Top 7 chuyên đề đạo hàm
Tài liệu gồm 75 trang hướng dẫn phương pháp giải 7 chuyên đề đạo hàm thường gặp trong chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 5.
Preview text:
CHUYÊN ĐỀ 1 TÌM SỐ GIA Phương pháp:
Để tính số gia của hàm số y f (x) tại điểm x tương ứng với số gia x
cho trước ta áp dụng 0
công thức tính sau: y
f x x f x 0 0 x
gọi là số gia của đối số tại điểm x và x
x x . 0 0 y
gọi là số gia của hàm số tương ứng và y
f x x f x 0 0 BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Tìm số gia của hàm số 2
y x x , tương ứng với sự biến thiên của đối số từ x 2 đến 0 x x 5 0 Hướng dẫn
Số gia của hàm số là y
f x x
f x f 5 f 2 2 5 5 2 2 2 18 0 0
Bài 2. Tìm số gia của hàm số 2
y x – 3x 4 tại điểm x 2 ứng với số gia x , biết x 4 0 Hướng dẫn x 4 Vì
x x 6 0 x 2 0 Khi đó y
f x x
f x f 6 f 2 2 6 3.6 4 2 2 3.2 4 0 0 y Bài 3. Tính y và của hàm số 2
y x x x Hướng dẫn Ta có: y
f x x
f x x x
2 x x 2 x x 2 2 x 2 . x x x x x 2 x x 2 2 . x x x x 2 y 2 . x x x x 2x x 1 x x
Bài 4. Tìm số gia của hàm số 4
f x x khi x 1 , x 1 . 0 Hướng dẫn Ta có: y
f x x
f x f 2 f 1 4 4 2 1 15 0 0
Bài 5. Số gia của hàm số 3
f x x x khi x 0 , x 1 . 0 Hướng dẫn Ta có: y
f x x
f x f 1 f 0 3 3 1 1 0 0 2 0 0 x
Bài 6. Tìm số gia của hàm số f x 3 theo số gia x
của đối số x tại x 0 . 3 0 Hướng dẫn x 3 3 0 x 3 Ta có: y
f x x
f x f x
f 0 0 0 3 3 3
Bài 7. Số gia của hàm số 2
f x x x ứng với x , x là 0 Hướng dẫn 2 Ta có: y
f x x
f x x x
x x 2 x x x x 2x 1 0 0 0 0 0 0 0
Bài 8. Tìm số gia của hàm số f x 2
x 2 khi x 0 , x 2 . 0 Hướng dẫn Ta có: y
f x x
f x f 2 f 0 2 2 2 2 0 2 4 . 0 0 1
Bài 9. Số gia của hàm số f x
khi, x 1 , x 1 . 3 0 x 1 Lời giải 1 1 7 Ta có: y
f x x
f x f 1 f 0 . 0 0 3 3 2 1 1 1 18
Bài 10. Tìm số gia của hàm số f x x 1 theo số gia x
của đối số x tại x 0 . 0 Hướng dẫn Ta có: y
f x x
f x f x
f 0 x 1. 0 0 BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 11. Tìm số gia của hàm số 2
y 2x 3x 5 , tương ứng với sự biến thiên của đối số:
a) Từ x 1 đến x x 2
b) Từ x 2 đến x x 0,9 0 0 0 0
c) Từ x 1đến x 1 x
d) Từ x 2 đến x 2 x 0 0 y Bài 12. Tính y và
của hàm số sau theo x và x : x
a) y 3x 5 b) 2 y 3x 7 c) 2
y 2x 4x 1 d) y cos 2x
Bài 13. Tìm số gia của hàm số 2
y x –1 tại điểm x 1 ứng với số gia x , biết: 0 a) x 1 b) x –0,1 y Bài 14. Tính y và
của hàm số sau theo x và x : x a) 2
y x 2x 3 b) 3
y x x 1 x 2 c) 3
y x 4x 5 d) y x 5 1 x 2 x e) y y 2x f) 3 x 1 CHUYÊN ĐỀ 2 TÍNH ĐẠO HÀM Phương pháp:
Có hai cách để tính đạo hàm:
f x x
f x
Cách 1: Dùng định nghĩa: y ' lim x 0 x
Cách 2: Dùng bảng công thức : ( bảng này thầy đính kèm ở file đầu tiên) BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Sử dụng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:
1) y 3x 5 2) 2
y x 4x 1 3) 3 2
y x 3x 5 2x 3 4) y 5) 2 y x x
6) y cos 2x 3 x 1 Hướng dẫn
f x x
f x
Sử dụng định nghĩa: y ' lim . x 0 x 1) Ta có:
f x x
f x 3 x x
53x 5 3 x y ' lim lim lim 3 x 0 x 0 x 0 x x x 2) Ta có:
f x x
f x x x
2 4x x 1 2 x 4x 1 y ' lim lim x 0 x 0 x x 2 2 . x x x 4. x lim
lim 2x x
4 2x 4 x 0 x 0 x 3) Ta có:
f x x
f x x x
3 3x x 2 5 3 2
x 3x 5 y ' lim lim x 0 x 0 x x 3 2 2 3 2 2 3 2
x 3x . x 3 . x x x 3x 6 . x x 3 x
5 x 3x 5 lim x 0 x 2 2 3 2 3x . x 3 . x x x 6 . x x 3 x lim lim 2 2 3x 3 . x x x
6x 3 x 2 3x 6x x 0 x 0 x 4) Ta có: 2 x x 3 2x 3
f x x
f x x x 1 x 1 y ' lim lim x 0 x 0 x x 2x 2 x
3x
1 2x 3 x x 1 2x 2 x 3 2x 3 x x 1 x 1 x x 1 x 1 lim lim x 0 x 0 x x 2 2
2x 2x 2 . x x 2. x
3x 3 2x 2 . x x
2x 3x 3. x 3 lim x 0 x x x 1 x 1 5 . x 5 5 lim x x x x
x lim 1 1 x
x x 1 x 1 x 2 0 0 1 5) Ta có:
f x x
f x x x
2 x x 2 x x y ' lim lim x 0 x 0 x x 2 2 2 x 2 . x x x x x x x lim x 0 x 2 2 x 2 . x x x x x 2 x x lim x 0 x 2 2 2 x 2 . x x x x x
x x 2 2 . x x x x lim x 0 x 2 2 2 x 2 . x x x x x
x x 2x x 1 2x 1 lim x 0 2 2 2 x 2 . x x x x x
x x 2 2 x x 6) Ta có:
f x x
f x cos 2 x x 3 cos 2x 3 y ' lim lim x 0 x 0 x x 2
sin 2x 3 x .sin x sin x lim lim . 2 sin 2x 3 x 2 sin 2x3 x 0 x 0 x x
Bài 2. Sử dụng công thức, tính đạo hàm của các hàm số sau:
1) y 3x 5 2) 2
y x 4x 1 3) 3 2
y x 3x 5 2x 3 4) y 5) 2 y x x
6) y cos 2x 3 x 1 Hướng dẫn
Các em tra bảng công thức để tính 1) Ta có:
y 3x 5 y ' 3x 5 3x 5 3 0 3 2) Ta có: 2
y x x y 2
x x 2 4 1 4 1
x 4x
1 2x 4 0 2x 4 3) Ta có: 3 2
y x x y 3 2 x x 2 2 3 5 3
5 3x 6x 0 3x 6x . u
u .v u.v 4) (Sử dụng công thức 2 v v Ta có: 2x 3
2x 3 .x
1 2x 3. x 1 2. x 1 2x 3.1 5 y y x 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 u
5) (Sử dụng công thức u ) 2 u Ta có: 2 x x 2x 1 2 y
x x y ' 2 2 2 x x 2 x x
6) (Sử dụng công thức cos u u .sin u )
y cos 2x 3 y 2x 3 .sin 2x 3 2 .sin 2x 3
Bài 3. Sử dụng công thức, tính đạo hàm của các hàm số sau: y 4 x 2
1 x x 1 Hướng dẫn Sử dụng công thức .
u v u .v . u v y 4 x 1 2 x x 1 y 4 x 1 . 2 x x 1 4 x 1 . 2 x x 1 3 4x . 2 x x 1 4 x 1 .2x 5 4 3
1 6x 5x 4x 2x 1
Bài 4. Tính đạo hàm các hàm số sau: 3 a) 3 2
y x 3x 2x 1 d) 4 2 y 2 x x 1 2 2x 1 b) 3
y x 3x 1 e) y x3 4 x 2 x 2x 2 c) 2 y x 1 f) y 4 x 1 Hướng dẫn a) Ta có: y 3
x x 2 3
1 3x 6x 2 b) Ta có: y 3
x x 2 3 1 3 x 3 4 x c) Ta có: 2 3 y
x 1 x 2x 4 3 d) Ta có: 4 2 3 y 2
x x 1 8 x 3x 2 (2x 1) (
x 3) (x 3) (2x 1) 7 e) Ta có: y 2 2 (x 3) (x 3) 2 2
(x 2x 2) (
x 1) (x 2x 2)(x 1) f) Ta có: y 2 (x 1) 2 2
(2x 2)(x 1) (x 2x 2) x 2x 4 . 2 (x 1) x 2 1
Bài 5. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : 2 2x 2020 1 1) y x x x 3 với 0 . 2) y 6 x với x 0 ; 2 x Hướng dẫn 2 2 2x 2020 2x 2020 x 4x 3 4 1) x x x x x x x 3 3 . 2 3 2 3 2) 1 3 2 6 x . 2 3 x x x
TÍNH ĐẠO HÀM HÀM HỢP Phương pháp:
Ta sử dụng định lý sau:
Nếu hàm số u g x có đạo hàm tại x là u và hàm số y f u có đạo hàm tại u là y thì x u
hàm hợp y f g x có đạo hàm tại x là y y.u . x u x
Từ đó, ta có các công thức đạo hàm của hàm hợp thường gặp: với u u x 1 u n u n 1 . n u .u n u u 2 u 2 u u BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Sử dụng công thức, tính đạo hàm hàm hợp của các hàm số sau: 5
1) y x x 2016 2 2 3
2) y 2 x 34 1 3) 2 7 y x x
4) y x x 5 2 1 Hướng dẫn
1) Sử dụng công thức: u 1
.u .u Ta có: y x x 2016 2 2 3 y
x x x x2015 3 2016. 2 3 . 2 3 2016. 4x .
2x 3 x 2015 2 2 2 2 x 1 1
2) Chú ý bài này các em phải chuyển đổi: 1 u .u .u . u u 5 y 5. 2 x 3 4 4 2 x 3 y
x 4 x x 4 1 ' 5. 2 3 5. 4 . 2 3 . 2 3 x 5 x 5 1 20 20.2. . 2 3 . 2 3 2 x x
3) Sử dụng công thức u 1
.u .u
y x x2 7 y 7 x x 7
x x 6 x 7 2. . 2 7 1 . x x 1 1 4) Sử dụng công thức 1 u .u .u u u 1 y x x 1 5 5 2
2x x 1
y x x x x 6 x x x 6 2 2 2 5. 1 . 1 5 2 1 . 1
Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 3 5 a) y x x2 7 .
b) y x 5 3 1 . c) y 4x . 2 x Hướng dẫn
a) Ta có: y 7 x x 7
x x 7 x x 6 2 . 2 7x 1 . 4 4 b) Ta có: y 3 x 3 x 2 5 1 1 1 5x 3 1 x . 2 2 5 5 10 5
c) Ta có: y 3 4x 4x 3 4 4x . 2 2 3 2 x x x x
Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 2
y 1 2x x . b) 3 2
y x 3x 2 . Hướng dẫn 2
1 2x x 1 x a) Ta có: y . 2 2 2 1 2x x 1 2x x 3 2 x 3x 2 2 3x 6x b) Ta có: y . 3 2 x 2 3x 3 2 2 x 2 3x 2
Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 3 1 a) y y . b) . 2x 52
x x 5 2 1 Hướng dẫn
3 2x 52 12 2x 5 12 a) Ta có: y . 2x 54 2x 54 2x 53 2 x x 5 1 5 2 x x 4 1 . 2 x x 1 52x 1
b) Ta có: y . 2
x x 10 1 x x x x 6 5 2 2 2 1 1
Bài 5. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 3 2x 1 4 5 a) y . b) y 2
5x 4x 1 7x 3 . x 1 Hướng dẫn 2 2
2x 1 2x 1 2x 1 3 92x 2 1
a) Ta có: y 3 3 .
x 1 x 1
x 1 x 2 1 x 4 1 4 4 5 5 b) Ta có: y 2
x x x x 2 5 4 1 7 3 7 3
5x 4x 1 .
y x x 3 x x x
x x 4 5 4 2 2 4 5 4 1 10 4 7 3 5 7 3 .7. 5 4 1 .
y x x 3 x 4 2
x x 2 5 4 1 7 3 4 10 4 7 3 35 5x 4x 1 .
y x x 3 x 4 2 2 5 4 1 7 3
455x 132x 83.
Bài 6. Tính đạo hàm của các hàm số sau: x a) y
với a là tham số.
b) y x 3 2 . 2 2 a x Hướng dẫn 2 x 2 2 a x 2 2 2 a x a a) Ta có: y . 2 2 a x a x 3 2 2 x 23 3 x 22 3 x 2 b) Ta có: y . x 3 x 3 2 2 2 2 2 x
Bài 7. Cho hàm số y , tính y0 . 2 4 x Hướng dẫn x 2 4 x x 2 4 x 4 Ta có: y . Suy ra y 1 0 . 2 4 x 2 4x 3 2 2 2 3x 2x 1
Bài 8. Cho hàm số y , tính y0 . 3 2 2 3x 2x 1 Hướng dẫn 2
3x 2x 3 2
1 .2 3x 2x 1 2
3x 2x 1 . 3 2
2 3x 2x 1 Ta có: y
2 3x 2x 12 3 2 x x
6x 2 2 3x 2x 1 3x 2x 2 9 4 3 2 2 1 3 2 3x 2x 1 y .
