18 trang 45 lượt tải

TOP 29 bài toán hình lăng trụ xiên – Trần Đình Cư Toán 12

90

Tuyển tập gồm 18 trang tuyển tập 29 bài toán hình lăng trụ xiên của tác giả Trần Đình Cư, mỗi bài toán đều có lời giải chi tiết.Mời các bạn đón xem.

Chủ đề: Chương 1: Khối đa diện 172 tài liệu

Môn: Toán 12 4.3 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Lan Tường

1 năm trước
Danh sách Quiz
/18
Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30
1
HÌNH LĂNG TRỤ XIÊN
Bài 1. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC có
AC a 3, BC 3a
,
0
ACB 30
. Cạnh bên hợp
với mặt phẳng đáy góc
0
60
và mặt phẳng
A'BC
vuông góc với mặt phẳng
ABC
. Điểm H trên
cạnh BC sao cho
HC 3BH
và mặt phẳng
A'AH
vuông góc với mặt phẳng
. Tính thể tích
khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ B đến mặt phẳng
A'AC
Giải
A'BC ABC
A'AH ABC A'H ABC
A'H A'BC A'AH


Suy ra
0
A'AH 60
2 2 2 0 2
0
23
ABC.A'B'C' ABC
AH AC HC 2AC.HC.cos30 a AH a
A'H AH.tan60 a 3
3a 3 9a
V S .A'H .a 3
44
Vì
2 2 2
AH AC HC HA AC AA' AC
2
A'AC
3
A'ABC
2
A'AC
11
S AC.A'A a 3.2a a 3
22
9
a
3V
3 3a
4
d B; A'AC
S4
a3
Bài 2. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’,
ΔABC
đều có cạnh bằng a,
AA' a
và đỉnh A’ cách đều A,
B, C. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và A’B. Tính theo a thể tích khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (AMN)
Giải
Gọi O là tâm tam giác đều ABC
A'O ABC
Ta có
a 3 2 a 3
AM , AO AM
2 3 3
2
2 2 2
a a 6
A'O AA' AO a
33
;
2
ΔABC
a3
S
4
Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’:
23
ΔABC
a 3 a 6 a 2
V S .A'O .
4 3 4
Ta có:
NAMC ΔAMC
1
V S .d N, ABC
3
NAMC
ΔAMC
3V
d N, ABC
S

2 2 2
AMC ABC NAMC
1 a 3 1 a 6 1 a 3 a 6 a 2
S S ; d N, ABC A'O V . .
2 8 2 6 3 8 6 48
Lại có:
a3
AM AN
2

, nên
ΔAMN
cân tại A.
C'
B'
B
C
A
A'
H
E
N
O
M
C'
A'
A
C
B
B'
Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30
2
Gọi E là trung điểm của MN, suy ra
A'C a
AE MN, MN
22
2 2 2
22
AMN
2
3a a a 11 1 a 11
AE AN NE ; S MN.AE
4 16 4 2 16
3a 2 a 11 a 22
d C, AMN : (đvđd)
48 16 11
Bài 3. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
0
AB a, ACB 30
; M là
trung điểm cạnh AC. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ bằng
0
60
. Hình chiếu vuông góc
của đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BM. Tính theo a thể tích khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm C’ đến mặt phẳng (BMB’)
Giải
A'H ABC A'H
là đường cao của hình lăng trụ.
AH là hình chiếu vuông góc của A A’ lên (ABC)
0
A'AH 6 0
ABC.A'B'C' ABC
2
ABC
23
ABC.A'B'C'
A.BMB'
BMB'
3
A.BMB' B'.AMB6 ABC.A'B'C'
V A'H.S
a 3 3a
AC 2a, MA MB AB a AH A'H
22
1 1 a 3
S BA.BC a.a 3
2 2 2
3a a 3 3a 3
V.
2 2 4
3V
d C', BMB' d C, BMB' d A, BMB'
S
1 a 3
V V V
68
Do
BM AHA'
nên
BM AA' BM BB' ΔBMB'
vuông tại B
2
BMB'
1 1 a 3
S BB'.BM a 3.a
2 2 2
. Suy ra
32
3a 3 a 2 3a
d C', BMB' :
8 2 4

(Cách 2:
0
a 3 3a
d A, BMB' AE AH.sinAHE .sin60
24
)
Bài 4. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên tạo với đáy
một góc bằng
0
60
. Gọi M là trung điểm cạnh BC và I là trung điểm của AM. Biết rằng hình chiếu
của điểm I lên mặt đáy A’B’C’ là trọng tâm G của
ΔA 'B'C'
. Tính thể tích khối lăng trụ đó.
Giải
Gọi M’ là trung điểm của B’C’;
K A'M'
sao cho
A'K KG GM'
Kẻ
AH A'M'; H A'M'
.
Ta có AHGI là hình bình hành nên
IG AH
Hơn nữa
AM' A'M'
, I là trung điểm của AM, G là trọng tâm của
Δ A'B'C'
nên H là trung điểm của A’K
1
A'H A'M'
6

P
Q
B'
C'
H
M
A
C
B
A'
E
K
H
M
B
C
G
M'
A'
C'
B'
A
I
Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30
3
Ta có:
2
A'B'C'
a 3 a 3 a 3
S ; A'M' A'H
4 2 12
0
a 3 a
AH A'H.tan60 . 3
12 4
. Từ đó:
23
ABC.A'B'C' A'B'C'
a a 3 a 3
V AH.S .
4 4 16
Bài 5. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có
a 10
AB 2a, AC a, AA'
2
,
0
BAC 120
. Hình chiếu
vuông góc của C’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính thể tích khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ theo a và tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACC’A’).
Giải
Gọi H là trung điểm BC. Từ giả thiết suy ra
C'H ABC
.
Trong
ΔABC
ta có:
2
0
ABC
2 2 2 0 2
22
1 a 3
S AB.AC.sin120
22
BC AC AB 2AC.AB.cos120 7a
a7
BC a 7 CH
2
a3
C'H C'C CH
2

Suy ra thể tích lăng trụ
3
ABC
3a
V C'H.S
4

Hạ
HK AC
. Vì
C'H ABC
đường xiên
C'K AC
ABC , ACC'A' C'KH
(1)
(
ΔC'HK
vuông tại H nên
0
C'KH 90
)
Trong
ΔHAC
ta có
HAC ABC
2S S
a3
HK
AC AC 2
0
C'H
tanC'KH 1 C'KH 45
HK
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
0
ABC , ACC'A' 45
Ghi chú: Có thể tính độ dài AH và suy ra
ΔHAC
vuông tại A để suy ra
KA
)
Bài 6. Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Hình chiếu
vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng ABCD là trung điểm I của cạnh AB. Biết A’C tạo với mặt
phẳng đáy một góc
α
với
2
tanα
5
. Tính theo a thể tích khối chóp A’.ICD và khoảng cách từ
điểm B đến mặt phẳng (A’AC)
Giải
Theo bài ra ta có IC là hình chiếu vuông góc của A’C trên mặt phẳng
(ABCD). Suy ra
A'C, ABCD A'C,CI A'CI α
Xét ta giác vuông A’IC:
a 5 2
A'I IC.tanA'CI IC.tanα . a
2
5
Thể tích khối chóp A’.ICD là:
23
A'.ICD ΔICD
1 1 a a
V A'I.S a.
3 3 2 6
(đvtt)
A'
B'
H
C
B
A
C'
K
K
C'
D'
B'
C
I
B
D
A
A'
H
Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30
4
Ta có
BI A'AC A
và I là trung điểm AB nên
d B; A'AC 2d I; A'AC
Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ
IK / /BD IK AC
, mà
A'I AC
(do
A'I ABCD
) nên
AC A'IK
. Kẻ
IH A'K IH A'AC
d I; A'AC IH
Xét tam giác vuông A’IK có
BD a 2
A'I a, IK
44
2 2 2 2 2 2
1 1 1 8 1 9 a
IH
3
IH IK IA' a a a
Suy ra
2a
d B; A'AC
3
Bài 7. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có mặt bên AA’D’D là hình thoi cạnh bằng a nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD) và cách BC một khoảng bằng
a
2
. Biết cạnh AA’ hợp với
mặt đáy (ABCD) một góc bằng
0
60
. Tính thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’.
Giải
Ta có:
AA'D'D ABCD
theo giao tuyến AD
(1)
Vẽ
A'H AD
và
BK AD; H,K AD
(2)
Từ (1) và (2)
A'H ABCD
và
BK AA'D'D
A'H d A'B'C'D' , ABCD
và
BK d B, AA'D'D
a
d BC, AA'D'D
2

