TOP 101 bài toán Parabol và các vấn đề liên quan – Lương Tuấn Đức

Trong phạm vi hàm số và đồ thị, tài liệu này tác giả tập trung trình bày một lớp các bài toán khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị hàm số bậc hai đơn giản (tức là dạng parabol có đỉnh là gốc tọa độ O) hay còn gọi là đồ thị hàm số y = ax^2, vấn đề vị trí tương đối giữa parabol và đường thẳng.

72 36 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu ôn thi vào 10 môn Toán

Môn: Môn Toán

Thông tin:

99 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Nguyễn Vân
T
T
À
À
I
I
L
L
I
I
Ệ
Ệ
U
U
T
T
H
H
A
A
M
M
K
K
H
H
Ả
Ả
O
O
T
T
O
O
Á
Á
N
N
H
H
Ọ
Ọ
C
C
P
P
H
H
Ổ
Ổ
T
T
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
C
C
H
H
U
U
Y
Y
Ê
Ê
N
N
Đ
Đ
Ề
Ề
H
H
À
À
M
M
S
S
Ố
Ố
V
V
À
À
Đ
Đ
Ồ
Ồ
T
T
H
H
Ị
Ị
(
(
H
H
Ệ
Ệ
T
T
R
R
U
U
N
N
G
G
H
H
Ọ
Ọ
C
C
C
C
Ơ
Ơ
S
S
Ở
Ở
)
)
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
T
T
R
R
U
U
N
N
G
G
Đ
Đ
O
O
À
À
N
N
N
N
G
G
Ọ
Ọ
C
C
H
H
Ồ
Ồ
I
I
–
–
Q
Q
U
U
Â
Â
N
N
Đ
Đ
O
O
À
À
N
N
H
H
Ả
Ả
I
I
Q
Q
U
U
Â
Â
N
N
[
[
T
T
À
À
I
I
L
L
I
I
Ệ
Ệ
U
U
P
P
H
H
Ụ
Ụ
C
C
V
V
Ụ
Ụ
K
K
Ỳ
Ỳ
T
T
H
H
I
I
T
T
U
U
Y
Y
Ể
Ể
N
N
S
S
I
I
N
N
H
H
L
L
Ớ
Ớ
P
P
1
1
0
0
T
T
H
H
P
P
T
T
,
,
L
L
Ớ
Ớ
P
P
1
1
0
0
H
H
Ệ
Ệ
T
T
H
H
P
P
T
T
C
C
H
H
U
U
Y
Y
Ê
Ê
N
N
]
]
C
C
H
H
Ủ
Ủ
Đ
Đ
Ạ
Ạ
O
O
:
:
P
P
A
A
R
R
A
A
B
B
O
O
L
L
A
A
Đ
Đ
Ơ
Ơ
N
N
G
G
I
I
Ả
Ả
N
N
V
V
À
À
C
C
Á
Á
C
C
V
V
Ấ
Ấ
N
N
Đ
Đ
Ề
Ề
L
L
I
I
Ê
Ê
N
N
Q
Q
U
U
A
A
N
N
.
.
S
S
Ự
Ự
B
B
I
I
Ế
Ế
N
N
T
T
H
H
I
I
Ê
Ê
N
N
C
C
Ủ
Ủ
A
A
H
H
À
À
M
M
S
S
Ố
Ố
B
B
Ậ
Ậ
C
C
H
H
A
A
I
I
.
.
V
V
Ẽ
Ẽ
Đ
Đ
Ồ
Ồ
T
T
H
H
Ị
Ị
H
H
À
À
M
M
S
S
Ố
Ố
B
B
Ậ
Ậ
C
C
H
H
A
A
I
I
Đ
Đ
Ơ
Ơ
N
N
G
G
I
I
Ả
Ả
N
N
(
(
P
P
A
A
R
R
A
A
B
B
O
O
L
L
A
A
Đ
Đ
Ơ
Ơ
N
N
G
G
I
I
Ả
Ả
N
N
)
)
.
.
B
B
I
I
Ệ
Ệ
N
N
L
L
U
U
Ậ
Ậ
N
N
V
V
Ị
Ị
T
T
R
R
Í
Í
T
T
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G
Đ
Đ
Ố
Ố
I
I
G
G
I
I
Ữ
Ữ
A
A
Đ
Đ
Ư
Ư
Ờ
Ờ
N
N
G
G
T
T
H
H
Ẳ
Ẳ
N
N
G
G
V
V
À
À
P
P
A
A
R
R
A
A
B
B
O
O
L
L
A
A
.
.
M
M
Ộ
Ộ
T
T
S
S
Ố
Ố
B
B
À
À
I
I
T
T
O
O
Á
Á
N
N
G
G
Ắ
Ắ
N
N
K
K
Ế
Ế
T
T
Y
Y
Ế
Ế
U
U
T
T
Ố
Ố
H
H
Ì
Ì
N
N
H
H
H
H
Ọ
Ọ
C
C
.
.
B
B
À
À
I
I
T
T
O
O
Á
Á
N
N
N
N
H
H
I
I
Ề
Ề
U
U
C
C
Á
Á
C
C
H
H
G
G
I
I
Ả
Ả
I
I
.
.
C
C
R
R
E
E
A
A
T
T
E
E
D
D
B
B
Y
Y
G
G
I
I
A
A
N
N
G
G
S
S
Ơ
Ơ
N
N
(
(
F
F
A
A
C
C
E
E
B
B
O
O
O
O
K
K
)
)
;
;
G
G
A
A
C
C
M
M
A
A
1
1
4
4
3
3
1
1
9
9
8
8
8
8
@
@
G
G
M
M
A
A
I
I
L
L
.
.
C
C
O
O
M
M
(
(
G
G
M
M
A
A
I
I
L
L
)
)
T
T
H
H
À
À
N
N
H
H
P
P
H
H
Ố
Ố
T
T
H
H
Á
Á
I
I
B
B
Ì
Ì
N
N
H
H
–
–
M
M
Ù
Ù
A
A
T
T
H
H
U
U
2
2
0
0
1
1
5
5
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
2
“
“
N
N
o
o
n
n
s
s
ô
ô
n
n
g
g
V
V
i
i
ệ
ệ
t
t
N
N
a
a
m
m
c
c
ó
ó
t
t
r
r
ở
ở
n
n
ê
ê
n
n
t
t
ư
ư
ơ
ơ
i
i
đ
đ
ẹ
ẹ
p
p
h
h
a
a
y
y
k
k
h
h
ô
ô
n
n
g
g
,
,
d
d
â
â
n
n
t
t
ộ
ộ
c
c
V
V
i
i
ệ
ệ
t
t
N
N
a
a
m
m
c
c
ó
ó
b
b
ư
ư
ớ
ớ
c
c
t
t
ớ
ớ
i
i
đ
đ
à
à
i
i
v
v
i
i
n
n
h
h
q
q
u
u
a
a
n
n
g
g
đ
đ
ể
ể
s
s
á
á
n
n
h
h
v
v
a
a
i
i
v
v
ớ
ớ
i
i
c
c
á
á
c
c
c
c
ư
ư
ờ
ờ
n
n
g
g
q
q
u
u
ố
ố
c
c
n
n
ă
ă
m
m
c
c
h
h
â
â
u
u
đ
đ
ư
ư
ợ
ợ
c
c
h
h
a
a
y
y
k
k
h
h
ô
ô
n
n
g
g
,
,
c
c
h
h
í
í
n
n
h
h
l
l
à
à
n
n
h
h
ờ
ờ
m
m
ộ
ộ
t
t
p
p
h
h
ầ
ầ
n
n
l
l
ớ
ớ
n
n
ở
ở
c
c
ô
ô
n
n
g
g
h
h
ọ
ọ
c
c
t
t
ậ
ậ
p
p
c
c
ủ
ủ
a
a
c
c
á
á
c
c
e
e
m
m
”
”
(
(
T
T
r
r
í
í
c
c
h
h
t
t
h
h
ư
ư
C
C
h
h
ủ
ủ
t
t
ị
ị
c
c
h
h
H
H
ồ
ồ
C
C
h
h
í
í
M
M
i
i
n
n
h
h
)
)
.
.
“Đánh cho để dài tóc,
Đánh cho để đen răng,
Đánh cho nó chích luân bất phản,
Đánh cho nó phiến giáp bất hoàn,
Đánh cho sử tri nam quốc anh hùng chi hữu chủ.”
H
H
ị
ị
c
c
h
h
r
r
a
a
t
t
r
r
ậ
ậ
n
n
–
–
Q
Q
u
u
a
a
n
n
g
g
T
T
r
r
u
u
n
n
g
g
H
H
o
o
à
à
n
n
g
g
đ
đ
ế
ế
Đ
Đ
ạ
ạ
i
i
p
p
h
h
á
á
T
T
h
h
a
a
n
n
h
h
q
q
u
u
â
â
n
n
;
;
1
1
7
7
8
8
9
9
.
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
3
C
C
H
H
U
U
Y
Y
Ê
Ê
N
N
Đ
Đ
Ề
Ề
H
H
À
À
M
M
S
S
Ố
Ố
V
V
À
À
Đ
Đ
Ồ
Ồ
T
T
H
H
Ị
Ị
(
(
H
H
Ệ
Ệ
T
T
R
R
U
U
N
N
G
G
H
H
Ọ
Ọ
C
C
C
C
Ơ
Ơ
S
S
Ở
Ở
)
)
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC NHẤT (ĐƯỜNG THẲNG)
T
T
R
R
U
U
N
N
G
G
Đ
Đ
O
O
À
À
N
N
N
N
G
G
Ọ
Ọ
C
C
H
H
Ồ
Ồ
I
I
–
–
Q
Q
U
U
Â
Â
N
N
Đ
Đ
O
O
À
À
N
N
H
H
Ả
Ả
I
I
Q
Q
U
U
Â
Â
N
N
--
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trong khuôn khổ Toán học sơ cấp nói chung và Đại số phổ thông nói riêng, Hàm số và Đồ thị là dạng toán cơ
bản nhưng thú vị, có phạm vi trải rộng, phong phú, liên hệ chặt chẽ với nhiều bộ phận khác của toán học sơ cấp
cũng như toán học hiện đại.
Tại Việt Nam, hệ phương trình, nội dung hàm số và đồ thị là một bộ phận hữu cơ, quan trọng, được phổ biến
giảng dạy chính thức trong chương trình sách giáo khoa Toán bước đầu là lớp 7, tiếp sau là các lớp 9, 10, 11, 12
song song với các khối lượng kiến thức liên quan. Các kỹ năng đối với hàm số, đồ thị được luyện tập một cách đều
đặn, bài bản và hệ thống sẽ rất hữu ích, không chỉ trong bộ môn Toán mà còn phục vụ đắc lực cho các môn khoa
học tự nhiên khác như hóa học, vật lý, địa lý, sinh học,....Đối với chương trình Đại số lớp 9 THCS hiện hành, hàm
số và đồ thị giữ vai trò chính yếu trong Đề thi kiểm tra chất lượng học kỳ, Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT hệ đại trà
và hệ THPT Chuyên. Đối với các lớp cao hơn, nội dung này sẽ được mở rộng trở thành kiến thức chính yếu trong
chương trình Đại số - Giải tích xuyên suốt các lớp 10, 12, bao gồm hàm số bậc cao và bài toán hình học giải tích,
một bài toán mang tính phân loại cao trong kỳ thi tuyển sinh đại học – cao đẳng, kỳ thi THPT Quốc gia hàng năm,
một kỳ thi đầy cam go, kịch tính và bất ngờ, nó lại là một câu rất được quan tâm của các bạn học sinh, phụ huynh,
các thầy cô, giới chuyên môn và đông đảo bạn đọc yêu Toán.
Trong phạm vi hàm số và đồ thị, tài liệu này tác giả tập trung trình bày một lớp các bài toán khảo sát sự biến
thiên, vẽ đồ thị hàm số bậc hai đơn giản (tức là dạng parabol có đỉnh là gốc tọa độ O) hay còn gọi là đồ thị hàm số
2
y ax
, vấn đề vị trí tương đối giữa parabol và đường thẳng, một số bài toán gắn kết yếu tố lượng giác, hình học
giải tích. Như đã nói ở trên, mục đích khoa học chính của tài liệu nhằm phục vụ cho quá trình dạy và học, kiểm tra,
kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT, sau nữa làm nền tảng cho tư duy hàm số, tư duy hình học giải tích ở cấp THPT mai
sau, ngoài ra còn mang tính mở rộng, đào sâu, hướng đến mong muốn bạn đọc nghiên cứu đầy đủ về đường thẳng,
tăng cường sự sáng tạo, đột phá, phát huy hơn nữa trong toán học và các ứng dụng trong hàng loạt các môn khoa
học tự nhiên.
I
I
.
.
K
K
I
I
Ế
Ế
N
N
T
T
H
H
Ứ
Ứ
C
C
C
C
H
H
U
U
Ẩ
Ẩ
N
N
B
B
Ị
Ị
1. Kỹ
thuật nhân, chia đơn thức, đa thức, hằng đẳng thức.
2. Nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
3. Nắm vững các phương pháp giải, biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc cao.
4. Sử dụng thành thạo các ký hiệu toán học, logic (ký hiệu hội, tuyển, kéo theo, tương đương).
5. Kiến thức nền tảng về mặt phẳng tọa độ, hàm số bậc nhất, đường thẳng.
6. Kiến thức nền tảng về hệ số góc của đường thẳng, công thức độ dài, hệ thức lượng trong tam giác vuông,
công
thức lượng giác, đường tròn, hàm số bậc hai parabol, phương trình nghiệm nguyên.
7. Kiến thức nền tảng về ước lượng – đánh giá, hàm số - đồ thị, bất đẳng thức – cực trị.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
4
I
I
I
I
.
.
M
M
Ộ
Ộ
T
T
S
S
Ố
Ố
B
B
À
À
I
I
T
T
Ậ
Ậ
P
P
Đ
Đ
I
I
Ể
Ể
N
N
H
H
Ì
Ì
N
N
H
H
.
.
Bài toán 1. Cho
hàm số
2
y f x ax
(a l
à tham số thực khác 0).
1. Xét
1
a
, tính
1
2
1
2
f
f f
.
2. Với
3
a
,
tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số và so sánh
2 , 3
f f
.
3. Tì
m a để đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm
1
;2
A
.
Vẽ đồ thị với a vừa tìm được.
4. Trong trường hợp
1
a
.
a) Tì
m điểm M và N có hoành độ lần lượt bằng 1 và 2 nằm trên đồ thị.
b) Tìm tọa độ các giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng
.
c) Tì
m m để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng
2
y mx m
.
d) Với
giá trị nào của m thì d có phương trình
2 3
y x m
cắ
t đồ thị hàm số trên tại hai điểm
phân biệt ? Hai điểm đó có thể thuộc cung phần tư thứ hai được hay không ? Vì sao ?
Bài toán 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ cho parabol (P):
2
1
2
y x
và đường
thẳng chứa tham số
1
:
1
2
d
y m x
(m là
tham số thực).
1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một mặt phẳng tọa độ trong trường hợp
4
m
.
2. Tì
m giá trị của m để đường thẳng d
a) Đi qua điểm (4;3).
b) Song song với đường thẳng
3 5y mx
.
c) Vuông
góc với đường thẳng
2
7
3
y
x
.
d) Cắt tr
ục hoành tại điểm có hoành độ nhỏ hơn 2.
3. Chứng tỏ đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.
4. Tính khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d.
5. Tìm giá trị của m để (P) tiếp xúc với d. Tìm tọa độ tiếp điểm.
6. Với giá trị nào của m thì (P) cắt d tại hai điểm phân biệt có hoành độ
1
2
,x x
thỏ
a mãn
a)
1
2 1 2
7
x
x x x
.
b)
1
2
1
1
2
2 2x x
.
c)
2
2
1 2 1 2
9
4
x
x x x
.
d)
1
2
1 1 12
x x
.
e) Biểu
thức
2
2
1 2
4 9
S x x
đạt giá
trị nhỏ nhất.
7. Chứng minh rằng nếu parabol (P) cắt đường thẳng d thì luôn tồn tại một giao điểm nào đó có hoàn
h
độ
0
x
thỏa mãn điều kiện
0
1
x
.
Bài toán 3. Mở rộng và phát triển bài 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành cho tất cả các
thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Trường THPT Chuyên Thái Bình; Thành phố Thái Bình; Tỉnh Thái
Bình; Năm học 2009 – 2010.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P):
2
y
x
v
à đường thẳng
2
:
2 1
d
y m x m m
(vớ
i m
là tham số thực).
1. Tìm m để đường thẳng d đi qua điểm
2
;7
M
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
5
2. Tì
m m để đường thẳng d cắt trục tung tại điểm có hoành độ nhỏ hơn – 2.
3. Với giá trị nào của m thì đường thẳng d thỏa mãn
a) Song song với đường thẳng
5 7y mx
.
b) Vuông góc với đườn
g thẳng
1
6
2
y
x
.
c) Song son
g với đường phân giác góc phần tư thứ nhất.
4. Chứng minh rằng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
5. Tìm các giá trị của m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ
1
2
,x
x
sao
cho
a)
1
2
2
3 5
x
x
.
b)
2 2
1 2
2
3
x
x
.
c)
1
2
1 1
2
2
1x x
.
d)
3
3
1 2
1
x
x
6. Tì
m các giá trị của m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tung đ
ộ
1 2
,y
y
sa
o cho
a)
2
1
2
2
4
y
y m
.
b)
1
2
13
y
y
.
c)
2
1
2
6
y y m m
.
Bài
toán 4. Mở rộng và phát triển bài 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi chính thức; Sở
Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Thái Bình; Năm học 2009 – 2010.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P):
2
y
x
và đ
ường thẳng d:
1
4
y
k x
(k là tham số).
1. Tìm giá trị của k sao cho
a) Đường thẳng d song song với đường thẳng
2
3 8
y
k x k
.
b) Đườ
ng thẳng d vuông góc với đường
thẳng
2
6
3
y
x k
.
c) Đườ
ng thẳng d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ lớn hơn 3.
d) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d là lớn nhất.
2. Tìm các điểm M có hoành độ bằng 4 và thuộc parabol (P).
3. Khi
2
k
; hã
y tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và parabol (P).
4. Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng d luôn cắt parabol (P) tại hai điểm
phân biệt.
5. Chứng minh rằng với mọi k, luôn tồn tại một giao điểm nào đó của parabol (P) và đường thẳng d có
hoành độ
0
x
thỏa mãn điều kiện
0
2
x
.
6. Gọi
1
2
,x x
là các
hoành độ giao điểm của đường thẳng d và parabol (P). Tìm k sao cho
a)
1 2 1 2
6 9
x x x x
.
b)
2
2
1 2 1 2
13
x
x x x
.
c)
1
2
1
1
1k
x
x
.
7. Gọi
1
2
,y
y
là cá
c tung độ giao điểm của đường thẳng d và parabol (P).
a) Tìm k sao ch
o
1
2 1 2
y
y y y
.
b) Tì
m k đ
ể
1
2
1
1 17
4
y
y
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
6
Bài toán 5
. Mở rộng và phát triển bài 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi chính thức; Sở
Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Thái Bình; Năm học 2007 – 2008.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P):
2
y x
và
đường thẳng
2
:
2 1 2d y m x m m
.
Trong đó m l
à tham số thực, O là gốc tọa độ.
1. Tìm m để đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua gốc tọa độ O.
b) Vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ II.
c) Song song với đường thẳng
3
2
y
m x m
.
d) Cắt tr
ục tung tại điểm có tung độ không vượt quá 1.
e) Đi qua điểm K nằm trên (P), K có hoành độ bằng 6.
2. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và (P) khi
3
m
.
3. Tì
m m sao cho (P) và d cắt nhau tại hai điểm có hoành độ
1
2
,x x
và tung độ
1
2
,y y
thỏa mãn
a)
1
2
4
y y
.
b)
1
2
8
y
y
c) Biểu
thức
1
2
6
S y y
đạ
t giá trị nhỏ nhất.
d)
1
2
2 8
y y
.
e) Biểu
thức
1
2
3
P y y m
đạt
giá trị nhỏ nhất.
4. Tìm trên parabol (P) điểm Q (x;y) thỏa mãn
2 2
3
2 0
x
xy y
.
5. Tìm trên parabol (P) điểm M (x;y) thỏa mãn điều kiện
3
5 6 2 3
y
x x x y
.
6. Tồn tại ha
y không điểm N (x;y) thuộc parabol (P) thỏa mãn hệ thức
5 3 2 1 1 0
x y x
?
Bài toán 6. Mở rộng và phát triển bài 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi chính thức; Sở
Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Thái Bình; Năm học 2004 – 2005.
Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P):
2
2y
x
;
một đường thẳng d có hệ số góc bằng m và đi
qua điểm
0;2
I
.
1. Viết phương trình đường thẳng d.
2. Tìm m để đường thẳng d thỏa mãn
a) Song song với đường thẳng
1
3
4
2
y
m x
.
b) Vuông góc với đường thẳng
9y mx
.
c) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 5.
d) Đi qua điểm E có hoành độ bằng 3, E thuộc (P).
e) Tạo với hai trục tọa một tam giác có diện tích không nhỏ hơn 2.
3. Chứng minh rằng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.
4. Gọi hoành độ của A và B là
1
2
,x
x
.
a) Tì
m khoảng giá trị của m để
1
2 1 2
2 5 6
x x x x
.
b) Tì
m giá trị của m sao cho
1
2
3
4
x
x
.
c) Chứng
minh r
ằng
1 2
2
x
x
.
d) Tì
m giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
1 2
1
2
1
1
P
x x
x
x
.
e) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
1 2
9
1
Q
x x
.
f) Chứng minh rằng ít nhất một trong hai hoành độ có giá trị tuyệt đối không vượt quá 1.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
7
5. Gọi tung độ hai giao điểm của (P) với d là
1
2
,y
y
.
a) Tìm m để tồn tại hệ thức
2
2
1 2 1 2
3
6
y
y y y
.
b) Tìm tất cả các giá trị m để
1 2
16y
y
.
c) Xác định m sao ch
o
1
2
1
1
3
y
y
.
6. Trong
trường hợp
1
m
, xét điểm C (1;0). Khi đó hãy tìm tọa độ điểm D trên đường thẳng d sao
cho tổng độ dài
BD
OD
đạt giá trị nhỏ nhất.
7. Tìm tọa độ điểm M (x;y) nằm trên (P) sao cho
2
3
2
1 3 4x x x y x
.
8. Tì
m tọa độ điểm N (x;y) trên (P) thỏa mãn hệ thức
2
4 2 2 2
1019
18 1007 30 6 2008x y z xy y z zx
.
Bài toán 7. Mở rộng và phát triển bài III; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành cho tất cả các
thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Trường THPT Chuyên Thái Bình; Thành phố Thái Bình; Tỉnh Thái
Bình; Năm học 2005 – 2006.
Cho các hàm số
2
y x
(P) và
2
1 2
y
m x m d
(m là
tham số).
1. Vẽ đồ thị (P).
2. Tìm giá trị của m sao cho
a) Đường thẳng (d) không đi qua điểm (4;1).
b) Đường thẳng (d) đi qua điểm có hoành độ bằng 1, điểm này nằm trên (P).
c) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng
2
3
y
m x m
.
d) Đườ
ng thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ không vượt quá 0,5.
e) Đường thẳng (d) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tỷ số hai cạnh góc vuông là 1:4.
3. Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.
4. Gọi
1 2
,x x
là hoành độ các
giao điểm của (d) và (P).
a) Tìm m sao cho
1
2 1 2
10 5
x x x x
.
b) Tì
m giá trị của m sao cho
2
2
1 2
7
8
x
x m
.
c) Tì
m giá trị m để
1
2
1
1 1
1 1 2
x
x
.
d) Tì
m m sao cho
2
2
1 2
2 1 2 9x m x m m
.
e) Hãy tìm m để biểu thức
1
2
B
x x
đạt giá trị nhỏ nhất.
5. Gọi tung độ hai giao điểm của (P) với (d) là
1
2
,y
y
.
a) Tì
m m sao
cho
1
2
4y
y
.
b) Tì
m m sao cho
1
2
1 1 3
y y
.
c) Tì
m tất cả giá trị của m đ
ể
1
2
1 1
18
y
y
.
d) Tì
m m để biểu thức
1
2 1 2
C
y y y y
đạt giá trị
nhỏ nhất.
6. Tìm tọa độ các điểm M (x;y) nằm trên (P) thỏa mãn đẳng thức
4
5 2 2 3x y x
.
7. Tì
m tọa độ các điểm R (x;y) trên (P) sao cho
2
2
6 8 24
x
x x x
.
8. Tồn
tại hay không điểm Q (x;y) thuộc (P) thỏa mãn
2
2 2 2
1
4
x
x y x y
?
9. Điểm N (x;y) trong mặt phẳng tọa độ được gọi là điểm nguyên khi x và y đều là các số nguyên. Giả
sử tồn tại các giá trị nguyên m sao cho (P) và d cắt nhau tại các điểm nguyên. Khi đó (P) và (d) c
ó
thể cắt nhau tại bao nhiêu điểm nguyên là tối đa ?
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
8
Bài toán
8. Mở rộng và phát triển bài 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi chính thức; Sở
Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Thái Bình; Năm học 2003 – 2004.
Cho hàm số
2
2y
x
có
đồ thị là (P) và đường thẳng
2
1
:
2 2
2
d
y a x a
(a là tham số thực).
1. Tìm a để
a) Đường thẳng d đi qua điểm A (0; – 8).
b) Đường thẳng d song song với đường thẳng
5
1
y
a x a
.
c) Đườ
ng thẳng d vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ III.
d) Đường thẳng d cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn – 2.
2. Khi a thay đổi, hãy xét số giao điểm của (P) và d tùy theo giá trị của a.
3. Tìm a để (P) cắt d tại hai điểm có hoành độ
1
2
,x
x
thỏ
a mãn
a)
1
2 1 2
2
x
x x x
.
b)
1
2
1
1
4
x x
.
c)
2
2
1 2
17
8
x
x
.
d)
1
2
2
2 8 9x x a
.
4. Gọi tung độ các giao điểm của (P) và d l
à
1
2
,y
y
.
a) Tì
m a sao ch
o
2
1
2
1
16
2
y
y a
.
b) Tì
m a để
2
1
2
1
1 4 2
y y a
.
c) Tìm a sao cho biểu thứ
c
1
2
5S
y y a
đạ
t giá trị nhỏ nhất.
5. Tìm trên (P) những điểm có khoảng cách đến gốc tọa độ O (0;0) bằng
3
.
6. Tồn
tại hay không điểm B (x;y) nằm trên (P) thỏa mãn
2
2
2
015 2015 2015
x
x y y
?
7. Tìm trên parabol (P) tọa độ điểm C (x;y) thỏa mãn
3
5 8 18
2
y
x
x x
.
Bài toán 9. Mở
rộng và phát triển bài 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi chính thức; Sở
Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Thái Bình; Năm học 2002 – 2003.
Cho hàm số
y
f x x m
có đồ thị là đường thẳng (d), m là tham số, O là gốc tọa độ.
1. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d:
a) Đi qua điểm A (1;2003).
b) Không đi qua điểm B (– 6;2)
c) Vuông góc với đường thẳng
1
9
y
x
m
.
d) Song song với đường thẳng
: 3 0
x y
.
e) Cắt tr
ục tung tại điểm có tung độ lớn hơn
2
1
2
m
.
f) Tiếp
xúc với đường tròn tâm O, bán kính
2
R
.
g) Tạo
với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2.
h) Tiếp xúc với parabol
2
1
:
4
P
y x
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
9
2.
Xét
2
002 2003
;
2002 2003
2003 2002
a b
. Chứ
ng minh rằng
f a f b
.
3. Với
4
m
, tìm
tọa độ điểm C (x;y) trên đường thẳng d sao cho
200
4 2003
2007 2004 1
y x
.
4. Xét hà
m số
1
2
y
x x
có
đồ thị (H).
a) Vẽ đồ thị (H).
b) Biện luận theo tham số m số giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (H).
5. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d cắt parabol (P)
2
y
x
tại hai đ
iểm phân biệt có hoành
độ
1
2
,x x
sao
cho
a)
1
2 1 2
10 7x x x x m
.
b)
2
2
1 2
8
x
x
.
c)
1 2
1
1 1
2 2 5
x
x
.
Bài toán 10. Mở rộng và phát triển bài 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi chính thức;
Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Thái Bình; Năm học 2012 – 2013.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol (P):
2
y
x
và đườn
g thẳng
: 2
d y mx
(m l
à tham số thực).
1. Tìm giá trị của m sao cho đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm (4;11).
b) Không đi qua điểm (3;2).
c) Song song với đường thẳng
4 6 7
y m x m
.
d) Vu
ông góc với đường thẳng
2
3
9
y
x k
.
e) Đồng quy với hai đường thẳng
;
2 1y x y x
.
f) Cắt đường thẳng
tại điểm M nằ
m trên parabol (P).
2. Xét trường hợp
3
m
.
a) Tì
m tọa độ giao điểm của (P) và d khi đó.
b) Tìm tọa độ điểm N (x;y) trên đường thẳng d có hoành độ
4 15 10 6 4 15
x
.
3. Tì
m m để d cắt (P) tại một điểm duy nhất.
4. Cho hai điểm
2
; , 1;A m B n
. Tìm m, n để A thuộc (P) và B thuộc d.
5. Trong trường hợp parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm có tọa độ
1
1 2 2
;
, ;x y x y
.
a) Tì
m giá trị m để
2
2
1
2 1 2
5
x
x x x
.
b) Tì
m m để
2
2
1 2 1 2
6 4
x x x x m
.
c) Tì
m gia trị của m sao ch
o
1
2
1
1 7
1 1 8
x
x
.
d) Tì
m m sao
cho
1
2 1 2 1 2
2
8
y
y x x x x
.
e) Tì
m tất cả các giá trị m sao cho
2
2
1 2
8
y
y
.
f) Tìm m sao cho
1
1 2 2
33
4
m
x
y x y
.
g) Tìm m sao cho biểu thức
1
2
1
1
S
y
y
đạt giá trị
lớn nhất.
h) Chứng minh rằng ít nhất một trong hai hoành độ có giá trị tuyệt đối không vượt quá
2
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
10
6. Gọi H l
à chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng d. Tìm m để độ dài đoạn OH lớn nhất.
7. Tìm tọa độ điểm K (x;y) trên parabol (P) sao ch
o
2
9
2
1
2
9
x
y
x
.
8. Tì
m m để đường thẳng d đi qua điểm T (x;y) thỏa mãn đẳng thức
2
2 2
1 4 9 48 , ,x y z xyz x y z
.
9. Giả
sử tồn tại điểm L (x;y) nằm trên parabol (P) thỏa mãn
2
2
4 3 4
x
x x y
.
So sánh độ dài
đoạn thẳng OL và
19
.
10. Có bao nhi
êu điểm J (x;y) nằm trên (P) thỏa mãn hệ thức
2
5
6 0
y
y x x
?
Bài toán 11. Mở rộng và phát triển bài 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi chính thức;
Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Thái Bình; Năm học 2013 – 2014.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P):
2
2
x
y
và đường thẳng
:
5
d
y mx m
.
1. Tìm giá trị của m sao cho
a) Đường thẳng d đi qua điểm C thuộc (P), P có hoành độ bằng 2.
b) Đường thẳng d không đi qua điểm (4;– 2).
c) Đường thẳng d vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ II.
d) Đường thẳng d song song với đườn
g thẳng
2
6
3
m
y
x
.
e) Đườ
ng thẳng d cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn
15
.
f) Đườ
ng thẳng d tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8.
2. Xét hai điểm D (2;m), E (– 3;n). Tìm m và n để
,
D
P E d
.
3. Tì
m tọa độ giao điểm của (P) và d khi
5
m
.
4. Chứng
minh rằng với mọi giá trị của m thì:
a) Đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định, tìm tọa độ điểm đó.
b) Đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
5. Trong trường hợp parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm có tọa độ
1
1 2 2
;
, ;x y x y
.
a) Tì
m m sao cho
3
1
2 1 2
2
x x x x m
.
b) Tìm m sao cho
2
2
1 2 1 2
4
20
x
x x x
.
c) Tì
m m sao cho
2
1
2
2 2 10 2x mx m m
.
d) Tìm giá trị m để
1
2 1 2
1
5
y
y y y
.
e) Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
2
S
x x
.
f) Tì
m giá trị m thỏa mãn
1
2 1 2
20
y
y x x
.
g) Tìm giá trị nguyên của m để biểu thức
1 2
1 2
y
y
T
x x
nhận giá trị nguyên.
6. Tìm hai điểm phân biệt A, B thuộc parabol (P) sao cho A đối xứng với B qua điểm M (– 1;5).
7. Tìm giá trị của m để đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn tâm O, bán kính
3 2R
.
8. Tì
m tọa độ điểm N (x;y) trên parabol (P) có hoành độ
4
17
12 2 2
x
.
9. Tì
m tọa độ điểm S (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức
3
2
1
2 1 1 4 1
x
x x y y
.
10. Điểm N (x;y) trong mặt phẳng tọa độ được gọi là điểm nguyên khi x và y đều là các số nguyên. Giả
sử tồn tại các giá trị nguyên m sao cho (P) và d cắt nhau tại các điểm nguyên. Khi đó (P) và (d) c
ó
thể cắt
nhau tại bao nhiêu điểm nguyên là tối đa ?
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
11
Bài
toán 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol (P):
2
y
x
và đ
ường thẳng
chứa tham số
: 1d y mx
(m là tham số thực).
1. Với giá trị nào của m thì
a) Đường thẳng d có hướng đi lên ?
b) Đường thẳng d đi qua điểm (4;3).
c) Đường thẳng d không đi qua điểm (– 4;1).
d) Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng
4 10
y x
.
e) Đường thẳng d song song với đường thẳng
8
3 6y m x
.
f) Đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4.
2. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và d khi
2
m
.
3. Chứng
tỏ với mọi giá trị của m, (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt phân biệt A và B.
4. Giả sử A, B có tọa độ
1
1 2 2
;
, ;x y x y
.
a) Chứng tỏ A và B không
thuộc trục Oy.
b) Tìm m sao cho
1 2 1 2
8
11
x
x x x
.
c) Tì
m m sao cho
2 2
1 2 1 2
4
7 9
x
x x x
.
d) Tìm
tất cả các giá trị của m đ
ể
1
2
1 2
1
1
8
x
x
x x
.
e) Tì
m giá trị của m sao cho
1 2 1 2
2y
y y y m
.
f) Tìm giá trị của m sao ch
o
1
2
2y
y m
.
g) Tì
m giá trị của m sao cho
3
1
2
2
y
y m
.
h) Chứng minh rằng ít nhất một trong hai hoành độ có giá trị tuyệt đối không vượt quá 1.
5. Gọi
1
2
,x
x
lần lượ
t là hoành độ của A và B. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1
2
2 1
x
x
T
x
x
.
6. Tì
m tọa độ điểm M (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn
3
y x y y x
.
7. Tì
m tọa độ điểm L (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn
2
2 2 2
4
2 4
2
2
3
x y x xy y
x
y
.
8. Điể
m N (x;y) trong mặt phẳng tọa độ được gọi là điểm nguyên khi x và y đều là các số nguyên. Giả
sử tồn tại các giá trị nguyên m sao cho (P) và d cắt nhau tại các điểm nguyên. Khi đó (P) và (d) c
ó
thể cắt
nhau tại bao nhiêu điểm nguyên là tối đa ?
Bài toán 13. Mở rộng và phát triển bài 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi chính thức;
Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Thái Bình; Năm học 2011 – 2012.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol
2
:
P y x
và
đường thẳng
: 3d y ax
.
1. Tì
m a để đường thẳng d thỏa mãn điều kiện
a) Không đi qua điểm (2;5).
b) Song song với đường thẳng
1
5
2
a
y
a x
.
c) Vu
ông góc với đườn
g thẳng
2
4
8
a
y
x
.
d) Cắt tr
ục hoành tại điểm có hoành độ lớn hơn 7.
e) Tạo với hai trục tọa một tam giác vuông có tỷ lệ các cạnh là
3
: 4 :5
.
f) Tiếp
xúc với đường tròn tâm O, bán kính
3
2
2
R
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
12
2. Tì
m tọa độ điểm S (x;y) trên (P) biết S có hoành độ
5
9 4 5
x
.
3. Trong tr
ường hợp
1
a
, vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ.
4. Chứng minh rằng (P) luôn cắt d tại hai điểm phân biệt.
5. Gọi
1 2
,x
x
là hoành độ h
ai giao điểm của d và (P).
a) Tìm a sao cho
1
2 1 2
3
11 5
x
x x x
.
b) Tì
m a sao cho
2
2
1 2 1 2
4 9 2
x x x x a
.
c) Tì
m a để
1
2
1 1 6
3
a
x x
.
d) Tìm a để hoành độ điểm này gấp 5 lần hoành độ điểm kia.
e) Tìm a sao cho biểu thứ
c
2
2
1
2 1 2
3
P
x x x x
đạ
t giá trị nhỏ nhất.
f) Tìm tất cả giá trị của a sao cho
1
2
2 3
x x
.
g) Chứng minh rằng ít nhất một trong hai hoành độ có giá trị tuyệt đối không vượt quá
3
.
6. Gọi tung độ các giao điểm của (P) và d l
à
1
2
,y y
. Tì
m giá trị của a sao cho
a)
1 2
1
1
1
y
y
.
b)
1
2
1
1 5
y
y
.
c)
2
2
1 2 1 2
19
y
y y y
.
d) Biểu
thức
2
2
1 2
9
1
Q
x x
đạt giá trị lớ
n nhất.
7. Tìm tọa độ điểm K (x;y) nằm trên (P) sao cho
5
6 10 3 2 2
x
x y x
.
8. Điể
m N (x;y) trong mặt phẳng tọa độ được gọi là điểm nguyên khi x và y đều là các số nguyên. Giả
sử tồn tại các giá trị nguyên m sao cho (P) và d cắt nhau tại các điểm nguyên. Khi đó (P) và (d) c
ó
thể cắt
nhau tại bao nhiêu điểm nguyên là tối đa ?
9. Tìm tất cả các điểm L có tọa độ (x;y) nằm trên (P) sao cho
1
3 4 2 10
x
x x x xy
.
Bài
toán 14. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol (P):
2
y
x
và đường thẳng
chứa tham số
: 2 3 5
d y ax a
(a là tham số thực).
1. Tìm giá trị của a để đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm
1
; 9
K
.
b) Song son
g với đường thẳng
4
9y x
.
c) Vu
ông góc với đường thẳng
2
5
1
5
y x k
.
d) Cắt đường thẳng
y
x
tại điểm có hoành độ bằng 1.
e) Tạo với tia Ox một góc tù.
f) Tạo với tia Oy một góc tù.
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của a, d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
3. Gọi hoành độ hai giao điểm của (P) với d là
1
2
,x
x
. Tìm giá trị a sao cho
a)
1
2 1 2
4
5
x
x x x
.
b)
1
2
2
0
x
x
.
c)
1
2
1 1
1 2a
x
x
.
d) Biểu
thức
2
2
1
2 1 2
3
S
x x x x
đạ
t giá trị nhỏ nhất.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
13
e)
1
2
1
0
x
x
.
f) Hai giao điể
m cùng nằm trong góc phần tư thứ nhất.
4. Gọi tung độ các giao điểm của (P) và d l
à
1
2
,y
y
. Tì
m giá trị của a sao cho
a)
1 2 1 2
1
5
y
y y y
.
b)
1 2
1
1 2
5
y
y
.
c) Biểu
thức
1
2
2
y
y
Q
a
đạ
t giá trị nhỏ nhất.
d)
2
2
2
1 2
2
3 5
y
y a
.
5. Với
giá trị nào của a thì (P) cắt d tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung ?
6. Xác định a để (P) cắt d tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của đường thẳng
1x
?
7. Tìm giá trị của a để đường thẳng d đồng quy với hai đường thẳng
6 1; 4 3y x y x
.
8. Tì
m a sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d là lớn nhất.
9. Xét đường tròn (C) với tâm O, bán kính
1R
.
Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng d c
ắt
đườn
g tròn (C) theo một dây cung có độ dài
2
5
5
l
.
10. Tì
m tọa độ điểm K (x;y) trên parabol (P) sao cho
2
17
1
18
2 9 0
3
3
x x x
.
11. Điể
m N (x;y) trong mặt phẳng tọa độ được gọi là điểm nguyên khi x và y đều là các số nguyên. Giả
sử tồn tại các giá trị nguyên m sao cho (P) và d cắt nhau tại các điểm nguyên. Khi đó (P) và (d) c
ó
thể cắt
nhau tại bao nhiêu điểm nguyên là tối đa ?
Bài toán 15. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho đường thẳng
:
2
d
y x m
v
à
parabol
2
:
P
y x
.
1. Với giá trị nào của m thì đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm
2
;9
M
.
b) Song son
g với đường thẳng
3
2 4
y
m x
.
c) Vuông góc với đườn
g thẳng
2
3
3
2
y
m x
.
d) Cắt tr
ục tung tại điểm có tung độ lớn hơn
3
5
m
.
e) Cách gốc tọa độ O một khoảng bằng
5
.
f) Tạo
với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 13.
2. Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi
3
m
.
3. Chứng
minh rằng với mọi giá trị dương của m, trên parabol (P) luôn có hai điểm nằm trên d.
4. Tìm m để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm
1
1 2 2
;
, ;A x y B x y
sao cho
a)
1
2 1 2
5
4
x
x x x
.
b)
2
2
1 1 5
6
x
x
.
c)
2
2
1 2 1 2
8
24x x x x m
.
d)
1 2
2 1
14
5
x
x
x x
.
e)
1
2
1
1
2
0
3
3x x
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
14
f)
2
1
2
1
1 8
y y m
.
g)
1
2 1 2
5
y
y y y
.
h) Biểu
thức
1 2
2 1
y y
P
y
y
đạt giá trị nh
ỏ nhất.
i) A và B nằm về hai phía của trục tung.
5. Xác định m để parabol (P), đường thẳng d và đường thẳng
4 4
y x
đồ
ng quy tại một điểm.
6. Tìm tọa độ điểm D (x;y) nằm trên (P) thỏa mãn đẳng thức
2
8 8 7 1y x y x
.
7. Trong mặt phẳng tọa độ, xét điểm K (a;b) thỏa mãn
2
2
2 4 5 7 3 4b a b a a b b
.
Điể
m K (a;b) có nằm trên parabol (P) hay không ? Tại sao ?
Bài toán 16. Mở rộng và phát triển câu 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành cho tất cả các
thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội; Đại học Sư phạm Hà
Nội; Quận Cầu Giấy; Thủ đô Hà Nội; Năm học 2012 – 2013; Ngày thi 06.06.2012.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
P
y x
và
đường thẳng chứa tham
số
: 2
d y mx m
(m là tham số thực).
1. Tìm giá trị của m sao cho
a) Đường thẳng d đi qua điểm (2;– 7).
b) Đường thẳng d song song với đường thẳng
4
5
y
m x m
.
c) Đường thẳng d vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ nhất.
d) Đường thẳng d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ lớn hơn
3
.
e) Đườ
ng thẳng d tạo với tia Oy một góc
90
.
2. Giả
sử đường thẳng d cắt trục tung và trục hoành theo thứ tự tại A và B (không trùng gốc tọa độ O).
Tìm tất cả các giá trị của m để
a) Tam giác OAB có tỷ lệ độ dài các cạnh là 3:4:5.
b) Tam giác OAB có diện tích bằng 4,5.
c)
6
0
OB
A
.
d) Ta
m giác OAB có độ dài chiều cao kẻ từ O đạt giá trị lớn nhất.
3. Tìm tập hợp các điểm M (x;y) mà đường thẳng d không thể đi qua với mọi giá trị của m.
4. Tìm tọa độ giao điểm của (P) với d khi
2
m
.
5. Chứng
minh rằng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ
1
2
,x
x
.
a) Tì
m giá trị m để
1
2
1 2
1 2
3
x x
x x
.
b) Tìm giá trị m để
2
2 3
1
2
4
3x x m
.
c) Tìm m thỏa mã
n
1
2
1
1 1
5 5 5
x
x
.
d) Tì
m m đ
ể
1
2
20
x
x
.
e) Tì
m giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4
1
2
S x x
.
a) Tì
m m để hai điểm A, B nằm cùng phía đối với trục tung.
b) Tìm m để ít nhất một điểm có hoành độ thuộc khoảng
2
;4
.
6. Điể
m N (x;y) trong mặt phẳng tọa độ được gọi là điểm nguyên khi x và y đều là các số nguyên. Giả
sử tồn tại các giá trị nguyên m sao cho (P) và d cắt nhau tại các điểm nguyên. Khi đó (P) và (d) có
thể cắt
nhau tại bao nhiêu điểm nguyên là tối đa ?
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
15
Bài
toán 17. Mở rộng và phát triển câu 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành cho tất cả các
thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội; Đại học Sư phạm Hà
Nội; Quận Cầu Giấy; Thủ đô Hà Nội; Năm học 2011 – 2012.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
P
y x
và đường thẳng chứa tham số
2
:
3
d
y mx m
(m là tham số thực).
1. Tìm giá trị của m để đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm A thuộc (P), A có hoành độ bằng
3
.
b) Cắt tr
ục hoành tại điểm có hoành độ bằng – 2.
c) Vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ III.
d) Song song với đường thẳng đi qua hai điểm (1;4), (2;5).
e) Tạo với tia Ox một góc nhọn.
2. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ
1
2
,x
x
.
3. Kh
i
1
m
,
tìm tọa độ các giao điểm M, N của đường thẳng d với parabol (P). Tính độ dài đường
cao
OH củ
a tam giác OMN (H là chân đường cao).
4. Với giá trị nào của m thì
1
2
,x
x
tương ứng là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có
độ dài cạnh huyền bằng
5
2
?
5. Tì
m m để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt
1
1 2 2
;
, ;A x y B x y
s
ao cho
a)
1
2 1 2
3
5
x
x x x
.
b)
2
2
1 2 1 2
5
19
x
x x x
.
c)
1
2
1 1
0
,8
2
1 2 1x x
.
d)
3
3
1 2
7
x
x
.
e)
1
2 1 2
3
y
y y y
.
f)
1
2 1 2
10 0
y y x x
.
g) Hai điể
m A và B cùng nằm phía bên phải của trục tung.
6. Tồn tại hay không giá trị của m để (P) cắt d tại hai điểm A, B nằm khác phía đối với đường
2
x
?
7. Trong
mặt phẳng tọa độ, xét điểm K (a;b) thỏa mãn đẳng thức
2
2
2
1
3 1
a
a b
b b
.
Điể
m K (a;b) có nằm trên parabol (P) hay không ? Giải thích.
8. Tìm tọa độ điểm L (x;y) trên parabol (P) sao cho
1 1 1 4
x x y
.
Bài toán
18. Mở rộng và phát triển câu 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành cho tất cả các
thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội; Đại học Sư phạm Hà
Nội; Quận Cầu Giấy; Thủ đô Hà Nội; Năm học 2013 – 2014.
Cho parabol
2
:
P y x
và
đường thẳng
2
1
:
2
d
y mx
m
(tham số
0
m
).
1. Tì
m giá trị của m để
a) Đường thẳng d đi qua điểm (0;1).
b) Đường thẳng d song song với đường thẳng
1
2
2
y x
.
c) Đường thẳng d vuông góc với đường
thẳng
3
4
2
y
x m
.
d) Đườ
ng thẳng d cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn 1.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
16
2. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và d trong trường hợp
1
m
.
3. Chứng minh rằng với mỗi
0
m
,
d cắt (P) tại hai điểm phân biệt, đồng thời hai điểm này nằm v
ề
hai
phía của trục tung.
4. Gọi
1 1 2 2
;
, ;A x y B x y
l
à hai giao điểm của d và (P).
a) Tìm m đ
ể
2
1
2
5 4
x x m
.
b) Tì
m m sao cho
2
2
1 2 2 1
2
x
x x x
.
c) Tì
m giá trị của m sao cho
2
2
1 2
1
S
x x
đạt giá trị nhỏ nhất.
d) Xác định m sao ch
o
2
1
2 1 2
3
3
2
y
y x x m
.
e) Tì
m tất cả các giá trị m sao cho
1
2
1
1
2y
y
m
m
.
f) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu th
ức
2
2
1 2
M
y y
.
5. Trong
mặt phẳng tọa độ, xét điểm K (a;b) thỏa mãn đẳng thức
2
2 2
1
9 10 10 , ,a b b c c c a b c
.
Điểm K (a;b) có nằm trên parabol (P) hay không ? Giải thích.
6. Tìm tọa độ điểm L (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn
3
2
1 2 2x x y x
.
7. Điể
m N (x;y) trong mặt phẳng tọa độ được gọi là điểm nguyên khi x và y đều là các số nguyên.
Chứng minh rằng (P) và d không thể có giao điểm là điểm nguyên.
Bài toán 19. Mở rộng và phát triển câu 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành cho tất cả các
thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội; Đại học Sư phạm Hà
Nội; Quận Cầu Giấy; Thủ đô Hà Nội; Năm học 2014 – 2015.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol
2
:
P
y x
v
à đường thẳng d:
2 1
1
3
3
y
m x
(với
O là
gốc tọa độ, m là tham số).
1. Tìm tất cả các giá trị của m để
a) Đường thẳng d đi qua điểm (3;2).
b) Đường thẳng d đi qua điểm A thuộc (P), A có tung độ bằng
3
3
.
c) Đườ
ng thẳng d song song với đường phân giác góc phần tư thứ II.
d) Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm (3;1) và (2;4).
e) Đường thẳng d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ lớn hơn 5.
f) Đường thẳng d tạo với tia Oy một góc nhọn.
2. Chứng minh rằng với mỗi giá trị của m, đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
3. Gọi
1
2
,x
x
là hoành độ các giao điểm của (P) và d.
a) Tìm m để
1
2 1 2
5
9x x x x m
.
b) Tì
m m để
2
2
1 2 1 2
28
6
9
x
x x x
.
c) Tìm m sao
cho
1
2
1
1 2
2 2 3
x
x
.
d) Tì
m giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
1
2 1 2
1
3
S
x x x x
.
e) Đặt
3
2
1
f
x x m x x
.
Chứng minh đẳng thức
3
1 2 1 2
1
2
f x f x x x
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
17
4. Tì
m tọa độ điểm L (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn
2
1 2 1
y
x x y
.
5. Điể
m N (x;y) trong mặt phẳng tọa độ được gọi là điểm nguyên khi x và y đều là các số nguyên. Xét
điểm nguyên N (x;y) thỏa mãn đẳng thức
2
2
9
3 6 6 2 35 0
x
y xy x y
.
a) Tì
m tất cả các điểm nguyên N (x;y).
b) Những điểm N (x;y) nào nằm trên parabol (P) ?
Bài toán 20. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 4; Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS; Môn Toán;
Đề thi chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Gia Lai; Năm học 2009 – 2010.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
P y x
v
à đường thẳng d chứa tham
số
2 1 3
y m x m
(m là tham số thực).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ parbol (P).
2. Tìm m để đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm (1;– 4).
b) Vuông góc với đườn
g thẳng
2
1
3
3
y
x
.
c) Song son
g với đường thẳng
2
3
y
x
.
d) Cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn 5.
e) Tạo với tia Ox một góc nhọn.
f) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 0,5.
g) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tỷ lệ độ dài các cạnh là
4
:5: 41
.
3. Chứng
minh rằng đường thẳng d luôn luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị m.
4. Gọi
1
2
,x
x
là hoành độ các giao điểm A, B của (P) và d. Tìm giá trị của m sao cho
a)
1 2 1 2
1
5
2
x
x x x
.
b)
1
2 1 2
4
6 2
x
x x x
.
c) Biểu
thức
2
2
1
2 1 2
3
2
S x x x x
đạt giá trị n
hỏ nhất.
d)
1
2
1
1
m
x
x
.
e)
1
2
1
1 1
6 6 6
x
x
.
f) A,
B nằm về hai phía của trục hoành.
g) A và B đối xứng nhau qua điểm I (2;8).
5. Tìm tất cả các giá trị m để d cắt (P) tại hai điểm A, B nằm cùng một phía đối với trục tung. Khi đó
hai
điểm A, B nằm về bên trái hay bên phải trục tung ?
6. Viết phương trình đường thẳng
đi qua điểm E (–1;5), chắn parabol (P) theo một dây cung (X) sa
o
cho E là trung điểm của (X).
7. Điểm N (x;y) trong mặt phẳng tọa độ được gọi là điểm nguyên khi x và y đều là các số nguyên. Giả
sử tồn tại các giá trị nguyên m sao cho (P) và d cắt nhau tại các điểm nguyên. Khi đó (P) và (d) c
ó
thể cắt
nhau tại bao nhiêu điểm nguyên là tối đa ?
8. Tìm tọa độ điểm L (x;y) nằm trên parabol (P) khi
3
4 3
y
x x x
.
9. Trong
mặt phẳng tọa độ, xét điểm K (a;b) với a, b thỏa mãn đẳng thức
2
2
2
1 1 1 1 1
a
b a b ab
.
Điể
m K (a;b) có nằm trên parabol (P) hay không ? Giải thích.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
18
Bài
toán 21. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 5; Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS; Môn Toán;
Đề thi chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Gia Lai; Năm học 2009 – 2010.
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol
2
1
:
4
P
y x
và đườn
g thẳng d:
1y
mx
; m
là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ parabol (P).
2. Tìm m để đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm (3;10).
b) Đi qua điểm A thuộc (P), A có hoành độ bằng
3
.
c) Song son
g với đường thẳng
1
3
5
2
y
m x
.
d) Vu
ông góc với đườn
g thẳng
1
2
3
x
y m
.
e) Tiếp
xúc với đường tròn tâm O, bán kính
2
2
R
.
3. Chứng
minh rằng với mọi
m
:
a) d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.
b) Diện tích tam giác AOB không nhỏ hơn
1
2
m
.
4. Gọi
1
1 2 2
;
, ;A x y B x y
l
à hai giao điểm của d và (P).
a) Tìm m sao cho
1
2 1 2
1
4
2
x
x x x m
.
b) Tì
m m để
2 2
1 2 1 2
5 29
x x x x
.
c) Tìm m thỏa mã
n
1 2
1
1 2
2 3 2 3 3
x
x
.
d) Tì
m giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
1
2 1 2
3
2
Q x x x x
.
e) Tì
m m sao
cho
1
2 1 2 1 2
2
9
y
y y y x x
.
f) Tì
m m sao cho
1
2
1
1
3m
y y
.
g) Chứng minh rằng ít nhất một trong hai điểm có giá trị tuyệt đối hoành độ không vượt quá 2.
5. Tìm tọa độ điểm D (x;y) thuộc parabol (P) thỏa mãn
2
1
2
4
4
x
y x
y
.
6. Tìm tọa độ điểm E (x;y) thuộc parabol (P) có hoành độ x thỏa mãn
2
2 2
m
in
a b b c c a
x
ab
bc ca a b c
.
7. Điể
m N (x;y) trong mặt phẳng tọa độ được gọi là điểm nguyên khi x và y đều là các số nguyên. Giả
sử tồn tại các giá trị nguyên m sao cho (P) và d cắt nhau tại các điểm nguyên. Khi đó (P) và (d) c
ó
thể cắt nhau tại bao nhiêu điểm nguyên là tối đa ?
8. Viết phương trình đường thẳng
đi qua điểm L (1;12), chắn parabol (P) theo một dây cung (X) sa
o
cho L l
à trung điểm của (X).
9. Tìm tọa độ hai điểm U, V thuộc parabol (P) sao cho U và V nhận điểm I (0;4) làm tâm đối xứng.
10. Trong mặt phẳng tọa độ, xét điểm K (a;b) với a, b thỏa mãn đẳng thức
2
2
4
5 5a a b a b b
.
Điểm K (a;b) có nằm trên parabol (P) hay không ? Giải thích.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
19
Bài
toán 22. Mở rộng và phát triển câu 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành cho tất cả các
thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Trường THPT Chuyên Thái Bình; Thành phố Thái Bình; Tỉnh Thái
Bình; Năm học 2011 – 2012.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol
2
:
P
y x
và đường thẳng (d):
1
3 4
y
m x m
(O là gốc tọa độ, m là tham số).
1. Vẽ parabol (P).
2. Tìm giá trị của m sao cho đường thẳng (d) thỏa mãn
a) Đi qua điểm (– 5;1).
b) Đi qua điểm K thuộc (P), K có hoành độ bằng
2
.
c) Vu
ông góc với đườn
g thẳng
3
5
x
y
m
.
d) Song son
g với đường thẳng
2 1
2
3
mx
y
.
e) Cắt tr
ục tung tại điểm có tung độ không vượt quá 6.
f) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương.
3. Gọi M, N lần lượt là các giao điểm không trùng gốc O của (d) với trục tung và trục hoành.
a) Tìm m sao cho tam giác OMN có diện tích bằng 18.
b) Tìm m để tam giác OMN có tỷ lệ độ dài các cạnh là
4: 7 : 65
.
c) Tìm m để
30
OM
N
.
d) Tìm m để tam giác OMN có độ dài chiều cao kẻ từ O đạt giá trị lớn nhất.
4. Xét hai điểm D (1;m), E (n;6). Tìm m và n để E thuộc (P) và E thuộc (d).
5. Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi
2
m
.
6. Chứng minh rằng, với mọi giá trị của m, (d) và (P) luôn có ít nhất một điểm chung.
7. Tìm điều kiện của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
1
1 2 2
;
, ;A x y B x y
thỏa
mãn
a) Hoành độ điểm này gấp đôi hoành độ điểm kia.
b) Hai điểm có hoành độ lớn hơn 2.
c)
1
2
2 3 4
x x
.
d)
1
2
1 1 1
4 4 5
x
x
.
e) Biểu
thức
2 2
1
2 1 2
5
P
x x x x
đạt
giá trị nhỏ nhất.
f) Biểu thức
2
2
1
2 1
3Q x x x
đạt giá trị nhỏ nhất.
g)
1
2
3
3
x
x
.
h)
1
2 1 2
1
19
y
y y y
.
i)
1
2
81y
y n n n
.
j) Biểu thức
2
2
1
2 2 1 1 2
2
R x x x x y y
đạt giá trị lớn nhất.
8. Viết phương trình đường thẳng
đi qua điểm L (2;5),
chắn parabol (P) theo một dây cung (Z)
sao cho L là trung điểm của (Z).
9. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt đường thẳng
4 1y x
tại đ
iểm J (x;y) sao
cho biểu thức
2
2
8
7S y x x
đạt
giá trị nhỏ nhất.
10. Chứng minh rằng có ba điểm K (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn
2
4
5 9 3 4
x
x x y x
.
11. Trong
mặt phẳng tọa độ, xét điểm L (a;b) thỏa mãn đẳng thức
2
8
10 18 83
a
a b b
.
Điể
m L có nằm trên parabol (P) hay không ? Tại sao ?
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
20
Bài toán
23. Liên hệ, kết hợp, Mở rộng và phát triển các bài toán
Câu 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo
Tỉnh
Thá
i Bình; Năm học 2006 – 2007.
Câu 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành cho tất cả các thí sinh dự thi); Đề thi chính
thức;
Trường THPT Chuyên Ngoại ngữ; Đại học Quốc gia Hà Nội; Quận Cầu Giấy; Thủ đô
Hà
Nội; Nă
m học 2000 – 2001.
Bài 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành cho tất cả các thí sinh dự thi); Đề thi chín
h
thức; Khối THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội; Đại học Sư phạm Hà Nội; Quận Cầu Giấy;
Thủ
đô Hà Nội; Năm học 2009 – 2010.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng
:
2
d
y x
và p
arabol
2
:
P
y x
.
1. Tì
m tọa độ điểm trên đường thẳng d có hoành độ bằng
3
.
2. Tìm tọa độ điểm H (x;y) thuộc đường thẳng d sao cho biểu thức
2
2
4P
x y
đạt giá trị
nhỏ nhất.
3. Xác định tọa độ hai giao điểm A và B của (d) với (P).
4. Cho điểm M thuộc (P) có hoành độ là m (với
1
2
m
).
Chứng minh r
ằng
27
8
M
AB
S
.
(
MAB
S
là
diện tích của tam giác MAB).
5. Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm I (0;1) và cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt M và N
sao cho
2 10
MN
.
6. Xét đườ
ng thẳng
: 1y mx
.
a) Tì
m m để đường thẳng
đi
qua điểm L nằm trên P, L có hoành độ bằng
5
2
.
b) Chứng
minh đường thẳng
luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
c) Gọi
1
1 2 2
; , ;P x y Q x y
l
à các giao điểm của
v
à (P).
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1
2
1
1
M
y y
.
7. Tì
m tất cả các giá trị của m để parabol (P) cắt đường cong
2
: 5
C y x m
tại điể
m L (x;y) sao
cho
biểu
thức
2
4
8 20
S
y xy x
đạt
giá trị nhỏ nhất.
8. Tìm tất cả các điểm K (x;y) thuộc parabol (P) thỏa mãn đẳng thức
1
1
2015 1 2
1
y
x
x x x
y x
.
9. Tì
m tọa độ hai điểm phân biệt U, V thuộc (P) sao cho hai điểm đó nhận
3
5
;
2 2
L
làm
tâm đối xứng.
10. Tìm tọa độ hai điểm phân biệt E, F thuộc parabol (P) thỏa mãn điều kiện: Điểm I (0;3) chia
trong
đoạn thẳng EF theo tỷ lệ
1
3
IE
IF
.
Bài toán 23. Mở rộng và phát triển bài 3; Đề thi kiểm tra chất lượng học kỳ II; Môn Toán; Lớp 9; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Thái Bình; Năm học 2010 – 2011.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng
2
1
2
y
x
và đườn
g thẳng
:
2
d
y kx k
.
1. Tì
m giá trị của k sao cho
a) Đường thẳng d đi qua điểm (3;1).
b) Đường thẳng d vuông góc với đường
thẳng
2
4
3
y
x
.
c) Đườ
ng thẳng d song song với đường thẳng
1
2
2
y
x
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
21
d) Đườ
ng thẳng d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương.
e) Đường thẳng d cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn 0,8.
f) Đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 9,5.
g) Đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tỷ lệ độ dài các cạnh là
1
: 2 : 5
.
2. Tìm tọa độ điểm cố định C (x;y) mà đường thẳng d luôn đi qua với mọi giá trị của m.
3. Tìm khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d.
4. Tìm k để (P) và (d) cùng đi qua gốc tọa độ.
5. Chứng minh rằng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi k thay đổi.
6. Gọi
1
2
,x
x
lần lượt là hoành độ các giao điểm A, B của (P) và (d).
a) Tìm k để
1
2 1 2
1
3
2
x
x x x
.
b) Tìm k sao cho
1
2
4x
x k
.
c) Tì
m k sao cho
2 2
1 2 1 2
9
12
x
x x x k
.
d) Với
giá trị nào của k thì
1
2
1
1 1
6 6 6
x
x
?
e) Xác định
k để biểu thức
2
2
1 2 1 2
x
x x x
đạt
giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
f) Tìm k để tung độ điểm này bằng 4 lần tung độ điểm kia.
g) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB.
7. Tìm giá trị của tham số k để đường thẳng d cắt đường thẳng
1
1
2
y x
tại điểm K (x;y) sao cho biểu
thức
2
2
3
4 5S x y x y
đạt giá trị nhỏ nhất.
8. Tìm giá trị của tham số k để đường thẳng d cắt đường cong
2
3
1y x x
tạ
i điểm L (x;y) sao cho t
ỷ
số
2
2
y
T
x
đạt giá trị nhỏ nhất.
9. Tìm tọa độ điểm D (x;y) thuộc parabol (P) thỏa mãn đẳng thức
2
3
3 2 1
1
2
x
x x
y
x
x y
.
10. Viết
phương trình đường thẳng đi qua điểm
3
5
;
2
4
I
cắt parabol (P) theo một dây cung UV sao
cho U và V nhận I làm tâm đối xứng.
11. Tìm tọa độ hai điểm M, N thuộc parabol (P) sao cho điểm
3
0
;
2
Z
chi
a trong đoạn thẳng MN theo
tỷ lệ
:
1: 3
Z
M ZN
.
12. Xét các điểm P và Q nằm trên parabol (P), P có hoành độ bằng – 1, Q có hoành độ bằng 2. Tìm tọa
độ điểm R nằm trên cung parabol
PQ
sao
cho tam giác PQR có diện tích bằng 3.
Bài toán 24. Mở rộng và phát triển bài 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành cho tất cả các
thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Khối THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội; Đại học Sư phạm Hà
Nội; Quận Cầu Giấy; Thủ đô Hà Nội; Năm học 2007 – 2008.
Cho các hàm số
2
,
2
y
x y x
.
1. Vẽ đồ
thị hàm số
2
y
x
.
2. Tì
m tọa độ điểm C trên đồ thị hàm số
2y
x
biết C có hoành độ bằng 2.
3. Viết phương trình đường thẳng đi qua (3;5) đồng thời vuông góc với đường thẳng
2y x
.
4. Xác
định tọa độ các giao điểm A, B của đồ thị hai hàm số đã cho và tọa độ trung điểm I của đoạn
thẳng AB, biết rằng A có hoành độ dương.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
22
5. Xác định
tọa độ của điểm M thuộc đồ thị hàm số
2
y
x
sa
o cho tam giác AMB cân tại M.
6. Xét các điểm P và Q nằm trên parabol (P), P có hoành độ bằng – 1, Q có hoành độ bằng 2. Tìm tọa
độ điểm R nằm trên cung parabol
P
Q
sao cho tam giác PQR có diện tích bằng
1
5
8
.
7. Đặt
2
f x y x
. Cho a là số thực thỏa mãn
2
4
1 0
a
a
, tính
5
5
1
f
a
a
.
8. Tìm tọa độ hai điểm E, F thuộc parabol
2
y
x
sao
cho E và F đối xứng nhau qua điểm I (2;5).
9. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm K (0;8) và cắt parabol (P) theo dây cung CD sao cho
điểm K ch
ia trong đoạn thẳng CD theo tỷ số 1:2.
10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét điểm L (a;b) thỏa mãn hệ thức
0
, 0, 0
1
2 1
a b c
abc
a
b b c c a a b c
Hỏi điểm L (a;b) có thuộc parabol (P) hay không ? Tại sao ?
11. Xét các điểm U, V nằm trên parabol (P) có hoành độ lần lượt là – 2 và 4. Xét điểm T thuộc cun
g
parabol nhỏ
U
V
(tức là
2
4
T
x
). Gọi U’,V’,T’ tương ứng là hình chiếu vuông góc của U, V, T
trên trục hoành.
a) Tìm tọa độ các điểm U’,V’,T’.
b) Tính diện tích các tứ giác UVV’U’, UTT’U’, TVV’T’.
c) Tìm tọa độ điểm T sao cho tam giác UVT có diện tích lớn nhất.
Bài toán 25. Mở rộng và phát triển bài 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành cho tất cả các
thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Trường THPT Chuyên Thái Bình; Thành phố Thái Bình; Tỉnh Thái
Bình; Năm học 2016 – 2017.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P):
2
y x
và đường thẳng
:
2 3
d
y x m
.
(m là tham số,
m
).
1. Tìm giá trị của m để đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm (8;– 10).
b) Không đi qua điểm (– 3;5).
c) Song song với đường thẳng
2
3 2
y
x m
.
d) Vuông góc với đường thẳng
2
5
y
mx
.
e) Cắt tr
ục tung tại điểm có tung độ lớn hơn
1
2
1
.
f) Hợp thành với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1.
g) Tiếp xúc với đường tròn tâm O, bán kính
2
5
R
.
2. Tìm m để parabol (P) và đường thẳng d cùng đi qua điểm có hoành độ là 1.
3. Tìm m để parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt A và B sao cho
a) Hoành độ điểm này gấp đôi hoành độ điểm kia.
b) Tung độ điểm này gấp 9 lần tung độ điểm kia.
c) Tổng bình phương hai hoành độ bằng 5.
d) Tổng nghịch đảo hai hoành độ bằng – 1.
e) Tổng bình phương hai hoành độ bằng 10.
f) Tổng bình phương hai tung độ bằng 56.
g) Tổng lập phương hai hoành độ bằng 20.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
23
4. Viết phư
ơng trình đường thẳng đi qua điểm (2;3) và tiếp xúc với parabol (P).
5. Xét các điểm U, V nằm trên parabol (P) có hoành độ lần lượt là – 2 và 4. Tìm tọa độ điểm T thuộ
c
cung parabo
l
UV
sa
o cho tam giác UVT có diện tích bằng 27.
