Tổng ôn tập TN THPT 2020 môn Toán: Nguyên hàm Toán 12

Tổng ôn tập TN THPT 2020 môn Toán: Nguyên hàm Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

24 12 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Môn: Toán 12

Thông tin:

38 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
A. NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)
0d .x C

d .k x kx C
1
d .
1
n
n
x
x x C
n

1
1 ( )
( ) d .
1
n
n
ax b
ax b x C
a n
1
d ln .x x C
x

1 1
d ln .x ax b C
ax b a
2
1 1
d .x C
x
x

2
1 1 1
d .
( )
x C
a ax b
ax b
sin d cos .x x x C

1
sin( )d cos( ) .ax b x ax b C
a
cos d sin .x x x C

1
cos( )d sin( ) .ax b x ax b C
a
2
1
d cot .
sin
x x C
x

2
d 1
cot( ) .
sin ( )
x
ax b C
a
ax b
2
1
d tan .
cos
x x C
x

2
d 1
tan( ) .
cos ( )
x
ax b C
a
ax b
d .
x x
e x e C

1
d .
ax b ax b
e x e C
a
d .
ln
x
x
a
a x C
a

1
d .
ln
x
x
a
a x C
a
♦ Nhận xét. Khi thay
x
bằng
( )ax b
thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm
1
a
Một số nguyên tắc tính cơ bản
Tích của đa thức hoặc lũy thừa
PP
khai triễn.
Tích các hàm mũ
PP
khai triển theo công thức mũ.
Bậc chẵn của sin và cosin
Hạ bậc:
2 2
1 1 1 1
sin cos2 , cos cos2 .
2 2 2 2
a a a a
Chứa tích các căn thức của
x
PP
chuyển về lũy thừa.
Câu 1. Họ nguyên hàm của hàm số
cos 6f x x x
là
A.
2
sin 3x x C
. B.
2
sin 3x x C
. C.
2
sin 6x x C
. D.
sin x C
.
Câu 2. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
2 6f x x
là
A.
2
6x x C
. B.
2
2x C
. C.
2
2 6x x C
. D.
2
x C
.
Câu 3. Họ tất cả nguyên hàm của hàm số
2 4f x x
là
A.
2
2 4x x C
. B.
2
4x x C
. C.
2
x C
. D.
2
2x C
.
Câu 4. Họ nguyên hàm của hàm số
e
x
f x x
là
A.
2
e
x
x C
. B.
2
1
e
2
x
x C
. C.
2
1 1
e
1 2
x
x C
x
. D.
e 1
x
C
.
Câu 5. Nguyên hàm của hàm số
4 2
f x x x
là
NGUYÊN HÀM
Vấn đề 13
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
A.
3
4 2
x x C
B.
5 3
1 1
C.
4 2
x x C
D.
5 3
x x C
.
Câu 6. Nguyên hàm của hàm số
3 2
f x x x
là
A.
4 3
x x C
. B.
4 3
1 1
4 3
x x C
. C.
2
3 2
x x C
. D.
3 2
x x C
.
Câu 7. Tìm nguyên hàm của hàm số
cos 3f x x
A.
cos 3 3 sin 3
xdx x C
B.
sin 3
cos 3
3
x
xdx C
C.
cos 3 sin 3
xdx x C
D.
sin 3
cos 3
3
x
xdx C
Câu 8. Họ nguyên hàm của hàm số
1
sinf x x
x
là
A.
ln cos
x x C
. B.
2
1
cos
x C
x
. C.
ln cos
x x C
. D.
ln cos
x x C
.
Câu 9. Cho biết
F x
là một nguyên hàm của hàm số
f x
trên
. Tìm
2 1 d .I f x x
A.
2
I xF x x C
. B.
2 1
I xF x C
. C.
2 1
I F x C
. D.
2
I F x x C
.
Câu 10. Nguyên hàm của hàm số
1
x
f x e
là
A.
x
e x C
. B.
x
e x C
. C.
x
e x C
. D.
x
e x C
.
Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số
2 1.
f x x
A.
2
2 1 2 1 .
3
f x dx x x C
B.
1
2 1 2 1 .
3
f x dx x x C
C.
1
2 1 .
3
f x dx x C
D.
1
2 1 .
2
f x dx x C
Câu 12. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
sin e 5
x
f x x x
?
A.
2
5
cos e 1
2
x
F x x x
. B.
cos e 5 3
x
F x x x
.
C.
2
5
cos e
2
x
F x x x
. D.
2
e 5
cos
1 2
x
F x x x
x
.
Câu 13. Cho
1
d ln
f x x x C
x
( với
C
là hằng số tùy ý ), trên miền
0;

, chọn khẳng định đúng
về hàm số
f x
.
A.
lnf x x x
. B.
2
1x
f x
x
.
C.
1
lnf x x x
x
. D.
2
1
lnf x x
x
.
Câu 14. Nguyên hàm của hàm số
1
f x x
x
trên khoảng
0;
là
A.
2
1
1 .C
x
B.
1 ln .x C
C.
2
2
1
.x C
x
D.
2
ln .
2
x
x C
Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số
2
e
x
f x
A.
2 2
e d 2e
x x
x C
. B.
2 2
e d e
x x
x C
.
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
C.
2 1
2
e
e d
2 1
x
x
x C
x
. D.
2 2
1
e d e
2
x x
x C
.
Câu 16. Nguyên hàm của hàm số
1
f x
x x
là
A.
2
x
C
. B.
2
C
x
. C.
2
C
x
. D.
2
x
C
.
Câu 17. Cho hàm số
( )y f x
thỏa mãn
(0) 1
f
,
'( ) 2 sinf x x x
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2
( ) cos .f x x x
B.
2
( ) cos 2.
f x x x
C.
2
( ) cos .f x x x
D.
2
( ) cos 1.
f x x x
Câu 18. Tìm họ nguyên hàm
3
1
d
2 1
F x x
x
.
A.
2
1
4 2 1
F x C
x
. B.
2
1
6 2 1
F x C
x
C.
3
1
4 2 1
F x C
x
. D.
3
1
6 2 1
F x C
x
.
Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số
3
cosf x x
là
A.
4
cos
4
x
C
. B.
3
sin
sin
3
x
x C
. C.
3
sin
3
x
x C
. D.
3
sin
sin
3
x
x C
.
Câu 20. Tìm nguyên hàm của hàm số
2
2
cos
x
x
e
f x e
x
.
A.
2
tan
x
F x x C
e
. B.
2 tan
x
F x e x C
.
C.
2
tan
x
F x x C
e
. D.
2 tan
x
F x e x C
.
Câu 21. Xác định họ nguyên hàm
F x
của hàm số
2
2 3
1
x x
f x x e
A.
2
2 3
,
2
x x
e C
F x C R
. B.
2
2 3
,
1
x x
e C
F x C R
x
.
C.
2
2 3
2 ,
x x
F x e C C R
. D.
2
2 3
,
x x
F x e C C R
.
Câu 22. Họ nguyên hàm của hàm số
2 2
sin cosf x x x
là
A.
1 1
sin4
4 16
x x C
. B.
1 1
sin4
8 32
x x
. C.
1 1
sin 4
8 8
x x C
. D.
1 1
sin4
8 32
x x C
.
Câu 23. Cho
109
2 1 dF x x x
, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
108
2 1
.
108
x
F x C
B.
110
2 1
.
110
x
F x C
C.
108
2 1
.
216
x
F x C
D.
110
2 1
.
220
x
F x C
Câu 24. Tìm các hàm số
( )f x
biết
'
2
cos
( )
(2 sin )
x
f x
x
.
A.
2
sin
( )
(2 sin )
x
f x C
x
. B.
1
( )
(2 cos )
f x C
x
.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
C.
1
( )
2 sin
f x C
x
. D.
sin
( )
2 sin
x
f x C
x
.
Câu
25.
Họ nguyên hàm của hàm số
2019
2 1y x
là
A.
2018
2 1
2018
x
C
. B.
2020
2 1
4040
x
C
. C.
2020
2 1
2020
x
C
. D.
2018
2 1
4036
x
C
.
Câu 26. Hàm nào sau đây là nguyên hàm của hàm số
3sin cos
sin 2 cos
x x
f x
x x
A.
2 ln sin 2cosy x x x
. B.
ln sin 2cosy x x x
.
C.
ln sin 2cosy x x x
. D.
ln sin 2cosy x x
.
B. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỈ
1. Công thức thường áp dụng
1 1
d ln .x ax b C
ax b a
2
1 1 1
d .
( )
x C
a ax b
ax b
ln ln ln( ).a b ab
ln ln ln
a
a b
b
ln ln .
n
a n a
ln1 0.
2. Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ
( )
d .
( )
P x
I x
Q x
Nếu bậc của tử số
( )P x
bậc của mẫu số
( )Q x
PP
Chia đa thức.
Nếu bậc của tử số
( )P x
bậc của mẫu số
( )Q x
PP
phân tích mẫu
( )Q x
thành tích số, rồi sử dụng
phương pháp che để đưa về công thức nguyên hàm số 01.
Nếu mẫu không phân tích được thành tích số
PP
thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa bằng
cách đặt
tan ,X a t
nếu mẫu đưa được về dạng
2 2
.X a
Câu 27. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
2
( )
1
x
f x
x
trên khoảng
1;

là
A.
3ln 1 .x x C
B.
3ln 1 .x x C
C.
2
3
.
1
x C
x
D.
2
3
.
1
x C
x
Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số
1
5 2
f x
x
.
A.
d
5ln 5 2
5 2
x
x C
x
B.
d 1
ln 5 2
5 2 5
x
x C
x
C.
d
ln 5 2
5 2
x
x C
x
D.
d 1
ln 5 2
5 2 2
x
x C
x
Câu 29. Họ nguyên hàm của hàm số
1
( )
3 1
f x
x
trên khoảng
1
;
3

là:
A.
1
ln(3 1)
3
x C
B.
ln(1 3 )
x C
C.
1
ln(1 3 )
3
x C
D.
ln(3x 1)
C
Câu 30. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
2
2 1
2
x
f x
x
trên khoảng
2;
là
A.
1
2ln 2
2
x C
x
. B.
1
2ln 2
2
x C
x
.
C.
3
2ln 2
2
x C
x
. D.
3
2ln 2
2
x C
x
.
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
Câu 31. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
2
3 1
( )
( 1)
x
f x
x
trên khoảng
(1; )
là
A.
2
3ln( 1)
1
x c
x
. B.
1
3ln( 1)
1
x c
x
.
C.
1
3ln( 1)
1
x c
x
. D.
2
3ln( 1)
1
x c
x
.
Câu 32. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
2
3 2
2
x
f x
x
trên khoảng
2;
là
A.
4
3ln 2
2
x C
x
. B.
2
3ln 2
2
x C
x
C.
2
3ln 2
2
x C
x
D.
4
3ln 2
2
x C
x
Câu 33. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
2
2 1
1
x
f x
x
trên khoảng
1;
là
A.
2
2ln 1
1
x C
x
. B.
3
2ln 1
1
x C
x
.
C.
2
2ln 1
1
x C
x
. D.
3
2ln 1
1
x C
x
.
Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số
1
1 2
f x
x
trên
1
;
2

.
A.
1
ln 1 2
2
x C
. B.
ln 2 1
x C
. C.
1
ln 2 1
2
x C
. D.
1
ln 2 1
2
x C
.
Câu 35. Cho biết
2 13
d ln 1 ln 2
( 1)( 2)
x
x a x b x C
x x
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
2 8
a b
. B.
8
a b
. C.
2 8
a b
. D.
8
a b
.
Câu 36. Tích phân
2
1
2
0
1
d ln
1
x
I x a b c
x
, trong đó
a
,
b
,
c
là các số nguyên. Tính giá trị của biểu
thức
a b c
?
A.
3
. B.
0
. C.
1
. D.
2
.
Câu 37. Cho biết
2
3 1
ln
4 3 3
a x
dx C
x x b x
, với
b
là số thực dương và
a
b
là phân số tối giản .
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
2 8
a b
. B.
8
a b
. C.
2 8
a b
. D.
8
a b
.
Câu 38. Cho biết
4 1
ln 2 3
2 3 2
x b
dx ax x C
x
, với mọi
3
;
2
x
. Mệnh đề nào sau đây
đúng?
A.
2 1
a b
. B.
2 3
a b
. C.
2 9
a b
. D.
2 7
a b
.
Câu 39. Biết
2
2 3
F x ax bx c x
, , a b c
là một nguyên hàm của hàm số
2
20 30 11
2 3
x x
f x
x
trên khoảng
3
;
2

. Tính
T a b c
.
A.
8
T
. B.
5
T
. C.
6
T
. D.
7
T
.
C. TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
1) Công thức nguyên hàm từng phần
d ( )d
( )
( )d ( ) ( 0)
d ( )d
u f x x
u f x
v g x x G x C
v g x x
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Khi đó ta có
.d . .du v u v v u
hay
( ) ( )d ( ) ( ) ( ) ( )df x g x x f x G x G x f x x
2) Công thức tích phân từng phần
d ( )d
( )
( )d ( ) ( 0)
d ( )d
u f x x
u f x
v g x x G x C
v g x x
Khi đó ta có
.d . .d
b b
b
a
a a
u v u v v u
hay
( ) ( )d ( ) ( ) ( ) ( )d
b b
b
a
a a
f x g x x f x G x G x f x x
3) Công thức đạo hàm của hàm số sơ cấp và hàm hợp.
1
x x
.
1n n
.
uv u v uv
.
sin cosu u u
.
cos sinu u u
.
x x
e e
u u
e e u
1
ln x
x
Hàm số
F x
là một nguyên hàm của hàm số
f x
nếu
F x f x
.
. d . . d
u x v x x u x v x v x u x x
.
1
d
1
x
x x C
, với
1
.
1
d ln
x x C
x
d
x x
e x e C
sin d cos
x x x C
cos d sin
x x x C
Câu 40. Cho hàm số
f x
liên tục trên
. Biết
cos 2x
là một nguyên hàm của hàm số
e
x
f x
, họ tất cả
các nguyên hàm của hàm số
e
x
f x
là:
A.
sin 2 cos 2
x x C
. B.
2sin 2 cos 2
x x C
.
C.
2sin 2 cos 2
x x C
. D.
2sin 2 cos 2
x x C
.
Câu 41. Họ nguyên hàm của hàm số
4 1 ln
f x x x
là
A.
2 2
2 ln 3
x x x
.
B.
2 2
2 ln
x x x
.
C.
2 2
2 ln 3
x x x C
.
D.
2 2
2 ln
x x x C
.
Câu 42. Cho
2
1
2
F x
x
là một nguyên hàm của hàm số
f x
x
. Tìm nguyên hàm của hàm số
lnf x x
.
A.
2 2
ln 1
ln d
2
x
f x x x C
x x
B.
2 2
ln 1
ln d
x
f x x x C
x x
C.
2 2
ln 1
ln d
x
f x x x C
x x
D.
2 2
ln 1
ln d
2
x
f x x x C
x x
Câu 43. Họ nguyên hàm của hàm số
4
x
f x x xe
là
A.
5
1
1
5
x
x x e C
. B.
5
1
5
x
x xe C
. C.
5
1
1
5
x
x x e C
. D.
3
4 1
x
x x e C
.
Câu 44. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
2
( )
x
f x xe
?
A.
2
1 1
( ) .
2 2
x
F x e x C
B.
2
1
( ) 2 .
2
x
F x e x C
C.
2
( ) 2 2 .
x
F x e x C
D.
2
1
( ) 2 .
2
x
F x e x C
Câu 45. Biết
cos 2 d sin 2 cos 2
x x x ax x b x C
với
a
,
b
là các số hữu tỉ. Tính tích
ab
?
A.
1
8
ab
. B.
1
4
ab
. C.
1
8
ab
. D.
1
4
ab
.
Câu 46. Họ nguyên hàm của hàm số
1 sinf x x x
là
A.
2
sin cos
2
x
x x x C
. B.
2
cos sin
2
x
x x x C
.
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
C.
2
cos sin
2
x
x x x C
. D.
2
sin cos
2
x
x x x C
.
Câu 47. Tìm nguyên hàm
3
( 1) dx
x
J x e
.
A.
3 3
1 1
( 1)
3 3
x x
J x e e C
. B.
3 3
1 1
( 1)
3 9
x x
J x e e C
.
C.
3 3
1 1
( 1)
3 9
x x
J x e e C
. D.
3 3
1
( 1)
3
x x
J x e e C
.
Câu 48. Kết quả tính
2 ln 1x x dx
bằng:
A.
2
2
1 ln 1 .
2
x
x x x c
B.
2
2
1 ln 1 .
2
x
x x x c
C.
2
2
ln 1 .
2
x
x x x c
D.
2
2
1 ln 1 .
2
x
x x x c
Câu 49. Họ nguyên hàm của hàm số
sin
x
f x x e x
là
A.
1 cos sin
x
x e x x x C
. B.
1 cos sin
x
x e x x x C
.
C.
1 cos sin
x
x e x x x C
. D.
1 cos sin
x
x e x x x C
.
Câu 50. Tìm một nguyên hàm
F x
của hàm số
2
ln 2x
f x
x
?
A.
1
ln 2 1
F x x
x
. B.
1
ln 2 1
F x x
x
.
C.
1
1 ln 2F x x
x
. D.
1
ln 2 1
F x x
x
.
Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số
2 3 lnf x x x
là
A.
2
2
3 ln 3
2
x
x x x x C
. B.
2
2
3 ln 3
2
x
x x x x C
.
C.
2
2
3 ln 3
2
x
x x x x C
. D.
2
2
3 ln 3
2
x
x x x x C
.
Câu 52. Tất cả các nguyên hàm của hàm số
2
sin
x
f x
x
trên khoảng
0;
là
A.
cot ln sin
x x x C
. B.
cot ln sin
x x x C
.
C.
cot ln sin
x x x C
. D.
cot ln sin
x x x C
.
D. NGUYÊN HÀM CÓ ĐIỀU KIỆN
Câu 53. Cho hàm số
f x
thỏa mãn
' 3 5 sinf x x
và
0 10
f
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
3 5 cos 5
f x x x
B.
3 5 cos 2
f x x x
C.
3 5 cos 15
f x x x
D.
3 5cos 2
f x x x
Câu 54. Cho
F x
là một nguyên hàm của hàm số
( ) 2
x
f x e x
thỏa mãn
3
0
2
F
. Tìm
F x
.
A.
2
1
2
2
x
F x e x
B.
2
5
2
x
F x e x
C.
2
3
2
x
F x e x
D.
2
1
2
x
F x e x
Câu 55. Biết
F x
là một nguyên hàm của
1
1
f x
x
và
2 1
F
. Tính
3
F
.
A.
F
B.
F
C.
1
3
2
F
D.
7
3
4
F
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 56. Tìm nguyên hàm
F x
của hàm số
sin cosf x x x
thoả mãn
2
2
F
A.
cos sin 3F x x x
B.
cos sin 3F x x x
C.
cos sin 1F x x x
D.
cos sin 1F x x x
Câu 57. Cho
1
x
F x x e
là một nguyên hàm của hàm số
2x
f x e
. Tìm nguyên hàm của hàm số
2x
f x e
.
A.
2
d 2
x x
f x e x x e C
B.
2
2
d
2
x x
x
x
f e x e C
C.
2
d 2
x x
f x e x x e C
D.
2
d 4 2
x x
f x e x x e C
Câu 58.
F x
là một nguyên hàm của hàm số
2
2 1
x
f x x e
thỏa
0 0
F
. Tính
1
F
A.
2
1 2F e
. B.
2
1
2
e
F
. C.
2
1
F e
. D.
2
1
2
3e
F
.
Câu 59. Biết
F x
là một nguyên hàm của hàm số
-
( ) sin
x
f x e x
thỏa mãn
0 0
F
. Tìm
.F x
A.
-
( )= cos 2
x
F x e x
. B.
-
( ) cos
x
F x e x
.
C.
-
( ) cos - 2
x
F x e x
. D.
-
( ) - cos 2
x
F x e x
.
Câu 60. Cho
( )F x
là một nguyên hàm của
2
( )
2
f x
x
. Biết
1 0
F
. Tính
2
F
kết quả là.
A.
ln8 1
. B.
4ln 2 1
. C.
2ln3 2
. D.
2ln 4
.
Câu 61. Biết
tan
1 cos
dx x
a C
x b
với
,a b
là các số nguyên dương. Tính
2 ?S a b
A. – 5. B. – 2. C. 0. D. – 3.
Câu 62. Cho
ln
a
F x x b
x
là một nguyên hàm của hàm số
2
1 ln x
f x
x
, trong đó
,a b
. Giá trị
2S b a
bằng
A.
6
. B.
0
. C.
4
. D.
2
.
Câu 63. Cho
3
1
3
F x
x
là một nguyên hàm của hàm số
f x
x
. Tìm nguyên hàm của hàm số
lnf x x
A.
3 5
ln 1
ln d
5
x
f x x x C
x x
B.
3 3
ln 1
ln d
3
x
f x x x C
x x
C.
3 3
ln 1
ln d
3
x
f x x x C
x x
D.
3 5
ln 1
ln d
5
x
f x x x C
x x
Câu 64. Cho hàm số
f x
có đạo hàm và liên tục trên
và
2
2e 1
x
f x
x
,
0 2
f
. Hàm
f x
là
A.
2e 2
x
y x
. B.
2e 2
x
y
. C.
2
x
y x
. D.
2
e 1
x
y x
.
Câu 65. Cho
2
cos
x
f x
x
trên
;
2 2
và
F x
là một nguyên hàm của
. 'x f x
thỏa mãn
0 0
F
. Tính
3
F
?
A.
2
3
ln 2
36 3
. B.
2
4 3
ln 2
9 3
. C.
2
4 3
ln 2
9 3
. D.
2
3
ln 2
36 3
.
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
Câu 66. Cho
a
là số thực khác
0
,
F x
là một nguyên hàm của hàm số
1
ln
x
f x e ax
x
thỏa mãn
1
0
F
a
và
2018
2018
F e
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2018;a
. B.
1
;1
2018
a
. C.
1
0;
2018
a
. D.
1;2018
a
.
Câu 67. Biết
2 2
1
3 e d e 2 , ,
x x
x x x n C m n
m
. Giá trị của
2 2
m n
bằng
A.
10
. B.
65
. C.
5
. D.
41
.
Câu 68. Cho
( )F x
là một nguyên hàm của hàm số
4 3 2
2 1
2
x
f x
x x x
trên khoảng
0;