(vì
BC / / AA'D'D
)
Vì
A'H ABCD
nên góc hợp bởi AA’ và (ABCD) là
0
A'AH 60
Tam giác A’AH vuông tại H
0
a3
A'H AA'sin A'AH asin60
2
Vậy thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là:
3
ABCD
a a 3 a 3
V S .A'H AD.BK.A'H a. .
2 2 4
Bài 8. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật,
,
AD 2a
. Biết tam
giác A’AB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng hợp với đáy (ABCD) một góc bằng
α
. Tính thể
tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ theo a và
α
.
Giải
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD, ta có:
MN AB (vì MN laø ñöôøng trung bình cuûa hình chöõ nhaät ABCD)
A'M AB (vì tam giaùc A'AB laø tam giaùc ñeàu)
αA'MN
(góc hợp bởi (A’AB) và đáy (ABCD))
Ta cũng có
AB A'MN
(vì
AB MN
và
AB A'M
)
60
0
D'
C'
A'
D
B
C
B'
A
H
K
α
D'
C'
A'
D
B
C
B'
A
Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30
5
ABCD A'MN
theo giao tuyến MN (1)
Vẽ
A'H MN, H MN
(2)
Từ (1) và (2)
A'H ABCD
A'H d A'B'C'D' , ABCD
Tam giác A’AB là tam giác đều có cạnh
AB a
a3
A'M
2

Tam giác A’HM vuông tại H
α
a3
A'H A'MsinA'MH sin
2
Vậy thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là:
αα
3
ABCD
a3
V S .A'H AB.AD.A'H a.2a. sin a 3sin
2
Bài 9. Cho hai đoạn thẳng AB và CD chéo nhau, AC là đường vuông góc chung của chúng. Biết
rằng
AC h, AB a, CD b
và góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
0
60
. Hãy tính thể tích
của tứ diện ABCD.
Giải
Dựng hình lăng trụ ABE.FDC (BE song song và bằng DC, DF song
song và bằng AB)
Ta có:
AC AB gt
AC CD gt
CD/ /BE AC BE

AC ABE
AC h
là chiều cao của hình chóp C.ABE.
Tam giác ABE có
AB a, BE CD b
và
0
ABE AB,CD 60
Δ
0
ABE
1 1 ab 3
S AB.BE.sinABE a.b.sin60
2 2 4
Ta có
ABCD C.ABD C.AFD A.CDF C.ABE
V V V V V
ΔABE
1 1 ab 3 abh 3
S .CA . .h
3 3 4 12
Chú ý:
ABCD ABE.FDC
1
VV
3
Bài 10. Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a,
αα
00
A'AB BAD A'AD 0 90
. Hãy tính thể tích của khối hộp.
Giải
Ta có
ΔΔAA'B AA'D
(vì có cạnh chung là AA’,
αA'AB A'AD
và
AB AD a
)
A'B A'D
Vẽ
A'H AC H AC
(1)
Tam giác A’BD cân tại A’ (do
A'B A'D
)
BD A'O
(O là trung điểm của BD, O cũng là tâm của hình
thoi ABCD)
Ta còn có
BD AC
b
a
h
60
0
60
0
A
B
C
D
F
E
φ
α
K
O
C'
D'
B'
C
A
D
A'
B
H
Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30
6
BD A'AO BD A'H 2
Từ (1) và (2)
A'H ABCD
Đặt
φA'AO
Vẽ
A'K AD K AD
HK AK
(định lý ba đường vuông góc)
Ta có:
φ
AH
cos
AA'
(tam giác vuông AA’H)
α
AK
cos
AA'
(tam giác vuông AA’K)
và
α AK
cos
2 AH
(tam giác AHK vuông tại K và
αBAD
HAK
22

)
αα
φ α φ
α
AH AK AK cos
cos .cos . cos cos
2 AA' AH AA'
cos
2
Tam giác AA’H vuông tại H và có
φA'AH
nên
2
2 2 2
2
2 2 2
ABCD.A'B'C'D' ABCD
2 2 2 3 2 2
cos α a α
A'H AA'.sinφ a sin φ a 1 cos φ a 1 cos cos α
αα
2
cos cos
22
a α
V S .A'H AB.AD.sin BAD.A'H a sinα. cos cos α
α
2
cos
2
α α a α α α
a .2sin .cos . cos cos α 2a sin cos cos α
α
2 2 2 2 2
cos
2
Bài 11. Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với
AB 3
,
AD 7
. Hai mặt bên
(ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc
0
45
và
0
60
. Hãy tính thể tích khối hộp nếu
biết cạnh bên bằng 1.
Giải
Vẽ
A'H ABCD H ABCD , HM AD M AD , HK AB K AB
Theo định lý ba đường vuông góc, ta có:
AD A'M, AB A'K
00
A'MH 60 , A'KH 45
Đặt
A'H x
M
K
C'
D'
B'
C
A
D
A'
B
H
B
A
D
C
H
K
M
Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30
7
Tam giác A’HM vuông tại H và có
0
A'MH 60
nên
0
A'H 2x
A'M
3
sin60

Tam giác A’AM vuông tại M nên
22
22
4a 3 4x
AM AA' A'M 1
33
(1)
AKHM là hình chữ nhật và tam giác A’AH vuông tại H nên
AM HK
và
HK A'H.cotA'KH
0
AM HK x.cot 45 x
(2)
Từ (1) và (2)
2
3 4x 3
xx
37
hay
3
A'H
7
Vậy
ABCD.A'B'C'D' ABCD
3
V S .A'H AB.AD.A'H 7. 3. 3
7
Bài 12. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ mà mặt bên ABB’A’ có diện tích bằng 4. Khoảng
cách giữa cạnh CC’ và mặt (ABB’A’) bằng 7. Hãy tính thể tích khối lăng trụ.
Giải
Dựng khối hộp ABCD.A’B’C’D’ ta có:
ABC.A'B'C' ABCD.A'B'C'D'
1
VV
2
Xem khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là khối lăng trụ có hai
đáy là ABB’A’ và DCC’D’.
Vậy
ABCD.A'B'C'D' ABB'A'
V S .h
trong đó
h d CDD'C' , ABB'A'
d CC', ABB'A' 7

và
ABB'A'
S4
ABC.A'B'C'
1
V .4.7 14
2
Bài 13. Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền bằng
AB 2
. Cho biết mặt phẳng (AA’B) vuông góc với với mặt phẳng (ABC),
AA' 3
, góc
A'AB
nhọn, góc giữa hai mặt phẳng (A’AC) và mặt phẳng (ABC) bằng
0
60
.
Giải
AA'B ABC
theo giao tuyến AB (1)
Vẽ
A'K AB
(với
K AB
) (2)
Từ (1) và (2)
A'K ABC
Góc
A'AB
nhọn nên K thuộc tia AB.
Vẽ
KM AC M AC
A'M AC
(định lý ba đường vuông góc)
Góc giữa hai mặt phẳng (A’AC) và (ABC) là
0
A'MK 60
Đặt
A'K x
, ta có:
D'
C'
A'
D
B
C
B'
A
3
2
C'
B'
A
B
C
A'
K
M
Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30
8
2 2 2
2 0 2
0
AK A'A A'K 3 x
2
MK AKsinKAM 3 x .sin45 . 3 x 3
2
x
MK A'KcotA'MK A'K.cot60 4
3
Từ (3) và (4)
2
2. 3 x
x
2
3

3
x
5

hay
3
A'K
5
Tam giác ABC vuông cân với cạnh huyền
AB 2
nên
AC CB 1
.
Vậy
ABC.A'B'C' ABC
1 1 3 3 5
V S .A'K AC.CB.A'K .1.1.
2 2 10
5
Bài 14. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật,
AB a
,
AD b
, cạnh bên
AA’ hợp với mặt đáy (ABCD) một góc bằng
0
60
, mặt bên AA’D’D là hình thoi có góc A’AD nhọn
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD)
a. Tính thể tích của khối tứ diện ACDD’
b. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa AA’ và CD.
Giải
a. Ta có
AA'D'D ABCD
theo giao tuyến AD
(1)
Vẽ
A'H AD, H AD
(2)
Từ (1) và (2)
A'H ABCD
Góc hợp bởi AA’ và (ABCD) là
0
A'AH 60
Tam giác AA’H vuông tại H,
AA' AD b
(AA’D’D là
hình thoi) và
0
A'AH 60
b3
A'H
2

Ta có:
A'CDD' A'.CDD' A'.CC'D' A'.CC'D'D
1
V V V V
2
ACD.A'C'D' A'.ACD ACD.A'C'D' ACD.A'C'D'
ACD.A'C'D' ABCD.A'B'C'D' ABCD
1 1 1
V V V V
2 2 3
1 1 1 1 1 1 b 3
V . V S .A'H AB.AD.A'H ab.
3 3 2 6 6 6 2



hay
2
A'CDD'
ab 3
V
12
Chú ý: ta có thể tính
ABCD.A'B'C'D'
V
bằng cách khác.
Ta có
AA'D'D ABCD
theo giao tuyến AD và
AB AD
60
0
D'
C'
A'
D
B
C
B'
A
H
K
Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30
9
2
0
ABCD.A'B'C'D' AA'D'D
AB AA'D'D
ab 3
V S .AB AD.AA'.sinA'AD.AB a.b.b.sin60
2

b. Ta có
AA'D'D ABCD
theo giao tuyến AD và
CD AD
CD AA'D'D
(1)
Trong mặt phẳng (AA’D’D), vẽ
DK AA', K AA'
(2)
Từ (1) và (2)
DK là đoạn vuông góc chung của AA’ và CD.
Tính DK:
AA’D’D là hình thoi có cạnh bằng b và
0
A'AD 60
Tam giác AA’D là tam giác đều có cạnh bằng b
b3
DK
2