6. Tìm tọa độ điểm K (x;y) thuộc parabol (P) sao cho
3
1 2
x
x y x y
.
7. Trong
mặt phẳng tọa độ, xét điểm L (m;n) với m và n nguyên dương sao cho
2
3 4 2.7
m
n n
.
Có bao
nhiêu điểm L nằm trên parabol (P) thỏa mãn hệ thức trên.
8. Tìm tọa độ hai điểm C, D nằm trên (P) sao cho C và D đối xứng với nhau qua điểm M (–1;10).
9. Tìm tọa độ điểm E trên parabol (P) và điểm F trên đường thẳng
: 2
y x
s
ao cho độ dài đo
ạn
thẳng EF đạt giá trị nhỏ nhất.
10. Xét đồ thị hàm số
3
3
3y x x
. Ký hiệu (C) là phần đồ thị hàm số nằm trong góc phần tư thứ nhất
củ
a mặt phẳng tọa độ. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt (C) tại điểm J (x;y
)
sao cho
biểu thức
4
2
2 2
3
3x y x x x
S
y x x y
đạt giá trị nhỏ
nhất.
Bài toán 26. Mở rộng và phát triển bài 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi chính thức;
Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Thái Bình; Năm học 2016 – 2017.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P):
2
y x
và
đường thẳng
2
:
2 1 2d y m x m m
.
(m l
à tham số,
m
).
1. Tì
m giá trị của tham số m để đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm I (1;3).
b) Không đi qua gốc tọa độ.
c) Cắt trục tung tại điểm có tung độ nhỏ hơn 3.
d) Song song với đường thẳng
3
3y x
.
e) Vu
ông góc với đườn
g thẳng
1
5
2
2
y x n
.
f) Đồng q
uy với hai đường thẳng
1
2
: 9; : 3 7
d y x d y x
.
2. Chứng
minh rằng parabol (P) luôn cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt A, B.
3. Gọi
1
2
,x
x
là hoành độ ha
i điểm A, B.
a) Tìm m sao cho
2
2
1 2 1 2
6 2016
x x x x
.
b) Tìm m để
1
2 1 2
9
2
x
x x x m
.
c) Tì
m m thỏa mã
n
1
2
1
1
0
,25
x
x
.
d) Tì
m m đ
ể
1
2
1
1
1
0
3
3x x
.
e) Tì
m giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
2 1 2
3
4
S
x x x x
.
4. Viết phương trình tiếp tuyến của (P) biết tiếp tuyến đi qua điểm E (3;5).
5. Xét điểm G nằm trên tia Oy (G không trùng gốc tọa độ). Tồn tại bao nhiêu tiếp tuyến của parabol
(P) đi qua điểm G ?
6. Tìm tọa độ hai điểm C, D nằm trên (P) sao cho C và D nhận điểm (1;5) làm tâm đối xứng.
7. Tìm tọa độ điểm E trên parabol (P) và điểm F trên đường thẳng
3y x
sao cho độ dài đoạn thẳng
EF đạt giá trị nhỏ nhất.
8. Xét các điểm U, V nằm trên parabol (P) có hoành độ lần lượt là – 4 và 6. Tìm tọa độ điểm T thuộ
c
cung parabo
l nhỏ
U
V
sa
o cho tam giác UVT có diện tích bằng 32.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
24
Bài
toán 27. Mở rộng và phát triển bài 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi chính thức;
Sở Giáo dục và Đào tạo Thủ đô Hà Nội; Năm học 2010 – 2011.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P):
2
y x
và
đường thẳng d:
1y mx
.
1. Vẽ parab
ol (P).
2. Tìm giá trị của m để
a) Đường thẳng d đi qua điểm (4;1).
b) Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng
1
5
2
y
x
.
c) Đường thẳng d song song với đường thẳng
5
2 5
y
m x
.
d) Đườ
ng thẳng d tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4.
e) Đường thẳng d đồng quy với hai đường thẳng
3
2; 5 1y x y x
.
3. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phâ
n
biệt.
4. Gọi
1
2
,x
x
là hoành độ các
giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P).
a) Tìm m để
2
2
1 2 2 1 1 2
3
x
x x x x x
.
b) Tì
m m sao cho
1
2 1 2
10
12
x
x x x
.
c) Tì
m m thỏa mãn
2
2
1 2 1 2
8
13
x
x x x
.
d) Tì
m m đ
ể
1 2
2
2
5
1 1x x
.
e) Với
giá trị nào của m thì
3
3
1 2
2
x
x
.
f) Với
giá trị nào của m thì
2
2
1 2
16x x
.
g) Chứng
minh ít nhất một trong hai giao điểm có giá trị tuyệt đối hoành độ không vượt quá 1.
5. G
ọi
1
2
,y
y
là tun
g độ các giao điểm của đường thẳng (d) và (P).
a) Tìm m sao
cho
1 2 1 2
6
9
y
y x x
.
b) Tì
m giá trị của m sao ch
o
1
2
1
1
11
y
y
.
c) Tì
m giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
2
1
9
S
y y
.
6. Viết phư
ơng trình đường thẳng đi qua điểm (4;6) và tiếp xúc với (P).
7. Tìm tọa độ hai điểm C, D nằm trên parabol (P) sao cho C và D nhận điểm I (2;20) là tâm đối xứng.
8. Tìm tọa độ hai điểm E, F nằm trên parabol (P) sao cho điểm K (0;2) chia trong đoạn thẳng EF
theo
tỷ
số 1:2.
9. Xét các điểm P và Q nằm trên parabol (P), P có hoành độ bằng – 2, Q có hoành độ bằng 4.
a) Tìm điểm R nằm trên cung parabol nhỏ
P
Q
sao
cho tam giác PQR có diện tích bằng 15.
b) Tìm điểm R nằm trên cung parabol nhỏ
PQ
sao cho tam giác PQR có diện tích lớn nhất.
10. Điểm N (x;y) trong mặt phẳng tọa độ được gọi là điểm nguyên khi x và y đều là các số nguyên. Giả
sử tồn tại các giá trị nguyên m sao cho (P) và d cắt nhau tại các điểm nguyên. Tìm tất cả các giao
điểm nguyên của (P) và d.
11. Xét điểm G nằm trên tia Oy, G không trùng gốc tọa độ. Chứng minh rằng không tồn tại tiếp tuyế
n
nào củ
a (P) đi qua G.
12. Tìm tọa độ điểm E trên parabol (P) và điểm F trên đường thẳng
4y
x
sao cho độ dài đoạn thẳng
EF đạt giá trị nhỏ nhất.
13. Tìm tất cả các điểm L (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức
4 12 1 27 1
y x x x
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
25
Bài toán
28. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P):
2
y
ax
v
à đường thẳng
:
d
y bx c
.
1. Tì
m điều kiện của b và c sao cho
a) Đường thẳng d đi qua hai điểm M (2;3), N (4;1).
b) Đường thẳng d song song với đường thẳng
2
8 1y b x c
.
c) Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng
2
8 10y b x c
.
d) Đườ
ng thẳng d cắt đường phân giác góc phần tư thứ nhất tại điểm có hoành độ bằng 3.
e) Đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 5.
2. Tìm giá trị của a biết parabol (P) đi qua điểm A (– 2;2).
3. Với giá trị a vừa tìm được, hãy tìm b và c sao cho
a) Đường thẳng d đi qua điểm B (0;– 2) và tiếp xúc với (P).
b) Đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là 3 và 4.
c) Đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung.
4. Trong trường hợp
2
1
;
3
2
a
b c
.
Hãy tìm b để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
a) A và B có tổng nghịch đảo các hoành độ bằng – 2.
b) A và B có tổng các tung độ bằng 30.
c) A và B cùng thuộc góc phần tư thứ hai.
Bài toán 29. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol (P):
2
y
x
và
đường thẳng
2
:
2
d
y x m
(m là tham số thực).
1. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm
2
;5
M
.
b) Đi qua
điểm
2
;
3
N
m m
.
c) Vu
ông góc với đường thẳng
4 8y m x
.
d) Cắt đườ
ng phân giác góc phần tư thứ hai tại điểm có tung độ bằng 4.
2. Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d) trong trường hợp
2
2
m
.
3. Chứng
minh rằng đường thẳng d luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía
của
trục tung với mọi giá trị m khác 0.
4. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt
1
1 2 2
; , ;A x y B x y
t
hỏa mãn điều kiện
a)
1 2 1 2
6
10
x
x x x
.
b)
1
2
1
1
2m
x
x
.
c)
1
2 1 2
5
5
x
x y y
.
d)
1
2 1 2
4
y
y y y
.
e)
4
1
2
2
2 3 4
y
y m
.
5. Tồn
tại hay không tiếp tuyến của (P) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm K (3;2).
6. Xác định tọa độ hai điểm C, D nằm trên parabol (P) sao cho C và D nhận điểm
5
17
;
2 2
I
là tâm đối
xứng.
7. Tìm tọa độ hai điểm E, F nằm trên parabol (P) sao cho điểm T (3;13) chia trong đoạn thẳng EF
theo
tỷ số 2:3.
8. Tìm tọa độ điểm L (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn
3
3
7
11 6 12 5 3 18 2 13
x
y x x y x y x
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
26
Bài toán 30.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho ba điểm
3;6 , 1;0 , 2;8
A B C
.
Điể
m A nằm trên parabol (P) có phương trình
2
y
ax
; a là tham số thực.
1. Xác định a và vẽ (P) với a tìm được.
2. Giả sử d là đường thẳng đi qua hai điểm B và C.
a) Lập phương trình đường thẳng d.
b) Tính diện tích của tam giác OBC.
c) Xét vị trí tương đối giữa thẳng d và parabol (P).
d) Lập phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ và song song với d.
3. Tồn tại hay không tiếp tuyến của (P) mà tiếp tuyến đó đi qua C ?
4. Tìm m để parabol (P) cắt đường thẳng
2
y x m
tại hai điểm
1
1 2 2
;
, ;H x y K x y
thỏa mãn điều kiện
a) Hai điểm đều có hoành độ lớn hơn 1.
b) Hai điểm đều có hoành độ nhỏ hơn 2.
c)
1
2
1 2
4
2
x
x
x
x
m
.
d)
1
2
2 1
6
3
3
x x
x x
.
e)
1
2
1 1
1
4
4x x
.
f)
1
2
5
x
x
.
g)
2
2 2
1 2 1 2
6 1
x x x x m
.
h)
1
2
1
1 1
y
y
.
i) Biểu thức
1
2
2
2 3 7
S
y y m
đạ
t giá trị nhỏ nhất.
j) Độ dài đoạn thẳng HK bằng
2
5
.
5. Giả sử M và N là các giao điểm của parabol (P) và đường thẳng
7
:
3
2
y x
.
Tính diện tích của
tam giác OMN.
6. Thiết lập đường thẳng đi qua điểm T (5;41) sao cho đường thẳng này cắt parabol (P) tại hai điểm
phân biệt I, J trong đó T là trung điểm đoạn thẳng IJ.
Bài toán 31. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng
:
2d y m x
và parabol
2
:
P
y x
.
1. Vẽ parabol (P).
2. Tìm giá trị của m để đường thẳng d song song với đường thẳng
2
3
2y m x
.
3. Tìm giá trị của m để đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4,5.
4. Tìm giá trị của m để đường thẳng d cắt đường thẳng
2 9y x
tại điểm có tung độ bằng 11.
5. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d đồng quy với hai đường thẳng sau
1
2
:3 2 6; : 6 7 1d x y d x y
.
6. Trong tr
ường hợp
3
m
:
a) Xác định
tọa độ các giao điểm A, B của (P) và d. Tính độ dài đoạn thẳng AB.
b) Lập phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB.
7. Tìm m để (P) và d tiếp xúc nhau. Tìm tọa độ tiếp điểm.
8. Tìm m để (P) và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt
1
1 2 2
;
, ;H x y K x y
thỏa
mãn điều kiện
a)
1
2
1
1
7
4
4x x
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
27
b)
1
2
2 1
3
3
3
x x
x x
.
c)
2
1
1 2
9
x
x
x x
.
d)
2
2
1 2 1 2
16
9x x x x m
.
e)
1
2
1
3
x x
.
f)
1
2 1 2
6
3
y
y y y
.
g)
1
2
1
1
13
y
y
.
h)
1
2 1 2
5
5 5 7
y
y y y
.
i)
1
2
2
2
y
y
.
9. Giả
sử M và N là hai điểm nằm trên (P) có hoành độ lần lượt là – 2 và 3. Tính diện tích tam giá
c
OM
N.
10. Xác định tọa độ hai điểm H, K trên parabol (P) sao cho H và K đối xứng nhau qua điểm E (2;5).
11. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm G (3;13) cắt parabol (P) tại hai điểm U, V sao cho G là
trung điể
m của đoạn thẳng UV. Tính diện tích tam giác VUO.
12. Xác định tất cả các giá trị m để (P) cắt d tại hai điểm phân biệt P và Q sao cho độ dài đoạn thẳng
PQ nhỏ nhất.
Bài toán 32. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
P
y x
v
à các
đường thẳng
:
2 3; : 2 3 2
d
y x y mx m
; m là tham số thực.
1. Giả sử M và N là hai điểm nằm trên d có hoành độ lần lượt là 2 và 4. Tính độ dài đoạn thẳng MN.
2. Tính diện tích của tam giác tạo bởi đường thẳng d với hai trục tọa độ.
3. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d.
4. Với giá trị nào của m thì đường thẳng d:
a) Vuông góc với đường thẳng
: 3 2
l y mx m
.
b) Song song với đường thẳng
2
2
9y m x
.
c) Cắt đườ
ng thẳng
4
y
x m
tại điể
m có tung độ bằng 2.
d) Cắt đường thẳng
tạ
i điểm có hoành độ bằng 4.
e) Đồng quy với hai đường thẳng
, 5 3 1 0
x y
.
5. Viết phư
ơng trình đường thẳng đi qua điểm S (1;4) và song song với d.
6. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm G (2;5) và vuông góc với d.
7. Chứng minh rằng d và (P) có hai điểm chung phân biệt A và B. Tìm tọa độ hai giao điểm A, B và
diện tích tam giác OAB.
8. Tìm giá trị của m để parabol (P) cắt đường thẳng
tại hai điểm
1
1 2 2
;
, ;H x y K x y
sao cho
a)
2
2
1 2 1 2
4
x
x x x
.
b) Hai giao điể
m đều có hoành độ dương.
c) Hai giao điểm nằm khác phía đối với trục tung.
d) Hai giao điểm đều có hoành độ lớn hơn 1.
e)
1
2
5
x
x
.
f) H và K nằm
khác phía đối với đường thẳng
4
x
.
g)
1
2
1
1 2
5
x
x
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
28
h)
2
1
2
1
1
2
2
3 2 3
m
x
x
.
i)
2
2
1 2 1 2
3
5 3 5 8 223
x
x x x
.
j
)
1
2
3
3 10
y
y
.
k)
1
2
1
1 74
169
y
y
.
l)
1
2 1 2 1 2
3
4
y
y y y x x
.
9. Gọi J
là điểm nằm trên d, J có hoành độ bằng 5. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm J và
tiếp xúc với parabol (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.
10. Tìm tọa độ điểm L (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn
2
4
7 4 1 7 1
y
x
x x x x
x
.
11. Giả
sử M và N là hai điểm nằm trên (P) có hoành độ lần lượt là 1 và 5. Tính diện tích của tam giác
OM
N.
12. Giả sử U và V là hai điểm nằm trên (P) có hoành độ lần lượt là – 1 và 3.
a) Tìm tọa độ điểm R thuộc cung parabol nhỏ
UV
sao
cho tam giác UVR có diện tích bằng 2.
b) Tìm tọa độ điểm R thuộc cung parabol nhỏ
UV
sao
cho tam giác UVR có diện tích lớn nhất.
c) Tìm tọa độ điểm R thuộc cung parabol nhỏ
UV
sao
cho khoảng cách từ R đến đường thẳng
UV đạt giá trị lớn nhất.
14. Điểm E (x;y) trong mặt phẳng tọa độ được gọi là điểm nguyên khi x và y đều là các số nguyên. Giả
sử tồn tại các giá trị nguyên m sao cho (P) và
cắt
nhau tại các điểm nguyên. Tìm tất cả các giao
điểm nguyên của (P) và
.
Bài to
án 33. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho đường thẳng
: 2 1
d y x m
và
parabol
2
1
:
2
P
y x
(m là
tham số thực).
1. Tìm giá trị của tham số m để:
a) Đường thẳng d đi qua điểm Z (–1;3).
b) Đường thẳng d cắt đường phân giác góc phần tư thứ II tại điểm có tung độ bằng 9.
c) Đường thẳng d song song với đường thẳng
2
:
2 5 1
y
x m
.
d) Đườ
ng thẳng d cắt đoạn thẳng UV với U (4;0), V (12;0).
e) Đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 0,25m.
f) Đường thẳng d cắt đường tròn (C) tâm O, bán kính
3
5
R
tạ
i hai điểm phân biệt.
2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm (5;2) và tiếp xúc với parabol (P).
3. Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) trong trường hợp
1
m
.
4. Tì
m giá trị của m để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt
1
1 2 2
;
, ;A x y B x y
sao
cho
a)
1
2 2 1
6 6 19
x x x x
.
b)
1
2 1 2 2 1
4 5 19
x x x x x x
.
c)
1
2
7
x
x
.
d)
1
2
1
1
8
8
8x x
.
e)
2
2
1 2
12
4
x
x m
.
f)
1
2 1 2
48 0
x x y y
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
29
g)
1
2 1 2 1 2
5
5 9 8
y
y x x y y
.
h)
2
2
1 2 1 2 1 2
6
7 7
x
x x x y y
.
i)
2
2
1 2
8
y y
.
j
) A và B đối xứng với nhau qua điểm C (2;2,5).
k) Độ dài đoạn thẳng AB bằng
2 5
.
5. Giả
sử đường thẳ
ng
3
1
2
y
x
cắ
t parabol (P) tại hai điểm phân biệt X, Y. Tính diện tích của tam
giác OXY.
6. Giả sử đường
thẳng
3
2
y x
cắt
parabol (P) tại hai điểm phân biệt M, N. Tìm tọa độ điểm Q trên
cung parabol nhỏ
MN
sao
cho diện tích tam giác MQN đạt giá trị lớn nhất.
7. Tìm tọa độ điểm E trên parabol (P) sao cho khoảng cách từ điểm E đến đường thẳng
2 0
x y
đạt
giá
trị nhỏ nhất.
8. Tìm tọa độ điểm H trên parabol (P) và điểm K trên đường thẳng
5
0
x
y
sa
o cho độ dài đo
ạn
thẳng HK đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài toán 34. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
P
y x
và đường thẳng
d đi qua điểm
1
;2
M
,
d có hệ số góc k khác 0.
1. Vẽ parabol (P).
2. Lập phương trình đường thẳng d theo tham số k.
3. Tìm giá trị của tham số k sao cho
a) Đường thẳng d đi qua điểm
2;9
S
.
b) Đường thẳng d cắt đường thẳng
2y
x
tại điểm có hoành độ bằng 2.
c) Đường thẳng d hợp với tia Ox một góc nhọn.
d) Đường thẳng d cắt hai trục tọa độ tại hai điểm P và Q sao cho tam giác OPQ vuông cân.
4. Chứng minh rằng với mọi giá trị k khác 0, đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.
5. Gọi
1
2
,x x
theo thứ tự là hoành độ của A và B.
a) Chứng tỏ rằng:
1
2 1 2
2
x x x x
.
b) Tìm k sao cho
1
2
3 2 1
x x
.
c) Tì
m k để các hoành độ đều lớn hơn 2.
d) Tìm k để A và B đều nằm phía bên phải trục tung.
e) Tìm k sao ch
o
2
2
1
2 1 2
6
S
x x x x
đạt
giá trị nhỏ nhất.
f) Tìm k sao ch
o
1
2 1 2
1
1 7
5 5 11
x x x x
.
g) Tì
m k để
2
2
1 2 1 2
7
9 2
x
x x x k
.
h) Tì
m k để
2
2
1 2 1 2 1 2
1
0 3 2 3 2
x
x x x x x
.
i) Tìm k để độ dài đoạn thẳng AB bằng
2
5
.
6. G
ọi
1
2
,y
y
theo thứ tự là tung độ của A và B. Tìm k để
a)
2 2
1 2
1
6
y
y
.
b)
1
2 1 2
2
8 10
y
y y y
.
c)
1
2
6
6 5 0
y
y
.
d)
1
2 1 2
S
y y y y
đạ
t giá trị nhỏ nhất.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
30
7. Giả sử M
và N là các điểm nằm trên parabol có hoành độ lần lượt là – 1 và 5.
a) Tính diện tích tam giác OMN.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (P) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng MN.
c) Tìm tọa độ điểm Q trên cung parabol nhỏ
MN
sao
cho độ dài đường cao hạ tự Q của tam giá
c
M
QN đạt giá trị lớn nhất.
8. Tìm tọa độ điểm Z trên (P) để độ dài đoạn thẳng ZT nhỏ nhất, trong đó T (1;0).
9. Giả sử H và K là các điểm nằm trên parabol có hoành độ lần lượt là 1 và 5. Tính diện tích của tam
giác OHK.
10. Tìm điểm J thuộc (P) sao cho tiếp tuyến của (P) tại J song song với đường thẳng
6
0
x
y
.
11. Tì
m tất cả các điểm L (x;y) trên (P) thỏa mãn đẳng thức
4 2 7 3 2
x y x
.
Bài toán 35. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
P
y x
và đường thẳng
2
:
5
d
y mx m
; m l
à tham số thực.
1. Tìm giá trị của tham số m để
a) Đường thẳng d song song với đường thẳng
3
10
y
m x
.
b) Đường thẳng d vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ II.
c) Đường thẳng d đi qua điểm M thuộc (P) có hoành độ bằng 2.
d) Đường thẳng d có hướng đi lên và tạo với trục Ox một góc
4
5
.
e) Parabol (P) và đường thẳng d tiếp xúc nhau.
2. Tìm giá trị của m để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt
1
1 2 2
;
, ;A x y B x y
sao
cho
a)
1
2
1
1
6
x x
.
b)
2
2
1 2 1 2
5
11
x
x x x
.
c)
2
2
1 2 1 2
6 13
x x x x
.
d) A
và B nằm phía bên phải đường thẳng
2
x
.
e)
1
2
2
3 4
x
x
.
f)
1
2
7
2 3
x
x
.
g)
1
2
5
x
x
.
h)
1
2
1
0
x
x
.
i)
2
2 3
1
2
5
4x mx m m
.
j
)
1
2
10
y
y
.
k)
1
2
6y
y m
.
l)
1
2 1 2 1 2
19
61
y
y x x y y
.
3. Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để (P) cắt d tại hai điểm phân biệt và một trong hai điểm đó có
tọa độ là số nguyên.
4. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm K (0;– 4) và tiếp xúc với parabol (P).
5. Xét điểm I (0;1), tìm tọa độ điểm L trên parabol (P) sao cho độ dài đoạn thẳng LI ngắn nhất.
6. Giả sử điểm E di động trên parabol (P). Tìm tập hợp (quỹ tích) trung điểm F của đoạn thẳng OE.
7. Giả sử M và N là các điểm nằm trên parabol có hoành độ lần lượt là – 1 và 3. Tìm tọa độ điểm Q
trên cung parabol nhỏ
MN
sao cho tam giác MQN có diện tích lớn nhất.
8. Tồn tại hay không ba điểm X, Y, Z trên parabol (P) thỏa mãn (XYZ) là tam giác đều ?
9. Trên parabol (P) lấy ba điểm có hoành độ lần lượt
,
,a b c
thỏ
a mãn
2
2 2
a b b c c a
.
Tính giá trị của biểu thức
1
1 1
S
a b b c c a
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
31
Bài toán 36. Tro
ng mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
P
y x
và đườn
g thẳng
chứa tham số:
2
:
2 1 1
y
k x k
.
1. Vẽ parabol (P).
2. Tìm các điểm A và B thuộc parabol (P) có hoành độ lần lượt là 1 và 2.
3. Tìm giá trị của tham số k để:
a) Đường thẳng
đ
i qua gốc tọa độ.
b) Đường thẳng
không đi qua điểm (– 1;6).
c) Đường thẳng
so
ng song với đường phân giác góc phần tư thứ II.
d) Đường thẳng
cắ
t đường thẳng
5 3y x
tạ
i điểm hoành độ bằng 1.
e) Đường thẳng
cắt đ
ường thẳng
4
y
tại điể
m có hoành độ âm.
f) Đường thẳng
có
hướng đi lên và hợp với trục hoành một góc
60
.
4. Xác định
k để đường thẳng
và parabol (P) tiếp xúc nhau. Tìm tọa độ tiếp điểm.
5. Xác định k để parabol (P) cắt đường thẳng
tạ
i hai điểm có hoành độ
1
1 2 2
;
, ;A x y B x y
sa
o cho
a)
1
2
x
x
.
b)
1
2
1
1
10
x x
.
c)
1
2
3 24
x x
.
d) Hai giao điể
m nằm về hai phía của trục tung.
e)
1
2
1
1
5
4
4x x
.
f)
1
2
1
3
x
x
.
g) Hai giao điể
m nằm khác phía đối với đường thẳng
2
x
.
h)
2
1
2 1 2 1 2
13
x
x x x y y
.
i)
1
2 2 1
0
;
x
x x x
.
j
)
1
2 1 2
10
9
y
y y y
.
k)
1
2 1 2 1 2
5
9 9
y
y y y x x
.
l)
2
2
1 2
8
1
y
y
.
m)
2
2
1 2 1 2
2
1 1
x
k x k y y
.
6. Parabol
(P) cắt đường thẳng
3 2
y x
tại hai điểm phân biệt I, J. Tính diện tích tam giác OJI.
7. Tìm tọa độ hai điểm C, D trên parabol (P) sao cho C, D nhận điểm
11
73
;
2
2
Q
làm
tâm đối xứng.
8. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
3
9
;
2 2
L
cắt parabol tại hai điểm E, F sao cho L là trung
điểm của đoạn thẳng EF.
9. Tồn tại hay không ba điểm X, Y, Z, T trên parabol (P) thỏa mãn (XYZT) là hình vuông ?
10. Giả sử M và N là các điểm nằm trên parabol có hoành độ lần lượt là – 1 và 7. Tìm tọa độ điểm Q
trên cung parabol nhỏ
MN
sa
o cho tam giác MQN có diện tích lớn nhất.
9. Tìm tọa độ điểm H trên parabol (P) và điểm K trên đường thẳng
2 6 0
x y
sao
cho độ dài đo
ạn
thẳng HK
đạt giá trị nhỏ nhất.
10. Viết phương trình đường thẳng qua điểm S (1;3) cắt parabol (P) theo một dây cung trong đó điểm S
chia trong độ dài dây cung theo tỷ số 1:2.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
32
Bài toán 37.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol (P):
2
1
4
y
x
và
đường thẳng
chứa tham số:
3
: 1
2
d y mx m
.
1. Vẽ đồ
thị (P) và d trên cùng một hệ trục tọa độ trong trường hợp
2
m
.
2. Tì
m tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng
y
x
.
3. Tì
m giá trị của tham số m sao cho
a) Đường thẳng d đi qua điểm T (6;2m).
b) Đường thẳng d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.
c) Đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 6,25.
d) Đường thẳng d tạo với trục hoành một góc
thỏa
mãn
cot
1
.
4. Chứng
minh rằng có hai đường thẳng thuộc họ đường thẳng d tiếp xúc với parabol (P); đồng thời
hai đường thẳng này vuông góc với nhau.
5. Tìm m để parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm có hoành độ
1
1 2 2
;
, ;A x y B x y
sao
cho
a)
1 2 1 2
8
10
x
x x x
.
b)
2
1
2 1 2
5
6 10
x
x x x
.
c)
1 2
1
1
3
3
3x x
.
d)
1
2
3
4
x
x
.
e) A,
B nằm về hai phía của trục tung.
f)
1
2
1
7
x
x
.
g)
1
2
2
x
x
.
h) A, B nằm về hai phía của đường thẳng
3
x
.
i)
1
2
19
y
y
.
j
)
1
2 1 2 1 2
4
y
y y y x x
.
6. Xét
điểm C (0;1) và đường thẳng
: 1
y
. Gọi M là điểm bất kỳ thuộc parabol. Chứng minh rằng
MC bằng khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng
.
7. Xét hai điểm
E, F thuộc parabol (P) có hoành độ lần lượt là – 2 và 4.
a) Tính diện tích của tam giác OEF.
b) Tìm tọa độ điểm K thuộc cung nhỏ parabol
E
F
sao
cho tam giác EKF có diện tích lớn nhất.
8. Tìm tọa độ điểm H (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu thức
4
4
2 5S x y x
đạt
giá trị nhỏ nh
ất.
Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
9. Tìm tọa độ điểm X thuộc parabol (P) và điểm Y thuộc đường thẳng
7 0
x y
sao
cho đoạn th
ẳng
XY ngắn nhất.
10. Tì
m tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường cong
4
2
: 3C y x x
.
11. Viết
phương trình đường thẳng l đi qua điểm Q (2;5) và cắt parabol (P) theo một dây cung nhận
điểm Q là trung điểm.
12. Giả sử tồn tại hai đường thẳng đi qua điểm I (0;1) cắt parabol (P) theo thứ tự
tại
1
1 2 2
, ,A B A B
.
Chứng
minh rằng
1
1 2 2
1
1 1 1
1
IA
IB IA IB
và
1 2 1 2
1
1
1
.
.IA IA IB IB
.
13. Xét
hai điểm U (0;1) và V (2b;–1), với b là tham số thực. Chứng minh rằng đường trung trực của
đoạn thẳng UV tiếp xúc với parabol (P).
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
33
Bài toá
n 38. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 4; Đề thi tuyển sinh lớp 10; Môn Toán; Đề thi chính
thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh; Năm học 2016 – 2017.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
P
y x
v
à đường thẳng chứa tham số
:
2 2
y
mx m
; m là tham số thực.
1. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng
:
a) Đi qua
điểm (4;2).
b) Cắt tia Ox.
c) Cắt đường thẳng
5 1y x
tại điể
m có hoành độ bằng 1.
d) Cùng với hai đường thẳng
2 3 1 0;4 5 1 0
x y x y
đồ
ng quy.
e) Có hướng đi lên và tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4.
f) Cắt trục hoành tại điểm M; với M thuộc đường tròn tâm O bán kính bằng 1.
2. Cho
1
m
.
Tìm tọa độ giao điểm M, N của (P) và
.
Tính diện tích tam giác MON.
3. Tìm m để parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm có hoành độ
1
1 2 2
;
, ;A x y B x y
sao
cho
a)
1 2 1 2
10
3
x
x x x
.
b)
2 2
1 2 1 2
5
9
x
x x x
.
c)
2
1
2 1 2 1 2
4
x
x x x x x
.
d)
2
2
1 2 1 2
4 4 19 19x x x x
.
e)
1
2 1 2
4
4 3 1 3 1
x
x x x
.
f)
1 2
1 1
3
2
5 2 5x x
.
g) Biểu
thức
1
2
S
x x
đạt giá trị nhỏ nhất.
h)
2
2
1 2 2 1 1 2
1
2 1 2 2
x
x x x x x
.
i)
1
2 1 2
5
8
y
y y y
.
j
) Biểu thức
1
2 1 2 1 2
5
T x x y y y y
đạ
t giá trị nhỏ nhất.
4. Tìm tọa độ điểm U thuộc parabol (P) sao cho tiếp tuyến của parabol (P) tại U song song với đường
thẳng
4
5y x
.
5. Tìm tọa độ điểm L (x;y) thuộc parabol (P) sao cho biểu thức
4
2
8 10
S
x y x
đạt giá
trị nhỏ nhất.
6. Tìm tọa độ điểm T (x;y) thuộc parabol (P) sao cho biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
(nếu có):
2
2
1
x
y
y
.
7. Xét
hai điểm E, F thuộc parabol (P) có hoành độ lần lượt là – 2 và 4. Tìm tọa độ điểm G thuộc c
ung
parab
ol nhỏ (EF) sao cho khoảng cách từ điểm G đến đường thẳng EF đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá
trị nhỏ nhất đó.
8. Chứng minh đường thẳng
1y
kx
luôn
cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt H, K, đồng thời c
ó
đúng
một điểm M thuộc đường thẳng
1
y
thỏa
mãn đồng thời: MK tiếp xúc với (P) và MK vuôn
g
góc với M
H.
9. Giả sử góc vuông
90
u
Iv
d
i động sao cho hai cạnh của nó luôn tiếp xúc với parabol (P). Chứng
minh rằng đỉnh I của góc luôn chạy trên một đường thẳng cố định.
10. Xét đường thẳng
: 8d y x
,
xác định độ dài cạnh hình vuông ABCD biết hai đỉnh A và B thuộ
c
đường thẳng d và hai đỉnh C, D thuộc parabol (P).
11. Xét hai điểm M (–1;1) và N (1;1). Giả sử hai dây cung AB và CD đều khác MN, đi qua trung điểm I
của MN, AC cắt MN tại P, BD cắt MN tại Q tương ứng. Chứng minh
IP
IQ
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
34
Bài toán 39. Ch
uyển thể, mở rộng và phát triển câu 4; Đề thi tuyển sinh lớp 10; Môn Toán; Đề thi chính
thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh; Năm học 2015 – 2016.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
P
y x
và
đường thẳng chứa tham số
:
2
y
mx m
.
1. Vẽ đồ thị (P) trên hệ trục tọa độ.
2. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và
t
rong trường hợp
2
m
.
3. Tì
m giá trị của m để đường thẳng
thỏa m
ãn
a) Đi qua điểm T thuộc trục tung, T có tung độ bằng 4.
b) Đi qua điểm Z thuộc parabol (P), Z có hoành độ bằng 3.
c) Cắt đường thẳng
4 2
y x
tại điểm có hoành độ bằng 4.
d) Song song với đường thẳng
2
2
1 4 2
y
m x m
.
e) Vu
ông góc với đường thẳng
2
6
1
y
m x m
.
f) Tạo
với tia Ox một góc
60
.
g) Tiếp
xúc với đường tròn tâm O, bán kính
2
2
r
.
h) Tạo
với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1.
4. Chứng minh rằng (P) và
lu
ôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B với
;
; ;
A
A B B
A
x y B x y
.
Tìm
giá trị của m để
a)
4
8
A
B A B
x
x x x
.
b)
1 1
A
B
m
x
x
.
c)
1
1 7
4 4 13
A
B
x
x
.
d)
1
7
7 39
A
B
A B
x
x
x x
.
e)
A
B
x
x
đạt giá trị nhỏ nhất.
f)
2
2
2
2
.
4
1
1
A
B
A B
x
x
x x
.
g)
4
A
B
y
y
.
h) A
và B đều có hoành độ lớn hơn 1.
i)
1
2
A
B A B
y
y x x
.
j
)
8
A B A B A B
x
x x x y y
.
k)
1
0
A
B A B
S
y y x x
đạt giá trị nhỏ nhất.
l) Độ dài đoạn thẳng AB ngắn nhất.
5. Chứng minh rằng với mọi điểm M thuộc đường thẳng
1
4
y
,
các tiếp tuyến kẻ từ M đến parabol
(P
)
vuông góc với nhau.
6. Tìm tọa độ điểm L (x;y) thuộc parabol (P) thỏa mãn đẳng thức
2
7 6 4 3y x x
.
7. Tì
m tọa độ điểm J (x;y) thuộc parabol (P) sao cho biểu thức
2
12
3 11
Q
y x
nhận
giá trị nhỏ
nhất.
8. Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng
10
0
x
y
và điểm K thuộc parabol (P) sao cho độ dài
đoạn thẳng HK ngắn nhất.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
35
Bài
toán 40. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành
cho tất cả các thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Trường THPT chuyên Thái Bình; Thị xã Thái Bình; Tỉnh
Thái Bình; Năm học 2001 – 2002.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol (P):
2
10
y
m x
và đường thẳng chứa
tham số
: 10
d y mx
; với m là tham số thực khác 10.
1. Tìm điều kiện của tham số m sao cho đường thẳng d thỏa mãn
a) Song song với đường phân giác góc phần tư thứ II.
b) Vuông góc với đường thẳng
3 10
y x
.
c) Cắt đườ
ng thẳng
10
y x m
tại điể
m có hoành độ bằng – 10.
d) Tạo với hai trục tọa độ tam giác có tỷ lệ hai cạnh góc vuông bằng 4.
e) Không cắt đường tròn (C) tâm O, bán kính
5
2
R
.
f) Đồng q
uy với hai đường thẳng
3
4; 6 1y x y x
.
2. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và d với
3 1
m
.
3. Chứng
minh parabol (P) và đường thẳng d luôn có điểm chung với mọi giá trị của m.
4. Tìm m để parabol (P) cắt đường thẳng d tại một điểm có hoành độ bằng – 5.
5. Chứng minh rằng (P) và
luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B với
1 1 2 2
;
, ;A x y B x y
. Tìm
giá trị của m để
a)
1 2 1 2
3 3
x x x x
.
b)
2 2
1 2
14
x
x
.
c)
2
1
4
9
x
x
.
d)
1
2
10
1
x
x
.
e)
1
2
1
1
3
4 4x x
.
f)
1 2
1
2
3
x
x
.
g) Hai hoành độ đều lớn hơn 0,4.
h)
2
1
2 1
1 3 8
x x x
.
i) Hai điể
m A, B nằm về hai phía của đường thẳng
3
x
.
j)
2
1
1 2
2 3
1
1
4
x x
x x
.
k)
3
3
1 2
7
x x
.
6. Trong tr
ường hợp
1
2
m
.
a) Tì
m tọa độ điểm M (x;y) thuộc parabol (P) thỏa mãn điều kiện hoành độ gấp 4 lần tung độ.
b) Tìm tọa độ điểm N (x;y) thuộc parabol (P) sao cho biểu thức
2
1
2
0 5 25
4
S
y x
đạt giá trị
nhỏ nhất.
c) Xét hai điểm E, F thuộc parabol (P) có hoành độ lần lượt là – 2 và 4. Tìm tọa độ điểm G
thuộc cung parabol nhỏ (EF) sao cho khoảng cách từ điểm G đến đường thẳng EF đạt giá
trị
lớ
n nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
d) Tìm tọa độ điểm U thuộc parabol (P) sao cho tiếp tuyến của parabol (P) tại U song song với
đườn
g thẳng
4
5y x
.
e) Tì
m tọa độ điểm T (x;y) thuộc parabol (P) thỏa mãn đẳng thức
3
6
6 7 2 1x y x x
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
36
Bài
toán 41. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành
cho tất cả các thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Trường THPT chuyên Thái Bình; Thành phố Thái Bình;
Năm học 2007 – 2008.
Trong mặt phẳng Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol (P):
2
3y
m x
và
đường thẳng d:
5
2
y
x
(m là
tham số thực khác 3).
1. Tìm m để parabol (P) đi qua điểm (3;9).
2. Tìm tọa độ các giao điểm A, B của đường thẳng d với hai trục tọa độ và tính diện tích của tam giá
c
OAB.
3. Tính số đo góc nhọn tạo bởi đường thẳng d và trục tung.
4. Tìm điều kiện của k để đường thẳng d song song với đường thẳng
5
2 6
y
k x
.
5. Chứng
minh đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (C) tâm O, bán k
ính
2
26
R
.
6. Tì
m giao điểm của parabol (P) và đường thẳng đã cho khi
2
m
.
7. Tì
m điều kiện của m để parabol (P) và d có điểm chung.
8. Xác định giá trị của tham số m để parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai nghiệm phân biệt có hoàn
h
độ là
1
2
,x
x
sao cho
a) Một điểm có hoành độ bằng 1.
b)
1
2
2x x
.
c)
1
2
1
1
7
4 4x x
.
d) Điể
m này có hoành độ gấp 5 lần hoành độ điểm kia.
e)
1
2 1 2
1
3
x
x x x
m
.
f)
3
3
1
2
1
1 133
8
m
x x
.
g)
2
2
1 2
3 5 4 2
m x x m
.
h)
1
2
1
; 2
x
x
.
9. Chứng
minh rằng khi (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm có hoành độ
1
2
,x
x
thì ta luôn thiết lập được
một hệ thức liên hệ giữa
1
2
,x x
mà không chứa m.
10. Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để parabol (P) cắt đường thẳng d tại các điểm có tọa độ đều là
số nguyên.
11. Trong trường hợp
4
m
.
a) Xác
định tọa độ điểm L (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu thức
4
24
6 24
S
x x
đạt giá trị
nhỏ nhất.
b) Xác định tọa độ điểm K (x;y) trên (P) thỏa mãn
7
8 2 9 8y x x
.
c) Viết
phương trình đường thẳng đi qua điểm I (4;25) cắt parabol (P) theo dây cung HK sao
cho I là trung điểm của đoạn thẳng HK.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
37
Bài
toán 42. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 1; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành
cho các thí sinh dự thi chuyên Toán, chuyên Tin học); Đề thi chính thức; Trường THPT chuyên Nguyễn
Bỉnh Khiêm; Thành phố Vĩnh Long; Tỉnh Vĩnh Long; Năm học 2007 – 2008.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
P
y x
và đường thẳng chứa tham số
:
2 1 2 5
d
y m x m
; vớ
i m là tham số thực.
1. Tìm giá trị của m sao cho đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm X (1;3).
b) Cắt đường thẳng
y
x
tại điểm c
ó hoành độ bằng 4.
c) Song song với đường thẳng
5
19
y
mx
.
d) Vu
ông góc với đườn
g thẳng
1
4
3
y
x
.
e) Hợp
với tia Ox một góc lớn hơn
60
.
f) Tạo
với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 0,25.
2. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d khi
1
m
.
3. Chứng
minh rằng parabol (P) luôn cắt đường thẳng d tại hai điểm có hoành đ
ộ
1 2
,x
x
vớ
i mọi giá trị
của m.
7. Tìm giá trị của tham số m để parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
với
1
1 2 2
;
, ;A x y B x y
sao cho
a)
2
2
1 2
14
x x
.
b)
1
2
2
x
x m
.
c)
1 2
1
1
1
3 2 3x x
.
d)
1
2 1 2
5
3 10 4
x
x x x
.
e) A và B nằm về hai phía của trục tung.
f)
1
2 1 2 2 1
4 4 3 3 5
x x x x x x
.
g)
1 2
4
x
x
.
h)
1 2
1
0
y
y
.
i) Biểu
thức
1 2 1 2
2
3 4
S
y y x x
đạt giá trị
nhỏ nhất.
j)
1
2 1 2 1 2
2
3 4 5
y
y y y x x
.
k)
2
2
1
2
2
1 2 5 9x m x m m
.
l)
1
2
2
5 4 5 27
y
y
.
4. Tì
m tọa độ điểm K (x;y) thuộc parabol (P) thỏa mãn đẳng thức
4
3
3 3
x
y y x
.
5. Tì
m tọa độ điểm L (x;y) thuộc parabol (P) sao cho biểu thức
2
2
2 2
2 2
x x
y
x
x
đạt giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất (nếu có) ?
6. Xét hai điểm M và N thuộc parabol (P) có hoành độ lần lượt là – 1 và 2.
a) Tìm điểm Q thuộc cung parabol nhỏ
MN
sao
cho tam giác MQN có diện tích bằng
27
8
.
b) Tì
m điểm Q thuộc cung parabol nhỏ
MN
sao
cho tam giác MQN có diện tích lớn nhất.
7. Xét hai điểm D, E thuộc parabol (P) có hoành độ lần lượt là – 1 và 4. Tìm tọa điểm F thuộc cung
parabol nhỏ
DE
sao cho kh
oảng cách từ F đến đường thẳng DE lớn nhất.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
38
Bài
toán 43. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 1; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành
cho tất cả các thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm; Thành phố
Vĩnh Long; Tỉnh Vĩnh Long; Năm học 2007 – 2008.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
P
y x
và đường thẳng chứa tham số
:
2 2 2
d
y m x m
; với m là tham số
thực.
1. Tìm giá trị của m sao cho đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm G thuộc (P), G có tung độ bằng 4.
b) Song song với đường thẳng đi qua hai điểm (4;6) và (5;1).
c) Cắt đường thẳng
6 1y x
.
d) Vu
ông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ III.
e) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tỷ lệ các cạnh là
1: 2 : 5
.
f) Tiếp
xúc với parabol (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.
2. Tìm giá trị của tham số m để parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
với
1
1 2 2
;
, ;A x y B x y
sao cho
a)
1
2
1 2
1
1
4
x
x
x
x
.
b)
1
2
1
x
x
.
c)
1
2
3
x
x
.
d)
1
2
2
x
x m
.
e)
2
2
1 1 2 2
2
2x x x x
.
f)
3
1
2 1 2 1 2
2 5
x x x x x x
.
g)
2
2
1 2 1 2 1 2
4
x
x x x x x
.
h)
1 2 1 2
3
1
y
y y y
.
i)
1
2 1 2 1 2
6
5
y
y x x x x
.
j
) A và B nằm về hai phía của đường thẳng
2
x
.
3. Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng
6
7
y
x
v
à tiếp xúc với parabol (P).
4. Viết phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng
5 3y x
v
à tiếp xúc với parabol (P).
5. Từ điểm Q (0;– 4) kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến parabol (P) ?
6. Tồn tại hay không điểm L (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn hệ thức
2
2 2
3
3
x y z
xy yz xz
7. Tì
m tọa độ điểm Z (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức
7
7
y
x x
y
y
.
8. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm C (3;13) và cắt parabol (P) theo dây cung DE thỏa mãn
điều kiện
2
DE CE
.
9. Viết
phương trình đường thẳng đi qua điểm J (2;5) và cắt parabol theo một dây cung HK có độ dài
bằng
2 17
.
10. Giả
sử góc vuông
90
u
Iv
d
i động sao cho hai cạnh của nó luôn tiếp xúc với parabol (P). Chứng
minh rằng đỉnh I của góc luôn chạy trên một đường thẳng cố định.
11. Xét đường thẳng
: 8d y x
,
xác định độ dài cạnh hình vuông ABCD biết hai đỉnh A và B thuộ
c
đường thẳng d và hai đỉnh C, D thuộc parabol (P).
12. Tìm tọa độ tất cả các điểm T (x;y) thuộc parabol (P) sao cho
2
2
2 1 2 1x x y y
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
39
Bài
toán 44. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành
cho tất cả các thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm; Thành phố
Vĩnh Long; Tỉnh Vĩnh Long; Năm học 2005 – 2006.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
1
:
2
P
y x
và
đường thẳng chứa tham
số
3
:
1
2
m
d y m x
.
1. Tì
m điều kiện của tham số m để đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm (4;3).
b) Song song với đường thẳng
4
2
y
x
.
c) Vuông góc với đường thẳng
6
9y x
.
d) Cắt tr
ục hoành tại điểm có hoành độ lớn hơn 2.
e) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tỷ lệ giữa cạnh lớn nhất và nhỏ nhất là
26
:1
.
f) Tạo
với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 0,25.
2. Chứng tỏ rằng parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của
tham số m.
3. Tìm giá trị của tham số m để parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
với
1 1 2 2
; , ;A x y B x y
sao cho
a)
1
2
1 2
2
2
3
x x
x x
.
b)
1
2
13
x x
.
c)
1
2
1 1
3
2
5 2 5x x
.
d)
1
2
3
x x m
.
e)
1
2
3
x
x
.
f)
1
2
4
x
x
.
g)
1
2 1 2
3
2 3 2 10 13
x
x x x
.
h) A và B nằm về hai phía của đường thẳng
4
x
.
i) Biểu
thức
1
2 1 2
5
S y y y y
đạt giá trị
nhỏ nhất.
j)
2
2
1
2
2
1 3 9x m x m m
.
4. Viết phư
ơng trình đường thẳng đi qua điểm J (0;– 4) và tiếp xúc với (P).
5. Xác định tọa độ điểm M (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu thức
2
3
1
2 4 5 30
S
y x
đạt
giá trị nhỏ
nhất.
6. Xác định tọa độ điểm N (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức
2
3 2 7
2 1
y
y
x x
.
7. Điểm X (x;y) được gọi là điểm nguyên khi x và y đều là các số nguyên. Tìm giá trị của m để parabol
(P)
cắt đường thẳng d tại hai điểm nguyên phân biệt.
8. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm I (2;2,5), cắt parabol (P) theo dây cung CD sao cho I là
tâm đối xứng của C và D
.
9. Giả sử H v
à K lần lượt là các điểm nằm trên parabol (P) có hoành độ lần lượt là – 3 và 5.
a) Tính diện tích của tam giác OHK.
b) Tìm tọa độ điểm T trên cung parabol nhỏ (HK) sao cho khoảng cách từ T đến đường thẳn
g
HK nhận
giá trị lớn nhất.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
40
Bài
toán 45. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 1; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành
cho tất cả các thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi; Thành phố Hải
Dương; Tỉnh Hải Dương; Năm học 2003 – 2004.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
P
y x
và đường thẳng chứa tham số
: 5 4d y mx m
.
1. Tìm điều kiện của tham số m sao cho đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm G thuộc parabol (P), G có hoành độ bằng 5.
b) Cắt đường thẳng
tại điểm c
ó hoành độ bằng 2.
c) Song song với đường phân giác góc phần tư thứ III.
d) Vuông góc với đường thẳng
1
10
2
y
x
.
e) Tạo với tia Ox một góc
60
.
f) Cắt hai trục tọa độ Ox, Oy theo thứ tự tại X, Y sao cho
3OX
OY
.
2. Tìm điều kiện của m để parabol (P) tiếp xúc với đường thẳng d. Tìm tọa độ tiếp điểm.
3. Khi parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B với
1
1 2 2
;
, ;A x y B x y
.
a) Chứng
minh rằng
2
1
2
5
4 0
x
mx m
.
b) Tìm giá trị của m để
1
2
3
x x
.
c) Tì
m m sao
cho
1 2
41
x x
.
d) Tì
m m đ
ể
1
2
1
1
5
4
4x x
.
e) Tì
m m để hoành độ điểm này gấp ba lần hoành độ điểm kia.
f) Tìm m để
2
2 3
1 2 2 1
19x
x x x m m
.
g) Tì
m giá trị của m để
2
2
1
2
5
4 9x mx m m
.
h) Tì
m m để A và B nằm bên phải đường thẳng
2
3
x
.
i) Tì
m tất cả các giá trị nguyên của m để
1
2
,x
x
là các
số nguyên.
j) Xác định m để biểu thức
22
2
1
2 2
1 2
5
12
5
12
x
mx m
m
A
x
mx m m
đạt giá trị nhỏ nhất.
k) Tìm giá trị của m để
1
2 1 2
17
y
y y y
.
l) Tì
m m sao cho
1
2 1 2
132
x x y y
.
4. Tì
m tọa độ điểm K (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn
5
2 1 4 1 1y x x y
.
5. Tìm tất cả các điểm H (x;y) nằm trên parabol (P) thỏa mãn bất đẳng thức
3
5 2 1 5 2 1x y x y x
.
6. Viết phư
ơng trình đường thẳng đi qua điểm (5;1) và tiếp xúc với parabol (P).
7. Viết phương trình đường thẳng vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ II và tiếp xúc vớ
i
parab
ol (P).
8. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm E (5;41) và cắt parabol (P) theo dây cung CD sao cho E
là trung điểm của đoạn thẳng CD.
9. Xét hai điểm M và N nằm trên parabol (P) có hoành độ lần lượt là –2 và 4. Tính diện tích của tam
giác MNQ với Q (1;2).
9. Tìm tọa độ điểm S thuộc đường thẳng
9
0
x
y
và điểm T thuộc parabol (P) sao cho độ dài đoạn
thẳng ST ngắn nhất.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
41
Bài
toán 46. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 1; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành
cho tất cả các thí sinh dự thi vào trường chuyên); Đề thi chính thức; Trường THPT chuyên Vĩnh Phúc;
Thành phố Vĩnh Yên; Tỉnh Vĩnh Phúc; Năm học 2007 – 2008.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
1
:
2
P
y x
và
đường thẳng chứa tham
số
3
: 1
2
d y m x m
.
1. Tì
m giá trị của m để đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm (3;1).
b) Song song với đường thẳng
5
4
y
x
.
c) Vuông góc với đườn
g thẳng
1
4
3
y
x
.
d) Tạo
với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 0,25.
2. Tìm giao điểm của (P) và d khi
1
m
.
3. Tì
m tất cả các giá trị của tham số m để parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt
A và B với
1 1 2 2
;
, ;A x y B x y
s
ao cho
a) Một trong hai điểm có hoành độ bằng 3.
b) A và B nằm về hai phía của trục tung.
c) Hoành độ điểm này bằng bình phương hoành độ điểm kia.
d)
2
1
1
2
1 2 7
x
m x m
.
e)
1
2
1
1
3
x
x
.
f)
1
2
1
1
1
3
3x x
.
g)
1
2
1 1
1
5 3 4 3
x
x
.
h)
1
2
4
x
x
.
i)
1
2
2
10
x
x
.
j
)
1
2
2
3 5
x
x
.
k)
1 2
3
4 5
x
x
.
l)
1
1 2
4
9 0
x
x x
.
m
)
1
2
2
99
y
y
.
n) Biểu
thức
2
2
1 2
2
3S y y
đạt giá trị
nhỏ nhất.
o)
1 2
,x
x
là độ
dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 4.
4. Trong trường hợp parabol (P) cắt đường thẳng
1
2
y
kx
tại
hai điểm phân biệt M và N. Tìm quỹ
tích trung điểm I của đoạn thẳng MN.
5. Tìm tọa độ điểm L (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn
2
5 6 2 3 4
y
x x
.
6. Tìm tọa độ điểm K (x;y) nằm trên parabol (P) sao cho biểu thức
2
6
6 23
S
y x
đạt giá trị nhỏ
nhất.
7. Tì
m tất cả các giá trị nguyên của m để parabol (P) cắt đường thẳng d tại các điểm có tọa độ đều là
số nguyên.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
42
Bài
toán 47. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 2.3; Đề thi tốt nghiệp THCS; Môn Toán; Đề thi chính
thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu; 2004 – 2005.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
P
y x
và
đường thẳng chứa tham số
m:
2
:
3 1 2
d
y m x m m
; m là tham số thực.
1. Tính diện tích của tam giác tạo bởi đường thẳng d với parabol (P) khi
1
m
.
2. Tính
góc tạo bởi đường thẳng d với trục tung khi
2
m
.
3. Tì
m m để đường thẳng d thỏa mãn điều kiện
a) Đi qua điểm (1;m).
b) Cắt parabol (P) tại điểm có hoành độ bằng 2.
c) Song song với đường thẳng
7
1y x
.
d) Vuông góc với đường thẳ
ng
1
5
2
y
x
.
4. Tì
m tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d khi
1
2
m
.
5. Tì
m tất cả các giá trị của tham số m để parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt
A và B với
1
1 2 2
;
, ;A x y B x y
sao cho
a)
1
2
1
0
x
x
.
b)
1
2
1
x
x
.
c)
1
2
1
1
2
x x
.
d)
1
2
3
4 10
x
x
.
e)
1
2
1
1
2
5
6x x
.
f) A và B đều có hoành độ dương.
g)
2
2
1 2
9x
x
.
h)
2 2
2 1
3
1 2 9
x
m x m m
.
i) Biểu
thức
2
2
1 2 1 2
2
3 4
S
x x x x
đạt giá trị nh
ỏ nhất.
j)
3
1
2
1
y
y m
.
k) Độ dài đ
oạn thẳng AB bằng
26
.
l) A
và B nằm về hai phía của đường thẳng
4
y
.
m
)
1
1 2
1y
mx m x
.
n)
1
2 1 2
2
3 4
S
y y x x
đạt giá trị n
hỏ nhất.
6. Viết phương trình tiếp tuyến của (P) biết tiếp tuyến đi qua điểm (0;– 5)
7. Tìm tọa độ điểm L (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu thức
4
3
1
x
S
y
đạ
t giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất (nếu có).
8. Tìm tọa độ điểm K (x;y) thuộc parabol (P) thỏa mãn hệ thức
2
3
2
2
2
,
1
1 .
y
x y x y
x
y x
9. Viết
phương trình đường thẳng đi qua điểm D (4;25) và cắt parabol (P) tại điểm E, F sao cho D
là
trung điểm của đoạn thẳng EF.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
43
Bài
toán 48. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 1.2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành
cho các thí sinh dự thi chuyên Toán, chuyên Tin học); Đề thi chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Thành
phố Hồ Chí Minh; Năm học 2009 – 2010.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
P
y x
và đường thẳng chứa tham số
2
:
2 16 5d y mx m
; m
là tham số thực.
1. Tìm điều kiện của tham số m sao cho đường thẳng d thỏa mãn
a) Song song với đường thẳng
4 6y x
.
b) Vu
ông góc với đườn
g thẳng
12
3
x
y
.
c) Cắt tr
ục hoành tại điểm có hoành độ bằng – 5,5.
d) Cắt trục tung tại điểm có hoành độ dương.
e) Đồng quy với hai đường thẳng
3
2 5;5 4 1 0
x
y x y
.
2. Gọi
1
2
,x x
là hoành độ của các giao điểm của (P) và d trong trường hợp chúng giao nhau.
a) Tìm m để hai giao điểm nằm về hai phía của trục tung.
b) Tìm m để hai giao điểm đều có hoành độ dương.
c) Tìm m sao cho
1
2 1 2
1
3
x
x x x
.
d) Tìm m sao
cho
1
2
1
1
1
x
x
.
e) Tì
m tất cả giá trị nguyên của m để hai hoành độ đều là số nguyên.
f) Tìm giá trị của tham số m để
1
2
,x
x
là
độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có độ dài
cạnh huyền bằng
26
.
g) Tì
m giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
1 2 1 2 1 2
6
P x x x x x x
.
h) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
1 2 2 2 1
5
3 17 5 3 17
A
x x x x x x
.
3. Viết phư
ơng trình tiếp tuyến của (P) biết tiếp tuyến đi qua điểm (0;– 6).
4. Tìm m để parabol (P) cắt đường thẳn
g
2
8 1
8
x m
y
tạ
i hai điểm có hoành độ
1
2
,x
x
thỏa
mãn
4
4 3 3
1 2 1 2
x
x x x
.
5. Tì
m tọa độ điểm L (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu thức
4
3
1
x
S
y
đạ
t giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất (nếu có).
6. Tìm tọa độ điểm K (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức
3
3
2
2 6 3
x
x y x
.
7. Giả
sử tồn tại hai đường thẳng đi qua điểm I (0;1) cắt parabol (P) theo thứ tự
tại
1
1 2 2
,
,A B A B
.
Chứng
minh rằng
1
1 2 2
1
1 1 1
1
IA
IB IA IB
và
1
2 1 2
1 1
1
. .IA IA IB IB
.
8. Trên
parabol (P) lấy ba điểm có hoành độ lần lượt
, ,a b c
thỏa mãn
2
2 2
a
b b c c a
.
Tính giá
trị của biểu thức
1
1 1
S
a b b c c a
.
9. Xét ba điể
m A, B, C thuộc parabol (P) có hoành độ lần lượt là
, ,
A
B C
x x x
thỏa mãn đồng thời
A, B, C nằm trong góc phần tư thứ nhất và khác gốc O.
3
A
B C
x
x x
.
Chứng
minh bất đẳng thức
3
1 1 1 2
CA
B
B C A
xx
x
y y y
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
44
Bài
toán 49. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Vĩnh Phúc ; Năm học 2004 – 2005.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
P
y x
v
à đường thẳng d chứa tham
số có dạng:
2
4
3 2 1
y
mx m m
.
1. Vẽ parab
ol (P).
2. Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm (4;1).
b) Cắt parabol (P) tại điểm có hoành độ bằng 1.
c) Song song với đường thẳng
5 1
y x m
.
d) Vu
ông góc với đường thẳng
3
5 6 0
x
y
.
e) Cắt tr
ục tung tại điểm có tung độ dương.
3. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d khi
0
m
.
4. Chứng minh rằng parabol (P) và đường thẳng d luôn có ít nhất một điểm chung.
5. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt
A và B với
1
1 2 2
; , ;A x y B x y
s
ao cho
a)
1
2 1 2
4
204
x
x x x
.
b)
1
2
1
1 16
55
x
x
.
c)
1
2
2
5 8
x
x
.
d)
1
2
2
x
x
.
e)
2
1
3
x x m
.
f)
1 2
1
2
2
1x
x
.
g)
1
2
6
5
x
x
.
h) Biểu
thức
2
2
1 2
3P x x
đạt giá trị nhỏ nhất.
i)
1
2
,x
x
là
độ dài hai cạnh AB, AC của tam giác ABC có diện tích bằng 10 đồng thời thỏa mãn
điều kiện
1
sin
3
BAC
.
j
)
1
2
2
y
y
.
k)
1
2 1 2
2
3 4 5y y x x
.
l) Biểu
thức
2
2
1 2 1 2
2
3 4 5 6
S
y y y y
đạ
t giá trị nhỏ nhất.
6. Tìm trên parabol (P) các điểm L (x;y) thỏa mãn đẳng thức
4
2
4
11 8 21 35
y
x z z
.
7. Xác định
tọa độ điểm K (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn
2
2 15 3 3
y x x x x
.
8. Tìm tọa độ điểm H (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu thức
4
4
4
1
2 1 2 1 4S x x y
đạt
giá
trị
lớn nhất.
9. Tìm k để parabol (P) cắt đường thẳng
3
y
x k
th
eo một dây cung có độ dài bằng
10
.
10. Xét ba điể
m A, B, C thuộc parabol (P) có hoành độ lần lượt là
,
,
A
B C
x
x x
thỏa mãn đồng thời
A, B, C nằm trong góc phần tư thứ nhất.
3
A
B C
x x x
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2 2
CA
B
A
B B C C A
yy
y
Q
x
x x y x x
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
45
Bài
toán 50. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 1; Đề thi tuyển sinh 10 THPT; Môn Toán (Dành cho
tất cả các thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Trường Phổ thông Năng khiếu; Đại học Khoa học Tự nhiên;
Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh ; Năm học 2004 – 2005.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
P
y x
và đường thẳng d chứa tham
số có dạng
1
2y m x m
;vớ
i m là tham số thực.
1. Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm (4;2).
b) Song song với đường thẳng
8
10
y
x
.
c) Vu
ông góc với đườn
g thẳng
1
12
3
y
x
.
d) Cắt tr
ục hoành tại điểm có hoành độ lớn hơn 2.
e) Hợp với tia Oy một góc
60
.
f) Tạo
với hai trục tọa độ một tam giác cân.
g) Tiếp xúc với đường tròn (C) tâm O, bán kín
h
2
5
R
.
2. Tì
m tất cả các giá trị của tham số m để parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt
M
và N với
1
1 2 2
;
, ;M x y N x y
sao
cho
a)
2
2
1
2 1 2
6
x
x x x
.
b) Ho
ành độ điểm này bằng bốn lần hoành độ điểm kia.
c)
2
2
1
1
2 9
x
m x m
.
d)
1
2
4
x
x
.
e)
1
2
1 1
5
2
2x x
.
f)
1
2
,x
x
là độ
dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5.
g)
1 2
,x
x
là độ dài hai cạnh AB, AC của tam giác ABC với diện tích tam giác ABC bằng 10 và
1
sin
5
ABC
.
h)
1
2 1 2
4 4 10 3
y y y y
.
i)
1
2
1
2 1 2
1 1
10
y
y
y
y y y
.
3. Tì
m tọa độ điểm K (x;y) trên parabol (P) sao cho
1
2
4 3
3
x
y x x
x
.
4. Tì
m tọa độ điểm L (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu thức
1
1S y x y x
đạt giá trị nhỏ
nhất.
5. Tồn tại hay không điểm H (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn bất đẳng thức
1
1
x
y y x xy
?
6. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm T (6;61) và cắt parabol (P) theo một dây cung sao cho T
là trung điểm của dây cung đó.
7. Gọi A, B, C là ba điểm thuộc parabol (P) có hoành độ lần lượt là
;
;
a
b a b
.
Chứng minh đường
thẳng OC song song với đường thẳng AB.
8. Xét hai đường thẳng
1
2
: 4 5; : 4
d y x d y x k
.
Đường thẳng
1
d
cắt
parabol (P) tại hai điểm C, D.
Tìm giá trị của k để đường thẳng
2
d
cắt
parabol (P) tại hai điểm E, F sao cho tứ giác tạo bởi bốn
điểm C, D, E, F có diện tích bằng 6.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
46
Bài
toán 51. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 1; Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS; Môn Toán;
Đề thi chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh; Năm học 2002 – 2003.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol và đường thẳng chứa tham số
2
1
:
2 1 ; : 2 1
2
P
y m x d y mx m
.
1. Vẽ parab
ol (P) trong trường hợp
2
m
.
2. Tì
m tọa độ giao điểm của (P) và d trong trường hợp
3
m
.
3. Xác định
giá trị của m sao cho
a) Đường thẳng d đi qua điểm (5;3).
b) Đường thẳng d vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ III.
c) Đường thẳng d song song với đường thẳng
10
23
y
x
.
d) Đường thẳng d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ lớn hơn 4.
e) Đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền là
5
2
.
f) Đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 0,25.
g) Cắt đường tròn (C) tâm O, bán kính
1R
theo một dây cung có độ dài
4
5
5
l
.
4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệ
t
M
và N với
1
1 2 2
;
, ;M x y N x y
sao
cho
a) Ít nhất một trong hai hoành độ giao điểm thuộc khoảng (–1;0).
b)
1
2 1 2
10 6
x x x x
.
c)
3
3
1 2
3
4
x
x
.
d)
2
2
1 2
1
x x
.
e)
1
2
4
4
x
x
.
f)
2
2
1
2
1 2 1 4m x mx m
.
g)
2
2
1 2
5
1
x
x
.
h)
1
2
2
;4 , 3;5
x
x
.
i) M
và N nằm trong khoảng giữa hai đường thẳng
4; 5 2
x x m
.
j
)
1
2
,x
x
là độ
dài 2 cạnh AB, AC của tam giác nhọn ABC có diện tích bằng 10 và
3
os
2
c BAC
.
k)
1
2
4
10
y
y
.
l)
1
2
1
2
3
x y
.
m
)
1
2 1 2 1 2
2
3 6 4
y
y y y x x
.
5. Trong tr
ường hợp
1
m
.
a) Tì
m điểm K (x;y) thuộc parabol (P) thỏa mãn đẳng thức
2 7 23y x y x y x
.
b) Tì
m m để parabol (P) cắt đường thẳng
:
3y mx
theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.
c) Tìm tọa độ điểm X (x;y) thuộc parabol (P) sao cho độ dài đoạn thẳng XY ngắn nhất, trong đó
Y (1;0).
Bài toán 52. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 4; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Bình Dương; Năm học 2014 – 2015.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
47
Trong
mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
P
y x
v
à đường thẳng d chứa tham
số
:
2 1 2 5
d
y m x m
.
1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ khi
2
m
.
2. Tì
m giá trị của tham số m sao cho
a) Đường thẳng d đi qua điểm (5;9).
b) Cắt đường thẳng
3 5y x
tại điể
m có hoành độ bằng 2.
c) Đường thẳng d song song với đườn
g thẳng
3
1
2
x
y
.
d) Đườ
ng thẳng d vuông góc với đường
thẳng
2
9
3
y x
.
e) Đườ
ng thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ lớn hơn 1,5.
f) Đường thẳng d trùng với đường thẳng
4 8y mx
.
3. Chứng
minh rằng với mọi giá trị của tham số m, parabol (P) và đường thẳng d luôn cắt nhau tại hai
điểm phân biệt.
4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt
M
và N với
1
1 2 2
;
, ;M x y N x y
sao
cho
a)
1
2 1 2
5
4
x
x x x
.
b) M
và N nằm về hai phía của trục tung.
c) M và N nằm cùng phía đối với trục tung.
d)
2
2
1 2 1 2 1 2
6 4 5
x x x x x x
.
e)
1
2
2
3
x
x
.
f)
1
2 1 2
1 1 3
x x x x
.
g)
2 2
1 2
2
1 2 5 4x m x m m
.
h) Biểu
thức
2
2
1 2
A
x x
đạt
giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
i)
1 2 1 2
3
3 9y y x m x m m
.
j
) Biểu thức
1
2 1 2
10
5 5
T
x x y y
n
hận giá trị lớn nhất.
k) Biểu thức
2
2
1
2 1 2
2 2 4
B x x x x
đạt giá trị nh
ỏ nhất.
5. Xét điểm G (1;0). Tìm giá trị của m để đường thẳng d cắt hai trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại E và F
sao cho diện tích tam giác OFG gấp đôi diện tích tam giác OEF.
6. Tìm tọa độ điểm K (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn
4
2 3 2 1 4 2y x y x
.
7. Tì
m tọa độ điểm L (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn bất đẳng thức
6 26 6 2 1y x x
.
8. Xét ba điểm A, B, C thuộc parabol (P) có hoành độ lần lượt là
,
,
A
B C
x
x x
.
Tìm giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của biểu thức
1
1 1
CA B
A A B B C C
yy
y
T
y x y x y x
.
9. Tì
m n để parabol (P) cắt đường thẳng
y x n
tại
hai điểm phân biệt C, D. Gọi I là trung điểm của
đoạn thẳng CD, chứng minh rằng khi đó điểm I di động trên một đường thẳng cố định.
10. Xét hai điểm X, Y thuộc parabol (P) có hoành độ lần lượt là – 3 và 5. Tìm tọa độ điểm Z thuộc c
ung
parrbo
l nhỏ
XY
sao
cho diện tích tam giác XYZ đạt giá trị lớn nhất.
11. Viết phương trình đường thẳng l đi qua điểm J (–2;20) và cắt parabol (P) theo một dây cung PQ sao
cho J chia đoạn thẳng PQ theo tỷ lệ
: 1:10
JP JQ
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
48
Bài
toán 53. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 4 ; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh; Năm học 2009 – 2010.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
P
y x
v
à đường thẳng d chứa tham
số:
2
5
1 6 2y m x m m
.
1. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua gốc tọa độ.
b) Có hệ số góc nhỏ hơn 5 và không trùng với hai trục tọa độ.
c) Có hướng đi lên.
d) Cắt hai trục tọa độ tại hai điểm phân biệt.
e) Tạo với tia Oy một góc
45
.
f) Song son
g với đường thẳng
4
2 7
y
mx n
.
g) Vu
ông góc với đường thẳng
2 7 5 0
x y m
.
2. Tìm giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d trong trường hợp
3
m
.
3. Chứng
minh rằng parabol (P) và đường thẳng d luôn có ít nhất một điểm chung với mọi giá trị m.
4. Khi parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt M và N với
1
1 2 2
; , ;M x y N x y
.
a) Tì
m giá trị của m để
2
2
1 2
1
x
x
.
b) Tì
m tất cả các giá trị của m đ
ể
1
2
2
3 1
x
x
.
c) Tì
m giá trị của m để
2
2
1 2
5
1 6 2 25
x
m x m m
.
d) Tì
m giá trị của m để
1
2
2
x
x
.
e) Tì
m m để M và N nằm về hai phía của đường thẳn
g
5
2
x
.
f) Tì
m m để M và N đều có hoành độ nằm trong khoảng (3;10).
g) Tìm m để
2
1
1
3
14
x
x
.
h) Tồn tại hay không giá trị m sao cho
1
2
2
x m x
?
i) Tì
m giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
1
2 1 2
2
3 4P x x x x
.
j
) Tìm m đ
ể
1
2 1 2
4
5 6 7y y x x
.
k) Tì
m m để M và N nằm về hai phía của đường thẳng
4
y
.
l) Tì
m giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
2 1 2
2
3 4 5
P
y y x x
.
5. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm D (2;5) và chắn parabol (P) theo một dây cung có độ
dài bằng
2
17
.
6. Tì
m tọa độ điểm A (x;y) trên parabol (P) sao cho
4
3
2
1y x y x
.
7. Tì
m tọa độ tất cả các điểm B (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn bất đẳng thức
1
2 1 3 3x y x x y x
.
8. Tì
m tọa độ điểm X (x;y) trên nhánh phải parabol (P) sao cho biểu thức
48
S
x y
đạt giá trị nhỏ
nhất.
9. Xét ba
điểm A, B, C thuộc parabol (P) có hoành độ lần lượt là
,
,
A
B C
x
x x
.
Phản biện bất đẳng thức
sau đây
2
3 2 2 2
A B C A B C
x x x y y y
.
10. Xét điể
m Y (x;y) thuộc parabol (P). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2 3
K
x y x y
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
49
Bài
toán 54. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
dự bị; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Bình Định; Năm học 2014 – 2015.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
1
:
2
P
y x
và
đường thẳng d chứa tham
số có dạng:
3
1
2
m
y
m x
; m
là tham số thực.
1. Vẽ parabol (P).
2. Xét hai điểm A, B thuộc parabol (P) có hoành độ lần lượt là – 2 và 4. Tính độ dài chiều cao hạ từ
O
của tam giác OAB.
3. Xác định giá trị của tham số m sao cho đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm J thuộc parabol (P), J có hoành độ bằng 5.
b) Song song với đường thẳng
3
2 2
y
m x n
.
c) Vu
ông góc với đườn
g thẳng
5
2
m
y x
.
d) Cắt tr
ục tung tại điểm có tung độ lớn hơn 5.
e) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ nhỏ hơn 2.
f) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng
1
1
2
.
g) Cắt đườ
ng thẳng
2
1y x
tại điể
m Z (x;y) sao cho
2
2
4T x y xy
đạt
giá trị nhỏ nhất.
4. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng
2
y mx
cắt
parabol (P) tại hai điểm phân biệt X, Y sao
cho tam giác OXY có diện tích bằng
2
5
.
5. Biết
rằng đường thẳng
4
y x
cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt C, D. Tìm tọa độ điểm E nằm
trên cung parabol nhỏ
CD
để ta
m giác CDE có diện tích lớn nhất.
6. Chứng minh parabol (P) và đường thẳng d luôn có hai điểm chung phân biệt với mọi giá trị của m.
7. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt
M và N với
1
1 2 2
;
, ;M x y N x y
sao
cho
a)
1
2
2
2
x
x
.
b)
2
2
1 2
34
x
x
.
c)
1
2
2
1
x
x m
.
d)
1
2
1
2
1
1
6
x
x
x
x
.
e)
1 2
1 1
4
x
x
.
f)
2
2
1 2
6
x
x
.
g)
2 2
1
2
2 1 3 2 3x m x m m
.
h) Độ dài đ
oạn thẳng MN đạt giá trị nhỏ nhất.
i)
1 2 1 2 1 2
5
5 8 3 11
y
y x x x x
.
j
)
1 2
1
1 2
5
y
y
.
8. Tì
m tọa độ điểm K (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu thức
2
6
4 8 10
Q
y x
đạ
t giá trị nhỏ nhất.
9. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm L (3;5) và cắt (P) theo dây cung HK sao cho L là trung
điểm của đoạn thẳng HK.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
50
Bài
toán 55. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 3b; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Lạng Sơn; Năm học 2014 – 2015.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
P
y x
và
đường thẳng chứa tham số
:
2 3
d
y x m
; với m là tham số thực.
1. Xét các điểm X (1;m) và Y (4;n). Tìm m và n để X thuộc (P) và Y thuộc d.
2. Tìm tất cả các giá trị của m và n sao cho đường thẳng d thỏa mãn
a) Cắt đường phân giác góc phần tư thứ nhất tại điểm có hoành độ bằng 10.
b) Song song với đường thẳng
3 6 10
y mx n
.
c) Vu
ông góc với đường thẳng
3
2 6
y
mx
.
d) Cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn 4m.
e) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 10.
f) Cắt đường tròn tâm O, bán kính
5
R
theo một dây cung có độ dài bằng
2
.
g) Cắt đường thẳng
3 4
y x
tại đ
iểm K (x;y) sao cho biểu thức
2
2
4
9S x y x
đạt
giá trị
nhỏ nhất.
3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt
M
và N với
1
1 2 2
;
, ;M x y N x y
sao
cho
a)
1 2
1
0
x
x
.
b)
3
1
2
8
x
x
.
c)
2
2
1
1
6
4
4x x
.
d)
1
2
6
x
x
.
e)
1
2 1 2
1
1
3
2x
x x x
.
f) M và N
nằm cùng phía đối với trục tung.
g)
2
2
1
2
2
3
x
x m m
.
h)
2
2
1 2 2 2
2
3 2 3 3
x
x m x x m m
.
i) M và N cùng nằm trong góc phần tư thứ nhất, không kể biên.
j) M và N nằm khác phía đối với đường thẳng
3
x
.
k
)
2
1 2 1 2 1 2
2
7
y
y x x x x
.
l)
1
2 1 2
3
2 3 2 4 5
y
y x x
.
4. Xét
hai điểm
;
, ;
A
A B B
A
x y B x y
thuộc
nhánh phải của parabol (P). Chứng minh rằng khi biểu thức
A
B A B
S x x y y
đạt giá trị
lớn nhất thì A và B trùng nhau.
5. Xét hai điểm
; , ;H a b K c d
nằm
trên parabol (P) sao cho
1ac
.
Chứng minh
b d a c
.
6. Tì
m tất cả các điểm L (x;y) trên parabol (P) sao cho
5 2
10
4
2 1
x
y
x
.
7. Tìm điểm
0
0
;K
x y
trên
parabol (P) khi
0
x
l
à số thực lớn nhất trong các số x thỏa mãn hệ thức
2
2 2 2
5
,
7.
x
y z t
x y z t
8. Xét
điểm G (x;y) thuộc nhánh phải của parabol (P). Tìm x và y sao cho biểu thức
4
3S
y x
x
đạt
giá trị nhỏ nhất.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
51
Bài
toán 56. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu I ; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT ; Môn Toán (Dành
cho tất cả các thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Trường THPT Chuyên Bắc Ninh; Thành phố Bắc Ninh;
Tỉnh Bắc Ninh; Năm học 2014 – 2015.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
P
y x
và đường thẳng chứa tham số
có dạng:
: 2 2 6
d y mx m
; m thực.
1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ khi
1
m
.
2. Xét điể
m X (1;m) và Y (2;n). Tìm m và n để X thuộc (P) và Y thuộc d.
3. Tìm giá trị của tham số m và n sao cho đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm Z nằm trên (P), Z có hoành độ bằng 2.
b) Cắt đường phân giác góc phần tư thứ IV tại điểm có tung độ lớn hơn 4.
c) Cắt trục hoành tại một điểm nằm giữa hai điểm (3;0) và (5;0).
d) Song song với đường thẳng
3
1 7y m x n
.
e) Vuông góc với đườn
g thẳng
4
9
2
x
y
n
.
f) Kh
oảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d là dài nhất.
g) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 16.
4. Chứng minh rằng parabol (P) và đường thẳng d luôn có hai điểm chung phân biệt với mọi giá trị
củ
a tham số m.
5. Khi parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt M và N với
1 1 2 2
; , ;M x y N x y
.
Tì
m giá trị của m sao cho
a)
1 2
2
2
x
x m
.
b)
1
2
4
4
x
x
.
c)
1
2
1 2 1 2
1 1 15
4
x x
x x x x
.
d)
1
2
1
1
4
3
7 3 7x x
.
e) M
và N nằm về hai phía của trục tung.
f)
2
4
1
2
9
2
2 6
4
x
mx m m
.
g) M
và N nằm cùng phía với đường thẳng
5
x
.
h)
2 2
1 2 2 1
2
2 6 2 2 6 1
x
mx m x mx m
.
i)
2
2
1 2
x
x
đạ
t giá trị nhỏ nhất.
j) Biểu thức
1
2
B
x x
đạt giá trị nhỏ nhất.
k)
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2
2 3 3 4y y x x x x
.
l) Biểu thức
1
2 2 1
2
2
T
y mx y mx
đạt giá
trị nhỏ nhất.
6. Tìm tọa độ điểm K (x;y) trên parabol (P) sao cho
3
3 2
2
3
1
y
x
y x
x
.
7. Tìm điểm L (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu thức
2
4
2
2 2
S
x y x y
đạt giá trị
lớn nhất.
8. Tìm tọa độ hai điểm A, B nằm trên (P) sao cho A và B đối xứng nhau qua điểm C (7;85).
9. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm (3;9) và tiếp xúc với nhánh phải của parabol (P).
9. Tìm điểm
0
0
;K
x y
trên parabol (P) khi
0
x
là số thực lớn nhất trong các số x thỏa mãn hệ thức
2
2 2
5
; 11
x
y z x y z
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
52
Bài
toán 57. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 2.1 ; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề
thi chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Đồng Nai; Năm học 2008 – 2009.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
P
y x
và
đường thẳng chứa tham số
:
3
d
y x m
.
1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ khi
2
m
.
Tìm tọa độ hai đồ thị bằng
phép tính.
2. Tìm giá trị của tham số m sao cho đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm X nằm trên (P), X có hoành độ bằng 3.
b) Song song với đường thẳng
2
4
2 4
y
m x m
.
c) Vu
ông góc với đườn
g thẳng
5
7
2
3
m
x
y
.
d) Cắt đườ
ng phân giác góc phần tư thứ III tại điểm có hoành độ lớn hơn 10.
e) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 10.
3. Khi parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt M và N với
1
1 2 2
;
, ;M x y N x y
.
a) Tìm giá trị m để
3
1
2
7
x x
.
b) Tì
m m sao
cho
2
1
2
1
x
x
.
c) Tì
m m để hai giao điểm đều có hoành độ dương.
d) Tìm giá trị của m sao cho
2 4
1
2
3
x
x m m
.
e) Tì
m m để hoành độ điểm này gấp 3 lần hoành độ điểm kia.
f) Tìm giá trị của m sao cho
1
2
1
1 2
3 3 5
x
x
.
g) Tìm m để tung độ điểm này gấp 4 lần tung độ điểm kia.
h) Tính giá trị của biểu th
ức
3
3
1 2 1 2
P
x x x x
theo m.
i) Tì
m m sao
cho
1
2 1 2 1 2
1
0 4 4y y y y x x
.
j
) Tìm giá trị của m để
1
2
1 2
1
1
5
y
y
x x
.
k) Tì
m m thỏa mãn
2
1
2 1 2
3
6 19 2017
x
x y y m
.
l) Tì
m tất cả các giá trị m sao cho
1
2 1 2 1 2
2
7 2 7 3 1 3 1 5
y
y x x x x
.
4. Xác định m để (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm có hoành độ
1
2
,x
x
sao
cho
1
2
,x
x
là
độ dài hai cạnh
AB, AC của tam giác ABC với độ dài chiều cao AH (H thuộc cạnh BC) bằng
2
5
.
5. Tì
m tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt đường thẳng
2 4
y x
tại điểm K
(x;y)
sao cho biểu thức
2
2
5 4S x y
đạ
t giá trị bé nhất.
6. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đồ thị hàm số
7
3 2 4 2y x x
.
7. Tì
m tọa độ điểm Y (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức
2
1 1 3y x y x x
.
8. Viết
phương trình đường thẳng đi qua điểm K (2;5) và cắt parabol (P) theo một dây cung nhận đi
ểm
K là
m trung điểm.
9. Chứng minh rằng đường thẳng
:
4 3y x
cắt
parabol (P) tại hai điểm phân biệt P, Q. Tính di
ện
tích ta
m giác OPQ.
10. Tìm tọa độ điểm Z (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu thức
4
4
2 3
T x y
đạ
t giá trị lớn nhất.
Tìm giá trị lớn nhất đó.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
53
Bài
toán 58. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài III ; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Hà Nội; Năm học 2009 – 2010.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
P
y x
và
đường thẳng d chứa tham
số như sau:
2
2
1 2
y
m x m
; m là tham số thực.
1. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm X thuộc đường phân giác góc phần tư thứ nhất, X có hoành độ bằng 1.
b) Song song với đường thẳng đi qua hai điểm (6;2) và (7;1).
c) Vuông góc với đường thẳng
3
2 5 5 0
x
y
.
d) Tạo
với hai trục tọa độ một tam giác vuông có tỷ lệ hai cạnh góc vuông là 1:4.
e) Tạo với tia Oy một góc
60
.
2. Tì
m tọa độ điểm K (x;y) trên parabol (P) sao cho độ dài đoạn thẳng OK bằng
2
5
.
3. Tì
m tọa độ điểm H (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu thức
2
8
2 30
S
y x
đạt giá trị
nhỏ nhất.
4. Đường thẳng
4 5y x
cắt
parabol (P) tại hai điểm phân biệt P, Q. Tìm tọa độ điểm R thuộc cung
parabol nhỏ
PQ
sao
cho tam giác PQR có diện tích lớn nhất.
5. Tìm tọa độ điểm L (x;y) nằm trên nhánh phải parabol (P) thỏa mãn đẳng thức
3
6
3 8 12 3 9
x
x x y x
.
6. Tìm tọa độ điểm J (x;y) nằm trên nhánh phải parabol (P) thỏa mãn bất đẳng thức
3
3 2 2
3
4
2 2
x
y x y x y
.
7. Tìm tọa độ hai điểm E, F trên parabol (P) sao cho E và F đối xứng nhau qua điểm (4;10).
8. Giả sử
0
x
là số thực lớn nhất trong các số x thỏa mãn hệ thức
4
,
5.
x
y z
xy yz xz
Xét điểm
0
0
;
Z
x y P
. Tính độ dài đoạn thẳng OZ.
9. Xét ba điểm thuộc parabol (P) có hoành độ thuộc đoạn [– 1;3], tổng các hoành độ bằng 5. Tìm g
iá
trị lớ
n nhất đối với tổng bình phương hoành độ ba điểm đó.
10. Giả sử C và D có hoành độ lần lượt là c, d thỏa mãn đồng thời
C và D là hai điểm nằm trên parabol (P).
4; 6
c c d
.
Tì
m giá trị nhỏ nhất của biểu thức
C
D
y
y
.
11. Tì
m giá trị m để phương trình đã cho có hai nghiệm
1
2
,x
x
thỏ
a mãn Tìm tất cả các giá trị của tham
số m để parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm M và N với
1
1 2 2
; , ;M x y N x y
sao
cho
a) Một trong hai điểm có hoành độ bằng 2.
b)
2
2
1 2
10
x
x
.
c) A
và B đều có hoành độ dương.
d)
2 2 4
1 2
2
1 2
x
m x m m
.
e)
1
2
2 3
x x
.
f) Ng
hiệm này bằng 5 lần nghiệm kia.
g)
1
2
3
x
x
.
h)
1
2
,x
x
tư
ơng ứng là độ dài các hình chiếu BH, CH của tam giác ABC (H thuộc cạnh BC), trong
đó độ dài đường cao AH bằng 3.
i) Tung độ điểm này gấp 16 lần tung độ điểm kia.
j)
1
2 1 2 1 2
2
9 6 5
y
y x x x x
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
54
Bài
toán 59. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 1; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành
cho tất cả thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn; Thành phố Nha Trang;
Tỉnh Khánh Hòa; Năm học 2005 – 2006; Khóa ngày 21.06.2005.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
P
y x
và đường thẳng chứa tham số
:
2 1 5
d
y m x m
;
m là tham số thực.
1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ khi
2
m
.
2. Xét cá
c điểm U (3;m) và V (n;4). Tìm m và n để U thuộc (P) và V thuộc d.
3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm T thuộc (P), T có hoành độ bằng 3.
b) Song song với đường thẳng
3
2 1 7y m x m
.
c) Vu
ông góc với đường thẳng
2
2 3 0
x
y
.
d) Cắt đườ
ng phân giác góc phần tư thứ II tại điểm có tung độ bằng 6.
e) Cắt đoạn thẳng OZ với Z (2;10).
f) Đồng quy với hai đường thẳng
2 3 0;3 7 2 0
x y x y
.
g) Tạo
với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích nhỏ hơn 0,1.
h) Cắt đường phân giác góc phần tư thứ III tại điểm T (x;y) sao cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ
nhất:
2
2
4
5 2 2
P
y x x y
.
4. Tì
m tọa độ giao điểm của (P) và d khi m thỏa mãn
2
2
2 2 2 1 0
m mn n n
, n l
à số thực.
5. Chứng minh parabol (P) và đường thẳng d luôn có hai điểm chung phân biệt với mọi giá trị của m.
6. Khi parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt M và N với
1
1 2 2
;
, ;M x y N x y
.
a) Tì
m m để một trong hai điểm có hoành độ bằng – 1.
b) Tìm m để hai điểm nằm khác phía với trục tung.
c) Tìm giá trị m sao cho
1
2
3
4
x
x
.
d) Tìm m sao cho
2 2
1
2
2
1 5 36x m x m m
.
e) Tì
m giá trị của m để
1
2
1
1
2
x
x
.
f) Tì
m m để hoành độ hai điểm đều thuộc khoảng (0;2).
g) Tìm m để
1
2 1 2
2
1 5
y
m x m x x
.
h) Tìm giá trị m để
2
1
1 2
x
x
m
x x
.
i) Tì
m giá trị tham số m để
2
2
1 2 2 1
2
1 5 2 1 5 8
x
m x m x m x m
.
j
) Với giá trị nào của m thì biểu thức
2
2
1 2
A
x x
đạ
t giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
k) Tìm m để biểu thức
1
2 1 2
4
1 4 1 4
y
y x x
đạt
giá trị nhỏ nhất.
l) Tìm m sao cho
1
2 1 2
5
5 10 1
y
y y y
.
7. Tì
m tọa độ điểm P (x;y) trên parabol (P) sao cho
3
3 2 1y x x y x
.
8. Tì
m tọa độ các giao điểm của parabol (P) với đường cong
3
2
:
2 7 9C y x x x
.
9. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm Q (1;– 7) và tiếp xúc với nhánh phải của parabol (P).
10. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường tròn tâm O, bán kính
2
5
R
.
11. Giả sử A, B, C
là ba điểm thuộc nhánh phải của (P), không tính gốc tọa độ. Chứng minh
0
A C C BB A
B C C A A B
y
y y yy y
x x x x x x
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
55
Bài
toán 60. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành
cho tất cả các thí sinh dự thi vào trường chuyên); Đề thi chính thức; Trường THPT Chuyên Quốc học;
Thành phố Huế; Tỉnh Thừa Thiên Huế; Năm học 1998 – 1999.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
2P y x
và đường thẳng chứa tham số
có dạng
: 6
d y x m
, m là tham số thực.
1. Vẽ parabol (P).
2. Tính góc tạo bởi đường thẳng d với chiều dương trục Ox.
3. Tìm giá trị của tham số m và n để đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm (4;1).
b) Song song với đường thẳng
6
8y n x m
.
c) Vu
ông góc với đường thẳng
3
y
nx
.
d) Cắt tia Oy.
e) Cắt đoạn
thẳng LH với L (2;2), H (0;8).
f) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích nhỏ hơn 6.
g) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp
bằng
37
2
R
.
h) Đi qua
điểm K thuộc (P), K có hoành độ lớn hơn 4.
4. Tìm tọa độ các giao điểm P, Q của (P) và d khi
4
m
. Tính diệ
n tích tam giác OPQ.
5. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt
M
và N với
1
1 2 2
;
, ;M x y N x y
t
hỏa mãn điều kiện
a)
3
1
2
7
x x
.
b)
3
1 1 2
3
2
x
x x
.
c)
2
2
1 2
3
2
2
m
x
x m
.
d) M
và N nằm về hai phía của trục tung.
e)
1
2
2 1
3
x
x
x x
.
f) M
và N đều có hoành độ nhỏ hơn 2.
g)
1
2
1
2
x x
.
h) M
và N đối xứng với nhau qua điểm
3
;
5
2
.
i)
1
2
0
;5 , 0;5
x
x
.
j
)
1
2
x
x
.
k)
1
2 1 2 1 2
5
2 5 2 6
y
y y y x x
.
l)
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
3
2 3 2 3 3 5y y x x x x
.
6. Tì
m tọa độ điểm E (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn điều kiện
3
2
2 7 18 14
x
y x
.
7. Tì
m tọa độ điểm F (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu thức
2
1 2
2
y
S
x
đạt giá trị
lớn nhất.
8. Viết phương trình đường thẳng (l) đi qua điểm
3
;
5
2
,
cắt (P) tại hai điểm C, D sao cho
10
1
;
3
G
là
trọng tâ
m của tam giác OCD.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
56
Bài
toán 61. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 4; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh; Năm học 2014 – 2015.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
P
y x
và đường thẳng
: 1d y mx
.
1. Vẽ parab
ol (P) và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ khi
3
m
.
2. Tì
m giá trị của m để đường thẳng d thỏa mãn
a) Song song với đường thẳng
2
4
5
y
m x m
.
b) Vu
ông góc với đường thẳng
3
2 2 1 0
x
y
.
c) Tạo
với tia Oy một góc
30
.
d) Cắt đoạn thẳng PQ với P (1;7) và Q (– 1;– 5).
e) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 13.
f) Tiếp xúc với đường tròn tâm O, bán kính
1
5
R
.
g) Tạo
với hai trục tọa độ một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp
1
7
8
r
.
3. Chứng
minh rằng, với mọi giá trị của tham số m, parabol (P) luôn cắt đường thẳng d tại hai điểm
phân biệt
nằm khác phía đối với trục tung.
4. Giả sử (P) và d luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt M và N với
1
1 2 2
;
, ;M x y N x y
.
a) Tì
m m để tổng bình phương hai hoành độ đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Tính giá trị của biểu th
ức :
2
2
1 1
2 2
1 2
1
1
x x
x x
P
x x
.
c) Tì
m m để
3
1
1
1
x
x
.
d) Chứng
minh rằng ít nhất một trong hai điểm có hoành độ
0
x
t
hỏa mãn
0
1
x
.
e) Tì
m m để
2
2
1 2
1
9 8x mx m m
.
f) Tìm tất cả các giá trị m để
2
1
2
2
x
x
.
g) Tìm m để M và N đều nằm về một phía của đường thẳng
3
x
.
h) Tìm m để
2
2
1 2
2
4
P
x x
đạt giá
trị nhỏ nhất.
i) Tìm giá trị của m sao cho
1
2 1 2
3 3 7
S y y x x
đạt giá tr
ị nhỏ nhất.
j) Tìm giá trị của m để
1
2
1
1 2
4 4 5
y
y
.
k) Tìm giá trị của m để
1
2 1 2
4
y
y mx x
.
l) Tì
m m để độ dài đoạn thẳng MN bằng
13
0
.
m
) Với giá trị nào của m thì độ dài đoạn thẳng MN ngắn nhất ?
5. Tìm tọa độ điểm K (x;y) trên parabol (P) sao cho
4
3
1
4
8 7 4 10 7
x x
y x y x
.
6. Điểm (x;y) được gọi là điểm nguyên khi x và y đều là các số nguyên. Với z là số nguyên dương, tồn
tại hay không điểm nguyên Z (x;y) trên nhánh phải của parabol (P) thỏa mãn đẳng thức
3
xy yz xz
z x y
.
7. Tồn
tại hay không điểm L (x;y) thuộc parabol (P) thỏa mãn
5
2
2
x
y xy y x
?
8. Biết rằng parabol (P) cắt đường thẳng
2
15
y
x
tại
hai điểm phân biệt C và D. Tìm tọa độ điểm E
trên cung parabol nhỏ
CD
sao cho tam giác CDE có diện tích lớn nhất.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
57
Bài
toán 62. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành
cho các thí sinh dự thi môn chuyên Khoa học Tự nhiên); Đề thi chính thức; Trường THPT Chuyên Lê Quý
Đôn; Thành phố Nha Trang; Tỉnh Khánh Hòa; Năm học 2000 – 2001.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol
2
:
P
y x
và đường thẳng d:
2
2 1
y
m x m
với m
là tham số thực, O là gốc tọa độ.
1. Vẽ parabol (P).
2. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và d khi
1
m
.
3. Xác định giá trị của tham số m để đường thẳng d thỏa mãn
a) Cắt đường phân giác góc phần tư thứ IV tại điểm có tung độ bằng 3.
b) Song song với đường thẳng đi qua hai điểm (4;7) và (– 4;9).
c) Đồng quy với hai đường thẳng
2
3 1 0;6 4 0
x
y x y
.
d) Vuông góc với đường trung tuyến kẻ từ O của tam giác OPQ với P (8;0), Q (0;6).
e) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tỷ lệ các cạnh là
2
:3: 13
.
f) Tạo
với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8.
g) Cắt đoạn thẳng UV với U (3;4), V (– 1;– 6).
4. Tìm điều kiện của tham số m để parabol (P) và đường thẳng d có điểm chung.
5. Khi (P) và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt M và N với
1
1 2 2
; , ;M x y N x y
.
a) Tìm m để M và N nằm khác phía đối với trục tung.
b) Tìm m sao cho
2
2
1
2
1
2
2
2
x
x
x x
.
c) Tì
m m để M và N nằm cùng phía đối với đường thẳng
5
x
.
d) Tì
m m để
1
2
1 2
5
7
3
x
x
x x
.
e) Tì
m m để
1
2
1
1 1
2 1 2 1 2
x
x
.
f) Tìm m thỏa mã
n
1
2
3
x
x
.
g) Tì
m m sao cho
2
2
1
2
2
2 1 9x m x m m
.
h) Tìm các giá trị của m để
2
1
2 2 1
1
2 1 2
x
x x x m
.
i) Tì
m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
1
2 1 2
3
S
x x x x
.
j
) Tìm giá trị của m sao cho
1
2 2 1
5
3 5 2 2 5 25
x
x x x m
.
k) Tì
m m để
1
2
2
1 2 1 33
y
y
.
l) Xác định
giá trị m sao
cho
1
2 1 2 1 2
5
6
2
y
y x x x x
.
6. Viết phư
ơng trình tiếp tuyến của parabol (P) tại điểm T (2;4).
7. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) với đường cong
3
2
6
6 2 1 2 1y x x x x
.
8. Tì
m tọa độ điểm K (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu thức
2
4
0 10 50
S
y x
đạ
t giá trị nhỏ nhất.
9. Xét các điểm
6
;0 , 6;0
C
D
.
Tìm tọa độ điểm E (x;y) trên parabol (P) sao cho tam giác CDE
vuông tại E.
10. Tìm tọa độ điểm L (x;y) sao cho khoảng cách từ điểm L đến đường thẳng
: 7 0
x y
nhận
giá trị
nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
11. Xét các điểm X (9;0), Y (9;2). Tìm tọa độ điểm Z (x;y) thuộc parabol (P) sao cho tam giác XYZ
là
tam giác cân
tại Z.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
58
Bài
toán 63. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 2 ; Đề thi tốt nghiệp Trung học cơ sở ; Môn Toán; Đề
thi chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Khánh Hòa; Năm học 2000 – 2001; Khóa ngày 29.05.2001.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol
2
:
P
y x
và
đường thẳng d:
10 20
y x m
, vớ
i m là
tham số thực, O là gốc tọa độ.
1. Vẽ parabol (P).
2. Tìm giá trị của m và n để đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm (5;1).
b) Vuông góc với đường thẳng
9 6
y nx m
.
c) Song son
g với đường thẳng
3
7 2
y
n x
.
d) Cắt đoạn
thẳng PQ với P (2;8), Q (0;12).
e) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác bằng 10.
f) Đồng quy với ba đường thẳng
2
3 1 0; 3 4 1 0; 4 7 3 0
x
y x y x y
.
g) Tiếp xúc với đường tròn tâm O, bán kính
10
1
R
.
3. Chứng
minh rằng nếu (P) và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì luôn có một điểm nằm bên phải
của trục tung.
4. Tìm giá trị của m để parabol (P) và d cắt nhau tại hai điểm M và N với
1 1 2 2
;
, ;M x y N x y
sao
cho
a)
1
2
4
x
x
.
b)
3
1
2
x x
.
c)
5
1
2
8
x
x
.
d)
1 2
1
1
3
4
4x x
.
e)
2
2
1 2
10
20
x
x m m
.
f)
2
2
1 2
2
1 2 1 7 8
x
x m
.
g)
1
2 1 2
4
7 4 7 6 13
x
x x x
.
h)
2
3
1 2
10 20
x x m m m
.
i)
1 2 1 2
7
x x x x
.
j) Biểu thức
1
2 1 2
S
x x x x
đạt giá trị lớ
n nhất.
k) Biểu thức
1
2 1 2
T x x x x
đạt
giá trị nhỏ nhất.
l)
1 2 1 2 2 1
5
4 5 4 4 1 4 3 9104
y
y y y y y
.
m)
1
2 1 2
1
1 3
4
y
y x x
.
5. Tì
m giá trị của m để đường thẳng d đã cho cắt đường phân giác của góc phần tư thứ nhất tại điểm
(x;y) sao cho biểu thức
4
3 2
2 6 9 10
R x x x
đạt
giá trị nhỏ nhất.
6. Viết phương trình tiếp tuyến của parabol (P) biết tiếp tuyến đi qua điểm (1;– 8).
7. Tìm tọa độ hai điểm C, D thuộc (P) sao cho C và D đối xứng nhau qua điểm E (4;17).
8. Tìm điểm G (x;y) thuộc parabol (P) sao cho biểu thức
2 3 2 5
X x x
đạt giá trị lớn nhất.
9. Xét hai điểm ồn tại hay không J (x;y) trên parabol (P) sao cho tam giác IJK cân tại J ?
10. Tìm tọa độ điểm L (x;y) thuộc parabol (P) sao cho biểu thức
2
8 11
Y
x y x
đạt
giá trị lớn
nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
11. Tìm tọa độ điểm H (x;y) trên parabol (P) sao cho
4
13 2 5 2
y
x y x
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
59
Bài
toán 64. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 4; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Đà Nẵng; Năm học 2014 – 2015.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol
2
:
P
y x
và
đường thẳng
2
:
2 2d y m m x
với
O là
gốc tọa độ, m là tham số.
1. Tìm giá trị của m để đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm
2
1
;
m
.
b) Cắt đườ
ng thẳng
2
y x
tại điể
m có tung độ bằng 3.
c) Song song với đường thẳng
3
5 4 2
x
y
.
d) Vu
ông góc với đường thẳng đi qua hai điểm (3;1) và (9;4).
e) Cắt đường thẳng
y x
tại một điểm R, R nằm trên đường thẳng
9 6y x
.
f) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông có tỷ lệ các cạnh là
3
: 7 : 58
.
2. Tì
m tọa độ giao điểm của parabol (P) với đường thẳng d trong trường hợp m = 0.
3. Tồn tại hay không giá trị m để (P) cắt d tại điểm có hoành độ bằng 1 ?
4. Chứng minh rằng parabol (P) luôn cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
5. Xét trường hợp parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm M và N với
1
1 2 2
;
, ;M x y N x y
,
trong đó
1
2
x
x
.
a) Tì
m m sao cho
1
2 1 2
9
11
x
x x x
.
b) Với
giá trị nào của m thì
2
2
2
1 2 1 2 1 2
4 6
x x x x x x
?
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
2
S
x x
.
d) Tìm m để
1
2
2
x
x
.
e) Tì
m giá trị m sao cho
1
2
2
6
x
x m
.
f) Tìm m để M và N đều nằm cùng phía đối với đường thẳng
3
x
.
g) Tì
m tất cả các giá trị của m sao cho
1
2
6
x
x
.
h) Tì
m m sao cho
2
2
1 2
2 2 9
x m x m
.
i) Với
giá trị nào của m th
ì
2
1
2
1
1 7 6
m
x
x m
?
j
) Tìm biểu thức liên hệ giữa hai hoành độ không phụ thuộc vào tham số m.
k) Xác định giá trị m sao
cho
1
2 1 2
4
10
y
y x x
.
l) Tì
m giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
2 1 2 1 2
15
T y y x x x x
.
6. Tì
m tọa độ các giao điểm của (P) với đường cong
2
5
1y x x
.
7. Viết phư
ơng trình tiếp tuyến của parabol (P) tại điểm G thuộc (P), G có tung độ bằng 9.
8. Tìm tọa độ điểm F (x;y) trên parabol (P) sao cho
4
1 4 1 1
x
y
.
9. Tì
m tọa độ điểm E (x;y) thuộc parabol (P) sao cho khoảng cách từ E đến đường thẳng
đạt
giá
trị lớn nhất.
10. Tìm điểm P (x;y) thuộc parabol (P) và điểm Q trên đường tròn (C) tâm J (0;– 4), bán kính
2R
sa
o
cho độ dài đoạn thẳng PQ ngắn nhất.
11. Tìm tọa độ điểm H (x;y) thuộc parabol (P) và điểm K trên đường tròn (C) tâm J (4;– 4), bán kính
5
r
sao cho
độ dài đoạn thẳng HK ngắn nhất.
12. Xét hai điểm U, V phân biệt nằm trên parabol (P) có hoành độ lần lượt là
,
2 1a a
.
Ký hiệu c và
d
tương ứng là khoảng cách từ U và V đến trục hoành. Hãy so sánh c và d.
13. Xét điểm X thuộc (P), X có hoành độ
sin
X
x
. Tìm giá trị lớn nhất cho biểu thức
X
X
Y
x y
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
60
Bài
toán 65. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 2.2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Quảng Ngãi; Năm học 2014 – 2015.
Trong hệ tọa độ Oxy, cho parabol
2
:
P
y x
v
à đường thẳng
2
:
3 1 2 1
d
y m x m m
với O l
à gốc tọa
độ, m là tham số thực.
1. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d với
1
m
.
2. Tì
m giá trị của tham số m để đường thẳng d thỏa mãn điều kiện
a) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 20.
b) Đi qua điểm (–1;0) nhưng không đi qua điểm (1;2).
c) Song song với đường phân giác góc phần tư thứ III.
d) Vuông góc với tiếp tuyến của (P), tiếp tuyến này đi qua gốc tọa độ.
e) Tiếp xúc với parabol
2
2y
x
tại điểm
có tung độ bằng 2.
f) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tỷ lệ các cạnh là
2 : 3 : 5
.
g) Cắt đườ
ng thẳng
3 1y x
tại điể
m Z (x;y) sao cho
2
2
1
4 15
x
y x
đạ
t giá trị nhỏ nhất.
3. Tìm m để parabol (P) cắt đường thẳng d tại một điểm có hoành độ bằng 2. Tìm giao điểm còn lại.
4. Chứng minh rằng parabol (P) luôn cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
5. Xét trường hợp parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm M và N với
1
1 2 2
;
, ;M x y N x y
,
a) Tì
m m sao cho
1
2 1 2
2
17
x
x x x
.
b) Tìm giá trị của m để
2
1
2 1 2
5
2
x
x x x
.
c) Tì
m hệ thức liên hệ giữa hai hoành độ độc lập với m.
d) Tìm m sao cho
1
2
x
x m
.
e) Với giá trị nào của m th
ì
1
2
1
1
2
3
3x x
?
f) Tì
m giá trị m để
1
1 2 2 1 2
2 2 8 13
x x x x x x
.
g) Tìm m sao cho biểu thức
1
2
x x
nhận
giá trị nhỏ nhất.
h) Tìm m để tồn tại hệ thức
2
2
1 2 1 2 1 2
4
2 5
x
x x x x x
.
i) Tìm m để biểu thức
2
2
1 2 1 2
3
B
x x x x
đạt giá trị lớn
nhất.
j) Tìm m đ
ể
2
2
1
3 1 2 1 2 3
x m x m m m
.
k) Tì
m m thỏa mã
n
1
2 1 2
4
8 7
y
y x x m
.
6. Tì
m tất cả các điểm L (x;y) thuộc parabol (P) sao cho L cách đều hai trục tọa độ.
7. Xét điểm B thuộc parabol (P), B có hoành độ bằng – 2. Tìm tọa độ điểm C thuộc (P) sao cho tam
giác BOC vuông tại O.
8. Viết phương trình đường thẳng
đ
i qua điểm F (0;3) và cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt D, E
sao cho
4DE
DF
.
9. Tìm tọa độ điểm A (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức
2
1 4 1 5 1 2 1 3y x y x y y x
.
10. Tì
m tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường elipsse (E) có phương trìn
h
2
2
1
4
3
x
y
.
11. Giả sử X và Y là
các điểm thuộc nhánh phải của (P) có hoành độ lần lượt x và y sao cho
3
1
1 1
x y
x y
.
Tì
m giá trị lớn nhất của biểu thức
3
J
xy
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
61
Bài
toán 66. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 7; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Tây Ninh; Năm học 2014 – 2015.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol
2
:
P
y x
v
à đường thẳng
:
2 1 4
d
y m x m
vớ
i O
là gốc tọa độ, m là tham số thực.
1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ khi
3
m
.
2. Tì
m tọa độ giao điểm của đường thẳng
4 3y x
và parabol (P).
3. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d thỏa mãn điều kiện
a) Không đi qua gốc tọa độ.
b) Cắt hai trục tọa độ tại hai điểm phân biệt.
c) Đi qua điểm K thuộc đường phân giác góc phần tư thứ nhất, K có tung độ bằng 4.
d) Song song với đường thẳng đi qua hai điểm (4;1) và (– 6;3).
e) Vuông góc với đường thẳng
3
8 2 1 0
x
y
.
f) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d đạt giá trị lớn nhất.
g) Tạo với tia Oy một góc
60
.
h) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp l
à
3
17
8
R
.
4. Chứng
minh parabol (P) luôn cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
5. Tìm giá trị của m để parabol (P) và d cắt nhau tại hai điểm M và N với
1
1 2 2
;
, ;M x y N x y
sao
cho
a)
1
2
2
3
x
x
.
b)
1
2
4
2 3
x
x m
.
c) Các hoành độ đều lớn hơn 1 hoặc đều nhỏ hơn 1.
d)
1
2 2 2
1
1 4 9
x
x x x m
.
e) Biểu thức
3
1
2
A
x x
đạt giá trị nhỏ nhất.
f) Hoành độ điểm này gấp ba lần hoành độ điểm kia.
g)
2
2
1
2
2
1 4
x
m x m m
.
h)
2
1
2
2 1 4 3 2
x m x m m
.
i)
1
2
1
1
4
2
2x x
.
j
)
1
2
3
1
x
x m
.
k)
1
2 1 2 1 2
4
6 68
y
y x x y y
.
l)
1
2 1 2
3
4 1
y
y x x m m
.
m)
2
1 2 1 2 1 2
3
5 3 5 375
y
y y y x x
.
6. Viết phư
ơng trình đường thẳng đi qua điểm (1;– 15) và tiếp xúc với parabol (P).
7. Gọi A và B là các giao điểm của parabol (P) và đường thẳng
6y
x
.
Tìm tọa độ điểm C nằm trên
parabol (P) sao cho tam giác ABC cân tại C.
8. Xét hai điểm D (–3;0) và E (0;3). Tìm tọa độ điểm F thuộc parabol (P) sao cho tam giác DEF
vuông tại F.
9. Xét ba điểm P, Q, R thuộc parabol (P) có hoành độ thuộc đoạn [0;2] sao cho tổng các hoành độ
bằ
ng 3. Chứng minh rằng
3
5
A
B C
y
y y
.
10. Tì
m tọa độ điểm G (x;y) nằm trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức
3
9
3
3
3
xy y x
x
y
x
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
62
Bài
toán 67. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Phú Thọ; Năm học 2014 – 2015.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol
2
:
P
y x
và
đường thẳng
2
: (2 1)
d y m x m
vớ
i O là
gốc tọa độ, m là tham số thực.
1. Vẽ parabol (P).
2. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm (2;5).
b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ nhỏ hơn – 9.
c) Song song với đường thẳng
10
5 6
y
m x
.
d) Vu
ông góc với đường thẳng
3 5 7 0
x y
.
e) Tạo với đường thẳng
y m
một góc
60
.
f) Cắt đường thẳng
y x
tại điểm (x;y)
mà biểu thức
2
2
6
6
y
x
đạ
t giá trị nhỏ nhất.
3. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d khi
1
m
.
4. Giả sử P và Q là hai điểm nằm trên parabol (P) có hoành độ lần lượt là –2 và 5. Tìm tọa độ điểm R
thuộc trục hoành sao cho P, Q, R thẳng hàng.
5. Với giá trị nào của m thì parabol (P) tiếp xúc với parabol (P) ? Tìm tọa độ tiếp điểm.
6. Khi parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm có hoành độ
1 2
,x
x
,
hãy tìm hệ thức liên hệ giữa
1
2
,x
x
độc lập với m.
7. Tìm giá trị của m để parabol (P) và d cắt nhau tại hai điểm M và N với
1 1 2 2
;
, ;M x y N x y
sao
cho
a)
2
2
1 2 1 2 1 2
6
7 6
x
x x x x x
.
b)
1 2
1
1
1
2
2x x
.
c)
1
2
2
1
x
x m
.
d)
1
2
9
x
x
.
e) Biểu
thức
1
2 1 2
P
x x x x
đạt
giá trị nhỏ nhất.
f)
1
2
3
x
x
.
g)
1
2
2
x
x
.
h)
2
2
1 2
(
2 1) 9
x
m x m
.
i)
2
2
1 2
(
2 1) 3 2
x
m x m m
.
j
)
2
1
2 1 2 1 2
3
3 2 5
y
y x x x x
.
k)
1
2
1
1 7
y y m
.
8. Viết phương trình tiếp tuyến của (P) biết tiếp tuyến đi qua điểm (1;– 24).
9. Tìm tọa độ điểm H (x;y) trên parabol (P) sao cho
5
6 10 3 2 2
x
x y x
.
10. Giả sử a và b là hoành độ các giao điểm của parabol (P) và đường thẳng
2 4
y x
. Tính tổng các
lũ
y thừa bậc 7 của a và b.
11. Xét hai điểm D (3;2), E (4;3). Tìm tọa độ điểm F trên parabol (P) sao cho tam giác DEF cân tại F.
12. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường tròn (C) có tâm (0;– 4), bán kính
5
R
.
13. Xét điể
m L (u;v) nằm trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức
2
3
1
v
v u
. Tìm giá trị lớn nhất và giá
trị lớ
n nhất của biểu thức
3
2S v uv u
.
14. Tì
m tọa độ hai điểm A và B trên parabol (P) sao cho
3A
C CB
trong đó C (
4;19).
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
63
Bài
toán 68. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Hưng Yên; Năm học 2014 – 2015.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol
2
:
P
y x
và đường thẳng
: 2 3
d y x m
, với O là gốc
tọa độ, m là tham số thực.
1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng d khi
2
m
.
2. Tì
m giá trị của tham số m và n để đường thẳng d thỏa mãn điều kiện
a) Đi qua trung điểm của đoạn thẳng OX với X (4;2).
b) Vuông góc với đường thẳng
2y
mx n
.
c) Song son
g với đường thẳng
4
9
y
mx n
.
d) Tạo
với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích lớn hơn 8.
e) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp
5
R
.
f) Cắt đườ
ng phân giác góc phần tư thứ nhất tại điểm K (x;y) sao cho
2
20
11
xy
x y
S
y
đạt
giá
trị nhỏ nhất.
3. Tìm giá trị của m để parabol (P) và d cắt nhau tại hai điểm M và N với
1
1 2 2
;
, ;M x y N x y
sao
cho
a)
1
2
13
x
x
.
b) M
và N nằm khác phía đối với trục Oy.
c)
3
1
2
0
x x
.
d)
3 2
1
2 1 2
8
9
x
x x x
.
e)
3
3
1 2
8
x
x
.
f) M, N
và điểm (2017;2018) tạo thành ba điểm thẳng hàng.
g)
1
2
1
2
1
1 8
9
x
x
x
x
.
h)
1
2
1 2
3
2x
x
.
i) M
và N nằm cùng phía đối với đường thẳng
3
x
.
j
)
2
2
1
2
4
2
3
9
x
x m m
.
k)
2
2 2
2
1 1 2
2
3 2 3
x
x m x x m m
.
l)
1
2 1 2 2 1
4
4 1 5 167
y
y x x x x
.
m)
1
2
1
1 17
64
y
y
.
n)
2
2 2
2
1 1 2
5
2 3 2 3
x
x m x x m m
.
4. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm (1;0,75) và tiếp xúc với parabol (P).
5. Tìm tọa độ điểm H (x;y) thuộc parabol (P) sao cho
2 1 2 1 1 1
x x y
.
6. Xét điểm L (x;y) nằm trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức
2
1y
y xy
. T
ìm giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của biểu thức
2 4 3
M
y y y
.
7. Xét
hai điểm U (0;1) và V (2b;– 1), với b là tham số thực. Chứng minh rằng đường trung trực
của
đoạn thẳng UV t
iếp xúc với parabol (P).
8. Xét hai điểm
3 17;0 , 3 17;0
D D
.
Tìm tọa độ điểm F thuộc parabol (P) sao cho tam giác
DEF vuông tại F.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
64
Bài
toán 69. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu II; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Quảng Ninh; Năm học 2012 – 2013; Khóa ngày 28.06.2012.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol
2
:
P
y x
v
à đường thẳng
: 2d y ax
,
với O là gốc tọa
độ, a là tham số thực.
1. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d với
1
a
.
2. Tì
m giá trị của tham số a sao cho đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm G nằm trên (P), G có tung độ bằng 9.
b) Song song với đường thẳng đi qua hai điểm (0;0) và (5;6).
c) Vuông góc với trung tuyến AD của tam giác ABC với A (1;2), B (3;4), C (5;1).
d) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tỷ lệ các cạnh là
3
:8: 73
.
e) Tạo
với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 6.
f) Đồng quy với hai đường thẳng
7
2; 8 5y x y x
.
g) Tạo
với hai trục tọa độ một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng
2
.
3. Tìm a để parabol (P) cắt đường thẳng d tại một điểm có hoành độ bằng 4.
4. Chứng minh parabol (P) và đường thẳng d luôn có hai giao điểm phân biệt nằm về hai phía của trụ
c
tung với
mọi giá trị của a.
5. Chứng minh rằng parabol (P) và đường thẳng d luôn có giao điểm với hoành độ
0
x
nà
o đó thỏa mãn
bất đẳng thức
0
2
x
.
6. Tì
m giá trị của a để parabol (P) và d cắt nhau tại hai điểm M và N với
1
1 2 2
;
, ;M x y N x y
sao cho
a)
1
2
2
5
x
x
.
b)
2
4
1 2
2
9x ax a
.
c)
4
4
1 2
8
x x
.
d) M và N đều có hoành độ nhỏ hơn 2.
e)
1
2
5x
x a
.
f)
2
1
1 2
1
3
3 4
x
x
x x
.
g)
2
2 4
1 2 2 1
2
2 2 1
x
ax x ax a
.
h) Biểu
thức
2
2
1 1 2 2
2
2
N
x x x x
có giá trị nhỏ nhất.
i) Biểu thức
2
2
1 2
4
9
P
x x
đạt giá trị nhỏ nhất.
j)
2
1 2 1 2 1 2
3
1 3 1 15
y
y x x x x
.
k)
1
2
1
1
a
y
y
.
l) Tung độ điểm này gấp 16 lần tung độ điểm kia.
m)
2
1 2
1
1 36 2
4
a
y
y
.
7. Tì
m tọa độ giao điểm của (P) với đường cong
3
2
12
16
y
x x x
.
8. Xét hai điểm E và F có hoành độ lần lượt là u và v đều thuộc đoạn [1;2]. Tìm giá trị lớn nhất, giá
trị
nhỏ n
hất của biểu thức
E
F
u
v
T
y
uv y
.
9. Tì
m tọa độ các điểm H, K lần lượt thuộc parabol (P) và đường thẳng
9y x
s
ao cho độ dài đo
ạn
thẳng HK là
ngắn nhất.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
65
Bài
toán 70. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 11; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Lâm Đồng; Năm học 2012 – 2013; Khóa ngày 26.06.2012.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol
2
:
P
y x
v
à đường thẳng
2
:
2 2 3 2
d
y m x m
,
với
O là gốc tọa độ, m là tham số thực.
1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ khi
1
m
.
2. Tì
m tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng khi
2
m
.
3. Tì
m giá trị của tham số m để đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm (1;– 1).
b) Song song với đường phân giác góc phần tư thứ IV.
c) Tạo với đường thẳng đi qua hai điểm (4;2), (7;3) một góc
90
.
d) Cắt tr
ục tung tại điểm có tung độ lớn hơn 1.
e) Cắt trục tung tại điểm K, K nằm trên đoạn thẳng OH với H (0;10).
f) Tạo với đường thẳng
6
2
x
một góc
4
5
.
g) Tạo
với đường thẳng
7
3
y
một góc
6
0
.
h) Cắt đường thẳng
26
y x
tạ
i điểm J (x;y) sao cho biểu thức
2
224
4 1Q x y x xy
đạt
giá
trị nhỏ nhất.
4. Chứng minh rằng parabol (P) và đường thẳng d luôn có hai điểm chung phân biệt với mọi giá trị m.
5. Tìm giá trị của m để parabol (P) và d cắt nhau tại hai điểm M và N với
1
1 2 2
;
, ;M x y N x y
sao
cho
a)
1
2 1 2
5
10
x
x x x
.
b)
1
2
2 1
x x m
.
c)
2
2
1 2
5
2
x
x m
.
d) M
và N nằm trên nhánh phải của (P).
e)
1
2
1
1
2
x
x
.
f)
1
2
1
1
2
3
3x x
.
g) M
và N nằm bên phải đường thẳng
1x
.
h)
1
2 2 1
2
2 2
x
x x x
.
i) Biểu
thức
2
2
1
2 1 2
3
S x x x x
đạt giá trị nhỏ nhất.
j)
4
2
2
1 2
2
2 3 2 4 2
x
m x m m
.
k)
2
2
1 2
2 2 3 2 3 7
x m x m m
.
l)
1
2 1 2 1 2
5
6 6 8
y
y x x x x
.
m) Biểu thức
2
1 2 1 2
8
10 40
T
y y x x m
đạ
t giá trị nhỏ nhất.
6. Tìm tọa độ điểm A (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn
2
1 3 1 0
x
y x
.
7. Chứng
minh parabol (P) và đường cong
7
6
7
6y x x x
chỉ c
ó duy nhất một điểm chung.
8. Tìm tọa độ điểm B (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu thức
2 1
2 3
y x
Z
y
x
đạt giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất (nếu có).
9. Xét hai điểm C (4;0), D (6;4), tìm tọa độ điểm E trên parabol (P) sao cho tam giác CDE cân tại E.
10. Xét điểm U (6;3), tìm tọa độ điểm V thuộc parabol (P) sao cho độ dài đoạn thẳng UV nhận giá
trị
nhỏ n
hất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
66
Bài
toán 71. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Kiên Giang; Năm học 2014 – 2015.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol
2
:
P
y x
v
à đường thẳng
: 4 4 3
d y x m
,
trong đó O
là gốc tọa độ, m là tham số thực.
1. Tìm giá trị của tham số m sao cho đường thẳng d thỏa mãn
a) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ lớn hơn 2.
b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ thuộc khoảng (2;5).
c) Song song với đường thẳng
4 2 5
y x m
.
d) Vu
ông góc với đường thẳng
1
7
y
x
m
.
e) Tạo
với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng
9
16
.
f) Cắt đường thẳng
3 5y x
tại
một điểm nằm trên đường phân giác góc phần tư thứ IV.
g) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp
3
17
8
R
.
h) Cắt đườ
ng thẳng
3y x
tại điể
m R (x;y) sao cho biểu thức
2
2
2
3 4 5 6
S
x y xy x y
đạt
giá
trị nhỏ nhất.
2. Tìm m để parabol (P) cắt đường thẳng d tại điểm có hoành độ bằng 2. Tìm tọa độ giao điểm thứ hai.
3. Giả sử (P) cắt đường thẳng d tại điểm X có hoành độ bằng 3 và cắt trục hoành tại điểm Y. Tìm độ
dài
đoạn thẳng XY.
4. Tìm giá trị của m để parabol (P) và d cắt nhau tại hai điểm M và N với
1
1 2 2
;
, ;M x y N x y
sao
cho
a)
2
2
1
2 1 2 1 2
4
x
x x x x x
.
b)
1
2
6
x
x
.
c)
1
2
1
1 2
3
x
x
.
d)
1
2
1
1 2
3 5 3 5 7
x
x
.
e)
5
1
2
2
x
x
.
f)
3 2
1
1 1 2
4
2x x x x
.
g)
2
2
1
2
4
4 3 9x x m m
.
h) Biểu
thức
2
2
1 2
x
x
có giá t
rị là 9.
i)
1 2 1 2 1 2 1 2
9
5 12
y
y y y x x x x
.
j
)
2
1
2
1 1 2 5
4 3
m
y y
m
.
k)
1
2 1 2 1 2
6
1 6 1 4 5 5y y y y x x
.
5. Tìm tọa độ điểm H (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức
4
2 1 3 2 1y x x x
.
6. Tì
m tọa độ hai điểm D, E thuộc parabol (P) sao cho D và E đối xứng với nhau qua điểm F (4;17).
7. Tìm tọa độ điểm K (x;y) thuộc parabol (P) sao cho biểu thức
2
4 2
2
3 2 6
T
x x y y
đạt giá
tr
ị
nhỏ n
hất.
8. Tìm tọa độ điểm K (x;y) nằm trên parabol (P) sao cho biểu thức
2
6
6 23
S
y x
đạt giá trị nhỏ
nhất.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
67
Bài
toán 72. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Nghệ An; Năm học 2012 – 2013; Khóa ngày 24.06.2012.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol
2
:
P
y x
v
à đường thẳng
2
:
2 1 6
d
y m x m
, tro
ng
đó O là gốc tọa độ, m là tham số thực.
1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ với
3
m
.
2. Tì
m giá trị của tham số m và n để đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm (1;4).
b) Cắt đường thẳng
4
y
x
tại điể
m có tung độ bằng 6.
c) Song song với đường thẳng
3
y mx n
.
d) Vu
ông góc với đường phân giác góc phần tư thứ IV.
e) Tạo với đường thẳng
2
3
y
một góc
45
.
f) Cắt trục tung tại điểm A, A nằm trong đoạn thẳng OB với B (0;5).
3. Chứng minh parabol (P) luôn cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
4. Tìm giá trị của m để parabol (P) và d cắt nhau tại hai điểm M và N với
1
1 2 2
;
, ;M x y N x y
sao
cho
a) Một trong hai điểm có hoành độ bằng 3.
b)
2 2
1 2
16
x
x
.
c) Một
trong hai điểm có hoành độ bằng 2m.
d)
1
2
1
1 6
2 3 2 3 11
x
x
.
e) M
và N đều nằm trên nhánh phải của (P).
f)
1
2
2
6
x
x m
.
g)
1
2
4
x
x
.
h)
2
2
1 2
2
1 15
x
m x m
.
i) Biểu
thức
2
2
1 2
K
x x
nhận
giá trị nhỏ nhất.
j)
2
2
1 2
2 1 3 1
x m x m m
.
k)
2
2
2
2
1 6 1 24
x
m x m m
.
l)
1
2 1 2 1 2
4
y y x x x x
.
m
)
1
2 2 1
10
1 0
x
y x y m
.
5. Tì
m tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường elippse
2
2
: 1
4 9
x
y
E
.
6. Điể
m (x;y) được gọi là điểm nguyên khi x và y đều là các số nguyên. Tìm tất cả các giá trị nguyên
củ
a tham số để các giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d đều là điểm nguyên.
7. Tìm tọa độ điểm P (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức
3
5
1 2 3 2 1x y x x x
.
8. Tì
m tọa độ điểm Q (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu thức
2
4
;
1
4
y
x y
f x y
y
y
đạ
t giá trị nhỏ
nhất, giá trị lớn nhất (nếu có).
9. Tìm tất cả các giá trị của tham số n để parabol (P) cắt đường thẳng
2y
x n
tại điể
m T (x;y) sao
cho biểu thức
4
2 3
1
y x
T
y
n
hận giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có).
10. Tìm tọa độ điểm R thuộc parabol (P) và điểm S thuộc đường thẳng
:
3 10
y
x
sao
cho độ dài
đoạn thẳng RS ngắn nhất.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
68
Bài
toán 73. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Phú Thọ; Năm học 2012 – 2013; Khóa ngày 26.06.2012.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol
2
:
P
y x
và
đường thẳng
:
2 3 1d y m x
,
trong đó
O là gốc tọa độ, m là tham số thực.
1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ với
1
m
.
2. Tì
m giá trị của tham số m và n để đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm (–4;2).
b) Cắt tia Ox.
c) Cắt đường phân giác góc phần tư thứ III tại điểm có tung độ bằng 4.
d) Song song với đường thẳng đi qua hai điểm (3;1) và (– 5;7).
e) Vuông góc với đường thẳng
2
5 4 0
x
y
.
f) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tỷ lệ các cạnh là
2
:3: 13
.
g) Tiếp
xúc với đường tròn tâm O, bán kính
1
1
7
R
.
3. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt đường phân giác góc phần tư thứ nhất tại điểm K
(x;y) sao cho biểu thức
2
2
2
3 4S x y xy
đạt giá trị nhỏ nhất.
4. Chứng minh parabol (P) luôn cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
5. Chứng minh parabol (P) luôn cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt, trong đó một điểm có hoàn
h
độ
0
x
nào đó thỏa mãn
0
1
2
x
.
6. Tìm giá trị của m để parabol (P) và d cắt nhau tại hai điểm M và N với
1
1 2 2
;
, ;M x y N x y
sao cho
a)
1
2 1 2
5
4 6
x
x x x
.
b)
2
2
1 2
6
x
x
.
c)
2
2
1
2
2
3 1 9x m x m
.
d)
1
2
1 1
5
x
x
.
e) Độ dài đ
oạn thẳng MN ngắn nhất.
f)
1
2
1
1 12
4 4 31
x x
.
g)
1
2
2
3
x
x
.
h)
1
2 2 1
2
x
y x y
.
i)
1
2 1 2
2
7 2 7 4 5
y
y x x
.
j
) Biểu thức
2
2
1 1 2 2
A
x x x x
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
k) Biểu thức
1
2 2 1 1 2 1 2
4
B x y x y y y y y
n
hận giá trị nhỏ nhất.
l)
2
1 2
2 3 1 7 3 11
x m x m
.
7. Tìm tọa độ điểm D (x;y) thuộc parabol (P) sao cho biểu thức
2
16 8 7
S y x
đạt giá tr
ị nhỏ nhất.
8. Tìm tọa độ điểm E (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức
5
6 4 3 0
xy
x x
.
9. Điể
m (x;y) được gọi là điểm nguyên khi x và y đều là các số nguyên. Tìm tất cả các giá trị nguyê
n
của tham số để các giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d đều là điểm nguyên.
10. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường elippse:
2
2
:
1
4 36
x y
E
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
69
Bài
toán 74. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 5.a; Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS; Môn Toán;
Đề thi chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh; Năm học 2003 – 2004.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol
2
:
2P y x
v
à đường thẳng
2
: 2 2
d y mx m
,
trong
đó O là gốc tọa độ, m là tham số thực.
1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một mặt phẳng khi
1
m
.
2. Tì
m tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d khi
0
m
.
3. Tì
m giá trị của m và n để đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm (1;– 1).
b) Song song với đường thẳng
2 3 5 0
x y
.
c) Vu
ông góc với đường phân giác góc phần tư thứ III.
d) Cắt trục tung tại điểm có tung độ nhỏ hơn 1.
e) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tỷ lệ các cạnh là
2
:9 : 85
.
f) Tạo với đường thẳng
2
017 2016
y
mộ
t góc
60
.
g) Cắt đườ
ng thẳng
4
y x
tại điểm F (x;y) sao cho biểu thức
2
2
2
x
y xy
đạt giá trị nhỏ nhất.
4. Trong trường hợp parabol (P) và d cắt nhau tại hai điểm M và N với
1
1 2 2
;
, ;M x y N x y
.
a) Tì
m m để một trong hai điểm có hoành độ bằng 2.
b) Tìm m để ít nhất một trong hai giao điểm nằm trên nhánh phải (P).
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai hoành độ độc lập với m.
d) Với giá trị nào của m thì hai giao điểm đều có hoành độ lớn hơn 4.
e) Tìm m sao
cho
1 2
1
1
3
x
x
.
f) Tì
m giá trị m sao cho
1
2 1 2
4
1
x
x x x
.
g) Tì
m m sao cho
2
2
2
1 2 1 2
5
x
x x x
.
h) Tì
m giá trị của m sao cho
2 2 4
1
2
2 2 2
x mx m m
.
i) Với
giá trị nào của m th
ì
2
2
1 2
2
2 2 3 1
x
mx m m
.
j
) Tìm giá trị lớn nhất của biểu th
ức
1
2 1 2
2 4
A x x x x
.
k) Tì
m m để
2
1
2 1 2 1 2
2
10
y
y x x x x
.
l) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
1
2 1 2
6
B
x x x x
.
5. Viết
phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và cắt parabol theo một dây cung có độ dài
bằng
5
.
6. Điể
m (x;y) được gọi là điểm nguyên khi x và y đều là các số nguyên. Tìm tất cả các giá trị nguyê
n
của tham số để các giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d đều là điểm nguyên.
7. Tìm tọa độ điểm K (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn điều kiện
1
9 20 2 3 10
2
x y x
.
8. Viết
phương trình đường thẳng đi qua điểm G (2;10) và cắt parabol (P) theo dây cung DE sao cho
đoạn thẳng DE nhận G làm trung điểm.
9. Tìm tọa độ điểm H (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn điều kiện
2
1
12
5 3 5
2
y
x x
.
10. Tính khoả
ng cách ngắn nhất giữa parabol (P) và đường thẳng
5y x
.
11. Xét hai điểm
A (4;0), B (10;2). Tìm tọa độ điểm C trên parabol (P) sao cho tam giác ABC cân tại C.
12. Tìm điểm T (x;y) trên nhánh phải parabol (P) sao cho biểu thức
8
2
y
S
x
x
đạ
t giá trị nhỏ nhất.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
70
Bài
toán 75. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 3; Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS; Môn Toán;
Đề thi chính thức; Phòng Giáo dục và Đào tạo Thị xã Hà Đông; Tỉnh Hà Tây; 2003 – 2004.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol
2
:
P
y x
v
à đường thẳng
2
:
2 1 2 3 1
d
y m x m m
,
trong đó O
là gốc tọa độ, m là tham số thực.
1. Vẽ parabol (P).
2. Trong trường hợp
1
2
m
:
a) Tính góc tạ
o bởi đường thẳng d với chiều dương trục tung.
b) Tìm tọa độ các giao điểm A, B của đường thẳng d với parabol (P).
c) Tìm tọa độ điểm C trên đường thẳng
3
8y x
sao cho
ba điểm A, B, C thẳng hàng.
3. Tìm giá trị của m và n để đường thẳng d thỏa mãn điều kiện
a) Đi qua điểm (1;– 1).
b) Song song với đường thẳng
3 2
y x
.
c) Song son
g với đường thẳng
2 3 4
x y n
.
d) Vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ II.
e) Cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn – 1.
f) Vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm (1;4) và (2;7).
g) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ nhỏ hơn 3.
h) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tỷ lệ các cạnh là
1
:3: 10
.
4. Chứng m
inh rằng parabol (P) và đường thẳng d có điểm chung khi
0
1
m
.
5. Trong tr
ường hợp parabol (P) và d cắt nhau tại hai điểm M và N với
1 1 2 2
;
, ;M x y N x y
.
a) Tìm m để một trong hai điểm có hoành độ bằng 2.
b) Tìm m để M và N nằm khác phía đối với trục tung.
c) Chứng minh
1 2 1 2
9
8
x x x x
.
d) Tìm m để M và N đều nằm trên nhánh trái của (P).
e) Tìm giá trị của m sao cho
1
2 1 2
3
5
x
x x x
.
f) Tì
m m để
2
2 2
1
2
2
1 2 3 1
x
m x m m m
.
g) Tìm m để
2
2
1
2
1
1 7 2
2 3 1
m
x
x m m
.
h) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thứ
c
2
2
1
2 1 2
P x x x x
.
i) Tì
m giá trị của m để
1
2 1 2 1 2 2 1
19
9 3 3
y
y x x x x x x
.
6. Tì
m tọa độ điểm
0
0
;P
x y
nằm trên parabol (P), trong đó
0
x
là số nhỏ
nhất trong các số x thỏa mãn
2 2 2
1
2
xb bc cx
x b c
7. Tì
m tất cả các điểm Q (x;y) trên parabol (P) sao cho
2
4 6 3 13
x xy x
.
8. Tì
m tọa độ hai điểm U, V nằm trên parabol (P) sao cho U và V đối xứng với nhau qua điểm R (1;5).
9. Xét hai điểm D, E nằm trên parabol (P), D và E có hoành độ lần lượt là – 2 và 4. Tìm tọa độ điểm F
thuộc trục hoành sao cho tam giác DEF cân tại F.
10. Tìm tọa độ điểm G (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu thức
2
1 8 36 49
T
y y x
đạt giá trị
nhỏ n
hất.
11. Tìm tọa độ điểm S (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức
2
12 8 2y x
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
71
Bài
toán 76. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 4 ; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT ; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Khánh Hòa; Năm học 2003 – 2004; Khóa ngày 09.07.2004.
Trong mặt phẳng với tọa độ Oxy, cho parabol
2
:
2P y x
v
à đường thẳng
2
:
2 1 4 3
d
y m x m m
,
trong đó O
là gốc tọa độ, m là tham số thực với m là tham số thực.
