Trắc nghiệm nâng cao đạo hàm – Đặng Việt Đông

Tài liệu trắc nghiệm nâng cao đạo hàm được biên soạn bởi thầy Đặng Việt Đông gồm 53 trang tuyển chọn các câu hỏi và bài tập trắc nghiệm mức độ vận dụng

84 42 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 9: Đạo hàm (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

53 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 0
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ĐẠO HÀM
A. LÝ THUYẾT CHUNG
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
1.1. Định nghĩa : Cho hàm số
y f x
xác định trên khoảng
;
a b
và
0
;
, đạo hàm của hàm số
tại điểm
0
x
là :
0
0
0
0
' lim
x x
f x f x
f x
x x
.
1.2. Chú ý :
Nếu kí hiệu
0 0 0
;
x x x y f x x f x
thì :
0
0 0
0
0
0
' lim lim
x x x
f x x f x
y
f x
x x x
.
Nếu hàm số
y f x
có đạo hàm tại
0
x
thì nó liên tục tại điểm đó.
2. Ý nghĩa của đạo hàm
2.1. Ý nghĩa hình học: Cho hàm số
y f x
có đồ thị
C
0
'
f x
là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị
C
của hàm số
y f x
tại
0 0 0
,
M x y C
.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y f x
tại điểm
0 0 0
,
M x y C
là :
0 0 0
'
y f x x x y
.
2.2. Ý nghĩa vật lí :
Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình :
s s t
tại thời điểm
0
t
là
0 0
'
v t s t
.
Cường độ tức thời của điện lượng
Q Q t
tại thời điểm
0
t
là :
0 0
'
I t Q t
.
3. Qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm
3.1. Các quy tắc : Cho
; ; :
u u x v v x C
là hằng số .
' ' '
u v u v
. ' '. '. . .
u v u v v u C u C u
2 2
'. '. .
, 0
u u v v u C C u
v
v v u u
Nếu
, .
x u x
y f u u u x y y u
.
3.2. Các công thức :
0 ; 1
C x
1 1
. . . , , 2
n n n n
x n x u nu u n n
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
1
, 0 , 0
2 2
u
x x u u
x u
sin cos sin . cos
x x u u u
cos sin cos .sin
x x u u u
2 2
1
tan tan
cos cos
u
x u
x u
2 2
1
cot cot
sin sin
u
x u
x u
.
4. Vi phân
4.1. Định nghĩa :
Cho hàm số
y f x
có đạo hàm tại
0
x
vi phân của hàm số
y f x
tại điểm
0
x
là :
0 0
.
df x f x x
.
Cho hàm số
y f x
có đạo hàm
f x
thì tích
.
f x x
được gọi là vi phân của hàm số
y f x
. Kí hiệu :
. .
df x f x x f x dx
hay
.
dy y dx
.
4.2. Công thức tính gần đúng :
0 0 0
.
f x x f x f x x
.
5. Đạo hàm cấp cao
5.1. Đạo hàm cấp 2 :
Định nghĩa :
f x f x
Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động
s f t
tại thời điểm
0
t
là
0 0
a t f t
.
5.2. Đạo hàm cấp cao :
1
, , 2
n n
f x f x n n
.
B. BÀI TẬP
TÍNH ĐẠO HÀM
Câu 1: Tìm
,
a b
để hàm số
2
1
0
1
0
x
khi x
f x
x
ax b khi x
có đạo hàm tại điểm
0
x
.
A.
11
11
a
b
. B.
10
10
a
b
. C.
12
12
a
b
. D.
1
1
a
b
.
Câu 2: Tìm
,
a b
để hàm số
2
1
( )
sin cos
ax bx
f x
a x b x
0
0
khi x
khi x
có đạo hàm tại điểm
0
0
x
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
1; 1
a b
. B.
1; 1
a b
. C.
1; 1
a b
. D.
0; 1
a b
.
Câu 3: Cho hàm số
( ) ( 1)( 2)...( 1000)
f x x x x x
. Tính
(0)
f
.
A.
10000!
. B.
1000!
. C.
1100!
. D.
1110!
.
Câu 4: Cho hàm số
3 2 2
4 8 8 4
( )
0
x x
f x
x
0
0
khi x
khi x
.Giá trị của
(0)
f
bằng:
A.
1
3
. B.
5
3
. C.
4
3
. D. Không tồn tại.
Câu 5: Với hàm số
sin
( )
0
x
f x
x
0
0
khi x
khi x
.Để tìm đạo hàm
'( ) 0
f x
một học sinh lập luận
qua các bước như sau:
1.
( ) . sin
f x x x
x
.
2.Khi
0
x
thì
0
x
nên
( ) 0 ( ) 0
f x f x
.
3.Do
0 0
lim ( ) lim ( ) (0) 0
x x
f x f x f
nên hàm số liên tục tại
0
x
.
4.Từ
( )
f x
liên tục tại
0 ( )
x f x
có đạo hàm tại
0
x
.
Lập luận trên nếu sai thì bắt đầu từ bước:
A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3. D. Bước 4.
Câu 6: Cho hàm số
2
1
sin
( )
0
x
f x
x
0
0
khi x
khi x
.
(1)
Hàm số
( )
f x
liên tục tại điểm
0
x
.
(2)
Hàm số
( )
f x
không có đạo hàm tại điểm
0
x
.
Trong các mệnh đề trên:
A. Chỉ
(1)
đúng. B. Chỉ
(2)
đúng. C. Cả
(1),(2)
đều đúng. D. Cả
(1),(2)
đều
sai.
Câu 7: Cho hàm số
2
( )
2 1
ax bx
f x
x
1
1
khi x
khi x
.Tìm
,
a b
để hàm số có đạo hàm tại
1
x
A.
1, 0
a b
. B.
1, 1
a b
. C.
1, 0
a b
. D.
1, 1
a b
.
Câu 8: Đạo hàm của hàm số
2
1 1
1 3 1
x x khi x
f x
x khi x
là:
A.
2 1
1
1
2 1
x khi x
f x
khi x
x
. B.
2 1 1
1
1
1
x khi x
f x
khi x
x
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
C.
2 1 1
1
1
2 1
x khi x
f x
khi x
x
. D.
2 1 1
1
1
2 1
x khi x
f x
khi x
x
.
Câu 9: Cho hàm số
2
2
1
0
1
0
x x
khi x
f x
x
x ax b khi x
. Tìm
a
,
b
để hàm số
f x
có đạo hàm trên
.
A.
0
a
,
11
b
. B.
10
a
,
11
b
. C.
20
a
,
21
b
. D.
0
a
,
1
b
.
Câu 10: Đạo hàm của hàm số
2 3 4
( 1)( 2)( 3)
y x x x
bằng biểu thức có dạng
8 6 5 4 3 2
15
ax bx cx x dx ex gx
. Khi đó
a b c d e g
bằng:
A. 0. B. 2. C. 3. D. 5.
Câu 11: Đạo hàm của hàm số
2
3
2 3
2
x x
y
x
bằng biểu thức có dạng
4 3 2
3 2
( 2)
ax bx cx dx e
x
. Khi
đó
a b c d e
bằng:
A.
12
. B.
10
. C. 8. D. 5.
Câu 12: Đạo hàm của hàm số
2
( 2) 1
y x x
biểu thức có dạng
2
2
1
ax bx c
x
. Khi đó
. .
a b c
bằng:
A.
2
. B.
4
. C.
6
. D.
8
.
Câu 13: Đạo hàm của hàm số
2
1
1
x
y
x
biểu thức có dạng
2 3
( 1)
ax b
x
. Khi đó
.
P a b
bằng:
A.
1
P
. B.
1
P
. C.
2
P
. D.
2
P
.
Câu 14: Cho
1 2 2017
x
f x
x x x
thì
0
f
A.
1
2017!
. B.
2017!
. C.
1
2017!
. D.
2017!
.
Câu 15: Cho hàm số
1 1
1 1
x x
f x
x x
. Đạo hàm
f x
là biểu thức nào sau đây?
A.
2
1
1, 1
1 1 1
khi x x
x
khi x
. B.
2
2
1, 1
1 1 1
khi x x
x
khi x
.
C.
2
1
1, 1
1 1 1
khi x x
x
khi x
. D.
2
3
1, 1
2 1 1
khi x x
x
khi x
.
Câu 16: Cho hàm số
2 2
sin cos .cos sin
y x x
. Đạo hàm
.sin2 .cos cos2
y a x x
. Giá trị của
a
là số nguyên thuộc khoảng nào sau đây?
A.
0;2
. B.
1;5
. C.
3;2
. D.
4;7
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 17: Cho hàm số
1 1 1 1 1 1
cos
2 2 2 2 2 2
y x
với
0;
x
có
y
là biểu thức có dạng
.sin
8
x
a . Khi đó
a
nhận giá trị nào sau đây:
A.
1
4
. B.
1
4
. C.
1
8
. D.
1
8
.
Câu 18: Đạo hàm của hàm số
2 2
x
y
a x
(
a
là hằng số) là:
A.
2
3
2 2
a
a x
. B.
2
3
2 2
a
a x
. C.
2
3
2 2
2a
a x
. D.
2
3
2 2
a
a x
.
Câu 19: Cho hàm số
2
2
y x x
. Mệnh đề nào sau đây là đúng ?
A.
3
. 1 0
y y
. B.
2
. 1 0
y y
. C.
2
3 . 1 0.
y y
. D.
3
2 . 3 0.
y y
Câu 20: Cho hàm số
3 3
sin cos
1 sin cos
x x
y
x x
. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A.
2 0.
y y
B.
0.
y y
C.
0.
y y
D.
2 3 0.
y y
Câu 21: Cho và . Tổng bằng biểu thức nào
sau đây?
A. . B. .
C. 6. D. 0.
Câu 22: Cho hàm số
2
1
x
f x
x
. Tìm
30
f x
:
A.
30
30
30! 1
f x x
. B.
31
30
30! 1
f x x
.
C.
30
30
30! 1
f x x
. D.
31
30
30! 1
f x x
.
Câu 23: Cho hàm số
cos
y x
. Khi đó
(2016)
( )
y x
bằng
A.
cos
x
. B.
sin
x
. C.
sin
x
. D.
cos
x
.
Câu 24: Cho hàm số
2
cos 2
y x
. Giá trị của biểu thức
16 16 8
y y y y

là kết quả nào sau
đây?
A.
0
. B.
8
. C.
1
cos
2
x
. D.
2 ,
3
x k k
.
6 6
( ) sin cos
f x x x
2 2
( ) 3sin .cos
g x x x
( ) ( )
f x g x
5 5
6(sin cos sin .cos )
x x x x
5 5
6(sin cos sin .cos )
x x x x
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 25: Cho hàm số
cos 2
3
y f x x
. Phương trình
4
8f x
có các nghiệm thuộc
đoạn
0;
2
là:
A.
0x
,
3
x
. B.
2
x
. C.
0x
,
2
x
. D.
0x
,
6
x
.
Câu 26: Cho hàm số
2
5 14 9.f x x x Tập hợp các giá trị của
x
để
' 0f x
là
A.
7 9
; .
5 5
B.
7
; .
5

C.
7
1; .
5
D.
7
; .
5

Câu 27: Cho hàm số
2
1f x x x . Tập các giá trị của
x
để
2 . 0x f x f x
là:
A.
1
;
3

. B.
1
;
3

. C.
1
;
3

. D.
2
;
3

.
Câu 28: Cho hàm số
2
.f x x x Tập nghiệm S của bất phương trình
'f x f x
là:
A.
2 2
;0 ;
2
S
 
. B.
;0 1;S  
.
C.
2 2 2 2
; ;
2 2
S

. D.
2 2
; 1;
2
S
 
Câu 29: Cho các hàm số
4 4 6 2
sin cos , sin cosf x x x g x x x
. Tính biểu thức
3 ' 2 ' 2f x g x
A.
0
. B. 2 . C. 1. D.
3
Câu 30: Cho hàm số
y f x
có đồ thị
C
như hình vẽ. Tính
' 1 ' 2 ' 3A f f f
A.
6A
B.
6A
C.
0A
D. 12A
Câu 31: Cho hàm số
3
2
3 1 1
3
mx
f x mx m x
. Tập các giá trị của tham số
m
để 0y
với
x
là:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
; 2

. B.
;2

. C.
;0

. D.
;0

.
Câu 32: Cho hàm số
3 2
1 3 2 6 2 1
y m x m x m x
. Tập giá trị của
m
để
0
y
x
là
A.
3;
. B.
1;

. C.
. D.
4 2;

.
Câu 33: Cho hàm số
2
sin sin 2
f x x x
. Tìm giá trị lớn nhất
M
và giá trị nhỏ nhất
m
của
f x
trên
.
A.
2
m ,
2
M . B.
1
m
,
1
M
. C.
2
m
,
2
M
. D.
5
m
,
5
M .
Câu 34: Cho hàm số
3
3
cos
2 sin 2cos 3sin
3
x
f x x x x
. Biểu diễn nghiệm của phương trình
lượng giác
f x
trên đường tròn ta được mấy điểm phân biệt?
A. 1 điểm. B. 2 điểm. C. 4 điểm. D. 6 điểm.
Câu 35: Đẳng thức nào sau đây đúng?
A.
1 2 3 1
2 3 .2 , .
n n
n n n n
C C C nC n n N
B.
1 2 3
2 3 1 .2 , .
n n
n n n n
C C C nC n n N
C.
1 2 3 1
2 3 1 .2 , .
n n
n n n n
C C C nC n n N
D.
1 2 3 1
2 3 1 .2 , .
n n
n n n n
C C C nC n n N
Câu 36: Tính tổng với
, 2 :
n N n
2 3 1
1.2. 2.3. ... ( 2).( 1). ( 1). .
n n
n n n n
S C C n n C n nC
A.
2
( 1).( 2).2
n
n n
. B.
2
n
n n
. C.
1
.( 1).2
n
n n
. D.
( 1).( 2).2
n
n n .
Câu 37: Tính tổng
0 1 2
2 3 ... ( 1)
n
n n n n
S C C C n C
bằng
A.
1
.2
n
n
. B.
1
( 1).2
n
n
. C.
1
( 2).2
n
n
. D.
( 1).2
n
n .
Câu 38: Tính tổng:
99 100 198 199
0 1 0 100
100 100 100 100
1 1 1 1
100. 101. ... 199. 200.
2 2 2 2
S C C C C
A.
10
. B.
0
. C.
1
. D.
100
.
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
Câu 39: Biết tiếp tuyến của hàm số vuông góc với đường phân giác góc phần tư
thứ nhất. Phương trình là:
d
3
2 2
y x x
d
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
B.
C.
D.
Câu 40: Cho hàm số . Có bao nhiêu cặp điểm thuộc mà tiếp tuyến tại đó
song song với nhau:
A. . B. . C. . D. Vô số.
Câu 41: Cho hàm số
3 2
1
3 1
3
y x x x
có đồ thị
C
. Trong các tiếp tuyến với đồ thị
C
, hãy
tìm phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
A.
8 19
y x
. B.
19
y x
. C.
8 10
y x
. D.
19
y x
.
Câu 42: Cho hàm số có đồ thị (C). Gọi là hoành độ các điểm trên
, mà tại đó tiếp tuyến của vuông góc với đường thẳng . Khi đó
bằng:
A. . B. . C. . D. .
Câu 43: Cho đồ thị hàm số
4 2
: 4 2017
C y x x
và đường thẳng
1
: y 1.
4
d x
Có bao nhiêu tiếp
tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng d?
A.
2
tiếp tuyến. B.
1
tiếp tuyến.
C. Không có tiếp tuyến nào. D.
3
tiếp tuyến.
Câu 44: Trên đồ thị của hàm số có điểm sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa
độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tọa độ là:
A. B. C. D.
Câu 45: Tiếp tuyến của parabol tại điểm tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông.
Diện tích của tam giác vuông đó là:
A. . B. . C. . D. .
1 18 5 3 1 18 5 3
, .
9 9
3 3
y x y x
, 4.
y x y x
1 18 5 3 1 18 5 3
, .
9 9
3 3
y x y x
2, 4.
y x y x
1
(C)
1
x
y
x
A, B
C
0
2
1
3 2
2 2
y x x x
1 2
,
x x
M , N
C
C
2017
y x
1 2
x x
4
3
4
3
1
3
1
1
1
y
x
M
M
2;1 .
1
4; .
3
3 4
; .
4 7
3
; 4 .
4
2
4
y x
(1;3)
25
2
5
4
5
2
25
4
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 46: Cho đồ thị hàm số
1
: ;
C y
x
điểm M có hoành độ
2 3
M
x thuộc (C). Biết tiếp tuyến
của (C) tại M lần lượt cắt Ox, Oy tại
A
,.
B
. Tính diện tích tam giác
OAB
.
A.
1
OAB
S
. B.
4
OAB
S
. C.
2
OAB
S
. D.
2 3
OAB
S
.
Câu 47: Biết với một điểm
M
tùy ý thuộc
C
:
2
3 3
2
x x
y
x
, tiếp tuyến tại
M
cắt
C
tại hai
điểm
A,B
tạo với
I 2; 1
một tam giác có diện tích không đổi, diện tích tam giác đó là?
A.
2
(đvdt ). B.
4
(đvdt ). C.
5
(đvdt ). D.
7
(đvdt ).
Câu 48: Cho hàm số
3
3 2
y x x
có đồ thị là
C
. Tìm những điểm trên trục hoành sao cho từ
đó kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với
nhau.
A.
8
;0
27
M
. B.
28
;0
7
M
. C.
8
;0
7
M
. D.
28
;0
27
M
.
Câu 49: Cho hàm số
2 1
y
1
x
x
có đồ thị là
C .
Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị
C
sao cho
tiếp tuyến này cắt các trục
O , O
x y
lần lượt tại các điểm
A
,
B
thoả mãn
OA 4OB.
A.
1 5
4 4
1 13
4 4
y x
y x
. B.
1 5
4 4
1 13
4 4
y x
y x
. C.
1 5
4 4
1 13
4 4
y x
y x
. D.
1 5
4 4
1 13
4 4
y x
y x
.
Câu 50: Cho hàm số
3 2
1
2 3
3
y x x x
có đồ thị là
4 4
;
9 3
A
. Có bao nhiêu giá trị
:
4
:
3
5 8
:
9 81
y x
y x
y x
để tiếp tuyến của
: 3
4
: 1
3
5 128
:
9 81
y x
y x
y x
tại giao điểm của nó với trục tung
tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng
8
.
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 51: Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
.Tìm giá trị nhỏ nhất của m sao cho tồn tại ít nhất một điểm
M
C
mà tiếp tuyến của
C
tại
M
tạo với hai trục toạ độ một tam giác có trọng tâm nằm
trên đường thẳng
: 2 1
d y m
.
A.
1
3
. B.
3
3
. C.
2
3
. D.
2
3
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 52: Cho hàm số
133 508; 8 8; 5 4.
y x y x y x
, có đồ thị là
C
. Có bao nhiêu điểm
C
thuộc
C
sao cho tiếp tuyến tại
của
C
cắt
Oy
tại
2
3 2
0 0 000 0
24 3 4 1 4 2 4
x x x x x x
B
sao cho diện tích tam giác
0
1
x
bằng
1
4
,
0
6
x
là gốc tọa độ.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 53:
2 2
2 2 1
1
x mx m
y
x
m
C
cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến với
m
C
tại hai điểm này vuông góc với nhau.
A.
2
3
m
. B.
1
m
. C.
2
, 1
3
m m
. D.
0
m
.
Câu 54: Cho hàm số
2
2
x mx m
y
x m
. Giá trị
m
để đồ thị hàm số cắt trục
Ox
tại hai điểm và tiếp
tuyến của đồ thị tại hai điểm đó vuông góc là
A.
3
. B.
4
. C.
5
. D.
7
.
Câu 55: Phương trình tiếp tuyến của
:
C
3
y x
biết nó đi qua điểm
2; 0
M
là:
A.
27 54
y x
. B.
27 9; 27 2
y x y x
.
C.
27 27
y x
. D.
0; 27 54
y y x
.
Câu 56: Cho hàm số
2
1
4
x
f x x
, có đồ thị
C
. Từ điểm
2; 1
M
kẻ đến
C
hai tiếp tuyến
phân biệt. Hai tiếp tuyến này có phương trình:
A.
1
y x
và
3
y x
. B.
2 5
y x
và
2 3
y x
.
C.
1
y x
và
3
y x
. D.
1
y x
và
3
y x
.
Câu 57: Tiếp tuyến của parabol
2
4
y x
tại điểm
(1;3)
tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông.
Diện tích của tam giác vuông đó là:
A.
25
2
. B.
5
4
. C.
5
2
. D.
25
4
.
Câu 58: Cho hai hàm số
1
2
f x
x
và
2
.
2
x
g x
Gọi
1 2
,
d d
lần lượt là tiếp tuyến của mỗi đồ thị hàm số
,
f x g x
đã cho tại giao điểm của
chúng. Hỏi góc giữa hai tiếp tuyến trên bằng bao nhiêu
A.
60
. B.
45
. C.
30
. D.
90
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 59: Cho hàm số
2 2
1
x
y
x
có đồ thị là
C
. Viết phương trình tiếp tuyến của
C
, biết tiếp
tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.
A.
: 7
y x
;
: 1
y x
. B.
: 2 7
y x
;
: 11
y x
.
C.
: 78
y x
;
: 11
y x
. D.
: 9
y x
;
: 1
y x
.
Câu 60: Cho hàm số
1
y x
có đồ thị
C
. Viết phương trình tiếp tuyến của
C
, biết tiếp tuyến
tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng
0
x
.
A.
;
2 3
0 0 0 0
2
0 0 00 0
' 3 6 9 3 9 11
y y x x x y x x x x x x x x
. B.
;
29
;184
3
I
.
C.
2 3
0 0 0
2
0 0 0
29
184 3 6 9 3 9 11
3
x x x x x x
;
3 2
0 0 0 0
2 32 58 260 0 13
x x x x
. D.
0
5
x
;
0
2.
x
.
Câu 61: Cho hàm số
1
(C)
1
x
y
x
. Có bao nhiêu cặp điểm
,
A B
thuộc
C
mà tiếp tuyến tại đó
song song với nhau:
A.
0
. B.
2
. C.
1
. D. Vô số.
Câu 62: Trên đồ thị của hàm số
1
1
y
x
có điểm
M
sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa
độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tọa độ
M
là:
A.
2;1 .
B.
1
4; .
3
C.
3 4
; .
4 7
D.
3
; 4 .
4
Câu 63: Định
m
để đồ thị hàm số
3 2
1
y x mx
tiếp xúc với đường thẳng
: 5
d y
?
A.
3
m
. B.
3
m
. C.
1
m
. D.
2
m
.
Câu 64: Gọi
S
là tập tất cả các giá trị thực của
m
sao cho đường thẳng
: 3
d y mx m
cắt đồ thị
3 2
( ): 2 3 2
C y x x
tại ba điểm phân biệt
A B I
mà tiếp tuyến với
( )
C
tại
A
và
tại
B
vuông góc với nhau. Tính tổng tất cả các phần tử của
.
S
A.
1.
B.
1
. C.
2
. D.
5.
Câu 65: Cho hàm số
3
2018
y x x
có đồ thị là
C
.
1
M
là điểm trên
C
có hoành
độ
1
1
x
. Tiếp tuyến của
C
tại
1
M
cắt
C
tại điểm
2
M
khác
1
M
, tiếp tuyến của
C
tại
2
M
cắt
C
tại điểm
3
M
khác
2
M
, tiếp tuyến của
C
tại điểm
1
n
M
cắt
C
tại điểm
n
M
khác
1
n
M
4; 5;...
n
, gọi
;
n n
x y
là tọa độ điểm
n
M
. Tìm
n
để:
2019
2018 2 0
n n
x y
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
647
n
. B.
675
n
. C.
674
n
. D.
627
n
.
Câu 66: Cho hàm số
y f x
xác định và có đạo hàm trên
thỏa mãn
2 3
1 2 1
f x x f x
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y f x
tại
điểm có hoành độ bằng 1.
A.
1 6
7 7
y x
. B.
1 8
7 7
y x
. C.
1 8
7 7
y x
. D.
6
7
y x
.
Câu 67: Tìm tất cả các giá trị thực của thàm số m sao cho hàm số
3
3 1
y x x C
, đường thẳng
: 3
d y mx m
giao nhau tại
1;3 , ,
A B C
và tiếp tuyến của
C
tại B và C vuông góc
nhau.
A.
3 2 2
3
3 2 2
3
m
m
B.
2 2 2
3
2 2 2
3
m
m
C.
4 2 2
3
4 2 2
3
m
m
D.
5 2 2
3
5 2 2
3
m
m
Câu 68: Cho hàm số:
4
2
5
3 ( )
2 2
x
y x C
và điểm M
( )
C
có hoành độ x
M
= a. Với giá trị nào của a
thì tiếp tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) 2 điểm phân biệt khác M.
A.
3
1
a
a
B.
3
1
a
a
C.
3
1
a
a
D.
7
2
a
a
Câu 69: Cho hàm số
3 2
1
1 4 3 1
3
y mx m x m x
có đồ thị là
m
C
,
m
là tham số. Tìm các
giá trị của
m
để trên
m
C
có duy nhất một điểm có hoành độ âm mà tiếp tuyến của
m
C
tại điểm đó vuông góc với đường thẳng
: 2 0
d x y
.
A.
0
2
3
m
m
B.
0
1
m
m
C.
1
0
3
m
D.
1
5
3
m
m
Câu 70: Cho hàm số có đồ thị và điểm . Gọi là tập hợp tất cả các
giá trị thực của nguyên thuộc khoảng để từ kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị
. Tổng tất cả các phần tử nguyên của bằng
A. . B. . C. . D. .
3
12 12
y x x
C
; 4
A m
S
m
2;5
A
C
S
7
9
3
4
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 71: Cho hàm số
3 2
6 9 1
f x x x x
có đồ thị
.
C
Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị
C
tại điểm thuộc đồ thị
C
có tung độ là nghiệm phương trình
2 ' . '' 6 0.
f x x f x
A. 1. B. 4. C. 3. D. 2
Câu 72: Cho các hàm số
2
2
( )
( ), ( ),
( )
f x
y f x y f x y
f x
có đồ thị lần lượt là
1 2 3
( ),( ),( )
C C C
. Hệ số
góc các tiếp tuyến của
1 2 3
( ),( ),( )
C C C
tại điểm có hoành độ
0
1
x
lần lượt là
1 2 3
, ,
k k k
thỏa
mãn
1 2 3
2 3 0
k k k
. Tính
(1)
f
.
A.
1
(1)
5
f
. B.
2
(1)
5
f
. C.
3
5
V
D.
4
(1)
5
f
.
Câu 73: Cho các hàm số
, ,
f x
y f x y g x y
g x
. Nếu các hệ số góc của các tiếp tuyến của
các đồ thị các hàm số đã cho tại điểm có hoành độ
0
x
bằng nhau và khác 0 thì:
A.
1
0
4
f
. B.
1
0
4
f
. C.
1
0
4
f
. D.
1
0
4
f
.
Câu 74: Cho hàm số
( ); ( )
y f x y g x
dương có đạo hàm
'( ); '( )
f x g x
trên
. Biết rằng tiếp tuyến
tại điểm có hoành độ
0
o
x
của đồ thị hàm số
( ); ( )
y f x y g x
và
( ) 1
( ) 1
f x
y
g x
có cùng
hệ số góc và khác 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
3
(0)
4
f
. B.
3
(0)
4
f
. C.
3
(0)
4
f
. D.
3
(0)
4
f
.
Câu 75: Cho hàm số
3 2
3 2 1
y x x x
có đồ thị
( )
C
. Hai điểm A, B phân biệt trên (C) có hoành
độ lần lượt là a và b
a b
và tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau.
2
AB
. Tính
2 3 .
S a b
A.
4
S
. B.
6
S
. C.
7
S
. D.
8
S
.
Câu 76: Cho hàm số
3 2
2 3 1
y x x
có đồ thị
( )
C
. Xét điểm A thuộc (C). Gọi S là tập hợp tất cả
các giá trị thực của a sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại điểm thứ hai B
( )
B A
thỏa
mãn
1
2
ab
trong đó a, b lần lượt là hoành độ của A và B. Tính tổng tất cả các phần
tử của S.
A.
4
S
. B.
6
S
. C.
7
S
. D.
8
S
.
Câu 77: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để trên đồ thị hàm số
3 2
2 5
( 1) (3 2)
3 3
y x m x m x
tồn tại hai điểm
1 1 1 2 2 2
( ; ), ( ; )
M x y M x y
có toạ độ thoả
mãn
1 2
. 0
x x
sao cho tiếp tuyến với đồ thị hàm số đồ thị hàm số tại hai điểm đó cùng vuông
góc với đường thẳng
2 1 0
x y
. Tìm số nguyên âm lớn nhất thuộc tập S.
A.
1
. B.
3
. C.
2
. D.
4
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 78: Gọi A là điểm thuộc đồ thị hàm số
4 2
1 5
3
2 2
y x x
( )
C
sao cho tiếp tuyến của (C) tại A
cắt (C) tại hai điểm phân biệt B, C khác A sao cho
3
AC AB
(với B nằm giữa A và C).
Tính độ dài đoạn thẳng OA.
A.
2
OA . B.
3
2
. C.
14
2
. D.
17
2
.
Câu 79: Cho hàm số
3 2
2 3 1
y x x
có đồ thị
( )
C
. Xét điểm
1
A
có hoành độ
1
5
2
x
thuộc (C). Tiếp
tuyến của (C) tại
1
A
cắt (C) tại điểm thứ hai
2 1
A A
có hoành độ
2
x
. Tiếp tuyến của (C) tại
2
A
cắt (C) tại điểm thứ hai
3 2
A A
có hoành độ
3
x
. Cứ tiếp tục như thế tiếp tuyến của (C)
tại
1
n
A
cắt (C) tại điểm thứ hai
1
n n
A A
có hoành độ
n
x
. Tìm
2018
x
.
A.
2018
2018
1
2
2
x
. B.
2018
2018
1
2
2
x
.
C.
2017
2018
1
3.2
2
x
. D.
2017
2018
1
3.2
2
x
.
Câu 80: Cho hàm số
3 2
2x 3x 1
y
có đồ thị
C
. Xét điểm
1
A
có hoành độ
1
1
x
thuộc
C
.
Tiếp tuyến của
C
tại
1
A
cắt
C
tại điểm thứ hai
2 1
A A
có hoành độ
2
x
. Tiếp tuyến của
C
tại
2
A
cắt
C
tại điểm thứ hai
3 2
A A
có hoành độ
3
x
. Cứ tiếp tục như thế, tiếp tuyến
của
C
tại
1
n
A
cắt
C
tại điểm thứ hai
1
n n
A A
có hoành độ
n
x
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của
n
để
100
5
n
x
.
A.
235
B.
234
C.
118
D.
117
Câu 81: Biết rằng tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3 3 3
y x a x b x c
có hệ số góc nhỏ nhất
tại tiếp điểm có hoành độ
1
x
đồng thời
, ,
a b c
là các số thực không âm. Tìm GTLN tung
độ của giao điểm đồ thị hàm số với trục tung?
A. 27 B. 3 C. 9 D. 18
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
C. HƯỚNG DẪN GIẢI
TÍNH ĐẠO HÀM
Câu 1: Tìm
,
a b
để hàm số
2
1
0
1
0
x
khi x
f x
x
ax b khi x
có đạo hàm tại điểm
0
x
.
A.
11
11
a
b
. B.
10
10
a
b
. C.
12
12
a
b
. D.
1
1
a
b
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Trước tiên hàm số phải liên tục tại
0
x
0 0
lim ( ) 1 (0), lim ( ) 1
x x
f x f f x b b
Xét
0 0
( ) (0) 1
lim lim 1
1
x x
f x f x
x x
0 0
( ) (0)
lim lim
x x
f x f
a a
x
Hàm số có đạo hàm tại
0 1
x a
Câu 2: Tìm
,
a b
để hàm số
2
1
( )
sin cos
ax bx
f x
a x b x
0
0
khi x
khi x
có đạo hàm tại điểm
0
0
x
A.
1; 1
a b
. B.
1; 1
a b
. C.
1; 1
a b
. D.
0; 1
a b
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
(0) 1
f
2
0 0
0 0
lim ( ) lim( 1) 1
lim ( ) lim( sin cos )
x x
x x
f x ax bx
f x a x b x b
Để hàm số liên tục thì
1
b
2
0
2
0 0
0 0 0 0
1 1
(0 ) lim 1
2 sin cos 2sin
sinx cos 1
2 2 2
(0 ) lim lim
sin sin
2 2
lim . lim cos lim . lim sin
2 2
2 2
x
x x
x x x x
ax x
f
x
x x x
a
a b x
f
x x
x x
x x
a a
x x
Để tồn tại
(0) (0 ) (0 ) 1
f f f a
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giới hạn lượng giác
0 ( ) 0
sinx sinf(x)
lim 1 lim 1
( )
x f x
x f x
Câu 3: Cho hàm số
( ) ( 1)( 2)...( 1000)
f x x x x x
. Tính
(0)
f
.
A.
10000!
. B.
1000!
. C.
1100!
. D.
1110!
.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
0 0 0
( ) (0) ( 1)( 2)...( 1000) 0
( ) lim lim lim( 1)( 2)...( 1000)
0
( 1)( 2)...( 1000) 1000!
x x x
f x f x x x x
f x x x x
x x
Câu 4: Cho hàm số
3 2 2
4 8 8 4
( )
0
x x
f x
x
0
0
khi x
khi x
.Giá trị của
(0)
f
bằng:
A.
1
3
. B.
5
3
. C.
4
3
. D. Không tồn tại.
Chọn B.
Ta có:
3 32 2 2 2
2 2
0 0 0
2 2
2
2 2
0
32 2
3
0
4 8 8 4 4 8 2 2 8 4
lim lim lim
1 4 8 1 5
lim 2
3 3
2 8 4
4 8 2 4 8 4
x x x
x
f x f
x x x x
x x x
x x
x
x
x x
Câu 5: Với hàm số
sin
( )
0
x
f x
x
0
0
khi x
khi x
.Để tìm đạo hàm
'( ) 0
f x
một học sinh lập luận
qua các bước như sau:
1.
( ) . sin
f x x x
x
.
2.Khi
0
x
thì
0
x
nên
( ) 0 ( ) 0
f x f x
.
3.Do
0 0
lim ( ) lim ( ) (0) 0
x x
f x f x f
nên hàm số liên tục tại
0
x
.
4.Từ
( )
f x
liên tục tại
0 ( )
x f x
có đạo hàm tại
0
x
.
Lập luận trên nếu sai thì bắt đầu từ bước:
A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3. D. Bước 4.
Chọn D.
Một hàm số liên tục tại x
0
chưa chắc có đạo hàm tại điểm đó, hơn nữa
0
sin
0
f x f
x x
không có giới hạn khi
0
x
Câu 6: Cho hàm số
2
1
sin
( )
0
x
f x
x
0
0
khi x
khi x
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
(1)
Hàm số
( )
f x
liên tục tại điểm
0
x
.
(2)
Hàm số
( )
f x
không có đạo hàm tại điểm
0
x
.
Trong các mệnh đề trên:
A. Chỉ
(1)
đúng. B. Chỉ
(2)
đúng. C. Cả
(1),(2)
đều đúng. D. Cả
(1),(2)
đều
sai.
Chọn C.
Ta có:
2
1
.sin
x x x
x
2 2
0 0 0 0
1 1
lim lim .sin lim 0 lim .sin 0 0
x x x x
x x x x f
x x
Vậy hàm số liên tục tại
0
x
Xét
2
0
0
1
lim lim sin
0
x
f x f
x x
Lấy dãy (x
n
):
1
2
2
n
x
n
có:
1
lim lim 0 lim lim sin 2 1
2
2
2
n n
n n n
x f x n
n
 
Lấy dãy
1 1
:
2
2
6
n n
x x
n
, tương tự ta cũng có:
2
0 0
0
1 1
lim 0 lim 0 lim sin 2 lim limsin
6 2 0
n n
n n n x x
f x f
x f x n
x x
  
không tồn tại
Câu 7: Cho hàm số
2
( )
2 1
ax bx
f x
x
1
1
khi x
khi x
.Tìm
,
a b
để hàm số có đạo hàm tại
1
x
A.
1, 0
a b
. B.
1, 1
a b
. C.
1, 0
a b
. D.
1, 1
a b
.
Chọn C.
Ta có:
1
1 1
lim 1
1
lim lim 2 1 1
x
x x
f x a b f
a b
f x x
2
1 1 1
1
lim lim lim 1 2
1 1
x x x
f x f ax bx a b
a x b a b
x x
2
1 1 1
1 2 1
2 1 1
lim lim lim 2
1 1 1
x x x
f x f x a b
x
x x x
Ta có hệ:
1 1
2 2 0
a b a
a b b
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 8: Đạo hàm của hàm số
2
1 1
1 3 1
x x khi x
f x
x khi x
là:
A.
2 1
1
1
2 1
x khi x
f x
khi x
x
. B.
2 1 1
1
1
1
x khi x
f x
khi x
x
.
C.
2 1 1
1
1
2 1
x khi x
f x
khi x
x
. D.
2 1 1
1
1
2 1
x khi x
f x
khi x
x
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Với
1: 2 1
x f x x
Với
1
1:
2 1
x f x
x
Với
1,
x
ta có
1 1
1
1
lim lim
1 1
x x
f x f
x
x x
nên không có đạo hàm tại
1.
x
Vậy
2 1 1
1
1
2 1
x khi x
f x
khi x
x
Câu 9: Cho hàm số
2
2
1
0
1
0
x x
khi x
f x
x
x ax b khi x
. Tìm
a
,
b
để hàm số
f x
có đạo hàm trên
.
A.
0
a
,
11
b
. B.
10
a
,
11
b
. C.
20
a
,
21
b
. D.
0
a
,
1
b
.
Chọn D.
Với
0
x
hàm số luôn có đạo hàm.
Để hàm số có đạo hàm trên
thì hàm số phải có đạo hàm tại
0
x
.
0
lim 1
x
f x
,
0
lim 1
x
f x b b
.
Để hàm số liên tục tại
0 1
x b
.
Xét
2
0 0
1
1
0
1
lim lim 0
0
x x
x x
f x f
x
x x
;
2
0 0
0
1
lim lim
0
x x
f x f
x ax b
a
x x
.
0
a
. Vậy
0
a
,
1
b
.
Câu 10: Đạo hàm của hàm số
2 3 4
( 1)( 2)( 3)
y x x x
bằng biểu thức có dạng
8 6 5 4 3 2
15
ax bx cx x dx ex gx
. Khi đó
a b c d e g
bằng:
A. 0. B. 2. C. 3. D. 5.
Chọn C.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
3 4 2 2 4 3 2 3
2 2 3 3 1 3 4 1 2
y x x x x x x x x x
7 4 3 2 6 4 2 3 5 3 2
2 2 3 6 3 3 3 4 2 2
x x x x x x x x x x x x
8 6 5 4 3 2
9 7 12 15 8 9 12 .
x x x x x x x
3
a b c d e g
.
Câu 11: Đạo hàm của hàm số
2
3
2 3
2
x x
y
x
bằng biểu thức có dạng
4 3 2
3 2
( 2)
ax bx cx dx e
x
. Khi đó
a b c d e
bằng:
A.
12
. B.
10
. C. 8. D. 5.
Chọn A.
3 2 2
4 3 2
2 2
3 3
2 2 2 3 2 3
4 9 4 4
2 2
x x x x x
x x x x
y
x x
12
a b c d e
Câu 12: Đạo hàm của hàm số
2
( 2) 1
y x x
biểu thức có dạng
2
2
1
ax bx c
x
. Khi đó
. .
a b c
bằng:
A.
2
. B.
4
. C.
6
. D.
8
.
Chọn B.
2
2
2 2
2 2 2 1
1 2 .
2 1 1
x x x
y x x
x x
.
Câu 13: Đạo hàm của hàm số
2
1
1
x
y
x
biểu thức có dạng
2 3
( 1)
ax b
x
. Khi đó
.
P a b
bằng:
A.
1
P
. B.
1
P
. C.
2
P
. D.
2
P
.
Chọn A.
2
2 2
2
2
3 3
2 2
1 1 .
1 1
1
1
1 1
x
x x
x x x x
x
y
x
x x
.
. 1
P a b
.
Câu 14: Cho
1 2 2017
x
f x
x x x
thì
0
f
A.
1
2017!
. B.
2017!
. C.
1
2017!
. D.
2017!
.
Chọn C.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có:
2
1 2 2017 1 2 2017
1 2 2017
x x x x x x x
f x
x x x
2
1 2 2017
1
0
2017!
1 2 2017
f
.
Câu 15: Cho hàm số
1 1
1 1
x x
f x
x x
. Đạo hàm
f x
là biểu thức nào sau đây?
A.
2
1
1, 1
1 1 1
khi x x
x
khi x
. B.
2
2
1, 1
1 1 1
khi x x
x
khi x
.
C.
2
1
1, 1
1 1 1
khi x x
x
khi x
. D.
2
3
1, 1
2 1 1
khi x x
x
khi x
.
Chọn A.
Lập bảng dấu ta được:
1
1, 1
1 1
khi x x
f x
x
x khi x
.
- Với
1
x
hoặc
1
x
2
1
f x
x
.
- Với
1 1 1
x f x
.
Ta có
1 1
lim lim 1
x x
f x f x

nên hàm số liên tục tại
1
x
.
Xét
1
1
lim 1
1
x
f x f
x
,
1
1
lim 1
1
x
f x f
x

nên hàm số không có đạo hàm tại
1
x
.
Bằng cách tương tự ta cũng chỉ ra được hàm số không có đạo hàm tại
1
x
.
Vậy
1
1, 1
1 1
khi x x
f x
x
x khi x
.
Câu 16: Cho hàm số
2 2
sin cos .cos sin
y x x
. Đạo hàm
.sin2 .cos cos2
y a x x
. Giá trị của
a
là
số nguyên thuộc khoảng nào sau đây?
A.
0;2
. B.
1;5
. C.
3;2
. D.
4;7
.
Chọn C
y
󰆒
=−2sinx.cosx.cos
(
cos
x
)
.cos
sin
x
− 2sinx.cosx.sin
(
cos
x
)
.sin
sin
x
=−sin
(
2x
)
.cos
cos
x − sin
x
=−sin
(
2x
)
.cos
(
cos2x
)
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
1
a
.
Câu 17: Cho hàm số
1 1 1 1 1 1
cos
2 2 2 2 2 2
y x
với
0;
x
có
y
là biểu thức có dạng
.sin
8
x
a . Khi đó
a
nhận giá trị nào sau đây:
A.
1
4
. B.
1
4
. C.
1
8
. D.
1
8
.
Chọn D.
Ta có:
2
1 1
cos cos cos
2 2 2 2
x x
x
Tương tự ta có biểu thức tiếp theo:
2
1
cos cos sin
8 8 8 8
x x x
y y
Câu 18: Đạo hàm của hàm số
2 2
x
y
a x
(
a
là hằng số) là:
A.
2
3
2 2
a
a x
. B.
2
3
2 2
a
a x
. C.
2
3
2 2
2a
a x
. D.
2
3
2 2
a
a x
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
2
2 2
2
2 2
2 2
3
2 2
x
a x
a
a x
y
a x
a x
Câu 19: Cho hàm số
2
2
y x x
. Mệnh đề nào sau đây là đúng ?
A.
3
. 1 0
y y
. B.
2
. 1 0
y y
. C.
2
3 . 1 0.
y y
. D.
3
2 . 3 0.
y y
Chọn A
Hướng dẫn giải :
Ta có:
2
1
2
x
y
x x
,
3
2
1
2
y
x x
Thay vào:
3
3 2
3
2
1
. 1 2 . 1 1 1 0.
2
y y x x
x x
Câu 20: Cho hàm số
3 3
sin cos
1 sin cos
x x
y
x x
. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A.
2 0.
y y
B.
0.
y y
C.
0.
y y
D.
2 3 0.
y y
Hướng dẫn giải :
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có :
2 2
sin cos sin cos sin cos
sin cos
1 sin cos
x x x x x x
y x x
x x
cos sin , sin cos
y x x y x x
0.
y y
Câu 21: Cho và . Tổng bằng biểu thức nào
sau đây?
A. . B. .
C. 6. D. 0.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
Suy ra:
Câu 22: Cho hàm số
2
1
x
f x
x
. Tìm
30
f x
:
A.
30
30
30! 1
f x x
. B.
31
30
30! 1
f x x
.
C.
30
30
30! 1
f x x
. D.
31
30
30! 1
f x x
.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Với
, , 0
k b
g x x k R k
ax b a
. Ta có:
1
. 1 . . !
, .
n
n
n
n
k a n
b
g x x
a
ax b
Hàm số
2
1
1
1 1
x
f x x
x x
. Nên
31
30
31
30!
30! 1
1
f x x
x
.
Câu 23: Cho hàm số
cos
y x
. Khi đó
(2016)
( )
y x
bằng
A.
cos
x
. B.
sin
x
. C.
sin
x
. D.
cos
x
.
Hướng dẫn giải
sin cos( )
2
y x x
;
cos cos( )
y x x
;
6 6
( ) sin cos
f x x x
2 2
( ) 3sin .cos
g x x x
( ) ( )
f x g x
5 5
6(sin cos sin .cos )
x x x x
5 5
6(sin cos sin .cos )
x x x x
5 5 5 5
2
6sin .cos 6cos . sin 6sin .cos 6cos .sin
3 3
.sin 2 sin 2 .2.cos2
4 2
f x x x x x x x x x
g x x x x
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
6.sin .cos sin cos sin cos 6sin .cos . cos sin
6sin .cos . cos sin 6sin .cos . cos sin 0
f x g x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Dự đoán
( )
( ) cos( )
2
n
n
y x x
.
Thật vậy:
Dễ thấy MĐ đúng khi
1
n
. Giả sử MĐ đúng khi
( 1)
n k k
, tức là ta có
( )
( ) cos( )
2
k
k
y x x
Khi đó
( 1) ( )
( 1)
( ) [ ( )] [cos( )] =-sin( )=sin(- )=cos( )
2 2 2 2
k k
k k k k
y x y x x x x x
.
Vậy MĐ đúng khi
1
n k
nên nó đúng với mọi
n
.
Do đó
(2016)
( ) cos( 1008 ) cos
y x x x
Chọn D.
Câu 24: Cho hàm số
2
cos 2
y x
. Giá trị của biểu thức
16 16 8
y y y y

là kết quả nào sau đây?
A.
0
. B.
8
. C.
1
cos
2
x
. D.
2 ,
3
x k k
.
Hướng dẫn giải
2cos2 .2sin2 2sin 4
y x x x
,
8cos4
y x
,
32sin 4
y x
.
2
16 16 8 32sin 4 8cos4 32sin4 16cos 2 8
y y y y x x x x

2
16cos 2 8cos4 8 0
x x
.
Chọn A.
Câu 25: Cho hàm số
cos 2
3
y f x x
. Phương trình
4
8
f x
có các nghiệm thuộc đoạn
0;
2
là:
A.
0
x
,
3
x
. B.
2
x
. C.
0
x
,
2
x
. D.
0
x
,
6
x
.
Hướng dẫn giải
2sin 2
3
f x x
,
4cos 2
3
f x x
,
8sin 2
3
f x x

,
4
16cos 2
3
f x x
.
4
1
2
8 cos 2
3 2
6
x k
f x x k
x k
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Vì
0;
2
x
nên lấy được
2
x
.
Chọn B.
Câu 26: Cho hàm số
2
5 14 9.
f x x x
Tập hợp các giá trị của
x
để
' 0
f x
là
A.
7 9
; .
5 5
B.
7
; .
5

C.
7
1; .
5
D.
7
; .
5

Câu 27: Cho hàm số
2
1
f x x x
. Tập các giá trị của
x
để
2 . 0
x f x f x
là:
A.
1
;
3

. B.
1
;
3

. C.
1
;
3

. D.
2
;
3

.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
2 2 2
2 2
2
1 2 . 0 2 . 0
1 1 1
0
1
2 1 0
3 1
3
f x f x
x
f x x f x f x x f x
x x x
x
x x do f x x x x x x
x
Vậy
1
;
3
x

Câu 28: Cho hàm số
2
.
f x x x
Tập nghiệm S của bất phương trình
'
f x f x
là:
A.
2 2
;0 ;
2
S

. B.
;0 1;S
 
.
C.
2 2 2 2
; ;
2 2
S

. D.
2 2
; 1;
2
S

Câu 29: Cho các hàm số
4 4 6 2
sin cos , sin cos
f x x x g x x x
. Tính biểu thức
3 ' 2 ' 2
f x g x
A.
0
. B.
2
. C.
1
. D.
3
Câu 30: Cho hàm số
y f x
có đồ thị
C
như hình vẽ. Tính
' 1 ' 2 ' 3
A f f f
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
6A
B.
6A
C.
0A
D. 12A
Câu 31: Cho hàm số
3
2
3 1 1
3
mx
f x mx m x
. Tập các giá trị của tham số
m
để 0y
với
x
là:
A.
; 2

. B.
;2
. C.
;0
. D.
;0
.
Lời giải
Chọn C.
2
2
2 3 1
0 2 3 1 0 1
y mx mx m
y mx mx m
+ Với
0m
thì (1) trở thành
1 0
nên đúng với
x
.
+ Với
0m
khi đó (1) đúng với
0 0
0
0 1 2 0
a m
x m
m
Vậy
0m
Câu 32: Cho hàm số
3 2
1 3 2 6 2 1y m x m x m x
. Tập giá trị của
m
để 0y
x
là
A.
3;
. B.
1;
. C.
. D.
4 2;