2 3x 2x 12 3 2 12x 4 3 2
3x 2x 1 2
9x 4x 2
3x 2x 2 1 9
x 8x 4 y . 4 3 2
3x 2x 3 2 3 2 1 3x 2x 1 4 3x 2x 1 Suy ra: y 4 0 1. 4
x 2x 4 3 1
Bài 9. Cho hàm số y , tính y1 . 2 3x 1 Hướng dẫn
x x 3 x 3x 4 2 1 3 2 3x 1
x 2x 4 3 2 2 3 1 2 x Ta có: 3 1 y . 2 3x 1
4 x 2x 3
1 3x 23x
1 3x x 2x 4 3 2 2 3 1 y . 2 3x 2 1 3x 1
x 2x 3 3 1 4 2 3x 2 2 3x 1 3x 3 x 2x 1 y . Suy ra y 1 0 . 2 3x 2 1 3x 1 BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 10. Tính đạo hàm của các hàm số sau bằng định nghĩa: x 4 1) 2
y x 6x 1 2) 2
y x x 3) y x4 4) 4 2
y x 2x x 3 5) y x 5
6) y sin 2x 4 1
7) y cos 4x 2018
8) y tan 5x 2 9) y x1
Bài 11. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 3 a) 7 4 2
y x 3x 4x 4 x 4 b) 4 y 2x 10x 25 x c) y 2
x x 2 1 2
x 3x 1
d) y 2 x 1 4 x 3 3x 1 2 2x 3x 7 e) y f) y 4x 5 2 x 2x 3
Bài 12. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 21 23
a) y 2x 3 x 4 b) 3 2
y 4x 3x 2
Bài 13. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau ( a là hằng số): 1 1 1 1 a) 4 3 2 3 y x x
x x a b) y c) 5 2
y 3x (8 3x ) 4 3 2 2 5 (x x 1) 2x 5x 3
d) y (x 1)(x 2)(x 3) e) y f) y 2 x 1 2 x x 1 1 2 x 1 g) y h) y i) 2
y 2 5x x x x x 1 x x j) 2
y x x x 1 k) y l) y 1 x 2 2 a x
Bài 14. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 3 2 x x 2 4 5 6 2 3x 6x 7 a) y x 5 b) y c) y 3 2 2 3 4 x x x 7x 4x 2 1 x 2
x 7x 5 d) y 3x x 1 e) y f) y x 1 x 2 x 3x 2 x 1 2 x 2x 2 g) y h) 32 2 y x x i) y x x 1 5x 3 j) y 2 x x 1
Bài 15. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 2 2x 3x 1 2 x 6x 1
a) y x x 5 2 4 1 b) y c) y 2x 3 2 x x 1 2 x x 3 1 x 2 x d) y e) y f) y 2x 1 1 x 1 2 x 2 1 x x x g) y h) y
i) y x 2 1 x x 1 2 1 x x 2 x 1 CHUYÊN ĐỀ 3
TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TẠI Xo Phương pháp: f x f x
Cách 1: Sử dụng định nghĩa tính đạo hàm tại
là: y x lim 0 0 xx 0 x x0
Cách 2: Các em sử dụng công thức tính đạo hàm rồi thay vào. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số 2
y x 2x tại x 5 . 0 Hướng dẫn
Cách 1: Sử dụng định nghĩa: 2 2 y f x f x x 5 5 2 5 2.5 lim lim x5 x5 x 5 x 5 2 x 2x 35
x 5x 7 lim lim 12 x 5 x 5 x 5 x 5
Cách 2: Sử dụng công thức tính đạo hàm rồi thay số: Ta có: 2
y x x y 2 2
x 2x 2x 2
Do đó y5 2.5 2 12 .
Bài 2. Tính đạo hàm của hàm số y 0
sin 2x 30 tại 0 x 60 . 0 Hướng dẫn
Cách 1: Sử dụng định nghĩa: x y 60 sin 0 2 30 0 sin 90 0 lim0 0 x60 x 60 2 cos 0 x 30 .sin 0 x 60 sin 0 x 60 0 0 0 lim lim .2 cos x 30 2cos 60 30 0 0 0 0 0 x60 x60 x 60 x 60
Cách 2: Sử dụng công thức tính đạo hàm rồi thay số: Ta có: y 0 x y 0 x 0 x 0 sin 2 30 2 30 .cos 2 30 2.cos 2x 30
Do đó y 0 0 0 60 2 cos 60 30 0 .
Bài 3. Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra: 1 a) 2
y x x tại x 1
b) y x tại x 1 c) y tại x 0 0 0 2 0 x 1 1 d) y tại x 2 e) 2 y x 3 tại x 1 0 0 x 1 Hướng dẫn y
f x x f x f 1 x f 1 0 0
a) Ta có: f 1 lim lim lim x 0 x x 0 x x 0 x 1 x 2 1 x 2 1 1 lim lim x 1 1 x 0 x x 0 y
f x x f x f 1 x f 1 0 0
b) Ta có: f 1 lim lim lim x 0 x x 0 x x 0 x 1 x 1 1 x 1 1 1 lim lim lim x 0 x x 0 x 1 x 1 x 0 1 x 1 2 y
f x x f x f 0 x f 0 0 0
c) Ta có: f 0 lim lim lim x 0 x x 0 x x 0 x y
f x x f x f 2 x f 2 0 0
d) Ta có: f 2 lim lim lim x 0 x x 0 x x 0 x 1 1 x 2 1 2 1 x 1 1 lim lim lim x 0 x x 0 3. x 3. x x 0 3. x 3 9 y
f x x f x f 1 x f 1 0 0
e) Ta có: f 1 lim lim lim x 0 x x 0 x x 0 x x 2 2 1 3 1 3 x 2 2 x 4 2 x 2 2 x lim lim lim x 0 x x 0 x x 0 x . x 2 2 x 4 2 x 2 1 lim x 0 x 2 2 2 x 4 2
Bài 4. Tính đạo hàm của hàm số : x 2 2 a) y x y
3x( x 1) x tại 1 . b) tại x 1 ; 1 x Hướng dẫn x
x 2.x 1 x 2x 1 2 a) x 1 x 2 1
1 .x 1 x 2 2 x
x 1 2x 4 x 1 x 4 x . x 2 1
2 x x 2 1
2 x x 2 1 1
Vậy đạo hàm của hàm số tại x 1 là : y 1 2 . 2 2 2 b) 3x
x 1 3x .
x 1 3x x 1 x x x 1 2 1 3 . x 1 3x 2 x x 2 x 5
Vậy đạo hàm của hàm số tại x 1 là : y 1 2 . BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 5. Tính đạo hàm của hàm số 2
y x 2x 4 tại x 2 0
Bài 6. Cho hàm số y f x 2 2x 1
a) Tìm đạo hàm của hàm số tại x 2
b) Suy ra giá trị 3 f ( 2) 5 f (2 3) 0
Bài 7. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x0:
a) y 2x 1 tại x 2 b) 2
y x x tại x 1 0 0 x 1 c) y tại x 0
d) y 2x 7 tại x 1 0 0 x 1
Bài 8. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau (a là hằng số): 1
a) y ax 3 b) 2 y ax 2 1 1 c) y với x
d) y 3 x với x 3 2x 1 2
Bài 9. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x được chỉ ra bằng cách sử dụng công thức tính đạo 0
hàm rồi thay x vào : 0 2 x 1 1) 5 3
y x 2x 3x 5 tại x 2 2) y tại x 10 0 x 1 0 3) 2 y
x 4x 1 tại x 5
4) y sin 2x tại x 0 4 0 6 x 2 5) y tại x 2 6) y 2 x x 4 3
x 2 tại x 3 0 0 x 5 CHUYÊN ĐỀ 4
ĐẠO HÀM CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC Phương pháp:
Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm lượng giác: Đạo hàm Hàm hợp
(sin x) ' cos x ; (cos x) ' sin x
(sin u) ' u '.cos u 1 1 u ' (tan x) ' ; (cot x) ' (cos u) ' u
'sinu ; tan u ' 2 cos x 2 sin x 2 cos u u ' x 1 arcsin ' cotu ' 2 2 1 x sin u n u n 1 sin . n sin . u sin u x 1 arccos ' 2 1 x n n 1
cos u .ncos .ucosu x 1 arctan ' 2 x 1 n u n 1 tan . n tan . u tan u n co u n 1 t . n co t .
u co t u
I. Sử dụng công thức để tính đạo hàm hàm lượng giác: BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số : x
1) y sin 2x cos . 2) y x 2 sin 5 1 3 3) y sin . x cos 4x 4) 2 2
y 2 tan x 5cot x Hướng dẫn 1 x
1) Ta có: y 2.cos 2x sin 3 3
2) Ta có: y 2sin 5x 1 sin 5x
1 10 cos 5x sin 5x 1 .
3) Ta có: y sin x .cos 4x sin .
x cos 4x cos .
x cos 4x 4sin . x sin 4x . 1
Ngoài ra các em có thể tách y sin . x cos 4x
sin5x sin3x sau đó tính đạo hàm. 2 2sin x 5x 4) Ta có: y ' 3 2 2 cos x sin x
Bài 2. Tính đạo hàm của hàm số :
1) y sin 3x
2) y 5sin x 3cos x
3) y cos 2x 1
4) y sin(x ) cos x
5) y 4cos 2x 5sin(2x 3)
6) y 3 sin x cos x 2019x 3 6 7) 2
y x .cos 3x 2 xsin 3x 8) 2 2 y 3 sin 3x cos 2x 1 4 x 1 9) y tan 2x
10) y cot 3x 1 11) y tan 2 x 12) 2 y cot x 1 13) y tan
14) y 3cos x cot 2x 3 1 1
15) y tan 5x cot 4x 16) y 2
tan x 2 x 1 17) 3 5
y tan x tan x tan x 3 5 18) 2
y tan(2x 1) x cos x Hướng dẫn
1) Ta có y sin 3x y 3cos 3x
2) Ta có y 5sin x 3cos x y 5cos x 3sin x x
3) Ta có y cos 2x sin 2 1 1 y 2x 1
4) Ta có y cos x sin x . 3 6 5) Ta có y 8
sin 2x 10cos2x 3 .
6) Ta có : y 3 cos x sin x 2019 7) Ta có : 2 y x x x x x x x x x 2 2 cos 3 3 sin 3 2 sin 3 6 cos 3 8 cos 3
2 3x sin 3x 8) Ta có: 3.2sin 3x cos 3x 3sin 2 3x 4 4 2x 4 2x 2 2 y sin 2x 1. sin 2x 1 . 2 2 2 2x 1 2 2x 1 2 3 sin 3x 2 3 sin 3x 4 4 2
9) Ta có: y ' tan 2x' . 2 cos 2x ' 3
10) Ta có: y ' cot 3x 1 . 2 sin 3x 1 ' x 1 ' x 1 2 1 11) Ta có y ' tan 2 x 1 x 1 2 2 cos 2 cos 2 2 x x 1 x x 12) Ta có: y x ' 2 ' 2 2 1 ' cot 1 2 2 2 2 2 2 2 sin x 1 sin x 1 x 1.sin x 1 ' x 1 13) Ta có: y ' tan . 3 x 2 3cos 3 2
14) Ta có: y ' 3cos x cot 2x' 3 sin x . 2 sin 2x 5 4
15) Ta có: y ' tan 5x cot 4x' . 2 2 cos 5x sin 4x ' 1 2 2x x 2 x 1 x 2x x 1
16) Ta có: y ' tan 2
x 2 x 1 2 cos 2
x 2 x 1 2 cos 2
x 2 x 2 1 x cos 2
x 2 x 1 17) Ta có: 6
y ' 1 tan x 18) Ta có: 2 y ' 2 2
cos x 2x sin x cos x 2
cos x xsin 2x 2 2 cos (2x 1) cos (2x 1) BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau: x 2 a) 2
y 2sin x sin 2x sin x 2sin sin 2 x b) 2 y 2 sin
2x 3x 1 c) y 2 sin 4x x
Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau: cos x 3cos x 2 x 2 cos x
a) y 2 x sin x b) y c) y x 2x 1 sin x 2cos x sin x tan x cot x d) y e) y f) y 3sin x cos x sin x 2 2 x 1 g) y 2
sin x 3x 2
h) y cos 2x 1
i) y 2sin 3x cos 5x x 1 j) y cos 2x k) y tan l) 2 y cot x 1 2 x sin x x m) 3
y tan x cot 2x
n) y 1 2 tan x o) y x sin x 2 sin x p) y
q) y tan(sin x) r) y x 2 cot x 1 1 t an2x s) 2 y cos 2x
t) y x sin 3x u) 2 2
y tan x tan x 4 v) y 2
2 x cos x 2x sin x
Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y 2 sin 1 x b) 2
y sin cos 3x c) 2
y cos x 1 sin x 1 x 2 2 sin x tan x
d) y cos cos cos x e) 2 y cos f) y 1 x 1 cot x 1 tan x x 2 sin x g) y h) y i) 2 y 1 cos x sin x cos x cos x
Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 20 sin x x 2 1 tan x 1 cos x a) y b) 2 y 1 cos c) y d) y 1 cos x 2 2 1 tan x 1 cos x
e) y x sin x cos x f) 3 2
y 3 tan x tan 3x tan x tan x g) y x 2 cot x 1 sin x cos x 2 2
sin 2x 4 cos x 4 h) 3
y cot 2x 3cot 2x i) y j) y sin x cos x 2 2
sin 2x 4 cos x
Bài 5. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:
a) y 5sin x 3cos x b) 2
y sin(x 3x 2)
c) y cos 2x 1 d) y sin 3 . x cos 5x
e) y 1 2 tan x
f) y tan 3x cot 3x x
g) y 4sin x 3cos x h) 2 4
y 4sin x 3cos x
i) y 1cos x 1 1 1 1 1 1
Bài 6. Tính đạo hàm của hàm số sau: y
cos x , với x( ; 0 ) 2 2 2 2 2 2
II. Tính đạo hàm của hàm lượng giác tại x0 Phương pháp:
Tính đạo hàm rồi thay x vào 0 BÀI TẬP MẪU sin 2x
Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số y tại x . cos 3x 4 Hướng dẫn
sin 2x .cos3x sin 2 . x cos3x 2 cos 2 .
x cos 3x 3sin 2 . x sin 3x Ta có : y cos3x2 cos3x2 Khi đó : y 3 2 x là 3 2 . 4
. Vậy đạo hàm của hàm số đã cho tại 4
Bài 2. Tính đạo hàm của hàm số y .
x cos 2x tại x . 2 Hướng dẫn
Ta có: y x .cos 2x .
x cos 2x cos 2x 2 . x sin 2x Khi đó : ' y 1
. Vậy đạo hàm của hàm số đã cho tại x là 1 . 2 4
Bài 3. Tính đạo hàm của hàm số y 5sin x 3cos x tại điểm x . 2 Hướng dẫn
Ta có y 5sin x 3cos x 5.sin x 3cos x 5.cos x 3sin x . Suy ra y 5.cos 3sin 3 . 2 2 2
Bài 4. Tính đạo hàm của hàm số y 2sin 3x cos 5x tại điểm x . 8 Hướng dẫn
Ta có y 2sin 3x cos 5x sin 8x sin 2x .
y sin8x sin 2x' 8cos8x 2cos 2x y 8cos 8. 2cos 2. 8 2 . 8 8 8 1
Bài 5. Tính đạo hàm của hàm số 2 y sin x tại điểm x . 2 3 3 Hướng dẫn 2 2 Ta có y ' . x cos x y cos . 3 3 3 3 3 3 2
Bài 6. Cho hàm số y cos 3x sin 2x
. Tính y . 6 3 3 Hướng dẫn 2 Ta có: y 3 sin 3x 2cos 2x . 6 3 2 5 7 Vậy y 3sin 3. 2cos 2. 3 sin 2cos0 . 3 3 6 3 3 6 2 1
Bài 7. Tính đạo hàm của hàm số f x 2
cot x tại điểm x . 2 2 Hướng dẫn 1 2 x x
Ta có: f ' x 2 2 2 2 2 sin x sin x 2 2 Suy ra: f ' 2 2 2 2 sin 2
Bài 8. Tính đạo hàm của hàm số f x 2 2
tan x cot x tại điểm x . 4 Hướng dẫn 1 1
2 tan x 2cot x
Ta có: f ' x 2 tan . x 2cot . x 2 2 2 2 cos x
sin x cos x sin x 2 tan 2 cot Suy ra: 4 4 f ' 8 4 2 2 cos sin 4 4
Bài 9. Tính đạo hàm của hàm số f x cot x 1 tại x . 2 Hướng dẫn cot x 1 1
Ta có: f ' x cot x 1 ' ' 2 2 cot x 1 2 sin . x cot x 1 1 1 Suy ra f ' 2 2 2 2 sin . cot 1 2 2
Bài 10. Tính đạo hàm của hàm số f x 3
tan x cot 2x tại điểm x . 4 Hướng dẫn 1 2
Ta có: f ' x tan x cot 2x' 3 2 3.tan . x 2 2 cos x sin 2x 1 2 Suy ra 2 f ' 3.tan . 4 4 4 2 2 cos sin 2. 4 4
Bài 11. Tính đạo hàm của hàm số f x tan x cot x tại điểm x . 4 Hướng dẫn 1 1 2 2
(tan x cot x) Ta có: cos x sin ( ' ) x f x
2 tan x cot x
2 tan x cot x 2 2 sin x cos x 2 cos 2x 2 2 2
2sin x cos x tan x cot x
sin 2x tan x cot x 2 cos Suy ra 2 f ' 0 4 2 sin tan cot 2 4 4 BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra . 1 sin x cos x 1) y tại x 2) y tại x 1 sin x 3 sin x 1 2 3) 2
y 2x cot x x tại x
4) y 1 2 tan x tại x 0 4 3 x 5 5) y sin 3 . x cos 4x tại x 6) y x 2 2cos sin 2
cos x tại x 4 2 6 7) 2 3 y sin . x cos x tại x 8) 3 y tan 2x tại x 3 4 4 9) 2 y 2 sin
cos tan x tại x 10) 2 2 y cot x 1 tại x 4 3 11) 3 2 y sin
x 1 tại x 0 12) 2
y sin cos 3x tại x 3 x Bài 2. Cho hàm số 3
y x và y 4x sin . Tính tổng f ( 1) g (1) ? 2
III. Chứng minh biểu thức có chứa đạo hàm hàm lượng giác. Phương pháp:
Tính đạo hàm rồi thay vào biểu thức và biến đổi. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Chứng minh rằng : '
f x 0 với 6 4 2 2 4 4
f (x) cos x 2sin . x cos x 3sin .
x cos x sin x . Hướng dẫn Cách 1 : Ta có : f x 6 x 4 2 x x 2 4 x x 4 ( ) cos 2sin .cos 3sin .cos sin x 5 x x 3 2 4 6.sin .cos 8.cos . x sin .
x cos x 4.sin . x sin . x cos x 4 2 3 x x x x x x 3 6.cos .sin .cos 12.sin .sin .cos 4.cos . x sin x 5 3 3 5 5 3 3 3 = 6.sin . x cos x 8sin . x cos x 4sin .
x cos x 6sin . x cos x 12sin .
x cos x 4.cos . x sin x 3 3 3 x x x x 2 x 3 3 3 3 4 sin .cos 4 cos .sin . sin 1 4 sin .
x cos x 4 sin . x cos x 0 Cách 2 : Ta có : f x 4 sin x 2 1 2 cos x 4 cos x 2 2
3sin x cos x 4 sin x 2 1 2 cos x 4 cos x 2 1 2sin x 4 4 4 2 2 4
sin x cos x 2sin x cos x 2sin xcos x
cos x sin x2 2 2 2 2 2 2
2sin x cos x 2sin xcos x 2 2
cos x sin x 1
Khi đó : f x 0
Bài 2. Cho hàm số y x sin x . Chứng minh: .
x y 2 y sin x x 2cos x y 0 Hướng dẫn
Ta có: y x sin x x .sin x .
x sin x sin x x cos x . .
x y 2 y sin x x 2cos x y 2
x .sin x 2sin x xcos x sin x x2cos x xsin x 2 2
x sin x 2xcos x 2xcos x x sin x 0 (đpcm).
Bài 3. Cho hàm số y cot 2x . Chứng minh: 2
y 2 y 2 0 Hướng dẫn Ta có: y x 2 x 2 cot 2 2 1 cot 2 2 1 y 2
y 2y 2 0 .
Bài 4. Cho hàm số y tan x . Chứng minh: 2
y y 1 0 Hướng dẫn Ta có: y x 2 2 tan
1 tan x 1 y 2
y y 1 0 . sin cos 3 cos Bài 5. Cho hàm số x x x y
.Chứng minh rằng: ' .tan x y y x tan x 2 sin x Hướng dẫn
Ta tiến hành rút gọn trước khi tính đạo hàm:
x sin x cos x
xsin x cos x.cos x 1 y . x cos x sin x tan x sin x sin x ' cos x cos x
y cos x xsin x
cos x xsin x 2 2 sin x sin x cos x 2 1 sin cos x x 3 cos x
VT xsin x
xsin x cos x VP 2 2 2 sin x sin x sin x
Bài 6. Cho hàm số y 2 cot x 1 . Chứng minh rằng: ' y y x 4 2 .
. 1 y 0 . Hướng dẫn Ta có: cot x 1 1
1 cot x 1 . x 1
x 1 cot x 1 ' ' ' 2 2 2 2 2 y 2 cot 2 x 1 2 cot 2 x 1 2 cot 2 x 1 2 2 x x VT 2 cot 1 cot 1 2 x 4 1 . x x y 2 cot . 2 x 1 x 2 1 cot 2 x 1 2 x . x cot 2 x 1 0 VP
Bài 7. Cho hàm số f x 2 2cos 4x 1 . Chứng minh rằng: '
f x 8, x . Hướng dẫn Ta có: ' f x 1 6sin 4x 1 cos 4x 1 8 sin 8x 2 '
f x 8
sin 8x 2 8 sin8x 2 8 x 1 k sin 8
2 1 8x 2
k2 x 2 16 4 8
Dấu " " xảy ra khi: k x 1 k sin 8 2 1
8x 2 k2 x 2 16 4 8
sin x x cos x
Bài 8. Cho hàm số y
. Chứng minh rằng: y x x x2 ' 2 2 sin cos x y 0 .
cos x x sin x Hướng dẫn
sin x x cos x Ta có: y .
cos x x sin x
sin x xcos x' cos x xsin xsin x xcos xcos x xsin x' ' y
cos x xsin x2 ' ' Tính x x x ' sin cos
cos x x cos x .
x cos x x sin x ' ' Tính x x x ' cos sin
sin x x sin x xsin x xcos x x sin .
x cos x x sin x sin x x cos x 2 x cos x x ' y
cos x xsin x2
cos x xsin x2 2 2 2 x 2 sin x x cos x Ta có: '
VT y sin x x cos x 2 2 x y
. sin x x cos x x . 0 VP 2 2
cos x xsin x
cos x xsin x Bài 9. Cho hàm số 2
y cot x 1 . Chứng minh rằng: ' 2 2
y . x 1 x . x y 0 . Hướng dẫn Ta có: 2 y cot x 1 x x y
1 cot x 1 . x 1 1 cot x 1 ' 2 ' 1 ' 2 2 2 2 2 . 2 1 cot 2 x 1 2 2 2 x 1 x 1 Ta có: x VT 2 1 cot 2 x 1 2 2
. x 1 x . x cot 2 x 1 2
x x cot 2x 1 2 x . x cot 2 x 1 0 2 x 1
Bài 10. Cho hàm số y cos x . Chứng minh rằng: ' ' ' 2 f x f x
f 0 f 2x 3 6 6 Hướng dẫn
Ta có: f x x' ' cos sin x ' '
VT 2 f x f x 2 sin x sin x 3 6 3 6 2 2 sin x .cos x sin 2x 3 3 3 2 5 sin 2 x sin 2x cos 2 x 3 3 6 ' cos 2x 0 cos 2x
f 0 f 2x VP 6 6 6
Bài 11. Cho hàm số y 4 4 x x 6 6 3 sin cos
2 sin x cos x . Chứng minh rằng: ' y 0 x . Hướng dẫn
Ta tiến hành làm gọn biểu thức trước khi tiến hành lấy đạo hàm Ta có: y 4 4 x x 6 6 3 sin cos
2 sin x cos x Mà:
sin x cos x sin x2 cos x2 sin x cos x2 1 4 4 2 2 2 2 2 2 2
2sin x cos x 1 sin 2x 2
sin x cos x sin x3 cos x3 sin x cos x3 3 6 6 2 2 2 2 2 2
3sin x cos x 2 2
sin x cos x 2 1 sin 2x 4 1 3 2 2
y 3 1 sin 2x 2 1 sin 2x 1 2 4 ' y 0, x 3 sin x
Bài 12. Cho hàm số y
. Chứng minh rằng: 'y.sin x 3y 0 1 cos x Hướng dẫn 3 sin x Ta có: y 1 cos x 2 '
sin x sin x ' y 3
1 cos x 1 cos x ' sin x
sin x' 1 cos xsin x1cos x' 1 Mà 1 cos x 1 cos x2 1 cos x 2 2 sin x 1 3sin x ' y 3 .
1 cos x 1 cos x 1 cos x3 3 2 3sin x sin x Ta có: '
y .sin x 3y 0 x 1 cos x .sin 3. 0 3 1 cos x Bài 13. Cho hàm số 3
y sin 2x 1 . Chứng minh rằng: '
y sin 2x 1 6 .
y cos 2x 1 0 Hướng dẫn Ta có: 3
y sin 2x 1 y
x x '
x x x ' ' 2 2 2 3sin 2 1 sin 2 1 3sin 2 1 cos 2 1 2
1 6sin 2x 1 cos 2x 1 Ta có: '
VT y sin 2x
1 6 y cos 2x 1 2 6sin 2x 1 cos 2x 1 sin 2x 3
1 6sin 2x 1 cos 2x 1 0 VP x 1 x 1 Bài 14. Cho hàm số 2 y cos
. Chứng minh rằng: y . x x 4 ' 1 2 tan .y 0 x 1 x 1 Hướng dẫn x 1 Ta có: 2 y cos x 1 ' ' x 1 x 1 x 1
x 1 x 1 ' y 2cos cos 2 cos sin x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
x '1 x 1 x 1 x x ' ' 1 1 1 Mà x 1 x 2 1 x x 2 1 x 1 x 1 1 1 x 1 ' y 2 cos sin in 2. x 1 x 1
x x s 2 1 x x 2 1 x 1 Ta có: x VT y . x x 4 1 ' 1 2 tan .y x 1 x x x 1 4 sin . 1 x 1 x 1 x 1 2 x x sin 2. 2 cos 0 VP 2 x 1 x 1 x 1 1 cos x 1 Bài 15. Cho hàm số 4 y x 2 x 4 x 2 cos 2 cos 3 sin
2sin x 3 . Chứng minh rằng ' y không phụ thuộc vào x. Hướng dẫn
Ta tiến hành làm gọn biểu thức trước khi tiến hành lấy đạo hàm 4 y cos x 2 2 cos x 3 4 sin x 2 2sin x 3 6 4 6 4
2cos x 3cos x 2sin x 3sin x 3 4 4
sin x cos x 2 6 6
sin x cos x 1 '
y 0 . Vậy 'y không phụ thuộc vào x.
IV. Giải phương trình – Bất phương trình liên quan đạo hàm của hàm lượng giác BÀI TẬP MẪU x
Bài 1. Giải phương trình f ' x 0 biết f x x 3 1 sin 2cos 2 2 Hướng dẫn x
Ta có: f x x 3 1 sin 2cos 2 2 x 3 x 3 x x f x 0 cos 2. .sin cos x cos 2 2 2 2 2 x x x
f ' x 0 cos x cos
0 cos x cos cos x cos 2 2 2 x x k2 2 k 4 2 x 3 3 x
x k2 x 2 k4 2
Bài 2. Giải phương trình f (
x) 0 trong các trường hợp sau
a) f (x) sin 3x 3sin x 4 .
b) f (x) cos 2x 2sin x 3 .
c) f (x) 3 cos x sin x 1. Hướng dẫn
a) f (x) sin 3x 3sin x 4 f x 3cos 3x 3cos x
f x 0 3cos 3x 3cos x 0 cos 3x cos x k x
3x x k2 4 2 k . 3x
x k2 x k 2 b)
f (x) cos 2x 2sin x 3 f x 2
sin 2x 2cos x
f x 0 2
sin 2x 2cos x 0 cos x 2 sin x 1 0 x k x k 2 2 cos x 0 1 x k2
x k2 k sin x 6 6 2 5
x k2 x k2 6 6 c) f x 3 1
0 3 sin x cos x 0 sin x
cos x 0 sin x 0 2 2 6
x k x k k . 6 6
Bài 3. Cho hàm số y (m 1)sin x m cos x (m 2)x 1. Tìm giá trị của m để y 0 có nghiệm? Hướng dẫn
y (m 1) cos x msin x (m 2)
Phương trình y 0 (m 1)cos x msin x (m 2)
Điều kiện phương trình có nghiệm là 2 2 2
a b c m 1 2 2 2 2
(m 1) m (m 2) m 2m 3 0 . m 3 2
Bài 4. Cho hàm số y cos 2x
. Khi đó hãy giải phương trình y 0 . 3 Hướng dẫn TXĐ : D 2 Ta có: y 2 .sin 2x 3 2 k
Theo giả thiết y 0 sin 2x 0 x k . 3 3 2 x
Bài 5. Cho hàm số y sin
. Khi đó hãy tìm nghiệm của phương trình y ' 0 . 3 2 Hướng dẫn TXĐ : D 1 x x x
Ta có: y cos
nên y 0 cos
0 k x k2 k 2 3 2 3 2 3 2 2 3
Bài 6. Cho hàm số y tan x x . Giải phương trình y 0 . Hướng dẫn TXĐ: D
\ k , k 2 1 Ta có: 2 y
1 tan x , khi đó 2
y 0 tan x 0 tan x 0 x k k 2 cos x Bài 7. Cho hàm số 2 y sin .
x cos x , giải phương trình y 2sin x . Hướng dẫn TXĐ : D , ta có y 2 x 2 x x x 2 3 sin cos sin cos
2sin x cos x sin x Vậy 2 3 2 3
y 2sin x 2sin .
x cos x sin x 2sin x 2sin x 2
sin .xcos x s in x 0 x 2 x 3 3 2 sin 1 cos
sin x 0 3sin x 0 sin x 0 x k k . Bài 8. Cho hàm số 2
y 2sin x cos 2x x , giải phương trình y 3 . Hướng dẫn TXĐ : D
Ta có: y 4sin x cos x 2sin 2x 1 2sin 2x 2sin 2x 1 4sin 2x 1 y 3
4sin 2x 1 3 sin 2x 1
2x k2 x k k 2 4
Bài 9. Cho hàm số y 1 sin x1 cos x , giải phương trình y 2(cos x sin x) . Hướng dẫn TXĐ : D Ta có: y x x x x 2 2 cos 1 cos sin 1 sin
cos x sin x cos x sin x , nên 2 2
y 2(cos x sin x) cos x sin x cos x sin x 2(cos x sin x)
(cos x sin x)(cos x sin x) (cos x sin x) 0 (cos x sin )
x (cos x sin x 1) 0 x k sin x 0 4 4 2 sin x . 2 sin x 1 0
x k2 k 4 4 1 sin x 4
x k2 2 2
Bài 10. Tính đạo hàm của hàm số y sin 2x
và giải phương trình y 0 . 2 Hướng dẫn TXĐ : D Ta có y sin
2x cos 2x y 2 sin 2x
. Vậy y 0 sin 2x 0 x k k 2 2 x Bài 11. Cho hàm số 2 y cot
. Khi đó nghiệm của phương trình y ' 0 4 Hướng dẫn
TXĐ : D \k4 ,k 1 x 1 1 x x Ta có : 2 y cot . cot . 1 cot . 2 4 x 2 2 4 4 sin 4 x x Nên y 0 cot
0 k x 2 k4 k 4 4 2
Bài 12. Cho hàm số f x 2sin 2x cos 2x , giải phương trình y 2sin 2x . Hướng dẫn TXĐ : D
Ta có : y 4cos 2x 2sin 2x
y 2sin 2x 4 cos 2x 2sin 2x 2sin 2x sin 2x cos 2x
tan2x 1 2x k x k
k do cos2x 0 4 8 2
Bài 13. Tính đạo hàm của hàm số sau: 3
y sin 2x
1 và giải phương trình y 6 cos 2x 1 . Hướng dẫn TXĐ : D Ta có 2
y 6sin 2x 1 cos 2x
1 . Vậy y 6 cos 2x 1 2
x x x x 2 6 sin 2 1 cos 2 1 6 cos 2 1 cos 2 1 1
sin 2x 1 0 1 3 cos 2x 1 0 cos 2x 1 0 2x 1 k x
k k . 2 2 4 2
Bài 14. Tính đạo hàm của hàm số sau: y x x3 sin cos
và giải phương trình y 3 3sin 2x . Hướng dẫn TXĐ : D 2
Ta có : y 3sin x cos x cos x sin x , suy ra y x x x2 3 3sin 2 3 sin cos
cos x sin x 33sin 2x . x x2 x x 2 2 3 sin cos cos sin
3(sin x cos x) (sin x cos x) cos x sin x1 0 . x k 4 sin x 0 x k sin x cos x 0 4 4
x k2
sin x cos x 1 0 1 2 2 sin x 1 0 sin x 4 4 2
x k 2
sin 2x cos 2x
Bài 15. Tính đạo hàm của hàm số sau: y
, giải phương trình y 6 .
2sin 2x cos 2x Hướng dẫn
ĐK : 2sin 2x cos 2x 0 . Ta có
2cos2x 2sin 2x2sin 2x cos2xsin 2x cos2x4cos2x 2sin 2x y
2sin 2x cos2x2 6
y 2sin2xcos2x2 6 y 6 6
2sin 2x cos 2x 1 2 2
2sin2x cos2x 2 1 1 sin 2x cos 2x
2sin 2x cos 2x 1 sin 5 5 5
2x sin
2sin 2x cos 2x 1 2 1 1 sin
2x sin sin 2x cos 2x 5 5 5
x k
2x k2
x k
2x k2 2 1 2 k với sin ;cos (Thỏa mãn ĐK) 2x k2 x k 5 5
2x k2 x k 2
Bài 16. Cho hàm số 2
y sin x , giải phương trình y 3 . Hướng dẫn TXĐ : D
Ta có : y 2sin x cos x sin 2x . Khi đó y 0 sin 2x 0 2x k x k k 2
Bài 17. Cho hàm số y cos 2x 5sinx , giải phương trình y 0 . Hướng dẫn TXĐ : D Ta có : y 2
sin 2x 5cos x . Nên y 0 2
sin 2x 5cos x 0 4
sin xcos x 5cos x 0
cos x5 4sin x 0 cos x 0 do 5 4sin x 0 x k k . 2
Bài 18. Cho hàm số y 3 sin x cos x 2x , giải phương trình y 0 . Hướng dẫn TXĐ : D
Ta có : y 3 cos x sin x 2 , khi đó 5
y 0 3 cos x sin x 2 0 sin x 1 x
k2 k 3 6 Bài 19. Cho hàm số 2 2
y sin 2x 2 cos x , giải phương trình y 0 . Hướng dẫn TXĐ : D
Ta có : y 4sin 2x cos 2x 2sin 2x ,
nên y 0 2sin 2x cos 2x sin 2x 0 sin 2x 2cos 2x 1 0 sin 2x 0 2x k x k 2 1 2 k . cos 2x 2x k2 2 3 x k 3
Bài 20. Tìm m để phương trình y 0 có nghiệm biết rằng y m cos x 2sin x 3x 5 . Hướng dẫn TXĐ : D
Ta có : y msin x 2cos x 3, khi đó y 0 m sin x 2 cos x 3 1
Phương trình y 0 có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm khi và chỉ khi : m 5 2 2
m 4 9 m 5 . m 5 BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1. Giải phương trình f ' x g x biết f x 3 sin 2 ;
x g x 4cos 2x 5sin 4x
Bài 2. a) Cho y sin 2x 2cos x . Hãy giải phương trình y 0 .
b) Cho y 3sin 2x 4cos x 12x . Hãy giải phương trình y 2 .
Bài 3. Giải phương trình y 0 trong mỗi trường hợp sau:
a) y sin 2x 2cos x
b) y 3sin 2x 4cos 2x 10x c) 2
y cos x sin x
d) y tan x cot x 2 x
e) y 3cos x 4sin x 5x f) y 1 sin( x) 2cos 2 1 g) y
sin 2x sin x 3 h) y sin 2x 2cos x i) 2
y cos x sin x 2
j) y tan x cot x
k) y 2x cos x 3 sin x
l) y 3sin 2x 4cos 2x 10x CHUYÊN ĐỀ 5
ĐẠO HÀM HÀM KÉP – ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI ĐẠO HÀM
f x khi x x 1
I. Tính đạo hàm của hàm số f x 0
f x khi x x 2 0 Phương pháp:
Bước 1: Kiểm tra hàm số có liên tục tại x hay không: f x lim f x 0 0 x 0 x Bướ f x f x
c 2: Sử dụng công thức tính đạo hàm f ' x lim 0 0 x 0 x x x0 BÀI TẬP MẪU
2 4 x khi x 0
Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số x f x tại x 0 1 khi x 0 4 Hướng dẫn Ta có: f x 2 4 x x 1 lim lim lim f x x x x
x 2 4 x 0 0 0 0 4
Suy ra hàm số liên tục tại x 0 . 2 4 x 1 2 f x f 0 x 1 Ta có: f x 4 ' 0 lim lim lim 2 x 0 x 0 x 0 x x
2x 8 x 4 4 x 64 1 x 1 khi x 0
Bài 2. Cho hàm số f x x
. Tìm a để hàm số có đạo hàm tại x 0 và
a khi x 0
tính đạo hàm tại x 0 . Hướng dẫn 1 x 1 x 1
Ta có: lim f x lim lim x0 x0 x0 x
x 1 x 1 2
Để hàm số có đạo hàm tại x 0 thì hàm số phải liên tục tại x 0 1
Suy ra lim f x f 0 a x0 2
Đạo hàm của hàm số tại x 0 là: 1 x 1 1 2 f f x f 0 x 1 x 2 ' 0 lim lim lim 2 x 0 x 0 x 0 x 0 x
2x x 2 2 1 x 8 3 2
x x 11 khi x 0
Bài 3. Tính đạo hàm của hàm số f (x) x tại x 0 . 0 khi x 0 Hướng dẫn 3 2
f (x) f (0)
x x 1 1 x 1 1
Ta có : f (0) 0 , do đó: lim lim lim 2 x0 x0 x0 3 2 x x 2 x x 1 1 1 Vậy f (0 ) . 2
f x khi x x 1
II. Tính đạo hàm của hàm số f x 0
f x khi x x 2 0 Phương pháp:
Bước 1: Kiểm tra hàm số có liên tục tại x hay không: lim f x lim f x f x0 0 x 0 x x 0 x Bước 2: f x f x
Xét x x . Sử dụng công thức tính đạo hàm f ' x lim 0 0 0 x 0 x x x0 f x f x
Xét x x . Sử dụng công thức tính đạo hàm f ' x lim 0 0 0 x 0 x x x0 BÀI TẬP MẪU 2
x khi x 1
Bài 1. Cho hàm số f x
. Tìm a,b để hàm số có đạo hàm tại x 1
ax b khi x 1 Hướng dẫn
Hàm số có đạo hàm tại x 1 thì hàm số phải liên tục tại x 1.
Suy ra lim f x lim f x f 1 a b 1 x 1 x 1
Hàm số có đạo hàm tại x 1 thì f '1 f '1 . Ta có: f x f f '1 1 1 lim 2 x 0 x f x f f '1 1 1 lim a x 0 x Để f '1 f '1
a 2 b 1 x
Bài 2. Chứng minh rằng: Hàm số y
x nhưng không có đạo hàm tại
x liên tục tại 0 1 x 0 Hướng dẫn a) Ta có: x
lim f x lim 0 x0 x0 x 1 x
lim f x lim
0 lim f x lim f x f 0 x0 x0 x 1 x0 x0 f 0 0
Nên hàm số liên tục tại x 0 Ta có: f x f
f ' 0 lim f x 0 lim 1 x0 x0 x f x f
f ' 0 lim f x 0 lim 1 x0 x0 x Vì f ' 0 f ' 0
nên hàm số không có đạo hàm tại x 0 2x 3 khi x 1
Bài 3. Tính đạo hàm của hàm số 3 2
f (x) x 2x 7x 4 tại x 1. 0 khi x 1 x 1 Hướng dẫn
Ta có: lim f (x) lim 2x 3 5 x 1 x 1 3 2
x 2x 7x 4
lim f (x) lim lim 2 x 3x 4 0 x 1 x 1 x 1 x 1
Dẫn tới lim f (x) lim f (x) suy ra: hàm số không liên tục tại x 1 nên hàm số không có đạo 0 x 1 x 1 hàm tại x 1. 0 2 2x | x 1|
Bài 4. Chứng minh rằng hàm số f (x)
liên tục tại x 1
nhưng không có đạo hàm x 1 tại điểm đó. Hướng dẫn
Vì hàm f (x) xác định tại x 1
nên nó liên tục tại đó.
f ( x ) f ( 1 ) 2x Ta có: f ( 1 ) lim lim 1 x ( 1 ) x ( 1 ) x 1 x 1
f ( x ) f ( 1 ) f ( 1 ) lim lim 2 2 x ( 1 ) x ( 1 ) x 1 f ( 1 ) f ( 1 )
f (x) không có đạo hàm tại x 1 . 2x 1 khi x 1
Bài 5. Cho hàm số f x
. Để hàm số này có đạo hàm tại x 1 thì giá 2
x bx 1 khi x 1 trị của b là? Hướng dẫn Ta có: f 1 3
lim f x lim 2x 1 3 x 1 x 1
lim f x lim 2 x bx 1 b 2 x 1 x 1
Để hàm số f x có đạo hàm tại x 1 khi và chỉ khi f x liên tục tại x 1
lim f x lim f x f
1 b 2 3 b 1 x 1 x 1 2 x x khi x 1
Bài 6. Tìm a, b để hàm số f x
có đạo hàm tại x 1 . ax b khi x 1 Hướng dẫn
Điều kiện cần để hàm số có đạo hàm tại x 1 là hàm số liên tục tại x 1 . f 1 2
lim f x lim 2 x x 2 x 1 x 1
lim f x lim ax b a b x 1 x 1
Để hàm số f x có đạo hàm tại x 1 thì f x liên tục tại x 1
lim f x lim f x f
1 a b 2 x 1 x 1 Điều kiện đủ:
f x f 1 2 x x 2 f 1 lim lim
lim x 2 3 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
f x f 1
f x f 1
ax b a b ax a f 1 lim lim lim lim a x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Để
hàm số f x có đạo hàm tại x 1 thì f 1 f 1 a 3 b 1 3 x khi x 1
Bài 7. Tìm a, b để hàm số f x 3
có đạo hàm tại x 1 . ax b khi x 1 Hướng dẫn Điều kiện cần: f 1 1 3 f x 3 x 1 lim lim x 1 x 1 3 3
lim f x lim ax b a b x 1 x 1
Để hàm số f x có đạo hàm tại x 1 thì f x liên tục tại x 1
lim f x lim f x 1 f
1 a b x 1 x 1 3 Điều kiện đủ: 3 x 1
f x f 1 2 x x 1 f 1 lim 3 3 lim lim 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 3
f x f 1
f x f 1
ax b a b ax a f 1 lim lim lim lim a x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Để 2
hàm số f x có đạo hàm tại x 1 thì f 1 f 1 a 1 b 3
BÀI TẬP TỰ GIẢI: 2
x a khi x 1
Bài 8. Cho hàm số f x
. Tìm a,b để hàm số liên tục tại x 1 2
x bx khi x 1 (HD: a 2 ;b 4 ) x khi x
Bài 9. Cho y f x sin 3 0
. Tính đạo hàm của hàm số tại x 0 bằng định 3
x 2 khi x 0 0 nghĩa. 2 sin x khi x 0 Bài 10.
Cho hàm số: y f (x) x 0 khi x 0
a) Chứng minh rằng f x liên tục tại x 0 . 0
b) Tính đạo hàm (nếu có) của f x tại điểm x 0 . 0 1 2 x cos khi x 0 Bài 11.
Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y f (x) x tại 0 khi x 0 điểm x 0 0 2 ( x 1) khi x 0 Bài 12.
Chứng minh rằng hàm số: y f (x) không có đạo hàm 2 x khi x 0
tại điểm x 0 nhưng có đạo hàm tại x 2 . 0 0 2 2 x khi x 1 Bài 13. Tìm ,
a b để hàm số y f (x)
có đạo hàm tại điểm x 1 .
ax b 1 khi x 1
p cos x q sin x khi x 0
Bài 14. Cho hàm số: y f (x) pxq1 khi x 0
Chứng minh rằng với mọi cách chọn p, q hàm số không thể có đạo hàm tại điểm x 0 . 3 x 2 khi x 0 Bài 15. Tìm ,
a b để hàm số y f (x)
có đạo hàm tại điểm x 0 . 2
x ax b khi x 0
Khi đó tính f ' 0
HD: a 0;b 2
; f ' 0 0 x 2
Bài 16. Cho hàm số y f (x) 2x1
a) Xét sự liên tục của hàm số tại x 2
b) Xét xem tại x 2 hàm số có đạo hàm không? 0 0 2 x 3 2 x sin khi x 0
Bài 17. Cho y f x 2 x . 0 khi x 0
a) Xét sự liên tục của hàm số tại x 0
b) Xét xem tại x 0 hàm số có đạo hàm không? 0 0 2 x 2 x 3
Bài 18. Chứng minh rằng hàm số y
liên tục tại x 3
nhưng không có đạo hàm tại 3x 1 điểm ấy. 2 sin x khi x 0
Bài 19. Cho hàm số: y f x x 0 khi x 0
a) Chứng minh rằng f x liên tục tại x 0 . 0
b) Tính đạo hàm (nếu có) của f x tại điểm x 0 . 0 1 2 x sin khi x 0
Bài 20. Cho hàm số: y f (x) x 0 khi x 0
a) Tính đạo hàm của hàm số tại mỗi x .
b) Chứng tỏ rằng đạo hàm f x không liên tục tại điểm x 0 . 0
Bài 21. Xét sự tồn tại đạo hàm của các hàm số sau trên : 2
x x 2 khi x 2 2 x x khi x 1 a) y 1 b) y 2 khi x 2 khi x 1 x 1 x
Bài 22. Tìm a, b để hàm số sau có đạo hàm tại x = 1: x khi x 1 2 2 x
khi 2 x 1 a) y b) y 2
ax b khi x 1 2
x ax b khi x 1 x
Bài 23. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y tại x 0 . 1 x 0 2 x 2 x 3
Bài 24. Chứng minh rằng hàm số y
liên tục tại x –3 nhưng không có đạo hàm tại 3x 1 điểm ấy.
Bài 25. Chứng minh rằng hàm số 3 2 y
x liên tục tại x 0 nhưng không có đạo hàm tại x 0 CHUYÊN ĐỀ 6
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM 0
I. Sử dụng đạo hàm để tính giới hạn dạng ; : Quy tắc LÔPITAN 0 Phương pháp: f x f x
Sử dụng quy tắc Lopitan: lim lim x 0 x g x x 0 x g x BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Tính giới hạn: 2 x 1 x 7 3 1) lim 2) lim x 1 x 1 x2 x 2 Hướng dẫn 2 2 x x 1 1 2x 1) lim lim lim 2 x 1 x 1 x 1 x x 1 1 1 x x 1 7 3 7 3 2 x 7 1 2) lim lim lim x2 x2 x 2 x x 2 1 6 2 BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1. Tính các giới hạn sau theo quy tắc Lopitan: 2 x 1 1 1) lim .ĐS: 2. 2) lim x 2 ĐS: 1. x 1 x 1 x0 x 3 x 8 2 3x 4x 1 3) lim ĐS: 3 4) lim ĐS: 2 2 x2 x 4 x 1 x 1
Bài 2. Tìm các giới hạn sau theo quy tắc Lopitan: 4x 1 3 2 1 x 1 1) lim 2) lim ĐS: 0 2 x2 x ĐS: 1 4 6 x0 x x 5 3 x 3 3) lim 4) lim x4 4 ĐS: 1 x 6 2 x9 9x ĐS: 1 . x 54 2 x 3
2x 7 x 4 5) lim 6) lim 2 x7 x ĐS: 1 . 49 56 3 2 x 1 x 4x ĐS: 4 3 15
Bài 3. Tìm các giới hạn sau theo quy tắc Lopitan
1 x 1 x 3 5 x 1. lim ĐS: 1 7. lim ĐS: 1 . x0 x
x4 1 5 x 3 x 1
2x 2 3x 1 2. lim ĐS: 2. 8. lim x 1 x 3 2 x 1 x ĐS: 1 1 4
II. Sử dụng đạo hàm trong bài toán giải PT-BPT Phương pháp:
Sử dụng công thức tính đạo hàm rồi thay vào bài toán để giải.
Chú ý: Cho tam thức f x 2
ax bx c, (a 0)
1. Để f x , 0 x thì:
2) Để f (x) 0, x thì:
Trường hợp 1: Xét a 0
Trường hợp 1: Xét a 0 a 0 a 0 Trường hợp 2: Trường hợp 2: 0 0
3) Để f (x) 0, x thì:
4) Để f (x) 0, x thì :
Trường hợp 1: Xét a 0
Trường hợp 1: Xét a 0 a 0 a 0 Trường hợp 2: Trường hợp 2: 0 0 BÀI TẬP MẪU Bài 1. Cho hàm số 3 2
y mx x x 5. Tìm m để:
a) y bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất.
b) y 0 có hai nghiệm trái dấu.
c) y 0 với mọi x . Hướng dẫn Ta có: 2
y 3mx 2x 1
a) Để y là bình phương của một nhị thức bậc nhất thì phương trình y 0 có nghiệm kép m 0 m 0 1 Suy ra m . Vậy: .. ' 0 1 3m 0 3
b) Để y 0 có hai nghiệm trái dấu thì .
a c 0 3m 0 m 0 .
c) Để y 0 với mọi x thì: 3 m 0 m 0 1
m . Vậy…………………. ' 0 1 3m 0 3 x
Bài 2. Cho hàm số f x 3 f x .
x . Giải phương trình 0 1 Hướng dẫn
Điều kiện: x 1. 2 3
3x x 3 2 1 x 2x 3x f x x 2 1 x 2 1 x 0 f x 3 2
0 2x 3x 0 3 . Vậy: ……………. x 2
Bài 3. Cho hàm số f x 2
x 2x . Giải bất phương trình f x f x Hướng dẫn x 1 x 1
Ta có f x
. Khi đó f x f x 2 x 2x (1) 2 x 2x 2 x 2x
Đk: x ;0 2; . 3 5 x (1) 2 2 2
x 1 x 2x x 3x 1 0 . 3 5 x 2 3 5
Kết hợp với điều kiện trên suy ra x 0 hoặc x . 2
Bài 4. Cho hàm số f x 2
x 2x x 1 . Giải bất phương trình f x 0. Hướng dẫn 1
x x 2 2 2 2 1 x 2x 2 5x 2x 4
Ta có f x 2x 2 x 1 2 x 2x. . 2 x 1 2 x 1 2 x 1 Điều kiện x 1. 1 21 x 5
f x 0 2
5x 2x 4 0 . 1 21 x 5 3 x
Bài 5. Cho hàm số f x 2
mx m 2 x 3. Tìm các giá trị nguyên của tham số m để 3
f ' x 0 với mọi x . Hướng dẫn
Ta có f x 2
x 2mx m 2
f x 0 x 2
x 2mx m 2 0 x a 1 0 2
m m 2 0 1 m 2 ' 0
Vì m nguyên nên m 1; 0;1; 2 . x
Bài 6. Cho f x x x g x 2 3 2 3 2 3, x
3 . Giải bất phương trình f x gx . 2 Hướng dẫn
f x x x
x x gx 2 x 3 2 2 3 2 2 3 6 2 ,
x 3 3x x 2
f x g x 2 2 2
6x 2x 3x x 3x 3x 0 x ;01; 60 64
Bài 7. Cho f x 3x
5. Giải phương trình f x 0 . 3 x x Hướng dẫn 60 64 60 192
Ta có f x 3x 5 3 3 2 4 x x x x 1 f x 60 192 0 3 0 1 . Đặt t , t 0 2 2 4 x x x 1 1 2
1 192t 60t 3 0 t t 4 16 1 1 1 Với 2 t
x 4 x 2 2 4 x 4 1 1 1 Với 2 t
x 16 x 4 2 16 x 16
Vậy f x 0 có 4 nghiệm x 2 , x 4
Bài 8. Cho hàm số f x 2
x x 7 . Giải bất phương trình f x 1 . 2 Hướng dẫn 1 28 2 7 0 Xét tam thức: 2
x x 7 có 2
x x 7 0 , x . a 1 0 2 x x 7 2x 1
Ta có f x . 2 2 x x 7 2 2 x x 7 2x 1 0 Do đó 2x 1 1 f x 1 2
2x 1 x x 7 2 2 2 2 x x 7 2x 2 2 1
x x 7 1 1 1 x x x 2 2 2 x 1. x 2 2 2
4x 4x 1 x x 7 2 3
x 3x 6 0 x 1 1 m Bài 9. Cho hàm số 3 2 y x x x m
5 . Tất cả các giá trị của tham số m để y 0 , x . 3 2 Hướng dẫn 1 m 3 2 y x
x mx 5 ; 2
y x x m m 3 2 2 y 0, x
x mx m 0, x 2
m 4m 0 0 m 4 . 1 1 Bài 10. Cho hàm số 3 2 y x
x 4x 2019 . Gọi S là tập hợp tất cả các nghiệm nguyên của bất 3 4
phương trình y 0 . Tổng tất cả các phần tử của S bằng bao nhiêu? Hướng dẫn 1 2 y x x 4 . 2 1 y 0 2
x x 4 0 1 65 1 65 x . 2 4 4 S 1 ;0;1;
2 nên có tổng các phần tử là: 2 . 1 Bài 11. Cho hàm số 3 2 y
x 1010x 2019x 2020 . Giải bất phương trình y 0 . 3 Hướng dẫn Ta có 2
y x 2020x 2019 . x 2
y 0 x 2020x 2019 1 0 . x 2019
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S ;1 2019; . BÀI TẬP TỰ GIẢI 2 x
Bài 1. Giải bất phương trình f ' x g ' x biết f x 3 2 x x g x 3 2 2018; x 2020 3 3 mx Bài 2. Cho hàm số 2 y
3x mx 5 . Xác định m để f ' x 0 x (HD: m 3 ) 3 1 Bài 3. Cho hàm số 3 2 y
x 2x mx 5 . Tìm m để f ' x 0 x 0;2 3 (HD: m 0 ) 1 Bài 4. Cho hàm số 3 y
x 2m 1 2 2
x m x 4 . Tìm m để: 3
a) f '(x) 0 với mọi x 0
b) f ' x 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
c) Trong trường hợp f ' x 0 có hai nghiệm. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m. 2 x 3x 4
Bài 5. Giải phương trình f ' x 0 biết f x 2 x x 1
Bài 6. Giải bất phương trình f ' x f x biết f x 2 x 2x Bài 7. Cho hàm số 3 2
y x 3x x 2 . Tìm x sao cho: a) y 2 b) y 10
Bài 8. Giải các bấy phương trình: 2 x 3x 3 2 x x 1
a) y 0 với y
b) y 0 với y x 1 2 x x 1
Bài 9. Tìm các nghiệm của phương trình sau: 1 1 3
a) f x 0 với 3 2 f (x)
x 2x 6x 1.
b) f x –5 với 4 3 2 f (x) x x x 3 . 3 4 2 Bài 10. Cho hàm số 3 2
f (x) x 3x 2 . Hãy giải các bất phương trình sau: a) f ( x) 0 b) f ( x) 3
Bài 11. Giải bất phương trình f x g x , biết rằng: a) 3
f (x) x x 2 và 2 g( )
x 3x x 2 2 x b) 3 2
f (x) 2x x 3 và 3
g(x) x 3 2 Bài 12. Cho hàm số 2 y
x 2x 24 . Giải bất phương trình 2 f (
x) f (x) Bài 13. Cho hàm số 2
y x 2 x 12 . Giải bất phương trình f (
x) 0 . (TN THPT 2010)
Bài 14. Cho hàm số: 3 2
y f (x) x 2x mx 3. Tìm m để:
a) f x là bình phương của một nhị thức bậc nhất.
b) f x 0, x . c) f ( x) 0, x 0; 2 .
d) f x 0, x 0 . 3 2 mx mx
Bài 15. Cho hàm số: y f (x)
3 m x 2 . Tìm m để: 3 2
a) f x 0, x .
b) f x có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
c) Chứng minh rằng trong trường hợp f x có hai nghiệm (hai nghiệm có thể trùng nhau) thì
các nghiệm này thỏa mãn một hệ thức độc lập với m .
Bài 16. Tìm m để: a) 3
y mx – x có y 0, x . 1 b) 3 2 y
x mx 4x 3 có y 0, x . 3 c) 3 2
y x – 3mx 4mx có y 0, x . d) 3 y x m 2 – 3 2
1 x 2m 5 x 2 có y 0, x . 1 e) 3 2
y – x 2x – mx 2 có y 0, x . 3 1 f) 3 2 y
x – mx – mx có y 0, x 0; . 3
Bài 17. Với mỗi hàm số sau đây: ① Tìm TXĐ ② Tính y ③ Xét dấu y , chỉ ra y 0 , y 0
trên khoảng, các khoảng nào: 1 2x 1 a) 3
y – x 3x 1 b) 3 2 y
x – 3x 8x – 2 c) y 3 x 2 2 x x 2 2
x 2x 2 1 d) y e) y f) y 1 x 1 x 1 x 2 g) 4 2
y – x 4x h) 4 2
y x 4x 1
i) y 4x 1– 1 x 1 1 j) 2
y 4 3x – x k) 3 2 y
x 3x 7x 2 l) 4 2
y x 2x 3 3 2 x 2x m) 3 2
y x x 5 n) 2 y 4 x o) y 1 x 2 x 7x 12 p) y y x x r) 2 y x x 20 2 x 2x q) 2 3 3 2 x 8x 9 1 s) y t) y 2x u) 2 y x 2x 3 x 5 x 1
III. Sử dụng đạo hàm chứng minh đẳng thức: Phương pháp:
Sử dụng các công thức để tính đạo hàm rồi thay vào biểu thức để biến đổi BÀI TẬP MẪU Bài 1. Cho hàm số 2
y x x 1 . Chứng minh: 2
y 1 x y 0 Hướng dẫn 2 x x x 1 y Ta có: y 1 . 2 2 2 x 1 x 1 x 1 2 2
y 1 x y y 1 x y 0. Bài 2. Cho hàm số 2 y
x 1 x . Chứng minh: 2
2 1 x .y y Hướng dẫn 1 1 x Ta có: 2
y x 1 x . 2
x 1 x .1 2 2 2 1 2 1 2 1 x x x x x 2 2 1 1 x x 1 x x y . . 2 2 2 2 1 x 2 1 x 2 1 2 1 x x x 2
2 1 x .y y . Bài 3. Cho hàm số 3
y 1 x . Chứng minh: 2 3y y 1 0 Hướng dẫn 3 3 2
y 1 x y 1 x 3y y 1 2 3y y 1 0
Bài 4. Chứng minh các công thức tổng quát sau a b a c b c 2 x 2 x 2
ax bx c 1 a 1 b 1 a 1 c 1 b 1 c a) ;
( a , b , c , a , b , c là hằng số) . 2 1 1 1
a x b x c
a x b xc 2 2 1 1 1 1 1 1 b c 2 . a a x 2 . a b x 2 1 1
ax bx c a b b) 1 1 ;
( a , b , c , 1 a , 1 b là hằng số) . a x b a x b 2 1 1 1 1 Hướng dẫn 2
ax bx c . 2
a x b x c 2
ax bx c. 2 2 1 1 1 1 a x 1 b x 1 c ax bx c a) 2
a x b x c
a x b xc 2 2 1 1 1 1 1 1
2ax b. 2
a x b x c 2 1 1 1 ax bx c.2 1 a x 1 b =
a x b xc 2 2 1 1 1
.ab a .b 2 1 1 x 2 . a 1 c 1
a .c x . b 1 c 1 b .c = . ( đpcm)
a x b x c 2 2 1 1 1 ax bx c 2 ax
bx c' .a x b 2 2 1 1 ax bx c. 1 a x 1 b ' b) a x b a x b 2 1 1 1 1
2ax b.a x b 2 1 1 ax bx c. 1 a . a x b 2 1 1 2 . a 1 a x 2 . a 1 b x . b 1 b 1 a .c .( đpcm) a x b 2 1 1 BÀI TẬP TỰ GIẢI ax b ad bc
Bài 1. Chứng minh rằng hàm số y
có đạo hàm là y ' cx d 2 (cx d ) 3x 5 4 2x
Áp dụng tính đạo hàm của : y , y , y x 2 3x 2 1 3x 2
ax bx c 2
ab ' x 2ac ' x bc ' b 'c
Bài 2. Chứng minh rằng hàm số y
có đạo hàm là y '
b ' x c ' 2
(b ' x c ') 2 x 2x 7 2 x 1 2 2x x 1
Áp dụng tính đạo hàm của : y , y , y x 2 3x 2 x 5 2
ax bx c
Bài 3. Chứng minh hàm số y có đạo hàm là: 2
a ' x b ' x c ' a b a c b c 2 x 2 x a ' b ' a ' c ' b ' c ' y ' 2 2
(a ' x b ' x c ') 2 2x x 1 2 3x 6x 1 2 2x 5x 6
Áp dụng tính đạo hàm của : y , y , y 2 x 3x 3 2 x 3x 2 2 x 5
Bài 4. Chứng minh rằng hàm số: a) 2
y 2x x thỏa hệ thức: 3 y y ' 1 0 .
b) y x x 3 2 1 thỏa hệ thức: 2
1 x y ' xy ' 9y 0 . 5 c) y 3
thỏa hệ thức: xy ' y 3 . x x 3 d) y thỏa hệ thức: 2
2( y ') ( y 1) y ' x 4 CHUYÊN ĐỀ 7
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ
Dạng 1. Phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm M x ; y 0 0 Phương pháp:
- Bước 1: Tìm tọa độ tiếp điểm M x ; y 0 0
- Bước 2: Tính y ' f ' x , rồi suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là f ' x 0
- Bước 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại M x ; y
là: y f ' x . x x y 0 0 0 0 0 BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 3
y x 4x 1 tại : a) Điểm M 1; 2
b) Tại điểm có hoành độ bằng 2.
c) Tại điểm có tung độ bằng 1. Hướng dẫn Ta có: 2 y ' 3x 4
a) Hệ số góc của tiếp tuyến là: y 2 ' 1 3.1 4 1
Phương trình tiếp tuyến là: y y '1. x x y 1
x 1 2 x 1 0 0 b) Ta có: 3
x 2 y x 4x 1 1 0 0 0 0
Hệ số góc của tiếp tuyến là: y 2 ' 2 3.2 4 8
Phương trình tiếp tuyến là: y 8 x 2 1 8x 15 x 0 0 c) Ta có: 3 3
y 1 x 4x 1 1 x 4x 0 x 2 0 0 0 0 0 0 x 1 0
TH1: x 0; y 1 y ' 0 4
Phương trình tiếp tuyến là: 0 0 y 4
x 0 1 4 x 1
Tương tự hai trường hợp còn lại, các em tự viết. Bài 2. Cho hàm số 3 2
y x 2x 1 có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M 1; 4 Hướng dẫn Ta có 2
y 3x 4x . Do đó y
1 7 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm M 1; 4 là y 7x 3 . 4 y x 1
Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
x 1 tại điểm có hoành độ 0 Hướng dẫn 4 Ta có y y 1 1 . 2 x 1
Theo giả thiết ta có x 1 nên y 2
tiếp điểm M 1 ; 2 . 0 0
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M 1 ; 2 là : y 1 x
1 2 y x 3 . Bài 4. Cho hàm số 3
y x 3x 1(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tung độ
tiếp điểm bằng 3 Hướng dẫn Ta có: 2
y 3x 3 . Gọi M x ; y là tiếp điểm 0 0 Ta có: 3
y 3 x 3x 2 0 x 2, x 1 0 0 0 0 0 x 1 y ( 1
) 0 . Phương trình tiếp tuyến: y 3 0
x 2 y (2) 9 . Phương trình tiếp tuyến: y 9(x 2) 3 9x 15. 0 2 x 3x 1
Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y
tại giao điểm của đồ thị 2x 1 hàm số với trục tung Hướng dẫn 2 2x 2x 1 Ta có: y ' . 2x 2 1
Giao điểm M của đồ thị với trục tung : x 0 y 1 0 0
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là : k y' 0 1 .
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là : y x 1 . 2 3x
Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y
tại giao điểm của đồ thị hàm số x 1
với trục hoành bằng : Lời giải
Tập xác định: D \ 1 . Đạ 1
o hàm: y x .2 1 Đồ 2
thị hàm số cắt trục hoành tại A ; 0 . 3 2
Hệ số góc của tiếp tuyến là y 9. 3 Phương trình tiế 2
p tuyến là: y 9 x
0 y 9x 6 3 2x 4
Bài 7. Cho hàm số y
có đồ thị là (H) . Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (H) x 3
với trục hoành là: Hướng dẫn Giao điể 2
m của đồ thị hàm số với trục hoành là (
A 2; 0) . Ta có: y ' y '(2) 2 2 (x 3)
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y 2
(x 2) hay y 2 x 4 . x
Bài 8. Gọi M là giao điểm của đồ thị hàm số 2 1 y
với trục tung. Viết phương trình tiếp x 2
tuyến với đồ thị hàm số trên tại điểm M . Hướng dẫn Vì 1
M là giao điểm của đồ thị với trục Oy M 0; 2 3 3 y k y (0 ) 2 (x 2) 4
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M là: 3 1 y x 4 2
Bài 9. . Cho hàm số: 3
y x m 2
1 x 3m 1 x m 2 . Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị
hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 đi qua điểm A 2; 1 . Hướng dẫn
Hàm số đã cho xác định với x . Ta có: 2
y ' 3x 2 m 1 x 3m 1
Với x 1 y 1 3m 1 y '1 m 6
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có x 1: y m 6 x 1 3m 1
Tiếp tuyến này đi qua A 2; 1 nên có: 1
m 6 3m 1 m 2 Vậy, m 2
là giá trị cần tìm. Bài 10.
Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số 3 2
y x (2m 1)x (m 3)x 3 và (d) là tiếp
tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x 2 . Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (d) 7 bằng . 17 Hướng dẫn
Hàm số đã cho xác định với x . Ta có: 2
y ' 3x 2 2m 1 x m 3.
Phương trình tiếp tuyến (d) : y y '(2)(x 2) y(2)
y 11 – 7m x – 2 7 – 6m 11 – 7m x 8m – 15 (11 7 )
m x y 8m 15 0 8m 15 7 2 2 d (0, (d ))
17(8m 15) 49[(11 7 ) m 1] 2 (11 7m) 1 17 2
1313m 3466m 2153 0 m 2153 1, m 1313 BÀI TẬP TỰ GIẢI x 1
Bài 1. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị y x 0
x biết hoành độ tiếp điểm là 1 0
Bài 2. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị y
x 2 biết tung độ tiếp điểm là y 2 0 Bài 3. Cho hàm số 3 2
y x 3x 1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
1. Tại điểm M 1 ; 3 ;
2. Tại điểm có hoành độ bằng 2 ;
3. Tại điểm có tung độ bằng 1 ;.
4. Tại giao điểm (C) với trục tung ; ĐS: 1. y 3 x 6
2. y 24x 27
3. y 1, y 9x 28 4. y 1
Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k Phương pháp:
Bước 1: Tính f ' x
Bước 2: Giải phương trình f ' x k x y 0 0
Bước 3: Phương trình tiếp tuyến là: y k. x x y 0 0 Chú ý:
Nếu đường thẳng song song với y ax b thì k a . 1
Nếu đường thẳng vuông góc với y ax b thì k . a
Nếu đường thẳng tạo với trục Ox một góc thì k tan k a
Nếu đường thẳng tạo với đường thẳng d góc thì tan 1
. Với a là hệ số góc của k.a
đường thẳng d OB
Nếu đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B thì tan OAB , trong đó hệ số góc OA
của d được xác định bởi y ' x tan OAB BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C : 4 2
y x x 6 , biết tiếp tuyến vuông góc 1
với đường thẳng y x 1 . 6 Hướng dẫn
Hàm số đã cho xác định D 1
Gọi t là tiếp tuyến của đồ thị C của hàm số và t vuông góc với đường thẳng y x 1 , 6
nên đường thẳng t có hệ số góc bằng 6 .
Cách 1: Gọi M x ; y
là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến t và đồ thị C của hàm số . Khi 0 0
đó, ta có phương trình: y ' x 3 6 4
x 2x 6 0 0 0 x 1 2
2x 2x 3 0 . Vì 2
2x 2x 3 0, x 0 0 0 0 0 0
nên phương trình x 1 y y 1 4 M 1;4 . 0 0
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 6
x 1 4 6 x 10 .
Cách 2: Phương trình t có dạng y 6 x m
t tiếp xúc C tại điểm M x ; y khi hệ phương trình sau có nghiệm x 0 0 0 4 2
x x 6 6x m x 1 0 0 0 có nghiệm 0 x 3 0 4
x 2x 6 m 10 0 0
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 6
x 1 4 6 x 10 . 1 2 Bài 2. Cho hàm số 3 y x x
có đồ thị là (C). Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó tiếp 3 3
tuyến của đồ thị vuông góc với đường thẳng 1 2 y x . 3 3 Hướng dẫn
Hàm số đã cho xác định D Ta có: 2 y ' x 1 1 2 Gọi 3
M (x ; y ) (C) y x x , 0 0 0 0 0 3 3
Tiếp tuyến ∆ tại điểm M có hệ số góc: 2
y '(x ) x 1 0 0 Đường thẳng d: 1 2 1 y x
có hệ số góc k 3 3 2 3 4 1
x 2 y 2 2
d k .k 1
(x 1) 1 x 4 0 0 1 2 0 0 3 3 x 2 y 0 0 0
Vậy, có 2 điểm M 4 2;0 ,
2; là tọa độ cần tìm. 3 Bài 3. Cho hàm số 3
y x 3x 2 (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9. Hướng dẫn
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên R.
Gọi x là hoành độ tiếp điểm M khi đó x là nghiệm của phương trình 0 0 x 2 2 2 0
y '(x ) k 9 3x 3 9 x 4
M (2;0) hoặc M ( 2 ; 4) 0 0 0 x 2 0
+) Với M (2;0) phương trình tiếp tuyến là y 9x 18 . +) Với M ( 2
; 4) phương trình tiếp tuyến là y 9x 14 . Bài 4. Cho hàm số 3 2
y x 3x 1 có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
song song với đường thẳng : 9x y 6 0 . Hướng dẫn
Đường thẳng : 9x y 6 0 y 9x 6 có hệ số góc là 9
Vì tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng suy ra tiếp tuyến có hệ số góc k 9 . x 3
Suy ra hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình 2
y ' k 3x 6x 9 x 1
Với x 1 , phương trình tiếp tuyến là y 9(x 1) 3 y 9x 6 ( loại vì trùng với đường thẳng ).
Với x 3, phương trình tiếp tuyến là y 9(x 3) 1 y 9x 26 ( thỏa mãn ).
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y 9x 6. x 9
Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y
biết tiếp tuyến vuông góc với x 1
đường thẳng d : x 2y 2 0 . Hướng dẫn Đườ 1 1
ng thẳng d : x 2y 2 0 y
x 1 nên đường thẳng d có hệ số góc là k . 2 d 2 1
Tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k vuông góc với đường thẳng d k.k 1 k 2 . d k 8 x 1
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: y ' k 2 2 (x 1) x 3
Với x 1, phương trình tiếp tuyến là: y 2
(x 1) 5 y 2 x 7. Với x 3
, phương trình tiếp tuyến là: y 2
(x 3) 3 y 2 x 9 .
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn là: d : y 2
x 7; y 2 x 9. 1 x 1
Bài 6. Cho hàm số y
có đồ thị (C) và điểm I (2;1) . Viết phương trình tiếp tuyến d của x 2
(C) tại điểm M sao cho IM d . Hướng dẫn
Tập xác định D R \ 2 1 x 1 Ta có y ' . Giả sử 0 M (x ; ) (x 2) 2 (x 2) 0 0 x 2 0 1
Hệ số góc của tiếp tuyến (d) tại M của đồ thị (C): k y '(x ) . 1 0 x 2 0 x 1 0 1 y y x 2 1
Hệ số góc của đường thẳng M I 0 IM : k 2 2 x x x 2 (x 2) M I 0 0
d vuông góc của đường thẳng 1 1 x 3 4 0
IM k .k 1 . 1
(x 2) 1 1 2 2 2 0 (x 2) (x 2) x 1 0 0 0
Với x 3 M (3;2) d : y x 5 . 0
Với x 1 M (1;0) d : y x 1 . 0
Vậy các tiếp tuyến thỏa mãn là d x 5 hoặc y x 1 . 2x 2
Bài 7. Cho hàm số y
(C) . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến x 2
tạo với đường thẳng y 3x một góc 0 45 . Hướng dẫn
Tập xác định D R \ 2 .
Giả sử tiếp tuyến d cần tìm có hệ số góc k. Vì d tạo với đường thẳng y 3x có hệ số góc k ' một k 2 k k ' k 3 góc 0 45 nên suy ra 0 tan 45 1 1 1 1 k.k ' 1 3k k 2
Gọi hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: 2 2 (VN) 2 2 (x 2) 2 1 x 0 0 0
y '(x ) k k 0 2 2 (x 2) 2 1 (x 2) 2 x 4 0 0 0 2 (x 2) 2 0 1 1
Với x 0 suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y (x 0) 1 x 1. 0 2 2 1 1 Với x 4
suy ra phương trình tiếp tuyến là y (x 4) 3 x 5. 0 2 2 1 1
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là y x 1; y x 5. 2 2 x 2
Bài 8. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y
biết rằng tiếp tuyến cắt trục 2x 3
hoành và trục tung lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB cân tại O với O là gốc tọa độ. Hướng dẫn 3
Tập xác định D R \ . 2
Tam giác OAB vuông cân tại O nên suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là k 1 hoặc k 1 .
