TOP 70 câu trắc nghiệm vi phân của hàm số (có đáp án)
TOP 70 câu trắc nghiệm vi phân của hàm số có đáp án và lời giải chi tiết được viết dưới dạng file PDF gồm 16 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Chủ đề: Chương 9: Đạo hàm (KNTT) 48 tài liệu
Môn: Toán 11 3.3 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
• Tích f '(x ). x
D được gọi là vi phân của hàm số y = f (x) tại điểm x (ứng với số gia x D ) được kí 0 0
hiệu là df (x ) = f '(x ) x D . 0 0
• Nếu hàm số f có đạo hàm f ' thì tích f '(x) x
D được gọi là vi phân hàm số y = f (x), kí hiệu là:
df (x) = f '(x) x D .
Đặc biệt: dx = x ' x D = x
D nên ta viết df (x) = f '(x)dx. B – BÀI TẬP
Câu 1. Cho hàm số y = f (x) = (x - )2
1 . Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số f (x)?
A. dy = 2(x - ) 1 dx.
B. y = (x - )2 d 1 dx.
C. dy = 2(x - ) 1 .
D. dy = 2(x - ) 1 dx.
Hướng dẫn giải: Chọn A.
Ta có dy = f ¢(x)dx = 2(x - ) 1 dx.
Câu 2. Tìm vi phân của các hàm số 3 2
y = x + 2x A. 2
dy = (3x - 4x)dx B. 2
dy = (3x + x)dx C. 2
dy = (3x + 2x)dx D. 2
dy = (3x + 4x)dx
Hướng dẫn giải: Chọn D. 2
dy = (3x + 4x)dx
Câu 3. Tìm vi phân của các hàm số y = 3x + 2 3 1 A. dy = dx B. dy = dx 3x + 2 2 3x + 2 1 3 C. dy = dx D. dy = dx 3x + 2 2 3x + 2
Hướng dẫn giải: Chọn D. 3 dy = dx 2 3x + 2 Câu 4. Cho hàm số 3 2
y = x - 9x +12x - 5. Vi phân của hàm số là: A. y = ( 2 d
3x -18x +12)dx. B. y = ( 2 d 3
- x -18x +12)dx. C. y = -( 2 d
3x -18x +12)dx. D. y = ( 2 d 3
- x +18x -12)dx.
Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có y ( 3 2 x x x )¢ = - + - x = ( 2 d 9 12 5 d
3x -18x +12)dx .
Câu 5. Tìm vi phân của các hàm số 10
y = (3x +1) A. 9
dy =10(3x +1) dx B. 10
dy = 30(3x +1) dx C. 10
dy = 9(3x +1) dx D. 9
dy = 30(3x +1) dx
Hướng dẫn giải: Chọn D. Trang 1 9
dy = 30(3x +1) dx.
Câu 6. Tìm vi phân của các hàm số 3
y = sin 2x + sin x A. dy = ( 2
cos 2x + 3sin xcos x)dx B. dy = ( 2
2cos 2x + 3sin xcos x)dx C. dy = ( 2
2cos 2x + sin xcos x)dx D. dy = ( 2
cos 2x +sin xcos x)dx
Hướng dẫn giải: Chọn B. dy = ( 2
2cos 2x + 3sin xcos x)dx
Câu 7. Tìm vi phân của các hàm số y = tan 2x A. 2
dy = (1+ tan 2x)dx B. 2
dy = (1- tan 2x)dx C. 2
dy = 2(1- tan 2x)dx D. 2
dy = 2(1+ tan 2x)dx
Hướng dẫn giải: Chọn D. 2
dy = 2(1+ tan 2x)dx
Câu 8. Tìm vi phân của các hàm số 3 y = x +1 1 3 A. dy = dx B. dy = dx 3 2 (x +1) 3 2 (x +1) 2 1 C. dy = dx D. dy = dx 3 2 (x +1) 3 2 3 (x +1)
Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 dy = dx 3 2 3 (x +1)
Câu 9. Xét hàm số y = f (x) 2
= 1+ cos 2x . Chọn câu đúng: - - A. sin 4x sin 4x df (x) = dx .
B. df (x) = dx . 2 2 1+ cos 2x 2 1+ cos 2x - C. cos 2x sin 2x df (x) = dx .
D. df (x) = dx . 2 1+ cos 2x 2 2 1+ cos 2x
Hướng dẫn giải: Chọn B. ( 2 1 cos 2x)¢ + - - Ta có : 4cos 2 . x sin 2x sin 4x
dy = f ¢(x)dx = dx = dx = dx. 2 2 1+ cos 2x 2 2 1+ cos 2x 2 1+ cos 2x Câu 10. Cho hàm số 3
y = x - 5x + 6 . Vi phân của hàm số là: A. y = ( 2 d
3x -5)dx. B. y = -( 2 d
3x -5)dx. C. y = ( 2 d
3x + 5)dx. D. y = ( 2 d
3x -5)dx.
Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có y ( 3 x x )¢ = - + x = ( 2 d 5 6 d 3x -5)dx. 1
Câu 11. Cho hàm số y =
. Vi phân của hàm số là: 3 3x 1 1 1
A. dy = dx. B. dy = dx. C. dy = - dx . D. 4
dy = x dx. 4 4 x 4 x
Hướng dẫn giải: Chọn C. Trang 2 ¢ 2 æ 1 ö 1 3x 1 Ta có dy = dx = . = - dx. ç 3 ÷ è 3x ø 3 ( )2 4 3 x x x + 2
Câu 12. Cho hàm số y =
. Vi phân của hàm số là: x -1 dx 3dx A. dy = . B. dy = . (x - )2 1 (x - )2 1 -3dx dx C. dy = . D. dy = - . (x - )2 1 (x - )2 1
Hướng dẫn giải: Chọn C. æ x 2 ¢ + ö 3 Ta có dy = dx = - dx . ç ÷ è x -1 ø (x - )2 1 2 x + x +1
Câu 13. Cho hàm số y =
. Vi phân của hàm số là: x -1 2 x - 2x - 2 2x +1 A. dy = - dx. B. dy = dx. 2 (x -1) 2 (x -1) 2x +1 2 x - 2x - 2 C. dy = - dx. D. dy = dx . 2 (x -1) 2 (x -1)
Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 x + x +1 ¢ æ ö
(2x + )1(x - )1-( 2x + x + )1 2 x - 2x - 2 Ta có dy = dx = dx = dx . ç ÷ è x -1 ø (x - )2 1 (x - )2 1
Câu 14. Cho hàm số y = sin x - 3cos x. Vi phân của hàm số là:
A. dy = (-cos x +3sin x)dx.
B. dy = (-cos x -3sin x)dx .
C. dy = (cos x +3sin x)dx.
D. dy = -(cos x +3sin x)dx.
Hướng dẫn giải: Chọn C.
Ta có dy (sin x 3cos x)¢ = -
dx = (cos x + 3sin x)dx.
Câu 15. Cho hàm số 2
y = sin x . Vi phân của hàm số là:
A. dy = – sin 2x dx.
B. dy = sin 2x dx.
C. dy = sin x dx.
D. dy = 2cosx dx .
Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có y ( 2 x) ( 2 d d sin sin x)¢ = = dx =cos . x 2sin d x x = sin 2 d x x . tan x
Câu 16. Vi phân của hàm số y = là: x 2 x sin(2 x) A. dy = dx. B. dy = dx. 2 4x x cos x 2 4x x cos x 2 x - sin(2 x) 2 x - sin(2 x) C. dy = dx . D. dy = - dx . 2 4x x cos x 2 4x x cos x
Hướng dẫn giải: Chọn D. Trang 3 1 1 1 ¢ . . x - tan x. æ ö 2 tan x Ta có 2 x cos x 2 dy = ç ÷ dx = x dx ç x ÷ x è ø æ 1 1 sin x 1 ö 1
x - sin x cos x = ç . - . ÷ dx = .dx ç 2 ÷ 2 2 cos
x cos x 2 x x 2x x.cos x è ø 2 x - sin 2 x = .dx 2 4x x.cos x
Câu 17. Hàm số y = xsin x + cos x có vi phân là:
A. dy = (xcos x – sin x)dx.
B. dy = (xcos x)dx .
C. dy = (cos x – sin x)dx..
D. dy = (xsin x)dx.
Hướng dẫn giải: Chọn B.
Ta có dy (xsin x cos x)¢ = +
dx = (sin x + xcos x -sin x)dx = (xcos x)dx. x
Câu 18. Hàm số y = . Có vi phân là: 2 x +1 2 1- x 2x A. dy = dx B. dy = dx 2 2 (x +1) 2 (x +1) 2 1- x 1 C. dy = dx D. dy = dx 2 (x +1) 2 2 (x +1)
Hướng dẫn giải: Chọn A. ¢ 2 2 2 æ x ö x +1- 2x 1- x Ta có dy = dx = = dx. ç 2 ÷ 2 2 2 2 è x +1ø (x +1) (x +1)
Câu 19. Cho hàm số y = f (x) = (x - )2
1 . Biểu thức nào sau đây là vi phân của hàm số đã cho?
A. dy = 2(x - ) 1 dx .
B. dy = 2( x - ) 1 .
C. dy = (x - ) 1 dx .
D. y = (x - )2 d 1 dx.
Hướng dẫn giải: Chọn A
y = f (x) = (x - )2
1 Þ y¢ = 2(x - )
1 Þ dy = 2(x - ) 1 dx
Câu 20. Vi phân của hàm số f (x) 2
= 3x - x tại điểm x = 2 , ứng với x D = 0,1 là: A. -0, 07 . B. 10 . C. 1,1 . D. 0, - 4 .
