TOP 5 Đề ôn tập giữa học kỳ 1 Toán 11 Cánh diều (có đáp án)
TOP 5 Đề ôn tập giữa học kỳ 1 Toán 11 Cánh diều có đáp án và giải chi tiết được soạn dưới dạng file PDF gồm 70 trang giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Preview text:
ĐỀ ÔN TẬP GIỮA HỌC KỲ I
MÔN TOÁN 11-CÁNH DIỀU-ĐỀ 1
I. Trắc nghiệm: (7.0đ)
Câu 1: Cho cấp số nhân ( 1 u u = , q = 2. u
n ) có số hạng đầu công bội Giá trị của bằng 1 2 25 A. 23 2 . B. 24 2 . C. 25 2 . D. 26 2 . Lời giải Chọn A
Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân ta có: 1 24 24 23
u = u .q = .2 = 2 . 25 1 2
Câu 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng?
A. y = sin x cos x . B. y = cos x .
C. y =1- sin x. D. y = xsin x. Lời giải Chọn A
Đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng là đồ thị của hàm số lẻ.
A:. Hàm số y = f (x) = xsin x:
Tập xác định: D = ! . Ta có: x
" Î D : -x Î D và f (-x) = (-x)sin(-x) = xsin x = f (x).
Do đó hàm số y = xsin x là hàm số chẵn.
B:. Hàm số y = cos x là hàm số chẵn trên ! .
C:. Hàm số y = f (x) =1- sin x: æ p ö æ p Ta có: ö f = 0; f - = 2. ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 ø æ p ö æ p æ p ö æ p Lúc đó: ö ö f ¹ f - và f ¹ - f - ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 ø è 2 ø è 2 ø
Do đó, hàm số y =1- sin x không phải là hàm số chẵn và không phải hàm số lẻ.
D:. Hàm số y = f (x) = cos xsin x :
Tập xác định: D = ! . Ta có: x
" Î D : -x Î D và f (-x) = cos(-x)sin(-x) = -cos xsin x = - f (x).
Do đó hàm số y = f (x) = cos xsin x là hàm số lẻ.
Vậy đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng là đồ thị của hàm số y = f (x) = cos xsin . x 1
Câu 3: Nghiệm của phương trình sinx = là 2 p 5p p A. x = + kp; x = + kp . B. x = ± + k2p . 6 6 6 p 5p p 5p C. x = - + k2p; x = -
+ k2p . D. x = + k2p; x = + k2p . 6 6 6 6 Lời giải Chọn D Trang 1 È p x Í = + k2p 1 Í 6 sinx = € Í 2 Í 5p x Í = + k2p ÍÎ 6 p
Câu 4: Trên đường tròn bán kính r = 15 , độ dài của cung có số đo là 3
A. l = 5p .
B. l = 7p .
C. l = 6p .
D. l = 8p . Lời giải Chọn A p p
Trên đường tròn bán kính r = 15 , độ dài của cung có số đo là l =15. = 5p . 3 3
Câu 5: Cho cấp số nhân (u u =1 q = 3 u
n ) có số hạng đầu và công bội . Giá trị của là 1 5 A. 16 . B. 81. C. 13. D. 162. Lời giải Chọn B Ta có 4
u = u .q 4 = 1.3 = 81. 5 1
Câu 6: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau: A. 2 2
cos 2a = cos a - sin a. B. 2
cos 2a =1- 2cos a . C. 2
cos 2a = 2cos a -1. D. 2
cos 2a =1- 2sin a . Lời giải Chọn B
Theo công thức nhân đôi.
Câu 7: Tập nghiệm của phương trình 2 cos x = là 2 ì p - 5p ì 3p A. ü ü í + k2p ,
+ k2p ,k Î!ý. B. í±
+ k2p ,k Î!ý. î 4 4 þ î 4 þ ì p ì3p C. ü
í± + k2p , k Î!ý . D. í k2p , k Î ü + !ý . î 4 þ î 4 þ Lời giải Chọn C 2 p p Ta có: cos x =
Û cos x = cos Û x = ± + k2p , k Î!. 2 4 4
Câu 8: Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.
A. Hai đường thẳng phân biệt có không quá một điểm chung.
B. Hai đường thẳng cắt nhau thì không song song với nhau.
C. Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau.
D. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung. Trang 2 Lời giải Chọn C
Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau hoặc chéo nhau.
Câu 9: Cho cấp số cộng ( u = - u = n u ), biết và
. Tìm công sai của cấp số cộng này. 3 7 4 8
A. d = 15 .
B. d = -15 .
C. d = 1.
D. d = -3. Lời giải Chọn A
u = u + d Þ d = 4 3 15
Câu 10: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? 180 ° æ ö A. p rad = ç ÷ . B. p rad 1° = . è p ø C. p rad 60° = . D. p rad 180° = . Lời giải Chọn D
Theo công thức đổi đơn vị đo góc, ta có: p rad 180 .° = 2 an
Câu 11: Cho dãy số (u u = a u n ) với ( hằng số). Hỏi
là số hạng nào sau đây? n n +1 n 1 + 2 + 2 A. . a n 1 an u = . B. u = . n 1 + n +1 n 1 + n + 2 . a (n + )2 1 . a (n + )2 1 C. u = u = + . D. + . n 1 n + 2 n 1 n +1 Lời giải Chọn C . a (n + )2 1 . a (n + )2 1 Ta có: u = = . n 1 + (n+ ) 1 +1 n + 2
Câu 12: Biết 3 số 5;x;15theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của x bằng A. 10. B. 20. C. 30. D. 75. Lời giải Chọn A 5 + 15
5;x;15theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên x = = 10 . 2 æ p Câu 13: Biểu thức ö sin a +
được viết lại thành ç ÷ è 6 ø æ p ö 1 3 æ p ö 1 A. sin a + = sin a - cos a ç ÷ . B. sin a + = sin a + . è 6 ø 2 2 ç ÷ è 6 ø 2 Trang 3 æ p ö 3 1 æ p ö 3 1 C. sin a + = sin a + cos a ç ÷ . D. sin a + = sin a - cos a ç ÷ . è 6 ø 2 2 è 6 ø 2 2 Lời giải Chọn C æ p ö p p 3 1 Ta có sin a +
= sin a cos + cos asin = sin a + cos a ç ÷ . è 6 ø 6 6 2 2
Câu 14: Giá trị của tan 60° là A. 0 . B. 1 - . C. - 3 . D. 3 . Lời giải Chọn D Ta có: tan 60° = 3.
Câu 15: Tập xác định 3cos x
D của hàm số y = . 2sin x -1 ì p p ìp A. 5 ü ü D = ° \ í
+ k2p ; + k2p ,k ΢ ý.
B. D = ° \ í + k2p,k ΢ ý. î 6 6 þ î 6 þ ì1 C. ü D = ° .
D. D = ° \ í ý. î2þ Lời giải Chọn A ì p ¹ + p p x k2 ï ĐK: ï 2sin x -1 ¹ 1
0 Û sin x ¹ Û sin x ¹ sin 6 Û í , k ΢ . 2 6 5p ïx ¹ + k2p ïî 6 ì5p p TXĐ: ü D = ° \ í
+ k2p ; + k2p ,k ΢ ý. î 6 6 þ
Câu 16: Một hình chóp có đáy là ngũ giác có số mặt và số cạnh là:
A. 5 mặt, 5 cạnh. B. 6 mặt, 5 cạnh.
C. 6 mặt, 10 cạnh. D. 5 mặt, 10 cạnh. Lời giải Chọn C Trang 4 S F A D B C
Nhìn hình dễ dàng ta có đáp án đúng là 6 mặt, 10 cạnh.
Câu 17: Cho tứ diện ABCD , G là trọng tâm tam giác BCD . Giao tuyến của hai mặt phẳng
(ACD) và (GAB)là
A. AK , với K là hình chiếu của C lên BD .
B. AM , với M là trung điểm của AB .
C. AH , với H là hình chiếu của B lên CD.
D. AN , với N là trung điểm của CD . Lời giải Chọn D A D B G N C
Mặt phẳng (GAB) chính là mặt phẳng (NAB), với N là trung điểm của CD. Vậy giao
tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (GAB) là AN .
Câu 18: Nghiệm của phương trình sin .
x cos x = 0 là p p p
A. x = k .
B. x = k2p .
C. x = + k2p . D. x = + k2p . 2 6 2 Lời giải Chọn A p Ta có: k sin .
x cos x = 0 Û sin 2x = 0 Û x = (k Î!). 2
Câu 19: Nghiệm của phương trình 3 sin x + cos x = 2 là Trang 5 p p
A. x = + k2p ,k Î! .
B. x = + kp , k Î!. 6 3 p p
C. x = + k2p ,k Î! .
D. x = + k2p ,k Î! . 3 2 Lời giải Chọn C
Ta có: 3 sin x + cos x = 2 3 1 æ p p p p Û ö
sin x + cos x =1 Û sin x + =1 ç ÷
Û x + = + k2p Û x = + k2p, k Î!. 2 2 è 6 ø 6 2 3
Câu 20: Hàm số nào sau đây có chu kì tuần hoàn là p ?
A. y = cot(4x .
) B. y = cos x
C. y = tan(3x .
) D. y = sin(2x . ) Lời giải Chọn D
Vì hàm số tuần hoàn với chu ki p nên f (x + p)= f (x . )
Ta có y = sin(2(x+ p))= sin(2x+ 2p)= sin(2x . )
Vậy hàm số y = sin(2x tu
) ần hoàn với chu kì p . p p Câu 21: Tính 3 sin .sin . 8 8 æ ö æ ö A. 35 . B. 1 2 1 2 2 ç1- ÷. C. ç -1÷. D. . 99 2 ç 2 ÷ ç ÷ è ø 2 2 è ø 4 Lời giải Chọn D p 3p 1 æ p p ö 1 æ 2 ö 2 sin .sin = cos - cos = ç ÷ ç - 0÷ = . 8 8 2 4 2 2 ç 2 ÷ è ø 4 è ø
Câu 22: Cho dãy số ( 1 u u = n ) có
. Tìm mệnh đề đúng. n n(n + ) 1 A. Dãy số (u (un) n ) tăng. B. Dãy số bị chặn. C. Dãy số (u (un)
n ) chỉ bị chặn trên. D. Dãy số
chỉ bị chặn dưới. Bài giải Chọn B u n Xét n 1+ = . u n + 2 n Với n
" ³ 1 Þ 0 < u <1. Vậy dãy (un ) bị chặn. n
Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác ( AB không song song với CD ).
Gọi M là trung điểm của SD , N là điểm trên cạnh SB sao cho SN = 2NB , O là giao
điểm của AC và BD . Gọi d là giao tuyến của (SAB)và (SCD). Nhận xét nào sau đây là sai? Trang 6
A. d cắt CD .
B. d cắt MN . C. d cắt AB . D. d cắt SO . Lời giải Chọn B
Xét (SAB)và (SCD)có: S chung.
Trên ( ABCD)Gọi I = AB ÇCD Þ I là điểm chung của(SAB) và (SCD).
Vậy (SAB)Ç(SCD) = SI hay d º SI .
Ta có d Ç AB = I; d ÇCD = I; d Ç SO = S .
Mặt khác d và MN không đồng phẳng.
Do đó d cắt MN là mệnh đề sai.
Câu 24: Hàm số y = sin x + cos x có giá trị nhỏ nhất bằng A. 1. B. 0. C. - 2. D. 2. Lời giải Chọn C æ p Ta có: ö
sin x + cos x = 2 sin x + ç ÷ è 4 ø æ p ö æ p Mà: ö 1 - £ sin x + £1Þ - 2 £ 2 sin x + £ 2 Þ - 2 £ y £ 2. ç ÷ ç ÷ è 4 ø è 4 ø æ p ö p p p Þ y = - 2 khi sin x +
=1Þ x + = + 2kp Þ x = + 2kp (k Î ç ÷ !). min è 4 ø 4 2 2 p Vậy y
= - 2 khi x = + 2kp (k Î!). min 2
Câu 25: Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC , ABD . Đường
thẳng IJ song song với đường thẳng Trang 7 A. DB . B. AC . C. CD .
D. CM với M là trung điểm cạnh BD . Lời giải Chọn C A J I B M D N C
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh BD và BC , ta có MN //CD.
Vì I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC , ABD nên ta có AI AJ 2 = = Þ IJ //MN . AN AM 3
Từ và suy ra IJ //CD .
Câu 26: Cho cấp số cộng 1
(u có u = - 3;d = . n )
Khẳng định nào sau đây đúng? 1 2 1 1
A. u = - 3 + n - 1. B. u = - 3 + n - n ( ) 1 . n 2 2 1 C. Ê 1 ˆ u = n Á- Á 3 + n ˜ + ˜ u = - 3 + n + n ( ) 1 . n ( ) 1 . D. Á Ë 4 ˜¯ 2 Lời giải Chọn B 1
Ta có u = u + n - 1 d € u = - 3 + n - 1 n 1 ( ) n ( . ) 2
Câu 27: Cho tứ diện ABCD . I và J theo thứ tự là trung điểm của AD và AC . G là trọng tâm
tam giác BCD . Giao tuyến của hai mặt phẳng (GIJ ) và (BCD) là đường thẳng.
A. Qua G và song song với BC . B. Qua I và song song với AB .
C. Qua J và song song với BD . D. Qua G và song song với CD . Lời giải Chọn D Trang 8
Xét hai mặt phẳng (GIJ ) và (BCD), có;
G Î(GIJ ) Ç(BCD)
Và IJ // CD ( IJ là đường trung bình của ACD D
), IJ Ì (GJI ),CD Ì (BCD)
Nên (GIJ )Ç(BCD) = Gy (Gy // JI //CD).
Câu 28: Cho tam giác ABC . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. sin(A + B) = sin C .
B. cos(A + B) = cosC . C. A + B C A + B C sin = sin . D. cos = cos . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A
A + B + C = p Þ sin ( A+ B) = sin(p -C) = sinC .
Câu 29: Rút gọn biểu thức
sin 2a + sin 5a - sin 3a A = . 2
1+ cos a - 2sin 2a
A. cos a .
B. sin a .
C. 2cos a .
D. 2sin a . Lời giải Chọn D
sin 2a + (sin 5a - sin 3a) 2sin acos a + 2cos 4asin a 2sin a(cos a + cos 4a) Ta có A = = = cos a + ( 2 1- 2sin 2a) cos a + cos 4a cos a + cos 4a = 2sin a .
Câu 30: Cho hình chóp S.ABC có E, F lần lượt là trung điểm cạnh AB, BC và điểm G thỏa mãn !!!" 1 !!!"
SG = SC . Thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mặt phẳng (EFG)là hình nào 2 dưới đây? A. Tam giá B. Hình bình hành.
C. Hình thang chỉ có một cặp cạnh song song D. Hình thoi. Lời giải Trang 9 Chọn B
Ta có EF là đường trung bình trong tam giác ABC,suy ra EF / / AC ( ) 1 .
(EFG)Ç(SAC) ={ } G üï EF Ì (EFG) ï
ý Þ (EFG) Ç(SAC) = Gx / /FE / / AC AC Ì (SAC) ï EF / / AC ï þ
Gọi Gx Ç SA = {H}, suy ra H là trung điểm SA và HG / /AC (2) !!!" !!!" Ta có 1
SG = SC,suy ra G là trung điểm của SC và GF / /SB ( ) 3 . 2
Ta có HE là đường trung bình trong tam giác SAB, suy ra HE / /SB (4) Từ ( ) 1 ,(2),( )
3 ,(4)suy ra thiết diện là hình bình hành FGHE .
Câu 31: Cho hình chóp S.ABCD có AB không song song với CD . Gọi M là một điểm thuộc miền trong SC
D D . I là giao điểm của BM với (SAC), P là giao điểm của SC và
(ABM ). Khi đó P là
A. giao điểm của SC với DI .
B. giao điểm của SC với AI .
C. giao điểm của SC với MK ( SK là giao tuyến của (SAD) và (SBC)).
D. giao điểm của SC với BI . S A D B C Lời giải Chọn B Trang 10 S M A D I P E O B C
* Xác định I : Gọi E = SM ÇCD . Chọn (SBE) É BM .
Gọi O = BE Ç AC Þ SO = (SBE)Ç(SAC).
Gọi I = BM Ç SO Þ I = BM Ç(SAC).
* Xác định P : Chọn (SAC) É SC.
Ta có AI = (SAC)Ç( ABM ). Gọi P = SC Ç AI Þ P = SC Ç( ABM ).
Câu 32: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA ^ AB , SA ^ AD . Gọi
M , N, P lần lượt là trung điểm ,
SA BC,CD. Thiết diện tạo bởi (MNP) và hình chóp là hình gì?
A. Là tam giác cân. B. Là ngũ giác.
C. Là tam giác thường.
D. Là tứ giác. Lời giải Chọn B
E = NP Ç AB
F = NP Ç AD
H = SB Ç ME
I = SD Ç MF
Ta được thiết diện là ngũ giác MHNPI . Trang 11
Câu 33: Cho biết có hai cấp số nhân (u ) thỏa mãn ìu + u + u = 26 1 2 3 với công bội q q . 1 và Giá n í 2 2 2 2
u + u + u = 364 î 1 2 3
trị của q + q bằng 1 2 A. 1 7 10 5 . B. . C. . D. . 2 3 3 2 Lời giải Chọn C 2 2 ì æ 1 ö ì æ 1 ö 2 æ 1 u 1 q 26 ö + + = ï ç ÷ ï + + = 2 u 1 q 676 ç ÷ +1+ q 2 q q ç q ÷ ï è ø ï è ø è ø 13 Ta có í Þ í Þ = . ï æ 1 ö ï æ ö æ 1 ö 7 1 2 2 2 2 2 u +1+ q = 364 +1+ q ç ÷ + + = 2 u 1 q 364 ç 2 ÷ 2 2 ï ï ç 2 î è q ÷ ø è q î è q ø ø 1 Đặt + q = t, điều kiện t ³ 2. Ta thu được q 2 2 2 10
7(1+ t) = 13(t -1) Û 3t - 7t -10 = 0 Û t = hoặc t = 1 - . 3 éq = 3 Với 10 1 10 t = , ta có q ê + = Û 1 . 3 q 3 êq = ë 3 Vậy 10 q + q = . 1 2 3
Câu 34: Tính tổng S tất cả các nghiệm của phương trình ( x + )( 4 4 2cos2
5 sin x - cos x)+3 = 0 trên khoảng (0;2p ). p p A. 11 S = 4p. B. S = 5p 7 . C. S = . D. S = . 6 6 Lời giải Chọn A Ta có: ( x + )( 4 4 2cos2
5 sin x - cos x)+3 = 0 Û ( x + ) éë( 2 2 x - x)( 2 2 2cos 2 5 sin cos
sin x + cos x)ù +3 = 0 û
Û (2cos2x +5)(-cos2x) +3 = 0 2 Û 2c
- os 2x -5cos 2x + 3 = 0 é 1 cos 2x = ê Û 2 ê êcos 2x = 3 - ë ( ptvn) é p x = + kp ê 6 Û ê , k Î ! p êx = - + kp êë 6 ìp 7p 5p 11p Vì ü
x Î(0;2p ) nên x Î í ; ; ; ý î 6 6 6 6 þ Trang 12 p p p p Vậy 7 5 11 S = + + + = 4p . 6 6 6 6
Câu 35: Biết rằng khi m = m thì phương trình 2 x -( m + ) 2 2sin 5
1 sin x + 2m + 2m = 0 có đúng 5 0 æ p nnghiệm thuộc khoảng ö
- ;3p . Mệnh đề nào sau đây đúng? ç ÷ è 2 ø æ 3 2 æ 3 7 A. m = 3 - . B. ö 1 ù m Î - ;- . C. m = . D. m Î ; . 0 0 ç ÷ ç è 5 5 ø 0 2 0 5 10 ú è û Lời giải Chọn B Đặt t = sin , x ( t £ )
1 . Phương trình trở thành: 2 t - ( m + ) 2 2 5
1 t + 2m + 2m = 0 (1)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi một trong các trường hợp sau xảy ra
TH1: Pt (1) có 2 nghiệm: t =1 và 1 - < t £ 0. 1 2 ém = 1 +) 2
t =1Þ 2m - 3m +1 = 0 ê Û 1 . êm = ë 2 ét =1
Với m = 1 thì (1) trở thành: 2
2t - 6t + 4 = 0 Û
không thỏa yêu cầu bài toán. ê ët = 2 ét = 1 Với 1 7 3
m = thì (1) trở thành: 2 2t - t + = 0 ê Û
3 không thỏa yêu cầu bài toán. 2 2 2 êt = ë 4
TH2: Pt (1) có 2 nghiệm: t = 1 - và 0 < t <1. 1 2 é 1 m = - +) t = 1 - 2 2
Þ 2 + 5m +1+ 2m + 2m = 0 Û 2m + 7m + 3 = 0 ê 2 . ê ëm = -3 ét = -1 Với 1 3 1
m = - thì (1) có dạng: 2 2t + t - = 0 ê Û
1 thỏa yêu cầu bài toán. 2 2 2 êt = ë 4 ét = -1 Với m = 3 - thì (1) có dạng: 2
2t +14t +12 = 0 Û
không thỏa yêu cầu bài toán. ê ët = -6 1 æ 3 2 ö m = - Î - ;- . ç ÷ 2 è 5 5 ø
II. Tự luận: (3.0đ)
Câu 36: Giải phương trình cos2 .
x tan x = 0. Lời giải: p
Điều kiện: cos x ¹ 0 Û x ¹ + kp (k Î! ) 2 Trang 13 é p é p écos2x = 0 2x = + k2p x = + kp Phương trình cos2 . x tan x 0 ê 2 ê = Û Û Û 4 (k Î ê ! ) ëtan x = 0 ê ê ëx = kp ëx = kp é p x = + kp
So điều kiện, nhận nghiệm ê 4 (k Î! ). ê ëx = kp
Câu 37: Cho cấp số nhân (u ) có 1 1 u = - 1,q = - . Số
là số hạng thứ mấy của dãy n 1 10 103 10 Lời giải
Ta có số hạng tổng quát của cấp số nhân là: n 1 - n 1 1 æ 1ö æ 1 - - - - ö 1 - æ 1 n - ö - n 1 1 u = u .q Û = 1 - . Û = Û .( 1 - 0) = n 1 103 ç ÷ ç ÷ 103 ç ÷ 103 10 è 10 ø è 10 ø 10 è 10 ø 10 n n 104 æ 1 - ö 1 æ 1 - ö æ 1 - ö Û = Û = Û n = 104 ç ÷ 104 ç ÷ ç ÷ è 10 ø 10 è 10 ø è 10 ø
Câu 38: Cho tứ diện ABCD có M , N lần lượt là trung điểm của AB,CD và P là một điểm
thuộc cạnh BC ( P không trùng trung điểm cạnh) BC . Thiết diện của tứ diện cắt bởi
mặt phẳng (MNP) là hình gì? Lời giải Chọn D A M Q B D P N C I
Trong mp ( ABC) kéo dài MP, AC cắt nhau tại I.Trong mp( ACD)kéo dài IN cắt AD
( ABC)!(MNP) = MP
(BCD)!(MNP) = PN tại . Q Ta được:
Vậy thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng
( ACD)!(MNP) = NQ
( ABD)!(MNP) = QM
(MNP) là tứ giác MPN . Q Trang 14
Câu 39: Cho tứ diện ABCD có AB = 6 , CD = 8 . Cắt tứ diện bởi một mặt phẳng song song với
AB , CD để thiết diện thu được là một hình thoi. Cạnh của hình thoi đó bằng Lời giải A I K B D N M C
Giả sử một mặt phẳng song song với AB và CD cắt tứ diện ABCD theo một thiết diện
ìMK // AB // IN là hình thoi ï
MNIK như hình vẽ trên. Khi đó ta có: íMN // CD // IK . ïMK = KI î ìMK CK ì - = MK AC AK ï = ï
Cách 1: Theo định lí Ta – lét ta có: ï AB AC ï 6 AC í Þ í KI AK ï = KI AK ï = ïîCD AC ïî 8 AC MK AK Þ = MK KI MK MK 1- Þ =1- Þ =1- 7 Û MK = 24 1 Û MK = . 6 AC 6 8 6 8 24 7
Vậy hình thoi có cạnh bằng 24 . 7 ìMK CK = ï
Cách 2: Theo định lí Ta – lét ta có: ï AB AC MK MK CK AK í Þ + = + KI AK ï = AB CD AC AC ïîCD AC MK MK AK + KC Þ + = 7MK AC Þ = = 24 1Þ MK = . 6 8 AC 24 AC 7
------------- HẾT ------------- Trang 15
ĐỀ ÔN TẬP GIỮA HỌC KỲ I
MÔN TOÁN 11-CÁNH DIỀU-ĐỀ 2
I. Trắc nghiệm: (7.0đ)
Câu 1: Cho cấp số cộng (u u =11 u =14 n ) với và
. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng 5 6 A. 3. B. 12 . C. 6 . D. 6 - . Lời giải Chọn A
Ta có: u = u + d Û14 =11+ d Þ d = 3. 6 5 Câu 2: Cho dãy số ( n -1 U U = , n Î N 100 n ( * )
n ) có số hạng tổng quát . Số hạng thứ của dãy số n + 2 là A. 33 37 39 35 U = . B. U = . C. U = . D. U = . 100 34 100 34 100 34 100 34 Lời giải Chọn A - Ta có 100 1 33 U = = . 100 100 + 2 34 p
Câu 3: Trên đường tròn bán kính bằng 4 , cung có số đo thì có độ dài là 8 p p p p A. . B. . C. . D. . 3 16 2 4 Lời giải Chọn C p p
Độ dài cung là: l = 4. = . 8 2
Câu 4: Tập nghiệm của phương trình 2 cos x = là: 2 ì 3p ü ì p ü A. í±
+ k2p ,k Î!ý.
B. í± + k2p ,k Î!ý . î 4 þ î 4 þ ì3p ì p - 5p ü C. í k2p , k Î ü + !ý . D. í + k2p ,
+ k2p ,k Î!ý . î 4 þ î 4 4 þ Lời giải Chọn B p p Ta có: 2 cos x =
Û cos x = cos Û x = ± + k2p , k Î!. 2 4 4
Câu 5: Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng. Có thể xác định bao nhiêu mặt
phẳng phân biệt từ các điểm đã cho? Trang 16 A. 3 . B. 2 . C. 6 . D. 4 . Lời giải Chọn D
Các mặt phẳng là (ABC ),(ACD),(ABD),(BCD .) p p p p sin cos + sin cos
Câu 6: Giá trị của biểu thức 15 10 10 15 bằng p 2p 2p p cos cos - sin sin 5 15 15 5 A. 3 . B. 1 1. C. . D. 1 - . 2 Lời giải Chọn A p p p p æ p p ö p sin cos + sin cos sin + ç ÷ sin è ø p Ta có 15 10 10 15 15 10 3 = = = tan = 3 . p 2p 2p p æ 2p p ö p 3 cos cos - sin sin cos + cos 5 15 15 5 ç ÷ è 15 5 ø 3
Câu 7: Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đây là sai?
A. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhât.
B. Nếu ba điểm phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì ba điểm đó thẳng hàng.
C. Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.
D. Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến
đó đôi một song song. Lời giải Chọn D
Vì nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến
đó đôi một song song hoặc đồng quy.
Câu 8: Khẳng định nào dưới đây là Sai?
A. Hàm số y = tan xlà hàm số lẻ. B. Hàm số y = sin x là hàm số chẵn.
C. Hàm số y = cos x là hàm số chẵn.
D. Hàm số y = cot xlà hàm số lẻ. Lời giải Chọn B
Câu 9: Tập xác định của hàm số 2cos -1 = x y là: sin 2x ìkp A. ü D = ! \{ p k ,k Î } " . B. D = ! \ í , k Î "ý. î 2 þ Trang 17 ì p kp ìp C. ü ü
D = ! \ í± + k2p;
, k Î "ý. D. D = ! \ í + k2p ,k Î"ý. î 3 2 þ î 3 þ Lời giải Chọn B kp ìkp Hàm số xác định Û ü
sin 2x ¹ 0 Û x ¹
, k Î!. Tập xác định D = ! \ í , k Î "ý. 2 î 2 þ
Câu 10: Cho cấp số nhân có u = 3 - , 2
q = . Tính u . 1 3 5 A. 16 16 27 27 u = . B. u = - . C. u = . D. u = - . 5 27 5 27 5 16 5 16 Lời giải: Chọn B 4 æ 2ö 16 Ta có 4
u = u .q = 3. - = - ç ÷ . 5 1 è 3ø 27
Câu 11: Biết tana = 2 và p
- < a < 0 . Tính cosa . 1 A. cosa = - 1 . B. cosa = 2 . C. cosa = - 2 . D. cosa = . 5 5 5 5 Lời giải Chọn A 1 2 1+ tan a = 2 cos a 1 1 1 2 Þ cos a = = = 2 2 1+ tan a 1+ 2 5 1 Þ cosa = ± 5 1
Vì tana > 0 nên sina, cosa cùng dấu. Mà p
- < a < 0 nên cosa < 0 . Vậy cosa = - . 5
Câu 12: Biết 3 số 5;x;15theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của x bằng A. 30. B. 75. C. 10. D. 20. Lời giải Chọn C 5 + 15
5;x;15theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên x = = 10 . 2
Câu 13: Trong mặt phẳng (a ), cho tứ giác ABCD có AB cắt CD tại E , AC cắt BD tại F , S là
điểm không thuộc (a ). Giao tuyến của (SAB)và (SCD)là A. AC . B. SE . C. SF . D. SD . Lời giải Chọn B Trang 18
Hai mặt phẳng (SAB)và (SCD)có hai điểm chung là S và E nên có giao tuyến là đường thẳng SE . 1
Câu 14: Cho cấp số nhân (U U = U =16 q n ) có ,
. Khi đó công bội là 1 2 2 A. 64 . B. 8 . C. 4 . D. 32 . Bài giải Chọn D Cấp số nhân ( u 16 U 2 q = = = 32
n ) có công bội là . u 1 1 2
Câu 15: Góc có số đo 108° đổi ta rađian là p p p p A. 3 . B. . C. 3 . D. . 5 10 2 4 Lời giải Chọn A
Ta có 180° = p (radian). p p Vậy 108. 3 108° = = (radian). Chọn A 180 5
Câu 16: Trong các công thức sau, công thức nào sai? A. 2
cos 2a = 2cos a - . 1 B. 2
cos 2a =1- 2sin a . C. 2 2
cos 2a = cos a - sin a. D. 2 2
cos 2a = sin a - cos a. Lời giải Chọn D
Theo công thức nhân đôi ta có 2 2 2 2
cos 2a = cos a - sin a = 2cos a -1 =1- 2sin a.
