Top 7 chuyên đề đạo hàm

Tài liệu gồm 75 trang hướng dẫn phương pháp giải 7 chuyên đề đạo hàm thường gặp trong chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 5. 

CHUYÊN ĐỀ 1
TÌM S GIA
Phương pháp:
Để tính s gia ca hàm s
()y f x
tại điểm
0
x
tương ứng vi s gia
x
cho trước ta áp dng
công thc tính sau:
00
y
f
x x f x
x
gi là s gia ca đối s tại điểm
0
x
0
x x x
.
y
gi là s gia ca hàm s tương ứng và
00
y
f
x x f x
BÀI TP MU
Bài 1. Tìm s gia ca hàm s
, tương ng vi s biến thiên của đối s t
0
2x
đến
0
5xx
ng dn
S gia ca hàm s
22
00
5
2 5 5 2 2 18y f x x f x f f
Bài 2. Tìm s gia ca hàm s
2
3 4y x x
tại điểm
0
2x
ng vi s gia
x
, biết
4x
ng dn
0
0
4
6
2
x
xx
x
Khi đó
22
00
6
2 6 3.6 4 2 3.2 4y f x x f x f f
Bài 3. Tính
y
y
x
ca hàm s
2
y x x
ng dn
Ta có:
2
2
2 2 2 2
2
2 . 2 .
2.
21
y f x x f x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
y x x x x
xx
xx



Bài 4. Tìm s gia ca hàm s
4
f
x x
khi
0
1x
,
1x
.
ng dn
Ta có:
y
00
f
x x f x
21ff
44
2 1 15
Bài 5. S gia ca hàm s
3
f
x x x
khi
0
0x
,
1x
.
ng dn
Ta có:
y
00
f
x x f x
10ff
33
1 1 0 0
2
Bài 6. Tìm s gia ca hàm s
3
3
x
fx
theo s gia
x
của đối s
x
ti
0
0x
.
ng dn
Ta có:
y
00
f
x x f x
0f
x f
33
0
33
x
3
3
x
Bài 7. S gia ca hàm s
2
f
x x x
ng vi
0
x
,
x
ng dn
Ta có:
y
00
f
x x f x
2
2
0 0 0 0
x x x x x x
0
21x
x x
Bài 8. Tìm s gia ca hàm s
2
2f
x x
khi
0
0x
,
2x
.
ng dn
Ta có:
y
00
f
x x f x
20ff
22
2 2 0 2 4
.
Bài 9. S gia ca hàm s
3
1
1
fx
x
khi,
0
1x
,
1x
.
Li gii
Ta có:
y
00
f
x x f x
10ff
33
1 1 7
2 1 1 1 18

.
Bài 10. Tìm s gia ca hàm s
1f x x
theo s gia
x
của đối s
x
ti
0
0x
.
ng dn
Ta có:
y
00
f
x x f x
0f
x f
1x
.
BÀI TP T GII
Bài 11. Tìm s gia ca hàm s
2
2 3 5y x x
, tương ứng vi s biến thiên của đối s:
a) T
0
1x
đến
0
2xx
b) T
0
2x
đến
0
0,9xx
c) T
0
1x
đến
1xx
d) T
0
2x
đến
2xx
Bài 12. Tính
y
y
x
ca hàm s sau theo x và
x
:
a)
35yx
b)
2
37yx
c)
2
2 4 1y x x
d)
cos2yx
Bài 13. Tìm s gia ca hàm s
2
–1yx
tại điểm
0
1x
ng vi s gia
x
, biết:
a)
1x
b)
–0,1x
Bài 14. Tính
y
y
x
ca hàm s sau theo x và
x
:
a)
2
23y x x
b)
3
1y x x
c)
3
45y x x
d)
2
5
x
y
x
e)
1
23
x
y
x
f)
2
1
x
y
x
CHUYÊN ĐỀ 2
TÍNH ĐẠO HÀM
Phương pháp:
Có hai cách để tính đạo hàm:
Cách 1: Dùng định nghĩa:
0
' lim
x
f x x f x
y
x

Cách 2: Dùng bng công thc : ( bng này thầy đính kèm ở file đầu tiên)
BÀI TP MU
Bài 1. S dụng định nghĩa, tính đo hàm ca các hàm s sau:
1)
35yx
2)
2
41y x x
3)
32
35y x x
4)
23
1
x
y
x
5)
2
y x x
6)
c
o
s 2 3yx
ng dn
S dụng định nghĩa:
0
' lim
x
f x x f x
y
x

.
1) Ta có:
0 0 0
3 5 3 5
3
' lim lim lim 3
x x x
f x x f x x x x
x
y
x x x
2) Ta có:
2
2
00
4 1 4 1
' lim lim
xx
x x x x x x
f x x f x
y
xx


2
00
2 . 4.
lim lim 2 4 2 4
xx
x x x x
x x x
x
3) Ta có:
32
32
00
3 5 3 5
' lim lim
xx
x x x x x x
f x x f x
y
xx


3 2 2 3 2 2 3 2
0
3 . 3 . 3 6 . 3 5 3 5
lim
x
x x x x x x x x x x x x
x

2 2 3 2
2 2 2
00
3 . 3 . 6 . 3
lim lim 3 3 . 6 3 3 6
xx
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x
4) Ta có:
00
23
23
11
' lim lim
xx
xx
x
f x x f x x x x
y
xx


00
2 2 3 1 2 3 1
2 2 3 2 3
11
11
lim lim
xx
x x x x x x
x x x
x x x
x x x
xx


22
0
2 2 2 . 2. 3 3 2 2 . 2 3 3. 3
lim
11
x
x x x x x x x x x x x x
x x x x

2
00
5. 5 5
lim lim
1 1 1 1
1
xx
x
x x x x x x x
x
5) Ta có:
2
2
00
' lim lim
xx
x x x x x x
f x x f x
y
xx


2 2 2
0
2.
lim
x
x x x x x x x x
x

2 2 2
0
2 2 2
2.
lim
2.
x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x

2
0
2 2 2
2.
lim
2.
x
x x x x
x x x x x x x x x

2
0
2 2 2
2 1 2 1
lim
2
2.
x
x x x
xx
x x x x x x x x


6) Ta có:
00
cos 2 3 cos 2 3
' lim lim
xx
x x x
f x x f x
y
xx




00
2sin 2 3 .sin sin
lim lim . 2sin 2 3 2sin 2 3
xx
x x x x
x x x
xx



Bài 2. S dng công thức, tính đạo hàm ca các hàm s sau:
1)
35yx
2)
2
41y x x
3)
32
35y x x
4)
23
1
x
y
x
5)
2
y x x
6)
c
o
s 2 3yx
ng dn
Các em tra bng công thức để tính
1) Ta có:
3
5 ' 3 5 3 5 3 0 3y x y x x
2) Ta có:
2 2 2
4 1 4 1 4 1 2 4 0 2 4y x x y x x x x x x


3) Ta có:
3 2 3 2 2 2
3 5 3 5 3 6 0 3 6y x x y x x x x x x
.
4) (S dng công thc
2
..u u v u v
vv




Ta có:
2 2 2
2 3 . 1 2 3 . 1 2. 1 2 3 .1
2 3 5
1
1 1 1
x x x x x x
x
yy
x
x x x


5) (S dng công thc
2
u
u
u
)
Ta có:
2
2
22
21
'
22
xx
x
y x x y
x x x x

6) (S dng công thc
c
os .sinu u u

)
c
os 2 3 2 3 .sin 2 3 2.sin 2 3y x y x x x
Bài 3. S dng công thức, tính đạo hàm ca các hàm s sau:
42
11y x x x
ng dn
S dng công thc
.
. .u v u v u v


4 2 4 2 4 2
3 2 4 5 4 3
1 1 1 . 1 1 . 1
4 . 1 1 . 2 1 6 5 4 2 1
y x x x y x x x x x x
x x x x x x x x x

Bài 4. Tính đạo hàm các hàm s sau:
a)
32
3 2 1y x x x
d)
42
3
21
2
y x x
b)
3
31y x x
e)
21
3
x
y
x
c)
4
2
1
4
x
yx
f)
2
22
1
xx
y
x

ng dn
a) Ta có:
32
3 1 3 6 2y x x x x
b) Ta có:
32
3 1 3 3y x x x
c) Ta có:
4
23
12
4
x
y x x x



d) Ta có:
4 2 3
3
2 1 8 3
2
y x x x x



e) Ta có:
22
(2 1) ( 3) ( 3) (2 1) 7
( 3) ( 3)
x x x x
y
xx



f) Ta có:
22
2
( 2 2) ( 1) ( 2 2)( 1)
( 1)
x x x x x x
y
x

22
2
2
(2 2)( 1) ( 2 2) 2 4
( 1)
1
x x x x x x
x
x

.
Bài 5. Tìm đạo hàm ca các hàm s sau :
1)

2
2 2020
3
x
y x x
vi
0x
. 2)
2
1
6yx
x

vi
0x
;
ng dn
1)


22
2 2020 2 2020 4 3 4
3 3 2 3 2 3
x x x x
x x x x x x x
.
2)
23
1 3 2
6 x
xx
x



.
TÍNH ĐẠO HÀM HÀM HP
Phương pháp:
Ta s dụng định lý sau:
Nếu hàm s
u
g x
có đạo hàm ti
x
x
u
và hàm s
y
f u
có đạo hàm ti
u
u
y
thì
hàm hp
y
f g x
có đạo hàm ti
x
.
x u x
y y u
.
T đó, ta có các công thức đạo hàm ca hàm hợp thường gp: vi
u
u x
1
..

nn
u n u u n
2
u
u
u
2
1




u
uu
BÀI TP MU
Bài 1. S dng công thức, tính đạo hàm hàm hp ca các hàm s sau:
1)
2016
2
23y x x
2)
4
5
23
y
x
3)
2
7
y
x x
4)
5
2
1
1
y
xx

ng dn
1) S dng công thc:
1
..u u u

Ta có:
2016
2
23y x x
2015 2015
2 2 2
3
2016. 2 3 . 2 3 2016. 4 . 2 3
2
y x x x x x x x
x



2) Chú ý bài này các em phi chuyển đổi:
1
11
..u u u
uu





.
4
4
5
5. 2 3
23
yx
x
4 4 1
' 5. 2 3 5. 4 . 2 3 . 2 3y x x x



55
1 20
20.2. . 2 3 . 2 3
2
xx
xx

3) S dng công thc
1
..u u u

2
7 7 7 6 7
2. . 2 7 1 .y x x y x x x x x x x
4) S dng công thc
1
11
..u u u
uu





5
2
5
2
1
1
1
y x x
xx

66
2 2 2
5. 1 . 1 5 2 1 . 1y x x x x x x x

Bài 2. Tính đạo hàm ca các hàm s sau:
a)
2
7
y
x x
. b)
5
3
1yx
. c)
3
2
5
4




yx
x
.
ng dn
a) Ta có:
7 7 7 6
2 . 2 7 1
y x x x x x x x
.
b) Ta có:
44
3332
5 1 1 15 1
y x x x x
.
c) Ta có:
22
2 2 3 2
5 5 10 5
3 4 4 3 4 4
y x x x
x x x x
.
Bài 3. Tính đạo hàm ca các hàm s sau:
a)
2
12 y x x
. b)
32
32 y x x
.
ng dn
a) Ta có:
2
22
12
1
2 1 2 1 2


xx
x
y
x x x x
.
b) Ta có:


32
2
3 2 3 2
32
36
2 3 2 2 3 2
xx
xx
y
x x x x
.
Bài 4. Tính đạo hàm ca các hàm s sau:
a)
2
3
25
y
x
. b)
5
2
1
1

y
xx
.
ng dn
a) Ta có:
2
4 4 3
3 2 5
12 2 5
12
2 5 2 5 2 5


x
x
y
x x x
.
b) Ta có:
5
4
2
22
2 10 6
5
22
2
1
5 1 . 1
5 2 1
11
1
xx
x x x x
x
y
x x x x
xx


.
Bài 5. Tính đạo hàm ca các hàm s sau:
a)
3
21
1
x
y
x



. b)
4
5
2
5
4 1 7 3 y x x x
.
ng dn
a) Ta có:
2
22
24
9 2 1
2 1 2 1 2 1 3
33
1 1 1
11

x
x x x
y
x x x
xx
.
b) Ta có:
44
55
22
5 4 1 7 3 7 3 5 4 1





y x x x x x x
.
34
54
22
4
5 4 1 10 4 7 3 5 7 3 .7. 5 4 1
y x x x x x x x
.
3
4
22
5 4 1 7 3 4 10 4 7 3 35 5 4 1


y x x x x x x x
.
3
4
22
5
4 1 7 3 455 132 83
y x x x x x
.
Bài 6. Tính đạo hàm ca các hàm s sau:
a)
22
x
y
ax
vi
a
là tham s. b)
3
2yx
.
ng dn
a) Ta có:
2
22
2
22
22
3
22


x
ax
a
ax
y
ax
ax
.
b) Ta có:
3
2
33
2
32
32
2
2 2 2 2


x
x
x
y
xx
.
Bài 7. Cho hàm s
2
4
x
y
x
, tính
0y
.
ng dn
Ta có:
2
2
23
22
4
4
4
44



x
xx
x
y
xx
. Suy ra
1
0
2
y
.
Bài 8. Cho hàm s
2
32
3 2 1
2 3 2 1


xx
y
xx
, tính
0y
.
ng dn
Ta có:
2 3 2 2 3 2
2
32
3 2 1 .2 3 2 1 3 2 1 . 2 3 2 1
2 3 2 1

x x x x x x x x
y
xx
2
3 2 2
32
2
32
94
6 2 2 3 2 1 3 2 1
3 2 1
2 3 2 1


xx
x x x x x
xx
y
xx
.
3 2 2 2
2
3 2 3 2 3 2
12 4 3 2 1 9 4 3 2 1
9 8 4
4 3 2 1 3 2 1 4 3 2 1
x x x x x x x
xx
y
x x x x x x

.
Suy ra:
4
01
4
y
.
Bài 9. Cho hàm s
4
3
2
21
31

xx
y
x
, tính
1y
.
ng dn
Ta có:
34
3 2 2 3
2
2
3
4 2 1 3 2 3 1 2 1
31
31
x
x x x x x x
x
y
x
.
34
3 2 2 3
22
4 2 1 3 2 3 1 3 2 1
3 1 3 1

x x x x x x x
y
xx
.
3
3 2 2 3
22
2 1 4 3 2 3 1 3 2 1
3 1 3 1



x x x x x x x
y
xx
. Suy ra
10
y
.
BÀI TP T GII
Bài 10. Tính đạo hàm ca các hàm s sau bằng định nghĩa:
1)
2
61y x x
2)
2
y x x
3)
4
4
x
y
x
4)
42
23y x x x
5)
5yx
6)
sin
2 4yx
7)
c
os 4 2018yx
8)
ta
n 5 2yx
9)
1
1
y
x
Bài 11. Tính đạo hàm ca các hàm s sau:
a)
7 4 2
3 4 4 4y x x x x
b)
4
3
2 10 25y x x
x
c)
22
1 2 3 1y x x x x
d)
2
1 4 3y x x
e)
31
45
x
y
x
f)
2
2
2 3 7
23
xx
y
xx


Bài 12. Tính đạo hàm ca các hàm s sau:
a)
21 23
2 3 4y x x
b)
32
4 3 2y x x
Bài 13. Tính đạo hàm ca mi hàm s sau (
a
là hng s):
a)
4 3 2 3
1 1 1
4 3 2
y x x x x a
b)
25
1
( 1)
y
xx

c)
52
3 (8 3 )y x x
d)
( 1)( 2)( 3)y x x x
e)
2
2
1
x
y
x
f)
2
53
1
x
y
xx

g)
1
y
xx
h)
2
1x
y
x
i)
2
25y x x
j)
2
1y x x x
k)
1
1
x
y
x
l)
22
x
y
ax
Bài 14. Tính đạo hàm ca các hàm s sau:
a)
32
5
32
xx
yx
b)
2 3 4
2 4 5 6
7
y
x x x x
c)
2
3 6 7
4
xx
y
x

d)
2
31y x x
x



e)
1
1
x
y
x
f)
2
2
75
3
xx
y
xx
g)
2
1x
y
x
h)
32
2
y
x x
i)
2
22
1
xx
y
x

j)
2
53
1
x
y
xx

Bài 15. Tính đạo hàm ca các hàm s sau:
a)
5
2
41y
x x
b)
2
2 3 1
23
xx
y
x

c)
2
2
61
1
xx
y
xx

d)
2
3
21
xx
y
x

e)
1
1
x
y
x
f)
2
12
x
y
x
g)
2
2
1
1
xx
y
xx


h)
2
1
x
y
x
i)
2
11y x x x
CHUYÊN ĐỀ 3
TÍNH ĐẠO HÀM CA HÀM S TI Xo
Phương pháp:
Cách 1: S dụng định nghĩa tính đo hàm ti là:
0
0
0
0
lim
xx
f x f x
yx
xx
Cách 2: Các em s dng công thức tính đạo hàm ri thay vào.
BÀI TP MU
Bài 1. Tính đạo hàm ca hàm s
2
2y x x
ti
0
5x
.
ng dn
Cách 1: S dụng định nghĩa:
22
55
2 5 2.5
5
5 lim lim
55
xx
xx
f x f
y
xx



2
55
57
2 35
lim lim 12
55
xx
xx
xx
xx




Cách 2: S dng công thức tính đạo hàm ri thay s:
Ta có:
22
2 2 2 2y x x y x x x
Do đó
5
2.
5 2 12y
.
Bài 2. Tính đạo hàm ca hàm s
0
sin 2 30yx
ti
0
0
60x
.
ng dn
Cách 1: S dụng định nghĩa:
0
00
0
0
60
sin 2 30 sin90
60 lim
60
x
x
y
x

00
0 0 0
0 0 0
00
60 60
2cos 30 .sin 60 sin 60
lim lim .2cos 30 2cos 60 30 0
60 60
xx
x x x
x
xx


Cách 2: S dng công thức tính đạo hàm ri thay s:
Ta có:
0 0 0 0
sin 2 30 2 30 .cos 2 30 2.cos 2 30y x y x x x
Do đó
0 0 0
60 2cos 60 30 0y
.
Bài 3. Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của mi hàm s sau tại các điểm đã chỉ ra:
a)
2
y x x
ti
0
1x
b)
yx
ti
0
1x
c)
2
1
1
y
x
ti
0
0x
d)
1
1
y
x
ti
0
2x
e)
2
3yx
ti
0
1x
ng dn
a) Ta có:
1f
0
lim
x
y
x

00
0
lim
x
f x x f x
x

0
11
lim
x
f x f
x

2
2
0
1 1 1 1
lim
x
xx
x

0
l
im 1 1
x
x

b) Ta có:
1f
0
lim
x
y
x

00
0
lim
x
f x x f x
x

0
11
lim
x
f x f
x

0
11
lim
x
x
x

0
11
lim
11
x
x
xx

0
11
lim
2
11
x
x


c) Ta có:
0f
0
lim
x
y
x

00
0
lim
x
f x x f x
x

0
00
lim
x
f x f
x

d) Ta có:
2f
0
lim
x
y
x

00
0
lim
x
f x x f x
x

0
22
lim
x
f x f
x

0
11
2 1 2 1
lim
x
x
x

0
lim
3. 3 .
x
x
xx


0
11
lim
3. 3 9
x
x




e) Ta có:
1f
0
lim
x
y
x

00
0
lim
x
f x x f x
x

0
11
lim
x
f x f
x

2
2
0
1 3 1 3
lim
x
x
x

2
0
2 4 2
lim
x
xx
x

2
0
2
2
lim
. 2 4 2
x
xx
x x x




2
0
21
lim
2
2 4 2
x
x
xx



Bài 4. Tính đạo hàm ca hàm s :
a)
2
1
x
y
x
ti
1x
. b)
2
3 ( 1)y x x
x




ti
1x
;
ng dn
a)




2
2 . 1 2 1
2
1
1
x x x x
x
x
x
2 2 2
1
. 1 2
1 2 4 1 4
2
1 2 1 2 1
xx
x x x x x
x
x x x x x
.
Vậy đạo hàm ca hàm s ti
1x
là :
1
1
2
y
.
b)
2 2 2
3 1 3 . 1 3 1x x x x x x
x x x



2
1 2 1
3 . 1 3
2
xx
xx
x
Vậy đạo hàm ca hàm s ti
1x
là :
5
1
2
y
.
BÀI TP T GII
Bài 5. Tính đạo hàm ca hàm s
2
24y x x
ti
0
2x
Bài 6. Cho hàm s
2
21y f x x
a) Tìm đạo hàm ca hàm s ti
0
2x
b) Suy ra giá tr
3 (2) 5 (2 3)ff

Bài 7. Dùng định nghĩa, tính đo hàm ca mi hàm s sau tại điểm x
0
:
a)
21yx
ti
0
2x
b)
2
y x x
ti
0
1x
c)
1
1
x
y
x
ti
0
0x
d)
27yx
ti
0
1x
Bài 8. Dùng định nghĩa, tính đo hàm ca mi hàm s sau (a là hng s):
a)
3y ax
b)
2
1
2
y ax
c)
1
21
y
x
vi
1
2
x
d)
3yx
vi
3x
Bài 9. Tính đạo hàm ca hàm s tại điểm
0
x
được ch ra bng cách s dng công thức tính đạo
hàm ri thay
0
x
vào :
1)
53
2 3 5y x x x
ti
0
2x
2)
2
1
1
x
y
x
ti
0
10x
3)
2
41y x x
ti
0
5x
4)
sin 2
4
yx




ti
0
6
x
5)
2
5
x
y
x
ti
0
2x 
6)
24
32y x x x
ti
0
3x 
CHUYÊN ĐỀ 4
ĐẠO HÀM CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC
Phương pháp:
S dng công thức tính đạo hàm của hàm lượng giác:
Đạo hàm
Hàm hp
(sin )' cosxx
;
(cos )' sinxx
2
1
(tan )'
cos
x
x
;
2
1
(cot )'
sin
x
x

2
1
arcsin '
1
x
x
2
1
arccos '
1
x
x

2
1
arctan '
1
x
x
(sin )' '.cosu u u
(cos )' 'sinu u u
;
2
'
tan '
cos
u
u
u
2
'
cot '
sin
u
u
u

1
sin .sin . sin
nn
u n u u
1
cos .cos . cos
nn
u n u u
1
tan .tan . tan
nn
u n u u
1
t . t . t
nn
co u n co u co u
I. S dng công thức đ tính đạo hàm hàm lượng giác:
BÀI TP MU
Bài 1. Tính đạo hàm ca hàm s :
1)
sin2 cos
3
x
yx
. 2)
2
sin5 1yx
3)
sin .cos4y x x
4)
22
2tan 5coty x x
ng dn
1) Ta có:
1
2.cos2 sin
33
x
yx

2) Ta có:
2 s
in5 1 sin5 1 10cos5 sin5 1y x x x x
.
3) Ta có:
sin
.cos4 sin . cos4 cos .cos4 4sin .sin4y x x x x x x x x

.
Ngoài ra các em có th tách
1
sin .cos4 sin5 sin3
2
y x x x x
sau đó tính đạo hàm.
4) Ta có:
3 2 2
2sin 5
'
cos sin
xx
y
xx

Bài 2. Tính đạo hàm ca hàm s :
1)
sin3yx
2)
5sin 3cosy x x
3)
cos 2 1yx
4)
sin( ) cos
36
y x x




5)
4cos2 5sin(2 3)y x x
6)
3sin cos 2019y x x x
7)
2
.cos3 2 sin3y x x x x
8)
22
3 sin 3 cos 2 1
4
y x x



9)
tan2yx
10)
c
ot 3 1yx
11)
1
tan
2
x
y
12)
2
cot 1yx
13)
tan
3
x
y
14)
3cos cot2y x x
15)
tan5 cot4y x x
16)
2
t
an 2 1y x x
17)
35
11
tan tan tan
35
y x x x
18)
2
tan(2 1) cosy x x x
ng dn
1) Ta có
sin3 3cos3y x y x
2) Ta có
5sin 3cos 5cos 3siny x x y x x
3) Ta có
cos 2 1yx
sin 2 1
21
x
y
x
4) Ta có
cos sin
36
y x x

.
5) Ta có
8
sin2 10cos 2 3y x x
.
6) Ta có :
3cos sin 2019y x x
7) Ta có :
22
2 cos3 3 sin3 2sin3 6 cos3 8 cos3 2 3 sin3y x x x x x x x x x x x
8) Ta có:
22
22
22
3.2sin 3 cos 3 3sin2 3
22
4 4 4
sin 2 1. sin 2 1
2 1 2 1
2 3 sin 3 2 3 sin 3
44
x x x
xx
y x x
xx
xx


.
9) Ta có:
2
2
' tan2 '
cos 2
yx
x

.
10) Ta có:
'
2
3
' cot 3 1
sin 3 1
yx
x


.
11) Ta có
'
'
22
1
11
2
' tan
11
2
cos 2cos
22
x
x
y
xx







12) Ta có:
'
2
'
2
2
2 2 2 2 2 2 2
1
1
' cot 1
sin 1 sin 1 1.sin 1
x
x
x
x
yx
x x x x
13) Ta có:
'
2
1
' tan
3
3cos
3
x
y
x




.
14) Ta có:
'
2
2
' 3cos cot2 3sin
sin 2
y x x x
x
.
15) Ta có:
'
22
54
' tan5 cot 4
cos 5 sin 4
y x x
xx
.
16) Ta có:
'
2
2
22
21
' tan 2 1
cos 2 1
xx
y x x
xx


2 2 2 2
1
2
21
cos 2 1 cos 2 1
x
xx
x
x x x x x

17) Ta có:
6
' 1 tanyx
18) Ta có:
22
22
22
' cos 2 sin cos cos sin2
cos (2 1) cos (2 1)
y x x x x x x x
xx

BÀI TP T GII
Bài 1. Tính đạo hàm ca các hàm s sau:
a)
2
2
2sin sin2 sin 2sin sin
2
x
y x x x
x
b)
22
sin 2 3 1y x x
c)
2
sin 4y x x
Bài 2. Tính đạo hàm ca các hàm s sau:
a)
cos
2 sin
x
y x x
x

b)
3cos
21
x
y
x
c)
2
2cos
sin
xx
y
x
d)
2cos sin
3sin cos
xx
y
xx
e)
tan
sin 2
x
y
x
f)
cot
21
x
y
x
g)
2
sin 3 2y x x
h)
cos 2 1yx
i)
2sin3 cos5y x x
j)
cos2yx
k)
2
1
tan
x
y
x
l)
2
cot 1yx
m)
3
tan cot 2y x x
n)
1 2tanyx
o)
sin
sin
xx
y
xx

p)
2
sin
1 t 2
x
y
an x
q)
tan(sin )yx
r)
2
cot 1y x x
s)
2
cos 2
4
yx

t)
sin3y x x
u)
22
tan tany x x
v)
2
2 cos 2 siny x x x x
Bài 3. Tính đạo hàm ca các hàm s sau:
a)
2
sin 1yx
b)
2
sin
cos3yx
c)
2
cos 1 siny x x
d)
c
os cos cosyx


e)
2
1
cos
1
x
y
x




f)
22
sin tan
1 cot 1 tan
xx
y
xx


g)
sin cos
x
y
xx
h)
2
sin
cos
x
y
x
i)
2
1 cosyx
Bài 4. Tính đạo hàm ca các hàm s sau:
a)
sin
1 cos
x
y
x
b)
2
1 cos
2
x
y 
c)
20
2
2
1 tan
1 tan
x
y
x



d)
1 cos
1 cos
x
y
x
e)
sin cosy x x x
f)
32
3tan tan3 tan tany x x x x
g)
2
cot 1y x x
h)
3
cot 2 3cot2y x x
i)
sin cos
sin cos
xx
y
xx
j)
22
22
sin 2 4cos 4
sin 2 4cos
xx
y
xx

Bài 5. Tính đạo hàm ca mi hàm s sau:
a)
5sin 3cosy x x
b)
2
sin( 3 2)y x x
c)
cos 2 1yx
d)
sin3 .cos5y x x
e)
1 2tanyx
f)
tan3 cot3y x x
g)
4sin 3cosy x x
h)
24
4sin 3cosy x x
i)
1 cos
x
y
x
Bài 6. Tính đạo hàm ca hàm s sau:
1 1 1 1 1 1
cos
2 2 2 2 2 2
yx
, vi
;()0x
II. Tính đạo hàm của hàm lượng giác ti
0
x
Phương pháp:
Tính đạo hàm ri thay
0
x
vào
BÀI TP MU
Bài 1. Tính đạo hàm ca hàm s
sin 2
cos3
x
y
x
ti
4
x
.
ng dn
Ta có :
22
sin2 .cos3 sin2 . cos3
2cos2 .cos3 3sin2 .sin3
cos3 cos3
x x x x
x x x x
y
xx


Khi đó :
32
4
y



. Vậy đạo hàm ca hàm s đã cho tại
4
x
32
.
Bài 2. Tính đạo hàm ca hàm s
.cos2y x x
ti
2
x
.
ng dn
Ta có:
.
cos2 . cos2 cos2 2 .sin2y x x x x x x x

Khi đó :
'
1
2
y




. Vậy đạo hàm ca hàm s đã cho tại
4
x
1
.
Bài 3. Tính đạo hàm ca hàm s
5sin 3cosy x x
tại điểm
2
x
.
ng dn
Ta có
5
sin 3cos 5. sin 3 cos 5.cos 3siny x x x x x x
.
Suy ra
5.cos 3sin 3
2 2 2
y



.
Bài 4. Tính đạo hàm ca hàm s
2sin3 cos5y x x
tại điểm
8
x
.
ng dn
Ta có
2sin3 cos5 sin8 sin2y x x x x
.
sin
8 sin 2 ' 8cos8 2cos2y x x x x
8cos 8. 2cos 2. 8 2
8 8 8
y
.
Bài 5. Tính đạo hàm ca hàm s
2
1
sin
23
yx



tại điểm
3
x
.
ng dn
Ta có
2
cos
3 3 3 3 3
y








.
Bài 6. Cho hàm s
2
cos 3 sin 2
63
y x x

. Tính
3
y



.
ng dn
Ta có:
2
3sin 3 2cos 2
63
y x x

.
Vy
2 5 7
3sin 3. 2cos 2. 3sin 2cos0
3 3 6 3 3 6 2
y
.
Bài 7. Tính đạo hàm ca hàm s
2
1
cot
2
f x x
tại điểm
.
2
x
ng dn
Ta có:
2
2 2 2 2
1
2 sin sin
'fx
x
x
xx
Suy ra:
2
sin
2
2
'
2 2 2
2
f








