Tổng ôn tập TN THPT 2020 môn Toán: Đồ thị hàm số và các bài toán liên quan Toán 12

Tổng ôn tập TN THPT 2020 môn Toán: Đồ thị hàm số và các bài toán liên quan Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

27 14 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Môn: Toán 12

Thông tin:

125 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 1
A. NHẬN DẠNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Nhận dạng đồ thị hàm số bậc ba
3 2
, ( 0).y ax bx cx d a
Hình dáng: (nhận dạng được dấu của
) :a
2
0
:
3 0
a
N
b ac
2
0
:
3 0
a
b ac
И
Hoành độ điểm uốn là trung điểm của cực đại và cực tiểu (nhận dạng được dấu của
).b
3
b
x
a
xem dương hay âm (hoặc sử dụng
1 2
b
S x x
a
Nhận dạng dấu của
:c
Nếu
2
cực trị nằm hai bên trục
0.Oy ac
Nếu
2
cực trị nằm cùng bên so
1 2
0.
c
Oy P x x
a
Nhận dạng dấu của hệ số
:d
Đồ thị
( ) : 0C Oy x y d
xem dương hay âm.
Điểm đặc biệt trên đồ thị.
Nhận dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương
4 2
, ( 0).y ax bx c a
Hình dáng: (nhận dạng được dấu của
a
và
) :b
0
M :
0
a
b
0
W :
0
a
b
0
:
0
ab
a
0
:
0
ab
a
Tương giao (nhận dạng được dấu của
)c
Cắt
: 0Oy x y c
xem dương hay âm?
Tương giao
,Ox
có
4 2
0ax bx c
và đặt
2
0t x
thì
2
0pt at bt c
( )
Nếu
( )C
cắt
Ox
tại
4
điểm thì
( )
có
4
nghiệm, tức
( )
có
2
nghiệm phân biệt dương
2
4 0b ac
và
0, 0.S P
Điểm đặc biệt trên đồ thị.
Nhận dạng đồ thị hàm số nhất biến
ax b
y
cx d
Tiệm cận:
Tiệm cận đứng
0
d
cx d x
c
xem dương hay âm?
Tiệm cận ngang
a
y
c
dương hay âm?
Đơn điệu:
2
( )
ad bc
y
cx d
Xem đồ thị
( )C
từ trái sang phải:
Nếu đi lên
HS đồng biến
0 0.y ad bc
Nếu đi xuống
HS nghịch biến
0 0.y ad bc
Tương giao với hai trục tọa độ:
Cắt trục
: 0
b
Ox y x
a
xem dương hay âm?
cắt trục
: 0
b
Oy x y
d
xem dương hay âm?
Điểm đặc biệt trên đồ thị.
ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Vấn đề 6
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Nhận dạng đồ thị hàm số mũ
.
x
y a
Vì
0
x
y a
có tập giá trị
(0; )T 
nên đồ thị
( )C
nằm phía trên
Ox
và tiệm cận ngang là
hoành
.Ox
Khi
0 1
1
x y
x y a
nên
( )C
luôn đi qua
2
điểm
(0;1), (1; ).M N a
Từ trái sang phải nếu đồ thị
( )C
Đi lên
Đồng biến
1.a
Đi xuống
Nghịch biến
0 1.a
Đồ thị
x
y a
và
1
x
y
a
đối xứng nhau qua trục
.Oy
Nhận dạng đồ thị hàm số lôgarit
log .
a
y x
Vì điều kiện
0x
và tập giá trị là
T
nên đồ thị hàm số lôga luôn nằm bên phải trục
Oy
và
tiệm cận đứng là
.Oy
Khi
1 0
1
x y
x a y
nên
( )C
luôn qua
2
điểm
(1;0), ( ;1).M N a
Từ trái sang phải nếu đồ thị
( )C
Đi lên
ĐB
1a
1 : log log
0 1 : log log
a b
a b
x x x a b
x x x a b
Đi xuống
0 1a
0 : log log
0 1 : log log
a b
a b
x x x a b
x x x a b
Đối xứng: Đồ thị
log
a
y x
và
x
y a
đối xứng qua
: .d y x
CÂU HỎI CÙNG MỨC ĐỘ ĐỀ MINH HỌA
Câu 1. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngnhưđườngcongtrongdướiđây?
A.
4 2
2y x x
. B.
4 2
2y x x
. C.
3 2
3y x x
. D.
3 2
3y x x .
Câu 2. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngnhưđườngcongtronghìnhbên?
A.
3
3 y x x
. B.
3
3 y x x
. C.
4 2
2 y x x
. D.
4 2
2 y x x
.
Câu 3. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngđườngcongtronghìnhvẽbên?
A.
3 2
3 4y x x
. B.
4 2
2 4y x x
. C.
3 2
3 4y x x
. D.
4 2
2 4y x x
.
x
y
1
x
y a
a
, 0 1
x
y a a
1
log
a
y x
1a
0 1a
1
y
x
O
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
Câu 4. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngđườngcongtronghìnhvẽbên?
A.
3
3 1y x x
. B.
4 2
2 1y x x
. C.
3
3 1y x x
. D.
4 2
2 1y x x
.
Câu 5. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngđườngcongtronghìnhvẽbên?
A.
3 2
3 1y x x
. B.
4 2
2 4 1y x x
. C.
4 2
2 4 1y x x
. D.
3 2
3 1y x x
.
Câu 6. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngđườngcongtronghìnhvẽbên?
A.
2 3
1
x
y
x
. B.
3
3 1y x x
. C.
4 2
2 1y x x
. D.
2 1
1
x
y
x
.
Câu 7. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngđườngcongnhưhìnhvẽdướiđây?
A.
1
2
x
y
x
. B.
2
2
x
y
x
. C.
2
2
x
y
x
. D.
2
2
x
y
x
.
Câu 8. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngnhưđườngcongtronghìnhbên?
A.
3 2
3 y x x
. B.
3 2
3 y x x
. C.
4 2
2 y x x
. D.
4 2
2 y x x
.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 9. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngnhưđườngcongtronghìnhvẽbêndưới?
A.
3 2
2 1y x x x
. B.
4
1y x x
. C.
3
2 1y x x
. D.
3 2
2 1y x x
.
Câu 10. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngnhưđườngcongtronghìnhbên?
A.
3
3 1 y x x
. B.
3
3 1 y x x
. C.
2
2 1 y x x
. D.
4 2
2 y x x
.
Câu 11. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngnhưđườngcongtronghìnhvẽbêndưới?
A.
2
2 1y x x
. B.
4
3 1y x x
. C.
4
1y x x
. D.
4 2
2 1y x x
.
Câu 12. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngnhưđườngcongtronghìnhbên?
A.
4 2
2 y x x
. B.
3 2
3 y x x
. C.
4 2
2 y x x . D.
3
3 y x x .
Câu 13. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngnhưđườngcongtronghìnhvẽbêndưới?
A.
2
1
x
y
x
. B.
2
1
x
y
x
. C.
2
1
x
y
x
. D.
2
1
x
y
x
.
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
Câu 14. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngnhưđườngcongtronghìnhbên?
A.
4 2
2 y x x
. B.
3
3 y x x
. C.
2
2 y x x
. D.
4 2
2 y x x
.
Câu 15. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngnhưđườngcongtronghìnhvẽbêndưới?
A.
3
3 1y x x
. B.
3
1
2 1
3
y x x
. C.
3 2
1y x x
. D.
3 2
1
2 1
2
y x x
.
Câu 16. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngnhưđườngcongtronghìnhbên?
A.
2
1
x
y
x
. B.
2
1
x
y
x
. C.
2 1
1
x
y
x
. D.
3
3 2 y x x .
Câu 17. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngnhưđườngcongtronghìnhvẽbêndưới?
A.
2
2 1y x
. B.
4
3 1y x x
. C.
4 2
3 1y x x
. D.
4 2
2 1y x x
.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 18. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngnhưđườngcongtronghìnhbên?
A.
2 1
1
x
y
x
. B.
1
2
x
y
x
. C.
2
3 2 1 y x x
. D.
1
1
x
y
x
.
Câu 19. Đồthịnàodướiđâycódạngnhưđườngcongtronghìnhvẽbên?
A.
3
3 1y x x
. B.
3
3 1y x x . C.
4 2
2 1x x
. D.
4 2
2 1y x x .
Câu 20. Chohàmsố
3 2
0y ax bx cx d a
cóđồthịnhưhìnhvẽdướiđây.Chọnkhẳngđịnhđúng
vềdấucủa
a
,
b
,
c
,
d
?
A.
0a
,
0b
,
0d
,
0c
B.
0a
,
0c b
,
0d
C.
0, 0, 0, 0.a b c d
D.
0a
,
0b
,
0c
,
0d
Câu 21. Chohàmsố
4 2
y ax bx c
(
0a
)cóđồthịnhưhìnhvẽdướiđây.
Mệnhđềnàodướiđâyđúng?
A.
0a
,
0b
,
0c
. B.
0a
,
0b
,
0c
.C.
0a
,
0b
,
0c
. D.
0a
,
0b
,
0c
.
Câu 22. Chohàmsố
3 2
y ax bx cx d
cóđồthịnhưhìnhvẽbên.
Mệnhđềnàodướiđâyđúng?
A.
0, 0, 0, 0a b c d
B.
0, 0, 0, 0a b c d
C.
0, 0, 0, 0a b c d
D.
0, 0, 0, 0a b c d
y
x
O
x
y
O
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
Câu 23. Chohàmsố
3 2
y ax bx cx d
cóđồthịnhưhìnhbên.Trongcácmệnhđềsaumệnhđềnào
đúng?
A.
0, 0, 0ab bc cd
B.
0, 0, 0ab bc cd
C.
0, 0, 0ab bc cd
D.
0, 0, 0ab bc cd
Câu 24. Chohàmsố
3 2
y ax bx cx d
cóđồthịnhưhìnhdưới.Khẳngđịnhnàosauđâyđúng?
A.
0, 0, 0, 0a b c d
B.
0, 0, 0, 0a b c d
C.
0, 0, 0, 0a b c d
D.
0, 0, 0, 0a b c d
Câu 25. Chohàmsố
3
3 ;y ax x d a d
cóđồthịnhưhìnhbên.Mệnhđềnàodướiđâyđúng?
A.
0, 0a d
. B.
0, 0a d
. C.
0, 0a d
. D.
0, 0a d
.
Câu 26. Chohàmsố
1ax
f x
bx c
, ,a b c
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
Trongcácsố
,a b
và
c
cóbaonhiêusốdương?
A. 2. B. 3. C. 1. D. 0.
Câu 27. Chohàmsố
1
, ,
ax
f x a b c
bx c
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
Trongcácsố
,a b
và
c
cóbaonhiêusốâm?
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
0
.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 28. Chohàmsố
3
2
ax
y f x
x b
cóbảngbiếnthiênnhưsau
Giátrị
2a b
bằng?
A.
8
B.
6
C.
0
D.
10
Câu 29. Chohàmsố
3 2
y ax bx cx d
cóđồthịnhưhìnhvẽbên.Mệnhđềnàosauđâylàđúng?
A.
0, 0, 0, 0.a b c d
B.
0, 0, 0, 0.a b c d
C.
0, 0, 0, 0.a b c d
D.
0, 0, 0, 0.a b c d
Câu 30. Chohàmsố
3ax
f x b
bx c
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
Tínhtổng
S a b c
.
A.
2
. B.
2
. C.
0
. D.
1
.
Câu 31. Hàmsố
4 2
y ax bx c
cóđồthịnhưhìnhvẽbên.Mệnhđềnàosauđâylàđúng?
x
y
O
A.
0, 0, 0.a b c
B.
0, 0, 0.a b c
C.
0, 0, 0.a b c
D.
0, 0, 0.a b c
Câu 32. Chohàmsố
, ,
1
ax b
f x a b c
cx b
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
Biếttậphợptấtcảcácgiátrị
b
thoảmãnlàkhoảng
;m n
.Tínhtổng
2S m n
.
A.
5
2
S
. B.
3
2
S
. C.
5
2
S
. D.
2S
.
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
Câu 33. Chohàmsố
3 2
y ax bx cx d
cóđồthịnhưhìnhdướiđây.Khẳngđịnhnàosauđâylàđúng?
A.
2
0
3 0
a
b ac
. B.
2
0
3 0
a
b ac
. C.
2
0
3 0
a
b ac
. D.
2
0
3 0
a
b ac
.
Câu 34. Chohàmsố
3 2
y ax bx cx d
cóđồthịnhưhìnhvẽbên.Mệnhđềnàodướiđâyđúng?
A.
0, 0, 0, 0a b c d
. B.
0, 0, 0, 0a b c d
.
C.
0, 0, 0, 0a b c d
. D.
0, 0, 0, 0a b c d
.
Câu 35. Hàmsố
ax b
y
cx d
với
0a
cóđồthịnhưhìnhvẽbên.Mệnhđềnàosauđâylàđúng?
x
y
O
A.
0, 0, 0.b c d
B.
0, 0, 0.b c d
C.
0, 0, 0.b c d
D.
0, 0, 0.b c d
Câu 36. Đườngcongởhìnhbênlàđồthịcủahàmsố
ax b
y
cx d
với , , ,a b c d làcácsốthực.Mệnhđềnào
dướiđâyđúng?
A. 0, 0.ab ad B. 0, 0.ab ad C. 0, 0.bd ad D. 0, 0.ab ad
Câu 37. Đườngcongởhìnhbênlàđồthịcủahàmsố
4 2
y x mx n ,với
, m n
.Biếtphươngtrình
4 2
0 x mx n
có
k
nghiệmthựcphânbiệt,
*
k
.
Mệnhđềnàodướiđâyđúng?
A.
4k
và
0mn
. B.
4k
và
0mn
. C.
2k
và
0mn
. D.
2k
và
0mn
.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 38. Chohàmsố
1
( , , )
ax
y a b c
bx c
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
Trongcácsố
a
,
b
và
c
cóbaonhiêusốâm?
A.
2.
B.
3.
C.
1.
D.
0.
B. TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ
Cho hai đồ thị hàm số
( ) : ( )C y f x
và
( ) : ( ).C y g x
Tọa độ giao điểm (nếu có) của
( )C
và
( )C
là nghiệm của hệ phương trình:
( )
( ) ( )
( )
y f x
f x g x
y g x
( )
― Phương trình
( )
được gọi là phương trình hoành độ điểm chung của
( )C
và
( ).C
― Số nghiệm của
( )
chính là số điểm chung của hai đồ thị.
― Nếu
( )
vô nghiệm thì hai đồ thị không có điểm chung.
Câu 1. Chohàmbậcba
y f x
cóđồthịtronghìnhvẽbên.Sốnghiệmcủaphươngtrình
3 ( ) 4f x
là
A.
2.
B.
1.
C.
0.
D.
3.
Câu 2. Chohàmsố
f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau
Sốnghiệmcủaphươngtrình
3 ( ) 2 0f x
là
A.
2.
B.
0.
C.
3.
D.
1.
Câu 3. Chohàmsốbậcbốn
y f x
cóđồthịtronghìnhbên.Sốnghiệmcủaphươngtrình
1f x
là
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
4
.
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
Câu 4. Chohàmsố
f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
Sốnghiệmcủaphươngtrình
4 3 0 f x
là
A.
2
. B.
0
. C.
3
. D.
4
.
Câu 5. Chohàmsố
y f x
cóđồthịnhưhìnhvẽbên.Phươngtrình
2
4f x
cósốnghiệmlà
A.
0
. B.
3
. C.
4
. D.
2
.
Câu 6. Chohàmsố
f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
Sốnghiệmcủaphươngtrình
2
2 7 5 0
f x f x
là
A.
6
. B.
4
. C.
3
. D.
5
.
Câu 7. Chohàmbậcbốn
y f x
cóđồthịtronghìnhvẽbên.Sốnghiệmcủaphươngtrình
( ) 5f x
là
A.
0
. B.
3
. C.
4
. D.
2
.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 8. Chohàmsố
y f x
cóđồthịnhưhìnhvẽ:
Sốnghiệmthựccủaphươngtrình
6 5 0f x
là
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D.
3
.
Câu 9. Chohàmsố
y f x
cóđồthịtronghìnhvẽbên.Sốnghiệmcủaphươngtrình
2 ( ) 1 0f x
là
A.
0
.
B.
1.
C.
3.
D.
2.
Câu 10. Chohàmsố
f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
Sốnghiệmthựccủaphươngtrình
3 10 0f x
là
A.
1
. B.
4
. C.
2
. D.
3
.
Câu 11. Chohàmsố
( )y f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
Sốnghiệmthựccủaphươngtrình
3 ( ) 2 0f x
là:
A.
4.
B.
3.
C.
2.
D.
1.
Câu 12. Chohàmsố
y f x
liêntụctrêncáckhoảng
;0
và
0;
,cóbảngbiếnthiênnhưsau
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
Sốnghiệmthựccủaphươngtrình
2 ( ) 3 0f x
là:
A.
4.
B.
3.
C.
2.
D.
1.
Câu 13. Chohàmsố
y f x
cóđồthịnhưhìnhsau:
Sốnghiệmcủaphươngtrình
1
2
1
f x
f x
là
A.
3
. B.
1
. C.
2
. D.
4
.
Câu 14. Sốgiaođiểmcủađồthịhàmsố
4 2
2 3y x x
vàtrụchoànhlà
A.
0
. B.
4
. C.
2
. D.
3
.
Câu 15. Sốgiaođiểmcủađồthịhàmsố
3 2
2 3 4y x x vàtrụchoànhlà
A.
3
. B.
0
. C.
2
. D.
1
.
Câu 16. Sốgiaođiểmcủađồthịhàmsố
3
3 1y x x
vàtrụchoànhlà
A.
3
. B.
0
. C.
2
. D.
1
.
Câu 17. Sốgiaođiểmcủađồthịhàmsố
3 2
3 1y x x
vàtrụchoànhlà
A.
3
. B.
0
. C.
2
. D.
1
.
Câu 18. Đồthịcủahàmsố
4 2
3 1y x x
cắttrụctungtạiđiểmcótungđộbaonhiêu
A. -3. B. 0. C. 1. D. -1.
Câu 19. Sốgiaođiểmcủađườngcong
3 2
2 2 1y x x x
vàđườngthẳng
1y x
là
A.
1
B.
2
C.
3
D.
0
Câu 20. đồthịhàmsố
4 2
3 1y x x vàđồthịhàmsố
2
2 7y x cóbaonhiêuđiểmchung?
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Câu 21. Chohàmsố
3
2 5y x x cóđồthị
C
Tìmsốgiaođiểmcủa
C
vàtrụchoành.
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
0
.
Câu 22. Chohàmsố
2
3 2y x x
cóđồthị
C
.Mệnhđềnàodướiđâyđúng?
A.
C
cắttrụchoànhtạihaiđiểm. B.
C
cắttrụchoànhtạimộtđiểm.
C.
C
khôngcắttrụchoành. D.
C
cắttrụchoànhtạibađiểm.
Câu 23. Biếtrằngđườngthẳng
2y x
cắtđồthịhàmsố
3 2
4y x x x
tạiđiểmduynhất,kíhiệu
0 0
;x y
làtọađộcủađiểmđó.Tìm
0
y .
A.
0
1y . B.
0
3y . C.
0
2y . D.
0
4y .
x

1
x
0
2
x
y
0
0
y
3
2


4
3
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 24. Tìmsốgiaođiểmcủađồthịhàmsố
4
4 5y x
vàđườngthẳng
y x
A.
3
. B.
0
. C.
2
. D.
1
.
Câu 25. Chohàmsố
f x
cóđồthịnhưhìnhvẽbêndưới:
Sốnghiệmcủaphươngtrình
1 3 0 f x
là
A.
4
. B.
0
. C.
3
. D.
2
.
Câu 26. Chohàmsố
y f x
cóđồthịnhưhìnhvẽbên.
Phươngtrình
2 2f x
cóbaonhiêunghiệmthựcphânbiệt?
A.
4.
B.
2.
C.
6.
D.
3.
Câu 27. Chohàmsố
f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
Sốnghiệmthuộcđoạn
;2
củaphươngtrình
2 sin 3 0f x
là
A.
4
. B.
6
. C.
3
. D.
8
.
Câu 28. Chohàmsố
f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
Sốnghiệmthuộcđoạn
7
;
2 3
củaphươngtrình
3 cos 1 0f x
là
A.
4
. B.
5
. C.
3
. D.
6
.
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
Câu 29. Chohàmsố
( )f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
Sốnghiệmnhiềunhấtthuộc
9
0;
2
củaphươngtrình
2
(sin 1) 1f x
làcủaphươngtrình
2
(sin 1) 1f x
là
A.
2
. B.
5
. C.
10
. D.
9
.
Câu 30. Chohàmsố
f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau
Sốnghiệmthuộcđoạn
5
0;
2
củaphươngtrình
sin 1f x
là
A.
7
. B.
4
. C.
5
. D.
6
.
Câu 31. Chohàmsố
3 2
4 6 1y x x
cóđồthịlàđườngcongtronghìnhdướiđây.
Khiđóphươngtrình
3 2
3 2 3 2
4 4 6 1 6 4 6 1 1 0x x x x
cóbaonhiêunghiệmthực.
A.
9
. B.
6
. C.
7
. D.
3
.
Câu 32. Chohàmsố
3 2
, , ,f x ax bx cx d a b c d
cóđồthịnhưhìnhvẽbên.
Phươngtrình
0f f f f x
cótấtcảbaonhiêunghiệmthựcphânbiệt?
A. 12. B. 40. C. 41. D. 16.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 33. Chohàmsố
y f x
cóđồthịnhưhìnhvẽ.
Sốnghiệmthựccủaphươngtrình
0f f x f x
là
A.
20
. B.
24
. C.
10
. D.
4
.
Câu 34. Chohàmsố
( )y f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
Sốnghiệmthuộc
3
0;
2
củaphươngtrình
(cos 2 ) 1f x
là
A.
9
. B.
4
. C.
7
. D.
10
.
Câu 35. Chohàmsố
f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
Phươngtrình
2 cos 0f x e
cóbaonhiêunghiệmtrên
0;3
.
A.
6
. B.
3
. C.
0
. D.
4
.
Câu 36. Chohàmsố
f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
Sốnghiệmcủaphươngtrình
2
tan 3 0f x
trênđoạn
;2
2
là
A.
10
. B.
15
. C.
18
. D.
24
.
x



2

0

2


y

0


0


0


y
2

2

0




TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17
Câu 37. Chohàmsố
( )y f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
Sốnghiệmthuộc
3
0;
2
củaphươngtrình
(cos2 ) 1f x
là
A.
9
. B.
4
. C.
7
. D.
10
.
Câu 38. Chohàmsố
( )f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
Sốnghiệmthuộcđoạn
7
0;
2
củaphươngtrình
(2sin 1) 2f x
là
A.
4
. B.
3
. C.
2
. D.
6
.
Câu 39. Chohàmsố
4 3 2
f x ax bx cx dx e
cóđồthịnhưhìnhvẽ.
Đặt
g x f f x
.Sốnghiệmcủaphươngtrình
0g x
là
A.
5
. B.
10
. C.
4
. D.
7
.
Câu 40. Chohàmsố
( )f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
Sốnghiệmphươngtrình
(cos ) 1f x
thuộcđoạn
9
;
2
là:
A.
2.
B.
6.
C.
7.
D.
4.
Câu 41. Chohàmsố
y f x
liêntụctrên
vàcóbảngbiếnthiênnhưsau:
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Sốnghiệmcủaphươngtrình
4 2
2 3 0f x x
là
A. 12. B.
8
. C.
3
. D.
4
.
Câu 42. Chohàmsố
y f x
cóđồthị
C
nhưhìnhvẽbên.Phươngtrình
3
1
2
f x
cóbaonhiêu
nghiệmâmphânbiệt?
A.
3
. B.
4
. C.
5
. D.
6
.
Câu 43. Cho hàm số bậc ba
y f x
có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình
2
2 1f x x
là
A.
6
. B.
4
. C.
3
. D.
7
.
C. BIỆN LUẬN NGHIỆM THÔNG QUA ĐỒ THỊ
Biến đổi phương trình đã cho về dạng
( ) ( ).f x A m
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị
( )y f x
và đường thẳng nằm ngang
( ).y A m
Lưu ý: Có thể đề bài cho bảng biến thiên và cần nắm vững biến đổi đồ thị hàm trị tuyệt đối.
CÂU HỎI CÙNG MỨC ĐỘ ĐỀ MINH HỌA
Câu 1. Chohàmsố
y f x
xácđịnhtrên
\ 2
,liêntụctrênmỗikhoảngxácđịnhvàcóbảngbiến
thiênnhưhìnhsau
Tìmtậphợptấtcảcácgiátrịcủathamsốthực
m
saochophươngtrình
4f x m
cóđúngba
nghiệmthựcphânbiệt
A.
1;9
. B.
1;9
. C.
1;9
. D.
3;5
.
x
y
-1
-2
-1
O
1
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19
Câu 2. Chohàmsố
y f x
cóđồthịnhưhìnhvẽbên.Cóbaonhiêugiátrịnguyêndươngcủathamsố
m
đểphươngtrình
3
logf x m
cóđúngbanghiệmthựcphânbiệt?
A.
3
. B.
25
. C.
26
. D.
27
.
Câu 3. Chohàmsố
y f x
xácđịnhtrên
\ 1
,liêntụctrênmỗikhoảngxácđịnhvàcóbảngbiến
thiênnhưhìnhsau
Tìmtậphợptấtcảcácgiátrịcủathamsốthực
m
saochophươngtrình
f x m
cóđúngba
nghiệmthựcphânbiệt
1 2 3
, ,x x x
thỏa:
1 2 3
2 3x x x
.
A.
4;1
. B.
1;2
. C.
4;1
. D.
1;2
.
Câu 4. Chohàmsố
y f x
cóđồthịnhưđườngcongtronghìnhdướiđây.Tìmtấtcảcácgiátrịthực
củathamsố
m
đểphươngtrình
( ) 1f x m
có
4
nghiệmphânbiệt:
A.
4 3m
. B.
3m
. C.
3 2m
. D.
5 4m
.
Câu 5. Hàmsố
y f x
cóbảngbiếnthiênnhưhìnhdưới.
Tìmtấtcảcácgiátrịcủathamsố
m
đểphươngtrình
f x m
cóbốnnghiệmphânbiệt.
A.
3m
. B.
0 3m
. C.
0 3m
. D.
0m
.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 6. Chohàmsố
y f x
liêntụctrên
R
vàcóđồthịnhưhìnhvẽdướiđây.Cóbaonhiêugiátrị
nguyêncủa
m
đểphươngtrình
2
2logf x m
cónghiệmduynhấttrên
1
;2
2
.
A.
9
. B.
6
. C. 5 . D.
4
Câu 7. Chohàmsố
y f x
liêntụctrên
R
vàcóđồthịnhưhìnhvẽdướiđây.Cóbaonhiêugiátrị
nguyêncủathamsố
m
đểphươngtrình
6 6
4 sin cos 1f x x m cónghiệm.
A.
6
. B.
5
. C.
4
. D.
3
.
Câu 8. Chohàmsố
y f x
liêntụctrên
R
vàcóđồthịnhưhìnhvẽdướiđây.Tậphợptấtcảcácgiátrị
thựccủathamsố
m
đểphươngtrình
2
2 2 3 1f x x m
cónghiệmthuộckhoảng
0;1 .
A.
0;4
. B.
1;0
. C.
0;1
. D.
1
;1
3
Câu 9. Chohàmsố
y f x
cóđồthịnhưhìnhvẽdướiđây.GọiSlàtậphợptấtcảcácgiátrịcủatham
số
m
đểphươngtrình
2
3 4f x m
cóhainghiệmphânbiệtthuộcđoạn
2; 3
.Tìm
tậpS.
A.
1; 3 2S f
. B.
3 2 ;3S f
.C.
S
. D.
1;3S
.
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21
Câu 10. Chohàmsố cóđồthịnhưhìnhvẽ.
Cóbaonhiêusốnguyên đểphươngtrình cónghiệmthuộcđoạn ?
A. 11. B. 9. C. 8. D. 10.
Câu 11. Chohàmsố
y f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
Cóbaonhiêugiátrịnguyêncủathamsố
m
saochophươngtrình
sin 2 3 cos 2 1f x x m
cóđúngsáunghiệmphânbiệttrênnửakhoảng
17
0;
12
?
A.
4
. B.
5
. C.
8
. D.
2
.
Câu 12. Chohàmhàmsố
y f x
cóbảngbiếnthiênnhưhìnhvẽdưới
Cóbaonhiêugiátrịnguyêncủathamsố
2020;2020m
đểphươngtrình
2
4
x
f e m
có
2
nghiệmphânbiệt.
A.
2010
. B.
10
. C.
2011
. D.
2020
.
Câu 13. Cho hàm số
y f x
xác định trên
và có đồ thị như hình bên dưới. Có bao nhiêu giá trị
nguyêncủathamsốmđểphươngtrình
2
4 2
6
2 1
1
x
f m
x x
cónghiệm?
y f x
m
1
1
3 2
x
f x m
2;2
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
A.
4
. B.
5
. C.
2
. D.
3
.
Câu 14. Chohàmsố
y f x
liêntụctrên
R
vàcóđồthịnhưhìnhvẽdướiđây.Tậphợptấtcảcácgiátrị
thựccủathamsố
m
đểphươngtrình
e
x
f m
cónghiệmthuộckhoảng
0;ln 2
.
A.
3;0
. B.
3;3
. C.
0;3
. D.
3;0
Câu 15. Chohàmsố
( ).y f x
Hàmsố
'( )y f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau
Bấtphươngtrình
( )
x
e m f x
cónghiệmthuộc
4;9
khivàchỉkhi
A.
2
(2) .m f e B.
2
(2) .m f e C.
3
(9) .m f e D.
3
(9) .m f e
Câu 16. Chohàmsố
y f x
cóđạohàmtrên
.Bảngbiếnthiêncủahàmsố
y f x
nhưhìnhdưới
Tìm
m
đểbấtphươngtrình
2
2 2 4 3 m x f x x
nghiệmđúngvớimọi
3 x ;
.
A.
2 0 1 m f
. B.
2 0 1 m f
. C.
2 1 m f
. D.
2 1 m f
.
Câu 17. Cho hàm số
( )y f x
. Đồ thị hàm số
( )y f x
như hình vẽ bên dưới. Bất phương trình
1
( )
2
x
f x m
cónghiệm
[ 1; )x 
khivàchỉkhi
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23
A.
1
( 1)
2
m f
. B.
( 1) 2m f
. C.
( 1) 2m f
. D.
( 1) 2m f
.
Câu 18. Chohàmsố
( ).y f x
Hàmsố
'( )y f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau
Bấtphươngtrình
cos
2 ( )
x
f x e m
cónghiệmđúngvớimọi
0;
2
x
khivàchỉkhi
A.
2 1.
2
m f
B.
2 1.
2
m f
C.
2 (0) . m f e
D.
2 (0) . m f e
Câu 19. Chohàmsố
( ).y f x
Đồthịhàmsố
'( )y f x
nhưhìnhvẽbêndưới
Bấtphươngtrình
2
( ) f x x m
cónghiệmđúngvớimọi
( 1;0)x
khivàchỉkhi
A.
(0).m f
B.
(0).m f
. C.
( 1) 1. m f
. D.
( 1) 1. m f
.
Câu 20. Chohàmsố
( ).y f x
Hàmsố
'( )y f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau
Bấtphươngtrình
( ) 2 0
x
f x e m
cónghiệmđúngvớimọi
(2;3)x
khivàchỉkhi
A.
2
1
(2) .
2
m f e
B.
2
1
(2) .
2
m f e
C.
3
1
(3) .
2
m f e
D.
3
1
(3) .
2
m f e
Câu 21. Chohàmsố
4 3 2
f x mx nx px qx r
,(với
, , , ,m n p q r
).Hàmsố
y f x
cóđồthị
nhưhìnhvẽbêndưới:
Tậpnghiệmcủabấtphươngtrình
f x r
cóbaonhiêugiátrịnguyên?
A. 4. B. 3. C. 1. D. 2.
x
y
-1
4
2
2
O
1
O
x
y
3
5
4
1
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 22. Chohàmsố
4 3 2
y f x mx nx px qx r
,(với
, , , ,m n p q r
).Hàmsố
y f x
có
đồthịnhưhìnhvẽbêndưới:
Tậpnghiệmcủaphươngtrình
f x m n p q r
cósốphầntửlà
A. 4. B. 3. C. 1. D. 2.
Câu 23. Chohàmsố
y f x
cóđạohàmtrên
.Hàmsố
f x
cóđồthịnhưhìnhvẽ.
Tìm
m
đểbấtphươngtrình
2
2sin 2 sinf x x m
nghiệmđúngvớimọi
0;x
.
A.
1
1
2
m f
. B.
1
1
2
m f
. C.
1
0
2
m f
. D.
1
0
2
m f
.
Câu 24. Chohàmsố
y f x
cóđạohàmtrên
,cóđồthị
f x
nhưhìnhvẽ.
Tìm
m
đểbấtphươngtrình
2
2 2 4 3m x f x x
nghiệmđúngvớimọi
3; x
.
A.
2 0 1m f
. B.
2 0 1m f
. C.
2 1m f
. D.
2 1m f
.
Câu 25. Chohàmsố
y f x
có
2 1, 1 2f m f m
.Hàmsố
y f x
cóbảngbiếnthiênnhư
hìnhvẽ.
Tậphợptấtcảcácgiátrịcủathamsố
m
đểbấtphươngtrình
1 2 1
2 3
x
f x m
x
cónghiệm
2;1x
là:
A.
7
5;
2
. B.
;0
. C.
2;7
. D.
7
;
2

.
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25
Câu 26. Chohàmsố
y f x
cóđạohàmtrên
,cóđồthị
f x
nhưhìnhvẽ.
Bấtphươngtrình
sin
2
x
f x m
nghiệmđúngvớimọi
1;3x
khivàchỉkhi:
A.
0m f
. B.
1 1m f
. C.
1 1m f
. D.
2m f
.
Câu 27. Chohàmsố
y f x
cóđạohàmtrên
.Bảngbiếnthiêncủahàmsố
y f x
nhưhìnhdưới
đây:
Tìm
m
đểbấtphươngtrình
2 3
1
3
m x f x x
nghiệmđúngvớimọi
0;3x
.
A.
0m f
. B.
0m f
. C.
3m f
. D.
2
1
3
m f
.
Câu 28. Chohàmsố
4 3 2
y f x mx nx px qx r
,(với
, , , ,m n p q r
).Hàmsố
y f x
có
đồthịnhưhìnhvẽbêndưới:
Tậpnghiệmcủaphươngtrình
f x r
cósốphầntửlà
A. 4. B. 3. C. 1. D. 2.
Câu 29. Chohàmsố
4 3 2
y f x mx nx px qx r
,(với
, , , ,m n p q r
) và
1 3a
.Hàmsố
y f x
cóđồthịnhưhìnhvẽbêndưới:
Tậphợpcácgiátrịcủaađểphươngtrình
( ) 3 0f x mx r
có4nghiệmphânbiệtlàmộtkhoảng
;b c
.Tính
.b c
A. 4. B. 3. C.
3
2
. D.
9
4
.
NGUYỄN
BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 30. Cho hà
m số
4 3
2
f x
mx nx px qx r
và
3 2
g x
ax bx cx d
,
, ,
, , , , , ,m n p q r a b c d
và
0 0f
g
.Hàmsố
y f
x
và
y g
x
cóđồthịnhưhình
vẽbêndưới
Tậpnghiệmcủaphươngtrình
f x
g x
cós
ốphầntửlà?
A.
4
. B.
2
. C.
1
. D.
3
.
D. MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO THƯỜNG GẶP
BÀI TOÁN 1. BIỆN LUẬN TƯƠNG GIAO HÀM BẬC BA VỚI ĐƯỜNG THẲNG
Bài
toán tổng quát: Tìmcácgiátrịcủathamsố
m
để
đểđườngthẳng
:d y
px q
cắt
đồ
thịhàms
ố
3 2
( )
:C y ax bx cx d
tại3điểmphânbiệtthỏađiềukiện
K
?(
dạng có điều kiện)
Ph
ương pháp giải:
Bước 1
. Lậpphươngtrìnhhoànhđộgiaođiểmcủa
d
và
( )C
là:
3 2
ax bx
cx d px q
Đưa
vềphươngtrìnhbậcbavànhẩmnghiệmđặcbiệt
o
x x
đểchiaHoocnerđược:
2
2
( ) ( ) 0
( ) 0
o
o
x x
x
x ax b x c
g x ax b x c
Bước
2.Để
d
cắt
( )C
tại
bađiểmphânbiệt phươngtrình
( ) 0g x
có
2nghiệmphânbiệt
khác
( )
0
( )
0
g x
o
o
x
g x
Gi
ảihệnày,tìmđượcgiátrị
1
.m D
Bước 3.Gọi
1 1 2
2
( ; ), ( ; ), ( ; )
o o
A x px q B x px q C x px q với
1 2
,x x làhainghiệmcủa
( )
0.g x
The
oViét,tacó:
1 2
b
x x
a
và
1 2
c
x x
a
(1)
Bước 4.
BiếnđổiđiềukiệnKvềdạngtổngvàtíchcủa
1 2
, x
x (2)
Th
ế(1)vào(2)sẽthuđượcphươngtrìnhhoặcbấtphươngtrìnhvớibiếnlà
.m
Giải
chúngsẽtìm
đượcgiátrị
2
.m D
Kếtluận:
1 2
.m D
D
Một số c
ông thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan đến cấp số
Ä Tìm đi
ều kiện để đồ thị hàm số
3 2
y ax bx cx d
cắt trục hoành tại
3
điểm
phân biệt
có hoành đ
ộ lập thành cấp số cộng.
Đi
ều kiện cần:
Gi
ả sử
1 2
3
, ,x
x x là nghiệm của phương trình
3 2
0ax
bx cx d
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27
Khi
đó:
3
2
1 2 3
(
)( )( )ax bx cx d a x x x x x x
, đồng n
hất hệ số ta được
2
3
b
x
a
Thế
2
3
b
x
a
vào phương trình
3
2
0
a
x bx cx d
ta được điều kiện ràng buộc về tham số hoặc
giá trị của tham số.
Điều kiện đủ:
T
hử các điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của tham số để phương trình
3
2
0
a
x bx cx d
có
3
nghiệ
m phân biệt.
Ä Tìm
điều kiện để đồ thị hàm số
3
2
y
ax bx cx d
cắt
trục hoành tại
3
đ
iểm phân biệt
c
ó hoành độ lập thành cấp số nhân.
Điề
u kiện cần:
Giả sử
1
2 3
,
,x x x
là nghiệ
m của phương trình
3
2
0
a
x bx cx d
Khi
đó:
3
2
1
2 3
( )( )( )ax bx cx d a x x x x x x
, đồng n
hất hệ số ta được
3
2
d
x
a
T
hế
3
2
d
x
a
v
ào phương trình
3 2
0
ax bx cx d
t
a được điều kiện ràng buộc về tham số
hoặc
giá trị của tham số.
Điều kiện đủ:
T
hử các điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của tham số để phương trình
3
2
0
a
x bx cx d
có
3
nghiệ
m phân biệt.
Câu 1. Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsố
m
đểđồthị
hàmsố
3
2
3
2
y
x x C
cắ
tđường
thẳng
: ( 1)
d y m x
tạ
ibađiểmphânbiệt
1
2 3
,
,x x x
.
A.
2
m
. B.
2
m
. C.
3
m
. D.
3
m
.
Câu 2. Đường
thẳng
c
óphươngtrình
2 1y x
cắ
tđồthịcủahàmsố
3
3
y x x
tạ
ihaiđiểm
A
và
B
vớit
ọađộđượckíhiệulầnlượtlà
;
A
A
A
x y
và
;
B
B
B
x y
t
rongđó
B A
x
x
.
Tìm
B B
x
y
?
A.
5
B
B
x
y
B.
2
B
B
x
y
C.
4
B
B
x
y
D.
7
B
B
x
y
Câu 3. Cho
hàm số
3
2 3
3
y x mx m
c
ó đồ thị
m
C
và
đường thẳng
2
3
: 2d y m x m
.
Biết rằng
1
2 1 2
,
m m m m
là
haigiátrịthựccủa
m
để
đườngthẳng
d
cắ
tđồthị
m
C
tạ
i
3
điểm
phânbiệt
cóhoànhđộ
1
2 3
, ,x x x
t
hỏamãn
4
4 4
1 2 3
83
x x x
.
Phátbiểunàosauđâylàđúng vềquanhệ
giữahaigiátrị
1
2
,m m
?
A.
1
2
0
m m
. B.
2
1
2
2
4
m
m
. C.
2
2
1
2
4
m
m
. D.
1
2
0
m m
.
Câu 4. Tìm
tấtcảcácgiátrịthựccủathamsố
m
đểđồthịh
àmsố
3
2
3y
x x
cắtđườngthẳng
y
m
tại
bađiểmphânbiệt.
A.
;
4
m

. B.
4
;0
m
. C.
0
;m

.D.
;
4 0;m
 
.
Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để
đường thẳng
1y mx m
cắ
t đồ thị hàm số
3
2
3
2
y
x x x
tạ
ibađiểm
,
,A B C
phâ
nbiệtsao
AB BC
A.
5
;
4
m
B.

2
;m
C.
m
D.
 
;
0 4;m
Câu 6. Tất
cảgiátrịcủathamsố
m
để
đồthịhàmsố
3
2 2
2
2 4
y
x m x m
cắ
tcáctrụctọađộ
,O
x
O
y
lầnlượttại
,A
B
saochodiệntíchtamgiác
O
AB
bằng8là
A.
2
m
. B.
1
m
. C.
3
m . D.
2
m
.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 7. T
ìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để
đường thẳng
y m
x
cắt đồ
thị của hàm số
3 2
3 2
y x x m
tại
bađiểmphânbiệt
, ,A
B C
saocho
AB
BC
.
A.
; 1
m
B.
:m

C.
1:m
D.
;3
m
Câu 8. T
ìmtấtcảcácgiátrịcủathamsố
m
đểphươngtrình
3 2
3 2
x x
m
cóba
nghiệmphânbiệt.
A.
2;m
. B.
; 2
m

. C.
2;
2
m
. D.
2;
2
m
.
Câu 9. Đườngthẳng
cóphươngtrình
2 1y
x
cắtđồthịcủahàmsố
3
3y x x
tạihaiđiểm
A
và
B
vớitọa
độđượckíhiệulầnlượtlà
;
A A
A x
y
và
;
B B
B x
y
trongđó
B A
x x
.Tìm
B B
x y
?
A.
5
B B
x y
B.
2
B B
x y
C.
4
B B
x y
D.
7
B B
x y
BÀI TOÁN 2. TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ NHẤT BIẾN
(CHỨA THAM SỐ)
Bài t
oán tổng quát
Chohàmsố
ax b
y
cx d
cóđồthị
C
.Tìmthamsốmđểđườngthẳng
:d y
x
cắt
C
tại
haiđi
ểmphânbiệt
,A
B
thỏa
mãnđiềukiệnK?
Phương ph
áp giải
Bước 1.(Bư
ớcnàygiốngnhauởcácbàitoántươnggiaocủahàmnhấtbiến)
Lậpphươngtrìnhhoànhđộgiaođiểmgiữadvà
:C
ax b
x
cx
d
2
0,
d
g x
cx c d a x d b x
c
.
- Đểdcắt
C
tạihaiđiểmphânbiệt
0
g x
cónghiệmnghiệmphânbiệt
d
c
0;
0
0
c
d
g
c
.Giảihệnày,tasẽtìmđược
1
m D
i
-Gọi
1 1 2
2
; ,
;A x x B x y
với
1 2
,x x
là
2
nghiệmcủa
0
g x
TheoViét:
1 2
;
c d
a
S x
x
c
1 2
d b
P x
x
c
ii
Bước 2.
-Biếnđổiđi
ềukiệnKchotrướcvềdạngcóchứatổngvàtíchcủa
1 2
,x x
iii
-Thế
ii
vào
iii
sẽthuđượcp
hươngtrìnhhoặcbấtphươngtrìnhvớibiếnsốlàm.Giảinósẽ
tìm
được
2
m D
-Từ
1 2
,
i m
D D
vàkếtluậngiátrịmcầntìm.
Một số công th
ức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan đến tương giao giữa đường thẳng
y kx
p
và đồ thị hàm số
ax b
y
cx d
Giả sử
:
d y
kx p
cắt đồ thị h
àm số
ax b
y
cx d
tại
2
điểm phân biệt
,M N
.
Với
ax b
kx
p
cx d
ch
o ta phương trình có dạng:
2
0
Ax
Bx C
th
ỏa điều kiện
0
cx
d
, có
2
4
B A
C
. Khi đó:
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29
1).
2
1 1 2
2 2 1 2 1
2
( ; ), ( ; ) ( ; ( )) ( 1)
M x kx p N x kx p MN x x k x x MN k
A
Chú ý
: khi
min
MN
thì
tồn tại
min
,
k c
onst
2).
2 2
2 2 2 2
1 2
1 2
( 1
)( ) ( )2 2OM ON k x x x x kp p
3).
2 2
1 2 1
2
. (
. )(1 ) ( )
OM
ON x x k x x kp p

4).
2
1 2
( )(
1 ) 2 0
OM ON
x x k kp
Câu 10. Đườngthẳng
2y x
m
cắtđồthị
hàmsố
3
1
x
y
x
tạiha
iđiểmphânbiệtkhivàchỉkhi
A.
1
3
m
m
. B.
1
3
m
m
. C.
3
1
m
m
. D.
3 1
m
.
Câu 11. Tìm t
ất cả các giá trị thực của tham số
m
để đư
ờng thẳng
2
y x
m
cắt
đồ thị của hàm số
3
1
x
y
x
tạihai
điểmphânbiệt.
A.
;m
. B.
1;m
. C.
2;
4
m
. D.
; 2
m
.
Câu 12.
A
và
B
làhaiđiểmthuộchainhánhkhácnhaucủađồthịhàmsố
2
x
y
x
.Khiđóđộdàiđoạn
AB
ngắnnhấtbằng
A.
4 2
. B.
4
. C.
2 2
. D.
2 2
.
Câu 13. Chohàm
số
1
x
y C
x
và
đườngthẳng
: x
d
y m
.
Gọi
S
là
tậpcácsốthực
m
đểđường
thẳng
d
cắt
đồthị
C
tạiha
iđiểmphânbiệt
,A B
sao
chotamgiác
OA
B
(
O
làg
ốctọađộ)có
bánkínhđườngtrònngoạitiếpbằng
2 2
.Tổngcácp
hầntửcủa
S
bằng
A.
4
. B.
3
. C.
0
. D.
8
.
Câu 14. Đồthị
hàmsố
2 1
1
x
y C
x
và
đườngthẳng
:
d y
x m
.Tìmt
ấtcảcácgiátrịcủathamsố
m
đểđườngthẳng
d
cắtđồthị
C
tại
2
điểmphânbiệt
A.
1
m
. B.
5 1
m
. C.
5
m
. D.
5
m
hoặc
1
m
.
Câu 15. Chohà
msố
3
1
x
y
x
có
đồthị
C
và
đườngthẳng
:
d y x m
,với
m
làtham
sốthực.Biết
rằngđườngthẳng
d
cắt
C
tại
haiđiểmphânbiệt
A
và
B
saocho
điểm
2;
2
G
là
trọngtâm
củatamgiác
OAB
(
O
làg
ốctoạđộ).Giátrịcủa
m
bằng
A
.
6
. B.
3
. C.
9
. D.
5
.
Câu 16. Cho hà
msố
3 2
1
x m
y
mx
với
m
là
thamsố.Biếtrằngvớimọi
0,
m
đồthị
hàmsốluôncắt
đườngthẳng
: 3
3d y x m
tại
haiđiểmphânbiệt
A
,
.B
Tícht
ấtcảcácgiátrịcủa
m
tìm
được
đểđườngthẳng
d
cắtcác
trục
,Ox
Oy
lầnl
ượttại
,C
D
saochodi
ệntích
OAB
bằng2
lầndiện
tích
OC
D
bằng
A.
4
9
. B.
4
. C.
1
. D.
0
.
BÀI TOÁN 3. TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG
(CHỨA THAM SỐ)
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
. Bài
toán tổng quát: Tìmmđểđườngthẳng
:d
y
cắt
đồthị
4
2
(
) : ( ; )
C
y f x m ax bx c
tạ
inđiểmphânbiệtthỏamãnđiềukiệnKchotrước?
P
hương pháp giải:
Bước
1. Lậpphươngtrìnhhoànhđộgiaođiểmcủa
d
và
( )C
l
à:
4 2
0
ax bx c
(1)
Đặt
2
0
t
x
thì
2
(
1) 0
at
bt c
(2)
T
ùyvàosốgiaođiểmnmàtabiệnluậnđểtìmgiátrị
1
.m
D
Cụthể
:
Để
( ) 4
d C n
điểm
phânbiệt
(1)
c
ó4nghiệmphânbiệt
(
2)
c
ó2nghiệm
1
2
,
t t
thỏa
điềukiện:
1 2 1
0
0
0 .
0
t
t S m D
P
Để
(
) 3
d
C n
điể
mphânbiệt
(
1)
c
ó3nghiệmphânbiệt
(2)
c
ónghiệm
1
2
,
t t
thỏađi
ềukiện:
1
2 1
0
0 .
0
c
t t m D
b
a
Để
(
) 2
d
C n
điểmphânbiệt
(
1)
có2nghiệmphânbiệt
(2)
có2nghiệmtráidấuhoặccónghiệmképdương
1
0
.
0
0
ac
m
D
S
Để
( ) 1d C n
điểmphânbiệt
(1)
cóđúng1nghiệm
(
2)
c
ónghiệmkép
0
hoặ
c
1
1
2
0
0
0
.
0
0
0
c
t
m
D
b
t
c
a
Bước
2.BiếnđổiđiềukiệnKvềdạngcóchứatổngvàtíchcủa
1
2
,
t t
(3)
T
hếbiểuthứctổng,tíchvào(3)sẽthuđượcphươngtrìnhhoặcbấtphươngtrìnhvớibiếnsốlà
.m
Giải
chúngtasẽtìmđược
2
.m
D
Kếtluận:
1
2
.m
D D
Ä Tìm
điều kiện để đồ thị hàm số
4
2
y
ax bx c
cắt
trục hoành tại
4
điể
m phân biệt có
h
oành độ lập thành cấp số cộng.
T
a có:
4 2
0
(1)
ax
bx c
, đặt
2
0
t
x
, t
hì có:
2
0
a
t bt c
(
2)
Để
(
1)
có
4
nghiệ
m phân biệt thì
(
2)
c
ó hai nghiệm phân biệt dương, tức là:
1
2
1 2
0
0
.
0
t
t
t t
Khi
đó
(
1)
c
ó
4
nghiệ
m phân biệt lần lượt là
2
1 1 2
; ; ;t t t t
lập thàn
h cấp số cộng khi và ch
ỉ
k
hi:
2
1 1 1 2 1 2 1
( ) 3 9t t t t t t t t
.
Theo định lý Vi – et
1
2
b
t
t
a
s
uy ra
1 2
9
;
10 10
b b
t
t
a a
, kế
t hợp
1 2
.
c
t
t
a
nên có:
2
2
9
100
ab
a c
T
óm lại: Hàm số
4
2
y
ax bx c
cắt
trục hoành tại
3
điể
m phân biệt có hoành độ lập thành cấp
TÀ
I LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31
số
cộng, thì điều kiện cần và đủ là:
2
2
2
4
0
0
0
9 100
b ac
b
a
c
a
ab a c
Câu
17. Tậptấtcảcácgiátrịcủathamsố
m
để
phươngtrình
4
2
2 (2 1) 0x mx m
c
ó4nghiệmthực
phânbiệtlà
A.
1
; \ 1 .
2

B.
(
1; )
. C.
1
;
2
. D.
.
Câu
18. Chohàmsố
4 2
3
2y x x .Tìmsốthựcdương
m
đểđường
thẳng
y
m
cắt
đồthịhàmsốtại
2
điểmphânbiệt
A
,
B
saochotamgiác
O
AB
vuôngtại
O
,trongđó
O
làgốctọađộ.
A.
2m
. B.
3
2
m
. C.
3m
. D.
1m
.
Câu
19. Mộtđườngthẳngcắtđồthịhàmsố
4
2
2y
x x
tại
4điểmphânbiệtcóhoànhđộlà
0
, 1,
,m
n
.
Tính
2
2
.S
m n
A.
1S
. B.
0S
. C.
3S
. D.
2S
.
Câu
20. Có bao nhiêu giátrịnguyêncủa
m
để
đồ thịhàmsố
4
3 2
4
2 8 4y x x m x x
cắt
trục
hoànhtạiđúnghaiđiểmcóhoànhđộlớnhơn
1
.
A.
8
. B.
7
. C.
5
. D.
3
.
BÀI TOÁN 4. BIỆN LUẬN m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU
K
IỆN K (HÀM SỐ KHÁC)
Câu 21. Chohaihàmsố
2
2 2 2
1 2 4 3 6 8
1 2 3
x x x x x x x
y
x x x x
v
à
2y
x x m
( l
àthamsố
thực)cóđồthịlầnlượtlà
1
(
)C
và
2
(
)C
.Tínhtổngtấtcảcácgiátrịnguyênthuộckhoảng
(
15 ; 20)
củ
athamsố
m
để
1
(
)C
v
à
2
(
)C
cắ
tnhautạinhiềuhơnhaiđiểmphânbiệt.
A.
210
. B.
85
. C.
119
. D.
105
.
Câu
22. Chohaihàmsố
1
2
1 1
x x x
y
x x x
và 202
0 3
x
y
e m (
m
l
àthamsốthực)cóđồthịlần
lượtlà
1
(
)C và
2
(
)C .Cóbaonhiêusốnguyên
m
thuộc
(
2019; 2020)
để
1
(
)C và
2
(
)C cắtnhau
tại3điểmphânbiệt?
A.
26
92
. B.
2
691
. C.
26
90
. D.
2
693
.
Câu
23. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số
m
để đồ thị hai hàm số
2
2
1 1y x x
và
11
1
11
3 4 2
y m
x x
cắtnhautại
2
điểmphânbiệt?
A.
;
0
. B.
;1
. C.
;1
. D.
;
2
.
Câu
24. Chohaihàmsố
1
1 2
1 2 3
x x x x
y
x x x x
và
1
2
2
x
y
m
( làthamsốthực)cóđồthịlần
lượtlà
1
(
)C và
2
(
)C .Tậphợptấtcảcácgiátrịcủa để
1
(
)C và
2
(
)C cắtnhautạiđúngnăm
điểmphânbiệtlà
A.
2
;
. B.
;
2
. C.
;
2
. D.
;
4
.
m
m
m
NGUYỄ
N BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 25. Cho
haihàmsố
2 2 2
1
2
1 2 4 3
x x x
y
x x x x x
và
1y x x m
( l
àthamsốthực)có
đồ
thịlầ
nlượtlà
1
(
)C và
2
(
)C .Sốcácgiátrị
m
nguy
ênthuộckhoảng
20
;20
để
1
(
)C và
2
(
)C cắt
nhautạinămđiểmphânbiệtlà
A.
2
2
. B.
3
9
. C.
2
1
. D.
2
0
.
Câu 26. Gọi
S
làtậphợptấtcảcácgiátrịcủathamsố
m
đểbấtphươngtrình
2
4 3 2 2
2
1 0m x m x x m x
nghiệm
đúngvớimọi
x
.
Sốphầntửcủatập
S
l
à
A.
3
. B.
2
. C.
0
. D.
1
.
Câu 27. Cóbaonhiêucặpsốthực
(
; )a b
đểbấtphươ
ngtrình
2
1
2 2 0x x ax bx
nghiệm
đúng
vớimọi
x
A.
3
. B.
2
. C.
0
. D.
1
.
Câu 28. T
rongsốcáccặpsốthực
;a b
đểbất
phươngtrình
2
1 0x x a x x b
nghiệm
đúng
vớimọi
x
,tích
ab
nhỏnhấtbằng
A.
1
4
. B.
1
. C.
1
4
. D.
1
.
Câu 29. Cho
2hàmsố
7
5 3
3 1y x x x m
và
2
2y x x m
(
m
là
thamsốthực)cóđồthịlần
lượtlà
1
C
,
2
C
.Tập
hợptấtcảcácgiátrịcủa
m
để
1
C
cắ
t
2
C
là
A.
m
. B.
2;m 
. C.
;2m 
. D.
2;m 
.
Câu 30. Có bao nhiêu giá trị nguyêncủa tham số thực
m
thuộc
đoạn
2019;2019
để
phương trì
nh
2
3
2 3 1 5 1 2 4 2 3x x m x x m x x
có
nghiệmthực?
A.
2
019
. B.
4
032
. C.
4
039
. D.
4
033
.
E. BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN
I– Các
dạng toán viết phương trình tiếp tuyến thường gặp
V
iết PTTT
củ
a
: ,C y f x
b
iết
c
ó hệ số góc k cho trước
Gọi
;
o o
M
x y
làtiếpđiểm.Tính
'
'
o
y
y x
.
Dophư
ơngtrìnhtiếptuyến
c
óhệsốgóck
'
o
y
x k
i
Giải
i
tì
mđược
:
o
o o o o
x
y f x y k x x y 
.
Lưu ý.Hệsốgóc '( )
o
k y x củatiếptuyến
thườngchogiántiếpnhưsau:
P
hươngtrìnhtiếptuyến
// :d y ax b k a
.
P
hươngtrìnhtiếptuyến
1
:d y ax b k
a
.
P
hươngtrìnhtiếptuyến
tạo
vớitrụchoànhgóc
t
ank
.
P
hươngtrìnhtiếptuyến
tạo
với
:d
y ax b
góc
ta
n
1 .
k a
k a
V
iết PTTT
củ
a
:
,C y f x
biế
t
đi
qua (kẻ từ) điểm
;
A A
A
x y
Gọi
;
o o
M
x y
làtiếpđiểm.Tính
o o
y
f x
và
'
o
k
y x
theo
o
x .
P
hươngtrìnhtiếptuyến
tại
;
o
o
M
x y
là
:
o
o
y
k x x y
.
Do
;
A
A A A o o
A
x y y k x x y
i
Giảiphư
ơngtrình
o
o
i
x y
và
k 
phương
trình
.
Viết PTTT
của
: ,C y f x
biết
cắt hai trục tọa độ tại A và B sao cho tam giác
OAB
vuông cân hoặc có diện tích S cho trước
m
TÀI
LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33
Gọi ( ;
)
o o
M x
y làtiếpđiểmvàtínhhệsốgóc '( )
o
k y
x theo
o
x .
Đềch
o
. 2
OAB
OAB
S S
OAOB S
i
ii
Giải
i
hoặc
;
o o
ii
x y k 
phươngt
rìnhtiếptuyến
.
Tìm nh
ững điểm trên đường thẳng
: 0d ax by c
mà từ
đó vẽ được
1,2,3,...,n
tiếp
tuyến
với đồ thị hàm số
:C y f x
Gọi
; : 0
M M
M x y d ax by c
(saochocómộtbiến
M
x trongM)
PT
TT
quaMvà
cóhệsốgóckcódạng
:
M M
y k
x x y
.
Ápdụngđiềukiệntiếpxúc:
'
M M
f x
k x x y
f x k
i
ii
Th
ếktừ
ii
vào
,i
được:
' .
M M
f x f x x x y
iii
Sốt
iếptuyếncủa
C
vẽt
ừ
M
sốnghiệm
xcủa
iii
.
Tìm nh
ững điểm
;
M M
M x
y
mà t
ừ đó vẽ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số
:C y
f x
và hai ti
ếp tuyến đó vuông góc nhau
PT
TT
quaMvà
cóhệsốgóckcódạng
:
M M
y k
x x y
.
Ápd
ụngđiềukiệntiếpxúc:
'
M M
f x k x x y
f x k
i
ii
Th
ếktừ
ii
vào
,i
được:
' .
M M
f x
f x x x y
iii
QuaMvẽ
đượchaitiếptuyếnvới
C iii
có
hainghiệmphânbiệt
1 2
,x x .
Haiti
ếptuyếnđóvuônggócnhau
1 2 1 2
. 1
' . ' 1k k y x y x
.
Lưu
ý.
Qua
Mvẽđượchaitiếptuyếnvới saochohaitiếpđiểmnằmvềhaiphíavớitrụchoànhthì
1 2
:
. 0.
i
ii
f x f x
Đốivới
bàitoántìmđiểm
:M C
y f x
sao
chotạiđótiếptuyếnsongsonghoặcvuông
gócv
ớiđườngthẳngdchotrước,tachỉcầngọi
;
o o
M x
y
và
làti
ếptuyếnvới
'
o
k f
x
.
Rồi áp dụng
'
o d
k f
x k
nếu cho song song và
' .
1
o d
f x
k
nếu cho vuông góc
;
o o o
o
x y
M x y
.
Câu 1.
Phươngtrìnhtiếptuyếncủađườngcong
3 2
3 2y
x x tạiđiểmcóhoànhđộ
0
1x là
A.
9 7y
x
. B.
9 7y
x
. C.
9 7y
x
. D.
9 7y
x
.
Câu 2.
Chohàmsố
3 2
3 6
1y x x x
cóđ
ồthị
C
.T
rongcáctiếptuyếncủa
C
,
tiếptuyếncóhệsố
gócnhỏnhấtcóphươngtrìnhlà
A.
3 8y x
. B.
3 2y x
. C.
3 8y x
. D.
3 2y x
.
Câu 3.
Chohàmsố
2 1
1
x
y
x
có
đồthị
C
.T
iếptuyếncủa
C
tạiđi
ểmcóhoànhđộbằng
3
cắtcác
đườngt
iệmcậncủa
C
tạothànhtamgiáccódiệntíchbằng
A.
4 2
2
. B.
2 2
. C.
2
. D.
4
.
C
vuô
ngcân
tạovới
Oxmộtgóc
45
o
và
O
cóhai
nghiệmphânbiệt
1 2
,x x
.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu
4. Chohàmsố
4
2
1
7
8 4
y x x
c
óđồthị
C
.
Cóbaonhiêuđiểm
A
thuộc
đồthị
C
sao
chotiếp
tuyếncủa
C
tại
A
cắt
C
tạiha
iđiểmphânbiệt
1
1
;M
x y
;
2
2
;N
x y
(
M
,
N
khác
A
)
thỏa
mãn
1
2 1 2
3
y y x x
.
A.
3
B.
1
C.
0
D.
2
Câu
5. Chohàmsố
2
1
x
y
x
c
óđồthị
(
)C
v
àđiểm
(
;1)A a
.
Gọi
S
là
tậphợptấtcảcácgiátrịthự
c
củathamsố
a
đểcóđúngmộttiếptuyếncủa
(
)C
điqua
A
.Tổngtấtcảcácgiátrịcácphầntử
của
S
là
A.
1
B.
3
2
C.
5
2
D.
1
2
Câu
6. Chohàmsố
4
2
1
7
4 2
y x x
có
đồthị
C
.
Cóbaonhiêuđiểm
A
t
huộc
C
s
aochotiếptuyến
của
C
tại
A
cắt
C
tại
hai điểm phân biệt
1
1 2 2
;
; ;M x y N x y
khá
c
A
thỏa
mãn
1
2 1 2
6( )y y x x
A.
0
B.
3
C.
1
D.
2
Câu
7. Chohàmsố
4
2
1
14
3 3
y x x
c
óđồthị
C
.
Cóbaonhiêuđiểm
A
thuộc
C
sao
chotiếptuyến
của
C
tại
A
cắt
C
tại
haiđiểmphânbiệt
1
1
;M
x y
,
2
2
;N
x y
(
M
,
N
khác
A
)
thỏamãn
1
2 1 2
8
y
y x x
?
A.
0
B.
3
C.
1
D.
2
Câu
8. Cho hàm số
1
1
x
y
x
c
ó đồ thị
C
.
Phương trìnhtiếp tuyến của
C
tại
điểm cóhoành độ
1 2 3
x
cắt
haiđườngtiệmcậncủa
C
tại
A
và
B
.
Gọi
I
l
àgiaođiểmcủahaiđường
tiệmcậncủacủa
C
.Diệntícht
amgiác
IAB
bằng:
A.
4 2 3 .
B.
4
. C.
5
. D.
3
2 2 3 2
2
.
Câu
9. Chohàmsố
2 3
2
x
y
x
c
óđồthị
C
.
Gọi
I
là
giaođiểmcủacácđườngtiệmcậncủa
C
.
Biết
rằngtồntạihaiđiểm
M
thuộc
đồthị
C
sao
chotiếptuyếntại
M
của
C
tạo
vớiđườngtiệm
cậncủamộttamgiáccóchuvinhỏnhất.Tổnghoànhđộcủahaiđiểm
M
l
à:
A.
4
. B.
0
. C.
3
. D.
1
.
--------------- HẾT ---------------
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 1
A. NHẬN DẠNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Nhận dạng đồ thị hàm số bậc ba
3 2
, ( 0).y ax bx cx d a
Hình dáng: (nhận dạng được dấu của
) :a
2
0
:
3 0
a
N
b ac
2
0
:
3 0
a
b ac
И
Hoành độ điểm uốn là trung điểm của cực đại và cực tiểu (nhận dạng được dấu của
).b
3
b
x
a
xem dương hay âm (hoặc sử dụng
1 2
b
S x x
a
Nhận dạng dấu của
:c
Nếu
2
cực trị nằm hai bên trục
0.Oy ac
Nếu
2
cực trị nằm cùng bên so
1 2
0.
c
Oy P x x
a
Nhận dạng dấu của hệ số
:d
Đồ thị
( ) : 0C Oy x y d
xem dương hay âm.
Điểm đặc biệt trên đồ thị.
Nhận dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương
4 2
, ( 0).y ax bx c a
Hình dáng: (nhận dạng được dấu của
a
và
) :b
0
M :
0
a
b
0
W :
0
a
b
0
:
0
ab
a
0
:
0
ab
a
Tương giao (nhận dạng được dấu của
)c
Cắt
: 0Oy x y c
xem dương hay âm?
Tương giao
,Ox
có
4 2
0ax bx c
và đặt
2
0t x
thì
2
0pt at bt c
( )
Nếu
( )C
cắt
Ox
tại
4
điểm thì
( )
có
4
nghiệm, tức
( )
có
2
nghiệm phân biệt dương
2
4 0b ac
và
0, 0.S P
Điểm đặc biệt trên đồ thị.
Nhận dạng đồ thị hàm số nhất biến
ax b
y
cx d
Tiệm cận:
Tiệm cận đứng
0
d
cx d x
c
xem dương hay âm?
Tiệm cận ngang
a
y
c
dương hay âm?
Đơn điệu:
2
( )
ad bc
y
cx d
Xem đồ thị
( )C
từ trái sang phải:
Nếu đi lên
HS đồng biến
0 0.y ad bc
Nếu đi xuống
HS nghịch biến
0 0.y ad bc
Tương giao với hai trục tọa độ:
Cắt trục
: 0
b
Ox y x
a
xem dương hay âm?
cắt trục
: 0
b
Oy x y
d
xem dương hay âm?
Điểm đặc biệt trên đồ thị.
ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Vấn đề 6
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Nhận dạng đồ thị hàm số mũ
.
x
y a
Vì
0
x
y a
có tập giá trị
(0; )T
nên đồ thị
( )C
nằm phía trên
Ox
và tiệm cận ngang là
hoành
.Ox
Khi
0 1
1
x y
x y a
nên
( )C
luôn đi qua
2
điểm
(0;1), (1; ).M N a
Từ trái sang phải nếu đồ thị
( )C
Đi lên
Đồng biến
1.a
Đi xuống
Nghịch biến
0 1.a
Đồ thị
x
y a
và
1
x
y
a
đối xứng nhau qua trục
.Oy
Nhận dạng đồ thị hàm số lôgarit
log .
a
y x
Vì điều kiện
0x
và tập giá trị là
T
nên đồ thị hàm số lôga luôn nằm bên phải trục
Oy
và tiệm
cận đứng là
.Oy
Khi
1 0
1
x y
x a y
nên
( )C
luôn qua
2
điểm
(1; 0), ( ;1).M N a
Từ trái sang phải nếu đồ thị
( )C
Đi lên
ĐB
1a
1 : log log
0 1 : log log
a b
a b
x x x a b
x x x a b
Đi xuống
0 1a
0 : log log
0 1 : log log
a b
a b
x x x a b
x x x a b
Đối xứng: Đồ thị
log
a
y x
và
x
y a
đối xứng qua
: .d y x
CÂU HỎI CÙNG MỨC ĐỘ ĐỀ MINH HỌA
Câu 1. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngnhưđườngcongtrongdướiđây?
A.
4 2
2y x x
. B.
4 2
2y x x
. C.
3 2
3y x x
. D.
3 2
3y x x .
Lời giải
Chọn A
TừhìnhdạngcủađồthịtaloạiphươngánCvà D.
Nhậnthấy
lim ( )
x
f x


suyrahệsốcủa
4
x
âmnênchọnphươngán A.
x
y
1
x
y a
a
, 0 1
x
y a a
1
O
log
a
y x
1a
0 1a
1
y
x
O
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
Câu 2. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngnhưđườngcongtronghìnhbên?
A.
3
3 y x x
. B.
3
3 y x x
. C.
4 2
2 y x x
. D.
4 2
2 y x x
.
Lời giải
Chọn A
Đườngcongcódạngcủađồthịhàmsốbậc
3
vớihệsố
0a
nênchỉcóhàmsố
3
3y x x
thỏa
yêucầubàitoán.
Câu 3. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngđườngcongtronghìnhvẽbên?
A.
3 2
3 4y x x
. B.
4 2
2 4y x x
. C.
3 2
3 4y x x
. D.
4 2
2 4y x x
.
Lời giải
Chọn A
+)Vìđồthịcủahàmsốtronghìnhvẽcóhaiđiểmcựctrịnênphươngánhàmbậcbốntrùngphương
loại.
+)Nhậnthấy
lim
x
y
hệsố
0a
nênloạiphươngán
3 2
3 4y x x
.
Vậyphươngánđúnglà
3 2
3 4y x x
.
Câu 4. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngđườngcongtronghìnhvẽbên?
A.
3
3 1y x x
. B.
4 2
2 1y x x
. C.
3
3 1y x x
. D.
4 2
2 1y x x
.
Lời giải
Chọn B
+)Tacóđồthịcủahàmsốđathứcbậc4trùngphươngnênphươngánhàmsốbậcbaloại.
+)Nhậnthấy
lim
x
y
hệsố
0a
.
Nênphươngánđúnglà
4 2
2 1y x x
.
Câu 5. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngđườngcongtronghìnhvẽbên?
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
A.
3 2
3 1y x x
. B.
4 2
2 4 1y x x
. C.
4 2
2 4 1y x x
. D.
3 2
3 1y x x
.
Lời giải
Chọn C
+)Tacóđồthịcủahàmsốđathứcbậc4trùngphươngnênphươngánhàmsốbậcbabịloại.
+)Nhậnthấy
lim
x
y
hệsố
0a
nênđápánlà
4 2
2 4 1y x x
.
Câu 6. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngđườngcongtronghìnhvẽbên?
A.
2 3
1
x
y
x
. B.
3
3 1y x x
. C.
4 2
2 1y x x
. D.
2 1
1
x
y
x
.
Lời giải
Chọn D
+)Tacóđồthịcủahàmsốphânthứchữutỷnênphươngánhàmđathứcloại.
+)Nhậnthấyđồthịcótiệmcậnđứnglàđườngthẳng
1x
mẫusốphảichứanhântử
1x
nênloại
phươngán A.
Vậyphươngánđúnglà
2 1
1
x
y
x
.
Câu 7. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngđườngcongnhưhìnhvẽdướiđây?
A.
1
2
x
y
x
. B.
2
2
x
y
x
. C.
2
2
x
y
x
. D.
2
2
x
y
x
.
Lời giải
Chọn B
+)Nhậnthấyđồthịcótiệmcậnđứnglàđườngthẳng
2x
mẫusốphảichứanhântử
2x
+)Nhậnthấyđồthịcótiệmcậnnganglàđườngthẳng
1 lim 1
x
y y
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
Vậyphươngánđúnglà
2
2
x
y
x
Câu 8. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngnhưđườngcongtronghìnhbên?
A.
3 2
3 y x x
. B.
3 2
3 y x x
. C.
4 2
2 y x x
. D.
4 2
2 y x x
.
Lời giải
Chọn A
Đườngcongcódạngcủađồthịhàmsốbậc
3
vớihệsố
0a
nênchỉcóhàmsố
3 2
3 y x x
thỏa
yêucầubàitoán.
Câu 9. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngnhưđườngcongtronghìnhvẽbêndưới?
A.
3 2
2 1y x x x
. B.
4
1y x x
. C.
3
2 1y x x
. D.
3 2
2 1y x x
.
Lời giải
Chọn A
Đồthịtronghìnhlàđồthịhàmsốbậcba
3 2
y ax bx cx d
với
0a
.Ngoàira,tungđộgiao
điểmcủađồthịvớitrụctungdươngnên
0d
.
Vậychỉcóphươngán
A
làphùhợp.
Câu 10. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngnhưđườngcongtronghìnhbên?
A.
3
3 1 y x x
. B.
3
3 1 y x x
. C.
2
2 1 y x x
. D.
4 2
2 y x x
.
Lời giải
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Chọn B
Đườngcongcódạngcủađồthịhàmsốbậc
3
vớihệsố
0a
nênchỉcóhàmsố
3
3 1 y x x
thỏayêucầubàitoán.
Câu 11. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngnhưđườngcongtronghìnhvẽbêndưới?
A.
2
2 1y x x
. B.
4
3 1y x x
. C.
4
1y x x
. D.
4 2
2 1y x x
.
Lời giải
Chọn B
Đồthịtronghìnhlàđồthịhàmsốbậcbốntrùngphương
4 2
y ax bx c
với
0a
.Ngoàira,tung
độgiaođiểmcủađồthịvớitrụctungâmnên
0c
.
Vậychỉcóphươngán
B
làphùhợp.
Câu 12. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngnhưđườngcongtronghìnhbên?
A.
4 2
2 y x x
. B.
3 2
3 y x x
. C.
4 2
2 y x x . D.
3
3 y x x .
Lời giải
Chọn A
Đườngcongcódạng củađồthịhàmsố bậc
4
trùngphươngvới hệsố
0a
nênchỉcó hàmsố
4 2
2 y x x
thỏayêucầubàitoán.
Câu 13. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngnhưđườngcongtronghìnhvẽbêndưới?
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
A.
2
1
x
y
x
. B.
2
1
x
y
x
. C.
2
1
x
y
x
. D.
2
1
x
y
x
.
Lời giải
Chọn C
Tấtcảcáchàmsốtrongđềbàiđềucódạng
ax b
y
cx d
,dođóđềucóthểcóđồthịnhưhìnhvẽ.
Dựa vào vị trí giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ, ta được
0
b
x
a
và
0
b
y
d
. Vì
1 0a
nêntasuyra
0b
và
0d
.
Vậychỉcóphươngán
C
làphùhợp.
Câu 14. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngnhưđườngcongtronghìnhbên?
A.
4 2
2 y x x
. B.
3
3 y x x
. C.
2
2 y x x
. D.
4 2
2 y x x
.
Lời giải
Chọn D
Đườngcongcódạngcủa đồthịhàmsốbậc
4
trùngphươngvới hệsố
0a
nênchỉ cóhàmsố
4 2
2 y x x
thỏayêucầubàitoán.
Câu 15. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngnhưđườngcongtronghìnhvẽbêndưới?
A.
3
3 1y x x
. B.
3
1
2 1
3
y x x
. C.
3 2
1y x x
. D.
3 2
1
2 1
2
y x x
.
Lời giải
Chọn B
+)Đồthịtronghìnhlàđồthịhàmsốbậcba
3 2
y ax bx cx d với
0a
(vìhàmsốnghịchbiến).
Dođóloạiđượccácphươngán
C
và
D
.
+)Vìđồthịhàmsốkhôngcócựctrịnênphươngtrình
0y
vônghiệm,loạiđượcphươngán
A
.
Vậychỉcóphươngán
B
làphùhợp.
Câu 16. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngnhưđườngcongtronghìnhbên?
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
A.
2
1
x
y
x
. B.
2
1
x
y
x
. C.
2 1
1
x
y
x
. D.
3
3 2 y x x .
Lời giải
Chọn A
Đườngcongcódạngcủađồthịhàmsốhữutỉbậc
1
trênbậc
1
,đồthịcócácđườngtiệmcậnđứng
1x
vàtiệmcậnngang
1y
nênchỉcóhàmsố
2
1
x
y
x
thỏayêucầubàitoán.
Câu 17. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngnhưđườngcongtronghìnhvẽbêndưới?
A.
2
2 1y x
. B.
4
3 1y x x
. C.
4 2
3 1y x x
. D.
4 2
2 1y x x
.
Lời giải
Chọn D
+)Dựavàohìnhdángđồthị,tacóthểloạingayphươngán
B
.
+)Hàmsốchỉcómộtcựctrịnêntaloạiphươngán
C
,vìvớihàmsốởphươngán
C
,phươngtrình
0y
có3nghiệmphânbiệt.
+)Dựavàotungđộgiaođiểmcủađồthịhàmsốvớitrụctung,taloạiphươngán
A
.
+)Hàmsốởphươngán
D
thỏamãnđầyđủcáctiêuchuẩntrênnênlà
D
đápán.
Câu 18. Đồthịcủahàmsốnàodướiđâycódạngnhưđườngcongtronghìnhbên?
A.
2 1
1
x
y
x
. B.
1
2
x
y
x
. C.
2
3 2 1 y x x
. D.
1
1
x
y
x
.
Lời giải
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
Chọn D
Đườngcongcódạngcủađồthịhàmsốhữutỉbậc
1
trênbậc
1
,đồthịcócácđườngtiệmcậnđứng
1x
vàtiệmcậnngang
1y
nênchỉcóhàmsố
1
1
x
y
x
thỏayêucầubàitoán.
Câu 19. Đồthịnàodướiđâycódạngnhưđườngcongtronghìnhvẽbên?
A.
3
3 1y x x
. B.
3
3 1y x x
. C.
4 2
2 1x x
. D.
4 2
2 1y x x
.
Lời giải
Chọn A
DựavàohìnhdángcủađồthịloạingayđápánB,CvàDvìđồthịtrênlàcủahàmsốbậc3códạng
3 2
y ax bx cx d
0a
.
Câu 20. Chohàmsố
3 2
0y ax bx cx d a
cóđồthịnhưhìnhvẽdướiđây.Chọnkhẳngđịnhđúngvề
dấucủa
a
,
b
,
c
,
d
?
A.
0a
,
0b
,
0d
,
0c
B.
0a
,
0c b
,
0d
C.
0, 0, 0, 0.a b c d
D.
0a
,
0b
,
0c
,
0d
lời giải
Chọn D
Dựavàođồthịtacó
0a
,đồthịcắt
Oy
tại
1
điểmcótungđộdươngnên
0d
,đồthịcó
2
cựctrị
tráidấunên
1 2
. 0 0 0
c
x x c
a
.VậyđápánD
Câu 21. Chohàmsố
4 2
y ax bx c
(
0a
)cóđồthịnhưhìnhvẽdướiđây.
Mệnhđềnàodướiđâyđúng?
A.
0a
,
0b
,
0c
. B.
0a
,
0b
,
0c
.C.
0a
,
0b
,
0c
. D.
0a
,
0b
,
0c
.
Lời giải
Đồthịcắttrụctungtạiđiểm
0;c
,từđồthịsuyra
0c
y
x
O
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Mặt khác đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nên
0y
có ba nghiệm phân biệt, hay
3 2
4 2 2 2 0y ax bx x ax b
cóbanghiệmphânbiệt.Suyra
,a b
tráidấu.
Mà
0 0a b
Câu 22. Chohàmsố
3 2
y ax bx cx d
cóđồthịnhưhìnhvẽbên.
Mệnhđềnàodướiđâyđúng?
A.
0, 0, 0, 0a b c d
B.
0, 0, 0, 0a b c d
C.
0, 0, 0, 0a b c d
D.
0, 0, 0, 0a b c d
Lời giải
Chọn B
Đạohàm:
2
3 2y ax bx c
Từhìnhdángđồthịsuyra:
Hệsố
0a
0y
cómộtnghiệmbằng
1
0x vàmộtnghiệm
2
0x .
0y
cómộtnghiệmbằng
1
0x
0c
.
1 2 2
2 2
0
3 3
b b
x x x
a a
mà
0a
nên
0 0b b
Câu 23. Cho hàm số
3 2
y ax bx cx d
có đồ thị như hình bên. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào
đúng?
A.
0, 0, 0ab bc cd
B.
0, 0, 0ab bc cd
C.
0, 0, 0ab bc cd
D.
0, 0, 0ab bc cd
Lời giải
Chọn A
Từdángđiệucủađồthịtacóngayđược:
lim ; lim 0
x x
y y a
 
 
.
Đồthịhàmsốcắttrụctungtạimộtđiểmcótungđộdươngnên
0d
.
Tacó:
2
' 3 2y ax bx c
Mặtkhácdựavàođồthịtathấyphươngtrình
' 0y
cóhainghiệmtráidấuvàtổnghainghiệmnày
luôndươngnên
0
0
2
0
3
ac
c
b
b
a
(do
0a
)
Dođó:
0, , 0ab bc cd
.
x
y
O
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
Câu 24. Chohàmsố
3 2
y ax bx cx d
cóđồthịnhưhìnhdưới.Khẳngđịnhnàosauđâyđúng?
A.
0, 0, 0, 0a b c d
B.
0, 0, 0, 0a b c d
C.
0, 0, 0, 0a b c d
D.
0, 0, 0, 0a b c d
Lờigiải
ChọnD
-Dựavàohìnhdángcủađồthịsuyrahệsố
0a
.
-Đồthịcắttrục
Oy
tạiđiểmcótungđộâmnên
0d
.
-Tathấyđồthịnhưhìnhvẽcóhaiđiểmcựctrị,hoànhđộcácđiểmcựctrịtráidấusuyraphương
trình
2
3 2 0y ax bx c
có2nghiệm
1 2
,x x
tráidấukéotheo
3 . 0 0a c c
.
-Mặtkhác
1 2
0 0
2 3
x x b
b
a
.
Câu 25. Chohàmsố
3
3 ;y ax x d a d
cóđồthịnhưhìnhbên.Mệnhđềnàodướiđâyđúng?
A.
0, 0a d
. B.
0, 0a d
. C.
0, 0a d
. D.
0, 0a d
.
Lời giải
Chọn D
Tacó:
lim
x

đồthịnhánhngoàicùngcủahàmsốhướngđixuốngnênhệsố
0a
.
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung
: 0Oy x
là điểm nằm bên dưới trục hoành nên khi
0 0x y d
.
Câu 26. Chohàmsố
1ax
f x
bx c
, ,a b c
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
Trongcácsố
,a b
và
c
cóbaonhiêusốdương?
A. 2. B. 3. C. 1. D. 0.
Lời giải
Chọn C
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Hàmsố
1ax
f x
bx c
cóđườngtiệmcậnđứnglàđườngthẳng
c
x
b
vàđườngtiệmcậnnganglà
đườngthẳng
a
y
b
.
Từbảngbiếnthiêntacó:
2
2
1
c
c
b
a b
a
b
1
Mặtkhác:
2
'
ac b
f x
bx c
.
Vìhàmsốđãchođồngbiếntrêncáckhoảng
;2
và
2;
nên
2
' 0 0
ac b
f x ac b
bx c
2
Thay
1
vào
2
,tađược:
2
2
0 0 0 1
2 2
c c
c c c
.
Suyraclàsốdươngvàa,blàsốâm.
Câu 27. Chohàmsố
1
, ,
ax
f x a b c
bx c
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
Trongcácsố
,a b
và
c
cóbaonhiêusốâm?
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
0
.
Lời giải
Chọn A
Từbảngbiếnthiêncó:
Đồthịhàmsố
f x
cótiệmcậnngang
2 2 2
a
y a b
b
.
Đồthịhàmsố
f x
cótiệmcậnđứng
1 1
c
x c b
b
.
Hàmsố
f x
nghịchbiếntrêncáckhoảngxácđịnhnên
0ac b
.
Từbađiềukiệntrêntacó
2
1
2 . 0 2 0 0
2
b b b b b b
.
Suyra
0, 0, 0b c a
.
Vậycảbasố
, ,a b c
đềuâm.
Câu 28. Chohàmsố
3
2
ax
y f x
x b
cóbảngbiếnthiênnhưsau
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
Giátrị
2a b
bằng?
A.
8
B.
6
C.
0
D.
10
Lời giải
Chọn C
Đk:
. 6 0 . 6a b a b
TừBBTtadễdàngnhậnthấyĐTHScóTCNlà:
2y
vàtiệmcậnđứnglà:
1x
Suyra
2 4
2
a
a
và
1 2
2
b
b
(TMĐK)
Vậy
2 4 2.2 0a b
.
Câu 29. Chohàmsố
3 2
y ax bx cx d
cóđồthịnhưhìnhvẽbên.Mệnhđềnàosauđâylàđúng?
A.
0, 0, 0, 0.a b c d
B.
0, 0, 0, 0.a b c d
C.
0, 0, 0, 0.a b c d
D.
0, 0, 0, 0.a b c d
Lời giải
Chọn C
Tacó
2
3 2 .y ax bx c
Đồthịhàmsốthểhiện
0;a
cắttrụctungtạiđiểmcótungđộdươngnên
0.d
Dựavàođồthịhàmsố,tathấy
CT C CT
C C CT
1 0
1 0 . 0
x x x
x x x

Ð
Ð Ð
0
0
2
0 0 0
3
.
0 0 0
3
a
a
b b
b
a a
c c
c
a a
Vậy
0, 0, 0, 0.a b c d
Câu 30. Chohàmsố
3ax
f x b
bx c
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Tínhtổng
S a b c
.
A.
2
. B.
2
. C.
0
. D.
1
.
Lời giải
Chọn A
Từbảngbiếnthiêncó:
Đồthịhàmsố
f x
cótiệmcậnngang
2 2 2
a
y a b
b
.
Đồthịhàmsố
f x
cótiệmcậnđứng
1 1
c
x c b
b
.
Hàmsố
f x
nghịchbiếntrêncáckhoảngxácđịnhnên
3 0ac b
.
Từbađiềukiệntrêntacó
2
3
2 . 3 0 2 3 0 0
2
b b b b b b
.
Mà
b
nênsuyra
1 1, 2b c a
.
Vậy
2 1 1 2S a b c
.
Câu 31. Hàmsố
4 2
y ax bx c
cóđồthịnhưhìnhvẽbên.Mệnhđềnàosauđâylàđúng?
x
y
O
A.
0, 0, 0.a b c
B.
0, 0, 0.a b c
C.
0, 0, 0.a b c
D.
0, 0, 0.a b c
Lời giải
Chọn B
Đồthịhàmsốthểhiện
0.a
Đồthịhàmsốcóbađiểmcựctrịnên
0 0.ab b 
Đồthịhàmsốcắttrụctungtạiđiểmcótungđộâmnên
0.c
Vậy
0, 0, 0a b c
.
Câu 32. Chohàmsố
, ,
1
ax b
f x a b c
cx b
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
Biếttậphợptấtcảcácgiátrị
b
thoảmãnlàkhoảng
;m n
.Tínhtổng
2S m n
.
A.
5
2
S
. B.
3
2
S
. C.
5
2
S
. D.
2S
.
Lời giải
Chọn D
Từbảngbiếnthiêncó:
Đồthịhàmsố
f x
cótiệmcậnngang
1 1
a
y a c
c
.
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
Đồthịhàmsố
f x
cótiệmcậnđứng
1 1
2 2
2
b b
x c
c
.
Hàmsố
f x
đồngbiếntrêncáckhoảngxácđịnhnên
1 0a b bc
.
Từbađiềukiệntrêntacó:
1
1 0 2 1 0 2 1 0
2
b
c b bc c b b
1 1
1 2 1 0 1 1;
2 2
b b b b
.
Suyra
1m
và
1
2
n
.Vậy
1
2 1 2 2
2
S m n
.
Câu 33. Chohàmsố
3 2
y ax bx cx d
cóđồthịnhưhìnhdướiđây.Khẳngđịnhnàosauđâylàđúng?
A.
2
0
3 0
a
b ac
. B.
2
0
3 0
a
b ac
. C.
2
0
3 0
a
b ac
. D.
2
0
3 0
a
b ac
.
Lời giải
Chọn B
Dựavàođồthịtacó
lim 0
x
y a

.
Từđồthịtasuyra
0y
,
2
3 2 0ax bx c
,
.
2
3 0b ac
.
Vậy
2
0
3 0
a
b ac
.
Câu 34. Chohàmsố
3 2
y ax bx cx d
cóđồthịnhưhìnhvẽbên.Mệnhđềnàodướiđâyđúng?
A.
0, 0, 0, 0a b c d
. B.
0, 0, 0, 0a b c d
.
C.
0, 0, 0, 0a b c d
. D.
0, 0, 0, 0a b c d
.
Lời giải
Chọn A
Tacó:
lim .
x
y

Suyra
0.a
Đồthịhàmsốđiquagốctọađộ
O
nên
0.d
Gọi
1 2
,x x
làhaiđiểmcựctrịcủahàmsốđãchotacó:
1 2
2
0 0 0.
3
b
x x ab b
a
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
1 2
0 0.
3
c
x x c
a
Vậy
0, 0, 0, 0.a b c d
Câu 35. Hàmsố
ax b
y
cx d
với
0a
cóđồthịnhưhìnhvẽbên.Mệnhđềnàosauđâylàđúng?
x
y
O
A.
0, 0, 0.b c d
B.
0, 0, 0.b c d
C.
0, 0, 0.b c d
D.
0, 0, 0.b c d
Lời giải
Chọn A
Từđồthịhàmsố,tathấy
●Khi
0
0 0 0.
a
b
y x b
a
●Khi
0
0 0 0
b
b
x y d
d
.
Đồthịhàmsốcótiệmcậnđứng
0
0 0.
d
d
x c
c

Vậy
0, 0, 0.b c d
Câu 36. Đườngcongởhìnhbênlàđồthịcủahàmsố
ax b
y
cx d
với , , ,a b c d làcácsốthực.Mệnhđềnào
dướiđâyđúng?
A. 0, 0.ab ad B. 0, 0.ab ad C. 0, 0.bd ad D. 0, 0.ab ad
Lời giải
Chọn A
Tiệmcậnđứng:
0 0 (1)
d
x cd
c
Tiệmcậnngang:
0 0 (2)
a
y ac
c
Khi
0x
thì
0 0 3
b
y bd
d
Từ
1
và
2
suyra:
0 (4)ad
Từ
3
và
4
suyra:
0ab
Câu 37. Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàmsố
4 2
y x mx n
, với
, m n
. Biết phương trình
4 2
0 x mx n
có
k
nghiệmthựcphânbiệt,
*
k
.
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17
Mệnhđềnàodướiđâyđúng?
A.
4k
và
0mn
. B.
4k
và
0mn
. C.
2k
và
0mn
. D.
2k
và
0mn
.
Lời giải
Chọn B
Đồ thị hàm số
4 2
y x mx n cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt nên phương trình
4 2
0 x mx n
có4nghiệmphânbiệt,suyra
4k
.
Hàmsốcó3cựctrịnên
0m
.
Đồthịhàmsốcắttrụctungtạiđiểmcótungđộdươngnên
0n
(cho
0 0x y n
).
Dođó
0mn
.
Câu 38. Chohàmsố
1
( , , )
ax
y a b c
bx c
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
Trongcácsố
a
,
b
và
c
cóbaonhiêusốâm?
A.
2.
B.
3.
C.
1.
D.
0.
Lời giải
Chọn B
Tiệmcậnđứng:
1 0 0 0
c
x bc
b
Tiệmcậnngang:
2 0 0 0
a
y ab
b
Đồthịhàmsốcắttrụchoànhtạiđiểmcó
1
1 0 0 0 0 0x a b c
a
B. TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ
Cho hai đồ thị hàm số
( ) : ( )C y f x
và
( ) : ( ).C y g x
Tọa độ giao điểm (nếu có) của
( )C
và
( )
C
là nghiệm của hệ phương trình:
( )
( ) ( )
( )
y f x
f x g x
y g x
( )
― Phương trình
( )
được gọi là phương trình hoành độ điểm chung của
( )C
và
( ).C
― Số nghiệm của
( )
chính là số điểm chung của hai đồ thị.
― Nếu
( )
vô nghiệm thì hai đồ thị không có điểm chung.
B1. THÔNG QUA BẢNG BIẾN THIÊN, ĐỒ THỊ
Câu 1. Chohàmbậcba
y f x
cóđồthịtronghìnhvẽbên.Sốnghiệmcủaphươngtrình
3 ( ) 4f x
là
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
A.
2.
B.
1.
C.
0.
D.
3.
Lời giải
Chọn D
Phươngtrình
4
3 ( ) 4
3
f x f x
.
Sốnghiệmcủaphươngtrình
4
3
f x
bằngsốgiaođiểmcủađồthịhàmsố
y f x
vàđường
thẳng
4
3
y
(nhưhìnhvẽ).
Dựavàođồthịtathấycó3giaođiểm.
Vậyphươngtrìnhcó3nghiệmphânbiệt.
Câu 2. Chohàmsố
f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau
Sốnghiệmcủaphươngtrình
3 ( ) 2 0f x
là
A.
2.
B.
0.
C.
3.
D.
1.
Lời giải
Chọn C
Tacó
2
3 ( ) 2 0 ( )
3
f x f x
2
3
y
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19
Căncứvàobảngbiếnthiênthìphươngtrinh
2
3 ( ) 2 0 ( )
3
f x f x
có3nghiệmphânbiệt.
Câu 3. Chohàmsốbậcbốn
y f x
cóđồthịtronghìnhbên.Sốnghiệmcủaphươngtrình
1f x
là
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
4
.
Lời giải
Chọn D
Sốnghiệmcủaphươngtrình
1f x
bằngsốgiaođiểmcủađồthịhàmsố
y f x
vàđường
thẳng
1y
(hìnhvẽ).
Dựavàođồthịtathấycó4giaođiểm.
Vậyphươngtrìnhcó4nghiệm.
Câu 4. Cho hàm số
f x
có bảng biến thiên như sau:
Sốnghiệmcủaphươngtrình
4 3 0 f x
là
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
A.
2
. B.
0
. C.
3
. D.
4
.
Lời giải
Chọn D
Sốnghiệmcủaphươngtrình
4 3 0 f x
cũngchínhlàsốnghiệmcủaphươngtrình
3
4
f x
.
DựavàoBBT,tathấyđườngthẳng
3
4
y cắtđồthị
y f x
tại4điểmphânbiệt.
Vậyphươngtrình
4 3 0 f x
có4nghiệmphânbiệt.
Câu 5. Chohàmsố
y f x
cóđồthịnhưhìnhvẽbên.Phươngtrình
2
4f x
cósốnghiệmlà
A.
0
. B.
3
. C.
4
. D.
2
.
Lời giải
Chọn B
Phươngtrình
2
( ) 2
4 .
( ) 2
f x
f x
f x
Sốnghiệmcủaphươngtrình
2f x
bằngsốgiaođiểmcủađồthịhàmsố
y f x
vàđường
thẳng
2y
(nhưhìnhvẽ).
Sốnghiệmcủaphươngtrình
2f x
bằngsốgiaođiểmcủađồthịhàmsố
y f x
vàđường
thẳng
2y
(nhưhìnhvẽ).
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21
Vậyphươngtrình
2
4f x
có
3
nghiệmphânbiệt.
Câu 6. Chohàmsố
f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
Sốnghiệmcủaphươngtrình
2
2 7 5 0
f x f x
là
A.
6
. B.
4
. C.
3
. D.
5
.
Lời giải
Chọn B
2
1
2 7 5 0
5
2
f x
f x f x
f x
DựavàoBBT,tathấyđườngthẳng
1y
cắtđồthị
y f x
tại3điểmphânbiệt,
đườngthẳng
5
2
y cắtđồthị
y f x
tại1điểm.
Cácđiểmnàykhôngtrùngnhau.Vậyphươngtrình
2
2 7 5 0
f x f x
có4nghiệmphân
biệt.
Câu 7. Chohàmbậcbốn
y f x
cóđồthịtronghìnhvẽbên.Sốnghiệmcủaphươngtrình
( ) 5f x
là
A.
0
. B.
3
. C.
4
. D.
2
.
Lời giải
Chọn D
Phươngtrình
5.f x
Sốnghiệmcủaphươngtrình
5f x
bằngsốgiaođiểmcủađồthịhàmsố
y f x
vàđường
thẳng
5y
(nhưhìnhvẽ).
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Dựavàođồthịtathấycó2giaođiểm.
Vậyphươngtrìnhcó2nghiệmphânbiệt.
Câu 8. Chohàmsố
y f x
cóđồthịnhưhìnhvẽ:
Sốnghiệmthựccủaphươngtrình
6 5 0f x
là
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D.
3
.
Lời giải
Chọn D
Phươngtrìnhđãchotươngđươngvới
5
6
f x
.
Tathấyđườngthẳng
5
6
y
cóbađiểmchungphânbiệtvớiđồthịhàmsố
y f x
nênphương
trìnhđãchocó
3
nghiệmphânbiệt.
Câu 9. Chohàmsố
y f x
cóđồthịtronghìnhvẽbên.Sốnghiệmcủaphươngtrình
2 ( ) 1 0f x
là
A.
0
.
B.
1.
C.
3.
D.
2.
Lời giải
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23
Chọn D
Phươngtrình
1
2 ( ) 1 0
2
f x f x
.
Sốnghiệmcủaphươngtrình
1
2
f x
bằngsốgiaođiểmcủađồthịhàmsố
y f x
vàđường
thẳng
1
2
y
(nhưhìnhvẽ).
Dựavàođồthịtathấycó2giaođiểm.
Vậyphươngtrìnhcó2nghiệmphânbiệt.
Câu 10. Chohàmsố
f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
Sốnghiệmthựccủaphươngtrình
3 10 0f x
là
A.
1
. B.
4
. C.
2
. D.
3
.
Lời giải
Chọn B
Phươngtrìnhđãchotươngđươngvới
10
3
f x
.
Tathấyđườngthẳng
10
3
y
cóbốnđiểmchungphânbiệtvớiđồthịhàmsố
y f x
nênphương
trìnhđãchocó
4
nghiệmphânbiệt.
Câu 11. Chohàmsố
( )y f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
Sốnghiệmthựccủaphươngtrình
3 ( ) 2 0f x
là:
A.
4.
B.
3.
C.
2.
D.
1.
Lời giải
Chọn A
Xétphươngtrình
3 ( ) 2 0f x
2
( ) (1)
3
f x
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Tacó:sốnghiệmthựccủaphươngtrình
(1)
chínhlàsốgiaođiểmcủađồthịhàmsố
( )y f x
vàđồ
thịcủađườngthẳng
2
.
3
y
Dựavàobảngbiếnthiên,tacó:
Vậyphươngtrình
3 ( ) 2 0f x
có4nghiệmthực.
Câu 12. Chohàmsố
y f x
liêntụctrêncáckhoảng
;0
và
0;
,cóbảngbiếnthiênnhưsau
Sốnghiệmthựccủaphươngtrình
2 ( ) 3 0f x
là:
A.
4.
B.
3.
C.
2.
D.
1.
Lời giải
Chọn A
Xétphươngtrình
3
2 ( ) 3 0 ( ) (1)
2
f x f x
Tacó:sốnghiệmthựccủaphươngtrình
(1)
chínhlàsốgiaođiểmcủađồthịhàmsố
( )y f x
vàđồ
thịcủađườngthẳng
3
.
2
y
Dựavàobảngbiếnthiên,tacó:
Vậyphươngtrình
2 ( ) 3 0f x
có4nghiệmthực.
Câu 13. Chohàmsố
y f x
cóđồthịnhưhìnhsau:
x

1
x
0
2
x
y
0
0
y
3
2


4
3
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25
Sốnghiệmcủaphươngtrình
1
2
1
f x
f x
là
A.
3
. B.
1
. C.
2
. D.
4
.
Lời giải
Chọn D
Tacó
1
2
1
f x
f x
1 2 2f x f x
1
3
f x
Nhưvậy,sốnghiệmthựccủaphươngtrình
(1)
chínhlàsốgiaođiểmcủađồthịhàmsố
( )y f x
và
đồthịcủađườngthẳng
1
.
3
y
Dựavàođồthịtacóđườngthẳng
1
3
y
cắtđồthịhàmsố
y f x
tạibốnđiểmphânbiệt.
Vậyphươngtrìnhđãchocóbốnnghiệm.
B2. GIỮA HAI HÀM SỐ
Câu 14. Sốgiaođiểmcủađồthịhàmsố
4 2
2 3y x x
vàtrụchoànhlà
A.
0
. B.
4
. C.
2
. D.
3
.
Lời giải
Chọn C
Tacó
2
0
4 1 0
1
x
y x x y
x
Bảngbiếnthiên:
Từbảngbiếnthiênsuyrađồthịcắttrụchoànhtạihaiđiểmphânbiệt.
Câu 15. Sốgiaođiểmcủađồthịhàmsố
3 2
2 3 4y x x
vàtrụchoànhlà
A.
3
. B.
0
. C.
2
. D.
1
.
Lời giải
Chọn D
+Tacó
2
0
6 6 6 1 0
1
x
y x x x x y
x
.
+Bảngbiếnthiên:
Từbảngbiếnthiênsuyrađồthịcắttrụchoànhtạimộtđiểm.
Câu 16. Sốgiaođiểmcủađồthịhàmsố
3
3 1y x x
vàtrụchoànhlà
A.
3
. B.
0
. C.
2
. D.
1
.
Lời giải
Chọn A
Tậpxácđịnh:
.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Tacó:
2 2
3 3 3 1 ; 0 1y x x y x
.
Bảngbiếnthiên
Từbảngbiếnthiêntathấyđồthịhàmsốcắttrụchoànhtại
3
điểmphânbiệt.
Câu 17. Sốgiaođiểmcủađồthịhàmsố
3 2
3 1y x x
vàtrụchoànhlà
A.
3
. B.
0
. C.
2
. D.
1
.
Lời giải
Chọn D
Tacó:
2
3 6 3 2y x x x x
.
2
0 3 2 0
0
x
y x x
x
.
Từbảngbiếnthiênsuyrađồthịcắttrụchoànhtạimộtđiểm.
Câu 18. Đồthịcủahàmsố
4 2
3 1y x x
cắttrụctungtạiđiểmcótungđộbaonhiêu
A. -3. B. 0. C. 1. D. -1.
Lời giải
Trụctungcóphươngtrình: 0x .Thay 0x vào
4 2
3 1y x x
được:
1y
.
Câu 19. Sốgiaođiểmcủađườngcong
3 2
2 2 1y x x x
vàđườngthẳng
1y x
là
A.
1
B.
2
C.
3
D.
0
Lời giải
Chọn A
Xétphươngtrìnhhoànhđộgiaođiểm
3 2
3 2
2
2 2 1 1
2 3 0
2 3 0 0
x x x x
x x x
x x x x
Câu 20. đồthịhàmsố
4 2
3 1y x x vàđồthịhàmsố
2
2 7y x cóbaonhiêuđiểmchung?
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Lời giải
Chọn C.
Pthdgd:
2
4 2 2 4 2
2
3
3 1 2 7 6 0 3
2
x
x x x x x x
x
.
Doptcó
2
nghiệmnênđồthịhaihàmsốcó
2
điểmchung.
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27
Câu 21. Chohàmsố
3
2 5y x x
cóđồthị
C
Tìmsốgiaođiểmcủa
C
vàtrụchoành.
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
0
.
Lời giải
Chọn B.
Pthdcủa
C
vàtrụchoànhlà:
3
0
2 5 0
5
2
x
x x
x
có
3
giaođiểm.
Chúý:ỞbàitoánnàyhoàntoàncóthểgiảitrựctiếpbằngCasiovớiphươngtrình
3
2 5 0
x x
,
nhưngchắcchắnthaotácbấmmáysẽchậmhơnviệctínhtay(thậmchíbàinàykhôngcầnnhápkhi
màkếtquảđãhiệnraluônkhitađọcđềxong).Vìvậy,Casiolàđiềukhôngcầnthiếtvớicâuhỏinày.
Câu 22. Chohàmsố
2
3 2
y x x
cóđồthị
C
.Mệnhđềnàodướiđâyđúng?
A.
C
cắttrụchoànhtạihaiđiểm. B.
C
cắttrụchoànhtạimộtđiểm.
C.
C
khôngcắttrụchoành. D.
C
cắttrụchoànhtạibađiểm.
Lời giải
Chọn B.
Pthdcủa
C
vàtrụchoànhlà:
2
2
3
3 2 0 3
2
x
x x x
x
nghĩalà
C
cắttrụchoànhtạimộtđiểm
Câu 23. Biết rằng đường thẳng
2
y x
cắt đồ thị hàm số
3 2
4
y x x x
tại điểm duy nhất, kí hiệu
0 0
;x y
làtọađộcủađiểmđó.Tìm
0
y
.
A.
0
1
y
. B.
0
3
y
. C.
0
2
y
. D.
0
4
y
.
Lời giải
Chọn A.
Pthdgd:
3 2 3 2
0
2 4 2 0 1 1
x x x x x x x y
.
Câu 24. Tìmsốgiaođiểmcủađồthịhàmsố
4
4 5
y x
vàđườngthẳng
y x
A.
3
. B.
0
. C.
2
. D.
1
.
Lời giải
Cách 1:Phươngtrìnhhoànhđộgiaođiểm
4 4
4 5 4 5x x x x
4 2
5
4 ( 5)
x
x x
4 2
5
10 29 0 (*)
x
x x x
Do
5
x
nên
4 2 2 2
( 1) 0
x x x x
và
10 29 0
x
.Vìvậy
(*)
vônghiệm
Nhưvậyphươngtrình
4
4 5
x x
vônghiệmhayđồthịhàmsố
4
4 5
y x
vàđườngthẳng
y x
khôngcógiaođiểmnào.
Cách 2:
Phươngtrìnhhoànhđộgiaođiểm
4
4 5
x x
.
Tacóđiềukiệnxácđịnh
2
2
x
x
Vớiđiềukiệntrêntacó
4 4
4 5 4 5 0
x x x x
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Xéthàmsố
4
( ) 4 5h x x x
.Tacó
3
4
2
'( ) 1
4
x
h x
x
;
3 4
'( ) 0 2 4h x x x
Với
2x
tacó
3 4
2 4x x
.Với
2x
tacó
3 4
2 4x x
TacóBảngbiếnthiên:
Sốnghiệmcủaphươngtrình
4
4 5x x
làsốgiaođiểmcủađồthị
4
( ) 4 5y h x x x
và
trụchoành
0y
.DựavàoBBTtathấyphươngtrình
4
4 5x x
vônghiệmhayđồthịhàmsố
4
4 5y x
vàđườngthẳng
y x
khôngcógiaođiểmnào.
B3. HÀM HỢP, HÀM ẨN (LUÔN GẶP NĂM GẦN ĐÂY)
Câu 25. Chohàmsố
f x
cóđồthịnhưhìnhvẽbêndưới:
Sốnghiệmcủaphươngtrình
1 3 0 f x
là
A.
4
. B.
0
. C.
3
. D.
2
.
Lời giải
Chọn A
Xétphươngtrình
3 0 3 f x f x
.
Dựavàohìnhvẽ,tathấyđườngthẳng
3y
cắtđồthị
y f x
tại4điểmphânbiệtcóhoànhđộ
lầnluợtlà
1 2 3 4
, , ,x x x x
.
Khiđóphươngtrình
1 1
2 2
3 3
4 4
1 1
1 1
1 3 0 1 3
1 1
1 1
x x x x
x x x x
f x f x
x x x x
x x x x
.
Vậyphươngtrình
1 3 0 f x
có4nghiệmphânbiệt.
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29
Câu 26. Chohàmsố
y f x
cóđồthịnhưhìnhvẽbên.
Phươngtrình
2 2f x
cóbaonhiêunghiệmthựcphânbiệt?
A.
4.
B.
2.
C.
6.
D.
3.
Lời giải
Chọn B
Sốgiaođiểmcủađồthịhàmsố
y f x
vớiđườngthẳng
y k
vàsốgiaođiểmcủađồthịhàmsố
y f x p
vớiđườngthẳng
y k
luônnhưnhau.
Do đó số nghiệm của phương trình
2 2f x
cũng chính là số nghiệmcủa phương trình
2f x
Phươngtrình
2 2 1
2 2 2
f x f x
f x f x
Xét
1
:Vì
2 4
nênptcó
1
nghiệm
Xét
2
:Vì
2 0
nênptcó
1
nghiệm
Vậyphươngtrìnhđãchocó
2
nghiệm.
Câu 27. Chohàmsố
f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
Sốnghiệmthuộcđoạn
;2
củaphươngtrình
2 sin 3 0f x
là
A.
4
. B.
6
. C.
3
. D.
8
.
Lời giải
Chọn B
Đặt
sint x
.Do
;2x
nên
1;1t
.
Khiđótacóphươngtrình
3
2 3 0
2
f t f t
.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Dựavàobảngbiếnthiêntathấyphươngtrình
3
2
f t
có2nghiệm
1;0t a
và
0;1t b
.
Trường hợp 1:
1;0t a
Ứngvớimỗigiátrị
1;0t
thìphươngtrìnhcó4nghiệm
1 2 3 4
0 2 .x x x x
Trường hợp 2:
0;1t b
Ứngvớimỗigiátrị
0;1t
thìphươngtrìnhcó4nghiệm
5 6
0 .x x
Hiểnnhiêncả6nghiệmtrong2trườnghợptrênđềukhácnhau.
Vậyphươngtrìnhđãchocó6nghiệmthuộcđoạn
;2
Câu 28. Chohàmsố
f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
Sốnghiệmthuộcđoạn
7
;
2 3
củaphươngtrình
3 cos 1 0f x
là
A.
4
. B.
5
. C.
3
. D.
6
.
Lời giải
Chọn B
Đặt
cost x
,
7
; 1;1
2 3
x t
Khiđóphươngtrình
3 cos 1 0f x
trởthành
1
, 1;1
3
f t t
Đâylàphươngtrìnhhoànhđộgiaođiểmcủađồthịhàmsố
y f t
vàđườngthẳng
1
3
y
.
Dựavàobảngbiếnthiên,trên
1;1
tacó
1
2
1;0
1
1
3
0;
2
t a
f t
t a
.
Xétđồthịhàmsố
cosy x
trênđoạn
7
;
2 3
cóBBT:
TH1:
1
1;0t a
Phươngtrình
1
cos x a
có
2
nghiệm
1 2
,x x
thỏamãn
1 2
3
2 2
x x
.
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31
TH2:
2
1
0;
2
t a
Phươngtrình
2
cos x a
có
3
nghiệm
3 4 5
, ,x x x
thỏamãn
3 4 5
3
; 2 .
2 2 2
x x x
Hiểnnhiêncả5nghiệmtrong2trườnghợptrênđềukhácnhau.
Vậyphươngtrìnhđãchocó5nghiệmthuộcđoạn
7
;
2 3
.
Câu 29. Chohàmsố
( )f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
Sốnghiệmnhiềunhấtthuộc
9
0;
2
củaphươngtrình
2
(sin 1) 1f x
làcủaphươngtrình
2
(sin 1) 1f x
là
A.
2
. B.
5
. C.
10
. D.
9
.
Lời giải
Chọn D
Dựavàobảngbiếncủahàmsố
( )f x
,tacó
2
2
2
sin 1 1
(sin 1) 1
sin 1 (0;2)
x
f x
x b
2
2
sin 2
sin 1 1;1
x
x b
Do
2
0 sin 1x
nênphươngtrình
2
sin 2x
vônghiệm.
Xétphươngtrình
2
sin 1 1;1x b
(*)
Đểphươngtrình(*)cónhiềunghiệmnhấtthì
1 0;1b
khiđó
2
sin 1 (0;1)
sin 1
in 1 ( 1;0)
x b
x b
s x b
Xétđườngtrònlượnggiác
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Dựavàođườngtrònlượnggiác,phươngtrình
sin 1x b
có5nghiệmphânbiệtthuộc
9
0;
2
,
phươngtrìnhsin 1x b có4nghiệmphânbiệtthuộc
9
0;
2
.
Vậysốnghiệmnhiềunhấtthuộc
9
0;
2
củaphươngtrình
2
(sin 1) 1f x
là9nghiệm.
Câu 30. Chohàmsố
f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau
Sốnghiệmthuộcđoạn
5
0;
2
củaphươngtrình
sin 1f x
là
A.
7
. B.
4
. C.
5
. D.
6
.
Lời giải
Chọn C
Đặt
sint x
,
5
0; 1;1
2
x t
Khiđóphươngtrình
sin 1f x
trởthành
1, 1;1f t t
Đâylàphươngtrìnhhoànhđộgiaođiểmcủahàmsố
y f t
vàđườngthẳng
1y
.
Dựavàobảngbiếnthiên,tacó
1;0
1
0;1
t a
f t
t b
.
Trường hợp 1:
1;0t a
Ứngvớimỗigiátrị
1;0t
thìphươngtrình
sin x t
có
2
nghiệm
1 2
,x x
thỏa
mãn
1 2
2x x
.
Trường hợp 2:
0;1t b
cos
sin
- b - 1
b - 1
1
1
-1
-1
O
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33
Ứngvớimỗigiátrị
0;1t
thìphươngtrìnhcó
3
nghiệm
1 2 3
, ,x x x
thỏamãn
3 4 5
5
0 ; 2 ;
2
x x x
Hiểnnhiêncả5nghiệmtrong2trườnghợptrênđềukhácnhau.
Vậyphươngtrìnhđãchocó5nghiệmthuộcđoạn
5
0;
2
.
Câu 31. Chohàmsố
3 2
4 6 1y x x
cóđồthịlàđườngcongtronghìnhdướiđây.
Khiđóphươngtrình
3 2
3 2 3 2
4 4 6 1 6 4 6 1 1 0x x x x
cóbaonhiêunghiệmthực.
A.
9
. B.
6
. C.
7
. D.
3
.
Lời giải
Chọn C
Từđồthịtacó
3 2
3 2 3 2
3 2
3 2
3 2
4 4 6 1 6 4 6 1 1 0
4 6 1 1;0 (1)
4 6 1 0;1 (2)
4 6 1 1;2 (3)
x x x x
x x a
x x b
x x c
Tathấysốnghiệmcủaphươngtrình
3 2
4 6 1x x m
chínhlàsốgiaođiểmcủađồthịhàmsố
3 2
4 6 1y x x
vàđườngthẳng
y m
.
Từđótacó:(1)có
3
nghiệmphânbiệt
(2)có
3
nghiệmphânbiệt
(3)có
1
nghiệm
Vậyphươngtrìnhđãchocó
7
nghiệmthực.
Câu 32. Chohàmsố
3 2
, , ,f x ax bx cx d a b c d
cóđồthịnhưhìnhvẽbên.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Phươngtrình
0f f f f x
cótấtcảbaonhiêunghiệmthựcphânbiệt?
A. 12. B. 40. C. 41. D. 16.
Lời giải
Chọn C
Đặt ( ) (...( ( )));(
k
f x f f x k hàm
; 1;4)f k
Tacó
3
4
3
( ) 0 (1)
( ) 0
( ) 3 (2)
f x
f x
f x
Xét
2
3
2
( ) 0 (3)
(1) : ( ) 0
( ) 3 (4)
f x
f x
f x
Xét
2
( ) 0 (5)
(3) : ( ) 0
( ) 3 (6)
f x
f x
f x
Dựavàođồthịthấyngay(5)có2nghiệm,(6)có3nghiệm.
Xét
1
2 2
3
( ) (0;1) (7)
(4): ( ) 3 ( ) (1;3) (8)
( ) (3;4) (9)
f x a
f x f x a
f x a
Theođồthị,mỗiphươngtrình(7),(8),(9)đềucó3nghiệmphânbiệtvà(7),(8),(9)khôngcó2phương
trìnhnàocóchungnghiệm.
Xét
2 1
3 2 2
2 3
( ) (0;1) (10)
(2) : ( ) 3 ( ) (1;3) (11)
(3;4) (12)
f x a
f x f x a
f x a
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 35
Lập luận tương tự như trên, mỗi phương trình (10),(11),(12) đều có
9
nghiệm phân biệt và
(10),(11),(12)khôngcó
2
phươngtrìnhnàocónghiệmchung.
Vậycó
2 3 3.3 9.3 41
nghiệm.
Câu 33. Chohàmsố
y f x
cóđồthịnhưhìnhvẽ.
Sốnghiệmthựccủaphươngtrình
0f f x f x
là
A.
20
. B.
24
. C.
10
. D.
4
.
Lời giải
Chọn A
Đặt
0f x t
.Khiđóphươngtrìnhtrởthành
, 1f t t
.
Từđồthịhàmsốtacó
Phươngtrình
1
có4nghiệm
, 0 1
, 1
, 1 2
, 2
t a a
t b a b
t c c
t d d
Khiđócácphươngtrình
f x a
,
f x b
,
f x c
mỗiphươngtrìnhcó6nghiệmphânbiệt
khôngtrùngnhau.Phươngtrình
f x d
có2nghiệmphânbiệtkhôngtrùngvớinghiệmcủa 3
phươngtrìnhtrên.
Vậyphươngtrìnhđãchocó20nghiệmphânbiêt.
Câu 34. Chohàmsố
( )y f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Sốnghiệmthuộc
3
0;
2
củaphươngtrình
(cos 2 ) 1f x
là
A.
9
. B.
4
. C.
7
. D.
10
.
Lời giải
Chọn A
Từbảngbiếnthiêncủa
( )f x
tasuyrabảngbiếnthiêncủa
( )f x
nhưsau
Đặt
cos2 1;1t x
.
Dựavàobảngbiếnthiêntrên,phươngtrình
( ) 1f t
chỉcó3nghiệmthuộc
1;1
.
Tacó
1;0
( ) 1 0
0;1
t a
f t t
t b
.
Do
3
0; 2 0;3
2
x x
.
Xétđườngtrònlượnggiác
cos
sin
1
1
-1
-1
O
b
a
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 37
Phươngtrình
cos2 , 1;0x a a
có3nghiệmphânbiệtthuộc
3
0;
2
.
Phươngtrình
cos2 , 0;1x b a
có3nghiệmphânbiệtthuộc
3
0;
2
.
Phươngtrình
cos 2 0x
có3nghiệmphânbiệtthuộc
3
0;
2
.
Vậysốnghiệmthuộc
3
0;
2
củaphươngtrình
(cos 2 ) 1f x
là9nghiệm.
Câu 35. Chohàmsố
f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
Phươngtrình
2 cos 0f x e
cóbaonhiêunghiệmtrên
0;3
.
A.
6
. B.
3
. C.
0
. D.
4
.
Lời giải
Chọn A
2 cos 0f x e
với
0;3x
.
cos
2
e
f x
với
0;3x
.
Đặt cost x suyra
2
e
f t
với
1;1t
Từbảngbiếnthiênsuyra
1;0 cos 1;0
, 0;3
0;1 cos 0;1
t a x a
x
t b x b
.
Xéthàmsố
cosy x
trênđoạn
0;3
tacóbảngbiến
thiên
Từbảngbiếnthiêntacóphươngtrình
cos x a
có
3
nghiệmphânbiệttrên
;2
Phươngtrình
cos x b
có
3
nghiệmphânbiệttrên
;2
.
Vậyphươngtrình
2 cos 0f x e
có6nghiệmtrên
0;3
.
Câu 36. Chohàmsố
f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
x

0


2

3
y
0


0


0


0
y

1

1

1

1
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Sốnghiệmcủaphươngtrình
2
tan 3 0f x
trênđoạn
;2
2
là
A.
10
. B.
15
. C.
18
. D.
24
.
Lời giải
Chọn B
2
tan 3 0 tan 3f x f x .
Đặt
tant x
suyra
3f t .
Từbảngbiếnthiênsuyra
; 2 tan ; 2
2;0 tan 2;0
0;2 tan 0;2
2; tan 2;
; 2 tan ; 2
2; tan 2;
t a x a
t b x b
t c x c
t d x d
t e x e
t f x f
 
 
 
 
với
, , , , ,a b c d e f
đôimộtkhác
nhau.
Taxéthàmsố
tany x
trênđoạn
;2
2
cóbảngbiếnthiênnhưsau
Từbảngbiếnthiênsuyraphươngtrình
tan ; 2x a 
có3nghiệmtrên
;2
2
tan 2;0x b
có3nghiệmtrên
;2
2
x



2

0

2


y

0


0


0


y
2

2

0




x
2

2

3
2

2
y
||

||
||
|
y



0






TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 39
tan 0;2x c
có2nghiệmtrên
;2
2
tan 2;x d 
có2nghiệmtrên
;2
2
tan ; 2x e 
có3nghiệmtrên
;2
2
tan 2;x f 
có2nghiệmtrên
;2
2
Vậysốnghiệmcủaphươngtrình
2
tan 3 0f x
trênđoạn
;2
2
là
15
nghiệm.
Câu 37. Chohàmsố
( )y f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
Sốnghiệmthuộc
3
0;
2
củaphươngtrình
(cos2 ) 1f x
là
A.
9
. B.
4
. C.
7
. D.
10
.
Lời giải
Chọn A
Từbảngbiếnthiêncủa
( )f x
tasuyrabảngbiếnthiêncủa
( )f x
nhưsau
Đặt
cos2 1;1t x
.
Dựavàobảngbiếnthiêntrên,phươngtrình
( ) 1f t
chỉcó3nghiệmthuộc
1;1
.
Tacó
1;0
( ) 1 0
0;1
t a
f t t
t b
.
Do
3
0; 2 0;3
2
x x
.
Xétđườngtrònlượnggiác
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Phươngtrình
cos2 , 1;0x a a
có3nghiệmphânbiệtthuộc
3
0;
2
.
Phươngtrình
cos2 , 0;1x b a
có3nghiệmphânbiệtthuộc
3
0;
2
.
Phươngtrình
cos 2 0x
có3nghiệmphânbiệtthuộc
3
0;
2
.
Vậysốnghiệmthuộc
3
0;
2
củaphươngtrình
(cos2 ) 1f x
là9nghiệm.
Câu 38. Chohàmsố
( )f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
Sốnghiệmthuộcđoạn
7
0;
2
củaphươngtrình
(2sin 1) 2f x
là
A.
4
. B.
3
. C.
2
. D.
6
.
Lời giải
Chọn B
Tacó
Dựavàobảngbiếncủahàmsố
( )f x
,tacó
2sin 1 1
(2sin 1) 2
2sin 1 ( 1;0)
x a
f x
x b
cos
sin
1
1
-1
-1
O
b
a
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 41
1
sin 1
2
1 1
sin 1;
2 2
a
x
b
x
Do
sin 1x
nênphươngtrình
1
sin
2
a
x
vônghiệm.
Xétđườngtrònlượnggiác
Dựavàođườngtrònlượnggiác,phươngtrình
1 1
sin 1;
2 2
b
x
có3nghiệmphânbiệtthuộc
7
0;
2
.
Câu 39. Chohàmsố
4 3 2
f x ax bx cx dx e
cóđồthịnhưhìnhvẽ.
Đặt
g x f f x
.Sốnghiệmcủaphươngtrình
0g x
là
A.
5
. B.
10
. C.
4
. D.
7
.
Lời giải
Chọn D
Hàmsốđạtcựctrịtạicácđiểm
1x
;
0x
;
1x
nên
1
0 0
1
x
f x x
x
Tacó
.g x f x f f x
0g x
0 1
0 2
f x
f f x
.
cos
sin
b - 1
2
1
1
-1
-1
O
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
+Xétphươngtrình
1
0f x
1
0
1
x
x
x
+Xétphươngtrình
2
1
0 0
1
f x
f f x f x
f x
+Trườnghợp1:Dựavàođồthị:
Phươngtrình
1
1
1
x a a
f x
x b b
+Trườnghợp2:Dựavàođồthị:
Phươngtrình
0f x
1
0
1
x c c
x
x d d
+Trườnghợp3:Dựavàođồthị:
Phươngtrình
1
1
1
x
f x
x
phươngtrình
0g x
có
7
nghiệmphânbiệt
Câu 40. Chohàmsố
( )f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 43
Sốnghiệmphươngtrình
(cos ) 1f x
thuộcđoạn
9
;
2
là:
A.
2.
B.
6.
C.
7.
D.
4.
Lời giải
Chọn C
Dựavàobảngbiếnthiêntacó:
1
2
3
4
cos ; 1 (1)
cos 1;0 (2)
(cos ) 1
cos 0;1 (3)
cos 1; (4)
x x
x x
f x
x x
x x


Phươngtrình(1)và(4)vônghiệm.
Xéttrênđườngtrònlượnggiácdễthấy:
Trênđoạn
9
;
2
phươngtrình(2)có3nghiệmvàphươngtrình(3)có4nghiệmnênsốnghiệm
phươngtrình
(cos ) 1f x
là7nghiệm.
Câu 41. Chohàmsố
y f x
liêntụctrên
vàcóbảngbiếnthiênnhưsau:
Sốnghiệmcủaphươngtrình
4 2
2 3 0f x x
là
A. 12. B.
8
. C.
3
. D.
4
.
Lời giải
Chọn B
Đặt
4 2
2y x x
.
Tacó:
TừBBTcủa
4 2
2y x x suyra
1;y
1;0t
chota
4
nghiệm
x
.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 44 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
0;t
chota
2
nghiệm
x
.
Xétphươngtrình
3 0 3.f t f t
Dựavàobảngbiếnthiêntacó:
1
2
3
1;0
3 0;1
1;
t
f t t
t
.
1
1;0t
chota
4
nghiệm
1 2 3 4
, , , .x x x x
2
0;1t
chota
2
nghiệm
5 6
, .x x
.
3
1;t
chota
2
nghiệm
7 8
, .x x
VậyPTcó
8
nghiệmphânbiệt.
Câu 42. Cho hàmsố
y f x
có đồ thị
C
như hình vẽbên. Phươngtrình
3
1
2
f x
cóbao nhiêu
nghiệmâmphânbiệt?
A.
3
. B.
4
. C.
5
. D.
6
.
Lời giải
Chọn B
Đồthị
1
C
củahàmsố
1y f x
vẽđượcbằngcáchtịnhtuyếnđồthị
C
sangtrái
1
đơnvịta
đượcđồthịnhưhìnhvẽbêndưới
Đồthị
2
C
củahàmsố
1y f x
vẽđượcbằngcách
+Giữnguyênphầnđồthị
1
C
nằmphíatrêntrụchoànhvànhữngđiểmtrêntrụchoànhtađượcđồ
thị
3
C
.
+Lấyđốixứngquatrụchoànhphầnđồthị
1
C
nằmphíadướitrụchoànhtađượcđồthị
4
C
.
+Khiđó
2 3 4
C C C
cóđồthịnhưhìnhvẽdưới
Từđồthị
2
C
dễthấyphươngtrình
3
1
2
f x
có4nghiệmâmphânbiệt.
Câu 43. Cho hàm số bậc ba
y f x
có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình
2
2 1f x x
là
x
y
-1
-2
-1
O
1
y
x
-2 -1
-2
-1
O
1
y
x
2
-2 -1
1
O
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 45
A.
6
. B.
4
. C.
3
. D.
7
.
Lời giải
Chọn A
Đặt
2
2t g x x x
(1).Tacó
2 2 0 1g x x x
Bảngbiếnthiên
Phươngtrình
2
2 1f x x
(2)trởthành:
1
1
1
f t
f t
f t
.
Dựavàođồthịtacó:
+Phươngtrình
1f t
có3nghiệm
1 2 3
; ;t t t
thỏamãn
1 2 3
1 1t t t
.
+Phươngtrình
1f t
có1nghiệm
4
t
thỏamãn
4
1t
.
Dựavàobảngbiếnthiên
t g x
tacóvới
1t
chota2giátrị
x
thỏamãn(1);
1t
chota1giátrị
x
thỏamãn(1);
1t
thìkhôngcógiátrị
x
thỏamãn(1).
Từđósuyraphươngtrình
2
2 1f x x
có4nghiệmphânbiệt;phươngtrình
2
2 1f x x
có2nghiệmphânbiệt.Vậyphươngtrình(2)có6nghiệm.
C. BIỆN LUẬN NGHIỆM THÔNG QUA ĐỒ THỊ
Biến đổi phương trình đã cho về dạng
( ) ( ).f x A m
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị
( )y f x
và đường thẳng nằm ngang
( ).y A m
Lưu ý: Có thể đề bài cho bảng biến thiên và cần nắm vững biến đổi đồ thị hàm trị tuyệt đối.
CÂU HỎI CÙNG MỨC ĐỘ ĐỀ MINH HỌA
C1. BIẾT ĐỒ THỊ, BẢNG BIẾN THIÊN HÀM F(X)
Câu 1. Chohàmsố
y f x
xácđịnhtrên
\ 2
,liêntụctrênmỗikhoảngxácđịnhvàcóbảngbiến
thiênnhưhìnhsau
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 46 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Tìmtậphợptấtcảcácgiátrịcủathamsốthực
m
saochophươngtrình
4f x m
cóđúngba
nghiệmthựcphânbiệt
A.
1;9
. B.
1;9
. C.
1;9
. D.
3;5
.
Lời giải
Chọn A
4 4f x m f x m
DựavàoBBT,tathấyđườngthẳng
4y m
cắtđồthị
y f x
tại3điểmphânbiệtkhivàchỉkhi
3 4 5m 1 9m
.
Vậyphươngtrình
4f x m
cóđúngbanghiệmthựcphânbiệtkhivàchỉkhi
1 9m
.
Câu 2. Chohàmsố
y f x
cóđồthịnhưhìnhvẽbên.Cóbaonhiêugiátrịnguyêndươngcủathamsố
m
đểphươngtrình
3
logf x m
cóđúngbanghiệmthựcphânbiệt?
A.
3
. B.
25
. C.
26
. D.
27
.
Lời giải
Dựavàođồthịhàmsố,phươngtrình
3
logf x m
cóđúngbanghiệmthựcphânbiệtkhivàchỉkhi
3
0
1 log 3
m
m
0
1
27
3
m
m
1
27
3
m
.
Do
m
làsốnguyêndươngnên
1;2;3;4;5;6;7;....;26m
.Vậycó
26
giátrịcủa
m
.
Câu 3. Chohàmsố
y f x
xácđịnhtrên
\ 1
,liêntụctrênmỗikhoảngxácđịnhvàcóbảngbiến
thiênnhưhìnhsau
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 47
Tìmtậphợptấtcảcácgiátrịcủathamsốthực
m
saochophươngtrình
f x m
cóđúngba
nghiệmthựcphânbiệt
1 2 3
, ,x x x thỏa:
1 2 3
2 3x x x .
A.
4;1
. B.
1;2
. C.
4;1
. D.
1;2
.
Lời giải
Chọn C
DựavàoBBT,tathấyđườngthẳng
y m
cắtđồthị
y f x
tại3điểmphânbiệtcóhoànhđộ
1 2 3
, ,x x x thỏa:
1 2 3
2 3x x x khivàchỉkhi
4 1m
.
Vậy
4 1m
.
Câu 4. Chohàmsố
y f x
cóđồthịnhưđườngcongtronghìnhdướiđây.Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủa
thamsố
m
đểphươngtrình
( ) 1f x m
có
4
nghiệmphânbiệt:
A.
4 3m
. B.
3m
. C.
3 2m
. D.
5 4m
.
Lời giải
Chọn C
Phươngtrình
1 1f x m f x m
Sốnghiệmcủaphươngtrình
1f x m
bằngsốgiaođiểmcủađồthịhàmsố
y f x
vàđường
thẳng
1y m
(nhưhìnhvẽ).
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 48 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Nhìnvàođồthịtacóđểphươngtrìnhcó4nghiệmphânbiệtthì
4 1 3 3 2.m m
Câu 5. Hàmsố
y f x
cóbảngbiếnthiênnhưhìnhdưới.
Tìmtấtcảcácgiátrịcủathamsố
m
đểphươngtrình
f x m
cóbốnnghiệmphânbiệt.
A.
3m
. B.
0 3m
. C.
0 3m
. D.
0m
.
Lời giải
Chọn C
Tacó sốnghiệm củaphương trình
f x m
bằngsốgiaođiểmcủađồthịhàm số
y f x
và
đườngthẳng
y m
.
Dođó,dựavàobảngbiếnthiêntathấy,phươngtrình
f x m
cóbốnnghiệmphânbiệtkhivàchỉ
khi
0 3m
.
C2. HÀM HỢP HÀM ẨN BIẾT ĐỒ THỊ, BẢNG BIẾN THIÊN HÀM F(X), F’(X)
Câu 6. Chohàmsố
y f x
liêntụctrên
R
vàcóđồthịnhưhìnhvẽdướiđây.Cóbaonhiêugiátrịnguyên
của
m
đểphươngtrình
2
2logf x m
cónghiệmduynhấttrên
1
;2
2
.
A.
9
. B.
6
. C. 5 . D.
4
Lời giải
Chọn B
Đặt
2
2logt x ,
1
;2 2;2
2
x t
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 49
Phươngtrình
2
2logf x m
cónghiệmduynhấtthuộcnửakhoảng
1
;2
2
khivàchỉkhiphương
trình
f t m
cónghiệmduynhấtthuộc
2 2
2;2
6
m
m
có6giátrịnguyêncủa
m
thỏamãn.
Câu 7. Chohàmsố
y f x
liêntụctrên
R
vàcóđồthịnhưhìnhvẽdướiđây.Cóbaonhiêugiátrịnguyên
củathamsố
m
đểphươngtrình
6 6
4 sin cos 1f x x m cónghiệm.
A.
6
. B.
5
. C.
4
. D.
3
.
Lời giải
Chọn B
Đặt
6 6 2 2
3
4 sin cos 1 4 1 sin 2 1 3 3sin 2
4
t x x x x
0;3t
Phươngtrình
6 6
4 sin cos 1f x x m cónghiệmkhivàchỉkhiphươngtrình
f t m
có
nghiệmthuộc
0;3 4 0m
có5giátrịnguyên
Câu 8. Chohàmsố
y f x
liêntụctrên
R
vàcóđồthịnhưhìnhvẽdướiđây.Tậphợptấtcảcácgiátrị
thựccủathamsố
m
đểphươngtrình
2
2 2 3 1f x x m
cónghiệmthuộckhoảng
0;1 .
A.
0;4
. B.
1;0
. C.
0;1
. D.
1
;1
3
Lời giải
Chọn D
Đặt
2
2 2t x x
.Với
0;1 2;1x t
Phươngtrình
2
2 2 3 1f x x m
cónghiệmthuộcđoạn
0;1
khivàchỉkhiphươngtrình
3 1f t m
cónghiệmthuộc
1
2;1 1
3
m
.
Câu 9. Chohàmsố
y f x
cóđồthịnhưhìnhvẽdướiđây.GọiSlàtậphợptấtcảcácgiátrịcủathamsố
m
đểphươngtrình
2
3 4f x m
cóhainghiệmphânbiệtthuộcđoạn
2; 3
.TìmtậpS.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 50 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
A.
1; 3 2S f
. B.
3 2 ;3S f
.C.
S
. D.
1;3S
.
Lời giải
Chọn A
Xétphươngtrình
2
3 4f x m
.Điềukiện
2
4 0 2 2x x
.
Đặt
2
3 4 t x
với
2; 3x
.Tacó
2
4
x
t
x
và
0 0
t x
.
Bảngbiếnthiêncủahàmsố
2
3 4 t x
trênđoạn
2; 3
Nhậnxét:
+)Mỗi
1;3 2
t
chota2giátrị
2; 3x
+)Mỗi
3 2;2
t
chotamộtgiátrị
2; 3x
.
+)
1t
chota1nghiệmduynhất
0x
.
Dựavàođồthịhàmsố
y f x
tasuyrađườngthẳng
y m
chỉcắtđồthịhàmsố
y f t
nhiều
nhấttạimộtđiểmtrên
1;2
.
Dođó,đểphươngtrình
2
3 4f x m
cóhainghiệmphânbiệtthuộcđoạn
2; 3
thì
1 ; 3 2 1; 3 2m f f m f
Vậy,cácgiátrịcủa
m
cầntìmlà
1; 3 2
m f
.
Câu 10. Chohàmsố cóđồthịnhưhìnhvẽ.
y f x
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 51
Cóbaonhiêusốnguyên đểphươngtrình cónghiệmthuộcđoạn ?
A. 11. B. 9. C. 8. D. 10.
Lời giải
Chọn C
Tacó
1 6 1 3 6
2
1
1
3 2 2
x xx
f x m f m
6 3 6f t t m
Với
1
2
x
t
và
2 ; 2 x
nêntacó
0 ; 2t
.
Xéthàmsố
6y f t t
trên
0;2
.
Tacó
6 0y f t
,
0 ; 2 t
.
Phươngtrìnhcónghiệm
0;2
0;2
min 6 3 6 max 6f t t m f t t
0 3 6 2 12f m f
4 3 6 6 12m
10
4
3
m
.
Vì
m
nên
3; 2; 1;0;1;2;3;4m
.
Câu 11. Chohàmsố
y f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau:
Cóbaonhiêugiátrịnguyêncủathamsố
m
saochophươngtrình
sin 2 3 cos 2 1f x x m
có
đúngsáunghiệmphânbiệttrênnửakhoảng
17
0;
12
?
A.
4
. B.
5
. C.
8
. D.
2
.
Lời giải
Chọn A
m
1
1
3 2
x
f x m
2;2
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 52 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Đặt
sin 2 3 cos 2 2sin 2
3
t x x x
.
Phươngtrình
1
trởthành
2f t m
.
Với
17 5
0; 2 ; 2sin 2 2;2
12 3 3 2 3
x x x
Vớimỗigiátrị
2sin 2 2; 3
3
2sin 2 2
3
x
x
chotahainghiệmphânbiệtthuộcnửakhoảng
17
0;
12
Vớimỗigiátrị
2sin 2 3;2
3
x
chotabanghiệmphânbiệtthuộcnửakhoảng
17
0;
12
Từđó,phươngtrình
1
cóđúng6nghiệmphânbiệttrênnửakhoảng
17
0;
12
khivàchỉkhiphươngtrình
2
cóđúng2nghiệm
3; 2t
,cácnghiệmkhác(nếucó)nằm
ngoài
3; 2
.
DựavàoBBT,có
2;3m
,vậycó
4
giátrị
m
nguyênthỏamãnđề.
Câu 12. Chohàmhàmsố
y f x
cóbảngbiếnthiênnhưhìnhvẽdưới
Cóbaonhiêugiá trịnguyêncủathamsố
2020;2020m
đểphươngtrình
2
4
x
f e m
có
2
nghiệmphânbiệt.
A.
2010
. B.
10
. C.
2011
. D.
2020
.
Lời giải
Chọn C
Đặt
2
4
x
t e ,điềukiện
5t
,từđóphươngtrìnhtrởthành
f t m
,
5t
.
Do
5t
nêntaxétbảngbiếnthiêncủahàm
y f t
trên
1;
nhưsau:
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 53
Bảngbiếnthiêncủahàmsố
y f t
trên
1;
là
Cứmỗinghiệm
5t
chođượchainghiệm
x
,dovậyđểphươngtrình
2
4
x
f e m
có
2
nghiệm
phânbiệtthìphươngtrình
f t m
cầncó
1
nghiệm
5t
.Dựabảngbiếnthiêncủahàm
y f t
ởtrêntacóđiềukiện
10m
,mặtkhác
m
nguyênnên
10;11;...;2020m
.Vậycó
2011
sốthỏa
mãn.
Câu 13. Chohàmsố
y f x
xácđịnhtrên
vàcóđồthịnhưhìnhbêndưới.Cóbaonhiêugiátrịnguyên
củathamsốmđểphươngtrình
2
4 2
6
2 1
1
x
f m
x x
cónghiệm?
A.
4
. B.
5
. C.
2
. D.
3
.
Lời giải
Chọn B
Tacó
2 2
4 2 4 2
6 6
2 1 2 1.
1 1
x x
f m f m
x x x x
Đặt
2
4 2
6
2
1
x
t
x x
4 2 2 3 4
2 2
4 2 4 2
12 1 6 4 2 12 1
1 1
x x x x x x x x
t
x x x x
0
0
1
x
t
x
BBT
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 54 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
2 4t
Tađượcphươngtrình
1f t m
,với
2;4t
Phươngtrìnhđãchocónghiệmkhivàchỉkhiphươngtrình
1f t m
cónghiệm
2;4t
.
Dựavàođồthị,tacó
1 1 5 2 6.m m
Vậycó5giátrịmnguyên.
Câu 14. Chohàmsố
y f x
liêntụctrên
R
vàcóđồthịnhưhìnhvẽdướiđây.Tậphợptấtcảcácgiátrị
thựccủathamsố
m
đểphươngtrình
e
x
f m
cónghiệmthuộckhoảng
0;ln 2
.
A.
3;0
. B.
3;3
. C.
0;3
. D.
3;0
Lời giải
Chọn A
Đặt
e
x
t
.Với
0;ln 2 1;2x t
Phươngtrình
e
x
f m
cónghiệmthuộckhoảng
0;ln 2
khivàchỉkhiphươngtrình
f t m
có
nghiệmthuộckhoảng
1;2 3 0m
.
Câu 15. Chohàmsố
( ).y f x
Hàmsố
'( )y f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau
Bấtphươngtrình
( )
x
e m f x
cónghiệmthuộc
4;9
khivàchỉkhi
A.
2
(2) .m f e B.
2
(2) .m f e C.
3
(9) .m f e D.
3
(9) .m f e
Lời giải
Chọn D
Tacó:
( ).
x
m e f x
Xéthàmsố
( ) ( )
x
g x e f x
trên
4;9
.
1
( ) ( ) , [4;9].
2
x
g x e f x x
x
Bảngbiếnthiêncủahàmsố
( )g x
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 55
Vậy
3
[4;9]
max ( ) (9).m g x m e f
Câu 16. Chohàmsố
y f x
cóđạohàmtrên
.Bảngbiếnthiêncủahàmsố
y f x
nhưhìnhdưới
Tìm
m
đểbấtphươngtrình
2
2 2 4 3 m x f x x
nghiệmđúngvớimọi
3 x ;
.
A.
2 0 1 m f
. B.
2 0 1 m f
. C.
2 1 m f
. D.
2 1 m f
.
Lời giải
Chọn B
Tacó
2
2 2 4 3 m x f x x
2
2 2 4 3 m f x x x
.
Đặt
2
2 2 4 3 g x f x x x
.Tacó .
2 2 2 4
g x f x x
0 2 2
g x f x x
.
Đặt
2 t x
tađược
f t t
1
1
làphươngtrìnhhoànhđộgiaođiểmcủađồthị
f t
vàđườngthẳng
d : y t
(hìnhvẽ)
Dựavàođồthịcủa
f t
vàđườngthẳng
y t
tacó
tacó
f t t
1
0
1
2
t
t
t
t
hay
3
2
1
0
x
x
x
x
.
Bảngbiếnthiêncủahàmsố
g x
.
2 2 2 4
g x f x x
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 56 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Bấtphươngtrình
2
2 2 4 3 m x f x x
nghiệmđúngvớimọi
3 x ;
.
2 m g
2 0 1 m f
.
Câu 17. Cho hàm số
( )y f x
. Đồ thị hàm số
( )y f x
như hình vẽ bên dưới. Bất phương trình
1
( )
2
x
f x m
cónghiệm
[ 1; )x 
khivàchỉkhi
A.
1
( 1)
2
m f
. B.
( 1) 2m f
. C.
( 1) 2m f
. D.
( 1) 2m f
.
Lời giải
Chọn B
1 1
( )
2 2
x x
f x m m f x
.
Xét
1
2
x
g x f x
trên
[ 1; )
.
Tacó
1 1
.ln 0
2 2
x
g x f x
,
1;x 
1
2
x
g x f x
làhàmsốđồngbiếntrên
[ 1; )
.
Đểbấtphươngtrình
1
( )
2
x
f x m
cónghiệm
[ 1; )x 
thì:
1;
min ( 1) 2
x
m g x f
( 1) 2m f
.
Câu 18. Chohàmsố
( ).y f x
Hàmsố
'( )y f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau
Bấtphươngtrình
cos
2 ( )
x
f x e m
cónghiệmđúngvớimọi
0;
2
x
khivàchỉkhi
A.
2 1.
2
m f
B.
2 1.
2
m f
C.
2 (0) . m f e
D.
2 (0) . m f e
Lời giải
Chọn A
Tacó:
cos
2 ( ) .
x
m f x e
Xéthàmsố
cos
( ) 2 ( )
x
g x f x e
x
y
-1
4
2
2
O
1
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 57
cos
'( ) 2 '( ) sin . 0, 0; .
2
x
g x f x x e x
Bảngbiếnthiêncủahàmsố
( )g x
Vậy
2 1.
2 2
m g m f
Câu 19. Chohàmsố
( ).y f x
Đồthịhàmsố
'( )y f x
nhưhìnhvẽbêndưới
Bấtphươngtrình
2
( ) f x x m
cónghiệmđúngvớimọi
( 1;0)x
khivàchỉkhi
A.
(0).m f
B.
(0).m f
. C.
( 1) 1. m f
. D.
( 1) 1. m f
.
Lời giải
Chọn A
Xéthàmsố
2
( ) ( ) . g x f x x
Tacó
'( ) '( ) 2 0, ( 1;0). g x f x x x
Bảngbiếnthiêncủahàmsố
( )g x
Tacó:
(0) (0). m g m f
Câu 20. Chohàmsố
( ).y f x
Hàmsố
'( )y f x
cóbảngbiếnthiênnhưsau
Bấtphươngtrình
( ) 2 0
x
f x e m
cónghiệmđúngvớimọi
(2;3)x
khivàchỉkhi
A.
2
1
(2) .
2
m f e
B.
2
1
(2) .
2
m f e
C.
3
1
(3) .
2
m f e
D.
3
1
(3) .
2
m f e
Lời giải
Chọn B
Tacó:
2 ( ) .
x
m f x e
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 58 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Xéthàmsố
( ) ( ) , (2;3).
x
g x f x e x
Tacó:
'( ) '( ) 0, (2;3).
x
g x f x e x
Bảngbiếnthiêncủahàmsố
( )g x
Vậy
2 2
1
2 (2) 2 (2) (2) .
2
m g m f e m f e
Câu 21. Chohàmsố
4 3 2
f x mx nx px qx r
,(với
, , , ,m n p q r
).Hàmsố
y f x
cóđồthị
nhưhìnhvẽbêndưới:
Tậpnghiệmcủabấtphươngtrình
f x r
cóbaonhiêugiátrịnguyên?
A. 4. B. 3. C. 1. D. 2.
Lời giải
Chọn B
Tacó
3 2
4 3 2f x mx nx px q
1
.
Dựavàođồthị
y f x
tathấyphươngtrình
0f x
cóbanghiệmđơnlà
1
,
5
4
,
3
.
Dođó
1 4 5 3f x m x x x
và
0m
.Hay
3 2
4 13 2 15f x mx mx mx m
2
.
Từ
1
và
2
suyra
13
3
n m
,
p m
và
15q m
.
Khiđóbấtphươngtrình
f x r
4 3 2
0mx nx px qx
4 3 2
13
15 0 3
3
m x x x x
.
Do
0m
nên
4 3 2
3 3 13 3 45 0x x x x
2
3 5 3 0x x x
5
;0
3
x
hoặc
3x
.
Vậytậpnghiệmcủaphươngtrình
f x r
là
5
;0 3
3
S
.
Dođó
S
cóbagiátrịnguyênlà
1;0;3
.
Câu 22. Chohàmsố
4 3 2
y f x mx nx px qx r
,(với
, , , ,m n p q r
).Hàmsố
y f x
có
đồthịnhưhìnhvẽbêndưới:
O
x
y
3
5
4
1
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 59
Tậpnghiệmcủaphươngtrình
f x m n p q r
cósốphầntửlà
A. 4. B. 3. C. 1. D. 2.
Lời giải
Chọn D
Dựavàođồthị
y f x
tathấyphươngtrình
0f x
cóbanghiệmđơnlà
3
,
1
,
1
.
Dođó
4 1 1 3f x m x x x
và
0 1m
.
Gọi
1
S làdiệntíchcủahìnhphẳnggiớihạnbởi
y f x
trục
Ox
đườngthẳng
3x
,
1x
.
Suyra
1 1
1
3 3
1 3 4 1 3 1 16 2S f x dx f f m x x x dx m
.
Gọi
2
S làdiệntíchcủahìnhphẳnggiớihạnbởi
y f x
trục
Ox
đườngthẳng
1x
,
1x
.
Suyra
1 1
2
1 1
1 1 4 1 3 1 16 3S f x dx f f m x x x dx m
.
Từ
1 , 2 , 3
tacó
1 2
0 3 1 0S S f f
hay
3 1f f
.
Tacóbảngbiếnthiênsau:
Dựavàobảngbiếnthiêntathấyphươngtrình
1f x m n p q r f x f
cóhainghiệm
phânbiệt.
Câu 23. Chohàmsố
y f x
cóđạohàmtrên
.Hàmsố
f x
cóđồthịnhưhìnhvẽ.
Tìm
m
đểbấtphươngtrình
2
2sin 2sinf x x m
nghiệmđúngvớimọi
0;x
.
A.
1
1
2
m f
. B.
1
1
2
m f
. C.
1
0
2
m f
. D.
1
0
2
m f
.
Lời giải
Chọn A
Với
0; sin 0;1x x
.Đặt
2sin 0;2x t
tađượcbấtphươngtrình:
2
1
2
f t t m
(*).
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 60 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Yêucầubàitoán(*)nghiệmđúngvới
0;2t
0;2
maxm g t
với
2
1
2
g t f t t
.
Xéthàmsố
2
1
2
g t f t t
với
0;2t
.
Tacó
g t f t t
,
0g t f t t
(1).
Nghiệmcủaphươngtrình(1)chínhlàhoànhđộgiaođiểmcủađườngthẳng
y t
vàđồthịhàmsố
f t
.
Tacó
0g t
khiđồthị
f t
nằmtrênđườngthẳng
y t
;
0g t
khiđồthị
f t
nằmdưới
đườngthẳng
y t
.
Từđótacóbảngbiếnthiêncủahàm
g x
nhưsau:
Suyra
0;2
1
max 1 1
2
g t g f
.
Vậy
1
1
2
m f
.
Câu 24. Chohàmsố
y f x
cóđạohàmtrên
,cóđồthị
f x
nhưhìnhvẽ.
Tìm
m
đểbấtphươngtrình
2
2 2 4 3m x f x x
nghiệmđúngvớimọi
3; x
.
A.
2 0 1m f
. B.
2 0 1m f
. C.
2 1m f
. D.
2 1m f
.
Lời giải
Chọn B
Tacó:
2 2
2 2 4 3 2 2 4 3m x f x x m f x x x
.
Yêucầubàitoán
3;
minm g x
với
2
2 2 4 3g x f x x x
.
Tacó
2 2 2 4 2g x f x x f t t
với
2t x
.
0g x f t t
(1).
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 61
Nghiệmcủaphươngtrình(1)chínhlàhoànhđộgiaođiểmcủađườngthẳng
y t
vàđồthịhàmsố
f t
.
Tacó
0g x
khiđồthị
f t
nằmtrênđườngthẳng
y t
;
0g x
khiđồthị
f t
nằmdưới
đườngthẳng
y t
.
1 2 1 3
0
0 2 0 2
t x x
g x f t t
t x x
.
Từđótacóbảngbiếnthiên(nghiệmbộichẵntứcđiểmtiếpxúckhôngthamgiavàoquátrìnhxétdấu)của
hàm
g x
nhưsau:
Suyra
3;
min 2 2 0 1 2 0 1, 3;g x g f m f x

.
Câu 25. Chohàmsố
y f x
có
2 1, 1 2f m f m
.Hàmsố
y f x
cóbảngbiếnthiênnhư
hìnhvẽ.
Tậphợptấtcảcácgiátrịcủathamsố
m
đểbấtphươngtrình
1 2 1
2 3
x
f x m
x
cónghiệm
2;1x
là:
A.
7
5;
2
. B.
;0
. C.
2;7
. D.
7
;
2

.
Lời giải
Chọn D
Bấtphươngtrình
1 2 1
2 3
x
g x f x m
x
cónghiệm
2;1x
2;1
min g x m
.
Xéthàmsố
1 2 1
2 3
x
g x f x
x
.Tacó
2
1 5
2
3
g x f x
x
.
Dựavàobảngbiếnthiêncủahàmsố
y f x
tacó
0, 2;1f x x
và
2
5
0, 2;1
3
x
x
.Dođó
0, 2;1g x x
.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 62 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Suyrahàmsố
g x
nghịchbiếntrên
2;1
2;1
min 1g x g
.
Vậy
1 3 2 3 7
1 1
2 4 2 4 2
m
g m f m m m
.
Câu 26. Chohàmsố
y f x
cóđạohàmtrên
,cóđồthị
f x
nhưhìnhvẽ.
Bấtphươngtrình
sin
2
x
f x m
nghiệmđúngvớimọi
1;3x
khivàchỉkhi:
A.
0m f
. B.
1 1m f
. C.
1 1m f
. D.
2m f
.
Lời giải
Chọn B
Tacó
sin sin
2 2
x x
f x m m f x g x
.
1;3
minYcbt m g x
.
Xéthàmsố
sin
2
x
g x f x
,
cos
2 2
x
g x f x
.
Từđồthịcủa
f x
tathấy
f x
đổidấukhiđiqua
1x
gợiýchotaxétdấucủahàm
g x
trên
2khoảng
1;1
và
1;3
.
Với
1;1x
1;1 0x f x
(đồthị
f x
nằmdướitrụchoành).
1;1 ; cos 0, 1;1
2 2 2 2 2
x x
x x
.
Vậy
cos 0, 1;1
2 2
x
g x f x x
.
Với
1x
.1
1 1 cos 0
2 2
g f
.
Với
1;3x
1;3 0x f x
(đồthị
f x
nằmtrêntrụchoành).
3
1;3 ; cos 0, 1;3
2 2 2 2 2
x x
x x
.
Vậy
cos 0, 1;3
2 2
x
g x f x x
.
Tacóbảngbiếnthiêncủa
g x
nhưsau:
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 63
Suyra
1;3
min 1 1g x f
.
Vậy
1 1m f
.
Câu 27. Chohàmsố
y f x
cóđạohàmtrên
.Bảngbiếnthiêncủahàmsố
y f x
nhưhìnhdưới
đây:
Tìm
m
đểbấtphươngtrình
2 3
1
3
m x f x x
nghiệmđúngvớimọi
0;3x
.
A.
0m f
. B.
0m f
. C.
3m f
. D.
2
1
3
m f
.
Lời giải
Chọn B
3 2
1
3
Ycbt m f x x x
nghiệmđúngvớimọi
0;3x
.
0;3
minm g x
với
3 2
1
3
g x f x x x
.
Xéthàmsố
3 2
1
3
g x f x x x
với
0;3x
.
Tacó
2
2g x f x x x
;
2
0 2g x f x x x
.
Từbảngbiếnthiêntacó
1f x
với
0;3x
và
2
2
2 1 1 1, 0;3x x x x
0, 0;3g x x
.
Suyrahàmsố
g x
đồngbiếntrên
0;3
0;3
min 0g x g
.
Vậy
2 2
1
0 0 .0 0 0
3
m g f f
.
Câu 28. Chohàmsố
4 3 2
y f x mx nx px qx r
,(với
, , , ,m n p q r
).Hàmsố
y f x
có
đồthịnhưhìnhvẽbêndưới:
Tậpnghiệmcủaphươngtrình
f x r
cósốphầntửlà
A. 4. B. 3. C. 1. D. 2.
Lời giải
Chọn D
Dựavàođồthị
y f x
tathấyphươngtrình
0f x
cóbanghiệmđơnlà
1
,
4
3
,
3
.
Dođó
4
1 3 4 3
3
f x m x x x
và
0 1m
.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 64 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Gọi
1
S làdiệntíchcủahìnhphẳnggiớihạnbởi
y f x
trục
Ox
đườngthẳng
0x
,
4
3
x
.
Suyra
4 4
3 3
1
0 0
4 4 4 776 3104
0 1 3 4 3 . 2
3 3 3 81 243
S f x dx f f m x x x dx m m
.
Gọi
2
S làdiệntíchcủahìnhphẳnggiớihạnbởi
y f x
trục
Ox
đườngthẳng
4
3
x
,
3x
.
Suyra:
3 3
2
4 4
3 3
4 4 4 2375 2375
3 1 3 4 3 . 3
3 3 3 324 243
S f x dx f f m x x x dx m m
.
Từ
1 , 2 , 3
tacó
1 2
0 3 0 0S S f f
hay
3 0f f
.
Tacóbảngbiếnthiênsau:
Dựavàobảngbiếnthiêntathấyphươngtrình
f x r
cóhainghiệmphânbiệt.
Câu 29. Cho hàm số
4 3 2
y f x mx nx px qx r
, (với
, , , ,m n p q r
) và
1 3a
. Hàm số
y f x
cóđồthịnhưhìnhvẽbêndưới:
Tậphợpcácgiátrịcủaađểphươngtrình
( ) 3 0f x mx r
có4nghiệmphânbiệtlàmộtkhoảng
;b c
.Tính
.b c
A. 4. B. 3. C.
3
2
. D.
9
4
.
Lời giải
Chọn D
3 2
4 3 2f x mx nx px q
.
f x
có3nghiệm
1; ;3a
3 2
4 4 4 3 3f x m x a x a x a
4 3 2
4 16
8 6 12
3
a
f x m x x a x ax r
Phươngtrình
4 3 2
4 16
( ) 3 0 8 6 12 3 0
3
a
f x mx r x x a x ax x
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 65
2 2
2
0
3 3 4 7 12 3 0 3
3 4 7 12 3 0 (1)
x
x x x a x a x
x a x a
.
Phươngtrình
( ) 3 0f x mx r
có4nghiệmphânbiệtkhivàchỉkhiphươngtrình(1)có2nghiệm
phânbiệtkhác0và3.
Cách1:(1)
2
3 7 3 4 3x x a x
.
Dox=3khôngphảilànghiệmnên(1)
2
3 7 3
4
3
x x
a
x
.
Bảngbiếnthiên
Từbảngbiếnthiêntacó:
5
4
4 5
17
4 17
4
4 0
1
4
a
a
a
a
a f
a
.
Kếthợpvới
5
1 3 1
4
a a
.
Cách2:
2
2
2
2
16 88 85 0
4 7 12 12 3
1 5 17 1
3.0 4 7 .0 12 3 0 ,
4 4 4 4
3.3 4 7 .3 12 3 0
a a
a a
a a a a a a
a a
a
.
Kếthợpvới
5 5 9
1 3 1 1,
4 4 4
a a b c b c
.
Câu 30. Chohàmsố
4 3 2
f x mx nx px qx r
và
3 2
g x ax bx cx d
,
, , , , , , , ,m n p q r a b c d
và
0 0f g
.Hàmsố
y f x
và
y g x
cóđồthịnhưhìnhvẽbêndưới
N
GUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 66 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Tậpnghi
ệmcủaphươngtrình
f
x g x
c
ósốphầntửlà?
A.
4
. B.
2
. C.
1
. D.
3
.
Lờ
i giải
Chọn
B
Dự
avàođồthịtacóphươngtrình
'
0
f
x
có3nghiệ
mphânbiệtnên
0.
m
Ta
có
2
3
2
g
x ax bx c
và
3 2
4
3 2
f
x mx nx px q
Lại
có
f x
và
g x
giaonhautại3điểmnêntacóphươngtrình
f x g x
có3nghiệm
Dựavàođồthịtacó
3
2
4
1 1 2 4 2 2
f
x g x m x x x m x x x
Màta
lạicó
3
2
4
3 2
f
x g x mx n a x p b x q c
Đồngnhất
hệsốtacó
8
3
n
a m
,
2p b m
,
8q c m
0
0
f
g
r d
Vậ
y
f x g x
4
3 2
0
mx n a x p b x q c x r d
4
3 2
8
2
8 0
3
m
x mx mx mx
4
3 2
8
2
8 0
3
x
x x x
.Phươngtrình
có2nghiệm.
D. MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO THƯỜNG GẶP
BÀI TOÁN 1. BIỆN LUẬN TƯƠNG GIAO HÀM BẬC BA VỚI ĐƯỜNG THẲNG
Bài
toán tổng quát: Tìmcácgiátrịcủathamsố
m
để
đểđườngthẳng
:
d
y px q
cắ
tđồthị
hà
msố
3
2
(
) :
C
y ax bx cx d
tạ
i3điểmphânbiệtthỏađiềukiện
K
?(dạng c
ó điều kiện)
Phươn
g pháp giải:
Bước
1. Lậpphươngtrìnhhoànhđộgiaođiểmcủa
d
và
(
)C
là:
3
2
ax
bx cx d px q
Đư
avềphươngtrìnhbậcbavànhẩmnghiệmđặcbiệt
o
x
x
đểchia
Hoocnerđược:
2
2
(
) ( ) 0
(
) 0
o
o
x
x
x x ax b x c
g x ax b x c
Bước
2.Để
d
cắt
(
)C
tạ
ibađiểmphânbiệt
phư
ơngtrình
(
) 0
g
x
c
ó2nghiệmphânbiệtkhác
(
)
0
( ) 0
g
x
o
o
x
g x
Giả
ihệnày,tìmđượcgiátrị
1
.m
D
Bước
3.Gọi
1
1 2 2
(
; ), ( ; ), ( ; )
o
o
A
x px q B x px q C x px q
vớ
i
1
2
,
x x
l
àhainghiệmcủa
( ) 0.
g x
Theo
Viét,tacó:
1
2
b
x
x
a
và
1
2
c
x
x
a
(1)
Bước
4.BiếnđổiđiềukiệnKvềdạngtổngvàtíchcủa
1
2
,
x x
(2)
Thế(1)vào(2)sẽthuđượcphươngtrìnhhoặcbấtphươngtrìnhvớibiếnlà
.m
Giảichúngsẽtìm
đượcgiátrị
2
.m D
Kếtluận:
1
2
.m D D
Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan đến cấp số
Ä Tìm
điều kiện để đồ thị hàm số
3
2
y
ax bx cx d
cắt
trục hoành tại
3
đ
iểm phân biệt có
h
oành độ lập thành cấp số cộng.
Điề
u kiện cần:
Giả sử
1
2 3
,
,x x x
là nghiệ
m của phương trình
3
2
0
ax bx cx d
TÀI
LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 67
Khi
đó:
3
2
1
2 3
( )( )( )ax bx cx d a x x x x x x
,
đồng nhất hệ số ta được
2
3
b
x
a
T
hế
2
3
b
x
a
v
ào phương trình
3 2
0
ax
bx cx d
t
a được điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá
trị của tham số.
Điề
u kiện đủ:
Thử các điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của tham số để phương trình
3
2
0
a
x bx cx d
có
3
nghiệ
m phân biệt.
Ä Tìm
điều kiện để đồ thị hàm số
3
2
y ax bx cx d
cắt
trục hoành tại
3
đ
iểm phân biệt có
h
oành độ lập thành cấp số nhân.
Điề
u kiện cần:
Giả
sử
1
2 3
,
,x x x
là nghiệ
m của phương trình
3
2
0
ax bx cx d
Khi
đó:
3
2
1
2 3
(
)( )( )ax bx cx d a x x x x x x
,
đồng nhất hệ số ta được
3
2
d
x
a
T
hế
3
2
d
x
a
v
ào phương trình
3
2
0
ax bx cx d
ta
được điều kiện ràng buộc về tham số hoặc
giá trị của tham số.
Điề
u kiện đủ:
T
hử các điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của tham số để phương trình
3
2
0
ax bx cx d
có
3
nghiệm phân biệt.
Câu 1. Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsố
m
đểđồthị
hàmsố
3
2
3 2
y x x C
cắ
tđường
thẳng
: ( 1)
d y m x
tạibađiểmphânbiệt
1
2 3
,
,x x x
.
A.
2
m
. B.
2
m
. C.
3
m
. D.
3
m
.
Lờ
i giải
Phươngtrìnhhoànhđộgiaođiểmcủa
C
và
d
là
3
2
3 2 ( 1)
x x m x
(
1)
P
hươngtrình
(
1)
3
2 2
3 2 0 ( 1)( 2 2) 0
x x mx m x x x m
2
2
1
0 1
(
) 2 2 0 ( ) 2 2 0 (2)
x
x
f x x x m f x x x m
P
hươngtrình
(
1)
luôncónghiệ
m
1
x
,
vậyđểphươngtrình
(
1)
c
óbanghiệmphânbiệtthìphương
trình
(
2)
phả
icóhainghiệmphânbiệtkhác1.
' 1 2 0 3
3
(1) 0 3
m m
m
f m
.
Vậ
y
3
m
thỏamãnyêucầubàitoán.
Câu 2. Đườngthẳng
có
phươngtrình
2 1y x
cắ
tđồthịcủahàmsố
3
3
y
x x
tại
haiđiểm
A
và
B
vớit
ọađộđượckíhiệulầnlượtlà
;
A A
A x y
và
;
B B
B x y
trong
đó
B
A
x
x
.
Tìm
B
B
x
y
?
A
.
5
B
B
x y
B.
2
B
B
x y
C.
4
B
B
x y
D.
7
B
B
x y
Lờ
i giải
Phươngtrìnhhoànhđộgiaođiểmcủa
và
3
3
y
x x
:
3 3
2
3
3
2 1 3 2 0
1 3
x y
x x x x x
x y
Vậ
y
1;3 ; ( 2; 3) 5
B
B
A B x y
N
GUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 68 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 3. Cho
hàm số
3
2 3
3
y
x mx m
có
đồ thị
m
C
và
đường thẳng
2
3
:
2d y m x m
.
Biết rằng
1
2 1 2
,
m m m m
làhaigiátrịthựccủa
m
đểđườngthẳng
d
cắtđồthị
m
C
tại
3
điểmphânbiệtcó
hoànhđộ
1
2 3
, ,x x x
t
hỏamãn
4
4 4
1 2 3
83
x x x
.
Phátbiểunàosauđâylàđúng vềquanhệgiữahai
giátrị
1
2
,m
m
?
A.
1
2
0
m
m
. B.
2
1
2
2
4
m
m
. C.
2
2
1
2
4
m
m
. D.
1
2
0
m
m
.
Lời giải
Xétphươngtrìnhhoànhđộgiaođiểmcủa
d
và
m
C
3
2 3 2 3
3
2x mx m m x m
3
2 2 3
3
3 0
x
mx m x m
3
2 2 3
3
3 0
x
m x mx m
2
2 2 2
2 2
3
0
3
0
3
x x m m x m
x m x m
x m
x m
x m
Để
đườngthẳng
d
cắ
tđồthị
m
C
tại
3
điể
mphânbiệtcóhoànhđộ
1
2 3
,
,x x x
0
m
.
Khiđó,
4
4
4 4 4 4
1 2 3
8
3 3 83
x
x x m m m
4
8
3 83 1
m
m
Vậ
y
1 2
1
, 1
m
m
ha
y
1 2
0
m
m
.
Câu 4. Tìm
tấtcảcácgiátrịthựccủathamsố
m
đểđồthịhà
msố
3
2
3y
x x
cắtđườngthẳng
y
m
tại
ba
điểmphânbiệt.
A.
; 4
m

. B.
4;0
m
.
C.
0
;m

. D.
;
4 0;m
 
.
Lời
giải
Chọn
B
Ta
có
3 2 2
0
3
3 6 ; 0
2
x
y x x y x x y
x
Bảng
biếnthiên:
Dựavàobảngbiếnthiêntathấyđồthịhàmsố
3
2
3y
x x
cắtđườngthẳng
y
m
tạibađiểmphân
biệtkhi
4 0
m
Câu 5. Tìm
tất cả các giá trị thực của tham số
m
để đường thẳng
1y mx m
cắt đồ thị hàm số
3
2
3
2
y
x x x
tạ
ibađiểm
,
,A B C
phâ
nbiệtsao
AB BC
A.

5
;
4
m
B.

2
;m
x

0
2
y
0
0
y

0
4
TÀI
LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 69
C.
m
D.
 
;
0 4;m
Lờigiải
Chọn
B
Ta
cóphươngtrìnhhoànhđộgiaođiểmlà:
3
2 3 2
3 2 1 3 1 0 1
x x x mx m x x x mx m
2
2
1
1
2 1 0
2
1 0
x
x
x x m
x x m
.Để
đườngthẳngcắtđồthịhàmsốtạibađiểm
phânbiệtthìphươngtrình
2
2 1 0x x m
c
óhainghiệmphânbiệtkhác
1
.Hay
1 1 0 2
2
1 2 1 0 2
m m
m
m m
.
Với
2m
t
hìphươngtrình
1
c
óbanghiệmphânbiệtl
à
1
2
1
, ,x x
(
1
2
,x
x
lànghiệm
của
2
2 1 0x x m
).Mà
1 2
x
x
1
2
suy
rađiểmcóhoànhđộx=1
luônlàtrungđiểmcủahaiđiểmcònlại.Nênluôncó3điểmA,B,Cthoảmãn
A
B BC
Vậ
y
2m
.
C
âu 6. Tất cả giá trị của tham số
m
để
đồ thị hàm số
3
2 2
2
2 4
y
x m x m
cắ
t các trục tọa độ
,O
x
O
y
lầ
nlượttại
,A
B
s
aochodiệntíchtamgiác
O
AB
bằ
ng8là
A.
2
m
. B.
1
m
. C.
3
m
. D.
2
m
.
Lờ
i giải
Chọn
D
G
iaođiểmcủađồthịhàmsốđãchovớitrụctunglà
2
0
;2 4
B
m
Phương
trìnhhoànhđộgiaođiểmcủađồthịđãchovớitrụchoànhlà:
3
2 2 2 2
2
2
2
2
2 4 0 2 2 2 0
1 1 0
x
x m x m x x x m
x
m vn
Giaođiểmcủađồthịđãchovớitrụchoànhlà
2;0
A
.
Diệntíchtamgiác
A
BC
là:
2
1
1
.
.2. 2 4 8 2.
2 2
S OAOB m m
C
âu 7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để
đường thẳng
y
mx
cắt
đồ thị của hàm số
3
2
3 2
y x x m
tạ
ibađiểmphânbiệt
,
,A B C
sao
cho
A
B BC
.
A.
;
1
m
B.
:m
C.
1
:m
D.
;
3
m
Lời
giải
Chọn
D
Hoànhđộgiaođiểmlànghiệmcủaphươngtrình
3
2 2
3
2 1 2 2 0
x
x m mx x x x m
2
1
2
2 0
x
x
x m
Đặt
nghiệm
2
1.
x
Từgiải
thiếtbàitoántrởthànhtìm
m
đểphương
trìnhcó3nghiệmlậpthànhcấp
sốcộng.
Khi đó phương trình
2
2 2 0
x x m
phải
có 2 nghiệm phân biệt (vì theo Viet rõ ràng
1
3 2
2 2x x x
)
Vậytac
hỉcần
1
2 0 3
m
m
C
âu 8. Tìmtấtcảcácgiátrịcủathamsố
m
để
phươngtrình
3
2
3 2
x x m
c
óbanghiệmphânbiệt.
A.
2
;m

. B.
;
2
m

. C.
2
;2
m
. D.
2
;2
m
.
N
GUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 70 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Lời giải
Xéthàmsố
3
2
3
2y x x ,
2
3
6y x x
.
Lậpbảngbiếnthiên
Sốnghiệmcủaphươngtrình
3
2
3 2 *x x m
bằngsốgiaođiểmcủađồthịhàmsố
3
2
3
2y x x vàđườngthẳng
y
m
.
Dựa
vàobảngbiếnthiênsuyraPT(*)có3nghiệmphânbiệtkhi
2
2m
.
Câu 9. Đườngthẳng
c
óphươngtrình
2
1y x
cắtđồ
thịcủahàmsố
3
3y
x x
tạihaiđiểm
A
và
B
vớitọađộ
đượckíhiệulầnlượtlà
;
A
A
A
x y
và
;
B
B
B
x y
tro
ngđó
B
A
x
x .Tìm
B
B
x
y ?
A. 5
B
B
x
y B. 2
B
B
x
y C. 4
B
B
x
y D. 7
B
B
x
y
Lời
giải
Chọn
C
Hoà
nhđộgiaođiểmlànghiệmcủaphươngtrình:
3
3 2 1x x x
Giải
phươngtrìnhtađược
1
2
x
x
Vì
B
A
x
x Vậy 1; 3
B
B
x
y 4
B
B
x
y
BÀI TOÁN 2. TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ NHẤT BIẾN
(CHỨA THAM SỐ)
Bài
toán tổng quát
Cho
hàmsố
ax
b
y
cx d
c
óđồthị
C
.
Tìmthamsốmđểđườngthẳng
:d
y x
cắ
t
C
tạ
ihai
điểmphânbiệt
,A B
thỏamãnđiềukiệnK?
Phươ
ng pháp giải
Bước
1.(Bướcnàygiốngnhauởcácbàitoántươnggiaocủahàmnhấtbiến)
Lập
phươngtrìnhhoànhđộgiaođiểmgiữadvà
:C
ax
b
x
cx d
2
0
,
d
g x cx c d a x d b x
c
.
- Đểdcắt
C
tạiha
iđiểmphânbiệt
0g x
c
ónghiệmnghiệmphânbiệ
t
d
c
0
; 0
0
c
d
g
c
.Giảihệnày,tasẽtìmđược
1
m D
i
-Gọi
1
1 2 2
;
, ;A x x B x y
với
1
2
,x
x là
2
nghiệm
của
0g
x
T
heoViét:
1
2
;
c
d a
S x x
c
1
2
d
b
P x x
c
i
i
Bước 2.
TÀI
LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 71
-Biếnđổi
điềukiệnKchotrướcvềdạngcóchứatổngvàtíchcủa
1
2
,x
x
ii
i
-Thế
ii
và
o
ii
i
sẽt
huđượcphươngtrìnhhoặcbấtphươngtrìnhvớibiếnsốlàm.Giảinósẽtì
m
được
2
m
D
-Từ
1
2
,
i
m D D
vàkếtluậng
iátrịmcầntìm.
Một
số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan đến tương giao giữa đường thẳng
y
kx p
v
à đồ thị hàm số
ax
b
y
cx d
Giả
sử
:
d
y kx p
cắt
đồ thị hàm số
ax
b
y
cx d
tại
2
điểm phân biệt
,M
N
.
Vớ
i
ax
b
k
x p
cx
d
c
ho ta phương trình có dạng:
2
0
A
x Bx C
t
hỏa điều kiện
0
c
x d
, có
2
4
B AC
. Khi đó:
1
).
2
1
1 2 2 2 1 2 1
2
(
; ), ( ; ) ( ; ( )) ( 1)
M
x kx p N x kx p MN x x k x x MN k
A
Chú
ý: khi
min
M
N
thì
tồn tại
m
in ,
k
const
2)
.
2
2 2 2 2 2
1
2 1 2
(
1)( ) ( )2 2OM ON k x x x x kp p
3
).
2
2
1
2 1 2
.
( . )(1 ) ( )
O
M ON x x k x x kp p

4)
.
2
1
2
(
)(1 ) 2 0
O
M ON x x k kp
Câu 10. Đườngthẳng
2y
x m
cắtđồthịhà
msố
3
1
x
y
x
tại
haiđiểmphânbiệtkhivàchỉkhi
A.
1
3
m
m
. B.
1
3
m
m
. C.
3
1
m
m
. D.
3
1
m
.
Lờigiải
Phươngtrìnhhoànhđộgiaođiểmcủahaiđồthịhàmsốđãcho
3
2
1
x
x m
x
2
1 3
1
x
m x x
x
2
2
2 3 0
x
mx m
*
.
(vìkhi
1
x
t
hìph
ương
trìnht
rởthành
0
4
vôlí).
Đểđồthịcủa
haihàmsốđãchocắtnhautạihaiđiểmphânbiệtthìphươngtrình
*
phải
cóhai
nghiệmphânbiệt.Khiđó
m
phải
thoảmãn
*
0
2
1
2
3 0
3
m
m
m
m
.
Vậytậphợp
cácgiátrịcủathamsố
m
là
1
3
m
m
.
C
âu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để
đường thẳng
2
y
x m
cắt
đồ thị của hàm số
3
1
x
y
x
tạ
ihaiđiểmphânbiệt.
A.
;m

. B.
1;m
. C.
2
;4
m
. D.
;
2
m

.
Lờ
i giải
Chọn
A
P
hươngtrìnhhoànhđộgiaođiểm:
3
2
(*),
1
x
x
m
x
với
điềukiệnxácđịnh
1
x
.
N
GUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 72 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Biến
đổi(*)vềthành:
2
2
( 1) 3 0 (**)x m x m
.
The
oyêucầuđềbài,phươngtrình(**)cầncóhainghiệmphânbiệtkhác
1
,tứclà:
2
2
1
4.2. 3 0
2. 1 1 . 1 3 0
m m
m m
2
6 25 0
2 0
m m
;
.m 
Câu
12.
A
và
B
làhaiđiểmthuộchainhánhkhácnhaucủađồthịhàmsố
2
x
y
x
.
Khiđóđộdàiđoạn
A
B
ngắn
nhấtbằng
A.
4
2
. B.
4
. C.
2
2
. D.
2
2
.
Lờigiải
ChọnB
Hà
msố
2
x
y
x
có
đồthị
C
như
hìnhvẽ.Gọi
;
2
a
A
a
a
và
;
2
b
B
b
b
là
haiđiểmthuộchai
nhánhcủa
C
2a
b
.
Ta
có:
;
;
2 2 2 2
b a b a
AB b a b a
b a b a
.
Áp
dụngBĐTCôsitacó:
2
2 2
4
b a
b a
.
Suyra:
2
2
2
2
2 2
b a
AB b a
b a
2
2
64
16b
a
b a
4A
B
.Dấ
ubằngxảyrakhivàchỉkhi
2
2a
và
2
2b
.
Vậ
y
m
in
4A
B .
Câu 13. Chohàmsố
1
x
y
C
x
và
đườngthẳng
: xd y m
.
Gọi
S
l
àtậpcácsốthực
m
đểđườn
g
thẳng
d
cắtđồthị
C
tạihaiđiểmphânbiệt
,A
B
saochotamgiác
O
AB
(
O
làgốctọađộ)cóbán
kínhđườngtrònngoạitiếpbằng
2
2
.Tổng
cácphầntửcủa
S
bằng
A.
4
. B.
3
. C.
0
. D.
8
.
Lời
giải
Chọn A
Xé
tphươngtrình
,
1
x
x m
x
(đ
iềukiện
1x
).
P
hươngtrìnhtươngđương
2
0x
mx m
1
.
Đồthị
C
và
đườngthẳng
d
cắtnhautạihaiđiểmphânbiệt
A
và
B
khi
vàchỉkhiphươngtrình
1
c
óhainghiệmphânbiệt
1x
điều
kiệncầnvàđủlà
0
4m m
.
x
y
2
1
O
1
TÀI
LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 73
Khiđóhaigiaođiểmlà
1
1
( ; )A x x m
;
2
2
( ; )B x x m
.
Tacó
2
2 2
2
; 2 ; 2( 4 )OA m m OB m m AB m m
;
,
2
m
d
O d
.
2
1
1 . .
. . , . . 2( 4 )
2 2 4
2
O
AB
m
O
AOB AB
S AB d O d m m
R
.
S
uyra
2
2
2
(
2 ). 2( 4 )
1
. 2( 4 )
2
2 4.2 2
m
m
m m m
m
m
2
0
( )
2 4 6( )
2( )
m l
m m m m n
m n
.
Vậytổng
cácphầntừcủa
S
bằng
4
.
C
âu 14. Đồthịhàmsố
2
1
1
x
y C
x
và
đườngthẳng
:
d y x m
.
Tìmtấtcảcácgiátrịcủathamsố
m
để
đườngt
hẳng
d
cắtđồt
hị
C
tại
2
điểmphânbiệt
A.
1
m
. B.
5 1
m
. C.
5
m
. D.
5
m
hoặc
1
m
.
Lờ
i giải
Chọn D
Hà
msố
2 1
1
x
y
x
c
ótậpxácđịnh
\
1
D
.
Lậpphươngt
rìnhhoànhđộgiaođiểm:
2
1
1
x
x
m
x
1
x
2
2
1
1 0
2
1
1
1
x m x m
x x m x mx
x
x
Đườngthẳng
d
cắtđồthị
C
tại
2
điểmphânbiệt
phư
ơngtrình
có
2
nghiệmphân
biệt
1x
2
2
0
6
5 0
1
1 1 0
1 0 t/m
m m
m m
5
m
hoặc
1
m
.
Câu 15. Chohàmsố
3
1
x
y
x
c
óđồthị
C
và
đườngthẳng
:
d
y x m
,
với
m
là
thamsốthực.Biếtrằng
đườngthẳng
d
cắ
t
C
tạ
ihaiđiểmphânbiệt
A
và
B
s
aochođiểm
2
; 2
G
l
àtrọngtâmcủatam
giác
O
AB
(
O
làgốctoạ
độ).Giátrịcủa
m
bằng
A.
6
. B.
3
. C.
9
. D.
5
.
Lời giải
Chọn
A
Hà
msố
3
1
x
y
x
c
ó
2
2
0
1
y
x
,
x
D
và
đườngthẳng
:
d
y x m
cóhệsố
1 0
a
nê
n
d
luôncắt
C
tạihai
điểmphânbiệt
;
A
A
A x y
và
;
B
B
B x y
vớimọigiátrịcủa
thamsố
m
.
P
hươngtrìnhhoànhđộgiaođiểmcủa
d
và
C
là:
3
1
x
x m
x
2
3 0
x mx m
1
x
.
S
uyra
A
x
,
B
x
là2nghiệm
củaphươngtrình
2
3
0
x
mx m
.
Theo
địnhlíViet,tacó
A
B
x
x m
.
N
GUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 74 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Mặtkhác,
2
; 2
G
là
trọngtâmcủatamgiác
O
AB
nên
3
A
B O G
x x x x
6
A
B
x
x
6
m
.
Vậ
y
6
m
thoảmã
nyêucầuđềbài.
Câu 16. Chohàmsố
3
2
1
x m
y
mx
vớ
i
m
l
àthamsố.Biếtrằngvớimọi
0
,
m
đồ
thịhàmsốluôncắtđường
thẳng
: 3 3d y x m
tạ
ihaiđiểmphânbiệt
A
,
.B
Tích
tấtcảcácgiátrịcủa
m
tì
mđượcđểđường
thẳng
d
cắt
cáctrục
,Ox
Oy
lầ
nlượttại
,C
D
s
aochodiệntích
OA
B
bằng
2lầndiệntích
O
CD
bằ
ng
A.
4
9
. B.
4
. C.
1
. D.
0
.
Lời
giải
Chọn A.
Với
0
m
,xé
tphươngtrình
3
2
3
3
1
x
m
x
m
mx
2
3 3 1 0
x mx
.(*)
Gọitọa
độcácgiaođiểmcủa
d
vớiđồt
hịhàmsốđãcholà:
1
1
;
3 3A x x m
,
2
2
;
3 3B x x m
.
Tọađộc
ácđiểm
C
,
D
là
;0
C m
và
0; 3D m
.
Gọi
,O
d
h d
thì
h
làchiềucao
củacáctamgiác
O
AB
và
O
CD
.
Theo
giảthiết:
2
OAB
OCD
S S
2
2
1
1
. 2. . 2 4
2
2
AB h CD h AB CD AB CD
2
2
2
2
1
2 1 2
3 4 3x x x x m m
2
2
2
2
1
2 1 2 1 2
10
40 4 4x x m x x x x m
2
2 2
4 4 2
4
3
9 3
m
m m m
.
Vậytíchc
ácgiátrịcủa
m
là
4
9
.
BÀI
TOÁN 3. TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG
(CHỨA THAM SỐ)
. Bài
toán tổng quát: Tìmmđểđườngthẳng
:d
y
cắ
tđồthị
4
2
(
) : ( ; )
C
y f x m ax bx c
tạ
i
nđiể
mphânbiệtthỏamãnđiềukiệnKchotrước?
Phươn
g pháp giải:
Bước
1. Lậpphươngtrìnhhoànhđộgiaođiểmcủa
d
và
(
)C
là:
4
2
0
a
x bx c
(1)
Đặ
t
2
0
t
x
t
hì
2
(
1) 0
at
bt c
(2)
Tùyvà
osốgiaođiểmnmàtabiệnluậnđểtìmgiátrị
1
.m
D
Cụthể:
Để
(
) 4
d
C n
điểmphânbiệt
(
1)
có4nghiệmphânbiệt
(2)
có2nghiệm
1
2
,
t t
t
hỏađiềukiện:
1 2 1
0
0 0 .
0
t t S m D
P
Để
(
) 3
d
C n
điểmphânbiệt
(
1)
có3nghiệmphânbiệt
TÀI
LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 75
(
2)
cónghiệm
1
2
,
t t
thỏađiềukiện:
1
2 1
0
0
.
0
c
t
t m D
b
a
Để
( ) 2
d C n
điể
mphânbiệt
(1)
có2nghiệ
mphânbiệt
(
2)
có2nghiệ
mtráidấuhoặccónghiệmképd
ương
1
0
.
0
0
ac
m
D
S
Để
(
) 1d C n
điểm
phânbiệt
(
1)
c
óđúng1nghiệm
(
2)
cónghiệ
mkép
0
hoặc
1
1
2
0
0
0
.
0
0
0
c
t
m
D
b
t
c
a
Bước
2.BiếnđổiđiềukiệnKvềdạngcóchứatổngvàtíchcủa
1
2
,
t t
(3)
Thế
biểuthứctổng,tíchvào(3)sẽthuđượcphươngtrìnhhoặcbấtphươngtrìnhvớibiếnsốlà
.m
Giả
ichúngtasẽtìmđược
2
.m
D
Kế
tluận:
1 2
.m
D D
Ä Tì
m điều kiện để đồ thị hàm số
4
2
y
ax bx c
cắt
trục hoành tại
4
đ
iểm phân biệt có
h
oành độ lập thành cấp số cộng.
T
a có:
4
2
0
(1)
ax
bx c
, đặt
2
0
t
x
, thì có:
2
0
a
t bt c
(
2)
Để
(
1)
c
ó
4
nghiệm phân biệt thì
(
2)
c
ó hai nghiệm phân biệt dương, tức là:
1
2
1 2
0
0
. 0
t t
t t
Khi
đó
(
1)
có
4
nghiệ
m phân biệt lần lượt là
2 1 1 2
;
; ;t t t t
lập t
hành cấp số cộng khi và ch
ỉ
k
hi:
2 1 1 1 2 1 2 1
(
) 3 9t t t t t t t t
.
Theo định lý Vi – et
1
2
b
t t
a
suy ra
1
2
9
;
10 10
b b
t
t
a a
, kết hợp
1
2
.
c
t
t
a
nên có:
2
2
9
100
a
b a c
Tóm lại: Hàm số
4 2
y ax bx c
cắt trục hoành tại
3
điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số
cộng, t
hì điều kiện cần và đủ là:
2
2
2
4
0
0
0
9
100
b ac
b
a
c
a
ab
a c
C
âu 17. Tậptấtcảcácgiátrịcủathamsố
m
đểphươngtrình
4
2
2
(2 1) 0
x
mx m
c
ó4nghiệmthựcphân
biệtlà
A.
1
; \ 1 .
2

B.
(
1; )
. C.
1
;
2
. D.
.
Lờ
i giải
Chọn
A
Xé
tphươngtrình:
4
2
2
(2 1) 0
x
mx m
.
Đặ
t
2
(
0)
x
t t
.
N
GUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 76 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
P
hươngtrìnhđãchotrởthành
2
2
(2 1) 0(*)
t
mt m
.
Để
phươngtrìnhbanđầucóbốnnghiệmthựcphânbiệtthìphươngtrình
(
*)
c
óhainghiệmphânbiệt
dương
'
2
0 2 1 0 1
1
0
2 0 0
2
1
0 2 1 0 1
2
m m m
m
S m m
m
P m
m
hay
1
;
\ 1
2
m

.
Câu 18. Cho
hàmsố
4
2
3 2
y x x
.
Tìmsốthựcdương
m
đểđường
thẳng
y
m
cắt
đồthịhàmsốtại
2
điểmphân
biệt
A
,
B
saoc
hotamgiác
O
AB
vuôngtại
O
,trongđó
O
là
gốctọađộ.
A
.
2
m
. B.
3
2
m
. C.
3
m
. D.
1
m
.
Lờ
i giải
Hoànhđộgiaođiểmcủahaiđồthịhàmsốlànghiệmcủaphươngtrình:
4
2
3
2
x
x m
4
2
3
2 0 1
x
x m
.
Vì
0
2 0
m
m
ha
yphươngtrình
1
luôncó
hainghiệmphânbiệtthỏamãn:
2
3
4 17
2
m
x
1
3
4 17
2
m
x
và
2
3
4 17
2
m
x
.
Khiđó:
1
;A
x m
,
2
;B
x m
.
Ta
cótamgiác
OAB
vuông
tại
O
,
trongđó
O
làgốc
tọađộ
2
1
2
.
0 . 0
O
AOB x x m
.
2
2
02
2
3 0
4 2
2
3 0
3 4 17
2
2
4 12 4 8 0
m
m
m
m
m
m
m m m
.
Vậ
y
2
m
là
giátrịcầntìm.
Câu 19. Mộtđườngthẳngcắtđồthịhàmsố
4
2
2y
x x
tạ
i4điểmphânbiệtcóhoànhđộlà
0
,
1
,
,m
n
.
Tính
2
2
.S
m n
A.
1
S
. B.
0
S
. C.
3
S
. D.
2
S
.
Lờ
i giải
Chọn
C
Tọađộc
ácgiaođiểmlầnlượtlà
0
;0
A
,
1
; 1
B
,
4
2
;
2 ,
C
m m m
4
2
;
2 .D n n n
Đườngthẳngq
uacácđiểm
,
, ,A B C D
c
óphươngtrình:
.y
x
Xé
tphươngtrìnhhoànhđộgiaođiểm:
4
2 4 2
2
0
2 2 0 1
1
0 *
x
x x x x x x x
x x
Vậy
,m
n
l
àcácnghiệmcủaphươngtrình
*
.
Khiđó:
2
2
2
2
3.
S
m n m n mn
Câu 20. Có
baonhiêugiátrịnguyêncủa
m
để
đồthịhàmsố
4
3 2
4
2 8 4y x x m x x
cắt
trụchoành
tạiđúnghaiđiểmcóhoànhđộlớnhơn
1
.
A.
8
. B.
7
. C.
5
. D.
3
.
Lờ
i giải
Chọn
A
P
hươngtrìnhhoànhđộgiaođiểm
4
3 2
4 2 8 4 0
x x m x x
TÀ
I LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 77
Đồt
hịhàmsố
4
3 2
4 2 8 4y x x m x x
cắt
trụchoànhtạiđúnghaiđiểmcóhoànhđộlớnhơn
1
c
óđúnghainghiệmlớnhơn
1
.
4
3 2
*
4 8 4 2x x x m x
2
2
8
4
2 4m x x
x x
Đâ
y là phương trình hoành độ giao điểm của
2
2
8 4
: 4 1C y x x x
x x
với
đường thẳng
2y m
song
songvớitrụchoành.
Xéthàmsố
2
2
8 4
4 1y x x x
x x
.
2
3
8
8
2 4y x
x x
4
3
2
2 4 8 8x x x
x
.
Cho
0y
1
3
1 3
x
x
lo¹i
nhËn
.
Bảng
biếnthiên
Dựavàobảngbiếnthiêntathấy,ycbt
0
2 9m 7 2m
.
Vì
m
nguy
ênnên
6
, 5,...,1m
.
Vậ
ycó
8
gi
átrịnguyêncủa
m
thỏa
bàitoán.
BÀI TOÁN
4. BIỆN LUẬN m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN
K
(HÀM SỐ KHÁC)
Câu 21. Cho hai hàm số
2
2 2 2
1
2 4 3 6 8
1 2 3
x x x x x x x
y
x x x x
v
à
2y
x x m
( là tham số
thực)cóđồthịlầnlượtlà
1
(
)C
và
2
(
)C
.Tínhtổngtấtcảcácgiátrịnguyênthuộckhoảng
(
15 ; 20)
của
thamsố
m
để
1
( )C
v
à
2
( )C
cắ
tnhautạinhiềuhơnhaiđiểmphânbiệt.
A.
210
. B.
85
. C
.
119
. D
.
105
.
Lờ
i giải
Chọn B
Xétphươngtrìnhhoànhđộgiaođiểm
2
2 2 2
1
2 4 3 6 8
2
1 2 3
x x x x x x x
x x m
x x x x
2
2 2 2
1 2 4 3 6 8
2
1 2 3
x x x x x x x
x x m
x x x x
(
1).
Đặt
2
2 2 2
1 2 4 3 6 8
( ) 2
1 2 3
x x x x x x x
g x x x
x x x x
.
T
acó
2
2
2 2
2
( 2)
1 1 1 1
( ) 4 0
( 1) ( 2) 2
3
x x
g x
x x x x
x
vớ
imọi
x
t
huộccáckhoảngsau
;
0
,
0
;1
,
1
; 2
,
2
; 3
v
à
3
;
n
ênhàmsố
(
)y g x
đồ
ngbiếntrênmỗikhoảngđó.
Mặtkháctacó
l
im ( )
x
g
x
v
à
l
im ( )
x
g
x


.
Bả
ngbiếnthiênhàmsố
(
)y g x
m
N
GUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 78 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Dựavàobảngbiếnthiêntathấyđườngthẳng
y m
l
uôncắtđồthịhàmsố
(
)y g x
tạinămđiểmphân
biệtnên
1
( )C
và
2
( )C
luôncắtnhautạiđúngnămđiểmphânbiệtvớimọigiátrịcủa
m
.Kếthợpđiềukiện
m
n
guyênthuộc
(
15; 20)
n
ên
1
4; 13;...;18;19 m
.
Khiđótổngtấtcảcácgiátrị
m
l
à
1
5 16 17 18 19 85S
.
Câu
22. Chohaihàmsố
1
2
1 1
x x x
y
x x x
và 20
20 3
x
y
e m (
m
là
thamsốthực)cóđồthịlầnlượt
là
1
(
)C và
2
(
)C .Cóbaonhiêusốnguyên
m
thuộc
( 2019; 2020)
để
1
(
)C và
2
(
)C cắtnhautại3
điểmphânbiệt?
A.
2692
. B.
2691
. C.
2690
. D.
2693
.
Lời
giải
Chọn A
Xétphươngtrìnhhoànhđộgiaođiểm
1
2
2020 3
1 1
x
x
x x
e m
x x x
1
2
2020 3
1 1
x
x
x x
e m
x x x
(1
).
Đặt
1
2
( ) 2020
1 1
x
x
x x
g x e
x x x
.
Ta
có
2
2
2
1
1 1
( ) 0
( 1)
1
x
g
x e
x x
x
vớimọi
x
thuộc
cáckhoảngsau
; 1
,
1;0
,
0
;1
và
1
;
nê
nhàmsố
( )y g x
nghịc
hbiếntrênmỗikhoảngđó.
Mặtkháctacó
lim ( ) 2017

x
g x
và
lim ( )
x
g x


.
Bảng
biếnthiênhàmsố
(
)y g x
Do
đóđể
1
(
)C và
2
(
)C cắtnhautạiđúngbađiểmphânbiệtthìphươngtrình(1)phảicóbanghiệm
phânbiệt.Điềunàyxảyrakhivàchỉkhiđườngthẳng
3y m
cắ
tđồthịhàmsố
( )y g x
tạ
iba
điểmphânbiệtkhivàchỉkhi
2
017
3 2017 672,3
3
m m
.
Do
m
nguyênthuộc
(
2019; 2020)
nên
672; 671;...;2019m
.Vậycótấtcả2692giátrị
m
thỏa
mãn.
Câu 23. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số
m
để đồ thị hai hàm số
2
2
1 1y x x
và
11 1
11
3 4 2
y m
x x
cắt
nhautại
2
điểmphâ
nbiệt?
A.
;
0
. B.
;1
. C.
;1
. D.
;
2
.
Lời giải
TÀ
I LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 79
Chọn C
Xétphươngtrìnhhoànhđộgiaođiểm:
2
11
1
2 1 1 11  *
3 4 2
x x m
x x
Điềukiện:
1
0 1
4 4
3 3
2 2
x x
x x
x x
Ta
có:
*
2
11
1
2 1 1 11
3 4 2
x x m
x x
Xéthàmsố
2
11 1
( ) 2 1 1 11
3 4 2
f x x x
x x
trên
4
1
; \ ;2
3
Nhậnthấy,hàmsố
f
x
l
iêntụctrêncáckhoảng
4 4
1; , ;2 , 2;
3 3

Tacó,
2
11
1
( ) 2 1 1 11
3 4 2
f x x x
x x
2
2 2
1
33 1
4 1 2 1
2 1
3 4 2
x x x
x
x x
2
2
2
10
8 1 33 1
0
2 1
3 4 2
x x
x
x x
với
4
1
; \ ;2
3
x
Suyra,hàmsố
f
x
đồngbiếntrên
4
1
; \ ;2
3
.
Bảngbiếnthiên
Từbảngbiếnthiêntasuyrađồthịhaihàmsố
2
2 1 1y x x
và
11 1
11
3 4 2
y m
x x
cắt
nhau
tại
2
điểmphânbiệtkhi
;
1m 
.
Câu 24. Chohaihàmsố
1
1 2
1 2 3
x x x x
y
x x x x
và
1
2 2
x
y m
( làthamsốthực)cóđồthịlần
lượtlà
1
( )C và
2
( )C .Tậphợptấtcảcácgiátrịcủa để
1
( )C và
2
( )C cắtnhautạiđúngnămđiểm
phânbiệtlà
A.
2
;
. B.
;
2
. C.
;
2
. D.
;
4
.
Lời giải
Chọn C
Xétphươngtrìnhhoànhđộgiaođiểm
1
1
1 2
2 2
1 2 3
x
x
x x x
m
x x x x
m
m
N
GUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 80 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
1
1
2 3
2 2
1 2 3 4
x
x
x x x
m
x x x x
.
Đặt
1
1
2 3
( ) 2
1 2 3 4
x
x
x x x
g x
x x x x
.
Ta
có
1
2
2 2
2
1 1 1 1
( ) 2 ln 2 0
1 2 3
x
g
x
x
x x x
với
mọi
x
thuộc
các khoảng sau
;
3
,
3
; 2
2
; 1
,
1
;0
và
0
;
nên
hàm số
(
)y g x
đồng
biếntrênmỗikhoảngđó
Mặtkháctacó
lim ( ) 4
x
g x

và
và
lim ( )
x
g x

.
Bảng
biếnthiênhàmsố
(
)y g x
Do
đóđể và cắtnhautạiđúngnămđiểmphânbiệtthìphươngtrình(1)phảicó5nghiệm
phânbiệt.Điềunàyxảyrakhivàchỉkhiđườngthẳng
2y
m
cắ
tđồthịhàmsố
(
)y g x
tạ
i5điểm
phânbiệtkhivàchỉkhi
2 4 2m m
Câu
25. Chohaihàmsố
2 2 2
1
2
1 2 4 3
x x x
y
x x x x x
và
1y
x x m
( làthamsốthực)cóđồthị
lầnlượtlà
1
(
)C và
2
(
)C .Sốcácgiátrị
m
nguy
ênthuộckhoảng
20
;20
để
1
(
)C và
2
(
)C cắtnhau
tạinămđiểmphânbiệtlà
A.
22
. B.
39
. C.
2
1
. D.
20
.
Lời
giải
Chọn C
Xétphươngtrìnhhoànhđộgiaođiểm
2
2 2
1 2
1
1 2 4 3
x x x
x x m
x x x x x
2
2 2
1
2
1
1 2 4 3
x x x
x x m
x x x x x
(1).
Đặt
2
2 2
1 2
( ) 1
1 2 4 3
x x x
g x x x
x x x x x
.
Ta
có
2
2 2
2 2 2
2 2 2
1 2 2 4 5 1
( ) 1
1
1 2 4 3
x x x x x x
g x
x
x x x x x
2
2 2
2 2 2
2 2 2
1 1
1 ( 1) 1 ( 2) 1
0
1
1 2 4 3
x x
x x x
x
x x x x x
vớimọi
x
t
huộccáckhoảngsau
;
1
,
1
;0
,
0
;1
,
1
;2
,
2
;3
và
3
;
nên
hàmsố
( )y g x
nghịchbiếntrênmỗikhoảngđó.
Mặtkháctacó
lim ( )
x
g x


và
và
lim ( ) 1
x
g x

.
Bảng
biếnthiênhàmsố
(
)y g x
1
C
2
C
m
TÀ
I LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 81
Dođóđể
1
( )C và
2
( )C cắtnhautạiđúngnămđiểmphânbiệtthìphươngtrình(1)phảicónăm
nghiệmphânbiệt.Điềunàyxảyrakhivàchỉkhiđườngthẳng
y
m
cắ
tđồthịhàmsố
(
)y g x
tạ
i
nămđiểmphânbiệtkhi
1m
,
do
m
nguy
ênthuộc
( 20;20)
nê
n
19; 18;...;0;1m
.
Vậycótất
cả21giátrị
m
thỏa
mãn.
Câu 26. Gọi
S
là
tậphợptấtcảcácgiátrịcủathamsố
m
đểbất
phươngtrình
2
4 3 2 2
2
1 0m x m x x m x
nghiệ
mđúngvớimọi
x
.Số
phầntửcủatập
S
là
A.
3
. B.
2
. C.
0
. D.
1
.
Lời
giải
Chọn D
Đặt
2
4 3 2 2
2
1f x m x m x x m x
Ta
có
2
4 3 2 2 2 3 2 2
2
1 2 1f x m x m x x m x x m x m x x m
.Giảsử
0x
khôn
gphảilànghiệmcủaphươngtrình
2
3 2 2
2
1 0g x m x m x x m
thìhàm
số
2 4 3 2 2
2
1f x m x m x x m x
sẽđổidấukhiquađiểm
0x
,nghĩalà
2
4 3 2 2
2
1 0m x m x x m x
khôn
gcónghiệmđúngvớimọi
x
.
Do
đó,đểyêucầubàitoánđượcthỏamãnthìmộtđiềukiệncầnlà
2
3 2 2
2
1 0g x m x m x x m
phảic
ónghiệm
0x
,
suyra
2
1
0 1m m
Điều
kiệnđủ:
Với
4
3 2 2 2
1
, 3 3 1m f x x x x x x x
khiđó
1
1 0f
khôn
gthỏamãnđiềukiệ
n
2
4 3 2 2
2
1 0m x m x x m x
nghiệmđúngvớimọi
x
.(loại)
Với
4
3 2 2 2
1
, 1 0m f x x x x x x x
,
x
.
Vậ
y
1S
.
Câu
27. Cóbaonhiêucặpsốthực
( ; )a b
đểbất
phươngtrình
2
1
2 2 0x x ax bx
nghiệm
đúng
vớimọi
x
A.
3
. B.
2
. C.
0
. D.
1
.
Lời giải
Chọn C
Đặt
2
1
2 2f x x x ax bx
Giảsử
1x
khôn
gphảilànghiệmcủaphươngtrình
2
2
2 0g x x ax bx
t
hìhàms
ố
2
1
2 2f x x x ax bx
sẽđổidấukhiquađiểm
1x
,nghĩalà
2
1
2 2 0x x ax bx
khôngcónghiệmđúngvớimọi
x
.
Dođó,đểyêucầubàitoánđượcthỏamãnthìmộtđiềukiệncầnlà
2
2
2 0g x x ax bx
có
nghiệm
1x
su
yra
2
0a b
(1
)
Líluậntươngtựcó
2
1
2 0h x x ax bx
cũng
phảinhận
2x
là
nghiệm,suy
ra
4 2 2 0a b
(2
)
N
GUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 82 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Từ
(1)và(2)tacóhệ
2
0 1
4 2 2 0 1
a
b a
a b b
Điềukiệnđủ:
Với
1
1
a
b
c
ó
2
2
2
1 2 2 1 2 0
f x x x x x x x
,
x
.
Vậ
ykhôngtồntạicặpsốthực
( ; )a b
nà
othỏamãnyêucầubàitoán.
Câu 28. Trongsốcáccặpsốthực
;a b
đểbất
phươngtrình
2
1
0
x
x a x x b
nghiệm
đúngvới
mọi
x
,
tích
a
b
nhỏnhất
bằng
A.
1
4
. B.
1
. C.
1
4
. D.
1
.
Lời
giải
Chọn
C
Đặ
t
2
1
f x x x a x x b
và
2
g x x a x x b
Giả
sử
1x
không
phảilànghiệmcủaphươngtrình
2
0
g
x x a x x b
t
hìhàms
ố
2
1
f x x x a x x b
sẽđổidấukhiquađiểm
1x
,nghĩa
2
1 0
x x a x x b
khôngcó
nghiệmđúngvớimọi
x
.
Dođóyê
ucầubàitoánđượcthỏamãnthìmộtđiềukiệncầnlà
2
0
g
x x a x x b
có
nghiệm
1x
suyra
hoặc
2
1
0
,
a
x x b x
hoặc
làphươngtrình
2
0
x x b
c
óhainghiệm
1x
và
x
a
Tr
ườnghợp1:
2
1
1
1
1
0
1
0,
1 4 0
4
a
a
a
b
x
x b x R
b
Trườnghợp2:phươngtrình
2
0
x
x b
cóhainghiệm
1x
và
x
a
Tathay
1x
vàophươngt
rình
2
0
x
x b
c
ó
2
1
1 0 2
b
b
.
Với
2
b
cóphươngtrìn
h
2 2
1
0
2 0
2
x
x x b x x
x
Vì
x
a
cũng
lànghiệmcủaphươngtrìnhnên
2
a
.
Tr
ongtrườnghợp1:
1
1
1
4
4
a
ab
b
suyra
tích
ab
nhỏ
nhấtkhi
1
4
a
b
Và
với
1
1
,
4
a
b
,
tích
1
4
a
b
t
hìbấtphươngtrìnhđãchotươngđươngvới
2
2
2
1
1
1
1 0 1 0
4
2
x x x x x x
thỏa
mãnvớimọi
x
(nhận)
Tr
ongtrườnghợp2:Tích
1
4
4
a
b
Vậ
ytích
ab
nhỏnhấtkhi
1
4
a
b
.
Câu 29. Cho
2hàmsố
7
5 3
3
1
y
x x x m
và
2
2y x x m
(
m
là
thamsốthực)cóđồthịlầnlượt
là
1
C
,
2
C
.Tậphợptấtc
ảcácgiátrịcủa
m
để
1
C
cắ
t
2
C
là
A
.
m
. B.
2;m

. C.
;2
m 
. D.
2;m

.
TÀ
I LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 83
Lời giải
Chọn A
Xé
tphươngtrìnhhoànhđộgiaođiểm:
7
5 3
3 1 2 2x x x m x x m
7
5 3
2 5 1 (1)x x x x x m
.
Xé
thàmsố
7
5 3
(
) 2f x x x x x x
.
Ta
có
7 5 3
7 5 3
2
khi 2;
( )
2 2 khi ;2
x x x x
f x
x x x x x


.
6 4 2
6 4 2
7
5 3 0 khi 2;
( )
7 5 3 2 0 khi ;2
x x x x
f x
x x x x


.
lim
x
f x


;
lim
x
f x


.
Bảng
biếnthiên:
Từbảngbiếnthiêntathấyphươngtrình
1
l
uôncónghiệmvớimọi
m
.
Vậyđể
1
C
cắt
2
C
thì
m
.
Câu
30. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực
m
t
huộc đoạn
2
019;2019
để
phương trình
2
3
2 3 1 5 1 2 4 2 3x x m x x m x x
c
ónghiệmthực?
A.
2
019
. B.
4
032
. C.
4
039
. D.
4
033
.
Lời giải
Chọn
B
Đk:
3
;1x
.
Phươngtrìnhđãcho
1
1 3 4 3 1 2 1 3 0x x x m x x
.(*)
Đặt
2
1 3t x x g x
,
với
2
3
;1 11 3 4 3 1 4x x x x t
.
Có
1
1
0, 3;1
1 2 3
g x x
x x
.
Suyra
g
x
nghịch
biếntrênkhoảng
3
;1
.
3
;1
m
in 1 2g x g
:
3
;1
m
ax 3 4 2;4g x g t
.
Từ(*
)
2
4
0t mt
.
Nếu
0
0 4 0t
(v
ôlí).
Nếu
2
;4 \{0}t
,tacó
2
4
4t
m t f t
t t
.
Có
2
2
4
, 0 2
t
f t f t t
t
.
Bảng
biếnthiên
+∞
∞
+
2 +∞
∞
f '(x)
f(x)
x
+
N
GUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 84 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Từbảngbiếnthi
ên,suyraphươngtrìnhcónghiệmthựckhivàchỉkhi
4
4
m
m
.
Dođó
20
19;2019
4
2019; 2018;....; 4;4;...;2018;2019
4
m
m
m
m
m
.
Vậycó
2
019 4 1 .2 4032
giátrịnguyêncủathamsốthực
m
.
E. BÀI TOÁ
N TIẾP TUYẾN
I– Các
dạng toán viết phương trình tiếp tuyến thường gặp
Viết PTTT
của
:
,C y f x
biết
có hệ số góc k cho trước
Gọi
;
o
o
M x y
là
tiếpđiểm.Tính
' '
o
y y x
.
Do
phươngtrìnhtiếptuyến
có
hệsốgóck
'
o
y x k
i
Giả
i
i
tìmđược
:
o
o o o o
x
y f x y k x x y
.
Lưu
ý.Hệsốgóc '( )
o
k
y x củatiếptuyến
t
hườngchogiántiếpnhưsau:
P
hươngtrìnhtiếptuyến
// :d y ax b k a
.
P
hươngtrìnhtiếptuyến
1
:d
y ax b k
a
.
P
hươngtrìnhtiếptuyến
tạ
ovớitrụchoànhgóc
tank
.
Phươngtrìnhtiếptuyến
tạovới
:d
y ax b
góc
tan
1 .
k a
k a
Viết
PTTT
của
:
,C y f x
b
iết
đ
i qua (kẻ từ) điểm
;
A
A
A
x y
Gọi
;
o
o
M
x y
là
tiếpđiểm.Tính
o
o
y
f x
và
'
o
k
y x
the
o
o
x .
P
hươngtrìnhtiếptuyến
tạ
i
;
o
o
M
x y
l
à
:
o
o
y
k x x y
.
Do
;
A
A A A o o
A x y y k x x y
i
Giảiphươngtrình
o
o
i
x y
và
k 
phươngtrình
.
Viết
PTTT
của
:
,C y f x
biế
t
cắt
hai trục tọa độ tại A và B sao cho tam giác
OAB
vuôn
g cân hoặc có diện tích S cho trước
Gọi (
; )
o o
M
x y làtiếpđiểmvàtínhhệsốgóc '( )
o
k
y x theo
o
x .
Đề
cho
.
2
O
AB
OAB
S
S OAOB S
i
ii
Giả
i
i
hoặ
c
;
o o
i
i x y k  
phương
trìnhtiếptuyến
.
Tìm n
hững điểm trên đường thẳng
:
0d ax by c
mà từ
đó vẽ được
1
,2,3,...,n
tiếp tuyến
với đồ
thị hàm số
:C
y f x
Gọi
;
: 0
M
M
M
x y d ax by c
(s
aochocómộtbiến
M
x tr
ongM)
t
2
0
2
4
f
t
0
0
f t
4

4
5
vuông
cân
tạov
ớiOxmộtgóc
4
5
o
và
O
TÀ
I LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 85
P
TTT
qua
Mvàcóhệsốgóckcódạng
:
M
M
y
k x x y
.
Ápdụngđiềukiệntiếpxúc:
'
M
M
f
x k x x y
f x k
i
i
i
T
hếktừ
ii
và
o
,i
được
:
'
.
M
M
f
x f x x x y
iii
Số
tiếptuyếncủa
C
vẽ
từ
M
số
nghiệmxcủa
i
ii
.
Tìm những điểm
;
M
M
M
x y
mà từ đó vẽ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số
:C y f x
và hai t
iếp tuyến đó vuông góc nhau
P
TTT
qua
Mvàcóhệsốgóckcódạng
:
M
M
y
k x x y
.
Áp
dụngđiềukiệntiếpxúc:
'
M
M
f x k x x y
f x k
i
i
i
Thếktừ
ii
vào
,i
được:
' .
M M
f x f x x x y
iii
Qua
Mvẽđượchaitiếptuyếnvới
C
iii
có
hainghiệmphânbiệt
1
2
,x
x .
Ha
itiếptuyếnđóvuônggócnhau
1
2 1 2
.
1 ' . ' 1k k y x y x
.
Lưu
ý.
Q
uaMvẽđượchaitiếptuyếnvới saochohaitiếpđiểmnằmvềhaiphíavớitrụchoànhthì
1
2
:
.
0.
iii
f x f x
Đốivới
bàitoántìmđiểm
:M
C y f x
sa
ochotạiđótiếptuyếnsongsonghoặcvuônggóc
với
đườngthẳngdchotrước,tachỉcầngọi
;
o o
M
x y
và
là
tiếptuyếnvới
'
o
k
f x
.
Rồiáp
dụng
'
o
d
k f x k
nế
u cho song song và
' . 1
o
d
f x k
nế
u cho vuông góc
;
o
o o o
x
y M x y
.
Câu 1. Phươngtrìnhtiếptuyếncủađườngcong
3
2
3 2y x x
tạiđiểmcóhoànhđộ
0
1x l
à
A.
9
7y x
. B.
9
7y x
. C.
9
7y x
. D.
9
7y x
.
Lời giải
Xéthàm
3 2 2
(
) 3 2 '( ) 3 6 '(1) 9.y f x x x f x x x f
Tacó
0
0 0
1
2 1; 2x y M
.
P
hươngtrìnhtiếptuyếntạiđiểm
0
1
;2M
c
ódạng:
0
0 0
'( ) 2 9 1 9 7y y f x x x y x y x
.
Câu 2. Chohàmsố
3
2
3 6 1y x x x
c
óđồthị
C
.
Trongcáctiếptuyếncủa
C
,
tiếptuyếncóhệsố
gócnhỏnhấtcóphươngtrìnhlà
A.
3
8y x
. B.
3
2y x
. C.
3
8y x
. D.
3
2y x
.
Lờ
i giải
Chọn D
Ta
có
2
'
3 6 6y x x
.
Gọitọa
độtiếpđiểmcủatiếptuyếnlà
0
0
;M
x y
,
hệsốgóccủatiếptuyếnlà
C
cóha
inghiệmphânbiệt
1 2
,x
x
.
N
GUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 86 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
0
2
0
2
0
0
'
3 6 6
3
1 3 3
y
x x xx
,
0
x
.
Như
vậy,hệsốgóccủatiếptuyếnnhỏnhấtbằng
3
,khi
0
1
x
,khiđó
0
5
y
.
P
hươngtrìnhtiếptuyếnlà:
3
1 5 3 2.
y
x y x
Câu 3. Cho
hàmsố
2
1
1
x
y
x
c
óđồthị
C
.
Tiếptuyếncủa
C
tại
điểmcóhoànhđộbằng
3
cắt
các
đườngtiệmcậncủa
C
tạot
hànhtamgiáccódiệntíchbằng
A.
4
2 2
. B.
2
2
. C.
2
. D.
4
.
Lờ
i giải
Chọn C
Ta
có:
5
5
3 3; .
2 2
x
y M
2
1
'
1
y
x
;
1
' 3
4
y
Tiế
ptuyếntại
5
3
;
2
M
c
óphươngtrình:
1
5 1 13
3 .
4 2 4 4
y
x x
Đồthịhàm
sốcótiệmcậnđứng:
1
x
,
tiệmcậnngang
2
y
.
Gia
ocủahaiđườngtiệmcận:
1
;2
I
.
Tiế
ptuyếngiaovớihaiđườngtiệmcậntạihaigiaođiểm:
1
;3 , 5;2
A
B
Ha
iđườngtiệmcậnvuônggócvớinhaunêntamgiác
IAB
vuôngtạ
i
I
.
Vậ
y:
1
1
.
.1.4 2
2 2
IA
B
S
IA IB
.
Câu 4. Cho
hàmsố
4 2
1
7
8 4
y x x
c
óđồthị
C
.
Cóbaonhiêu điểm
A
thuộc
đồthị
C
sao
chotiếp
tuyếncủa
C
tại
A
cắt
C
tại
haiđiểmphânbiệt
1
1
;M x y
;
2
2
;N x y
(
M
,
N
k
hác
A
)
thỏa
mãn
1
2 1 2
3
y
y x x
.
A.
3
B.
1
C.
0
D.
2
Lời
giải
Chọn D
P
hươngtrìnhđườngthẳng
MN
códạng
2
2
1 2 1 2
x
x y y
x x y y
hệsốgóc
củađườngthẳng
MN
l
à
1
2
1 2
3
y
y
k
x x
.
Vậytiếpt
uyếntại
4
2
0 0 0
1
7
;
8 4
A
x x x
c
óhệsốgóc
3
k
0
3
f
x
3
0
0
1
7
3
2
2
x
x
3
0
0
1
7
3
0
2 2
x
x
0
0
0
1
3
2
x
x
x
.
+)
Với
0
1
x
13
1
;
8
A
P
hươngtrìnhtiếptuyế
n
11
3
8
y
x
.
Xé
tphươngtrìnhhoànhđộgiaođiểm
4
2
1
7 11
3
8
4 8
x
x x
4
2
1
7 11
3
0
8 4 8
x
x x
1
1
3
1 3
x
x
x
13
1
;
8
A
thỏam
ãnđềbài.
TÀI
LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 87
+)
Với
0
3
x
17
1
3
;
8
A
P
hươngtrìnhtiếptuyế
n
195
3
8
y
x
.
Xé
tphươngtrìnhhoànhđộgiaođiểm
4
2
1
7 195
3
8
4 8
x
x x
4
2
1
7 195
3
0
8 4 8
x
x x
2
2
3
6 13 0
x
x x
3
x
Tiếp
tuyếncắtđồt
hịtạimộtđiểm
171
3
;
8
A
K
hôngthỏamãn.
+)Với
0
2
x
2
; 5
A
P
hươngtrìnhtiếptuyến:
3
1y x
.
Xé
tphươngtrìnhhoànhđộgiaođiểm
4
2
1
7
3
1
8 4
x x x
4
2
1
7
3
1 0
8 4
x
x x
2
2
2
4 2 0
x
x x
2
2 6
2 6
x
x
x
2; 5
A
T
hỏamãnđềbài.
Vậycóhaiđiểmthỏamãnyêucầubàitoán.
Câu 5. Chohàmsố
2
1
x
y
x
c
óđồthị
(
)C
và
điểm
(
;1)A a
.
Gọi
S
là
tậphợptấtcảcácgiátrịthựccủa
thamsố
a
đểc
óđúngmộttiếptuyếncủa
( )C
điqua
A
.Tổngtấtcảcác
giátrịcácphầntửcủa
S
l
à
A.
1
B.
3
2
C.
5
2
D.
1
2
Lờ
igiải
Chọn
C
ĐK
:
1x
;
2
1
'
( 1)
y
x
Đườngthẳng
d
qua
A
c
óhệsốgóc
k
là
( ) 1y k x a
d
tiếpxúcvới
( )C
2
2
( ) 1 1
1
1
2
(
1)
x
k x a
x
k
x
cónghiệm.
Thế
2
vào
1
tacó:
2
2
2
1
2
( ) 1 2 1 3 2, 1
1
(
1)
x
x
a x a x x x x x
x
x
2
2
6 3 0 3
x
x a
Đểđồthịhàmsốcómộttiếptuyếnqua
A
thìhệlàsốnghiệmcủahệphươngtrìnhtrêncónghiệm
duynhất
phươngtrình
3
cónghiệmduynhấtkhác
1
2
'
9 2 6 0
3
1
6 3 0
2 6 3 0 (3)
2
' 9 2 6 0
1
2 6 3 0
a
a
a
x x a
a
a
a
Cách2:TXĐ:
\
1
D
;
2
1
1
y
x
N
GUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 88 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Giảsửtiếptuyếnđiqua
;
1A a
làtiếptuyếntạiđiểmcóhoànhđộ
0
x
x
,khiđóphươngtrìnhtiếp
tuyếncódạng:
0
0
2
0
0
2
1
1
1
x
y
x x d
x
x
Vì
A
d
nê
nthaytọađộđiểmAvàophươngtrìnhđườngthẳng
d
ta
có:
2
0
0
0
0
2
0
0
0
2
6 3 0 1
2
1
1
1
1
1
x x a
x
a x
x
x
x
Đểchỉcómộttiếptuyếnduynhấtđiqua
A
thìphươngtrình
1
cónghiệmduynhấtkhác
1
9
2 6 0
3
1
6 3 0
2
9
2 6 0
1
2
6 3 0
a
a
a
a
a
a
Câu 6. Cho
hàmsố
4
2
1 7
4 2
y x x
có
đồthị
C
.
Cóbaonhiêuđiểm
A
thuộc
C
sao
chotiếptuyếncủa
C
tại
A
cắt
C
tại
hai điểm phân biệt
1
1 2 2
;
; ;M x y N x y
khá
c
A
thỏa
mãn
1
2 1 2
6(
)y y x x
A.
0
B.
3
C.
1
D.
2
Lờ
igiải
Chọn
D
Ta
có
4
2
1
7
;
4 2
A
C A t t t
3
7y x x
3
7y
t t t
P
hươngtrìnhtiếptuyếncủa
C
tại
A
là
3 4 2
1
7
7
4
2
y t t x t t t
3 4 2
3
7
7
4
2
y t t x t t
P
hươngtrìnhhoànhđộgiaođiểm:
4
2 3 4 2
1
7 3 7
7
4 2 4 2
x x t t x t t
4
2 3 4 2
14 4 7 3 14 0
x x t t x t t
2
2
2
2
3 14 0
x
t x tx t
2
2
2
3 14 0 1
x
t
x tx t
Tiế
ptuyếncắtđồthị
C
tạ
ihaiđiểmphânbiệt
1
1 2 2
;
; ;M x y N x y
khá
c
A
khi
phươngtrình
1
c
óhainghiệmphânbiệtkhác
t
2
2
2 2 2
7
7
3
14 0
21
2 3 14 0
3
t
t t
t
t t t
2
Khidó
1
2
2
1 2
2
3
14
x x t
x x t
và
3
4 2
1
1
3
4 2
2
2
3
7
7
4
2
3 7
7
4
2
y t t x t t
y t t x t t
3
1
2 1 2
7
y y t t x x
Ta
có
1
2 1 2
6(
)y y x x
3
1 2 1 2
7
6
t
t x x x x
TÀI
LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 89
3
7
6 0
t
t
2
1
6 0
t
t t
2
1
1
0
2
6 0
3
t
n
t
t
n
t t
t
l
(do
2
)
Với
1
t
tacó
13
1;
4
A
Với
2
t
ta
có
2; 10
A
c
óhaiđiểmthỏayêucầubàitoán.
Câu 7. Chohàmsố
4
2
1
14
3 3
y x x
c
óđồthị
C
.
Cóbaonhiêuđiểm
A
thuộc
C
s
aochotiếptuyếncủa
C
tại
A
cắt
C
tại
hai điểm phân biệt
1
1
;M
x y
,
2
2
;N
x y
(
M
,
N
khá
c
A
)
thỏa mãn
1 2 1 2
8
y y x x
?
A.
0
B.
3
C.
1
D.
2
Lời
giải
Chọn
D
Cách 1:
Gọi
d
l
àtiếptuyếncủa
C
tại
A
.
3
4
28
0
3
3
y
x x y
7
0
7
x
x
x
.
Dotiếptuyếntại
A
cắt
C
tại
M
,
N
7
; 7
A
x
.
Tacó:
1
2
1 2 1 2
1 2
8
8 8.
d
y
y
y y x x k
x x
S
uyra
3
3
4
28
8
1
3
3
2
A
A
A A
A
x
x
x x
x
.
Đốichiếuđ
iềukiện:
1
2
A
A
x
x
.Vậy
có
2
điểm
A
t
hỏaycbt.
Cách 2:
Gọi
4
2
1
14
;
3 3
A
a a a
là
tọađộtiếpđiểm
Phươngtrìnhtiếptuyếntại
A
là
3
4 2
4
28 1 14
:
3 3 3 3
d y a a x a a a
P
hươngtrìnhhoànhđộgiaođiểmcủa
C
và
d
là
:
4 2 3 4 2
1 28 4 28 1 14
3 3 3 3 3 3
x x a a x a a a
2
2
2
2 2
2
3 14 0
2
3 14 0 1
x
a
x a x ax a
x ax a
Để
C
cắt
d
tại
3
điểmphânbiệt
P
hươngtrình
1
c
óhainghiệmphânbiệtkhác
a
2
0
7
7
; 7 \
6 14 0
3
a
a
.
Theo
đềbài:
3
1
2 1 2 1 2 1 2
4 28
8 8
3 3
y y x x a a x x x x
N
GUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 90 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
3
3
4
28
8
1
3
3
2
a
a
a a
a
.
Đốichi
ếuđiềukiện:
1
2
a
a
.Vậ
ycó
2
điểm
A
thỏađềbà
i.
Câu 8. Cho hàm số
1
1
x
y
x
c
ó đồ thị
C
.
Phương trình tiếp tuyến của
C
tại
điểm có hoành độ
1 2 3
x
cắt
haiđườngtiệmcậncủa
C
tại
A
và
B
.
Gọi
I
l
àgiaođiểmcủahaiđườngtiệm
cậncủacủa
C
.Diệntíchtamgiác
IAB
bằng:
A.
4
2 3 .
B.
4
. C.
5
. D.
3 2 2 3 2
2
.
Lờ
i giải
Chọn
B
Ta
có:
2
2
1
y x
x
Đườngtiệmcậnđứng
1x
.
Đườngtiệmcậnngang
1y
.
Gia
ođiểmcủahaitiệmcận
1
;1
I
.
2
2 3
1
2 3
2
3
x
y
.
2
2
1
2 3
2
3
y
.
Phươngtrìnhtiếptuyếncủa
C
tại
điểmcóhoànhđộ
1 2 3
x
l
à
2
2
2 2 3
: 1 2 3
2
3
2
3
y x
.
4
2 3
1;
2
3
A
TCÑ
.
T
CN 1 2 2 2 3;1
B
.
4
2
3
IA
.
2 2 2 3
IB
.
Tamgiá
c
I
AB
vuôngtại
I
nên
1
.
4
2
IAB
S
IA IB
.
Câu 9. Cho
hàmsố
2
3
2
x
y
x
c
óđồthị
C
.
Gọi
I
là
giaođiểmcủacácđườngtiệmcậncủa
C
.
Biết
rằngtồntạihaiđiểm
M
thuộc
đồthị
C
sao
chotiếptuyếntại
M
của
C
tạo
vớiđườngtiệmcận
củamộttamgiáccóchuvinhỏnhất.Tổnghoànhđộcủahaiđiểm
M
là
:
A.
4
. B.
0
. C.
3
. D.
1
.
Lờ
i giải
Chọn
A
Tiệmcậnđứng
vàtiệmcậnngangcủa
C
là:
2
; 2
x
y
2
;2
I
TÀI L
IỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 91
Phư
ơngtrìnhtiếptuyếntại
0 0
;M x
y
là
0
0 0
0 0
2
0
0
2 3
1
:
2
2
x
d y
y x x x y x x
x
x
d
gia
ovớihaiđườngtiệmcậncủa
C
tại
2điểm
0
0
0
2 2
2; , 2 2;2
2
x
A B
x
x
2 2
0
0
2
1
2
2
2 2
2 2
1 4 2 2
2 2
IA
B
C IA IB AB IA IB IA IB
IA IB
IA
IB IA IB
x
x
mi
n 4 2 2
IA
B
C
tại
0 0
3;
1
x x
.
Vậytổnghoànhđộcủahaiđiểm
M
là:
4
.
--------------- HẾT ---------------
| 1/125
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:


TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Vấn đề 6
ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
A. NHẬN DẠNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Nhận dạng đồ thị hàm số bậc ba 3 2
y ax bx cx d, (a  0). a   0   a   0   
Hình dáng: (nhận dạng được dấu của a) : N :   И :   2 b   3ac  0 2       b 3ac 0 
Hoành độ điểm uốn là trung điểm của cực đại và cực tiểu (nhận dạng được dấu của b). b b x   
xem dương hay âm (hoặc sử dụng S x x     3a 1 2 a 
Nhận dạng dấu của c :
Nếu 2 cực trị nằm hai bên trục Oy ac  0. c
Nếu 2 cực trị nằm cùng bên so Oy P x x   0. 1 2 a
Nhận dạng dấu của hệ số d : Đồ thị (C ) Oy : x  0  y d xem dương hay âm.
Điểm đặc biệt trên đồ thị.
Nhận dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương 4 2
y ax bx  ,
c (a  0).
Hình dáng: (nhận dạng được dấu của a và b) : a   0 a   0    M :   W :   b   0     b 0  a  b  0 a  b  0     : 
 :   a   0     a 0 
Tương giao (nhận dạng được dấu của c) Cắt Oy : x  0  y c xem dương hay âm? 2
Tương giao Ox, có 4 2
ax bx c  0 và đặt t x  0 thì 2
pt at bt c  0 ( ) 
Nếu (C ) cắt Ox tại 4 điểm thì ( )
có 4 nghiệm, tức ( )
có 2 nghiệm phân biệt dương  2
  b  4ac  0 và S  0, P  0.
Điểm đặc biệt trên đồ thị. ax b
Nhận dạng đồ thị hàm số nhất biến y   cx d Tiệm cận: d
Tiệm cận đứng cx d  0  x   xem dương hay âm? c a
Tiệm cận ngang y dương hay âm? c ad bc
Đơn điệu: y  
Xem đồ thị (C) từ trái sang phải: 2 (cx d)
Nếu đi lên HS đồng biến y  0  ad bc  0.
Nếu đi xuống HS nghịch biến y   0  ad bc  0.
Tương giao với hai trục tọa độ: b
Cắt trục Ox : y  0  x   xem dương hay âm? a b
cắt trục Oy : x  0  y xem dương hay âm? d
Điểm đặc biệt trên đồ thị.
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Nhận dạng đồ thị hàm số mũ x
y a . Vì x
y a  0 có tập giá trị T  (0; )
nên đồ thị (C) nằm phía trên Ox và tiệm cận ngang là hoành Ox. y x y a x
  0  y  1 a  1   Khi
nên (C ) luôn đi qua 2 điểm M(0;1), N(1;a). x
  1  y a 
Từ trái sang phải nếu đồ thị (C) x
y a , 0  a  1 1
Đi lên Đồng biến a  1. x
Đi xuống Nghịch biến  0  a  1. O 1  Đồ thị x
y a và y
đối xứng nhau qua trục O . y x a
Nhận dạng đồ thị hàm số lôgarit y  log x. a
Vì điều kiện x  0 và tập giá trị là T   nên đồ thị hàm số lôga luôn nằm bên phải trục Oy và
tiệm cận đứng là Oy. y x
  1  y  0 y  log x   Khi
nên (C ) luôn qua 2 điểm M(1; 0), N(a;1). a x
  a y  1  a  1
Từ trái sang phải nếu đồ thị (C) x x
  1 : log x  log x a bO 1
Đi lên ĐB a  1  a b   0
  x  1 : log x  log x a b  0  a  1 a bx
  0 : log x  log x a b
Đi xuống  0  a  1  a b   0
  x  1 : log x  log x a ba b
Đối xứng: Đồ thị y  log x và x
y a đối xứng qua d : y x. a
CÂU HỎI CÙNG MỨC ĐỘ ĐỀ MINH HỌA Câu 1.
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong dưới đây? A. 4 2
y  x  2x . B. 4 2
y x  2x . C. 3 2
y x  3x . D. 3 2
y  x  3x . Câu 2.
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên? A. 3
y x  3x . B. 3
y  x  3x . C. 4 2
y x  2x . D. 4 2
y  x  2x . Câu 3.
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng đường cong trong hình vẽ bên? A. 3 2
y x  3x  4 . B. 4 2
y x  2x  4 . C. 3 2
y  x  3x  4 . D. 4 2
y  x  2x  4 .
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Câu 4.
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng đường cong trong hình vẽ bên? A. 3
y x  3x 1. B. 4 2
y  x  2x 1. C. 3
y  x  3x 1. D. 4 2
y x  2x 1. Câu 5.
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng đường cong trong hình vẽ bên? A. 3 2
y x  3x 1. B. 4 2 y  2
x  4x 1. C. 4 2
y  2x  4x 1 . D. 3 2
y  x  3x 1. Câu 6.
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng đường cong trong hình vẽ bên? 2x  3 2x 1 A. y  . B. 3
y x  3x 1. C. 4 2
y x  2x 1. D. y  . x 1 x 1 Câu 7.
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng đường cong như hình vẽ dưới đây?  x 1 x  2 x  2 x  2 A. y  . B. y  . C. y  . D. y  . x  2 x  2 x  2 x  2 Câu 8.
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên? A. 3 2
y x  3x . B. 3 2
y  x  3x . C. 4 2
y x  2x . D. 4 2
y  x  2x .
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 9.
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên dưới? A. 3 2
y x  2x x 1 . B. 4
y x x 1. C. 3 y  2
x x 1 . D. 3 2
y x  2x 1 .
Câu 10. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên? A. 3
y x  3x 1. B. 3
y  x  3x 1. C. 2
y x  2x 1. D. 4 2
y  x  2x .
Câu 11. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên dưới? A. 2
y  x  2x 1. B. 4
y  x  3x 1. C. 4
y x x 1. D. 4 2
y  x  2x 1.
Câu 12. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên? A. 4 2
y x  2x . B. 3 2
y  x  3x . C. 4 2
y  x  2x . D. 3
y  x  3x .
Câu 13. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên dưới? x  2 x  2 x  2 x  2 A. y  . B. y  . C. y  . D. y  . x 1 x 1 x 1 x  1
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Câu 14. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên? A. 4 2
y x  2x . B. 3
y  x  3x . C. 2
y x  2x . D. 4 2
y  x  2x .
Câu 15. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên dưới? 1 1 A. 3
y  x  3x 1. B. 3 y  2
x x 1. C. 3 2
y x x 1. D. 3 2 y  2x x 1. 3 2
Câu 16. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên? x  2 x  2 2x 1 A. y  . B. y  . C. y  . D. 3
y  x  3x  2 . x 1 x 1 x 1
Câu 17. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên dưới? A. 2 y  2  x 1. B. 4
y x  3x 1. C. 4 2
y  x  3x 1. D. 4 2
y  x  2x 1.
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 18. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên? 2x 1 x 1 2 x 1 A. y  . B. y  .
C. y  3x  2x 1. D. y  . x 1 x  2 x 1
Câu 19. Đồ thị nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên? y x O A. 3
y x  3x 1. B. 3
y  x  3x 1. C. 4 2 x  2x 1. D. 4 2
y   x  2 x  1 . Câu 20. Cho hàm số 3 2
y ax bx cx d a  0 có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Chọn khẳng định đúng
về dấu của a , b , c , d ?
A. a  0 , b  0 , d  0 , c  0
B. a  0 , c  0  b , d  0
C. a  0, b  0, c  0, d  0.
D. a  0 , b  0 , c  0 , d  0 Câu 21. Cho hàm số 4 2
y ax bx c ( a  0 ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a  0 , b  0 , c  0 . B. a  0 , b  0 , c  0 .C. a  0 , b  0 , c  0 . D. a  0 , b  0 , c  0 . Câu 22. Cho hàm số 3 2
y ax bx cx d có đồ thị như hình vẽ bên. y O x
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a  0, b  0, c  0, d  0
B. a  0, b  0, c  0, d  0
C. a  0, b  0, c  0, d  0
D. a  0, b  0, c  0, d  0
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Câu 23. Cho hàm số 3 2
y ax bx cx d có đồ thị như hình bên. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
A. ab  0,bc  0, cd  0
B. ab  0,bc  0, cd  0
C. ab  0,bc  0, cd  0
D. ab  0,bc  0, cd  0 Câu 24. Cho hàm số 3 2
y ax bx cx d có đồ thị như hình dưới. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. a  0, b  0, c  0, d  0
B. a  0, b  0, c  0, d  0
C. a  0, b  0, c  0, d  0
D. a  0, b  0, c  0, d  0 Câu 25. Cho hàm số 3
y ax  3x d  ;
a d   có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a  0, d  0 .
B. a  0, d  0 .
C. a  0, d  0 .
D. a  0, d  0 . ax 1
Câu 26. Cho hàm số f x  a, ,
b c   có bảng biến thiên như sau: bx c Trong các số ,
a b và c có bao nhiêu số dương? A. 2. B. 3. C. 1. D. 0. ax 1
Câu 27. Cho hàm số f x 
a,b,c   có bảng biến thiên như sau: bx c
Trong các số a, b và c có bao nhiêu số âm? A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 0 .
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 ax  3
Câu 28. Cho hàm số y f x 
có bảng biến thiên như sau 2x b
Giá trị a  2b bằng? A. 8 B. 6  C. 0 D. 10 Câu 29. Cho hàm số 3 2
y ax bx cx d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. a  0, b  0, c  0, d  0.
B. a  0, b  0, c  0, d  0.
C. a  0, b  0, c  0, d  0.
D. a  0, b  0, c  0, d  0. ax  3
Câu 30. Cho hàm số f x 
b   có bảng biến thiên như sau: bx c
Tính tổng S a b c . A. 2  . B. 2 . C. 0 . D. 1  . Câu 31. Hàm số 4 2
y ax bx c có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng? y x O
A. a  0, b  0, c  0. B. a  0, b  0, c  0. C. a  0, b  0, c  0. D. a  0, b  0, c  0. ax b
Câu 32. Cho hàm số f x  a, ,
b c   có bảng biến thiên như sau: cx b  1
Biết tập hợp tất cả các giá trị b thoả mãn là khoảng  ;
m n . Tính tổng S m  2n . 5 3 5 A. S  . B. S   . C. S   . D. S  2  . 2 2 2
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Câu 33. Cho hàm số 3 2
y ax bx cx d có đồ thị như hình dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng? a  0 a  0 a  0 a  0 A.  . B.  . C.  . D.  . 2 b  3ac  0 2 2 2  b  3ac  0  b  3ac  0  b  3ac  0  Câu 34. Cho hàm số 3 2
y ax bx cx d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a  0, b  0, c  0, d  0 .
B. a  0, b  0, c  0, d  0 .
C. a  0, b  0, c  0, d  0 .
D. a  0, b  0, c  0, d  0 . ax b
Câu 35. Hàm số y
với a  0 có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng? cx d y O x
A. b  0, c  0, d  0. B. b  0, c  0, d  0. C. b  0, c  0, d  0. D. b  0, c  0, d  0. ax b
Câu 36. Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số y  với ,
a b,c, d là các số thực. Mệnh đề nào cx d dưới đây đúng?
A. ab  0, ad  0.
B. ab  0, ad  0.
C. bd  0, ad  0.
D. ab  0, ad  0.
Câu 37. Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số 4 2
y x mx n , với m, n   . Biết phương trình 4 2
x mx n  0 có k nghiệm thực phân biệt, * k   .
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. k  4 và mn  0 .
B. k  4 và mn  0 . C. k  2 và mn  0 . D. k  2 và mn  0 .
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 ax 1
Câu 38. Cho hàm số y  (a, ,
b c  ) có bảng biến thiên như sau: bx c
Trong các số a , b và c có bao nhiêu số âm? A. 2. B. 3. C. 1. D. 0.
B. TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ
Cho hai đồ thị hàm số (C ) : y f (x) và (C )
 : y g(x). Tọa độ giao điểm (nếu có) của (C) và y   f(x) (C )  
là nghiệm của hệ phương trình:
f (x)  g(x) ( )  y   g(x)  ― Phương trình ( )
được gọi là phương trình hoành độ điểm chung của (C) và (C )  .
― Số nghiệm của ( )
chính là số điểm chung của hai đồ thị. ― Nếu ( )
vô nghiệm thì hai đồ thị không có điểm chung. Câu 1.
Cho hàm bậc ba y f x có đồ thị trong hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình 3 f (x)   4 là A. 2. B. 1. C. 0. D. 3. Câu 2.
Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau
Số nghiệm của phương trình 3 f (x)  2  0 là A. 2. B. 0. C. 3. D. 1. Câu 3.
Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị trong hình bên. Số nghiệm của phương trình f x  1 là A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 .
Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Câu 4.
Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm của phương trình 4 f x  3  0 là A. 2 . B. 0 . C. 3 . D. 4 . Câu 5.
Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình 2
f x  4 có số nghiệm là A. 0 . B. 3 . C. 4 . D. 2 . Câu 6.
Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: 2
Số nghiệm của phương trình 2  f x  7 f x  5  0   là A. 6 . B. 4 . C. 3 . D. 5 . Câu 7.
Cho hàm bậc bốn y f x có đồ thị trong hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình f (x)   5 là A. 0 . B. 3 . C. 4 . D. 2 .
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 8.
Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ:
Số nghiệm thực của phương trình 6 f x  5  0 là A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3 . Câu 9.
Cho hàm số y f x có đồ thị trong hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình 2 f (x) 1  0 là A. 0 . B. 1. C. 3. D. 2.
Câu 10. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình 3 f x 10  0 là A. 1. B. 4 . C. 2 . D. 3 .
Câu 11. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình 3 f (x)  2  0 là: A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 12. Cho hàm số y f x liên tục trên các khoảng  ;
 0 và 0;  , có bảng biến thiên như sau
Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 x  x x 1 0 2  y  0   0  2  3 y 3  4 
Số nghiệm thực của phương trình 2 f (x)  3  0 là: A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 13. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình sau: 1 f x
Số nghiệm của phương trình  2 là 1 f xA. 3 . B. 1. C. 2 . D. 4 .
Câu 14. Số giao điểm của đồ thị hàm số 4 2
y x  2 x  3 và trục hoành là A. 0 . B. 4 . C. 2 . D. 3 .
Câu 15. Số giao điểm của đồ thị hàm số 3 2
y  2x  3x  4 và trục hoành là A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1.
Câu 16. Số giao điểm của đồ thị hàm số 3
y x  3x 1 và trục hoành là A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1.
Câu 17. Số giao điểm của đồ thị hàm số 3 2
y x  3x 1 và trục hoành là A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1.
Câu 18. Đồ thị của hàm số 4 2 y x
 3x  1 cắt trục tung tại điểm có tung độ bao nhiêu A. -3. B. 0. C. 1. D. -1.
Câu 19. Số giao điểm của đường cong 3 2
y x  2x  2x 1 và đường thẳng y  1  x là A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
Câu 20. đồ thị hàm số 4 2
y x  3x 1 và đồ thị hàm số 2
y  2x  7 có bao nhiêu điểm chung? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Câu 21. Cho hàm số 3 y  2
x  5x có đồ thị C  Tìm số giao điểm của C và trục hoành. A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 0 .
Câu 22. Cho hàm số y   x   2 3
x  2 có đồ thị C . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. C  cắt trục hoành tại hai điểm.
B. C  cắt trục hoành tại một điểm.
C. C  không cắt trục hoành.
D. C  cắt trục hoành tại ba điểm.
Câu 23. Biết rằng đường thẳng y x  2 cắt đồ thị hàm số 3 2
y x x x  4 tại điểm duy nhất, kí hiệu
x ; y là tọa độ của điểm đó. Tìm y . 0 0  0 A. y  1 . B. y  3 . C. y  2  . D. y  4 . 0 0 0 0
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 24. Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số 4
y x  4  5 và đường thẳng y x A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1.
Câu 25. Cho hàm số f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Số nghiệm của phương trình f 1 x  3  0 là A. 4 . B. 0 . C. 3 . D. 2 .
Câu 26. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên.
Phương trình f x  2  2   có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt? A. 4. B. 2. C. 6. D. 3.
Câu 27. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thuộc đoạn  
 ; 2  của phương trình 2 f sin x 3  0 là A. 4 . B. 6 . C. 3 . D. 8 .
Câu 28. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:   7 
Số nghiệm thuộc đoạn  ; 
của phương trình 3 f cos x 1  0 là 2 3    A. 4. B. 5 . C. 3 . D. 6 .
Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Câu 29. Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau:  9 
Số nghiệm nhiều nhất thuộc 0;  của phương trình 2
f (sin x  1)  1 là của phương trình 2    2
f (sin x  1)  1 là A. 2 . B. 5 . C. 10 . D. 9 .
Câu 30. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau  5 
Số nghiệm thuộc đoạn 0; 
của phương trình f sin x  1 là 2    A. 7 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . Câu 31. Cho hàm số 3 2
y  4x  6x 1 có đồ thị là đường cong trong hình dưới đây. 3 2 Khi đó phương trình  3 2
x x     3 2 4 4 6 1
6 4x  6x   1
1  0 có bao nhiêu nghiệm thực. A. 9. B. 6 . C. 7 . D. 3.
Câu 32. Cho hàm số f x 3 2
ax bx cx d a, ,
b c, d   có đồ thị như hình vẽ bên.
Phương trình f f f f x  0 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt? A. 12. B. 40. C. 41. D. 16.
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 33. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ.
Số nghiệm thực của phương trình f f x   f x  0 là A. 20 . B. 24 . C. 10 . D. 4 .
Câu 34. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên như sau:  3  Số nghiệm thuộc 0; 
của phương trình f (cos 2x)  1 là 2    A. 9 . B. 4 . C. 7 . D. 10 .
Câu 35. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:
Phương trình 2 f cos x  e  0 có bao nhiêu nghiệm trên 0;3  . A. 6 . B. 3 . C. 0 . D. 4 .
Câu 36. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: x  2  0 2  y  0  0  0  2 2 y 0     
Số nghiệm của phương trình 2
f tan x  3  0 trên đoạn  ;2  là 2    A. 10 . B. 15 . C. 18 . D. 24 .
Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Câu 37. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên như sau:  3  Số nghiệm thuộc 0; 
của phương trình f (cos 2x)  1 là 2    A. 9 . B. 4 . C. 7 . D. 10 .
Câu 38. Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau:  7 
Số nghiệm thuộc đoạn 0; 
của phương trình f (2 sin x 1)  2 là 2    A. 4 . B. 3 . C. 2. D. 6 . Câu 39. Cho hàm số   4 3 2
f x ax bx cx dx e có đồ thị như hình vẽ.
Đặt g x   f f x. Số nghiệm của phương trình g x  0 là A. 5. B. 10 . C. 4 . D. 7.
Câu 40. Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau:  9 
Số nghiệm phương trình f (cos x)  1 thuộc đoạn ;   là: 2    A. 2. B. 6. C. 7. D. 4.
Câu 41. Cho hàm số y f x liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau:
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Số nghiệm của phương trình f  4 2
x  2x  3  0 là A. 12. B. 8 . C. 3 . D. 4 . 3
Câu 42. Cho hàm số y f x có đồ thị C  như hình vẽ bên. Phương trình f x   1  có bao nhiêu 2 nghiệm âm phân biệt? y -1 1 O x -1 -2 A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 .
Câu 43. Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình f  2
x  2x   1 là A. 6 . B. 4 . C. 3 . D. 7 .
C. BIỆN LUẬN NGHIỆM THÔNG QUA ĐỒ THỊ
Biến đổi phương trình đã cho về dạng f (x)  ( A m).
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị y f (x) và đường thẳng nằm ngang y  ( A m).
Lưu ý: Có thể đề bài cho bảng biến thiên và cần nắm vững biến đổi đồ thị hàm trị tuyệt đối.
CÂU HỎI CÙNG MỨC ĐỘ ĐỀ MINH HỌA Câu 1.
Cho hàm số y f x xác định trên  \   2 
, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình sau
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình f x  4  m có đúng ba nghiệm thực phân biệt A. 1;9 . B. 1;9 . C. 1;9 . D. 3;5 .
Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Câu 2.
Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số
m để phương trình f x  log m có đúng ba nghiệm thực phân biệt? 3 A. 3 . B. 25 . C. 26 . D. 27 . Câu 3.
Cho hàm số y f x xác định trên  \  
1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình sau
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình f x  m có đúng ba
nghiệm thực phân biệt x , x , x thỏa: x  2  x  3  x . 1 2 3 1 2 3 A.  4   ;1 . B. 1; 2 . C.  4   ;1 . D. 1; 2 . Câu 4.
Cho hàm số y f x có đồ thị như đường cong trong hình dưới đây. Tìm tất cả các giá trị thực
của tham số m để phương trình f ( x)  1  m có 4 nghiệm phân biệt: A. 4   m  3  .
B. m   3 . C. 3   m  2  . D. 5   m  4  . Câu 5.
Hàm số y f x có bảng biến thiên như hình dưới.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f x  m có bốn nghiệm phân biệt. A. m  3 .
B. 0  m  3 .
C. 0  m  3 .
D. m  0 .
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 6.
Cho hàm số y f x liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị  1 
nguyên của m để phương trình f 2 log x m có nghiệm duy nhất trên ; 2 . 2     2  A. 9 . B. 6 . C. 5 . D. 4 Câu 7.
Cho hàm số y f x liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m để phương trình f   6 6
4 sin x  cos x   1  m có nghiệm. A. 6 . B. 5 . C. 4 . D. 3 . Câu 8.
Cho hàm số y f x liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giá trị
thực của tham số m để phương trình f  2
x  2x  2  3m 1 có nghiệm thuộc khoảng 0;  1 .  1  A. 0;  4 . B.  1  ;0 . C. 0;1   . D.  ;1  3    Câu 9.
Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham
số m để phương trình f  2
3  4  x   m có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn  2; 3 . Tìm   tập S. A. S  1; f 3 2     . B. Sf 3 2 ;3  
. C. S   . D. S   1  ;  3 .  
Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Câu 10. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. 1  x
Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình f
1  x m có nghiệm thuộc đoạn 2; 2 ?   3  2  A. 11. B. 9. C. 8. D. 10.
Câu 11. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình f sin 2x  3 cos 2x  m   1  17 
có đúng sáu nghiệm phân biệt trên nửa khoảng 0;  12    ? A. 4 . B. 5 . C. 8 . D. 2 .
Câu 12. Cho hàm hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ dưới 2
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 2  020;202  0 để phương trình  x
f e  4  m có 2 nghiệm phân biệt. A. 2010 . B. 10 . C. 2011. D. 2020 .
Câu 13. Cho hàm số y f x xác định trên  và có đồ thị như hình bên dưới. Có bao nhiêu giá trị 2  6x
nguyên của tham số m để phương trình f  2 1  m  có nghiệm? 4 2  x x 1  
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A. 4. B. 5 . C. 2. D. 3 .
Câu 14. Cho hàm số y f x liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giá trị
thực của tham số m để phương trình ex f
  m có nghiệm thuộc khoảng 0;ln 2 . A.  3  ;0 . B.  3  ;3 . C. 0;3. D.  3  ;  0
Câu 15. Cho hàm số y f (x). Hàm số y f '(x) có bảng biến thiên như sau Bất phương trình x e
m f (x) có nghiệm thuộc 4;9 khi và chỉ khi A. 2
m f (2)  e . B. 2
m f (2)  e . C. 3
m f (9)  e . D. 3
m f (9)  e .
Câu 16. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên  . Bảng biến thiên của hàm số y f  x như hình dưới Tìm m 2
để bất phương trình m x  2 f x  2  4 x 3 nghiệm đúng với mọi x  3  ; .
A. m  2 f 0 1 .
B. m  2 f 0 1 .
C. m  2 f   1 .
D. m  2 f   1 .
Câu 17. Cho hàm số y f (x) . Đồ thị hàm số y f (
x) như hình vẽ bên dưới. Bất phương trình x  1  f (x)   m   có nghiệm x [ 1  ;  )  khi và chỉ khi  2 
Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 y 4 2 -1 O 1 2 x 1
A. m f ( 1  )  .
B. m f ( 1  )  2 .
C. m f ( 1  )  2 .
D. m f ( 1  )  2 . 2
Câu 18. Cho hàm số y f (x). Hàm số y f '(x) có bảng biến thiên như sau    Bất phương trình cos 2 ( )  x f x e
m có nghiệm đúng với mọi x  0;   khi và chỉ khi  2       
A. m  2 f 1.  
B. m  2 f 1.  
C. m  2 f (0)  . e
D. m  2 f (0)  . e  2   2 
Câu 19. Cho hàm số y f (x). Đồ thị hàm số y f '(x) như hình vẽ bên dưới Bất phương trình 2
f (x)  x m có nghiệm đúng với mọi x  (1; 0) khi và chỉ khi
A. m f (0).
B. m f (0). .
C. m f (1)  1. .
D. m f (1)  1. .
Câu 20. Cho hàm số y f (x). Hàm số y f '(x) có bảng biến thiên như sau
Bất phương trình ( )  x f x
e  2m  0 có nghiệm đúng với mọi x  (2;3) khi và chỉ khi 1 1 1 1 A. 2 m
f (2)  e  . B. 2 m
f (2)  e  . C. 3 m
f (3)  e  . D. 3 m
f (3)  e  . 2   2   2   2   Câu 21. Cho hàm số   4 3 2
f x mx nx px qx r , (với , m ,
n p, q, r ). Hàm số y f  x có đồ thị như hình vẽ bên dưới: y 1 O 5 x 3 4
Tập nghiệm của bất phương trình f x  r có bao nhiêu giá trị nguyên? A. 4. B. 3. C. 1. D. 2.
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 22. Cho hàm số    4 3 2 y
f x mx nx px qx r , (với , m , n , p ,
q r ). Hàm số y f  x có
đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Tập nghiệm của phương trình f x  m n p q r có số phần tử là A. 4. B. 3. C. 1. D. 2.
Câu 23. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên  . Hàm số f  x có đồ thị như hình vẽ.
Tìm m để bất phương trình f x  2 2 sin
 2 sin x m nghiệm đúng với mọi x  0;  . 1 1 1 1
A. m f   1  .
B. m f   1  .
C. m f 0  .
D. m f 0  . 2 2 2 2
Câu 24. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên  , có đồ thị f  x như hình vẽ.
Tìm m để bất phương trình 2
m x  2 f x  2  4x  3 nghiệm đúng với mọi x  3  ;   .
A. m  2 f 0 1.
B. m  2 f 0 1.
C. m  2 f   1 .
D. m  2 f   1 .
Câu 25. Cho hàm số y f x có f  2
   m 1, f  
1  m  2 . Hàm số y f  x có bảng biến thiên như hình vẽ. 1 2x 1
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình f x   m có nghiệm 2 x  3 x  2  ;  1 là:  7   7  A. 5  ;    . B.  ;  0 . C.  2  ;7 . D.  ;    .  2   2 
Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Câu 26. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên  , có đồ thị f  x như hình vẽ.  x
Bất phương trình f x  sin
m nghiệm đúng với mọi x  1  ;  3 khi và chỉ khi: 2
A. m f 0 .
B. m f   1 1.
C. m f   1 1 .
D. m f 2 .
Câu 27. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên  . Bảng biến thiên của hàm số y f  x như hình dưới đây: 1
Tìm m để bất phương trình 2
m x f x 3 
x nghiệm đúng với mọi x  0;3 . 3 2
A. m f 0 .
B. m f 0 .
C. m f 3 .
D. m f   1  . 3 Câu 28. Cho hàm số    4 3 2 y
f x mx nx px qx r , (với , m ,
n p, q, r ). Hàm số y f  x có
đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Tập nghiệm của phương trình f x  r có số phần tử là A. 4. B. 3. C. 1. D. 2. Câu 29. Cho hàm số    4 3 2 y
f x mx nx px qx r , (với m, n, p, q, r ) và 1 a  3 . Hàm số
y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Tập hợp các giá trị của a để phương trình f (x)  3mx r  0 có 4 nghiệm phân biệt là một khoảng  ;
b c . Tính b  . c 3 9 A. 4. B. 3. C. . D. . 2 4
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 30. Cho hàm số   4 3 2
f x mx nx px qx r và   3 2
g x ax bx cx d ,  , m , n , p , q r, , a , b ,
c d   và f 0  g 0 . Hàm số y f  x và y g x có đồ thị như hình vẽ bên dưới
Tập nghiệm của phương trình f x  g x có số phần tử là? A. 4 . B. 2 . C. 1. D. 3 .
D. MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO THƯỜNG GẶP
BÀI TOÁN 1. BIỆN LUẬN TƯƠNG GIAO HÀM BẬC BA VỚI ĐƯỜNG THẲNG
Bài toán tổng quát: Tìm các giá trị của tham số m để để đường thẳng d : y px q cắt đồ thị hàm số 3 2
(C) : y ax bx cx d tại 3 điểm phân biệt thỏa điều kiện K ? (dạng có điều kiện)
Phương pháp giải:
Bước 1. Lập phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là: 3 2
ax bx cx d px q
Đưa về phương trình bậc ba và nhẩm nghiệm đặc biệt x x để chia Hoocner được: ox x 2
(x x )  (ax b x   c )   0 o   o  2
g(x)  ax b x   c  0 
Bước 2. Để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt  phương trình g(x)  0 có 2 nghiệm phân biệt   0  g(x) khác x  
 Giải hệ này, tìm được giá trị m D . o 1 g(x )  0  o Bước 3. Gọi (
A x ; px q), B(x ; px q), C(x ; px q) với x , x là hai nghiệm của g(x)  0. o o 1 1 2 2 1 2 bc
Theo Viét, ta có: x x   và x x  (1) 1 2 a 1 2 a
Bước 4. Biến đổi điều kiện K về dạng tổng và tích của x , x (2) 1 2
Thế (1) vào (2) sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến là .
m Giải chúng sẽ tìm
được giá trị m D . 2
Kết luận: m D D . 1 2
Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan đến cấp số
Ä Tìm điều kiện để đồ thị hàm số 3 2
y ax bx cx d cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
có hoành độ lập thành cấp số cộng.
Điều kiện cần:
Giả sử x , x , x là nghiệm của phương trình 3 2
ax bx cx d  0 1 2 3
Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 b Khi đó: 3 2
ax bx cx d a(x x )(x x )(x x ) , đồng nhất hệ số ta được x   1 2 3 2 3a b Thế x   vào phương trình 3 2
ax bx cx d  0 ta được điều kiện ràng buộc về tham số hoặc 2 3a
giá trị của tham số. Điều kiện đủ:
Thử các điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của tham số để phương trình 3 2
ax bx cx d  0 có 3 nghiệm phân biệt.
Ä Tìm điều kiện để đồ thị hàm số 3 2
y ax bx cx d cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
có hoành độ lập thành cấp số nhân.
Điều kiện cần:
Giả sử x , x , x là nghiệm của phương trình 3 2
ax bx cx d  0 1 2 3 d Khi đó: 3 2
ax bx cx d a(x x )( x x )( x x ) , đồng nhất hệ số ta được 3 x   1 2 3 2 a d Thế 3 x   vào phương trình 3 2
ax bx cx d  0 ta được điều kiện ràng buộc về tham số 2 a
hoặc giá trị của tham số. Điều kiện đủ:
Thử các điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của tham số để phương trình 3 2
ax bx cx d  0 có 3 nghiệm phân biệt. Câu 1.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 2
y x 3x  2 Ccắt đường
thẳng d : y m(x 1) tại ba điểm phân biệt x , x , x . 1 2 3 A. m  2  . B. m  2  . C. m  3  . D. m  3  . Câu 2.
Đường thẳng  có phương trình y  2x 1 cắt đồ thị của hàm số 3
y x x 3 tại hai điểm A
và B với tọa độ được kí hiệu lần lượt là Ax ; y
và Bx ; y
trong đó x x . Tìm x y ? B B A A B A B B
A. x y  5 
B. x y  2 
C. x y  4
D. x y  7 B B B B B B B B Câu 3. Cho hàm số 3 2 3
y x  3mx m có đồ thị C và đường thẳng 2 3
d : y m x  2m . Biết rằng m
m , m m m là hai giá trị thực của m để đường thẳng d cắt đồ thị C tại 3 điểm phân biệt m  1 2  1 2 
có hoành độ x , x , x thỏa mãn 4 4 4 x xx
 83 . Phát biểu nào sau đây là đúng về quan hệ 1 2 3 1 2 3
giữa hai giá trị m , m ? 1 2
A. m m  0 . B. 2
m  2m  4 . C. 2 m  2m  4 .
D. m m  0 . 1 2 1 2 2 1 1 2 Câu 4.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 2
y x  3x cắt đường thẳng y m tại ba điểm phân biệt.
A. m   ;  4 .
B. m  4;0 .
C. m  0;  .D. m   ;  4    0;  . Câu 5.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể đường thẳng y mx m  1cắt đồ thị hàm số y  3 x  2
3x x  2 tại ba điểm A, B,C phân biệt sao AB BC  5 
A. m   ;   
B. m  2;  C. m 
D. m  ; 0  4;     4  Câu 6.
Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 3
y x   2 m   2
2 x  2m  4 cắt các trục tọa độ
Ox, Oy lần lượt tại ,
A B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 8 là A. m  2  . B. m  1  .
C. m   3 . D. m   2 .
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 7.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y  mx cắt đồ thị của hàm số 3 2
y x  3x m  2 tại ba điểm phân biệt ,
A B, C sao cho AB BC . A. m ;    1
B. m  : 
C. m 1:  D. m ;   3 Câu 8.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 3 2
x  3x  2  m có ba nghiệm phân biệt.
A. m  2;  . B. m   ;  2   .
C. m  2; 2 .
D. m 2; 2 . Câu 9.
Đường thẳng  có phương trình y  2x 1 cắt đồ thị của hàm số 3
y x x  3 tại hai điểm A và
B với tọa độ được kí hiệu lần lượt là Ax ; y
và B x ; y trong đó x x . Tìm x y ? B B A A B A B B
A. x y  5 
B. x y  2
C. x y  4
D. x y  7 B B B B B B B B
BÀI TOÁN 2. TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ NHẤT BIẾN (CHỨA THAM SỐ)
Bài toán tổng quát ax b Cho hàm số y
có đồ thị C  . Tìm tham số m để đường thẳng d : y   x   cắt C  tại cx d hai điểm phân biệt ,
A B thỏa mãn điều kiện K? Phương pháp giải
Bước 1. (Bước này giống nhau ở các bài toán tương giao của hàm nhất biến) ax b
Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa d và C  :   x   cx d dg x 2
 cx   c  d ax   d b  0, x    . c
- Để d cắt C  tại hai điểm phân biệt  g x  0 có nghiệm nghiệm phân biệt
c  0;   0 d       d
. Giải hệ này, ta sẽ tìm được m D ic g   0 1      c
-Gọi Ax ; x   , B x ; y   với x , x là 2 nghiệm của g x  0 Theo Viét: 1 1   2 2  1 2
c   d ad b
S x x   ; P x x  ii 1 2 c 1 2 c Bước 2.
-Biến đổi điều kiện K cho trước về dạng có chứa tổng và tích của x , x iii 1 2
-Thế ii vào iii sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến số là m. Giải nó sẽ
tìm được m D  2
-Từ i,  m  D D và kết luận giá trị m cần tìm. 1 2 
Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan đến tương giao giữa đường thẳng ax b
y kx p và đồ thị hàm số y cx d ax b
Giả sử d : y kx p cắt đồ thị hàm số y
tại 2 điểm phân biệt M , N . cx d ax b
Với kx p
cho ta phương trình có dạng: 2
Ax Bx C  0 thỏa điều kiện cx d  0 , có cx d 2
  B  4 AC . Khi đó:
Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020   1). 2
M ( x ; kx p), N ( x ; kx p)  MN  ( x x ; k( x x ))  MN  (k  1) 1 1 2 2 2 1 2 1 2 A
Chú ý: khi min MN thì tồn tại min , k const 2). 2 2 2 2 2 2
OM ON  (k  1)(x x )  (x x )2kp  2 p 1 2 1 2   3). 2 2
OM .ON  ( x .x )(1  k )  ( x x )kp p 1 2 1 2 4). 2
OM ON  (x x )(1  k )  2kp  0 1 2 x  3
Câu 10. Đường thẳng y x  2m cắt đồ thị hàm số y
tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi x 1 m  1 m  1  m  3 A.  . B.  . C.  . D. 3   m  1. m  3  m  3  m  1 
Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y  2x m cắt đồ thị của hàm số x  3 y
tại hai điểm phân biệt. x 1
A. m   ; .
B. m  1;   . C. m   2  ;4.
D. m  ; 2 . x
Câu 12. A và B là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số y  . Khi đó độ dài đoạn x  2
AB ngắn nhất bằng A. 4 2 . B. 4 . C. 2 2 . D. 2 2 . x
Câu 13. Cho hàm số y
C và đường thẳng d : y  x m . Gọi S là tập các số thực m để đường x 1
thẳng d cắt đồ thị C  tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB ( O là gốc tọa độ) có
bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2 2 . Tổng các phần tử của S bằng A. 4 . B. 3 . C. 0 . D. 8 . 2x 1
Câu 14. Đồ thị hàm số y
C  và đường thẳng d : y x m . Tìm tất cả các giá trị của tham số m 1 x
để đường thẳng d cắt đồ thị C  tại 2 điểm phân biệt A. m  1  . B. 5   m  1  . C. m  5  . D. m  5  hoặc m  1  . x  3
Câu 15. Cho hàm số y
có đồ thị C và đường thẳng d : y x m, với m là tham số thực. Biết x 1
rằng đường thẳng d cắt C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho điểm G 2; 2   là trọng tâm
của tam giác OAB ( O là gốc toạ độ). Giá trị của m bằng A. 6 . B. 3 . C. 9  . D. 5 . 3x  2m
Câu 16. Cho hàm số y
với m là tham số. Biết rằng với mọi m  0, đồ thị hàm số luôn cắt mx 1
đường thẳng d : y  3x  3m tại hai điểm phân biệt A , .
B Tích tất cả các giá trị của m tìm được
để đường thẳng d cắt các trục O ,
x Oy lần lượt tại C, D sao cho diện tích OAB bằng 2 lần diện tích OCD bằng 4 A.  . B. 4  . C. 1  . D. 0 . 9
BÀI TOÁN 3. TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG (CHỨA THAM SỐ)
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
. Bài toán tổng quát: Tìm m để đường thẳng d : y   cắt đồ thị 4 2
(C) : y f ( ;
x m)  ax bx c
tại n điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện K cho trước?
Phương pháp giải:
Bước 1. Lập phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là: 4 2
ax bx c   0 (1) Đặt 2
t x  0 thì 2
(1)  at bt c   0 (2)
Tùy vào số giao điểm n mà ta biện luận để tìm giá trị m D . Cụ thể: 1
 Để d  (C)  n  4 điểm phân biệt  (1) có 4 nghiệm phân biệt   0 
 (2) có 2 nghiệm t , t thỏa điều kiện: 0  t t  S  0  m D . 1 2 1 2 1 P  0 
 Để d  (C)  n  3 điểm phân biệt  (1) có 3 nghiệm phân biệt c   0 
 (2) có nghiệm t , t thỏa điều kiện: 0  t t  bm D . 1 2 1 2 1  0   a
 Để d  (C)  n  2 điểm phân biệt  (1) có 2 nghiệm phân biệt ac  0 
 (2) có 2 nghiệm trái dấu hoặc có nghiệm kép dương    0  m D . 1   S  0 
 Để d  (C)  n  1 điểm phân biệt  (1) có đúng 1 nghiệm c    0 t   0   0 
 (2) có nghiệm kép  0 hoặc 1     bm D . 1 t  0 c   0  0  2    a
Bước 2. Biến đổi điều kiện K về dạng có chứa tổng và tích của t , t (3) 1 2
Thế biểu thức tổng, tích vào (3) sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến số là . m
Giải chúng ta sẽ tìm được m D . 2
Kết luận: m D D . 1 2
Ä Tìm điều kiện để đồ thị hàm số 4 2
y ax bx c cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có
hoành độ lập thành cấp số cộng. Ta có: 4 2
ax bx c  0 ( 1) , đặt 2
t x  0 , thì có: 2
at bt c  0 (2)   0 
Để (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt dương, tức là: t t  0 1 2 t .t  0  1 2
Khi đó (1) có 4 nghiệm phân biệt lần lượt là t ;  t ; t ; t lập thành cấp số cộng khi và chỉ 2 1 1 2 b khi: t t
t  ( t )  t  3 t t  9t . Theo định lý Vi – et t t   suy ra 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 a b 9b c t   ;t  
, kết hợp t .t nên có: 2 2 9ab  100a c 1 2 10a 10a 1 2 a Tóm lại: Hàm số 4 2
y ax bx c cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp
Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 2
b  4ac  0  b   0  a
số cộng, thì điều kiện cần và đủ là: c   0  a  2 2 9ab  100a c
Câu 17. Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 4 2
x  2mx  (2m 1)  0 có 4 nghiệm thực phân biệt là  1   1  A. ;  \     1 . B. (1; )  . C. ;  . D.  .  2   2  Câu 18. Cho hàm số 4 2
y x  3x  2 . Tìm số thực dương m để đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số tại
2 điểm phân biệt A , B sao cho tam giác OAB vuông tại O , trong đó O là gốc tọa độ. 3 A. m  2 . B. m  . C. m  3 . D. m  1. 2
Câu 19. Một đường thẳng cắt đồ thị hàm số 4 2
y x  2x tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là 0, 1, m, n . Tính 2 2
S m n . A. S  1. B. S  0 . C. S  3 . D. S  2 .
Câu 20. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số 4 3
y x x  m   2 4
2 x  8x  4 cắt trục
hoành tại đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn 1. A. 8 . B. 7 . C. 5 . D. 3 .
BÀI TOÁN 4. BIỆN LUẬN m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN K (HÀM SỐ KHÁC) 2 2 2 2
Câu 21. Cho hai hàm số x  1 x  2 x x  4 x  3 x  6 x  8 y    
và y x  2  x m ( m là tham số x x  1 x  2 x  3
thực) có đồ thị lần lượt là (C ) (C ) 1 và
2 . Tính tổng tất cả các giá trị nguyên thuộc khoảng (  1 5 ; 2 0 )
của tham số m để (C ) (C ) 1 và 2
cắt nhau tại nhiều hơn hai điểm phân biệt. A. 210 . B. 85 . C. 119 . D. 105 . x x 1 x  2
Câu 22. Cho hai hàm số y    và  x y
e  2020  3m ( m là tham số thực) có đồ thị lần x 1 x x 1
lượt là (C ) và (C ) . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc (2019; 2020) để (C ) và (C ) cắt nhau 1 2 1 2
tại 3 điểm phân biệt? A. 2692 . B. 2691 . C. 2690 . D. 2693.
Câu 23. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số y   2 2x   1 x 1 và 11 1 y  
11  m cắt nhau tại 2 điểm phân biệt? 3x  4 2  x A.  ;  0 . B.   ;1 . C.   ;1 . D.  ;  2 . x 1 x x 1 x  2
Câu 24. Cho hai hàm số y     và 1  2 x y
 2m ( m là tham số thực) có đồ thị lần x x 1 x  2 x  3
lượt là (C ) và (C ) . Tập hợp tất cả các giá trị của m để (C ) và (C ) cắt nhau tại đúng năm 1 2 1 2 điểm phân biệt là A. 2;  . B.  ;  2 . C.  ;  2 . D.  ;  4 .
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 x x 1 x  2
Câu 25. Cho hai hàm số y   
và y x x 1  m ( m là tham số thực) có đồ 2 2 2 x 1 x  2x x  4x  3
thị lần lượt là (C ) và (C ) . Số các giá trị m nguyên thuộc khoảng 20; 20 để (C ) và (C ) cắt 1 2 1 2
nhau tại năm điểm phân biệt là A. 22 . B. 39 . C. 21. D. 20 .
Câu 26. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 2 4
m x  m   3 2
x x   2 2 m  
1 x  0 nghiệm đúng với mọi x   . Số phần tử của tập S là A. 3 . B. 2 . C. 0 . D. 1.
Câu 27. Có bao nhiêu cặp số thực (a;b) để bất phương trình  x   x   2 1
2 ax bx  2  0 nghiệm
đúng với mọi x   A. 3 . B. 2 . C. 0 . D. 1.
Câu 28. Trong số các cặp số thực  ;
a b để bất phương trình  x   x a 2 1
x x b  0 nghiệm đúng
với mọi x   , tích ab nhỏ nhất bằng 1 1 A.  . B. 1  . C. . D. 1. 4 4
Câu 29. Cho 2 hàm số 7 5 3
y x x x  3m 1 và y x  2  x  2m ( m là tham số thực) có đồ thị lần
lượt là C , C . Tập hợp tất cả các giá trị của m để C cắt C là 2  1  2  1  A. m   .
B. m  2;  . C. m   ;  2 .
D. m 2;  .
Câu 30. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn  2
 019; 2019 để phương trình  x
x m   x   x m 2 3 2 3 1 5 1 2
 4 x  2x  3 có nghiệm thực? A. 2019 . B. 4032 . C. 4039 . D. 4033.
E. BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN
I– Các dạng toán viết phương trình tiếp tuyến thường gặp
Viết PTTT của C  : y f x, biết có hệ số góc k cho trước
Gọi M x ; y là tiếp điểm. Tính y '  y ' x . o o o
Do phương trình tiếp tuyến  có hệ số góc k  y ' x k io
Giải i tìm được x 
y f x  
  : y k x xy . o o oo o
Lưu ý. Hệ số góc k y '(x ) của tiếp tuyến  thường cho gián tiếp như sau: o
Phương trình tiếp tuyến  // d : y ax b k a . 1
Phương trình tiếp tuyến   d : y ax b k   . a
Phương trình tiếp tuyến  tạo với trục hoành góc   k  tan  . k a
Phương trình tiếp tuyến  tạo với d : y ax b góc    tan 1 k.a
Viết PTTT của C  : y f x, biết đi qua (kẻ từ) điểm Ax ; y A A
Gọi M x ; y là tiếp điểm. Tính y f x và k y ' x theo x . o oo o o o
Phương trình tiếp tuyến  tại M x ; y là  : y k x x y . o o o o
Do Ax ; y    y k x x y iA A AA o o
Giải phương trình i   x 
y và k   phương trình  . o o
Viết PTTT của C  : y f x, biết cắt hai trục tọa độ tại A và B sao cho tam giác
OAB vuông cân hoặc có diện tích S cho trước
Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Gọi M (x ; y ) là tiếp điểm và tính hệ số góc k y '(x ) theo x . o o o oOAB
ivuông cân   tạo với Ox một góc 45o và O   Đề cho  SS O . A OB  2SOAB  ii
Giải i hoặc ii   x   y ; k 
 phương trình tiếp tuyến  . o o
Tìm những điểm trên đường thẳng d : ax by c  0 mà từ đó vẽ được 1, 2,3,..., n tiếp
tuyến với đồ thị hàm số C  : y f x
Gọi M x ; y   d : ax by c  0 (sao cho có một biến x trong M) M M M
PTTT  qua M và có hệ số góc k có dạng  : y k x xy . M Mf
  x  k x xyiM M
Áp dụng điều kiện tiếp xúc:  f '   x  k  ii
Thế k từ ii vào i, được: f x  f ' x. x x
y iiiM M
Số tiếp tuyến của C  vẽ từ M  số nghiệm x của iii .
Tìm những điểm M x ; y
mà từ đó vẽ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số M M
C  : y f x và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau
PTTT  qua M và có hệ số góc k có dạng  : y k x xy . M Mf
  x  k x xyiM M
Áp dụng điều kiện tiếp xúc:  f '   x  k  ii
Thế k từ ii vào i, được: f x  f ' x. x x
y iiiM M
Qua M vẽ được hai tiếp tuyến với C   iii có hai nghiệm phân biệt x , x . 1 2
Hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau  k .k  1  y ' x .y ' x  1. 1 2  1   2   Lưu ý.
Qua M vẽ được hai tiếp tuyến với C sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía với trục hoành thì   iii   : x , x
có hai nghiệm phân biệt 1 2 . f   x . f x  0.  1   2 
Đối với bài toán tìm điểm M  C  : y f x sao cho tại đó tiếp tuyến song song hoặc vuông
góc với đường thẳng d cho trước, ta chỉ cần gọi M x ; y và  là tiếp tuyến với k f ' x . o o o
Rồi áp dụng k f ' x k nếu cho song song và f ' x
k   nếu cho vuông góc o  . 1 o d d
x y M x ; y . o o o o Câu 1.
Phương trình tiếp tuyến của đường cong 3 2
y x  3x  2 tại điểm có hoành độ x  1 là 0
A. y  9x  7 . B. y  9  x  7 . C. y  9  x  7 .
D. y  9x  7 . Câu 2. Cho hàm số 3 2
y x  3x  6x  1 có đồ thị C . Trong các tiếp tuyến của C , tiếp tuyến có hệ số
góc nhỏ nhất có phương trình là
A. y  3x  8 . B. y  3  x  2 . C. y  3  x  8 .
D. y  3x  2 . 2x 1 Câu 3. Cho hàm số y
có đồ thị C. Tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ bằng 3 cắt các x 1
đường tiệm cận của C tạo thành tam giác có diện tích bằng A. 4  2 2 . B. 2 2 . C. 2 . D. 4 .
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 1 7 Câu 4. Cho hàm số 4 2 y x
x có đồ thị C  . Có bao nhiêu điểm A thuộc đồ thị C  sao cho tiếp 8 4
tuyến của C  tại A cắt C  tại hai điểm phân biệt M x ; y ; N x ; y ( M , N khác A ) thỏa 2 2  1 1 
mãn y y  3 x x . 1 2  1 2  A. 3 B. 1 C. 0 D. 2 x  2 Câu 5. Cho hàm số y
có đồ thị (C) và điểm (
A a;1) . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực x  1
của tham số a để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua A . Tổng tất cả các giá trị các phần tử của S là 3 5 1 A. 1 B. C. D. 2 2 2 1 7 Câu 6. Cho hàm số 4 2 y x
x có đồ thị C  . Có bao nhiêu điểm A thuộc C  sao cho tiếp tuyến 4 2
của C  tại A cắt C  tại hai điểm phân biệt M x ; y ; N x ; y khác A thỏa mãn 1 1   2 2 
y y  6(x x ) 1 2 1 2 A. 0 B. 3 C. 1 D. 2 1 14 Câu 7. Cho hàm số 4 2 y x
x có đồ thị C  . Có bao nhiêu điểm A thuộc C  sao cho tiếp tuyến 3 3
của C  tại A cắt C  tại hai điểm phân biệt M x ; y , N x ; y ( M , N khác A ) thỏa mãn 2 2  1 1 
y y  8 x x ? 1 2  1 2  A. 0 B. 3 C. 1 D. 2 x 1 Câu 8. Cho hàm số y
có đồ thị C  . Phương trình tiếp tuyến của C  tại điểm có hoành độ x 1
x  1 2  3 cắt hai đường tiệm cận của C  tại A và B . Gọi I là giao điểm của hai đường
tiệm cận của của C  . Diện tích tam giác IAB bằng: 3 2  2 3  2
A. 4 2  3. B. 4 . C. 5 . D. . 2 2x  3 Câu 9. Cho hàm số y
có đồ thị C  . Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận của C  . Biết x  2
rằng tồn tại hai điểm M thuộc đồ thị C  sao cho tiếp tuyến tại M của C  tạo với đường tiệm
cận của một tam giác có chu vi nhỏ nhất. Tổng hoành độ của hai điểm M là: A. 4 . B. 0 . C. 3 . D. 1.
--------------- HẾT ---------------
Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Vấn đề 6
ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
A. NHẬN DẠNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Nhận dạng đồ thị hàm số bậc ba 3 2
y ax bx cx d, (a  0). a   0   a   0   
Hình dáng: (nhận dạng được dấu của a) : N :   И :   2 b   3ac  0 2       b 3ac 0 
Hoành độ điểm uốn là trung điểm của cực đại và cực tiểu (nhận dạng được dấu của b). b b x   
xem dương hay âm (hoặc sử dụng S x x     3a 1 2 a 
Nhận dạng dấu của c :
Nếu 2 cực trị nằm hai bên trục Oy ac  0. c
Nếu 2 cực trị nằm cùng bên so Oy P x x   0. 1 2 a
Nhận dạng dấu của hệ số d : Đồ thị (C ) Oy : x  0  y d xem dương hay âm.
Điểm đặc biệt trên đồ thị.
Nhận dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương 4 2
y ax bx  ,
c (a  0).
Hình dáng: (nhận dạng được dấu của a và b) : a   0 a   0    M :   W :   b   0     b 0  a  b  0 ab   0     : 
 :   a   0     a 0 
Tương giao (nhận dạng được dấu của c) Cắt Oy : x  0  y c xem dương hay âm?
Tương giao Ox, có 4 2
ax bx c  0 và đặt 2
t x  0 thì 2
pt at bt c  0 ( ) 
Nếu (C ) cắt Ox tại 4 điểm thì ( )
có 4 nghiệm, tức ( )
có 2 nghiệm phân biệt dương  2
  b  4ac  0 và S  0, P  0.
Điểm đặc biệt trên đồ thị. ax b
Nhận dạng đồ thị hàm số nhất biến y   cx d Tiệm cận: d
Tiệm cận đứng cx d  0  x   xem dương hay âm? c a
Tiệm cận ngang y dương hay âm? c ad bc
Đơn điệu: y  
Xem đồ thị (C ) từ trái sang phải: 2 (cx d)
Nếu đi lên HS đồng biến y  0  ad bc  0.
Nếu đi xuống HS nghịch biến y   0  ad bc  0.
Tương giao với hai trục tọa độ: b
Cắt trục Ox : y  0  x   xem dương hay âm? a b
cắt trục Oy : x  0  y xem dương hay âm? d
Điểm đặc biệt trên đồ thị.
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Nhận dạng đồ thị hàm số mũ x
y a . Vì x
y a  0 có tập giá trị T  (0; )
nên đồ thị (C) nằm phía trên Ox và tiệm cận ngang là hoành Ox. y x y a x
  0  y  1 a  1   Khi
nên (C ) luôn đi qua 2 điểm M(0;1), N(1;a). x
  1  y a 
Từ trái sang phải nếu đồ thị (C ) x
y a , 0  a  1 1
Đi lên Đồng biến a  1. x
Đi xuống Nghịch biến  0  a  1. O 1  Đồ thị x
y a và y
đối xứng nhau qua trục O . y x a
Nhận dạng đồ thị hàm số lôgarit y  log x. a
Vì điều kiện x  0 và tập giá trị là T   nên đồ thị hàm số lôga luôn nằm bên phải trục Oy và tiệm
cận đứng là Oy. y x
  1  y  0 y  log x   Khi
nên (C ) luôn qua 2 điểm M(1; 0), N (a;1). a x
  a y  1  a  1
Từ trái sang phải nếu đồ thị (C ) x x
  1 : log x  log x a bO 1
Đi lên ĐB a  1  a b   0
  x  1 : log x  log x a b  0  a  1 a bx
  0 : log x  log x a b
Đi xuống  0  a  1  a b   0
  x  1 : log x  log x a ba b
Đối xứng: Đồ thị y  log x và x
y a đối xứng qua d : y x. a
CÂU HỎI CÙNG MỨC ĐỘ ĐỀ MINH HỌA Câu 1.
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong dưới đây? A. 4 2
y  x  2x . B. 4 2
y x  2x . C. 3 2
y x  3x . D. 3 2
y  x  3x . Lời giải Chọn A
Từ hình dạng của đồ thị ta loại phương án C và D.
Nhận thấy lim f (x)   suy ra hệ số của 4
x âm nên chọn phương án A. x
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Câu 2.
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên? A. 3
y x  3x . B. 3
y  x  3x . C. 4 2
y x  2x . D. 4 2
y  x  2x . Lời giải Chọn A
Đường cong có dạng của đồ thị hàm số bậc 3 với hệ số a  0 nên chỉ có hàm số 3
y x  3x thỏa yêu cầu bài toán. Câu 3.
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng đường cong trong hình vẽ bên? A. 3 2
y x  3x  4 . B. 4 2
y x  2x  4 . C. 3 2
y  x  3x  4 . D. 4 2
y  x  2x  4 . Lời giải Chọn A
+) Vì đồ thị của hàm số trong hình vẽ có hai điểm cực trị nên phương án hàm bậc bốn trùng phương loại.
+) Nhận thấy lim y     hệ số a  0 nên loại phương án 3 2
y  x  3x  4 . x  Vậy phương án đúng là 3 2
y x  3x  4 . Câu 4.
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng đường cong trong hình vẽ bên? A. 3
y x  3x 1. B. 4 2
y  x  2x 1. C. 3
y  x  3x 1. D. 4 2
y x  2x 1. Lời giải Chọn B
+) Ta có đồ thị của hàm số đa thức bậc 4 trùng phương nên phương án hàm số bậc ba loại.
+) Nhận thấy lim y     hệ số a  0 . x  Nên phương án đúng là 4 2
y  x  2x 1. Câu 5.
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng đường cong trong hình vẽ bên?
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A. 3 2
y x  3x 1. B. 4 2 y  2
x  4x 1. C. 4 2
y  2x  4x 1. D. 3 2
y  x  3x 1. Lời giải Chọn C
+) Ta có đồ thị của hàm số đa thức bậc 4 trùng phương nên phương án hàm số bậc ba bị loại.
+) Nhận thấy lim y     hệ số a  0 nên đáp án là 4 2
y  2x  4x 1 . x   Câu 6.
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng đường cong trong hình vẽ bên? 2x  3 2x 1 A. y  . B. 3
y x  3x 1. C. 4 2
y x  2x 1. D. y  . x 1 x 1 Lời giải Chọn D
+) Ta có đồ thị của hàm số phân thức hữu tỷ nên phương án hàm đa thức loại.
+) Nhận thấy đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng x  1
  mẫu số phải chứa nhân tử x 1 nên loại phương án A. 2x 1
Vậy phương án đúng là y  . x 1 Câu 7.
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng đường cong như hình vẽ dưới đây?  x 1 x  2 x  2 x  2 A. y  . B. y  . C. y  . D. y  . x  2 x  2 x  2 x  2 Lời giải Chọn B
+) Nhận thấy đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng x  2  mẫu số phải chứa nhân tử x  2
+) Nhận thấy đồ thị có tiệm cận ngang là đường thẳng y  1  lim y  1 x 
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 x  2
Vậy phương án đúng là y x  2 Câu 8.
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên? A. 3 2
y x  3x . B. 3 2
y  x  3x . C. 4 2
y x  2x . D. 4 2
y  x  2x . Lời giải Chọn A
Đường cong có dạng của đồ thị hàm số bậc 3 với hệ số a  0 nên chỉ có hàm số 3 2
y x  3x thỏa yêu cầu bài toán. Câu 9.
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên dưới? A. 3 2
y x  2x x 1. B. 4
y x x 1. C. 3 y  2
x x 1 . D. 3 2
y x  2x 1 . Lời giải Chọn A
Đồ thị trong hình là đồ thị hàm số bậc ba 3 2
y ax bx cx d với a  0 . Ngoài ra, tung độ giao
điểm của đồ thị với trục tung dương nên d  0 .
Vậy chỉ có phương án A là phù hợp.
Câu 10. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên? A. 3
y x  3x 1. B. 3
y  x  3x 1. C. 2
y x  2x 1. D. 4 2
y  x  2x . Lời giải
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Chọn B
Đường cong có dạng của đồ thị hàm số bậc 3 với hệ số a  0 nên chỉ có hàm số 3
y  x  3x 1 thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 11. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên dưới? A. 2
y  x  2x 1. B. 4
y  x  3x 1. C. 4
y x x 1. D. 4 2
y  x  2x 1. Lời giải Chọn B
Đồ thị trong hình là đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương 4 2
y ax bx c với a  0 . Ngoài ra, tung
độ giao điểm của đồ thị với trục tung âm nên c  0 .
Vậy chỉ có phương án B là phù hợp.
Câu 12. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên? A. 4 2
y x  2x . B. 3 2
y  x  3x . C. 4 2
y  x  2x . D. 3
y  x  3x . Lời giải Chọn A
Đường cong có dạng của đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương với hệ số a  0 nên chỉ có hàm số 4 2
y x  2x thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 13. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên dưới?
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 x  2 x  2 x  2 x  2 A. y  . B. y  . C. y  . D. y  . x 1 x 1 x 1 x  1 Lời giải Chọn C ax b
Tất cả các hàm số trong đề bài đều có dạng y
, do đó đều có thể có đồ thị như hình vẽ. cx d bb
Dựa vào vị trí giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ, ta được x   0 và y   0 . Vì a d
a  1  0 nên ta suy ra b  0 và d  0 .
Vậy chỉ có phương án C là phù hợp.
Câu 14. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên? A. 4 2
y x  2x . B. 3
y  x  3x . C. 2
y x  2x . D. 4 2
y  x  2x . Lời giải Chọn D
Đường cong có dạng của đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương với hệ số a  0 nên chỉ có hàm số 4 2
y  x  2x thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 15. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên dưới? 1 1 A. 3
y  x  3x 1. B. 3 y  2
x x 1. C. 3 2
y x x 1. D. 3 2 y  2x x 1. 3 2 Lời giải Chọn B
+) Đồ thị trong hình là đồ thị hàm số bậc ba 3 2
y ax bx cx d với a  0 (vì hàm số nghịch biến).
Do đó loại được các phương án C và D .
+) Vì đồ thị hàm số không có cực trị nên phương trình y  0 vô nghiệm, loại được phương án A .
Vậy chỉ có phương án B là phù hợp.
Câu 16. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 x  2 x  2 2x 1 A. y  . B. y  . C. y  . D. 3
y  x  3x  2 . x 1 x 1 x 1 Lời giải Chọn A
Đường cong có dạng của đồ thị hàm số hữu tỉ bậc 1 trên bậc 1, đồ thị có các đường tiệm cận đứng x  2
x  1 và tiệm cận ngang y  1 nên chỉ có hàm số y
thỏa yêu cầu bài toán. x 1
Câu 17. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên dưới? A. 2 y  2  x 1. B. 4
y x  3x 1. C. 4 2
y  x  3x 1. D. 4 2
y  x  2x 1. Lời giải Chọn D
+) Dựa vào hình dáng đồ thị, ta có thể loại ngay phương án B .
+) Hàm số chỉ có một cực trị nên ta loại phương án C , vì với hàm số ở phương án C , phương trình
y  0 có 3 nghiệm phân biệt.
+) Dựa vào tung độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung, ta loại phương án A .
+) Hàm số ở phương án D thỏa mãn đầy đủ các tiêu chuẩn trên nên là D đáp án.
Câu 18. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên? 2x 1 x 1 x 1 A. y  . B. y  . C. 2
y  3x  2x 1. D. y  . x 1 x  2 x 1 Lời giải
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Chọn D
Đường cong có dạng của đồ thị hàm số hữu tỉ bậc 1 trên bậc 1, đồ thị có các đường tiệm cận đứng x 1
x  1 và tiệm cận ngang y  1 nên chỉ có hàm số y
thỏa yêu cầu bài toán. x 1
Câu 19. Đồ thị nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên? y x O A. 3
y x  3x 1. B. 3
y  x  3x 1. C. 4 2 x  2x 1. D. 4 2
y   x  2 x  1. Lời giải Chọn A
Dựa vào hình dáng của đồ thị loại ngay đáp án B, C và D vì đồ thị trên là của hàm số bậc 3 có dạng 3 2
y ax bx cx d a  0 . Câu 20. Cho hàm số 3 2
y ax bx cx d a  0 có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Chọn khẳng định đúng về
dấu của a , b , c , d ?
A. a  0 , b  0 , d  0 , c  0
B. a  0 , c  0  b , d  0
C. a  0, b  0, c  0, d  0.
D. a  0 , b  0 , c  0 , d  0 lời giải Chọn D
Dựa vào đồ thị ta có a  0 , đồ thị cắt Oy tại 1 điểm có tung độ dương nên d  0 , đồ thị có 2 cực trị c
trái dấu nên x .x  0 
 0  c  0 . Vậy đáp án D 1 2 a Câu 21. Cho hàm số 4 2
y ax bx c ( a  0 ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a  0 , b  0 , c  0 . B. a  0 , b  0 , c  0 .C. a  0 , b  0 , c  0 . D. a  0 , b  0 , c  0 . Lời giải
Đồ thị cắt trục tung tại điểm 0;c , từ đồ thị suy ra c  0
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Mặt khác đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nên y  0 có ba nghiệm phân biệt, hay 3
y  ax bx x  2 4 2 2
2ax b  0 có ba nghiệm phân biệt. Suy ra a,b trái dấu.
Mà a  0  b  0 Câu 22. Cho hàm số 3 2
y ax bx cx d có đồ thị như hình vẽ bên. y O x
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a  0, b  0, c  0, d  0
B. a  0, b  0, c  0, d  0
C. a  0, b  0, c  0, d  0
D. a  0, b  0, c  0, d  0 Lời giải Chọn B Đạo hàm: 2
y  3ax  2bx c
Từ hình dáng đồ thị suy ra: Hệ số a  0
y  0 có một nghiệm bằng x  0 và một nghiệm x  0 . 1 2
y  0 có một nghiệm bằng x  0  c  0 . 1 2b 2b x x    x  
 0 mà a  0 nên b   0  b  0 1 2 2 3a 3a Câu 23. Cho hàm số 3 2
y ax bx cx d có đồ thị như hình bên. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
A. ab  0,bc  0, cd  0 B. ab  0,bc  0, cd  0
C. ab  0,bc  0, cd  0 D. ab  0, bc  0, cd  0 Lời giải Chọn A
Từ dáng điệu của đồ thị ta có ngay được:  lim y   ;
 lim y    a  0 . x x
 Đồ thị hàm số cắt trục tung tại một điểm có tung độ dương nên d  0 . Ta có: 2
y '  3ax  2bx c
Mặt khác dựa vào đồ thị ta thấy phương trình y '  0 có hai nghiệm trái dấu và tổng hai nghiệm này ac  0  c  0
luôn dương nên  2b   (do a  0 )   b  0    3a
Do đó: ab  0,bc ,  cd  0 .
Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Câu 24. Cho hàm số 3 2
y ax bx cx d có đồ thị như hình dưới. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. a  0, b  0, c  0, d  0
B. a  0, b  0, c  0, d  0
C. a  0, b  0, c  0, d  0
D. a  0, b  0, c  0, d  0 Lời giải Chọn D
- Dựa vào hình dáng của đồ thị suy ra hệ số a  0 .
- Đồ thị cắt trục Oy tại điểm có tung độ âm nên d  0 .
- Ta thấy đồ thị như hình vẽ có hai điểm cực trị, hoành độ các điểm cực trị trái dấu suy ra phương trình 2
y  3ax  2bx c  0 có 2 nghiệm x , x trái dấu kéo theo 3 .
a c  0  c  0 . 1 2 x x b - Mặt khác 1 2    0  b  0 . 2 3a Câu 25. Cho hàm số 3
y ax  3x d  ;
a d   có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a  0, d  0 .
B. a  0, d  0 .
C. a  0, d  0 .
D. a  0, d  0 . Lời giải Chọn D
Ta có: lim    đồ thị nhánh ngoài cùng của hàm số hướng đi xuống nên hệ số a  0 . x
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung Oy : x  0 là điểm nằm bên dưới trục hoành nên khi
x  0  y d  0 . ax 1
Câu 26. Cho hàm số f x  a, ,
b c   có bảng biến thiên như sau: bx c
Trong các số a,b và c có bao nhiêu số dương? A. 2. B. 3. C. 1. D. 0. Lời giải Chọn C
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 ax 1 c
Hàm số f x 
có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x  
và đường tiệm cận ngang là bx c b a đường thẳng y  . bc   2   b c
Từ bảng biến thiên ta có: 
a b     1 a 2   1  b ac b
Mặt khác: f ' x  . bx c2
Vì hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng  ;
 2 và 2;  nên ac b f ' x 
 0  ac b  0   2 bx c2 2 c c Thay   1 vào   2 , ta được: 2  
 0  c c  0  0  c  1. 2 2
Suy ra c là số dương và a, b là số âm. ax 1
Câu 27. Cho hàm số f x 
a,b,c   có bảng biến thiên như sau: bx c
Trong các số a, b và c có bao nhiêu số âm? A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 0 . Lời giải Chọn A
Từ bảng biến thiên có: a
Đồ thị hàm số f x có tiệm cận ngang y  2 
 2  a  2b . b c
Đồ thị hàm số f x có tiệm cận đứng x  1     1
  c b . b
Hàm số f x nghịch biến trên các khoảng xác định nên ac b  0. 1
Từ ba điều kiện trên ta có 2 2 .
b b b  0  2b b  0    b  0 . 2
Suy ra b  0, c  0, a  0 .
Vậy cả ba số a, b, c đều âm. ax  3
Câu 28. Cho hàm số y f x 
có bảng biến thiên như sau 2x b
Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Giá trị a  2b bằng? A. 8 B. 6  C. 0 D. 10 Lời giải Chọn C Đk:  . a b  6  0  . a b  6 
Từ BBT ta dễ dàng nhận thấy ĐTHS có TCN là: y  2
và tiệm cận đứng là: x  1 a b Suy ra  2  a  4 và
 1  b  2 (TMĐK) 2 2
Vậy a  2b  4  2.2  0 . Câu 29. Cho hàm số 3 2
y ax bx cx d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. a  0, b  0, c  0, d  0.
B. a  0, b  0, c  0, d  0.
C. a  0, b  0, c  0, d  0.
D. a  0, b  0, c  0, d  0. Lời giải Chọn C Ta có 2
y  3ax  2bx  . c
Đồ thị hàm số thể hiện a  0; cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên d  0. x  1 xx  0
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy CT CÐ CT     1  x  0 x .x  0  CÐ  CÐ CT  2b b a0   0    0  b  0   3a a  
. Vậy a  0, b  0, c  0, d  0. c c a 0   0    0  c  0  3a a ax  3
Câu 30. Cho hàm số f x 
b   có bảng biến thiên như sau: bx c
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Tính tổng S a b c . A. 2  . B. 2 . C. 0 . D. 1  . Lời giải Chọn A
Từ bảng biến thiên có: a
Đồ thị hàm số f x có tiệm cận ngang y  2   2  a  2  b . b c
Đồ thị hàm số f x có tiệm cận đứng x  1  
 1  c b  . b
Hàm số f x nghịch biến trên các khoảng xác định nên ac  3b  0 . 3
Từ ba điều kiện trên ta có 2 . b b   2
 3b  0  2b  3b  0  0  b  . 2
Mà b   nên suy ra b  1  c  1, a  2 .
Vậy S a b c  2   1    1  2  . Câu 31. Hàm số 4 2
y ax bx c có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng? y x O
A. a  0, b  0, c  0. B. a  0, b  0, c  0. C. a  0, b  0, c  0. D. a  0, b  0, c  0. Lời giải Chọn B
Đồ thị hàm số thể hiện a  0.
Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nên ab  0   b  0.
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên c  0.
Vậy a  0, b  0, c  0 . ax b
Câu 32. Cho hàm số f x 
a,b,c   có bảng biến thiên như sau: cx b  1
Biết tập hợp tất cả các giá trị b thoả mãn là khoảng  ;
m n . Tính tổng S m  2n . 5 3 5 A. S  . B. S   . C. S   . D. S  2  . 2 2 2 Lời giải Chọn D
Từ bảng biến thiên có: a
Đồ thị hàm số f x có tiệm cận ngang y  1 
 1  a c . c
Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 b  1 b  1
Đồ thị hàm số f x có tiệm cận đứng x  2    2  c   . c 2
Hàm số f x đồng biến trên các khoảng xác định nên a b   1  bc  0 .
Từ ba điều kiện trên ta có:  b  1  c b  
1  bc  0  c 2b   1  0     2b   1  0  2  1  1    b   1 2b   1  0  1   b    b  1  ;    . 2  2  1  1  Suy ra m  1  và n  
. Vậy S m  2n  1   2   2    . 2  2  Câu 33. Cho hàm số 3 2
y ax bx cx d có đồ thị như hình dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng? a  0 a  0 a  0 a  0 A.  . B.  . C.  . D.  . 2 b  3ac  0 2 2 2  b  3ac  0  b  3ac  0  b  3ac  0  Lời giải Chọn B
Dựa vào đồ thị ta có lim y    a  0 . x 
Từ đồ thị ta suy ra y  0 ,    2
 3ax  2bx c  0 ,    . 2
   b  3ac  0 . a  0 Vậy  . 2 b  3ac  0  Câu 34. Cho hàm số 3 2
y ax bx cx d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a  0, b  0, c  0, d  0 .
B. a  0, b  0, c  0, d  0 .
C. a  0, b  0, c  0, d  0 .
D. a  0, b  0, c  0, d  0 . Lời giải Chọn A
Ta có: lim y   .  Suy ra a  0. x
Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O nên d  0.
Gọi x , x là hai điểm cực trị của hàm số đã cho ta có: 1 2 2b x x  
 0  ab  0  b  0. 1 2 3a
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 c x x   0  c  0. 1 2 3a
Vậy a  0, b  0, c  0, d  0. ax b
Câu 35. Hàm số y
với a  0 có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng? cx d y O x
A. b  0, c  0, d  0. B. b  0, c  0, d  0. C. b  0, c  0, d  0. D. b  0, c  0, d  0. Lời giải Chọn A
Từ đồ thị hàm số, ta thấy b ● Khi a 0 y  0   x  
 0  b  0. a b ● Khi b0 x  0   y
 0  d  0 . d d
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng d 0 x  
 0  c  0. c
Vậy b  0, c  0, d  0. ax b
Câu 36. Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số y  với ,
a b,c, d là các số thực. Mệnh đề nào cx d dưới đây đúng?
A. ab  0, ad  0.
B. ab  0, ad  0.
C. bd  0, ad  0.
D. ab  0, ad  0. Lời giải Chọn A d
Tiệm cận đứng: x    0  cd  0 (1) c a
Tiệm cận ngang: y   0  ac  0 (2) c b
Khi x  0 thì y
 0  bd  0 3 d Từ  
1 và 2 suy ra: ad  0 (4)
Từ 3 và 4 suy ra: ab  0
Câu 37. Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số 4 2
y x mx n , với m, n   . Biết phương trình 4 2
x mx n  0 có k nghiệm thực phân biệt, * k   .
Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. k  4 và mn  0 .
B. k  4 và mn  0 . C. k  2 và mn  0 . D. k  2 và mn  0 . Lời giải Chọn B Đồ thị hàm số 4 2
y x mx n cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt nên phương trình 4 2
x mx n  0 có 4 nghiệm phân biệt, suy ra k  4 .
Hàm số có 3 cực trị nên m  0 .
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên n  0 (cho x  0  y n  0 ).
Do đó mn  0 . ax 1
Câu 38. Cho hàm số y
(a, b, c  ) có bảng biến thiên như sau: bx c
Trong các số a, b và c có bao nhiêu số âm? A. 2. B. 3. C. 1. D. 0. Lời giải Chọn B c
Tiệm cận đứng: x  1   0    0  bc  0 b a
Tiệm cận ngang: y  2  0   0  ab  0 b 1
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có x  1   0 
 0  a  0  b  0  c  0 a
B. TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ
Cho hai đồ thị hàm số (C ) : y f (x) và (C )
 : y g(x). Tọa độ giao điểm (nếu có) của (C) và (C ) y   f(x) 
là nghiệm của hệ phương trình:
f (x)  g(x) ( )  y   g(x)  ― Phương trình ( )
được gọi là phương trình hoành độ điểm chung của (C) và (C )  .
― Số nghiệm của ( )
chính là số điểm chung của hai đồ thị. ― Nếu ( )
vô nghiệm thì hai đồ thị không có điểm chung.
B1. THÔNG QUA BẢNG BIẾN THIÊN, ĐỒ THỊ Câu 1.
Cho hàm bậc ba y f x có đồ thị trong hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình 3 f (x)   4 là
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A. 2. B. 1. C. 0. D. 3. Lời giải Chọn D 4
Phương trình 3 f (x)   4  f x   . 3 4
Số nghiệm của phương trình f x   bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường 3 4 thẳng y   ( như hình vẽ). 3
Dựa vào đồ thị ta thấy có 3 giao điểm.
Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt. Câu 2.
Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau
Số nghiệm của phương trình 3 f (x)  2  0 là A. 2. B. 0. C. 3. D. 1. Lời giải Chọn C 2
Ta có 3 f (x)  2  0  f (x)  3
Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 2 y  3
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 2
Căn cứ vào bảng biến thiên thì phương trinh 3 f (x)  2  0  f (x)  có 3 nghiệm phân biệt. 3 Câu 3.
Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị trong hình bên. Số nghiệm của phương trình f x  1  là A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 . Lời giải Chọn D
Số nghiệm của phương trình f x  1
 bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường
thẳng y  1 (hình vẽ).
Dựa vào đồ thị ta thấy có 4 giao điểm.
Vậy phương trình có 4 nghiệm. Câu 4. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm của phương trình 4 f x  3  0 là
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A. 2 . B. 0 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn D 3
Số nghiệm của phương trình 4 f x  3  0 cũng chính là số nghiệm của phương trình f x   . 4 3
Dựa vào BBT, ta thấy đường thẳng y  
cắt đồ thị y f x tại 4 điểm phân biệt. 4
Vậy phương trình 4 f x  3  0 có 4 nghiệm phân biệt. Câu 5.
Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình 2
f x  4 có số nghiệm là A. 0 . B. 3 . C. 4 . D. 2 . Lời giải Chọn B f (x)  2 Phương trình 2
f x  4  .  f (x)  2  
Số nghiệm của phương trình f x  2 bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường
thẳng y  2 ( như hình vẽ).
Số nghiệm của phương trình f x  2 bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường
thẳng y  2 ( như hình vẽ).
Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Vậy phương trình 2
f x  4 có 3 nghiệm phân biệt. Câu 6.
Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: 2
Số nghiệm của phương trình 2  f x  7 f x  5  0   là A. 6 . B. 4 . C. 3 . D. 5 . Lời giải Chọn B
f x  1
2  f x 2  7 f x 5 0        5
f x   2
Dựa vào BBT, ta thấy đường thẳng y  1 cắt đồ thị y f x tại 3 điểm phân biệt, 5 đường thẳng y
cắt đồ thị y f x tại 1 điểm. 2 2
Các điểm này không trùng nhau. Vậy phương trình 2  f x  7 f x  5  0   có 4 nghiệm phân biệt. Câu 7.
Cho hàm bậc bốn y f x có đồ thị trong hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình f (x)   5 là A. 0 . B. 3 . C. 4 . D. 2 . Lời giải Chọn D
Phương trình f x  5. 
Số nghiệm của phương trình f x  5
 bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường
thẳng y  5 ( như hình vẽ).
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Dựa vào đồ thị ta thấy có 2 giao điểm.
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Câu 8.
Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ:
Số nghiệm thực của phương trình 6 f x  5  0 là A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn D 5
Phương trình đã cho tương đương với f x   . 6 5
Ta thấy đường thẳng y  
có ba điểm chung phân biệt với đồ thị hàm số y f x nên phương 6
trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt. Câu 9.
Cho hàm số y f x có đồ thị trong hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình 2 f (x) 1  0 là A. 0 . B. 1. C. 3. D. 2. Lời giải
Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Chọn D 1
Phương trình 2 f (x) 1  0  f x  . 2 1
Số nghiệm của phương trình f x  bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường 2 1 thẳng y  ( như hình vẽ). 2
Dựa vào đồ thị ta thấy có 2 giao điểm.
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Câu 10. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình 3 f x 10  0 là A. 1. B. 4 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn B 10
Phương trình đã cho tương đương với f x   . 3 10
Ta thấy đường thẳng y  
có bốn điểm chung phân biệt với đồ thị hàm số y f x nên phương 3
trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 11. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình 3 f (x)  2  0 là: A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. Lời giải Chọn A 2
Xét phương trình 3 f (x)  2  0  f (x)  (1) 3
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Ta có: số nghiệm thực của phương trình (1) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y f (x) và đồ 2
thị của đường thẳng y  . 3
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
Vậy phương trình 3 f (x)  2  0 có 4 nghiệm thực.
Câu 12. Cho hàm số y f x liên tục trên các khoảng  ;
 0 và 0;  , có bảng biến thiên như sau x  x x 1 0 2  y  0   0  2  3 y 3  4 
Số nghiệm thực của phương trình 2 f (x)  3  0 là: A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. Lời giải Chọn A 3
Xét phương trình 2 f (x)  3  0  f (x)   (1) 2
Ta có: số nghiệm thực của phương trình (1) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y f (x) và đồ 3
thị của đường thẳng y   . 2
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
Vậy phương trình 2 f (x)  3  0 có 4 nghiệm thực.
Câu 13. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình sau:
Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 1 f x
Số nghiệm của phương trình  2 là 1 f xA. 3 . B. 1. C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn D 1 f x 1 Ta có
 2  1 f x  2  2 f x  f x   1 f x 3
Như vậy, số nghiệm thực của phương trình (1) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y f (x) và 1
đồ thị của đường thẳng y   . 3 1
Dựa vào đồ thị ta có đường thẳng y   cắt đồ thị hàm số y f x tại bốn điểm phân biệt. 3
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm.
B2. GIỮA HAI HÀM SỐ
Câu 14. Số giao điểm của đồ thị hàm số 4 2
y x  2 x  3 và trục hoành là A. 0 . B. 4 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn C x  0
Ta có y  4x  2 x  
1  y  0   x  1   Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
Câu 15. Số giao điểm của đồ thị hàm số 3 2
y  2x  3x  4 và trục hoành là A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1. Lời giải Chọn D x  0 + Ta có 2
y  6x  6x  6x x  
1  y  0   . x  1   + Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị cắt trục hoành tại một điểm.
Câu 16. Số giao điểm của đồ thị hàm số 3
y x  3x  1 và trục hoành là A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1. Lời giải Chọn A Tập xác định:  .
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có: 2
y  x    2 3 3 3 x  
1 ; y  0  x  1. Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Câu 17. Số giao điểm của đồ thị hàm số 3 2
y x  3x 1 và trục hoành là A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1. Lời giải Chọn D Ta có: 2
y  3x  6x  3x x  2 .  x  2
y  0  3x x  2  0   . x  0 
Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị cắt trục hoành tại một điểm.
Câu 18. Đồ thị của hàm số 4 2 y x
 3x  1 cắt trục tung tại điểm có tung độ bao nhiêu A. -3. B. 0. C. 1. D. -1. Lời giải
Trục tung có phương trình: x  0 . Thay x  0 vào 4 2 y x
 3x  1 được: y  1.
Câu 19. Số giao điểm của đường cong 3 2
y x  2x  2x 1 và đường thẳng y  1  x là A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 Lời giải Chọn A
Xét phương trình hoành độ giao điểm 3 2
x  2x  2x 1  1 x 3 2
x  2x  3x  0  x  2
x  2x  3  0  x  0
Câu 20. đồ thị hàm số 4 2
y x  3x 1 và đồ thị hàm số 2
y  2x  7 có bao nhiêu điểm chung? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn C. Pthdgd: 2 x  3 4 2 2 4 2
x  3x 1  2x  7  x x  6  0   x   3  . 2 x  2 
Do pt có 2 nghiệm nên đồ thị hai hàm số có 2 điểm chung.
Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Câu 21. Cho hàm số 3 y  2
x  5x có đồ thị C  Tìm số giao điểm của C  và trục hoành. A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 0 . Lời giải Chọn B.
Pthd của C  và trục hoành là: x  0 3 2x 5x 0      5 có 3 giao điểm. x    2
Chú ý: Ở bài toán này hoàn toàn có thể giải trực tiếp bằng Casio với phương trình 3
2x  5x  0 ,
nhưng chắc chắn thao tác bấm máy sẽ chậm hơn việc tính tay( thậm chí bài này không cần nháp khi
mà kết quả đã hiện ra luôn khi ta đọc đề xong). Vì vậy, Casio là điều không cần thiết với câu hỏi này.
Câu 22. Cho hàm số y   x   2 3
x  2 có đồ thị C . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. C  cắt trục hoành tại hai điểm.
B. C  cắt trục hoành tại một điểm.
C. C  không cắt trục hoành.
D. C  cắt trục hoành tại ba điểm. Lời giải Chọn B.
Pthd của C  và trục hoành là: x  3  x  3 2 x  2  0   x  3 
nghĩa là C  cắt trục hoành tại một điểm 2 x  2  
Câu 23. Biết rằng đường thẳng y x  2 cắt đồ thị hàm số 3 2
y x x x  4 tại điểm duy nhất, kí hiệu
x ; y là tọa độ của điểm đó. Tìm y . 0 0  0 A. y  1. B. y  3 . C. y  2  . D. y  4 . 0 0 0 0 Lời giải Chọn A. Pthdgd: 3 2 3 2
x  2  x x x  4  x x  2  0  x  1  y  1 . 0
Câu 24. Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số 4
y x  4  5 và đường thẳng y x A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1. Lời giải
Cách 1: Phương trình hoành độ giao điểm 4 4
x  4  5  x
x  4  x  5 x  5   4 2
x  4  (x  5)  x  5   4 2
x x 10x  29  0 (*)  Do x  5 nên 4 2 2 2
x x x (x 1)  0 và 10x  29  0 . Vì vậy (*) vô nghiệm Như vậy phương trình 4
x  4  5  x vô nghiệm hay đồ thị hàm số 4
y x  4  5 và đường thẳng
y x không có giao điểm nào. Cách 2: x  2
Phương trình hoành độ giao điểm 4
x  4  5  x . Ta có điều kiện xác định   x   2 
Với điều kiện trên ta có 4 4
x  4  5  x
x  4  5  x  0
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 3 2x Xét hàm số 4
h(x)  x  4  5  x . Ta có h '(x)  1 ; 3 4
h '(x)  0  2x x  4 4 x  4 Với x  2 ta có 3 4 2x
x  4 . Với x   2 ta có 3 4 2x x  4 Ta có Bảng biến thiên:
Số nghiệm của phương trình 4
x  4  5  x là số giao điểm của đồ thị 4 y  (
h x)  x  4  5  x và
trục hoành y  0 . Dựa vào BBT ta thấy phương trình 4
x  4  5  x vô nghiệm hay đồ thị hàm số 4
y x  4  5 và đường thẳng y x không có giao điểm nào.
B3. HÀM HỢP, HÀM ẨN (LUÔN GẶP NĂM GẦN ĐÂY)
Câu 25. Cho hàm số f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Số nghiệm của phương trình f 1 x  3  0 là A. 4 . B. 0 . C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn A
Xét phương trình f x  3  0  f x  3  .
Dựa vào hình vẽ, ta thấy đường thẳng y  3
 cắt đồ thị y f x tại 4 điểm phân biệt có hoành độ
lần luợt là x , x , x , x . 1 2 3 4 1   x xx  1 x 1 1   1 x x x  1 x
Khi đó phương trình f 1 x 3 0 f 1 x 2 2 3            1   x x
x  1 x . 3 3   1 x x x  1  x 4  4
Vậy phương trình f 1 x  3  0 có 4 nghiệm phân biệt.
Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Câu 26. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên.
Phương trình f x  2  2   có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt? A. 4. B. 2. C. 6. D. 3. Lời giải Chọn B
Số giao điểm của đồ thị hàm số y f x với đường thẳng y k và số giao điểm của đồ thị hàm số
y f x p với đường thẳng y k luôn như nhau.
Do đó số nghiệm của phương trình f x  2  2   cũng chính là số nghiệm của phương trình
f x  2  
f x  2  
f x  2     1 Phương trình    
f x  2    
f x  2   2  Xét  
1 : Vì 2    4 nên pt có 1 nghiệm
Xét 2 : Vì 2    0 nên pt có 1 nghiệm
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.
Câu 27. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thuộc đoạn  
 ; 2  của phương trình 2 f sin x 3  0 là A. 4 . B. 6 . C. 3 . D. 8 . Lời giải Chọn B
Đặt t  sin x . Do x  
 ; 2  nên t 1;  1 . 3
Khi đó ta có phương trình 2 f t  3  0  f t   . 2
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 3
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f t    có 2 nghiệm t a  1  ; 0 và 2
t b  0  ;1 .
Trường hợp 1: t a  1;0
Ứng với mỗi giá trị t  1
 ; 0 thì phương trình có 4 nghiệm 
  x x  0    x x  2 . 1 2 3 4
Trường hợp 2: t b  0;  1
Ứng với mỗi giá trị t  0 
;1 thì phương trình có 4 nghiệm 0  x x   . 5 6
Hiển nhiên cả 6 nghiệm trong 2 trường hợp trên đều khác nhau.
Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm thuộc đoạn    ; 2 
Câu 28. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:   7 
Số nghiệm thuộc đoạn  ; 
của phương trình 3 f cos x 1  0 là 2 3    A. 4. B. 5 . C. 3 . D. 6 . Lời giải Chọn B   7 
Đặt t  cos x , x   ;  t  1   ;1  2 3    1
Khi đó phương trình 3 f cos x 1  0 trở thành f t    , t   1   ;1 3 1
Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y f t và đường thẳng y   . 3 t a  1  ; 0 1   1 
Dựa vào bảng biến thiên, trên  1  ; 
1 ta có f t       1  . 3 t a  0; 2     2    7 
Xét đồ thị hàm số y  cos x trên đoạn  ;  có BBT: 2 3   
TH1: t a  1  ;0 1    3
Phương trình cos x a có 2 nghiệm x , x thỏa mãn  x x  . 1 1 2 1 2 2 2
Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020  1 
TH2: t a  0; 2    2    3
Phương trình cos x a có 3 nghiệm x , x , x thỏa mãn   x x  ;  x  2 .  2 3 4 5 3 4 5 2 2 2
Hiển nhiên cả 5 nghiệm trong 2 trường hợp trên đều khác nhau.   7 
Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thuộc đoạn  ;  . 2 3   
Câu 29. Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau:  9 
Số nghiệm nhiều nhất thuộc 0;  của phương trình 2
f (sin x  1)  1 là của phương trình 2    2
f (sin x 1)  1 là A. 2 . B. 5 . C. 10 . D. 9 . Lời giải Chọn D 2 sin x 1  1 
Dựa vào bảng biến của hàm số f (x) , ta có 2
f (sin x 1)  1   2
sin x 1  b  (0; 2)  2 sin x  2    2
sin x b 1  1   ;1  Do 2
0  sin x 1 nên phương trình 2 sin x  2  vô nghiệm. Xét phương trình 2
sin x b 1 1   ;1 (*)
Để phương trình (*) có nhiều nghiệm nhất thì b 1 0  ;1 khi đó
sin x b 1 (0;1) 2
sin x b 1  
s in x   b 1  (1; 0) 
Xét đường tròn lượng giác
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 sin 1 b - 1 -1 1 cos O - b - 1 -1  9 
Dựa vào đường tròn lượng giác, phương trình sin x b 1 có 5 nghiệm phân biệt thuộc 0;  , 2     9 
phương trình sin x   b 1 có 4 nghiệm phân biệt thuộc 0;  . 2     9 
Vậy số nghiệm nhiều nhất thuộc 0;  của phương trình 2
f (sin x  1)  1 là 9 nghiệm. 2   
Câu 30. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau  5 
Số nghiệm thuộc đoạn 0; 
của phương trình f sin x 1 là 2    A. 7 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . Lời giải Chọn C  5 
Đặt t  sin x , x  0;  t  1   ;1  2   
Khi đó phương trình f sin x 1 trở thành f t 1, t   1  ;  1
Đây là phương trình hoành độ giao điểm của hàm số y f t  và đường thẳng y  1.
t a   1  ; 0
Dựa vào bảng biến thiên, ta có f t   1   .
t b  0  ;1 
Trường hợp 1: t a  1  ;0
Ứng với mỗi giá trị t  1
 ;0 thì phương trình sin x t có 2 nghiệm x , x thỏa 1 2
mãn  x x  2 . 1 2
Trường hợp 2: t b 0  ;1
Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Ứng với mỗi giá trị t 0; 
1 thì phương trình có 3 nghiệm x , x , x thỏa mãn 1 2 3 5
0  x x   ; 2  x  ; 3 4 5 2
Hiển nhiên cả 5 nghiệm trong 2 trường hợp trên đều khác nhau.  5 
Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thuộc đoạn 0;  . 2    Câu 31. Cho hàm số 3 2
y  4x  6x 1 có đồ thị là đường cong trong hình dưới đây. 3 2 Khi đó phương trình  3 2
x x     3 2 4 4 6 1
6 4x  6x   1
1  0 có bao nhiêu nghiệm thực. A. 9. B. 6 . C. 7 . D. 3. Lời giải Chọn C Từ đồ thị ta có
44x  6x  3
1  64x  6x  2 3 2 3 2 1 1  0 3 2
4x  6x 1  a  1  ; 0 (1)  3 2
 4x  6x 1  b 0  ;1 (2)  3 2
4x  6x 1  c   1;2 (3) 
Ta thấy số nghiệm của phương trình 3 2
4x  6x  1  m chính là số giao điểm của đồ thị hàm số 3 2
y  4x  6x 1 và đường thẳng y m.
Từ đó ta có: (1) có 3 nghiệm phân biệt
(2) có 3 nghiệm phân biệt (3) có 1 nghiệm
Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm thực.
Câu 32. Cho hàm số f x 3 2
ax bx cx d a, ,
b c, d   có đồ thị như hình vẽ bên.
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Phương trình f f f f x  0 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt? A. 12. B. 40. C. 41. D. 16. Lời giải Chọn C
Đặt f (x)  f (...( f (x))); (k hàm f ; k 1; 4) kf (x)  0 (1) Ta có 3 f (x)  0  4
f (x)  3 (2)  3
f (x)  0 (3) Xét 2
(1) : f (x)  0  3
f (x)  3 (4)  2  f (x)  0 (5)
Xét (3) : f (x)  0  2
f (x)  3 (6) 
Dựa vào đồ thị thấy ngay (5) có 2 nghiệm, (6) có 3 nghiệm.
f (x)  a  (0;1) (7) 1 
Xét (4) : f (x)  3  f (x)  a  (1;3) (8) 2 2 
f (x)  a  (3; 4) (9)  3
Theo đồ thị, mỗi phương trình (7),(8),(9) đều có 3 nghiệm phân biệt và (7),(8),(9) không có 2 phương
trình nào có chung nghiệm.
f (x)  a  (0;1) (10) 2 1 
Xét (2) : f (x)  3  f (x)  a  (1;3) (11) 3  2 2
f x a (3;4) (12)  2   3
Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Lập luận tương tự như trên, mỗi phương trình (10),(11),(12) đều có 9 nghiệm phân biệt và
(10),(11),(12) không có 2 phương trình nào có nghiệm chung.
Vậy có 2  3  3.3  9.3  41 nghiệm.
Câu 33. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ.
Số nghiệm thực của phương trình f f x   f x  0 là A. 20 . B. 24 . C. 10 . D. 4 . Lời giải Chọn A
Đặt f x  t  0 . Khi đó phương trình trở thành
f t   t ,  1 .
Từ đồ thị hàm số ta có
t a ,0  a   1
t b,a b    1 Phương trình   1 có 4 nghiệm 
t c ,1  c  2 
t d ,2  d  
Khi đó các phương trình f x  a , f x  b , f x  c mỗi phương trình có 6 nghiệm phân biệt
không trùng nhau. Phương trình f x  d có 2 nghiệm phân biệt không trùng với nghiệm của 3 phương trình trên.
Vậy phương trình đã cho có 20 nghiệm phân biêt.
Câu 34. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên như sau:
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 35
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  3  Số nghiệm thuộc 0; 
của phương trình f (cos 2x)  1 là 2    A. 9 . B. 4 . C. 7 . D. 10 . Lời giải Chọn A
Từ bảng biến thiên của f (x) ta suy ra bảng biến thiên của f (x) như sau
Đặt t  cos 2x  1   ;1 .
Dựa vào bảng biến thiên trên, phương trình f (t)  1 chỉ có 3 nghiệm thuộc  1  ;  1 .
t a  1; 0 
Ta có f (t)  1  t  0  .
t b 0;  1   3  Do x  0;  2x 0;3   . 2   
Xét đường tròn lượng giác sin 1 -1 1 cos a O b -1
Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020  3 
Phương trình cos 2x a, a  1
 ; 0 có 3 nghiệm phân biệt thuộc 0;  . 2     3 
Phương trình cos 2x  , b a 0; 
1 có 3 nghiệm phân biệt thuộc 0;  . 2     3 
Phương trình cos 2x  0 có 3 nghiệm phân biệt thuộc 0;  . 2     3  Vậy số nghiệm thuộc 0; 
của phương trình f (cos 2x)  1 là 9 nghiệm. 2   
Câu 35. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:
Phương trình 2 f cos x  e  0 có bao nhiêu nghiệm trên 0;3  . A. 6 . B. 3 . C. 0 . D. 4 . Lời giải Chọn A e
2 f cos x  e  0 với x 0;3  .  f cos x   với x 0;3 . 2 e
Đặt t  cos x suy ra f t    với t  1  ;  1 2
t a   1  ; 0
cos x a   1  ; 0
Từ bảng biến thiên suy ra   
,  x 0;3  .
t b  0;  1 
cos x b  0  ;1 
Xét hàm số y  cos x trên đoạn 0;3  ta có bảng biến x 0  2 3 y 0  0  0  0 1 1 y 1  1  thiên
Từ bảng biến thiên ta có phương trình cos x a có 3 nghiệm phân biệt trên    ; 2 
Phương trình cos x b có 3 nghiệm phân biệt trên    ; 2  .
Vậy phương trình 2 f cos x  e  0 có 6 nghiệm trên 0;3  .
Câu 36. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 37
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 x  2  0 2  y  0  0  0  2 2 y 0     
Số nghiệm của phương trình 2
f tan x  3  0 trên đoạn  ;2  là 2    A. 10 . B. 15 . C. 18 . D. 24 . Lời giải Chọn B 2
f tan x  3  0  f  tan x   3 .
Đặt t  tan x suy ra f t    3 .
t a   ;  2
tan x a   ;  2   t b    2  ; 0 tan x b    2  ; 0  
t c  0;2
tan x c  0;2
Từ bảng biến thiên suy ra   
với a, b, c, d , e, f đôi một khác t d 2;     
tan x d  2;  
t e  ;  2  
tan x e  ;  2    
t f  2;  
tan x f  2;   nhau.   
Ta xét hàm số y  tan x trên đoạn  ; 2 
có bảng biến thiên như sau 2    x   3  2 2 2 2 y || || || |   y 0      
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình tan x a  ;  2
  có 3 nghiệm trên  ; 2  2      
tan x b  2
 ;0 có 3 nghiệm trên  ;2  2   
Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020   
tan x c 0; 2 có 2 nghiệm trên  ;2  2      
tan x d 2;  có 2 nghiệm trên  ;2  2      
tan x e  ;  2
  có 3 nghiệm trên  ; 2  2      
tan x f 2; có2 nghiệm trên  ;2  2      
Vậy số nghiệm của phương trình 2
f tan x  3  0 trên đoạn  ;2  là15 nghiệm. 2   
Câu 37. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên như sau:  3  Số nghiệm thuộc 0; 
của phương trình f (cos 2x)  1 là 2    A. 9 . B. 4 . C. 7 . D. 10 . Lời giải Chọn A
Từ bảng biến thiên của f (x) ta suy ra bảng biến thiên của f (x) như sau
Đặt t  cos 2x  1   ;1 .
Dựa vào bảng biến thiên trên, phương trình f (t)  1 chỉ có 3 nghiệm thuộc  1  ;  1 .
t a  1;0 
Ta có f (t)  1  t  0  .
t b 0  ;1   3  Do x  0;  2x 0;3   . 2   
Xét đường tròn lượng giác
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 39
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 sin 1 -1 1 cos a O b -1  3 
Phương trình cos 2x a, a  1
 ; 0 có 3 nghiệm phân biệt thuộc 0;  . 2     3 
Phương trình cos 2x  , b a 0; 
1 có 3 nghiệm phân biệt thuộc 0;  . 2     3 
Phương trình cos 2x  0 có 3 nghiệm phân biệt thuộc 0;  . 2     3  Vậy số nghiệm thuộc 0; 
của phương trình f (cos 2x)  1 là 9 nghiệm. 2   
Câu 38. Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau:  7 
Số nghiệm thuộc đoạn 0; 
của phương trình f (2 sin x 1)  2 là 2    A. 4 . B. 3 . C. 2. D. 6 . Lời giải Chọn B Ta có
2 sin x 1  a  1
Dựa vào bảng biến của hàm số f (x) , ta có f (2 sin x 1)  2  
2 sin x 1  b  (1; 0) 
Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020a 1 sin x   1   2   b 1   1  sin x   1  ;     2   2  a 1
Do sin x  1 nên phương trình sin x  vô nghiệm. 2
Xét đường tròn lượng giác sin 1 -1 1 cos O b - 1 2 -1 b 1  1 
Dựa vào đường tròn lượng giác, phương trình sin x   1;  
 có 3 nghiệm phân biệt thuộc 2  2   7  0;  . 2    Câu 39. Cho hàm số   4 3 2
f x ax bx cx dx e có đồ thị như hình vẽ.
Đặt g x   f f x. Số nghiệm của phương trình g x  0 là A. 5. B. 10 . C. 4 . D. 7. Lời giải Chọn D x  1
Hàm số đạt cực trị tại các điểm x  1
 ; x  0 ; x 1 nên 
f   x   0  x  0   x  1 
f  x  0   1
Ta có g  x   f  x. f  f x  g x  0   .
f  f x  0 2 
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 41
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489x  1  + Xét phương trình  
1  f  x  0   x  0   x  1 
f x  1  
+ Xét phương trình 2  f  f x  0  f x  0 
f x 1 
+ Trường hợp 1: Dựa vào đồ thị:
x a a  1
Phương trình f x   1   x bb  1 
+ Trường hợp 2: Dựa vào đồ thị:
x c c    1 
Phương trình f x  0  x  0 
x d d   1 
+ Trường hợp 3: Dựa vào đồ thị:  x  1
Phương trình f x  1   x  1 
 phương trình g x  0 có 7 nghiệm phân biệt
Câu 40. Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau:
Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020  9 
Số nghiệm phương trình f (cos x)  1 thuộc đoạn ;   là: 2    A. 2. B. 6. C. 7. D. 4. Lời giải Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
cos x x   ;  1 (1) 1  
cos x x  1  ; 0 (2)  2  
f (cos x)  1  
cos x x  0;1 (3) 3   
cos x x  1;  (4)  4  
Phương trình (1) và (4) vô nghiệm.
Xét trên đường tròn lượng giác dễ thấy:  9  Trên đoạn ;  
phương trình (2) có 3 nghiệm và phương trình (3) có 4 nghiệm nên số nghiệm 2   
phương trình f (cos x)  1 là 7 nghiệm.
Câu 41. Cho hàm số y f x liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm của phương trình f  4 2
x  2x  3  0 là A. 12. B. 8 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn B Đặt 4 2
y x  2x . Ta có: Từ BBT của 4 2
y x  2x suy ra y  1  ;   t  1
 ;0 cho ta 4 nghiệm x .
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 43
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
t  0;   cho ta 2 nghiệm x .
Xét phương trình f t  3  0  f t  3.  t    1  ;0 1   
Dựa vào bảng biến thiên ta có: f t   3  t    0;1 . 2   
t    1;    3   t    1
 ; 0 cho ta 4 nghiệm x , x , x , x . 1   1 2 3 4
t    0;1 cho ta 2 nghiệm x , x . 2   5 6 .
t    1;   cho ta 2 nghiệm x , x . 3   7 8
Vậy PT có 8 nghiệm phân biệt. 3
Câu 42. Cho hàm số y f x có đồ thị C  như hình vẽ bên. Phương trình f x   1  có bao nhiêu 2 nghiệm âm phân biệt? y -1 1 O x -1 -2 A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . Lời giải Chọn B
Đồ thị C của hàm số y f x  
1 vẽ được bằng cách tịnh tuyến đồ thị C sang trái 1 đơn vị ta 1 
được đồ thị như hình vẽ bên dưới y -2 -1 1 O x -1 -2
Đồ thị C của hàm số y f x   1 vẽ được bằng cách 2 
+ Giữ nguyên phần đồ thị C nằm phía trên trục hoành và những điểm trên trục hoành ta được đồ 1  thị C . 3 
+ Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị C nằm phía dưới trục hoành ta được đồ thị C . 4  1 
+ Khi đó C C C có đồ thị như hình vẽ dưới 2   3   4  y 2 1 -2 -1 O x 3
Từ đồ thị C dễ thấy phương trình f x   1 
có 4 nghiệm âm phân biệt. 2  2
Câu 43. Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình f  2
x  2x   1 là
Trang 44 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 A. 6 . B. 4 . C. 3 . D. 7 . Lời giải Chọn A
Đặt t g x 2
  x  2x (1). Ta có g x  2
x  2  0  x  1 Bảng biến thiên
f t  1 Phương trình f  2
x  2x   1 (2) trở thành: f t  1   .
f t   1 
Dựa vào đồ thị ta có:
+ Phương trình f t  1 có 3 nghiệm t ;t ;t thỏa mãn t  1
  t  1  t . 1 2 3 1 2 3
+ Phương trình f t  1
 có 1 nghiệm t thỏa mãn t  1  . 4 4
Dựa vào bảng biến thiên t g x ta có với t  1 cho ta 2 giá trị x thỏa mãn (1); t  1 cho ta 1 giá trị
x thỏa mãn (1); t  1 thì không có giá trị x thỏa mãn (1).
Từ đó suy ra phương trình f  2
x  2x   1 có 4 nghiệm phân biệt; phương trình f  2
x  2x   1
có 2 nghiệm phân biệt. Vậy phương trình (2) có 6 nghiệm.
C. BIỆN LUẬN NGHIỆM THÔNG QUA ĐỒ THỊ
Biến đổi phương trình đã cho về dạng f (x)  ( A m).
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị y f (x) và đường thẳng nằm ngang y  ( A m).
Lưu ý: Có thể đề bài cho bảng biến thiên và cần nắm vững biến đổi đồ thị hàm trị tuyệt đối.
CÂU HỎI CÙNG MỨC ĐỘ ĐỀ MINH HỌA
C1. BIẾT ĐỒ THỊ, BẢNG BIẾN THIÊN HÀM F(X) Câu 1.
Cho hàm số y f x xác định trên  \   2 
, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình sau
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 45
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình f x  4  m có đúng ba nghiệm thực phân biệt A. 1;9 . B. 1;9 . C. 1;9 . D. 3;5 . Lời giải Chọn A
f x  4  m f x  m  4
Dựa vào BBT, ta thấy đường thẳng y m  4 cắt đồ thị y f x tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi 3
  m  4  5  1  m  9 .
Vậy phương trình f x  4  m có đúng ba nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi1 m  9 . Câu 2.
Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m
để phương trình f x  log m có đúng ba nghiệm thực phân biệt? 3 A. 3 . B. 25 . C. 26 . D. 27 . Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số, phương trình f x  log m có đúng ba nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi 3 m  0 m  0  1   1   m  27 . 1   log m  3   m  27 3 3  3
Do m là số nguyên dương nên m 1;2;3; 4;5;6;7;....;2 
6 . Vậy có 26 giá trị của m . Câu 3.
Cho hàm số y f x xác định trên  \  
1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình sau
Trang 46 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình f x  m có đúng ba
nghiệm thực phân biệt x , x , x thỏa: x  2  x  3  x . 1 2 3 1 2 3 A.  4   ;1 . B. 1; 2 . C.  4   ;1 . D. 1; 2 . Lời giải Chọn C
Dựa vào BBT, ta thấy đường thẳng y m cắt đồ thị y f x tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
x , x , x thỏa: x  2  x  3  x khi và chỉ khi 4   m  1. 1 2 3 1 2 3 Vậy 4   m  1. Câu 4.
Cho hàm số y f x có đồ thị như đường cong trong hình dưới đây. Tìm tất cả các giá trị thực của
tham số m để phương trình f ( x)  1  m có 4 nghiệm phân biệt: A. 4   m  3  .
B. m   3 . C. 3   m  2  . D. 5   m  4  . Lời giải Chọn C
Phương trình f x 1  m f x  m 1
Số nghiệm của phương trình f x  m 1 bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường
thẳng y m 1 ( như hình vẽ).
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 47
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Nhìn vào đồ thị ta có để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì 4   m 1  3   3   m  2  . Câu 5.
Hàm số y f x có bảng biến thiên như hình dưới.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f x  m có bốn nghiệm phân biệt. A. m  3 .
B. 0  m  3 .
C. 0  m  3 .
D. m  0 . Lời giải Chọn C
Ta có số nghiệm của phương trình f x  m bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và
đường thẳng y m .
Do đó, dựa vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình f x  m có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0  m  3 .
C2. HÀM HỢP HÀM ẨN BIẾT ĐỒ THỊ, BẢNG BIẾN THIÊN HÀM F(X), F’(X) Câu 6.
Cho hàm số y f x liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị nguyên  1 
của m để phương trình f 2 log x m có nghiệm duy nhất trên ; 2 . 2     2  A. 9 . B. 6 . C. 5 . D. 4 Lời giải Chọn B  1 
Đặt t  2 log x , x  ; 2  t     2  ; 2 2  2 
Trang 48 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020  1 
Phương trình f 2 log x m có nghiệm duy nhất thuộc nửa khoảng
; 2 khi và chỉ khi phương 2     2  2  m  2
trình f t   m có nghiệm duy nhất thuộc 2; 2   m  6 
 có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Câu 7.
Cho hàm số y f x liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị nguyên
của tham số m để phương trình f   6 6
4 sin x  cos x   1  m có nghiệm. A. 6 . B. 5 . C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn B  3  Đặt t  4  6 6
sin x  cos x 2 2 1  4 1
sin 2x 1  3  3sin 2x    t 0;  3  4 
Phương trình f   6 6
4 sin x  cos x  
1  m có nghiệm khi và chỉ khi phương trình f t   m có nghiệm thuộc 0;  3  4
  m  0  có 5 giá trị nguyên Câu 8.
Cho hàm số y f x liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giá trị
thực của tham số m để phương trình f  2
x  2x  2  3m 1 có nghiệm thuộc khoảng 0;  1 .  1  A. 0;  4 . B.  1  ;0 . C. 0;1   . D.  ;1  3    Lời giải Chọn D Đặt 2
t x  2x  2 . Với x 0;  1  t  2  ;  1 Phương trình f  2
x  2x  2  3m 1 có nghiệm thuộc đoạn 0; 
1 khi và chỉ khi phương trình 1
f t   3m 1 có nghiệm thuộc 2  ;1    m  1 . 3 Câu 9.
Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số
m để phương trình f  2
3  4  x   m có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn  2; 3 . Tìm tập S.  
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 49
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A. S  1; f 3 2     . B. Sf 3 2 ;3  
. C. S   . D. S   1  ;  3 .   Lời giải Chọn A
Xét phương trình f  2
3  4  x   m. Điều kiện 2 4  x  0  2   x  2 . x Đặt 2
t  3  4  x với x   2; 3  . Ta có t 
và t  0  x  0 .   2 4  x
Bảng biến thiên của hàm số 2
t  3  4  x trên đoạn  2; 3    Nhận xét:
+) Mỗi t  1;3  2  cho ta 2 giá trị x   2; 3   
+) Mỗi t  3  2;2 cho ta một giá trị x   2; 3 .   
+) t  1 cho ta 1 nghiệm duy nhất x  0 .
Dựa vào đồ thị hàm số y f x ta suy ra đường thẳng y m chỉ cắt đồ thị hàm số y f t  nhiều
nhất tại một điểm trên 1; 2.
Do đó, để phương trình f  2
3  4  x   m có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn  2; 3 thì   m
f  1; f 3 2 m  1; f 3 2        
Vậy, các giá trị của m cần tìm là m  1; f 3 2    . 
Câu 10. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ.
Trang 50 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 1  x
Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình f
1  x m có nghiệm thuộc đoạn 2; 2 ?   3  2  A. 11. B. 9. C. 8. D. 10. Lời giải Chọn C 1  x   x   x  Ta có f
1  x m f 1  6 1  3m  6      
f t   6t  3m  6 3  2   2   2  x Với t  1 và x  2
 ; 2 nên ta có t 0 ; 2. 2
Xét hàm số y f t   6t trên 0; 2 .
Ta có y  f t   6  0 , t 0 ; 2 . Phương trình có nghiệm
 min  f t   6t   3m  6  max  f t   6t   f 0  3m  6  f 2 12 0;2 0;2  4
  3m  6  6 12 10    m  4 . 3
Vì m nên m  3  ; 2  ; 1  ;0;1; 2;3;  4 .
Câu 11. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình f sin 2x  3 cos 2x  m   1 có  17 
đúng sáu nghiệm phân biệt trên nửa khoảng 0;  12    ? A. 4 . B. 5 . C. 8 . D. 2 . Lời giải Chọn A
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 51
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   
Đặt t  sin 2x  3 cos 2x  2 sin 2x    .  3  Phương trình  
1 trở thành f t   m 2 .  17     5     Với x  0;  2x    ;  2 sin 2x         2;2  12  3  3 2   3      2sin 2x    2  ;  3       17  Với mỗi giá trị  3  
cho ta hai nghiệm phân biệt thuộc nửa khoảng 0;        12  2 sin 2x   2      3      17 
Với mỗi giá trị 2 sin 2x    
 3;2 cho ta ba nghiệm phân biệt thuộc nửa khoảng 0;    3   12   17 
Từ đó, phương trình  
1 có đúng 6 nghiệm phân biệt trên nửa khoảng 0;  12   
khi và chỉ khi phương trình 2 có đúng 2 nghiệm t   3;2 , các nghiệm khác (nếu có) nằm ngoài  3;2.
Dựa vào BBT, có m  2
 ;3 , vậy có 4 giá trị m nguyên thỏa mãn đề.
Câu 12. Cho hàm hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ dưới 2
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 2  020;202  0 để phương trình  x
f e  4  m có 2 nghiệm phân biệt. A. 2010 . B. 10 . C. 2011. D. 2020 . Lời giải Chọn C 2 Đặt x
t e  4 , điều kiện t  5 , từ đó phương trình trở thành f t   m , t  5 .
Do t  5 nên ta xét bảng biến thiên của hàm y f t trên 1;  như sau:
Trang 52 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Bảng biến thiên của hàm số y f t  trên 1;  là 2
Cứ mỗi nghiệm t  5 cho được hai nghiệm x , do vậy để phương trình  x
f e  4  m có 2 nghiệm
phân biệt thì phương trình f t   m cần có 1 nghiệm t  5. Dựa bảng biến thiên của hàm y f t
ở trên ta có điều kiện m  10 , mặt khác m nguyên nên m 10;11;...; 202 
0 . Vậy có 2011 số thỏa mãn.
Câu 13. Cho hàm số y f x xác định trên  và có đồ thị như hình bên dưới. Có bao nhiêu giá trị nguyên 2  6x
của tham số m để phương trình f  2 1  m  có nghiệm? 4 2  x x 1   A. 4. B. 5 . C. 2. D. 3 . Lời giải Chọn B 2 2  6x   6x  Ta có f
 2 1  m f  2  m 1.  4 2   4 2  x x 1 x x 1     2 6x Đặt t   2 4 2 x x 1 12x  4 2 x x   2 1  6x  3 4x  2x 12x  4 1 x t  
x x  2 1
x x  2 4 2 4 2 1  x  0  t  0   x  1   BBT
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 53
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  2  t  4
Ta được phương trình f t   m 1, với t 2; 4
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình f t   m 1 có nghiệm t 2;4 .
Dựa vào đồ thị, ta có 1  m 1  5  2  m  6.
Vậy có 5 giá trị m nguyên.
Câu 14. Cho hàm số y f x liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giá trị
thực của tham số m để phương trình ex f
  m có nghiệm thuộc khoảng 0;ln 2 . A.  3  ; 0 . B.  3  ;3 . C. 0; 3. D.  3  ;0 Lời giải Chọn A Đặt ex t
. Với x 0;ln 2  t 1; 2 Phương trình ex f
  m có nghiệm thuộc khoảng 0;ln 2 khi và chỉ khi phương trình f t  m có
nghiệm thuộc khoảng 1; 2  3
  m  0 .
Câu 15. Cho hàm số y f (x). Hàm số y f '(x) có bảng biến thiên như sau Bất phương trình x e
m f (x) có nghiệm thuộc 4;9 khi và chỉ khi A. 2
m f (2)  e . B. 2
m f (2)  e . C. 3
m f (9)  e . D. 3
m f (9)  e . Lời giải Chọn D Ta có: x m ef (x). Xét hàm số ( ) x g x e
f (x) trên 4;9. 1 (  ) x g x ef (  x) , x  [4;9]. 2 x
Bảng biến thiên của hàm số g (x)
Trang 54 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 3
Vậy m  max g(x)  m e f (9). [4;9]
Câu 16. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên  . Bảng biến thiên của hàm số y f  x như hình dưới Tìm m 2
để bất phương trình m x  2 f x  2  4 x 3 nghiệm đúng với mọi x  3  ; .
A. m  2 f 0 1.
B. m  2 f 0 1.
C. m  2 f   1 .
D. m  2 f   1 . Lời giải Chọn B Ta có 2
m x  2 f x  2  4 x 3  m f x   2 2
2  x  4 x 3 .
Đặt g x  f x   2 2
2  x  4 x 3 . Ta có g x  2 f  x  2  2x  4 .
g x  2 f  x  2  2x  4
g x  0  f  x  2   x  2 .
Đặt t x  2 ta được f t   t   1  
1 là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị f t  và đường thẳng d : y  t (hình vẽ)
Dựa vào đồ thị của f t  và đường thẳng y  t ta có t  1   x  3   t  0 x  2
ta có f t   t   hay   . t  1  x  1   t  2  x  0 
Bảng biến thiên của hàm số g x .
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 55
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Bất phương trình 2
m x  2 f x  2  4 x 3 nghiệm đúng với mọi x  3  ; .
m g  2
   m  2 f 0 1.
Câu 17. Cho hàm số y f (x) . Đồ thị hàm số y f (
x) như hình vẽ bên dưới. Bất phương trình x  1  f (x)   m   có nghiệm x [ 1
 ; ) khi và chỉ khi  2  y 4 2 -1 O 1 2 x 1
A. m f ( 1  )  .
B. m f ( 1  )  2 .
C. m f ( 1  )  2 .
D. m f ( 1  )  2 . 2 Lời giải Chọn B x x  1   1  f (x) 
m m f x      .  2   2  x  1 
Xét g x  f x    trên [ 1  ; ) .  2  x  1  1
Ta có g x  f  x  .ln  0   , x   1  ;   2  2 x  1 
g x  f x    là hàm số đồng biến trên [ 1  ;  )  .  2  x  1 
Để bất phương trình f (x)   m   có nghiệm x [ 1  ; ) thì:  2 
m  min g x  f ( 1
 )  2  m f ( 1  )  2 . x   1  ;
Câu 18. Cho hàm số y f (x). Hàm số y f '(x) có bảng biến thiên như sau    Bất phương trình cos 2 ( )  x f x e
m có nghiệm đúng với mọi x  0;   khi và chỉ khi  2       
A. m  2 f 1.  
B. m  2 f 1.  
C. m  2 f (0)  . e
D. m  2 f (0)  . e  2   2  Lời giải Chọn A Ta có: cos  2 ( )  x m f x e . Xét hàm số cos ( )  2 ( )  x g x f x e
Trang 56 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 x   cos 
g '(x)  2 f '(x)  sin . x e  0, x  0; .    2 
Bảng biến thiên của hàm số g (x)       Vậy m gm  2 f 1.      2   2 
Câu 19. Cho hàm số y f (x). Đồ thị hàm số y f '(x) như hình vẽ bên dưới Bất phương trình 2
f (x)  x m có nghiệm đúng với mọi x  (1; 0) khi và chỉ khi
A. m f (0).
B. m f (0). .
C. m f (1)  1. .
D. m f (1)  1. . Lời giải Chọn A Xét hàm số 2
g(x)  f (x)  x . Ta có g '(x)  f '(x)  2x  0, x  (1; 0).
Bảng biến thiên của hàm số g (x)
Ta có: m g(0)  m f (0).
Câu 20. Cho hàm số y f (x). Hàm số y f '(x) có bảng biến thiên như sau
Bất phương trình ( )  x f x
e  2m  0 có nghiệm đúng với mọi x  (2;3) khi và chỉ khi 1 1 A. 2 m
f (2)  e  . B. 2 m
f (2)  e  . 2   2   1 1 C. 3 m
f (3)  e  . D. 3 m
f (3)  e  . 2   2   Lời giải Chọn B
Ta có: 2  ( )  x m f x e .
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 57
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Xét hàm số ( )  ( )  x g x f x
e , x  (2;3). Ta có: '( )  '( )  x g x f x
e  0, x  (2;3).
Bảng biến thiên của hàm số g (x) 1 Vậy 2 2
2m g(2)  2m f (2)  e m
f (2)  e  . 2   Câu 21. Cho hàm số   4 3 2
f x mx nx px qx r , (với , m ,
n p, q, r ). Hàm số y f  x có đồ thị như hình vẽ bên dưới: y 1 O 5 x 3 4
Tập nghiệm của bất phương trình f x  r có bao nhiêu giá trị nguyên? A. 4. B. 3. C. 1. D. 2. Lời giải Chọn B
Ta có f  x 3 2
 4mx  3nx  2 px q   1 . 5
Dựa vào đồ thị y f  x ta thấy phương trình f  x  0 có ba nghiệm đơn là 1  , , 3 . 4
Do đó f  x  mx  
1 4x  5 x  3 và m  0 . Hay f  x 3 2
 4mx 13mx  2mx 15m 2 . 13 Từ  
1 và 2 suy ra n  
m , p m
 và q  15m . 3
Khi đó bất phương trình f x  r  4 3 2
mx nx px qx  0  13   4 3 2 m x
x x 15x  0   3 .  3  Do m  0 nên   4 3 2
3  3x 13x  3x  45x  0  x x   x  2 3 5 3  0  5   x   ; 0  hoặc x  3 . 3     5 
Vậy tập nghiệm của phương trình f x  r là S   ;0   3  . 3   
Do đó S có ba giá trị nguyên là 1  ; 0;3 . Câu 22. Cho hàm số    4 3 2 y
f x mx nx px qx r , (với , m , n , p ,
q r ). Hàm số y f  x có
đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Trang 58 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Tập nghiệm của phương trình f x  m n p q r có số phần tử là A. 4. B. 3. C. 1. D. 2. Lời giải Chọn D
Dựa vào đồ thị y f  x ta thấy phương trình f  x  0 có ba nghiệm đơn là 3 , 1  , 1.
Do đó f  x  4mx   1  x   1  x   3 và m  0  1 .
Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi y f  x trục Ox đường thẳng x  3 , x  1 . 1 1  1 Suy ra S
f x dx f 1  f 3  
4m x 1 x  3
x 1 dx  16m 2 1               . 3  3
Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi y f  x trục Ox đường thẳng x  1 , x  1 . 2 1 1 Suy ra S
f x dx f 1  f 1 
4m x 1 x  3 x 1 dx  16m 3 2               . 1 1 Từ  
1 , 2,3 ta có S S  0  f 3 
f 1  0 hay f  3    f   1 . 1 2    
Ta có bảng biến thiên sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f x  m n p q r f x  f   1 có hai nghiệm phân biệt.
Câu 23. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên  . Hàm số f  x có đồ thị như hình vẽ.
Tìm m để bất phương trình f x  2 2 sin
 2 sin x m nghiệm đúng với mọi x  0;  . 1 1 1 1
A. m f   1  .
B. m f   1  .
C. m f 0  .
D. m f 0  . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A
Với x  0;   sin x 0 
;1 . Đặt 2 sin x t  0; 2 ta được bất phương trình: 1 f t  2  t m (*). 2
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 59
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 1
Yêu cầu bài toán (*) nghiệm đúng với t  0; 2  m  max g t  với g t   f t  2  t . 0;2 2 1
Xét hàm số g t   f t  2 
t với t  0; 2. 2
Ta có gt   f t   t , gt   0  f t   t (1).
Nghiệm của phương trình (1) chính là hoành độ giao điểm của đường thẳng y t và đồ thị hàm số f t  .
Ta có gt   0 khi đồ thị f t  nằm trên đường thẳng y t ; gt   0 khi đồ thị f t  nằm dưới
đường thẳng y t .
Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm g x như sau: 1
Suy ra max g t   g   1  f   1  . 0;2 2 1
Vậy m f   1  . 2
Câu 24. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên  , có đồ thị f  x như hình vẽ.
Tìm m để bất phương trình 2
m x  2 f x  2  4x  3 nghiệm đúng với mọi x  3  ;   .
A. m  2 f 0 1.
B. m  2 f 0 1.
C. m  2 f   1 .
D. m  2 f   1 . Lời giải Chọn B Ta có: 2 m x
f x    x   m f x   2 2 2 4 3 2
2  x  4x  3 .
Yêu cầu bài toán  m  min g x với g x  f x   2 2
2  x  4x  3 .  3;  
Ta có g x  2 f  x  2  2x  4  2  f t   t  
 với t x  2 .
g x  0  f t   t  (1).
Trang 60 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Nghiệm của phương trình (1) chính là hoành độ giao điểm của đường thẳng y t  và đồ thị hàm số f t  .
Ta có g x  0 khi đồ thị f t  nằm trên đường thẳng y t
 ; g x  0 khi đồ thị f t  nằm dưới
đường thẳng y t  . t  1  x  2  1  x  3 
g x  0  f t   t       . t  0 x  2  0 x  2    
Từ đó ta có bảng biến thiên (nghiệm bội chẵn tức điểm tiếp xúc không tham gia vào quá trình xét dấu) của
hàm g x như sau:
Suy ra min g x  g 2  2 f 0 1  m  2 f 0 1, x   3;  .  3;  
Câu 25. Cho hàm số y f x có f  2
   m 1, f  
1  m  2 . Hàm số y f  x có bảng biến thiên như hình vẽ. 1 2x 1
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình f x   m có nghiệm 2 x  3 x  2   ;1 là:  7   7  A. 5  ;    . B.  ;  0 . C.  2  ;7 . D.  ;    .  2   2  Lời giải Chọn D 1 2x 1
Bất phương trình g x  f x 
m có nghiệm x  2  
;1  min g x  m . 2 x  3  2  ;  1 1 2x 1 1 5
Xét hàm số g x  f x 
. Ta có g x 
f  x  . 2 x  3 2  x  32
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y f  x ta có f  x  0, x   2   ;1 và 5   0, x   2
 ;1 . Do đó g x  0, x   2   ;1 . 2    x  3
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 61
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Suy ra hàm số g x nghịch biến trên  2  
;1  min g x  g   1 .  2  ;  1 1 3 m  2 3 7 Vậy g   1  m f   1   m    m    m . 2 4 2 4 2
Câu 26. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên  , có đồ thị f  x như hình vẽ.  x
Bất phương trình f x  sin
m nghiệm đúng với mọi x  1  ;  3 khi và chỉ khi: 2
A. m f 0 .
B. m f   1 1.
C. m f   1 1 .
D. m f 2 . Lời giải Chọn B xx
Ta có f x  sin
m m f x  sin
g x . 2 2
Ycbt   m  min g x .  1   ;3  x   x
Xét hàm số g x  f x  sin
, g x  f  x  cos . 2 2 2
Từ đồ thị của f  x ta thấy f  x đổi dấu khi đi qua x  1 gợi ý cho ta xét dấu của hàm g x trên 2 khoảng  1   ;1 và 1;  3 . Với x  1  ;  1 x   1  
;1  f  x  0( đồ thị f  x nằm dưới trục hoành).  x        x x   1;   1   ;   cos  0, x     1;  1 . 2  2 2  2 2   x
Vậy g x  f  x  cos  0, x   1;  1 . 2 2 Với x  1   .1 g  1  f   1  cos  0 . 2 2 Với x 1;  3 x  1; 
3  f  x  0 ( đồ thị f  x nằm trên trục hoành).  x   3    x x  1;3   ;   cos  0, x     1;3 . 2  2 2  2 2   x
Vậy g x  f  x  cos  0, x   1;3 . 2 2
Ta có bảng biến thiên của g x như sau:
Trang 62 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Suy ra min g x  f   1 1 .  1  ;3
Vậy m f   1 1.
Câu 27. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên  . Bảng biến thiên của hàm số y f  x như hình dưới đây: 1
Tìm m để bất phương trình 2
m x f x 3 
x nghiệm đúng với mọi x  0;3 . 3 2
A. m f 0 .
B. m f 0 .
C. m f 3 .
D. m f   1  . 3 Lời giải Chọn B 1
Ycbt m f x 3 2 
x x nghiệm đúng với mọi x  0;3 . 3 1
m  min g x với g x  f x 3 2  x x . 0;3 3 1
Xét hàm số g x  f x 3 2 
x x với x  0;3 . 3
Ta có g x  f  x 2
x  2x ; g x   f  x 2 0
 x  2x . 2
Từ bảng biến thiên ta có f  x  1 với x 0;3 và 2
x  2x  1  x   1  1, x   0;3
g x  0, x  0;3 .
Suy ra hàm số g x đồng biến trên 0;3  min g x  g 0 . 0  ;3 1
Vậy m g 0  f 0 2 2
 .0  0  f 0 . 3 Câu 28. Cho hàm số    4 3 2 y
f x mx nx px qx r , (với , m ,
n p, q, r ). Hàm số y f  x có
đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Tập nghiệm của phương trình f x  r có số phần tử là A. 4. B. 3. C. 1. D. 2. Lời giải Chọn D 4
Dựa vào đồ thị y f  x ta thấy phương trình f  x  0 có ba nghiệm đơn là 1  , , 3 . 3 4
Do đó f  x  mx  
1 3x  4 x  3 và m  0  1 . 3
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 63
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 4
Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi y f  x trục Ox đường thẳng x  0 , x  . 1 3 Suy ra 4 4 3 3  4  4 4 776 3104 S
f x dx ff 0 
m x 1 3x  4 x  3 dx  . m m 2 1               .  3  3 3 81 243 0 0 4
Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi y f  x trục Ox đường thẳng x  , x  3 . 2 3 Suy ra: 3 3  4  4 4 2375 2375 S
f x dx ff 3 
m x 1 3x  4 x  3 dx  . m m 3 2               .  3  3 3 324 243 4 4 3 3 Từ  
1 , 2,3 ta có S S  0  f 3  f 0  0 hay f 3  f 0 . 1 2    
Ta có bảng biến thiên sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f x  r có hai nghiệm phân biệt. Câu 29. Cho hàm số    4 3 2 y
f x mx nx px qx r , (với m, n, p, q, r ) và 1 a  3 . Hàm số
y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Tập hợp các giá trị của a để phương trình f (x)  3mx r  0 có 4 nghiệm phân biệt là một khoảng  ;
b c . Tính b  . c 3 9 A. 4. B. 3. C. . D. . 2 4 Lời giải Chọn D f  x 3 2
 4mx  3nx  2 px q .
f  x có 3 nghiệm 1; ;
a 3  f  x 3
m x  a   2 4
4 x  4a  3 x  3a    4a 16   f x 4 3  m x
x  8a  6 2
x 12ax r  3    4a 16 Phương trình 4 3
f (x)  3mx r  0  x
x  8a  6 2
x 12ax  3x  0 3
Trang 64 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020x  0 
x x  3 2
3x  4a  7 2
x 12a  3  0  x  3  .  2
3x  4a  7 x 12a  3  0 (1) 
Phương trình f (x)  3mx r  0 có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 và 3. Cách 1: (1)  2
3x  7x  3  4a x  3 . 2 3x  7x  3
Do x = 3 không phải là nghiệm nên (1)  4a  . x  3 Bảng biến thiên  5 a   4 4a  5    17
Từ bảng biến thiên ta có: 4a 17      a  .  4 4a f 0     1 a    4 5
Kết hợp với 1  a  3  1  a  . 4 Cách 2: 2
   a  2   a   16 
a  88a  85  0 4 7 12 12 3     1 5 17 1  2 3.
 0  4a  7.0 12a  3  0  a   a   a  , a  . 4 4 4 4  2 
3.3  4a  7.3 12a  3  0    a   5 5 9
Kết hợp với 1  a  3  1  a
b  1, c   b c  . 4 4 4 Câu 30. Cho hàm số   4 3 2
f x mx nx px qx r và   3 2
g x ax bx cx d ,  , m , n , p q, r, , a , b , c d  
và f 0  g 0 . Hàm số y f  x và y g x có đồ thị như hình vẽ bên dưới
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 65
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Tập nghiệm của phương trình f x  g x có số phần tử là? A. 4 . B. 2 . C. 1. D. 3 . Lời giải Chọn B
Dựa vào đồ thị ta có phương trình f ' x  0 có 3 nghiệm phân biệt nên m  0.
Ta có g x 2
 3ax  2bx c và f  x 3 2
 4mx  3nx  2 px q
Lại có f  x và g x giao nhau tại 3 điểm nên ta có phương trình f  x  g x có 3 nghiệm
Dựa vào đồ thị ta có f  x  g x  m x   x   x    m  3 2 4 1 1 2 4
x  2x x  2
Mà ta lại có f  x  g x 3
mx  n a 2 4 3
x  2 p bx q c 8 
Đồng nhất hệ số ta có n a
m , p b  2
m , q c  8m 3
f 0  g 0  r d
Vậy f x  g x 4
mx  n a 3
x   p b 2
x  q cx r d  0 8 8 4 3 2
mx mx  2mx  8mx  0 4 3 2
x x  2x  8x  0 . Phương trình có 2 nghiệm. 3 3
D. MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO THƯỜNG GẶP
BÀI TOÁN 1. BIỆN LUẬN TƯƠNG GIAO HÀM BẬC BA VỚI ĐƯỜNG THẲNG
Bài toán tổng quát: Tìm các giá trị của tham số m để để đường thẳng d : y px q cắt đồ thị hàm số 3 2
(C) : y ax bx cx d tại 3 điểm phân biệt thỏa điều kiện K ? (dạng có điều kiện)
Phương pháp giải:
Bước 1. Lập phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là: 3 2
ax bx cx d px q
Đưa về phương trình bậc ba và nhẩm nghiệm đặc biệt x x để chia Hoocner được: ox x 2
(x x )  (ax b x   c )   0 o   o  2
g(x)  ax b x   c  0 
Bước 2. Để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt  phương trình g(x)  0 có 2 nghiệm phân biệt khác   0  g(x) x  
 Giải hệ này, tìm được giá trị m D . o 1 g(x )  0  o Bước 3. Gọi (
A x ; px q), B(x ; px q), C(x ; px q) với x , x là hai nghiệm của g(x)  0. o o 1 1 2 2 1 2 bc
Theo Viét, ta có: x x   và x x  (1) 1 2 a 1 2 a
Bước 4. Biến đổi điều kiện K về dạng tổng và tích của x , x (2) 1 2
Thế (1) vào (2) sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến là .
m Giải chúng sẽ tìm
được giá trị m D . 2
Kết luận: m D D . 1 2
Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan đến cấp số
Ä Tìm điều kiện để đồ thị hàm số 3 2
y ax bx cx d cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có
hoành độ lập thành cấp số cộng.
Điều kiện cần:
Giả sử x , x , x là nghiệm của phương trình 3 2
ax bx cx d  0 1 2 3
Trang 66 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 b Khi đó: 3 2
ax bx cx d a(x x )(x x )(x x ) , đồng nhất hệ số ta được x   1 2 3 2 3a b Thế x   vào phương trình 3 2
ax bx cx d  0 ta được điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá 2 3a trị của tham số. Điều kiện đủ:
Thử các điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của tham số để phương trình 3 2
ax bx cx d  0 có 3 nghiệm phân biệt.
Ä Tìm điều kiện để đồ thị hàm số 3 2
y ax bx cx d cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có
hoành độ lập thành cấp số nhân.
Điều kiện cần:
Giả sử x , x , x là nghiệm của phương trình 3 2
ax bx cx d  0 1 2 3 d Khi đó: 3 2
ax bx cx d a(x x )(x x )(x x ) , đồng nhất hệ số ta được 3 x   1 2 3 2 a d Thế 3 x   vào phương trình 3 2
ax bx cx d  0 ta được điều kiện ràng buộc về tham số hoặc 2 a
giá trị của tham số. Điều kiện đủ:
Thử các điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của tham số để phương trình 3 2
ax bx cx d  0 có 3 nghiệm phân biệt. Câu 1.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 2
y x 3x  2 Ccắt đường
thẳng d : y m(x 1) tại ba điểm phân biệt x , x , x . 1 2 3 A. m  2  . B. m  2  . C. m  3  .
D. m  3 . Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của Cvà d là 3 2
x 3x  2  ( m x 1  ) (1) Phương trình (1) 3 2 2
x 3x mx 2m  0  (x 1
 )(x 2xm2)  0 x1 0 x 1      2  2
f (x)  x  2x m  2  0
f (x)  x  2x m  2  0 (2)  
Phương trình (1) luôn có nghiệm x 1, vậy để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt thì phương
trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1. 
 ' 1 m  2  0 m 3        m  3  . f (1)  0 m  3    Vậy m  3
 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 2.
Đường thẳng  có phương trình y  2x 1 cắt đồ thị của hàm số 3
y x x 3 tại hai điểm A và
B với tọa độ được kí hiệu lần lượt là Ax ; y
và Bx ; y
trong đó x x . Tìm x y ? B B A A B A B B
A. x y  5 
B. x y  2 
C. x y  4
D. x y  7 B B B B B B B B Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của  và 3
y x x 3 :
x  2  y  3 3 3
x x  3  2x 1  x 3x  2  0  x 1 y  3  Vậy A1;  3 ; B( 2  ; 3
 )  x y  5  B B
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 67
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 3. Cho hàm số 3 2 3
y x  3mx m có đồ thị C và đường thẳng 2 3
d : y m x  2m . Biết rằng m
m , m m m là hai giá trị thực của m để đường thẳng d cắt đồ thị C
tại 3 điểm phân biệt có m  1 2  1 2 
hoành độ x , x , x thỏa mãn 4 4 4 x xx
 83 . Phát biểu nào sau đây là đúng về quan hệ giữa hai 1 2 3 1 2 3
giá trị m , m ? 1 2
A. m m  0 . B. 2
m  2m  4 . C. 2 m  2m  4 .
D. m m  0 . 1 2 1 2 2 1 1 2 Lời giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và C m  3 2 3 2 3
x  3mx m m x  2m 3 2 2 3
x  3mx m x  3m  0   3 2
x m x   2 3
3mx  3m   0  x  2 2
x m   3m 2 2
x m   0
  x  3m 2 2
x m   0  x  3  m   x m   x  m
Để đường thẳng d cắt đồ thị C
tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x , x , x m  0 . m  1 2 3 4 4 Khi đó, 4 4 4 4
x x x
 83  m  m  3m  83 1 2 3     4
 83m  83  m  1
Vậy m  1, m  1
hay m m  0 . 1 2 1 2 Câu 4.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 2
y x  3x cắt đường thẳng y m tại ba điểm phân biệt.
A. m   ;  4 .
B. m  4;0 .
C. m  0;  . D. m   ;  4    0;  . Lời giải Chọn B x  0 Ta có 3 2 2
y x  3x y  3x  6 ;
x y  0  x  2  Bảng biến thiên: x  0 2  y  0  0  0  y  4 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số 3 2
y x  3x cắt đường thẳng y m tại ba điểm phân biệt khi 4   m  0 Câu 5.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể đường thẳng y mx m  1cắt đồ thị hàm số y  3 x  2
3x x  2 tại ba điểm A, B,C phân biệt sao AB BC  5 
A. m   ;   
B. m  2;   4 
Trang 68 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 C. m 
D. m  ; 0  4;    Lời giải Chọn B
Ta có phương trình hoành độ giao điểm là: 3 x  2
x x   mx m   3 x  2 3 2 1
3x x mx m  1  0 1 x  1  x   1  2
x  2x m  1  0  
.Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm 2
x  2x m  1   0
phân biệt thì phương trình 2
x  2x m  1  0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 .Hay 1  m  1  0 m  2   
m  2 .Với m  2 thì phương trình 1 có ba nghiệm phân biệt là
1 2  m  1  0 m     2 x  x
1, x , x ( x , x là nghiệm của 2
x  2x m  1  0 ). Mà 1
2  1 suy ra điểm có hoành độ x=1 1 2 1 2 2
luôn là trung điểm của hai điểm còn lại. Nên luôn có 3 điểm A,B,C thoả mãn AB BC Vậy m  2 . Câu 6.
Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 3
y x   2 m   2
2 x  2m  4 cắt các trục tọa độ
Ox, Oy lần lượt tại ,
A B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 8 là A. m  2  . B. m  1  .
C. m   3 . D. m   2 . Lời giải Chọn D
Giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục tung là B  2 0 ; 2m  4
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị đã cho với trục hoành là:  x  2 3 x   2 m  2 2
x  2m  4  0   x  2 2 2
x  2x m  2  0  x 2 2
1  m 1  0 vn 
Giao điểm của đồ thị đã cho với trục hoành là A 2  ;0 . 1 1
Diện tích tam giác ABC là: S O . A OB  .2. 2
2m  4  8  m   2. 2 2 Câu 7.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y  mx cắt đồ thị của hàm số 3 2
y x  3x m  2 tại ba điểm phân biệt ,
A B, C sao cho AB BC . A. m ;    1
B. m  : 
C. m 1:  D. m ;   3 Lời giải Chọn D
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình x  1 3 2
x x m
 mx   x   2 3 2
1 x  2x m  2  0   2
x  2x m  2  0 
Đặt nghiệm x  1. Từ giải thiết bài toán trở thành tìm m để phương trình có 3 nghiệm lập thành cấp 2 số cộng. Khi đó phương trình 2
x  2x m  2  0 phải có 2 nghiệm phân biệt (vì theo Viet rõ ràng
x x  2  2x ) 1 3 2 Vậy ta chỉ cần 
  1 m  2  0  m  3 Câu 8.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 3 2
x  3x  2  m có ba nghiệm phân biệt.
A. m  2;  . B. m   ;  2   . C. m   2  ; 2 . D. m  2  ; 2 .
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 69
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lời giải Xét hàm số 3 2
y x  3x  2 , 2
y  3x  6x . Lập bảng biến thiên
Số nghiệm của phương trình 3 2
x  3x  2  m * bằng số giao điểm của đồ thị hàm số 3 2
y x  3x  2 và đường thẳng y m .
Dựa vào bảng biến thiên suy ra PT (*) có 3 nghiệm phân biệt khi 2  m  2 . Câu 9.
Đường thẳng  có phương trình y  2x 1 cắt đồ thị của hàm số 3
y x x  3 tại hai điểm A và B
với tọa độ được kí hiệu lần lượt là Ax ; y và Bx ; y trong đó x x . Tìm x y ? B B A A B A B B
A. x y  5 
B. x y  2 
C. x y  4
D. x y  7 B B B B B B B B Lời giải Chọn C
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình: 3
x x  3  2x  1 x  1
Giải phương trình ta được x  2 
Vì x x Vậy x  1; y  3  x y  4 B A B B B B
BÀI TOÁN 2. TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ NHẤT BIẾN (CHỨA THAM SỐ)
Bài toán tổng quát ax b Cho hàm số y
có đồ thị C  . Tìm tham số m để đường thẳng d : y   x   cắt C  tại hai cx d điểm phân biệt ,
A B thỏa mãn điều kiện K? Phương pháp giải
Bước 1. (Bước này giống nhau ở các bài toán tương giao của hàm nhất biến) ax b
Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa d và C  :   x   cx d dg x 2
 cx   c d ax   d b  0, x    . c
- Để d cắt C  tại hai điểm phân biệt  g x  0 có nghiệm nghiệm phân biệt
c  0;   0 d       d
. Giải hệ này, ta sẽ tìm được m D ic g   0 1      c
-Gọi Ax ; x   , B x ; y   với x , x là 2 nghiệm của g x  0 Theo Viét: 1 1   2 2  1 2
c  d ad b
S x x   ; P x x  ii 1 2 c 1 2 c Bước 2.
Trang 70 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
-Biến đổi điều kiện K cho trước về dạng có chứa tổng và tích của x , x iii 1 2
-Thế ii vào iii sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến số là m. Giải nó sẽ tìm
được m D  2
-Từ i,  m   D D và kết luận giá trị m cần tìm. 1 2 
Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan đến tương giao giữa đường thẳng ax b
y kx p và đồ thị hàm số y cx d ax b
Giả sử d : y kx p cắt đồ thị hàm số y
tại 2 điểm phân biệt M , N . cx d ax b
Với kx p
cho ta phương trình có dạng: 2
Ax Bx C  0 thỏa điều kiện cx d  0 , có cx d 2
  B  4 AC . Khi đó:   1). 2
M ( x ; kx p), N ( x ; kx p)  MN  ( x x ; k( x x ))  MN  (k  1) 1 1 2 2 2 1 2 1 2 A
Chú ý: khi min MN thì tồn tại min , k const 2). 2 2 2 2 2 2
OM ON  (k  1)( x x )  (x x )2kp  2 p 1 2 1 2   3). 2 2
OM .ON  ( x .x )(1  k )  ( x x )kp p 1 2 1 2 4). 2
OM ON  (x x )(1  k )  2kp  0 1 2 x  3
Câu 10. Đường thẳng y x  2m cắt đồ thị hàm số y
tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi x 1 m  1 m  1  m  3 A.  . B.  . C.  . D. 3   m  1. m  3  m  3  m  1  Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho x  3 
 x  2m  x   1  x  3
x  2m  2 
x  2mx  2m  3  0 * . (vì khi x  1 thì phương x 1 x  1  
trình trở thành 0  4 vô lí).
Để đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình * phải có hai m  1
nghiệm phân biệt. Khi đó m phải thoả mãn   0 2
m  2m  3  0  .   * m  3  m  1 
Vậy tập hợp các giá trị của tham số m là  . m  3 
Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y  2x m cắt đồ thị của hàm số x  3 y
tại hai điểm phân biệt. x 1
A. m  ; .
B. m  1;   . C. m   2  ;4.
D. m  ; 2 . Lời giải Chọn A x  3
Phương trình hoành độ giao điểm:
 2x m (*), với điều kiện xác định x  1. x 1
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 71
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Biến đổi (*) về thành: 2
2x  (m 1)x m  3  0 (**) .
Theo yêu cầu đề bài, phương trình (**) cần có hai nghiệm phân biệt khác 1  , tức là:
  m 2 1  4.2  . m   3  0  2
m 6m  25 0   
m ;  .   2  .  2 1 m   1  .   1  m  3  0     2 0  x
Câu 12. A và B là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số y
. Khi đó độ dài đoạn AB x  2 ngắn nhất bằng A. 4 2 . B. 4 . C. 2 2 . D. 2 2 . Lời giải Chọn B y 1 O 1 2 x xa   b  Hàm số y
có đồ thị C  như hình vẽ. Gọi A a;   và B ; b
 là hai điểm thuộc hai x  2  a  2   b  2 
nhánh của C a  2  b .   b a   b a
Ta có: AB b a;      b a;  .  b 2 a 2  
b 22 a        b a2
Áp dụng BĐT Côsi ta có: b  22  a  . 4 b a 2  2 2 2 64
Suy ra: AB  b a 
 b a   16 2
b    a 2 2 2    b a
AB  4 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a  2  2 và b  2  2 . Vậy AB  4 . min x
Câu 13. Cho hàm số y
C và đường thẳng d : y  x m . Gọi S là tập các số thực m để đường x 1
thẳng d cắt đồ thị C  tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB ( O là gốc tọa độ) có bán
kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2 2 . Tổng các phần tử của S bằng A. 4 . B. 3 . C. 0 . D. 8 . Lời giải Chọn A x Xét phương trình  x  , m
(điều kiện x  1 ). x 1
Phương trình tương đương 2
x mx m  0   1 .
Đồ thị C  và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B khi và chỉ khi phương trình  
1 có hai nghiệm phân biệt x  1 điều kiện cần và đủ là m  0  m  4 .
Trang 72 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Khi đó hai giao điểm là (
A x ; x m) ; B(x ; x m) . 1 1 2 2 m Ta có 2 2 2 OA
m  2m ;OB
m  2m ; AB
2(m  4m) ; d  , O d   . 2 1 1 m O . A O . B AB S  .A . B d O d m m  . OAB  ,  2 . . 2( 4 ) 2 2 2 4R 2 2 1 m
(m  2m). 2(m  4m) Suy ra 2 . 2(m  4m)  2 2 4.2 2  m  0 (l) 2 
m  2m  4 m m  6 (n) . 
m  2 (n) 
Vậy tổng các phần từ của S bằng 4 . 2x 1
Câu 14. Đồ thị hàm số y
C  và đường thẳng d : y x m . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để 1 x
đường thẳng d cắt đồ thị C  tại 2 điểm phân biệt A. m  1  . B. 5   m  1  . C. m  5  . D. m  5  hoặc m  1  . Lời giải Chọn D 2x 1 Hàm số y
có tập xác định D   \   1 . 1 x 2x 1
Lập phương trình hoành độ giao điểm:
x mx   1 1 x 2 2
2x 1  x m x mx
x  m  
1 x  m   1  0      x  1  x  1 
Đường thẳng d cắt đồ thị C  tại 2 điểm phân biệt
 phương trình  có 2 nghiệm phân biệt x  1 2   0
m  6m  5  0       m  5  hoặc m  1  . 2  1   m   1  m   1  0 1  0   t/m  x  3
Câu 15. Cho hàm số y
có đồ thị C và đường thẳng d : y x m, với m là tham số thực. Biết rằng x 1
đường thẳng d cắt C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho điểm G 2; 2
  là trọng tâm của tam
giác OAB ( O là gốc toạ độ). Giá trị của m bằng A. 6 . B. 3 . C. 9  . D. 5 . Lời giải Chọn A x  3 2 Hàm số y  có y 
 0 , x D và đường thẳng d : y x m có hệ số a  1  0 nên x 1  x  2 1
d luôn cắt C tại hai điểm phân biệt Ax ; y và B x ; y với mọi giá trị của tham số m . B B A A x  3
Phương trình hoành độ giao điểm của d và C là:  x m x 1 2
x mx m  3  0  x    1 .
Suy ra x , x là 2 nghiệm của phương trình 2
x mx m  3  0 . A B
Theo định lí Viet, ta có x x m . A B
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 73
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Mặt khác, G 2; 2
  là trọng tâm của tam giác OAB nên x x x  3x A B O G
x x  6 A Bm  6 .
Vậy m  6 thoả mãn yêu cầu đề bài. 3x  2m
Câu 16. Cho hàm số y
với m là tham số. Biết rằng với mọi m  0, đồ thị hàm số luôn cắt đường mx 1
thẳng d : y  3x  3m tại hai điểm phân biệt A , .
B Tích tất cả các giá trị của m tìm được để đường
thẳng d cắt các trục O ,
x Oy lần lượt tại C, D sao cho diện tích OAB bằng 2 lần diện tích OCD bằng 4 A.  . B. 4  . C. 1  . D. 0 . 9 Lời giải Chọn A. 3x  2m
Với m  0 , xét phương trình  3x  3m 2
 3x  3mx 1  0 . (*) mx 1
Gọi tọa độ các giao điểm của d với đồ thị hàm số đã cho là: Ax ;3x  3m , B x ;3x  3m . 2 2  1 1 
Tọa độ các điểm C , D là C  ;
m 0 và D 0; 3  m . Gọi h d
thì h là chiều cao của các tam giác OAB và OCD . O,d  1 1 Theo giả thiết: S  2S 2 2   A . B h  2. .
CD h AB  2CD AB  4CD OABOCD 2 2
x x 2 3 x x  2  4 m  3m2 2         1 2  1 2   
 10 x x 2  40m   x x 2 2 2  4x x  4m 1 2 1 2 1 2 4 4 2 2 2 2  m   4m m   m   . 3 9 3 4
Vậy tích các giá trị của m là  . 9
BÀI TOÁN 3. TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG (CHỨA THAM SỐ)
. Bài toán tổng quát: Tìm m để đường thẳng d : y   cắt đồ thị 4 2
(C) : y f ( ;
x m)  ax bx c tại
n điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện K cho trước?
Phương pháp giải:
Bước 1. Lập phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là: 4 2
ax bx c   0 (1) Đặt 2
t x  0 thì 2
(1)  at bt c   0 (2)
Tùy vào số giao điểm n mà ta biện luận để tìm giá trị m D . Cụ thể: 1
 Để d  (C)  n  4 điểm phân biệt  (1) có 4 nghiệm phân biệt   0 
 (2) có 2 nghiệm t , t thỏa điều kiện: 0  t t  S  0  m D . 1 2 1 2 1 P  0 
 Để d  (C)  n  3 điểm phân biệt  (1) có 3 nghiệm phân biệt
Trang 74 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020c   0 
 (2) có nghiệm t , t thỏa điều kiện: 0  t t  bm D . 1 2 1 2 1  0   a
 Để d  (C)  n  2 điểm phân biệt  (1) có 2 nghiệm phân biệt ac  0 
 (2) có 2 nghiệm trái dấu hoặc có nghiệm kép dương    0  m D . 1   S  0 
 Để d  (C)  n  1 điểm phân biệt  (1) có đúng 1 nghiệm c   0 t   0   0 
 (2) có nghiệm kép  0 hoặc 1     bm D . 1 t  0 c    0  0  2    a
Bước 2. Biến đổi điều kiện K về dạng có chứa tổng và tích của t , t (3) 1 2
Thế biểu thức tổng, tích vào (3) sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến số là . m
Giải chúng ta sẽ tìm được m D . 2
Kết luận: m D D . 1 2
Ä Tìm điều kiện để đồ thị hàm số 4 2
y ax bx c cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có
hoành độ lập thành cấp số cộng. Ta có: 4 2
ax bx c  0 ( 1) , đặt 2
t x  0 , thì có: 2
at bt c  0 (2)   0 
Để (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt dương, tức là: t t  0  1 2 t .t  0  1 2
Khi đó (1) có 4 nghiệm phân biệt lần lượt là t ;  t ; t ; t lập thành cấp số cộng khi và chỉ 2 1 1 2 b khi:
t t t  ( t )  t  3 t t  9t . Theo định lý Vi – et t t   suy ra 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 a b 9b c t   ;t  
, kết hợp t .t nên có: 2 2 9ab  100a c 1 2 10a 10a 1 2 a Tóm lại: Hàm số 4 2
y ax bx c cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số 2
b  4ac  0  b   0  a
cộng, thì điều kiện cần và đủ là: c   0  a  2 2 9ab  100a c
Câu 17. Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 4 2
x  2mx  (2m 1)  0 có 4 nghiệm thực phân biệt là  1   1  A. ;  \     1 . B. (1; )  . C. ;  . D.  .  2   2  Lời giải Chọn A Xét phương trình: 4 2
x  2mx  (2m 1)  0 . Đặt 2
x t(t  0) .
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 75
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Phương trình đã cho trở thành 2
t  2mt  (2m 1)  0 (*) .
Để phương trình ban đầu có bốn nghiệm thực phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt dương  ' 2   0
m  2m 1  0  m   1  1    m   1    S  0   2m  0   m  0   2 hay m  ;  \     1 .   2  P  0  2m 1  0  1  m  1     m   2 Câu 18. Cho hàm số 4 2
y x  3x  2 . Tìm số thực dương m để đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số tại 2
điểm phân biệt A , B sao cho tam giác OAB vuông tại O , trong đó O là gốc tọa độ. 3 A. m  2 . B. m  . C. m  3 . D. m  1. 2 Lời giải
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình: 4 2
x  3x  2  m 4 2
x  3x  2  m  0   1 . Vì m  0  2
  m  0 hay phương trình  
1 luôn có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: 3  4m 17 3  4m 17 3  4m 17 2 x   x  và x   . 2 1 2 2 2
Khi đó: Ax ; m , B x ; m . 2  1   
Ta có tam giác OAB vuông tại O , trong đó O là gốc tọa độ 2  O .
A OB  0  x .x m  0 . 1 2 2 3  4m 17  2m  3  0 2 m 0   m  
 m  2 . 2 4 2 2m 3  0 2
4m 12m  4m  8  0 
Vậy m  2 là giá trị cần tìm.
Câu 19. Một đường thẳng cắt đồ thị hàm số 4 2
y x  2x tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là 0, 1, m, n . Tính 2 2
S m n . A. S  1. B. S  0 . C. S  3 . D. S  2 . Lời giải Chọn C
Tọa độ các giao điểm lần lượt là A 0;0 , B1;  1 , C  4 2 ;
m m  2m , D 4 2 ; n n  2n .
Đường thẳng qua các điểm A, B,C, D có phương trình: y  x.  x  0 
Xét phương trình hoành độ giao điểm: 4 2 4 2
x  2x  x x  2x x  0  x  1   2
x x 1  0 * 
Vậy m, n là các nghiệm của phương trình * .
Khi đó: S m n  m n2 2 2  2mn  3.
Câu 20. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số 4 3
y x x  m   2 4
2 x  8x  4 cắt trục hoành
tại đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn 1. A. 8 . B. 7 . C. 5 . D. 3 . Lời giải Chọn A
Phương trình hoành độ giao điểm 4 3
x x  m   2 4
2 x  8x  4  0
Trang 76 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Đồ thị hàm số 4 3
y x x  m   2 4
2 x  8x  4 cắt trục hoành tại đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn
1  có đúng hai nghiệm lớn hơn 1.   4 3
x x x     m 2 * 4 8 4 2 x 8 4 2
 2  m x  4x   2 x x 8 4
Đây là phương trình hoành độ giao điểm của C 2
: y x  4x  
x  1 với đường thẳng 2   x x
y  2  m song song với trục hoành. 8 4 Xét hàm số 2
y x  4x   x  1 . 2   x x 8 8 4 3
2x  4x  8x  8
y  2x  4    . 2 3 x x 2 x
x  1 3 lo¹i Cho y  0   .
x  1 3 nhËn  Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, ycbt  0  2  m  9  7   m  2 .
Vì m nguyên nên m  6  ,  5,...,  1 .
Vậy có 8 giá trị nguyên của m thỏa bài toán.
BÀI TOÁN 4. BIỆN LUẬN m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN K (HÀM SỐ KHÁC) 2 2 2 2
Câu 21. Cho hai hàm số x  1 x  2 x x  4 x  3 x  6 x  8 y    
và y x  2  x m ( m là tham số x x  1 x  2 x  3
thực) có đồ thị lần lượt là (C ) (C ) 1 và
2 . Tính tổng tất cả các giá trị nguyên thuộc khoảng (  1 5 ; 2 0 ) của
tham số m để (C ) (C ) 1 và 2
cắt nhau tại nhiều hơn hai điểm phân biệt. A. 210 . B. 85 . C. 119 . D. 105 . Lời giải Chọn B 2 2 2 2
Xét phương trình hoành độ giao điểm x  1 x  2 x x  4 x  3 x  6 x  8   
x  2  x m x x  1 x  2 x  3 2 2 2 2
x 1 x  2x x  4x  3 x  6x  8    
x  2  x m (1). x x 1 x  2 x 3 2 2 2 2 x 1 x  2x x  4x  3 x  6x 8 Đặt g( ) x    
x  2  x . x x 1 x  2 x 3 1 1 1 1
x  2  ( x  2)
Ta có g(x)  4     
 0 với mọi x thuộc các khoảng sau 2 2 2 x ( x  1) ( x  2)  x  32 x  2 ;  0 , 0 ; 
1 , 1; 2 ,2 ; 3 và 3;  
 nên hàm số y g ( x) đồng biến trên mỗi khoảng đó.
Mặt khác ta có lim g ( x)   và lim g(x)   . x   x
Bảng biến thiên hàm số y g (x)
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 77
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y m luôn cắt đồ thị hàm số y g(x) tại năm điểm phân biệt nên (C ) (C ) 1 và
luôn cắt nhau tại đúng năm điểm phân biệt với mọi giá trị của m. Kết hợp điều kiện 2
m nguyên thuộc (15; 20) nên m   1  4; 1  3;...;18;1 
9 . Khi đó tổng tất cả các giá trị m là
S  15 16 17 18 19  85 . x x 1 x  2
Câu 22. Cho hai hàm số y    và  x y
e  2020  3m ( m là tham số thực) có đồ thị lần lượt x 1 x x 1
là (C ) và (C ) . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc (2019; 2020) để (C ) và (C ) cắt nhau tại 3 1 2 1 2 điểm phân biệt? A. 2692 . B. 2691 . C. 2690 . D. 2693. Lời giải Chọn A x x 1 x  2
Xét phương trình hoành độ giao điểm    x
e  2020  3m x 1 x x 1 x x 1 x  2     x
e  2020  3m (1). x 1 x x 1 x x 1 x  2 Đặt g(x)     x e  2020 . x 1 x x 1 1 1 1 Ta có (  )      x g x
e  0 với mọi x thuộc các khoảng sau  ;    1 ,  1  ; 0 , 2 2 (x 1) xx  2 1 0; 
1 và 1;  nên hàm số y g(x) nghịch biến trên mỗi khoảng đó.
Mặt khác ta có lim g (x)  2017 và lim g(x)   . x x
Bảng biến thiên hàm số y g(x)
Do đó để (C ) và (C ) cắt nhau tại đúng ba điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có ba nghiệm 1 2
phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng y  3m cắt đồ thị hàm số y g(x) tại ba 2017
điểm phân biệt khi và chỉ khi 3m  2017  m    672, 3 . 3
Do m nguyên thuộc (2019; 2020) nên m  6  72; 6  71;...; 201 
9 . Vậy có tất cả 2692 giá trị m thỏa mãn.
Câu 23. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số y   2 2x   1 x 1 và 11 1 y  
11  m cắt nhau tại 2 điểm phân biệt? 3x  4 2  x A.  ;  0 . B.   ;1 . C.   ;1 . D.  ;  2 . Lời giải
Trang 78 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Chọn C 11 1
Xét phương trình hoành độ giao điểm:  2 2x   1 x 1   11 m * 3x  4 2  xx 1  0 x  1    4  4
Điều kiện: x   x  3 3   x  2 x  2   Ta có:   11 1 *   2 2x   1 x 1   11  m 3x  4 2  x 11 1  4 
Xét hàm số f (x)   2 2x   1 x 1  
11 trên 1;   \  ; 2 3x  4 2  x  3   4   4 
Nhận thấy, hàm số f x liên tục trên các khoảng 1; , ; 2 , 2;        3   3  11 1    Ta có, f (  x)   2 2x   1 x 1   11  3x  4 2  x  2 10x  8x 1 33 1  4x x 1   1 33 1 2 2x   1       0 với 2 2 2 x 1
3x  42 2  x2 2 x 1 3x  4 2  x  4 x  
  1;   \  ; 2  3   4 
Suy ra, hàm số f x đồng biến trên 1;   \  ; 2 .  3  Bảng biến thiên 11 1
Từ bảng biến thiên ta suy ra đồ thị hai hàm số y   2 2x   1 x 1 và y   11  m cắt 3x  4 2  x
nhau tại 2 điểm phân biệt khi m  ;   1 . x 1 x x 1 x  2
Câu 24. Cho hai hàm số y     và 1  2 x y
 2m ( m là tham số thực) có đồ thị lần x x 1 x  2 x  3
lượt là (C ) và (C ) . Tập hợp tất cả các giá trị của m để (C ) và (C ) cắt nhau tại đúng năm điểm 1 2 1 2 phân biệt là A. 2;  . B.  ;  2 . C.  ;  2 . D.  ;  4 . Lời giải Chọn C x 1 x x 1 x  2
Xét phương trình hoành độ giao điểm 1   
 2 x  2m x x 1 x  2 x  3
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 79
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 x x 1 x  2 x  3 1    
 2 x  2m . x 1 x  2 x  3 x  4 x x 1 x  2 x  3 Đặt 1 g(x)      2 x . x 1 x  2 x  3 x  4 1 1 1 1 Ta có 1 (  )      2 x g x ln 2  0 2 xx  2 1
x  22  x  32
với mọi x thuộc các khoảng sau  ;  3   ,  3  ; 2    2  ;   1 ,  1
 ; 0 và 0;  nên hàm số y g( )
x đồng biến trên mỗi khoảng đó
Mặt khác ta có lim g (x)  4 và và lim g (x)   . x x
Bảng biến thiên hàm số y g( ) x Do đó để CC2  1  và
cắt nhau tại đúng năm điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 5 nghiệm
phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng y  2m cắt đồ thị hàm số y g( ) x tại 5 điểm
phân biệt khi và chỉ khi 2m  4  m  2 x x 1 x  2
Câu 25. Cho hai hàm số y   
và y x x 1  m ( m là tham số thực) có đồ thị 2 2 2 x 1 x  2x x  4x  3
lần lượt là (C ) và (C ) . Số các giá trị m nguyên thuộc khoảng 20; 20 để (C ) và (C ) cắt nhau 1 2 1 2
tại năm điểm phân biệt là A. 22 . B. 39 . C. 21. D. 20 . Lời giải Chọn C x x 1 x  2
Xét phương trình hoành độ giao điểm  
x x 1  m 2 2 2 x 1 x  2x x  4x  3 x x 1 x  2   
x x 1  m (1). 2 2 2 x 1 x  2x x  4x  3 x x 1 x  2 Đặt g(x)   
x x 1 . 2 2 2 x 1 x  2x x  4x  3 2 2 2 x 1
x  2x  2
x  4x  5 x 1 Ta có g (  x)    1  x  2 x x2
x x  2 2 2 2 x 1 1 2 4 3 2 2 2 x 1 (x 1) 1 (x  2) 1 x 1 x 1      0
x  2 x x2 x x  2 2 2 2 x 1 1 2 4 3
với mọi x thuộc các khoảng sau  ;    1 , 1; 0 , 0; 
1 , 1;2 , 2;3 và 3;  nên hàm số y g( )
x nghịch biến trên mỗi khoảng đó.
Mặt khác ta có lim g(x)   và và lim g(x)  1. x x
Bảng biến thiên hàm số y g( ) x
Trang 80 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Do đó để (C ) và (C ) cắt nhau tại đúng năm điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có năm 1 2
nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y g(x) tại
năm điểm phân biệt khi m  1 , do m nguyên thuộc ( 2
 0; 20) nên m 19; 1  8;...; 0;  1 . Vậy có tất
cả 21 giá trị m thỏa mãn.
Câu 26. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 2 4
m x  m   3 2
x x   2 2 m  
1 x  0 nghiệm đúng với mọi x   . Số phần tử của tập S là A. 3 . B. 2 . C. 0 . D. 1. Lời giải Chọn D
Đặt f x 2 4
m x  m   3 2
x x   2 2 m   1 x
Ta có f x 2 4
m x  m   3 2
x x   2 m   2 3
x x m x  m   2
x x   2 2 1 2 m  
1  . Giả sử x  0  
không phải là nghiệm của phương trình g x 2 3
m x  m   2
x x   2 2 m   1  0 thì hàm số f x 2 4
m x  m   3 2
x x   2 2 m  
1 x sẽ đổi dấu khi qua điểm x  0 , nghĩa là 2 4
m x  m   3 2
x x   2 2 m  
1 x  0 không có nghiệm đúng với mọi x   .
Do đó, để yêu cầu bài toán được thỏa mãn thì một điều kiện cần là g x 2 3
m x  m   2
x x   2 2 m  
1  0 phải có nghiệm x  0 , suy ra 2
m 1  0  m  1  Điều kiện đủ: Với m f x 4 3 2 2
x x x x  2 1, 3 x  3x   1 khi đó f   1  1
  0 không thỏa mãn điều kiện 2 4
m x  m   3 2
x x   2 2 m  
1 x  0 nghiệm đúng với mọi x   . (loại) Với m f x 4 3 2 2
x x x x  2 1, x x   1  0 , x   . Vậy S    1 .
Câu 27. Có bao nhiêu cặp số thực ( ;
a b) để bất phương trình  x   x   2 1
2 ax bx  2  0 nghiệm
đúng với mọi x   A. 3 . B. 2 . C. 0 . D. 1. Lời giải Chọn C
Đặt f x   x   x   2 1
2 ax bx  2
Giả sử x  1 không phải là nghiệm của phương trình g x   x   2 2
ax bx  2  0 thì hàm số
f x   x   x   2 1 2
ax bx  2 sẽ đổi dấu khi qua điểm x  1 , nghĩa là
x   x   2 1
2 ax bx  2  0 không có nghiệm đúng với mọi x   .
Do đó, để yêu cầu bài toán được thỏa mãn thì một điều kiện cần là g x   x   2 2
ax bx  2  0
có nghiệm x  1 suy ra a b  2  0 (1)
Lí luận tương tự có h x   x    2
1 ax bx  2  0 cũng phải nhận x  2  là nghiệm, suy ra
4a  2b  2  0 (2)
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 81
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
a b  2  0 a  1 
Từ (1) và (2) ta có hệ   
4a  2b  2  0 b  1   Điều kiện đủ: a  1  2 2 Với 2 
có f x   x  
1  x  2x x  2   x  
1  x  2  0 , x   . b  1  
Vậy không tồn tại cặp số thực ( ;
a b) nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 28. Trong số các cặp số thực  ;
a b để bất phương trình  x   x a 2 1
x x b  0 nghiệm đúng với
mọi x   , tích ab nhỏ nhất bằng 1 1 A.  . B. 1  . C. . D. 1. 4 4 Lời giải Chọn C
Đặt f x   x   x a 2 1
x x b và       2 g x x a
x x b
Giả sử x  1 không phải là nghiệm của phương trình g x   x a 2
x x b  0 thì hàm số
f x   x   x a 2 1
x x b sẽ đổi dấu khi qua điểm x  1, nghĩa  x   x a 2 1
x x b  0
không có nghiệm đúng với mọi x   .
Do đó yêu cầu bài toán được thỏa mãn thì một điều kiện cần là g x   x a 2
x x b  0 có a  1
nghiệm x  1 suy ra hoặc  hoặc là phương trình 2
x x b  0 có hai nghiệm 2
x x b  0, x    
x  1 và x a a  1 a  1 a  1   Trường hợp 1:   1   0   1 2
x x b  0, x   R b    1 4b 0        4
Trường hợp 2: phương trình 2
x x b  0 có hai nghiệm x  1 và x a
Ta thay x  1 vào phương trình 2
x x b  0 có 2
1 1 b  0  b  2
 . Với b  2 có phương trình x  1 2 2
x x b  0  x x  2  0  x  2 
Vì x a cũng là nghiệm của phương trình nên a  2 . a  1  1 1 Trong trường hợp 1:  1  ab
suy ra tích ab nhỏ nhất khi ab b  4  4  4 1 1
Và với a  1, b  , tích ab
thì bất phương trình đã cho tương đương với 4 4 2  1   1   x   1  x   1 x x   0     x  2 2 1 x   0  
thỏa mãn với mọi x   (nhận)  4   2  1
Trong trường hợp 2: Tích ab  4  4 1
Vậy tích ab nhỏ nhất khi ab  . 4
Câu 29. Cho 2 hàm số 7 5 3
y x x x  3m 1 và y x  2  x  2m ( m là tham số thực) có đồ thị lần lượt
là C , C . Tập hợp tất cả các giá trị của m để C cắt C là 2  1  2  1  A. m   .
B. m  2;  .
C. m   ;  2 .
D. m 2;  .
Trang 82 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Lời giải Chọn A
Xét phương trình hoành độ giao điểm: 7 5 3
x x x  3m 1  x  2  x  2m 7 5 3
x x x x  2  x  5  m 1 (1) . Xét hàm số 7 5 3
f (x)  x x x x  2  x . 7 5 3
x x x  2 khi x 2;   
Ta có f (x)   . 7 5 3
x x x  2x  2 khi x    ;  2  6 4 2
7x  5x  3x  0 khi x  2;    f (  x)   . 6 4 2
7x  5x  3x  2  0 khi x    ;  2 
lim f x   ; lim f x   . x x Bảng biến thiên: x ∞ 2 +∞ + f '(x) + +∞ f(x) ∞
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình  
1 luôn có nghiệm với mọi m   .Vậy để C cắt C thì 2  1  m   .
Câu 30. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn  2
 019; 2019 để phương trình  x
x m   x   x m 2 3 2 3 1 5 1 2
 4 x  2x  3 có nghiệm thực? A. 2019 . B. 4032 . C. 4039 . D. 4033. Lời giải Chọn B Đk: x  3   ;1 .
Phương trình đã cho  11  3x  4 3  x 1 x  m 2 1 x  3  x   0 . (*)
Đặt t  2 1 x  3  x g x , với x     x
  x  x 2 3;1 11 3 4 3 1  t  4 . 1  1
Có g x    0, x   3  
;1 . Suy ra g x nghịch biến trên khoảng  3   ;1 . 1 x 2 3  x
 min g x  g   1  2
 : max g x  g  3
   4  t  2  ; 4 .  3  ;  1  3  ;  1 Từ (*) 2
t mt  4  0 .
Nếu t  0  0  4  0 (vô lí). 2 t   4 4 Nếu t  2
 ; 4 \{0}, ta có m   t    f t  . t t 2 4  t
Có f t  
, f t  0  t  2  . 2 t Bảng biến thiên
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 83
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 t 2  0 2 4 f t  0   0   4  f t  5  4  m  4
Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình có nghiệm thực khi và chỉ khi  . m  4  m  20  19; 2019  m  4 Do đó   m  
2019; 2018;....; 4;4;...;2018;201  9 . m  4   m  
Vậy có 2019  4  
1 .2  4032 giá trị nguyên của tham số thực m .
E. BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN
I– Các dạng toán viết phương trình tiếp tuyến thường gặp
Viết PTTT của C  : y f x, biết có hệ số góc k cho trước
Gọi M x ; y là tiếp điểm. Tính y '  y ' x . o o o
Do phương trình tiếp tuyến  có hệ số góc k  y ' x k io
Giải i tìm được x 
y f x  
  : y k x xy . o o oo o
Lưu ý. Hệ số góc k y '(x ) của tiếp tuyến  thường cho gián tiếp như sau: o
Phương trình tiếp tuyến  // d : y ax b k a . 1
Phương trình tiếp tuyến   d : y ax b k   . a
Phương trình tiếp tuyến  tạo với trục hoành góc   k  tan  . k a
Phương trình tiếp tuyến  tạo với d : y ax b góc    tan 1 k.a
Viết PTTT của C  : y f x, biết đi qua (kẻ từ) điểm Ax ; y A A
Gọi M x ; y là tiếp điểm. Tính y f x và k y ' x theo x . o oo o o o
Phương trình tiếp tuyến  tại M x ; y là  : y k x x y . o o o o
Do Ax ; y    y k x x y iA A AA o o
Giải phương trình i   x 
y và k   phương trình  . o o
Viết PTTT của C  : y f x, biết cắt hai trục tọa độ tại A và B sao cho tam giác OAB
vuông cân hoặc có diện tích S cho trước
Gọi M (x ; y ) là tiếp điểm và tính hệ số góc k y '(x ) theo x . o o o oOAB
ivuông cân   tạo với Ox một góc 45o và O   Đề cho  SS O . A OB  2S  iiOAB
Giải i hoặc ii   x   y ; k 
 phương trình tiếp tuyến  . o o
Tìm những điểm trên đường thẳng d : ax by c  0 mà từ đó vẽ được 1, 2,3,..., n tiếp tuyến
với đồ thị hàm số C  : y f x
Gọi M x ; y   d : ax by c  0 (sao cho có một biến x trong M) M M M
Trang 84 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
PTTT  qua M và có hệ số góc k có dạng  : y k x xy . M Mf
  x  k x xyiM M
Áp dụng điều kiện tiếp xúc:  f '   x  k  ii
Thế k từ ii vào i, được: f x  f ' x. x x
y iiiM M
Số tiếp tuyến của C  vẽ từ M  số nghiệm x của iii .
Tìm những điểm M x ; y
mà từ đó vẽ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số M M
C  : y f x và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau
PTTT  qua M và có hệ số góc k có dạng  : y k x xy . M Mf
  x  k x xyiM M
Áp dụng điều kiện tiếp xúc:  f '   x  k  ii
Thế k từ ii vào i, được: f x  f ' x. x x
y iiiM M
Qua M vẽ được hai tiếp tuyến với C   iii có hai nghiệm phân biệt x , x . 1 2
Hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau  k .k  1  y ' x .y ' x  1. 1 2  1   2   Lưu ý.
Qua M vẽ được hai tiếp tuyến với C sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía với trục hoành thì   iii   : x , x
có hai nghiệm phân biệt 1 2 . f   x . f x  0.  1   2 
Đối với bài toán tìm điểm M  C  : y f x sao cho tại đó tiếp tuyến song song hoặc vuông góc
với đường thẳng d cho trước, ta chỉ cần gọi M x ; y và  là tiếp tuyến với k f ' x . Rồi áp o o o  dụng
k f ' x k nếu cho song song và f ' x
k   nếu cho vuông góc o  . 1 o d d
x y M x ; y . o o o o Câu 1.
Phương trình tiếp tuyến của đường cong 3 2
y x  3x  2 tại điểm có hoành độ x  1 là 0
A. y  9x  7 . B. y  9  x  7 . C. y  9  x  7 .
D. y  9x  7 . Lời giải Xét hàm 3 2 2
y f (x)  x  3x  2  f '(x)  3x  6x f '(1)  9.
Ta có x  1  y  2  M 1; 2 . 0 0 0  
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M 1; 2 có dạng: 0  
y y f '(x ) x x
y  2  9 x 1  y  9x  7 . 0 0  0    Câu 2. Cho hàm số 3 2
y x  3x  6x 1 có đồ thị C . Trong các tiếp tuyến của C , tiếp tuyến có hệ số
góc nhỏ nhất có phương trình là
A. y  3x  8 . B. y  3  x  2 . C. y  3  x  8 .
D. y  3x  2 . Lời giải Chọn D Ta có 2
y '  3x  6x  6 .
Gọi tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến là M x ; y , hệ số góc của tiếp tuyến là 0 0 
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 85
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 y ' x  2 2
 3x  6x  6  3 x 1  3  3 , x  . 0 0 0  0  0
Như vậy, hệ số góc của tiếp tuyến nhỏ nhất bằng 3 , khi x  1, khi đó y  5 . 0 0
Phương trình tiếp tuyến là: y  3 x  
1  5  y  3x  2. 2x 1 Câu 3. Cho hàm số y
có đồ thị C. Tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ bằng 3 cắt các x 1
đường tiệm cận của C tạo thành tam giác có diện tích bằng A. 4  2 2 . B. 2 2 . C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn C 5  5 Ta có: x  3
  y   M  3  ; . 2  2 1 y '  ; y   1 ' 3  x  2 1 4  5 1 5 1 13
Tiếp tuyến tại M   3;  
có phương trình: y  x   3   x  .  2 4 2 4 4
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng: x  1
 , tiệm cận ngang y  2 .
Giao của hai đường tiệm cận: I 1; 2.
Tiếp tuyến giao với hai đường tiệm cận tại hai giao điểm: A1;  3 , B5; 2
Hai đường tiệm cận vuông góc với nhau nên tam giác IAB vuông tại I . 1 1 Vậy: S  . IA IB  .1.4  2  . IAB 2 2 1 7 Câu 4. Cho hàm số 4 2 y x
x có đồ thị C  . Có bao nhiêu điểm A thuộc đồ thị C  sao cho tiếp 8 4
tuyến của C  tại A cắt C  tại hai điểm phân biệt M x ; y ; N x ; y ( M , N khác A ) thỏa 2 2  1 1 
mãn y y  3 x x . 1 2  1 2  A. 3 B. 1 C. 0 D. 2 Lời giải Chọn D x x y y
Phương trình đường thẳng MN có dạng 2 2 
 hệ số góc của đường thẳng MN là x x y y 1 2 1 2 y y 1 2 k   3 . x x 1 2  1 7  Vậy tiếp tuyến tại 4 2 A x ; x x  có hệ số góc 0 0 0   8 4  x  1  0 1 7 1 7 
k  3  f  x  3 3  x x  3 3  x
x  3  0  x  3 . 0  0 0 2 2 0 0 2 2 0  x  2   0  13  11
+) Với x  1  A 1; 
 Phương trình tiếp tuyến y  3x  . 0    8  8
Xét phương trình hoành độ giao điểm x  1 1 7 11 1 7 11   13 4 2  x x  3x  4 2  x x  3x   0  x  1 3   A 1  ;    thỏa mãn đề bài. 8 4 8 8 4 8  8   x  1 3 
Trang 86 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020  171  195
+) Với x  3  A 3; 
 Phương trình tiếp tuyến y  3x  . 0    8  8
Xét phương trình hoành độ giao điểm 1 7 195 1 7 195 4 2 2 x x  3x  4 2  x x  3x
 0   x    2 3
x  6x 13  0  x  3  Tiếp 8 4 8 8 4 8  171 
tuyến cắt đồ thị tại một điểm  A 3;    Không thỏa mãn.  8  +) Với x  2   A 2  ; 5
   Phương trình tiếp tuyến: y  3x 1. 0
Xét phương trình hoành độ giao điểm  x  2 1 7 1 7  4 2 2 x x  3x 1 4 2  x
x  3x 1  0   x    2 2
x  4x  2  0  x  2  6   8 4 8 4  x  2  6  A 2
 ; 5 Thỏa mãn đề bài.
Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán. x  2 Câu 5. Cho hàm số y
có đồ thị (C) và điểm (
A a;1) . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của x  1
tham số a để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua A . Tổng tất cả các giá trị các phần tử của S là 3 5 1 A. 1 B. C. D. 2 2 2 Lời giải Chọn C 1
ĐK: x  1 ; y '  (x 2 1)
Đường thẳng d qua A có hệ số góc k là y k(x  ) a  1  x  2
k(x a)  1   1  x  1
d tiếp xúc với (C )   có nghiệm. 1 k  2 2    (x   1) 1 x  2 Thế 2 vào   1 ta có: (x  ) a  1 
 x a  2
x  2x  1   2
x  3x  2, x  1 (x  2 1) x  1  2
2x  6x a  3  0 3
Để đồ thị hàm số có một tiếp tuyến qua A thì hệ là số nghiệm của hệ phương trình trên có nghiệm
duy nhất  phương trình 3 có nghiệm duy nhất khác 1
 '  9  2a  6  0   3
1  6  a  3  0 a 2   
 2x  6x a  3  0 (3)    2 
 '  9  2a  6  0  a    1
 2  6  a  3   0 1
Cách 2: TXĐ : D \  
1 ; y  x 2 1
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 87
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Giả sử tiếp tuyến đi qua A ; a
1 là tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x x , khi đó phương trình tiếp 0 1 x  2
tuyến có dạng : y x xd 2   0 0    x   1 x 1 0 0
Vì A d nên thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta có : 2 1  x  2 
2x  6x  3  a  0 1 0 0 0   1  a x   2  0    x 1 x 1 x  1 0  0  0
Để chỉ có một tiếp tuyến duy nhất đi qua A thì phương trình  
1 có nghiệm duy nhất khác 1
  9  2a  6  0   3
1 6  a  3  0  a     2
  9  2a  6  0   a  1  
 2  6  a  3  0  1 7 Câu 6. Cho hàm số 4 2 y x
x có đồ thị C  . Có bao nhiêu điểm A thuộc C  sao cho tiếp tuyến của 4 2
C tại A cắt C tại hai điểm phân biệt M x ; y ; N x ; y khác A thỏa mãn 1 1   2 2 
y y  6(x x ) 1 2 1 2 A. 0 B. 3 C. 1 D. 2 Lời giải Chọn D  1 7 
Ta có A  C  4 2  A t; t t    4 2  3
y  x  7x yt  3  t  7t
Phương trình tiếp tuyến của C  tại A là 3 7 y   1 7 3
t  7t  x t  4 2  t ty   3 t  7t  4 2 x t t 4 2 4 2
Phương trình hoành độ giao điểm: 1 7 3 7 4 2 x x   3 t  7t  4 2 x t t 4 2 4 2 4 2  x x   3 t t  4 2 14 4 7
x  3t  14t  0
  x t 2  2 2
x  2tx  3t 14  0  x t   2 2
x  2tx  3t  14  0   1 
Tiếp tuyến cắt đồ thị C  tại hai điểm phân biệt M x ; y ; N x ; y khác A khi phương trình   1 1 1   2 2 
có hai nghiệm phân biệt khác t  2    t     2t   7 t 7 3 14  0      21 2 2 2 2 t
 2t  3t 14  0 t      3 Khi dó  3 7
y t  7t x t t 1   3  4 2 x x  2  t 1 1 2  4 2 3  và 
y y t  7t x x 1 2   1 2  2 x x  3t 14  3 7 1 2
y   3t  7t 4 2 x t t 2 2   4 2
Ta có y y  6(x x )   3
t  7t  x x  6 x x 1 2   1 2  1 2 1 2
Trang 88 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020t  1  n t  1  0  3
t  7t  6  0  t   2
1 t t  6  0   t  2    n (do 2 ) 2
t t  6  0 
t  3 l   13 
Với t  1 ta có A 1;     4 
Với t  2 ta có A 2  ; 1  0
 có hai điểm thỏa yêu cầu bài toán. 1 14 Câu 7. Cho hàm số 4 2 y x
x có đồ thị C  . Có bao nhiêu điểm A thuộc C  sao cho tiếp tuyến của 3 3
C tại A cắt C tại hai điểm phân biệt M x ; y , N x ; y ( M , N khác A ) thỏa mãn 2 2  1 1 
y y  8 x x ? 1 2  1 2  A. 0 B. 3 C. 1 D. 2 Lời giải Chọn D Cách 1:
Gọi d là tiếp tuyến của C  tại A .  x   7 4 28  3 y  x
x y  0  x  0  . 3 3  x  7 
Do tiếp tuyến tại A cắt C  tại M , N x   7; 7 . A   x  3 A y y 4 28 
Ta có: y y  8 x x  1 2 
 8  k  8. Suy ra 3 x
x  8  x  1  . 1 2 1 2 d A A A x x 3 3  1 2  x  2   Ax  1 
Đối chiếu điều kiện: A
. Vậy có 2 điểm A thỏa ycbt. x  2   A Cách 2:  1 14  Gọi 4 2 A a; a a
 là tọa độ tiếp điểm  3 3   4 28  1 14
Phương trình tiếp tuyến tại A là 3 d : y a a
  x a  4 2  a a  3 3  3 3
Phương trình hoành độ giao điểm của C  và d là: 1 28  4 28  1 14 4 2 3 x x a a
  x a  4 2  a a 3 3  3 3  3 3  x a
  x a2  2 2
x  2ax  3a 14  0   2 2
x  2ax  3a 14  0   1 
Để C  cắt d tại 3 điểm phân biệt  Phương trình  
1 có hai nghiệm phân biệt khác a   0   7    
a   7; 7 \   . 2   6a 14  0   3     4 28 
Theo đề bài: y y  8 x x  3  a a x x  8 x x 1 2 1 2    1 2   1 2   3 3 
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 89
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489a  3 4 28 3   a
a  8  a  1  . 3 3  a  2   a  1 
Đối chiếu điều kiện: 
. Vậy có 2 điểm A thỏa đề bài. a  2   x 1 Câu 8. Cho hàm số y
có đồ thị C  . Phương trình tiếp tuyến của C  tại điểm có hoành độ x 1
x  1 2  3 cắt hai đường tiệm cận của C  tại A và B . Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm
cận của của C  . Diện tích tam giác IAB bằng: 3 2  2 3  2
A. 4 2  3. B. 4 . C. 5 . D. . 2 Lời giải Chọn B Ta có: 2
y x  x 2 1
Đường tiệm cận đứng x  1 .
Đường tiệm cận ngang y  1.
Giao điểm của hai tiệm cận I 1;  1 . 2  2  3
x  1 2  3  y  .   2  3  y    2 1 2 3  .  2  32
Phương trình tiếp tuyến của C  tại điểm có hoành độ x  1 2  3 là  2 2  2  3  : y x  1 2  3  . 2       2  3 2 3  4  2  3     TCÑ A1;  .  2 3    
  TCN  B 1 2 2  2 3;  1 . 4 IA  . 2  3 IB  2 2  2 3 . 1
Tam giác IAB vuông tại I nên S  . IA IB  4 . IAB 2 2x  3 Câu 9. Cho hàm số y
có đồ thị C  . Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận của C  . Biết x  2
rằng tồn tại hai điểm M thuộc đồ thị C  sao cho tiếp tuyến tại M của C  tạo với đường tiệm cận
của một tam giác có chu vi nhỏ nhất. Tổng hoành độ của hai điểm M là: A. 4 . B. 0 . C. 3 . D. 1. Lời giải Chọn A
Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của C  là: x  2; y  2  I 2; 2
Trang 90 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Phương trình tiếp tuyến tại M x ; y là 0 0  1 2x  3
d  : y y x  x x   y   x x  2  0  0 0 0 0  x  2 x  2 0 0  2x  2 
d  giao với hai đường tiệm cận của C tại 2 điểm 0 A 2; , B   2x  2;2 0  x  2  0  2 2 C
IA IB AB IA IB IA IBIAB IA IB  2 
IA IB
  IA IB1  2  2     2   2   
 2  x  2 1   4  2 2 0   x  2   2  0      min C
 4  2 2 tại x  3; x  1. IAB 0 0
Vậy tổng hoành độ của hai điểm M là: 4 .
--------------- HẾT ---------------
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 91
Document Outline

  • 6. Đồ thị hàm số và các bài toán liên quan - câu hỏi
  • 6. Đồ thị hàm số và các bài toán liên quan - đáp án