Vậy công thức sai là 2 2
cos 2a = sin a - cos a.
Câu 17: Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm? æ p A. ö cos x = 2 . B. sin 2x + = 1. ç ÷ è 3 ø 5 C. sin 2x = . D. sin x = 2 - . 2 Lời giải Chọn B
Các dạng phương trình lượng giác cơ bản sin u = a , cosu = a có nghiệm khi và chỉ khi a £ . 1 Câu 18: Cho 3 3a a cos a = . Tính cos .cos . 4 2 2 A. 7 . B. 23 . C. 23 . D. 7 . 16 8 16 8 Lời giải Chọn A Trang 19 1 æ 9 3 Ta có: 3a a 1 1 ö 7 cos .cos
= (cos2a + cos a) = ( 2
2cos a -1+ cos a) = -1+ = . ç ÷ 2 2 2 2 2 è 8 4 ø 16 æ 2p
Câu 19: Giá trị bé nhất của hàm số ö y = sin x + + sin x là ç ÷ è 3 ø 3. A. B. 2. - C. 1. - 3. D. - 2 2 Lời giải Chọn C æ 2p ö æ 2p ö + + + - æ 2 x x x x p ö ç 3 ÷ ç 3 ÷ y = sin x + + sin x = 2sin ç ÷ ç ÷cosç ÷ è 3 ø 2 2 ç ÷ ç ÷ è ø è ø æ p ö æ p ö 1 æ p ö æ p ö = 2sin x + cos = 2. sin x + = sin x + . ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 3 ø è 3 ø 2 è 3 ø è 3 ø æ p Ta có: ö 1 - £ sin x + £1. ç ÷ è 3 ø
Câu 20: Cho hình lăng trụ ABC. ¢
A B¢C¢ . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BB¢ và CC¢ ,
D = mp( AMN)Çmp( A B ¢ C
¢ ¢). Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. D // AB .
B. D // AC .
C. D // BC . D. D // ¢ AA . Lời giải Chọn C Ta có
Δ = mp ( AMN ) Ç mp ( ¢ A B¢C¢)ü MN ( AMN ) ï Ì ï ý Þ Δ // C B . B¢C¢ Ì ( ¢ A B¢C¢) ï MN // ï B¢C¢ þ Trang 20
Câu 21: Cho phương trình cos .
x cos 7x = cos3 . x cos5x ( )
1 . Phương trình nào sau đây tương
đương với phương trình ( ) 1
A. cos 4x = 0.
B. sin 5x = 0 . C. sin 4x = 0 . D. cos3x = 0 . Lời giải Chọn C Ta có cos .
x cos 7x = cos3 .
x cos5x Û cos8x + cos 6x = cos8x + cos 2x Û cos 6x - cos 2x = 0 Û 2 - sin 4 .
x sin 2x = 0 Û sin 4x = 0
Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ( AD / /BC). Gọi M, N, P lần lượt
là trung điểm của SB , CD và AC . Hãy cho biết thiết diện của hình chóp S.ABCD khi
cắt bởi mặt phẳng (MNP) là hình gì?
A. Hình thang. B. Hình chữ nhật.
C. Hình tam giác. D. Hình bình hành. Lời giải Chọn A S F M A D E P N B C
Trong mp ( ABCD), gọi E = NP Ç AB .
Khi đó : (MNP)Ç( ABCD) = NE và (MNP)Ç(SAB) = EM . (1) Xét ACD D
có P , N lần lượt là trung điểm của AC , CD Þ NP / / AD / / BC.
Ta có: NP//BC ; NP Ì (MNP); BC Ì (SBC); M Î(MNP)Ç(SBC), qua M kẻ đường
thẳng song song với BC cắt SC tại F .
Khi đó : (MNP)Ç(SBC) = MF
và (MNP)Ç(SCD) = FN . (2)
Từ (1) và (2), thiết diện của hình chóp là tứ giác MENF .
Tứ giác MENF có MF //EN nên MENF là hình thang.
Câu 23: Cho hình chóp tứ giác S.ABC .
D Gọi G ,G lần lượt là trọng tâm các tam giác SAC và 1 2 .
ACD Khi đó G G song song với đường thẳng 1 2 A. BC. B. AC. C. . AD D. . SD Lời giải Chọn D Trang 21 Gọi EG EG 1
E là trung điểm của AC . Trong mp(SED) , ta có: 1 2 = = , suy ra ES ED 3 G G / /SD . 1 2
Câu 24: Cho cấp số cộng (u d = 4 u = 3 n ) có công sai và số hạng đầu
. Tìm số hạng tổng quát 1 u . n
A. u = 3n + 4.
B. u = 3n +1. C. u = 4n + 3. D. u = 4n - . 1 n n n n Lời giải Chọn D
Ta có u = u + n -1 d = 3+ 4 n -1 = 4n -1 n 1 ( ) ( ) .
Câu 25: Cho hình tứ diện ABCD . Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Tồn tại một mặt phẳng chứa AD và BC .
B. AB và CD song song với nhau.
C. AC và BD cắt nhau.
D. AC và BD không có điểm chung. Lời giải Chọn D
Vì ABCD là tứ diện nên AC và BD không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Do đó AC và BD không có điểm chung.
Câu 26: Dãy số nào trong các dãy số sau đây là dãy số bị chặn trên? + A. ( n u u = n " Î N* (u u n n N* = + " Î n ) , 2 1 n ) 2 3 , . B. . n n + 4 n Trang 22 C. (u u n n N* = " Î (u u n n N* = " Î n ) , n ) 2 , . D. . n n Lời giải Chọn A
2n + 3 2 n + 4 - 5 Ta có: (u u = = = - < n " Î N* n ) ( ) 5 , 2 2
nên dãy số bị chặn trên. n n + 4 n + 4 n + 4 æ p ö æ p Câu 27: Giả sử ö A = tan x tan - x tan
+ x được rút gọn thành A = tan nx khi đó n bằng ç ÷ ç ÷ è 3 ø è 3 ø A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 Lời giải Chọn D æ p ö æ p 3 - tan x 3 + tan x 2 - Ta có ö 3 tan x A = tan x tan - x tan + x ç ÷ ç ÷ = tan . x . = tan . x è 3 ø è 3 ø
1+ 3 tan x 1- 3 tan x 2 1- 3tan x 3 3tan x - tan x = = tan 3x . 2 1- 3tan x
Câu 28: Cho hàm số y = cot x; trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hàm số có tập xác định D = ! \{kp,k Î } "
B. Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ.
C. Hàm số là một hàm số lẻ.
D. Hàm số có chu kỳ tuần hoàn T = p . Lời giải Chọn B
Điều kiện: sin x ¹ 0 Û x ¹ kp ,k Î!, nên hàm số có tập xác định là: D = ! \{kp,k Î } " , nên B đúng
Hàm số là hàm số lẻ nên D đúng
Hàm số là hàm số tuần hoàn chu kỳ T = p , nên A đúng. Vậy C sai. æ 85p ö æ 5p
Câu 29: Rút gọn biểu thức ö A = sin x + + cos ç ÷ (2017p + x) 2 + sin (33p + x) 2 + sin x - ta ç ÷ è 2 ø è 2 ø được
A. A = sin x .
B. A = 1.
C. A = 2 .
D. A = 0 . Lời giải Chọn B Ta có: æ 85p ö æ p ö A = sin x + + cos ç ÷ (2017p + x) 5 2 + sin (33p + x) 2 + sin x - ç ÷ è 2 ø è 2 ø æ p ö æ p ö Û A = x + p + + ç ÷ ( p +p + x) 2 + ( p +p + x) 2 sin 42 cos 2016 sin 32 + sin x - 2p - ç ÷ è 2 ø è 2 ø æ p ö æ p ö Û A = x + + ç ÷ (p + x) 2 + (p + x) 2 sin cos sin + sin x - ç ÷ è 2 ø è 2 ø æ p 2 2 ö
Û A = cos x - cos x + sin x + sin - x ç ÷ è 2 ø 2 2
Û A = sin x + cos x Trang 23 Û A = 1.
Câu 30: Phương trình 3 sin 2x - cos 2x = 2có tập nghiệm là ì2p ìp A. ü ü S = í
+ k2p | k Î!ý.
B. S = í + kp | k Î!ý. î 3 þ î 3 þ ì5p ìp kp C. ü ü S = í
+ kp | k Î!ý. D. S = í + | k Î!ý. î12 þ î 3 2 þ Lời giải Chọn B 3 1 æ p ö p p p PT Û
sin 2x - cos 2x =1 Û sin 2x -
=1 Û 2x - = + k2p Û x = + kp ç ÷ . 2 2 è 6 ø 6 2 3 ìp
Vậy tập nghiệm của phương trình là: ü
S = í + kp | k Î!ý. î 3 þ
Câu 31: Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A , biết độ dài cạnh đáy BC , đường cao AH và cạnh
bên AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q . Giá trị của 2 q bằng + - + - A. 2 1. B. 2 1 C. 2 2 . D. 2 2 . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A Đặt BC = ; a AB = AC = ;
b AH = h. Theo giả thiết ta có a, h, b lập cấp số nhân, suy ra 2 2 2 2 h = . ab + Mặt khác tam giác b b a
ABC cân tại đỉnh A nên 2 2 h = m = - a 2 4 2 2 2 + Do đó b b a 2 2 -
= ab Û a + 4ab - 4b = 0 Û a = (2 2 -2)b (vì a, b > 0) 2 4 + + Lại có 2
b = q a nên suy ra b 1 2 2 2 2 1 2 q = = = = . a 2 2 - 2 4 2 x x
Câu 32: Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2 2sin
- 3cos = 0 trên đoạn é0;8p ù. 4 4 ë û
A. T = 4p .
B. T = 0 .
C. T = 8p .
D. T = 16p . Lời giải Chọn C Xét phương trình: æ ö 2 x x 2 x x 2 x x 2sin - 3cos = 0 Û 2 1- cos -3cos = 0 Û 2 - cos -3cos + 2 = 0 ç ÷ (1) 4 4 è 4 ø 4 4 4 Trang 24 Đặt: x
t = cos ;t Î é 1 - ;1ù. Khi đó phương trình (1) trở thành: 4 ë û é 1 t = 2 2t 3t 2 0 ê - - + = Û 2 ê êt = 2 - ë (L) é x p é 4p = + k2p x = + k8p 1 x 1 x p ê ê Với 4 3 3
t = Þ cos = Û cos = cos Û ê Û ê ; k Î! 2 4 2 4 3 ê x p ê 4p = - + k2p x = - + k8p ê 4 3 ê ë ë 3 p p Xét 4 x = + 4 1 5
k8p : x Î é0;8p ù Þ 0 £
+ k8p £ 8p Û - £ k £ . 3 ë û 3 6 6 ì p ü
Mà k Î! Þ k Î{ } 4 0 Þ x Î í ý î 3 þ p p Xét 4 x = - + 4 1 7
k8p : x Î é0;8p ù Þ 0 £ -
+ k8p £ 8p Û £ k £ . 3 ë û 3 6 6 ì p ü
Mà k Î! Þ k Î{ } 20 1 Þ x Î í ý î 3 þ 4p 20p Vậy T = + = 8p 3 3
Câu 33: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ 10 - ; ] 10 để phương trình 2 x + (m- ) 2 11sin
2 sin 2x + 3cos x = 2 có nghiệm? A. 21. B. 15 . C. 16 . D. 6 . Lời giải Chọn C Ta có : 2 x + (m- ) 2 11sin
2 sin 2x + 3cos x = 2 2 Û x + (m - ) 2 11sin 2
2 sin xcos x + 3cos x = 2 ( ) * *Nếu cos x = 0 : ( )
* ®11 = 2 (vô lý) nên cos x = 0 không thỏa phương trình.
*Nếu cos x ¹ 0 , chia hai vế của phương trình (*) cho 2 cos x ta được: 2 x + (m- ) x + = ( 2 11tan 2 2 tan 3 2 1+ tan x) 2
Û 9tan x + 2(m- 2)tan x +1= 0
Để phương trình có nghiệm thì ¢ D = (m- )2 2 -9 ³ 0 Û mÎ(- ; ¥ - ] 1 È[5;+¥)
Vì m nguyên và mÎ[ 10 - ; ] 10 nên mÎ{ 10 - ; 9 - ;...; 1 - ;5;6;...; }
10 . Vậy có tất cả 16 giá trị
m để phương trình có nghiệm.
Câu 34: Cho tứ diện ABCD . Gọi I và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD ; J, E
lần lượt là các điểm trên các đoạn AD và BC sao cho AD = 3JD , EB = 2EC . Gọi F là
giao điểm của IJ và BD ; H là giao điểm của AC và IE . Khẳng định nào sau đây sai?
A. BC Ç(IJK ) = E .
B. Cá đường thẳng IE, AC, JK đồng quy. Trang 25
C. Giao điểm của BC và mặt phẳng (IJK ) là trung điểm của BC .
D. IJ Ç(BCD) = F . Lời giải Chọn C A I J L F D B M K E C H
Ta có (BCD)Ç( ABD) = BD Þ IJ Ç(BCD) = IJ Ç BD = F Þ A đúng.
(IJK)Ç(BCD) = KF Þ BCÇ(IJK) = BC Ç KF = E¢. Trong ( ABD) kẻ DL JD
DL//AB , L Î IJ . Ta có = = 1 2 Þ DL = IA. IA JA 2 !!!" !!" Trong tam giác 1 BIF có DL =
BI Þ D là trung điểm của đoạn BF . 2 Trong (BCD) kẻ DM DF 1 1
DM //BC , M Î EF . Ta có =
= Þ DM = BE¢ (1). BE¢ BF 2 2 Lại có DM KD =
=1 Þ DM = CE¢. (2). CE¢ KC
Từ (1) và (2) suy ra BE¢ = 2CE ' . Do đó E º E¢ Þ BC Ç(IJK) = E Þ B đúng Þ D sai.