Bài 8. Tính đạo hàm ca hàm s
22
ta
n cotf x x x
tại điểm
.
4
x
ng dn
Ta có:
2 2 2 2
1 1 2tan 2cot
' 2tan . 2cot .
cos sin cos sin
xx
f x x x
x x x x



Suy ra:
22
2tan 2cot
44
'8
4
cos sin
44
f





Bài 9. Tính đạo hàm ca hàm s
cot 1f x x
ti
2
x
.
ng dn
Ta có:
'
'
2
cot 1
1
' cot 1
2 cot 1 2sin . cot 1
x
f x x
x x x

2
' .cos
3
y x x




Suy ra
2
11
'
22
2sin . cot 1
22
f




Bài 10. Tính đạo hàm ca hàm s
3
ta
n cot2f x x x
tại điểm
4
x
.
ng dn
Ta có:
'
32
22
12
' tan cot2 3.tan .
cos sin 2
f x x x x
xx
Suy ra
2
22
12
' 3.tan . 4
44
cos sin 2.
44
f





Bài 11. Tính đạo hàm ca hàm s
tan cotf x x x
tại điểm
4
x
.
ng dn
Ta có:
22
11
(tan cot )
cos sin
()
2 tan cot 2 tan co
'
t
xx
xx
fx
x x x x


22
2 2 2
sin cos 2cos2
2sin cos tan cot sin 2 tan cot
x x x
x x x x x x x



Suy ra
2
2cos
2
'0
4
sin tan cot
2 4 4
f







BÀI TP T GII
Bài 1. Tính đạo hàm ca các hàm s sau tại điểm được ch ra .
1)
1 sin
1 sin
x
y
x
ti
3
x
2)
cos
sin 1
x
y
x
ti
2
x
3)
2
2 coty x x x
ti
4
x
4)
1 2tanyx
ti
0x
5)
sin3 .cos4y x x
ti
3
4
x
6)
2
2cos sin2 cos
2
x
y x x
ti
5
6
x
7)
23
sin .cosy x x
ti
3
x
8)
3
tan 2
4
yx




ti
4
x
9)
22
sin cos tanyx
ti
4
x
10)
22
cot 1yx
ti
3
x
11)
32
sin 1yx
ti
0x
12)
2
sin
cos3yx
ti
3
x
Bài 2. Cho hàm s
3
yx
4 sin
2
x
yx

. Tính tng
(1) (1)fg

?
III. Chng minh biu thc có chứa đạo hàm hàm lượng giác.
Phương pháp:
Tính đạo hàm ri thay vào biu thc và biến đổi.
BÀI TP MU
Bài 1. Chng minh rng :
'
0fx
vi
6 4 2 2 4 4
( ) cos 2sin .cos 3sin .cos sinf x x x x x x x
.
ng dn
Cách 1 :
Ta có :
6 4 2 2 4 4
( ) cos 2sin .cos 3sin .cos sinf x x x x x x x
5 3 2 4
6.sin .cos 8.cos .sin .cos 4.sin .sin .cosx x x x x x x x
4 2 3 3
6.cos .sin .cos 12.sin .sin .cos 4.cos .sinx x x x x x x x
5 3 3 5 5 3 3 3
= 6.sin .cos 8sin .cos 4sin .cos 6sin .cos 12sin .cos 4.cos .sinx x x x x x x x x x x x
3 3 3 2 3 3 3 3
4sin .cos 4cos .sin . sin 1 4sin .cos 4sin .cos 0x x x x x x x x x
Cách 2 : Ta có :
4 2 4 2 2
4 2 4 2
4 4 4 2 2 4
2
2 2 2 2 2 2 2 2
sin 1 2cos cos 3sin cos
sin 1 2cos cos 1 2sin
sin cos 2sin cos 2sin cos
cos sin 2sin cos 2sin cos cos sin 1
f x x x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x
Khi đó :
0fx
Bài 2. Cho hàm s
siny x x
. Chng minh:
.
2 sin 2cos 0x y y x x x y
ng dn
Ta có:
s
in .sin . sin sin cosy x x x x x x x x x


.
2
. 2 sin 2cos
.sin 2 sin cos sin 2cos sin
x y y x x x y
x x x x x x x x x x
22
sin 2 cos 2 cos sin 0x x x x x x x x
(đpcm).
Bài 3. Cho hàm s
cot 2yx
. Chng minh:
2
2 2 0
yy
ng dn
Ta có:
22
cot2 2 1 cot 2 2 1
y x x y
2
2 2 0
yy
.
Bài 4. Cho hàm s
tanyx
. Chng minh:
2
10yy
ng dn
Ta có:
22
tan 1 tan 1y x x y
2
10yy
.
Bài 5. Cho hàm s
sin cos
tan
x x x
y
x
.Chng minh rng:
3
'
2
cos
.tan
sin
x
y y x
x
ng dn
Ta tiến hành rút gọn trước khi tính đo hàm:
'
22
2
3
2 2 2
sin cos .cos
sin cos 1
.cos sin
tan sin sin
cos cos
cos sin cos sin
sin sin
cos 1 sin
cos cos
sin sin cos
sin sin sin
x x x x
x x x
y x x x
x x x
xx
y x x x x x x
xx
xx
xx
VT x x x x x VP
x x x

Bài 6. Cho hàm s
2
cot 1yx
. Chng minh rng:
'4
2 . . 1 0y y x y
.
ng dn
Ta có:
'
'
2 2 2 2 2
'
2 2 2
cot 1 1 1 cot 1 . 1 1 cot 1
2 cot 1 2 cot 1 2 cot 1
x x x x x
y
x x x
22
24
2
2 2 2 2
1 cot 1
2 cot 1 . .
2 cot 1
1 cot 1 .cot 1 0
xx
VT x x x y
x
x x x x x VP

Bài 7. Cho hàm s
2
2
cos 4 1f x x
. Chng minh rng:
'
8,f x x
.
ng dn
Ta có:
'
'
16sin 4 1 cos 4 1 8sin 8 2
8sin 8 2 8 sin 8 2 8
f x x x x
f x x x
Du
""
xy ra khi:
1
sin 8 2 1 8 2 2
2 16 4 8
1
sin 8 2 1 8 2 2
2 16 4 8
k
x x k x
k
k
x x k x
Bài 8. Cho hàm s
sin cos
.
cos sin
x x x
y
x x x
Chng minh rng:
2
' 2 2
sin cos 0y x x x x y
.
ng dn
Ta có:
sin cos
.
cos sin
x x x
y
x x x
''
'
2
sin cos cos sin sin cos cos sin
cos sin
x x x x x x x x x x x x
y
x x x
Tính
''
'
sin cos cos cos . cos sinx x x x x x x x x x
Tính
''
'
cos sin sin sin sin cosx x x x x x x x x x
2
'
22
sin . cos sin sin cos cos
cos sin cos sin
x x x x x x x x x x
x
y
x x x x x x

Ta có:
2
2
22
' 2 2 2
2
sin cos
sin cos . sin cos . 0
cos sin
cos sin
x x x x
VT y x x x x y x x x x VP
x x x
x x x



Bài 9. Cho hàm s
2
cot 1yx
. Chng minh rng:
' 2 2
. 1 . 0y x x x y
.
ng dn
Ta có:
2
cot 1yx
'
2
'
' 2 2 2 2 2 2 2
22
1
1 cot 1 . 1 1 cot 1 . 1 cot 1
2 1 1
x
x
y x x x x
xx

Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
1 cot 1 . 1 .cot 1 cot 1 .cot 1 0
1
x
VT x x x x x x x x x x x
x
Bài 10. Cho hàm s
cosyx
. Chng minh rng:
' ' '
2 0 2
3 6 6
f x f x f f x
ng dn
Ta có:
'
'
cos sinf x x x
''
'
2 2sin sin
3 6 3 6
2
2sin .cos sin 2
3 3 3
25
sin 2 sin 2 cos 2
3 3 6
cos 2 0 cos 2 0 2
6 6 6
VT f x f x x x
x x x
x x x
x x f f x
VP


Bài 11. Cho hàm s
4 4 6 6
3 sin cos 2 sin cosy x x x x
. Chng minh rng:
'
0yx
.
ng dn
Ta tiến hành làm gn biu thức trước khi tiến hành lấy đạo hàm
Ta có:
4 4 6 6
3 sin cos 2 sin cosy x x x x
Mà:
2 2 2
4 4 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3
6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1
sin cos sin cos sin cos 2sin cos 1 sin 2
2
3
sin cos sin cos sin cos 3sin cos sin cos 1 sin 2
4
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x
22
'
13
3 1 sin 2 2 1 sin 2 1
24
0,
y x x
yx
Bài 12. Cho hàm s
3
sin
1 cos
x
y
x



. Chng minh rng:
'
.sin 3 0y x y
ng dn
Ta có:
3
sin
1 cos
x
y
x



2'
'
''
'
2
2
2
'
3
sin sin
3
1 cos 1 cos
sin 1 cos sin 1 cos
sin 1
1 cos 1 cos
1 cos
sin 1 3sin
3.
1 cos 1 cos
1 cos
xx
y
xx
x x x x
x
xx
x
xx
y
xx
x










Ta có:
3
2
'
3
3sin sin
.sin 3 0 .sin 3. 0
1 cos
1 cos
xx
y x y x
x
x



Bài 13. Cho hàm s
3
sin
2 1yx
. Chng minh rng:
'
s
in 2 1 6 .cos 2 1 0y x y x
ng dn
Ta có:
3
sin
2 1yx
'
'
' 2 2 2
3sin 2 1 sin 2 1 3sin 2 1 cos 2 1 2 1 6sin 2 1 cos 2 1y x x x x x x x
Ta có:
'
23
sin 2 1 6 cos 2 1
6sin 2 1 cos 2 1 sin 2 1 6sin 2 1 cos 2 1 0
VT y x y x
x x x x x VP
Bài 14. Cho hàm s
2
1
cos
1
x
y
x




. Chng minh rng:
4
'
1
. 1 2tan . 0
1
x
y x x y
x




ng dn
Ta có:
2
1
cos
1
x
y
x




'
'
'
''
'
22
'
22
1 1 1 1 1
2cos cos 2cos sin
1 1 1 1 1
1 1 1 1
11
1
11
1 1 1 1
2cos sin s
11
11
x x x x x
y
x x x x x
x x x x
x
x
x x x
xx
y
xx
x x x x













1
in 2.
1
x
x




Ta có:
4
'
4
2
2
1
. 1 2tan .
1
1
sin
.1
1
11
sin 2. 2 cos 0
11
1
1
cos
1
x
VT y x x y
x
x
xx
x
xx
VP
xx
x
xx
x












Bài 15. Cho hàm s
4 2 4 2
cos 2cos 3 sin 2sin 3y x x x x
. Chng minh rng
'
y
không ph thuc
vào x.
ng dn
Ta tiến hành làm gn biu thức trước khi tiến hành lấy đạo hàm
4 2 4 2
6 4 6 4
4 4 6 6
cos 2cos 3 sin 2sin 3
2cos 3cos 2sin 3sin
3 sin cos 2 sin cos 1
y x x x x
x x x x
x x x x
'
0y
. Vy
'
y
không ph thuc vào x.
IV. Giải phương trình – Bất phương trình liên quan đạo hàm của hàm lượng giác
BÀI TP MU
Bài 1. Giải phương trình
'0fx
biết
3
1 sin 2cos
22
x
f x x



ng dn
Ta có:
3
1 sin 2cos
22
x
f x x



33
0 cos 2. .sin cos cos
2 2 2 2 2
x x x
f x x x

' 0 cos cos 0 cos cos cos cos
2 2 2
2
24
2
33
2
24
2
x x x
f x x x x
x
xk
k
x
x
xk
xk











Bài 2. Giải phương trình
( ) 0fx
trong cc trưng hợp sau
a)
( ) sin3 3sin 4f x x x
. b)
( ) cos2 2sin 3f x x x
. c)
( ) 3cos sin 1f x x x
.
ng dn
a)
(
) sin3 3sin 4 3cos3 3cosf x x x f x x x
0
3cos3 3cos 0 cos3 cosf x x x x x
32
42
32
2
k
x
x x k
k
x x k
xk




.
b)
(
) cos2 2sin 3 2sin2 2cosf x x x f x x x
0
2sin2 2cos 0 cos 2sin 1 0f x x x x x
22
cos 0
22
1
66
sin
2
5
22
66
x k x k
x
x k x k k
x
x k x k














c)
31
0 3sin cos 0 sin cos 0 sin 0
2 2 6
f x x x x x x



66
x
k x k k


.
Bài 3. Cho hàm s
( 1)sin cos ( 2) 1y m x m x m x
. Tìm giá tr ca m để
0y
có nghim?
ng dn
( 1)cos sin ( 2)y m x m x m
Phương trình
0 ( 1)cos sin ( 2)y m x m x m
Điu kiện phương trình có nghim là
2 2 2
a b c
2 2 2 2
1
( 1) ( 2) 2 3 0
3
m
m m m m m
m

.
Bài 4. Cho hàm s
2
cos 2
3
yx




. Khi đó hãy giải phương trình
0y
.
ng dn
TXĐ :
D
Ta có:
2
2.sin 2
3
yx



Theo gi thiết
2
0 sin 2 0
3
yx



32
k
xk

.
Bài 5. Cho hàm s
sin
32
x
y




. Khi đó hãy tìm nghiệm của phương trình
'0y
.
ng dn
TXĐ :
D
Ta có:
1
cos
2 3 2
x
y



nên
0 cos 0 2
3 2 3 2 2 3
xx
y k x k k




Bài 6. Cho hàm s
tany x x
. Giải phương trình
0y
.
ng dn
TXĐ:
\,
2
D k k



Ta có:
2
2
1
1 tan
cos
yx
x
, khi đó
2
0
tan 0 tan 0y x x x k k
Bài 7. Cho hàm s
2
sin .cosy x x
, giải phương trình
2sinyx
.
ng dn
TXĐ :
D
, ta có
2 2 2 3
sin cos sin cos 2sin cos siny x x x x x x x
Vy
2 3 2 3
2sin 2sin .cos sin 2sin 2sin 2sin .cos sin 0y x x x x x x x x x
2 3 3
2sin 1 cos sin 0 3sin 0 sin 0x x x x x x k k
.
Bài 8. Cho hàm s
2
2sin cos2y x x x
, giải phương trình
3y

.
ng dn
TXĐ :
D
Ta có:
4sin cos 2sin2 1 2sin2 2sin2 1 4sin2 1y x x x x x x
3 4sin2 1 3 sin2 1 2 2
24
y x x x k x k k


Bài 9. Cho hàm s
1
sin 1 cosy x x
, giải phương trình
2(cos sin )y x x

.
ng dn
TXĐ :
D
Ta có:
22
c
os 1 cos sin 1 sin cos sin cos siny x x x x x x x x
, nên
22
2(cos sin ) cos sin cos sin 2(cos sin )y x x x x x x x x
(cos sin )(cos sin ) (cos sin ) 0 (cos sin )(cos sin 1) 0x x x x x x x x x x
sin 0
4
4
2sin . 2 sin 1 0
2
44
1
sin
2
4
2
2
xk
x
x x k
xk
x
xk














Bài 10. Tính đạo hàm ca hàm s
sin 2
2
yx




và giải phương trình
0y
.
ng dn
TXĐ :
D
Ta có
sin 2 cos2 2sin 2
2
y x x y x



. Vy
0 sin2 0
2
y x x k k
Bài 11. Cho hàm s
2
cot
4
x
y
. Khi đó nghiệm của phương trình
'0y
ng dn
TXĐ :
\
4 ,D k k
Ta có :
2
2
1 1 1
cot . cot . 1 cot
2 4 2 4 4
sin
4
x x x
y
x








.
Nên
0 cot 0 2 4
4 4 2
xx
y k x k k
Bài 12. Cho hàm s
2
sin2 cos2f x x x
, giải phương trình
2sin2yx
.
ng dn
TXĐ :
D
Ta có :
4cos2 2sin2y x x

2sin2 4cos2 2sin2 2sin2 sin2 cos2y x x x x x x
2 1 2 cos2 0
4 8 2
tan x x k x k k do x
Bài 13. Tính đạo hàm ca hàm s sau:
3
sin
2 1yx
và giải phương trình
6
cos 2 1yx

.
ng dn
TXĐ :
D
Ta có
2
6
sin 2 1 cos 2 1y x x
. Vy
6
cos 2 1yx

22
6sin 2 1 cos 2 1 6cos 2 1 cos 2 1 1 sin 2 1 0x x x x x


3
1
cos 2 1 0 cos 2 1 0 2 1
2 2 4 2
x x x k x k k
.
Bài 14. Tính đạo hàm ca hàm s sau:
3
sin cosy x x
và giải phương trình
3 3sin2yx

.
ng dn
TXĐ :
D
Ta có :
2
3 sin cos cos siny x x x x
, suy ra
2
3 3sin 2 3 sin cos cos sin 3 3sin 2y x x x x x x
.
2
22
3 sin cos cos sin 3(sin cos ) (sin cos ) cos sin 1 0x x x x x x x x x x


.
4
sin 0
sin cos 0
4
4
2
1
sin cos 1 0
2
sin
2 sin 1 0
2
4
2
4
xk
x
xk
xx
xk
xx
x
x
xk














Bài 15. Tính đạo hàm ca hàm s sau:
sin2 cos2
2sin2 cos2
xx
y
xx
, giải phương trình
6y

.
ng dn
ĐK :
2sin2 cos2 0xx
.
Ta có
2
2cos2 2sin 2 2sin2 cos2 sin2 cos2 4cos2 2sin2
2sin2 cos2
x x x x x x x x
y
xx
2
6
2sin2 cos2
y
xx
2
2
6
6 6 2sin2 cos2 1
2sin2 cos2
y x x
xx
2 1 1
sin2 cos2
sin 2 sin
2sin2 cos2 1
5 5 5
2sin2 cos2 1 2 1 1
sin 2 sin
sin2 cos2
5 5 5
xx
x
xx
xx
x
xx





22
22
2
22
22
2
xk
xk
xk
xk
k
x k x k
xk
xk






vi
12
sin ;cos
55


(Tha mãn ĐK)
Bài 16. Cho hàm s
2
sinyx
, giải phương trình
3y
.
ng dn
TXĐ :
D
Ta có :
2sin cos sin2y x x x

. Khi đó
0 sin2 0 2
2
y x x k x k k
Bài 17. Cho hàm s
cos2 5sinxyx
, giải phương trình
0y
.
ng dn
TXĐ :
D
Ta có :
2sin2 5cosy x x
.
Nên
0 2sin2 5cos 0 4sin cos 5cos 0y x x x x x
cos 5 4sin 0 cos 0 5 4sin 0
2
x x x do x x k k
.
Bài 18. Cho hàm s
3sin cos 2y x x x
, giải phương trình
0y
.
ng dn
TXĐ :
D
Ta có :
3cos sin 2y x x
,
khi đó
5
0 3cos sin 2 0 sin 1 2
36
y x x x x k k




Bài 19. Cho hàm s
22
sin 2 2cosy x x
, giải phương trình
0y
.
ng dn
TXĐ :
D
Ta có :
4sin2 cos2 2sin2y x x x

,
nên
0
2sin2 cos2 sin 2 0 sin2 2cos2 1 0y x x x x x
2
sin 2 0
2
2
1
22
cos2
3
2
3
xk
x
xk
k
xk
x
xk

.
Bài 20. Tìm m để phương trình
0y
có nghim biết rng
cos 2sin 3 5y m x x x
.
ng dn
TXĐ :
D
Ta có :
sin 2cos 3y m x x
, khi đó
0
sin 2cos 3 1y m x x
Phương trình
0y
có nghim khi và ch khi (1) có nghim khi và ch khi :
22
5
4 9 5
5
m
mm
m

.
BÀI TP T GII
Bài 1. Giải phương trình
'f x g x
biết
3
sin 2 ; 4cos2 5sin4f x x g x x x
Bài 2. a) Cho
sin2 2cosy x x
. Hãy giải phương trình
0y
.
b) Cho
3sin2 4cos 12y x x x
. Hãy giải phương trình
2y
.
Bài 3. Giải phương trình
0y
trong mỗi trưng hp sau:
a)
sin2 2cosy x x
b)
3sin2 4cos2 10y x x x
c)
2
cos siny x x
d)
tan coty x x
e)
3cos 4sin 5y x x x
f)
2
1 sin( ) 2cos
2
x
yx



g)
1
sin2 sin 3
2
y x x
h)
sin2 2cosy x x
i)
2
cos siny x x
j)
tan coty x x
k)
2 cos 3siny x x x
l)
3sin2 4cos2 10y x x x
CHUYÊN ĐỀ 5
ĐẠO HÀM HÀM KÉP ĐIU KIN TN TẠI ĐẠO HÀM
I. Tính đạo hàm ca hàm s
10
20
khi
khi
f x x x
fx
f x x x
Phương pháp:
c 1: Kim tra hàm s có liên tc ti
0
x
hay không:
0
0
li
m
xx
f x f x
c 2: S dng công thức tính đạo hàm
0
0
0
0
' lim
xx
f x f x
fx
xx
BÀI TP MU
Bài 1. Tính đo hàm ca hàm s
24
khi 0
1
khi 0
4
x
x
x
fx
x

ti
0x
ng dn
Ta có:
0 0 0
2 4 1
lim lim lim 0
4
24
x x x
xx
f x f
x
xx


Suy ra hàm s liên tc ti
0x
.
Ta có:
2
2
0 0 0
2 4 1
0
1
4
' 0 lim lim lim
64
2 8 4 4
x x x
x
f x f
x
x
f
xx
x x x

Bài 2. Cho hàm s
11
khi 0
khi 0
x
x
fx
x
ax

. Tìm a để hàm s có đạo hàm ti
0x
tính đạo hàm ti
0x
.
ng dn
Ta có:
0 0 0
1 1 1
lim lim lim
2
11
x x x
xx
fx
x
xx

Để hàm s có đạo hàm ti
0x
thì hàm s phi liên tc ti
0x
Suy ra
0
1
lim 0
2
x
f x f a
Đạo hàm ca hàm s ti
0x
là:
2
2
0 0 0
1 1 1
0
1
2
' 0 lim lim lim
08
2 2 2 1
x x x
x
f x f
x
x
f
xx
x x x

Bài 3. Tính đo hàm ca hàm s
32
11
khi 0
()
0 khi 0
xx
x
fx
x
x
ti
0x
.
ng dn
Ta có :
(0) 0f
, do đó:
32
2
32
0 0 0
( ) (0) 1 1 1 1
lim lim lim
2
11
x x x
f x f x x x
xx
xx
Vy
1
(0) .
2
f
II. Tính đạo hàm ca hàm s
10
20
khi
khi
f x x x
fx
f x x x
Phương pháp:
c 1: Kim tra hàm s có liên tc ti
0
x
hay không:
00
0
lim lim
x x x x
f x f x f x



c 2:
Xét
0
xx
. S dng công thức tính đạo hàm
0
0
0
0
' lim
xx
f x f x
fx
xx
Xét
0
xx
. S dng công thức tính đạo hàm
0
0
0
0
' lim
xx
f x f x
fx
xx
BÀI TP MU
Bài 1. Cho hàm s
2
khi 1
khi 1
xx
fx
ax b x

. Tìm
,ab
để hàm s có đạo hàm ti
1x
ng dn
Hàm s có đạo hàm ti
1x
thì hàm s phi liên tc ti
1x
.
Suy ra
11
l
im lim 1 1
xx
f x f x f a b


Hàm s có đạo hàm ti
1x
thì
'
1 ' 1ff

.
Ta có:
0
0
11
' 1 lim 2
11
' 1 lim
x
x
f x f
f
x
f x f
fa
x




Để
'
1 ' 1 2 1f f a b

Bài 2. Chng minh rng: Hàm s
1
x
y
x
liên tc ti
0x
nhưng không có đạo hàm ti
0x
ng dn
a) Ta có:
00
0 0 0 0
lim lim 0
1
lim lim 0 lim lim 0
1
00
xx
x x x x
x
fx
x
x
f x f x f x f
x
f



Nên hàm s liên tc ti
0x
Ta có:
00
00
0
' 0 lim lim 1
0
' 0 lim lim 1
xx
xx
f x f
f f x
x
f x f
f f x
x




'
0 ' 0ff

nên hàm s không có đạo hàm ti
0x
Bài 3. Tính đạo hàm ca hàm s
32
2 3 khi 1
()
2 7 4
khi 1
1
xx
fx
x x x
x
x

ti
0
1x
.
ng dn
Ta có:
11
l
im ( ) lim 2 3 5
xx
f x x


32
2
1 1 1
2 7 4
lim ( ) lim lim 3 4 0
1
x x x
x x x
f x x x
x
Dn ti
11
lim ( ) lim ( )
xx
f x f x


suy ra: hàm s không liên tc ti
0
1x
nên hàm s không có đạo
hàm ti
0
1x
.
Bài 4. Chng minh rng hàm s
2
2 | 1|
()
1
xx
fx
x

liên tc ti
1x 
nhưng không có đạo hàm
tại điểm đó.
ng dn
Vì hàm
()fx
xác định ti
1x 
nên nó liên tc tại đó.
Ta có:
( 1) ( 1)
( ) ( 1) 2
( 1) lim lim 1
11
xx
f x f x
f
xx





( 1) ( 1)
( ) ( 1)
( 1) lim lim 2 2
1
xx
f x f
f
x




( 1) ( 1)ff


()fx
không có đạo hàm ti
1x 
.
Bài 5. Cho hàm s
2
2 1 1
11
x khi x
fx
x bx khi x

. Để hàm s này có đạo hàm ti
1x
thì giá
tr ca
b
là?
ng dn
Ta có:
13f
11
l
im lim 2 1 3
xx
f x x


2
11
lim lim 1 2
xx
f x x bx b


Để hàm s
fx
có đạo hàm ti
1x
khi và ch khi
fx
liên tc ti
1x
11
l
im lim 1
xx
f x f x f


23b
1b
Bài 6. Tìm
,ab
để hàm s
2
1
1
x x khi x
fx
ax b khi x


có đạo hàm ti
1x
.
ng dn
Điu kin cần để hàm s có đạo hàm ti
1x
là hàm s liên tc ti
1x
.
12f
2
11
lim lim 2
xx
f x x x


11
l
im lim
xx
f x ax b a b


Để hàm s
fx
có đạo hàm ti
1x
thì
fx
liên tc ti
1x
11
l
im lim 1
xx
f x f x f


2ab
Điu kiện đủ:
1f
1
1
lim
1
x
f x f
x
2
1
2
lim
1
x
xx
x


1
l
im 2 3
x
x

1f
1
1
lim
1
x
f x f
x
1
1
lim
1
x
f x f
x
1
lim
1
x
ax b a b
x
1
lim
1
x
ax a
a
x

Để hàm s
fx
có đạo hàm ti
1x
thì
1f
1f
31ab
Bài 7. Tìm
,ab
để hàm s
3
1
3
1
x
khi x
fx
ax b khi x

có đạo hàm ti
1x
.
ng dn
Điu kin cn:
1
1
3
f
3
11
1
lim lim
33
xx
x
fx






11
l
im lim
xx
f x ax b a b


Để hàm s
fx
có đạo hàm ti
1x
thì
fx
liên tc ti
1x
11
l
im lim 1
xx
f x f x f


1
3
ab
Điu kiện đủ:
1f
1
1
lim
1
x
f x f
x
3
1
1
33
lim
1
x
x
x
2
1
1
lim 1
3
x
xx

1f
1
1
lim
1
x
f x f
x
1
1
lim
1
x
f x f
x
1
lim
1
x
ax b a b
x
1
lim
1
x
ax a
a
x

Để hàm s
fx
có đạo hàm ti
1x
thì
1f
1f
2
1
3
ab
BÀI TP T GII:
Bài 8. Cho hàm s
2
2
khi 1
khi 1
x a x
fx
x bx x
. Tìm
,ab
để hàm s liên tc ti
1x 
(HD:
2; 4ab
)
Bài 9. Cho
sin3 0
3 2 0
x khi x
y f x
x khi x


. Tính đạo hàm ca hàm s ti
0
0x
bằng định
nghĩa.
Bài 10. Cho hàm s:
2
sin
0
()
00
x
khi x
y f x
x
khi x

a) Chng minh rng
fx
liên tc ti
0
0x
.
b) Tính đạo hàm (nếu có) ca
fx
tại điểm
0
0x
.
Bài 11. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm ca hàm s
2
1
cos khi 0
()
0 khi 0
xx
y f x
x
x

ti
điểm
0
0x
Bài 12. Chng minh rng hàm s:
2
2
( 1) 0
()
0
x khi x
y f x
x khi x



không có đạo hàm
tại điểm
0
0x
nhưng có đạo hàm ti
0
2x
.
Bài 13. Tìm
, ab
để hàm s
2
21
()
11
x khi x
y f x
ax b khi x


có đạo hàm tại điểm
1x
.
Bài 14. Cho hàm s:
cos sin 0
()
10
p x q x khi x
y f x
px q khi x


Chng minh rng vi mi cách chn
, pq
hàm s không th có đạo hàm tại điểm
0x
.
Bài 15. Tìm
, ab
để hàm s
3
2
20
()
0
x khi x
y f x
x ax b khi x


có đạo hàm tại điểm
0x
.
Khi đó tính
'0f
HD:
0
; 2; ' 0 0a b f
Bài 16. Cho hàm s
2
()
21
x
y f x
x

a) Xét s liên tc ca hàm s ti
0
2x
b) Xét xem ti
0
2x
hàm s có đạo hàm không?
Bài 17. Cho
2
2
2
3
sin 0
00
x
x khi x
y f x
x
khi x

.
a) Xét s liên tc ca hàm s ti
0
0x
b) Xét xem ti
0
0x
hàm s có đạo hàm không?
Bài 18. Chng minh rngm s
2
23
31
xx
y
x

liên tc ti
3x 
nng không đạo hàm ti
đim y.
Bài 19. Cho hàm s:
2
sin
0
00
x
khi x
y f x
x
khi x

a) Chng minh rng
fx
liên tc ti
0
0x
.
b) Tính đạo hàm (nếu có) ca
fx
tại điểm
0
0x
.
Bài 20. Cho hàm s:
2
1
sin 0
()
00
x khi x
y f x
x
khi x

a) Tính đạo hàm ca hàm s ti mi
x
.
b) Chng t rằng đạo hàm
fx
không liên tc tại điểm
0
0x
.
Bài 21. Xét s tn tại đạo hàm ca các hàm s sau trên :
a)
2
22
1
2
1
x x khi x
y
khi x
x
b)
2
1
2
1
x x khi x
y
khi x
x

Bài 22. Tìm a, b để hàm s sau có đạo hàm ti x = 1:
a)
2
1
1
x khi x
y
ax b khi x

b)
2
2
2 2 1
1
x khi x
y
x ax b khi x
Bài 23. Dùng định nghĩa, tính đo hàm ca hàm s
1
x
y
x
ti
0
0x
.
Bài 24. Chng minh rng hàm s
2
23
31
xx
y
x

liên tc ti
–3x
nng kng có đo hàm ti
đim y.
Bài 25. Chng minh rng hàm s
3
2
yx
liên tc ti
0x
nhưng không có đạo hàm ti
0x
CHUYÊN ĐỀ 6
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM
I. S dụng đạo hàm để tính gii hn dng
0
;
0
: Quy tc LÔPITAN
Phương pháp:
S dng quy tc Lopitan:
00
lim lim
x x x x
f x f x
g x g x

BÀI TP MU
Bài 1. Tính gii hn:
1)
2
1
1
lim
1
x
x
x
2)
2
73
lim
2
x
x
x

ng dn
1)
2
2
1 1 1
1
12
lim lim lim 2
11
1
x x x
x
xx
x
x
2)
2 2 2
1
73
7 3 1
27
lim lim lim
2 1 6
2
x x x
x
x
x
x
x


BÀI TP T GII
Bài 1. Tính các gii hn sau theo quy tc Lopitan:
1)
2
1
1
lim
1
x
x
x
.ĐS: 2. 2)
0
1
lim 2
x
x
x



ĐS:
1.
3)
3
2
2
8
lim
4
x
x
x
ĐS: 3 4)
2
1
3 4 1
lim
1
x
xx
x

ĐS: 2
Bài 2. Tìm các gii hn sau theo quy tc Lopitan:
1)
2
2
4 1 3
lim
4
x
x
x

ĐS:
1
6
2)
2
0
11
lim
x
x
x

ĐS: 0
3)
4
53
lim
4
x
x
x

ĐS:
1
6
4)
2
9
3
lim
9
x
x
xx
ĐS:
1
.
54
5)
2
7
23
lim
49
x
x
x

ĐS:
1
.
56
6)
32
1
2 7 4
lim
43
x
xx
xx

ĐS:
4
15
Bài 3. Tìm các gii hn sau theo quy tc Lopitan
1.
0
11
lim
x
xx
x
ĐS: 1 7.
4
35
lim
15
x
x
x


ĐS:
1
.
3
2.
1
1
lim
32
x
x
x

ĐS: 2. 8.
1
2 2 3 1
lim
1
x
xx
x
ĐS:
1
4
II. S dụng đạo hàm trong bài toán gii PT-BPT
Phương pháp:
S dng công thức tính đạo hàm rồi thay vào bài toán để gii.
Chú ý: Cho tam thc
2
( 0),f
x ax bx c a
1. Để
,0x xf 
thì:
Trường hp 1: Xét
0a
Trường hp 2:
0
0
a

2) Để
( ) 0,f x x
thì:
Trường hp 1: Xét
0a
Trường hp 2:
0
0
a

3) Để
( ) 0,f x x
thì:
Trường hp 1: Xét
0a
Trường hp 2:
0
0
a

4) Để
( ) 0,f x x
thì :
Trường hp 1: Xét
0a
Trường hp 2:
0
0
a

BÀI TP MU
Bài 1. Cho hàm s
32
5y mx x x
. Tìm m để:
a)
y
bằng bình phương của mt nh thc bc nht.
b)
0y
có hai nghim trái du.
c)
0y
vi mi
x
.
ng dn
Ta có:
2
3 2 1y mx x
a) Để
y
là bình phương của mt nh thc bc nhất thì phương trình
0y
có nghim kép
Suy ra
00
1
' 0 1 3 0
3
mm
m
m




. Vy: ..
b) Để
0y
có hai nghim trái du thì
. 0 3 0 0a c m m
.
c) Để
0y
vi mi
x
thì:
3 0 0
1
' 0 1 3 0
3
mm
m
m




. Vậy………………….
Bài 2. Cho hàm s
3
1
x
fx
x
. Giải phương trình
0fx
.
ng dn
Điu kin:
1x
.
23
32
22
31
23
11
x x x
xx
fx
xx



32
0
0 2 3 0
3
2
x
f x x x
x
. Vậy: …………….
Bài 3. Cho hàm s
2
2f x x x
. Gii bất phương trình
f
x
f x
ng dn
Ta có
2
1
2
x
fx
xx
. Khi đó
2
2
1
2
2
x
f x f x x x
xx
(1)
Đk:
;
0
2;x 
.
(1)
22
35
2
1 2 3 1 0
35
2
x
x x x x x
x
.
Kết hp với điều kin trên suy ra
0x
hoc
35
2
x
.
Bài 4. Cho hàm s
2
21f x x x x
. Gii bất phương trình
0.fx
ng dn
Ta có
2
1
2 2 1 2 .
21
f x x x x x
x
2
2 2 2 1 2
21
x x x x
x
2
5 2 4
21
xx
x

.
Điu kin
1x
.
0fx
2
5 2 4 0xx
1 21
5
1 21
5
x
x


.
Bài 5. Cho hàm s
3
2
23
3
x
f x mx m x
. Tìm các giá tr nguyên ca tham s
m
để
'0fx
vi mi
x
.
ng dn
Ta có
2
22f x x mx m
0f
x
x
2
2 2 0x mx m x
10
'0
a 

2
20mm
12m
m
nguyên nên
1;
0;1;2m
.
Bài 6. Cho
2
3 2 3
2 3, 3
2
x
f x x x g x x
. Gii bất phương trình
f
x g x

.
ng dn
2
3 2 2 3 2
2 3 6 2 , 3 3
2
x
f x x x x x g x x x x




2 2 2
6 2 3 3 3 0 ;0 1;f x g x x x x x x x x

Bài 7. Cho
3
60 64
35 f x x
xx
. Giải phương trình
0fx
.
ng dn
Ta có
3 2 4
60 64 60 192
3 5 3f x x
x x x x



24
6
0 192
0 3 0 1fx
xx
. Đặt
2
1
,0tt
x
2
11
1 192 60 3 0
4 16
t t t t
Vi
2
2
1 1 1
42
44
t x x
x
Vi
2
2
1 1 1
16 4
16 16
t x x
x
Vy
0fx
có 4 nghim
2x
,
4x
Bài 8. Cho hàm s
2
7f x x x
. Gii bất phương trình
1
2
fx
.
ng dn
Xét tam thc:
2
7xx
1 28 27 0
10a

2
70xx
,
x
.
Ta có
2
2
7
27
xx
fx
xx


2
21
27
x
xx

.
Do đó
1
2
fx
2
2 1 1
2
27
x
xx


2
2 1 7x x x
2
2
2 1 0
2 1 7
x
x x x

22
1
2
4 4 1 7
x
x x x x

2
1
2
3 3 6 0
x
xx

1
2
2
1
x
x
x


1x
.
Bài 9. Cho hàm s
32
1
5
32
m
xy x x m
. Tt c các giá tr ca tham s
m
để
0y
,
x
.
ng dn
32
1
5
32
y
m
x x mx 
;
2
my xx m
2
0, 0,x x mx m xy
2
4 0 0 4m m m
.
Bài 10. Cho hàm s
32
11
4 2019
34
y x x x
. Gi
S
là tp hp tt c các nghim nguyên ca bt
phương trình
0y
. Tng tt c các phn t ca
S
bng bao nhiêu?
ng dn
2
1
4
2
y x x
.
0y
2
1
40
2
xx
1 65 1 65
44
x


.
1
;0;1;2S 
nên có tng các phn t là:
2
.
Bài 11. Cho hàm s
32
1
1010 2019 2020
3
y x x x
. Gii bất phương trình
0y
.
ng dn
Ta có
2
2020 2019y x x
.
2
0 2020 2019 0y x x
1
2019
x
x
.
Vy tp nghim ca bất phương trình là
;1
2019;S  
.
BÀI TP T GII
Bài 1. Gii bất phương trình
''f
x g x
biết
2
3 2 3
2 2018; 2020
3
x
f x x x g x x
Bài 2. Cho hàm s
3
2
35
3
mx
y x mx
. Xác định m để
'
0 f x x
(HD:
3m
)
Bài 3. Cho hàm s
32
1
25
3
y x x mx
. Tìm m để
'
0 0;2f x x
(HD:
0m
)
Bài 4. Cho hàm s
3 2 2
1
2 1 4
3
y x m x m x
. Tìm m để:
a)
'( ) 0fx
vi mi
0x
b)
'0fx
có hai nghim phân bit cùng du
c) Trong trường hp
'0fx
có hai nghim. Tìm h thc gia hai nghim không ph thuc vào m.
Bài 5. Giải phương trình
'0fx
biết
2
2
34
1
xx
fx
xx


Bài 6. Gii bất phương trình
'f
x f x
biết
2
2f x x x
Bài 7. Cho hàm s
32
32y x x x
. Tìm
x
sao cho: a)
2y

b)
10y
Bài 8. Gii các bấy phương trình:
a)
0y
vi
2
33
1
xx
y
x

b)
0y
vi
2
2
1
1
xx
y
xx


Bài 9. Tìm các nghim của phương trình sau:
a)
0fx
vi
32
1
( ) 2 6 1
3
f x x x x
. b)
–5fx
vi
4 3 2
13
( ) 3
42
f x x x x
.
Bài 10. Cho hàm s
32
( ) 3 2f x x x
. Hãy gii các bất phương trình sau:
a)
( ) 0fx
b)
( ) 3fx
Bài 11. Gii bất phương trình
f
x g x

, biết rng:
a)
3
( ) 2f x x x
2
( ) 3 2g x x x
b)
32
( ) 2 3f x x x
2
3
( ) 3
2
x
g x x
Bài 12. Cho hàm s
2
2 24y x x
. Gii bất phương trình
2 ( ) ( )f x f x
Bài 13. Cho hàm s
2
2 12y x x
. Gii bất phương trình
( ) 0fx
. (TN THPT 2010)
Bài 14. Cho hàm s:
32
( ) 2 3y f x x x mx
. Tìm
m
để:
a)
fx
là bình phương của mt nh thc bc nht.
b)
0,f
x x

.
c)
0,( 2) 0
; f x x
.
d)
0
, 0f x x
.
Bài 15. Cho hàm s:
32
( ) 3 2
32
mx mx
y f x m x
. Tìm
m
để:
a)
0,f
x x

.
b)
fx
có hai nghim phân bit cùng du.
c) Chng minh rằng trong trường hp
fx
hai nghim (hai nghim th trùng nhau) thì
các nghim này tha mãn mt h thức độc lp vi
m
.
Bài 16. Tìm
m
để:
a)
3
y mx x
0,yx
.
b)
32
1
43
3
y x mx x
0,yx
.
c)
32
3 4y x mx mx
0,yx
.
d)
32
3 2 1 2 5 2y x m x m x
0,yx
.
e)
32
1
2 2
3
y x x mx
0,yx
.
f)
32
1
––
3
y x mx mx
0
, 0;yx
.
Bài 17. Vi mi hàm s sau đây: Tìm TXĐ Tính
y
Xét du
y
, ch ra
0y
,
0y
trên khong, các khong nào:
a)
3
3 1y x x
b)
32
1
3 8 2
3
y x x x
c)
21
2
x
y
x
d)
2
2
1
xx
y
x

e)
2
22
1
xx
y
x
f)
1
1
2
y
x

g)
42
–4y x x
h)
42
41y x x
i)
4 1
1
1
yx
x

j)
2
4 3 y x x
k)
32
1
3 7 2
3
y x x x
l)
42
23y x x
m)
32
5y x x
n)
2
4yx
o)
2
2
1
xx
y
x
p)
2
2
7 12
23
xx
y
xx


q)
2
3y x x
r)
2
20y x x
s)
2
89
5
xx
y
x

t)
1
2
1
yx
x

u)
2
23y x x
III. S dụng đạo hàm chứng minh đẳng thc:
Phương pháp:
S dng các công thức để tính đạo hàm ri thay vào biu thức để biến đổi
BÀI TP MU
Bài 1. Cho hàm s
2
1 y x x
. Chng minh:
2
10
y x y
ng dn
Ta có:
2
222
1
1
111


x x x y
y
xxx
.
22
1 1 0

y x y y x y
.
Bài 2. Cho hàm s
2
1 y x x
. Chng minh:
2
2 1 .x y y

ng dn
Ta có:
22
2
22
11
1 . 1 . 1
1
2 1 2 1
x
y x x x x
x
x x x x






22
2 2 2
2
1 1 1
.
1 2 1 2 1
21
x x x x y
x x x
xx

.
2
2 1 .x y y
.
Bài 3. Cho hàm s
3
1yx
. Chng minh:
2
3 1 0yy

ng dn
32
3
1 1 3 1y x y x y y
2
3 1 0yy
Bài 4. Chng minh các công thc tng quát sau
a)
2
2
11
1 1 1 1
22
2
1 1 1
1 1 1
2
ab
a c b c
xx
ab
a c b c
ax bx c
a x b x c
a x b x c








; (
1 1 1
, , , , ,a b c a b c
là hng s) .
b)
2
11
2
11
2
11
11
. 2 .
bc
a a x a b x
ab
ax bx c
a x b
a x b






; (
11
, , , ,a b c a b
là hng s) .
ng dn
a)
2 2 2 2
2
1 1 1 1 1 1
22
2
1 1 1
1 1 1
..ax bx c a x b x c ax bx c a x b x c
ax bx c
a x b x c
a x b x c








=
22
1 1 1 1 1
2
2
1 1 1
2 . . 2ax b a x b x c ax bx c a x b
a x b x c

=
2
1 1 1 1 1 1
2
2
1 1 1
. . 2 . . . .a b a b x a c a c x b c b c
a x b x c

. ( đpcm)
b)
'
'
22
2
1 1 1 1
2
11
11
..ax bx c a x b ax bx c a x b
ax bx c
a x b
a x b





2
1 1 1
2
11
2 . .ax b a x b ax bx c a
a x b
.
2
1 1 1 1
2
11
. 2 . . .a a x a b x b b a c
a x b
.( đpcm)
BÀI TP T GII
Bài 1. Chng minh rng hàm s
ax b
y
cx d
có đạo hàm là
2
'
()
ad bc
y
cx d
Áp dụng tính đạo hàm ca :
35
2
x
y
x
,
4
32
y
x
,
2
13
x
y
x
Bài 2. Chng minh rng hàm s
2
''
ax bx c
y
b x c

có đạo hàm là
2
2
' 2 ' ' '
'
( ' ')
ab x ac x bc b c
y
b x c
Áp dụng tính đạo hàm ca :
2
27
2
xx
y
x

,
2
1
32
x
y
x
,
2
21
5
xx
y
x

Bài 3. Chng minh hàm s
2
2
' ' '
ax bx c
y
a x b x c


có đạo hàm là:
2
22
2
' ' ' ' ' '
'
( ' ' ')
a b a c b c
xx
a b a c b c
y
a x b x c


Áp dụng tính đạo hàm ca :
2
2
21
33
xx
y
xx


,
2
2
3 6 1
32
xx
y
xx


,
2
2
2 5 6
5
xx
y
x


Bài 4. Chng minh rng hàm s:
a)
2
2y x x
tha h thc:
3
'' 1 0yy
.
b)
3
2
1y x x
thỏa hệ thức:
2
1 '' ' 9 0x y xy y
.
c)
5
3y
x

thỏa hệ thức:
'3xy y
.
d)
3
4
x
y
x
thỏa hệ thức:
2
2( ') ( 1) ''y y y
CHUYÊN ĐỀ 7
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYN CỦA ĐỒ TH
Dng 1. Phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm
00
;M
x y
Phương pháp:
- c 1: Tìm tọa độ tiếp điểm
00
;M
x y
- c 2: Tính
''y
f x
, ri suy ra h s góc ca tiếp tuyến là
0
'fx
- c 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ th
C
ti
00
;M
x y
là:
0 0 0
'.y f x x x y
BÀI TP MU
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ th
3
41y x x
ti :
a) Điểm
1; 2M
b) Tại điểm có hoành độ bng 2.
c) Tại điểm có tung độ bng 1.
ng dn
Ta có:
2
' 3 4yx
a) H s góc ca tiếp tuyến là:
2
' 1 3.1 4 1y
Phương trình tiếp tuyến là:
00
'
1 . 1 1 2 1y y x x y x x
b) Ta có:
3
0 0 0 0
2 4 1 1x y x x
H s góc ca tiếp tuyến là:
2
' 2 3.2 4 8y
Phương trình tiếp tuyến là:
8
2 1 8 15y x x
c) Ta có:
0
33
0 0 0 0 0 0
0
0
1 4 1 1 4 0 2
1
x
y x x x x x
x

TH1:
00
0
; 1 ' 0 4x y y
Phương trình tiếp tuyến là:
4
0 1 4 1y x x
Tương tự hai trường hp còn li, các em t viết.
Bài 2. Cho hàm s
32
21y x x
có đồ th
C
. Viết phương trình tiếp tuyến ca
C
ti
điểm
1
; 4M
ng dn
Ta có
2
34y x x

. Do đó
17y
. Phương trình tiếp tuyến tại điểm
1
; 4M
73yx
.
Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ th hàm s
4
1
y
x
tại điểm có hoành độ
0
1x 
ng dn
Ta có
2
4
11
1
yy
x

.
Theo gi thiết ta có
0
1x 
nên
0
2y 
tiếp điểm
1
; 2M 
.
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ th hàm s tại điểm
1
; 2M 
là :
1
1 2yx
3yx
.
Bài 4. Cho hàm s
3
31y x x
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ th (C), biết tung độ
tiếp điểm bng
3
ng dn
Ta có:
2
33yx

. Gi
00
;M
x y
là tiếp điểm
Ta có:
3
0 0 0 0 0
3 3 2 0 2, 1y x x x x
0
1 ( 1) 0xy
. Phương trình tiếp tuyến:
3y
. Phương trình tiếp tuyến: .
Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ th hàm s tại giao điểm của đồ th
hàm s vi trc tung
ng dn
Ta có:
2
2
2 2 1
'
21
xx
y
x

.
Giao điểm
M
của đồ th vi trc tung :
00
01xy
H s góc ca tiếp tuyến ti
M
:
01k
y'
.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm
M
: .
Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ th hàm s
23
1
x
y
x
tại giao điểm của đồ th hàm s
vi trc hoành bng :
Li gii
Tập xác định:
\
1 .D
0
2 (2) 9xy
9( 2) 3 9 15y x x
2
31
21
xx
y
x

1yx
Đạo hàm:
2
1
.
1
y
x
Đồ th hàm s ct trc hoành ti
2
; 0 .
3
A



H s góc ca tiếp tuyến là
2
9.
3
y



Phương trình tiếp tuyến là:
2
9 0 9 6
3
y x y x



Bài 7. Cho hàm s
24
3
x
y
x
có đồ th
(H)
. Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm ca
(H)
vi trc hoành là:
ng dn
Giao điểm của đồ th hàm s vi trc hoành
(2;0)A
. Ta có:
2
2
' '(2) 2
( 3)
yy
x
Phương trình tiếp tuyến cn tìm
2( 2)yx
hay
24yx
.
Bài 8. Gọi
M
là giao điểm của đồ thị hàm s
21
2
x
y
x
với trục tung. Viết phương trình tiếp
tuyến với đồ thị hàm số trên tại điểm
M
.
ng dn
M
là giao điểm của đồ thị với trục
Oy
1
0;
2
M



2
3
( 2)
y
x
3
(0)
4
ky
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm
M
là:
31
42
yx
Bài 9. . Cho hàm s:
32
1 3 1 2y x m x m x m
. Tìm
m
để tiếp tuyến của đồ th
hàm s tại điểm có hoành độ bng
1
đi qua điểm
2
; 1A
.
ng dn
Hàm s đã cho xác định vi
x
.
Ta có:
2
' 3 2 1 3 1y x m x m
Vi
1
1 3 1 ' 1 6x y m y m
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có
1x
:
6
1 3 1y m x m
Tiếp tuyến này đi qua
2
; 1A
nên có:
1 6 3 1 2mmm
Vy,
2m 
là giá tr cn tìm.
Bài 10. Gi (Cm) là đồ th ca hàm s
32
(2 1) ( 3) 3y x m x m x
và (d) là tiếp
tuyến ca (C) tại điểm có hoành độ
2x
. Tìm m để khong cách t gc tọa độ O đến (d)
bng
7
17
.
ng dn
Hàm s đã cho xác định vi
x
.
Ta có:
2
' 3 2 2 1 3.y x m x m
Phương trình tiếp tuyến (d) :
'(2)( 2) (2)y y x y
1
1 7 2 7 6 11 7 8 15 (11 7 ) 8 15 0y m x m m x m m x y m
22
2
8 15
7
(0,( )) 17(8 15) 49[(11 7 ) 1]
17
(11 7 ) 1
m
d d m m
m

2
1313 3466 2153 0 1,m m m
2153
1313
m
BÀI TP T GII
Bài 1. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ th
1
1
x
y
x
biết hoành độ tiếp điểm là
0
0x
Bài 2. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ th
2yx
biết tung độ tiếp điểm là
0
2y
Bài 3. Cho hàm s
32
31y x x
có đồ th là (C). Viết phương trình tiếp tuyến ca (C) :
1. Tại điểm
M
1; 3
; 2. Tại điểm có hoành độ bng 2 ;
3. Tại điểm có tung độ bng 1 ;. 4. Tại giao điểm (C) vi trc tung ;
ĐS:
1.
36yx
2.
24 27yx
3.
1y
,
9 28yx
4.
1y
Dng 2. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết h s góc
k
Phương pháp:
c 1: Tính
'fx
c 2: Giải phương trình
00
'f
x k x y
c 3: Phương trình tiếp tuyến là:
00
.y
k x x y
Chú ý:
Nếu đường thng song song vi
y ax b
thì
ka
.
Nếu đường thng vuông góc vi
y ax b
thì
1
k
a

.
Nếu đường thng to vi trc Ox mt góc
thì
tank
Nếu đường thng to với đường thng
d
góc
thì
tan
1.
ka
ka
. Vi
a
là h s góc ca
đường thng
d
Nếu đường thng d ct các trc Ox, Oy lần lượt ti A, B thì
tan
OB
OAB
OA

, trong đó hệ s góc
của d được xác định bi
'
tany x OAB
BÀI TP MU
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ th
C
:
24
6y x x
, biết tiếp tuyến vuông góc
với đường thng
1
1
6
yx
.
ng dn
Hàm s đã cho xác định
D
Gi
t
là tiếp tuyến của đồ th
C
ca hàm s
t
vuông góc với đường thng
1
1
6
yx
,
nên đường thng
t
có h s góc bng
6
.
Cách 1: Gi
00
;M
x y
là tọa độ tiếp điểm ca tiếp tuyến
t
và đồ th
C
ca hàm s . Khi
đó, ta có phương trình:
3
0 0 0
' 6 4 2 6y x x x
2
0 0 0
1 2 2 3 0x x x
. Vì
2
0 0 0
2 2 3 0,x x x
nên phương trình
00
1
1 4 1;4x y y M
.
Phương trình tiếp tuyến cn tìm là:
6
1 4 6 10y x x
.
Cách 2: Phương trình
t
có dng
6y x m
t
tiếp xúc
C
ti điểm
00
;M
x y
khi h phương trình sau có nghim
0
x
42
0 0 0
3
00
66
4 2 6
x x x m
xx
có nghim
0
0
1
10
x
x
m
Vy phương trình tiếp tuyến cn tìm là:
6
1 4 6 10y x x
.
Bài 2. Cho hàm s
3
12
33
y x x
có đồ th là (C). Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó tiếp
tuyến của đồ thị vuông góc với đường thẳng
12
33
yx
.
ng dn
Hàm s đã cho xác định
D
Ta có:
2
'1yx
Gi
3
0 0 0 0 0
12
( ; ) ( )
33
M x y C y x x
,
Tiếp tuyến ∆ tại điểm M có hệ số góc:
2
00
'( ) 1y x x
Đường thẳng d:
12
33
yx
có hệ số góc
2
1
3
k 
22
1 2 0 0
1
. 1 ( 1) 1 4
3
d k k x x



00
00
4
2
3
20
xy
xy
Vậy, có 2 điểm
4
2;0 , 2;
3
M



là tọa độ cn tìm.
Bài 3. Cho hàm s
3
3 2 (C) y x x
. Viết phương trình tiếp tuyến ca
(C)
biết h s góc ca
tiếp tuyến bng 9.
ng dn
Hàm s đã cho xác định và liên tc trên R.
Gi
0
x
là hoành độ tiếp điểm M khi đó
0
x
là nghim của phương trình
0
22
0 0 0
0
2
'( ) 9 3 3 9 4 (2;0)
2
x
y x k x x M
x

hoc
( 2; 4)M 
+) Vi
(2;0)M
phương trình tiếp tuyến là
9 18yx
.
+) Vi
( 2; 4)M 
phương trình tiếp tuyến là
9 14yx
.
Bài 4. Cho hàm s
32
31 y x x
có đồ th
(C)
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ th
(C)
song song với đường thng
:9 6 0 xy
.
ng dn
Đưng thng
:9 6 0 9 6 x y y x
có h s góc là 9
Vì tiếp tuyến cn tìm song song với đường thng
suy ra tiếp tuyến có h s góc
9k
.
Suy ra hoành độ tiếp điểm là nghim của phương trình
2
3
' 3 6 9
1

x
y k x x
x
Vi
1x
, phương trình tiếp tuyến là
9( 1) 3 9 6 y x y x
( loi vì trùng với đường
thng
).
Vi
3x
, phương trình tiếp tuyến là
9( 3) 1 9 26 y x y x
( tha mãn ).
Vậy phương trình tiếp tuyến cn tìm là
9 6.yx
Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ th hàm s
9
1
x
y
x
biết tiếp tuyến vuông góc vi
đường thng
: 2 2 0 d x y
.
ng dn
Đưng thng
1
: 2 2 0 1
2
d x y y x
nên đường thng d có h s góc là
1
2
d
k
.
Tiếp tuyến cn tìm có h s góc k vuông góc vi đường thng
1
. 1 2
d
d k k k
k
.
Hoành độ tiếp điểm là nghim của phương trình:
2
1
8
'2
3
( 1)

x
yk
x
x
Vi
1x
, phương trình tiếp tuyến là:
2( 1) 5 2 7. y x y x
Vi
3x
, phương trình tiếp tuyến là:
2( 3) 3 2 9 y x y x
.
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến tha mãn là:
1
: 2 7; 2 9 d y x y x
.
Bài 6. Cho hàm s
1
2
x
y
x
có đồ th
(C)
và điểm
(2;1)I
. Viết phương trình tiếp tuyến d ca
(C)
tại điểm M sao cho
IM d
.
ng dn
Tập xác định
\2DR
Ta có
2
1
'
( 2)

y
x
. Gi s
0
00
0
1
( ; ) (x 2)
2
x
Mx
x
H s góc ca tiếp tuyến (d) ti M của đồ th (C):
10
0
1
'( )
2

k y x
x
.
H s góc của đường thng
0
0
2
2
00
1
1
21
:
2 ( 2)

MI
MI
x
y y x
IM k
x x x x
d
vuông góc của đường thng
0
4
1 2 0
22
0
00
3
11
. 1 . 1 ( 2) 1
1
( 2) ( 2)

x
IM k k x
x
xx
Vi
0
3 (3;2) : 5 x M d y x
.
Vi
0
1 (1;0) : 1 x M d y x
.
Vy các tiếp tuyến tha mãn là
5 dx
hoc
1 yx
.
Bài 7. Cho hàm s
22
2
x
y
x
(C)
. Viết phương trình tiếp tuyến với đ th
(C)
biết tiếp tuyến
to với đường thng
3yx
mt góc
0
45
.
ng dn
Tập xác định
\2DR
.
Gi s tiếp tuyến d cn tìm có h s góc k. Vì d to với đường thng
3yx
có h s góc
'k
mt
góc
0
45
nên suy ra
0
2
'3
tan45 1 1
1
1 . ' 1 3
2



k
k k k
k k k
k
Gọi hoành độ tiếp điểm là nghim của phương trình:
2
00
0
22
0
00
2
0
2
2 (VN)
( 2) 0
2 2 1
'( )
2 1 4
( 2) ( 2) 2
( 2) 2




xx
y x k k
x
xx
x
Vi
0
0x
suy ra phương trình tiếp tuyến cn tìm là:
11
( 0) 1 1.
22
y x x
Vi
0
4x
suy ra phương trình tiếp tuyến là
11
( 4) 3 5
22
y x x
.
Vy có hai tiếp tuyến tha mãn là
11
1; 5.
22
y x y x
Bài 8. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ th hàm s
2
23
x
y
x
biết rng tiếp tuyến ct trc
hoành và trc tung lần lượt ti
A
B
sao cho tam giác
OAB
cân ti
O
vi
O
là gc ta
độ.
ng dn
Tập xác định
3
\
2



DR
.
Tam giác
OAB
vuông cân ti
O
nên suy ra h s góc ca tiếp tuyến là
1k
hoc
1k
.
Khi đó hoành độ tiêp đim
0
x
là nghim của phương trình:
2
00
2
0
0
2
0
1
1 (VN)
(2 3) 1
1
'1
12
(2 3)
1
(2 3)

xx
yk
x
x
x
Vi
00
11 xy
, phương trình tiếp tuyến là
yx
(loi vì ct trc tung và trc hoành ti
O
nên
A B O
).
Vi
00
20 xy
, phương trình tiếp tuyến là
2 yx
(tha mãn).
Vy tiếp tuyến cn tìm là
2 yx
.
Bài 9. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ th hàm s
2
23
x
y
x
biết rng tiếp tuyến ct trc
hoành và trc tung lần lượt ti
A
B
sao cho tam giác
OAB
cân ti
O
vi
O
là gc ta
độ.
ng dn
Tập xác định
\1DR
.
Ta có
1
tan
4

OB
OAB
OA
nên h s gócca tiếp tuyến
1
4
k
hoc
1
4
k
.
Nhưng do
2
1
' 0, 1
( 1)
yx
x
nên h s góc ca tiếp tuyến là
1
4
k
.
Hoành độ tiếp điểm
0
x
là nghiệm phương trình
0
2
0
0
3
11
1
( 1) 4



x
x
x
.
T đó ta xác định được hai tiếp tuyến tha mãn:
1 5 1 13
;
4 4 4 4
y x y x
.
Bài 10. Cho hàm s
1
2( 1)
x
y
x
có đồ th
()C
. Tìm những điểm
M
trên
()C
sao cho tiếp
tuyến vi
()C
ti
M
to vi hai trc tọa độ mt tam giác có trng tâm nằm trên đường thng
40xy
.
ng dn
Hàm s đã cho xác định
\1D
Gi
M
(
0
0
0
1
;
2( 1)
x
x
x
)
()C
là điểm cn tìm.
Gi
tiếp tuyến vi (C) ti
M
ta có phương trình
:
'
0
00
0
1
( )( )
2( 1)
x
y f x x x
x
0
0
2
0
0
1
1
()
2( 1)
1
x
y x x
x
x
Gi
A Ox
2
00
21
;0
2
xx
A




,
B Oy
2
00
2
0
21
0;
2( 1)
xx
B
x




.
OAB
có trng tâm là:
G
22
0 0 0 0
2
0
2 1 2 1
;
6 6( 1)
x x x x
x



.
Do
G
thuộc đường thng
40xy
22
0 0 0 0
2
0
2 1 2 1
4. 0
6 6( 1)
x x x x
x
2
0
1
4
1x
(vì
2
00
2 1 0xx
)
00
00
11
1
22
13
1
22
xx
xx







Vi
0
1 1 3
;
2 2 2
xM



Vi
0
3 3 5
;
2 2 2
xM



.
Bài 11. Cho hàm s
32
3 9 10y x x x
có đồ th là (C). Trong tt cả các tiếp tuyến của đồ thị
(C), hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nht.
ng dn
Hàm s đã cho xác định
D
Ta có:
2
' 3 6 9y x x
.
Gọi
00
( ; ) ( )M x y C
:
32
3 9 10y x x x
.
Tiếp tuyến tại điểm
M
có hệ số góc:
22
0 0 0 0
'( ) 3 6 9 3( 1) 12 12k y x x x x
mink 12,
đạt được khi:
00
1 y 21.x
Vậy trong tt cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số, tiếp tuyến tại
M
1;16
có hệ số góc nhỏ nht
và có phương trình là:
12 9yx
BÀI TP T GII
Bài 1. Cho hàm s
32
31y x x
có đồ th là (C). Viết phương trình tiếp tuyến ca (C) :
1. Có h s góc là
3
.
2. Vuông góc với đường thng (d ):
27 3 2019 0xy
.
3. Song song với đường thẳng (d’ ) :
24 2020 0xy
.
Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ th
32
1
2
3
y x x
biết tiếp tuyến song song
3 2020yx
(HD:
1
3 ; 3 11
3
y x y x
)
Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ th
32
21
3
33
y x x
biết tiếp tuyến vuông góc vi
4 2021xy
(HD:
1 2021
4 2021
44
x y y x
. Suy ra tiếp tuyến có h s góc
4k 
T đó viết được
4
4 ; 4 1
3
y x y x
)
Bài 4. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ th
32
1
2 3 1
3
y x x x
biết tiếp tuyến có h s
góc ln nht.
Bài 5. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ th
3
32y x x
biết tiếp tuyến song song trc
hoành.
Bài 6. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ th
2
2 3 9y x x
biết tiếp tuyến hp vi trc
hoành góc
0
45
Bài 7. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ th
42
6y x x
biết tiếp tuyến vuông góc vi
đường thng
1
2019
6
yx
Dng 3. Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm
11
;A
x y
Phương pháp:
Cách 1:
c 1: Tính
'fx
c 2: Gi
00
;M
x y
là tiếp điểm suy ra phương trình tiếp tuyến là:
0 0 0
'.y f x x x y
(1)
c 3: Vì tiếp tuyến đi qua
11
;A
x y
nên thay
11
;x x y y
vào phương trình (1) để tìm
00
xy
c 4: Thay
00
,xy
vào (1) để viết lại phương trình tiếp tuyến.
Cách 2:
Đường thng
d
đi qua điểm
11
;A
x y
có h s góc là
k
có dng :
11
y
k x x y
.
Để
d
là tiếp tuyến thì h:
11
'
f
x k x x y
f x k
. Gii h trên được

00
xy
tiếp
tuyến.
BÀI TP MU
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ th
32
31y x x
biết tiếp tuyến qua
1;3A
ng dn
Ta có:
2
' 3 6y x x
.
Cách 1:
Gi
00
;M
x y
là tiếp điểm suy ra h s góc ca tiếp tuyến là :
2
0 0 0
' 3 6k y x x x
Phương trình tiếp tuyến là:
2 3 2
0 0 0 0 0
3 6 . 3 1y x x x x x x
(1)
(Các em chú ý
32
0 0 0
31y x x
)
Vì tiếp tuyến đi qua
1;3A
nên thay
1; 3xy
vào (1) ta được:
00
2 3 2
0 0 0 0 0
00
1 9; 3
3 3 6 . 1 3 1
2 0; 3
x k y
x x x x x
x k y



Vậy phương trình tiếp tuyến là:
9 6; 3y x y
Cách 2:
Đưng thng
d
đi qua điểm
1;3A
có h s góc là
k
có dng :
13y
k x
.
Để
d
là tiếp tuyến của đồ th thì h phương trình
2
1 3 1
' 3 6 2
f x k x
k f x x x
có nghim.
Thay
2
vào
1
ta được:
3 2 2 3 2 3 2 2
3
3 1 3 6 1 3 3 1 3 3 6 6 3
1
2 6 4 0
2
x x x x x x x x x x x
x
xx
x

Vi
1 9; 3
2 0; 3
x k y
x k y



suy ra phương trình tiếp tuyến là:
9 6; 3y x y
Bài 2. Cho đồ th hàm s
32
:
2 3 5C y f x x x
. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ th
C
biết tiếp tuyến đi qua đim
19
;4
12
A



.
ng dn
Gi
k
h s góc ca tiếp tuyến đi qua
19
;4
12



A
ti
C
.
Phương trình tiếp tuyến
là:
19
4
12



y k x
.
tiếp xúc vi
C
32
2
19
2 3 5 4 1
12
6 6 2
x x k x
x x k




có nghim
Thay
k
t
2
vào
1
ta được:
3 2 2
19
2 3 5 6 6 4
12



x x x x x
3 2 2
4 6 19 2 12 19 x x x x x x
32
8 25 19 2 0 x x x
1
2
1
8

x
x
x
.
Vi
10xk
phương trình tiếp tuyến là:
4y
Vi
2 12xk
phương trình tiếp tuyến là:
19
12 4 12 15
12
y x y x



Vi
1 21
8 32
xk
phương trình tiếp tuyến là:
21 19 21 645
4
32 12 32 128
y x y x



Vy t điểm
19
;4
12



A
k được
3
tiếp tuyến ti
C
Bài 3. Có hai tiếp tuyến của đồ th hàm s
32
1
x
yC
x
đi qua điểm
9
;0A
. Tính tích h s
góc ca hai tiếp tuyến đó?
ng dn
TXĐ:
\1
2
1
1
y
x
Đưng thng
d
đi qua điểm
9
;0A
vi h s góc
k
có phương trình
9y
k x
.
Đưng thng
d
tiếp xúc với đồ th
C
khi và ch khi h phương trình sau có nghim
2
32
91
1
1
2
1
x
kx
x
k
x

Thế
2
vào
1
, ta có:
2
3 2 1
. 9 3 2 1 9
1
1
x
x x x x
x
x

2
1
3 4 7 0
7
3
x
xx
x

Do đó tích hệ s góc ca hai tiếp tuyến đó bằng
79
1 . .
3 64
yy





Bài 4. Tìm điểm trên đường thng
21yx
để t đó kẻ được đến đồ th
C
ca hàm s
3
1
x
y
x
đúng một tiếp tuyến?
ng dn
TXĐ:
\1D
.
Gi
;
2 1A a a
: 2 1d y x
.
Gi
k
là h s góc của đường thng
d
đi qua
;
2 1A a a
.
Suy ra phương trình
:
2 1d y k x a a
Xét h phương trình:
2
3
21
1
4
1
x
k x a a
x
k
x
1
2
34
21
1
1
x
x a a
x
x

2
1
2 2 2 4 6 4 0 2
x
ax a x a
Để t
;
2 1A a a
ch k được mt tiếp tuyến đến
C
thì
phương trình
1
có mt nghim
phương trình
2
có mt nghim khác
1
.
Có các trường hp sau:
Trường hợp 1: phương trình
2
là phương trình bậc nht có nghim
1x
0
1
8 4 0
2
a
x
x
( T/m). Suy ra
0
;1A
tha mãn.
Trường hợp 2: phương trình
2
là phương trình bậc hai có nghim kép
1x
2
12
0
2 4 2 6 4 0
24
1
2
a
a a a
a
xx
a
2
0
8 8 16 0
a
aa
1
2
a
a

.
Suy ra có 2 điểm tha mãn
1; 1
2;5
A
A

Trường hợp 3: phương trình
2
là phương trình bậc hai có hai nghim phân biệt trong đó có
mt nghim
1x
2
0
2 4 2 6 4 0 1
2 2 2 4 6 4 0
a
a a a a
a a a
. Suy ra
1
;3A
tha mãn.
Vycó
4
điểm tha mãn yêu cầu đầu bài.
Bài 5. Tìm s tiếp tuyến của đồ th hàm s
32
4 6 1 y x x
, biết tiếp tuyến đó đi qua đim
1
; 9 .M
ng dn
TXĐ: R
Ta có:
2
12 12
y x x
.
Phương trình đường thẳngđi qua
1
; 9M 
có dng:
:
1 9y k x
.
là tiếp tuyến của đồ th khi và ch khi h phương trình sau có nghiệm:
32
32
2
5
4 6 1 1 9
8 6 12 10 0
4
12 12
1
x x k x
x
x x x
k x x
x


Vi
1 24xk
phương trình tiếp tuyến
2
4 1 9 24 15y x y x
Vi
5 15
44
xk
phương trình tiếp tuyến
15 15 21
19
4 4 4
y x y x
Có 2 tiếp tuyến tha mãn yêu cu .
Bài 6. Cho hàm s
32
3y x x
có đồ th
C
và điểm
;0Mm
sao cho t
M
v đưc ba tiếp
tuyến đến đồth
C
, trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc vi nhau. Tìm giá tr ca
m
?
ng dn
TXĐ: R
Ta có
2
36y x x

.
Đưng thng
d
đi qua
;0Mm
có h s góc
k
có phương trình :
y
k x m
d
là tiếp tuyến ca
C
khi và ch khi h phương trình sau có nghim:
32
2 3 2 3 2
2
3
3 6 3 2 3 1 6 0
36
k x m x x
x m x x x x x m x mx
k x x

2
0
2 3 1 6 0 1
x
x m x m
.
Khi
0x
ta có phương trình tiếp tuyến
0y
.
Đối với đồ th hàm s không có tiếp tuyến nào vuông góc vi
0y
nên yêu cầu bài toán tương
đương phương trình
1
có hai nghim
1
x
2
x
khác
0
tha
12
.1y
x y x


22
1 1 2 2
3 6 3 6 1x x x x
1
2 1 2 1 2
9 . . 2 4 1 0x x x x x x


9
3 3 3 1 4 1 0m m m


27 1 0m
1
27
m
.
Thay
1
27
m
vào
1
th li có 2 nghim phân bit khác
0
.
Vy
1
27
m
tha mãn yêu cu bài toán.
Bài 7. Cho hàm số
42
22y x x
có đồ th
C
. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ th
C
biết tiếp tuyến đi qua điểm
0
;2A
?
ng dn
TXĐ: R
Ta có:
3
44y x x

Đưng thng
d
đi qua điểm
0
;2A
có h s góc
k
có dng:
2y kx
Để đường thng
d
là tiếp tuyến của đồ th
C
khi và khi h phương trình sau có nghim:
42
4 2 3 4 2
3
0
2 2 2
2
2 2 4 4 2 3 2 0
3
44
2
3
x
x x kx
x x x x x x x x
x x k
x


Vi
00xk
phương trình tiếp tuyến là:
2y
.
Vi
2 4 6
39
xk
phương trình tiếp tuyến là:
46
2
9
yx
.
Vi
2 4 6
39
xk
phương trình tiếp tuyến là:
46
2
9
yx
Bài 8. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ th hàm s
3
31y x x
()C
biết tiếp tuyến đó đi
qua điểm
(3;19)A
ng dn
Gi s tiếp điểm ca tiếp tuyến cần tìm là điểm
00
( ; )M x y
. ta có phương trình tiếp tuyến là
23
0 0 0 0
(3 3)( ) 3 1y x x x x x
()d
d
đi qua điểm
(3;19)A
nên ta có:
23
0 0 0 0
19 (3 3)(3 ) 3 1x x x x
.
Giải phương trình trên ta được
0
3x
hoc
0
3
2
x 
.
Vi
0
3x
thì phương trình tiếp tuyến cn tìm là
24 53yx
.
Vi
0
3
2
x 
thì phương trình tiếp tuyến là
15 31
44
yx
Vy có hai tiếp tuyến tha mãn yêu cu bài toán là
24 53yx
15 31
44
yx
.
Bài 9. T điểm
(1;3)A
có th k được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ th hàm s
21
1
x
y
x
ng dn
Gọi điểm
00
( ; )M x y
là tiếp điểm ca tiếp tuyến cần tìm. Phương trình tiếp tuyến của đồ thm
s
21
1
x
y
x
ti
M
là:
0
00
2
00
21
3
( ) ( 1)
( 1) 1
x
y x x x
xx

.
Tiếp tuyến đi qua
(1;3)A
nên ta có
0
00
2
00
21
3
3 (1 ) ( 1)
( 1) 1
x
xx
xx

0
7x
Vậy qua điểm A k đưc duy nht mt tiếp tuyến đến đồ th hàm s./
Bài 10. Cho hàm s
2
1
x
y
x
có đồ th
()C
và điểm
(0; )Aa
. Tìm
a
để t điểm
A
k được
hai tiếp tuyến đến đồ th
()C
sao cho tiếp điểm nm v hai phía ca trc hoành.
ng dn
Gi s điểm
00
( ; )M x y
là tiếp điểm ca tiếp tuyến cần tìm. Ta có phương trình tiếp tuyến ti
M
0
0
2
00
2
3
()
( 1) 1
x
y x x
xx

0
1x
Tiếp tuyến này đi qua điểm
A
nên ta có :
00
0
2
00
32
( 1)
( 1) 1
xx
ax
xx

2
0 0 0 0 0
2
00
( 2)( 1) ( 1) 3 0 ( 1)
(1 ) (2 4) 2 0 (*)
x x a x x x
a x a x a
Theo định lý viet ta có :
12
12
24
1
2
.
1
a
xx
a
a
xx
a

. Vi
12
;xx
là hai nghim ca (*)
Để tiếp điểm ca hai tiếp tuyến nm v hai phía đối vi trc hoành thì
12
.0yy
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
2 2 4
2
24
2 2 2( ) 4
11
. 0 0 0
3
2 2 4
1 1 ( ) 1
1
1
11
aa
a
x x x x x x
aa
aa
x x x x x x
a
aa







Vy với các điểm
(0; )Aa
tha mã
2
;1
3
aa
ta luôn k đưc hai tiếp tuyến thỏa mãn đề bài
Bài 11. Cho hàm s
1
yx
x

có đồ th
()C
. Tìm tp hợp các điểm mà t đó kẻ đưc hai tiếp
tuyến đến đồ th
()C
và hai tiếp tuyến y vuông góc vi nhau.
ng dn
Gi
(a;b)M
là điểm bt kì trong mt phng tọa độ. Phương trình đường thng
d
qua M có h s
góc
k
là:
()y k x a b
.
d
là tiếp tuyến của đồ th
()C
khi và ch khi h phương trình sau có nghim:
2
11
()
11
1 ; 1
k x a b x kx x ka b
xx
k kx x k
xx







. (1)
2 2 2
2( 2) 4 0 (2)a k ab k b
T
2
1
1k
x

ta thy vi mi
1k
thì luôn có hai giá tr ca x trái du, do đó hệ (1) có nghim
(2) có hai nghim
12
;1kk
.
Mt khác, hai tiếp tuyến này vuông góc vi nhau nên ta có
12
.1kk
.
Yêu cu bài toán
(2)
có hai nghim phân bit tha mãn :
12
12
.1
;1
kk
kk

2
22
2
0
0
4
14
(1) 0
a
a
b
ab
a
ab
f


.
Vy tp hợp điểm
M
là đường tròn tâm
(0;0)O
, bán kính bằng 2, sau khi đã bỏ đi 4 điểm là
giao với các đường thng
0,x y x
.
Bài 12. Cho hàm s
2
2
1
x mx m
y
x

có đồ th (C) . Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
để t điểm
(0;1)A
không k đưc bt kì tiếp tuyến nào đến đồ th
()C
.
ng dn
Phương trình tiếp tuyến của đồ th
()C
tại điểm
00
( ; )M x y
22
0 0 0 0
0
2
00
2 4 2
()
( 1) 1
x x x mx m
y x x
xx

Tiếp tuyến không đi qua điểm
(0;1)A
nên phương trình
2
0 0 0
( 3) 2( 1) 1 0, ( 1) (*)m x m x m x
vô nghim hoc có nghim
0
1x 
TH1:
3 0 3mm
ta có
0
1
2
x 
nên
3m
không tha mãn
TH2:
3m
.
(*)
vô nghim
' 0 1m
TH3:
(*)
có nghim
0
1x 
suy ra
20
(vô lý ).
Vy
1m
thì không có tiếp tuyến nào của đồ th
()C
đi qua A.
Bài 13. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ th hàm s
3
31y x x
biết tiếp tuyến đó đi qua
điểm
( 2; 1)A 
.
ng dn
Phương trình tiếp tuyến của đồ th
()C
tại điểm
00
( ; )M x y
là:
23
0 0 0 0
(3 3)( ) 3 1y x x x x x
Tiếp tuyến đi qua điểm
( 2; 1)A 
nên ta có:
23
0 0 0 0
1 (3 3)( 2 ) 3 1x x x x
32
00
0
0
2 6 8 0
1
1
2 9 17
xx
x
y
x y x


Vy có hai tiếp tuyến tha mãn yêu cu bài toán là
1y 
9 17yx
Bài 14. Cho hàm s
3
4 3 2y x x
có đồ th
()C
. Tìm trên đường thng
3y
các điểm mà
trên đó kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ th
()C
.
ng dn
Gi s
( ;3)Am
là điểm trên đường thng
3y
tha mãn t
A
k được 3 tiếp tuyến đến đ th
(C).
Phương trình tiếp tuyến:
23
0 0 0
( 12 3)( ) 4 3 2y x x x x x
.
Tiếp tuyến đi qua
A
nên ta có:
23
0 0 0
3 ( 12 3)(m ) 4 3 2x x x x
Hay
32
00
2
0 0 0
8 12 3 1 0
1
(8 (4 12 ) 2 6 ) 0
2
x mx m
x x m x m



Yêu cu bài toán
32
00
8 12 3 1 0x mx m
có 3 nghim phân bit
2
00
(8 (4 12 ) 2 6 ) 0x m x m
có hai nghim phân bit khác
1
2
1
'0
1
1
3
2
1
2
m
m
m
m




Vy t các điểm
( ;3)Am
tha mãn
11
( ; 1) ; \
32
m
 


k được 3 tiếp tuyến đến đồ th
(C).
Bài 15. Cho đồ th hàm s
3
34y x x
có đồ th
()C
. T điểm
(1;3)M
có th k được bao
nhiêu tiếp tuyến đến đồ th
()C
.
ng dn
Phương trình tiếp tuyến của đồ th
()C
tại điểm
00
( ; )M x y
là:
23
0 0 0 0
(3 12 )( ) 3 4y x x x x x
Tiếp tuyến đi qua
(1;3)M
nên ta có:
23
0 0 0 0
3 (3 12 )(1 ) 3 4x x x x
0
32
00
0
0
8 12 0
3
2
x
xx
x
Vy qua M k đưc hai tiếp tuyến đến đồ th (C).
Bài 16. Cho hàm s
21
1
x
y
x
có đồ th
(C)
và điểm
(1;2)I
. Tìm điểm
M
thuộc đồ th
()C
có hoành độ lớn hơn 2 sao cho tiếp tuyến ti M vuông góc với đường thng
IM
.
ng dn
Gi
0
0
0
21
;
1
x
Mx
x



thuc
(C)
. Phương trình tiếp tuyến ti M là
0
0
2
00
21
1
()
( 1) 1
x
y x x
xx

Phương trình đường thng
2
0
1
: ( 1) 2
( 1)
MI y x
x
Tiếp tuyến ti
M
vuông góc vi
MI
nên ta có:
0
22
0
00
0 ( )
11
.1
2
( 1) ( 1)
x loai
x
xx

Vi
00
23xy
. Vậy điểm
(2;3)M
Bài 17. Cho hàm s
2
1
x
y
x
có đồ th
C
và điểm
0;Aa
. Hi có tt c bao nhiêu giá tr
nguyên ca
a
trong đoạn
2
018;2018
để t điểm
A
k được hai tiếp tuyến đến
C
sao
cho hai tiếp điểm nm v hai phía ca trc hoành?
ng dn
TXĐ:
\1
Ta có :
2
3
1
y
x

Đưng thng
d
đi qua điểm
0;Aa
, h s góc
k
có phương trình:
.
Để
d
là tiếp tuyến ca
C
thì h phương trình
2
2
*
1
3
**
1
x
kx a
x
k
x

có nghim.
Thay (**) vào (*) ta được:
2
23
1
1
xx
a
x
x


2
1
2 2 2 0a x a x a
vi
1x
.
1
Do t
A
k được hai tiếp tuyến đến
C
nên phương trình
1
có hai nghim phân bit khác
1
.
1
2
3 2 0
1
1 2 2 2 0
a
a
a
a
a a a


.
2
Khi đó toạ độ hai tiếp đim
1
1
1
2
;
1
x
Mx
x



2
2
2
2
;
1
x
Nx
x



vi
1
x
,
2
x
là nghim ca
1
do
đó
12
22
1
a
xx
a

,
12
2
1
a
xx
a
.
Hai tiếp điểm nm v hai phía ca trc hoành khi:
12
12
22
.0
11
xx
xx


1 2 1 2
1 2 1 2
24
0
1
x x x x
x x x x

9 6 2
0
33
a
a
.
Kết hợp điều kin
2
suy ra
2
3
1
a
a

nên trên đoạn
2
018;2018
s giá tr nguyên ca
a
tha
yêu cu bài toán là
2018
.
Bài 18. Gi
S
là tp hợp các điểm thuộc đường thng
2y
mà qua mỗi điểm thuc
S
đều k
đượchai tiếp tuyến phân bit tới đồ thm s
2
1
x
y
x
đồng thi hai tiếp tuyến đó vuông
góc vi nhau. Tính tổng hoành độ
T
ca tt c các điểm thuc
S
.
ng dn
TXĐ:
\1
Ta có :
2
2
2
1
xx
y
x
2
1
1
11
x
yx
xx

Gọi điểm
;
2 : 2A a d y
. Đường thng
d
đi qua
A
có dng
2y
k x a
Điu kin tiếp xúc:
2
2
2
2
1
2
1
x
k x a
x
xx
k
x
2
2
1 4 4 0 *a k k
Để
2
tiếp tuyến vuông góc nhau thì phương trình ( * ) có 2 nghiệm
k
phân bit và tích ca hai
nghiệm đó bằng
1
2
4
1
1 a

3
1
a
a

Vy tổng hai hoành độ
2
.
BÀI TP T GII
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ th
2
yx
biết tiếp tuyến qua
0
; 1A
Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ th
32
33y x x
biết tiếp tuyến qua
23
;1
9
B



Bài 3. y viết phương trình tiếp tuyến của đồ th hàm s
y
f x
, biết tiếp tuyến qua điểm
A
a)
2
4
1
xx
y
x
, vi
1
; 4A
. b)
42
2y x x
, vi
0
; 1A
.
c)
3
31y x x
, vi
1
; –6A
. d)
2
44
1
xx
y
x

, vi
–1
; 0A
.
e)
42
69y x x
, vi
0
; 9A
Bài 4. Tìm m để đưng thng
1y mx
tiếp xúc
32
4y x x x
LP TOÁN THY THÀNH NGÕ 58 NGUYN KHÁNH TOÀN 0975.705.122
Bài 5. Tìm m để đưng thng
7yx
tiếp xúc
2
1
xm
y
x
Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến vi
2
:P
y x
, biết rng tiếp tuyến đó đi qua điểm
0
; 1A
.
Bài 7. Cho hàm s
32
3 2y x x
. Viết phương trình tiếp tuyến ca
C
, biết rng tiếp tuyến
đó đi qua
0
; 3A
.
BÀI TP TNG HP:
Bài 1. Cho đường cong
3
( ):C y x
và hai điểm
1
; 1A
1
;1B x y
trên
()C
.
a) Tính h s góc ca cát tuyến
AB
vi
x
lần lượt là
0,1
0,01
b) Tìm h s góc ca tiếp tuyến vi
()C
ti
A
.
Bài 2. Cho hàm s
1
()y f x
x

. có đồ th
()C
. Viết phương trình tiếp tuyến vi
()C
, biết:
a) tiếp điểm có hoành độ bng
2
b) Tiếp điểm có tung độ bng
3
c) H s góc ca tiếp tuyến
–4k
. d) Tiếp tuyến song song vi
: 9 2017d x y
e) Tiếp tuyến vuông góc vi
: 4 2017d x y
. f) Tiếp tuyến qua điểm
8
; 0A
Bài 3. Cho Parabol
2
yx
và hai điểm
2
; 4A
2 ; 4()B x y
trên parabol đó.
a) Tính h s góc ca cát tuyến
AB
biết
x
lần lượt bng
1
;
0,1
0,001
.
b) Tính h s góc ca tiếp tuyến của parabol đã cho tại điểm
A
.
Bài 4. Tìm h s góc ca cát tuyến
MN
với đường cong
C
, biết:
a)
2
:2C
y x x
và hoành độ
, MN
theo th t
2, 1
MN
xx
.
b)
2
1
:
xx
Cy
x

và hoành độ
, MN
theo th t
1, 3
MN
xx
.
Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ th hàm s
3
yx
, biết:
a) Tiếp điểm có hoành độ bng
1
.
b) Tiếp điểm có tung độ bng
8
.
c) H s góc ca tiếp tuyến bng
3
.
Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol
1
y
x
, biết:
a) Tại điểm
1
;2
2



.
b) Tiếp điểm có hoành độ bng
–1
.
c) H s góc ca tiếp tuyến bng
1
4
.
Bài 7. Cho đường cong
:C y x
. Viết phương trình tiếp tuyến ca
C
:
a) Biết h s góc ca tiếp tuyến bng
1
.
b) Biết tiếp tuyến song song vi
: 4 3 0xy
.
Bài 8. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ th hàm s:
a)
1
1
x
y
x
, biết hoành độ tiếp điểm là
0
0x
.
b)
2yx
, biết tung độ tiếp điểm là
0
2y
.
Bài 9. Cho hai hàm s
1
2
y
x
2
2
x
y
. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ th ca mi
hàm s đã cho tại giao đim ca chúng. Tính góc gia hai tiếp tuyến k trên.
Bài 10. Cho parabol
2
:P
y x
. Gi
1
M
2
M
là hai điểm thuc
P
lần lượt có hoành độ
1
–2x
2
1x
. Hãy tìm trên
P
một điểm
E
sao cho tiếp tuyến ti
E
song song vi cát
tuyến
12
MM
. Viết phương trình tiếp tuyến đó.
Bài 11. Cho hàm s
32
32y x x
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ th, biết rng tiếp
tuyến vuông góc với đường thng
:3 5 2017 0xy
.
Bài 12. Cho hàm s
42
:
1
m
C y f x x mx m
. Tìm tt c các giá tr ca tham s
m
để
các tiếp tuyến ca
m
C
ti
1
; 0A
–1
; 0B
vuông góc vi nhau.
Bài 13. Cho hàm s
2
cos siny x m x
(
m
là tham số) có đồ th
C
. Tìm
m
trong mỗi trường
hp sau:
a) Tiếp tuyến ca
C
tại điểm có
x
có h s góc bng
1
.
b) Tiếp tuyến ca
C
tại các điểm các hoành độ
4
x

3
x
song song hoc
trùng nhau.
Bài 14. Tìm giao điểm của hai đường cong
2
:1P
y x x
1
:
1
Hy
x
. Chng minh
rằng hai đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm ca chúng.
Bài 15. Cho parabol
2
( ):P y x
. Viết phương trình tiếp tuyến vi
P
, biết:
a) Tiếp tuyến song song với đường thng
: 4 3d y x
.
b) Tiếp tuyến đi qua điểm
0
; 1A
.
Bài 16. Viết phương trình tiếp tuyến ca:
a)
1
1
x
y
x
tại điểm
2
; 3A
.
b)
32
41y x x
tại điểm có hoành độ
0
–1x
.
c)
2
44y x x
tại điểm có tung độ
0
1y
.
d)
21yx
tại điểm có hoành độ
0
4x
.
e)
2
2 15
3
xx
y
x

biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng
3
4
.
f)
42
2 1y x x
biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng
24
.
g)
32
32y x x
biết tiếp tuyến
: 3 15 0d D x y
.
h)
3
3y x x
tại điểm có hoành độ
0
–1x
.
i)
21
1
x
y
x
tại điểm có hoành độ
0
2x
.
Bài 17. Cho
32
:
1
x
C y f x
x

. Lập phương trình tiếp tuyến ca
C
:
a) Tại điểm có hoành độ bng
2
b) Tại điểm có tung độ bng
5
2
c)
// : 25d D y x
d)
: 4 2017d x y
.
Bài 18. Gi
C
là đồ th hàm s
42
21y x x
. Viết phương trình tiếp tuyến ca
C
trong
mỗi trường hp sau:
a) Biết rng tiếp tuyến song song với đường thng
: –3 1d y x
.
b) Biết rng tiếp tuyến vuông góc với đường thng
: 7 2017xy
.
c) Biết rng tiếp tuyến đi qua điểm
0
; 2A
Bài 19. Gi
C
là đồ th hàm s
32
52y x x
. Viết phương trình tiếp tuyến ca
C
trong
mỗi trường hp sau:
a) Biết tung độ ca tiếp điểm bng
2
.
b) Biết rng tiếp tuyến song song vi trc hoành.
c) Biết rng tiếp tuyến vuông góc với đường thng
: 8 2017d x y
.
d) Biết rng tiếp tuyến đi qua điểm
0
; 6A
.
| 1/75

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ 1 TÌM SỐ GIA Phương pháp:
Để tính số gia của hàm số y f (x) tại điểm x tương ứng với số gia x
 cho trước ta áp dụng 0
công thức tính sau: y
  f x x   f x 0   0 x
 gọi là số gia của đối số tại điểm x x
  x x . 0 0 y
 gọi là số gia của hàm số tương ứng và y
  f x x   f x 0   0 BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Tìm số gia của hàm số 2
y x x , tương ứng với sự biến thiên của đối số từ x  2 đến 0 x x   5 0 Hướng dẫn
Số gia của hàm số là y
  f x x
   f x   f  5  f  2    2 5  5    2 2  2  18 0 0 
Bài 2. Tìm số gia của hàm số 2
y x – 3x  4 tại điểm x  2 ứng với số gia x  , biết x   4 0 Hướng dẫn x   4 Vì 
x  x  6 0 x  2  0 Khi đó y
  f x x
   f x   f  6   f  2    2 6  3.6  4    2 2  3.2  4  0 0  y Bài 3. Tính y  và của hàm số 2
y x xx Hướng dẫn Ta có: y
  f x x
   f x    x x
 2   x x      2 x x      2 2 x  2 . x x   x   x x     2 x x  2  2 . x x   x   x  2 y  2 . x x   x   x     2x x   1 xx
Bài 4. Tìm số gia của hàm số   4
f x x khi x  1 , x   1 . 0 Hướng dẫn Ta có: y
  f x x
  f x f 2  f 1  4 4 2  1  15 0   0 
Bài 5. Số gia của hàm số   3
f x x x khi x  0 , x   1 . 0 Hướng dẫn Ta có: y
  f x x
  f x f 1  f 0   3    3 1 1 0  0  2 0   0  x
Bài 6. Tìm số gia của hàm số f x 3  theo số gia x
 của đối số x tại x  0 . 3 0 Hướng dẫn x  3  3 0  x  3 Ta có: y
  f x x
  f x f x
   f 0    0   0  3 3 3
Bài 7. Số gia của hàm số   2
f x x x ứng với x , x  là 0 Hướng dẫn 2 Ta có: y
  f x x
  f x  x x
  x x    2 x xx   x   2x 1 0  0 0 0 0  0   0 
Bài 8. Tìm số gia của hàm số f x 2
x  2 khi x  0 , x   2 . 0 Hướng dẫn Ta có: y
  f x x
  f x f 2  f 0  2    2 2 2 0  2  4 . 0   0  1
Bài 9. Số gia của hàm số f x 
khi, x  1 , x   1 . 3 0 x  1 Lời giải 1 1 7  Ta có: y
  f x x
  f x f 1  f 0    . 0   0  3 3 2  1 1  1 18
Bài 10. Tìm số gia của hàm số f x  x  1 theo số gia x
 của đối số x tại x  0 . 0 Hướng dẫn Ta có: y
  f x x
  f x f x
   f 0  x  1. 0   0  BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 11. Tìm số gia của hàm số 2
y  2x  3x  5 , tương ứng với sự biến thiên của đối số:
a) Từ x  1 đến x x   2
b) Từ x  2 đến x x   0,9 0 0 0 0
c) Từ x  1đến x 1 x
d) Từ x  2 đến x  2  x  0 0 y Bài 12. Tính y  và
của hàm số sau theo x và x  : x
a) y  3x  5 b) 2 y  3x  7 c) 2
y  2x  4x 1 d) y  cos 2x
Bài 13. Tìm số gia của hàm số 2
y x –1 tại điểm x  1 ứng với số gia x  , biết: 0 a) x  1 b) x   –0,1 y Bài 14. Tính y  và
của hàm số sau theo x và x  : x a) 2
y  x  2x  3 b) 3
y x x  1 x  2 c) 3
y x  4x  5 d) y x  5 1  x 2 x e) y y  2x  f) 3 x  1 CHUYÊN ĐỀ 2 TÍNH ĐẠO HÀM Phương pháp:
Có hai cách để tính đạo hàm:
f x x
   f x
Cách 1: Dùng định nghĩa: y '  lim x  0  x
Cách 2: Dùng bảng công thức : ( bảng này thầy đính kèm ở file đầu tiên) BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Sử dụng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:
1) y  3x  5 2) 2
y x  4x 1 3) 3 2
y x  3x  5 2x  3 4) y  5) 2 y x x
6) y  cos 2x  3 x 1 Hướng dẫn
f x x
   f x
Sử dụng định nghĩa: y '  lim . x  0  x  1) Ta có:
f x x
   f x 3 x x
   53x  5 3 xy '  lim  lim  lim  3 x  0  x  0  x  0 xxx  2) Ta có:
f x x
   f x x x
 2  4x x   1 2 x  4x   1 y '  lim  lim x  0 x  0 xx  2 2 . x x   x   4. x   lim
 lim 2x x
  4  2x  4 x  0  x  0 x   3) Ta có:
f x x
   f x x x
 3  3x x  2 5 3 2
x  3x  5 y '  lim  lim x  0 x  0 xx  3 2 2 3 2 2 3 2
x  3x . x   3 . x x   x   3x  6 . x x   3 x
 5  x 3x  5  lim x  0  x  2 2 3 2 3x . x   3 . x x   x   6 . x x   3 x   lim  lim  2 2 3x  3 . x x   x
  6x  3 x   2  3x  6x x  0  x  0 x  4) Ta có: 2 x x    3 2x  3 
f x x
   f x x x   1 x 1 y '  lim  lim x  0 x  0 xx  2x  2 x
  3x  
1  2x  3 x x    1 2x  2 x   3 2x  3  x x    1  x       1 x x 1 x 1  lim  lim x  0 x  0 xx  2 2
2x  2x  2 . x x   2. x
  3x  3 2x  2 . x x
  2x  3x  3. x   3  lim x  0 x  x x    1  x   1 5  . x  5  5  lim    x   x  x x
  x   lim 1 1 x
   x x    1  x   1 x  2 0 0 1 5) Ta có:
f x x
   f x x x
 2  x x   2  x x y '  lim  lim x  0 x  0 xx  2 2 2 x  2 . x x   x   x x   x x  lim x  0 x   2 2 x  2 . x x   x   x x   2 x x  lim x  0 x   2 2 2 x  2 . x x   x   x x
  x x  2 2 . x x   x   x   lim x  0 x   2 2 2 x  2 . x x   x   x x
  x x  2x x  1 2x 1  lim  x  0  2 2 2 x  2 . x x   x   x x
  x x  2 2 x x 6) Ta có:
f x x
   f x cos 2   x x   3  cos  2x 3 y '  lim  lim x  0 x  0 xx  2
 sin 2x 3 x  .sin x   sin  x    lim  lim . 2  sin  2x 3 x    2  sin  2x3 x  0 x  0 xx
Bài 2. Sử dụng công thức, tính đạo hàm của các hàm số sau:
1) y  3x  5 2) 2
y x  4x 1 3) 3 2
y x  3x  5 2x  3 4) y  5) 2 y x x
6) y  cos 2x  3 x 1 Hướng dẫn
Các em tra bảng công thức để tính 1) Ta có:   
y  3x  5  y '  3x  5  3x  5  3  0  3 2) Ta có:   2  
y x x   y   2
x x     2 4 1 4 1
x   4x   
1  2x  4  0  2x  4 3) Ta có:  3 2
y x x   y   3 2 x x   2 2 3 5 3
5  3x  6x  0  3x  6x .   u
u .v u.v 4) (Sử dụng công thức    2  v v Ta có:   2x  3
2x 3 .x  
1  2x  3. x   1 2. x   1  2x  3.1 5  y   y    x 1 x  2 1 x  2 1 x  2 1  u
5) (Sử dụng công thức  u   ) 2 u Ta có:   2 x x 2x 1 2  y
x x y '   2 2 2 x x 2 x x
6) (Sử dụng công thức cos u  u  .sin u ) 
y  cos 2x  3  y  2x  3 .sin 2x  3  2  .sin 2x 3
Bài 3. Sử dụng công thức, tính đạo hàm của các hàm số sau: y   4 x   2
1 x x   1 Hướng dẫn  Sử dụng công thức  .
u v  u .v  . u v   y   4 x   1  2 x x   1  y   4 x   1 . 2 x x   1   4 x   1 . 2 x x   1 3  4x . 2 x x   1   4 x   1 .2x   5 4 3
1  6x  5x  4x  2x 1
Bài 4. Tính đạo hàm các hàm số sau: 3 a) 3 2
y x  3x  2x 1 d) 4 2 y  2  x x 1 2 2x 1 b) 3
y  x  3x 1 e) y x3 4 x 2 x  2x  2 c) 2 y   x 1 f) y  4 x 1 Hướng dẫn  a) Ta có: y   3
x x   2 3
1  3x  6x  2  b) Ta có: y   3
x x   2 3 1  3  x  3  4  x  c) Ta có: 2 3 y  
x 1  x  2x  4    3  d) Ta có: 4 2 3 y  2
x x 1  8  x  3x    2  (2x 1) (
x 3)  (x 3) (2x 1) 7  e) Ta có: y   2 2 (x  3) (x  3) 2 2
(x  2x  2) (
x 1)  (x  2x  2)(x 1) f) Ta có: y  2 (x 1) 2 2
(2x  2)(x 1)  (x  2x  2) x  2x  4   . 2 (x 1) x  2 1
Bài 5. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : 2 2x  2020 1 1) y x x x   3 với  0 . 2) y 6 x với x  0 ; 2 x Hướng dẫn 2  2      2x  2020  2x  2020 x 4x 3 4 1)  x x    x x x x x  3            3  .     2 3 2 3    2) 1 3 2 6 x      . 2 3  x x x
TÍNH ĐẠO HÀM HÀM HỢP Phương pháp:
Ta sử dụng định lý sau:
Nếu hàm số u g x có đạo hàm tại x u và hàm số y f u  có đạo hàm tại u y thì x u
hàm hợp y f g x có đạo hàm tại x y  y.u . x u x
Từ đó, ta có các công thức đạo hàm của hàm hợp thường gặp: với u u x      1  un u  n 1  .  n u .u   n      u u     2 u 2  u u BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Sử dụng công thức, tính đạo hàm hàm hợp của các hàm số sau: 5
1) y   x x 2016 2 2 3
2) y  2 x 34 1 3)    2 7 y x x
4) y  x x 5 2 1 Hướng dẫn
1) Sử dụng công thức:    u  1
 .u .u  Ta có: y   x x 2016 2 2 3     y 
x x  x x2015 3 2016. 2 3 . 2 3  2016. 4x  . 
 2x  3 x 2015 2 2 2  2 x   1    1 
2) Chú ý bài này các em phải chuyển đổi:   1  u     .u .u      . uu  5  y   5. 2 x  3 4   4 2 x 3        y
x   4     x    x     4 1 ' 5. 2 3 5. 4 . 2 3 . 2 3        x   5   x   5 1 20 20.2. . 2 3 . 2 3 2 x x
3) Sử dụng công thức    u  1
 .u .u  
y   x x2 7  y   7 x x  7
x x   6 x    7 2. . 2 7 1 . x x  1    1  4) Sử dụng công thức   1  u     .u .u      uu  1  y   x x 1 5   5 2
 2x x 1   
y   x x   x x   6    x   x x   6 2 2 2 5. 1 . 1 5 2 1 . 1
Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 3  5  a) yx x2 7   .
b) y    x 5 3 1 . c) y  4x    . 2  x Hướng dẫn
a) Ta có: y   7 x x  7
x x   7 x x 6 2 . 2 7x   1 . 4 4  b) Ta có: y   3  x   3  x  2 5 1 1  1  5x  3 1 x  . 2 2   5   5   10  5 
c) Ta có: y  3 4x  4x   3 4  4x         . 2 2 3 2  x   x   x  x
Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 2
y  1 2x x . b) 3 2
y x  3x  2 . Hướng dẫn   2
1 2x x  1 x a) Ta có: y   . 2 2 2 1 2x x 1 2x x  3 2 x 3x 2   2 3x  6x b) Ta có: y   . 3 2 x  2 3x  3 2 2 x  2 3x  2
Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 3 1 a) y y   . b) . 2x  52
x x 5 2 1 Hướng dẫn
3 2x  52  12   2x 5 12 a) Ta có: y        . 2x  54 2x 54 2x 53   2 x x  5 1   5   2 x x  4 1 . 2 x x   1 52x   1
b) Ta có: y       .   2
x x 10 1 x x x x    6 5 2 2 2 1 1
Bài 5. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 3  2x 1 4 5 a) y    . b) y   2
5x  4x   1 7x  3 .  x 1  Hướng dẫn 2 2 
 2x 1  2x 1  2x 1 3  92x  2 1
a) Ta có: y  3   3          .
x 1   x 1 
x 1  x  2 1 x  4 1  4  4 5 5 b) Ta có:  y   2
x x     x     x     2 5 4 1 7 3 7 3
5x  4x   1     .
y   x x  3  x   x     x  
x x 4 5 4 2 2 4 5 4 1 10 4 7 3 5 7 3 .7. 5 4 1 .
y   x x  3  x  4 2
  x   x    2 5 4 1 7 3 4 10 4 7 3 35 5x  4x   1 .
y   x x  3  x  4 2  2 5 4 1 7 3
455x 132x  83.
Bài 6. Tính đạo hàm của các hàm số sau: x a) y
với a là tham số.
b) y   x  3 2 . 2 2 a x Hướng dẫn 2 x 2 2 a x  2 2 2 a x a a) Ta có: y    . 2 2 a x  a x 3 2 2   x  23  3 x  22 3 x  2 b) Ta có: y    .  x  3 x  3 2 2 2 2 2 x
Bài 7. Cho hàm số y  , tính y0 . 2 4  x Hướng dẫn x 2 4  x x 2 4  x 4 Ta có: y    . Suy ra y  1 0  . 2 4  x 2  4x 3 2 2 2 3x  2x 1
Bài 8. Cho hàm số y  , tính y0 . 3 2 2 3x  2x 1 Hướng dẫn    2
3x  2x   3 2
1 .2 3x  2x 1   2
3x  2x   1 . 3 2
2 3x  2x 1 Ta có: y 
2 3x 2x 12 3 2  x x
6x  2 2 3x  2x 1  3x  2x   2 9 4 3 2 2 1 3 2 3x  2x 1 y   .
2 3x  2x 12 3 2 12x  4 3 2
3x  2x   1   2
9x  4x 2
3x  2x   2 1 9
x  8x  4 y   . 4 3 2
3x  2x   3 2 3 2 1 3x  2x 1 4 3x  2x 1 Suy ra: y  4 0  1. 4
x 2x 4 3 1
Bài 9. Cho hàm số y  , tính y1 . 2 3x 1 Hướng dẫn
x x 3 x   3x 4 2 1 3 2 3x 1 
x 2x 4 3 2 2 3 1 2 x  Ta có: 3 1 y  . 2 3x 1
4 x  2x  3
1 3x  23x  
1  3x x  2x  4 3 2 2 3 1 y   . 2 3x   2 1 3x 1
x 2x 3 3 1 4 2 3x  2 2 3x   1  3x  3 x  2x   1 y   . Suy ra y  1  0 . 2 3x   2 1 3x 1 BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 10. Tính đạo hàm của các hàm số sau bằng định nghĩa: x  4 1) 2
y x  6x 1 2) 2
y x x 3) y x4 4) 4 2
y x  2x x  3 5) y x  5
6) y  sin 2x  4 1
7) y  cos 4x  2018
8) y  tan 5x  2 9) y x1
Bài 11. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 3 a) 7 4 2
y x  3x  4x  4 x  4 b) 4 y  2x  10x  25 x c) y   2
x x   2 1 2
x  3x   1
d) y  2 x   1 4 x   3 3x 1 2 2x  3x  7 e) y  f) y  4x  5 2 x  2x  3
Bài 12. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 21 23
a) y  2x  3  x  4 b) 3 2
y  4x  3x  2
Bài 13. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau ( a là hằng số): 1 1 1 1 a) 4 3 2 3 y x x
x x a b) y  c) 5 2
y  3x (8  3x ) 4 3 2 2 5 (x x 1) 2x 5x  3
d) y  (x 1)(x  2)(x  3) e) y  f) y  2 x 1 2 x x 1 1 2 x 1 g) y  h) y  i) 2
y  2  5x x x x x 1 x x j) 2
y x x x 1 k) y  l) y  1 x 2 2 a x
Bài 14. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 3 2 x x 2 4 5 6 2 3x  6x  7 a) y    x 5 b) y     c) y  3 2 2 3 4 x x x 7x 4x  2  1 x 2
x  7x  5 d) y   3x x    1 e) y  f) y   x  1 x 2 x  3x 2 x 1 2 x  2x  2 g) y  h)    32 2 y x x i) y x x 1 5x  3 j) y  2 x x 1
Bài 15. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 2 2x  3x 1 2 x  6x 1
a) y  x x  5 2 4 1 b) y  c) y  2x  3 2 x x 1 2 x x  3 1 x 2  x d) y  e) y  f) y  2x 1 1 x 1 2 x 2 1 x x x g) y  h) y
i) y   x   2 1 x x 1 2 1 x x 2 x 1 CHUYÊN ĐỀ 3
TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TẠI Xo Phương pháp: f x f x
Cách 1: Sử dụng định nghĩa tính đạo hàm tại
là: y x  lim 0     0 xx  0 x x0
Cách 2: Các em sử dụng công thức tính đạo hàm rồi thay vào. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số 2
y x  2x tại x  5 . 0 Hướng dẫn
Cách 1: Sử dụng định nghĩa: 2 2     y f x f x x 5   5 2 5 2.5  lim  lim x5 x5 x  5 x  5 2 x  2x  35
x 5x 7  lim  lim 12 x 5  x 5 x  5  x  5
Cách 2: Sử dụng công thức tính đạo hàm rồi thay số:  Ta có: 2
y x x y   2 2
x  2x  2x  2
Do đó y5  2.5  2 12 .
Bài 2. Tính đạo hàm của hàm số y   0
sin 2x  30  tại 0 x  60 . 0 Hướng dẫn
Cách 1: Sử dụng định nghĩa:  x   y 60  sin  0 2 30  0 sin 90 0  lim0 0 x60 x  60 2 cos  0 x  30 .sin  0 x  60  sin  0 x  60  0 0 0  lim  lim .2 cos x  30  2cos 60  30  0 0 0 0 0     x60  x60 x 60 x  60
Cách 2: Sử dụng công thức tính đạo hàm rồi thay số:  Ta có: y   0 x   y   0 x    0 x     0 sin 2 30 2 30 .cos 2 30 2.cos 2x  30 
Do đó y 0    0 0 60 2 cos 60  30   0 .
Bài 3. Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra: 1 a) 2
y x x tại x  1
b) y x tại x  1 c) y  tại x  0 0 0 2 0 x  1 1 d) y  tại x  2 e) 2 y x  3 tại x  1 0 0 x  1 Hướng dẫn y
f x x   f x f 1 x    f   1 0   0 
a) Ta có: f 1  lim  lim  lim x  0  xx  0  xx  0  x  1 x  2 1 x    2 1   1  lim  lim  x    1  1 x  0  xx  0  y
f x x   f x f 1 x    f   1 0   0 
b) Ta có: f 1  lim  lim  lim x  0  xx  0  xx  0  x  1  x  1     1 x 1 1 1 lim  lim  lim  x  0  xx  0  x   1 x    1 x  0   1 x    1 2 y
f x x   f x f 0  x    f 0 0   0 
c) Ta có: f 0  lim  lim  lim x  0  xx  0  xx  0  xy
f x x   f x f 2  x    f 2 0   0 
d) Ta có: f 2  lim  lim  lim x  0  xx  0  xx  0  x  1 1   x   2 1 2 1     x 1 1 lim  lim  lim  x  0  xx  0  3. x   3. xx  0  3. x   3 9 y
f x x   f x f 1 x    f   1 0   0 
e) Ta có: f 1  lim  lim  lim x  0  xx  0  xx  0  x   x   2 2 1  3  1  3  x  2  2 x   4  2  x  2    2 x lim  lim  lim x  0  xx  0  xx  0    x  .  x  2  2 x   4  2   x   2 1  lim  x  0   x  2 2  2 x   4  2
Bài 4. Tính đạo hàm của hàm số : x  2  2  a) y x y  
 3x( x 1) x tại  1 . b) tại x 1 ; 1  x    Hướng dẫn   x  
x 2.x 1 x 2x 1 2 a)     x 1    x  2 1
1 .x 1 x 2 2 x
x 1 2x  4 x 1 x  4 x     . x  2 1
2 x x  2 1
2 x x  2 1 1
Vậy đạo hàm của hàm số tại x  1 là : y  1  2 .  2     2   2   b)  3x
x  1  3x . 
x  1 3x x        1  x    x   x   1   2  1    3 . x 1   3x     2    x   x  2 x 5
Vậy đạo hàm của hàm số tại x  1 là : y  1  2 . BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 5. Tính đạo hàm của hàm số 2
y x  2x  4 tại x  2 0
Bài 6. Cho hàm số y f x 2  2x 1
a) Tìm đạo hàm của hàm số tại x  2
b) Suy ra giá trị 3 f (  2) 5 f (2 3) 0
Bài 7. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x0:
a) y  2x 1 tại x  2 b) 2
y x x tại x  1 0 0 x 1 c) y  tại x  0
d) y  2x  7 tại x  1 0 0 x 1
Bài 8. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau (a là hằng số): 1
a) y ax  3 b) 2 y ax 2 1 1 c) y  với x
d) y  3  x với x  3 2x 1 2
Bài 9. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x được chỉ ra bằng cách sử dụng công thức tính đạo 0
hàm rồi thay x vào : 0 2 x 1 1) 5 3
y x  2x  3x  5 tại x  2 2) y  tại x  10 0 x 1 0     3) 2 y
x  4x 1 tại x  5
4) y  sin 2x  tại x  0    4  0 6 x  2 5) y  tại x  2  6) y   2 x x 4 3
x  2 tại x  3  0 0 x  5 CHUYÊN ĐỀ 4
ĐẠO HÀM CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC Phương pháp:
Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm lượng giác: Đạo hàm Hàm hợp
(sin x) '  cos x ; (cos x) '   sin x
(sin u) '  u '.cos u 1 1 u ' (tan x) '  ; (cot x) '   (cos u) '  u
 'sinu ;  tan u '  2 cos x 2 sin x 2 cos uu ' x  1 arcsin '   cotu '   2 2 1  x sin u    nu n 1 sin  . n sin  . u sin ux  1 arccos '   2 1  xn n 1   
cos u  .ncos .ucosux  1 arctan '  2 x  1   nu n 1 tan  . n tan  . u tan u   nco u n 1 t  . n co t  .
u co t u
I. Sử dụng công thức để tính đạo hàm hàm lượng giác: BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số : x
1) y  sin 2x  cos . 2) y   x  2 sin 5 1 3 3) y  sin . x cos 4x 4) 2 2
y  2 tan x  5cot x Hướng dẫn 1 x
1) Ta có: y  2.cos 2x  sin 3 3 
2) Ta có: y  2sin 5x   1 sin 5x  
1  10 cos 5x sin 5x   1 .  
3) Ta có: y  sin x .cos 4x  sin .
x cos 4x  cos .
x cos 4x  4sin . x sin 4x . 1
Ngoài ra các em có thể tách y  sin . x cos 4x
sin5x sin3x sau đó tính đạo hàm. 2 2sin x 5x 4) Ta có: y '   3 2 2 cos x sin x
Bài 2. Tính đạo hàm của hàm số :
1) y  sin 3x
2) y  5sin x  3cos x
3) y  cos 2x 1    
4) y  sin(x  )  cos  x  
5) y  4cos 2x  5sin(2x  3)
6) y  3 sin x  cos x  2019x 3  6     7) 2
y x .cos 3x 2  xsin 3x 8) 2 2 y  3  sin 3x   cos 2x 1    4  x 1 9) y  tan 2x
10) y  cot 3x   1 11) y  tan 2 x 12) 2 y  cot x 1 13) y  tan
14) y  3cos x  cot 2x 3 1 1
15) y  tan 5x  cot 4x 16) y   2
tan x  2 x   1 17) 3 5
y  tan x  tan x  tan x 3 5 18) 2
y  tan(2x 1)  x cos x Hướng dẫn
1) Ta có y  sin 3x y  3cos 3x
2) Ta có y  5sin x  3cos x y  5cos x  3sin x x
3) Ta có y  cos 2x  sin 2 1 1  y   2x 1      
4) Ta có y  cos x   sin  x     .  3   6  5) Ta có y  8
 sin 2x 10cos2x 3 .
6) Ta có : y  3 cos x  sin x  2019 7) Ta có : 2 y  x x x x x x x x x   2 2 cos 3 3 sin 3 2 sin 3 6 cos 3 8 cos 3
2  3x sin 3x 8) Ta có:          3.2sin 3x  cos 3x  3sin 2 3x         4   4  2x  4  2x 2 2 y   sin 2x 1.   sin 2x 1 . 2 2         2 2x 1 2 2x 1 2 3  sin 3x  2 3  sin 3x       4   4  2
9) Ta có: y '  tan 2x'  . 2 cos 2x ' 3
10) Ta có: y '  cot  3x   1     . 2 sin 3x   1 '  x 1 '    x 1   2  1 11) Ta có y '  tan      2   x 1  x 1 2 2 cos 2 cos      2   2  x x 1 x x 12) Ta có: y   x    ' 2 ' 2 2 1 ' cot 1       2 2 2 2 2 2 2 sin x 1 sin x 1 x 1.sin x 1 '  x  1 13) Ta có: y '  tan    .  3 x  2 3cos 3 2
14) Ta có: y '  3cos x  cot 2x'  3  sin x  . 2 sin 2x 5 4
15) Ta có: y '  tan 5x  cot 4x'   . 2 2 cos 5x sin 4x ' 1 2 2x   x  2 x 1 x 2x x 1
16) Ta có: y '  tan  2
x  2 x   1      2 cos  2
x  2 x   1 2 cos  2
x  2 x   2 1 x cos  2
x  2 x   1 17) Ta có: 6
y '  1 tan x 18) Ta có: 2 y '   2 2
cos x  2x sin x cos x 2 
 cos x xsin 2x 2 2 cos (2x 1) cos (2x 1) BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau: x 2 a) 2
y  2sin x  sin 2x  sin x  2sin sin 2 x b) 2 y   2 sin
2x  3x   1 c) y   2 sin 4x x
Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau: cos x 3cos x 2 x  2 cos x
a) y  2 x sin x  b) y  c) y x 2x 1 sin x 2cos x  sin x tan x cot x d) y  e) y  f) y  3sin x  cos x sin x  2 2 x 1 g) y   2
sin x  3x  2
h) y  cos 2x 1
i) y  2sin 3x cos 5x x 1 j) y  cos 2x k) y  tan l) 2 y  cot x 1 2 x sin x x m) 3
y  tan x  cot 2x
n) y  1 2 tan x o) y   x sin x 2 sin x p) y
q) y  tan(sin x) r) y x  2 cot x   1 1 t an2x  s) 2 y  cos  2x
t) y x sin 3x u) 2 2
y  tan x  tan x 4 v) y   2
2  x cos x  2x sin x
Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y   2 sin 1 x  b) 2
y  sin cos 3x c) 2
y  cos x 1 sin x 1 x  2 2 sin x tan x
d) y  cos cos cos x   e) 2 y  cos     f) y   1 x   1 cot x 1 tan x x 2 sin x g) y  h) y  i) 2 y  1 cos x sin x  cos x cos x
Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 20 sin x x 2 1 tan x  1 cos x a) y  b) 2 y  1 cos c) y    d) y  1 cos x 2 2 1 tan x  1 cos x
e) y x sin x  cos x f) 3 2
y  3 tan x  tan 3x  tan x  tan x g) y x  2 cot x   1 sin x  cos x 2 2
sin 2x  4 cos x  4 h) 3
y  cot 2x  3cot 2x i) y  j) y  sin x  cos x 2 2
sin 2x  4 cos x
Bài 5. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:
a) y  5sin x  3cos x b) 2
y  sin(x  3x  2)
c) y  cos 2x 1 d) y  sin 3 . x cos 5x
e) y  1 2 tan x
f) y  tan 3x  cot 3x x
g) y  4sin x  3cos x h) 2 4
y  4sin x  3cos x
i) y  1cos x 1 1 1 1 1 1
Bài 6. Tính đạo hàm của hàm số sau: y   
 cos x , với x( ; 0  ) 2 2 2 2 2 2
II. Tính đạo hàm của hàm lượng giác tại x0 Phương pháp:
Tính đạo hàm rồi thay x vào 0 BÀI TẬP MẪU sin 2x
Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số y  tại x  . cos 3x 4 Hướng dẫn   
sin 2x .cos3x  sin 2 . x cos3x 2 cos 2 .
x cos 3x  3sin 2 . x sin 3x Ta có : y   cos3x2 cos3x2     Khi đó : y  3 2   x  là 3 2 .  4 
. Vậy đạo hàm của hàm số đã cho tại 4 
Bài 2. Tính đạo hàm của hàm số y  .
x cos 2x tại x  . 2 Hướng dẫn
Ta có: y  x .cos 2x  .
x cos 2x  cos 2x  2 . x sin 2x     Khi đó : ' y  1   
. Vậy đạo hàm của hàm số đã cho tại x  là 1  .  2  4 
Bài 3. Tính đạo hàm của hàm số y  5sin x  3cos x tại điểm x  . 2 Hướng dẫn   
Ta có y  5sin x  3cos x  5.sin x  3cos x  5.cos x  3sin x .      Suy ra y  5.cos  3sin  3   .  2  2 2 
Bài 4. Tính đạo hàm của hàm số y  2sin 3x cos 5x tại điểm x  . 8 Hướng dẫn
Ta có y  2sin 3x cos 5x  sin 8x  sin 2x .
y  sin8x sin 2x'  8cos8x  2cos 2x           y  8cos 8.  2cos 2.  8   2       .  8   8   8  1    
Bài 5. Tính đạo hàm của hàm số 2 y   sin  x   tại điểm x  . 2  3  3 Hướng dẫn 2     2         Ta có y '  . x cos  x y      cos       .  3  3 3  3 3  3         2    
Bài 6. Cho hàm số y  cos 3x   sin  2x   
 . Tính y  .  6   3   3  Hướng dẫn     2  Ta có: y  3  sin 3x   2cos  2x     .  6   3          2   5 7 Vậy y  3sin 3.   2cos 2.  3  sin 2cos0         .  3   3 6   3 3  6 2 1 
Bài 7. Tính đạo hàm của hàm số f x 2
 cot x tại điểm x  . 2 2 Hướng dẫn  1  2 x x
Ta có: f ' x     2 2 2 2 2 sin x sin x     2  2 Suy ra: f '          2    2 2 2   sin    2  
Bài 8. Tính đạo hàm của hàm số f x 2 2
 tan x  cot x tại điểm x  . 4 Hướng dẫn 1  1
 2 tan x 2cot x
Ta có: f ' x  2 tan . x  2cot . x      2 2 2 2 cos x
 sin x  cos x sin x   2 tan 2 cot    Suy ra: 4 4 f '    8    4    2 2 cos sin 4 4 
Bài 9. Tính đạo hàm của hàm số f x  cot x 1 tại x  . 2 Hướng dẫn cot x 1 1
Ta có: f ' x   cot x 1  ' '    2 2 cot x 1 2 sin . x cot x 1    1 1 Suy ra f '        2    2 2 2 sin . cot 1 2 2 
Bài 10. Tính đạo hàm của hàm số f x 3
 tan x  cot 2x tại điểm x  . 4 Hướng dẫn 1 2
Ta có: f ' x  tan x  cot 2x' 3 2  3.tan . x  2 2 cos x sin 2x     1 2 Suy ra 2 f '  3.tan .   4    4  4   2 2 cos sin 2. 4 4 
Bài 11. Tính đạo hàm của hàm số f x  tan x  cot x tại điểm x  . 4 Hướng dẫn 1 1   2 2
(tan x  cot x) Ta có: cos x sin ( ' ) x f x  
2 tan x  cot x
2 tan x  cot x 2 2 sin x  cos x 2  cos 2x   2 2 2
2sin x cos x tan x  cot x
sin 2x tan x  cot x  2  cos    Suy ra 2 f '   0    4       2 sin tan  cot    2  4 4 BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra . 1 sin x  cos x  1) y  tại x  2) y  tại x  1 sin x 3 sin x 1 2  3) 2
y  2x cot x x tại x
4) y  1 2 tan x tại x  0 4 3 x 5 5) y  sin 3 . x cos 4x tại x  6) y   x   2 2cos sin 2
cos x  tại x  4 2 6      7) 2 3 y  sin . x cos x tại x  8) 3 y  tan 2x    tại x  3  4  4   9) 2 y   2 sin
cos tan x tại x  10) 2 2 y  cot x 1 tại x  4 3  11) 3 2 y  sin
x 1 tại x  0 12) 2
y  sin cos 3x tại x  3  x Bài 2. Cho hàm số 3
y x y  4x  sin . Tính tổng f (  1)  g (1) ? 2
III. Chứng minh biểu thức có chứa đạo hàm hàm lượng giác. Phương pháp:
Tính đạo hàm rồi thay vào biểu thức và biến đổi. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Chứng minh rằng : '
f x  0 với 6 4 2 2 4 4
f (x)  cos x  2sin . x cos x  3sin .
x cos x  sin x . Hướng dẫn Cách 1 : Ta có :     f x   6 x   4 2 x x   2 4 x x   4 ( ) cos 2sin .cos 3sin .cos sin x 5   x x   3 2 4 6.sin .cos 8.cos . x sin .
x cos x  4.sin . x sin . x cos x  4 2 3 x x x x x x 3 6.cos .sin .cos 12.sin .sin .cos  4.cos . x sin x 5 3 3 5 5 3 3 3 =  6.sin . x cos x  8sin . x cos x  4sin .
x cos x  6sin . x cos x 12sin .
x cos x  4.cos . x sin x 3 3 3   x x x x  2 x   3 3 3 3 4 sin .cos 4 cos .sin . sin 1  4  sin .
x cos x  4 sin . x cos x  0 Cách 2 : Ta có : f x 4  sin x 2 1 2 cos x 4  cos x 2 2
3sin x  cos x 4 sin x 2 1 2 cos x 4  cos x 2 1 2sin x 4 4 4 2 2 4
sin x  cos x  2sin x cos x  2sin xcos x
cos x  sin x2 2 2 2 2 2 2
 2sin x cos x  2sin xcos x 2 2
cos x  sin x 1
Khi đó : f  x  0
Bài 2. Cho hàm số y x sin x . Chứng minh: .
x y  2  y  sin x  x 2cos x y  0 Hướng dẫn  
Ta có: y   x sin x  x .sin x  .
x sin x  sin x x cos x . .
x y  2 y  sin x  x 2cos x y 2
x .sin x  2sin x xcos x sin x  x2cos x xsin x 2 2
x sin x  2xcos x  2xcos x x sin x  0 (đpcm).
Bài 3. Cho hàm số y  cot 2x . Chứng minh: 2
y  2 y  2  0 Hướng dẫn  Ta có: y   x    2  x    2 cot 2 2 1 cot 2 2 1 y  2
y  2y  2  0 .
Bài 4. Cho hàm số y  tan x . Chứng minh: 2
y  y 1  0 Hướng dẫn  Ta có: y   x 2 2 tan
1 tan x 1 y 2
y  y 1  0 . sin  cos 3 cos Bài 5. Cho hàm số  x x x y
.Chứng minh rằng: '  .tan   x y y x tan x 2 sin x Hướng dẫn
Ta tiến hành rút gọn trước khi tính đạo hàm:
x sin x  cos x
xsin x  cos x.cos x 1 y    . x cos x   sin x tan x sin x sin x ' cos x cos x
y  cos x xsin x
 cos x  xsin x  2 2 sin x sin x  cos x 2 1 sin cos x x  3 cos x
VT  xsin x
xsin x  cos x    VP 2 2 2 sin x sin x sin x
Bài 6. Cho hàm số y   2 cot x   1 . Chứng minh rằng: ' y y x  4 2 .
. 1 y   0 . Hướng dẫn Ta có: cot x 1 1
 1 cot x 1 . x 1
x 1 cot x 1 '    '      ' 2 2 2  2  2  y    2 cot  2 x   1 2 cot  2 x   1 2 cot  2 x   1 2 2 xx VT  2  cot  1 cot 1 2 x      4 1 .  x x y 2 cot  . 2 x   1  x 2 1 cot  2 x   1 2  x  . x cot  2 x   1  0  VP
Bài 7. Cho hàm số f x 2  2cos 4x   1 . Chứng minh rằng: '
f x  8, x   . Hướng dẫn Ta có: ' f x  1  6sin 4x   1 cos 4x   1  8  sin 8x  2 '
f x  8
 sin 8x  2  8 sin8x  2  8      x   1 k sin 8
2  1  8x  2 
k2  x     2 16 4 8
Dấu "  " xảy ra khi:  k         x   1 k sin 8 2  1
  8x  2    k2  x     2 16 4 8
sin x x cos x
Bài 8. Cho hàm số y
. Chứng minh rằng: y x x x2 ' 2 2 sin cos  x y  0 .
cos x x sin x Hướng dẫn
sin x x cos x Ta có: y  .
cos x x sin x
sin x xcos x' cos x xsin xsin x xcos xcos x xsin x' ' y
cos x xsin x2 ' ' Tính  x x x ' sin cos
 cos x x cos x  .
x cos x  x sin x ' ' Tính  x x x ' cos sin
 sin x x sin x xsin x  xcos x x sin .
x cos x x sin x  sin x x cos x 2 x cos x x '  y  
cos x xsin x2
cos x xsin x2 2 2   2 x 2 sin x x cos x  Ta có: '
VT y sin x x cos x 2 2  x y
. sin x x cos xx .  0  VP   2   2
cos x xsin x
 cos x xsin x Bài 9. Cho hàm số 2
y  cot x 1 . Chứng minh rằng: ' 2 2
y . x 1  x  . x y  0 . Hướng dẫn Ta có: 2 y  cot x 1    x  x y
1 cot  x 1 . x 1  1 cot  x 1  ' 2 ' 1 ' 2 2 2 2 2 .   2 1 cot  2 x 1 2 2  2 x 1 x 1 Ta có: x VT   2 1 cot  2 x 1 2 2
. x 1  x  . x cot  2 x 1 2
 x x cot  2x 1 2  x  . x cot  2 x 1  0 2  x 1         
Bài 10. Cho hàm số y  cos x . Chứng minh rằng: ' ' ' 2 f x f x
f 0  f 2x         3   6   6  Hướng dẫn
Ta có: f x   x' ' cos  sin x             ' '
VT  2 f x f x   2  sin x  sin  x          3   6   3   6         2   2  sin x  .cos x   sin 2x         3   3   3      2   5   sin 2  x   sin 2x   cos 2  x         3   3   6           '  cos 2x   0  cos 2x
f 0  f 2x       VP    6   6   6 
Bài 11. Cho hàm số y   4 4 x x   6 6 3 sin cos
2 sin x  cos x . Chứng minh rằng: ' y  0 x   . Hướng dẫn
Ta tiến hành làm gọn biểu thức trước khi tiến hành lấy đạo hàm Ta có: y   4 4 x x   6 6 3 sin cos
2 sin x  cos x Mà:
sin x  cos x  sin x2  cos x2  sin x  cos x2 1 4 4 2 2 2 2 2 2 2
 2sin x cos x 1 sin 2x 2
sin x  cos x  sin x3  cos x3  sin x  cos x3 3 6 6 2 2 2 2 2 2
 3sin x cos x 2 2
sin x  cos x 2 1 sin 2x 4  1   3  2 2
y  3 1 sin 2x  2 1 sin 2x 1      2   4  '  y  0, x   3  sin x
Bài 12. Cho hàm số y  
 . Chứng minh rằng: 'y.sin x  3y  0 1 cos x Hướng dẫn 3  sin x  Ta có: y    1 cos x  2 '
 sin x   sin x  ' y  3   
1 cos x  1 cos x  '  sin x
sin x' 1 cos xsin x1cos x' 1     1 cos x  1 cos x2 1 cos x 2 2  sin x  1 3sin x '  y  3 .   
1 cos x  1 cos x 1 cos x3 3 2 3sin x  sin x  Ta có: '
y .sin x  3y  0     x   1 cos x .sin 3. 0 3 1 cos x Bài 13. Cho hàm số 3
y  sin 2x   1 . Chứng minh rằng: '
y sin 2x   1  6 .
y cos 2x   1  0 Hướng dẫn Ta có: 3
y  sin 2x   1  y
x    x  ' 
x    x   x  ' ' 2 2 2 3sin 2 1 sin 2 1 3sin 2 1 cos 2 1 2
1  6sin 2x   1 cos 2x   1 Ta có: '
VT y sin 2x  
1  6 y cos 2x   1 2  6sin 2x   1 cos 2x   1 sin 2x   3
1  6sin 2x   1 cos 2x   1  0  VPx 1  x 1 Bài 14. Cho hàm số 2 y  cos   
 . Chứng minh rằng: y . x x  4 ' 1  2 tan  .y  0   x 1   x 1   Hướng dẫn x 1 Ta có: 2 y  cos     x 1   ' '  x 1   x 1  x 1
x 1 x 1 '  y  2cos  cos   2  cos sin             x 1    x 1    x 1 x 1 x 1         
x  '1 x  1 x  1 x x ' ' 1 1 1        x 1    x  2 1 x x  2 1  x 1  x 1 1  1  x 1  '  y  2  cos sin        in  2.    x 1 x 1   
x x   s 2 1 x x  2 1 x 1   Ta có:  x   VT y . x x  4 1 ' 1  2 tan  .y   x 1        x x   x 1 4 sin . 1  x 1  x 1    x 1 2                    x x  sin 2. 2 cos 0 VP 2 x 1 x 1 x 1 1   cos   x 1   Bài 15. Cho hàm số 4 y x  2 x   4  x  2 cos 2 cos 3 sin
2sin x  3 . Chứng minh rằng ' y không phụ thuộc vào x. Hướng dẫn
Ta tiến hành làm gọn biểu thức trước khi tiến hành lấy đạo hàm 4 y  cos x  2 2 cos x  3 4  sin x 2 2sin x  3 6 4 6 4
 2cos x  3cos x  2sin x 3sin x  3 4 4
sin x  cos x  2 6 6
sin x  cos x 1 '
y  0 . Vậy 'y không phụ thuộc vào x.
IV. Giải phương trình – Bất phương trình liên quan đạo hàm của hàm lượng giác BÀI TẬP MẪU x
Bài 1. Giải phương trình f ' x   0 biết f x        x  3 1 sin  2cos    2 2  Hướng dẫn x
Ta có: f x        x  3 1 sin  2cos    2 2                  x 3 x 3 x x f x 0 cos  2.  .sin   cos x  cos      2 2   2 2  2 x xx
f ' x   0  cos x  cos
 0  cos x  cos  cos x  cos    2 2  2   x x     k2  2 k 4  2 x       3 3  x  
x       k2  x  2    k4   2 
Bài 2. Giải phương trình f (
x)  0 trong các trường hợp sau
a) f (x)  sin 3x  3sin x  4 .
b) f (x)  cos 2x  2sin x  3 .
c) f (x)   3 cos x  sin x 1. Hướng dẫn
a) f (x)  sin 3x  3sin x  4  f  x  3cos 3x  3cos x
f  x  0  3cos 3x  3cos x  0  cos 3x  cos   x   kx  
3x    x k2  4 2     k  . 3x  
  x k2   x   k  2 b)
f (x)  cos 2x  2sin x  3  f  x  2
 sin 2x  2cos x
f  x  0  2
 sin 2x  2cos x  0  cos x 2  sin x   1  0     x   kx   k   2 2 cos x  0         1  x   k2
x   k2 k   sin x   6  6  2    5
x     k2 x   k2  6  6    c) f  x 3 1
 0  3 sin x  cos x  0  sin x
cos x  0  sin x   0   2 2  6   
x   k  x    k k  . 6 6
Bài 3. Cho hàm số y  (m 1)sin x m cos x  (m  2)x 1. Tìm giá trị của m để y  0 có nghiệm? Hướng dẫn
y  (m 1) cos x msin x  (m  2)
Phương trình y  0  (m 1)cos x msin x  (m  2)
Điều kiện phương trình có nghiệm là 2 2 2
a b cm  1  2 2 2 2
 (m 1)  m  (m  2)  m  2m  3  0   . m  3  2 
Bài 4. Cho hàm số y  cos  2x
 . Khi đó hãy giải phương trình y  0 .  3  Hướng dẫn TXĐ : D   2  Ta có: y  2  .sin  2x    3   2   k
Theo giả thiết y  0  sin  2x  0    x    k   .  3  3 2   x
Bài 5. Cho hàm số y  sin  
. Khi đó hãy tìm nghiệm của phương trình y '  0 .  3 2  Hướng dẫn TXĐ : D  1   x    x   x  
Ta có: y   cos  
 nên y  0  cos 
 0     k  x    k2 k     2  3 2   3 2  3 2 2 3
Bài 6. Cho hàm số y  tan x x . Giải phương trình y  0 . Hướng dẫn   TXĐ: D
\   k , k    2  1 Ta có: 2 y 
1 tan x , khi đó 2
y  0  tan x  0  tan x  0  x k k   2 cos x Bài 7. Cho hàm số 2 y  sin .
x cos x , giải phương trình y  2sin x . Hướng dẫn TXĐ : D  , ta có   y   2 x 2 x x x 2 3 sin cos sin cos
 2sin x cos x  sin x Vậy 2 3 2 3
y  2sin x  2sin .
x cos x sin x  2sin x 2sin x 2
 sin .xcos x s  in x 0   x  2  x 3 3 2 sin 1 cos
 sin x  0  3sin x  0  sin x  0  x k k   . Bài 8. Cho hàm số 2
y  2sin x  cos 2x x , giải phương trình y  3  . Hướng dẫn TXĐ : D
Ta có: y  4sin x cos x  2sin 2x 1  2sin 2x  2sin 2x 1  4sin 2x 1   y  3
  4sin 2x 1 3   sin 2x  1
  2x    k2  x    k k   2 4
Bài 9. Cho hàm số y  1 sin x1 cos x , giải phương trình y  2(cos x  sin x) . Hướng dẫn TXĐ : D  Ta có: y  x   x  x   x 2 2 cos 1 cos sin 1 sin
 cos x  sin x  cos x  sin x , nên 2 2
y  2(cos x  sin x)  cos x  sin x  cos x  sin x  2(cos x  sin x)
 (cos x sin x)(cos x  sin x)  (cos x sin x)  0  (cos x sin )
x (cos x  sin x 1)  0       x   k sin x   0     4          4   2 sin x  . 2 sin x  1  0         
x k2 k    4    4       1  sin x         4 
x   k2 2   2   
Bài 10. Tính đạo hàm của hàm số y  sin  2x
 và giải phương trình y  0 .  2  Hướng dẫn TXĐ : D      Ta có y  sin
 2x  cos 2x y  2  sin 2x  
. Vậy y  0  sin 2x  0  x kk    2  2 x Bài 11. Cho hàm số 2 y  cot
. Khi đó nghiệm của phương trình y '  0 4 Hướng dẫn
TXĐ : D  \k4 ,k     1 x  1  1 x x  Ta có : 2 y  cot .     cot . 1 cot   . 2 4 x 2 2 4  4   sin   4  x x  Nên y  0  cot
 0    k  x  2  k4 k   4 4 2
Bài 12. Cho hàm số f x  2sin 2x  cos 2x , giải phương trình y  2sin 2x . Hướng dẫn TXĐ : D
Ta có : y  4cos 2x  2sin 2x
y  2sin 2x  4 cos 2x  2sin 2x  2sin 2x  sin 2x  cos 2x   
tan2x 1 2x   k  x   k
k   do cos2x  0 4 8 2
Bài 13. Tính đạo hàm của hàm số sau: 3
y  sin 2x  
1 và giải phương trình y  6 cos 2x   1 . Hướng dẫn TXĐ : D  Ta có 2
y  6sin 2x   1 cos 2x  
1 . Vậy y  6 cos 2x 1 2 
x    x     x     x   2 6 sin 2 1 cos 2 1 6 cos 2 1 cos 2 1 1
  sin 2x   1   0    1   3 cos 2x  1 0 cos 2x  1 0 2x 1 k             x
  k k   . 2 2 4 2
Bài 14. Tính đạo hàm của hàm số sau: y   x x3 sin cos
và giải phương trình y  3  3sin 2x . Hướng dẫn TXĐ : D  2
Ta có : y  3sin x  cos x cos x  sin x , suy ra y   x   x x2 3 3sin 2 3 sin cos
cos x sin x  33sin 2x .   x x2  x x 2 2 3 sin cos cos sin
 3(sin x  cos x)  (sin x  cos x) cos x sin x1  0  .   x    k        4 sin x   0    x    k  sin x cos x 0     4  4       
x   k2 
sin x  cos x 1  0         1  2 2 sin x  1  0 sin x            4    4  2
x    k 2  
sin 2x  cos 2x
Bài 15. Tính đạo hàm của hàm số sau: y
, giải phương trình y  6  .
2sin 2x  cos 2x Hướng dẫn
ĐK : 2sin 2x  cos 2x  0 . Ta có
2cos2x 2sin 2x2sin 2x cos2xsin 2x cos2x4cos2x 2sin 2xy 
2sin 2x cos2x2 6 
y  2sin2xcos2x2 6  y  6    6
  2sin 2x  cos 2x 1 2  2
2sin2x cos2x  2 1 1 sin 2x  cos 2x  
2sin 2x  cos 2x 1 sin 5 5 5
2x   sin      
2sin 2x  cos 2x  1   2 1 1 sin    
2x   sin    sin 2x cos 2x  5 5 5
x    k
2x     k2     
x   k
2x      k2  2    1 2 k     với sin  ;cos  (Thỏa mãn ĐK) 2x      k2 x k   5 5  
2x      k2   x     k  2
Bài 16. Cho hàm số 2
y  sin x , giải phương trình y  3 . Hướng dẫn TXĐ : D  
Ta có : y  2sin x cos x  sin 2x . Khi đó y  0  sin 2x  0  2x k  x kk   2
Bài 17. Cho hàm số y  cos 2x  5sinx , giải phương trình y  0 . Hướng dẫn TXĐ : D  Ta có : y  2
 sin 2x  5cos x . Nên y  0  2
 sin 2x  5cos x  0  4
 sin xcos x  5cos x  0 
 cos x5 4sin x  0  cos x  0 do 5 4sin x  0  x   k k   . 2
Bài 18. Cho hàm số y  3 sin x  cos x  2x , giải phương trình y  0 . Hướng dẫn TXĐ : D
Ta có : y  3 cos x  sin x  2 ,     khi đó 5
y  0  3 cos x  sin x  2  0  sin x  1  x
k2 k      3  6 Bài 19. Cho hàm số 2 2
y  sin 2x  2 cos x , giải phương trình y  0 . Hướng dẫn TXĐ : D
Ta có : y  4sin 2x cos 2x  2sin 2x ,
nên y  0  2sin 2x cos 2x  sin 2x  0  sin 2x 2cos 2x   1  0   sin 2x  0 2x kx k    2  1  2   k    . cos 2x   2x    k2    2  3 x    k  3
Bài 20. Tìm m để phương trình y  0 có nghiệm biết rằng y m cos x  2sin x  3x  5 . Hướng dẫn TXĐ : D
Ta có : y  msin x  2cos x  3, khi đó y  0  m sin x  2 cos x  3   1
Phương trình y  0 có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm khi và chỉ khi : m  5 2 2
m  4  9  m  5   . m   5 BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1. Giải phương trình f ' x   g x  biết f x  3  sin 2 ;
x g x   4cos 2x  5sin 4x
Bài 2. a) Cho y  sin 2x  2cos x . Hãy giải phương trình y  0 .
b) Cho y  3sin 2x  4cos x 12x . Hãy giải phương trình y  2 .
Bài 3. Giải phương trình y  0 trong mỗi trường hợp sau:
a) y  sin 2x  2cos x
b) y  3sin 2x  4cos 2x 10x c) 2
y  cos x  sin x
d) y  tan x  cot x  2 x
e) y  3cos x  4sin x  5x f) y  1 sin(   x)  2cos   2  1 g) y
sin 2x  sin x  3 h) y  sin 2x  2cos x i) 2
y  cos x  sin x 2
j) y  tan x  cot x
k) y  2x  cos x  3 sin x
l) y  3sin 2x  4cos 2x 10x CHUYÊN ĐỀ 5
ĐẠO HÀM HÀM KÉP – ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI ĐẠO HÀM
f x khi x x 1  
I. Tính đạo hàm của hàm số f x  0
  f x khi x x 2   0 Phương pháp:
Bước 1: Kiểm tra hàm số có liên tục tại x hay không: f x  lim f x 0    0 x 0 xBướ f x f x
c 2: Sử dụng công thức tính đạo hàm f ' x  lim 0     0  x  0 x x x0 BÀI TẬP MẪU
 2  4  x khi x  0 
Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số   x f x   tại x  0 1  khi x  0  4 Hướng dẫn Ta có:   f x  2 4 x x 1 lim  lim  lim   f xxx x
x  2  4  x   0  0 0 0 4
Suy ra hàm số liên tục tại x  0 . 2  4  x 1  2 f x f 0 x 1 Ta có: f       x 4 ' 0  lim  lim  lim     2 x 0 x 0 x 0 x x
2x  8  x  4 4  x  64  1  x 1  khi x  0
Bài 2. Cho hàm số f x    x
. Tìm a để hàm số có đạo hàm tại x  0 và
a khi x  0
tính đạo hàm tại x  0 . Hướng dẫn 1  x  1 x 1
Ta có: lim f x   lim  lim   x0 x0 x0 x
x  1  x  1 2
Để hàm số có đạo hàm tại x  0 thì hàm số phải liên tục tại x  0 1
Suy ra lim f x   f  0   a   x0 2
Đạo hàm của hàm số tại x  0 là: 1  x  1 1  2  f   f x f  0  x 1 x 2 ' 0  lim  lim  lim      2 x 0 x 0 x 0 x  0 x
2x x  2  2 1  x  8 3 2
x x 11  khi x  0
Bài 3. Tính đạo hàm của hàm số f (x)   x tại x  0 . 0  khi x  0 Hướng dẫn 3 2
f (x)  f (0)
x x 1 1 x 1 1
Ta có : f (0)  0 , do đó: lim  lim  lim  2 x0 x0 x0 3 2 x x    2 x x 1 1 1 Vậy f (0  )  . 2
f x khi x x 1  
II. Tính đạo hàm của hàm số f x  0
  f x khi x x 2   0 Phương pháp:
Bước 1: Kiểm tra hàm số có liên tục tại x hay không: lim f x   lim f x   f x0  0 x     0 x x 0 x Bước 2: f x f x
Xét x x . Sử dụng công thức tính đạo hàm f ' x  lim 0     0  0 x  0 x x x0 f x f x
Xét x x . Sử dụng công thức tính đạo hàm f ' x  lim 0     0  0 x  0 x x x0 BÀI TẬP MẪU 2
x khi x  1
Bài 1. Cho hàm số f x   
. Tìm a,b để hàm số có đạo hàm tại x  1
ax b khi x  1 Hướng dẫn
Hàm số có đạo hàm tại x  1 thì hàm số phải liên tục tại x  1.
Suy ra lim f x   lim f x   f 1  a b  1   x 1  x 1 
Hàm số có đạo hàm tại x  1 thì f '1  f '1   . Ta có: fx   f f '1  1  1  lim  2 x  0 xfx   f f '1  1  1  lim  a x  0 x  Để f '1  f '1 
  a  2  b  1  x
Bài 2. Chứng minh rằng: Hàm số y
x  nhưng không có đạo hàm tại
x  liên tục tại 0 1 x  0 Hướng dẫn a) Ta có: x
lim f x   lim  0   x0 x0 x 1  x
lim f x   lim
 0   lim f x   lim f x   f  0  x0 x0 x  1 x0 x0  f  0   0  
Nên hàm số liên tục tại x  0 Ta có: f x f
f ' 0   lim f x     0   lim  1  x0 x0 x f x f
f ' 0   lim f x     0   lim  1 x0 x0 xf ' 0  f ' 0 
 nên hàm số không có đạo hàm tại x  0 2x  3 khi x  1 
Bài 3. Tính đạo hàm của hàm số 3 2
f (x)   x  2x  7x  4 tại x  1. 0 khi x  1  x 1 Hướng dẫn
Ta có: lim f (x)  lim 2x  3  5   x 1  x 1  3 2
x  2x  7x  4
lim f (x)  lim  lim        2 x 3x 4 0 x 1  x 1   x 1 x 1 
Dẫn tới lim f (x)  lim f (x) suy ra: hàm số không liên tục tại x  1 nên hàm số không có đạo   0 x 1  x 1  hàm tại x  1. 0 2 2x  | x 1|
Bài 4. Chứng minh rằng hàm số f (x) 
liên tục tại x  1
 nhưng không có đạo hàm x 1 tại điểm đó. Hướng dẫn
Vì hàm f (x) xác định tại x  1
 nên nó liên tục tại đó. 
f ( x )  f ( 1  ) 2x Ta có: f  (  1  )   lim  lim  1     x (  1  )  x (  1  ) x 1 x  1 
f ( x )  f ( 1  ) f  (  1  )   lim  lim 2  2     x (  1  )  x (  1  ) x 1  f (  1  )   f (  1  )      
  f (x) không có đạo hàm tại x  1  . 2x  1 khi x  1
Bài 5. Cho hàm số f x  
. Để hàm số này có đạo hàm tại x  1 thì giá 2
x bx  1 khi x  1 trị của b là? Hướng dẫn Ta có: f 1  3
lim f x  lim 2x   1  3   x 1  x 1 
lim f x  lim        2 x bx 1 b 2 x 1  x 1 
Để hàm số f x có đạo hàm tại x  1 khi và chỉ khi f x liên tục tại x  1
 lim f x  lim f x  f  
1  b  2  3  b  1   x 1  x 1  2 x x khi x  1
Bài 6. Tìm a, b để hàm số f x  
có đạo hàm tại x  1 . ax b khi x  1 Hướng dẫn
Điều kiện cần để hàm số có đạo hàm tại x  1 là hàm số liên tục tại x  1 . f 1  2
lim f x  lim  2 x x     2 x 1  x 1 
lim f x  lim ax b  a b   x 1  x 1 
Để hàm số f x có đạo hàm tại x  1 thì f x liên tục tại x  1
 lim f x  lim f x  f  
1  a b  2   x 1  x 1  Điều kiện đủ:
f x  f   1 2 x x  2 f 1    lim  lim
 lim x  2  3    x 1  x  1 x 1  x  1 x 1 
f x  f   1
f x  f   1
ax b  a bax a f 1    lim  lim  lim  lim  a     x 1  x  1 x 1  x  1 x 1  x  1 x 1  x  1 Để  
hàm số f x có đạo hàm tại x  1 thì f 1   f 1   a  3  b  1  3  xkhi x  1
Bài 7. Tìm a, b để hàm số f x   3
có đạo hàm tại x  1 . ax b khi x  1 Hướng dẫn Điều kiện cần: f   1 1  3   f x 3 x 1 lim  lim      x 1  x 1   3  3
lim f x  lim ax b  a b   x 1  x 1 
Để hàm số f x có đạo hàm tại x  1 thì f x liên tục tại x  1
 lim f x  lim f x  1 f  
1  a b    x 1  x 1  3 Điều kiện đủ: 3 x 1 
f x  f   1 2 x x  1 f 1    lim  3 3 lim  lim  1    x 1  x  1 x 1  x  1 x 1  3
f x  f   1
f x  f   1
ax b  a bax a f 1    lim  lim  lim  lim  a     x 1  x  1 x 1  x  1 x 1  x  1 x 1  x  1 Để   2
hàm số f x có đạo hàm tại x  1 thì f 1   f 1   a  1  b   3
BÀI TẬP TỰ GIẢI: 2
 x a khi x  1 
Bài 8. Cho hàm số f x   
. Tìm a,b để hàm số liên tục tại x  1  2
x bx khi x  1  (HD: a  2  ;b  4 )  x khi x
Bài 9. Cho y f x sin 3 0  
. Tính đạo hàm của hàm số tại x  0 bằng định 3
x  2 khi x  0 0 nghĩa. 2 sin xkhi x  0 Bài 10.
Cho hàm số: y f (x)   x 0 khi x  0
a) Chứng minh rằng f x liên tục tại x  0 . 0
b) Tính đạo hàm (nếu có) của f x tại điểm x  0 . 0  1 2 x cos khi x  0 Bài 11.
Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y f (x)   x tại 0 khi x  0 điểm x  0 0 2 (  x 1) khi x  0 Bài 12.
Chứng minh rằng hàm số: y f (x)   không có đạo hàm 2 x khi x  0
tại điểm x  0 nhưng có đạo hàm tại x  2 . 0 0 2  2  x khi x  1 Bài 13. Tìm ,
a b để hàm số y f (x)  
có đạo hàm tại điểm x 1 .
ax b 1 khi x  1
p cos x q sin x khi x  0
Bài 14. Cho hàm số: y f (x)  pxq1 khi x  0
Chứng minh rằng với mọi cách chọn p, q hàm số không thể có đạo hàm tại điểm x  0 . 3 x  2 khi x  0 Bài 15. Tìm ,
a b để hàm số y f (x)  
có đạo hàm tại điểm x  0 . 2
x ax b khi x  0
Khi đó tính f ' 0 
HD: a  0;b  2
 ; f ' 0   0 x  2
Bài 16. Cho hàm số y f (x)  2x1
a) Xét sự liên tục của hàm số tại x  2
b) Xét xem tại x  2 hàm số có đạo hàm không? 0 0 2  x  3 2 x sin khi x  0
Bài 17. Cho y f x 2   x . 0 khi x  0
a) Xét sự liên tục của hàm số tại x  0
b) Xét xem tại x  0 hàm số có đạo hàm không? 0 0 2 x  2 x  3
Bài 18. Chứng minh rằng hàm số y
liên tục tại x  3
 nhưng không có đạo hàm tại 3x 1 điểm ấy. 2 sin xkhi x  0
Bài 19. Cho hàm số: y f x   x 0 khi x  0
a) Chứng minh rằng f x liên tục tại x  0 . 0
b) Tính đạo hàm (nếu có) của f x tại điểm x  0 . 0  1 2 x sin khi x  0
Bài 20. Cho hàm số: y f (x)   x 0 khi x  0
a) Tính đạo hàm của hàm số tại mỗi x  .
b) Chứng tỏ rằng đạo hàm f  x không liên tục tại điểm x  0 . 0
Bài 21. Xét sự tồn tại đạo hàm của các hàm số sau trên : 2
x x  2 khi x  2 2     x x khi x 1  a) y   1 b) y   2 khi x  2  khi x  1   x 1  x
Bài 22. Tìm a, b để hàm số sau có đạo hàm tại x = 1: x khi x  1 2  2 x
khi  2  x  1 a) y   b) y   2
ax b khi x 1 2
x ax b khi x 1 x
Bài 23. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y  tại x  0 . 1 x 0 2 x  2 x  3
Bài 24. Chứng minh rằng hàm số y
liên tục tại x  –3 nhưng không có đạo hàm tại 3x 1 điểm ấy.
Bài 25. Chứng minh rằng hàm số 3 2 y
x liên tục tại x  0 nhưng không có đạo hàm tại x  0 CHUYÊN ĐỀ 6
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM 0 
I. Sử dụng đạo hàm để tính giới hạn dạng ; : Quy tắc LÔPITAN 0  Phương pháp: f xf  x
Sử dụng quy tắc Lopitan: lim  lim x   0 x g xx 0 x g xBÀI TẬP MẪU
Bài 1. Tính giới hạn: 2 x 1 x  7  3 1) lim 2) lim x 1  x 1 x2 x  2 Hướng dẫn    2 2 x x   1 1 2x 1) lim  lim  lim  2 x 1  x 1 x 1     x   x 1 1 1     x   x  1 7 3 7 3 2 x  7 1 2) lim  lim  lim  x2 x2 x  2    x   x 2 1 6 2 BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1. Tính các giới hạn sau theo quy tắc Lopitan: 2 x 1  1  1) lim .ĐS: 2. 2) lim x 2    ĐS: 1.  x 1  x 1 x0  x  3 x  8 2 3x  4x 1 3) lim ĐS: 3 4) lim ĐS: 2 2 x2 x  4 x 1  x 1
Bài 2. Tìm các giới hạn sau theo quy tắc Lopitan: 4x 1  3 2 1 x 1 1) lim 2) lim ĐS: 0 2 x2 x  ĐS: 1 4 6 x0 x x  5  3 x  3 3) lim  4) lim  x4 4  ĐS: 1 x 6 2 x9 9x  ĐS: 1 . x 54 2  x  3