Khi đó hoành độ tiêp điểm x là nghiệm của phương trình: 0 1 1 (VN) 2 (2x 3) 1 x 1 0 0
y ' k 1 2 1 (2x 3) x 2 0 0 1 2 (2x 3) 0 Với x 1
y 1 , phương trình tiếp tuyến là y x (loại vì cắt trục tung và trục hoành tại 0 0
O nên A B O ). Với x 2
y 0 , phương trình tiếp tuyến là y x 2 (thỏa mãn). 0 0
Vậy tiếp tuyến cần tìm là y x 2 . x 2
Bài 9. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y
biết rằng tiếp tuyến cắt trục 2x 3
hoành và trục tung lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB cân tại O với O là gốc tọa độ. Hướng dẫn
Tập xác định D R \ 1 . OB 1 1 1 Ta có tan OAB
nên hệ số góccủa tiếp tuyến k hoặc k . OA 4 4 4 Nhưng do 1 1 y '
0,x 1 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k . 2 (x 1) 4 1 1 x 3
Hoành độ tiếp điểm x là nghiệm phương trình 0 . 0 2 (x 1) 4 x 1 0 0 1 5 1 13
Từ đó ta xác định được hai tiếp tuyến thỏa mãn: y x ; y x . 4 4 4 4 x Bài 10. Cho hàm số 1 y
có đồ thị là (C) . Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp 2(x 1)
tuyến với (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng
4x y 0 . Hướng dẫn
Hàm số đã cho xác định D \ 1 x 1 Gọi M ( 0 x ;
) (C) là điểm cần tìm. 0 2(x 1) 0
Gọi tiếp tuyến với (C) tại M ta có phương trình : x 1 1 x 1 ' 0
y f (x )(x x ) 0 y (x x ) 0 0 2(x 1) x 2 0 1 2(x 1) 0 0 0 2
x 2x 1 2
x 2x 1
Gọi A Ox 0 0 A
; 0 , B Oy 0 0 B 0; . 2 2 2(x 1) 0 2 2 x 2x 1 x 2x 1
OAB có trọng tâm là: G 0 0 0 0 ; . 2 6 6(x 1) 0 2 2 x 2x 1 x 2x 1
Do G thuộc đường thẳng 4x y 0 0 0 0 0 4 . 0 2 6 6(x 1) 0 1 1 x 1 x 0 0 1 2 2 4 (vì 2 x 2x 1 0 ) 0 0 x 2 1 1 3 0 x 1 x 0 0 2 2 1 1 3 Với x M ; 0 2 2 2 3 3 5 Với x M ; . 0 2 2 2
Bài 11. Cho hàm số y 3 x 2
3x 9x 10 có đồ thị là (C). Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị
(C), hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. Hướng dẫn
Hàm số đã cho xác định D Ta có: 2
y ' 3x 6x 9 .
Gọi M (x ; y )(C) : 3 2
y x 3x 9x 10 . 0 0
Tiếp tuyến tại điểm M có hệ số góc: 2 2
k y '(x ) 3x 6x 9 3(x 1) 12 1 2 0 0 0 0 mink 1
2,đạt được khi: x 1 y 21. 0 0
Vậy trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số, tiếp tuyến tại M 1
;16 có hệ số góc nhỏ nhất
và có phương trình là: y 1 2x 9 BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1. Cho hàm số 3 2
y x 3x 1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : 1. Có hệ số góc là 3 .
2. Vuông góc với đường thẳng (d ): 27x 3y 2019 0 .
3. Song song với đường thẳng (d’ ) : 24x y 2020 0 . 1
Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 3 2
y x x 2 biết tiếp tuyến song song 3 y 3 x 2020 1 (HD: y 3
x ; y 3 x 11 ) 3 2 1
Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 3 2 y x 3x
biết tiếp tuyến vuông góc với 3 3
x 4 y 2021 1 2021
(HD: x 4 y 2021 y x
. Suy ra tiếp tuyến có hệ số góc k 4 4 4 4
Từ đó viết được y 4
x ; y 4 x 1 ) 3 1
Bài 4. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị 3 2
y x 2x 3x 1 biết tiếp tuyến có hệ số 3 góc lớn nhất.
Bài 5. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị 3
y x 3x 2 biết tiếp tuyến song song trục hoành.
Bài 6. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị 2
y 2x 3x 9 biết tiếp tuyến hợp với trục hoành góc 0 45
Bài 7. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị 4 2
y x x 6 biết tiếp tuyến vuông góc với đườ 1 ng thẳng y x 2019 6
Dạng 3. Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A x ; y 1 1 Phương pháp: Cách 1:
Bước 1: Tính f ' x
Bước 2: Gọi M x ; y
là tiếp điểm suy ra phương trình tiếp tuyến là: 0 0
y f ' x . x x y (1) 0 0 0
Bước 3: Vì tiếp tuyến đi qua A x ; y nên thay x x ; y y vào phương trình (1) để tìm 1 1 1 1 x y 0 0
Bước 4: Thay x , y vào (1) để viết lại phương trình tiếp tuyến. 0 0 Cách 2:
Đường thẳng d đi qua điểm A x ; y có hệ số góc là k có dạng : y k x x y . 1 1 1 1
f x k x x y 1 Để 1
d là tiếp tuyến thì hệ:
. Giải hệ trên được x y tiếp
f ' x k 0 0 tuyến. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 3 2
y x 3x 1 biết tiếp tuyến qua A1;3 Hướng dẫn Ta có: 2
y ' 3x 6x . Cách 1:
Gọi M x ; y
là tiếp điểm suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là : k y ' x 3x 6x 0 2 0 0 0 0
Phương trình tiếp tuyến là: y 2
3x 6x . x x 3 2
x 3x 1 (1) 0 0 0 0 0 (Các em chú ý 3 2
y x 3x 1 ) 0 0 0
Vì tiếp tuyến đi qua A1;3 nên thay x 1; y 3 vào (1) ta được: x k y
3 3x 6x .1 x 1 9; 3 0 0 2 3 2
x 3x 1 0 0 0 0 0 x 2
k 0; y 3 0 0
Vậy phương trình tiếp tuyến là: y 9x 6; y 3 Cách 2:
Đường thẳng d đi qua điểm A1;3 có hệ số góc là k có dạng : y k x 1 3 .
f x k x 1 3 1
Để d là tiếp tuyến của đồ thị thì hệ phương trình có nghiệm.
k f ' x 2
3x 6x 2 Thay 2 vào 1 ta được: 3 2
x 3x 1 2
3x 6x x 1 3 2 3 2 2
3 x 3x 1 3x 3x 6x 6x 3 x 1 3
2x 6x 4 0 x 2 x 1
k 9; y 3 Với
suy ra phương trình tiếp tuyến là: y 9x 6; y 3 x 2
k 0; y 3
Bài 2. Cho đồ thị hàm số C y f x 3 2 :
2x 3x 5 . Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị 19
C biết tiếp tuyến đi qua điểm A ; 4 . 12 Hướng dẫn
Gọi k hệ số góc của tiếp tuyến đi qua 19 A ; 4 tới C . 12 Phương trình tiế 19
p tuyến là: y k x 4 . 12 19 3 2
2x 3x 5 k x 4 1
tiếp xúc với C 12 có nghiệm 2
6x 6x k 2 19
Thay k từ 2 vào 1 ta được: 3 2
2x 3x 5 2
6x 6x x 4 12 3 2
x x x 2 4 6 19 2
x x12x 19 x 1 3 2
8x 25x 19x 2 0 x 2 . 1 x 8
Với x 1 k 0 phương trình tiếp tuyến là: y 4 19
Với x 2 k 12 phương trình tiếp tuyến là: y 12 x
4 y 12x 15 12 1 21 21 19 21 645 Với x k
phương trình tiếp tuyến là: y x 4 y x 8 32 32 12 32 128 19 Vậy từ điểm A ; 4
kẻ được 3 tiếp tuyến tới C 12 3x 2
Bài 3. Có hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số y
C đi qua điểm A9;0. Tính tích hệ số x 1
góc của hai tiếp tuyến đó? Hướng dẫn TXĐ: \ 1 1
y x 2 1
Đường thẳng d đi qua điểm A9;0 với hệ số góc k có phương trình y k x 9 .
Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị C khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm
3x 2 kx9 1 x1 1 k 2 2 x 1 3x 2 1 Thế 2 vào 1 , ta có:
. x 9 3x 2
x 1 9 x 2 x 1 x 1 x 1 2
3x 4x 7 0 7 x 3
Do đó tích hệ số góc của hai tiếp tuyến đó bằng y 7 9 1 .y . 3 64
Bài 4. Tìm điểm trên đường thẳng y 2x 1để từ đó kẻ được đến đồ thị C của hàm số x 3 y đúng một tiếp tuyến? x 1 Hướng dẫn TXĐ: D \ 1 . Gọi A ; a 2a
1 d : y 2x 1 .
Gọi k là hệ số góc của đường thẳng d đi qua A ; a 2a 1 .
Suy ra phương trình d : y k x a 2a 1
x 3 kxa2a1 x1 Xét hệ phương trình: 1 4
x k 2 1 x 3 4 x 1
x a 2a 1 2 x 1 2 x 1 2ax 2
2a 4 x 6a 4 0 2 Để từ A ; a 2a
1 chỉ kẻ được một tiếp tuyến đến C thì phương trình 1 có một nghiệm
phương trình 2 có một nghiệm khác 1. Có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: phương trình 2 là phương trình bậc nhất có nghiệm x 1 a 0 1
x ( T/m). Suy ra A0; 1 thỏa mãn. 8 x 4 0 2
Trường hợp 2: phương trình 2 là phương trình bậc hai có nghiệm kép x 1 a 0 a 0 a 1
2a 42 2a6a 4 0 . 2 8
a 8a 16 0 a 2 2a 4 x x 1 1 2 2a A 1 ; 1
Suy ra có 2 điểm thỏa mãn A 2;5
Trường hợp 3: phương trình 2 là phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm x 1 a 0
2a 42 2a6a 4 0 a 1. Suy ra A1;3 thỏa mãn. 2a 2
2a 4 6a 4 0
Vậycó 4 điểm thỏa mãn yêu cầu đầu bài.
Bài 5. Tìm số tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y 4x 6x 1, biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M 1 ; 9 . Hướng dẫn TXĐ: R Ta có: 2
y 12x 12x .
Phương trình đường thẳngđi qua M 1 ; 9
có dạng: : y k x 1 9 .
là tiếp tuyến của đồ thị khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: 3 2
x x k x 5 4 6 1 1 9 x 3 2
8x 6x 12x 10 0 4 2
k 12x 12x x 1 Với x 1
k 24 phương trình tiếp tuyến y 24x
1 9 y 24x 15 5 15 15 15 21 Với x k
phương trình tiếp tuyến y
x 19 y x 4 4 4 4 4
Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu . Bài 6. Cho hàm số 3 2
y x 3x có đồ thị C và điểm M ;
m 0 sao cho từ M vẽ được ba tiếp
tuyến đến đồthị C , trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Tìm giá trị của m ? Hướng dẫn TXĐ: R Ta có 2
y 3x 6x .
Đường thẳng d đi qua M ;
m 0 có hệ số góc k có phương trình : y k x m
d là tiếp tuyến của C khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
k x m 3 2 x 3x
x m 2 3x 6x 3 2 3
x 3x 2x 3m 2
1 x 6mx 0 2
k 3x 6x x 0 . 2 2x 3 m
1 x 6m 0 1
Khi x 0 ta có phương trình tiếp tuyến y 0 .
Đối với đồ thị hàm số không có tiếp tuyến nào vuông góc với y 0 nên yêu cầu bài toán tương
đương phương trình
1 có hai nghiệm x và x khác 0 thỏa y x .y x 1 1 2 1 2 2
3x 6x 2 3x 6x 1
9x .x x .x 2 x x 4 1 0 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 9 3 m 3 m 3 m 1 4 1 0 2 7m1 1 0 m . 27 1 Thay m vào
1 thử lại có 2 nghiệm phân biệt khác 0 . 27 1 Vậy m
thỏa mãn yêu cầu bài toán. 27 Bài 7. Cho hàm số 4 2
y x 2x 2 có đồ thị C . Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị C
biết tiếp tuyến đi qua điểm A0; 2 ? Hướng dẫn TXĐ: R Ta có: 3
y 4x 4x
Đường thẳng d đi qua điểm A0;2 có hệ số góc k có dạng: y kx 2
Để đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị C khi và khi hệ phương trình sau có nghiệm: x 0 4 2
x 2x 2 kx 2 2 4 2
x 2x 2 3 4x 4x 4 2
x 2 3x 2x 0 x 3
4x 4x k 3 2 x 3
Với x 0 k 0 phương trình tiếp tuyến là: y 2 . 2 4 6 4 6 Với x k
phương trình tiếp tuyến là: y x 2 . 3 9 9 2 4 6 4 6 Với x k
phương trình tiếp tuyến là: y x 2 3 9 9
Bài 8. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y x 3x 1 (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm ( A 3;19) Hướng dẫn
Giả sử tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là điểm M (x ; y ) . ta có phương trình tiếp tuyến là 0 0 2 3
y (3x 3)(x x ) x 3x 1 (d ) 0 0 0 0 d đi qua điểm ( A 3;19) nên ta có: 2 3
19 (3x 3)(3 x ) x 3x 1. 0 0 0 0 3
Giải phương trình trên ta được x 3 hoặc x . 0 0 2
Với x 3 thì phương trình tiếp tuyến cần tìm là y 24x 53 . 0 3 15 31 Với x
thì phương trình tiếp tuyến là y x 0 2 4 4 15 31
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là y 24x 53 và y x . 4 4 2x 1 Bài 9. Từ điểm (
A 1;3) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị hàm số y x1 Hướng dẫn
Gọi điểm M (x ; y ) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm 0 0 2x 1 3 2x 1 số y tại M là: 0 y (x x ) (x 1) . x 1 2 0 0 (x 1) x 1 0 0 3 2x 1 Tiếp tuyến đi qua ( A 1;3) nên ta có 0 3 (1 x ) (x 1) 2 0 0 (x 1) x 1 0 0 x 7 0
Vậy qua điểm A kẻ được duy nhất một tiếp tuyến đến đồ thị hàm số./ x 2
Bài 10. Cho hàm số y
có đồ thị (C) và điểm ( A 0; )
a . Tìm a để từ điểm A kẻ được x 1
hai tiếp tuyến đến đồ thị (C) sao cho tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành. Hướng dẫn
Giả sử điểm M (x ; y ) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm. Ta có phương trình tiếp tuyến tại M 0 0 là 3 x 2 0 y (x x ) x 1 0 2 0 (x 1) x 1 0 0 3x x 2
Tiếp tuyến này đi qua điểm A nên ta có : 0 0 a (x 1) 2 0 (x 1) x 1 0 0 2
(x 2)(x 1) a(x 1) 3x 0 (x 1) 0 0 0 0 0 2
(1 a)x (2a 4)x a 2 0 (*) 0 0 2a 4 x x 1 2 a 1 Theo đị x ; x nh lý viet ta có : a 2
. Với 1 2 là hai nghiệm của (*) x .x 1 2 a 1 Để y .y 0
tiếp điểm của hai tiếp tuyến nằm về hai phía đối với trục hoành thì 1 2 a 2 2a 4 2 4 2 x 2 x 2
x x 2(x x ) 4 a 1 2 1 2 1 2 a 1 a 1 . 0 0 0 3 x 1 x 1
x x (x x ) 1 a 2 2a 4 1 2 1 2 1 2 1 a 1 a 1 a 1 2 Vậy với các điểm ( A 0; )
a thỏa mã a ; a 1 ta luôn kẻ được hai tiếp tuyến thỏa mãn đề bài 3 1
Bài 11. Cho hàm số y x
có đồ thị (C) . Tìm tập hợp các điểm mà từ đó kẻ được hai tiếp x
tuyến đến đồ thị (C) và hai tiếp tuyến ấy vuông góc với nhau. Hướng dẫn
Gọi M (a; b) là điểm bất kì trong mặt phẳng tọa độ. Phương trình đường thẳng d qua M có hệ số
góc k là: y k(x a) b .
d là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: 1 1
k(x a) b x kx x ka b x x . (1) 1 1 k 1 kx x ; k 1 2 x x 2 2 2
a k 2(ab 2)k b 4 0 (2) 1 Từ k 1
ta thấy với mỗi k 1 thì luôn có hai giá trị của x trái dấu, do đó hệ (1) có nghiệm 2 x
(2) có hai nghiệm k ;k 1 . 1 2
Mặt khác, hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau nên ta có k .k 1 . 1 2 k .k 1
Yêu cầu bài toán (2) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn : 1 2 k ;k 1 1 2 a 0 a 0 2 b 4 2 2 1
a b 4 . 2 a a b f (1) 0
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm O(0; 0) , bán kính bằng 2, sau khi đã bỏ đi 4 điểm là
giao với các đường thẳng x 0, y x . 2
2x mx m
Bài 12. Cho hàm số y
có đồ thị (C) . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m x 1 để từ điểm (0
A ;1) không kẻ được bất kì tiếp tuyến nào đến đồ thị (C) . Hướng dẫn
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M (x ; y ) là 0 0 2 2 2x 4x
2x mx m 0 0 0 0 y (x x ) 2 0 (x 1) x 1 0 0
Tiếp tuyến không đi qua điểm (0
A ;1) nên phương trình 2
(m 3)x 2(m 1)x m 1 0, (x 1
) (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm x 1 0 0 0 0 1
TH1: m 3 0 m 3 ta có x
nên m 3 không thỏa mãn 0 2
TH2: m 3 . (*) vô nghiệm ' 0 m 1
TH3: (*) có nghiệm x 1 suy ra 2 0 (vô lý ). 0
Vậy m 1 thì không có tiếp tuyến nào của đồ thị (C) đi qua A.
Bài 13. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y x 3x 1 biết tiếp tuyến đó đi qua điểm ( A 2 ; 1 ) . Hướng dẫn
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M (x ; y ) là: 0 0 2 3
y (3x 3)(x x ) x 3x 1 0 0 0 0
Tiếp tuyến đi qua điểm ( A 2 ; 1 ) nên ta có: 2 3 1 (3x 3)( 2
x ) x 3x 1 0 0 0 0 3 2 2
x 6x 8 0 0 0 x 1 y 1 0 x 2
y 9x 17 0
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là y 1
và y 9x 17 Bài 14. Cho hàm số 3 y 4
x 3x 2 có đồ thị (C) . Tìm trên đường thẳng y 3 các điểm mà
trên đó kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) . Hướng dẫn Giả sử ( A ;
m 3) là điểm trên đường thẳng y 3 thỏa mãn từ A kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Phương trình tiếp tuyến: 2 3 y ( 1
2x 3)(x x ) 4x 3x 2 . 0 0 0
Tiếp tuyến đi qua A nên ta có: 2 3 3 ( 1
2x 3)(m x ) 4x 3x 2 0 0 0 3 2
8x 12mx 3m 1 0 0 0 Hay 1 2 x (8x (4 12 ) m x 2 6 ) m 0 0 0 0 2 Yêu cầu bài toán 3 2
8x 12mx 3m 1 0 có 3 nghiệm phân biệt 0 0 1 2 (8x (4 12 ) m x 2 6 )
m 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 0 2 m 1 ' 0 1 m 1 3 m 2 1 m 2 1 1 Vậy từ các điểm ( A ;
m 3) thỏa mãn m ( ; 1 ) ; \
kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị 3 2 (C).
Bài 15. Cho đồ thị hàm số 3
y 3x 4x
có đồ thị (C) . Từ điểm M (1;3) có thể kẻ được bao
nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C) . Hướng dẫn
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M (x ; y ) là: 0 0 2 3
y (3 12x )(x x ) 3x 4x 0 0 0 0
Tiếp tuyến đi qua M (1;3) nên ta có: 2 3
3 (3 12x )(1 x ) 3x 4x 0 0 0 0 x 0 0 3 2
8x 12x 0 0 0 3 x 0 2
Vậy qua M kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị (C). 2x 1
Bài 16. Cho hàm số y
có đồ thị (C) và điểm I (1; 2) . Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) x 1
có hoành độ lớn hơn 2 sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng IM . Hướng dẫn 2x 1 Gọi 0 M x ;
thuộc (C) . Phương trình tiếp tuyến tại M là 0 x 1 0 1 2x 1 0 y (x x ) 2 0 (x 1) x 1 0 0 Phương trình đườ 1
ng thẳng MI : y (x 1) 2 2 (x 1) 0 1 1
x 0 (loai)
Tiếp tuyến tại M vuông góc với MI nên ta có: 0 . 1 2 2 (x 1) (x 1) x 2 0 0 0
Với x 2 y 3 . Vậy điểm M (2;3) 0 0 x 2
Bài 17. Cho hàm số y
có đồ thị C và điểm A0;a . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị x 1
nguyên của a trong đoạn 2 018;201
8 để từ điểm A kẻ được hai tiếp tuyến đến C sao
cho hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành? Hướng dẫn TXĐ: \ 1 3
Ta có : y x 2 1
Đường thẳng d đi qua điểm A0;a , hệ số góc k có phương trình: y kx a .
x 2 kxa * x1
Để d là tiếp tuyến của C thì hệ phương trình có nghiệm. 3 k ** 2 x 1 Thay (**) vào (*) ta đượ x 2 3x c: a x 1 x 2 1 a 2
1 x 2 a 2 x a 2 0 1 với x 1.
Do từ A kẻ được hai tiếp tuyến đến C nên phương trình
1 có hai nghiệm phân biệt khác 1. a 1 a a 2 3 2 0 a a a 1 1 2 2 a 2 0 . 2 Khi đó toạ x 2 x 2 độ hai tiếp điểm là 1 M x ; và 2 N x ;
với x , x là nghiệm của 1 do 1 x 1 2 x 1 1 2 1 2 2a 2 đó a 2 x x , x x . 1 2 a 1 1 2 a 1 x 2 x 2
Hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành khi: 1 2 . 0 x 1 x 1 1 2
x x 2 x x 4 9a 6 2 1 2 1 2 0 0 a .
x x x x 1 3 3 1 2 1 2 2 a
Kết hợp điều kiện 2 suy ra 3 nên trên đoạn 2 018;201
8 số giá trị nguyên của a thỏa a 1
yêu cầu bài toán là 2018 .
Bài 18. Gọi S là tập hợp các điểm thuộc đường thẳng y 2 mà qua mỗi điểm thuộc S đều kẻ 2 đượ x
chai tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị hàm số y
đồng thời hai tiếp tuyến đó vuông x 1
góc với nhau. Tính tổng hoành độ T của tất cả các điểm thuộc S . Hướng dẫn TXĐ: \ 1 2 x 2x
Ta có : y x 2 1 2 x 1 y x 1 x 1 x 1
Gọi điểm Aa;2 d : y 2 . Đường thẳng d đi qua A có dạng y k x a 2 2 x k
x a 2 x 1 Điề 2 u kiện tiếp xúc: a 2 1
k 4k 4 0 * 2 x 2x x k 2 1
Để 2 tiếp tuyến vuông góc nhau thì phương trình ( * ) có 2 nghiệm k phân biệt và tích của hai 4 a nghiệm đó bằng 1 3 1 a 1 2 a 1
Vậy tổng hai hoành độ là 2 . BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 2 y x
biết tiếp tuyến qua A 0; 1 23
Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 3 2
y x 3x 3 biết tiếp tuyến qua B ; 1 9
Bài 3. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x , biết tiếp tuyến qua điểm A 2 4x x a) y
, với A1; – 4 . b) 4 2
y x 2x , với A0; – 1 . x 1 2 x 4x 4 c) 3
y x 3x 1, với A1; –6 . d) y
, với A –1; 0 . x 1 e) 4 2
y x 6x 9 , với A0; 9
Bài 4. Tìm m để đường thẳng y mx 1 tiếp xúc 3 2
y x x 4x 2 x m
Bài 5. Tìm m để đường thẳng y 7 x tiếp xúc y x 1
Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến với P 2
: y x , biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm
A0 ; –1 . Bài 7. Cho hàm số 3 2
y x – 3x 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của C , biết rằng tiếp tuyến
đó đi qua A0; 3 .
BÀI TẬP TỔNG HỢP:
Bài 1. Cho đường cong 3
(C) : y x và hai điểm A1; 1 và B 1 ;1 x y trên (C) .
a) Tính hệ số góc của cát tuyến AB với x
lần lượt là 0,1 và 0,01
b) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại A . Bài 2. Cho hàm số 1
y f (x)
. có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết: x
a) tiếp điểm có hoành độ bằng 2
b) Tiếp điểm có tung độ bằng 3
c) Hệ số góc của tiếp tuyến k –4 .
d) Tiếp tuyến song song với d : x 9y 2017
e) Tiếp tuyến vuông góc với d : x 4y 2017 .
f) Tiếp tuyến qua điểm A 8 ; 0 Bài 3. Cho Parabol 2
y x và hai điểm A2; 4 và B(2 ; x 4 y ) trên parabol đó.
a) Tính hệ số góc của cát tuyến AB biết x
lần lượt bằng 1; 0,1 và 0,001.
b) Tính hệ số góc của tiếp tuyến của parabol đã cho tại điểm A .
Bài 4. Tìm hệ số góc của cát tuyến MN với đường cong C , biết: a) C 2
: y x 2x và hoành độ M , N theo thứ tự là x 2, x 1. M N x x b) C 2 1 : y
và hoành độ M , N theo thứ tự là x 1, x 3 . x M N
Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y x , biết:
a) Tiếp điểm có hoành độ bằng – 1 .
b) Tiếp điểm có tung độ bằng 8 .
c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 . 1
Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol y , biết: x 1 a) Tại điểm ; 2 . 2
b) Tiếp điểm có hoành độ bằng –1.
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 1
c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng . 4
Bài 7. Cho đường cong C : y x . Viết phương trình tiếp tuyến của C :
a) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1.
b) Biết tiếp tuyến song song với : x – 4 y 3 0 .
Bài 8. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: x 1 a) y
, biết hoành độ tiếp điểm là x 0 . x 1 0
b) y x 2 , biết tung độ tiếp điểm là y 2 . 0 1 2 x
Bài 9. Cho hai hàm số y và y
. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của mội 2 x 2
hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp tuyến kể trên.
Bài 10. Cho parabol P 2
: y x . Gọi M và M là hai điểm thuộc P lần lượt có hoành độ 1 2
x –2 và x 1 . Hãy tìm trên P một điểm E sao cho tiếp tuyến tại E song song với cát 1 2
tuyến M M . Viết phương trình tiếp tuyến đó. 1 2 Bài 11. Cho hàm số 3 2
y x 3x 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết rằng tiếp
tuyến vuông góc với đường thẳng : 3x – 5y – 2017 0 .
Bài 12. Cho hàm số C y f x 4 2 :
–x – mx m 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để m
các tiếp tuyến của C
tại A1; 0 và B –1; 0 vuông góc với nhau. m Bài 13. Cho hàm số 2
y cos x m sin x ( m là tham số) có đồ thị C . Tìm m trong mỗi trường hợp sau:
a) Tiếp tuyến của C tại điểm có x có hệ số góc bằng 1.
b) Tiếp tuyến của C tại các điểm có các hoành độ x và x song song hoặc 4 3 trùng nhau.
Bài 14. Tìm giao điểm của hai đường cong P 2
: y x x 1 và H 1 : y . Chứng minh x 1
rằng hai đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng. Bài 15. Cho parabol 2
(P) : y x . Viết phương trình tiếp tuyến với P , biết:
a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y 4x 3 .
b) Tiếp tuyến đi qua điểm A0; 1 .
Bài 16. Viết phương trình tiếp tuyến của: x 1 a) y
tại điểm A2; 3 . x 1 b) 3 2
y x 4x 1
tại điểm có hoành độ x –1 . 0 c) 2
y x 4x 4
tại điểm có tung độ y 1. 0 d) y 2x 1
tại điểm có hoành độ x 4 . 0 2 x 2x 15 4 e) y
biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng . x 3 3 f) 4 2
y x – 2x 1
biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24 . g) 3 2
y x 3x 2
biết tiếp tuyến d D : x – 3y –15 0 . h) 3
y x x 3
tại điểm có hoành độ x –1 . 0 2x 1 i) y
tại điểm có hoành độ x 2 . x 1 0 x
Bài 17. Cho C y f x 3 2 :
. Lập phương trình tiếp tuyến của C : x 1 5
a) Tại điểm có hoành độ bằng 2
b) Tại điểm có tung độ bằng 2
c) d //D : y – x 25
d) d : 4x – y 2017 .
Bài 18. Gọi C là đồ thị hàm số 4 2
y x 2x 1. Viết phương trình tiếp tuyến của C trong mỗi trường hợp sau:
a) Biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y –3x 1 .
b) Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : x – 7 y 2017 .
c) Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A0; 2
Bài 19. Gọi C là đồ thị hàm số 3 2
y x 5x 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của C trong mỗi trường hợp sau:
a) Biết tung độ của tiếp điểm bằng 2 .
b) Biết rằng tiếp tuyến song song với trục hoành.
c) Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : x 8y 2017 .
d) Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A0; – 6 .