1. Vẽ parabol (P).
2. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d khi
1
m
.
3. Tì
m tất cả các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm (1;– 12).
b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ dương.
c) Song song với đường thẳng
4
6 10
y
x
.
d) Vu
ông góc với đường thẳng
4 2 0
x y
.
e) Tạo với đường thẳng
2
3 3 2
y
một góc
60
.
f) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tỷ lệ các cạnh góc vuông là
2:5 : 29
.
g) Cắt đường thẳng
18
y
x
tại điểm Z (x;y) sao cho biểu thức
3 1H x x
đạt giá trị lớn
nhất.
4. Tìm m để parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 2.
5. Khi parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm M và N với
1
1 2 2
;
, ;M x y N x y
:
a) Tìm m để
1
2 1 2
4
1
x
x x x
.
b) Tì
m m để hai giao điểm đều có hoành độ dương.
c) Tìm m để
2
2
1
2
2
2 1 4 3 3x m x m m
.
d) Với
giá trị nào của m th
ì
2
2
1 2
2 2 1 4 3 1
x m x m m m
?
e) Tì
m m để
1
2
2
x x
.
f) Tìm m sao
cho
1
2
1 1 2
3
x
x
.
g) Tì
m tất cả các giá trị m sao cho
2
2
1 2 1 2 1 2
5
6 4
x
x x x x x
.
h) Tính giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
2
3
10
K
x x
.
i) Tì
m giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thứ
c
2
2
1
2 1 2 1 2
7
10
A
x x x x x x
.
j
) Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
2
5T
x x m
.
k) Tìm giá trị tham số m sao ch
o
1
2 1 2 1 2
3
4 5
y
y x x x x
.
l) Xác định
tham số m đ
ể
3
1
2 2 1
7
1
x
y x y m
.
6. Tì
m tọa độ điểm Y (x;y) trên parabol (P) có hoành độ
3 3
20
14 2 20 14 2
x
.
12. Tì
m tọa độ tất cả các điểm G (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu th
ức
2
6
14
5
x
x y
T
y
đạt
giá trị
nhỏ nhất, giá trị lớn nhất (nếu có).
7. Xét điểm X (x;y) thuộc parabol (P) có hoành độ
1
1 1 1
1
...
2
3 99 100
x
. Chứng minh rằng
tung độ y của X nằm trong khoảng (648;722).
8. Tìm tất cả các điểm A (x;y) thuộc parabol (P) thỏa mãn bất đẳng thức
4
1 2 1 1
x
y
.
9. Xét
hai điểm U, V nằm trên parabol (P) có hoành độ tương ứng là – 3 và 5. Tìm tọa độ điểm T trê
n
đường phân giác góc phần tư thứ nhất sao cho tam giác UVT cân tại T.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
72
Bài
toán 77. Mở rộng và phát triển câu 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành cho tất cả các
thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Trường Trung học thực hành; Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí
Minh; Quận 5; Thành phố Hồ Chí Minh; Năm học 2015 – 2016.
Trong mặt phẳng với tọa độ Oxy, cho parabol
2
1
:
4
P
y x
và
đường thẳng
2
1
:
2
D
y x m
, tro
ng đó O là
gốc tọa độ, m là tham số thực với m là tham số thực.
1. Vẽ parabol (P).
2. Cho M (1;m) và N (2;n). Tìm m và n để M thuộc (P) và N thuộc (D).
3. Cho
2
m
. Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ và tìm tọa độ giao điểm của chúng bằng
phép toán.
4. Với
giá trị nào của m thì đường thẳng (D) thỏa mãn
a) Song song với đường thẳng
1
3
2
y
x m
.
b) Cắt tr
ục tung tại điểm có tung độ lớn hơn 100.
c) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 32.
d) Cắt đoạn thẳng OP với P (0;4).
5. Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, parabol (P) và đường thẳng (D) luôn cắt nhau
tại
hai
điểm phân biệt.
6. Đồ thị parabol (P) bao gồm nhánh trái và nhánh phải. Gọi hai giao điểm phân biệt của parabol (P)
với đường thẳng (D) là
1 1 2 2
;
, ;A x y B x y
.
a) Chứng
minh A và B thuộc hai nhánh khác nhau của (P).
b) Giả sử B thuộc nhánh phải của (P), so sánh các khoảng cách từ A và B đến trục tung.
7. Tìm m để (P) và (D) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
1
1 2 2
;
, ;A x y B x y
sao cho
a) Một
trong hai điểm A, B có hoành độ bằng 3.
b)
2
1 2 1 2 1 2
5 1
x x x x x x
.
c)
1
2
1
1 8
4 4 15
x x
.
d)
3
1
1 2
3
39
x
x x
.
e)
4
4
1 2
8
2
x
x
.
f)
1 2
1
1 14
2 3 4 13
x x
.
g)
1 2 2
2 3
x x x
.
h)
2
2 4
1
2
2
4 4x x m m
.
i)
1
2
2
y
y
.
j
)
2
2
1 2 1 2
3
9
2
y
y x x
.
k) Biểu
thức
1
2 1 2
4
S
y y x x m
đạt giá trị
nhỏ nhất.
l) Biểu thức
2
1
2
3
T
x x m
đạt giá trị nhỏ nhất.
8. Tìm tọa độ điểm M (x;y) thuộc parabol (P) sao cho điểm M cách đều hai trục tọa độ.
9. Xét hai điểm C, D thuộc parabol (P) có hoành độ tương ứng là – a và b, a và b là các số
thực
dươ
ng. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để tam giác COD vuông tại O.
10. Xét hai điểm H, K thuộc parabol (P) có hoành độ lần lượt là – 2 và 8. Tìm tọa độ điểm T thuộc trục
tung sao cho HTKO là tứ giác nội tiếp.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
73
Bài
toán 78. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ cho parabol
2
:
P
y x
và
đường thẳng
2
:
2 1 6
d
y m x m m
, trong đó m là tham số thực.
1. Vẽ parabol (P).
2. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d khi
2
m
.
3. Với giá trị nào của m thì (P) cắt d tại gốc tọa độ ? Tìm giao điểm thứ hai.
4. Tìm giá trị của tham số m và n để đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm (1;7).
b) Song song với đường phân giác của góc phần tư thứ IV.
c) Vuông góc với đường thẳng
3 4 9 0
x y n
.
d) Vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm (3;1) và (4;9).
e) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông có một góc nhọn
30
.
5. Chứng
minh rằng parabol (P) luôn cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị m.
Tìm
mối
liên hệ giữa hai hoành độ giao điểm, mối quan hệ này độc lập với tham số m.
6. Giả sử (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm
1
1 2 2
;
, ;A x y B x y
, chứng minh biểu thức
1
2
T
x x
có giá
trị không đổi.
7. Xác định giá trị của m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
1 1 2 2
;
, ;A x y B x y
s
ao cho
a)
1 2
2
5 6
x
x m
.
b)
1
2
2
1 2 3 9
x
x
.
c) Ho
ành độ điểm này gấp rưỡi hoành độ điểm kia.
d)
3 3
1 2
35
x x
.
e) A và B đều có hoành độ nhỏ hơn 3.
f)
2
2
1 2 1 1 2 2
3
9 2 10 1
x
x x x x x
.
g)
1
2
5
5
x
x
.
h)
1
2
2
3 5 2x x m
.
i)
2
2
2 1
2
1 6 4 3
x
m x m m m
.
j
)
1 2 1
7y
y x
.
k)
1
2
2
1 2
1 2
6
y
y
x
x m m
.
l) Biểu
thức
1
2 1 2 1
3
2
4
2
S
y y x x x
đạt
giá trị nhỏ nhất.
m) Biểu thức
3
3
1 2
K
x x
đạt giá
trị nhỏ nhất.
8. Có bao nhiêu điểm Q (x;y) nằm trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức sau
3
1 9 5 3 2
x
y x x
?
9. Tì
m tọa độ tất cả các điểm M (x;y) (M khác gốc tọa độ) nằm trên parabol (P) sao cho khoảng các
h
từ
M đến trục hoành gấp đôi khoảng cách từ M đến trục tung.
2. Tìm tất cả các điểm N (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu thức
10
74 2 2
Z
y x y x
đạt giá
trị lớ
n nhất.
3. Xét hai điểm C, D nằm trên (P); C và D có hoành độ tương ứng là –a và b, a và b là các số thực
dương. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để tam giác COD vuông tại O.
4. Xét hai điểm H, K nằm trên (P) có hoành độ tương ứng là – 4 và 0,25. Tìm tọa độ tất cả các điểm T
trên trục tung sao cho tứ giác OHTK là tứ giác nội tiếp.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
74
Bài toán
79. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ cho parabol
2
:
P
y x
v
à đường thẳng
:
2 1 3
d
y m x m
, với m là tham số thực.
1. Vẽ parabol (P).
2. Khi
3
m
, tìm tọa độ hai giao điểm của parabol (P) với đường thẳng d. Tính khoảng cách giữa hai
điểm đó.
3. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm X, X thuộc (P) và có hoành độ bằng 3.
b) Vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm (4;2) và (– 5;1).
c) Song song với trục hoành.
d) Cắt đường phân giác góc phần tư thứ III tại điểm có tung độ bằng 4.
e) Cắt đoạn thẳng OY với Y (0;7).
f) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông có góc
30
.
g) Cắt đườ
ng thẳng
y
x
tại Z
(x;y) thỏa mãn biểu thức
6
K
xy x y
đạt giá trị
nhỏ nhất.
4. Chứng minh rằng parabol (P) luôn cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị m.
5. Xác định giá trị của m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
1
1 2 2
; , ;A x y B x y
s
ao cho
a) Một trong hai điểm có hoành độ bằng 3.
b)
1
2 1 2
5
10 3
x
x x x m
.
c) Hai nghiệ
m cùng âm.
d)
2
2
1 2 1 2
5
2 6
x
x x x
.
e)
1
2
2
3 9
x
x
.
f) Hai điểm đều có hoành độ nhỏ hơn 3.
g)
1
2
1
1
4
4
4x x
.
h)
2
2
1 2
10
x
x
.
i)
2
1
2
1
2
1 3
2
m
x m x m
.
j)
3
3
1 1 1 2
4
x
x x x
.
k) Tung độ
điểm này gấp 9 lần tung độ điểm kia.
l) Biểu thức
1
2 1 2 1 2
6
5
S
y y x x x x
đạt giá trị nh
ỏ nhất.
m)
2
2 2 2
1 2 1 2 2 1
3
1 3 1 1 2 1 3y y x x x x
.
n) Biểu thức
2
1
2
2 1 3 2 9
T x m x m m
đạt giá trị nh
ỏ nhất.
6. Có bao nhiêu điểm Q (x;y) nằm trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức
6
2 5 2 1x y x x
.
7. Tì
m tọa độ tất cả các điểm M (x;y) (M khác gốc tọa độ) nằm trên parabol (P) sao cho khoảng cách
từ
M đến trục hoành gấp 5 lần khoảng cách từ M đến trục tung.
8. Xét hai điểm H, K nằm trên (P) có hoành độ tương ứng là – 8 và 0,125.
a) Chứng minh tam giác HKO vuông.
b) Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HKO.
c) Tìm tọa độ tất cả các điểm T trên trục tung sao cho tứ giác OHTK là tứ giác nội tiếp.
9. Tìm tất cả các điểm P (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn
2
2
y
x
.
10. Điểm C (x;y) được gọi là điểm nguyên nếu x và y đều là các số nguyên. Tìm tất cả các điểm nguyên
(x;y) trên parabol (P) thỏa mãn bất đẳng thức
51
2
1
1
x
y
x
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
75
Bài
toán 80. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ cho parabol
2
:
P
y x
và
đường thẳng
:
2 1 4d y m x m
với m là tham số thực.
1. Vẽ parabol (P).
2. Tìm giá trị của tham số m sao cho đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm Z thuộc (P), Z có hoành độ bằng 5.
b) Vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ II.
c) Song song với đoạn thẳng XY với X (1;3), Y (– 5;2).
d) Cắt trục tung tại điểm có tung độ thuộc đoạn [2;9].
e) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng
1
6
3
.
f) Cắt đườ
ng thẳng
4 3y x
tại điểm T (x;y) sao cho ba điểm T, U (4;2), V (7;3) tạo thành ba
điểm thẳng hàng.
g) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tỷ lệ các cạnh là
2
:5: 29
.
3. Tì
m tọa độ giao điểm của (P) và d khi
3
m
.
4. Biện
luận theo tham số m giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d.
5. Xác định giá trị của tham số m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm
1
1 2 2
;
, ;A x y B x y
sao
cho
a) Một trong hai điểm có hoành độ bằng
1
m
.
b)
2
2
1 2 1 2 1 2
4
x
x x x x x
.
c) Hai giao điể
m nằm khác phía đối với trục tung.
d)
1 2 2 1
2 2 6
x x x x
.
e) A
và B đều có hoành độ lớn hơn 1.
f)
1
2
5
x x
.
g)
2
2
2
1 2 1 2 1 2
4
3 66
x
x x x x x
.
h)
3 3
1 2
16
x
x
.
i)
1
2
2 2
x x
.
j) Tung độ điểm này gấp 25 lần tung độ điểm kia.
k)
2
1
1
25
2
6
x
x
.
l)
1
2 2
2
3 1
x
x x
.
m
) Biểu thức
1
2 2 2
2
3 4 5
S
y y x x
đạt giá trị
nhỏ nhất.
n)
1 2 1 2 1 2
2
1 3 1 4 5
y
y x x x y
.
o) Biểu thức
2
2
1 2 1 2
10
2 3Q x x x x
đạt giá trị
lớn nhất.
p) Biểu thức
1
2 1 2
1
2 3 4
5
T
y
y x x
đạt giá trị nhỏ nhất.
6. Tìm giá trị nguyên của m để parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm
1
1 2 2
;
, ;A x y B x y
sao
cho
biểu thức
1
2
1
1
P
x x
nhận giá trị nguyên.
7. Tìm hai điểm M, N nằm trên parabol (P) sao cho M và N đối xứng với nhau qua điểm Q (–1;10).
8. Tìm tọa độ các điểm D (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn bất đẳng thức
1
1 1 3
x
x y
.
9. Tì
m tọa độ tất cả các điểm E (x;y) trên parabol (P) sao cho
2
1 2 1
x
y x x y x
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
76
Bài
toán 81. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ cho parabol
2
:
P
y x
và
đường thẳng
:
2 2 4 12
d
y m x m
với m là tham số thực.
1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ khi
0
m
.
2. Tì
m tọa độ giao điểm của (P) và đường thẳng d khi
5
m
.
3. Tì
m giá trị của tham số m sao cho đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm X, X thuộc (P), X có hoành độ bằng – 3.
b) Vuông góc với đường thẳng
3
4 5 0
x
y
.
c) Song son
g với đường thẳng đi qua O và điểm Y (4;2).
d) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d bằng
12
17
.
e) Cắt đoạn
thẳng UV với U (1;1), V (3;5).
f) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tỷ lệ các cạnh là
3
:5: 34
.
4. Tì
m tọa độ điểm Z cố định mà đường thẳng d luôn luôn đi qua với mọi giá trị của m, từ đó tìm m đ
ể
khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d đạt giá trị lớn nhất.
5. Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, đường thẳng d và parabol (P) luôn có điểm chung.
6. Tìm giá trị của m để parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm M và N với
1
1 2 2
;
, ;M x y N x y
thỏa
mãn điều kiện
a)
2
2
2
1 2 1 2
104
x
x x x
.
b)
1
2
8
x x
.
c)
2
1
2
x
x
.
d)
3
3
1 2
19
x
x
.
e)
1
2
2
14
x
x
.
f) M
và N nằm khác phía đối với đường thẳng
5
x
.
g) Tung độ
điểm này gấp 4 lần tung độ điểm kia.
h)
1
2
3
4
x
x
.
i) M
và N nằm trong khoảng giữa trục Oy và đường thẳng
4
x
.
j) Biểu thức
2
2
1 2
2F
x x
đạ
t giá trị bé nhất.
k)
2
1
2 1 2
2 2 4 12 2x m x m x x
.
l) M
và N nằm trong khoảng giữa trục hoành và đường thẳng
9
y
.
m
)
1
2 1 2 2
6
156
y
y y y x
.
n) Biểu
thứ
c
1
2 1 2 1 2
S
y y x x x y
đạt giá trị
nhỏ nhất.
7. Tìm tọa độ tất cả các điểm Q (x;y) (Q khác gốc tọa độ) nằm trên parabol (P) sao cho khoảng
cách từ
M
đến trục hoành bằng khoảng cách từ Q đến đường thẳng
2
x
.
8. Tì
m tọa độ điểm C thuộc (P) sao cho C cách đều hai điểm A (4;0
),
8
14
;
5 5
B
.
9. Tì
m tọa độ điểm D (x;y) thuộc parabol (P) thỏa mãn đẳng thức
4 5 2 1xy y x x
.
10. Viết phư
ơng trình đường thẳng đi qua điểm
3
1
;
4
và tiếp xúc vớ
i parabol (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.
11. Xét hai điểm E (1;1), F (3;9). Tìm tọa độ điểm G thuộc (P) sao cho tam giác EFG vuông tại E.
12. Xét ba điểm K, I, J trong đó K (1;1), I và J nằm trên (P); I và J có hoành độ tương ứng là – a và b, a
và b là các số thực dương. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để tam giác IJK vuông tại K.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
77
Bài
toán 82. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ cho parabol
2
:
P
y x
và
đường thẳng
:
2 1 4
d
y m x m
với m là tham số thực.
1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ khi
0
m
.
2. Tì
m giá trị của m để parabol (P) và đường thẳng d cùng đi qua điểm X (1;n), n là hằng số thực.
3. Tìm giá trị tham số m sao cho đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm cố định của đường thẳng
2
3 9;y n x n n
.
b) Vu
ông góc với đường thẳng
2 3 6 0
x y
.
c) Song son
g với đường thẳng
1
0 16 0
x
y
.
d) Cắt tr
ục tung tại điểm có tung độ bằng 13.
e) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ nhỏ hơn 3.
f) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng
1
24
.
4. Chứng
minh parabol (P) luôn cắt đường thẳng d với mọi giá trị của m.
5. Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương.
6. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai giao điểm M và N với
tọa độ
1
1 2 2
;
, ;M x y N x y
thỏa
mãn điều kiện
a) Một trong hai giao điểm có hoành độ bằng 2.
b)
1 2
1
1 7
8
x x
.
c) M
và N đều nằm trong góc phần tư thứ nhất.
d)
2
2
1 2 1 2 1 2
4
3 2
x
x x x x x
.
e) Biểu
thức
2
2
2
1 1 2 2
3
3Q x x x x
nhận giá trị nhỏ nhất.
f)
1
2
2
17
x
x
.
g) Ít nhấ
t một trong hai giao điểm nằm bên phải trục tung.
h)
1 2
3
x
x
.
i) Biểu
thức
1
2
S
x x
đạt giá trị nh
ỏ nhất.
j) M và N nằm trong khoảng hai đường thẳng
3; 5
x x
.
k)
2
1
2
4
1
y
y m
.
l)
1 2 1 2 1 2 2 1
82
5 3 3
y
y y y x x x x
.
m
)
1
2 1 2
3 2 3 2 6 10
y y x x
.
n) Biểu
thức
2
2
1 2
1
2 2 1
1
1
x x
R
x
x x x
đạt giá trị n
hỏ nhất.
7. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm D (1;9) và cắt parabol (P) theo dây cung EF sao cho đ
ộ
dài đ
oạn thẳng DF gấp đôi độ dài đoạn thẳng DE.
8. Tìm tọa độ tất cả các điểm H (x;y) thuộc parabol (P) thỏa mãn đẳng thức
1x
y y x x
.
9. Tì
m giá trị nguyên của tham số m để parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm có hoành đ
ộ
1 2
,x x
thỏ
a mãn biểu thức
1
2
1 2
x
x
S
x
x
n
hận giá trị nguyên.
10. Chứng minh rằng có đúng hai điểm K (x;y) thuộc parabol (P) sao cho biểu thức sau đạt giá trị
nhỏ
nhất
2
3 2 2
2
6 5 11 3 6 2 4
T
y x y x y x x
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
78
Bài
toán 83. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ cho parabol
2
:
P
y x
và
đường thẳng
:
2 6 9
d
y mx m
với m
là tham số thực.
1. Tìm tọa độ của parabol (P) và đường thẳng d khi
4
m
.
2. Tìm giá trị của tham số m và n để đường thẳng d thỏa mãn
a) (P) và d cùng đi qua điểm X nào đó có hoành độ bằng 2.
b) Song song với đường thẳng
3
5 0;x y n n
.
c) Cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn 5m.
d) Vuông góc với đườn
g thẳng
1
4
1;
2
y
x n n
.
e) Tạo
với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 56,25.
3. Tìm khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d.
4. Xét hai điểm A (0;4), B (–1;0). Tìm giá trị của m để đường thẳng d cắt trục hoành tại điểm C sa
o
cho diện tích tam giác OAC gấp bốn lần diện tích tam giác OAB.
5. Chứng minh rằng parabol (P) và đường thẳng d luôn có điểm chung với mọi giá trị của m.
6. Xác định m để parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm
1
1 2 2
;
, ;M x y N x y
thỏ
a mãn
a)
2
2
1 2
1
3
x
x
.
b)
1
2 1 2
4
3 5
x
x x x
.
c) M
và N đều có tung độ lớn hơn 4.
d)
1
2
1 1 2
2 3 2 3 3
x
x
.
e)
1
2
4 3 3
x x
.
f) M
và N cùng nằm trong góc phần tư thứ II.
g)
1
2 1 2
3
4
x
x x x
.
h)
1
2
4
1 5
x
x
.
i)
1 2
1 2
1
3 6
1
x x
x x
.
j
) Biểu thức
2
1
2 1 2
3
K
x x x x
đạt giá
trị nhỏ nhất.
k) Độ dài đoạn thẳng MN bằng
8
5
.
l) Biểu
thức
2 2
1
2 1 2
2
3 4F x x y y
đạt giá trị n
hỏ nhất.
m)
1
2 1 2
2
x
x y y
.
n)
2
1
2 2
2
6 9
x
mx m y
.
o) Biểu
thức
1
2 1 2
1
2 1 2
4
5
S
y
y x x
đạ
t giá trị nhỏ nhất.
7. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm (1;– 3) và tiếp xúc với parabol (P).
8. Xét điểm
1
2;
2
E
,
tìm tọa độ điểm D (x;y) sao cho độ dài đoạn thẳng DE nhận giá trị nhỏ nhất.
9. Tìm tọa độ điểm F (x;y) thuộc parabol (P) thỏa mãn đẳng thức
1
3 1 3 1x y x x
.
10. Tì
m tọa độ điểm G (x;y) thuộc parabol (P) sao cho biểu thức
6
10 4 13
T
y x y x
nhận
giá
trị nhỏ nhất.
11. Giả sử đường thẳng
4 5y x
cắt
parabol (P) tại hai điểm H, K. Tìm tọa độ trọng tâm J của tam
giác HKO.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
79
Bài toán 84.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol
2
:
P
y x
v
à đường thẳng
2
:
9
y
nx m
.
1. Vẽ parab
ol (P).
2. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và
trong trườn
g hợp
2; 1
n m
.
3. Tì
m giá trị của m và n để đường thẳng
thỏa
mãn điều kiện
a) Song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất.
b) Vuông góc với đường thẳng
3
2 7
y
x
.
c) Cắt tr
ục tung tại điểm có tung độ nhỏ hơn – 5.
d) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tỷ lệ các cạnh là
3:8: 73
.
4. Tì
m hệ thức liên hệ giữa m và n để đường thẳng đã cho chắn trên hai trục tọa độ hai đoạn thẳng có
độ
dài bằng nhau.
5. Tìm điều kiện của m và n để
cắt
trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 và cắt parabol (P) tại đi
ểm
có hoành
độ bằng 6.
6. Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng
6y x
đồng thời tiếp xúc parabol (P).
Tìm tọa độ tiếp điểm.
7. Trong trường hợp
2
n
;
xác định các giá trị của m để (P) và đường thẳng
cắt nhau tại hai điểm
1
1 2 2
;
, ;A x y B x y
sao cho
a) A và B nằm về hai phía của trục tung.
b) Ít nhất một trong hai điểm có hoành độ dương.
c) A và B đều có hoành độ lớn hơn 0,5.
d)
1
2 1 2
6
19
x
x x x
.
e)
2 2
1 2 1 2 1 2
5 6 19
x x x x x x
.
f)
3
1
2
8
x x
.
g)
1
2
1
1
2
4 4x x
.
h)
1
2
10
y y
.
8. Xét hai điểm P (2;0), Q (0;– 4). Tìm giá trị của m để đường thẳng d đã cho cắt trục tung tại điểm R
sao cho diện tích tam giác OAR gấp 4 lần diện tích tam giác OAQ.
9. Tìm tọa độ điểm L (x;y) thuộc parabol (P) sao cho biểu thức
4
8 2 10
S x x
đạt giá tr
ị nhỏ nhất.
10. Tìm tọa độ điểm J (x;y) thuộc parabol (P) thỏa mãn đẳng thức
4 6 5 6
y x x
.
11. Tìm tọa độ các điểm K (x;y) trên parabol (P) có hoành độ gấp hai lần tung độ.
12. Tìm tọa độ các điểm T (x;y) trên parabol (P) sao cho khoảng cách từ T đến trục hoành gấp 4 lần
khoảng cách từ T đến trục tung.
13. Tìm giá trị của k để parabol (P) cắt đường thẳng
y x k
tại
hai điểm M, N và cắt trục hoành
tại
điểm T t
hỏa mãn đồng thời các điều kiện
M có hoành độ nhỏ hơn.
Tam giác MOT có diện tích bằng k.
Bài toán 85. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol
2
:
P
y x
v
à đường thẳng
:
y mx n
.
1. Vẽ parbo
l (P).
2. Tìm tọa độ giao điểm của (P) với
trong trường hợp
4; 3
m n
.
3. Tìm điều kiện của m và n sao cho đường thẳng
t
hỏa mãn điều kiện
a) Có hệ số góc lớn hơn 10.
b) Song song với đường thẳng
2
4 9
3
y x m
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
80
c) Đi qua
hai điểm (4;2) và (– 5;1).
d) Vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ IV.
e) Cắt trục tung tại điểm có tung độ nhỏ hơn
2
3
2
n
.
f) Tạo
với chiều dương trục tung một góc
60
.
4. Trong trường hợp
0
n
.
a) Tì
m m để (P) và
cắt n
hau tại điểm có tung độ bằng 9.
b) Tìm m để (P) và
cắt nhau tại hai điểm có hoành độ nhỏ hơn 3.
c) Tìm m để (P) và
cắt nhau tại hai điểm mà khoảng cách giữa hai điểm này bằng
6
.
5. Với
1
n m
.
Tìm m để (P) và
cắt nhau tại
hai điểm C, D sao cho
3
CD
.
6. Với
2
m
n
.
Hãy tìm khoảng cách lớn nhất từ điểm M (6;1) đến đường thẳng
.
7. Tì
m tọa độ điểm A (x;y) thuộc parabol (P) sao cho
5
6 4 2 2y x x
.
8. Tì
m tọa độ điểm B (x;y) thuộc parabol (P) sao cho khoảng cách từ B đến trục tung gấp 5 lần khoản
g
cách từ
B đến trục hoành.
9. Tìm tọa độ điểm L (x;y) thuộc parabol (P) sao cho biểu thức
3
3 1
4
1
x
x
x y x
.
10. Xét
hai điểm E (3;1), F (1;0). Tìm tọa độ điểm G thuộc parabol (P) sao cho tam giác EFG là tam
giác vuông tại G.
11. Giả sử đường thẳng
6 5y x
cắt parabol (P) tại hai điểm U, V. Tìm tọa độ điểm E sao cho E là
chân đường phân giác OT của tam giác OUV.
12. Xét điểm
15
3
;
4
K
. Tì
m tọa độ điểm H (x;y) thuộc (P) sao cho độ dài đoạn thẳng HK đạt giá trị nhỏ
nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
13. Tìm tất cả các điểm J (x;y) thuộc (P) thỏa mãn đẳng thức
2
2
3
3 2 4 3 2 3 2
y
x y x x
.
Bài toán 86.
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
4P y x
và đường
thẳng
: 2 1
d y mx m
; m là tham số thực.
1. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d thỏa mãn
a) Cùng với (P) đi qua điểm có hoành độ bằng 1.
b) Cắt đường thẳng
: 2 1 0
l x y
tại
một điểm thuộc trục tung.
c) Song song với đường thẳng
2
7 2 1 0
x
y m
.
d) Vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ II.
e) Cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn 4m – 5.
f) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.
g) Cắt đường phân giác góc phần tư thứ IV tại điểm Q (x;y) sao cho
2
2
2
1
2
2
T
x y
đạt
giá trị nhỏ nhất.
2. Tìm m để (P) và d cùng đi qua điểm M có hoành độ bằng
1
.
3. Trong trường hợp (P) và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt
1
1 2 2
;
, ;A x y B x y
.
a) Tì
m giá trị m để
1
2
1
1 5
6
x x
.
b) Tì
m m để
1
2
5
x
x
.
c) Tìm m đ
ể
1
2
2 1
x x
.
d) Tì
m giá trị m sao cho
1
2
3 9
x x
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
81
e) Tìm m sao cho
1
2
8
x
x
.
f) Tìm m đ
ể
1
2
2
x
y
.
g) Tì
m giá trị tham số m sao cho
1
2
1
1
5
3
3x x
.
h) Chứng minh r
ằng
1
2 1 2
7
y
y x x
.
i) Tì
m m sao
cho
2
1 2
1 5
x x
.
j
) Với giá trị nào của m th
ì
1
2
2
3 2
x
x
?
k) Xác định
m để hai điểm A, B cách đều đường thẳng
0,25
y x
.
l) Với
giá trị nào của m thì
2
2
2
1 2 1 2
2
x
x x x
đạ
t giá trị nhỏ nhất ?
m) Xác định m để A và B đều nằm trên nhánh phải của (P).
n) Biểu thức
1
2 1 2
4 1 4 1 8
S y y x x
đạt giá trị nhỏ nhất.
o) Tìm m sao cho A và B cách đều gốc tọa độ.
4. Viết phương trình đường thẳng song song với đường phân giác góc phần tư thứ III và tiếp xúc với
parabol (P).
5. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) với đường cong
4
3 2
:
7 5 2
C
y x x x x
.
6. Tính độ dài dây cung tạo bởi parabol (P) và đường thẳng
5 1y x
.
Bài toán 8
7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
P
y x
và các điểm A
(1;4), B (1;1), C (2;0). Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A và có hệ số góc k, k là tham số thực.
1. Tìm tọa độ của điểm D (x;y) trên (P) thỏa mãn điều kiện
a) D có hoành độ
2
x
.
b) D có tung độ bằng 25.
c) D có tung độ và hoành độ bằng nhau.
2. Lập phương trình đường thẳng d theo tham số k.
3. Tìm giá trị của k để đường thẳng d thỏa mãn điều kiện
a) Đi qua điểm (4;6).
b) Song song với đường thẳng
8
1 8y k x
.
c) Vu
ông góc với đường thẳng
2
3 2 0
x
y
.
d) Tạo
với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.
e) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng
1
3
(đơ
n vị diện tích).
f) Hợp với chiều dương trục tung một góc
sa
o cho
cot 10
.
4. Trong
trường hợp đường thẳng d cắt tia Ox và Oy tại hai điểm phân biệt B, C, hãy tìm giá trị nh
ỏ
nhất củ
a biểu thức
OB
OC
.
5. Kh
i
2
k
, tính khoảng cách giữa đường thẳng d và đường thẳng
2 10
y x
.
6. Chứng minh parabol (P) và đường thẳng d luôn có hai điểm chung phân biệt.
7. Tìm k để (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm
1
1 2 2
;
, ;M x y N x y
thỏ
a mãn
a) M và N cách đều hai trục tọa độ.
b)
1 2 1 2 1 2
3
6 5 48
y
y x x x x
.
c)
1
2
1
1 4
9
k
x x k
.
d) Biểu
thức
1
2
x
x
đạt giá trị
nhỏ nhất.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
82
e) Tổng cá
c tung độ của M và N đạt giá trị nhỏ nhất.
f)
2
AM
AN
(tron
g đó M có hoành độ âm; N có hoành độ dương).
8. Tìm giá trị của m để đường thẳng
1y
mx
cắt (P) tại hai điểm E và F phân biệt sao cho tam giá
c
OEF
có diện tích bằng 3.
9. Gọi l là đường thẳng đi qua C và song song với đường thẳng OB. Chứng minh rằng l cắt (P) tại hai
điểm phân biệt P, Q. Tính diện tích tam giác BPQ.
10. Tìm tọa độ điểm G (x;y) trên parabol (P) sao cho G cách đều hai điểm H (– 2;0) và K (0;4).
11. Gọi Y và Z là các giao điểm của (P) và đường thẳng
:
2
y
x
(trong
đó Y có hoành độ dương).
Tìm tọa độ điểm X thuộc (P) sao cho tam giác XYZ cân tại X.
12. Với giá trị nào của m thì parabol (P) cắt đường thẳng
:
1
d
y mx m
th
eo một dây cung có độ dài
bằng
3
?
13. Tìm tọa độ hai điểm U, V nằm trên parabol (P) thỏa mãn U và V đối xứng với nhau qua đường
thẳng
1 11
:
4
2
y
x
.
Bài toán 88. Mở
rộng và phát triển câu 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành cho tất cả các
thí sinh dự thi ban Khoa học Tự nhiên); Đề thi chính thức; Trường THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam và
THPT Chu Văn An; Thành phố Hà Nội; Năm học 2005 – 2006.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
P
y ax
và
đường thẳng chứa tham số
có dạng
2
: 2
d y x a
(vớ
i a là tham số thực dương).
1. Tìm a để đường thẳng d thỏa mãn điều kiện
a) Song song với đường thẳng
2
5y x a
.
b) Vu
ông góc với đường thẳng
3 9y ax
.
c) Cắt tr
ục tung tại điểm có tung độ lớn hơn – 9.
d) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4.
2. Gọi
là đườ
ng thẳng đi qua điểm
7
;5
S
v
à song song với Oy. Tính tan của góc tạo bởi
và d.
3. Tì
m a để parabol (P) đi qua điểm
1
;4
M
.
Tìm tọa độ giao điểm của (P) và d với a vừa tìm được.
4. Tìm điều kiện của a để parabol cắt đường thẳng d tại hai điểm A và B khác nhau. Chứng minh rằng
khi đó A và B nằm về phía bên phải trục tung.
5. Gọi hai giao điểm của (P) với d là
1
1 2 2
;
, ;A x y B x y
.
a) Tì
m giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 2 1 2
6T
x x x x a
.
b) Tì
m giá trị nhỏ nhất của các biểu thức
1
2 1 2
2
3
1
R
x
x x x
.
c) Tì
m giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 2 1 2
4
1
S
x
x x x
.
6. Xét trường hợp
1
a
.
Tìm m để parabol (P) cắt đường thẳng
2
1y m x
tại
hai điểm phân bi
ệt
có hoành
độ
1 2
,x
x
sao
cho
2
2
1 2
2
8
B
x x
đạt
giá trị lớn nhất.
7. Xét trường hợp
0,5
a
.
a) Tì
m giá trị của m để parabol (P) cắt đường thẳng
1
0
mx
y
tại hai đ
iểm phân biệt P, Q sa
o
cho ta
m giác OPQ có diện tích bằng 1,5.
b) Xét hai điểm M và N có hoành độ lần lượt là
2
và
1. Lập phương trình đường thẳng d son
g
song với (MN) và cắt (P) tại một điểm duy nhất.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
83
Bài toán 8
9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
1
:
2
P
y x
và hai điểm I
(0;2), M (m;0), m là tham số thực khác 0.
1. Tìm tọa độ điểm D (x;y) nằm trên parabol (P) sao cho
a) D có tung độ bằng 8.
b) D cách đều hai trục tọa độ.
c) Khoảng cách từ D đến trục hoành gấp 3 lần khoảng cách từ D đến trục tung.
2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm M và I theo tham số m.
3. Chứng minh rằng đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B nằm về hai phía đối với
trục hoành với mọi m khác 0.
4. Trong trường hợp (P) và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt
1 1 2 2
;
, ;A x y B x y
.
a) Tì
m m sao cho
2
1
2 1 2
4
132
x
x x x
.
b) Với giá trị nào của m thì
3
1
2
4x
x
?
c) Tìm m đ
ể
2
2
1 2
1 1 3 4 1
m m
T
x x m
đạt giá trị
nhỏ nhất.
d) Biểu thức
1 2
1
1
K
x
x
đạt giá trị nhỏ nhất.
e) Tìm m sao cho
4
2
1
2 1 2
4
1
4
x
x x x
m
.
f) Chứng minh rằng tồn tại một giao điểm có hoành độ
0
3
x
.
g) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
2
1 2
9 16
Q x x
.
h) Tìm m đ
ể
1
2
S x x m
đạ
t giá trị nhỏ nhất.
i) Chứng minh bất đẳng thức
4A
B
.
5. Gọi H
và K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và B trên trục hoành Ox. Chứng minh IHK là
tam giác vuông.
6. Giả sử đường thẳng
3
2
y x
cắ
t parabol (P) tại hai điểm U, V.
a) Tìm tọa độ điểm R trong cung parabol nhỏ
U
V
s
ao cho tam giác UVR có diện tích lớn nhất.
b) Tìm tọa độ điểm T thuộc trục hoành sao cho tổng độ dài TU + TV đạt giá trị nhỏ nhất.
7. Tìm tọa độ điểm C (x;y) thuộc parabol (P) sao cho
3
3
1
6 2 14 49 12 7
x
y x x
.
8. Vẽ
parabol (P) và đồ thị hàm số
y
x
tr
ên cùng một hệ trục tọa độ. Tìm tọa độ giao điểm hai đồ
thị bằng phép toán.
9. Tìm giá trị của m để đường thẳng
3 1
y x m
cắt trục hoành tại điểm N sao cho hai tam giác IMO
và INO thỏa mãn điều kiện
a) Có diện tích bằng nhau.
b) Đồng dạng theo tỷ số
3
k
theo thứ tự IMO – INO.
10. Tồn tại hay không hai điểm X và Y thuộc parabol (P) sao cho tam giác OXY là tam giác vuông câ
n
tại O
?
Bài toán 90. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
P
y x
v
à các điểm A
(1;4), B (–1;1).
1. Xét đường thẳng d đi qua B và có hệ số góc bằng 1. Tìm tọa độ giao điểm thứ hai của d và (P)
.
Chứng
minh tam giác OAB là tam giác vuông cân và tính diện tích tam giác này.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
84
2. Xét đườ
ng thẳng
đi qua A và có hệ số góc k. Tìm giá trị của tham số k sao cho
cắt trục tu
ng
tại
điểm có tu
ng độ lớn hơn 5.
a)
v
uông góc với đường phân giác góc phần tư thứ III.
b)
cắt (P) tại điểm có tung độ bằng 1.
c)
cắ
t (P) tại hai điểm C và D mà độ dài CD ngắn nhất.
3. Tìm tọa độ điểm E thuộc trục hoành sao cho tổng độ dài EA + EB đạt giá trị nhỏ nhất.
4. Xét đường thẳng
: 2 6
d y mx
. Trong trường hợp parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm phân
biệt có hoành độ
1
2
,x
x
.
a) Tì
m m để:
2
1
2
2
17
x
mx
.
b) Hã
y tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
1 2
1
9
2 2
S
x x
.
5. Tì
m điểm
;M
x y
thuộc parabol (P) có tọa độ thỏa mãn
2
3
x
y xy
.
6. Tính độ dài đoạn thẳng AB.
7. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABO và tính diện tích tam giác ABO.
8. Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác AOC có diện tích bằng 10.
Bài toán 91. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
2P y x
v
à đường thẳng
: 3 3 2
d y mx m
; m l
à tham số thực.
1. Vẽ parabol (P).
2. Xét hai điểm
; , 1;2
A m n n B n
. Tìm
m và n để
,
A P B d
.
3. Tì
m điểm cố định C mà đường thẳng d luôn luôn đi qua với mọi giá trị của m.
4. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d thỏa mãn điều kiện
a) Cắt trục tung tại một điểm nằm về phía trên trục hoành.
b) Tạo với hai trục tọa độ Ox, Oy một tam giác vuông có tỷ lệ giữa độ dài cạnh góc vuông nào
đó với
độ dài cạnh huyền là
3
:5
.
c) Cắt tr
ục tung tại điểm có tung độ thuộc đoạn
4
;7
.
d) Cắt đườ
ng phân giác góc phần tư thứ hai của mặt phẳng tọa độ tại điểm X (x;y) sao cho biểu
thức
2
2
4 6 1S x xy y x
đạt giá trị nhỏ nhất.
5. Chứng minh rằng parabol (P) luôn cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của tham
số m.
6. Tìm tất cả giá trị của m để (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm
1 1 2 2
;
, ;M x y N x y
thỏ
a mãn
a)
1
2 1 2
6
7
x
x x x
.
b)
1
2 1 2
1
1 2
5
x x x x
.
c)
2 2
1 2
4
x
x
.
d) M và N nằm về hai phía của trục tung.
e)
1
2
3 4x x m
.
f)
2 17
MN
.
g) Biểu
thức
1
2
K
x x
đạt giá trị nhỏ nhất.
h)
1
2 1 2 1 2
4 6 8
y y y y x x
.
i) M
và N đều có hoành độ lớn hơn 3.
j) OMN là tam giác đều.
k)
9
0
OM
N
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
85
7. Giả sử
2
2
y
x f x
.
Không tính giá trị biểu thức, chứng min
h rằng
2017
2016 2016 2015
f
f f f
.
8. Tì
m trên parabol (P) các điểm có hoành độ gấp hai lần tung độ.
9. Viết phương trình đường thẳng song song với đường phân giác góc phần tư thứ II và cắt parabol (P
)
tại điể
m có hoành độ bằng – 1. Tìm tọa độ giao điểm còn lại.
10. Viết phương trình đường thẳng song song với đường phân giác góc phần tư thứ III và tiếp xúc với
parabol (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.
11. Gọi E là điểm thuộc parabol (P) có hoành độ bằng
2
; F và G theo thứ tự là giao điểm của đường
thẳng
4
6
y
x
và (P). Biết F
có hoành độ âm, G có hoành độ dương. Vẽ hình bình hành EFGH.
a) Xác định tọa độ điểm H.
b) Điểm H có thuộc parabol (P) hay không ? Vì sao ?
Bài toán 92. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol
2
:
P
y x
và hai điểm
0
;1 , 1;3
A
B
, d là
đường thẳng đi qua B và có hệ số góc k, k là tham số thực.
1. Lập phương trình đường thẳng AB.
2. Tính diện tích của tam giác tạo bởi đường thẳng AB với hai trục tọa độ.
3. Thiết lập phương trình đường thẳng d vuông góc với đường thẳng AB và tiếp xúc với (P).
4. Chứng minh rằng qua điểm A có duy nhất một đường thẳng cắt (P) tại hai điểm phân biệt mà
khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 2.
5. Lập phương trình đường thẳng d và chứng minh (P) cắt d tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị củ
a
tha
m số k.
6. Tìm giá trị của k để đường thẳng d cắt đoạn thẳng OZ với Z (4;0).
7. Tìm tất cả các giá trị của k để (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm
1
1 2 2
;
, ;M x y N x y
thỏa mãn
a) M và N nằm khác phía đối với trục tung.
b)
1
2 1 2
5
10
x
x x x
.
c) Tung độ
điểm này gấp 16 lần tung độ điểm kia.
d)
1
2 1 2
1
1 7
8
x
x x x
.
e) Biểu
thức
3
1
2
P x x
đạt giá trị nhỏ nhất.
f)
1
2
2
3 4
x
x
.
g) M
và N đều có hoành độ lớn hơn 2.
h) Biểu thức
1
2 1 2
3
2 3 2 5
S
y y x x
đạt giá trị nhỏ nhất.
i)
1
2
4
x x
.
j
) Độ dài đoạn thẳng MN bằng
3
10
.
8. Tì
m tọa độ điểm P thuộc trục hoành sao tổng độ dài PA + PB đạt giá trị nhỏ nhất.
9. Tìm tọa độ điểm G (x;y) thuộc parabol (P) để tam giác ABG cân tại G.
10. Tìm tọa độ điểm J (x;y) thuộc parabol (P) sao cho độ dài đoạn thẳng AJ ngắn nhất.
11. Xét đường tròn
đườn
g kính AB, đường thẳng
là t
iếp tuyến đi qua O của đường tròn
.
Tìm
tọa độ tiếp điểm của
và
.
12. Giả dụ C và D
là hai điểm nằm trên (P) có hoành độ lần lượt là
1
và 3. Gọ
i F là điểm nằm trên CD
và có hoành độ bằng 1. Tìm điểm E trên parabol sao cho EF là đường phân giác của góc CED.
13. Tìm tọa độ điểm K (x;y) nằm trên parabol (P) thỏa mãn đẳng th
ức
4
3 3 4 1y x x y y x
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
86
Bài
toán 93. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
P
y x
và
đường thẳng
:
d
y ax a
; a l
à tham số thực.
1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ khi
2
a
.
2. Tìm a để (P) và d cùng đi qua điểm có hoành độ bằng 3.
3. Tìm giá trị của a để đường thẳng d thỏa mãn điều kiện
a) Song song với đường thẳng
2
:
3 2y a a x a
.
b) Vu
ông góc với đường phân giác góc phần tư thứ hai.
c) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.
d) Cắt trục tung tại điểm có tung độ nhỏ hơn 7a – 3.
e) Đồng quy với hai đường thẳng
3
2 1 0; 5 6 0
x
y x y
.
f) Cắt đườ
ng thẳng
3
1y x
tại điể
m C (x;y) thỏa mãn
2
2
6x
xy y
đạt g
iá trị nhỏ nhất.
g) Tiếp xúc với đường tròn tâm O, bán kính
3
10
R
.
h) Cắt đườ
ng tròn tâm O, bán kính
4
17
R
tại
hai điểm phân biệt.
4. Tìm tất cả các giá trị của a để d cắt (P) tại hai điểm
1
1 2 2
;
, ;M x y N x y
t
hỏa mãn điều kiện
a)
2
1
2 1 2
8
8
x
x x x a
.
b)
2
1
2
1 2
1 1
2x x a
x
x
.
c)
1
2
3 5
x x
.
d) Tung độ
điểm này gấp 4 lần điểm kia.
e)
1
2
5
x
x
.
f) M
và N đều có hoành độ nhỏ hơn 2.
g)
2
2
1 2 1 2 1 2
3
1 3 1 7
x
x x x x x
.
h) M và N nằm khác phía đối với đường thẳng
4
x
.
i)
1
2
1
1
1
x
x
.
j
)
1
2 1 2
2 3 2 3 7 33
y y x x
.
k)
2
1
3
5
x
ax a a
.
l) Biểu
thức
2
2
1 2
2
10
S
x ax a x ax a a
đạt
giá trị nhỏ nhất.
5. Tính diện tích tam giác OAB với A, B là giao điểm của parabol (P) với đường thẳng
6y
x
.
6. Viết phư
ơng trình đường thẳng đi qua điểm (0;–6) và tiếp xúc với parabol (P).
7. Tìm tọa độ điểm L (x;y) trên parabol (P) sao cho khoảng cách từ L đến trục hoành gấp hai lần
khoảng cách từ L đến trục tung.
8. Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng
2y x
v
à cắt parabol (P) tại điểm có
hoành độ bằng –1.
9. Tìm m để parabol (P) cắt đường thẳng
:
4 4 1
y
mx m
tại
hai điểm H, K sao cho
.
2
OH
OK
?
10. Xét
hình vuông (V) tâm O, độ dài cạnh bằng
2
,
hai đường chéo nằm trên hai trục tọa độ. Tìm tọ
a
độ giao điểm của parabol (P) với hình vuông (V).
11. Xác định các điểm P và Q thuộc parabol (P) sao cho OPQ là tam giác đều nhận trục Oy làm trục đố
i
xứng.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
87
Bài toán
94. Cho hai hàm số
2
9
4
y
mx m
(1) và
2
2
1
4
y
f x m x
(2); với m là tham số thực.
1. Xác định khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của hàm số (2).
2. Chứng minh rằng đồ thị hàm số (2) luôn nằm phía trên trục hoành.
3. Tìm giá trị của m thì đồ thị hai hàm số đã cho cùng đi qua điểm S (–1;2) ? Với giá trị m tìm được
,
hã
y xác định tọa độ giao điểm thứ hai của hai đồ thị đó.
4. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị hàm số (2) luôn là một parabol (P), đồng thời đồ
thị
hàm số (1) không thể đi qua đỉnh của (P).
5. Tìm giá trị của m để hàm số (1) đồng biến.
6. Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) thỏa mãn
a) Song song với đường thẳng
3
10
y
x
.
b) Vuông góc với đườn
g thẳng
1
4
3
y
x
.
c) Tạo
với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.
d) Cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn 1,75.
7. Trong trường hợp
0
m
, xét
các số
,
,a b c
thỏa
mãn điều kiện
2
013 ,
2013 1.
ab bc ca abc
a b c
Tính
20
13 2013 2013
f a b c
.
8. Trong trường hợp
0
m
, tìm tọa độ điểm D (x;y) trên đồ thị hàm số (2) thỏa mãn bất phương trình
2
2 5 2 4 4 13
y
x y x
.
Bài toán 95. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Trường THPT Chuyên Ngoại ngữ; Đại học Ngoại ngữ; Đại học Quốc gia Hà Nội; Năm học
2014 – 2015.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
P
y x
và đường thẳng chứa tham số
có dạng
2
:
3 1 2 5 2
d
y m x m m
; m l
à tham số thực.
1. Tính độ dài đoạn thẳng OX biết X nằm (P), X có hoành độ bằng –5.
2. Giả sử P, Q là các giao điểm của parabol (P) với đường thẳng
5
6
y
x
. Tìm độ dài đường cao hạ
từ
O của tam giác OPQ.
3. Xác định giá trị tham số m để đường thẳng d thỏa mãn điều kiện
a) Đi qua điểm Y nằm trên (P), Y có hoành độ bằng 1.
b) Vuông góc với đường thẳng
6 5y x
.
c) Song son
g với đường thẳng đi qua hai điểm (1;–3) và (–2;1).
d) Tạo với chiều dương trục tung một góc
60
.
e) Tạo
với hai trục tọa độ một tam giác vuông có tỷ lệ các cạnh là
4
: 7 : 65
.
f) Cắt trục hoành tại điểm hoành độ nhỏ hơn 1,5.
4. Chứng minh rằng parabol (P) và đường thẳng d luôn có giao điểm chung với mọi giá trị của m.
5. Tìm giá trị m để parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai nghiệm phân biệt có hoành độ
1
2
,x
x
thỏ
a mãn
điều kiện
1 2 1 2
2
x x x x
.
6. Tì
m tất cả các giá trị của m để d cắt (P) tại hai điểm
1
1 2 2
;
, ;M x y N x y
thỏ
a mãn điều kiện
a) Một trong các giao điểm có hoành độ bằng 3.
b)
1
2
1
1
2
x
x
.
c) Ít nhấ
t một trong hai giao điểm nằm bên trái trục tung.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
88
d)
1
2
4
5x x m
.
e) M và N đều nằm trong góc phần tư thứ nhất.
f)
1
2
2
x
x m
.
g) Tung độ
điểm này bằng bình phương tung độ điểm kia.
h)
1
2
5
x
x
.
i)
1
2 1 2
3
y
y x x
.
j
)
2
2
1 2
3
x
x
.
k)
1
2
x
x
.
l) Biểu thức
1
2 1
2
3 4T y y x
đạt giá trị
nhỏ nhất.
m)
1 2 1
3
2
x
x x
.
n)
1
2
1
3
2 4
x
x
.
o) Biểu
th
ức
2
2
1
2 1 2
2
3 4 5P x x y y
đạ
t giá trị nhỏ nhất.
p)
2
2
1
2
3
1 5 2 34x m x m m
.
7. Viết phư
ơng trình đường thẳng đi qua điểm (1;–15) và tiếp xúc với parabol (P).
8. Tìm tọa độ điểm H trên parabol (P) và điểm K trên đường thẳng
2
7
y
x
sao
cho khoảng cách
giữa H và K ngắn nhất.
9. Tìm giá trị của m để parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm
1
1 2 2
;
, ;M x y N x y
,
trong
đó hoành độ của một trong hai giao điểm gấp đôi hoành độ một trong các giao điểm của parabol (P)
với đường thẳng
2
:
4 6 2
y
x m m
.
10. Tì
m tọa độ điểm D (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức
2 3 1 1 3 2 1y x x y
.
11. Tì
m tọa độ hai điểm A, B thuộc (P) sao cho A đối xứng với B qua điểm C (2;13).
12. Xét hai điểm E (1;4) và F (3;8), I là trung điểm của đoạn thẳng EF. Tìm tọa độ điểm G thuộ
c
parabol (P) sao cho GI là phân giác của góc
EGF
.
Bài toán 96. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Khánh Hòa; Năm học 2011 – 2012; Khóa ngày 29.06.2011.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
P
y x
và
đường thẳng chứa tham số
có dạng
:
1 3 2
d
y m x m
; m l
à tham số thực.
1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ khi
2
m
.
2. Tì
m tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường phân giác góc phần tư thứ II.
3. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d khi
3
m
.
4. Xác định
giá trị của m sao cho đường thẳng d thỏa mãn điều kiện
a) Đi qua trung điểm của đoạn thẳng OX với X (2;4).
b) Song song với đường thẳng
5
3y x
.
c) Vu
ông góc với đường thẳng
2
7 2 0
x
y
.
d) Cắt đường phân giác góc phần tư thứ III tại điểm có tung độ bằng 2.
e) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tỷ lệ giữa độ dài cạnh nhỏ nhất và độ dài cạnh lớn
nhất là
1
: 5
.
f) Cắt trục tung tại điểm có tung độ nhỏ hơn – 10m.
g) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích nhỏ hơn 2,25 (đơn vị diện tích).
h) Cắt đường thẳng
2 3 1 0
x y
tại đ
iểm Y (x;y) thỏa mãn điều kiện
OM
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
89
5. Tì
m điểm cố định mà đường thẳng d luôn luôn đi qua với mọi giá trị của m, từ đó tìm giá trị m để
đường thẳng d cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất.
6. Chứng minh rằng parabol (P) luôn cắt đường thẳng d với mọi giá trị m, trong đó có ít nhất một gia
o
điểm có hoành độ dương.
7. Tìm tất cả các giá trị của m để d cắt (P) tại hai điểm
1 1 2 2
;
, ;M x y N x y
thỏ
a mãn điều kiện
a)
1 2 1 2
3
4 5
x
x x x
.
b) M
và N đều nằm trong góc phần tư thứ nhất.
c)
2 2
1 2 1 2
7
19
x
x x x m
.
d)
1
2
1 1 3
2
x
x
.
e) M
và N đều có hoành độ trong khoảng (1;5).
f)
1
2
3
x
x
.
g)
2
2
2 5
x y
.
h)
2
2
2 1 1
1 3 2 4x m x m x
.
i)
1 2
1
2
3
2x x
.
j
) Tung độ điểm này hơn tung độ điểm kia 7 đơn vị độ dài.
k)
1 2
3
4 5
x
x
.
l)
1
2 1 2
2
4
y
y x x
.
m
)
3
3
1 2
3
5
x
x
.
n) Biểu
thức
2
2
1 1 2
3
2
S
x x x
đạt giá trị lớn nhất.
o)
3
2
2
1
1
3 2 1
x
m x m m
.
8. Khi parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt
1
1 2 2
;
, ;M x y N x y
. Chứng minh bất đẳng
thức
2
2
2 1 1 2
1 3 2 1 3 2 2017
x m x m x m x m m
.
9. Tì
m tọa độ điểm D (x;y) thuộc parabol (P) sao cho tiếp tuyến của parabol tại D vuông góc vớ
i
đườn
g thẳng
1
4
3
y
x
.
10. Viết
phương trình đường thẳng song song với đường phân giác góc phần tư thứ II và cắt parabol (P
)
tại điể
m có tung độ bằng 4.
11. Tìm tọa độ điểm Z (x;y) thuộc parabol (P) thỏa mãn đẳng thức
4
4
4 5 9 4 16 8
xy
y x x
.
12. Đường thẳng
2 8y x
cắt
parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm tọa độ điểm C thuộc cun
g
parab
ol nhỏ
AB
sao
cho tam giác ABC có diện tích bằng 27 (đơn vị diện tích).
13. Tìm tọa độ điểm Q (x;y) nằm trên parabol (P) sao cho biểu thức
13
1 9 1 16
T
x x y
đạt
g
iá
trị nhỏ
nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
14. Xét điểm
1 5
;
2 4
K
.
Tìm tọa độ điểm H (x;y) trên parabol (P) sao cho độ dài đoạn thẳng HK là ngắn
nhất.
15. Xét điểm E thuộc đường thẳn
g
1
4
y
,
chứng tỏ rằng hai tiếp tuyến của parabol (P) được từ E
vuông góc với nhau.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
90
Bài
toán 97. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 2.2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Quảng Nam; Năm học 2011 – 2012; Khóa ngày 30.06.2011.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
P
y x
và
đường thẳng chứa tham số
có dạng
:
1
d
y mx m
; m là tham số thực.
1. Tìm tọa độ điểm D (x;y) nằm trên parabol (P) thỏa mãn
a) Cách đều hai gốc tọa độ.
b) Tung độ gấp 3 lần hoành độ.
c) Nằm trên đường thẳng
y x
.
d) Nằ
m trên đường cong
3
2
3 2y x x x
.
2. Xác định
giá trị của m và n để đường thẳng d thỏa mãn điều kiện
a) Song song với đường thẳng
4 9 10
y x n
.
b) Vu
ông góc với đường thẳng
2
2 4 0
y
x
.
c) Đi qua điểm K thuộc đường cong
4
2
y
x
, K
có hoành độ bằng 2.
d) Chắn trên hai trục tọa độ hai đoạn thẳng bằng nhau.
e) Cắt đoạn thẳng OH với H (0;10).
f) Cắt đường thẳng
2 3 2 0
x y
tại điểm
L (x;y) thỏa mãn
T x y xy
đạt
giá trị lớn nhất.
3. Tìm tọa độ điểm cố định mà đường thẳng d luôn luôn đi qua với mọi giá trị của m, từ đó tìm khoảng
cách lớn nhất từ gốc tọa độ đến đường thẳng d.
4. Viết phương trình đường thẳng
đi qua điểm Q (2;8) và cắt parabol (P) theo một dây cung EF có
độ dài bằng
2
5 2
.
5. Chứng
minh rằng đường thẳng d và parabol (P) luôn có điểm chung với mọi giá trị của m, trong đ
ó
có ít nhất
một giao điểm có hoành độ dương.
6. Tìm m để parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt
1
1 2 2
; , ;M x y N x y
s
ao cho
a)
1
2 1 2
1
6
2
x x x x
.
b)
1
2
1
1
5
x x
.
c) Tung độ
điểm này hơn tung độ điểm kia 10 đơn vị.
d)
1
2
1
2
1
1
2
011
x x
x
x
.
e)
2
1
2
1
3 1
x
mx m m
.
f)
1
2
1
6
x
x
.
g) M
và N nằm giữa trục hoành và đường thẳng
4
y
.
h)
1
2
1
2
4
2 3x x
.
i)
1
2
5
; 2
x
x
.
j) Biểu thức
2
2
1 2 1
4
3 5A x x x
đạt giá trị nh
ỏ nhất.
k)
1
2 1 2 1 2
2
3 2 3 5 4
y
y x x x x
.
l) Biểu
thức
1
2 1
2
3P x m x m y
đạt giá trị nhỏ nhất.
m)
2
2 3
1
2 2 1
1 1 2017x mx m x mx m m
.
n) Biểu thức
2 2
1 2
2
3
M
x x
đạ
t giá trị nhỏ nhất.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
91
Bài
toán 98. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Bắc Giang; Năm học 2001 – 2002; Ngày thi 03.07.2001.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
P
y x
và
đường thẳng chứa tham số
có dạng
:
2 1 2 5
d
y a x a
; với a là tham số thực.
1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ khi
2
a
.
Tìm tọa độ giao điểm h
ai
đồ
thị bằng phép tính.
2. Tìm tất cả các giá trị của a và b để đường thẳng d thỏa mãn điều kiện
a) Đi qua điểm Y nằm trên đường cong
3
4
y
x x
,
Y có tung độ bằng 6.
b) Song song với đường thẳng
6
10
y
x b
.
c) Vu
ông góc với đường thẳng
2
0
x
y
.
d) Cắt tr
ục tung tại điểm có tung độ lớn hơn 11.
e) Đồng quy với hai đường thẳng
6;2 3 10
x y x y
.
f) Cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho
4OA
OB
.
g) Cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho
2 2
1
1
OA OB
đạ
t giá trị nhỏ nhất.
h) Cắt đường thẳng
2 1y x
tại điể
m X (x;y) nằm trên đường tròn tâm O, bán kính
1R
.
3. Chứng
minh rằng parabol (P) và đường thẳng d luôn có điểm chung với mọi giá trị a.
4. Tìm a để parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai giao điểm nằm cùng phía đối với trục tung. Khi đó
hai giao điểm nằm trong góc phần tư nào ?
5. Tìm a để parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt
1
1 2 2
;
, ;M x y N x y
sao ch
o
a)
1 2 1 2
2
5
x
x x x
.
b) M
và N nằm khác phía đối với đường thẳng
1x
.
c)
2 2
1 2 1 2
11
7
x
x x x a
.
d)
1
2
1
1
a
x
x
.
e) Tung độ
điểm này bằng bình phương tung độ điểm kia.
f)
1
2
1
1
2
1 2 1 7
a
x
x
.
g) Biểu
thức
2
2
1 2
A
x x
đạt giá trị
nhỏ nhất.
h)
3
2
1
2
2
1 2 5 4 1
x
a x a a
.
i)
2
1
2
2
1 2 5 0
x
a x a
.
j) Biểu thức
1
2
B x x
đạ
t giá trị nhỏ nhất.
k)
1
2 1 2 1 2
3 1 3 1 5
y y y y x x
.
l)
1
2
3
1
y
y
.
m)
2
2
1 2 2 1
2
1 2 5 2 1 2 5 16
x
a x a x a x a
.
n)
1
2
x
x
.
6. Giả
sử D và E là hai giao điểm của đường thẳng
4
12
y
x
với
parabol (P), D có hoành độ nhỏ hơn.
Xét tam giác ODE với các đường cao OF, DG, EH. Tìm tọa độ tâm I của đường tròn nội tiếp tam
giác FGH.
7. Xét điểm
1
5
;
2 4
K
, tì
m tọa độ điểm T trên parabol (P) sao cho độ dài đoạn thẳng KT bằng
5
4
.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
92
Bài
toán 99. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu câu 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề
thi chính thức; Đợt 1; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Bắc Giang; Năm học 2004 – 2005; Ngày thi
01.07.2004.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
P
y x
và đường thẳng chứa tham số
có dạng
2
:
2 1
d
y mx m m
với
m là tham số thực.
1. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d thỏa mãn
a) Song song với đường thẳng
7 2 1y m x
.
b) Vu
ông góc với đườn
g thẳng
1
1
3 2
y
x
.
c) Đi
qua điểm P (3;5).
d) Cắt trục hoành tại điểm Q có hoành độ dương.
2. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d khi
1
m
.
3. Với
giá trị nào của m thì parabol (P) và đường thẳng d tiếp xúc với nhau ? Tìm tọa độ tiếp điểm với
m vừa tìm được.
4. Chứng minh rằng nếu parabol (P) cắt đường thẳng d thì giao điểm đó luôn nằm bên phải trục tung.
5. Trong trường hợp parabol (P) cắt đường thẳng tại hai điểm
1
1 2 2
; , ;M x y N x y
.
a) Tìm m thỏa mãn
1
2 1 2
5
11
x
x x x
.
b) Tì
m m sao cho
2
2
1 2 1 2
1
5
x
x x x
.
c) Tìm m để
2
2 3
1 2 2 1
2 1
x x x x m m
.
d) Tì
m giá trị m sao c
ho
1
2
1
1
2
x
x
.
e) Với
giá trị nào của m thì
2
2 2 2 3
1
2 2 1
2
1 2 1
x
mx m m x mx m m m
?
f) Tì
m m để tung độ điểm này gấp 16 lần tung độ điểm kia.
g) Tìm m để
1 2
2 1 2 1 10 1
x x m
.
h) Tì
m giá trị m sao cho
1
2
4
x
x
.
i) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai hoành độ độc lập với tham số m.
j) Tìm m sao cho
2
2
1 2
2 1 9x mx m m m
.
k) Tì
m m để
1
2 1 2 1 2
3
y y x x x x
.
l) Tìm m để hoành độ điểm này bằng 4 lần hoành độ điểm kia.
m) Tìm m để biểu thức
1 2 1 2
4
T
x x x x
đạ
t giá trị nhỏ nhất.
n) Tìm m để biểu thức
2
2
1 2 1 2
6
5
A
x x x x
n
hận giá trị nhỏ nhất.
6. Tìm tọa độ điểm J (x;y) thuộc parabol (P) sao cho J cách đều hai trục tọa độ.
7. Xét điểm A thuộc parabol (P), A có hoành độ bằng –4. Tìm tọa độ điểm B thuộc parabol (P) sao cho
tam giác AOB nhận trung điểm I của AB làm tâm đường tròn ngoại tiếp.
8. Xét điểm C (–14;1), tìm tọa độ điểm D trên parabol (P) sao cho độ dài đoạn thẳng CD ngắn nhất.
9. Xét điểm E (10;4), tìm tọa độ điểm F trên parabol (P) sao cho tam giác OEF cân tại F.
10. Tìm tọa độ điểm G (x;y) nằm trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức
3
6 3
2 2 1
2
x x
x x
y
.
11. Xét
hai điểm H và K thuộc parabol (P), H và K có hoành độ lần lượt là – 8 và 0,125. Tìm tọa đ
ộ
điểm T t
huộc trục tung sao cho bốn điểm H, K, T, O cùng thuộc một đường tròn.
12. Tìm tọa độ điểm L (x;y) thuộc parabol (P) sao cho biểu thức
4
2
2
24 6 10
S
x y x
đạt
giá trị nh
ỏ
nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
93
Bài
toán 100. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu câu 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán;
Đề thi chính thức; Đợt 2; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Bắc Giang; Năm học 2004 – 2005; Ngày thi
02.07.2004.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
P
y x
và đường thẳng chứa tham số
có dạng
:
1
d
y k x k
với k là
tham số thực.
1. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) với đường thẳng d với
5
k
.
2. Tì
m k để parabol (P) cắt đường thẳng d tại điểm có hoành độ bằng 5.
3. Tìm giá trị của tham số k để đường thẳng d thỏa mãn
a) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ lớn hơn 2.
b) Song song với đường thẳng
3
5
2 4y k x k
.
c) Cắt ha
i trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại U, V sao cho OU = 3OV.
d) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1,6.
e) Cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất.
f) Cắt đường thẳng
3 1y x
tạ
i điểm L (x;y) sao cho biểu thức
4
2
7
30
D
x x x y
đạ
t giá
trị nhỏ nhất.
4. Tìm tọa độ điểm J (x;y) thuộc parabol (P) có tung độ gấp hai lần hoành độ.
5. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm S (3;25) và cắt parabol (P) theo dây cung PQ sao cho S
là trung điểm của dây cung PQ.
6. Xét điểm A thuộc parabol (P) có hoành độ bằng
13
. Tìm tọa độ điểm B thuộc parabol (P) sao
cho tam giác AOB vuông tại B.
7. Xét điểm C thuộc parabol (P) có hoành độ bằng – 4. Tìm tọa độ điểm D thuộc parabol (P) sao ch
o
tam giác COD vuông tại O.
8. Xét điểm H thuộc nhánh trái của parabol (P), H có tung độ bằng 36.
a) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng OH.
b) Tìm tọa độ điểm K nằm trên parabol (P) sao cho tam giác OHK nhận KI là phân giác trong
của góc
OKH
.
9. Chứng
minh rằng parabol (P) và đường thẳng d với mọi giá trị của tham số k.
10. Trong trường hợp đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm
1
1 2 2
;
, ;M x y N x y
.
a) Tì
m k để M và N đều nằm trong góc phần tư thứ nhất.
b) Tìm k thỏa mãn đẳng thức
1
2
1 2
3
1x x
x x
.
c) Tì
m k để tung độ điểm này hơn tung độ điểm kia 1 đơn vị.
d) Tìm k sao ch
o
1
2
1
1
3
x
x
.
e) Hã
y tính k để
2
2
1 2 2 1
2
005
A
x x x x
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
f) Tìm k đ
ể
1
2
2
3
4
x
x
.
g) Tì
m giá trị của k đ
ể
1
2
2
1
y
x
.
h) Tì
m k để
1
2 1 2 1 2
4
T
y y y y x x
đạt giá trị nhỏ nhất.
i) Tìm k sao cho
2
2
1 2 2
1
x
k x k x
.
j) Tìm giá trị của k để biểu thức
2
2
1
2 1 2
2
3 4S x x x x
đạt
giá trị nhỏ nhất.
k) Tồn tại hay không giá trị của k để hai hoành độ đều nằm ngoài khoảng
3
; 3
2
k
?
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
94
Bài
toán 101. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu câu 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán;
Đề thi dự bị; Đợt 1; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Bắc Giang; Năm học 2004 – 2005; Ngày thi 01.07.2004.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol
2
:
P
y x
và
đường thẳng chứa tham số
có dạng
2
:
2 3
d
y mx m m
; vớ
i m là tham số thực.
1. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d thỏa mãn điều kiện
a) Đi qua điểm A thuộc (P), A có hoành độ bằng 3.
b) Song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất.
c) Vuông góc với đườn
g thẳng
1
4
2
y
x
.
d) Tạo
với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.
e) Cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn – 3.
f) Cắt đường thẳng
5 6
y x
tại đ
iểm B (x;y) sao cho biểu thức
2
7
10
S
x x y
đạt
giá
trị
nhỏ n
hất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
2. Đường thẳng
4 5y x
cắt
parabol (P) tại hai điểm phân biệt P, Q. Tìm tọa độ điểm R thuộc cung
parabol nhỏ
PQ
sao
cho tam giác PQR có diện tích lớn nhất.
3. Tìm đường thẳng đi qua điểm (1;–8) và tiếp xúc với parabol (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.
4. Tìm tọa độ hai điểm E, F trên parabol (P) sao cho E và F đối xứng nhau qua điểm (4;10).
5. Tìm tọa độ điểm P (x;y) trên parabol (P) sao cho
3
3 2 1y x x y x
.
6. Xét
điểm C thuộc parabol (P) có hoành độ bằng
2
5
.
Tìm tọa độ điểm D thuộc parabol (P) sao
cho tam giác COD vuông tại D.
7. Tìm tọa độ các giao điểm của parabol (P) với đường cong
3
2
:
2 7 9C y x x x
.
8. Xét hai điểm H và K thuộc parabol (P), H và K có hoành độ lần lượt là – 10 và 0,1. Tìm tọa độ điểm
T thuộc trục tung sao cho bốn điểm H, K, T, O cùng thuộc một đường tròn.
9. Trong trường hợp đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm
1
1 2 2
;
, ;M x y N x y
.
a) Tì
m m để M và N trùng nhau.
b) Chứng minh rằng hai điểm M và N luôn nằm trên cùng một nhánh của (P).
c) Tìm giá trị m sao cho
1
2 1 2
3
3x x x x m
.
d) Tìm m để một trong hai hoành độ giao điểm bằng 1.
e) Tìm m sao
cho
1
2
1 1 2
3
x
x
.
f) Tì
m m đ
ể
1
2
1 1 6
2 2 11
x
x
.
g) Tì
m m thỏa mãn
2
2 3
1
2
2
3 4x mx m m m
.
h) Kh
i nào thì M và N nằm khác phía đối với đường thẳng
2
x
.
i) Tì
m m sao cho
1
2
2
x
x
.
j
) Tìm tất cả giá trị m để hiệu hai hoành độ bằng 2m.
k) Tìm m đ
ể
1 2
2
x
x
.
l) Biểu
thức
2 2
1 2
10 1
S x x m
đạt giá trị
nhỏ nhất.
m) Tìm giá trị m để
1
2 1 2 1 2
4
3
y
y x x x x
.
n) Tì
m m sao cho biểu thức
2
1 1 2
2 1 2 1A x x x x
đạt giá trị
nhỏ nhất.
o) Với giá trị nào của m th
ì
2
2
1 2
2
3 9
x
mx m m m
?
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
95
Không giảm tính tổng quát, xét (P) nằm phía trên trục hoành.
Đường thẳng đi qua
;
, 0
M
a b b
so
ng song với Ox cắt trục Oy tại N (0;b), cắt parabol (P) tại
;A
b b
.
Nếu M nằ
m trong lòng parabol (P) thì
2
MN AN a b a b
.
Điều ngược lại là đúng.
Nếu M nằm phía ngoài parabol (P) thì
2
MN AN a b a b
.
Điều ngược lại là đúng.
Kết luận :
2
x
y
M nằ
m trong lòng (P) và
2
x
y
M nằ
m phía ngoài (P).
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
96
I
I
I
I
I
I
.
.
M
M
Ộ
Ộ
T
T
S
S
Ố
Ố
T
T
À
À
I
I
L
L
I
I
Ệ
Ệ
U
U
T
T
H
H
A
A
M
M
K
K
H
H
Ả
Ả
O
O
1. Bài tậ
p nâng cao và một số chuyên đề toán 8
.
B
ùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004.
2. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 9.
Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005.
3. Nâng cao và phát triển toán 8, tập 1 – tập 2.
Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004.
4. Nâng cao và phát triển toán 9, tập 1 – tập 2.
Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005.
5. Toán nâng cao Đại số 10.
Nguyễn Huy Đoan; NXB Giáo dục Việt Nam; 1999.
6. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Đại số 10.
Nguyễn Huy Đoan; Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2006.
7. Tài liệu chuyên toán: Đại số 10 – Bài tập Đại số 10.
Đoàn Quỳnh – Doãn Minh Cường – Trần Nam Dũng
– Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2010.
8. Một số chuyên đề Đại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT.
Nguyễn Văn Mậu – Nguyễn Văn Tiến và
một số tác giả; NXB Giáo dục Việt Nam; 2009.
9. Tuyển tập các bài toán hay và khó Đại số 9.
Nguyễn Đức Tấn – Đặng Đức Trọng – Nguyễn Cao Huynh
– Vũ Minh Nghĩa – Bùi Ruy Tân – Lương Anh Văn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2002.
10. Một số phương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ cấp, tập 1 – tập 3.
Phan Đức Chính – Phạm Văn Điều – Đỗ Văn Hà – Phạm Văn Hạp
–
Phạ
m Văn Hùng – Phạm Đăng Long – Nguyễn Văn Mậ
u
– Đỗ
Thanh Sơn – Lê Đình Thịnh; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội; 1997.
11. Bài giảng chuyên sâu Toán THPT: Giải toán Đại số 10.
Lê Hồng Đức – Nhóm Cự Môn; NXB Hà Nội; 2011.
12. Phương pháp giải phương trình và bất phương trình.
Nguyễn Văn Mậu; NXB Giáo dục Việt Nam; 1994.
13. Toán bồi dưỡng học sinh phổ thông trung học – quyển 1; Đại số.
Hàn Liên Hải – Phan Huy Khải – Đào Ngọc Nam – Nguyễn Đạo Phương
– Lê Tất Tôn – Đặng Quan Viễn; NXB Hà Nội; 1991.
14. Phương trình và hệ phương trình không mẫu mực.
Nguyễn Đức Tấn – Phan Ngọc Thảo; NXB Giáo dục Việt Nam; 1996.
15. Chuyên đề bồi dưỡng Toán cấp ba; Đại số.
Nguyễn Sinh Nguyên; NXB Đà Nẵng; 1997.
16. Giải toán Đại số sơ cấp (Dùng cho học sinh 12 chuyên, luyện thi đại học).
Trần Thành Minh – Vũ Thiện Căn – Võ Anh Dũng; NXB Giáo dục Việt Nam; 1995.
17. Những dạng toán điển hình trong các kỳ thi tuyển sinh Đại học và Cao đẳng; Tập 1;2;3;4.
Bùi Quang Trường; NXB Hà Nội; 2002.
18. Ôn luyện thi môn Toán THPT theo chủ đề; Tập một: Đại số và lượng giác.
Cung Thế Anh; NXB Giáo dục Việt Nam; 2011.
19. Phương pháp giải toán trọng tâm.
Phan Huy Khải; NXB Đại học Sư phạm; 2011.
20. Các bài giảng luyện thi môn Toán; Tập 2.
Đức Chính – Vũ Dương Thụy – Đào Tam – Lê Thống Nhất; NXB Giáo dục Việt Nam; 1993.
21. 500 Bài toán chọn lọc Đại số - Hình học 10.
Lê Hoành Phò; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội; 2012.
22. Tam thức bậc hai và ứng dụn
g.
L
ê Sĩ Đồng – Lê Minh Tâm; NXB Giáo dục Việt Nam; 2003.
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
97
23. Chu
yên đề Bất đẳng thức và ứng dụng trong đại
số.
N
guyễn Đức Tấn; NXB Giáo dục Việt nam; 2003.
24. 23 Chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp ; Quyển 1.
Nguyễn Văn Vĩnh – Nguyễn Đức Đồng
và một số đồng nghiệp (NKTH); NXB Giáo dục Việt Nam; 2002.
25. Phương pháp giải toán bất đẳng thức và cực trị.
Nguyễn Văn Dũng – Võ Quốc Bá Cẩn – Trần Quốc Anh; NXB ĐHQG Hà Nội; 2011.
26. Các bài giảng về bất đẳng thức Cauchy.
Nguyễn Vũ Lương – Phạm Văn Hùng – Nguyễn Ngọc Thắng; NXB ĐHQG Hà Nội; 2008.
27. Cẩm nang luyện thi Đại học Ứng dụng hàm số Giải toán Đại số và Giải tích.
Huỳnh Nguyễn Luân Lưu – Nguyễn Thị Duy An; NXB ĐHQG Hà Nội ;2014.
28. Tư duy logic tìm tòi lời giải Hệ phương trình.
Mai Xuân Vinh – Phạm Kim Chung – Phạm Chí Tuân
–
Đ
ào Văn Chung – Dương Văn Sơn ; NXB ĐHQG Hà Nội; 2015.
29. Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Trung học cơ sở, Đ
ại số.
N
guyễn Thị Thanh Thủy – Phạm Minh Phương
–
T
rần Văn Tấn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2014.
30. 9 Chuyên đề Đại số Trung học cơ sở.
Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2014.
31. Toán nâng cao Đại số và Giải tích 12.
Nguyễn Xuân Liêm – Hoàng Chính Bảo ; NXB Giáo dục Việt Nam ; 1999.
32. 15 chủ đề thường gặp trong các kỳ thi THCS và tuyển sinh lớp 10 ; Môn Toán.
Nguyễn Đức Hoàng – Nguyễn Sơn Hà ; NXB Đại học Sư phạm ; 2009.
33. Hệ phương trình và phương trình chứa căn thức.
Nguyễn Vũ Lương – Phạm Văn Hùng – Nguyễn Ngọc Thắng; NXB ĐHQG Hà Nội; 2006.
34. Tam thức bậc hai và ứng dụng.
Lê Sĩ Đồng – Lê Minh Tâm; NXB Giáo dục Việt Nam; 2003.
35. Khai thác và phát triển một số bài toán Trung học cơ sở ; Tập 1, 2.
Nguyễn Tam Sơn – Phạm Thị Lệ Hằng ; NXB Giáo dục Việt Nam ; 2012.
36. Chuyên đề Bất đẳng thức và ứng dụng trong Đại số.
Nguyễn Đức Tấn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2003.
37. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Môn Toán.
Hà Nghĩa Anh – Nguyễn Thúy Mùi – Huỳnh Kỳ Tranh;
NXB Đại học Quốc gia Hà Nội ; 2006
38. Ôn thi vào lớp 10 THPT Chuyên; Môn Toán.
Doãn Minh Cường – Trịnh Hoài Dương
–
Trần
Văn Khải – Đỗ Thanh Sơn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2013.
39. Tài liệu hướng dẫn ôn thi vào lớp 10 Môn Toán.
Phạm Văn Thạo (chủ biên) ; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội; 2013.
40. Ôn tập thi vào lớp 10 ; Môn Toán.
Phan Doãn Thoại – Trịnh Thúy Hằng – Lại Thị Thanh Hương
–
M
ai Công Mãn – Hoàng Xuân Vinh; NXB Giáo dục Việt Nam ; 2008.
41. Ôn thi vào lớp 10; Môn Toán (Dành cho học sinh tỉnh Thái Bình).
Dương Văn Thanh; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội; 2012.
42. Tài liệu chuyên toán THCS; Toán 9; Tập 1: Đại số.
Vũ Hữu Bình – Phạm Thị Bạch Ngọc – Đàm Văn Nhỉ; NXB Giáo dục Việt Nam; 2012.
43. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT Chuyên trực thuộc đại học và THPT Chuyên các tỉnh thành.
44. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT hệ đại trà các địa phương trên toàn quốc.
45. Đề thi học sinh giỏi môn toán khối 8 đến khối 12 các cấp.
46. Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng môn Toán (chính thức – dự bị) qua các thời kỳ.
47. Đề thi Olympic 30 tháng 4 Toán học khối 10, khối 11 các tỉnh miền Trung và Nam bộ (1995 – 2013).
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
98
48. Các tạp
chí toán học: Tạp chí Toán học và tuổi trẻ; Tạp chí Toán tuổi thơ 2 THCS; Tạp chí Kvant...
49. Các diễn đàn toán học: Boxmath.vn; Math.net.vn; Mathscope.org; Onluyentoan.vn; Diendantoanhoc.net
;
Math.net.vn; K2pi.net; Mathlink.ro;...
50. Một số trang mạng học tập thông qua facebook; twiter;...
Không giảm tính tổng quát, xét (P) nằm phía trên trục hoành.
Đường thẳng đi qua
; , 0
M a b b
so
ng song với Ox cắt trục Oy tại N (0;b), cắt parabol (P) tại
;A
b b
.
Nếu M nằ
m trong lòng parabol (P) thì
2
MN AN a b a b
. Điều
ngược lại là đúng.
Nếu M nằm phía ngoài parabol (P) thì
2
MN AN a b a b
. Điều n
gược lại là đúng.
Kết luận :
2
x
y
M nằ
m trong lòng (P) và
2
x
y
M nằ
m phía ngoài (P).
BÀI
TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
99
THÂN THỂ TẠI NGỤC TRUNG
TINH THẦN TẠI NGỤC NGOẠI
DỤC THÀNH ĐẠI SỰ NGHIỆP
TINH THẦN CÁNH YẾU ĐẠI
--------------------------------------------
| 1/99
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

TÀI LIỆU THAM KHẢO TOÁN HỌC PHỔ THÔNG
______________________________________________________________
--------------------------------------------------------------------------------------------
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ (HỆ TRUNG HỌC CƠ SỞ)
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS)
TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI – QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
[TÀI LIỆU PHỤC VỤ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT, LỚP 10 HỆ THPT CHUYÊN]
CHỦ ĐẠO: PARABOLA ĐƠN GIẢN VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN. 
SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI. 
VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA ĐƠN GIẢN). 
BIỆN LUẬN VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOLA. 
MỘT SỐ BÀI TOÁN GẮN KẾT YẾU TỐ HÌNH HỌC. 
BÀI TOÁN NHIỀU CÁCH GIẢI.
CREATED BY GIANG SƠN (FACEBOOK); GACMA1431988@GMAIL.COM (GMAIL)
THÀNH PHỐ THÁI BÌNH – MÙA THU 2015
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 2
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
“Non sông Việt Nam có trở nên tươi đẹp hay không, dân tộc Việt Nam có bước tới đài vinh
quang để sánh vai với các cường quốc năm châu được hay không, chính là nhờ một phần lớn ở
công học tập của các em”
(Trích thư Chủ tịch Hồ Chí Minh).
“Đánh cho để dài tóc,
Đánh cho để đen răng,
Đánh cho nó chích luân bất phản,
Đánh cho nó phiến giáp bất hoàn,
Đánh cho sử tri nam quốc anh hùng chi hữu chủ.”
Hịch ra trận – Quang Trung Hoàng đế Đại phá Thanh quân; 1789.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 3
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ (HỆ TRUNG HỌC CƠ SỞ)
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC NHẤT (ĐƯỜNG THẲNG)
TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI – QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trong khuôn khổ Toán học sơ cấp nói chung và Đại số phổ thông nói riêng, Hàm số và Đồ thị là dạng toán cơ
bản nhưng thú vị, có phạm vi trải rộng, phong phú, liên hệ chặt chẽ với nhiều bộ phận khác của toán học sơ cấp
cũng như toán học hiện đại.
Tại Việt Nam, hệ phương trình, nội dung hàm số và đồ thị là một bộ phận hữu cơ, quan trọng, được phổ biến
giảng dạy chính thức trong chương trình sách giáo khoa Toán bước đầu là lớp 7, tiếp sau là các lớp 9, 10, 11, 12
song song với các khối lượng kiến thức liên quan. Các kỹ năng đối với hàm số, đồ thị được luyện tập một cách đều
đặn, bài bản và hệ thống sẽ rất hữu ích, không chỉ trong bộ môn Toán mà còn phục vụ đắc lực cho các môn khoa
học tự nhiên khác như hóa học, vật lý, địa lý, sinh học,....Đối với chương trình Đại số lớp 9 THCS hiện hành, hàm
số và đồ thị giữ vai trò chính yếu trong Đề thi kiểm tra chất lượng học kỳ, Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT hệ đại trà
và hệ THPT Chuyên. Đối với các lớp cao hơn, nội dung này sẽ được mở rộng trở thành kiến thức chính yếu trong
chương trình Đại số - Giải tích xuyên suốt các lớp 10, 12, bao gồm hàm số bậc cao và bài toán hình học giải tích,
một bài toán mang tính phân loại cao trong kỳ thi tuyển sinh đại học – cao đẳng, kỳ thi THPT Quốc gia hàng năm,
một kỳ thi đầy cam go, kịch tính và bất ngờ, nó lại là một câu rất được quan tâm của các bạn học sinh, phụ huynh,
các thầy cô, giới chuyên môn và đông đảo bạn đọc yêu Toán.
Trong phạm vi hàm số và đồ thị, tài liệu này tác giả tập trung trình bày một lớp các bài toán khảo sát sự biến
thiên, vẽ đồ thị hàm số bậc hai đơn giản (tức là dạng parabol có đỉnh là gốc tọa độ O) hay còn gọi là đồ thị hàm số 2
y ax , vấn đề vị trí tương đối giữa parabol và đường thẳng, một số bài toán gắn kết yếu tố lượng giác, hình học
giải tích. Như đã nói ở trên, mục đích khoa học chính của tài liệu nhằm phục vụ cho quá trình dạy và học, kiểm tra,
kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT, sau nữa làm nền tảng cho tư duy hàm số, tư duy hình học giải tích ở cấp THPT mai
sau, ngoài ra còn mang tính mở rộng, đào sâu, hướng đến mong muốn bạn đọc nghiên cứu đầy đủ về đường thẳng,
tăng cường sự sáng tạo, đột phá, phát huy hơn nữa trong toán học và các ứng dụng trong hàng loạt các môn khoa học tự nhiên. I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1. Kỹ thuật nhân, chia đơn thức, đa thức, hằng đẳng thức.
2. Nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
3. Nắm vững các phương pháp giải, biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc cao.
4. Sử dụng thành thạo các ký hiệu toán học, logic (ký hiệu hội, tuyển, kéo theo, tương đương).
5. Kiến thức nền tảng về mặt phẳng tọa độ, hàm số bậc nhất, đường thẳng.
6. Kiến thức nền tảng về hệ số góc của đường thẳng, công thức độ dài, hệ thức lượng trong tam giác vuông,
công thức lượng giác, đường tròn, hàm số bậc hai parabol, phương trình nghiệm nguyên.
7. Kiến thức nền tảng về ước lượng – đánh giá, hàm số - đồ thị, bất đẳng thức – cực trị.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 4
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
II. MỘT SỐ BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH.
Bài toán 1. Cho hàm số    2 y
f x ax (a là tham số thực khác 0).  1 
1. Xét a  1, tính ff   2  f   1 .  2 
2. Với a  3 , tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số và so sánh f  2 , f  3 .
3. Tìm a để đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm A 1
 ; 2 . Vẽ đồ thị với a vừa tìm được.
4. Trong trường hợp a  1.
a) Tìm điểm M và N có hoành độ lần lượt bằng 1 và 2 nằm trên đồ thị.
b) Tìm tọa độ các giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng y  4x  3 .
c) Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y  2mx m .
d) Với giá trị nào của m thì d có phương trình y  2x  3  m cắt đồ thị hàm số trên tại hai điểm
phân biệt ? Hai điểm đó có thể thuộc cung phần tư thứ hai được hay không ? Vì sao ? 1
Bài toán 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ cho parabol (P): 2 y   x và đường 2 1
thẳng chứa tham số d : y  m   1 x
(m là tham số thực). 2
1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một mặt phẳng tọa độ trong trường hợp m  4 .
2. Tìm giá trị của m để đường thẳng d a) Đi qua điểm (4;3).
b) Song song với đường thẳng y  3mx  5 . 2
c) Vuông góc với đường thẳng y   x  7 . 3
d) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ nhỏ hơn 2.
3. Chứng tỏ đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.
4. Tính khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d.
5. Tìm giá trị của m để (P) tiếp xúc với d. Tìm tọa độ tiếp điểm.
6. Với giá trị nào của m thì (P) cắt d tại hai điểm phân biệt có hoành độ x , x thỏa mãn 1 2
a) x x  7x x . 1 2 1 2 1 1 b)   2 . x  2 x  2 1 2 c) 2 2
x x  9x x  4 . 1 2 1 2
d)  x 1 x 1  12 . 1  2 
e) Biểu thức S   2 x  4 2
x  9 đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 
7. Chứng minh rằng nếu parabol (P) cắt đường thẳng d thì luôn tồn tại một giao điểm nào đó có hoành
độ x thỏa mãn điều kiện x  1. 0 0
Bài toán 3. Mở rộng và phát triển bài 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành cho tất cả các
thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Trường THPT Chuyên Thái Bình; Thành phố Thái Bình; Tỉnh Thái
Bình; Năm học 2009 – 2010.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P): 2
y x và đường thẳng d y   m   2 : 2
1 x m m (với m là tham số thực).
1. Tìm m để đường thẳng d đi qua điểm M 2;7 .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 5
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2. Tìm m để đường thẳng d cắt trục tung tại điểm có hoành độ nhỏ hơn – 2.
3. Với giá trị nào của m thì đường thẳng d thỏa mãn
a) Song song với đường thẳng y  5mx  7 . 1
b) Vuông góc với đường thẳng y x  6 . 2
c) Song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất.
4. Chứng minh rằng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
5. Tìm các giá trị của m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x , x sao cho 1 2
a) 2x  3x  5 . 1 2 b) 2 2
x x  23 . 1 2 1 1 c)   2 . x  2 x 1 1 2 d) 3 3 x x  1 1 2
6. Tìm các giá trị của m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tung độ y , y sao cho 1 2 a) 2
y y  2m  4 . 1 2
b) y y  13 . 1 2 c) y y  6 2 m m . 1 2 
Bài toán 4. Mở rộng và phát triển bài 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi chính thức; Sở
Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Thái Bình; Năm học 2009 – 2010.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P): 2
y x và đường thẳng d: y  k  
1 x  4 (k là tham số).
1. Tìm giá trị của k sao cho
a) Đường thẳng d song song với đường thẳng y  2k  3 x  8  k . 2
b) Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng y   x  6  k . 3
c) Đường thẳng d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ lớn hơn 3.
d) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d là lớn nhất.
2. Tìm các điểm M có hoành độ bằng 4 và thuộc parabol (P).
3. Khi k  2 ; hãy tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và parabol (P).
4. Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng d luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
5. Chứng minh rằng với mọi k, luôn tồn tại một giao điểm nào đó của parabol (P) và đường thẳng d có
hoành độ x thỏa mãn điều kiện x  2 . 0 0
6. Gọi x , x là các hoành độ giao điểm của đường thẳng d và parabol (P). Tìm k sao cho 1 2
a) x x  6x x  9 . 1 2 1 2 b) 2 2
x x x x  13 . 1 2 1 2 1 1 c)   k 1 . x x 1 2
7. Gọi y , y là các tung độ giao điểm của đường thẳng d và parabol (P). 1 2
a) Tìm k sao cho y y y y . 1 2 1 2 1 1 17 b) Tìm k để   . y y 4 1 2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 6
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 5. Mở rộng và phát triển bài 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi chính thức; Sở
Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Thái Bình; Năm học 2007 – 2008.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P): 2
y x và đường thẳng d y  m   2 : 2
1 x m  2m .
Trong đó m là tham số thực, O là gốc tọa độ.
1. Tìm m để đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua gốc tọa độ O.
b) Vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ II.
c) Song song với đường thẳng y  3m  2 x m .
d) Cắt trục tung tại điểm có tung độ không vượt quá 1.
e) Đi qua điểm K nằm trên (P), K có hoành độ bằng 6.
2. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và (P) khi m  3 .
3. Tìm m sao cho (P) và d cắt nhau tại hai điểm có hoành độ x , x và tung độ y , y thỏa mãn 1 2 1 2
a) y y  4 . 1 2
b) y y  8 1 2
c) Biểu thức S y y  6 đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2
d) y  2 y  8 . 1 2 e) Biểu thức P y
y m  3 đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2
4. Tìm trên parabol (P) điểm Q (x;y) thỏa mãn 2 2
x  3xy  2 y  0 .
5. Tìm trên parabol (P) điểm M (x;y) thỏa mãn điều kiện 3y  5x  6  2x x y  3 .
6. Tồn tại hay không điểm N (x;y) thuộc parabol (P) thỏa mãn hệ thức 5x   y  3 2x 1 1  0 ?
Bài toán 6. Mở rộng và phát triển bài 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi chính thức; Sở
Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Thái Bình; Năm học 2004 – 2005.
Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P): 2
y  2x ; một đường thẳng d có hệ số góc bằng m và đi
qua điểm I 0; 2 .
1. Viết phương trình đường thẳng d.
2. Tìm m để đường thẳng d thỏa mãn  1 
a) Song song với đường thẳng y  3m x  4   .  2 
b) Vuông góc với đường thẳng y  mx  9 .
c) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 5.
d) Đi qua điểm E có hoành độ bằng 3, E thuộc (P).
e) Tạo với hai trục tọa một tam giác có diện tích không nhỏ hơn 2.
3. Chứng minh rằng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.
4. Gọi hoành độ của A và B là x , x . 1 2
a) Tìm khoảng giá trị của m để 2 x x  5x x  6 . 1 2  1 2
b) Tìm giá trị của m sao cho x  3x  4 . 1 2
c) Chứng minh rằng x x  2 . 1 2 1 1
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 P    x x . 1 2 x x 1 2
e) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q   2 x  9 2 x 1 . 1 2 
f) Chứng minh rằng ít nhất một trong hai hoành độ có giá trị tuyệt đối không vượt quá 1.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 7
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5. Gọi tung độ hai giao điểm của (P) với d là y , y . 1 2
a) Tìm m để tồn tại hệ thức 2 2
y y y y  36 . 1 2 1 2
b) Tìm tất cả các giá trị m để y  16 y . 1 2 1 1
c) Xác định m sao cho   3 . y y 1 2
6. Trong trường hợp m  1, xét điểm C (1;0). Khi đó hãy tìm tọa độ điểm D trên đường thẳng d sao
cho tổng độ dài BD OD đạt giá trị nhỏ nhất.
7. Tìm tọa độ điểm M (x;y) nằm trên (P) sao cho 2 x x   x  3 2 1 3  y  4x .
8. Tìm tọa độ điểm N (x;y) trên (P) thỏa mãn hệ thức 2 4 2 2 2
1019x 18y 1007z  30xy  6 y z  2008zx .
Bài toán 7. Mở rộng và phát triển bài III; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành cho tất cả các
thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Trường THPT Chuyên Thái Bình; Thành phố Thái Bình; Tỉnh Thái
Bình; Năm học 2005 – 2006. Cho các hàm số 2
y x (P) và y  2 m  
1 x m  2 d  (m là tham số).
1. Vẽ đồ thị (P).
2. Tìm giá trị của m sao cho
a) Đường thẳng (d) không đi qua điểm (4;1).
b) Đường thẳng (d) đi qua điểm có hoành độ bằng 1, điểm này nằm trên (P).
c) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng y   2
m  3 x m .
d) Đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ không vượt quá 0,5.
e) Đường thẳng (d) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tỷ số hai cạnh góc vuông là 1:4.
3. Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.
4. Gọi x , x là hoành độ các giao điểm của (d) và (P). 1 2
a) Tìm m sao cho x x  10x x  5 . 1 2 1 2
b) Tìm giá trị của m sao cho 2 2
x x  7m  8 . 1 2 1 1 1
c) Tìm giá trị m để    . x 1 x 1 2 1 2 d) Tìm m sao cho 2
x  2 m   2
1 x m  2  9m . 1 2
e) Hãy tìm m để biểu thức B x x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2
5. Gọi tung độ hai giao điểm của (P) với (d) là y , y . 1 2
a) Tìm m sao cho y  4 y . 1 2
b) Tìm m sao cho  y 1 y 1  3  . 1  2  1 1
c) Tìm tất cả giá trị của m để   18 . y y 1 2
d) Tìm m để biểu thức C y y y y đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 1 2
6. Tìm tọa độ các điểm M (x;y) nằm trên (P) thỏa mãn đẳng thức 4x y  5  2 2x  3 .
7. Tìm tọa độ các điểm R (x;y) trên (P) sao cho 2
x  2  6  x
x  8x  24 .
8. Tồn tại hay không điểm Q (x;y) thuộc (P) thỏa mãn  2 x   2 2 x y  2 1  4x y ?
9. Điểm N (x;y) trong mặt phẳng tọa độ được gọi là điểm nguyên khi x và y đều là các số nguyên. Giả
sử tồn tại các giá trị nguyên m sao cho (P) và d cắt nhau tại các điểm nguyên. Khi đó (P) và (d) có
thể cắt nhau tại bao nhiêu điểm nguyên là tối đa ?
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 8
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 8. Mở rộng và phát triển bài 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi chính thức; Sở
Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Thái Bình; Năm học 2003 – 2004. 1 Cho hàm số 2
y  2x có đồ thị là (P) và đường thẳng d : y  2a  2 2 x
a (a là tham số thực). 2 1. Tìm a để
a) Đường thẳng d đi qua điểm A (0; – 8).
b) Đường thẳng d song song với đường thẳng y  5a   1 x a .
c) Đường thẳng d vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ III.
d) Đường thẳng d cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn – 2.
2. Khi a thay đổi, hãy xét số giao điểm của (P) và d tùy theo giá trị của a.
3. Tìm a để (P) cắt d tại hai điểm có hoành độ x , x thỏa mãn 1 2
a) x x x x  2 . 1 2 1 2 1 1 b)   4  . x x 1 2 17 c) 2 2 x x  . 1 2 8
d)  x  2 x  2  8  9a . 1  2 
4. Gọi tung độ các giao điểm của (P) và d là y , y . 1 2 1 a) Tìm a sao cho 2
y y  16  a . 1 2 2 1 1 4 2 b) Tìm a để   . 2 y y a 1 2
c) Tìm a sao cho biểu thức S y y  5a đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2
5. Tìm trên (P) những điểm có khoảng cách đến gốc tọa độ O (0;0) bằng 3 .
6. Tồn tại hay không điểm B (x;y) nằm trên (P) thỏa mãn  2 x x   2 2015 y
y  2015   2015 ? y
7. Tìm trên parabol (P) tọa độ điểm C (x;y) thỏa mãn
x  3  5  x  8x  18 . 2
Bài toán 9. Mở rộng và phát triển bài 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi chính thức; Sở
Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Thái Bình; Năm học 2002 – 2003.
Cho hàm số y f x  x m có đồ thị là đường thẳng (d), m là tham số, O là gốc tọa độ.
1. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d:
a) Đi qua điểm A (1;2003).
b) Không đi qua điểm B (– 6;2) 1
c) Vuông góc với đường thẳng y   x  9 . m
d) Song song với đường thẳng  : x y  3  0 . 1
e) Cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn 2 m . 2
f) Tiếp xúc với đường tròn tâm O, bán kính R  2 .
g) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2. 1
h) Tiếp xúc với parabol  P 2 : y   x . 4
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 9
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2002 2003 2. Xét a   ;b
2002  2003 . Chứng minh rằng f a  f b . 2003 2002
3. Với m  4 , tìm tọa độ điểm C (x;y) trên đường thẳng d sao cho 2004 2003 y  2007  x  2004  1.
4. Xét hàm số y x 1  x  2 có đồ thị (H).
a) Vẽ đồ thị (H).
b) Biện luận theo tham số m số giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (H).
5. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d cắt parabol (P) 2
y x tại hai điểm phân biệt có hoành
độ x , x sao cho 1 2
a) x x  10x x  7m . 1 2 1 2 b) 2 2 x x  8 . 1 2 1 1 1 c)   . x  2 x  2 5 1 2
Bài toán 10. Mở rộng và phát triển bài 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi chính thức;
Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Thái Bình; Năm học 2012 – 2013.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol (P): 2
y  x và đường thẳng d : y mx  2
(m là tham số thực).
1. Tìm giá trị của m sao cho đường thẳng d thỏa mãn a) Đi qua điểm (4;11).
b) Không đi qua điểm (3;2).
c) Song song với đường thẳng y  4m  6 x  7  m . 2
d) Vuông góc với đường thẳng y   x  3k . 9
e) Đồng quy với hai đường thẳng y x; y  2x 1.
f) Cắt đường thẳng y  6x  9 tại điểm M nằm trên parabol (P).
2. Xét trường hợp m  3 .
a) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và d khi đó.
b) Tìm tọa độ điểm N (x;y) trên đường thẳng d có hoành độ x  4  15 10  6  4  15 .
3. Tìm m để d cắt (P) tại một điểm duy nhất.
4. Cho hai điểm A 2
 ; m, B 1; n . Tìm m, n để A thuộc (P) và B thuộc d.
5. Trong trường hợp parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm có tọa độ  x ; y , x ; y . 1 1   2 2 
a) Tìm giá trị m để 2 2
x x  5x x . 1 2 1 2 b) Tìm m để 2 2
x x  6x x m  4 . 1 2 1 2 1 1 7
c) Tìm gia trị của m sao cho    . x 1 x 1 8 1 2
d) Tìm m sao cho y y  2x x  8 x x . 1 2 1 2  1 2 
e) Tìm tất cả các giá trị m sao cho 2 2 y y  8 . 1 2 m  33
f) Tìm m sao cho x y x y  . 1 1 2 2 4 1 1
g) Tìm m sao cho biểu thức S  
đạt giá trị lớn nhất. y y 1 2
h) Chứng minh rằng ít nhất một trong hai hoành độ có giá trị tuyệt đối không vượt quá 2 .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 10
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng d. Tìm m để độ dài đoạn OH lớn nhất. 9 2x
7. Tìm tọa độ điểm K (x;y) trên parabol (P) sao cho 1  . 2 y 2x  9
8. Tìm m để đường thẳng d đi qua điểm T (x;y) thỏa mãn đẳng thức  2 x   2 y   2 1 4
z  9  48xyz x, y, z   .
9. Giả sử tồn tại điểm L (x;y) nằm trên parabol (P) thỏa mãn 2
x  2x  4  3 x 4  y . So sánh độ dài
đoạn thẳng OL và 19 .
10. Có bao nhiêu điểm J (x;y) nằm trên (P) thỏa mãn hệ thức 2
y  5y x  6x  0 ?
Bài toán 11. Mở rộng và phát triển bài 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi chính thức;
Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Thái Bình; Năm học 2013 – 2014. 2 x
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P): y
và đường thẳng d : y mx m  5 . 2
1. Tìm giá trị của m sao cho
a) Đường thẳng d đi qua điểm C thuộc (P), P có hoành độ bằng 2.
b) Đường thẳng d không đi qua điểm (4;– 2).
c) Đường thẳng d vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ II.  m
d) Đường thẳng d song song với đường thẳng y   2 x  6   .  3 
e) Đường thẳng d cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn 15 .
f) Đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8.
2. Xét hai điểm D (2;m), E (– 3;n). Tìm m và n để D   P, E d .
3. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và d khi m  5 .
4. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì:
a) Đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định, tìm tọa độ điểm đó.
b) Đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
5. Trong trường hợp parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm có tọa độ  x ; y , x ; y . 1 1   2 2  a) Tìm m sao cho 3
x x x x m  2 . 1 2 1 2 b) Tìm m sao cho 2 2
x x  4x x  20 . 1 2 1 2 c) Tìm m sao cho 2
x  2mx  2m 10  2 m . 1 2
d) Tìm giá trị m để y y y y 15 . 1 2 1 2
e) Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức S x x . 1 2
f) Tìm giá trị m thỏa mãn y y x x  20 . 1 2 1 2 y y
g) Tìm giá trị nguyên của m để biểu thức 1 2 T  nhận giá trị nguyên. x x 1 2
6. Tìm hai điểm phân biệt A, B thuộc parabol (P) sao cho A đối xứng với B qua điểm M (– 1;5).
7. Tìm giá trị của m để đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn tâm O, bán kính R  3 2 .
8. Tìm tọa độ điểm N (x;y) trên parabol (P) có hoành độ 4
x  17 12 2  2 .
9. Tìm tọa độ điểm S (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức 3 2 x 1 
x x  2 y 1  1 4 y 1 .
10. Điểm N (x;y) trong mặt phẳng tọa độ được gọi là điểm nguyên khi x và y đều là các số nguyên. Giả
sử tồn tại các giá trị nguyên m sao cho (P) và d cắt nhau tại các điểm nguyên. Khi đó (P) và (d) có
thể cắt nhau tại bao nhiêu điểm nguyên là tối đa ?
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 11
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol (P): 2
y x và đường thẳng
chứa tham số d : y mx 1 (m là tham số thực).
1. Với giá trị nào của m thì
a) Đường thẳng d có hướng đi lên ?
b) Đường thẳng d đi qua điểm (4;3).
c) Đường thẳng d không đi qua điểm (– 4;1).
d) Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng y  4x 10 .
e) Đường thẳng d song song với đường thẳng y  8m  3 x  6 .
f) Đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4.
2. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và d khi m  2 .
3. Chứng tỏ với mọi giá trị của m, (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt phân biệt A và B.
4. Giả sử A, B có tọa độ  x ; y , x ; y . 1 1   2 2 
a) Chứng tỏ A và B không thuộc trục Oy.
b) Tìm m sao cho x x  8x x 11. 1 2 1 2
c) Tìm m sao cho 4 2 2 x x  7x x  9 . 1 2  1 2 1 1
d) Tìm tất cả các giá trị của m để 
x x  8 . 1 2 x x 1 2
e) Tìm giá trị của m sao cho y y y y  2m . 1 2 1 2
f) Tìm giá trị của m sao cho y y  2m . 1 2
g) Tìm giá trị của m sao cho 3
y y m  2 . 1 2
h) Chứng minh rằng ít nhất một trong hai hoành độ có giá trị tuyệt đối không vượt quá 1. x x
5. Gọi x , x lần lượt là hoành độ của A và B. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2 T   . 1 2 x x 2 1
6. Tìm tọa độ điểm M (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn 3 y x y y x . 2 2 2 2 x  4 y
x  2xy  4 y
7. Tìm tọa độ điểm L (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn   x  2 y . 2 3
8. Điểm N (x;y) trong mặt phẳng tọa độ được gọi là điểm nguyên khi x và y đều là các số nguyên. Giả
sử tồn tại các giá trị nguyên m sao cho (P) và d cắt nhau tại các điểm nguyên. Khi đó (P) và (d) có
thể cắt nhau tại bao nhiêu điểm nguyên là tối đa ?
Bài toán 13. Mở rộng và phát triển bài 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi chính thức;
Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Thái Bình; Năm học 2011 – 2012.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng d : y ax  3.
1. Tìm a để đường thẳng d thỏa mãn điều kiện
a) Không đi qua điểm (2;5). a
b) Song song với đường thẳng y  1 5ax  . 2 2 a
c) Vuông góc với đường thẳng y x  4 . 8
d) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ lớn hơn 7.
e) Tạo với hai trục tọa một tam giác vuông có tỷ lệ các cạnh là 3 : 4 : 5 . 3 2
f) Tiếp xúc với đường tròn tâm O, bán kính R  . 2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 12
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2. Tìm tọa độ điểm S (x;y) trên (P) biết S có hoành độ x  5  9  4 5 .
3. Trong trường hợp a  1, vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ.
4. Chứng minh rằng (P) luôn cắt d tại hai điểm phân biệt.
5. Gọi x , x là hoành độ hai giao điểm của d và (P). 1 2
a) Tìm a sao cho 3 x x  11x x  5. 1 2  1 2 b) Tìm a sao cho 2 2
x x  4x x  9 a  2 . 1 2 1 2   1 1 a  6 c) Tìm a để   . x x 3 1 2
d) Tìm a để hoành độ điểm này gấp 5 lần hoành độ điểm kia.
e) Tìm a sao cho biểu thức 2 2
P x x  3 x x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2  1 2 
f) Tìm tất cả giá trị của a sao cho x  2x  3 . 1 2
g) Chứng minh rằng ít nhất một trong hai hoành độ có giá trị tuyệt đối không vượt quá 3 .
6. Gọi tung độ các giao điểm của (P) và d là y , y . Tìm giá trị của a sao cho 1 2 1 1 a)   1. y y 1 2
b)  y 1 y 1  5  . 1  2 
c)  y y 2   y y 2  19 . 1 2 1 2
d) Biểu thức Q   2 x  9 2
x 1 đạt giá trị lớn nhất. 1 2 
7. Tìm tọa độ điểm K (x;y) nằm trên (P) sao cho 5x  6  10  3x  2 y x  2 .
8. Điểm N (x;y) trong mặt phẳng tọa độ được gọi là điểm nguyên khi x và y đều là các số nguyên. Giả
sử tồn tại các giá trị nguyên m sao cho (P) và d cắt nhau tại các điểm nguyên. Khi đó (P) và (d) có
thể cắt nhau tại bao nhiêu điểm nguyên là tối đa ?
9. Tìm tất cả các điểm L có tọa độ (x;y) nằm trên (P) sao cho x 1  3  x  4x 2x xy 10 .
Bài toán 14. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol (P): 2
y x và đường thẳng
chứa tham số d : y  2ax  3a  5 (a là tham số thực).
1. Tìm giá trị của a để đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm K 1; 9   .
b) Song song với đường thẳng y  4x  9 . 2
c) Vuông góc với đường thẳng y   x  5k 1. 5
d) Cắt đường thẳng y  3x  2 tại điểm có hoành độ bằng 1.
e) Tạo với tia Ox một góc tù.
f) Tạo với tia Oy một góc tù.
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của a, d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
3. Gọi hoành độ hai giao điểm của (P) với d là x , x . Tìm giá trị a sao cho 1 2
a) x x  4x x  5 . 1 2 1 2
b) 2x x  0 . 1 2 1 1 c)   1 2a . x x 1 2 d) Biểu thức 2 2
S x x  3x x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 1 2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 13
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
e) x x  10 . 1 2
f) Hai giao điểm cùng nằm trong góc phần tư thứ nhất.
4. Gọi tung độ các giao điểm của (P) và d là y , y . Tìm giá trị của a sao cho 1 2
a) y y y y 15. 1 2 1 2 1 1 2 b)   . y y 5 1 2 y y c) Biểu thức 1 2 Q
đạt giá trị nhỏ nhất. 2 a
d) y y  23a  52 2 2 . 1 2
5. Với giá trị nào của a thì (P) cắt d tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung ?
6. Xác định a để (P) cắt d tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của đường thẳng x  1 ?
7. Tìm giá trị của a để đường thẳng d đồng quy với hai đường thẳng y  6x 1; y  4x  3 .
8. Tìm a sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d là lớn nhất.
9. Xét đường tròn (C) với tâm O, bán kính R  1 . Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng d cắt 2 5
đường tròn (C) theo một dây cung có độ dài l  . 5 17 1
10. Tìm tọa độ điểm K (x;y) trên parabol (P) sao cho 2 18x  2x   9 x   0 . 3 3
11. Điểm N (x;y) trong mặt phẳng tọa độ được gọi là điểm nguyên khi x và y đều là các số nguyên. Giả
sử tồn tại các giá trị nguyên m sao cho (P) và d cắt nhau tại các điểm nguyên. Khi đó (P) và (d) có
thể cắt nhau tại bao nhiêu điểm nguyên là tối đa ?
Bài toán 15. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho đường thẳng d : y  2x m và parabol  P 2 : y x .
1. Với giá trị nào của m thì đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm M 2;9 .
b) Song song với đường thẳng y  3m  2 x  4 .  3 
c) Vuông góc với đường thẳng 2 y m x  3   .  2 
d) Cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn 3m  5 .
e) Cách gốc tọa độ O một khoảng bằng 5 .
f) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 13.
2. Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m  3 .
3. Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của m, trên parabol (P) luôn có hai điểm nằm trên d.
4. Tìm m để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm Ax ; y , B x ; y sao cho 1 1   2 2 
a) x x  5x x  4 . 1 2 1 2 1 1 5 b)    . x x 6 2 2 c) 2 2
x x  8x x  24m . 1 2 1 2 x x 14 d) 1 2    . x x 5 2 1 1 1 e)   2  0 . x  3 x  3 1 2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 14
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 1 1 8 f)   . 2 y y m 1 2
g) y y y y  5 . 1 2 1 2 y y h) Biểu thức 1 2 P  
đạt giá trị nhỏ nhất. y y 2 1
i) A và B nằm về hai phía của trục tung.
5. Xác định m để parabol (P), đường thẳng d và đường thẳng y  4x  4 đồng quy tại một điểm.
6. Tìm tọa độ điểm D (x;y) nằm trên (P) thỏa mãn đẳng thức y  2  8x  8y  7  x 1.
7. Trong mặt phẳng tọa độ, xét điểm K (a;b) thỏa mãn  2
b  2a b  2a  4a  5b  7  3  4 b .
Điểm K (a;b) có nằm trên parabol (P) hay không ? Tại sao ?
Bài toán 16. Mở rộng và phát triển câu 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành cho tất cả các
thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội; Đại học Sư phạm Hà
Nội; Quận Cầu Giấy; Thủ đô Hà Nội; Năm học 2012 – 2013; Ngày thi 06.06.2012.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y  x và đường thẳng chứa tham
số d : y mx m  2 (m là tham số thực).
1. Tìm giá trị của m sao cho
a) Đường thẳng d đi qua điểm (2;– 7).
b) Đường thẳng d song song với đường thẳng y  4  5mx m .
c) Đường thẳng d vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ nhất.
d) Đường thẳng d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ lớn hơn 3 .
e) Đường thẳng d tạo với tia Oy một góc   90 .
2. Giả sử đường thẳng d cắt trục tung và trục hoành theo thứ tự tại A và B (không trùng gốc tọa độ O).
Tìm tất cả các giá trị của m để
a) Tam giác OAB có tỷ lệ độ dài các cạnh là 3:4:5.
b) Tam giác OAB có diện tích bằng 4,5. c)  OBA  60 .
d) Tam giác OAB có độ dài chiều cao kẻ từ O đạt giá trị lớn nhất.
3. Tìm tập hợp các điểm M (x;y) mà đường thẳng d không thể đi qua với mọi giá trị của m.
4. Tìm tọa độ giao điểm của (P) với d khi m  2 .
5. Chứng minh rằng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ x , x . 1 2 1 2
a) Tìm giá trị m để x x   . 1 2 x x 3 1 2
b) Tìm giá trị m để 2 2 3
x x  4  3m . 1 2 1 1 1 c) Tìm m thỏa mãn   . x  5 x  5 5 1 2
d) Tìm m để x x  20 . 1 2
e) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 S x x . 1 2
a) Tìm m để hai điểm A, B nằm cùng phía đối với trục tung.
b) Tìm m để ít nhất một điểm có hoành độ thuộc khoảng  2  ; 4 .
6. Điểm N (x;y) trong mặt phẳng tọa độ được gọi là điểm nguyên khi x và y đều là các số nguyên. Giả
sử tồn tại các giá trị nguyên m sao cho (P) và d cắt nhau tại các điểm nguyên. Khi đó (P) và (d) có
thể cắt nhau tại bao nhiêu điểm nguyên là tối đa ?
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 15
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 17. Mở rộng và phát triển câu 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành cho tất cả các
thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội; Đại học Sư phạm Hà
Nội; Quận Cầu Giấy; Thủ đô Hà Nội; Năm học 2011 – 2012.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng chứa tham số 2
d : y mx m  3 (m là tham số thực).
1. Tìm giá trị của m để đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm A thuộc (P), A có hoành độ bằng 3 .
b) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng – 2.
c) Vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ III.
d) Song song với đường thẳng đi qua hai điểm (1;4), (2;5).
e) Tạo với tia Ox một góc nhọn.
2. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x , x . 1 2
3. Khi m  1, tìm tọa độ các giao điểm M, N của đường thẳng d với parabol (P). Tính độ dài đường cao
OH của tam giác OMN (H là chân đường cao).
4. Với giá trị nào của m thì x , x tương ứng là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có 1 2 5
độ dài cạnh huyền bằng ? 2
5. Tìm m để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt Ax ; y , B x ; y sao cho 1 1   2 2 
a) x x  3x x  5  . 1 2 1 2 b) 2 2
x x  5x x  19 . 1 2 1 2 1 1 c)   0,8 . 2x 1 2x 1 1 2 d) 3 3 x x  7 . 1 2
e) y y y y  3. 1 2 1 2
f)  y y x x 10  0 . 1 2  1 2
g) Hai điểm A và B cùng nằm phía bên phải của trục tung.
6. Tồn tại hay không giá trị của m để (P) cắt d tại hai điểm A, B nằm khác phía đối với đường x  2 ? 2 a  2  a b 1
7. Trong mặt phẳng tọa độ, xét điểm K (a;b) thỏa mãn đẳng thức  . 2 3 b b 1
Điểm K (a;b) có nằm trên parabol (P) hay không ? Giải thích.
8. Tìm tọa độ điểm L (x;y) trên parabol (P) sao cho 1 x  1 x  1 y  4 .
Bài toán 18. Mở rộng và phát triển câu 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành cho tất cả các
thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội; Đại học Sư phạm Hà
Nội; Quận Cầu Giấy; Thủ đô Hà Nội; Năm học 2013 – 2014. 1 Cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng d : y  mx  (tham số m  0 ). 2 2m
1. Tìm giá trị của m để
a) Đường thẳng d đi qua điểm (0;1). 1
b) Đường thẳng d song song với đường thẳng y  2x  . 2 3
c) Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng y   x  4m . 2
d) Đường thẳng d cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn 1.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 16
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và d trong trường hợp m  1.
3. Chứng minh rằng với mỗi m  0 , d cắt (P) tại hai điểm phân biệt, đồng thời hai điểm này nằm về hai phía của trục tung.
4. Gọi Ax ; y , B x ; y là hai giao điểm của d và (P). 1 1   2 2  a) Tìm m để 2
x x  5m  4 . 1 2 b) Tìm m sao cho 2 2
x x x x  2  . 1 2 2 1
c) Tìm giá trị của m sao cho 2 2
S x x 1 đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 3
d) Xác định m sao cho 2
y y x x  3m  . 1 2 1 2 2 1 1
e) Tìm tất cả các giá trị m sao cho y y  2   . 1 2 m m
f) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
M y y . 1 2
5. Trong mặt phẳng tọa độ, xét điểm K (a;b) thỏa mãn đẳng thức 2 2 2
a 1 b b 9  c c 10  c  10 a, , b c   .
Điểm K (a;b) có nằm trên parabol (P) hay không ? Giải thích.
6. Tìm tọa độ điểm L (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn 3
2x 1  x  2 y  2x .
7. Điểm N (x;y) trong mặt phẳng tọa độ được gọi là điểm nguyên khi x và y đều là các số nguyên.
Chứng minh rằng (P) và d không thể có giao điểm là điểm nguyên.
Bài toán 19. Mở rộng và phát triển câu 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành cho tất cả các
thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội; Đại học Sư phạm Hà
Nội; Quận Cầu Giấy; Thủ đô Hà Nội; Năm học 2014 – 2015. 2 1
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng d: y   m   1 x  (với O là 3 3
gốc tọa độ, m là tham số).
1. Tìm tất cả các giá trị của m để
a) Đường thẳng d đi qua điểm (3;2). 3
b) Đường thẳng d đi qua điểm A thuộc (P), A có tung độ bằng . 3
c) Đường thẳng d song song với đường phân giác góc phần tư thứ II.
d) Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm (3;1) và (2;4).
e) Đường thẳng d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ lớn hơn 5.
f) Đường thẳng d tạo với tia Oy một góc nhọn.
2. Chứng minh rằng với mỗi giá trị của m, đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
3. Gọi x , x là hoành độ các giao điểm của (P) và d. 1 2
a) Tìm m để x x  5x x  9m . 1 2 1 2 28 b) Tìm m để 2 2
x x  6x x  . 1 2 1 2 9 1 1 2 c) Tìm m sao cho   . x  2 x  2 3 1 2 1
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
S x x x x . 1 2 1 2 3 1
e) Đặt f x 3
x  m   2
1 x x . Chứng minh đẳng thức f x   f x     x x 3 . 1 2 1 2 2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 17
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4. Tìm tọa độ điểm L (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn 2 y 1  x 2x 1  y .
5. Điểm N (x;y) trong mặt phẳng tọa độ được gọi là điểm nguyên khi x và y đều là các số nguyên. Xét
điểm nguyên N (x;y) thỏa mãn đẳng thức 2 2
9x  3y  6xy  6x  2 y  35  0 .
a) Tìm tất cả các điểm nguyên N (x;y).
b) Những điểm N (x;y) nào nằm trên parabol (P) ?
Bài toán 20. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 4; Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS; Môn Toán;
Đề thi chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Gia Lai; Năm học 2009 – 2010.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng d chứa tham
số y  2m  
1 x m  3 (m là tham số thực).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ parbol (P).
2. Tìm m để đường thẳng d thỏa mãn a) Đi qua điểm (1;– 4). 2
b) Vuông góc với đường thẳng y   x  13 . 3
c) Song song với đường thẳng y   2x  3 .
d) Cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn 5.
e) Tạo với tia Ox một góc nhọn.
f) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 0,5.
g) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tỷ lệ độ dài các cạnh là 4 : 5 : 41 .
3. Chứng minh rằng đường thẳng d luôn luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị m.
4. Gọi x , x là hoành độ các giao điểm A, B của (P) và d. Tìm giá trị của m sao cho 1 2 1
a) x x  5x x  . 1 2 1 2 2
b) 4 x x  6x x  2 . 1 2  1 2 3 c) Biểu thức 2 2
S x x
x x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 1 2 2 1 1 d)   m . x x 1 2 1 1 1 e)   . x  6 x  6 6 1 2
f) A, B nằm về hai phía của trục hoành.
g) A và B đối xứng nhau qua điểm I (2;8).
5. Tìm tất cả các giá trị m để d cắt (P) tại hai điểm A, B nằm cùng một phía đối với trục tung. Khi đó
hai điểm A, B nằm về bên trái hay bên phải trục tung ?
6. Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm E (–1;5), chắn parabol (P) theo một dây cung (X) sao
cho E là trung điểm của (X).
7. Điểm N (x;y) trong mặt phẳng tọa độ được gọi là điểm nguyên khi x và y đều là các số nguyên. Giả
sử tồn tại các giá trị nguyên m sao cho (P) và d cắt nhau tại các điểm nguyên. Khi đó (P) và (d) có
thể cắt nhau tại bao nhiêu điểm nguyên là tối đa ?
8. Tìm tọa độ điểm L (x;y) nằm trên parabol (P) khi y x  3  4x x  3 .
9. Trong mặt phẳng tọa độ, xét điểm K (a;b) với a, b thỏa mãn đẳng thức  2 a   2 2 1 b   1  a   1 b   1 ab   1 .
Điểm K (a;b) có nằm trên parabol (P) hay không ? Giải thích.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 18
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 21. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 5; Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS; Môn Toán;
Đề thi chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Gia Lai; Năm học 2009 – 2010. 1
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol  P 2 : y
x và đường thẳng d: y mx 1; m là tham số thực. 4
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ parabol (P).
2. Tìm m để đường thẳng d thỏa mãn a) Đi qua điểm (3;10).
b) Đi qua điểm A thuộc (P), A có hoành độ bằng 3 . 1
c) Song song với đường thẳng y  3  5mx  . 2 x 1
d) Vuông góc với đường thẳng y   2m . 3 2
e) Tiếp xúc với đường tròn tâm O, bán kính R  . 2
3. Chứng minh rằng với mọi m   :
a) d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.
b) Diện tích tam giác AOB không nhỏ hơn m 1 2 .
4. Gọi Ax ; y , B x ; y là hai giao điểm của d và (P). 1 1   2 2  1
a) Tìm m sao cho x x  4x x m . 1 2 1 2 2 b) Tìm m để 2 2
x x  5x x  29 . 1 2 1 2 1 1 2 c) Tìm m thỏa mãn   . 2x  3 2x  3 3 1 2 3
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
Q x x x x . 1 2  1 2  2
e) Tìm m sao cho y y y y x x  29 . 1 2 1 2 1 2 1 1 f) Tìm m sao cho   3m . y y 1 2
g) Chứng minh rằng ít nhất một trong hai điểm có giá trị tuyệt đối hoành độ không vượt quá 2. 1
5. Tìm tọa độ điểm D (x;y) thuộc parabol (P) thỏa mãn 2
x  2  4 y x  . 4 y
6. Tìm tọa độ điểm E (x;y) thuộc parabol (P) có hoành độ x thỏa mãn   a b b c c a 2 2 2   x  min        . ab bc ca a b c    
7. Điểm N (x;y) trong mặt phẳng tọa độ được gọi là điểm nguyên khi x và y đều là các số nguyên. Giả
sử tồn tại các giá trị nguyên m sao cho (P) và d cắt nhau tại các điểm nguyên. Khi đó (P) và (d) có
thể cắt nhau tại bao nhiêu điểm nguyên là tối đa ?
8. Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm L (1;12), chắn parabol (P) theo một dây cung (X) sao
cho L là trung điểm của (X).
9. Tìm tọa độ hai điểm U, V thuộc parabol (P) sao cho U và V nhận điểm I (0;4) làm tâm đối xứng.
10. Trong mặt phẳng tọa độ, xét điểm K (a;b) với a, b thỏa mãn đẳng thức 2 2
a a  4b a  5b  5 b .
Điểm K (a;b) có nằm trên parabol (P) hay không ? Giải thích.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 19
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 22. Mở rộng và phát triển câu 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành cho tất cả các
thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Trường THPT Chuyên Thái Bình; Thành phố Thái Bình; Tỉnh Thái
Bình; Năm học 2011 – 2012.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng (d): y  m  
1 x  34  m
(O là gốc tọa độ, m là tham số). 1. Vẽ parabol (P).
2. Tìm giá trị của m sao cho đường thẳng (d) thỏa mãn a) Đi qua điểm (– 5;1).
b) Đi qua điểm K thuộc (P), K có hoành độ bằng 2 . 3  x
c) Vuông góc với đường thẳng y   m . 5 2mx 1
d) Song song với đường thẳng y   2 . 3
e) Cắt trục tung tại điểm có tung độ không vượt quá 6.
f) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương.
3. Gọi M, N lần lượt là các giao điểm không trùng gốc O của (d) với trục tung và trục hoành.
a) Tìm m sao cho tam giác OMN có diện tích bằng 18.
b) Tìm m để tam giác OMN có tỷ lệ độ dài các cạnh là 4 : 7 : 65 . c) Tìm m để  OMN  30 .
d) Tìm m để tam giác OMN có độ dài chiều cao kẻ từ O đạt giá trị lớn nhất.
4. Xét hai điểm D (1;m), E (n;6). Tìm m và n để E thuộc (P) và E thuộc (d).
5. Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m  2 .
6. Chứng minh rằng, với mọi giá trị của m, (d) và (P) luôn có ít nhất một điểm chung.
7. Tìm điều kiện của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt Ax ; y , B x ; y thỏa mãn 1 1   2 2 
a) Hoành độ điểm này gấp đôi hoành độ điểm kia.
b) Hai điểm có hoành độ lớn hơn 2.
c) 2x  3x  4 . 1 2 1 1 1 d)   . x  4 x  4 5 1 2 e) Biểu thức 2 2
P x x  5x x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 1 2 f) Biểu thức 2 2
Q x x  3x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 1 g) 3
  x x  3 . 1 2
h) y y 119  y y . 1 2 1 2
i) y y  81 n n n   . 1 2  
j) Biểu thức R  2 2 2
x x x x y y đạt giá trị lớn nhất. 1 2 2 1  1 2
8. Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm L (2;5),  chắn parabol (P) theo một dây cung (Z)
sao cho L là trung điểm của (Z).
9. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt đường thẳng y  4x 1tại điểm J (x;y) sao cho biểu thức 2 2
S y  8x  7x đạt giá trị nhỏ nhất.
10. Chứng minh rằng có ba điểm K (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn 2
x  4x  5  9  x y  3x  4 .
11. Trong mặt phẳng tọa độ, xét điểm L (a;b) thỏa mãn đẳng thức 2
a  8  10  a b 18b  83 .
Điểm L có nằm trên parabol (P) hay không ? Tại sao ?
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 20
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 23. Liên hệ, kết hợp, Mở rộng và phát triển các bài toán
 Câu 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh
Thái Bình; Năm học 2006 – 2007.
 Câu 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành cho tất cả các thí sinh dự thi); Đề thi chính
thức; Trường THPT Chuyên Ngoại ngữ; Đại học Quốc gia Hà Nội; Quận Cầu Giấy; Thủ đô Hà
Nội; Năm học 2000 – 2001.
 Bài 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành cho tất cả các thí sinh dự thi); Đề thi chính
thức; Khối THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội; Đại học Sư phạm Hà Nội; Quận Cầu Giấy;
Thủ đô Hà Nội; Năm học 2009 – 2010.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : y x  2 và parabol  P 2 : y x .
1. Tìm tọa độ điểm trên đường thẳng d có hoành độ bằng 3 .
2. Tìm tọa độ điểm H (x;y) thuộc đường thẳng d sao cho biểu thức 2 2
P x  4 y đạt giá trị nhỏ nhất.
3. Xác định tọa độ hai giao điểm A và B của (d) với (P). 27
4. Cho điểm M thuộc (P) có hoành độ là m (với 1
  m  2 ). Chứng minh rằng S  . MAB 8 ( S
là diện tích của tam giác MAB). MAB
5. Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm I (0;1) và cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt M và N sao cho MN  2 10 .
6. Xét đường thẳng  : y mx 1. 5
a) Tìm m để đường thẳng  đi qua điểm L nằm trên P, L có hoành độ bằng . 2
b) Chứng minh đường thẳng  luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
c) Gọi P x ; y ,Q x ; y là các giao điểm của  và (P). 1 1   2 2 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M   y 1 y 1 . 1  2 
7. Tìm tất cả các giá trị của m để parabol (P) cắt đường cong C 2
: y  5x m tại điểm L (x;y) sao cho biểu thức 2
S y  4xy  8x  20 đạt giá trị nhỏ nhất.
8. Tìm tất cả các điểm K (x;y) thuộc parabol (P) thỏa mãn đẳng thức
y x 1  x 1  2015 x 1  x  2 . y x 1  3 5 
9. Tìm tọa độ hai điểm phân biệt U, V thuộc (P) sao cho hai điểm đó nhận L ;   làm tâm đối xứng.  2 2 
10. Tìm tọa độ hai điểm phân biệt E, F thuộc parabol (P) thỏa mãn điều kiện: Điểm I (0;3) chia trong IE 1
đoạn thẳng EF theo tỷ lệ  . IF 3
Bài toán 23. Mở rộng và phát triển bài 3; Đề thi kiểm tra chất lượng học kỳ II; Môn Toán; Lớp 9; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Thái Bình; Năm học 2010 – 2011. 1
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng 2 y  
x và đường thẳng d : y kx k  2 . 2
1. Tìm giá trị của k sao cho
a) Đường thẳng d đi qua điểm (3;1). 2
b) Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng y   x  4 . 3 1
c) Đường thẳng d song song với đường thẳng y x  2 . 2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 21
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
d) Đường thẳng d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương.
e) Đường thẳng d cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn 0,8.
f) Đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 9,5.
g) Đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tỷ lệ độ dài các cạnh là 1: 2 : 5 .
2. Tìm tọa độ điểm cố định C (x;y) mà đường thẳng d luôn đi qua với mọi giá trị của m.
3. Tìm khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d.
4. Tìm k để (P) và (d) cùng đi qua gốc tọa độ.
5. Chứng minh rằng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi k thay đổi.
6. Gọi x , x lần lượt là hoành độ các giao điểm A, B của (P) và (d). 1 2 1
a) Tìm k để x x  3x x  . 1 2 1 2 2
b) Tìm k sao cho x x  4k . 1 2 c) Tìm k sao cho 2 2
x x x x  9k 12 . 1 2 1 2 1 1 1
d) Với giá trị nào của k thì   ? x  6 x  6 6 1 2
e) Xác định k để biểu thức 2 2
x x x x đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó. 1 2 1 2
f) Tìm k để tung độ điểm này bằng 4 lần tung độ điểm kia.
g) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB. 1
7. Tìm giá trị của tham số k để đường thẳng d cắt đường thẳng y
x 1tại điểm K (x;y) sao cho biểu 2 thức 2 2
S x  3y  4x  5 y đạt giá trị nhỏ nhất.
8. Tìm giá trị của tham số k để đường thẳng d cắt đường cong 2
y x  3x 1 tại điểm L (x;y) sao cho tỷ y  2 số T
đạt giá trị nhỏ nhất. 2 x 2 3x  3 2x x 1
9. Tìm tọa độ điểm D (x;y) thuộc parabol (P) thỏa mãn đẳng thức   . x y 1 x  2 y  3 5 
10. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm I ;  
 cắt parabol (P) theo một dây cung UV sao  2 4 
cho U và V nhận I làm tâm đối xứng.  3 
11. Tìm tọa độ hai điểm M, N thuộc parabol (P) sao cho điểm Z 0;  
 chia trong đoạn thẳng MN theo  2 
tỷ lệ ZM : ZN  1: 3 .
12. Xét các điểm P và Q nằm trên parabol (P), P có hoành độ bằng – 1, Q có hoành độ bằng 2. Tìm tọa
độ điểm R nằm trên cung parabol 
PQ sao cho tam giác PQR có diện tích bằng 3.
Bài toán 24. Mở rộng và phát triển bài 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành cho tất cả các
thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Khối THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội; Đại học Sư phạm Hà
Nội; Quận Cầu Giấy; Thủ đô Hà Nội; Năm học 2007 – 2008. Cho các hàm số 2
y x , y  x  2 . 1. Vẽ đồ thị hàm số 2 y x .
2. Tìm tọa độ điểm C trên đồ thị hàm số y  x  2 biết C có hoành độ bằng 2.
3. Viết phương trình đường thẳng đi qua (3;5) đồng thời vuông góc với đường thẳng y  x  2 .
4. Xác định tọa độ các giao điểm A, B của đồ thị hai hàm số đã cho và tọa độ trung điểm I của đoạn
thẳng AB, biết rằng A có hoành độ dương.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 22
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5. Xác định tọa độ của điểm M thuộc đồ thị hàm số 2
y x sao cho tam giác AMB cân tại M.
6. Xét các điểm P và Q nằm trên parabol (P), P có hoành độ bằng – 1, Q có hoành độ bằng 2. Tìm tọa 15
độ điểm R nằm trên cung parabol 
PQ sao cho tam giác PQR có diện tích bằng . 8  1  7. Đặt   2
f x y x . Cho a là số thực thỏa mãn 2
a  4a 1  0 , tính 5 f a   . 5   a
8. Tìm tọa độ hai điểm E, F thuộc parabol 2
y x sao cho E và F đối xứng nhau qua điểm I (2;5).
9. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm K (0;8) và cắt parabol (P) theo dây cung CD sao cho
điểm K chia trong đoạn thẳng CD theo tỷ số 1:2.
10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét điểm L (a;b) thỏa mãn hệ thức
a  0, b  0, c  0  abc  1 
a bb cc a  21 a b c 
Hỏi điểm L (a;b) có thuộc parabol (P) hay không ? Tại sao ?
11. Xét các điểm U, V nằm trên parabol (P) có hoành độ lần lượt là – 2 và 4. Xét điểm T thuộc cung parabol nhỏ  UV (tức là 2
  x  4 ). Gọi U’,V’,T’ tương ứng là hình chiếu vuông góc của U, V, T T trên trục hoành.
a) Tìm tọa độ các điểm U’,V’,T’.
b) Tính diện tích các tứ giác UVV’U’, UTT’U’, TVV’T’.
c) Tìm tọa độ điểm T sao cho tam giác UVT có diện tích lớn nhất.
Bài toán 25. Mở rộng và phát triển bài 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành cho tất cả các
thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Trường THPT Chuyên Thái Bình; Thành phố Thái Bình; Tỉnh Thái
Bình; Năm học 2016 – 2017.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P): 2
y x và đường thẳng d : y  2x m  3 .
(m là tham số, m   ).
1. Tìm giá trị của m để đường thẳng d thỏa mãn a) Đi qua điểm (8;– 10).
b) Không đi qua điểm (– 3;5).
c) Song song với đường thẳng y  2x  3m  2 .
d) Vuông góc với đường thẳng 2 y  mx  5 . 1
e) Cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn . 2 1
f) Hợp thành với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1. 2
g) Tiếp xúc với đường tròn tâm O, bán kính R  . 5
2. Tìm m để parabol (P) và đường thẳng d cùng đi qua điểm có hoành độ là 1.
3. Tìm m để parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt A và B sao cho
a) Hoành độ điểm này gấp đôi hoành độ điểm kia.
b) Tung độ điểm này gấp 9 lần tung độ điểm kia.
c) Tổng bình phương hai hoành độ bằng 5.
d) Tổng nghịch đảo hai hoành độ bằng – 1.
e) Tổng bình phương hai hoành độ bằng 10.
f) Tổng bình phương hai tung độ bằng 56.
g) Tổng lập phương hai hoành độ bằng 20.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 23
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm (2;3) và tiếp xúc với parabol (P).
5. Xét các điểm U, V nằm trên parabol (P) có hoành độ lần lượt là – 2 và 4. Tìm tọa độ điểm T thuộc cung parabol 
UV sao cho tam giác UVT có diện tích bằng 27.
6. Tìm tọa độ điểm K (x;y) thuộc parabol (P) sao cho x 3x   1 
y x  2 y .
7. Trong mặt phẳng tọa độ, xét điểm L (m;n) với m và n nguyên dương sao cho 2  3  4  2.7m n n .
Có bao nhiêu điểm L nằm trên parabol (P) thỏa mãn hệ thức trên.
8. Tìm tọa độ hai điểm C, D nằm trên (P) sao cho C và D đối xứng với nhau qua điểm M (–1;10).
9. Tìm tọa độ điểm E trên parabol (P) và điểm F trên đường thẳng  : y x  2 sao cho độ dài đoạn
thẳng EF đạt giá trị nhỏ nhất.
10. Xét đồ thị hàm số 3
y x  3x  3 . Ký hiệu (C) là phần đồ thị hàm số nằm trong góc phần tư thứ nhất
của mặt phẳng tọa độ. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt (C) tại điểm J (x;y) 4 2 x y
x  3x  3x
sao cho biểu thức S   
đạt giá trị nhỏ nhất. 2 2 y x x y
Bài toán 26. Mở rộng và phát triển bài 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi chính thức;
Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Thái Bình; Năm học 2016 – 2017.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P): 2
y x và đường thẳng d y  m   2 : 2
1 x m  2m .
(m là tham số, m   ).
1. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm I (1;3).
b) Không đi qua gốc tọa độ.
c) Cắt trục tung tại điểm có tung độ nhỏ hơn 3.
d) Song song với đường thẳng y  3x  3. 1
e) Vuông góc với đường thẳng y   x  5n . 2 2
f) Đồng quy với hai đường thẳng d : y x  9; d : y  3x  7 . 1 2
2. Chứng minh rằng parabol (P) luôn cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt A, B.
3. Gọi x , x là hoành độ hai điểm A, B. 1 2 a) Tìm m sao cho 2 2
x x  6x x  2016 . 1 2 1 2
b) Tìm m để x x x x  9m  2 . 1 2 1 2 1 1 c) Tìm m thỏa mãn   0  , 25 . x x 1 2 1 1 d) Tìm m để  1  0 . x  3 x  3 1 2
e) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S  3 x x  4x x . 1 2  1 2
4. Viết phương trình tiếp tuyến của (P) biết tiếp tuyến đi qua điểm E (3;5).
5. Xét điểm G nằm trên tia Oy (G không trùng gốc tọa độ). Tồn tại bao nhiêu tiếp tuyến của parabol
(P) đi qua điểm G ?
6. Tìm tọa độ hai điểm C, D nằm trên (P) sao cho C và D nhận điểm (1;5) làm tâm đối xứng.
7. Tìm tọa độ điểm E trên parabol (P) và điểm F trên đường thẳng y x  3 sao cho độ dài đoạn thẳng
EF đạt giá trị nhỏ nhất.
8. Xét các điểm U, V nằm trên parabol (P) có hoành độ lần lượt là – 4 và 6. Tìm tọa độ điểm T thuộc cung parabol nhỏ 
UV sao cho tam giác UVT có diện tích bằng 32.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 24
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 27. Mở rộng và phát triển bài 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi chính thức;
Sở Giáo dục và Đào tạo Thủ đô Hà Nội; Năm học 2010 – 2011.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P): 2
y x và đường thẳng d: y mx 1. 1. Vẽ parabol (P).
2. Tìm giá trị của m để
a) Đường thẳng d đi qua điểm (4;1). 1
b) Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng y   x  5 . 2
c) Đường thẳng d song song với đường thẳng y  5m  2 x  5 .
d) Đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4.
e) Đường thẳng d đồng quy với hai đường thẳng y  3x  2; y  5x 1.
3. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
4. Gọi x , x là hoành độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). 1 2 a) Tìm m để 2 2
x x x x x x  3 . 1 2 2 1 1 2
b) Tìm m sao cho x x 10x x  12 . 1 2 1 2 c) Tìm m thỏa mãn 2 2
x x  8x x  13. 1 2 1 2 2 2 d) Tìm m để   5 . x 1 x 1 1 2
e) Với giá trị nào của m thì 3 3 x x  2 . 1 2
f) Với giá trị nào của m thì 2 2 x  16x . 1 2
g) Chứng minh ít nhất một trong hai giao điểm có giá trị tuyệt đối hoành độ không vượt quá 1.
5. Gọi y , y là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và (P). 1 2
a) Tìm m sao cho y y  6x x  9 . 1 2 1 2 1 1
b) Tìm giá trị của m sao cho   11  . y y 1 2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S   y 1 y  9 . 1  2 
6. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm (4;6) và tiếp xúc với (P).
7. Tìm tọa độ hai điểm C, D nằm trên parabol (P) sao cho C và D nhận điểm I (2;20) là tâm đối xứng.
8. Tìm tọa độ hai điểm E, F nằm trên parabol (P) sao cho điểm K (0;2) chia trong đoạn thẳng EF theo tỷ số 1:2.
9. Xét các điểm P và Q nằm trên parabol (P), P có hoành độ bằng – 2, Q có hoành độ bằng 4.
a) Tìm điểm R nằm trên cung parabol nhỏ 
PQ sao cho tam giác PQR có diện tích bằng 15.
b) Tìm điểm R nằm trên cung parabol nhỏ 
PQ sao cho tam giác PQR có diện tích lớn nhất.
10. Điểm N (x;y) trong mặt phẳng tọa độ được gọi là điểm nguyên khi x và y đều là các số nguyên. Giả
sử tồn tại các giá trị nguyên m sao cho (P) và d cắt nhau tại các điểm nguyên. Tìm tất cả các giao
điểm nguyên của (P) và d.
11. Xét điểm G nằm trên tia Oy, G không trùng gốc tọa độ. Chứng minh rằng không tồn tại tiếp tuyến
nào của (P) đi qua G.
12. Tìm tọa độ điểm E trên parabol (P) và điểm F trên đường thẳng y x  4 sao cho độ dài đoạn thẳng
EF đạt giá trị nhỏ nhất.
13. Tìm tất cả các điểm L (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức 4 y 12x 1 x  27 1 x .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 25
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 28. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P): 2
y ax và đường thẳng d : y bx c .
1. Tìm điều kiện của b và c sao cho
a) Đường thẳng d đi qua hai điểm M (2;3), N (4;1).
b) Đường thẳng d song song với đường thẳng 2
y b x  8c 1.
c) Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng 2 y  8  b x 10c .
d) Đường thẳng d cắt đường phân giác góc phần tư thứ nhất tại điểm có hoành độ bằng 3.
e) Đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 5.
2. Tìm giá trị của a biết parabol (P) đi qua điểm A (– 2;2).
3. Với giá trị a vừa tìm được, hãy tìm b và c sao cho
a) Đường thẳng d đi qua điểm B (0;– 2) và tiếp xúc với (P).
b) Đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là 3 và 4.
c) Đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung. 1 4. Trong trường hợp 2 a
;b c  3 . Hãy tìm b để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 2
a) A và B có tổng nghịch đảo các hoành độ bằng – 2.
b) A và B có tổng các tung độ bằng 30.
c) A và B cùng thuộc góc phần tư thứ hai.
Bài toán 29. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol (P): 2
y x và đường thẳng 2
d : y  2x m (m là tham số thực).
1. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm M 2;5 .
b) Đi qua điểm N  2 ; m 3m  .
c) Vuông góc với đường thẳng y  4  m x 8 .
d) Cắt đường phân giác góc phần tư thứ hai tại điểm có tung độ bằng 4.
2. Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d) trong trường hợp m  2 2 .
3. Chứng minh rằng đường thẳng d luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của
trục tung với mọi giá trị m khác 0.
4. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt
Ax ; y , B x ; y thỏa mãn điều kiện 1 1   2 2 
a) x x  6x x 10 . 1 2 1 2 1 1 b)   2  m . x x 1 2
c)  x  5 x  5  y y . 1  2  1 2
d) y y y y  4 . 1 2 1 2
e)  y  2 y  2 4  3m  4 . 1 2
5. Tồn tại hay không tiếp tuyến của (P) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm K (3;2).  5 17 
6. Xác định tọa độ hai điểm C, D nằm trên parabol (P) sao cho C và D nhận điểm I ;   là tâm đối  2 2  xứng.
7. Tìm tọa độ hai điểm E, F nằm trên parabol (P) sao cho điểm T (3;13) chia trong đoạn thẳng EF theo tỷ số 2:3.
8. Tìm tọa độ điểm L (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn 3 3
x  7 y 11x  6  x 12 y  5x  3  18 y  2x 13.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 26
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 30. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho ba điểm A 3;6, B1;0,C 2;8.
Điểm A nằm trên parabol (P) có phương trình 2
y ax ; a là tham số thực.
1. Xác định a và vẽ (P) với a tìm được.
2. Giả sử d là đường thẳng đi qua hai điểm B và C.
a) Lập phương trình đường thẳng d.
b) Tính diện tích của tam giác OBC.
c) Xét vị trí tương đối giữa thẳng d và parabol (P).
d) Lập phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ và song song với d.
3. Tồn tại hay không tiếp tuyến của (P) mà tiếp tuyến đó đi qua C ?
4. Tìm m để parabol (P) cắt đường thẳng y  2x m tại hai điểm H x ; y , K x ; y thỏa mãn điều kiện 1 1   2 2 
a) Hai điểm đều có hoành độ lớn hơn 1.
b) Hai điểm đều có hoành độ nhỏ hơn 2. x x 4 c) 1 2   x x . 1 2 2 m x x d) 1 2   6 . x  3 x  3 2 1 1 1 e)   1 . x  4 x  4 1 2
f) x x  5 . 1 2 g) 2 2 2
x x  6x x m 1 . 1 2 1 2
h)  y 1 y 1  1. 1  2 
i) Biểu thức S   y  2 y  2  3m  7 đạt giá trị nhỏ nhất. 1  2 
j) Độ dài đoạn thẳng HK bằng 2 5 . 7
5. Giả sử M và N là các giao điểm của parabol (P) và đường thẳng  : y
x  3 . Tính diện tích của 2 tam giác OMN.
6. Thiết lập đường thẳng đi qua điểm T (5;41) sao cho đường thẳng này cắt parabol (P) tại hai điểm
phân biệt I, J trong đó T là trung điểm đoạn thẳng IJ.
Bài toán 31. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d : y m  2x và parabol  P 2 : y x . 1. Vẽ parabol (P).
2. Tìm giá trị của m để đường thẳng d song song với đường thẳng 2
y  3m  2x .
3. Tìm giá trị của m để đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4,5.
4. Tìm giá trị của m để đường thẳng d cắt đường thẳng y  2
x  9 tại điểm có tung độ bằng 11.
5. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d đồng quy với hai đường thẳng sau
d : 3x  2 y  6;
d : 6x  7 y  1. 1 2
6. Trong trường hợp m  3 :
a) Xác định tọa độ các giao điểm A, B của (P) và d. Tính độ dài đoạn thẳng AB.
b) Lập phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB.
7. Tìm m để (P) và d tiếp xúc nhau. Tìm tọa độ tiếp điểm.
8. Tìm m để (P) và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt H x ; y , K x ; y thỏa mãn điều kiện 1 1   2 2  1 1 a)   7 . x  4 x  4 1 2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 27
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ x x b) 1 2   3 . x  3 x  3 2 1 x x c) 2 1   9 . x x 1 2 d) 2 2
x x  16x x  9m . 1 2 1 2 1
e) x x   . 1 2 3
f) y y  6 y y  3. 1 2 1 2 1 1 g)   13 . y y 1 2
h)  y  5 y  5  5y y  7 . 1  2  1 2 i)
y y  2 2 . 1 2
9. Giả sử M và N là hai điểm nằm trên (P) có hoành độ lần lượt là – 2 và 3. Tính diện tích tam giác OMN.
10. Xác định tọa độ hai điểm H, K trên parabol (P) sao cho H và K đối xứng nhau qua điểm E (2;5).
11. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm G (3;13) cắt parabol (P) tại hai điểm U, V sao cho G là
trung điểm của đoạn thẳng UV. Tính diện tích tam giác VUO.
12. Xác định tất cả các giá trị m để (P) cắt d tại hai điểm phân biệt P và Q sao cho độ dài đoạn thẳng PQ nhỏ nhất.
Bài toán 32. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y x và các
đường thẳng d : y  2x  3;  : y  2mx  3m  2 ; m là tham số thực.
1. Giả sử M và N là hai điểm nằm trên d có hoành độ lần lượt là 2 và 4. Tính độ dài đoạn thẳng MN.
2. Tính diện tích của tam giác tạo bởi đường thẳng d với hai trục tọa độ.
3. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d.
4. Với giá trị nào của m thì đường thẳng d:
a) Vuông góc với đường thẳng l : y mx  3m  2 .
b) Song song với đường thẳng y   2
m  2 x  9 .
c) Cắt đường thẳng y  4x m tại điểm có tung độ bằng 2.
d) Cắt đường thẳng  tại điểm có hoành độ bằng 4.
e) Đồng quy với hai đường thẳng , 5x  3y 1  0 .
5. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm S (1;4) và song song với d.
6. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm G (2;5) và vuông góc với d.
7. Chứng minh rằng d và (P) có hai điểm chung phân biệt A và B. Tìm tọa độ hai giao điểm A, B và
diện tích tam giác OAB.
8. Tìm giá trị của m để parabol (P) cắt đường thẳng  tại hai điểm H x ; y , K x ; y sao cho 1 1   2 2  a) 2 2
x x x x  4 . 1 2 1 2
b) Hai giao điểm đều có hoành độ dương.
c) Hai giao điểm nằm khác phía đối với trục tung.
d) Hai giao điểm đều có hoành độ lớn hơn 1.
e) x  5  x . 1 2
f) H và K nằm khác phía đối với đường thẳng x  4 . 1 1 2 g)   . x x 5 1 2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 28
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 1 1 h) 2   2m . 2x  3 2x  3 1 2
i) 3x  53x  5 2 2  8x x  223 . 1 2 1 2
j)  y  3 y  3  10 . 1  2  1 1 74 k)   . y y 169 1 2 l)
y y  3y y  4x x . 1 2 1 2 1 2
9. Gọi J là điểm nằm trên d, J có hoành độ bằng 5. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm J và
tiếp xúc với parabol (P). Tìm tọa độ tiếp điểm. y
10. Tìm tọa độ điểm L (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn x  4 7  x  4 x 1  7  x x   1  . 2 x
11. Giả sử M và N là hai điểm nằm trên (P) có hoành độ lần lượt là 1 và 5. Tính diện tích của tam giác OMN.
12. Giả sử U và V là hai điểm nằm trên (P) có hoành độ lần lượt là – 1 và 3.
a) Tìm tọa độ điểm R thuộc cung parabol nhỏ 
UV sao cho tam giác UVR có diện tích bằng 2.
b) Tìm tọa độ điểm R thuộc cung parabol nhỏ 
UV sao cho tam giác UVR có diện tích lớn nhất.
c) Tìm tọa độ điểm R thuộc cung parabol nhỏ 
UV sao cho khoảng cách từ R đến đường thẳng
UV đạt giá trị lớn nhất.
14. Điểm E (x;y) trong mặt phẳng tọa độ được gọi là điểm nguyên khi x và y đều là các số nguyên. Giả
sử tồn tại các giá trị nguyên m sao cho (P) và  cắt nhau tại các điểm nguyên. Tìm tất cả các giao
điểm nguyên của (P) và  .
Bài toán 33. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho đường thẳng d : y  2x m 1và 1 parabol  P 2 : y
x (m là tham số thực). 2
1. Tìm giá trị của tham số m để:
a) Đường thẳng d đi qua điểm Z (–1;3).
b) Đường thẳng d cắt đường phân giác góc phần tư thứ II tại điểm có tung độ bằng 9.
c) Đường thẳng d song song với đường thẳng 2
 : y  2x  5m 1.
d) Đường thẳng d cắt đoạn thẳng UV với U (4;0), V (12;0).
e) Đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 0,25m. 3
f) Đường thẳng d cắt đường tròn (C) tâm O, bán kính R
tại hai điểm phân biệt. 5
2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm (5;2) và tiếp xúc với parabol (P).
3. Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) trong trường hợp m  1.
4. Tìm giá trị của m để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt Ax ; y , B x ; y sao cho 1 1   2 2 
a) x x  6  x x  6  19 . 1  2  2  1 
b) x 4x x x 5x x  19 . 1  2 1  2  2 1 
c) x x  7 . 1 2 1 1 d)   8 . x  8 x  8 1 2 e) 2 2
x x  12m  4 . 1 2 f) x x y y  48  0 . 1 2  1 2 
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 29
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
g)  y  5 y  5  9x x  8y y . 1  2  1 2 1 2 h) 6 2 2 x x
 7x x y y  7 . 1 2  1 2 1 2 i) 2 2 y y  8 . 1 2
j) A và B đối xứng với nhau qua điểm C (2;2,5).
k) Độ dài đoạn thẳng AB bằng 2 5 . 3
5. Giả sử đường thẳng y
x 1cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt X, Y. Tính diện tích của tam 2 giác OXY. 3
6. Giả sử đường thẳng y x  cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt M, N. Tìm tọa độ điểm Q trên 2 cung parabol nhỏ 
MN sao cho diện tích tam giác MQN đạt giá trị lớn nhất.
7. Tìm tọa độ điểm E trên parabol (P) sao cho khoảng cách từ điểm E đến đường thẳng x y  2  0 đạt giá trị nhỏ nhất.
8. Tìm tọa độ điểm H trên parabol (P) và điểm K trên đường thẳng x y  5  0 sao cho độ dài đoạn
thẳng HK đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài toán 34. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng
d đi qua điểm M 1; 2 , d có hệ số góc k khác 0. 1. Vẽ parabol (P).
2. Lập phương trình đường thẳng d theo tham số k.
3. Tìm giá trị của tham số k sao cho
a) Đường thẳng d đi qua điểm S 2;9 .
b) Đường thẳng d cắt đường thẳng y  2x tại điểm có hoành độ bằng 2.
c) Đường thẳng d hợp với tia Ox một góc nhọn.
d) Đường thẳng d cắt hai trục tọa độ tại hai điểm P và Q sao cho tam giác OPQ vuông cân.
4. Chứng minh rằng với mọi giá trị k khác 0, đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.
5. Gọi x , x theo thứ tự là hoành độ của A và B. 1 2
a) Chứng tỏ rằng: x x x x  2 . 1 2 1 2
b) Tìm k sao cho 3x  2x  1 . 1 2
c) Tìm k để các hoành độ đều lớn hơn 2.
d) Tìm k để A và B đều nằm phía bên phải trục tung. e) Tìm k sao cho 2 2
S x x  6x x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 1 2 1 1 7 f) Tìm k sao cho   . x  5 x  5 11x x 1 2 1 2 g) Tìm k để 2 2
x x  7x x  9k  2 . 1 2 1 2 h) Tìm k để 2 2
x x 10x x  3x  2 3x  2 . 1 2 1 2  1  2 
i) Tìm k để độ dài đoạn thẳng AB bằng 2 5 .
6. Gọi y , y theo thứ tự là tung độ của A và B. Tìm k để 1 2 a) 2 2
y y  16 . 1 2
b) y y  28  10 y y . 1 2 1 2
c)  y  6 y  6  5  0 . 1  2 
d) S y y y y đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 1 2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 30
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
7. Giả sử M và N là các điểm nằm trên parabol có hoành độ lần lượt là – 1 và 5.
a) Tính diện tích tam giác OMN.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (P) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng MN.
c) Tìm tọa độ điểm Q trên cung parabol nhỏ 
MN sao cho độ dài đường cao hạ tự Q của tam giác
MQN đạt giá trị lớn nhất.
8. Tìm tọa độ điểm Z trên (P) để độ dài đoạn thẳng ZT nhỏ nhất, trong đó T (1;0).
9. Giả sử H và K là các điểm nằm trên parabol có hoành độ lần lượt là 1 và 5. Tính diện tích của tam giác OHK.
10. Tìm điểm J thuộc (P) sao cho tiếp tuyến của (P) tại J song song với đường thẳng x y  6  0 .
11. Tìm tất cả các điểm L (x;y) trên (P) thỏa mãn đẳng thức 4x y  2  7 3x  2 .
Bài toán 35. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng 2
d : y mx m  5 ; m là tham số thực.
1. Tìm giá trị của tham số m để
a) Đường thẳng d song song với đường thẳng 3
y m x 10 .
b) Đường thẳng d vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ II.
c) Đường thẳng d đi qua điểm M thuộc (P) có hoành độ bằng 2.
d) Đường thẳng d có hướng đi lên và tạo với trục Ox một góc   45 .
e) Parabol (P) và đường thẳng d tiếp xúc nhau.
2. Tìm giá trị của m để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt Ax ; y , B x ; y sao cho 1 1   2 2  1 1 a)   6 . x x 1 2 b) 2 2
x x  5x x 11. 1 2 1 2 c) 6 2 2 x xx x  13 . 1 2  1 2
d) A và B nằm phía bên phải đường thẳng x  2 .
e) 2x  3x  4 . 1 2
f) 7x  2x  3 . 1 2
g) x x  5 . 1 2
h) x x  10 . 1 2 i) 2 2 3
x mx m  5  4m . 1 2
j) y y  10 . 1 2
k) y y  6m . 1 2
l) y y 19x x y y  61 . 1 2 1 2 1 2
3. Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để (P) cắt d tại hai điểm phân biệt và một trong hai điểm đó có tọa độ là số nguyên.
4. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm K (0;– 4) và tiếp xúc với parabol (P).
5. Xét điểm I (0;1), tìm tọa độ điểm L trên parabol (P) sao cho độ dài đoạn thẳng LI ngắn nhất.
6. Giả sử điểm E di động trên parabol (P). Tìm tập hợp (quỹ tích) trung điểm F của đoạn thẳng OE.
7. Giả sử M và N là các điểm nằm trên parabol có hoành độ lần lượt là – 1 và 3. Tìm tọa độ điểm Q trên cung parabol nhỏ 
MN sao cho tam giác MQN có diện tích lớn nhất.
8. Tồn tại hay không ba điểm X, Y, Z trên parabol (P) thỏa mãn (XYZ) là tam giác đều ?
9. Trên parabol (P) lấy ba điểm có hoành độ lần lượt a, , b c thỏa mãn 2 2 2
a b b c c a .
Tính giá trị của biểu thức S  a b  
1 b c  
1 c a   1 .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 31
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 36. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng
chứa tham số:  y   k   2 : 2
1 x k 1 . 1. Vẽ parabol (P).
2. Tìm các điểm A và B thuộc parabol (P) có hoành độ lần lượt là 1 và 2.
3. Tìm giá trị của tham số k để:
a) Đường thẳng  đi qua gốc tọa độ.
b) Đường thẳng  không đi qua điểm (– 1;6).
c) Đường thẳng  song song với đường phân giác góc phần tư thứ II.
d) Đường thẳng  cắt đường thẳng y  5x  3tại điểm hoành độ bằng 1.
e) Đường thẳng  cắt đường thẳng y  4 tại điểm có hoành độ âm.
f) Đường thẳng  có hướng đi lên và hợp với trục hoành một góc   60 .
4. Xác định k để đường thẳng  và parabol (P) tiếp xúc nhau. Tìm tọa độ tiếp điểm.
5. Xác định k để parabol (P) cắt đường thẳng  tại hai điểm có hoành độ Ax ; y , B x ; y sao cho 1 1   2 2 
a) x x  3. 1 2 1 1 b)   10 . x x 1 2
c) 3x x  24 . 1 2
d) Hai giao điểm nằm về hai phía của trục tung. 1 1 e)   5 . x  4 x  4 1 2
f) x x  13 . 1 2
g) Hai giao điểm nằm khác phía đối với đường thẳng x  2 .
h)  x x 2  13 x x y y . 1 2  1 2  1 2
i) x  0  x ; x x . 1 2 2 1
j) y y  10 y y  9 . 1 2 1 2
k) y y  5y y  9x x  9 . 1 2 1 2 1 2 l) 2 2 y y  81. 1 2 m) 2
x  2k   2
1 x k y y 1. 1 2 1 2
6. Parabol (P) cắt đường thẳng y  3x  2 tại hai điểm phân biệt I, J. Tính diện tích tam giác OJI.  11 73 
7. Tìm tọa độ hai điểm C, D trên parabol (P) sao cho C, D nhận điểm Q ;   làm tâm đối xứng.  2 2   3 9 
8. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm L ; 
 cắt parabol tại hai điểm E, F sao cho L là trung  2 2 
điểm của đoạn thẳng EF.
9. Tồn tại hay không ba điểm X, Y, Z, T trên parabol (P) thỏa mãn (XYZT) là hình vuông ?
10. Giả sử M và N là các điểm nằm trên parabol có hoành độ lần lượt là – 1 và 7. Tìm tọa độ điểm Q trên cung parabol nhỏ 
MN sao cho tam giác MQN có diện tích lớn nhất.
9. Tìm tọa độ điểm H trên parabol (P) và điểm K trên đường thẳng x  2 y  6  0 sao cho độ dài đoạn
thẳng HK đạt giá trị nhỏ nhất.
10. Viết phương trình đường thẳng qua điểm S (1;3) cắt parabol (P) theo một dây cung trong đó điểm S
chia trong độ dài dây cung theo tỷ số 1:2.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 32
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 1
Bài toán 37. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol (P): 2 y
x và đường thẳng 4 3
chứa tham số: d : y mx m 1. 2
1. Vẽ đồ thị (P) và d trên cùng một hệ trục tọa độ trong trường hợp m  2 .
2. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng y  3x  2 .
3. Tìm giá trị của tham số m sao cho
a) Đường thẳng d đi qua điểm T (6;2m).
b) Đường thẳng d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.
c) Đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 6,25.
d) Đường thẳng d tạo với trục hoành một góc  thỏa mãn cot   1.
4. Chứng minh rằng có hai đường thẳng thuộc họ đường thẳng d tiếp xúc với parabol (P); đồng thời
hai đường thẳng này vuông góc với nhau.
5. Tìm m để parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm có hoành độ Ax ; y , B x ; y sao cho 1 1   2 2 
a) x x  8x x 10 . 1 2 1 2
b) 5 x x 2  6x x 10 . 1 2 1 2 1 1 c)   3 . x  3 x  3 1 2
d) 3x x  4 . 1 2
e) A, B nằm về hai phía của trục tung.
f) x x  17 . 1 2
g) x x  2 . 1 2
h) A, B nằm về hai phía của đường thẳng x  3 .
i) y y  19 . 1 2
j) y y  4 y y x x . 1 2 1 2 1 2
6. Xét điểm C (0;1) và đường thẳng  : y  1
 . Gọi M là điểm bất kỳ thuộc parabol. Chứng minh rằng
MC bằng khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  .
7. Xét hai điểm E, F thuộc parabol (P) có hoành độ lần lượt là – 2 và 4.
a) Tính diện tích của tam giác OEF.
b) Tìm tọa độ điểm K thuộc cung nhỏ parabol 
EF sao cho tam giác EKF có diện tích lớn nhất.
8. Tìm tọa độ điểm H (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu thức 4
S x  4 y  2x  5 đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
9. Tìm tọa độ điểm X thuộc parabol (P) và điểm Y thuộc đường thẳng x y  7  0 sao cho đoạn thẳng XY ngắn nhất.
10. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường cong C 4 2
: y x  3x .
11. Viết phương trình đường thẳng l đi qua điểm Q (2;5) và cắt parabol (P) theo một dây cung nhận
điểm Q là trung điểm.
12. Giả sử tồn tại hai đường thẳng đi qua điểm I (0;1) cắt parabol (P) theo thứ tự tại A , B A , B . 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 Chứng minh rằng     1và   1 . IA IB IA IB IA .IA IB .IB 1 1 2 2 1 2 1 2
13. Xét hai điểm U (0;1) và V (2b;–1), với b là tham số thực. Chứng minh rằng đường trung trực của
đoạn thẳng UV tiếp xúc với parabol (P).
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 33
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 38. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 4; Đề thi tuyển sinh lớp 10; Môn Toán; Đề thi chính
thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh; Năm học 2016 – 2017.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng chứa tham số
 : y  2mx m  2 ; m là tham số thực.
1. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng  : a) Đi qua điểm (4;2). b) Cắt tia Ox.
c) Cắt đường thẳng y  5x 1tại điểm có hoành độ bằng 1.
d) Cùng với hai đường thẳng 2x  3y 1  0; 4x  5y 1  0 đồng quy.
e) Có hướng đi lên và tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4.
f) Cắt trục hoành tại điểm M; với M thuộc đường tròn tâm O bán kính bằng 1.
2. Cho m  1. Tìm tọa độ giao điểm M, N của (P) và  . Tính diện tích tam giác MON.
3. Tìm m để parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm có hoành độ Ax ; y , B x ; y sao cho 1 1   2 2 
a) x x  10x x  3 . 1 2 1 2 b) 2 2
x x  5x x  9 . 1 2 1 2
c)  x x 2  4x x x x . 1 2 1 2 1 2
d)  x  4 x  4 2 2
 19x 19x . 1 2 1 2
e)  x  4 x  4  3x 1 3x 1 . 1  2   1  2  1 1 f)   3 . 2x  5 2x  5 1 2
g) Biểu thức S x x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2
h) 1 x 2  x   1 x 2  x  2 2
x x  2 . 1 2 2 1 1 2
i) y y  5y y  8 . 1 2 1 2
j) Biểu thức T x x y y  5 y y đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 1 2  1 2 
4. Tìm tọa độ điểm U thuộc parabol (P) sao cho tiếp tuyến của parabol (P) tại U song song với đường
thẳng y  4x  5 .
5. Tìm tọa độ điểm L (x;y) thuộc parabol (P) sao cho biểu thức 4
S x  2 y  8x 10 đạt giá trị nhỏ nhất.
6. Tìm tọa độ điểm T (x;y) thuộc parabol (P) sao cho biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 2x y  2 (nếu có): . y 1
7. Xét hai điểm E, F thuộc parabol (P) có hoành độ lần lượt là – 2 và 4. Tìm tọa độ điểm G thuộc cung
parabol nhỏ (EF) sao cho khoảng cách từ điểm G đến đường thẳng EF đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
8. Chứng minh đường thẳng y kx 1luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt H, K, đồng thời có
đúng một điểm M thuộc đường thẳng y  1thỏa mãn đồng thời: MK tiếp xúc với (P) và MK vuông góc với MH. 9. Giả sử góc vuông 
uIv  90 di động sao cho hai cạnh của nó luôn tiếp xúc với parabol (P). Chứng
minh rằng đỉnh I của góc luôn chạy trên một đường thẳng cố định.
10. Xét đường thẳng d : y x  8 , xác định độ dài cạnh hình vuông ABCD biết hai đỉnh A và B thuộc
đường thẳng d và hai đỉnh C, D thuộc parabol (P).
11. Xét hai điểm M (–1;1) và N (1;1). Giả sử hai dây cung AB và CD đều khác MN, đi qua trung điểm I
của MN, AC cắt MN tại P, BD cắt MN tại Q tương ứng. Chứng minh IP IQ .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 34
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 39. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 4; Đề thi tuyển sinh lớp 10; Môn Toán; Đề thi chính
thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh; Năm học 2015 – 2016.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng chứa tham số
 : y mx m  2 .
1. Vẽ đồ thị (P) trên hệ trục tọa độ.
2. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và  trong trường hợp m  2 .
3. Tìm giá trị của m để đường thẳng  thỏa mãn
a) Đi qua điểm T thuộc trục tung, T có tung độ bằng 4.
b) Đi qua điểm Z thuộc parabol (P), Z có hoành độ bằng 3.
c) Cắt đường thẳng y  4x  2 tại điểm có hoành độ bằng 4.
d) Song song với đường thẳng y   m   2 2
1 x  4m  2 .
e) Vuông góc với đường thẳng 2
y  m x  6m 1 .
f) Tạo với tia Ox một góc   60 . 2
g) Tiếp xúc với đường tròn tâm O, bán kính r  . 2
h) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1.
4. Chứng minh rằng (P) và  luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B với Ax ; y ; B x ; y . Tìm A A B B
giá trị của m để
a) x x  4x x  8 . A B A B 1 1 b)   m . x x A B 1 1 7 c)    . x  4 x  4 13 A B x x 1 d) A B    . x  7 x  7 39 A B
e) x x đạt giá trị nhỏ nhất. A B 2 2 x  2 x  2 f) A . B  4 . x 1 x 1 A B
g) y y  4 . A B
h) A và B đều có hoành độ lớn hơn 1. i)
y y 1  2 x x . A BA B
j) x x x x y y  8 . A B A B A B
k) S y y 10x x đạt giá trị nhỏ nhất. A B A B
l) Độ dài đoạn thẳng AB ngắn nhất. 1
5. Chứng minh rằng với mọi điểm M thuộc đường thẳng y   , các tiếp tuyến kẻ từ M đến parabol 4
(P) vuông góc với nhau.
6. Tìm tọa độ điểm L (x;y) thuộc parabol (P) thỏa mãn đẳng thức 2 y  7x  6  4x  3 .
7. Tìm tọa độ điểm J (x;y) thuộc parabol (P) sao cho biểu thức 2
Q y 12 3x 11nhận giá trị nhỏ nhất.
8. Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng x y 10  0 và điểm K thuộc parabol (P) sao cho độ dài
đoạn thẳng HK ngắn nhất.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 35
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 40. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành
cho tất cả các thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Trường THPT chuyên Thái Bình; Thị xã Thái Bình; Tỉnh
Thái Bình; Năm học 2001 – 2002.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol (P): y  m   2
10 x và đường thẳng chứa
tham số d : y mx 10 ; với m là tham số thực khác 10.
1. Tìm điều kiện của tham số m sao cho đường thẳng d thỏa mãn
a) Song song với đường phân giác góc phần tư thứ II.
b) Vuông góc với đường thẳng y  3x 10 .
c) Cắt đường thẳng y  10 
x m tại điểm có hoành độ bằng – 10.
d) Tạo với hai trục tọa độ tam giác có tỷ lệ hai cạnh góc vuông bằng 4.
e) Không cắt đường tròn (C) tâm O, bán kính R  5 2 .
f) Đồng quy với hai đường thẳng y  3x  4; y  6x 1.
2. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và d với m  3 1.
3. Chứng minh parabol (P) và đường thẳng d luôn có điểm chung với mọi giá trị của m.
4. Tìm m để parabol (P) cắt đường thẳng d tại một điểm có hoành độ bằng – 5.
5. Chứng minh rằng (P) và  luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B với Ax ; y , B x ; y . Tìm 1 1   2 2 
giá trị của m để
a) x x  3x x  3 . 1 2 1 2 b) 2 2
x x  14 . 1 2
c) x  4x  9 . 2 1
d) 10x x  1. 1 2 1 1 e)   3. x  4 x  4 1 2 1 2 f)   3 . x x 1 2
g) Hai hoành độ đều lớn hơn 0,4.
h) x 1 3x  2  x  8 . 1 2 1
i) Hai điểm A, B nằm về hai phía của đường thẳng x  3 . x  2 x  3 j) 2 1   1. x 1 x  4 1 2 k) 3 3
x x  7 . 1 2
6. Trong trường hợp m  12 .
a) Tìm tọa độ điểm M (x;y) thuộc parabol (P) thỏa mãn điều kiện hoành độ gấp 4 lần tung độ. 1
b) Tìm tọa độ điểm N (x;y) thuộc parabol (P) sao cho biểu thức 2 S
y  20 5x  25 đạt giá trị 4 nhỏ nhất.
c) Xét hai điểm E, F thuộc parabol (P) có hoành độ lần lượt là – 2 và 4. Tìm tọa độ điểm G
thuộc cung parabol nhỏ (EF) sao cho khoảng cách từ điểm G đến đường thẳng EF đạt giá trị
lớn nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
d) Tìm tọa độ điểm U thuộc parabol (P) sao cho tiếp tuyến của parabol (P) tại U song song với
đường thẳng y  4x  5 .
e) Tìm tọa độ điểm T (x;y) thuộc parabol (P) thỏa mãn đẳng thức 3
6x  6 y  7x  2x 1 .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 36
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 41. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành
cho tất cả các thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Trường THPT chuyên Thái Bình; Thành phố Thái Bình; Năm học 2007 – 2008.
Trong mặt phẳng Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol (P): y  m   2
3 x và đường thẳng d: y  5x  2 (m là tham số thực khác 3).
1. Tìm m để parabol (P) đi qua điểm (3;9).
2. Tìm tọa độ các giao điểm A, B của đường thẳng d với hai trục tọa độ và tính diện tích của tam giác OAB.
3. Tính số đo góc nhọn tạo bởi đường thẳng d và trục tung.
4. Tìm điều kiện của k để đường thẳng d song song với đường thẳng y  5k  2 x  6 . 2
5. Chứng minh đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (C) tâm O, bán kính R  . 26
6. Tìm giao điểm của parabol (P) và đường thẳng đã cho khi m  2 .
7. Tìm điều kiện của m để parabol (P) và d có điểm chung.
8. Xác định giá trị của tham số m để parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai nghiệm phân biệt có hoành
độ là x , x sao cho 1 2
a) Một điểm có hoành độ bằng 1. b) x  2x . 1 2 1 1 c)   7 . x  4 x  4 1 2
d) Điểm này có hoành độ gấp 5 lần hoành độ điểm kia. 1
e) x x x x  . 1 2 1 2 m  3 3  1 1  133 f) 3    m   . x x 8  1 2  g) m  3 2 2
x  5x  4m  2 . 1 2
h) x  1; x  2 . 1 2
9. Chứng minh rằng khi (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm có hoành độ x , x thì ta luôn thiết lập được 1 2
một hệ thức liên hệ giữa x , x mà không chứa m. 1 2
10. Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để parabol (P) cắt đường thẳng d tại các điểm có tọa độ đều là số nguyên.
11. Trong trường hợp m  4 .
a) Xác định tọa độ điểm L (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu thức 4
S x  24 6x  24 đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Xác định tọa độ điểm K (x;y) trên (P) thỏa mãn y  7x  8  2 9x  8 .
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm I (4;25) cắt parabol (P) theo dây cung HK sao
cho I là trung điểm của đoạn thẳng HK.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 37
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 42. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 1; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành
cho các thí sinh dự thi chuyên Toán, chuyên Tin học); Đề thi chính thức; Trường THPT chuyên Nguyễn
Bỉnh Khiêm; Thành phố Vĩnh Long; Tỉnh Vĩnh Long; Năm học 2007 – 2008.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng chứa tham số
d : y  2 m  
1 x  2m  5 ; với m là tham số thực.
1. Tìm giá trị của m sao cho đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm X (1;3).
b) Cắt đường thẳng y  3x  2 tại điểm có hoành độ bằng 4.
c) Song song với đường thẳng y  5mx 19 . 1
d) Vuông góc với đường thẳng y   x  4 . 3
e) Hợp với tia Ox một góc lớn hơn 60 .
f) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 0,25.
2. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d khi m  1.
3. Chứng minh rằng parabol (P) luôn cắt đường thẳng d tại hai điểm có hoành độ x , x với mọi giá trị 1 2 của m.
7. Tìm giá trị của tham số m để parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
với Ax ; y , B x ; y sao cho 1 1   2 2  a) 2 2
x x  14 . 1 2
b) x  2x m . 1 2 1 1 c)   1 . x  3 2x  3 1 2
d) 5x  3x  10x x  4 . 1 2 1 2
e) A và B nằm về hai phía của trục tung.
f)  x  4 x  4  x x  3  x x  3  5. 1  2  1  2  2  1 
g) x  4  x . 1 2
h) y y  10 . 1 2
i) Biểu thức S  2 y  3y  4x x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 1 2
j) 2 y  3y  4 y y  5x x . 1 2 1 2 1 2 k) 2
x  2m   2
1 x  2m  5  9m . 1 2
l) 2y  5 4y  5  27 . 1  2 
4. Tìm tọa độ điểm K (x;y) thuộc parabol (P) thỏa mãn đẳng thức x y   4 3 y x  3   3. 2 x  2x  2
5. Tìm tọa độ điểm L (x;y) thuộc parabol (P) sao cho biểu thức y
đạt giá trị lớn nhất, giá 2 x  2x  2
trị nhỏ nhất (nếu có) ?
6. Xét hai điểm M và N thuộc parabol (P) có hoành độ lần lượt là – 1 và 2. 27
a) Tìm điểm Q thuộc cung parabol nhỏ 
MN sao cho tam giác MQN có diện tích bằng . 8
b) Tìm điểm Q thuộc cung parabol nhỏ 
MN sao cho tam giác MQN có diện tích lớn nhất.
7. Xét hai điểm D, E thuộc parabol (P) có hoành độ lần lượt là – 1 và 4. Tìm tọa điểm F thuộc cung parabol nhỏ 
DE sao cho khoảng cách từ F đến đường thẳng DE lớn nhất.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 38
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 43. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 1; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành
cho tất cả các thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm; Thành phố
Vĩnh Long; Tỉnh Vĩnh Long; Năm học 2007 – 2008.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng chứa tham số
d : y  2 m  2 x m  2 ; với m là tham số thực.
1. Tìm giá trị của m sao cho đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm G thuộc (P), G có tung độ bằng 4.
b) Song song với đường thẳng đi qua hai điểm (4;6) và (5;1).
c) Cắt đường thẳng y  6x 1.
d) Vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ III.
e) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tỷ lệ các cạnh là 1: 2 : 5 .
f) Tiếp xúc với parabol (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.
2. Tìm giá trị của tham số m để parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
với Ax ; y , B x ; y sao cho 1 1   2 2  1 1 x x a) 1 2   . x x 4 1 2
b) x  1  x . 1 2
c) x x  3 . 1 2
d) 2x x m . 1 2 e) 2 2
2x x x  2x . 1 1 2 2
f)  x x  2x x 3  x x  5 . 1 2 1 2 1 2 g) 2 2
x x  4x x x x . 1 2 1 2 1 2
h) y y  3y y 1. 1 2 1 2 i)
y y  6x x  5 x x . 1 2 1 2  1 2 
j) A và B nằm về hai phía của đường thẳng x  2 .
3. Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y  6x  7 và tiếp xúc với parabol (P).
4. Viết phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng y  5x  3và tiếp xúc với parabol (P).
5. Từ điểm Q (0;– 4) kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến parabol (P) ? 2 2 2
x y z  3
6. Tồn tại hay không điểm L (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn hệ thức 
xy yz xz  3  7 7
7. Tìm tọa độ điểm Z (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức y   x   x . y y
8. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm C (3;13) và cắt parabol (P) theo dây cung DE thỏa mãn
điều kiện DE  2CE .
9. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm J (2;5) và cắt parabol theo một dây cung HK có độ dài bằng 2 17 . 10. Giả sử góc vuông 
uIv  90 di động sao cho hai cạnh của nó luôn tiếp xúc với parabol (P). Chứng
minh rằng đỉnh I của góc luôn chạy trên một đường thẳng cố định.
11. Xét đường thẳng d : y x  8 , xác định độ dài cạnh hình vuông ABCD biết hai đỉnh A và B thuộc
đường thẳng d và hai đỉnh C, D thuộc parabol (P).
12. Tìm tọa độ tất cả các điểm T (x;y) thuộc parabol (P) sao cho 2
x  2x 2 y 1  2 y  1.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 39
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 44. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành
cho tất cả các thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm; Thành phố
Vĩnh Long; Tỉnh Vĩnh Long; Năm học 2005 – 2006. 1
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2 : y
x và đường thẳng chứa tham 2 3  m
số d : y  m   1 x  . 2
1. Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng d thỏa mãn a) Đi qua điểm (4;3).
b) Song song với đường thẳng y  4x  2 .
c) Vuông góc với đường thẳng y  6x  9 .
d) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ lớn hơn 2.
e) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tỷ lệ giữa cạnh lớn nhất và nhỏ nhất là 26 :1.
f) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 0,25.
2. Chứng tỏ rằng parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.
3. Tìm giá trị của tham số m để parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
với Ax ; y , B x ; y sao cho 1 1   2 2  2 2 x x a) 1 2   . x x 3 1 2
b) x x  13 . 1 2 1 1 c)   3 . 2x  5 2x  5 1 2
d) x  3x m . 1 2
e) x  3  x . 1 2
f) x x  4 . 1 2
g) 3x  2 3x  2  10x x 13 . 1  2  1 2
h) A và B nằm về hai phía của đường thẳng x  4 .
i) Biểu thức S  5 y y y y đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2  1 2 j) 2
x  2 m   2
1 x m  3  9m . 1 2
4. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm J (0;– 4) và tiếp xúc với (P).
5. Xác định tọa độ điểm M (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu thức 2 3
S  12 y  4 5x  30 đạt giá trị nhỏ nhất. 2 y  3 2 y  7
6. Xác định tọa độ điểm N (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức  . x 2  x   1
7. Điểm X (x;y) được gọi là điểm nguyên khi x và y đều là các số nguyên. Tìm giá trị của m để parabol
(P) cắt đường thẳng d tại hai điểm nguyên phân biệt.
8. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm I (2;2,5), cắt parabol (P) theo dây cung CD sao cho I là
tâm đối xứng của C và D.
9. Giả sử H và K lần lượt là các điểm nằm trên parabol (P) có hoành độ lần lượt là – 3 và 5.
a) Tính diện tích của tam giác OHK.
b) Tìm tọa độ điểm T trên cung parabol nhỏ (HK) sao cho khoảng cách từ T đến đường thẳng
HK nhận giá trị lớn nhất.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 40
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 45. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 1; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành
cho tất cả các thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi; Thành phố Hải
Dương; Tỉnh Hải Dương; Năm học 2003 – 2004.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng chứa tham số
d : y  5mx  4m .
1. Tìm điều kiện của tham số m sao cho đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm G thuộc parabol (P), G có hoành độ bằng 5.
b) Cắt đường thẳng y  4x  3 tại điểm có hoành độ bằng 2.
c) Song song với đường phân giác góc phần tư thứ III. 1
d) Vuông góc với đường thẳng y   x 10 . 2
e) Tạo với tia Ox một góc   60 .
f) Cắt hai trục tọa độ Ox, Oy theo thứ tự tại X, Y sao cho OX  3OY .
2. Tìm điều kiện của m để parabol (P) tiếp xúc với đường thẳng d. Tìm tọa độ tiếp điểm.
3. Khi parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B với Ax ; y , B x ; y . 1 1   2 2  a) Chứng minh rằng 2
x  5mx  4m  0 . 1 2
b) Tìm giá trị của m để x  3  x . 1 2
c) Tìm m sao cho x x  41 . 1 2 1 1 d) Tìm m để   5 . x  4 x  4 1 2
e) Tìm m để hoành độ điểm này gấp ba lần hoành độ điểm kia. f) Tìm m để 2 2 3
x x x x m 19m . 1 2 2 1
g) Tìm giá trị của m để 2 2
x  5mx  4m  9m . 1 2 2
h) Tìm m để A và B nằm bên phải đường thẳng x  . 3
i) Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để x , x là các số nguyên. 1 2 2 2 m
x  5mx 12m
j) Xác định m để biểu thức 2 1 A  
đạt giá trị nhỏ nhất. 2 2
x  5mx 12m m 1 2
k) Tìm giá trị của m để y y y y 17 . 1 2 1 2
l) Tìm m sao cho x x y y  13  2 . 1 2  1 2 
4. Tìm tọa độ điểm K (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn 5y  2x 1  4x   1 y 1 .
5. Tìm tất cả các điểm H (x;y) nằm trên parabol (P) thỏa mãn bất đẳng thức 3
5x y  2x 1  5 y 2x 1 .
6. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm (5;1) và tiếp xúc với parabol (P).
7. Viết phương trình đường thẳng vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ II và tiếp xúc với parabol (P).
8. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm E (5;41) và cắt parabol (P) theo dây cung CD sao cho E
là trung điểm của đoạn thẳng CD.
9. Xét hai điểm M và N nằm trên parabol (P) có hoành độ lần lượt là –2 và 4. Tính diện tích của tam
giác MNQ với Q (1;2).
9. Tìm tọa độ điểm S thuộc đường thẳng x y  9  0 và điểm T thuộc parabol (P) sao cho độ dài đoạn
thẳng ST ngắn nhất.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 41
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 46. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 1; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành
cho tất cả các thí sinh dự thi vào trường chuyên); Đề thi chính thức; Trường THPT chuyên Vĩnh Phúc;
Thành phố Vĩnh Yên; Tỉnh Vĩnh Phúc; Năm học 2007 – 2008. 1
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2 : y
x và đường thẳng chứa tham 2 3
số d : y  m   1 x m  . 2
1. Tìm giá trị của m để đường thẳng d thỏa mãn a) Đi qua điểm (3;1).
b) Song song với đường thẳng y  5x  4 . 1
c) Vuông góc với đường thẳng y   x  4 . 3
d) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 0,25.
2. Tìm giao điểm của (P) và d khi m  1.
3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt
A và B với Ax ; y , B x ; y sao cho 1 1   2 2 
a) Một trong hai điểm có hoành độ bằng 3.
b) A và B nằm về hai phía của trục tung.
c) Hoành độ điểm này bằng bình phương hoành độ điểm kia. d) 2
x  2 m 1 x  2m  7 . 1   1 1 1 e)   3 . x x 1 2 1 1 f)   1 . x  3 x  3 1 2 1 1 g)   1. 5x  3 4x  3 1 2
h) x  4  x . 1 2
i) 2x x  10 . 1 2
j) 2x  3x  5 . 1 2
k) 3 x  4 x  5 . 1 2
l)  x  4 x x  9  0 . 1  1 2 
m) y  2 y  99 . 1 2 n) Biểu thức 2 2
S  2 y  3y đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2
o) x , x là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 4. 1 2 1
4. Trong trường hợp parabol (P) cắt đường thẳng y kx
tại hai điểm phân biệt M và N. Tìm quỹ 2
tích trung điểm I của đoạn thẳng MN.
5. Tìm tọa độ điểm L (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn 2 y  5x  6  2 3x  4 .
6. Tìm tọa độ điểm K (x;y) nằm trên parabol (P) sao cho biểu thức 2
S y  6 6x  23 đạt giá trị nhỏ nhất.
7. Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để parabol (P) cắt đường thẳng d tại các điểm có tọa độ đều là số nguyên.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 42
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 47. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 2.3; Đề thi tốt nghiệp THCS; Môn Toán; Đề thi chính
thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu; 2004 – 2005.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng chứa tham số
m: d y   m   2 : 3
1 x  2m m ; m là tham số thực.
1. Tính diện tích của tam giác tạo bởi đường thẳng d với parabol (P) khi m  1.
2. Tính góc tạo bởi đường thẳng d với trục tung khi m  2 .
3. Tìm m để đường thẳng d thỏa mãn điều kiện
a) Đi qua điểm (1;m).
b) Cắt parabol (P) tại điểm có hoành độ bằng 2.
c) Song song với đường thẳng y  7x 1. 1
d) Vuông góc với đường thẳng y   x  5 . 2 1
4. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d khi m  . 2
5. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt
A và B với Ax ; y , B x ; y sao cho 1 1   2 2 
a) x x  10 . 1 2 b) x  1   x . 1 2 1 1 c)   2 . x x 1 2
d) 3x  4x  10 . 1 2 1 1 e)   2 . x  5 x  6 1 2
f) A và B đều có hoành độ dương. g) 2 2 x  9x . 1 2 h) 2
x  3m   2
1 x  2m m  9 . 2 1 i) Biểu thức 2 2
S x  2x  3x x  4 đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 1 2 j) 3
y y m 1 . 1 2
k) Độ dài đoạn thẳng AB bằng 26 .
l) A và B nằm về hai phía của đường thẳng y  4 .
m) y mx m 1 x . 1 1   2
n) S  2 y  3y  4x x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 1 2
6. Viết phương trình tiếp tuyến của (P) biết tiếp tuyến đi qua điểm (0;– 5) 4x  3
7. Tìm tọa độ điểm L (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu thức S
đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ y 1 nhất (nếu có).
2 y x y   x y2 3 2 , 
8. Tìm tọa độ điểm K (x;y) thuộc parabol (P) thỏa mãn hệ thức 
 1  x y2  1 . x
9. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm D (4;25) và cắt parabol (P) tại điểm E, F sao cho D là
trung điểm của đoạn thẳng EF.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 43
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 48. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 1.2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành
cho các thí sinh dự thi chuyên Toán, chuyên Tin học); Đề thi chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Thành
phố Hồ Chí Minh; Năm học 2009 – 2010.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng chứa tham số 2
d : y  2mx 16  5m ; m là tham số thực.
1. Tìm điều kiện của tham số m sao cho đường thẳng d thỏa mãn
a) Song song với đường thẳng y  4x  6 . x
b) Vuông góc với đường thẳng y   12 . 3
c) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng – 5,5.
d) Cắt trục tung tại điểm có hoành độ dương.
e) Đồng quy với hai đường thẳng 3x  2 y  5;5x  4 y 1  0 .
2. Gọi x , x là hoành độ của các giao điểm của (P) và d trong trường hợp chúng giao nhau. 1 2
a) Tìm m để hai giao điểm nằm về hai phía của trục tung.
b) Tìm m để hai giao điểm đều có hoành độ dương.
c) Tìm m sao cho x x x x 13 . 1 2 1 2 1 1 d) Tìm m sao cho   1. x x 1 2
e) Tìm tất cả giá trị nguyên của m để hai hoành độ đều là số nguyên.
f) Tìm giá trị của tham số m để x , x là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có độ dài 1 2 cạnh huyền bằng 26 .
g) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
P x x x x  6x x . 1 2 1 2 1 2
h) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 5x  3x 17  x 5x  3x 17 . 1  1 2  2  2 1 
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (P) biết tiếp tuyến đi qua điểm (0;– 6). 2 8x m 1
4. Tìm m để parabol (P) cắt đường thẳng y
tại hai điểm có hoành độ x , x thỏa mãn 8 1 2 4 4 3 3
x x x x . 1 2 1 2 4x  3
5. Tìm tọa độ điểm L (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu thức S
đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ y 1 nhất (nếu có).
6. Tìm tọa độ điểm K (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức  x  3 3 2 2
 6x  3y x .
7. Giả sử tồn tại hai đường thẳng đi qua điểm I (0;1) cắt parabol (P) theo thứ tự tại A , B A , B . 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 Chứng minh rằng     1và   1 . IA IB IA IB IA .IA IB .IB 1 1 2 2 1 2 1 2
8. Trên parabol (P) lấy ba điểm có hoành độ lần lượt a, , b c thỏa mãn 2 2 2
a b b c c a .
Tính giá trị của biểu thức S  a b  
1 b c  
1 c a   1 .
9. Xét ba điểm A, B, C thuộc parabol (P) có hoành độ lần lượt là x , x , x thỏa mãn đồng thời A B C
A, B, C nằm trong góc phần tư thứ nhất và khác gốc O. 
x x x  3 . A B C x x x 3
Chứng minh bất đẳng thức A B C    . 1 y 1 y 1 y 2 B C A
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 44
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 49. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Vĩnh Phúc ; Năm học 2004 – 2005.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng d chứa tham số có dạng: 2
y  4mx  3m  2m 1. 1. Vẽ parabol (P).
2. Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng d thỏa mãn a) Đi qua điểm (4;1).
b) Cắt parabol (P) tại điểm có hoành độ bằng 1.
c) Song song với đường thẳng y  5
x m 1.
d) Vuông góc với đường thẳng 3x  5y  6  0 .
e) Cắt trục tung tại điểm có tung độ dương.
3. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d khi m  0 .
4. Chứng minh rằng parabol (P) và đường thẳng d luôn có ít nhất một điểm chung.
5. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt
A và B với Ax ; y , B x ; y sao cho 1 1   2 2 
a) x x  4x x  204 . 1 2 1 2 1 1 16 b)    . x x 55 1 2
c) 2x  5x  8 . 1 2
d) x x  2 . 1 2
e) x  3x m . 2 1 1 2 f)   2 . x 1 x 1 2
g) 6  x x  5  . 1 2 h) Biểu thức 2 2
P x  3x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2
i) x , x là độ dài hai cạnh AB, AC của tam giác ABC có diện tích bằng 10 đồng thời thỏa mãn 1 2 điều kiện  1 sin BAC  . 3
j) y y  2 . 1 2
k) 2 y  3y  4x  5x . 1 2 1 2 l) Biểu thức 2 2
S  2 y  3y  4 y  5y  6 đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 1 2
6. Tìm trên parabol (P) các điểm L (x;y) thỏa mãn đẳng thức  y x   4 2 4
11 z  8z  2  1  35 .
7. Xác định tọa độ điểm K (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn 2
y  2x 15  x  3x x  3 .
8. Tìm tọa độ điểm H (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu thức 4 4 4
S  1 2x  1 2x  1 4 y đạt giá trị lớn nhất.
9. Tìm k để parabol (P) cắt đường thẳng y  3x k theo một dây cung có độ dài bằng 10 .
10. Xét ba điểm A, B, C thuộc parabol (P) có hoành độ lần lượt là x , x , x thỏa mãn đồng thời A B C
A, B, C nằm trong góc phần tư thứ nhất. 
x x x  3 . A B C y y y
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A B C Q    . x  2x x  2 y x  2x A B B C C A
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 45
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 50. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 1; Đề thi tuyển sinh 10 THPT; Môn Toán (Dành cho
tất cả các thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Trường Phổ thông Năng khiếu; Đại học Khoa học Tự nhiên;
Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh ; Năm học 2004 – 2005.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng d chứa tham
số có dạng y  m  
1 x  2m ;với m là tham số thực.
1. Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng d thỏa mãn a) Đi qua điểm (4;2).
b) Song song với đường thẳng y  8x 10 . 1
c) Vuông góc với đường thẳng y   x 12 . 3
d) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ lớn hơn 2.
e) Hợp với tia Oy một góc   60 .
f) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân. 2
g) Tiếp xúc với đường tròn (C) tâm O, bán kính R  . 5
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt
M và N với M x ; y , N x ; y sao cho 1 1   2 2  a) 2 2
x x  6x x . 1 2 1 2
b) Hoành độ điểm này bằng bốn lần hoành độ điểm kia. c) 2
x m 1 x  2m  9 . 2   1
d) x  4  x . 1 2 1 1 e)   5 . x  2 x  2 1 2
f) x , x là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5. 1 2
g) x , x là độ dài hai cạnh AB, AC của tam giác ABC với diện tích tam giác ABC bằng 10 và 1 2  1 sin ABC  . 5
h)  y  4 y  4  10 y y  3 . 1  2  1 2 1 1 y y i) 1 2   . y y y y 10 1 2 1 2 x 1
3. Tìm tọa độ điểm K (x;y) trên parabol (P) sao cho y  2x  4 x  3 . x  3
4. Tìm tọa độ điểm L (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu thức S y x 1 
y x 1 đạt giá trị nhỏ nhất.
5. Tồn tại hay không điểm H (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn bất đẳng thức x y 1  y x 1  xy ?
6. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm T (6;61) và cắt parabol (P) theo một dây cung sao cho T
là trung điểm của dây cung đó.
7. Gọi A, B, C là ba điểm thuộc parabol (P) có hoành độ lần lượt là a; ;
b a b . Chứng minh đường
thẳng OC song song với đường thẳng AB.
8. Xét hai đường thẳng d : y  4x  5; d : y  4x k . Đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm C, D. 1 2 1
Tìm giá trị của k để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm E, F sao cho tứ giác tạo bởi bốn 2
điểm C, D, E, F có diện tích bằng 6.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 46
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 51. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 1; Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS; Môn Toán;
Đề thi chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh; Năm học 2002 – 2003.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol và đường thẳng chứa tham số  1  
P : y  2m   2 1 x ;
d : y  2mx 1 m    .  2 
1. Vẽ parabol (P) trong trường hợp m  2 .
2. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và d trong trường hợp m  3 .
3. Xác định giá trị của m sao cho
a) Đường thẳng d đi qua điểm (5;3).
b) Đường thẳng d vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ III.
c) Đường thẳng d song song với đường thẳng y  10x  23 .
d) Đường thẳng d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ lớn hơn 4. 5
e) Đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền là . 2
f) Đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 0,25. 4 5
g) Cắt đường tròn (C) tâm O, bán kính R  1 theo một dây cung có độ dài l  . 5
4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt
M và N với M x ; y , N x ; y sao cho 1 1   2 2 
a) Ít nhất một trong hai hoành độ giao điểm thuộc khoảng (–1;0).
b) x x 10x x  6 . 1 2 1 2 c) 3 3
x  3x  4 . 1 2 d) 2 2 x x  1. 1 2
e) x  4x  4 . 1 2 f) 2m   2 2
1 x  2mx 1  4m . 1 g) 2 2 x  5x 1. 1 2
h) x  2; 4 , x  3;5 . 1   2  
i) M và N nằm trong khoảng giữa hai đường thẳng x  4; x  5m  2 .
j) x , x là độ dài 2 cạnh AB, AC của tam giác nhọn ABC có diện tích bằng 10 và  3 o c sBAC  . 1 2 2
k) y  4 y  10 . 1 2 1 2 l)   3 . x y 1 2
m)  y  2 y  3  6y y  4x x . 1  2  1 2 1 2
5. Trong trường hợp m  1.
a) Tìm điểm K (x;y) thuộc parabol (P) thỏa mãn đẳng thức y  2x y  7x y  23x .
b) Tìm m để parabol (P) cắt đường thẳng  : y mx  3theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.
c) Tìm tọa độ điểm X (x;y) thuộc parabol (P) sao cho độ dài đoạn thẳng XY ngắn nhất, trong đó Y (1;0).
Bài toán 52. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 4; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Bình Dương; Năm học 2014 – 2015.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 47
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng d chứa tham
số d : y  2m  
1 x  2m  5 .
1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ khi m  2 .
2. Tìm giá trị của tham số m sao cho
a) Đường thẳng d đi qua điểm (5;9).
b) Cắt đường thẳng y  3x  5 tại điểm có hoành độ bằng 2. 3x 1
c) Đường thẳng d song song với đường thẳng y  . 2 2
d) Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng y   x  9 . 3
e) Đường thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ lớn hơn 1,5.
f) Đường thẳng d trùng với đường thẳng y  4mx  8 .
3. Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, parabol (P) và đường thẳng d luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt
M và N với M x ; y , N x ; y sao cho 1 1   2 2 
a) x x  5x x  4 . 1 2 1 2
b) M và N nằm về hai phía của trục tung.
c) M và N nằm cùng phía đối với trục tung. d) 2 2
x x  6x x  4 x x  5 . 1 2 1 2  1 2 
e) x  2x  3 . 1 2 1 1 3 f)   . x x x x 1 2 1 2 g) 2
x  2 m   2
1 x  2m  5  4m . 1 2 h) Biểu thức 2 2
A x x đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. 1 2 i)
y y  3x m 3x m  9m . 1 2  1  2 
j) Biểu thức T  10x x  5  y 5  y
nhận giá trị lớn nhất. 1 2  1   2 
k) Biểu thức B   x  22   x  22  4 x x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2  1 2 
5. Xét điểm G (1;0). Tìm giá trị của m để đường thẳng d cắt hai trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại E và F
sao cho diện tích tam giác OFG gấp đôi diện tích tam giác OEF.
6. Tìm tọa độ điểm K (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn 4 y  2x  3  2 y 1  4x  2 .
7. Tìm tọa độ điểm L (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn bất đẳng thức y  6x  26  6 2x 1 .
8. Xét ba điểm A, B, C thuộc parabol (P) có hoành độ lần lượt là x , x , x . Tìm giá trị lớn nhất và giá A B C y y y
trị nhỏ nhất của biểu thức A B C T    . y x 1 y x 1 y x 1 A A B B C C
9. Tìm n để parabol (P) cắt đường thẳng y x n tại hai điểm phân biệt C, D. Gọi I là trung điểm của
đoạn thẳng CD, chứng minh rằng khi đó điểm I di động trên một đường thẳng cố định.
10. Xét hai điểm X, Y thuộc parabol (P) có hoành độ lần lượt là – 3 và 5. Tìm tọa độ điểm Z thuộc cung parrbol nhỏ 
XY sao cho diện tích tam giác XYZ đạt giá trị lớn nhất.
11. Viết phương trình đường thẳng l đi qua điểm J (–2;20) và cắt parabol (P) theo một dây cung PQ sao
cho J chia đoạn thẳng PQ theo tỷ lệ JP : JQ  1:10 .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 48
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 53. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 4 ; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh; Năm học 2009 – 2010.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng d chứa tham
số: y   m   2 5
1 x  6m  2m .
1. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d thỏa mãn a) Đi qua gốc tọa độ.
b) Có hệ số góc nhỏ hơn 5 và không trùng với hai trục tọa độ. c) Có hướng đi lên.
d) Cắt hai trục tọa độ tại hai điểm phân biệt.
e) Tạo với tia Oy một góc   45 .
f) Song song với đường thẳng y  4 mx  2n  7 .
g) Vuông góc với đường thẳng 2x  7 y  5m  0 .
2. Tìm giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d trong trường hợp m  3 .
3. Chứng minh rằng parabol (P) và đường thẳng d luôn có ít nhất một điểm chung với mọi giá trị m.
4. Khi parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt M và N với M x ; y , N x ; y . 1 1   2 2 
a) Tìm giá trị của m để 2 2 x x  1 . 1 2
b) Tìm tất cả các giá trị của m để 2x  3x  1 . 1 2
c) Tìm giá trị của m để 2
x  5m   2
1 x  6m  2m  25 . 1 2
d) Tìm giá trị của m để x x  2 . 1 2 5
e) Tìm m để M và N nằm về hai phía của đường thẳng x  . 2
f) Tìm m để M và N đều có hoành độ nằm trong khoảng (3;10). 1 g) Tìm m để  3x  14 . 2 x1
h) Tồn tại hay không giá trị m sao cho
x m  2 x ? 1 2
i) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
P x  2x  3x  4x . 1 2 1 2
j) Tìm m để 4 y  5y  6x  7x . 1 2 1 2
k) Tìm m để M và N nằm về hai phía của đường thẳng y  4 .
l) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P y  2 y  3x 4x  5 . 1 2 1  2 
5. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm D (2;5) và chắn parabol (P) theo một dây cung có độ dài bằng 2 17 .
6. Tìm tọa độ điểm A (x;y) trên parabol (P) sao cho 4 3 y
x y  2x 1.
7. Tìm tọa độ tất cả các điểm B (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn bất đẳng thức
x y x 1  2 1 3x y x  3 .
8. Tìm tọa độ điểm X (x;y) trên nhánh phải parabol (P) sao cho biểu thức S x y  48 đạt giá trị nhỏ nhất.
9. Xét ba điểm A, B, C thuộc parabol (P) có hoành độ lần lượt là x , x , x . Phản biện bất đẳng thức A B C
sau đây  x x x 2 3
  y  2 y  2 y  2 . A B C A B C
10. Xét điểm Y (x;y) thuộc parabol (P). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức K
2x y  2x y  3 .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 49
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 54. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
dự bị; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Bình Định; Năm học 2014 – 2015. 1
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2 : y
x và đường thẳng d chứa tham 2 3  m
số có dạng: y  m   1 x
; m là tham số thực. 2 1. Vẽ parabol (P).
2. Xét hai điểm A, B thuộc parabol (P) có hoành độ lần lượt là – 2 và 4. Tính độ dài chiều cao hạ từ O của tam giác OAB.
3. Xác định giá trị của tham số m sao cho đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm J thuộc parabol (P), J có hoành độ bằng 5.
b) Song song với đường thẳng y  3m  2 x n  2 . m
c) Vuông góc với đường thẳng y   x  5 . 2
d) Cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn 5.
e) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ nhỏ hơn 2. 1
f) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng . 12
g) Cắt đường thẳng y  2x 1tại điểm Z (x;y) sao cho 2
T x  2 y  4xy đạt giá trị nhỏ nhất.
4. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng y mx  2 cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt X, Y sao
cho tam giác OXY có diện tích bằng 2 5 .
5. Biết rằng đường thẳng y x  4 cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt C, D. Tìm tọa độ điểm E nằm trên cung parabol nhỏ 
CD để tam giác CDE có diện tích lớn nhất.
6. Chứng minh parabol (P) và đường thẳng d luôn có hai điểm chung phân biệt với mọi giá trị của m.
7. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt
M và N với M x ; y , N x ; y sao cho 1 1   2 2 
a) x x  2 2 . 1 2 b) 2 2
x x  34 . 1 2
c) x x  2 m 1 . 1 2   1 1 x x d) 1 2   . x x 6 1 2 1 1 e)   4 . x x 1 2 f) 2 2 x x  6 . 1 2 g) 2
x  2 m   2
1 x  3m  2  3m . 1 2
h) Độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị nhỏ nhất. i)
y  5 y  5  8x x  3 x x 11. 1  2  1 2  1 2  1 1 2 j)   . y y 5 1 2
8. Tìm tọa độ điểm K (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu thức 2
Q  64 y  8x 10 đạt giá trị nhỏ nhất.
9. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm L (3;5) và cắt (P) theo dây cung HK sao cho L là trung
điểm của đoạn thẳng HK.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 50
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 55. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 3b; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Lạng Sơn; Năm học 2014 – 2015.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng chứa tham số
d : y  2x m  3 ; với m là tham số thực.
1. Xét các điểm X (1;m) và Y (4;n). Tìm m và n để X thuộc (P) và Y thuộc d.
2. Tìm tất cả các giá trị của m và n sao cho đường thẳng d thỏa mãn
a) Cắt đường phân giác góc phần tư thứ nhất tại điểm có hoành độ bằng 10.
b) Song song với đường thẳng y  3mx  6n 10 .
c) Vuông góc với đường thẳng 3y  2mx  6 .
d) Cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn 4m.
e) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 10.
f) Cắt đường tròn tâm O, bán kính R  5 theo một dây cung có độ dài bằng 2 .
g) Cắt đường thẳng y  3x  4 tại điểm K (x;y) sao cho biểu thức 2 2
S x y  4x  9 đạt giá trị nhỏ nhất.
3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt
M và N với M x ; y , N x ; y sao cho 1 1   2 2 
a) x x  10 . 1 2 b) 3 x x  8 . 1 2 1 1 c)   6 . x  4 x  4 2 2 d) x x  6 . 1 2 1 1 e)   3 . x x  2 x x 1 2 1 2
f) M và N nằm cùng phía đối với trục tung. g) 2 2
x  2x m  3  m . 1 2 h)  2
x  2x m  3 2
x  2x m  3  m  3 . 1 2 2 2 
i) M và N cùng nằm trong góc phần tư thứ nhất, không kể biên.
j) M và N nằm khác phía đối với đường thẳng x  3 . k)
y y  2  x x 2  7x x . 1 2 1 2 1 2 l)
3y  2 3y  2  4x x  5 . 1  2  1 2
4. Xét hai điểm Ax ; y , B x ; y thuộc nhánh phải của parabol (P). Chứng minh rằng khi biểu thức A A B B S x x y y
đạt giá trị lớn nhất thì A và B trùng nhau. A B A B
5. Xét hai điểm H  ; a b, K  ;
c d  nằm trên parabol (P) sao cho ac  1. Chứng minh b d a c . 5  2x
6. Tìm tất cả các điểm L (x;y) trên parabol (P) sao cho 10  4 y  . 2x 1
7. Tìm điểm K x ; y trên parabol (P) khi x là số thực lớn nhất trong các số x thỏa mãn hệ thức 0 0  0
x y z t  5,  2 2 2 2
x y z t  7.  4
8. Xét điểm G (x;y) thuộc nhánh phải của parabol (P). Tìm x và y sao cho biểu thức S y  3x  đạt x giá trị nhỏ nhất.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 51
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 56. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu I ; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT ; Môn Toán (Dành
cho tất cả các thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Trường THPT Chuyên Bắc Ninh; Thành phố Bắc Ninh;
Tỉnh Bắc Ninh; Năm học 2014 – 2015.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng chứa tham số
có dạng: d : y  2
mx  2m  6 ; m thực.
1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ khi m  1.
2. Xét điểm X (1;m) và Y (2;n). Tìm m và n để X thuộc (P) và Y thuộc d.
3. Tìm giá trị của tham số m và n sao cho đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm Z nằm trên (P), Z có hoành độ bằng 2.
b) Cắt đường phân giác góc phần tư thứ IV tại điểm có tung độ lớn hơn 4.
c) Cắt trục hoành tại một điểm nằm giữa hai điểm (3;0) và (5;0).
d) Song song với đường thẳng y  3m   1 x  7n . x
e) Vuông góc với đường thẳng y    4n  9 . 2
f) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d là dài nhất.
g) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 16.
4. Chứng minh rằng parabol (P) và đường thẳng d luôn có hai điểm chung phân biệt với mọi giá trị của tham số m.
5. Khi parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt M và N với M x ; y , N x ; y . 1 1   2 2 
Tìm giá trị của m sao cho
a) x x  2m  2 . 1 2
b) x  4x  4 . 1 2 1 1 x x 15 c) 1 2    . x x x x 4 1 2 1 2 1 1 d)   4 . 3x  7 3x  7 1 2
e) M và N nằm về hai phía của trục tung. 9 f) 2 4
x  2mx  2m  6  m . 1 2 4
g) M và N nằm cùng phía với đường thẳng x  5 . h)  2
x  2mx  2m  6 2
x  2mx  2m  6  1. 1 2 2 1  i) 2 2
x x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2
j) Biểu thức B x x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2
k)  y  2 y  2 2  x  2 3  x  2  x  2 3  4x . 1 2 1 2 1 2 
l) Biểu thức T   y  2mx
y  2mx đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2   2 1  3y  3x  2
6. Tìm tọa độ điểm K (x;y) trên parabol (P) sao cho
y x  2  . 3x 1
7. Tìm điểm L (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu thức 2 4
S  2x  2  y  2  x y đạt giá trị lớn nhất.
8. Tìm tọa độ hai điểm A, B nằm trên (P) sao cho A và B đối xứng nhau qua điểm C (7;85).
9. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm (3;9) và tiếp xúc với nhánh phải của parabol (P).
9. Tìm điểm K x ; y trên parabol (P) khi x là số thực lớn nhất trong các số x thỏa mãn hệ thức 0 0  0 2 2 2
x y z  5; x y z  11.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 52
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 57. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 2.1 ; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề
thi chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Đồng Nai; Năm học 2008 – 2009.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng chứa tham số
d : y  3x m .
1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ khi m  2 . Tìm tọa độ hai đồ thị bằng phép tính.
2. Tìm giá trị của tham số m sao cho đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm X nằm trên (P), X có hoành độ bằng 3.
b) Song song với đường thẳng 2
y  4m x  2m  4 .
m  5 x  7
c) Vuông góc với đường thẳng y   2 . 3
d) Cắt đường phân giác góc phần tư thứ III tại điểm có hoành độ lớn hơn 10.
e) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 10.
3. Khi parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt M và N với M x ; y , N x ; y . 1 1   2 2 
a) Tìm giá trị m để 3 x x  7 . 1 2 b) Tìm m sao cho
x  2  x 1. 2 1
c) Tìm m để hai giao điểm đều có hoành độ dương.
d) Tìm giá trị của m sao cho 2 4
x  3x m m . 1 2
e) Tìm m để hoành độ điểm này gấp 3 lần hoành độ điểm kia. 1 1 2
f) Tìm giá trị của m sao cho   . x  3 x  3 5 1 2
g) Tìm m để tung độ điểm này gấp 4 lần tung độ điểm kia.
h) Tính giá trị của biểu thức 3 3
P x x x x theo m. 1 2 1 2
i) Tìm m sao cho y y  10 y y  4x  4x . 1 2 1 2 1 2 1 1
j) Tìm giá trị của m để   y y  5 . 1 2 x x 1 2 k) Tìm m thỏa mãn 2
x  3x  6 y y 19m  2017 . 1 2  1 2 
l) Tìm tất cả các giá trị m sao cho 2y  7 2y  7  3x 1 3x 1  5x x . 1  2   1  2  1 2
4. Xác định m để (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm có hoành độ x , x sao cho x , x là độ dài hai cạnh 1 2 1 2 2
AB, AC của tam giác ABC với độ dài chiều cao AH (H thuộc cạnh BC) bằng . 5
5. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt đường thẳng y  2x  4 tại điểm K (x;y) sao cho biểu thức 2 2
S  5x  4 y đạt giá trị bé nhất.
6. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đồ thị hàm số y  7 3x  2  4x  2 .
7. Tìm tọa độ điểm Y (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức 2 y x 1  y x 1  3x .
8. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm K (2;5) và cắt parabol (P) theo một dây cung nhận điểm K làm trung điểm.
9. Chứng minh rằng đường thẳng  : y  4x  3cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt P, Q. Tính diện tích tam giác OPQ.
10. Tìm tọa độ điểm Z (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu thức 4 4
T  2 x  3 
y đạt giá trị lớn nhất.
Tìm giá trị lớn nhất đó.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 53
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 58. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài III ; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Hà Nội; Năm học 2009 – 2010.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng d chứa tham
số như sau: y  m   2 2
1 x m  2 ; m là tham số thực.
1. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm X thuộc đường phân giác góc phần tư thứ nhất, X có hoành độ bằng 1.
b) Song song với đường thẳng đi qua hai điểm (6;2) và (7;1).
c) Vuông góc với đường thẳng 3x  2 y  5 5  0 .
d) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông có tỷ lệ hai cạnh góc vuông là 1:4.
e) Tạo với tia Oy một góc   60 .
2. Tìm tọa độ điểm K (x;y) trên parabol (P) sao cho độ dài đoạn thẳng OK bằng 2 5 .
3. Tìm tọa độ điểm H (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu thức 2
S y  8 2x  30 đạt giá trị nhỏ nhất.
4. Đường thẳng y  4x  5 cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt P, Q. Tìm tọa độ điểm R thuộc cung parabol nhỏ 
PQ sao cho tam giác PQR có diện tích lớn nhất.
5. Tìm tọa độ điểm L (x;y) nằm trên nhánh phải parabol (P) thỏa mãn đẳng thức  x   3 6
x  3  8x 12 y  3x  9 .
6. Tìm tọa độ điểm J (x;y) nằm trên nhánh phải parabol (P) thỏa mãn bất đẳng thức  3 3 x y    2 2 3 4
2 x y   2 x y .
7. Tìm tọa độ hai điểm E, F trên parabol (P) sao cho E và F đối xứng nhau qua điểm (4;10).
x y z  4,
8. Giả sử x là số thực lớn nhất trong các số x thỏa mãn hệ thức 0
xy yz xz  5. 
Xét điểm Z x ; y P . Tính độ dài đoạn thẳng OZ. 0 0   
9. Xét ba điểm thuộc parabol (P) có hoành độ thuộc đoạn [– 1;3], tổng các hoành độ bằng 5. Tìm giá
trị lớn nhất đối với tổng bình phương hoành độ ba điểm đó.
10. Giả sử C và D có hoành độ lần lượt là c, d thỏa mãn đồng thời
C và D là hai điểm nằm trên parabol (P).
c  4;c d  6 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức y y . C D
11. Tìm giá trị m để phương trình đã cho có hai nghiệm x , x thỏa mãn Tìm tất cả các giá trị của tham 1 2
số m để parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm M và N với M x ; y , N x ; y sao cho 1 1   2 2 
a) Một trong hai điểm có hoành độ bằng 2. b) 2 2
x x  10 . 1 2
c) A và B đều có hoành độ dương. d) 2
x  2 m   2 4
1 x m  2  m . 1 2
e) x  2x  3 . 1 2
f) Nghiệm này bằng 5 lần nghiệm kia.
g) x x  3 . 1 2
h) x , x tương ứng là độ dài các hình chiếu BH, CH của tam giác ABC (H thuộc cạnh BC), trong 1 2
đó độ dài đường cao AH bằng 3.
i) Tung độ điểm này gấp 16 lần tung độ điểm kia. j)
2 y y  9x x  6 x x  5 . 1 2  1 2  1 2 
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 54
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 59. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 1; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành
cho tất cả thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn; Thành phố Nha Trang;
Tỉnh Khánh Hòa; Năm học 2005 – 2006; Khóa ngày 21.06.2005.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng chứa tham số
d : y  2 m  
1 x m  5 ; m là tham số thực.
1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ khi m  2 .
2. Xét các điểm U (3;m) và V (n;4). Tìm m và n để U thuộc (P) và V thuộc d.
3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm T thuộc (P), T có hoành độ bằng 3.
b) Song song với đường thẳng y   3 2 m   1 x  7m .
c) Vuông góc với đường thẳng 2x  2 y  3  0 .
d) Cắt đường phân giác góc phần tư thứ II tại điểm có tung độ bằng 6.
e) Cắt đoạn thẳng OZ với Z (2;10).
f) Đồng quy với hai đường thẳng 2x y  3  0;3x  7 y  2  0 .
g) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích nhỏ hơn 0,1.
h) Cắt đường phân giác góc phần tư thứ III tại điểm T (x;y) sao cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: 2 2 P
y  4x  5 
x  2 y  2 .
4. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và d khi m thỏa mãn 2 2
m  2mn  2n  2n 1  0 , n là số thực.
5. Chứng minh parabol (P) và đường thẳng d luôn có hai điểm chung phân biệt với mọi giá trị của m.
6. Khi parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt M và N với M x ; y , N x ; y . 1 1   2 2 
a) Tìm m để một trong hai điểm có hoành độ bằng – 1.
b) Tìm m để hai điểm nằm khác phía với trục tung.
c) Tìm giá trị m sao cho x  3x  4 . 1 2 d) Tìm m sao cho 2
x  2 m   2
1 x m  5  36m . 1 2 1 1
e) Tìm giá trị của m để   2 . x x 1 2
f) Tìm m để hoành độ hai điểm đều thuộc khoảng (0;2). g) Tìm m để
y  2 m 1 x m  5  x x . 1   2 1 2 x x
h) Tìm giá trị m để 2 1   m . x x 1 2
i) Tìm giá trị tham số m để 2
x  2 m   2
1 x m  5 x  2 m 1 x m  5  8 1 2 2   1     .
j) Với giá trị nào của m thì biểu thức 2 2
A x x đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. 1 2
k) Tìm m để biểu thức 4y 1 4y 1  4x x đạt giá trị nhỏ nhất. 1  2  1 2
l) Tìm m sao cho  y  5 y  5  10 y y 1. 1  2  1 2
7. Tìm tọa độ điểm P (x;y) trên parabol (P) sao cho 3y  3x x y  2x 1.
8. Tìm tọa độ các giao điểm của parabol (P) với đường cong C  3 2
: y x  2x  7x  9 .
9. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm Q (1;– 7) và tiếp xúc với nhánh phải của parabol (P).
10. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường tròn tâm O, bán kính R  2 5 .
11. Giả sử A, B, C là ba điểm thuộc nhánh phải của (P), không tính gốc tọa độ. Chứng minh y y y y y y A C B A C B    0 . x x x x x x B C C A A B
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 55
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 60. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành
cho tất cả các thí sinh dự thi vào trường chuyên); Đề thi chính thức; Trường THPT Chuyên Quốc học;
Thành phố Huế; Tỉnh Thừa Thiên Huế; Năm học 1998 – 1999.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y  2x và đường thẳng chứa tham số
có dạng d : y  6x m , m là tham số thực. 1. Vẽ parabol (P).
2. Tính góc tạo bởi đường thẳng d với chiều dương trục Ox.
3. Tìm giá trị của tham số m và n để đường thẳng d thỏa mãn a) Đi qua điểm (4;1).
b) Song song với đường thẳng y  6  nx  8m .
c) Vuông góc với đường thẳng y  nx  3 . d) Cắt tia Oy.
e) Cắt đoạn thẳng LH với L (2;2), H (0;8).
f) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích nhỏ hơn 6. 37
g) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng R  . 2
h) Đi qua điểm K thuộc (P), K có hoành độ lớn hơn 4.
4. Tìm tọa độ các giao điểm P, Q của (P) và d khi m  4 . Tính diện tích tam giác OPQ.
5. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt
M và N với M x ; y , N x ; y thỏa mãn điều kiện 1 1   2 2  a) 3 x x  7 . 1 2 b) 3
x  3x x  2 . 1 1 2 m c) 2 2 x  3x   2m . 1 2 2
d) M và N nằm về hai phía của trục tung. x x e) 1 2   3 . x x 2 1
f) M và N đều có hoành độ nhỏ hơn 2. 1 g) x   x . 1 2 2  3 
h) M và N đối xứng với nhau qua điểm ;5   .  2  i)
x  0;5 , x  0;5 . 1   2  
j) x x  3. 1 2
k) y y  5y  2 5y  2  6x x . 1 2  1  2  1 2 l)
3y  23y  2 2  x  2 3  x  2  x  2 3  5x . 1 2 1 2 1 2 
6. Tìm tọa độ điểm E (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn điều kiện  x  3 2 2 7
y 18x 14 . y
7. Tìm tọa độ điểm F (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu thức S  2x 1  2 
đạt giá trị lớn nhất. 2  3   10 
8. Viết phương trình đường thẳng (l) đi qua điểm ; 5 
 , cắt (P) tại hai điểm C, D sao cho G 1;   là  2   3 
trọng tâm của tam giác OCD.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 56
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 61. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 4; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh; Năm học 2014 – 2015.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng d : y mx 1 .
1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ khi m  3 .
2. Tìm giá trị của m để đường thẳng d thỏa mãn
a) Song song với đường thẳng 2
y m x  4m  5 .
b) Vuông góc với đường thẳng 3x  2 2 y 1  0 .
c) Tạo với tia Oy một góc   30 .
d) Cắt đoạn thẳng PQ với P (1;7) và Q (– 1;– 5).
e) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 13. 1
f) Tiếp xúc với đường tròn tâm O, bán kính R  . 5 17
g) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp r  . 8
3. Chứng minh rằng, với mọi giá trị của tham số m, parabol (P) luôn cắt đường thẳng d tại hai điểm
phân biệt nằm khác phía đối với trục tung.
4. Giả sử (P) và d luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt M và N với M x ; y , N x ; y . 1 1   2 2 
a) Tìm m để tổng bình phương hai hoành độ đạt giá trị nhỏ nhất. 2 2 x x 1 x x 1
b) Tính giá trị của biểu thức : 1 1 2 2 P   . x x 1 2 c) Tìm m để 3 x x  1 . 1 1
d) Chứng minh rằng ít nhất một trong hai điểm có hoành độ x thỏa mãn x  1. 0 0 e) Tìm m để 2 2
x mx 1  9m  8m . 1 2
f) Tìm tất cả các giá trị m để 2 x x  2 . 1 2
g) Tìm m để M và N đều nằm về một phía của đường thẳng x  3 .
h) Tìm m để P   2 x  2 2
x  4 đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 
i) Tìm giá trị của m sao cho S   y  3 y  3  7 x x đạt giá trị nhỏ nhất. 1  2   1 2  1 1 2
j) Tìm giá trị của m để   . y  4 y  4 5 1 2
k) Tìm giá trị của m để y y  4mx x . 1 2 1 2
l) Tìm m để độ dài đoạn thẳng MN bằng 130 .
m) Với giá trị nào của m thì độ dài đoạn thẳng MN ngắn nhất ? 4x 3x
5. Tìm tọa độ điểm K (x;y) trên parabol (P) sao cho   1. 4 y  8x  7 4 y 10x  7
6. Điểm (x;y) được gọi là điểm nguyên khi x và y đều là các số nguyên. Với z là số nguyên dương, tồn
tại hay không điểm nguyên Z (x;y) trên nhánh phải của parabol (P) thỏa mãn đẳng thức xy yz xz    3 . z x y
7. Tồn tại hay không điểm L (x;y) thuộc parabol (P) thỏa mãn 5 2
x y xy y x  2 ?
8. Biết rằng parabol (P) cắt đường thẳng y  2x 15 tại hai điểm phân biệt C và D. Tìm tọa độ điểm E trên cung parabol nhỏ 
CD sao cho tam giác CDE có diện tích lớn nhất.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 57
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 62. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành
cho các thí sinh dự thi môn chuyên Khoa học Tự nhiên); Đề thi chính thức; Trường THPT Chuyên Lê Quý
Đôn; Thành phố Nha Trang; Tỉnh Khánh Hòa; Năm học 2000 – 2001.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng d: y  2m  2 x m 1với m
là tham số thực, O là gốc tọa độ. 1. Vẽ parabol (P).
2. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và d khi m  1  .
3. Xác định giá trị của tham số m để đường thẳng d thỏa mãn
a) Cắt đường phân giác góc phần tư thứ IV tại điểm có tung độ bằng 3.
b) Song song với đường thẳng đi qua hai điểm (4;7) và (– 4;9).
c) Đồng quy với hai đường thẳng 2x  3y 1  0;6x y  4  0 .
d) Vuông góc với đường trung tuyến kẻ từ O của tam giác OPQ với P (8;0), Q (0;6).
e) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tỷ lệ các cạnh là 2 : 3 : 13 .
f) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8.
g) Cắt đoạn thẳng UV với U (3;4), V (– 1;– 6).
4. Tìm điều kiện của tham số m để parabol (P) và đường thẳng d có điểm chung.
5. Khi (P) và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt M và N với M x ; y , N x ; y . 1 1   2 2 
a) Tìm m để M và N nằm khác phía đối với trục tung. x x b) Tìm m sao cho 1 2  2 2 2 x x . 1 2  2
c) Tìm m để M và N nằm cùng phía đối với đường thẳng x  5 . x x d) Tìm m để 1 2  5x x  7 . 1 2 3 1 1 1 e) Tìm m để   . 2x 1 2x 1 2 1 2
f) Tìm m thỏa mãn x x  3 . 1 2 g) Tìm m sao cho 2
x  2 m  2 2
x m 1  9m . 1 2
h) Tìm các giá trị của m để x 1 2x   x 1 2x  2  m . 1 2 2 1
i) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức S  3 2 2 x xx x . 1 2  1 2
j) Tìm giá trị của m sao cho x 5  3x x 5  2x  2 5m  25 . 1  2  2  1 
k) Tìm m để 2y 1 2y 1  33. 1  2  5
l) Xác định giá trị m sao cho y y x x  6x x . 1 2  1 2  1 2 2
6. Viết phương trình tiếp tuyến của parabol (P) tại điểm T (2;4).
7. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) với đường cong 3 2
y  6x  6x
2x 1  2x 1 .
8. Tìm tọa độ điểm K (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu thức 2
S y  40 10x  50 đạt giá trị nhỏ nhất.
9. Xét các điểm C  6;0, D 6;0. Tìm tọa độ điểm E (x;y) trên parabol (P) sao cho tam giác CDE vuông tại E.
10. Tìm tọa độ điểm L (x;y) sao cho khoảng cách từ điểm L đến đường thẳng  : x y  7  0 nhận giá trị
nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
11. Xét các điểm X (9;0), Y (9;2). Tìm tọa độ điểm Z (x;y) thuộc parabol (P) sao cho tam giác XYZ là tam giác cân tại Z.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 58
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 63. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 2 ; Đề thi tốt nghiệp Trung học cơ sở ; Môn Toán; Đề
thi chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Khánh Hòa; Năm học 2000 – 2001; Khóa ngày 29.05.2001.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng d: y  10x m  20 , với m là
tham số thực, O là gốc tọa độ. 1. Vẽ parabol (P).
2. Tìm giá trị của m và n để đường thẳng d thỏa mãn a) Đi qua điểm (5;1).
b) Vuông góc với đường thẳng y  nx  9m  6 .
c) Song song với đường thẳng y  3n  7 x  2 .
d) Cắt đoạn thẳng PQ với P (2;8), Q (0;12).
e) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác bằng 10.
f) Đồng quy với ba đường thẳng 2x  3y 1  0; 3x  4 y 1  0;
4x  7 y  3  0 .
g) Tiếp xúc với đường tròn tâm O, bán kính R  101 .
3. Chứng minh rằng nếu (P) và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì luôn có một điểm nằm bên phải của trục tung.
4. Tìm giá trị của m để parabol (P) và d cắt nhau tại hai điểm M và N với M x ; y , N x ; y sao cho 1 1   2 2 
a) x x  4 . 1 2 b) 3 x x . 1 2 c) 5 x x  8  . 1 2 1 1 d)   3 . x  4 x  4 1 2 e) 2 2
x 10x m m  20 . 1 2 f) 2x  2 1  2x  2 1  7m  8 . 1 2
g) 4x  7 4x  7  6x x 13. 1  2  1 2 h) 2 3
x 10x m  20  m m . 1 2 i)
x x x x  7 . 1 2 1 2
j) Biểu thức S x x x x đạt giá trị lớn nhất. 1 2 1 2
k) Biểu thức T x x x x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 1 2
l) 5y  4 5y  4  4y 1 y  4y 3  y  9104 . 1  2  1  2  2  1  1 1 3 m)   4  . y y x x 1 2 1 2
5. Tìm giá trị của m để đường thẳng d đã cho cắt đường phân giác của góc phần tư thứ nhất tại điểm
(x;y) sao cho biểu thức 4 3 2
R  2x  6x  9x 10 đạt giá trị nhỏ nhất.
6. Viết phương trình tiếp tuyến của parabol (P) biết tiếp tuyến đi qua điểm (1;– 8).
7. Tìm tọa độ hai điểm C, D thuộc (P) sao cho C và D đối xứng nhau qua điểm E (4;17).
8. Tìm điểm G (x;y) thuộc parabol (P) sao cho biểu thức X  2x  3  2x  5 đạt giá trị lớn nhất.
9. Xét hai điểm ồn tại hay không J (x;y) trên parabol (P) sao cho tam giác IJK cân tại J ?
10. Tìm tọa độ điểm L (x;y) thuộc parabol (P) sao cho biểu thức Y  2x   y  8x 11 đạt giá trị lớn
nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
11. Tìm tọa độ điểm H (x;y) trên parabol (P) sao cho y  4x 13  y  2x  5  2 .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 59
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 64. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 4; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Đà Nẵng; Năm học 2014 – 2015.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng 2
d : y m  2m  2 x với O là
gốc tọa độ, m là tham số.
1. Tìm giá trị của m để đường thẳng d thỏa mãn a) Đi qua điểm  2 1; m  .
b) Cắt đường thẳng y x  2 tại điểm có tung độ bằng 3.
c) Song song với đường thẳng 3x  5y  4  2 .
d) Vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm (3;1) và (9;4).
e) Cắt đường thẳng y  5x  2 tại một điểm R, R nằm trên đường thẳng y  9x  6 .
f) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông có tỷ lệ các cạnh là 3 : 7 : 58 .
2. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) với đường thẳng d trong trường hợp m = 0.
3. Tồn tại hay không giá trị m để (P) cắt d tại điểm có hoành độ bằng 1 ?
4. Chứng minh rằng parabol (P) luôn cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
5. Xét trường hợp parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm M và N với M x ; y , N x ; y , 1 1   2 2 
trong đó x x . 1 2
a) Tìm m sao cho x x  9x x 11 . 1 2 1 2
b) Với giá trị nào của m thì 4 x x    x x 2 2 2
x x  6 ? 1 2 1 2 1 2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S x x . 1 2
d) Tìm m để x  2  x . 1 2
e) Tìm giá trị m sao cho x x  2m  6 . 1 2
f) Tìm m để M và N đều nằm cùng phía đối với đường thẳng x  3 .
g) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho x x  6 . 1 2 h) Tìm m sao cho 2
x  2 m  2 2 x m  9 . 1 2 1 1 7m  6
i) Với giá trị nào của m thì   ? 2 x x m 1 2
j) Tìm biểu thức liên hệ giữa hai hoành độ không phụ thuộc vào tham số m.
k) Xác định giá trị m sao cho y y  4x x 10 . 1 2 1 2
l) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T y y x x x x 15 . 1 2 1 2 1 2
6. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) với đường cong 2
y x  5x 1 .
7. Viết phương trình tiếp tuyến của parabol (P) tại điểm G thuộc (P), G có tung độ bằng 9.
8. Tìm tọa độ điểm F (x;y) trên parabol (P) sao cho 4x 1  4 y 1  1.
9. Tìm tọa độ điểm E (x;y) thuộc parabol (P) sao cho khoảng cách từ E đến đường thẳng y  2x  3 đạt giá trị lớn nhất.
10. Tìm điểm P (x;y) thuộc parabol (P) và điểm Q trên đường tròn (C) tâm J (0;– 4), bán kính R  2 sao
cho độ dài đoạn thẳng PQ ngắn nhất.
11. Tìm tọa độ điểm H (x;y) thuộc parabol (P) và điểm K trên đường tròn (C) tâm J (4;– 4), bán kính
r  5 sao cho độ dài đoạn thẳng HK ngắn nhất.
12. Xét hai điểm U, V phân biệt nằm trên parabol (P) có hoành độ lần lượt là a, 2 a 1 . Ký hiệu c và d
tương ứng là khoảng cách từ U và V đến trục hoành. Hãy so sánh c và d.
13. Xét điểm X thuộc (P), X có hoành độ x  sin . Tìm giá trị lớn nhất cho biểu thức Y x y . X X X
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 60
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 65. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 2.2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Quảng Ngãi; Năm học 2014 – 2015.
Trong hệ tọa độ Oxy, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng d y   m   2 : 3
1 x  2m m 1với O là gốc tọa
độ, m là tham số thực.
1. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d với m  1  .
2. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d thỏa mãn điều kiện
a) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 20.
b) Đi qua điểm (–1;0) nhưng không đi qua điểm (1;2).
c) Song song với đường phân giác góc phần tư thứ III.
d) Vuông góc với tiếp tuyến của (P), tiếp tuyến này đi qua gốc tọa độ. e) Tiếp xúc với parabol 2
y  2x tại điểm có tung độ bằng 2.
f) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tỷ lệ các cạnh là 2 : 3 : 5 .
g) Cắt đường thẳng y  3x 1 tại điểm Z (x;y) sao cho 2 2
x y 14x 15 đạt giá trị nhỏ nhất.
3. Tìm m để parabol (P) cắt đường thẳng d tại một điểm có hoành độ bằng 2. Tìm giao điểm còn lại.
4. Chứng minh rằng parabol (P) luôn cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
5. Xét trường hợp parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm M và N với M x ; y , N x ; y , 1 1   2 2 
a) Tìm m sao cho x x  2x x 17 . 1 2 1 2
b) Tìm giá trị của m để  x x 2  5x x  2 . 1 2 1 2
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai hoành độ độc lập với m.
d) Tìm m sao cho x x m . 1 2 1 1
e) Với giá trị nào của m thì   2 ? x  3 x  3 1 2
f) Tìm giá trị m để x x  2  x x  2  8x x 13 . 1  1  2  2  1 2
g) Tìm m sao cho biểu thức x x nhận giá trị nhỏ nhất. 1 2
h) Tìm m để tồn tại hệ thức 2 2
x x  4x x  2 x x  5 . 1 2 1 2  1 2 
i) Tìm m để biểu thức 2 2
B x x  3x x đạt giá trị lớn nhất. 1 2 1 2 j) Tìm m để 2
x  3m   2
1 x  2m m 1  2m  3 . 1
k) Tìm m thỏa mãn y y  4x x  8m  7 . 1 2 1 2
6. Tìm tất cả các điểm L (x;y) thuộc parabol (P) sao cho L cách đều hai trục tọa độ.
7. Xét điểm B thuộc parabol (P), B có hoành độ bằng – 2. Tìm tọa độ điểm C thuộc (P) sao cho tam
giác BOC vuông tại O.
8. Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm F (0;3) và cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt D, E
sao cho DE  4DF .
9. Tìm tọa độ điểm A (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức
y x   y x   y   y   2 1 4 1 5 1 2 1  3x . 2 2 x y
10. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường elipsse (E) có phương trình   1. 4 3
11. Giả sử X và Y là các điểm thuộc nhánh phải của (P) có hoành độ lần lượt x và y sao cho x 3y   1. 1 x 1 y
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 J xy .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 61
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 66. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 7; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Tây Ninh; Năm học 2014 – 2015.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng d : y  2 m  
1 x m  4 với O
là gốc tọa độ, m là tham số thực.
1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ khi m  3 .
2. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng y  4x  3 và parabol (P).
3. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d thỏa mãn điều kiện
a) Không đi qua gốc tọa độ.
b) Cắt hai trục tọa độ tại hai điểm phân biệt.
c) Đi qua điểm K thuộc đường phân giác góc phần tư thứ nhất, K có tung độ bằng 4.
d) Song song với đường thẳng đi qua hai điểm (4;1) và (– 6;3).
e) Vuông góc với đường thẳng 3x  8 2 y 1  0 .
f) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d đạt giá trị lớn nhất.
g) Tạo với tia Oy một góc   60 . 3 17
h) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R  . 8
4. Chứng minh parabol (P) luôn cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
5. Tìm giá trị của m để parabol (P) và d cắt nhau tại hai điểm M và N với M x ; y , N x ; y sao cho 1 1   2 2 
a) x  2x  3 . 1 2
b) 4x x  2m  3 . 1 2
c) Các hoành độ đều lớn hơn 1 hoặc đều nhỏ hơn 1.
d) x 1 x x 1 x  4m  9 . 1  2  2  2  e) Biểu thức 3
A x x
đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2
f) Hoành độ điểm này gấp ba lần hoành độ điểm kia. g) 2
x  2 m   2
1 x m  4  m . 1 2 h) 2
x  2 m 1 x m  4  3m  2 . 1   2 1 1 i)   4 . x  2 x  2 1 2 j)
x x  3m 1 . 1 2
k) y y  4x x  6 y y  68 . 1 2 1 2 1 2
l) y y x x  3 m  4 m 1 . 1 2 1 2
m) 3y  53y  5  y y   x x 2  375 . 1 2 1 2 1 2
6. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm (1;– 15) và tiếp xúc với parabol (P).
7. Gọi A và B là các giao điểm của parabol (P) và đường thẳng y x  6 . Tìm tọa độ điểm C nằm trên
parabol (P) sao cho tam giác ABC cân tại C.
8. Xét hai điểm D (–3;0) và E (0;3). Tìm tọa độ điểm F thuộc parabol (P) sao cho tam giác DEF vuông tại F.
9. Xét ba điểm P, Q, R thuộc parabol (P) có hoành độ thuộc đoạn [0;2] sao cho tổng các hoành độ
bằng 3. Chứng minh rằng 3  y y y  5 . A B C
xy  3y  9x
10. Tìm tọa độ điểm G (x;y) nằm trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức x  3  . 3y x  3
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 62
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 67. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Phú Thọ; Năm học 2014 – 2015.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng 2
d : y  (2m 1)x m với O là
gốc tọa độ, m là tham số thực. 1. Vẽ parabol (P).
2. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d thỏa mãn a) Đi qua điểm (2;5).
b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ nhỏ hơn – 9.
c) Song song với đường thẳng y  10m  5 x  6 .
d) Vuông góc với đường thẳng 3x  5y  7  0 .
e) Tạo với đường thẳng y  3m 1một góc   60 .
f) Cắt đường thẳng y  3x  2 tại điểm (x;y) mà biểu thức y   x  2 2 6
 6 đạt giá trị nhỏ nhất.
3. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d khi m  1.
4. Giả sử P và Q là hai điểm nằm trên parabol (P) có hoành độ lần lượt là –2 và 5. Tìm tọa độ điểm R
thuộc trục hoành sao cho P, Q, R thẳng hàng.
5. Với giá trị nào của m thì parabol (P) tiếp xúc với parabol (P) ? Tìm tọa độ tiếp điểm.
6. Khi parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm có hoành độ x , x , hãy tìm hệ thức liên hệ giữa 1 2
x , x độc lập với m. 1 2
7. Tìm giá trị của m để parabol (P) và d cắt nhau tại hai điểm M và N với M x ; y , N x ; y sao cho 1 1   2 2  a) 2 2
x x  6x x  7 x x  6  . 1 2 1 2  1 2  1 1 b)   1 . x  2 x  2 1 2
c) x x  2m 1. 1 2
d) x x  9 . 1 2
e) Biểu thức P x x x x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 1 2
f) x  3  x . 1 2
g) x x  2 . 1 2 h) 2 2
x  (2m 1)x m  9 . 1 2 i) 2 2
x  (2m 1)x m  3m  2 . 1 2
j) 3y  3y  2  5x x   x x 2 . 1 2 1 2 1 2 1 1 7 k)   . y y m 1 2
8. Viết phương trình tiếp tuyến của (P) biết tiếp tuyến đi qua điểm (1;– 24).
9. Tìm tọa độ điểm H (x;y) trên parabol (P) sao cho 5x  6  10  3x  2 y x  2 .
10. Giả sử a và b là hoành độ các giao điểm của parabol (P) và đường thẳng y  2x  4 . Tính tổng các
lũy thừa bậc 7 của a và b.
11. Xét hai điểm D (3;2), E (4;3). Tìm tọa độ điểm F trên parabol (P) sao cho tam giác DEF cân tại F.
12. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường tròn (C) có tâm (0;– 4), bán kính R  5 .
13. Xét điểm L (u;v) nằm trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức 2 3
v v u  1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá
trị lớn nhất của biểu thức 3
S v uv  2u .
14. Tìm tọa độ hai điểm A và B trên parabol (P) sao cho AC  3CB trong đó C (4;19).
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 63
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 68. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Hưng Yên; Năm học 2014 – 2015.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng d : y  2x m  3, với O là gốc
tọa độ, m là tham số thực.
1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng d khi m  2 .
2. Tìm giá trị của tham số m và n để đường thẳng d thỏa mãn điều kiện
a) Đi qua trung điểm của đoạn thẳng OX với X (4;2).
b) Vuông góc với đường thẳng y mx  2n .
c) Song song với đường thẳng y  mx  4n  9 .
d) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích lớn hơn 8.
e) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp R  5 .
xy x y  2011
f) Cắt đường phân giác góc phần tư thứ nhất tại điểm K (x;y) sao cho S  đạt 2 y giá trị nhỏ nhất.
3. Tìm giá trị của m để parabol (P) và d cắt nhau tại hai điểm M và N với M x ; y , N x ; y sao cho 1 1   2 2 
a) x x  13. 1 2
b) M và N nằm khác phía đối với trục Oy. c) 3 x x  0 . 1 2 d) 3 2
x x  8x  9  x . 1 2 1 2 e) 3 3 x x  8 . 1 2
f) M, N và điểm (2017;2018) tạo thành ba điểm thẳng hàng. 1 1 8 g)   x x . 1 2 x x 9 1 2 1 2 h)   3 . x x  2 1 2
i) M và N nằm cùng phía đối với đường thẳng x  3 . 4 j) 2 2
x  2x m  3  m . 1 2 9 k)  2
x  2x m  3 2
x  2x m  3 2  m . 2 1 1 2
l)  y  4 y  4  x x 1 x x  5 167 . 1  2   1 2  2 1  1 1 17 m)   . y y 64 1 2 n) 5 2
x  2x m  3 2
x  2x m  3 2  m . 2 1 1 2
4. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm (1;0,75) và tiếp xúc với parabol (P).
5. Tìm tọa độ điểm H (x;y) thuộc parabol (P) sao cho 2x 1  2x 1  y 1 1.
6. Xét điểm L (x;y) nằm trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức 2
y y xy  1. Tìm giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của biểu thức 2 4 3
M y y y .
7. Xét hai điểm U (0;1) và V (2b;– 1), với b là tham số thực. Chứng minh rằng đường trung trực của
đoạn thẳng UV tiếp xúc với parabol (P).
8. Xét hai điểm D 3 17;0, D3 17;0 . Tìm tọa độ điểm F thuộc parabol (P) sao cho tam giác
DEF vuông tại F.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 64
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 69. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu II; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Quảng Ninh; Năm học 2012 – 2013; Khóa ngày 28.06.2012.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng d : y ax  2 , với O là gốc tọa
độ, a là tham số thực.
1. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d với a  1.
2. Tìm giá trị của tham số a sao cho đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm G nằm trên (P), G có tung độ bằng 9.
b) Song song với đường thẳng đi qua hai điểm (0;0) và (5;6).
c) Vuông góc với trung tuyến AD của tam giác ABC với A (1;2), B (3;4), C (5;1).
d) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tỷ lệ các cạnh là 3 : 8 : 73 .
e) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 6.
f) Đồng quy với hai đường thẳng y  7x  2; y  8x  5 .
g) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2 .
3. Tìm a để parabol (P) cắt đường thẳng d tại một điểm có hoành độ bằng 4.
4. Chứng minh parabol (P) và đường thẳng d luôn có hai giao điểm phân biệt nằm về hai phía của trục
tung với mọi giá trị của a.
5. Chứng minh rằng parabol (P) và đường thẳng d luôn có giao điểm với hoành độ x nào đó thỏa mãn 0
bất đẳng thức x  2 . 0
6. Tìm giá trị của a để parabol (P) và d cắt nhau tại hai điểm M và N với M x ; y , N x ; y sao cho 1 1   2 2 
a) 2x x  5 . 1 2 b) 2 4
x ax  2  9a . 1 2 c) 4 4 x x  8 . 1 2
d) M và N đều có hoành độ nhỏ hơn 2.
e) x x  5a . 1 2 x x 1 f) 2 1    . x  3 x  3 4 1 2 g)  2
x ax  2 2
x ax  2 4  2a 1. 1 2 2 1 h) Biểu thức 2
N x   x  2 x  2 2
x có giá trị nhỏ nhất. 1 1 2 2
i) Biểu thức P   2 x  4 2
x  9 đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2  j) 3y   1 3y  
1  x x   x x 2 15 . 1 2 1 2 1 2 1 1 k)   a . y y 1 2
l) Tung độ điểm này gấp 16 lần tung độ điểm kia. 2 1 1 a  36  2 m)   . y y 4 1 2
7. Tìm tọa độ giao điểm của (P) với đường cong 3 2
y x x 12x 16 .
8. Xét hai điểm E và F có hoành độ lần lượt là u và v đều thuộc đoạn [1;2]. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị u v
nhỏ nhất của biểu thức T  .
y uv y E F
9. Tìm tọa độ các điểm H, K lần lượt thuộc parabol (P) và đường thẳng y x  9 sao cho độ dài đoạn
thẳng HK là ngắn nhất.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 65
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 70. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 11; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Lâm Đồng; Năm học 2012 – 2013; Khóa ngày 26.06.2012.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng d y  m   2 : 2
2 x  3m  2 , với
O là gốc tọa độ, m là tham số thực.
1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ khi m  1.
2. Tìm tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng khi m  2 .
3. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d thỏa mãn a) Đi qua điểm (1;– 1).
b) Song song với đường phân giác góc phần tư thứ IV.
c) Tạo với đường thẳng đi qua hai điểm (4;2), (7;3) một góc   90 .
d) Cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn 1.
e) Cắt trục tung tại điểm K, K nằm trên đoạn thẳng OH với H (0;10).
f) Tạo với đường thẳng x  6 2 một góc   45 .
g) Tạo với đường thẳng y  7 3 một góc   60 .
h) Cắt đường thẳng y x  26 tại điểm J (x;y) sao cho biểu thức Q   x y2  224x  4xy 1đạt giá trị nhỏ nhất.
4. Chứng minh rằng parabol (P) và đường thẳng d luôn có hai điểm chung phân biệt với mọi giá trị m.
5. Tìm giá trị của m để parabol (P) và d cắt nhau tại hai điểm M và N với M x ; y , N x ; y sao cho 1 1   2 2 
a) x x  5x x 10 . 1 2 1 2
b) x x  2m 1 . 1 2 c) 2 2
x x  5 m  2 . 1 2  
d) M và N nằm trên nhánh phải của (P). 1 1 e)   2 . x x 1 2 1 1 f)   2 . x  3 x  3 1 2
g) M và N nằm bên phải đường thẳng x  1.
h) x 2  x x 2  x  2  . 1  2  2  1  i) Biểu thức 2 2
S x x  3x x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 1 2 j)
x  2 m  2 x  3m  2  4m  24 2 2 . 1 2 k) 2
x  2 m  2 2
x  3m  2  3m  7 . 1 2
l) y y  5x x  6x  6x  8 . 1 2 1 2 1 2 m) Biểu thức T
y y  8 x x  2
10m  40 đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 1 2
6. Tìm tọa độ điểm A (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn 2x 1  y  3x 1  0 .
7. Chứng minh parabol (P) và đường cong 7 6
y x x  7x  6 chỉ có duy nhất một điểm chung. y  2x 1
8. Tìm tọa độ điểm B (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu thức Z
đạt giá trị lớn nhất, giá trị y  2x  3 nhỏ nhất (nếu có).
9. Xét hai điểm C (4;0), D (6;4), tìm tọa độ điểm E trên parabol (P) sao cho tam giác CDE cân tại E.
10. Xét điểm U (6;3), tìm tọa độ điểm V thuộc parabol (P) sao cho độ dài đoạn thẳng UV nhận giá trị
nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 66
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 71. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Kiên Giang; Năm học 2014 – 2015.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng d : y  4x  4m  3 , trong đó O
là gốc tọa độ, m là tham số thực.
1. Tìm giá trị của tham số m sao cho đường thẳng d thỏa mãn
a) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ lớn hơn 2.
b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ thuộc khoảng (2;5).
c) Song song với đường thẳng y  4x  2m  5 . 1
d) Vuông góc với đường thẳng y   x  7 . m 9
e) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng . 16
f) Cắt đường thẳng y  3x  5 tại một điểm nằm trên đường phân giác góc phần tư thứ IV. 3 17
g) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp R  . 8
h) Cắt đường thẳng y x  3 tại điểm R (x;y) sao cho biểu thức 2 2
S x  2 y  3xy  4x  5y  6 đạt giá trị nhỏ nhất.
2. Tìm m để parabol (P) cắt đường thẳng d tại điểm có hoành độ bằng 2. Tìm tọa độ giao điểm thứ hai.
3. Giả sử (P) cắt đường thẳng d tại điểm X có hoành độ bằng 3 và cắt trục hoành tại điểm Y. Tìm độ
dài đoạn thẳng XY.
4. Tìm giá trị của m để parabol (P) và d cắt nhau tại hai điểm M và N với M x ; y , N x ; y sao cho 1 1   2 2  a) 2 2
x x x x  4 x x . 1 2 1 2  1 2 
b) x x  6 . 1 2 1 1 2 c)    . x x 3 1 2 1 1 2 d)   . 3x  5 3x  5 7 1 2 e) 5 x x  2  . 1 2 f) 3 2
x x  4x  2x . 1 1 1 2 g) 2 2
x  4x  4m  3  9m . 1 2 h) Biểu thức 2 2
x x có giá trị là 9. 1 2
i) y y y y  9x x  5 x x 12 . 1 2 1 2 1 2  1 2  1 1 2m  5 j)   . y y 4m  32 1 2
k) 6y 1 6y 1  4 y y  5x  5x . 1  2  1 2 1 2
5. Tìm tọa độ điểm H (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức 4 y  2x 1  3x 2x 1 .
6. Tìm tọa độ hai điểm D, E thuộc parabol (P) sao cho D và E đối xứng với nhau qua điểm F (4;17).
7. Tìm tọa độ điểm K (x;y) thuộc parabol (P) sao cho biểu thức T   2
x x   4 2 2 3
y  2 y  6 đạt giá trị nhỏ nhất.
8. Tìm tọa độ điểm K (x;y) nằm trên parabol (P) sao cho biểu thức 2
S y  6 6x  23 đạt giá trị nhỏ nhất.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 67
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 72. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Nghệ An; Năm học 2012 – 2013; Khóa ngày 24.06.2012.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng d y  m   2 : 2
1 x m  6 , trong
đó O là gốc tọa độ, m là tham số thực.
1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ với m  3 .
2. Tìm giá trị của tham số m và n để đường thẳng d thỏa mãn a) Đi qua điểm (1;4).
b) Cắt đường thẳng y x  4 tại điểm có tung độ bằng 6.
c) Song song với đường thẳng y  3mx n .
d) Vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ IV.
e) Tạo với đường thẳng y  2  3 một góc   45 .
f) Cắt trục tung tại điểm A, A nằm trong đoạn thẳng OB với B (0;5).
3. Chứng minh parabol (P) luôn cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
4. Tìm giá trị của m để parabol (P) và d cắt nhau tại hai điểm M và N với M x ; y , N x ; y sao cho 1 1   2 2 
a) Một trong hai điểm có hoành độ bằng 3. b) 2 2
x x  16 . 1 2
c) Một trong hai điểm có hoành độ bằng 2m. 1 1 6 d)   . 2x  3 2x  3 11 1 2
e) M và N đều nằm trên nhánh phải của (P).
f) x x  2m  6 . 1 2
g) x x  4 . 1 2 h) 2
x  2 m   2
1 x m  15 . 1 2 i) Biểu thức 2 2
K x x nhận giá trị nhỏ nhất. 1 2 j) 2
x  2 m   2
1 x m  3m 1 . 1 2 k) 2
x  2 m   2
1 x m  6 m 1  24 2     .
l) y y  4x x x x . 1 2 1 2 1 2
m) x y x y 10 m 1  0 . 1 2 2 1   2 2 x y
5. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường elippse  E :   1. 4 9
6. Điểm (x;y) được gọi là điểm nguyên khi x và y đều là các số nguyên. Tìm tất cả các giá trị nguyên
của tham số để các giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d đều là điểm nguyên.
7. Tìm tọa độ điểm P (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức 3
x y  5x 1  2 x  3 2x 1 .
y   x y2 4
8. Tìm tọa độ điểm Q (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu thức f  ; x y  đạt giá trị nhỏ y 1 4 y
nhất, giá trị lớn nhất (nếu có).
9. Tìm tất cả các giá trị của tham số n để parabol (P) cắt đường thẳng y x  2n tại điểm T (x;y) sao y  4x 2  3 cho biểu thức T
nhận giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có). 1 y
10. Tìm tọa độ điểm R thuộc parabol (P) và điểm S thuộc đường thẳng  : y  3x 10 sao cho độ dài
đoạn thẳng RS ngắn nhất.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 68
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 73. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Phú Thọ; Năm học 2012 – 2013; Khóa ngày 26.06.2012.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng d : y  2 m  3 x 1, trong đó
O là gốc tọa độ, m là tham số thực.
1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ với m  1.
2. Tìm giá trị của tham số m và n để đường thẳng d thỏa mãn a) Đi qua điểm (–4;2). b) Cắt tia Ox.
c) Cắt đường phân giác góc phần tư thứ III tại điểm có tung độ bằng 4.
d) Song song với đường thẳng đi qua hai điểm (3;1) và (– 5;7).
e) Vuông góc với đường thẳng 2x  5y  4  0 .
f) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tỷ lệ các cạnh là 2 : 3 : 13 . 1
g) Tiếp xúc với đường tròn tâm O, bán kính R  . 17
3. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt đường phân giác góc phần tư thứ nhất tại điểm K
(x;y) sao cho biểu thức S x   y  2 2 2 3
 4xy đạt giá trị nhỏ nhất.
4. Chứng minh parabol (P) luôn cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
5. Chứng minh parabol (P) luôn cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt, trong đó một điểm có hoành 1
độ x nào đó thỏa mãn x  . 0 0 2
6. Tìm giá trị của m để parabol (P) và d cắt nhau tại hai điểm M và N với M x ; y , N x ; y sao cho 1 1   2 2 
a) 5 x x  4x x  6 . 1 2  1 2 b) 2 2 x x  6 . 1 2 c) 2
x  2 m  3 2 x 1  9m . 1 2 1 1 d)   5 . x x 1 2
e) Độ dài đoạn thẳng MN ngắn nhất. 1 1 12 f)    . x  4 x  4 31 1 2
g) x  2x  3 . 1 2
h) x y x y  2 . 1 2 2 1
i) 2y  7 2y  7  4x x  5 . 1  2  1 2 j) Biểu thức 2 2
A x x x x đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó. 1 1 2 2
k) Biểu thức B x y x y  4 y y y y nhận giá trị nhỏ nhất. 1 2 2 1  1 2  1 2 l) 2
x  2 m  3 x 1  7 m  3 11 . 1   2
7. Tìm tọa độ điểm D (x;y) thuộc parabol (P) sao cho biểu thức 2
S  16 y  8x  7 đạt giá trị nhỏ nhất.
8. Tìm tọa độ điểm E (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức xy  5x  6 4x  3  0 .
9. Điểm (x;y) được gọi là điểm nguyên khi x và y đều là các số nguyên. Tìm tất cả các giá trị nguyên
của tham số để các giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d đều là điểm nguyên. 2 2 x y
10. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường elippse:  E :   1. 4 36
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 69
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 74. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 5.a; Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS; Môn Toán;
Đề thi chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh; Năm học 2003 – 2004.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol  P 2
: y  2x và đường thẳng 2 d : y  2
mx m  2 , trong
đó O là gốc tọa độ, m là tham số thực.
1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một mặt phẳng khi m  1.
2. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d khi m  0 .
3. Tìm giá trị của m và n để đường thẳng d thỏa mãn a) Đi qua điểm (1;– 1).
b) Song song với đường thẳng 2x  3y  5  0 .
c) Vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ III.
d) Cắt trục tung tại điểm có tung độ nhỏ hơn 1.
e) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tỷ lệ các cạnh là 2 : 9 : 85 .
f) Tạo với đường thẳng y  2017  2016 một góc   60 .
g) Cắt đường thẳng y x  4 tại điểm F (x;y) sao cho biểu thức 2 2
x  2 y xy đạt giá trị nhỏ nhất.
4. Trong trường hợp parabol (P) và d cắt nhau tại hai điểm M và N với M x ; y , N x ; y . 1 1   2 2 
a) Tìm m để một trong hai điểm có hoành độ bằng 2.
b) Tìm m để ít nhất một trong hai giao điểm nằm trên nhánh phải (P).
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai hoành độ độc lập với m.
d) Với giá trị nào của m thì hai giao điểm đều có hoành độ lớn hơn 4. 1 1 e) Tìm m sao cho   3 . x x 1 2
f) Tìm giá trị m sao cho x x  4x x  1. 1 2 1 2
g) Tìm m sao cho x x   x x 2 2 2  5 . 1 2 1 2
h) Tìm giá trị của m sao cho 2 2 4
2x  2mx m  2  m . 1 2
i) Với giá trị nào của m thì 2 2
2x  2mx m  2  3m 1 . 1 2
j) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  2x x x x  4 . 1 2 1 2
k) Tìm m để y y   x x 2  2x x 10 . 1 2 1 2 1 2
l) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
B x x  6x x . 1 2 1 2
5. Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và cắt parabol theo một dây cung có độ dài bằng 5 .
6. Điểm (x;y) được gọi là điểm nguyên khi x và y đều là các số nguyên. Tìm tất cả các giá trị nguyên
của tham số để các giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d đều là điểm nguyên. 1
7. Tìm tọa độ điểm K (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn điều kiện 9x
y  20  2 3x 10 . 2
8. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm G (2;10) và cắt parabol (P) theo dây cung DE sao cho
đoạn thẳng DE nhận G làm trung điểm. 1
9. Tìm tọa độ điểm H (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn điều kiện 2
y 12  5  3x x  5 . 2
10. Tính khoảng cách ngắn nhất giữa parabol (P) và đường thẳng y  x  5 .
11. Xét hai điểm A (4;0), B (10;2). Tìm tọa độ điểm C trên parabol (P) sao cho tam giác ABC cân tại C. y 8
12. Tìm điểm T (x;y) trên nhánh phải parabol (P) sao cho biểu thức S x  
đạt giá trị nhỏ nhất. 2 x
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 70
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 75. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 3; Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS; Môn Toán;
Đề thi chính thức; Phòng Giáo dục và Đào tạo Thị xã Hà Đông; Tỉnh Hà Tây; 2003 – 2004.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng d y  m   2 : 2
1 x  2m  3m 1,
trong đó O là gốc tọa độ, m là tham số thực. 1. Vẽ parabol (P). 1
2. Trong trường hợp m  : 2
a) Tính góc tạo bởi đường thẳng d với chiều dương trục tung.
b) Tìm tọa độ các giao điểm A, B của đường thẳng d với parabol (P).
c) Tìm tọa độ điểm C trên đường thẳng y  3x  8 sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng.
3. Tìm giá trị của m và n để đường thẳng d thỏa mãn điều kiện a) Đi qua điểm (1;– 1).
b) Song song với đường thẳng y  3x  2 .
c) Song song với đường thẳng 2x  3y n  4 .
d) Vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ II.
e) Cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn – 1.
f) Vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm (1;4) và (2;7).
g) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ nhỏ hơn 3.
h) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tỷ lệ các cạnh là 1: 3 : 10 .
4. Chứng minh rằng parabol (P) và đường thẳng d có điểm chung khi 0  m  1.
5. Trong trường hợp parabol (P) và d cắt nhau tại hai điểm M và N với M x ; y , N x ; y . 1 1   2 2  a)
Tìm m để một trong hai điểm có hoành độ bằng 2. b)
Tìm m để M và N nằm khác phía đối với trục tung. 9 c)
Chứng minh x x x x  . 1 2 1 2 8 d)
Tìm m để M và N đều nằm trên nhánh trái của (P). e)
Tìm giá trị của m sao cho x x  3x x  5 . 1 2 1 2 f) Tìm m để 2
x  2 m   2 2
1 x  2m  3m 1  m . 1 2 2 1 1 7m  2 g) Tìm m để   . 2 x x 2m  3m 1 1 2 h)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
P x x x x . 1 2 1 2 i)
Tìm giá trị của m để y y 19  9x x x 3  x x 3  x . 1 2 1 2 1  2  2  1 
6. Tìm tọa độ điểm P x ; y nằm trên parabol (P), trong đó x là số nhỏ nhất trong các số x thỏa mãn 0 0  0
xb bc cx  1  2 2 2
x b c  2 
7. Tìm tất cả các điểm Q (x;y) trên parabol (P) sao cho  x  2 4
 6 xy  3x  13 .
8. Tìm tọa độ hai điểm U, V nằm trên parabol (P) sao cho U và V đối xứng với nhau qua điểm R (1;5).
9. Xét hai điểm D, E nằm trên parabol (P), D và E có hoành độ lần lượt là – 2 và 4. Tìm tọa độ điểm F
thuộc trục hoành sao cho tam giác DEF cân tại F.
10. Tìm tọa độ điểm G (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu thức T  2 y 1  8y  36x  49 đạt giá trị nhỏ nhất.
11. Tìm tọa độ điểm S (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức 2
y 12  8x 2 .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 71
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 76. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 4 ; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT ; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Khánh Hòa; Năm học 2003 – 2004; Khóa ngày 09.07.2004.
Trong mặt phẳng với tọa độ Oxy, cho parabol  P 2
: y  2x và đường thẳng d y   m   2 : 2
1 x m  4m  3 ,
trong đó O là gốc tọa độ, m là tham số thực với m là tham số thực. 1. Vẽ parabol (P).
2. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d khi m  1  .
3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng d thỏa mãn a) Đi qua điểm (1;– 12).
b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ dương.
c) Song song với đường thẳng 4 y  6x 10 .
d) Vuông góc với đường thẳng 4x y  2  0 .
e) Tạo với đường thẳng y  2 3  3 2 một góc   60 .
f) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tỷ lệ các cạnh góc vuông là 2 : 5 : 29 .
g) Cắt đường thẳng y x 18 tại điểm Z (x;y) sao cho biểu thức H  3  x x 1 đạt giá trị lớn nhất.
4. Tìm m để parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 2.
5. Khi parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm M và N với M x ; y , N x ; y : 1 1   2 2 
a) Tìm m để x x  4x x 1. 1 2 1 2
b) Tìm m để hai giao điểm đều có hoành độ dương. c) Tìm m để 2
2x  2 m   2
1 x  4m  3  3m . 1 2
d) Với giá trị nào của m thì 2
2x  2 m   2
1 x m  4m  3  1 m ? 1 2
e) Tìm m để x  2  x . 1 2 1 1 2 f) Tìm m sao cho    . x x 3 1 2
g) Tìm tất cả các giá trị m sao cho 2 2
x x  5x x  6 x x  4 . 1 2 1 2  1 2 
h) Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức K  3 x x 10 . 1 2 
i) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
A x x  7 x x 10x x . 1 2  1 2  1 2
j) Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức T x x  5m . 1 2
k) Tìm giá trị tham số m sao cho y y  3x x  4 x x  5 . 1 2 1 2  1 2 
l) Xác định tham số m để x y x y  7 m  3 1 . 1 2 2 1
6. Tìm tọa độ điểm Y (x;y) trên parabol (P) có hoành độ 3 3
x  20 14 2  20 14 2 . 2
x  6x y 14
12. Tìm tọa độ tất cả các điểm G (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu thức T  đạt giá trị y  5
nhỏ nhất, giá trị lớn nhất (nếu có). 1 1 1 1
7. Xét điểm X (x;y) thuộc parabol (P) có hoành độ x  1   ...   . Chứng minh rằng 2 3 99 100
tung độ y của X nằm trong khoảng (648;722).
8. Tìm tất cả các điểm A (x;y) thuộc parabol (P) thỏa mãn bất đẳng thức 4x 1  2 y 1  1.
9. Xét hai điểm U, V nằm trên parabol (P) có hoành độ tương ứng là – 3 và 5. Tìm tọa độ điểm T trên
đường phân giác góc phần tư thứ nhất sao cho tam giác UVT cân tại T.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 72
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 77. Mở rộng và phát triển câu 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành cho tất cả các
thí sinh dự thi); Đề thi chính thức; Trường Trung học thực hành; Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí
Minh; Quận 5; Thành phố Hồ Chí Minh; Năm học 2015 – 2016. 1 1
Trong mặt phẳng với tọa độ Oxy, cho parabol  P 2 : y
x và đường thẳng 2 D : y
x m , trong đó O là 4 2
gốc tọa độ, m là tham số thực với m là tham số thực. 1. Vẽ parabol (P).
2. Cho M (1;m) và N (2;n). Tìm m và n để M thuộc (P) và N thuộc (D).
3. Cho m  2 . Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ và tìm tọa độ giao điểm của chúng bằng phép toán.
4. Với giá trị nào của m thì đường thẳng (D) thỏa mãn 1
a) Song song với đường thẳng y x  3m . 2
b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn 100.
c) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 32.
d) Cắt đoạn thẳng OP với P (0;4).
5. Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, parabol (P) và đường thẳng (D) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
6. Đồ thị parabol (P) bao gồm nhánh trái và nhánh phải. Gọi hai giao điểm phân biệt của parabol (P)
với đường thẳng (D) là Ax ; y , B x ; y . 1 1   2 2 
a) Chứng minh A và B thuộc hai nhánh khác nhau của (P).
b) Giả sử B thuộc nhánh phải của (P), so sánh các khoảng cách từ A và B đến trục tung.
7. Tìm m để (P) và (D) cắt nhau tại hai điểm phân biệt Ax ; y , B x ; y sao cho 1 1   2 2 
a) Một trong hai điểm A, B có hoành độ bằng 3.
b) x x  5x x   x x 2 1. 1 2 1 2 1 2 1 1 8 c)   . x  4 x  4 15 1 2 d) 3
x  3x x  39 . 1 1 2 e) 4 4
x x  82 . 1 2 1 1 14 f)   . x  2 3x  4 13 1 2 g) x x x  2  3. 1 2 2 h) 2 2 4
x  2x  4m  4m . 1 2
i) y y  2 . 1 2 3 j) 2 2
y y x x  9 . 1 2 1 2 2
k) Biểu thức S y y  4x x m đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 1 2
l) Biểu thức T x x  2
m  3 đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 
8. Tìm tọa độ điểm M (x;y) thuộc parabol (P) sao cho điểm M cách đều hai trục tọa độ.
9. Xét hai điểm C, D thuộc parabol (P) có hoành độ tương ứng là – a và b, a và b là các số thực
dương. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để tam giác COD vuông tại O.
10. Xét hai điểm H, K thuộc parabol (P) có hoành độ lần lượt là – 2 và 8. Tìm tọa độ điểm T thuộc trục
tung sao cho HTKO là tứ giác nội tiếp.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 73
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 78. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng
d y   m   2 : 2
1 x m m  6 , trong đó m là tham số thực. 1. Vẽ parabol (P).
2. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d khi m  2 .
3. Với giá trị nào của m thì (P) cắt d tại gốc tọa độ ? Tìm giao điểm thứ hai.
4. Tìm giá trị của tham số m và n để đường thẳng d thỏa mãn a) Đi qua điểm (1;7).
b) Song song với đường phân giác của góc phần tư thứ IV.
c) Vuông góc với đường thẳng 3x  4 y n  9  0 .
d) Vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm (3;1) và (4;9).
e) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông có một góc nhọn   30 .
5. Chứng minh rằng parabol (P) luôn cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị m. Tìm
mối liên hệ giữa hai hoành độ giao điểm, mối quan hệ này độc lập với tham số m.
6. Giả sử (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm Ax ; y , B x ; y , chứng minh biểu thức T x x có giá 1 1   2 2  1 2 trị không đổi.
7. Xác định giá trị của m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt Ax ; y , B x ; y sao cho 1 1   2 2 
a) x  2x  5m  6 . 1 2
b) 2x 1 2x  3  9 . 1  2 
c) Hoành độ điểm này gấp rưỡi hoành độ điểm kia. d) 3 3
x x  35 . 1 2
e) A và B đều có hoành độ nhỏ hơn 3. f) 2 2
x  3x  9x  2x x 10x 1. 1 2 1 1 2 2 g) 5
  x x  5 . 1 2 h) 2
  x x  3  5  2m . 1 2 i) 2
x  2m   2
1 x m m  6  4m  3 . 2 1
j) y y  7x . 1 2 1 1 2 y y k) 1 2   . 2 x x m m  6 1 2 3
l) Biểu thức S  2 y y  4x x x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2  1 2 1 2 m) Biểu thức 3 3
K x x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2
8. Có bao nhiêu điểm Q (x;y) nằm trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức sau x 3y  
1  9x  5 3x  2 ?
9. Tìm tọa độ tất cả các điểm M (x;y) (M khác gốc tọa độ) nằm trên parabol (P) sao cho khoảng cách
từ M đến trục hoành gấp đôi khoảng cách từ M đến trục tung.
2. Tìm tất cả các điểm N (x;y) trên parabol (P) sao cho biểu thức Z
y 10x  74 
y  2x  2 đạt giá trị lớn nhất.
3. Xét hai điểm C, D nằm trên (P); C và D có hoành độ tương ứng là –a và b, a và b là các số thực
dương. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để tam giác COD vuông tại O.
4. Xét hai điểm H, K nằm trên (P) có hoành độ tương ứng là – 4 và 0,25. Tìm tọa độ tất cả các điểm T
trên trục tung sao cho tứ giác OHTK là tứ giác nội tiếp.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 74
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 79. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng
d : y  2 m  
1 x m  3 , với m là tham số thực. 1. Vẽ parabol (P).
2. Khi m  3 , tìm tọa độ hai giao điểm của parabol (P) với đường thẳng d. Tính khoảng cách giữa hai điểm đó.
3. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm X, X thuộc (P) và có hoành độ bằng 3.
b) Vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm (4;2) và (– 5;1).
c) Song song với trục hoành.
d) Cắt đường phân giác góc phần tư thứ III tại điểm có tung độ bằng 4.
e) Cắt đoạn thẳng OY với Y (0;7).
f) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông có góc   30 .
g) Cắt đường thẳng y  3x  2 tại Z (x;y) thỏa mãn biểu thức K  6xy x y đạt giá trị nhỏ nhất.
4. Chứng minh rằng parabol (P) luôn cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị m.
5. Xác định giá trị của m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt Ax ; y , B x ; y sao cho 1 1   2 2 
a) Một trong hai điểm có hoành độ bằng 3.
b) x x  5x x 10m  3. 1 2 1 2 c) Hai nghiệm cùng âm. d) 5 2 2 x x  2x x  6 . 1 2  1 2
e) 2x  3x  9 . 1 2
f) Hai điểm đều có hoành độ nhỏ hơn 3. 1 1 g)   4 . x  4 x  4 1 2 h) 2 2
x x  10 . 1 2 m 1 i) 2
x  2 m 1 x m  3  . 1   2 2 j) 3 3
x x x x  4  . 1 1 1 2
k) Tung độ điểm này gấp 9 lần tung độ điểm kia.
l) Biểu thức S  6 y y  5x x x x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2  1 2 1 2 m) 3y   1 3y   2 1  x  2 1 2x  2  x  2 1 3x . 1 2 1 2 2 1  n) Biểu thức 2 T
x  2 m 1 x m  3  2m  9 đạt giá trị nhỏ nhất. 1   2
6. Có bao nhiêu điểm Q (x;y) nằm trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức x 6  y  2x  5 2x 1 .
7. Tìm tọa độ tất cả các điểm M (x;y) (M khác gốc tọa độ) nằm trên parabol (P) sao cho khoảng cách
từ M đến trục hoành gấp 5 lần khoảng cách từ M đến trục tung.
8. Xét hai điểm H, K nằm trên (P) có hoành độ tương ứng là – 8 và 0,125.
a) Chứng minh tam giác HKO vuông.
b) Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HKO.
c) Tìm tọa độ tất cả các điểm T trên trục tung sao cho tứ giác OHTK là tứ giác nội tiếp.
9. Tìm tất cả các điểm P (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn 2  y  2  x .
10. Điểm C (x;y) được gọi là điểm nguyên nếu x và y đều là các số nguyên. Tìm tất cả các điểm nguyên 51 2x y
(x;y) trên parabol (P) thỏa mãn bất đẳng thức  1. 1 x
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 75
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 80. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng
d : y  2 m  
1 x  4m với m là tham số thực. 1. Vẽ parabol (P).
2. Tìm giá trị của tham số m sao cho đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm Z thuộc (P), Z có hoành độ bằng 5.
b) Vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ II.
c) Song song với đoạn thẳng XY với X (1;3), Y (– 5;2).
d) Cắt trục tung tại điểm có tung độ thuộc đoạn [2;9]. 16
e) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng . 3
f) Cắt đường thẳng y  4x  3 tại điểm T (x;y) sao cho ba điểm T, U (4;2), V (7;3) tạo thành ba điểm thẳng hàng.
g) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tỷ lệ các cạnh là 2 : 5 : 29 .
3. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và d khi m  3 .
4. Biện luận theo tham số m giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d.
5. Xác định giá trị của tham số m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm Ax ; y , B x ; y sao cho 1 1   2 2 
a) Một trong hai điểm có hoành độ bằng m 1. b) 2 2
x x x x x x  4 . 1 2  1 2  1 2
c) Hai giao điểm nằm khác phía đối với trục tung. d)  x  2x x  2x  6 . 1 2   2 1 
e) A và B đều có hoành độ lớn hơn 1.
f) x  5  x . 1 2
g) 4 x x   3 x x    x x 2 2 2  66 . 1 2 1 2 1 2 h) 3 3
x x  16 . 1 2 i)
x x  2 2 . 1 2
j) Tung độ điểm này gấp 25 lần tung độ điểm kia. 1 25 k)  2x  . 2 x 6 1 l) 2x x x  3  1. 1 2 2
m) Biểu thức S y  2 y  3x  4x  5 đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 2 2
n) 2y 1 3y 1  4x x  5x y . 1  2  1 2 1 2 o) Biểu thức 2 2
Q  10  x x  2x  3x đạt giá trị lớn nhất. 1 2 1 2 1 2  3 4  p) Biểu thức T      5  
đạt giá trị nhỏ nhất. y y x x 1 2  1 2 
6. Tìm giá trị nguyên của m để parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm Ax ; y , B x ; y sao cho 1 1   2 2  1 1 biểu thức P   nhận giá trị nguyên. x x 1 2
7. Tìm hai điểm M, N nằm trên parabol (P) sao cho M và N đối xứng với nhau qua điểm Q (–1;10).
8. Tìm tọa độ các điểm D (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn bất đẳng thức 1 x  1 x  1 y  3 .
9. Tìm tọa độ tất cả các điểm E (x;y) trên parabol (P) sao cho  x  2 y 1   x  2 x y 1  x .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 76
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 81. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng d : y  2
 m  2 x  4m 12 với m là tham số thực.
1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ khi m  0 .
2. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và đường thẳng d khi m  5 .
3. Tìm giá trị của tham số m sao cho đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm X, X thuộc (P), X có hoành độ bằng – 3.
b) Vuông góc với đường thẳng 3x  4 y  5  0 .
c) Song song với đường thẳng đi qua O và điểm Y (4;2). 12
d) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d bằng . 17
e) Cắt đoạn thẳng UV với U (1;1), V (3;5).
f) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tỷ lệ các cạnh là 3 : 5 : 34 .
4. Tìm tọa độ điểm Z cố định mà đường thẳng d luôn luôn đi qua với mọi giá trị của m, từ đó tìm m để
khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d đạt giá trị lớn nhất.
5. Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, đường thẳng d và parabol (P) luôn có điểm chung.
6. Tìm giá trị của m để parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm M và N với M x ; y , N x ; y thỏa 1 1   2 2  mãn điều kiện
a) x x   x x 2 2 2  104 . 1 2 1 2
b) x x  8 . 1 2 c) 2 x x . 1 2 d) 3 3
x x  19 . 1 2
e) 2x x 14 . 1 2
f) M và N nằm khác phía đối với đường thẳng x  5 .
g) Tung độ điểm này gấp 4 lần tung độ điểm kia. h) 3
  x x  4 . 1 2
i) M và N nằm trong khoảng giữa trục Oy và đường thẳng x  4 . j) Biểu thức 2 2
F x  2x đạt giá trị bé nhất. 1 2 k) 2
x  2 m  2 x  4m 12  x  2x . 1   2 1 2
l) M và N nằm trong khoảng giữa trục hoành và đường thẳng y  9 .
m) y y  6 y y x 156 . 1 2 1 2 2
n) Biểu thức S y y x x x y đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 1 2 1 2
7. Tìm tọa độ tất cả các điểm Q (x;y) (Q khác gốc tọa độ) nằm trên parabol (P) sao cho khoảng cách từ
M đến trục hoành bằng khoảng cách từ Q đến đường thẳng x  2 .  8 14 
8. Tìm tọa độ điểm C thuộc (P) sao cho C cách đều hai điểm A (4;0), B  ;   .  5 5 
9. Tìm tọa độ điểm D (x;y) thuộc parabol (P) thỏa mãn đẳng thức xy  4 y  5x  2 x 1 .  3 
10. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm 1; 
 và tiếp xúc với parabol (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.  4 
11. Xét hai điểm E (1;1), F (3;9). Tìm tọa độ điểm G thuộc (P) sao cho tam giác EFG vuông tại E.
12. Xét ba điểm K, I, J trong đó K (1;1), I và J nằm trên (P); I và J có hoành độ tương ứng là – a và b, a
và b là các số thực dương. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để tam giác IJK vuông tại K.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 77
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 82. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng
d : y  2 m  
1 x m  4 với m là tham số thực.
1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ khi m  0 .
2. Tìm giá trị của m để parabol (P) và đường thẳng d cùng đi qua điểm X (1;n), n là hằng số thực.
3. Tìm giá trị tham số m sao cho đường thẳng d thỏa mãn
a) Đi qua điểm cố định của đường thẳng y  n  2 x  3n  9; n   .
b) Vuông góc với đường thẳng 2x  3y  6  0 .
c) Song song với đường thẳng 10x y 16  0 .
d) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 13.
e) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ nhỏ hơn 3. 1
f) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng . 24
4. Chứng minh parabol (P) luôn cắt đường thẳng d với mọi giá trị của m.
5. Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương.
6. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai giao điểm M và N với
tọa độ M x ; y , N x ; y thỏa mãn điều kiện 1 1   2 2 
a) Một trong hai giao điểm có hoành độ bằng 2. 1 1 7 b)   . x x 8 1 2
c) M và N đều nằm trong góc phần tư thứ nhất. d) 2 2
x x  4x x  3 x x  2 . 1 2 1 2  1 2 
e) Biểu thức Q  3x   x x 2 2 2
 3x nhận giá trị nhỏ nhất. 1 1 2 2
f) x x  2 17 . 1 2
g) Ít nhất một trong hai giao điểm nằm bên phải trục tung.
h) x  3  x . 1 2
i) Biểu thức S x x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2
j) M và N nằm trong khoảng hai đường thẳng x  3; x  5 .
k) y y  4 2 m 1 . 1 2 
l) y y  82  5y y x 3  x x 3  x . 1 2 1 2 1  2  2  1 
m) 3y  2 3y  2  6x x 10 . 1  2  1 2 2 2 x x n) Biểu thức 1 2 R
đạt giá trị nhỏ nhất. x 1 xx 1 x 1  2  2  1 
7. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm D (1;9) và cắt parabol (P) theo dây cung EF sao cho độ
dài đoạn thẳng DF gấp đôi độ dài đoạn thẳng DE.
8. Tìm tọa độ tất cả các điểm H (x;y) thuộc parabol (P) thỏa mãn đẳng thức x y y x x 1.
9. Tìm giá trị nguyên của tham số m để parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm có hoành độ x , x 1 2 x x thỏa mãn biểu thức 1 2 S  nhận giá trị nguyên. x x 1 2
10. Chứng minh rằng có đúng hai điểm K (x;y) thuộc parabol (P) sao cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất 2 3 2 2 T
2 y  6x  5 y 11 
x  3y  6x  2x  4 .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 78
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 83. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng
d : y  2mx  6m  9 với m là tham số thực.
1. Tìm tọa độ của parabol (P) và đường thẳng d khi m  4 .
2. Tìm giá trị của tham số m và n để đường thẳng d thỏa mãn
a) (P) và d cùng đi qua điểm X nào đó có hoành độ bằng 2.
b) Song song với đường thẳng 3x  5 y n  0; n   .
c) Cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn 5m. 1
d) Vuông góc với đường thẳng y
x  4n 1; n   . 2
e) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 56,25.
3. Tìm khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d.
4. Xét hai điểm A (0;4), B (–1;0). Tìm giá trị của m để đường thẳng d cắt trục hoành tại điểm C sao
cho diện tích tam giác OAC gấp bốn lần diện tích tam giác OAB.
5. Chứng minh rằng parabol (P) và đường thẳng d luôn có điểm chung với mọi giá trị của m.
6. Xác định m để parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm M x ; y , N x ; y thỏa mãn 1 1   2 2  a) 2 2
x x  13 . 1 2
b) 4 x x  3x x  5 . 1 2  1 2
c) M và N đều có tung độ lớn hơn 4. 1 1 2 d)   . 2x  3 2x  3 3 1 2
e) 4x  3x  3 . 1 2
f) M và N cùng nằm trong góc phần tư thứ II.
g) x x  3x x  4 . 1 2 1 2 h) 4
  x  1  x  5 . 1 2 1 i)
 3x x  6 . 1 2 x x 1 1 2
j) Biểu thức K   x x 2  3x x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 1 2
k) Độ dài đoạn thẳng MN bằng 8 5 . l) Biểu thức 2 2
F x  2x  3y  4 y đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 1 2
m) x  2  x y y . 1 2 1 2 n) 2
x  2mx  6m  9  y . 1 2 2 1 2  1 2  o) Biểu thức S    4   5  
đạt giá trị nhỏ nhất. y y x x 1 2  1 2 
7. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm (1;– 3) và tiếp xúc với parabol (P).  1  8. Xét điểm E 2; 
 , tìm tọa độ điểm D (x;y) sao cho độ dài đoạn thẳng DE nhận giá trị nhỏ nhất.  2 
9. Tìm tọa độ điểm F (x;y) thuộc parabol (P) thỏa mãn đẳng thức x y   1  3x   1 3x 1 .
10. Tìm tọa độ điểm G (x;y) thuộc parabol (P) sao cho biểu thức T
y  6x 10 
y  4x 13 nhận giá trị nhỏ nhất.
11. Giả sử đường thẳng y  4
x  5 cắt parabol (P) tại hai điểm H, K. Tìm tọa độ trọng tâm J của tam giác HKO.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 79
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 84. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng 2
 : y nx m  9 . 1. Vẽ parabol (P).
2. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và  trong trường hợp n  2; m  1.
3. Tìm giá trị của m và n để đường thẳng  thỏa mãn điều kiện
a) Song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất.
b) Vuông góc với đường thẳng 3y  2x  7 .
c) Cắt trục tung tại điểm có tung độ nhỏ hơn – 5.
d) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tỷ lệ các cạnh là 3 : 8 : 73 .
4. Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n để đường thẳng đã cho chắn trên hai trục tọa độ hai đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.
5. Tìm điều kiện của m và n để  cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 và cắt parabol (P) tại điểm có hoành độ bằng 6.
6. Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y x  6 đồng thời tiếp xúc parabol (P).
Tìm tọa độ tiếp điểm.
7. Trong trường hợp n  2 ; xác định các giá trị của m để (P) và đường thẳng  cắt nhau tại hai điểm
Ax ; y , B x ; y sao cho 1 1   2 2 
a) A và B nằm về hai phía của trục tung.
b) Ít nhất một trong hai điểm có hoành độ dương.
c) A và B đều có hoành độ lớn hơn 0,5.
d) x x  6x x 19 . 1 2 1 2 e) 2 2
x x  5 x x  6x x 19 . 1 2  1 2  1 2 f) 3 x x  8 . 1 2 1 1 g)   2  . x  4 x  4 1 2
h) y y  10 . 1 2
8. Xét hai điểm P (2;0), Q (0;– 4). Tìm giá trị của m để đường thẳng d đã cho cắt trục tung tại điểm R
sao cho diện tích tam giác OAR gấp 4 lần diện tích tam giác OAQ.
9. Tìm tọa độ điểm L (x;y) thuộc parabol (P) sao cho biểu thức 4
S x  8 2x 10 đạt giá trị nhỏ nhất.
10. Tìm tọa độ điểm J (x;y) thuộc parabol (P) thỏa mãn đẳng thức y  4x  6  5x  6 .
11. Tìm tọa độ các điểm K (x;y) trên parabol (P) có hoành độ gấp hai lần tung độ.
12. Tìm tọa độ các điểm T (x;y) trên parabol (P) sao cho khoảng cách từ T đến trục hoành gấp 4 lần
khoảng cách từ T đến trục tung.
13. Tìm giá trị của k để parabol (P) cắt đường thẳng y x k tại hai điểm M, N và cắt trục hoành tại
điểm T thỏa mãn đồng thời các điều kiện 
M có hoành độ nhỏ hơn. 
Tam giác MOT có diện tích bằng k.
Bài toán 85. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng  : y mx n . 1. Vẽ parbol (P).
2. Tìm tọa độ giao điểm của (P) với  trong trường hợp m  4; n  3 .
3. Tìm điều kiện của m và n sao cho đường thẳng  thỏa mãn điều kiện
a) Có hệ số góc lớn hơn 10. 2
b) Song song với đường thẳng y
x  4m  9 . 3
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 80
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
c) Đi qua hai điểm (4;2) và (– 5;1).
d) Vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ IV.
e) Cắt trục tung tại điểm có tung độ nhỏ hơn 2 3n  2 .
f) Tạo với chiều dương trục tung một góc   60 .
4. Trong trường hợp n  0 .
a) Tìm m để (P) và  cắt nhau tại điểm có tung độ bằng 9.
b) Tìm m để (P) và  cắt nhau tại hai điểm có hoành độ nhỏ hơn 3.
c) Tìm m để (P) và  cắt nhau tại hai điểm mà khoảng cách giữa hai điểm này bằng 6 .
5. Với n  1 m . Tìm m để (P) và  cắt nhau tại hai điểm C, D sao cho CD  3 .
6. Với m n  2 . Hãy tìm khoảng cách lớn nhất từ điểm M (6;1) đến đường thẳng  .
7. Tìm tọa độ điểm A (x;y) thuộc parabol (P) sao cho 5y  6x  4  2x  2 .
8. Tìm tọa độ điểm B (x;y) thuộc parabol (P) sao cho khoảng cách từ B đến trục tung gấp 5 lần khoảng
cách từ B đến trục hoành. 3x  3 x 1
9. Tìm tọa độ điểm L (x;y) thuộc parabol (P) sao cho biểu thức  4  . x y x 1
10. Xét hai điểm E (3;1), F (1;0). Tìm tọa độ điểm G thuộc parabol (P) sao cho tam giác EFG là tam giác vuông tại G.
11. Giả sử đường thẳng y  6x  5 cắt parabol (P) tại hai điểm U, V. Tìm tọa độ điểm E sao cho E là
chân đường phân giác OT của tam giác OUV.  15  12. Xét điểm K 3; 
 . Tìm tọa độ điểm H (x;y) thuộc (P) sao cho độ dài đoạn thẳng HK đạt giá trị nhỏ  4 
nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
13. Tìm tất cả các điểm J (x;y) thuộc (P) thỏa mãn đẳng thức y   x  2 2 3 3 2
 4 3y  2x 3x  2 .
Bài toán 86. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2 : y  4  x và đường
thẳng d : y  2mx m 1; m là tham số thực.
1. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d thỏa mãn
a) Cùng với (P) đi qua điểm có hoành độ bằng 1.
b) Cắt đường thẳng l : 2x y 1  0 tại một điểm thuộc trục tung.
c) Song song với đường thẳng 2x  7 y  2m 1  0 .
d) Vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ II.
e) Cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn 4m – 5.
f) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân. 2  1 
g) Cắt đường phân giác góc phần tư thứ IV tại điểm Q (x;y) sao cho T   x  22 2  y    đạt  2  giá trị nhỏ nhất.
2. Tìm m để (P) và d cùng đi qua điểm M có hoành độ bằng 1  .
3. Trong trường hợp (P) và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt Ax ; y , B x ; y . 1 1   2 2  1 1 5
a) Tìm giá trị m để   . x x 6 1 2
b) Tìm m để x x  5 . 1 2 c) Tìm m để 2
  x x  1. 1 2
d) Tìm giá trị m sao cho x  3x  9 . 1 2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 81
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
e) Tìm m sao cho x x  8 . 1 2
f) Tìm m để x y  2 . 1 2 1 1
g) Tìm giá trị tham số m sao cho   5 . x  3 x  3 1 2
h) Chứng minh rằng y y  7 x x . 1 2  1 2  i) Tìm m sao cho 2
x x 1  5 . 1 2
j) Với giá trị nào của m thì
2x  3x  2 ? 1 2
k) Xác định m để hai điểm A, B cách đều đường thẳng y x  0, 25.
l) Với giá trị nào của m thì x x  2 x x 2 2 2
đạt giá trị nhỏ nhất ? 1 2 1 2
m) Xác định m để A và B đều nằm trên nhánh phải của (P).
n) Biểu thức S  4 y 1 4y 1  8 x x đạt giá trị nhỏ nhất. 1  2   1 2 
o) Tìm m sao cho A và B cách đều gốc tọa độ.
4. Viết phương trình đường thẳng song song với đường phân giác góc phần tư thứ III và tiếp xúc với parabol (P).
5. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) với đường cong C  4 3 2
: y x x  7x  5x  2 .
6. Tính độ dài dây cung tạo bởi parabol (P) và đường thẳng y  5  x 1.
Bài toán 87. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y x và các điểm A
(1;4), B (1;1), C (2;0). Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A và có hệ số góc k, k là tham số thực.
1. Tìm tọa độ của điểm D (x;y) trên (P) thỏa mãn điều kiện
a) D có hoành độ x  2 .
b) D có tung độ bằng 25.
c) D có tung độ và hoành độ bằng nhau.
2. Lập phương trình đường thẳng d theo tham số k.
3. Tìm giá trị của k để đường thẳng d thỏa mãn điều kiện a) Đi qua điểm (4;6).
b) Song song với đường thẳng y  8k   1 x  8 .
c) Vuông góc với đường thẳng 2x  3y  2  0 .
d) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân. 1
e) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng (đơn vị diện tích). 3
f) Hợp với chiều dương trục tung một góc  sao cho cot  10 .
4. Trong trường hợp đường thẳng d cắt tia Ox và Oy tại hai điểm phân biệt B, C, hãy tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức OB OC .
5. Khi k  2 , tính khoảng cách giữa đường thẳng d và đường thẳng y  2x 10 .
6. Chứng minh parabol (P) và đường thẳng d luôn có hai điểm chung phân biệt.
7. Tìm k để (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm M x ; y , N x ; y thỏa mãn 1 1   2 2 
a) M và N cách đều hai trục tọa độ.
b) 3 y y  6x x  5 x x  48 . 1 2  1 2  1 2  1 1 k  4 c)   . x x 9k 1 2
d) Biểu thức x x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 82
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
e) Tổng các tung độ của M và N đạt giá trị nhỏ nhất. AM f)
 2 (trong đó M có hoành độ âm; N có hoành độ dương). AN
8. Tìm giá trị của m để đường thẳng y mx 1 cắt (P) tại hai điểm E và F phân biệt sao cho tam giác
OEF có diện tích bằng 3.
9. Gọi l là đường thẳng đi qua C và song song với đường thẳng OB. Chứng minh rằng l cắt (P) tại hai
điểm phân biệt P, Q. Tính diện tích tam giác BPQ.
10. Tìm tọa độ điểm G (x;y) trên parabol (P) sao cho G cách đều hai điểm H (– 2;0) và K (0;4).
11. Gọi Y và Z là các giao điểm của (P) và đường thẳng  : y  2  x (trong đó Y có hoành độ dương).
Tìm tọa độ điểm X thuộc (P) sao cho tam giác XYZ cân tại X.
12. Với giá trị nào của m thì parabol (P) cắt đường thẳng d : y mx m 1theo một dây cung có độ dài bằng 3 ?
13. Tìm tọa độ hai điểm U, V nằm trên parabol (P) thỏa mãn U và V đối xứng với nhau qua đường 1 11
thẳng  : y   x  . 4 2
Bài toán 88. Mở rộng và phát triển câu 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán (Dành cho tất cả các
thí sinh dự thi ban Khoa học Tự nhiên); Đề thi chính thức; Trường THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam và
THPT Chu Văn An; Thành phố Hà Nội; Năm học 2005 – 2006.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y ax và đường thẳng chứa tham số có dạng 2
d : y  2x a (với a là tham số thực dương).
1. Tìm a để đường thẳng d thỏa mãn điều kiện
a) Song song với đường thẳng y  2x  5a .
b) Vuông góc với đường thẳng y  3ax  9 .
c) Cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn – 9.
d) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4.
2. Gọi  là đường thẳng đi qua điểm S 7;5 và song song với Oy. Tính tan của góc tạo bởi  và d.
3. Tìm a để parabol (P) đi qua điểm M 1; 4 . Tìm tọa độ giao điểm của (P) và d với a vừa tìm được.
4. Tìm điều kiện của a để parabol cắt đường thẳng d tại hai điểm A và B khác nhau. Chứng minh rằng
khi đó A và B nằm về phía bên phải trục tung.
5. Gọi hai giao điểm của (P) với d là Ax ; y , B x ; y . 1 1   2 2 
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T x x x x  6a . 1 2 1 2 2 3
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức R   . x x 1 x x 1 2 1 2 4 1
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S   . x x x x 1 2 1 2
6. Xét trường hợp a  1. Tìm m để parabol (P) cắt đường thẳng y  m  2 x 1tại hai điểm phân biệt
có hoành độ x , x sao cho B   2 2  x  2 8  x
đạt giá trị lớn nhất. 1 2  1 2
7. Xét trường hợp a  0,5 .
a) Tìm giá trị của m để parabol (P) cắt đường thẳng mx y 1  0 tại hai điểm phân biệt P, Q sao
cho tam giác OPQ có diện tích bằng 1,5.
b) Xét hai điểm M và N có hoành độ lần lượt là 2
 và 1. Lập phương trình đường thẳng d song
song với (MN) và cắt (P) tại một điểm duy nhất.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 83
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 1
Bài toán 89. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2 : y
x và hai điểm I 2
(0;2), M (m;0), m là tham số thực khác 0.
1. Tìm tọa độ điểm D (x;y) nằm trên parabol (P) sao cho
a) D có tung độ bằng 8.
b) D cách đều hai trục tọa độ.
c) Khoảng cách từ D đến trục hoành gấp 3 lần khoảng cách từ D đến trục tung.
2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm M và I theo tham số m.
3. Chứng minh rằng đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B nằm về hai phía đối với
trục hoành với mọi m khác 0.
4. Trong trường hợp (P) và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt Ax ; y , B x ; y . 1 1   2 2 
a) Tìm m sao cho x x  4 x x 2  132 . 1 2 1 2
b) Với giá trị nào của m thì 3 x  4  x ? 1 2 2 1 1 3m  4m 1
c) Tìm m để T   
đạt giá trị nhỏ nhất. 2 x x m 1 2 1 1 d) Biểu thức K  
đạt giá trị nhỏ nhất. x x 1 2 4
e) Tìm m sao cho x
x   x x  4 2 1  4 . 1 2 1 2 m
f) Chứng minh rằng tồn tại một giao điểm có hoành độ x  3 . 0
g) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q   2 x  9 2 x 16 . 1 2 
h) Tìm m để S x x m đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2
i) Chứng minh bất đẳng thức AB  4 .
5. Gọi H và K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và B trên trục hoành Ox. Chứng minh IHK là tam giác vuông. 3
6. Giả sử đường thẳng y x  cắt parabol (P) tại hai điểm U, V. 2
a) Tìm tọa độ điểm R trong cung parabol nhỏ 
UV sao cho tam giác UVR có diện tích lớn nhất.
b) Tìm tọa độ điểm T thuộc trục hoành sao cho tổng độ dài TU + TV đạt giá trị nhỏ nhất.
7. Tìm tọa độ điểm C (x;y) thuộc parabol (P) sao cho 3 3
x  1 6 2 y 14x  49 12 x  7 .
8. Vẽ parabol (P) và đồ thị hàm số y   x trên cùng một hệ trục tọa độ. Tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị bằng phép toán.
9. Tìm giá trị của m để đường thẳng y x  3m 1cắt trục hoành tại điểm N sao cho hai tam giác IMO
và INO thỏa mãn điều kiện
a) Có diện tích bằng nhau.
b) Đồng dạng theo tỷ số k  3theo thứ tự IMO – INO.
10. Tồn tại hay không hai điểm X và Y thuộc parabol (P) sao cho tam giác OXY là tam giác vuông cân tại O ?
Bài toán 90. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y x và các điểm A (1;4), B (–1;1).
1. Xét đường thẳng d đi qua B và có hệ số góc bằng 1. Tìm tọa độ giao điểm thứ hai của d và (P).
Chứng minh tam giác OAB là tam giác vuông cân và tính diện tích tam giác này.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 84
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2. Xét đường thẳng  đi qua A và có hệ số góc k. Tìm giá trị của tham số k sao cho  cắt trục tung tại
điểm có tung độ lớn hơn 5.
a)  vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ III.
b)  cắt (P) tại điểm có tung độ bằng 1.
c)  cắt (P) tại hai điểm C và D mà độ dài CD ngắn nhất.
3. Tìm tọa độ điểm E thuộc trục hoành sao cho tổng độ dài EA + EB đạt giá trị nhỏ nhất.
4. Xét đường thẳng d : y  2mx  6 . Trong trường hợp parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm phân
biệt có hoành độ x , x . 1 2 a) Tìm m để: 2
x  2mx  17 . 1 2  1  9 
b) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 S x x   . 1   2   2  2  5. Tìm điểm M  ;
x y  thuộc parabol (P) có tọa độ thỏa mãn 2x y  3 xy .
6. Tính độ dài đoạn thẳng AB.
7. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABO và tính diện tích tam giác ABO.
8. Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác AOC có diện tích bằng 10.
Bài toán 91. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y  2x và đường thẳng
d : y  3mx  3m  2 ; m là tham số thực. 1. Vẽ parabol (P).
2. Xét hai điểm Am  ;
n n, B 1; 2  n . Tìm m và n để A P, B d .
3. Tìm điểm cố định C mà đường thẳng d luôn luôn đi qua với mọi giá trị của m.
4. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d thỏa mãn điều kiện
a) Cắt trục tung tại một điểm nằm về phía trên trục hoành.
b) Tạo với hai trục tọa độ Ox, Oy một tam giác vuông có tỷ lệ giữa độ dài cạnh góc vuông nào
đó với độ dài cạnh huyền là 3 : 5 .
c) Cắt trục tung tại điểm có tung độ thuộc đoạn 4;7 .
d) Cắt đường phân giác góc phần tư thứ hai của mặt phẳng tọa độ tại điểm X (x;y) sao cho biểu thức 2 2
S  4x xy y  6x 1 đạt giá trị nhỏ nhất.
5. Chứng minh rằng parabol (P) luôn cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.
6. Tìm tất cả giá trị của m để (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm M x ; y , N x ; y thỏa mãn 1 1   2 2 
a) x x  6x x  7 . 1 2 1 2 1 1 2 b)    5 . x x x x 1 2 1 2 c) 2 2 x x  4 . 1 2
d) M và N nằm về hai phía của trục tung.
e) x  3x  4m . 1 2 f) MN  2 17 .
g) Biểu thức K x x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2
h) y y  4 y y  6x x  8 . 1 2 1 2 1 2
i) M và N đều có hoành độ lớn hơn 3.
j) OMN là tam giác đều. k)  OMN  90 .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 85
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 7. Giả sử 2
y  2x f x . Không tính giá trị biểu thức, chứng minh rằng
f f  2017  2016  f f  2016  2015 .
8. Tìm trên parabol (P) các điểm có hoành độ gấp hai lần tung độ.
9. Viết phương trình đường thẳng song song với đường phân giác góc phần tư thứ II và cắt parabol (P)
tại điểm có hoành độ bằng – 1. Tìm tọa độ giao điểm còn lại.
10. Viết phương trình đường thẳng song song với đường phân giác góc phần tư thứ III và tiếp xúc với
parabol (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.
11. Gọi E là điểm thuộc parabol (P) có hoành độ bằng 2
 ; F và G theo thứ tự là giao điểm của đường
thẳng y  4x  6 và (P). Biết F có hoành độ âm, G có hoành độ dương. Vẽ hình bình hành EFGH.
a) Xác định tọa độ điểm H.
b) Điểm H có thuộc parabol (P) hay không ? Vì sao ?
Bài toán 92. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol  P 2
: y x và hai điểm A0 
;1 , B 1;3 , d là
đường thẳng đi qua B và có hệ số góc k, k là tham số thực.
1. Lập phương trình đường thẳng AB.
2. Tính diện tích của tam giác tạo bởi đường thẳng AB với hai trục tọa độ.
3. Thiết lập phương trình đường thẳng d vuông góc với đường thẳng AB và tiếp xúc với (P).
4. Chứng minh rằng qua điểm A có duy nhất một đường thẳng cắt (P) tại hai điểm phân biệt mà
khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 2.
5. Lập phương trình đường thẳng d và chứng minh (P) cắt d tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của tham số k.
6. Tìm giá trị của k để đường thẳng d cắt đoạn thẳng OZ với Z (4;0).
7. Tìm tất cả các giá trị của k để (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm M x ; y , N x ; y thỏa mãn 1 1   2 2 
a) M và N nằm khác phía đối với trục tung.
b) x x  5x x  10 . 1 2 1 2
c) Tung độ điểm này gấp 16 lần tung độ điểm kia. 1 1 7 d)    8 . x x x x 1 2 1 2 e) Biểu thức 3
P x x
đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2
f) 2x  3x  4 . 1 2
g) M và N đều có hoành độ lớn hơn 2.
h) Biểu thức S  3y  2 3y  2  5x x đạt giá trị nhỏ nhất. 1  2  1 2
i) x  4  x . 1 2
j) Độ dài đoạn thẳng MN bằng 3 10 .
8. Tìm tọa độ điểm P thuộc trục hoành sao tổng độ dài PA + PB đạt giá trị nhỏ nhất.
9. Tìm tọa độ điểm G (x;y) thuộc parabol (P) để tam giác ABG cân tại G.
10. Tìm tọa độ điểm J (x;y) thuộc parabol (P) sao cho độ dài đoạn thẳng AJ ngắn nhất.
11. Xét đường tròn   đường kính AB, đường thẳng  là tiếp tuyến đi qua O của đường tròn   . Tìm
tọa độ tiếp điểm của   và  .
12. Giả dụ C và D là hai điểm nằm trên (P) có hoành độ lần lượt là 1
 và 3. Gọi F là điểm nằm trên CD
và có hoành độ bằng 1. Tìm điểm E trên parabol sao cho EF là đường phân giác của góc CED.
13. Tìm tọa độ điểm K (x;y) nằm trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức
y  4x  3  x y  3y  4x 1 .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 86
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 93. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng
d : y ax a ; a là tham số thực.
1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ khi a  2 .
2. Tìm a để (P) và d cùng đi qua điểm có hoành độ bằng 3.
3. Tìm giá trị của a để đường thẳng d thỏa mãn điều kiện
a) Song song với đường thẳng  y   2 :
a  3ax  2a .
b) Vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ hai.
c) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.
d) Cắt trục tung tại điểm có tung độ nhỏ hơn 7a – 3.
e) Đồng quy với hai đường thẳng 3x  2 y 1  0; x  5 y  6  0 .
f) Cắt đường thẳng y  3x 1 tại điểm C (x;y) thỏa mãn 2 2
x xy  6 y đạt giá trị nhỏ nhất. 3
g) Tiếp xúc với đường tròn tâm O, bán kính R  . 10 4
h) Cắt đường tròn tâm O, bán kính R
tại hai điểm phân biệt. 17
4. Tìm tất cả các giá trị của a để d cắt (P) tại hai điểm M x ; y , N x ; y thỏa mãn điều kiện 1 1   2 2  a) 2
x x  8  8x x a . 1 2 1 2 1 1 b) 2 
x x  2a . 1 2 x x 1 2
c) x  3x  5 . 1 2
d) Tung độ điểm này gấp 4 lần điểm kia.
e) x x  5 . 1 2
f) M và N đều có hoành độ nhỏ hơn 2. g) 3x   1 3x   2 2
1  x x x x  7 . 1 2 1 2 1 2
h) M và N nằm khác phía đối với đường thẳng x  4 . 1 1 i)   1 . x x 1 2
j) 2y  3 2y  3  7 x x  33. 1  2   1 2  k) 2
x ax a  3a  5 . 1 l) Biểu thức 2 2 S
x ax a x ax a  2 10  a đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2
5. Tính diện tích tam giác OAB với A, B là giao điểm của parabol (P) với đường thẳng y  x  6 .
6. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm (0;–6) và tiếp xúc với parabol (P).
7. Tìm tọa độ điểm L (x;y) trên parabol (P) sao cho khoảng cách từ L đến trục hoành gấp hai lần
khoảng cách từ L đến trục tung.
8. Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y  x  2 và cắt parabol (P) tại điểm có hoành độ bằng –1.
9. Tìm m để parabol (P) cắt đường thẳng  : y  4mx  4m 1tại hai điểm H, K sao cho OH.OK  2 ?
10. Xét hình vuông (V) tâm O, độ dài cạnh bằng 2 , hai đường chéo nằm trên hai trục tọa độ. Tìm tọa
độ giao điểm của parabol (P) với hình vuông (V).
11. Xác định các điểm P và Q thuộc parabol (P) sao cho OPQ là tam giác đều nhận trục Oy làm trục đối xứng.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 87
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 9
Bài toán 94. Cho hai hàm số 2
y mx m
(1) và y f x   2  m  2 1 4
x (2); với m là tham số thực. 4
1. Xác định khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của hàm số (2).
2. Chứng minh rằng đồ thị hàm số (2) luôn nằm phía trên trục hoành.
3. Tìm giá trị của m thì đồ thị hai hàm số đã cho cùng đi qua điểm S (–1;2) ? Với giá trị m tìm được,
hãy xác định tọa độ giao điểm thứ hai của hai đồ thị đó.
4. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị hàm số (2) luôn là một parabol (P), đồng thời đồ thị
hàm số (1) không thể đi qua đỉnh của (P).
5. Tìm giá trị của m để hàm số (1) đồng biến.
6. Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) thỏa mãn
a) Song song với đường thẳng y  3x 10 . 1
b) Vuông góc với đường thẳng y   x  4 . 3
c) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.
d) Cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn 1,75.
ab bc ca  2013abc, 
7. Trong trường hợp m  0 , xét các số a,b, c thỏa mãn điều kiện 2013 
a b c  1.  Tính  2013 2013 2013 f abc  .
8. Trong trường hợp m  0 , tìm tọa độ điểm D (x;y) trên đồ thị hàm số (2) thỏa mãn bất phương trình
2 y  2x  5  2 y  4x  4  13 .
Bài toán 95. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Trường THPT Chuyên Ngoại ngữ; Đại học Ngoại ngữ; Đại học Quốc gia Hà Nội; Năm học 2014 – 2015.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng chứa tham số
có dạng d y  m   2 : 3
1 x  2m  5m  2 ; m là tham số thực.
1. Tính độ dài đoạn thẳng OX biết X nằm (P), X có hoành độ bằng –5.
2. Giả sử P, Q là các giao điểm của parabol (P) với đường thẳng y  5x  6 . Tìm độ dài đường cao hạ
từ O của tam giác OPQ.
3. Xác định giá trị tham số m để đường thẳng d thỏa mãn điều kiện
a) Đi qua điểm Y nằm trên (P), Y có hoành độ bằng 1.
b) Vuông góc với đường thẳng y  6x  5 .
c) Song song với đường thẳng đi qua hai điểm (1;–3) và (–2;1).
d) Tạo với chiều dương trục tung một góc   60 .
e) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông có tỷ lệ các cạnh là 4 : 7 : 65 .
f) Cắt trục hoành tại điểm hoành độ nhỏ hơn 1,5.
4. Chứng minh rằng parabol (P) và đường thẳng d luôn có giao điểm chung với mọi giá trị của m.
5. Tìm giá trị m để parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai nghiệm phân biệt có hoành độ x , x thỏa mãn 1 2
điều kiện x x  2 x x . 1 2 1 2
6. Tìm tất cả các giá trị của m để d cắt (P) tại hai điểm M x ; y , N x ; y thỏa mãn điều kiện 1 1   2 2 
a) Một trong các giao điểm có hoành độ bằng 3. 1 1 b)   2 . x x 1 2
c) Ít nhất một trong hai giao điểm nằm bên trái trục tung.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 88
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
d) x  4x  5m . 1 2
e) M và N đều nằm trong góc phần tư thứ nhất.
f) 2x x m . 1 2
g) Tung độ điểm này bằng bình phương tung độ điểm kia.
h) x x  5 . 1 2
i) y y x x  3 . 1 2 1 2 j) 2 2 x x  3 . 1 2
k) x x  5 . 1 2
l) Biểu thức T  2 y  3y  4x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 1
m) 3x  2x x . 1 2 1 1 3 n)  . x  2 x  4 1 2 o) Biểu thức 2 2
P  2x  3x  4 y  5 y đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 1 2 p) 2
x  3m   2
1 x  5m  2  34m . 1 2
7. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm (1;–15) và tiếp xúc với parabol (P).
8. Tìm tọa độ điểm H trên parabol (P) và điểm K trên đường thẳng y  2x  7 sao cho khoảng cách
giữa H và K ngắn nhất.
9. Tìm giá trị của m để parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm M x ; y , N x ; y , trong 1 1   2 2 
đó hoành độ của một trong hai giao điểm gấp đôi hoành độ một trong các giao điểm của parabol (P) với đường thẳng 2
 : y x  4m  6m  2 .
10. Tìm tọa độ điểm D (x;y) trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức 2 y  3x 1  1 3x  2 y 1 .
11. Tìm tọa độ hai điểm A, B thuộc (P) sao cho A đối xứng với B qua điểm C (2;13).
12. Xét hai điểm E (1;4) và F (3;8), I là trung điểm của đoạn thẳng EF. Tìm tọa độ điểm G thuộc
parabol (P) sao cho GI là phân giác của góc  EGF .
Bài toán 96. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Khánh Hòa; Năm học 2011 – 2012; Khóa ngày 29.06.2011.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng chứa tham số
có dạng d : y  m  
1 x  3m  2 ; m là tham số thực.
1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ khi m  2 .
2. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường phân giác góc phần tư thứ II.
3. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d khi m  3 .
4. Xác định giá trị của m sao cho đường thẳng d thỏa mãn điều kiện
a) Đi qua trung điểm của đoạn thẳng OX với X (2;4).
b) Song song với đường thẳng y  5  x  3 .
c) Vuông góc với đường thẳng 2x  7 y  2  0 .
d) Cắt đường phân giác góc phần tư thứ III tại điểm có tung độ bằng 2.
e) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có tỷ lệ giữa độ dài cạnh nhỏ nhất và độ dài cạnh lớn nhất là 1: 5 .
f) Cắt trục tung tại điểm có tung độ nhỏ hơn – 10m.
g) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích nhỏ hơn 2,25 (đơn vị diện tích).
h) Cắt đường thẳng 2x  3y 1  0 tại điểm Y (x;y) thỏa mãn điều kiện OM  2 .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 89
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5. Tìm điểm cố định mà đường thẳng d luôn luôn đi qua với mọi giá trị của m, từ đó tìm giá trị m để
đường thẳng d cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất.
6. Chứng minh rằng parabol (P) luôn cắt đường thẳng d với mọi giá trị m, trong đó có ít nhất một giao
điểm có hoành độ dương.
7. Tìm tất cả các giá trị của m để d cắt (P) tại hai điểm M x ; y , N x ; y thỏa mãn điều kiện 1 1   2 2 
a) 3 x x  4x x  5 . 1 2  1 2
b) M và N đều nằm trong góc phần tư thứ nhất. c) 2 2
x x x x  7m 19 . 1 2 1 2 1 1 3 d)   . x x 2 1 2
e) M và N đều có hoành độ trong khoảng (1;5).
f) x x  3 . 1 2
g) x  2 y  5 . 2 2 h) 2
x  m  
1 x  3m  2 2  4x . 2 1 1 1 2 i)   3 . x x  2 1 2
j) Tung độ điểm này hơn tung độ điểm kia 7 đơn vị độ dài.
k) 3x  4x  5 . 1 2
l) y  2 y  4x x . 1 2 1 2 m) 3 3
x x  35 . 1 2 n) Biểu thức 2 2
S  3x  2x x đạt giá trị lớn nhất. 1 1 2 o)
x  m  
1 x  3m  2  m  3 2 1 . 2 1
8. Khi parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt M x ; y , N x ; y . Chứng minh bất đẳng 1 1   2 2  thức 2
x  m  
1 x  3m  2 2 
x m 1 x  3 m  2  m  2017 . 2 1 1   2  
9. Tìm tọa độ điểm D (x;y) thuộc parabol (P) sao cho tiếp tuyến của parabol tại D vuông góc với 1
đường thẳng y   x  4 . 3
10. Viết phương trình đường thẳng song song với đường phân giác góc phần tư thứ II và cắt parabol (P)
tại điểm có tung độ bằng 4.
11. Tìm tọa độ điểm Z (x;y) thuộc parabol (P) thỏa mãn đẳng thức 4
4xy  4 y  5x  9  4 16x  8 .
12. Đường thẳng y  2x  8 cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm tọa độ điểm C thuộc cung parabol nhỏ 
AB sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 27 (đơn vị diện tích).
13. Tìm tọa độ điểm Q (x;y) nằm trên parabol (P) sao cho biểu thức T  13 x 1  9 x 1 16 y đạt giá
trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.  1 5  14. Xét điểm K ; 
 . Tìm tọa độ điểm H (x;y) trên parabol (P) sao cho độ dài đoạn thẳng HK là ngắn  2 4  nhất. 1
15. Xét điểm E thuộc đường thẳng y   , chứng tỏ rằng hai tiếp tuyến của parabol (P) được từ E 4 vuông góc với nhau.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 90
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 97. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 2.2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Quảng Nam; Năm học 2011 – 2012; Khóa ngày 30.06.2011.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng chứa tham số
có dạng d : y mx m 1; m là tham số thực.
1. Tìm tọa độ điểm D (x;y) nằm trên parabol (P) thỏa mãn
a) Cách đều hai gốc tọa độ.
b) Tung độ gấp 3 lần hoành độ.
c) Nằm trên đường thẳng y  3x  2 . d) Nằm trên đường cong 3 2
y x x  3x  2 .
2. Xác định giá trị của m và n để đường thẳng d thỏa mãn điều kiện
a) Song song với đường thẳng y  4x  9n 10 .
b) Vuông góc với đường thẳng 2 y  2x  4  0 .
c) Đi qua điểm K thuộc đường cong 4
y x  2 , K có hoành độ bằng 2.
d) Chắn trên hai trục tọa độ hai đoạn thẳng bằng nhau.
e) Cắt đoạn thẳng OH với H (0;10).
f) Cắt đường thẳng 2x  3y  2  0 tại điểm L (x;y) thỏa mãn T x y xy đạt giá trị lớn nhất.
3. Tìm tọa độ điểm cố định mà đường thẳng d luôn luôn đi qua với mọi giá trị của m, từ đó tìm khoảng
cách lớn nhất từ gốc tọa độ đến đường thẳng d.
4. Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm Q (2;8) và cắt parabol (P) theo một dây cung EF có độ dài bằng 25 2 .
5. Chứng minh rằng đường thẳng d và parabol (P) luôn có điểm chung với mọi giá trị của m, trong đó
có ít nhất một giao điểm có hoành độ dương.
6. Tìm m để parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt M x ; y , N x ; y sao cho 1 1   2 2  1
a) x x  6x x  . 1 2 1 2 2 1 1 b)   5 . x x 1 2
c) Tung độ điểm này hơn tung độ điểm kia 10 đơn vị. 1 1 x x d) 1 2   . x x 2011 1 2 e) 2
x mx m 1  3m 1 . 1 2 f) 1
  x x  6 . 1 2
g) M và N nằm giữa trục hoành và đường thẳng y  4 . 1 2 h)   4 . x  2 x  3 1 2
i) x  5; x  2 . 1 2 j) Biểu thức 2 2
A  4x  3x  5x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 1
k) 2y  3 2y  3  5x x  4 x x . 1  2  1 2  1 2 
l) Biểu thức P   x m x  2m  3y đạt giá trị nhỏ nhất. 1  2  1 m)  2
x mx m   1  2
x mx m   3 1  2017m . 1 2 2 1
n) Biểu thức M   2 x  2 2
x  3 đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 91
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 98. Chuyển thể, mở rộng và phát triển bài 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi
chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Bắc Giang; Năm học 2001 – 2002; Ngày thi 03.07.2001.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng chứa tham số
có dạng d : y  2a  
1 x  2a  5 ; với a là tham số thực.
1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ khi a  2 . Tìm tọa độ giao điểm hai
đồ thị bằng phép tính.
2. Tìm tất cả các giá trị của a và b để đường thẳng d thỏa mãn điều kiện
a) Đi qua điểm Y nằm trên đường cong 3
y x x  4 , Y có tung độ bằng 6.
b) Song song với đường thẳng y  6x b 10 .
c) Vuông góc với đường thẳng x y  2  0 .
d) Cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn 11.
e) Đồng quy với hai đường thẳng x y  6; 2x  3y  10 .
f) Cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho OA  4OB . 1 1
g) Cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho 
đạt giá trị nhỏ nhất. 2 2 OA OB
h) Cắt đường thẳng y  2x 1tại điểm X (x;y) nằm trên đường tròn tâm O, bán kính R  1 .
3. Chứng minh rằng parabol (P) và đường thẳng d luôn có điểm chung với mọi giá trị a.
4. Tìm a để parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai giao điểm nằm cùng phía đối với trục tung. Khi đó
hai giao điểm nằm trong góc phần tư nào ?
5. Tìm a để parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt M x ; y , N x ; y sao cho 1 1   2 2 
a) x x  2x x  5 . 1 2 1 2
b) M và N nằm khác phía đối với đường thẳng x  1. c) 2 2
x x 11x x  7  a . 1 2 1 2 1 1 d)   a . x x 1 2
e) Tung độ điểm này bằng bình phương tung độ điểm kia. 1 1 a f)    . 2x 1 2x 1 7 1 2 g) Biểu thức 2 2
A x x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2
h) x  2a  
1 x  2a  5  4 a  3 2 1 . 1 2 i) 2
x  2 a 1 x  2a  5  0 . 1   2
j) Biểu thức B x x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2
k) y y  3y 1 3y 1  5x x . 1 2  1  2  1 2
l) y  3y  1. 1 2 m) 2
x  2 a   2
1 x  2a  5 x  2 a 1 x  2a  5  16 1 2 2   1     .
n) x x  1. 1 2
6. Giả sử D và E là hai giao điểm của đường thẳng y  4x 12 với parabol (P), D có hoành độ nhỏ hơn.
Xét tam giác ODE với các đường cao OF, DG, EH. Tìm tọa độ tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác FGH.  1 5  5 7. Xét điểm K ; 
 , tìm tọa độ điểm T trên parabol (P) sao cho độ dài đoạn thẳng KT bằng .  2 4  4
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM
TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 92
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 99. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu câu 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề
thi chính thức; Đợt 1; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Bắc Giang; Năm học 2004 – 2005; Ngày thi 01.07.2004.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng chứa tham số có dạng 2
d : y  2mx m m 1 với m là tham số thực.
1. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d thỏa mãn
a) Song song với đường thẳng y  7m  2 x 1. 1 1
b) Vuông góc với đường thẳng y   x  . 3 2
c) Đi qua điểm P (3;5).
d) Cắt trục hoành tại điểm Q có hoành độ dương.
2. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d khi m  1.
3. Với giá trị nào của m thì parabol (P) và đường thẳng d tiếp xúc với nhau ? Tìm tọa độ tiếp điểm với m vừa tìm được.
4. Chứng minh rằng nếu parabol (P) cắt đường thẳng d thì giao điểm đó luôn nằm bên phải trục tung.
5. Trong trường hợp parabol (P) cắt đường thẳng tại hai điểm M x ; y , N x ; y . 1 1   2 2 
a) Tìm m thỏa mãn x x  5x x 11. 1 2 1 2 b) Tìm m sao cho 2 2
x x x x  15 . 1 2 1 2 c) Tìm m để 2 2 3
x x x x  2m m 1. 1 2 2 1 1 1
d) Tìm giá trị m sao cho   2 . x x 1 2
e) Với giá trị nào của m thì  2 2
x  2mx m m   1  2 2
x  2mx m m   3 1  m ? 1 2 2 1
f) Tìm m để tung độ điểm này gấp 16 lần tung độ điểm kia.
g) Tìm m để 2x 1 2x 1  10m 1. 1  2 
h) Tìm giá trị m sao cho x x  4 . 1 2
i) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai hoành độ độc lập với tham số m. j) Tìm m sao cho 2 2
x  2mx m m 1  9m . 1 2
k) Tìm m để y y x x x x  3 . 1 2 1 2 1 2
l) Tìm m để hoành độ điểm này bằng 4 lần hoành độ điểm kia.
m) Tìm m để biểu thức T x x  4x x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 1 2
n) Tìm m để biểu thức 2 2
A x x  6 x x
 5 nhận giá trị nhỏ nhất. 1 2  1 2 
6. Tìm tọa độ điểm J (x;y) thuộc parabol (P) sao cho J cách đều hai trục tọa độ.
7. Xét điểm A thuộc parabol (P), A có hoành độ bằng –4. Tìm tọa độ điểm B thuộc parabol (P) sao cho
tam giác AOB nhận trung điểm I của AB làm tâm đường tròn ngoại tiếp.
8. Xét điểm C (–14;1), tìm tọa độ điểm D trên parabol (P) sao cho độ dài đoạn thẳng CD ngắn nhất.
9. Xét điểm E (10;4), tìm tọa độ điểm F trên parabol (P) sao cho tam giác OEF cân tại F. 3 6 3
10. Tìm tọa độ điểm G (x;y) nằm trên parabol (P) thỏa mãn đẳng thức 2x    2x  1 . x x 2 y
11. Xét hai điểm H và K thuộc parabol (P), H và K có hoành độ lần lượt là – 8 và 0,125. Tìm tọa độ
điểm T thuộc trục tung sao cho bốn điểm H, K, T, O cùng thuộc một đường tròn.
12. Tìm tọa độ điểm L (x;y) thuộc parabol (P) sao cho biểu thức 4 2
S  2x y  24 6x 10 đạt giá trị nhỏ
nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 93
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 100. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu câu 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán;
Đề thi chính thức; Đợt 2; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Bắc Giang; Năm học 2004 – 2005; Ngày thi 02.07.2004.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng chứa tham số
có dạng d : y  k  
1 x k với k là tham số thực.
1. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) với đường thẳng d với k  5 .
2. Tìm k để parabol (P) cắt đường thẳng d tại điểm có hoành độ bằng 5.
3. Tìm giá trị của tham số k để đường thẳng d thỏa mãn
a) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ lớn hơn 2.
b) Song song với đường thẳng y   k   3 5 2 x  4k .
c) Cắt hai trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại U, V sao cho OU = 3OV.
d) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1,6.
e) Cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất.
f) Cắt đường thẳng y  3x 1 tại điểm L (x;y) sao cho biểu thức 4 2
D x  7x x y  30 đạt giá trị nhỏ nhất.
4. Tìm tọa độ điểm J (x;y) thuộc parabol (P) có tung độ gấp hai lần hoành độ.
5. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm S (3;25) và cắt parabol (P) theo dây cung PQ sao cho S
là trung điểm của dây cung PQ.
6. Xét điểm A thuộc parabol (P) có hoành độ bằng  13 . Tìm tọa độ điểm B thuộc parabol (P) sao
cho tam giác AOB vuông tại B.
7. Xét điểm C thuộc parabol (P) có hoành độ bằng – 4. Tìm tọa độ điểm D thuộc parabol (P) sao cho
tam giác COD vuông tại O.
8. Xét điểm H thuộc nhánh trái của parabol (P), H có tung độ bằng 36.
a) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng OH.
b) Tìm tọa độ điểm K nằm trên parabol (P) sao cho tam giác OHK nhận KI là phân giác trong của góc  OKH .
9. Chứng minh rằng parabol (P) và đường thẳng d với mọi giá trị của tham số k.
10. Trong trường hợp đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm M x ; y , N x ; y . 1 1   2 2 
a) Tìm k để M và N đều nằm trong góc phần tư thứ nhất. 3
b) Tìm k thỏa mãn đẳng thức x x 1  . 1 2 x x 1 2
c) Tìm k để tung độ điểm này hơn tung độ điểm kia 1 đơn vị. 1 1 d) Tìm k sao cho   3 . x x 1 2 e) Hãy tính k để 2 2
A x x x x  2005 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. 1 2 2 1 2 3 f) Tìm k để   4 . x x 1 2
g) Tìm giá trị của k để y  2x 1 . 1 2
h) Tìm k để T y y  4 y y x x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 1 2 1 2 i) Tìm k sao cho 2
x  k   2
1 x k x . 1 2 2
j) Tìm giá trị của k để biểu thức 2 2
S x  2x  3x  4x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 1 2  k
k) Tồn tại hay không giá trị của k để hai hoành độ đều nằm ngoài khoảng 3;  3   ?  2 
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 94
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bài toán 101. Chuyển thể, mở rộng và phát triển câu câu 3; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán;
Đề thi dự bị; Đợt 1; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Bắc Giang; Năm học 2004 – 2005; Ngày thi 01.07.2004.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, O là gốc tọa độ, cho parabol  P 2
: y x và đường thẳng chứa tham số có dạng 2
d : y  2mx m m  3 ; với m là tham số thực.
1. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d thỏa mãn điều kiện
a) Đi qua điểm A thuộc (P), A có hoành độ bằng 3.
b) Song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất. 1
c) Vuông góc với đường thẳng y  4x  . 2
d) Tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.
e) Cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn – 3.
f) Cắt đường thẳng y  5x  6 tại điểm B (x;y) sao cho biểu thức 2
S x  7x y 10 đạt giá trị
nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
2. Đường thẳng y  4x  5 cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt P, Q. Tìm tọa độ điểm R thuộc cung parabol nhỏ 
PQ sao cho tam giác PQR có diện tích lớn nhất.
3. Tìm đường thẳng đi qua điểm (1;–8) và tiếp xúc với parabol (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.
4. Tìm tọa độ hai điểm E, F trên parabol (P) sao cho E và F đối xứng nhau qua điểm (4;10).
5. Tìm tọa độ điểm P (x;y) trên parabol (P) sao cho 3y  3x x y  2x 1.
6. Xét điểm C thuộc parabol (P) có hoành độ bằng 2 
5 . Tìm tọa độ điểm D thuộc parabol (P) sao
cho tam giác COD vuông tại D.
7. Tìm tọa độ các giao điểm của parabol (P) với đường cong C  3 2
: y x  2x  7x  9 .
8. Xét hai điểm H và K thuộc parabol (P), H và K có hoành độ lần lượt là – 10 và 0,1. Tìm tọa độ điểm
T thuộc trục tung sao cho bốn điểm H, K, T, O cùng thuộc một đường tròn.
9. Trong trường hợp đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm M x ; y , N x ; y . 1 1   2 2 
a) Tìm m để M và N trùng nhau.
b) Chứng minh rằng hai điểm M và N luôn nằm trên cùng một nhánh của (P).
c) Tìm giá trị m sao cho 3 x x x x  3m . 1 2  1 2
d) Tìm m để một trong hai hoành độ giao điểm bằng 1. 1 1 2 e) Tìm m sao cho   . x x 3 1 2 1 1 6 f) Tìm m để   . x  2 x  2 11 1 2 g) Tìm m thỏa mãn 2 2 3
x  2mx m m  3  4m . 1 2
h) Khi nào thì M và N nằm khác phía đối với đường thẳng x  2 .
i) Tìm m sao cho x x  2 . 1 2
j) Tìm tất cả giá trị m để hiệu hai hoành độ bằng 2m. k) Tìm m để x x  2 . 1 2 l) Biểu thức 2 2
S x x 10m 1đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2
m) Tìm giá trị m để y y  4x x  3 x x . 1 2 1 2  1 2 
n) Tìm m sao cho biểu thức A  2x 1 x  2x 1 x đạt giá trị nhỏ nhất. 2  1  1  2
o) Với giá trị nào của m thì 2 2
x  2mx m m  3  m  9 ? 1 2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 95
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Không giảm tính tổng quát, xét (P) nằm phía trên trục hoành.
Đường thẳng đi qua M a;b,b  0 song song với Ox cắt trục Oy tại N (0;b), cắt parabol (P) tại A b;b .
Nếu M nằm trong lòng parabol (P) thì 2
MN AN a
b a b . Điều ngược lại là đúng.
Nếu M nằm phía ngoài parabol (P) thì 2
MN AN a
b a b . Điều ngược lại là đúng. Kết luận : 2
x y M nằm trong lòng (P) và 2
x y M nằm phía ngoài (P).
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 96
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
III. MỘT SỐ TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 8.
Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004.
2. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 9.
Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005.
3. Nâng cao và phát triển toán 8, tập 1 – tập 2.
Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004.
4. Nâng cao và phát triển toán 9, tập 1 – tập 2.
Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005.
5. Toán nâng cao Đại số 10.
Nguyễn Huy Đoan; NXB Giáo dục Việt Nam; 1999.
6. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Đại số 10.
Nguyễn Huy Đoan; Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2006.
7. Tài liệu chuyên toán: Đại số 10 – Bài tập Đại số 10.
Đoàn Quỳnh – Doãn Minh Cường – Trần Nam Dũng
– Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2010.
8. Một số chuyên đề Đại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT.
Nguyễn Văn Mậu – Nguyễn Văn Tiến và
một số tác giả; NXB Giáo dục Việt Nam; 2009.
9. Tuyển tập các bài toán hay và khó Đại số 9.
Nguyễn Đức Tấn – Đặng Đức Trọng – Nguyễn Cao Huynh
– Vũ Minh Nghĩa – Bùi Ruy Tân – Lương Anh Văn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2002.
10. Một số phương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ cấp, tập 1 – tập 3.
Phan Đức Chính – Phạm Văn Điều – Đỗ Văn Hà – Phạm Văn Hạp
– Phạm Văn Hùng – Phạm Đăng Long – Nguyễn Văn Mậu
– Đỗ Thanh Sơn – Lê Đình Thịnh; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội; 1997.
11. Bài giảng chuyên sâu Toán THPT: Giải toán Đại số 10.
Lê Hồng Đức – Nhóm Cự Môn; NXB Hà Nội; 2011.
12. Phương pháp giải phương trình và bất phương trình.
Nguyễn Văn Mậu; NXB Giáo dục Việt Nam; 1994.
13. Toán bồi dưỡng học sinh phổ thông trung học – quyển 1; Đại số.
Hàn Liên Hải – Phan Huy Khải – Đào Ngọc Nam – Nguyễn Đạo Phương
– Lê Tất Tôn – Đặng Quan Viễn; NXB Hà Nội; 1991.
14. Phương trình và hệ phương trình không mẫu mực.
Nguyễn Đức Tấn – Phan Ngọc Thảo; NXB Giáo dục Việt Nam; 1996.
15. Chuyên đề bồi dưỡng Toán cấp ba; Đại số.
Nguyễn Sinh Nguyên; NXB Đà Nẵng; 1997.
16. Giải toán Đại số sơ cấp (Dùng cho học sinh 12 chuyên, luyện thi đại học).
Trần Thành Minh – Vũ Thiện Căn – Võ Anh Dũng; NXB Giáo dục Việt Nam; 1995.
17. Những dạng toán điển hình trong các kỳ thi tuyển sinh Đại học và Cao đẳng; Tập 1;2;3;4.
Bùi Quang Trường; NXB Hà Nội; 2002.
18. Ôn luyện thi môn Toán THPT theo chủ đề; Tập một: Đại số và lượng giác.
Cung Thế Anh; NXB Giáo dục Việt Nam; 2011.
19. Phương pháp giải toán trọng tâm.
Phan Huy Khải; NXB Đại học Sư phạm; 2011.
20. Các bài giảng luyện thi môn Toán; Tập 2.
Đức Chính – Vũ Dương Thụy – Đào Tam – Lê Thống Nhất; NXB Giáo dục Việt Nam; 1993.
21. 500 Bài toán chọn lọc Đại số - Hình học 10.
Lê Hoành Phò; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội; 2012.
22. Tam thức bậc hai và ứng dụng.
Lê Sĩ Đồng – Lê Minh Tâm; NXB Giáo dục Việt Nam; 2003.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 97
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
23. Chuyên đề Bất đẳng thức và ứng dụng trong đại số.
Nguyễn Đức Tấn; NXB Giáo dục Việt nam; 2003.
24. 23 Chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp ; Quyển 1.
Nguyễn Văn Vĩnh – Nguyễn Đức Đồng
và một số đồng nghiệp (NKTH); NXB Giáo dục Việt Nam; 2002.
25. Phương pháp giải toán bất đẳng thức và cực trị.
Nguyễn Văn Dũng – Võ Quốc Bá Cẩn – Trần Quốc Anh; NXB ĐHQG Hà Nội; 2011.
26. Các bài giảng về bất đẳng thức Cauchy.
Nguyễn Vũ Lương – Phạm Văn Hùng – Nguyễn Ngọc Thắng; NXB ĐHQG Hà Nội; 2008.
27. Cẩm nang luyện thi Đại học Ứng dụng hàm số Giải toán Đại số và Giải tích.
Huỳnh Nguyễn Luân Lưu – Nguyễn Thị Duy An; NXB ĐHQG Hà Nội ;2014.
28. Tư duy logic tìm tòi lời giải Hệ phương trình.
Mai Xuân Vinh – Phạm Kim Chung – Phạm Chí Tuân
– Đào Văn Chung – Dương Văn Sơn ; NXB ĐHQG Hà Nội; 2015.
29. Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Trung học cơ sở, Đại số.
Nguyễn Thị Thanh Thủy – Phạm Minh Phương
– Trần Văn Tấn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2014.
30. 9 Chuyên đề Đại số Trung học cơ sở.
Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2014.
31. Toán nâng cao Đại số và Giải tích 12.
Nguyễn Xuân Liêm – Hoàng Chính Bảo ; NXB Giáo dục Việt Nam ; 1999.
32. 15 chủ đề thường gặp trong các kỳ thi THCS và tuyển sinh lớp 10 ; Môn Toán.
Nguyễn Đức Hoàng – Nguyễn Sơn Hà ; NXB Đại học Sư phạm ; 2009.
33. Hệ phương trình và phương trình chứa căn thức.
Nguyễn Vũ Lương – Phạm Văn Hùng – Nguyễn Ngọc Thắng; NXB ĐHQG Hà Nội; 2006.
34. Tam thức bậc hai và ứng dụng.
Lê Sĩ Đồng – Lê Minh Tâm; NXB Giáo dục Việt Nam; 2003.
35. Khai thác và phát triển một số bài toán Trung học cơ sở ; Tập 1, 2.
Nguyễn Tam Sơn – Phạm Thị Lệ Hằng ; NXB Giáo dục Việt Nam ; 2012.
36. Chuyên đề Bất đẳng thức và ứng dụng trong Đại số.
Nguyễn Đức Tấn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2003.
37. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Môn Toán.
Hà Nghĩa Anh – Nguyễn Thúy Mùi – Huỳnh Kỳ Tranh;
NXB Đại học Quốc gia Hà Nội ; 2006
38. Ôn thi vào lớp 10 THPT Chuyên; Môn Toán.
Doãn Minh Cường – Trịnh Hoài Dương
– Trần Văn Khải – Đỗ Thanh Sơn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2013.
39. Tài liệu hướng dẫn ôn thi vào lớp 10 Môn Toán.
Phạm Văn Thạo (chủ biên) ; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội; 2013.
40. Ôn tập thi vào lớp 10 ; Môn Toán.
Phan Doãn Thoại – Trịnh Thúy Hằng – Lại Thị Thanh Hương
– Mai Công Mãn – Hoàng Xuân Vinh; NXB Giáo dục Việt Nam ; 2008.
41. Ôn thi vào lớp 10; Môn Toán (Dành cho học sinh tỉnh Thái Bình).
Dương Văn Thanh; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội; 2012.
42. Tài liệu chuyên toán THCS; Toán 9; Tập 1: Đại số.
Vũ Hữu Bình – Phạm Thị Bạch Ngọc – Đàm Văn Nhỉ; NXB Giáo dục Việt Nam; 2012.
43. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT Chuyên trực thuộc đại học và THPT Chuyên các tỉnh thành.
44. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT hệ đại trà các địa phương trên toàn quốc.
45. Đề thi học sinh giỏi môn toán khối 8 đến khối 12 các cấp.
46. Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng môn Toán (chính thức – dự bị) qua các thời kỳ.
47. Đề thi Olympic 30 tháng 4 Toán học khối 10, khối 11 các tỉnh miền Trung và Nam bộ (1995 – 2013).
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 98
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
48. Các tạp chí toán học: Tạp chí Toán học và tuổi trẻ; Tạp chí Toán tuổi thơ 2 THCS; Tạp chí Kvant...
49. Các diễn đàn toán học: Boxmath.vn; Math.net.vn; Mathscope.org; Onluyentoan.vn; Diendantoanhoc.net;
Math.net.vn; K2pi.net; Mathlink.ro;...
50. Một số trang mạng học tập thông qua facebook; twiter;...
Không giảm tính tổng quát, xét (P) nằm phía trên trục hoành.
Đường thẳng đi qua M a;b,b  0 song song với Ox cắt trục Oy tại N (0;b), cắt parabol (P) tại A b;b .
Nếu M nằm trong lòng parabol (P) thì 2
MN AN a
b a b . Điều ngược lại là đúng.
Nếu M nằm phía ngoài parabol (P) thì 2
MN AN a
b a b . Điều ngược lại là đúng. Kết luận : 2
x y M nằm trong lòng (P) và 2
x y M nằm phía ngoài (P).
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN
BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI ĐƠN GIẢN (PARABOLA THCS) 99
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
THÂN THỂ TẠI NGỤC TRUNG
TINH THẦN TẠI NGỤC NGOẠI
DỤC THÀNH ĐẠI SỰ NGHIỆP
TINH THẦN CÁNH YẾU ĐẠI
--------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGỌC HỒI; QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN