TOP 25 câu trắc nghiệm Định nghĩa đạo hàm (có đáp án)

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 Î (a; b):
f (x) - f (x ) y D 0 f '(x ) = lim = lim
(Dx = x – x0, Dy = f(x0 + Dx) – f(x0)) 0 x® 0 x x - x x D ®0 x D 0
• Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
2. Đạo hàm bên trái, bên phải - - +
f (x) f (x ) -
f (x) f (x ) 0 f '(x ) = lim . 0 f '(x ) = lim . 0 0 x + ® - - ® - 0 x x x x x x x 0 0 0
Hệ quả : Hàm f (x) có đạo hàm tại x f (x+ Û $
) và f '(x- ) đồng thời f '(x+ ) f '(x- = ). 0 0 0 0 0
3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn
• Hàm số f (x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a;b)
• Hàm số f (x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên [ ;
a b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc
(a;b) đồng thời tồn tại đạo hàm trái f '(b- ) và đạo hàm phải f '(a+ ) .
4. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục
• Nếu hàm số f (x) có đạo hàm tại x thì f (x) liên tục tại x . 0 0
Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm x nhưng hàm đó 0
không có đạo hàm tại x . 0 B – BÀI TẬP
Câu 1. Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số y = f (x) tại x < 1? 0 f (x + x D ) - f (x )
f (x) - f (x ) A. 0 lim . B. 0 lim . x D 0 ® x D x®0 x - x0
f (x) - f (x ) f (x + x D ) - f (x) C. 0 lim . D. 0 lim . x® - D 0 x x x x D 0 ® x 0 Hướng dẫn giải:
Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm thì biểu thức ở đáp án C đúng. Chọn C.
Câu 2. Cho hàm số f (x) liên tục tại x . Đạo hàm của f (x) tại x là 0 0
A. f (x0 ).
f (x + h) - f (x ) B. 0 0 . h
f (x + h) - f (x ) C. 0 0 lim
(nếu tồn tại giới hạn). h®0 h
f (x + h) - f (x - h) D. 0 0 lim
(nếu tồn tại giới hạn). h®0 h Trang 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. f (x + x D ) - f (x )
f (x + h) - f (x )
Định nghĩa f ¢( x = lim f ¢(x = lim 0 ) 0 0 0 ) 0 0 hay
(nếu tồn tại giới hạn). x D ®0 x D h®0 h
Câu 3. Cho hàm số y = f (x)có đạo hàm tại x là f '(x ). Khẳng định nào sau đây sai? 0 0
f (x) - f (x ) f (x + x D ) - f (x ) A. 0 f ( ¢ x ) = lim . B. 0 0 f ( ¢ x ) = lim . 0 x® 0 0 x x - x x D ®0 x D 0
f (x + h) - f (x )
f (x + x ) - f (x ) C. 0 0 f ( ¢ x ) = lim . D. 0 0 f ( ¢ x ) = lim . 0 0 h®0 h x® 0 x x - x0 Hướng dẫn giải: Chọn D
A. Đúng (theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm). B. Đúng vì x
D = x - x Þ x = x D + x 0 0 y
D = f (x + x D - f x 0 ) ( 0)
f (x) - f (x ) f x + x D - f x f x + x D - f x 0 ( 0 ) ( 0) ( 0 ) ( 0)
Þ f (¢x ) = lim = = 0 x® 0 x x - x x D + x - x x D 0 0 0 C. Đúng vì Đặt h = x
D = x - x Þ x = h + x , y
D = f (x + x D - f x 0 ) ( 0) 0 0
f (x) - f (x )
f x + h - f x
f x + h - f x 0 ( 0 ) ( 0) ( 0 ) ( 0)
Þ f (¢x ) = lim = = 0 x® 0 x x - x h + x - x h 0 0 0
Câu 4. Số gia của hàm số ( ) 3
f x = x ứng với x = 2 và x D =1 bằng bao nhiêu? 0 A. 19 - . B. 7 . C. 19 . D. 7 - . Hướng dẫn giải:
Chọn C. Ta có y
D = f (x + x
D )- f (x ) = (x + x
D )3 - 2 = x +( x D )3 3 3 + 3x x D x + x D -8 0 0 0 0 0 ( 0 ) .