2x  7  x  4 5) lim  6) lim  2 x7 x  ĐS: 1 . 49 56 3 2 x 1  x  4x  ĐS: 4 3 15
Bài 3. Tìm các giới hạn sau theo quy tắc Lopitan
1 x  1 x 3  5  x 1. lim ĐS: 1 7. lim ĐS: 1  . x0 x
x4 1 5  x 3 x 1
2x  2  3x 1 2. lim ĐS: 2. 8. lim  x 1  x  3  2 x 1  x  ĐS: 1 1 4
II. Sử dụng đạo hàm trong bài toán giải PT-BPT Phương pháp:
Sử dụng công thức tính đạo hàm rồi thay vào bài toán để giải.
Chú ý: Cho tam thức f x 2
ax bx c, (a  0)
1. Để f x   , 0 x   thì:
2) Để f (x)  0, x   thì:
Trường hợp 1: Xét a  0
Trường hợp 1: Xét a  0 a  0 a  0 Trường hợp 2:  Trường hợp 2:    0   0
3) Để f (x)  0, x   thì:
4) Để f (x)  0, x   thì :
Trường hợp 1: Xét a  0
Trường hợp 1: Xét a  0 a  0 a  0 Trường hợp 2:  Trường hợp 2:    0   0 BÀI TẬP MẪU Bài 1. Cho hàm số 3 2
y mx x x  5. Tìm m để:
a) y bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất.
b) y  0 có hai nghiệm trái dấu.
c) y  0 với mọi x  . Hướng dẫn Ta có: 2
y  3mx  2x 1
a) Để y là bình phương của một nhị thức bậc nhất thì phương trình y  0 có nghiệm kép m  0 m  0 1 Suy ra     m  . Vậy: ..  '  0 1   3m  0 3
b) Để y  0 có hai nghiệm trái dấu thì .
a c  0  3m  0  m  0 .
c) Để y  0 với mọi x  thì: 3  m  0 m  0 1   
m  . Vậy………………….  '  0 1   3m  0 3 x
Bài 2. Cho hàm số f x 3  f x  .
x  . Giải phương trình   0 1 Hướng dẫn
Điều kiện: x 1. 2 3
  3x x   3 2 1  x 2x  3x f x   x  2 1 x  2 1 x  0 f  x 3 2
 0  2x  3x  0   3  . Vậy: ……………. x   2
Bài 3. Cho hàm số f x 2
x  2x . Giải bất phương trình f  x  f xHướng dẫn x 1 x 1
Ta có f  x 
. Khi đó f  x  f x 2   x  2x (1) 2 x  2x 2 x  2x
Đk: x ;0 2;  .  3  5 x  (1) 2 2 2
x 1 x  2x x  3x 1 0   .  3  5 x   2 3  5
Kết hợp với điều kiện trên suy ra x  0 hoặc x  . 2
Bài 4. Cho hàm số f x   2
x  2xx 1 . Giải bất phương trình f  x  0. Hướng dẫn 1
x   x   2 2 2 2 1  x  2x 2 5x  2x  4
Ta có f   x  2x   2 x 1   2 x  2x.   . 2 x 1 2 x 1 2 x 1 Điều kiện x 1.  1   21 x  5
f   x  0 2
 5x  2x  4  0   .  1   21 x   5 3 x
Bài 5. Cho hàm số f x 2 
mx  m  2 x  3. Tìm các giá trị nguyên của tham số m để 3
f ' x  0 với mọi x  . Hướng dẫn
Ta có f  x 2
x  2mx m  2
f  x  0 x   2
x  2mx m  2  0 x   a 1  0   2
m m  2  0  1   m  2  '  0
m nguyên nên m  1;  0;1;  2 . x
Bài 6. Cho f x  x x g x 2 3 2 3 2 3,  x
 3 . Giải bất phương trình f  x  gx . 2 Hướng dẫn    
f  x   x x
  x x gx 2 x 3 2 2 3 2 2 3 6 2 ,
  x   3   3x x  2 
f  x  g x 2 2 2
 6x  2x  3x x  3x  3x  0  x ;01;  60 64
Bài 7. Cho f x  3x  
 5. Giải phương trình f x  0 . 3 x x Hướng dẫn   60 64  60 192
Ta có f  x  3x    5  3    3 2 4  x xx x 1 f  x 60 192  0  3   0 1 . Đặt t  , t  0 2   2 4   x x x   1 1 2
1  192t  60t  3  0  t   t  4 16 1 1 1 Với 2 t  
  x  4  x  2  2 4 x 4 1 1 1 Với 2 t   
x 16  x  4  2 16 x 16
Vậy f  x  0 có 4 nghiệm x  2  , x  4 
Bài 8. Cho hàm số f x 2
x x  7 . Giải bất phương trình f x 1  . 2 Hướng dẫn  1 28  2  7  0 Xét tam thức: 2
x x  7 có  2
x x  7  0 , x   . a 1  0   2 x x  7 2x 1
Ta có f  x   . 2 2 x x  7 2 2 x x  7  2x 1 0  Do đó 2x 1 1 f  x 1    2
 2x 1 x x  7   2 2   2 2 x x 7   2x   2 2 1
x x  7  1  1  1 x     x       x  2  2   2      x 1. x  2  2 2
4x  4x 1 x x  7 2 3
 x 3x 6  0  x 1 1 m Bài 9. Cho hàm số 3 2 y x x x m
5 . Tất cả các giá trị của tham số m để y  0 , x . 3 2 Hướng dẫn 1 m 3 2 y x
x mx  5 ; 2
y  x x m m 3 2 2 y  0, x
   x mx m  0, x   2
m  4m  0  0  m  4 . 1 1 Bài 10. Cho hàm số 3 2 y x
x  4x  2019 . Gọi S là tập hợp tất cả các nghiệm nguyên của bất 3 4
phương trình y  0 . Tổng tất cả các phần tử của S bằng bao nhiêu? Hướng dẫn 1 2 y  x x  4 . 2 1   y  0 2
x x  4  0  1 65 1 65  x  . 2 4 4 S   1  ;0;1; 
2 nên có tổng các phần tử là: 2 . 1 Bài 11. Cho hàm số 3 2 y
x 1010x  2019x  2020 . Giải bất phương trình y  0 . 3 Hướng dẫn Ta có 2
y  x  2020x  2019 . x  2
y  0  x  2020x  2019  1 0   . x  2019
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S    ;1 2019;  . BÀI TẬP TỰ GIẢI 2 x
Bài 1. Giải bất phương trình f ' x   g ' x  biết f x  3 2  x x g x  3 2 2018;  x   2020 3 3 mx Bài 2. Cho hàm số 2 y
 3x mx  5 . Xác định m để f ' x   0 x   (HD: m  3 ) 3 1 Bài 3. Cho hàm số 3 2 y
x  2x mx  5 . Tìm m để f ' x   0 x    0;2  3 (HD: m  0 ) 1 Bài 4. Cho hàm số 3 y
x   2m  1 2 2
x m x  4 . Tìm m để: 3
a) f '(x)  0 với mọi x  0
b) f ' x   0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
c) Trong trường hợp f ' x   0 có hai nghiệm. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m. 2 x  3x  4
Bài 5. Giải phương trình f ' x   0 biết f x   2 x x  1
Bài 6. Giải bất phương trình f ' x   f x  biết f x  2  x  2x Bài 7. Cho hàm số 3 2
y x  3x x  2 . Tìm x sao cho: a) y  2  b) y  10
Bài 8. Giải các bấy phương trình: 2 x  3x  3 2 x x 1
a) y  0 với y
b) y  0 với y x 1 2 x x 1
Bài 9. Tìm các nghiệm của phương trình sau: 1 1 3
a) f  x  0 với 3 2 f (x) 
x  2x  6x 1.
b) f  x  –5 với 4 3 2 f (x)  x x x  3 . 3 4 2 Bài 10. Cho hàm số 3 2
f (x)  x  3x  2 . Hãy giải các bất phương trình sau: a) f (  x)  0 b) f (  x)  3
Bài 11. Giải bất phương trình f  x  g x , biết rằng: a) 3
f (x)  x x  2 và 2 g( )
x  3x x  2 2 x b) 3 2
f (x)  2x x  3 và 3
g(x)  x   3 2 Bài 12. Cho hàm số 2 y
x  2x  24 . Giải bất phương trình 2 f (
x)  f (x) Bài 13. Cho hàm số 2
y x  2 x 12 . Giải bất phương trình f (
x)  0 . (TN THPT 2010)
Bài 14. Cho hàm số: 3 2
y f (x)  x  2x mx  3. Tìm m để:
a) f  x là bình phương của một nhị thức bậc nhất.
b) f  x  0, x   . c) f (  x)  0, x  0; 2 .
d) f  x  0, x   0 . 3 2 mx mx
Bài 15. Cho hàm số: y f (x)  
 3 mx  2 . Tìm m để: 3 2
a) f  x  0, x   .
b) f  x có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
c) Chứng minh rằng trong trường hợp f  x có hai nghiệm (hai nghiệm có thể trùng nhau) thì
các nghiệm này thỏa mãn một hệ thức độc lập với m .
Bài 16. Tìm m để: a) 3
y mx x y  0, x   . 1 b) 3 2 y
x mx  4x  3 có y  0, x   . 3 c) 3 2
y x – 3mx  4mx y  0, x   . d) 3 y xm   2 – 3 2
1 x  2m  5 x  2 có y  0, x   . 1 e) 3 2
y  – x  2x mx  2 có y  0, x   . 3 1 f) 3 2 y
x mx mx y  0, x  0;   . 3
Bài 17. Với mỗi hàm số sau đây: ① Tìm TXĐ ② Tính y ③ Xét dấu y , chỉ ra y  0 , y  0
trên khoảng, các khoảng nào: 1 2x 1 a) 3
y  – x  3x 1 b) 3 2 y
x – 3x  8x – 2 c) y  3 x  2 2 x x  2 2
x  2x  2 1 d) y  e) y  f) y  1 x 1 x 1 x  2 g) 4 2
y  – x  4x h) 4 2
y x  4x 1
i) y  4x 1– 1 x 1 1 j) 2
y  4  3x x k) 3 2 y
x  3x  7x  2 l) 4 2
y x  2x  3 3 2 x  2x m) 3 2
y  x x  5 n) 2 y  4  x o) y  1 x 2 x  7x 12 p) y y x x r) 2 y x x  20 2 x  2x  q) 2 3 3 2 x  8x  9 1 s) y  t) y   2x u) 2 y x  2x  3 x  5 x 1
III. Sử dụng đạo hàm chứng minh đẳng thức: Phương pháp:
Sử dụng các công thức để tính đạo hàm rồi thay vào biểu thức để biến đổi BÀI TẬP MẪU Bài 1. Cho hàm số 2
y x x 1 . Chứng minh: 2
y 1 x y  0 Hướng dẫn 2 x x x 1 y Ta có: y  1   . 2 2 2 x 1 x 1 x 1 2 2
y 1 x y y 1 x y  0. Bài 2. Cho hàm số 2 y
x  1 x . Chứng minh: 2
2 1 x .y  y Hướng dẫn    1  1  x  Ta có: 2
y   x  1 x   . 2
x  1 x   .1  2   2 2      1 2 1 2 1  x x x x x  2 2 1 1 x x 1 x x y  .   . 2 2 2 2   1 x 2 1 x 2 1 2 1  x x x 2
 2 1 x .y  y . Bài 3. Cho hàm số 3
y  1 x . Chứng minh: 2 3y y  1  0 Hướng dẫn 3 3 2
y  1 x y  1 x  3y y  1  2  3y y  1  0
Bài 4. Chứng minh các công thức tổng quát sau a b a c b c 2 x  2 x   2
ax bx c  1 a 1 b 1 a 1 c 1 b 1 c a)     ;
( a , b , c , a , b , c là hằng số) . 2  1 1 1
a x b x c  
a x b xc 2 2 1 1 1 1 1 1 b c 2 . a a x  2 . a b x  2  1 1
ax bx c a b b) 1 1     ;
( a , b , c , 1 a , 1 b là hằng số) . a x b     a x b 2 1 1 1 1 Hướng dẫn         2
ax bx c . 2
a x b x c    2
ax bx c. 2 2   1 1 1 1 a x 1 b x 1 c ax bx c  a)     2 
a x b x c  
a x b xc 2 2 1 1 1 1 1 1
2ax b. 2
a x b x c    2    1 1 1 ax bx c.2 1 a x 1 b  =
a x b xc 2 2 1 1 1
 .ab a .b 2     1 1 x 2  . a 1 c 1
a .cx  . b 1 c 1 b .c =  . ( đpcm)
a x b x c 2 2 1 1 1             ax bx c  2 ax
bx c' .a x b   2 2 1 1 ax bx c. 1 a x 1 b ' b)     a x b     a x b 2 1 1 1 1
2ax b.a x b  2   1 1 ax bx c. 1 a   . a x b 2 1 1 2 . a    1 a x 2 . a 1 b x  . b 1 b 1 a .c  .( đpcm) a x b 2 1 1 BÀI TẬP TỰ GIẢI ax b ad bc
Bài 1. Chứng minh rằng hàm số y
có đạo hàm là y '  cx d 2 (cx d ) 3x  5 4 2x
Áp dụng tính đạo hàm của : y  , y  , y x  2 3x  2 1 3x 2
ax bx c 2
ab ' x  2ac ' x bc ' b 'c
Bài 2. Chứng minh rằng hàm số y
có đạo hàm là y ' 
b ' x c ' 2
(b ' x c ') 2 x  2x  7 2 x 1 2 2x x 1
Áp dụng tính đạo hàm của : y  , y  , y x  2 3x  2 x  5 2
ax bx c
Bài 3. Chứng minh hàm số y  có đạo hàm là: 2
a ' x b ' x c ' a b a c b c 2 x  2 x a ' b ' a ' c ' b ' c ' y '  2 2
(a ' x b ' x c ') 2 2x x 1 2 3x  6x 1 2 2x  5x  6
Áp dụng tính đạo hàm của : y  , y  , y  2 x  3x  3 2 x  3x  2 2 x  5
Bài 4. Chứng minh rằng hàm số: a) 2
y  2x x thỏa hệ thức: 3 y y ' 1  0 .
b) y  x x  3 2 1 thỏa hệ thức:  2
1 x y '  xy ' 9y  0 . 5 c) y  3 
thỏa hệ thức: xy ' y  3 . x x  3 d) y  thỏa hệ thức: 2
2( y ')  ( y 1) y ' x  4 CHUYÊN ĐỀ 7
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ
Dạng 1. Phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm M x ; y 0 0  Phương pháp:
- Bước 1: Tìm tọa độ tiếp điểm M x ; y 0 0 
- Bước 2: Tính y '  f ' x , rồi suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là f ' x 0 
- Bước 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  tại M x ; y
là: y f ' x . x xy 0   0  0 0  0 BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 3
y x  4x  1 tại : a) Điểm M 1; 2  
b) Tại điểm có hoành độ bằng 2.
c) Tại điểm có tung độ bằng 1. Hướng dẫn Ta có: 2 y '  3x  4
a) Hệ số góc của tiếp tuyến là: y   2 ' 1  3.1  4  1 
Phương trình tiếp tuyến là: y y '1. x x y  1
x 1  2  x 1 0  0   b) Ta có: 3
x  2  y x  4x  1  1 0 0 0 0
Hệ số góc của tiếp tuyến là: y   2 ' 2  3.2  4  8
Phương trình tiếp tuyến là: y  8 x  2   1  8x 15  x  0 0  c) Ta có: 3 3
y  1  x  4x  1  1  x  4x  0  x  2 0 0 0 0 0 0   x  1  0
TH1: x  0; y  1  y ' 0  4
  Phương trình tiếp tuyến là: 0 0   y  4
  x  0  1  4  x  1
Tương tự hai trường hợp còn lại, các em tự viết. Bài 2. Cho hàm số 3 2
y x  2x 1 có đồ thị là C  . Viết phương trình tiếp tuyến của C  tại điểm M 1; 4 Hướng dẫn Ta có 2
y  3x  4x . Do đó y 
1  7 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm M 1; 4 là y  7x  3 . 4 y x  1 
Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
x 1 tại điểm có hoành độ 0 Hướng dẫn 4 Ta có y    y 1   1  . 2   x   1
Theo giả thiết ta có x  1  nên y  2
  tiếp điểm M  1  ; 2   . 0 0
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M  1  ; 2 là : y  1  x  
1  2  y  x  3 . Bài 4. Cho hàm số 3
y x  3x 1(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tung độ
tiếp điểm bằng 3 Hướng dẫn Ta có: 2
y  3x  3 . Gọi M x ; y là tiếp điểm 0 0  Ta có: 3
y  3  x  3x  2  0  x  2, x  1  0 0 0 0 0  x  1   y ( 1
 )  0 . Phương trình tiếp tuyến: y  3 0
x  2  y (2)  9 . Phương trình tiếp tuyến: y  9(x  2)  3  9x 15. 0 2 x  3x 1
Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y
tại giao điểm của đồ thị 2x 1 hàm số với trục tung Hướng dẫn 2 2x  2x 1 Ta có: y '   . 2x  2 1
Giao điểm M của đồ thị với trục tung : x  0  y  1  0 0
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là : k y' 0  1 .
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là : y x 1 . 2  3x
Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y
tại giao điểm của đồ thị hàm số x 1
với trục hoành bằng : Lời giải
Tập xác định: D  \   1 . Đạ 1
o hàm: y  x  .2 1   Đồ 2
thị hàm số cắt trục hoành tại A ; 0 .    3   2 
Hệ số góc của tiếp tuyến là y  9.    3    Phương trình tiế 2
p tuyến là: y  9 x
 0  y  9x  6    3  2x  4
Bài 7. Cho hàm số y
có đồ thị là (H) . Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (H) x  3
với trục hoành là: Hướng dẫn  Giao điể 2
m của đồ thị hàm số với trục hoành là (
A 2; 0) . Ta có: y '   y '(2)  2  2 (x  3)
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  2
 (x  2) hay y  2  x  4 . x
Bài 8. Gọi M là giao điểm của đồ thị hàm số 2 1 y
với trục tung. Viết phương trình tiếp x  2
tuyến với đồ thị hàm số trên tại điểm M . Hướng dẫn   Vì 1
M là giao điểm của đồ thị với trục Oy M 0;    2  3  3 y   k y (0  )   2 (x  2) 4
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M là: 3 1 y   x  4 2
Bài 9. . Cho hàm số: 3
y x   m   2
1 x   3m  1 x m  2 . Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị
hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 đi qua điểm A 2; 1   . Hướng dẫn
Hàm số đã cho xác định với x   . Ta có: 2
y '  3x  2 m 1 x  3m  1
Với x  1  y 1  3m  1  y '1  m  6
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có x  1: y   m  6  x 1  3m  1
Tiếp tuyến này đi qua A 2; 1   nên có: 1
  m  6  3m 1  m  2  Vậy, m  2
 là giá trị cần tìm. Bài 10.
Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số 3 2
y x  (2m  1)x  (m  3)x  3 và (d) là tiếp
tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x  2 . Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (d) 7 bằng . 17 Hướng dẫn
Hàm số đã cho xác định với x   . Ta có: 2
y '  3x  2 2m  1 x m  3.
Phương trình tiếp tuyến (d) :    y y '(2)(x 2) y(2)
y  11 – 7m  x – 2   7 – 6m  11 – 7m x  8m – 15  (11  7 )
m x y  8m  15  0 8m  15 7 2 2 d (0, (d ))  
 17(8m 15)  49[(11  7 ) m  1] 2 (11  7m)  1 17 2
 1313m  3466m  2153  0  m  2153 1, m  1313 BÀI TẬP TỰ GIẢI x  1
Bài 1. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị y x  0
x  biết hoành độ tiếp điểm là 1 0
Bài 2. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị y
x  2 biết tung độ tiếp điểm là y  2 0 Bài 3. Cho hàm số 3 2
y x  3x  1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
1. Tại điểm M  1  ; 3 ;
2. Tại điểm có hoành độ bằng 2 ;
3. Tại điểm có tung độ bằng 1 ;.
4. Tại giao điểm (C) với trục tung ; ĐS: 1. y  3  x  6
2. y  24x  27
3. y  1, y  9x  28 4. y  1
Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k Phương pháp:
Bước 1: Tính f ' x
Bước 2: Giải phương trình f ' x   k x y 0 0
Bước 3: Phương trình tiếp tuyến là: y k. x x y 0  0 Chú ý:
Nếu đường thẳng song song với y ax b thì k a . 1
Nếu đường thẳng vuông góc với y ax b thì k   . a
Nếu đường thẳng tạo với trục Ox một góc  thì k  tan k a
Nếu đường thẳng tạo với đường thẳng  d  góc  thì tan   1
. Với a là hệ số góc của k.a
đường thẳng  d OB
Nếu đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B thì tan OAB   , trong đó hệ số góc OA
của d được xác định bởi y ' x   tan OAB BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  : 4 2
y  x x  6 , biết tiếp tuyến vuông góc 1
với đường thẳng y x  1 . 6 Hướng dẫn
Hàm số đã cho xác định D  1
Gọi  t  là tiếp tuyến của đồ thị  C  của hàm số và  t  vuông góc với đường thẳng y x  1 , 6
nên đường thẳng  t  có hệ số góc bằng 6  .
Cách 1: Gọi M x ; y
là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến  t  và đồ thị  C  của hàm số . Khi 0 0 
đó, ta có phương trình: y ' x  3  6   4
x  2x  6  0 0 0   x 1 2
2x  2x  3  0  . Vì 2
2x  2x  3  0, x   0 0 0    0 0 0
nên phương trình    x  1  y y 1  4  M 1;4 . 0 0    
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  6
  x 1  4  6  x  10 .
Cách 2: Phương trình  t  có dạng y  6  x m
t  tiếp xúc  C  tại điểm M x ; y khi hệ phương trình sau có nghiệm x 0 0  0 4 2
 x x  6  6x mx  1 0 0 0  có nghiệm 0 x   3  0 4
x  2x  6 m  10 0 0
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  6
  x 1  4  6  x  10 . 1 2 Bài 2. Cho hàm số 3 y x x
có đồ thị là (C). Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó tiếp 3 3
tuyến của đồ thị vuông góc với đường thẳng 1 2 y   x  . 3 3 Hướng dẫn
Hàm số đã cho xác định D  Ta có: 2 y '  x  1 1 2 Gọi 3
M (x ; y )  (C)  y x x  , 0 0 0 0 0 3 3
Tiếp tuyến ∆ tại điểm M có hệ số góc: 2
y '(x )  x  1 0 0 Đường thẳng d: 1 2 1 y   x
có hệ số góc k   3 3 2 3  4  1 
x  2  y  2 2
  d k .k  1
  (x 1)    1   x  4 0 0   1 2 0 0  3 3    x  2   y  0 0 0  
Vậy, có 2 điểm M    4 2;0 , 
2;  là tọa độ cần tìm.  3  Bài 3. Cho hàm số 3
y x  3x  2 (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9. Hướng dẫn
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên R.
Gọi x là hoành độ tiếp điểm M khi đó x là nghiệm của phương trình 0 0 x  2 2 2 0
y '(x )  k  9  3x  3  9  x  4 
M (2;0) hoặc M ( 2  ; 4) 0 0 0 x  2   0
+) Với M (2;0) phương trình tiếp tuyến là y  9x 18 . +) Với M ( 2
 ; 4) phương trình tiếp tuyến là y  9x 14 . Bài 4. Cho hàm số 3 2
y x  3x  1 có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
song song với đường thẳng  : 9x y  6  0 . Hướng dẫn
Đường thẳng  : 9x y  6  0  y  9x  6 có hệ số góc là 9
Vì tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng  suy ra tiếp tuyến có hệ số góc k  9 . x  3
Suy ra hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình 2
y '  k  3x  6x  9  x  1 
Với x  1 , phương trình tiếp tuyến là y  9(x 1)  3  y  9x  6 ( loại vì trùng với đường thẳng  ).
Với x  3, phương trình tiếp tuyến là y  9(x  3) 1  y  9x  26 ( thỏa mãn ).
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  9x  6. x  9
Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y
biết tiếp tuyến vuông góc với x  1
đường thẳng d : x  2y  2  0 . Hướng dẫn Đườ 1 1
ng thẳng d : x  2y  2  0  y
x 1 nên đường thẳng d có hệ số góc là k  . 2 d 2 1
Tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k vuông góc với đường thẳng d k.k  1   k    2  . d k 8  x  1
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: y '  k   2    2 (x  1) x  3 
Với x  1, phương trình tiếp tuyến là: y  2
 (x 1)  5  y  2  x  7. Với x  3
 , phương trình tiếp tuyến là: y  2
 (x  3)  3  y  2  x  9 .
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn là: d : y  2
x  7; y  2  x  9. 1 x 1
Bài 6. Cho hàm số y
có đồ thị (C) và điểm I (2;1) . Viết phương trình tiếp tuyến d của x  2
(C) tại điểm M sao cho IM d . Hướng dẫn
Tập xác định D R \   2 1 x 1 Ta có y '   . Giả sử 0 M (x ; ) (x  2) 2 (x  2) 0 0 x  2 0 1 
Hệ số góc của tiếp tuyến (d) tại M của đồ thị (C): k y '(x )  . 1 0 x  2 0 x 1 0 1 y y x  2 1
Hệ số góc của đường thẳng M I 0 IM : k     2 2 x x x  2 (x  2) M I 0 0
d vuông góc của đường thẳng 1  1 x  3 4 0
IM k .k  1   .  1
  (x  2)  1  1 2  2 2 0 (x  2) (x  2) x  1 0 0  0
Với x  3  M (3;2)  d : y  x  5 . 0
Với x  1  M (1;0)  d : y  x  1 . 0
Vậy các tiếp tuyến thỏa mãn là d  x  5 hoặc y  x 1 . 2x  2
Bài 7. Cho hàm số y
(C) . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến x  2
tạo với đường thẳng y  3x một góc 0 45 . Hướng dẫn
Tập xác định D R \   2 .
Giả sử tiếp tuyến d cần tìm có hệ số góc k. Vì d tạo với đường thẳng y  3x có hệ số góc k ' một k  2  k k ' k  3 góc 0  45 nên suy ra 0  tan 45  1   1  1 1  k.k ' 1  3kk   2
Gọi hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:  2  2  (VN)  2 2 (x  2) 2 1 x  0 0 0
y '(x )  k   k      0  2 2 (x  2)  2 1 (x  2) 2 x  4  0 0  0   2 (x  2) 2  0 1 1
Với x  0 suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  (x  0) 1  x  1. 0 2 2 1 1 Với x  4
 suy ra phương trình tiếp tuyến là y  (x  4)  3  x  5. 0 2 2 1 1
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là y x 1; y x  5. 2 2 x  2
Bài 8. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y
biết rằng tiếp tuyến cắt trục 2x  3
hoành và trục tung lần lượt tại A B sao cho tam giác OAB cân tại O với O là gốc tọa độ. Hướng dẫn 3
Tập xác định D R \   .  2 
Tam giác OAB vuông cân tại O nên suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là k  1 hoặc k  1  .
Khi đó hoành độ tiêp điểm x là nghiệm của phương trình: 0  1   1 (VN)  2 (2x  3) 1  x  1  0 0
y '  k     1    2  1  (2x  3) x  2  0  0  1   2 (2x  3)  0 Với x  1
  y  1 , phương trình tiếp tuyến là y  x (loại vì cắt trục tung và trục hoành tại 0 0
O nên A B O ). Với x  2
  y  0 , phương trình tiếp tuyến là y  x  2 (thỏa mãn). 0 0
Vậy tiếp tuyến cần tìm là y  x  2 . x  2
Bài 9. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y
biết rằng tiếp tuyến cắt trục 2x  3
hoành và trục tung lần lượt tại A B sao cho tam giác OAB cân tại O với O là gốc tọa độ. Hướng dẫn
Tập xác định D R \   1 . OB 1 1 1 Ta có tan OAB  
nên hệ số góccủa tiếp tuyến k  hoặc k   . OA 4 4 4  Nhưng do 1 1 y ' 
 0,x  1 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k   . 2 (x 1) 4 1 1 x  3
Hoành độ tiếp điểm x là nghiệm phương trình 0    . 0 2 (x  1) 4 x  1  0  0 1 5 1 13
Từ đó ta xác định được hai tiếp tuyến thỏa mãn: y   x  ; y   x  . 4 4 4 4 x Bài 10. Cho hàm số 1 y
có đồ thị là (C) . Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp 2(x  1)
tuyến với (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng
4x y  0 . Hướng dẫn
Hàm số đã cho xác định D  \   1 x 1 Gọi M ( 0 x ;
)  (C) là điểm cần tìm. 0 2(x 1) 0
Gọi  tiếp tuyến với (C) tại M ta có phương trình  : x 1 1 x 1 ' 0
y f (x )(x x )  0  y  (x x )  0 0 2(x 1) x  2 0 1 2(x 1) 0 0 0 2
x  2x 1  2
x  2x 1
Gọi A   Ox  0 0 A 
; 0  , B   Oy  0 0 B  0;  . 2   2 2(x 1)  0  2 2        x 2x 1 x 2x 1
OAB có trọng tâm là: G 0 0 0 0   ;  . 2 6 6(x 1)  0  2 2 x  2x 1 x  2x 1
Do G thuộc đường thẳng 4x y  0  0 0 0 0 4  .   0 2 6 6(x 1) 0  1  1 x 1  x    0  0  1 2 2 4          (vì 2 x 2x 1 0 ) 0 0 x  2 1 1 3   0 x 1   x   0 0  2  2 1  1 3  Với x    M  ; 0   2  2 2  3  3 5  Với x    M  ; . 0   2  2 2 
Bài 11. Cho hàm số y  3 x  2
3x  9x  10 có đồ thị là (C). Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị
(C), hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. Hướng dẫn
Hàm số đã cho xác định D  Ta có: 2
y '  3x  6x  9 .
Gọi M (x ; y )(C) : 3 2
y x  3x  9x 10 . 0 0
Tiếp tuyến tại điểm M có hệ số góc: 2 2
k y '(x )  3x  6x  9  3(x 1) 12  1  2 0 0 0 0 mink  1
 2,đạt được khi: x  1   y  21. 0 0
Vậy trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số, tiếp tuyến tại M  1
 ;16 có hệ số góc nhỏ nhất
và có phương trình là: y  1  2x  9 BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1. Cho hàm số 3 2
y x  3x  1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : 1. Có hệ số góc là 3  .
2. Vuông góc với đường thẳng (d ): 27x  3y  2019  0 .
3. Song song với đường thẳng (d’ ) : 24x y  2020  0 . 1
Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 3 2
y   x x  2 biết tiếp tuyến song song 3 y  3  x  2020 1 (HD: y  3
x  ; y  3  x  11 ) 3 2 1
Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 3 2 y x  3x
biết tiếp tuyến vuông góc với 3 3
x  4 y  2021 1 2021
(HD: x  4 y  2021  y x
. Suy ra tiếp tuyến có hệ số góc k  4  4 4 4
Từ đó viết được y  4
x  ; y  4  x  1 ) 3 1
Bài 4. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị 3 2
y   x  2x  3x  1 biết tiếp tuyến có hệ số 3 góc lớn nhất.
Bài 5. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị 3
y x  3x  2 biết tiếp tuyến song song trục hoành.
Bài 6. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị 2
y  2x  3x  9 biết tiếp tuyến hợp với trục hoành góc 0 45
Bài 7. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị 4 2
y  x x  6 biết tiếp tuyến vuông góc với đườ 1 ng thẳng y x  2019 6
Dạng 3. Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm Ax ; y 1 1  Phương pháp: Cách 1:
Bước 1: Tính f ' x
Bước 2: Gọi M x ; y
là tiếp điểm suy ra phương trình tiếp tuyến là: 0 0 
y f ' x . x xy (1) 0   0  0
Bước 3: Vì tiếp tuyến đi qua Ax ; y nên thay x x ; y y vào phương trình (1) để tìm 1 1  1 1 x y 0 0
Bước 4: Thay x , y vào (1) để viết lại phương trình tiếp tuyến. 0 0 Cách 2:
 Đường thẳng  d  đi qua điểm Ax ; y có hệ số góc là k có dạng : y k x x y . 1  1 1  1
f x   k x x y 1   Để  1
d  là tiếp tuyến thì hệ: 
. Giải hệ trên được x y  tiếp
f ' x   k 0 0 tuyến. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 3 2
y x  3x  1 biết tiếp tuyến qua A1;3  Hướng dẫn Ta có: 2
y '  3x  6x . Cách 1:
Gọi M x ; y
là tiếp điểm suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là : k y ' x  3x  6x 0  2 0 0  0 0
Phương trình tiếp tuyến là: y   2
3x  6x . x x  3 2
x  3x 1 (1) 0 0 0 0 0 (Các em chú ý 3 2
y x  3x  1 ) 0 0 0
Vì tiếp tuyến đi qua A1;3  nên thay x  1; y  3 vào (1) ta được:  x   k y
3   3x  6x .1  x  1 9; 3 0 0 2 3 2
x  3x 1   0 0 0 0 0    x  2 
k  0; y  3 0 0
Vậy phương trình tiếp tuyến là: y  9x  6; y  3 Cách 2:
Đường thẳng  d  đi qua điểm A1;3 có hệ số góc là k có dạng : y k x 1  3 .
f x   k x  1  3 1
Để  d  là tiếp tuyến của đồ thị thì hệ phương trình  có nghiệm.
k f ' x  2
 3x  6x  2  Thay 2 vào   1 ta được: 3 2
x  3x  1   2
3x  6x  x  1 3 2 3 2 2
 3  x  3x 1  3x  3x  6x  6x  3  x  1 3
 2x  6x  4  0  x  2  x  1
k  9; y  3 Với   
suy ra phương trình tiếp tuyến là: y  9x  6; y  3  x  2 
k  0; y  3
Bài 2. Cho đồ thị hàm số C y f x 3 2 :
 2x  3x  5 . Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị  19 
C  biết tiếp tuyến đi qua điểm A ; 4   . 12  Hướng dẫn  
Gọi k hệ số góc của tiếp tuyến đi qua 19 A ; 4   tới C  . 12    Phương trình tiế 19
p tuyến  là: y k x   4   .  12    19  3 2 
2x  3x  5  k x   4    1
 tiếp xúc với C     12  có nghiệm  2
6x  6x k  2  19 
Thay k từ 2 vào   1 ta được: 3 2
2x  3x  5   2
6x  6xx   4    12  3 2
x x x    2 4 6 19 2
x x12x 19   x 1  3 2
 8x  25x 19x  2  0  x  2  .  1 x   8
Với x 1 k  0  phương trình tiếp tuyến là: y  4  19 
Với x  2  k 12  phương trình tiếp tuyến là: y  12 x
 4  y 12x 15    12  1 21 21  19  21 645 Với x   k  
 phương trình tiếp tuyến là: y   x   4  y   x    8 32 32  12  32 128 19  Vậy từ điểm A ; 4 
 kẻ được 3 tiếp tuyến tới C  12  3x  2
Bài 3. Có hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số y
C đi qua điểm A9;0. Tính tích hệ số x 1
góc của hai tiếp tuyến đó? Hướng dẫn TXĐ: \  1 1 
y  x 2 1
Đường thẳng d đi qua điểm A9;0 với hệ số góc k có phương trình y k x  9 .
Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị C  khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm
3x  2  kx9  1  x1  1    k 2 2   x   1 3x  2 1  Thế 2 vào   1 , ta có: 
. x  9  3x  2
x 1  9  x 2      x 1 x   1 x  1  2 
 3x  4x  7  0  7 x   3  
Do đó tích hệ số góc của hai tiếp tuyến đó bằng y  7 9 1 .y  .    3  64
Bài 4. Tìm điểm trên đường thẳng y  2x 1để từ đó kẻ được đến đồ thị C  của hàm số x  3 y  đúng một tiếp tuyến? x 1 Hướng dẫn TXĐ: D  \   1 . Gọi A ; a 2a  
1  d : y  2x 1 .
Gọi k là hệ số góc của đường thẳng d  đi qua A ; a 2a   1 .
Suy ra phương trình d : y k x a  2a 1
x  3  kxa2a1  x1 Xét hệ phương trình:   1 4   
x   k 2 1 x  3 4  x  1   
x a  2a 1   2   x 1  2 x   1 2ax  2 
2a  4 x 6a  4  0 2 Để từ A ; a 2a  
1 chỉ kẻ được một tiếp tuyến đến C  thì  phương trình   1 có một nghiệm
 phương trình 2 có một nghiệm khác 1. Có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: phương trình 2 là phương trình bậc nhất có nghiệm x  1 a  0 1  
x  ( T/m). Suy ra A0;  1 thỏa mãn.  8  x  4  0 2
Trường hợp 2: phương trình 2 là phương trình bậc hai có nghiệm kép x  1  a  0  a  0     a 1
  2a  42  2a6a  4  0     .  2  8
a  8a 16  0 a  2 2a  4 x x   1 1 2  2aA 1  ;  1
Suy ra có 2 điểm thỏa mãn A  2;5
Trường hợp 3: phương trình 2 là phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm x  1 a  0 
   2a  42  2a6a  4  0  a 1. Suy ra A1;3 thỏa mãn. 2a 2 
2a  4 6a  4  0
Vậycó 4 điểm thỏa mãn yêu cầu đầu bài.
Bài 5. Tìm số tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y  4x  6x 1, biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M  1  ; 9  . Hướng dẫn TXĐ: R Ta có: 2
y  12x 12x .
Phương trình đường thẳngđi qua M  1  ; 9
  có dạng:  : y k x   1  9 .
 là tiếp tuyến của đồ thị khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:  3 2
 x x   k x   5 4 6 1 1  9 x  3 2  
 8x  6x 12x 10  0  4 2
k 12x 12x    x  1  Với x  1
  k  24  phương trình tiếp tuyến y  24x  
1  9  y  24x 15 5 15 15 15 21 Với x   k
 phương trình tiếp tuyến y
x 19  y x 4 4 4 4 4
Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu . Bài 6. Cho hàm số 3 2
y x  3x có đồ thị C  và điểm M  ;
m 0 sao cho từ M vẽ được ba tiếp
tuyến đến đồthị C  , trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Tìm giá trị của m ? Hướng dẫn TXĐ: R Ta có 2
y  3x  6x .
Đường thẳng d đi qua M  ;
m 0 có hệ số góc k có phương trình : y k x m
d là tiếp tuyến của C  khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
k x m 3 2  x  3x
 x m 2 3x  6x 3 2 3
x  3x  2x  3m   2
1 x  6mx  0 2
k  3x  6xx  0   . 2 2x  3  m 
1 x  6m  0   1
Khi x  0 ta có phương trình tiếp tuyến y  0 .
Đối với đồ thị hàm số không có tiếp tuyến nào vuông góc với y  0 nên yêu cầu bài toán tương
đương phương trình  
1 có hai nghiệm x x khác 0 thỏa y x .yx  1  1   2 1 2   2
3x  6x  2 3x  6x  1
  9x .x x .x  2 x x  4 1  0 1 2  1 2  1 2  1 1 2 2    9 3  m  3  m  3  m   1  4 1  0   2  7m1 1 0  m  . 27 1 Thay m  vào  
1 thử lại có 2 nghiệm phân biệt khác 0 . 27 1 Vậy m
thỏa mãn yêu cầu bài toán. 27 Bài 7. Cho hàm số 4 2
y x  2x  2 có đồ thị C  . Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị C
biết tiếp tuyến đi qua điểm A0; 2 ? Hướng dẫn TXĐ: R Ta có: 3
y  4x  4x
Đường thẳng d đi qua điểm A0;2 có hệ số góc k có dạng: y kx  2
Để đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị C  khi và khi hệ phương trình sau có nghiệm:  x  0  4 2
x  2x  2  kx  2  2 4 2 
x  2x  2   3 4x  4x 4 2
x  2  3x  2x  0  x   3
4x  4x k 3   2 x    3
Với x  0  k  0  phương trình tiếp tuyến là: y  2 . 2 4 6 4 6 Với x   k  
 phương trình tiếp tuyến là: y   x  2 . 3 9 9 2 4 6 4 6 Với x    k
 phương trình tiếp tuyến là: y x  2 3 9 9
Bài 8. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y x  3x 1 (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm ( A 3;19) Hướng dẫn
Giả sử tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là điểm M (x ; y ) . ta có phương trình tiếp tuyến là 0 0 2 3
y  (3x  3)(x x )  x  3x 1 (d ) 0 0 0 0 d đi qua điểm ( A 3;19) nên ta có: 2 3
19  (3x  3)(3  x )  x  3x 1. 0 0 0 0 3
Giải phương trình trên ta được x  3 hoặc x   . 0 0 2
Với x  3 thì phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  24x  53 . 0 3 15 31 Với x  
thì phương trình tiếp tuyến là y x  0 2 4 4 15 31
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là y  24x  53 và y x  . 4 4 2x 1 Bài 9. Từ điểm (
A 1;3) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị hàm số y x1 Hướng dẫn
Gọi điểm M (x ; y ) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm 0 0 2x 1 3  2x 1 số y  tại M là: 0 y  (x x )  (x  1) . x 1 2 0 0 (x 1) x 1 0 0 3  2x 1 Tiếp tuyến đi qua ( A 1;3) nên ta có 0 3  (1 x )  (x  1) 2 0 0 (x 1) x 1 0 0  x  7 0
Vậy qua điểm A kẻ được duy nhất một tiếp tuyến đến đồ thị hàm số./ x  2
Bài 10. Cho hàm số y
có đồ thị (C) và điểm ( A 0; )
a . Tìm a để từ điểm A kẻ được x 1
hai tiếp tuyến đến đồ thị (C) sao cho tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành. Hướng dẫn
Giả sử điểm M (x ; y ) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm. Ta có phương trình tiếp tuyến tại M 0 0 là 3  x  2 0 y  (x x )  x 1 0  2 0 (x 1) x 1 0 0 3x x  2
Tiếp tuyến này đi qua điểm A nên ta có : 0 0 a   (x  1) 2 0 (x 1) x 1 0 0 2
 (x  2)(x 1)  a(x 1)  3x  0 (x  1) 0 0 0 0 0 2
 (1 a)x  (2a  4)x a  2  0 (*) 0 0  2a  4 x x   1 2  a 1 Theo đị  x ; x nh lý viet ta có : a  2 
. Với 1 2 là hai nghiệm của (*) x .x  1 2  a 1 Để y .y  0
tiếp điểm của hai tiếp tuyến nằm về hai phía đối với trục hoành thì 1 2 a  2 2a  4  2  4  2 x  2 x  2
x x  2(x x )  4   a   1 2 1 2 1 2 a 1 a 1  .  0   0   0   3 x 1 x 1
x x  (x x ) 1 a  2 2a  4 1 2 1 2 1 2  1 a 1 a 1 a 1 2 Vậy với các điểm ( A 0; )
a thỏa mã a   ; a  1 ta luôn kẻ được hai tiếp tuyến thỏa mãn đề bài 3 1
Bài 11. Cho hàm số y x
có đồ thị (C) . Tìm tập hợp các điểm mà từ đó kẻ được hai tiếp x
tuyến đến đồ thị (C) và hai tiếp tuyến ấy vuông góc với nhau. Hướng dẫn
Gọi M (a; b) là điểm bất kì trong mặt phẳng tọa độ. Phương trình đường thẳng d qua M có hệ số
góc k là: y k(x a)  b .
d là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:  1  1
k(x a)  b x kx x   ka b    xx    . (1) 1 1 k 1    kx x  ; k  1 2  x  x 2 2 2
a k  2(ab  2)k b  4  0 (2) 1 Từ k  1
ta thấy với mỗi k 1 thì luôn có hai giá trị của x trái dấu, do đó hệ (1) có nghiệm 2 x
 (2) có hai nghiệm k ;k 1 . 1 2
Mặt khác, hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau nên ta có k .k  1  . 1 2 k .k  1
Yêu cầu bài toán  (2) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn : 1 2 k ;k 1  1 2 a  0 a  0  2 b  4  2 2    1
  a b  4 . 2 a  a bf (1)  0  
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm O(0; 0) , bán kính bằng 2, sau khi đã bỏ đi 4 điểm là
giao với các đường thẳng x  0, y x . 2
2x mx m
Bài 12. Cho hàm số y
có đồ thị (C) . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m x 1 để từ điểm (0
A ;1) không kẻ được bất kì tiếp tuyến nào đến đồ thị (C) . Hướng dẫn
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M (x ; y ) là 0 0 2 2 2x  4x
2x mx m 0 0 0 0 y  (x x )  2 0 (x 1) x 1 0 0
Tiếp tuyến không đi qua điểm (0
A ;1) nên phương trình 2
(m  3)x  2(m 1)x m 1  0, (x  1
 ) (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm x  1  0 0 0 0 1
TH1: m  3  0  m  3 ta có x  
nên m  3 không thỏa mãn 0 2
TH2: m  3 . (*) vô nghiệm   '  0  m  1
TH3: (*) có nghiệm x  1  suy ra 2   0 (vô lý ). 0
Vậy m  1 thì không có tiếp tuyến nào của đồ thị (C) đi qua A.
Bài 13. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y x  3x 1 biết tiếp tuyến đó đi qua điểm ( A 2  ; 1  ) . Hướng dẫn
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M (x ; y ) là: 0 0 2 3
y  (3x  3)(x x )  x  3x 1 0 0 0 0
Tiếp tuyến đi qua điểm ( A 2  ; 1  ) nên ta có: 2 3 1   (3x 3)( 2
  x )  x 3x 1 0 0 0 0 3 2  2
x  6x  8  0 0 0 x 1  y  1  0     x  2  
y  9x 17 0
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là y  1
 và y  9x 17 Bài 14. Cho hàm số 3 y  4
x  3x  2 có đồ thị (C) . Tìm trên đường thẳng y  3 các điểm mà
trên đó kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) . Hướng dẫn Giả sử ( A ;
m 3) là điểm trên đường thẳng y  3 thỏa mãn từ A kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Phương trình tiếp tuyến: 2 3 y  ( 1
 2x  3)(x x )  4x  3x  2 . 0 0 0
Tiếp tuyến đi qua A nên ta có: 2 3 3  ( 1
 2x  3)(m x )  4x  3x  2 0 0 0 3 2
8x 12mx  3m 1  0 0 0 Hay  1  2  x  (8x  (4 12 ) m x  2  6 ) m  0  0  0 0  2  Yêu cầu bài toán 3 2
 8x 12mx  3m 1 0 có 3 nghiệm phân biệt 0 0 1 2  (8x  (4 12 ) m x  2  6 )
m  0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 0 2 m  1    '  0 1  m    1   3 m     2 1 m   2  1  1  Vậy từ các điểm ( A ;
m 3) thỏa mãn m  ( ;  1  )  ;  \ 
   kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị  3  2 (C).
Bài 15. Cho đồ thị hàm số 3
y  3x  4x
có đồ thị (C) . Từ điểm M (1;3) có thể kẻ được bao
nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C) . Hướng dẫn
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M (x ; y ) là: 0 0 2 3
y  (3 12x )(x x )  3x  4x 0 0 0 0
Tiếp tuyến đi qua M (1;3) nên ta có: 2 3
3  (3 12x )(1 x )  3x  4x 0 0 0 0 x  0 0 3 2 
 8x 12x  0  0 0 3 x  0  2
Vậy qua M kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị (C). 2x 1
Bài 16. Cho hàm số y
có đồ thị (C) và điểm I (1; 2) . Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) x 1
có hoành độ lớn hơn 2 sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng IM . Hướng dẫn  2x 1  Gọi 0 M x ;
 thuộc (C) . Phương trình tiếp tuyến tại M là 0 x 1  0  1  2x 1 0 y  (x x )  2 0 (x 1) x 1 0 0 Phương trình đườ 1
ng thẳng MI : y  (x 1)  2 2 (x 1) 0 1 1
x  0 (loai)
Tiếp tuyến tại M vuông góc với MI nên ta có: 0  .  1    2 2 (x 1) (x 1) x  2  0 0 0
Với x  2  y  3 . Vậy điểm M (2;3) 0 0 x  2
Bài 17. Cho hàm số y
có đồ thị C  và điểm A0;a . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị x 1
nguyên của a trong đoạn  2  018;201 
8 để từ điểm A kẻ được hai tiếp tuyến đến C  sao
cho hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành? Hướng dẫn TXĐ: \  1 3
Ta có : y   x 2 1
Đường thẳng d đi qua điểm A0;a , hệ số góc k có phương trình: y kx a .
x  2  kxa  *  x1
Để d là tiếp tuyến của C  thì hệ phương trình  có nghiệm. 3    k ** 2   x   1   Thay (**) vào (*) ta đượ x 2 3x c:   a x 1 x  2 1  a   2
1 x  2 a  2 x a  2  0  1 với x  1.
Do từ A kẻ được hai tiếp tuyến đến C  nên phương trình  
1 có hai nghiệm phân biệt khác 1. a 1         a   a 2 3 2  0      a    a   a 1 1 2 2  a  2  0 . 2       Khi đó toạ x 2 x 2 độ hai tiếp điểm là 1 M x ;  và 2 N x ;
 với x , x là nghiệm của   1 do 1 x 1  2 x 1 1 2 1   2  2a  2  đó a 2 x x  , x x  . 1 2 a 1 1 2 a 1 x  2 x  2
Hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành khi: 1 2 .  0 x 1 x 1 1 2
x x  2 x x  4 9a  6 2 1 2  1 2   0   0  a   .
x x x x 1 3  3 1 2  1 2  2 a  
Kết hợp điều kiện 2 suy ra  3 nên trên đoạn  2  018;201 
8 số giá trị nguyên của a thỏa a 1
yêu cầu bài toán là 2018 .
Bài 18. Gọi S là tập hợp các điểm thuộc đường thẳng y  2 mà qua mỗi điểm thuộc S đều kẻ 2 đượ x
chai tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị hàm số y
đồng thời hai tiếp tuyến đó vuông x 1
góc với nhau. Tính tổng hoành độ T của tất cả các điểm thuộc S . Hướng dẫn TXĐ: \  1 2 x  2x
Ta có : y  x 2 1 2 x 1 y   x 1 x 1 x 1
Gọi điểm Aa;2 d  : y  2 . Đường thẳng d đi qua A có dạng y k x a  2 2  x k
x a 2  x 1 Điề 2 u kiện tiếp xúc:     a 2 1
k  4k  4  0 * 2 x  2x   x    k 2 1
Để 2 tiếp tuyến vuông góc nhau thì phương trình ( * ) có 2 nghiệm k phân biệt và tích của hai 4  a  nghiệm đó bằng 1      3   1 a 1 2 a  1
Vậy tổng hai hoành độ là 2 . BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 2 y x
biết tiếp tuyến qua A 0; 1    23 
Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 3 2
y x  3x  3 biết tiếp tuyến qua B  ; 1    9 
Bài 3. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x , biết tiếp tuyến qua điểm A 2 4x x a) y
, với A1; – 4 . b) 4 2
y x  2x , với A0; –  1 . x 1 2 x  4x  4 c) 3
y x  3x 1, với A1; –6 . d) y
, với A –1; 0 . x 1 e) 4 2
y x  6x  9 , với A0; 9
Bài 4. Tìm m để đường thẳng y mx  1 tiếp xúc 3 2
y x x  4x 2 x m
Bài 5. Tìm m để đường thẳng y  7  x tiếp xúc y x 1
Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến với  P 2
: y x , biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm
A0 ; –1 . Bài 7. Cho hàm số 3 2
y x – 3x  2 . Viết phương trình tiếp tuyến của C  , biết rằng tiếp tuyến
đó đi qua A0; 3 .
BÀI TẬP TỔNG HỢP:
Bài 1. Cho đường cong 3
(C) : y x và hai điểm A1;  1 và B 1  ;1 x y   trên (C) .
a) Tính hệ số góc của cát tuyến AB với x
 lần lượt là 0,1 và 0,01
b) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại A . Bài 2. Cho hàm số 1
y f (x) 
. có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết: x
a) tiếp điểm có hoành độ bằng 2
b) Tiếp điểm có tung độ bằng 3
c) Hệ số góc của tiếp tuyến k  –4 .
d) Tiếp tuyến song song với d : x  9y  2017
e) Tiếp tuyến vuông góc với d : x  4y  2017 .
f) Tiếp tuyến qua điểm A 8  ; 0 Bài 3. Cho Parabol 2
y x và hai điểm A2; 4 và B(2   ; x 4  y  ) trên parabol đó.
a) Tính hệ số góc của cát tuyến AB biết x
 lần lượt bằng 1; 0,1 và 0,001.
b) Tính hệ số góc của tiếp tuyến của parabol đã cho tại điểm A .
Bài 4. Tìm hệ số góc của cát tuyến MN với đường cong C  , biết: a) C  2
: y x  2x và hoành độ M , N theo thứ tự là x  2, x 1. M N x x  b) C 2 1 : y
và hoành độ M , N theo thứ tự là x  1, x  3 . x M N
Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y x , biết:
a) Tiếp điểm có hoành độ bằng – 1 .
b) Tiếp điểm có tung độ bằng 8 .
c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 . 1
Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol y  , biết: x  1  a) Tại điểm ; 2  .  2 
b) Tiếp điểm có hoành độ bằng –1.
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 1
c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng  . 4
Bài 7. Cho đường cong C : y x . Viết phương trình tiếp tuyến của C  :
a) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1.
b) Biết tiếp tuyến song song với  : x – 4 y  3  0 .
Bài 8. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: x 1 a) y
, biết hoành độ tiếp điểm là x  0 . x 1 0
b) y x  2 , biết tung độ tiếp điểm là y  2 . 0 1 2 x
Bài 9. Cho hai hàm số y  và y
. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của mội 2 x 2
hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp tuyến kể trên.
Bài 10. Cho parabol  P 2
: y x . Gọi M M là hai điểm thuộc  P lần lượt có hoành độ 1 2
x  –2 và x  1 . Hãy tìm trên  P một điểm E sao cho tiếp tuyến tại E song song với cát 1 2
tuyến M M . Viết phương trình tiếp tuyến đó. 1 2 Bài 11. Cho hàm số 3 2
y x  3x  2 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết rằng tiếp
tuyến vuông góc với đường thẳng  : 3x – 5y – 2017  0 .
Bài 12. Cho hàm số C y f x 4 2 :
 –x mx m 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để m
các tiếp tuyến của C
tại A1; 0 và B  –1; 0 vuông góc với nhau. m Bài 13. Cho hàm số 2
y  cos x m sin x ( m là tham số) có đồ thị C  . Tìm m trong mỗi trường hợp sau:
a) Tiếp tuyến của C  tại điểm có x   có hệ số góc bằng 1.  
b) Tiếp tuyến của C  tại các điểm có các hoành độ x   và x  song song hoặc 4 3 trùng nhau.
Bài 14. Tìm giao điểm của hai đường cong  P 2
: y x x 1 và H  1 : y  . Chứng minh x 1
rằng hai đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng. Bài 15. Cho parabol 2
(P) : y x . Viết phương trình tiếp tuyến với  P , biết:
a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y  4x  3 .
b) Tiếp tuyến đi qua điểm A0;   1 .
Bài 16. Viết phương trình tiếp tuyến của: x 1 a) y
tại điểm A2; 3 . x 1 b) 3 2
y x  4x 1
tại điểm có hoành độ x  –1 . 0 c) 2
y x  4x  4
tại điểm có tung độ y 1. 0 d) y  2x 1
tại điểm có hoành độ x  4 . 0 2 x  2x 15 4 e) y
biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng . x  3 3 f) 4 2
y x – 2x 1
biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24 . g) 3 2
y x  3x  2
biết tiếp tuyến d D : x – 3y –15  0 . h) 3
y x x  3
tại điểm có hoành độ x  –1 . 0 2x 1 i) y
tại điểm có hoành độ x  2 . x 1 0 x
Bài 17. Cho Cy f x 3 2 : 
. Lập phương trình tiếp tuyến của C  : x 1 5
a) Tại điểm có hoành độ bằng 2
b) Tại điểm có tung độ bằng 2
c) d //D : y  – x  25
d) d   : 4x y  2017 .
Bài 18. Gọi C  là đồ thị hàm số 4 2
y x  2x 1. Viết phương trình tiếp tuyến của C  trong mỗi trường hợp sau:
a) Biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y  –3x 1 .
b) Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  : x – 7 y  2017 .
c) Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A0; 2
Bài 19. Gọi C  là đồ thị hàm số 3 2
y x  5x  2 . Viết phương trình tiếp tuyến của C  trong mỗi trường hợp sau:
a) Biết tung độ của tiếp điểm bằng 2 .
b) Biết rằng tiếp tuyến song song với trục hoành.
c) Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : x  8y  2017 .
d) Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A0; – 6 .