Hướng dẫn giải: Chọn C
Ta có: f ¢(x) = 6x -1Þ f ¢(2) =1 1
df (2) = f ¢(2) x D =11.0,1=1,1
Câu 21. Vi phân của y = cot (2017x) là: 2017 A. dy = 2
- 017sin(2017x)d .x B. dy = d . x 2 sin (2017x) 2017 2017 C. dy = - d . x D. dy = - d . x 2 cos (2017x) 2 sin (2017x)
Hướng dẫn giải: Chọn D. Trang 4 y = cot (2017x) 2017 2017 Þ y¢ = - Þ dy = - dx 2 sin (2017x) 2 sin (2017x) 2 x + x +1
Câu 22. Cho hàm số y =
. Vi phân của hàm số là: x -1 2 x - 2x - 2 2x +1 A. dy = - dx B. dy = dx 2 (x -1) 2 (x -1) 2x +1 2 x - 2x - 2 C. dy = - dx D. dy = dx 2 (x -1) 2 (x -1)
Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 ¢ 2 æ x + x +1ö x - 2x - 2 dy = dx ç ÷ = dx 2 è x -1 ø (x -1) x + 3
Câu 23. Cho hàm số y =
. Vi phân của hàm số tại x = 3 - là: 1- 2x 1 A. dy = d . x B. dy = 1 7d . x C. dy = - d . x D. dy = 7 - d . x 7 7
Hướng dẫn giải: Chọn A 7 1 Ta có y¢ = Þ y¢ 3 - = 2 ( ) (1- 2x) 7 1
Do đó dy = dx 7
Câu 24. Vi phân của y = tan 5x là : 5x 5 A. dy = d . x B. dy = - d . x 2 cos 5x 2 sin 5x 5 5 C. dy = d . x D. dy = - d . x 2 cos 5x 2 cos 5x
Hướng dẫn giải: Chọn C 5
y = tan 5x Þ y¢ = 2 cos 5x 5 Do đó dy = dx 2 cos 5x 2 ( x -1)
Câu 25. Hàm số y = f (x) =
. Biểu thức 0,01. f '(0,01)là số nào? x A. 9. B. -9. C. 90. D. -90.
Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 ( x -1) 1 1
y = f (x) = Þ y¢ = - Þ y¢ 0,01 = 9 - 000 2 ( ) x x x x
Do đó 0,01. f '(0,01) = 9 - 0
Câu 26. Cho hàm số y = sin(sin x) .Vi phân của hàm số là:
A. dy = cos(sin x).sin d x x.
B. dy = sin(cos x)dx.
C. dy = cos(sin x).cos d x x .
D. dy = cos(sin x)dx .
Hướng dẫn giải: Trang 5 Chọn C.
Ta có: y ' = (sin x) '.cos(sin x) = cos .
x cos(sin x) nên dy = cos .
x cos(sin x)dx 2
ìx - x khi x ³ 0
Câu 27. Cho hàm số f (x) =
. Kết quả nào dưới đây đúng? í
î2x khi x < 0 + x - x
A. df (0) = -dx . B. f ¢(0 ) 2 = lim = lim(x -1) = 1 - . x®0+ x®0 x +
C. f ¢(0+ ) = lim ( 2 x - x =
f ¢(0- ) = lim 2x = 0 + ) 0. D. . x®0 x®0-
Hướng dẫn giải: Chọn B. + x - x Ta có: f ¢(0 ) 2 = lim = lim(x -1) = 1 - ; x®0+ x®0 x + ¢( - ) 2x f 0 = lim
= 2 và hàm số không có vi phân tại x = 0 x®0- x
Câu 28. Cho hàm số 2
y = cos 2x . Vi phân của hàm số là:
A. dy = 4cos 2xsin 2 d x x .
B. dy = 2cos 2xsin 2 d x x . C. dy = 2 - cos 2xsin 2 d x x . D. dy = 2 - sin 4 d x x .
Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có : y = ( 2 d
d cos 2x) = 2cos2 .x(cos2 ) x 'dx = 4 - cos2 . x sin 2 d x x = 2 - sin 4 d x x 2
ìx + x khi x ³ 0
Câu 29. Cho hàm số f (x) =
. Khẳng định nào dưới đây là sai? í îx khi x < 0 A. f (0+ ¢ ) = .1 B. f (0- ¢ ) = .1
C. df (0) = dx.
D. Hàm số không có vi phân tại x = 0 .
Hướng dẫn giải: Chọn D. + x + x - x Ta có: f ¢(0 ) 2 = lim
= lim(x +1) = 1 và f ¢(0 ) = lim = 1 và df (0) = dx x®0+ x®0 x + x®0- x
Câu 30. Cho hàm số 2
y = f (x) = 1+ cos 2x . Chọn kết quả đúng: -sin 4x -sin 4x
A. df (x) = dx .
B. df (x) = dx. 2 2 1+ cos 2x 2 1+ cos 2x cos 2x -sin 2x
C. df (x) = dx.
D. df (x) = dx. 2 1+ cos 2x 2 1+ cos 2x
Hướng dẫn giải: Chọn B. (1+ cos 2x) ' 2.2 - cos 2 . x sin 2x -sin 4x
Ta có : dy = df (x) = d ( 1+ cos 2x) 2 2 = dx = dx = dx 2 2 2 2 1+ cos 2x 2 1 + cos 2x 1 + cos 2x
Câu 31. Cho hàm số y = tan x . Vi phân của hàm số là: 1 1 A. dy = dx . B. dy = dx . 2 2 x cos x 2 x cos x 1 1 C. dy = dx. D. dy = dx . 2 x cos x 2 2 x cos x
Hướng dẫn giải: Chọn D. æ 1 ö 1
Ta có : dy = d (tan x ) = .( x)'dx = dx ç ÷ 2 2 è cos x ø 2 x.cos x Trang 6 2x + 3
Câu 32. Vi phân của hàm số y = là : 2x -1 8 4 A. dy = - dx . B. dy = dx . (2x - )2 1 (2x - )2 1 4 7 C. dy = - dx . D. dy = - dx . (2x - )2 1 (2x - )2 1
Hướng dẫn giải: Chọn A. æ 2x + 3 ö 8 - Ta có : dy = d = dx ç ÷ 2
è 2x -1 ø (2x -1) 2 1- x
Câu 33. Cho hàm số y =
. Vi phân của hàm số là: 2 1+ x 4 - x 4 - 4 - -dx A. dy = dx. B. dy = dx. C. dy = dx . D. dy = . (1+ x )2 2 (1+ 2 x )2 2 1+ x (1+ x )2 2
Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 æ1- x ö 4 - x Ta có : dy = dç ÷ = dx 2 2 2
è1+ x ø (1+ x )
Câu 34. Cho hàm số f (x) = cos 2x . Khi đó x x A. é f ë (x) sin 2 d ù = dx. B. é f x ù = x . û ë ( ) sin 2 d d û 2 cos 2x cos 2x - x - x C. é f ë (x) sin 2 d ù = dx. D. é f x ù = x . û ë ( ) sin 2 d d û 2 cos 2x cos 2x
Hướng dẫn giải: Chọn D. x - x Ta có : f x = ( x ) (cos2 )' sin 2 d ( ) d cos 2 = dx = dx 2 cos 2x cos 2x Trang 7
ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA HÀM SỐ
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
• Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f '. Nếu f ' cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó
được gọi là đạo hàm cấp hai của f và được kí hiệu là: f '', tức là: f '' = ( f ') '.
• Đạo hàm cấp n : Cho hàm số f có đạo hàm cấp n -1 (với nÎ • ,n ³ 2) là (n 1)
f - . Nếu (n 1) f - cũng
có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f và được kí hiệu là (n) f , tức là: (n) (n 1) f ( f - = )'.
Để tính đạo hàm cấp n:
• Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, ..., từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n.
• Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng. B – BÀI TẬP x
Câu 1. Hàm số y =
có đạo hàm cấp hai là: x - 2 1 4 4 A. y¢¢ = 0. B. y¢¢ = . C. y¢¢ = - . D. y¢¢ = . (x - 2)2 (x - 2)2 (x - 2)3
Hướng dẫn giải: Chọn D. ¢ æ x ¢ö 2 - æ 2 ö - 2( x - 2) 4 Ta có y¢ = = ; y¢¢ = ç ÷ = 2. = ç ÷ è x - 2 ø (x -2)2 ç è ( x 2)2 ÷ - ø (x -2)4 (x -2)3
Câu 2. Hàm số y = (x + )3 2
1 có đạo hàm cấp ba là: A. y¢¢¢ = ( 2 12 x + ) 1 . B. y¢¢¢ = ( 2 24 x + ) 1 . C. y¢¢¢ = ( 2 24 5x + 3). D. y¢¢¢ = ( 2 –12 x + ) 1 .
Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có 6 4 2
y = x + 3x + 3x + 1 ; 5 3
y¢ = 6x +12x + 6x 4 2
y¢¢ = 30x + 36x + 6 ; 3 y¢¢¢ = x + x = ( 2 120 72 24 5x + ) 3 .
Câu 3. Hàm số y = 2x + 5 có đạo hàm cấp hai bằng: 1 A. 1 y¢¢ = . B. y¢¢ = . (2x + 5) 2x + 5 2x + 5 1 C. 1 y¢¢ = - . D. y¢¢ = - . (2x + 5) 2x + 5 2x + 5
Hướng dẫn giải: Chọn C. ¢
Ta có y¢ = ( x + ) 2 1 2 5 = = 2 2x + 5 2x + 5 ( ¢ x + ) 2 2 5 2 2x + 5 1 y¢¢ = - = - = - . 2x + 5 2x + 5 (2x +5) 2x +5 2 x + x +1
Câu 4. Hàm số y =
có đạo hàm cấp 5 bằng: x +1 Trang 8 120 120 A. (5) y = - . B. (5) y = . 6 (x +1) 6 (x +1) 1 1 C. (5) y = . D. (5) y = - . 6 (x +1) 6 (x +1)
Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 1 Ta có y = x + Þ y¢ = 1- . x +1 (x + )2 1 2 - Þ 6 24 120 y¢¢ = (3) Þ y = (4) Þ y = (5) Þ y = - . (x + )3 1 (x + )4 1 (x + )5 1 6 (x +1) 2 x + x +1
Câu 5. Hàm số y =
có đạo hàm cấp 5 bằng : x +1 120 120 A. (5) y = - . B. (5) y = . (x + )6 1 (x + )5 1 1 1 C. (5) y = . D. (5) y = - . (x + )5 1 (x + )5 1
Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 x + x +1 1 Ta có: y = = x + . x +1 x +1 1 Þ 2 6 24 120 y¢ = 1- ; y¢¢ = ; y¢¢¢ = - ; (4) y = ; (5) y = - . (x + )2 1 (x + )3 1 (x + )4 1 (x + )5 1 (x + )6 1 Câu 6. Hàm số 2
y = x x +1 có đạo hàm cấp 2 bằng : 3 2x + 3x 2 2x +1 A. y¢ = - . B. y¢¢ = . ( 2 1+ x ) 2 1+ x 2 1+ x 3 2x + 3x 2 2x +1 C. y¢ = . D. y¢ = - . ( 2 1+ x ) 2 1+ x 2 1+ x
Hướng dẫn giải: Chọn C. 2 x 4x x +1 - ( 2 2x + ) 1 2 x 2x +1 3 2 x +1 2x + 3x Ta có: 2
y¢ = x +1 + x = ; y¢ = = 2 2 x +1 x +1 2 x +1 ( 2 1+ x ) 2 1+ x
Câu 7. Hàm số y = ( x + )5 2
5 có đạo hàm cấp 3 bằng : A. y¢ = ( x+ )3 80 2 5 . B. y¢ = ( x+ )2 480 2 5 . C. y¢ = - ( x+ )2 480 2 5 .
D. y¢ = - ( x + )3 80 2 5 .
Hướng dẫn giải: Chọn B.
Ta có: y¢ = ( x + )4 5 2 5 × 2 = ( x+ )4 10 2 5 ; y¢ = ( x+ )3 80 2 5 ; y¢ = ( x+ )2 480 2 5 .
Câu 8. Hàm số y = tan x có đạo hàm cấp 2 bằng : 2sin x 1 1 2sin x A. y¢¢ = - . B. y¢ = . C. y¢¢ = - . D. y¢¢ = . 3 cos x 2 cos x 2 cos x 3 cos x
Hướng dẫn giải: Chọn D. Trang 9 1 2cosx( s - inx) 2sinx Ta có: y¢ = . y¢ = - = 2 cos x 4 3 cos x cos x
Câu 9. Cho hàm số y = sinx . Chọn câu sai. æ p A. ö y¢ = sin x + .
B. y¢ = sin (x +p ). ç ÷ è 2 ø æ 3p C. ö y¢¢ = sin x + . D. (4)
y = sin (2p - x). ç ÷ è 2 ø
Hướng dẫn giải: Chọn D. æ p æ p Ta có: ö ö y¢ = cosx = sin + x ; y¢ = cos + x = sin ç ÷ (p + x). ç ÷ è 2 ø è 2 ø p æ 3p ö y (p æ ö ¢¢ = + x) 3 cos = sin + x ; (4) y = cos + x = sin ç ÷ (2p + x). ç ÷ è 2 ø è 2 ø 2 2 - x + 3x
Câu 10. Hàm số y =
có đạo hàm cấp 2 bằng : 1- x 1 2 2 - 2 A. y¢¢ = 2 + . B. y¢¢ = . C. y¢¢ = . D. y¢¢ = . (1- x)2 (1- x)3 (1- x)3 (1- x)4
Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 1 2
Ta có: y = 2x -1+ Þ y¢ = 2 + ; y¢ = . 1- x (1- x)2 3 (1- x) æ p é p Câu 11. Hàm số ö ù
y = f ( x) = cos 2x - . Phương trình (4) f (x) = 8 - có nghiệm x Î 0; là: ç ÷ è 3 ø ê 2 ú ë û p p A. x = .
B. x = 0 và x = . 2 6 p p
C. x = 0 và x = .
D. x = 0 và x = . 3 2
Hướng dẫn giải: Chọn A. æ p æ p æ p æ p Ta có: ö ö ö ö y¢ = 2 - sin 2x - . y¢ = 4c - os 2x -
. y¢¢ = 8sin 2x - . (4) y = 16cos 2x - ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 3 ø è 3 ø è 3 ø è 3 ø æ p æ p ö 1 Khi đó : (4) f (x) = 8 - ö Û 16cos 2x - = 8 - Û cos 2x - = - ç ÷ ç ÷ è 3 ø è 3 ø 2 é p 2p é p 2x - = + k2p ê x = + kp é p ù 3 3 ê xÎ 0; ê ú p Û ê 2 Û ê ë 2 û ¾¾¾¾ ® x = . p 2p ê p 2 2x - = - + k2p ê = - + p ê x k ë 3 3 êë 6
Câu 12. Cho hàm số y = sin2x. Chọn khẳng định đúng
A. 4y - y¢ = 0 .
B. 4y + y¢¢ = 0.
C. y = y¢ tan 2x .
D. y = ( y¢)2 2 = 4.
Hướng dẫn giải: Chọn B.
Ta có: y¢ = 2cos2x ; y¢ = 4
- sin2x. Þ 4y + y¢¢ = 0.
Câu 13. Cho hàm số = ( ) 1 y
f x = - . Xét hai mệnh đề : x ( 6
I ) y¢ = f ¢ (x) 2 : = .
(II ): y¢¢ = f ¢¢(x) = - . 3 x 4 x Mệnh đề nào đúng? Trang 10
A. Chỉ (I ) đúng.
B. Chỉ (II ) đúng.
C. Cả hai đều đúng.
D. Cả hai đều sai.
Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 2 6 Ta có: y¢ = ; y¢¢ = - ; y¢¢¢ = . 2 x 3 x 4 x 2sin x
Câu 14. Nếu f ¢¢( x) =
thì f (x) bằng 3 cos x 1 1 A. . B. - . C. cot x . D. tan x . cos x cos x
Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 ¢ ¢¢ æ ö 2 - cosx×( s - inx) 2sinx Vì: (tan x) = = = . ç 2 ÷ è cos x ø 4 cos x 3 cos x 2 -x + x + 2
Câu 15. Cho hàm số y = f (x) = . Xét hai mệnh đề : x -1 ( 2 4
I ): y¢ = f ¢(x) = 1 - - < 0, x " ¹ . 1
(II): y¢ = f ¢ (x) = > 0, x " ¹ 1. 2 (x -1) 2 (x -1) Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I ) đúng.
B. Chỉ (II ) đúng.
C. Cả hai đều đúng.
D. Cả hai đều sai.
Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 -x + x + 2 2 2 4
Ta có: y = f (x) = = -x + Þ y¢ = -1- ; y¢¢ = . x -1 x -1 (x - )2 1 (x - )3 1
Câu 16. Cho hàm số f (x) = (x + )3
1 . Giá trị f ¢ (0) bằng A. 3 . B. 6 . C. 12 . D. 24 .
Hướng dẫn giải: Chọn B.
Vì: f ¢(x) = (x + )2 3
1 ; f ¢ (x) = 6(x + ) 1 Þ f ¢ (0) = 6. æ p
Câu 17. Cho hàm số f (x) 3 2
= sin x + x . Giá trị ö f ¢ bằng ç ÷ è 2 ø A. 0 . B. 1 - . C. 2 - . D. 5 .
Hướng dẫn giải: Chọn B. æ p Vì: f ¢(x) 2 = 3sin c
x osx + 2x ; f ¢ (x) 2 3 = 6sin c
x os x -3sin x + 2 ö Þ f ¢ = - . 1 ç ÷ è 2 ø
Câu 18. Cho hàm số f (x) = (x + )3 5 1 + 4(x + )
1 . Tập nghiệm của phương trình f ¢ (x) = 0 là A. [ 1 - ;2]. B. ( ;0 -¥ ]. C. { } 1 - . D. Æ .
Hướng dẫn giải: Chọn C.
Vì: f ¢(x) = (x + )2 15
1 + 4 ; f ¢ (x) = 30(x + )
1 Þ f ¢ (x) = 0 Û x = - . 1 1
Câu 19. Cho hàm số y = . Khi đó : x - 3 A. y¢¢( ) 3 1 = . B. y¢¢( ) 1 1 = . C. y¢¢¢( ) 3 1 = - . D. y¢¢( ) 1 1 = - . 8 8 8 4
Hướng dẫn giải: Chọn C. Trang 11 1 2 6 Vì: y¢ = - ; y¢¢ = ; y¢¢¢ = - Þ y¢¢( ) 3 1 = - . (x -3)2 (x -3)3 (x -3)4 8
Câu 20. Cho hàm số = ( + )5 y
ax b với a , b là tham số. Khi đó : A. (10) y ( )1 = 0. B. (10) y ( )1 =10a +b. C. (10) y ( )1 = 5a. D. (10) y ( )1 =10a.
Hướng dẫn giải: Chọn A.
Vì: y¢ = a(ax +b)4 5 ; y¢ =
a (ax +b)3 2 20 ; y¢ =
a (ax +b)2 3 60 ; (4) 4
y =120a (ax + b) ; (5) 5 y = 120a ; (6) y = 0 (10) Þ y = 0. Do đó (10) y ( )1 = 0 æ p
Câu 21. Cho hàm số 2
y = sin 2x . Tính (4) ö y bằng: ç ÷ è 6 ø A. 64 . B. 64 - . C. 64 3 . D. 64 - 3 .
Hướng dẫn giải: Chọn C.
Vì: y¢ = 2sin2x(2cos2x) = 2sin4x ; y¢ = 8cos4x ; y¢ = 3 - 2sin4x; ( æ p 4) ö y = 128 - cos4x (4) Þ y = 64 3 . ç ÷ è 6 ø
Câu 22. Cho hàm số y = sin2x. Tính y ''
A. y ' = -sin 2x B. y ' = 4 - sin x
C. y ' = sin 2x D. y ' = 4 - sin 2x Hướng dẫn giải: Chọn D.
Ta có y ' = 2cos 2x Þ y ' = 4 - sin 2x p p
Câu 23. Cho hàm số y = sin2x. Tính y '''( ), (4) y ( ) 3 4 A. 4 và 16 B. 5 và 17 C. 6 và 18 D. 7 và 19 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có (4) y ''' = 8 - cos 2 ,
x y =16sin 2x p 2p p p Suy ra (4) y ''( ) = 8 - cos = 4; y ( ) =16sin =16. 3 3 4 2
Câu 24. Cho hàm số y = sin2x. Tính (n) y p p
A. (n) = 2n y
sin(2x + n )
B. (n) = 2n y sin(2x + ) 3 2 p p
C. (n) = 2n y sin(x + )
D. (n) = 2n y
sin(2x + n ) 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. p p p Ta có 2
y ' = 2sin(2x + ), y ' = 2 sin(2x + 2 ), 3
y '' = 2 sin(2x + 3 ) 2 2 2 p
Bằng quy nạp ta chứng minh (n) = 2n y sin(2x + n ) 2 p Với 1
n =1Þ y ' = 2 sin(2x + ) đúng 2 Trang 12 p
Giả sử (k) = 2k y sin(2x + k ) , 2 + + p + æ p suy ra (k 1) ö y = ( (k) y ) k 1 k 1 ' = 2 cos(2x + k ) = 2 sin 2x + (k +1) ç ÷ 2 è 2 ø
Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh. 2x +1
Câu 25. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = x + 2 n 1 - n n 1 - - n n ( 1) . ! n (1) .3. ! A. ( ) y = B. ( ) y = n 1 (x + 2) + n 1 (x + 2) + n 1 - - n n 1 - - n n ( 1) .3. ! n ( 1) .3. ! C. ( ) y = D. ( ) y = n 1 (x - 2) + n 1 (x + 2) + Hướng dẫn giải: Chọn D. ' 2 3 3é(x + 2) ù ë û 3 - .2 Ta có y ' = , y ' = - = 2 4 3 (x + 2) (x + 2) (x + 2) 3.2.3 n 1 - - n n ( 1) .3. ! y ''' = . Ta chứng minh ( ) y = 4 (x + 2) n 1 (x + 2) + 0 • ( 1 - ) .3 3
Với n =1Þ y ' = = đúng 2 2 (x + 2) (x + 2) k 1 - • - k k ( 1) .3. ! Giả sử ( ) y = k 1 (x + 2) + k 1 - k 1 ( 1
- ) .3.k!.é(x + 2) + ù ' + ë û ( 1 - )k k + k k .3.( 1)! ( 1) Þ y = ( ( ) y )' = - = 2k +2 k +2 (x + 2) (x + 2)
Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh. 1
Câu 26. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = , a ¹ 0 ax + b (2)n. n a n ( 1 - )n. n a n n . ! n . ! A. ( ) y = B. ( ) y = n 1 (ax + b) + n 1 (x +1) + ( 1 - )n n ( 1 - )n. n a n n . ! n . ! C. ( ) y = D. ( ) y = n 1 (ax + b) + n 1 (ax + ) b + Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 3 -a a .2 -a .2.3 Ta có y ' = , y ' = , y '' = 2 3 4 (ax + b) (ax + b) (ax + b) ( 1 - )n. n a n n . ! Ta chứng minh: ( ) y = n 1 (ax + ) b + 1 1 • ( 1 - ) .a .1! a
Với n =1Þ y ' = = - đúng 2 2 (ax + ) b (ax + b) k k • - a k k ( 1) . . ! Giả sử ( ) y = k 1 (ax + ) b + k k k 1 -
a k é ax + b + + ù ë û - a + + k + k Þ y = ( k y ) k 1 k 1 ( 1) . . !. ( ) ' ( 1) . .( 1)! ( 1) ( ) ' = - = 2k +2 k +2 (ax + b) (x + 2)
Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh. Trang 13 2x +1
Câu 27. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = 2 x - 5x + 6 (2)n.7.n! (1)n n n 1 + n 1 - n + - n n ( 1) .7. ! ( 1) .5. ! n .5. ! A. ( ) y = - B. ( ) y = - n 1 + n 1 (x - 2) (x - 3) + n 1 + n 1 (x - 2) (x - 3) + ( 1 - )n.7.n! ( 1 - )n n ( 1 - )n.7.n! ( 1 - )n n n .5. ! n .5. ! C. ( ) y = - D. ( ) y = - (x - 2)n (x - 3)n n 1 + n 1 (x - 2) (x - 3) + Hướng dẫn giải: Chọn D.
Ta có: 2x +1 = 7(x - 2) - 5(x - 3); 2
x -5x + 6 = (x - 2)(x - 3) 7 5 Suy ra y = - . x - 3 x - 2 (n) (n) æ 1 ö ( 1 - )n.1 .nn! ( 1 - )n.n! æ 1 ö ( 1 - )n.n! Mà = = , = ç ÷ n 1 + n 1 + ç ÷ n 1 è x - 2 ø (x - 2) (x - 2) è x - 2 ø (x - 3) + ( 1 - )n.7.n! ( 1 - )n n n .5. ! Nên ( ) y = - . n 1 + n 1 (x - 2) (x - 3) +
Câu 28. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = cos 2x æ p æ p A. ( ) (- ) ö = ö 1 n n y cos 2x + n
B. (n) = 2n y cos 2x + ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 ø æ p + æ p C. (n) n 1 ö ö y = 2 cos 2x + n
D. (n) = 2n y cos 2x + n ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 ø Hướng dẫn giải: Chọn D. æ p ö æ p Ta có 2 ö y ' = 2cos 2x +
, y ' = 2 cos 2x + 2 , ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 ø æ p 3 ö
y '' = 2 cos 2x + 3 . ç ÷ è 2 ø æ p
Bằng quy nạp ta chứng minh được (n) ö = 2n y cos 2x + n . ç ÷ è 2 ø
Câu 29. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = 2x +1 n 1 + - n - n 1 - - n - n ( 1) .3.5...(2 1) n ( 1) .3.5...(3 1) A. ( ) y = B. ( ) y = 2n 1 (2x +1) - 2n 1 (2x +1) - n 1 + - n - n 1 + - n - n ( 1) .3.5...(2 1) n ( 1) .3.5...(2 1) C. ( ) y = D. ( ) y = 2n 1 (2x +1) + 2n 1 (2x +1) - Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 1 3 Ta có y ' = , y ' = - , y '' = 3 5 2x +1 (2x +1) (2x +1) n 1 + - n - n ( 1) .3.5...(2 1)
Bằng quy nạp ta chứng minh được: ( ) y = 2n 1 (2x +1) - 2x +1
Câu 30. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = 2 x - 3x + 2 5.( 1 - )n.n! 3.( 1 - )n n 5.( 1 - )n.n! 3.( 1 - )n n n . ! n . ! A. ( ) y = + B. ( ) y = - n 1 + n 1 (x - 2) (x -1) + n 1 + n 1 (x + 2) (x -1) + Trang 14 5.( 1 - )n.n! 3.( 1 - )n n 5.( 1 - )n.n! 3.( 1 - )n n n . ! n . ! C. ( ) y = : D. ( ) y = - n 1 + n 1 (x - 2) (x -1) + n 1 + n 1 (x - 2) (x -1) + Hướng dẫn giải: Chọn D. 5 3 Ta có: y = - x - 2 x -1 5.( 1 - )n.n! 3.( 1 - )n n n . !
Bằng quy nạp ta chứng minh được: ( ) y = - . n 1 + n 1 (x - 2) (x -1) + x
Câu 31. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = 2 x + 5x + 6 ( 1 - )n.3.n! ( 1 - )n n ( 1 - )n.3.n! ( 1 - )n n n .2. ! n .2. ! A. ( ) y = + B. ( ) y = - n 1 + n 1 (x + 3) (x + 2) + (x + 3)n (x + 2)n ( 1 - )n.3.n! ( 1 - )n n ( 1 - )n.3.n! ( 1 - )n n n .2. ! n .2. ! C. ( ) y = - D. ( ) y = - n 1 - n 1 (x + 3) (x + 2) - n 1 + n 1 (x + 3) (x + 2) + Hướng dẫn giải: Chọn D.
Ta có: x = 3(x + 2) - 2(x + 3) ; 2
x + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) 3 2 Suy ra y = - . x + 3 x + 2 (n) (n) æ 1 ö ( 1 - )n.1 .nn! ( 1 - )n.n! æ 1 ö ( 1 - )n.n! Mà = = , = ç ÷ n 1 + n 1 + ç ÷ n 1 è x + 2 ø (x + 2) (x + 2) è x + 3 ø (x+) + ( 1 - )n.3.n! ( 1 - )n n n .2. ! Nên ta có: ( ) y = - . n 1 + n 1 (x + 3) (x + 2) +
Câu 32. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = cos 2x - æ p + æ p A. (n) n 1 ö ö y = 2 cos 2x + n B. (n) n 1 y = 2 cos 2x + n ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 ø æ p æ p C. (n) ö = ö 2n y cos 2x +
D. (n) = 2n y cos 2x + n ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 ø Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có : æ p ö æ p æ p 2 ö ö y ' = 2cos 2x +
, y ' = 2 cos 2x + 2 , 3
y '' = 2 cos 2x + 3 . ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 ø è 2 ø æ p
Bằng quy nạp ta chứng minh được (n) ö = 2n y cos 2x + n . ç ÷ è 2 ø Trang 15
Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
Ý nghĩa vật lí :
• Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình : s = s(t) tại thời điểm t là 0 v( 0 t ) = s'( 0 t ).
• Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t)tại thời điểm t là : I ( 0t) = Q'( 0t). 0
Câu 1. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình 3 2
s = t - 3t + 5t + 2 , trong đó t tính bằng
giây và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t = 3 là: A. 2 24m / s . B. 2 17m / s . C. 2 14m / s . D. 2 12m / s . Hướng dẫn giải: Đáp án D
Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển
động tại thời điểm t . s¢ = ( 3 2
t - t + t + )¢ 2 3 5 2 = 3t - 6t + 5
s¢¢ = 6t - 6 Þ s¢¢(3) =12
Câu 2. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình 3 2
s = t - 3t - 9t + 2 (t tính bằng giây; s tính
bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. Vận tốc của chuyển động bằng 0 khi t = 0 hoặc t = 2.
B. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2 là v = 18 m / s.
C. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 3 là 2
a =12 m / s .
D. Gia tốc của chuyển động bằng 0 khi t = 0. Hướng dẫn giải: Đáp án C.
Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển
động tại thời điểm t . s¢ = ( 3 2
t - t + t + )¢ 2 3 5 2 = 3t - 6t + 5
s¢¢ = 6t - 6 Þ s¢¢(3) =12
Câu 3. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình 3 2
s = t - 3t (t tính bằng giây; s tính bằng
mét). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Gia tốc của chuyển động khi t = 4s là 2 a =18m / s .
B. Gia tốc của chuyển động khi t = 4s là 2 a = 9m / s .
C. Vận tốc của chuyển động khi t = 3s là v = 12m / s .
D. Vận tốc của chuyển động khi t = 3s là v = 24m / s . Hướng dẫn giải: Đáp án A 2
s¢ = 3t - 6t Þ s¢ = 6t - 6 s¢¢(4) =18 Trang 16