Ba mặt phẳng ( ABC), ( ACD) và (IJK ) cắt nhau theo ba giao tuyến IE , AC và JK
nên ba đường thẳng IE , AC và JK đồng quy tại H Þ C đúng.
Câu 35: Cho tứ diện ABCD , M và N lần lượt là trung điểm AB và AC . Mặt phẳng (a )qua
MN cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là đa giá ( T ) Khẳng định nào sau đây đúng?
A. ( T )là tam giá
B. ( T )là hình thang. Trang 26
C. ( T )là tam giác hoặc hình thang hoặc hình bình hành.
D. ( T )là hình chữ nhật. Lời giải Chọn C
TH1: Mặt phẳng (a )cắt đoạn CD tại E bất kỳ, E ¹ C, E ¹ D.
ì E Î (a ) Ç ( BCD ) ïïMN ! BC
ì Ex = (a ) Ç ( BCD ) í Þ í . MN Ì (a ) ï
î Ex//MN //BC
ïîBC Ì ( BCD )
Gọi F = Ex Ç BD trong ( BCD ).
Ta có: MN //EF nên tứ giác MNEF là hình thang.
Nếu E là trung điểm CD , khi đó MN và EF lần lượt là các đường trung bình trong 1 ABC D và BCD D
, nên MN //EF và MN = EF = BC . Khi đó tứ giác MNEF là hình 2 bình hành.
TH2: Mặt phẳng (a )cắt đoạn AD tại E bất kỳ, E ¹ A.
Dễ thấy thiết diện tạo bởi mặt phẳng (a )và tứ diện ABCD là MN D E .
II. Tự luận: (3.0đ)
Câu 36: Tập nghiệm của phương trình co 2
s x + cosx + 1 = 0 là Lời giải
cos 2x + cos x +1 = 0 Û 2cosx + cosx = 0 Trang 27 é cosx = 0 cosx (2cosx ) 1 0 ê Û + = Û 1 êcosx = - ë 2 é p x = + k2p ê 2 Û ê , k ÎZ 2p êx = ± + k2p êë 3
Câu 37: Cho cấp số nhân (u u = - 3 q = - 2 - 192 n ) có , công bội . Hỏi
là số hạng thứ mấy của 1 (un )? Lời giải
Giả sử - 192 là số hạng thứ n của (u v * n Œ• n ) ới .Ta có n- n - 6 n- 1 1 192 . n u q - - = € - = (- ) (- ) 1 192 3 . 2 € = (- ) 1 64 2 € (- ) 2 = (- ) 2 € 6 = n - 1 1
€ 7 = n . Do đó - 192 là số hạng thứ 7 của (u . n )
Câu 38: Cho hình chóp S.ABCD , G là điểm nằm trong tam giác SCD . E , F lần lượt là trung
điểm của AB và AD . Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (EFG ) Lời giải
Trong mặt phẳng (ABC )
D : EF « BC = I; EF « CD = J
Trong mặt phẳng (SC )
D : GJ « SC = K; GJ « SD = M
Trong mặt phẳng (SBC): KI « SB = H
Ta có: (GEF)« (ABC )
D = EF, (GEF)« (SA )
D = FM , (GEF)« (SC ) D = MK
(GEF)« (SBC)= KH , (GEF)« (SA ) B = HE
Vậy Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (EFG ) là ngũ giác EFMKH Trang 28
Câu 39: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang có AD / /BC . M là điểm di động trong
hình thang ABCD . Qua M kẻ các đường thẳng song song với SA và SB lần lượt cắt
các mặt phẳng (SBC) và (SBD) tại N và P . Cho SA = a , SB = b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2
T = MN .MP . Lời giải
Giả sử AM Ç BC = I , BM Ç AD = J . Khi đó N Î SI, P Î SJ . Đặt MN = ; x MP = y. ìMN IM = ïï SA IA x y Ta có: í Þ + =1. MP JM AM a b ï = = ïî SB JB AI
Khi đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si: 3 2 æ x x y ö 1 æ x x y ö 4a b 2 2 2 2
T = MN .MP = x .y = . . .4a b £ + + .4a b = ç ÷ ç ÷ . è 2a 2a b ø 27 è 2a 2a b ø 27 ì 2a x = ïï Dấu bằng xảy ra khi 3 í . b ïy = ïî 3
------------- HẾT ------------- Trang 29
ĐỀ ÔN TẬP GIỮA HỌC KỲ I
MÔN TOÁN 11-CÁNH DIỀU-ĐỀ 3
I. Trắc nghiệm: (7.0đ)
Câu 1: Ba số - 3 ; x;- 3 3 theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Tìm công
bội q của cấp số nhân đó.
A. q = ± 3 .
B. q = - 3.
C. q = 3. D. q = 3 ± . Lời giải Chọn A
Do - 3 ; x ; - 3 3 là một cấp số nhân 2
Þ x = 9 Û x = 3 ± . x
Vậy công bội của cấp số nhân là q = = ± 3 . - 3
Câu 2: Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ? A. 3 y = x + . 1 B. 3
y = sin (2x). C. 2
y = tan x . D. y = cos 2x. Lời giải Chọn B 3 y = sin (2x)
Tập xác định D = ! . Ta có x
" Î D Þ -x Î D .
Đồng thời y(-x) 3 = (- x) 3 sin
2 = -sin (2x) = -y(x). Do đó hàm số 3
y = sin (2x) là hàm số lẻ.
Câu 3: Trong các công thức sau, công thức nào đúng?
A. sin 2a = 2sin a cos a . B. 2 2
sin 2a = cos a - sin a .
C. sin 2a = 2sin a .
D. sin 2a = sin a + cos a . Lời giải Chọn A
Ta có sin 2a = 2sin a cos a .
Câu 4: Cho dãy số (u 2 *
u = 3 + 4n , n Î • u
n ) cho bởi công thức tổng quát . Khi đó bằng n 5 A. 97 - . B. 23. C. 503 . D. 103. Lời giải Chọn D 2 2
u = 3 + 4n Þ u = 3 + 4.5 = 103. n 5
Câu 5: Phương trình sin 2x = 1 có nghiệm là p p p p p A. x =
+ k2p . B. x =
+ k3p . C. x =
+ kp . D. x = + k . 4 4 4 4 2 Lời giải Chọn C Trang 30 p p
Ta có: sin 2x = 1 Û 2x = + k2p Û x = + kp , (k Î!). 2 4
Câu 6: Cho hai đường thẳng phân biệt a và b trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối
giữa a và b . A. 1. B. 4 . C. 3. D. 2 . Lời giải Chọn C
Hai đường thẳng phân biệt a và b trong không gian có ba vị trí tương đối là: cắt nhau, song song, chéo nhau.
Câu 7: Khẳng định nào sau đây đúng?
A. tan15° = tan 75°
B. sin15° = sin 75° .
C. cos15° = - cos165° .
D. sin15° = -sin165° . Lời giải Chọn C
Do 15° +165° = 180° nên cos15° = -cos(180°-15°) = -cos165°.
Câu 8: Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
A. Một điểm và một đường thẳng.
B. Hai đường thẳng cắt nhau.
C. Bốn điểm phân biệt.
D. Ba điểm phân biệt. Lời giải Chọn B
A sai khi ba điểm thẳng hàng.
B sai khi điểm đó thuộc đường thẳng.
D sai khi 4 điểm thẳng hàng hoặc bốn điểm không đồng phẳng. p
Câu 9: Cung có số đo 5 rad đổi sang đơn vị độ bằng 3 A. 300° . B. 5° . C. 600°. D. 270°. Lời giải Chọn A p ° Ta có 5 5.180
rad đổi sang đơn vị độ bằng = 300°. 3 3
Câu 10: Một đường tròn có bán kính R = 3cm . Tính độ dài l của cung trên đường tròn đó có số đo bằng 0 60 . p p
A. l = 2p cm .
B. l = cm.
C. l = p cm .
D. l = cm. 4 2 Lời giải Chọn C Ta có: p l = .
R a = 3. = p cm. 3 Trang 31
Câu 11: Phương trình cos x = cosa có nghiệm là A. x = a
± + k2p ,(k Î!). B. x = a
- + kp ,(k Î!).
C. x = a + k2p ,(k Î!). D. x = a
± + kp ,(k Î!). Lời giải Chọn A éx = a + k2p
Công thức nghiệm tổng quát của phương trình cos x = cosa Û (k Î!). ê ëx = a - + k2p
Câu 12: Tìm tập xác định của hàm số y = tan x. ìp
A. ! \{k2p | k Î } Z . B. ü
! \ í + kp | k ÎZý. î 2 þ ìp C. ü ! \{kp | k Î } Z .
D. ! \ í + k2p | k ÎZý. î 2 þ Lời giải Chọn B p
Hàm số xác định khi và chỉ khi cos x ¹ 0 Û x ¹ + kp , (k ÎZ). 2
Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành. Khi đó giao tuyến của hai mặt
phẳng (SAC) và (SAD) là
A. Đường thẳng SA .
B. Đường thẳng SB .
C. Đường thẳng SD .
D. Đường thẳng SC . Lời giải Chọn D
Ta thấy (SAC)Ç(SAD) = SA. p p p p sin .cos + sin .cos
Câu 14: Giá trị biểu thức 15 10 10 15 là 2p p 2p p cos .cos - sin .sin 15 5 15 5 A. 3 3 1. B. 1 - . C. - . D. . 2 2 Lời giải Chọn A p p p p æ p p ö æ p ö sin .cos + sin .cos sin + sin ç ÷ ç ÷ 15 10 10 15 è15 10 ø è 6 ø = = =1. 2p p 2p p æ 2p p ö æ p cos .cos sin .sin ö - cos + cos 15 5 15 5 ç ÷ ç ÷ è 15 5 ø è 3 ø
Câu 15: Biết 3 số 5;x;15theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của x bằng A. 30. B. 75. C. 10. D. 20. Lời giải Trang 32 Chọn C 5 + 15
5;x;15theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên x = = 10 . 2
Câu 16: Cho cấp số nhân (u u = 3, u = 48. n ) thỏa mãn
Công bội của cấp số nhân bằng 1 5 A. 2. - B. 2. C. 2. ± D. 16. Lời giải Chọn C
Gọi q là công bội của cấp số nhân (un ). u ì = 3 u ì = 3 u ì = 3
Với u = 3, u = 48suy ra 1 1 1 í Û í Û í . 1 5 4 4 u .q = 48 î îq =16 îq = 2 ± 1
Vậy công bội của cấp số nhân (u q = 2. ± n ) là
Câu 17: Cho cấp số cộng (u u = 5 - d = 3
n ) có số hạng đầu và công sai
. Số 100 là số hạng thứ 1
mấy của cấp số cộng? A. 15. B. 20. C. 35. D. 36. Lời giải Chọn D
Ta có: u = u + n -1 d Û100 = 5
- + n -1 .3 Û100 = 3n -8 Û n = 36 n 1 ( ) ( ) .
Câu 18: Cho cấp số cộng (u u = 10 , u = 19 u n ) thỏa mãn . Tìm
của cấp số cộng đó. 4 7 10
A. u = 29 .
B. u = 30. C. u = . 31
D. u = 28 . 10 10 10 10 Lời giải Chọn D Ta có u ì =10 u ì + 3d =10 u ì =1 4 1 1 í Þ í Þ í u =19 u + 6d =19 î î îd = 3 7 1
Suy ra u = u + 9d = 28. 10 1 æ p
Câu 19: Giá trị lớn nhất của hàm số ö y = 3sin 2x + - 4 là ç ÷ è 2 ø A. 1. B. 7 . C. 2 . D. 1 - . Lời giải Chọn D æ p Ta có ö y = 3sin 2x + - 4 £ 3- 4 = 1 - . ç ÷ è 2 ø æ p ö p p k2p
Dấu bằng xảy ra khi sin 3x +
=1 Û 3x + = + k2p Û x = (k Î ç ÷ !). è 2 ø 2 2 3 Trang 33 p
Câu 20: Hàm số y = 2.sin 3x.cos x có chu kì là 3
Số mệnh đề đúng là A. 1. B. 2 . C. 3. D. 0 . Lời giải Chọn A p
+ Hàm số y = sin 2x có chu kì là 2 T = = p . Mệnh đề 2 sai. 2 æ p ö æ p + Hàm số ö y = 2sin 2x + + 3cos 3x - ç ÷ ç ÷ è 3 ø è 6 ø æ p p ö æ p có chu kì 2 2 2 ö T = BCNN ; = BCNN p ; = 2p . Mệnh đề 1 đúng. ç ÷ ç ÷ è 2 3 ø è 3 ø
+ Hàm số y = 2.sin 3x.cos x = sin 4x +sin 2x æ p p ö p
có chu kì T = BCNN ; = . Mệnh đề 3 sai. ç ÷ è 4 2 ø 2
Vậy có 1 mệnh đề đúng.
Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm ,
SA SB, SC, SD. Đường thẳng nào sau đây không song song với đường thẳng IJ ? A. CD . AB . C. EF . D. AD . B. Lời giải Chọn D
Dễ thấy IJ //A ,
B IJ //C , D IJ /EF.
Giả sử IJ//AD Þ 0o = (IJ, AD) = ( , AB ) AD , vô lí.
Do đó giả sử sai. Vậy IJ và AD không song song.
Câu 22: Dãy số nào trong các dãy số sau đây là dãy số bị chặn dưới? A. (u u n n * = - " Ε (u u n n * = - " Ε n ) , 1 n ) 2 , . B. . n n C. (u u n n * = - " Ε (u u n n * = - " Ε n ) , n ) , 2 . D. . n n Lời giải Chọn B Trang 34 Ta có: (u u n n * = - ³ " Ε n ) , 1 0
nên dãy số bị chặn dưới. n
Câu 23: Rút gọn biểu thức
sin a + sin 3a + sin 5a A = .
cos a + cos3a + cos5a
A. tan 3a .
B. 1- tan 3a .
C. sin 3a .
D. cos3a . Lời giải Chọn A
sin a + sin 3a + sin 5a
sin 5a + sin a + sin 3a 2sin 3 .
a cos 2a + sin 3a A = = =
cos a + cos3a + cos5a
cos5a + cos a + cos3a 2cos3 .
a cos 2a + cos3a
sin 3a (2cos 2a + ) 1 = = tan 3a .
cos3a (2cos 2a + ) 1
Câu 24: Nghiệm của phương trình sinx cosxcos2x = 0là A. kp . B. kp . C. kp . D. kp . 2 4 8 Lời giải Chọn B Ta có: kp
sinx cosx cos2x = 0 Û 1 sin2x cos 2x = 0 Û 1 sin4x = 0 Û 4x = kp Û x = (k Î!). 2 4 4 + a a Câu 25: Tính 1 5cos B = biết tan = 2. 3 - 2cosa 2 A. 20 . B. 2 . C. 10 - .D. -2 . 9 21 21 21 Lời giải Chọn C a a a Cách kháC. 1 1 2 2 1 3 1+ tan = Þ cos = . Ta có 2 cosa = 2cos -1 = 2. -1 = - . 2 a 2 2 5 cos 2 5 5 2 æ 3 ö 1+ 5. - ç ÷ Thay vào ta được è 5 ø 10 B = = - . æ 3 ö 21 3 - 2. - ç ÷ è 5 ø 2 a 1 t C2: Đặt 1 4 3 tan t cosa - = Þ = . Với t 2 cosa - - = Þ = = 2 2 1+ t 1+ 4 5 æ 3 - ö 1+ 5ç ÷ è ø - - Suy ra 5 2 10 B = = = . æ 3 - ö 21 21 3 - 2ç ÷ è 5 ø 5 Câu 26: Tính 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
S = sin 5 + sin 10 + sin 15 +...sin 8 + sin 85 19 17 A. 9. B. . C. 8 . D. . 2 2 Trang 35 Lời giải Chọn D 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
S = sin 5 + sin 10 + sin 15 +...sin 80 + sin 85 = ( 1 17 2 0 2 0 sin 5 + sin 85 ) + ( 2 0 2 0 sin 10 + sin 80 ) +...( 2 0 2 0 sin 15 + sin 75 ) 2 0 + sin 45 = 8 + = . 2 2
Câu 27: Cho tứ diện ABCD . M là một điểm bất kỳ nằm trên đoạn AC (khác , A C ). Mặt phẳng
(P) qua M và song song với các đường thẳng AB,CD . Thiết diện của (P) với tứ
diện đã cho là hình gì?
A. Hình thang. B. Hình vuông. C. Hình bình hành.
D. Hình chữ nhật. Lời giải Chọn C
Trong mp ( ABC), qua M kẻ đường thẳng song song với AB , cắt BC tại N .
Trong mp ( ACD), qua M kẻ đường thẳng song song với CD, cắt AD tại Q.
Trong mp (BCD), qua M kẻ đường thẳng song song với CD, cắt BD tại P .
Þ Thiết diện của (P) với tứ diện là tứ giác MNPQ. ìMQ / /NP ï (/ / CD) Mặt khác í
Þ MNPQ là hình bình hành. ïMN / /PQ î (/ / AB) p
Câu 28: Biết phương trình 3 cos x + sin x = 2 có nghiệm dương bé nhất là a , ( với a,b là b
các số nguyên dương và phân số a tối giản). Tính 2 a + a . b b
A. S = 65 .
B. S = 135 .
C. S = 75 . D. S = 85. Lời giải Chọn D 3 1 2 p p 2
Ta có: 3 cos x + sin x = 2 Û cos x + sin x =
Û sin .cos x + cos .sin x = 2 2 2 3 3 2 é p p + = + p æ p ö x k2 2 æ p ö p ê Û sin x + = Û sin x + = sin Û 3 4 ê (k Î!) ç ÷ è 3 ø 2 ç ÷ è 3 ø 4 p 3p êx + = + k2p êë 3 4 Trang 36 é p x = - + k2p ê Û 12 ê (k Î!). 5p êx = + k2p êë 12 p
Þ Nghiệm dương bé nhất của phương trình là 5 . 12
Þ a = 5; b = 12 Þ 2 a + ab = 85.
Câu 29: Cho tứ diện ABCD . Gọi I và J lần lượt là trọng tâm ABC D và ABD D . Chọn khẳng định đúng.
A. IJ cắt AB . B. IJ song song với CD .
C. IJ song song với AB .
D. IJ chéo nhau với CD . Lời giải Chọn B A E J I B D C
Gọi E là trung điểm AB . Vì EI EJ 1
I và J lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và ABD nên: = = . EC ED 3
Suy ra: IJ / /CD .
Câu 30: Cho tứ diện ABCD có I và J theo thứ tự là trung điểm của AD và AC , G là trọng tâm
tam giác BCD . Giao tuyến của hai mặt phẳng (GIJ )và (BCD)là đường thẳng
A. qua J và song song với BD . B. qua G và song song với CD .
C. qua G và song song với BC . D. qua I và song song với AB . Lời giải Chọn B Trang 37
+) I và J theo thứ tự là trung điểm của AD và AC nên IJ là đường trung bình của tam
giác ACD Þ IJ // CD , mà CD Ì (BCD) Þ IJ // (BCD). (1)
+) G là trọng tâm tam giác BCD nên G Î(BCD) Þ G là điểm chung của hai mặt phẳng
(GIJ )và (BCD).(2)
Từ (1) và (2) suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (GIJ )và (BCD)là đường thẳng đi
qua G và song song với CD .
Câu 31: Cho hình chóp S.ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA và BC , P là điểm trên cạnh AP 1 AB sao cho
= . Gọi Q là giao điểm của SC với mặt phẳng (MNP). AB 3 Tính SQ . SC 1 1 A. 1 . B. . C. . D. 2 . 6 3 2 3 Lời giải Chọn B
Tìm giao điểm Q của SC với mặt phẳng (MNP)
Chọn mặt phẳng phụ (SAC) chứa SC
Trong ( ABC) gọi H = AC Ç NP
Suy ra (MNP)Ç(SAC) = HM . Khi đó Q là giao điểm của HM và SC . Trang 38
Gọi L là trung điểm AC 1 AB HA AP 2 Ta có 3 = =
= (vì M , N là trung điểm của 1
AC và BC nên LN = AB ) HL LN 1 3 AB 2 2 2 Þ HA = HL 3 Mà 2 1
LC = AL = HL - HA = HL - HL = 3
HL nên HL = HC 3 3 4 Mặt khác ta có HC QC 4 =
= (vì ML / /SC ) HL ML 3 Mà QC SQ 2ML = 3 1 SC nên = Þ = . SC 2 SC 3
Câu 32: Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh đều bằng a . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ,
M là trung điểm của cạnh CD . Diện tích thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng
(AMG) (tính theo a) bằng 2 a 11 2 a 11 2 a 11 2 a 11 A. . B. . C. . D. . 2 32 16 8 Lời giải Chọn C
Gọi N là giao điểm của AG và BC thì N là trung điểm của BC .
Thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng ( AMG) là tam giác AMN . Ta có 3
AM = AN = a . 2 2 2 æ ö Þ D AMN cân tại a 3 æ a ö a 11 A có đường cao 2 2
AH = AM - HM = ç ÷ - = ç ÷ ç ÷ 2 è ø è 4 ø 4 2 1 1 a 11 a a 11 S = AH.MN = . . = (đvdt). AMN 2 2 4 2 16 Trang 39
Câu 33: Cho phương trình 2
(sin x +1).(sin 2x - msin x) = mcos x . Tìm tập hợp S tất cả các giá trị æ p
thực của tham số m để phương trình có nghiệm trên khoảng ö 0; . ç ÷ è 6 ø æ ö æ ö A. 3 æ 1 ö 3 S = ç 1; - B. S = (0 ) ;1 . C. S = 0; . D. S = ç0; . ÷ ç ÷ ÷ 2 è ø è 2 ø 2 è ø Lời giải Chọn D Ta có 2
(sin x +1).(sin 2x - msin x) = mcos x .
Û (sin x +1).(sin2x - msin x) = m(1- sin x).(1+ sin x). (1) æ p Với ö x Î 0;
Þ 1+ sin x ¹ 0, thì phương trình (1) tương đương: ç ÷ è 6 ø
sin 2x - msin x = m(1- sin x) . Û sin 2x = m . æ p ö æ ö æ ö Khi 3 3 x Î 0; Þ sin 2x Î ç ÷ ç0; ÷ Þ mÎç0; . ÷ è 6 ø 2 2 è ø è ø
Câu 34: Số nghiệm của phương trình 1 - 3 -1 cot x - 3 +1 = 0 é0;p ù 2 ( ) ( ) trên đoạn là: sin x ë û A. 1 . B. 2 . C. 3. D. 4 . Lời giải Chọn B Xét phương trình: 1
- 3 -1 cot x - 3 +1 = 0 1 2 ( ) ( ) ( ) sin x
ĐKXĐ: sin x ¹ 0 Û x ¹ kp;k Î!
Khi đó phương trình (1) trở thành: 1 cos x - 3 -1 . - 3 +1 = 0 2 ( ) ( ) sin x sin x
Û 1- ( 3 - )1.cos x.sin x -( 3 +1) 2 .sin x = 0 3 -1 - Û -
x - ( + ) 1 cos2x 1 .sin 2 3 1 . = 0 2 2 3 -1 3 +1 1- 3 Û .sin 2x - .cos2x = 2 2 2 6 - 2 6 + 2 6 - 2 Û .sin 2x - .cos2x = - (2) 4 4 4 Trang 40 ì 6 - 2 ïcosa = ï Đặt 4 í ï 6 + 2 sina = ïî 4 Khi đó PT(2) trở thành:
sin 2x.cosa - cos2x.sina = - cosa æ p ö æ p ö Û sin (2x -a ) = -sin -a = sin a - ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 ø é p 2x - = - + k2 é p a a p ê x = a - + kp 2 ê 4 Û ê Û ê ;k Î ! ê æ p ö ê 3p 2x -a = p - ê ça - + k2 ÷ p x = + kp ë è 2 ê ø ë 4 p p Xét: 3 3 3 1 x =
+ kp;k Î!. Vì x Îé0;p ù Þ 0 £
+ kp £ p Û - £ k £ 4 ë û 4 4 4 p mà 3
k Î! Þ k = 0 Þ x = 4 p p Xét 1 5
x = a - + kp;k Î!. Vì x Î é0;p ù Þ 0 £ a - + kp £ p Û - £ k £ 4 ë û 4 6 6 ì 6 - 2 p ïcosa = mà ï
k Î! Þ k = 0 Þ x = a - , Với 4 í 4 ï 6 + 2 sina = ïî 4
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm trên đoạn é0;p ù ë û u ì + u + u =13
Câu 35: Cho cấp số nhân (u 1 2 3 8 n ) thỏa mãn í
. Tổng số hạng đầu của cấp số nhân u - u = 26 î 4 1 (un)là
A. S = 3280.
B. S = 3820. C. S = .
9841 D. S =1093. 8 8 8 8 Lời giải Chọn A u ì + u + u =13 2 u
ìï +u .q +u .q =13 u ìï ( 2 1+ q + q = 13 1 ) Ta có 1 2 3 í 1 1 1 Û í Û í u - u = 26 î 3 ï - = 2 4 1 u .q u 26 î u
ï . q -1 1+ q + q = 26 1 ( ) î ( ) 1 1 u ìï ( 2 1+ q + q = 13 u ì =1 1 ) Û í 1 Û í . ïîq = 3 îq = 3 u ( 8 1- q ( 8 1 1- 3 ) 1 ) Vậy tổng S = = = 3280. 8 1- q 1- 3 Trang 41
II. Tự luận: (3.0đ)
Câu 36: Tìm nghiệm của phương trình co 2 s x - 2sin x = 3 - ? Lời giải +) Ta có 2
cos2x - 2sin x = 3
- Û 1- 2sin x - 2sin x = 3 - ésinx = 1 2
Û sin x + sin x - 2 = 0 Û ê ësinx = 2 - < 1 - (VN) p +) sinx = 1Û x = + 2 k , p kÎZ 2
Câu 37: Viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Tổng các số hạng
của cấp số nhân đó là Lời giải u ì =160 u Từ giả thiết ta có 1 1 6 í Þ q = 5 = . u = 5 u 2 î 6 1 6 æ 1 ö æ ö ç - ç ÷ ÷ u ( 160 1 6 1- q ç è 2 ÷ ø 1 )
Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân đó là: S è ø = = = 315 . 1- q 1 2
Câu 38: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD .
Một mặt phẳng (a )cắt các cạnh ,
SA SB, SC, SD tương ứng tại các điểm M , N, , P Q.
CMR MP, NQ, SOđồng quy Lời giải
Trong mặt phẳng (MNPQ) ta có MP Ç NQ = R.Dễ chứng minh (SAC)Ç(SBD) = SO ìR Î MP Ì ï (SAC) ìRÎ ï (SAC) Do í Þ í
=> I Î SO . Suy ra ba đường thẳng MP, NQ, SO ïR Î NQ Ì î (SBD) ïRÎ î (SBD)
đồng quy tại R
Câu 39: Cho hình lập phương ABC . D A¢B C ¢ D
¢ ¢ có cạnh bằng 2 . Cắt hình lập phương bằng một
mặt phẳng chứa đường chéo AC¢. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích thiết diện thu được. Lời giải Trang 42 B C A D A B' C' A' C' A' D' H
Gọi (H ) là thiết diện của hình lập phương và mặt phẳng (a ) chứa AC¢.
+ Trường hợp (H ) có một đỉnh thuộc cạnh BB¢ hoặc DD¢.
Giao tuyến của (a ) và ( A B ¢ C ¢ D
¢ ¢) là đường thẳng d , hình chiếu vuông góc của A¢ lên
d là điểm H . Khi đó góc giữa (a ) và ( A B ¢ C ¢ D ¢ ¢) là ∑ AHA .¢ ¢ ¢ Vì AA AA
A¢H ^ d nên A¢H £ A¢C¢ , do đó ∑ sina = ³ = sin AC A ¢ ¢, do đó AH AC¢ ∑ cosa £ cos A C ¢ A ¢
Hình chiếu vuông góc của hình (H ) lên ( A B ¢ C ¢ D
¢ ¢) là hình vuông A¢B C ¢ D ¢ ¢ , do đó diện tich hình ( S H ) : S = A¢B C ¢ D ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ S a Þ S = . ( ).cos A B C D H (H ) cosa
Diện tích thiết diện nhỏ nhất khi cosa lớn nhất, tức là ∑ 2 cosa = cos A C ¢ A ¢ = . Khi đó 3 4 3
diện tích cần tìm là S = = 2 6 . (H ) 2
+ Trường hợp (H ) có một đỉnh thuộc cạnh CD hoặc A¢B¢ , chọn mặt phẳng chiếu là ( S BCC B
¢ ¢), chứng minh tương tự ta cũng có BB C ¢ C S ¢ = , min S = 2 6 . (H ) cosa (H)
+ Trường hợp (H ) có một đỉnh thuộc cạnh BC hoặc A¢D¢ , chọn mặt phẳng chiếu là (BAA B
¢ ¢), chứng minh tương tự ta cũng có, min S = 2 6 . (H)
------------- HẾT ------------- Trang 43
ĐỀ ÔN TẬP GIỮA HỌC KỲ I
MÔN TOÁN 11-CÁNH DIỀU-ĐỀ 4
I. Trắc nghiệm: (7.0đ) 1
Câu 1: Cho cấp số nhân U U = 2 - q = . U n biết công bội Khi đó 5 bằng 1 2 1 1 A. - 1 . B. . C. - 1 . D. . 8 32 32 8 Lời giải Chọn A 4 æ 1 ö 1 Ta có 4 U = U q = 2. - = - 5 1 ç ÷ . è 2 ø 8
Câu 2: Nghiệm của phương trình 2cos x - 3 = 0 là p p
A. x = ± + kp ,(k Î!) |.
B. x = ± + kp ,(k Î!) |. 6 3 p p
C. x = ± + k2p ,(k Î!) |.
D. x = ± + k2p ,(k Î!) |. 6 3 Lời giải Chọn C p p Ta có 2cos x - 3 = 3 0 Û cos x =
Û cos x = cos Û x = ± + k2p ,(k Î!). 2 6 6
Câu 3: Biết 3 số 5;x;15theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của x bằng A. 10. B. 20. C. 30. D. 75. Lời giải Chọn A 5 + 15
5;x;15theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên x = = 10 . 2 u ì = 4 Câu 4: Cho dãy số 1 í
. Năm số hạng đầu của dãy số là u = u + n î n 1+ n
A. 4,5,7,10,14. B. 4,16,32,64,128.
C. 4,6,9,13,18. D. 4,5,6,7,8. Lời giải Chọn A Ta có.
u = u +1 = 5; u = u + 2 = 7; u = u + 3 =10; u = u + 4 =14. 2 1 3 2 4 3 5 4 Câu 5: Góc 0
18 có số đo bằng rađian là bao nhiêu? p p p A. p . B. . C. . D. . 18 10 360 Lời giải Trang 44 Chọn C p p 18° = .18 = 180 10
Câu 6: Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng đó A. Song song. B. Chéo nhau.
C. Trùng nhau. D. Hoặc song song hoặc trùng nhau. Lời giải Chọn D
Câu 7: Tập xác định của hàm số 1 y = là 1- cos x ì p A. ü
D = ! \ í- + k2p ,k Î"ý.
B. D = ! \{p + k2p,k Î } " . î 2 þ ìp C. ü
D = ! \ í + k2p ,k Î"ý.
D. D = ! \{k2p,k Î } " . î 2 þ Lời giải Chọn D
Hàm số xác định Û 1- cos x > 0 Û cos x < 1 Û cos x ¹ 1 Û x ¹ k2p. (vì cos x £ 1 với mọi x).
Vậy tập xác định của hàm số là: D = ! \{k2p,k Î } " . Câu 8: Giá trị 0 0
cos 45 + sin 45 bằng bao nhiêu? A. 2 . B. 0 . C. 3 . D. 1. Lời giải Chọn A Ta có 2 2 0 0 cos 45 + sin 45 = + = 2 2 2
Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình bình hành ABCD tâm O . Giao tuyến của
hai mặt phẳng (SAC ) và (SAD ) là A. SO . B. SD . C. SA . D. SB . Lời giải Chọn C
Ta có (SAC)« (SAD)= SA.
Câu 10: Cho cấp số nhân (u u = 2 u = 6 n ) có và
. Công bội của cấp số nhân đó bằng 1 2 A. 1 3. B. . C. 6 . D. 2 . 3 Lời giải Chọn A n 1 u u .q - =
Þ u = u .q Û 6 = 2.q Û q = 3. n 1 2 1 Vậy q = 3. Trang 45
Câu 11: Trong các công thức sau, công thức nào đúng?
A. cos(a – b) = cos . a cosb + sin . a sinb.
B. cos(a +b) = cos . a cosb + sin . a sinb .
C. sin(a – b) = sin . a cosb + cos . a sin b.
D. sin(a +b) = sin .
a cosb - cos.sin b. Lời giải Chọn A
Ta có cos(a – b) = cos . a cosb + sin . a sinb.
Câu 12: Cho cấp số cộng (u u =1, d = 4 u n ) có . Tìm số hạng . 1 12
A. u = 45.
B. u = 17.
C. u = 31.
D. u =13. 12 12 12 12 Lời giải Chọn A
Ta có: u = u +11d = 45. 12 1
Câu 13: Nghiệm của phương trình sin x = 1là p p p
A. - + kp ,k Î . !
B. + kp ,k Î .
! C. - + k2p ,k Î . ! D. 2 2 2
p +k2p,k Î .! 2 Lờigiải Chọn D p sin x = 1 Û x = + k2p ,k Î!. 2
Câu 14: Cho hàm số y = tan x. Tìm mệnh đề đúng?
A. Hàm số có tập giá trị là [ -1;1].
B. Hàm số y = tan x là hàm số lẻ.
C. Hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = 2p .
D. Hàm số có tập xác định
D = ! \{kp,k Î } " . Lời giải Chọn B p
Hàm số y = tan x có tập xác định là D = ! \{ + kp,k Î }
" , tuần hoàn với chu kỳ T = p 2
, có tập giá trị là ! và là hàm số lẻ.
Câu 15: Cho 3 đường thẳng d ,d ,d không cùng thuộc một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi. 1 2 3
Khẳng định nào sau đây đúng
A. Các khẳng định ở A, B, C đều sai.
B. 3 đường thẳng trên trùng nhau.
C. 3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác.
D. 3 đường thẳng trên đồng quy. Lời giải Chọn D
+) Hai đường thẳng cắt nhau sẽ xác định được một mặt phẳng. Trang 46 (
ì d , d = P 1 2 ) ( ) ï +) Giả sử (
í d , d = Q
(P),(Q),(R) 1 3 )
( ) . Khi đó 3 mặt phẳng
đôi một cắt nhau bởi 3 (
ï d ,d = R î 2 3 ) ( )
giao tuyến d ,d ,d phân biệt và 3 giao tuyến này hoặc song song hoặc đồng quy. 1 2 3
+) Theo đề bài d ,d ,d cắt nhau. 1 2 3
Suy ra d ,d ,d đồng quy. 1 2 3 p
Câu 16: Trên đường tròn bán kính r = 15 , độ dài của cung có số đo là. 3
A. l = 8p .
B. l = 5p .
C. l = 7p .
D. l = 16p . Lời giải Chọn B p p
Độ dài cung có số đo là l =15. = 5p . 3 3
Câu 17: Tìm khẳng định Sai: 1+ cos 2x x x A. 2 cos x = . B. 2 2 cos x = sin - cos . 2 2 2 C. 2
1+ cos 4x = 2cos 2x.
D. sin 2x = 2sin x cos x . Lời giải Chọn B x x
Áp dụng công thức nhân đôi, ta có 2 2 cos x = cos - sin
nên B là đáp án sai. 2 2
Câu 18: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A. 3 sin 2x - cos 2x = 2.
B. 3sin x - 4cos x = 5. p
C. 3 sin x - cos x = 3 - .
D. sin x = . 5 Lời giải Chọn C 2
Ta xét phương trình 3 sin x - cos x = 3 - có ( ) +(- )2 < (- )2 3 1 3 nên phương trình vô nghiệm
Câu 19: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trên hai mặt phẳng phân biệt. Gọi O và
O ' lần lượt là tâm hình bình hành ABCD và ABEF . Khẳng định nào dưới đây sai?
A. AE, BD đồng phẳng.
B. AB // CD // EF .
C. AE cắt (BCF) tại trung điểm đoạn AE .
D. OO'// ( ADF). Lời giải Chọn A Trang 47 F E O' A B O D C
+Đáp án A, đúng vì ABEF là hình bình hành nên AE, BF cắt nhau tại trung điểm mỗi
đường, nên AE cắt (BCF) tại trung điểm của AE .
+Đáp án B, đúng OO ' là đường trung bình của BD D
F nên OO'// DF Þ OO'// (BDF).
+Đáp án C, sai do DÏ( ABEF) Þ AE và BD là chéo nhau.
+Đáp án D, đúng vì ABCD và ABEF là hình bình hành (giả thiết) nên AB // CD và
AB // EF vì vậy AB // CD // EF .
Câu 20: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos 2x trên é p p đoạn ù - ;
. Tính giá trị biểu thức T = M - 2m . ê 3 6 ú ë û 5 A. T = . B. T =1+ 3
3 . C. T = .
D. T = 2 . 2 2 Lời giải Chọn D p p p p Ta có: - £ x £ 2 Û - £ 2x £ 1
Þ - £ cos 2x £1 Þ M = 1
1, m = - Þ T = 2. 3 6 3 3 2 2
Câu 21: Cho dãy số (u u = 2; - u = u + 3 n ³ 2 n ) xác định bởi với mọi
. Tìm số hạng tổng quát 1 n n 1 - của dãy số. A. u = 3 - n + . 1 B. u = 3
- n + 5. C. u = 3n - .
1 D. u = 3n - 5. n n n n Lời giải Chọn D Dễ thấy (u u = 2 - d = 3
n ) là một cấp số cộng với số hạng đầu và công sai . 1
Suy ra số hạng tổng quát u = u + n -1 d = 2
- + 3 n -1 = 3n -5 n 1 ( ) ( ) . Trang 48 a - a
Câu 22: Biến đổi thành tích biểu thức sin 7 sin 5 ta được sin 7a + sin 5a
A. cos 2a.sin 3a . B. cot 6a.tana . C. tan 5a.tana . D. cosa.sina . Lời giải Chọn B a - a a a Ta có sin 7 sin 5 2cos 6 .sin = = cot 6a.tana . sin 7a + sin 5a 2sin 6a.cosa
Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là một điểm thuộc đoạn
SB . Mặt phẳng ( ADM ) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là A. tam giác.
B. hình thang. C. hình chữ nhật.
D. hình bình hành. Lời giải Chọn B S M G A B D C
Do BC // AD nên mặt phẳng ( ADM )và (SBC) có giao tuyến là đường thẳng MG song song với BC
Thiết diện là hình thang AMGD .
Câu 24: Với mọi góc a , biểu thức p 2p 9 cos + cos( + ) + cos( + ) +...+ cos( p a a a a + ) nhận giá trị 5 5 5 bằng A. 1 B. 0 C. 10 D. 10 - Lời giải Chọn B
Có 10 số hạng, chia thành 5 cặp. Có 9p 4p 9p 4 + = + ( + ) Þ cos( + ) = - cos( p a p a a a + ) 5 5 5 5 Tương tự, 8p 3 cos( + ) = -cos( p a a + ) ; 7p 2 cos( + ) = -cos( p a a + ); 5 5 5 5 6 cos( p + ) = - cos( p a a + ); 5 cos( p a + ) = - cosa 5 5 5 Do đó, P = 0
Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi d là giao tuyến
của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng? Trang 49
A. Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng ABCD .
B. Đường thẳng d đi qua S và song song với AD và BC .
C. Đường thẳng d trùng với đường thẳng SO .
D. Đường thẳng d đi qua S và song song với AB và CD . Lời giải Chọn D ìS Î ï (SAB) Ta có: í
Þ S Î (SAB) Ç (SCD) ïS Î î (SCD) ìAB // DC ï
Vì íAB Ì (SAB) nên giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng đi qua S và ïDC Ì î (SCD)
song song với AB và CD .
Câu 26: Cho tứ diện ABCD . Gọi G và E lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và ABC .
Mệnh đề nào dưới đây đúng
A. GE cắt CD . B. GE và CD chéo nhau.
C. GE//CD .
D. GE cắt AD . Lời giải Chọn C Trang 50 Gọi MG ME 1
M là trung điểm của AB . Trong tam giác MCD có = = suy ra MD MC 3 GE//CD
Câu 27: Phương trình lượng giác 2cos x + 2 = 0có nghiệm là é 3 - p é p é 7p x = + k2p ê x = + k2p ê x = + k2p ê A. 4 ê . B. 4 ê . C. 4 ê . 3p ê p - 7 - p x = + k2p ê = + p ê = + p ê x k2 x k2 ë 4 êë 4 êë 4 é p x = + k2p ê D. 4 ê . 3p êx = + k2p êë 4 Lời giải Chọn A é 3 - p x = + k2p - 2 ê 4
2cos x + 2 = 0 Û cos x = Û ê (k Î!). 2 3p ê x = + k2p êë 4
Câu 28: Dãy số nào trong các dãy số sau đây là dãy số bị chặn? A. ( n u u = n n " Ε (u u = n " Ε n ) * , n ) 2 * , . B. . n n n +1 C. (u u = n + n " Ε (u u = n - n " Ε n ) * , n ) * , 1 . D. . n n Lời giải Chọn B Xét dãy ( n n u u = n " Î • *
0 < n < n +1; n " Ε * Þ 0 < <1; n " Î • n ) * , ; . Ta có nên n n +1 n +1 *
0 < u < 1; n " Î • . n
Suy ra dãy số (un )bị chặn. Xét dãy (u u = n + n " Ε *
u = n +1 ³ 2; n " Î • (un) n ) * , 1; ta có nên dãy số bị chặn dưới. n n Xét dãy (u u = -n n " Ε *
u = -n £ -1; n " Î • (un) n ) * , ; ta có nên dãy số bị chặn trên. n n Xét dãy (u u = n n " Ε 2 *
u = n ³ 1; n " Î • (un) n ) 2 * , ; ta có nên dãy số bị chặn dưới. n n
Câu 29: Đơn giản biểu thức 1 3 C = + . o o sin10 cos10 A. o 8sin 20 . B. o 8cos 20 . C. o 4cos 20 . D. o 4sin 20 . Lời giải Chọn B Trang 51 1 o 3 o o o cos10 + sin10 o 1 3 cos10 + 3 sin10 4sin 40 2 2 o C = + = = = = 8cos 20 . o o o o o o o sin10 cos10 sin10 cos10 2sin10 cos10 sin 20 4
Câu 30: Hàm số y = 2sin 2x tuần hoàn với chu kì là p A. 4p . B. . C. p . D. 2p . 2 Lời giải Chọn C Nhận xét: Hàm số 2p
y = sin(ax +b),a ¹ 0 tuần hoàn với chu kì . a
Câu 31: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Thiết
diện tạo bởi tứ diện đều ABCD và mặt phẳng (GCD) có diện tích bằng 2 2 2 2 A. a 3 . B. a 2 . C. a 3 . D. a 2 . 4 6 2 4 Lời giải Chọn D D H A C F G B
Gọi F là trung điểm của AB , thiết diện tạo bởi tứ diện đều ABCD và mặt phẳng
(GCD) là tam giác DFC . 2 a 3 2 æ a 3 ö a a DF = FC = 2 2
Þ FH = DF - DH = ç ÷ - = . 2 ç 2 ÷ 4 2 è ø 2
Diện tích thiết diện là 1 a 2 S = FH.DC = . DCF 2 4 æ p ö æ p
Câu 32: Số nghiệm của phương trình ö 5 cos 2 x + + 4cos
- x = thuộc [0;2p ] là ç ÷ ç ÷ è 3 ø è 6 ø 2 A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3. Lời giải Chọn C p Đặt t = x + 3 Trang 52 Phương trình trở thành æ p ö 5 5 3 2 2 cos 2t + 4cos
- t = Û 1- 2sin t + 4sin t = Û 2
- sin t + 4sin t - = 0 ç ÷ è 2 ø 2 2 2 é 3 sin t = (VN ) ê 2 Û ê 1 êsint = êë 2 é p p é p - x + = + k2p x = + k2p æ p ê ê Với 1 ö 1 sin t = ta có 3 6 6 sin x + = Û ç ÷ ê Û ê , 2 è 3 ø 2 p 5p ê p x k2p ê + = + x = + k2p êë 3 6 êë 2 p p Vậy trong đoạn [ 11
0;2p ] phương trình có 2 nghiệm x = ; x = . 2 6 a
Câu 33: Giả sử sin , cosa , tana theo thứ tự đó là một cấp số nhân. Tính cos 2a . 6 A. 3 - . B. 1 . C. 1 3 - . D. . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C p
Điều kiện: cosa ¹ 0 Û a ¹ + kp (k Î!). 2 a 2 a
Theo tính chất của cấp số nhân, ta có: sin sin 2 cos a = .tana 2 Û 6cos a = . 6 cosa 3 2 Û 6cos a -sin a = 0 3 2 Û 6cos a + cos a -1 = 0 1 Û cosa = . 2 2 1 1 Ta có: 2 cos 2a 2 cos a æ ö = -1 = 2. -1 = - ç ÷ . è 2 ø 2
Câu 34: Tìm điều kiện của m để pt cos2x - (2m - )
1 cos x - m +1 = 0có đúng 2 nghiệm é p - p ù x Î ; . ê 2 2 ú ë û A. 1 - £ m £ 1. B. 1
- £ m £ 0. C. 0 £ m < 1.
D. 0 £ m £ 1 . Lời giải Chọn C cos2x - (2m - )
1 cos x - m +1 = 0 2
Û 2cos x - (2m - )
1 cos x - m = 0. é p - p Đặt ù
cos x = t ta được pt: 2 2t - (2m - )
1 t - m = 0(2), x Î ; Þ t Î[0; ] 1 . ê 2 2 ú ë û - Pt (2) luôn có 2 nghiệm 1 t = ;t = m 2 é p - p
Khi đó pt ban đầu có đúng 2 nghiệm ù x Î ;
thì pt (2) có đúng 1 nghiệm t Î[0 ) ;1 ê 2 2 ú ë û Trang 53 Þ mÎ[0 ) ;1
Câu 35: Cho hình chóp S.ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA và BC , P là điểm trên cạnh AP 1 AB sao cho
= . Gọi Q là giao điểm của SC với mặt phẳng (MNP). AB 3 Tính SQ . SC 1 1 A. 1 . B. . C. . D. 2 . 6 3 2 3 Lời giải Chọn B
Tìm giao điểm Q của SC với mặt phẳng (MNP)
Chọn mặt phẳng phụ (SAC) chứa SC
Trong ( ABC) gọi H = AC Ç NP
Suy ra (MNP)Ç(SAC) = HM . Khi đó Q là giao điểm của HM và SC .
Gọi L là trung điểm AC 1 AB HA AP 2 Ta có 3 = =
= (vì M , N là trung điểm của 1
AC và BC nên LN = AB ) HL LN 1 3 AB 2 2 2 Þ HA = HL 3 Mà 2 1
LC = AL = HL - HA = HL - HL = 3
HL nên HL = HC 3 3 4 Mặt khác ta có HC QC 4 =
= (vì ML / /SC ) HL ML 3 Mà QC SQ 2ML = 3 1 SC nên = Þ = . SC 2 SC 3 Trang 54
II. Tự luận: (3.0đ)
Câu 36: Giải phương trình 8.cos 2 . x sin 2 . x cos 4x = - 2 Lời giải Chọn C 8.cos 2 . x sin 2 .
x cos 4x = - 2 Û 4.sin 4 .
x cos 4x = - 2 Û 2.sin 8x = - 2 é p é p p 8x = - + k2p x = - + k ê ê 2 4 32 4 Û sin8x = - Û ê (k Î !) Û ê (k Î !) 2 5p 5p p 8 ê x = + k2p êx = + k êë 4 êë 32 4
Câu 37: Xen giữa số 3 và số 768 là 7 số để được một cấp số nhân có u = . K 3 hi đó u là: 1 5 Lời giải
Ta có u = 3 và u = 768 nên 8 768 = 3.q 8
Þ q = 256 Þ q = 2 ± . 1 9 Do đó 4 4
u = u .q = 3.2 = 48. 5 1
Câu 38: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn là .
AB M là trung điểm .
CD Mặt phẳng (a ) qua M song song với BC và .
SA (a ) cắt AB,SB lần lượt tại N và .
P Nói gì về thiết diện của mặt phẳng (a ) với khối chóp S.ABCD ? Lời giải
Trong mặt phẳng ( ABCD), qua M kẻ đường thẳng MN ! BC(N ÎBC). Khi đó, MN Ì (a ).
Trong mặt phẳng (SAB), qua N kẻ đường thẳng NP ! SA(PÎSB). Khi đó, NP Ì (a ). Vậy (a ) º (MNP).
Xét hai mặt phẳng (MNP) và (SBC) có Trang 55 ìMN Ì (MNP) ï ïBC Ì (SBC ) í
Þhai mặt phẳng cắt nhau theo một giao tuyến đi qua điểm P MN // BC ï
ïPÎ(MNP),PÎ î (SBC)
và song song với BC.
Trong mặt phẳng (SBC) kẻ PQ ! BC(QÎSC). Khi đó, PQ là giao tuyến của mặt
phẳng (a ) với mặt phẳng (SBC). Vậy mặt phẳng (a ) cắt khối chóp S.ABCD theo
thiết diện là tứ giác MNP . Q ìMN // BC Tứ giác MNBC có í
Þ MNBC là hình bình hành. Từ đó suy ra MN = BC. îMC // NB
Trong tam giác SBC có P thuộc đoạn SB , Q thuộc đoạn SC và PQ ! BC nên PQ < BC. ìMN // PQ Tứ giác MNPQ có í
Þ MNPQ là hình thang có đáy lớn là MN. îPQ < MN
Câu 39: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O . Hai điểm M , N lần lượt nằm
trên các đoạn SO, SD sao cho SM SN m * = = , , m n Î • , ( ,
m n) =1. Điểm E là trung SO SD n
điểm của BC . Biết thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(MNE) đi qua trung điểm cạnh
SA . Giá trị m + n bằng Lời giải
Ta có MN // OD nên mặt phẳng (MNE) cắt mặt phẳng ( ABCD) theo giao tuyến đi qua
E và song song với DO , cắt AC tại K .
Vì E là trung điểm của BC nên K là trung điểm của OC .
Gọi G = MK Ç SA thì G = SAÇ(MNE). Theo giả thiết thì G là trung điểm SA.
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SAO ta có: MS KO GA MS 1 MS m SM . . =1Þ . .1 =1Þ = 3 3. Từ đó suy ra = = . MO KA GS MO 3 MO n SO 4
Vậy m + n = 7 . Trang 56
ĐỀ ÔN TẬP GIỮA HỌC KỲ I
MÔN TOÁN 11-CÁNH DIỀU-ĐỀ 5
I. Trắc nghiệm: (7.0đ)
Câu 1: Cung có số đo 5π rad đổi sang đơn vị độ bằng 3 A. 270 . ° B. 600°. C. 300° . D. 5° . Lời giải Chọn C 5π 5.180° rad = = 300 . ° 3 3
Câu 2: Chọn khẳng định sai.
A. Qua một đường thẳng và một điểm nằm ngoài đường thẳng xác định được một và chỉ một mặt phẳng.
B. Qua ba điểm phân biệt xác định được một và chỉ một mặt phẳng.
C. Qua hai đường thẳng phân biệt cắt nhau xác định được một và chỉ một mặt phẳng.
D. Qua hai đường thẳng song song xác định được một và chỉ một mặt phẳng. Lời giải Chọn B
Ba điểm đó phải là ba điểm không thẳng hàng.
Câu 3: Biết 3 số 5;x;15theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của x bằng A. 20. B. 30. C. 75. D. 10. Lời giải Chọn D 5 + 15
5;x;15theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên x = = 10 . 2
Câu 4: Mệnh đề nào sau đây sai? A. 2 2
cos 2a = cos a - sin a. B. 2
cos 2a = 2cos a -1. C. 2
cos 2a =1- 2sin a .
D. cos 2a = 2sin a cos a Lời giải Chọn D
Câu 5: Trên một đường tròn có bán kính R = 30 cm. Ta lấy một cung có độ đài bằng 8 cm. Số đo
tính theo radian của cung đó là A. 4 . B. 4 . C. 10 . D. 4 . 30 15 3 9 Lời giải Chọn B Ta có l 8 4 l = a R Þ a = = = . R 30 15
Câu 6: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
A. y = cos 2x.
B. y = tan 4x . C. y = cot x.
D. y = sin 3x . Lời giải Trang 57 Chọn A
Hàm số y = cos 2x có tập xác định D = ! .
Với mọi x Î D ta có -x Î D và cos( 2
- x) = cos(2x) nên hàm số y = cos2x là hàm số chẵn.
Câu 7: Cho cấp số nhân (u u =3 u =12 n ) với và
. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng 1 2 A. 4. B. 3. C. 9. D. 1 . 4 Lời giải Chọn A Ta có: u 12 2
u = u .q Þ q = = = 4. 2 1 u 3 1 3 æ p ö Câu 8: Cho sina =
< a < p . giá trị của cosa bằng ç ÷ 5 è 2 ø A. 2 4
cosa = - . B. cosa = . 5 5 C. 2 4 cosa = . D. cosa = - . 5 5 Lời giải Chọn D Ta có: 9 16 2 2 2 2
sin a + cos a = 1Þ cos a = 1- sin a =1- = . 25 25 p Mà 4 < a < p Þ cosa = - . 2 5
Câu 9: Nếu một đường thẳng d song song với mặt phẳng (a ) và đường thẳng d ' chứa trong
mặt phẳng (a ) thì d và d ' sẽ A. song song. B. cắt nhau. C. chéo nhau.
D. song song hoặc chéo nhau. Lời giải Chọn D
Câu 10: Với k Î! , họ nghiệm của phương trình cos x = 0 là p p
A. + k2p .
B. + kp . C. kp . D. k2p . 2 2 Lời giải Chọn B p
Ta có: cos x = 0 Û x = + kp , k Î!. 2
Câu 11: Trong các công thức sau, công thức nào đúng? Trang 58 + A. a b
tan(a +b) = tan a + tanb. B. (a -b) tan tan tan = . 1- tan a tan b + C. a b
tan(a – b) = tan a - tanb. D. (a +b) tan tan tan = . 1- tan a tan b Lời giải Chọn D + Ta có
(a +b) tan a tanb tan = . 1- tan a tan b *
Câu 12: Cho dãy số ( u = 3; u = u + , n " n Î • u + u + u u 1 n 1 + n 1 2 3 n ) xác định bởi . Giá trị bằng A. 15 . B. 16 . C. 18 . D. 13. Lời giải Chọn D Ta có u = 3; 1
u = u +1 = 3+1 = 4; 2 1
u = u + 2 = 4 + 2 = 6 . 3 2
Suy ra u + u + u = 3+ 4 + 6 =13. 1 2 3
Câu 13: Cho bốn điểm ,
A B,C, D không đồng phẳng. Gọi I, K lần lượt là trung điểm hai đoạn
thẳng AD và BC . IK là giao tuyến của cặp mặt phẳng nào sau đây?
A. (IBC) và (KBD).
B. (IBC) và (KCD).
C. (IBC) và (KAD).
D. ( ABI ) và (KAD). Lời giải Chọn C ìI Î AD Ì ï (KAD) í
Þ I là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD). ïI Î î (IBC) ìK Î BC Ì ï (IBC) í
Þ K là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD). ïK Î î (KAD)
Vậy (IBC)Ç(KAD) = IK . Trang 59
Câu 14: Cho cấp số nhân (u u = 40 u =160 n ) có và
. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số 4 6 nhân (un ) . u ì = 5 - u ì = 140 - u ì = 5 - u ì = 2 - A. 1 í . B. 1 í . C. 1 í . D. 1 í . îq = 2 îq = 60 îq = 2 - îq = 5 - Lời giải Chọn C ì 160 2 q = = 4 3 u ì = 40 u ìï .q = 40 ïï 40 u ì = 5 u ì = 5 - Ta có 4 1 1 1 í Û í Û í Û í Ú í . 5 u = 160 î ï = 40 u .q 160 î ï îq = 2 îq = 2 - 6 1 u = 1 3 ïî q
Câu 15: Cho cấp số cộng (u u = 4, u =10. n ) thỏa mãn
Công sai của cấp số cộng bằng 1 3 A. 6. - B. 3. C. 3. - D. 6. Lời giải Chọn B
Gọi d là công sai của cấp số cộng (un ). u ì = 4 u ì = 4
Ta có u = 4, u =10suy ra 1 1 í Û í . 1 3 u + 2d =10 î îd = 3 1
Vậy công sai của cấp số cộng (u d = 3. n ) là
Câu 16: Tập nghiệm của phương trình sin 2x = sin x là ì p k2p A. ü S = ík2p; + k Î!ý. î 3 3 þ ì p B. ü
S = ík2p;- + k2p k Î!ý. î 3 þ
C. S = {k2p;p + k2p k Î! . } ì p D. ü
S = ík2p; + k2p k Î!ý. î 3 þ Lời giải Chọn A Ta có: é é = p Î
2x = x + k2p , k ÎZ
x k2 , k Z
sin 2x = sin x Û ê Û p k2p . ê
ë2x = p - x + k2p , k ÎZ êx = + , k Î Z ë 3 3 1
Câu 17: Tìm tập xác định D của hàm số y = . 1- sin x Trang 60 ìp ìp A. ü ü
D = ! \ í + kp ,k Î"ý .
B. D = ! \ í + k2p ,k Î"ý. î 2 þ î 2 þ
C. D = Æ .
D. D = ! \{kp,k Î } " . Lời giải Chọn B p
Điều kiện xác định của hàm số là: 1- sin x > 0 Þ sin x <1 Þ sin x ¹ 1 Þ x ¹ + k2p . 2 ìp Vậy, ü
D = ! \ í + k2p ,k Î"ý. î 2 þ
Câu 18: Nghiệm của phương trình 3 tan 3x -3 = 0là p p p p p p p p A. k k k k x = + . B. x = + . C. x = + . D. x = + . 9 3 3 9 9 9 3 3 Lời giải Chọn A p p p Ta có: k
3 tan 3x - 3 = 0 Û tan 3x = 3 Û 3x = + kp Û x = + với k Î! . 3 9 3
Câu 19: Cho t diện ABCD . Gọi N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh BD và AD ; M là
điểm thuộc đoạn BC sao cho MC = 2MB . Kết luận nào sau đây đúng nhất về thiết
diện của mặt phẳng (MNP) với hình chóp ABCD ?
A. Thiết diện là ngũ giác.
B. Thiết diện là hình bình hành.
C. Thiết diện là hình thang.
D. Thiết diện là t giác. Lời giải Chọn C A E Q P B D N M C
Gọi E = MN ÇCD Þ (MNP)Ç( ACD) = PE .