Bài 15. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các mặt đều là hình thoi cạnh a, các góc
0
BAA' BAD DAA' 60
. Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ theo a.
Giải
Gọi H, I, J lần lượt là hình chiếu của A’ lên (ABCD), AB,
AD.
Ta có:
A'H AB
AB A'HI
A'I AB
AB HI


Tương tự:
HJ AD
. Hai tam giác vuông A’AI và A’AJ
có AA’ chung và
0
A'AI A'AJ 60
ΔA'AI ΔA'AJ
,
0
a
AI AJ AA'cos60 HI HJ
2
Vậy H cách đều AB và AD nên nằm trên đường phân giác của góc
BAD H AC
Ta có:
22
2 2 2
0
a
AI a a 2a
2
AH ; A'H AA' AH a
33
33
cos30
2
2
0
ABCD
2 a 3
A'H a S AB.AD.sin60
32
23
ABCD.A'B'C'D' ABCD
2 a 3 a 2
V A'H.S a .
3 2 2
(đvtt)
Bài 16. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A,
AB a, BC 2a
. Mặt
bên ABB’A’ là hình thoi, mặt bên BCC’B’ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, hai mặt này
hợp với nhau một góc bằng
α
.
1. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC’B’). Xác định góc
α
.
2. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’
Giải
1. Tính
d A, BCC'B'
. Xác định
α
.
C'
B'
D'
C
A
B
A'
D
H
I
J
Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30
10
Dựng
AH BC H BC
BCC'B' ABC
BCC'B' ABC BC
AH ABC , AH BC
AH BCC'B'




Dựng
HE BB' E BB'
ta có:
BB' AH
BB' AHE
BB' HE
ABB'A' BCC'B' BB'
AHE BB'
AHE ABB'A' AE
AHE BCC'B' HE
ABB'A' , BCC'B' AE,HE





Mặt khác tam giác AHE vuông tại H (do
AH HE
) nên
AEH
là góc nhọn.
Do đó
ABB'A' , BCC'B' AE,HE AEH α
2. Tính
ABC.A'B'C'
V
Trong tam giác vuông ABC:
22
AC BC AB a 3
2
22
2
AB.AC a 3 a 3
AH.BC AB.AC AH
BC 2a 2
AB a a
AB BH.BC BH
BC 2a 2
Trong tam giác vuông AHE:
a3
HE AHcotAEH .cotα
2

Tứ giác ABB’A’ là hình thoi
AABB' AB a
Gọi O là hình chiếu vuông góc của B’ lên BC thì
B'O ABC
(chứng minh tương tự như chứng
minh
AH BCC'B'
)
Hai tam giác vuông BEH và BOB’ có chung góc nhọn B nên chúng đồng dạng.
Suy ra
2
a3
cotα
B'O BB' EH.BB'
2
B'O a 3cotα
a
EH BH BH
2
Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
3
ABC
1 1 3a cotα
V S .B'O AB.AC.B'O a.a 3.a 3cota
2 2 2
Bài 17. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, và
7
A'A A'B A'C a
12

.
Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a và góc giữa hai mặt phẳng (ABB’A’) và (ABC)
Giải
2a
a
A'
C'
B
C
A
B'
O
H
E
Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30
11
Gọi H là hình chiếu của A trên (ABC)
Vì
A'A A'B A'C
nên
HA HB HC
, suy ra H là tâm
của tam giác đều ABC.
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC, AB.
22
22
22
7a a a
A'J AA' AJ
12 4
3
1 1 a 3 a 3
HJ CJ .
3 3 2 6
a
A'H A'J HJ
2
Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:
23
ΔABC
a a 3 a 3
V A'H.S .
2 4 8
Vì
A'J AB
A'JC AB A'JC
CJ AB
chính là góc giữa hai mặt phẳng (ABB’A’) và (ABC). Khi đó
0
a
A'H
2
tanA'JC 3 A'JC 60
JH
a3
6
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (ABB’A’) và (ABC) bằng
0
60
.
Bài 18. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A,
AB a, AC a 3
và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của
cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng
AA’, B’C’.
Giải
Gọi H là trung điểm của BC
A'H ABC
và
22
11
AH BC a 3a a
22
Do đó:
2 2 2 2
A'H A'A AH 3a A'H a 3
Vậy
3
A'.ABC ΔABC
1a
V A'H.S
33

(đvtt)
Trong tam giác vuông A’B’H có
22
HB' A'B' A'H 2a
nên
tam giác B’BH là cân tại B’. Đặt
φ
là góc giữa hai đường thẳng
AA’ và B’C’ thì
φ B'BH
Vậy
a1
cosφ
2.2a 4

Bài 19. Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật,
,
AD a 3
. Hình
chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa
hai mặt phẳng (ADD’A’) và (ABCD) bằng
0
60
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách
từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BD) theo a.
I
H
J
A'
C'
B
C
A
B'
a
2a
a
3
H
A'
C'
B
C
A
B'
Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30
12
Giải
Gọi
O AC BD
, I là trung điểm của cạnh AD. Ta có
AD AOI
0
A'IO ADD'A' , ABCD 60
Vì
a
OI
2
nên ta
suy ra
A'I 2OI a
0
a3
A'O OI.tan60
2
Do đó
ABCD.A'B'C'D' ABCD
V A'O.S
3
a 3 3a
a.a 3 .
22

Do
B'C A'D B'C A'BD d B', A'BD d C, A'BD CH ∥∥
trong đó CH là đường cao của
tam giác vuông BCD.
Ta có
22
CD.CB a 3
CH
2
CD CB

. Vậy
a3
d B', A'BD
2
Bài 20. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân
AB AC a
,
0
BAC 120
và AB’
vuông góc với đáy (A’B’C’). Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh CC’ và A’B’, mặt phẳng
(AA’C’) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc
0
30
. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và cosin
của góc giữa hai đường thẳng AM và C’N.
Giải
Ta có:
2 2 2
2
BC AB AC 2AB.ACcosA
3a

BC a 3
Gọi K là hình chiếu của B’ lên A’C’, suy ra
A'C' AB'K
Do đó:
0
AKB' A'B'C' , AA'C' 30
Trong tam giác A’KB’ có
0
KA'B' 60
,
A'B' a
nên
0
a3
B'K A'B'sin60
2

Suy ra
0
a
AB' B'K.tan30
2

Thể tích khối lăng trụ:
3
ΔABC
a3
V AB'.S
8

Gọi E là trung điểm của AB’, suy ra
ME C'N∥
nên
C'N,AM EM,AM
Vì
AB' C'N AE EM C'N,AM AME
2 2 2
22
2 C'B' C'A' A'B'
1 a a 7
AE AB' ; EM C'N EM
2 4 4 2

2
2 2 2
29a a 29
AM AE EM AM
16 4
Vậy
ME 7
cosAME 2
MA 29

60
0
I
O
C'
B'
D'
C
A
B
A'
D
H
E
N
M
A'
C'
B
C
A
B'
K
Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30
13
Bài 21. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt
phẳng đáy bằng
0
30
. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A’B’C’) thuộc đoạn thẳng B’C’.
Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’ theo a.
Giải
Ta có A’H là hình chiếu của AA’ lên mặt phẳng (A’B’C’)
nên
0
AA'H 30
Xét tam giác vuông AHA’ ta có:
0
0
a
AH AA'sin30 ,
2
a3
A'H AA'cos30
2


Mà tam giác A’B’C’ đều nên H là trung điểm của B’C’.
Thể tích của khối lăng trụ là:
23
ΔABC
a a 3 a 3
V AH.S .
2 4 8
Vẽ đường cao HK của tam giác AHA’
Ta có
B'C' AHA'
nên
B'C' HK
Suy ra
AH.A'H a 3
d AA',B'C' HK
AA' 4
Bài 22. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại A,
0
AB AC a, BAC 120
, hình
chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích của khối lăng
trụ biết cạnh bên
AA' 2a
.
Giải
Gọi H là tâm của đáy, M là trung điểm của cạnh BC,
SH ABC
0
a3
AM ABsin60 BC a 3
2
Áp dụng định lý sin ta có:
0
22
BC
HA R a,
2sin120
A'H A'A AH a 3
2
0
ΔABC
1 a 3
S AB.ACsin120
24

Vậy
3
ABC.A'B'C' ΔABC
3a
V A'H.S
4

Bài 23. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có
BB' a
, góc
giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng
0
60
, tam giác ABC vuông tại C và
0
BAC 60
.
Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC.
Tính thể tích khối tứ diện A’.ABC.
Giải
Gọi D là trung điểm AC, G là trọng tâm tam giác ABC
30
0
H
B
C
A'
C'
B'
A
K
M
A'
C'
B
C
A
B'
H
Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30
14
0
B'G ABC B'BG 60
a3
B'G BB'sinB'BG ;
2
a 3a
BG BD
24
Trong
ΔABC
ta có:
AB 3
BC
2
,
AB AB
AC CD
24
2 2 2
2 2 2
2
ΔABC
3AB AB 9a
BC BD BD
4 16 16
3a 13 3a 13 9a 3
AB , AC , S
13 26 104
Thể tích khối tứ diện A’.ABC là:
3
A'.ABC ΔABC
1 9a
V B'G.S
3 208

Bài 24. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng
a3
và hình
chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC. Tính thể tích của khối lăng trụ đó.
Giải
Gọi H là trung điểm của cạnh BC
A'H ABC
Tam giác vuông A’HA:
2
2 2 2
3a 3a
AH A'A AH 3a
42
2
ΔABC
a3
S
4
nên
ABC.A'B'C' ΔABC
V A'H.S
23
3a a 3 3a 3
.
2 4 8

Bài 25. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài tất cả
các cạnh bằng a và hình chiếu của đỉnh C trên mặt phẳng (ABB’A’) là tâm của hình bình hành
ABB’A’. Tính thể tích của khối lăng trụ.
Giải
Gọi O là tâm hình bình hành ABB’A’. Ta có
CO ABB'A'
.
Vì
CA CB
nên
OA OB
, suy ra hình thoi ABB’A’ là hình
vuông.
Do đó
AB a
OA
22

. Suy ra:
2
2 2 2
a
OC AC AO
2
a
OC
2

Vậy thể tích của khối chóp:
3
C.ABA' ABA'
1 a 2
V CO.S
3 12

Mà
ABC.A'B'C' C.ABA'
V 3V
nên thể tích của khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ là:
3
ABC.A'B'C'
a2
V
4
60
0
G
D
A'
C'
B
C
A
B'
H
B'
C'
A
C
B
A'
O
B'
C'
A
C
B
A'
Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30
15
Bài 26. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a,
0
BAD 60
,
0
BAA' 90
,
0
DAA' 120
.
Tính thể tích khối hộp.
Giải
Từ giả thiết ta tính được
BD a
,
A'B a 2
,
A'D a 3
nên tam giác A’BD vuông tại B.
Vì
AB AD AA'
nên hình chiếu vuông góc của A lên
mặt phẳng (A’BD) trung với tâm H của đường tròn ngoại
tiếp tam giác A’BD (do tam giác đó vuông nên H là trung
điểm của A’D)
Ta có
0
a
AH AA'cos60
2

,
2
A'BD
1 a 2
S BA'.BD
22

, do đó thể tích khối tứ diện
A’.ABD là
3
A'.ABD
a2
V
12
.
Ta đã biết
ABCD.A'B'C'D' A'.ABD
V 6V
nên
3
ABCD.A'B'C'D'
a2
V
2
Bài 27. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc
0
A 60
. Chân đường
vuông góc hạ từ B’ xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của hai đường chéo của đáy
ABCD. Cho
BB' a
.
1. Tính góc giữa cạnh bên và đáy.
2. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình hộp.
Giải
1. Tính góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy.
Gọi
O AC BD
. Theo giả thiết ta có
B'O ABCD
B'B ABCD B
B'O ABCD , O ABCD


Hình chiếu B’B trên (ABCD) là OB
B'B, ABCD B'B,BO B'BO
Tam giác ABD có
AB AD a
,
0
BAD 60
ΔABD
là tam giác đều
a
OB
2

Trong tam giác vuông B’OB:
0
a
OB 1
2
cosB'OB B'OB 60
BB' a 2
.
Vậy góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy là
0
60
.
2. Tính
ABCD.A'B'C'D'
V
2
20
ABCD.A'B'C'D' ABCD ABCD
a3
V S .B'O; S AB.AD.sin BAD a sin60
2
H
C'
B'
D'
C
A
B
A'
D
O
C'
B'
D'
C
A
B
A'
D
H
K
Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30
16
Trong tam giác vuông B’OB:
0
a3
B'O BB'si n60
2

. Suy ra
3
ABCD.A'B'C'D'
3a
V
4
Tính
xq
S
của hình hộp ABCD.A’B’C’D’
Vì hai mặt đối diện của hình hộp là hai hình bình hành bằng nhau, do đó
xq ABB'A' BCC'B'
S 2 S S
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của O lên các cạnh BC và B.
Theo tính chất của hình thoi ta có
OH OK
Hai tam giác vuông B’OH và B’OK (vuông tại O) có cạnh B’O chung,
OH OK
nên chúng bằng
nhau.
BCC'B' ABB'A'
B'H B'K S B'H.BC B'K.AB S
Trong tam giác vuông AKO:
0
a 3 a 3
OK AOsinOAK .sin30
24
Trong tam giác vuông B’OK:
22
2 2 2
2 2 2
2
2
ABB'A' xq ABB'A'
a 3 a 3 3a 3a 15a
B'K B'O OK
2 4 4 16 16
a 15 a 15
B'K S B'K.AB S 4S a 15
44
Bài 28. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’
lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Cho
0
BAA' 45
1. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.
2. Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ ABC.A’B’C’
Giải
1. Tính
ABC.A'B'C'
V
Gọi E là trung điểm của AB, ta có:
OE AB
A'O AB do A'O ABC
AB A'OE AB A'E

Tam giác vuông A’EA có
0
A 45
nên là tam giác vuông
cân tại E
Suy ra
a a 2
A'E EA , AA'
22
Tam giác vuông A’OE (vuông tại O) có:
2
2 2 2 2
2 2 2
a 1 a 3 a 3a 6a a 6
A'O A'E OE . A'O
4 3 2 4 36 36 6




Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’:
23
ABC
a 3 a 6 a 2
V S .A'O .
4 6 8
2. Tính
xq
S
của hình lăng trụ ABC.A’B’C’
2
ABB'A'
a
S AB.A'E
2

F
O
E
B'
C'
A
C
B
A'
Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30
17
Gọi F là trung điểm của AC:
AC A'O
AC A'OF AC A'F
AC OF
ACC'A'
S AC.A'F
Hai tam giác vuông A’OE và A’OF có A’O là cạnh chung,
OE OF
nên chúng bằng nhau
2
ACC'A'
a
A'F A'E S
2
BC A'O
BC A'OA BC AA' BC BB'
BC AO
Mặt khác theo tính chất của hình lăng trụ thì BCC’B’ là hình bình hành, lại có
BC BB'
nên
BCC’B’ là hình chữ nhật, suy ra:
2
BCC'B'
a 2 a 2
S BB'.BC AA'.BC .a
22
Vậy diện tích xung quanh của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ là:
2
2
2
xq ABB'A' ACC'A' BCC'B'
a 2 2
a2
S S S S a
22
Bài 29. Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD có
BD a
không đổi và
0
BAD DCB 90 , ABD α, CBD β
. Mặt phẳng (AA’C’C) là hình thoi, vuông góc với đáy và
0
A'AC 60
. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ và tìm
α, β
để thể tích đó lớn nhất.
Giải
Tam giác vuông ABD có
ABD α
nên
AB acosα
,
A D asin α
, suy ra diện tích của tam giác ABD là
2
ABD
11
S AB.AD a sin2α
24

Tương tự ta có
2
CBD
1
S a sin2β
4
Diện tích đáy của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là:
ABCD ABD CBD
2
2
S S S
1
a sin2α sin 2β
4
1
a sin α β cos α β
2


Vì
AA'C'C A'B'C'D'
nên hạ
CH A'C'
thì
CH là đường cao của lăng trụ.
Mặt khác AA’C’C là hình thoi có
0
A'AC 60
do đó
0
CC'A' 60
Nên
0
3
CH CC'sin60 AC
2

Áp dụng định lý hàm số cosin cho tam giác ABC ta có:
β
α
60
0
C'
B'
D'
C
A
B
A'
D
H
Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30
18
2 2 2
2 2 2
2
2
2 2 2 2
AC AB BC 2AB.BC.cosB
a cos α cos β 2cos α cosβ cos α β
a 1 cos α β cos α β 2cos α cosβ cos α β
a 1 cos α β cos α β 2cosαcosβ
a 1 cos α β a sin α β
AC asin αβ







Do đó
3
CH asin αβ
2

, nên thể tích cần tìm là:
2
ABCD
3
2
13
V S .CH a sin α β cos α β . a sin α β
22
3a
sin α β cos α β
4
Tìm giá trị lớn nhất của V:
Ta có
2
0 sin α β 1
cos α β 1

nên
2
sin α β cos α β 1
, do đó:
3
3a
V
4
. Dấu đẳng thức xảy ra khi
0
α β 45
.
Vậy giá trị lớn nhất của V là
3
3a
4
đạt được khi
0
α β 45
.
THẦY CHÚC CÁC EM HỌC SINH 12 ĐẠT KẾT QUẢ CAO TRONG KỲ THI SẮP TỚI

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30
HÌNH LĂNG TRỤ XIÊN
Bài 1. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC có AC  a 3, BC  3a , 0
ACB  30 . Cạnh bên hợp
với mặt phẳng đáy góc 0
60 và mặt phẳng A 'BC vuông góc với mặt phẳng ABC . Điểm H trên
cạnh BC sao cho HC  3BH và mặt phẳng A'AH vuông góc với mặt phẳng ABC . Tính thể tích
khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ B đến mặt phẳng A 'AC Giải   A'BC  ABC A'    A'AH  ABC  A'H  ABC A'H  A'BC  A'AH B' C' Suy ra 0 A 'AH  60 2 2 2 0 2
AH  AC  HC  2AC.HC.cos 30  a  AH  a A 0  A'H  AH.tan 60  a 3 2 3 3a 3 9a    A V BC.A'B'C' A S BC.A 'H .a 3 4 4 B C H Vì 2 2 2
AH  AC  HC  HA  AC  AA '  AC 1 1 2    A S 'AC AC.A 'A a 3.2a a 3 2 2 9 3 a     A 3V 'ABC 3 3a 4 d B; A 'AC    2 A S 'AC a 3 4
Bài 2. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, ΔABC đều có cạnh bằng a, AA '  a và đỉnh A’ cách đều A,
B, C. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và A’B. Tính theo a thể tích khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (AMN) Giải
Gọi O là tâm tam giác đều ABC  A 'O  ABC A' C' a 3 2 a 3 Ta có AM  , AO  AM  B' 2 3 3 2 2 2 2 2 a a 6 a 3 A 'O  AA '  AO  a   ;  ΔA S BC 3 3 4 N
Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’: 2 3 a 3 a 6 a 2 E V    Δ S ABC.A 'O . 4 3 4 A C Ta có: O M 1   dN,ABC N 3V AMC  N V AMC Δ S AMC.dN,ABC B 3 Δ S AMC 2 1 a 3 S  S  ; d  2 2 1 a 6 1 a 3 a 6 a 2      AMC ABC N,ABC A 'O N V AMC . . 2 8 2 6 3 8 6 48 a 3 Lại có: AM  AN  , nên ΔAMN cân tại A. 2 1
Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30 A 'C a
Gọi E là trung điểm của MN, suy ra AE  MN, MN   2 2 2 2 2 2 2 3a a a 11 1 a 11  AE  AN  NE    ; S   AMN MN.AE 4 16 4 2 16   2   3a 2 a 11 a 22 d C, AMN  :  (đvđd) 48 16 11
Bài 3. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, 0 AB  a, ACB  30 ; M là
trung điểm cạnh AC. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ bằng 0
60 . Hình chiếu vuông góc
của đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BM. Tính theo a thể tích khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm C’ đến mặt phẳng (BMB’) Giải
A 'H  ABC  A'H là đường cao của hình lăng trụ. A' Q C'
AH là hình chiếu vuông góc của A A’ lên (ABC) 0  A 'AH  60 P  A V BC.A'B'C' A 'H. A S BC B' a 3 3a
AC  2a, MA  MB  AB  a  AH   A'H  2 2 2 1 1 a 3    A S BC BA.BC a.a 3 2 2 2 2 3 3a a 3 3a 3    A V BC.A'B'C' . 2 2 4 A M C
d C',BMB'  d C,BMB'  d A,BMB' A 3V .BMB'  H B S MB' B 3 1 a 3    A V .BMB' B V '.AMB6 A V BC.A'B'C' E 6 8
Do BM  AHA' nên BM  AA'  BM  BB'  Δ BMB' vuông tại B 2 1 1 a 3     d C', BMB'  3 2 3a 3 a 2 3a   B S MB' BB'.BM a 3.a . Suy ra   : 2 2 2 8 2 4 a 3 3a
(Cách 2: d A,BMB' 0  AE  AH.sin AHE  .sin 60  ) 2 4
Bài 4. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc bằng 0
60 . Gọi M là trung điểm cạnh BC và I là trung điểm của AM. Biết rằng hình chiếu
của điểm I lên mặt đáy A’B’C’ là trọng tâm G của ΔA'B'C' . Tính thể tích khối lăng trụ đó. Giải
Gọi M’ là trung điểm của B’C’;
K A'M' sao cho A 'K  KG  GM' C A I
Kẻ AH  A 'M '; H  A'M' . M B
Ta có AHGI là hình bình hành nên IG  AH
Hơn nữa AM'  A'M' , I là trung điểm của AM, G là trọng tâm của
Δ A'B'C' nên H là trung điểm của A’K 1  A'H  A'M' 6 A' C' H K G M' B' 2
Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30 2 a 3 a 3 a 3 Ta có:     A S 'B'C' ; A 'M ' A 'H 4 2 12 2 3 0 a 3 a a a 3 a 3 AH  A 'H.tan 60  . 3  . Từ đó:    A V BC.A'B'C' AH. A S 'B'C' . 12 4 4 4 16 a 10
Bài 5. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB  2a, AC  a, AA '  , 0 BAC  120 . Hình chiếu 2
vuông góc của C’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính thể tích khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ theo a và tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACC’A’). Giải C' B'
Gọi H là trung điểm BC. Từ giả thiết suy ra C'H  ABC . Trong ΔABC ta có: A' 2 1 0 a 3   A S BC AB.AC.sin120 2 2 2 2 2 0 2
BC  AC  AB  2AC.AB.cos120  7a a 7  BC  a 7  CH  C 2 H B K 2 2 a 3  C'H  C'C  CH  2 A 3 3a
Suy ra thể tích lăng trụ V  C'H.  A S BC 4
Hạ HK  AC . Vì C'H  ABC  đường xiên C'K  AC  ABC,ACC'A'  C'KH (1) ( ΔC'HK vuông tại H nên 0 C 'KH  90 ) 2S S a 3 C'H Trong ΔHAC ta có HAC ABC HK    0  tan C'KH  1 C'KH  45 (2) AC AC 2 HK Từ (1) và (2) suy ra     0 ABC , ACC'A '  45
Ghi chú: Có thể tính độ dài AH và suy ra ΔHAC vuông tại A để suy ra K  A )
Bài 6. Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Hình chiếu
vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng ABCD là trung điểm I của cạnh AB. Biết A’C tạo với mặt 2
phẳng đáy một góc α với tan α 
. Tính theo a thể tích khối chóp A’.ICD và khoảng cách từ 5
điểm B đến mặt phẳng (A’AC) Giải
Theo bài ra ta có IC là hình chiếu vuông góc của A’C trên mặt phẳng B' C'
(ABCD). Suy ra A'C,ABCD  A'C,CI  A'CI  α D' A' Xét ta giác vuông A’IC: a 5 2
A 'I  IC.tan A 'CI  IC.tan α  .  a 2 5 H
Thể tích khối chóp A’.ICD là: B 2 3 1 1 a a    C I A V '.ICD A 'I. Δ S ICD a. (đvtt) 3 3 2 6 K A D 3
Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30
Ta có BI  A'AC  A và I là trung điểm AB nên dB;A'AC  2dI;A'AC
Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ IK / /BD  IK  AC , mà A 'I  AC (do A 'I  ABCD ) nên
AC  A'IK . Kẻ IH  A'K  IH  A'AC  dI;A'AC  IH BD a 2
Xét tam giác vuông A’IK có A 'I  a, IK   4 4 1 1 1 8 1 9 a       IH  2 2 2 2 2 2 IH IK IA ' a a a 3 Suy ra    2a d B; A 'AC  3
Bài 7. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có mặt bên AA’D’D là hình thoi cạnh bằng a nằm trong mặt a
phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD) và cách BC một khoảng bằng
. Biết cạnh AA’ hợp với 2
mặt đáy (ABCD) một góc bằng 0
60 . Tính thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’. Giải
Ta có: AA'D'D  ABCD theo giao tuyến AD A' D' (1)
Vẽ A'H  AD và BK  AD; H, K  AD B' C' (2)
Từ (1) và (2)  A'H  ABCD và BK  AA'D'D K600
A 'H  d A 'B'C'D',ABCD và D A H
BK  d B,AA 'D'D B C     a d BC, AA 'D 'D  2 (vì BC / / AA'D'D )
Vì A'H  ABCD nên góc hợp bởi AA’ và (ABCD) là 0 A 'AH  60
Tam giác A’AH vuông tại H 0 a 3
 A'H  AA'sin A'AH  a sin 60  2
Vậy thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là: 3 a a 3 a 3 V     A S BCD.A 'H AD.BK.A'H a. . 2 2 4
Bài 8. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a , AD  2a . Biết tam
giác A’AB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng hợp với đáy (ABCD) một góc bằng α . Tính thể
tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ theo a và α . Giải A' D'
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD, ta có:
MN  AB (vì MN laø ñöôøng trung bình cuûa hình chöõ nhaät ABCD) B' C'
A'M  AB (vì tam giaùc A'AB laø tam giaùc ñeàu)
 A'MN  α (góc hợp bởi (A’AB) và đáy (ABCD)) D A α
Ta cũng có AB  A'MN (vì AB  MN và AB  A'M) B C 4
Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30
 ABCD  A'MN theo giao tuyến MN (1) Vẽ A'H  MN, H  MN (2)
Từ (1) và (2)  A'H  ABCD  A'H  d A'B'C'D',ABCD a 3
Tam giác A’AB là tam giác đều có cạnh AB  a  A'M  2 a 3
Tam giác A’HM vuông tại H  A'H  A'Msin A'MH  sinα 2
Vậy thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là: a 3 V  S .A'H  AB.AD.A'H  a.2a. sinα 3  a 3sinα ABCD 2
Bài 9. Cho hai đoạn thẳng AB và CD chéo nhau, AC là đường vuông góc chung của chúng. Biết 0
rằng AC  h, AB  a, CD  b và góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 60 . Hãy tính thể tích của tứ diện ABCD. Giải
Dựng hình lăng trụ ABE.FDC (BE song song và bằng DC, DF song B E 600 song và bằng AB) A a AC  AB gt  Ta có: AC  CD gt  h CD / /BE  AC  BE 
 AC  ABE  AC  h là chiều cao của hình chóp C.ABE. b C 600 D
Tam giác ABE có AB  a, BE  CD  b và    0 ABE AB,CD  60 1 1 F 0 ab 3  S
 AB.BE.sinABE  a.b.sin60  ΔABE 2 2 4 1 1 ab 3 abh 3 Ta có A V BCD  C V .ABD  C V .AFD  A V .CDF  C V .ABE  S .CA  . .h  ΔABE 3 3 4 12 1 Chú ý: A V BCD  A V BE.FDC 3
Bài 10. Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a,    α  0  α 0 A'AB BAD A'AD 0
 90 . Hãy tính thể tích của khối hộp. Giải B' C'
Ta có ΔAA'B  ΔAA'D (vì có cạnh chung là AA’,
A'AB  A'AD  α và AB  AD  a ) A' D'  A'B  A'D Vẽ A'H  AC HAC (1) φ B C
Tam giác A’BD cân tại A’ (do A'B  A'D ) α
 BD  A'O (O là trung điểm của BD, O cũng là tâm của hình H O A thoi ABCD) K D Ta còn có BD  AC 5
Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30
 BD  A'AO  BD  A'H 2
Từ (1) và (2)  A'H  ABCD Đặt A'AO  φ
Vẽ A'K  AD K AD  HK  AK (định lý ba đường vuông góc) AH
Ta có: cosφ  AA' (tam giác vuông AA’H) AK
cosα  AA' (tam giác vuông AA’K) α AK BAD α và cos  HAK  
2 AH (tam giác AHK vuông tại K và 2 2 ) α AH AK AK cosα  cosφ.cos  .   cosα  cosφ  2 AA' AH AA' α cos 2
Tam giác AA’H vuông tại H và có A'AH  φ nên 2 2 cos α a α 2 2
A 'H  AA '.sin φ  a sin φ  a 1  cos φ  a 1   cos  cos α α α 2 2 cos cos 2 2 2 a α 2 2      A V BCD.A'B'C'D' A
S BCD.A 'H AB.AD.sin BAD.A 'H a sin α. cos cos α α 2 cos 2 α α a α α α 2 2 2 3 2 2  a .2sin .cos . cos  cos α  2a sin cos  cos α 2 2 α 2 2 2 cos 2
Bài 11. Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB  3 , AD  7 . Hai mặt bên
(ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 0 45 và 0
60 . Hãy tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1. Giải B' C' B C A' D' H K B C H A D K M A M D
Vẽ A 'H  ABCD H ABCD, HM  AD M AD, HK  AB K AB
Theo định lý ba đường vuông góc, ta có: AD  A 'M, AB  A 'K 0 0  A'MH  60 , A'KH  45 Đặt A'H  x 6
Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30 A 'H 2x
Tam giác A’HM vuông tại H và có 0 A 'MH  60 nên A 'M   0 sin 60 3
Tam giác A’AM vuông tại M nên 2 2  2 2 4a 3 4x AM  AA '  A 'M  1   (1) 3 3
AKHM là hình chữ nhật và tam giác A’AH vuông tại H nên AM  HK và HK  A 'H.cot A 'KH 0
 AM  HK  x.cot 45  x (2) 2 3  4x 3 3 Từ (1) và (2)  x   x  hay A'H  3 7 7 3 Vậy     A
V BCD.A'B'C'D' SABCD.A'H AB.AD.A'H 7. 3. 3 7
Bài 12. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ mà mặt bên ABB’A’ có diện tích bằng 4. Khoảng
cách giữa cạnh CC’ và mặt (ABB’A’) bằng 7. Hãy tính thể tích khối lăng trụ. Giải Dựng khối hộp ABCD.A’B’C’D’ ta có: 1 A' D'  A V BC.A'B'C' A V BCD.A'B'C'D' 2
Xem khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là khối lăng trụ có hai B' C'
đáy là ABB’A’ và DCC’D’. Vậy  A
V BCD.A'B'C'D' SABB'A'.h trong đó A
h  d CDD'C',ABB'A ' D
 dCC',ABB'A'  7 B 1 C và   V  .4.7 14 A S BB'A' 4 ABC.A ' B'C ' 2
Bài 13. Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền bằng
AB  2 . Cho biết mặt phẳng (AA’B) vuông góc với với mặt phẳng (ABC), AA '  3 , góc A'AB
nhọn, góc giữa hai mặt phẳng (A’AC) và mặt phẳng (ABC) bằng 0 60 . Giải
AA'B  ABC theo giao tuyến AB (1) A' B'
Vẽ A'K  AB (với K AB) (2)
Từ (1) và (2)  A 'K  ABC C'
Góc A'AB nhọn nên K thuộc tia AB. 3 Vẽ KM  AC M AC
 A'M  AC (định lý ba đường vuông góc) 2 A B K
 Góc giữa hai mặt phẳng (A’AC) và (ABC) là 0 A 'MK  60 M C Đặt A'K  x , ta có: 7
Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30  2 2 2
AK  A'A  A'K  3  x   2 0 2 2
MK  AKsin KAM  3  x .sin 45  . 3  x 3 2   0 x
MK  A 'K cot A 'MK  A 'K.cot 60   4  3  2 2. 3  x  x Từ (3) và (4)   2 3 3  3 x  hay A 'K  5 5
Tam giác ABC vuông cân với cạnh huyền AB  2 nên AC  CB 1. 1 1 3 3 5 Vậy     A V BC.A'B'C' SABC.A 'K AC.CB.A ' K .1.1. 2 2 5 10
Bài 14. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a , AD  b , cạnh bên
AA’ hợp với mặt đáy (ABCD) một góc bằng 0
60 , mặt bên AA’D’D là hình thoi có góc A’AD nhọn
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD)
a. Tính thể tích của khối tứ diện ACDD’
b. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa AA’ và CD. Giải
a. Ta có AA'D'D  ABCD theo giao tuyến AD A' D' (1) Vẽ A 'H  AD, H  AD B' C' K (2)
Từ (1) và (2)  A'H  ABCD 600 A DH
Góc hợp bởi AA’ và (ABCD) là 0 A 'AH  60
Tam giác AA’H vuông tại H, AA '  AD  b (AA’D’D là B C hình thoi) và 0 A 'AH  b 3 60  A 'H  2 Ta có: 1    A V 'CDD' A V '.CDD' A V '.CC'D' A V '.CC'D'D 2 1  1  1      A V CD.A'C'D' A V '.ACD   A V CD.A'C'D' A V CD.A'C'D'  2 2  3  1 1 1 1 1 1 b 3      A V CD.A'C'D' . A V BCD.A'B'C'D' A S BCD.A'H AB.AD.A 'H ab. 3 3 2 6 6 6 2 2 ab 3 hay  A V 'CDD' 12
Chú ý: ta có thể tính A
V BCD.A'B'C'D' bằng cách khác.
Ta có AA'D'D  ABCD theo giao tuyến AD và AB  AD 8
Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30  AB  AA'D'D 2 0 ab 3      A V BCD.A'B'C'D' A
S A'D'D.AB AD.AA'.sin A'AD.AB a.b.b.sin 60 2
b. Ta có AA'D'D  ABCD theo giao tuyến AD và CD  AD  CD  AA'D'D (1)
Trong mặt phẳng (AA’D’D), vẽ DK  AA ', K  AA ' (2)
Từ (1) và (2)  DK là đoạn vuông góc chung của AA’ và CD. Tính DK:
AA’D’D là hình thoi có cạnh bằng b và 0 A 'AD  60  b 3
Tam giác AA’D là tam giác đều có cạnh bằng b  DK  2
Bài 15. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các mặt đều là hình thoi cạnh a, các góc 0
BAA '  BAD  DAA '  60 . Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ theo a. Giải
Gọi H, I, J lần lượt là hình chiếu của A’ lên (ABCD), AB, D' C' AD. Ta có: A' B' A'H  AB   AB  A'HI A'I  AB  AB  HI D C
Tương tự: HJ  AD . Hai tam giác vuông A’AI và A’AJ J H có AA’ chung và 0 A 'AI  A 'AJ  60 A I B  ΔA'AI  ΔA'AJ , 0 a AI  AJ  AA 'cos 60   HI HJ 2
