Tổng ôn cực trị số phức – Phạm Minh Tuấn Toán 12
Tổng ôn cực trị số phức – Phạm Minh Tuấn Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Chủ đề: Chương 4: Số phức 121 tài liệu
Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
TỔNG ÔN
CỰC TRỊ SỐ PHỨC
Sưu tầm và biên soạn: Phạm Minh Tuấn Wednesday, 21 April
Luôn yêu để Sống, luôn sống để học Toán, luôn học toán để Yêu Contents
CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC ........................................................................................................ 1 1.
MỘT SỐ VÍ DỤ MÌNH HỌA ......................................................................................................... 1 2.
ĐỀ TỰ LUYỆN ................................................................................................................................... 4
ĐỀ SỐ 1 ................................................................................................................................................... 4
ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 1 ................................................................................................... 7
ĐỀ SỐ 2 ................................................................................................................................................. 14
ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 2 ................................................................................................. 16
ĐỀ SỐ 3 ................................................................................................................................................. 22
ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 3 ................................................................................................. 25
ĐỀ SỐ 4 ................................................................................................................................................. 33
ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 4 ................................................................................................. 35
ĐỀ SỐ 5 ................................................................................................................................................. 44
ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 5 ................................................................................................. 48
CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC
1. MỘT SỐ VÍ DỤ MÌNH HỌA
Ví dụ 1: [THPT Nguyễn Khuyến] Xét số phức z thỏa mãn 2 z 1 3 z i 2 2. Mệnh đề nào
dưới đây đúng? 1 3 3
A. z 2 .
B. z 1 . C.
z . D.
z 2 . 2 2 2 2 HƯỚNG DẪN GIẢI
Cách 1. Chọn z i . Cách 2.
2 2 2 z 1 3 z i 2 z 1 z i z i 2 z 1 z i z i
2 i 1 z i 2 2 z i 2 2 .
Dấu " " xảy ra khi z i 0 hay z i z i 1. . 1 PMT
Ví dụ 2: [THPT Kim Liên-HN - 2017] Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 . Tìm giá trị lớn nhất
của z 1 i .
A. 6 .
B. 13 1 . C. 13 2 .
D. 4 . HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt w z 1 i .
Ta có z 2 3i 1 z 2 3i 1 z 2 3i 1 z 1 i 3 2i 1 .
w 3 2i 1.
Ta có: 1 w 3 2i w 3 2i w 1 13 .
Max z 1 i 1 13 .
Ví dụ 3: [THPT Hùng Vương-PT ] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 1 i z . Đặt
m z , tìm giá trị lớn nhất của m . A. 1.
B. 2 .
C. 2 1.
D. 2 1 . HƯỚNG DẪN GIẢI y x I M 2 1 O x .
Đặt z x iy với x, y .
Ta có z 1 1 i z z 1 1 i . z . x 2 2 y 2 x 2 1 2 y 2 x 2
y 2x 1 0 .
tập các điểm biểu diễn z là đường tròn tâm I 1;0 và bán kính R 2 . 2 PMT
Max z OM OI R 1 2 . 2
Ví dụ 4: [THPT chuyên Phan Bội Châu] Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 . Giá trị lớn nhất
của z 1 i là.
A. 4 .
B. 13 1 . C. 13 2 .
D. 6 . HƯỚNG DẪN GIẢI M2 M1 I H .
Gọi z x yi ta có z 2 3i x yi 2 3i x 2 y 3i . 2 2
Theo giả thiết x 2 y 3 1 nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường
tròn tâm I 2; 3 bán kính R 1 . 2 2
Ta có z 1 i x yi 1 i x 1 1 yi x 1 y 1 . 2 2
Gọi M x; y và H 1;1 thì HM x 1 y 1 .
Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao của HI với đường tròn.
x 2 3t
Phương trình HI :
, giao của HI và đường tròn ứng với t thỏa mãn: y 3 2t 3 2 3 2 2 t 2
t t 1 9 4 1 nên M 2 ; 3 , M 2 ; 3 . 13 13 13 13 13
Tính độ dài MH ta lấy kết quả HM 13 1. z
Ví dụ 5: [TT Hiếu Học Minh Châu] Cho số phức z thỏa mãn z không phải số thực và w 2 2 z
là số thực. Giá trị lớn nhất của biểu thức P z 1 i là. 3 PMT
A. 2 2 .
B. 2 2 .
C. 8 .
D. 2 . HƯỚNG DẪN GIẢI 1 2
Cách 1. Xét z 0 suy ra
z . Gọi z a bi,b 0 . w z 1 2 2a 2 Suy ra z a b 1 i . 2 2 2 2 w z a b a b 1 2 b 0 Vì nên b 1 0 . 2 2 w a b a b 2 2 2
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Oxy là đường tròn C 2 x 2 : y 2 .
Xét điểm A 1;1 là điểm biểu diễn số phức z 1 i suy ra 0
P MA max P OA r 2 2 .
Với r là bán kính đường tròn C 2 x 2 : y 2 . z 1
Cách 2. w w 2 z z z
z 2 0 * . * là phương trình bậc hai với hệ 2
2 2 2 z w 1 số thực
. Vì z thỏa * nên z là nghiệm phương trình * . Gọi z ,z là hai nghiệm w 1 2
của * suy ra z .z 2 z .z 2 z z 2 z 2 . Suy ra 1 2 1 2 1 2
P z 1 i z 1 i 2 2 2 2 . Dấu bằng xảy ra khi z 1 i . 2. ĐỀ TỰ LUYỆN ĐỀ SỐ 1
THỜI GIAN LÀM BÀI: 60 PHÚT Câu 1:
(Sở GD Cần Thơ-Đề 324-2018) Cho số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện 2 2
z 3 4i 5 và biểu thức M z 2 z i đạt giá trị lớn nhất. Môđun của số
phức z 2 i bằng A. 5 . B. 9 . C. 25 . D. 5 . 4 PMT Câu 2:
Cho số phức z , z thỏa mãn z 3 , z 2 được biểu diễn trong mặt phẳng phức 1 2 1 2 z z
lần lượt là các điểm M, N . Biết OM,ON
, tính giá trị của biểu thức 1 2 . 6 z z 1 2 7 3 1 A. 13 . B. 1 . C. . D. . 2 13 Câu 3:
(THTT - Số 484 - Tháng 10 - 2017 - BTN) Cho số phức z a bi a,b . Biết tập
hợp các điểm A biểu diễn hình học số phức z là đường tròn C có tâm I 4; 3 và
bán kính R 3 . Đặt M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất của F 4a 3b 1 .
Tính giá trị M m .
A. M m 63 .
B. M m 48 .
C. M m 50 . D. M m 41 1 Câu 4:
(THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Q Trị - HKII) Cho số phức z thỏa mãn z 4 . Tính z
giá trị lớn nhất của z . A. 2 3 . B. 4 5 . C. 4 3 . D. 2 5 . Câu 5:
(THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Q Trị - HKII) Gọi M và m là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
của môđun số phức z thỏa mãn z 1 2 . Tính M m . A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 5 . Câu 6:
[THPT Hà Huy Tập - 2017] Cho số phức z thỏa mãn z 1 z i . Tìm mô đun nhỏ
nhất của số phức w 2z 2 i . 3 2 3 3 A. . B. . C. 3 2 . D. . 2 2 2 2 Câu 7:
[THPT TH Cao Nguyên - 2017] Cho các số phức z 3i , z 1 3i , z m 2i . 1 2 3
Tập giá trị tham số m để số phức z có môđun nhỏ nhất trong 3 số phức đã cho là. 3 A. 5; 5 .
B. ; 5 5; . C. 5; 5 . D. 5; 5. Câu 8:
(Chuyên Quang Trung - Bình Phước) Cho số phức z thỏa mãn z 2i z 4i và
z 3 3i 1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P z 2 là: 5 PMT A. 13 1 . B. 10 1 . C. 13 . D. 10 . Câu 9:
(Chuyên Quang Trung - Bình Phước) Trong tập hợp các số phức, gọi z , z là nghiệm 1 2 2017 của phương trình 2 z z
0 , với z có thành phần ảo dương. Cho số phức z 4 2
thoả mãn z z 1 . Giá trị nhỏ nhất của P z z là 1 2 2017 1 2016 1 A. 2016 1. B. . C. . D. 2017 1. 2 2
Câu 10: (THPT Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh) Cho các số phức z 2 i , z 2 i và số 1 2 2 2
phức z thay đổi thỏa mãn z z
z z 16. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn 1 2
nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Giá trị biểu thức 2 2 M m bằng A. 15 B. 7 C. 11 D. 8
Câu 11: (Chuyên KHTN - Lần 3) Cho số phức z thỏa mãn 2z 3 4i 10 . Gọi M và m lần
lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Khi đó M m bằng. A. 5 . B. 15 . C. 10 . D. 20 .
Câu 12: (THPT Kinh Môn - Hải Dương)
Cho hai số phức z , z thỏa mãn 1 2
z 5 5, z 1 3i z 3 6i . Giá trị nhỏ nhất của z z là: 1 2 2 1 2 5 7 1 3 A. B. C. D. 2 2 2 2
Câu 13: (THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần 2) Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn
1iz 2i 4 và Mx;y là điểm biểu diễn cho z trong mặt phẳng phức. Tìm
giá trị lớn nhất của biểu thức T x y 3 . A. 4 2 2 . B. 8 . C. 4 . D. 4 2 .
Câu 14: (THPT Chuyên Quốc Học Huế - Lần 2) Cho số phức z x yi với x,y thỏa
mãn z 1 i 1 và z 3 3i 5 . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị M
lớn nhất của biểu thức P x 2y . Tính tỉ số . m 9 7 5 14 A. . B. . C. . D. . 4 2 4 5 6 PMT
Câu 15: (Sở GD và ĐT Cần Thơ) Cho số phức z thỏa mãn z 1. Giá trị lớn nhất của biểu
thức P 1 z 2 1 z bằng A. 5 . B. 6 5 . C. 2 5 . D. 4 5 .
ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 1 CÂU 1: Lời giải Chọn D 2 2
Đặt z x yi , x, y z 3 4i 5 x 3 y 4 5 1 . 2 2 2 2
Ta có: M z 2 z i x 2 y 2 2
x y
1 4x 2y 3 2 2
4 x 3 2 y 4 23 20 x 3 y 4 23 33 . x 3 4
x y 5 z 5 5i
Dấu " " xảy ra khi chỉ khi
kết hợp với 1 suy ra y 4 2
x 1, y 3 z 1 3i Thử lại ta có M
33 z 5 5i z 2 i 5. max CÂU 2: Lời giải Chọn B
Dựng hình bình hành OMPN trong mặt phẳng phức, khi đó biểu diễn của : 7 PMT 2 2 0 z z OP z z z
z 2 z z cos 150 1 1 2 1 2 1 2 1 2 z z MN 2 2 1 2
z z z z 2 z z cos 0 30 1 1 2 1 2 1 2 z z z z 1 2 1 2 . z 1 z z z 1 2 1 2 CÂU 3: Lời giải Chọn B. 2 2
Cách 1. Ta có phương trình đường tròn C : x 4 y 3 9 . 2 2
Do điểm A nằm trên đường tròn C nên ta có a 4 b 3 9 .
Mặt khác F 4a 3b 1 4 a 4 3b 3 24 F 24 4a 4 3b 3 .
4 a 4 3 b 3 2 2 2 2 2 Ta có
4 3 a4 b3 25.9 255 .
15 4a 4 3b 3 15 15 F 24 15 9 F 39 .
Khi đó M 39 , m 9 .
Vậy M m 48 . F b
Cách 2. Ta có F a b a 1 3 4 3 1 4 2 F b
a 42 b 32 1 3 9 4 2
b 6b 9 9 4 2
25b 2 3F 3b 2 F 225 0
F 2 2 3 3 25F 5625 2 0
16F 18F 5625 0 9 F 39. CÂU 4: Lời giải Chọn D 1 1 Ta có z z 1 4 z z 2 5 . z z z CÂU 5: Lời giải Chọn C 8 PMT
Gọi z x yi được biểu diễn bởi điểm M x; y . Khi đó OM z . 2 2
z 1 2 x 2 1
y 2 x 2 1
y 4 1 . Chứng tỏ M thuộc đường
tròn C có phương trình 1 , tâm I 1; 0 , bán kính R 2 .
Yêu cầu bài toán M C sao cho OM lớn nhất, nhỏ nhất.
Ta có OI 1 nên điểm O nằm trong đường tròn R OI OM OI R 1 OM 3 .
Do đó M 3 và m 1.
Vậy M m 4 . CÂU 6: Lời giải Chọn A
Giả sử z a bi z a bi . Khi đó z 1 z i a 1 bi a b 1i .
a 2 b a b 2 2 2 1
1 a b 0 .
Khi đó w 2z 2 i 2 a ai 2 i 2a 2 i a 1 . 3 2
a 2 a 2 w 2 2 2 1 2
8a 4a 5 . 2 CÂU 7: Lời giải Chọn A
Ta có: z 3 , z 10 , z 2 m 4 . 1 2 3
Để số phức z có môđun nhỏ nhất trong 3 số phức đã cho thì 3 2
m 4 3 5 m 5 . CÂU 8: Lời giải Chọn C 9 PMT
Gọi M x; y là điểm biểu diễn số phức z ta có: z 2i z 4i
x y 2 x y 2 2 2 2 4
y 3; z 3 3i 1 điểm M nằm trên đường tròn tâm I 3; 3 và bán kính
bằng 1. Biểu thức P z 2 AM trong đó A 2; 0 , theo hình vẽ thì giá trị lớn nhất 2 2
của P z 2 đạt được khi M 4; 3 nên max P 4 2 3 0 13 . CÂU 9: Lời giải Chọn A 2017 Xét phương trình 2 z z 0 4
z 1 2016 i 1
Ta có: 2016 0 phương trình có hai nghiệm phức 2 2 . z 1 2016 i 2 2 2
Khi đó: z z i 2016 1 2
z z z z z z z z z z P 2016 1 . 2 1 1 2 1 2 1 Vậy P 2016 1. min CÂU 10: 10 PMT Lời giải Chọn D
Giả sử z x yi x, y . 2 2 2 2 Ta có: z z
z z 16 x yi 2 i x yi 2 i 16 1 2
x y 2 2 1 4 .
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm số phức I 0;1 bán kính R 2 .
Do đó m 1, M 3 . Vậy 2 M 2 m 8. CÂU 11: Lời giải Chọn C
Đặt z x yi . 2 3 3 2
Ta có: 2z 3 4i 10 z
2i 5 x y 2 25 . 2 2 3
Tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa đề là đường tròn tâm I ; 2 , bán kính R 5 . 2 11 PMT
m IO R Khi đó:
M m 2R 10. M IO R CÂU 12: Lời giải Chọn A
Giả sử z a b i a ,b
, z a b i a ,b . 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Ta có 2
z 5 5 a 5 b
25 . Do đó, tập hợp các điểm A biểu diễn cho số phức 1 2 1 1 2
z là đường tròn C x 2 : 5
y 25 có tâm là điểm I 5; 0 và bán kính R 5 . 1 2 2 2 2
z 1 3i z 3 6i a 1 b 3 a 3 b 6 2 2 2 2 2 2
8a 6b 35 0. Do đó tập hợp các điểm B biểu diễn cho số phức z là đường 2 2 2
thẳng : 8x 6y 35 0 .
Khi đó, ta có z z AB . 1 2 8.5 6.0 35 Suy ra z z AB
dI; R 5 5 .` 1 2 min min 2 8 2 6 2 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của z z là . 1 2 2 CÂU 13: Lời giải Chọn B 1 3
Ta có 1 i z 2 i 4 z i 2 2 . Vậy quỹ tích điểm biểu diễn cho số 2 2 1 3
phức z là đường tròn C tâm I
; bán kính R 2 2 (1). 2 2
x y 3 T 0
Biểu thức T x y 3 , với T 0 thì ta có (2).
x y 3 T 0 12 PMT
Khi đó điểm M là điểm thuộc đường tròn C và một trong hai đường thẳng trong (2).
Điều kiện để một trong hai đường thẳng trên cắt đường tròn C là 4 T 2 2 2 0 T 8
0 T 8 . Vậy maxT 8 . T 8 T 4 0 2 2 2 CÂU 14: y Lời giải Chọn B J 3 I 1 x O 1 3
Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z .
Từ giả thiết z 1 i 1 ta có A là các điểm nằm bên ngoài hình tròn C có tâm 1
I 1;1 bán kính R 1 . 1
Mặt khác z 3 3i 5 ta có A là các điểm nằm bên trong hình tròn C có tâm 2
J 3; 3 bán kính R 5 . 2
Ta lại có: P x 2y x 2y P 0 . Do đó để tồn tại x, y thì và phần 9 P
gạch chéo phải có điểm chung tức là d J; 5 5 5 M
9 P 5 4 P 14 . Suy ra m M 7 4; 14 . m 2 CÂU 15: 13 PMT Lời giải Chọn C
Gọi số phức z x i
y , với x, y .
Theo giả thiết, ta có z 1 2 x 2
y 1 . Suy ra 1 x 1 . 2 2
Khi đó, P 1 z 2 1 z x 2 y x 2 1 2 1
y 2x 2 2 2 2x .
Suy ra P 2 2 1
2 2x 2 2
2x hay P 2 5 , với mọi 1 x 1 . Vậy P
2 5 khi 2 2x 2 2 2x x 3 , y 4 . max 5 5
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ĐỀ SỐ 2
THỜI GIAN LÀM BÀI: 60 PHÚT Câu 1:
(THPT Chuyên Tiền Giang - Lần 1) Biết số phức z thỏa mãn z 3 4i 5 và biểu 2 2
thức T z 2 z i đạt giá trị lớn nhất. Tính z . A. z 33 . B. z 50 . C. z 10 . D. z 5 2 . Câu 2:
(Đoàn Trí Dũng - Lần 7) Biết rằng z 1 2 . Tìm giá trị lớn nhất của module số phức
w z 2i ? A. 5 2 B. 5 2 C. 2 5 D. 2 5 z 1 1 Câu 3:
(THPT Quảng Xương 1 - Thanh Hóa) Cho số phức z thỏa mãn . Tìm giá z 3i 2
trị lớn nhất của biểu thức P z i 2 z 4 7i . A. 8 . B. 10 . C. 2 5 . D. 4 5 . Câu 4:
(Sở GD Bạc Liêu - HKII - 2018 Xét số phức z a bi a,b R,b 0 thỏa mãn z 1.
Tính P a 2 2 4b khi 3
z z 2 đạt giá trị lớn nhất . A. P 4 .
B. P 2 2 . C. P 2 .
D. P 2 2 . 14 PMT Câu 5:
(THPT Quốc Oai - Hà Nội - HKII) Trong các số phức z thỏa mãn z i z 2 3i .
Hãy tìm z có môđun nhỏ nhất. 27 6 6 27 6 27 3 6 A. z i . B. z i . C. z i . D. z i . 5 5 5 5 5 5 5 5 Câu 6:
[TRẦN HƯNG ĐẠO – NB] Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z 3i z 2 i .
Tìm số phức có môđun nhỏ nhất? 1 2 1 2
A. z 1 2i .
B. z i . C. z i .
D. z 1 2i 5 5 5 5 . Câu 7:
[LẠNG GIANG SỐ 1] Cho số phức z thỏa mãn z 3 z 3 8 . Gọi M , m lần
lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất z . Khi đó M m bằng A. 4 7. B. 4 7. C. 7. D. 4 5. 2z i Câu 8:
Cho số phức z thỏa mãn z 1 . Đặt A
. Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 iz A. A 1 . B. A 1 . C. A 1 . D. A 1 . Câu 9:
Cho số phức z thỏa mãn z 1. Tìm giá trị lớn nhất M
và giá trị nhỏ nhất M max min
của biểu thức M 2
z z 3 1 z 1 . A. M 5; M 1 . B. M 5; M 2 . max min max min C. M 4; M 1. D. M 4; M 2 . max min max min
Câu 10: Cho số phức z thỏa z 2 . Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức z i P . z 3 2 A. . B. 1. C. 2 . D. . 4 3
Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 1 z 3 1 z . A. 3 15 . B. 6 5 . C. 20 . D. 2 20 .
Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 2 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z. 15 PMT A. 9 4 5 . B. 11 4 5 . C. 6 4 5 . D. 5 6 5 .
Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn 1 i z 6 2i 10 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z. A. 4 5 B. 3 5. C. 3. D. 3 5
Câu 14: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z 2 4i z 2i . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z 2 . i A. 5 B. 3 5. C. 3 2 D. 3 2
Câu 15: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 3 . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z 1 . i A. 4. B. 2 2. C. 2. D. 2.
ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 2 CÂU 1: Lời giải Chọn D 2 2
Đặt z x yi , theo giả thiết z 3 4i 5 x 3 y 4 5 . C 2 2
Ngoài ra T z 2 z i 4x 2y 3 T 0 đạt giá trị lớn nhất. 23 T
Rõ ràng C và có điểm chung do đó
5 13 T 33. 2 5
Vì T đạt giá trị lớn nhất nên T 33 suy ra 4x 2y 30 0 y 15 2x thay vào C ta được 2
5x 50x 125 0 x 5 y 5 . Vậy z 5 2 . CÂU 2: Lời giải Chọn D
Quỹ tích M z là đường tròn tâm I 1,0 bán kính R 2 . Còn w z 2i MA
với A 0, 2 . Khi đó w
IA R 2 5 . max 16 PMT CÂU 3: Lời giải Chọn B
Gọi z x yi với x, y
, gọi M là điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số z 1 1 phức z . Ta có:
2 z 1 z 3i 2 x
1 yi x y 3i z 3i 2 2 2
x 2 y x y 2 2 2 2 1 3
x 2 y 3 20.
Như vậy, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn C tâm I 2; 3 và bán kính R 2 5 .
Gọi A 0; 1, B4; 7 lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z i , z 4 7i . 1 2
Dễ thấy A, B thuộc đường tròn C . Vì AB 4 5 2R nên AB là đường kính của
đường tròn C 2 MA 2 MB 2 AB 20 . Từ đó:
P z i 2 z 4 7i z i 2 z 4 7i
MA MB 2 2 2 MA 2 2 1 2 MB 10 . MB 2MA MA 2 Dấu " " xảy ra khi .
MA MB 20 MB 2 2 4 Vậy max P 10 . CÂU 4: Lời giải Chọn C z 1 1 z z
Do b 0 1 a 1 1 2 2 Ta có : 3
z z 2 z z z 2
2z 2 bi a bi 2 z z bi 2 a 2 2
b 2abi AB 2 6 17 PMT = 2 b 2 2 4ab 1 2 a a 2 2 1 4 1 a 1 3 a 2 2 4 a 4a 2
Biểu thức trên đạt GTLN trên miền 1 a 1 khi a 1 b 3 (do b 0 ) 2 2
Vậy P a 2 2 4b 2 CÂU 5: Lời giải Chọn D
Giả sử z x yi x, y z x yi .
Ta có x yi i x yi 2 3i x y 1i x 2 y 3i
x y 2 x 2 y 2 2 1 2 3
12y 134x 6y 4x 12 8y x 2y 3 . 2 2 2 6 9 9 Do đó 2 2 z x y 2y 3 2 y 2
5y 12y 9 y 5 . 5 5 5 3 3 6
Dấu " " xảy ra y 6 , khi đó x
z i . 5 5 5 5 CÂU 6: Lời giải Chọn C
Phương pháp tự luận
Giả sử z x yi x, y
z i z i x y i x y i x y 2 x 2 y 2 2 3 2 3 2 1 3 2 1
6y 9 4x 4 2y 1 4x 8y 4 0 x 2y 1 0 x 2y 1 2 2 2 z x y y 2 2 2 y 2 y y y 1 5 2 1 5 4 1 5 5 5 5 5 2 1 Suy ra z khi y x min 5 5 5 1 2 Vậy z i. 5 5
Phương pháp trắc nghiệm
Giả sử z x yi x, y 18 PMT
z i z i x y i x y i x y 2 x 2 y 2 2 3 2 3 2 1 3 2 1
6y 9 4x 4 2y 1 4x 8y 4 0 x 2y 1 0
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z 3i z 2 i là đường
thẳng d : x 2y 1 0.
Phương án A: z 1 2i có điểm biểu diễn 1; 2 d nên loại A. 1 2 1 2
Phương án B: z i có điểm biểu diễn ; d nên loại B. 5 5 5 5
Phương án D: z 1 2i có điểm biểu diễn 1; 2 d nên loại B. 1 2 1 2 Phương án C: z
i có điểm biểu diễn ; d 5 5 5 5 CÂU 7: Lời giải Chọn B
Gọi z x yi với ; x y .
Ta có 8 z 3 z 3 z 3 z 3 2z z 4 .
Do đó M max z 4 . Mà z z
x yi x yi x 2 y x 2 2 2 3 3 8 3 3 8 3 3 y 8 .
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có
8 1. x 32 y 1. x 32 y
1 1 x 32 y x 32 2 2 2 2 2 2 y
2x 2y 2x 2 8 2 2 2 18 2 2 2y 18 64 2 x 2 y 2 x 2 7
y 7 z 7 .
Do đó M min z 7 .
Vậy M m 4 7 . CÂU 8: 19 PMT Lời giải Chọn A
Đặt Có a a bi a b 2 a 2 , ,
b 1 (do z 1 ) 2z i
2a 2b 1i
4a 2b 12 2 A 2 iz 2 b ai
2b2 2a
4a 2b 2 2 1 Ta chứng minh 1 . 2 b2 2 a
4a 2b 2 2 1 2 2 Thật vậy ta có 1 2 4a 2b 1 2 b a a b 1 2
2 2 2
2b 2a Dấu “=” xảy ra khi 2 a 2 b 1. Vậy A 1 . CÂU 9: Lời giải Chọn A 2 3
Ta có: M z z 1 z 1 5 , khi z 1 M 5 M 5. max 1 3 z 1 3 z 1 3 z 1 3 z 1 3 z Mặt khác: M 1 3 z 1, khi 1 z 2 2 2
z 1 M 1 M 1. min CÂU 10: Lời giải Chọn A i 1 3 i 1 1 Ta có P 1 1
. Mặt khác: 1 1 . z |z| 2 z |z| 2 1 3
Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là
, xảy ra khi z 2i; giá trị lớn nhất của P bằng xảy 2 2 ra khi z 2 . i CÂU 11: Lời giải 20 PMT Chọn D
Gọi z x yi; x ; y . Ta có: z 2 x 2 y 2 y 2 1 1
1 x x 1; 1 2 2
Ta có: P z
z x 2 y x 2 1 3 1 1 3 1
y 2 1 x 3 21 x .
Xét hàm số f x 21 x 3 21 x; x1;
1 . Hàm số liên tục trên 1; 1 1 3 4
và với x 1;1 ta có: f x
0 x 1;1 x x 5 2 1 2 1 4
Ta có: f 1 2; f 1 6; f 2 20 P 2 20 . 5 max CÂU 12: Lời giải Chọn A 2 2
Gọi z x yi; x ; y . Ta có: z 1 2i 2 x
1 y 2 4.
Đặt x 1 2 sin t; y 2 2 cos t; t 0; 2 . Lúc đó: 2 z t2 t2 t t 2 2 1 2sin 2 2cos 9 4sin 8cos 9 4
8 sint ; 2 z 9 4 5 sin t
z 9 4 5 ; 9 4 5 5 2 5 10 4 5 z
9 4 5 đạt được khi z i . max 5 5 CÂU 13: Lời giải Chọn B
Gọi z x yi; x ; y . Ta có: iz i i 6 z 2i 1 6 2 10 1 .
10 z 2 4i 5 x 22 y 42 5. 1 i
Đặt x 2 5 sin t; y 4 5 cost; t 0; 2 . Lúc đó: 21 PMT 2 2 2
z 2 5 sint 4 5 cost 25 4 5 sint 8 5 cost 2 2
25 4 5 8 5 sint ; 2
z 25 20sint z 5; 3 5 z
3 5 đạt được khi z 3 6i . max CÂU 14: Lời giải Chọn C
Gọi z x yi; x ; y . Ta có:
z i z i x 2 y 2 x y 2 2 2 4 2 2 4 2
x y 4 0 y 4 . x 2 2 2 2
Ta có: z i 2
x y 2
x x 2 2 2 6
2x 12x 36 2x 3 18 18 z 2i
18 3 2 khi z 3 .i min CÂU 15: Lời giải Chọn C
Gọi z x yi; x ; y z 1 i x 1 y 1i . Ta có:
z i x 2 y 2 1 2 9 1 2 9 .
Đặt x 1 3 sin t; y 2 3 cos t; t 0; 2 . z 1 2
i 3sint2 1 3cost2 10 6cost 2 z 2i 4 z 1 i 2 min , khi z 1 . i
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ĐỀ SỐ 3
THỜI GIAN LÀM BÀI: 60 PHÚT m i Câu :
Cho số phức z m
. Tìm môđun lớn nhất của z.
1 mm 2i , 22 PMT 1 A. 1. B. 0. C. . D.2. 2 Câu 2:
(Toán học tuổi trẻ tháng 1) Cho 2018 phức z thoả mãn z 3 4i 5 . Gọi M và 2 2
m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 2 z i . Tính
môđun của 2018 phức w M mi . A. w 1258 . B. w 1258 .
C. w 2 314 . D. w 2 309 . Câu 3:
(SGD BINH THUAN) Xét các số phức z 3 4i và z 2 mi , m . Giá trị nhỏ 1 2 z
nhất của môđun số phức 2 bằng? z1 2 1 A. . B. 2 . C. 3 . D. . 5 5 Câu 4.
[SGD SOC TRANG] Cho số phức z a bi a,b thỏa z 4 z 4 10 và
z 6 lớn nhất. Tính S a b . A. S 3. B. S 5 . C. S 5 . D. S 11 . Câu 5:
(Sở GD Kiên Giang) Cho hai số phức z , z thỏa mãn z 2 3i 2 và 1 2 1
z 1 2i 1. Tìm giá trị lớn nhất của P z z . 2 1 2
A. P 3 34 .
B. P 3 10 . C. P 6 . D. P 3 . Câu 6:
(SỞ GD-ĐT PHÚ THỌ) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để có đúng 2 số phức z
thỏa z m 1 i 8 và z 1 i z 2 3i . A. 130 . B. 66 . C. 65 . D. 131 . Câu 7:
[NGUYỄN TRÃI] Cho số phức z thỏa mãn: z 2 2i 1 . Số phức z i có môđun nhỏ nhất là: A. 5 1. B. 5 1. C. 5 2 . D. 5 2 . Câu 8: [CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH] Cho số phức z thỏa mãn 2
z 2z 5 z 1 2iz 3i
1 . Tính min|w|, với w z 2 2i . 23 PMT A. w 3 min| | . B. min|w | 2 . C. min|w | 1 . D. 2 w 1 min| | . 2 Câu 9:
[CHUYÊN SƠN LA]Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z 1 2i 5 và
w z 1 i có môđun lớn nhất. Số phức z có môđun bằng: A. 2 5 . B. 3 2 . C. 6 . D. 5 2 .
Câu 10: [CHU VĂN AN – HN] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 2 . Tìm giá trị lớn
nhất của T z i z 2 i .
A. maxT 8 2 . B. maxT 4 .
C. maxT 4 2 . D. maxT 8 .
Câu 11: (SGD Bà Rịa - Vũng Tàu)Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 5 . Gọi m , M lần 2 2
lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức P z i z 2 . Tính A m M . A. A 3 . B. A 2 . C. A 5 . D. A 10 .
Câu 12: (THPT Ninh Giang - Hải Dương) Cho các số phức z thỏa mãn z 3 z i . Tìm
giá trị nhỏ nhất của P z . 10 2 10 A. P . B. P 3 . C. P . D. min 5 min min 5 P 3 10 . min 5
Câu 13: [CHUYÊN SƠN LA - 2017] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z 1 2i 5 và
w z 1 i có môđun lớn nhất. Số phức z có môđun bằng: A. 6 . B. 3 2 . C. 5 2 . D. 2 5 .
Câu 14: [THPT THÁI PHIÊN HP - 2017] Trong tập hợp các số phức z thỏa mãn:
z 2 i
Tìm môđun lớn nhất của số phức z i . z 2. 1 i A. 2 2 . B. 3 2 . C. 3 2 . D. 2 2 . 24 PMT
Câu 15: [THPT Lý Thường Kiệt - 2017] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm
A 4; 4 và M là điểm biển diễn số phức z thoả mãn điều kiện z 1 z 2 i . Tìm
toạ độ điểm M để đoạn thẳng AM nhỏ nhất.
A. M 1; 1 .
B. M 2; 4 .
C. M 1; 5 .
D. M 2; 8 .
ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 3 CÂU 1: Lời giải Chọn A Ta có: m z i m i 1 z z z i m . m m 2i 1 1 ; 0 1 2 m 2 1 m 2 1 m max 1 CÂU 2: Lời giải Chọn B
Giả sử z a bi ( a,b ) . z i
a 2 b 2 3 4 5 3 4 5 (1) . 2 2 P z 2 z i a 22 b a b 2 2 2 1
4a 2b 3 (2) . Từ (1) và (2) ta có 2 a Pa 2 20 64 8
P 22P 137 0 (*) .
Phương trình (*) có nghiệm khi 2
4P 184P 1716 0
13 P 33 w 1258 . CÂU 3: Lời giải Chọn A z 2 mi
2mi34i 64m3m8i 64m 3m8 2 i z 3 4i 3 4i 3 4i 25 25 25 1 25 PMT z
6 4m 2 3m 8 2 z 36 48m 2 16m 2 9m 48m 64 2 2 z 25 25 2 z 25 1 1 2 z 25m 2 100 z m 4 4 2 2 2 . 2 z 25 z 25 25 5 1 1 z z
Hoặc dùng công thức: 2 2 . z z 1 1 CÂU 4: Lời giải Chọn C
Gọi M a; b là điểm biểu diễn số phức z a bi a,b , A4; 0 , B4; 0 ,
C 6; 0 lần lượt là điểm biểu diễn số phức z 4 , z 4 , z 6 . 1 2 3
Khi đó ta có z 4 z 4 10 MA MB 10 suy ra tập hợp điểm M là E nhận
A , B là các tiêu điểm, độ dài trục lớn 2a 10 a 5, tiêu cự 2c 8 c 4 , b 3 2 2 x y E : 1. 25 9
Ta tìm giá trị lớn nhất của z 6 MC , khi đó MC
EF FC 11, khi đó M E max
với E5; 0 , F 5; 0 z 5. Vậy S a b 5 . CÂU 5: Lời giải Chọn A 26 PMT
Gọi M x ; y
là điểm biều diễn số phức z , N x ; y là điểm biểu diễn số phức z 2 2 1 1 1 2 2 2
Số phức z thỏa mãn z 2 3i 2 x 2 y 3
4 suy ra M x ; y 1 1 1 1 1 1
nằm trên đường tròn tâm I 2; 3 và bán kính R 2 . 1 2 2
Số phức z thỏa mãn z 1 2i 1 x 1 y 2
1 suy ra N x ; y 2 2 2 1 2 2
nằm trên đường tròn tâm J 1; 2 và bán kính R 1 . 2
Ta có z z MN đạt giá trị lớn nhất bằng R IJ R 2 34 1 3 34 . 1 2 1 2 CÂU 6: Lời giải Chọn B
Đặt z x iy x, y
Ta có: z m 1 i 2 tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường
tròn tâm I m 1; 1 , bán kính R 8 .
Ta có: z 1 i z 2 3i tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường
thẳng d : 2x 8y 11 0 .
Yêu cầu bài toán khoảng cách từ I đến d nhỏ hơn R 2m 21 8 68 21 m 21 4 68 4 68 2 2 Vì m
nên 22 m 43 có 66 giá trị thỏa yêu cầu bài toán. 27 PMT CÂU 7: Lời giải Chọn A y I 1 M O 1 x
Gọi z x yi , x, y .
Ta có: z i x
y i x 2 y 2 2 2 1 ( 2) ( 2) 1 ( 2) ( 2) 1 .
Tập hợp các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn của số phức z là đường tròn (C) tâm
I(2; 2) và bán kính R 1 .
z i x y 2 2 1
IM , với I 2; 2 là tâm đường tròn, M là điểm chạy trên đường
tròn. Khoảng cách này ngắn nhất khi M là giao điểm của đường thẳng nối hai điểm
N 0;1Oy, I 2; 2 với đường tròn (C). IM
IN R 5 1 min CÂU 8: Lời giải Chọn C Ta có 2
z 2z 5 z 1 2iz 3i
1 z 1 2iz 1 2i z 1 2iz 3i 1
z 1 2i 0 .
z 1 2i z 3i 1
Trường hợp 1 : z 1 2i 0 w 1 w 1 1 .
Trường hợp 2: z 1 2i z 3i 1
Gọi z a bi (với a,b ) khi đó ta được
a b i a b i b 2 b 2 b 1 1 2 1 3 2 3 . 2 28 PMT 3 2 9 3
Suy ra w z 2 2i a 2
i w a 2 2. 2 4 2
Từ 1 , 2 suy ra min|w | 1 . CÂU 9: Lời giải Chọn B
Gọi z x yi x, y z 1 2i x 1 y 2i 2 2 2 2
Ta có: z 1 2i 5 x 1 y 2 5 x 1 y 2 5
Suy ra tập hợp điểm M x; y biểu diễn số phức z thuộc đường tròn C tâm
I 1; 2 bán kính R 5 như hình vẽ:
Dễ thấy O C , N 1; 1C .
Theo đề ta có: M x; y C là điểm biểu diễn cho sốphức z thỏa mãn:
w z 1 i x yi 1 i x 1 y 1i
z i x 2 y 2 1 1 1 MN
Suy ra z 1 i đạt giá trị lớn nhất MN lớn nhất. 29 PMT
Mà M, N C nên MN lớn nhất khi MN là đường kính đường tròn C . 2
I là trung điểm MN M z i z 2 3; 3 3 3 3 3 3 2 . CÂU 10: Lời giải Chọn B
T z i z 2 i z 1 1 i z 1 1 i .
Đặt w z 1. Ta có w 1 và T w 1 i w 1 i . 2
Đặt w x .
y i . Khi đó w 2 x 2 2 y .
T x 1 y 1i x 1 y 1i
x 2 y 2 x 2 y 2 1. 1 1 1. 1 1
x 2 y 2 x 2 y 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2x 2 2 2 2y 4 4 Vậy maxT 4 . CÂU 11: Lời giải Chọn B. Đặt
z x iy ( x , y ) thì
z 2 3i 5 x iy 2 3i 5
x 2 y 2 2 3 5 . 2 2 2 2
P z 2 z 2 i
2 x iy i x iy 2 2
x y x 2 1 2 y
4x 2y 3.
Đặt x 2 5 sint , y 3 5 cost , t .
P 42 5sint23 5cost3 4 5sint 2 5cost 1. 2 P 2
1 4 5 sint 2 5 cost 80 20.1 10 P 1 10 11 P 9
Vậy A 11 9 2 . CÂU 12: 30 PMT Lời giải Chọn C
Gọi z a bi , a,b Ta có: 2 2 P z a b
Mà z 3 z i 2 2
Hay a ib 3 a ib i a 3 ib a b 1i a 2 b 2 3
a b 1
b 4 3a 2
Lúc đó P z 2 a 2 b 2
a a 2 4 3
10a 24a 16 24 144 2 x x 8 2 10 10 10 100 5 5 CÂU 13: Lời giải Chọn B
Gọi z x yi x, y z 1 2i x 1 y 2i . 2 2 2 2
Ta có: z 1 2i 5 x 1 y 2 5 x 1 y 2 5 . 31 PMT
Suy ra tập hợp điểm M x; y biểu diễn số phức z thuộc đường tròn C tâm
I 1; 2 bán kính R 5 như hình vẽ.
Dễ thấy O C , N 1; 1C .
Theo đề ta có: M x; y C là điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:
w z 1 i x yi 1 i x 1 y 1i
z i x 2 y 2 1 1 1 MN .
Suy ra z 1 i đạt giá trị lớn nhất MN lớn nhất.
Mà M, N C nên MN lớn nhất khi MN là đường kính đường tròn C I là 2
trung điểm MN M z i z 2 3; 3 3 3 3 3 3 2 . CÂU 14: Lời giải Chọn A
Đặt z x yi , x, y . z 2 i z 2 i 2
x 2 y
1 i 2 x 1 y 1 i . z 2 1 i z 1 i
x 2 y 2
x 2 y 2 2 1 2 1 1 . 2 x 22 y 2 1 2 x 2 1 y 2 2
x y 1 1 . 2. 2 Suy ra y
1 2 y 1 2 . 2 2 Ta có: 2
x y 2 1 2
x y 1 2 4y z 2
i 2 4y 2 41 2 6 4 2 .
z 1 6 4 2 2 2 . 32 PMT
Vậy z 1 2 2 là môđun lớn nhất của số phức z i . CÂU 15: Lời giải Chọn C
Gọi z x yi,x, y R . 2 2 2
Ta có z 1 z 2 i x 2 1
y x 2 y
1 3x y 2 0 .
Tập hợp điểm M x; y biểu diễn số phức z là đường thẳng d : 3x y 2 0 .
Để đoạn AM nhỏ nhất thì M là hình chiếu của A trên d .
d qua A và vuông góc với d có phương trình x 3y 16 0 . Tọa độ M là nghiệm
x 3y 16 0 x 1 của hệ phương trình .
3x y 2 0 y 5 Vậy M 1; 5 . ĐỀ SỐ 4
THỜI GIAN LÀM BÀI: 60 PHÚT Câu 1.
[Cụm 1 HCM - 2017] Cho số phức z thỏa điều kiện 2
z 4 zz 2i . Giá trị nhỏ
nhất của z i bằng ? A. 3. B. 4. C. 1. D. 2. Câu 2.
[SỞ GD-ĐT HÀ TĨNH L2 - 2017] Gọi T là tập hợp tất cả các số phức z thõa mãn
z i 2 và z 1 4 . Gọi z , z T lần lượt là các số phức có mô đun nhỏ nhất và 1 2
lớn nhất trong T . Khi đó z z bằng: 1 2 A. 5 . B. 4 i . C. 5 i . D. 5 i . Câu 3.
[THPT Chuyên Hà Tĩnh - 2017] Cho số phức z thỏa mãn z 3i z 3i 10 . Gọi
M , M lần lượt là điểm biểu diễn số phức z có môđun lớn nhất và nhỏ nhất. Gọi M 1 2
là trung điểm của M M , M a; b biểu diễn số phức w , tổng a b nhận giá trị nào 1 2 sau đây? 33 PMT 7 9 A. . B. 5 . C. 4 . D. . 2 2 Câu 4.
[Sở Hải Dương - 2017] Cho số phức z thỏa mãn .
z z 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 3
z 3z z z z . 15 13 3 A. . B. 3 . C. . D. . 4 4 4 Câu 5:
(Sở Quảng Bình - 2018)Cho các số phức z , w thỏa mãn z 5 ,
w 4 3i z 1 2i . Giá trị nhỏ nhất của w là : A. 3 5 B. 4 5 C. 5 5 D. 6 5 Câu 6:
(SGD VĨNH PHÚC - 2018) Gọi z , z là các nghiệm phức của phương trình 1 2 2
z 4z 13 0 , với z có phần ảo dương. Biết số phức z thỏa mãn 1
2 z z z z , phần thực nhỏ nhất của z là 1 2 A. 6 B. 2 C. 1 D. 9 Câu 7:
[THPT Chuyên Thái Bình) Cho các số phức z , w thỏa mãn z 5 3i 3 ,
iw 4 2i 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T 3iz 2w . A. 554 5 B. 578 13 C. 578 5 D. 554 13 Câu 8:
(THPT THÁI PHIÊN-HẢI PHÒNG) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để có
đúng hai số phức z thỏa mãn z m 1 i 8 và z 1 i z 2 3i . A. 131 . B. 63 . C. 66 . D. 130 . Câu 9.
(Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Tìm giá trị lớn nhất của P 2 z z 2 z z 1
với z là số phức thỏa mãn z 1. 13 A. 3 . B. 3 . C. . D. 5 . 4
Câu 10. (TRƯỜNG CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH) Trong các số phức z thỏa mãn 2 z 1 2 z
gọi z và z lần lượt là các số phức có môđun nhỏ nhất và lớn nhất. Khi đó môđun 1 2
của số phức w z z là 1 2 A. w 2 2 . B. w 2 . C. w 2 . D. w 1 2 . 34 PMT
Câu 11. (THPT Lê Hồng Phong - Nam Định) Cho số phức z và w thỏa mãn z w 3 4i
và z w 9 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T z w .
A. maxT 176 .
B. maxT 14 . C. maxT 4 . D. maxT 106 .
Câu 12: (Chuyên Thái Bình) Cho số phức z thỏa mãn 1 i z 2 1 i z 2 4 2 . Gọi 2018
m max z , n min z và số phức w m ni . Tính w A. 1009 4 . B. 1009 5 . C. 1009 6 . D. 1009 2 .
Câu 13: (THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An) Cho số phức z thỏa mãn
5 z i z 1 3i 3 z 1 i . Tìm giá trị lớn nhất M của z 2 3i ? A. M 10 B. M 1 13 C. M 4 5 D. M 9 3
Câu 14: (THPT Chuyên Hà Tĩnh) Cho số phức z thỏa mãn z 1 i 1 , số phức w thỏa mãn
w 2 3i 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z w . A. 13 3 B. 17 3 C. 17 3 D. 13 3
Câu 15: [THPT Lê Hồng Phong-HCM] Cho số phức z thỏa z 1. Gọi m , M lần lượt là giá
trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức P 5 z 3 z z 4 6
2 z 1 . Tính M m .
A. m 4 , n 3 .
B. m 4 , n 3
C. m 4 , n 4 . D. m 4 , n 4 .
ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 4 CÂU 1: Lời giải Chọn C
Giả sử z x yi x, y . z
zz i z i2 2 2 4 2 2
zz 2i z 2iz 2i zz 2i
z 2i 0 1 . z 2i z 2 35 PMT
1 z 2i . Suy ra z i 2i i i 1. 2
2 x yi i x yi 2
x y 2 x 2 y 2 x 2
y y 2 x 2 2 2 4 4 y y 1. 2
Suy ra z i x yi i 2
x y 2 1
x 4 2 , x .
Vậy giá trị nhỏ nhất của z i bằng 1 . CÂU 2: Lời giải Chọn C .
Đặt z x yi khi đó ta có: z i 2
x y 1i 2
x y 12 2 4 . z 1 4 x 1 2 yi 4 x 1 2 y 16
Vậy T là phần mặt phẳng giữa hai đường tròn C
tâm I 0; 1 bán kính r 2 và 1 1 1
đường tròn C tâm I 1; 0 bán kính r 4 . 2 2 2
Dựa vào hình vẽ ta thấy z 0 i, z 5 là hai số phức có điểm biểu diễn lần lượt là 1 2
M 0; 1 , M 5; 0 có mô-đun nhỏ nhất và lớn nhất. Do đó z z i 5 5 i . 1 2 1 CÂU 3: Lời giải 36 PMT Chọn D .
Gọi z x yi , x, y . Theo giả thiết, ta có z 3i z 3i 10 .
x y 3i x y 3i 10 .
x y 2 x y 2 2 2 3 3 10 .
Gọi Ex; y , F 0; 3 và F 0; 3 . 2 1
Khi đó MF MF 10 F F 6 nên tập hợp các điểm E là đường elip E 1 2 1 2
có hai tiêu điểm F và F . Và độ dài trục lớn bằng 10 . 1 2
Ta có c 3 ; 2b 10 b 5 và 2 a 2 b 2 c 16 . 2 2 x y
Do đó, phương trình chính tắc của E là 1 . 16 25
Vậy max z OB
OB 5 khi z 5i có điểm biểu diễn là M 0; 5 . 1
và min z OA
OA 4 khi z 4 có điểm biểu diễn là M 4; 0 . 2 5
Tọa độ trung điểm của M M là M 2; . 1 2 2 5 9
Vậy a b 2 . 2 2 CÂU 4: Lời giải 37 PMT Chọn D
Gọi z a bi , với a,b . 2
Ta có: z z 2a ; .
z z 1 z 1 z 1. z Khi đó P 3
z z z z z 2 3 z z 3 z z . z 2 2 z P z . z 3
z z 2 z 2zz 2
z 1 z z . 2 z 2 P z z2 1
z z 2 a a 2
a a 2 a 3 3 1 4 1 2 4 1 2 . 2 4 4 3 Vậy P . min 4 CÂU 5: Lời giải Chọn B w 1 2i
Theo giả thiết ta có w 4 3i
z 1 2i z . 4 3i w 1 2i Mặt khác z 5
5 w 1 2i 5 5 . 4 3i
Vậy tập hợp điểm biễu diễn số phức w là đường tròn tâm I 1; 2 và bán kính 5 5 .
Do đó min w R OI 4 5 . CÂU 6: Lời giải Chọn B Ta có 2
z 4z 13 0 z 2 3i hoặc z 2 3i . 1 2
Gọi z x i
y , với x, y . 38 PMT 2 2 2 2
Theo giả thiết, 2 z z z z 2 x 2 y 3 x 2 y 3 1 2 2 2
x 22 y 32
x 22 y 32 4
x 2 y 5 16.
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là miền trong của hình tròn C có tâm
I 2; 5 , bán kính R 4 , kể cả hình tròn đó.
Do đó, phần thực nhỏ nhất của z là x 2 . min CÂU 7: Lời giải Chọn D
z 5 3i 3 3iz 15i 9 9 là đường tròn có tâm I 9;15 và R 9 .
iw 4 2i 2 2w 8i 4 4 là đường tròn có tâm J 4; 8 và R 4 .
T 3iz 2w đạt giá trị lớn nhất khi T IJ R R 554 13 . CÂU 8: Lời giải Chọn C
- Đặt z x yi , với x , y . 2 2
- Từ giả thiết z m 1 i 8 x m
1 y 1 64 , do đó tập hợp các
điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn T có tâm I m 1; 1 , bán kính R 8 . 2 2 2 2
- Từ giả thiết z 1 i z 2 3i x 1 y
1 x 2 y 3 39 PMT
2x 8y 11 0 hay M nằm trên đường thẳng : 2x 8y 11 0.
- Yêu cầu bài toán cắt T tại 2 điểm phân biệt 2m 1 8 11
dI; R
8 2m 21 16 17 2 17 21 16 17 21 m
16 17 , do m nên m22;21;...;42; 43 . 2 2
Vậy có tất cả 66 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. CÂU 9: Lời giải Chọn C
Đặt z a bi a,b . Do z 1 nên 2 a 2 b 1. 2 Sử dụng công thức: .
u v u v ta có: 2
z z z z z a 2 1 1 1
b 2 2a .
z z a bi2 a bi a b a ab bi a b a 2 ab b2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 a a
b a 2 2 2 2 (2 1) 2 1 2a 1 (vì 2 a 2 b 1).
Vậy P 2a 1 2 2a . TH1: a 1 . 2
Suy ra P 2a 1 2 2a 2 2a 2 2a 3 4 2 3 3 (vì 0 2 2a 2 ). TH2: a 1 . 2 2 1 1 13 Suy ra P 2a 1 2 2a 2 2a
2 2a 3 2 2a 3 . 2 4 4 Xảy ra khi a 7 . 16 CÂU 10: Lời giải Chọn A 40 PMT 2
Đặt z a bi a,b thì 2
z 1 2 z a bi 1 2 a bi 2 2 a 2
b 1 2abi 2 a bi 2 a 2 b 2 2 a b 2 a 2 1 4 4 b 2 4 a 4 b 2 a 2 b 2 2 1 2 6 2a b 0 2 a 2 b 2 1 4b 0 2 a 2
b b 2 a 2 1 2
b 1 2b 0 2 a 2
b 1 2b 0 2 a 2
b 1 2b 0 2 TH1: 2 a 2
b 1 2b 0 2
a b 1 2 .
Khi đó tập hợp điểm M a; b biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I 0;1 , bán 1
kính R 2 , giao điểm của OI (trục tung) với đường tròn là M 0; 2 1 và 1 M 0;1 2 2 w 2
1 i 1 2i w 2i w 2 2 TH2: 2 a 2
b 1 2b 0 2
a b 1 2 .
Khi đó tập hợp điểm M a; b biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I 0; 1 , 2
bán kính R 2 , giao điểm của OI (trục tung) với đường tròn là M 0; 2 1 và 3 M 0; 2 1 4 w 2
1 i 1 2i w 2i w 2 . CÂU 11: Lời giải Chọn D
Đặt z x yi x, y . Do z w 3 4i nên w 3 x 4 yi . 41 PMT
Mặt khác z w 9 nên
z w x 2 y 2 2 x 2 2 3 2 4 4
4y 12x 16y 25 9 2 2 2 x 2 2
2y 6x 8y 28 1 . Suy ra T z w 2 x 2
y 3 x 4 y .
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có 2 T 2 x 2 2 2
2y 6x 8y 25 2 . 2 2
Dấu " " xảy ra khi 2 x 2
y 3 x 4 y .
Từ 1 và 2 ta có 2
T 2.28 25 106 T 106 . Vậy MaxT 106 . CÂU 12: Lời giải Chọn C
Ta có 1 i z 2 1 i z 2 4 2 z 1 i z 1 i 4 .
Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z , F 1;1 là điểm biểu diễn của số phức 1
z 1 i và F 1; 1 là điểm biểu diễn của số phức z 1 i . Khi đó ta có 2 1 2
MF MF 4 . Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là Elip nhận F và F làm 1 2 1 2 hai tiêu điểm.
Ta có F F 2c 2c 2 2 c 2 . 1 2
Mặt khác 2a 4 a 2 suy ra b 2 a 2 c 4 2 2 .
Do đó Elip có độ dài trục lớn là A A 2a 4 , độ dài trục bé là B B 2b 2 2 . 1 2 1 2
Mặt khác O là trung điểm của AB nên m max z maxOM OA a 2 và 1
n min z minOM OB b 2 . 1 2018
Do đó w 2 2i suy ra w 6 w 1009 6 . CÂU 13: Lời giải
Gọi A 0;1 , B1; 3 ,C 1; 1 . Ta thấy A là trung điểm của BC 42 PMT 2 MB 2 2 2 2 MC BC BC MA 2 MB 2 MC 2 MA 2 2 2MA 10 . 2 4 2
Ta lại có : 5 z i z 1 3i 3 z 1 i
MA MB MC 2 MB 2 5 3 10. MC 2 MA 2 25
10 2MA 10 MC 2 5
Mà z 2 3i z i 2 4i z i 2 4i z i 2 5 4 5 . z i 2 5
Dấu " " xảy ra khi a b
, với z a bi ; a, b . 1 2 4
z 2 3i loai . z 2 5i CÂU 14: Lời giải Chọn B
Gọi M x; y biểu diễn số phức z x iy thì M thuộc đường tròn C có tâm 1
I 1;1 , bán kính R 1 . 1 1
N x; y biểu diễn số phức w x i
y thì N thuộc đường tròn C có tâm 2
I 2; 3 , bán kính R 2 . Giá trị nhỏ nhất của z w chính là giá trị nhỏ nhất của 2 2 đoạn MN .
Ta có I I 1; 4 I I 17 R R C và C ở ngoài nhau. 2 1 1 2 1 2 1 2 MN
I I R R 17 3 min 1 2 1 2 CÂU 15: Lời giải Chọn A Vì z 1 và 2 . z z z nên ta có 1 z . z 43 PMT Từ đó, P 5 z 3 z z 4 6 2 z 1 4 z z 4 z 4 6 2 z 1 4 z 4 z 4 6 2 z 1 . Đặt 4
z x iy , với x, y . Do z 1 nên 4 z 2 x 2
y 1 và 1 x, y 1. 2
Khi đó P x iy x iy 6 2 x iy 1 x x 2 2 6 2 1 y 2
2x 6 2 2x 2 2x 2 1 3.
Do đó P 3 . Lại có 1 x 1 0 2x 2 2 1 2x 2 1 1 P 4 . Vậy M 4 khi 4
z 1 và m 3 4 1 3 khi z
i . Suy ra M m 1. 2 2 ĐỀ SỐ 5
THỜI GIAN LÀM BÀI: 90 PHÚT Câu 1:
(THPT Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa) Cho hai số phức z , z thỏa mãn z 1 i 2 và 1 2 1
z iz . Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức z z ? 2 1 1 2
A. m 2 1 . B. m 2 2 . C. m 2 . D. m 2 2 2 Câu 2:
(SGD Hà Nam - Năm) Xét các số phức z a bi , a,b thỏa mãn 1
z z i iz z 2 4 15
1 . Tính F a 4b khi z 3i đạt giá trị nhỏ nhất 2 A. F 7 . B. F 6 . C. F 5 . D. F 4 . Câu 3.
(SỞ GD VÀ ĐT HƯNG YÊN NĂM 2018) Xét số phức z và số phức liên hợp của nó
có điểm biểu diễn là M , M . Số phức z 4 3i và số phức liên hợp của nó có điểm biểu
diễn lần lượt là N , N . Biết rằng M , M , N , N là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm
giá trị nhỏ nhất của z 4i 5 . 1 4 5 2 A. . B. . C. . D. . 2 13 34 5 Câu 4:
CHUYÊN VINH LẦN 3-2018) Cho các số phức w , z thỏa mãn 3 5 w i và 5
5w 2 iz 4 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P z 1 2i z 5 2i bằng 44 PMT A. 6 7 . B. 4 2 13 . C. 2 53 . D. 4 13 . Câu 5:
(THPT Chuyên Quốc Học Huế) Cho z x yi với x , y là số phức thỏa mãn
điều kiện z 2 3i z i 2 5 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P 2 x 2
y 8x 6y . Tính M m . 156 156 A. 20 10 . B. 60 20 10 . C. 20 10 .
D. 60 2 10 . 5 5 Câu 6:
(THPT HAU LOC 2_THANH HOA) Cho các số phức z , z , z thỏa mãn 1 2
z 4 5i z 1 và z 4i z 8 4i . Tính M z z khi P z z z z 1 2 1 2 1 2
đạt giá trị nhỏ nhất. A. 41 . B. 6 . C. 2 5 . D. 8 . Câu 7:
[SGD NINH BINH] Xét các số phức z a bi ( a , b
) có môđun bằng 2 và phần 2018
ảo dương. Tính giá trị biểu thức S 5a b 2 khi biểu thức
P 2 z 3 2 z đạt giá trị lớn nhất. A. S 1 . B. S 2018 2 . C. S 1009 2 . D. S 0 . Câu 8:
(Sở GD Thanh Hoá) Cho số phức z thỏa mãn z 2i 1 z 2i 1 10 . Gọi M
, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Tính tổng S M m . A. S 9 . B. S 8 . C. S 2 21 . D. S 2 21 1. Câu 9.
(SỞ GD-ĐT HẬU GIANG) Cho hai số phức z, z thỏa mãn z 5 5 và
z 1 3i z 3 6i . Tìm giá trị nhỏ nhất của z z . 5 5 A. . B. . C. 10 . D. 3 10 . 2 4
Câu 10. (Chuyên Thái Nguyên) Tìm số phức z thỏa mãn z 1 i 5 và biểu thức
T z 7 9i 2 z 8i đạt giá trị nhỏ nhất.
A. z 5 2i .
B. z 1 6i .
C. z 1 6i và z 5 2i .
D. z 4 5i . 45 PMT
Câu 11: [Đề thi thử-Liên trường Nghệ An] Biết rằng hai số phức z , z thỏa mãn 1 2 1
z 3 4i 1 và z 3 4i
. Số phức z có phần thực là a và phần ảo là b thỏa 1 2 2
mãn 3a 2b 12 . Giá trị nhỏ nhất của P z z z 2z 2 bằng: 1 2 9945 9945 A. P . B. P 5 2 3 . C. P . D. min 11 min min 13 P 5 2 5 . min
Câu 12: (THPT Chuyên Võ Nguyên) Cho số phức z , z thỏa mãn z 12 và z 3 4i 5 1 2 1 2
. Giá trị nhỏ nhất của z z là: 1 2 A. 0 . B. 2 C. 7 D. 17
Câu 13: (THPT Ninh Giang - Hải Dương) Cho các số phức z thỏa mãn z 4 3i 2 . Giả
sử biểu thức P z đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất khi z lần lượt bằng
z a b i a ,b
và z a b i a ,b
. Tính S a a 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 A. S 4 . B. S 6 . C. S 8 . D. S 10 .
Câu 14: (THPT Ninh Giang - Hải Dương) Cho các số phức z thỏa mãn 2
z 4 z 2iz 1 2i . Tìm giá trị nhỏ nhất của P z 3 2i . 7 A. P 4 . B. P 2 . C. P . D. P 3 . min min min 2 min
Câu 15: (THPT Ninh Giang - Hải Dương) Cho các số phức z thỏa mãn
z 1 i z 8 3i 53 . Tìm giá trị lớn nhất của P z 1 2i . 185 A. P 53. B. P . C. P 106 . D. max max 2 max P 53 max
Câu 16: (SGD - Quảng Nam - Lần 1) Cho số phức z thỏa mãn z 2 . Giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P 2 z 1 2 z 1 z z 4i bằng: A. 4 2 3 . B. 2 3 . C. 14 4 . D. 7 2 . 15 15 46 PMT
Câu 17: (PTNK Cơ Sở 2 - TPHCM) Nếu z là số phức thỏa z z 2i thì giá trị nhỏ nhất của
z i z 4 là A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 .
Câu 18: (THPT Vũng Tàu - BRVT) Cho số phức z thỏa mãn z 1 i z 3i và số phức 1 w
. Tìm giá trị lớn nhất của w . z 4 5 2 5 9 5 A. w . B. w . C. w . D. max 7 max 7 max 10 w 7 5 . max 10
Câu 19. [THPT Hoàng Văn Thụ] Cho z , z
là hai nghiệm của phương trình 1 2 8
6 3i iz 2z 6 9i , thỏa mãn z z
. Giá trị lớn nhất của z z bằng. 1 2 5 1 2 31 56 A. . B. 4 2 . C. 5. D. . 5 5
Câu 20: (THPT-Chuyên Ngữ Hà Nội) Cho hai số phức z , z thỏa mãn z 3i 5 2 và 1 2 1
iz 1 2i 4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T 2iz 3z . 2 1 2 A. 313 16 . B. 313 . C. 313 8 . D. 313 2 5 .
Câu 21: (Chuyên Vinh - Lần 1 - 2018) Giả sử z , z là hai trong số các số phức z thỏa mãn 1 2
iz 2 i 1 và z z 2 . Giá trị lớn nhất của z z bằng 1 2 1 2 A. 4 . B. 2 3 . C. 3 2 . D. 3 .
Câu 22: (SGD VĨNH PHÚC) Cho hai số phức u , v thỏa mãn 3 u 6i 3 u 1 3i 5 10 ,
v 1 2i v i . Giá trị nhỏ nhất của u v là: 10 2 10 5 10 A. B. C. 10 D. 3 3 3 Câu 23:
(THPT Kim Liên-Hà Nội)
Xét các số phức zV a bi ( a,b ) thỏa mãn ũ
z 3 2i 2 . Tính a b khi z 1 2i 2 z 2 5i đạt giá trị nhỏ nhất. V ă A. 4 3 . B. 2 3 . C. 3 . D. 4 3 . n B ắ c 47 PMT
Câu 24: (THPT Sơn Tây - Hà Nội) Gọi n là số các số phức z đồng thời thỏa mãn
iz 1 2i 3 và biểu thức T 2 z 5 2i 3 z 3i đạt giá trị lớn nhất. Gọi M là
giá trị lớn nhất của T . Giá trị tích của . M n là A. 10 21 B. 6 13 C. 5 21 D. 2 13
ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 5 CÂU 1: Lời giải Chọn D
Đặt z a bi; a,b
z b ai 1 2
z z a b b a i . 1 2 2 2 Nên z z a b b a 2. z 1 2 1
Ta lại có 2 z 1 i z 1 i z 2 1 1 1
z 2 2 . Suy ra z z 2. z 2 2 2 . 1 1 2 1 a b Dấu " " xảy ra khi 0 . 1 1
Vậy m min z z 2 2 2 . 1 2 CÂU 2: Lời giải Chọn A Ta có 2
z z i iz z 2 4 15
1 4a bi a bi 15i i a bi a bi 1 b a 2 8 15 2 1 suy ra b 15 . 8
z 1 3i 1 2a 12 2b 62 1 8b 15 2
4b 24b 36 1 2
4b 32b 21 2 2 2 2 48 PMT
Xét hàm số f x 2
4x 32x 21 với x 15 8 15
f x x x 15 8 32 0,
suy ra f x là hàm số đồng biến trên ; nên 8 8 f x 15 f 4353 . 8 16 1 1 4353 15 1 Do đó z
3i đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi b ; a . 2 2 16 8 2
Khi đó F a 4b 7 . CÂU 3: Lời giải Chọn A
Gọi z a bi M a; b , Ma; b .
Ta có: z 4 3i a bi4 3i 4a 3b 3a 4bi
N 4a 3b;3a 4b,N4a 3b;3a 4b.
Vì MM và NN cùng vuông góc với trục Ox nên M , M , N , N là bốn đỉnh của
b2 a b2 2 6 8
MM NN hình chữ nhật khi
3a 3b.0 3a 3b.2b 0 MN MM
b 0,3a4b 0 a b 0 .
b 0, 3a 4b 0 2 2 2 2
Khi đó: z 4i 5 a 5 b 4i a 5 b 4 a 5 4 a 9 2 2 1 1
2a 18a 41 2 a . 2 2 2 1 9 9
Vậy giá trị nhỏ nhất của z 4i 5 là khi a b . 2 2 2 49 PMT CÂU 4: Lời giải Chọn C
Gọi z x i
y , với x, y . Khi đó M x; y là điểm biểu diễn cho số phức z .
Theo giả thiết, 5w 2 iz 4 5w i 2 iz 4 5i
2 iw i z 3 2i 2 2
z 3 2i 3 . Suy ra M x; y thuộc đường tròn C : x 3 y 2 9 .
Ta có P z 1 2i z 5 2i MA MB , với A 1; 2 và B5; 2 .
Gọi H là trung điểm của AB , ta có H 3; 2 và khi đó:
P MA MB 2 2 2 MA MB hay P 2 MH 2 4 AB .
Mặt khác, MH KH với mọi M C nên P 2 KH 2 4 AB 2 2 4 IH R AB 2 53 . M K 3 11 Vậy P 2 53 khi
hay z 3 5i và w i . max MA MB 5 5 CÂU 5: Lời giải Chọn B 50 PMT 6 y 4 2 B x 2 x 15 10 5 -1 5 10 15 -1 I 2 K J 4 6 A 8 10
- Theo bài ra: z 2 3i z i 2 5
x 2 y 2 x 2 y 2 2 3 2 1 5
2x y 2 0
x22 y 21 25
tập hợp điểm biểu diễn số phức z là miền mặt phẳng T thỏa mãn
2x y 2 0
x22 y 2 1 25
- Gọi A 2; 6 , B2; 2 là các giao điểm của đường thẳng 2x y 2 0 và đường 2 2
tròn C : x 2 y 1 25 . 2 2 - Ta có: P 2 x 2
y 8x 6y x 4 y 3 P 25 .
Gọi C là đường tròn tâm J 4; 3 , bán kính R P 25 .
- Đường tròn C cắt miền T khi và chỉ khi
JK R JA IJ IK R IA 2 10 5 25 P 3 5
40 20 10 P 20
M 20 và m 40 20 10 .
Vậy M m 60 20 10 . CÂU 6: 51 PMT Lời giải Chọn C
Gọi I 4; 5 , J 1; 0 .
Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z , z . 1 2
Khi đó A nằm trên đường tròn tâm I bán kính R 1 , B nằm trên đường tròn tâm J bán kính R 1 .
Đặt z x yi , x, y . Ta có:
z 4i z 8 4i
x yi 4i x yi 8 4i
x y2 x 2 y 2 2 4 8 4
16x 16y 64 0
: x y 4 0
Gọi C là điểm biểu diễn số phức z thì C .
Ta có: P z z z z CA CB . 1 2 1 0 4 3 dI 4 5 4 5 ,
1 R , dJ, 1 R . 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1
x y 4x y 4 454104 0 hai đường tròn không cắt và I I J J nằm cùng phía với .
Gọi A là điểm đối xứng với A qua , suy ra A nằm trên đường tròn tâm I bán 1 1 1
kính R 1 (với I là điểm đối xứng với I qua ). Ta có I 9; 0 . 1 1 52 PMT A A
Khi đó: P CA CB CA CB A B nên P A B 1 . 1 1 min 1 min B B 1 7 Khi đó: I A
I J A8; 0 ; I B I J B 2; 0 . 1 1 8 1 1 8 A4;4 Như vậy: P khi A đối xứng A qua và B B . Vậy min B2;0
M z z AB 20 2 5 . 1 2 CÂU 7: Lời giải Chọn D
z a bi ; z 2 2 a 2 b 2 2 a 2 b 4. 2 2
P 2 z 3 2 z a 2 b a 2 2 3 2
b 4a 8 3 8 4a .
4a 8 3 8 4a 2 2 1
3 8 4a 8 4a 4 10 . 4a 8 a
Dấu đẳng thức xẩy ra khi
8 4 94a 8 8 4a a 8 . 1 3 5
Với a 8 b 6 (do b 0 ). 5 5 2018 8 6 8 6
Vậy min P 4 10 z i . Khi đó S 5 2 0 . 5 5 5 5 CÂU 8: Lời giải Chọn C
Giả sử z a bi , a,b z a bi .
Chia hai vế cho i ta được: z 2 i z 2 i 10 .
Đặt M a ; b , N a ; b , A2 ;1 , B2 ; 1 , C 2 ;1 NB MC . 53 PMT 2 2 X Y
Ta có: MA MC 10 M E : 1. 25 21
Elip này có phương trình chính tắc với hệ trục tọa độ IXY , I 0 ;1 là trung điểm AC . X x x y 2 2 1
Áp dụng công thức đổi trục . Y y 1 1 25 21 a 5sin t 2 Đặt , t 0 ; 2 2 2 2 z OM a b b 1 21 cos t 2 2
25 sin t 1 21 cost 2 26
4cos t 2 21 cost . a 0 z
1 21 cost 1 . max b 1 21 a 0 z
1 21 cost 1 . min b 1 21
M m 2 21 . CÂU 9: Hướng dẫn giải Chọn A 54 PMT
Gọi M x; y là điểm biểu diễn của số phức z x yi , N x; y là điểm biểu diễn
của số phức z x y i . 2 Ta có z
x yi x 2 y 2 5 5 5 5 5 5 . 2
Vậy M thuộc đường tròn C x 2 y 2 : 5 5
z 1 3i z 3 6i
x 1 y 3i
x 3 y 6i x 2 y 2 x 2 y 2 1 3 3 6 8 x 6 y 35
Vậy N thuộc đường thẳng : 8x 6y 35
Dễ thấy đường thẳng không cắt C và z z MN
Áp dụng bất đẳng thức tam giác, cho bộ ba điểm I, M, N ta có. 8. 5 6.0 5 5
MN IN IM IN R IN R d I, R 5 0 2 2 2 8 6
Dấu bằng đạt tại M M ; N N . 0 0 CÂU 10: Lời giải Chọn B 55 PMT M I K A M0 B
Từ giả thiết z 1 i 5 suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn (C)
tâm I 1;1 , bán kính R 5 .
Xét các điểm A 7; 9 và B0; 8 . Ta thấy IA 10 2.IM . 5
Gọi K là điểm trên tia IA sao cho IK 1 IA K ; 3 4 2 IM IK Do
1 , góc MIK chung IKM ∽ IMA c.g.c IA IM 2
MK IK 1 MA 2.MK . MA IM 2
Lại có: T z 7 9i 2 z 8i MA 2.MB 2 MK MB 2.BK 5 5
T 5 5 M BK C , M nằm giữa B và K x 5 0 . min M 2
Ta có: phương trình đường thẳng BK là: 2x+y-8=0 x 1
2x y 8 0 y 6
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: M 1;6 . x 2 1 y 2 1 25 x 5 y 2
Vậy z 1 6i là số phức cần tìm. CÂU 11:
Hướng dẫn giải Chọn C
Gọi M , M , M lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức z , 2z , z trên hệ trục tọa 1 2 1 2
độ Oxy . Khi đó quỹ tích của điểm M là đường tròn C
tâm I 3; 4 , bán kính 1 1 R 1 ;
quỹ tích của điểm M là đường C
tròn tâm I 6; 8 , bán kính R 1 ; 2 2
quỹ tích của điểm M là đường thẳng d : 3x 2y 12 0 .
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của MM MM 2 . 1 2 56 PMT y I2 8 I3 B I A 1 M 4 O 3 6 x 138 64 Gọi C có tâm I ;
, R 1 là đường tròn đối xứng với C qua d . Khi 2 3 3 13 13
đó min MM MM 2 min MM MM 2 với M C . 3 3 1 2 1 3
Gọi A , B lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng I I với C , C . Khi đó với mọi 3 1 1 3
điểm M C , M C
, M d ta có MM MM 2 AB 2 , dấu "=" xảy ra 3 3 1 1 1 3 9945
khi M A, M B. Do đó P
AB 2 I I 2 2 I I . 1 3 min 1 3 1 3 13 CÂU 12: Lời giải Chọn B
Gọi z x y i và z x y i , trong đó x , y , x , y
; đồng thời M x ; y 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 và M x ; y
lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z , z . 2 2 2 1 2 2 x 2 y 144 1 1
Theo giả thiết, ta có: . 2 2 x 3 y 4 25 2 2
Do đó M thuộc đường tròn C
có tâm O 0; 0 và bán kính R 12 , M thuộc 1 1 1 2 đường tròn C
có tâm I 3; 4 và bán kính R 5 . 2 2
OC2 Mặt khác, ta có nên C chứa trong C . 1 2
OI 5 7 R R 1 2 57 PMT M1 M (C 2 2) I O (C1)
Khi đó z z M M . Suy ra z z M M
M M R 2R 2 . 1 2 1 2 1 2 1 2 min min 1 2 1 2 CÂU 13: Lời giải Chọn C
Gọi z a bi , a,b
z 4 3i 2 a ib 4 3i 2 a 4 b 3i 2
a 2 b 2 4 3 4
Khi đó tập hợp các điểm M a; b biểu diễn số phức z a bi thuộc vào đường tròn
C có tâm I4;3, R 2. Ta có OI 2 2 3 4 5 . Suy ra z
OI R 5 2 7 , z
OI R 5 2 3. max min
Gọi là đường thẳng qua hai điểm OI ta có
phương trình của : 3x 4y 0 . Gọi M và N lần lượt là hai giao điểm của và C
sao cho OM 3 và ON 7 khi đó 3 12 9
OM OI M ; z 28 21 i 5 5 5 1 28 12 5 5 S 8 . 7 28 21 12 9 5 5
ON OI N ; z i 5 5 5 2 5 5 CÂU 14: Lời giải Chọn D 58 PMT Ta có 2
z 4 z 2iz 1 2i z 2i z 2i z 1 2i 0
z 2i 0 .
z 2i z 1 2i
Do đó tập hợp các điểm N biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ Oxy là điểm
A 0; 2 và đường trung trực của đoạn thẳng BC với B0; 2 , C 1; 2 . 1
Ta có BC 1; 0 , M ; 0 là trung điểm BC nên phương trình đường trung trực 2
của BC là : 2x 1 0 .
Đặt D 3; 2 , DA 3 , dD 7 , . 2
Khi đó P z 3 2i DN , với N là điểm biểu diễn cho z .
Suy ra min P minDA,dD, 3 . CÂU 15: Lời giải Chọn C
Xét A 1;1 , B8; 3 ta có AB 53
các điểm biểu diễn z là đoạn thẳng AB
P z 1 2i MM với M là điểm biểu diễn số phức z , M là điểm biểu diễn số phức
z 1 2i
Phương trình đường thẳng AB : 2x 7y 5 0 87 13
Hình chiếu vuông góc của M lên AB là M ; 1 53 53
Ta có A nằm giữa M và B nên P MM lớn nhất MM lớn nhất 1 1
M B z 8 3i P 106 . max CÂU 16: Lời giải Chọn A
Gọi z x yi, x, y . Theo giả thiết, ta có z 2 x 2 2 y 4 .
Suy ra 2 x, y 2 . 59 PMT 2 2 2 2
Khi đó, P 2 z 1 2 z 1 z z 4i 2
x 1 y x 1 y y 2 P 2 x 12 y 1 x2 2 2 y y 2 2
2 2 1 y 2 y .
Dấu “ ” xảy ra khi x 0 .
Xét hàm số f y 2
2 1 y 2 y trên đoạn 2; 2 , ta có: 2y 1 2 2y y f y 1
; f y y 1 0 . 1 2 y 1 2 y 3 1 Ta có f
2 3 ; f 2 4 2 5 ; f 2 2 5 . 3
Suy ra min f y 2 3 khi y 1 . 2; 2 3
Do đó P 22 3 4 2 3 . Vậy P 4 2 3 khi z 1 i . min 3 CÂU 17: Lời giải Chọn D
Đặt z x yi với x , y
theo giả thiết z z 2i y 1. d
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d .
Gọi A 0;1 , B4; 0 suy ra z i z 4 P là tổng khoảng cách từ điểm M x; 1
đến hai điểm A , B .
Thấy ngay A 0;1 và B4; 0 nằm cùng phía với d . Lấy điểm đối xứng với A 0;1
qua đường thẳng d ta được điểm A0; 3 .
Do đó khoảng cách ngắn nhất là A B 2 2 3 4 5 . CÂU 18: Lời giải Chọn B. 60 PMT
Đặt z a bi a,b .
z i z i a 2 b 2 a b 2 2 1 3 1 1
3 a b 7 2 . 2 2 7 2 7 49 49 2 2 z a b 2b 2 b 2 5b 14b 5 b 7 2 4 5 20 2 5 1 w
1 2 5 . Đẳng thức xảy ra khi b 7 và a 63 . z z 7 5 10 2 5 Vậy w . max 7 min|w | 1 . CÂU 19: Lời giải Chọn D
Đặt z a bi , a, b . Ta có
i iz z i 2 a 2 6 3 2 6 9
b 6a 8b 24 0 . z 3 4i 1 2 2 1
a 3 b 4 1 z 3 4i 1 . z 3 4i 1 2 2 2 hbh 2 2
Ta lại có: 2 z 3 4i z 3 4i z z z z 6 8i . 1 2
1 2 1 2
64 z z 6 2 1 1 6 8i z z 6 8i . 1 2 2 1 2 2 25 5 6 56
Ta có: z z z z 6 8i 6 8i z z 6 8i 6 8i 10 . 1 2 1 2 1 2 5 5 CÂU 20: Lời giải Chọn A 61 PMT
Ta có z 3i 5 2 2iz 6 10i 4 1 ; iz 1 2i 4 3z 6 3i 12 2 2 1 1 2.
Gọi A là điểm biểu diễn số phức 2iz , B là điểm biểu diễn số phức 3z . Từ 1 và 1 2
2 suy ra điểm A nằm trên đường tròn tâm I 6;10 và bán kính R 4; điểm 1 1
B nằm trên đường tròn tâm I 6; 3 và bán kính R 12 . 2 2 B A I I 2 1
Ta có T 2iz 3z AB I I R R 2 12 2
13 4 12 313 16 . 1 2 1 2 1 2
Vậy maxT 313 16 . CÂU 21: Lời giải Chọn A
Ta có iz 2 i 1 z 1 i 2 1. Gọi z 1 i 2 có điểm biểu diễn là 0 I 1; 2.
Gọi A , B lần lượt là các điểm biểu diễn của z , z . Vì z z 2 nên I là trung 1 2 1 2 điểm của AB .
Ta có z z OA OB 2 OA OB 4OI AB 16 4 . 1 2 2 2 2 2
Dấu bằng khi OA OB . CÂU 22: Lời giải Chọn B 62 PMT
Ta có: 3 u 6i 3 u 1 3i 5 10 u i u i 5 10 6 1 3 S 3
MF MF 5 10 . 1 2 3
u có điểm biểu diễn M thuộc elip với hai tiêu điểm F 0;6 , F 1; 3 , tâm 1 2 1 9
I ; và độ dài trục lớn là a 5 10 2
a 5 10 . 2 2 3 6
F F 1; 3 F F : 3x y 6 0 . 1 2 1 2
Ta có: v 1 2i v i v i NA NB
v có điểm biểu diễn N thuộc đường thẳng d là trung trực của đoạn AB với
A 1; 2 , B0;1 . 1 1
AB 1; 3 , K ;
là trung điểm của AB d : x 3y 2 0 . 2 2 1 27 2
d I d 2 2 3 10 , 2 2 2 1 3
Dễ thấy F F d u v
MN dI d a 2 10 min min , . 1 2 3 CÂU 23: Lời giải Chọn D Cách 1:
Đặt z 3 2i w với w x yi x, y . Theo bài ra ta có w 2 x 2 2 y 4 . Ta có
P z i z i w
w i x 2 y x 2 y 2 2 1 2 2 2 5 4 2 1 3 4 2 1 3 x
x 2 y 2 x
x 2 y 2 20 8 2 1 3 2 5 2 2 1 3 2 x y 2x 1
x 12 y 32 2 x 12 y
x 12 y 32 2 2 2 63 PMT
2 y y 3 2 y 3 y 6. x 1 x 1 P 6 y 3 y 0 . y 3 x y 2 2 4
Vậy GTNN của P là bằng 6 đạt được khi z 2 2 3i . Cách 2:
z 3 2i 2 MI 2 M I; 2 với I 3; 2 .
P z 1 2i 2 z 2 5i MA 2MB với A 1; 2 , B 2; 5 .
Ta có IM 2 ; IA 4 . Chọn K 2; 2 thì IK 1. Do đó ta có IA IK 2 . IM IA IM IM IK AM IM
IAM và IMK đồng dạng với nhau
2 AM 2MK . MK IK
Từ đó P MA 2MB 2 MK MB 2BK .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M , K , B thẳng hàng và M thuộc đoạn thẳng BK .
Từ đó tìm được M 2;2 3. Cách 3: 64 PMT
Gọi M a; b là điểm biểu diễn số phức z a b .i Đặt I 3; 2 , A1; 2 và B2; 5 .
Ta xét bài toán: Tìm điểm M thuộc đường tròn C có tâm I , bán kính R 2 sao cho
biểu thức P MA 2MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Trước tiên, ta tìm điểm K x; y sao cho MA 2MK M C . 2 2
Ta có MA MK 2 MA 2 2
4MK MI IA 4MI IK 2 MI 2
IA MI IA 2 MI 2
IK MI IK MI IA IK 2 R 2 IK 2 2 . 4 2 . 2 4 3 4 IA *. IA 4IK 0
* luôn đúng M C .
3R 4IK IA 2 2 2 0
4x 3 4 x
IA IK 2 4 0 . 4y 2 0 y 2
Thử trực tiếp ta thấy K 2; 2 thỏa mãn 2 R 2 IK 2 3 4 IA 0 . Vì 2 BI 2 2 2 1 3
10 R 4 nên B nằm ngoài C . Vì 2 KI 2
1 R 4 nên K nằm trong C .
Ta có MA 2MB 2MK 2MB 2 MK MB 2KB .
Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng BK .
Do đó MA 2MB nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của C và đoạn thẳng . BK
Phương trình đường thẳng BK : x 2 . 2 2
Phương trình đường tròn C : x 3 y 2 4 . 65 PMT x 2 x 2
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ 2 2 hoặc
x 3 y 2 4 y 2 3 x 2 . y 2 3
Thử lại thấy M 2;2 3 thuộc đoạn BK .
Vậy a 2 , b 2 3 a b 4 3 . CÂU 23: Lời giải Chọn A
Gọi z x i
y , với x, y . Khi đó M x; y là điểm biểu diễn cho số phức z . 2 2
Theo giả thiết, iz 1 2i 3 z 2 i 3 x 2 y 1 9 .
Ta có T 2 z 5 2i 3 z 3i 2MA 3MB , với A 5; 2 và B0; 3 .
Nhận xét rằng A , B , I thẳng hàng và 2IA 3IB . Cách 1:
Gọi là đường trung trực của AB , ta có : x y 5 0 .
T 2MA 3MB PA PB . Dấu “ ” xảy ra khi M P hoặc M Q .
x y 5 0 8 2 2 2 8 2 2 2 Giải hệ P ; và Q ; .
x 22 y 2 1 9 2 2 2 2 66 PMT
Khi đó M maxT 5 21 .
Vậy M.n 10 21 . Cách 2:
Ta có A , B , I thẳng hàng và 2IA 3IB nên 2IA 3IB 0 . 2 2 2 MA 2 2
3MB 2 MI IA 3MI IB 2 MI 2 IA 2 5 2 3IB 105 . 2 Do đó 2
T 2. 2MA 3. 3MB 2 MA 2 5 2
3MB 525 hay T 5 21 .
Khi đó M maxT 5 21 . Dấu “ ” xảy ra khi M P hoặc M Q .
Vậy M.n 10 21 . 67 PMT