Trong mặt phẳng ( ACD) gọi Q = PE Ç AC . Khi đó thiết diện của mặt phẳng (MNP)
với hình chóp ABCD là t giác MNPQ. Trang 61
ìMQ = (MNP) Ç( ABC) ï Ta có íNP//AB Þ MQ//NP .
ïNP Ì (MNP), AB Ì î (ABC)
Do đó tứ giác MNPQ là hình thang.
Câu 20: Cho tứ diện ABCD , G là trọng tâm tứ diện. Gọi G là giao điểm của AG và mp(BCD) 1
, G là giao điểm của BG và mp ( ACD). Khẳng định nào sau đây là đúng? 2
A. G G // AB .
B. G G // AC . C. G G // CD . D. G G // AD. 1 2 1 2 1 2 1 2 Lời giải Chọn A A N G G2 B D G1 M C
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của DC , AC . Vì G là trọng tâm tứ diện nên G là
giao điểm của ba đoạn thẳng nối hai trung điểm của cặp cạnh đối của tứ diện như hình vẽ trên.
Xét ( ABM ): AG Ç BM = G , BG Ç AM = G . Trong DACD có AM và DN là đường 1 2 G M 1
trung tuyến nên G là trọng tâm của tam giác do đó 2 = . Tương tự ta cũng có 2 G A 2 2 G M 1 1
= suy ra G G // AB. G B 2 1 2 1
Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình thang ( AD//BC). Gọi O là giao điểm AC
và BD , I là giao điểm AB và CD . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. SB và AD cắt nhau.
B. (SAD)Ç(SBC) = Sx với Sx//AD .
C. (SAB)Ç(SCD) = SI .
D. (SAC)Ç(SBD) = SO. Lời giải Chọn A Trang 62 S A D O B C I ì AD//BC Ta có: í
Þ AD// SBC và AD , SB không cùng nằm trong một mặt phẳng AD Ì î (SBC) ( )
Þ AD và SB không có điểm chung (chéo nhau).
Câu 22: Trong không gian cho tứ diện ABCD . Gọi M là trung điểm của AB , N đối xứng với B qua D .
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
(I) Hai đường thẳng MC và BD cắt nhau.
(II) Hai đường thẳng MN và AD cắt nhau.
(III) Hai đường thẳng MD và BC cắt nhau.
(II) Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau. A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn B Trang 63 A M K N D B C
Trong mặt phẳng ( ABD)hai đường thẳng MN và AD cắt nhau tại K . Các cặp đường
thẳng còn lại đều chéo nhau.
Câu 23: Cho cấp số cộng (u S n S = 77 n ) và gọi
là tổng số hạng đầu tiên của nó. Biết và n 7
S =192 . Tìm số hạng tổng quát u của cấp số cộng đó 12 n
A. u = 4 + 5n.
B. u = 5 + 4n. C. u = 3+ 2n . D. u = 2 + 3n . n n n n Lời giải Chọn C
Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu là u và công sai d . 1 ì 7.6.d 7u + = 77 ì = ï 1 S 77 ï ì7u + 21d = 77 u ì = 5 Ta có: 7 2 1 1 í Û í Û í Û í . S = 192 12.11.d 12u + 66d =192 î ï î îd = 2 12 1 12u + =192 1 ïî 2
Khi đó: u = u + n -1 d = 5+ 2 n -1 = 3+ 2n n 1 ( ) ( ) .
Câu 24: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y =1-3 sin 2x . Tính giá trị của 3 3 M + m A. 3 3
M + m = 9. B. 3 3
M + m = 7. C. 3 3 M + m = 1 - . D. 3 3 M + m = 7 - . Lời giải Chọn D Với mọi x Î ! ta có: 0 £ sin 2x £1 Û 3 - £ 3 - sin 2x £ 0 Û 2 - £1-3 sin 2x £1Û 2 - £ y £1. ìM =1 Suy ra: 3 3 í Þ M + m = 7 - . îm = 2 - p p
Câu 25: Giá trị của biểu thức 2 2 A = tan + cot bằng 24 24 12 - 2 3 12 + 2 3 12 + 2 3 12 - 2 3 A. . B. . C. . D. . 2 + 3 2 - 3 2 + 3 2 - 3 Lời giải: Chọn A p p 1 1 2 2 A = tan + cot = -1+ -1 24 24 p p 2 2 cos sin 24 24 Trang 64 1 12 - 2 3 = - 4 2 = - 8 2 = - 2 = . p p p p 2 2 cos .sin 2 sin 1- cos 2 + 3 24 24 12 6
Câu 26: Chu kỳ của hàm số 2
y = tan 3x - cos 2x là p p A. . B. . C. p . D. 2p . 3 2 Lời giải Chọn C 1+ cos 4x 1 1 2
y = tan 3x - cos 2x = tan 3x -
= tan 3x - cos 4x - 2 2 2 p
Hàm số y = tan 3x tuần hoàn với chu kì . 3 p p Hàm số 1 y = 2
cos 4x tuần hoàn với chu kì = . 2 4 2 Suy ra hàm số 1 1
y = tan 3x - cos 4x - tuần hoàn với chu kì p . 2 2
Câu 27: Cho A , B , C là ba góc của một tam giác. Hệ thức nào sao đây đúng? æ A + B + A. 3C ö sin = sin C .
B. cos( A+ B) = cosC. ç ÷ è 2 ø
C. sin( A+ B + 2C) = sinC .
D. sin( A+ B + 2C) = -sinC. Lời giải Chọn D
Ta có A + B + C = 180° Û A + B + 2C = 180° + C
Û sin(A+ B + 2C) = sin(180°+C) Û sin(A+ B + 2C) = -sinC. p
Câu 28: Cho dãy số ( n u u = sin n ³ 1 n ) xác định bỏi , với
. Khẳng định nào sau đây đúng? n 3 A. Dãy số ( 1 u 2 u =
n ) là dãy số giảm.
B. Số hạng thứ của dãy số là . 2 2 C. Dãy số (u (un)
n ) bị chặn. D. Dãy số là dãy số tăng. Lời giải Chọn C Vì np 1 - £ sin
£1 nên dãy (un ) bị chặn. 3
Câu 29: Tìm họ nghiệm của phương trình x x 3 sin - cos = 2. 2 2 p p A. 2 2 x =
+ k2p , k Î!. B. x =
+ k4p , k Î!. 3 3 Trang 65 p p C. 4 4 x =
+ k2p , k Î! D. x =
+ k4p , k Î!. 3 3 Lời giải Chọn B Ta có: x x æ x p ö x p p 2p 3 sin - cos = 2 Û sin -
=1 Û - = + k2p Û x =
+ k4p ,k Î! ç ÷ 2 2 è 2 6 ø 2 6 2 3
Câu 30: Giá trị của biểu thức cos5x + cos3x 1 I =
, biết tan x = là sin 5x - sin 3x 3 A. 1 1 I = 3 . B. I = 3 - . C. I = . D. I = - . 3 3 Lời giải Chọn C Ta có 2cos 4x cos x 1 I = = cot x = = 3. 2cos 4xsin x tan x
Câu 31: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi G là trọng tâm tam giác ABCắt tứ diện bởi mặt
phẳng (GCD) được thiết diện có diện tích là: 2 a 2 2 a 2 2 a 3 2 a 2 A. B. C. D. 6 4 4 2 Lời giải Chọn B
Gọi M là trung điểm của AB . Khi đó thiết diện cắt bởi (GCD) là tam giác CDM . Ta a có CD D 3
M cân tại M và MD = MC = ;CD = a 2 2 2 æ ö 2 2.a
Gọi N là trung điểm CD, tính được 3a æ a ö a 2 MN = ç ÷ - = Vậy S = ç ÷ ç ÷ 2 CD D M è ø è 2 ø 2 4 Trang 66
Câu 32: Với giá trị nào của m để phương trình: 2 msin x - 3sin .
x cos x - m -1 = 0 có đúng 3 æ 3p nghiệm ö x Î 0; . ç ÷ è 2 ø A. m ³ 1. - B. m < 1. - C. m £ 1. - D. m > 1. - Lời giải Chọn B p p p p
Với x = phương trình trở thành: 2 msin
- 3sin .cos - m -1 = 0 Û m - m -1 = 0 2 2 2 2 Û 1 - = 0 (vô lý) p
Do đó x = không phải là nghiệm của phương trình 2 p
Với x ¹ Chia 2 vế cho 2 cos x ta được 2 2 m x - x - m ( 2 + x)- ( 2 + x) 2 tan 3tan . 1 tan 1 1 tan
= 0 Û tan x +3tan x + m+1= 0
Đặt t = tan x .Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để phương trình 2
t + 3t + m +1 = 0 có 2
nghiệm trái dấu Û m +1 < 0 Û m < 1 -
Câu 33: Cho hình chóp S.ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA và BC , P là điểm trên cạnh AP 1 AB sao cho
= . Gọi Q là giao điểm của SC với mặt phẳng (MNP). AB 3 Tính SQ . SC 1 1 A. 2 . B. 1 . C. . D. . 3 6 3 2 Lời giải Chọn C
Tìm giao điểm Q của SC với mặt phẳng (MNP)
Chọn mặt phẳng phụ (SAC) chứa SC
Trong ( ABC) gọi H = AC Ç NP Trang 67
Suy ra (MNP)Ç(SAC) = HM . Khi đó Q là giao điểm của HM và SC .
Gọi L là trung điểm AC 1 AB HA AP 2 Ta có 3 = =
= (vì M , N là trung điểm của 1
AC và BC nên LN = AB ) HL LN 1 3 AB 2 2 2 Þ HA = HL 3 Mà 2 1
LC = AL = HL - HA = HL - HL = 3
HL nên HL = HC 3 3 4 Mặt khác ta có HC QC 4 =
= (vì ML / /SC ) HL ML 3 Mà QC SQ 2ML = 3 1 SC nên = Þ = . SC 2 SC 3 æ p æ p
Câu 34: Phương trình x 2 2 ö ö 4cos
- 3 cos 2x =1+ 2cos x -
có bao nhiêu nghiệm thuộc 0; ? ç ÷ ç ÷ 2 è 4 ø è 2 ø A. 2 . B. 3 . C. 0 . D. 1. Lời giải Chọn A x æ p 1+ cos x æ p Ta có 2 2 ö ö 4cos
- 3 cos 2x =1+ 2cos x - ç ÷ Û 4.
- 3 cos 2x =1+1+ cos 2x - ç ÷ 2 è 4 ø 2 è 2 ø
Û 2 + 2cos x - 3 cos2x = 2 +sin 2x Û sin 2x + 3 cos2x = 2cos x p p æ p Û ö sin 2x sin
+ cos 2x cos = cos x Û cos 2x - = cos x ç ÷ 6 6 è 6 ø é p é p 2x - = x + k2p x = + k2p ê 6 ê 6 Û ê Û ê (k Î!) p p 2p ê2x x k2p ê - = - + x = x + k êë 6 êë 18 3 æ p p p Trong khoảng ö 0;
, phương trình có các nghiệm x = , x = . ç ÷ è 2 ø 6 18
Câu 35: Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại phân đôi một lần. Giả
sử 1 tế bào E. Coli khối lượng khoảng 15
15.10- g. Hỏi sau 2 ngày khối lượng do 1 tế
bào vi khuẩn sinh ra là bao nhiêu? (chọn đáp án chính xác nhất). A. 26
3,35.10 (kg). B. 29 3,36.10 (g). C. 26 2,25.10 (kg). D. 29 2,34.10 (g). Lời giải Chọn D Một tế bào E. Coli Sau 20 phút thành: 1 2 = 2 tế bào. Sau 40 = 2.20 phút thành: 2 4 = 2 tế bào. Sau 60 = 3.20 phút thành: 3 8 = 2 tế bào. Trang 68
………………………………………………………….
Sau 2 ngày = 144.20 phút thành 144 2 tế bào.
Vậy sau 2 ngày khối lượng do 1 tế bào vi khuẩn sinh ra là: 144 15 - 29 = (g) 26 2 .15.10 3,34511178.10 » 3,35.10 (kg).
II. Tự luận: (3.0đ)
Câu 36: Phương trình cos 2x + 4sin x + 5 = 0 có bao nhiêu nghiệm trên khoảng (0;10p )? Lời giải ésin x = 1 - p PT đã cho 2 Û 2
- sin x + 4sin x + 6 = 0 Û
Û x = - + k2p ,(k Î!). êsin x = 3 ë ( ptvn) 2 p
Theo đề: xÎ(0;10p ) Þ 0 < - + k2p <10p 1 21 Û < k < . 2 4 4
Vì k Î! nên k Î{1;2;3;4; }
5 . Vậy PT đã cho có 5 nghiệm trên khoảng (0;10p ). u ì = 4u
Câu 37: Cho cấp số nhân (u 15 n ) 5 3 : í
, với công bội dương. Tính tổng số hạng đầu u + u = 102 î 2 6
tiên của cấp số nhân trên. Lời giải 15 ( u ì = u 1- 2 u í Þ q = = Þ S = u = 98301 n ) 4 5 3 : 2, u 3 1 u + u =102 î 15 1 1- 2 2 6
Câu 38: Cho hình lập phương ABC . D A¢B C ¢ D
¢ ¢ có cạnh là 2 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm
của BC và CD . Tính diện tích thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng (A M ¢ N ). Lời giải A' D' C' B' P A F D Q N H B M C E
Gọi E = MN Ç AB , F = MN Ç AD , Q = A E
¢ Ç BB¢, P = A¢F Ç DD¢ .
Từ đó suy ra thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng ( A M ¢ N ) là ngũ giác A¢PNMQ .
Vì M , N lần lượt là trung điểm của BC và CD nên suy ra BE = CN = 1, DF = CM = 1
. Từ đó suy ra AE = AF = 3 Þ EF = 3 2 . Trang 69 Ta có 2 2 2 2 A E ¢ = A A
¢ + AE = 2 +3 = 13, tương tự A F
¢ = 13 . Do đó tam giác A¢EF là tam giác cân. 2 æ ö 34
Gọi H là trung điểm EF , ta có 2 2 2 3 2
A¢H = A¢E - EH = 13 - ç ÷ = . ç 2 ÷ è ø 2 Diện tích tam giác 1 34 A¢ 1
EF là: S = EF.A H ¢ = 3 17 .3 2. = . 2 2 2 2 Ta thấy EQ D M = FPN D . Từ EQ EM EB 1 = = = suy ra 1 1 1 S = . .S = 1 S Þ S = S . EA¢ EF EA 3 EQM 3 3 9 FPN 9
Vậy, diện tích thiết diện A¢PNMQ là S = - - 1 1 ¢ S S S = S - S - 7 S = S . A PNMQ EQM FPN 9 9 9 Hay 7 3 17 7 17 S = = ¢ . . A PNMQ 9 2 6
------------- HẾT ------------- Trang 70