Vậy H cách đều AB và AD nên nằm trên đường phân giác của góc BAD  H  AC a 2 2 AI a a 2a Ta có: 2 2 2 2 AH   
; A 'H  AA '  AH  a   0 cos30 3 3 3 3 2 2 2 0 a 3  A'H  a    A S BCD AB.AD.sin 60 3 2 2 3 2 a 3 a 2     A V BCD.A'B'C'D' A'H. A S BCD a . (đvtt) 3 2 2
Bài 16. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB  a, BC  2a . Mặt
bên ABB’A’ là hình thoi, mặt bên BCC’B’ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, hai mặt này
hợp với nhau một góc bằng α .
1. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC’B’). Xác định góc α .
2. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Giải
1. Tính d A,BCC'B' . Xác định α . 9
Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30
Dựng AH  BC H BC B' C'   BCC'B'  ABC  
 BCC'B'  ABC  BC A'  AH   ABC, AH  BC  AH  BCC'B' E
Dựng HE  BB' E BB' ta có: H 2aB C BB'  AH O   BB'  AHE BB'  HE a
 ABB'A'  BCC'B'  BB' A    AHE  BB'   AHE   ABB'A'  AE   AHE   BCC'B'  HE
 ABB'A',BCC'B'  AE,HE
Mặt khác tam giác AHE vuông tại H (do AH  HE ) nên AEH là góc nhọn.
Do đó ABB'A',BCC'B'  AE,HE  AEH  α 2. Tính A V BC.A'B'C' Trong tam giác vuông ABC: 2 2 AC  BC  AB  a 3 2 AB.AC a 3 a 3 AH.BC  AB.AC  AH    BC 2a 2 2 2 2 AB a a AB  BH.BC  BH    BC 2a 2 a 3
Trong tam giác vuông AHE: HE  AH cot AEH  .cot α 2
Tứ giác ABB’A’ là hình thoi AABB'  AB  a
Gọi O là hình chiếu vuông góc của B’ lên BC thì B'O  ABC (chứng minh tương tự như chứng minh AH  BCC'B' )
Hai tam giác vuông BEH và BOB’ có chung góc nhọn B nên chúng đồng dạng. 2 a 3 cotα B'O BB' EH.BB' Suy ra 2   B'O    a 3 cot α EH BH BH a 2
Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ 3 1 1 3a cot α V     A S BC.B'O AB.AC.B'O a.a 3.a 3 cot a 2 2 2 7
Bài 17. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, và A 'A  A 'B  A 'C  a . 12
Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a và góc giữa hai mặt phẳng (ABB’A’) và (ABC) Giải 10
Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30
Gọi H là hình chiếu của A trên (ABC) B' C'
Vì A'A  A'B  A'C nên HA  HB  HC , suy ra H là tâm của tam giác đều ABC. A'
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC, AB. 2 2 2 2 7a a a A 'J  AA '  AJ    12 4 3 1 1 a 3 a 3 HJ  CJ  .  3 3 2 6 I 2 2 a  A'H  A'J  HJ  B C 2 H
Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: J 2 3 a a 3 a 3 A V  A 'H.   Δ S ABC . 2 4 8 A'J  AB Vì 
 A'JC  AB  A'JC chính là góc giữa hai mặt phẳng (ABB’A’) và (ABC). Khi đó CJ  AB a A 'H 2 0 tan A 'JC    3  A'JC  60 JH a 3 6
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (ABB’A’) và (ABC) bằng 0 60 .
Bài 18. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A,
AB  a, AC  a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của
cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’, B’C’. Giải
Gọi H là trung điểm của BC  A 'H  ABC và B' C' 1 1 2 2 AH  BC  a  3a  a 2 2 A' Do đó: 2a 2 2 2 2
A 'H  A 'A  AH  3a  A 'H  a 3 3 1 a Vậy   A V '.ABC A 'H. Δ S ABC (đvtt) 3 3
Trong tam giác vuông A’B’H có 2 2
HB'  A'B'  A'H  2a nên B H C
tam giác B’BH là cân tại B’. Đặt φ là góc giữa hai đường thẳng a a 3
AA’ và B’C’ thì φ  B'BH A a 1 Vậy cos φ   2.2a 4
Bài 19. Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a , AD  a 3 . Hình
chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa
hai mặt phẳng (ADD’A’) và (ABCD) bằng 0
60 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách
từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BD) theo a. 11
Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30 Giải
Gọi O  AC  BD , I là trung điểm của cạnh AD. Ta có D' C' AD  AOI A' B'       0 a A'IO ADD'A' , ABCD  60 Vì OI  nên ta 2 suy ra A 'I  2OI  a 0 a 3  A'O  OI.tan 60  2 Do đó  D A V BCD.A'B'C'D' A'O. A S BCD C I 600 H 3 a 3 3a  O a.a 3.  2 2 A B
Do B'C∥ A 'D  B'C∥ A'BD  d B',A'BD  d C,A'BD  CH trong đó CH là đường cao của tam giác vuông BCD. CD.CB a 3 Ta có CH   . Vậy    a 3 d B', A 'BD  2 2 2 CD  CB 2
Bài 20. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân AB  AC  a , 0 BAC  120 và AB’
vuông góc với đáy (A’B’C’). Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh CC’ và A’B’, mặt phẳng
(AA’C’) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 0
30 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và cosin
của góc giữa hai đường thẳng AM và C’N. Giải Ta có: K A' 2 2 2
BC  AB  AC  2AB.AC cos A  BC  a 3 2  N 3a B' C'
Gọi K là hình chiếu của B’ lên A’C’, suy ra A'C'  AB'K Do đó: E      0 AKB' A 'B'C' , AA 'C'
 30 Trong tam giác A’KB’ có M 0
KA 'B'  60 , A 'B'  a nên 0 a 3 B'K  A 'B'sin 60  A 2 B C Suy ra 0 a AB'  B'K.tan 30  2 3 a 3
Thể tích khối lăng trụ: V  AB'.  Δ S ABC 8
Gọi E là trung điểm của AB’, suy ra ME∥ C' N nên C'N,AM  EM,AM
Vì AB'  C' N  AE  EM  C' N,AM  AME 2 2 2 C'B'  C'A '  2  A'B' 1 a 2 2 a 7 AE  AB'  ; EM  C' N   EM  2 4 4 2 2 2 2 2 29a a 29 AM  AE  EM   AM  16 4 ME 7 Vậy cos AME   2 MA 29 12
Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30
Bài 21. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 0
30 . Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A’B’C’) thuộc đoạn thẳng B’C’.
Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’ theo a. Giải
Ta có A’H là hình chiếu của AA’ lên mặt phẳng (A’B’C’) A C nên 0 AA 'H  30 B
Xét tam giác vuông AHA’ ta có: 0 a AH  AA 'sin 30  , 2 K 0 a 3 A 'H  AA 'cos 30  2 300
Mà tam giác A’B’C’ đều nên H là trung điểm của B’C’. A' C'
Thể tích của khối lăng trụ là: H 2 3 B' a a 3 a 3 V  AH.   Δ S ABC . 2 4 8
Vẽ đường cao HK của tam giác AHA’
Ta có B'C'  AHA' nên B'C'  HK Suy ra   AH.A 'H a 3 d AA ', B'C '  HK   AA ' 4
Bài 22. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại A, 0
AB  AC  a, BAC 120 , hình
chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích của khối lăng
trụ biết cạnh bên AA '  2a . Giải
Gọi H là tâm của đáy, M là trung điểm của cạnh BC, SH  ABC B' C' 0 a 3 AM  ABsin 60   BC  a 3 2 A'
Áp dụng định lý sin ta có: BC HA  R   a, 0 2sin120 2 2 A 'H  A 'A  AH  a 3 2 1 0 a 3   H Δ S ABC AB.ACsin120 M 2 4 B C 3 3a Vậy   A V BC.A'B'C' A 'H. ΔA S BC 4
Bài 23. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB'  a , góc A
giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 0
60 , tam giác ABC vuông tại C và 0 BAC  60 .
Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC.
Tính thể tích khối tứ diện A’.ABC. Giải
Gọi D là trung điểm AC, G là trọng tâm tam giác ABC 13
Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30     0 B'G ABC  B'BG  60 B' C' a 3  B'G  BB'sin B'BG  ; 2 A' a 3a BG   BD  2 4 AB 3 AB AB Trong ΔABC ta có: BC  , AC   CD  2 2 4 2 2 2 600 2 2 2 3AB AB 9a BC  BD  BD    B C 4 16 16 G D 2 3a 13 3a 13 9a 3  AB  , AC  ,  Δ S ABC A 13 26 104 3 1 9a
Thể tích khối tứ diện A’.ABC là:   A V '.ABC B'G. Δ S ABC 3 208
Bài 24. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng a 3 và hình
chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC. Tính thể tích của khối lăng trụ đó. Giải
Gọi H là trung điểm của cạnh BC A' C'  A'H  ABC B' Tam giác vuông A’HA: 2 2 2 2 2 3a 3a a 3 AH  A 'A  AH  3a    ΔA S BC nên 4 2 4  A V BC.A'B'C' A'H. Δ S ABC A C 2 3 3a a 3 3a 3  .  2 4 8 H
Bài 25. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài tất cả B
các cạnh bằng a và hình chiếu của đỉnh C trên mặt phẳng (ABB’A’) là tâm của hình bình hành
ABB’A’. Tính thể tích của khối lăng trụ. Giải
Gọi O là tâm hình bình hành ABB’A’. Ta có CO  ABB'A' . C'
Vì CA  CB nên OA  OB , suy ra hình thoi ABB’A’ là hình vuông. A' AB a 2 Do đó OA   . Suy ra: 2 2 2 a OC  AC  AO  2 2 2 B' a  OC  2 O
Vậy thể tích của khối chóp: C 3 1 a 2   C V .ABA' CO. A S BA' A 3 12 Mà  A V BC.A'B'C' 3 C
V .ABA' nên thể tích của khối lăng trụ 3 a 2 B ABC.A’B’C’ là:  A V BC.A'B'C' 4 14
Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30
Bài 26. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a, 0 BAD  60 , 0 BAA '  90 , 0 DAA '  120 .
Tính thể tích khối hộp. Giải
Từ giả thiết ta tính được BD  a , A 'B  a 2 , A 'D  a 3 D' C'
nên tam giác A’BD vuông tại B.
Vì AB  AD  AA' nên hình chiếu vuông góc của A lên A' B'
mặt phẳng (A’BD) trung với tâm H của đường tròn ngoại
tiếp tam giác A’BD (do tam giác đó vuông nên H là trung H điểm của A’D) Ta có 0 a AH  AA 'cos 60  , C 2 D 2 1 a 2   A S 'BD BA '.BD
, do đó thể tích khối tứ diện A 2 2 B 3 a 2 A’.ABD là  A V '.ABD . 12 3 a 2 Ta đã biết   A V BCD.A'B'C'D' 6 A V '.ABD nên A V BCD.A'B'C'D' 2
Bài 27. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc 0 A  60 . Chân đường
vuông góc hạ từ B’ xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của hai đường chéo của đáy ABCD. Cho BB'  a .
1. Tính góc giữa cạnh bên và đáy.
2. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình hộp. Giải
1. Tính góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy. D' C'
Gọi O  AC  BD . Theo giả thiết ta có B'O  ABCD B'B  ABCD     B A'B' B'O   ABCD, OABCD
 Hình chiếu B’B trên (ABCD) là OB
 B'B,ABCD  B'B,BO  B'BO Tam giác ABD có AB  AD  a , 0
BAD  60  ΔABD là tam giác đều D C a  OB  O 2 H A K B
Trong tam giác vuông B’OB: a OB 1 2 0 cos B'OB     B'OB  60 . BB' a 2
Vậy góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy là 0 60 . 2. Tính A V BCD.A'B'C'D' 2 2 0 a 3     A V BCD.A'B'C'D' A S BCD.B'O; A S BCD AB.AD.sin BAD a sin 60 2 15
Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30 3 3a
Trong tam giác vuông B’OB: 0 a 3 B'O  BB'sin 60  . Suy ra  A V BCD.A'B'C'D' 2 4
Tính Sxq của hình hộp ABCD.A’B’C’D’
Vì hai mặt đối diện của hình hộp là hai hình bình hành bằng nhau, do đó   x S q 2 A S BB'A' B S CC'B' 
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của O lên các cạnh BC và B.
Theo tính chất của hình thoi ta có OH  OK
Hai tam giác vuông B’OH và B’OK (vuông tại O) có cạnh B’O chung, OH  OK nên chúng bằng nhau.  B'H  B'K     B S CC'B' B'H.BC B'K.AB A S BB'A' a 3 a 3 Trong tam giác vuông AKO: 0 OK  AOsin OAK  .sin 30  2 4
Trong tam giác vuông B’OK: 2 2 2 2 2     2 2 2 a 3 a 3 3a 3a 15a B'K  B'O  OK              2 4 4 16 16     2 a 15 a 15 2  B'K        A S BB'A' B'K.AB Sxq 4SABB'A' a 15 4 4
Bài 28. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’
lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Cho 0 BAA '  45
1. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.
2. Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Giải 1. Tính A V BC.A'B'C' A' C'
Gọi E là trung điểm của AB, ta có: OE  AB  B' A'O  AB  do A'O   ABC
 AB  A'OE  AB  A'E Tam giác vuông A’EA có 0
A  45 nên là tam giác vuông F A C cân tại E O a a 2 E
Suy ra A 'E  EA  , AA '  2 2 B
Tam giác vuông A’OE (vuông tại O) có: 2 2 2 2 2   2 2 2 a 1 a 3 a 3a 6a a 6 A 'O  A 'E  OE    .      A'O    4 3 2 4 36 36 6   2 3 a 3 a 6 a 2
Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’: V    A S BC.A 'O . 4 6 8
2. Tính Sxq của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ 2 a   A S BB'A' AB.A 'E 2 16
Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30 AC  A'O
Gọi F là trung điểm của AC: 
 AC  A'OF  AC  A'F AC  OF   A S CC'A' AC.A'F
Hai tam giác vuông A’OE và A’OF có A’O là cạnh chung, OE  OF nên chúng bằng nhau 2 a  A'F  A'E   A S CC'A' 2 BC  A'O 
 BC  A'OA  BC  AA'  BC  BB' BC  AO
Mặt khác theo tính chất của hình lăng trụ thì BCC’B’ là hình bình hành, lại có BC  BB' nên
BCC’B’ là hình chữ nhật, suy ra: 2 a 2 a 2     B S CC'B' BB'.BC AA '.BC .a 2 2
Vậy diện tích xung quanh của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ là: 2 2 a 2  2 2 a 2   S       xq A S BB'A' A S CC'A' B S CC'B' a 2 2
Bài 29. Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD có BD  a không đổi và 0
BAD  DCB  90 , ABD  α, CBD  β . Mặt phẳng (AA’C’C) là hình thoi, vuông góc với đáy và 0
A 'AC  60 . Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ và tìm α, β để thể tích đó lớn nhất. Giải
Tam giác vuông ABD có ABD  α nên AB  a cos α , D' C'
AD  a sin α , suy ra diện tích của tam giác ABD là H 1 1 2   B' A' A S BD AB.AD a sin 2α 2 4 1 Tương tự ta có 2  C S BD a sin 2β 4
Diện tích đáy của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là:   A S BCD SABD C S BD 1 2  C a sin 2α  sin 2β D 4 600 β 1 2  α
a sin α  βcosα  β A 2 B
Vì AA'C'C  A'B'C'D' nên hạ CH  A 'C' thì
CH là đường cao của lăng trụ.
Mặt khác AA’C’C là hình thoi có 0 A 'AC  60 do đó 0 CC 'A '  60 Nên 0 3 CH  CC 'sin 60  AC 2
Áp dụng định lý hàm số cosin cho tam giác ABC ta có: 17
Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30 2 2 2
AC  AB  BC  2AB.BC.cos B 2 2 2
 a cos α  cos β  2cosαcosβcosα  β   2  a 1
  cosα  βcosα  β  2cosαcosβcosα  β   2  a 1   cosα  β 
cosα β 2cosαcosβ 2 2  a 1   cos α  β 2 2   a sin α  β  
 AC  a sin α  β 3 Do đó CH 
a sin α  β , nên thể tích cần tìm là: 2 1 2 3 V   α  β cos α  β . a sin α  β A S BCD.CH a sin       2 2 3 3a 2 
sin α  βcosα  β 4
Tìm giá trị lớn nhất của V: 2
0  sin α  β 1 Ta có  nên 2
sin α  βcosα  β 1, do đó: cos  α β 1 3 3a V 
. Dấu đẳng thức xảy ra khi 0 α  β  45 . 4 3 3a
Vậy giá trị lớn nhất của V là đạt được khi 0 α  β  45 . 4
THẦY CHÚC CÁC EM HỌC SINH 12 ĐẠT KẾT QUẢ CAO TRONG KỲ THI SẮP TỚI 18

Tài liệu liên quan: