Trắc nghiệm nâng cao hình học tọa độ Oxyz – Đặng Việt Đông Toán 12
Trắc nghiệm nâng cao hình học tọa độ Oxyz – Đặng Việt Đông Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Chủ đề: Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian
Môn: Toán 12
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN A - LÝ THUYẾT CHUNG
1. Véc tơ trong không gian * Định nghĩa
Trong không gian, vecto là một đoạn thẳng có định hướng tức là đoạn thẳng có quy định thứ tự của hai đầu
Chú ý: Các định nghĩa về hai vecto bằng nhau, đối nhau và các phép toán trên các vecto trong
không gian được xác định tương tự như trong mặt phẳng.
2. Vecto đồng phẳng D3 c
* Định nghĩa: Ba vecto a, ,
b c khác 0 gọi là đồng
phẳng khi giá của chúng cùng song song với một D2 b mặt phẳng. Chú ý: a
n vecto khác 0 gọi là đồng phẳng khi giá D1
của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Các giá của các vecto đồng phẳng có thể Δ3 Δ2
là các đường thẳng chéo nhau.
* Điều kiện để 3 vecto khác 0 đồng phẳng Định lý 1: Δ 1 P a, ,
b c đồng phẳng m
, n : a mb nc
* Phân tích một vecto theo ba vecto không đồng phẳng
Định lý 2: Cho 3 vecto e , e , e không đồng phẳng. Bất kì một vecto a nào trong không gian cũng 1 2 3
có thể phân tích theo ba vecto đó, nghĩa la có một bộ ba số thực x , x , x duy nhất 1 2 3
a x e x e x e 1 1 2 2 3 3
Chú ý: Cho vecto a, , b c khác 0 : 1. a, ,
b c đồng phẳng nếu có ba số thực , m ,
n p không đồng thời bằng 0 sao cho: ma nb pc 0 2. a, ,
b c không đồng phẳng nếu từ ma nb pc 0 m n p 0 3. Tọa độ của vecto
Trong không gian xét hệ trục Oxyz, có trục Ox vuông góc với trục Oy tại O, và trục Oz vuông góc
với mặt phẳng Oxy tại O. Các vecto đơn vị trên từng trục Ox,Oy, Oz lần lượt là
i 1;0;0, j 0;1;0 , k 0;0; 1 .
a) a a ; a ;a a a i a j a k 1 2 3 1 2 3
b) M x , y , z
OM x i y j z k M M M M M M
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
c) Cho A x , y , z , B x , y , z ta có: A A A B B B 2 2 2
AB x x ; y y ; z z và AB x x y y z z B A B A B A . B A B A B A x x y y z z
d) M là trung điểm AB thì B A M ; B A ; B A 2 2 2
e) Cho a a ; a ; a và b b ;b ;b ta có: 1 2 3 1 2 3 a b 1 1
a b a b 2 2 a b 3 3
a b a b ; a b ;a b 1 1 2 2 3 3
k.a ka ; ka ;ka 1 2 3 .
a b a . b cos ;
a b a b a b a b 1 1 2 2 3 3 2 2 2
a a a a 1 2 3
a b a b a b cos cos ; a b 1 1 2 2 3 3
(với a 0,b 0 ) 2 2 2 2 2 2
a a a . b b b 1 2 3 1 2 3
a và b vuông góc: .
a b 0 a b a b a b 0 1 1 2 2 3 3 a kb 1 1
a và b cùng phương: k
R : a kb a kb 2 2 a kb 3 3
4. Tích có hướng và ứng dụng
Tích có hướng của a a ; a ; a và b b ;b ;b là: 1 2 3 1 2 3 a a a a a a 2 3 3 1 1 2 , a b ; ;
a b a b ; a b a b ; a b a b 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 b b b b b b 2 3 3 1 1 2 a. Tính chất:
a,b a, a,b b
a,b a . b sin a,b
a và b cùng phương: a,b 0 a, ,
b c đồng phẳng , a b .c 0
b. Các ứng dụng tích có hướng 1
Diện tích tam giác: S AB, AC ABC 2
1
Thể tích tứ diện V
AB, AC.AD ABCD 6
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Thể tích khối hộp: V
AB, AD .AA'
ABCD. A' B 'C ' D '
5. Một số kiến thức khác
a) Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k MA k MB thì ta có: x kx y ky z kz A B x ; A B y ; A B z với k 1 M 1 M k 1 M k 1 k
x x x
y y y
z z z
b) G là trọng tâm tam giác A B C ABC x ; A B C y ; A B C z G 3 G 3 G 3
G là trọng tâm tứ diện ABCD GA GB GC GD 0
B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1:
Cho 4 điểm S 1, 2, 3; A2, 2,3; B 1,3,3;C 1, 2, 4. SABC là: A. Tứ diện. B. Hình chóp đều. C. Tứ diện đều. D. Hình thang vuông Hướng dẫn giải: AB 1
;1; 0; BC 0;1; 1 ; AC 1 ;0; 1
AB BC CA 2 ABC là tam giác đều
SA 1;0;0; SB 0;1;0; SC 0;0;
1 SA SB SC 1 1 0 0 D S ,
A SB, SC 0 1 0 1 0 0 0 1
Hay ta có thể tính S ; A SB SC 0
S ,
A SB, SC không đồng phẳng.
SABC là hình chóp đều, đỉnh S. Chọn B. Câu 2:
Cho bốn điểm S 1, 2, 3; A2, 2,3; B 1,3,3;C 1, 2, 4.Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm
của BC,CA và AB. Khi đó SMNP là: A. Hình chóp. B. Hình chóp đều. C. Tứ diện đều. D. Tam diện vuông Hướng dẫn giải: 2
Tam giác: ABC có AB BC CA 2 MN NP PM 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
SA 1;0;0; SB 0;1;0; SC 0;0 ;1 S S .
A SB 0 SA SB
Tương tự SA SC, SB SC
Các tam giác vuông SAB, SBC, SCA vuông
tại S, có các trung tuyến: AB 2
SP SM SN
MN NP PM 2 2 A C
Ta có: SP SAB; SM SBC ; SN SCA N
SP, SM , SN không đồng phẳng P M
SMNP là tứ diện đều. B Chọn C. Câu 3:
Cho bốn điểm S 1, 2, 3; A2, 2,3; B 1,3,3;C 1, 2, 4.Xác định tọa độ trọng tâm G của hình chóp SABC. 5 13 7 9 5 9 13 A. 5,9,13 . B. , 3, . C. 1, , . D. , , 3 3 4 4 4 4 4 Hướng dẫn giải:
Ta có GS GA GB GC 4OG OA OB OC OS 1 5 x 2 11 1 4 4 1 9
G y 2 3 2 2 4 4 1 13 z 3 3 4 3 4 4 Chọn D. Câu 4:
Cho 3 vectơ a 1,1, 2 ;b 2, 1 , 2;c 2 , 3, 2
. Xác định vec tơ d thỏa mãn . a d 4; . b d 5; . c d 7. 3 5 5 A. 3, 6,5 . B. 3 , 6, 5 . C. , 6, . D. 3, 6, . 2 2 2 Hướng dẫn giải: . a d 4
x y 2z 4 1 .
b d 5 2x y 2z 5 2 . c d 7 2
x 3y 2z 7 3
1 2 : 3x 9 x 3 và 2 3 : 2 y 12 y 6 1 1 5 5 1 : z
x y 4 3 6 4 d 3;6; 2 2 2 2 Chọn D.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz Câu 5:
Trong không gian Oxyz, cho điểm A2;0;2, B 3;1; 4 ,C 2
; 2;0 . Điểm D trong mặt
phẳng (Oyz) có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2 và khoảng cách
từ D đến mặt phẳng (Oxy) bằng 1 có thể là: A. D 0; 3 ; 1 B. D 0;2; 1
C. D 0;1; 1
D. D 0;3; 1 Hướng dẫn giải:
Do D Oyz D 0; ;
b c với c 0 c 1 loai
Theo giả thiết: d D,Oxy 1 c 1 D 0; ; b 1 c 1 Ta có AB 1; 1 ; 2 , AC 4
; 2; 2, AD 2 ; ; b 1
Suy ra AB, AC 2;6; 2
AB, AC .AD 6b 6
1 b 3
Cũng theo giả thiết, ta có: V
AB, AC.AD b 1 2 ABCD 6 b 1 Chọn D. Câu 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A1; 2;0 , B 3; 4
;1 , D 1;3; 2 . Tìm
tọa độ điểm C sao cho ABCD là hình thang có hai cạnh đáy AB , CD và có góc C bằng 45 .
A. C 5;9;5 .
B. C 1;5;3 .
C. C 3;1 ;1 .
D. C 3;7;4 . Hướng dẫn giải: Chọn D.
Cách 1. AB (2; 2;1) .
x 1 2t
Đường thẳng CD có phương trình là CD : y 3 2t . z 2 t Suy ra C 1
2t;3 2t; 2 t ; CB (4 2t;1 2t;1 t), CD ( 2 t; 2 t; t) . (4 2t)( 2
t) (1 2t)(2t) ( 1 t)( t ) Ta có cos BCD 2 2 2 2 2 2
(4 2t) (1 2t) ( 1 t) (2t) ( 2 t) ( t ) (4 2t)( 2
t) (1 2t)(2t) ( 1 t)(t) 2 Hay (1). 2 2 2 2 2 2 2
(4 2t) (1 2t) (1 t) ( 2 t) ( 2 t) ( t )
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Lần lượt thay t bằng 3;1; 1; 2 (tham số t tương ứng với toạ độ điểm C ở các phương án A,
B, C, D), ta thấy t 2 thoả (1). Cách 2.
Ta có AB (2; 2;1), AD ( 2 ;1; 2) . Suy ra A B
AB CD và AB AD . Theo giả thiết, suy
ra DC 2 AB . Kí hiệu C(a; ; b c) , ta có
DC (a 1;b 3; c 2) , 2AB (4; 4; 2) . Từ
đó C(3; 7; 4) . D C Câu 7:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho hình hộp chữ nhật ABC . D AB C D có A trùng
với gốc tọa độ O , các đỉnh B( ; m 0; 0) , D(0; ; m 0) , A (
0; 0; n) với m, n 0 và m n 4 . Gọi
M là trung điểm của cạnh CC . Khi đó thể tích tứ diện BDA M
đạt giá trị lớn nhất bằng 245 9 64 75 A. . B. . C. . D. . 108 4 27 32 z Hướng dẫn giải: A' B' n
Tọa độ điểm C( ; m ; m 0), C ( ; m ;
m ; n), M ; m ; m D' C' 2 n n AO B BA ;
m 0; n, BD ; m ;
m 0 , BM 0; ; m m x m 2 D C 2 y
BA , BD m ; n m ; n m 2
1 m n V
BA , BD.BM BDA M 6 4 3
m m 2n 512 256 Ta có 2 . m . m (2n) m n 3 27 27 64 V BDAM 27 Chọn C. Câu 8:
Cho ba điểm A3;1;0, B 0; 1 ;0,C 0;0; 6
. Nếu tam giác AB C
thỏa mãn hệ thức
AA B B C C
0 thì có tọa độ trọng tâm là:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz A. 1;0; 2 . B. 2;3;0. C. 3; 2 ;0. D. 3; 2 ;1 . Hướng dẫn giải: Chọn A
* Cách diễn đạt thứ nhất:
Gọi G, G’ theo thứ tự lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, A’B’C’. Với mọi điểm T trong không gian có:
1 : A' A B ' B C 'C 0 TATA' TB TB' TC TC ' 0
TA TB TC TA ' TB ' TC ' 2
Hệ thức (2) chứng tỏ. Nếu T G tức là TA TB TC 0 thì ta cũng có TA ' TB ' TC ' 0
hay T G ' hay (1) là hệ thức cần và đủ để hai tam giác ABC, A’B’C’ có cùng trọng tâm.
3 0 0 11 0 0 0 6
Ta có tọa độ của G là: G ; ; 1;0; 2 3 3 3
Đó cũng là tọa độ trọng tâm G’ của A ' B 'C '
* Cách diễn đạt thứ hai:
Ta có: AA ' BB ' CC ' 0 (1)
A'G ' G 'G GA B'G ' G 'G GB C 'G ' G 'G GC 0
GA GB GC A'G ' B 'G ' C 'G ' 3G 'G 0 (2)
Nếu G, G’ theo thứ tự lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, A’B’C’ nghĩa là
GA GB GC A 'G ' B 'G ' C 'G ' thì 2 G 'G 0 G ' G
Tóm lại (1) là hệ thức cần và đủ để hai tam giác ABC, A’B’C’ có cùng trọng tâm.
3 0 0 11 0 0 0 6
Ta có tọa độ của G là: G ; ; 1;0; 2
. Đó cũng là tọa độ trọng 3 3 3 tâm G’ của A ' B 'C ' Câu 9:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm M 3;0;0 , N , m ,
n 0, P 0;0; p . Biết 0
MN 13, MON 60 , thể tích tứ diện OMNP bằng 3. Giá trị của biểu thức 2 2
A m 2n p bằng A. 29. B. 27. C. 28. D. 30. Hướng dẫn giải:
OM 3;0;0,ON ; m ;
n 0 OM .ON 3m
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz OM .ON 1 m 1 0
OM .ON OM . ON cos 60 2 2 OM . ON 2 2 m n
MN m 2 2 3 n 13
Suy ra m 2; n 2 3
1
OM , ON .OP 6 3 p V
6 3 p 3 p 3 6
Vậy A 2 2.12 3 29.
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD biết A 2 ; 2; 6, B 3 ;1;8 ,C 1
; 0; 7, D 1;2;3 . Gọi H là trung 27
điểm của CD, SH ABCD . Để khối chóp S.ABCD có thể tích bằng (đvtt) thì có hai 2
điểm S , S thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tìm tọa độ trung điểm I của S S 1 2 1 2 A. I 0; 1 ; 3 . B. I 1;0;3
C. I 0;1;3 . D. I 1 ; 0; 3 . Hướng dẫn giải: 1 3 3
Ta có AB 1; 1
; 2, AC 1; 2 ;1 S
AB, AC ABC 2 2 DC 2; 2
; 4, AB 1
; 1; 2 DC 2.AB ABCD là hình thang và 9 3 S 3S ABCD ABC 2 1 Vì V SH.S SH 3 3 S .ABCD 3 ABCD
Lại có H là trung điểm của CD H 0;1;5 Gọi S ; a ;
b c SH ;1 a ;
b 5 c SH k AB, AC k 3;3;3 3k;3k;3k Suy ra 2 2 2
3 3 9k 9k 9k k 1
+) Với k 1 SH 3;3;3 S 3 ; 2 ; 2
+) Với k 1 SH 3
; 3; 3 S 3; 4;8 Suy ra I 0;1;3
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vuông ABCD , B(3;0;8) , D( 5 ; 4 ; 0) . Biết
đỉnh A thuộc mặt phẳng ( Oxy ) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó CA CB bằng: A. 5 10. B. 6 10. C. 10 6. D. 10 5. Hướng dẫn giải:
Ta có trung điểm BD là I ( 1 ; 2
; 4) , BD 12 và điểm A thuộc mặt phẳng (Oxy) nên ( A a; ; b 0) . 2 2 AB AD 2 2 2 2 2
(a 3) b 8 (a 5) (b 4)
ABCD là hình vuông 2 1 2 2 2 2 AI BD
(a 1) (b 2) 4 36 2 17 a b 4 2a a 1 5 17 14 hoặc
A(1; 2; 0) hoặc A ; ;0 2 2
(a 1) (6 2a) 20 b 2 1 4 5 5 b 5 (loại). Với (
A 1; 2; 0) C( 3 ; 6 ;8) .
Câu 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho 4 điểm ( A 2; 4; 1
) , B(1;4;1) , C(2;4;3) D(2; 2; 1
) . Biết M ;x y; z , để 2 2 2 2
MA MB MC MD đạt giá trị nhỏ nhất thì x y z bằng A. 7. B. 8. C. 9. D. 6. Hướng dẫn giải: 7 14
Gọi G là trọng tâm của ABCD ta có: G ; ; 0 . 3 3 Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2
MA MB MC MD 4MG GA GB GC GD 7 14 2 2 2 2
GA GB GC GD . Dấu bằng xảy ra khi M G ;
; 0 x y z 7 . 3 3
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG NÂNG CAO A - LÝ THUYẾT CHUNG 1. Định nghĩa
Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax By Cz D 0 với 2 2 2
A B C 0 được gọi là
phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Phương trình mặt phẳng P : Ax By Cz D 0 với 2 2 2
A B C 0 có vec tơ pháp tuyến là n ; A ; B C .
Mặt phẳng P đi qua điểm M x ; y ; z
và nhận vecto n ; A ;
B C , n 0 làm vecto pháp tuyến 0 0 0 0
dạng P : A x x B y y C z z 0. 0 0 0
Nếu P có cặp vecto a a ; a ; a ;b b ;b ;b không cùng phương, có giá song song hoặc 1 2 3 1 2 3
nằm trên P. Thì vecto pháp tuyến của P được xác định n a,b .
2. Các trường hợp riêng của mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho mp :Ax By Cz D 0, với 2 2 2
A B C 0. Khi đó:
D 0 khi và chỉ khi đi qua gốc tọa độ.
A 0, B 0, C 0, D 0 khi và chỉ khi song song trục Ox. Oxy.
A 0, B 0, C 0, D 0 khi và chỉ khi song song mặt phẳng D D D x y c a , b , c .
: 1 ,
A B, C, D 0. Đặt A B C Khi đó: a b z
3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho : Ax By Cz D 0 và ' : A' x B ' y C ' z D ' 0
AB ' A' B ' cắt
BC ' B 'C
CB' C ' B
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
AB ' A' B ' //
BC ' B 'C
va AD ' A' D
CB' C 'B
AB ' A ' B '
BC ' B 'C
CB' C 'B
AD ' A' D
Đặt biệt: ' n .n 0 . A A ' .
B B ' C.C ' 0 1 2
4. Góc giữa hai mặt phẳng
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng 0 0 0 90
P : Ax By Cz D 0 và Q : A' x B ' y C ' z D' 0 n .n A A B B C C n n P Q P Q . ' . ' . ' cos = cos , 2 2 2 2 2 2 n . n
A B C . A ' B ' C ' P Q
B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM y 0 Câu 1:
Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz cho điểm M 1;0;0 và
2x y 2z 2 0 N 0;0; 1
, mặt phẳng P qua điểm M , N và tạo với mặt phẳng Q : x y 4 0 một góc bằng O
45 . Phương trình mặt phẳng P là y 0 y 0 A. . B. .
2x y 2z 2 0
2x y 2z 2 0
2x y 2z 2 0
2x 2z 2 0 C. . D. .
2x y 2z 2 0
2x 2z 2 0 Hướng dẫn giải:
Gọi vectơ pháp tuyến của mp P và Q lần lượt là n a b c 2 2 2
a b c 0 , n P ; ; Q
P qua M 1;0;0 P : a x
1 by cz 0
P qua N 0;0; 1
a c 0 a b 1 a 0
P hợp với Q góc O
45 cos n ,n cos P Q O 45 2 2 2 2 2 a 2 b a b
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Với a 0 c 0 chọn b 1 phương trình P : y 0
Với a 2b chọn b 1 a 2 phương trình mặt phẳng P : 2x y 2z 2 0 . Chọn A. Câu 2:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho P : x 4 y 2z 6 0 , Q : x 2 y 4z 6 0 .
Lập phương trình mặt phẳng chứa giao tuyến của P ,Q và cắt các trục tọa độ tại các điểm ,
A B, C sao cho hình chóp O.ABC là hình chóp đều.
A. x y z 6 0 .
B. x y z 6 0 .
C. x y z 6 0 .
D. x y z 3 0 . Hướng dẫn giải:
Chọn M 6;0;0, N 2; 2; 2 thuộc giao tuyến của P ,Q Gọi A ;
a 0; 0, B 0; ;
b 0, C 0;0;c lần lượt là giao điểm của với các trục Ox, Oy, Oz x y z : 1a, , b c 0 a b c 6 1 a
chứa M , N 2 2 2 1 a b c
Hình chóp O.ABC là hình chóp đều OA OB OC a b c
Vây phương trình x y z 6 0 . Chọn B. Câu 3:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng: x t x 2 y 1 z 1 : , : 2 2 2
y 2 t và mặt cầu (S ) : x y z 2x 2 y 6z 5 0 1 1 2 3 2 z 1 2t
Viết phương trình mặt phẳng ( ) song song với hai đường thẳng , và cắt mặt cầu (S) 1 2 2 365
theo giao tuyến là đường tròn (C) có chu vi bằng . 5
A. x 5y 3z 4 0; x 5y 3z 10 0
B. x 5y 3z 10 0
C. x 5 y 3z 3 511 0; x 5 y 3z 3 511 0
D. x 5y 3z 4 0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz Chọn B. Hướng dẫn giải:
+ qua M (2; 1;1) và có vectơ chỉ phương u (1; 2; 3 ) . 1 1 1
qua M (0; 2;1) và có vectơ chỉ phương u (1; 1; 2) . 2 2 2
+ Mặt phẳng () song song với , nên có vectơ pháp tuyến: u ,u (1; 5; 3 ) 1 2 1 2
Phương trình mặt phẳng () có dạng: x 5y 3z D 0
+ Mặt cầu (S) có tâm I(1; 1
;3) và bán kính R 4 . 2 365 365
Gọi r là bán kính đường tròn (C), ta có: 2 r r 5 5 35 D 3 35 D 4
Khi đó: d I , ( ) 2 2 R r 5 35 5 D 10
+ Phương trình mặt phẳng () : x 5y 3z 4 0 (1) hay x 5y 3z 10 0 (2) .
Vì / /( ), / /( ) nên M1 và M2 không thuộc () loại (1). 1 2
Vậy phương trình mặt phẳng () cần tìm là: x 5y 3z 10 0 . Chọn B. Câu 4:
Cho tứ giác ABCD có A0;1;
1 ; B 1;1; 2;C 1;1;0; D 0;0
;1 . Viết phương trình của
mặt phẳng P qua ,
A B và chia tứ diện thành hai khối ABCE và ABDE có tỉ số thể tích bằng 3.
A. 15x 4 y 5z 1 0 .
B. 15x 4 y 5z 1 0 .
C. 15x 4 y 5z 1 0 .
D. 15x 4 y 5z 1 0 Hướng dẫn giải:
P cắt cạnh CD tại E, E chia đoạn CD theoo tỷ số 3 A x 3x 1 3.0 1 C D x F 4 4 4 y 3y 1 3.0 1 N C D E y 4 4 4 z 3z 0 3.1 3 C D z 4 4 4 B D E 1 5 7 1
AB 1; 0;3; AE ; ; 1;5;7 4 4 4 4 C
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz Vecto pháp tuyến của
P : n AB, AE 15; 4 ; 5
P : x 015 y 1 4
z 1 5 0
15x 4 y 5z 1 0 Chọn A. y 0 Câu 5:
Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz cho điểm M 1;0;0 và
2x y 2z 2 0 N 0;0;
1 , mặt phẳng P qua điểm M , N và tạo với mặt phẳng Q : x y 4 0 một góc bằng O
45 . Phương trình mặt phẳng P là y 0 y 0 A. . B. .
2x y 2z 2 0
2x y 2z 2 0
2x y 2z 2 0
2x 2z 2 0 C. . D. .
2x y 2z 2 0
2x 2z 2 0 Hướng dẫn giải:
Gọi vectơ pháp tuyến của mp P và Q lần lượt là n a;b;c 2 2 2
a b c 0 , n P Q
P qua M 1;0;0 P : a x
1 by cz 0
P qua N 0;0;
1 a c 0 a b 1 a 0
P hợp với Q góc O
45 cos n , n cos P Q O 45 2 2 2 2 2 a 2 b a b
Với a 0 c 0 chọn b 1 phương trình P : y 0
Với a 2b chọn b 1 a 2 phương trình mặt phẳng P : 2x y 2z 2 0 . Chọn A. Câu 6:
Cho tứ giác ABCD có A0;1;
1 ; B 1;1; 2;C 1;1;0; D 0;0
;1 . Viết phương trình tổng
quát của mặt phẳng Q song song với mặt phẳng BCD và chia tứ diện thành hai khối 1
AMNF và MNFBCD có tỉ số thể tích bằng . 27
A. 3x 3z 4 0 .
B. y z 1 0 .
C. y z 4 0 .
D. 4x 3z 4 0 Hướng dẫn giải: 3 AM 1
Tỷ số thể tích hai khối AMNF và MNFBCD : AB 27 AM 1
M chia cạnh AB theo tỉ số 2 AB 3
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz 1 2.0 1 x 3 3 1 2.1 E y 1 ; BC 2 0;1
;1 ; BD 1;1 ;1 3 2 2 1 x 0 3
Vecto pháp tuyến của Q : n 0;1; 1 1
M Q Q : x 0 y
1 1 z 0 1 0 3
P : y z 1 0 Chọn B. Câu 7:
Từ gốc O vẽ OH vuông góc với mặt phẳng P ,OH p ; gọi , , lần lượt là các góc
tạo bởi vec tơ pháp tuyến của P với ba trục Ox,Oy,O .
z Phương trình của P là:
A. x cos y cos z cos p 0 .
B. x sin y sin z sin p 0 .
C. x cos y cos z cos p 0 .
D. x sin y sin z sin p 0 Hướng dẫn giải:
H p cos , p cos , c cos OH p cos, p cos , c cos
Gọi: M x, y, z P HM x p cos , y p cos , z c cos OH HM
x p cos p cos y p cos p cos z c cos p cos
P : x cos y cos z cos p 0 Chọn A. Câu 8:
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng P cắt hai trục y 'Oy và z 'Oz tại A0, 1
, 0 , B 0, 0,
1 và tạo với mặt phẳng yOz một góc 0 45 .
A. 2x y z 1 0 .
B. 2x y z 1 0 .
C. 2 x y z 1 0; 2 x y z 1 0 .
D. 2 x y z 1 0; 2 x y z 1 0 Hướng dẫn giải:
Gọi C a, 0,0 là giao điểm của P và trục x 'Ox BA 0, 1 ,
1 ; BC a, 0, 1
Vec tơ pháp tuyến của P là n B ,
A BC 1, a, a
Vec tơ pháp tuyến của yOz là: e 1, 0, 0 1 1 2 1
Gọi là góc tạo bởi P và yOz 0 2 os c 45
4a 2 a 2 2 1 2a 2
Vậy có hai mặt phẳng P : 2x y z 1 2x y z 1 0; 2x y z 1 0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz Chọn D. Câu 9:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: 2 2 2
x y z 2x 6 y 4z 2 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của
véc tơ v (1;6;2) , vuông góc với mặt phẳng ( ) : x 4 y z 11 0 và tiếp xúc với (S).
2x y 2z 3 0
2x y 2z 3 0 A. . B. .
2x y 2z 21 0
2x y 2z 21 0
2x y z 3 0
2x y z 13 0 C. . D.
2x y z 1 0
2x y z 1 0 Hướng dẫn giải:
Vậy: (P): 2x y 2z 3 0 hoặc (P): 2x y 2z 21 0
(S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT của ( ) là n (1; 4;1) .
VTPT của (P) là: n n,v (2; 1; 2) PT của (P) có dạng: 2x y 2z m 0. P m 21
Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d (I ,(P)) 4 . m 3
Vậy: (P): 2x y 2z 3 0 hoặc (P): 2x y 2z 21 0 . Chọn B. 2 2 2 Câu 10: Cho điểm (
A 0;8; 2) và mặt cầu (S) có phương trình (S) : (x 5) (y 3) (z 7) 72 và điểm B(9; 7
; 23) . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua Atiếp xúc với (S) sao cho khoảng
cách từ B đến (P) là lớn nhất. Giả sử n (1; ;
m n) là một vectơ pháp tuyến của (P) . Lúc đó A. . m n 2. B. . m n 2 . C. . m n 4. D. . m n 4 . Hướng dẫn giải: Chọn D.
Mặt phẳng (P) qua A có dạng a(x 0) b( y 8) c(z 2) 0 ax by cz 8b 2c 0 . Điều kiện tiếp xúc:
5a 3b 7c 8b 2c
5a 11b 5c
d (I; (P)) 6 2 6 2 6 2 . (*) 2 2 2 2 2 2
a b c
a b c
9a 7b 23c 8b 2c
9a 15b 21c Mà d ( ; B (P)) 2 2 2 2 2 2
a b c
a b c
5a 11b 5c 4(a b 4c) 2 2 2
a b c 2 2 2 2 2 2
5a 11b 5c
a b 4c
1 (1) 4 . a b c 4 6 2 4 18 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c
a b c
a b c
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz a b c Dấu bằng xảy ra khi
. Chọn a 1;b 1; c 4 thỏa mãn (*). 1 1 4
Khi đó (P) : x y 4z 0 . Suy ra m 1
; n 4 . Suy ra: . m n 4 .
Câu 11: Cho mặt phẳng P đi qua hai điểm A3, 0, 4, B 3
, 0, 4 và hợp với mặt phẳng xOy một góc 0
30 và cắt y 'Oy tại C. Viết phương trình tổng quát mặt phẳng P.
A. y 3z 4 3 0 .
B. y 3z 4 3 0 .
C. y 3z 4 3 0 .
D. x y 3z 4 3 0 Hướng dẫn giải:
C 0, c, 0; AC 3 , , c 4
; AB 6, 0, 0
Vec tơ pháp tuyến của P : n AC, AB 60, 4, c
Vec tơ pháp tuyến của xOz : e 0, 0,1 3 c 3 0 2 cos 30
c 48 c 4
3 n 6 0, 4, 4 3 2 2 16 c
P : x 3.0 y 0 4 z 4 4
3 0 y z 3 4 3 0 Chọn C. x t x 1 1
Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba đường thẳng d : y 0 , d : y t , 1 2 2 z 0 z 0 x 1
d : y 0 . Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm H 3;2
;1 và cắt ba đường thẳng d , 3 1 z t 3
d , d lần lượt tại A , B , C sao cho H là trực tâm tam giác ABC . 2 3
A. 2x 2 y z 11 0 .
B. x y z 6 0 .
C. 2x 2 y z 9 0 .
D. 3x 2 y z 14 0 . Hướng dẫn giải: Chọn A.
Gọi Aa; 0; 0 , B 1; ;
b 0 , C 1;0;c .
AB 1 a;b;0, BC 0; ;
b c, CH 2;2;1 c, AH 3 a; 2; 1 . Yêu cầu bài toán
AB, BC .CH 0
2bc 2c a
1 1 cb a 1 0 b 0 2 3 A . B CH 0 a b 1 9b 2b 0 9 b c 2 . 0 b BC AH 2
Nếu b 0 suy ra A B (loại).
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz 9 11 9 Nếu b , tọa độ A ; 0; 0 , B 1; ;0
, C 1; 0;9 . Suy ra phương trình mặt phẳng 2 2 2
ABC là 2x 2 y z 11 0 .
x 3 t x t '
Câu 13: Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng d: y 2
t và d’: y 5 t ' z 2 t z 2t ' 3 2 5
Viết phương trình mặt phẳng () chứa (d) và tạo với mặt phẳng Oyz một góc nhỏ nhất.
A. 3x y 2z 7 0 .
B. 3x y 2z 7 0 . C. 3
x y 2z 7 0 .
D. 3x y 2z 7 0 . Hướng dẫn giải:
Giả sử (β): Ax By Cz D 0 (đk: 2 2 2
A B C 0), (β) có vtpt là n ( ; A B;C) A( )
3A 2B D 0
D A 2C 2 d (β) n . a 0
A B C 2 0
B A C 2 A
cos(( ), (Oyz)) cos(n, i ) = 2 2 2
A ( A C 2) C
TH 1: A = 0 (không thoả đb hoặc
( ), (Oyz) không nhỏ nhất) TH 2: A ≠ 0, ta có: 1 1
cos(( ),(Oyz)) = = = C 2 C 2 1 (1 2 ) ( ) C C 6 12 2 2 ( 3) 2. 2 ( ) A A A A 3 9 1 C 6 12 2 ( 3 ) A 3 9 C 6
( ), (Oyz) nhỏ nhất
cos(( ),(Oyz)) lớn nhất 2 ( 3 ) nhỏ nhất A 3 C 6 3 0 A 3 1 A 1 (choïn) B 3 nên . Vậy: (β): 2
3x y 2z 7 0 C 7 3 D 3
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz Chọn D. x 2 y 1 z
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : . Viết phương 1 2 1
trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho
đường thẳng AB vuông góc với d.
A. P : x 2y 5z 4 0.
B. P : x 2 y 5z 5 0.
C. P : x 2 y z 4 0.
D. P : 2x y 3 0. Hướng dẫn giải:
Cách 1 (Tự luận)
Đường thẳng d qua M(2;1;0) và có VTCP u 1;2; 1 d
Ta có: AB d và AB Oz nên AB có VTCP là: u
u , k 2; 1 ;0 AB d
(P) chứa d và AB nên (P) đi qua M(2;1; 0), có VTPT là: n u ,u 1;2;5 d AB
P : x 2y 5z 4 0 Chọn A
Cách 2: Dùng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
Đường thẳng d qua 2 điểm M(2;1;0) và N(3;3;-1)
Giả sử mp(P) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) x y z P : 1 a b c AB d A .
B u 0 a 2b (1) d 2 1 3 3 1
P chứa d nên d cũng đi qua M, N 1 (2), 1 (3) a b a b c 4
Từ (1), (2), (3) a = 4, b = 2, c =
P : x 2y 5z 4 0 Chọn A 5 x t
Câu 15: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : y 1 2t và mp
z 2t
P: 2x y2z 2 0 . Viết phương trình mặt phẳng R qua d và tạo với P một góc nhỏ nhất.
A. x y z 3 0
B. x y z 3 0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
C. x y z 3 0
D. x y z 3 0 Hướng dẫn giải: x y 1
2x y 1 0 1 2
Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng: . x z 2
x z 2 0 1 1
Do vậy mặt phẳng R qua d thì R thuộc chùm mặt phẳng:
2x y 1 mx z 2 0 .
Hay mp R : 2 m x y mz 1 2m 0 (*). Mp R có
n m 2;1;m ;n 2; 1 ; 2 1 P . Vậy: n .n
2m 21 2m 5 5 1 5 1 cos P n n m m m m P 22 2 3 1 4 1 4 3 2 4 5 2m 2 2 3 3 1 1 3
Do nhỏ nhất cho nên cos lớn nhất khi m 1 .
Vậy thay vào (*) ta có mp R: x y z 3 0 . Chọn B. x 2 t
x 2 2t
Câu 16: Cho hai đường thẳng d : y 1 t và d : y 3
. Mặt phẳng cách đều hai đường 1 2 z 2t z t
thẳng d và d có phương trình là 1 2
A. x 5 y 2z 12 0.
B. x 5 y 2z 12 0.
C. x 5y 2z 12 0.
D. x 5 y 2z 12 0. A
Hướng dẫn giải: Chọn D. M B
d qua A2;1;0 và có VTCP là u 1; 1 ; 2 ; 1 1 P
d qua B 2;3;0 và có VTCP là u 2;0;1 . 2 2 Có u ,u 1 ; 5
; 2 ; AB 0;2;0 , suy ra u ,u .AB 10 , nên d ; d là chéo nhau. 1 2 1 2 1 2
Vậy mặt phẳng P cách đều hai đường thẳng d , d là đường thẳng song song với d , d và 1 2 1 2
đi qua trung điểm I 2; 2;0 của đoạn thẳng AB .
Vậy phương trình mặt phẳng P cần lập là: x 5 y 2z 12 0 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Câu 17: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho hai đường thẳng d , d lần lượt có phương trình 1 2 x 2 y 2 z 3 x 1 y 2 z 1 d : , d :
. Phương trình mặt phẳng cách đều 1 2 1 3 2 2 1 4
hai đường thẳng d , d là: 1 2
A. 7x 2 y 4z 0 .
B. 7x 2 y 4z 3 0 .
C. 2x y 3z 3 0 .
D. 14x 4 y 8z 3 0 . Hướng dẫn giải:
Ta có d đi qua A2;2;3 và có u 2;1;3 , d đi qua B 1;2 ;1 và có u 2; 1 ; 4 d d 1 1 2 2 AB 1 ;1; 2
; u ;u 7; 2 ; 4 ; d d 1 2
u ;u AB 1
0 nên d , d chéo nhau. d d 1 2 1 2
Do cách đều d , d nên song song với d , d n u ;u 7; 2 ; 4 d d 1 2 1 2 1 2
có dạng 7x 2 y 4z d 0 d 2 d 1 3
Theo giả thiết thì d ,
A d B, d 69 69 2
:14x 4 y 8z 3 0
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng P song song và cách x 2 y z x y 1 z 2
đều hai đường thẳng d : và d : . 1 1 1 1 2 2 1 1
A. P : 2x 2z 1 0 .
B. P : 2y 2z 1 0 .
C. P : 2x 2y 1 0 .
D. P : 2y 2z 1 0 . Hướng dẫn giải:
Ta có: d đi qua điểm A 2; 0; 0 và có VTCP u 1;1; 1 1 . 1
và d đi qua điểm B 0;1; 2 và có VTCP u 2; 1; 1 . P 2 Vì song songvới hai đường 2
thẳng d và d nên VTPT của P là n u ,u 0;1; 1 1 2 1 2
Khi đó P có dạng y z D 0 loại đáp án A và C.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz 1
Lại có P cách đều d và d nên P đi qua trung điểm M 0; ;1 của AB. Do đó 1 2 2
P : 2y 2z 1 0 Chọn B.
Câu 19: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng P : 5x z 4 0 và hai đường thẳng d ; d lần 1 2 x 1 y z 1 x 1 y 2 z 1 lượt có phương trình ;
. Viết phương trình của mặt 1 1 2 2 1 1 4 5
phẳng Q / / P, theo thứ tự cắt d , d tại ,
A B sao cho AB . 1 2 3 25 331 25 331
A. Q : 5x z
0; Q : 5x z 0 . 1 2 7 7
B. Q : 5x z 2 0; Q : 55x 11z 14 0 . 1 2
C. Q : 5x z 2 0; Q : 5
5x 11z 14 0 . 1 2
D. Q : 5x z 4 0; Q : 55x 11z 7 0 1 2 Hướng dẫn giải: x 1 t
x 1 2t '
d : y t
, d : y 2 t ' ; Q : 5x z d 0, d 4 1 2 z 1 2t z 1 t ' 3
d 6 d 1 5 2d 3
2d 12 d 30 5d
Q d A ; ;
, Q d B ; ; 1 2 3 3 3 9 9 9
6 d 6 4d 30 5d 1 Suy ra AB ; ;
6 d;6 4d;30 5d 9 9 9 9 4 5 1 2 2 2 Do AB
6 d 6
4d 30 5d 3 8 2 5 331 d 80 2 7
42d 300d 252 0 9 2 5 331 d 7
Vậy, tìm được hai mặt phẳng thỏa mãn: 25 331 25 331
Q : 5x z
0; Q : 5x z 0 1 2 7 7 Chọn A.
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A1;2;3 và đường thẳng d : x 3 y 1 z 2 1 1
. Mặt phằng P chứa đường thẳng d và có khoảng cách từ A đến P là
lớn nhất. Khi đó P có một véctơ pháp tuyến là
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
A. n (4; 5;13)
B. n (4; 5; 1 3)
C. n (4; 5;13)
D. n (4; 5;13) Hướng dẫn giải:
Gọi H,K lần lươt là hình chiếu vuông góc của A lên d và (P)
Khi đó: d(A,(P)) = AK AH hay d(A,(P)) lớn nhất khi và chỉ khi H K 4 Ta có: H( 3 2t; 1 t; t ); a (2;1; 1
) và AH.a 0 t 3 4 5 13
Suy ra: AH ( ; ; ) 3 3 3
Hay một véctơ pháp tuyến của (P) là n (4; 5;13) Chọn A. x 1 y 2 z
Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d : và 1 1 2 1 x 2 y 1 z d :
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho góc giữa mặt 2 2 1 2 1
phẳng (P) và đường thẳng d là lớn nhất. 2
A. x y z 6 0 .
B. 7x y 5z 9 0 . C. x y z 6 0 .
D. x y z 3 0 . Hướng dẫn giải:
Ta có: d đi qua M(1; 2
; 0) và có VTCPu (1; 2; 1) . 1
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: 2 2 2 (
A x 1) B(y 2) Cz 0,(A B C 0) .
Ta có: d (P) .
u n 0 C A 2B 2 4A 3B 1 (4A 3B)
Gọi ((P),d ) sin . 2 2 2 2 2 3 2A 4AB 5 3 2 4 5 B A AB B 2 2
Với B 0 sin 3 A 2 1 (4t 3)
Với B 0 . Đặt t
, ta được sin . B 2 3 2t 4t 5 2 (4t 3) 2
16t 124t 84
Xét hàm số f (t)
. Ta có: f '(t) 2 2t 4t 5 2 2
(2t 4t 5)
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz 3 t f '(t) 0 4 t 7 25 A
Dựa vào BBT ta có: max f (t) khi t 7 7 3 B 5 3
Khi đó: sin f (7) 9 5 3 A Vậy sin khi 7
Phương trình mặt phẳng (P) : 7x y 5z 9 0 9 B Chọn B.
Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M 1; 2;
1 . Viết phương trình mặt phẳng
đi qua gốc tọa độ O 0;0; 0 và cách M một khoảng lớn nhất. x y z
A. x 2y z 0. B. 1.
C. x y z 0.
D. x y z 2 0. 1 2 1 Hướng dẫn giải:
Gọi H là hình chiếu của M trên (P) MHO vuông tại H MH MO MH
MO . Khi đó (P) đi qua M và vuông góc với MO M ( O 1; 2; 1 ) là vecto max
pháp tuyến của (P) phương trình của mặt phẳng (P) là 1(x 0) 2(y 0) 1(z 0) 0
hay x 2y z 0. Chọn A. x 1 y 2 z
Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d : và 1 1 2 1 x 2 y 1 z d :
. Gọi P là mặt phẳng chứa d sao cho góc giữa mặt phẳng P và 2 2 1 2 1
đường thẳng d là lớn nhất. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: 2
A. P có vectơ pháp tuyến là n 1; 1 ; 2 .
B. P qua điểm A0; 2;0 .
C. P song song với mặt phẳng Q : 7x y 5z 3 0 .
D. P cắt d tại điểm B 2; 1 ; 4 . 2 Hướng dẫn giải: d qua M 1; 2
;0 và có VTCP u 1; 2;
1 . Vì d P nên M P . 1 1
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Pt mặt phẳng P có dạng: A x B y Cz 2 2 2 1 2
0 A B C 0 .
Ta có: d P u.n 0 C A 2B . 1 4A 3B 1 4 A 3B
Gọi P ,d 2 sin . 2 2 2 2 2 3
2 A 4 AB 5 3 2 4 5 B A AB B 2 2
TH1: Với B 0 thì sin . 3 A 1 4t 32
TH2: Với B 0 . Đặt t
, ta được: sin . B 2 3 2t 4t 5 4t 32 25
Xét hàm số f t
. Dựa vào bảng biến thiên ta có: max f x khi t 7 2 2t 4t 5 7 A khi 7 . B 5 3
Khi đó sin f 7 . 9 5 3 A
So sánh TH1 và TH2 lớn nhất với sin khi 7 . 9 B
Vậy phương trình mặt phẳng P : 7x y 5z 9 0 . Chọn B.
Câu 24: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho tứ diện ABCD có điểm A1;1 ;1 , B 2;0; 2 , C 1; 1
; 0 , D 0;3;4 . Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B ', C ', D ' thỏa: AB AC AD
4 . Viết phương trình mặt phẳng B 'C ' D ' biết tứ diện AB 'C ' D ' có AB ' AC ' AD ' thể tích nhỏ nhất?
A. 16x 40 y 44z 39 0 .
B. 16x 40 y 44z 39 0 .
C. 16x 40 y 44z 39 0 .
D. 16x 40 y 44z 39 0 . Hướng dẫn giải: AB AC AD A . B AC.AD
Áp dụng bất đẳng thức AM GM ta có: 3 4 3 AB ' AC ' AD '
AB '.AC '.AD '
AB '.AC '.AD ' 27 V
AB '.AC '.AD ' 27 27
AB 'C ' D ' V V A . B AC.AD 64 V A . B AC.AD 64
AB 'C ' D ' 64 ABCD ABCD
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz AB ' AC ' AD ' 3 3 7 1 7 Để V
nhỏ nhất khi và chỉ khi AB ' AB B ' ; ; AB 'C 'D' AB AC AD 4 4 4 4 4 7 1 7
Lúc đó mặt phẳng B 'C ' D ' song song với mặt phẳng BCD và đi qua B ' ; ; 4 4 4
B 'C ' D ' :16x 40y 44z 39 0 .
Câu 25: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng đi qua điểm M 1; 2;3 và cắt các
trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A , B , C ( khác gốc toạ độ O ) sao cho M là trực tâm tam giác
ABC . Mặt phẳng có phương trình là: x y z
A. x 2 y 3z 14 0 . B. 1 0 . 1 2 3
C. 3x 2 y z 10 0 .
D. x 2 y 3z 14 0 . Hướng dẫn giải:
Cách 1:Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB , K là hình chiếu vuông góc B trên
AC . M là trực tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi M BK CH AB CH Ta có: z
AB COH AB OM (1) AB CO C (1) K M
Chứng minh tương tự, ta có: AC OM (2). A
Từ (1) và (2), ta có: OM ABC O x H
Ta có: OM 1; 2;3 . B y
Mặt phẳng đi qua điểm M 1; 2;3 và có một VTPT là OM 1; 2;3 nên có phương trình là: x
1 2 y 2 3 z 3 0 x 2y 3z 14 0 . Cách 2: +) Do ,
A B, C lần lượt thuộc các trục Ox, Oy, Oz nên (
A a; 0; 0), B(0; ;
b 0), C(0; 0; c) (
a, b, c 0 ). x y z
Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng ( ABC) là: 1 . a b c
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz AM .BC 0
+) Do M là trực tâm tam giác ABC nên BM .AC 0 . Giải hệ điều kiện trên ta được a,b, c M (ABC)
Vậy phương trình mặt phẳng: x 2 y 3z 14 0 .
Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x 2y z 5 0 và đường thẳng x 1 y 1 z 3 d :
. Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt 2 1 1
phẳng (Q) một góc nhỏ nhất là
A. P : y z 4 0
B. P : x z 4 0
C. P : x y z 4 0
D. P : y z 4 0 Hướng dẫn giải:
PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d
a2 b2 c2 0 (
0) . Gọi a ((P), Q ( )) . M (P)
c a b
Chọn hai điểm M(1; 1;3), N (1; 0; 4) d . Ta có: N (P) d a 7 4b 3 a b
(P): ax by (2a b)z 7a 4b 0 cos . 6 a2 5 4ab 2b2 3 b 3
TH1: Nếu a = 0 thì cos . 0 a 30 . 6 2b2 2 b 1 3 a b
TH2: Nếu a 0 thì cos . . Đặt x và f x 2 ( ) cos 2 6 a b b 5 4 2 a a
9 x2 2x 1
Xét hàm số f (x) . .
6 5 4x 2x2 Dựa vào BBT, ta thấy f x 0 0
min ( ) 0 cos 0 a 90 30
Do đó chỉ có trường hợp 1 thoả mãn, tức a = 0. Khi đó chọn b 1,c 1, d 4 .
Vậy: (P): y z 4 0 . Chọn A.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Câu 27: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
A3;0; 2 , B 3;0; 2 và mặt cầu 2 2 2
x ( y 2) (z 1) 25 . Phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A , B và cắt mặt
cầu S theo một đường tròn bán kính nhỏ nhất là:
A. x 4 y 5z 17 0 .
B. 3x 2 y z 7 0 .
C. x 4 y 5z 13 0 .
D. 3x 2 y z – 11 0 . Hướng dẫn giải:
Mặt cầu S có tâm I 0; 2
;1 , bán kính R 5 . Do IA 17 R nên AB luôn cắt S .
Do đó ( ) luôn cắt S theo đường tròn C có bán kính r R d I 2 2 , . Đề bán
kính r nhỏ nhất d I,P lớn nhất.
Mặt phẳng đi qua hai điểm A , B và vuông góc với mp ABC . Ta có AB (1; 1; 1 ) , AC ( 2 ; 3; 2
) suy ra ABC có véctơ pháp tuyến
n AB, AC (1; 4; 5 )
(α) có véctơ pháp tuyến n , n AB ( 9 6; 3 ) 3 (3; 2;1)
Phương trình : 3 x – 2 2 y – 1
1 z – 3 0 3x 2 y z –11 0 .
Câu 28: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho P : x 4 y 2z 6 0 , Q : x 2y 4z 6 0 .
Lập phương trình mặt phẳng chứa giao tuyến của P ,Q và cắt các trục tọa độ tại các điểm ,
A B, C sao cho hình chóp .
O ABC là hình chóp đều.
A. x y z 6 0 .
B. x y z 6 0 .
C. x y z 6 0 .
D. x y z 3 0 . Hướng dẫn giải:
Chọn M 6;0;0, N 2; 2; 2 thuộc giao tuyến của P ,Q Gọi A ;
a 0;0, B 0; ;
b 0,C 0;0;c lần lượt là giao điểm của với các trục Ox, Oy, Oz x y z : 1a, , b c 0 a b c 6 1 a
chứa M , N 2 2 2 1 a b c
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz Hình chóp .
O ABC là hình chóp đều OA OB OC a b c
Vây phương trình x y z 6 0 .
Câu 29: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm N 1;1
;1 . Viết phương trình mặt phẳng
P cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại ,
A B, C (không trùng với gốc tọa độ O ) sao cho N
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
A. P : x y z 3 0 .
B. P : x y z 1 0 .
C. P : x y z 1 0 .
D. P : x 2y z 4 0 . Hướng dẫn giải: Gọi A ;
a 0;0, B 0; ;
b 0,C 0;0;c lần lượt là giao điểm của P với các trục Ox, Oy, Oz x y z P :
1a,b, c 0 a b c 1 1 1
N P 1 a b c
Ta có: NA NB a 1 b 1 a b c 3 x y z 3 0 NA NC
a 1 c 1
Câu 30: Phương trình của mặt phẳng nào sau đây đi qua điểm M 1; 2;3 và cắt ba tia Ox , Oy , Oz
lần lượt tại A , B , C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất?
A. 6x 3y 2z 18 0 .
B. 6x 3y 3z 21 0 .
C. 6x 3y 3z 21 0 .
D. 6x 3y 2z 18 0 . Hướng dẫn giải: Giả sử (
A a; 0; 0), B(0; ;
b 0), C(0;0;c) (a, b, c 0) x y z (ABC): 1 (1) a b c 1 2 3 M(1;2;3) thuộc (ABC): 1. a b c 1
Thể tích tứ diện OABC: V abc 6 1 2 3 6 27.6 1 Áp dụng BDT Côsi ta có: 3 1 3 1
abc 27 V 27 a b c abc abc 6 a 3 1 2 3 1
Ta có: V đạt giá trị nhỏ nhất V 27 b 6 a b c 3 c 9
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 30
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Vậy (ABC): 6x 3y 2z 18 0 . Chọn (D)
Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm E(8;1;1) .Viết phương trình mặt phẳng ( )
qua E và cắt nửa trục dương Ox, Oy, Oz lần lượt tại ,
A B, C sao cho OG nhỏ nhất với G là
trọng tâm tam giác ABC .
A. x y 2z 11 0 .
B. 8x y z 66=0 .
C. 2x y z 18 0 .
D. x 2 y 2z 12 0 . Hướng dẫn giải: Chọn D. Cách 1 : 11 11 11 11 121 Với đáp án A: 2 (
A 11; 0;0); B(0;11; 0);C(0;0; ) G( ; ; ) OG 2 3 3 6 4 33 11 15609 Với đáp án B: 2 ( A
;0; 0); B(0;66; 0); C(0; 0; 66) G( ; 22; 22) OG 4 4 16 18 18 Với đáp án C: 2 (
A 9; 0; 0); B(0;18;0); C(0;0;18) G(3; ; ) OG 81 3 3 Với đáp án D: 2 ( A 1
2; 0; 0); B(0;6; 0); C(0; 0; 6) G(4; 2; 2) OG 24 Cách 2 : 8 1 1 Gọi A ;
a 0;0, B 0; ;
b 0,C 0;0;c với a,b, c 0 . Theo đề bài ta có : 1. Cần tìm a b c
giá trị nhỏ nhất của 2 2 2
a b c . 2 2 Ta có 2 2 2
a b c a b c 2 2 2 4 1 1 .2 .1 .1
6. a b c 2a b c Mặt khác 2 2 2
a b c 4 1 1 a.2 . b 1 . c 1 8 1 1
2a b c a b c 4 1 2 1 36 2 a Suy ra 2 2 2 3
a b c 6 . Dấu ' ' xảy ra khi 2 2
b c a 2b 2 . c 4 Vậy 2 2 2
a b c đạt giá trị nhỏ nhất bằng 216 khi a 12, b c 6 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 31
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz x y z
Vậy phương trình mặt phẳng là :
1 hay x 2 y 2z 12 0 . 12 6 6
Câu 32: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ( A 2;1; 6 , ) B 1 ( ; 2; 4) và I 1 ( ; 3; 2 . ) Viết phương
trình mặt phẳng (P) đi qua ,
A B sao cho khoảng cách từ I đến (P) lớn nhất.