.
Chọn C.
2
3 1 2 2 2 2y m x m x m
.
2
0 1 2 2 2 2 0y m x m x m
(1)
Với
1m
thì
1 6 6 0 1 1x x m
(loại).
Với
1 1m
đúng
1
0
2 3 0
0
m
a
x
m m
m
vô nghiệm.
Câu 33: Cho hàm số
2
sin sin 2f x x x
. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất
m
của
f x
trên .
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2
m ,
2
M . B.
1
m
,
1
M
. C.
2
m
,
2
M
. D.
5
m
,
5
M .
Chọn D.
2sin .cos 2cos2 sin2 2cos2
f x x x x x x
Đặt
sin 2 2cos
t x x
.
Điều kiện phương trình có nghiệm là: 1
+ 2
≥
⟺ −
√
5≤ ≤
√
5.
Vậy
5, 5
M m
.
Câu 34: Cho hàm số
3
3
cos
2 sin 2cos 3sin
3
x
f x x x x
. Biểu diễn nghiệm của phương trình
lượng giác
f x
trên đường tròn ta được mấy điểm phân biệt?
A. 1 điểm. B. 2 điểm. C. 4 điểm. D. 6 điểm.
Chọn B.
3 3
2sin 3cos
f x x x
3
3
3 3
0 tan tan
2 2
f x x x
.
Vậy có hai điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.
Câu 35: Đẳng thức nào sau đây đúng?
A.
1 2 3 1
2 3 .2 , .
n n
n n n n
C C C nC n n N
B.
1 2 3
2 3 1 .2 , .
n n
n n n n
C C C nC n n N
C.
1 2 3 1
2 3 1 .2 , .
n n
n n n n
C C C nC n n N
D.
1 2 3 1
2 3 1 .2 , .
n n
n n n n
C C C nC n n N
Chọn A
Hướng dẫn giải
Cách 1: Xét
0 1 1 1
1
n
n n n n
n n n n
f x x C C x C x C x x R
1
1 2 2 1 1
' 1 2 1 . . .
n
n n n n
n n n n
f x n x C xC n x C n x C
' 1
1 2 1 1
2 1 . . .2
n n n
n n n n
f C C n C n C n
.
Cách 2: Sử dụng MTCT
-Chọn với
1
n
:
1
1
C
0
2 1
(đúng)
-Chọn với
2
n
:
1 2
2 2
2 2.2 4
C C
(đúng)
….
Từ việc thử đáp án ta được kết quả
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 36: Tính tổng với
, 2 :
n N n
2 3 1
1.2. 2.3. ... ( 2).( 1). ( 1). .
n n
n n n n
S C C n n C n nC
A.
2
( 1).( 2).2
n
n n
. B.
2
n
n n
. C.
1
.( 1).2
n
n n
. D.
( 1).( 2).2
n
n n .
Chọn B
Hướng dẫn giải
Cách 1: Xét hàm số
0 1 1 2 2 1 1
( ) (1 ) ...
n n n n n
n n n n n
f x x C C x C x C x C x
Suy ra:
1
1 2 2 1 1
' 1 2 1 . . .
n
n n n n
n n n n
f x n x C xC n x C n x C
2
1 . . 1
n
f x n n x
2 3 3 1 2
1.2. 2.3. . ... ( 2).( 1) . ( 1). . .
n n n n
n n n n
C xC n n x C n n x C
2 3 1 2
1 1.2. 2.3. 2 . 1 . 1 . . 1 2
n n n
n n n n
f C C n n C n nC n n
.
Cách 2: Sử dụng MTCT ta thử với một vài giá trị
2.
n
-Với
2
n
2 1
2
1.2. 2.1.2 2
S C
(đúng)
-Với
3
n
2 3
3 3
1.2. 2.3. 3.2.2 12
S C C
(đúng)
…
So sánh, đối chiếu các đáp án ta được kết quả.
Câu 37: Tính tổng
0 1 2
2 3 ... ( 1)
n
n n n n
S C C C n C
bằng
A.
1
.2
n
n
. B.
1
( 1).2
n
n
. C.
1
( 2).2
n
n
. D.
( 1).2
n
n .
Chọn C
Hướng dẫn giải
Cách 1: Ta có:
0 1 1 2 2 1 1
(1 ) ...
n n n n n
n n n n n
x C C x C x C x C x
x R
Nhân 2 vế với
x
ta được:
0 2 1 3 2 1 1
(1 ) . . . ... . .
n n n n n
n n n n n
x x xC x C x C x C x C
Lấy đạo hàm 2 vế ta được :
1 0 1 2 2
(1 ) (1 ) 2 . 3 . ... ( 1) .
n n n n
n n n n
x nx x C xC x C n x C
Thay
1
x
ta được:
0 1 2 1 1
2 3 ... ( 1) 2 .2 ( 2).2 .
n n n n
n n n n
S C C C n C n n
Cách 2: Sử dụng MTCT (bạn đọc tự thử lại)
Câu 38: Tính tổng:
99 100 198 199
0 1 0 100
100 100 100 100
1 1 1 1
100. 101. ... 199. 200.
2 2 2 2
S C C C C
A.
10
. B.
0
. C.
1
. D.
100
.
Chọn B.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải
Xét
100
100
2 100
1
f x x x x x
100 0 1 2 2 100 100
100 100 100 100
x C C x C x C x
0 100 1 101 2 102 100 200
100 100 100 100
. . ...
C x C x C x C x
99
2
' 100 2 1 .
f x x x x
99 0 100 1 101 2 199 100
100 100 100 100
100 . 101 . 102 . ... 200
x C x C x C x C
Lấy
1
2
x
ta được:
99 100 199
0 1 100
100 100 100
1 1 1
0 100 101 ... 200 0
2 2 2
C C C S
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
Câu 39: Biết tiếp tuyến của hàm số vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ
nhất. Phương trình là:
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Tập xác định:
Đường phân giác góc phần tư thứ nhất có phương trình
có hệ số góc là
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là
Chọn C.
Câu 40: Cho hàm số . Có bao nhiêu cặp điểm thuộc mà tiếp tuyến tại đó song
song với nhau:
A. . B. . C. . D. Vô số.
Hướng dẫn giải
Ta có:
Đồ thị hàm số
có tâm đối xứng .
Lấy điểm tùy ý .
Gọi là điểm đối xứng với qua suy ra . Ta có:
d
3
2 2
y x x
d
1 18 5 3 1 18 5 3
, .
9 9
3 3
y x y x
, 4.
y x y x
1 18 5 3 1 18 5 3
, .
9 9
3 3
y x y x
2, 4.
y x y x
.
D
2
3 2.
y x
: .
x y
d
1.
2
1
1 3 2 1 .
3
o o o
y x x x
1 18 5 3 1 18 5 3
: , .
9 9
3 3
d y x y x
1
(C)
1
x
y
x
A, B
C
0
2
1
2
2
' .
1
y
x
1
1
x
y
x
1 1
I ;
0 0
A x ; y C
B
A
I
0 0
2 2
B x ; y C
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 30
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm là:
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm là:
Ta thấy nên có vô số cặp điểm thuộc mà tiếp tuyến tại đó song song với
nhau.
Chọn D.
Câu 41: Cho hàm số
3 2
1
3 1
3
y x x x
có đồ thị
C
. Trong các tiếp tuyến với đồ thị
C
, hãy tìm
phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
A.
8 19
y x
. B.
19
y x
. C.
8 10
y x
. D.
19
y x
.
Câu 42: Cho hàm số có đồ thị (C). Gọi là hoành độ các điểm trên
, mà tại đó tiếp tuyến của vuông góc với đường thẳng . Khi đó
bằng:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Ta có: .
Tiếp tuyến tại của vuông góc với đường thẳng . Hoành độ
của các điểm là nghiệm của phương trình .
Suy ra .
Chọn A.
Câu 43: Cho đồ thị hàm số
4 2
: 4 2017
C y x x
và đường thẳng
1
: y 1.
4
d x
Có bao nhiêu tiếp
tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng d?
A.
2
tiếp tuyến. B.
1
tiếp tuyến.
C. Không có tiếp tuyến nào. D.
3
tiếp tuyến.
Câu 44: Trên đồ thị của hàm số có điểm sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ
tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tọa độ là:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
A
0
2
0
2
1
A
k y' x .
x
B
0
2
0
2
2
1
B
k y' x .
x
A B
k k
A, B
C
3 2
2 2
y x x x
1 2
,
x x
M , N
C
C
2017
y x
1 2
x x
4
3
4
3
1
3
1
2
' 3 4 2
y x x
M , N
C
2017
y x
1 2
,
x x
M , N
2
3 4 1 0
x x
1 2
4
3
x x
1
1
y
x
M
M
2;1 .
1
4; .
3
3 4
; .
4 7
3
; 4 .
4
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 31
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có: . Lấy điểm .
Phương trình tiếp tuyến tại điểm là: .
Giao với trục hoành: .
Giao với trục tung:
. Vậy
Chọn D.
Câu 45: Tiếp tuyến của parabol tại điểm tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông.
Diện tích của tam giác vuông đó là:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
+ .
+PTTT tại điểm có tọa độ là: .
+ Ta có giao tại , giao tại khi đó tạo với hai trục tọa độ
tam giác vuông vuông tại .
Diện tích tam giác vuông là: .
Chọn D.
Câu 46: Cho đồ thị hàm số
1
: ;
C y
x
điểm M có hoành độ
2 3
M
x thuộc (C). Biết tiếp tuyến của
(C) tại M lần lượt cắt Ox, Oy tại
A
,.
B
. Tính diện tích tam giác
OAB
.
A.
1
OAB
S
. B.
4
OAB
S
. C.
2
OAB
S
. D.
2 3
OAB
S
.
Câu 47: Biết với một điểm
M
tùy ý thuộc
C
:
2
3 3
2
x x
y
x
, tiếp tuyến tại
M
cắt
C
tại hai điểm
A,B
tạo với
I 2; 1
một tam giác có diện tích không đổi, diện tích tam giác đó là?
A.
2
(đvdt ). B.
4
(đvdt ). C.
5
(đvdt ). D.
7
(đvdt ).
Hướng dẫn giải
Chọn A
2
1
'
1
y
x
0 0
M x ; y C
M
0
2
0
0
1 1
1
1
y . x x
x
x
0
2 1 0
Ox=A x ;
0
2
0
2 1
0
1
x
Oy=B ;
x
2
0
0
0
2 1
1 3
4
2 1 4
OAB
x
S OA.OB x
x
3
; 4 .
4
M
2
4
y x
(1;3)
25
2
5
4
5
2
25
4
2 (1) 2
y x y
(1;3)
2( 1) 3 2 5 ( )
y x y x d
( )
d
Ox
5
;0
2
A
Oy
(0;5)
B
( )
d
OAB
O
OAB
1 1 5 25
. . .5
2 2 2 4
S OAOB
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 32
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2
3 3 1
1
2 2
x x
y x
x x
. Ta có:
2
1
' 1
2
y
x
.
Gọi
0 0 0 0
0
1
; ( ) 1
2
M x y C y x
x
Tiếp tuyến với
( )
C
tại
M
là
0 0
2
0
0
1 1
: 1 1
2
2
y x x x
x
x
Nếu
2
x
tại điểm
A
, thì
0
0
2
A
x
y
x
0
0
2;
2
x
A
x
Nếu
cắt tiệm cận xiện tại điểm
B
thì
0 0 0 0
2
0
0
1 1
1 1 1 2 2 1 2 3
2
2
B B B B B
x x x x x x y x x
x
x
0 0
2 2;2 3
B x x
Nếu
I
là giao hai tiệm cận, thì
I
có tọa độ
I 2; 1 .
Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
B
trên tiệm cận đứng
2
x
suy ra
0
H( 2;2 3)
x
Diện tích tam giác
0
0
0
1 1 1
AIB: . . 1 2 2 2
2 2 2 2
A I B H
x
S AI BH y y x x x
x
Hay
0
0
1 2
.2 2 2
2 2
S x
x
( đvdt )
Chứng tỏ
S
là một hằng số, không phụ thuộc vào vị trí của điểm
M
.
Câu 48: Cho hàm số
3
3 2
y x x
có đồ thị là
C
. Tìm những điểm trên trục hoành sao cho từ đó
kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
A.
8
;0
27
M
. B.
28
;0
7
M
. C.
8
;0
7
M
. D.
28
;0
27
M
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Xét điểm ( ;0)
M m Ox
.
Cách 1: Đường thẳng
d
đi qua
M
, hệ số góc
k
có phương trình:
( )
y k x m
.
d
là tiếp tuyến của
C
hệ
3
2
3 2 ( )
3 3
x x k x m
x k
có nghiệm
x
Thế
k
vào phương trình thứ nhất, ta được:
2 3
3( 1)( ) ( 3 2) 0
x x m x x
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 33
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2 2
( 1)(3 3(1 ) 3 ) ( 1)( 2) 0
x x m x m x x x
2
( 1)[2 (3 2) 3 2] 0
x x m x m
1
1
x
hoặc
2
2 (3 2) 3 2 0 2
x m x m
Để từ
M
kẻ được ba tiếp tuyến thì
1
phải có nghiệm
x
, đồng thời phải có
3
giá trị
k
khác nhau, khi đó
2
phải có hai nghiệm phân biệt khác
1
, đồng thời phải có
2
giá trị
k
khác nhau và khác
0
2
phải có hai nghiệm phân biệt khác
1
khi và chỉ khi:
2
(3 2)(3 6) 0
, 2
3
3 3 0
1
m m
m m
m
m
3
Với điều kiện
3
, gọi
1 2
,
x x
là hai nghiệm của
2
, khi đó hệ số góc của ba tiếp tuyến là
2 2
1 1 2 2 3
3 3, 3 3, 0
k x k x k
.
Để hai trong ba tiếp tuyến này vuông góc với nhau
1 2
. 1
k k
và
1 2
k k
1 2
. 1
k k
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
9( 1)( 1) 1 9 9( ) 18 10 0 ( )
x x x x x x x x i
Mặt khác theo Định lí Viet
1 2 1 2
3 2 3 2
;
2 2
m m
x x x x
.
Do đó
28
( ) 9(3 2) 10 0
27
i m m thỏa điều kiện
3
, kiểm tra lại ta thấy
1 2
k k
Vậy,
28
;0
27
M
là điểm cần tìm.
Cách 2: Gọi
0 0
( ; ) ( )
N x y C
. Tiếp tuyến
của
C
tại
N
có phương trình:
2
0 0 0
3 3 ( )
y x x x y
.
đi qua
2
0 0 0
0 3 3 ( )
M x m x y
2
0 0 0 0 0
3( 1)( 1)( ) ( 1) ( 2) 0
x x x m x x
2
0 0 0
( 1) 2 (3 2) 3 2 0
x x m x m
0
2
0 0
1
2 (3 2) 3 2 0 (a)
x
x m x m
Từ
M
vẽ được đến
C
ba tiếp tuyến
( )
a
có hai nghiệm phân biệt khác
1
, và có hai
giá trị
2
0
3 3
k x
khác nhau và khác
0
điều đó xảy ra khi và chỉ khi:
2
(3 2)(3 6) 0
(3 2) 8(3 2) 0
3 3 0
2 2(3 2) 0
m m
m m
m
m
1
2
, 2
3
m
m m
( )
b
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 34
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Vì tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
1
x
có hệ số góc bằng 0 nên yêu cầu bài toán
2 2
( 3 3)( 3 3) 1
p q
(trong đó
,
p q
là hai nghiệm của phương trình
( )
a
)
2 2 2 2
9 9( ) 10 0
p q p q
2 2 2
9 9( ) 18 10 0
p q p q pq
2 2
9(3 2) 9(3 2)
9(3 2) 10 0
4 4
m m
m
28
27
m
. Vậy
28
;0
27
M
.
Câu 49: Cho hàm số
2 1
y
1
x
x
có đồ thị là
C .
Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị
C
sao cho
tiếp tuyến này cắt các trục
O , O
x y
lần lượt tại các điểm
A
,
B
thoả mãn
OA 4OB.
A.
1 5
4 4
1 13
4 4
y x
y x
. B.
1 5
4 4
1 13
4 4
y x
y x
. C.
1 5
4 4
1 13
4 4
y x
y x
. D.
1 5
4 4
1 13
4 4
y x
y x
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Giả sử tiếp tuyến
d
của
C
tại
0 0
( ; ) ( )
M x y C
cắt
Ox
tại
,
A
Oy
tại
B
sao cho
4O
OA B
.
Do
OAB
vuông tại
O
nên
1
tan
4
OB
A
OA
Hệ số góc của
d
bằng
1
4
hoặc
1
4
.
Hệ số góc của
d
là
0
2 2
0 0
1 1 1
( ) 0
( 1) ( 1) 4
y x
x x
0 0
0 0
3
1
2
5
3
2
x y
x y
Khi đó có
2
tiếp tuyến thoả mãn là:
1 3 1 5
( 1)
4 2 4 4
1 5 1 13
( 3)
4 2 4 4
y x y x
y x y x
.
Câu 50: Cho hàm số
3 2
1
2 3
3
y x x x
có đồ thị là
4 4
;
9 3
A
. Có bao nhiêu giá trị
:
4
:
3
5 8
:
9 81
y x
y x
y x
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 35
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
để tiếp tuyến của
: 3
4
: 1
3
5 128
:
9 81
y x
y x
y x
tại giao điểm của nó với trục tung tạo với hai trục tọa độ
một tam giác có diện tích bằng
8
.
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
: 3
4
:
3
5 128
:
9 81
y x
y
y x
là giao điểm của
( )
m
C
với trục tung
2
' 3 '(0)
y x m y m
Phương trình tiếp tuyến với
( )
m
C
tại điểm
m
là 1
y mx m
Gọi
A, B
lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến này với trục hoanh và trục tung, ta có tọa độ
1
;0
m
A
m
và
(0;1 )
B m
Nếu
0
m
thì tiếp tuyến song song với
Ox
nên loại khả năng này
Nếu
0
m
ta có
2
9 4 5
1
1 1 1
8 . 8 1 8 16
2 2
7 4 3
OAB
m
m
m
S OAOB m
m m
m
Vậy có 4 giá trị cần tìm.
Câu 51: Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
.Tìm giá trị nhỏ nhất của m sao cho tồn tại ít nhất một điểm
M
C
mà tiếp tuyến của
C
tại
M
tạo với hai trục toạ độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường
thẳng
: 2 1
d y m
.
A.
1
3
. B.
3
3
. C.
2
3
. D.
2
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
0 0
( ; ) ( )
M x y C
. Phương trình tiếp tuyến tại
M
:
0 0
2
0
3
( )
(2 1)
y x x y
x
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 36
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
A
,
B
là giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành và trục tung
2
0 0
2
0
2 4 1
(2 1)
B
x x
y
x
.
Từ đó trọng tâm
G
của
OAB
có:
1
y 3x-
3
.
Vì
G d
nên
2
0 0
2
0
2 4 1
2 1
3(2 1)
x x
m
x
Mặt khác:
2 2 2 2
0 0 0 0 0
2 2 2
0 0 0
2 4 1 6 (2 1) 6
1 1
(2 1) (2 1) (2 1)
x x x x x
x x x
Do đó để tồn tại ít nhất một điểm
M
thỏa bài toán thì
1 1
2 1
3 3
m m
.
Vậy GTNN của
m
là
1
3
.
Câu 52: Cho hàm số
133 508; 8 8; 5 4.
y x y x y x
, có đồ thị là
C
. Có bao nhiêu điểm
C
thuộc
C
sao cho tiếp tuyến tại
của
C
cắt
Oy
tại
2
3 2
0 0 000 0
24 3 4 1 4 2 4
x x x x x x
B
sao cho diện tích tam giác
0
1
x
bằng
1
4
,
0
6
x
là gốc tọa độ.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
0
0 0 0 0
2
0
0
2 2
; '
1
1
x
M x y C y y
x
x
Phương trình tiếp tuyến
0
1
x
của
C
tại
0
2
x
là:
5 4
y x
.
Tiếp tuyến
133 508; 8 8; 5 4.
y x y x y x
cắt hai trục tọa độ
2
2 1
2
x x
y
x
tại hai
điểm phân biệt
2
0
;0
A x ,
5
y
sao cho diện tích tam giác
AOB
có diện tích bằng
4
y
khi đó
2
2
2 2
0
0 0 0
2
0
2
1 1 1 1
. . . . 4 1 0
2 4 2 2
1
x
OAOB OAOB x x x
x
2
0
0 0
2
0 0
0
1 1
; 2
2 1 0
2 2
2 1 0
1 1;1
x M
x x
x x
x M
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 37
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 53:
2 2
2 2 1
1
x mx m
y
x
m
C
cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến với
m
C
tại hai điểm này vuông góc với nhau.
A.
2
3
m
. B.
1
m
. C.
2
, 1
3
m m
. D.
0
m
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Hàm số đã cho xác định trên
\ 1
.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của
m
C
và trục hoành:
2 2
2 2
2 2 1
0 2 2 1 0, 1
1
x mx m
x mx m x
x
1
Để
m
C
cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt
,
A B
thì phương trình
1
phải có hai nghiệm
phân biệt khác
1
. Tức là ta phải có:
2 2
2
' 2 1 0
1 2 2 1 0
m m
m m
hay
1 1 0
2 1 0
m m
m m
tức
1 1
0
m
m
2
.
Gọi
1 2
;
x x
là hai nghiệm của
1
. Theo định lý Vi – ét, ta có:
1 2
2 ,
x x m
2
1 2
. 2 1
x x m
Giả sử
0
;0
I x
là giao điểm của
m
C
và trục hoành. Tiếp tuyến của
m
C
tại điểm
I
có hệ
số góc
2 2
0 0 0 0
0
0
2
0
0
2 2 1 2 2 1
2 2
'
1
1
x m x x mx m
x m
y x
x
x
Như vậy, tiếp tuyến tại
,
A B
lần lượt có hệ số góc là
1
1
1
2 2
'
1
x m
y x
x
,
2
2
2
2 2
'
1
x m
y x
x
.
Tiếp tuyến tại
,
A B
vuông góc nhau khi và chỉ khi
1 2
' ' 1
y x y x
hay
1 2
1 2
2 2 2 2
1
1 1
x m x m
x x
2
1 2 1 2
5 . 4 1 4 1 0
x x m x x m
tức
2
3 2 0
m m
1
m
hoặc
2
3
m
. Đối chiếu điều kiện chỉ có
2
3
m
thỏa mãn.
Câu 54: Cho hàm số
2
2
x mx m
y
x m
. Giá trị
m
để đồ thị hàm số cắt trục
Ox
tại hai điểm và tiếp
tuyến của đồ thị tại hai điểm đó vuông góc là
A.
3
. B.
4
. C.
5
. D.
7
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 38
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
2
2
:
x mx m
C y
x m
và trục hoành:
2
2
2 0 *
2
0
x mx m
x mx m
x m
x m
.
Đồ thị hàm số
2
2
x mx m
y
x m
cắt trục
Ox
tại hai điểm phân biệt
phương trình
*
có
hai nghiệm phân biệt khác
m
2
2
0 1
0
1
3 0
3
m m
m m
m
m m
.
Gọi
0 0
;
M x y
là giao điểm của đồ thị
C
với trục hoành thì
2
0 0 0
2 0
y x mx m
và hệ
số góc của tiếp tuyến với
C
tại
M
là:
0
k y x
2
0 0 0 0
0
2
0
0
2 2 1 2
2 2
x m x x mx m
x m
x m
x m
.
Vậy hệ số góc của hai tiếp tuyến với
C
tại hai giao điểm với trục hoành là
1
1
1
2 2
x m
k
x m
,
2
2
2
2 2
x m
k
x m
.
Hai tiếp tuyến này vuông góc
1 2
. 1
k k
1 2
1 2
2 2 2 2
1
x m x m
x m x m
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
4 **
x x m x x m x x m x x m
.
Ta lại có
1 2
1 2
2
x x m
x x m
, do đó
2
0
** 5 0
5
m
m m
m
. Nhận
5
m
.
Câu 55: Phương trình tiếp tuyến của
:
C
3
y x
biết nó đi qua điểm
2; 0
M
là:
A.
27 54
y x
. B.
27 9; 27 2
y x y x
.
C.
27 27
y x
. D.
0; 27 54
y y x
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
+
2
' 3
y x
.
+ Gọi
0 0
( ; )
A x y
là tiếp điểm. PTTT của
( )
C
tại
0 0
( ; )
A x y
là:
2 3
0 0 0
3 ( )
y x x x x d
.
+ Vì tiếp tuyến
( )
d
đí qua
(2;0)
M nên ta có phương trình:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 39
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
0
2 3
0 0 0
0
0
3 2 0
3
x
x x x
x
.
+ Với
0
0
x
thay vào
( )
d
ta có tiếp tuyến
0
y
.
+ Với
0
3
x
thay vào
( )
d
ta có tiếp tuyến
27 54
y x
.
Câu 56: Cho hàm số
2
1
4
x
f x x
, có đồ thị
C
. Từ điểm
2; 1
M
kẻ đến
C
hai tiếp tuyến
phân biệt. Hai tiếp tuyến này có phương trình:
A.
1
y x
và
3
y x
. B.
2 5
y x
và
2 3
y x
.
C.
1
y x
và
3
y x
. D.
1
y x
và
3
y x
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
0 0
;
N x y
là tiếp điểm;
2
0
0 0
1
4
x
y x
;
0
0
1
2
x
f x
Phương trình tiếp tuyến tại
N
là:
2
0 0
0 0
1 1
2 4
x x
y x x x
Mà tiếp tuyến đi qua
2; 1
M
2 2
0 0 0
0 0 0
1 1 2 1 0
2 4 4
x x x
x x x
0 0
0 0
0; 1; 0 1
4; 1; 4 1
x y f
x y f
Phương trình tiếp tuyến :
1
y x
và
3
y x
.
Câu 57: Tiếp tuyến của parabol
2
4
y x
tại điểm
(1;3)
tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông.
Diện tích của tam giác vuông đó là:
A.
25
2
. B.
5
4
. C.
5
2
. D.
25
4
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
+
2 (1) 2
y x y
.
+PTTT tại điểm có tọa độ
(1;3)
là:
2( 1) 3 2 5 ( )
y x y x d
.
+ Ta có
( )
d
giao
Ox
tại
5
;0
2
A
, giao
Oy
tại
(0;5)
B khi đó
( )
d
tạo với hai trục tọa độ
tam giác vuông
OAB
vuông tại
O
.
Diện tích tam giác vuông
OAB
là:
1 1 5 25
. . .5
2 2 2 4
S OAOB .
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 40
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 58: Cho hai hàm số
1
2
f x
x
và
2
.
2
x
g x
Gọi
1 2
,
d d
lần lượt là tiếp tuyến của mỗi đồ thị hàm số
,
f x g x
đã cho tại giao điểm của
chúng. Hỏi góc giữa hai tiếp tuyến trên bằng bao nhiêu
A.
60
. B.
45
. C.
30
. D.
90
.
Câu 59: Cho hàm số
2 2
1
x
y
x
có đồ thị là
C
. Viết phương trình tiếp tuyến của
C
, biết tiếp tuyến
tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.
A.
: 7
y x
;
: 1
y x
. B.
: 2 7
y x
;
: 11
y x
.
C.
: 78
y x
;
: 11
y x
. D.
: 9
y x
;
: 1
y x
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Hàm số xác định với mọi
1
x
.
Ta có:
2
4
'
( 1)
y
x
Tiệm cận đứng:
1
x
; tiệm cận ngang:
2
y
; tâm đối xứng
(1;2)
I
Gọi
0 0
( ; )
M x y
là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của
C
:
0
0
2
0 0
2 2
4
: ( )
( 1) 1
x
y x x
x x
.
Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên hệ số góc của tiếp tuyến
bằng
1
.
0 0
2
0
4
1 1, 3
( 1)
x x
x
*
0 0
1 0 : 1
x y y x
.
*
0 0
3 4 : 7
x y y x
.
Câu 60: Cho hàm số
1
y x
có đồ thị
C
. Viết phương trình tiếp tuyến của
C
, biết tiếp tuyến tạo
với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng
0
x
.
A.
;
2 3
0 0 0 0
2
0 0 00 0
' 3 6 9 3 9 11
y y x x x y x x x x x x x x
. B.
;
29
;184
3
I
.
C.
2 3
0 0 0
2
0 0 0
29
184 3 6 9 3 9 11
3
x x x x x x
;
3 2
0 0 0 0
2 32 58 260 0 13
x x x x
. D.
0
5
x
;
0
2.
x
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 41
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải
Chọn D
Hàm số xác định với mọi
2
x
.
Ta có:
420 3876
y x
Gọi
0 0
( ; ) ( )
M x y C
. Tiếp tuyến
36 164
y x
của
C
tại
M
có phương trình
2
0 0
0
2 2 2
0 0 0 0
2 2
4 4
( )
( 2) 2 ( 2) ( 2)
x x
y x x x
x x x x
Gọi
,
A B
lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến
15 39
y x
với
,
Ox Oy
Suy ra
2
2
0
0
2 2
0 0
0
1
:
2
4
0
2
( 2) ( 2)
0
y
A
x x
x
x
x x
y
2
0
1
( ;0)
2
A x
2
0
2
2
0
0
2
0
0
2
: 0;
2
( 2)
( 2)
x
x
B B
x
y
x
x
Vì
0
, 0
A B O x
.
Tam giác AOB vuông tại O nên
4
0
2
0
1 1
.
2 2 ( 2)
AOB
x
S OAOB
x
Suy ra
4
4 2
0
0 0
2
0
1
9 9 ( 2)
18 ( 2)
AOB
x
S x x
x
2
0
0 0
2
0
0 0
1
3 2 0 (vn)
2
3 2 0
3
x
x x
x
x x
.
*
0 0 0
2 4
1 , '( )
3 9
x y y x
. Phương trình
4 2
:
9 9
y x
*
0 0 0
2 9
1, '( )
3 4
x y y x
Phương trình
9 2 9 1
: ( ) 1
4 3 4 2
y x x
.
Câu 61: Cho hàm số
1
(C)
1
x
y
x
. Có bao nhiêu cặp điểm
,
A B
thuộc
C
mà tiếp tuyến tại đó song
song với nhau:
A.
0
. B.
2
. C.
1
. D. Vô số.
Hướng dẫn giải
Chọn D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 42
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có:
2
2
' .
1
y
x
Đồ thị hàm số
1
1
x
y
x
có tâm đối xứng
1;1
I
.
Lấy điểm tùy ý
0 0
;
A x y C
.
Gọi
B
là điểm đối xứng với
A
qua
I
suy ra
0 0
2 ;2
B x y C
. Ta có:
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm
A
là:
0
2
0
2
' .
1
A
k y x
x
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm
B
là:
0
2
0
2
' 2 .
1
B
k y x
x
Ta thấy
A B
k k
nên có vô số cặp điểm
,
A B
thuộc
C
mà tiếp tuyến tại đó song song với
nhau.
Câu 62: Trên đồ thị của hàm số
1
1
y
x
có điểm
M
sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ
tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tọa độ
M
là:
A.
2;1 .
B.
1
4; .
3
C.
3 4
; .
4 7
D.
3
; 4 .
4
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
2
1
'
1
y
x
. Lấy điểm
0 0
;
M x y C
.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm
M
là:
0
2
0
0
1 1
.
1
1
y x x
x
x
.
Giao với trục hoành:
0
Ox=A 2 1;0
x
.
Giao với trục tung:
0
2
0
2 1
Oy=B 0;
1
x
x
2
0
0
0
2 1
1 3
. 4
2 1 4
OAB
x
S OAOB x
x
. Vậy
3
; 4 .
4
M
Câu 63: Định
m
để đồ thị hàm số
3 2
1
y x mx
tiếp xúc với đường thẳng
: 5
d y
?
A.
3
m
. B.
3
m
. C.
1
m
. D.
2
m
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 43
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Đường thẳng
3 2
1
y x mx
và đồ thị hàm số
5
y
tiếp xúc nhau
3 2
2
1 5 (1)
3 2 0 (2)
x mx
x mx
có nghiệm.
.
0
(2) (3 2 ) 0
2
3
x
x x m
m
x
.
+ Với
0
x
thay vào
(1)
không thỏa mãn.
+ Với
2
3
m
x thay vào
(1)
ta có:
3
27 3
m m
.
Câu 64: Gọi
S
là tập tất cả các giá trị thực của
m
sao cho đường thẳng
: 3
d y mx m
cắt đồ thị
3 2
( ): 2 3 2
C y x x
tại ba điểm phân biệt
A B I
mà tiếp tuyến với
( )
C
tại
A
và tại
B
vuông góc với nhau. Tính tổng tất cả các phần tử của
.
S
A.
1.
B.
1
. C.
2
. D.
5.
Câu 65: Cho hàm số
3
2018
y x x
có đồ thị là
C
.
1
M
là điểm trên
C
có hoành
độ
1
1
x
. Tiếp tuyến của
C
tại
1
M
cắt
C
tại điểm
2
M
khác
1
M
, tiếp tuyến của
C
tại
2
M
cắt
C
tại điểm
3
M
khác
2
M
, tiếp tuyến của
C
tại điểm
1
n
M
cắt
C
tại điểm
n
M
khác
1
n
M
4; 5;...
n
, gọi
;
n n
x y
là tọa độ điểm
n
M
. Tìm
n
để:
2019
2018 2 0
n n
x y
.
A.
647
n
. B.
675
n
. C.
674
n
. D.
627
n
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
;
k k k
M x y C
với
1; 2;...
k
. Tiếp tuyến tại
k
M
:
k k k
y y x x x y
2 3
3 2018 2018
k k k k
y x x x x x
Hoành độ của
1
k
M
nghiệm đúng phương trình:
3 2 3
2018 3 2018 2018
k k k k
x x x x x x x
2 2
. 2 0
k k k
x x x x x x
2
k
k
x x
x x
1
2 ,
k k
x x k
(do
1
k k
x x
).
Do đó:
1
1
x
;
2
2
x
;
3
4
x
; ….;
1
2
n
n
x
.
Theo đề bài:
2019
2018 2 0
n n
x y
3 2019
2018 2018 2 0
n n n
x x x
3 3 2019
2 2
n
674
n
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 44
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 66: Cho hàm số
y f x
xác định và có đạo hàm trên
thỏa mãn
2 3
1 2 1
f x x f x
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y f x
tại
điểm có hoành độ bằng 1.
A.
1 6
7 7
y x
. B.
1 8
7 7
y x
. C.
1 8
7 7
y x
. D.
6
7
y x
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
* Phân tích:
+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y f x
tại điểm có hoàng độ
0
x
là:
0 0 0
. .
y f x x x f x
Do đó, muốn viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
điểm có hoành độ
0
x
ta phải tính được
0
( )
f x
và
0
( ).
f x
+ Trong giả thiết, chỉ cho duy nhất một điều kiện về hàm
( )
f x
, vì vậy chắc chắn phải căn
cứ vào giả thiết này để tính
0
( )
f x
và
0
( ).
f x
Hướng dẫn giải
+ Xét
2 3
(1 2 ) (1 ) 1
f x x f x x
Trong
1
cho
0
x
ta được
3 2
(1) 0
(1) (1) 0
(1) 1.
f
f f
f
+ Đạo hàm 2 vế của
1
ta được:
2
2.(1 2 ) . (1 2 ). (1 2 ) 1 3.(1 ) . (1 ). (1 )
x f x f x x f x f x
2
4. (1 2 ). (1 2 ) 1 3. (1 ). (1 ) 2
f x f x f x f x
Trong
2
cho
0
x
sẽ được:
2
4. (1). (1) 1 3. (1). (1) 3 .
f f f f
Nếu
(1) 0
f
thay vào
2
vô lý
(1) 1.
f
Thay
(1) 1
f
vào
2
sẽ được
1
(1) .
7
f
+ Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
1
1 1
7
y x
hay
1 6
.
7 7
y x
Chọn. A.
Câu 67: Tìm tất cả các giá trị thực của thàm số m sao cho hàm số
3
3 1
y x x C
, đường thẳng
: 3
d y mx m
giao nhau tại
1;3 , ,
A B C
và tiếp tuyến của
C
tại B và C vuông góc
nhau.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 45
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3 2 2
3
3 2 2
3
m
m
B.
2 2 2
3
2 2 2
3
m
m
C.
4 2 2
3
4 2 2
3
m
m
D.
5 2 2
3
5 2 2
3
m
m
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
' 3 3
y x
Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và (d):
3 2
2
3 2 0 1 2 0
1, 3
2 0 *
x m x m x x x m
x y
x x m
Để hàm số (C ) cắt d tại 3 điểm phân biệt thì (*) có 2 nghiệm phân biệt khác -1, nên:
9
0
4
1 0
0
m
f
m
Giả sử
;
B C
x x
là nghiệm của (*), hệ số góc của tiếp tuyến:
2 2
3 3; 3 3
B B C C
k x k x
Theo giả thiết:
2 2 2
. 1 3 3 3 3 1 9 18 1 0
B C B C
k k x x m m
3 2 2
3
3 2 2
3
m
m
Vậy với
3 2 2
3
3 2 2
3
m
m
thỏa ycbt.
Chọn A.
Câu 68: Cho hàm số:
4
2
5
3 ( )
2 2
x
y x C
và điểm M
( )
C
có hoành độ x
M
= a. Với giá trị nào của a thì
tiếp tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) 2 điểm phân biệt khác M.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 46
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
1
a
a
B.
3
1
a
a
C.
3
1
a
a
D.
7
2
a
a
Hướng dẫn giải
Điểm M
( )
C
, x
M
= a =>
4
2
5
3
2 2
M
a
y a
ta có Pt tiếp tuyến với (C) có dạng
( )
:
'
( )
M
x M M
y y x x y
với
' 3
2 6
M
y a a
=>
( )
4
3 2
5
(2 6 )( ) 3
2 2
a
y a a x a a
Hoành độ giao điểm của
( )
và (C) là nghiệm của phương trình
4 4
2 3 2 2 2 3
5 5
3 (2 6 )( ) 3 ( ) ( 2 3 6) 0
2 2 2 2
x a
x a a x a a x a x ax a
2 2
( ) 2 3 6 0
x a
g x x ax a
Bài toán trở thành tìm a để g(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt khác a
' 2 2
2
( )
2
2
(3 6) 0
3 0
3
1
1
( ) 6 6 0
g x
a a
a
a
a
a
g a a
Chọn A.
Câu 69: Cho hàm số
3 2
1
1 4 3 1
3
y mx m x m x
có đồ thị là
m
C
,
m
là tham số. Tìm các
giá trị của
m
để trên
m
C
có duy nhất một điểm có hoành độ âm mà tiếp tuyến của
m
C
tại
điểm đó vuông góc với đường thẳng
: 2 0
d x y
.
A.
0
2
3
m
m
B.
0
1
m
m
C.
1
0
3
m
D.
1
5
3
m
m
Hướng dẫn giải:
/ 2
2( 1) 4 3
y mx m x m
. Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2
Ta tìm
m
:
2
2( 1) 4 3 2
mx m x m
*
có đúng một nghiệm âm
*
1 3 2 0 1
x mx m x
hoặc
2 3
mx m
0
m
: không thỏa yêu cầu
0
m
, yêu cầu bài toán xảy ra khi
0
2 3
0
2
3
m
m
m
m
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 47
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn C.
Câu 70: Cho hàm số có đồ thị và điểm . Gọi là tập hợp tất cả các giá
trị thực của nguyên thuộc khoảng để từ kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị .
Tổng tất cả các phần tử nguyên của bằng
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đường thẳng đi qua với hệ số góc có phương trình tiếp xúc
với đồ thị khi và chỉ khi hệ phương trình có nghiệm.
Thế vào ta được: .
.
.
.
.
Để từ kẻ được ba tiếp tuyến tới đồ thị thì có hai nghiệm phân biệt khác .
hay .
Do đó .
Tổng tất cả các giá trị nguyên của là .
Câu 71: Cho hàm số
3 2
6 9 1
f x x x x
có đồ thị
.
C
Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị
C
tại
điểm thuộc đồ thị
C
có tung độ là nghiệm phương trình
2 ' . '' 6 0.
f x x f x
A. 1. B. 4. C. 3. D. 2
Câu 72: Cho các hàm số
2
2
( )
( ), ( ),
( )
f x
y f x y f x y
f x
có đồ thị lần lượt là
1 2 3
( ),( ),( )
C C C
. Hệ số
góc các tiếp tuyến của
1 2 3
( ),( ),( )
C C C
tại điểm có hoành độ
0
1
x
lần lượt là
1 2 3
, ,
k k k
thỏa mãn
1 2 3
2 3 0
k k k
. Tính
(1)
f
.
3
12 12
y x x
C
; 4
A m
S
m
2;5
A
C
S
7
9
3
4
; 4
A m
k
4
y k x m
C
3
2
12 12 4 1
3 12 2
x x k x m
x k
2
1
3 2
12 12 3 12 4
x x x x m
3 3 2
12 12 3 3 12 12 4
x x x mx x m
3 2
2 3 12 16 0
x mx m
2
2 2 3 4 6 8 0
x x m x m
2
2
2 3 4 6 8 0 *
x
x m x m
A
C
*
2
3 4 3 12 0
8 6 8 6 8 0
m m
m m
4
4
3
2
m
m
m
4
; 4 ;2 2;
3
m
 
3;4
S
S
3 4 7
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 48
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
1
(1)
5
f
. B.
2
(1)
5
f
. C.
3
5
V
D.
4
(1)
5
f
.
Hướng dẫn giải
1 0
2
2 0 0
'
2 2
0 0 0 0 0 0
3
2 2
2
2
0
0
'( ) '(1)
2 '( ) 2 '(1)
( ) '( ). ( ) ( ).2 . '( )
(1). '(1) '(1)
k
(x ) (1)
(1)
(
k f x f
k x f x f
f x f x f x f x x f x
f f f
f f
f
f x
Vì vậy:
1 2 3
3 '(1) 3
2 3 '(1) 4 '(1) (1)
(1) 5
f
k k k f f f
f
.
Chọn C.
Câu 73: Cho các hàm số
, ,
f x
y f x y g x y
g x
. Nếu các hệ số góc của các tiếp tuyến của các
đồ thị các hàm số đã cho tại điểm có hoành độ
0
x
bằng nhau và khác 0 thì:
A.
1
0
4
f
. B.
1
0
4
f
. C.
1
0
4
f
. D.
1
0
4
f
.
Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết ta có:
2
2
2
' 0 0 ' 0 0
1 1 1
' 0 ' 0 0 0 0 0
0 2 4 4
f g g f
f g f g g g
g
Chọn B.
Câu 74: Cho hàm số
( ); ( )
y f x y g x
dương có đạo hàm
'( ); '( )
f x g x
trên
. Biết rằng tiếp tuyến
tại điểm có hoành độ
0
o
x
của đồ thị hàm số
( ); ( )
y f x y g x
và
( ) 1
( ) 1
f x
y
g x
có cùng hệ
số góc và khác 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
3
(0)
4
f
. B.
3
(0)
4
f
. C.
3
(0)
4
f
. D.
3
(0)
4
f
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Theo giả thiết ta có:
2
'(0).[ (0) 1] '(0)[ (0) 1]
'(0) '(0) 0
[ (0) 1]
f g g f
k f g
g
Do đó
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 49
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2
2
2 2
.[ (0) 1] [ (0) 1]
[ (0) 1] (0) (0)
[ (0) 1]
1 3 3
(0) [ (0)] (0) 1 ( (0) ) .
2 4 4
k g k f
k g g f
g
f g g g
Câu 75: Cho hàm số
3 2
3 2 1
y x x x
có đồ thị
( )
C
. Hai điểm A, B phân biệt trên (C) có hoành độ
lần lượt là a và b
a b
và tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau.
2
AB
. Tính
2 3 .
S a b
A.
4
S
. B.
6
S
. C.
7
S
. D.
8
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Điểm uốn của
( )
C
là điểm
(1; 1)
I
.
Vậy
3 2 3 2
( ; 3 2 1), (2 ;(2 ) 3(2 ) 2(2 ) 1)
A a a a a B a a a a
.
Do
2 3 2 2 2 2
0
4( 1) 4( 3 2 ) 2| 1| 1 ( 2) 2
2
a
AB a a a a a a a
a
Do đó
2, 0 4
a b S
.
Chọn A.
Câu 76: Cho hàm số
3 2
2 3 1
y x x
có đồ thị
( )
C
. Xét điểm A thuộc (C). Gọi S là tập hợp tất cả các
giá trị thực của a sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại điểm thứ hai B
( )
B A
thỏa mãn
1
2
ab
trong đó a, b lần lượt là hoành độ của A và B. Tính tổng tất cả các phần tử của
S.
A.
4
S
. B.
6
S
. C.
7
S
. D.
8
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Điểm uốn của
( )
C
là điểm
(1; 1)
I
.
Vậy
3 2 3 2
( ; 3 2 1), (2 ;(2 ) 3(2 ) 2(2 ) 1)
A a a a a B a a a a
.
Do
2 3 2 2 2 2
0
4( 1) 4( 3 2 ) 2| 1| 1 ( 2) 2
2
a
AB a a a a a a a
a
Do đó
2, 0 4
a b S
.
Chọn A.
Câu 77: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để trên đồ thị hàm số
3 2
2 5
( 1) (3 2)
3 3
y x m x m x
tồn tại hai điểm
1 1 1 2 2 2
( ; ), ( ; )
M x y M x y
có toạ độ thoả
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 50
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
mãn
1 2
. 0
x x
sao cho tiếp tuyến với đồ thị hàm số đồ thị hàm số tại hai điểm đó cùng vuông góc
với đường thẳng
2 1 0
x y
. Tìm số nguyên âm lớn nhất thuộc tập S.
A.
1
. B.
3
. C.
2
. D.
4
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Do cả hai tiếp tuyến cùng vuông góc với đường thẳng
2 1 0
x y
nên
1 2
,
x x
là nghiệm của
phương trình
2
' 2 2 2( 1) 3 0(1)
y k x m x m .
Yêu cầu bài toán tương đương với (1) có hai nghiệm phân biệt
1 2
0
x x
, tức là
2
2
' ( 1) 2.3 0
0
2 3
3
4 1 0
0
2 3 0
2
m m
m
m
m
m m
P
m
.
Vậy
; 2 3 2 3;0
m
.
Chọn D.
Câu 78: Gọi A là điểm thuộc đồ thị hàm số
4 2
1 5
3
2 2
y x x
( )
C
sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt
(C) tại hai điểm phân biệt B, C khác A sao cho
3
AC AB
(với B nằm giữa A và C). Tính độ dài
đoạn thẳng OA.
A.
2
OA . B.
3
2
. C.
14
2
. D.
17
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm A có
A
x a
có dạng
4
3 2
5
(2 6 )( ) 3
2 2
a
y a a x a a
.
Phương trình hoành độ giao điểm của tiêp tuyến và (C):
4 4
2 3 2 2 2
5 5
3 (2 6 )( ) 3 2 3 6 0
2 2 2 2
x a
x a a x a a x ax a
.
Để tiếp tuyến có 3 giao điểm với (C) thì (1) có 2 nghiệm phân biệt khác a
3 3
1
a
a
Khi đó
,
B C
x x
là nghiệm của phương trình (1)
2
2
. 3 6
B C
B C
x x a
x x a
(2)
Mặt khác:
3 3 3 2
C B
AC AB AC AB x x a

(3)
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 51
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta tìm được:
3 17
2 2;
2 2
a A OA
.
Chọn D.
Câu 79: Cho hàm số
3 2
2 3 1
y x x
có đồ thị
( )
C
. Xét điểm
1
A
có hoành độ
1
5
2
x
thuộc (C). Tiếp
tuyến của (C) tại
1
A
cắt (C) tại điểm thứ hai
2 1
A A
có hoành độ
2
x
. Tiếp tuyến của (C) tại
2
A
cắt (C) tại điểm thứ hai
3 2
A A
có hoành độ
3
x
. Cứ tiếp tục như thế tiếp tuyến của (C) tại
1
n
A
cắt (C) tại điểm thứ hai
1
n n
A A
có hoành độ
n
x
. Tìm
2018
x
.
A.
2018
2018
1
2
2
x
. B.
2018
2018
1
2
2
x
.
C.
2017
2018
1
3.2
2
x
. D.
2017
2018
1
3.2
2
x
.
Hướng dẫn giải
Tiếp tuyến
( )
C
tại điểm
1
5 27
;
2 2
A
là
45 174
2 4
y x .
Vậy giao điểm thứ hai của tiếp tuyến và (C) là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm
3 2
5
45 175
2
2 3 0
7
2 4
2
x
x x x
x
.
Tiếp tuyến
( )
C
tại điểm
1
7 243
;
2 2
A
là
189 837
2 4
y x .
Vậy giao điểm thứ hai của tiếp tuyến và (C) là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm
3 2
7
189 833
2
2 3 0
17
2 4
2
x
x x x
x
.
Và làm tiếp tục sau đó nhận xét:
1 1 1
1
2 1 2
2
3 1 3
3
1
5 1
( 1) (2)
2 2
7 1
( 1) 2
2 2
17 1
( 1) 2
2 2
....
1
( 1) 2
2
n n
n
x
x
x
x
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 52
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Do đó
2018 1 2018 2018
2018
1 1
( 1) .2 2
2 2
x
.
Chọn A.
Câu 80: Cho hàm số
3 2
2x 3x 1
y
có đồ thị
C
. Xét điểm
1
A
có hoành độ
1
1
x
thuộc
C
. Tiếp
tuyến của
C
tại
1
A
cắt
C
tại điểm thứ hai
2 1
A A
có hoành độ
2
x
. Tiếp tuyến của
C
tại
2
A
cắt
C
tại điểm thứ hai
3 2
A A
có hoành độ
3
x
. Cứ tiếp tục như thế, tiếp tuyến của
C
tại
1
n
A
cắt
C
tại điểm thứ hai
1
n n
A A
có hoành độ
n
x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
n
để
100
5
n
x
.
A.
235
B.
234
C.
118
D.
117
Hướng dẫn giải
Ta có:
k
x a
Tiếp tuyến tại
k
A
có phương trình hoành độ giao điểm:
3 2 3 2 2
2x 3x 1 2a 3a 1 6a 6a
x a
2
2x 4a 3 0
x a
1
3
2x
2
k k
x
Vậy
1
1
1
3
2x
2
n n
x
x
. 2
n
n
x
. Xét
1
2
1
2 1
4
1
1
4
2
2
x
x
Do đó
100
1 1
. 2 5
4 2
n
n
x . Chọn
2 1
n k
100
1 1
.4 . 2 5
4 2
k
100
4 1 2.5
k
100
4 2.5 1
k
100
4
log 2.5 1
k
Chọn
117
k
235
n .
Câu 81: Biết rằng tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3 3 3
y x a x b x c
có hệ số góc nhỏ nhất
tại tiếp điểm có hoành độ
1
x
đồng thời
, ,
a b c
là các số thực không âm. Tìm GTLN tung độ
của giao điểm đồ thị hàm số với trục tung?
A. 27 B. 3 C. 9 D. 18
Hướng dẫn giải
Tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất tại điểm uốn.
Mặt khác
2 2 2
' 3
y x a x b x c
'' 6 3
y x a b c
Do đó
'' 0 1 3
3
a b c
y x a b c
.
Giao điểm với trục tung có tung độ
3 3 3
y a b c
Vì
2 2 2 3 3 3
9 9 9 0 9
a a b b c c a b c a b c
Vậy tung độ giao điểm của đồ thị hàm số và
Oy
là
3; 0
a b c
và các hoán vị.
Chọn A.
| 1/53
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 0
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao ĐẠO HÀM A. LÝ THUYẾT CHUNG
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
1.1. Định nghĩa : Cho hàm số y f x xác định trên khoảng a ; b và x a ; b , đạo hàm của hàm số 0  
f x  f x0 
tại điểm x là : f ' x  lim . 0  0 xx0 x x0 1.2. Chú ý : Nếu kí hiệu x
  x x ; y
  f x x   f x thì : 0  0   0 
f x x   f x  0   0  y f ' x  lim  lim . 0  xx x  0 0 x x x  0
Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại x thì nó liên tục tại điểm đó. 0
2. Ý nghĩa của đạo hàm
2.1. Ý nghĩa hình học: Cho hàm số y f x có đồ thị C
f ' x là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị C  của hàm số y f x tại M x , y C . 0  0 0    0 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm M
x , y C là : 0  0 0   
y f ' x x x y . 0   0  0
2.2. Ý nghĩa vật lí :
Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình : s s t  tại thời điểm t là 0
v t s ' t . 0   0 
Cường độ tức thời của điện lượng Q Q t  tại thời điểm t là : I tQ ' t . 0   0  0
3. Qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm
3.1. Các quy tắc :
Cho u u x ; v v x ; C : là hằng số .
u v '  u ' v '
u.v '  u '.v v '.u
 C.u   C.u  u
u '.v v '.uC   C.u  , v  0      2   2  v vu u
Nếu y f u, u u x
y  y .u . x u x
3.2. Các công thức :C  0 ;  x   1    n x n 1  n x    n u n 1 .  .
n u  .u , n   , n  2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao  1  u  x  
,  x  0   u   , u  0 2 x 2 u
sin x  cos x
 sin u   u.cos u
cos x   sin x
 cos u   u  .sin u 1 u  tan x tan u     2   2 cos x cos u 1 u cot x cot u       . 2   2 sin x sin u 4. Vi phân
4.1. Định nghĩa :
Cho hàm số y f x có đạo hàm tại x vi phân của hàm số y f x tại điểm x là : 0 0
df x f x . x  . 0   0 
Cho hàm số y f x có đạo hàm f  x thì tích f  x. x
 được gọi là vi phân của hàm số
y f x . Kí hiệu : df x  f  x. x
  f  x.dx hay dy y .dx .
4.2. Công thức tính gần đúng :
f x x
f x f x . x  . 0   0   0 
5. Đạo hàm cấp cao
5.1. Đạo hàm cấp 2 :
Định nghĩa : f   x   f  x  
Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động s f t  tại thời điểm t là a t f t . 0   0  0 n n 1  
5.2. Đạo hàm cấp cao :   fx     f
x , n  , n  2 .   B. BÀI TẬP TÍNH ĐẠO HÀM 2  x 1  khi x  0 Câu 1:
Tìm a, b để hàm số f x   x 1
có đạo hàm tại điểm x  0 .
ax b khi x  0  a  11 a  1  0 a  1  2 a   1  A.  . B.  . C.  . D.  . b  11  b  10  b  12  b  1  2
ax bx 1 khi x  0 Câu 2:
Tìm a, b để hàm số f (x)  
có đạo hàm tại điểm x  0 0
a s in x b cos xkhi x  0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao
A. a  1;b  1 . B. a  1  ;b  1 . C. a  1  ;b  1  .
D. a  0;b  1 . Câu 3:
Cho hàm số f (x)  x(x 1)(x  2)...(x 1000) . Tính f (  0) . A. 10000! . B. 1000! . C. 1100! . D. 1110! . 3 2 2
 4x  8  8x  4  khi x  0 Câu 4:
Cho hàm số f (x)   x .Giá trị của f (  0) bằng: 0  khi x  0 1 5 4 A. . B.  . C. . D. Không tồn tại. 3 3 3  x sin khi x  0 Câu 5:
Với hàm số f (x)   x
.Để tìm đạo hàm f '(x)  0 một học sinh lập luận 0  khi x  0 qua các bước như sau:
1. f (x)  x . sin  x . x
2.Khi x  0 thì x  0 nên f (x)  0  f (x)  0 .
3.Do lim f (x)  lim f (x)  f (0)  0 nên hàm số liên tục tại x  0 . x 0 x 0  
4.Từ f (x) liên tục tại x  0  f (x) có đạo hàm tại x  0 .
Lập luận trên nếu sai thì bắt đầu từ bước: A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3. D. Bước 4.  1 x sin khi x  0 Câu 6: Cho hàm số 2 f (x)   x . 0  khi x  0
(1) Hàm số f (x) liên tục tại điểm x  0 .
(2) Hàm số f (x) không có đạo hàm tại điểm x  0 . Trong các mệnh đề trên: A. Chỉ (1) đúng. B. Chỉ (2) đúng.
C. Cả (1), (2) đều đúng. D. Cả (1), (2) đều sai. 2
ax bx khi x  1 Câu 7:
Cho hàm số f (x)  
.Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại x  1 2x 1  khi x  1 A. a  1  ,b  0 . B. a  1  , b  1 .
C. a  1,b  0 .
D. a  1,b  1 . 2
x x 1 khi x  1  Câu 8:
Đạo hàm của hàm số f x   là:
x 1  3 khi x  1  2x khi x  1
2x 1 khi x  1  
A. f   x   1 .
B. f  x   1 . khi x  1  khi x  1   2 x 1  x 1
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao 2x 1 khi x  1 2x 1 khi x  1  
C. f  x   1 .
D. f  x   1 . khi x  1  khi x  1   2 x 1  2 x 1 2  x x 1  khi x  0 Câu 9:
Cho hàm số f x   x 1
. Tìm a , b để hàm số f x có đạo hàm trên  . 2
x ax b khi x  0 
A. a  0 , b  11.
B. a  10 , b  11.
C. a  20 , b  21 .
D. a  0 , b  1.
Câu 10: Đạo hàm của hàm số 2 3 4
y  (x 1)(x  2)(x  3) bằng biểu thức có dạng 8 6 5 4 3 2
ax bx cx 15x dx ex gx . Khi đó a b c d e g bằng: A. 0. B. 2. C. 3. D. 5. 2
x  2x  3 4 3 2
ax bx cx dx e
Câu 11: Đạo hàm của hàm số y
bằng biểu thức có dạng . Khi 3 x  2 3 2 (x  2)
đó a b c d e bằng: A. 1  2 . B. 1  0 . C. 8. D. 5. 2
ax bx c
Câu 12: Đạo hàm của hàm số 2
y  (x  2) x 1 biểu thức có dạng . Khi đó . a . b c bằng: 2 x 1 A. 2  . B. 4  . C. 6  . D. 8  . x 1 ax b
Câu 13: Đạo hàm của hàm số y  biểu thức có dạng . Khi đó P  . a b bằng: 2 x 1 2 3 (x 1) A. P  1 . B. P  1  . C. P  2 . D. P  2 . x
Câu 14: Cho f x  thì f 0  x  
1  x  2 x  2017 1 1 A. . B. 2017!. C.  . D. 2  017! . 2017! 2017!
1 x  1 x
Câu 15: Cho hàm số f x 
. Đạo hàm f  x là biểu thức nào sau đây?
1 x  1 x  1  2  khi x  1  , x  1 
khi x  1, x  1 A. 2  x . B. 2  x . 1 
khi 1  x  1   1
khi 1  x  1   1  3 
khi x  1, x  1  khi x  1  , x  1 C. 2  x . D. 2  x .  1 
khi 1  x  1   2
khi 1  x  1 
Câu 16: Cho hàm số y   2 x  2 sin cos
.cos sin x . Đạo hàm y  . a sin 2 .
x cos cos 2x . Giá trị của a
là số nguyên thuộc khoảng nào sau đây? A. 0; 2 . B. 1;5 . C. 3; 2 . D. 4;7 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao 1 1 1 1 1 1
Câu 17: Cho hàm số y    
cos x với x  0; có y là biểu thức có dạng 2 2 2 2 2 2 x . a sin
. Khi đó a nhận giá trị nào sau đây: 8 1 1 1 1 A. . B.  . C. . D.  . 4 4 8 8 x
Câu 18: Đạo hàm của hàm số y
( a là hằng số) là: 2 2 a x 2 a 2 a 2 2a 2 a A.  . B. . C. . D. .  3 3 3 a x 3 2 2  2 2 a x   2 2 a x   2 2 a x Câu 19: Cho hàm số 2
y  2x x . Mệnh đề nào sau đây là đúng ? A. 3
y .y  1  0 . B. 2
y .y  1  0 . C. 2
3y .y 1  0. . D. 3
2 y .y  3  0. 3 3 sin x  cos x
Câu 20: Cho hàm số y
. Mệnh đề nào sau đây đúng ? 1 sin x cos x
A. 2 y  y  0.
B. y  y  0.
C. y  y  0.
D. 2 y   3y  0. Câu 21: Cho 6 6
f (x)  sin x  cos x và 2 2 g(x)  3sin .
x cos x . Tổng f (  x)  g (
x) bằng biểu thức nào sau đây? A. 5 5
6(sin x  cos x  sin . x cos x) . B. 5 5
6(sin x  cos x  sin . x cos x) . C. 6. D. 0. 2 x 30
Câu 22: Cho hàm số f x  . Tìm fx : x 1   A. 30 f
x  30!1 x 30 . B. 30 fx  30 
! 1  x 31 .   C. 30 f
x  30!1 x 30 . D. 30 f
x  30!1 x 31.
Câu 23: Cho hàm số y  cos x . Khi đó (2016) y (x) bằng A.  cos x . B. sin x . C.  sin x . D. cos x . Câu 24: Cho hàm số 2
y  cos 2x . Giá trị của biểu thức y  y 16 y 16 y  8 là kết quả nào sau đây? 1 A. 0 . B. 8 . C.  cos x  . D. 2 x  
k 2, k   . 3
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao  4
Câu 25: Cho hàm số y f x  cos 2x    . Phương trình fx  8  có các nghiệm thuộc  3    đoạn 0;  là: 2   
A. x  0 , x  . B. x  .
C. x  0 , x  .
D. x  0 , x  . 3 2 2 6
Câu 26: Cho hàm số f x 2 
5x  14x  9. Tập hợp các giá trị của x để f ' x  0 là  7 9   7   7   7  A. ; .   B.  ;  .   C. 1; .   D. ;  .    5 5   5   5   5 
Câu 27: Cho hàm số f x 2  x
x  1 . Tập các giá trị của x để 2 .
x f  x  f x  0 là:  1   1   1   2  A. ;    . B. ;    . C.  ;    . D. ;    .  3   3   3   3 
Câu 28: Cho hàm số f x 2 
x x. Tập nghiệm S của bất phương trình f ' x  f x là:  2  2 
A. S   ;  0  ;    . B. S   ;
 0  1; . 2     2  2   2  2   2  2 
C. S    ;   ;     .
D. S    ;    1;  2 2       2  
Câu 29: Cho các hàm số f x 4 4  x x g x 6 2 sin cos ,
 sin x  cos x . Tính biểu thức
3 f ' x  2g ' x  2 A. 0 . B. 2 . C. 1. D. 3
Câu 30: Cho hàm số y f x có đồ thị C  như hình vẽ. Tính A f ' 
1  f '2  f '3 A. A  6 B. A  6 C. A  0 D. A  12 3 mx
Câu 31: Cho hàm số f x 2 
mx  3m  
1 x 1. Tập các giá trị của tham số m để y  0 với 3 x    là:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao A. ; 2 . B.  ;  2 . C.  ;  0 . D.  ;  0 . 
Câu 32: Cho hàm số y  m   3
x  m   2 1 3
2 x  6 m  2 x 1 . Tập giá trị của m để y  0 x    là A. 3;  . B. 1;  . C.  . D. 4 2;  .  
Câu 33: Cho hàm số f x 2
 sin x  sin 2x . Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của
f  x trên  .
A. m   2 , M  2 . B. m  1  , M  1 . C. m  2  , M  2 . D. m   5 , M  5 . 3 cos x
Câu 34: Cho hàm số f x 3  2
 sin x  2 cos x  3sin x . Biểu diễn nghiệm của phương trình 3
lượng giác f  x trên đường tròn ta được mấy điểm phân biệt? A. 1 điểm. B. 2 điểm. C. 4 điểm. D. 6 điểm.
Câu 35: Đẳng thức nào sau đây đúng? A. 1 2 3 n n 1 C 2C 3C nC . n 2      , n N. n n n n B. 1 2 3 C  2C  3 n
C  nC n n N n n n n   1 .2n , . C. 1 2 3 n C C C nC n       nN n n n n   n 1 2 3 1 .2 , . D. 1 2 3 n C C C nC n       nN n n n n   n 1 2 3 1 .2 , .
Câu 36: Tính tổng với n N , n  2 : 2 3 n 1 S 1.2.C 2.3.C
... (n 2).(n 1).C       
 (n 1). . n n C n n n n A. 2 ( 1).( 2).2n n n    . B. 2 .( 1).2n n n   . C. 1 .( 1).2n n n   .
D. ( 1).(  2).2n n n . Câu 37: Tính tổng 0 1 2
S C  2C  3C  ...  (n 1) n C bằng n n n n A. 1 .2n n  . B. 1 ( 1).2n n   . C. 1 ( 2).2n n   . D. ( 1).2n n  . 99 100 198 199  1   1   1   1  Câu 38: Tính tổng: 0 1 0 100 S  100.C 101.C  ... 199.C  200.C 100   100   100   100    2   2   2   2  A. 10 . B. 0 . C. 1. D. 100 .
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
Câu 39: Biết tiếp tuyến d  của hàm số 3
y x  2x  2 vuông góc với đường phân giác góc phần tư
thứ nhất. Phương trình d  là:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao 1 18  5 3 1 18  5 3
A. y  x   , y  x   . 3 9 3 9
B. y x, y x  4. 1 18  5 3 1 18  5 3
C. y  x   , y  x   . 3 9 3 9
D. y x  2, y x  4. x  1
Câu 40: Cho hàm số y
(C) . Có bao nhiêu cặp điểm A, B thuộc C  mà tiếp tuyến tại đó x 1 song song với nhau: A. 0 . B. 2 . C. 1. D. Vô số. 1 Câu 41: Cho hàm số 3 2 y
x  3x x 1 có đồ thị C  . Trong các tiếp tuyến với đồ thị C  , hãy 3
tìm phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. A. y  8  x 19 .
B. y x 19 . C. y  8  x 10 .
D. y  x 19 . Câu 42: Cho hàm số 3 2
y x  2x  2x có đồ thị (C). Gọi x , x là hoành độ các điểm M , N trên 1 2
C, mà tại đó tiếp tuyến của C vuông góc với đường thẳng y  x  2017 . Khi đó x x bằng: 1 2 4 4  1 A. . B. . C. . D. 1. 3 3 3 1
Câu 43: Cho đồ thị hàm số C  4 2
: y x  4x  2017 và đường thẳng d : y 
x 1. Có bao nhiêu tiếp 4
tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng d? A. 2 tiếp tuyến. B. 1 tiếp tuyến.
C. Không có tiếp tuyến nào. D. 3 tiếp tuyến. 1
Câu 44: Trên đồ thị của hàm số y
có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa x 1
độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tọa độ M là:  1   3 4   3  A. 2  ;1 . B. 4; . C.  ;  . D.     ; 4  .    3   4 7   4 
Câu 45: Tiếp tuyến của parabol 2
y  4  x tại điểm (1;3) tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông.
Diện tích của tam giác vuông đó là: 25 5 5 25 A. . B. . C. . D. . 2 4 2 4
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao 1
Câu 46: Cho đồ thị hàm số C  : y  ; điểm M có hoành độ x  2  3 thuộc (C). Biết tiếp tuyến x M
của (C) tại M lần lượt cắt Ox, Oy tại A ,. B . Tính diện tích tam giác OAB . A. S  1. B. S  4 . C. S  2 . D. S  2  3 . OABOABOAB OAB 2 x  3x  3
Câu 47: Biết với một điểm M tùy ý thuộc C : y
, tiếp tuyến tại M cắt C tại hai x  2
điểm A,B tạo với I  2  ;  
1 một tam giác có diện tích không đổi, diện tích tam giác đó là? A. 2 (đvdt ). B. 4 (đvdt ). C. 5 (đvdt ). D. 7 (đvdt ). Câu 48: Cho hàm số 3
y  x  3x  2 có đồ thị là C  . Tìm những điểm trên trục hoành sao cho từ
đó kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.  8   28   8   28  A. M  ; 0   . B. M  ; 0   . C. M  ; 0   . D. M  ; 0   .  27   7   7   27  2x 1
Câu 49: Cho hàm số y 
có đồ thị là C. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị C sao cho x 1
tiếp tuyến này cắt các trục O ,
x Oy lần lượt tại các điểm A , B thoả mãn OA  4OB.  1 5  1 5  1 5  1 5 y   x   y   x y   x y   x  4 4  4 4  4 4  4 4 A. . B.  . C.  . D. . 1 13  1 13 1 13 1 13 y   x
y   x
y   x
y   x   4 4  4 4  4 4  4 4 1  4 4  Câu 50: Cho hàm số 3 2 y
x  2x  3x có đồ thị là A ; 
 . Có bao nhiêu giá trị 3  9 3     : y x
 : y  3x   4  4  : y x
để tiếp tuyến của  : y x 1
tại giao điểm của nó với trục tung  3  3  5 8  5 128
 : y   x
 : y   x   9 81  9 81
tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8 . A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . x 1
Câu 51: Cho hàm số y
.Tìm giá trị nhỏ nhất của m sao cho tồn tại ít nhất một điểm M  2x 1
C mà tiếp tuyến của C tại M tạo với hai trục toạ độ một tam giác có trọng tâm nằm
trên đường thẳng d : y  2m 1. 1 3 2 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao
Câu 52: Cho hàm số y  133x  508; y  8x  8; y  5x  4. , có đồ thị là C  . Có bao nhiêu điểm
C thuộc C sao cho tiếp tuyến tại  của C cắt  Oy tại 2  4   2 3x  4x 1 4   x
x  2x x  4 B sao cho diện tích tam giác x  1 bằng 0  0  3 2 0 0 0 0 0 1 , x  6  là gốc tọa độ. 4 0 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2 2
x  2mx  2m 1 Câu 53: y  C
cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến với m x 1
C tại hai điểm này vuông góc với nhau. m  2 2 A. m  . B. m  1  . C. m  , m  1  . D. m  0 . 3 3 2
x  2mx m
Câu 54: Cho hàm số y
. Giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại hai điểm và tiếp x m
tuyến của đồ thị tại hai điểm đó vuông góc là A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 7 .
Câu 55: Phương trình tiếp tuyến của C : 3
y x biết nó đi qua điểm M 2; 0 là:
A. y  27 x  54 .
B. y  27x  9; y  27x  2 .
C. y  27 x  27 .
D. y  0; y  27x  54 . 2 x
Câu 56: Cho hàm số f x 
x 1, có đồ thị C  . Từ điểm M 2;  
1 kẻ đến C  hai tiếp tuyến 4
phân biệt. Hai tiếp tuyến này có phương trình:
A. y  x 1 và y x  3 .
B. y  2x  5 và y  2  x  3 .
C. y  x 1 và y  x  3 .
D. y x 1 và y  x  3 .
Câu 57: Tiếp tuyến của parabol 2
y  4  x tại điểm (1;3) tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông.
Diện tích của tam giác vuông đó là: 25 5 5 25 A. . B. . C. . D. . 2 4 2 4 1 2 x
Câu 58: Cho hai hàm số f x 
và g x  . x 2 2
Gọi d , d lần lượt là tiếp tuyến của mỗi đồ thị hàm số f x, g x đã cho tại giao điểm của 1 2
chúng. Hỏi góc giữa hai tiếp tuyến trên bằng bao nhiêu A. 60 . B. 45 . C. 30 . D. 90 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao 2x  2
Câu 59: Cho hàm số y
có đồ thị là C  . Viết phương trình tiếp tuyến của C  , biết tiếp x 1
tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.
A.  : y  x  7 ;  : y  x 1 .
B.  : y  2x  7 ;  : y  x 11 .
C.  : y  x  78 ;  : y  x 11 .
D.  : y  x  9 ;  : y  x 1 .
Câu 60: Cho hàm số y  x 1 có đồ thị C  . Viết phương trình tiếp tuyến của C  , biết tiếp tuyến
tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng x . 0 2 3
A.  ; y y ' 2 x x xy x
 3x  6x  9 x x
x  3x  9x 11 . B. 0   0   0   0 0  0  0 0 0  29     ; I ;184   .  3  2 3  29  C. 184   2 3x  6x  9  x
x  3x  9x 11 ; 0 0  0  0 0 0  3  3 2
 2x  32x  58x  260  0  x  13.
D. x  5 ; x  2  .. 0 0 0 0 0 0 x 1
Câu 61: Cho hàm số y
(C) . Có bao nhiêu cặp điểm ,
A B thuộc C  mà tiếp tuyến tại đó x 1 song song với nhau: A. 0 . B. 2 . C. 1. D. Vô số. 1
Câu 62: Trên đồ thị của hàm số y
có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa x 1
độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tọa độ M là:  1   3 4   3  A. 2;  1 . B. 4; .   C.  ;  .   D. ; 4  .    3   4 7   4 
Câu 63: Định m để đồ thị hàm số 3 2
y x mx 1 tiếp xúc với đường thẳng d : y  5 ? A. m  3  .
B. m  3 . C. m  1  . D. m  2 .
Câu 64: Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của m sao cho đường thẳng d : y mx m  3 cắt đồ thị 3 2
(C) : y  2x  3x  2 tại ba điểm phân biệt , A , B I 1; 3
  mà tiếp tuyến với (C) tại A và
tại B vuông góc với nhau. Tính tổng tất cả các phần tử của S. A. 1. B. 1. C. 2 . D. 5. Câu 65: Cho hàm số 3
y x  2018x có đồ thị là C  . M là điểm trên C  có hoành 1
độ x  1 . Tiếp tuyến của C  tại M cắt C  tại điểm M khác M , tiếp tuyến của C  1 1 2 1
tại M cắt C  tại điểm M khác M , tiếp tuyến của C  tại điểm M
cắt C  tại điểm 2 3 2 n 1  M khác Mn  4; 5;.. 
. , gọi  x ; y là tọa độ điểm M . Tìm n để: n n n n 1  n 2019
2018x y  2  0 . n n
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao A. n  647 . B. n  675 . C. n  674 . D. n  627 . Câu 66: Cho hàm số
y f x xác định và có đạo hàm trên  thỏa mãn
f   x 2
  x   f   x 3 1 2 1    
 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại
điểm có hoành độ bằng 1. 1 6 1 8 1 8 6 A. y   x  . B. y x  . C. y   x  .
D. y  x  . 7 7 7 7 7 7 7
Câu 67: Tìm tất cả các giá trị thực của thàm số m sao cho hàm số 3
y x  3x 1C , đường thẳng
d : y mx m  3 giao nhau tại A1;3, ,
B C và tiếp tuyến của C  tại B và C vuông góc nhau.  3   2 2  2   2 2 m   m   3 3 A. B.   3   2 2  2   2 2 m  m   3  3  4   2 2  5   2 2 m   m   3 3 C. D.   4   2 2  5   2 2 m  m   3  3 4 x 5
Câu 68: Cho hàm số: 2 y   3x
(C) và điểm M  (C) có hoành độ xM = a. Với giá trị nào của a 2 2
thì tiếp tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) 2 điểm phân biệt khác M.   a  3   a  3  a  3   a  7 A. B. C. D.  a  1  a  1  a  1   a  2   1 Câu 69: Cho hàm số 3 y
mx  m   2
1 x  4  3mx 1 có đồ thị là C
, m là tham số. Tìm các m  3
giá trị của m để trên C
có duy nhất một điểm có hoành độ âm mà tiếp tuyến của C m m
tại điểm đó vuông góc với đường thẳng d : x  2 y  0 . m  0 m  1  m  0 1 A.   2 B. C. 0  m D. 5   m m  1  3 m   3  3 Câu 70: Cho hàm số 3
y x 12x  12 có đồ thị C  và điểm A  ;
m 4 . Gọi S là tập hợp tất cả các
giá trị thực của m nguyên thuộc khoảng 2;5 để từ A kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị
C . Tổng tất cả các phần tử nguyên của S bằng A. 7 . B. 9. C. 3. D. 4 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao
Câu 71: Cho hàm số f x 3 2
x  6x  9x 1 có đồ thị C. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị C
tại điểm thuộc đồ thị C  có tung độ là nghiệm phương trình 2 f ' x  .
x f '  x  6  0. A. 1. B. 4. C. 3. D. 2 f (x)
Câu 72: Cho các hàm số 2
y f (x), y f (x ), y
có đồ thị lần lượt là (C ), (C ), (C ) . Hệ số 2 f (x ) 1 2 3
góc các tiếp tuyến của (C ), (C ), (C ) tại điểm có hoành độ x  1 lần lượt là k , k , k thỏa 1 2 3 0 1 2 3
mãn k  2k  3k  0 . Tính f (1) . 1 2 3 1 2 3 4 A. f (1)   . B. f (1)   . C. V   D. f (1)   . 5 5 5 5 f x
Câu 73: Cho các hàm số y f x, y g x, y
. Nếu các hệ số góc của các tiếp tuyến của g x
các đồ thị các hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x  0 bằng nhau và khác 0 thì: 1 1 1 1
A. f 0  .
B. f 0  . C. f 0  .
D. f 0  . 4 4 4 4
Câu 74: Cho hàm số y f (x); y g(x) dương có đạo hàm f '(x); g '(x) trên  . Biết rằng tiếp tuyến f (x) 1
tại điểm có hoành độ x  0 của đồ thị hàm số y f (x); y g(x) và y  có cùng o g(x) 1
hệ số góc và khác 0. Mệnh đề nào sau đây đúng? 3 3 3 3 A. f (0)   . B. f (0)   . C. f (0)  . D. f (0)  . 4 4 4 4 Câu 75: Cho hàm số 3 2
y x  3x  2x 1 có đồ thị (C) . Hai điểm A, B phân biệt trên (C) có hoành
độ lần lượt là a và b a b và tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau. AB  2 . Tính S  2a  3 . b A. S  4 . B. S  6 . C. S  7 . D. S  8 . Câu 76: Cho hàm số 3 2
y  2x  3x 1 có đồ thị (C) . Xét điểm A thuộc (C). Gọi S là tập hợp tất cả
các giá trị thực của a sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại điểm thứ hai B (B  ) A thỏa 1 mãn ab  
trong đó a, b lần lượt là hoành độ của A và
B. Tính tổng tất cả các phần 2 tử của S. A. S  4 . B. S  6 . C. S  7 . D. S  8 .
Câu 77: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để trên đồ thị hàm số 2 5 3 2 y  
x  (m 1)x  (3m  2)x  tồn tại hai điểm M (x ; y ), M (x ; y ) có toạ độ thoả 3 3 1 1 1 2 2 2
mãn x .x  0 sao cho tiếp tuyến với đồ thị hàm số đồ thị hàm số tại hai điểm đó cùng vuông 1 2
góc với đường thẳng x  2 y 1  0 . Tìm số nguyên âm lớn nhất thuộc tập S. A. 1  . B. 3  . C. 2  . D. 4  .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao 1 5
Câu 78: Gọi A là điểm thuộc đồ thị hàm số 4 2 y x  3x
(C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A 2 2
cắt (C) tại hai điểm phân biệt B, C khác A sao cho AC  3AB (với B nằm giữa A và C).
Tính độ dài đoạn thẳng OA. 3 14 17 A. OA  2 . B. . C. . D. . 2 2 2 5 Câu 79: Cho hàm số 3 2
y  2x  3x 1 có đồ thị (C) . Xét điểm A có hoành độ x  thuộc (C). Tiếp 1 1 2
tuyến của (C) tại A cắt (C) tại điểm thứ hai A A có hoành độ x . Tiếp tuyến của (C) tại 1 2 1 2
A cắt (C) tại điểm thứ hai A A có hoành độ x . Cứ tiếp tục như thế tiếp tuyến của (C) 2 3 2 3 tại A
cắt (C) tại điểm thứ hai A A
có hoành độ x . Tìm x . n 1  n n 1  n 2018 1 1 A. 2018 x  2  . B. 2018 x  2  . 2018 2 2018 2 1 1 C. 2017 x  3.2  . D. 2017 x  3.2  . 2018 2 2018 2 Câu 80: Cho hàm số 3 2
y  2x  3x 1 có đồ thị C  . Xét điểm A có hoành độ x  1 thuộc C  . 1 1
Tiếp tuyến của C  tại A cắt C  tại điểm thứ hai A A có hoành độ x . Tiếp tuyến của 1 2 1 2
C tại A cắt C tại điểm thứ hai A A có hoành độ x . Cứ tiếp tục như thế, tiếp tuyến 2 3 2 3
của C  tại A cắt C  tại điểm thứ hai A A có hoành độ x . Tìm giá trị nhỏ nhất n 1  n n 1  n của n để 100 x  5 . n A. 235 B. 234 C. 118 D. 117 3 3 3
Câu 81: Biết rằng tiếp tuyến của đồ thị hàm số y   x a   x b   x c có hệ số góc nhỏ nhất
tại tiếp điểm có hoành độ x  1 đồng thời , a ,
b c là các số thực không âm. Tìm GTLN tung
độ của giao điểm đồ thị hàm số với trục tung? A. 27 B. 3 C. 9 D. 18
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao
C. HƯỚNG DẪN GIẢI TÍNH ĐẠO HÀM 2  x 1  khi x  0 Câu 1:
Tìm a, b để hàm số f x   x 1
có đạo hàm tại điểm x  0 .
ax b khi x  0  a  11 a  1  0 a  1  2 a   1  A.  . B.  . C.  . D.  . b  11  b  10  b  12  b  1  Hướng dẫn giải Chọn D.
Trước tiên hàm số phải liên tục tại x  0
lim f (x)  1  f (0), lim f ( x)  b b  1 x 0 x 0  
f (x)  f (0) x 1 Xét lim  lim  1 x 0 x 0 x    x 1
f (x)  f (0) lim
 lim a a x 0 x 0 x   
Hàm số có đạo hàm tại x  0  a  1  2
ax bx 1 khi x  0 Câu 2:
Tìm a, b để hàm số f (x)  
có đạo hàm tại điểm x  0 0
a s in x b cos xkhi x  0
A. a  1;b  1 . B. a  1  ;b  1 . C. a  1  ;b  1  .
D. a  0;b  1 . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: f (0)  1 2
lim f (x)  lim (ax bx 1)  1 x0 x0
lim f (x)  lim (a s in x b cos x)  b x0 x0
Để hàm số liên tục thì b  1 2     ax x 1 1 f (  0 )  lim  1 x0 x x x 2 x 2a sin cos  2sin    a s inx b cos x 1 2 2 2 f (  0 )  lim  lim x0 x0 xx x x sin sin 2  x  2 x  lim . lim a cos  lim . lim sin  a   x0 x x0 x0 x x0  2   2 2 2
Để tồn tại f (0)  f (0 )  f (0    )  a  1
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao s inx s inf(x)
Giới hạn lượng giác lim  1  lim  1 x0 f ( x)0 x f (x) Câu 3:
Cho hàm số f (x)  x(x 1)(x  2)...(x 1000) . Tính f (  0) . A. 10000! . B. 1000! . C. 1100! . D. 1110! . Hướng dẫn giải Chọn B.
f ( x)  f (0)
x(x 1)( x  2)...(x 1000)  0 f (  x)  lim  lim
 lim( x 1)(x  2)...(x 1000) x0 x0 x0 x  0 x  ( 1  )( 2  )...( 1  000)  1000! 3 2 2
 4x  8  8x  4  khi x  0 Câu 4:
Cho hàm số f (x)   x .Giá trị của f (  0) bằng: 0  khi x  0 1 5 4 A. . B.  . C. . D. Không tồn tại. 3 3 3 Chọn B.
f x  f 0 3 2 2 3 2 2
4x  8  8x  4
4x  8  2  2  8x  4 lim  lim  lim 2 2 x0 x0 x0 x x x Ta có:   2 2 1  4x 8x  1 5  lim    2   2  
x0 x   2 x  2 2 3 2 3 3 3 2  8x  4 4 8  2 4x  8  4     x sin khi x  0 Câu 5:
Với hàm số f (x)   x
.Để tìm đạo hàm f '(x)  0 một học sinh lập luận 0  khi x  0 qua các bước như sau:
1. f (x)  x . sin  x . x
2.Khi x  0 thì x  0 nên f (x)  0  f (x)  0 .
3.Do lim f (x)  lim f (x)  f (0)  0 nên hàm số liên tục tại x  0 . x 0 x 0  
4.Từ f (x) liên tục tại x  0  f (x) có đạo hàm tại x  0 .
Lập luận trên nếu sai thì bắt đầu từ bước: A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3. D. Bước 4. Chọn D.
f x  f 0
Một hàm số liên tục tại x0 chưa chắc có đạo hàm tại điểm đó, hơn nữa  sin x  0 x
không có giới hạn khi x  0  1 x sin khi x  0 Câu 6: Cho hàm số 2 f (x)   x . 0  khi x  0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao
(1) Hàm số f (x) liên tục tại điểm x  0 .
(2) Hàm số f (x) không có đạo hàm tại điểm x  0 . Trong các mệnh đề trên: A. Chỉ (1) đúng. B. Chỉ (2) đúng.
C. Cả (1), (2) đều đúng. D. Cả (1), (2) đều sai. Chọn C. 1 Ta có:  x  . x sin  x 2 x   x  1 1 lim  lim . x sin
 lim x  0  lim . x sin  0  f 0 2 2   x0 x0 x0 x0 x x
Vậy hàm số liên tục tại x  0
f x  f 0  1  Xét lim  lim sin  2  x0 x  0  x  1 Lấy dãy (xn): x  có: n  2n 2 1   lim x  lim  0  lim f x   n nn  lim sin 2 1   n n n   2   2n 2
Lấy dãy x x    , tương tự ta cũng có: n  1 1 : n 2  2 n 6  f x f x f x       n    n      n n n  1   0 1 lim 0 lim 0 lim sin 2 lim limsin 2 n x0 x0  6  2 x  0 x không tồn tại 2
ax bx khi x  1 Câu 7:
Cho hàm số f (x)  
.Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại x  1 2x 1  khi x  1 A. a  1  ,b  0 . B. a  1  , b  1 .
C. a  1,b  0 .
D. a  1,b  1 . Chọn C.
lim f x  a b f   1   Ta có: x 1  
a b  1 lim f
x  lim 2x   1  1 x 1  x 1 
f x  f   2 1
ax bx  a b lim  lim
 lim a x  
1  b  2a b   x 1 x 1 x 1 x 1 x 1    
f x  f   2 1
2x 1 a b 2x 11 lim  lim  lim  2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1     x 1 a b  1 a  1 Ta có hệ:    2a b  2 b  0  
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao 2
x x 1 khi x  1  Câu 8:
Đạo hàm của hàm số f x   là:
x 1  3 khi x  1  2x khi x  1
2x 1 khi x  1  
A. f   x   1 .
B. f  x   1 . khi x  1  khi x  1   2 x 1  x 1 2x 1 khi x  1 2x 1 khi x  1  
C. f  x   1 .
D. f  x   1 . khi x  1  khi x  1   2 x 1  2 x 1 Hướng dẫn giải Chọn D.
Với x  1: f  x  2x 1 1
Với x  1: f  x  2 x1
f x  f   1 x 1
Với x  1, ta có lim  lim
  nên không có đạo hàm tại x  1. x 1 x 1 x 1    x 1 2x 1 khi x  1 
Vậy f  x   1 khi x  1   2 x 1 2  x x 1  khi x  0 Câu 9:
Cho hàm số f x   x 1
. Tìm a , b để hàm số f x có đạo hàm trên  . 2
x ax b khi x  0 
A. a  0 , b  11.
B. a  10 , b  11.
C. a  20 , b  21 .
D. a  0 , b  1. Chọn D.
Với x  0 hàm số luôn có đạo hàm.
Để hàm số có đạo hàm trên  thì hàm số phải có đạo hàm tại x  0 .
lim f x  1 , lim f x  b b  1. x 0  x 0 
Để hàm số liên tục tại x  0  b  1. 2 x x  1
f x  f   1 0
f x  f 0 2
x ax b 1 Xét x 1 lim  lim  0 ; lim  lim  a . x 0 x 0 x  0    x x 0 x 0 x  0    x
a  0 . Vậy a  0 , b  1. Câu 10: Đạo hàm của hàm số 2 3 4
y  (x 1)(x  2)(x  3) bằng biểu thức có dạng 8 6 5 4 3 2
ax bx cx 15x dx ex gx . Khi đó a b c d e g bằng: A. 0. B. 2. C. 3. D. 5. Chọn C.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao y  x  3 x   4 x   2  x  2 x   4 x   3  x  2 x   3 2 2 3 3 1 3 4 1 x  2  x  7 4 3
x x x   2  x  6 4 2
x x x   3  x  5 3 2 2 2 3 6 3 3 3 4
x x  2x  2 8 6 5 4 3 2
 9x  7x 12x 15x  8x  9x 12 . x
a b c d e g  3 . 2
x  2x  3 4 3 2
ax bx cx dx e
Câu 11: Đạo hàm của hàm số y
bằng biểu thức có dạng . Khi đó 3 x  2 3 2 (x  2)
a b c d e bằng: A. 1  2 . B. 1  0 . C. 8. D. 5. Chọn A. 2x  2 3 x  2 2  3x  2
x  2x  3 4 3 2
x  4x  9x  4x  4 y   x  22 x  22 3 3
a b c d e  12 2
ax bx c
Câu 12: Đạo hàm của hàm số 2
y  (x  2) x 1 biểu thức có dạng . Khi đó . a . b c bằng: 2 x 1 A. 2  . B. 4  . C. 6  . D. 8  . Chọn B. 2 2x 2x  2x 1 2 y 
x 1   x  2.  . 2 2 2 x 1 x 1 x 1 ax b
Câu 13: Đạo hàm của hàm số y  biểu thức có dạng . Khi đó P  . a b bằng: 2 x 1 2 3 (x 1) A. P  1 . B. P  1  . C. P  2 . D. P  2 . Chọn A. 2 x
x 1   x   1 . 2 2 2 x 1
x 1 x x x 1 y    . 2 x 1 x  3 1 x  3 2 2 1  P  . a b  1. x
Câu 14: Cho f x  thì f  0  x  
1  x  2 x  2017 1 1 A. . B. 2017!. C.  . D. 2  017! . 2017! 2017! Chọn C.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao x
1  x 2 x 2017 x  x
1  x 2 x 2017           
Ta có: f  x   x  
1  x  2 x  2017 2      1  2  2017 1  f 0    .
    2 2017! 1 2 2017   
1 x  1 x
Câu 15: Cho hàm số f x 
. Đạo hàm f   x là biểu thức nào sau đây?
1 x  1 x  1  2  khi x  1  , x  1 
khi x  1, x  1 A. 2  x . B. 2  x . 1 
khi 1  x  1   1
khi 1  x  1   1  3 
khi x  1, x  1  khi x  1  , x  1 C. 2  x . D. 2  x .  1 
khi 1  x  1   2
khi 1  x  1  Chọn A. 1 
khi x  1, x  1
Lập bảng dấu ta được: f x   x . x
khi 1  x  1  1
- Với x  1 hoặc x  1  f  x   . 2 x - Với 1
  x  1 f  x 1.
Ta có lim f x  lim f x  1 nên hàm số liên tục tại x  1 . x 1 x 1  
f x  f   1
f x  f   1 Xét lim  1  , lim
 1 nên hàm số không có đạo hàm tại x 1  x 1 x 1  x 1 x  1 .
Bằng cách tương tự ta cũng chỉ ra được hàm số không có đạo hàm tại x  1 . 1 
khi x  1, x  1
Vậy f x   x . x
khi 1  x  1 
Câu 16: Cho hàm số y   2 x  2 sin cos
.cos sin x . Đạo hàm y  . a sin 2 .
x cos cos 2x . Giá trị của a là
số nguyên thuộc khoảng nào sau đây? A. 0; 2 . B. 1;5 . C. 3; 2 . D. 4;7 . Chọn C
y = −2 sin x . cos x. cos(cos x) .cos sin x − 2 sin x . cos x.sin(cos x).sin sin x
= −sin(2x).cos cos x − sin x = −sin(2x).cos(cos 2x)
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao a  1. 1 1 1 1 1 1
Câu 17: Cho hàm số y    
cos x với x  0; có y là biểu thức có dạng 2 2 2 2 2 2 x . a sin
. Khi đó a nhận giá trị nào sau đây: 8 1 1 1 1 A. . B.  . C. . D.  . 4 4 8 8 Chọn D. 1 1 x x Ta có: 2  cos x  cos  cos 2 2 2 2 x x 1 x
Tương tự ta có biểu thức tiếp theo: 2 y  cos  cos  y   sin 8 8 8 8 x
Câu 18: Đạo hàm của hàm số y
( a là hằng số) là: 2 2 a x 2 a 2 a 2 2a 2 a A.  . B. . C. . D. .  3 3 3 a x 3 2 2  2 2 a x   2 2 a x   2 2 a x Hướng dẫn giải Chọn D. 2 x 2 2 a x  2 2 2 a x a y   2 2 a xa x 3 2 2 Câu 19: Cho hàm số 2
y  2x x . Mệnh đề nào sau đây là đúng ? A. 3
y .y  1  0 . B. 2
y .y  1  0 . C. 2
3y .y 1  0. . D. 3
2 y .y  3  0. Chọn A
Hướng dẫn giải : 1 x 1 Ta có: y  , y   2 2x x 2x x 3 2 3 1 Thay vào: 3
y .y 1   2 2x x    . 1  11  0. 2x x 3 2 3 3 sin x  cos x
Câu 20: Cho hàm số y
. Mệnh đề nào sau đây đúng ? 1 sin x cos x
A. 2 y  y  0.
B. y  y  0.
C. y  y  0.
D. 2 y   3y  0.
Hướng dẫn giải :
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao x x 2 2 sin cos
sin x  cos x  sin x cos x Ta có : y
 sin x  cos x 1 sin x cos x
y  cos x  sin x, y   sin x  cos x
y  y  0. Câu 21: Cho 6 6
f (x)  sin x  cos x và 2 2 g(x)  3sin .
x cos x . Tổng f (  x)  g (
x) bằng biểu thức nào sau đây? A. 5 5
6(sin x  cos x  sin . x cos x) . B. 5 5
6(sin x  cos x  sin . x cos x) . C. 6. D. 0. Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: f  x 5 5  6 sin .
x cos x  6 cos . x sin x 5 5  6 sin .
x cos x  6 cos . x sin x 3    3 g  x 2  .sin 2x  sin 2 . x 2.cos 2x    4  2 Suy ra:
f  x  g x  6.sin . x cos x  2 2
sin x  cos x 2 2
sin x  cos x  6sin . x cos . x  2 2
cos x  sin x  6sin . x cos . x  2 2
cos x  sin x  6sin . x cos . x  2 2
cos x  sin x  0 2 x 30
Câu 22: Cho hàm số f x  . Tìm fx : x 1   A. 30 f
x  30!1 x 30 . B. 30 fx  30 
! 1  x 31 .   C. 30 f
x  30!1 x 30 . D. 30 f
x  30!1 x 31. Hướng dẫn giải Chọn B. n k nbk.  a n n   1 . . ! b
Với g x  x  
, k R, k  0 . Ta có:   gx  , x    .    ax bn  a  ax b 1 a 2 x 1 30! 
Hàm số f x     x   1  . Nên 30 fx   30!  x 1 . 31   31 x 1 x 1 x   1
Câu 23: Cho hàm số y  cos x . Khi đó (2016) y (x) bằng A.  cos x . B. sin x . C.  sin x . D. cos x . Hướng dẫn giải
y   sin x  cos(x
) ; y   cos x  cos(x ) ; 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao n Dự đoán (n) y
(x)  cos(x  ) . 2 Thật vậy:
Dễ thấy MĐ đúng khi n  1 . Giả sử MĐ đúng khi n k (k  1) , tức là ta có k (k ) y
(x)  cos(x  ) 2   k k k k k k ( 1) Khi đó ( 1) ( ) y (x)  [y
(x)]  [ cos(x  )]=-sin(x  )=sin(-x  )=cos(x  ) . 2 2 2 2
Vậy MĐ đúng khi n k 1 nên nó đúng với mọi n . Do đó (2016) y
(x)  cos(x 1008)  cos x Chọn D. Câu 24: Cho hàm số 2
y  cos 2x . Giá trị của biểu thức y  y 16 y 16 y  8 là kết quả nào sau đây? 1 A. 0 . B. 8 . C.  cos x  . D. 2 x  
k 2, k   . 3 Hướng dẫn giải y  2  cos 2 . x 2 sin 2x  2
 sin 4x , y  8cos 4x , y  32sin 4x . 2
y  y 16 y 16 y  8  32sin 4x  8 cos 4x  32 sin 4x 16 cos 2x  8 2
 16 cos 2x  8 cos 4x  8  0 . Chọn A.  4
Câu 25: Cho hàm số y f x  cos 2x    . Phương trình fx  8
 có các nghiệm thuộc đoạn  3    0;  là: 2   
A. x  0 , x  . B. x  .
C. x  0 , x  .
D. x  0 , x  . 3 2 2 6 Hướng dẫn giải    
f  x  2sin 2x    ,
f  x  4  cos 2x    ,
f  x  8sin 2x    ,  3   3   3  4  f
x  16cos 2x    .  3   x   k  4   1 fx 2  8   cos 2x        k   .  3  2
x    k  6
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao Vì x  0; 
nên lấy được x  . 2    2 Chọn B.
Câu 26: Cho hàm số f x 2 
5x  14x  9. Tập hợp các giá trị của x để f ' x  0 là  7 9   7   7   7  A. ; .   B.  ;  .   C. 1; .   D. ;  .    5 5   5   5   5 
Câu 27: Cho hàm số f x 2  x
x  1 . Tập các giá trị của x để 2 .
x f  x  f x  0 là:  1   1   1   2  A. ;    . B. ;    . C.  ;    . D. ;    .  3   3   3   3  Hướng dẫn giải Chọn A. x f xf x
f  x  1   2 .
x f   x  f x  0  2 . x
f x  0 2 2 2 x 1 x 1 x 1 x  0 1 2  2x
x 1 do f x 2
x x x x  0    x  2 3x  1 3   1  Vậy x  ;     3 
Câu 28: Cho hàm số f x 2 
x x. Tập nghiệm S của bất phương trình f ' x  f x là:  2  2 
A. S   ;  0  ;    . B. S   ;
 0  1; . 2     2  2   2  2   2  2 
C. S    ;   ;     .
D. S    ;    1;  2 2       2   Câu 29: Cho các hàm số f x 4 4  x x g x 6 2 sin cos ,
 sin x  cos x . Tính biểu thức
3 f ' x  2g ' x  2 A. 0 . B. 2 . C. 1. D. 3
Câu 30: Cho hàm số y f x có đồ thị C  như hình vẽ. Tính A f ' 
1  f '2  f '3
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao A. A  6 B. A  6 C. A  0 D. A  12 3 mx
Câu 31: Cho hàm số f x 2 
mx  3m  
1 x 1. Tập các giá trị của tham số m để y  0 với 3 x    là: A. ; 2 . B.  ;  2 . C.  ;  0 . D.  ;  0 .  Lời giải Chọn C. 2
y  mx  2mx  3m 1 2
y  0  mx  2mx  3m 1  0   1
+ Với m  0 thì (1) trở thành 1
  0 nên đúng với x    . a  0 m  0
+ Với m  0 khi đó (1) đúng với x         m  0    0 1 2m  0   Vậy m  0
Câu 32: Cho hàm số y  m   3
x  m   2 1 3
2 x  6 m  2 x 1 . Tập giá trị của m để y  0 x    là A. 3;  . B. 1;  . C.  . D. 4 2;  .   Chọn C.
y  m   2 3
1 x  2 m  2 x  2 m  2   . y   m   2 0
1 x  2m  2 x  2m  2  0 (1)
Với m  1 thì   1  6
x  6  0  x  1 m  1 (loại). a  0 m  1 
Với m  1   1 đúng x         m vô nghiệm.   0  
m  2 3m  0 
Câu 33: Cho hàm số f x 2
 sin x  sin 2x . Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của f  x trên  .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao
A. m   2 , M  2 . B. m  1  , M  1 . C. m  2  , M  2 . D. m   5 , M  5 . Chọn D.
f  x  2sin .
x cos x  2 cos 2x  sin 2x  2 cos 2x
Đặt t  sin 2x  2 cos x .
Điều kiện phương trình có nghiệm là: 1 + 2 ≥ ⟺ −√5 ≤ ≤ √5.
Vậy M  5, m   5 . 3 cos x
Câu 34: Cho hàm số f x 3  2
 sin x  2 cos x  3sin x . Biểu diễn nghiệm của phương trình 3
lượng giác f   x trên đường tròn ta được mấy điểm phân biệt? A. 1 điểm. B. 2 điểm. C. 4 điểm. D. 6 điểm. Chọn B. f  x 3 3
 2sin x  3cos x 3 3 f  x 3 3  0  tan x   tan x  . 2 2
Vậy có hai điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.
Câu 35: Đẳng thức nào sau đây đúng? A. 1 2 3 n n 1 C 2C 3C nC . n 2      , n N. n n n n B. 1 2 3 C  2C  3 n
C  nC n n N n n n n   1 .2n , . C. 1 2 3 n C C C nC n       nN n n n n   n 1 2 3 1 .2 , . D. 1 2 3 n C C C nC n       nN n n n n   n 1 2 3 1 .2 , . Chọn A Hướng dẫn giải n
Cách 1: Xét f x    x 0 1 1 n n 1 1  n n
C C x    C x
C x x R n n n n
f xn xn 1 1 2 C xCnn2 n 1 n 1 ' 1 2 1 x .C . n x           . n C n n n n '  1 1 2 f C C n C n C n        . n n   n 1 n n 1 2 1 . . .2 n n
Cách 2: Sử dụng MTCT
-Chọn với n  1 : 1 C 0  2  1 (đúng) 1
-Chọn với n  2 : 1 2
C  2C  2.2  4 (đúng) 2 2 ….
Từ việc thử đáp án ta được kết quả
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao
Câu 36: Tính tổng với n N , n  2 : 2 3 n 1 S 1.2.C 2.3.C
... (n 2).(n 1).C       
 (n 1). . n n C n n n n A. 2 ( 1).( 2).2n n n    . B. 2 .( 1).2n n n   . C. 1 .( 1).2n n n   .
D. ( 1).(  2).2n n n . Chọn B Hướng dẫn giải
Cách 1: Xét hàm số n 0 1 1 2 2 n 1  n 1
f (x)  (1 x)  C C x C x  ...  n nC xC x n n n n n Suy ra: 
f xn xn 1 1 2 C xCnn2 n 1 n 1 ' 1 2 1 x .C . n x           . n C n n n n
f   x  n   n   x n 2 1 . . 1 2 3 n3 n 1  n2  1.2.C  2.3. .
x C  ...  (n  2).(n 1)x .C  (n 1). . n x . n C n n n n f    2 3 C C n n C   n n C n n        . n n     n 1 n   n n   n 2 1 1.2. 2.3. 2 . 1 . 1 . . 1 2
Cách 2: Sử dụng MTCT ta thử với một vài giá trị n  2. -Với n  2  2 1
S  1.2.C  2.1.2  2 (đúng) 2 -Với n  3  2 3
S  1.2.C  2.3.C  3.2.2  12 (đúng) 3 3 …
So sánh, đối chiếu các đáp án ta được kết quả. Câu 37: Tính tổng 0 1 2
S C  2C  3C  ...  (n 1) n C bằng n n n n A. 1 .2n n  . B. 1 ( 1).2n n   . C. 1 ( 2).2n n   . D. ( 1).2n n  . Chọn C Hướng dẫn giải
Cách 1: Ta có: n 0 1 1 2 2 n 1  n 1
(1 x)  C C x C x  ...  n nC x
C x xR n n n n n
Nhân 2 vế với x ta được: n 0 2 1 3 2 n n 1  n 1 x(1 x) . x C x .C x .C ... x .C x         . n C n n n n n
Lấy đạo hàm 2 vế ta được : n n 1  0 1 2 2
(1 x)  nx(1 x)  C  2 .
x C  3x .C  ...  (n 1) n x . n C n n n n
Thay x  1 ta được: 0 1 2 n n n 1  n 1 S C 2C 3C ... (n 1)C 2 . n 2 (n 2).2            . n n n n
Cách 2: Sử dụng MTCT (bạn đọc tự thử lại) 99 100 198 199  1   1   1   1  Câu 38: Tính tổng: 0 1 0 100 S  100.C 101.C  ... 199.C  200.C 100   100   100   100    2   2   2   2  A. 10 . B. 0 . C. 1. D. 100 . Chọn B.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao
Hướng dẫn giải 100 100
Xét f x   2 x x  100  x 1 x 100  x  0 1 2 2 100 100 CC x C x C x 100 100 100 100  0 100 1 101 2 102 100 200  C .xC .xC x  ...  C x 100 100 100 100
f x 
x    x x99 2 ' 100 2 1 . 99 0 100 1 101 2 199 100  100x .C 101x .C 102x .C  ...  200x C 100 100 100 100 1 Lấy x   ta được: 2 99 100 199  1   1   1 0 1  100 0  1  00 C 101 C  ...  200 CS  0   . 100   100   100  2   2   2 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
Câu 39: Biết tiếp tuyến d  của hàm số 3
y x  2x  2 vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ
nhất. Phương trình d  là: 1 18  5 3 1 18  5 3
A. y  x   , y  x   . 3 9 3 9
B. y x, y x  4. 1 18  5 3 1 18  5 3
C. y  x   , y  x   . 3 9 3 9
D. y x  2, y x  4. Hướng dẫn giải
Tập xác định: D  .  2
y  3x  2.
Đường phân giác góc phần tư thứ nhất có phương trình  : x  . y
  d  có hệ số góc là 1  . 1
y x    x     x   o  2 1 3 2 1 . o o 3
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là 1 18  5 3 1 18  5 3
d  : y  x   , y  x   . 3 9 3 9 Chọn C. x  1
Câu 40: Cho hàm số y
(C) . Có bao nhiêu cặp điểm A, B thuộc C mà tiếp tuyến tại đó song x 1 song với nhau: A. 0 . B. 2 . C. 1. D. Vô số. Hướng dẫn giải 2  Ta có: y '  .  x  2 1 x 1
Đồ thị hàm số y
có tâm đối xứng I 1;  1 . x 1
Lấy điểm tùy ý Ax ; y C 0 0    .
Gọi B là điểm đối xứng với A qua I suy ra B 2  x ;2  y C 0 0    . Ta có:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao 2 
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm A là: k y' x. A  0   x  2 1 0 2
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm B là: k y'x. B 2 0  1 x 2 0
Ta thấy k k nên có vô số cặp điểm A, B thuộc C  mà tiếp tuyến tại đó song song với A B nhau. Chọn D. 1 Câu 41: Cho hàm số 3 2 y
x  3x x 1 có đồ thị C  . Trong các tiếp tuyến với đồ thị C  , hãy tìm 3
phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. A. y  8  x 19 .
B. y x 19 . C. y  8  x 10 .
D. y  x 19 . Câu 42: Cho hàm số 3 2
y x  2x  2x có đồ thị (C). Gọi x , x là hoành độ các điểm M , N trên 1 2
C , mà tại đó tiếp tuyến của C  vuông góc với đường thẳng y  x  2017 . Khi đó x x 1 2 bằng: 4 4  1 A. . B. . C. . D. 1  . 3 3 3 Hướng dẫn giải Ta có: 2
y '  3x  4x  2 .
Tiếp tuyến tại M , N của C  vuông góc với đường thẳng y  x  2017 . Hoành độ x , x 1 2
của các điểm M , N là nghiệm của phương trình 2
3x  4x 1  0 . 4
Suy ra x x  . 1 2 3 Chọn A. 1
Câu 43: Cho đồ thị hàm số C  4 2
: y x  4x  2017 và đường thẳng d : y 
x 1. Có bao nhiêu tiếp 4
tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng d? A. 2 tiếp tuyến. B. 1 tiếp tuyến.
C. Không có tiếp tuyến nào. D. 3 tiếp tuyến. 1
Câu 44: Trên đồ thị của hàm số y
có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ x 1
tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tọa độ M là:  1   3 4   3  A. 2  ;1 . B. 4; . C.  ;  . D.     ; 4  .    3   4 7   4  Hướng dẫn giải
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 30
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao 1 Ta có: y '  
. Lấy điểm M x ; y C 0 0    .  x  2 1 1 1
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y  
.x x 0    .  x  2 x 1 1 0 0
Giao với trục hoành:   Ox=A2x 1;0 0  .  2x 1  
Giao với trục tung:  0  Oy=B  0;    x 2 1    0  2 1  2x 1  3 0  3  SOA.OB  4   x    . Vậy M ; 4 . OAB 0   2 x 1 4   4 0   Chọn D.
Câu 45: Tiếp tuyến của parabol 2
y  4  x tại điểm (1;3) tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông.
Diện tích của tam giác vuông đó là: 25 5 5 25 A. . B. . C. . D. . 2 4 2 4 Hướng dẫn giải + y  2  x y (  1)  2 .
+PTTT tại điểm có tọa độ (1;3) là: y  2(x 1)  3  y  2  x  5 (d ) .  5 
+ Ta có (d ) giao Ox tại A
; 0 , giao Oy tại B(0;5) khi đó (d ) tạo với hai trục tọa độ    2 
tam giác vuông OAB vuông tại O . 1 1 5 25
Diện tích tam giác vuông OAB là: S O . A OB  . .5  . 2 2 2 4 Chọn D. 1
Câu 46: Cho đồ thị hàm số C  : y  ; điểm M có hoành độ x  2  3 thuộc (C). Biết tiếp tuyến của x M
(C) tại M lần lượt cắt Ox, Oy tại A ,. B . Tính diện tích tam giác OAB . A. S  1. B. S  4 . C. S  2 . D. S  2  3 . OABOABOAB OAB 2 x  3x  3
Câu 47: Biết với một điểm M tùy ý thuộc C : y
, tiếp tuyến tại M cắt C tại hai điểm x  2 A,B tạo với I  2  ;  
1 một tam giác có diện tích không đổi, diện tích tam giác đó là? A. 2 (đvdt ). B. 4 (đvdt ). C. 5 (đvdt ). D. 7 (đvdt ). Hướng dẫn giải Chọn A
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 31
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao 2 x  3x  3 1 1 y   x 1 . Ta có: y '  1 . x  2 x  2  x  22 1
Gọi M x ; y  (C)  y x 1  0 0  0 0   x  2 0  1  1
Tiếp tuyến với (C) tại M là  : y  1    x xx 1 2  0    x  2 0 x  2  0  0  xx  Nếu   x  2
 tại điểm A , thì 0 y   0  A 2  ;  A   x  2 x  2 0  0 
Nếu  cắt tiệm cận xiện tại điểm B thì  1  1 1    x xx 1
x 1  x  2x  2  y x 1  2x  3 2  B 0    B B B B x  2 0 0 0 x  2  0  0 
B 2x  2;2x  3 0 0 
Nếu I là giao hai tiệm cận, thì I có tọa độ I  2  ;   1 .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên tiệm cận đứng x  2 suy ra H( 2  ; 2x  3) 0 1 1 1 x Diện tích tam giác 0 AIB : S AI.BH
y y . x x    1 2x  2  2 A I B H 0 2 2 2 x  2 0 1 2 Hay S
.2 x  2  2 ( đvdt ) 0 2 x  2 0
Chứng tỏ S là một hằng số, không phụ thuộc vào vị trí của điểm M . Câu 48: Cho hàm số 3
y  x  3x  2 có đồ thị là C  . Tìm những điểm trên trục hoành sao cho từ đó
kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.  8   28   8   28  A. M  ; 0   . B. M  ; 0   . C. M  ; 0   . D. M  ; 0   .  27   7   7   27  Hướng dẫn giải Chọn B Xét điểm M ( ; m 0) Ox .
Cách 1: Đường thẳng d đi qua M , hệ số góc k có phương trình: y k (x m) . 3 
x  3x  2  k (x m)
d là tiếp tuyến của C   hệ  có nghiệm x 2  3
x  3  k
Thế k vào phương trình thứ nhất, ta được: 2 3
3(x 1)(x m)  (x  3x  2)  0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 32
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao 2 2
 (x 1)(3x  3(1 m)x  3 )
m  (x 1)(x x  2)  0 2
 (x 1)[2x  (3m  2)x  3m  2]  0   1  x  1  hoặc 2
2x  (3m  2)x  3m  2  0 2
Để từ M kẻ được ba tiếp tuyến thì  
1 phải có nghiệm x , đồng thời phải có 3 giá trị k
khác nhau, khi đó 2 phải có hai nghiệm phân biệt khác 1
 , đồng thời phải có 2 giá trị k khác nhau và khác 0
2 phải có hai nghiệm phân biệt khác 1  khi và chỉ khi:  2
  (3m  2)(3m  6)  0
m   , m  2    3 3 3m  3  0  m  1  
Với điều kiện 3 , gọi x , x là hai nghiệm của 2 , khi đó hệ số góc của ba tiếp tuyến là 1 2 2 2 k  3
x  3, k  3
x  3, k  0 . 1 1 2 2 3
Để hai trong ba tiếp tuyến này vuông góc với nhau k .k  1  và k k 1 2 1 2 k .k  1  2 2 2 2 2
 9(x 1)(x 1)  1
  9x x  9(x x ) 18x x 10  0 (i) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3m  2 3m  2
Mặt khác theo Định lí Viet x x  ; x x  . 1 2 1 2 2 2 28
Do đó (i)  9(3m  2) 10  0  m  
thỏa điều kiện 3 , kiểm tra lại ta thấy k k 27 1 2  28  Vậy, M  ; 0   là điểm cần tìm.  27 
Cách 2: Gọi N (x ; y )  (C) . Tiếp tuyến  của C  tại N có phương trình: 0 0 y   2
3x  3 ( x x )  y . 0  0 0
 đi qua M  0   2
3x  3 (m x )  y 0  0 0 2
 3(x 1)(x 1)(x m)  (x 1) (x  2)  0 0 0 0 0 0  x  1  2 0
 (x 1) 2x  (3m  2)x  3m  2  0  0 0 0    2
2x  (3m  2)x  3m  2  0 (a)  0 0
Từ M vẽ được đến C  ba tiếp tuyến  (a) có hai nghiệm phân biệt khác 1  , và có hai giá trị 2 k  3
x  3 khác nhau và khác 0 điều đó xảy ra khi và chỉ khi: 0 m  1  2
  (3m  2)  8(3m  2)  0
(3m  2)(3m  6)  0       2 (b) . 2  2(3m  2)  0 3m  3  0  
m   , m  2   3
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 33
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao
Vì tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x  1 có hệ số góc bằng 0 nên yêu cầu bài toán 2 2
 (3 p  3)(3q  3)  1
 (trong đó p, q là hai nghiệm của phương trình (a) ) 2 2 2 2
 9 p q  9( p q ) 10  0 2 2 2
 9 p q  9( p q) 18 pq 10  0 2 2 9(3m  2) 9(3m  2) 28  28   
 9(3m  2) 10  0  m   . Vậy M  ; 0   . 4 4 27  27  2x 1
Câu 49: Cho hàm số y 
có đồ thị là C. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị C sao cho x 1
tiếp tuyến này cắt các trục O ,
x Oy lần lượt tại các điểm A , B thoả mãn OA  4OB.  1 5  1 5  1 5  1 5 y   x   y   x y   x y   x  4 4  4 4  4 4  4 4 A. . B.  . C.  . D. . 1 13  1 13 1 13 1 13 y   x
y   x
y   x
y   x   4 4  4 4  4 4  4 4 Hướng dẫn giải Chọn A
Giả sử tiếp tuyến d  của C  tại M (x ; y ) (C) cắt Ox tại ,
A Oy tại B sao cho 0 0 OA  4OB . OB 1 1
Do OAB vuông tại O nên tan A  
 Hệ số góc của d  bằng OA 4 4 1 hoặc  . 4 1 1 1
Hệ số góc của d  là y (x )    0     0 2 2 (x 1) (x 1) 4 0 0   3  x  1  y   0  0   2      5  x  3 y   0  0    2   1 3  1 5 y   (x  1)  y   x   4 2  4 4
Khi đó có 2 tiếp tuyến thoả mãn là:    . 1 5 1 13  y (x 3)      y   x   4 2  4 4   : y x  1  4 4  4 Câu 50: Cho hàm số 3 2 y
x  2x  3x có đồ thị là A ;  
 . Có bao nhiêu giá trị  : y x 3  9 3   3  5 8
 : y   x   9 81
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 34
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao
 : y  3x  4
để tiếp tuyến của  : y x 1
tại giao điểm của nó với trục tung tạo với hai trục tọa độ  3  5 128
 : y   x   9 81
một tam giác có diện tích bằng 8 . A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn D
 : y  3x  4 Ta có  : y
là giao điểm của (C ) với trục tung  3 m  5 128
 : y   x   9 81 2
y '  3x m y '(0)  m
Phương trình tiếp tuyến với (C ) tại điểm m là y  mx 1 m m
Gọi A, B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến này với trục hoanh và trục tung, ta có tọa độ  1 mA ; 0 
 và B(0;1 m)  m
Nếu m  0 thì tiếp tuyến song song với Ox nên loại khả năng này Nếu m  0 ta có 1 1 1 m 1 m2 m  9  4 5 S  8  O . A OB  8  1 m  8   16   OAB 2 2 m mm  7   4 3 
Vậy có 4 giá trị cần tìm. x 1
Câu 51: Cho hàm số y
.Tìm giá trị nhỏ nhất của m sao cho tồn tại ít nhất một điểm M  C  2x 1
mà tiếp tuyến của C  tại M tạo với hai trục toạ độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường
thẳng d : y  2m 1. 1 3 2 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A 3 
Gọi M (x ; y )  (C) . Phương trình tiếp tuyến tại M : y
(x x )  y 0 0 2 0 0 (2x 1) 0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 35
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao
Gọi A , B là giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành và trục tung 2 2x  4x 1  0 0 y  . B 2 (2x 1) 0 1
Từ đó trọng tâm G của OAB có: y  3x- . 3 2 2x  4x 1
Vì G d nên 0 0  2m 1 2 3(2x 1) 0 2 2 2 2 2x  4x 1 6x  (2x 1) 6x Mặt khác: 0 0 0 0 0   1  1  2 2 2 (2x 1) (2x 1) (2x 1) 0 0 0 1 1
Do đó để tồn tại ít nhất một điểm M thỏa bài toán thì 2m 1    m  . 3 3 1
Vậy GTNN của m là . 3
Câu 52: Cho hàm số y  133x  508; y  8x  8; y  5x  4. , có đồ thị là C  . Có bao nhiêu điểm C  thuộc
C sao cho tiếp tuyến tại  của C cắt  Oy tại 2  4   2 3x  4x 1 4   x
x  2x x  4 B sao cho diện tích tam giác x  1 bằng 0  0  3 2 0 0 0 0 0 1 , x  6  là gốc tọa độ. 4 0 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải Chọn B 2x 2
Gọi M x ; y   C  0  y   y '  0 0 0 0 x 1  x  2 0 1 0
Phương trình tiếp tuyến x  1 của C  tại x  2 là: y  5x  4 . 0 0 2 x  2x 1
Tiếp tuyến y  133x  508; y  8x  8; y  5x  4. cắt hai trục tọa độ y  tại hai x  2
điểm phân biệt A 2 x ; 0 , 0 
y  5 sao cho diện tích tam giác AOB có diện tích bằng y  4 khi đó 2 1 1 1 2x 1 0 .O . A OB   O . A OB   x . 
 4x x  1  0 0 2 0  0 2 2 2 2 4 2  x 1 2 0   1  1  2
2x x 1  0 x    M  ; 2  0 0  0     2  2  . 2 2x x 1 0      0 0
x  1  M 1;1 0   
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 36
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao 2 2
x  2mx  2m 1 Câu 53: y  C
cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến với Cm m x 1
tại hai điểm này vuông góc với nhau. 2 2 A. m  . B. m  1  . C. m  , m  1  . D. m  0 . 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A
Hàm số đã cho xác định trên  \   1 .
Xét phương trình hoành độ giao điểm của C và trục hoành: m  2 2
x  2mx  2m 1 2 2
 0  x  2mx  2m 1  0,  x   1   1 x 1 Để C
cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt ,
A B thì phương trình   1 phải có hai nghiệm m  2 2 
 '  m  2m 1  0   1 m  1 m  0
phân biệt khác 1. Tức là ta phải có:  hay  tức 2 1
  2m  2m 1  0  2m  m   1  0   1   m  1  2 . m  0 
Gọi x ; x là hai nghiệm của  
1 . Theo định lý Vi – ét, ta có: x x  2 , m 2
x .x  2m 1 1 2 1 2 1 2
Giả sử I x ;0 là giao điểm của C
và trục hoành. Tiếp tuyến của C
tại điểm I có hệ m m  0 
2x  2m x   1   2 2
x  2mx  2m 1 0 0 0 0  2x  2m
số góc y ' x  0   0  x  2 1 x 1 0 0 2x  2m 2x  2m
Như vậy, tiếp tuyến tại ,
A B lần lượt có hệ số góc là y ' x  1  , y ' x  . 2  2 1 x 1 x 1 1 2 Tiếp tuyến tại ,
A B vuông góc nhau khi và chỉ khi y ' x y ' x  1  hay 1   2 
 2x  2m   2x  2m  1 2  1     
 5x .x  4m  
1  x x  2
 4m 1  0 tức 2
3m m  2  0 1 2 1 2 x 1 x 1  1   2  2 2  m  1  hoặc m
. Đối chiếu điều kiện chỉ có m  thỏa mãn. 3 3 2
x  2mx m
Câu 54: Cho hàm số y
. Giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại hai điểm và tiếp x m
tuyến của đồ thị tại hai điểm đó vuông góc là A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 7 . Hướng dẫn giải Chọn C
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 37
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao 2
x  2mx m
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số C  : y  và trục hoành: x m 2 2
x  2mx m
x  2mx m  0 *  0   . x mx  m  2
x  2mx m
Đồ thị hàm số y
cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt  phương trình * có x m 2
m  0  m  1 
  m m  0 
hai nghiệm phân biệt khác m     1 . 2
3m m  0 m      3
Gọi M x ; y là giao điểm của đồ thị C  với trục hoành thì 2
y x  2mx m  0 và hệ 0 0  0 0 0
số góc của tiếp tuyến với C  tại M là:
2x  2m x   1   2
x  2mx m 0 0 0 0  2x  2m
k y x  0  . 0   x m2 x m 0 0 2x  2m
Vậy hệ số góc của hai tiếp tuyến với C  tại hai giao điểm với trục hoành là 1 k  , 1 x m 1 2x  2m 2 k  . 2 x m 2
 2x  2m   2x  2m
Hai tiếp tuyến này vuông góc  k .k  1  1 2   1 1 2     x m x m  1   2 
 4  x x m x x  2
m     x x m x x  2  m  ** 1 2 1 2 1 2 1 2       . x x mm  0 Ta lại có 1 2  , do đó *  2
*  m  5m  0   . Nhận m  5 .
x x  2mm  5 1 2 
Câu 55: Phương trình tiếp tuyến của C : 3
y x biết nó đi qua điểm M 2; 0 là:
A. y  27 x  54 .
B. y  27x  9; y  27x  2 .
C. y  27 x  27 .
D. y  0; y  27x  54 . Hướng dẫn giải Chọn D + 2 y '  3x . + Gọi (
A x ; y ) là tiếp điểm. PTTT của (C) tại ( A x ; y ) là: 0 0 0 0 2
y  3x x x  3  x (d) . 0 0 0
+ Vì tiếp tuyến (d ) đí qua M (2; 0) nên ta có phương trình:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 38
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao x  0 2 3x 2  xx  0  . 0  0  3 0 0 x  3  0
+ Với x  0 thay vào (d ) ta có tiếp tuyến y  0 . 0
+ Với x  3 thay vào (d ) ta có tiếp tuyến y  27x  54 . 0 2 x
Câu 56: Cho hàm số f x 
x 1, có đồ thị C  . Từ điểm M 2;  
1 kẻ đến C  hai tiếp tuyến 4
phân biệt. Hai tiếp tuyến này có phương trình:
A. y  x 1 và y x  3 .
B. y  2x  5 và y  2  x  3 .
C. y  x 1 và y  x  3 .
D. y x 1 và y  x  3 . Hướng dẫn giải Chọn A 2 x x
Gọi N x ; y là tiếp điểm; 0 y
x 1 ; f  x  1 0  0 0 0  0 0 4 2 2  xx
Phương trình tiếp tuyến tại N là: 0 y  1 
  x x  0   x 1 0 0  2  4 2 2  xx x
Mà tiếp tuyến đi qua M 2;   1 0  1   1  2  x  0 0   x 1    x  0 0 0 0  2  4 4
x  0; y  1; f  0  1  0 0  
 x  4; y 1; f  4 1  0 0  
Phương trình tiếp tuyến : y  x 1 và y x  3 .
Câu 57: Tiếp tuyến của parabol 2
y  4  x tại điểm (1;3) tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông.
Diện tích của tam giác vuông đó là: 25 5 5 25 A. . B. . C. . D. . 2 4 2 4 Hướng dẫn giải Chọn D + y  2  x y (  1)  2 .
+PTTT tại điểm có tọa độ (1;3) là: y  2(x 1)  3  y  2x  5 (d ) .  5 
+ Ta có (d ) giao Ox tại A ; 0 
 , giao Oy tại B(0;5) khi đó (d ) tạo với hai trục tọa độ  2 
tam giác vuông OAB vuông tại O . 1 1 5 25
Diện tích tam giác vuông OAB là: S O . A OB  . .5  . 2 2 2 4
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 39
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao 1 2 x
Câu 58: Cho hai hàm số f x 
và g x  . x 2 2
Gọi d , d lần lượt là tiếp tuyến của mỗi đồ thị hàm số f x, g x đã cho tại giao điểm của 1 2
chúng. Hỏi góc giữa hai tiếp tuyến trên bằng bao nhiêu A. 60 . B. 45 . C. 30 . D. 90 . 2x  2
Câu 59: Cho hàm số y
có đồ thị là C  . Viết phương trình tiếp tuyến của C  , biết tiếp tuyến x 1
tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.
A.  : y  x  7 ;  : y  x 1 .
B.  : y  2x  7 ;  : y  x 11 .
C.  : y  x  78 ;  : y  x 11 .
D.  : y  x  9 ;  : y  x 1 . Hướng dẫn giải Chọn A
Hàm số xác định với mọi x  1. 4  Ta có: y '  2 (x 1)
Tiệm cận đứng: x  1 ; tiệm cận ngang: y  2 ; tâm đối xứng I (1; 2)
Gọi M (x ; y ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của C  : 0 0 4  2x  2 0  : y  (x x )  . 2 0 (x 1) x 1 0 0
Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1  . 4
 1  x  1, x  3 2 0 0 (x 1) 0
* x  1  y  0   : y  x 1 . 0 0
* x  3  y  4   : y  x  7 . 0 0
Câu 60: Cho hàm số y  x 1 có đồ thị C  . Viết phương trình tiếp tuyến của C  , biết tiếp tuyến tạo
với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng x . 0 2 3
A.  ; y y ' 2 x x xy x
 3x  6x  9 x x
x  3x  9x 11 . B. 0   0   0   0 0  0  0 0 0  29     ; I ;184   .  3  2 3  29  C. 184   2 3x  6x  9  x
x  3x  9x 11 ; 0 0  0  0 0 0  3  3 2
 2x  32x  58x  260  0  x  13.
D. x  5 ; x  2  .. 0 0 0 0 0 0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 40
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao Hướng dẫn giải Chọn D
Hàm số xác định với mọi x  2 .
Ta có: y  420x  3876
Gọi M (x ; y )  (C) . Tiếp tuyến y  36x 164 của C  tại M có phương trình 0 0 2 4 2x 4 2x 0 0 y  (x x )   x  2 0 2 2 (x  2) x  2 (x  2) (x  2) 0 0 0 0 Gọi ,
A B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến y  15x  39 với O , x Oyy  0    1 1 Suy ra 2 2 A : 2  4 2xx   x  ( A x ; 0) 0 0 x   0  0  2  2 2 2 (x  2) (x  2) 0 0   y  0   x  0 2   2x  2 0 B :  2xB 0; 0  2  y  (x  2)  2  0  (x  2)  0 Vì ,
A B O x  0 . 0 4 1 1 x
Tam giác AOB vuông tại O nên 0 SO . A OB  AOB 2 2 2 (x  2) 0 4 1 x Suy ra 0 4 2 S  
 9  9x  (x  2) AOB 2 0 0 18 (x  2) 0 2 x  1 0
3x x  2  0 (vn) 0 0     2 . 2
3x x  2  0 x    0 0 0  3 2 4 4 2
* x  1  y  , y '(x ) 
. Phương trình  : y x  0 0 0 3 9 9 9 2 9 9 2 9 1 * x  
y  1, y '(x ) 
Phương trình  : y  (x  ) 1  x  . 0 0 0 3 4 4 3 4 2 x 1
Câu 61: Cho hàm số y
(C) . Có bao nhiêu cặp điểm ,
A B thuộc C  mà tiếp tuyến tại đó song x 1 song với nhau: A. 0 . B. 2 . C. 1. D. Vô số. Hướng dẫn giải Chọn D
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 41
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao 2  Ta có: y '  .  x  2 1 x 1
Đồ thị hàm số y
có tâm đối xứng I 1;  1 . x 1
Lấy điểm tùy ý Ax ; y C . 0 0   
Gọi B là điểm đối xứng với A qua I suy ra B 2  x ;2  y C . Ta có: 0 0    2 
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm A là: k y ' xA  . 0   x  2 1 0 2 
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm B là: k y '  xB 2 . 0  1 x 2 0
Ta thấy k k nên có vô số cặp điểm ,
A B thuộc C  mà tiếp tuyến tại đó song song với A B nhau. 1
Câu 62: Trên đồ thị của hàm số y
có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ x 1
tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tọa độ M là:  1   3 4   3  A. 2;  1 . B. 4; .   C.  ;  .   D. ; 4  .    3   4 7   4  Hướng dẫn giải Chọn D 1 Ta có: y '  
. Lấy điểm M x ; y C . 0 0     x  2 1 1 1
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y   . x x   . 2  0     x   1 x 1 0 0
Giao với trục hoành:   Ox=A2x 1;0 . 0   2x 1  
Giao với trục tung:  0  Oy=B 0;    x 2 1    0  2 1  2x 1  3  3  0 SO . A OB  4   x  . Vậy M ; 4  . OAB   0   2 x 1 4   4  0 
Câu 63: Định m để đồ thị hàm số 3 2
y x mx 1 tiếp xúc với đường thẳng d : y  5 ? A. m  3  .
B. m  3 . C. m  1  . D. m  2 . Hướng dẫn giải Chọn A
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 42
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao Đường thẳng 3 2
y x mx 1 và đồ thị hàm số y  5 tiếp xúc nhau 3 2 
x mx 1  5 (1)   có nghiệm. 2 3
x  2mx  0 (2)   x  0 . (2) x(3x 2m) 0      2m .  x   3
+ Với x  0 thay vào (1) không thỏa mãn. 2m + Với x  thay vào (1) ta có: 3 m  2  7  m  3  . 3
Câu 64: Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của m sao cho đường thẳng d : y mx m  3 cắt đồ thị 3 2
(C) : y  2x  3x  2 tại ba điểm phân biệt , A , B I 1; 3
  mà tiếp tuyến với (C) tại A và tại
B vuông góc với nhau. Tính tổng tất cả các phần tử của S. A. 1. B. 1. C. 2 . D. 5. Câu 65: Cho hàm số 3
y x  2018x có đồ thị là C  . M là điểm trên C  có hoành 1
độ x  1 . Tiếp tuyến của C  tại M cắt C  tại điểm M khác M , tiếp tuyến của C  1 1 2 1
tại M cắt C  tại điểm M khác M , tiếp tuyến của C  tại điểm M
cắt C  tại điểm 2 3 2 n 1  M khác Mn  4; 5;.. 
. , gọi  x ; y là tọa độ điểm M . Tìm n để: n n n n 1  n 2019
2018x y  2  0 . n n A. n  647 . B. n  675 . C. n  674 . D. n  627 . Hướng dẫn giải Chọn C
Gọi M x ; y C với k  1; 2;... . Tiếp tuyến tại M : y y x x xy k   k k k k    k ky   2 x
x x  3 3 2018  x  2018x k k k k Hoành độ của M
nghiệm đúng phương trình: k 1  3 x x   2 x
x x  3 2018 3 2018
x  2018x   x x
x x x xk   2 2 . 2 k k  0 k k k kx xk  x  2  xkx  2  x , k  (do x x ). k 1  k k k 1  n
Do đó: x  1 ; x  2
 ; x  4 ; ….; x   . n   1 2 1 2 3 Theo đề bài: 2019
2018x y  2  0 3 2019
 2018x x  2018x  2  0 n n n n n
  3n3   2019 2 2
n  674 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 43
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao Câu 66: Cho hàm số
y f x xác định và có đạo hàm trên  thỏa mãn
f   x 2
  x   f   x 3 1 2 1    
 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại
điểm có hoành độ bằng 1. 1 6 1 8 1 8 6 A. y   x  . B. y x  . C. y   x  .
D. y  x  . 7 7 7 7 7 7 7 Hướng dẫn giải Chọn A. * Phân tích:
+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoàng độ x là: 0
y f  x . x x f x . Do đó, muốn viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 0   0   0 
điểm có hoành độ x ta phải tính được f (
x ) và f (x ). 0 0 0
+ Trong giả thiết, chỉ cho duy nhất một điều kiện về hàm f (x) , vì vậy chắc chắn phải căn
cứ vào giả thiết này để tính f (
x ) và f (x ). 0 0 Hướng dẫn giải 2 3
+ Xét  f (1 2x)  x   f (1 x) x      1 3 2  f (1)  0 Trong  
1 cho x  0 ta được  f (1)  f (1)  0   f (1)  1. 
+ Đạo hàm 2 vế của   1 ta được:
x f   x fx  
x f   x fx 2 2.(1 2 ) . (1 2 ). (1 2 ) 1 3.(1 ) . (1 ). (1 )  f   x fx  
f   x fx 2 4. (1 2 ). (1 2 ) 1 3. (1 ). (1 ) 2 2
Trong 2 cho x  0 sẽ được: 4. f (
 1). f (1)  1 3. f (  1). f (1) 3.
Nếu f (1)  0 thay vào 2 vô lý  f (1)  1  . 1
Thay f (1)  1 vào 2 sẽ được f (  1)   . 7 1 1 6
+ Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y    x   1 1 hay y  
x  . Chọn. A. 7 7 7
Câu 67: Tìm tất cả các giá trị thực của thàm số m sao cho hàm số 3
y x  3x 1C , đường thẳng
d : y mx m  3 giao nhau tại A1;3, ,
B C và tiếp tuyến của C  tại B và C vuông góc nhau.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 44
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao  3   2 2  2   2 2 m   m   3 3 A. B.   3   2 2  2   2 2 m  m   3  3  4   2 2  5   2 2 m   m   3 3 C. D.   4   2 2  5   2 2 m  m   3  3 Hướng dẫn giải Ta có: 2
y '  3x  3
Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và (d): 3
x  m  3 x m  2  0   x   1  2
x x m  2  0  x  1  , y  3   2
x x m  2  0 * 
Để hàm số (C ) cắt d tại 3 điểm phân biệt thì (*) có 2 nghiệm phân biệt khác -1, nên:  9   0  m      4 f     1  0  m  0 
Giả sử x ; x là nghiệm của (*), hệ số góc của tiếp tuyến: B C 2 2
k  3x  3; k  3x  3 B B C C Theo giả thiết: k k     2 x   2 x   2 . 1 3 3 3
3  1  9m 18m 1  0 B C B C  3  2 2 m   3   3  2 2 m   3  3   2 2 m   3 Vậy với  thỏa ycbt.  3   2 2 m   3 Chọn A. 4 x 5
Câu 68: Cho hàm số: 2 y   3x
(C) và điểm M  (C) có hoành độ xM = a. Với giá trị nào của a thì 2 2
tiếp tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) 2 điểm phân biệt khác M.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 45
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao   a  3   a  3  a  3   a  7 A. B. C. D.  a  1  a  1  a  1   a  2   Hướng dẫn giải 4 a 5 Điểm M (C) , x 2 M = a => y   3a
ta có Pt tiếp tuyến với (C) có dạng M 2 2 () : '
y y (x x )  y với ' 3 y  2a  6a x M M M M 4 a 5 => () 3 2
y  (2a  6a)(x a)   3a  2 2
Hoành độ giao điểm của () và (C) là nghiệm của phương trình 4 4 x 5 a 5 2 3 2 2 2 3  3x
 (2a  6a)(x a)   3a
 (x a) (x  2ax  3a  6)  0 2 2 2 2  x a   2 2
g(x)  x  2ax  3a  6  0 
Bài toán trở thành tìm a để g(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt khác a ' 2 2 2 
a  (3a  6)  0   a  3  0  g ( x )  a  3       2 2
g(a)  6a  6  0 a  1   a  1   Chọn A. 1 Câu 69: Cho hàm số 3 y
mx  m   2
1 x  4  3mx 1 có đồ thị là C
, m là tham số. Tìm các m  3
giá trị của m để trên C
có duy nhất một điểm có hoành độ âm mà tiếp tuyến của C tại m m
điểm đó vuông góc với đường thẳng d : x  2 y  0 . m  0 m  1  m  0 1 A.   2 B. C. 0  m D. 5   m m  1  3 m   3  3 Hướng dẫn giải: / 2
y mx  2(m 1)x  4  3m . Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2 Ta tìm m : 2
mx  2(m 1)x  4  3m  2 * có đúng một nghiệm âm
*   x  
1 mx  3m  2  0  x  1 hoặc mx  2  3m
m  0 : không thỏa yêu cầu m  0 2  3m
m  0 , yêu cầu bài toán xảy ra khi 0    2 mm   3
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 46
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao Chọn C. Câu 70: Cho hàm số 3
y x 12x  12 có đồ thị C  và điểm A ;
m 4 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá
trị thực của m nguyên thuộc khoảng 2;5 để từ A kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị C  .
Tổng tất cả các phần tử nguyên của S bằng A. 7 . B. 9 . C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn A
Đường thẳng đi qua A  ;
m 4 với hệ số góc k có phương trình y k x m   4 tiếp xúc 3
x 12x 12  k
x m  4  1
với đồ thị C  khi và chỉ khi hệ phương trình có nghiệm.  2 3x 12  k  2  Thế 2 vào   1 ta được: 3 x x    2 12 12
3x 12 x m  4 . 3 3 2
x 12x 12  3x  3mx 12x 12m  4 . 3 2
 2x  3mx 12m 16  0 .   x   2
2 2x  3m  4 x  6m  8  0 .    x  2   . 2
2x  3m  4 x  6m  8  0* 
Để từ A kẻ được ba tiếp tuyến tới đồ thị C  thì * có hai nghiệm phân biệt khác 2 . m  4   
  3m  4 3m 12  0   4  4       m  hay m   ;  4    ; 2  2;    . 8
  6m  8  6m  8  0   3   3  m  2  Do đó S  3;  4 .
Tổng tất cả các giá trị nguyên của S là 3  4  7 .
Câu 71: Cho hàm số f x 3 2
x  6x  9x 1 có đồ thị C. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị C  tại
điểm thuộc đồ thị C  có tung độ là nghiệm phương trình 2 f ' x  .
x f '  x  6  0. A. 1. B. 4. C. 3. D. 2 f (x)
Câu 72: Cho các hàm số 2
y f (x), y f (x ), y
có đồ thị lần lượt là (C ), (C ), (C ) . Hệ số 2 f (x ) 1 2 3
góc các tiếp tuyến của (C ), (C ), (C ) tại điểm có hoành độ x  1 lần lượt là k , k , k thỏa mãn 1 2 3 0 1 2 3
k  2k  3k  0 . Tính f (1) . 1 2 3
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 47
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao 1 2 3 4 A. f (1)   . B. f (1)   . C. V   D. f (1)   . 5 5 5 5 Hướng dẫn giải
k f '(x )  f '(1) 1 0 2
k  2x f '(x )  2 f '(1) 2 0 0 ' 2 2  f (x ) 
f '(x ). f (x )  f (x ).2x . f '(x )
f (1). f '(1)  f '(1) 0 0 0 0 0 0 k     3  2  f (x )    2 f (x f (1) f (1) 0 0 2  2 3 f '(1) 3
Vì vậy: k  2k  3k f '(1)  4 f '(1)    f (1)   . 1 2 3 f (1) 5 Chọn C. f x
Câu 73: Cho các hàm số y f x, y g x, y
. Nếu các hệ số góc của các tiếp tuyến của các g x
đồ thị các hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x  0 bằng nhau và khác 0 thì: 1 1 1 1
A. f 0  .
B. f 0  . C. f 0  .
D. f 0  . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải: Theo giả thiết ta có:
f '0 g 0  g '0 f 0 2  1  1 1
f '0  g '0   f 0 2  g
0  g 0   g 0    2       g 0  2    4 4 Chọn B.
Câu 74: Cho hàm số y f (x); y g(x) dương có đạo hàm f '(x); g '(x) trên  . Biết rằng tiếp tuyến f (x) 1
tại điểm có hoành độ x  0 của đồ thị hàm số y f (x); y g(x) và y  có cùng hệ o g(x) 1
số góc và khác 0. Mệnh đề nào sau đây đúng? 3 3 3 3 A. f (0)   . B. f (0)   . C. f (0)  . D. f (0)  . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn A Theo giả thiết ta có:
f '(0).[g(0) 1]  g '(0)[f (0) 1]
k f '(0)  g '(0)   0 2 [g(0) 1] Do đó
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 48
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao
k.[g(0) 1]  k[f (0) 1] 2 k
 [g(0)  1]  g(0)  f (0) 2 [g(0) 1] 1 3 3 2 2  f (0)  [
g(0)]  g(0) 1  ( g(0)  )    . 2 4 4 Câu 75: Cho hàm số 3 2
y x  3x  2x 1 có đồ thị (C) . Hai điểm A, B phân biệt trên (C) có hoành độ
lần lượt là a và b a b và tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau. AB  2 . Tính S  2a  3 . b A. S  4 . B. S  6 . C. S  7 . D. S  8 . Hướng dẫn giải Chọn A
Điểm uốn của (C) là điểm I (1; 1  ) . Vậy 3 2 3 2 ( A ;
a a  3a  2a 1), B(2  ;
a (2  a)  3(2  a)  2(2  a) 1) . a  0 Do 2 3 2 2 2 2
AB  4(a 1)  4(a  3a  2a)  2 | a 1| 1 a (a  2)  2  a  2 
Do đó a  2,b  0  S  4 . Chọn A. Câu 76: Cho hàm số 3 2
y  2x  3x 1 có đồ thị (C) . Xét điểm A thuộc (C). Gọi S là tập hợp tất cả các
giá trị thực của a sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại điểm thứ hai B (B  ) A thỏa mãn 1 ab  
trong đó a, b lần lượt là hoành độ của A và
B. Tính tổng tất cả các phần tử của 2 S. A. S  4 . B. S  6 . C. S  7 . D. S  8 . Hướng dẫn giải Chọn A
Điểm uốn của (C) là điểm I (1; 1  ) . Vậy 3 2 3 2 ( A ;
a a  3a  2a 1), B(2  ;
a (2  a)  3(2  a)  2(2  a) 1) . a  0 Do 2 3 2 2 2 2
AB  4(a 1)  4(a  3a  2a)  2 | a 1| 1 a (a  2)  2  a  2 
Do đó a  2,b  0  S  4 . Chọn A.
Câu 77: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để trên đồ thị hàm số 2 5 3 2 y  
x  (m 1)x  (3m  2)x  tồn tại hai điểm M (x ; y ), M (x ; y ) có toạ độ thoả 3 3 1 1 1 2 2 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 49
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao
mãn x .x  0 sao cho tiếp tuyến với đồ thị hàm số đồ thị hàm số tại hai điểm đó cùng vuông góc 1 2
với đường thẳng x  2 y 1  0 . Tìm số nguyên âm lớn nhất thuộc tập S. A. 1  . B. 3  . C. 2  . D. 4  . Hướng dẫn giải Chọn D
Do cả hai tiếp tuyến cùng vuông góc với đường thẳng x  2 y 1  0 nên x , x là nghiệm của 1 2 phương trình 2 y '  k  2   2
x  2(m 1)x  3m  0(1) .
Yêu cầu bài toán tương đương với (1) có hai nghiệm phân biệt x x  0 , tức là 1 2 2
 '  (m 1)  2.3m  0  m  0 m  2   3  3m     . 2 P   0
m  4m 1  0    2   3  m  0 2   
Vậy m  ; 2   3    2   3; 0 . Chọn D. 1 5
Câu 78: Gọi A là điểm thuộc đồ thị hàm số 4 2 y x  3x
(C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt 2 2
(C) tại hai điểm phân biệt B, C khác A sao cho AC  3AB (với B nằm giữa A và C). Tính độ dài đoạn thẳng OA. 3 14 17 A. OA  2 . B. . C. . D. . 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D 4 a 5
Tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm A có x a có dạng 3 2
y  (2a  6a)(x a)   3a  . A 2 2 Phương trình hoành độ giao điểm của tiêp tuyến và (C): 4 4 x 5 a 5 2 3 2 2 2  3x
 (2a  6a)(x a)   3a
x  2ax  3a  6  0 . 2 2 2 2
Để tiếp tuyến có 3 giao điểm với (C) thì (1) có 2 nghiệm phân biệt khác a   3  a  3  a  1   x x  2  aB C
Khi đó x , x là nghiệm của phương trình (1) (2) B C  2
x .x  3a  6  B C  
Mặt khác: AC  3AB AC  3AB x  3x  2  a (3) C B
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 50
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao  3   17
Ta tìm được: a   2  A  2;  OA    .  2  2 Chọn D. 5 Câu 79: Cho hàm số 3 2
y  2x  3x 1 có đồ thị (C) . Xét điểm A có hoành độ x  thuộc (C). Tiếp 1 1 2
tuyến của (C) tại A cắt (C) tại điểm thứ hai A A có hoành độ x . Tiếp tuyến của (C) tại A 1 2 1 2 2
cắt (C) tại điểm thứ hai A A có hoành độ x . Cứ tiếp tục như thế tiếp tuyến của (C) tại A 3 2 3 n 1 
cắt (C) tại điểm thứ hai A A
có hoành độ x . Tìm x . n n 1  n 2018 1 1 A. 2018 x  2  . B. 2018 x  2  . 2018 2 2018 2 1 1 C. 2017 x  3.2  . D. 2017 x  3.2  . 2018 2 2018 2 Hướng dẫn giải  5 27  45 174
Tiếp tuyến (C) tại điểm A ; là y x  . 1    2 2  2 4
Vậy giao điểm thứ hai của tiếp tuyến và (C) là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm  5 x  45 175  3 2 2 2x  3x x   0   . 2 4 7  x    2  7  243  189 837
Tiếp tuyến (C) tại điểm A ; là y x  . 1    2 2  2 4
Vậy giao điểm thứ hai của tiếp tuyến và (C) là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm  7 x  189 833  3 2 2 2x  3x x   0   . 2 4 17  x   2
Và làm tiếp tục sau đó nhận xét: 5  1 1 1 1 x   (1) (2)  1 2 2 7  1 2 1  2 x   ( 1  ) 2  2 2 2 17  1 3 1 3 x   ( 1  ) 2  3 2 2 .... nn 1 1 x  (1) 2  n 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 51
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đạo Hàm Nâng Cao  1 1 Do đó 2018 1 2018 2018 x  (1) .2   2  . 2018 2 2 Chọn A. Câu 80: Cho hàm số 3 2
y  2x  3x 1 có đồ thị C  . Xét điểm A có hoành độ x  1 thuộc C  . Tiếp 1 1
tuyến của C  tại A cắt C  tại điểm thứ hai A A có hoành độ x . Tiếp tuyến của C  tại 1 2 1 2
A cắt C  tại điểm thứ hai A A có hoành độ x . Cứ tiếp tục như thế, tiếp tuyến của C  2 3 2 3 tại A
cắt C  tại điểm thứ hai A A có hoành độ x . Tìm giá trị nhỏ nhất của n để n 1  n n 1  n 100 x  5 . n A. 235 B. 234 C. 118 D. 117 Hướng dẫn giải
Ta có: x a  Tiếp tuyến tại A có phương trình hoành độ giao điểm: k k 3 2 3 2 2        2 2x 3x 1 2a 3a 1
6a  6a  x a   x a 2x  4a  3  0 3  x  2  x  k 1  k 2  1 x  1 x  2
 1   1  1  n   4 Vậy 
3  x .   . Xét   n  2 1  x  2x  
x  4  1 n 1  n    2 2 2     2 1 n 1 1 k 1 Do đó x   .   
. Chọn n  2k 1   .4 .2 100   5 k 100  4 1  2.5 n  2 100 5 4 2 4 2 k 100  4  2.5 1  k  log  100 2.5
1  Chọn k  117  n  235 . 4  3 3 3
Câu 81: Biết rằng tiếp tuyến của đồ thị hàm số y   x a   x b   x c có hệ số góc nhỏ nhất
tại tiếp điểm có hoành độ x  1 đồng thời , a ,
b c là các số thực không âm. Tìm GTLN tung độ
của giao điểm đồ thị hàm số với trục tung? A. 27 B. 3 C. 9 D. 18 Hướng dẫn giải
Tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất tại điểm uốn. 2 2 2
Mặt khác y '  3x a  x b  x c   y '  63x a b c
a b c
Do đó y '  0  x  
 1  a b c  3 . 3
Giao điểm với trục tung có tung độ 3 3 3
y a b c Vì a  2
a    b  2
b    c  2 c   3 3 3 9 9
9  0  a b c  9 a b c
Vậy tung độ giao điểm của đồ thị hàm số và Oy là a  3;b c  0 và các hoán vị. Chọn A.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 52
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay