TOP10 đề ôn tập kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 12 (100% trắc nghiệm)

Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi giữa học kì 2 môn Toán 12 năm học 2022 – 2023 .Mời bạn đọc đón xem.

ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 1
Sưu tm và biên son
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II
MÔN: TOÁN 12 ĐỀ S: 01
Câu 1: Trong không gian
Oxyz
, cho ba đim
( )
2;0;0A
,
( )
0;0; 1B
,
( )
0; 5; 0C
. Phương trình của mt
phng
( )
ABC
A.
25 1x yz+ −=
. B.
1
2 15
xyz
+ +=
. C.
0
25 1
xy z
++ =
. D.
1
25 1
xy z
++ =
.
Câu 2: Tích phân
bng
A.
1 ln 2
. B.
2
1
e
. C.
13
50
. D.
2
1
e
+
.
Câu 3: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phng
( )
: 2 3 2004 0P xy z−+ + =
. Mt véctơ pháp tuyến ca
mặt phng
( )
P
A.
( )
1
2; 1; 3
n =−−
. B.
( )
3
2; 1; 3n =
. C.
( )
2
2;1; 3n =
. D.
( )
4
2;1; 3n
=
.
Câu 4: Trong không gian
Oxyz
, đường thẳng
Oy
có phương trình tham số
A.
0
0
x
yt
z
=
=
=
. B.
xt
yt
zt
=
=
=
. C.
1
1
x
yt
z
=
=
=
. D.
0
1
0
x
y
z
=
=
=
.
Câu 5: Tích phân
( )
1
3
2 5dxx
bng
A.
8
. B.
20
. C.
28
. D.
4
.
Câu 6: Hàm s
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
trên khoảng
K
nếu
A.
( ) ( )
,f x Fx x K
= ∀∈
. B.
( ) ( )
,f x Fx C x K
= + ∀∈
.
C.
( ) ( )
,Fx fx x K
= ∀∈
. D.
( ) ( )
,Fx fx C x K
= + ∀∈
.
Câu 7: Cho
( )
fx
là mt hàm s liên tục trên đoạn
[ ]
1; 2
. Gi sử
( )
Fx
là một nguyên hàm của
( )
fx
trên đoạn
[ ]
1; 2
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
( ) ( ) ( )
2
1
d2 1fx x F F
= −−
. B.
( ) ( ) ( )
2
1
d 12
fx x F F
= −−
.
C.
(
) ( ) ( )
2
1
d 21fx x F F
= +
. D.
( ) (
) ( )
2
1
d2 1fx x F F
= +−
.
Câu 8: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
0;0;1M
mặt phẳng
(
)
:3 2 5 0Q xy z+ +=
. Mt
phng
( )
P
đi qua
M
và song song với
( )
Q
. Phương trình của mặt phẳng
( )
P
A.
3 2 20xy z+ +=
. B.
3 2 10xy z+ −=
.
C.
3 2 50xy z+ +=
. D.
3 2 20xy z+ −=
.
Câu 9: Hình phẳng gii hn bi đ th hàm s
( )
y fx=
liên tc trên đon
[ ]
1; 2
, trc
Ox
và hai đường
thng
1x
=
,
2x
=
có diện tích là
A.
( )
1
2
d
S fx x=
. B.
( )
1
2
dS fx x=
. C.
( )
2
1
dS fx x=
. D.
( )
2
1
dS fx x=
.
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 2
Sưu tm và biên son
Câu 10: Cho tích phân
( )
2021
12
0
1dI xx= +
. Đặt
1ux= +
ta đưc
A.
2021
12
0
d
I uu
=
. B.
2022
12
1
dI uu=
. C.
(
)
2022
12
1
1d
Iuu=
. D.
( )
2021
12
0
1d
Iu u=
.
Câu 11: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
(
) (
) (
)
2 22
:1 4 29Sx y z
+ + +− =
. Tâm của
( )
S
là đim
A.
(
)
1;4;2
J
. B.
(
)
1;4;2
K −−
. C.
( )
1;4;2
H −−
. D.
( )
1;4;2I
.
Câu 12: Trong không gian
Oxyz
, hình chiếu vuông góc của điểm
(
)
4; 2; 1M
trên trục
Oy
điểm
A.
(
)
3
4;0;0
M
. B.
( )
4
0;0; 1M
. C.
( )
1
4;0; 1M
. D.
(
)
2
0; 2; 0
M
.
Câu 13: Trong không gian
Oxyz
, cho vật th
()H
gii hn bi hai mặt phẳng có phương trình
xa=
xb=
()ab<
. Gi
()Sx
là diện tích thiết din ca
()H
b ct bi mt phẳng vuông góc với trc
Ox
tại điểm có hoành độ
x
, với
axb≤≤
. Gi sử hàm s
()y Sx=
liên tc trên đon
[;]ab
.
Khi đó, thể tích
V
của vật th
()H
được tính bởi công thức
A.
2
( )d
b
a
V Sxx
=
. B.
( )d
b
a
V Sx x=
. C.
2
( )d
b
a
V Sxx
π
=
. D.
( )d
b
a
V Sx x
π
=
.
Câu 14: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
(
)
0 0 00
;;
M xyz
mặt phẳng
( )
:0Ax By Cz D
α
+ + +=
.
Khoảng cách từ điểm
0
M
đến mặt phẳng
( )
α
bng
A.
000
222
Ax By Cz D
ABC
+++
++
. B.
000
222
Ax By Cz D
ABC
+++
++
.
C.
000
222
Ax By Cz D
ABC
+++
++
. D.
000
Ax By Cz D
ABC
+++
++
.
Câu 15: Cho
( )
7
3
d 12fx x
=
. Tích phân
( )
5
0
2 3dfx x
bng
A.
6
. B.
21
. C.
12
. D.
24
.
Câu 16: Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
đi qua điểm
( )
0
1;3;5M
một véctơ ch
phương là
( )
2; 3; 4u =
. Đường thẳng
có phương trình tham số
A.
12
33
54
xt
yt
zt
= +
=
= +
. B.
12
33
54
xt
yt
zt
=−+
= +
= +
. C.
12
33
54
xt
yt
zt
=−+
=
= +
. D.
2
33
45
xt
yt
zt
=
=−+
= +
.
Câu 17: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
()
x
fx e=
.
A.
x
e
C
x
+
. B.
1x
eC
+
+
. C.
x
eC+
. D.
1
1
x
e
C
x
+
+
+
.
Câu 18: Cho
( )
3
1
d9fx x=
,
( )
4
3
d 25fx x=
. Tích phân
( )
4
1
dfx x
bng à
A.
32
. B.
35
. C.
16
. D.
34
.
Câu 19: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( )
0; 4;1A
( )
2; 2; 7B
. Trung điểm của đoạn thẳng
AB
là điểm
A.
( )
1; 1; 4Q
. B.
( )
2; 2;8M
. C.
( )
1;3;3P
. D.
( )
2;6;6N
.
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 3
Sưu tm và biên son
Câu 20: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên
được tính theo công thức nào dưới đây?
A.
(
)
2
1
2 2d
xx
−+
. B.
( )
2
1
2 2dxx
.
C.
( )
2
2
1
2 2 4dxx x
−−
. D.
( )
2
2
1
2 2 4dxx x
++
.
Câu 21: Diện tích
S
của hình phẳng gii hn bi đ th hàm s
2
31yx
= +
, trục hoành và hai đường thẳng
0, 2xx
= =
A.
11S =
. B.
12S
=
. C.
10S
=
. D.
9
S
=
.
Câu 22: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
:2 5 3 6 0
xyz
α
+ −=
. Giao điểm ca mặt phẳng
( )
α
và trục
Ox
là đim
A.
( )
3;0;0M
. B.
( )
2;0;0
N
. C.
( )
6;0;0P
. D.
( )
6;0;0Q
.
Câu 23: Tích phân
0
sin d
xx
π
bng
A.
0,0861
. B.
0
. C.
2
. D.
2
.
Câu 24: Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
d
đi qua hai điểm
( ) ( )
1; 3; 0 , 2;1; 4AB
.Mt vectơ
ch phương của đường thẳng
d
A.
(
)
1
1;4;4u =−−

. B.
2
3
; 1; 2
2
u

=



. C.
( )
3
3; 2; 4u =

. D.
( )
4
2; 3; 0u
=

.
Câu 25: Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2
1
d tan
sin
x xC
x
=−+
. B.
2
1
d tan
cos
x xC
x
=−+
.
C.
2
1
d cot
sin
x xC
x
= +
. D.
2
1
d tan
cos
x xC
x
= +
.
Câu 26: Cho hai hàm số
()fx
,
()gx
liên tục trên
. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.
4 ( )d 4 ( )d
fx x fx x=
∫∫
. B.
[ ]
() ()d ()d ()df x gx x f x x gx x−=
∫∫
.
C.
[ ]
().()d ()d. ()df x gx x f x x gx x=
∫∫
. D.
[
]
() ()d ()d ()df x gx x f x x gx x
+= +
∫∫
.
Câu 27: Cho
( )
12
0
d6fx x=
,
( )
12
0
d 11gx x=
. Tích phân
( ) ( )
( )
12
0
df x gx x
bng
A.
5
. B.
17
. C.
5
. D.
17
.
Câu 28: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( )
1;1; 2A
( )
2;2;1B
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
( )
1;1; 1AB =

. B.
( )
1;3;3AB =

. C.
( )
3; 1;1AB =−−

. D.
( )
3;1; 1AB =

.
Câu 29: Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
sin2 d 2cos 2xx x C= +
. B.
sin2 d 2cos 2xx x C=−+
.
C.
1
sin2 d cos 2
2
xx x C= +
. D.
1
sin2 d cos 2
2
xx x C=−+
.
Câu 30: Cho hàm số
()y fx=
liên tc trên
[;]ab
. Th tích vt th tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng
gii hn bi các đưng
( ), 0, ,y f x y x ax b= = = =
quay quanh trục hoành là
x
y
y=
-
x
2
+3
y=
x
2
-
2
x
-
1
O
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 4
Sưu tm và biên son
A.
(
)
22
d
b
a
V f xx
π
=
. B.
( )
2
d
b
a
V fx x
π
=
. C.
( )
2
d
b
a
V f xx
π
=
. D.
( )
d
b
a
V fx x
π
=
.
Câu 31: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
S
tâm
( )
0;3; 3
I
bán kính
5
R
=
. Phương trình
của
( )
S
A.
( ) ( )
22
2
3 35xy z++ +− =
. B.
(
)
( )
22
2
3 3 25xy z++ +− =
.
C.
( ) ( )
22
2
3 3 25xy z+ ++ =
. D.
( ) ( )
22
2
3 35xy z+ ++ =
.
Câu 32: H tất cả các nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
1
0fx x
x
=
A.
ln
xC+
. B.
ln
xC+
. C.
. D.
1
ln
C
x
+
.
Câu 33: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
mặt phẳng
( )
: 2 2022 0xy z
α
++ =
. Đưng
thng
d
đi qua
A
và vuông góc với
( )
α
. Đường thẳng
d
có phương trình là
A.
131
112
xyz−−
= =
. B.
112
131
xyz
−−
= =
. C.
131
112
xyz+++
= =
. D.
112
xyz
= =
.
Câu 34: Cho hàm số
()y fx=
liên tc trên
và có đồ th như hình vẽ dưới đây.
Diện tích
S
ca phần hình phẳng gạch chéo trong hình được tính theo công thức nào?
A.
0
43
0
( )d ( )dS fx x fx x
=
∫∫
. B.
34
00
( )d ( )dS fx x fx x
= +
∫∫
.
C.
4
3
( )dS fx x
=
. D.
4
0
0
3
( )d ( )dS fx x fx x
=
∫∫
.
Câu 35: Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
dss inco x xCx =−+
. B.
d sio ncs x xCx = +
.
C.
cos d sinxx x=
. D.
cos d sinx
x x
=
.
Câu 36: Cho
( )
2
2
1
21d . .
x
x e x ae be
+=+
, với
a
,
b
là các s hu tỉ. Giá trị ca biểu thức
ab+
bng
A.
8
. B.
3
. C.
2
. D.
4
.
Câu 37: Trong không gian
Oxyz
cho ba điểm
( )
2; 3; 1
M
,
( )
1;1;1N
( )
1; 1; 2
Pm+
. Biết tam giác
MNP
vuông tại
N
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2m =
. B.
2m =
. C.
4m =
. D.
4m =
.
Câu 38: Trong không gian
Oxyz
, cho mt phng
( )
: 2 3 2021 0Q xy z−+ =
và đưng thng
x
y
y=f(x)
4
-3
O
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 5
Sưu tm và biên son
2
: 12
45
xt
dy t
zt
=
=−−
= +
. Gi
( )
P
là mt phng cha
d
vuông góc vi
( )
Q
. Phương trình ca mt phng
( )
P
A.
13 5 5 0x yz +=
. B.
5 13 0x yz+ +− =
.
C.
2 3 17 0xy z−+ =
. D.
2 5 20 0xyz−− + =
.
Câu 39: Cho hàm số
(
)
y fx=
đạo hàm trên
. Đồ th hàm s
(
)
'y fx=
như hình vẽ. Đặt
(
) (
)
2
2
hx f x x
=
. Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
A.
( ) ( ) (
)
4 22hh h> −>
.
B.
( )
(
) ( )
24 2hhh> >−
.
C.
( )
(
)
( )
242
h hh−> >
.
D.
( ) ( ) ( )
2 24hh h> −>
.
Câu 40: Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
( )
2; 4; 1
A
,
( )
3;2;2B
,
( )
0; 3; 2
C
mặt phẳng
( )
: 2 10
xy z
β
+ +=
. Gi
M
là đim tùy ý chy trên mt phng
( )
β
. Giá tr nh nht ca biu
thc
T MA MB MC=++
bng
A.
32
. B.
13 14+
. C.
62
. D.
32 6
+
.
Câu 41: Trong không gian
Oxyz
, cho mt phng
( )
: 2 20xy z
α
+− +=
và hai đim
( )
2;0;1
A
,
(
)
1;1; 2B
. Gi
d
đường thẳng nằm trong
( )
α
cắt đường thẳng
AB
, thỏa mãn góc giữa hai đường
thng
AB
d
bng góc giữa đường thẳng
AB
mặt phẳng
( )
α
. Khoảng cách từ điểm
A
đến đường thẳng
d
bng
A.
2
. B.
6
3
. C.
3
. D.
3
2
.
Câu 42: H tất cả các nguyên hàm của hàm số
( )
2 lnfx x x=
A.
2
2
ln
2
x
xx C++
. B.
2
2
ln 1
2
x
xx−+
. C.
2
2
ln
2
x
xx C−+
. D.
2
lnx xxC−+
.
Câu 43: Cho
1
1
43
d4
8 17 6
x
x xm

+=

++

với hằng số
6m >
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
12 20m≤≤
. B.
9 12m<<
. C.
20m >
. D.
69m<≤
.
Câu 44: Một ô đang chạy với vận tốc
12
m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô chuyển
động chậm dần đều với vận tốc
( )
4 12
vt t=−+
(m/s), trong đó
t
là khoảng thời gian tính bằng
giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô còn di chuyển bao
nhiêu mét?
A.
20
m. B.
10
m. C.
16
m. D.
18
m.
Câu 45: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm trên
và tha mãn
( ) ( )
.,f xfx x x
= ∀∈
. Biết
( )
01f =
,
khẳng định nào sau đây đúng?
x
y
4
4
2
2
-2
-2
O
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 6
Sưu tm và biên son
A.
( )
2
24f =
. B.
( )
2
25f =
. C.
( )
2
26f =
. D.
( )
2
23f =
.
Câu 46: Cho
( )
H
hình phẳng gii hn bi đ th hàm s
2
1
yx
= +
, trục hoành và các đường thẳng
1x =
,
4x =
. Khi
( )
H
quay quanh trục
Ox
tạo thành một khối tròn xoay có thể tích bằng
A.
24
π
. B.
24
. C.
8,15
. D.
8,15
π
.
Câu 47: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
:2 2 1 0x yz
α
+=
hai đường thẳng
1
2
:2
xt
dy t
zt
=−+
= +
=
,
2
2
:3
1
xt
dy t
z
=
= +
=
. Gi
đường thẳng nằm trong mặt phẳng
(
)
α
cắt c hai
đường thẳng
1
d
,
2
d
. Đường thng
có phương trình là
A.
6 61
1 38
xyz−−
= =
. B.
597
138
xyz−+
= =
.
C.
6 61
59 7
xyz−−
= =
. D.
597
661
xyz−+
= =
.
Câu 48: t vt th
( )
T
nm gia hai mt phng
1x =
1x =
. Biết rằng thiết din ca vt th ct bi
mt phẳng vuông góc với trc
Ox
tại điểm có hoành độ
x
( )
11x−≤
là một hình vuông có cạnh
bng
2
21 x
. Th tích vật th
( )
T
bng
A.
16
3
. B.
8
3
. C.
π
. D.
16
3
π
.
Câu 49: Trong không gian
Oxyz
, cho hai đường thẳng
1
23
:
1 12
x ym z
d
−−
= =
,
2
12 1
:
3 223
xy z
d
m
−− +
= =
−+
, đó
3
2
m
≠−
tham s. Vi giá tr nào ca
m
thì đường thẳng
1
d
vuông góc với đường thng
2
d
?
A.
1
2
m =
. B.
1
2
m =
. C.
. D.
15
4
m =
.
Câu 50: Cho m số
( )
fx
đạo hàm trên mỗi khong
1
;
2

−∞


,
1
;
2

+∞


đồng thời tha mãn
( )
1
21
fx
x
=
+
1
2
x

≠−


,
( ) ( )
1 2 0 2ln 674ff−+ =
. Giá tr ca biểu thức
(
) ( ) (
)
214Sf f f= −+ +
bng
A.
2ln 3 ln 674
. B.
ln 2022
. C.
2ln 2022
. D.
3ln 3
.
---------- HT ----------
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 7
Sưu tm và biên son
NG DN GII CHI TIT
Câu 1: Trong không gian
Oxyz
, cho ba đim
( )
2;0;0A
,
( )
0;0; 1B
,
( )
0; 5; 0C
. Phương trình của mt
phng
(
)
ABC
A.
25 1
x yz+ −=
. B.
1
2 15
xyz
+ +=
. C.
0
25 1
xy z
++ =
. D.
1
25 1
xy z
++ =
.
Lời giải
Chọn D
Ta có Phương trình của mặt phẳng
( )
ABC
1
25 1
xy z
++ =
Câu 2: Tích phân
bng
A.
1 ln 2
. B.
2
1
e
. C.
13
50
. D.
2
1
e
+
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
2
ln
1
ux
dv dx
x
=
=
1
1
du dx
x
v
x
=
=
22
11
ln 1 1 2
d d1
ee
x
xx
x ex e

=−+ =


∫∫
Câu 3: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
(
)
: 2 3 2004 0P xy z
−+ + =
. Một véctơ pháp tuyến ca
mặt phẳng
( )
P
A.
( )
1
2; 1; 3n =−−
. B.
( )
3
2; 1; 3
n =
. C.
( )
2
2;1; 3n =
. D.
( )
4
2;1; 3n =
.
Lời giải
Chọn B
Câu 4: Trong không gian
Oxyz
, đường thẳng
Oy
có phương trình tham số
A.
0
0
x
yt
z
=
=
=
. B.
xt
yt
zt
=
=
=
. C.
1
1
x
yt
z
=
=
=
. D.
0
1
0
x
y
z
=
=
=
.
Li gii
Chn A
Câu 5: Tích phân
( )
1
3
2 5dxx
bng
A.
8
. B.
20
. C.
28
. D.
4
.
Li gii
Chn C
Ta có:
( )
1
3
2 5 d 28xx
−=
Câu 6: Hàm s
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
trên khoảng
K
nếu
A.
( ) ( )
,f x Fx x K
= ∀∈
. B.
( ) ( )
,f x Fx C x K
= + ∀∈
.
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 8
Sưu tm và biên son
C.
( ) ( )
,Fx fx x K
= ∀∈
. D.
( ) ( )
,Fx fx C x K
= + ∀∈
.
Lời giải
Chọn C
Công thức
( ) ( )
,Fx fx x K
= ∀∈
.
Câu 7: Cho
(
)
fx
là mt hàm s liên tục trên đoạn
[ ]
1; 2
. Gi sử
( )
Fx
là một nguyên hàm của
( )
fx
trên đoạn
[ ]
1; 2
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
( ) (
)
( )
2
1
d2 1fx x F F
= −−
. B.
(
)
( ) ( )
2
1
d 12
fx x F F
= −−
.
C.
( )
( ) ( )
2
1
d 21
fx x F F
= +
. D.
(
)
( )
(
)
2
1
d2 1fx x F F
= +−
.
Lời giải
Chọn A
Công thức
( ) ( ) ( )
2
1
d2 1fx x F F
= −−
.
Câu 8: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
0;0;1M
mặt phẳng
(
)
:3 2 5 0
Q xy z+ +=
. Mt
phng
( )
P
đi qua
M
và song song với
( )
Q
. Phương trình của mặt phẳng
( )
P
A.
3 2 20xy z+− +=
. B.
3 2 10xy z+ −=
.
C.
3 2 50xy z+ +=
. D.
3 2 20xy z+ −=
.
Lời giải
Chọn A
( )
(
) ( )
:3 2 0P Q P xy zD +− + =
.
( )
2MP D ⇒=
.
Phương trình của mặt phẳng
(
)
P
3 2 20xy z+ +=
.
Câu 9: Hình phẳng gii hn bi đ th hàm s
( )
y fx=
liên tc trên đon
[ ]
1; 2
, trc
Ox
và hai đường
thng
1
x =
,
2x =
có diện tích là
A.
( )
1
2
dS fx x=
. B.
( )
1
2
dS fx x=
. C.
( )
2
1
dS fx x
=
. D.
( )
2
1
dS fx x=
.
Lời giải
Chọn D
Hình phẳng gii hn bi đ th hàm số
( )
y fx=
liên tục trên đoạn
[ ]
1; 2
, trục
Ox
và hai đường
thng
1x
=
,
2x
=
có diện tích là
( )
2
1
dS fx x
=
.
Câu 10: Cho tích phân
( )
2021
12
0
1dI xx= +
. Đặt
1ux= +
ta đưc
A.
2021
12
0
dI uu=
. B.
2022
12
1
dI uu
=
.
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 9
Sưu tm và biên son
C.
( )
2022
12
1
1dIuu=
. D.
(
)
2021
12
0
1d
Iu u=
.
Lời giải
Chọn B
Đặt
1ux= +
;
ddux=
.
Đổi cn
01xu=⇒=
2021 2022xu= ⇒=
.
Khi đó
2022
12
1
dI uu=
.
Câu 11: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
(
) ( ) ( ) ( )
2 22
:1 4 29
Sx y z
+ + +− =
. Tâm của
( )
S
là đim
A.
(
)
1;4;2J
. B.
( )
1;4;2K −−
. C.
( )
1;4;2H −−
. D.
( )
1;4;2
I
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
( ) ( ) ( )
(
)
2 22
:1 4 29
Sx y z+ + +− =
Tâm của
( )
S
( )
1;4;2I
.
Câu 12: Trong không gian
Oxyz
, hình chiếu vuông góc của điểm
( )
4; 2; 1M
trên trục
Oy
điểm
A.
(
)
3
4;0;0
M
. B.
( )
4
0;0; 1M
. C.
( )
1
4;0; 1M
. D.
( )
2
0; 2; 0M
.
Lời giải
Chọn D
Hình chiếu vuông góc của điểm
(
)
4; 2; 1M
trên trục
Oy
điểm
( )
2
0; 2; 0M
.
Câu 13: Trong không gian
Oxyz
, cho vật th
()H
gii hn bi hai mặt phẳng có phương trình
xa=
xb=
()
ab<
. Gi
()Sx
là diện tích thiết din ca
()H
b ct bi mt phẳng vuông góc với trc
Ox
tại điểm có hoành độ
x
, với
axb
≤≤
. Gi sử hàm s
()y Sx=
liên tc trên đon
[;]
ab
.
Khi đó, thể tích
V
của vật th
()H
được tính bởi công thức
A.
2
( )d
b
a
V Sxx=
. B.
( )d
b
a
V Sx x=
. C.
2
( )d
b
a
V Sxx
π
=
. D.
( )d
b
a
V Sx x
π
=
.
Lời giải
Chọn B
Câu 14: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
0 0 00
;;M xyz
mặt phẳng
( )
:0Ax By Cz D
α
+ + +=
.
Khoảng cách từ điểm
0
M
đến mặt phẳng
( )
α
bng
A.
000
222
Ax By Cz D
ABC
+++
++
. B.
000
222
Ax By Cz D
ABC
+++
++
.
C.
000
222
Ax By Cz D
ABC
+++
++
. D.
000
Ax By Cz D
ABC
+++
++
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( )
( )
000
222
;
Ax By Cz D
dM
ABC
α
+++
=
++
.
Câu 15: Cho
( )
7
3
d 12fx x
=
. Tích phân
( )
5
0
2 3dfx x
bng
A.
6
. B.
21
. C.
12
. D.
24
.
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 10
Sưu tm và biên son
Lời giải
Chọn A
Đặt
23 2t x dt dx= −⇒ =
.
Đổi cn
0 3; 5 7xtxt=⇒= =⇒=
.
Suy ra
(
)
( ) ( )
5 77
0 33
11 1
2 3 d dt d .12 6
22 2
f x x ft fx x
−−
−= = = =
∫∫
.
Câu 16: Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
đi qua điểm
( )
0
1;3;5M
một véctơ ch
phương là
( )
2; 3; 4u =
. Đường thẳng
có phương trình tham số
A.
12
33
54
xt
yt
zt
= +
=
= +
. B.
12
33
54
xt
yt
zt
=−+
= +
= +
. C.
12
33
54
xt
yt
zt
=−+
=
= +
. D.
2
33
45
xt
yt
zt
=
=−+
= +
.
Lời giải
Chọn C
Câu 17: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
()
x
fx e=
.
A.
x
e
C
x
+
. B.
1x
eC
+
+
. C.
x
eC
+
. D.
1
1
x
e
C
x
+
+
+
.
Lời giải
Chọn C
Câu 18: Cho
( )
3
1
d9
fx x=
,
( )
4
3
d 25fx x=
. Tích phân
( )
4
1
d
fx x
bng à
A.
32
. B.
35
. C.
16
. D.
34
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
( )
( ) ( )
4 84
1 18
d d d 9 25 34fx x fx x fx x= + =+=
∫∫
.
Câu 19: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( )
0; 4;1A
( )
2; 2; 7B
. Trung điểm của đoạn thẳng
AB
là điểm
A.
(
)
1; 1; 4Q
. B.
( )
2; 2;8M
. C.
( )
1;3;3
P
. D.
( )
2;6;6N
.
Lời giải
Chọn A
Câu 20: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?
x
y
y=
-
x
2
+3
y=
x
2
-
2
x
-
1
O
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 11
Sưu tm và biên son
A.
( )
2
1
2 2d
xx
−+
. B.
( )
2
1
2 2dxx
.
C.
( )
2
2
1
2 2 4d
xx x
−−
. D.
( )
2
2
1
2 2 4dxx x
++
.
Lời giải
Chọn D
Phương trình hoành độ giao điểm:
2 22
1
2 1 3 2 2 40
2
x
xx x xx
x
=
−−=+ −−=
=
.
Diện tích hình phẳng cần tìm là
( ) ( ) ( )
22
22 2
11
3 2 1 d 2 2 4dS x xx x xx x
−−

= −+ = + +

∫∫
.
Câu 21: Diện tích
S
của hình phẳng gii hn bi đ th hàm s
2
31
yx= +
, trục hoành hai đường thẳng
0, 2
xx= =
A.
11S =
. B.
12S =
. C.
10S =
. D.
9S
=
.
Li gii
Chn C
Ta có
( ) ( )
2
2 32
0
0
3 1 d 8 2 10S x xxx= + = + =+=
.
Câu 22: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
:2 5 3 6 0xyz
α
+ −=
. Giao điểm ca mặt phẳng
( )
α
và trục
Ox
là đim
A.
( )
3;0;0M
. B.
(
)
2;0;0
N
. C.
( )
6;0;0P
. D.
( )
6;0;0Q
.
Li gii
Chn A
Gi
( )
;0;0Mm
giao điểm ca mt phng
( )
α
trc
Ox
, thay vào phương trình
( )
α
ta đưc
3m =
. Vậy
( )
3;0;0
M
.
Câu 23: Tích phân
0
sin dxx
π
bng
A.
0,0861
. B.
0
. C.
2
. D.
2
.
Li gii
Chn C
Ta có
( )
0
0
sin d cos 1 1 2xx x
π
π
= =−− =
Câu 24: Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
d
đi qua hai điểm
( ) ( )
1; 3; 0 , 2;1; 4AB
.Mt vectơ
ch phương của đường thẳng
d
A.
( )
1
1;4;4u =−−

. B.
2
3
; 1; 2
2
u

=



. C.
( )
3
3; 2; 4u =

. D.
( )
4
2; 3; 0u =

.
Li gii
Chn A
Đường thẳng
d
đi qua hai đim
( ) ( )
1; 3; 0 , 2;1; 4
AB
nhn véctơ
( )
1;4;4BA =−−

làm mt véctơ ch
phương.
Câu 25: Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2
1
d tan
sin
x xC
x
=−+
. B.
2
1
d tan
cos
x xC
x
=−+
.
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 12
Sưu tm và biên son
C.
2
1
d cot
sin
x xC
x
= +
. D.
2
1
d tan
cos
x xC
x
= +
.
Li gii
Chn D
Dựa vào bảng nguyên hàm cơ bản
Câu 26: Cho hai hàm số
()
fx
,
()gx
liên tục trên
. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.
4 ( )d 4 ( )dfx x fx x=
∫∫
. B.
[ ]
() ()d ()d ()d
f x gx x f x x gx x−=
∫∫
.
C.
[
]
().()d ()d. ()df x gx x f x x gx x=
∫∫
. D.
[ ]
() ()d ()d ()df x gx x f x x gx x+= +
∫∫
.
Lời giải
Chọn C
Theo tính chất nguyên hàm
(
)
( )
( )
(
)
. d d. df xgx x f x x gx x
=


∫∫
là sai.
Câu 27: Cho
( )
12
0
d6fx x=
,
( )
12
0
d 11gx x=
. Tích phân
( ) (
)
(
)
12
0
df x gx x
bng
A.
5
. B.
17
. C.
5
. D.
17
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( )
( )
( ) (
)
12 12 12
0 00
d d d 6 11 17
f x gx x f x x gx x = =+=


∫∫
.
Câu 28: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( )
1;1; 2A
( )
2;2;1B
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
( )
1;1; 1AB =

. B.
(
)
1;3;3
AB =

. C.
( )
3; 1;1AB =−−

. D.
(
)
3;1; 1AB =

.
Lời giải
Chọn D
Ta có
(
) (
)
2 1; 2 1;1 2 3;1; 1AB
=+ −=

.
Câu 29: Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
sin2 d 2cos 2xx x C
= +
. B.
sin2 d 2cos 2xx x C=−+
.
C.
1
sin2 d cos 2
2
xx x C= +
. D.
1
sin2 d cos 2
2
xx x C=−+
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
( )
11
sin2 d sin2 d 2 cos 2
22
xx x x x C= =−+
∫∫
.
Câu 30: Cho hàm số
()y fx=
liên tc trên
[;]ab
. Th tích vt th tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng
gii hn bi các đưng
( ), 0, ,y f x y x ax b= = = =
quay quanh trục hoành là
A.
( )
22
d
b
a
V f xx
π
=
. B.
( )
2
d
b
a
V fx x
π
=
. C.
( )
2
d
b
a
V f xx
π
=
. D.
( )
d
b
a
V fx x
π
=
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
( )
2
d
b
a
V f xx
π
=
.
Câu 31: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
S
tâm
( )
0;3; 3I
bán kính
5R =
. Phương trình
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 13
Sưu tm và biên son
của
( )
S
A.
( ) ( )
22
2
3 35xy z++ +− =
. B.
( ) ( )
22
2
3 3 25xy z++ +− =
.
C.
(
)
(
)
22
2
3 3 25
xy z
+ ++ =
. D.
(
)
(
)
22
2
3 35
xy z
+ ++ =
.
Lời giải
Chọn C
Mặt cầu
(
)
S
có tâm
( )
0;3; 3I
và bán kính
5
R =
có phương trình là:
( ) ( )
22
2
3 3 25xy z+ ++ =
.
Câu 32: H tất cả các nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
1
0fx x
x
=
A.
ln xC+
. B.
ln xC
+
. C.
. D.
1
ln
C
x
+
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
1
ln
dx x C
x
= +
.
Câu 33: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
mặt phẳng
( )
: 2 2022 0xy z
α
++ =
. Đưng
thng
d
đi qua
A
và vuông góc với
( )
α
. Đường thẳng
d
có phương trình là
A.
131
112
xyz−−
= =
. B.
112
131
xyz
−−
= =
.
C.
131
112
xyz+++
= =
. D.
112
xyz
= =
.
Lời giải
Chọn A
Đường thẳng
d
vuông góc với
( )
α
nên nhận
(
)
( )
1;1; 2
n
α

làm VTCP nên đường thẳng
d
có phương
trình chính tắc là:
131
112
xyz−−
= =
.
Câu 34: Cho hàm số
()y fx
=
liên tc trên
và có đồ th như hình vẽ dưới đây.
Diện tích
S
ca phần hình phẳng gạch chéo trong hình được tính theo công thức nào?
A.
0
43
0
( )d ( )dS fx x fx x
=
∫∫
. B.
34
00
( )d ( )dS fx x fx x
= +
∫∫
.
C.
4
3
( )d
S fx x
=
. D.
4
0
0
3
( )d ( )dS fx x fx x
=
∫∫
.
Lời giải
Chọn D
x
y
y=f(x)
4
-3
O
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 14
Sưu tm và biên son
Ta có:
(
)
( )
(
)
4 04 4
33 0
0
0 3
d d d ( )d ( )dS fx x fx x fx x fxx fxx
−−
= =+=
∫∫
.
Câu 35: Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
ds
s
inco
x xCx
=−+
. B.
d sio ncs x xCx = +
.
C.
cos
d sinx
x
x=
. D.
cos d sinxx x=
.
Li gii
Chn B
d sio ncs x xCx = +
Câu 36: Cho
( )
2
2
1
21d . .
x
x e x ae be+=+
, với
a
,
b
là các s hu tỉ. Giá trị ca biểu thức
ab+
bng
A.
8
. B.
3
. C.
2
. D.
4
.
Li gii
Chn C
( ) ( )
(
) ( )
22
2
2
1
11
3
21d 21 21 d 21 3
1
x xx
a
x ex x x ex x e e e
b
=

+ = + = = −⇒

=

∫∫
.
Câu 37: Trong không gian
Oxyz
cho ba điểm
( )
2; 3; 1M
,
(
)
1;1;1
N
( )
1; 1; 2Pm+
. Biết tam giác
MNP
vuông tại
N
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2m =
. B.
2m =
. C.
4m =
. D.
4m =
.
Li gii
Chn A
Ta có:
( )
3; 2; 2MN =−−

( )
2; ; 1PN m=−−

.
Do tam giác
MNP
vuông tại
N
nên
. 0 62 20 2MN PN m m
=+ −= =
 
.
Câu 38: Trong không gian
Oxyz
, cho mt phng
( )
: 2 3 2021 0Q xy z−+ =
và đưng thng
2
: 12
45
xt
dy t
zt
=
=−−
= +
. Gi
(
)
P
là mt phng cha
d
vuông góc vi
(
)
Q
. Phương trình ca mt phng
( )
P
A.
13 5 5 0x yz +=
. B.
5 13 0x yz
+ +− =
.
C.
2 3 17 0xy z−+ =
. D.
2 5 20 0xyz−− + =
.
Li gii
Chn A
Ta có:
( )
( )
2; 1; 3
Q
n =

(
)
1; 2; 5
d
u =−−

, ly
( ) ( )
2; 1; 4
M dM P
∈⇒
.
Ta có:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
; 1;13;5
PQ
d
PQ
d
P
nn
PQ
n nu
dP
nu


= =−−


 
  
 
.
( )
: 13 5 5 0Px y z +=
.
Câu 39: Cho hàm số
( )
y fx=
đạo hàm trên
. Đồ th m s
( )
'y fx=
như nh vẽ. Đặt
( ) ( )
2
2hx f x x=
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 15
Sưu tm và biên son
A.
( ) ( )
( )
4 22hh h> −>
. B.
( ) ( ) ( )
24 2hhh> >−
.
C.
(
) (
) (
)
242
h hh
−> >
. D.
( ) ( ) ( )
2 24hh h>−>
.
Li gii
Chn B
Ta có
(
) ( )
( ) ( )
' 2 ' 2, ' 0 ' 1
hx fx xy fx x= −= =
.
Nghim của phương trình là hoành độ giao điểm của đồ th hàm s
(
)
'y fx=
và đường thẳng
yx=
.
Dựa vào đồ th trên:
( )
2
'2
4
x
fx x x
x
=
=⇔=
=
, ta có bảng biến thiên
Mặt khác dưa vào đồ th trên ta có
( ) ( )
24
22
'd 'dhx x hx x
>
∫∫
hay
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
24
22
'd 'd 2 2 2 4 2 4hx x hx x h h h h h h
>− > <
∫∫
.
x
y
4
4
2
2
-2
-2
O
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 16
Sưu tm và biên son
Câu 40: Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
( )
2; 4; 1A
,
( )
3;2;2B
,
( )
0; 3; 2C
mặt phẳng
( )
: 2 10
xy z
β
+ +=
. Gi
M
là đim tùy ý chy trên mt phng
( )
β
. Giá tr nh nht ca biu
thc
T MA MB MC=++
bng
A.
32
. B.
13 14+
. C.
62
. D.
32 6+
.
Li gii
Chn D
Ta có
( ) (
)
( ) ( )
1;2;3, 2;1;1 , 5;5;5 51;1;1AB AC AB AC

= =−− = = −−

   
, suy ra
( )
: 10ABC x y z +=
.
Ta thấy
( )
(
)
ABC
β
, xét
( ) (
)
1
10
::
2 10
0
xt
xyz
d ABC d d y t
xy z
z
β
=−+
+=
= ∩⇒ =

+ +=
=
.
Gi
H
là hình chiếu vuông góc của
M
trên
(
)
ABC
, khi đó
( )
1 ; ;0H d H tt −+
.
T MA MB MC HA HB HC=++ ≥++
.
( ) ( )
(
)
222
2
2
22
2
2
2
2 14 26 2 12 24 2 8 14
73
2 22 2 6 2 3 6
2
2
76
22 6 6 32 6
2
2
Ttt tt tt
t tt
++ ++ +


= + + + + −+







+ + += +





.
Vậy giá trị nh nhất của biểu thức là
32 6+
khi
( )
3 2; 3; 0tM=
.
Câu 41: Trong không gian
Oxyz
, cho mt phng
( )
: 2 20
xy z
α
+− +=
và hai đim
( )
2;0;1A
,
( )
1;1; 2B
. Gi
d
đường thẳng nằm trong
(
)
α
cắt đường thẳng
AB
, thỏa mãn góc giữa hai đường
thng
AB
d
bng góc giữa đường thẳng
AB
mặt phẳng
( )
α
. Khoảng cách từ điểm
A
đến đường thẳng
d
bng
A.
2
. B.
6
3
. C.
3
. D.
3
2
.
Li gii
Chn B
Ta có
( )
2
1;1;1 :
11
xt
AB AB y t
z
=
=−⇒ =
= +

. Gi
( )
2 ; ;1M d AB M t t t=∩⇒ +
,
do
( ) ( ) ( )
( )
: 2 2 1 2 0 1 1;1; 2d M tt t t M
αα
−+ + + = =
.
Gọi vecto chỉ phương của
( )
: ,,d u abc=
, ta có
( )
20 2d ab c b ca
α
+− ==
.
( )
( )
( )
( )
( )
2
112
27
sin , cos ,
3
32
11 2 .111
AB AB
αα
−+
= =⇒=
++ ++
.
Ta có
( )
( )
222 2
22
32
14 14
cos ;
32 32
3.
3. 2
abc c a
d AB
abc
a ca c
−++
==⇔=
++
+−+
.
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 17
Sưu tm và biên son
( ) ( )
(
)
( )
2 22
22
6 3 2 14 2 2 0 2c a a ca c a c a c = + + + =⇔=
.
Chn
12 4c ab=−⇒ = =
suy ra
( )
,
112 6
:;
2 41 3
d
d
AM u
xyz
d d Ad
u

−−

==⇒= =
−−


.
Cách 2: Ta có
( )
1;1;1
AB
=

, gi
( )
( )
,
AB
ϕα
=
.
( )
( )
( )
2
112
2
sin ,
32
11 2.111
AB
α
−+
= =
++ ++
.
Gi
( ) ( )
1;1; 2I AB I d
α
=∩⇒
. Khi đó
(
)
26
, .sin 111.
3
32
d A d AH AM
ϕ
= = = ++ =
.
Câu 42: H tất cả các nguyên hàm của hàm số
( )
2 lnfx x x=
A.
2
2
ln
2
x
xx C++
. B.
2
2
ln 1
2
x
xx−+
. C.
2
2
ln
2
x
xx C−+
. D.
2
lnx xxC−+
.
Li gii
Chn C
Xét
2 ln dI x xx=
:
2
1
ln
2
du dx
ux
x
dv xdx
vx
=
=

=
=
.
2
22
ln d ln
2
x
Ixxxxxx C= = −+
.
Câu 43: Cho
1
1
43
d4
8 17 6
x
x xm

+=

++

với hằng số
6m >
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
12 20m≤≤
. B.
9 12m<<
. C.
20m
>
. D.
69m<≤
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
1
1
43
d
8 17 6
x
x xm

+

++

1
1
11
4. .2 8 17 3. .2 6
86
x xm

= ++ +


( )
1
1
8 17 6x xm
= ++ +
( ) ( )
56 3 6mm=+ + −+
26 6mm=+ +−
.
Do đó
1
1
43
d4
8 17 6
x
x xm

+=

++

2 6 64mm⇔+ + =
6
62 6
m
mm
+=+
6
6 44 6 6
m
m mm
+ =+ −+
6
62
m
m
−=
6
64
m
m
−=
6
10
m
m
=
10m⇔=
.
Vậy
10
m
=
.
Câu 44: Một ô đang chạy với vận tốc
12
m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô chuyển
động chậm dần đều với vận tốc
( )
4 12vt t=−+
(m/s), trong đó
t
là khoảng thời gian tính bằng
giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô còn di chuyển bao
nhiêu mét?
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 18
Sưu tm và biên son
A.
20
m. B.
10
m. C.
16
m. D.
18
m.
Lời giải
Chọn D
Thời gian ô chuyển động từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn
( )
0 4 12 0 3vt t t= ⇔− + = =
.
Quãng đường ô còn di chuyển từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn
( ) ( )
33
00
d 4 12 d 18s vt t t t= = −+ =
∫∫
m.
Câu 45: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm trên
và tha mãn
( ) ( )
.,f xfx x x
= ∀∈
. Biết
( )
01f =
,
khẳng định nào sau đây đúng?
A.
( )
2
24f =
. B.
( )
2
25f =
. C.
( )
2
26f =
. D.
( )
2
23f =
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( ) ( )
.,f xfx x x
= ∀∈
.
Lấy nguyên hàm hai vế ta được
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 22
1 11
.d d d
2 22
f xfx x xx fx fx x C f x x C
= = +⇒ = +
∫∫
Với
0x =
(
)
22
11 1
0 .0
22 2
f CC
= +⇒=
. Suy ra
( ) (
)
2 2 22
1 11
1
2 22
fx x fx x= +⇔ = +
.
Vậy
( )
2
25
f =
.
Câu 46: Cho
( )
H
hình phẳng gii hn bi đ th hàm s
2
1
yx= +
, trục hoành và các đường thẳng
1x =
,
4x =
. Khi
( )
H
quay quanh trục
Ox
tạo thành một khối tròn xoay có thể tích bằng
A.
24
π
. B.
24
. C.
8,15
. D.
8,15
π
.
Lời giải
Chọn A
(
)
4
2
2
1
1 24V x dx
ππ
= +=
.
Câu 47: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
:2 2 1 0x yz
α
+=
hai đường thẳng
1
2
:2
xt
dy t
zt
=−+
= +
=
,
2
2
:3
1
xt
dy t
z
=
= +
=
. Gi
đường thẳng nằm trong mặt phẳng
( )
α
cắt c hai
đường thẳng
1
d
,
2
d
. Đường thẳng
có phương trình là
A.
6 61
1 38
xyz−−
= =
. B.
597
138
xyz−+
= =
.
C.
6 61
59 7
xyz−−
= =
. D.
597
661
xyz−+
= =
.
Lời giải
Chọn A
+) Gọi A là giao điểm của
1
d
( )
α
,
( )
1
2;2;A t tt d−+ +
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 1 0 7 5;9; 7A t tt t A
α
−+ + ++= =
.
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 19
Sưu tm và biên son
+) Gọi B là giao điểm của
2
d
( )
α
,
(
)
2
2 ;3 ;1Bt t d
′′
+∈
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 3 1 1 0 3 6; 6;1B t t tB
α
′′
+ −+= =
+)Véc tơ chỉ phương của
( )
1; 3; 8u

.
Phương trình
6 61
1 38
xyz−−
= =
Câu 48: t vt th
( )
T
nm gia hai mt phng
1x
=
1x =
. Biết rằng thiết din ca vt th ct bi
mt phẳng vuông góc với trc
Ox
tại điểm có hoành độ
x
( )
11x−≤
là một hình vuông có cạnh
bng
2
21
x
. Th tích vật th
( )
T
bng
A.
16
3
. B.
8
3
. C.
π
. D.
16
3
π
.
Lời giải
Chọn A
(
)
1
2
2
1
16
21 d
3
V xx
=−=
Câu 49: Trong không gian
Oxyz
, cho hai đường thẳng
1
23
:
1 12
x ym z
d
−−
= =
,
2
12 1
:
3 223
xy z
d
m
−− +
= =
−+
, đó
3
2
m
≠−
tham s. Vi giá tr nào ca
m
thì đường thẳng
1
d
vuông góc với đường thẳng
2
d
?
A.
1
2
m
=
. B.
1
2
m =
. C.
. D.
15
4
m =
.
Li gii
Chn C
1
d
có véc tơ ch phương
( )
1
1; 1; 2u =

;
2
d
có véc tơ ch phương
( )
1
3; 2; 2 3um=−+

.
1 2 12
11
. 0 1.3 ( 1)( 2) 2(2 3) 0 4 11
4
d d nn m m m
= +− + + = = =

.
Câu 50: Cho m số
( )
fx
đạo hàm trên mỗi khong
1
;
2

−∞


,
1
;
2

+∞


đồng thời tha mãn
(
)
1
21
fx
x
=
+
1
2
x

≠−


,
( ) (
)
1 2 0 2ln674ff
−+ =
. Giá tr ca biểu thức
(
) ( ) ( )
214Sf f f= −+ +
bng
A.
2ln 3 ln 674
. B.
ln 2022
. C.
2ln 2022
. D.
3ln 3
.
Li gii
Chn C
( ) ( )
( )
( )
1
2
11
ln 2 1 ,
1
22
11
21
ln 2 1 ,
22
x C khi x
f x fx
x
x C khi x
++ >
= ⇒=
+
−+ <
( ) (
) ( ) ( )
1 2 12 12
0 ; 1 2 0 1 2 2 2ln 674f Cf C f f CC CC= −= + −= + + =
.
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 20
Sưu tm và biên son
( ) (
)
( )
( ) (
)
( )
21 1
12
111
2 ln 3 , 1 ln 3 ; 4 ln 9
222
111
2 1 4 ln 3 ln 3 ln 7 2
222
111
ln3 ln3 ln9 2ln 674 2ln 3 2ln 674 2ln 2002.
222
f Cf Cf C
S f f f CC
−= + = + = +
= −+ + = + + + +
=+++=+=
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 1
Sưu tm và biên son
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II
MÔN: TOÁN 12 ĐỀ S: 02
Câu 1: Trong không gian vi h trc ta đ
Oxyz
, cho điểm
(
)
1;3;4
A
và mt phng
( )
:2 2 8 0P x yz +−=
. Khong cách t
A
đến
( )
P
bng
A.
7
3
. B.
0
. C.
5
3
. D.
8
3
.
Câu 2: Tìm điều kiện xác định ca hàm s
( )
2
13
3
( ) log log 2
fx x

=

.
A.
11x−< <
. B.
22x <<
. C.
22x ≤≤
. D.
11x−≤
.
Câu 3: Tích phân
1
ln d
e
I x xx=
bng
A.
2
1
4
e
I
=
. B.
2
2
2
e
I
=
. C.
2
1
4
e
I
+
=
. D.
1
2
I =
.
Câu 4: Cho hàm s
(
)
2
.2021
xx
fx e
=
. Chn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A.
( )
1 2 ln 2021 0
fx x x
>⇔ + >
. B.
( )
2
1 ln 2021 0fx x>⇔ >
.
C.
( )
2
1 ln 2021 0fx x x>⇔ + >
. D.
( )
2
1 1 ln 2021 0fx x>⇔+ >
.
Câu 5: Trong không gian
Oxyz
, cho đường thng
11
:
2 12
x yz
d
−+
= =
−−
. Đim nào dưới đây không
thuộc đường thng
d
?
A.
( )
1;1; 2P
. B.
( )
3; 1; 3M −−
. C.
( )
1; 0; 1N
. D.
( )
3; 2;3Q
.
Câu 6: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A.
( )
( )
(
)
( )
d
d
d
fx x
fx
x
gx
gx x
=
. B.
( )
( ) ( ) ( )
. d d. dfxgxx fxxgxx=
∫∫
.
C.
1
d,
1
x
xx C
α
α
α
α
+
= + ∀∈
+
. D.
(
)
d 01
ln
x
x
a
ax C a
a
= + <≠
.
Câu 7: Trong không gian vi h trc ta đ
Oxyz
, viết phương trình mặt cu tâm
( )
2 ; 3; 0A
đi qua
điểm
( )
1; 4; 3B
.
A.
( ) ( )
22
2
2 3 16x yz ++ +=
. B.
( ) ( )
22
2
2 3 50x yz ++ +=
.
C.
( ) ( )
22
2
2 3 13x yz ++ +=
. D.
( ) ( )
22
2
2 3 11x yz ++ +=
.
Câu 8:
( )
sin cos 2021Fx x x x= ++
là một nguyên hàm của hàm s nào trong các hàm s sau?
A.
( )
sinfx x x=
. B.
( )
cosfx x x=
. C.
(
)
sinfx x x
=
. D.
( )
cosfx x x
=
.
Câu 9: Trong không gian vi h trc ta đ
Oxyz
, cho mt phng
( )
P
có phương trình
3 10yz+=
.
Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến ca
( )
P
?
A.
( )
1
1;3; 1n =

. B.
( )
2
3; 1;1
n =

. C.
( )
3
0;3; 1n
=

. D.
( )
4
0;3;1n =

.
Câu 10: Tp nghim ca bất phương trình
( )
23
log 2 3 0x
−≥
.
A.
53
;
2

+∞

. B.
[
)
2;+∞
. C.
53
;
2

−∞

. D.
3
;2
2


.
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 2
Sưu tm và biên son
Câu 11: Tìm tp nghim ca bất phương trình
1
5
5
x

>


.
A.
( )
1; +∞
. B.
( )
;1−∞
. C.
( )
0; +∞
. D.
.
Câu 12: Trong không gian
Oxyz
, cho hai đim
( )
2; 3;0
A
,
( )
2;1; 6B −−
. Tìm ta đ trung điểm
M
của đoạn
AB
.
A.
( )
0; 1; 3M −−
. B.
( )
0; 2; 6M −−
. C.
( )
4;4; 6M
. D.
(
)
2;2; 3M
.
Câu 13: Trong không gian
Oxyz
, hình chiếu vuông góc của điểm
( )
2; 3;1M
trên mặt phng
( )
Oyz
là.
A.
( )
2; 3;0H
. B.
( )
0; 3;1K
. C.
( )
2;0;1I
. D.
( )
0;3;1J
.
Câu 14: H nguyên hàm ca hàm s
( )
2
2fx x= +
là.
A.
32
1
2
3
x xC++
. B.
3
2x xC++
. C.
3
1
2
3
x xC
++
. D.
32
1
3
xxC++
.
Câu 15: Tp nghim ca bất phương trình
4 2 12
33
xx+−
<
.
A.
(
)
0;2
. B.
. C.
10
2;
3



. D.
( )
;2−∞
.
Câu 16: Cho hai hàm s
( )
x
fx a=
( )
log
a
gx x=
. Vi
01a<<
, chn khẳng định đúng trong các
khẳng định sau.
A.
( )
fx
đồng biến và
( )
gx
nghịch biến trên tập xác định.
B.
( )
fx
( )
gx
nghịch biến trên tập xác định.
C.
(
)
fx
( )
gx
đồng biến trên tập xác định.
D.
( )
fx
nghịch biến và
( )
gx
đồng biến trên tập xác định.
Câu 17: Cho hàm s
( )
2
fx x=
. Giá tr ca
( )
2
1
dfxx
bng
A. 5. B. 3. C.
7
3
. D.
3
.
Câu 18: Cho
( ) ( )
24
22
d 1; d 4fx x fx x
−−
= =
∫∫
. Tính
( )
4
2
d
I fx x=
.
A.
3I
=
. B.
5I =
. C.
5I =
. D.
3I =
.
Câu 19: Din tích
S
ca hình phng gii hn bi đ th hàm s
2
yx=
, trc hoành
Ox
, các đưng thng
1, 2xx= =
.
A.
8
3
S =
. B.
7
3
S =
. C.
8S =
. D.
7S =
.
Câu 20: Trong không gian
Oxyz
, cho đim
( )
2;1; 3E −−
. Gi
,,MNP
lần lượt các hình chiếu vuông
góc của điểm
E
trên các trc
,,Ox Oy Oz
. Phương trình mặt phng
( )
MNP
.
A.
1
21 3
xyz
++ =
−−
. B.
1
2 13
xyz
+ +=
. C.
1
21 3
xy z
++ =
. D.
0
21 3
xyz
++ =
−−
.
Câu 21: Cho hàm s
( )
fx
tha mãn
( ) ( )
1
0
1 d 10x fxx
+=
( ) ( )
21 0 2ff−=
. Tính
( )
1
0
dfx x
.
A.
1I =
. B.
12I =
. C.
8I =
. D.
8I
=
.
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 3
Sưu tm và biên son
Câu 22: Cho hàm s
( )
y fx
=
đồ th m s như hình vẽ bên. Diện tích
S
ca hình phng phn tô
đậm trong hình v được tính theo công thức nào sau đây?
A.
( ) ( )
03
20
dd
S fx x fx x
= +
∫∫
.
B.
( )
( )
23
00
dd
S fx x fx x
= +
∫∫
.
C.
( )
3
2
dS fx x
=
.
D.
( ) ( )
00
23
ddS fx x fx x
= +
∫∫
.
Câu 23: Trong không gian, cho điểm
( )
1; 2; 3A
và mt phng
( )
: 20Pxz−+=
. Đưng thẳng đi qua
A
và vuông góc vi mt phng
( )
P
có phương trình là.
A.
1
2
3
xt
y
zt
=
=
=
. B.
1
2
3
xt
yt
z
=
= +
=
. C.
1
2
3
xt
y
zt
= +
=
=
. D.
1
2
3
xt
yt
z
= +
=
=
.
Câu 24: Tp nghim ca bất phương trình
( )
( )
2
11
22
log 4 1 log 4xx+<
.
A.
. B.
1
\
2



. C.
{ }
\0
. D.
( )
1
0; \
2

+∞


.
Câu 25: Tìm nguyên hàm của hàm s
( )
1
ln
fx
x xx
=
+
.
A.
( )
ln 1Fx x C= ++
. B.
( )
ln ln 1
Fx x C= −+
.
C.
( )
ln ln 1Fx x C= ++
. D.
( )
ln 1Fx x C= ++
.
Câu 26: Trong không gian
Oxyz
, cho hai mt phng
( )
: 2 2 10Px y z + −=
( )
:2 2 3 0Q x yz+ −−=
.
Gi
α
là góc gia hai mt phng
(
)
P
(
)
Q
. Tính
cos
α
.
A.
2
3
. B.
4
9
. C.
2
3
. D.
4
9
.
Câu 27: Bất phương trình
20.16 41.20 20.25 0
xxx
−+>
có tp nghim là.
A.
( ) (
)
; 1 1;S = −∞ +
. B.
( )
;1S = −∞
.
C.
( )
1;1S =
. D.
( ) ( )
; 1 2;S
= −∞ +
.
Câu 28: Trong không gian
Oxyz
, cho các điểm
( ) ( ) (
)
0;2;0 , 2;0;0 , 0;0; 1ABC
. Gi
( )
S
là mt cầu đi
qua bốn điểm
,,A BC
O
. Tính bán kính
R
ca mt cu
( )
S
.
A.
3
2
R =
. B.
3R =
. C.
1R =
. D.
2R =
.
Câu 29: H nguyên hàm của hàm s
( )
2
cosfx x=
.
A.
( )
cos 2
d
24
xx
fx x C=++
. B.
( )
sin 2
d
24
xx
fx x C=++
.
C.
( )
cos 2
d
24
xx
fx x C=−+
. D.
(
)
sin 2
d
24
xx
fx x C
=−+
.
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 4
Sưu tm và biên son
Câu 30: Tính tích phân
( )
1
2018
0
1d
Ix x= +
.
A.
2018
21
2018
I
=
. B.
0I =
. C.
2018
2I =
. D.
2019
21
2019
I
=
.
Câu 31: Trong không gian
Oxyz
, mt phng
( )
P
đi qua điểm
( )
2;1; 1M −−
và nhn
( )
3; 2;1n =
vectơ
pháp tuyến có phương trình là.
A.
3 2 70
x yz −+=
. B.
2 70xyz +−+=
.
C.
3 2 70
x yz −−=
. D.
2 70xyz +−−=
.
Câu 32: Cho
(
)
2
1
2f t dt
=
( )
2
1
1g x dx
=
. Tính
( ) ( )
2
1
23I x f x g x dx

=+−

.
A.
17
2
I =
. B.
7
2
I =
. C.
5
2
I =
. D.
11
2
I =
.
Câu 33: Din tích hình phng gii hn bi các đưng
1 ln x
y
x
+
=
,
0y =
,
1x =
xe=
2Sa b= +
, vi
,
ab
. Khi đó giá trị ca
22
ab+
.
A.
20
9
. B.
4
3
. C.
2
. D.
2
3
.
Câu 34: Trong không gian
Oxyz
cho vectơ
( )
4; 3; 2
u =
,
(
)
2;5;4
v =−−
( )
8; 6; 4w =

. Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
A.
v
w

cùng phương. B.
u
v
ngược hướng.
C.
u
v
cùng hướng. D.
u
w

cùng phương.
Câu 35: Trong không gian
Oxyz
, bán kính mt cu
( )
S
:
2 22
2 2 4 20xyz x yz+ + + −=
bng.
A.
22
. B.
2
. C.
22
. D.
4
.
Câu 36: Tp nghim ca bất phương trình
2
22
log log 2 0
xx+ −>
.
A.
( )
2;S = +∞
. B.
( )
1
0; 2;
4
S

= +∞


. C.
( )
1;S = +∞
. D.
(
)
1
; 2;
4
S

= −∞ +∞


.
Câu 37: Tính diện tích của hình phẳng
( )
H
giới hạn bởi các đường cong
3
12
yx x=−+
2
yx=
.
A.
793
4
S
=
. B.
397
4
S =
. C.
937
12
S =
. D.
343
12
S =
.
Câu 38: Tích phân
1
2
0
1
d
43
x
xx++
có kết quả là.
A.
13
ln
32
. B.
13
ln
22
. C.
13
ln
22
. D.
3
ln
2
.
Câu 39: Có bao nhiêu giá trị nguyên của
m
để bất phương trình
2
33
log logxm xm+≥
nghiệm đúng với
mi giá tr ca
( )
0;x +∞
.
A.
5
. B.
6
. C.
4
. D.
7
.
Câu 40: Một ô đang chạy thì người lái đp phanh. T thi điểm đó, ô tô chuyển động chm dần đều
vi vn tc
( ) 12 24 ( / )vt t m s=−+
trong đó
t
là khong thi gian tính bằng giây, kể t lúc bắt
đầu đạp phanh. Hi t lúc đạp phanh đến khi dng hẳn, ô tô di chuyển bao nhiêu mét?
A.
18m
. B.
15m
. C.
24m
. D.
20m
.
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 5
Sưu tm và biên son
Câu 41: Tính nguyên hàm của hàm s
( )
2
e
e2
x
x
fx=
+
.
A.
( )
(
)
2
e 4ln e 2
xx
Fx C= ++
. B.
(
)
(
)
ln e 2
x
Fx C
= ++
.
C.
( )
( )
e 2ln e 2
xx
Fx C= ++
. D.
( )
( )
e2lne2
xx
Fx C=+ ++
.
Câu 42: Cho hai điểm
( )
2; 1;0A
,
( )
3; 2;2B
và mt phng
( )
: 3 2 10Px y z + −=
. Gi
( )
Q
là mt
phẳng đi qua
,AB
và vuông góc vi mt phng
( )
P
. Tìm ta đ giao điểm
K
ca mt phng
( )
Q
vi trc hoành.
A.
( )
3;0;0K
. B.
( )
2;0;0K
. C.
( )
1;0;0K
. D.
( )
4;0;0K
.
Câu 43: Trong không gian
( )
Oxyz
, cho hai điểm
( )
2;2; 1A
,
( )
1; 4;3B
. Đưng thng
AB
ct mt
phng
( )
Ozx
ti đim
M
. Tìm t s
MA
MB
.
A.
1
3
. B.
1
2
. C.
2
. D.
3
.
Câu 44: Tp nghim ca bất phương trình
1
1
34
3
x
x
≤−
.
A.
( )
0;1
. B.
[
)
1;+∞
. C.
(
]
;0−∞
. D.
[ ]
0;1
.
Câu 45: Cho hàm s
( )
fx
liên tc trên
[
)
1; +∞
( )
3
0
1d 8fx x
+=
. Tính
( )
2
1
.dI xf x x=
.
A.
1
4
I =
. B.
4I =
. C.
4I =
. D.
1
4
I =
.
Câu 46: Tìm s nghiệm nguyên của bất phương trình
25.2 5 25 10
xx x
+>+
.
A.
2
. B.
1
. C.
3
. D.
0
.
Câu 47: Trong không gian
Oxyz
, cho mt cu
( )
2 22
: 6 4 2 11 0Sx y z x y z++ −=
điểm
( )
0; 2;1M
. Gi
1
d
,
2
d
,
3
d
ba đường thẳng thay đổi không đồng phẳng cùng đi qua điểm
M
và lần lượt ct mt cu
( )
S
tại điểm th hai là
A
,
B
,
C
. Th tích ca t din
MABC
đạt
giá tr ln nht bng
A.
50 3
9
. B.
1000 3
27
. C.
100 3
9
. D.
500 3
27
.
Câu 48: Cho hàm s
( )
fx
có đồ th
( )
y fx
=
ct trc
Ox
ti ba điểm có hoành độ
abc<<
như hình
v. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A.
( ) ( ) ( )
fa fb fc>>
.
B.
( ) ( ) (
)
fc fa fb
>>
.
C.
( ) ( ) ( )
fc fb fa>>
.
D.
( ) ( )
( )
fb fa fc>>
.
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 6
Sưu tm và biên son
Câu 49: Xét hàm số
( )
fx
liên tục trên đoạn
[ ]
0;1
và thỏa mãn điều kin
( )
( )
[ ]
22
4 3 1 1 , 0;1xf x f x x x+ = ∀∈
. Tích phân
( )
1
0
dI fx x=
bng
A.
20
I
π
=
. B.
6
I
π
=
. C.
4
I
π
=
. D.
16
I
π
=
.
Câu 50: Tìm s nghiệm nguyên của bất phương trình
( )( )
22
2 49 51
2021 2021 1 8 0
xx xx
xx
−+ ++
−− <
.
A.
7
. B.
5
. C.
6
. D.
8
.
---------- HT ----------
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 7
Sưu tm và biên son
NG DN GII CHI TIT
Câu 1: Trong không gian vi h trc ta đ
Oxyz
, cho điểm
( )
1;3;4A
và mt phng
( )
:2 2 8 0P x yz +−=
. Khong cách t
A
đến
( )
P
bng.
A.
7
3
. B.
0
. C.
5
3
. D.
8
3
.
Li gii
Ta có
(
)
( )
( )
2
22
2.1 2.3 4 8
8
,
3
2 21
dAP
+−
= =
+− +
.
Câu 2: Tìm điều kiện xác định ca hàm s
( )
2
13
3
( ) log log 2
fx x

=

.
A.
11x−< <
. B.
22x <<
. C.
22x ≤≤
. D.
11x−≤
.
Li gii
Hàm s xác định khi:
( )
2
2
2
3
20
22
22
11
log 2 0
11
21
x
x
x
x
x
x
x
−>
<<
<<

⇔⇔⇔<<

−>
−< <
−>
.
Câu 3: Tích phân
1
ln d
e
I x xx=
bng.
A.
2
1
4
e
I
=
. B.
2
2
2
e
I
=
. C.
. D.
1
2
I =
.
Li gii
Đặt
2
d
d
ln
dd
2
x
u
ux
x
v xx
x
v
=
=

=
=
.
2 2 2 22 2
1
11
ln 1 1
d
2 2 24 2 4 4
ee
e
xx x ex ee e
Ix
−+
= =−= =
.
Câu 4: Cho hàm s
( )
2
.2021
xx
fx e=
. Chn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A.
( )
1 2 ln 2021 0fx x x>⇔ + >
. B.
( )
2
1 ln 2021 0fx x>⇔ >
.
C.
( )
2
1 ln 2021 0fx x x>⇔ + >
. D.
( )
2
1 1 ln 2021 0fx x>⇔+ >
.
Li gii
Ta có
( )
( )
22
2
1 .2021 1 ln .2021 ln1 ln 2021 0
xx xx
fx e e x x>⇔ >⇔ > + >
.
Câu 5: Trong không gian
Oxyz
, cho đường thng
11
:
2 12
x yz
d
−+
= =
−−
. Điểm nào dưới đây không
thuộc đường thng
d
?
A.
( )
1;1; 2P
. B.
( )
3; 1; 3M −−
. C.
( )
1; 0; 1N
. D.
( )
3; 2;3Q
.
Li gii
Đim
( )
1;1; 2P
không thuộc đường thng
d
11 1 21
2 12
−− +
=
−−
.
Câu 6: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 8
Sưu tm và biên son
A.
( )
( )
( )
( )
d
d
d
fx x
fx
x
gx
gx x
=
. B.
(
)
(
)
(
)
(
)
. d d. d
fxgxx fxxgxx=
∫∫
.
C.
1
d,
1
x
xx C
α
α
α
α
+
= + ∀∈
+
. D.
(
)
d 01
ln
x
x
a
ax C a
a
= + <≠
.
Li gii
Mệnh đề
( )
d 01
ln
x
x
a
ax C a
a
= + <≠
là mệnh đề đúng.
Câu 7: Trong không gian vi h trc ta đ
Oxyz
, viết phương trình mặt cu tâm
( )
2 ; 3; 0A
đi qua
điểm
( )
1; 4; 3B
.
A.
(
) (
)
22
2
2 3 16
x yz ++ +=
. B.
( ) ( )
22
2
2 3 50x yz ++ +=
.
C.
(
)
( )
22
2
2 3 13x yz
++ +=
. D.
( ) ( )
22
2
2 3 11x yz ++ +=
.
Li gii
Mt cu có bán kính
( ) ( ) ( )
2 22
1 2 4 3 3 0 11R AB= = +−+ + =
.
Phương trình mặt cu là:
( ) ( )
22
2
2 3 11x yz ++ +=
.
Câu 8:
(
)
sin cos 2021Fx x x x= ++
là một nguyên hàm của hàm s nào trong các hàm s sau?
A.
( )
sinfx x x=
. B.
(
)
cosfx x x
=
. C.
( )
sinfx x x=
. D.
( )
cosfx x x=
.
Li gii
Ta có:
( ) ( )
f x dx F x=
( ) (
) ( )
sin cos 2021fx Fx x x x
= = ++
( )
sin cos sin cosfx xxx xxx =+ −=
.
Câu 9: Trong không gian vi h trc tọa độ
Oxyz
, cho mt phng
( )
P
có phương trình
3 10yz+=
. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến ca
( )
P
?
A.
( )
1
1;3; 1
n =

. B.
( )
2
3; 1;1n =

. C.
( )
3
0;3; 1n =

. D.
( )
4
0;3;1n =

.
Li gii
T phương trình mặt phng
( )
P
3 10yz+=
, ta có được một vectơ pháp tuyến ca
( )
P
( )
3
0;3; 1n =

.
Câu 10: Tp nghim ca bất phương trình
( )
23
log 2 3 0x
−≥
.
A.
53
;
2

+∞

. B.
[
)
2;+∞
. C.
53
;
2

−∞

. D.
3
;2
2


.
Li gii
Do
02 31<− <
, bất phương trình đã cho tương đương với
( )
0
3
02 3 2 3 02 31 2
2
x xx< −≤ < −≤ <
.
Câu 11: Tìm tp nghim ca bất phương trình
1
5
5
x

>


.
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 9
Sưu tm và biên son
A.
(
)
1;
+∞
. B.
. C.
( )
0; +∞
. D.
.
Li gii
Ta có:
1
55511
5
x
x
xx

> >−>⇔ <


.
Vậy tập nghim ca bất phương trình đã cho là
( )
;1
−∞
.
Câu 12: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( )
2; 3;0A
,
( )
2;1; 6
B −−
. Tìm ta đ trung điểm
M
của đoạn
AB
.
A.
( )
0; 1; 3
M −−
. B.
( )
0; 2; 6M −−
. C.
( )
4;4; 6
M
. D.
( )
2;2; 3M
.
Li gii
Tọa độ trung điểm
M
ca đon
AB
2 ( 2)
2
0
( 3) 1
1
2
3
0 ( 6)
2
M
M
MM
M
M
x
x
yy
z
z
+−
=
=
−+

= ⇔=


=
+−
=
.
Vậy tọa độ trung điểm
M
của đoạn
AB
( )
0; 1; 3M −−
.
Câu 13: Trong không gian
Oxyz
, hình chiếu vuông góc ca đim
( )
2; 3;1M
trên mt phng
( )
Oyz
là.
A.
( )
2; 3;0H
. B.
( )
0; 3;1K
. C.
. D.
.
Li gii
Khi chiếu vuông góc điểm
M
lên mặt phng
(
)
Oyz
ta có hoành độ bằng 0, tung độcao độ gi
nguyên. Suy ra hình chiếu vuông góc của điểm
( )
2; 3;1M
trên mặt phng
( )
Oyz
( )
0; 3;1K
.
Câu 14: H nguyên hàm ca hàm s
( )
2
2
fx x= +
là.
A.
32
1
2
3
x xC++
. B.
3
2
x xC
++
.
C.
3
1
2
3
x xC++
. D.
32
1
3
xxC++
.
Li gii
Ta có
( )
23
1
2d 2
3
x x x xC+ = ++
.
Câu 15: Tp nghim ca bất phương trình
4 2 12
33
xx+−
<
.
A.
( )
0;2
. B.
. C.
. D.
.
Li gii
Ta có:
4 2 12
3 3 4 2 12 5 10 2
xx
x xx x
+−
< ⇔+<⇔<<
.
Vậy tập nghim ca bất phương trình đã cho là
.
Câu 16: Cho hai hàm s
( )
x
fx a=
( )
log
a
gx x=
. Vi
, chn khẳng định đúng trong các
khẳng định sau.
A.
( )
fx
đồng biến và
( )
gx
nghịch biến trên tập xác định.
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 10
Sưu tm và biên son
B.
( )
fx
( )
gx
nghịch biến trên tập xác định.
C.
( )
fx
( )
gx
đồng biến trên tập xác định.
D.
( )
fx
nghịch biến và
( )
gx
đồng biến trên tập xác định.
Li gii
Do cơ số
a
thỏa mãn
nên hai hàm số
( )
x
fx a=
( )
log
a
gx x=
đều nghch biến trên
tập xác định của chúng.
Câu 17: Cho hàm s
( )
2
fx x=
. Giá tr ca
( )
2
1
dfx x
bng.
A. 5. B. 3. C.
7
3
. D.
3
.
Li gii
Ta có
(
) ( ) ( ) ( )
2
2
22
1
1
d 2 1 2 1 413f x x fx f f
= = = = −=
.
Câu 18: Cho
( ) (
)
24
22
d 1; d 4fx x fx x
−−
= =
∫∫
. Tính
( )
4
2
dI fx x=
.
A.
3I =
. B.
5I
=
. C.
5I =
. D.
3I =
.
Li gii
Ta có
( ) ( ) ( )
442
2 22
d d d 41 5I fx x fx x fx x
−−
= = =−−=
∫∫
.
Câu 19: Din tích
S
ca hình phng gii hn bi đ th hàm s
2
yx
=
, trc hoành
Ox
, các đưng thng
1, 2
xx
= =
.
A.
8
3
S =
. B.
7
3
S =
. C.
8S =
. D.
7
S =
.
Li gii
Din tích hình phng
2
22
3
22
11
1
7
dd
33
x
S x x xx

= = = =


∫∫
.
Câu 20: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
2;1; 3E −−
. Gi
lần lượt các hình chiếu vuông
góc của điểm
E
trên các trc
,,
Ox Oy Oz
. Phương trình mặt phng
.
A.
1
21 3
xyz
++ =
−−
. B.
1
2 13
xyz
+ +=
. C.
1
21 3
xy z
++ =
. D.
0
21 3
xyz
++ =
−−
.
Li gii
lần lượt là hình chiếu ca
E
trên các trc
,,Ox Oy Oz
, do đó
( ) ( ) ( )
2;0;0 , 0;1;0 , 0;0; 3M NP−−
.
Vậy phương trình mặt phng
1
21 3
xyz
++ =
−−
.
Câu 21: Cho hàm s
( )
fx
tha mãn
( ) ( )
1
0
1 d 10x fxx
+=
( ) ( )
21 0 2ff−=
. Tính
.
A.
1I =
. B.
12I =
. C.
8I =
. D.
8I =
.
Li gii
Áp dng công thc tích phân tng phn ta có
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 11
Sưu tm và biên son
( )
(
)
(
) (
) (
)
11
1
0
00
1 d 1| d
x f x x x fx fx x
+ =+−
∫∫
( ) ( ) (
)
1
0
10 2 1 0 d
f f fx x⇔=
(
)
1
0
d8fx x⇔=
.
Câu 22: Cho hàm s
đ th hàm s như hình vẽ bên. Diện tích
S
ca hình phng phn tô đm
trong hình v được tính theo công thức nào sau đây?
A.
( ) ( )
03
20
ddS fx x fx x
= +
∫∫
. B.
( ) ( )
23
00
ddS fx x fx x
= +
∫∫
.
C.
( )
3
2
dS fx x
=
. D.
( )
( )
00
23
ddS fx x fx x
= +
∫∫
.
Li gii
Ta thấy
( ) (
) ( )
( )
0 3 23
20 0 0
dd dd
S fx x fx x fx x fx x
=−+= +
∫∫∫∫
.
Câu 23: Trong không gian, cho điểm
( )
1; 2; 3A
và mt phng
(
)
: 20
Pxz−+=
. Đưng thẳng đi qua
A
vuông góc vi mt phng
( )
P
có phương trình là.
A.
1
2
3
xt
y
zt
=
=
=
. B.
1
2
3
xt
yt
z
=
= +
=
. C.
. D
1
2
3
xt
yt
z
= +
=
=
.
Li gii
( )
( )
( )
: 2 0 1; 0; 1
P
Pxz n−+= =

Gi
( )
d
là đường thẳng đi qua
và vuông góc vi mt phng
( )
P
( ) ( )
( )
1; 0; 1 .
dP
un⇒==
 
Phương trình tham số của đường thng
( )
d
1
2, .
3
xt
yt
zt
= +
=
=
Câu 24: Tp nghim ca bất phương trình
( )
( )
2
11
22
log 4 1 log 4xx
+<
.
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 12
Sưu tm và biên son
A.
. B.
1
\
2



. C.
{
}
\0
. D.
( )
1
0; \
2

+∞


.
Li gii
Ta có
( )
( )
22
2
11
22
1
4 14 4 4 10
log 4 1 log 4
2
40 0
0
x
x x xx
xx
xx
x

+> +>
+<

>>

>
(
)
1
0; \
2
x

+∞


.
Câu 25: Tìm nguyên hàm của hàm s
( )
1
ln
fx
x xx
=
+
.
A.
( )
ln 1Fx x C= ++
. B.
( )
ln ln 1Fx x C
= −+
.
C.
( )
ln ln 1Fx x C= ++
. D.
( )
ln 1Fx x C= ++
.
Li gii
Ta có
( )
(
) ( )
( )
111
d d d d ln 1 ln ln 1
ln ln 1 ln 1
fx x x x x x C
x xx x x x
= = = + = ++
+ ++
∫∫
.
Câu 26: Trong không gian
Oxyz
, cho hai mt phng
( )
: 2 2 10Px y z + −=
( )
:2 2 3 0Q x yz+ −−=
. Gi
α
là góc gia hai mt phng
( )
P
( )
Q
. Tính
cos
α
.
A.
2
3
. B.
4
9
. C.
2
3
. D.
4
9
.
Li gii
Mt phng
( )
: 2 2 10Px y z + −=
có VTPT là
( )
( )
1; 2;2
P
n =

.
Mt phng
( )
:2 2 3 0Q x yz+ −−=
có VTPT là
( )
( )
2;2; 1
Q
n =

.
Gi
α
là góc gia hai mt phng
( )
P
( )
Q
.
Khi đó
( )
( )
(
)
(
)
( )
( )
( )
.
242
4
cos cos ,
9
9. 9
.
PQ
PQ
PQ
nn
nn
nn
α
−−
= = = =
 
 
 
.
Câu 27: Bất phương trình
20.16 41.20 20.25 0
xxx
−+>
có tp nghim là.
A.
( ) ( )
; 1 1;S = −∞ +
. B.
( )
;1S = −∞
.
C.
( )
1;1S =
. D.
(
) ( )
; 1 2;S = −∞ +
.
Li gii
Ta có
20.16 41.20 20.25 0
xxx
−+>
2
55
20 41. 20. 0
44
xx
 
⇔− + >
 
 
55
1
44
1
54
45
x
x
x
x

>

>

⇔⇔
<−

<


.
Câu 28: Trong không gian
Oxyz
, cho các điểm
( ) ( ) ( )
0;2;0 , 2;0;0 , 0;0; 1ABC
. Gi
( )
S
là mt cu
đi qua bốn điểm
,,ABC
O
. Tính bán kính
R
ca mt cu
( )
S
.
A.
3
2
R =
. B.
3R =
. C.
1R =
. D.
2R =
.
Li gii
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 13
Sưu tm và biên son
Gi s
( )
S
có dng
2 22
222 0x y z ax by cz d+ + +=
Ta có
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
0;2;0
44
1
2;0;0
44
1
21
0;0; 1
2
0
0;0;0
0
a
AS
bd
b
BS
ad
cd
c
CS
d
OS
d
=
+=
=
+=

⇔⇔

+=
=
−∈


=
=
.
Do đó
222
3
2
R abcd= + + −=
.
Câu 29: H nguyên hàm của hàm s
( )
2
cosfx x=
.
A.
(
)
cos 2
d
24
xx
fx x C=++
. B.
(
)
sin 2
d
24
xx
fx x C=++
.
C.
( )
cos 2
d
24
xx
fx x C
=−+
. D.
( )
sin 2
d
24
xx
fx x C=−+
.
Li gii
Ta có
( )
2
cos 2 1 sin 2
d cos d d
2 42
x xx
f x x xx x C
+
= = = ++
∫∫
.
Câu 30: Tính tích phân
( )
1
2018
0
1dIx x= +
.
A.
2018
21
2018
I
=
. B.
0I =
. C.
. D.
2019
21
2019
I
=
.
Li gii
Ta có
( )
( )
1
2019
1
2019
2018
0
0
1
21
1d
2019 2019
x
Ix x
+
=+= =
.
Câu 31: Trong không gian
Oxyz
, mt phng
( )
P
đi qua điểm
( )
2;1; 1M −−
và nhn
( )
3; 2;1n =
vectơ pháp tuyến có phương trình là.
A.
3 2 70x yz −+=
. B.
2 70xyz +−+=
.
C.
3 2 70x yz −−=
. D.
2 70xyz +−−=
.
Li gii
Vì mt phng
( )
P
đi qua điểm
( )
2;1; 1M −−
và nhn
( )
3; 2;1n =
là vectơ pháp tuyến nên có
phương trình là
( ) ( ) ( )
3 2 2 1 1 0 3 2 70x y z x yz + + + + = −+=
Câu 32: Cho
( )
2
1
2f t dt
=
( )
2
1
1g x dx
=
. Tính
( ) ( )
2
1
23I x f x g x dx
=+−


.
A.
17
2
I =
. B.
7
2
I =
. C.
5
2
I =
. D.
11
2
I
=
.
Li gii
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 22
2
1 11
1
17
23 2 3
22
x
I x f x g x dx f t dt g x
−−
=+− =+ =


∫∫
.
Câu 33: Din tích hình phng gii hn bi các đưng
1 ln x
y
x
+
=
,
0y =
,
1x =
xe=
2Sa b= +
, vi
,ab
. Khi đó giá trị ca
22
ab+
.
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 14
Sưu tm và biên son
A.
20
9
. B.
4
3
. C.
2
. D.
2
3
.
Li gii
Ta có
[ ]
1 ln 0, 1;x xe+ > ∀∈
.
Din tích hình phng là
( ) ( ) ( )
1
3
2
1
11
1 ln 2 4 2
.d 1 ln .d 1 ln 1 ln 2
3 33
e
ee
x
S xx x x
x
+
= =+ += + =
∫∫
.
Do đó
42
,
33
ab= =
, suy ra
22
20
9
ab
+=
.
Câu 34: Trong không gian
Oxyz
cho vectơ
( )
4; 3; 2u =
,
( )
2;5;4v =−−
( )
8; 6; 4w =

. Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
A.
v
w

cùng phương. B.
u
v
ngược hướng.
C.
u
v
cùng hướng. D.
u
w

cùng phương.
Li gii
Xét
( )
2;5;4v =−−
( )
8; 6; 4w =

254
864
−−−
≠≠
n
v
w

không cùng phương, phương
án A. sai.
Xét
( )
4; 3; 2u =
( )
2;5;4v =−−
432
254
≠≠
−−−
nên
u
v
không cùng phương, do đó
u
v
không ngược hướng, không cùng hướng, phương án B. C. sai.
Xét
( )
4; 3; 2u =
( )
w 8; 6; 4=

432
864
= =
nên
u
w

cùng phương, phương án D. đúng.
Câu 35: Trong không gian
Oxyz
, bán kính mt cu
( )
S
:
2 22
2 2 4 20xyz x yz+ + + −=
bng.
A.
22
. B.
2
. C.
22
. D.
4
.
Li gii
Ta có mt cu
( )
S
có tâm
( )
1; 1;2I
( )
2
22
1 1 2 2 22R = +− + + =
.
Câu 36: Tp nghim ca bất phương trình
2
22
log log 2 0xx+ −>
A.
(
)
2;S = +∞
. B.
( )
1
0; 2;
4
S

= +∞


.
C.
( )
1;S
= +∞
. D.
( )
1
; 2;
4
S

= −∞ +∞


.
Li gii
T đề bài ta có
2
2
22
2
0
0
1
0
1
log 2
log log 2 0
4
4
2
log 1
2
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
>
>
<<

<−
+ −>
<


>
>
>
.
Vậy bất phương trình trên có tập nghim là
( )
1
0; 2;
4
S

= +∞


.
Câu 37: Tính diện tích của hình phẳng
( )
H
giới hạn bởi các đường cong
3
12yx x
=−+
.
A.
. B.
. C.
. D.
.
Lời giải
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 15
Sưu tm và biên son
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị
3 2 32
0
12 12 0 3
4
x
x x x xx x x
x
=
−+ = = =
=
.
Diện tích của hình phẳng
( )
H
( ) ( )
04 0 4
32 32 32 32
30 3 0
12 12 12 12
S x x x dx x x x dx x x x dx x x x dx
−−
= −− + −− = −− + −−
∫∫
04
4 32 4 32
30
1 1 1 1 99 160 937
66
43 43 4 312
x xx x xx

= −− + −− =+=


.
Câu 38: Tích phân
1
2
0
1
d
43
x
xx++
có kết quả là.
A.
13
ln
32
. B.
13
ln
22
. C.
. D.
3
ln
2
.
Lời giải
Ta có:
1
2
0
1
d
43
x
xx++
( )( )
1
0
1
d
13
x
xx
=
++
1
0
11 1
d
2 13
x
xx

=

++

1
0
1 1 13
ln ln
2 3 22
x
x
+
= =
+
.
Câu 39: Có bao nhiêu giá trị nguyên của
m
để bất phương trình
2
33
log logxm xm+≥
nghiệm đúng với
mi giá tr ca
( )
0;x +∞
.
A.
5
. B.
6
. C.
4
. D.
7
.
Li gii
Đặt
. Vi mi
( )
0;x +∞
ta có
t
.
Bất phương trình
2
33
log logxm xm+≥
tr thành
2
0t mt m+ −≥
.
2
33
log logxm xm
+≥
nghiệm đúng với mi giá tr ca
( )
0;x +∞
2
0,t mt m t + ∀∈
2
0
40
4 0.
mm
m
∆≤
⇔+
⇔−
Vậy
{ }
0;1;2;3;4m −−
.
Câu 40: Một ô đang chạy thì người lái đp phanh. T thi điểm đó, ô tô chuyển động chm dần đều
vi vn tc
( ) 12 24 ( / )vt t m s=−+
trong đó
t
là khong thi gian tính bằng giây, kể t lúc bắt
đầu đạp phanh. Hi t lúc đạp phanh đến khi dng hẳn, ô tô di chuyển bao nhiêu mét?
A.
18m
. B.
15m
. C.
24m
. D.
20m
.
Li gii
Ta có khi ô tô dng hn
( ) 0 12 24 0 2
vt t t= ⇔− + = =
.
Do đó từ lúc đạp phanh đến khi dng hẳn ô tô đi được quãng đường là
( ) ( )
2
0
12 24 24S t dt m=−+ =
.
Câu 41: Tính nguyên hàm của hàm s
( )
2
e
e2
x
x
fx=
+
.
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 16
Sưu tm và biên son
A.
( )
( )
2
e 4ln e 2
xx
Fx C
= ++
. B.
( )
(
)
ln e 2
x
Fx C= ++
.
C.
( )
( )
e 2 ln e 2
xx
Fx C= ++
. D.
( )
(
)
e2lne2
xx
Fx C=+ ++
.
Li gii
Ta có
(
)
(
)
2
e 2e 2e 2e
d e d e 2ln e 2
e2 e2
xxx x
x xx
xx
Fx x x C

+−
= = = ++

++

∫∫
.
Câu 42: Cho hai điểm
(
)
2; 1;0
A
,
( )
3; 2;2B
và mt phng
( )
: 3 2 10Px y z + −=
. Gi
( )
Q
là mt
phẳng đi qua
,
AB
và vuông góc vi mt phng
( )
P
. Tìm ta đ giao điểm
K
ca mt phng
( )
Q
vi trc hoành.
A.
( )
3;0;0K
. B.
( )
2;0;0K
. C.
( )
1;0;0
K
. D.
( )
4;0;0
K
.
Li gii
Ta có
( )
1; 1;2AB
=

.
Vectơ pháp tuyến ca mt phng
( )
P
:
( )
( )
1; 3;2
P
n =

.
Vectơ pháp tuyến ca mt
( )
Q
được xác định
(
) (
)
( )
, 4;0;2
QP
n n AB

= =

  
.
Phương trình mặt phng
( )
Q
2 40
xz−−=
.
Giao điểm ca mt phng
( )
Q
vi trc hoành là
(
)
2;0;0
K
.
Câu 43: Trong không gian
( )
Oxyz
, cho hai điểm
( )
2;2; 1A
,
(
)
1; 4;3B
. Đưng thng
AB
ct mt
phng
( )
Ozx
ti đim
M
. Tìm t s
MA
MB
.
A.
1
3
. B.
1
2
. C.
2
. D.
3
.
Li gii
Cách 1: Đưng thng
AB
qua
( )
2;2; 1A
, có vtcp
(
)
1; 6;4
AB −−

.
phương trình
( )
2 21
: 2 ;2 6 ; 1 4
1 64
xyz
AB M t t t
−+
= = −+
−−
.
Phương trình
( )
:0Oz x y =
. Điểm
( )
1 51
2 6 0 ;0;
3 33
M Ozx t t M

= ⇔=


.
( )
22
2
22
2
1 4 53
14
2
;2;
3 33
33
1
2
28
2 8 2 53
; 4;
4
33
3 33
MA
MA
MA
MB
MB
MB


= + +− =
=




⇒=




=−−

= +− + =






.
Cách 2:
AB
ct
( )
Ozx
ti đim
M
( )
( )
( )
( )
d,
2
1
42
d,
A Ozx
MA
MB
B Ozx
⇒= ==
.
Câu 44: Tp nghim ca bất phương trình
1
1
34
3
x
x
≤−
.
A.
( )
0;1
. B.
[
)
1;+∞
. C.
(
]
;0−∞
. D.
[ ]
0;1
.
Li gii
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 17
Sưu tm và biên son
Ta có
(
)
2
1
13
3 4 3 4 3 4.3 3 0 1 3 3 0 1
33
x x xx x
xx
x
≤− ≤− + ≤⇔
.
Vậy tập nghim ca bất phương trình đã cho là
[
]
0;1S =
.
Câu 45: Cho hàm s
( )
fx
liên tc trên
[
)
1; +∞
(
)
3
0
1d 8
fx x+=
. Tính
( )
2
1
.dI xf x x=
.
A.
1
4
I =
. B.
4I
=
. C.
4I =
. D.
1
4
I =
.
Li gii
Đặt
1xt+=
, ta có
2
1, d 2 dx t x tt=−=
.
Đổi cn
01xt= ⇒=
32xt
=⇒=
.
Do đó
( )
( ) ( )
3 22
0 11
1d82.dt8 .d4
f x x tf t tf t t
+= = =
∫∫
.
Vậy
( )
2
1
. d4I xf x x= =
.
Câu 46: Tìm s nghiệm nguyên của bất phương trình
25.2 5 25 10
xx x
+>+
.
A.
2
. B.
1
. C.
3
. D.
0
.
Li gii
Ta có
25.2 5 25 10
xx x
+>+
(
)
(
)
25 2 1 5 1 2 0
x xx
−+ >
( )
( )
2 1 25 5 0
xx
−>
2 10
25 5 0
2 10
25 5 0
x
x
x
x
−>
−>
−<
−<
0
2
0
2
x
x
x
x
>
<
<
>
02x⇔<<
.
Vậy phương trình có một nghiệm nguyên.
Cách khác:
25.2 5 25 10
xx x
+>+
( ) ( )
25 2 1 5 1 2 0
x xx
−+ >
( )( )
( )( ) ( )
2
2 1 5 5 0 0 2 0 0; 2
xx
x xx >⇔ >⇔
.
Câu 47: Trong không gian
Oxyz
, cho mt cu
( )
2 22
: 6 4 2 11 0Sx y z x y z++ −=
điểm
( )
0; 2;1M
. Gi
1
d
,
2
d
,
3
d
ba đưng thẳng thay đổi không đồng phẳng cùng đi qua điểm
M
và lần lượt ct mt cu
( )
S
ti điểm th hai là
A
,
B
,
C
. Th tích ca t din
MABC
đạt
giá tr ln nht bng.
A.
50 3
9
. B.
1000 3
27
. C.
100 3
9
. D.
500 3
27
.
Li gii
Ta thấy
( )
MS
.
Mt cu
( )
S
có tâm
và bán kính
2 22
3 2 1 11 5R = + ++ =
.
Gi
H
,
K
lần lượt là hình chiếu ca
M
,
I
lên mt phng
( )
ABC
thì
K
là tâm đường tròn
ngoi tiếp tam giác
ABC
.
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 18
Sưu tm và biên son
Đặt
( )
( )
,d d I ABC IK= =
.
Ta có
( )
( )
,d M ABC MH MK MI IK R d= +=+
.
Gi
r
là bán kính đường tròn ngoi tiếp tam giác
ABC
.
Gi
E
,
F
là hình chiếu ca
A
K
lên cạnh
BC
.
Ta có
( ) ( )
( ) ( )
22
4
3
2
1
.. .
2
1 16 33
33 .
3 34 4
ABC
S AE BC AE FC AK KF FC r KF r KF
r
r KF r KF r
= = ≤+ =+

=+ −≤ =


Du bng xảy ra khi và chỉ khi
ABC
đều.
Ta có
( )
( )
(
) ( )
( )
( ) ( )
2 22
3
2
3
1 1 33 3
., . . .
3 3 44
3 3 4 8 3 1000 3
22 .
8 8 3 27 27
MABC ABC
V d M ABC S R d r R d R d
R
Rd R d R
= ≤+ = +

= + −≤ = =


Du bng xảy ra khi và chỉ khi
MABC
là hình chóp tam giác đều có đường cao là
4
3
R
.
Câu 48: Cho hàm s
( )
fx
có đồ th
( )
y fx
=
ct trc
Ox
tại ba điểm có hoành độ
như hình
v. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 19
Sưu tm và biên son
A.
( ) ( ) ( )
fa fb f c>>
. B.
( ) ( ) ( )
fc fa fb>>
.
C.
( ) ( ) ( )
fc fb fa>>
. D.
( ) ( ) ( )
fb fa fc>>
.
Li gii
Gi
1
S
là din tích hình phng gii hn bi
( )
, 0, ,
y f x y x ax b
= = = =
;
2
S
là din tích hình
phng gii hn bi
( )
, 0, ,y f x y x bx c
= = = =
.
T đồ th ta có
12
0 SS
<<
(
)
(
)
0d d
bc
ab
fx x fx x
′′
⇒< <
∫∫
(
) ( )
0dd
bc
ab
fxx fxx
′′
<− <
∫∫
(
) ( )
( ) ( ) (
) ( )
( )
0
fb fa fc fb fb fa fc<+<−⇒<<
.
Câu 49: Xét hàm số
( )
fx
liên tục trên đoạn
[ ]
0;1
và thỏa mãn điều kin
(
)
( )
[
]
22
4 3 1 1 , 0;1xf x f x x x
+ = ∀∈
. Tích phân
(
)
1
0
d
I fx x=
bng.
A.
20
I
π
=
. B.
6
I
π
=
. C.
4
I
π
=
. D.
16
I
π
=
.
Li gii
Theo gi thiết ta có
( )
( )
[ ]
(
)
22
4 3 1 1 , 0;1 *xf x f x x x
+ = ∀∈
.
Lấy tích phân hai vế ca
( )
*
ta được
( )
(
)
11 1
22
00 0
4 d 31 d 1 dxf x x f x x x x+ −=
∫∫
( )
( )
( )
11 1
22 2
00 0
2 d 3 1 d1 1 dfx x f x x x x −=
∫∫
( ) ( )
2
111
2
1
000
2 d3 d 1 d
tx
ux
ft t fu u x x
=
=
⇔+ =
∫∫
( )
11
2
00
5 d 1dfx x x x⇔=
∫∫
.
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 20
Sưu tm và biên son
Đặt
sin , ;
22
x tt
ππ

= ∈−


d cos dx tt
⇒=
.
Đổi cn:
0 0; 1
2
x tx t
π
=⇒= =⇒=
.
Suy ra
1
2 22
2
2 22
0 0 00
0
1 cos 2 1 sin 2
1 d 1 sin costdt= cos tdt= dt
2 24 4
tt
xx t t
π ππ
π
π
+

−= =+ =


∫∫
.
Vậy
( )
1
0
d
20
fx x
π
=
.
Câu 50: Tìm s nghiệm nguyên của bất phương trình
( )
(
)
22
2 49 51
2021 2021 1 8 0
xx xx
xx
−+ ++
−− <
.
A.
7
. B.
5
. C.
6
. D.
8
.
Li gii
Ta có
( )( )
22
2 49 51
2021 2021 1 8 0
xx xx
xx
−+ ++
−− <
22
2 49 51 2
2021 2021 9 8 0
xx xx
xx
−+ ++
+ +<
22
2 49 2 51 2
2021 2 4 9 2021 5 1
xx xx
xx xx
−+ ++
+ +< +++
( ) ( )
22
2 49 51f x x fx x +< ++
, vi
( )
2021
t
ft t= +
.
( )
2021 ln 2021 1 0,
t
ft t
= + > ∀∈
, suy ra hàm số
( )
ft
đồng biến trên
.
Do vậy
( ) ( )
2 2 22
2 49 51 2 49 51fxx fxx xx xx+< ++ +<++
2
9 80xx +<
18x⇔< <
. Vì
x
nguyên nên suy ra
{
}
2,3, 4,5,6,7
x
.
Vậy bất phương trình có 6 nghiệm nguyên.
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 1
Sưu tm và biên son
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II
MÔN: TOÁN 12 ĐỀ S: 03
Câu 1: Cho hình phng
(
)
D
được gii hn bi các đưng
0x =
,
1x =
,
0y
=
21yx= +
. Th tích
V
ca khi tròn xoay to thành khi quay hình phng
( )
D
xung quanh trc
Ox
được tính theo
công thức nào sau đây?
A.
1
0
2 1dV xx= +
. B.
1
0
2 1dV xx=π+
. C.
( )
1
0
2 1dV xx=π+
. D.
(
)
1
0
2 1dV xx= +
.
Câu 2: Trong không gian
Oxyz
, điểm nào sau đây không thuộc mt phng
( )
: 10Pxyz+ +−=
.
A.
( )
0;0;0O
. B.
( )
1;0;0
I
. C.
( )
0;1; 0J
. D.
(
)
0;0;1
K
.
Câu 3: Cho hai s thc
a
<
b
tùy ý,
( )
Fx
là mt nguyên hàm ca hàm s
( )
fx
trên tp
. Mệnh đề
nào dưới đây là đúng?
A.
( ) (
)
( )
d
b
a
f x x Fa Fb=
. B.
( ) ( ) ( )
d
b
a
fx x fb fa=
.
C.
( ) ( )
( )
d
b
a
f x x Fb Fa=
. D.
( ) ( ) ( )
d
b
a
f x x Fb Fa= +
.
Câu 4:
Công thc tính din tích
S
ca hình phng gii hn bi đ th hàm s
( )
fx
liên tc trên đon
[ ]
;ab
, trc hoành và hai đưng thng
, x ax b
= =
A.
( )
d
b
a
S fx x=
. B.
( )
d
b
a
S fx x=
. C.
( )
d
b
a
S fx x
π
=
. D.
( )
2
d
b
a
S f xx
π
=
.
Câu 5: Tìm s phc liên hp ca s phc
1 9.zi
=
A.
19zi=
. B.
19zi=−−
. C.
19zi=−+
. D.
19zi= +
.
Câu 6: Din tích
S
ca hình phng gii hn bi đ th hàm s
2
yx=
, trc hoành
Ox
, các đưng thng
1x =
,
2
x
=
A.
2
2
1
dS xx=
. B.
2
1
d
S xx
=
. C.
2
4
1
dS xx
π
=
. D.
2
2
1
d
S xx
π
=
.
Câu 7: Trong không gian
Oxyz
, cho mt cầu có phương trình
(
)
(
)
22
2
2 15x yz + ++ =
. Tâm ca mt
cu có tọa độ
A.
( )
2;0; 1
. B.
( )
2;0;1
. C.
( )
2;1; 1
. D.
( )
2;1; 5
.
Câu 8: Trong không gian
Oxyz
, cho hai vectơ
(
)
1;1;1a =
( )
2; 3; 0
b =
. Tính tích hướng ca hai
vectơ
a
b
.
A.
.8ab=

. B.
.6ab=

. C.
.5ab=

. D.
.7ab=

.
Câu 9: Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
(2;0;0)M
,
(0; 1; 0)N
(0; 0; 2)P
. Mt phng
()MNP
có phương trình là
A.
0
2 12
xyz
+ +=
. B.
1
212
xyz
++=
. C.
1
2 12
xyz
+ +=
. D.
1
2 12
xyz
+ +=
.
Câu 10: S phc
56zi= +
có phn thc bng
A.
5
. B.
5
. C.
6
. D.
6
.
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 2
Sưu tm và biên son
Câu 11: Trong không gian
Oxyz
, cho mt phng
( )
α
phương trình
2 30
xy
+ −=
. Mt véctơ pháp
tuyến ca
( )
α
có tọa độ
A.
( )
1; 2; 3
. B.
( )
1; 0; 2
. C.
(
)
1; 2; 3
. D.
( )
1; 2; 0
.
Câu 12: Trên khong
( )
0; +∞
, hàm s
( )
lnFx x=
là mt nguyên hàm ca hàm số?
A.
(
)
ln
fx x x x=
. B.
(
)
1
,
f x CC
x
=+∈
.
C.
( )
1
fx
x
=
. D.
( )
ln ,
f x x x x CC= −+
.
Câu 13: Cho hàm s
( )
y fx
=
lên tc đ th như hình vẽ bên. Gi
D
là hình phng gii hn bi
đồ th hàm s đã cho trc
Ox
. Quay
D
xung quanh trc
Ox
ta được khi tròn xoay có th
tích
V
được xác định theo công thc
A.
( )
( )
3
2
1
dV fx x
π
=
. B.
( )
( )
3
2
2
1
dV fx x
π
=
.
C.
( )
( )
3
2
1
dV fx x=
. D.
( )
( )
3
2
1
1
d
3
V fx x=
.
Câu 14: Cho hàm s
( )
cosfx x=
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
(
)
d sin
fx x xC= +
. B.
( )
d cosfx x xC=−+
.
C.
( )
d cosfx x xC= +
. D.
( )
d sinfx x xC=−+
.
Câu 15: Trong không gian
Oxyz
, cho véctơ
( )
4; 3;5a =
. Độ dài ca
a
bng
A.
52
. B.
50
. C.
42
. D.
25
.
Câu 16: Tính tích phân:
2
0
I cosxdx
π
=
A.
1I =
. B.
2
I =
. C.
0I =
. D.
1I =
.
Câu 17: Điểm nào trong các điểm sau đây là điểm biu din hình hc ca s phc
54
zi=−+
trong mt
phng tọa độ
Oxy
.
A.
( )
5; 4A
. B.
( )
4; 5
B
. C.
( )
5; 4C
. D.
( )
4; 5D
.
Câu 18: Tính tích phân
( )
1
2
0
3 +2 dIxx=
.
A.
6
. B.
3
. C.
4
. D.
5
.
Câu 19: Nguyên hàm ca hàm s
( )
3
29fx x=
A.
3
49x xC−+
. B.
4
1
9
2
x xC−+
. C.
4
1
4
xC+
. D.
4
49x xC−+
.
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 3
Sưu tm và biên son
Câu 20: Cho hai hàm s
( )
fx
( )
gx
liên tc trên
K
,
,
ab K
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định
sai?
A.
( ) ( ) ( )
d d0
bb
aa
kfx x kfx x k=
∫∫
. B.
( )
(
) (
) (
)
d dd
b bb
a aa
f x gx x f x x gx x+= +


∫∫
.
C.
(
) (
) ( ) ( )
d dd
b bb
a aa
f x gx x f x x gx x−=


∫∫
. D.
( ) ( ) (
) (
)
d d. d
b bb
a aa
fxgxx fxxgxx=
∫∫
.
Câu 21: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( )
2; 4; 0I
( )
0;1;1M
Mt cu nhn
I
làm tâm và đi
qua điểm
M
có phương trình là
A.
(
)
( )
22
2
1 1 14xy z+ +− =
. B.
( ) ( )
22
2
2 4 14x yz+ +− +=
.
C.
( ) ( )
22
2
2 4 14x yz ++ +=
. D.
( ) ( )
22
2
1 1 14xy z++ ++ =
.
Câu 22: Trong không gian
Oxyz
, cho
()mp
α
phương trình
2 10xz+ +=
điểm
( )
2;1; 2M
. Mt
phẳng đi qua
M
và song song vi
()
α
có phương trình là:
A.
2 60xy
+ −=
. B.
2 40xy
+ −=
. C.
2 40xz+ −=
. D.
2 60xz
+ −=
.
Câu 23: Trong mt phng phc
Oxy
, gọi A là điểm biu din ca s phc
13
22
73
22
xx
xx

= ≥−



=− <−


và B
là điểm biu din ca s phc
( )
,M xy
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Hai điểm A và B đối xng nhau qua trc tung.
B. Hai điểm A và B đối xng với nhau qua đường thng
7
2
x =
.
C. Hai điểm A và B đối xng nhau qua trc hoành.
D. Hai điểm A và B đối xng nhau qua gc tọa độ O.
Câu 24: Tìm
m
biết
0
(2 5)d 6
m
xx+=
.
A.
1, 6mm=−=
. B.
1, 6mm= =
. C.
1, 6mm= =
. D.
1, 6mm=−=
.
Câu 25: Trong không gian
Oxyz
, cho
( ):3 5 0mp x y z
α
+−+=
( ):6 2 2 1 0mp x y z
β
+ −=
. Khong
cách gia hai mt phng
()
α
()
β
bng
A.
11
. B.
11
2
. C.
3
11
. D.
6
11
.
Câu 26: S thc
,xy
thỏa mãn:
( ) ( )
2 2 2 74x y x yi i++− =
A.
1, 3xy
= =
. B.
11 1
,
33
xy= =
. C.
1, 3xy=−=
. D.
11 1
,
33
xy=−=
.
Câu 27: Nguyên hàm ca hàm s
( )
1
1
fx
x
=
+
có dng:
A.
( )
d2 1fx x x C= ++
. B.
( )
d1fx x x C= ++
.
C.
( )
d 22 1fx x x C= ++
. D.
( )
1
d
21
fx x C
x
= +
+
.
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 4
Sưu tm và biên son
Câu 28: Biết
( )
Fx
là mt nguyên hàm ca hàm s
(
)
5 .ln 5
x
fx
=
tha
( )
05F =
. Tính
( )
1F
A.
( )
5
1
ln 5
F
=
. B.
( )
5
14
ln 5
F = +
. C.
( )
1 10F =
. D.
(
)
19
F
=
.
Câu 29: Hàm s nào sau đây không phải là mt nguyên hàm ca hàm s
( ) ( )
5
1fx x= +
?
A.
( )
( )
6
1
6
x
Fx
+
=
. B.
( )
(
)
6
1
2
6
x
Fx
+
=
.
C.
( )
( )
6
1
3
x
Fx
+
=
. D.
(
)
( )
6
1
8
6
x
Fx
+
= +
.
Câu 30: Cho hàm s
( )
fx
đạo hàm liên tc trên đon
[ ]
1; 3
tha mãn
( )
12f =
(
)
39
f =
. Tính
tích phân
( )
3
1
'dI fxx
=
A.
2I =
. B.
18I =
. C.
7I =
. D.
11I =
.
Câu 31: Giá tr ca
( )
2022
0
1
x
P e dx= +
A.
2022
2021Pe= +
. B.
2022
2021Pe=
. C.
2022
2022Pe=
. D.
2022
2022Pe= +
.
Câu 32: Cho
( )
0
2
d3fx x
=
. Tích phân
( )
0
2
3 1dI fx x
=


bng
A.
7
. B.
8
. C.
11
. D.
11
.
Câu 33: Cho s phc
z
thỏa mãn
2z =
. Chn phát biểu đúng
A. Tp hợp điểm biu din s phc
z
là một đường tròn có bán kính bng 4.
B. Tp hợp điểm biu din s phc
z
là một đường tròn có bán kính bng 2.
C. Tp hợp điểm biu din s phc
z
là một đường thng.
D. Tp hợp điểm biu din s phc
z
là một đường Parabol.
Câu 34: Gi S là din tích min hình phẳng được tô đậm trong hình v bên. Công thc tính S là
A.
(
)
2
1
dS fx x
=
. B.
( )
2
1
dS fx x
=
.
C.
( ) ( )
12
11
ddS fx x fx x
=
∫∫
. D.
( ) ( )
12
11
ddS fx x fx x
= +
∫∫
.
Câu 35: Cho hình phng
( )
H
gii hn bởi các đường
yx=
,
0x =
,
1x =
và trc hoành. Tính th tích
V
ca khi tròn xoay sinh bi hình
( )
H
quay quanh trc
Ox
.
A.
π
2
. B.
π
. C.
π
. D.
π
3
.
Câu 36: Cho
( )
2
12dI x xx= +
. Bằng cách đặt
2
1tx
= +
, khẳng định nào sau đây đúng?
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 5
Sưu tm và biên son
A.
I tdt=
. B.
( )
1I t dt= +
. C.
2I tdt=
. D.
1
2
I tdt=
.
Câu 37: Tính din tích hình phng gii hn bởi đường thng
21yx= +
và đồ th hàm s
2
3yx x= −+
.
A.
1
6
. B.
1
7
. C.
1
6
. D.
1
8
.
Câu 38: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( )
2; 3; 4A
,
( )
8; 5; 6B
. Hình chiếu vuông góc ca trung
điểm
I
ca đon thng
AB
trên mt phng
( )
Oyz
là điểm nào dưới đây?
A.
( )
3;0;0P
. B.
( )
3; 1; 5N
. C.
( )
0; 1; 5M
. D.
(
)
0;0;5
Q
.
Câu 39: Đim
A
trong hình v bên biu din cho s phc
z
. Tìm phn thc và phn o ca s phc
z
.
A. Phn thc là
3
và phn o là
2
. B. Phn thc là
3
và phn o là
2
.
C. Phn thc là
3
và phn o là
2i
. D. Phn thc là
3
và phn o là
2i
.
Câu 40: Trong không gian
Oxyz
, gi
( )
P
là mt phng cha trc
Ox
và vuông góc vi mt phng
( )
: 30Qxyz++−=
. Phương trình mặt phng
( )
P
A.
20yz−=
. B.
10yz−=
. C.
0yz
+=
. D.
0yz−=
.
Câu 41: Cho biết
3
1
( )d 20
fx x
=
. Giá tr ca
( )
2
0
3 2 2022 d
Pf x x= −+


bng
A.
4057P =
. B.
4054P =
. C.
4034
P =
. D.
4037P =
.
Câu 42: Trong không gian
,
Oxyz
cho mt cu
( )
S
và mt phng
( )
P
lần lượt phương trình
2 22
2 2 2 60xyz x yz
+ + + −=
,
22 2 0
x yz m+ ++ =
. S giá tr nguyên ca
m
để
( )
P
tiếp
xúc với
( )
S
A. 1. B. 4. C. 0. D. 2.
Câu 43: Trong không gian
Oxyz
, cho mt phng
( ) : 2 2 12 0Px y z +−=
. Biết điểm
M
thuc trc tung
Oy
sao cho tung độ
a
ca
M
là mt s dương và khoảng cách t
M
đến mt phng
()P
bng
42
. Khi đó:
A.
( )
2;3a
. B.
( )
4;5a
. C.
( )
5; 6a
. D.
( )
3; 4a
.
Câu 44: Trong mt phng phc, gi A, B, C lần lượt các đim biu din ca các s phc
1 23
2 3; 1 5; 4
z iz iz i=+=+=+
. S phc với điểm biu din D sao cho t giác ABCD là mt
hình bình hành có phn o là:
A.
1
. B. 1. C.
5
. D. 5.
Câu 45: Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho hình thang
ABCD
vi
( )
1; 2A
,
( )
5;5B
,
( )
5; 0C
,
( )
1; 0D
.
Quay hình thang
ABCD
xung quanh trc
Ox
thì th tích khi tròn xoay to thành là:
A.
78
π
. B.
76
π
. C.
72
π
. D.
74
π
.
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 6
Sưu tm và biên son
Câu 46: Cho
2
53
1
ln 2 ln 5
dx
abc
xx
=++
+
vi
,,abc
. Khi đó
24abc++
bng
A.
1
. B.
3
. C.
4
. D.
2
.
Câu 47: Trong không gian vi h ta đ
Oxyz
, cho mt cu
( ) ( ) ( ) ( )
2 22
: 1 2 3 16Sx y z+−+−=
và các
điểm
( ) (
)
1;0;2 , 1;2;2AB
. Gi
( )
P
là mt phẳng đi qua hai điểm
,
AB
sao cho thiết din ca
( )
P
vi mt cu
( )
S
có din tích nh nht. khi viết phương trình
( )
P
dưới dng
( )
: 30P ax by cz+ + +=
. Giá tr
T abc=++
bng
A.
2
. B.
3
. C.
0
. D.
3
.
Câu 48: Cho các hàm s
(
) ( )
( )
2
2
20 30 7
; 23
23
xx
f x F x ax bx c x
x
−+
= = ++
, vi
3
2
x >
. Hàm s
( )
Fx
là mt nguyên hàm ca hàm s
( )
fx
thì
S abc=++
bng
A.
2
. B.
3
. C.
0
. D.
1
.
Câu 49: Trong không gian
Oxyz
, cho mt cu
( )
S
tâm
( )
2;1;1I
và mt phng
( )
: 2 2 2 0P xy z+ + +=
. Phương trình của mt cu
( )
S
ct mt phng
( )
P
theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi
bng
2
π
A.
( )
2 22
0
( ) ( )(:2 1 1) 1Sx y z
+ + + ++ =
. B.
( )
2 22
: 2 1 1 8( ) ( )( )Sx y z + +− =
.
C.
(
)
2 22
: 2 1 1 8( ) ( )( )
Sx y z+ + + ++ =
. D.
(
)
2 22
0( ) ( )(:2 1 1) 1
Sx y z + +− =
Câu 50: Cho hàm s
( )
y fx=
đo hàm liên tc trên
[ ]
2; 4 .
Đồ th ca hàm s
'( )y fx=
được cho
như hình bên.
Din tích hình phng gii hn bi trc
Ox
và đ th hàm s
'( )y fx
=
trên đoạn
[ ]
2;1
[ ]
1; 4
ln lưt
bng
9
12.
Cho
( )
1 3.f =
Tính tng
(
) ( )
2 4.ff−+
A.
9
. B.
2
. C.
3
. D. 4.
---------- HT ----------
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 7
Sưu tm và biên son
NG DN GII CHI TIT
Câu 1: Cho hình phng
( )
D
được gii hn bi các đưng
0
x
=
,
1x =
,
0y
=
21yx
= +
. Th tích
V
ca khi tròn xoay to thành khi quay hình phng
( )
D
xung quanh trc
Ox
được tính theo
công thức nào sau đây?
A.
1
0
2 1dV xx= +
. B.
1
0
2 1dV xx=π+
. C.
( )
1
0
2 1dV xx=π+
. D.
( )
1
0
2 1dV xx= +
.
Li gii
Chn C
Ta có
( )
( )
11
2
00
21d 21dV x x xx=π + =π+
∫∫
.
Câu 2: Trong không gian
Oxyz
, điểm nào sau đây không thuộc mt phng
( )
: 10Pxyz+ +−=
.
A.
(
)
0;0;0O
. B.
( )
1;0;0I
. C.
( )
0;1; 0J
. D.
( )
0;0;1K
.
Li gii
Chn A
Ta có
( ) (
)
0 0 0 1 1 0 0;0;0
OP++−=
.
Câu 3: Cho hai s thc
a
<
b
tùy ý,
( )
Fx
là mt nguyên hàm ca hàm s
( )
fx
trên tp
. Mệnh đề
nào dưới đây là đúng?
A.
( )
( ) ( )
d
b
a
f x x Fa Fb
=
. B.
( ) ( ) ( )
d
b
a
fx x fb fa=
.
C.
( )
( ) ( )
d
b
a
f x x Fb Fa=
. D.
( ) ( ) ( )
d
b
a
f x x Fb Fa= +
.
Li gii
Chn C
Ta có
(
) ( )
( )
( )
d
b
b
a
a
f x x Fx Fb Fa= =
.
Câu 4:
Công thc tính din tích
S
ca hình phng gii hn bi đ th hàm s
( )
fx
liên tc trên đon
[ ]
;ab
, trc hoành và hai đưng thng
, x ax b= =
A.
(
)
d
b
a
S fx x=
. B.
( )
d
b
a
S fx x=
. C.
( )
d
b
a
S fx x
π
=
. D.
( )
2
d
b
a
S f xx
π
=
.
Li gii
Chn B
Câu 5: Tìm s phc liên hp ca s phc
1 9.zi=
A.
19zi=
. B.
19zi=−−
. C.
19zi=−+
. D.
19zi= +
.
Li gii
Chn D
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 8
Sưu tm và biên son
Ta có
19 19
z iz i= ⇒=+
.
Câu 6: Din tích
S
ca hình phng gii hn bi đ th hàm s
2
yx
=
, trc hoành
Ox
, các đưng thng
1x =
,
2x =
A.
2
2
1
dS xx=
. B.
2
1
dS xx=
. C.
2
4
1
dS xx
π
=
. D.
2
2
1
dS xx
π
=
.
Li gii
Chn A
Din tích
S
ca hình phng gii hn bi đ th hàm s
2
yx
=
, trc hoành
Ox
, các đưng thng
1x =
,
2x
=
2
2
1
dS xx=
.
Câu 7: Trong không gian
Oxyz
, cho mt cầu có phương trình
( ) ( )
22
2
2 15x yz + ++ =
. Tâm ca mt
cu có tọa độ
A.
( )
2;0; 1
. B.
( )
2;0;1
. C.
(
)
2;1; 1
. D.
( )
2;1; 5
.
Li gii
Chn A
Mt cầu có phương trình
( ) (
)
22
2
2 15x yz + ++ =
. Tâm của mt cu có tọa độ
( )
2;0; 1
.
Câu 8: Trong không gian
Oxyz
, cho hai vectơ
( )
1;1;1a
=
(
)
2; 3; 0
b =
. Tính tích hướng ca hai
vectơ
a
b
.
A.
.8ab=

. B.
.6ab
=

. C.
.5ab=

. D.
.7ab
=

.
Li gii
Chn C
Tính tích vô hướng của hai vectơ
a
b
. 1.2 1.3 1.0 5ab=++=

.
Câu 9: Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
(2;0;0)M
,
(0; 1; 0)N
(0; 0; 2)P
. Mt phng
()MNP
có phương trình là
A.
0
2 12
xyz
+ +=
. B.
1
212
xyz
++=
. C.
1
2 12
xyz
+ +=
. D.
1
2 12
xyz
+ +=
.
Li gii
Chn D
Mt phẳng qua ba điểm
(2;0;0)M
,
(0; 1; 0)N
(0; 0; 2)P
có dng
1
2 12
xyz
+ +=
.
Câu 10: S phc
56zi= +
có phn thc bng
A.
5
. B.
5
. C.
6
. D.
6
.
Li gii
Chn B
Phn thc ca s phc
56zi= +
5
.
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 9
Sưu tm và biên son
Câu 11: Trong không gian
Oxyz
, cho mt phng
( )
α
phương trình
2 30
xy
+ −=
. Mt véctơ pháp
tuyến ca
( )
α
có tọa độ
A.
( )
1; 2; 3
. B.
( )
1; 0; 2
. C.
(
)
1; 2; 3
. D.
( )
1; 2; 0
.
Li gii
Chn D
Phương trình đường thng viết li thành
2 0 30xyz+ + −=
. Do đó một véctơ pháp tuyến có ta đ
( )
1; 2; 0
.
Câu 12: Trên khong
( )
0; +∞
, hàm s
( )
lnFx x=
là mt nguyên hàm ca hàm số?
A.
( )
lnfx x x x=
. B.
(
)
1
,
f x CC
x
=+∈
.
C.
(
)
1
fx
x
=
. D.
( )
ln ,f x x x x CC= −+
.
Li gii
Chn C
Vi
( )
0;x +∞
, ta có
1
lndx x C
x
= +
nên
( )
lnFx x=
là mt nguyên hàm ca hàm s
(
)
1
fx
x
=
.
Câu 13: Cho hàm s
( )
y fx=
lên tc đ th như hình vẽ bên. Gi
D
là hình phng gii hn bi
đồ th hàm s đã cho trc
Ox
. Quay
D
xung quanh trc
Ox
ta được khi tròn xoay có th
tích
V
được xác định theo công thc
A.
( )
( )
3
2
1
dV fx x
π
=
. B.
( )
( )
3
2
2
1
dV fx x
π
=
.
C.
( )
( )
3
2
1
dV fx x=
. D.
(
)
( )
3
2
1
1
d
3
V fx x=
.
Li gii
Chn A
Theo công thc SGK.
Câu 14: Cho hàm s
( )
cosfx x=
. Mệnh đề nào sau đây đúng
A.
( )
d sinfx x xC= +
. B.
( )
d cosfx x xC=−+
.
C.
( )
d cosfx x xC
= +
. D.
( )
d sinfx x xC=−+
.
Li gii
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 10
Sưu tm và biên son
Chn A
Công thức nguyên hàm cơ bản.
Câu 15: Trong không gian
Oxyz
, cho véctơ
( )
4; 3;5a =
. Độ dài ca
a
bng
A.
52
. B.
50
. C.
42
. D.
25
.
Li gii
Chn A
Ta có
(
)
2
22
4 3 5 52
a = +− + =
.
Câu 16: Tính tích phân:
2
0
I cosxdx
π
=
A.
1I =
. B.
2I
=
. C.
0I =
. D.
1I =
.
Li gii
Chn A
2
2
0
0
cos d sin 1
I xx x
π
π
= = =
.
Câu 17: Điểm nào trong các điểm sau đây là điểm biu din hình hc ca s phc
54zi=−+
trong mt
phng tọa độ
Oxy
.
A.
(
)
5; 4A
. B.
( )
4; 5B
. C.
( )
5; 4C
. D.
( )
4; 5D
.
Li gii
Chn A
Câu 18: Tính tích phân
( )
1
2
0
3 +2 dIxx=
.
A.
6
. B.
3
. C.
4
. D.
5
.
Li gii
Chn B
( ) ( )
1
1
23
0
0
3 +2 d 2 3I x xx x= =+=
.
Câu 19: Nguyên hàm ca hàm s
( )
3
29fx x=
A.
3
49x xC−+
. B.
4
1
9
2
x xC
−+
. C.
4
1
4
xC+
. D.
4
49x xC−+
.
Li gii
Chn B
( )
4
3
2 9d 9
2
x
x x xC = −+
.
Câu 20: Cho hai hàm s
( )
fx
( )
gx
liên tc trên
K
,
,ab K
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định
sai?
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 11
Sưu tm và biên son
A.
(
) ( ) ( )
d d0
bb
aa
kfx x kfx x k=
∫∫
. B.
( ) ( ) ( ) ( )
d dd
b bb
a aa
f x gx x f x x gx x+= +


∫∫
.
C.
(
) (
) ( ) ( )
d dd
b bb
a aa
f x gx x f x x gx x−=


∫∫
. D.
( ) ( ) ( ) ( )
d d. d
b bb
a aa
fxgxx fxxgxx=
∫∫
.
Li gii
Chn D
Câu 21: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( )
2; 4; 0I
( )
0;1;1M
Mt cu nhn
I
làm tâm và đi
qua điểm
M
có phương trình là
A.
( ) ( )
22
2
1 1 14xy z+ +− =
. B.
( ) ( )
22
2
2 4 14x yz+ +− +=
.
C.
( ) ( )
22
2
2 4 14x yz ++ +=
. D.
( ) ( )
22
2
1 1 14xy z++ ++ =
.
Li gii
Chn B
Mt cu tâm
( )
2; 4; 0I
, đi qua
( )
0;1;1M
có bán kính
14
R IM= =
.
Phương trình mặt cu :
( ) ( )
22
2
2 4 14
x yz+ +− +=
.
Câu 22: Trong không gian
Oxyz
, cho
()mp
α
phương trình
2 10xz+ +=
điểm
(
)
2;1; 2M
. Mt
phẳng đi qua
M
và song song vi
()
α
có phương trình là:
A.
2 60xy+ −=
. B.
2 40
xy+ −=
. C.
2 40xz+ −=
. D.
2 60xz+ −=
.
Li gii
Chn D
Mt phng
()
β
song song vi
()
α
có phương trình dạng:
20x zD+ +=
.
Do
()
β
đi qua
M
24 0 6DD++ = =
.
Vậy phương trình của
()
β
là:
2 60xz+ −=
.
Câu 23: Trong mt phng phc
Oxy
, gọi A là điểm biu din ca s phc
13
22
73
22
xx
xx

= ≥−



=− <−


và B
là điểm biu din ca s phc
(
)
,M xy
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Hai điểm A và B đối xng nhau qua trc tung.
B. Hai điểm A và B đối xng với nhau qua đường thng
7
2
x =
.
C. Hai điểm A và B đối xng nhau qua trc hoành.
D. Hai điểm A và B đối xng nhau qua gc tọa độ O.
Li gii
Chn B
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 12
Sưu tm và biên son
Đim
( )
3; 2A
biu din s phc
13
22
73
22
xx
xx

= ≥−



=− <−


Đim
( )
2;3B
biu din s phc
( )
,M xy
Hai điểm A và B đối xng với nhau qua đường thng
7
2
x =
.
Câu 24: Tìm
m
biết
0
(2 5)d 6
m
xx+=
.
A.
1, 6mm=−=
. B.
1, 6mm
= =
. C.
1, 6mm= =
. D.
1, 6
mm=−=
.
Li gii
Chn C
22
0
0
6 (2 5)d ( 5 ) 5
m
m
x xx x m m= +=+ =+
2
1
5 60
6
m
mm
m
=
+ −=
=
.
Câu 25: Trong không gian
Oxyz
, cho
( ):3 5 0
mp x y z
α
+−+=
( ):6 2 2 1 0mp x y z
β
+ −=
. Khong
cách gia hai mt phng
()
α
()
β
bng
A.
11
. B.
11
2
. C.
3
11
. D.
6
11
.
Li gii
Chn B
Ly
( ) (0;0;5)MM
α
∈⇒
. Do
()
β
song song vi
()
α
, ta có:
10 1
11
(( );( )) ( ;( ))
2
44
d dM
αβ β
−−
= = =
.
Câu 26: S thc
,xy
thỏa mãn:
( ) ( )
2 2 2 74x y x yi i++− =
A.
1, 3xy
= =
. B.
11 1
,
33
xy= =
. C.
1, 3xy=−=
. D.
11 1
,
33
xy
=−=
.
Li gii
Chn A
Ta có:
( ) (
)
27 1
2 2 2 74
22 4 3
xy x
x y x yi i
xy y
+= =

+ + =−⇔

−= =

.
Câu 27: Nguyên hàm ca hàm s
( )
1
1
fx
x
=
+
có dng:
A.
( )
d2 1fx x x C= ++
. B.
( )
d1fx x x C= ++
.
C.
( )
d 22 1fx x x C= ++
. D.
( )
1
d
21
fx x C
x
= +
+
.
Li gii
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 13
Sưu tm và biên son
Chn A
Ta có h nguyên hàm
( )
1
d .d 2 1
1
fx x x x C
x
= = ++
+
∫∫
.
Câu 28: Biết
( )
Fx
là mt nguyên hàm ca hàm s
( )
5 .ln 5
x
fx=
tha
( )
05F =
. Tính
( )
1
F
A.
( )
5
1
ln 5
F =
. B.
( )
5
14
ln 5
F = +
. C.
( )
1 10F =
. D.
( )
19F =
.
Li gii
Chn D
Ta có
( )
5
d 5 .ln 5d .ln 5 5
ln 5
x
xx
fx x x C C= = += +
∫∫
( )
051 5 4F CC= ⇒+ = =
.
Khi đó:
(
) ( )
5 4 1 5 4 9.
x
Fx F= +⇒ =+=
.
Câu 29: Hàm s nào sau đây không phải là mt nguyên hàm ca hàm s
( )
( )
5
1fx x= +
?
A.
( )
( )
6
1
6
x
Fx
+
=
. B.
(
)
(
)
6
1
2
6
x
Fx
+
=
.
C.
( )
( )
6
1
3
x
Fx
+
=
. D.
( )
( )
6
1
8
6
x
Fx
+
= +
.
Li gii
Chn C
Ta có h nguyên hàm
( ) ( ) ( )
( )
6
5
1
d 1d
6
x
Fx f x x x x C
+
= =+= +
∫∫
.
Vì vậy đáp án
( )
( )
6
1
3
x
Fx
+
=
là đáp án Sai.
Câu 30: Cho hàm s
( )
fx
đạo hàm liên tc trên đon
[ ]
1; 3
tha mãn
( )
12f =
(
)
39f =
. Tính
tích phân
( )
3
1
'dI fxx
=
A.
2I =
. B.
18I =
. C.
7I =
. D.
11I =
.
Li gii
Chn C
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
3
3
1
1
' d 3 1 927I f x x fx f f= = = =−=
.
Câu 31: Giá tr ca
( )
2022
0
1
x
P e dx= +
A.
2022
2021Pe
= +
. B.
2022
2021Pe
=
. C.
2022
2022
Pe=
. D.
2022
2022
Pe= +
.
Li gii
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 14
Sưu tm và biên son
Chn A
( )
( )
2022
2022
2022
0
0
1 d 2021
xx
P e xex e= +=+ =+
.
Câu 32: Cho
(
)
0
2
d3
fx x
=
. Tích phân
( )
0
2
3 1d
I fx x
=


bng
A.
7
. B.
8
. C.
11
. D.
11
.
Li gii
Chn A
( ) ( )
0 00
2 22
3 1d3 d d927I fx x fx x x
−−
= = =−=


∫∫
.
Câu 33: Cho s phc
z
thỏa mãn
2z =
. Chn phát biểu đúng
A. Tp hợp điểm biu din s phc
z
là một đường tròn có bán kính bng 4.
B. Tp hợp điểm biu din s phc
z
là một đường tròn có bán kính bng 2.
C. Tp hợp điểm biu din s phc
z
là một đường thng.
D. Tp hợp điểm biu din s phc
z
là một đường Parabol.
Li gii
Chn B
Gi
( )
;M xy
( )
0;0O
ln lưt là biu din ca s phc
z
0
trên mt phng tọa độ.
Khi đó
22z OM=⇔=
. Khi đó tập hợp điểm
M
là đường tròn tâm
O
bán kính là
2
.
Câu 34: Gi S là din tích min hình phẳng được tô đậm trong hình v bên. Công thc tính S là
A.
( )
2
1
dS fx x
=
. B.
( )
2
1
dS fx x
=
.
C.
( ) ( )
12
11
ddS fx x fx x
=
∫∫
. D.
( ) (
)
12
11
ddS fx x fx x
= +
∫∫
.
Li gii
Chn C
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 1 2 12
1 1 1 11
d d d ddS fx x fx x fx x fx x fx x
−−
= =+=
∫∫
.
Câu 35: Cho hình phng
( )
H
gii hn bởi các đường
yx=
,
0x
=
,
1x =
và trc hoành. Tính th tích
V
ca khi tròn xoay sinh bi hình
( )
H
quay quanh trc
Ox
.
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 15
Sưu tm và biên son
A.
π
2
. B.
π
. C.
π
. D.
π
3
.
Li gii
Chn A
(
)
( )
11
2
2
00
dd
2
V f xx x x
π
ππ
= = =
∫∫
.
Câu 36: Cho
( )
2
12dI x xx= +
. Bằng cách đặt
2
1
tx= +
, khẳng định nào sau đây đúng?
A.
I tdt=
. B.
( )
1I t dt= +
. C.
2I tdt=
. D.
1
2
I tdt
=
.
Li gii
Chn A
Đặt
2
1 d 2dt x t xx= +⇒ =
. Vy
(
)
2
12dI x x x tdt=+=
∫∫
.
Câu 37: Tính din tích hình phng gii hn bởi đường thng
21yx
= +
và đồ th hàm s
2
3
yx x= −+
.
A.
1
6
. B.
1
7
. C.
1
6
. D.
1
8
.
Li gii
Chn A
Xét phương trình
22
1
32 1 3 20
2
x
xx x x x
x
=
−+= + +=
=
.
Vy
2
2
1
1
3 2d
6
Sxx x= −+ =
.
Câu 38: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( )
2; 3; 4
A
,
( )
8; 5; 6B
. Hình chiếu vuông góc ca trung
điểm
I
ca đon thng
AB
trên mt phng
( )
Oyz
là điểm nào dưới đây?
A.
( )
3;0;0P
. B.
( )
3; 1; 5N
. C.
( )
0; 1; 5M
. D.
( )
0;0;5Q
.
Li gii
Chn C
Ta có trung điểm ca
AB
( )
3; 1; 5I
.
Vy hình chiếu ca
( )
3; 1; 5
I
trên mt phng
( )
Oyz
( )
0; 1; 5M
.
Câu 39: Đim
A
trong hình v bên biu din cho s phc
z
. Tìm phn thc và phn o ca s phc
z
.
A. Phn thc là
3
và phn o là
2
. B. Phn thc là
3
và phn o là
2
.
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 16
Sưu tm và biên son
C. Phn thc là
3
và phn o là
2
i
. D. Phn thc là
3
và phn o là
2i
.
Li gii
Chn A
Ta có
32 32z iz i=+ ⇒=
. Vy phn thc và phn o ca
z
lần lượt
3
2
.
Câu 40: Trong không gian
Oxyz
, gi
( )
P
là mt phng cha trc
Ox
và vuông góc vi mt phng
( )
: 30Qxyz++−=
. Phương trình mặt phng
(
)
P
A.
20
yz−=
. B.
10yz−=
. C.
0yz+=
. D.
0
yz−=
.
Li gii
Chn D
Ta có VTCP ca
Ox
( )
1;0;0i =
và VTPT ca
( )
Q
( )
1;1;1n =
.
Do
( )
P
cha trc
Ox
và vuông góc vi
( )
Q
nên
( )
P
có VTPT
( )
1
, 0;1; 1n ni

= =


.
Vy
( )
:0P yz−=
.
Câu 41: Cho biết
3
1
( )d 20fx x
=
. Giá tr ca
( )
2
0
3 2 2022 d
Pf x x= −+


bng
A.
4057P =
. B.
4054P =
. C.
4034
P =
. D.
4037P
=
.
Li gii
Chn B
Ta có
( ) (
) ( )
2 2 22
0 0 00
3 2 2022 d 3 2 d 2022 d 3 2 d 4044Pfx xfxx xfxx
= + =−+ =−+


∫∫
Xét
( )
2
0
32 dA f xx
=
.
Đặt
1
32 d d
2
t xx t=−⇒=
;
0 3; 2 1x tx t
=⇒= = ⇒=
( ) (
) (
)
13 3
311
111
d d d 10
222
A ft t ft t fx x
⇒= = = =
∫∫
4054P⇒=
.
Câu 42: Trong không gian
,Oxyz
cho mt cu
( )
S
và mt phng
( )
P
lần lượt phương trình
2 22
2 2 2 60xyz x yz+ + + −=
,
22 2 0x yz m+ ++ =
. S giá tr nguyên ca
m
để
( )
P
tiếp
xúc với
( )
S
A. 1. B. 4. C. 0. D. 2.
Li gii
Chn D
Mt cu
( )
S
có tâm
( )
1; 1;1 ,I
bán kính
3R =
.
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 17
Sưu tm và biên son
( )
P
tiếp xúc với
( )
S
( )
( )
4
21
, 3 2 19
5
3
m
m
dI P R m
m
=
+
= =⇔ +=
=
Vy có
2
giá tr nguyên ca
m
để
( )
P
tiếp xúc với
( )
S
.
Câu 43: Trong không gian
Oxyz
, cho mt phng
( ): 2 2 12 0Px y z +−=
. Biết điểm
M
thuc trc tung
Oy
sao cho tung độ
a
ca
M
là mt s dương và khoảng cách t
M
đến mt phng
()P
bng
42
. Khi đó:
A.
( )
2;3a
. B.
( )
4;5a
. C.
( )
5; 6a
. D.
( )
3; 4a
.
Li gii
Chn A
M Oy
và có tung độ dương nên
( )
0; ; 0Ma
,
0a >
.
( )
( )
( )
(
)
62 6
2 12
, 42 42 6 62
3
62 6
a tm
a
dM P a
a loai
=
−−
= = +=
=−−
( )
6 2 6 2;3a = −∈
.
Câu 44: Trong mt phng phc, gi A, B, C lần lượt các đim biu din ca các s phc
1 23
2 3; 1 5; 4z iz iz i=+=+=+
. S phc vi điểm biu din D sao cho t giác ABCD là mt
hình bình hành có phn o là:
A.
1
. B. 1. C.
5
. D. 5.
Li gii
Chn A
Ta có
(
) ( )
( )
2;3 ; 1;5 ; 4;1A BC
Gi
( )
;
DD
Dx y
. Vì
ABCD
là hình bình hành nên
( )
41 5
5; 1
12 1
DD
DD
xx
DC AB D
yy
−= =

= ⇒−

−= =

 
.
Vy
D
là điểm biu din ca s phc
5zi=
có phn o là
1
.
Câu 45: Trong mt phng ta đ
Oxy
, cho hình thang
ABCD
vi
(
)
1; 2A
,
( )
5;5B
,
( )
5; 0C
,
( )
1; 0D
.
Quay hình thang
ABCD
xung quanh trc
Ox
thì th tích khi tròn xoay to thành là:
A.
78
π
. B.
76
π
. C.
72
π
. D.
74
π
.
Li gii
Chn A
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 18
Sưu tm và biên son
Phương trình đường thng
AB
là:
15
22
yx= +
Ta có hình thang
ABCD
được gii hn bi các đưng
15
; 0; 1; 5
23
yx yx x= + = =−=
. Do đó thể tích
khi tròn xoay khi quay hình thang
ABCD
xung quanh trc
Ox
5
2
55
2 32
11
1
1 5 1 5 25 1 5 25
78
2 2 4 2 4 13 4 4
V x dx x x dx x x x
ππ π
−−

= + = ++ = + + =


∫∫
.
Câu 46: Cho
2
53
1
ln 2 ln 5
dx
abc
xx
=++
+
vi
,,abc
. Khi đó
24abc++
bng
A.
1
. B.
3
. C.
4
. D.
2
.
Li gii
Chn A
Ta có
( ) ( )
22 2
53
32 42
11 1
.1 .1
dx dx x
I dx
xx
xx xx
= = =
+
++
∫∫
Đặt
2
1tx= +
, suy ra
1
2
2
dt xdx dt xdx= ⇔=
.
Đổi cn
1 2; 2 5x tx t=⇒= = ⇒=
.
Suy ra
( )
5
2
2
11
.
2
1.
I dt
tt
=
.
( )
55 5
5
2
2
22 2
1 1 2 1 11 1 1 511 1
ln . ln 1 ln . 1 ln 4
2 2 2 1 2 2 224 2
1
t
dt x t
tt
t


= + = = −−





1 531 3 3
ln ln 5 ln 2
2 88 2 2 8
= += +
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 19
Sưu tm và biên son
Suy ra
313
, ; 241
2 28
a b c abc
= = =⇒+ + =
.
Câu 47: Trong không gian vi h ta đ
Oxyz
, cho mt cu
( ) ( ) ( ) ( )
2 22
: 1 2 3 16Sx y z+−+−=
và các
điểm
( ) ( )
1;0;2 , 1;2;2AB
. Gi
( )
P
là mt phẳng đi qua hai điểm
,
AB
sao cho thiết din ca
( )
P
vi mt cu
( )
S
có din tích nh nht. khi viết phương trình
( )
P
dưới dng
( )
: 30P ax by cz+ + +=
. Giá tr
T abc=++
bng
A.
2
. B.
3
. C.
0
. D.
3
.
Li gii
Chn D
Mt cu
( )
S
có tâm
(
)
1; 2; 3I
và bán kính
4R =
.
Ta có
,AB
nm trong mt cu. Gi
K
là hình chiếu ca
I
trên
AB
H
là hình chiếu ca
I
lên thiết
din.
Ta có din tích thiết din bng
(
)
2 22
.S r R IH
ππ
= =
.
Do vy din tích thiết din nh nht khi
IH
ln nht.
IH IK
nên
max
IH IK
nên suy ra
( )
P
qua
,
AB
và vuông góc vi
IK
.
Ta có
5IA IB= =
suy ra
K
là trung điểm
AB
.
Vy
( ) (
)
0;1; 2 1;1;1
K KI⇒=

. Khi đó mặt
( )
P
qua
( )
1; 0; 2A
có dng
( ) ( ) (
) ( )
:1 1 1 0 1 2 0 30 30P x y z xyz x yz
+ + =++−=−+=
.
Vy ta có
13ab c T abc= = =−⇒ = + + =
.
Câu 48: Cho các hàm s
( ) ( )
( )
2
2
20 30 7
; 23
23
xx
f x F x ax bx c x
x
−+
= = ++
, vi
3
2
x >
. Hàm s
( )
Fx
là mt nguyên hàm ca hàm s
( )
fx
thì
S abc
=++
bng
A.
2
. B.
3
. C.
0
. D.
1
.
Li gii
Chn B
Ta có hàm s
( )
Fx
là mt nguyên hàm ca hàm s
( )
fx
nên:
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 20
Sưu tm và biên son
( ) ( )
( )
(
)
2
2
2
2
20 30 7
23
23
5 36 3
20 30 7
23 23
xx
F x f x ax bx c x
x
ax b a x b c
xx
xx
−+

= ++ =

+ −+
−+
⇔=
−−
Khi đó ta có hệ:
5 20 4
3 6 30 2 3
37 1
aa
b a b S abc
bc c
= =


= =−⇒ = + + =


+= =

.
Câu 49: Trong không gian
Oxyz
, cho mt cu
( )
S
tâm
( )
2;1;1I
và mt phng
(
)
: 2 2 2 0P xy z+ + +=
. Phương trình của mt cu
( )
S
ct mt phng
( )
P
theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi
bng
2
π
A.
(
)
2 22
0( ) ( )(
:2 1 1
) 1Sx y z+ + + ++ =
. B.
( )
2 22
: 2 1 1 8( ) ( )( )Sx y z + +− =
.
C.
( )
2 22
: 2 1 1 8( ) ( )( )Sx y z+ + + ++ =
. D.
( )
2 22
0( ) ( )(:2 1 1) 1Sx y z + +− =
Li gii
Chn D
( )
( )
222
2.2 1.1 2.1 2
,3
211
d I P IH
+++
= = =
++
.
Bán kính đương tròn là
r
. Ta có
22 1
rr
ππ
= ⇒=
.
Bán kính măt cầu là
2 2 22
1 3 10R r IH= + = +=
.
Phương trình măt cầu (S) tâm
( )
2;1;1I
, bán kính
10
R =
( )
2 22
0
( ) ( )(:2 1 1) 1
Sx y z + +− =
.
Câu 50: Cho hàm s
( )
y fx=
đo hàm liên tc trên
[ ]
2; 4 .
Đồ th ca hàm s
'( )y fx
=
được cho
như hình bên.
Din tích hình phng gii hn bi trc
Ox
và đ th hàm s
'( )y fx=
trên đoạn
[ ]
2;1
[ ]
1; 4
ln lưt
bng
9
12.
Cho
( )
1 3.f =
Tính tng
( ) ( )
2 4.ff
−+
A.
9
. B.
2
. C.
3
. D. 4.
Li gii
Chn C
T gi thiết
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II TOÁN 12
Page 21
Sưu tm và biên son
(
)
( )
( )
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
) (
)
( )
1
1
2
2
4
4
1
1
9
|9
1 29
12 | 12 4 1 12
13 13
13
f x dx
fx
ff
f x dx f x f f
ff
f
−=
=
−=
= =−⇔ =


= =
=
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
4 2 21 3
4 23
13
ff f
ff
f
+ −− =
+ −=
=
.
HT
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II
MÔN: TOÁN 12 ĐỀ S: 04
Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.
( )
( )
dd
kfx x kfx x=
∫∫
vi
k
là hng s khác 0.
B.
( ) ( ) ( ) ( )
. d d. d
fxgxx fxxgxx
=
∫∫
.
C.
( ) ( )
( ) ( )
d dd
f x gx x f x x gx x+= +


∫∫
.
D.
(
) (
) ( )
( )
d ddf x gx x f x x gx x
−=


∫∫
.
Câu 2: Hàm số
( )
Fx
nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số
2020
( ) 2021fx x=
?
A.
( )
2021
Fx x=
. B.
( )
2020
Fx x=
.
C.
( )
2021
2020Fx x=
. D.
( )
2021
2020Fx x=
.
Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm s
( ) sin8fx x
=
.
A.
sin 8 .d 8 cos 8xx x C= +
. B.
1
sin 8 .d cos 8
8
xx x C=−+
.
C.
1
sin 8 .d cos 8
8
xx x C= +
. D.
sin 8 .d cos 8xx x C= +
.
Câu 4: Tính
3
1
3dxx x
x

−+


kết quả
A.
4
2
2
ln
43
x
x xC−++
. B.
3
2
1
ln
33
x
xx−+
. C.
4
2
3
ln
42
x
x xC−++
.D.
3
2
2
ln
33
x
xx−+
.
Câu 5: Biết
( )
2
11
d
16 24 9 4 3
xC
x x ax
=−+
−+
, vi
a
là s nguyên khác
0
. Tìm
a
.
A.
12
. B.
8
. C.
6
. D.
4
.
Câu 6: Một nguyên hàm
( )
Fx
ca hàm s
( ) cos5 .cos3fx x x=
A.
1 sin 8 sin 2
()
28 2
xx
Fx

= +


. B.
( ) sin8Fx x=
.
C.
( ) cos8
Fx x=
. D.
11 1
( ) sin 6 sin 4
26 4
Fx x x

= +


.
Câu 7: Gi s hàm s
( )
fx
liên tục trên khoảng
K
a
,
b
,
c
là ba s thc bất thuộc
.K
Khng
định nào sau đây sai?
A.
( ) ( )
d dt
ba
ab
fx x ft=
∫∫
. B.
(
)
d0
a
a
fx x=
.
C.
( ) ( )
d dt
bb
aa
fx x ft
∫∫
. D.
( ) ( ) ( )
ddd
cb b
ac a
fx x fx x fx x+=
∫∫
.
Câu 8: Diện tích hình phẳng được gii hn bi đ th ca hàm s
3
2yx=
, trục hoành hai đường
thng
1; 1xx=−=
A.
1
2
S =
. B.
0S =
. C.
1
2
S =
. D.
1S =
.
Câu 9: Biết
( )
3
Fx x=
là một nguyên hàm của hàm s
( )
fx
trên
. Giá trị ca
(
)
2
1
1d
fx x+


bng
A.
18
3
. B.
12
. C.
10
3
. D.
8
.
Câu 10: Gi
S
là din tích ca hình phng gii hn bi các đưng
3
x
y
=
,
0y
=
,
0x =
,
1x =
. Mệnh đề
nào dưới đây đúng?
A.
1
0
3d
x
Sx
π
=
. B.
1
3
0
3d
x
Sx
=
. C.
1
3
0
3d
x
Sx
π
=
. D.
1
0
3d
x
Sx=
.
Câu 11: Tính diện tích phần hình phẳng gạch chéo (tam giác cong
OAB
) trong hình vẽ bên.
A.
67
3
π
. B.
67
3
. C.
14
3
π
. D.
14
3
.
Câu 12: Tính thể tích
V
ca phn vt th gii hn bi hai mt phng
2x =
3x =
, biết rng khi ct vt
th bi mt phng vuông góc vi trc
Ox
tại điểm có hoành độ
x
(
23x≤≤
) thì đưc thiết din
là một hình chữ nhật có độ dài hai cnh là
x
2
3x
.
A.
66 1
3
V
π

=



. B.
66 1
2
V
π

=



. C.
66 1
2
V
=
. D.
66 1
3
V
=
.
Câu 13: Gi
D
hình phẳng gii hn bi các đưng
3
, 0, 1
x
ye y x= = =
2x =
. Th tích ca khi tròn
xoay tạo thành khi quay
D
quanh trục
Ox
bng
A.
2
3
1
d
x
ex
. B.
2
3
1
d
x
ex
π
. C.
2
6
1
d
x
ex
. D.
2
6
1
d
x
ex
π
.
Câu 14: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( )
3;1; 2A
( )
2; 4;1
B
. Vectơ
AB

có tọa độ
A.
( )
1; 3; 3−−
. B.
( )
1; 3; 3−−
. C.
( )
1; 3; 3
. D.
( )
1;3;3
.
Câu 15: Trong không gian
Oxyz
, cho
1
1; ; 3
2
M

−−


,
1
0; ;1
2
N



. Độ dài đoạn thẳng
MN
bng
A.
13
. B.
17
4
. C.
4
. D.
17
.
Câu 16: Trong không gian
Oxyz
, cho
( )
1; 2; 3A
,
( )
2; 4;1B
,
( )
2,0, 2C
, khi đó
.AB AC
 
bng
A.
1
. B.
5
. C. 7. D. 4.
Câu 17: Trong không gian
Oxyz
, cho 3 điểm
( )
2;1; 3M
,
(
)
1; 0; 2N
;
( )
2; 3; 5P
. Tìm một vectơ pháp
tuyến
n
ca mặt phẳng
( )
MNP
.
A.
( )
12; 4;8
n
. B.
( )
8;12; 4
n
. C.
( )
3;1; 2n
. D.
( )
3; 2;1n
.
Câu 18: Trong không gian
Oxyz
, cho
( )
2; 2; 3A −−
,
(
)
0; 2;1B
. Phương trình mặt trung trực của đoạn
thng
AB
A.
2 2 60xyz−+ + + =
. B.
2 2 30
xyz−+ + + =
.
C.
2 4 4 60
xyz + + −=
. D.
2 4 4 30xyz +=
.
Câu 19: Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
12
:7
2
xt
dy t
z
=−+
=
=
,
t
. Một vecto chỉ phương của
đường thẳng
d
A.
( )
2; 7;0u
. B.
( )
1; 0; 2u
. C.
( )
1; 7; 2u −−
. D.
( )
1; 7; 2u
.
Câu 20: Trong không gian
Oxyz
, cho
( )
1; 3; 2A
,
( )
1;1; 5B
. Phương trình đường thẳng
AB
A.
12
34
23
xt
yt
zt
= +
= +
=−+
,
t
. B.
1
23
12
xt
yt
zt
=
=−+
=
,
t
. C.
1
3
25
xt
yt
zt
= +
= +
=−+
,
t
. D.
1
32
27
x
yt
zt
=
=
=−+
,
t
.
Câu 21: Xét tích phân
0
4
sin 2
d
cos 1
x
Ix
x
π
=
. Thc hiện phép biến đổi
costx=
, ta có thể đưa
I
v dng nào
sau đây?
A.
1
2
2
2
d
1
t
t
t
. B.
0
4
2
d
1
t
t
t
π
. C.
1
2
2
2
d
1
t
t
t
. D.
0
4
2
d
1
t
t
t
π
.
Câu 22: Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm s
( )
x
f x xe=
thoả mãn
( )
03F =
. Tính
( )
1F
.
A.
4
. B.
3
. C.
1
. D.
0
.
Câu 23: H tất cả các nguyên hàm của hàm s
( )
( )
5
2
2
1
x
fx
x
=
+
trên
A.
( )
4
2
4
1
C
x
+
+
. B.
( )
4
2
1
41
C
x
+
+
. C.
( )
4
2
4
1
C
x
−+
+
. D.
( )
4
2
1
41
C
x
−+
+
.
Câu 24: Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm s
(
) ( )
3e
x
fx x= +
thoả mãn
( )
09F =
. Tìm
( )
Fx
.
A.
( ) ( )
e 4 13
x
Fx x= −+
. B.
( ) ( )
e 45
x
Fx x= ++
.
C.
( ) ( )
e 2 11
x
Fx x= −+
. D.
( ) ( )
e 27
x
Fx x= ++
.
Câu 25: Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm s
( )
2
logfx x=
trên khoảng
( )
0; +∞
thoả mãn
( )
10F =
. Tính
( )
2F
.
A.
2
2
ln 2
. B.
3
2
ln 2
. C.
1
2
ln 2
. D.
2
2
ln 2
+
.
Câu 26: Biết
( )
3
2
6
24 12cos 3x x dx a b c
π
π
π
+ =++
vi
,,abc
là các s nguyên. Tính giá trị ca
S abc=++
.
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 27: Biết
3
1
1
d ln
x
I xa b
x
= =
. Tính
ab+
.
A.
1
. B.
5
. C.
6
. D.
5
.
Câu 28: Tích phân
3
1
2 1dI xx
=
bằng tích phân nào sau đây?
A.
( ) ( )
1
3
2
1
1
2
2 1d 1 2 dI x x xx
= +−
∫∫
. B.
( )
3
1
2 1dI xx
=
.
C.
( ) (
)
1
3
2
1
1
2
1 2 d 2 1dI xx x x
= +−
∫∫
. D.
( )
3
1
12 dI xx
=
.
Câu 29: Trong không gian
Oxyz
, cho tam giác
ABC
biết
( ) ( ) ( )
1; 2; 1 , 0;1;4 , 2;0;3A BC−−
. Tính diện
tích tam giác
ABC
.
A.
110
2
. B.
110
. C.
55
2
. D.
55
.
Câu 30: Tìm tt c các giá tr ca
m
để phương trình
2 22
2 4 6 3 17 0x y z mx y z m++ + −− +=
phương
trình của mặt cầu.
A.
( ) (
)
; 4 1;
m −∞ +∞
. B.
( )
4;1m
∈−
.
C.
( )
1; 4m ∈−
. D.
( ) ( )
; 1 4;m −∞ +∞
.
Câu 31: Tìm phương trình mặt cầu
( )
S
biết tâm
( )
0;1; 2I
và mặt cầu này đi qua điểm
( )
2;1; 4
E
.
A.
( ) (
)
22
2
1 24xy z
+ ++ =
. B.
( )
( )
22
2
1 28xy z++ +− =
.
C.
( )
( )
22
2
1 24xy z++ +− =
. D.
( )
( )
22
2
1 28xy z
+ ++ =
.
Câu 32: Trong không gian vi h tọa đ
Oxyz
cho hai mặt phẳng
( )
:2 2 1 0P x yz+ +−=
( )
: 3 50Qx yz+ +−=
. Mặt phẳng đi qua
( )
1;1;2A
đồng thời vuông góc vi c
( )
P
( )
Q
có phương trình là
A.
4 10 0xy z−− + =
. B.
4 80xy z++ −=
. C.
4 60xy z+ −=
. D.
4 80xy z+ +=
.
Câu 33: Trong không gian vi h trc
,Oxyz
mt phẳng đi qua điểm
( )
1; 3; 2A
và vuông góc vi đưng
thng
( )
11
:
213
xy z
d
−+
= =
có phương trình là
A.
2 3 70xy z++ +=
. B.
2 3 70xy z+ +=
. C.
2 3 70xy z−+ +=
. D.
2 3 70xy z+ −=
.
Câu 34: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
: 2 20Px yz −+=
đường
thẳng
133
:
21 2
xyz
d
−+
= =
. Phương trình tham số của đường thẳng
đi qua
( )
0; 1; 4A
,
vuông góc với
d
và nằm trong
( )
P
là:
A.
5
:1
45
xt
yt
zt
=
=−+
= +
. B.
2
:
42
xt
yt
zt
=
∆=
=
. C.
:1
4
xt
y
zt
=
∆=
= +
. D.
: 12
4
xt
yt
zt
=
=−+
= +
.
Câu 35: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
2
:1
1
xt
dy t
zt
= +
=−+
=−−
và mặt phẳng
( )
:2 2 0
P xy z
+− =
. Đường thẳng
nằm trong
( )
P
, ct
d
và vuông góc vi
d
phương
trình là
A.
1
2
xt
y
zt
= +
=
=
. B.
1
2
xt
y
zt
=
=
=
. C.
1
2
xt
yt
zt
=
=−+
=
. D.
1
2
xt
y
zt
= +
=
=
.
Câu 36: Biết rng hàm s
()Fx
là một nguyên hàm của hàm s
( ) ln
fx x x=
thỏa mãn
5
(1)
9
F =
.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
( )
3
2
4
( ) 3ln 1
9
Fx x x C= −+
. B.
( )
3
2
4
( ) ln 1
9
Fx x x C= −+
.
C.
( )
3
2
4
( ) ln 1 1
9
Fx x x= −+
. D.
( )
3
2
4
( ) 3ln 1 1
9
Fx x x= −+
.
Câu 37: Cho
()Fx
là một nguyên hàm của hàm s
( )
4 32
21
2
x
fx
x xx
+
=
++
trên khoảng
( )
0; +∞
tha mãn
( )
1
1
2
F =
. Giá trị ca biểu thức
( ) ( ) (
) ( )
1 2 3 2021SF F F F= + + +…+
viết dưới dng hn s bng
A.
1
2021
2022
. B.
1
2020
2021
. C.
1
2019
2021
. D.
1
2020
2022
.
Câu 38: Tìm nguyên hàm
()Fx
ca hàm s
2
() (, ; 0)
b
f x ax a b x
x
=+ ∈≠
; biết
(2) 2F =
,
(1) 3F =
,
1 19
28
F

=


.
A.
2
19
()
22
x
Fx
x
= −+
. B.
2
19
()
22
x
Fx
x
= ++
. C.
2
11
()
22
x
Fx
x
= ++
. D.
2
19
()
22
x
Fx
x
= −+
.
Câu 39: Cho tích phân
4
0
d
( 2) 2 1
x
I
xx
=
++
. Đt
21tx= +
ta có
3
2
1
d
a
Ix
bt c
=
+
, vi
,,abc
,ac
nguyên tố cùng nhau. Tính
23T ab c= −+
A.
12
. B. 8. C.
10
. D.
14
.
Câu 40: Cho tích phân
3
2
ln( 1)d ln 2 ln 3I x xa b c= += + +
(,, )abc
. Tính giá trị biểu thức
P abc
=++
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 41: Cho
( )
e
2
1
2ln 1
d ln
ln 2
x ac
x
bd
xx
+
=
+
vi
a
,
b
,
c
là các s nguyên dương, biết
;
ac
bd
các phân số
tối giản. Tính giá trị
abcd+−−
?
A.
16
. B.
15
. C.
10
. D.
17
.
Câu 42: Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
( )
11
:
1 14
xyz
d
−−
= =
và mặt phẳng
( )
:220Px y z
+−=
. Gi
( )
S
là mt cầu m nằm trên đường thẳng
( )
d
, có bán kính nh
nhất, tiếp xúc với
( )
P
và đi qua điểm
( )
1; 2; 0A
. Viết phương trình mặt cầu
( )
S
.
A.
( )
2 22
158
:9
333
Sx y z
 
+ +− =
 
 
. B.
( ) ( ) ( )
22
2
:1 1 1Sx y z ++ +=
.
C.
(
)
2 22
158
:9
333
Sx y z
 
++−+=
 
 
. D.
( ) ( ) ( )
22
2
:1 1 1Sx y z−+−+=
.
Câu 43: Trong không gian vi h tọa đ
Oxyz
, cho tam giác
ABC
(1; 0; 0), (0; 2;3), (1;1;1).
AB C
Phương trình mặt phẳng
( )
P
cha
,AB
sao cho khoảng cách từ
C
tới
( )
P
bng
2
3
A.
10xyz+ +−=
hoc
23 37 17z 23 0xy + + +=
.
B.
2 10xy z+ + −=
hoc
23 3 7 23 0.
xyz
+++=
C.
2 10x yz
+ + −=
hoc
13 3 6 13 0.xyz +++=
D.
2 3 10x yz+ +−=
hoc
3 7 3 0.xy z++ −=
Câu 44: Trong không gian
Oxyz
cho đim
( )
2;1;1M
. Tồn tại bao nhiêu mặt phẳng đi qua
M
chn
trên ba trục tọa độ các đoạn thẳng có độ dài bng nhau và khác 0.
A.
2
B.
3
C.
4
D.
1
Câu 45: Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
( )
2;1; 3A
,
( )
3; 0; 2B
,
( )
0; 2;1
C
. Gọi
( )
P
là mặt phẳng đi
qua
,
AB
và cách
C
một khoảng lớn nhất, phương trình của
( )
P
A.
2 3z 12 0xy
−+ =
. B.
3 2z 13 0xy++ =
.
C.
3 2 z 11 0xy+ +− =
. D.
30xy+−=
.
Câu 46: Cho hàm s
( )
fx
liên tc trên
thoả mãn
( ) ( )
3
21f x fx x+=
vi mi
x
. Tích phân
( )
1
2
d
a
fx x
b
=
biết
a
b
là phân số tối gin. Tính
22
ab
+
?
A.
11
. B.
41
. C.
305
. D.
65
.
Câu 47: Cho hàm s
( )
fx
nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn
[ ]
0;
.
Biết
( )
31f =
(
) (
)
2
26
.3 e
xx
fxf x
−=
, vi mi
[ ]
0;x 
.
Tính tích phân
( )
( )
( )
32
3
0
9
d
x x fx
Ix
fx
−′
=
.
A.
243
5
. B.
243
10
. C.
486
5
. D.
243
5
.
Câu 48: Mt cng chào có dng hình Parabol chiu cao
18 m
, chiu rộng chân đế
12 m
. Người ta căng
hai sợi dây trang t
AB
,
CD
nằm ngang đồng thời chia hình gii hn bi Parabol và mt đt
thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình v bên). Tỉ s
AB
CD
bng
A.
1
2
. B.
4
5
. C.
3
1
2
. D.
3
122
+
.
Câu 49: Trong không gian
Oxyz
cho hai điểm
( ) ( )
1; 0; 1 , 1; 2; 3AB−−
. Đim
M
tha mãn
.1M MBA =
 
,
điểm
N
thuộc mặt phẳng
( )
:2 2 4 0P xy z−+ +=
. Tìm giá trị nh nhất độ dài
MN
.
A.
2
B.
1
C.
3
D.
5
Câu 50: Trong không gian
Oxyz
, cho mt cu
( ) ( ) ( ) ( )
222
: 2 3 59Sx y z + +− =
và tam giác
ABC
( ) ( ) ( )
5;0;0 , 0;3;0 , 4;5;0ABC
. Gi
( )
;;M abc
điểm thuc
( )
S
sao cho thể tích t din
MABC
đạt giá tr ln nhất. Giá trị ca
222
abc++
bng
A.
77.
B.
38
. C.
17
. D.
55
.
---------- HT ----------
NG DN GII CHI TIT
Câu 1: [Mức độ 1] Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.
( )
(
)
dd
kfx x kfx x
=
∫∫
vi
k
là hng s khác 0.
B.
( )
( )
( ) ( )
. d d. d
fxgxx fxxgxx
=
∫∫
.
C.
(
) (
)
(
) (
)
d ddf x gx x f x x gx x+= +


∫∫
.
D.
( ) ( ) ( ) ( )
d ddf x gx x f x x gx x−=


∫∫
.
Li gii
Mệnh đề
( ) (
) (
) (
)
. d d. dfxgxx fxxgxx=
∫∫
là mệnh đề sai.
Câu 2: [Mức độ 1] Hàm số
(
)
Fx
nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số
2020
( ) 2021fx x=
?
A.
( )
2021
Fx x=
. B.
( )
2020
Fx x=
.
C.
( )
2021
2020Fx x=
. D.
( )
2021
2020Fx x=
.
Li gii
Ta có:
(
)
2021
x
( )
2020
2021.
x fx= =
( )
2021
Fx x⇒=
.
Câu 3: [Mức độ 1] Tìm nguyên hàm của hàm s
( ) sin8
fx x=
.
A.
sin 8 .d 8 cos 8xx x C= +
. B.
1
sin 8 .d cos 8
8
xx x C=−+
.
C.
1
sin 8 .d cos 8
8
xx x C= +
. D.
sin 8 .d cos 8xx x C= +
.
Li gii
Theo công thức nguyên hàm mở rng:
( ) ( )
1
sin .d cosax b x ax b C
a
+ = ++
, ta có:
cos8
sin8 .
8
x
x dx C
= +
.
Câu 4: [Mức độ 1] Tính
3
1
3dxx x
x

−+


kết quả
A.
4
2
2
ln
43
x
x xC−++
. B.
3
2
1
ln
33
x
xx
−+
.
C.
4
2
3
ln
42
x
x xC−++
. D.
3
2
2
ln
33
x
xx−+
.
Li gii
Ta có :
3
1
3dxx x
x

−+


=
4
2
3
ln
42
x
x xC−++
.
Câu 5: [Mức độ 1] Biết
( )
2
11
d
16 24 9 4 3
xC
x x ax
=−+
−+
, vi
a
là s nguyên khác
0
. Tìm
a
.
A.
12
. B.
8
. C.
6
. D.
4
.
Li gii
Ta có:
2
1
d
16 24 9
x
xx−+
=
( )
2
1
d
43
x
x
( )
1
44 3
C
x
=−+
.
Vậy
4
a =
.
Câu 6: [Mức độ 1] Một nguyên hàm
(
)
Fx
ca hàm s
( ) cos5 .cos3fx x x=
A.
1 sin 8 sin 2
()
28 2
xx
Fx

= +


. B.
( ) sin 8
Fx x=
.
C.
( ) cos8Fx x=
. D.
11 1
( ) sin 6 sin 4
26 4
Fx x x

= +


.
Li gii
Ta có:
cos5 .cos3 .dx xx
=
(
)
1
cos8 cos 2 d
2
x xx+
=
1 sin 8 sin 2
28 2
xx
C

++


.
Vậy
1 sin 8 sin 2
() .
28 2
xx
Fx

= +


Câu 7: [Mc đ 1] Gi s hàm s
( )
fx
liên tục trên khoảng
K
a
,
b
,
c
là ba s thc bất kì thuộc
.K
Khẳng định nào sau đây sai?
A.
( ) ( )
d dt
ba
ab
fx x ft=
∫∫
. B.
(
)
d0
a
a
fx x=
.
C.
( ) ( )
d dt
bb
aa
fx x ft
∫∫
. D.
( )
( ) ( )
ddd
cb b
ac a
fx x fx x fx x+=
∫∫
.
Li gii
Do tích phân chỉ phụ thuc vào
f
và các cn
a
,
b
,
c
không phụ thuộc vào biến s
x
hay
t
nên
( ) ( )
d dt.
bb
aa
fx x ft=
∫∫
Câu 8: [Mc đ 1] Diện tích hình phẳng được gii hn bi đ th ca hàm s
3
2yx=
, trục hoành và
hai đường thẳng
1; 1xx=−=
A.
1
2
S =
. B.
0S =
. C.
1
2
S =
. D.
1S =
.
Lời giải
Ta có
3
20x
trên đoạn
[ ]
1; 0
3
20x
trên đoạn
[
]
0;1
.
Áp dụng công thức
( )
d
b
a
S fx x=
ta có:
( )
0
01
1
11
44
33
0
3
11 0
12 22
2
d
2
dd
xx
Sx x xx xx
−−
= = = ++− =
∫∫
.
Câu 9: [Mc đ 1] Biết
( )
3
Fx x
=
là một nguyên hàm của hàm s
( )
fx
trên
. Giá tr ca
( )
2
1
1dfx x+


bng
A.
18
3
. B.
12
. C.
10
3
. D.
8
.
Lời giải
Ta có:
( )
(
)
2
3
1
2
1 d 10 2 8
1
fx x x x+ = + = −=


.
Câu 10: [Mc đ 1] Gi
S
là din tích của hình phẳng gii hn bi các đưng
3
x
y =
,
0y =
,
0x =
,
1x =
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
1
0
3d
x
Sx
π
=
. B.
1
3
0
3d
x
Sx
=
. C.
1
3
0
3d
x
Sx
π
=
. D.
1
0
3d
x
Sx
=
.
Lời giải
11
00
3d 3d
xx
S xx
= =
∫∫
(do
[ ]
3 0, 0;1
x
x
> ∀∈
).
Câu 11: [Mc đ 1] Tính diện tích phần hình phẳng gạch chéo (tam giác cong
OAB
) trong hình vẽ bên.
A.
67
3
π
. B.
67
3
. C.
14
3
π
. D.
14
3
.
Lời giải
Dựa vào đồ th, diện tích hình phẳng cần tìm là
( ) ( )
( )
3
13
22
01
13
3
8 14
4d 6 9d 2 2
3 33
01
x
S xx x x x x
= + + = + =+=
∫∫
.
Vậy
14
3
S =
.
Câu 12: [Mc đ 1] Tính thể tích
V
của phần vt th gii hn bi hai mặt phẳng
2x =
3
x =
, biết
rng khi ct vt th bi mặt phẳng vuông góc vi trc
Ox
tại điểm hoành độ
x
(
23x
≤≤
)
thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cnh là
x
và
2
3x
.
A.
66 1
3
V
π

=



. B.
66 1
2
V
π

=



. C.
66 1
2
V
=
. D.
66 1
3
V
=
.
Lời giải
Diện tích thiết diện là:
2
() . 3Sx x x=
.
Th tích vật th là:
3
2
2
. 3dV xx x=
.
Đặt
2 22
3 3d dx t x tt xxt = −⇒ ==
2 1; 3 6x tx t= ⇒= =⇒=
.
6
3
2
1
66 1
6
d
33
1
t
V tt
⇒= = =
.
Câu 13: [Mc đ 1] Gi
D
hình phẳng gii hn bi các đưng
3
, 0, 1
x
ye y x= = =
2x =
. Th tích
ca khối tròn xoay tạo thành khi quay
D
quanh trục
Ox
bng
A.
2
3
1
d
x
ex
. B.
2
3
1
d
x
ex
π
. C.
2
6
1
d
x
ex
. D.
2
6
1
d
x
ex
π
.
Lời giải
Th tích ca khối tròn xoay tạo thành khi quay
D
quanh trục
Ox
( )
22
2
36
11
d d.
xx
V e x ex
ππ
= =
∫∫
Câu 14: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( )
3;1; 2A
( )
2; 4;1B
. Vectơ
AB

có tọa độ
A.
( )
1; 3; 3−−
. B.
( )
1; 3; 3−−
. C.
( )
1; 3; 3
. D.
( )
1;3;3
.
Li gii
Ta có:
( )
1;3;3AB =

.
Câu 15: [Mc đ 1] Trong không gian
Oxyz
, cho
1
1; ; 3
2
M

−−


,
1
0; ;1
2
N



. Đ dài đoạn thng
MN
bng
A.
13
. B.
17
4
. C.
4
. D.
17
.
Li gii
Ta có:
( )
1; 0; 4MN =

( )
2
22
1 0 4 17MN =++ =
.
Câu 16: [Mc đ 1] Trong không gian
Oxyz
, cho
( )
1; 2; 3A
,
( )
2; 4;1B
,
( )
2,0, 2
C
, khi đó
.AB AC
 
bng
A.
1
. B.
5
. C. 7. D. 4.
Li gii
Ta có:
(
)
1;2;2AB
= −−

,
( )
1; 2; 1
AC =

( ) ( ) ( )
. 1.1 2 .2 2 . 1 1AB AC = +− +− =
 
.
Câu 17: [Mc đ 1] Trong không gian
Oxyz
, cho 3 điểm
( )
2;1; 3M
,
( )
1; 0; 2N
;
( )
2; 3; 5
P
. Tìm mt
vectơ pháp tuyến
n
ca mặt phẳng
(
)
MNP
.
A.
(
)
12; 4;8
n
. B.
( )
8;12; 4n
. C.
( )
3;1; 2n
. D.
( )
3; 2;1n
.
Li gii
Ta có:
( )
1; 1; 5MN =−−

;
( )
0; 4;8MP =

( ) ( )
, 12;8; 4 3;2;1MN MP n

= ⇒=

 
.
Câu 18: [Mc đ 1] Trong không gian
Oxyz
, cho
( )
2; 2; 3A −−
,
( )
0; 2;1B
. Phương trình mt trung trc
của đoạn thẳng
AB
A.
2 2 60xyz−+ + + =
. B.
2 2 30xyz−+ + +=
.
C.
2 4 4 60xyz + + −=
. D.
2 4 4 30xyz +=
.
Li gii
Gi
M
là trung điểm
( )
1; 0; 1AB M⇒−
;
( )
2; 4; 4AB =

Gi
( )
P
là mặt phẳng trung trực ca đoạn thẳng
AB
. Khi đó
( )
P
đi qua
M
và nhn
(
)
2; 4; 4AB =

m VTPT
( )
( ) (
)
: 2( 1) 4 0 4 1 0
Px y z
−+ + +=
2 4 4 60xyz⇔− + + + =
2 2 30
xyz−+ + + =
.
Câu 19: [Mc đ 1] Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
12
:7
2
xt
dy t
z
=−+
=
=
,
t
. Mt vecto ch
phương của đường thẳng
d
A.
( )
2; 7;0u
. B.
( )
1; 0; 2u
. C.
( )
1; 7; 2
u −−
. D.
( )
1; 7; 2u
.
Li gii
Một vecto chỉ phương của đường thẳng
d
( )
2; 7;0u
.
Câu 20: [Mc đ 1] Trong không gian
Oxyz
, cho
( )
1; 3; 2A
,
(
)
1;1; 5B
. Phương trình đường thẳng
AB
A.
12
34
23
xt
yt
zt
= +
= +
=−+
,
t
. B.
1
23
12
xt
yt
zt
=
=−+
=
,
t
. C.
1
3
25
xt
yt
zt
= +
= +
=−+
,
t
. D.
1
32
27
x
yt
zt
=
=
=−+
,
t
.
Li gii
Ta có:
( )
0; 2;7AB =

Đường thẳng
AB
đi qua
( )
1; 3; 2
A
và nhn
( )
0; 2;7AB =

làm vecto ch phương phương
trình là:
1
32
27
x
yt
zt
=
=
=−+
,
t
Câu 21: [Mc đ 2] Xét tích phân
0
4
sin 2
d
cos 1
x
Ix
x
π
=
. Thc hiện phép biến đi
costx=
, ta có th đưa
I
v dạng nào sau đây?
A.
1
2
2
2
d
1
t
t
t
. B.
0
4
2
d
1
t
t
t
π
. C.
1
2
2
2
d
1
t
t
t
. D.
0
4
2
d
1
t
t
t
π
.
Li gii
Ta có:
cos d sin dt x t xx= ⇒=
.
Khi
4
x
π
=
thì
2
2
t
=
; khi
0x =
thì
1t
=
.
Vậy
( )
0 1 11
2 22
4
2 22
sin 2 2sin cos 2 2
d d dd
cos 1 cos 1 1 1
x xx t t
I x x tt
x xt t
π
= = = −=
−−
∫∫
.
Câu 22: [Mc đ 2] Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm củam s
( )
x
f x xe=
thoả n
( )
03F =
. Tính
( )
1F
.
A.
4
. B.
3
. C.
1
. D.
0
.
Li gii
Áp dụng quy tắc nguyên hàm từng phần:
( )
ed de e ed e e
x x x x xx
Fx x x x x x x C= = = = −+
∫∫
.
Do
( )
03F =
nên
4C
=
. Suy ra
( )
ee4
xx
Fx x= −+
. Tính được
( )
14F =
.
Câu 23: [Mức độ 2] H tất cả các nguyên hàm của hàm s
( )
( )
5
2
2
1
x
fx
x
=
+
trên
A.
( )
4
2
4
1
C
x
+
+
. B.
(
)
4
2
1
41
C
x
+
+
. C.
( )
4
2
4
1
C
x
−+
+
. D.
( )
4
2
1
41
C
x
−+
+
.
Li gii
Ta có:
( )
( )
( )
( ) ( )
2
5 54
2 22
d1
21
dd
1 1 41
x
x
fx x x C
x xx
+
= = =−+
+ ++
∫∫
.
Câu 24: [Mc đ 2] Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm s
( ) ( )
3e
x
fx x= +
thoả n
( )
09F =
.
Tìm
( )
Fx
.
A.
(
) ( )
e 4 13
x
Fx x= −+
. B.
( ) ( )
e 45
x
Fx x= ++
.
C.
( ) ( )
e 2 11
x
Fx x= −+
. D.
( ) ( )
e 27
x
Fx x= ++
.
Li gii
Áp dụng nguyên tắc nguyên hàm từng phần:
(
)
( )
( ) (
)
( )
3ede3ee3e e2
xx xx x x
Fxx xx dxx Cx C
= + = +− = +−+= ++
∫∫
.
Do
( )
09F =
nên
7C =
. Suy ra
( ) ( )
e 27
x
Fx x= ++
.
Câu 25: [Mc đ 2] Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm s
( )
2
logfx x=
trên khoảng
( )
0; +∞
thoả
mãn
( )
10F =
. Tính
(
)
2
F
.
A.
2
2
ln 2
. B.
3
2
ln 2
. C.
1
2
ln 2
. D.
2
2
ln 2
+
.
Li gii
Áp dụng nguyên tắc nguyên hàm từng phần:
( )
2 2 22 2
1
log d log d log log d log
ln 2 ln 2
x
Fx xxx x x xx x xx x C= = = = −+
∫∫
.
Do
( )
10F =
nên
1
ln 2
C =
. Suy ra
( )
2
1
log
ln 2 ln 2
x
Fx x x= −+
. Tính được
( )
1
22
ln 2
F
=
.
Câu 26: [Mc đ 2] Biết
( )
3
2
6
24 12cos 3x x dx a b c
π
π
π
+ =++
vi
,,abc
là các s nguyên. Tính giá trị
ca
S abc=++
.
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Li gii
(
)
( )
( )
3 33
22
6 66
33
24 12cos d 12 2 d 12 cos d 12 12 sin 6 6 3
66
x x x xx xx x x
π ππ
π ππ
ππ
π
ππ
+ = + = + =−+ +
∫∫
.
Do đó, ta có
6, 6, 1a bc
=−= =
, suy ra
1S =
.
Câu 27: [ Mức độ 2] Biết
3
1
1
d ln
x
I xa b
x
= =
. Tính
ab+
.
A.
1
. B.
5
. C.
6
. D.
5
.
Lời giải
Ta có
( )
33
3
1
11
11
d 1 d ln 2 ln 3
x
I x xx x
xx

= =−= =


∫∫
Suy ra
2; 3 5a b ab= =+=
.
Câu 28: [ Mức độ 2] Tích phân
3
1
2 1dI xx
=
bằng tích phân nào sau đây?
A.
(
) (
)
1
3
2
1
1
2
2 1d 1 2 dI x x xx
= +−
∫∫
. B.
(
)
3
1
2 1dI xx
=
.
C.
( ) ( )
1
3
2
1
1
2
1 2 d 2 1dI xx x x
= +−
∫∫
. D.
( )
3
1
12 dI xx
=
.
Lời giải
Ta có
1
21
2
21
1
12
2
x khi x
x
x khi x
−≥
−=
−<
.
Do đó
( ) ( )
1
3
2
1
1
2
1 2 d 2 1dI xx x x
= +−
∫∫
Câu 29: [ Mức độ 2] Trong không gian
Oxyz
, cho tam giác
ABC
biết
( ) ( ) ( )
1; 2; 1 , 0;1;4 , 2;0;3A BC−−
. Tính diện tích tam giác
ABC
.
A.
110
2
. B.
110
. C.
55
2
. D.
55
.
Lời giải
Ta có
( ) ( )
1; 3; 5 , 2; 1; 1AB BC= = −−
 
( )
, 2;9; 5
AB BC

⇒=

 
1 110
4 81 25
22
ABC
S
= ++ =
.
Câu 30: [Mức độ 2] Tìm tất cả các giá trị của
m
để phương trình
2 22
2 4 6 3 17 0x y z mx y z m++ + −− +=
là phương trình của mặt cầu.
A.
( ) ( )
; 4 1;m −∞ +∞
. B.
( )
4;1m ∈−
.
C.
( )
1; 4m ∈−
. D.
( ) ( )
; 1 4;m −∞ +∞
.
Lời giải
Ta có
; 2; 3; 3 17a mb c d m= = = =−+
Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu
2
493 17 0mm +++ >
2
3 40mm + −>
( ) ( )
; 4 1;m −∞ +∞
Câu 31: [Mức độ 2] Tìm phương trình mặt cầu
( )
S
biết tâm
( )
0;1; 2I
và mt cầu này đi qua đim
( )
2;1; 4E
.
A.
( ) ( )
22
2
1 24xy z+ ++ =
. B.
( ) ( )
22
2
1 28xy z++ +− =
.
C.
(
)
(
)
22
2
1 24
xy z
++ +− =
. D.
( )
(
)
22
2
1 28xy z
+ ++ =
.
Lời giải
Từ giả thiết suy ra mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
0;1; 2I
và bán kính
404 8R IE= = ++ =
phương trình mặt cầu
( )
S
:
(
) (
)
22
2
1 28xy z+ ++ =
.
Câu 32: [Mc đ 2] Trong không gian vi h tọa đ
Oxyz
cho hai mặt phẳng
( )
:2 2 1 0P x yz+ +−=
( )
: 3 50Qx yz+ +−=
. Mt phẳng đi qua
( )
1;1;2A
đồng thời vuông góc vi c
(
)
P
( )
Q
có phương trình là
A.
4 10 0xy z
−− + =
. B.
4 80xy z++ −=
. C.
4 60xy z+ −=
. D.
4 80
xy z+ +=
.
Li gii
Gi mặt phẳng cần tìm là
()
α
.
Ta có vectơ pháp tuyến ca mặt phẳng
( )
P
,
( )
Q
lần lượt là:
( )
(
)
12
2; 2;1 , 1;3;1
nn
= =

.
Mặt phẳng
()
α
đồng thời vuông góc vi c
( )
P
( )
Q
, suy ra
()
α
có mt VTPT
(
)
12
, 1; 1; 4n nn

= =−−


Mặt phẳng
()
α
đi qua điểm
( )
1;1;2A
suy ra phương trình tổng quát của mp
( )
α
:
( ) ( )
( )
1 1 1. 1 4 2 0x yz +− −+ =
4 80xy z⇔− + =
4 80
xy z+ +=
.
Câu 33: [Mc đ 2] Trong không gian vi h trc
,Oxyz
mặt phẳng đi qua điểm
( )
1; 3; 2A
và vuông
góc với đường thẳng
( )
11
:
213
xy z
d
−+
= =
có phương trình là
A.
2 3 70xy z++ +=
. B.
2 3 70xy z+ +=
. C.
2 3 70xy z−+ +=
. D.
2 3 70xy z+ −=
.
Li gii
Gi
( )
α
là mặt phẳng cần tìm. Vì
( ) ( ) ( )
() ()
2; 1; 3
d
dnu
α
α
⊥⇒ ==

Ta có:
(
)
α
đi qua
( )
1; 3; 2
A
và có véctơ pháp tuyến là
( )
()
2; 1; 3n
α
=
.
Do đó phương trình tổng quát của mặt phẳng
( )
α
là:
( ) ( ) ( )
2113320xy z−− + + =
hay
2 3 70
xy z−+ +=
.
Câu 34: [Mc đ 2] Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
: 2 20Px yz −+=
đường thẳng
133
:
21 2
xyz
d
−+
= =
. Phương trình tham số của đường thẳng
đi qua
( )
0; 1; 4A
, vuông góc với
d
và nằm trong
( )
P
là:
A.
5
:1
45
xt
yt
zt
=
=−+
= +
. B.
2
:
42
xt
yt
zt
=
∆=
=
. C.
:1
4
xt
y
zt
=
∆=
= +
. D.
: 12
4
xt
yt
zt
=
=−+
= +
.
Li gii
Ta thy:
(
)
AP
. Mặt phẳng
( )
P
có véctơ pháp tuyến
( )
1; 2; 1n = −−
, đường thẳng
d
có véctơ
chỉ phương
( )
2;1; 2
d
u =

Vì đường thẳng
đi qua
( )
0; 1; 4A
, vuông góc với
d
nằm trong
(
)
P
nên đường thẳng
có véctơ chỉ phương là
( )
, 5;0;5
d
u nu

=

=
  
hay
(
)
1;0;1
u
=

Khi đó, phương trình tham số của đường thẳng
:1
4
xt
y
zt
=
∆=
= +
.
Câu 35: [Mức độ 2] Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
2
:1
1
xt
dy t
zt
= +
=−+
=−−
và mt
phẳng
( )
:2 2 0P xy z+− =
. Đường thẳng
nm trong
( )
P
, ct
d
vuông góc vi
d
có
phương trình là
A.
1
2
xt
y
zt
= +
=
=
. B.
1
2
xt
y
zt
=
=
=
. C.
1
2
xt
yt
zt
=
=−+
=
. D.
1
2
xt
y
zt
= +
=
=
.
Li gii
Đường thẳng
d
đi qua
(
)
2;1;1
M
−−
và có
:
VTCP
(
)
1;1; 1 .
d
u
=

mặt phẳng
( )
P
:VTPT
( )
( )
2;1; 2
P
n =
Nhận thấy
( )
( )
.0
d
P
MP
nu
∉
 
d
ct
( )
P
. Ta có
(
) (
)
{ } 1; 2; 0
dP A A∩=
.
Phương trình đường
(
)
( )
( )
1; 2; 0
, 1; 0;1
dd
P
qua A
u nu

= =

  
.
Phương trình đường
là:
1
2
xt
y
zt
= +
=
=
.
Câu 36: [Mc đ 3] Biết rng hàm s
()Fx
là một nguyên hàm của hàm s
( ) lnfx x x=
và tha mãn
5
(1)
9
F =
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
( )
3
2
4
( ) 3ln 1
9
Fx x x C= −+
. B.
( )
3
2
4
( ) ln 1
9
Fx x x C= −+
.
C.
( )
3
2
4
( ) ln 1 1
9
Fx x x= −+
. D.
( )
3
2
4
( ) 3ln 1 1
9
Fx x x= −+
.
Li gii
( )
d ln .dI f x x x xx= =
∫∫
.
Đặt:
ln
dd
ux
v xx
=
=
ta có
1
dd
2
3
ux
x
v xx
=
=
.
( )
3
2
2224 4
ln d ln 3ln 1
3 33 9 9
I xx x xx xx x xx C x x C= = += −+
5
(1)
9
F =
nên
1C⇒=
.
Vậy
(
)
3
2
4
( ) 3ln 1 1
9
Fx x x= −+
.
Câu 37: [Mức độ 3]. Cho
()Fx
là một nguyên hàm của hàm s
( )
4 32
21
2
x
fx
x xx
+
=
++
trên khoảng
(
)
0;
+∞
tha mãn
( )
1
1
2
F =
. Giá trị ca biểu thức
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 2021SF F F F= + + +…+
viết dưới dng hn s bng
A.
1
2021
2022
. B.
1
2020
2021
. C.
1
2019
2021
. D.
1
2020
2022
.
Li gii
Ta có
( )
( )
2
43
2
2
21 21
2
1
xx
fx
x xx
xx
++
= =
++
+
.
Đặt
( )
2
1t xx x x= += +
( )
d 2 1dtx x⇒= +
.
Khi đó
( ) ( )
( )
2
11 1
dd
1
Fx f x x t C C
t t xx
= = =−+ = +
+
∫∫
.
Mặt khác,
( )
1
1
2
F
=
11
22
C⇒− + =
1C⇒=
.
Vậy
( )
( )
1
1
1
Fx
xx
=−+
+
.
Suy ra
( ) ( ) ( ) ( )
111 1
1 2 3 2021 ... 2021
1.2 2.3 3.4 2021.2022
11111 1 1 1
1 ... 2021 1 2021
2 2 3 3 4 2021 2022 2022
11
2020 2020 .
2022 2022
SF F F F

= + + ++ = ++++ +



=−+−+−++ + = +


=+=
Câu 38: [Mc đ 3] Tìm nguyên hàm
()Fx
ca hàm s
2
() (, ; 0)
b
f x ax a b x
x
=+ ∈≠
; biết
(2) 2F =
,
(1) 3F =
,
1 19
28
F

=


.
A.
2
19
()
22
x
Fx
x
= −+
. B.
2
19
()
22
x
Fx
x
= ++
.
C.
2
11
()
22
x
Fx
x
= ++
. D.
2
19
()
22
x
Fx
x
= −+
.
Li gii
Xét trên khoảng
(0; )
+∞
. Ta có:
2
2
( ) ( )d
2
b ax b
F x ax x C
xx
= + = −+
(2) 2 2
2
b
F aC= −+=
;
(1) 3
2
a
F bC= −+ =
;
1 19
2
28 8
a
F bC

= +=


Suy ra:
9
1, 1,
2
a bC
=−= =
Vậy:
2
19
()
22
x
Fx
x
= −+
Câu 39: [Mc đ 3] Cho tích phân
4
0
d
( 2) 2 1
x
I
xx
=
++
. Đặt
21tx= +
ta
3
2
1
d
a
Ix
bt c
=
+
, vi
,,abc
,ac
nguyên tố cùng nhau. Tính
23T ab c= −+
A.
12
. B. 8. C.
10
. D.
14
.
Li gii
Đặt
2
21 212d2d d d
t x t x tt x x tt
= + = +⇒ = =
Đổi cn:
01xt= ⇒=
43
xt= ⇒=
Suy ra:
33
2
2
11
d2
d
3
1
2
2
tt
It
t
t
t
= =
+

+


∫∫
Vậy:
2, 1, 3a bc= = =
hay
2 3 12T ab c= −+ =
Câu 40: [Mc đ 3] Cho tích phân
3
2
ln( 1)d ln 2 ln 3I x xa b c= += + +
(,, )abc
. Tính giá trị biu thc
P abc=++
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Li gii
Đặt
1
ln( 1) d d
1
ux u x
x
= +⇒ =
+
ddvx=
chn
1vx= +
.
Ta có:
33
3
2
22
ln( 1)d ( 1) ln( 1) dI x xx x x
= + =+ +−
∫∫
8ln 2 3ln 3 1
=−−
.
Vậy:
831 4P abc= ++ =−=
.
Câu 41: [Mc độ 3] Cho
(
)
e
2
1
2ln 1
d ln
ln 2
x ac
x
bd
xx
+
=
+
vi
a
,
b
,
c
là các s nguyên dương, biết
;
ac
bd
các phân số tối giản. Tính giá trị
abcd+−−
?
A.
16
. B.
15
. C.
10
. D.
17
.
Li gii
Đặt
d
2 ln ln 2 d
x
t x xt t
x
=+ =−⇒ =
.
Đổi cn:
1 2; e 3
x tx t
=⇒= =⇒=
. Khi đó:
( )
( )
e3
2
2
12
2 21
2ln 1
dd
ln 2
t
x
I xt
t
xx
−+
+
= =
+
∫∫
3
3
2
2
2
23 3 91
d 2ln ln
42
tt
tt t

= = +=


.
Vậy
941210abcd+ + + = + −− =
.
Câu 42: [Mc đ 3] Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
( )
11
:
1 14
xyz
d
−−
= =
và mặt phẳng
( )
:220Px y z+−=
. Gi
( )
S
là mt cầu m nằm trên đường thẳng
( )
d
, có bán kính nh
nhất, tiếp xúc với
( )
P
và đi qua điểm
(
)
1; 2; 0A
. Viết phương trình mặt cầu
( )
S
.
A.
(
)
2 22
158
:9
333
Sx y z
 
+ +− =
 
 
. B.
( ) ( ) ( )
22
2
:1 1 1Sx y z ++ +=
.
C.
( )
2 22
158
:9
333
Sx y z
 
++−+=
 
 
. D.
( ) (
) ( )
22
2
:1 1 1Sx y z−+−+=
.
Li gii
Gi
, IR
lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu
( )
S
. Ta có:
( )
Id
.
( ) ( )
1 ;1 ;4 ; 1;4I t t t AI t t t + = −−

.
( )
S
tiếp xúc với
( )
P
A
nên ta có:
( )
(
)
22
,
0 1
18 2 1 1 3 9 8 0
8 11
93
IP
tR
R AI d t t t t t
tR
= ⇒=
= = ++= +=
=−⇒ =
.
Do mặt cầu
( )
S
có bán kính nh nhất nên ta chọn
0t =
, suy ra
( )
1;1; 0 , 1IR=
.
Vậy
( ) ( ) ( )
22
2
:1 1 1Sx y z−+−+=
.
Câu 43: [Mc đ 3] Trong không gian vi h tọa đ
Oxyz
, cho tam giác
ABC
(1; 0; 0), (0; 2;3), (1;1;1).AB C
Phương trình mặt phẳng
( )
P
cha
,AB
sao cho khoảng cách từ
C
tới
( )
P
bng
2
3
A.
10xyz
+ +−=
hoc
23 37 17z 23 0xy + + +=
.
B.
2 10xy z+ + −=
hoc
23 3 7 23 0.xyz +++=
C.
2 10
x yz+ +−=
hoc
13 3 6 13 0.
xyz +++=
D.
2 3 10x yz+ +−=
hoc
3 7 3 0.xy z++ −=
Li gii
Gi s
(
)
;;n abc
=
là véc tơ pháp tuyến ca mặt phẳng
( )
P
.
Ta có
( )
1;2;3 230 23.nAB abc a bc
= ⇒− + = =− +

(
)
222
2
: ax by cz a 0 ( ;( ))
3
bc
P dC P
abc
+
+ + −= = =
++
.
( )
2
22 2 2
3 2 2 3 17 54 37 0b c b c b c b bc c
+ = + +− + + =
.
1
37
17, 37
17
bc
bc
cb
bc
=
= =
⇔⇔
= =
=
TH1:
1 1 ( ):x y z 1 0bc a P= = = ++−=
.
TH2:
37, 17 23 ( ) : 23x 37 y 17 z 23 0bc a P= = ⇒= + + + =
.
Câu 44: [Mc đ 3] Trong không gian
Oxyz
cho điểm
( )
2;1;1M
. Tồn tại bao nhiêu mặt phẳng đi qua
M
và chắn trên ba trục ta đ các đon thẳng có độ dài bng nhau và khác 0.
A.
2
B.
3
C.
4
D.
1
Li gii
Gi s
( ) ( ) ( )
; 0; 0 , 0; ; 0 , 0; 0;Aa B b C c
vi
.. 0abc
. Khi đó phương trình mặt phẳng
( )
ABC
có dng
1
xyz
abc
++=
.
Vì mặt phẳng đi qua
( )
2;1;1M
nên
211
1 (*)
abc
++=
.
Theo bài ra ta có
ba
OA OB OC a b c
ca
= ±
= = ⇔==
= ±
.
Trưng hợp 1 :
ba
ca
=
=
từ
( )
4
(*) 1 4 : 1
444
xyz
a ABC
a
=⇒= ++=
.
Trưng hợp 2 :
ba
ca
=
=
từ
( )
2
(*) 1 2 : 1
222
xyz
a ABC
a
=⇒= +=
.
Trưng hợp 3 :
ba
ca
=
=
từ
( )
2
(*) 1 2 : 1
222
xyz
a ABC
a
== −+=
Trưng hợp 4 :
ba
ca
=
=
từ
(*) 0 1⇒=
vô nghiệm suy ra không tồn tại mặt phẳng.
Vậy có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 45: [Mc đ 3] Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
( )
2;1; 3A
,
( )
3; 0; 2B
,
( )
0; 2;1C
. Gọi
( )
P
mặt phẳng đi qua
,
AB
và cách
C
một khoảng lớn nhất, phương trình của
( )
P
A.
2 3z 12 0
xy
−+ =
. B.
3 2z 13 0xy++ =
. C.
3 2 z 11 0
xy+ +− =
. D.
30xy+−=
.
Li gii
Gi
,HK
lần lượt là hình chiếu ca
C
lên mặt phẳng
( )
P
và đoạn thẳng
AB
.
Ta có
( )
(
)
( )
( )
,,CH d C P CK d C P= ≤⇒
ln nhất khi
HK
.
Khi đó mặt phẳng
( )
P
đi qua
,AB
vuông góc với mặt phẳng
( )
ABC
Ta có
( )
(
)
, 9; 6; 3
P
ABC
n n AB

= =−−−

  
( )
:3 2 11 0.
P x yz
+ +− =
Câu 46: [Mc đ 4] Cho hàm s
(
)
fx
liên tc trên
thoả mãn
( ) ( )
3
21f x fx x+=
vi mi
x
. Tích phân
( )
1
2
d
a
fx x
b
=
biết
a
b
là phân số tối gin. Tính
22
ab+
?
A.
11
. B.
41
. C.
305
. D.
65
.
Li gii
Đặt
( )
t fx=
thì
3
21tt x
+=
, suy ra
( )
2
3 2d d
t tx+=
.
Vi
2x =
ta có
3
2 30tt+ −=
, suy ra
1
t =
.
Vi
1x =
ta có
3
20tt+=
, suy ra
0t =
.
Ta có
( )
(
) ( )
1
10 1
2 3 42
21 0
0
37
d 3 2 d= 3 2 d=
44
fx x t t t t t t t t

= + + +=


∫∫
.
Vậy
22
49 16 65
ab
+=+=
.
Câu 47: [Mức độ 4] Cho hàm s
( )
fx
nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn
[ ]
0;
.
Biết
( )
31f =
( ) ( )
2
26
.3 e
xx
fxf x
−=
, vi mi
[ ]
0;x

.
Tính tích phân
( )
( )
( )
32
3
0
9
d
x x fx
Ix
fx
−′
=
.
A.
243
5
. B.
243
10
. C.
486
5
. D.
243
5
.
Li gii
Theo gi thiết, ta có
( ) ( )
2
26
.3 e
xx
fxf x
−=
( )
fx
nhận giá trị dương nên
( ) ( )
2
26
ln . 3 ln e
xx
fxf x
−=


( ) (
)
2
ln ln 3 2 6fx f x x x+ −=
.
Mặt khác, với
0x =
, ta có
( ) ( )
0. 3 1ff=
( )
31f =
nên
( )
01f =
.
Xét
( )
( )
( )
32
3
0
29
d
x x fx
Ix
fx
−′
=
, ta có
(
)
( )
( )
3
32
0
2 9. d
fx
I xx x
fx
=
Đặt
( )
( )
32
29
dd
ux x
fx
vx
fx
=
=
ta có
(
)
(
)
2
d 6 18 d
ln
u x xx
v fx
=
=
Suy ra
( )
(
)
( )
( )
3
3
32 2
0
0
2 9 ln 6 18 .ln dI x x fx x x fx x

= −−

( )
( )
3
2
0
6 18 .ln dx x fx x=−−
(
)
1
.
Đến đây, đổi biến
3xt=
ddxt⇒=
. Khi
03xt= →=
30xt=→=
.
Ta có
( )
( )( )
0
2
3
6 18 .ln 3 dI t tftt= −−
( )
( )
3
2
0
6 18 .ln 3 dt t f tt=−−
Vì tích phân không phụ thuộc vào biến nên
( )
( )
3
2
0
6 18 .ln 3 dI x x f xx=−−
( )
2
.
T
( )
1
(
)
2
ta cộng vế theo vế, ta được
( )
( ) ( )
3
2
0
2 6 18 . ln ln 3 dI x x fx f x x=−− +


Hay
( ) ( )
3
22
0
1
6 18 . 2 6 d
2
I x x x xx=−−
243
5
=
.
Câu 48: [Mc đ 4] Mt cng chào có dng hình Parabol chiu cao
18 m
, chiu rộng chân đế
12 m
.
Ngưi tang hai si dây trang trí
AB
,
CD
nm ngang đồng thời chia hình gii hn bi Parabol
và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình v bên). Tỉ s
AB
CD
bng
A.
1
2
. B.
4
5
. C.
3
1
2
. D.
3
122+
.
Lời giải
Chn h trục tọa độ
Oxy
như hình vẽ.
Phương trình Parabol có dạng
2
.y ax=
(
)
P
.
(
)
P
đi qua điểm có tọa độ
( )
6; 18−−
suy ra:
(
)
2
1
18 . 6
2
aa = ⇔=
( )
2
1
:
2
Py x⇒=
.
T hình v ta có:
1
2
x
AB
CD x
=
.
Diện tích hình phẳng gii bn bởi Parabol và đường thẳng
2
1
1
:
2
AB y x=
1
22
11
0
11
2d
22
x
S x xx


= −−




1
3
23
11
0
11 2
2.
23 2 3
x
x
xx x

=−+ =


.
Diện tích hình phẳng gii hn bởi Parabol và đường thẳng
CD
2
2
1
2
yx=
2
22
22
0
11
2d
22
x
S x xx


= −−




2
3
23
22
0
11 2
2.
23 2 3
x
x
xx x

=−+ =


T gi thiết suy ra
33
2121
22SSxx= ⇔=
1
3
2
1
2
x
x
⇔=
.
Vậy
1
3
2
1
2
x
AB
CD x
= =
.
Câu 49: [Mc đ 4] Trong không gian
Oxyz
cho hai điểm
( ) ( )
1; 0; 1 , 1; 2; 3AB−−
. Đim
M
tha mãn
.1M MBA =
 
, đim
N
thuộc mt phng
( )
:2 2 4 0P xy z−+ +=
. Tìm giá tr nh nht đ dài
MN
.
A.
2
B.
1
C.
3
D.
5
Li gii
Gi s
( ) ( ) ( )
; ; 1; ; 1 , 1; 2; 3M x y z MA x y z MB x y z =+ =−+
 
.
( ) ( )
22
22 2 2
. 1 1 2 4 31 1 2 4M MB x y y z z x zA y
=⇔−+++−+=⇔+++ =
 
.
Suy ra tập hợp điểm
M
thuộc mặt cầu
( )
S
tâm
( )
0; 1; 2I
bán kính
2R =
.
Ta có
( )
( )
;3dI P R= >
nên mặt phẳng không cắt mặt cầu.
Gi
H
hình chiếu ca
I
lên mặt phẳng
(
)
P
,
K
giao điểm đon
IH
vi mt cu
( )
S
. Ta
d dàng chứng minh được
( )
( )
; 321MN KH IH R d I P R = −= −==
.
Vậy giá trị nh nhất độ dài
MN
bng
1
.
Câu 50: [Mc đ 4] Trong không gian
Oxyz
, cho mt cu
( )
(
) (
)
( )
222
: 2 3 59
Sx y z
+ +− =
và tam
giác
ABC
( ) (
)
( )
5;0;0 , 0;3;0 , 4;5;0ABC
. Gi
( )
;;M abc
là đim thuc
( )
S
sao cho thể tích
tứ din
MABC
đạt giá trị ln nhất. Giá trị ca
222
abc++
bng
A.
77.
B.
38
. C.
17
. D.
55
.
Li gii
Mặt cầu
(
)
S
có tâm
( )
2;3;5I
và bán kính
3R
=
Mặt phẳng
( )
ABC
có phương trình
0z =
.
( )
( )
,5d I ABC R= >
suy ra mặt phẳng
( )
ABC
không cắt mặt cầu
( )
.S
Th tích t din
MABC
( )
( )
1
,.
3
ABC
V d M ABC S=
Để
V
có thể tích ln nhất thì
( )
( )
,d M ABC
phải ln nhất
Gi
d
là đường thẳng qua
M
và vuông góc mặt phẳng
( )
ABC
( ) ( )
( )
,M d S d M ABC⇒=
ln nhất khi
Id
.
Vậy phương trình đường thẳng
2
:3
5
x
dy
zt
=
=
= +
. Thế vào pt mặt cầu ta tìm được
3
3
t
t
=
=
Vậy ta có
( ) ( )
12
2; 3; 8 , 2; 3; 2MM
. Nhận thấy
( )
( )
(
)
( )
12
,,d M ABC d M ABC
>
.
Do đó tọa độ
M
( )
2; 3; 8M
.
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II
MÔN: TOÁN 12 ĐỀ S: 05
Câu 1:
( )
2
3 1d
xx+
bng
A.
3
3x xC++
. B.
3
x xC++
. C.
3
xC
+
. D.
3
3
x
xC++
.
Câu 2: H tt c các nguyên hàm ca hàm s
( )
2cos sinfx x x=
A.
2sin cosx xC−+
. B.
2sin cos
x xC −+
. C.
2sin cosx xC++
. D.
2sin cosx xC ++
.
Câu 3:
(
)
4
2
2 1dxx x
+
bng
A.
(
)
5
2
1
5
x
C
+
+
. B.
( )
5
2
1
4
x
C
+
+
. C.
( )
5
2
21
5
x
C
+
+
. D.
( )
5
2
1xC++
.
Câu 4:
1
sin 3 d
3
xx



bng
A.
11
cos 3
33
xC

−+


. B.
1
cos 3
3
xC

−+


. C.
11
cos 3
33
xC

−+


. D.
11
sin 3
33
xC

−+


.
Câu 5:
( )
5d
x
xx+
bng
A.
2
2 l5
5
n
x
x
C++
. B.
2
n5 l5
2
.
x
x
C++
. C.
1
l
5
n5
x
C++
. D.
2
l5
5
n
x
xC++
.
Câu 6:
1 3ln .ln
d
xx
x
x
+
bng
A.
( ) ( )
22
2
1 3ln 1 3ln 1
9

+ + −+

x xC
. B.
( )
1 3ln 1
1 3ln 1 3ln
53
+

+ + −+


x
xx C
.
C.
( )
2 1 3ln 1
1 3ln 1 3ln
9 53
+

+ + −+


x
xx C
. D.
( )
2 1 3ln 1
1 3ln 1 3ln
3 53
+

+ + −+


x
xx C
.
Câu 7: Cho hàm s
()fx
tha mãn
( )
3
4 () () 2 ()
,0
() 0
+=
∀≥
>
x
e fx f x fx
x
fx
. Tính
ln 2
0
( )d=
I fx x
.
A.
1
12
=I
. B.
. C.
. D.
.
Câu 8: Biết rng
()gx
là mt nguyên hàm ca
( )
( 1) sinfx x x= +
, tính
()
π
g
.
A.
0
. B.
1
π
+
. C.
2
π
+
. D.
1
.
Câu 9: Tính
4
1
1
.d
2
x
Ix
x
+
=
.
A.
4
3
=I
. B.
2=I
. C.
10
3
=I
. D.
2
3
=I
.
Câu 10: Cho
( )
2
1
d3fx x=
. Khi đó
( )
2
1
d
e
fx
x
bng
A.
3
e
. B.
2
e
C.
2
3e
. D.
3
e
.
Câu 11:
( )
1
2
2
3 2dx xx
bng
A.
12
. B.
4
. C.
12
. D.
8
.
Câu 12:
1
2
2
d
2
x
x
bng
A.
2ln 2
. B.
4ln 2
. C.
ln 2
. D.
4ln 2
.
Câu 13: Biết rng
3
3
2
0
1e
de
e e1
x
b
xx
xa
=
++
vi
, hãy tính
ba
.
A.
1ba
−=
. B.
1ba−=
. C.
. D.
7ba−=
.
Câu 14: Cho hàm s
( )
y fx=
sao cho
(
)
fx
liên tc trên
,
( )
2
1
d 3 ln 2
fx
x
x
=
(
)
2 3.
f
=
Tính
(
)
2
1
.ln d
I f x xx
=
.
A.
4ln 2 3I =
. B.
2ln 2 3I =
. C.
2ln 2 3I = +
. D.
3ln 2 4
I =
.
Câu 15: Biết
3
3
23 1
d 10 ln 2 ln 3 ln 7
4
xx
I x abc
x
−− +
= =−+ + +
+
vi
,,abc
. Tính
T abc
=++
.
A.
4
T
=
. B.
21T =
. C.
9T =
. D.
.
Câu 16: Gi s hàm s
()fx
liên tục dương trên đoạn
[
]
0;3
tha mãn
( ). (3 ) 4fx f x−=
. Tính tích
phân
( )
3
0
1
d
2
Ix
fx
=
+
.
A.
3
5
I =
. B.
1
2
I =
. C.
3
4
I =
. D.
1
3
I =
.
Câu 17: Cho hàm s
( )
fx
có đồ th như hình vẽ bên dưới.
Diện tích hình phẳng gii hn bi đ th hàm s
( )
fx
và trc
Ox
đưc tính theo công thc nào
sau đây?
A.
( )
2
1
dfxx
. B.
(
)
2
1
3
dfxx
. C.
( )
( )
1
2
3
1
1
3
ddfxx fxx
∫∫
. D.
( )
( )
1
2
3
1
1
3
ddfxx fxx
−+
∫∫
.
Câu 18: Tính din tích hình phẳng gii hn bởi đồ th hàm s
( ) ( )( )
( )
2
12 1fx x x x=−− +
và trc
Ox
.
A.
11
20
. B.
1
20
. C.
19
20
. D.
117
20
.
Câu 19:
Gi
S
là din tích của hình phẳng gii hn bi parabol
2
3
22
xx
y 
đường thng
1.
yx
Ta có
A.
3
2
S
B.
11
.
2
S
C.
3
.
4
S
D.
9
.
4
S
Câu 20: Hình vẽ dưới đây là mt mảnh vườn hình Elip có bốn đỉnh là
,, ,;IJKL
,ABCD EFGH
là các
hình chữ nht;
10m, =6mIJ KL
,
5m, 3mAB EH
. Biết rng kinh phí trng hoa là
50000
đồng/
2
m
, hãy tính s tiền (làm tròn đến hàng đơn vị) dùng để trng hoa trên phn gch sc.
A.
2869834
đồng. B.
1434917
đồng. C.
đồng. D.
đồng.
Câu 21: Mt qun th virut Corona
P
đang thay đổi vi tc đ
( )
5000
1 0,2
=
+
Pt
t
, trong đó
t
là thi gian
tính bng gi. Qun th virut Corona
P
ban đầu (khi
0t =
) có s ng là
1000
con. S ng
virut Corona sau
3
gi gn vi s nào sau đây nhất?
A.
16000
. B.
21750
. C.
12750
. D.
11750
.
Câu 22: Cho hình
( )
H
gii hn bi đ th m s
, trục hoành, các đường thng
1, 2xx= =
.
Biết rng khi tròn xoay do
( )
H
quay quanh trc
Ox
to ra có th tích là
ln a
π
. Giá tr ca
a
A.
6
. B.
2
. C.
4
. D.
8
.
Câu 23: Cho hình
( )
H
gii hn bi đ th m s
,
, các đưng thng
0,
4
xx
π
= =
. Biết
rng khi tròn xoay do
( )
H
quay quanh trc
Ox
tạo ra có thể tích là
a
π
, hi rằng có bao nhiêu
s nguyên nm trong khong
( )
;10a
?
A.
6
. B.
7
. C.
8
. D.
9
.
Câu 24: Cho hình thang cong giới hn bi đ th hàm s
yx=
, trục hoành, các đường thng
1x =
4x =
. Th tích ca khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang cong trên quanh trục
Ox
bng
A.
4
1
dxx
. B.
4
1
dxx
π
. C.
. D.
.
Câu 25: Cho
,ab
là hai s thực dương. Gọi
( )
H
hình phẳng gii hn bi parabol
2
y ax=
đường
thng
. Quay
( )
H
quanh trc hoành thu được khi th tích là
1
V
, quay
( )
H
quanh
trc tung thu được khối có thể tích là
2
V
. Tìm
b
sao cho
12
VV
=
.
A.
13A =
. B.
19A =
. C.
21A =
. D.
29A =
.
Câu 26: Vn tc (tính bng
m
s
) ca mt ht chuyển động theo mt đường được xác đnh bi công thc
( )
32
8 17 10=−+vt t t t
, trong đó t được tính bng giây.
Tổng quãng đường mà hạt đi được trong khong thi gian
là bao nhiêu?
A.
32
m
3
. B.
71
m
3
. C.
38
m
3
. D.
71
m
6
.
Câu 27: Biết
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
3
41fx x= +
. Tính giá trị của
( )
1F
.
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Câu 28: Cho hàm số
( )
fx
xác định trên
{ }
\2
thỏa mãn
( )
1
2
fx
x
=
,
( )
1 2020f =
,
( )
3 2021f =
.
Tính
( ) ( )
40Pf f=
.
A.
4P
=
. B.
ln 2P =
. C.
ln 4041P =
. D.
1P
=
.
Câu 29: Trong không gian
Oxyz
, cho
( )
( )
1; 2;5 , 0;2; 1
ab=−=

. Nếu
4ca b
=

thì
c
có tọa độ
A.
( )
1;0;4
. B.
( )
1;6;1
. C.
( )
1; 4;6
. D.
( )
1; 10;9
.
Câu 30: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( )
2;1;1A
,
( )
3;2; 1B
. Độ dài đoạn thng
AB
bng
A.
30
. B.
10
. C.
22
. D.
2
.
Câu 31: Trong không gian
Oxyz
, cho
( )
2; 3;4u =
,
( )
3; 2;2v =−−
khi đó
.uv

bng
A.
20
. B.
8
. C.
46
. D.
22
.
Câu 32: Trong không gian
Oxyz
, cho
( )
1;0;6A
,
( )
0;2; 1B
,
( )
1;4;0C
. Bán kính mt cu
( )
S
tâm
( )
2;2; 1I
và tiếp xúc vi mt phng
( )
ABC
bng
A.
83
3
. B.
8 77
77
. C.
16 77
77
. D.
16 3
3
.
Câu 33: Trong không gian
Oxyz
, cho mt cu
( ) (
) ( ) ( )
2 22
:1 2 14Sx y z+ + +− =
. Tìm ta đ tâm
I
bán kính
R
ca mt cu
( )
S
.
A.
( )
1; 2;1I
2
R
=
. B.
( )
1;2;1
−−I
2
R
=
.
C.
( )
1; 2;1I
4R =
. D.
( )
1;2;1−−I
4R =
.
Câu 34: Trong không gian
Oxyz
cho hai điểm
( 2;1; 0)
A
,
(2; 1; 2)B
. Phương trình mặt cu
( )
S
có tâm
B
và đi qua
A
A.
( ) ( )
22
2
2 1 ( 2) 24x yz ++ +− =
. B.
( ) ( )
22
2
2 1 ( 2) 24x yz ++ +− =
.
C.
( ) ( )
22
2
2 1 24x yz+ +− +=
. D.
( ) ( )
22
2
2 1 ( 2) 24x yz + +− =
.
Câu 35: Trong không gian
Oxyz
cho hai điểm
( 2;1; 0)
A
,
(2; 1; 4)
B
. Phương trình mặt cu
( )
S
đường kính
AB
A.
22 2
( 2) 3 . xy z+ +− =
B.
22 2
( 2) 3 .xy z+ ++ =
C.
22 2
( 2) 9.xy z+ +− =
D.
22 2
( 2) 9 .xy z+ ++ =
Câu 36: Th tích khi cu ngoi tiếp t diện đều
ABCD
cnh
a
A.
3
6
8
a
V
π
=
. B.
3
6
4
a
V
π
=
. C.
3
3
8
a
V
π
=
. D.
2
6
8
a
V
π
=
.
Câu 37: Trong không gian
Oxyz
, cho mt cu
( )
S
có tâm thuc trc
Ox
và đi qua hai điểm
( )
1; 2; 1A
. Phương trình của
( )
S
A.
( )
2
22
4 14.x yz ++=
B.
( )
2
22
4 14.x yz+ ++=
C.
2 22
( 4) 14.xy z+− +=
D.
22 2
( 4) 14.xy z+ +− =
Câu 38: Trong không gian
Oxyz
, cho mt cu
( )
S
tâm
(
)
1; 2; 3I
và tiếp xúc vi mt phng
( )
:2 2 3 0P x yz ++=
. Phương trình của
( )
S
A.
( ) ( ) ( )
2 22
1 2 3 16.xy z ++ +− =
B.
( ) ( ) ( )
2 22
1 2 3 9.xy z ++ +− =
C.
(
) ( ) (
)
2 22
1 2 3 16.xy z+ + ++ =
D.
( ) ( )
( )
2 22
1 2 3 4.xy z ++ +− =
Câu 39: Trong không gian
Oxyz
cho
( )
;0;0Aa
,
( )
0; ; 0Bb
,
( )
0;0;Cc
,
(
)
22 22 22
;;Daabcbaccab++ + +
(
0a >
,
0b
>
,
0c >
). Din tích tam giác
ABC
bng
3
.
2
Tìm khoảng cách t
B
đến mt phng
( )
ACD
khi
.A BC D
V
đạt giá tr ln nht.
A.
6
2
. B.
3
. C.
2
. D.
2
2
.
Câu 40: Trong không gian vi h ta đ
Oxyz
, cho hai điểm
( )
1;1; 3 ; F(0;1; 0)E
và mt phng
( ) : 1 0.Pxyz+ +−=
Gi
(;;) ()M abc P
sao cho
23ME MF
 
đạt giá tr nh nht. Tính
3a 2 .T bc=++
A.
4.
B.
3.
C.
6.
D.
1.
Câu 41:
Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
(1;2;5), (3;0; 1)AB
. Mt phng trung trc của đoạn
thng
AB
có phương trình là
A.
3 60
xy z+ +=
. B.
3 50xy z +=
. C.
3 10xy z +=
. D.
2 2 10 0
xy z
++ + =
.
Câu 42: Trong không gian
Oxyz
, mt phẳng đi qua điểm
( )
1;2;4A
và song song vi mt phng
(
)
:4 5 0P xyz
+−+=
có phương trình là
A.
4 50
xyz++−=
. B.
4 20xyz++−=
. C.
40xyz+−=
. D.
4 60
xyz+−+=
.
Câu 43: Trong không gian
Oxyz
, gi
( )
P
là mt phẳng đi qua điểm
(
)
4;1; 2
M
, đồng thời vuông góc
vi hai mt phng
( )
: 3 40Qx yz +−=
( )
:2 3 1 0R xy z + +=
. Phương trình của
( )
P
A.
8 5 23 0xy z−+ + =
. B.
4 5 25 0xy z+− + =
. C.
8 5 41 0xy z+− + =
. D.
8 5 43 0xy z−− =
.
Câu 44: Trong không gian
Oxyz
, cho mt cu
( )
S
:
( ) ( )
( )
2 22
1 2 19xy z+ + +− =
. Mt phng
( )
P
tiếp
xúc vi
( )
S
ti đim
(
)
1; 3; 1
A
có phương trình là
A.
2 2 70xy z+ −=
. B.
2 2 70xy z++ −=
. C.
2 10 0xyz++ =
. D.
2 2 20xy z+ +=
.
Câu 45: Trong không gian
O
xyz
, cho mt phng
( )
:2 2 1 0P xy z + +=
hai điểm
( )
(
)
1;0; 2 , 1; 1;3AB
−−
. Mt phng
( )
Q
đi qua hai điểm
,AB
vuông góc với
( )
P
phương trình dạng
50ax by cz + +=
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
21abc++=
. B.
7abc++=
. C.
21
abc
++=
. D.
7abc++=
.
Câu 46: Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
( ) ( )
0;1;2 , 2; 2;1AB
,
( )
2;1;0C
. Khi đó mặt phng
( )
ABC
có phương trình là
A.
10
xyz
+ +=
. B.
6 60xyz+−−=
. C.
60xyz++=
. D.
30xyz+ −=
.
Câu 47: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
Q
song song mặt phẳng
( )
: 2 2 17 0P x yz ++ =
.
Biết mặt phẳng
( )
Q
cắt mặt cầu
( ) (
) ( )
22
2
: 2 1 25
Sx y z+ ++ =
theo giao tuyến là một đường
tròn có bán kính
3.r =
Khi đó mặt phẳng
( )
Q
có phương trình là
A.
2 2 70x yz +−=
. B.
2 2 17 0x yz
+− =
. C.
2 2 17 0x yz ++ =
. D.
2 70
xy z+ −=
.
Câu 48: Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
( )
:0y
α
=
trùng với mặt phẳng nào dưới đây?
A.
()Oxy
. B.
( )
Oyz
. C.
(
)
Oxz
. D.
.
Câu 49: Trong không gian
Oxyz
, cho bốn điểm
,
( )
0; 2;0B
,
( )
0;0; 4C
,
( )
0;0;3M
. Tính khong
cách t
M
đến mt phng
( )
ABC
.
A.
4 21
21
. B.
2
21
. C.
1
21
. D.
3 21
21
.
Câu 50: Trong không gian
Oxyz
, cho mt phng
( )
:0Pz=
hai điểm
( )
2; 1; 0A
,
( )
4; 3; 2B
. Gi
( ) ( )
;;M abc P
sao cho
MA MB=
góc
AMB
số đo lớn nhất. Khi đó đẳng thc nào sau
đây đúng?
A.
0c >
. B.
26ab+=
. C.
. D.
23
5
ab+=
.
NG DN GII CHI TIT
Câu 1: [Mức độ 1]
(
)
2
3 1d
xx
+
bng
A.
3
3x xC
++
. B.
3
x xC++
. C.
3
xC+
. D.
3
3
x
xC++
.
Li gii
Ta có:
( )
3
23
3 1d 3 .
3
x
x x xC x xC+ = ++ = ++
Câu 2: [Mức độ 1] H tt c các nguyên hàm ca hàm s
( )
2cos sinfx x x=
A.
2sin cosx xC−+
. B.
2sin cosx xC −+
.
C.
2sin cosx xC
++
. D.
2sin cosx xC ++
.
Li gii
Ta có:
( )
2cos sin d 2sin cosx x x x xC = ++
.
Câu 3: [Mức độ 2]
( )
4
2
2 1dxx x
+
bng
A.
( )
5
2
1
5
x
C
+
+
. B.
( )
5
2
1
4
x
C
+
+
. C.
( )
5
2
21
5
x
C
+
+
. D.
( )
5
2
1xC++
.
Li gii
Đặt
, ta được
.
Khi đó
( )
4
2
2 1dxx x+
5
4
d
5
t
tt C= = +
.
Thay
, ta được
( )
4
2
2 1dxx x+
(
)
5
2
1
5
x
C
+
= +
.
Câu 4: [Mức độ 1]
1
sin 3 d
3



xx
bng
A.
11
cos 3
33
xC

−+


. B.
1
cos 3
3
xC

−+


.
C.
11
cos 3
33
xC

−+


. D.
11
sin 3
33
xC

−+


.
Li gii
Ta có:
11
sin 3 d 3
33
1
cos
3
=
 
−+
 
 
xx x C
.
Câu 5: [Mức độ 1]
( )
d5+
x
x x
bng
A.
2
2 l5
5
n
x
x
C++
. B.
2
n5 l5
2
.
x
x
C++
.
C.
1
l
5
n5
x
C++
. D.
2
l5
5
n
x
xC++
.
Li gii
Ta có
( )
( )
2
dd
2 ln 5
5
5= + =++
∫∫
x
x
x
fx x xx C
Câu 6: [Mức độ 3]
1 3ln .ln
d
+
xx
x
x
bng
A.
(
) (
)
22
2
1 3ln 1 3ln 1
9

+ + −+

x xC
.
B.
(
)
1 3ln 1
1 3ln 1 3ln
53
+

+ + −+


x
xx C
.
C.
( )
2 1 3ln 1
1 3ln 1 3ln
9 53
+

+ + −+


x
xx C
.
D.
( )
2 1 3ln 1
1 3ln 1 3ln
3 53
+

+ + −+


x
xx C
.
Li gii
Đặt
1 3lntx= +
, suy ra
2
1 3lntx= +
.
Ta có:
3
2d d=tt x
x
;
2
1
ln
3
t
x
=
.
Khi đó
( )
2 53
42
1 3ln .ln 1 2 2 2
d dd
3 3 9 95 3

+−
= ⋅⋅ = = +


∫∫
xx t tt
x t tt t t t C
x
Hay
( )
1 3ln .ln 2 1 3ln 1
d 1 3ln 1 3ln
9 53
++

= + + −+


xx x
x xx C
x
.
Câu 7: [Mc đ 4]. Cho hàm s
()fx
tha mãn
( )
3
4 () () 2 ()
,0
() 0
+=
∀≥
>
x
e fx f x fx
x
fx
.
Tính
ln 2
0
( )d=
I fx x
.
A.
1
12
=I
. B.
. C.
. D.
.
Li gii
Ta có:
( ) ( )
( )
3 22
() 1
e 4 2 () 2e () e .
e
2 ()
+= + =
x xx
x
fx
f x f x fx fx
fx
( )
( )
2
1
e.
e
⇔=
x
x
fx
.
Do đó
2
e . ()
x
fx
là mt nguyên hàm ca
1
e
x
, tc
2
e . ()
x
fx
1
e
=−+
x
C
.
Thay
0x =
vào ta được
2C =
. Tìm đưc
2
23
21
()
ee

=


xx
fx
.
2
ln 2 ln 2 ln 2
23 456
00 0
2 1 4 4 1 37
( )d d d
e e e e e 320

= = = −+ =


∫∫
xx xxx
I fx x x x
.
Câu 8: [Mc đ 2]. Biết rng
()gx
là mt nguyên hàm ca
( )
( 1) sinfx x x= +
, tính
()
π
g
.
A.
0
. B.
1
π
+
. C.
2
π
+
. D.
1
.
Li gii
Ta có
( ) ( )( )
1 sin d 1 cos d ( 1)cos cos dx xx x x x x x x x
+ = + =−+ +
∫∫
( 1) cos sin
=−+ + +x x xC
Lúc này, xét
( )
( 1) cos sin
gx x x x C=−+ + +
vi
ta có
1
C =
.
Tc
( ) ( 1) cos sin 1gx x x x=−+ + +
.
Vy
() 2g
ππ
= +
.
Câu 9: [Mức độ 2].Tính
4
1
1
.d
2
+
=
x
Ix
x
.
A.
4
3
=I
. B.
2
=I
. C.
10
3
=I
. D.
2
3
=I
.
Li gii
4
44
3
11
1
1 1 1 10
.d = .d =
23 3
22

+

= −=





∫∫
xx
I x x xx
xx
.
Câu 10: [Mức độ 1] Cho
(
)
2
1
d3
fx x
=
. Khi đó
( )
2
1
d
e
fx
x
bng
A.
3
e
. B.
2
e
C.
2
3e
. D.
3
e
.
Li gii
Ta có
( )
( )
22
11
13
dd
ee e
fx
x fx x= =
∫∫
.
Câu 11: [Mức độ 1]
( )
1
2
2
3 2dx xx
bng
A.
12
. B.
4
. C.
12
. D.
8
.
Li gii
Ta có
( ) ( )
1
1
2 32
2
2
3 2 d 12x xx x x
=−=
.
Câu 12: [Mức độ 1]
1
2
2
d
2
x
x
bng
A.
2ln 2
. B.
4ln 2
. C.
ln 2
. D.
4ln 2
.
Li gii
Ta có
11
1
2
22
21
d 2 d 2ln 2 4ln 2
22
x xx
xx
−−
= = −=
−−
∫∫
.
Câu 13: [Mức độ 2] Biết rng
3
3
2
0
1e
de
e e1
x
b
xx
xa
=
++
vi
, hãy tính
ba
.
A.
1
ba−=
. B.
1ba
−=
. C.
. D.
7ba−=
.
Li gii
Ta có
( )( )
( ) ( )
2
33 3
3
3
3
22
0
00 0
1e e e 1
1e
d d 1e d e 4e
e e1 e e1
x xx
x
xx
xx xx
x x xx
++
= = =−=
++ ++
∫∫
.
Suy ra
4; 3ab= =
.
Câu 14: [Mc đ 2] Cho hàm s
( )
y fx=
sao cho
( )
fx
liên tc trên
,
( )
2
1
d 3 ln 2
fx
x
x
=
( )
2 3.f =
Tính
( )
2
1
.ln dI f x xx
=
.
A.
4ln 2 3I =
. B.
2ln 2 3I =
. C.
2ln 2 3I = +
. D.
3ln 2 4
I =
.
Li gii
Đặt
( )
ln
dd
ux
v fxx
=
=
, chn
(
)
1
dd
ux
x
v fx
=
=
.
Ta có
( )
( )
( )
2
2
1
1
.ln d 2 .ln 2 3 ln 2 4ln 2 3
fx
I fx x x f
x
= = −+ =


.
Câu 15: [Mc đ 3] Biết
3
3
23 1
d 10 ln 2 ln 3 ln 7
4
xx
I x abc
x
−− +
= =−+ + +
+
vi
,,abc
. Tính
T abc=++
.
A.
4
T =
. B.
21T =
.
C.
9T =
. D.
.
Li gii
Đặt
(
)
23 1fx x x=−− +
.
Ta có bảng phá du tr tuyệt đối trong biu thc
( )
fx
như sau
T đó
12 3
31 2
25 41 25
ddd
44 4
−−
+ −− −−
=++
+++
∫∫
x xx
Ix x x
xx x
12 3
3 12
3 15 3
2d4d2d
444
I x xx
x xx
−−

=−−−−

+++

∫∫
10 6ln 3 12ln 2 3ln 7I =−− + +
.
Vậy ta có
12, 6, 3 9ab c T= = =⇒=
.
Câu 16: [Mc đ 3] Gi s hàm s
()fx
liên tc vàơng trên đon
[ ]
0;3
tha mãn
( ). (3 ) 4
fx f x−=
. Tính tích phân
(
)
3
0
1
d
2
Ix
fx
=
+
.
A.
3
5
I =
. B.
1
2
I =
. C.
3
4
I =
. D.
1
3
I =
.
Li gii
Ta có
( ) ( )
(
)
[ ]
( )
( )
.3 4
4
3
0, 0;3
−=
−=
> ∀∈
fxf x
fx
fx
fx x
.
( )
3
0
1
d
2
=
+
Ix
fx
Đặt
3 ddt xt x=−⇒ =
Đổi cn
0 3; 3 0x tx t= ⇒= =⇒=
.
Thay vào ta được
( )
3
0
1
dt
23
I
ft
=
+−
( )
( )
( )
( )
3 33
0 00
11
dd d
4
23 2 4
2
= = =
+− +
+
∫∫
fx
xx x
f x fx
fx
(
)
(
)
3
0
1
d
22
=
+
fx
x
fx
.
( )
( )
( )
( )
33 3
3
0
00 0
22
1 1 2 1 13
d1 d d
2 2 2 2 2 22

+−
= =−==


+++

∫∫
fx
x xx x I
fx fx fx
3 33
2
2 24
⇒= =⇒=I II I
.
Vy
3
4
=
I
.
Câu 17: [Mức độ 1] Cho hàm s
(
)
fx
có đồ th như hình vẽ bên dưới.
Diện tích hình phẳng gii hn bi đ th hàm s
( )
fx
và trc
Ox
đưc tính theo công thc nào
sau đây?
A.
(
)
2
1
d
fxx
. B.
( )
2
1
3
dfxx
.
C.
( )
( )
1
2
3
1
1
3
ddfxx fxx
∫∫
. D.
( ) ( )
1
2
3
1
1
3
ddfxx fxx
−+
∫∫
.
Li gii
Diện tích hình phẳng gii hn bởi đồ th hàm s
( )
fx
và trc
Ox
được tính theo công thc
( ) ( )
( )
1
22
3
1
11
3
d ddfx x fxx fxx
−−
=−+
∫∫
.
Câu 18: [Mc đ 2] Tính din tích hình phẳng gii hn bi đ th hàm s
( ) ( )( )
( )
2
12 1fx x x x=−− +
và trc
Ox
.
A.
11
20
. B.
1
20
. C.
19
20
. D.
117
20
.
Li gii
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ th hàm s
( )
fx
và trc
Ox
( )( )
( )
2
12 1 0x xx +=
.
Phương trình nêu trên có tập nghim là
{ }
1; 2
( )
[ ]
0, 1; 2fx x ∀∈
.
Do đó, diện tích mà ta cn tính là
( )( )
( )
2
2
1
1 2 1dS x xx x=−− +
( )( )
( )
2
2
1
11
12 1d
20
x xx x

= −− + =

.
Câu 19:
[Mc đ 2] Gi
S
là din tích của hình phẳng gii hn bi parabol
2
3
22
xx
y 
đường
thng
1.yx
Ta có
A.
3
2
S
B.
11
.
2
S
C.
3
.
4
S
D.
9
.
4
S
Li gii
Phương trình hoành độ giao điểm ca hai
đường đã cho là
2
2
3
1
22
10
22
2
.
1
xx
x
xx
x
x



Cách 1. (Dựa vào đồ thị)
Ta có
11
2 2 32
22
1
39
1 d 1d .
2
2 2 22 6 4 4
x x xx xx
Sx x x x













Cách 2. (Không vẽ đồ thị)
Ta có
11
2 2 32
22
1
3 99
1d 1d .
2
2 2 22 6 4 44
x x xx xx
S xx x x





 







Câu 20: [Mc đ 4] Hình vẽ dưới đây là mt mảnh vườn hình Elip bốn đỉnh là
,, ,;IJKL
,ABCD EFGH
là các hình ch nht;
10m, =6mIJ KL
,
5m, 3m
AB EH
. Biết rng kinh
phí trng hoa là
50000
đồng/
2
m
, hãy tính s tiền (làm tròn đến hàng đơn vị) dùng để trng hoa
trên phn gch sc.
A.
2869834
đồng. B.
1434917
đồng.
C.
2119834
đồng. D.
đồng.
Li gii
Gọi Elip đã cho là
E
.
Dng h trc
Oxy
như hình vẽ, khi đó
E
có phương trình là
22
1.
25 9
xy

Suy ra
+ Phn phía trên trc
Ox
ca
E
có phương trình là
2
3
25
5
yx

.
+ Phn phía bên phi trc
Oy
ca
E
có phương trình là
2
5
9.
3
xy
Diện tích hình phẳng gii hn bi
,,E AD BC
2,5
22
1
0
3 12 25 25 3 15 3
4 25 d 5 m .
5 5 12 8 2
S xx












Diện tích hình phẳng gii hn bi
,,E EF GH
1,5
22
2
0
5 20 9 9 3 15 3
4 9 dy 5 m .
3 3 12 8 2
Sy












Din tích phần đất trng hoa (phn gch sc) là
2
12
15 3
2. 5 15m .
2
PQRS
SS S S



Vy s tiền dùng để trng hoa là:
đồng, làm tròn đến hàng đơn vị
đồng.
Câu 21: [Mc đ 2] Mt qun th virut Corona
P
đang thay đổi vi tc đ
( )
5000
1 0,2
=
+
Pt
t
, trong đó
t
là thi gian tính bng gi. Qun th virut Corona
P
ban đu (khi
0t =
) có số ng là
1000
con. S ng virut Corona sau
3
gi gn vi s nào sau đây nhất?
A.
16000
. B.
21750
. C.
12750
. D.
11750
.
Li gii
Ta
( ) ( )
( ) ( )
5000 1
d d 5000. ln 1 0,2 25000.ln 1 0,2
1 0,2 0, 2
= = = ++= ++
+
∫∫
Pt Ptt t tC tC
t
.
( )
0 1000=P
1000⇔=C
.
Vy biu thc tính s ng virut Corona vi thi gian
t
bt k là
( ) ( )
25000.ln 1 0,2 1000= ++Pt t
.
Vi
3t =
gi ta có
( ) ( )
3 25000.ln 1 0,2.3 1000 12750,09= + +≈P
.
Vy s ng virut khi
3t =
gi khong
12750
con.
Câu 22: [Mc đ 2] Cho hình
(
)
H
gii hn bi đ th hàm s
, trục hoành, các đường thng
1, 2xx= =
. Biết rng khi tròn xoay do
( )
H
quay quanh trc
Ox
to ra có th tích
ln a
π
.
Giá tr ca
a
A.
6
. B.
2
. C.
4
. D.
8
.
Li gii
Th tích khi tròn xoay nêu trên là
( )
2
2
2
1
1
2
d d 2 ln 2 ln 2 ln 4
b
a
V f xx x x
x
π π π ππ
= = = = =
∫∫
.
Vy
4a =
.
Câu 23: [Mc đ 3] Cho hình
( )
H
gii hn bi đ th hàm s
,
, các đưng thng
0,
4
xx
π
= =
. Biết rng khi tròn xoay do
( )
H
quay quanh trc
Ox
to ra có th tích là
a
π
, hi
rng có bao nhiêu số nguyên nm trong khong
( )
;10a
?
A.
6
. B.
7
. C.
8
. D.
9
.
Li gii
Do trên đoạn
0;
4
π



ta có
cos sinxx
nên th tích ca khối đã nêu là
4
22
4
0
0
cos d sin d cos2 d sin 2
22
bb
aa
V xx xx xx x
π
π
ππ
πππ
=−= ==
∫∫∫
Trong khong
( )
2;10
7
s nguyên.
Câu 24: [ Mc đ 1] Cho hình thang cong giới hn bi đ th hàm s
yx
=
, trục hoành, các đường
thng
1x =
4x =
. Th tích ca khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang cong trên
quanh trc
Ox
bng
A.
4
1
dxx
. B.
4
1
dxx
π
. C.
. D.
.
Li gii
Công thc tính th tích khi tròn xoay quay quanh trc
Ox
( )
4
2
1
dd
b
a
V f x x xx
ππ
= =
∫∫
.
Câu 25: [Mc đ 4] Cho
,ab
là hai s thực dương. Gọi
( )
H
hình phẳng gii hn bi parabol
2
y ax=
đường thng
. Quay
( )
H
quanh trc hoành thu được khi th tích là
1
V
, quay
( )
H
quanh trc tung thu được khối có thể tích là
2
V
. Tìm
b
sao cho
12
VV=
.
A.
13A =
. B.
19A =
. C.
21A =
. D.
29A =
.
Li gii
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng đã cho là
2
ax bx=
.
Do
2
ax bx=
nên các giao điểm là
O
2
;
bb
M
aa



(Tham khảo hình vẽ kèm theo)
Đến đây ta có:
+
( )
0
2
1
d
b
a
V bx x
π
=
( )
0
2
2
d
b
a
ax x
π
00
35
22
..
35
bb
aa
xx
ba
ππ
−−
=
5
3
2
15
b
a
π
=
(đơn vị th tích).
+
22
2
2
2
00
dd
bb
aa
yy
V yy
ab
ππ


= −−





∫∫
22
23
2
00
23
bb
aa
yy
ab
ππ
=
4
3
6
b
a
π
=
(đơn vị th tích)
Do vy
12
VV
=
54
33
25
.
15 6 4
ππ
= ⇔=
bb
b
aa
Câu 26: [Mc đ 2] Vn tc (tính bng
m
s
) ca mt ht chuyn đng theo mt đường được xác đnh bi
công thc
( )
32
8 17 10=−+vt t t t
, trong đó t được tính bng giây.
Tổng quãng đường mà hạt đi được trong khong thi gian
là bao nhiêu?
A.
32
m
3
. B.
71
m
3
. C.
38
m
3
. D.
71
m
6
.
Li gii
Tổng quãng đường mà hạt đi được trong khong thi gian
( )
55 2 5
32 32 32
11 1 2
d 8 17 10 d 8 17 10 d 8 17 10 d= −+ = −+ + −+
∫∫
vtttt t ttt t ttt t t
( ) ( )
25
32 32
12
8 17 10 d 8 17 10 d= −+ +−+
∫∫
tt t t tt t t
43 2 43 2
25
1 8 17 1 8 17 71
10 10
12
43 2 43 2 6

= −+ −+ =


tt t t tt t t
(m).
Câu 27: [Mc đ 1] Biết
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
3
41fx x= +
. Tính giá trị
của
( )
1F
.
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Li gii
Ta có:
(
)
(
)
34
d 4 1d
fx x x x x xC= + = ++
∫∫
.
Xét
( )
4
Fx x x C= ++
vi
ta tìm được
1C =
, tc
(
)
4
1Fx x x= ++
.
Vậy
( )
13F =
.
Câu 28: [Mc đ 3] Cho hàm số
( )
fx
xác định trên
{ }
\2
thỏa mãn
( )
1
2
fx
x
=
,
(
)
1 2020
f
=
,
( )
3 2021f =
. Tính
( ) ( )
40Pf f=
.
A.
4P =
. B.
ln 2
P =
. C.
ln 4041P =
. D.
1P =
.
Li gii
Ta có
(
)
(
)
(
)
1
2
1
ln 2 2
d d ln 2
ln 2 2
2
x C khi x
fxx x x C
x C khi x
x
−+ >
= = −+=
−+ <
∫∫
.
Theo giả thiết:
(
)
1 2020f =
,
( )
3 2021f =
11
22
ln1 2021 2021
ln1 2020 2020
CC
CC
+= =

⇒⇒

+= =

.
(
)
( )
(
)
ln 2 2021 khi 2
ln 2 2020 khi 2
−+ >
⇒=
−+ <
xx
fx
xx
.
Do đó
( )
( )
40Pf f=
ln 2 2021 ln 2 2020 1=+ −− =
.
Câu 29: [Mc đ 1] Trong không gian
Oxyz
, cho
( ) ( )
1; 2;5 , 0;2; 1
ab=−=

. Nếu
4ca b=

thì
c
tọa độ
A.
( )
1;0;4
. B.
(
)
1;6;1
. C.
( )
1; 4;6
. D.
( )
1; 10;9
.
Li gii
Ta có:
( )
1; 2;5a =
;
( )
4 0;8; 4=
b
.
Vy tọa độ ca vectơ
4ca b=

( )
1; 10;9=
.
Câu 30: [Mc đ 1] Trong không gian
Oxyz
, cho hai đim
( )
2;1;1A
,
( )
3;2; 1B
. Đ dài đoạn thng
AB
bng
A.
30
. B.
10
. C.
22
. D.
2
.
Li gii
Ta có:
( )
5;1; 2AB =

.
( )
2
22
5 1 2 30AB AB= = + +− =

.
Câu 31: [Mức độ 1] Trong không gian
Oxyz
, cho
( )
2; 3;4u =
,
( )
3; 2;2v =−−
khi đó
.uv

bng
A.
20
. B.
8
. C.
46
. D.
22
.
Li gii
Ta có:
( ) ( ) ( )
. 2. 3 3 . 2 4.2 8uv= +− + =

.
Câu 32: [Mc đ 2] Trong không gian
Oxyz
, cho
( )
1;0;6A
,
( )
0;2; 1B
,
( )
1;4;0C
. Bán kính mt cu
( )
S
có tâm
( )
2;2; 1I
và tiếp xúc vi mt phng
(
)
ABC
bng
A.
83
3
. B.
8 77
77
. C.
16 77
77
. D.
16 3
3
.
Li gii
Ta có
( )
1;2; 7AB =−−

,
( )
0;4; 6AC =

nên
( )
, 16; 6; 4AB AC

= −−

 
.
,AB AC


 
là vectơ pháp tuyến ca
( )
ABC
, vì thế
( )
8; 3; 2n = −−
cũng vectơ pháp tuyến
ca
( )
ABC
.
Phương trình của mt phng
( )
ABC
là:
(
) ( )
8 1 3 2 6 0 8 -3 -2 4 0x y z xyz = +=
.
Gi
r
là bán kính ca
(
)
S
, ta có
( )
S
tiếp xúc vi
( )
ABC
( )
( )
,r d I ABC=
.
Vy
( ) ( ) ( )
( ) ( )
22
2
8. 2 3. 2 2. 1 4
16 77
77
83 2
r
−+
= =
+− +−
.
Câu 33: [Mc đ 1] Trong không gian
Oxyz
, cho mt cu
(
)
(
) (
)
(
)
2 22
:1 2 14Sx y z
+ + +− =
. Tìm ta
độ tâm
I
và bán kính
R
ca mt cu
(
)
S
.
A.
(
)
1; 2;1
I
2
R =
. B.
( )
1;2;1
−−I
2R =
.
C.
( )
1; 2;1I
4R
=
. D.
( )
1;2;1
−−
I
4R
=
.
Li gii
Da vào phương trình của
( )
S
ta thy tọa độ tâm
( )
1; 2;1I
2R =
.
Câu 34: [Mc đ 1] Trong không gian
Oxyz
cho hai điểm
( 2;1; 0)
A
,
(2; 1; 2)B
. Phương trình mt cu
( )
S
có tâm
B
và đi qua
A
A.
( ) ( )
22
2
2 1 ( 2) 24x yz ++ +− =
. B.
( )
( )
22
2
2 1 ( 2) 24
x yz ++ +− =
.
C.
(
) ( )
22
2
2 1 24x yz
+ +− +=
. D.
( )
( )
22
2
2 1 ( 2) 24x yz + +− =
.
Li gii
Ta có
(4; 2; 2)= AB

nên
24AB =
.
( )
S
có tâm
B
và đi qua điểm
A
nên bán kính của
( )
S
.
Do đó
( )
S
có phương trình là
( ) ( )
22
2
2 1 ( 2) 24x yz ++ +− =
.
Câu 35: [Mc đ 1] Trong không gian
Oxyz
cho hai điểm
( 2;1; 0)A
,
(2; 1; 4)B
. Phương trình mt cu
( )
S
có đường kính
AB
A.
22 2
( 2) 3 . xy z+ +− =
B.
22 2
( 2) 3 .xy z+ ++ =
C.
22 2
( 2) 9.xy z+ +− =
D.
22 2
( 2) 9 .xy z+ ++ =
Li gii
Do
( )
S
có đường kính
AB
nên nó nhận trung điểm
I
ca
AB
làm tâm và
2
AB
làm bán kính.
Ta có:
+
(4; 2; 4)AB =

6⇒=AB
.
+
(0; 0; 2)I
.
Vy
( )
S
có phương trình là
22 2
( 2) 9xy z+ +− =
.
Câu 36: [Mức độ 2] Th tích khi cu ngoi tiếp t din đu
ABCD
cnh
a
A.
3
6
8
a
V
π
=
. B.
3
6
4
a
V
π
=
. C.
3
3
8
a
V
π
=
. D.
2
6
8
a
V
π
=
.
Li gii
Gi
H
là tâm đường tròn ngoi tiếp
ABC
.
ABCD
là t diện đều nên
DH
là trc của đường tròn ngoi tiếp
ABC
.
Mt phng trung trc ca cnh
AD
ct
DH
ti
I
suy ra
ID
bán kính ca mt cu ngoi tiếp
t din
ABCD
.
Gi
M
là trung điểm cnh
AD
ta có
∆∆DMI DHA
DM DI
DH DA
⇒=
.
22 2
22 2
2
6
24
2.
2
3
DA AD a a
ID
DH
AD AH
a
a
⇒= = = =



.
Vy th tích ca khi cu ngoi tiếp t din
3
3
3
4 46 6
.. .
3 34 8
aa
V ID
π
ππ

= = =



Câu 37: [Mc đ 2] Trong không gian
Oxyz
, cho mt cu
( )
S
tâm thuộc trc
Ox
đi qua hai
điểm
( )
1; 2; 1A
( )
2;1; 3B
. Phương trình của
( )
S
A.
( )
2
22
4 14.
x yz ++=
B.
(
)
2
22
4 14.x yz
+ ++=
C.
2 22
( 4) 14.
xy z
+− +=
D.
22 2
( 4) 14.xy z+ +− =
Li gii
Gi
( )
;0;0Ia
thuc trc
Ox
là tâm ca
(
)
S
.
Ta có:
( )
2
2 2 2 2 22 2
1 2 ( 1) (2 ) 1 3 4.IA IB IA IB a a a
= = ++= ++⇔=
Suy ra
( )
4;0; 0I
.
Vậy phương trình ca
( )
S
(
)
2
22
4 14.x yz
++=
Câu 38: [Mc đ 2] Trong không gian
Oxyz
, cho mt cu
( )
S
tâm
( )
1; 2; 3I
và tiếp xúc vi mt
phng
( )
:2 2 3 0P x yz ++=
. Phương trình của
( )
S
A.
( ) ( ) ( )
2 22
1 2 3 16.xy z ++ +− =
B.
( ) (
)
( )
2 22
1 2 3 9.xy z ++ +− =
C.
(
)
( ) ( )
2 22
1 2 3 16.xy z
+ + ++ =
D.
( ) ( ) ( )
2 22
1 2 3 4.xy z ++ +− =
Li gii
Ta có
(
)
(
)
2 22
2.1 2.( 2) 3 3
12
,4
3
2 ( 2) 1
dI P
++
= = =
+− +
.
( )
S
tiếp xúc vi
( )
P
( )
( )
,dI P
bng bán kính ca
( )
S
.
Vậy phương trình của
( )
S
( ) ( ) ( )
2 22
1 2 3 16.xy z ++ +− =
Câu 39: [Mc đ 4] Trong không gian
Oxyz
cho
( )
;0;0
Aa
,
( )
0; ; 0Bb
,
( )
0;0;Cc
,
(
)
22 22 22
;;Daabcbaccab++ + +
(
0
a >
,
0b >
,
0c >
). Din tích tam giác
ABC
bng
3
.
2
Tìm khoảng cách t
B
đến mt phng
( )
ACD
khi
.A BC D
V
đạt giá tr ln nht.
A.
6
2
. B.
3
. C.
2
. D.
2
2
.
Li gii
, ,
(
)
22 22 22
;;ADabcbaccab=+++

.
( )
00
, ; ; ;;
00
b a ab
AB AC bc ac ab
cc a a
−−

= =


−−

 
.
Vì diện tích tam giác
ABC
bng
3
2
nên:
3
2
ABC
S
=
13
,
22
AB AC

⇔=

 
222
13
()()()
22
ab bc ac ++ =
.
( ; ;0)AB a b=

( ; 0; )AC a c=

222
()()()3ab bc ac ++=
.
Th tích ca t din
ABCD
là:
22 22 22
11
,.
66
ABCD
V AB AC AD abc b c abc a c abc a b

= = ++ ++ +

  
22 22 22 22 22 22
1
6
bc ab ac ac ab bc ab ac bc= ++ ++ +
Áp dng bất đẳng thc Bunhiacopxki:
22 22 22 22 22 222
()bc ab ac ac ab bc ab ac bc++ ++ +
2 2 2 22 22 22 22 22 22
[()()()]( )bc ac ab ab ac ab bc ac bc + + +++++
22 22 22 22 22 222 2 2 22
( )2[()()()]bc a b a c ac a b b c ab a c b c bc ac ab ++ ++ + + +
22 22 22 22 22 222 2
( ) 2.3bc ab ac ac ab bc ab ac bc ++ ++ +
22 22 22 22 22 222
( ) 18bc ab ac ac ab bc ab a c bc ++ ++ +
22 22 22 22 22 22
32bc ab ac ac ab bc ab ac bc ++ ++ +
.
32
6
A BCD
V
hay
.
2
2
A BCD
V
.
nên
.
2
max
2
A BCD
V =
. Du
""=
xy ra khi và ch khi
1abc= = =
.
Ta có:
( )
( )
1;0;1 , 2; 2; 2AC AD=−=
 
.
Nên:
( )
0 11 110
, ; ; 2;2 2; 2
222222
AC AD
−−

= =−−




 
.
Do đó:
11
, 12 3
22
ACD
S AC AD

= = =

 
.
Vy
.
2
3.
3
6
2
( ,( ))
2
3
A BCD
ACD
V
d B ACD
S
= = =
.
Câu 40: [Mc đ 3] Trong không gian vi h ta đ
Oxyz
, cho hai điểm
( )
1;1; 3 ; F(0;1; 0)E
và mt phng
( ) : 1 0.Pxyz+ +−=
Gi
(;;) ()M abc P
sao cho
23ME MF
 
đạt giá tr nh nht. Tính
3a 2 .T bc=++
A.
4.
B.
3.
C.
6.
D.
1.
Li gii
Gi
(;; )I mn p
là điểm tha mãn:
2 3 0.
IE IF−=
 
Ta có
(1 ;1 ;3 ); ( ;1 ; ).IE m n p IF m n p=− = −−
 
2(1 ) 3 0 2
2 3 0 2(1 ) 3(1 ) 0 1 ( 2;1; 6).
2(3 ) 3 0 6
mm m
IE IF n n n I
pp p
−+ = =


= = = ⇒−


−+ = =

 
Ta có
2 3 2( ) 3( ) .ME MF MI IE MI IF IM MI = +− + = =
      
23ME MF
 
đạt giá tr nh nht,
MI
nh nht,
M
là hình chiếu
vuông góc của
I
trên
( ).P
Khi đó:
( )
2 ;1 ; 6=−− −−

MI a b c
cùng phương với vectơ pháp tuyến ca
()P
(1;1;1)n =
;
Tọa độ
M
là nghim ca h
2
3
3
11
7 3a 2 6.
3
10
10
3
a
ab
bc b T bc
abc
c
=
−=

−= = = + +=


++−=
=
Câu 41:
[Mc đ 1]
Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
(1;2;5), (3;0; 1)
AB
. Mt phng trung trc
của đoạn thng
AB
có phương trình
A.
3 60xy z
+ +=
. B.
3 50xy z +=
. C.
3 10xy z +=
. D.
2 2 10 0xy z++ + =
.
Li gii
Gi
M
là trung điểm
AB
thì
( )
2;1; 2M
,
( )
2; 2; 6AB = −−

.
Mt phng trung trc của đoạn
AB
đi qua
M
nhn
AB

làm vectơ pháp tuyến, do đó nó có
phương trình
( ) ( ) ( )
2 2 2 1 6 2 0 3 5 0.x y z xy z = +=
Câu 42: [Mc đ 1] Trong không gian
Oxyz
, mt phẳng đi qua điểm
( )
1;2;4A
và song song vi mt
phng
( )
:4 5 0P xyz+−+=
có phương trình là
A.
4 50xyz++−=
. B.
4 20xyz++−=
.
C.
40xyz
+−=
. D.
4 60xyz+−+=
.
Li gii
Gi mt phng cần tìm là mặt phng
( )
Q
.
Mt phng
( )
P
có một vectơ pháp tuyến là
(
)
4;1; 1n =
.
( )
Q
//
( )
P
nên
(
)
4;1; 1n
=
cũng là một vectơ pháp tuyến ca mt phng
( )
Q
.
Mt phng
( )
Q
đi qua điểm
( )
1;2;4A
, có vectơ pháp tuyến
( )
4;1; 1n =
nên nó có phương
trình
( ) ( )
( )
4 1 1. 2 1. 4 0xy z++ =
4 60
xyz+−+=
.
Câu 43: [Mc đ 2] Trong không gian
Oxyz
, gi
( )
P
là mt phng đi qua điểm
(
)
4;1; 2M
, đng thi
vuông góc với hai mt phng
( )
: 3 40Qx yz +−=
( )
:2 3 1 0R xy z + +=
. Phương trình
ca
( )
P
A.
8 5 23 0xy z−+ + =
. B.
4 5 25 0xy z+− + =
.
C.
8 5 41 0
xy z
+− + =
. D.
8 5 43 0xy z−− =
.
Li gii
Ta có:
( )
( )
1; 3;1
Q
n =
là một vectơ pháp tuyến ca
( )
Q
.
( )
(
)
2; 1; 3
R
n
=
là một vectơ pháp tuyến ca
( )
R
.
( )
P
( )
Q
nên
( ) ( )
PQ
nn

,
( )
P
( )
R
nên
( ) ( )
PR
nn

.
( )
( )
(
)
( )
, 8; 1; 5
P QR
n nn

= =−−


một vectơ pháp tuyến ca
( )
P
.
(
)
P
đi qua điểm
( )
4;1; 2M
có vectơ pháp tuyến là
( )
(
)
8; 1; 5
P
n =−−
nên nó có phương trình là
( ) ( ) ( )
8 4 15 2 0xy z + −+ =
8 5 41 0
xy z −+ =
8 5 41 0xy z+− + =
.
Câu 44: [Mc đ 2] Trong không gian
Oxyz
, cho mt cu
( )
S
:
(
)
(
) (
)
2 22
1 2 19
xy z
+ + +− =
. Mt
phng
( )
P
tiếp xúc vi
( )
S
ti đim
(
)
1; 3; 1
A
có phương trình là
A.
2 2 70xy z+ −=
. B.
2 2 70xy z++ −=
.
C.
2 10 0xyz++ =
. D.
2 2 20
xy z+− +=
.
Li gii
( )
S
có tâm
(
)
1; 2;1I
, bán kính
3R =
.
D thy
.
( )
P
tiếp xúc vi
( )
S
ti
A
nên
( )
2;1; 2IA =

là một vectơ pháp tuyến ca
( )
P
.
Ta có
( )
P
đi qua
( )
1; 3; 1A
nhn
( )
2;1; 2IA =

làm vectơ pháp tuyến nên
(
)
P
có phương
trình là
( ) ( ) ( )
2 1 1. 3 2 1 0xyz−+ +=
2 2 70xy z+ −=
.
Câu 45: [Mc đ 2] Trong không gian
Oxyz
, cho mt phng
( )
:2 2 1 0P xy z + +=
hai điểm
( ) ( )
1;0; 2 , 1; 1;3AB −−
. Mt phng
( )
Q
đi qua hai điểm
,AB
vuông góc vi
( )
P
phương trình dạng
50
ax by cz + +=
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
21abc++=
. B.
7abc++=
. C.
21abc++=
. D.
7abc++=
.
Li gii
Ta có
( )
2; 1;5AB −−

,
( )
P
nhn
( )
( )
2; 1;2
P
n =

làm vectơ pháp tuyến.
Do
(
)
Q
qua
,AB
và vuông góc với
( )
P
nên
( )
Q
nhn
( )
( )
, 3;14;4

=

 
P
AB n
làm vectơ pháp
tuyến, tc
( )
Q
có phương trình là
( ) ( )
3 1 14 4 2 0 3 14 4 5 0x y z x yz+++=+++=
.
3, 14, 4ab c⇒= = =
.
Vy
7abc++=
.
Câu 46: [Mc độ 2] Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
( ) ( )
0;1;2 , 2; 2;1AB
,
( )
2;1;0C
. Khi đó
mt phng
( )
ABC
có phương trình là
A.
10
xyz+ +=
. B.
6 60xyz+−−=
.
C.
60xyz++=
. D.
30xyz+ −=
.
Li gii
Ta
( ) ( )
2; 3; 1 , 2;0; 2= −− =
 
AB AC
;
( )
, 6;6; 6

=

 
AB AC
nên một vectơ pháp tuyến ca
( )
ABC
( )
1;1; 1=
n
.
Ta
( )
ABC
qua
( )
0;1;2A
nhn
( )
1;1; 1=
n
m vectơ pháp tuyến nên
( )
ABC
phương
trình
( ) ( ) ( )
1 0 1 1 1 2 0 10x y z xyz + = + +=
.
Câu 47: [Mc đ 3] Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
Q
song song mặt phẳng
( )
: 2 2 17 0P x yz ++ =
. Biết mặt phẳng
(
)
Q
cắt mặt cầu
( )
( ) ( )
22
2
: 2 1 25Sx y z+ ++ =
theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính
3.r =
Khi đó mặt phẳng
( )
Q
có phương trình là
A.
2 2 70x yz +−=
. B.
2 2 17 0
x yz +− =
.
C.
2 2 17 0x yz
++ =
. D.
2 70xy z−+ −=
.
Li gii
( ) ( )
//QP
nên phương trình mặt phẳng
( )
Q
có dạng:
22 0x yzD ++ =
( )
17D
.
Mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
0;2; 1I
, bán kính
5R =
.
Trên hình vẽ, ta có tam giác
IHA
vuông tại
H
22 2
IH r R+=
( )
( )
22
2
,dI Q r R

+=

( )
( )
( )
( )
22 22
, , 53 4dI Q R r dI Q= −⇒ = =
( )
2
22
2.0 2.2 1
4
2 21
D −+
=
+− +
5 12D −=
5 12
5 12
D
D
−=
−=
17
7
D
D
=
=
(loại
17D =
).
Vậy phương trình mặt phẳng
( )
Q
là:
2 2 70x yz +−=
.
Câu 48: [Mức độ 1] Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
( )
:0y
α
=
trùng với mặt phẳng nào dưới đây?
A.
()Oxy
. B.
( )
Oyz
. C.
( )
Oxz
. D.
.
Li gii
Mặt phẳng
( )
:0y
α
=
có vectơ pháp tuyến
( )
0;1;0n =
và đi qua gốc tọa độ nên nó trùng với mặt phẳng
( )
Oxz
.
Câu 49: [Mc đ 2] Trong không gian
Oxyz
, cho bn điểm
( )
1;0;0A
,
( )
0; 2;0B
,
( )
0;0; 4C
,
( )
0;0;3M
. Tính khong cách t
M
đến mt phng
( )
ABC
.
A.
4 21
21
. B.
2
21
. C.
1
21
. D.
3 21
21
.
Li gii
Phương trình mặt phng
( )
:ABC
1 4 2 40
124
x yz
x yz+ + = + +−=
Khi đó:
( )
( )
2 22
0034
1
,
21
421
d M ABC
++−
= =
++
.
Câu 50: [Mc đ 4] Trong không gian
Oxyz
, cho mt phng
( )
:0Pz=
hai điểm
( )
2; 1; 0A
,
(
)
4; 3; 2B
. Gi
( )
( )
;;M abc P
sao cho
MA MB=
góc
AMB
s đo lớn nhất. Khi đó
đẳng thức nào sau đây đúng?
A.
0c >
. B.
26ab+=
. C.
. D.
23
5
ab+=
.
Li gii
MA MB=
nên
M
thuc mt phng trung trc
()
Q
của đoạn thng
AB
.
Ta có
()
Q
đi qua trung điểm
(3;1; 1)I
ca
AB
có véctơ pháp tuyến là
(2; 4; 2)AB =

n
()Q
có phương trình là
2( 3) 4( 1) 2( 1) 0 2 6 0.x y z x yz + + =+ −−=
()MP
()MQ
nên
M
thuc giao tuyến
ca
()P
()Q
.
()P
có véctơ pháp tuyến
( )
(0; 0;1)=
P
n
,
()Q
có véctơ pháp tuyến
( )
(1; 2; 1)=
Q
n
. Khi đó
véctơ ch phương
(
) ( )
[ , ] ( 2;1; 0)= =

PQ
unn
.
Chn
(2; 2;0)N
là một điểm chung ca
()P
()Q
.
đi qua
N
nên phương trình
22
2( )
0
xt
y tt
z
=
=+∈
=
.
M
∈∆
nên
(2 2 ;2 ;0)M tt
=−+
. Theo định lý cosin trong tam giác
MAB
, ta có
2 22 22 2
22
2
cos 1 .
2 22
MA MB AB MA AB AB
AMB
MA MB MA MA
+−
= = =
AB
không đổi nên t biu thc trên ta
AMB
ln nht
cos A MB
nh nht
2
MA
nh nht.
Ta có
( ) (
)
2
22
22
3 36 36
2 3 5 6 95
5 55
MA t t t t t

= + + = + += + +


Đẳng thc xy ra
3
5
t⇔=
, khi đó
16
;;
5
7
0
5
M



.
Vy
23
5
ab+=
.
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II
MÔN: TOÁN 12 ĐỀ S: 06
Câu 1: H tt c các nguyên hàm ca hàm s
( )
42
fx x x= +
A.
53
11
53
x xC++
. B.
3
42xx+
. C.
3
42x xC++
. D.
53
xxC
++
.
Câu 2: Cho hàm s
( )
fx
tha mãn
(
)
3 5sin
fx x
=
( )
0 10f =
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
( )
3 5cos 15fx x x
=−+
. B.
( )
3 5cos 5fx x x=−+
.
C.
( )
3 5cos 2fx x x=++
. D.
( )
3 5cos 5fx x x=++
.
Câu 3: H nguyên hàm ca hàm s
( )
7
x
fx=
A.
1
7
1
x
C
x
+
+
+
. B.
1
.7
x
xC
+
. C.
7 .ln
x
xC
+
. D.
7
ln 7
x
C+
.
Câu 4: Tìm h nguyên hàm ca hàm s
(
)
1
23
fx
x
=
+
.
A.
ln 2 3xC++
. B.
1
ln 2 3
2
xC++
. C.
2
1
3
C
xx
+
+
. D.
( )
2
2
23
C
x
+
+
.
Câu 5: Cho
( )
Fx
là nguyên hàm ca hàm s
( )
4
3
1
5fx x
x
= +
tha mãn
(
)
10F =
. Tìm
( )
Fx
.
A.
( )
5
2
31
22
Fx x
x
=−+
. B.
( )
5
2
3
2
Fx x
x
=−+
.
C.
(
)
5
2
11
22
Fx x
x
=−−
. D.
( )
5
2
13
22
Fx x
x
=+−
.
Câu 6:
( )
10
32
1dx xx
+
bng
A.
( )
9
3
10 1xC++
. B.
(
)
11
3
1
1
33
xC++
. C.
( )
11
3
1
1
11
xC++
. D.
( )
9
3
1
1
10
xC++
.
Câu 7:
10
sin .cos dx xx
bng
A.
11
1
sin .cos
11
x xC−+
. B.
11
1
sin .cos
11
x xC+
.
C.
9
10sin .cosx xC+
. D.
11
1
sin
11
xC+
.
Câu 8: Biết
( )
Fx
là nguyên hàm ca hàm s
( )
tan
2
e
cos
x
fx
x
=
tha mãn
e
4
F
π

=


. Tìm
( )
Fx
.
A.
( )
tan
e1
x
Fx=
. B.
( )
tan
ee
x
Fx=
. C.
( )
tan
e
x
Fx=
. D.
( )
tan
e e1
x
Fx= +−
.
Câu 9:
( )
1 .e d
x
xx+
bng
A.
.e
x
xC+
. B.
( )
2 .e
x
xC++
. C.
( )
1 .e
x
xC−+
. D.
2
1
.e
2
x
xx C

++


.
Câu 10: H nguyên hàm ca hàm s
3
( ) lnfx x x=
A.
4
4
1
ln
4 16
x
xx C
−+
. B.
4
4
1
ln
4 16
x
xx C
++
. C.
4
4
1
ln
4 12
x
xx C−+
. D.
4
13
ln
44
xx C

−+


.
Câu 11: Biết
2
1
d1
ln
31 2
xb
xa
=
(vi
,
ab
) thì
2
ab+
bng
A.
8
. B.
14
. C.
10
. D.
12
.
Câu 12: Cho
(
)
2
0
d5
fx x
π
=
. Tính
( )
( )
2
0
2sin dI fx x x
π
= +
A.
5
I
π
= +
. B.
52I
π
= +
. C.
3I =
. D.
7I =
.
Câu 13: Biết
( )
1
2
0
3 1dIxx= +
. Khẳng định nào sau đây sai?
A.
2
I =
. B.
(
)
3
1
0
I xx= +
. C.
( )
2
2
1
3 1dIxx= +
. D.
( )
1
2
0
3 1dIu u= +
.
Câu 14: Cho hai hàm s
( )
fx
,
( )
gx
liên tc trên
[
]
;ab
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
( ) ( ) ( ) ( )
. d d. d
b bb
a aa
fxgxx fxxgxx
=
∫∫
.
B.
( ) ( )
0
d2 d
aa
a
fx x fx x
=
∫∫
.
C.
(
) ( )
(
)
d
b
a
f x x Fb Fa= +
vi
( ) ( )
dFx f x x=
.
D. Nếu
( )
0fx
[ ]
;x ab∀∈
thì
(
)
d0
b
a
fx x
.
Câu 15: Nếu đổi biến
tan
tx
=
thì tích phân
4
tan
2
0
1
e. d
cos
x
Ix
x
π
=
tr thành
A.
( )
1
2
0
e1 d
t
I tt= +
. B.
1
0
ed
t
It=
. C.
1
0
ed
t
It=
. D.
( )
1
2
0
e1 d
t
I tt=−+
.
Câu 16: Cho
( )
6
0
d 12fx x=
. Tính
( )
2
0
3dI f xx=
.
A.
6
I =
. B.
36I =
. C.
2I =
. D.
4I =
.
Câu 17: Biết
3
0
d
1
xa
x
b
x
=
+
vi
,ab
a
b
là phân số ti gin. Tính
22
Sa b= +
A.
73S =
. B.
71S =
. C.
65S =
. D.
68S =
.
Câu 18: Biết
1
2
1
4d 3
a
xx c
b
π
−=+
, vi
,,abc
a
b
là phân số ti gin. Tính
T abc=++
A.
9T =
. B.
8T =
. C.
7T =
. D.
6T =
.
Câu 19: Biết
( )
2
0
2 1 cos dx xx a b
π
π
+=
, vi
,ab
. Tính
T ab= +
.
A.
5T =
. B.
4
T
=
. C.
3T =
. D.
2T =
.
Câu 20: Biết
2
1
ln d ln2x. x a b=
, vi
a,b
. Tính tng
T ab
= +
A.
4T =
. B.
3T =
. C.
6T =
. D.
5T =
.
Câu 21: Trong không gian vi h trc tọa độ
Oxyz
, cho vectơ
23ai j k=−+

. Vectơ
a
có tọa độ
A.
(
)
2;3;1
. B.
( )
3; 2;1
. C.
( )
1;2; 3−−
. D.
(
)
1; 2;3
.
Câu 22: Trong không gian vi h trc ta đ
Oxyz
, cho điểm
(1; 2 ; 3)M
. Gi
H
là hình chiếu vuông góc
ca
M
trên trc
Ox
, khi đó
H
có tọa độ
A.
( )
1;2;0
. B.
(
)
1;0;0
. C.
( )
0;0;1
. D.
( )
0;1;0
.
Câu 23: Trong không gian vi h trc ta đ
Oxyz
, cho hai điểm
( )
( )
;; , ; ;Axyz B x y z
′′
. Trong các
khẳng định sau, khẳng định đúng là:
A.
( )
;;AB x x y y z z
′′
=+++

. B.
( )
;;AB x x y y z z
′′
=−−

.
C.
( )
;;AB x x y y z z
′′
=−−

. D.
( ) ( ) ( )
( )
2 22
;;AB x x y y z z
′′
=−−

.
Câu 24: Trong không gian vi h trc ta đ
Oxyz
, cho điểm
( )
0; 2; 1A
vectơ
( )
3; 0; 2
u =
. Tìm ta
độ điểm
B
sao cho
AB u=

A.
(
)
3; 2; 3B −−
. B.
(
)
3; 2;1B
. C.
( )
3; 4;1B =
. D.
( )
3; 2;1B
=
.
Câu 25: Trong h trc tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( )
2;1; 3
A
. Tìm tọa độ điểm
A
đối xứng với
A
qua
Oy
.
A.
( )
2;1; 3A
. B.
( )
2; 1; 3A
−−
. C.
( )
2;0; 3A
. D.
( )
2;0;3A
.
Câu 26: Trong không gian vi h ta đ
Oxyz
, cho hai vecto
( )
1; 0; 2a =
(
)
2; 1; 3b =
. Tích có
hướng ca hai vecto
a
b
là mt vecto có tọa độ là:
A.
( )
2;7;1
. B.
( )
2;7; 1
−−
. C.
( )
2; 7;1
. D.
( )
2; 7; 1−−
.
Câu 27: Trong không gian vi h trc ta đ
Oxyz
, cho mt cu
( ) ( ) ( ) ( )
22 2
:5 1 29Sx y z + ++ =
.
Xác đnh bán kính
R
ca mt cu
( )
S
?
A.
3R =
. B.
6R =
. C.
9R =
. D.
18R =
.
Câu 28: Trong không gian vi h trc tọa độ
Oxyz
, tính bán kính
R
ca mt cu
( )
S
tâm
( )
2;1; 1I
tiếp xúc với mt phng
( )
:2 2 3 0P x yz −+=
.
A.
9R =
. B.
4R =
. C.
3R =
. D.
2R =
.
Câu 29: Trong không gian vi h ta đ
Oxyz
. Viết phương trình mặt cầu tâm
I Ox
đi qua hai
điểm
( )
1; 2; 0A
,
(
)
3;4;2B
A.
( )
2
22
3 20x yz+ ++=
. B.
( )
2
22
39x yz+ ++=
.
C.
( )
2
22
2 16x yz+ ++=
. D.
( )
2
22
29x yz+ ++=
.
Câu 30: Trong không gian vi h ta đ
Oxyz
, mt phng
( )
: 2 3 50Px y z+ + −=
có một c pháp
tuyến là
A.
(
)
3, 2, 1n
=
. B.
(
)
1, 2, 3
n =
. C.
(
)
1, 2, 3
n =
. D.
(
)
1, 2, 3n
=
.
Câu 31: Trong không gian
Oxyz
, phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm
( ) ( ) ( )
2;0; 1 , 1; 2;3 , 0;1; 2A BC−−
A.
2 15 0xz
−+ =
. B.
2 30xyz++−=
. C.
2 30xz−−=
. D.
2 50xz−−=
.
Câu 32: Trong h ta đ
Oxyz
, phương trình mặt phng trung trc ca đon thng
( ) ( )
1;1; 1 , 5;2;1AB
A.
6 3 27 0
xy+−=
. B.
8 2 4 27 0xyz++−=
.
C.
8 2 4 27 0xyz
+++=
. D.
4 2 30xy z
++ −=
.
Câu 33: Din tích
S
ca hình phng gii hn bởi các đường
3
3yx x=
,
yx=
,
2x =
,
2
x
=
là:
A.
9S =
(đvdt). B.
8S =
(đvdt). C.
7S =
(đvdt). D.
6S =
(đvdt).
Câu 34: Din tích
S
ca hình phng gii hn bởi các đường
22
2,yx xyxx=−=
A.
10
3
S =
(đvdt). B.
9
8
S =
(đvdt). C.
12S
=
(đvdt). D.
6S =
(đvdt).
Câu 35: Nếu đặt
costx=
thì tích phân
2
7
0
sin .dI xx
π
=
tr thành:
A.
( )
0
3
2
1
1dI tt
=
. B.
( )
1
2
3
2
0
1dIt t=
. C.
(
)
1
3
2
0
1dI tt
=
. D.
(
)
1
3
2
0
1d
It t
=
.
Câu 36: Cho
2
2
0
d
4
x
I
x
=
+
. Nếu đặt
2 tanxt=
thì trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.
2
2
4
4
cos
x
x
+=
B.
2
d 2(1 tan )dx tt= +
C.
4
0
1
d
2
It
π
=
D.
1
0
1
d
2
It=
Câu 37: Biết
( )
2
23
1
5
3 2 ln .d ; , ,
6
e
ae
x x x x e abc
bc
+ = ++
là phân số tối giản. Tính
S abc=++
A.
10S =
. B.
9
S =
. C.
8S =
. D.
7S =
.
Câu 38: Giá tr ca
2
1
ln
d
e
x
x
x
:
A.
2 e
e
. B.
2e
e
. C.
2
1
e
+
. D.
1e
e
+
.
Câu 39: Biết
( )
1
2
0
2
5
4
d
xa
x
b
x
=
+
vi
,ab
a
b
là phân số ti gin. Tính
S ab= +
.
A.
10S =
. B.
9S =
. C.
8S =
. D.
7S =
.
Câu 40: Cho
55
16
d
ln 2 ln5 ln11
.9
x
abc
xx
=++
+
, vi
,,abc
là các s hu t. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
ab c−=
. B.
. C.
3ab c+=
. D.
3ab c−=
.
Câu 41: Trong không gian vi h ta đ
Oxyz
, phương trình nào dưới đây phương trình mặt cầu đi qua
ba điểm
( )
2;3;3M
,
(
)
2 ; 1; 1
N
−−
,
( )
2; 1;3P −−
tâm thuộc mt phng
( )
:2 3 2 0x yz
α
+ −+=
.
A.
2 22
2 2 2 10 0
xyz x yz++−+ =
. B.
2 22
4 2 6 20xyz x yz
+ + + −=
.
C.
2 22
4 2 6 20xyz xyz+ + + + +=
. D.
2 22
2 2 2 20xyz x yz+ + + −=
.
Câu 42: Trong không gian
Oxyz
, cho mt cu
( )
2 22
: 2 4 2 30Sx y z x y z+ + + + −=
,
( )
P
là mt phng
cha trc
Ox
và ct mt cu
( )
S
theo một đường tròn có bán kính bng
3r =
. Mt phng
( )
P
có phương trình là
A.
( )
:y 2 0Pz−=
. B.
( )
:2 0P yz+=
. C.
( )
:2y 0Pz−=
. D.
( )
:y 2 0Pz+=
.
Câu 43: Trong không gian vi h trc tọa độ
.Oxyz
Mt phng
( )
P
đi qua điểm
( )
2; 3;1I
và cha trc
Ox
có phương trình là
A.
( )
:3 0P yz+=
. B.
( )
:3 0P xy+=
. C.
(
)
:30Py z
−=
. D.
( )
: 30
Py z+=
.
Câu 44: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
( )
42
1
3
2
s tt= +
vi
t
tính bằng giây,
s
tính
bng mét. Tìm vn tc ca chuyển động ti thi đim
4t =
(giây).
A.
( )
140 /ms
. B.
( )
150 /ms
. C.
( )
200 /
ms
. D.
( )
0/ms
.
Câu 45: Mt vt chuyển động với phương trình vận tc là
( )
32vt t= +
( )
/ms
. Biết ti thời điểm
2t =
(giây) thì vật đi được quãng đường là
10m
. Hi ti thời điểm
30t =
(giây) vt đi đưc quãng
đường bao nhiêu?
A.
1410m
. B.
1140
m
. C.
300m
. D.
240m
.
Câu 46: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên
. Gọi
S
diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
y fx
=
,
0y =
,
1x =
,
4x
=
(hình vẽ bên dưới). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
(
) ( )
14
11
ddS fx x fx x
=−+
∫∫
. B.
( ) ( )
14
11
dd
S fx x fx x
= +
∫∫
.
C.
( ) ( )
14
11
ddS fx x fx x
=
∫∫
. D.
( ) ( )
14
11
ddS fx x fx x
=−−
∫∫
.
x
y
y = f(x)
O
4
1
-1
Câu 47: Cho hàm s
( )
fx
có đạo hàm liên tc trên
[ ]
1, 2
, tha mãn
( )
( )
( )
23
2 2 31 4f x xf x f x x
+ −+ =
. Giá tr tích phân
( )
2
1
d
I fx x
=
bng
A.
3
. B.
5
. C.
15
. D.
8
.
Câu 48: Cho hàm
( )
fx
liên tc trên
( )
0; +∞
, tha mãn
( )
(
)
ln 1 lnf xf xx+− =
. Tính
( )
1
0
dI fxx=
.
A.
(
)
21
3
e
. B.
2
e
. C.
1
2
e +
. D.
1
2
e
.
Câu 49: Din tích
S
ca hình phng gii hn bi đồ thị hàm số
( )
2
45yx x C=−+
và hai tiếp tuyến ca
(
)
C
ti các tiếp điểm
( )
1; 2A
;
(
)
4; 5B
A.
11
4
S =
( đvdt). B.
9
4
S
=
( đvdt). C.
15
4
S =
( đvdt). D.
13
4
S
=
( đvdt).
Câu 50: Cho hàm s
( )
0,fx x ∀∈
và liên tc trên
tha mãn
( )
( )
(
)
2
. 2. 1
fxf x x f x
= +
( )
0 0.f =
Giá tr ln nht ca hàm s
( )
fx
trên đoạn
[ ]
1; 3
bng
A.
20
. B.
4 11
. C.
12
. D.
3 11
.
---------- HT ----------
NG DN GII CHI TIT
Câu 1: H tt c các nguyên hàm ca hàm s
( )
42
fx x x= +
A.
53
11
53
x xC++
. B.
3
42xx+
. C.
3
42x xC++
. D.
53
xxC++
.
Li gii
Ta có
(
)
42 5 3
11
d
53
x x x x xC+ =++
.
Câu 2: Cho hàm s
(
)
fx
tha mãn
( )
3 5sinfx x
=
( )
0 10f =
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
( )
3 5cos 15fx x x=−+
. B.
( )
3 5cos 5fx x x=−+
.
C.
( )
3 5cos 2fx x x=++
. D.
( )
3 5cos 5fx x x=++
.
Li gii
Ta có
( )
3 5sin
fx x
=
(
) (
)
3 5sin d 3 5cos
fx x x x xC⇒= =+ +
.
Mt khác
( )
0 10 3.0 5cos0 10fC
= + +=
5 10 5CC⇔+ = =
.
Vy
( )
3 5cos 5fx x x=++
.
Câu 3: H nguyên hàm ca hàm s
( )
7
x
fx
=
A.
1
7
1
x
C
x
+
+
+
. B.
1
.7
x
xC
+
. C.
7 .ln
x
xC+
. D.
7
ln 7
x
C+
.
Li gii
Ta có
7
7d
ln 7
x
x
xC= +
.
Câu 4: Tìm h nguyên hàm ca hàm s
( )
1
23
fx
x
=
+
.
A.
ln 2 3xC++
. B.
1
ln 2 3
2
xC++
. C.
2
1
3
C
xx
+
+
. D.
( )
2
2
23
C
x
+
+
.
Li gii
C1: S dng công thc nguyên hàm
11
d ln .x ax b C
ax b a
= ++
+
Ta có:
( )
11
d ln 2 3 .
23 2
f x dx x x C
x
= = ++
+
∫∫
C2: S dụng vi phân:
( ) ( )
1 11 1
d d d23 ln23 .
23 223 2
fx x x x x C
xx
= = + = ++
++
∫∫
Câu 5: Cho
( )
Fx
là nguyên hàm ca hàm s
( )
4
3
1
5fx x
x
= +
tha mãn
. Tìm
( )
Fx
.
A.
( )
5
2
31
22
Fx x
x
=−+
. B.
( )
5
2
3
2Fx x
x
=−+
.
C.
( )
5
2
11
22
Fx x
x
=−−
. D.
( )
5
2
13
22
Fx x
x
=+−
.
Li gii
Ta có:
( )
45
32
11
5d .
2
Fx x x x C
xx

= + =−+


( )
5
2
1
101 0
2.1
FC=⇒− +=
1
2
C⇔=
.
Vy
( )
5
2
11
.
22
Fx x
x
=−−
Câu 6:
( )
10
32
1dx xx+
bng
A.
( )
9
3
10 1
xC++
. B.
( )
11
3
1
1
33
xC
++
. C.
(
)
11
3
1
1
11
xC++
. D.
( )
9
3
1
1
10
xC++
.
Li gii
C1: Xét
( )
10
32
1dI x xx= +
.
Đặt
3 22
dt
1 dt 3 d d
3
t x xx xx= +⇒ = =
11 11
10
11
. dt .
3 3 11 33
tt
It C C
⇒= = + = +
.
Vy
( )
( )
11
3
10
32
1
1d .
33
x
x xx C
+
+= +
C2: S dụng vi phân:
( ) ( ) ( )
10 10
32 3 3
1
1 d 1d 1
3
x xx x x+=++
∫∫
( ) ( )
11 11
33
11
1
.
3 11 33
xx
CC
++
= += +
.
Câu 7:
10
sin .cos dx xx
bng
A.
11
1
sin .cos
11
x xC
−+
. B.
11
1
sin .cos
11
x xC+
.
C.
9
10sin .cosx xC+
. D.
11
1
sin
11
xC+
.
Li gii
Ta có
10
sin .cos dx xx
( )
10
sin d sinxx=
11
1
sin
11
xC= +
.
Câu 8: Biết
( )
Fx
là nguyên hàm ca hàm s
( )
tan
2
e
cos
x
fx
x
=
tha mãn
e
4
F
π

=


. Tìm
( )
Fx
.
A.
( )
tan
e1
x
Fx
=
. B.
( )
tan
ee
x
Fx=
. C.
( )
tan
e
x
Fx=
. D.
( )
tan
e e1
x
Fx= +−
.
Li gii
ch 1:
Theo đềi ta có:
( )
tan
2
e
d
cos
x
Fx x
x
=
( )
tan
e d tan
x
x=
tan
e
x
C= +
.
e
4
F
π

=


tan
4
eeC
π
+=
.
Vy
(
)
tan
e
x
Fx
=
.
ch 2:
Đặt
2
1
tan dt d
cos
tx x
x
= ⇒=
Khi đó
( )
Fx
tr thành
e dt e
tt
C= +
( )
tan
e
x
Fx C⇒=+
.
e
4
F
π

=


tan
4
eeC
π
+=
.
Vy
(
)
tan
e
x
Fx
=
.
ch 3:
( )
tan
2
e
d
cos
x
Fx x
x
=
(
)
tan
ed
x
x
=
tan
e
x
C= +
.
e
4
F
π

=


tan
4
eeC
π
+=
.
Vy
( )
tan
e
x
Fx
=
.
Câu 9: [Mức độ 2]
( )
1 .e d
x
xx+
bng
A.
.e
x
xC+
. B.
( )
2 .e
x
xC++
. C.
( )
1 .e
x
xC−+
. D.
2
1
.e
2
x
xx C

++


.
Li gii
Đặt
1
d e .d
x
ux
vx
= +
=
d
e
x
ux
v
=
=
.
Ta có:
( )
1 .e d
x
xx+
( )
1 .e e d
xx
xx=+−
( )
1 .e e
xx
xC=+ −+
.
x
xe C
= +
.
Cách 2. (thy Hòa)
( )
( )
1 .e d .e e d
x xx
x xx x
+=+
∫∫
( )
.e d
x
xx
=
.e
x
xC= +
.
Câu 10: H nguyên hàm ca hàm s
3
( ) lnfx x x=
A.
4
4
1
ln
4 16
x
xx C−+
. B.
4
4
1
ln
4 16
x
xx C++
. C.
4
4
1
ln
4 12
x
xx C−+
. D.
4
13
ln
44
xx C

−+


.
Li gii
Xét
3
ln dI x xx=
Đặt
3
ln
dd
ux
v xx
=
=
4
1
dd
4
ux
x
x
v
=
=
4 34 4
.ln d .ln
4 4 4 16
x xx x
I x x xC⇒= = +
.
Câu 11: Biết
2
1
d1
ln
31 2
xb
xa
=
(vi
) thì
2
ab+
bng
A.
8
. B.
14
. C.
10
. D.
12
.
Li gii
Ta có
2
1
2
d 1 1 1 15
ln 3 1 ln 5 ln 2 ln
1
3 13 3 3 32
x
x
x
= −= =
3; 5ab⇒= =
.
Vy
22
3 5 14.
ab+= +=
Câu 12: Cho
( )
2
0
d5fx x
π
=
. Tính
( )
( )
2
0
2sin d
I fx x x
π
= +
A.
5I
π
= +
. B.
52I
π
= +
. C.
3I =
. D.
7I =
.
Li gii
( )
( )
( )
22
2
0
00
2sin d d 2cos 5 2 7I fx x x fx x x
ππ
π
= + = =+=
∫∫
.
Câu 13: Biết
( )
1
2
0
3 1dIxx= +
. Khẳng định nào sau đây sai?
A.
2I =
. B.
( )
3
1
0
I xx= +
. C.
( )
2
2
1
3 1dIxx= +
. D.
( )
1
2
0
3 1dIu u= +
.
Li gii
Ta có:
( )
( ) ( )
1
3
2 33
0
11
3 1 d 3. 1 1 0 2
00
3
x
I x x x xx

= + = + = + = + −=


Suy ra, đáp án A, B là nhng khẳng định đúng.
Mặt khác, tích phân của hàm s
f
t
a
đến
b
có th kí hiu bi
( )
d
b
a
fx x
hay
( )
d
b
a
fu u
. Tích
phân đó chỉ ph thuc vào
f
và vào các cn
;ab
mà không ph thuc vào biến s
x
hay
u
.
Do đó, đáp án D là mt khẳng định đúng.
Vy khẳng định sai bài này là đáp án C, suy ra chọn đáp án C.
Câu 14: Cho hai hàm s
( )
fx
,
( )
gx
liên tc trên
[
]
;ab
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
( ) ( ) ( ) (
)
. d d. d
b bb
a aa
fxgxx fxxgxx=
∫∫
.
B.
(
) ( )
0
d2 d
aa
a
fx x fx x
=
∫∫
.
C.
( ) ( )
(
)
d
b
a
f x x Fb Fa
= +
vi
(
) (
)
dFx f x x
=
.
D. Nếu
( )
0fx
[ ]
;x ab∀∈
thì
(
)
d0
b
a
fx x
.
Li gii
Nếu
( )
0fx=
[ ]
;x ab∀∈
thì
(
)
d 0d 0
bb
b
a
aa
fx x x C= = =
∫∫
Nếu
( )
0fx
(du bằng xảy ra ti mt vài đim), gi
(
)
Fx
là mt nguyên hàm ca
( )
fx
trên
đoạn
[;]ab
.
Ta có:
(
) ( )
0Fxx f
=
trên đoạn
[;]ab
nên
( )
Fx
đồng biến trên đoạn
[;]ab
Mt khác
( ) ( )
a b Fa Fb<⇒ <
( ) ( ) ( )
d0
b
a
f x x Fb Fa =−>
Vy
( )
d0
b
a
fx x
.
Câu 15: Nếu đổi biến
thì tích phân
4
tan
2
0
1
e. d
cos
x
Ix
x
π
=
tr thành
A.
( )
1
2
0
e1 d
t
I tt= +
. B.
1
0
ed
t
It=
. C.
1
0
ed
t
It=
. D.
(
)
1
2
0
e1 d
t
I tt
=−+
.
Li gii
Đặt
2
1
dd
cos
tx
x
⇒=
.
Đổi cận:
00
xt= ⇒=
.
1
4
xt
π
= ⇒=
.
Khi đó
1
0
ed
t
It=
.
Câu 16: Cho
( )
6
0
12dfx x
=
. Tính
( )
2
0
3 dI f xx=
.
A.
6I =
. B.
36I =
. C.
2I =
. D.
4I =
.
Li gii
Đặt
33ddtx t x=⇒=
.
Đổi cận: với
00xt= ⇒=
26xt= ⇒=
.
Do đó
( ) ( )
( )
26 6
00 0
1
3
33
d
dd
t
I f xx ft fxx= = =
∫∫
.
Vy
(
)
2
0
12
34
3
d
I f xx
= = =
.
Câu 17: Biết
3
0
d
1
xa
x
b
x
=
+
vi
,ab
a
b
là phân số ti gin. Tính
22
Sa b= +
A.
73S =
. B.
71S =
. C.
65S =
. D.
68S =
.
Li gii
3
0
d
1
x
Ix
x
=
+
Đặt
2
1 12ddt x t x tt x= + = +⇒ =
Đối cận:
0 1; 3 2
x tx t=⇒= =⇒=
Khi đó:
( )
2
22
23
2
11
1
18
.2d2 1d2
33
tt
I tt t t t
t

= = = −=


∫∫
8
73.
3
a
S
b
=
⇒=
=
Câu 18: Biết
1
2
1
4d 3
a
xx c
b
π
−=+
, vi
,,abc
a
b
là phân số ti gin. Tính
T abc=++
A.
9T =
. B.
8T =
. C.
7T =
. D.
6T =
.
Li gii
Đặt
2sinxt=
d 2cos dx tt⇒=
Đổi cn:
1
6
xt
π
=−⇒ =
1
6
xt
π
=⇒=
1
6
22
1
6
4 4 4sin 2cosx dx t t dt
π
π
−=
∫∫
6
6
4 cos cost t dt
π
π
=
6
2
6
4 cos t dt
π
π
=
(vì
;
66
t
ππ



nên
cos 0t >
nên
cos costt=
)
( )
6
6
2 1 cos 2x dx
π
π
= +
6
6
12
2 sin 2 3
23
xx
π
π
π

=+=+


.
Suy ra
2, 3, 1abc
= = =
,
2 3 1 6.T abc= ++ = ++=
Câu 19: Biết
( )
2
0
2 1 cos dx xx a b
π
π
+=
, vi
,ab
. Tính
T ab= +
.
A.
5
T =
. B.
4T =
. C.
3T =
. D.
2T =
.
Li gii
( )
2
0
2 1 cos d
x xx
π
+
( )
(
)
2
0
2 1 d sinxx
π
= +
( )
2
2
0
0
2 1 sin 2 sin dx x xx
π
π
=+−
( )
2
0
2 1 sin 2cosxxx
π
=++


1
π
=
Suy ra
1, 1ab= =
. Vy
2T =
.
Câu 20: Biết
2
1
ln d ln2x. x a b
=
, vi
a,b
. Tính tng
T ab= +
A.
4
T
=
. B.
3T
=
. C.
6T
=
. D.
5T
=
.
Li gii
Đặt
1
ln
dd
dd
ux
ux
x
vx
vx
=
=

=
=
Ta có:
22
11
2
1
ln d ln .d
1
x. x x x x. x
x
=
∫∫
2
1
2
2ln2 d 2ln2 2ln2 1
1
xx= = −=
Theo gi thiết
2
1
ln d ln2x. x a b=
Do đó
21a ;b
= =
. Vy
213T = +=
.
Câu 21: Trong không gian vi h trc tọa độ
Oxyz
, cho vectơ
23ai j k=−+

. Vectơ
a
có tọa độ
A.
( )
2;3;1
. B.
( )
3; 2;1
. C.
( )
1;2; 3−−
. D.
( )
1; 2;3
.
Li gii
Do
23
ai j k=−+

nên vectơ
a
có tọa độ
( )
1; 2;3
.
Câu 22: Trong không gian vi h trc ta đ
Oxyz
, cho điểm
(1; 2 ; 3)
M
. Gi
H
là hình chiếu vuông góc
ca
M
trên trc
Ox
, khi đó
H
có tọa độ
A.
( )
1;2;0
. B.
( )
1;0;0
. C.
( )
0;0;1
. D.
( )
0;1;0
.
Li gii
Do
H
là hình chiếu vuông góc ca
(1; 2 ; 3)M
trên trc
Ox
nên
( )
1;0;0H
.
Câu 23: Trong không gian vi h trc ta đ
Oxyz
, cho hai điểm
( ) ( )
;; , ; ;Axyz B x y z
′′
. Trong các
khẳng định sau, khẳng định đúng là:
A.
( )
;;AB x x y y z z
′′
=+++

. B.
( )
;;AB x x y y z z
′′
=−−

.
C.
( )
;;AB x x y y z z
′′
=−−

. D.
( ) ( ) ( )
( )
2 22
;;AB x x y y z z
′′
=−−

.
Li gii
Ta có:
(
)
;;AB x x y y z z
′′
=−−

.
Câu 24: Trong không gian vi h trc ta đ
Oxyz
, cho điểm
( )
0; 2; 1A
vectơ
( )
3; 0; 2u =
. Tìm ta
độ điểm
B
sao cho
AB u=

A.
(
)
3; 2; 3
B −−
. B.
( )
3; 2;1B
.
C.
( )
3; 4;1B =
. D.
(
)
3; 2;1B =
.
Li gii
Gi
( )
;;B xyz
là điểm cn tìm.
( )
; 2; 1AB x y z= −+

.
33
20 2
12 1
xx
AB u y y
zz
= =


= −= =


+= =


.
Vy
( )
3; 2;1B
=
.
Câu 25: Trong h trc tọa độ
Oxyz
, cho điểm
(
)
2;1; 3
A
. Tìm tọa độ điểm
A
đối xứng với
A
qua
Oy
.
A.
(
)
2;1; 3A
. B.
( )
2; 1; 3A
−−
. C.
( )
2;0; 3A
. D.
( )
2;0;3A
.
Li gii
Ta có tọa độ điểm
A
đối xứng với
A
qua
Oy
2; 1; 3A
.
Câu 26: Trong không gian vi h ta đ
Oxyz
, cho hai vecto
( )
1; 0; 2a =
(
)
2; 1; 3b
=
. Tích có
hướng ca hai vecto
a
b
là mt vecto có tọa độ là:
A.
( )
2;7;1
. B.
( )
2;7; 1−−
. C.
( )
2; 7;1
. D.
( )
2; 7; 1−−
.
Li gii
Ta có
( )
; 2; 7; 1
ab

=−−


.
Câu 27: Trong không gian vi h trc ta đ
Oxyz
, cho mt cu
( ) ( ) ( ) ( )
22 2
:5 1 29Sx y z + ++ =
.
Xác đnh bán kính
R
ca mt cu
( )
S
?
A.
3R =
. B.
6R =
. C.
9R =
. D.
18R =
.
Li gii
Vi mt cu
( ) ( ) ( ) ( )
22 2
:5 1 29Sx y z + ++ =
.
2
93RR =⇒=
.
Câu 28: Trong không gian vi h trc tọa độ
Oxyz
, tính bán kính
R
ca mt cu
( )
S
tâm
( )
2;1; 1I
tiếp xúc với mt phng
(
)
:2 2 3 0P x yz
−+=
.
A.
9R =
. B.
4
R
=
. C.
3R =
. D.
2R =
.
Li gii
Bán kính ca mt cầu là:
(
)
( )
,R dI P
=
(
)
( )
22
2
2.2 2.1 1 3
22 1
++
=
+− +−
2
=
.
Câu 29: Trong không gian vi h ta đ
Oxyz
. Viết phương trình mặt cầu tâm
I Ox
đi qua hai
điểm
( )
1; 2; 0A
,
(
)
3;4;2B
A.
( )
2
22
3 20x yz+ ++=
. B.
( )
2
22
39
x yz+ ++=
.
C.
( )
2
22
2 16x yz+ ++=
. D.
( )
2
22
29x yz+ ++=
.
Li gii
Do tâm
I
thuc trc
Ox
nên tọa độ ca
I
có dng
( )
;0;0a
.
Mt cầu đi qua hai điểm
( )
1; 2; 0A
,
( )
3;4;2B
nên:
22
IA IB=
( ) ( )
22
1 4 3 16 4aa += + + +
22
2 5 6 29aa aa⇔−+=++
3a⇔=
.
Ta được
(
)
3;0;0
I
.
Mt cầu đi qua điểm
A
nên bán kính mt cu là
(
)
2
3 1 4 20R IA= = −− + =
.
Vy mt cầu có phương trình:
(
)
2
22
3 20x yz+ ++=
.
Câu 30: Trong không gian vi h ta đ
Oxyz
, mt phng
( )
: 2 3 50Px y z+ + −=
có một c pháp
tuyến là
A.
( )
3, 2, 1n
=
. B.
(
)
1, 2, 3n =
. C.
( )
1, 2, 3n
=
. D.
( )
1, 2, 3
n =
.
Li gii
Mt phng
( )
: 2 3 50Px y z
+ + −=
có một véc tơ pháp tuyến là
( )
1, 2, 3n =
.
Câu 31: Trong không gian
Oxyz
, phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm
( )
( ) ( )
2;0; 1 , 1; 2;3 , 0;1; 2A BC
−−
A.
2 15 0xz−+ =
. B.
2 30xyz++−=
.
C.
2 30xz−−=
. D.
2 50xz−−=
.
Li gii
( )
(
)
2;1; 3
1; 2; 4
AC
AB
=
=−−


suy ra
(
)
, 10;5;5
AC AB

=

 
Ta có
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
0;1; 2
2;1;1
:2 1 2 0
qua C
mp ABC
VTPT n
ABC x y z
=
+ −+ =
2 30xyz ++−=
.
Câu 32: [ Mc đ 2] Trong h ta đ
Oxyz
, phương trình mặt phng trung trc của đoạn thng
( ) ( )
1;1; 1 , 5;2;1
AB
A.
6 3 27 0xy+−=
. B.
8 2 4 27 0xyz++−=
.
C.
8 2 4 27 0xyz+++=
. D.
4 2 30xy z++ −=
.
Li gii
Gi
( )
P
là mt phng trung trc ca đon thng
AB
. Khi đó
( )
P
qua
3
3; ;0
2
I



trung điểm
ca
AB
và có 1 VTPT
(
)
4;1;2AB =

.
Vy
( )
:8 2 4 27 0Pxyz++−=
.
Câu 33: [ Mc đ 2] Din tích
S
ca hình phng gii hn bi các đưng
3
3yx x=
,
yx
=
,
2x =
,
2x =
là:
A.
9S =
(đvdt). B.
8S =
(đvdt). C.
7S =
(đvdt). D.
6S =
(đvdt).
Li gii
Cách 1: Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
3
3x xx
−=
3
40xx⇔−=
( )
2
40xx −=
0
2
x
x
=
= ±
.
Khi đó
2
3
2
4S x x dx
=
02
33
20
44x x dx x x dx
= +−
∫∫
( ) (
)
02
33
20
44x x dx x x dx
= +−
∫∫
02
44
22
20
22
44
xx
xx

= +−


16 16
0 8 80
44

= + −−


8=
(đvdt).
Cách 2: Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
3
3x xx−=
3
40xx⇔−=
( )
2
40xx −=
0
2
x
x
=
= ±
.
Xét du biu thc
( )
3
4fx x x=
ta được:
x
2
0
2
3
4xx
0
+
0
0
Khi đó
2
3
2
4S x x dx
=
02
33
20
44x x dx x x dx
= +−
∫∫
( ) ( )
02
33
20
44x x dx x x dx
= −−
∫∫
02
44
22
20
22
44
xx
xx

= −−


16 16
0 8 80
44

= −− −+


8=
(đvdt).
Câu 34: Din tích
S
ca hình phng gii hn bởi các đường
22
2,
yx xyxx=−=
A.
10
3
S =
(đvdt). B.
9
8
S
=
(đvdt). C.
12S =
(đvdt). D.
6S =
(đvdt).
Li gii
Phương trình hoành độ giao điểm:
2 22
0
2 2 30
3
2
x
x x xx x x
x
=
=−⇔ −=
=
.
Khi đó diện tích hình phng cn tìm là:
( )
33
3
22
2
2 2 32
00
0
23 9
23d 23d
32 8
S xxx xxx x x

= = =−+ =


∫∫
(đvdt).
Câu 35: [ Mức độ 2] Nếu đặt
costx=
thì tích phân
2
7
0
sin .dI xx
π
=
tr thành:
A.
(
)
0
3
2
1
1d
I tt
=
. B.
( )
1
2
3
2
0
1dIt t=
.
C.
( )
1
3
2
0
1dI tt=
. D.
( )
1
3
2
0
1dIt t=
.
Li gii
Ta có:
2
7
0
sin .dI xx
π
=
=
( )
2
3
2
0
1 cos sin .dx xx
π
Đặt
costx
=
suy ra
d sin .dt xx=
Đổi cn
Vy
( )
( )
0
3
2
1
1dI tt=−−
( )
1
3
2
0
1dtt=
Câu 36: [ Mc đ 1] Cho
2
2
0
d
4
x
I
x
=
+
. Nếu đt
2 tan
xt=
thì trong các khẳng định sau, khẳng định nào
sai?
A.
2
2
4
4
cos
x
x
+=
B.
2
d 2(1 tan )dx tt= +
C.
4
0
1
d
2
It
π
=
D.
1
0
1
d
2
It=
Li gii
Đặt
2 tan , ;
22
x tt
ππ

= ∈−


;
2
d 2(1 tan )dx tt= +
Đổi cn
2
2
44
22
00 0
d 2(1 tan )d 1
d
44tan42
x tt
It
xt
ππ
+
= = =
++
∫∫
1
4
00
11
dd
22
tt
π
∫∫
(bm máy)
Suy ra chn D
Cách xử lý thường gp ca hc sinh khi gp tình huống này là:
Hc sinh có th dùng máy tính bm kết qu ca
I
, sau đó bấm đáp án C và D thì cũng chọn được đáp án
D.
Câu 37: [ Mức độ 2] Biết
(
)
2
23
1
5
3 2 ln .d ; , ,
6
e
ae
x x x x e abc
bc
+ = ++
phân số tối giản. Tính
S abc=++
A.
10S =
. B.
9S =
. C.
8S =
. D.
7S =
.
Li gii
Áp dng công thức tích phân từng phần:
dd
bb
aa
b
u v uv v u
a
=
∫∫
.
Đặt
2
32
1
ln
dd
d3 2
ux
ux
x
vx x
vx x
=
=

= +
= +
( ) ( ) ( )
2 32 32
11
1
3 2 ln .d ln . d
1
ee
e
x x xxxx x xx x
x
+ =+ −+
∫∫
( ) ( )
32 2
1
ln d
1
e
e
x x x x xx
=+ −+
( )
32
32
ln
11
32
ee
xx
xx x

=+ −+


32
32
5
32 6
ee
ee

=+− + +


2
3
25
3 26
e
e= ++
.
2;3;2abc⇒= = =
7S abc =++=
.
Câu 38: [ Mức độ 2] Giá tr ca
2
1
ln
d
e
x
x
x
:
A.
2 e
e
. B.
2e
e
. C.
2
1
e
+
. D.
1e
e
+
.
Li gii
Vi
2
1
ln
d
e
x
Ix
x
=
. S dụng phương pháp tích phân từng phn ta có
Đặt
2
d
ln d
d1
d
x
xu u
x
x
vv
xx
=⇒=
=⇒=
Khi đó
2
11
1
ln 1 1 1 2 2
d1
ee
e
xe
Ix
x x ex e e
−−
= + = + = +=
.
Câu 39: Biết
(
)
1
2
0
2
5
4
d
xa
x
b
x
=
+
vi
,
ab
a
b
là phân số ti gin. Tính
S ab= +
.
A.
10
S
=
. B.
9S =
. C.
8S =
. D.
7S
=
.
Li gii
Cách 1: Bấm máy tính
(
)
1
2
0
2
51
8
4
d
x
x
x
=
+
. Do đó
1, 8 1 8 9ab S= =⇒ =+=
.
Cách 2: Đặt
2
42
2
d
dd d
u
x u xx u xx+= = =
Đổi cận:
x
0
1
u
4
5
(
)
5
15
2
2
04
2
4
5 5 51 1
.
2 28
4
d
d
xu
x
uu
x
= =−=
+
∫∫
. Do đó
1, 8 1 8 9ab S= =⇒ =+=
.
Câu 40: Cho
55
16
d
ln 2 ln5 ln11
.9
x
abc
xx
=++
+
, vi
,,abc
là các s hu t. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
ab c−=
. B.
. C.
3ab c+=
. D.
3ab c−=
.
Li gii
Đặt
2
99u x ux
= +⇒ =+
2d duu x⇒=
.
Đổi cn
Ta có
( )
55 8 8
2
2
16 5 5
d 2d d
2
9
9
.9
x uu u
u
uu
xx
= =
+
∫∫
( ) ( )
88
55
1 1 11 1
2 dd
6 36 3 3 3 3
uu
u u uu


=−=



+ −+


∫∫
( )
(
)
8
11
ln 3 ln 3 ln 5 ln11 ln 2 ln 8
5
33
uu
= −− + = +
211
ln 2 ln 5 ln11
333
= +−
.
Do đó
21 1
,,
33 3
abc= = =
, ta thy
ab c−=
nên đáp án A thỏa mãn.
Câu 41: Trong không gian vi h ta đ
Oxyz
, phương trình nào dưới đây phương trình mặt cầu đi qua
ba điểm
( )
2;3;3M
,
( )
2 ; 1; 1N −−
,
( )
2; 1;3P −−
tâm thuộc mt phng
( )
:2 3 2 0x yz
α
+ −+=
.
A.
2 22
2 2 2 10 0xyz x yz++−+ =
. B.
2 22
4 2 6 20xyz x yz+ + + −=
.
C.
2 22
4 2 6 20xyz xyz+ + + + +=
. D.
2 22
2 2 2 20xyz x yz+ + + −=
.
Li gii
Gi mt cu
( )
S
cần tìm có tâm
(
)
;;I abc
, bán kính
R
.
Vì mt cầu đi qua 3 điểm
( )
2;3;3M
;
( )
2 ; 1; 1
N −−
;
( )
2; 1;3P −−
có tâm thuộc mt phng
( )
:2 3 2 0x yz
α
+ −+=
nên ta có h phương trình:
( )
I
IM IN
IM IP
α
=
=
( ) (
)
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
(
) (
)
( )
2 2 2 222
222 222
2 3 20
233 211
233 213
a bc
abcabc
a b c a bc
+ −+=
−++−=−++++
+ +− =+ ++ +−
.
2 3 20
8 8 16 0
8 8 80
a bc
bc
ab
+ −+=
⇔− + =
+=
2
1
3
a
b
c
=
⇔=
=
.
Khi đó
(
) (
)
( )
2 22
22 13 33 4R IM
= = +− + =
.
Vậy phương trình mặt cu
( )
S
là:
( ) (
) (
)
222
2
2 1 34
x yz−+++−=
2 22
4 2 6 20xyz x yz
+ + + −=
.
Câu 42: Trong không gian
Oxyz
, cho mt cu
( )
2 22
: 2 4 2 30Sx y z x y z
+ + + + −=
,
(
)
P
là mt phng
cha trc
Ox
và ct mt cu
( )
S
theo một đường tròn có bán kính bng
3r =
. Mt phng
( )
P
có phương trình là
A.
( )
:y 2 0Pz
−=
. B.
( )
:2 0P yz+=
. C.
( )
:2y 0
Pz−=
. D.
( )
:y 2 0Pz+=
.
Li gii
( )
P
là mt phng cha trc
Ox
nên phương trình mặt phng
(
)
P
có dạng:
z0By C+=
vi
( )
22
0BC+≠
.
Mt khác mt cu
( )
2 22
: 2 4 2 30Sx y z x y z+ + + + −=
( ) ( ) ( )
2 22
1 2 19xy z
++ ++ =
.
Vậy tâm
( )
1; 2; 1I −−
bán kính
3R =
.
22 32
33 0d Rr= −= −=
nên mt phng
( )
P
là mt phẳng đi qua tâm
( )
1; 2; 1I −−
.
Suy ra
20 2BC C B −==
.
Vậy phương trình mặt phng
( )
P
có dng:
20By Bz−=
20yz⇔− =
.
Câu 43: Trong không gian vi h trc tọa độ
.Oxyz
Mt phng
( )
P
đi qua điểm
( )
2; 3;1I
và cha trc
Ox
có phương trình là
A.
( )
:3 0P yz+=
. B.
( )
:3 0P xy+=
. C.
( )
:30Py z−=
. D.
( )
: 30Py z+=
.
Li gii
Trục
Ox
đi qua
( )
0;0;0O
và có VTCP
( )
1;0;0i =
.
Mặt phẳng
( )
P
đi qua
( )
2; 3;1I
và chứa trục
Ox
có VTPT là
( )
, 0;1;3n i OI

= = −−


.
Vậy phương trình mặt phẳng
( )
P
( ) ( )
( )
0 21 33 1 0 3 0x y z yz + =⇔+ =
.
Câu 44: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
( )
42
1
3
2
s tt= +
vi
t
tính bằng giây,
s
tính
bng mét. Tìm vn tc ca chuyển động ti thi đim
4t =
(giây).
A.
( )
140 /ms
. B.
(
)
150 /ms
. C.
( )
200 /ms
. D.
( )
0/ms
.
Li gii
Phương trình vận tc ca chuyển động là:
( ) ( )
3
23vt s t t t
= = +
.
Vn tc ca chuyển động ti thi đim
4t =
(giây) là:
( )
( )
3
4 2.4 3.4 140 /v ms= +=
.
Câu 45: Mt vt chuyển động với phương trình vận tc là
( )
32vt t
= +
( )
/ms
. Biết ti thời điểm
2t =
(giây) thì vật đi được quãng đường là
10m
. Hi ti thời điểm
30t =
(giây) vt đi đưc quãng
đường bao nhiêu?
A.
1410
m
. B.
1140
m
. C.
300m
. D.
240m
.
Li gii
Ta có quãng đường vật đi được t thời điểm
2t =
ti
30t =
là:
( ) ( ) ( )
30
2
3 2 30 2S t dt S S= +=
( ) (
)
30 2 1400
SS −=
( ) ( )
30 1400 2 1410S Sm =+=
.
Câu 46: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên
. Gọi
S
diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
(
)
y fx=
,
0y =
,
1x =
,
4x =
(hình vẽ bên dưới). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
( ) ( )
14
11
ddS fx x fx x
=−+
∫∫
. B.
( ) ( )
14
11
ddS fx x fx x
= +
∫∫
.
C.
( ) ( )
14
11
ddS fx x fx x
=
∫∫
. D.
( ) ( )
14
11
ddS fx x fx x
=−−
∫∫
.
x
y
y = f(x)
O
4
1
-1
Li gii
Din tích hình phng gii hn bi các đưng
( )
y fx=
,
0y =
,
1x =
,
4x =
( )
4
1
dS fx x
=
.
Da vào đ th ca hàm s
( )
y fx=
ta thy trên
[ ]
1;1
thì
( )
0fx
và trên
[ ]
1; 4
thì
( )
0fx
. Do đó:
(
) ( )
14
11
ddS fx x fx x
=
∫∫
.
Câu 47: Cho hàm s
(
)
fx
có đạo hàm liên tc trên
[ ]
1, 2
, tha mãn
( )
( )
(
)
23
2 2 31 4f x xf x f x x+ −+ =
. Giá tr tích phân
( )
2
1
dI fx x
=
bng
A.
3
. B.
5
. C.
15
. D.
8
.
Li gii
Ta có:
( )
( )
(
)
23
2 2 31 4f x xf x f x x
+ −+ =
.
( )
( )
( ) ( )
22 2 2
23
11 1 1
d 2 . 2 d 3 1 d 4 d 15fxx xfx x f xx xx
−−
+ −+ = =
∫∫
.
Đặt
2
2 d 2d
u x u xx
= −⇒ =
; vi
1 1; 2 2x ux u=⇒= =⇒=
.
Khi đó
( )
( ) ( )
2 22
2
1 11
2. 2d d dxf x x f u u f x x
−−
−= =
∫∫
(
)
1
.
Đặt
1 ddt xt x=−⇒ =
; vi
1 2; 2 1x tx t=⇒= = ⇒=
.
Khi đó
(
)
( )
( )
2 22
1 11
1d d d
f xx ftt fxx
−−
−= =
∫∫
( )
2
.
Thay
( )
( )
1,2
vào
( )
ta được:
( ) ( )
22
11
5 d 15 d 3fx x fx x
−−
=⇒=
∫∫
.
Câu 48: Cho hàm
( )
fx
liên tc trên
( )
0; +∞
, tha mãn
( ) ( )
ln 1 lnf xf xx+− =
. Tính
( )
1
0
dI fxx=
.
A.
( )
21
3
e
. B.
2
e
. C.
1
2
e +
. D.
1
2
e
.
Li gii
Vi
( )
0;x +∞
thì
( ) ( )
ln 1 lnf xf xx+− =
( ) ( )
ln 1 ln
1
f xf x
x
+−
⇔=
.
Đặt
lnxt=
. Suy ra
d
d
t
x
t
=
.
Đổi cn
01xt= ⇒=
,
1x te=⇒=
.
Khi đó
( )
1
ln
d
e
ft
It
t
=
( )
1
.
Đặt
1 ln
xt=
. Suy ra
d
d
t
x
t
=
.
Đổi cn
0x te= ⇒=
,
11
xt
=⇒=
.
Do đó
(
)
1
1 ln
d
e
ft
It
t
=
( )
1
1 ln
d
e
ft
t
t
=
( )
2
.
Cng vế vi vế ca
( )
1
( )
2
ta được
( ) ( )
1
ln 1 ln
2d
e
ftf t
It
t
+−
=
1
d
e
t=
1
e=
.
Suy ra
1
2
e
I
=
.
Câu 49: Din tích
S
ca hình phng gii hn bi đồ thị hàm số
( )
2
45yx x C=−+
và hai tiếp tuyến ca
(
)
C
ti các tiếp điểm
(
)
1; 2A
;
( )
4; 5B
A.
11
4
S
=
( đvdt). B.
9
4
S =
( đvdt). C.
15
4
S =
( đvdt). D.
13
4
S =
( đvdt).
Li gii
Ta có
2
45yx x=−+
. TXĐ:
D =
.
24yx
=
( )
( )
12
44
f
f
=
=
.
Phương trình tiếp tuyến vi
( )
C
tại điểm
( )
1; 2A
( )( )
A AA
yy fx xx
−=
( )
2 12yx⇔= −+
( )
24yxd⇔= +
.
Phương trình tiếp tuyến vi
( )
C
tại điểm
( )
4; 5B
( )
( )
B BB
yy fx xx
−=
( )
4 45yx⇔= +
4 11
yx⇔=
( )
d
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường tiếp tuyến là
2 4 4 11xx +=
5
2
x
⇔=
.
Din tích
S
ca hình phng gii hn bi đồ thị hàm số
( )
2
45yx x C=−+
và hai tiếp tuyến ca
( )
C
ti các tiếp điểm
( )
1; 2A
;
( )
4; 5B
5
4
2
22
5
1
2
( 4 5) ( 2 4)d ( 4 5) (4 11)dS xx x x xx x x= +−+ + +−
∫∫
.
( )
5
4
2
2
2
5
1
2
1 d 8 16dS x xxx x= + −+
∫∫
( ) ( )
5
4
2
22
5
1
2
1d 4 d
x xx x= +−
∫∫
99
88
= +
9
4
=
.
Câu 50: Cho hàm s
(
)
0,
fx x
∀∈
và liên tc trên
tha mãn
( ) ( )
( )
2
. 2. 1fxf x x f x
= +
(
)
0 0.
f
=
Giá tr ln nht ca hàm s
( )
fx
trên đoạn
[ ]
1; 3
bng
A.
20
. B.
4 11
. C.
12
. D.
3 11
.
Li gii
Ta có
( ) (
) ( )
( ) ( )
(
)
2
2
.
. 2. 1 2
1
fxf x
fxf x x f x x
fx
= +⇔ =
+
.
( ) ( )
2 22
1 2 1 2dfx x fx xxxC

+ = += = +

(*).
Thay
0x =
vào (*) ta được
( )
2
0 1 0 1.f CC
+=+ =
Từ (*) suy ra
( ) ( )
2 2 2 42
1 1 2.fx x fx x x+= +⇔ = +
( )
0,fx x ∀∈
nên
( )
42
2.fx x x= +
Xét hàm số
( )
42
2fx x x= +
trên đoạn
[ ]
1; 3
ta có
( )
[ ]
3
42
22
0, 1; 3 .
2
xx
fx x
xx
+
= > ∀∈
+
Suy ra hàm số
( )
fx
luôn đồng biến trên đoạn
[ ]
1; 3 .
Vậy
[ ]
( ) ( )
1;3
max 3 3 11.fx f= =
---------- HT ----------
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II
MÔN: TOÁN 12 – ĐỀ S: 07
Câu 1: Giá tr ca
2
2
0
2
x
e dx
A.
4
31e
. B.
4
4e
. C.
4
1e
. D.
4
e
.
Câu 2: Cho hàm s
(
)
fx
liên tc trên
( )
Fx
là nguyên hàm ca
(
)
fx
, biết
(
)
9
0
d9
fx x=
( )
03F =
. Tính
( )
9F
.
A.
( )
96F =
. B.
( )
96F =
. C.
( )
9 12F =
. D.
( )
9 12F =
.
Câu 3: Cho hàm s
( )
fx
liên tc trên
và có mt nguyên hàm là
(
)
Fx
. Biết
( )
27
F
=
. Giá
tr ca
( )
4F
A.
( )
4
2
7dft t−+


. B.
(
)
4
2
7d
ft t
−+
. C.
( )
74f
−+
. D.
( )
4f
.
Câu 4: Biết
( )
Fx
1
nguyên hàm ca
( )
2
cosfx x=
(
)
1
F
π
=
. Tính
4
F
π



.
A.
53
4 48
F
ππ

= +


. B.
33
4 48
F
ππ

=


. C.
53
4 48
F
ππ

=


. D.
33
4 48
F
ππ

= +


.
Câu 5: Cho hai tích phân
( )
5
2
d8fx x
=
( )
2
5
d3gx x
=
. Tính
(
) ( )
5
2
4 1d
I f x gx x
= −−


.
A.
11I =
. B.
13I =
. C.
27I =
. D.
3I
=
.
Câu 6: Cho tích phân
0
3
cos 2 .cos 4 d 3x xx a b
π
= +
, trong đó
,ab
là các hng s hu t. Tính
2
log
a
eb+
.
A.
2
. B.
3
. C.
1
8
. D.
0
.
Câu 7: Gi s rng
0
2
1
3 51 2
ln
23
xx
dx a b
x
+−
= +
. Khi đó, giá tr ca
2ab+
A.
30
. B.
60
. C.
50
. D.
40
.
Câu 8: Cho hàm s
( )
fx
đo hàm liên tc trên đon
[ ]
0;1
và tha mãn
( )
06f =
,
( ) ( )
1
0
2 2. d 6
x fxx
−=
. Tích phân
( )
1
0
dfx x
.
A.
3
. B.
9
. C.
3
. D.
6
.
Câu 9: Biết rng
ln 2
0
11 5
d ln 2 ln 2 ln .
21 2 3
a
x
x x bc
e

+ = ++

+

Trong đó
,,abc
là nhng s nguyên.
Khi đó
S abc=+−
bng
A.
2
. B.
3
. C.
4
. D.
5
.
Câu 10: Cho hàm s
( )
y fx=
liên tc trên
và tha mãn
( )
4
0
tan d 4f xx
π
=
( )
2
1
2
0
d2
1
xf x
x
x
=
+
.
Tính tích phân
( )
1
0
d
I fx x
=
.
A.
6
. B.
2
. C.
3
. D.
1
.
Câu 11: Cho hàm s
()
y fx=
liên tc và nhn giá tr không âm trên đon
[;]ab
. Din tích hình
thang cong gii hn bi đ th ca
()y fx=
, trc hoành và hai đưng thng
xa=
,
xb=
đưc tính theo công thc
A.
() .
b
a
S f x dx=
B.
() .
b
a
S f x dx=
C.
2
() .
b
a
S f x dx=
D.
2
() .
b
a
S f x dx=
Câu 12: Cho đ th hàm s
()y fx=
. Din tích hình phng (phn tô đm trong hình) là
A.
01
20
() ()S f x dx f x dx
= +
∫∫
B.
1
2
()S f x dx
=
C.
21
00
() ()
S f x dx f x dx
= +
∫∫
D.
01
20
() ()S f x dx f x dx
=
∫∫
Câu 13: Din tích hình phng đưc gii hn bi đ th hàm s
3
yx=
, trc hoành và hai đưng
thng
1x =
,
3x =
A.
19
B.
18
C.
20
D.
21
Câu 14: Din tích hình phng đưc gii hn bi đ th hàm s
yx=
, trc hoành và hai đưng
thng
1
x =
,
4x =
A.
4
B.
14
5
C.
13
3
D.
14
3
Câu 15: Din tích hình phng đưc gii hn bi đ th hàm s
3
yx=
, trc hoành và hai đưng
thng
1x =
,
8x =
A.
45
2
B.
45
4
C.
45
7
D.
45
8
Câu 16: Cho hình phng gii hn bi các đưng
22
1
4,
3
y xy x=−=
quay xung quanh trc Ox.
Th tích ca khi tròn xoay to thành bng:
A.
24 3
5
V
π
=
B.
28 3
5
V
π
=
C.
28 2
5
V
π
=
D.
24 2
5
V
π
=
Câu 17: Cho hình phng gii hn bi các đưng
32
6 9, 0y x x xy=−+ =
quay xung quanh trc
Ox. Th tích ca khi tròn xoay to thành bng:
A.
729
35
π
B.
27
4
π
C.
256608
35
π
D.
7776
5
π
Câu 18: Hình phng (H) đưc gii hn bi đ th hai hàm s
2
2, 2
yx x yx= +− =+
hai đường
thng
2; 3xx=−=
. Din tích ca (H) bng
A.
87
5
B.
87
4
C.
13
D.
87
Câu 19: Hình phng (H) đưc gii hn bi đ th hai hàm s
2
1, 5
yx yx
=−=+
. Din tích ca
(H) bng
A.
71
3
B.
73
3
C.
70
3
D.
74
3
Câu 20: Din tích hình phng gii hn bởi các đồ th m s
22
1 27
;;
27
yxy xy
x
= = =
bng
A.
27 ln 2
B.
27 ln 3
C.
28ln 3
D.
29ln 3
Câu 21: Cho s phc
z a bi
= +
. Khng đnh nào dưi đây đúng?
A. Mi s phc
z
đều là mt s thc. B. S phc
z
tn ti khi
0ab
.
C. Phn o ca s phc là
bi
. D.
z
là s thc khi
0b =
.
Câu 22: S phc
z
đưc biu din bi đim
M
( hình v i), mô-đun ca
z
bng
A.
1z =
. B.
5z =
. C.
3z =
. D.
2z =
.
Câu 23: Cho hai hàm s
( ) ( )
;f x gx
liên tc trên
. Khng đnh nào dưi đây đúng?
A.
( ) ( ) ( ) ( )
d ddf x gx x f x x gx x−=


∫∫
. B.
( )
( )
d d,kfx x kfx xk=
∫∫
.
C.
( ) ( ) ( ) ( )
d d. dfxgxx fxxgxx=
∫∫
. D.
( )
(
)
( )
( )
( )
d
d ,0
d
fx x
fx
x gx
gx
gx x
=
.
Câu 24: H nguyên hàm ca hàm s
(
)
( )
3
2 13fx x x
= +
A.
22
3
1
2
x xC

++


. B.
3
2
6
1
5
x
xC

++


. C.
4
3
2
4
xx x C

++


. D.
23
3
4
xx x C

++


.
Câu 25: Tìm h các nguyên hàm ca hàm s
cotyx=
.
A.
ln sin xC
−+
. B.
ln cos
xC+
. C.
ln sin xC+
. D.
ln cos xC−+
.
Câu 26: H nguyên hàm ca hàm s
( ) ( )
4 1 lnfx x x
= +
là:
A.
22
2 ln 3
x xx
+
. B.
22
2 ln
x xx
+
. C.
22
2 ln 3x x xC++
. D.
22
2 lnx xx C
++
.
Câu 27: Cho hàm s
2
( ) 1dFx x x x= +
. Biết
4
(0)
3
F =
. Tính giá tr ca
(
)
22F
A.
3
B.
85
4
C.
19
D.
10
Câu 28: Cho hàm s
( )
fx
tha mãn
( ) ( )
e,
x
fx f x x
+ = ∀∈
(
)
02
f
=
. Tt c các nguyên
hàm ca hàm s
( )
2
e
x
fx
A.
(
)
1e
x
xC−+
. B.
( )
2e e
xx
xC ++
. C.
( )
1e
x
xC++
. D.
(
)
2
2e e
xx
xC
+ ++
.
Câu 29: Phương trình nào dưi đây là phương trình ca mt mt cu?
A.
2 22
4 4 4 40xyz x y+ + −=
. B.
2 22
2 4 6 14 0
xyz x yz++−+ +=
.
C.
2 22
2 2 2 4 20x y z xy z+ + −+ +=
. D.
( )
( ) (
)
2 22
1 2 39xy z
−−−=
.
Câu 30: Trong không gian
Oxyz
,có tt c bao nhiêu giá tr ca m để phương trình
( ) ( )
2 22 2
2 2 2 1 3 50xyz m x m zm
+ + + + + −=
là phương trình ca mt mt cu?
A.
4
. B.
6
. C.
5
. D.
7
.
Câu 31: Trong không gian vi h ta đ
Oxyz
, cho hai đim
( )
1; 2; 0A
( )
3; 0; 4B
. Ta đ ca
véctơ
AB

A.
( )
4; 2; 4−−
. B.
( )
4; 2; 4
. C.
( )
1; 1; 2−−
. D.
( )
2; 2; 4−−
.
Câu 32: Trong không gian vi h ta đ
Oxyz
, cho đim
M
tha mãn h thc
2OM j k= +

. Ta
độ của điểm
M
là:
A.
( )
0;2;1M
. B.
( )
1;2;0M
. C.
( )
2;1;0M
. D.
( )
2;0;1M
.
Câu 33: Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho
( )
1; 5; 2OM =

,
( )
3; 7; 4ON =

. Gi
P
đim
đối xng vi
M
qua
N
. Tìm tọa độ đim
P
.
A.
( )
5;9; 3P
. B.
( )
2;6; 1P
. C.
( )
5;9; 10P
. D.
( )
7;9; 10P
.
Câu 34: Trong không gian vi h tọa độ
,Oxyz
cho ba đim
( ) ( ) ( )
1;3;5 , 2; 0;1 , 0;9; 0 .AB C
Tìm
trng tâm
G
ca tam giác
.ABC
A.
(
)
1; 5; 2G
. B.
(
)
1; 0; 5G
. C.
( )
1;4;2G
. D.
( )
3;12; 6G
.
Câu 35: Trong không gian vi h trc tọa độ
Oxyz
, cho ba đim
( )
1; 2; 1A
,
( )
2; 1; 3B
,
( )
3; 5; 1C
. Tìm tọa độ đim
D
sao cho t giác
ABCD
là hình bình hành.
A.
( )
2; 8; 3D −−
. B.
( )
2; 2; 5D
. C.
( )
4; 8; 5D −−
. D.
( )
4; 8; 3D −−
.
Câu 36: Trong không gian
Oxyz
, cho hình hp
.ABCD A B C D
′′
( )
1; 0;1A
,
( )
2;1; 2
B
,
( )
1; 1;1
D
,
( )
4; 5; 5C
. Tính tọa độ đỉnh
A
ca hình hp.
A.
(
)
3; 4; 6A
. B.
( )
4;6; 5A
. C.
( )
2;0; 2A
. D.
(
)
3; 5; 6A
.
Câu 37: Trong không gian vi h tọa độ Oxyz, cho hai đim
( )
2; 3;1A
(
)
5; 6; 2
B
. Đường
thng
AB
ct mt phng
( )
Oxz
ti đim
M
. Tính t s
AM
BM
.
A.
2
AM
BM
=
. B.
1
2
AM
BM
=
. C.
1
3
AM
BM
=
. D.
3
AM
BM
=
.
Câu 38: Trong không gian vi h trc ta đ
Oxyz
, cho hình hp
.ABCD A B C D
′′
. Biết
( )
3; 2;1A
,
( )
4; 2; 0C
,
( )
2;1;1B
,
( )
3; 5; 4D
. Tìm tọa độ
A
ca hình hp
.ABCD A B C D
′′
.
A.
( )
3; 3; 3A
−−
. B.
(
)
3; 3; 3
A
−−−
. C.
( )
3; 3;1A
. D.
( )
3; 3; 3A
.
Câu 39: Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho hình hp
.ABCD A B C D
′′
. Biết
(
)
1; 0;1A
,
( )
2;1; 2B
,
( )
1; 1;1D
,
( )
4; 5; 5C
. Gi tọa độ của đỉnh
( )
;;A abc
. Khi đó
2abc++
bng?
A.
7
. B.
2
. C.
8
. D.
3
.
Câu 40: Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho hai đim
( )
0; 2; 2A
,
( )
2; 2; 4B
. Gi s
( )
;;I abc
là tâm đường tròn ngoi tiếp tam giác
OAB
. Tính
222
Tabc=++
.
A.
6T =
B.
14T =
C.
8
T
=
D.
2T =
Câu 41: Cho hình chóp
.S ABCD
biết
( ) ( ) ( ) ( )
2; 2; 6 , 3;1;8 , 1;0;7 , 1; 2;3
A BC D
−−
. Gi
H
là trung
đim ca
,CD
( )
SH ABCD
. Đ khi chóp
.S ABCD
có th ch bng
27
2
(đvtt) thì hai
đim
12
,SS
tha mãn yêu cu bài toán. Tìm tọa độ trung đim
I
ca
12
SS
A.
( )
0;1;5I −−
. B.
( )
1; 0; 5
I
C.
( )
0;1; 5I
. D.
( )
0;1; 3 .I
Câu 42: Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho hai đim
( ) ( )
3; 2; 4 , 1; 4; 4AB −−
điểm
( )
0; ;C ab
tha mãn tam giác
ABC
cân ti
C
và có din tích nh nht. Tính
23S ab= +
.
A.
62
25
S =
. B.
73
25
S =
. C.
239
10
S
=
. D.
29
5
S =
.
Câu 43: Cách viết nào sau đây biểu din cho phương trình mt phng?
A.
11
263
x yz−+
= =
. B.
3 10
10
xyz
xyz
+ +=
+=
.
C.
12
2
5
xt
yt
zt
= +
=
= +
. D.
10xyz +−=
.
Câu 44: Véc tơ pháp tuyến ca mt phng
2 10xz +=
là?
A.
( )
1; 0;1n =
. B.
( )
1; 2;1n =
. C.
( )
1; 0; 2n =
. D.
( )
0; 2;1n =
.
Câu 45: Phương trình mt phẳng đi qua
( )
1;1; 2A
, song song vi
( )
: 2 2 10xyz
α
+ −=
A.
2 2 50xyz + −=
. B.
2 2 10xyz + −=
.
C.
2 2 20xyz+ +=
. D.
220xyz−+=
.
Câu 46: Phương trình mt phẳng đi qua
( )
2;1;1A
, có véc tơ pháp tuyến
( )
2;1; 1n =−−
A.
2 40xyz +−+=
. B.
2 10xyz + +=
.
C.
2 40xyz +−−=
. D.
2 40xyz+−−=
.
Câu 47: Phương trình mt phẳng đi qua
( )
1; 1;1M
, vuông góc vi trc
Oy
có phương trình
A.
10y +=
. B.
10xy+ +=
. C.
10xyz+ ++=
. D.
1 0.x +=
Câu 48: Phương trình mt phẳng đi qua
( )
1; 1;1M
, vuông góc vi đưng thng
12
:3
2
xt
dy t
zt
= +
=
= +
A.
2 40xyz+−=
. B.
10z −=
. C.
30xyz+−=
. D.
10xz+−=
Câu 49: Trong không gian vi h to độ
Oxyz
,cho hai đưng thng
12
,dd
ln t phương
trình
1
223
:
213
xyz
d
−−
= =
,
2
121
:
2 14
xy z
d
−−
= =
. Phương trình mt phng
( )
α
cách
đều hai đường thng
12
,dd
A.
7240xyz−=
. B.
7 2 4 30xyz +=
.
C.
2 3 30xy z++ +=
. D.
14 4 8 1 0xyz −=
.
Câu 50: Trong không gian vi h to độ Oxyz, cho mt cu (S) phương trình:
. Viết phương trình mt phng (P) song song vi giá ca
véc tơ , vuông góc vi mt phng và tiếp xúc vi (S).
A.
2 2 30
2 2 21 0
xy z
xy z
+ −=
−+ + =
. B.
2 2 10
2 2 23 0
xy z
xy z
+ +=
−+ =
.
C.
2 30
2 10
xyz
xyz
++=
+−=
. D.
2 13 0
2 10
xyz
xyz
++ =
+−=
.
---------- HT ----------
2 22
2 6 4 20xyz x yz+ + + −=
(1; 6; 2)v =
( ) : 4 11 0x yz
α
+ +− =
NG DN GII CHI TIT
Câu 1: Giá tr ca
2
2
0
2
x
e dx
A.
4
31e
. B.
4
4e
. C.
4
1
e
. D.
4
e
.
Li gii
Chn C
Ta có:
( )
( )
22
2
2 2 2 40 4
0
00
22 1
xx x
edx ed x e e e e= = =−=−
∫∫
.
Câu 2: Cho hàm s
(
)
fx
liên tc trên
( )
Fx
là nguyên hàm ca
(
)
fx
, biết
( )
9
0
d9fx x=
( )
03F =
. Tính
( )
9F
.
A.
(
)
96
F
=
. B.
(
)
96F
=
. C.
( )
9 12F =
. D.
( )
9 12F =
.
Li gii
Chn C
Ta có:
(
)
( )
9
9
0
0
d
I f x x Fx= =
( ) ( )
9 09FF=−=
( )
9 12F⇔=
.
Câu 3: Cho hàm s
( )
fx
liên tc trên
và có mt nguyên hàm là
( )
Fx
. Biết
( )
27F =
. Giá
tr ca
( )
4F
A.
( )
4
2
7dft t−+


. B.
( )
4
2
7d
ft t−+
. C.
( )
74f
−+
. D.
( )
4f
.
Li gii
Chn B
Theo đnh nghĩa tích phân ta có
( ) ( ) ( ) ( )
4
4
2
2
d 42f x x Fx F F= =
.
Suy ra
( ) ( ) ( )
4
2
4 d2F fxx F= +
( )
4
2
7dft t=−+
.
Câu 4: Biết
( )
Fx
1
nguyên hàm ca
( )
2
cosfx x=
( )
1F
π
=
. Tính
4
F
π



.
A.
53
4 48
F
ππ

= +


. B.
33
4 48
F
ππ

=


. C.
53
4 48
F
ππ

=


. D.
33
4 48
F
ππ

= +


.
Li gii
Chn C
Ta có
( ) ( )
1 cos 2 1
d d sin 2
2 24
xx
f x x x x C Fx
+
= =+ +=
∫∫
.
Theo gi thiết
( )
1F
π
=
nên
11
22
CC
ππ
+==
.
Vy
1 53
sin 1
4 84 2 24 8
F
πππππ

= + +− =


.
Câu 5: Cho hai tích phân
( )
5
2
d8fx x
=
( )
2
5
d3gx x
=
. Tính
( )
( )
5
2
4 1d
I f x gx x

= −−

.
A.
11
I
=
. B.
13I =
. C.
27I =
. D.
3I
=
.
Li gii
Chn B
Ta có:
( )
( )
5
2
4 1dI f x gx x
= −−


( ) ( )
52
5
2
25
d4 dfxx gxxx
=+−
∫∫
( )
8 4.3 5 2 13=+ −+=
.
Câu 6: Cho tích phân
0
3
cos 2 .cos 4 d 3x xx a b
π
= +
, trong đó
,ab
là các hng s hu t. Tính
2
log
a
eb+
.
A.
2
. B.
3
. C.
1
8
. D.
0
.
Li gii
Chn A
Ta có:
0
3
cos 2 cos 4 dx xx
π
=
(
)
0
3
1
cos 6 cos 2 d
2
x xx
π
+
0
3
11 1
sin 6 sin 2
26 2
xx
π

= +


=
1
3
8
.
Do đó ta có
0a =
,
1
8
b
=
. Vy
2
log
a
eb+
=
0
2
1
log
8
e +
=
2
.
Câu 7: Gi s rng
0
2
1
3 51 2
ln
23
xx
dx a b
x
+−
= +
. Khi đó, giá tr ca
2ab+
A.
30
. B.
60
. C.
50
. D.
40
.
Li gii
Chn D
Ta có:
00
2
11
3 5 1 21
3 11
22
xx
I dx x dx
xx
−−
+−

= = ++

−−

∫∫
0
2
1
3 19
11 21.ln 2 21.ln 2 21.ln 3
22
x
I xx

⇒= + + = +


2 19
21ln
32
I⇒= +
21
19
2
a
b
=
=
2 40ab⇒+ =
.
Câu 8: Cho hàm s
( )
fx
đo hàm liên tc trên đon
[ ]
0;1
và tha mãn
( )
06f =
,
(
) ( )
1
0
2 2. d 6x fxx
−=
. Tích phân
( )
1
0
dfx x
.
A.
3
. B.
9
. C.
3
. D.
6
.
Li gii
Chn C
Ta có
( )
(
)
1
0
6 2 2. dx fxx
=
( ) ( )
1
0
2 2dx fx=


( ) ( )
( )
1
1
0
0
22 2 dx fx fx x=−−


( )
( )
1
0
62 0 2 d
f fx x
⇔=
( )
1
0
dfx x=
(
)
206
2
f
3=
.
Câu 9: Biết rng
ln 2
0
11 5
d ln 2 ln 2 ln .
21 2 3
a
x
x x bc
e

+ = ++

+

Trong đó
,,abc
là nhng s nguyên.
Khi đó
S abc=+−
bng
A.
2
. B.
3
. C.
4
. D.
5
.
Li gii
Chn C
ln 2 ln 2 ln 2
0 00
11
dd d
21 21
xx
x x xx x
ee

+=+

++

∫∫
.
Tính
ln 2
ln 2
22
0
0
ln 2
d
22
x
xx= =
Tính
ln 2
0
1
d
21
x
x
e +
Đặt
d
2 1 d 2d d
1
xx
t
te tex x
t
= +⇒ = =
. Đổi cn:
ln25,03x tx t= ⇒= = ⇒=
.
( )
( )
ln 2 5 5
5
3
0 33
1 d 11 5
d d ln 1 ln ln 4 ln 5 ln 2 ln 3 ln 2 ln
21 1 1 3
x
t
x tt t
e tt t t

= = = −− = + =

+ −−

∫∫
.
ln 2
2
0
11 5
d ln 2 ln 2 ln 2, 1, 1
21 2 3
x
x x a bc
e

+ = + ⇒= = =

+

Vy
4abc+−=
.
Câu 10: Cho hàm s
(
)
y fx
=
liên tc trên
và tha mãn
( )
4
0
tan d 4f xx
π
=
( )
2
1
2
0
d2
1
xf x
x
x
=
+
.
Tính tích phân
( )
1
0
dI fx x=
.
A.
6
. B.
2
. C.
3
. D.
1
.
Li gii
Chn A
Xét
( )
4
0
tan d 4
f xx
π
=
.
Đặt
tantx=
2
1
dd
cos
tx
x
⇒=
2
d
d
1
t
x
t
⇒=
+
.
Đổi cn:
0x =
0t⇒=
.
4
x
π
=
1t⇒=
.
(
)
(
)
1
4
2
00
t
tan d d
1
f
f xx t
t
π
⇒=
+
∫∫
4=
.
( )
1
2
0
d4
1
fx
x
x
⇒=
+
.
( ) ( )
2
11
22
00
dd
11
fx xfx
xx
xx
⇒+ =
++
∫∫
(
)
(
)
1
2
2
0
1d
1
fx
xx
x
+
+
( )
1
0
dfx x=
42= +
6=
.
Câu 11: Cho hàm s
()y fx=
liên tc và nhn giá tr không âm trên đon
[;]ab
. Din tích hình
thang cong gii hn bi đ th ca
()y fx=
, trc hoành và hai đưng thng
xa
=
,
xb=
đưc tính theo công thc
A.
() .
b
a
S f x dx=
B.
() .
b
a
S f x dx=
C.
2
() .
b
a
S f x dx=
D.
2
() .
b
a
S f x dx
=
Li gii
Chn A
Theo công thc (SGK cơ bản) ta có
() .
b
a
S f x dx=
Câu 12: Cho đ th hàm s
()y fx=
. Din tích hình phng (phn tô đm trong hình) là
A.
01
20
() ()S f x dx f x dx
= +
∫∫
B.
1
2
()S f x dx
=
C.
21
00
() ()S f x dx f x dx
= +
∫∫
D.
01
20
() ()S f x dx f x dx
=
∫∫
Li gii
Chn D
Theo đnh nghĩa ta có
01
20
() ()S f x dx f x dx
=
∫∫
Câu 13: Din tích hình phng đưc gii hn bi đ th hàm s
3
yx=
, trc hoành và hai đưng
thng
1x =
,
3x =
A.
19
B.
18
C.
20
D.
21
Li gii
Chn C
Ta có
3
0
x
trên đon
[1; 3]
nên
3
33
4
33
11
1
20
4
x
S x dx x dx= = = =
∫∫
Câu 14: Din tích hình phng đưc gii hn bi đ th hàm s
yx=
, trc hoành và hai đưng
thng
1x =
,
4
x =
A.
4
B.
14
5
C.
13
3
D.
14
3
Li gii
Chn D
Ta có
0
x
trên đon
[1; 4]
nên
4
44
3
2
11
1
2 14
33
S x dx xdx x= = = =
∫∫
Câu 15: Din tích hình phng đưc gii hn bi đ th hàm s
3
yx=
, trc hoành và hai đưng
thng
1x =
,
8x =
A.
45
2
B.
45
4
C.
45
7
D.
45
8
Li gii
Chn B
Ta có
3
0x
trên đon
[1;8]
nên
8
88
4
33
3
11
1
3 45
44
S x dx xdx x= = = =
∫∫
Câu 16: Cho hình phng gii hn bi các đưng
22
1
4,
3
y xy x=−=
quay xung quanh trc Ox.
Th tích ca khi tròn xoay to thành bng:
A.
24 3
5
V
π
=
B.
28 3
5
V
π
=
C.
28 2
5
V
π
=
D.
24 2
5
V
π
=
Li gii
Chn B
Ta đ giao đim ca hai đưng
2
4yx
=
2
1
3
yx=
là các đim
( 3;1)A
( 3;1)
B
. Vy th tích ca khi tròn xoay cn tính là:
33
24
33
1 28 3
.(4 ) . . .
95
V x dx x dx
π ππ
−−
= −− =
∫∫
Câu 17: Cho hình phng gii hn bi các đưng
32
6 9, 0y x x xy=−+ =
quay xung quanh trc
Ox. Th tích ca khi tròn xoay to thành bng:
A.
729
35
π
B.
27
4
π
C.
256608
35
π
D.
7776
5
π
Li gii
Chn A
Tọa độ giao đim ca đưng
32
69yx x x
=−+
vi
0y =
các đim
(0; 0)C
(3; 0)A
.
Vy th tích ca khi tròn xoay cn tính là:
( )
3
2
32
0
729
. 69 ..
35
V x x x dx
ππ
= −+ =
Câu 18: Hình phng (H) đưc gii hn bi đ th hai hàm s
2
2, 2yx x yx= +− =+
hai đường
thng
2; 3xx=−=
. Din tích ca (H) bng
A.
87
5
B.
87
4
C.
13
D.
87
Li gii
Chn C
Xét phương trình
22
( 2) ( 2) 0 4 0 2xx x x x+− + = −= =±
Suy ra
23
22
22
4 4 13S x dx x dx
= +−=
∫∫
Câu 19: Hình phng (H) đưc gii hn bi đ th hai hàm s
2
1, 5yx yx=−=+
. Din tích ca
(H) bng
A.
71
3
B.
73
3
C.
70
3
D.
74
3
Li gii
Chn B
Xét phương trình
2
15xx−= +
có nghim
3, 3xx=−=
Suy ra
( )
( )
( )
33
22
-3 0
1 5 215S x x dx x x dx= −− + = −− +
∫∫
Bng xét du
2
1x
trên đon
[ ]
0;3
Vy
( ) ( )
13
22
01
73
24 6
3
S x x dx x x dx= −− + −− =
∫∫
Câu 20: Din tích hình phng gii hn bởi các đồ th m s
22
1 27
;;
27
yxy xy
x
= = =
bng
A.
27 ln 2
B.
27 ln 3
C.
28ln 3
D.
29ln 3
Li gii
Chn B
Xét các phương trình hoành đ giao đim:
22
22
27 27
00; 03; 09
27 27
xx
xxxx x
xx
=⇔= =⇔= =⇔=
Suy ra:
39
22
2
03
27
27 ln 3
27 27
xx
S x dx dx
x

= +− =


∫∫
Câu 21: Cho s phc
z a bi= +
. Khng định nào dưi đây đúng?
A. Mi s phc
z
đều là mt s thc. B. S phc
z
tn ti khi
0ab
.
C. Phn o ca s phc là
bi
. D.
z
là s thc khi
0b =
.
Li gii
Chn D
Dựa vào định nghĩa s phức (chú ý SGK).
Câu 22: S phc
z
đưc biu din bi đim
M
( hình v i), mô-đun ca
z
bng
A.
1z =
. B.
5z =
. C.
3z
=
. D.
2z =
.
Li gii
Chn B
Đim
( )
2; 1M
biu din s phc
2zi=
.
đun ca s phc
z
:
( )
2
2
21 5z = +− =
.
Câu 23: Cho hai hàm s
( ) ( )
;f x gx
liên tc trên
. Khng đnh nào dưi đây đúng?
A.
( ) ( ) ( ) ( )
d ddf x gx x f x x gx x−=


∫∫
. B.
(
) ( )
d d,kfx x kfx xk=
∫∫
.
C.
(
)
( )
( ) ( )
d d. d
fxgxx fxxgxx=
∫∫
. D.
( )
( )
( )
( )
( )
d
d ,0
d
fx x
fx
x gx
gx
gx x
=
.
Li gii
Chn A
Da vào tính cht nguyên hàm.
Câu 24: H nguyên hàm ca hàm s
( )
( )
3
2 13fx x x= +
A.
22
3
1
2
x xC

++


. B.
3
2
6
1
5
x
xC

++


. C.
4
3
2
4
xx x C

++


. D.
23
3
4
xx x C

++


.
Li gii
Chn B
Ta có
( )
( ) ( )
53
3 42 2
66
d 2 13 d 2 6 d 1
55
xx
fx x x x x x x x x C x C

= + = + = + += + +


∫∫
.
Câu 25: Tìm h các nguyên hàm ca hàm s
cotyx=
.
A.
ln sin
xC
−+
. B.
ln cos
xC+
. C.
ln sin xC+
. D.
ln cos xC−+
.
Li gii
Chn C
Ta có
( )
d sin
cos
cot d d ln sin
sin sin
x
x
xx x x C
xx
= = = +
∫∫
Câu 26: H nguyên hàm ca hàm s
( ) ( )
4 1 lnfx x x= +
là:
A.
22
2 ln 3x xx+
. B.
22
2 lnx xx+
. C.
22
2 ln 3x x xC++
. D.
22
2 ln
x xx C
++
.
Li gii
Chn D
Đặt
2
1
d
1 ln
d 4d
2
du x
ux
x
v xx
vx
=
= +

=
=
Khi đó:
( )
( ) ( )
2 2 2 22
d 2 1 ln 2 d 2 1 ln 2 lnfxx x x xx x xxC x xxC= +− = +−+= ++
∫∫
.
Câu 27: Cho hàm s
2
( ) 1dFx x x x= +
. Biết
4
(0)
3
F =
. Tính giá tr ca
( )
22
F
A.
3
B.
85
4
C.
19
D.
10
Li gii
Chn D
Đặt
2 22
1 1d dt x t x tt xx= + = +⇒ =
Do đó
( )
(
)
3
2
3
2
1
d
33
x
t
Fx t t C C
+
= = += +
( )
4
0
3
F =
14
1
33
CC⇒+= =
Vy
(
)
22
F
10=
.
Câu 28: Cho hàm s
( )
fx
tha mãn
( ) ( )
e,
x
fx f x x
+ = ∀∈
( )
02f =
. Tt c các nguyên
hàm ca hàm s
( )
2
e
x
fx
A.
( )
1e
x
xC−+
. B.
(
)
2e e
xx
xC
++
. C.
( )
1e
x
xC++
. D.
( )
2
2e e
xx
xC+ ++
.
Li gii
Chn C
Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
e e e e e 1,
x x x xx x
fx f x e fx f x fx x
−−
′′

+ = + = = ∀∈

.
Suy ra
( )
e
x
fx xC= +
.
Li có
( ) ( )
0
0 2 e 0 0 2.f f CC= =+⇔=
Suy ra
( ) ( )
( )
2
e 2 e 2e
x xx
fx x fx x=+⇒ = +
.
Vy
( ) ( )
2
e d 2ed
xx
fx x x x I=+=
∫∫
.
Đặt
2 dd
ed d
xx
x u ux
I
x v ve
+= =

⇒=

= =

( ) ( )
21
xx x
x eeC x eC+ += + +
.
Câu 29: Phương trình nào dưi đây là phương trình ca mt mt cu?
A.
2 22
4 4 4 40xyz x y+ + −=
. B.
2 22
2 4 6 14 0xyz x yz++−+ +=
.
C.
2 22
2 2 2 4 20x y z xy z+ + −+ +=
. D.
(
) ( )
( )
2 22
1 2 39xy z
−−−=
.
Li gii
Chn C
Phương trình đã cho tương đương vi
2 22
11
2 10
22
xyz x yz+ + + +=
.
( )
22
2
11 1
1
44 8
x yz

−+−++=


.
Đây là phương trình mt cu có tâm
11
; ;1
44
I



, bán kính
1
22
R =
.
Câu 30: Trong không gian
Oxyz
,có tt c bao nhiêu giá tr ca m để phương trình
( ) ( )
2 22 2
2 2 2 1 3 50xyz m x m zm+ + + + + −=
là phương trình ca mt mt cu?
A.
4
. B.
6
. C.
5
. D.
7
.
Li gii
Chn D
Phương trình đã cho là phương trình cu mt mt cu khi và ch khi
( ) ( )
2
22
2 1 3 5 0 2 10 0m m m mm
2
+ + +> >
1 11 1 11m < <+
Do
m
nên
{ }
2; 1;0;1; 2;3;4m ∈−
Vy có
7
giá tr nguyên ca
m
tha mãn yêu cu bài toán.
Câu 31: Trong không gian vi h ta đ
Oxyz
, cho hai đim
( )
1; 2; 0A
( )
3; 0; 4B
. Ta đ ca
véctơ
AB

A.
( )
4; 2; 4−−
. B.
( )
4; 2; 4
. C.
( )
1; 1; 2−−
. D.
( )
2; 2; 4−−
.
Li gii
Chn B
( )
4; 2; 4AB =

.
Câu 32: Trong không gian vi h ta đ
Oxyz
, cho đim
M
tha mãn h thc
2
OM j k
= +

. Ta
độ của điểm
M
là:
A.
( )
0;2;1M
. B.
( )
1;2;0M
. C.
( )
2;1;0M
. D.
( )
2;0;1M
.
Li gii
Chn A
2OM j k= +

nên tọa độ đim
M
( )
0; 2;1M
.
Câu 33: Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho
( )
1; 5; 2OM =

,
( )
3; 7; 4ON =

. Gi
P
đim
đối xng vi
M
qua
N
. Tìm tọa độ đim
P
.
A.
( )
5;9; 3P
. B.
( )
2;6; 1P
. C.
( )
5;9; 10P
. D.
( )
7;9; 10P
.
Li gii
Chn C
Ta có:
( ) ( )
1; 5; 2 1; 5; 2OM M=

,
( ) ( )
3; 7; 4 3; 7; 4ON N= −⇒

.
P
là đim đi xng vi
M
qua
N
nên
N
là trung điểm ca
MP
nên ta suy ra được
( )
25
2 9 5;9; 10
2 10
P NM
P NM
P NM
x xx
y yy P
z zz
= −=
= −=
= −=
Câu 34: Trong không gian vi h tọa độ
,Oxyz
cho ba đim
( ) ( ) ( )
1;3;5 , 2; 0;1 , 0;9; 0 .AB C
Tìm
trng tâm
G
ca tam giác
.ABC
A.
( )
1; 5; 2G
. B.
( )
1; 0; 5G
. C.
( )
1;4;2G
. D.
( )
3;12; 6G
.
Li gii
Chn C
Theo công thc tọa độ trng tâm ta có
120
1
33
309
4
33
510
2
33
ABC
G
ABC
G
ABC
G
xxx
x
yyy
y
zzz
z
++
++
= = =
++
++
= = =
++
++
= = =
( )
1;4;2G
.
Câu 35: Trong không gian vi h trc tọa độ
Oxyz
, cho ba đim
( )
1; 2; 1A
,
( )
2; 1; 3B
,
( )
3; 5; 1C
. Tìm tọa độ đim
D
sao cho t giác
ABCD
là hình bình hành.
A.
( )
2; 8; 3D −−
. B.
( )
2; 2; 5D
. C.
( )
4; 8; 5D −−
. D.
( )
4; 8; 3D −−
.
Li gii
Chn D
Ta có:
AD BC=
 
(
) (
)
1; 2; 1 5;6; 2
DD D
xy z +=
15
26
12
D
D
D
x
y
z
−=
−=
+=
( )
4;8; 3D⇒−
.
Câu 36: Trong không gian
Oxyz
, cho hình hp
.ABCD A B C D
′′
( )
1; 0;1A
,
(
)
2;1; 2B
,
( )
1; 1;1D
,
( )
4; 5; 5C
. Tính tọa độ đỉnh
A
ca hình hp.
A.
( )
3; 4; 6A
. B.
(
)
4;6; 5
A
. C.
( )
2;0; 2A
. D.
( )
3; 5; 6A
.
Li gii
Chn D
Theo quy tc hình hp ta có:
AB AD AA AC
′′
++=
   
.
Suy ra
AA AC AB AD
′′
= −−
   
.
Li có:
( )
3; 5; 6
AC
=

,
(
)
1;1;1
AB
=

,
( )
0; 1; 0AD =

.
Do đó:
( )
2; 5; 7AA
=

.
Suy ra
( )
3; 5; 6A
.
Câu 37: Trong không gian vi h tọa độ Oxyz, cho hai đim
( )
2; 3;1A
( )
5; 6; 2B
. Đường
thng
AB
ct mt phng
( )
Oxz
ti đim
M
. Tính t s
AM
BM
.
A.
2
AM
BM
=
. B.
1
2
AM
BM
=
. C.
1
3
AM
BM
=
. D.
3
AM
BM
=
.
Li gii
Chn B
( ) (
)
; 0 ; M Oxz M x z∈⇒
.
( )
7 ; 3 ; 1 59
AB AB= ⇒=

.
( )
2 ; 3 ; 1AM x z=+−

và.
,,ABM
thng hàng
( )
. AM k AB k⇒=
 
27 9
33 1
10
x kx
kk
zk z
+= =


⇔−= ⇔−=


−= =

( )
9 ; 0 ; 0
M⇒−
.
( )
14 ; 6 ; 2 118 2.BM BM AB= −− = =

.
Câu 38: Trong không gian vi h trc ta đ
Oxyz
, cho hình hp
.ABCD A B C D
′′
. Biết
( )
3; 2;1A
,
(
)
4; 2; 0C
,
( )
2;1;1B
,
( )
3; 5; 4D
. Tìm tọa độ
A
ca hình hp
.ABCD A B C D
′′
.
A.
( )
3; 3; 3A
−−
. B.
( )
3; 3; 3A
−−−
. C.
( )
3; 3;1
A
. D.
( )
3; 3; 3A
.
Li gii
Chn D
Gi
( )
;;A xyz
.
Gi
I
,
J
ln lưt là trung đim ca đon thng
AC
BD
′′
.
11
; 2;
22
I



15
; 3;
22
J



( )
3; 2; 1AA x y z
=+−−

( )
0;1; 2IJ =

Ta có: T giác
AIJA
là hình bình hành
Suy ra:
30
21
12
x
AA IJ y
z
+=
= −=
−=
 
3
3
3
x
y
z
=
⇔=
=
.
Vy
( )
3; 3; 3A
.
Câu 39: Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho hình hp
.ABCD A B C D
′′
. Biết
( )
1; 0;1A
,
( )
2;1; 2B
,
( )
1; 1;1D
,
( )
4; 5; 5C
. Gi tọa độ của đỉnh
( )
;;A abc
. Khi đó
2abc++
bng?
A.
7
. B.
2
. C.
8
. D.
3
.
ng dn gii
Chn D
.
Ta có.
( )
( )
( )
( )
1 ; 1 ;1
2 ;1 ;2
1 ; ;1
4 ;5 ; 5
AD a b c
AB a b c
AA a b c
AC a b c
′′
= −−
′′
=−−
=−−
= −−




.
Theo quy tc hình hp, ta có
AC AB AD AA
′′′′
=++
   
.
A
I
J
B'
C'
A'
B
D
C
D'
( ) ( )
4 ;5 ; 5 4 3 ;2 3 ;3 3ab c a b c −− =
.
4 43
5 24
5 33
aa
bb
cc
−=
−=−
−− =
0
1
4
a
b
c
=
=
=
.
Vy
23
abc++=
.
Câu 40: Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho hai đim
( )
0; 2; 2A
,
( )
2; 2; 4B
. Gi s
( )
;;I abc
là tâm đường tròn ngoi tiếp tam giác
OAB
. Tính
222
Tabc
=++
.
A.
6T =
B.
14T =
C.
8T =
D.
2T =
ng dn gii
Chn C
Ta có
(
)
0; 2; 2
OA =

,
( )
2; 2; 4OB =

.
( )
OAB
có phương trình:
0xyz++=
( )
I OAB
0abc++=
.
( )
; 2; 2AI a b c= −+

,
(
)
2; 2; 4BIabc
=−+

,
(
)
;;OI abc
=

.
Ta có h
AI BI
AI OI
=
=
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 22
2
22
22
2 24
22
ac a c
b c bc
++ = ++
++ =+
4
2
ac
bc
−=
−+ =
Ta có h
4
2
0
ac
bc
abc
−=
−+ =
++=
4
2
ac
bc
−=
−+ =
2
0
2
a
b
c
=
⇒=
=
.
Vy
( )
2;0; 2I
222
8Tabc⇒= + + =
Câu 41: Cho hình chóp
.S ABCD
biết
( ) ( ) ( ) ( )
2; 2; 6 , 3;1;8 , 1;0;7 , 1; 2;3
A BC D
−−
. Gi
H
là trung
đim ca
,CD
( )
SH ABCD
. Đ khi chóp
.S ABCD
có th ch bng
27
2
(đvtt) thì hai
đim
12
,SS
tha mãn yêu cu bài toán. Tìm tọa độ trung đim
I
ca
12
SS
A.
( )
0;1;5I −−
. B.
(
)
1; 0; 5I
C.
(
)
0;1; 5
I
. D.
( )
0;1; 3 .I
Li gii
Chn C
Ta có
( ) (
)
1 33
1; 1; 2 , 1; 2;1 ,
22
ABC
AB AC S AB AC

=−− = = =

   
( ) ( )
2; 2; 4 , 1; 1; 2 2.DC AB DC AB= =−− =
   
ABCD
là hình thang và
93
3
2
ABCD ABC
SS= =
.
1
. 33
3
S ABCD ABCD
V SH S SH= ⇒=
Li có
H
là trung đim ca
( )
0;1; 5CD H
Gi
(
) ( ) ( ) ( )
; ; ;1 ;5 , 3;3;3 3 ;3 ;3S a b c SH a b c SH k AB AC k k k k

⇒=⇒= = =

   
Suy ra
222
33999 1kkk k= + + ⇒=±
+) Vi
(
)
(
)
1 3; 3; 3 3; 2; 2
k SH S= = −−

+) Vi
(
) (
)
1 3; 3; 3 3; 4; 8k SH S= =−−−

Suy ra
( )
0;1; 5I
Câu 42: Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho hai đim
( ) ( )
3; 2; 4 , 1; 4; 4AB −−
điểm
( )
0; ;C ab
tha mãn tam giác
ABC
cân ti
C
và có din tích nh nht. Tính
23S ab= +
.
A.
62
25
S
=
. B.
73
25
S =
. C.
239
10
S =
. D.
29
5
S =
.
Li gii
Chn A
Ta có:
( ) ( )
4;6; 8 , 3; 2; 4
AB AC a b= =−+
 
.
Điu kin đ
,,ABC
là ba đỉnh ca tam giác là:
23
5
64
2
43
2
84
a
a
b
b
+−
−−
≠−
−−
.
Gi
I
là trung đim ca
AB
ta có:
( )
1;1; 0I
Tam giác
ABC
cân ti C nên
( ) ( ) ( ) (
)
. 0 1. 4 1 .6 . 8 0CI AB CI AB a b = −+− + =
 
( )
31
68203410 1
4
a
ab ab b
⇔− + + = = =
.
Din tích tam giác
ABC
là:
1
..
2
ABC
S CI AB
=
.Do đó din tích tam giác
ABC
nh nht
khi
CI
nh nht.
Khi đó:
( ) ( )
( )
22
22
11 0 2 2 2
CI a b a a b= +− + = + +
.
Thay (1) vào (2) ta có:
22
2
2
3 1 25 38 33 1 19 464 4 29
22 5
4 16 4 5 25 20
a aa
CI a a a
−+

= +−+ = = +


.
Vy
CI
nh nht khi
19 8 62
23
25 25 25
a b S ab= ⇒= = + =
.
Câu 43: Cách viết nào sau đây biểu din cho phương trình mt phng?
A.
11
263
x yz−+
= =
. B.
3 10
10
xyz
xyz
+ +=
+=
.
C.
12
2
5
xt
yt
zt
= +
=
= +
. D.
10xyz +−=
Li gii
Chn D
Câu 44: Véc tơ pháp tuyến ca mt phng
2 10xz +=
là?
A.
( )
1; 0;1n =
. B.
( )
1; 2;1n =
. C.
( )
1; 0; 2n =
. D.
( )
0; 2;1n =
.
Li gii
Chn C
Câu 45: Phương trình mt phẳng đi qua
( )
1;1; 2A
, song song vi
( )
: 2 2 10xyz
α
+ −=
A.
2 2 50xyz + −=
. B.
2 2 10xyz + −=
.
C.
2 2 20xyz
+ +=
. D.
220xyz
−+=
.
Li gii
Chn A
Ta có phương trình mt phng dng:
( )
2 2 0 1.
x y zC C + + = ≠−
( )
1;1; 2A
thuc mt phng khi
( )
1 2.1 2 2 0 5
CC + −+= =
( tha mãn).
Vy phương trình mt phng cn tìm:
2 2 50xyz + −=
.
Câu 46: Phương trình mt phẳng đi qua
( )
2;1;1A
, có véc tơ pháp tuyến
( )
2;1; 1n
=−−
A.
2 40xyz
+−+=
. B.
2 10xyz + +=
.
C.
2 40
xyz
+−−=
. D.
2 40xyz
+−−=
.
Li gii
Chn A
Phương trình mt phng
( ) ( ) ( )
2 21 11 1 0x yz + −− =
2 40xyz⇔− + + =
.
Câu 47: Phương trình mt phẳng đi qua
( )
1; 1;1M
, vuông góc vi trc
Oy
có phương trình
A.
10y +=
. B.
10xy+ +=
. C.
10xyz+ ++=
. D.
1 0.x +=
Li gii
Chn A
Ta có phương trình mt phng qua
( )
1; 1;1M
và véc tơ pháp tuyến
( )
0;1; 0n =
10y +=
.
Câu 48: Phương trình mt phẳng đi qua
( )
1; 1;1M
, vuông góc vi đưng thng
12
:3
2
xt
dy t
zt
= +
=
= +
A.
2 40xyz
+−=
. B.
10z −=
. C.
30xyz+−=
. D.
10xz+−=
Li gii
Chn A
Ta có phương trình mt phng qua
( )
1; 1;1
M
và véc tơ pháp tuyến
( )
2; 1;1n =
( ) ( )
( )
2111110
xyz−− ++ =
2 40xyz +−=
.
Câu 49: Trong không gian vi h to độ
Oxyz
,cho hai đưng thng
12
,dd
ln t phương
trình
1
223
:
213
xyz
d
−−
= =
,
2
121
:
2 14
xy z
d
−−
= =
. Phương trình mt phng
( )
α
cách
đều hai đường thng
12
,dd
A.
7240xyz−=
. B.
7 2 4 30xyz +=
.
C.
2 3 30xy z++ +=
. D.
14 4 8 1 0xyz −=
.
Li gii
Chn D
Ta có
1
d
đi qua
( )
2; 2;3A
và có
( )
1
2;1; 3
d
u =

,
2
d
đi qua
( )
1; 2;1B
và có
( )
2
2; 1; 4
d
u =

( ) ( )
12
1;0;2; , 7;2;4
dd
AB u u

= = −−

 

;
12
, 1 0
dd
u u AB

⇒=

  
nên
12
,dd
chéo nhau.
Do
( )
α
cách đều
12
,dd
nên
( )
α
song song vi
12
,dd
( )
12
, 7;2;4
dd
n uu
α

= = −−

  
( )
α
có dng
724 0x y zd +=
Theo gi thiết thì
( )
( )
( )
( )
,,dA dB
αα
=
21
1
.
2
69 69
dd
d
+−
= ⇔=
( )
:14 4 8 1 0xyz
α
−=
Câu 50: Trong không gian vi h to độ Oxyz, cho mt cu (S) phương trình:
. Viết phương trình mt phng (P) song song vi giá ca
véc tơ , vuông góc vi mt phng và tiếp xúc vi (S).
A.
2 2 30
2 2 21 0
xy z
xy z
+ −=
−+ + =
. B.
2 2 10
2 2 23 0
xy z
xy z
+ +=
−+ =
.
C.
2 30
2 10
xyz
xyz
++=
+−=
. D.
2 13 0
2 10
xyz
xyz
++ =
+−=
.
Li gii
Chn B
Ta có mt cu
( )
S
có tâm
( )
1; 3; 2 , 4Ir−=
, véc tơ pháp tuyến ca
( )
:
α
( )
1; 4;1 ;n
α
=
( )
, 2;1; 2 .vn
α

=−−


Vy
( )
P
có véc tơ pháp tuyến
( )
2; 1; 2n =
.
Phương trình (P):
22 0xy zC−+ + =
.
( )
( )
1
11
,4
23
3
C
C
dI P r
C
=
+
=⇒=
=
Phương trình mt phng
( )
:2 2 1 0P xy z + +=
hoc
( )
: 2 2 23 0P xy z−+ =
.
2 22
2 6 4 20xyz x yz+ + + −=
(1; 6; 2)v =
( ) : 4 11 0x yz
α
+ +− =
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II
MÔN: TOÁN 12 ĐỀ S: 08
Câu 1: Cho hàm s
( )
fx
liên tc trên
[ ]
;ab
( )
Fx
là mt nguyên hàm ca
(
)
fx
trên
[
]
;ab
. Tìm
khẳng định sai.
A.
( ) ( ) ( )
d
b
a
f x x Fa Fb=
. B.
(
)
d0
a
a
fx x=
.
C.
(
) ( )
dd
ba
ab
fx x fx x=
∫∫
.
D.
( ) ( ) (
)
d
b
a
f x x Fb Fa
=
.
Câu 2: Tích phân
2021
1
x
e dx
bng:
A.
2021
ee
. B.
2021
ee
. C.
2021
e
. D.
2021
e
.
Câu 3: Biết
5
2
3
1
d ln
12
xx b
xa
x
++
= +
+
vi
a
,
b
là các s nguyên. Tính
2Sa b=
.
A.
2S =
. B.
5S =
. C.
2S =
. D.
10S =
.
Câu 4: Cho hàm s
( )
fx
liên tc trên khong
( )
2; 3
. Gi
( )
Fx
là mt nguyên hàm ca
( )
fx
trên
khong
( )
2; 3
. Tính
( )
2
1
2dI fx x x
= +


, biết
( )
11F −=
(
)
24F =
.
A.
6I =
. B.
10I =
. C.
3I =
. D.
4I =
.
Câu 5: Cho hàm s
( )
432
42 1fx x x x x= + −+
,
x∀∈
. Tính
( ) ( )
1
2
0
.df xf x x
.
A.
2
3
I =
. B.
2I =
. C.
2
3
I =
. D.
2I =
.
Câu 6: Cho hàm s
( )
2
khi 0 1
1
2 1 khi 1 3
x
y fx
x
xx
≤≤
= =
+
≤≤
. Tính tích phân
(
)
3
0
dfx x
.
A.
6 ln 4+
. B.
4 ln 4+
. C.
4 ln 4+
. D.
2 2ln 2+
.
Câu 7: Cho hai tích phân
( )
5
2
d8fx x
=
( )
2
5
d3gx x
=
. Tính
( ) ( )
5
2
4 1dI f x gx x
= −−


.
A.
11I =
. B.
13
I =
. C.
27
I =
. D.
3I =
.
Câu 8: Cho hai tích phân
4
0
d2
ln
3
3 21
x
I ab
x
= = +
++
vi
,ab
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
3ab−=
.
B.
5ab−=
. C.
5ab
+=
. D.
3ab+=
.
Câu 9: Cho các số thực
a
,
b
khác không. Xét hàm số
( )
( )
3
e
1
x
a
f x bx
x
= +
+
với mọi
x
khác
1
. Biết
( )
0 22f
=
( )
1
0
d5fx x=
. Tính
ab+
?
A.
19
.
B.
7
. C.
8
. D.
10
.
Câu 10: Cho hàm s
( )
fx
liên tc trên
( )
2 16f =
,
( )
2
0
d4fx x=
. Tính
4
0
d
2
x
I xf x

=


.
A.
12
I
=
.
B.
112I =
. C.
28I
=
. D.
144I =
.
Câu 11: Cho hàm s
(
)
y fx=
liên tc trên đon
[ ]
;ab
. Gi
D
là hình phng gii hn bi đ th ca hàm
s
( )
y fx=
, trục hoành hai đường thng
xa=
,
xb=
( )
ab<
. Din tích hình
D
được tính
theo công thc
A.
(
)
d
b
a
S fx x
=
. B.
d
b
a
S fx x=
. C.
( )
d
b
a
S fx x=
. D.
(
)
d
b
a
S fx x
=
.
Câu 12: Cho hàm s
x
y
π
=
đồ th
( )
C
. Gi
D
là hình phng gii hn bi
( )
C
, trc hoành và hai
đường thng
2x =
,
3x =
. Th tích ca khi tròn xoay to thành khi quay
D
quanh trc hoành
được tính bi công thc:
A.
2
2
3
d
x
Vx
ππ
=
. B.
3
3
2
d
x
Vx
ππ
=
. C.
3
2
2
d
x
Vx
ππ
=
. D.
3
2
2
d
x
Vx
ππ
=
.
Câu 13: Gi S din tích min hình phẳng được tô đậm trong hình v bên. Công thc tính S là
A.
( ) ( )
12
11
ddS fx x fx x
= +
∫∫
.
B.
( ) ( )
12
11
ddS fx x fx x
=
∫∫
.
C
.
( )
2
1
d
S fx x
=
.
D.
( )
2
1
dS fx x
=
.
Câu 14: Tính din tích hình phẳng được gii hn bởi hai đồ th
2
21yx x=−+ +
;
2
2 41
yx x
= −+
.
A.
4
. B.
5
. C.
8
. D.
10
.
Câu 15: Cho hình phng
( )
H
gii hn bởi các đường
yx=
,
0x =
,
1x =
và trc hoành. Tính th tích
V
ca khi tròn xoay sinh bi hình
( )
H
quay quanh trc
Ox
.
A.
π
3
. B.
π
2
. C.
π
. D.
π
.
Câu 16: Cho
( )
H
là hình phng gii hn bi parabol
2
3
2
yx=
đường Elip phương trình
2
2
1
4
x
y+=
(phần tô đậm trong hình v). Din tích ca
( )
H
bng
O
x
y
2
1
1
( )
y fx=
A.
23
6
π
+
. B.
2
3
π
. C.
3
4
π
+
. D.
3
4
π
.
Câu 17: Tính din tích hình phng gii hn bi parabol
2
6 12
yx x=−+
và các tiếp tuyến ti các đim
(
)
1; 7
A
( )
1;19B
.
A.
1
3
. B.
2
3
. C.
4
3
. D.
2
.
Câu 18: Cho hàm s
2
1
xm
y
x
=
+
(vi
m
là tham s khác
0
) có đ th
( )
C
. Gi
S
là din tích hình
phng gii hn bi đ th
( )
C
và hai trc ta đ. Có bao nhiêu giá tr thc ca
m
tha mãn
1
S =
?
A. Không. B. Mt. C. Ba. D. Hai.
Câu 19: Cho parabol
( )
2
1
:4Py x=−+
ct trc hoành tại hai điểm
A
,
B
đường thng
:
dy a
=
( )
04a<<
. Xét parabol
( )
2
P
đi qua
A
,
B
và có đỉnh thuc đưng thng
ya=
. Gi
1
S
din
ch hình phng gii hn bi
(
)
1
P
d
.
2
S
din tích hình phng gii hn bi
( )
2
P
trc
hoành. Biết
12
SS=
(tham kho hình v bên dưới).
Tính
32
8 48Ta a a
=−+
.
A.
99T =
. B.
64T =
. C.
32
T =
. D.
72T =
.
Câu 20: Ông B có một khu vườn gii hn bi một đường parabol và một đường thng. Nếu đặt trong h
ta đ
Oxy
như hình vẽ bên thì parabol có phương trình
2
=
yx
và đường thng là
25y =
. Ông
B d định dùng mt mảnh vườn nh được chia t khu vườn bi một đường thẳng đi qua
O
điểm
M
trên parabol đ trng mt loại hoa. Hãy giúp ông B xác định đim
M
bng cách tính
độ dài
OM
để din tích mảnh vườn nh bng
9
2
.
A.
25OM =
. B.
15OM =
. C.
10OM =
. D.
3 10OM
=
.
Câu 21: Tính môđun của s phc
34zi= +
.
A.
3
. B.
5
. C.
7
. D.
7
.
Câu 22: Cho số phức
46zi= +
. Tìm số phức
.w iz z= +
y
=
a
x
y
N
M
B
A
O
A.
10 10
= wi
. B.
10 10=−+wi
. C.
10 10= +wi
. D.
2 10=−+wi
.
Câu 23: Tìm nguyên hàm
( )
2
dFx x
π
=
.
A.
( )
2
Fx x C
π
= +
. B.
( )
2Fx x C
π
= +
. C.
( )
3
3
Fx C
π
= +
. D.
( )
22
2
x
Fx C
π
= +
.
Câu 24: Tìm hàm s
( )
Fx
, biết
( )
Fx
là mt nguyên hàm ca hàm s
( )
fx x=
( )
11F =
.
A.
( )
=Fx xx
. B.
( )
21
33
= +Fx xx
. C.
(
)
11
2
2
= +Fx
x
. D.
( )
31
22
= Fx xx
.
Câu 25: Tìm nguyên hàm ca hàm s
( )
1
sin .
22
x
fx x

= +


A.
( )
2
1
d cos .
42
x
fx x x C=−+
B.
( )
2
1
d cos .
22
x
fx x x C=++
C.
( )
2
11
d cos .
4 22
x
fx x x C
=−+
D.
(
)
2
11
d cos .
4 42
x
fx x x C
=−+
Câu 26: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau
A.
4
3
d
4
+
=
xC
xx
. B.
1
d ln= +
x xC
x
.
C.
sin d cos=
xx C x
. D.
( )
2e d 2 e= +
xx
xC
.
Câu 27: Tìm một nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( ) (
)
.f x gx
, biết
( )
25F =
,
( )
dfx x xC= +
(
)
2
d
4
x
gx x C
= +
.
A.
( )
2
4.
4
x
Fx= +
B.
( )
2
5.
4
x
Fx= +
C.
( )
3
5.
4
x
Fx= +
D.
( )
3
3.
4
x
Fx= +
Câu 28: Cho hàm s
( )
y fx
=
đồng biến trên
( )
0; +∞
;
( )
y fx=
liên tc, nhn giá tr dương trên
( )
0; +∞
và tha mãn
( )
2
3
3
f =
( ) ( ) ( )
2
' 1.f x x fx= +


. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
( )
2
2613 8 2614f<<
. B.
( )
2
2614 8 2615f<<
.
C.
( )
2
2618 8 2619f<<
. D.
( )
2
2616 8 2617f<<
.
Câu 29: Trong không gian vi h ta đ
Oxyz
, cho mt phng
(
)
: 2 30Pxy z+ +=
đim
( )
1;1; 0I
.
Phương trình mặt cu tâm
I
và tiếp xúc với
( )
P
là:
A.
( ) (
)
22
2
5
11
6
x yz−+−+=
. B.
( ) (
)
22
2
25
11
6
x yz−+−+=
.
C.
( )
( )
22
2
5
11
6
x yz−+−+=
. D.
( ) ( )
22
2
25
11
6
x yz++++=
.
Câu 30: Trong không gian vi h ta đ
Oxyz
, cho đường thng
13
:
12 1
x yz
d
−+
= =
−−
và mt cu
( )
S
tâm
I
phương trình
( ) ( ) ( ) ( )
2 22
: 1 2 1 18Sx y z + ++ =
. Đưng thng
d
ct
( )
S
ti hai
điểm
,AB
. Tính din tích tam giác
IAB
.
A.
8 11
3
. B.
16 11
3
. C.
11
6
. D.
8 11
9
.
Câu 31: Trong không gian vi h trc tọa độ
Oxyz
, cho
345a i jk=−+

. Tọa độ ca vectơ
a
A.
( )
3; 4; 5−−
. B.
( )
5; 4; 3−−
. C.
( )
4;5;3−−
. D.
(
)
4;3;5
−−
.
Câu 32: Trong không gian
,Oxyz
điểm đi xng với điểm
(
)
3; 1; 4B
qua mt phng
(
)
xOz
có ta đ
A.
( )
3;1;4.−−
B.
( )
3;1;4.−−
C.
D.
( )
3; 1; 4 .−−
Câu 33: Trong không gian
Oxyz
, khong cách t điểm
( )
3;4;6I
đến trc
Oy
A.
35
. B.
53
. C.
61
. D.
77
.
Câu 34: Trong không gian vi h ta đ
Oxyz
, cho hai điểm
(2;0; 1)A
( 1; 3;1)B
. Ta đ ca véctơ
AB

A.
(3; 3; 2)−−
. B.
(1;3;0)
. C.
(3;1;2)−−
. D.
( 3; 3; 2)
.
Câu 35: Trong h ta đ
Oxyz
, cho
(
)
1; ; 1
am
=
( )
2; 1; 3b =
. Tìm giá tr ca
m
để
ab

.
A.
2m =
. B.
2m =
. C.
1
m
=
. D.
1m =
.
Câu 36: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( )
1; 2; 0A
,
( )
2; 1;1B
. m điểm
C
hoành độ dương
trên trục
Ox
sao cho tam giác
ABC
vuông tại
C
.
A.
( )
3;0;0C
. B.
( )
2;0;0C
. C.
( )
1;0;0C
. D.
( )
5;0;0C
.
Câu 37: Trong không gian
Oxyz
, cho hình hộp
.ABCD A B C D
′′
với
( ) ( ) ( )
2;1; 2 , 1; 2;1 , 2;3; 2ABC
( )
3; 0;1
D
. Tọa độ của điểm
B
A.
( )
1; 3; 2
. B.
(
)
2; 2;1
. C.
( )
1; 3; 2−−
. D.
( )
2; 1; 2
.
Câu 38: Trong không gian
Oxyz
, cho các điểm
( ) ( ) ( )
0;1; 2 , 1; 2; 3 , 1; 2; 5ABC−−
. Đim
M
nm trong
đoạn thng
BC
sao cho
3MB MC=
. Độ dài đoạn thng
AM
A.
30
. B.
11
. C.
72
. D.
73
.
Câu 39: Trong không gian vi h ta đ
Oxyz
, cho tam giác
ABC
( ) ( )
1;2; 1 , 2; 1;3AB−−
,
( )
4;7;5C
. Gi
( )
;;Dabc
chân đường phân giác trong ca góc
B
ca tam giác
ABC
. Giá
tr ca
2ab c++
bng
A.
4
. B.
5
. C.
14
. D.
15
.
Câu 40: Trong không gian
0xyz
cho các điểm
( ) ( ) ( )
1; 0; 0 , 3;2; 4 , 0;5;4AB C
. Xét điểm
( )
;;M abc
thuộc
mặt phẳng
( )
0xy
sao cho
2MA MB MC++
  
đạt giá trị nhỏ nhất. Tọa độ của
M
A.
( )
1; 3; 0
. B.
. C.
( )
3;1; 0
. D.
( )
2;6;0
.
Câu 41: Trong không gian cho ba đim
( ) ( )
5; 2; 0 , 2; 3; 0AB−−
( )
0; 2; 3C
. Trng tâm
G
ca tam
giác
ABC
có ta đ
A.
( )
1;1;1
. B.
( )
1;1; 2
. C.
( )
1; 2;1
. D.
( )
2;0; 1
.
Câu 42: Trong không gian vi h trc ta đ
Oxyz
cho hai vectơ
( )
4; 5; 3a =−−
,
( )
2; 2;1b =
. Tìm ta
độ ca vectơ
2xa b= +

.
A.
( )
0; 1;1x =
. B.
( )
0;1; 1x =
. C.
( )
8;9;1
x
=
. D.
( )
2; 3; 2x =
.
Câu 43: Trong không gian vi h ta đ
Oxyz
, cho hai điểm
( )
1; 2; 0A
( )
3; 0; 4B
. Ta đ ca véctơ
AB

A.
( )
4;2; 4
. B.
( )
1; 1; 2−−
. C.
( )
2; 2; 4
−−
. D.
( )
4; 2; 4
−−
.
Câu 44: Trong không gian
Oxyz
, điểm nào sau đây thuộc trc tung
Oy
?
A.
( )
0; 10;0
Q
. B.
( )
10;0;0P
. C.
(
)
0;0; 10
N
. D.
( )
10;0;10M
.
Câu 45: Trong không gian vi h trc ta đ
,Oxyz
cho
( )
0; 1;1A
,
( )
2;1; 1
B −−
,
( )
1; 3; 2
C
. Biết rng
ABCD
là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm
D
:
A.
2
1;1; .
3
D



. B.
( )
1; 3; 4 .
D
. C.
( )
1;1; 4 .D
. D.
( )
1; 3; 2 .D −−
.
Câu 46: Trong không gian vi h ta đ
Oxyz
, cho
( )
1; 5; 2OM =

,
(
)
3; 7; 4
ON =

. Gi
P
điểm
đối xng vi
M
qua
N
. Tìm tọa độ điểm
P
.
A.
(
)
5;9; 10
P
. B.
( )
7;9; 10P
. C.
(
)
5;9; 3
P
. D.
( )
2;6; 1P
.
Câu 47: Trong không gian vi h ta đ
Oxyz
, cho hình hp
.'' ' 'ABCD A B C D
(
)
0;0;0
A
,
( )
3;0;0B
,
( )
0; 3; 0D
( )
' 0; 3; 3D
. Tọa độ trng tâm ca tam giác
'''
ABC
là.
A.
( )
1;1; 2
. B.
. C.
( )
2;1; 2
. D.
.
Câu 48: Trong không gian vi h ta đ
Oxyz
, cho tam giác
ABC
vi
( )
1;1;1A
,
(
)
2;3;0
B
. Biết rng
tam giác
ABC
có trc tâm
( )
0; 3; 2H
tìm tọa độ của điểm
C
.
A.
( )
3; 2; 3C
. B.
( )
4;2;4C
. C.
. D.
( )
2;2;2C
.
Câu 49: Trong không gian vi h trc ta đ
Oxyz
, cho bốn điểm
( )
2; 3; 7A
,
( )
0; 4;1B
,
( )
3; 0; 5C
( )
3; 3;3D
. Gi
M
là đim nm trên mt phng
( )
Oyz
sao cho biu thc
MA MB MC MD+++
   
đạt giá tr nh nhất. Khi đó tọa độ ca
M
là:
A.
( )
0;1; 4M
. B.
( )
2;1; 0M
. C.
( )
0;1; 2M
. D.
( )
0;1; 4M
.
Câu 50: Trong không gian
Oxyz
cho
( )
1; 1; 2A
,
( )
0
01
3
x
fx x
x
=
=⇔=
=
,
( )
0;1; 2C
. Gọi
(
)
;;M abc
điểm thuộc mặt phẳng
( )
Oxy
sao cho biểu thức
. 2. 3.S MA MB MB MC MC MA=++
     
đạt giá trị
nhỏ nhất. Khi đó
12 12T a bc=++
có giá trị là
A.
3T =
. B.
3T
=
. C.
1T =
. D.
1T =
.
---------- HT ----------
NG DN GII CHI TIT
Câu 1: Cho hàm s
( )
fx
liên tc trên
[
]
;ab
( )
Fx
là mt nguyên hàm ca
(
)
fx
trên
[
]
;ab
. Tìm
khẳng định sai.
A.
(
)
(
)
( )
d
b
a
f x x Fa Fb
=
. B.
(
)
d0
a
a
fx x=
.
C.
( ) ( )
dd
ba
ab
fx x fx x=
∫∫
.
D.
( ) ( ) ( )
d
b
a
f x x Fb Fa=
.
Lời giải
Chn A
Theo định nghĩa và tính chất ca tích phân ta có
(
) (
)
( )
d
b
a
f x x Fb Fa=
.
Câu 2: Tích phân
2021
1
x
e dx
bng:
A.
2021
ee
. B.
2021
ee
. C.
2021
e
. D.
2021
e
.
Lời giải
Chn A
Ta có
2021
2021
2021
1
1
xx
e dx e e e= =
.
Câu 3: Biết
5
2
3
1
d ln
12
xx b
xa
x
++
= +
+
vi
a
,
b
là các s nguyên. Tính
2Sa b
=
.
A.
2S =
. B.
5S =
. C.
2S =
. D.
10S =
.
Lời giải
Chn C
Ta có
5
55
2
2
33
3
1 11
d d ln 1
1 12
xx
xx x x x
xx
++

=+ = ++

++

∫∫
25 9 3
ln 6 ln 4 8 ln
22 2
= + −− =+
.
Vy
8a =
,
3b =
. Suy ra
2 8 2.3 2Sa b=−= =
.
Câu 4: Cho hàm s
( )
fx
liên tc trên khong
( )
2; 3
. Gi
( )
Fx
là mt nguyên hàm ca
( )
fx
trên
khong
( )
2; 3
. Tính
( )
2
1
2dI fx x x
= +


, biết
( )
11F
−=
( )
24F =
.
A.
6I =
. B.
10I =
. C.
3I =
. D.
4I =
.
Lời giải
Chn A
Ta có
( )
2
1
2dI fx x x
= +


(
)
2
2
2
1
1
Fx x
= +
( ) ( ) ( )
2 1 41FF= −+
413 6
= −+ =
.
Câu 5: Cho hàm s
( )
432
42 1fx x x x x= + −+
,
x
∀∈
. Tính
( ) ( )
1
2
0
.df xf x x
.
A.
2
3
I =
. B.
2I =
. C.
2
3
I =
. D.
2I =
.
Lời giải
Chn C
Ta có
( ) ( )
( )
( )
11
22
00
. d .dfxfxx fx fx
=


∫∫
( )
1
3
0
3
fx
=
( ) ( )
33
10
3
ff
=
2
3
=
.
Câu 6: Cho hàm s
( )
2
khi 0 1
1
2 1 khi 1 3
x
y fx
x
xx
≤≤
= =
+
≤≤
. Tính tích phân
( )
3
0
dfx x
.
A.
6 ln 4
+
. B.
4 ln 4+
. C.
4 ln 4+
. D.
2 2ln 2+
.
Lời giải
Chn A
Ta có:
( ) ( ) ( )
3 13
0 01
dddfx x fx x fx x= +
∫∫
( )
13
01
2
d 2 1d
1
x xx
x
= +−
+
∫∫
(
)
3
1
2
0
1
2ln 1x xx
= ++
ln 4 6= +
.
Câu 7: Cho hai tích phân
(
)
5
2
d8fx x
=
( )
2
5
d3gx x
=
. Tính
( ) ( )
5
2
4 1dI f x gx x
= −−


.
A.
11I =
. B.
13
I =
. C.
27I
=
. D.
3I =
.
Lời giải
Chn B
Ta có:
( ) (
)
5
2
4 1d
I f x gx x
= −−


( ) ( )
52
5
2
25
d4 dfxx gxxx
=+−
∫∫
( )
8 4.3 5 2 13
=+ −+=
.
Câu 8: Cho hai tích phân
4
0
d2
ln
3
3 21
x
I ab
x
= = +
++
vi
,ab
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
3ab−=
.
B.
5ab−=
. C.
5ab+=
. D.
3ab+=
.
Lời giải
Chn C
Đặt
21tx= +
2
21tx⇒= +
d dtxt⇒=
.
Đổi cn:
01xt
=⇒=
43xt= ⇒=
Khi đó
4
0
d
3 21
x
I
x
=
++
3
1
d
3
tt
t
=
+
3
1
3
1d
3
t
t

=

+

( )
3
1
2
3ln 3 2 3ln
3
tt= +=+
Do đó
5ab+=
.
Câu 9: Cho các số thực
a
,
b
khác không. Xét hàm số
( )
( )
3
e
1
x
a
f x bx
x
= +
+
với mọi
x
khác
1
. Biết
( )
0 22f
=
( )
1
0
d5
fx x=
. Tính
ab+
?
A.
19
.
B.
7
. C.
8
. D.
10
.
Lời giải
Chn D
Ta có
( )
(
)
4
3
ee
1
xx
a
f x b bx
x
= ++
+
nên
( )
0 3 22f ab
= +=
(
)
1
.
Xét
( )
1
0
5dfx x=
( )
1
3
0
ed
1
x
a
bx x
x

= +

+


( ) ( )
( )
11
3
00
1 d 1 de
x
a x x bx
= + ++
∫∫
( )
1
1
1
0
2
0
0
| e ed
21
xx
a
bx x
x

= +−

+

1
0
1
1 ee
24
x
a
b


= −+




3
8
a
b= +
( )
2
.
Từ
( )
1
( )
2
ta có
3 22
3
5
8
ab
a
b
+=
+=
8
2
a
b
=
=
10ab+=
.
Câu 10: Cho hàm s
( )
fx
liên tc trên
( )
2 16f =
,
( )
2
0
d4
fx x=
. Tính
4
0
d
2
x
I xf x

=


.
A.
12I =
.
B.
112I =
. C.
28
I =
. D.
144I =
.
Lời giải
Chn B
Đặt
dd
2
ux
x
vf x
=

=


dd
2
2
ux
x
vf
=

=


.
Khi đó
4
0
d
2
x
I xf x

=


4
4
0
0
2 2d
22
xx
xf f x
 
=
 
 
1
128 2I=
vi
4
1
0
d
2
x
If x

=


.
Đặt
d 2d
2
x
u xu=⇒=
, khi đó
4
1
0
d
2
x
If x

=


(
)
2
0
2dfu u=
( )
2
0
2 d8fx x= =
.
Vy
1
128 2II=
128 16 112= −=
.
Câu 11: [2D3-3-1]Cho hàm s
( )
y fx=
liên tục trên đoạn
[ ]
;ab
. Gi
D
là hình phng gii hn bi đ
th ca hàm s
( )
y fx=
, trục hoành và hai đường thng
xa=
,
xb=
( )
ab<
. Din tích hình
D
được tính theo công thc
A.
( )
d
b
a
S fx x=
. B.
d
b
a
S fx x=
. C.
( )
d
b
a
S fx x=
. D.
( )
d
b
a
S fx x=
.
Lời giải
Chn A
Câu 12: [2D3-3-1]Cho hàm s
x
y
π
=
đ th
( )
C
. Gi
D
là hình phng gii hn bi
( )
C
, trc hoành
hai đường thng
2x =
,
3x =
. Th tích ca khi tròn xoay to thành khi quay
D
quanh trc
hoành được tính bi công thc:
A.
2
2
3
d
x
Vx
ππ
=
. B.
3
3
2
d
x
Vx
ππ
=
. C.
3
2
2
d
x
Vx
ππ
=
. D.
3
2
2
d
x
Vx
ππ
=
.
Lời giải
Chn C
Th tích ca khi tròn xoay to thành khi quay
D
quanh trục hoành được tính bi công thc:
( )
33
2
2
22
dd
xx
V xx
π π ππ
= =
∫∫
.
Câu 13: [2D3-3-2] Gi S din tích min hình phẳng được tô đm trong hình v bên. Công thc tính S
A.
( ) ( )
12
11
ddS fx x fx x
= +
∫∫
.
B.
( )
( )
12
11
ddS fx x fx x
=
∫∫
.
C
.
( )
2
1
dS fx x
=
.
D.
( )
2
1
dS fx x
=
.
Lời giải
Chọn B
Ta thy min hình phng gii hn t
1x =
đến
1x =
trên trc hoành
mang dấu dương
( )
1
1
1
dS fx x
= +
Min hình phng gii hn t
1x =
đến
2
x =
dưới trc hoành
mang du âm
(
)
2
2
1
d
S fx x=
Vy
( )
( )
12
11
ddS fx x fx x
=
∫∫
.
Câu 14: [2D3-3-2] Tính din tích hình phẳng được gii hn bi hai đ th
2
21
yx x=−+ +
;
2
2 41yx x= −+
.
A.
4
. B.
5
. C.
8
. D.
10
.
Lời giải
Chn A
Phương trình hoành độ giao điểm:
2
21xx−+ +
2
2 41xx= −+
2
3 60xx −=
0
2
x
x
=
=
.
Din tích cn tính là:
2
2
0
36 4S x x dx==
.
O
x
y
2
1
1
( )
y fx=
Câu 15: [2D3-3-2]Cho hình phng
( )
H
gii hn bi các đưng
yx=
,
0x =
,
1x =
và trc hoành.
Tính th tích
V
ca khi tròn xoay sinh bi hình
( )
H
quay quanh trc
Ox
.
A.
π
3
. B.
π
2
. C.
π
. D.
π
.
Lời giải
Chn B
Th tích khi tròn xoay là
1
0
dV xx
π
=
1
2
0
π
2
x
=
π
2
=
.
Câu 16: [2D3-3-3]Cho
( )
H
là hình phng gii hn bi parabol
2
3
2
yx=
đường Elip phương
trình
2
2
1
4
x
y
+=
(phần tô đậm trong hình v). Din tích ca
( )
H
bng
A.
23
6
π
+
. B.
2
3
π
. C.
3
4
π
+
. D.
3
4
π
.
Lời giải
Chn A
Ta có
2
2
1
4
x
y+=
2
1
4
x
y⇒=±
.
Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong na trên ca Elip và Parabol là
2
2
3
1
42
x
x−=
42
3 40xx
+ −=
2
2
1
1
4
1
3
x
x
x
x
=
=
⇔⇔
=
=
.
Suy ra din tích hình phng
( )
H
cn tính là
( )
1
2
2
1
3
1d
42
H
x
S xx

= −−



1
2
1
13
4d
23
xx
= −−
.
Xét
1
2
1
4I x dx
=
, đặt
2sinxt
=
ta được
6
2
6
1
4 4sin 2cos d
2
I t tt
π
π
=
6
2
6
2cos dtt
π
π
=
( )
6
6
1 cos 2 dtt
π
π
= +
6
6
sin 2
2
t
t
π
π

= +


3
32
π
= +
.
Do đó
(
)
33
32 3
H
S
π
=+−
23
6
π
+
=
.
Câu 17: [2D3-3-3]Tính din tích hình phng gii hn bi parabol
2
6 12
yx x
=−+
và các tiếp tuyến ti
các đim
(
)
1; 7
A
(
)
1;19
B
.
A.
1
3
. B.
2
3
. C.
4
3
. D.
2
.
Lời giải
Chn B
Ta có
26yx
=
.
Gi tiếp tuyến ti đim
( )
1; 7A
1
d
Suy ra
1
d
:
( )( )
1 1 7 4 11yy x x
= += +
.
Gi tiếp tuyến ti đim
( )
1;19
B
2
d
Suy ra
2
d
:
( )( )
1 1 19 8 11yy x x
= ++ = +
.
Ta có phương trình hoành độ giao điểm gia
1
d
và parabol là
2
6 12 4 11 1xx x x + = + ⇔=
.
Ta có phương trình hoành độ giao điểm gia
2
d
và parabol là
2
6 12 8 11 1
xx x x + = + ⇔=
.
Ta có phương trình hoành độ giao điểm gia
2
d
1
d
4 11 8 11 0x xx+=+⇔=
.
Vy din tích hình phng cn tính là
01
22
10
11 2
6 12 8 11 d 6 12 4 11 d
33 3
S xx x xxx x x
= ++ + ++ =+=
∫∫
.
Câu 18: [2D3-3-3]Cho hàm s
2
1
xm
y
x
=
+
(vi
m
là tham s khác
0
) có đ th
( )
C
. Gi
S
là din
tích hình phng gii hn bởi đồ th
( )
C
và hai trc tọa độ. Có bao nhiêu giá tr thc ca
m
tha
mãn
1S =
?
A. Không. B. Mt. C. Ba. D. Hai.
Lời giải
Chn D
0x =
2
0ym⇒= <
(do
0m
).
0y =
2
0xm⇒= >
.
Vy
2
2
0
d
1
m
xm
Sx
x
=
+
2
2
0
1
1d
1
m
m
x
x
+
=
+
2
2
0
1
1d
1
m
m
x
x

+
=

+

( )
( )
2
2
0
1 ln 1
m
mx x= + +−
( ) ( )
22 2
1 ln 1mm m=+ +−
Để
1S =
thì
( ) (
)
22 2
1 ln 1 1mm m+ +− =
( ) (
)
( )
22
1 ln 1 1 0mm
+ +−=
.
( )
2
ln 1 1m +=
2
1me +=
1me⇔=±
Câu 19: [2D3-3-4] Cho parabol
(
)
2
1
:4Py x=−+
ct trc hoành ti hai đim
A
,
B
đường thng
:dy a=
( )
04a<<
. Xét parabol
( )
2
P
đi qua
A
,
B
đỉnh thuộc đường thng
ya=
. Gi
1
S
là din tích hình phng gii hn bi
(
)
1
P
d
.
2
S
din tích hình phng gii hn bi
( )
2
P
trc hoành. Biết
12
SS
=
(tham kho hình v bên dưới).
Tính
32
8 48
Ta a a=−+
.
A.
99T =
. B.
64T =
. C.
32T =
. D.
72T =
.
Lời giải
Chn B
Gi
A
,
B
là các giao điểm ca
( )
1
P
trc
Ox
( )
2;0A⇒−
,
( )
2;0B
4
AB
⇒=
.
Gi
M
,
N
giao điểm ca
( )
1
P
đường thng
d
( )
4;M aa −−
,
( )
4;N aa
24MN a⇒=−
.
Nhn thy:
( )
2
P
là parabol có phương trình
2
4
a
y xa=−+
.
Áp dng công thc tính din tích hình phẳng ta được:
4
1
2 4 .d
a
S yy=
( )
4
3
2
4
4
3
a
y

=−−


( )
4
44
3
aa=−−
.
2
2
2
0
2 .d
4
a
S xax

=−+


2
3
0
2
12
ax
ax

=−+


8
3
a
=
.
Theo gi thiết:
12
SS=
( )
48
44
33
a
aa −=
( )
3
2
44aa
⇔− =
32
8 48 64aa a⇔− + =
.
Vy
64T =
.
Câu 20: [2D3-3-4]Ông B có một khu vườn gii hn bi một đường parabol và một đường thng. Nếu
đặt trong h ta đ
Oxy
như hình vẽ n thì parabol có phương trình
2
=yx
đường thng là
25y =
. Ông B d định dùng mt mảnh vườn nh được chia t khu vườn bi một đường thng
đi qua
O
điểm
M
trên parabol để trng mt loại hoa. Hãy giúp ông B xác định điểm
M
bng
cách tính độ dài
OM
để din tích mảnh vườn nh bng
9
2
.
A.
25OM =
. B.
15OM =
. C.
10OM =
. D.
3 10OM =
.
Lời giải
Chn D
y
=
a
x
y
N
M
B
A
O
Gọi điểm
H
có hoành độ
(
)
, 0aa
>
là hình chiếu vuông góc của điểm
M
trên trc
Ox
.
Khi đó ta pt đường thng
OM
có dng
tan .yx
α
=
, ( vi
MOH
α
=
)
2
tan
MH a
a y ax
OH a
α
= = =⇒=
.
Vy din tích mảnh vườn cn tính là:
( )
23 3
2
0
0
d
23 6
a
a
ax x a
S ax x x

= =−=


3
9
3
62
a
a =⇔=
.
Suy ra
22
3 9 3 10OM
= +=
.
Câu 21: Tính môđun của s phc
34zi= +
.
A.
3
. B.
5
. C.
7
. D.
7
.
Lời giải
Chn B
Môđun của s phc
34zi= +
là:
22
34
z = +
5=
.
Câu 22: Cho số phức
46= +zi
. Tìm số phức
.= +w iz z
A.
10 10= wi
. B.
10 10=−+wi
. C.
10 10= +wi
. D.
2 10=−+wi
.
Lời giải
Chn C
Ta có:
46= +zi
46⇒=zi
.
.
= +w iz z
( )
46 46= ++ii i
10 10
= + i
.
Câu 23: Tìm nguyên hàm
( )
2
dFx x
π
=
.
A.
( )
2
Fx x C
π
= +
. B.
( )
2Fx x C
π
= +
. C.
( )
3
3
Fx C
π
= +
. D.
( )
22
2
x
Fx C
π
= +
.
Lời giải
Chn A
Ta có
( )
22
dFx x x C
ππ
= = +
(vì
2
π
là hng s).
Câu 24: Tìm hàm s
( )
Fx
, biết
( )
Fx
là mt nguyên hàm ca hàm s
( )
fx x=
( )
11F
=
.
A.
( )
=Fx xx
. B.
( )
21
33
= +Fx xx
. C.
( )
11
2
2
= +Fx
x
. D.
( )
31
22
= Fx xx
.
Lời giải
Chn B
Ta có:
( )
d=
Fx xx
1
2
d=
xx
3
2
3
2
= +
x
C
2
3
= +
xx
C
ln 2 1+x
.
(
)
2
11
3
=+=FC
1
3
⇒=C
. Vy
( )
21
33
= +Fx xx
.
Câu 25: Tìm nguyên hàm ca hàm s
(
)
1
sin .
22
x
fx x

= +


A.
(
)
2
1
d cos .
42
x
fx x x C=−+
B.
( )
2
1
d cos .
22
x
fx x x C=++
C.
( )
2
11
d cos .
4 22
x
fx x x C=−+
D.
(
)
2
11
d cos .
4 42
x
fx x x C
=−+
Lời giải
Chn A
Ta có
( )
2
2
11 1
sin 2cos cos .
2 2 42 2 4 2
x xx x
f x dx x dx C x C


= + = += +




∫∫
Câu 26: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau
A.
4
3
d
4
+
=
xC
xx
. B.
1
d ln= +
x xC
x
.
C.
sin d cos
=
xx C x
. D.
( )
2e d 2 e= +
xx
xC
.
Lời giải
Chn B
Ta có
1
d ln= +
x xC
x
.
Câu 27: Tìm một nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( ) (
)
.
f xgx
, biết
( )
25F =
,
( )
dfx x xC= +
(
)
2
d
4
x
gx x C
= +
.
A.
( )
2
4.
4
x
Fx= +
B.
( )
2
5.
4
x
Fx= +
C.
( )
3
5.
4
x
Fx= +
D.
( )
3
3.
4
x
Fx= +
Lời giải
Chn A
Ta có
(
) ( ) (
)
F x f x g x dx=
.
( ) ( ) ( ) (
)
2
1;
42
xx
f x dx x C f x g x dx C g x=+⇒ = = +⇒ =
∫∫
Vậy
( )
2
24
xx
F x dx C= = +
( )
25F =
suy ra
4.C =
Hay
( )
2
4.
4
x
Fx= +
Câu 28: Cho hàm s
( )
y fx=
đồng biến trên
( )
0; +∞
;
( )
y fx=
liên tc, nhn giá tr dương trên
( )
0; +∞
và tha mãn
( )
2
3
3
f =
( ) ( ) ( )
2
' 1.f x x fx= +


. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
( )
2
2613 8 2614f<<
. B.
( )
2
2614 8 2615f<<
.
C.
( )
2
2618 8 2619f<<
. D.
( )
2
2616 8 2617f<<
.
Lời giải
Chn A
Hàm s
( )
y fx
=
đồng biến trên
( )
0; +∞
nên suy ra
( ) ( )
0, 0;fx x
+∞
.
Mt khác
( )
y fx=
liên tc, nhn giá tr dương trên
(
)
0;
+∞
nên
(
) ( )
(
) (
) (
)
( )
2
11f x x fx f x x fx
′′
=+ ⇒=+


,
( )
0;x +∞
(
)
(
)
( )
1
fx
x
fx
⇒=+
,
(
)
0;x
+∞
;
( )
( )
(
)
1
fx
dx x dx
fx
⇒=+
∫∫
(
)
( )
3
1
1
3
fx x C
= ++
;
T
( )
3
3
2
f =
suy ra
28
33
C =
Suy ra
( ) ( )
2
3
1 28
1
3 33
fx x

= ++



Suy ra:
( )
( )
22
3
1 28 28
8 81 9
3 33 33
f

= ++− =+−



( )
4
2
28
8 9 2613, 26
33
f

=+−



.
Câu 29: Trong không gian vi h ta đ
Oxyz
, cho mt phng
( )
: 2 30Pxy z
+ +=
đim
( )
1;1; 0I
.
Phương trình mặt cu tâm
I
và tiếp xúc với
( )
P
là:
A.
( ) ( )
22
2
5
11
6
x yz−+−+=
. B.
( ) ( )
22
2
25
11
6
x yz−+−+=
.
C.
( ) ( )
22
2
5
11
6
x yz−+−+=
. D.
( )
( )
22
2
25
11
6
x yz++++=
.
Lời giải
Chn B
Mt cu tiếp xúc mặt phng nên bán kính mt cu là:
( )
( )
5
,
6
r dI P= =
.
Vậy phương trình mặt cu là:
( ) ( )
22
2
25
11
6
x yz−+−+=
.
Câu 30: Trong không gian vi h ta đ
Oxyz
, cho đường thng
13
:
12 1
x yz
d
−+
= =
−−
và mt cu
( )
S
tâm
I
phương trình
( )
( ) ( ) ( )
2 22
: 1 2 1 18Sx y z + ++ =
. Đưng thng
d
ct
( )
S
ti hai
điểm
,AB
. Tính din tích tam giác
IAB
.
A.
8 11
3
. B.
16 11
3
. C.
11
6
. D.
8 11
9
.
Lời giải
Chn A
Đưng thng
d
đi qua điểm
( )
1; 0; 3C
và có vectơ chỉ phương
( )
1; 2; 1
u =−−
Mt cu
( )
S
có tâm
( )
1; 2; 1I
, bán kính
32R =
.
d
.
Gi
H
là hình chiếu vuông góc ca
I
lên đường thng
Khi đó:
,
IC u
IH
u


=

, vi
(
)
0; 2; 2
IC
= −−

;
2 3 40xy z+ −=
Vy
222
622 66
3
141
IH
++
= =
++
Suy ra
22 4 6
18
33
HB = −=
Vy,
1 1 66 8 6 8 11
.
2 23 3 3
IAB
S IH AB
= ⋅= =
Câu 31: Trong không gian vi h trc tọa độ
Oxyz
, cho
345a i jk
=−+

. Tọa độ ca vectơ
a
A.
( )
3; 4; 5−−
. B.
( )
5; 4; 3−−
. C.
(
)
4;5;3−−
. D.
( )
4;3;5−−
.
Lời giải
Chn A
Ta có:
345a i jk=−+

( )
3; 4; 5
a⇔=
.
Câu 32: Trong không gian
,Oxyz
điểm đi xng với điểm
( )
3; 1; 4B
qua mt phng
( )
xOz
có ta đ
A.
( )
3;1;4.−−
B.
( )
3;1;4.−−
C.
D.
( )
3; 1; 4 .
−−
Lời giải
Chn C
Đim đi xng với điểm
( )
3; 1; 4B
qua mt phng
( )
xOz
hoành độ cao độ giống điểm
B nhưng tung độ là s đối với tung độ điểm
B
. Do đó điểm đi xng vi
B
qua mt phng
( )
xOz
có tọa độ
( )
' 3;1; 4 .B
Câu 33: Trong không gian
Oxyz
, khong cách t điểm
(
)
3;4;6I
đến trc
Oy
A.
35
. B.
53
. C.
61
. D.
77
.
Lời giải
Chn A
Hình chiếu vuông góc của điểm
( )
3;4;6I
lên trc
Oy
( )
0;4;0I
( )
; 35d I Oy II
⇒==
.
Câu 34: Trong không gian vi h ta đ
Oxyz
, cho hai điểm
(2;0; 1)A
( 1; 3;1)B
. Ta đ ca véctơ
AB

A.
(3; 3; 2)−−
. B.
(1;3;0)
. C.
(3;1;2)−−
. D.
( 3; 3; 2)
.
Lời giải
Chn D
Ta có
( 3; 3; 2)AB =

.
Câu 35: Trong h ta đ
Oxyz
, cho
( )
1; ; 1am=
( )
2; 1; 3b =
. Tìm giá tr ca
m
để
ab

.
A.
2m
=
. B.
2m =
. C.
1
m =
. D.
1m =
.
Lời giải
Chn D
Ta có
ab

(
)
. 1.2 .1 1 .3 1
ab m m = + +− =

.
Câu 36: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
(
)
1; 2; 0
A
,
( )
2; 1;1B
. m điểm
C
hoành độ dương
trên trục
Ox
sao cho tam giác
ABC
vuông tại
C
.
A.
(
)
3;0;0
C
. B.
( )
2;0;0C
. C.
( )
1;0;0C
. D.
( )
5;0;0C
.
Lời giải
Chn A
Do
C
có hoành độ dương trên trục
Ox
nên
( )
;0;0 , 0Cx x>
.
Ta có:
( )
1; 2; 0AC x= −−

,
( )
2;1; 1BC x=−−

.
Tam giác
ABC
vuông tại
C
( )( )
. 0 1 2 20AC BC x x = −=
 
.
(
)
2
0
30
3
xl
xx
x
=
⇔−=
=
. Vậy
( )
3;0;0C
.
Câu 37: Trong không gian
Oxyz
, cho hình hộp
.ABCD A B C D
′′
với
( ) ( ) ( )
2;1; 2 , 1; 2;1 , 2;3; 2ABC
( )
3; 0;1D
. Tọa độ của điểm
B
A.
( )
1; 3; 2
. B.
( )
2; 2;1
. C.
( )
1; 3; 2−−
. D.
( )
2; 1; 2
.
Lời giải
Chn A
Gi
,IJ
lần lượt là trung điểm ca cnh
,AC B D
′′
. Khi đó
( )
0; 2;2I
( )
2;1;1J
.
( )
2;1;1IJ = −−

.
.ABCD A B C D
′′
là hình hp nên
( ) ( )
2; 1; 1 1; 3; 2BB IJ B
= = −−
 
.
Câu 38: Trong không gian
Oxyz
, cho các điểm
( ) ( ) ( )
0;1; 2 , 1; 2; 3 , 1; 2; 5ABC−−
. Đim
M
nm trong
đoạn thng
BC
sao cho
3MB MC=
. Độ dài đoạn thng
AM
A.
30
. B.
11
. C.
72
. D.
73
.
Lời giải
J
I
D
C
B
D'
A'
B'
C'
A
Chn A
Gi
( )
;;M xyz
. Ta có
(
) (
)
1 ;2 ;3 ; 1 ;2 ;5
MB x y z MC x y z=−−− =
 
.
Theo đề bài điểm
M
nằm trong đoạn thng
BC
sao cho
3MB MC=
3MB MC=
 
( )
( )
( )
( ) ( )
1 31
1
2 3 2 1 1;1;3 1;2;5 30.
3
3 35
xx
x
y y y M AM AM
z
zz
−=
=
== ⇒=⇒=


=
= −−

Câu 39: Trong không gian vi h ta đ
Oxyz
, cho tam giác
ABC
( ) ( )
1;2; 1 , 2; 1;3AB−−
,
( )
4;7;5C
. Gi
(
)
;;
Dabc
chân đường phân giác trong ca góc
B
ca tam giác
ABC
. Giá
tr ca
2ab c++
bng
A.
4
. B.
5
. C.
14
. D.
15
.
Lời giải
Chn B
Ta có:
( )
2
22
1 3 4 26; 104AB BC= +− + = =
.
Theo tính chất đường phn giác trong thì:
11
23
DA AB
AD AC
DC BC
==⇒=
 
52
1
33
5 11
2
33
12 1
aa
bb
cc
−−

−= =



−= =


+= =



25ab c++ =
.
Câu 40: Trong không gian
0xyz
cho các điểm
( ) ( ) ( )
1; 0; 0 , 3; 2; 4 , 0;5;4AB C
. Xét điểm
( )
;;M abc
thuộc
mặt phẳng
( )
0
xy
sao cho
2MA MB MC++
  
đạt giá trị nhỏ nhất. Tọa độ của
M
A.
( )
1; 3; 0
. B.
. C.
( )
3;1; 0
. D.
( )
2;6;0
.
Lời giải
Chn A
Lấy điểm
I
sao cho
( )
2
1
4
2
2 0 3 1;3;3
4
2
3
4
AB C
I
AB C
I
AB C
I
xx x
x
yy y
IA IB IC y I
zz z
z
++
= =
++
++ = = =
++
= =
  
.
( ) ( ) ( )
22P MA MB MC MI IA MI IB MI IC= + + = ++ ++ +
        
.
( )
4 24P MI IA IB IC MI= + ++ =
   
.
minPM
là hình chiếu của
I
lên mặt phẳng
( ) ( )
1; 3; 0Oxy M
.
C
B
M
D
B
A
C
Câu 41: Trong không gian cho ba đim
( ) ( )
5; 2; 0 , 2; 3; 0AB−−
(
)
0; 2; 3C
. Trng tâm
G
ca tam
giác
ABC
có ta đ
A.
(
)
1;1;1
. B.
( )
1;1; 2
. C.
( )
1; 2;1
. D.
( )
2;0; 1
.
Lời giải
Chn A
( )
1
3
1 1;1;1
3
1
3
ABC
G
ABC
G
ABC
G
xxx
x
yyy
yG
zzz
z
++
= =
++
= =
++
= =
Câu 42: Trong không gian vi h trc ta đ
Oxyz
cho hai vectơ
( )
4; 5; 3a =−−
,
( )
2; 2;1
b =
. Tìm ta
độ ca vectơ
2xa b= +

.
A.
(
)
0; 1;1x
=
. B.
( )
0;1; 1x =
. C.
( )
8;9;1x =
. D.
( )
2; 3; 2x =
.
Lời giải
Chn B
Ta có:
( )
4; 5; 3a =−−
,
( )
2 4; 4; 2b =
( )
0;1; 1x⇒=
.
Câu 43: Trong không gian vi h ta đ
Oxyz
, cho hai điểm
( )
1; 2; 0A
(
)
3; 0; 4
B
. Ta đ ca véctơ
AB

A.
( )
4;2; 4
. B.
( )
1; 1; 2−−
. C.
( )
2; 2; 4−−
. D.
( )
4; 2; 4−−
.
Lời giải
Chn A
( )
4;2; 4AB =

.
Câu 44: Trong không gian
Oxyz
, điểm nào sau đây thuộc trc tung
Oy
?
A.
( )
0; 10;0Q
. B.
( )
10;0;0P
. C.
( )
0;0; 10N
. D.
( )
10;0;10M
.
Lời giải
Chn A
Câu 45: Trong không gian vi h trc ta đ
,Oxyz
cho
( )
0; 1;1A
,
( )
2;1; 1B −−
,
( )
1; 3; 2
C
. Biết rng
ABCD
là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm
D
:
A.
2
1;1; .
3
D



. B.
( )
1; 3; 4 .D
. C.
( )
1;1; 4 .D
. D.
( )
1; 3; 2 .D −−
.
Lời giải
Chn C
Gi
( )
;;D xyz
, ta có
ABCD
là hình bình hành nên
BA CD
=
 
12
32
22
x
y
z
+=
−=
−=
1
1
4
x
y
z
=
⇔=
=
.
Vy
( )
1;1; 4 .D
Câu 46: Trong không gian vi h ta đ
Oxyz
, cho
( )
1; 5; 2OM =

,
( )
3; 7; 4ON =

. Gi
P
điểm
đối xng vi
M
qua
N
. Tìm tọa độ điểm
P
.
A.
( )
5;9; 10P
. B.
( )
7;9; 10P
. C.
( )
5;9; 3P
. D.
( )
2;6; 1P
.
Lời giải
Chn A
Ta có:
( ) ( )
1; 5; 2 1; 5; 2OM M=

,
( ) ( )
3; 7; 4 3; 7; 4ON N= −⇒

.
P
là điểm đi xng vi
M
qua
N
nên
N
là trung điểm ca
MP
nên ta suy ra được
( )
25
2 9 5; 9; 10
2 10
P NM
P NM
P NM
x xx
y yy P
z zz
= −=
= −=
= −=
Câu 47: Trong không gian vi h ta đ
Oxyz
, cho hình hp
.'' ' 'ABCD A B C D
( )
0;0;0A
,
( )
3;0;0B
,
( )
0; 3; 0D
( )
' 0; 3; 3D
. Tọa độ trng tâm ca tam giác
'''ABC
là.
A.
( )
1;1; 2
. B.
. C.
( )
2;1; 2
. D.
.
Lời giải
Chn C
.
Gi , , .
Do tính cht hình hp ta có:
.
.
.
Tọa độ trng tâm ca tam giác là: .
Câu 48: Trong không gian vi h ta đ
Oxyz
, cho tam giác
ABC
vi
( )
1;1;1A
,
( )
2;3;0B
. Biết rng
tam giác
ABC
có trc tâm
( )
0; 3; 2H
tìm tọa độ của điểm
C
.
A.
( )
3; 2; 3C
. B.
( )
4;2;4C
. C.
. D.
( )
2;2;2C
.
Lời giải
Chn C
( )
123
;;Aaa a
( )
123
;;B bb b
( )
123
;;Ccc c
1
2
3
0
0
3
a
AA DD a
a
=
′′
= ⇔=
=
 
( )
0;0; 3A
⇒−
( )
11
22
33
30 3
0 0 3; 0; 3
33
bb
BB DD b b
B
bb
−= =


′′
= ⇔=
⇔=


=−=

 
( )
11
22
33
33
3 0 3 3; 3; 0
00
cc
DC AB c c C
cc
= =


= −= =


= =

 
G
ABC
′′
( )
2;1; 2G
Gi
( )
;;C abc
. Ta có
H
là trc tâm tam giác
ABC
nên
,. 0
AH BC
BH AC
AB AC AH

=

 
 
  
( )
1; 2;1AH =

,
( )
2;0;2
BH =

,
( )
1; 1; 1AC a b c=−−

,
( )
2; 3;BC a b c=−−

,
( )
1; 2; 1AB =

.
( )
, 2 3, 2, 2 1AB AC c b a c b a

= + −−+ +

 
.
Suy ra
22 6 0
2 22 20
2 32 2 4 2 10
a bc
ac
cb a c b a
−++ + =
++ =
+−−++−+=
24
220
44 8
a bc
ac
ac
−+ + =
⇔− + =
−− =
1
2
1
a
b
c
=
⇔=
=
Vy
(
)
1; 2;1C
.
Câu 49: Trong không gian vi h trc ta đ
Oxyz
, cho bn đim
( )
2; 3; 7A
,
( )
0; 4;1B
,
( )
3; 0; 5C
( )
3; 3; 3D
. Gi
M
là đim nm trên mt phng
( )
Oyz
sao cho biu thc
MA MB MC MD+++
   
đạt giá tr nh nhất. Khi đó tọa độ ca
M
là:
A.
( )
0;1; 4M
. B.
( )
2;1; 0M
. C.
( )
0;1; 2M
. D.
(
)
0;1; 4M
.
Lời giải
Chn D
Ta có:
( )
2;7; 6AB =−−

,
( )
1; 3; 2AC =

,
(
)
1; 6; 4AD =

nên
, . 40AB AC AD

=−≠

  
.
Suy ra:
AB

,
AC

,
AD

không đồng phng.
Gi
G
là trng tâm t din
ABCD
. Khi đó
( )
2;1; 4G
.
Ta có:
44MA MB MC MD MG MG+++ = =
    
.
Do đó
MA MB MC MD+++
   
nh nht khi và ch khi
MG
ngn nht.
Vy
M
là hình chiếu vuông góc ca
G
lên mt phng
( )
Oyz
nên
( )
0;1; 4M
.
Câu 50: Trong không gian
Oxyz
cho
( )
1; 1; 2A
,
( )
0
01
3
x
fx x
x
=
=⇔=
=
,
(
)
0;1; 2C
. Gọi
(
)
;;M abc
điểm thuộc mặt phẳng
( )
Oxy
sao cho biểu thức
. 2. 3.S MA MB MB MC MC MA=++
     
đạt giá trị
nhỏ nhất. Khi đó
12 12T a bc=++
có giá trị là
A.
3T =
. B.
3T =
. C.
1T =
. D.
1T =
.
Lời giải
Chn B
Do
( )
;;M abc
thuộc mặt phẳng
( )
Oxy
nên
0c =
( )
; ;0M ab
.
Ta có
( )
1 ; 1 ;2MA a b= −−

,
( )
2 ; ;3MB a b=−−

,
( )
;1 ; 2MC a b= −−

.
. 2. 3.S MA MB MB MC MC MA=++
     
22
662 1a b ab= + + −+
22
1 1 19
66
6 12 24
ab

=++− +


.
19
24
S⇒≥
. Vậy
S
đạt giá trị nhỏ nhất
19
4
khi
1
6
1
12
a
b
=
=
.
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II
MÔN: TOÁN 12 ĐỀ S: 09
Câu 1: Cho hàm số
( )
y fx
=
liên tục trên khoảng
K
,,abc K
. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.
( )
d0
a
a
fx x
=
. B.
(
)
( )
d dt
bb
aa
fx x ft=
∫∫
.
C.
( ) (
)
dd
ba
ab
fx x fx x=
∫∫
. D.
( ) (
)
( )
ddd
bb c
ac a
fx x fx x fx x+=
∫∫
.
Câu 2: Giả sử
(
)
2
0
d5fx x=
( )
2
0
d7gx x=
. Khi đó,
( )
2
0
3 2()dI f x gx x

=

bằng:
A.
19I =
. B.
29I =
. C.
1I =
. D.
22I =
.
Câu 3: Cho hàm số
(
)
fx
có đạo hàm trên đoạn
[ ]
1; 3
,
( )
3 2021f =
,
( )
3
1
d 2020fxx
=
. Tính
( )
1f
?
A.
( )
11f −=
. B.
( )
11
f −=
. C.
( )
13f −=
. D.
( )
12f −=
.
Câu 4:
Biết
( )
fx
là hàm số liên tục trên
( )
5
1
d8fx x
=
. Khi đó tính
( )
4
1
2 3d
I fx x=
.
A.
4I
=
. B.
2
I =
. C.
8
I =
. D.
6I =
.
Câu 5: Cho tích phân
e
1
4ln 3
d
x
Ix
x
=
. Nếu đặt
lntx=
thì
A.
1
43
d
e
e
t
t
It
=
B.
1
0
43
d
t
It
t
=
C.
( )
e
1
4 3dI tt
=
D.
( )
1
0
4 3dI tt=
Câu 6: Cho tích phân
2
3
sin
d ln 5 ln 2
cos 2
x
xa b
x
π
π
= +
+
với
Giá trị
32Pab= +
bằng
A.
1P =
B.
7P =
C.
1P =
D.
0P =
Câu 7: Cho hàm số
( )
y fx
=
liên tục trên
. Biết
( )
2
2
0
. 1d 6xf x x+=
, hãy tính
(
)
5
1
dI fx x
=
A.
12I =
. B.
3I =
. C.
1
12
I =
. D.
1
3
I =
.
Câu 8: ch phân
( )
2
2
2
0
1
d ln
1
x
I x a bc
x
= = +
+
, trong đó
a
,
b
,
c
các s nguyên. Giá tr của biểu thc
32a bc++
bằng
A.
15
. B.
13
. C.
4
. D.
9
.
Câu 9: Cho m số
( )
y fx=
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[ ]
0;5
(
)
5 10f =
,
( )
5
0
d 30xf x x
=
. Tính
( )
5
0
dfx x
.
A.
20
. B.
30
. C.
20
. D.
70
.
Câu 10: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên
và thỏa mãn
( )
4
0
tan d 6f xx
π
=
( )
2
1
2
0
d4
1
xf x
x
x
=
+
. Tính tích
phân
(
)
1
0
d
I fx x=
.
A.
10
. B.
2
. C.
2
. D.
3
2
.
Câu 11: Cho m số
( )
y fx=
,
( )
y gx=
liên tục trên
[ ]
;.ab
Gọi
( )
H
hình giới hạn bởi hai đồ thị
( )
y fx=
,
( )
y gx
=
và các đường thẳng
xa=
,
xb
=
. Diện tích hình
( )
H
được tính theo công
thức nào dưới đây?
A.
(
)
( )
dd
bb
H
aa
S fxx gxx=
∫∫
. B.
( ) ( )
d
b
H
a
S f x gx x=
.
C.
( ) (
)
d
b
H
a
S f x gx x
=


. D.
( )
(
)
d
b
H
a
S f x gx x
=


.
Câu 12: Cho hàm s
( )
y fx=
liên tc trên đon
[ ]
;ab
. Gi
D
là hình phẳng giới hn bi đ th hàm s
( )
y fx=
, trục hoành hai đường thẳng
xa=
,
xb
=
( )
ab<
. Th tích khối tròn xoay tạo thành
khi quay
D
quanh trục hoành được tính theo công thức nào dưới đây?
A.
( )
2
d
b
a
V f xx
π
=
. B.
( )
2
2d
b
a
V f xx
π
=
. C.
( )
22
d
b
a
V f xx
π
=
. D.
( )
2
d
b
a
V fx x
π
=
.
Câu 13: Diện tích hình phẳng giới hn bi đ th hàm s
( )
y fx
=
và trục hoành (phần tô đậm trong hình
v) là
A.
( ) (
)
01
20
ddS fx x fx x
=
∫∫
. B.
( ) (
)
01
20
ddS fx x fx x
= +
∫∫
.
C.
( ) ( )
10
02
ddS fx x fx x
=
∫∫
. D.
( )
1
2
dfx x
.
Câu 14: Tính diện tích hình phẳng giới hn bởi đồ th hàm s
2
4y xx=
và trục
Ox
.
A.
11
. B.
34
3
. C.
31
3
. D.
32
3
.
Câu 15: Tính th tích
V
của vt th nm gia hai mặt phẳng
0x =
x
π
=
, biết rằng thiết diện của vt
th b cắt bi mt phẳng vuông góc với trc
Ox
ti điểm có hoành độ
x
( )
0 x
π
≤≤
là mt tam
giác đều cạnh bằng
2 sin x
.
A.
3V =
. B.
3
V
π
=
. C.
23V
π
=
. D.
23V =
.
Câu 16: Cho
( )
H
hình phẳng giới hn bi
,yx=
2yx=
trục hoành (phần hình v được gạch
chéo). Diện tích của
( )
H
bằng
A.
10
3
. B.
16
3
. C.
7
3
. D.
8
3
.
Câu 17: Cho hình phẳng
( )
H
giới hn bởi các đường
2
yx
=
,
0
y =
,
0x =
,
4x =
. Đường thẳng
yk=
( )
0 16k<<
chia hình
( )
H
thành hai phần có diện tích
1
S
,
2
S
(hình v). Tìm
k
để
12
SS
=
.
A.
3
44
. B.
4
. C.
3
24
. D.
3
42
.
Câu 18: Cho hình vuông
OABC
cạnh bằng
4
được chia thành hai phần bi parabol
( )
P
đỉnh ti
O
. Gi
S
hình phẳng không bị gạch (như hình vẽ). Tính th tích
V
của khối tròn xoay khi
cho phần
S
quay quanh trục
Ox
.
A.
128
5
V
π
=
. B.
128
3
V
π
=
. C.
64
5
V
π
=
. D.
256
5
V
π
=
.
Câu 19: Cho hàm s
( )
32
f x x ax bx c=+ ++
có đồ th
(
)
C
. Biết rằng tiếp tuyến d của
( )
C
ti đim
A
hoành độ bằng
1
cắt
( )
C
tại điểm
B
hoành độ bằng 2 (xem hình vẽ). Diện tích hình
phẳng giới hn bi
d
( )
C
(phần gạch chéo) bằng
A.
27
.
4
B.
11
.
2
C.
25
.
4
D.
13
.
2
.
Câu 20: Một hình cầu có bán kính
6dm,
người ta ct b hai phần bằng hai mt phẳng song song và cùng
vuông góc với đường kính để m mặt xung quanh của một chiếc lu chứa nước (như hình vẽ).
Tính th tích
V
mà chiếc lu chứa được, biết mặt phẳng cách tâm mặt cầu
4dm
.
.
A.
( )
3
368
dm
3
V
π
=
. B.
( )
3
192 dmV
π
=
. C.
( )
3
736
dm
3
V
π
=
. D.
( )
3
288 dmV
π
=
.
Câu 21: Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?
A.
3= +zi
. B.
3=zi
. C.
23=−+zi
. D.
2= z
.
Câu 22: Số phức
z
thỏa mãn
12zi=
được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ bởi điểm?
A.
( )
1; 2Q −−
. B.
( )
1; 2M
. C.
( )
1; 2P
. D.
( )
1; 2N
.
Câu 23: Tất cả nguyên hàm của hàm số
( )
1
23
fx
x
=
+
A.
1
ln 2 3
2
xC++
. B.
( )
1
ln 2 3
2
xC++
. C.
ln 2 3xC++
. D.
1
ln 2 3
ln 2
xC++
.
Câu 24: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm
( )
'fx
và có một nguyên hàm là
( )
Fx
.
Tìm
( ) ( )
2 ' 1?I f x f x dx= ++


A.
( ) ( )
2I F x xf x C=++
. B.
( )
21I xF x x= ++
C.
( ) ( )
2I xF x f x x C= ++ + +
. D.
( ) ( )
2I Fx f x x C= + ++
.
Câu 25: Cho hàm s
( )
y fx=
là hàm s chn và
( )
( )
2
1.f x xx
=
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
( ) ( ) ( )
10 1ff f= =
. B.
( ) ( ) ( )
10 2fff> >−
.
C.
( ) ( ) ( )
201f ff−> >
. D.
( ) ( ) ( )
101f ff−≥
.
Câu 26: Gọi
( )
( )
2
= ++
x
F x ax bx c e
là nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
2
1
x
fx x e=
. Tính
2S a bc=++
.
A.
3S =
. B.
2S =
. C.
0S =
. D.
4S =
.
Câu 27: Cho
3
()
3
x
Fx=
là một nguyên hàm của
()fx
x
. Tính
'( ).
x
f x e dx
A.
2
3 66
x xx
x e xe e C ++
B.
2
66
x xx
x e xe e C ++
C.
2
36
x xx
x e xe e C ++
D.
2
36 6
xx
x xe e C+ ++
Câu 28: Cho hàm số
( )
fx
thỏa mãn
( ) ( ) ( )
2
2
' 1 1 . ''xf x x f x f x+=


với mọi
x
dương.
Biết
( ) ( )
1 ' 1 1.ff= =
Tính
( )
2
2.f
A.
( )
2
2 2ln 2 2.f = +
B.
( )
2
2 ln 2 1.
f = +
C.
( )
2
2 2ln 2 2.f = +
D.
( )
2
2 ln 2 1.f = +
Câu 29: Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho hai điểm
( )
2;1;1A
,
(
)
0; 3; 1B
. Mặt cầu
(
)
S
đường
kính
AB
có phương trình là
A.
( )
2
22
23xy z+− +=
. B.
( ) ( )
22
2
123x yz +− +=
.
C.
( )
( ) ( )
2 22
1 2 19
xy z + ++ =
. D.
( ) ( )
22
2
129x yz +− +=
.
Câu 30: Trong không gian
Oxyz
, cho tam giác
ABC
với
(1; 2;0), (3; 2; 1), ( 1; 4; 4)AB C −−
. Tập hợp tất
cả các điểm
M
sao cho
22 2
52
MA MB MC
++ =
A. mặt cầu tâm
( 1; 0; 1)I −−
, bán kính
2r =
. B. mt cu tâm
( 1; 0; 1)I −−
, bán kính
2.r =
C. mặt cầu tâm
(1; 0;1)I
, bán kính
2r =
. D. mặt cầu tâm
(1; 0;1)I
, bán kính
2r =
.
Câu 31: Trong không gian
Oxyz
, cho các vectơ
( )
1; 1;2a =
,
( )
3;0; 1b =
( )
2;5;1c =
. Ta đ của
vectơ
u abc
=+−

A.
(
)
0;6; 6
u
=
. B.
(
)
6;0; 6u
=
. C.
(
)
6; 6;0
u
=
. D.
(
)
6;6;0
u =
.
Câu 32: Trong không gian
Oxyz
cho hai điểm
( )
1;2;3A
,
( )
1;0;1B
. Trọng tâm
G
của tam giác
OAB
có tọa độ
A.
(
)
0;1;1
. B.
24
0; ;
33



. C.
( )
0;2;4
. D.
( )
2; 2; 2−−
.
Câu 33: Trong không gian
Oxyz
, hình chiếu vuông góc của điểm
( )
1; 2; 3A
trên mặt phẳng
( )
Oyz
A.
( )
0; 2;3M
. B.
( )
1; 0; 3
N
. C.
( )
1;0;0P
. D.
( )
0; 2; 0Q
.
Câu 34: Trong không gian
Ox
yz
, cho hai vec
( )
2; 3;1a =
và
( )
1; 4; 2b =−−
. Giá tr của biu thc
.ab

bằng
A.
16
. B.
4
. C.
4
. D.
16
.
Câu 35: Trong không gian
Oxyz
, cho
( )
0; 1; 1A
,
( )
2; 1; 1B −−
,
( )
1; 3; 2C
. Biết rng
ABCD
là hình
bình hành, khi đó tọa độ điểm
D
A.
( )
1; 1; 4D
. B.
2
1; 1;
3
D



. C.
( )
1; 3; 4D
. D.
( )
1; 3; 2D −−
.
Câu 36: Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
( ) ( )
( )
1;2;3, 1;0;2, ;;2A B C xy−−
thẳng hàng. Khi đó
xy+
bằng
A.
1xy+=
. B.
17xy+=
. C.
11
5
xy+=
. D.
11
5
xy+=
.
Câu 37: Trong không gian
Oxyz
, cho
( )
3;1; 2A
, tọa độ điểm
'A
đối xứng với điểm
A
qua trục
Oy
A.
( )
3;1;2−−
. B.
( )
3; 1; 2
. C.
( )
3;1; 2
. D.
( )
3; 1; 2−−
.
Câu 38: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( )
3;1; 2A
,
( )
2; 3; 5B
. Đim
M
thuộc đon
AB
sao
cho
2
MA MB
=
, tọa độ điểm
M
A.
7 58
;;
333
M



. B.
( )
4; 5; 9M
. C.
3 17
; 5;
22
M



. D.
( )
1; 7;12M
.
Câu 39: Trong không gian
Oxyz
, cho tam giác
ABC
vi
( )
1;2;5A
,
( )
3;4;1B
,
( )
2;3; 3C
. Gi
G
trọng tâm tam giác
ABC
M
điểm thay đổi trên
( )
mp Oxz
. Đội
GM
ngắn nht bằng
A.
2
. B.
3
. C.
4
. D.
1
.
Câu 40: Trong không gian
Oxyz
, cho véc
( ) ( )
1;1; 2 , 1; 0;u vm=−=

. Tìm tt c giá tr của
m
để góc
giữa
u
,
v
bằng
45°
.
A.
2m =
. B.
26m = ±
. C.
26m =
. D.
26m = +
.
Câu 41: Trong không gian
Oxyz
, cho nh thang cân
ABCD
các đáy ln t là
,AB CD
. Biết
( )
3;1; 2A
,
(
)
1; 3; 2B
,
( )
6; 3; 6C
( )
;;D abc
vi
;;abc R
. Tính
T abc=++
.
A.
3T =
. B.
1
T =
. C.
3T =
. D.
1
T =
.
Câu 42: Trong không gian
Oxyz
, cho tam giác
ABC
vi
( )
1;2;5A
,
( )
3;4;1B
,
( )
2;3; 3C
. Gi
G
trọng tâm tam giác
ABC
M
điểm thay đổi trên
( )
mp Oxz
. Đội
GM
ngắn nht bằng
A.
2
. B.
3
. C.
4
. D.
1
.
Câu 43: Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
( ): 3 0
P xyz+ +=
,
()P
đi qua điểm nào dưới đây?
A.
( )
1;1; 1M
. B.
( )
1; 1;1N −−
. C.
( )
1;1;1P
. D.
( )
1;1;1Q
.
Câu 44: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( ) ( )
3;1; 1 , 2; 1;4AB−−
. Phương trình mặt phẳng
( )
OAB
A.
3 14 5 0
x yz+ +=
. B.
3 14 5 0
x yz +=
.
C.
3 14 5 0x yz+ −=
. D.
3 14 5 0x yz
−=
.
Câu 45: Trong không gian với h ta đ
Oxyz
, gọi
( )
α
là mt phẳng đi qua điểm
( )
2; 1;1A
song
song với mặt phẳng
( )
:2 3 2 0Q xy z−+ +=
. Phương trình mặt phẳng
(
)
α
là:
A.
4 2 6 80
xyz + +=
. B.
2 3 80xy z+ −=
.
C.
2 3 80xy z+ +=
. D.
4 2 6 80xyz + −=
.
Câu 46:
Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
(1; 2;3), (3;0; 1)AB−−
. Mt phẳng trung trực ca đon thẳng
AB
có phương trình
A.
10xyz+ +=
. B.
2 10xy z+ +=
.
C.
2 10xy z +=
. D.
2 70xy z+ +=
.
Câu 47: Trong không gian
Oxyz
, cho
( )
2;0;0A
,
( )
0;4;0B
,
( )
0;0;6C
,
( )
2;4;6D
. Gi
( )
P
là mặt phẳng
song song với
( )
mp ABC
,
( )
P
cách đều
D
và mặt phẳng
( )
ABC
. Phương trình của
( )
P
A.
6 3 2 24 0xyz++−=
. B.
6 3 2 12 0xyz++−=
.
C.
6320xyz++=
. D.
6 3 2 36 0xyz++−=
.
Câu 48: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
đi qua
( )
2;1; 3M
, biết
( )
α
ct trc
,,Ox Oy Oz
lần lượt ti
,,ABC
sao cho tam giác
ABC
nhn
M
làm trc tâm
A.
2 5 6 0.x yz+ +−=
B.
2 6 23 0.xy z+− =
C.
2 3 14 0.xy z
+− =
D.
3 4 3 1 0.x yz
+ + −=
Câu 49: Trong không gian
Oxyz
, cho bốn điểm
( )
1;1;1A
,
( )
1; 0; 2B −−
,
(
)
2; 1; 0C
,
( )
2; 2;3D
. Hi
bao nhiêu mặt phẳng song song với
,AB CD
cắt 2 đường thẳng
,AC BD
lần lượt ti
,
MN
thỏa mãn
2
2
1
BN
AM
AM

=


.
A.
0
. B.
2
. C.
3
. D.
1
.
Câu 50: Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
z 18 0ax by c++−=
cắt ba trc to độ ti
,,ABC
sao cho
tam giác
ABC
có trọng tâm
( )
1; 3;2G −−
. Giá trị
ac+
bằng
A.
3
. B.
5
. C.
5
. D.
3
.
---------- HT ----------
NG DN GII CHI TIT
Câu 1: Cho hàm s
( )
y fx=
liên tục trên khoảng
K
,,abc K
. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.
(
)
d0
a
a
fx x=
. B.
( ) ( )
d dt
bb
aa
fx x ft=
∫∫
.
C.
( ) ( )
dd
ba
ab
fx x fx x=
∫∫
. D.
( ) ( ) ( )
ddd
bb c
ac a
fx x fx x fx x+=
∫∫
.
Li gii
Chn D
Mệnh đề đúng là:
( ) ( ) ( )
ddd
bc c
ab a
fx x fx x fx x
+=
∫∫
.
Câu 2: Gi s
( )
2
0
d5
fx x=
( )
2
0
d7
gx x
=
. Khi đó,
( )
2
0
3 2()d
I f x gx x
=


bằng:
A.
19I =
. B.
29I =
. C.
1I =
. D.
22
I
=
.
Li gii
Chn B
Ta có:
( )
( ) ( )
2 22
0 00
3 2 ( ) d 3 d 2 d 29
I fx gx x fx x gx x=−= =


∫∫
.
Câu 3: Cho hàm s
( )
fx
có đạo hàm trên đoạn
[
]
1; 3
,
( )
3 2021f =
,
(
)
3
1
d 2020fxx
=
. Tính
( )
1f
?
A.
(
)
11
f
−=
. B.
( )
11f −=
. C.
( )
13f −=
. D.
( )
12f −=
.
Li gii
Chn B
Ta có
(
) ( )
3
3
1
1
df x x fx
=
( ) ( )
31ff= −−
( ) ( ) ( )
3
1
13 df f fxx
−=
2021 2020 1
=−=
.
Câu 4:
Biết
( )
fx
là hàm s liên tc trên
( )
5
1
d8fx x
=
. Khi đó tính
( )
4
1
2 3dI fx x=
.
A.
4I
=
. B.
2I =
. C.
8
I =
. D.
6
I =
.
Li gii
Chn A
Đặt
2 3 d 2dtx t x= −⇒ =
.
Đổi cận:
11xt=⇒=
,
45xt= ⇒=
.
( ) ( )
45
11
1
2 3d d 4
2
I f x x ft t
= −= =
∫∫
.
Câu 5: Cho tích phân
e
1
4ln 3
d
x
Ix
x
=
. Nếu đặt
lntx=
thì
A.
1
43
d
e
e
t
t
It
=
B.
1
0
43
d
t
It
t
=
C.
( )
e
1
4 3dI tt=
D.
( )
1
0
4 3dI tt=
Li gii
Chn D
Đặt
ln
tx=
1
ddtx
x
⇒=
. Đổi cận
e1xt=⇒=
,
10xt=⇒=
.
Khi đó
( )
e1
10
4ln 3
d 4 3d
x
I xtt
x
= =
∫∫
.
Câu 6: Cho tích phân
2
3
sin
d ln 5 ln 2
cos 2
x
xa b
x
π
π
= +
+
vi
Giá tr
32Pab= +
bằng
A.
1P =
B.
7P =
C.
1
P =
D.
0P =
Li gii
Chn C
Đặt
cos 2
tx= +
d sin dt xx⇒=
Đổi cận
5
32
xt
π
= ⇒=
,
2
2
xt
π
= ⇒=
2
3
sin
d
cos 2
x
x
x
π
π
+
2
5
2
1
dt
t
=
5
2
2
1
dt
t
=
5
2
2
ln t=
5
ln ln 2
2
=
ln 5 2ln 2=
Vậy ta được
1; 2ab= =
nên
1P =
.
Câu 7: Cho hàm s
( )
y fx=
liên tc trên
. Biết
( )
2
2
0
. 1d 6xf x x+=
, hãy tính
( )
5
1
dI fx x=
A.
12I =
. B.
3I =
. C.
1
12
I =
. D.
1
3
I =
.
Li gii
Chn A
Xét tích phân
(
)
2
2
0
. 1d 6
xf x x
+=
, ta có
Đặt
2
1tx= +
dt 2 dxx
⇒=
.
Đổi cận: Khi
0x =
1t⇒=
,
2x =
5t⇒=
.
Do đó
( )
2
2
0
. 1d 6
xf x x+=
( )
5
1
1
dt 6
2
ft⇔=
(
)
5
1
dt 12ft
⇔=
( )
5
1
d 12fx x⇒=
hay
12I =
.
Câu 8: ch phân
(
)
2
2
2
0
1
d ln
1
x
I x a bc
x
= = +
+
, trong đó
a
,
b
,
c
các số nguyên. Giá tr của biểu thức
32a bc++
bằng
A.
15
. B.
13
. C.
4
. D.
9
.
Li gii
Chn D
( )
2
2
2
0
1
d
1
x
Ix
x
=
+
2
2
0
2
1d
1
x
x
x

=

+

( )
2
2
0
ln 1 2 ln 5xx= +=
.
Khi đó
1a =
,
5b =
,
2c =
.
Vậy
32 9a bc+ +=
.
Câu 9: Cho hàm s
( )
y fx=
có đo hàm liên tc trên đon
[ ]
0;5
( )
5 10f =
,
( )
5
0
d 30xf x x
=
. Tính
(
)
5
0
dfx x
.
A.
20
. B.
30
. C.
20
. D.
70
.
Li gii
Chn A
Đặt
( )
dd
ux
v fxx
=
=
(
)
dd
ux
v fx
=
=
( ) (
)
( )
(
)
55
5
0
00
.d. d
xf x x xf x f x x
=
∫∫
(
) (
)
5
0
30 5 5 df fx x
⇔=
( ) (
)
5
0
d 5 5 30 20fx x f= −=
.
Câu 10: Cho hàm s
( )
fx
liên tục trên
và thỏa mãn
( )
4
0
tan d 6f xx
π
=
( )
2
1
2
0
d4
1
xf x
x
x
=
+
. Tính tích
phân
( )
1
0
dI fx x=
.
A.
10
. B.
2
. C.
2
. D.
3
2
.
Li gii
Chn A
Xét
( )
4
0
tan d 6
f xx
π
=
.
Đặt
tantx
=
2
1
dd
cos
tx
x
⇒=
2
d
d
1
t
x
t
⇒=
+
.
Đổi cận:
0x =
0
t⇒=
,
4
x
π
=
1t⇒=
.
( )
( )
1
4
2
00
t
tan d d 6
1
f
f xx t
t
π
= =
+
∫∫
( )
1
2
0
d6
1
fx
x
x
⇒=
+
.
Mặt khác
( ) ( )
2
11
22
00
dd
11
fx xfx
xx
xx
+=
++
∫∫
( )
(
)
2
1
2
0
1
.d
1
x fx
x
x
+
+
( )
1
0
dfx x
6410
=+=
.
Vậy
10
I =
Câu 11: Cho hàm số
( )
y fx=
,
( )
y gx=
liên tục trên
[ ]
;.ab
Gọi
( )
H
hình giới hạn bởi hai đồ thị
( )
y fx=
,
( )
y gx=
các đường thẳng
xa=
,
xb=
. Diện tích hình
( )
H
được tính theo công
thức nào dưới đây?
A.
( )
( )
dd
bb
H
aa
S fxx gxx=
∫∫
. B.
( ) ( )
d
b
H
a
S f x gx x=
.
C.
(
)
( )
d
b
H
a
S f x gx x=


. D.
( )
(
)
d
b
H
a
S f x gx x=


.
Li gii
Chn B
Cho m số
( )
y fx=
,
( )
y gx=
liên tục trên
[ ]
;.ab
Gọi
( )
H
hình giới hạn bởi hai đồ thị
(
)
y fx
=
,
( )
y gx=
các đường thẳng
xa=
,
xb
=
. Diện tích hình
( )
H
được tính theo công
thức
(
) ( )
d
b
H
a
S f x gx x=
.
Câu 12: Cho hàm s
( )
y fx=
liên tc trên đon
[ ]
;
ab
. Gi
D
là hình phẳng giới hn bi đ th hàm s
( )
y fx=
, trục hoành hai đường thẳng
xa=
,
xb=
( )
ab<
. Th tích khối tròn xoay to thành
khi quay
D
quanh trục hoành được tính theo công thức nào dưới đây?
A.
( )
2
d
b
a
V f xx
π
=
. B.
( )
2
2d
b
a
V f xx
π
=
. C.
( )
22
d
b
a
V f xx
π
=
. D.
( )
2
d
b
a
V fx x
π
=
.
Li gii
Chn A
Cho hàm số
( )
y fx=
liên tục trên đoạn
[ ]
;
ab
. Gọi
D
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm s
( )
y fx=
, trục hoành hai đường thẳng
xa=
,
xb=
( )
ab<
. Thể tích khối tròn xoay tạo thành
khi quay
D
quanh trục hoành được tính theo công thức
( )
2
d
b
a
V f xx
π
=
.
Câu 13: Diện tích hình phẳng giới hn bi đ th hàm s
( )
y fx
=
và trục hoành (phần tô đậm trong hình
v) là
A.
(
) ( )
01
20
ddS fx x fx x
=
∫∫
. B.
( ) ( )
01
20
ddS fx x fx x
= +
∫∫
.
C.
( ) ( )
10
02
ddS fx x fx x
=
∫∫
. D.
( )
1
2
d
fx x
.
Li gii
Chn A
Diện tích hình phẳng giới hn bi đ th hàm s
( )
y fx=
và trục hoành (phần tô đậm trong hình
v) là
( ) ( )
01
20
ddS fx x fx x
=
∫∫
.
Câu 14: Tính diện tích hình phẳng giới hn bởi đồ th hàm s
2
4
y xx=
và trục
Ox
.
A.
11
. B.
34
3
. C.
31
3
. D.
32
3
.
Li gii
Chn D
Gi
S
là diện tích hình phẳng giới hn bởi đồ th hàm s
2
4y xx
=
và trục
Ox
.
Xét phương trình
2
40xx−=
0
4
x
x
=
=
.
Ta có
4
2
0
4
dS xx
x=
4
2
0
(4 )dxx x=
4
3
2
0
(2 )
3
x
x
=
32
3
= .
Câu 15: Tính th tích
V
của vt th nm gia hai mặt phẳng
0x =
x
π
=
, biết rằng thiết diện của vt
th b cắt bi mt phẳng vuông góc với trc
Ox
ti điểm có hoành độ
x
(
)
0
x
π
≤≤
là mt tam
giác đều cạnh bằng
2 sin
x
.
A.
3V =
. B.
3V
π
=
. C.
23V
π
=
. D.
23V =
.
Li gii
Chn D
( )
0
dV Sx x=
π
( )
2
0
3
2 sin d
4
xx=
π
23
=
.
Câu 16: Cho
( )
H
hình phẳng giới hn bi
,yx=
2yx
=
trục hoành (phần hình v được gạch
chéo). Diện tích của
( )
H
bằng
A.
10
3
. B.
16
3
. C.
7
3
. D.
8
3
.
Li gii
Chn A
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ th hàm s
yx=
2yx=
:
2xx=
( )
2
2
2
x
xx
=
2
2
5 40
x
xx
+=
4x⇔=
.
Diện tích hình phẳng
( )
H
( )
24
02
d 2dS xx x x x= + −−
∫∫
( )
24
02
d 2dxx x x x= + −+
∫∫
4
2
33
2
22
0
2
22
2
3 32
x xx
x


= + −+



10
3
=
.
Câu 17: Cho hình phẳng
( )
H
giới hn bởi các đường
2
yx=
,
0y =
,
0
x =
,
4x =
. Đường thẳng
yk=
(
)
0 16
k
<<
chia hình
(
)
H
thành hai phần có diện tích
1
S
,
2
S
(hình v). Tìm
k
để
12
SS=
.
A.
3
44
. B.
4
. C.
3
24
. D.
3
42
.
Li gii
Chn B
Vi
0x
ta có
2
yx=
xy⇔=
.
Khi đó
12
SS=
( ) ( )
16
00
4 24
k
y dy y dy⇔− =
∫∫
16
22
4 24
00
33
k
y yy y yy

⇔− =


64 2
24
33
k kk

⇔=


6 16 0kk k +=
( )( )
2 4 80k kk −=
4
16 8 3
k
k
=
= +
. Do
0 16k<<
nên
4k =
.
Câu 18: Cho hình vuông
OABC
cạnh bằng
4
được chia thành hai phần bi parabol
(
)
P
đỉnh ti
O
. Gi
S
hình phẳng không bị gạch (như hình vẽ). Tính th tích
V
của khối tròn xoay khi
cho phần
S
quay quanh trục
Ox
.
A.
128
5
V
π
=
. B.
128
3
V
π
=
. C.
64
5
V
π
=
. D.
256
5
V
π
=
.
Li gii
Chn D
Ta có parabol
( )
P
có đỉnh
O
và đi qua điểm
( )
4;4B
có phương trình
2
1
4
yx=
.
Khi đó thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng (phần gạch chéo) khi quay quanh trục
Ox
là:
2
4
2
1
0
1
d
4
V xx

=


π
64
5
=
π
.
Th tích khối tr khi quay hình vuông
OABC
quanh cạnh
OC
2
2
V rh=
π
2
.4 .4=
π
64=
π
.
Suy ra thể tích
V
của khối tròn xoay khi cho phần
S
quay quanh trục
Ox
21
VVV=
64
64
5
=
π
π
256
5
=
π
.
Câu 19: Cho hàm s
( )
32
f x x ax bx c=+ ++
có đồ th
( )
C
. Biết rằng tiếp tuyến d của
( )
C
ti đim
A
hoành độ bằng
1
cắt
(
)
C
tại điểm
B
hoành độ bằng 2 (xem hình vẽ). Diện tích hình
phẳng giới hn bi
d
( )
C
(phần gạch chéo) bằng
A.
27
.
4
B.
11
.
2
C.
25
.
4
D.
13
.
2
.
Li gii
Chn A
Vì đ th hàm s
( )
fx
đi qua gốc tọa độ
O
nên ta có
0c =
Ta có:
( )
2
32f x x ax b
=++
,
(
)
12 3
f ab
= ++
,
( )
11f ab =−−
.
Phương trình tiếp tuyến của đồ th m s tại điểm có hoành độ bằng
1
( )( )
2 31 1y ab x ab= ++ + +−−
( )
23 2y ab xa = ++ +
.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ th hàm s
(
)
C
và tiếp tuyến là
( )
32
23 2x ax bx a b x a+ + = ++ +
( )
1
Vì tiếp tuyến ct đ th m s ti đim
2x =
nên ta
842 426 2ab ab a+ + = + +−+
0a⇒=
.
Vậy phương trình tiếp tuyến của
()C
ti đim
1x =
;
( )
32yb x=++
Diện tích hình phẳng giới hn bởi đồ th hàm s
( )
C
ti đim
1x =
và đồ th hàm s
( )
C
( )
2
3
1
32 dS b x x bx x

= + +−

( )
2
3
1
3 2d
xx x
= −+ +
27
4
=
.
Câu 20: Một hình cầu có bán kính
6dm,
người ta ct b hai phần bằng hai mặt phẳng song song và cùng
vuông góc với đường kính để m mặt xung quanh của một chiếc lu chứa nước (như hình vẽ).
Tính th tích
V
mà chiếc lu chứa được, biết mặt phẳng cách tâm mặt cầu
4dm
.
.
A.
( )
3
368
dm
3
V
π
=
. B.
( )
3
192 dmV
π
=
. C.
( )
3
736
dm
3
V
π
=
. D.
( )
3
288 dmV
π
=
.
Li gii
Chn C
Trong hệ trc ta đ
Oxy
, xét đường tròn
( )
C
phương trình
22
36xy+=
. Khi đó nửa phần
trên trục hoành của
( )
C
quay quanh trục hoành tạo ra mặt cầu tâm
O
bán kính bằng
6
.
Mt khác ta tạo hình phẳng
( )
H
giới hn bi na phn trên trục hoành của
( )
C
, trc
Ox
các
đường thẳng
4, 4xx=−=
; sau đó quay
( )
H
quanh trục
Ox
ta được khối tròn xoay chính
chiếc lu trong đề bài.
Ta có
22
36xy+=
2
36yx⇔=±
nửa phần trên trục hoành của
( )
C
2
36yx=
.
Th tích
V
của chiếc lu là
(
)
4
2
2
4
36 dV xx
=
π
( )
4
2
4
36 dxx
=
π
4
3
4
36
3
x
x

=


π
736
3
=
π
( )
3
dm
.
Câu 21: Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?
A.
3= +zi
. B.
3=zi
. C.
23=−+zi
. D.
2= z
.
Li gii
Chn B
Mt s phức có phần thực bằng
0
được gọi là s thun o.
Câu 22: Số phức
z
thỏa mãn
12zi=
được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ bởi điểm?
A.
( )
1; 2Q −−
. B.
( )
1; 2M
. C.
( )
1; 2P
. D.
( )
1; 2N
.
Li gii
Chn B
12 12z iz i= ⇒=+
.
x
y
-4
O
4
Do đó điểm biểu din s phức
z
( )
1; 2
.
Câu 23: Tất cả nguyên hàm của hàm số
( )
1
23
fx
x
=
+
A.
1
ln 2 3
2
xC++
. B.
( )
1
ln 2 3
2
xC
++
. C.
ln 2 3xC++
. D.
1
ln 2 3
ln 2
xC++
.
Li gii
Chọn A
( )
11
d d ln 2 3
23 2
fx x x x C
x
= = ++
+
∫∫
.
Câu 24: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm
( )
'fx
và có một nguyên hàm là
( )
Fx
.
Tìm
( ) ( )
2 ' 1?
I f x f x dx
= ++


A.
( ) ( )
2I F x xf x C=++
. B.
( )
21I xF x x= ++
C.
( ) ( )
2I xF x f x x C= ++ + +
. D.
( ) ( )
2I Fx f x x C= + ++
.
Li gii
Chọn D
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) (
) ( )
2 ' 1 2 ' 12I f x f x dx f x dx f x dx dx F x f x x C= + + = + + = + ++


∫∫
(
) ( )
( )
( )
2 '1 2
fx f x dx Fx fx xC= + + = + ++


.
Câu 25: Cho hàm s
( )
y fx=
là hàm s chn và
( )
( )
2
1.f x xx
=
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
( ) ( ) ( )
10 1ff f= =
. B.
( ) (
) ( )
10 2fff> >−
.
C.
( ) ( ) ( )
201f ff−> >
. D.
(
) (
)
(
)
101
f ff
−≥
.
Li gii
Chn C
Ta có
( )
( )
( )
( )
3 42
11
.
42
f x f x dx x x dx x x C C
= = =−+
∫∫
( ) ( ) ( )
( )
11
0 ;1 ;1 ;2 2.
44
f Cf Cf Cf C= −= = =+
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 0 2.f ff f −= < <
Câu 26: Gọi
( )
( )
2
= ++
x
F x ax bx c e
là nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
2
1
x
fx x e=
. Tính
2S a bc=++
.
A.
3S =
. B.
2S =
. C.
0S =
. D.
4S =
.
Li gii
Chn B
Do
( )
Fx
là nguyên hàm của
( )
fx
nên ta có
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
21
xx
Fx fx ax abxbce x e
= + + ++ =
.
Do đó ta có
11
22 4 22
15
aa
ab b S a bc
bc c
= =


+ =−⇔ =−⇒ = + + =


+= =

.
Câu 27: Cho
3
()
3
x
Fx=
là một nguyên hàm của
()fx
x
. Tính
'( ).
x
f x e dx
A.
2
3 66
x xx
x e xe e C ++
B.
2
66
x xx
x e xe e C
++
C.
2
36
x xx
x e xe e C ++
D.
2
36 6
xx
x xe e C+ ++
Li gii
Chn A
Ta có:
2 32
() ()
'() () '() 3
fx fx
F x x fx x f x x
xx
= ⇔= = =
Do đó
2
'( ). 3 .
xx
f x e dx x e dx
=
∫∫
ta đặt
2
6
3
x
x
du xdx
ux
ve
dv e dx
=
=

=
=
Ta được
22 2
'( ). 3 . 3 6 3 6 6
x x x x x xx
f x e dx x e dx x e xe x e xe e C= = = ++
∫∫
Câu 28: Cho hàm số
( )
fx
thỏa mãn
(
) (
)
( )
2
2
' 1 1 . ''
xf x x f x f x+=


với mọi
x
dương.
Biết
( ) ( )
1 ' 1 1.ff= =
Tính
( )
2
2.
f
A.
( )
2
2 2ln 2 2.f = +
B.
( )
2
2 ln 2 1.f = +
C.
( )
2
2 2ln 2 2.
f
= +
D.
( )
2
2 ln 2 1.f = +
Lời giải
Chọn A
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
2
2
1
' 1 1 .'' ' .'' 1 1xf x x fxf x f x fxf x
x
+= + =−


(do
0x >
).
Lấy nguyên hàm hai vế
( )
1
ta có:
( ) (
) (
)
1
1
. ' 2.
fxf x x C
x
=++
Do
( ) ( )
1 '1 1ff= =
nên từ
( )
1
2 1.C⇒=
Khi đó
( )
( )
( ) (
) (
)
12
.' 1 2 .' 2 23.fxf x x fxf x x
xx
=+− = +−
Lấy nguyên hàm hai vế
( )
3
ta có:
(
) (
)
22
2
2ln 2 4 .
f x x x xC=+ −+
Do
( )
11
f =
nên từ
( )
2
4 2.
C⇒=
Vậy:
( ) ( )
22 2
2ln 2 2 2 2 ln 2 2.fx x x x f= + +⇒ = +
Câu 29: Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho hai điểm
(
)
2;1;1A
,
( )
0; 3; 1B
. Mặt cầu
(
)
S
đường
kính
AB
có phương trình là
A.
( )
2
22
23xy z+− +=
. B.
( ) ( )
22
2
123x yz +− +=
.
C.
( ) ( ) ( )
2 22
1 2 19xy z + ++ =
. D.
( ) ( )
22
2
129x yz +− +=
.
Li gii
Chọn B
Tâm
I
là trung điểm
AB
và bán kính
3R IA= =
.
Vậy:
( ) ( ) ( )
22
2
:1 2 3Sx y z+− +=
.
Câu 30: Trong không gian
Oxyz
, cho tam giác
ABC
với
(1; 2;0), (3; 2; 1), ( 1; 4; 4)AB C −−
. Tập hợp tất
cả các điểm
M
sao cho
22 2
52MA MB MC++ =
A. mặt cầu tâm
( 1; 0; 1)I −−
, bán kính
2r =
. B. mt cu tâm
( 1; 0; 1)I −−
, bán kính
2.r =
C. mặt cầu tâm
(1; 0;1)I
, bán kính
2r =
. D. mặt cầu tâm
(1; 0;1)I
, bán kính
2r =
.
Li gii
Chn C
Gi
(; ;)M xyz
.
Khi đó
22 2
MA MB MC
++
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
22 22 22
222
1 2 3 2(1) 1 4(4)
x y zx y z x y z=−+− ++ +− ++++ ++ +
2 22
3 3 3 6 6 52.
x y z xz
= + + −+
Theo đề:
22 2
52
MA MB MC++ =
2 22
3 3 3 6 6 52 52
x y z xz + + −+=
22 2
( 1) ( 1) 2x yz + +− =
Vậy:
M
thuộc mặt cầu có tâm mặt cầu tâm
(1; 0;1)I
, bán kính
2.r
=
Câu 31: Trong không gian
Oxyz
, cho các vectơ
( )
1; 1;2a =
,
( )
3;0; 1
b =
( )
2;5;1c =
. Ta đ của
vectơ
u abc
=+−

A.
( )
0;6; 6u =
. B.
(
)
6;0; 6
u
=
. C.
(
)
6; 6;0u =
. D.
( )
6;6;0u =
.
Li gii
Chn C
( )
(
)
(
)
1 3 2 ; 1 0 5;2 1 1 6; 6;0u abc= + = + −+ −− =

.
Câu 32: Trong không gian
Oxyz
cho hai điểm
(
)
1;2;3A
,
( )
1;0;1B
. Trọng tâm
G
của tam giác
OAB
có tọa độ
A.
( )
0;1;1
. B.
24
0; ;
33



. C.
( )
0;2;4
. D.
( )
2; 2; 2
−−
.
Li gii
Chn B
Áp dụng công thức tọa đ trọng tâm tam giác ta có
110
0
3
200 2
33
310 4
33
G
G
G
x
y
z
−+
= =
++
= =
++
= =
24
0; ;
33
G



.
Vậy trọng tâm
G
của tam giác
OAB
có tọa đ
24
0; ;
33



.
Câu 33: Trong không gian
Oxyz
, hình chiếu vuông góc của điểm
( )
1; 2; 3A
trên mặt phẳng
(
)
Oyz
A.
( )
0; 2;3M
. B.
( )
1; 0; 3
N
. C.
( )
1;0;0P
. D.
( )
0; 2; 0
Q
.
Li gii
Chn A
Theo lý thuyết ta có: Hình chiếu của đim
(
)
;;M xyz
lên mặt phẳng
( )
Oyz
( )
0; ;M yz
Nên
( )
0; 2;3M
là hình chiếu của đim
( )
1; 2; 3A
trên mặt phẳng
( )
O
yz
.
Câu 34:
Trong không gian
Oxyz
, cho hai vec
(
)
2; 3;1a =
và
( )
1; 4; 2b =−−
. Giá tr của biu thc
.ab

bằng
A.
16
. B.
4
. C.
4
. D.
16
.
Li gii
Chn A
( ) ( )
( )
. 2. 1 3 .4 1. 2 16ab= +− + =

.
Câu 35: Trong không gian
Oxyz
, cho
( )
0; 1; 1A
,
( )
2; 1; 1B −−
,
( )
1; 3; 2C
. Biết rng
ABCD
là hình
bình hành, khi đó tọa độ điểm
D
A.
( )
1; 1; 4D
. B.
2
1; 1;
3
D



. C.
( )
1; 3; 4D
. D.
( )
1; 3; 2D
−−
.
Li gii
Chn A
Gi tọa độ đim
(
)
;;Dxyz
,
( )
2; 2; 2AB =−−

,
( )
1 ;3 ;2DC x y z=−−

ABCD
là hình bình hành nên
AB DC
=
 
. Do đó, ta có hệ sau:
12 1
32 1
22 4
xx
yy
zz
−− = =


−= =


−= =

Vậy tọa độ điểm
( )
1; 1; 4D
.
Câu 36: Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
( ) ( )
(
)
1;2;3, 1;0;2, ;;2A B C xy−−
thẳng hàng. Khi đó
xy
+
bằng
A.
1
xy+=
. B.
17xy+=
. C.
11
5
xy+=
. D.
11
5
xy+=
.
Li gii
Chn A
( ) ( )
2; 2;5 , 1; 2;1AB AC x y= =+−
 
.
, , ABC
thẳng hàng
, AB AC
 
cùng phương
3
1 21
5
1
8
2 25
5
x
xy
xy
y
=
+−
= = ⇒+=
=
.
Câu 37: Trong không gian
Oxyz
, cho
( )
3;1; 2A
, tọa độ điểm
'A
đối xứng với điểm
A
qua trục
Oy
A.
( )
3;1;2−−
. B.
( )
3; 1; 2
. C.
( )
3;1; 2
. D.
( )
3; 1; 2−−
.
Li gii
Chn C
Gi
( )
; ; , '( '; '; ')Axyz A x y z
là điểm đối xứng với điểm A qua trục
Oy
.
Đim
'A
đối xứng với điểm
A
qua trục
Oy
nên
'
'
'
xx
yy
zz
=
=
=
. Do đó
( )
' 3;1; 2A =
.
Câu 38: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( )
3;1; 2A
,
(
)
2; 3; 5
B
. Đim
M
thuộc đon
AB
sao
cho
2MA MB=
, tọa độ điểm
M
A.
7 58
;;
333
M



. B.
( )
4; 5; 9M
. C.
3 17
; 5;
22
M



. D.
( )
1; 7;12M
.
Li gii
ChnA
Gi
( )
;;M xyz
.
Vì điểm
M
thuộc đoạn
AB
sao cho
2MA MB=
2AM MB⇒=
 
( )
( )
( )
7
3
3 22
5 7 58
123 ; ;
3 3 33
2 25
8
3
x
xx
y yy M
zz
z
=
−=

= −− =




+=
=
.
Vậy
7 58
;;
333
M



.
Câu 39: Trong không gian
Oxyz
, cho tam giác
ABC
vi
( )
1;2;5A
,
( )
3;4;1B
,
( )
2;3; 3C
. Gi
G
trọng tâm tam giác
ABC
M
điểm thay đổi trên
( )
mp Oxz
. Đội
GM
ngắn nht bằng
A.
2
. B.
3
. C.
4
. D.
1
.
Li gii
Chn B
Do
G
trọng tâm tam giác
ABC
( )
2;3;1G
.
Gi
H
là hình chiếu vuông góc của
G
trên mt phẳng
( )
Oxz
, khi đó
GH
khoảng cách t
G
đến mặt phẳng
(
)
Oxz
, ta có:
( )
(
)
,3GH d G Oxz= =
Vi
M
điểm thay đi trên mt phẳng
( )
Oxz
, ta có
3GM GH≥=
, do đó
GM
ngắn nht
MH
.
Vậy độ dài
GM
ngắn nht bằng
3
.
Câu 40: Trong không gian
Oxyz
, cho véc
( ) ( )
1;1; 2 , 1; 0;u vm=−=

. Tìm tt c giá tr của
m
để góc
giữa
u
,
v
bằng
45°
.
A.
2m
=
. B.
26m
= ±
. C.
26m
=
. D.
26m = +
.
Li gii
Chn C
+
( ) ( )
2
, 45 cos ,
2
uv uv= °⇔ =
 
.2
2
.
uv
uv
⇔=


2
12 1
2
6. 1
m
m
⇔=
+
( )
2
3 1 12
mm +=
22
12 0
3 314 4
m
m mm
−≥
+= +
2
1
2
4 20
m
mm
−=
26m⇔=
.
Vậy:
26m =
.
Câu 41: Trong không gian
Oxyz
, cho nh thang cân
ABCD
các đáy ln t là
,AB CD
. Biết
( )
3;1; 2A
,
(
)
1; 3; 2B
,
( )
6; 3; 6C
( )
;;D abc
vi
;;abc R
. Tính
T abc=++
.
A.
3T =
. B.
1
T =
. C.
3T =
. D.
1T =
.
Li gii
Chn A
Cách 1: Ta có
( ) ( )
4; 2; 4 ; 6; 3; 6AB CD a b c
= =+−−
 
Do
ABCD
là hình thang cân nên
CD k AB=
 
( )
kR
hay
636
21 2
abc+−−
= =
2
a
b
ca
=
=
. Vậy
;;
2
a
Da a



.
Lại có
22
AC BD AC BD=⇔=
( ) (
)
(
)
2
22 2
22
9 28 1 3 2
2
a
aa

++=+ + + ++


2
6
4 60 0
10
a
aa
a
=
⇔+−=
=
Vi
( )
10 10;5;10aD=−⇒
. Kim tra thy:
AB CD
=
 
(Không thỏa mãn
ABCD
là hình thang
cân).
Vi
( )
6 6;3;6aD= −−
. Kiểm tra thấy:
( )
3.AB CD−=
 
( thỏa mãn).
Do đó,
636 3T abc= ++=−−=
.
Cách 2
Ta có
( ) (
)
4; 2; 4 ; 6; 3; 6AB CD a b c= =+−−
 
Do
ABCD
là hình thang cân nên
;AB CD
 
ngược hướng hay
636
0
21 2
abc
+−−
= = <
2
6
a
b
ca
a
=
⇔=
>−
. Vậy
;;
2
a
Da a



vi
6a
>−
.
Lại có
22
AC BD AC BD=⇔=
( )
( )
( )
2
22 2
22
9 28 1 3 2
2
a
aa

++=+ + + ++


2
6
4 60 0
10( )
a
aa
aL
=
⇔+−=
=
Vi
( )
6 6;3;6aD= −−
.
Do đó,
636 3T abc= ++=−−=
.
Cách 3
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
AB
( cũng mp trung trực của đoạn
thẳng
CD
)
Gi mp
( )
α
là mặt phẳng trung trực của đoạn thng
AB
, suy ra mp
( )
α
đi qua trung điểm
( )
1;2;0I
của đoạn thẳng
AB
một vectơ pháp tuyến là
( )
1
2;1;2
2
n AB= =

, suy ra
phương trình của mp
(
)
α
:
( )
: 2 2z 0xy
α
++ =
.
,CD
đối xứng nhau qua mp
( )
α
nên
( )
6; 3; 6 6; 3; 6 3D a b c T abc−− = = =⇒=++=
Câu 42: Trong không gian
Oxyz
, cho tam giác
ABC
vi
( )
1;2;5A
,
( )
3;4;1B
,
( )
2;3; 3C
. Gi
G
trọng tâm tam giác
ABC
M
điểm thay đổi trên
( )
mp Oxz
. Đội
GM
ngắn nht bằng
A.
2
. B.
3
. C.
4
. D.
1
.
Li gii
Chn B
Do
G
trọng tâm tam giác
ABC
( )
2;3;1G
.
Gi
H
hình chiếu vuông góc của
G
trên mặt phẳng
( )
Oxz
, khi đó
GH
khoảng cách từ
G
đến mặt phẳng
( )
Oxz
, ta có:
( )
( )
,3GH d G Oxz= =
Vi
M
điểm thay đi trên mt phẳng
( )
Oxz
, ta có
3GM GH≥=
, do đó
GM
ngắn nht
MH
.
Vậy độ dài
GM
ngắn nht bằng
3
.
Câu 43: Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
( ): 3 0P xyz+ +=
,
()P
đi qua điểm nào dưới đây?
A.
(
)
1;1; 1M
. B.
( )
1; 1;1N −−
. C.
( )
1;1;1P
. D.
(
)
1;1;1
Q
.
Li gii
Chn B
Loi A, C, D vì thay ta đ điểm
( )
1;1; 1M
,
( )
1;1;1P
,
( )
1;1;1Q
vào pt mặt phẳng
( )
P
ta
thấy không thỏa mãn.
Thay tọa đ điểm
( )
1; 1;1N −−
vào phương trình mặt phẳng
( )
P
ta thấy:
1113 0−−+ =
tha
mãn. Tức là mặt phẳng
( )
P
đi qua điểm
( )
1; 1;1N −−
.
Câu 44: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( ) ( )
3;1; 1 , 2; 1;4AB−−
. Phương trình mặt phẳng
(
)
OAB
A.
3 14 5 0
x yz+ +=
. B.
3 14 5 0
x yz +=
. C.
3 14 5 0
x yz+ −=
. D.
3 14 5 0
x yz −=
.
Li gii
Chn D
Ta có:
( ) ( ) ( )
3;1;1, 2;1;4 ; 3;14;5
OA OB OA OB

= = = −−

   
là VTPT của
( )
OAB
Mặt phẳng
( )
OAB
có VTPT là
(
)
3 ; 14 ; 5−−
và đi qua
( )
0;0;0O
nên có phương trình:
3 14 5 0x yz −=
.
Câu 45: Trong không gian với h ta đ
Oxyz
, gọi
(
)
α
là mt phẳng đi qua điểm
( )
2; 1;1A
song
song với mặt phẳng
( )
:2 3 2 0Q xy z−+ +=
. Phương trình mặt phẳng
( )
α
là:
A.
4 2 6 80xyz + +=
. B.
2 3 80xy z+ −=
. C.
2 3 80xy z+ +=
. D.
4 2 6 80
xyz + −=
.
Li gii
Chn B
( )
α
song song với
(
)
:2 3 2 0Q xy z
−+ +=
nên mặt phẳng
(
)
α
có phương trình dạng
230xy zd−+ +=
vi
2
d
.
( )
α
đi qua điểm
( )
2; 1;1A
nên
( )
2.2 1 3.1 0 8dd−− + + = =
(thỏa mãn
2
d
).
Vậy
( )
α
có phương trình là
2 3 80
xy z+ −=
.
Câu 46:
Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
(1; 2;3), (3;0; 1)AB−−
. Mt phẳng trung trực ca đon thẳng
AB
có phương trình
A.
10xyz+ +=
. B.
2 10xy z+ +=
. C.
2 10xy z +=
. D.
2 70xy z+ +=
.
Li gii
Chn B
Gi
M
là trung điểm
AB
thì
2; 1;1M
;
2;2; 4AB 

.
Mặt phẳng trung trực của
AB
đi qua
M
nhn
AB

làm vectơ pháp tuyến có phương trình:
( ) ( )
(
)
2 2 2 1 4 1 0 2 1 0.x y y xy z + + = + +=
Câu 47: Trong không gian
Oxyz
, cho
( )
2;0;0A
,
( )
0; 4; 0B
,
( )
0;0;6C
,
(
)
2; 4; 6
D
. Gi
(
)
P
là mt
phẳng song song với
(
)
mp ABC
,
( )
P
cách đều
D
và mt phẳng
( )
ABC
. Phương trình của
(
)
P
A.
6 3 2 24 0xyz
++−=
. B.
6 3 2 12 0xyz++−=
.
C.
6320xyz++=
. D.
6 3 2 36 0xyz++−=
.
Li gii
Chn A
Phương trình
( )
mp ABC
:
1
246
xyz
++=
6 3 2 12 0xyz ++−=
.
Mặt phẳng
( )
P
song song với mặt phẳng
( )
ABC
nên phương trình có dạng:
632 0x y zd+ + +=
,
12d ≠−
.
Mặt phẳng
( )
P
cách đều
D
và mặt phẳng
( )
ABC
( ) ( )
( )
( )
( )
,,
d ABC P d D P⇔=
( )
( )
( )
( )
,,dA P dD P⇔=
222 222
6.2 6.2 3.4 2.6
632 632
dd+ +++
⇔=
++ ++
12 36dd⇔+ =+
24d⇔=
(thỏa mãn).
Vậy phương trình mặt phẳng
( )
P
:
6 3 2 24 0xyz++−=
.
Câu 48: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
đi qua
( )
2;1; 3
M
, biết
( )
α
ct trc
,,Ox Oy Oz
lần lượt ti
,,ABC
sao cho tam giác
ABC
nhn
M
làm trc tâm
A.
2 5 6 0.
x yz+ +−=
B.
2 6 23 0.xy z+− =
C.
2 3 14 0.xy z+− =
D.
3 4 3 1 0.
xyz+ + −=
Li gii
Chn C
Gi s
( )
( ) ( )
;0;0 , 0; ;0 , 0;0; , 0.A a B b C c abc
Khi đó mặt phẳng
( )
α
có dạng:
1
xyz
abc
++=
.
Do
( ) ( )
213
11
M
abc
α
+−=
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2 ;1; 3 , 2;1 ; 3 , 0; ; , ;0;AM a BM b BC b c AC a c= = −− = =
   
Do
M
là trực tâm tam giác
ABC
nên:
( )
3
. 0 30
2
3
230
.0
2
bc
AM BC b c
c
ac
a
BM AC
=
= −− =

⇔⇔

−−=
=
=
 
 
Thay
( )
2
vào
( )
1
ta có:
4 1 3 14
1 7, 14.
33 3
c ab
c cc
=⇔= = =
Do đó
( )
3
: 1 2 3 14 0.
7 14 14
xy z
xy z
α
+ = +− =
Câu 49: Trong không gian
Oxyz
, cho bốn điểm
( )
1;1;1A
,
( )
1; 0; 2B −−
,
( )
2; 1; 0C
,
(
)
2; 2;3D
. Hi
bao nhiêu mặt phẳng song song với
,AB CD
cắt 2 đường thẳng
,
AC BD
lần lượt ti
,MN
thỏa mãn
2
2
1
BN
AM
AM

=


.
A.
0
. B.
2
. C.
3
. D.
1
.
Li gii
Chn D
Cách 1:
Ta d dàng chứng minh được 4 đim
,,,ABC D
to thành t din. Gi
()
α
là mt phng cn tìm,ta
xác định mặt phẳng
()
α
như sau:
Xét
()
α
( )
ABC
( )
( )
//
M AB
AB
α
α
∈∩
giao tuyến của
()
α
( )
ABC
Mx
trong đó
//Mx AB
,
Mx AB K
∩=
Tương tự ta có giao tuyến của
()
α
( )
BCD
Ky
trong đó
//Ky CD
,
Ky BD N∩=
(
)
()
KMN
α
Ta có:
BN BK AM
BD BC AC
= =
30
5
6
BN AM BN BD
BD AC AM AC
=⇒===
Vậy từ giả thiết:
2
2
1
BN
AM
AM

=


2
66AM AM AC =⇒==
.
M
điểm đối xứng của
C
qua
A
.
Vậy chỉ có 1 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2:
Ta d dàng chứng minh được 4 điểm
,,,ABCD
to thành t din.
mặt phẳng
()
α
song song với
,AB CD
cắt 2 đường thẳng
,AC BD
lần lượt ti
,MN
nên
theo định lí Talet trong không gian ta có:
30
5
6
BN BD
AM AC
= = =
Vậy từ giả thiết:
2
2
1
BN
AM
AM

=


2
66AM AM AC =⇒==
.
M
điểm đối xứng của
C
qua
A
.
Vậy chỉ có 1 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 50: Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
z 18 0ax by c++−=
cắt ba trc to độ ti
,,ABC
sao cho
tam giác
ABC
có trọng tâm
( )
1; 3;2G −−
. Giá trị
ac+
bằng
A.
3
. B.
5
. C.
5
. D.
3
.
Li gii
Chn D
Gi s mặt phẳng
( )
: z 18 0P ax by c++−=
cắt 3 trục to độ
,,
Ox Oy Oz
lần lượt ti
,,
ABC
.
Do
( )
;0;0
A
A Ox A x∈⇒
;
( )
0; ;0
B
B Oy B y∈⇒
;
( )
0;0;
C
C Oz C z∈⇒
.
( )
1; 3;2G −−
là trọng tâm tam giác
ABC
nên:
( ) ( ) ( )
00
1
3
3
00
3 9 3;0;0 , 0; 9;0 , 0;0;6 .
3
6
00
2
3
A
A
B
B
C
C
x
x
y
yA B C
z
z
++
=
=
++

=−⇔ =−⇒


=
++
=
Do
(
)
,,ABC P
nên mp
( )
P
có phương trình:
1 6 2 3 18 0
3 96
x yz
xyz+ + = ⇔− + =
−−
.
Suy ra:
6; 3ac=−=
. Vậy
3ac+=
.
ĐỀ ÔN TP KIM TRA GIA HC K II
MÔN: TOÁN 12 ĐỀ S: 10
Câu 1: Tính tích phân
1
3
1
(4 3)dI xx
=
.
A.
4I =
. B.
6
I
=
. C.
6I =
. D.
4
I =
.
Câu 2: Nếu
( )
1
0
d4fx x=
thì
( )
1
0
2dfx x
bằng
A.
16
. B.
4
. C.
2
. D.
8
.
Câu 3: Cho
( )
3
2
d2
fx x=
;
( )
3
2
d3gt t=
. Giá trị của
(
) ( )
3
2
3 2dA f x gx x

=

bằng
A.
5
. B.
1
. C.
12
. D.
0
.
Câu 4: Cho m số
( )
y fx
=
đạo hàm liên tục trên đoạn
[ ]
1;1
thỏa mãn
(
)
1
1
d5fxx
=
( )
14f −=
. Tìm
( )
1
f
.
A.
( )
11f
=
. B.
(
)
19f
=
. C.
( )
11f =
. D.
( )
19f =
.
Câu 5: Tính tích phân:
2
1
1
d ln 2, ,
x
I x a b ab
x
+
==+∈
. Tính
2
ab
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
1
.
Câu 6: Xét
2
2
0
ed
x
xx
, nếu đặt
2
ux=
thì
2
2
0
ed
x
xx
bằng
A.
2
0
2 ed
u
u
. B.
4
0
2 ed
u
u
. C.
2
0
1
ed
2
u
u
. D.
4
0
1
ed
2
u
u
.
Câu 7: Cho
(
)
4
0
d1
fx x=
. Khi đó
( )
1
0
4dI f xx=
bằng:
A.
1
4
I =
. B.
1
4
I
=
. C.
2I =
. D.
1
2
I
=
.
Câu 8: Gi s
2
2
0
1
d ln 5 ln 3; ,
43
x
x a b ab
xx
=+∈
++
. Tính
.P ab=
.
A.
4P
=
. B.
8
P =
. C.
6P =
. D.
5P =
.
Câu 9: Cho hàm s
( )
y fx=
có đạo m liên tục trên đon
[ ]
0;5
( )
5 10
f =
,
( )
5
0
d 30xf x x
=
. Tính
( )
5
0
dfx x
.
A.
20
. B.
20
. C.
70
. D.
30
.
Câu 10: Cho hàm số
( )
fx
( )
00f =
( )
2
cos cos 2 ,fx x x R
= ∀∈
. Khi đó
( )
0
dfx x
π
bằng
A.
1042
225
. B.
208
225
. C.
242
225
. D.
149
225
.
Câu 11: Din tích hình phẳng giới hn bi hai đường thẳng
0x =
,
πx =
, đ th hàm s
cosyx=
và trc
Ox
A.
π
0
cos dS xx=
. B.
π
2
0
cos d
S xx
=
. C.
π
0
cos dS xx=
. D.
π
0
cos dS xx
π
=
Câu 12: Tính th tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng
( )
H
được gii hn bi các
đường
( )
y fx=
, trục
Ox
và hai đường thẳng
xa=
,
xb=
xung quanh trục
Ox
.
A.
( )
d
b
a
fx x
π
. B.
(
)
2
d
b
a
f xx
. C.
( )
2
d
b
a
f xx
π
. D.
( )
2
2d
b
a
f xx
π
.
Câu 13: Tính din tích hình phẳng giới hn bởi các đường
2
yx=
,
23yx= +
.
A.
16
3
. B.
109
6
. C.
32
3
. D.
91
6
.
Câu 14: Cho hình phẳng
( )
H
giới hn bi các đường
1yx=
, trục hoành đường thng
4x =
. Khi
tròn xoay tạo thành khi quay
( )
H
quanh trục hoành có th tích
V
bằng bao nhiêu?
A.
7
6
V =
. B.
2
7π
6
V =
. C.
7π
6
V =
. D.
7π
3
V
=
Câu 15: Mt ô tô đang chy vi vn tc
20 m/s
thì người lái xe phát hiện có hàng rào chắn ngang đường
phía trưc cách xe
45 m
(tính t đầu xe tới hàng rào) nên người lái đạp phanh. Từ thời điểm
đó, xe chuyển động chậm dần đều với vn tc
( ) ( )
5 20 m/svt t=−+
, trong đó
t
thi gian
được tính t lúc người lái đạp phanh. Khi xe dừng hẳn, khoảng cách t xe đến hàng rào bao
nhiêu?
A.
4 m
. B.
5 m
. C.
3 m
. D.
6 m
.
Câu 16: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
(
)
y fx=
trục hoành gồm hai phần, phần nằm phía
trên trục hoành có diện tích
1
5
12
S =
phần nằm phía dưới trục hoành có diện tích
2
8
3
S =
. Tính
( )
1
0
31I f x dx=
.
A.
5
3
I =
. B.
3
4
I =
. C.
37
36
I =
. D.
1
4
I =
.
Câu 17: Cho
( )
H
hình phẳng giới hạn bởi
1
4
cung tròn có bán kính
2R =
, đường cong
4yx=
và trục hoành (miền tô đậm như hình vẽ). Tính thể tích
V
của khối tạo thành khi cho hình
( )
H
quay quanh trục
Ox
.
A.
77
6
V
π
=
. B.
53
6
V
π
=
. C.
67
3
V
π
=
. D.
40
3
V
π
=
.
Câu 18: Ông An xây dựng một sân bóng đá mini hình chữ nht có chiu rộng 30m và chiều dài
50m
. Đ
giảm bt kinh phí cho vic trồng cỏ nhân tạo, ông An chia sân bóng ra làm hai phần (tô màu và
không tô màu) như hình vẽ.
.
- Phần tô màu gồm hai min din tích bằng nhau và đường cong
AIB
là một parabol có đỉnh
.I
.
- Phn tô màu đưc trng c nhân to vi giá
130
nghìn đồng/
2
m
và phần còn lại đưc trồng cỏ
nhân to với giá
90
nghìn đồng/
2
m
.
Hỏi ông An phải tr bao nhiêu tiền để trồng cỏ nhân tạo cho sân bóng?
A.
165
triệu đồng. B.
151
triệu đồng. C.
195
triệu đồng. D.
135
triệu đồng.
Câu 19: Chướng ngại vt “tường cong” trong một sân thi đấu X-Game mt khối bê tông có chiều cao
t mt đt lên
3, 5 m
. Giao ca mt ờng cong mặt đt là đon thẳng
2mAB =
. Thiết din
của khối ờng cong cắt bi mt phẳng vuông góc với
AB
ti
A
một hình tam giác vuông
cong
ACE
vi
4mAC =
,
3, 5 mCE =
và cạnh cong
AE
nm trên một đường parabol. Tại v
trí
M
là trung điểm ca
AC
thì ờng cong có độ cao
1m
(xem hình minh họa bên). Tính thể
tích bê tông cần s dụng để tạo nên khối tường cong đó.
A.
3
9,75m
. B.
3
10,5m
. C.
3
10m
. D.
3
10,25m
.
Câu 20: Cho hàm s
42
3yx x m=−+
có đồ th
( )
m
C
(
m
là tham s thc). Gi s
( )
m
C
ct trc
Ox
ti 4 đim phân bit. Gi
12
,SS
là din tích của hai hình phẳng nằm i trc
Ox
3
S
là din
A
B
C
M
E
2m
1m
3, 5 m
4m
tích của hình phẳng nằm trên trc
Ox
được to bi
( )
m
C
vi trc
Ox
. Biết rằng tồn tại duy nhất
giá trị ca
a
m
b
=
(vi
,*ab
a
b
ti giản) để
12 3
SS S+=
. Giá tr ca
2ab
bằng
A.
3
. B.
4
. C.
6
. D.
2
.
Câu 21: Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, điểm biểu diễn của số phc
23zi=
có ta đ
A.
(
)
2; 3
. B.
( )
3; 2
. C.
( )
2;3
. D.
( )
3; 2
.
Câu 22: Các s thc
x
,
y
thỏa mãn
34
x yi i
+=
, với
i
là đơn vị ảo là
A.
3, 4xy= =
. B.
4, 3xy=−=
. C.
3, 4xy=−=
. D.
4, 3xy
= =
.
Câu 23: H các nguyên hàm của hàm số
( )
3
e1
x
fx= +
A.
3
3e
x
C+
.
B.
3
1
e
3
x
C+
. C.
3
3e
x
xC++
. D.
3
1
e
3
x
xC++
.
Câu 24: Cho
(
)
( )
df x x Fx C
= +
, khi đó
( )
2 1dfx x
+
A.
( )
21Fx C++
. B.
(
)
1
21
2
Fx C++
. C.
( )
221Fx C++
. D.
(
)
1
2
Fx C
+
.
Câu 25: Tìm nguyên hàm của hàm số
(
)
sin
1 3cos
x
fx
x
=
+
.
A.
( )
1
d ln 1 3cos
3
fxx x C=++
. B.
( )
d ln 1 3cosfx x x C=++
.
C.
( )
d 3ln 1 3cosfxx x C=++
. D.
( )
1
d ln 1 3cos
3
fx x x C
=++
.
Câu 26: H nguyên hàm của hàm số
( )
( )
4 1 lnfx x x= +
A.
22
2 ln 3x xx
+
. B.
22
2 lnx xx+
. C.
22
2 ln 3x xxC++
. D.
22
2 lnx xx C++
.
Câu 27: Biết
( )
( )
( )
52 51
50
12 12
12 d
xx
x xx C
ab
−−
−= +
. Giá tr ca
ab
bằng
A.
0
.
B.
4
. C.
1
. D.
4
.
Câu 28: Cho hàm s
( )
fx
đo hàm
( )
( )
1
ln 1
fx
xx
=
,
( ) { }
0; \xe +∞
( )
2
ln 6fe
=
,
( )
2
3fe =
. Giá tr ca
( ) ( )
13
fe fe
+
bằng
A.
2ln 2
. B.
3ln 2 1+
. C.
ln 2 3+
D.
3ln 2 3+
.
Câu 29: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( )
2;1; 0A
,
( )
2; 1; 2B
. Phương trình của mt cu
đường kính
AB
A.
( )
2
22
1 24xy z++− =
. B.
( )
2
22
16xy z+ +− =
.
C.
( )
2
22
1 24xy z
++− =
. D.
(
)
2
22
16
xy z
++− =
.
Câu 30: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
1; 1; 1A −−
hai mặt phng
( )
:2 2 1 0P xy z + −=
( )
:2 2 5 0Q xy z
+ +=
. bao nhiêu mt cầu
( )
S
đi qua
A
và tiếp xúc với hai mt phẳng
(
)
P
,
( )
Q
?
A.
2
. B.
0
. C.
1
. D. Vô s.
Câu 31: Trong không gian
Oxyz
cho hai điểm
( ) ( )
1; 2; 3 , 1; 0;1 .AB
Trọng tâm
G
ca tam giác
OAB
có tọa độ
A.
( )
0;1;1 .
B.
24
0; ; .
33



C.
( )
0; 2; 4 .
D.
( )
2; 2; 2 .−−−
Câu 32: Trong không gian với h ta đ Oxyz, cho ba vectơ
( ) ( ) ( )
2; 1;0 ; 1; 2;3 ; 4; 2; 1a bc=−= =

các mệnh đề sau:
( )
1
ab
.
(
)
2
.5
bc=
.
(
)
3
a
cùng phương với
c
.
( )
4
14b
=
.
Trong bốn mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng?
A.
2
. B.
4
. C.
3
. D.
1
.
Câu 33: Trong không gian với h ta đ
Oxyz
, cho hai điểm
( )
2;1;1A
,
( )
1; 2; 3B
. Tìm ta đ điểm
M
sao cho
2AM BM=
 
.
A.
13
; ;2 .
22
M



B.
( )
1; 3; 4 .M
C.
( )
4;3;5 .M
D.
( )
5; 0; 1 .
M
Câu 34: Trong không gian với h ta đ Oxyz, hãy tính góc giữa hai vectơ
( )
1; 2; 2a =
( )
1; 1; 0
b =−−
.
A.
(
)
, 120ab = °
. B.
( )
, 45ab
= °
. C.
( )
, 60ab
= °
. D.
(
)
, 135ab = °
.
Câu 35: Trong không gian tọa đ
Oxyz
, cho hình hộp
.ABCD A B C D
′′
. Biết tọa độ các đnh
( )
3; 2;1A
,
( )
4; 2; 0C
,
( )
2;1;1B
,
( )
3; 5; 4D
. Tọa độ điểm
A
A.
( )
3; 3;1 .A
B.
( )
3; 3; 3 .A
−−
C.
( )
3; 3; 3 .A
−−−
D.
( )
3; 3; 3 .A
Câu 36: Trong không gian tọa đ
Oxyz
, cho
3
điểm
( )
1; 2; 1A
,
( )
2; 1; 3B
,
( )
4;7;5C
. Gọi đim
( )
;;D abc
là chân đường phân giác hạ t đỉnh
B
xuống cạnh
AC
. Tính
abc++
.
A.
4
. B.
22
.
3
C.
3
. D.
5
.
Câu 37: Trong không gian
Oxyz
, cho các điểm
( )
1; 2; 1A
,
( )
2; 3; 4B
( )
3; 5; 2C
. Tìm ta đ tâm ca
đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
A.
5
; 4;1
2
I



. B.
37
; 7;0
2
I



. C.
27
;15; 2
2
I



. D.
73
2; ;
22
I



.
Câu 38: Trong không gian với h ta đ
Oxyz
, cho ba đim
(
)
1; 2; 0
A
,
( )
2;1; 2B
,
( )
1; 3;1C
. Bán kính
đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
A.
3 10
. B.
3 10
5
. C.
10
5
. D.
10
.
Câu 39: Trong không gian
Oxyz
, cho
( )
2; 1; 1A
,
( )
3; 0;1B
,
( )
2; 1; 3C
D
nm trên tia
Oy
. Th ch
t din
ABCD
bằng
7
. Tọa độ ca
D
A.
(
)
0; 10;0
D
. B.
( )
0;11; 0D
.
C.
( )
0; 10;0D
hoc
( )
0;11; 0D
. D.
( )
0; 11; 0D
hoc
( )
0;10; 0
D
.
Câu 40: Trong không gian với h ta đ
Oxyz
, cho hai điểm
(
)
2; 3;1
A
( )
5; 6; 2B
. Đường thẳng
AB
ct mt phẳng
( )
Oxz
ti đim
M
. Tính t s
AM
BM
.
A.
1
2
AM
BM
=
. B.
2
AM
BM
=
. C.
1
3
AM
BM
=
. D.
3
AM
BM
=
.
Câu 41: Trong không gian
Oxyz
, cho các điểm
( )
0;4 2;0A
,
( )
0;0;4 2B
, điểm
( )
C Oxy
tam giác
OAC
vuông tại
C
, hình chiếu vuông góc của
O
trên
BC
là đim
H
. Khi đó điểm
H
luôn thuộc đường tròn cố định có bán kính bằng
A.
22
. B.
4
. C.
3
. D.
2
.
Câu 42: Trong không gian
Oxyz
, cho hình thang cân
ABCD
các đáy ln t
,AB CD
. Biết
( )
3;1; 2A
,
( )
1;3;2B
,
( )
6;3;6C
( )
;;Dabc
vi
;;abc
. Tính
T abc=++
.
A.
3T =
. B.
1T =
. C.
3T =
. D.
1T =
.
Câu 43: Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
( ): 3 0P xyz+ +=
,
()P
đi qua điểm nào dưới đây?
A.
( )
1;1; 1M
. B.
( )
1; 1;1N −−
. C.
( )
1;1;1P
. D.
( )
1;1;1Q
.
Câu 44: Trong không gian với h tọa độ
Oxyz
, mặt phẳng toạ độ
( )
Oyz
có phương trình là
A.
0
=
x
. B.
0+=yz
. C.
–0=yz
. D.
0=y
.
Câu 45: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( ) ( )
3;1; 1 , 2; 1;4AB−−
. Phương trình mặt phẳng
( )
OAB
vi
O
là gốc tọa độ
A.
3 14 5 0x yz+ +=
. B.
3 14 5 0x yz +=
. C.
3 14 5 0x yz
+ −=
. D.
3 14 5 0x yz
−=
.
Câu 46: Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
()
P
đi qua điểm
(1; 0; 2)A
vuông góc với đường thẳng
12
:
213
−+
= =
xy z
d
có phương trình là
A.
2 3 80+ +=
xy z
. B.
2 3 80+ −=xy z
. C.
2 3 80+ +=xy z
. D.
2 3 80+ −=xy z
.
Câu 47: Trong không gian với h trc ta đ
Oxyz
, cho hai mặt phẳng
: 10xyz
α
+ +=
và
( )
:2 2 2 0x my z
β
+ + −=
. Tìm
m
để
(
)
α
song song với
( )
β
.
A. Không tồn ti
m
.
B.
2m =
. C.
2m =
. D.
5m =
.
Câu 48: Trong không gian với h ta đ
Oxyz
, cho ba điểm
( )
1;0;0A
,
( )
0; 2;0B
,
( )
0;0; 5C
. Vectơ
nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
ABC
?
A.
1
11
1; ;
25
n

=


. B.
2
11
1; ;
25
n

=−−


. C.
3
11
1; ;
25
n

=


. D.
4
11
1; ;
25
n

=


.
Câu 49: Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
z 18 0ax by c++−=
ct ba trc to độ ti
,,ABC
sao cho
tam giác
ABC
có trọng tâm
( )
1; 3;2
G −−
. Giá tr
ac+
bằng
A.
3
. B.
5
. C.
5
. D.
3
.
Câu 50: Trong không gian
Oxyz
, mặt phng
( )
: 27 0P ax by cz++− =
qua hai điểm
(
)
3;2;1A
,
( )
3;5;2B
và vuông góc với mt phẳng
( )
:3 4 0Q xyz+++=
. Tính tổng
S abc=++
.
A.
2S =
. B.
12
S =
. C.
4S =
. D.
2S =
.
---------- HT ----------
NG DN GII CHI TIT
Câu 1: Tính tích phân
1
3
1
(4 3)dI xx
=
.
A.
4I =
. B.
6I =
. C.
6I =
. D.
4I
=
.
Li gii
Chn B
( )
1
3 41
1
1
(4 3)d 3 2 4 6
I x xx x
= = =−− =
.
Câu 2: Nếu
(
)
1
0
d4fx x=
thì
( )
1
0
2d
fx x
bằng
A.
16
. B.
4
. C.
2
. D.
8
.
Li gii
Chn D
( ) ( )
11
00
2 d 2 d 2.4 8fx x fx x= = =
∫∫
.
Câu 3: Cho
( )
3
2
d2fx x=
;
( )
3
2
d3gt t=
. Giá trị của
( ) (
)
3
2
3 2d
A f x gx x

=

bằng
A.
5
. B.
1
. C.
12
. D.
0
.
Li gii
Chn C
( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 33
2 22
3 2 d 3 d 2 d 3.2 2. 3 12A f x gx x f x x gx x= = = −=


∫∫
.
Câu 4: Cho m số
( )
y fx=
đạo hàm liên tục trên đoạn
[ ]
1;1
thỏa mãn
( )
1
1
d5fxx
=
( )
14f −=
. Tìm
(
)
1f
.
A.
( )
11
f =
. B.
( )
19f =
. C.
( )
11f =
. D.
( )
19f =
.
Li gii
Chn D
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1
d 5 1 15 15 1549fxx f f f f
= −= =+ −=+=
.
Câu 5: Tính tích phân:
2
1
1
d ln 2, ,
x
I x a b ab
x
+
==+∈
. Tính
2ab
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
1
.
Li gii
Chn B
( ) ( )
2
2
1
1
1
d ln 2 ln 2 1 ln1 1 ln 2
x
I xx x
x
+
= = + =+ −+ =+
.
Vậy
1, 1 2 1a b ab= =⇒− =
.
Câu 6: Xét
2
2
0
ed
x
xx
, nếu đặt
2
ux=
thì
2
2
0
ed
x
xx
bằng
A.
2
0
2 ed
u
u
. B.
4
0
2 ed
u
u
. C.
2
0
1
ed
2
u
u
. D.
4
0
1
ed
2
u
u
.
Li gii
Chn D
Đặt
2
1
2
2
u x du xdx xdx du
=⇒= =
0 0; 2 4x ux u=⇒= =⇒=
2
24
00
1
e d ed
2
xu
xx x⇒=
∫∫
.
Câu 7: Cho
(
)
4
0
d1
fx x=
. Khi đó
( )
1
0
4dI f xx=
bằng:
A.
1
4
I =
. B.
1
4
I
=
. C.
2I
=
. D.
1
2
I
=
.
Li gii
Chn B
Xét
( )
1
0
4dI f xx=
:
Đặt
44
t x dt dx= ⇒=
.
0 0; 1 4x tx t= ⇒= =⇒=
.
( ) ( ) ( )
14
00
1 11
4 d dt . 1
4 44
I f x x ft
⇒= = = =
∫∫
Câu 8: Gi s
2
2
0
1
d ln 5 ln 3; ,
43
x
x a b ab
xx
=+∈
++
. Tính
.P ab=
.
A.
4P =
. B.
8P =
. C.
6P =
. D.
5P =
.
Li gii
Chn C
( )( )
( )
2
11
13
431313
x x AB
x ABx AB
xxxxxx
−−
= = + −= + + +
++++++
11
312
AB A
AB B
+= =

⇔⇔

+= =

( )
( )
2
2
0
2
0
1
d ln 1 2 ln 3 ln 3 2ln 5 ln1 2ln 3
43
x
xx x
xx
= + + + = + −− +
++
3ln 3 2ln 5=−+
.
Vậy
( )
. 3 .2 6P ab==−=
.
Câu 9: Cho hàm s
( )
y fx=
có đạo m liên tục trên đon
[ ]
0;5
( )
5 10f =
,
( )
5
0
d 30xf x x
=
. Tính
( )
5
0
dfx x
.
A.
20
. B.
20
. C.
70
. D.
30
.
Li gii
Chn A
Xét
( )
5
0
dxf x x
:
Đặt
( )
( )
u x du dx
du f x dx v f x
= =



= =


( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
5 5 55
5
0
0 0 00
d d 5 5 0 d 5.10 d 30
xf x x xfx fx x f fx x fx x
=−=−=−=
∫∫
( )
5
0
d 20fx x⇒=
.
Câu 10: Cho hàm số
( )
fx
( )
00f =
( )
2
cos cos 2 ,fx x x R
= ∀∈
. Khi đó
( )
0
dfx x
π
bằng
A.
1042
225
. B.
208
225
. C.
242
225
. D.
149
225
.
Li gii
Chn C
Ta có
( ) ( )
2
d cos cos 2 df x f x x x xx
= =
∫∫
(
)
2
2
cos 1 2sin d
x xx
=
.
Đặt
sin d cos dt x t xx= ⇒=
.
( )
( )
2
2
12 dfx t t⇒=
( )
24
14 4 dt tt
=−+
35 3 5
44 4 4
sin sin sin
35 3 5
t t t C x x xC
= + += + +
.
( )
00 0fC=⇒=
.
Do đó
( )
35
44
sin sin sin
35
fx x x x=−+
24
44
sin 1 sin sin
35
x xx

=−+


.
(
) ( )
2
22
44
sin 1 1 cos 1 cos
35
x xx

= −− +


.
Ta có
( )
(
) (
)
2
22
00
44
d sin 1 1 cos 1 cos d
35
fx x x x x x
ππ

= −− +−


∫∫
.
Đặt
cos d sin dt x t xx
= ⇒=
Đổi cn
0 1; 1x tx t
π
=⇒= = ⇒=
.
Khi đó,
( )
( )
( )
1
2
22
01
44
d 11 1 d
35
fx x t t t
π

= −+


∫∫
1
24
1
74 4
d
15 15 5
t tt

= −+


1
34
1
74 4
15 45 5
ttt

=−+


=
242
225
.
Câu 11: Din tích hình phẳng giới hn bi hai đường thẳng
0x =
,
πx =
, đ th hàm s
cosyx=
và trc
Ox
A.
π
0
cos dS xx=
. B.
π
2
0
cos dS xx=
. C.
π
0
cos dS xx=
. D.
π
0
cos dS xx
π
=
Li gii
Chn C
Lý thuyết.
Câu 12: Tính th tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng
( )
H
được gii hn bi các
đường
( )
y fx=
, trục
Ox
và hai đường thẳng
xa=
,
xb=
xung quanh trục
Ox
.
A.
( )
d
b
a
fx x
π
. B.
( )
2
d
b
a
f xx
. C.
( )
2
d
b
a
f xx
π
. D.
( )
2
2d
b
a
f xx
π
.
Li gii
Chn C
Công thức tính th tích khối tròn xoay
( )
2
d
b
a
V f xx
π
=
.
Câu 13: Tính din tích hình phẳng giới hn bởi các đường
2
yx=
,
23yx= +
.
A.
16
3
. B.
109
6
. C.
32
3
. D.
91
6
.
Li gii
Chn C
Phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đường cong
2
yx
=
,
23yx= +
là:
2
23
xx
= +
2
2 30 1xx x −= =
hoc
3x =
.
Do đó, diện tích hình phẳng giới hn bởi các đường
2
yx
=
,
23yx
= +
là:
3
2
1
23 d
S x xx
= +−
.
[ ]
+ + ∈−
2
2 3 0 1; 3xx x
nên ta có
3
2
1
23 dS x xx
= +−
( )
3
3
22
1
3
32
2 3d 3
1
33
x
xx x xx

= −+ + = + + =


.
Câu 14: Cho hình phẳng
( )
H
giới hn bi các đường
1yx=
, trục hoành đường thng
4x =
. Khi
tròn xoay tạo thành khi quay
( )
H
quanh trục hoành có th tích
V
bằng bao nhiêu?
A.
7
6
V =
. B.
2
7π
6
V
=
. C.
7π
6
V =
. D.
7π
3
V
=
Li gii
Chn C
Phương trình hoành độ giao điểm
10x −=
1x
⇔=
.
Th tích khối tròn xoay tạo thành
( )
4
2
1
π 1dV xx=
( )
4
1
π 2 1dxx x= −+
4
2
1
4
π
23
x
xx x

=−+


7π
6
=
.
Câu 15: Mt ô tô đang chy vi vn tc
20 m/s
thì người lái xe phát hiện có hàng rào chắn ngang đường
phía trưc cách xe
45 m
(tính t đầu xe tới hàng rào) nên người lái đạp phanh. Từ thời điểm
đó, xe chuyển động chậm dần đều với vn tc
( ) ( )
5 20 m/svt t=−+
, trong đó
t
thi gian
được tính t lúc người lái đạp phanh. Khi xe dừng hẳn, khoảng cách từ xe đến hàng rào bao
nhiêu?
A.
4 m
. B.
5 m
. C.
3 m
. D.
6 m
.
Li gii
Chn B
* Xe dừng lại khi
( ) ( )
0 5 20 0 4 s
vt t t
= ⇔− + = =
.
* Quãng đường xe đi được k t lúc đạp phanh đến khi dừng lại là:
( ) ( )
4
44
2
00
0
5
5 20 = 20 =40 m
2
t
v t dt t dt t

= −+


∫∫
* Khi xe dừng hẳn, khoảng cách từ xe đến hàng rào là:
45 40 5 m−=
.
Câu 16: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
(
)
y fx=
trục hoành gồm hai phần, phần nằm phía
trên trục hoành có diện tích
1
5
12
S =
phần nằm phía dưới trục hoành có diện tích
2
8
3
S =
. Tính
( )
1
0
31
I f x dx=
.
A.
5
3
I =
. B.
3
4
I =
. C.
37
36
I =
. D.
1
4
I =
.
Lời giải
Chọn B
Với
( )
1
0
31I f x dx=
.
Đặt
31d3dtx t x= −⇒ =
.
Khi
01
12
xt
xt
=⇒=
=⇒=
.
Ta được
( ) ( )
( ) ( )
2 2 02
1 1 10
11 1
33 3
I f t dt f x dx f x dx f x dx
−−

= = = +


∫∫
.
Trên đoạn
[ ]
( )
1;0 : 0fx−≥
nên
(
)
0
1
5
12
f x dx
=
.
Trên đoạn
[ ]
( )
0;2 : 0fx
nên
( )
2
0
8
3
f x dx =
.
Vậy:
( ) ( )
02
10
1 15 8 3
3 3 12 3 4
I f x dx f x dx


= + = −=




∫∫
.
Câu 17: Cho
( )
H
hình phẳng giới hạn bởi
1
4
cung tròn có bán kính
2R =
, đường cong
4yx=
và trục hoành (miền tô đậm như hình vẽ). Tính thể tích
V
của khối tạo thành khi cho hình
( )
H
quay quanh trục
Ox
.
A.
77
6
V
π
=
. B.
53
6
V
π
=
. C.
67
3
V
π
=
. D.
40
3
V
π
=
.
Lời giải
Chọn D
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ th hàm s
4yx=
và trc
Ox
là:
40 4xx−=⇔=
.
Khi tạo thành gồm 2 phn:
Phn 1:
1
4
đường tròn khi quay quanh
Ox
to thành nửa khối cầu bán kính
2R =
.
Th tích phn 1:
33
1
1 4 2 16
. .2
23 3 3
VR
π
ππ
= = =
.
Phần 2: Khi quay hình phẳng giới hn bởi các đường
4 ; 0; 0; 4y xy x x=−===
.
Th tích phn 2:
( )
4
2
0
4 d8V xx
ππ
= −=
.
Th tích vt th to thành:
12
40
3
VVV
π
=+=
.
Câu 18: Ông An xây dựng một sân bóng đá mini hình chữ nht có chiu rộng 30m và chiều dài
50m
. Đ
giảm bt kinh phí cho vic trồng cỏ nhân tạo, ông An chia sân bóng ra làm hai phần (tô màu và
không tô màu) như hình vẽ.
.
- Phần tô màu gồm hai min din tích bằng nhau và đường cong
AIB
là một parabol có đỉnh
.I
.
- Phn tô màu đưc trng c nhân to vi giá
130
nghìn đồng/
2
m
và phần còn lại đưc trồng cỏ
nhân to với giá
90
nghìn đồng/
2
m
.
Hỏi ông An phải tr bao nhiêu tiền để trồng cỏ nhân tạo cho sân bóng?
A.
165
triệu đồng. B.
151
triệu đồng. C.
195
triệu đồng. D.
135
triệu đồng.
Lời giải
Chọn B
Chn h trc tọa độ như hình vẽ,
OI
.
Oxy
.
Khi đó, đường cong
AIB
nh phẳng giới hn bi các đường parabol
2
2
45
yx=
đường
thẳng
10y =
.
Phương trình hoành độ giao điểm
2
2
10 15
45
xx= ⇔=±
.
Din tích phần tô màu là:
( )
15
22
1
15
2
2 10 d 400 m
45
S xx
= −=
.
Mt khác din tích sân bóng đá mini hình chữ nht là
( )
2
30.50 1500 mS
= =
.
Phần không tô màu có diện tích là:
( )
2
21
1100 mS SS=−=
.
S tiền để trồng cỏ nhân tạo cho sân bóng:
12
.130000 .90000 400.130000 1100.90000 151000000SS+= + =
.
Câu 19: Chướng ngại vt “tường cong” trong một sân thi đấu X-Game mt khối bê tông có chiều cao
t mt đt lên
3, 5 m
. Giao ca mt ờng cong mặt đt là đon thẳng
2mAB =
. Thiết din
của khối ờng cong cắt bi mt phẳng vuông góc với
AB
ti
A
một hình tam giác vuông
cong
ACE
vi
4mAC =
,
3, 5 mCE =
và cạnh cong
AE
nm trên một đường parabol. Tại v
trí
M
là trung điểm ca
AC
thì ờng cong có độ cao
1m
(xem hình minh họa bên). Tính thể
tích bê tông cần s dụng để tạo nên khối tường cong đó.
A.
3
9,75m
. B.
3
10,5m
. C.
3
10m
. D.
3
10,25m
.
Li gii
Chn C
A
B
4
2
E
2m
1
x
y
3, 5
A
B
C
M
E
2m
1m
3, 5 m
4m
Chn h trc
Oxy
như hình vẽ sao cho
AO
cạnh cong
AE
nằm trên parabol
(
)
2
:
P y ax bx
= +
đi qua các đim
( )
2;1
7
4;
2



nên
( )
2
31
:
16 8
Py x x= +
Khi đó diện tích tam giác cong
ACE
có din tích
4
22
0
31
d 5m
16 8
S x xx

= +=


.
Vậy thể tích khối bê tông cần s dụng là
3
5.2 10mV = =
.
Câu 20: Cho hàm s
42
3yx x m=−+
có đồ th
( )
m
C
(
m
là tham s thc). Gi s
( )
m
C
ct trc
Ox
ti 4 đim phân bit. Gi
12
,SS
là din tích của hai hình phẳng nằm i trc
Ox
3
S
là din
tích của hình phẳng nằm trên trc
Ox
được to bi
( )
m
C
vi trc
Ox
. Biết rằng tồn tại duy nhất
giá trị ca
a
m
b
=
(vi
,*ab
a
b
ti giản) để
12 3
SS S+=
. Giá tr ca
2ab
bằng
A.
3
. B.
4
. C.
6
. D.
2
.
Li gii
Chn C
Gọi 4 nghiệm ca
42
30yx x m= +=
lần lượt là
2 112
, ,,t ttt−−
vi
12
0 tt<<
.
Để
12 3
SS S+=
thì
( )
2
2
5
2
42 3
2
30 0
5
t
t
t
x
x x m dx x mx
t

+ = −+ =


( )
( )
5
2
3
2
2
2 2 22 2
0 0 ( 0)
55
t
t
t m t t t m do t

+ = −+ =


2
2
2
0 ( 1)
5
t
tm −+=
2
t
là nghiệm ca
42
30x xm +=
2
22
3 0 (2)t tm +=
T (1) và (2) suy ra:
2
2
2
22 2
30
5
t
tt t−− + =
( )
2
22 2 2 2 2
4 45
2 0 . 20 0
5 52
t t t t t do t
−−

+ = + =⇒=


.
Thay
2
5
2
t =
vào (2) ta được
25 15 5
0
42 4
mm +==
.
Do đó
5; 4 2 6a b ab= = −=
.
Câu 21: Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, điểm biểu diễn của số phc
23zi=
có ta đ
A.
( )
2; 3
. B.
( )
3; 2
. C.
( )
2;3
. D.
( )
3; 2
.
Li gii
Chn A
Đim biểu diễn của số phc
23zi=
có ta đ
(
)
2; 3
.
Câu 22: Các s thc
x
,
y
thỏa mãn
34x yi i+=
, với
i
là đơn vị ảo là
A.
3, 4xy= =
. B.
4, 3xy
=−=
. C.
3, 4xy=−=
. D.
4, 3
xy
= =
.
Li gii
Chn A
3
34
4
x
x yi i
y
=
+=−⇔
=
.
Câu 23: H các nguyên hàm của hàm số
( )
3
e1
x
fx= +
A.
3
3e
x
C+
.
B.
3
1
e
3
x
C+
. C.
3
3e
x
xC++
. D.
3
1
e
3
x
xC++
.
Li gii
Chn D
(
)
( )
33
1
d e de
3
xx
fx x x x xC
= + = ++
∫∫
.
Câu 24: Cho
( )
( )
d
f x x Fx C= +
, khi đó
( )
2 1dfx x
+
A.
(
)
21Fx C
++
. B.
( )
1
21
2
Fx C++
. C.
( )
221Fx C++
. D.
( )
1
2
Fx C+
.
Li gii
Chn B
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
11 1
21d 21..d21 21d21 21
22 2
fx x fx x fx x Fx C+ = + += + += ++
∫∫
.
Câu 25: Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
sin
1 3cos
x
fx
x
=
+
.
A.
( )
1
d ln 1 3cos
3
fxx x C=++
. B.
( )
d ln 1 3cosfx x x C=++
.
C.
( )
d 3ln 1 3cos
fxx x C=++
. D.
( )
1
d ln 1 3cos
3
fx x x C
=++
.
Li gii
Chn D
Ta có:
( )
sin 1 1 1
d d 1 3cos ln 1 3cos
1 3cos 3 1 3cos 3
x
x x xC
xx
= + =−+ +
++
∫∫
.
Câu 26: H nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
4 1 lnfx x x= +
A.
22
2 ln 3x xx
+
. B.
22
2 ln
x xx+
. C.
22
2 ln 3x xxC
++
. D.
22
2 lnx xx C++
.
Li gii
Chn D
Đặt
2
1
dd
1 ln
d 4d
2
ux
ux
x
v xx
vx
=
= +

=
=
( )
( )
(
)
2 2 2 22
d 2 1 ln 2 d 2 1 ln 2 lnfxx x x xx x xxC x xxC
= +− = +−+= ++
∫∫
.
Câu 27: Biết
( )
(
)
(
)
52 51
50
12 12
12 d
xx
x xx C
ab
−−
−= +
. Giá tr ca
ab
bằng
A.
0
.
B.
4
. C.
1
. D.
4
.
Li gii
Chn D
Ta có :
( )
( ) ( )
( )
( )
50 50 50 51
1 11
12 d 1 12 12 d 12 d 12 d
2 22
x xx x xx xx xx−=−=


∫∫
( )
( ) ( )
52 51
51
12 12
11 11
. 12 .
2 2.51 2 2.52 4.52 4.51
xx
xC C
−−
+= +
−−
.
Vậy
4.52 4.51 4ab−= =
.
Câu 28: Cho hàm s
( )
fx
đo hàm
( )
( )
1
ln 1
fx
xx
=
,
( ) { }
0; \xe +∞
( )
2
ln 6fe
=
,
( )
2
3fe =
. Giá tr ca
( ) ( )
13
fe fe
+
bằng
A.
2ln 2
. B.
3ln 2 1+
. C.
ln 2 3+
D.
3ln 2 3+
.
Li gii
Chn D
Ta có:
( )
( )
( )
( )
11
'd
ln 1 ln 1
f x fx x
xx xx
= ⇒=
−−
.
Đặt
1
ln d dt xt x
x
= ⇒=
.
Khi đó:
( )
d
ln 1 ln ln 1
1
t
fx t C x C
t
= = −+ = −+
( )
( )
1
2
ln ln 1 khi ln 1 0
ln 1 ln khi ln 1 0
xC x
xC x
+ −>
=
+ −<
(
)
( )
1
2
ln ln 1 khi
ln 1 ln khi
x C xe
x C xe
−+ >
=
−+ <
( )
2
2
ln 6 ln 2fe C
= ⇒=
;
( )
2
1
33fe C=⇒=
Suy ra:
( )
( )
( )
ln ln 1 3 khi
ln 1 ln ln 2 khi
x xe
fx
x xe
−+ >
=
−+ <
Vậy:
( ) ( )
( )
13
2ln 2 ln 2 3 3ln 2 3fe fe
+ = + += +
.
Cách khác:
Ta có:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
11
22
33
22
12
32
1
d ln 6 d
ln 1
1
d3 d
ln 1
ee
ee
ee
ee
fe fe f x x x
xx
fe fe f x x x
xx
−−
−−
−−
=+=+
=+=+
∫∫
∫∫
Suy ra:
( ) ( )
( ) ( )
13
22
13
11
ln 6 3 d d 3ln 2 3
ln 1 ln 1
ee
ee
fe fe x x
xx xx
+ = ++ + = +
−−
∫∫
.
Câu 29: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( )
2;1; 0A
,
( )
2; 1; 2B
. Phương trình của mt cu
đường kính
AB
A.
( )
2
22
1 24xy z++− =
. B.
( )
2
22
16xy z+ +− =
.
C.
( )
2
22
1 24xy z
++− =
. D.
(
)
2
22
16
xy z
++− =
.
Li gii
Chn D
Gi
I
là trung điểm ca
AB
khi đó
(
)
0
2
0 0; 0;1
2
1
2
AB
I
AB
I
AB
I
xx
x
yy
yI
zz
z
+
= =
+
= =
+
= =
.
( ) ( ) ( )
222
02 01 10 6
IA = + + +− =
.
Mt cầu đường kính
AB
nhận điểm
( )
0;0;1I
làm tâm và bán kính
6R IA= =
phương trình
là:
(
)
2
22
16
xy z+ +− =
.
Câu 30: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
1; 1; 1A −−
hai mt phng
( )
:2 2 1 0P xy z + −=
( )
:2 2 5 0Q xy z+ +=
. bao nhiêu mt cầu
( )
S
đi qua
A
và tiếp xúc với hai mt phẳng
( )
P
,
(
)
Q
?
A.
2
. B.
0
. C.
1
. D. Vô s.
Li gii
Chn C
Gi
( )
;;I xyz
tâm ca mt cầu
( )
S
. Ta
( )
S
tiếp xúc với
( )
P
( )
Q
nên
(
)
( )
( )
( )
,,dI P dI Q R
= =
221225
33
xy z xy z
−+ −+ +
⇔=
221225
221225
xy z xy z
xy z xy z
−+ = −+ +
+ −= +
2 2 20
xy z −+ +=
. Khi đó bán kính mặt cu
2 21
1
3
xy z
R
−+
= =
.
Mt cầu
1R IA= =
do đó
I
thuộc mt cầu
( )
T
tâm
A
bán kính
1
T
R =
.
Ta
( )
( )
,1
T
dA R
α
= =
. Do đó
( )
T
( )
α
đúng một điểm chung, tức duy nhất mt
điểm chung
I
thỏa mãn.
Vậy có duy nhất mt mt cầu thỏa mãn.
Câu 31: Trong không gian
Oxyz
cho hai điểm
( ) ( )
1; 2; 3 , 1; 0;1 .
AB
Trọng tâm
G
ca tam giác
OAB
có tọa độ
A.
( )
0;1;1 .
B.
24
0; ; .
33



C.
( )
0; 2; 4 .
D.
(
)
2; 2; 2 .−−−
Li gii
Chn B
Tọa độ trọng tâm tam giác là
110
0
3
200 2 24
0; ;
3 3 33
310 4
33
G
G
G
x
yG
z
−+
= =
++

= =


++
= =
Câu 32: Trong không gian với h ta đ Oxyz, cho ba vectơ
( ) ( ) ( )
2; 1;0 ; 1; 2;3 ; 4; 2; 1a bc=−= =

các mệnh đề sau:
(
)
1
ab
.
( )
2
.5bc=
.
( )
3
a
cùng phương với
c
.
(
)
4
14b =
.
Trong bốn mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng?
A.
2
. B.
4
. C.
3
. D.
1
.
Li gii
Chn C
Ta có
. 2200ab a b
=−+=


nên
( )
1
đúng.
. 4435bc=+−=
nên
( )
2
đúng.
21
42
≠−
a
không cùng phương với
c
(
)
3
sai.
222
1 2 3 14b = ++=
( )
4
đúng.
Câu 33: Trong không gian với h ta đ
Oxyz
, cho hai điểm
( )
2;1;1A
,
( )
1; 2; 3B
. Tìm ta đ điểm
M
sao cho
2AM BM=
 
.
A.
13
; ;2 .
22
M



B.
( )
1; 3; 4 .M
C.
( )
4;3;5 .M
D.
( )
5; 0; 1 .
M
Li gii
Chn C
Gi s
( )
;;
M abc
. Ta có
( ) ( )
2; 1; 1 ; 2 2 1; 2; 3
AM a b c BM a b c= −− = +
 
.
2AM BM=
 
( )
( )
( )
( )
22 1
4
1 2 2 3 4;3;5 .
5
12 3
aa
a
bb b M
c
cc
−= +
=
−= =


=
−=
Câu 34: Trong không gian với h ta đ Oxyz, hãy tính góc giữa hai vectơ
( )
1; 2; 2a =
( )
1; 1; 0b =−−
.
A.
( )
, 120
ab = °
. B.
( )
, 45ab = °
. C.
( )
, 60ab = °
. D.
( )
, 135
ab = °
.
Li gii
Chn D
Gi
α
là góc giữa hai vectơ
a
b
. Ta có
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
222
22 2
1. 1 2 1 2 .0
1
cos 135
2
1 2 2. 1 1 0
αα
−+ −+
= = ⇒= °
+ +− +− +
.
Câu 35: Trong không gian tọa đ
Oxyz
, cho hình hộp
.
ABCD A B C D
′′
. Biết tọa độ các đnh
( )
3; 2;1A
,
( )
4; 2; 0C
,
( )
2;1;1B
,
( )
3; 5; 4D
. Tọa độ điểm
A
A.
( )
3; 3;1 .A
B.
( )
3; 3; 3 .A
−−
C.
( )
3; 3; 3 .A
−−−
D.
( )
3; 3; 3 .A
Li gii
Chn D
Trung điểm ca
AC
11
; 2;
22
O



.
Trung điểm ca
BD
′′
15
; 3;
22
O



.
Do
.ABCD A B C D
′′
là hình hộp nên
AA OO
′′
=
 
30 3
21 3
12 3
AA
AA
AA
xx
yy
zz
′′
′′
′′
+= =


−= =


−= =

( )
3; 3;3A
⇔−
.
Câu 36: Trong không gian tọa đ
Oxyz
, cho
3
điểm
( )
1; 2; 1
A
,
(
)
2; 1; 3B
,
( )
4;7;5C
. Gọi điểm
( )
;;D abc
là chân đường phân giác hạ t đỉnh
B
xuống cạnh
AC
. Tính
.
A.
4
. B.
22
.
3
C.
3
. D.
5
.
Li gii
Chn A
Ta có:
26AB =
;
2 26BC =
.
Theo tính chất đường phân giác ta có:
1
2
BA DA DA
BC DC DC
=⇔=
Do
D
nằm giữa
2
điểm
A
C
nên
( )
( )
( )
21 4
11
D 22 7
22
21 5
aa
DA DC C b b
cc
−=+
= = −=
−− =
  
.
2
3
11
4
3
1
a
b abc
c
=
= ++=
=
.
Câu 37: Trong không gian
Oxyz
, cho các điểm
( )
1; 2; 1A
,
(
)
2; 3; 4B
( )
3; 5; 2C
. m ta đ tâm
của đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
A.
5
; 4;1
2
I



. B.
37
; 7;0
2
I



. C.
27
;15; 2
2
I



. D.
73
2; ;
22
I



.
Li gii
Chn A
Nhn thấy
( )
(
)
1;1; 5
2; 3; 1
AB
AC
=
=


.0AB AC⇒=
 
nên tam giác
ABC
vuông tại
A
khi đó trung điểm
5
; 4;1
2
I



là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông
ABC
.
Câu 38: Trong không gian với h ta đ
Oxyz
, cho ba điểm
( )
1; 2; 0A
,
( )
2;1; 2B
,
( )
1; 3;1
C
. Bán kính
đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
A.
3 10
. B.
3 10
5
. C.
10
5
. D.
10
.
Li gii
Chn B
Ta có
( )
1; 1; 2
AB =

,
( )
2;1;1AC =

,
( )
3; 2; 1BC =−−

.
Suy ra
6AB AC= =
;
14BC =
.
Suy ra
1 35
,
22
ABC
S AB AC

= =

 
.
Gi
R
là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
, ta có
. . 6. 6. 14 3 10
45
35
4.
2
ABC
AB AC BC
R
S
= = =
.
Câu 39: Trong không gian
Oxyz
, cho
( )
2; 1; 1A
,
,
(
)
2; 1; 3C
D
nm trên tia
Oy
. Th
tích t din
ABCD
bằng
7
. Tọa độ ca
D
A.
( )
0; 10;0D
. B.
( )
0;11; 0D
.
C.
( )
0; 10;0D
hoc
( )
0;11; 0D
. D.
( )
0; 11; 0D
hoc
( )
0;10; 0D
.
Li gii
Chn B
D Oy
nên
( )
0; ; 0 .Dy
Khi đó. Thể tích của tứ din
ABCD
11
, . 42
66
V AB AC AD y

= =

  
.
Theo đề ra ta có
10
1
4 27
11
6
y
y
y
=
−=
=
D
thuộc tia
Oy
nên
( )
0 0;11; 0
yD>⇒
.
Câu 40: Trong không gian với h ta đ
Oxyz
, cho hai đim
( )
2; 3;1A
( )
5; 6; 2B
. Đường thẳng
AB
ct mt phẳng
( )
Oxz
ti đim
M
. Tính t s
AM
BM
.
A.
1
2
AM
BM
=
. B.
. C.
. D.
.
Li gii
Chn A
( ) (
)
;0;M Oxz M x z∈⇒
;
( )
7;3;1 59AB AB= ⇒=

;
( )
2; 3; 1AM x z= +−

.
A
,
B
,
M
thẳng hàng
.AM k AB⇔=
 
,
27 9
33 1
10
x kx
kk
zk z
+= =


⇔−= ⇔−=


−= =

( )
9;0;0 .M⇒−
( )
(
)
( )
14; 6; 2 = 2 7; 3; 1 ; 7; 3; 1 2
BM BM ABAM
= −− =−− =
 
.
Câu 41: Trong không gian
Oxyz
, cho các đim
( )
0;4 2;0A
,
( )
0;0;4 2B
, điểm
( )
C Oxy
tam giác
OAC
vuông tại
C
, hình chiếu vuông góc của
O
trên
BC
điểm
H
. Khi đó điểm
H
luôn thuộc đường tròn cố định có bán kính bng
A.
22
. B.
4
. C.
3
. D.
2
.
Li gii
Chn D
+) D thấy
B Oz
. Ta có
( )
A Oxy
(
)
C Oxy
, suy ra
( )
OB OAC
.
+) Ta có
AC OC
AC OB
( )
AC OBC⇒⊥
, mà
( )
OH OBC
. Suy ra
AC OH
( )
1
.
Mặt khác ta có
OH BC
( )
2
, (theo giả thiết).
T
( )
1
( )
2
suy ra
( )
OH ABC
OH AB⇒⊥
OH HA
.
+) Vi
OH AB
suy ra
H
thuộc mt phẳng
( )
P
vi
( )
P
mt phẳng đi qua
O
vuông
góc với đường thẳng
AB
. Phương trình của
( )
P
là:
0yz−=
.
+) Vi
OH HA
OHA⇒∆
vuông tại
H
. Do đó
H
thuộc mt cầu
( )
S
có tâm
( )
0;2 2;0I
là trung điểm ca
OA
và bán kính
22
2
OA
R = =
.
+) Do đó đim
H
luôn thuộc đường tròn
( )
T
c định là giao tuyến ca mt phẳng
( )
P
vi mt
cầu
( )
S
.
+) Gi s
( )
T
có tâm
K
và bán kính
r
thì
( )
( )
,2IK d I P= =
22
2r R IK=−=
.
H
I
O
C
A
B
P
(
T
)
K
I
H
Vậy điểm
H
luôn thuộc đường tròn cố định có bán kính bằng
2
.
Câu 42: Trong không gian
Oxyz
, cho hình thang cân
ABCD
các đáy ln t
. Biết
(
)
3;1; 2A
,
( )
1;3;2B
,
( )
6;3;6C
( )
;;Dabc
vi
;;abc
. Tính
T abc=++
.
A.
3T =
. B.
1T =
. C.
3T =
. D.
1T =
.
Li gii
Chn A
Ta có
( ) ( )
4;2;4 ; 6; 3; 6AB CD a b c= =+−−
 
Do
ABCD
là hình thang cân nên
CD k AB=
 
hay
636
21 2
abc+−−
= =
2
a
b
ca
=
=
. Vậy
;;
2
a
Da a



.
Li có
22
AC BD AC BD=⇔=
( ) ( )
( )
2
22 2
22
9 28 1 3 2
2
a
aa

++=+ + + ++


2
6
4 60 0
10
a
aa
a
=
⇔+−=
=
Vi
( )
10 10 ; 5 ;10aD=−⇒
. Kim tra thy:
AB CD=
 
(Không thỏa mãn
ABCD
là hình
thang cân).
Vi
(
)
6 6;3;6aD= −−
. Kiểm tra thấy:
( )
3.AB CD−=
 
( thỏa mãn).
Do đó,
636 3T abc= ++=−−=
.
Câu 43: Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
( ): 3 0P xyz
+ +=
,
()P
đi qua điểm nào dưới đây?
A.
(
)
1;1; 1
M
. B.
( )
1; 1;1N −−
. C.
. D.
( )
1;1;1Q
.
Li gii
Chn B
Loại A, C, D thay tọa đ đim
( )
1;1; 1M
,
,
( )
1;1;1Q
vào pt mt phng
( )
P
ta
thấy không thỏa mãn.
Thay tọa đ điểm
(
)
1; 1;1N −−
vào phương trình mặt phẳng
( )
P
ta thấy:
1113 0−−+ =
tha
mãn. Tức là mặt phẳng
( )
P
đi qua điểm
( )
1; 1;1N
−−
.
Câu 44: Trong không gian với h tọa độ
Oxyz
, mặt phẳng toạ độ
( )
Oyz
có phương trình là
A.
0=x
. B.
0
+=yz
. C.
. D.
0=y
.
Li gii
Chn A
Ta mt phẳng
( )
Oyz
qua
( )
0;0;0O
có véc pháp tuyến
( )
1;0;0i =
n phương trình
0.x =
Câu 45: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( ) ( )
3;1; 1 , 2; 1;4AB−−
. Phương trình mặt phẳng
( )
OAB
vi
O
là gốc tọa độ
A.
3 14 5 0x yz
+ +=
. B.
3 14 5 0x yz +=
. C.
3 14 5 0x yz+ −=
. D.
3 14 5 0x yz −=
.
Li gii
Chn D
Ta có:
( ) ( ) ( )
3;1; 1 , 2; 1;4 , 3; 14 ; 5OA OB OA OB

= = = −−

   
là VTPT của
( )
OAB
Mt phẳng
( )
OAB
có VTPT là
( )
3 ; 14 ; 5−−
và đi qua
( )
0;0;0
O
nên có phương trình:
3 14 5 0
x yz
−=
.
Câu 46: Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
()P
đi qua điểm
vuông góc với đường thẳng
12
:
213
−+
= =
xy z
d
có phương trình là
A.
2 3 80+ +=xy z
. B.
2 3 80
+ −=xy z
. C.
2 3 80
+ +=xy z
. D.
2 3 80+ −=xy z
.
Li gii
Chn B
Véctơ
(2; 1; 3)= u
một véctơ chỉ phương của đường thẳng
d
,
nên
()
P
nhn
(2; 1; 3)= u
làm một véctơ pháp tuyến. Vậy phương trình mặt phẳng
()
P
2( 1) ( 0) 3( 2) 0 2 3 8 0 + = + −=x y z xy z
.
Câu 47: Trong không gian với h trc ta đ
Oxyz
, cho hai mặt phẳng
: 10xyz
α
+ +=
( )
:2 2 2 0x my z
β
+ + −=
. Tìm
m
để
( )
α
song song với
( )
β
.
A. Không tồn ti
m
.
B.
2m =
. C.
2m =
. D.
5m
=
.
Li gii
Chn A
Mt phẳng
( )
α
có VTPT là
( )
1
1;1; 1n =
( )
( )
0;0;1A
α
Mt phẳng
( )
β
có VTPT là
( )
2
2; ; 2nm
=
.
Để
( ) ( )
//
αβ
thì
1
n
,
2
n
cùng phương và
2 22
1 1 11
20
m−−
= =
⇔⇔
−≠
không tồn ti
m
.
Vậy không tồn ti
m
để
( ) ( )
//
αβ
.
Câu 48: Trong không gian với h ta đ
Oxyz
, cho ba điểm
,
( )
0; 2; 0B
,
( )
0;0; 5C
. Vectơ
nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
ABC
?
A.
1
11
1; ;
25
n

=


. B.
2
11
1; ;
25
n

=−−


. C.
3
11
1; ;
25
n

=


. D.
4
11
1; ;
25
n

=


.
Li gii
Chn B
Ta có
( )
(
)
1; 2; 0
1; 0; 5
AB
AC
=−−
=−−


( )
; 10;5;2AB AC

= −−

 
1 11
. ; 1; ;
10 2 5
n AB AC


= =−−



 
.
Cách 2: Theo công thức phương trình đoạn chắn ta có phương trình
( )
:1
125
xy z
ABC ++=
−−
Suy ra vectơ pháp tuyến ca
(
)
ABC
11
1; ;
25
n

=−−


.
Câu 49: Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
z 18 0ax by c++−=
ct ba trc to độ ti
,,ABC
sao cho
tam giác
ABC
có trọng tâm
( )
1; 3;2G −−
. Giá tr
ac+
bằng
A.
3
. B.
5
. C.
5
. D.
3
.
Li gii
Chn D
Gi s mt phẳng
( )
: z 18 0P ax by c++−=
ct 3 trc to độ
,,Ox Oy Oz
lần lượt ti
,,
ABC
.
Do
( )
;0;0
A
A Ox A x∈⇒
;
( )
0; ;0
B
B Oy B y∈⇒
;
(
)
0;0;
C
C Oz C z
∈⇒
.
( )
1; 3;2G −−
là trọng tâm tam giác
ABC
nên:
( ) ( ) ( )
00
1
3
3
00
3 9 3;0;0 , 0; 9;0 , 0;0;6 .
3
6
00
2
3
A
A
B
B
C
C
x
x
y
yA B C
z
z
++
=
=
++

=−⇔ =−⇒


=
++
=
Do
( )
,,ABC P
nên mp
(
)
P
có phương trình:
1 6 2 3 18 0
3 96
x yz
xyz+ + = ⇔− + =
−−
.
Suy ra:
6; 3
ac=−=
. Vậy
3ac+=
.
Câu 50: Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
(
)
: 27 0P ax by cz++− =
qua hai điểm
( )
3;2;1A
,
( )
3;5;2B
và vuông góc với mt phẳng
( )
:3 4 0Q xyz+++=
. Tính tổng
S abc=++
.
A.
2S =
. B.
. C.
4S =
. D.
2S =
.
Li gii
Chn B
Do
( )
P
đi qua
A
nên
3 2 27 0a bc+ +− =
(1)
Do
( )
P
đi qua
B
nên
352270abc−++ =
(2)
Do
( ) ( )
PQ
nên
30abc++=
(3)
T (1), (2), (3) ta có hệ phương trình
3 2 27 6
3 5 2 27 27
3 0 45
a bc a
abc b
abc c
+ += =


−++ = =


++= =

.
Khi đó
6 27 45 12S abc=++=+ =
.
| 1/231