Với x = 2 và x D =1 thì Dy =19. 0 y D Câu 5. Tỉ số
của hàm số f (x) = 2x(x - ) 1 theo x và x D là x D
A. 4x + 2 x D + 2.
B. x + ( x D )2 4 2 - 2.
C. 4x + 2 x D - 2. D. x x D + ( x D )2 4 2 - 2D . x Hướng dẫn giải: Chọn C y D
f ( x) - f (x
2x x -1 - 2x x -1 0 ) ( ) 0 ( 0 ) = = x D x - x x - x 0 0 2( x - x
x + x - 2 x - x 0 ) ( 0 ) ( 0 ) =
= 2x + 2x - 2 = 4x + 2 x D - 2 0 x - x0 2
Câu 6. Số gia của hàm số ( ) x f x = ứng với số gia x
D của đối số x tại x = 1 - 0 là 2 1 1 1 1 A. ( x D )2 - D .x B. é( x D )2 - x D ù. C. é x D + x D ù. D. x D + D . x 2 2 ë û ( )2 2 ë û ( )2 2 Hướng dẫn giải: Chọn A Với số gia x
D của đối số x tại x = - 1 Ta có 0 Trang 2 ( 1 - + x D )2 1 1+ ( x D )2 - 2 x D 1 1 y D = - = - = ( x D )2 - x D 2 2 2 2 2
Câu 7. Cho hàm số ( ) 2
f x = x - x, đạo hàm của hàm số ứng với số gia x
D của đối số x tại x0 là A. lim D + D - D lim ( x D + 2x - ) 1 . D ® ( x)2 2x x x . x 0 ) B. x D 0 ® C. lim ( x D + 2x + ) 1 . D. lim D + D + D D ® ( x)2 2x x x . x 0 ) x D ®0 Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có : y
D = (x + Dx)2 - (x + Dx) - ( 2 x - x 0 0 0 0 )
= x + 2x Dx + Dx - x - Dx - x + x 0 0 ( )2 2 2 0 0 0
= (Dx)2 + 2x Dx - Dx 0 2 y D x D + 2x x D - x D Nên f '(x ) ( ) 0 = lim = lim = lim x D + 2x -1 0 ( 0 ) x D ®0 x D ®0 x D ®0 x D x D
Vậy f '(x) = lim ( x D + 2x - ) 1 x D 0 ® ì x ï khi x > 0
Câu 8. Cho hàm số f (x) = í x . Xét hai mệnh đề sau: ïî0 khi x = 0 (I) f ¢(0) =1.
(II) Hàm số không có đạo hàm tại x = 0. 0 Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ (I). B. Chỉ (II).
C. Cả hai đều sai.
D. Cả hai đều đúng. Hướng dẫn giải: Chọn B. Gọi x
D là số gia của đối số tại 0 sao cho x D > 0 . f x D + 0 - f (0) x D 1 Ta có f ¢(0) ( ) = lim = lim = lim = +¥ . 2 x D ®0 x D ®0 x D ®0 x D D x x D x D
Nên hàm số không có đạo hàm tại 0. 3 2
ì x - 2x + x +1-1 ï khi x ¹ 1
Câu 9. f (x) = í tại điểm x = . 1 x -1 0 ï î0 khi x =1 1 1 1 1 A. B. C. D. 3 5 2 4 Hướng dẫn giải: Chọn C. 3 2
f (x) - f (1)
x - 2x + x +1 -1 x 1 lim = lim = lim = 2 x 1 ® x 1 ® x 1 ® 3 2 x -1 (x -1)
x - 2x + x +1 +1 2 1 Vậy f '(1) = . 2
ì2x + 3 khi x ³1 ï Câu 10. 3 2 f (x) = í tại x = . 1
x + 2x - 7x + 4 khi x <1 0 ïî x -1 A. 0 B. 4 C. 5
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải: Trang 3 Chọn D.
Ta có lim f (x) = lim (2x +3) = 5 x 1+ x 1+ ® ® 3 2
x + 2x - 7x + 4 2 lim f (x) = lim
= lim(x + 3x - 4) = 0 x 1- x 1- - x 1 x 1 - ® ® ® Dẫn tới lim f ( )
x ¹ lim f (x) Þ hàm số không liên tục tại x = 1 nên hàm số không có đạo hàm tại x 1+ x 1- ® ® x = . 1 0 ì3- 4 - x ï khi x ¹ 0 ï Câu 11. Cho hàm số 4 f (x) = í
. Khi đó f ¢(0)là kết quả nào sau đây? 1 ï khi x = 0 ïî4 1 1 1 A. . B. . C. . D. Không tồn tại. 4 16 32 Hướng dẫn giải: Chọn B 3 - 4 - x 1
f ( x) f (0) - - 2 - 4 - x Ta có 4 4 lim = lim = lim x®0 x®0 x®0 x - 0 x 4x (2- 4-x)(2+ 4-x) x 1 1 = lim = lim = lim = . x®0 4x(2+ 4- x)
x®0 4x(2+ 4- x) x®0 4(2+ 4- x) 16 Câu 12. Cho hàm số 2
f (x) = x . Khi đó f ¢(0) là kết quả nào sau đây? A. Không tồn tại. B. 0. C. 1. D. 2. Hướng dẫn giải: Chọn A. f x D + 0 - f (0) x D Ta có 2
f (x) = x = x nên f ¢(0) ( ) = lim = lim . x D ®0 x D ®0 x D x D x D x D x D Do lim = 1 - ¹ lim =1 nên lim không tồn tại. x- 0 D x+ D ® D ®0 x x D x D ®0 x D 2 ìx khi x £ 2 ï Câu 13. Cho hàm số = 2 f (x) í
. Để hàm số này có đạo hàm tại x = 2 thì giá x ï-
+ bx - 6 khi x > 2 î 2 trị của b là A. b = 3. B. b = 6. C. b = 1. D. b = 6. - Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có • f (2) = 4 • lim f (x) 2 = lim x = 4 x®2- x®2- 2 æ x ö
• lim f (x) = lim ç- + bx - 6÷ = 2b -8 x®2- x®2- è 2 ø
f (x) có đạo hàm tại x = 2 khi và chỉ khi f (x) liên tục tại x = 2
Û lim f (x) = lim f (x) = f (2) Û 2b -8 = 4 Û b = 6. x 2- x 2- ® ®
Câu 14. Số gia của hàm số f (x) 2
= x - 4x +1 ứng với x và x D là Trang 4 A. x D ( x D + 2x - 4). B. 2x + D . x C. D .
x (2x - 4 x D ) . D. 2x - 4D . x Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có y D = f ( x
D + x) - f (x) = ( x D + x)2 - 4( x D + x) +1- ( 2 x - 4x + ) 1 2 2 2 2 = x D + 2D .
x x + x - 4 x
D - 4x +1- x + 4x -1 = Dx + 2D . x x - 4Dx = x D ( x D + 2x - 4)
Câu 15. Xét ba mệnh đề sau:
(1) Nếu hàm số f (x) có đạo hàm tại điểm x = x thì f (x) liên tục tại điểm đó. 0
(2) Nếu hàm số f (x) liên tục tại điểm x = x thì f (x) có đạo hàm tại điểm đó. 0
(3) Nếu f (x) gián đoạn tại x = x thì chắc chắn f (x) không có đạo hàm tại điểm đó. 0 Trong ba câu trên:
A. Có hai câu đúng và một câu sai.
B. Có một câu đúng và hai câu sai.
C. Cả ba đều đúng. D. Cả ba đều sai. Hướng dẫn giải: Chọn A
(1) Nếu hàm số f (x) có đạo hàm tại điểm x = x thì f (x) liên tục tại điểm đó. Đây là mệnh đề đúng. 0
(2) Nếu hàm số f (x) liên tục tại điểm x = x thì f (x) có đạo hàm tại điểm đó. 0 Phản ví dụ
Lấy hàm f (x) = x ta có D = ! nên hàm số f (x) liên tục trên ! . ì
f ( x) - f (0) x - 0 x - 0 ïlim = lim = lim =1 + + + ï - - - Nhưng ta có x®0 x®0 x®0 x 0 x 0 x 0 í f ï (x)- f (0) x - 0 -x - 0 lim = lim = lim = 1 - ïx®0- î - x®0- - x®0 x 0 x 0 + x - 0
Nên hàm số không có đạo hàm tại x = 0 .
Vậy mệnh đề (2) là mệnh đề sai.
(3) Nếu f (x) gián đoạn tại x = x thì chắc chắn f (x) không có đạo hàm tại điểm đó. 0
Vì (1) là mệnh đề đúng nên ta có f (x) không liên tục tại x = x thì f (x) có đạo hàm tại điểm đó. 0
Vậy (3) là mệnh đề đúng.
Câu 16. Xét hai câu sau: x (1) Hàm số y =
liên tục tại x = 0 x +1 x (2) Hàm số y =
có đạo hàm tại x = 0 x +1 Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (2) đúng.
B. Chỉ có (1) đúng.
C. Cả hai đều đúng.
D. Cả hai đều sai. Hướng dẫn giải: Chọn B ì x ïlim = 0 x x Ta có : x®0 í x +1 Þ lim
= f (0). Vậy hàm số y =
liên tục tại x = 0 ® + ï x +1 f î ( ) x 0 x 1 0 = 0 x
f ( x) - f ( ) - 0 0 x Ta có : x +1 = = (với x ¹ 0 ) x - 0 x x ( x + ) 1 Trang 5 ì
f ( x) - f (0) x 1 ïlim = lim = lim =1 x®0+ - x®0 x 0 + x ï (x + ) x®0 1 + x +1 Do đó : í f ï (x) - f (0) x 1 - lim = lim = lim = 1 - ïx®0+ - x®0 x 0 - x î (x + ) x®0 1 - x +1
f ( x) - f (0)
Vì giới hạn hai bên khác nhau nên không tồn tại giới hạn của khi x ® 0 . x - 0 x Vậy hàm số y =
không có đạo hàm tại x = 0 x +1
Câu 17. Cho hàm số ( ) 2
f x = x + x . Xét hai câu sau:
(1). Hàm số trên có đạo hàm tại < nguyenthuongnd86@ gmail.com > .
(2). Hàm số trên liên tục tại x = 0 . Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (1) đúng.
B. Chỉ có (2) đúng.
C. Cả hai đều đúng.
D. Cả hai đều sai. Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có
+) lim f ( x) = lim ( 2 x + x = + + ) 0. x®0 x®0
+) lim f ( x) = lim ( 2 x - x = - - ) 0. x®0 x®0 +) f (0) = 0.
Þ lim f (x) = lim f (x) = f (0). Vậy hàm số liên tục tại x = 0 . x 0+ x 0- ® ® Mặt khác: 2 f x - f 0 + +) ¢( + x x f 0 ) ( ) ( ) = lim = lim = lim (x + ) 1 =1. x®0+ - x®0+ x®0 x 0 x + 2 f x - f 0 - +) ¢( - x x f 0 ) ( ) ( ) = lim = lim = lim (x - ) 1 = - . 1 x®0- - x®0- x®0 x 0 x -
Þ f (0+ ) ¹ f (0- ¢ ¢
). Vậy hàm số không có đạo hàm tại x = 0. 2
ìx + x khi x ³1
Câu 18. Tìm a,b để hàm số f (x) = í
có đạo hàm tại x = 1.
îax + b khi x <1 ìa = 23 ìa = 3 ìa = 33 ìa = 3 A. í B. í C. í D. í îb = -1 îb = -11 îb = -31 b î = 1 - Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: 2
lim f (x) = lim(x + x) = 2; lim f ( ) x = lim(ax + )
b = a + b x 1+ x 1+ ® ® x 1- x 1- ® ®
Hàm có đạo hàm tại x = 1 thì hàm liên tục tại x = 1 Û a + b = 2 (1) 2
f (x) - f (1) x + x - 2 lim = lim = lim(x + 2) = 3 x 1+ - x 1+ - x 1 x 1 x 1 + ® ® ®
f (x) - f (1) ax + b - 2 ax - a lim = lim = lim
= a(Do b = 2 - a ) x 1- - x 1- - x 1 x 1 x 1 - ® ® ® x -1 ìa =
Hàm có đạo hàm tại x = 3 1 Û í . b î = 1 - 2 ì x ï khi x £ 1
Câu 19. Cho hàm số f (x) = í 2
. Với giá trị nào sau đây của a, b thì hàm số có đạo
ïîax +b khi x >1 hàm tại x = 1? Trang 6 1
A. a = 1;b = - 1 1 .
B. a = ;b = 1 1 .
C. a = ;b = - 1 .
D. a = 1;b = . 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn A 1
Hàm số liên tục tại x = 1 nên Ta có a + b = 2 f x - f
Hàm số có đạo hàm tại x = ( ) ( ) 1
1 nên giới hạn 2 bên của bằng nhau và Ta có x -1
f ( x) - f ( ) 1 ax + b - ( . a 1+ b) a (x - ) 1 lim = lim = lim = lim a = a x 1+ - x 1+ - x 1+ - x 1 x 1 x 1 x 1 + ® ® ® ® 2 x 1
f ( x) f ( ) 1 - - (x + )1(x - )1 (x + )1 2 2 lim = lim = lim = lim = 1 x 1- - x 1- - x 1 x 1 x 1 - 2( x - ) x 1 1 - ® ® ® ® 2 1
Vậy a = 1;b = - 2 ì 1 2
ïx sin khi x ¹ 0
Câu20 . f (x) = í x tại x = 0 . ïî0 khi x = 0 2 A. 0 1 B. C. D. 7 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn A
f (x) - f (0) 1 Ta có: lim = lim xsin = 0 x®0 x®0 x x Vậy f '(0) = 0. 2 ìsin x ï khi x > 0
Câu 21. f (x) = í x tại x = 0 0 ï 2
îx + x khi x £ 0 A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 Hướng dẫn giải: Chọn A 2 sin x æ sin x ö
Ta có lim f (x) = lim = lim .sin x = 0 ç ÷ x 0+ x 0+ x 0 x + ® ® ® è x ø
lim f (x) = lim ( 2 x + x = x = 0 - -
) 0 nên hàm số liên tục tại x®0 x®0 2
f (x) - f (0) sin x lim = lim = 1 và + + 2 x®0 x®0 x x 2
f (x) - f (0) x + x lim = lim = 1 x 0- x 0 x - ® ® x Vậy f '(0) =1. 2 x + x +1
Câu 22. f (x) = tại x = - . 1 x 0 A. 2 B. 0 C. 3
D. đáp án khác Hướng dẫn giải: Chọn D
Ta có hàm số liên tục tại x = -1 và 0 2
f (x) - f ( 1
- ) x + x + x +1 = x +1 x(x +1) Trang 7 2
f (x) - f ( 1 - ) x + 2x +1 Nên lim = lim = 0 x 1+ + x 1 x 1 + ®- ®- x(x +1) 2
f (x) - f ( 1 - ) x -1 lim = lim = 2 x 1- + x 1 x 1 - ®- ®- x(x +1)
f (x) - f ( 1 - )
f (x) - f ( 1 - ) Do đó lim ¹ lim x 1+ + x 1 x 1 - ®- ®- x +1
Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 1 - . 0
Nhận xét: Hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x = x thì phải liên tục tại điểm đó. 0 2
ìïx +1 khi x ³ 0
Câu 23. Tìm a,b để hàm số f (x) = í có đạo hàm trên ! . 2
ïî2x + ax +b khi x < 0
A. a =10,b =11
B. a = 0,b = 1 -
C. a = 0,b = 1
D. a = 20,b =1 Hướng dẫn giải: Chọn C
Ta thấy với x ¹ 0 thì f (x) luôn có đạo hàm. Do đó hàm số có đạo hàm trên ! khi và chỉ khi hàm có
đạo hàm tại x = 0 . Ta có: lim f ( ) x =1; lim f ( )
x = b Þ f (x) liên tục tại x = 0 Û b = 1. x 0+ x 0- ® ® +
f (x) - f (0) -
f (x) - f (0)
Khi đó: f '(0 ) = lim = 0; f '(0 ) = lim = a x®0+ x®0 x - x f '(0+) f '(0- Þ = ) Û a = 0.
Vậy a = 0,b = 1 là những giá trị cần tìm. Trang 8