thỏa mãn
1
1
2
F
. Giá trị của biểu thức
1 2 3 2019
S F F F F
bằng
A.
2019
2020
. B.
2019.2021
2020
. C.
1
2018
2020
. D.
2019
2020
.
Câu 69. Cho
f x
và
g x
là hai hàm số liên tục và có một nguyên hàm lần lượt là
2019
F x x
,
2
2020
G x x
. Tìm một nguyên hàm
H x
của hàm số
.
h x f x g x
, biết
1 3
H
.
A.
3
3
H x x
. B.
2
5
H x x
. C.
3
1
H x x
. D.
2
2
H x x
.
Câu 70. Giả sử
2
x
F x ax bx c e
là một nguyên hàm của hàm số
2
x
f x x e
. Tính tích
P abc
.
A.
4P
. B.
1P
. C.
5
P
. D.
3
P
.
Câu 71. Gọi
F x
là một nguyên hàm của hàm số
2
x
f x
, thỏa mãn
1
0
ln 2
F
. Tính giá trị biểu
thức
0 1 2 ... 2019
T F F F F
.
A.
2020
2 1
ln 2
T
. B.
2019
2 1
1009.
2
T
. C.
2019.2020
2T
. D.
2019
2 1
ln 2
T
.
Câu 72. Cho hàm số
f x
xác định trên
\ 1;1
R
thỏa mãn
2
1
'
1
f x
x
. Biết
3 3 4
f f
và
1 1
2
3 3
f f
. Giá trị của biểu thức
5 0 2
f f f
bằng
A.
1
5 ln 2
2
. B.
1
6 ln 2
2
. C.
1
5 ln 2
2
. D.
1
6 ln 2
2
.
E. NGUYÊN HÀM HÀM ẨN
Câu 73. Cho hàm số
f x
thỏa mãn
1
2
25
f
và
2
3
4
f x x f x
với mọi
x
. Giá trị của
1f
bằng
A.
41
400
B.
1
10
C.
391
400
D.
1
40
Câu 74. Cho hàm số
f x
thỏa mãn
e ,
x
f x f x x
và
0 2
f
. Tất cả các nguyên hàm
của
2
e
x
f x
là
A.
2 e e
x x
x C
. B.
2
2 e e
x x
x C
. C.
1 e
x
x C
. D.
1 e
x
x C
.
Câu 75. Cho hàm số
y f x
đồng biến và có đạo hàm liên tục trên
thỏa mãn
2
. ,
x
f x f x e x
và
0 2
f
. Khi đó
2
f
thuộc khoảng nào sau đây?
A.
12;13 .
B.
9;10 .
C.
11;12 .
D.
13 14; .
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 76. Cho hàm số
y f x
thỏa mãn
0, 0
f x x
và có đạo hàm
f x
liên tục trên khoảng
0;
thỏa mãn
2
2 1 , 0
f x x f x x
và
1
1
2
f
. Giá trị của biểu thức
1 2 ... 2020
f f f
bằng
A.
2020
2021
. B.
2015
2019
. C.
2019
2020
. D.
2016
2021
.
Câu 77. Cho hàm số
y f x
thỏa mãn
4
2
19
f
và
3 2
f x x f x x
. Giá trị của
1f
bằng
A.
2
3
. B.
1
2
. C.
1
. D.
3
4
.
Câu 78. Cho hàm số
y f x
liên tục trên
\ 1;0
thỏa mãn điều kiện:
1 2ln 2
f
và
2
. 1 .
x x f x f x x x
. Biết
2 .ln3
f a b
(
a
,
b
). Giá trị
2 2
2
a b
là
A.
27
4
. B.
9
. C.
3
4
. D.
9
2
.
Câu 79. Cho hàm số
( )f x
có đạo hàm liên tục trên khoảng
(0; )
, biết
2
2 1 0
f x x f x
,
0
f x
,
0 0
f x x
,
1
2
6
f
. Tính giá trị của
1 2 ... 2019
P f f f
.
A.
2020
2019
P
. B.
2019
2020
P
. C.
2018
2019
P
. D.
2021
2020
P
.
Câu 80. Cho hàm số
f x
liên tục trên
\ 1;0
thỏa mãn điều kiện:
1 2ln 2
f
và
2
. 1 .
x x f x f x x x
1
. Biết
2 .ln3
f a b
, a b
. Giá trị của
2 2
2
a b
là:
A.
27
4
. B.
9
. C.
3
4
. D.
9
2
.
Câu 81. Cho
2
(4 ) d 3
f x x x x c
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2
( 2) d 2
4
x
f x x x C
. B.
2
( 2) d 7
f x x x x C
.
C.
2
( 2) d 4
4
x
f x x x C
. D.
2
( 2)d 4
2
x
f x x x C
.
Câu 82. Cho hàm số
f x
thỏa mãn
2
2
9
f
và
2
2
f x x f x
với mọi
x
. Giá trị của
1f
bằng
A.
35
36
. B.
2
3
. C.
19
36
. D.
2
15
.
Câu 83. Cho hàm số
f x
liên tục và có đạo hàm trên
0;
2
, thỏa mãn
3
tan .
cos
x
f x x f x
x
.
Biết rằng
3 3 ln3
3 6
f f a b
trong đó
,a b
. Giá trị của biểu thức
P a b
bằng
A.
14
9
. B.
2
9
. C.
7
9
. D.
4
9
.
Câu 84. Cho hàm số
y f x
liên tục trên
\ 1;0
thỏa mãn
1 2ln 2 1
f
,
1 2 1
x x f x x f x x x
,
\ 1;0
x
. Biết
2 ln3
f a b
, với
a
,
b
là hai
số hữu tỉ. Tính
2
T a b
.
A.
3
16
T
. B.
21
16
T
. C.
3
2
T
. D.
0
T
.
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
Câu 85. Cho
hàm số
y
f x
có
đạo hàm liên tục trên
1
;
và
thỏa mã
n
3
2 .ln
xf x f x x x f x
,
1;x
;
biết
3
e
3e
f
.
Giá trị
2
f
t
huộc khoảng
nào dưới đây?
A.
25
12;
2
. B.
27
13;
2
. C.
23
;12
2
. D.
29
14;
2
.
------------------- HẾT -------------------
TÀ
I LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
A. NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)
0d
.x C

d
.k x kx C
1
d
.
1
n
n
x
x
x C
n

1
1 ( )
(
) d .
1
n
n
ax b
ax
b x C
a n
1
d
ln .x x C
x

1
1
d
ln .x ax b C
ax
b a
2
1
1
d .x C
x
x

2
1
1 1
d
.
(
)
x
C
a ax b
ax
b
sin d cos .x x x C

1
s
in( )d cos( ) .ax b x ax b C
a
c
os d sin .x x x C

1
cos( )d sin( ) .ax b x ax b C
a
2
1
d cot .
si
n
x x C
x

2
d 1
c
ot( ) .
sin
( )
x
ax
b C
a
ax
b
2
1
d
tan .
co
s
x
x C
x

2
d
1
ta
n( ) .
c
os ( )
x
ax
b C
a
a
x b
d
.
x
x
e
x e C

1
d
.
ax b ax b
e
x e C
a
d
.
ln
x
x
a
a
x C
a

1
d
.
ln
x
x
a
a
x C
a
♦ N
hận xét. Khi thay
x
bằng
(
)ax b
thì khi
lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm
1
a
Một s
ố nguyên tắc tính cơ bản
T
ích của đa thức hoặc lũy thừa
P
P
khai
triễn.
T
ích các hàm mũ
P
P
k
hai triển theo công thức mũ.
Bậc
chẵn của sin và cosin
Hạ bậc
:
2
2
1 1 1 1
sin cos2 , cos cos2 .
2 2 2 2
a a a a
Chứa tích các căn thức của
x
P
P
chuyển về lũy thừa.
Câu 1. Họ nguyên hàm của hàm số
c
os 6f x x x
là
A.
2
si
n 3x x C
. B.
2
si
n 3x x C
. C.
2
si
n 6x x C
. D.
sin x
C
.
Lời
giải
Chọn A
Ta có
2
d
cos 6 d sin 3f x x x x x x x C
.
Câu 2. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
2
6f x x
là
A.
2
6x
x C
. B.
2
2x
C
. C.
2
2
6x x C
. D
.
2
x
C
.
Lời giải
Chọn A
2
2
6 6x dx x x C
NGUYÊN H
ÀM
V
ấn đề 13
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 3. Họ tất cả nguyên hàm của hàm số
2 4
f x x
là
A.
2
2 4
x x C
. B.
2
4
x x C
. C.
2
x C
. D.
2
2
x C
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
2
2 4 4
f x dx x dx x x C
.
Câu 4. Họ nguyên hàm của hàm số
e
x
f x x
là
A.
2
e
x
x C
. B.
2
1
e
2
x
x C
. C.
2
1 1
e
1 2
x
x C
x
. D.
e 1
x
C
.
Lời giải
Chọn B.
Ta có
e d
x
x x
2
1
e
2
x
x C
.
Câu 5. Nguyên hàm của hàm số
4 2
f x x x
là
A.
3
4 2
x x C
B.
5 3
1 1
C.
4 2
x x C
D.
5 3
x x C
.
Lời giải
Chọn B
f x dx
4 2
x x dx
5 3
1 1
5 3
x x C
.
Câu 6. Nguyên hàm của hàm số
3 2
f x x x
là
A.
4 3
x x C
. B.
4 3
1 1
4 3
x x C
. C.
2
3 2
x x C
. D.
3 2
x x C
.
Lời giải
Chọn
4 3
1 1
4 3
x x C
Câu 7. Tìm nguyên hàm của hàm số
cos 3f x x
A.
cos 3 3 sin 3
xdx x C
B.
sin 3
cos 3
3
x
xdx C
C.
cos 3 sin 3
xdx x C
D.
sin 3
cos 3
3
x
xdx C
Lời giải
Chọn B
Ta có:
sin 3
cos 3
3
x
xdx C
Câu 8. Họ nguyên hàm của hàm số
1
sinf x x
x
là
A.
ln cos
x x C
. B.
2
1
cos
x C
x
. C.
ln cos
x x C
. D.
ln cos
x x C
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
1 1
d sin d d sin d ln cos
f x x x x x x x x x C
x x
.
Câu 9. Cho biết
F x
là một nguyên hàm của hàm số
f x
trên
. Tìm
2 1 d .I f x x
A.
2
I xF x x C
. B.
2 1
I xF x C
. C.
2 1
I F x C
. D.
2
I F x x C
.
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
Lời giải
Chọn D
Ta có
2 1 d 2 d 1d 2 .I f x x f x x x F x x C
Câu 10. Nguyên hàm của hàm số
1
x
f x e
là
A.
x
e x C
. B.
x
e x C
. C.
x
e x C
. D.
x
e x C
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
1
x x
f x dx e dx e x C
.
Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số
2 1.
f x x
A.
2
2 1 2 1 .
3
f x dx x x C
B.
1
2 1 2 1 .
3
f x dx x x C
C.
1
2 1 .
3
f x dx x C
D.
1
2 1 .
2
f x dx x C
Lời giải
Chọn B
1
2
1
2 1 2 1 2 1
2
1
2 1 2 1
3
f x dx x dx x d x
x x C
Câu 12. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
sin e 5
x
f x x x
?
A.
2
5
cos e 1
2
x
F x x x
. B.
cos e 5 3
x
F x x x
.
C.
2
5
cos e
2
x
F x x x
. D.
2
e 5
cos
1 2
x
F x x x
x
.
Lời giải
Chọn A
Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản, ta có:
2
5
d sin e 5 d cos e
2
x x
f x x x x x x x C
.
Vậy
2
5
cos e 1
2
x
F x x x
là một nguyên hàm của hàm số
sin e 5
x
f x x x
.
Câu 13. Cho
1
d ln
f x x x C
x
( với
C
là hằng số tùy ý ), trên miền
0;

, chọn khẳng định
đúng về hàm số
f x
.
A.
lnf x x x
. B.
2
1x
f x
x
.
C.
1
lnf x x x
x
. D.
2
1
lnf x x
x
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
2 2
1 1 1 1
ln
x
f x x C
x x x x
Câu 14. Nguyên hàm của hàm số
1
f x x
x
trên khoảng
0;
là
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
A.
2
1
1 .C
x
B.
1 ln .x C
C.
2
2
1
.x C
x
D.
2
ln .
2
x
x C
Lời giải
Chọn D
Ta có
2
1
dx dx ln .
2
x
f x x x C
x
Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số
2
e
x
f x
A.
2 2
e d 2e
x x
x C
. B.
2 2
e d e
x x
x C
.
C.
2 1
2
e
e d
2 1
x
x
x C
x
. D.
2 2
1
e d e
2
x x
x C
.
Lời giải
Chọn D
2 2 2
1 1
e d e d 2 e .
2 2
x x x
x x C
Câu 16. Nguyên hàm của hàm số
1
f x
x x
là
A.
2
x
C
. B.
2
C
x
. C.
2
C
x
. D.
2
x
C
.
Lời giải
Chọn C
1
3
2
2
3
2
1 1 2
d d d
1
2
x
x x x x C C
x x x
x
.
Câu 17. Cho hàm số
( )y f x
thỏa mãn
(0) 1
f
,
'( ) 2 sinf x x x
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2
( ) cos .f x x x
B.
2
( ) cos 2.
f x x x
C.
2
( ) cos .f x x x
D.
2
( ) cos 1.
f x x x
Lời giải
Chọn B
Ta có:
2
( ) '( ) 2 sin cos
f x f x dx x x dx x x C
.
2
(0) 1 1 2 ( ) cos 2
f C C f x x x
.
Câu 18. Tìm họ nguyên hàm
3
1
d
2 1
F x x
x
.
A.
2
1
4 2 1
F x C
x
. B.
2
1
6 2 1
F x C
x
C.
3
1
4 2 1
F x C
x
. D.
3
1
6 2 1
F x C
x
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
3
3 3
1 1 1 1
d d 2 1 2 1 d 2 1
2 2
2 1 2 1
F x x x x x
x x
.
2
2
1 1
. 2 1
4
4 2 1
x C C
x
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
Vậy
2
1
4 2 1
F x C
x
.
Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số
3
cosf x x
là
A.
4
cos
4
x
C
. B.
3
sin
sin
3
x
x C
. C.
3
sin
3
x
x C
. D.
3
sin
sin
3
x
x C
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
3
3 2 2
sin
cos d 1 sin cos d 1 sin d sin sin
3
x
x x x x x x x x C
.
Vậy họ nguyên hàm của hàm số
3
là
3
sin
sin
3
x
x C
.
Câu 20. Tìm nguyên hàm của hàm số
2
2
cos
x
x
e
f x e
x
.
A.
2
tan
x
F x x C
e
. B.
2 tan
x
F x e x C
.
C.
2
tan
x
F x x C
e
. D.
2 tan
x
F x e x C
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
2
2 d
cos
x
x
e
e x
x
2
1 2
2 d tan
cos
x
x
e x x C
x e
Câu 21. Xác định họ nguyên hàm
F x
của hàm số
2
2 3
1
x x
f x x e
A.
2
2 3
,
2
x x
e C
F x C R
. B.
2
2 3
,
1
x x
e C
F x C R
x
.
C.
2
2 3
2 ,
x x
F x e C C R
. D.
2
2 3
,
x x
F x e C C R
.
Lời giải
Chọn A
Xét
2
2 2
2 3
2 3 2 3 2
1
1 2 3
2 2
x x
x x x x
e C
I x e dx e d x x
.
Câu 22. Họ nguyên hàm của hàm số
2 2
sin cosf x x x
là
A.
1 1
sin4
4 16
x x C
. B.
1 1
sin4
8 32
x x
. C.
1 1
sin 4
8 8
x x C
. D.
1 1
sin4
8 32
x x C
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
2 2 2
1 1 1 cos 4 1 1
sin cos sin 2 . cos 4
4 4 2 8 8
x
f x x x x x
.
Do đó
1 1 1 1
cos 4 sin 4
8 8 8 32
d d
f x x x x x x C
.
Câu 23. Cho
109
2 1 dF x x x
, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
108
2 1
.
108
x
F x C
B.
110
2 1
.
110
x
F x C
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
C.
108
2 1
.
216
x
F x C
D.
110
2 1
.
220
x
F x C
Lời giải
Chọn D
109
2 1 dF x x x
109
1
2 1 d 2 +1
2
x x
110
2 1
1
.
2 110
x
C
110
2 1
.
220
x
C
Câu 24. Tìm các hàm số
( )f x
biết
'
2
cos
( )
(2 sin )
x
f x
x
.
A.
2
sin
( )
(2 sin )
x
f x C
x
. B.
1
( )
(2 cos )
f x C
x
.
C.
1
( )
2 sin
f x C
x
. D.
sin
( )
2 sin
x
f x C
x
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
'
2 2
cos d(2 sin ) 1
( ) ( )d d
2 sin
(2 sin ) (2 sin )
x x
f x f x x x C
x
x x
.
Câu 25.
Họ nguyên hàm của hàm số
2019
2 1y x
là
A.
2018
2 1
2018
x
C
. B.
2020
2 1
4040
x
C
. C.
2020
2 1
2020
x
C
. D.
2018
2 1
4036
x
C
.
Lời giải
ChọnB
Ta có:
2020 2020
2019 2019
2 1 2 1
1 1
2 1 d 2 1 d 2 1 .
2 2 2020 4040
x x
x x x x C C
.
Câu 26. Hàm nào sau đây là nguyên hàm của hàm số
3sin cos
sin 2cos
x x
f x
x x
A.
2 ln sin 2cosy x x x
. B.
ln sin 2cosy x x x
.
C.
ln sin 2cosy x x x
. D.
ln sin 2cosy x x
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
sin 2cos cos 2sin
cos 2sin
1
sin 2cos sin 2cos
x x x x
x x
f x
x x x x
.
cos 2sin
1 ln sin 2cos
sin 2cos
x x
f x dx dx x x x C
x x
.
B. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỈ
1. Công thức thường áp dụng
1 1
d ln .x ax b C
ax b a
2
1 1 1
d .
( )
x C
a ax b
ax b
ln ln ln( ).a b ab
ln ln ln
a
a b
b
ln ln .
n
a n a
ln1 0.
2. Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ
( )
d .
( )
P x
I x
Q x
Nếu bậc của tử số
( )P x
bậc của mẫu số
( )Q x
PP
Chia đa thức.
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
Nếu bậc của tử số
( )P x
bậc của mẫu số
( )Q x
PP
phân tích mẫu
( )Q x
thành tích số, rồi sử
dụng phương pháp che để đưa về công thức nguyên hàm số 01.
Nếu mẫu không phân tích được thành tích số
PP
thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa bằng
cách đặt
tan ,X a t
nếu mẫu đưa được về dạng
2 2
.X a
Câu 27. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
2
( )
1
x
f x
x
trên khoảng
1;

là
A.
3ln 1 .x x C
B.
3ln 1 .x x C
C.
2
3
.
1
x C
x
D.
2
3
.
1
x C
x
Lời giải
Chọn A
Trên khoảng
1;

thì
1 0
x
nên
2 3
( )d d 1 d 3ln 1 3ln 1 .
1 1
x
f x x x x x x C x x C
x x
Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số
1
5 2
f x
x
.
A.
d
5ln 5 2
5 2
x
x C
x
B.
d 1
ln 5 2
5 2 5
x
x C
x
C.
d
ln 5 2
5 2
x
x C
x
D.
d 1
ln 5 2
5 2 2
x
x C
x
Lời giải
Chọn B
Áp dụng công thức
d 1
ln 0
x
ax b C a
ax b a
ta được
d 1
ln 5 2
5 2 5
x
x C
x
.
Câu 29. Họ nguyên hàm của hàm số
1
( )
3 1
f x
x
trên khoảng
1
;
3

là:
A.
1
ln(3 1)
3
x C
B.
ln(1 3 )
x C
C.
1
ln(1 3 )
3
x C
D.
ln(3x 1)
C
Lời giải
Chọn C
Ta có:
1 1 (3 1) 1 1
ln 3 1 ln(1 3x) C
3 1 3 3 1 3 3
d x
dx x C
x x
(do
1
;
3
x

)
Câu 30. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
2
2 1
2
x
f x
x
trên khoảng
2;
là
A.
1
2ln 2
2
x C
x
. B.
1
2ln 2
2
x C
x
.
C.
3
2ln 2
2
x C
x
. D.
3
2ln 2
2
x C
x
.
Lời giải
Chọn A
Đặt
2 1
x t x t dx dt
với
0t
Ta có
2 2
2 1 2 1 1
d dt = dt 2ln
t
f x x t C
t t t t
Hay
1
d 2ln 2 .
2
f x x x C
x
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 31. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
2
3 1
( )
( 1)
x
f x
x
trên khoảng
(1; )
là
A.
2
3ln( 1)
1
x c
x
. B.
1
3ln( 1)
1
x c
x
.
C.
1
3ln( 1)
1
x c
x
. D.
2
3ln( 1)
1
x c
x
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
2 2 2
3 3 2 3( 1) 2 3 2
( )
( 1) ( 1) 1 ( 1)
x x
f x
x x x x
Vậy
2
3 2
( )d ( )d
1 ( 1)
f x x x
x x
2
d( 1) d( 1)
3 2
1 ( 1)
x x
x x
2
3ln 1 2 ( 1) d( 1)
x x x
2
3ln( 1)
1
x C
x
vì
1x
.
Câu 32. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
2
3 2
2
x
f x
x
trên khoảng
2;
là
A.
4
3ln 2
2
x C
x
. B.
2
3ln 2
2
x C
x
C.
2
3ln 2
2
x C
x
D.
4
3ln 2
2
x C
x
Lời giải
Chọn D
Ta có
2 2 2
3 2 4
3 2 3 4
2
2 2 2
x
x
f x
x
x x x
. Do đó
2 2
3 2 3 4 4
3ln 2
2 2
2 2
x
dx dx x C
x x
x x
.
Câu 33. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
2
2 1
1
x
f x
x
trên khoảng
1;
là
A.
2
2ln 1
1
x C
x
. B.
3
2ln 1
1
x C
x
.
C.
2
2ln 1
1
x C
x
. D.
3
2ln 1
1
x C
x
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
2 2 2
2 1 3
2 1 2 3 3
d d d d 2ln 1 .
1 1
1 1 1
x
x
f x x x x x x C
x x
x x x
Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số
1
1 2
f x
x
trên
1
;
2

.
A.
1
ln 1 2
2
x C
. B.
ln 2 1
x C
. C.
1
ln 2 1
2
x C
. D.
1
ln 2 1
2
x C
.
Lời giải
Chọn D
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
Với mọi
1
;
2
x

ta có:
1 1 1
d ln 1 2 ln 2 1
1 2 2 2
x x C x C
x
.
Câu 35. Cho biết
2 13
d ln 1 ln 2
( 1)( 2)
x
x a x b x C
x x
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
2 8
a b
. B.
8
a b
. C.
2 8
a b
. D.
8
a b
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
2 13
d
( 1)( 2)
x
x
x x
5 3
d
1 2
x
x x
1 1
5 d 3 d
1 1
x x
x x
5ln 1 3ln 2
x x C
.
Vậy
5
3
a
b
8
a b
.
Câu 36. Tích phân
2
1
2
0
1
d ln
1
x
I x a b c
x
, trong đó
a
,
b
,
c
là các số nguyên. Tính giá trị của biểu
thức
a b c
?
A.
3
. B.
0
. C.
1
. D.
2
.
Lời giải
Chọn D
Ta có :
2
1
2
0
1
d
1
x
I x
x
1
2
0
2
1 d
1
x
x
x
1
2
0
ln 1 1 ln 2
x x
.
Khi đó
1a
,
2b
,
1c
.
Vậy
2
a b c
.
Câu 37. Cho biết
2
3 1
ln
4 3 3
a x
dx C
x x b x
, với
b
là số thực dương và
a
b
là phân số tối giản .
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
2 8
a b
. B.
8
a b
. C.
2 8
a b
. D.
8
a b
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
2
3 3 3 1 1
d d d
4 3 1 3 2 1 3
x x x
x x x x x x
3 3 1
ln 1 ln 3 ln
2 2 3
x
x x C
x
.
Vậy
3, 2 2 8
a b a b
.
Câu 38. Cho biết
4 1
ln 2 3
2 3 2
x b
dx ax x C
x
, với mọi
3
;
2
x
. Mệnh đề nào sau đây
đúng?
A.
2 1
a b
. B.
2 3
a b
. C.
2 9
a b
. D.
2 7
a b
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
4 1 5 5
d 2 d 2 ln 2 3
2 3 2 3 2
x
x x x x C
x x
Vì
3
;
2
x
nên
2 3 2 3
x x
.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Do đó
4 1 5
d 2 ln 2 3
2 3 2
x
x x x C
x
. Vậy
2, 5 2 1
a b a b
.
Câu 39. Biết
2
2 3
F x ax bx c x
, , a b c
là một nguyên hàm của hàm số
2
20 30 11
2 3
x x
f x
x
trên khoảng
3
;
2

. Tính
T a b c
.
A.
8
T
. B.
5
T
. C.
6
T
. D.
7
T
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
F x f x
.
Tính
2
1
2 2 3 .
2 3
F x ax b x ax bx c
x
2
2 2 3
2 3
ax b x ax bx c
x
2
5 3 6 3
2 3
ax b a x b c
x
.
Do đó
2
5 3 6 3
2 3
ax b a x b c
x
2
20 30 11
2 3
x x
x
2 2
5 3 6 3 20 30 11
ax b a x b c x x
5 20
3 6 30
3 11
a
b a
b c
4
2
5
a
b
c
7
T
.
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
C. TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
1) Công thức nguyên hàm từng phần
d ( )d
( )
( )d ( ) ( 0)
d ( )d
u f x x
u f x
v g x x G x C
v g x x
Khi đó ta có
.d . .du v u v v u
hay
( ) ( )d ( ) ( ) ( ) ( )df x g x x f x G x G x f x x
2) Công thức tích phân từng phần
d ( )d
( )
( )d ( ) ( 0)
d ( )d
u f x x
u f x
v g x x G x C
v g x x
Khi đó ta có
.d . .d
b b
b
a
a a
u v u v v u
hay
( ) ( )d ( ) ( ) ( ) ( )d
b b
b
a
a a
f x g x x f x G x G x f x x
3) Công thức đạo hàm của hàm số sơ cấp và hàm hợp.
1
x x
.
1n n
.
uv u v uv
.
sin cosu u u
.
cos sinu u u
.
x x
e e
u u
e e u
1
ln x
x
Hàm số
F x
là một nguyên hàm của hàm số
f x
nếu
F x f x
.
. d . . d
u x v x x u x v x v x u x x
.
1
d
1
x
x x C
, với
1
.
1
d ln
x x C
x
d
x x
e x e C
sin d cos
x x x C
cos d sin
x x x C
Câu 40. Cho hàm số
f x
liên tục trên
. Biết
cos 2x
là một nguyên hàm của hàm số
e
x
f x
, họ tất
cả các nguyên hàm của hàm số
e
x
f x
là:
A.
sin 2 cos 2
x x C
. B.
2sin 2 cos 2
x x C
.
C.
2sin 2 cos 2
x x C
. D.
2sin 2 cos 2
x x C
.
Lời giải
Chọn C
Do
cos 2x
là một nguyên hàm của hàm số
e
x
f x
nên
cos 2 2sin 2
e e
x x
f x x f x x
.
Khi đó ta có
cos2e d
x
f x x x C
.
Đặt
d d
d e d e
x x
u f x u f x x
v x v
.
Khi đó
cos2e d
x
f x x x C
cos2d e
x
f x x C
cos2e e d
x x
f x f x x x C
2sin 2 cos2e d
x
f x x x x C
.
Vậy tất cả các nguyên hàm của hàm số
e
x
f x
là
2sin 2 cos 2
x x C
.
Câu 41. Họ nguyên hàm của hàm số
4 1 ln
f x x x
là
A.
2 2
2 ln 3
x x x
.
B.
2 2
2 ln
x x x
.
C.
2 2
2 ln 3
x x x C
.
D.
2 2
2 ln
x x x C
.
Lời giải
Chọn D.
Cách 1. Ta có
d 4 1 ln d 4 d 4 ln d
f x x x x x x x x x x
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
+ Tính
2
1
4 d 2
x x x C
+ Tính
4 ln d
x x x
Đặt
2
1
d d
ln
d 4 d
2
u x
u x
x
v x x
v x
Suy ra
2 2 2
2
4 ln d 2 ln 2 d 2 ln
x x x x x x x x x x C
Do đó
2 2
2 ln
I x x x C
.
Cách 2. Ta có
2 2 2 2 2
2 ln 2 .ln 2 . ln
x x x x x x x x
2
1
4 .ln 2 . 2 x x x x
x
4 1 ln
x x
.
Do đó
2 2
2 ln
x x x
là một nguyên hàm của hàm số
4 1 ln
f x x x
.
Hay
2 2
2 ln
x x x C
là họ nguyên hàm của hàm số
4 1 ln
f x x x
.
Câu 42. Cho
2
1
2
F x
x
là một nguyên hàm của hàm số
f x
x
. Tìm nguyên hàm của hàm số
lnf x x
.
A.
2 2
ln 1
ln d
2
x
f x x x C
x x
B.
2 2
ln 1
ln d
x
f x x x C
x x
C.
2 2
ln 1
ln d
x
f x x x C
x x
D.
2 2
ln 1
ln d
2
x
f x x x C
x x
Lời giải
Chọn A
Ta có:
2
1
d
2
f x
x
x x
. Chọn
2
1
.
f x
x
Khi đó:
3
2
ln d ln df x x x x x
x
. Đặt
3
2
d
ln
d
.
2
1
d d
x
u x
u
x
v x
v
x
x
Khi đó:
3 2 3 2 2
ln ln 1 ln 1
ln d d d .
2
x x x
f x x x x x C
x x x x x
Câu 43. Họ nguyên hàm của hàm số
4
x
f x x xe
là
A.
5
1
1
5
x
x x e C
. B.
5
1
5
x
x xe C
. C.
5
1
1
5
x
x x e C
. D.
3
4 1
x
x x e C
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
4 5
1
5
x x
f x dx x xe dx x xe dx
.
Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
.
Suy ra
5 5 5
1 1 1
1
5 5 5
x x x x x
f x dx x xe e dx x xe e C x x e C
.
Câu 44. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
2
( )
x
f x xe
?
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
A.
2
1 1
( ) .
2 2
x
F x e x C
B.
2
1
( ) 2 .
2
x
F x e x C
C.
2
( ) 2 2 .
x
F x e x C
D.
2
1
( ) 2 .
2
x
F x e x C
Lời giải
Chọn A
Ta có
2
( )
x
F x xe dx
Đặt
2
2
1
2
x
x
du dx
u x
v e
dv e dx
Suy ra
2 2
1 1
( )
2 2
x x
F x xe e dx
2 2 2
1 1 1 1
2 4 2 2
x x x
xe e C e x C
Câu 45. Biết
cos 2 d sin 2 cos 2
x x x ax x b x C
với
a
,
b
là các số hữu tỉ. Tính tích
ab
?
A.
1
8
ab
. B.
1
4
ab
. C.
1
8
ab
. D.
1
4
ab
.
Lời giải
Chọn A
Đặt
d d
1
d cos2 d
sin 2
2
u x
u x
v x x
v x
Khi đó
1 1
cos 2 d sin 2 sin 2 d
2 2
x x x x x x x
1 1
sin 2 cos 2
2 4
x x x C
1
2
a
,
1
4
b
.
Vậy
1
8
ab
.
Câu 46. Họ nguyên hàm của hàm số
1 sinf x x x
là
A.
2
sin cos
2
x
x x x C
. B.
2
cos sin
2
x
x x x C
.
C.
2
cos sin
2
x
x x x C
. D.
2
sin cos
2
x
x x x C
.
Lời giải
Chọn B
Xét
1 sin d .I x x x
Đặt
d d
.
d 1 sin d
cos
u x
u x
v x x
v x x
2 2
2
cos cos d cos sin cos sin .
2 2
x x
I x x x x x x x x x x C x x x C
Câu 47. Tìm nguyên hàm
3
( 1) dx
x
J x e
.
A.
3 3
1 1
( 1)
3 3
x x
J x e e C
. B.
3 3
1 1
( 1)
3 9
x x
J x e e C
.
C.
3 3
1 1
( 1)
3 9
x x
J x e e C
. D.
3 3
1
( 1)
3
x x
J x e e C
.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Lời giải
Chọn B
Đặt
3
3
du dx
1
1
dv dx
3
x
x
u x
v e
e
.
Khi đó
3 3 3 3
1 1 1 1
( 1) dx ( 1)
3 3 3 9
x x x x
J x e e x e e C
.
Câu 48. Kết quả tính
2 ln 1x x dx
bằng:
A.
2
2
1 ln 1 .
2
x
x x x c
B.
2
2
1 ln 1 .
2
x
x x x c
C.
2
2
ln 1 .
2
x
x x x c
D.
2
2
1 ln 1 .
2
x
x x x c
Lời giải
Chọn D
2 ln 1I x x dx
Đặt
2
1
ln 1
.
1
2
1
du dx
u x
x
dv xdx
v x
Khi đó
2
2
1
1 ln 1
1
x
I x x dx
x
2
1 ln 1 1x x x dx
2
2
1 ln 1 .
2
x
x x x c
Câu 49. Họ nguyên hàm của hàm số
sin
x
f x x e x
là
A.
1 cos sin
x
x e x x x C
. B.
1 cos sin
x
x e x x x C
.
C.
1 cos sin
x
x e x x x C
. D.
1 cos sin
x
x e x x x C
.
Lời giải
Chọn A
Đặt
sin
x
I x e x dx
.
sin
x
u x
dv e x dx
cos
x
du dx
v e x
cos cos
x x
I x e x e x dx
cos sin
x x
I x e x e x C
1 cos sin
x
I x e x x x C
Câu 50. Tìm một nguyên hàm
F x
của hàm số
2
ln 2x
f x
x
?
A.
1
ln 2 1
F x x
x
. B.
1
ln 2 1
F x x
x
.
C.
1
1 ln 2F x x
x
. D.
1
ln 2 1
F x x
x
.
Lời giải
Chọn B
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
Đặt
2
1
ln 2
d d
1
1
d d
u x
u x
x
v x
v
x
x
.
Do đó
2 2
ln 2 1 1 1 1 1
d ln 2 d ln 2 ln 2 1
x
x x x x C x C
x x x x x x
Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số
2 3 lnf x x x
là
A.
2
2
3 ln 3
2
x
x x x x C
. B.
2
2
3 ln 3
2
x
x x x x C
.
C.
2
2
3 ln 3
2
x
x x x x C
. D.
2
2
3 ln 3
2
x
x x x x C
.
Lời giải
Chọn D
Đặt
2
d
ln
d
2 3 d
3
x
u x
u
x
dv x x
v x x
.
2 2
2 3 ln 3 ln 3
dx
x xdx x x x x x
x
2
3 ln 3
x x x x dx
2
2
3 ln 3
2
x
x x x x C
.
Câu 52. Tất cả các nguyên hàm của hàm số
2
sin
x
f x
x
trên khoảng
0;
là
A.
cot ln sin
x x x C
. B.
cot ln sin
x x x C
.
C.
cot ln sin
x x x C
. D.
cot ln sin
x x x C
.
Lời giải
Chọn A
Đặt
2
d d
1
cot
d d
sin
u x
u x
v x
v x
x
.
Khi đó:
2
d sin
cos
d .cot cot d .cot d .cot
sin sin sin
x
x x
x x x x x x x x x x
x x x
.cot ln sin
x x x C
.
Với
0; sin 0 ln sin ln sinx x x x
.
Vậy
2
d cot ln sin
sin
x
x x x x C
x
.
D. NGUYÊN HÀM CÓ ĐIỀU KIỆN
Câu 53. Cho hàm số
f x
thỏa mãn
' 3 5 sinf x x
và
0 10
f
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
3 5 cos 5
f x x x
B.
3 5 cos 2
f x x x
C.
3 5 cos 15
f x x x
D.
3 5cos 2
f x x x
Lời giải
Chọn A
Ta có
3 5 sinx 3 5 cos
f x dx x x C
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Theo giả thiết
0 10
f
nên
5 10 5C C
.
Vậy
3 5 cos 5.
f x x x
Câu 54. Cho
F x
là một nguyên hàm của hàm số
( ) 2
x
f x e x
thỏa mãn
3
0
2
F
. Tìm
F x
.
A.
2
1
2
2
x
F x e x
B.
2
5
2
x
F x e x
C.
2
3
2
x
F x e x
D.
2
1
2
x
F x e x
Lời giải
Chọn D
Ta có
2
2 d
x x
F x e x x e x C
Theo bài ra ta có:
3 1
0 1
2 2
F C C
.
Câu 55. Biết
F x
là một nguyên hàm của
1
1
f x
x
và
2 1
F
. Tính
3
F
.
A.
F
B.
F
C.
1
3
2
F
D.
7
3
4
F
Lời giải
Chọn B
1
( ) ( )d d ln 1
1
F x f x x x x C
x
.
(2) 1 ln1 1 1
F C C
.
Vậy
( ) ln 1 1
F x x
. Suy ra
(3) ln 2 1
F
.
Câu 56. Tìm nguyên hàm
F x
của hàm số
sin cosf x x x
thoả mãn
2
2
F
A.
cos sin 3F x x x
B.
cos sin 3F x x x
C.
cos sin 1F x x x
D.
cos sin 1F x x x
Lời giải
Chọn D
Có
d sin cos d cos sin
F x f x x x x x x x C
Do
cos sin 2 1 2 1
2 2 2
F C C C
cos sin 1F x x x
.
Câu 57. Cho
1
x
F x x e
là một nguyên hàm của hàm số
2x
f x e
. Tìm nguyên hàm của hàm số
2x
f x e
.
A.
2
d 2
x x
f x e x x e C
B.
2
2
d
2
x x
x
x
f e x e C
C.
2
d 2
x x
f x e x x e C
D.
2
d 4 2
x x
f x e x x e C
Lời giải
Chọn C
Theo đề bài ta có
2
. d 1
x x
f x e x x e C
, suy ra
2
. 1 1 .
x x
xx
f x e x e e x e
1 . 1 .
x x x
f x e x e f x x e
Suy ra
2
d 1 d 1 d 1 d 2
x x x x x x
f x e x x e x x e e x e x e x C
.
Câu 58.
F x
là một nguyên hàm của hàm số
2
2 1
x
f x x e
thỏa
0 0
F
. Tính
1
F
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17
A.
2
1 2F e
. B.
2
1
2
e
F
. C.
2
1
F e
. D.
2
1
2
3e
F
.
Lời giải
Chọn C
F x
là một nguyên hàm của hàm số
2
2 1
x
f x x e
suy ra
1
2 1
0
0
2 1 1 0
x
x e dx F x | F F
.
Tính
1
2
0
2 1
x
I x e dx
. Đặt
2
2
2
2 1
1
2
x
x
du dx
u x
v e
dv e dx
.
Suy ra
1
2 1 2 2 2 1 2 2 2
0 0
0
1 3 1 1 3 1 1
2 1 1
2 2 2 2 2 2 2
x x x
I x e | e dx e e | e e e
.
Suy ra
2
1 0
F F e
, mặt khác
0 0
F
suy ra
2
1
F e
.
Câu 59. Biết
F x
là một nguyên hàm của hàm số
-
( ) sin
x
f x e x
thỏa mãn
0 0
F
. Tìm
.F x
A.
-
( )= cos 2
x
F x e x
. B.
-
( ) cos
x
F x e x
.
C.
-
( ) cos - 2
x
F x e x
. D.
-
( ) - cos 2
x
F x e x
.
Lời giải
Chọn D
- - -
( ) ( )d ( sin )d - d(- ) sin d - -cos
x x x
F x f x x e x x e x x x e x C
(0) 0 1 1 0 2
F C C
.
Vậy
-
( ) - cos 2
x
F x e x
.
Câu 60. Cho
( )F x
là một nguyên hàm của
2
( )
2
f x
x
. Biết
1 0
F
. Tính
2
F
kết quả là.
A.
ln8 1
. B.
4ln 2 1
. C.
2ln3 2
. D.
2ln 4
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
2
1
( ) 2 1
f x dx F F
.
2
2
1
1
2
2ln 2 2ln 4 2ln1 2ln 4
2
x
x
.
2 1 2ln 4
F F
.
2 2ln 4
F
(do
1 0
F
).
Câu 61. Biết
tan
1 cos
dx x
a C
x b
với
,a b
là các số nguyên dương. Tính
2 ?S a b
A. – 5. B. – 2. C. 0. D. – 3.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
2
tan .
1 cos 2
2cos
2
dx dx x
C
x
x
Do đó:
1, 2 2 1 4 3.
a b S a b
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 62. Cho
ln
a
F x x b
x
là một nguyên hàm của hàm số
2
1 ln x
f x
x
, trong đó
,a b
. Giá
trị
2S b a
bằng
A.
6
. B.
0
. C.
4
. D.
2
.
Lời giải
Chọn C
Vì
F x
là một nguyên hàm của hàm số
f x
nên
F x f x
Xét
2 2
.ln
1 1 1
ln ln .
a ab a x
a
F x x b a x b
x x x x x
Đồng nhất
F x f x
2 2
.ln
1 ln
a ab a x
x
x x
.
Suy ra
1 1
1 2
a ab a
a b
.
Vậy
2 2 2. 1 4
b a
.
Câu 63. Cho
3
1
3
F x
x
là một nguyên hàm của hàm số
f x
x
. Tìm nguyên hàm của hàm số
lnf x x
A.
3 5
ln 1
ln d
5
x
f x x x C
x x
B.
3 3
ln 1
ln d
3
x
f x x x C
x x
C.
3 3
ln 1
ln d
3
x
f x x x C
x x
D.
3 5
ln 1
ln d
5
x
f x x x C
x x
Lời giải
Chọn C
Ta có
3 3
3
1 1
. . .
3
f x
F x f x x F x x x x
x
x
4 4
3 ln 3 lnf x x f x x x x
Vậy
4 4
ln d 3 ln d 3 ln . df x x x x x x x x x
Đặt
3
4
d
ln ; d d ;
3
x x
u x dv x x u v
x
Nên
4
4 4
3 3 3 3
ln ln ln 1
ln d 3 ln . d 3 d d
3
3 3
x x x x
f x x x x x x x x x C
x x x x
Câu 64. Cho hàm số
f x
có đạo hàm và liên tục trên
và
2
2e 1
x
f x
x
,
0 2
f
. Hàm
f x
là
A.
2e 2
x
y x
. B.
2e 2
x
y
. C.
2
x
y x
. D.
2
e 1
x
y x
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
2
2e 1
0 2
x
f x
f
2
2e 1 d
0 2
x
f x x
f
2
e
1
x
f x x C
C
Vậy
2
e 1
x
f x x
.
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19
Câu 65. Cho
2
cos
x
f x
x
trên
;
2 2
và
F x
là một nguyên hàm của
. 'x f x
thỏa mãn
0 0
F
. Tính
3
F
?
A.
2
3
ln 2
36 3
. B.
2
4 3
ln 2
9 3
. C.
2
4 3
ln 2
9 3
. D.
2
3
ln 2
36 3
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
2
2 2
. ' dx= d dx= dx
cos cos
x x
F x x f x x f x xf x f x
x x
2
dx tan .tan tan .tan ln cos
cos
x
xd x x x xdx x x x C
x
2
2
2 2
2
tan ln cos 0 0
cos
4 3
tan ln cos ln 2
3 9 3
cos
x
F x x x x C F C
x
x
F x x x x F
x
Câu 66. Cho
a
là số thực khác
0
,
F x
là một nguyên hàm của hàm số
1
ln
x
f x e ax
x
thỏa
mãn
1
0
F
a
và
2018
2018
F e
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2018;a
. B.
1
;1
2018
a
. C.
1
0;
2018
a
. D.
1;2018
a
.
Lời giải
Chọn B
Xét
1 1 1
ln d ln d . d . d
x x x x
F x e ax x e ax x e x M e x
x x x
.
Xét
ln d
x
M e ax x
. Đặt
1
ln
d
d
x
x
u ax
du x
x
dv e x
v e
Khi đó
1
ln d .ln . d
x x x
M e ax x e ax e x
x
ln
x
F x e ax C
.
Vì
1
0 0
F C
a
suy ra
ln
x
F x e ax
.
Lại có
2018 2018
2018 ln 2018 ln 2018 1
F e a e a
2018
2018
e
a e a
. Vậy
1
;1
2018
a
.
Câu 67. Biết
2 2
1
3 e d e 2 , ,
x x
x x x n C m n
m
. Giá trị của
2 2
m n
bằng
A.
10
. B.
65
. C.
5
. D.
41
.
Lời giải
Chọn B
Đặt:
3 d d u x u x
,
2 2
1
d e d e
2
x x
v x v
.
Ta có:
2 2 2
1 1
3 e d e 3 e d
2 2
x x x
x x x x
.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
2 2 2
1 1
3 e d e 3 e
2 4
x x x
x x x C
.
2 2
1
3 e d e 2 7
4
x x
x x x C
.
Vậy, ta có
2 2
4, 7 65
m n m n .
Câu 68. Cho
( )F x
là một nguyên hàm của hàm số
4 3 2
2 1
2
x
f x
x x x
trên khoảng
0;

thỏa mãn
1
1
2
F
. Giá trị của biểu thức
1 2 3 2019
S F F F F
bằng
A.
2019
2020
. B.
2019.2021
2020
. C.
1
2018
2020
. D.
2019
2020
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
2
4 3
2
2
2 1 2 1
2
1
x x
f x
x x x
x x
.
Đặt
2
1
t x x x x
d 2 1 dt x x
.
Khi đó
2
1 1 1
d d
1
F x f x x t C C
t t x x
.
Mặt khác,
1
1
2
F
1 1
2 2
C
1
C
.
Vậy
1
1
1
F x
x x
.
Suy ra
1 1 1 1
1 2 3 2019 ... 2019
1.2 2.3 3.4 2019.2020
1 1 1 1 1 1 1 1
1 ... 2019 1 2019
2 2 3 3 4 2019 2020 2020
1 1
2018 2018 .
2020 2020
S F F F F
Câu 69. Cho
f x
và
g x
là hai hàm số liên tục và có một nguyên hàm lần lượt là
2019
F x x
,
2
2020
G x x
. Tìm một nguyên hàm
H x
của hàm số
.
h x f x g x
, biết
1 3
H
.
A.
3
3
H x x
. B.
2
5
H x x
. C.
3
1
H x x
. D.
2
2
H x x
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
1
f x F x
và
2g x G x x
2
. 2 d 2 d
h x f x g x x H x h x x x x x C
.
Mà
2 2
1 3 1 3 2 2
H C C H x x
.
Câu 70. Giả sử
2
x
F x ax bx c e
là một nguyên hàm của hàm số
2
x
f x x e
. Tính tích
P abc
.
A.
4P
. B.
1P
. C.
5
P
. D.
3
P
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
2 2 2
2 2
x x
F x ax b e ax bx c e ax a b x b c e
.
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21
Do
,F x f x x
nên ta có hệ:
1 1
2 0 2
0 2
a a
a b b
b c c
.
Vậy
4
P abc
.
Câu 71. Gọi
F x
là một nguyên hàm của hàm số
2
x
f x
, thỏa mãn
1
0
ln 2
F
. Tính giá trị biểu thức
0 1 2 ... 2019
T F F F F
.
A.
2020
2 1
ln 2
T
. B.
2019
2 1
1009.
2
T
. C.
2019.2020
2T
. D.
2019
2 1
ln 2
T
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
2
2 d
ln 2
x
x
F x x C
.
Theo giả thiết
0
1 2 1
0 0
ln 2 ln 2 ln 2
F C C
. Suy ra:
2
ln 2
x
F x
Vậy
0 1 2 2019
2 2 2 2
0 1 2 ... 2019 ...
ln 2 ln 2 ln 2 ln 2
T F F F F
2020 2020
0 1 2 2019
1 1 1 2 2 1
2 2 2 ... 2 .1.
ln 2 ln 2 1 2 ln 2
.
Câu 72. Cho hàm số
f x
xác định trên
\ 1;1
R
thỏa mãn
2
1
'
1
f x
x
. Biết
3 3 4
f f
và
1 1
2
3 3
f f
. Giá trị của biểu thức
5 0 2
f f f
bằng
A.
1
5 ln 2
2
. B.
1
6 ln 2
2
. C.
1
5 ln 2
2
. D.
1
6 ln 2
2
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
2
1
'
1
f x
x
2
1 1 1
' ln
1 2 1
x
f x f x dx dx C
x x
với
x
\ 1;1
R
.
Khi đó:
1
2
3
1 1
ln 1
2 1
1 1
ln 1 1
2 1
1 1
ln 1
2 1
x
C khi x
x
x
f x C khi x
x
x
C khi x
x
1 3
2
3 3 4
1 1
2 2
3 3
f f C C
f f C
1 3
2
4
1
C C
C
Vậy
5 0 2
f f f
3 2 1
1 3 1 1 1 1 1
ln ln ln 5 5 ln 2
2 2 2 3 2 2 2
C C C
.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
E. NGUYÊN HÀM HÀM ẨN
Câu 73. Cho hàm số
f x
thỏa mãn
1
2
25
f
và
2
3
4
f x x f x
với mọi
x
. Giá trị của
1f
bằng
A.
41
400
B.
1
10
C.
391
400
D.
1
40
Lời giải
Chọn B
Ta có
2
3
4
f x x f x
3
2
4
f x
x
f x
3
1
4
x
f x
4
1
x C
f x
Do
1
2
25
f
, nên ta có
9
C
. Do đó
4
1
9
f x
x
1
f
.
Câu 74. Cho hàm số
f x
thỏa mãn
e ,
x
f x f x x
và
0 2
f
. Tất cả các nguyên hàm
của
2
e
x
f x
là
A.
2 e e
x x
x C
. B.
2
2 e e
x x
x C
. C.
1 e
x
x C
. D.
1 e
x
x C
.
Lời giải
Chọn D
e e e 1 e 1 e
x x x x x
f x f x f x f x f x f x x C
.
Vì
0 2
f
nên
2
C
. Do đó
2
e 2 e
x x
f x x
. Vậy:
2
e d 2 e d 2 d e 2 e e d 2 2 e e d
x x x x x x x
f x x x x x x x x x
2 e e 1 e
x x x
x C x C
.
Câu 75. Cho hàm số
y f x
đồng biến và có đạo hàm liên tục trên
thỏa mãn
2
. ,
x
f x f x e x
và
0 2
f
. Khi đó
2
f
thuộc khoảng nào sau đây?
A.
12;13 .
B.
9;10 .
C.
11;12 .
D.
13 14; .
Lời giải
Chọn B
Vì hàm số
y f x
đồng biến và có đạo hàm liên tục trên
đồng thời
0 2
f
nên
0
f x
và
0
f x
với mọi
0;x

.
Từ giả thiết
2
. ,
x
f x f x e x
suy ra
2
. , 0; .
x
f x f x e x
Do đó,
2
1
, 0; .
2
2
x
f x
e x
f x
Lấy nguyên hàm hai vế, ta được
2
, 0;
x
f x e C x
với
C
là hằng số nào đó.
Kết hợp với
0 2
f
, ta được
2 1
C
.
Từ đó, tính được
2
2 2 1 9,81
f e
.
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23
Câu 76. Cho hàm số
y f x
thỏa mãn
0, 0
f x x
và có đạo hàm
f x
liên tục trên khoảng
0;
thỏa mãn
2
2 1 , 0
f x x f x x
và
1
1
2
f
. Giá trị của biểu thức
1 2 ... 2020
f f f
bằng
A.
2020
2021
. B.
2015
2019
. C.
2019
2020
. D.
2016
2021
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
2
2 1
f x x f x
2
2 1
f x
x
f x
2
d 2 1 d
f x
x x x
f x
2
1
x x C
f x
.
Mà
1
1
2
f
0
C
2
1
f x
x x
1 1
1x x
.
1
1 1
2
1 1
2
3 2
1 1
3
4 3
1 1
2020
2021 2020
f
f
f
f
1
1 2 .... 2020 1
2021
f f f
2020
2021
.
Câu 77. Cho hàm số
y f x
thỏa mãn
4
2
19
f
và
3 2
f x x f x x
. Giá trị của
1f
bằng
A.
2
3
. B.
1
2
. C.
1
. D.
3
4
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
3 2 3
2
f x
f x x f x x
f x
4
3
2
1
4
f x
x
dx x dx C
f x f x
.
Mà
4
2
19
f
19 16 3
4 4 4
C C
. Suy ra
4
4
3
f x
x
.
Vậy
1 1
f
.
Câu 78. Cho hàm số
y f x
liên tục trên
\ 1;0
thỏa mãn điều kiện:
1 2ln 2
f
và
2
. 1 .
x x f x f x x x
. Biết
2 .ln3
f a b
(
a
,
b
). Giá trị
2 2
2
a b
là
A.
27
4
. B.
9
. C.
3
4
. D.
9
2
.
Lời giải
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Chọn B
Chia cả hai vế của biểu thức
2
. 1 .
x x f x f x x x
cho
2
1
x
ta có
2
1
. .
1 1 1 1
1
x x x x
f x f x f x
x x x x
x
.
Vậy
1
. . d d 1 d ln 1
1 1 1 1
x x x
f x f x x x x x x C
x x x x
.
Do
1 2ln 2
f
nên ta có
1
. 1 1 ln 2 ln 2 1 ln 2 1
2
f C C C
.
Khi đó
1
ln 1 1
x
f x x x
x
.
Vậy ta có
3 3 3 3 3 3
2 2 ln3 1 1 ln3 ln3 ,
2 2 2 2 2 2
f a b
.
Suy ra
2 2
2 2
3 3
2 2 9
2 2
a b
.
Câu 79. Cho hàm số
( )f x
có đạo hàm liên tục trên khoảng
(0; )
, biết
2
2 1 0
f x x f x
,
0
f x
,
0 0
f x x
,
1
2
6
f
. Tính giá trị của
1 2 ... 2019
P f f f
.
A.
2020
2019
P
. B.
2019
2020
P
. C.
2018
2019
P
. D.
2021
2020
P
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
2
2
'(x) '(x)
'(x) (2 x 1).f (x) 0 2 1 (2 1)
(x) (x)
f f
f x dx x dx
f f
Suy ra
2
2
1 1
(x)
(x)
x x c f
f x x c
Mà
2
1 1 1 1
(2) 0 (x)
6 1
f c f
x x x x
(1) f(2) f(3) ... f(2019)
P f
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2019
...
1 2 2 3 3 4 2019 2020 1 2020 2020
P
Câu 80. Cho hàm số
f x
liên tục trên
\ 1;0
thỏa mãn điều kiện:
1 2ln 2
f
và
2
. 1 .
x x f x f x x x
1
. Biết
2 .ln3
f a b
, a b
. Giá trị của
2 2
2
a b
là:
A.
27
4
. B.
9
. C.
3
4
. D.
9
2
.
Lời giải
Chọn B
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25
Xét trên đoạn
1;2
, chia cả hai vế của phương trình
1
cho
2
1
x
, ta được:
2
1
1 1
1
x x
f x f x
x x
x
1 1
x x
f x
x x
1
d 1 d
1 1 1
x x
f x x x
x x x
ln 1 2
1
x
f x x x C
x
.
Theo giả thiết,
1 2ln 2
f
nên thay
1x
vào phương trình
2
, ta được:
1
1 1 ln 2 ln 2 1 ln 2 1
2
f C C C
.
Thay
2
x
vào
2
, ta được:
2 3 3
2 2 ln 3 1 2 ln 3
3 2 2
f f
.
3 3
,
2 2
a b
. Vậy
2 2
2 9
a b
.
Câu 81. Cho
2
(4 ) d 3
f x x x x c
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2
( 2) d 2
4
x
f x x x C
. B.
2
( 2) d 7
f x x x x C
.
C.
2
( 2) d 4
4
x
f x x x C
. D.
2
( 2) d 4
2
x
f x x x C
.
Lời giải
Chọn C
Từ giả thiết bài toán
2
(4 ) d 3
f x x x x c
.
Đặt
4 d 4dt x t x
từ đó ta có
2
2
1
( )d 3 ( )d 3
4 4 4 4
t t t
f t t c f t t t c
.
Xét
2 2
( 2)
( 2)d ( 2)d( 2) 3( 2) 4
4 4
x x
f x x f x x x c x C
.
Vậy mệnh đề đúng là
2
( 2)d 4
4
x
f x x x C
.
Câu 82. Cho hàm số
f x
thỏa mãn
2
2
9
f
và
2
2
f x x f x
với mọi
x
. Giá trị của
1f
bằng
A.
35
36
. B.
2
3
. C.
19
36
. D.
2
15
.
Lời giải
Ta có
0
2
2
2
1 1
2 2 2
f x
f x
f x x f x x x x C
f x f x
f x
.
Từ
2
2
9
f
suy ra
1
2
C
.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Do đó
2
1 2
1
1
3
1
2
f
.
Câu 83. Cho hàm số
f x
liên tục và có đạo hàm trên
0;
2
, thỏa mãn
3
tan .
cos
x
f x x f x
x
.
Biết rằng
3 3 ln3
3 6
f f a b
trong đó
,a b
. Giá trị của biểu thức
P a b
bằng
A.
14
9
. B.
2
9
. C.
7
9
. D.
4
9
.
Lời giải
Chọn D
3
tan .
cos
x
f x x f x
x
2
cos . sin .
cos
x
x f x x f x
x
.
2
sin .
cos
x
x f x
x
.
Do đó
2
sin . d d
cos
x
x f x x x
x
2
sin . d
cos
x
x f x x
x
Tính
2
x
.
Đặt
2
d d
d
tan
d
cos
u x
u x
x
v x
v
x
. Khi đó
2
d cos
d tan tan d tan d tan ln cos
cos cos
x
x
I x x x x x x x x x x x
x x
.
Suy ra
.tan ln cos ln cos
sin cos sin
x x x x
x
f x
x x x
.
2 2ln2 3 3
3 ln3 3 3 2ln
3 6 3 9 2
3
a b f f
5 3
ln3
9
. Suy ra
5
9
1
a
b
.
Vậy
4
9
P a b
.
Câu 84. Cho hàm số
y f x
liên tục trên
\ 1;0
thỏa mãn
1 2ln 2 1
f
,
1 2 1
x x f x x f x x x
,
\ 1;0
x
. Biết
2 ln3
f a b
, với
a
,
b
là
hai số hữu tỉ. Tính
2
T a b
.
A.
3
16
T
. B.
21
16
T
. C.
3
2
T
. D.
0
T
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
1 2 1
x x f x x f x x x
2
1
1
x
f x f x
x x
2 2
2
2
1 1
1
x x
x x
f x f x
x x
x
TÀI
LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27
'
2 2
1
1
x x
f
x
x
x
2
2
1 1
x
x
f
x dx
x x
2
2
l
n 1
1 2
x
x
f
x x x c
x
2
2
1
l
n 1 .
2
x
x
f
x x x c
x
Ta
có
1 2ln 2 1
f
1
.
c
Từ
đó
2
2
1
l
n 1 1
2
x
x
f x x x
x
,
3
3
2
ln 3.
4 4
f
Nê
n
3
4
3
4
a
b
.
Vậ
y
2
3
.
1
6
T
a b
C
âu 85. Cho hàm số
y
f x
có
đạo hàm liên tục trên
1
;
và
thỏa mãn
3
2
.ln
x
f x f x x x f x
,
1
;x
;
biết
3
e
3e
f
.
Giá trị
2
f
thuộc
khoảng nào dưới
đây?
A
.
2
5
1
2;
2
. B.
2
7
1
3;
2
. C.
2
3
;1
2
2
. D.
29
14
;
2
.
Lờ
i giải
Chọn C
Xé
t phương trình
3
2
.ln
x
f x f x x x f x
1
trê
n khoảng
1
;
:
2
3
1 2ln
1 ln . 1 2ln .
ln ln
x x
x x f x x f x x f x f x
x x x
2
.
Đặ
t
1
2ln
ln
x
g
x
x
x
.
Ta tìm một nguyên hàm
G
x
của
g
x
.
Ta
có
1
2ln 1 2ln 1
d
d d ln 2 d ln
l
n ln ln
x x
g
x x x x x
x
x x x
2
ln
ln ln 2ln ln
x
x
x C C
x
.
Ta
chọn
2
l
n
l
n
x
G
x
x
.
Nhâ
n cả 2 vế của
2
cho
2
l
n
e
G
x
x
x
, ta được:
2
3
l
n 1 2ln
1
x
x
f x f x
x x
2
2
l
n ln
1
x x
f
x f x x C
x
x
3
.
Theo
giả thiết,
3
e
3e
f
nên thay
3
e
x và
o
3
, ta
được:
3
3
3 3
3 3
2 2
l
n e
1
.
e e 3e e 0
e 3 e
f C C
.
Từ
đây, ta tìm được
3
3
2
2
ln ln 2
x
f
x f
x
.Vậy
23
2 ;12
2
f
.
------------------- HẾT -------------------
| 1/38
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:


TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Vấn đề 13 NGUYÊN HÀM
A. NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý) 0dx C.  
k dx kx C.  n 1 x n 1 ax b   n 1 ( )  n x dx  C. 
 (ax b) dx  C.  n  1 a n  1 1 1 1 
dx  ln x C.   dx
ln ax b C.  x ax b a 1 1 1 1 1  dx   C.   dx    C.  2 x x 2 (ax b) a ax b
sin xdx  cos x C.  1
 sin(ax b)dx   cos(ax b) C.  a
cosx dx  sin x C.  1 
cos(ax b)dx  sin(ax b) C.  a 1 dx 1 
dx  cotx C.  
  cot(ax b) C.  2 sin x 2 sin (ax b) a 1 dx 1 
dx  tan x C.  
 tan(ax b) C.  2 cos x 2 cos (ax b) ax d x
e x e C.  ax b  1  ax be dx eC.  a x a a  x 1 xx a dx  C.   a dx  C.  lna lna 1
♦ Nhận xét. Khi thay x bằng (ax b) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm a
Một số nguyên tắc tính cơ bản
Tích của đa thức hoặc lũy thừa PP   khai triễn.
Tích các hàm mũ PP 
khai triển theo công thức mũ. 1 1 1 1  2 2
Bậc chẵn của sin và cosin Hạ bậc: sin a   cos2 ,
a cos a   cos2 . a 2 2 2 2
Chứa tích các căn thức của x PP 
chuyển về lũy thừa. Câu 1.
Họ nguyên hàm của hàm số f x  cos x  6x là A. 2
sin x  3x C . B. 2
 sin x  3x C . C. 2
sin x  6x C .
D.  sin x C . Câu 2.
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x  2x  6 là A. 2
x  6x C . B. 2 2x C . C. 2
2x  6x C . D. 2 x C . Câu 3.
Họ tất cả nguyên hàm của hàm số f x  2x  4 là A. 2
2x  4x C . B. 2
x  4x C . C. 2
x C . D. 2
2x C . Câu 4.
Họ nguyên hàm của hàm số    ex f xx là 1 x 1 x 1 A. x 2 e  x C . B. 2 e  x C . C. 2 e 
x C . D. ex 1 C . 2 x 1 2 Câu 5. Nguyên hàm của hàm số   4 2
f x x x là
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 1 1 A. 3
4 x  2 x C B. 5 3 x x C C. 4 2
x x C D. 5 3
x x C . 5 3 Câu 6. Nguyên hàm của hàm số   3 2
f x x x là 1 1 A. 4 3
x x C . B. 4 3 x x C . C. 2
3x  2x C . D. 3 2
x x C . 4 3 Câu 7.
Tìm nguyên hàm của hàm số f x  cos 3x sin 3x A. xdx x   cos 3 3 sin 3 C B. cos 3xdx    C 3 sin 3x C. xdx x   cos 3 sin 3 C
D. cos 3xdx     C 3 1 Câu 8.
Họ nguyên hàm của hàm số f x   sin x là x 1
A. ln x  cos x C . B.
 cos x C .
C. ln x  cos x C .
D. ln x  cos x C . 2 x Câu 9.
Cho biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên  . Tìm I  2 f x 1 d  . x   
A. I  2xF x  x C . B. I  2xF x 1 C . C. I  2F x 1 C . D. I  2F x  x C .
Câu 10. Nguyên hàm của hàm số   x f x e  1 là A. x
e x C . B. xe
x C . C. x e
x C . D. x
e x C .
Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số f x  2x 1. 2 1 A.
f xdx  2x   1 2x 1  C.  B.
f xdx  2x   1 2x 1  C.  3 3 1 1 C.
f xdx   2x 1  C.  D.
f xdx  2x 1  C.  3 2
Câu 12. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số    sin  ex f x x  5x ? x 5
A. F x 2   cos x  e  x 1 . B.    cos  ex F x x  5x  3 . 2 ex 5 x 5
C. F x 2  cos x  e  x .
D. F x 2   cos x   x . 2 x 1 2 1 Câu 13. Cho
f x dx   ln x C
( với C là hằng số tùy ý ), trên miền 0;  , chọn khẳng định đúng x
về hàm số f x . x 1
A. f x  x  ln x .
B. f x  . 2 x 1 1
C. f x   x   ln x .
D. f x    ln x . x 2 x 1
Câu 14. Nguyên hàm của hàm số f x  x  trên khoảng 0;   là x 1 1 2 x A. 1  C.
B. 1 ln x C. C. 2 x   C. D.
 ln x C. 2 x 2 x 2
Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số   2  e x f x A. 2 2 e d  2e   x x x C . B. 2 2 e d  e   x x x C .
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 2 x 1 1 x e  C. 2 e dx    C . D. 2 2 e d  e   x x x C . 2x  1 2 1
Câu 16. Nguyên hàm của hàm số f x  là x x x 2 2 x A.   C . B. C . C.   C . D. C . 2 x x 2
Câu 17. Cho hàm số y f (x) thỏa mãn f (0)  1, f '(x)  2x  sin x . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2
f (x)  x  cos . x B. 2
f (x)  x  cos x  2. C. 2
f (x)  x  cos . x D. 2
f (x)  x  cos x 1. 1
Câu 18. Tìm họ nguyên hàm F x  dx  . 2x  3 1 1  1 
A. F x   C .
B. F x   C 42x  2 1 62x  2 1 1  1 
C. F x   C .
D. F x   C . 42x  3 1 6 2x  3 1
Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số f x 3  cos x là 4 cos x 3 sin x 3 sin x 3 sin x A. C . B. sin x
C . C. x   C . D.  sin x   C . 4 3 3 3 x    e
Câu 20. Tìm nguyên hàm của hàm số f xxe 2   . 2  cos x   2
A. F x  
 tan x C . B.    2 x F x
e  tan x C . x e 2
C. F x  
 tan x C . D.    2 x F x e
 tan x C . x e
Câu 21. Xác định họ nguyên hàm F x của hàm số     2 2 3 1 x x f x x e     2 x 2 x3 2 eC x 2 x3 eC
A. F x 
, C R .
B. F x 
, C R . 2 x 1
C. F x 2 x 2 x3  2e
C, C R .
D. F x 2 x 2 x3  e
C, C R .
Câu 22. Họ nguyên hàm của hàm số f x 2 2
 sin x cos x là 1 1 1 1 1 1 1 1 A. x
sin 4x C . B. x  sin 4x . C.
x  sin 4x C . D. x
sin 4x C . 4 16 8 32 8 8 8 32
Câu 23. Cho F x   x  109 2 1 dx
, mệnh đề nào dưới đây đúng? x  108 2 1  x  110 2 1
A. F x   C.
B. F x   C. 108 110  x  108 2 1  x  110 2 1
C. F x   C.
D. F x   C. 216 220 cos x
Câu 24. Tìm các hàm số f (x) biết ' f (x)  . 2 (2  sin x) sin x 1
A. f (x)   C .
B. f (x)   C . 2 (2  sin x) (2  cos x)
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 1 sin x
C. f (x)    C .
D. f (x)   C . 2  sin x 2  sin x
Câu 25. Họ nguyên hàm của hàm số y   x  2019 2 1 là  x  2018 2 1  x  2020 2 1  x  2020 2 1  x  2018 2 1 A. C . B. C . C. C . D. C . 2018 4040 2020 4036 3sin x  cos x
Câu 26. Hàm nào sau đây là nguyên hàm của hàm số f x 
sin x  2 cos x
A. y  2x  ln sin x  2 cos x .
B. y x  ln sin x  2 cos x .
C. y x  ln sin x  2 cos x .
D. y  ln sin x  2 cos x .
B. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỈ
1. Công thức thường áp dụng 1 1 1 1 1  dx
ln ax b C.   dx    C.  ax b a 2 (ax b) a ax b a
 lna  lnb  ln(ab).  lna  lnb  ln  b  ln n
a n lna.  ln1  0. P(x)
2. Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ I  dx.  Q(x)
Nếu bậc của tử số P(x)  bậc của mẫu số Q(x) PP   Chia đa thức.
Nếu bậc của tử số P(x)  bậc của mẫu số Q(x) PP 
phân tích mẫu Q(x) thành tích số, rồi sử dụng
phương pháp che để đưa về công thức nguyên hàm số 01.
Nếu mẫu không phân tích được thành tích số PP 
thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa bằng
cách đặt X a tant, nếu mẫu đưa được về dạng 2 2
X a . x  2
Câu 27. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) 
trên khoảng 1;  là x 1 3 3
A. x  3ln  x   1  . C
B. x  3ln  x   1  .
C C. x   C. D. x   C.  x  2 1  x  2 1 1
Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số f x  . 5x  2 dx dx 1 A.  5 ln 5x  2   C B.  ln 5x  2   C 5x  2 5x  2 5 dx dx 1 C.  ln 5x  2   C D.   ln 5x  2   C 5x  2 5x  2 2 1  1 
Câu 29. Họ nguyên hàm của hàm số f (x)  trên khoảng ;    là: 3x 1  3  1 1
A. ln(3x 1)  C
B. ln(1 3x)  C
C. ln(1 3x)  C
D. ln(3 x1)  C 3 3 2x 1
Câu 30. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x  trên khoảng  2  ;   là x  22 1 1
A. 2 ln  x  2   C .
B. 2 ln  x  2   C . x  2 x  2 3 3
C. 2 ln  x  2   C .
D. 2 ln  x  2   C . x  2 x  2
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 3x 1
Câu 31. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x)  trên khoảng (1;  )  là 2 (x 1) 2 1
A. 3ln(x 1)   c .
B. 3ln(x 1)   c . x 1 x 1 1 2
C. 3ln(x 1)   c .
D. 3ln(x 1)   c . x 1 x 1 3x  2
Câu 32. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x 
trên khoảng 2; là  x  22 4 2
A. 3 ln  x  2   C .
B. 3 ln  x  2   C x  2 x  2 2 4
C. 3 ln  x  2   C
D. 3 ln  x  2   C x  2 x  2 2x 1
Câu 33. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x  trên khoảng  1  ;   là  x  2 1 2 3
A. 2 ln  x   1   C .
B. 2 ln  x   1   C . x 1 x 1 2 3
C. 2 ln  x   1   C .
D. 2 ln  x   1   C . x 1 x 1 1  1 
Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số f x  trên ;    . 1 2x  2  1 1 1 A.
ln 1 2x  C .
B. ln 2x 1  C . C.
ln 2x 1  C . D.
ln 2x 1  C . 2 2 2 2x 13 Câu 35. Cho biết
dx a ln x 1  b ln x  2  C
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
(x 1)(x  2)
A. a  2b  8 .
B. a b  8 .
C. 2a b  8 .
D. a b  8 . x  2 1 1
Câu 36. Tích phân I
dx a ln b c
, trong đó a , b , c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu 2 x 1 0
thức a b c ? A. 3 . B. 0 . C. 1. D. 2 . 3 a x 1 a Câu 37. Cho biết dx  ln  C
, với b là số thực dương và
là phân số tối giản . 2 x  4x  3 b x  3 b
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a  2b  8 .
B. a b  8 .
C. 2a b  8 .
D. a b  8 . 4x 1 b  3  Câu 38. Cho biết dx ax
ln 2x  3  C
, với mọi x   ;   
 . Mệnh đề nào sau đây 2x  3 2  2  đúng?
A. 2a b  1.
B. 2a b  3 .
C. 2a b  9 .
D. 2a b  7 . Câu 39. Biết
F x   2
ax bx c  2x  3 a, ,
b c   là một nguyên hàm của hàm số 2
20x  30x 11  3  f x  trên khoảng ;  
 . Tính T a b c . 2x  3  2 
A. T  8.
B. T  5 .
C. T  6 . D. T  7 .
C. TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN   du f (  x)d ( ) x u f x
1) Công thức nguyên hàm từng phần   
dv g(x)dx
v g(x)dx G(x) (C  0)    
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Khi đó ta có u.dv u  .v  . v du   hay
f (x)g(x)dx f (x)G(x)  G(x) f (  x)dx     du f (  x)d ( ) x u f x
2) Công thức tích phân từng phần   
dv g(x)dx
v g(x)dx G(x) (C  0)     b b b b b b Khi đó ta có . u dv   . u v  . v du   hay
f (x)g(x)dx  f (x)G(x)  G(x) f (  x)dx   a a a a a a
3) Công thức đạo hàm của hàm số sơ cấp và hàm hợp.      1  x
  x  .   n u n 1
nu u .  uv  u v   uv .   
sin u   ucos u .  cos u  usin u .   x x ee 1   u  u e
e u  ln x  x
Hàm số F x là một nguyên hàm của hàm số f x nếu F x  f x .  1   x
u x.v xdx u x.v x  v x.u x d  
x .  x dx   C  , với   1  .  1 1 
dx  ln x C xd x
e x e C  sin d
x x   cos x C x
 cos xdx  sin x C
Câu 40. Cho hàm số f x liên tục trên  . Biết cos 2x là một nguyên hàm của hàm số   ex f x , họ tất cả
các nguyên hàm của hàm số   ex f x là:
A.  sin 2 x  cos 2 x C .
B. 2 sin 2 x  cos 2 x C .
C. 2 sin 2 x  cos 2 x C .
D. 2 sin 2 x  cos 2 x C .
Câu 41. Họ nguyên hàm của hàm số f x  4x 1 ln x là A. 2 2
2x ln x  3x . B. 2 2
2x ln x x . C. 2 2
2x ln x  3x C . D. 2 2
2x ln x x C . 1 f x
Câu 42. Cho F x 
là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x ln x . 2 2x x  ln x 1  ln x 1 A.
f  x ln d x x     C   B.
f  x ln d x x    C 2 2   2 2  x 2x x x  ln x 1  ln x 1 C.
f  x ln d x x     C   D.
f  x ln d x x    C 2 2   2 2  x x x 2x
Câu 43. Họ nguyên hàm của hàm số   4 x
f x x xe là 1 1 1 A. 5     1 x x x
e C . B. 5 x
x xe C . C. 5     1 x x x
e C . D. 3 4     1 x x x
e C . 5 5 5
Câu 44. Tìm họ nguyên hàm của hàm số 2 ( ) x
f x xe ? 1 1 x  1  A. 2 F (x)  e x   C. 2 x  
B. F (x) 
e x  2  C. 2  2  2 x  1  C. 2 ( )  2 x F x
e x  2  . C D. 2
F (x)  2e x   C.    2 
Câu 45. Biết x cos 2xdx ax sin 2x b cos 2x C
với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ? 1 1 1 1 A. ab  . B. ab   . C. ab   . D. ab  . 8 4 8 4
Câu 46. Họ nguyên hàm của hàm số f x  x 1 sin x là 2 x 2 x A.
x sin x  cos x C . B.
x cos x  sin x C . 2 2
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 2 x 2 x C.
x cos x  sin x C . D.
x sin x  cos x C . 2 2
Câu 47. Tìm nguyên hàm 3  ( 1) x J x e dx  . 1 1 1 1 A. 3x 3  ( 1) x J x
e e C . B. 3x 3  ( 1) x J x
e e C . 3 3 3 9 1 x 1 x 1 C. 3 3  ( 1) x J x
e e C . D. 3 3  ( 1) x J x
e e C . 3 9 3
Câu 48. Kết quả tính 2x ln  x   1 dx  bằng: 2 x 2 x A.  2 x   1 ln  x   1   x  . c B.  2 x   1 ln  x   1   x  . c 2 2 2 x 2 x C. 2
x ln  x   1   x  . c D.  2 x   1 ln  x   1   x  . c 2 2
Câu 49. Họ nguyên hàm của hàm số     x f x
x e  sin x là A.    1 x x
e x cos x  sin x C . B.    1 x x
e x cos x  sin x C . C.    1 x x
e x cos x  sin x C . D.    1 x x
e x cos x  sin x C . ln 2x
Câu 50. Tìm một nguyên hàm F x của hàm số f x  ? 2 x 1 1
A. F x   ln 2x   1 .
B. F x   ln 2x   1 . x x 1 1
C. F x   1 ln 2x .
D. F x  ln 2x   1 . x x
Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số f x  2x  3 ln x là 2 x 2 x A.  2
x  3xln x   3x C . B.  2
x  3xln x   3x C . 2 2 2 x 2 x C.  2
x  3xln x
 3x C . D.  2
x  3xln x   3x C . 2 2 x
Câu 52. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f x 
trên khoảng 0;  là 2 sin x
A. x cot x  ln sinx  C .
B. x cot x  ln s inx C .
C. x cot x  ln s inx C .
D. x cot x  ln s inx  C .
D. NGUYÊN HÀM CÓ ĐIỀU KIỆN
Câu 53. Cho hàm số f x thỏa mãn f 'x  3  5 sin x và f 0  10 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f x  3x  5 cos x  5
B. f x  3x  5 cos x  2
C. f x  3x  5 cos x  15
D. f x  3x  5 cos x  2 3
Câu 54. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số ( )  x f x
e  2x thỏa mãn F 0 
. Tìm F x . 2 A.    x F x e  2 1 2
x B.    x F x e  2 5 x
C.    x F x e  2 3 x
D.    x F x e  2 1 x  2 2 2 2 1
Câu 55. Biết F x là một nguyên hàm của f x 
và F 2  1. Tính F 3 . x 1 1 7
A. F 3  ln 2 1
B. F 3  ln 2 1 C. F 3  D. F 3  2 4
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   
Câu 56. Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x  sin x  cos x thoả mãn F  2    2 
A. F x  cos x  sin x  3
B. F x   cos x  sin x  3
C. F x   cos x  sin x 1
D. F x   cos x  sin x 1 Câu 57. Cho
    1 x F x x
e là một nguyên hàm của hàm số   2x
f x e . Tìm nguyên hàm của hàm số   2x f x e . x A.   x     x f x e x x e   2 d 2 C B. f x   x e x x e   2 2 d C 2 C.   x     x f x e x x e   2 d 2 C D.   x     x f x e x x e   2 d 4 2 C
Câu 58. F x là một nguyên hàm của hàm số       2 2 1 x f x x
e thỏa F 0  0 . Tính F   1 2 e 2 3e A. F   2 1  2e . B. F   1  . C. F   2 1  e . D. F   1  . 2 2
Câu 59. Biết F x là một nguyên hàm của hàm số - ( ) x
f x e  sin x thỏa mãn F 0  0 . Tìm F x. A. - ( )= x F x
e  cos x  2 . B. - ( ) x
F x   e  cos x . C. - ( ) x
F x e  cos x - 2 . D. - ( ) x
F x   e - cos x  2 . 2
Câu 60. Cho F (x) là một nguyên hàm của f (x)  . Biết F  
1  0 . Tính F 2 kết quả là. x  2 A. ln 8 1. B. 4 ln 2  1 . C. 2 ln 3  2 . D. 2 ln 4 . dx x Câu 61. Biết  a tan  C
với a, b là các số nguyên dương. Tính S a  2b ? 1  cos x b A. – 5. B. – 2. C. 0. D. – 3. a 1 ln x
Câu 62. Cho F x  ln x b là một nguyên hàm của hàm số f x 
, trong đó a,b   . Giá trị x 2 x
S b  2a bằng A. 6 . B. 0 . C. 4 . D. 2 . 1 f x
Câu 63. Cho F x  
là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm nguyên hàm của hàm số 3 3x x
f xln x ln x 1 ln x 1 A. f xln d x x     C B. f   xln d x x     C 3 5 x 5x 3 3 x 3x ln x 1 ln x 1 C. f xln d x x     C D. f   xln d x x    C 3 3 x 3x 3 5 x 5x
Câu 64. Cho hàm số f x  có đạo hàm và liên tục trên  và   2  2e x f x
 1  x , f 0  2 . Hàm f x  là A.  2ex y  2x . B. 2ex y   2 . C. 2  e x yx  2 . D. 2  e x yx 1. x    
Câu 65. Cho f x  trên  ;
và F x là một nguyên hàm của .
x f ' x thỏa mãn 2   cos x  2 2    
F 0  0 . Tính F   ?  3  2   3 2 4  3 2 4  3 2   3 A.   ln 2 . B.   ln 2 . C.   ln 2 . D.   ln 2 . 36 3 9 3 9 3 36 3
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 x  1 
Câu 66. Cho a là số thực khác 0 , F x là một nguyên hàm của hàm số f x  e ln ax    thỏa mãn  x   1  F  0   và F   2018 2018  e
. Mệnh đề nào dưới đây đúng? a   1   1 
A. a 2018;  . B. a  ;1   . C. a  0;   .
D. a 1; 2018 .  2018   2018   x 1 Câu 67. Biết   2 2 3 e d e    x x x
2x n  C,  , m n     . Giá trị của 2 2 m n bằng m A. 10 . B. 65 . C. 5 . D. 41 . 2x  1
Câu 68. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f x 
trên khoảng 0; thỏa mãn 4 3 2
x  2x x 1 F   1 
. Giá trị của biểu thức S F  
1  F 2  F 3    F 2019 bằng 2 2019 2019.2021 1 2019 A. . B. . C. 2018 . D.  . 2020 2020 2020 2020
Câu 69. Cho f x và g x là hai hàm số liên tục và có một nguyên hàm lần lượt là F x  x  2019 , G x 2
x  2020 . Tìm một nguyên hàm H x của hàm số h x  f x.g x , biết H   1  3 .
A. H x 3  x  3.
B. H x 2  x  5 .
C. H x 3  x 1 .
D. H x 2  x  2 . Câu 70. Giả sử     2    x F x ax bx
c e là một nguyên hàm của hàm số   2 x
f x x e . Tính tích P abc . A. P  4  .
B. P 1.
C. P  5 . D. P  3  . 1
Câu 71. Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số   2x f x
, thỏa mãn F 0  . Tính giá trị biểu ln 2
thức T F 0  F  
1  F 2  ... F 2019 . 2020 2 1 2019 2 1 2019 2 1 A. T  . B. T  1009. . C. 2019.2020 T  2 . D. T  . ln 2 2 ln 2 1
Câu 72. Cho hàm số f x xác định trên R \  1  ; 
1 thỏa mãn f ' x 
. Biết f 3  f  3    4 và 2 x 1  1   1   ff  2    
. Giá trị của biểu thức f  5
   f 0  f 2 bằng  3   3  1 1 1 1 A. 5  ln 2 . B. 6  ln 2 . C. 5  ln 2 . D. 6  ln 2 . 2 2 2 2
E. NGUYÊN HÀM HÀM ẨN 1
Câu 73. Cho hàm số f x thỏa mãn f 2  
và f  x   x f x 2 3 4
 với mọi x   . Giá trị của 25   f   1 bằng 41 1 391 1 A. B. C. D.  400 10 400 40
Câu 74. Cho hàm số f x thỏa mãn
      ex f x f x , x
   và f 0  2 . Tất cả các nguyên hàm của   2 e x f x là
A.   2 ex  ex xC . B.    2 2 e x  ex x
C . C.    1 ex xC . D.    1 ex xC . Câu 75. Cho hàm số
y f x đồng biến và có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn
  2   . x f x
f x e , x   và f 0  2 . Khi đó f 2 thuộc khoảng nào sau đây? A. 12;13.
B. 9;10 .
C. 11;12.
D. 13;14  .
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 76. Cho hàm số y f x thỏa mãn f x  0, x
  0 và có đạo hàm f  x liên tục trên khoảng  1
0;   thỏa mãn f  x   x   2 2
1 f x, x   0 và f   1  
. Giá trị của biểu thức 2 f  
1  f 2  ... f 2020 bằng 2020 2015 2019 2016 A.  . B.  . C.  . D.  . 2021 2019 2020 2021 4
Câu 77. Cho hàm số y f x thỏa mãn f 2   và   3 2 f
x x f xx
   . Giá trị của f   1 19 bằng 2 1 3 A.  . B.  . C. 1  . D.  . 3 2 4
Câu 78. Cho hàm số y f x liên tục trên  \  1  ; 
0 thỏa mãn điều kiện: f   1  2  ln 2 và
x x   f  x  f x 2 . 1 .
x x . Biết f 2  a  .
b ln 3 ( a , b   ). Giá trị  2 2
2 a b  là 27 3 9 A. . B. 9 . C. . D. . 4 4 2
Câu 79. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0; ) , biết f  x   x   2 2
1 f x  0 , 1
f x  0 , f  x  0x  0 , f 2 
. Tính giá trị của P f  
1  f 2  ...  f 2019 . 6 2020 2019 2018 2021 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 2019 2020 2019 2020
Câu 80. Cho hàm số f x liên tục trên  \ 1  ; 
0 thỏa mãn điều kiện: f   1  2  ln 2 và
x x   f  x  f x 2 . 1 .
x x  
1 . Biết f 2  a  .
b ln 3 a, b  . Giá trị của  2 2
2 a b  là: 27 3 9 A. . B. 9 . C. . D. . 4 4 2 Câu 81. Cho 2
f (4x) dx x  3x c
. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 x A.
f (x  2) dx   2x C  . B. 2
f (x  2) dx x  7 x C  . 4 2 x 2 x C.
f (x  2) dx   4x C  . D.
f (x  2) dx   4x C  . 4 2 2
Câu 82. Cho hàm số f x thỏa mãn f 2   và f  x  x f x 2 2  
 với mọi x   . Giá trị của f   1 9 bằng 35 2 19 2 A.  . B.  . C.  . D.  . 36 3 36 15    x
Câu 83. Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên 0; 
 , thỏa mãn f x  tan .
x f  x  . 3  2  cos x       Biết rằng 3 ff
a 3  b ln 3    
trong đó a, b   . Giá trị của biểu thức P a b  3   6  bằng 14 2 7 4 A. . B.  . C. . D.  . 9 9 9 9 Câu 84. Cho hàm số
y f x liên tục trên  \  1;   0 thỏa mãn f   1  2 ln 2 1 , x x  
1 f  x   x  2 f x  x x   1 , x    \ 1; 
0 . Biết f 2  a b ln 3 , với a , b là hai số hữu tỉ. Tính 2
T a b . 3 21 3 A. T  . B. T  . C. T  .
D. T  0 . 16 16 2
Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Câu 85. Cho hàm số
y f x có đạo hàm liên tục trên 1;   và thỏa mãn
xf x  f x 3 2
.ln x x f x , x
 1;   ; biết f  3 e   3e . Giá trị f 2 thuộc khoảng nào dưới đây?  25   27   23   29  A. 12 ;   . B. 13;   . C. ;12   . D. 14;   .  2   2   2   2 
------------------- HẾT -------------------
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Vấn đề 13 NGUYÊN HÀM
A. NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý) 0dx C.  
k dx kx C.  n 1 x n 1 ax b   n 1 ( )  n x dx  C. 
 (ax b) dx  C.  n  1 a n  1 1 1 1 
dx  ln x C.   dx
ln ax b C.  x ax b a 1 1 1 1 1  dx   C.   dx    C.  2 x x 2 (ax b) a ax b
sin xdx  cos x C.  1 
sin(ax b)dx   cos(ax b) C.  a
cosx dx  sin x C.  1 
cos(ax b)dx  sin(ax b) C.  a 1 dx 1 
dx  cotx C.  
  cot(ax b) C.  2 sin x 2 sin (ax b) a 1 dx 1 
dx  tan x C.  
 tan(ax b) C.  2 cos x 2 cos (ax b) ax d x
e x e C.  ax b  1  ax be dx eC.  a x a a  x 1 xx a dx  C.   a dx  C.  lna lna 1
♦ Nhận xét. Khi thay x bằng (ax b) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm a
Một số nguyên tắc tính cơ bản
Tích của đa thức hoặc lũy thừa PP   khai triễn.
Tích các hàm mũ PP 
khai triển theo công thức mũ. 1 1 1 1  2 2
Bậc chẵn của sin và cosin Hạ bậc: sin a   cos2 ,
a cos a   cos2 . a 2 2 2 2
Chứa tích các căn thức của x PP 
chuyển về lũy thừa. Câu 1.
Họ nguyên hàm của hàm số f x  cos x  6x là A. 2
sin x  3x C . B. 2
 sin x  3x C . C. 2
sin x  6x C .
D.  sin x C . Lời giải Chọn A Ta có
f xx   x x 2 d cos 6
dx  sin x  3x C   . Câu 2.
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x  2x  6 là A. 2
x  6x C . B. 2 2x C . C. 2
2x  6x C . D. 2 x C . Lời giải Chọn A x   2 2
6 dx x  6x C
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 3.
Họ tất cả nguyên hàm của hàm số f x  2x  4 là A. 2
2x  4x C . B. 2
x  4x C . C. 2
x C . D. 2
2x C . Lời giải Chọn B Ta có
f xdx   x   2 2
4 dx x  4x C   . Câu 4.
Họ nguyên hàm của hàm số    ex f xx là 1 x 1 x 1 A. x 2 e  x C . B. 2 e  x C . C. 2 e 
x C . D. ex 1 C . 2 x 1 2 Lời giải Chọn B. x 1 Ta có e   x xdx 2  e  x C . 2 Câu 5. Nguyên hàm của hàm số   4 2
f x x x là 1 1 A. 3
4 x  2 x C B. 5 3 x x C C. 4 2
x x C D. 5 3
x x C . 5 3 Lời giải Chọn B 1 1
f xdx    4 2
x x dx 5 3  x x C . 5 3 Câu 6. Nguyên hàm của hàm số   3 2
f x x x là 1 1 A. 4 3
x x C . B. 4 3 x x C . C. 2
3x  2x C . D. 3 2
x x C . 4 3 Lời giải 1 1 Chọn 4 3 x x C 4 3 Câu 7.
Tìm nguyên hàm của hàm số f x  cos 3x sin 3x A. xdx x   cos 3 3 sin 3 C B. cos 3xdx    C 3 sin 3x C. xdx x   cos 3 sin 3 C
D. cos 3xdx     C 3 Lời giải Chọn B sin 3x Ta có: cos 3xdx    C 3 1 Câu 8.
Họ nguyên hàm của hàm số f x   sin x là x 1
A. ln x  cos x C . B.
 cos x C .
C. ln x  cos x C .
D. ln x  cos x C . 2 x Lời giải Chọn D  1  1 Ta có
f x dx   sin x dx  dx  sin d
x x  ln x  cos x C      . xx Câu 9.
Cho biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên  . Tìm I  2 f x 1 d  . x   
A. I  2xF x  x C . B. I  2xF x 1 C . C. I  2F x 1 C . D. I  2F x  x C .
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Lời giải Chọn D
Ta có I  2 f x 1 d
x  2 f x dx  1dx  2F x  x C.     
Câu 10. Nguyên hàm của hàm số   x f x e  1 là A. x
e x C . B. xe
x C . C. x e
x C . D. x
e x C . Lời giải Chọn B Ta có:      x   1  x f x dx e dx  ex C .
Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số f x  2x 1. 2 1 A.
f xdx  2x   1 2x 1  C.  B.
f xdx  2x   1 2x 1  C.  3 3 1 1 C.
f xdx   2x 1  C.  D.
f xdx  2x 1  C.  3 2 Lời giải Chọn B 1 1
f xdx  2x 1dx  2x  2 1 d 2x   1    2 1  2x   1 2x 1  C 3
Câu 12. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số    sin  ex f x x  5x ? x 5
A. F x 2   cos x  e  x 1 . B.    cos  ex F x x  5x  3 . 2 x x 5 e 5
C. F x 2  cos x  e  x .
D. F x 2   cos x   x . 2 x 1 2 Lời giải Chọn A
Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản, ta có: x x 5
f x dx  
sin x  e 5x 2
dx   cos x  e  x C . 2 x 5 Vậy F x 2   cos x  e 
x 1 là một nguyên hàm của hàm số    sin  ex f x x  5x . 2 1 Câu 13. Cho
f x dx   ln x C
( với C là hằng số tùy ý ), trên miền 0;  , chọn khẳng định x
đúng về hàm số f x . x 1
A. f x  x  ln x .
B. f x  . 2 x 1 1
C. f x   x   ln x .
D. f x    ln x . x 2 x Lời giải Chọn B  1   1 1 x 1
Ta có: f x   ln x C       2 2  xx x x 1
Câu 14. Nguyên hàm của hàm số f x  x  trên khoảng 0;  là x
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 1 1 2 x A. 1  C.
B. 1 ln x C. C. 2 x   C. D.
 ln x C. 2 x 2 x 2 Lời giải Chọn D 2  1  x Ta có f xdx  x  dx   ln x C.     x  2
Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số   2  e x f x A. 2 2 e d  2e   x x x C . B. 2 2 e d  e   x x x C . 2 x 1 1 x e  C. 2 e dx    C . D. 2 2 e d  e   x x x C . 2x  1 2 Lời giải Chọn D x 1 x 1 2 2 e d  e d 2  2  e x x xC.   2 2 1
Câu 16. Nguyên hàm của hàm số f x  là x x x 2 2 x A.   C . B. C . C.   C . D. C . 2 x x 2 Lời giải Chọn C 1  3 2 1 1  x 2 2 dx
dx x dx   C    C   3  . 1 x x x 2 x  2
Câu 17. Cho hàm số y f ( )
x thỏa mãn f (0) 1, f '(x)  2x  sin x . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2
f (x)  x  cos . x B. 2
f (x)  x  cos x  2. C. 2
f (x)  x  cos . x D. 2
f (x)  x  cos x 1. Lời giải Chọn B Ta có: f x f
x dx   x x 2 ( ) '( ) 2 sin
dx x  cos x C   . 2
f (0)  1 C  1  C  2  f (x)  x  cos x  2 . 1
Câu 18. Tìm họ nguyên hàm F x  dx  . 2x  3 1 1  1 
A. F x   C .
B. F x   C 42x  2 1 6 2x  2 1 1  1 
C. F x   C .
D. F x   C . 42x  3 1 6 2x  3 1 Lời giải Chọn A 1 1 1 1 3 
Ta có: F x  dx  d 2x 1  2x 1 d 2x 1  3  3        . 2x   1 2 2x   1 2 1  1 
  .2x   2 1  C   C 4 4 2x  2 1
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 1 
Vậy F x   C . 42x  2 1
Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số f x 3  cos x là 4 cos x 3 sin x 3 sin x 3 sin x A. C . B. sin x
C . C. x   C . D.  sin x   C . 4 3 3 3 Lời giải Chọn B sin x
Ta có:  cos xdx   1  sin xcosx dx   1  sin xdsinx 3 3 2 2  sin x  C . 3 3 sin x
Vậy họ nguyên hàm của hàm số f x  3
 cos x là sin x  C . 3 x    e
Câu 20. Tìm nguyên hàm của hàm số f xxe 2   . 2  cos x   2
A. F x  
 tan x C . B.    2 x F x
e  tan x C . x e 2
C. F x  
 tan x C . D.    2 x F x e
 tan x C . x e Lời giải Chọn A x     x 1  2  e Ta có x e 2  dx    2e  dx  
 tan x C 2    cos x 2 x    cos x e
Câu 21. Xác định họ nguyên hàm F x của hàm số     2 2 3 1 x x f x x e     2 x 2 x3 2 eC x 2 x3 eC
A. F x 
, C R .
B. F x 
, C R . 2 x 1
C. F x 2 x 2 x3  2e
C, C R .
D. F x 2 x 2 x3  e
C, C R . Lời giải Chọn A 2 x  2 x 3 2 2      e C x x 1
Xét I   x   2 3 x 2 x 3 1 e dx e d  2
x  2x  3    . 2 2
Câu 22. Họ nguyên hàm của hàm số f x 2 2
 sin x cos x là 1 1 1 1 1 1 1 1 A. x
sin 4x C . B. x  sin 4x . C.
x  sin 4x C . D. x
sin 4x C . 4 16 8 32 8 8 8 32 Lời giải Chọn D 1 1 1  cos 4x 1 1
Ta có f x 2 2 2
 sin x cos x  sin 2x  .   cos 4x . 4 4 2 8 8  1 1  1 1 Do đó
f x dx
 cos 4x dx x  sin 4x C     .  8 8  8 32
Câu 23. Cho F x   x  109 2 1 dx
, mệnh đề nào dưới đây đúng? x  108 2 1  x  110 2 1
A. F x   C.
B. F x   C. 108 110
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489x  108 2 1  x  110 2 1
C. F x   C.
D. F x   C. 216 220 Lời giải Chọn D 1 1  x  110 2 1  x  110 2 1
F x   x  109 2 1 dx 109   2x   1 d 2x+  1   .  C   C. 2 2 110 220 cos x
Câu 24. Tìm các hàm số f (x) biết ' f (x)  . 2 (2  sin x) sin x 1
A. f (x)   C .
B. f (x)   C . 2 (2  sin x) (2  cos x) 1 sin x
C. f (x)    C .
D. f (x)   C . 2  sin x 2  sin x Lời giải Chọn C cos x d(2  sin x) 1 Ta có ' f (x) 
f (x)dx  dx     C   2  . 2 (2  sin x) (2  sin x) 2  sin x Câu 25.
Họ nguyên hàm của hàm số y   x  2019 2 1 là  x  2018 2 1  x  2020 2 1  x  2020 2 1  x  2018 2 1 A. C . B. C . C. C . D. C . 2018 4040 2020 4036 Lời giải ChọnB 1 1  x  2020  x  2020 2019 2019 2 1 2 1 Ta có: 2x   1 dx  2x   1 d 2x   1  .  C   C   . 2 2 2020 4040 3sin x  cos x
Câu 26. Hàm nào sau đây là nguyên hàm của hàm số f x 
sin x  2 cos x
A. y  2x  ln sin x  2 cos x .
B. y x  ln sin x  2 cos x .
C. y x  ln sin x  2 cos x .
D. y  ln sin x  2 cos x . Lời giải Chọn B
sin x  2cos x  cos x  2sin x
cos x  2 sin x
Ta có f x   1 .
sin x  2 cos x
sin x  2 cos x
cos x  2sin x  
f xdx  1
dx x  ln sin x  2 cos x C    . 
sin x  2 cos x
B. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỈ
1. Công thức thường áp dụng 1 1 1 1 1  dx
ln ax b C .   dx    C.  ax b a 2 (ax b) a ax b a
 lna  lnb  ln(ab).  lna  lnb  ln  b  ln n
a n lna.  ln1  0. P(x)
2. Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ I  dx.  Q(x)
Nếu bậc của tử số P(x)  bậc của mẫu số Q(x) PP   Chia đa thức.
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Nếu bậc của tử số P(x)  bậc của mẫu số Q(x) PP 
phân tích mẫu Q(x) thành tích số, rồi sử
dụng phương pháp che để đưa về công thức nguyên hàm số 01.
Nếu mẫu không phân tích được thành tích số PP 
thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa bằng
cách đặt X a tant, nếu mẫu đưa được về dạng 2 2
X a . x  2
Câu 27. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) 
trên khoảng 1;  là x 1 3 3
A. x  3ln  x   1  . C
B. x  3ln  x   1  .
C C. x   C. D. x   C.  x  2 1  x  2 1 Lời giải Chọn A
Trên khoảng 1;  thì x 1  0 nên x  2  3 
f (x)dx  dx  1
dx x  3ln x 1  C x  3ln      x   1  C. x 1  x 1  1
Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số f x  . 5x  2 dx dx 1 A.  5 ln 5x  2   C B.  ln 5x  2   C 5x  2 5x  2 5 dx dx 1 C.  ln 5x  2   C D.   ln 5x  2   C 5x  2 5x  2 2 Lời giải Chọn B dx 1 dx 1 Áp dụng công thức  ln ax b  
C a  0 ta được  ln 5x  2   C . ax b a 5x  2 5 1  1 
Câu 29. Họ nguyên hàm của hàm số f (x)  trên khoảng ;    là: 3x 1  3  1 1
A. ln(3x 1)  C
B. ln(1 3x)  C
C. ln(1 3x)  C
D. ln(3 x1)  C 3 3 Lời giải Chọn C 1 1 d (3x 1) 1 1  1  Ta có: dx  
ln 3x 1  C  ln(1 3 x)  C   (do x  ;    ) 3x 1 3 3x 1 3 3  3  2x 1
Câu 30. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x  trên khoảng  2  ;   là x  22 1 1
A. 2 ln  x  2   C .
B. 2 ln  x  2   C . x  2 x  2 3 3
C. 2 ln  x  2   C .
D. 2 ln  x  2   C . x  2 x  2 Lời giải Chọn A
Đặt x  2  t x t 1  dx dt với t  0 2t 1  2 1  1 Ta có
f x dx  dt = 
dt  2 ln t   C   2   2  tt t t 1 Hay
f xdx  2ln  x  2   C.  x  2
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 3x 1
Câu 31. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x)  trên khoảng (1;  )  là 2 (x 1) 2 1
A. 3ln(x 1)   c .
B. 3ln(x 1)   c . x 1 x 1 1 2
C. 3ln(x 1)   c .
D. 3ln(x 1)   c . x 1 x 1 Lời giải Chọn A 3x  3  2 3(x 1)  2 3 2 Ta có f (x)     2 2 2 (x 1) (x 1) x 1 (x 1) 3 2 d(x 1) d(x 1) Vậy
f (x)dx  (  )dx    3  2 2   x 1 (x 1) 2 x 1 (x 1) 2 2 3 ln x 1 2 (x 1)     d(x 1)   3ln(x 1) 
C vì x  1 . x 1 3x  2
Câu 32. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x 
trên khoảng 2; là  x  22 4 2
A. 3 ln  x  2   C .
B. 3 ln  x  2   C x  2 x  2 2 4
C. 3 ln  x  2   C
D. 3 ln  x  2   C x  2 x  2 Lời giải Chọn D 3x  2 3 x  2  4 3 4
Ta có f x     . Do đó  x  22  x  22 x  2  x  22 3x 2  3 4   4 dx   
dx  3ln x  2   C  2  . 2    x  2
x  2  x  2  x  2   2x 1
Câu 33. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x  trên khoảng  1  ;   là  x  2 1 2 3
A. 2 ln  x   1   C .
B. 2 ln  x   1   C . x 1 x 1 2 3
C. 2 ln  x   1   C .
D. 2 ln  x   1   C . x 1 x 1 Lời giải Chọn B Ta có 2x 1 2  x  1 3  2 3    3
f x dx  dx  dx   
 dx  2 ln x 1   C.   2  2  2    x   1  x   1 x 1   x   1 x 1    1  1 
Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số f x  trên ;    . 1 2x  2  1 1 1 A.
ln 1 2x  C .
B. ln 2x 1  C . C.
ln 2x 1  C . D.
ln 2x 1  C . 2 2 2 Lời giải Chọn D
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020  1  1 1 1 Với mọi x   ;    ta có:
dx   ln 1 2x C   ln 2x 1  C  .  2  1 2x 2 2 2x 13 Câu 35. Cho biết
dx a ln x 1  b ln x  2  C
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
(x 1)(x  2)
A. a  2b  8 .
B. a b  8 .
C. 2a b  8 .
D. a b  8 . Lời giải Chọn D Ta có 2x 13  5 3  1 1 dx    dx    5 dx  3 dx  
 5ln x 1  3ln x  2  C .
(x 1)(x  2)  x 1 x  2  x 1 x 1 a  5 Vậy 
a b  8 . b  3    x  2 1 1
Câu 36. Tích phân I
dx a ln b c
, trong đó a , b , c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu 2 x 1 0
thức a b c ? A. 3 . B. 0 . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn Dx  2 1 1 1  2x  Ta có : I  dx   1
dx   x  ln x 1 1 2  1 ln 2 . 2    x 1 2  x 1  0 0 0 Khi đó a  1
 , b  2 , c  1.
Vậy a b c  2 . 3 a x 1 a Câu 37. Cho biết dx  ln  C
, với b là số thực dương và
là phân số tối giản . 2 x  4x  3 b x  3 b
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a  2b  8 .
B. a b  8 .
C. 2a b  8 .
D. a b  8 . Lời giải Chọn C 3 3 3  1 1  Ta có: dx  dx   dx  2    x  4x  3  x   1  x  3
2  x 1 x  3  3 3 x 1 
ln x 1  ln x  3   ln  C . 2 2 x  3
Vậy a  3,b  2  2a b  8 . 4x  1 b  3  Câu 38. Cho biết dx ax
ln 2x  3  C
, với mọi x   ;   
 . Mệnh đề nào sau đây 2x  3 2  2  đúng?
A. 2a b  1.
B. 2a b  3 .
C. 2a b  9 .
D. 2a b  7 . Lời giải Chọn A 4x 1  5  5 Ta có: dx  2  dx  2x
ln 2x  3  C    2x  3  2x  3  2  3  Vì x   ;   
 nên 2x  3  2x  3 .  2 
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 4x 1 5 Do đó dx  2x
ln 2x  3  C
. Vậy a  2,b  5  2a b  1. 2x  3 2
Câu 39. Biết F x   2
ax bx c  2x  3 a, ,
b c   là một nguyên hàm của hàm số 2
20x  30x 11  3  f x  trên khoảng ;  
 . Tính T a b c . 2x  3  2 
A. T  8.
B. T  5 .
C. T  6 .
D. T  7 . Lời giải Chọn D
Ta có F x  f x . 1
Tính F x  2ax b 2x  3   2
ax bx c. 2x  3
ax b x   2 2 2
3  ax bx c 2
5ax  3b  6ax  3b c   . 2x  3 2x  3 2
5ax  3b  6ax  3b c 2
20x  30x 11 Do đó  2x  3 2x  3 2
ax   b a 2 5 3 6
x  3b c  20x  30x 11 5  a  20 a  4    3
b  6a  30   b   2   T  7 .  3
b c  11   c  5 
Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
C. TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN   du f (  x)d ( ) x u f x
1) Công thức nguyên hàm từng phần   
dv g(x)dx
v g(x)dx G(x) (C  0)    
Khi đó ta có u.dv u  .v  . v du   hay
f (x)g(x)dx f (x)G(x)  G(x) f (  x)dx     du f (  x)d ( ) x u f x
2) Công thức tích phân từng phần   
dv g(x)dx
v g(x)dx G(x) (C  0)     b b b b b b Khi đó ta có . u dv   . u v  . v du   hay
f (x)g(x)dx  f (x)G(x)  G(x) f (  x)dx   a a a a a a
3) Công thức đạo hàm của hàm số sơ cấp và hàm hợp.      1  x
  x  .   n u n 1
nu u .  uv  u v   uv .   
sin u   ucos u .  cos u   u
 sin u .   x x ee 1   u  u e
e u  ln x  x
Hàm số F x là một nguyên hàm của hàm số f x nếu F x  f x .  1   x
u x.v xdx u x.v x  v x.u x d  
x .  x dx   C  , với   1  .  1 1 
dx  ln x C x d x
e x e C  sin d
x x   cos x C x  cos d
x x  sin x C
Câu 40. Cho hàm số f x liên tục trên  . Biết cos 2x là một nguyên hàm của hàm số   ex f x , họ tất
cả các nguyên hàm của hàm số   ex f x là:
A.  sin 2 x  cos 2 x C .
B. 2 sin 2 x  cos 2 x C .
C. 2 sin 2 x  cos 2 x C .
D. 2 sin 2 x  cos 2 x C . Lời giải Chọn C
Do cos 2x là một nguyên hàm của hàm số  ex f x nên
 ex cos 2     ex f x x f x  2 sin 2x . Khi đó ta có  ex f x
dx  cos 2x C  . u   f   x du f    xdx Đặt    .
dv  exdx  v  ex  Khi đó  ex f x
dx  cos 2x C    d  ex f x
  cos 2x C    ex   ex f x f x
dx  cos 2x C    ex f x dx  2
 sin 2x  cos 2x C  .
Vậy tất cả các nguyên hàm của hàm số   ex f x
là 2 sin 2x  cos 2x C .
Câu 41. Họ nguyên hàm của hàm số f x  4x 1 ln x là A. 2 2
2x ln x  3x . B. 2 2
2x ln x x . C. 2 2
2x ln x  3x C . D. 2 2
2x ln x x C . Lời giải Chọn D. Cách 1. Ta có
f x dx  4x 1 ln x dx  4 d x x  4x ln d     x x
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 + Tính 2 4 d  2  1  x x x C + Tính 4 ln d  x x x  1 u  ln x du  d  x Đặt    x dv  4 d  x x 2 v  2  x Suy ra 2 2 2 4x ln d
x x  2x ln x  2 d
x x  2x ln x x C 2   Do đó 2 2
I  2x ln x x C .     Cách 2. Ta có  2 2 x
x x    2 x  2 x x x   2 2 ln 2 .ln 2 . ln x  1 2  4 .
x ln x  2x .  2x x
 4x 1 ln x . Do đó 2 2
2x ln x x là một nguyên hàm của hàm số f x  4x 1 ln x . Hay 2 2
2x ln x x C là họ nguyên hàm của hàm số f x  4x 1 ln x . 1 f x
Câu 42. Cho F x 
là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm nguyên hàm của hàm số 2 2x x
f  xln x .  ln x 1  ln x 1 A.
f  x ln d x x     C   B.
f  x ln xdx    C 2 2   2 2  x 2x x x  ln x 1  ln x 1 C.
f  x ln d x x     C   D.
f  x ln d x x    C 2 2   2 2  x x x 2x Lời giải Chọn A f x 1 1  Ta có: dx  
. Chọn f x  . 2 x 2x 2 x  dx u   ln x du  2    x Khi đó:
f  x ln x dx  ln x dx   . Đặt  2   . 3 x dv  dx 1  3 v x   2   x ln x ln x 1  ln x 1  Khi đó:
f  x ln x dx  dx    dx     C.   3 2  3  2 2  x x xx 2x
Câu 43. Họ nguyên hàm của hàm số   4 x
f x x xe là 1 1 1 A. 5     1 x x x
e C . B. 5 x
x xe C . C. 5     1 x x x
e C . D. 3 4     1 x x x
e C . 5 5 5 Lời giải Chọn A x 1 Ta có       4   5 x f x dx x xe dx x xe dx  . 5 u   xdu dx Đặt    . x x dv e dx v e   1 x x 1 x x 1 Suy ra   5 5 5             1 x f x dx x xe e dx x xe e C x x e C   . 5 5 5
Câu 44. Tìm họ nguyên hàm của hàm số 2 ( ) x
f x xe ?
Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 1 1 x  1  A. 2 F (x)  e x   C. 2 x  
B. F (x) 
e x  2  C. 2  2  2 x  1  C. 2 ( )  2 x F x
e x  2  C. D. 2
F (x)  2e x   C.    2  Lời giải Chọn A Ta có 2 ( ) x F x xe dx  du dx u   x  Đặt    1 2 x 2 x dv e dx v e    2 1 1 x 1 x 1 x  1 x 1  Suy ra 2 2 ( ) x F x xee dx  2 2 2  xeeC e x   C   2 2 2 4 2  2 
Câu 45. Biết x cos 2xdx ax sin 2x b cos 2x C
với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ? 1 1 1 1 A. ab  . B. ab   . C. ab   . D. ab  . 8 4 8 4 Lời giải Chọn A du  dx u   x  Đặt    1 d v  cos 2 d x x v  sin 2x    2 1 1 1 1 Khi đó x cos 2 d x x x sin 2x  sin 2 d x x    x sin 2x  cos 2x C 2 2 2 4 1 1  a  , b  . 2 4 1 Vậy ab  . 8
Câu 46. Họ nguyên hàm của hàm số f x  x1 sin x là 2 x 2 x A.
x sin x  cos x C . B.
x cos x  sin x C . 2 2 2 x 2 x C.
x cos x  sin x C . D.
x sin x  cos x C . 2 2 Lời giải Chọn B
Xét I x 1 sin x d . xu   x  du  dx Đặt    . dv  
1 sin x dx
v x  cos x   2 2 x x
I x x
x   x x 2 cos cos
dx x x cos x
 sin x C
x cos x  sin x C.  2 2
Câu 47. Tìm nguyên hàm 3  ( 1) x J x e dx  . 1 1 x 1 x 1 A. 3 3  ( 1) x J x
e e C . B. 3 3  ( 1) x J x
e e C . 3 3 3 9 1 x 1 x 1 C. 3 3  ( 1) x J x
e e C . D. 3 3  ( 1) x J x
e e C . 3 9 3
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lời giải Chọn B du  dx u   x 1  Đặt    1 . 3 x 3 dv  e dx x v e    3 1 x 1 x 1 x 1 Khi đó 3 3 3 3  ( 1)  dx  ( 1) x J x e e x e e C  . 3 3 3 9
Câu 48. Kết quả tính 2x ln  x   1 dx  bằng: 2 x 2 x A.  2 x   1 ln  x   1   x  . c B.  2 x   1 ln  x   1   x  . c 2 2 2 x 2 x C. 2
x ln  x   1   x  . c D.  2 x   1 ln  x   1   x  . c 2 2 Lời giải Chọn D
I  2x ln  x   1 dx   1 u
  ln  x   1 du dx  Đặt    x 1 . dv  2xdx 2  v x 1  2 x 1 Khi đó I   2 x   1 ln  x   1  dxx 1   2 x   1 ln  x   1   x   1 dx  2   x 2 x   1 ln  x   1   x  . c 2
Câu 49. Họ nguyên hàm của hàm số     x f x
x e  sin x là A.    1 x x
e x cos x  sin x C . B.    1 x x
e x cos x  sin x C . C.    1 x x
e x cos x  sin x C . D.    1 x x
e x cos x  sin x C . Lời giải Chọn A Đặt    x I
x e  sin xdx . u   x  du dx x x   
I x e  cos x  e  cos xdx dv x   x
e  sin xdx
v e  cos x  
  x  cos    x I x e x
e  sin x  C      1 x I x
e x cos x  sin x C ln 2x
Câu 50. Tìm một nguyên hàm F x của hàm số f x  ? 2 x 1 1
A. F x   ln 2x   1 .
B. F x   ln 2x   1 . x x 1 1
C. F x   1 ln 2x .
D. F x  ln 2x   1 . x x Lời giải Chọn B
Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020  1 u   ln 2x du  dx    x Đặt  1   . dv  dx 1  2 v x      x ln 2x 1 1 1 1 1 Do đó dx   ln 2x  dx   ln 2x   C   ln 2x 1  C  2  2   x x x x x x
Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số f x  2x  3 ln x là 2 x 2 x A.  2
x  3xln x   3x C . B.  2
x  3xln x   3x C . 2 2 2 x 2 x C.  2
x  3xln x
 3x C . D.  2
x  3xln x   3x C . 2 2 Lời giải Chọn D  dx u   ln x du    Đặt    x . dv   2x  3dx 2 
v x  3xdx
x   xdx    2
x xx   2 2 3 ln 3 ln x  3xx   2
x  3xln x   x  3 dx 2   x 2
x  3xln x
 3x C . 2 x
Câu 52. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f x 
trên khoảng 0;  là 2 sin x
A. x cot x  ln sinx  C .
B. x cot x  ln s inx C .
C. x cot x  ln s inx C .
D. x cot x  ln sinx  C . Lời giải Chọn A u   x  du  dx Đặt  1   . dv  dx v   cot x  2   s in x x cos x d sin x Khi đó: dx   .
x cot x  cot d x x   . x cot x  dx   . x cot x   2    s in x sin x sin x   .
x cot x  ln s inx C .
Với x 0;   sinx  0  ln sinx  ln sinx . x Vậy
dx  x cot x  ln s inx  C  . 2 s in x
D. NGUYÊN HÀM CÓ ĐIỀU KIỆN
Câu 53. Cho hàm số f x thỏa mãn f 'x  3  5 sin x và f 0  10 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f x  3x  5 cos x  5
B. f x  3x  5 cos x  2
C. f x  3x  5 cos x  15
D. f x  3x  5 cos x  2 Lời giải Chọn A
Ta có f x    dx x x   3 5sinx 3 5 cos C
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Theo giả thiết f 0  10 nên 5  C  10  C  5 .
Vậy f x  3x  5cos x  5. 3
Câu 54. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số ( )  x f x
e  2x thỏa mãn F 0 
. Tìm F x . 2 A.    x F x e  2 1 2
x B.    x F x e  2 5 x
C.    x F x e  2 3 x
D.    x F x e  2 1 x  2 2 2 2 Lời giải Chọn D Ta có     x    x F x e x
x e x C  2 2 d 3 1
Theo bài ra ta có: F 0  1  C   C  . 2 2 1
Câu 55. Biết F x là một nguyên hàm của f x 
và F 2  1. Tính F 3 . x 1 1 7
A. F 3  ln 2 1
B. F 3  ln 2 1 C. F 3  D. F 3  2 4 Lời giải Chọn B 1 F (x) 
f (x)dx
dx  ln x 1  C  
. F (2)  1  ln1  C  1  C  1. x 1
Vậy F (x)  ln x 1 1. Suy ra F (3)  ln 2  1.   
Câu 56. Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x  sin x  cos x thoả mãn F  2    2 
A. F x  cos x  sin x  3
B. F x   cos x  sin x  3
C. F x   cos x  sin x 1
D. F x   cos x  sin x 1 Lời giải Chọn D
Có F x  f x dx  sin x  cos x dx   cos x  sin x C        Do F   cos  sin
C  2  1 C  2  C  1  
F x   cos x  sin x 1.  2  2 2 Câu 57. Cho
    1 x F x x
e là một nguyên hàm của hàm số   2x
f x e . Tìm nguyên hàm của hàm số   2x f x e . x A.   x     x f x e x x e   2 d 2 C B. f x   x e x x e   2 2 d C 2 C.   x     x f x e x x e   2 d 2 C D.   x     x f x e x x e   2 d 4 2 C Lời giải Chọn C 2x x  Theo đề bài ta có   x     x f x e x x e   2 . d 1
C , suy ra f x.e  x 1 e   x
e  x 1 x   .e      x    1  . x     1    . x f x e x e f x x e Suy ra
  2xd  1  xd  1 d x   x 1   xd  x f x e x x e x x e e x e x
e 2  x      C .
Câu 58. F x là một nguyên hàm của hàm số       2 2 1 x f x x
e thỏa F 0  0 . Tính F   1
Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 2 e 2 3e A. F   2 1  2e . B. F   1  . C. F   2 1  e . D. F   1  . 2 2 Lời giải Chọn C
F x là một nguyên hàm của hàm số       2 2 1 x f x x e suy ra 1 2   2 1 x x
e dx F x 1|F 1  F 0 0      . 0 1 du  2dx u   2x 1  Tính  2   2 1 x I x e dx  . Đặt    1 . 2 x 2 x dv e dx v e 0    2 1 1 x x 3 1 1 x 3 1 1
Suy ra I  2x   2 1 2 2 2 1 2 1 e | e dx e   e | e     2 e   2 1  e . 0 0 2 2 2 2 2 2 2 0
Suy ra F    F   2 1
0  e , mặt khác F 0  0 suy ra F   2 1  e .
Câu 59. Biết F x là một nguyên hàm của hàm số - ( ) x
f x e  sin x thỏa mãn F 0  0 . Tìm F x. A. - ( )= x F x
e  cos x  2 . B. - ( ) x
F x   e  cos x . C. - ( ) x
F x e  cos x - 2 . D. - ( ) x
F x   e - cos x  2 . Lời giải Chọn D - x - x - ( )  ( )d  (  sin )d  - d(- )  sin d  - x F x f x x e x x e x x x
e - cos x C    
F (0)  0  1 1 C  0  C  2 . Vậy - ( ) x
F x   e - cos x  2 . 2
Câu 60. Cho F (x) là một nguyên hàm của f (x)  . Biết F  
1  0 . Tính F 2 kết quả là. x  2 A. ln 8 1. B. 4 ln 2  1 . C. 2 ln 3  2 . D. 2 ln 4 . Lời giải Chọn D 2 Ta có:
f (x)dx F 2  F   1  . 1  2 2 2   2 ln x  2
 2 ln 4  2 ln1  2 ln 4  . 1 x  2  1 
F 2  F   1  2 ln 4 .
F 2  2ln 4 (do F   1  0 ). dx x Câu 61. Biết  a tan  C
với a, b là các số nguyên dương. Tính S a  2b ? 1  cos x b A. – 5. B. – 2. C. 0. D. – 3. Lời giải Chọn D dx dx x Ta có:   tan  C.   1  cos x x 2 2 2 cos 2
Do đó: a  1, b  2  S a  2b  1  4  3.
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 a 1 ln x
Câu 62. Cho F x  ln x b là một nguyên hàm của hàm số f x 
, trong đó a,b   . Giá x 2 x
trị S b  2a bằng A. 6 . B. 0 . C. 4 . D. 2 . Lời giải Chọn C
Vì F x là một nguyên hàm của hàm số f x nên  F x  f x   a    1 1 1 
a ab  . a ln x
Xét  F x 
ln x b  a
ln x b  .     2  2  x   x x x x
a ab  . a ln x 1 ln x
Đồng nhất  F x  f x   . 2 2 x x
a ab  1 a  1  Suy ra    . a  1 b  2  
Vậy b  2a  2  2.  1  4 . 1 f x
Câu 63. Cho F x  
là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm nguyên hàm của hàm số 3 3x x
f x ln x ln x 1 ln x 1 A. f xln d x x     C B. f   xln d x x     C 3 5 x 5x 3 3 x 3x ln x 1 ln x 1 C. f xln d x x     C D. f   xln d x x    C 3 3 x 3x 3 5 x 5x Lời giải Chọn C f x   1  1
Ta có Fx 
f x  . x Fx 3   . x  .x   3   x 3 x  3  xf x    4
x f x    x   4 3 ln 3x ln x Vậy f xx x  4 x x     x      4 ln d 3 ln d 3 ln . x x dx 3 x x Đặt  u x dv  4 d ln ;
x dx  du  ; v x 3   4 ln x x  ln x ln x 1 Nên f   x 4  ln d x x  3 ln . x x dx  3  dx   4 x dx      C 3   3   3 3  3x 3  x x 3x
Câu 64. Cho hàm số f x  có đạo hàm và liên tục trên  và   2  2e x f x
 1  x , f 0  2 . Hàm
f x  là A.  2ex y  2x . B. 2ex y   2 . C. 2  e x yx  2 . D. 2  e x yx 1. Lời giải Chọn D Ta có:   2 x x    2  2e x f x  1  f
x    2e 1dx   f x  2  e  x C      f  0  2   f 0   2 C  1   Vậy   2  e x f xx 1.
Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 x    
Câu 65. Cho f x  trên  ;
và F x là một nguyên hàm của .
x f ' x thỏa mãn 2   cos x  2 2    
F 0  0 . Tính F   ?  3  2   3 2 4  3 2 4  3 2   3 A.   ln 2 . B.   ln 2 . C.   ln 2 . D.   ln 2 . 36 3 9 3 9 3 36 3 Lời giải Chọn C 2 x x
Ta có F x  .
x f ' x dx= d x
  f x  xf x  f xdx=  dx  2  2 cos x cos x x
dx  xd tan x  .
x tan x  tan xdx  .
x tan x  ln cos x  C  2   cos x 2 x
F x 
x tan x  ln cos x  C F 0  C  0 2 cos x 2 2 x    4 3
F x 
x tan x  ln cos x  F    ln 2 2   cos x  3  9 3 x  1 
Câu 66. Cho a là số thực khác 0 , F x là một nguyên hàm của hàm số f x  e ln ax    thỏa  x   1  mãn F  0   và F   2018 2018  e
. Mệnh đề nào dưới đây đúng? a   1   1 
A. a 2018;  . B. a  ;1   . C. a  0;   .
D. a 1; 2018 .  2018   2018  Lời giải Chọn B x  1  x x 1 x 1
Xét F x  e ln   ax  dx e ln 
axdx e . dx M e . dx    .  x x xu    ax 1 ln du  dx Xét x
M e ln ax dx  . Đặt    x x
dv e dx x  v ex x x 1
Khi đó M e ln ax dx e .ln ax  e . dx      x
F x e ln ax  C . x  1  Vì F  0  C  0 x  
suy ra F x  e ln ax .  a  Lại có F   2018  ea 2018 2018 ln 2018  e
 ln 2018a  1 e  1 
 2018a e a  . Vậy a  ;1   . 2018  2018   x 1 Câu 67. Biết   2 2 3 e d e    x x x
2x n  C,  , m n     . Giá trị của 2 2 m n bằng m A. 10 . B. 65 . C. 5 . D. 41 . Lời giải Chọn B x 1
Đặt: u x  3 du  dx , 2 2 d e d e     x v x v . 2 1 1 Ta có:  3 2  x 2 e d e x  3 2 e      x x x x d   x . 2 2
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  1  1  3 2 2 e d e  3 2 e        x x x x x x C . 2 4  1  3 2 2 e d e    2  7   x x x x x C . 4 Vậy, ta có 2 2
m  4, n  7  m n  65 . 2x  1
Câu 68. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f x 
trên khoảng 0; thỏa mãn 4 3 2
x  2x x 1 F   1 
. Giá trị của biểu thức S F  
1  F 2  F 3    F 2019 bằng 2 2019 2019.2021 1 2019 A. . B. . C. 2018 . D.  . 2020 2020 2020 2020 Lời giải Chọn C 2x  1 2x  1
Ta có f x   . 4 3 2 2
x  2x x x x  2 1
Đặt t x x   2
1  x x  dt  2x   1 dx . 1 1 1
Khi đó F x  f xdx
dt    C    C   . 2 t t x x   1 1 1 1 Mặt khác, F   1     C   C  1 . 2 2 2 1
Vậy F x    1 . x x   1 Suy ra  1 1 1 1  S F  
1  F 2  F 3  F 2019      ...   2019   1.2 2.3 3.4 2019.2020   1 1 1 1 1 1 1   1    1      ...    2019   1  2019      2 2 3 3 4 2019 2020   2020  1 1  2018   2018 . 2020 2020 Câu 69.
Cho f x và g x là hai hàm số liên tục và có một nguyên hàm lần lượt là F x  x  2019 , G x 2
x  2020 . Tìm một nguyên hàm H x của hàm số hx  f x.g x , biết H   1  3 .
A. H x 3  x  3.
B. H x 2  x  5 .
C. H x 3  x 1 .
D. H x 2  x  2 . Lời giải Chọn D
Ta có: f x  F x  1 và g x  G x  2x
h x  f xg x  x H x  h x 2 . 2
dx  2xdx x C   . Mà H   2  
C   C   H x 2 1 3 1 3 2  x  2 . Câu 70. Giả sử     2    x F x ax bx
c e là một nguyên hàm của hàm số   2 x
f x x e . Tính tích P abc . A. P  4  .
B. P 1.
C. P  5 . D. P  3  . Lời giải Chọn A
Ta có F  x   ax bx e   2
ax bx cx 2
e  ax   a b 2 2 2
x b ce   .
Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020a  1 a  1  
Do F x  f x, x
   nên ta có hệ: 2a b  0  b   2 . b c 0    c  2  
Vậy P abc  4  . 1 Câu 71.
Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số   2x f x
, thỏa mãn F 0 
. Tính giá trị biểu thức ln 2
T F 0  F  
1  F 2  ... F 2019 . 2020 2 1 2019 2 1 2019 2 1 A. T  . B. T  1009. . C. 2019.2020 T  2 . D. T  . ln 2 2 ln 2 Lời giải Chọn A x 2x
Ta có: F x  2 dx   C  . ln 2 0 1 2 1 2x
Theo giả thiết F 0    C
C  0 . Suy ra: F x  ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 0 1 2 2019 2 2 2 2
Vậy T F 0  F  
1  F 2  ... F 2019     ...  ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 2020 2020 1   1 1 2 2 1 0 1 2 2019 2  2  2  ...  2   .1.  . ln 2 ln 2 1 2 ln 2 1 Câu 72.
Cho hàm số f x xác định trên R \  1  ; 
1 thỏa mãn f ' x 
. Biết f 3  f  3    4 và 2 x 1  1   1   ff  2    
. Giá trị của biểu thức f  5
   f 0  f 2 bằng  3   3  1 1 1 1 A. 5  ln 2 . B. 6  ln 2 . C. 5  ln 2 . D. 6  ln 2 . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A 1 1 1 x 1
Ta có f ' x 
f x  f ' xdx dx  ln  C R \ 1  ;1 . 2   với x    x 1 2 x 1 2 x 1 Khi đó: 1 x 1 ln  C khi x  1  1 2 x 1 
f 3  f 3  C C  4  1 3 1 x 1  C   C  4 f x  1 3  ln  C
khi 1  x  1   2   1   1   2 x 1  ff  2C  2      C  1 2  2   3   3   1 x 1  ln  C khi x  1  3 2 x 1  1 3 1 1 1 1 1 Vậy f  5
   f 0  f 2  ln  C C  ln  C  ln  5  5  ln 2 . 3 2 1 2 2 2 3 2 2 2
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
E. NGUYÊN HÀM HÀM ẨN 1
Câu 73. Cho hàm số f x thỏa mãn f 2  
và f  x  x f x  2 3 4
 với mọi x   . Giá trị của 25   f   1 bằng 41 1 391 1 A. B. C. D.  400 10 400 40 Lời giải Chọn B f  x  3  1  1 Ta có 4
f   x   x f x  2 3 4     4  x 3   x C       4 xf x 2  f x   f x    1 1 1 Do f 2   , nên ta có C  9
 . Do đó f x    f   1   . 25 4 x  9 10
Câu 74. Cho hàm số f x thỏa mãn       ex f x f x , x
   và f 0  2 . Tất cả các nguyên hàm của   2 e x f x là
A.   2 ex  ex xC . B.    2 2 e x  ex x
C . C.    1 ex xC . D.    1 ex xC . Lời giải Chọn D         ex
 ex   ex  1    ex  1   ex f x f x f x f x f x f x
x C .
Vì f 0  2 nên C  2 . Do đó   2
e x    2ex f x x . Vậy:   2
e xd    2 exd    2 d ex     2ex  exd  2    2ex  ex f x x x x x x x x dx      
   2 ex  ex      1 ex x C xC . Câu 75. Cho hàm số
y f x đồng biến và có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn
  2   . x f x
f x e , x   và f 0  2 . Khi đó f 2 thuộc khoảng nào sau đây? A. 12;13.
B. 9;10 .
C. 11;12.
D. 13;14  . Lời giải Chọn B
Vì hàm số y f x đồng biến và có đạo hàm liên tục trên  đồng thời f 0  2 nên
f  x  0 và f x  0 với mọi x 0;  . x 2
Từ giả thiết      . x f x
f x e , x   suy ra f  x  f x 2 .e , x  0; .   1 x f x Do đó, 2  e , x  0; . 2 f x 2 x
Lấy nguyên hàm hai vế, ta được f x 2
e C, x
 0;  với C là hằng số nào đó.
Kết hợp với f 0  2 , ta được C  2 1.
Từ đó, tính được f    e   2 2 2 1  9,81 .
Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Câu 76.
Cho hàm số y f x thỏa mãn f x  0, x
  0 và có đạo hàm f  x liên tục trên khoảng  1
0;   thỏa mãn f  x   x   2 2
1 f x, x   0 và f   1  
. Giá trị của biểu thức 2 f  
1  f 2  ...  f 2020 bằng 2020 2015 2019 2016 A.  . B.  . C.  . D.  . 2021 2019 2020 2021 Lời giải Chọn A Ta có: f  xf  x 1
f  x   x   2 2 1 f x   2x 1  dx  2x 1 dx  2  
x x C . 2   2  f xf xf x 1 1  1 1 Mà f   1  
C  0  f x    . 2 2 x x x 1 x  1 f   1  1  2  1 1  f 2    3 2   1 1 1 2020  f 3    f  
1  f 2  ....  f 2020  1   . 4 3  2021 2021   1 1  f 2020    2021 2020   4 Câu 77.
Cho hàm số y f x thỏa mãn f 2   và   3 2 f
x x f xx
   . Giá trị của f   1 bằng 19 2 1 3 A.  . B.  . C. 1  . D.  . 3 2 4 Lời giải Chọn C f x f  x 4 1 x 3 2  
Ta có f  x  x f x 3   x 3 
dx x dx     C 2   . f x 2 f xf x 4 4 19 16 3 4 Mà f 2      C C
. Suy ra f x   . 19 4 4 4 4 x  3 Vậy f   1  1  . Câu 78.
Cho hàm số y f x liên tục trên  \  1  ; 
0 thỏa mãn điều kiện: f   1  2  ln 2 và
x x   f  x  f x 2 . 1 .
x x . Biết f 2  a  .
b ln 3 ( a , b  ). Giá trị  2 2
2 a b  là 27 3 9 A. . B. 9 . C. . D. . 4 4 2 Lời giải
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Chọn B
Chia cả hai vế của biểu thức x x   f  x  f x 2 . 1 .
x x cho  x  2 1 ta có x 1 x x    x
. f  x  f x   . f x  . 2     x 1     x   1 x 1  x 1  x 1 x x    x  1  Vậy . f x 
. f x dx  dx  1
dx x  ln x 1  C       . x 1  x 1  x 1  x 1 1 Do f   1  2
 ln 2 nên ta có . f  
1  1 ln 2  C   ln 2  1 ln 2  C C  1  . 2 x 1
Khi đó f x 
x ln x 1   1 . x 3 3 3 3 3 3
Vậy ta có f 2  2  ln 3   1 
1 ln 3   ln 3  a  , b   . 2 2 2 2 2 2 2 2  3 3      Suy ra 2 2 2
a b   2          9 .  2   2   
Câu 79. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0; ) , biết f  x   x   2 2
1 f x  0 , 1
f x  0 , f  x  0x  0 , f 2 
. Tính giá trị của P f  
1  f 2  ... f 2019 . 6 2020 2019 2018 2021 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 2019 2020 2019 2020 Lời giải Chọn B Ta có:  f '(x)  f '(x) 2
f '(x)  (2 x1).f (x)  0   2x 1 
dx  (2x 1)dx 2   f (x) f (x) Suy ra 1 1 2
x x c f (x)  2 f (x)
x x c 1 1 1 1 Mà f (2) 
c  0  f (x)    2 6 x x x x 1
P f (1)  f(2)  f(3)  ...  f(2019) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2019  P        ...      1 2 2 3 3 4 2019 2020 1 2020 2020
Câu 80. Cho hàm số f x liên tục trên  \ 1  ; 
0 thỏa mãn điều kiện: f   1  2  ln 2 và
x x   f  x  f x 2 . 1 .
x x  
1 . Biết f 2  a  .
b ln 3 a, b  . Giá trị của  2 2 2 a b  là: 27 3 9 A. . B. 9 . C. . D. . 4 4 2 Lời giải Chọn B
Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Xét trên đoạn 1; 2 , chia cả hai vế của phương trình   1 cho  x  2 1 , ta được: x 1 x
f  x   f x  2   x 1  x   1 x 1 x    x
f x    x 1    x 1 x x  1  
f x  dx  1 dx    x 1 x 1  x 1  x
f x  x  ln x 1  C 2 . x 1
Theo giả thiết, f   1  2
 ln 2 nên thay x  1 vào phương trình 2 , ta được:
1 f  1 1ln 2C  ln 2 1 ln 2C C  1. 2
Thay x  2 vào 2 , ta được: 2 3 3
f 2  2  ln 3 1  f 2   ln 3 . 3 2 2 3 3  a  , b   . Vậy  2 2
2 a b   9 . 2 2 Câu 81. Cho 2
f (4x) dx x  3x c
. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 x A.
f (x  2) dx   2x C  . B. 2
f (x  2) dx x  7x C  . 4 2 x 2 x C.
f (x  2) dx   4x C  . D.
f (x  2) dx   4x C  . 4 2 Lời giải Chọn C Từ giả thiết bài toán 2
f (4x) dx x  3x c  . 2 2 1  t   t t
Đặt t  4x  dt  4dx từ đó ta có
f (t)dt   3  c
f (t)dt   3t c       . 4  4   4  4 2 2 (x  2) x Xét
f (x  2)dx
f (x  2)d(x  2) 
 3(x  2)  c   4x C   . 4 4 2 x Vậy mệnh đề đúng là
f (x  2)dx   4x C  . 4 2
Câu 82. Cho hàm số f x thỏa mãn f 2   và f  x  x f x 2 2  
 với mọi x   . Giá trị của 9 f   1 bằng 35 2 19 2 A.  . B.  . C.  . D.  . 36 3 36 15 Lời giải f x0 2 f  x  1  1
Ta có f  x  2x f x 2    2x       2x
 x C .    2 f   xf x f x      2 1
Từ f 2   suy ra C   . 9 2
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 1 2 Do đó f   1    .  1 2  3 1       2     x
Câu 83. Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên 0; 
 , thỏa mãn f x  tan .
x f  x  . 3  2  cos x       Biết rằng 3 ff
a 3  b ln 3    
trong đó a, b   . Giá trị của biểu thức P a b  3   6  bằng 14 2 7 4 A. . B.  . C. . D.  . 9 9 9 9 Lời giải Chọn D x x
f x  tan .
x f  x   cos .
x f x  sin .
x f  x  . 3 cos x 2 cos x x sin . x f x       . 2 cos x x x Do đó sin . x f x   dx  dx      sin . x f x  dx 2  cos x 2 cos x x Tính I  dx  . 2 cos x u   x  du  dx Đặt  dx   . Khi đó dv v  tan x  2   cos x x d cos xI
dx x tan x  tan d
x x x tan x
dx x tan x  ln cos x  2   . cos x cos x .
x tan x  ln cos x x ln cos x
Suy ra f x    . sin x cos x sin x        2 2 ln 2    3 3 
a 3  b ln 3  3 ff  3           2 ln  3 6 3 3  9 2           5 5 3 a    ln 3 . Suy ra  9 . 9 b   1  4
Vậy P a b   . 9 Câu 84. Cho hàm số
y f x liên tục trên  \  1;   0 thỏa mãn f   1  2 ln 2 1 , x x  
1 f  x   x  2 f x  x x   1 , x    \ 1; 
0 . Biết f 2  a b ln 3 , với a , b là hai số hữu tỉ. Tính 2
T a b . 3 21 3 A. T  . B. T  . C. T  .
D. T  0 . 16 16 2 Lời giải Chọn A
Ta có x x  
1 f  x   x  2 f x  x x   1 x  2 2 x x x  2 2 x
f  x 
f x  1 
f  x  f x  2   x x   1 x 1  x   1 x 1
Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 ' 2 2  xx 2 2 x x 2 2 x xf x     f x  dx   f x 
x  ln x 1  c x  1 x 1   x 1 x 1 x 1 2 2 x 1  x
f x 
x  ln x 1  c . 2   x 2   Ta có f  
1  2 ln 2 1  c  1.  3 a  2 x 1 x  3 3   4
Từ đó f x 
x  ln x 1 1 , f 2   ln 3. Nên . 2    x 2   4 4 3 b    4 3 Vậy 2
T a b   . 16 Câu 85. Cho hàm số
y f x có đạo hàm liên tục trên 1;   và thỏa mãn
xf x  f x 3 2
.ln x x f x , x
 1;   ; biết f  3 e   3e . Giá trị f 2 thuộc khoảng nào dưới đây?  25   27   23   29  A. 12 ;   . B. 13;   . C. ;12   . D. 14;   .  2   2   2   2  Lời giải Chọn C
Xét phương trình  xf  x  f x 3 2
.ln x x f x  
1 trên khoảng 1;  : 2 1 2 ln x x   1  x ln .
x f  x  1 2 ln x. f x 3
x f  x 
f x  2 . x ln x ln x 1  2 ln x
Đặt g x 
. Ta tìm một nguyên hàm G x của g x . x ln x 1 2 ln x 1  2 ln x  1 
Ta có g x dx  dx  d ln x   2 d       ln xx ln x ln x  ln x   ln x
 ln ln x  2 ln x C  ln  C  . 2   x   ln x
Ta chọn G x  ln  . 2   x  ln ln x 1 2 ln x
Nhân cả 2 vế của 2 cho   eG x x  , ta được:  f x   f x  1 2   3   2 x x x ln x    ln x   f   x  1   f
x  x C 3 . 2 2  xx
Theo giả thiết, f  3 e   3e nên thay 3
x  e vào 3 , ta được: ln  3 e  1 . f
e  e  C C  3e  e  0 . 2 3  3 3 3 3 2 e 3 e 3 3 x 2  23 
Từ đây, ta tìm được f x   f 2  .Vậy f 2  ;12   . ln x ln 2  2 
------------------- HẾT -------------------
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27