5

Câu 8: (Chuyên Quang Trung - Bình Phước) Cho số phức

thỏa mãn

  24z i z i

và

  3 3 1zi

. Giá trị lớn nhất của biểu thức

2Pz

là:

PMT

13 1

. B.

10 1

. C.

. D.

Câu 9: (Chuyên Quang Trung - Bình Phước) Trong tập hợp các số phức, gọi

là nghiệm

của phương trình

  

2017

, với

có thành phần ảo dương. Cho số phức

thoả mãn



1zz

. Giá trị nhỏ nhất của



P z z

là

2016 1

. B.

2017 1

. C.

2016 1

. D.

2017 1

Câu 10: (THPT Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh) Cho các số phức

  

2zi



2zi

và số

phức

thay đổi thỏa mãn

   

16z z z z

. Gọi

và

lần lượt là giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của

. Giá trị biểu thức



bằng

Câu 11: (Chuyên KHTN - Lần 3) Cho số phức

thỏa mãn

  2 3 4 10zi

. Gọi

và

lần

lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

. Khi đó

Mm

bằng.

. B.

. C.

. D.

Câu 12: (THPT Kinh Môn - Hải Dương) Cho hai số phức

,zz

thỏa mãn

      

1 2 2

5 5, 1 3 3 6z z i z i

. Giá trị nhỏ nhất của



là:

Câu 13: (THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần 2) Cho

là số phức thay đổi thỏa mãn

 

   1 2 4i z i

và

 

x y

là điểm biểu diễn cho

trong mặt phẳng phức. Tìm

giá trị lớn nhất của biểu thức

   3T x y

4 2 2

. B.

. C.

. D.

Câu 14: (THPT Chuyên Quốc Học Huế - Lần 2) Cho số phức

z x yi

với

,xy

thỏa

mãn

  11zi

và

  3 3 5zi

. Gọi

,mM

lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị

lớn nhất của biểu thức

2P x y

. Tính tỉ số

. B.

. C.

. D.

PMT

Câu 15: (Sở GD và ĐT Cần Thơ) Cho số phức

thỏa mãn

 1z

. Giá trị lớn nhất của biểu

thức

   1 2 1P z z

bằng

. B.

. C.

. D.

 ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 1

CÂU 1:

Lời giải

Chọn D

Đặt

 



  ,,z x yi x y

   3 4 5zi

     



   

3 4 5 1xy

Ta có:

   

2M z z i

   



    

21x y x y

  4 2 3xy

   



   4 3 2 4 23xy

   

     

20 3 4 23 33xy

Dấu

""

xảy ra khi chỉ khi







kết hợp với

 

suy ra

     



    



5 5 5

1, 3 1 3

x y z i

Thử lại ta có



max

33M

  55zi

   25zi

CÂU 2:

Lời giải

Chọn B

Dựng hình bình hành

OMPN

trong mặt phẳng phức, khi đó biểu diễn của :

PMT

















z z OP

z z MN

 



    







    



1 2 1 2 1 2

2 cos 150 1

2 cos 30 1

z z z z z z



  



CÂU 3:

Lời giải

Chọn B.

Cách 1. Ta có phương trình đường tròn

     



  

: 4 3 9C x y

Do điểm

nằm trên đường tròn

 

nên ta có

   



  

4 3 9ab

Mặt khác

   



      4 3 1 4 4 3 3 24F a b a b

   



    24 4 4 3 3F a b

Ta có

   

 

   



         







4 4 3 3 4 3 4 3 25.9 255a b a b

   



     15 4 4 3 3 15ab

    15 24 15F

  9 39F

Khi đó

 39M

 9m

Vậy

48Mm

Cách 2. Ta có



    

4 3 1

F a b a

   

 

   

         





     

4 3 9 4 6 9 9

25 2 3 3 225 0

a b b b

b F b F

 





   

3 3 25 5625FF



         

0 16 18 5625 0 9 39.F F F

CÂU 4:

Lời giải

Chọn D

Ta có

  

  

4 z

  25z

CÂU 5:

Lời giải

Chọn C

PMT

Gọi

z x yi

được biểu diễn bởi điểm

 

x y

. Khi đó

OM z

12z



 

  

12xy



 



 

14xy

 

. Chứng tỏ

thuộc đường

tròn

 

có phương trình

 

, tâm

 

;0I

, bán kính

 2R

Yêu cầu bài toán



 

MC

sao cho

lớn nhất, nhỏ nhất.

Ta có

 1OI

nên điểm

nằm trong đường tròn



   R OI OM OI R



13OM

Do đó

 3M

và

 1m

Vậy

4Mm

CÂU 6:

Lời giải

Chọn A

Giả sử

    z a bi z a bi

. Khi đó

  1z z i

 

     11a bi a b i

   



    

11a b a b

0ab

Khi đó

  w 2 2zi

     



      2 2 2 2 1a ai i a i a

   

    

w 2 2 2 1aa

   

8 4 5

CÂU 7:

Lời giải

Chọn A

 Ta có:



10z



4zm

 Để số phức

có môđun nhỏ nhất trong 3 số phức đã cho thì

     

4 3 5 5mm

CÂU 8:

Lời giải

Chọn C

PMT

Gọi

 

x y

là điểm biểu diễn số phức

ta có:

  24z i z i

   



    

24x y x y

3y

;

  3 3 1zi



điểm M nằm trên đường tròn tâm

 

và bán kính

bằng 1. Biểu thức

  2P z AM

trong đó

 

;0A

, theo hình vẽ thì giá trị lớn nhất

của

2Pz

đạt được khi

 

;3M

nên

   

    

max 4 2 3 0 13P

CÂU 9:

Lời giải

Chọn A

Xét phương trình

  

2017

Ta có:

    2016 0

phương trình có hai nghiệm phức













1 2016

Khi đó:



2016z z i

   

           

2 1 1 2 1 2 1

2016 1z z z z z z z z z z P

Vậy



min

2016 1P

CÂU 10:

PMT

Lời giải

Chọn D

Giả sử

 



 ,z x yi x y

Ta có:

   

16z z z z

        

2 2 16x yi i x yi i

 



  

14xy

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của số phức

là đường tròn tâm số phức

 

;1I

bán

kính

 2R

Do đó

 1m

 3M

Vậy



8Mm

CÂU 11:

Lời giải

Chọn C

Đặt

z x yi

Ta có:

  2 3 4 10zi

   

 



    





2 25

Tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa đề là đường tròn tâm







, bán kính

 5R

PMT

Khi đó:

  







m IO R

M IO R

   2 10M m R

CÂU 12:

Lời giải

Chọn A

Giả sử

 



 

1 1 1 1 1

,z a b i a b

 



 

2 2 2 2 2

,z a b i a b

Ta có



55z

 



  

5 25ab

. Do đó, tập hợp các điểm

biểu diễn cho số phức

là đường tròn

   



 

: 5 25C x y

có tâm là điểm

 

5

;0I

và bán kính

 5R

    

1 3 3 6z i z i

       



      

2 2 2 2

1 3 3 6a b a b

   

8 6 35 0ab

. Do đó tập hợp các điểm

biểu diễn cho số phức

là đường

thẳng

   :8 6 35 0xy

Khi đó, ta có



z z AB

Suy ra



1 2 min

min

z z AB

 



 ;d I R

 

  





8. 5 6.0 35



Vậy giá trị nhỏ nhất của



là

CÂU 13:

Lời giải

Chọn B

Ta có

 

   1 2 4i z i

   

. Vậy quỹ tích điểm biểu diễn cho số

phức

là đường tròn

 

tâm









;

bán kính

 22R

(1).

Biểu thức

   3T x y

, với

 0T

thì ta có

    



   



x y T

(2).

PMT

Khi đó điểm

là điểm thuộc đường tròn

 

và một trong hai đường thẳng trong

(2).

Điều kiện để một trong hai đường thẳng trên cắt đường tròn

 

là



















  





  



  08T

. Vậy

maxT 8

CÂU 14:

Lời giải

Chọn B

Gọi

là điểm biểu diễn của số phức

Từ giả thiết

  11zi

ta có

là các điểm nằm bên ngoài hình tròn

 

có tâm

 

;1I

bán kính



Mặt khác

  3 3 5zi

ta có

là các điểm nằm bên trong hình tròn

 

có tâm

 

;3J

bán kính



Ta lại có:

 



     2 2 0P x y x y P

. Do đó để tồn tại

,xy

thì

 



và phần

gạch chéo phải có điểm chung tức là

 



   

; 5 5

     9 5 4 14PP

. Suy ra

   

4; 14

CÂU 15:

PMT

Lời giải

Chọn C

Gọi số phức

iz x y

, với

,xy

Theo giả thiết, ta có

 1z





1xy

. Suy ra

  11x

Khi đó,

   1 2 1P z z

   

     

1 2 1x y x y

   2 2 2 2 2xx

Suy ra

 

   



    



1 2 2 2 2 2P x x

hay

 25P

, với mọi

  11x

Vậy



max

25P

khi

  2 2 2 2 2xx







-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ĐỀ SỐ 2

THỜI GIAN LÀM BÀI: 60 PHÚT

Câu 1: (THPT Chuyên Tiền Giang - Lần 1) Biết số phức

thỏa mãn

  3 4 5zi

và biểu

thức

   

2T z z i

đạt giá trị lớn nhất. Tính

 33z

. B.

 50z

. C.

 10z

. D.

 52z

Câu 2: (Đoàn Trí Dũng - Lần 7) Biết rằng

12z

. Tìm giá trị lớn nhất của module số phức

2w z i

52

25

Câu 3: (THPT Quảng Xương 1 - Thanh Hóa) Cho số phức

thỏa mãn







. Tìm giá

trị lớn nhất của biểu thức

    2 4 7P z i z i

. B.

. C.

. D.

Câu 4: (Sở GD Bạc Liêu - HKII - 2018 Xét số phức

 



  , , 0z a bi a b R b

thỏa mãn

 1z

Tính



24P a b

khi



2zz

đạt giá trị lớn nhất .

 4P

. B.

22P

. C.

 2P

. D.

22P

PMT

Câu 5: (THPT Quốc Oai - Hà Nội - HKII) Trong các số phức

thỏa mãn

   23z i z i

Hãy tìm

có môđun nhỏ nhất.



27 6

. B.

  

6 27

. C.

  

6 27

. D.



Câu 6: [TRẦN HƯNG ĐẠO – NB] Trong các số phức thỏa mãn điều kiện

   3 2 .z i z i

Tìm số phức có môđun nhỏ nhất?

12zi

. B.

  

. C.



. D.

  12zi

Câu 7: [LẠNG GIANG SỐ 1] Cho số phức

thỏa mãn

   3 3 8zz

. Gọi

lần

lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Khi đó

Mm

bằng

4 7.

4 7.

4 5.

Câu 8: Cho số phức

thỏa mãn

 1z

. Đặt







. Mệnh đề nào sau đây đúng?

 1A

. B.

 1A

. C.

 1A

. D.

 1A

Câu 9: Cho số phức

thỏa mãn

 1z

. Tìm giá trị lớn nhất

max

và giá trị nhỏ nhất

min

của biểu thức

    

1 1 .M z z z



max min

5; 1MM

. B.



max min

5; 2MM



max min

4; 1MM

. D.



max min

4; 2MM

Câu 10: Cho số phức

thỏa

 2z

. Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức





. D.

Câu 11: Cho số phức

thỏa mãn

 1z

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

   1 3 1 .P z z

3 15

. B.

. C.

. D.

2 20

Câu 12: Cho số phức

thỏa mãn

  1 2 2zi

. Tìm môđun lớn nhất của số phức

PMT

9 4 5.

11 4 5

. C.

6 4 5

. D.

5 6 5

Câu 13: Cho số phức

thỏa mãn

 

   1 6 2 10i z i

. Tìm môđun lớn nhất của số phức

3 5.

35

Câu 14: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện

   2 4 2z i z i

. Tìm môđun nhỏ nhất của

số phức

 2.zi

3 5.

32

Câu 15: Cho số phức

thỏa mãn

  1 2 3zi

. Tìm môđun nhỏ nhất của số phức

1.zi

2 2.

 ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 2

CÂU 1:

Lời giải

Chọn D

Đặt

z x yi

, theo giả thiết

   



      

3 4 5 3 4 5z i x y

 

Ngoài ra

        

2 4 2 3 0T z z i x y T

 



đạt giá trị lớn nhất.

Rõ ràng

 

và

 



có điểm chung do đó



   

5 13 33

Vì

đạt giá trị lớn nhất nên

 33T

suy ra

     4 2 30 0 15 2x y y x

thay vào

 

ta được

    

5 50 125 0 5x x x

5y

. Vậy

 52z

CÂU 2:

Lời giải

Chọn D

Quỹ tích

 

là đường tròn tâm

 

,0I

bán kính

 2R

. Còn

  2w z i MA

với

 

,2A

. Khi đó

   

max

25w IA R

PMT

CÂU 3:

Lời giải

Chọn B

Gọi

z x yi

với

,xy

, gọi

là điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số

phức

. Ta có:







   2 1 3z z i

   

     2 1 3x yi x y i

   

     

2 1 3x y x y

   



   

2 3 20xy

Như vậy, tập hợp điểm

biểu diễn số phức

là đường tròn

 

tâm

 

;3I

và

bán kính

 25R

Gọi

 

0

; 1A

 

;7B

lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức





47zi

Dễ thấy

,AB

thuộc đường tròn

 

. Vì

4 5 2AB R

nên

là đường kính của

đường tròn

 

   

2 2 2

20MA MB AB

Từ đó:

    2 4 7P z i z i

    2 4 7z i z i

  

     

2 2 2 2

2 1 2 10MA MB MA MB

Dấu

""

xảy ra khi





















MB MA

MA MB

Vậy

max 10P

CÂU 4:

Lời giải

Chọn C

 1z





 0b



  11a

Ta có :



2zz

  

2z z z

 

  

2 bi a bi

   

22bi a b abi

 26AB

PMT



2 4 1b ab

 

    

2 1 4 1 1a a a

   

2 4 4 2a a a

Biểu thức trên đạt GTLN trên miền

  11a

khi









(do

 0b

)

Vậy

  

2 4 2P a b

CÂU 5:

Lời giải

Chọn D

Giả sử

z x yi

 



,xy

  z x yi

Ta có

     23x yi i x yi i

     

      1 2 3x y i x y i

     



     

2 2 2

123x y x y

          1 2 13 4 6 4 12 8 2 3y x y x y x y

Do đó

 



           





2 2 2 2

6 9 9

2 3 5 12 9 5

z x y y y y y y

Dấu

""

xảy ra

  

, khi đó

   

3 3 6

5 5 5

x z i

CÂU 6:

Lời giải

Chọn C

Phương pháp tự luận

Giả sử

 



 ,z x yi x y

           



                

2 2 2

3 2 3 2 1 3 2 1z i z i x y i x y i x y x y

                6 9 4 4 2 1 4 8 4 0 2 1 0 2 1y x y x y x y x y

 



           





2 2 2 2

2 1 5

2 1 5 4 1 5

5 5 5

z x y y y y y y

Suy ra



min

khi

   

Vậy



Phương pháp trắc nghiệm

Giả sử

 



 ,z x yi x y

PMT

           



                

2 2 2

3 2 3 2 1 3 2 1z i z i x y i x y i x y x y

             6 9 4 4 2 1 4 8 4 0 2 1 0y x y x y x y

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức

thỏa điều kiện

   32z i z i

là đường

thẳng

  : 2 1 0d x y

Phương án A:

12zi

có điểm biểu diễn

 

1

; 2 d

nên loại A.

Phương án B:

  

có điểm biểu diễn









;

nên loại B.

Phương án D:

  12zi

có điểm biểu diễn

 

1

;2 d

nên loại B.

Phương án C:



có điểm biểu diễn









;

CÂU 7:

Lời giải

Chọn B

Gọi

z x yi

với

;xy

Ta có

          8 3 3 3 3 2 4z z z z z z

Do đó

4M max z

Mà

   

                 

3 3 8 3 3 8 3 3 8z z x yi x yi x y x y

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có

   

 

   



            





2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

8 1. 3 1. 3 1 1 3 3x y x y x y x y

   

       

2 2 2 2

8 2 2 2 18 2 2 2 18 64x y x y

       

2 2 2 2

7 7 7x y x y z

Do đó

7M min z

Vậy

  47Mm

CÂU 8:

PMT

Lời giải

Chọn A

Đặt Có

 



    

, , 1a a bi a b a b

(do

 1z

)

   

 

   



  

  



2 2 1 4 2 1

a b i a b

iz b ai

Ta chứng minh

 







4 2 1

Thật vậy ta có

 

   



         



2 2 2 2

4 2 1

1 4 2 1 2 1

a b b a a b

Dấu “=” xảy ra khi



1ab

Vậy

 1A

CÂU 9:

Lời giải

Chọn A

Ta có:

     

1 1 5M z z z

, khi

    

max

1 5 5.z M M

Mặt khác:

     

      



3 3 3 3 3

1 1 1 1 1

1 1,

2 2 2

z z z z z

khi

     

min

1 1 1z M M

CÂU 10:

Lời giải

Chọn A

Ta có

    

1 1 .

| | 2

Mặt khác:

   

1 1 .

| | 2

Vậy, giá trị nhỏ nhất của

là

, xảy ra khi

2 ; zi

giá trị lớn nhất của

bằng

xảy

ra khi

 2.zi

CÂU 11:

Lời giải

PMT

Chọn D

Gọi

 



  ; ;z x yi x y

. Ta có:

         



2 2 2 2

1 1 1 1;1z x y y x x

Ta có:

       

             

1 3 1 1 3 1 2 1 3 2 1P z z x y x y x x

Xét hàm số

     

     



2 1 3 2 1 ; 1;1 .f x x x x

Hàm số liên tục trên

 



1;1

và với

 

1

;1x

ta có:

 



       



1 3 4

0 1;1

2 1 2 1

f x x

Ta có:

   



      





max

1 2; 1 6; 2 20 2 20

f f f P

CÂU 12:

Lời giải

Chọn A

Gọi

 



  ; ;z x yi x y

. Ta có:

   



      

1 2 2 1 2 4.z i x y

Đặt





      



1 2sin ; 2 2cos ; 0; 2x t y t t

Lúc đó:

         





           

1 2sin 2 2cos 9 4sin 8cos 9 4 8 sin ; z t t t t t

 





        





9 4 5 sin 9 4 5; 9 4 5z t z

  

max

9 4 5z

đạt được khi

  



5 2 5 10 4 5

CÂU 13:

Lời giải

Chọn B

Gọi

 



  ; ;z x yi x y

Ta có:

       



                



1 6 2 10 1 . 10 2 4 5 2 4 5.

i z i i z z i x y

Đặt





    



2 5 sin ; 4 5 cos ; 0;2x t y t t

Lúc đó:

PMT

     

   



      

    

2 5 sin 4 5 cos 25 4 5 sin 8 5 cos

25 4 5 8 5 sin ;

z t t t t

 





     



25 20sin 5;3 5z t z



max

35z

đạt được khi

36zi

CÂU 14:

Lời giải

Chọn C

Gọi

 



  ; ;z x yi x y

Ta có:

     

                 

2 2 2

2 4 2 2 4 2 4 0 4 .z i z i x y x y x y y x

Ta có:

     



            

2 2 2

2 2 6 2 12 36 2 3 18 18z i x y x x x x x

   

min

2 18 3 2zi

khi

3.zi

CÂU 15:

Lời giải

Chọn C

Gọi

     



         ; ; 1 1 1z x yi x y z i x y i

. Ta có:

   



      

1 2 9 1 2 9z i x y

Đặt





      



1 3sin ; 2 3cos ; 0; 2 .x t y t t

   

                

min

1 3sin 1 3cos 10 6cos 2 2 4 1 2z i t t t z i z i

, khi

1.zi

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ĐỀ SỐ 3

THỜI GIAN LÀM BÀI: 60 PHÚT

Câu : Cho số phức

 







m m i

. Tìm môđun lớn nhất của

PMT

A. 1. B. 0. C.

. D.2.

Câu 2: (Toán học tuổi trẻ tháng 1) Cho 2018 phức

thoả mãn

  3 4 5zi

. Gọi

và

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

   

2P z z i

. Tính

môđun của 2018 phức

w M mi

 1258w

. B.

 1258w

. C.

 2 314w

. D.

 2 309w

Câu 3: (SGD BINH THUAN) Xét các số phức



34zi

và



2z mi

 



. Giá trị nhỏ

nhất của môđun số phức

bằng?

. B.

. C.

. D.

Câu 4. [SGD SOC TRANG] Cho số phức

z a bi

 



,ab

thỏa

   4 4 10zz

và

 6z

lớn nhất. Tính

S a b

3S

. B.

 5S

. C.

5S

. D.

 11S

Câu 5: (Sở GD Kiên Giang) Cho hai số phức

,zz

thỏa mãn

  

2 3 2zi

và

  

1 2 1zi

. Tìm giá trị lớn nhất của



P z z

3 34P

. B.

3 10P

. C.

 6P

. D.

 3P

Câu 6: (SỞ GD-ĐT PHÚ THỌ) Có bao nhiêu giá trị nguyên của

để có đúng

số phức

thỏa

 

   18z m i

và

    1 2 3z i z i

130

. B.

. C.

. D.

131

Câu 7: [NGUYỄN TRÃI] Cho số phức

thỏa mãn:

  2 2 1zi

. Số phức

zi

có môđun

nhỏ nhất là:

51

. B.

51

. C.

52

. D.

52

Câu 8: [CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH] Cho số phức

thỏa mãn

  

      

2 5 1 2 3 1z z z i z i

. Tính

min| |w

, với

  22w z i

PMT



min| |

. B.

min| | 2w

. C.

min| | 1w

. D.



min| |

Câu 9: [CHUYÊN SƠN LA]Cho số phức

thỏa mãn điều kiện:

  1 2 5zi

và

  1w z i

có môđun lớn nhất. Số phức

có môđun bằng:

. B.

. C.

. D.

Câu 10: [CHU VĂN AN – HN] Cho số phức

thỏa mãn điều kiện

12z

. Tìm giá trị lớn

nhất của

    2T z i z i

max 8 2T

. B.

max 4T

. C.

max 4 2T

. D.

max 8T

Câu 11: (SGD Bà Rịa - Vũng Tàu)Cho số phức

thỏa mãn

  2 3i 5z

. Gọi

lần

lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức

   

i2P z z

. Tính

A m M

3A

. B.

2A

. C.

 5A

. D.

 10A

Câu 12: (THPT Ninh Giang - Hải Dương) Cho các số phức

thỏa mãn

  3z z i

. Tìm

giá trị nhỏ nhất của

Pz



min

. B.



min

. C.



min

2 10

. D.



min

3 10

Câu 13: [CHUYÊN SƠN LA - 2017] Cho số phức

thỏa mãn điều kiện:

  1 2 5zi

và

  1w z i

có môđun lớn nhất. Số phức

có môđun bằng:

. B.

. C.

. D.

Câu 14: [THPT THÁI PHIÊN HP - 2017] Trong tập hợp các số phức

thỏa mãn:







Tìm môđun lớn nhất của số phức

zi

22

. B.

32

. C.

32

. D.

22

PMT

Câu 15: [THPT Lý Thường Kiệt - 2017] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ

,Oxy

cho điểm

 

; 4A

và

là điểm biển diễn số phức

thoả mãn điều kiện

   12z z i

. Tìm

toạ độ điểm

để đoạn thẳng

nhỏ nhất.

 

1

; 1M

. B.

 

2

; 4M

. C.

 

; 5M

. D.

 

; 8M

 ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 3

CÂU 1:

Lời giải

Chọn A

Ta có:

 



          



  

2 2 2

max

1 1 ; 0

1 1 1

m i m i

z z z z i m

m m i

m m m

CÂU 2:

Lời giải

Chọn B

Giả sử

z a bi

(

,ab

) .

   



      

3 4 5 3 4 5z i a b

(1) .

   



            





2 2 1 4 2 3P z z i a b a b a b

(2) .

Từ (1) và (2) ta có

 



    

20 64 8 22 137 0a P a P P

(*) .

Phương trình (*) có nghiệm khi



     

4 184 1716 0PP

    13 33 1258Pw

CÂU 3:

Lời giải

Chọn A

  

 

    

  

    





2 3 4 6 4 3 8

2 6 4 3 8

3 4 25 25 25

3 4 3 4

mi i m m i

mi m m

PMT

     

  

   

   

6 4 3 8

25 25

    



36 48 16 9 48 64

m m m m



     

25 100 4 4 2

25 25 5

Hoặc dùng công thức:



CÂU 4:

Lời giải

Chọn C

Gọi

 

a b

là điểm biểu diễn số phức

z a bi

 



,ab

 

4

;0A

 

;0B

 

;0C

lần lượt là điểm biểu diễn số phức





Khi đó ta có

   4 4 10zz

   10MA MB

suy ra tập hợp điểm

là

 

nhận

là các tiêu điểm, độ dài trục lớn

  2 10 5aa

, tiêu cự

  2 8 4cc

 3b

 

 E



25 9

Ta tìm giá trị lớn nhất của

 6z

 MC

, khi đó

max

   11EF FC

, khi đó

ME

với

 

5;

 

;0F

  5z

. Vậy

S a b

5

CÂU 5:

Lời giải

Chọn A

PMT

Gọi

 

x y

là điểm biều diễn số phức

 

x y

là điểm biểu diễn số phức

Số phức

thỏa mãn

  

2 3 2zi

   



   

2 3 4xy

suy ra

 

x y

nằm trên đường tròn tâm

 

2

;3I

và bán kính



Số phức

thỏa mãn

  

1 2 1zi

   



   

1 2 1xy

suy ra

 

x y

nằm trên đường tròn tâm

 

1

; 2J

và bán kính



Ta có



z z MN

đạt giá trị lớn nhất bằng



R IJ R

  2 34 1

3 34

CÂU 6:

Lời giải

Chọn B

Đặt

z x iy

 



,xy

Ta có:

 

   12z m i



tập hợp các điểm

biểu diễn số phức

là đường

tròn tâm

 

1

; 1Im

, bán kính

 8R

Ta có:

    1 2 3z i z i



tập hợp các điểm

biểu diễn số phức

là đường

thẳng

  : 2 8 11 0d x y

Yêu cầu bài toán



khoảng cách từ

đến

nhỏ hơn

  2 21 8 68m

    

21 21

4 68 4 68

Vì

m

nên

22 43m



có

giá trị thỏa yêu cầu bài toán.

PMT

CÂU 7:

Lời giải

Chọn A

Gọi

z x yi

,xy

Ta có:

            

2 2 1 ( 2) ( 2) 1 ( 2) ( 2) 1z i x y i x y

Tập hợp các điểm trong mặt phẳng

Oxy

biểu diễn của số phức

là đường tròn

()C

tâm

(2;2)I

và bán kính

 1R

 

    

1z i x y IM

, với

 

;2I

là tâm đường tròn,

là điểm chạy trên đường

tròn. Khoảng cách này ngắn nhất khi

là giao điểm của đường thẳng nối hai điểm

   

0

;1 , 2; 2N Oy I

với đường tròn (C).

   

min

51IM IN R

CÂU 8:

Lời giải

Chọn C

Ta có

        

                

2 5 1 2 3 1 1 2 1 2 1 2 3 1z z z i z i z i z i z i z i

   

   





    





1 2 0

1 2 3 1

z i z i

Trường hợp

  1 2 0zi

    11ww

 

Trường hợp 2:

    1 2 3 1z i z i

Gọi

z a bi

(với

,ab

) khi đó ta được

         

             

1 2 1 3 2 3

a b i a b i b b b

PMT

Suy ra

 

          

3 9 3

2 2 2 2

2 4 2

w z i a i w a

 

Từ

 

suy ra

min| | 1w

CÂU 9:

Lời giải

Chọn B

Gọi

     



        , 1 2 1 2z x yi x y z i x y i

Ta có:

       



           

2 2 2 2

1 2 5 1 2 5 1 2 5z i x y x y

Suy ra tập hợp điểm

 

x y

biểu diễn số phức

thuộc đường tròn

 

tâm

 

1

; 2I

bán kính

 5R

như hình vẽ:

Dễ thấy

 

OC

   



 1; 1NC

Theo đề ta có:

   

;M

x y C

là điểm biểu diễn cho sốphức

thỏa mãn:

   



         1 1 1 1w z i x yi i x y i

   

       

1 1 1z i x y MN

Suy ra

1zi

đạt giá trị lớn nhất

 MN

lớn nhất.

PMT

Mà

 

,M

N C

nên

lớn nhất khi

là đường kính đường tròn

 

 I

là trung điểm

   

         

3; 3 3 3 3 3 3 2MN M z i z

CÂU 10:

Lời giải

Chọn B

       

            2 1 1 1 1T z i z i z i z i

Đặt

1wz

. Ta có

 1w

và

   

     11T w i w i

Đặt

.w x y i

. Khi đó

  

2w x y

       

       1 1 1 1T x y i x y i

       

       

2 2 2 2

1. 1 1 1. 1 1x y x y

 

       





        

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1x y x y

 

   

2 2 2 4 4xy

Vậy

max 4T

CÂU 11:

Lời giải

Chọn B.

Đặt

iz x y

(

y

) thì

  2 3i 5z

    i 2 3i 5xy

   



   

2 3 5xy

   

i2P z z

     

i i i 2x y x y

   



    

12x y x y

  4 2 3xy

Đặt

2 5 sinxt

  3 5 cosyt

t

   

      4 2 5 sin 2 3 5 cos 3P t t

  4 5 sin 2 5 cos 1tt

 



 



4 5 sin 2 5 costt

 

80

20 .1

    10 1 10P

   11 9P

Vậy

    11 9 2A

CÂU 12:

PMT

Lời giải

Chọn C

Gọi

z a bi

 



,ab

Ta có:

  

P z a b

Mà

  3z z i

Hay

    3a ib a ib i

   

     31a ib a b i

   



    

31a b a b

  43ba

Lúc đó

 

        

2 2 2 2

4 3 10 24 16P z a b a a a a



    





24 144 8 2 10

10 100 5 5

CÂU 13:

Lời giải

Chọn B

Gọi

     



        , 1 2 1 2z x yi x y z i x y i

Ta có:

       



           

2 2 2 2

1 2 5 1 2 5 1 2 5z i x y x y

PMT

Suy ra tập hợp điểm

 

x y

biểu diễn số phức

thuộc đường tròn

 

tâm

 

1

; 2I

bán kính

 5R

như hình vẽ.

Dễ thấy

 

OC

   



 1; 1NC

Theo đề ta có:

   

;M

x y C

là điểm biểu diễn cho số phức

thỏa mãn:

   



         1 1 1 1w z i x yi i x y i

   

       

1 1 1z i x y MN

Suy ra

1zi

đạt giá trị lớn nhất

 MN

lớn nhất.

Mà

 

,M

N C

nên

lớn nhất khi

là đường kính đường tròn

 

 I

là

trung điểm

   

         

3; 3 3 3 3 3 3 2MN M z i z

CÂU 14:

Lời giải

Chọn A

Đặt

z x yi

,xy



  



       

       2 1 2 1 1x y i x y i

       

       

2 2 2 2

2 1 2 1 1x y x y

       



       





2 2 2 2

2 1 2 1 1x y x y

 



  

12xy

Suy ra

 

    

1 2 1 2yy

Ta có:

   



      

1 2 1 2 4x y x y y

 

        

2 4 2 4 1 2 6 4 2z i y

     1 6 4 2 2 2z

PMT

Vậy

  1 2 2z

là môđun lớn nhất của số phức

zi

CÂU 15:

Lời giải

Chọn C

Gọi

 



 ,,z x yi x y R

Ta có

   12z z i

     



     

2 2 2

1 2 1x y x y

   3 2 0xy

Tập hợp điểm

 

x y

biểu diễn số phức

là đường thẳng

 



 : 3 2 0d x y

Để đoạn

nhỏ nhất thì

là hình chiếu của

trên



qua

và vuông góc với

có phương trình

  3 16 0xy

. Tọa độ

là nghiệm

của hệ phương trình

     





   



3 16 0 1

3 2 0 5

x y x

x y y

Vậy

 

; 5M

ĐỀ SỐ 4

THỜI GIAN LÀM BÀI: 60 PHÚT

Câu 1. [Cụm 1 HCM - 2017] Cho số phức

thỏa điều kiện

 

  

42z z z i

. Giá trị nhỏ

nhất của

zi

bằng ?

A. 3. B. 4. C. 1. D. 2.

Câu 2. [SỞ GD-ĐT HÀ TĨNH L2 - 2017] Gọi

là tập hợp tất cả các số phức

thõa mãn

2zi

và

14z

. Gọi



,z z T

lần lượt là các số phức có mô đun nhỏ nhất và

lớn nhất trong

. Khi đó



bằng:

5

. B.

4 i

. C.

5 i

. D.

5 i

Câu 3. [THPT Chuyên Hà Tĩnh - 2017] Cho số phức

thỏa mãn

   3 3 10z i z i

. Gọi

lần lượt là điểm biểu diễn số phức

có môđun lớn nhất và nhỏ nhất. Gọi

là trung điểm của

 

a b

biểu diễn số phức

, tổng

ab

nhận giá trị nào

sau đây?

PMT

. B.

. C.

. D.

Câu 4. [Sở Hải Dương - 2017] Cho số phức

thỏa mãn

.1zz

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức:

    

3P z z z z z

. B.

. C.

. D.

Câu 5: (Sở Quảng Bình - 2018)Cho các số phức

thỏa mãn

 5z

 



  4 3 1 2w i z i

. Giá trị nhỏ nhất của

là :

Câu 6: (SGD VĨNH PHÚC - 2018) Gọi

là các nghiệm phức của phương trình

  

4 13 0zz

, với

có phần ảo dương. Biết số phức

thỏa mãn

  

2 z z z z

, phần thực nhỏ nhất của

là

2

Câu 7: [THPT Chuyên Thái Bình) Cho các số phức

thỏa mãn

  5 3 3zi

  4 2 2iw i

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

32T iz w

554 5

578 13

578 5

554 13

Câu 8: (THPT THÁI PHIÊN-HẢI PHÒNG) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của

để có

đúng hai số phức

thỏa mãn

 

   18z m i

và

    1 2 3z i z i

131

. B.

. C.

. D.

130

Câu 9. (Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Tìm giá trị lớn nhất của

    

1P z z z z

với

là số phức thỏa mãn

 1z

. B.

. C.

. D.

Câu 10. (TRƯỜNG CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH) Trong các số phức

thỏa mãn



12zz

gọi

và

lần lượt là các số phức có môđun nhỏ nhất và lớn nhất. Khi đó môđun

của số phức



w z z

là

 22w

. B.

 2w

. C.

 2w

. D.

12w

PMT

Câu 11. (THPT Lê Hồng Phong - Nam Định) Cho số phức

và

thỏa mãn

  34z w i

và

9zw

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

T z w

max 176T

. B.

max 14T

. C.

max 4T

. D.

max 106T

Câu 12: (Chuyên Thái Bình) Cho số phức

thỏa mãn

   

     1 2 1 2 4 2i z i z

. Gọi

 maxmz

 minnz

và số phức

w m ni

. Tính

2018

1009

. B.

1009

. C.

1009

. D.

1009

Câu 13: (THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An) Cho số phức

thỏa mãn

      5 1 3 3 1z i z i z i

. Tìm giá trị lớn nhất

của

23zi



1 13M

 45M

 9M

Câu 14: (THPT Chuyên Hà Tĩnh) Cho số phức

thỏa mãn

  11zi

, số phức

thỏa mãn

  2 3 2wi

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

zw

13 3

17 3

17 3

13 3

Câu 15: [THPT Lê Hồng Phong-HCM] Cho số phức

thỏa

 1z

. Gọi

lần lượt là giá

trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức

    

5 3 4

6 2 1P z z z z

. Tính

Mm

4m

 3n

. B.

 4m

 3n

4m

 4n

. D.

 4m

4n

 ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 4

CÂU 1:

Lời giải

Chọn C

Giả sử

 



 ,z x yi x y

          

           

4 2 2 2 2 2 2z z z i z i z z i z i z i z z i

 















2 0 1

z i z

PMT

 

  2zi

. Suy ra

      21z i i i i

 

               

2 2 2 2 2 2 2

2 2 4 4x yi i x yi x y x y x y y x y

1y

Suy ra

 

         

1 4 2z i x yi i x y x

x

Vậy giá trị nhỏ nhất của

zi

bằng

CÂU 2:

Lời giải

Chọn C

Đặt

z x yi

khi đó ta có:

 



  



  

  



  



  







1 16

x y i

x yi

Vậy

là phần mặt phẳng giữa hai đường tròn

 

tâm

 

;1I

bán kính



và

đường tròn

 

tâm

 



;0I

bán kính



Dựa vào hình vẽ ta thấy

   

0 , 5z i z

là hai số phức có điểm biểu diễn lần lượt là

   



; 1 , 5;0MM

có mô-đun nhỏ nhất và lớn nhất. Do đó

 



     

55z z i i

CÂU 3:

Lời giải

PMT

Chọn D

Gọi , . Theo giả thiết, ta có

   3 3 10z i z i

   

      3 3 10x y i x y i

     



      

3 3 10x y x y

Gọi

 

x y

 



; 3F

và

 

;3F

Khi đó

 



    

1 2 1 2

10 6MF MF F F

nên tập hợp các điểm

là đường elip

có hai tiêu điểm

và

. Và độ dài trục lớn bằng

Ta có

 3c

;

  2 10 5bb

và

  

2 2 2

16a b c

Do đó, phương trình chính tắc của là



16 25

Vậy



  max 5z OB OB

khi

5zi

có điểm biểu diễn là

 



; 5M

và



  min 4z OA OA

khi

4z

có điểm biểu diễn là

 



;0M

Tọa độ trung điểm của

là









Vậy

   

CÂU 4:

Lời giải

z x yi

 

,xy

 

PMT

Chọn D

Gọi

z a bi

, với

,ab

Ta có:

2z z a

;

    

. 1 1 1z z z z

Khi đó



         





P z z z z z z z z z

          

2 2 2

. 3 2 1

P z z z z z zz z z z

 



              





1 3 3

1 4 1 2 4 1 2 2

2 4 4

P z z z z a a a a a

Vậy



min

CÂU 5:

Lời giải

Chọn B

Theo giả thiết ta có

 



     



4 3 1 2

w i z i z

Mặt khác



      



5 5 1 2 5 5

z w i

Vậy tập hợp điểm biễu diễn số phức

là đường tròn tâm

 

1

; 2I

và bán kính

Do đó

  min 4 5w R OI

CÂU 6:

Lời giải

Chọn B

Ta có

  

4 13 0zz





2 3iz

hoặc



2 3iz

Gọi

iz x y

, với

,xy

PMT

Theo giả thiết,

  

2 z z z z



       

      

2 2 2 2

2 2 3 2 3x y x y

       



       





2 2 2 2

4 2 3 2 3x y x y

   



   

2 5 16xy

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức

là miền trong của hình tròn

 

có tâm

 

;5I

, bán kính

 4R

, kể cả hình tròn đó.

Do đó, phần thực nhỏ nhất của

là



min

CÂU 7:

Lời giải

Chọn D

      5 3 3 3 15 9 9z i iz i

là đường tròn có tâm

 

;15I

và

 9R

      4 2 2 2 8 4 4iw i w i

là đường tròn có tâm

 

4

; 8J

và



 4R

32T iz w

đạt giá trị lớn nhất khi



    554 13T IJ R R

CÂU 8:

Lời giải

Chọn C

- Đặt

z x yi

, với



- Từ giả thiết

 

   18z m i

 



    

1 1 64x m y

, do đó tập hợp các

điểm

biểu diễn số phức

là đường tròn

 

có tâm

 

1

; 1Im

, bán kính

 8R

- Từ giả thiết

    1 2 3z i z i

       



       

2 2 2 2

1 1 2 3x y x y

PMT

   2 8 11 0xy

hay

nằm trên đường thẳng

   : 2 8 11 0xy

- Yêu cầu bài toán



cắt

 

tại 2 điểm phân biệt

 



 ;d I R

 

  



2 1 8 11

2 17

  2 21 16 17m



  

21 16 17 21 16 17

, do

m

nên

 



 22; 21;...;42;43m

Vậy có tất cả

giá trị của

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

CÂU 9:

Lời giải

Chọn C

Đặt

 



 ,z a bi a b

. Do

 1z

nên



1ab

Sử dụng công thức:

.u v u v

ta có:

 

         

1 1 1 2 2z z z z z a b a

   

 

                  

2 2 2 2 2

1 1 1 2 1 2z z a bi a bi a b a ab b i a b a ab b

 

     

2 2 2

(2 1) 2 1 2 1a a b a a

(vì



1ab

Vậy

   2 1 2 2P a a

TH1:



Suy ra

 

             2 1 2 2 2 2 2 2 3 4 2 3 3P a a a a

(vì

  0 2 2 2a

TH2:



Suy ra

 



                





1 1 13

2 1 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3

2 4 4

P a a a a a

Xảy ra khi



CÂU 10:

Lời giải

Chọn A

PMT

Đặt

z a bi

 



,ab

thì



12zz

 

    

12a bi a bi

     

1 2 2a b abi a bi

   



    

2 2 2 2 2 2

1 4 4a b a b a b

      

4 4 2 2 2 2

1 2 6 2 0a b a b a b

 



   

2 2 2

1 4 0a b b

  



      

2 2 2 2

1 2 1 2 0a b b a b b



   





   





1 2 0

a b b

TH1:

   

1 2 0a b b

 



  

12ab

Khi đó tập hợp điểm

 

a b

biểu diễn số phức

là đường tròn có tâm

 

;1I

, bán

kính

 2R

, giao điểm của

(trục tung) với đường tròn là

 



0; 2 1M

và

 



0;1 2M

   

    2 1 1 2w i i

2wi

2w

TH2:

   

1 2 0a b b

 



  

12ab

Khi đó tập hợp điểm

 

a b

biểu diễn số phức

là đường tròn có tâm

 



; 1I

bán kính

 2R

, giao điểm của

(trục tung) với đường tròn là

 



0; 2 1M

và

 



0; 2 1M

   

     2 1 1 2w i i

  2wi

2w

CÂU 11:

Lời giải

Chọn D

Đặt

 



 ,z x yi x y

. Do

  34z w i

nên

   



  34w x y i

PMT

Mặt khác

9zw

nên

   

          

2 3 2 4 4 4 12 16 25 9z w x y x y x y



   

2 2 6 8 28x y x y

 

. Suy ra

   

       

34T z w x y x y

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có

 



   

2 2 2

2 2 2 6 8 25T x y x y

 

Dấu

""

xảy ra khi

   

    

34x y x y

Từ

 

và

 

ta có

 

     

2. 28 25 106 106TT

. Vậy

 106MaxT

CÂU 12:

Lời giải

Chọn C

Ta có

   

     1 2 1 2 4 2i z i z

      1 1 4z i z i

Gọi

là điểm biểu diễn của số phức

 



;1F

là điểm biểu diễn của số phức

  

1zi

và

 



; 1F

là điểm biểu diễn của số phức



1zi

. Khi đó ta có



4MF MF

. Vậy tập hợp điểm

biểu diễn số phức

là Elip nhận

và

làm

hai tiêu điểm.

Ta có

    

2 2 2 2 2F F c c c

Mặt khác

  2 4 2aa

suy ra

    

4 2 2b a c

Do đó Elip có độ dài trục lớn là



24A A a

, độ dài trục bé là



2 2 2B B b

Mặt khác

là trung điểm của

nên

m max z

 maxOM



2a

và

n min z

 minOM

  

2OB b

Do đó

22wi

suy ra

 6w



2018

1009

CÂU 13:

Lời giải

Gọi

 

;1A

   

1

;3 , 1; 1BC

. Ta thấy

là trung điểm của

PMT



  

2 2 2

MB MC BC

     

2 2 2 2

2 2 10

MB MC MA MA

Ta lại có :

      5 1 3 3 1z i z i z i

    

5 3 10.MA MB MC MB MC

 



 

25 10 2 10MA MA

25MC

Mà

   

      2 3 2 4z i z i i

   24z i i

   2 5 4 5zi

Dấu

""

xảy ra khi

















, với

z a bi

;

, ab

 









  





2 3

z i loai

CÂU 14:

Lời giải

Chọn B

Gọi

 

x y

biểu diễn số phức

z x iy

thì

thuộc đường tròn

 

có tâm

 

;1I

, bán kính



 



x y

biểu diễn số phức



w x iy

thì

thuộc đường tròn

 

có tâm

 



; 3I

, bán kính



. Giá trị nhỏ nhất của

zw

chính là giá trị nhỏ nhất của

đoạn

Ta có

 



1; 4II



17II



 



và

 

ở ngoài nhau.



min

  

1 2 1 2

I I R R

17 3

CÂU 15:

Lời giải

Chọn A

Vì

 1z

và



.z z z

nên ta có



PMT

Từ đó,

    

5 3 4

6 2 1P z z z z

    

4 4 4

6 2 1z z z z

    

4 4 4

6 2 1z z z

Đặt



z x iy

, với

,xy

. Do

 1z

nên

  

4 2 2

1z x y

và

  1 , 1xy

Khi đó

       6 2 1P x iy x iy x iy

 

    

2 6 2 1x x y

   2 6 2 2 2xx

 

   

2 2 1 3x

Do đó

 3P

. Lại có

  11x

   0 2 2 2x

     1 2 2 1 1x

4P

Vậy

 4M

khi



và

 3m

khi

  

. Suy ra

1Mm

ĐỀ SỐ 5

THỜI GIAN LÀM BÀI: 90 PHÚT

Câu 1: (THPT Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa) Cho hai số phức

,zz

thỏa mãn

  

12zi

và



z iz

. Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức



21m

. B.

 22m

. C.

 2m

. D.

2 2 2m

Câu 2: (SGD Hà Nam - Năm) Xét các số phức

z a bi

 



,ab

thỏa mãn

   

    

4 15 1z z i i z z

. Tính

   4F a b

khi



đạt giá trị nhỏ nhất

 7F

. B.

 6F

. C.

 5F

. D.

 4F

Câu 3. (SỞ GD VÀ ĐT HƯNG YÊN NĂM 2018) Xét số phức

và số phức liên hợp của nó

có điểm biểu diễn là



. Số phức

 

43zi

và số phức liên hợp của nó có điểm biểu

diễn lần lượt là



. Biết rằng



là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm

giá trị nhỏ nhất của

45zi

. B.

. C.

. D.

Câu 4: CHUYÊN VINH LẦN 3-2018) Cho các số phức

thỏa mãn



và

  



 5w 2 i 4z

. Giá trị lớn nhất của biểu thức

     1 2i 5 2iP z z

bằng

PMT

. B.

4 2 13

. C.

2 53

. D.

4 13

Câu 5: (THPT Chuyên Quốc Học Huế) Cho

z x yi

với



là số phức thỏa mãn

điều kiện

     2 3 2 5z i z i

. Gọi

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

   

86P x y x y

. Tính

Mm



156

20 10

. B.

60 20 10

. C.



156

20 10

. D.

60 2 10

Câu 6: (THPT HAU LOC 2_THANH HOA) Cho các số phức

thỏa mãn

   

4 5 1z i z

và

   4 8 4z i z i

. Tính



M z z

khi

   

P z z z z

đạt giá trị nhỏ nhất.

. B.

. C.

. D.

Câu 7: [SGD NINH BINH] Xét các số phức

z a bi

(

b

) có môđun bằng

và phần

ảo dương. Tính giá trị biểu thức

 





 



2018

52S a b

khi biểu thức

   2 3 2P z z

đạt giá trị lớn nhất.

 1S

. B.



2018

. C.



1009

. D.

 0S

Câu 8: (Sở GD Thanh Hoá) Cho số phức

thỏa mãn

   

     2 1 2 1 10z i z i

. Gọi

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

. Tính tổng

S M m

 9S

. B.

 8S

. C.

 2 21S

. D.

2 21 1S

Câu 9. (SỞ GD-ĐT HẬU GIANG) Cho hai số phức



,zz

thỏa mãn

55z

và



    1 3 3 6z i z i

. Tìm giá trị nhỏ nhất của



zz

. B.

. C.

. D.

3 10

Câu 10. (Chuyên Thái Nguyên) Tìm số phức

thỏa mãn

  15zi

và biểu thức

    7 9 2 8T z i z i

đạt giá trị nhỏ nhất.

52zi

. B.

16zi

và

52zi

. D.

45zi

PMT

Câu 11: [Đề thi thử-Liên trường Nghệ An] Biết rằng hai số phức

thỏa mãn

  

3 4i 1z

và

  

3 4i

. Số phức

có phần thực là

và phần ảo là

thỏa

mãn

3 2 12ab

. Giá trị nhỏ nhất của

    

22P z z z z

bằng:



min

9945

. B.



min

5 2 3P

. C.



min

9945

. D.



min

5 2 5P

Câu 12: (THPT Chuyên Võ Nguyên) Cho số phức

thỏa mãn



12z

và

  

3 4i 5z

. Giá trị nhỏ nhất của



là:

. B.

Câu 13: (THPT Ninh Giang - Hải Dương) Cho các số phức

thỏa mãn

  4 3 2zi

. Giả

sử biểu thức

Pz

đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất khi

lần lượt bằng



1 1 1

z a b i

 



,ab

và



2 2 2

z a b i

 



,ab

. Tính



S a a

 4S

. B.

 6S

. C.

 8S

. D.

 10S

Câu 14: (THPT Ninh Giang - Hải Dương) Cho các số phức

thỏa mãn

  

    

4 2 1 2z z i z i

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

  32P z i



min

. B.



min

. C.



min

. D.



min

Câu 15: (THPT Ninh Giang - Hải Dương) Cho các số phức

thỏa mãn

     1 8 3 53z i z i

. Tìm giá trị lớn nhất của

  12P z i



max

53P

. B.



max

185

. C.



max

106P

. D.



max

53P

Câu 16: (SGD - Quảng Nam - Lần 1) Cho số phức

thỏa mãn

 2z

. Giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

      2 1 2 1 4P z z z z i

bằng:

4 2 3

. B.

23

. C.



. D.



PMT

Câu 17: (PTNK Cơ Sở 2 - TPHCM) Nếu

là số phức thỏa

2z z i

thì giá trị nhỏ nhất của

   4z i z

là

. B.

. C.

. D.

Câu 18: (THPT Vũng Tàu - BRVT) Cho số phức

thỏa mãn

   13z i z i

và số phức



. Tìm giá trị lớn nhất của



max

. B.



max

. C.



max

. D.



max

Câu 19. [THPT Hoàng Văn Thụ] Cho

là hai nghiệm của phương trình

    6 3 2 6 9i iz z i

, thỏa mãn



. Giá trị lớn nhất của



bằng.

. B.

. C. 5. D.

Câu 20: (THPT-Chuyên Ngữ Hà Nội) Cho hai số phức

thỏa mãn

  

3 5 2zi

và

  

1 2 4iz i

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức



23T iz z

313 16

. B.

313

. C.

313 8

. D.

313 2 5

Câu 21: (Chuyên Vinh - Lần 1 - 2018) Giả sử

là hai trong số các số phức

thỏa mãn

  21iz i

và



2zz

. Giá trị lớn nhất của



bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 22: (SGD VĨNH PHÚC) Cho hai số phức

thỏa mãn

    3 6 3 1 3 5 10u i u i

   12v i v i

. Giá trị nhỏ nhất của

uv

là:

2 10

5 10

Câu 23: (THPT Kim Liên-Hà Nội) Xét các số phức

z a bi

(

,ab

) thỏa mãn

  3 2 2zi

. Tính

ab

khi

    1 2 2 2 5z i z i

đạt giá trị nhỏ nhất.

43

. B.

23

. C.

. D.

43

ắ

PMT

Câu 24: (THPT Sơn Tây - Hà Nội) Gọi

là số các số phức

đồng thời thỏa mãn

  i 1 2i 3z

và biểu thức

    2 5 2i 3 3iT z z

đạt giá trị lớn nhất. Gọi

là

giá trị lớn nhất của

. Giá trị tích của

.Mn

là

10 21

6 13

5 21

2 13

 ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 5

CÂU 1:

Lời giải

Chọn D

Đặt

  

; ,z a bi a b

   

z b ai

   



    

z z a b b a i

Nên

   

     

1 2 1

2.z z a b b a z

Ta lại có

       

1 1 1

2 1 1 2z i z i z

  

22z

. Suy ra

   

1 2 1

2. 2 2 2z z z

Dấu

""

xảy ra khi





Vậy

   

min 2 2 2m z z

CÂU 2:

Lời giải

Chọn A

Ta có

   

    

4 15 1z z i i z z

   



        

4 15 1a bi a bi i i a bi a bi

 



  

8 15 2 1ba

suy ra



   

             

1 1 1 1

3 2 1 2 6 8 15 4 24 36 4 32 21

2 2 2 2

z i a b b b b b b

PMT

Xét hàm số

 



 

4 32 21f x x x

với



 



    

8 32 0,

f x x x

suy ra

 

là hàm số đồng biến trên











;

nên

 









15 4353

8 16

f x f

Do đó



đạt giá trị nhỏ nhất bằng

1 4353

2 16

khi



15 1

;

Khi đó

   47F a b

CÂU 3:

Lời giải

Chọn A

Gọi

   





  ; , ;z a bi M a b M a b

Ta có:

    



  4 3 4 3z i a bi i

 



  4 3 3 4a b a b i

   





    4 3 ;3 4 , 4 3 ; 3 4N a b a b N a b a b

Vì



và



cùng vuông góc với trục

nên



là bốn đỉnh của

hình chữ nhật khi













MM NN

MN MM

   

     







     





  





2 6 8

3 3 .0 3 3 . 2 0

0,3 4 0

b a b

a b a b b

b a b

  





  



0,3 4 0

b a b

Khi đó:

   

     4 5 5 4z i a b i

   

   

54ab

   

   

54aa

  

2 18 41aa



   





9 1 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của

45zi

là

khi

   

PMT

CÂU 4:

Lời giải

Chọn C

Gọi

iz x y

, với

,xy

. Khi đó

 

x y

là điểm biểu diễn cho số phức

Theo giả thiết,

  



 5w 2 i 4z

    



    5 w i 2 i 4 5iz

  



    2 i w i 3 2iz

   3 2i 3z

. Suy ra

 

x y

thuộc đường tròn

     



  

: 3 2 9C x y

Ta có

     1 2i 5 2iP z z

MA MB

, với

 

;2A

và

 

;2B

Gọi

là trung điểm của

, ta có

 

;2H

và khi đó:

P MA MB

 



2 MA MB

hay



4P MH AB

Mặt khác,

MH KH

với mọi

 

MC

nên



4P KH AB

 

  

4 IH R AB

 2 53

Vậy



max

2 53P

khi









MA MB

hay

3 5iz

và



3 11

CÂU 5:

Lời giải

Chọn B

PMT

- Theo bài ra:

     2 3 2 5z i z i

       

         

2 2 2 2

2 3 2 1 5x y x y

   

   







   





2 2 0

2 1 25



tập hợp điểm biểu diễn số phức

là miền mặt phẳng

 

thỏa mãn

   

   





   





2 2 0

2 1 25

- Gọi

 

2

; 6A

 

2

;2B

là các giao điểm của đường thẳng

  2 2 0xy

và đường

tròn

     





  

: 2 1 25C x y

- Ta có:

   

86P x y x y

   



    

4 3 25x y P

Gọi

 

là đường tròn tâm

 

4

; 3J

, bán kính

25RP

- Đường tròn

 

cắt miền

 

khi và chỉ khi

JK R JA

   IJ IK R IA

    2 10 5 25 3 5P

   40 20 10 20P

20M

và

40 20 10m

Vậy

  60 20 10Mm

CÂU 6:

-1

PMT

Lời giải

Chọn C

Gọi

 

;5I

 

;0J

Gọi

,AB

lần lượt là các điểm biểu diễn số phức

,zz

Khi đó

nằm trên đường tròn tâm

bán kính

 1R

nằm trên đường tròn tâm

bán kính

 1R

Đặt

z x yi

,xy

. Ta có:

   4 8 4z i z i



     4 8 4x yi i x yi i



     



    

2 2 2

4 8 4x y x y



  16 16 64 0xy



   : 4 0xy

Gọi

là điểm biểu diễn số phức

thì

 

C

Ta có:

     

P z z z z CA CB

 



    



4 5 4

d I R

 



    



1 0 4

J, 1

 

  



        4 4 4 5 4 1 0 4 0

I I J J

x y x y



hai đường tròn không cắt



và

nằm cùng phía với



Gọi

là điểm đối xứng với

qua



, suy ra

nằm trên đường tròn tâm

bán

kính

 1R

(với

là điểm đối xứng với

qua



). Ta có

 

;0I

PMT

Khi đó:

    

P CA CB CA CB A B

nên

min



1 min

















Khi đó:



I A I J

 



 8

;0A

;



I B I J

 



 2

;0B

Như vậy:

min

khi

đối xứng



qua



và



BB

 













4;4

2;0

. Vậy

    

20 2 5M z z AB

CÂU 7:

Lời giải

Chọn D

z a bi

;

 2z

  

2ab

  

4ab

   2 3 2P z z

   

     

2 3 2a b a b

   4 8 3 8 4aa

  4 8 3 8 4aa

 

    

1 3 8 4 8 4aa

 4 10

Dấu đẳng thức xẩy ra khi

48





 



  9 4 8 8 4aa

  

Với





(do

 0b

Vậy

min 4 10P

   

. Khi đó





   









2018

 0

CÂU 8:

Lời giải

Chọn C

Giả sử

z a bi

 



,ab

  z a bi

Chia hai vế cho

ta được:

     2 2 10z i z i

Đặt

 

a b

 

;N

a b

 

2

;1A

 

2

; 1B

 

;1C

NB MC

PMT

Ta có:

10MA MC

 

   

25 21

Elip này có phương trình chính tắc với hệ trục tọa độ

IXY

 

;1I

là trung điểm

Áp dụng công thức đổi trục

 





  







25 21

Đặt













5sin

1 21cos









;2t

   

2 2 2

z OM a b

 

  

25sin 1 21costt

 

   

26 4cos 2 21costt





    









max

1 21 cos 1

1 21





      









min

1 21 cos 1

1 21

   2 21Mm

CÂU 9:

Hướng dẫn giải

Chọn A

PMT

Gọi

 

x y

là điểm biểu diễn của số phức

z x yi

 



x y

là điểm biểu diễn

của số phức



z x y i

Ta có

 



        

5 5 5 5 5 5z x yi x y

Vậy

thuộc đường tròn

   



 

: 5 5C x y



    1 3 3 6z i z i

       

   

       1 3 3 6x y i x y i

       



    

          

2 2 2 2

1 3 3 6 8 6 35x y x y x y

Vậy

thuộc đường thẳng

  :8 6 35xy

Dễ thấy đường thẳng



không cắt

 

và



z z MN

Áp dụng bất đẳng thức tam giác, cho bộ ba điểm

 

,,I

M N

ta có.

     

MN IN IM IN R IN R

 

  

     



8. 5 6.0 5

d I R

Dấu bằng đạt tại



;M M N N

CÂU 10:

Lời giải

Chọn B

PMT

Từ giả thiết

  15zi

suy ra tập hợp các điểm

biểu diễn số phức

là đường tròn (C)

tâm

 

;1I

, bán kính

 5R

Xét các điểm

 

;9A

và

 

;8B

. Ta thấy

10 2.IA IM

Gọi

là điểm trên tia

sao cho



IK IA











IM IK

IA IM

, góc

MIK

chung

  IKM IMA∽

 

..c

g c

  

MK IK

MA IM

2.MA MK

Lại có:

    7 9 2 8T z i z i

2.MA MB

 

2 MK

2. 5 5BK



min

55T

 



 M BK C

nằm giữa

và

  

Ta có: phương trình đường thẳng

là: 2x+y-8=0

Tọa độ điểm

là nghiệm của hệ:

   

   





   





2 8 0

1 1 25

































 

1

;6M

Vậy

16zi

là số phức cần tìm.

CÂU 11:

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi

lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức

trên hệ trục tọa

độ

Oxy

. Khi đó quỹ tích của điểm

là đường tròn

 

tâm

 

, bán kính

 1R

;

quỹ tích của điểm

là đường

 

tròn tâm

 

;8I

, bán kính

 1R

;

quỹ tích của điểm

là đường thẳng

  : 3 2 12 0d x y

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của



2MM MM

PMT

Gọi

 

có tâm







138 64

;

13 13

 1R

là đường tròn đối xứng với

 

qua

. Khi

đó

   



   

1 2 1 3

min 2 min 2MM MM MM MM

với

 



Gọi

lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng

với

 

. Khi đó với mọi

điểm

 



 



Md

ta có

   

22MM MM AB

, dấu "=" xảy ra

khi



,M A M B

. Do đó

    

min 1 3

2 2 2P AB I I



9945

CÂU 12:

Lời giải

Chọn B

Gọi



1 1 1

iz x y

và



2 2 2

iz x y

, trong đó



; đồng thời

 

1 1

;M x y

và

 

2 2

;M x y

lần lượt là điểm biểu diễn các số phức

Theo giả thiết, ta có:

   









   





144

3 4 25

Do đó

thuộc đường tròn

 

có tâm

 

;0O

và bán kính



12R

thuộc

đường tròn

 

có tâm

 

và bán kính



Mặt khác, ta có

 









   





OI R R

nên

 

chứa trong

 

PMT

Khi đó





. Suy ra

 



2 1 2

min

z z M M

   

1 2 1 2

22M M R R

CÂU 13:

Lời giải

Chọn C

Gọi

z a bi

 



,ab

 

            4 3 2 4 3 2 4 3 2z i a ib i a b i

   



   

4 3 4ab

Khi đó tập hợp các điểm

 

a b

biểu diễn số phức

z a bi

thuộc vào đường tròn

 

có tâm

 

4

; 3I

 2R

. Ta có

  

3 4 5OI

Suy ra

    

max

5 2 7z OI R

    

min

5 2 3z OI R

Gọi



là đường thẳng qua hai điểm

ta có

phương trình của

 



 : 3 4 0xy

. Gọi

và

lần lượt là hai giao điểm của

 



và

 

sao cho

 3OM

và

 7ON

khi đó





  















  









3 12 9

;

5 5 5

7 28 21

;

5 5 5

OM OI M

ON OI N



















28 21

12 9

   

28 12

CÂU 14:

Lời giải

Chọn D

(

)

(

)

PMT

Ta có

  

    

4 2 1 2z z i z i

 



     2 2 1 2 0z i z i z i









   





2 1 2

z i z i

Do đó tập hợp các điểm

biểu diễn số phức

trên mặt phẳng tọa độ

Oxy

là điểm

 

;2A

và đường trung trực của đoạn thẳng

với

 

0

; 2B

 

1

; 2C

Ta có

 



1;0BC







là trung điểm

nên phương trình đường trung trực

của

là

  : 2 1 0x

Đặt

 

3

;2D

 3DA

 



Khi đó

   32P z i DN

, với

là điểm biểu diễn cho

Suy ra

 

 



 min min , , 3P DA d D

CÂU 15:

Lời giải

Chọn C

Xét

   

;1 , 8;3AB

ta có

 53AB



các điểm biểu diễn

là đoạn thẳng



   12P z i MM

với

là điểm biểu diễn số phức



là điểm biểu diễn số

phức



  12zi

Phương trình đường thẳng

   : 2 7 5 0AB x y

Hình chiếu vuông góc của



lên

là









87 13

;

53 53

Ta có

nằm giữa

và

nên



P MM

lớn nhất



lớn nhất

    83M B z i



max

106P

CÂU 16:

Lời giải

Chọn A

Gọi

 



 i, ,z x y x y

. Theo giả thiết, ta có

   

24z x y

Suy ra

  2 , 2xy

PMT

Khi đó,

      2 1 2 1 4P z z z z i

   



       





2 1 1 2x y x y y

   



        





2 1 1 2P x y x y y





   

2 2 1 2yy

Dấu “



” xảy ra khi

 0x

Xét hàm số

 

   

2 1 2f y y y

trên đoạn

 



2; 2

, ta có:

 













;

 



  

f y y

Ta có









;

 

  2 4 2 5f

;

 

2 2 5f

Suy ra

 

 





2; 2

min 2 3fy

khi



Do đó

 

   2 2 3 4 2 3P

. Vậy



min

4 2 3P

khi



CÂU 17:

Lời giải

Chọn D

Đặt

z x yi

với

y

theo giả thiết

2izz

  1y

 

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức

là đường thẳng

 

Gọi

 

;1A

 

;0B

suy ra

   4z i z P

là tổng khoảng cách từ điểm

 

;1Mx

đến hai điểm

Thấy ngay

 

;1A

và

 

;0B

nằm cùng phía với

 

. Lấy điểm đối xứng với

 

;1A

qua đường thẳng

 

ta được điểm

 



0

; 3A

Do đó khoảng cách ngắn nhất là



  

3 4 5AB

CÂU 18:

Lời giải

Chọn B.

PMT

Đặt

z a bi

 



,ab

     



         

2 2 2

1 3 1 1 3z i z i a b a b

   



z a b



   





  

5 14



  





7 49

5 20









. Đẳng thức xảy ra khi



và



Vậy



max

min| | 1w

CÂU 19:

Lời giải

Chọn D

Đặt

z a bi

,ab

Ta có

          

6 3 2 6 9 6 8 24 0i iz z i a b a b

     

 



  



         



  





3 4 1

3 4 1 3 4 1

3 4 1

a b z i

Ta lại có:

   

 



          





1 2 1 2 1 2

2 3 4 3 4 6 8

hbh

z i z i z z z z i

     

           

1 2 1 2

64 6

2 1 1 6 8 6 8

25 5

z z i z z i

Ta có:

     

               

1 2 1 2 1 2

6 56

6 8 6 8 6 8 6 8 10

z z z z i i z z i i

CÂU 20:

Lời giải

Chọn A

PMT

Ta có

      

3 5 2 2 6 10 4z i iz i

 

;

 

       

1 2 4 3 6 3 12iz i z i

 

Gọi

là điểm biểu diễn số phức

2iz

là điểm biểu diễn số phức



. Từ

 

và

 

suy ra điểm

nằm trên đường tròn tâm

 



; 10I

và bán kính



; điểm

nằm trên đường tròn tâm

 

;3I

và bán kính



12R

Ta có

           

1 2 1 2 1 2

2 3 12 13 4 12 313 16T iz z AB I I R R

Vậy

max 313 16T

CÂU 21:

Lời giải

Chọn A

Ta có

 

      2 1 1 2 1iz i z i

. Gọi



12zi

có điểm biểu diễn là

 

1; 2I

Gọi

lần lượt là các điểm biểu diễn của

. Vì



2zz

nên

là trung

điểm của

Ta có

 

        

2 2 2 2

2 4 16 4z z OA OB OA OB OI AB

Dấu bằng khi

OA OB

CÂU 22:

Lời giải

Chọn B

PMT

 Ta có:

    3 6 3 1 3 5 10u i u i

     

5 10

6 1 3

u i u i S

  

5 10

MF MF

u

có điểm biểu diễn M thuộc elip với hai tiêu điểm

   

;6 , 1;3FF

, tâm







;

và độ dài trục lớn là



5 10



5 10

 



    

1 2 1 2

1; 3 : 3 6 0F F F F x y

 Ta có:

     12v i v i v i

NA NB

 v

có điểm biểu diễn N thuộc đường thẳng d là trung trực của đoạn AB với

   

1

; 2 , 0;1AB

 



1;3AB









;

là trung điểm của AB

   : 3 2 0d x y

 







1 27

3 10

d I d

Dễ thấy



F F d

 

     

2 10

min min ,

u v MN d I d a

CÂU 23:

Lời giải

Chọn D

Cách 1:

Đặt

  32z i w

với

w x yi

 



,xy

. Theo bài ra ta có

   

24w x y

Ta có

     

                 

2 2 2

1 2 2 2 5 4 2 1 3 4 2 1 3P z i z i w w i x y x y

       

           

2 2 2 2

20 8 2 1 3 2 5 2 2 1 3x x y x x y

         

   

              

   

   

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 1 1 3 2 1 1 3x y x x y x y x y

PMT

 

      2 3 2 3 6y y y y

 





  



    













6 3 0

P y y

Vậy GTNN của

là bằng

đạt được khi

 

  2 2 3zi

Cách 2:

  3 2 2zi

2MI

 

;2MI

với

 

 3;

       1 2 2 2 5 2P z i z i MA MB

với

 

 1

;2A

 

 2

;5B

Ta có

 2IM

;

 4IA

. Chọn

 

;2K

thì

 1IK

. Do đó ta có



.IA IK IM



IA IM

IM IK

IAM

và

IMK

đồng dạng với nhau

   2

AM IM

MK IK

2AM MK

Từ đó

2P MA MB

 

2 MK

 2BK

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

thẳng hàng và

thuộc đoạn thẳng

Từ đó tìm được

 

2;2 3M

Cách 3:

PMT

Gọi

 

a b

là điểm biểu diễn số phức

.z a bi

Đặt

 

 3;

 

1

;2A

và

 

;5B

Ta xét bài toán: Tìm điểm M thuộc đường tròn

 

có tâm

, bán kính

 2R

sao cho

biểu thức

2P MA MB

đạt giá trị nhỏ nhất.

Trước tiên, ta tìm điểm

 

x y

sao cho

 2MA MK

 

MC

Ta có

   

      

2 4 4MA MK MA MK MI IA MI IK

   

          

2 2 2 2 2 2 2

2 . 4 2 . 2 4 3 4MI IA MI IA MI IK MI IK MI IA IK R IK IA

 

luôn đúng

 







  



  





2 2 2

3 4 0

IA IK

R IK IA

 



  





   













4 3 4

4 2 0

IA IK

Thử trực tiếp ta thấy

 

;2K

thỏa mãn

  

2 2 2

3 4 0R IK IA

Vì

    

2 2 2 2

1 3 10 4BI R

nên

nằm ngoài

 

Vì

  

14KI R

nên

nằm trong

 

Ta có

 



    2 2 2 2 2MA MB MK MB MK MB KB

Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi

thuộc đoạn thẳng

Do đó

 2MA MB

nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của

 

và đoạn thẳng

.BK

Phương trình đường thẳng

:2BK x

Phương trình đường tròn

     



  

: 3 2 4C x y

PMT

Tọa độ điểm

là nghiệm của hệ

   









   







3 2 4

hoặc













Thử lại thấy

 

2;2 3M

thuộc đoạn

Vậy

 2a

23b

   43ab

CÂU 23:

Lời giải

Chọn A

Gọi

iz x y

, với

,xy

. Khi đó

 

x y

là điểm biểu diễn cho số phức

Theo giả thiết,

  i 1 2i 3z



  2 i 3z



   



  

2 1 9xy

Ta có

    2 5 2i 3 3iT z z

23MA MB

, với

 

5;

và

 

;3B

Nhận xét rằng

thẳng hàng và

23IA IB

Cách 1:

Gọi



là đường trung trực của

, ta có

   : 5 0xy

23T MA MB

PA PB

. Dấu “



” xảy ra khi

MP

hoặc

MQ

Giải hệ

   

   





   





2 1 9





   





8 2 2 2

;

và



  







8 2 2 2

;

PMT

Khi đó

max 5 21MT

Vậy

. 10 21Mn

Cách 2:

Ta có

thẳng hàng và

23IA IB

nên

2 3 0IA IB





23MA MB

   

   

23MI IA MI IB

  

2 2 2

5 2 3MI IA IB

 105

Do đó

 



2. 2 3. 3T MA MB

 



2 3MA MB

 525

hay

 5 21T

Khi đó

max 5 21MT

. Dấu “



” xảy ra khi

MP

hoặc

MQ

Vậy

. 10 21Mn

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/68

| | Tải xuống

Preview text:

TỔNG ÔN
CỰC TRỊ SỐ PHỨC
Sưu tầm và biên soạn: Phạm Minh Tuấn Wednesday, 21 April
Luôn yêu để Sống, luôn sống để học Toán, luôn học toán để Yêu Contents
CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC ........................................................................................................ 1 1.
MỘT SỐ VÍ DỤ MÌNH HỌA ......................................................................................................... 1 2.
ĐỀ TỰ LUYỆN ................................................................................................................................... 4
ĐỀ SỐ 1 ................................................................................................................................................... 4 
ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 1 ................................................................................................... 7
ĐỀ SỐ 2 ................................................................................................................................................. 14 
ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 2 ................................................................................................. 16
ĐỀ SỐ 3 ................................................................................................................................................. 22 
ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 3 ................................................................................................. 25
ĐỀ SỐ 4 ................................................................................................................................................. 33 
ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 4 ................................................................................................. 35
ĐỀ SỐ 5 ................................................................................................................................................. 44 
ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 5 ................................................................................................. 48
CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC
1. MỘT SỐ VÍ DỤ MÌNH HỌA
Ví dụ 1: [THPT Nguyễn Khuyến] Xét số phức z thỏa mãn 2 z  1  3 z  i  2 2. Mệnh đề nào
dưới đây đúng? 1 3 3
A. z  2 .
B. z  1 . C.
 z  . D.
 z  2 . 2 2 2 2 HƯỚNG DẪN GIẢI
Cách 1. Chọn z  i . Cách 2.
2 2  2 z 1  3 z  i  2 z 1  z i   z i  2 z 1 z  i  z  i
 2 i 1  z  i  2 2  z  i  2 2 .
Dấu "  " xảy ra khi z  i  0 hay z  i  z  i  1. . 1 PMT
Ví dụ 2: [THPT Kim Liên-HN - 2017] Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Tìm giá trị lớn nhất
của z  1  i .
A. 6 .
B. 13  1 . C. 13  2 .
D. 4 . HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt w  z  1 i .
Ta có z  2  3i  1  z  2  3i  1  z  2  3i  1  z  1  i  3  2i  1 .
 w  3  2i  1.
Ta có: 1  w  3  2i  w  3  2i  w  1 13 .
 Max z 1 i  1 13 .
Ví dụ 3: [THPT Hùng Vương-PT ] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  1  i z . Đặt
m  z , tìm giá trị lớn nhất của m . A. 1.
B. 2 .
C. 2  1.
D. 2  1 . HƯỚNG DẪN GIẢI y x I M 2 1 O x .
Đặt z  x  iy với x, y  .
Ta có z  1  1 i z  z  1  1 i . z .  x  2  2 y   2 x  2 1 2 y   2 x  2
y  2x  1  0 .
 tập các điểm biểu diễn z là đường tròn tâm I 1;0 và bán kính R  2 . 2 PMT
 Max z  OM  OI  R  1 2 . 2
Ví dụ 4: [THPT chuyên Phan Bội Châu] Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Giá trị lớn nhất
của z  1 i là.
A. 4 .
B. 13  1 . C. 13  2 .
D. 6 . HƯỚNG DẪN GIẢI M2 M1 I H .
Gọi z  x  yi ta có z  2  3i  x  yi  2  3i  x  2   y  3i . 2 2
Theo giả thiết x  2  y  3  1 nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường
tròn tâm I 2; 3 bán kính R  1 . 2 2
Ta có z  1  i  x  yi  1  i  x  1  1 yi  x  1  y  1 . 2 2
Gọi M x; y và H 1;1 thì HM  x  1   y  1 .
Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao của HI với đường tròn.
x  2  3t
Phương trình HI : 
, giao của HI và đường tròn ứng với t thỏa mãn: y  3   2t  3 2   3 2  2 t  2
t   t   1 9 4 1 nên M  2  ; 3   , M  2  ; 3   . 13  13 13   13 13 
Tính độ dài MH ta lấy kết quả HM  13  1. z
Ví dụ 5: [TT Hiếu Học Minh Châu] Cho số phức z thỏa mãn z không phải số thực và w   2 2 z
là số thực. Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  1  i là. 3 PMT
A. 2 2 .
B. 2 2 .
C. 8 .
D. 2 . HƯỚNG DẪN GIẢI 1 2
Cách 1. Xét z  0 suy ra
 z  . Gọi z  a  bi,b  0 . w z 1 2  2a   2  Suy ra  z    a  b   1 i . 2 2   2 2  w z  a  b   a  b  1  2  b  0 Vì  nên b 1  0   . 2 2   w  a  b  a  b   2 2 2
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Oxy là đường tròn C 2 x  2 : y  2 .
Xét điểm A 1;1 là điểm biểu diễn số phức z  1 i suy ra 0
P  MA  max P  OA  r  2 2 .
Với r là bán kính đường tròn C 2 x  2 : y  2 . z 1
Cách 2. w   w 2 z z z
z 2 0 * . * là phương trình bậc hai với hệ 2
  2   2      2  z w  1  số thực  
 . Vì z thỏa * nên z là nghiệm phương trình * . Gọi z ,z là hai nghiệm  w  1 2
của *  suy ra z .z  2  z .z  2  z z  2  z  2 . Suy ra 1 2 1 2 1 2
P  z  1 i  z  1 i  2  2  2 2 . Dấu bằng xảy ra khi z  1 i . 2. ĐỀ TỰ LUYỆN ĐỀ SỐ 1
THỜI GIAN LÀM BÀI: 60 PHÚT Câu 1:
(Sở GD Cần Thơ-Đề 324-2018) Cho số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện 2 2
z  3  4i  5 và biểu thức M  z  2  z  i đạt giá trị lớn nhất. Môđun của số
phức z  2  i bằng A. 5 . B. 9 . C. 25 . D. 5 . 4 PMT Câu 2:
Cho số phức z , z thỏa mãn z  3 , z  2 được biểu diễn trong mặt phẳng phức 1 2 1 2 z  z
lần lượt là các điểm M, N . Biết OM,ON 
 , tính giá trị của biểu thức 1 2 . 6 z  z 1 2 7 3 1 A. 13 . B. 1 . C. . D. . 2 13 Câu 3:
(THTT - Số 484 - Tháng 10 - 2017 - BTN) Cho số phức z  a  bi a,b   . Biết tập
hợp các điểm A biểu diễn hình học số phức z là đường tròn C  có tâm I 4; 3 và
bán kính R  3 . Đặt M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất của F  4a  3b  1 .
Tính giá trị M  m .
A. M  m  63 .
B. M  m  48 .
C. M  m  50 . D. M  m  41 1 Câu 4:
(THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Q Trị - HKII) Cho số phức z thỏa mãn z   4 . Tính z
giá trị lớn nhất của z . A. 2  3 . B. 4  5 . C. 4  3 . D. 2  5 . Câu 5:
(THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Q Trị - HKII) Gọi M và m là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
của môđun số phức z thỏa mãn z  1  2 . Tính M  m . A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 5 . Câu 6:
[THPT Hà Huy Tập - 2017] Cho số phức z thỏa mãn z  1  z  i . Tìm mô đun nhỏ
nhất của số phức w  2z  2  i . 3 2 3 3 A. . B. . C. 3 2 . D. . 2 2 2 2 Câu 7:
[THPT TH Cao Nguyên - 2017] Cho các số phức z  3i , z  1 3i , z  m  2i . 1 2 3
Tập giá trị tham số m để số phức z có môđun nhỏ nhất trong 3 số phức đã cho là. 3 A.  5; 5 .
B. ;  5 5;  . C.    5; 5 . D.  5; 5. Câu 8:
(Chuyên Quang Trung - Bình Phước) Cho số phức z thỏa mãn z  2i  z  4i và
z  3  3i  1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  2 là: 5 PMT A. 13  1 . B. 10  1 . C. 13 . D. 10 . Câu 9:
(Chuyên Quang Trung - Bình Phước) Trong tập hợp các số phức, gọi z , z là nghiệm 1 2 2017 của phương trình 2 z  z 
 0 , với z có thành phần ảo dương. Cho số phức z 4 2
thoả mãn z  z  1 . Giá trị nhỏ nhất của P  z  z là 1 2 2017  1 2016  1 A. 2016 1. B. . C. . D. 2017  1. 2 2
Câu 10: (THPT Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh) Cho các số phức z  2  i , z  2  i và số 1 2 2 2
phức z thay đổi thỏa mãn z  z
 z  z  16. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn 1 2
nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Giá trị biểu thức 2  2 M m bằng A. 15 B. 7 C. 11 D. 8
Câu 11: (Chuyên KHTN - Lần 3) Cho số phức z thỏa mãn 2z  3  4i  10 . Gọi M và m lần
lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Khi đó M  m bằng. A. 5 . B. 15 . C. 10 . D. 20 .
Câu 12: (THPT Kinh Môn - Hải Dương)
Cho hai số phức z , z thỏa mãn 1 2
z  5  5, z  1  3i  z  3  6i . Giá trị nhỏ nhất của z  z là: 1 2 2 1 2 5 7 1 3 A. B. C. D. 2 2 2 2
Câu 13: (THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần 2) Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn
1iz 2i  4 và Mx;y là điểm biểu diễn cho z trong mặt phẳng phức. Tìm
giá trị lớn nhất của biểu thức T  x  y  3 . A. 4  2 2 . B. 8 . C. 4 . D. 4 2 .
Câu 14: (THPT Chuyên Quốc Học Huế - Lần 2) Cho số phức z  x  yi với x,y thỏa
mãn z  1  i  1 và z  3  3i  5 . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị M
lớn nhất của biểu thức P  x  2y . Tính tỉ số . m 9 7 5 14 A. . B. . C. . D. . 4 2 4 5 6 PMT
Câu 15: (Sở GD và ĐT Cần Thơ) Cho số phức z thỏa mãn z  1. Giá trị lớn nhất của biểu
thức P  1  z  2 1  z bằng A. 5 . B. 6 5 . C. 2 5 . D. 4 5 .
 ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 1 CÂU 1: Lời giải Chọn D 2 2
Đặt z  x  yi , x, y    z  3  4i  5  x  3  y  4  5   1 . 2 2 2 2
Ta có: M  z  2  z  i  x    2 y  2 2
x  y  
1  4x  2y  3  2 2
4 x  3  2 y  4  23  20 x  3  y  4  23  33 . x  3 4
x  y  5  z  5  5i
Dấu "  " xảy ra khi chỉ khi 
kết hợp với 1 suy ra  y  4 2
x  1, y  3  z  1   3i Thử lại ta có M
 33  z  5  5i  z  2  i  5. max CÂU 2: Lời giải Chọn B
Dựng hình bình hành OMPN trong mặt phẳng phức, khi đó biểu diễn của : 7 PMT   2 2 0 z  z   OP z  z  z
 z  2 z z cos 150 1 1 2 1 2 1 2      1 2   z  z   MN 2 2 1 2
 z  z  z  z  2 z z cos 0 30 1 1 2 1 2 1 2    z  z z  z  1 2  1 2  . z  1 z z  z 1 2 1 2 CÂU 3: Lời giải Chọn B. 2 2
Cách 1. Ta có phương trình đường tròn C : x  4  y  3  9 . 2 2
Do điểm A nằm trên đường tròn C  nên ta có a  4  b  3  9 .
Mặt khác F  4a  3b  1  4 a  4  3b  3  24  F  24  4a  4  3b  3 .
4 a  4  3 b  3 2  2 2 2 2  Ta có   
  4 3  a4 b3  25.9      255 .
 15  4a  4  3b  3  15  15  F  24  15  9  F  39 .
Khi đó M  39 , m  9 .
Vậy M  m  48 . F   b
Cách 2. Ta có F  a  b   a  1 3 4 3 1 4 2  F b
a 42 b 32   1 3      9   4  2
b  6b  9    9  4   2
25b  2 3F  3b  2 F  225  0 
   F  2  2 3 3 25F  5625      2 0
16F 18F  5625  0  9  F  39. CÂU 4: Lời giải Chọn D 1 1 Ta có z   z     1 4 z  z  2  5 . z z z CÂU 5: Lời giải Chọn C 8 PMT
Gọi z  x  yi được biểu diễn bởi điểm M x; y . Khi đó OM  z . 2 2
z  1  2  x    2 1
y  2  x    2 1
y  4 1 . Chứng tỏ M thuộc đường
tròn C  có phương trình 1 , tâm I 1; 0 , bán kính R  2 .
Yêu cầu bài toán  M  C sao cho OM lớn nhất, nhỏ nhất.
Ta có OI  1 nên điểm O nằm trong đường tròn  R OI  OM  OI  R  1  OM  3 .
Do đó M  3 và m  1.
Vậy M  m  4 . CÂU 6: Lời giải Chọn A
Giả sử z  a  bi  z  a  bi . Khi đó z  1  z  i  a  1  bi  a  b  1i .
 a 2 b  a b 2 2 2 1
1  a  b  0 .
Khi đó w  2z  2  i  2 a  ai  2  i  2a  2  i a  1 .    3 2
a  2   a  2 w 2 2 2 1  2
8a  4a  5  . 2 CÂU 7: Lời giải Chọn A
 Ta có: z  3 , z  10 , z  2 m  4 . 1 2 3
 Để số phức z có môđun nhỏ nhất trong 3 số phức đã cho thì 3 2
m  4  3   5  m  5 . CÂU 8: Lời giải Chọn C 9 PMT
Gọi M x; y là điểm biểu diễn số phức z ta có: z  2i  z  4i
 x y  2  x y  2 2 2 2 4
 y  3; z  3  3i  1  điểm M nằm trên đường tròn tâm I 3; 3 và bán kính
bằng 1. Biểu thức P  z  2  AM trong đó A 2; 0 , theo hình vẽ thì giá trị lớn nhất 2 2
của P  z  2 đạt được khi M 4; 3 nên max P  4  2  3  0  13 . CÂU 9: Lời giải Chọn A 2017 Xét phương trình 2 z  z   0 4 
z  1  2016 i 1
Ta có:   2016  0  phương trình có hai nghiệm phức  2 2 .  z  1  2016  i 2 2 2
Khi đó: z  z  i 2016 1 2
z  z  z  z   z  z   z  z  z  z  P  2016 1 . 2 1 1 2 1 2 1 Vậy P  2016 1. min CÂU 10: 10 PMT Lời giải Chọn D
Giả sử z  x  yi x, y   . 2 2 2 2 Ta có: z  z
 z  z  16  x  yi  2 i  x  yi  2 i  16 1 2
 x  y  2 2 1  4 .
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm số phức I 0;1 bán kính R  2 .
Do đó m  1, M  3 . Vậy 2 M  2 m  8. CÂU 11: Lời giải Chọn C
Đặt z  x  yi . 2 3  3  2
Ta có: 2z  3  4i  10  z 
 2i  5  x   y  2    25 . 2  2   3 
Tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa đề là đường tròn tâm I  ; 2 , bán kính R  5 .  2  11 PMT
m  IO  R Khi đó: 
 M  m  2R  10. M  IO   R CÂU 12: Lời giải Chọn A
Giả sử z  a  b i a ,b 
, z  a  b i a ,b  . 2 2 2 2 2  1 1 1 1 1  Ta có 2
z  5  5  a  5 b
25 . Do đó, tập hợp các điểm A biểu diễn cho số phức 1   2  1 1 2
z là đường tròn C x    2 : 5
y  25 có tâm là điểm I 5; 0 và bán kính R  5 . 1 2 2 2 2
z  1  3i  z  3  6i  a 1 b 3 a 3 b 6 2    2    2    2  2 2
 8a  6b  35  0. Do đó tập hợp các điểm B biểu diễn cho số phức z là đường 2 2 2
thẳng  : 8x  6y  35  0 .
Khi đó, ta có z  z  AB . 1 2 8.5  6.0  35 Suy ra z  z  AB
 dI;  R   5  5 .` 1 2 min min 2 8  2 6 2 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của z  z là . 1 2 2 CÂU 13: Lời giải Chọn B 1 3
Ta có 1 i z  2  i  4  z   i  2 2 . Vậy quỹ tích điểm biểu diễn cho số 2 2  1 3 
phức z là đường tròn C  tâm I  
;  bán kính R  2 2 (1).  2 2 
x  y  3 T  0
Biểu thức T  x  y  3 , với T  0 thì ta có  (2).
x  y  3  T   0 12 PMT
Khi đó điểm M là điểm thuộc đường tròn C  và một trong hai đường thẳng trong (2).
Điều kiện để một trong hai đường thẳng trên cắt đường tròn C  là  4 T   2 2  2 0  T  8   
 0  T  8 . Vậy maxT  8 . T  8  T   4  0  2 2  2 CÂU 14: y Lời giải Chọn B J 3 I 1 x O 1 3
Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z .
Từ giả thiết z  1  i  1 ta có A là các điểm nằm bên ngoài hình tròn C có tâm 1 
I 1;1 bán kính R  1 . 1
Mặt khác z  3  3i  5 ta có A là các điểm nằm bên trong hình tròn C có tâm 2 
J 3; 3 bán kính R  5 . 2
Ta lại có: P  x  2y  x  2y  P  0  . Do đó để tồn tại x, y  thì   và phần 9 P
gạch chéo phải có điểm chung tức là d  J;     5   5 5  M
9  P  5  4  P  14 . Suy ra m  M    7 4; 14 . m 2 CÂU 15: 13 PMT Lời giải Chọn C
Gọi số phức z  x  i
y , với x, y  .
Theo giả thiết, ta có z  1  2 x  2
y  1 . Suy ra 1  x  1 . 2 2
Khi đó, P  1  z  2 1  z  x    2 y  x   2 1 2 1
y  2x  2  2 2  2x .
Suy ra P   2  2 1
2  2x  2  2  
2x hay P  2 5 , với mọi 1 x  1 . Vậy P
 2 5 khi 2 2x  2  2  2x  x   3 , y   4 . max 5 5
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ĐỀ SỐ 2
THỜI GIAN LÀM BÀI: 60 PHÚT Câu 1:
(THPT Chuyên Tiền Giang - Lần 1) Biết số phức z thỏa mãn z  3  4i  5 và biểu 2 2
thức T  z  2  z  i đạt giá trị lớn nhất. Tính z . A. z  33 . B. z  50 . C. z  10 . D. z  5 2 . Câu 2:
(Đoàn Trí Dũng - Lần 7) Biết rằng z  1  2 . Tìm giá trị lớn nhất của module số phức
w  z  2i ? A. 5  2 B. 5  2 C. 2  5 D. 2  5 z  1 1 Câu 3:
(THPT Quảng Xương 1 - Thanh Hóa) Cho số phức z thỏa mãn  . Tìm giá z  3i 2
trị lớn nhất của biểu thức P  z  i  2 z  4  7i . A. 8 . B. 10 . C. 2 5 . D. 4 5 . Câu 4:
(Sở GD Bạc Liêu - HKII - 2018 Xét số phức z  a  bi a,b  R,b  0 thỏa mãn z  1.
Tính P  a  2 2 4b khi 3
z  z  2 đạt giá trị lớn nhất . A. P  4 .
B. P  2  2 . C. P  2 .
D. P  2  2 . 14 PMT Câu 5:
(THPT Quốc Oai - Hà Nội - HKII) Trong các số phức z thỏa mãn z  i  z  2  3i .
Hãy tìm z có môđun nhỏ nhất. 27 6 6 27 6 27 3 6 A. z   i . B. z    i . C. z    i . D. z   i . 5 5 5 5 5 5 5 5 Câu 6:
[TRẦN HƯNG ĐẠO – NB] Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z  3i  z  2  i .
Tìm số phức có môđun nhỏ nhất? 1 2 1 2
A. z  1 2i .
B. z    i . C. z   i .
D. z  1 2i 5 5 5 5 . Câu 7:
[LẠNG GIANG SỐ 1] Cho số phức z thỏa mãn z  3  z  3  8 . Gọi M , m lần
lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất z . Khi đó M  m bằng A. 4  7. B. 4  7. C. 7. D. 4  5. 2z  i Câu 8:
Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Đặt A 
. Mệnh đề nào sau đây đúng? 2  iz A. A  1 . B. A  1 . C. A  1 . D. A  1 . Câu 9:
Cho số phức z thỏa mãn z  1. Tìm giá trị lớn nhất M
và giá trị nhỏ nhất M max min
của biểu thức M  2
z  z   3 1 z  1 . A. M  5; M  1 . B. M  5; M  2 . max min max min C. M  4; M  1. D. M  4; M  2 . max min max min
Câu 10: Cho số phức z thỏa z  2 . Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức   z i P . z 3 2 A. . B. 1. C. 2 . D. . 4 3
Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn z  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  1  z  3 1  z . A. 3 15 . B. 6 5 . C. 20 . D. 2 20 .
Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  2 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z. 15 PMT A. 9  4 5 . B. 11 4 5 . C. 6  4 5 . D. 5  6 5 .
Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn 1 i z  6  2i  10 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z. A. 4 5 B. 3 5. C. 3. D. 3  5
Câu 14: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z  2  4i  z  2i . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z  2 . i A. 5 B. 3 5. C. 3 2 D. 3  2
Câu 15: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  3 . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z  1 . i A. 4. B. 2 2. C. 2. D. 2.
 ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 2 CÂU 1: Lời giải Chọn D 2 2
Đặt z  x  yi , theo giả thiết z  3  4i  5  x  3  y  4  5 . C  2 2
Ngoài ra T  z  2  z  i  4x  2y  3 T  0  đạt giá trị lớn nhất. 23  T
Rõ ràng C  và  có điểm chung do đó
 5  13  T  33. 2 5
Vì T đạt giá trị lớn nhất nên T  33 suy ra 4x  2y  30  0  y  15  2x thay vào C ta được 2
5x  50x 125  0  x  5  y  5 . Vậy z  5 2 . CÂU 2: Lời giải Chọn D
Quỹ tích M z là đường tròn tâm I 1,0 bán kính R  2 . Còn w  z  2i  MA
với A 0, 2 . Khi đó w
 IA  R  2  5 . max 16 PMT CÂU 3: Lời giải Chọn B
Gọi z  x  yi với x, y 
, gọi M là điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số z  1 1 phức z . Ta có: 
 2 z 1  z  3i  2 x  
1  yi  x  y  3i z  3i 2   2 2
x  2  y  x  y  2 2 2 2 1 3
 x 2 y  3  20.
Như vậy, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn C  tâm I 2; 3 và bán kính R  2 5 .
Gọi A 0; 1, B4; 7 lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z  i , z  4  7i . 1 2
Dễ thấy A, B thuộc đường tròn C  . Vì AB  4 5  2R nên AB là đường kính của
đường tròn C   2 MA  2 MB  2 AB  20 . Từ đó:
P  z  i  2 z  4  7i  z  i  2 z  4  7i
 MA  MB   2  2  2 MA  2 2 1 2 MB   10 . MB  2MA MA  2 Dấu "  " xảy ra khi    .
MA  MB  20 MB   2 2  4 Vậy max P  10 . CÂU 4: Lời giải Chọn C z  1   1 z z
Do b  0  1  a  1 1 2 2 Ta có : 3
z  z  2  z    z  z  2
2z  2 bi  a  bi 2 z z  bi  2 a  2 2
b  2abi AB  2 6 17 PMT = 2 b  2 2 4ab  1   2 a  a  2 2 1 4 1 a   1  3 a  2 2 4 a  4a  2 
Biểu thức trên đạt GTLN trên miền 1  a  1 khi a  1  b  3 (do b  0 ) 2 2
Vậy P  a  2 2 4b  2 CÂU 5: Lời giải Chọn D
Giả sử z  x  yi x, y    z  x  yi .
Ta có x  yi  i  x  yi  2  3i  x   y  1i  x  2   y  3i
 x y  2  x  2 y  2 2 1 2 3
 12y  134x 6y  4x  12 8y  x  2y  3 . 2 2 2 6 9 9 Do đó 2 2 z x y 2y 3        2 y  2
5y  12y  9   y 5     .  5  5 5 3 3 6
Dấu "  " xảy ra  y   6 , khi đó x 
 z   i . 5 5 5 5 CÂU 6: Lời giải Chọn C
Phương pháp tự luận
Giả sử z  x  yi x, y  
z  i  z   i  x  y  i  x    y  i  x  y  2  x  2  y  2 2 3 2 3 2 1 3 2 1
 6y 9  4x  4 2y 1  4x 8y 4  0  x 2y 1  0  x  2y 1 2 2 2 z x y  y 2  2       2 y  2 y  y   y   1  5 2 1 5 4 1 5   5  5 5 5 2 1 Suy ra z  khi y    x  min 5 5 5 1 2 Vậy z   i. 5 5
Phương pháp trắc nghiệm
Giả sử z  x  yi x, y   18 PMT
z  i  z   i  x  y  i  x    y  i  x  y  2  x  2  y  2 2 3 2 3 2 1 3 2 1
 6y  9  4x  4  2y 1  4x 8y  4  0  x  2y 1 0
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z  3i  z  2  i là đường
thẳng d : x  2y 1  0.
Phương án A: z  1 2i có điểm biểu diễn 1;  2  d nên loại A. 1 2  1 2 
Phương án B: z    i có điểm biểu diễn  ;    d nên loại B. 5 5  5 5 
Phương án D: z  1 2i có điểm biểu diễn 1; 2  d nên loại B. 1 2  1 2  Phương án C: z 
 i có điểm biểu diễn ;     d 5 5  5 5  CÂU 7: Lời giải Chọn B
Gọi z  x  yi với ; x y  .
Ta có 8  z  3  z  3  z  3  z  3  2z  z  4 .
Do đó M  max z  4 . Mà z   z 
  x   yi  x   yi   x  2  y  x  2 2  2 3 3 8 3 3 8 3 3 y  8 .
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có
8 1. x 32 y 1. x 32 y
1 1 x 32 y x 32 2 2 2 2 2 2                y   
 2x  2y     2x  2 8 2 2 2 18 2 2 2y  18  64  2 x  2 y   2 x  2 7
y  7  z  7 .
Do đó M  min z  7 .
Vậy M  m  4  7 . CÂU 8: 19 PMT Lời giải Chọn A
Đặt Có a  a  bi a b    2 a  2 , ,
b  1 (do z  1 ) 2z  i
2a  2b  1i
4a  2b  12 2 A    2  iz 2  b  ai
2b2  2a
4a  2b  2 2 1 Ta chứng minh   1 . 2  b2  2 a
4a  2b  2 2 1 2 2 Thật vậy ta có  1  2 4a  2b 1 2 b a a b 1 2
        2  2  2 
2b  2a Dấu “=” xảy ra khi 2 a  2 b  1. Vậy A  1 . CÂU 9: Lời giải Chọn A 2 3
Ta có: M  z  z  1 z  1  5 , khi z  1  M  5  M  5. max 1 3 z 1 3 z 1 3 z 1 3 z  1 3 z Mặt khác: M   1 3 z     1, khi 1 z 2 2 2
z  1  M  1  M  1. min CÂU 10: Lời giải Chọn A i 1 3 i 1 1 Ta có P  1   1
 . Mặt khác: 1  1  . z |z| 2 z |z| 2 1 3
Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là
, xảy ra khi z  2i; giá trị lớn nhất của P bằng xảy 2 2 ra khi z  2 . i CÂU 11: Lời giải 20 PMT Chọn D
Gọi z  x  yi; x  ; y   . Ta có: z   2 x  2 y   2 y   2 1 1
1 x  x 1;    1 2 2
Ta có: P   z 
 z    x  2 y    x  2 1 3 1 1 3 1
y  2 1 x  3 21 x .
Xét hàm số f x  21 x  3 21 x; x1;   
1 . Hàm số liên tục trên 1;    1 1 3 4
và với x  1;1 ta có: f x  
 0  x   1;1   x  x 5 2 1 2 1 4
Ta có: f 1 2; f  1      6; f   2 20  P    2 20 .  5  max CÂU 12: Lời giải Chọn A 2 2
Gọi z  x  yi; x  ; y   . Ta có: z 1 2i  2  x  
1  y  2  4.
Đặt x  1  2 sin t; y  2  2 cos t; t  0;  2    . Lúc đó: 2 z    t2    t2    t  t   2  2 1 2sin 2 2cos 9 4sin 8cos 9 4
8 sint  ;    2 z 9 4 5 sin t        
 z  9  4 5 ; 9   4 5    5  2 5 10   4 5 z
 9  4 5 đạt được khi z   i . max 5 5 CÂU 13: Lời giải Chọn B
Gọi z  x  yi; x  ; y   . Ta có:  iz i  i 6        z  2i 1 6 2 10 1 .
 10  z  2  4i  5  x  22  y  42   5. 1 i
Đặt x  2  5 sin t; y  4  5 cost; t  0;  2    . Lúc đó: 21 PMT 2 2 2
z  2  5 sint  4  5 cost  25  4 5 sint  8 5 cost 2 2
 25  4 5 8 5 sint ;     2
z  25  20sint    z    5; 3 5  z
 3 5 đạt được khi z  3  6i . max CÂU 14: Lời giải Chọn C
Gọi z  x  yi; x  ; y   . Ta có:
z   i  z  i  x  2  y  2  x  y  2 2 2 4 2 2 4 2
 x  y  4  0  y  4  . x 2 2 2 2
Ta có: z  i  2
x  y    2
x    x  2 2 2 6
2x 12x  36  2x  3 18  18  z  2i
 18  3 2 khi z  3  .i min CÂU 15: Lời giải Chọn C
Gọi z  x  yi; x  ; y    z  1 i  x  1  y  1i . Ta có:
z   i   x  2  y  2 1 2 9 1 2  9 .
Đặt x  1  3 sin t; y  2  3 cos t; t  0;  2   .  z 1 2
i  3sint2  1 3cost2  10  6cost  2  z  2i  4  z 1 i  2 min , khi z  1 . i
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ĐỀ SỐ 3
THỜI GIAN LÀM BÀI: 60 PHÚT m  i Câu :
Cho số phức z  m
. Tìm môđun lớn nhất của z.
1 mm 2i ,    22 PMT 1 A. 1. B. 0. C. . D.2. 2 Câu 2:
(Toán học tuổi trẻ tháng 1) Cho 2018 phức z thoả mãn z  3  4i  5 . Gọi M và 2 2
m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  2  z  i . Tính
môđun của 2018 phức w  M  mi . A. w  1258 . B. w  1258 .
C. w  2 314 . D. w  2 309 . Câu 3:
(SGD BINH THUAN) Xét các số phức z  3  4i và z  2  mi , m   . Giá trị nhỏ 1 2 z
nhất của môđun số phức 2 bằng? z1 2 1 A. . B. 2 . C. 3 . D. . 5 5 Câu 4.
[SGD SOC TRANG] Cho số phức z  a  bi a,b   thỏa z  4  z  4  10 và
z  6 lớn nhất. Tính S  a  b . A. S  3. B. S  5 . C. S  5 . D. S  11 . Câu 5:
(Sở GD Kiên Giang) Cho hai số phức z , z thỏa mãn z  2  3i  2 và 1 2 1
z  1 2i  1. Tìm giá trị lớn nhất của P  z  z . 2 1 2
A. P  3  34 .
B. P  3  10 . C. P  6 . D. P  3 . Câu 6:
(SỞ GD-ĐT PHÚ THỌ) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để có đúng 2 số phức z
thỏa z  m  1  i  8 và z  1  i  z  2  3i . A. 130 . B. 66 . C. 65 . D. 131 . Câu 7:
[NGUYỄN TRÃI] Cho số phức z thỏa mãn: z  2  2i  1 . Số phức z  i có môđun nhỏ nhất là: A. 5  1. B. 5  1. C. 5  2 . D. 5  2 . Câu 8: [CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH] Cho số phức z thỏa mãn 2
z  2z  5  z 1 2iz  3i  
1 . Tính min|w|, với w  z  2  2i . 23 PMT A. w  3 min| | . B. min|w  | 2 . C. min|w  | 1 . D. 2 w  1 min| | . 2 Câu 9:
[CHUYÊN SƠN LA]Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z  1  2i  5 và
w  z  1 i có môđun lớn nhất. Số phức z có môđun bằng: A. 2 5 . B. 3 2 . C. 6 . D. 5 2 .
Câu 10: [CHU VĂN AN – HN] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  2 . Tìm giá trị lớn
nhất của T  z  i  z  2  i .
A. maxT  8 2 . B. maxT  4 .
C. maxT  4 2 . D. maxT  8 .
Câu 11: (SGD Bà Rịa - Vũng Tàu)Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  5 . Gọi m , M lần 2 2
lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức P  z  i  z  2 . Tính A  m  M . A. A  3 . B. A  2 . C. A  5 . D. A  10 .
Câu 12: (THPT Ninh Giang - Hải Dương) Cho các số phức z thỏa mãn z  3  z  i . Tìm
giá trị nhỏ nhất của P  z . 10 2 10 A. P  . B. P  3 . C. P  . D. min 5 min min 5 P  3 10 . min 5
Câu 13: [CHUYÊN SƠN LA - 2017] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z  1  2i  5 và
w  z  1 i có môđun lớn nhất. Số phức z có môđun bằng: A. 6 . B. 3 2 . C. 5 2 . D. 2 5 .
Câu 14: [THPT THÁI PHIÊN HP - 2017] Trong tập hợp các số phức z thỏa mãn:
z  2  i 
Tìm môđun lớn nhất của số phức z  i . z   2. 1 i A. 2  2 . B. 3  2 . C. 3  2 . D. 2  2 . 24 PMT
Câu 15: [THPT Lý Thường Kiệt - 2017] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm
A 4; 4 và M là điểm biển diễn số phức z thoả mãn điều kiện z  1  z  2  i . Tìm
toạ độ điểm M để đoạn thẳng AM nhỏ nhất.
A. M 1;  1 .
B. M 2;  4 .
C. M 1; 5 .
D. M 2; 8 .
 ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 3 CÂU 1: Lời giải Chọn A Ta có: m  z  i m i 1  z z z i m . m m 2i      1  1   ;  0 1  2 m  2 1 m  2 1 m  max 1 CÂU 2: Lời giải Chọn B
Giả sử z  a  bi ( a,b ) . z   i 
 a 2 b 2 3 4 5 3 4  5 (1) . 2 2 P z 2 z i a 22  b a b 2 2 2           1
 4a  2b    3 (2) . Từ (1) và (2) ta có 2 a    Pa  2 20 64 8
P  22P  137  0 (*) .
Phương trình (*) có nghiệm khi     2
4P 184P 1716  0
 13  P  33  w  1258 . CÂU 3: Lời giải Chọn A z 2  mi
2mi34i 64m3m8i 64m 3m8 2   i z 3 4i 3 4i 3 4i 25 25 25 1          25 PMT z
 6  4m 2  3m  8 2 z 36  48m  2 16m  2 9m  48m   64 2        2  z 25 25 2 z 25 1     1 2 z 25m  2 100 z m   4 4 2 2   2    . 2 z 25 z 25 25 5 1 1 z z
Hoặc dùng công thức: 2  2 . z z 1 1 CÂU 4: Lời giải Chọn C
Gọi M a; b là điểm biểu diễn số phức z  a  bi a,b   , A4; 0 , B4; 0 ,
C 6; 0 lần lượt là điểm biểu diễn số phức z  4 , z  4 , z  6 . 1 2 3
Khi đó ta có z  4  z  4  10  MA  MB  10 suy ra tập hợp điểm M là E nhận
A , B là các tiêu điểm, độ dài trục lớn 2a  10  a  5, tiêu cự 2c  8  c  4 , b  3 2 2   x y E :   1. 25 9
Ta tìm giá trị lớn nhất của z  6  MC , khi đó MC
 EF  FC  11, khi đó M  E max
với E5; 0 , F 5; 0  z  5. Vậy S  a  b  5 . CÂU 5: Lời giải Chọn A 26 PMT
Gọi M x ; y
là điểm biều diễn số phức z , N x ; y là điểm biểu diễn số phức z 2 2  1 1  1 2 2 2
Số phức z thỏa mãn z  2  3i  2  x  2 y 3
4 suy ra M x ; y 1 1  1    1   1 1
nằm trên đường tròn tâm I 2; 3 và bán kính R  2 . 1 2 2
Số phức z thỏa mãn z  1 2i  1  x 1 y 2
1 suy ra N x ; y 2 2  2    1   2 2
nằm trên đường tròn tâm J 1; 2 và bán kính R  1 . 2
Ta có z  z  MN đạt giá trị lớn nhất bằng R  IJ  R  2  34  1  3  34 . 1 2 1 2 CÂU 6: Lời giải Chọn B
Đặt z  x  iy x, y  
Ta có: z  m  1  i  2  tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường
tròn tâm I m  1; 1 , bán kính R  8 .
Ta có: z  1  i  z  2  3i  tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường
thẳng d : 2x  8y 11  0 .
Yêu cầu bài toán  khoảng cách từ I đến d nhỏ hơn R  2m  21  8 68  21   m  21 4 68  4 68 2 2 Vì m
nên 22  m  43  có 66 giá trị thỏa yêu cầu bài toán. 27 PMT CÂU 7: Lời giải Chọn A y I 1 M O 1 x
Gọi z  x  yi , x, y  .
Ta có: z   i   x 
 y  i   x  2  y  2 2 2 1 ( 2) ( 2) 1 ( 2) ( 2)  1 .
Tập hợp các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn của số phức z là đường tròn (C) tâm
I(2; 2) và bán kính R  1 .
z  i  x  y  2 2 1
 IM , với I 2; 2 là tâm đường tròn, M là điểm chạy trên đường
tròn. Khoảng cách này ngắn nhất khi M là giao điểm của đường thẳng nối hai điểm
N 0;1Oy, I 2; 2 với đường tròn (C). IM
 IN  R  5 1 min CÂU 8: Lời giải Chọn C Ta có 2
z  2z  5  z 1 2iz  3i  
1  z 1 2iz 1 2i  z 1 2iz  3i   1
z 1 2i  0    .
z  1 2i  z  3i     1
Trường hợp 1 : z  1 2i  0  w  1  w  1 1 .
Trường hợp 2: z  1  2i  z  3i  1
Gọi z  a  bi (với a,b  ) khi đó ta được
a   b  i  a    b  i  b  2  b  2  b   1 1 2 1 3 2 3 . 2 28 PMT 3 2 9 3
Suy ra w  z  2  2i  a  2 
i  w  a  2   2. 2 4 2
Từ 1 , 2 suy ra min|w  | 1 . CÂU 9: Lời giải Chọn B
Gọi z  x  yi x, y    z  1 2i  x  1   y  2i 2 2 2 2
Ta có: z  1  2i  5  x  1  y  2  5  x  1  y  2  5
Suy ra tập hợp điểm M x; y biểu diễn số phức z thuộc đường tròn C  tâm
I 1; 2 bán kính R  5 như hình vẽ:
Dễ thấy O  C , N 1; 1C .
Theo đề ta có: M x; y C  là điểm biểu diễn cho sốphức z thỏa mãn:
w  z  1  i  x  yi  1  i  x  1  y  1i
 z   i  x  2  y  2 1 1 1  MN
Suy ra z  1  i đạt giá trị lớn nhất  MN lớn nhất. 29 PMT
Mà M, N C nên MN lớn nhất khi MN là đường kính đường tròn C  .  2
I là trung điểm MN  M     z   i  z  2 3; 3 3 3 3  3  3 2 . CÂU 10: Lời giải Chọn B
T  z  i  z  2  i  z  1  1 i  z  1  1 i .
Đặt w  z  1. Ta có w  1 và T  w  1  i  w  1 i . 2
Đặt w  x  .
y i . Khi đó w   2 x  2 2 y .
T  x  1   y  1i  x  1  y  1i 
x 2 y 2  x 2 y 2 1. 1 1 1. 1 1
    x 2 y 2 x 2 y 2 2 2 1 1 1 1 1 1    2x  2 2 2 2y  4  4 Vậy maxT  4 . CÂU 11: Lời giải Chọn B. Đặt
z  x  iy ( x , y  ) thì
z  2  3i  5  x  iy  2  3i  5
 x  2 y  2 2 3  5 . 2 2 2 2
P  z  2  z  2 i
2  x  iy  i  x  iy  2  2
x  y    x    2 1 2 y
 4x  2y  3.
Đặt x  2  5 sint , y  3  5 cost , t  .
 P  42 5sint23 5cost3  4 5sint 2 5cost 1.  2 P  2
1  4 5 sint  2 5 cost  80  20.1  10  P 1 10  11 P  9
Vậy A  11 9  2 . CÂU 12: 30 PMT Lời giải Chọn C
Gọi z  a  bi , a,b   Ta có:   2  2 P z a b
Mà z  3  z  i 2 2
Hay a  ib  3  a  ib  i  a  3  ib  a  b  1i  a    2 b  2 3
a  b   1
 b  4  3a 2
Lúc đó P  z  2 a  2 b  2
a    a  2 4 3
10a  24a  16  24 144   2 x  x   8  2 10 10   10 100  5 5 CÂU 13: Lời giải Chọn B
Gọi z  x  yi x, y    z  1 2i  x  1   y  2i . 2 2 2 2
Ta có: z  1  2i  5  x  1  y  2  5  x  1  y  2  5 . 31 PMT
Suy ra tập hợp điểm M x; y biểu diễn số phức z thuộc đường tròn C  tâm
I 1; 2 bán kính R  5 như hình vẽ.
Dễ thấy O  C , N 1; 1C .
Theo đề ta có: M x; y C  là điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:
w  z  1  i  x  yi  1  i  x  1  y  1i
 z   i  x  2  y  2 1 1 1  MN .
Suy ra z  1  i đạt giá trị lớn nhất  MN lớn nhất.
Mà M, N C nên MN lớn nhất khi MN là đường kính đường tròn C   I là 2
trung điểm MN  M     z   i  z  2 3; 3 3 3 3  3  3 2 . CÂU 14: Lời giải Chọn A
Đặt z  x  yi , x, y  . z  2  i z  2  i  2  
 x  2 y  
1 i  2 x   1  y   1 i . z   2 1 i z  1 i
 x  2  y  2 
x 2 y 2 2 1 2 1 1 .  2 x 22 y 2 1 2   x 2 1 y 2         2 
 x  y 1   1  .   2. 2 Suy ra y  
1  2  y  1 2 . 2 2 Ta có: 2
x  y     2 1 2
x  y   1  2  4y  z  2
i  2  4y  2  41 2  6  4 2 .
 z 1  6  4 2  2  2 . 32 PMT
Vậy z  1  2  2 là môđun lớn nhất của số phức z  i . CÂU 15: Lời giải Chọn C
Gọi z  x  yi,x, y  R . 2 2 2
Ta có z  1  z  2  i  x    2 1
y  x  2  y  
1  3x  y  2  0 .
Tập hợp điểm M x; y biểu diễn số phức z là đường thẳng d : 3x  y  2  0 .
Để đoạn AM nhỏ nhất thì M là hình chiếu của A trên d .
d qua A và vuông góc với d có phương trình x  3y 16  0 . Tọa độ M là nghiệm
x  3y 16  0 x  1 của hệ phương trình    .
3x  y  2  0 y    5 Vậy M 1; 5 . ĐỀ SỐ 4
THỜI GIAN LÀM BÀI: 60 PHÚT Câu 1.
[Cụm 1 HCM - 2017] Cho số phức z thỏa điều kiện 2
z  4  zz  2i . Giá trị nhỏ
nhất của z  i bằng ? A. 3. B. 4. C. 1. D. 2. Câu 2.
[SỞ GD-ĐT HÀ TĨNH L2 - 2017] Gọi T là tập hợp tất cả các số phức z thõa mãn
z  i  2 và z  1  4 . Gọi z , z T lần lượt là các số phức có mô đun nhỏ nhất và 1 2
lớn nhất trong T . Khi đó z  z bằng: 1 2 A. 5 . B. 4  i . C. 5  i . D. 5  i . Câu 3.
[THPT Chuyên Hà Tĩnh - 2017] Cho số phức z thỏa mãn z  3i  z  3i  10 . Gọi
M , M lần lượt là điểm biểu diễn số phức z có môđun lớn nhất và nhỏ nhất. Gọi M 1 2
là trung điểm của M M , M a; b biểu diễn số phức w , tổng a  b nhận giá trị nào 1 2 sau đây? 33 PMT 7 9 A. . B. 5 . C. 4 . D. . 2 2 Câu 4.
[Sở Hải Dương - 2017] Cho số phức z thỏa mãn .
z z  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  3
z  3z  z  z  z . 15 13 3 A. . B. 3 . C. . D. . 4 4 4 Câu 5:
(Sở Quảng Bình - 2018)Cho các số phức z , w thỏa mãn z  5 ,
w  4  3i z  1 2i . Giá trị nhỏ nhất của w là : A. 3 5 B. 4 5 C. 5 5 D. 6 5 Câu 6:
(SGD VĨNH PHÚC - 2018) Gọi z , z là các nghiệm phức của phương trình 1 2 2
z  4z  13  0 , với z có phần ảo dương. Biết số phức z thỏa mãn 1
2 z  z  z  z , phần thực nhỏ nhất của z là 1 2 A. 6 B. 2 C. 1 D. 9 Câu 7:
[THPT Chuyên Thái Bình) Cho các số phức z , w thỏa mãn z  5  3i  3 ,
iw  4  2i  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  3iz  2w . A. 554  5 B. 578  13 C. 578  5 D. 554  13 Câu 8:
(THPT THÁI PHIÊN-HẢI PHÒNG) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để có
đúng hai số phức z thỏa mãn z  m  1  i  8 và z 1 i  z  2  3i . A. 131 . B. 63 . C. 66 . D. 130 . Câu 9.
(Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Tìm giá trị lớn nhất của P  2 z  z  2 z  z  1
với z là số phức thỏa mãn z  1. 13 A. 3 . B. 3 . C. . D. 5 . 4
Câu 10. (TRƯỜNG CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH) Trong các số phức z thỏa mãn 2 z  1  2 z
gọi z và z lần lượt là các số phức có môđun nhỏ nhất và lớn nhất. Khi đó môđun 1 2
của số phức w  z  z là 1 2 A. w  2 2 . B. w  2 . C. w  2 . D. w  1 2 . 34 PMT
Câu 11. (THPT Lê Hồng Phong - Nam Định) Cho số phức z và w thỏa mãn z  w  3  4i
và z  w  9 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  z  w .
A. maxT  176 .
B. maxT  14 . C. maxT  4 . D. maxT  106 .
Câu 12: (Chuyên Thái Bình) Cho số phức z thỏa mãn 1 i z  2  1 i z  2  4 2 . Gọi 2018
m  max z , n  min z và số phức w  m  ni . Tính w A. 1009 4 . B. 1009 5 . C. 1009 6 . D. 1009 2 .
Câu 13: (THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An) Cho số phức z thỏa mãn
5 z  i  z  1  3i  3 z  1  i . Tìm giá trị lớn nhất M của z  2  3i ? A. M  10 B. M  1 13 C. M  4 5 D. M  9 3
Câu 14: (THPT Chuyên Hà Tĩnh) Cho số phức z thỏa mãn z  1  i  1 , số phức w thỏa mãn
w  2  3i  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z  w . A. 13  3 B. 17  3 C. 17  3 D. 13  3
Câu 15: [THPT Lê Hồng Phong-HCM] Cho số phức z thỏa z  1. Gọi m , M lần lượt là giá
trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức P  5 z  3 z  z  4 6
2 z  1 . Tính M  m .
A. m  4 , n  3 .
B. m  4 , n  3
C. m  4 , n  4 . D. m  4 , n  4 .
 ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 4 CÂU 1: Lời giải Chọn C
Giả sử z  x  yi x, y   . z 
 zz  i  z  i2 2 2 4 2 2
 zz  2i  z  2iz  2i  zz  2i
z  2i  0   1   .  z  2i   z 2 35 PMT
1  z  2i . Suy ra z i  2i i  i  1.  2
2  x  yi  i  x  yi  2
x  y    2 x  2 y  2 x  2
y  y   2 x  2 2 2 4 4 y  y  1. 2
Suy ra z  i  x  yi  i  2
x  y    2 1
x  4  2 , x .
Vậy giá trị nhỏ nhất của z  i bằng 1 . CÂU 2: Lời giải Chọn C .
Đặt z  x  yi khi đó ta có:  z  i   2
x  y  1i   2
x  y  12 2     4    .  z 1 4  x 1  2  yi 4        x   1  2 y  16
Vậy T là phần mặt phẳng giữa hai đường tròn C
tâm I 0; 1 bán kính r  2 và 1   1  1
đường tròn C tâm I 1; 0 bán kính r  4 . 2  2  2
Dựa vào hình vẽ ta thấy z  0  i, z  5 là hai số phức có điểm biểu diễn lần lượt là 1 2
M 0; 1 , M 5; 0 có mô-đun nhỏ nhất và lớn nhất. Do đó z  z  i  5 5 i . 1 2     1  CÂU 3: Lời giải 36 PMT Chọn D .
Gọi z  x  yi ,  x, y   . Theo giả thiết, ta có z  3i  z  3i  10 .
 x  y  3i  x  y  3i  10 .
 x  y  2  x  y  2 2 2 3 3  10 .
Gọi Ex; y , F 0; 3 và F 0; 3 . 2   1 
Khi đó   MF  MF  10  F F  6 nên tập hợp các điểm E là đường elip  E  1 2 1 2
có hai tiêu điểm F và F . Và độ dài trục lớn bằng 10 . 1 2
Ta có c  3 ; 2b  10  b  5 và 2 a  2 b  2 c  16 . 2 2 x y
Do đó, phương trình chính tắc của  E  là   1 . 16 25
Vậy max z  OB  
OB  5 khi z  5i có điểm biểu diễn là M 0; 5 . 1 
và min z  OA  
OA  4 khi z  4 có điểm biểu diễn là M 4; 0 . 2   5 
Tọa độ trung điểm của M M là M 2;    . 1 2  2  5 9
Vậy a  b  2   . 2 2 CÂU 4: Lời giải 37 PMT Chọn D
Gọi z  a  bi , với a,b  . 2
Ta có: z  z  2a ; .
z z  1  z  1  z  1.  z  Khi đó P  3
z  z  z  z  z  2 3 z z  3   z    z .  z  2  2 z P z . z  3 
 z  z  2 z  2zz  2
z  1  z  z . 2 z 2 P z z2  1   
  z  z  2 a   a  2
a   a  2 a   3  3 1 4 1 2 4 1 2   .  2  4 4 3 Vậy P  . min 4 CÂU 5: Lời giải Chọn B w 1 2i
Theo giả thiết ta có w 4 3i    
z  1 2i  z  . 4  3i w  1  2i Mặt khác z  5 
 5  w 1 2i   5 5 . 4 3i
Vậy tập hợp điểm biễu diễn số phức w là đường tròn tâm I 1; 2 và bán kính 5 5 .
Do đó min w  R  OI  4 5 . CÂU 6: Lời giải Chọn B Ta có 2
z  4z  13  0  z  2  3i hoặc z  2  3i . 1 2
Gọi z  x  i
y , với x, y  . 38 PMT 2 2 2 2
Theo giả thiết, 2 z  z  z  z  2 x  2   y  3  x  2   y  3 1 2  2 2
x 22 y 32     
 x  22 y  32 4 
 x  2 y  5    16.
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là miền trong của hình tròn C  có tâm
I 2; 5 , bán kính R  4 , kể cả hình tròn đó.
Do đó, phần thực nhỏ nhất của z là x  2 . min CÂU 7: Lời giải Chọn D
z  5  3i  3  3iz  15i  9  9 là đường tròn có tâm I 9;15 và R  9 .
iw  4  2i  2  2w  8i  4  4 là đường tròn có tâm J 4; 8 và  R  4 .
T  3iz  2w đạt giá trị lớn nhất khi T  IJ  R   R  554  13 . CÂU 8: Lời giải Chọn C
- Đặt z  x  yi , với x , y  . 2 2
- Từ giả thiết z  m  1  i  8  x  m  
1   y  1  64 , do đó tập hợp các
điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn T  có tâm I m  1; 1 , bán kính R  8 . 2 2 2 2
- Từ giả thiết z  1 i  z  2  3i  x   1  y  
1  x  2  y  3 39 PMT
 2x  8y 11  0 hay M nằm trên đường thẳng  : 2x  8y 11  0.
- Yêu cầu bài toán   cắt T  tại 2 điểm phân biệt 2m   1  8  11
 dI;   R 
 8  2m  21  16 17 2 17 21 16 17 21    m 
16 17 , do m nên m22;21;...;42;  43 . 2 2
Vậy có tất cả 66 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. CÂU 9: Lời giải Chọn C
Đặt z  a  bi a,b   . Do z  1 nên 2 a  2 b  1. 2 Sử dụng công thức: .
u v  u v ta có: 2
z  z  z z   z   a    2 1 1 1
b  2  2a .
z  z   a  bi2  a  bi   a  b  a    ab  bi  a b  a  2   ab  b2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2  a a 
 b  a  2 2 2 2 (2 1) 2 1  2a  1 (vì 2 a  2 b  1).
Vậy P  2a  1  2  2a . TH1: a   1 . 2
Suy ra P  2a  1 2  2a  2  2a  2  2a  3  4  2  3  3 (vì 0  2  2a  2 ). TH2: a   1 . 2 2 1 1 13 Suy ra P 2a 1 2 2a 2 2a         
 2  2a  3   2  2a   3     .  2  4 4 Xảy ra khi a  7 . 16 CÂU 10: Lời giải Chọn A 40 PMT 2
Đặt z  a  bi a,b   thì 2
z  1  2 z  a  bi  1  2 a  bi  2 2 a  2
b  1 2abi  2 a  bi   2 a  2 b    2 2 a b   2 a  2 1 4 4 b   2 4 a  4 b   2 a  2 b  2 2 1 2 6 2a b  0   2 a  2 b    2 1 4b  0   2 a  2
b   b 2 a  2 1 2
b 1 2b  0  2 a  2
b  1 2b   0   2 a  2
b  1 2b   0 2 TH1: 2 a  2
b 1 2b  0  2
a  b   1  2 .
Khi đó tập hợp điểm M a; b biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I 0;1 , bán 1  
kính R  2 , giao điểm của OI (trục tung) với đường tròn là M 0; 2 1 và 1  M 0;1 2 2   w   2  
1 i  1 2i  w  2i  w  2 2 TH2: 2 a  2
b 1 2b  0  2
a  b   1  2 .
Khi đó tập hợp điểm M a; b biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I 0; 1 , 2 
bán kính R  2 , giao điểm của OI (trục tung) với đường tròn là M 0; 2 1 và 3  M 0; 2 1 4   w   2  
1 i  1 2i  w  2i  w  2 . CÂU 11: Lời giải Chọn D
Đặt z  x  yi x, y   . Do z  w  3  4i nên w  3  x  4  yi . 41 PMT
Mặt khác z  w  9 nên
z  w   x  2   y  2  2 x  2 2 3 2 4 4
4y  12x  16y  25  9  2 2 2 x  2 2
2y  6x  8y  28 1 . Suy ra T  z  w  2 x  2
y  3  x  4  y .
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có 2 T   2 x  2 2 2
2y  6x  8y  25 2 . 2 2
Dấu "  " xảy ra khi 2 x  2
y  3  x  4  y .
Từ 1 và 2 ta có 2
T  2.28  25   106  T  106 . Vậy MaxT  106 . CÂU 12: Lời giải Chọn C
Ta có 1 i z  2  1 i z  2  4 2  z  1 i  z  1 i  4 .
Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z , F 1;1 là điểm biểu diễn của số phức 1 
z  1 i và F 1;  1 là điểm biểu diễn của số phức z  1 i . Khi đó ta có 2  1 2
MF  MF  4 . Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là Elip nhận F và F làm 1 2 1 2 hai tiêu điểm.
Ta có F F  2c  2c  2 2  c  2 . 1 2
Mặt khác 2a  4  a  2 suy ra b  2 a  2 c  4  2  2 .
Do đó Elip có độ dài trục lớn là A A  2a  4 , độ dài trục bé là B B  2b  2 2 . 1 2 1 2
Mặt khác O là trung điểm của AB nên m  max z  maxOM  OA  a  2 và 1
n  min z  minOM  OB  b  2 . 1 2018
Do đó w  2  2i suy ra w  6  w  1009 6 . CÂU 13: Lời giải
Gọi A 0;1 , B1; 3 ,C 1; 1 . Ta thấy A là trung điểm của BC 42 PMT 2 MB  2 2 2  2  MC  BC BC MA  2 MB  2 MC  2 MA   2 2 2MA  10 . 2 4 2
Ta lại có : 5 z  i  z  1  3i  3 z  1  i
 MA  MB  MC  2 MB  2 5 3 10. MC  2 MA   2 25
10 2MA  10  MC  2 5
Mà z  2  3i  z  i  2  4i  z  i  2  4i  z  i  2 5  4 5 .  z i   2 5
Dấu "  " xảy ra khi  a b 
, với z  a  bi ; a, b  .   1 2 4
z  2  3i loai   . z  2   5i CÂU 14: Lời giải Chọn B
Gọi M x; y biểu diễn số phức z  x  iy thì M thuộc đường tròn C có tâm 1 
I 1;1 , bán kính R  1 . 1   1
N x; y biểu diễn số phức w   x  i 
y thì N thuộc đường tròn C có tâm 2 
I 2; 3 , bán kính R  2 . Giá trị nhỏ nhất của z  w chính là giá trị nhỏ nhất của 2  2 đoạn MN .
Ta có I I  1; 4  I I  17  R  R  C và C ở ngoài nhau. 2  1  1 2  1 2 1 2  MN
 I I  R  R  17  3 min 1 2 1 2 CÂU 15: Lời giải Chọn A Vì z  1 và  2 . z z z nên ta có  1 z . z 43 PMT Từ đó, P  5 z  3 z  z  4 6 2 z  1  4 z z  4 z   4 6 2 z  1  4 z  4 z   4 6 2 z  1 . Đặt 4
z  x  iy , với x, y . Do z  1 nên 4 z  2 x  2
y  1 và 1  x, y  1. 2
Khi đó P  x  iy  x  iy  6  2 x  iy  1  x   x   2 2 6 2 1 y 2
 2x  6  2 2x  2   2x  2 1  3.
Do đó P  3 . Lại có 1  x  1  0  2x  2  2  1  2x  2 1  1  P  4 . Vậy M  4 khi 4
z  1 và m  3 4 1 3 khi z   
i . Suy ra M  m  1. 2 2 ĐỀ SỐ 5
THỜI GIAN LÀM BÀI: 90 PHÚT Câu 1:
(THPT Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa) Cho hai số phức z , z thỏa mãn z  1  i  2 và 1 2 1
z  iz . Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức z  z ? 2 1 1 2
A. m  2  1 . B. m  2 2 . C. m  2 . D. m  2 2  2 Câu 2:
(SGD Hà Nam - Năm) Xét các số phức z  a  bi , a,b   thỏa mãn  1
z  z  i  iz  z  2 4 15
1 . Tính F  a  4b khi z   3i đạt giá trị nhỏ nhất 2 A. F  7 . B. F  6 . C. F  5 . D. F  4 . Câu 3.
(SỞ GD VÀ ĐT HƯNG YÊN NĂM 2018) Xét số phức z và số phức liên hợp của nó
có điểm biểu diễn là M , M . Số phức z 4  3i và số phức liên hợp của nó có điểm biểu
diễn lần lượt là N , N . Biết rằng M , M , N , N là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm
giá trị nhỏ nhất của z  4i  5 . 1 4 5 2 A. . B. . C. . D. . 2 13 34 5 Câu 4:
CHUYÊN VINH LẦN 3-2018) Cho các số phức w , z thỏa mãn   3 5 w i và 5
5w  2  iz  4 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  1 2i  z  5  2i bằng 44 PMT A. 6 7 . B. 4  2 13 . C. 2 53 . D. 4 13 . Câu 5:
(THPT Chuyên Quốc Học Huế) Cho z  x  yi với x , y  là số phức thỏa mãn
điều kiện z  2  3i  z  i  2  5 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P  2 x  2
y  8x  6y . Tính M  m . 156 156 A.  20 10 . B. 60  20 10 . C.  20 10 .
D. 60  2 10 . 5 5 Câu 6:
(THPT HAU LOC 2_THANH HOA) Cho các số phức z , z , z thỏa mãn 1 2
z  4  5i  z  1 và z  4i  z  8  4i . Tính M  z  z khi P  z  z  z  z 1 2 1 2 1 2
đạt giá trị nhỏ nhất. A. 41 . B. 6 . C. 2 5 . D. 8 . Câu 7:
[SGD NINH BINH] Xét các số phức z  a  bi ( a , b 
) có môđun bằng 2 và phần 2018
ảo dương. Tính giá trị biểu thức S  5a  b  2 khi biểu thức
P  2  z  3 2  z đạt giá trị lớn nhất. A. S  1 . B. S  2018 2 . C. S  1009 2 . D. S  0 . Câu 8:
(Sở GD Thanh Hoá) Cho số phức z thỏa mãn z  2i  1  z  2i  1  10 . Gọi M
, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Tính tổng S  M  m . A. S  9 . B. S  8 . C. S  2 21 . D. S  2 21  1. Câu 9.
(SỞ GD-ĐT HẬU GIANG) Cho hai số phức z,  z thỏa mãn z  5  5 và
z  1  3i  z  3  6i . Tìm giá trị nhỏ nhất của z  z . 5 5 A. . B. . C. 10 . D. 3 10 . 2 4
Câu 10. (Chuyên Thái Nguyên) Tìm số phức z thỏa mãn z  1  i  5 và biểu thức
T  z  7  9i  2 z  8i đạt giá trị nhỏ nhất.
A. z  5  2i .
B. z  1 6i .
C. z  1 6i và z  5  2i .
D. z  4  5i . 45 PMT
Câu 11: [Đề thi thử-Liên trường Nghệ An] Biết rằng hai số phức z , z thỏa mãn 1 2 1
z  3  4i  1 và z  3  4i 
. Số phức z có phần thực là a và phần ảo là b thỏa 1 2 2
mãn 3a  2b  12 . Giá trị nhỏ nhất của P  z  z  z  2z  2 bằng: 1 2 9945 9945 A. P  . B. P  5  2 3 . C. P  . D. min 11 min min 13 P  5  2 5 . min
Câu 12: (THPT Chuyên Võ Nguyên) Cho số phức z , z thỏa mãn z  12 và z  3  4i  5 1 2 1 2
. Giá trị nhỏ nhất của z  z là: 1 2 A. 0 . B. 2 C. 7 D. 17
Câu 13: (THPT Ninh Giang - Hải Dương) Cho các số phức z thỏa mãn z  4  3i  2 . Giả
sử biểu thức P  z đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất khi z lần lượt bằng
z  a  b i a ,b 
và z  a  b i a ,b 
. Tính S  a  a 2 2  1 1  1 1 1 2 2 2 1 2 A. S  4 . B. S  6 . C. S  8 . D. S  10 .
Câu 14: (THPT Ninh Giang - Hải Dương) Cho các số phức z thỏa mãn 2
z  4  z  2iz 1 2i . Tìm giá trị nhỏ nhất của P  z  3  2i . 7 A. P  4 . B. P  2 . C. P  . D. P  3 . min min min 2 min
Câu 15: (THPT Ninh Giang - Hải Dương) Cho các số phức z thỏa mãn
z  1 i  z  8  3i  53 . Tìm giá trị lớn nhất của P  z  1  2i . 185 A. P  53. B. P  . C. P  106 . D. max max 2 max P  53 max
Câu 16: (SGD - Quảng Nam - Lần 1) Cho số phức z thỏa mãn z  2 . Giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P  2 z  1  2 z  1  z  z  4i bằng: A. 4  2 3 . B. 2  3 . C.  14 4 . D.  7 2 . 15 15 46 PMT
Câu 17: (PTNK Cơ Sở 2 - TPHCM) Nếu z là số phức thỏa z  z  2i thì giá trị nhỏ nhất của
z  i  z  4 là A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 .
Câu 18: (THPT Vũng Tàu - BRVT) Cho số phức z thỏa mãn z  1  i  z  3i và số phức  1 w
. Tìm giá trị lớn nhất của w . z 4 5 2 5 9 5 A. w  . B. w  . C. w  . D. max 7 max 7 max 10 w  7 5 . max 10
Câu 19. [THPT Hoàng Văn Thụ] Cho z , z
là hai nghiệm của phương trình 1 2 8
6  3i  iz  2z  6  9i , thỏa mãn z  z 
. Giá trị lớn nhất của z  z bằng. 1 2 5 1 2 31 56 A. . B. 4 2 . C. 5. D. . 5 5
Câu 20: (THPT-Chuyên Ngữ Hà Nội) Cho hai số phức z , z thỏa mãn z  3i  5  2 và 1 2 1
iz  1  2i  4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  2iz  3z . 2 1 2 A. 313  16 . B. 313 . C. 313  8 . D. 313  2 5 .
Câu 21: (Chuyên Vinh - Lần 1 - 2018) Giả sử z , z là hai trong số các số phức z thỏa mãn 1 2
iz  2  i  1 và z  z  2 . Giá trị lớn nhất của z  z bằng 1 2 1 2 A. 4 . B. 2 3 . C. 3 2 . D. 3 .
Câu 22: (SGD VĨNH PHÚC) Cho hai số phức u , v thỏa mãn 3 u  6i  3 u  1  3i  5 10 ,
v 1 2i  v  i . Giá trị nhỏ nhất của u  v là: 10 2 10 5 10 A. B. C. 10 D. 3 3 3 Câu 23:
(THPT Kim Liên-Hà Nội)
Xét các số phức zV a  bi ( a,b  ) thỏa mãn ũ
z  3  2i  2 . Tính a  b khi z  1  2i  2 z  2  5i đạt giá trị nhỏ nhất. V ă A. 4  3 . B. 2  3 . C. 3 . D. 4  3 . n B ắ c 47 PMT
Câu 24: (THPT Sơn Tây - Hà Nội) Gọi n là số các số phức z đồng thời thỏa mãn
iz  1  2i  3 và biểu thức T  2 z  5  2i  3 z  3i đạt giá trị lớn nhất. Gọi M là
giá trị lớn nhất của T . Giá trị tích của . M n là A. 10 21 B. 6 13 C. 5 21 D. 2 13
 ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 5 CÂU 1: Lời giải Chọn D
Đặt z  a  bi; a,b
 z  b  ai 1 2
 z  z  a  b  b  a i . 1 2  2 2 Nên z  z  a b b a 2. z 1 2        1
Ta lại có 2  z  1 i  z  1 i  z  2 1 1 1
 z  2  2 . Suy ra z  z  2. z  2 2  2 . 1 1 2 1 a b Dấu "  " xảy ra khi    0 . 1 1
Vậy m  min z  z  2 2  2 . 1 2 CÂU 2: Lời giải Chọn A Ta có  2
z  z  i  iz  z  2 4 15
1  4a  bi  a  bi 15i  i a  bi  a  bi   1  b    a 2 8 15 2 1 suy ra b  15 . 8
z  1  3i  1 2a  12  2b  62  1 8b  15  2
4b  24b  36  1 2
4b  32b  21 2 2 2 2 48 PMT
Xét hàm số f x  2
4x  32x  21 với x  15 8 15 
f x  x   x  15 8 32 0,
suy ra f  x là hàm số đồng biến trên ;    nên 8  8  f x  15   f  4353   .  8  16 1 1 4353 15 1 Do đó z 
 3i đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi b  ; a  . 2 2 16 8 2
Khi đó F  a  4b  7 . CÂU 3: Lời giải Chọn A
Gọi z  a  bi  M a; b , Ma; b .
Ta có: z 4  3i  a  bi4  3i  4a  3b  3a  4bi
 N 4a  3b;3a  4b,N4a  3b;3a  4b.
Vì MM và NN cùng vuông góc với trục Ox nên M , M , N , N là bốn đỉnh của
 b2   a b2 2 6 8
MM  NN  hình chữ nhật khi   
 3a  3b.0  3a  3b.2b  0 MN  MM 
b  0,3a4b   0 a  b   0  .
b  0, 3a  4b   0 2 2 2 2
Khi đó: z  4i  5  a  5  b  4i  a  5  b  4  a  5  4  a  9 2  2 1 1
2a  18a  41  2 a      .  2  2 2 1 9 9
Vậy giá trị nhỏ nhất của z  4i  5 là khi a   b   . 2 2 2 49 PMT CÂU 4: Lời giải Chọn C
Gọi z  x  i
y , với x, y  . Khi đó M x; y là điểm biểu diễn cho số phức z .
Theo giả thiết, 5w  2  iz  4  5w  i  2  iz  4  5i
 2  iw  i  z  3  2i  2 2
z  3  2i  3 . Suy ra M x; y thuộc đường tròn C : x  3  y  2  9 .
Ta có P  z  1  2i  z  5  2i  MA  MB , với A 1; 2 và B5; 2 .
Gọi H là trung điểm của AB , ta có H 3; 2 và khi đó:
P  MA  MB   2  2 2 MA MB  hay P  2 MH  2 4 AB .
Mặt khác, MH  KH với mọi M  C nên P  2 KH  2 4 AB    2  2 4 IH R AB  2 53 . M  K 3 11 Vậy P  2 53 khi 
hay z  3  5i và w   i . max MA   MB 5 5 CÂU 5: Lời giải Chọn B 50 PMT 6 y 4 2 B x 2 x 15 10 5 -1 5 10 15 -1 I 2 K J 4 6 A 8 10
- Theo bài ra: z  2  3i  z  i  2  5
 x  2  y  2  x  2  y  2 2 3 2 1  5
2x  y  2   0
 x22 y 21   25
tập hợp điểm biểu diễn số phức z là miền mặt phẳng T thỏa mãn
2x  y  2   0
x22 y 2 1   25
- Gọi A 2; 6 , B2; 2 là các giao điểm của đường thẳng 2x  y  2  0 và đường 2 2
tròn C : x  2  y   1  25 . 2 2 - Ta có: P  2 x  2
y  8x  6y  x  4  y  3  P  25 .
Gọi C  là đường tròn tâm J 4; 3 , bán kính R  P  25 .
- Đường tròn C  cắt miền T  khi và chỉ khi
JK  R  JA  IJ  IK  R  IA  2 10  5  25  P  3 5
 40  20 10  P  20
 M  20 và m  40  20 10 .
Vậy M  m  60  20 10 . CÂU 6: 51 PMT Lời giải Chọn C
Gọi I 4; 5 , J 1; 0 .
Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z , z . 1 2
Khi đó A nằm trên đường tròn tâm I bán kính R  1 , B nằm trên đường tròn tâm J bán kính R  1 .
Đặt z  x  yi , x, y  . Ta có:
z  4i  z  8  4i
 x  yi  4i  x  yi  8  4i
 x   y2  x  2 y  2 2 4 8 4
 16x 16y 64  0
  : x  y  4  0
Gọi C là điểm biểu diễn số phức z thì C   .
Ta có: P  z  z  z  z  CA  CB . 1 2 1 0  4 3 dI  4  5  4    5 ,
 1  R , dJ,    1  R .   2 2 2 2 1 1 2    2 1 1
x y 4x y 4 454104 0  hai đường tròn không cắt  và I I J J nằm cùng phía với  .
Gọi A là điểm đối xứng với A qua  , suy ra A nằm trên đường tròn tâm I bán 1 1 1
kính R  1 (với I là điểm đối xứng với I qua  ). Ta có I 9; 0 . 1   1 52 PMT A   A
Khi đó: P  CA  CB  CA  CB  A B nên P  A B   1 . 1 1 min 1 min B    B 1 7 Khi đó: I A 
I J  A8; 0 ; I B  I J   B 2; 0 . 1 1 8 1 1 8 A4;4 Như vậy: P khi A đối xứng A qua  và B   B   . Vậy min B2;0
M  z  z  AB  20  2 5 . 1 2 CÂU 7: Lời giải Chọn D
z  a  bi ; z  2  2 a  2 b  2  2 a  2 b  4. 2 2
P  2  z  3 2  z  a    2 b   a  2 2 3 2
b  4a  8  3 8  4a .
4a  8  3 8  4a   2  2 1
3 8  4a  8  4a  4 10 . 4a  8  a
Dấu đẳng thức xẩy ra khi
 8 4  94a  8  8  4a  a   8 . 1 3 5
Với a   8  b  6 (do b  0 ). 5 5 2018 8 6   8 6  
Vậy min P  4 10  z    i . Khi đó S  5       2  0 . 5 5   5 5   CÂU 8: Lời giải Chọn C
Giả sử z  a  bi , a,b    z  a  bi .
Chia hai vế cho i ta được: z  2  i  z  2  i  10 .
Đặt M a ; b , N a ;  b , A2 ;1 , B2 ;  1 , C 2 ;1  NB  MC . 53 PMT 2 2 X Y
Ta có: MA  MC  10  M E :   1. 25 21
Elip này có phương trình chính tắc với hệ trục tọa độ IXY , I 0 ;1 là trung điểm AC . X  x x y 2 2 1
Áp dụng công thức đổi trục     . Y  y  1  1 25 21 a   5sin t 2 Đặt  , t    0 ; 2    2  2  2 z OM a b b 1   21 cos t 2  2
25 sin t  1 21 cost    2 26
4cos t  2 21 cost . a   0 z
 1 21  cost  1   . max b  1  21 a   0 z
 1 21  cost  1   . min b  1  21
 M  m  2 21 . CÂU 9: Hướng dẫn giải Chọn A 54 PMT
Gọi M x; y là điểm biểu diễn của số phức z  x  yi , N x; y là điểm biểu diễn
của số phức z   x   y i . 2 Ta có z 
  x   yi   x    2 y  2 5 5 5 5 5 5 . 2
Vậy M thuộc đường tròn C x    2 y  2 : 5 5
z  1  3i  z  3  6i   
x  1   y  3i   
x  3   y  6i    x  2    y  2    x  2    y  2 1 3 3 6  8  x  6  y  35
Vậy N thuộc đường thẳng  : 8x  6y  35
Dễ thấy đường thẳng  không cắt C  và z  z  MN
Áp dụng bất đẳng thức tam giác, cho bộ ba điểm I, M, N  ta có. 8. 5  6.0  5 5
MN  IN  IM  IN  R  IN  R  d I,    R   5  0 2  2 2 8 6
Dấu bằng đạt tại M  M ; N  N . 0 0 CÂU 10: Lời giải Chọn B 55 PMT M I K A M0 B
Từ giả thiết z  1  i  5 suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn (C)
tâm I 1;1 , bán kính R  5 .
Xét các điểm A 7; 9 và B0; 8 . Ta thấy IA  10  2.IM .  5 
Gọi K là điểm trên tia IA sao cho IK  1 IA  K   ; 3 4  2  IM IK Do 
 1 , góc MIK chung  IKM ∽ IMA c.g.c IA IM 2
 MK  IK  1  MA  2.MK . MA IM 2
Lại có: T  z  7  9i  2 z  8i  MA  2.MB  2  MK  MB  2.BK  5 5
 T  5 5  M  BK C , M nằm giữa B và K   x  5 0 . min M 2
Ta có: phương trình đường thẳng BK là: 2x+y-8=0 x  1  
2x  y  8   0 y   6
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:     M  1;6 . x  2 1  y  2 1   25 x   5   y    2
Vậy z  1 6i là số phức cần tìm. CÂU 11:
Hướng dẫn giải Chọn C
Gọi M , M , M lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức z , 2z , z trên hệ trục tọa 1 2 1 2
độ Oxy . Khi đó quỹ tích của điểm M là đường tròn C
tâm I 3; 4 , bán kính 1  1 R  1 ;
quỹ tích của điểm M là đường C
tròn tâm I 6; 8 , bán kính R  1 ; 2  2
quỹ tích của điểm M là đường thẳng d : 3x  2y 12  0 .
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của MM  MM  2 . 1 2 56 PMT y I2 8 I3 B I A 1 M 4 O 3 6 x  138 64  Gọi C có tâm I ;
, R  1 là đường tròn đối xứng với C qua d . Khi 2  3   3   13 13 
đó min  MM  MM  2  min  MM  MM  2 với M  C . 3  3 1 2 1 3 
Gọi A , B lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng I I với C , C . Khi đó với mọi 3  1  1 3
điểm M  C , M  C
, M d ta có MM  MM  2  AB  2 , dấu "=" xảy ra 3  3 1  1 1 3 9945
khi M  A, M  B. Do đó P
 AB 2  I I  2  2  I I  . 1 3 min 1 3 1 3 13 CÂU 12: Lời giải Chọn B
Gọi z  x  y i và z  x  y i , trong đó x , y , x , y 
; đồng thời M x ; y 1  1 1  1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 và M x ; y
lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z , z . 2  2 2  1 2  2 x  2 y   144 1 1
Theo giả thiết, ta có:  . 2 2  x   3 y 4 25 2    2  
Do đó M thuộc đường tròn C
có tâm O 0; 0 và bán kính R  12 , M thuộc 1  1 1 2 đường tròn C
có tâm I 3; 4 và bán kính R  5 . 2  2
OC2  Mặt khác, ta có  nên C chứa trong C . 1  2 
OI  5  7  R   R 1 2 57 PMT M1 M (C 2 2) I O (C1)
Khi đó z  z  M M . Suy ra z  z  M M
 M M  R  2R  2 . 1 2  1 2 1 2 1 2 min min 1 2 1 2 CÂU 13: Lời giải Chọn C
Gọi z  a  bi , a,b  
z  4  3i  2  a  ib  4  3i  2  a  4  b  3i  2
 a  2 b 2 4 3  4
Khi đó tập hợp các điểm M a; b biểu diễn số phức z  a  bi thuộc vào đường tròn
C có tâm I4;3, R  2. Ta có OI  2  2 3 4  5 . Suy ra z
 OI  R  5  2  7 , z
 OI  R  5  2  3. max min
Gọi  là đường thẳng qua hai điểm OI ta có
phương trình của  : 3x  4y  0 . Gọi M và N lần lượt là hai giao điểm của  và C 
sao cho OM  3 và ON  7 khi đó  3  12 9  
OM  OI  M ;     z  28  21  i 5  5 5   1 28 12    5 5  S    8 . 7  28 21    12 9 5 5
ON  OI  N ;    z    i  5  5 5   2 5 5 CÂU 14: Lời giải Chọn D 58 PMT Ta có 2
z  4  z  2iz 1 2i  z  2i  z  2i  z 1 2i   0
 z  2i  0   .
 z  2i  z 1  2i
Do đó tập hợp các điểm N biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ Oxy là điểm
A 0; 2 và đường trung trực của đoạn thẳng BC với B0; 2 , C 1; 2 .  1 
Ta có BC  1; 0 , M  ; 0 là trung điểm BC nên phương trình đường trung trực  2 
của BC là  : 2x 1  0 .
Đặt D 3; 2 , DA  3 , dD   7 , . 2
Khi đó P  z  3  2i  DN , với N là điểm biểu diễn cho z .
Suy ra min P  minDA,dD,  3 . CÂU 15: Lời giải Chọn C
Xét A 1;1 , B8; 3 ta có AB  53
 các điểm biểu diễn z là đoạn thẳng AB
P  z  1  2i  MM với M là điểm biểu diễn số phức z , M là điểm biểu diễn số phức 
z  1 2i
Phương trình đường thẳng AB : 2x  7y  5  0  87 13 
Hình chiếu vuông góc của M lên AB là M   ; 1    53 53 
Ta có A nằm giữa M và B nên P  MM lớn nhất  MM lớn nhất 1 1
 M  B  z  8  3i  P  106 . max CÂU 16: Lời giải Chọn A
Gọi z  x  yi, x, y   . Theo giả thiết, ta có z   2 x  2 2 y  4 .
Suy ra 2  x, y  2 . 59 PMT  2 2 2 2 
Khi đó, P  2 z  1  2 z  1  z  z  4i  2
x 1  y  x 1  y  y  2     P 2 x 12 y 1 x2 2 2         y  y   2     2
2 2 1 y  2  y .  
Dấu “  ” xảy ra khi x  0 .
Xét hàm số f y   2
2 1 y  2  y trên đoạn 2; 2   , ta có: 2y  1  2    2y y f y 1 
; f y   y  1 0 . 1  2 y 1  2 y 3  1  Ta có f 
  2  3 ; f 2  4  2 5 ; f 2  2 5 .  3 
Suy ra min f y  2  3 khi y  1 . 2; 2   3
Do đó P  22  3  4  2 3 . Vậy P  4  2 3 khi z  1 i . min 3 CÂU 17: Lời giải Chọn D
Đặt z  x  yi với x , y 
theo giả thiết z  z  2i  y  1. d
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d .
Gọi A 0;1 , B4; 0 suy ra z  i  z  4  P là tổng khoảng cách từ điểm M x;  1
đến hai điểm A , B .
Thấy ngay A 0;1 và B4; 0 nằm cùng phía với d . Lấy điểm đối xứng với A 0;1
qua đường thẳng d ta được điểm A0;  3 .
Do đó khoảng cách ngắn nhất là  A B  2  2 3 4  5 . CÂU 18: Lời giải Chọn B. 60 PMT
Đặt z  a  bi a,b   .
z   i  z  i  a  2  b  2  a  b  2 2 1 3 1 1
3  a   b  7 2 . 2  2 7 2  7   49 49 2  2 z a b  2b     2 b  2 5b  14b   5 b      7  2  4  5  20 2 5   1 w
 1  2 5 . Đẳng thức xảy ra khi b  7 và a  63 . z z 7 5 10 2 5 Vậy w  . max 7 min|w  | 1 . CÂU 19: Lời giải Chọn D
Đặt z  a  bi , a, b . Ta có
 i  iz  z   i  2 a  2 6 3 2 6 9
b  6a  8b  24  0 .  z  3 4i 1 2 2 1   
a 3 b 4 1 z 3 4i            1   .  z  3 4i 1 2       2 2  hbh 2 2
Ta lại có: 2 z  3 4i z 3 4i z z z z 6 8i . 1      2
        1 2 1 2     
     64  z  z  6 2 1 1 6 8i z z 6 8i . 1 2   2    1 2   2  25 5 6 56
Ta có: z  z  z  z  6  8i  6  8i  z  z  6  8i  6  8i   10  . 1 2 1 2 1 2 5 5 CÂU 20: Lời giải Chọn A 61 PMT
Ta có z  3i  5  2  2iz  6  10i  4 1 ; iz  1 2i  4  3z 6 3i 12 2  2   1 1 2.
Gọi A là điểm biểu diễn số phức 2iz , B là điểm biểu diễn số phức 3z . Từ 1 và 1 2
2 suy ra điểm A nằm trên đường tròn tâm I 6;10 và bán kính R  4; điểm 1  1
B nằm trên đường tròn tâm I 6; 3 và bán kính R  12 . 2   2 B A I I 2 1
Ta có T  2iz  3z  AB  I I  R  R  2 12  2
13  4  12  313  16 . 1 2 1 2 1 2
Vậy maxT  313  16 . CÂU 21: Lời giải Chọn A
Ta có iz  2  i  1  z  1 i 2  1. Gọi z  1 i 2 có điểm biểu diễn là 0 I 1; 2.
Gọi A , B lần lượt là các điểm biểu diễn của z , z . Vì z  z  2 nên I là trung 1 2 1 2 điểm của AB .
Ta có z  z  OA  OB  2 OA OB 4OI AB 16 4 . 1 2  2  2  2  2  
Dấu bằng khi OA  OB . CÂU 22: Lời giải Chọn B 62 PMT
 Ta có: 3 u  6i  3 u 1 3i  5 10  u  i  u   i  5 10 6 1 3 S 3
 MF  MF  5 10 . 1 2 3
u có điểm biểu diễn M thuộc elip với hai tiêu điểm F 0;6 , F 1; 3 , tâm 1   2    1 9 
I  ;  và độ dài trục lớn là a  5 10 2
 a  5 10 .  2 2  3 6
F F  1; 3  F F : 3x  y  6  0 . 1 2 1 2
 Ta có: v 1 2i  v  i  v  i  NA  NB
 v có điểm biểu diễn N thuộc đường thẳng d là trung trực của đoạn AB với
A 1; 2 , B0;1 .  1 1 
AB  1; 3 , K ;  
 là trung điểm của AB d : x  3y  2  0 .  2 2  1  27  2
d I d  2 2  3 10 ,   2 2 2 1 3
Dễ thấy F F  d  u  v 
MN  dI d  a  2 10 min min , . 1 2 3 CÂU 23: Lời giải Chọn D Cách 1:
Đặt z  3  2i  w với w  x  yi x, y   . Theo bài ra ta có w   2 x  2 2 y  4 . Ta có
P  z   i  z   i  w 
 w   i  x  2  y  x  2  y  2 2 1 2 2 2 5 4 2 1 3 4 2 1 3   x 
x 2 y 2   x 
x 2 y 2 20 8 2 1 3 2 5 2 2 1 3  2 x y 2x 1
x 12 y 32   2 x 12 y
x 12 y 32 2 2 2                         63 PMT
 2 y  y 3   2 y  3 y  6. x  1  x 1 P 6 y 3 y         0   .  y   3 x  y   2 2 4
Vậy GTNN của P là bằng 6 đạt được khi z  2  2  3i . Cách 2:
z  3  2i  2  MI  2  M I; 2 với I  3; 2 .
P  z  1  2i  2 z  2  5i  MA  2MB với A  1; 2 , B  2; 5 .
Ta có IM  2 ; IA  4 . Chọn K 2; 2 thì IK  1. Do đó ta có IA IK  2 . IM  IA  IM IM IK   AM IM
IAM và IMK đồng dạng với nhau  
 2  AM  2MK . MK IK
Từ đó P  MA  2MB  2  MK  MB  2BK .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M , K , B thẳng hàng và M thuộc đoạn thẳng BK .
Từ đó tìm được M  2;2  3. Cách 3: 64 PMT
Gọi M a; b là điểm biểu diễn số phức z  a  b .i Đặt I  3; 2 , A1; 2 và B2; 5 .
Ta xét bài toán: Tìm điểm M thuộc đường tròn C  có tâm I , bán kính R  2 sao cho
biểu thức P  MA  2MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Trước tiên, ta tìm điểm K x; y sao cho MA  2MK M C . 2 2
Ta có MA  MK  2 MA  2 2
4MK  MI  IA  4MI  IK  2 MI  2
IA  MI IA   2 MI  2
IK  MI IK  MI IA IK  2 R  2 IK  2 2 . 4 2 . 2 4 3 4 IA *.  IA 4IK 0
*  luôn đúng M C      .
3R  4IK  IA   2 2 2 0
4x  3  4 x 
IA  IK   2 4 0  . 4y  2    0 y   2
Thử trực tiếp ta thấy K 2; 2 thỏa mãn 2 R  2 IK  2 3 4 IA  0 . Vì 2 BI  2  2   2 1 3
10 R  4 nên B nằm ngoài C  . Vì 2 KI   2
1 R  4 nên K nằm trong C  .
Ta có MA  2MB  2MK  2MB  2  MK  MB  2KB .
Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng BK .
Do đó MA  2MB nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của C  và đoạn thẳng . BK
Phương trình đường thẳng BK : x  2 . 2 2
Phương trình đường tròn C : x  3  y  2  4 . 65 PMT x  2 x    2
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ  2 2 hoặc
 x 3 y 2       4 y  2   3 x   2  . y  2   3
Thử lại thấy M 2;2  3 thuộc đoạn BK .
Vậy a  2 , b  2  3  a  b  4  3 . CÂU 23: Lời giải Chọn A
Gọi z  x  i
y , với x, y  . Khi đó M x; y là điểm biểu diễn cho số phức z . 2 2
Theo giả thiết, iz  1  2i  3  z  2  i  3  x  2  y   1  9 .
Ta có T  2 z  5  2i  3 z  3i  2MA  3MB , với A 5; 2 và B0; 3 .
Nhận xét rằng A , B , I thẳng hàng và 2IA  3IB . Cách 1:
Gọi  là đường trung trực của AB , ta có  : x  y  5  0 .
T  2MA  3MB  PA  PB . Dấu “  ” xảy ra khi M  P hoặc M  Q .
x  y  5   0  8  2 2   2  8  2 2   2 Giải hệ   P  ;  và Q ;   .
x  22  y  2 1        9  2 2   2 2  66 PMT
Khi đó M  maxT  5 21 .
Vậy M.n  10 21 . Cách 2:
Ta có A , B , I thẳng hàng và 2IA  3IB nên 2IA  3IB  0 . 2 2  2 MA  2 2
3MB  2 MI  IA  3MI  IB  2 MI  2 IA  2 5 2 3IB  105 . 2 Do đó 2
T   2. 2MA  3. 3MB   2 MA  2 5 2
3MB   525 hay T  5 21 .
Khi đó M  maxT  5 21 . Dấu “  ” xảy ra khi M  P hoặc M  Q .
Vậy M.n  10 21 . 67 PMT

Tổng ôn cực trị số phức – Phạm Minh Tuấn Toán 12

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Chuyên đề Số phức – Trung tâm LTĐH Vĩnh Viễn Toán 12

Các dạng bài tập cơ bản về Số phức – Đặng Việt Hùng Toán 12

600 câu hỏi trắc nghiệm chuyên đề số phức – Nhóm Toán

Bài tập trắc nghiệm chuyên đề số phức – Đặng Việt Đông Toán 12

4 đề trắc nghiệm chuyên đề số phức – Bùi Thế Việt Toán 12