A. 3x 7 y 6z 35 0 .
B. 7x y 5z 9 0 .
C. x y z 6 0 .
D. x y z 3 0 . Hướng dẫn giải: Ta có 2 2 2
IA 3 2 4 29 và 2 2 2
IB 0 5 2
29 . Gọi M là trung điểm của
đoạn thẳng AB, vì IA=IB nên IM AB, ta 1 1 94 có M ; ;5 ; IM . 2 2 2
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P):
Nếu H, M là hai điểm phân biệt thì tam giác IHM vuông tại H, IH94 IH . 2 94 94
Nếu H trùng với M thì IH IM . Vậy ta có IH
, IH lớn nhất khi H M. 2 2 3 7
Khi đó (P) có vectơ pháp tuyến là n IH IM
; ;3 . Vậy phương trình mặt phẳng P 2 2 3 7
(P) là x 2 y
1 3 z 6 0 hay 3x 7 y 6z 35 0 2 2 Chọn A. M(0;1;2) N(1;1; 3)
Câu 33: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm và . Mặt phẳng
(P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ K 0; 0;2 đến (P) đạt giá trị lớn nhất. (P) có vectơ pháp tuyến là: A. (1;1; 1 ) B. (1; 1 ;1) C. (1; 2 ;1) D. (2; 1 ;1) Hướng dẫn giải:
- Khoảng cách từ K đến (P) lớn nhất bằng KH, khi H’ K trùng H
- Vậy mặt phẳng (P) qua MN và vuông góc với KH.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Tr H ang ' 32 M
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay N P H
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
- Tìm H và viết (P) hoặc:
- (P) chứa MN và vuông góc với (MNP).
Gọi H, H’ là hình chiếu của K lên MN và (P).
Ta có: d(k,(P)) KH KH ' không đổi.
Vậy d(K,(P)) lớn nhất khi và chỉ khi H’ trùng H hay (P) vuông góc với KH.
MK (0;1;0); NK (1; 1; 1) ; MN (1;2;1) (MNK) có vtpt là
n MK, NK (1;0;1) HK (MNK) Do nên HK có vtcp là
MN,n (2;2;2). HK MN Chọn A.
A1;0;0, B 2
; 0;3, M 0;0 ;1 N 0;3 ;1 .
Câu 34: Trong không gian Oxyz, cho các điểm và Mặt P P phẳng
đi qua các điểm M , N sao cho khoảng cách từ điểm B đến gấp hai lần P. P
khoảng cách từ điểm A đến Có bao mặt phẳng thỏa mãn đầu bài?
A. Có vô số mặt phẳng P.
B. Chỉ có một mặt phẳng P.
C. Không có mặt phẳng P nào.
D. Có hai mặt phẳng P. Hướng dẫn giải: Chọn A.
Giả sử P có phương trình là: ax by c d 2 2 2 z
0 a b c 0
Vì M P c d 0 d . c
Vì N P 3b c d 0 hay b 0 vì c d 0.
P :ax cz c 0. 2
a 3c c a c
Theo bài ra: d B, P 2d ,
A P 2
c a a c 2 2 2 2 a c a c
Vậy có vô số mặt phẳng P.
Câu 35: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho phương trình mặt phẳng
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 33
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz mx m y mz m m 2 : 3 5 1 4 20 0, 1;1 . Xét các mệnh đề sau: (I) Với mọi m 1;1
thì các mặt phẳng
luôn tiếp xúc với một mặt cầu không đổi. m
(II) Với mọi m 0 thì các mặt phẳng m luôn cắt mặt phẳng (Oxz). (III) d O; m m 5, 1;1 .
Khẳng định nào sau đây đúng? A. Chỉ (I) và (II) B. Chỉ (I) và (III) C. Chỉ (II) và (III)
D. Cả 3 đều đúng. Hướng dẫn giải: 20 20
+ Ta có d O; m 1;1 m 4 , với mọi . 2 9m 25 2 1 m 2 16m 25
Do đó với mọi m thay đổi trên 1;1
thì các mặt phẳng
luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm m
O, bán kính R 4 . Khẳng đinh (I) đúng. 2
+ Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
n 3m;5 1m ;4m m là và vectơ pháp tuyến
của mặt phẳng (Oxz) là j 0;1; 0 . n
; j 0 m 0
m cắt (Oxz) khi và chỉ khi . Khẳng đinh (II) đúng. + Khẳng đinh (III) sai. Chọn A.
Câu 36: Cho mặt phẳng P đi qua hai điểm A3, 0, 4, B 3
, 0, 4 và hợp với mặt phẳng xOy một góc 0
30 và cắt y 'Oy tại C. Tính khoảng cách từ O đến P. A. 4 3 . B. 3 . C. 3 3 . D. 2 3 z B Hướng dẫn giải: K x'
Vẽ OH KC với K là giao điểm H
của AB và trục z 'Oz . A P Ta có: 0 0
C 30 K 60 ;OK 4 -3 y 30
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com O Trang C 34
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 3 x
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz d O P 0 ,
OH OK.sin 60 3 4. 2 3. 2 Chọn D.
Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , hai mặt phẳng 4x 4 y 2z 7 0 và
2x 2 y z 1 0 chứa hai mặt của hình lập phương. Thể tích khối lập phương đó là 27 81 3 9 3 64 A. V B. V C. V D. V 8 8 . 2 27 Hướng dẫn giải:
Theo bài ra hai mặt phẳng 4x 4 y 2z 7 0 và 2x 2 y z 1 0 chứa hai mặt của hình
lập phương. Mà hai mặt phẳng (P) : 4x 4 y 2z 7 0 và (Q) : 2x 2 y z 1 0 song
song với nhau nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng sẽ bằng cạnh của hình lập phương. 2 7 3 Ta có M (0; 0; 1
) (Q) nên d ((Q), (P)) d (M , (P)) 2 2 2 2 4 ( 4 ) 2 2 2 2 8
Vậy thể tích khối lập phương là: V . . . 3 3 3 27 A2; 0 ;1
Câu 38: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi
là mặt phẳng qua hai điểm và B 2 ;0;
5 đồng thời hợp với mặt phẳng Oxz một góc 0
45 . Khoảng cách từ O tới là: 3 3 1 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải:
Gọi K; H lần lượt là hình chiếu vuông góc điểm O lên đường thẳng AB và mặt phẳng . Ta có: , A B Oxz
Oxz AB O O
H HK AB O K AB OK AB K 450
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com H
Trang 35
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Oxz KH OK , , OKH
Suy ra tam giác OHK vuông cân tại H OK
Khi đó: d O, OH . 2 OA AB 3
Mặt khác: OK d , O AB . AB 2 OK
Khi đó: d O 3 , OH . 2 2 Chọn A.
Câu 39: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng Q : x y z 0 và hai điểm A4, 3 , 1 , B 2,1,
1 . Tìm điểm M thuộc mặt phẳng Q sao cho tam giác ABM vuông cân tại M . M 1; 2 ; 1 M 1;2; 1 A. 17 9 8 . B. 17 9 8 . M ; ; M ; ; 7 7 7 7 7 7 M 1;2; 1 M 1;1; 1 C. 13 5 9 . D. 9 9 8 M ; ; M ; ; 7 7 7 7 7 7 Hướng dẫn giải: Gọi M , a ,
b c.M Q a b c 0 1 .
Tam giác ABM cân tại M khi và chỉ khi:
AM BM a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 2 2 4 3 1 2 1 1
a 2b 5 0 2
a b c 0
a 2b 5 Từ 1 và 2 ta có: *
a 2b 5 0 c 5 3b
Trung điểm AB là I 3; 1;
1 . Tam giác ABM cân tại M , suy ra: AB MI
a 2 b 2 c 2 3 1 1 5 3 2 b 2 2 2 2
Thay * và 3 ta được: 2b 2 b 1 6 3b 5 9 b 7
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 36
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz b 2
a 1,c 1 M 1;2 ;1 9 17 8 17 9 8 b a , c M ; ; 7 7 7 7 7 7 Chọn A.
Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 điểm A1;3; 2, B 3; 2 ;1 và mặt phẳng
P : x 2y 2x 11 0. Tìm điểm M trên P sao cho 0
MB 2 2, MBA 30 . M 1; 2;3 M 1;2;3 M 2;1;3 M 1;2;3 A. . B. . C. . D. M 1; 4; 1 M 1; 4; 1 M 4;1; 1 M 1; 4; 1 Hướng dẫn giải:
Nhận thấy A P , B P, AB 6.
Áp dụng định lý côsin trong tam giác MAB ta có: 2 2 2 0 2 2 2
MA MB BA 2M . B B . A o
c s30 2 MB MB BA
Do đó tam giác MAB vuông tại . A x 1 Ta có: u
AB, n
AM y t M t t AM p 0; 5;5 : 3 1;3 ; 2 z 2 t Ta có 2 2 2
MA 2 t t 2 t 1
Với t 1 M 1; 2;3; t 1 M 1; 4; 1 Chọn A.
Câu 41: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho tám điểm A 2; 2; 0 , B 3; 2; 0 , C 3;3; 0 ,
D 2; 3; 0 , M 2; 2; 5 , N 2; 2; 5 , P 3; 2; 5 , Q 2;3;5 . Hỏi hình đa diện tạo bởi
tám điểm đã cho có bao nhiêu mặt đối xứng. A. 3. B. 6. C. 8. D. 9 Hướng dẫn giải:
Vì tám điểm đã chõ tạo nên một hình lập phương, nên hình đa diện tạo bởi tám điểm này có 9 mặt đối xứng. Chọn D.
Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A1; 2 ;0, B 0; 1 ;1 , C 2;1; 1 ,
D 3;1; 4 . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó? A. 1. B. 4. C. 7. D. Vô số. Hướng dẫn giải:
Ta có AB 1;1;
1 , AC 1;3;
1 , AD 2;3;4 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 37
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Khi đó AB, AC 4 ;0; 4
suy ra AB, AC.AD 2 4 0 . Do đó ,
A B,C, D không đồng phẳng và là 4 đỉnh của một tứ diện.
Khi đó sẽ có 7 mặt phẳng cách đễu bốn đỉnh của tứ diện. Bao gồm: 4 mặt phẳng đi qua trung
điểm của ba cạnh tứ diện và 3 mặt phẳng đi qua trung điểm bốn cạnh tứ diện (như hình vẽ). Chọn C.
Câu 43: Trong không gian cho điểm M (1; 3; 2) .Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua M và cắt các trục tọa độ tại ,
A B, C mà OA OB OC 0 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải: Chọn C.
Giả sử mặt phẳng ( ) cần tìm cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại (
A a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0 c)(a, b, c 0) x y z 1 3 2 ( ) :
1 ; ( ) qua M (1; 3; 2) nên: ( ) : 1(*) a b c a b c
a b c(1)
a b c(2) OA OB OC 0 a b c 0 a b c(3) a b c(4)
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 38
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Thay (1) vào (*) ta có phương trình vô nghiệm 3
Thay (2), (3), (4) vào (*) ta được tương ứng a 4
, a 6, a 4 Vậy có 3 mặt phẳng.
Câu 44: Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm M (1;9; 4) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A , B , C
(khác gốc tọa độ) sao cho OA OB OC . A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải: Chọn D.
Giả sử mặt phẳng ( ) cắt các trục tọa độ tại các điểm khác gốc tọa độ là (
A a; 0; 0), B(0; ;
b 0), C(0; 0; c) với a, b, c 0. x y z
Phương trình mặt phẳng ( ) có dạng 1. a b c 1 9 4
Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M (1;9; 4) nên 1 (1). a b c
Vì OA OB OC nên a b c , do đó xảy ra 4 trường hợp sau:
+) TH1: a b . c 1 9 4 Từ (1) suy ra
1 a 14, nên phương trình mp ( ) là x y z 14 0. a a a 1 9 4
+) TH2: a b . c Từ (1) suy ra
1 a 6, nên pt mp ( ) là x y z 6 0. a a a 1 9 4 +) TH3: a b . c Từ (1) suy ra
1 a 4, nên pt mp ( ) là a a a
x y z 4 0. 1 9 4 +) TH4: a b . c Từ (1) có 1 a 12
, nên pt mp ( ) là a a a
x y z 12 0.
Vậy có 4 mặt phẳng thỏa mãn.
Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm ( A 2; 2 ; 0) , đường thẳng x 1 y z 2 :
. Biết mặt phẳng (P) có phương trình ax by cz d 0 đi qua A , 1 3 1
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 39
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
song song với và khoảng cách từ tới mặt phẳng (P) lớn nhất. Biết a, b là các số
nguyên dương có ước chung lớn nhất bằng 1. Hỏi tổng a b c d bằng bao nhiêu? A. 3 . B. 0 . C. 1 . D. 1. Hướng dẫn giải:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng .
Do H H (1 t;3t; 2 t) AH ( t
3;3t 2;t 2)
Do AH AH .u 0 với u ( 1 ;3;1) 1
.(t 3) 3.(3t 2) 1.(t 2) 0 11t 11 t 1 H 0; 3 ;1
Gọi F là hình chiếu vuông góc của H trên (P) , khi đó: d (, (P)) d (H , (P)) HF HA Suy ra d( , ( ) P )
HA . Dấu “=” xảy ra khi F A AH (P) , hay bài toán được phát max biểu lại là:
“ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với AH ” Ta có AH 2 ; 1 ; 1 (2;1; 1 ) , suy ra n (2;1; 1 ) ( P)
Suy ra phương trình mặt phẳng (P) là: 2(x 2) y 2 z 0 2x y z 2 0 . a,b *
a 2,b 1 Do
a b c d 0 . (a, b) 1 c 1 , d 2 Chọn B. x 2 t x 1 y 2 z 1
Câu 46: Trong không gain Oxyz, cho hai đường thẳng d :
và d : y 3 t . 1 1 2 1 2 z 2
Mặt phẳng P : ax by cz d 0 (với a; ;
b c; d ) vuông góc với đường thẳng d và 1
chắn d , d đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất. Tính a b c d . 1 2 A. 14 B. 1 C. 8 D. 12 Hướng dẫn giải:
Ta có mặt phẳng (P) vuông dóc với đường thẳng d nên (P) có véctơ pháp tuyến n 1; 2; 1 . 1
Phương trình (P) có dạng P : x 2y z d 0 .
Gọi M là giáo điểm của (P) với d và N là giao của (P) với d suy ra 1 2
2 d 2 d 10 d 4 d 1 d M ; ; , N ; ; 2 . 6 3 6 3 3
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 40
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz 2 d 16d 155 Ta có 2 MN . 18 9 9 Để MN nhỏ nhất thì 2
MN nhỏ nhất, nghĩa là d 16 .
Khi đó a b c d 14 . Chọn A.
Câu 47: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A10; 2 ;1 và đường thẳng x 1 y z 1 d :
. Gọi P là mặt phẳng đi qua điểm A , song song với đường thẳng d 2 1 3
sao cho khoảng cách giữa d và P lớn nhất. Khoảng cách từ điểm M 1 ; 2;3 đến mp P là 97 3 76 790 2 13 3 29 A. . B. . C. . D. . 15 790 13 29
Hướng dẫn giải:: d H
P là mặt phẳng đi qua điểm A và
song song với đường thẳng d nên P
chứa đường thẳng d đi qua điểm A và
song song với đường thẳng d . K d'
Gọi H là hình chiếu của A trên d , K A
là hình chiếu của H trên P . P
Ta có d d, P HK AH ( AH không đổi)
GTLN của d (d, (P)) là AH
d d, P lớn nhất khi AH vuông góc với P .
Khi đó, nếu gọi Q là mặt phẳng chứa A và d thì P vuông góc với Q . n P
ud , nQ 98;14; 70 97 3
P :7x y 5z 77 0 d M ,P . 15
Câu 48: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A2;5;3 và đường thẳng x 1 y z 2 d :
. Gọi P là mặt phẳng chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A 2 1 2
đến P lớn nhất. Tính khoảng cách từ điểm M 1;2;
1 đến mặt phẳng P . 11 18 11 4 A. . B. 3 2. C. . D. . 18 18 3
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 41
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Hướng dẫn giải:: A
Gọi H là hình chiếu của A trên d ;
K là hình chiếu của A trên P . Ta có d ,
A P AK AH (Không đổi) K d
GTLN của d (d, (P)) là AH ⟹ H d ,
A P lớn nhất khi K H . P
Ta có H 3;1;4 , P qua H và AH
P :x 4 y z 3 0
Vậy d M P 11 18 , . 18
Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A ;
a 0; 0, B 0; ;
b 0, C 0;0;c với a, b, c dương. Biết ,
A B, C di động trên các tia Ox, Oy, Oz sao cho a b c 2 . Biết rằng khi
a, b, c thay đổi thì quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng P cố
định. Tính khoảng cách từ M 2016;0;0 tới mặt phẳng P . 2014 2016 2015 A. 2017 . B. . C. . D. . 3 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn D.
Gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn OA a
đi qua điểm D ; 0; 0
và có VTPT OA ;
a 0;0 a 1;0;0 2 a
: x 0 . 2
Gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn OB a
đi qua điểm E 0; ;0
và có VTPT OB 0; a; 0 a 0;1; 0 2 a
: y 0 . 2
Gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn OC a
đi qua điểm F 0;0;
và có VTPT OC 0;0; a a 0; 0; 1 2 a
: z 0 . 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 42
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz a a a
Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC I I ; ; . 2 2 2 a b c
Mà theo giả thiết, a b c 2
1 I P : x y z 1. 2 2 2 2016 1 2015
Vậy, d M , P . 3 3
P :3x y z 5 0
Câu 50: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng và hai
A1;0; 2 B 2;1;4. M ; x y; z P điểm ,
Tìm tập hợp các điểm nằm trên mặt phẳng sao
cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất.
x 7 y 4z 7 0
x 7 y 4z 14 0 A. . B. .
3x y z 5 0
3x y z 5 0
x 7 y 4z 7 0 3
x 7 y 4z 5 0 C. . D. .
3x y z 5 0
3x y z 5 0 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta thấy hai điểm ,
A B nằm cùng 1 phía với mặt phẳng P và AB song song với P .
Điểm M P sao cho tam giác ABM có diện tích nhỏ nhất A .
B d (M ; AB) S
nhỏ nhất d M ; AB nhỏ nhất, hay M P Q,Q là A BC 2
mặt phẳng đi qua AB và vuông góc với P . Ta có AB 1; 1
; 2 , vtpt của P n P 3;1; 1
Suy ra vtpt của Q : n AB, n 1 ;7; 4 Q P PTTQ Q : 1 x
1 7 y 4 z 2 0
x 7 y 4z 7 0
x 7 y 4z 7 0 Quỹ tích M là .
3x y z 5 0
Câu 51: Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABC . D AB C D
có điểm A trùng với gốc
của hệ trục tọa độ, B(a;0;0) , D(0; a; 0) , A (0; 0;b) (a 0, b 0) . Gọi M là trung điểm của a
cạnh CC . Giá trị của tỉ số
để hai mặt phẳng ( A BD) và MBD vuông góc với nhau là: b 1 1 A. . B. . C. 1 . D. 1. 3 2 Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 43
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz b
Ta có AB DC C ; a ;
a 0 C ' ; a ; a b M ; a ; a 2 Cách 1. b Ta có MB 0; ; a
; BD a; a; 0 và A ' B a;0; b 2 ab ab Ta có 2 u ; MB BD ; ; a 2 2 2 và B ; D A' B
a ; a ; a 2 2
Chọn v 1;1;
1 là VTPT của A' BD ab ab a
A BD MBD 2 '
u.v 0
a 0 a b 1 2 2 b Cách 2.
A' B A' D
A' X BD
AB AD BC CD a
với X là trung điểm BD MB MD MX BD
A' BD; MBD
A' X ;MX a a X ; ; 0
là trung điểm BD 2 2 a a a a b A' X ; ; b
, MX ; ; 2 2 2 2 2
A'BD MBD A' X MX
2 2 2 a a b a
A ' X .MX 0 0 1 2 2 2 b
Câu 52: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A1;0; 1 ; B 3; 2 ; 0;C 1;2; 2 .
Gọi P là mặt phẳng đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến P lớn nhất
biết rằng P không cắt đoạn BC . Khi đó, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng P ? A. G 2 ; 0; 3. B. F 3; 0; 2 .
C. E 1;3; 1 .
D. H 0;3; 1 . Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 44
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Gọi I là trung điểm đoạn BC ; các điểm B B ,
C , I lần lượt là hình chiếu của B, C , I I trên P . C Ta có tứ giác BCC B
là hình thang và IIlà đường trung bình.
d B, P d C, P BB CC 2II .
Mà II IA (với IA kh ông đổi) B' I' C'
Do vậy, d B, P d C, P lớn nhất khi P A I A
P đi qua A và vuông góc IA với I 2; 0; 1.
P : x 2z 1 0 E 1;3; 1 P .
Câu 53: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho các điểm A1;0;0, B0; ;
b 0,C 0;0;c
trong đó b, c dương và mặt phẳng P : y z 1 0 . Biết rằng mp ABC vuông góc với
mp P và d O ABC 1 ,
, mệnh đề nào sau đây đúng? 3
A. b c 1.
B. 2b c 1.
C. b 3 c 1.
D. 3b c 3. Hướng dẫn giải: x y z
Ta có phương trình mp( ABC) là 1 1 b c 1 1
ABCP 0b c (1) b c 1 1 1 1 1
Ta có d O, ABC 8 (2) 2 2 3 1 1 3 b c 1 2 2 b c 1
Từ (1) và (2) b c
b c 1 . 2
Câu 54: Cho hình lập phương ABC . D AB C D
có cạnh bằng 2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng AB D và BC D . 3 3 2 A. . B. 3. C. . D. . 3 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn A.
Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho các đỉnh của hình lập phương có tọa độ như sau:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 45
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
A0;0;0 B 2;0;0 C 2; 2;0 D 0; 2;0 A' D'
A 0;0; 2 B2;0;2 C2; 2; 2 D0; 2; 2
AB 2;0; 2, AD 0; 2; 2, C' B'
BD 2; 2; 0 , BC 0; 2; 2 A
* Mặt phẳng AB D
qua A0;0;0 và nhận véctơ D 1 B n
AB , AD 1; 1 ; 1 làm véctơ pháp tuyến. 4 C
Phương trình AB D
là: x y z 0. 1
* Mặt phẳng BC D
qua B 2;0;0 và nhận véctơ m BD, BC 1;1; 1 làm véctơ 4 pháp tuyến.
Phương trình BC D
là: x y z 2 0.
Suy ra hai mặt phẳng AB D và BC D
song song với nhau nên khoảng cách giữa hai
mặt phẳng chính là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng BC D :
d A BC D 2 2 3 , . 3 3
Cách khác: Thấy khoảng cách cần tìm d AB D BC D 1 1 2 3 , AC .2 3 . 3 3 3
Câu 55: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A5;5;0, B 1;2;3, C 3;5; 1 và mặt
phẳng P : x y z 5 0 Tính thể tích V của khối tứ diện SABC biết đỉnh S thuộc mặt .
phẳng P và SA SB SC . 145 45 127 A. V . B. V 145 . C. V . D. V . 6 6 3 Hướng dẫn giải: Gọi S ; a ;
b c P a b c 5 0 1 . 2 2
Ta có: AS a b 2 5 5 c ,
BS a 2 b 2 c 2 CS a 2 b 2 c 2 1 2 3 , 3 5 1 a 2
1 b 22 c 32 a 32 b 52 c 2 1
SA SB SC 2 2 2 2 2 2 Do
a 5 b 5 c a 3 b 5 c 1
4a 6b 8c 21 0
4a 2c 15 0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 46
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz a 6
4a 6b 8c 21 0 23 13 9
Ta có hệ: 4a 2c 15 0 b S 6; ; . Lại có: 2 2 2 a b c 5 0 9 c 2 AB 4
; 3;3, AC 2;0; 1 23 9
145
AB AC 3; 1
0; 6; AS 1; ;
AB AC AS 145 V S. 2 2 ABC 6
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 47
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG NÂNG CAO A - LÝ THUYẾT CHUNG 1. Định nghĩa
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M x ; y ; z
và có vec tơ chỉ phương 0 0 0 0
x x a t 0 1
a a ; a ; a , a 0 : y y a t 1 2 3 0 2
z z a t 0 3
Nếu a ; a ; a đều khác không. Phương trình đường thẳng viết dưới dạng chính tắc như sau: 1 2 3 x x y y z z 0 0 0 a a a 1 2 3
A x B y C z D 0
Ngoài ra đường thẳng còn có dạng tổng quát là: 1 1 1 1
A x B y C z D 0 2 2 2 2 với A
, B ,C , A , B , C thỏa 2 2 2 2 2 2
A B C 0, A B C 0. 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Chương trình cơ bản
Chương trình nâng cao
1 )Vị trí tương đối của hai đường thẳng
1 ) Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng
Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng
x x a t
x x ' a 't '
x x a t
x x ' a 't ' 0 1 0 1 0 1 0 1
d : y y a t
; d ' : y y ' a 't '
d : y y a t
; d ' : y y ' a 't ' 0 2 0 2 0 2 0 2 z z a t
z z ' a 't '
z z a t
z z ' a 't ' 0 3 0 3 0 3 0 3
Vtcp u đi qua M và d ' có vtcp u ' đi qua M '
Vtcp u đi qua M và d ' có vtcp u ' đi qua M ' 0 0 0 0
u, u ' cùng phương:
u,u ' 0
d / / d ' u ku ' u ku ' M d ' d / /d ' 0
; d d ' M d ' M d ' 0 0
u,u ' 0 u, u '
d d '
không cùng phương: M d ' 0
x a t x ' a 't ' 0 1 0 1
u,u ' 0
y a t y ' a 't ' I 0 2 0 2 d a
c t d '
z a t y ' a 't '
u, u ' .MM 0 0 3 0 3 0
d chéo d’ hệ phương trình 1 vô nghiệm
d cheo d ' u,u '.MM 0 0
d cắt d’ hệ phương trình 1 có 1 nghiệm
3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp 1 Phương pháp 2
Trong không gian Oxyz cho:
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d
qua M x ; y ; z có vtcp: a a ;a ; a và 1 2 3 0 0 0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 48
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
x x a t 0 1
:Ax+By+Cz+D=0 có vtpt n ; A ; B C
:Ax+By+Cz+D=0 và d : y y a t 0 2 d . a n 0 cắt
z z a t 0 3 . a n 0 Pt:
d / /
A x a t B y a t C z a t D 0 1 M 0 1 0 2 0 3 1 d / / Phương trình vô nghiệm thì d . a n 0 nằm trên mp 1 M Phương trình
có 1 nghiệm thì d cắt 1 d Phương trình có vô số nghiệm thì
Đặc biệt: d a, n cùng phương 4. Khoảng cách
Khoảng cách từ M x ; y ; z đến mặt phẳng :Ax+By+Cz+D=0 cho bởi công thức 0 0 0
Ax By Cz D
d M , 0 0 0 0 2 2 2
A B C
Khoảng cách từ M đến đường thẳng d
Khoảng cách từ M đến đường thẳng d Phương pháp 1: Phương pháp 2:
Lập ptmp đi qua M và vuông góc với d.
( d đi qua M có vtcp u ) 0
Tìm tọa độ giao điểm H của mp và d M M , u 0
d M ,
d M , d MH u
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phương pháp 1: Phương pháp 2:
d đi qua M x ; y ; z ; có vtpt a a ;a ; a 1 2 3 0 0 0
d đi qua M x ; y ; z ; có vtpt a a ;a ; a 1 2 3 0 0 0 d ' đi qua
M ' x '; y '; z ' ; vtpt 0 0 0
d ' đi qua M ' x '; y '; z ' ; vtpt a ' a ';a ';a ' 1 2 3 0 0 0
a ' a ';a ';a ' 1 2 3
a, a '.MM ' V hop
Lập phương trình mp chứa d và song song d , ' , ' S a a day
với d’: d d, d ' d M ',
5. Góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng
đi qua M x ; y ; z có VTCP a a ;a ; a 1 2 3 0 0 0
' đi qua M ' x '; y '; z ' có VTCP a ' a ';a ';a ' 1 2 3 0 0 0 . a a '
a a a a a a
cos cos a, a ' . ' . ' . ' 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 a . a '
a a a . a ' a ' a ' 1 2 3 1 2 3
6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đi qua M có VTCP a , mặt phẳng có VTPT 0 n ; A B;C .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 49
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz Aa Ba Ca
Gọi là góc hợp bởi và mặt phẳng : sin cos a, n 1 2 3 2 2 2 2 2 2
A B C . a a a 1 2 3
B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM x 4 y 5 z 2 Câu 1:
Đường thẳng song song với d :
và cắt cả hai đường thẳng 3 4 1 x 1 y 1 z 2 x 2 y 3 z d : và d :
. Phương trình nào không phải đường 1 3 1 2 2 2 4 1 thẳng 7 2 y z x 4 y 1 z 1 x 3 A. : B. 3 3 : 3 4 1 3 4 1 x 9 y 7 z 2 x 4 y 1 z 1 C. : D. : 3 4 1 3 4 1 Hướng dẫn giải:
Giải: Gọi M, N là giao điểm của và d , d . 1 2 x
1 3t x 2 2t ' M N
Khi đó M, N thuộc d , d nên y 1 t , y t . M 3 4 ' 1 2 N z 2 2 t z t ' M N
Vector chỉ phương của là MN 3
2t ' 3t;4 4t ' t;2 t ' 2t x 4 y 5 z 2
3 2t ' 3t 4 4t ' t
2 t ' 2t song song với d : nên 3 4 1 3 4 1 4 7 2
Giải hệ ta được t ' 1;t . Vậy N 4 ; 1 ; 1 , M 3; ; 3 3 3 x 4 y 1 z 1 Vậy : 3 4 1 Chọn A. x 1 t Câu 2:
Cho đường thẳng (d ) : y 1 t và mp (P) : x y 2 0 . Tìm phương trình đường thẳng z 2t
nằm trong mặt phẳng (P) cắt và vuông góc với (d). x 1 2t x 1 3t x 1 2t x 1 t
A. y 1 2t
B. y 1 3t
C. y 1 2t
D. y 1 t z 0 z 5 z 0 z 5 Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 50
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Gọi I là giao điểm của (d) và (P): I (1 t;1 t; 2t), I (P) t 0 I (1;1;0)
(d) có vectơ chỉ phương u (1; 1
; 2) , (P) có vectơ pháp tuyến n (1;1; 0)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là u
u, v =(-2 ;2 ;0) x 1 2t
Phương trình mặt phẳng cần tìm là y 1 2t z 0 Chọn A. x y 1 z 2 Câu 3:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : và mặt phẳng 1 1 1
P : x 2 y 2z 4 0. Phương trình đường thẳng d nằm trong P sao cho d cắt và
vuông góc với đường thẳng là
x 3 t x 3t
A. d : y 1 2t t .
B. d : y 2 t t . z 1 t z 2 2t
x 2 4t
x 1 t
C. d : y 1 3t t .
D. d : y 3 3t t .
z 4 t z 3 2t Hướng dẫn giải: Chọn C.
Vectơ chỉ phương của : u 1;1; 1 , vectơ pháp tuyến của P là n 1;2; 2 . P d u d u Vì u d
u ; nP 4; 3; 1 . d P
ud nP
Tọa độ giao điểm H P là nghiệm của hệ x t y 1 t t 2 H 2 ; 1 ; 4 . z 2 t
x 2y 2z 4 0
Lại có d; P d , mà H P . Suy ra H d .
Vậy đường thẳng d đi qua H 2; 1; 4 và có VTCP ud 4; 3;1 nên có phương trình
x 2 4t
d : y 1 3t t .
z 4 t
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 51
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz x 2 y 2 z Câu 4:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : và mặt phẳng 2 1 1
P : x 2 y z 3 0. Viết phương trình đường thẳng nằm trong P sao cho vuông
góc với d và khoảng cách giữa hai đường thẳng và d bằng 2. x 7 y z 4 x 7 y z 4 : : 1 1 1 1 1 1 A. . B. . x 3 y z x 3 y z : : 1 1 1 1 1 1 x 7 y z 4 x 7 y z 4 : : 2 1 1 1 1 1 C. . D. x 3 y z x 3 y z 1 : : 1 4 1 1 1 1 Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d có VTCP u 2;1;
1 . Mặt phẳng P có VTPT n ta có p 1;2; 1 , d
n ,u 3; 3 ; 3 p d
1
Vì P, d VTPT u u ;u 0; 1; 1 3 d
Khi đó, phương trình mặt phẳng Q : y z m 0
Chọn A1;2;0 d, ta có: 2 m m 4 d ;
A Q d ;d 2 2 2 m 0
Với m 4 Q : y z 4 0 x 7 y z 4
Vì P Q đi qua B 7; 0; 4 : 1 1 1
Với m 0 Q : y z 0 x 3 y z
Vì P Q đi qua C 3;0; 0 : 1 1 1 Chọn A. Câu 5:
Cho hai điểm A 3;3; 1 , B 0;2;
1 và mặt phẳng : x y z 7 0 . Đường thẳng d nằm
trên sao cho mọi điểm của d cách đều 2 điểm ,
A B có phương trình là x t x t x t x 2t
A. y 7 3t .
B. y 7 3t .
C. y 7 3t .
D. y 7 3t . z 2t z 2t z 2t z t Hướng dẫn giải: Chọn A.
Mọi điểm trên d cách đều hai điểm ,
A B nên d nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn AB .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 52
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz 3 5 Có AB 3
; 1; 0 và trung điểm AB là I ; ;1
nên mặt phẳng trung trực của AB là: 2 2 3 5 3 x y
0 3x y 7 0 . 2 2 3
x y 7 0
y 7 3x
Mặt khác d nên d là giao tuyến của hai mặt phẳng: .
x y z 7 0 z 2x x t
Vậy phương trình d : y 7 3t t . z 2t x 2 y 1 z Câu 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : và mặt phẳng 1 2 1
P : x y z 3 0. Gọi I là giao điểm của d, P. Tìm M P sao cho MI vuông góc
với d và MI 4 14. M 5;9;1 1 M 5;7; 1 1 A. . B. . M 3 ; 7 ;13 M 3 ; 7 ;13 M 5 ;9; 1 1 M 5; 7 ;1 1 C. . D. . M 3; 7 ;13 M 3; 7; 1 3 Hướng dẫn giải:
Vì I d nên I 2 t;1 2t; t .
Hơn nữa I P 2 t 1 2t 3 0 t 1 I 1;1; 1 M
P a b c 3 Gọi M a; ; b c. Do:
MI d IM .u 0 a 2b c 2 0 d
IM a 1;b 1;c
1 ,u 1;2; 1 d 2 2 2
Do MI 4 14 a 1 b 1 c 1 224.
Khi đó ta có hệ phương trình: a b c 3 b 2a 1 a 5 a 3
a 2b c 2 0
c 4 3a b 9 b 7
a 2 b 2 c 2 a 2 c 11 c 13 1 1 1 224 1 16
Với a;b;c 5;9;1 1 M 5;9; 1 1 Với a; ; b c 3
; 7;13 M 3; 7 ;13 Chọn A. Câu 7:
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng P : x 2y 2z 0,Q : 2x 2 y z 1 0.
Viết phương trình của đường thẳng d đi qua A0;0;
1 , nằm trong mặt phẳng Q và tạo
với mặt phẳng P một góc bằng 0 45 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 53
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz x t x t x t x t
A. d : y t
; d : y t .
B. d : y 2t 1;d : y 1 t . 1 2 1 2 z 1 4t z 1 z 1 4t z 1 x t x 3t x 1 4t x t
C. d : y t 1 ; d : y t .
D. d : y 1 t ;d : y t 1 2 1 2 z 1 4t z 1 4t z 1 4t z 1 Hướng dẫn giải:
Ta có n 2;2;
1 là vecto pháp tuyến của Q,b 1;2; 2 là vec tơ pháp tuyến của P .
Gọi a a b c 2 2 2 ; ;
, a b c 0 là một vecto chỉ phương của d.
Vì đường thẳng d đi qua A0;0; 1 mà A0;0;
1 , A Q
Do đó d Q a n .
a n 0 2a 2b c 0 c 2 a 2b
Góc hợp bởi d và P bằng 0 45 : . a b 2
a 2b 2c 0 sin 45 cos ; a b 2 2 2 a . b 2
3 a b c
18(a b c ) 4 a 2b 2c2 2 2 2 a b
a b b 1 a 1;c 4 a b b 1
a 1; c 0 x t x t
Vậy d : y t
; d : y t
là các đường thẳng cần tìm. 1 2 z 1 4t z 1 Chọn A. Câu 8:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB, CD thỏa
mãn CD 2AB và diện tích bằng 27; đỉnh A 1
; 1; 0; phương trình đường thẳng chứa x 2 y 1 z 3 cạnh CD là
. Tìm tọa độ các điểm D biết hoành độ điểm B lớn hơn 2 2 1 hoành độ điểm . A A. D 2 ; 5 ; 1 . B. D 3 ; 5 ; 1 . C. D 2; 5 ; 1 . D. D 3; 5 ; 1 Hướng dẫn giải:
Đường thẳng CD qua M 2; 1
;3 có vec tơ chỉ phương u 2;2; 1
Gọi H 2 2t; 1
2t;3 t là hình chiếu của A lên CD, ta có:
AH .u 2 3 2t;2.2t (3 t t 1 H 0; 3 ; 2, d ,
A CD AH 3 Từ giả thiết ta có: 2S AB CD 3 ABCD AB
18 AB 6; DH 3; HC 9 AH
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 54
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz AB
Đặt AB tu 2t;2t;t t 0 x x t 2 AB 4; 4; 2 B 3;3; 2 B A u 9 HC
AB 6;6;3 C 6;3;5 6 3 HD AB 2 ; 2 ; 1 D 2; 5 ; 1 6 Chọn A. x 1 y 2 z Câu 9:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d : ; 1 1 2 1 x 2 y 1 z 1 d :
và mặt phẳng P : x y 2z 5 0. Lập phương trình đường 2 2 1 1
thẳng d song song với mặt phẳng P và cắt d , d lần lượt tại ,
A B sao cho độ dài đoạn 1 2
AB đạt giá trị nhỏ nhất. x 1 y 2 z 2 x 1 y 2 z 2 A. d : . B. d : . 1 1 1 1 1 1 x 1 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2 C. d : . D. d : 1 1 1 1 1 1 Hướng dẫn giải:
Vì A d ; B d A 1 a; 2
2a; a , B 2 2 ; b 1 ; b 1 b 1 2
Ta có AB a 2b 3; 2
a b 3; a b 1 AB n
P có vec tơ pháp tuyến n 1;1;2, AB / / P A P
AB n A .
B n 0 a 2b 3 2a b 3 2a 2b 2 0 b a 4 AB a 5; a 1;3 2 2 2 2
Do đó: AB a 5 a
1 3 2a 2 27 3 3
min AB 3 3 khi a 2 A1;2;2 AB 3 ; 3 ; 3
, A1;2; 2 P x 1 y 2 z 2
Vậy phương trình đường thẳng d : . 1 1 1 Chọn A. x 3 y 2 z 1
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : và mặt 2 1 1
phẳng P : x y z 2 0. Gọi M là giao điểm giữa d và P . Viết phương trình đường
thẳng nằm trong mặt phẳng P , vuông góc với d đồng thời khoảng cách từ M đến bằng 42.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 55
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz x 5 y 2 z 5 x 5 y 2 z 5 : : 2 3 1 2 3 1 A. . B. . x 3 y 4 z 5 x 3 y 4 z 5 : : 2 3 1 2 3 1 x 5 y 2 z 5 x 5 y 2 z 5 : : 2 3 1 2 3 1 C. . D. x 3 y 4 z 5 x 3 y 4 z 5 : : 2 3 1 2 3 1 Hướng dẫn giải:
x 3 2t
Phương trình tham số của d : y 2 t z 1 t
Mặt phẳng P có VTPT n 1;1; 1 , d có VTCP u d 2;1; 1 P
Vì M d P M 1;3;0
Vì nằm trong P và vuông góc với d nên: VTCP u u ;n 2; 3; 1 d P Gọi N ;
x y; z là hình chiếu vuông góc của M trên , khi đó: MN x 1; y 3; z MN u
x y z 2 0 N 5; 2 ; 5
Ta có: N P
2x 3y z 11 0 N 3; 4 ;5 2 2 MN 42 x 1 y 3 2 z 42 x 5 y 2 z 5
Với N 5; 2; 5 : 2 3 1 x 3 y 4 z 5
Với N 3; 4;5 : 2 3 1 Chọn A. x y z 1
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A1; 2;3, đường thẳng d : 2 1 2
và mặt phẳng P : x 2 y z 1 0. Gọi d ' là đường thẳng đối xứng với d qua P. Tìm
tọa độ điểm B trên d ' sao cho AB 9. 62 16 151 2
6 2 151 31 8 151 B ; ; 27 27 27 A. .
62 16 151 26 2 151 31 8 151 B ; ; 27 27 27 62 151 2 6 151 31 151 B ; ; 27 27 27 B. . 62 151 2 6 151 31 151 B ; ; 27 27 27
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 56
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz 16 151 2 151 8 151 B ; ; 27 27 27 C. . 1 6 151 2 151 8 151 B ; ; 27 27 27 62 4 151 2
6 2 151 31 8 151 B ; ; 27 27 27 D. 624 151 2
6 2 151 31 8 151 B ; ; 27 27 27 Hướng dẫn giải:
Có d cắt P tại I 2; 1;
1 . Chọn M 0;0;
1 d và M ' là điểm đối xứng của M qua
P. Khi đó M 'd '. Ta tìm M '.
Gọi là đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng P x y z 1
VTCP u VTPT n P 1;2 1 : 1 2 1
Gọi H là trung điểm MM ' thì tọa độ H định: x y z 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1
x ; y ; z H ; ; . 3 3 3 3 3 3
x 2y z 1 0 2 4 1
Từ đó: M '2x x ; 2 y y ; 2z z H M H M H M ; ; 3 3 3
Suy ra d’ là đường thẳng đi qua I 2; 1; 1 nhận VTCP: 8 1 4 x 2 y 1 z 1 M ' I ; ; d ' : 3 3 3 8 1 4
B d ' B 2 8t; 1
t;1 4t
Theo đề bài ta phải có: 1 2 151
AB 9 1 8t 2 t 32 4t 22 2
81 81t 6t 67 0 t 27
62 16 151 26 2 151 31 8 151 B ; ; 27 27 27
6216 151 262 151 318 151 B ; ; 27 27 27 Chọn A.
Câu 12: Cho hai điểm M 1; 2;3, A2;4; 4 và hai mặt phẳng P : x y 2z 1 0,
Q : x 2y z 4 0 . Viết phương trình đường thẳng qua M cắt P, Q lần lượt tại , B C
sao cho tam giác ABC cân tại A và nhận AM là đường trung tuyến.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 57
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 A. : B. : 1 1 1 2 1 1 x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 C. : D. : 1 1 1 1 1 1 Hướng dẫn giải: Gọi B ; a ;
b c , từ giả thiết suy ra M là trung điểm của BC , suy ra C 2 ; a 4 ; b 6 c.
B P, C
Q nên có hai pt: a b 2c 1 0
1 ; a 2b c 8 0 2. AM 1; 2 ; 1 , BC 2 2 ; a 4 2 ; b 6 2c.
Tam giác ABC cân tại A nên: AM .BC 0 a 2b c 8 0 3.
a b 2c 1 0 a 0 Từ
1 , 2 và 3 có hệ: a 2b c 8 0 b 3 B 0;3;2, C 2;1; 4. a 2b c 8 0 c 2 x 1 y 2 z 3
Đường thẳng qua B và C có pt : . 1 1 1 Chọn D.
Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi d là đường thẳng đi qua điểm A 1 ; 0; 1 , x 1 y 2 z 2 cắt
, sao cho cos d; là nhỏ nhất, biết phương trình của đường thẳng 2 2 1 1 x 3 y 2 z 3 :
. Phương trình đường thẳng d là? 2 1 2 2 x 1 y z 1 x 1 y z 1 A. B. 2 2 1 4 5 2 x 1 y z 1 x 1 y z 1 C. D. 4 5 2 2 2 1 Hướng dẫn giải:
Gọi M d M 1 2t; 2 t; 2 t . 1
d có vectơ chỉ phương là ud AM 2t 2;t 2; 1 t .
có vectơ chỉ phương u2 1 ; 2; 2 . 2 2 2 t cos d; . 2 2 3 6t 14t 9
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 58
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz 2 t
Xét hàm số f t
, ta suy ra được min f t f 0 0 . 2 6t 14t 9
Do đó min cos d; 0
t . Nên AM 2; 2; 1 . 2 khi 0 x 1 y z 1
Vậy phương trình đường thẳng d là: . 2 2 1 Chọn A.
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 1; 0; 2 và đường thẳng d có phương x 1 y z 1 trình:
. Viết phương trình đường thẳng đi qua A , vuông góc và cắt d . 1 1 2 x 1 y z 2 x 1 y z 2 A. : . B. : . 1 1 1 1 1 1 x 1 y z 2 x 1 y z 2 C. : . D. : . 2 1 1 1 3 1 Hướng dẫn giải: B
Do cắt d nên tồn tại giao điểm giữa chúng. Gọi B d . Bd x t 1
Phương trình tham số của d : y t ,t . Do B d , suy ra Bt 1;t; t 1 z t 1
AB t;t; 2t 3
Do A, B nên AB là vectơ chỉ phương của .
Theo đề bài, vuông góc d nên AB u ( u (1; 1; 2) là vector chỉ phương của d ). Suy ra x 1 y z 2 A .
B u 0 . Giải được t 1 AB 1;1; 1 . Vậy : . 1 1 1 Chọn B.
Câu 15: Trong không gian tọa độ Oxyz cho M(2;1;0) và đường thẳng d có phương trình: x 1 y 1 z
. Gọi là đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d. Viết phương 2 1 1
trình đường thẳng ? x 2 t x 2 t x 1 t x 2 t
A. y 1 4t
B. y 1 4t
C. y 1 4t
D. y 1 4t z 2t z 3 2t z 2t z 2t Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 59
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz x 1 2t
PTTS của d là y 1 t . z t
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d, đường thẳng cần tìm là đường thẳng MH.
Vì H thuộc d nên H 1 2t; 1 t; t
suy ra MH (2t 1;2 t; t ) . 2
Vì MH d và d có 1 VTCP là u (2;1; 1
) nên MH .u 0 t . Do đó 3 1 4 2 MH ; ; 3 3 3 x 2 t
Vậy PTTS của là: y 1 4t . z 2t Chọn A.
Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ MN N t; 5
2t;1 t gọi d đi qua A 1 ; 0; 1 , cắt x 1 y 2 z 2 x 3 y 2 z 3 :
, sao cho góc giữa d và : là nhỏ nhất. 1 2 1 1 2 1 2 2
Phương trình đường thẳng d là x 1 y z 1 x 1 y z 1 x 1 y z 1 x 1 y z 1 A. . B. . C. . D. . 2 2 1 4 5 2 4 5 2 2 2 1 Hướng dẫn giải:
Gọi M d M 1 2t; 2 t; 2 t 1
d có vectơ chỉ phương a AM 2t 2;t 2; 1 t d
có vectơ chỉ phương a 1; 2; 2 2 2 2 2 t cos d; 2 2 3 6t 14t 9 2 t
Xét hàm số f t
, ta suy ra được min f t f 0 0 t 0 2 6t 14t 9
Do đó min cos , d 0 t 0 AM 2; 2 1 x 1 y z 1
Vậy phương trình đường thẳng d là 2 2 1
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 60
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz x 2 t x 1 y z 2
Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ y 3 2t cho hai đường thẳng d : và 1 2 1 1 z 1 2t x 1 y 2 z 2 d :
. Gọi là đường thẳng song song với P : x y z 7 0 và cắt 2 1 3 2
d , d lần lượt tại hai điểm ,
A B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng 1 2 là. x 6 t x 6
x 6 2t
x 12 t 5 5 5 A. y 5 . B. y .
C. y t .
D. y t . 2 2 2 z 9 t 9 9 9 z t z t z t 2 2 2 Hướng dẫn giải:
A d A 1 2a; a; 2 a 1
B d B 1 ; b 2 3 ; b 2 2b 2
có vectơ chỉ phương AB b 2a;3b a 2; 2
b a 4
P có vectơ pháp tuyến n 1;1; 1 P
Vì / / P nên AB n A .
B n 0 b a 1.Khi đó AB a 1; 2a 5;6 a P P
AB a 2
1 2a 52 6 a2 2
6a 30a 62 2 5 49 7 2 6 a ; a 2 2 2 5 5 9 7 7
Dấu " " xảy ra khi a A 6; ; , AB ; 0; 2 2 2 2 2 5 9
Đường thẳng đi qua điểm A 6; ;
và vec tơ chỉ phương u 1 ; 0; 1 d 2 2 x 6 t 5
Vậy phương trình của là y 2 9 z t 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 61
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz x y 1 z 2
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d : và 1 2 1 1 x 1 2t
d : y 1 t
. Phương trình đường thẳng vuông góc với P : 7x y 4z 0 và cắt hai 2 z 3
đường thẳng d , d là: 1 2 x 7 y z 4 x 2 y z 1 A. . B. . 2 1 1 7 1 4 x 2 y z 1 x 2 y z 1 C. . D. . 7 1 4 7 1 4 Hướng dẫn giải:
Gọi d là đường thẳng cần tìm
Gọi A d d , B d d 1 2
A d A 2a;1 a; 2 a 1
B d B 1 2 ; b 1 ; b 3 2 AB 2
a 2b 1; a ; b a 5
P có vectơ pháp tuyến n 7;1;4, d P AB,n cùng phương P p
có một số k thỏa AB k np
2a 2b 1 7k 2
a 2b 7k 1 a 1
a b k
a b k 0 b 2 a 5 4k a 4k 5 k 1
d đi qua điểm A2; 0;
1 và có vectơ chỉ phương a n 7;1 4 d P x 2 y z 1
Vậy phương trình của d là 7 1 4 x 1 y 2 z 1
Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng : và 1 3 1 2 x 3 x 1 y z 1 :
. Phương trình đường thẳng song song với d : y 1
t và cắt hai 2 1 2 3 z 4 t
đường thẳng ; là: 1 2 x 2 x 2 x 2 x 2
A. y 3 t .
B. y 3 t .
C. y 3 t .
D. y 3 t . z 3 t z 3 t z 3 t z 3 t Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 62
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Gọi là đường thẳng cần tìm
Gọi A , B 1 2
A A 1 3a; 2 a;1 2a 1
B B 1 b; 2b; 1 3b 2
AB 3a b 2; a 2b 2; 2
a 3b 2
d có vectơ chỉ phương a 0;1; 1 d
/ /d AB, a cùng phương d
có một số k thỏa AB k ad
3a b 2 0 3
a b 2 a 1
a 2b 2 k a 2b k 2 b 1
2a 3b 2 k 2a 3b k 2 k 1
Ta có A2;3;3; B 2;2;2
đi qua điểm A 2;3;3 và có vectơ chỉ phương AB 0; 1 ; 1 x 2
Vậy phương trình của là y 3 t z 3 t A 3 ;3; 3
: 2x – 2 y z 15 0
Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho điểm thuộc mặt phẳng và S 2 2 2
: (x 2) (y 3) (z 5) 100 mặt cầu
. Đường thẳng qua A, nằm trên mặt phẳng
cắt (S) tại A , B . Để độ dài AB lớn nhất thì phương trình đường thẳng là: x 3 y 3 z 3 x 3 y 3 z 3 A. . B. . 1 4 6 16 11 10
x 3 5t x 3 y 3 z 3 C. y 3 . D. . 1 1 3 z 3 8t Hướng dẫn giải:
Mặt cầu S có tâm I 2;3;5 , bán kính R 10 . Do d(I, ( )) R nên luôn cắt S tại A , B . Khi đó AB R d 2 2 (I, )
. Do đó, AB lớn nhất thì d I, nhỏ nhất nên qua H , x 2 2t
với H là hình chiếu vuông góc của I lên . Phương trình BH : y 3 2t z 5 t
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 63
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
H ( ) 2 2 2t 2 3 – 2t 5 t 15 0 t 2 H 2 ; 7; 3 . x 3 y 3 z 3
Do vậy AH (1; 4; 6) là véc tơ chỉ phương của . Phương trình của 1 4 6
Câu 21: Phương trình nào sau đây không phải là phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng x 1 2t d: y 2
3t , t R trên mặt phẳng (Oxy): z 3 t
x 3 2t '
x 1 4t '
x 1 2t '
A. y 1 3t ' ,t ' R B. y 2
6t ',t ' R C. y 2 3t ',t ' R D. z 0 z 0 z 0
x 5 2t '
y 4 3t ',t ' R z 0 Hướng dẫn giải:
A(1;-2;3), B(3;1;4) thuộc d. Hình chiếu của A,B trên mặt phẳng (Oxy) là A/(1;-2;0), B/(3;1;0)
Phương trình hình chiếu đi qua / A hoặc /
B và nhận véc tơ cùng phương với / / A B 2;3;0 làm véc tơ chỉ phương. Chọn C. x 12 y 9 z 1
Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : , và mặt 4 3 1
thẳng P: 3x 5y z 2 0 . Gọi d 'là hình chiếu của d lên P.Phương trình tham số của d ' là x 62t x 62t x 62t x 62t
A. y 25t .
B. y 25t .
C. y 25t .
D. y 25t .
z 2 61t z 2 61t z 2 61t z 2 61t Hướng dẫn giải: Cách 1:
Gọi A d P
A d A12 4a;9 3 ; a 1 a
A P a 3 A0;0; 2
d đi qua điểm B 12;9; 1
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 64
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Gọi H là hình chiếu của B lên P
P có vectơ pháp tuyến n 3;5; 1 P
BH đi qua B 12;9;
1 và có vectơ chỉ phương a
n 3;5; 1 BH P
x 12 3t
BH : y 9 5t z 1 t
H BH H 12 3t;9 5t;1 t 78 186 15 113
H P t H ; ; 35 35 7 35 186 15 183 AH ; ; 35 7 35
d ' đi qua A0;0; 2 và có vectơ chỉ phương a 62; 25; 61 d ' x 62t
Vậy phương trình tham số của d ' là y 25t z 2 61t Cách 2:
Gọi Q qua d và vuông góc với P
d đi qua điểm B 12;9;
1 và có vectơ chỉ phương a 4;3; 1 d
P có vectơ pháp tuyến n 3;5; 1 P
Q qua B 12;9;
1 có vectơ pháp tuyến n a , n 8;7; 11 Q d P
Q : 8x 7 y 11z 22 0
d ' là giao tuyến của Q và P
Tìm một điểm thuộc d ' , bằng cách cho y 0 3
x z 2 x 0 Ta có hệ
M 0;0;2 d ' 8x 11z 22 y 2
d ' đi qua điểm M 0; 0; 2
và có vectơ chỉ phương a n ;n 62; 25 ; 61 d P Q
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 65
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz x 62t
Vậy phương trình tham số của d ' là y 25t z 2 61t x 1 2t
Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ BH cho đường thẳng d : y 2
4t . Hình chiếu song z 3 t x 1 t BH : y 1 2t
z 3 2t song của a n 1; 2 ; 2
lên mặt phẳng H BH H 1 t; 1
2t;3 2t theo BH Q 10 1 11 7
H P t H ; ; 9 9 9 9 x 1 y 6 z 2 phương : có phương trình là: 1 1 1
x 3 2t x 3 t x 1 2t
x 3 2t A. y 0 . B. y 0 . C. y 0 . D. y 0 . z 1 4t z 1 2t z 5 4t z 1 t Hướng dẫn giải: x 1 t BH : y 1 2t
z 3 2t
Giao điểm của d và mặt phẳng H BH H 1 t; 1
2t;3 2t là: M (5; 0;5) . 0 10 1 11 7
H P t H ; ; 9 9 9 9 x 1 2t
Trên d : y 2
4t chọn M bất kỳ không trùng với M (5; 0;5) ; ví dụ: M (1; 2;3) . Gọi A 0 z 3 t x 1 t BH : y 1 2t
z 3 2t
là hình chiếu song song của M lên mặt phẳng H BH H 1 t; 1
2t;3 2t theo 10 1 11 7
H P t H ; ; 9 9 9 9 x 1 y 6 z 2 phương : . 1 1 1
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 66
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz x 1 y 6 z 2
+/ Lập phương trình d’ đi qua M và song song hoặc trùng với : . 1 1 1 x 1 t BH : y 1 2t
z 3 2t
+/ Điểm A chính là giao điểm của d’ và H BH H 1 t; 1
2t;3 2t 10 1 11 7
H P t H ; ; 9 9 9 9 +/ Ta tìm được ( A 3; 0;1) x 1 2t
Hình chiếu song song của d : y 2
4t lên mặt phẳng z 3 t x 1 t BH : y 1 2t
z 3 2t x 1 y 6 z 2
H BH H 1 t; 1
2t;3 2t theo phương : là đường thẳng 1 1 1 10 1 11 7
H P t H ; ; 9 9 9 9
đi qua M (5; 0;5) và ( A 3; 0;1) . 0 x 3 t
Vậy phương trình là: y 0 z 1 2t
Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Q : x 2y 2z 1 0 gọi d đi qua A3; 1 ; 1 , nằm trong x y 2 z
mặt phẳng P : x y z 5 0 , đồng thời tạo với : một góc 0 45 . Phương 1 2 2
trình đường thẳng d là
x 3 7t x 3 t
A. y 1 8t .
B. y 1 t . z 1 15t z 1
x 3 7t x 3 t
x 3 7t C. y 1 8t . D. y 1
t và y 1 8t . z 115t z 1 z 115t Hướng dẫn giải:
có vectơ chỉ phương a 1; 2;2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 67
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
d có vectơ chỉ phương a a; ; b c d
P có vectơ pháp tuyến n 1; 1 ; 1 P
d P a n b a ; c d P 1 , d 0
45 cos , d 0 cos 45
a 2b 2c 2 2 2 2 2
3 a b c
2 a 2b 2c2 9 2 2 2
a b c ; 2 x 1 y 2 z x 1 y z 1 c 0 Từ : và : , ta có: 2
14c 30ac 0 1 1 2 1 2 1 2 3 15a 7c 0 x 3 t
Với c 0 , chọn a b 1 , phương trình đường thẳng d là y 1 t z 1
Với 15a 7c 0 , chọn a 7 c 1 5;b 8
, phương trình đường thẳng d là
x 3 7t y 1 8t z 115t
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua điểm A1;1;2 , song song với x 1 y 1 z
P : 2x y z 3 0 , đồng thời tạo với đường thẳng : một góc lớn 1 2 2
nhất. Phương trình đường thẳng d là. x 1 y 1 z 2 x 1 y 1 z 2 A. . B. . 1 5 7 4 5 7 x 1 y 1 z 2 x 1 y 1 z 2 C. . D. . 4 5 7 1 5 7 Hướng dẫn giải:
có vectơ chỉ phương a 1; 2 ;2
d có vectơ chỉ phương a a b c d ; ;
P có vectơ pháp tuyến n P 2;1; 1
Vì d P nên a n a .n 0 2a b c 0 c 2a b d P d P 5a 4b 1 5a 4b2 cos, d 2 2 2 2
3 5a 4ab 2b
3 5a 4ab 2b
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 68
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz a 1 5t 42 Đặt t
, ta có: cos, d b 2
3 5t 4t 2 5t 42 1 5 3
Xét hàm số f t
, ta suy ra được: max f t f 2 5t 4t 2 5 3 5 3 1 a 1
Do đó: max cos, d t 27 5 b 5
Chọn a 1 b 5 ,c 7 x 1 y 1 z 2
Vậy phương trình đường thẳng d là 1 5 7 Chọn A. x 3 y z 1 Câu 26: Trong không gian cho đường thẳng : và đường thẳng 1 2 3 x 3 y 1 z 2 d :
. Viết phương trình mặt phẳng P đi qua và tạo với đường thẳng 3 1 2
d một góc lớn nhất.
A. 19x 17 y 20z 77 . 0
B. 19x 17 y 20z 34 . 0
C. 31x 8 y 5z 91 . 0
D. 31x 8 y 5z 98 . 0 Hướng dẫn giải: Chọn D.
Đường thẳng d có VTCP là u 3;1; 2 . 1
Đường thẳng đi qua điểm M 3;0;
1 và có VTCP là u 1; 2;3 .
Do P nên M P . Giả sử VTPT của P là n A B C 2 2 2 ; ;
, A B C 0 .
Phương trình P có dạng A x 3 By C z 1 0 .
Do P nên u.n 0 A 2B 3C 0 A 2 B 3C .
Gọi là góc giữa d và P . Ta có u .n 1
3A B 2C 3 2
B 3C B 2C
sin 2 2 2 u . n
14. A B C
14. 2B 3C 2 2 2 1 B C 5B 7C 1 5B 7C2 . 2 2 2 2 14. 5 12 10 14
5B 12BC 10C B BC C
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 69
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz 5 70
TH1: Với C 0 thì sin . 14 14 B 1 5t 72
TH2: Với C 0 đặt t ta có sin . C 2 14 5t 12t 10 5t 72
Xét hàm số f t trên . 2 5t 12t 10 2
50t 10t 112
Ta có f t .
5t 12t 102 2 8 8 75 t f 5 5 14 f t 2
0 50t 10t 112 0 . 7 7 t f 0 5 5 5t 72
Và lim f t lim 5 . 2 x
x 5t 12t 10 Bảng biến thiên 0 0 75 8 B 8 1 8 75
Từ đó ta có Maxf t khi t . Khi đó sin . f . 14 5 C 5 14 5 14 75 B 8
So sánh TH1 và Th2 ta có sin lớn nhất là sin khi . 14 C 5
Chọn B 8 C 5 A 31.
Phương trình P là 31 x 3 8y 5 z
1 0 31x 8 y 5z 98 0 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 70
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Câu 27: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng P : x y z 2 0 và hai x 1 t
x 3 t
đường thẳng d : y t
; d ' : y 1 t .
z 2 2t z 1 2t
Biết rằng có 2 đường thẳng có các đặc điểm: song song với P ; cắt d, d và tạo với d góc O
30 . Tính cosin góc tạo bởi hai đường thẳng đó. 1 1 2 1 A. . B. . C. . D. . 5 2 3 2
Hướng dẫn giải::
Gọi là đường thẳng cần tìm, n là VTPT của mặt phẳng P . P
Gọi M 1 t;t; 2 2t là giao điểm của và d ; M 3 t ;1 t ;1 2t là giao điểm của
và d '
Ta có: MM '2 t t;1 t t;1 2t 2t M P
MM // P t 2 MM 4 t; 1
t;3 2t MM n P 3 6 t 9 t 4 Ta có O
cos30 cos MM ,ud 2 2 t 1 36t 108t 156 x 5 x t
Vậy, có 2 đường thẳng thoả mãn là : y 4 t ; : y 1 . 1 2 z 10 t z t 1
Khi đó, cos , . 1 2 2
Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 2; 3;1 và B5; 6; 2 . Đường AM
thẳng AB cắt mặt phẳng Oxz tại điểm M . Tính tỉ số . BM AM 1 AM AM 1 AM A. . B. 2 . C. . D. 3 . BM 2 BM BM 3 BM Hướng dẫn giải:
M Oxz M ;
x 0;z ; AB 7; ;
3 1 AB 59 AM x ; 2 ; 3 z 1 và Ta có: ;
x 2 7k x 9 Ta có: A, B, M thẳng hàng AM .
k AB k 3 3k 1 k z 1 k z 0 M ; 9 0;0.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 71
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz BM 1 ; 4 ;
6 2 BM 118 2A . B và Chọn A.
Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm ( A 2; 2
; 1), B 1; 2; 3 và đường x 1 y 5 z thẳng d :
. Tìm vectơ chỉ phương u của đường thẳng qua A, vuông góc 2 2 1
với d đồng thời cách điểm B một khoảng bé nhất.
A. u (2;1; 6)
B. u (2; 2; 1 )
C. u (25; 29; 6)
D. u (1; 0; 2) Hướng dẫn giải:
Cách 1 (Tự luận)
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d, B’ là hình chiếu của B lên (P)
Khi đó đường thẳng chính là đường thẳng AB’ và u B'A Q ua ( A 2; 2 ;1) Ta có P :
(P) : 2x 2 y z 9 0 V
TPT n u (2; 2; 1 ) P d x 1 2t
Gọi d’ là đường thẳng qua B và song song d’ d ' y 2 2t
z 3 t
B’ là giao điểm của d’ và (P) B '( 3 ; 2
; 1) u B ' A (1; 0; 2) Chọn D
Cách 2: Không cần viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d. x 1 2t
Gọi d’ là đường thẳng qua B và song song d’ d ' y 2 2t
z 3 t
B’ d’ B ' A 2 t 3; 2
t 4;t 4
AB’ d u . B ' A 0 t 2
u B ' A (1;0; 2) Chọn D d
Câu 30: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A 1; 2;
1 , B 7; 2;3 và đường thẳng
x 2 3t
d có phương trình y 2 t
(t R) . Điểm M trên d sao cho tổng khoảng cách từ M
z 4 2t
đến A và B là nhỏ nhất có tổng các tọa độ là:
A. M 2;0; 4 .
B. M 2;0; 1 .
C. M 1;0;4 .
D. M 1;0;2 . Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 72
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Nếu M nằm trên d thì điểm I có tọa độ là M=(2+3t;-2t;4+2t). Từ đó ta có:
AM t t t AM t 2 t 2 t 2 3 1; 2 2 ;2 5 3 1 2 2 2 5 2 2 2
Tương tự: BM 3t 5;2 2t;2t
1 BM 3t 5 2 2t 2t 1 2 2 2 2 2 2
Từ (*): MA=MB = 3t
1 2 2t 2t 5 = 3t 5 2 2t 2t 1 Hay: 2 2
17t 34t 30 17t 36t 30 34t 36t 0 11 70t 0 t 0
Tọa độ M thỏa mãn yêu cầu là: M=(2;0;4 ). Chọn A. 6
Câu 31: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm (
A 2;3;0), B(0; 2; 0), M ; 2; 2 5 x t
và đường thẳng d : y 0
.Điểm C thuộc d sao cho chu vi tam giác ABC là nhỏ nhấ thì độ z 2 t dài CM bằng 2 6 A. 2 3. B. 4. C. 2. D. . 5 Hướng dẫn giải:
Do AB có độ dài không đổi nên chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi AC CB nhỏ nhất. 2 2
Vì C d C t;0; 2 t AC 2t 2 2 9, BC 2t 2 4
AC CB t
2 t 2 2 2 2 9 2 2 4.
Đặt u 2t 2 2;3, v 2t 2;2 ápdụngbấtđẳngthức u v u v t
2 t 2 2 2 2 2 9 2 2 4 2 2 2
25. Dấubằngxảyrakhivàchỉ 2 2 2t 2 2 3 7 7 3 6 7 3 khi t C ; 0; CM 2 2 2. 2t 2 2 5 5 5 5 5 5 Chọn C.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 73
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ., cho bốn điểm. và. Kí hiệu d là đường thẳng đi qua D sao
cho tổng khoảng cách từ các điểm ,
A B, C đến d lớn nhất. Hỏi đường thẳng d đi qua
điểm nào dưới đây? A. M 1 ; 2; 1 .
B. N 5;7;3 .
C. P 3;4;3 .
D. Q 7;13;5 . Hướng dẫn giải: x y z
Ta có phương trình mặt phẳng qua A,B,C là: ABC :
1 2x 3y z 6 0 . 3 2 6
Dễ thấy D ABC .Gọi. lần lượt là hình chiếu vuông góc của ,
A B,C trên d . Suy ra d ,
A d d B, d d C, d AA' BB ' CC ' AD BD CD .Dấu bằng xảy ra khi
A ' B ' C ' D . Hay tổng khoảng cách từ các điểm ,
A B, C đến d lớn nhất khi d là x 1 2t
đường thẳng qua D và vuông góc với mặt phẳng ABC d : y 1 3t ; N d z 1 t chọn B.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 74
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU NÂNG CAO A - LÝ THUYẾT CHUNG 1. Định nghĩa mặt cầu
Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng cách R cho trước là mặt cầu
tâm O và bán kính .
R Kí hiệu S O; R.
Trong không gian với hệ trục Oxyz : 2 2 2
- Mặt cầu S tâm I a,b, c bán kính R có phương trình là: x a y b z c 2 R . - Phương trình: 2 2 2
x y z 2ax 2by 2cz d 0, với 2 2 2
a b c d 0 là phương trình mặt cầu
tâm I a;b;c, bán kính 2 2 2 R
a b c d .
2. Vị trí tương đối của mặt phẳng P và mặt cầu S
d I, P R khi và chỉ khi P không cắt mặt cầu S . I P
d I, P R khi và chỉ khi
tiếp xúc mặt cầu S . R
d I, P R khi và chỉ khi P cắt mặt cầu S theo H
giao tuyến là đường tròn nằm trên mặt phẳng P có tâm H và có bán kính 2 2 r R d .
3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng P
a) Cho mặt cầu S O; R và đường thẳng . Gọi H là hình
chiếu của O lên và d OH là khoảng cách từ O đến O O O A H H B H
Nếu d R thì cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt (H.3.1)
Nếu d R thì cắt mặt cầu tại 1 điểm duy nhất (H.3.2)
Nếu d R thì không cắt mặt cầu (H.3.3)
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 75
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A0; 2;0, B 1
;1;4 và C 3; 2 ; 1
. Mặt cầu S tâm I đi qua , A ,
B C và độ dài OI 5 (biết tâm I có hoành độ nguyên, O là
gốc tọa độ). Bán kính mặt cầu S là A. R 1 B. R 3 C. R 4 D. R 5 Hướng dẫn giải:
Phương trình mặt cầu (S) có dạng: 2 2 2
x y z 2ax 2by 2cz d 0 Vì 4 điểm , O , A ,
B C thuộc mặt cầu (S) nên ta có hệ: A (S )
4b d 4 0
B (S ) 2
a 2b 8c d 18 0 C (S)
6a 4b 2c d 14 0 2 2 2 2
OI 5 OI 5 a b c 5 Suy ra a 1
;b 0;c 2 ;d 4 R 3 Chọn B. Câu 2:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A1;0;0 , B 2; 1
; 2,C 1;1; 3 . Viết phương
trình mặt cầu có tâm thuộc trục Oy, đi qua A và cắt mặt phẳng ABC theo một đường
tròn có bán kính nhỏ nhất. 2 2 1 5 1 5 A. 2 2 x y z 2 2 .
B. x y z . 2 4 2 4 2 2 1 9 3 5 C. 2 2 x y z 2 2 .
D. x y z 2 4 2 4 Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng ABC có phương trình: x y z 1 0
Gọi S là mặt cầu có tâm I Oy và cắt ABC theo một đường tròn bán kính r nhỏ nhất.
Vì I Oy nên I 0;t;0, gọi H là hình chiếu của I lên ABC khi đó là có bán kính
đường tròn giao của ABC và S là 2 2 r AH IA IH . 2 2 t 1 t 2t 1 2t 2t 2 Ta có 2 2
IA t 1, IH d I , ABC 2
r t 1 . 3 3 3 1 1 5
Do đó, r nhỏ nhất khi và chỉ khi t . Khi đó 2 I 0; ;0 , IA 2 2 4
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 76
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz 2 1 5
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: 2 2 x y z 2 4 Chọn A. Câu 3:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu có tâm I 1; 2;3 và tiếp x y 2 z xúc với đường thẳng . 1 2 2 2 2 233 2 2 243 A. x 1 y 2 2 (z 3) . B. x 1 y 2 2 (z 3) . 9 9 2 2 2223 2 2 333 C. x 1 y 2 2 (z 3) . D. x 1 y 2 2 (z 3) 9 9 Hướng dẫn giải:
+ Đường thẳng d đi qua M 0; 2
;0 có vec tơ chỉ phương u 1; 2; 2. Tính được MI 1; 4;3. MI ,u 233
+ Khẳng định và tính được d I , d u 3
+ Khẳng định mặt cầu cần tìm có bán kính bằng d I , d và viết phương trình: 233 x 2 1 y 22 2 (z 3) 9 Chọn A. Câu 4:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình 2 2 2
x y z 4x 2 y 6z 12 0 và đường thẳng d : x 5 2t; y 4; z 7 t. Viết
phương trình đường thẳng tiếp xúc mặt cầu S tại điểm M 5;0; 1 biết đường thẳng 1
tạo với đường thẳng d một góc thỏa mãn cos . 7
x 5 3t
x 5 13t
x 5 3t
x 5 13t
A. : y 5t : y 5t .
B. : y 5t : y 5t . z 1 t z 111t z 1 t z 111t
x 5 3t
x 5 13t
x 5 3t
x 5 13t
C. : y 5t
: y 5t .
D. : y 5t : y 5t z 1 t z 111t z 1 t z 1 21t Hướng dẫn giải:
S x 2 y 2 z 2 : 2 2 3
26 S có tâm I 2; 1
; 3 và bán kính R 26.
IM 3;1; 4,u 2;0;1 là 1 VTVP của d 1
Giả sử u a; ;
b c là 1 VTCP của đường thẳng 2 2 2
a b c 0 2
Do tiếp xúc mặt cầu S tại M IM u 3a b 4c 0 b 3a 4c 1 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 77
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Mà góc giữa đường thẳng và đường thẳng d bằng . u .u u u 1 2 1 2a c 1 cos , o
c s 2 1 2 2 2 2 u . u 7
a b c . 5 7 1 2 Thay 1 vào 2 ta được: a c
a a c2 2 2 c 2 2
a ac c 2 2 2 2 7 2 5. 3 4 7 4 4
5 a 9a 24ac 16c c a 3c 2 2 22a 92ac 78c 0 13 a c 11 Với a 3 c do 2 2 2
a b c 0 nên chọn c 1 a 3;b 5
x 5 3t
phương trình đường thẳng là: : y 5 t z 1 t 13 Với a c do 2 2 2
a b c 0 nên chọn c 1
1 a 13;b 5 11
x 5 13t
phương trình đường thẳng là: : y 5t z 111t Chọn A. x 1 y 2 z Câu 5:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : . Tìm tọa độ 1 2 2
điểm M thuộc đường thẳng d sao cho mặt cầu S tâm M tiếp xúc với trục Oz có bán kính bằng 2. 6 8 2 6 8 2
A. M 2; 0; 2 M ; ; .
B. M 2; 0; 2 M ; ; . 5 5 5 5 5 5 7 8 4 6 8 2
C. M 2; 0; 2 M ; ; .
D. M 4; 0; 2 M ; ; 5 5 5 5 5 5 Hướng dẫn giải:
Vì M d M 1 t; 2 2t; 2
t . Trục Oz đi qua điểm O0;0;0 và có vtcp k 0;0; 1 ;
OM 1 t; 2 2t; 2 t O
M ;k 2 2t; 1 t; 0 2
OM ; k 5t 6t 5
Gọi R là bán kính mặt cầu S , ta có: R d M Oz 2 ;
5t 6t 5 t 1 M 2; 2 ; 0 2 2 R 2 5t 6t 5 2 5t 6t 5 0 1 6 8 2 t M ; ; 5 5 5 5 Chọn A.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 78
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz Câu 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng , có phương trình: 1 2 x 2 y 1 z 1 x 2 y 3 z 1 : ; :
. Viết phương trình mặt cầu có bán kính 1 2 1 4 2 1 1 1
nhỏ nhất và tiếp xúc với hai đường thẳng , ? 1 2
A. x y 2 2 2 2 z 6 .
B. x y 2 2 2 2 z 6 .
C. x y 2 2 2 2 z 6 .
D. x y 2 2 2 2 z 6 Hướng dẫn giải:
Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất và tiếp xúc với hai đường thẳng , là mặt cầu nhận đoạn 1 2
vuông góc chung của , làm đường kính. Giả sử mặt cầu cần lập là S và , A B lần 1 2
lượt là tiếp điểm của S với , . Viết phương trình , dưới dang tham số thì ta có: 1 2 1 2 A 2 ; m 1 4 ;
m 1 2m, B 2 n;3 ; n 1 n
Do AB là đoạn vuông góc chung của , nên: 1 2 A . B U 0 3
n 21m 0 1
m n 0 A2;1 ;1 , B 2 ;3; 1 3n m 0 A . B U 0 2
Trung điểm I của AB có tọa độ là I 0; 2;0 nên phương trình mặt cầu cần lập là:
x y 2 2 2 2 z 6 Chọn A. Câu 7:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S 2 2 2
: x y z 2x 4 y 2z 3 0.
Viết phương trình mặt phẳng P chứa trục Ox và cắt mặt cầu S theo một đường tròn có bán kính bằng 3.
A. P : y 2z 0 .
B. P : x 2z 0 .
C. P : y 2z 0 .
D. P : x 2z 0 Hướng dẫn giải:
S có tâm I 1; 2 ;
1 và bán kính R 3.
P chứa trục Ox và cắt mặt cầu S theo một đường tròn có bán kính bằng 3 nên P
chứa Ox và đi qua tâm I của mặt cầu. Ta có: OI 1; 2 ;
1 , P có vec tơ pháp tuyến n i
,OI 0;1; 2
và P qua . O
Vậy P : y 2z 0. Chọn A. x 1 y 1 z Câu 8:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : và cắt mặt 2 1 1
phẳng P : x 2 y z 6 0 tại điểm M . Viết phương trình mặt cầu S có tâm I thuộc
đường thẳng d và tiếp xúc với mặt phẳng P tại điểm ,
A biết diện tích tam giác IAM
bằng 3 3 và tâm I có hoành độ âm.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 79
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz 2 2 2 2
A. S x 2 : 1
y z 1 6 .
B. S x 2 : 1
y z 1 36 . 2 2 2 2
C. S x 2 : 1
y z 1 6 .
D. S x 2 : 1
y z 1 6 Hướng dẫn giải:
Một vec tơ chỉ phương của đường thẳng d là u 2;1;
1 . Một vec tơ pháp tuyến của đường
thẳng và mặt phẳng P là n 1; 2;
1 . Gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng P. 2 2 1 1
Ta có sin cos u, n 0
IMA 30 6. 6 2
Gọi R bán kính mặt cầu S IA .
R Tam giác IAM vuông tại A có 1 0
IMA 30 AM R 3.S 3 3 I .
A AM 3 3 R 6 IMA 2 1
Giả sử: I 1 2t;1 t; t ,t 2 3t 3
Từ giả thuyết ta có khoảng cách: d I, P R
t 1 t 3 (loại) 6 I 1 ;0; 1 2 2
Phương trình mặt cầu S x 2 : 1
y z 1 6. Chọn A. Câu 9:
Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm
A1;1; 2, B 2;1; 1 C 1 ; 2; 3
biết tâm của mặt cầu nằm trên mặt phẳng Ox . z 2 2 2 2 12 4 1326 12 4 1327 A. S 2 : x y z 2 .
B. S : x y z . 11 11 121 11 11 121 2 2 2 2 12 4 1328 12 4 1329 C. S 2 : x y z 2 .
D. S : x y z 11 11 121 11 11 121 Hướng dẫn giải: x 2
1 1 z 22 x 22 1 z 2 1
I Oxz nên I ;
x 0; z , IA IB IC nên: x 2
1 1 z 22 x 2
1 4 z 32 12 4 12 4
Giải hệ ta được x ; z I ; 0; 11 11 11 11 1326 Bán kính R 121 2 2 12 4 1326
Phương trình mặt cầu S 2 : x y z 11 11 121 Chọn A.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 80
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Câu 10: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A 1
3; 1; 0, B 2;1;2 ,C 1; 2; 2 và mặt cầu S 2 2 2
: x y z 2x 4 y 6z 67 0. Viết phương trình mặt phẳng P đi qua qua , A
song song với BC và tiếp xúc với mặt cầu S .S có tâm I 1; 2;3 và có bán kính R 9. A. P : 2
x 2 y z 28 0 hoặc P :8x 4 y z 100 0 . B. P : 2
x 2 y z 28 0 hoặc P :8x 4 y z 100 0 . C. P : 2
x 2 y z 28 0 hoặc P :8x 4 y z 100 0 . D. P : 2
x 2 y 2z 28 0 hoặc P :8x 4y z 1000 0 Hướng dẫn giải:
Giả sử P có vtpt n A B C 2 2 2 ; ;
, A B C 0,P / /BC nên:
n BC, BC 1;1;4 .
n BC 0 A B 4C n B 4C; ; B C
P đi qua A13; 1
;0 phương trình: P : B 4C x By Cz 12B 52C 0
B 4C 2B 3C 12B 52C
P tiếp xúc với S d I,P R 9 B 4C 2 2 2 B C
B 2C 0 2 2
B 2BC 8C 0 B 2C B 4C 0 B 4C 0 B 2
Với B 2C 0 chọn
, ta được phương trình: P : 2
x 2 y z 28 0 C 1 B 4
Với B 4C 0 chọn
, ta được phương trình: P : 8x 4 y z 100 0 C 1 Chọn A. S 2 2 2
: x y z 4x 2 y 2z 3 0,
Câu 11: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu mặt phẳng
P : x y z 1 0
A1;1;0, B 2; 2; 1 . và hai điểm
Viết phương trình mặt phẳng P S
song song với AB, vuông góc với mặt phẳng và cắt mặt cầu theo một đường tròn
C có bán kính bằng 3.
A. : x y 2z 1 0 và mp : x y 2z 11 0 .
B. : x 5y 2z 1 0 và mp : x y 2z 11 0 .
: x 5y 2z 11 0
C. : x y 2z 1 0 và mp .
D. : x 5y 2z 1 0 và mp : x 5y 2z 11 0 Hướng dẫn giải: 2 2 2
Pt S viết dưới dạng S : x 2 y 1 z 1 9
Suy ra S có tâm I 2;1;
1 , bán kính R 3.
Ta có AB 3;1;
1 một VTPT của mặt phẳng P là n 1; 1 ; 1
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 81
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz Do đó A . B n 2; 2 ; 4 0
Gọi vec tơ là một VTPT của mặt phẳng . Ta có: / / AB u AB
u cùng phương với A . B n . P u n 1 Chọn u A .
B n u 1;1; 2 2
Mặt phẳng có một VTPT u nên phương trình có dạng x y 2z D 0
Gọi d là khoảng cách từ I đến mặt phẳng cắt S theo một đường tròn C có bán kính r 3. Nên 2 2 d
R r 9 3 6 2 1 2 1 D D 1 Ta có: d 6
6 5 D 6 6 D 1 1
Với D 1 thì : x y 2z 1 0 không qua A 1 ;1; 0 (vì 1 1 2.0 1 0 )
Nên / / A .
B Tương tự, mặt phẳng cũng song song với A . B
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình:
: x y 2z 1 0 và mp : x y 2z 11 0 . Chọn A.
Câu 12: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A2;0;0, B 0;2;0. Điểm C thuộc trục Ox sao
cho tam giác ABC là tam giác đều, viết phương trình mặt cầu S có tâmO tiếp xúc với ba
cạnh của tam giác ABC. A. S 2 2 2
: x y z 2 . B. S 2 2 2
: x y z 2 . C. S 2 2 2
: x y z 2 . D. S 2 2 2
: x y z 2 Hướng dẫn giải:
Vì C Oz C 0;0;c và tam giác ABC đều khi và chỉ khi: 2 2 2 2 2 2
AB AC BC AB AC BC 2 2 2 c c 2
Vậy C 0;0; 2 hoặc C 0;0;2
Lập luận được tứ diện OABC đều vì OA OB OC 2 và tam giác ABC đều.
Gọi I là trung điểm của AB thì IO AB tại 1 1 2 2 2 2 I OI
AB OA OB 2 2 2 2 2
(Tam giác OAB vuông tại O )
Lập luận được mặt cầu S có tâm O tiếp xúc với 3 cạnh của tam giác ABC có bán kính
R d O, AB IO 2.
Do đó phương trình có mặt cầu S 2 2 2
: x y z 2. Chọn A.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 82
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz x 2 y 1 z 1
Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : và mặt cầu 1 2 1
S x 2 y 2 z 2 : 1 2 1
25. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M 1 ; 1; 2
, cắt đường thẳng d và mặt cầu S tại hai điểm ,
A B sao cho AB 8. x 1 6t x 1 6t
A. : y 1 2t .
B. : y 1 2t . z 2 9t z 2 9t x 1 6t x 2 6t
C. : y 1 2t .
D. : y 3 2t
z 2 9t z 2 9t Hướng dẫn giải:
Gọi: M d M
2 t;1 2t;1 t MM 3 t; 2 2t;3 t 1 1 1
Mặt cầu có tâm I 1 ; 2; 1 qua I 1 ; 2; 1 qua I 1; 2; 1
Mặt phẳng P : P : P V TPT n MM P 1
P : 3 t x
1 2 2t y 2 3 t z 1 0
Gọi H là trung điểm AB thì IH AB, IH 3 t 1 3t 15 Do IM 3 2 MH 3
d M , P 3 2 6t 8t 22 t 5 x 1 2t x 1 6t 3
Với t 1 : y 1
2t . Với t : y 1 2t . 5 z 2 t z 2 9t Chọn A.
Câu 14: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu S tiếp xúc với mặt phẳng
Q : 2x y 2z 1 0 tại M 1; 1 ;
1 và tiếp xúc mặt phẳng P : x 2y 2z 8 0 2 2
c : x 32 y z 2 2 1 9
c : x 3 2
y z 1 9 A. . B. . 2 2 2
c : x 2
1 y 22 z 32 9
c : x
1 y 2 z 3 9 2 2
c : x 32 y z 2 2 1 9
c : x 3 2
y z 1 81 C. . D. 2 2 2
c : x 2
1 y 22 z 32 9
c : x
1 y 2 z 3 81 Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng Q có vec tơ pháp tuyến n 2;1; 2. Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với Q
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 83
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz x 1 2t
có phương trình là y 1 t . z 1 2t
Lấy I 1 2t; 1
t; 1 2t d MI d 1 2t 2 2t 2 4t 8 I, P 2 2 2
4t t 4t t 1 4 4
t 1 I 3;0;
1 , R 3 S : x 32 y z 2 2 1 9 t 1 I 1; 2 ; 3
, R 3 S : x 2
1 y 22 z 32 9 Chọn A.
Câu 15: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng: x t x 2 y 1 z 1 : , : 2 2 2
y 2 t và mặt cầu (S ) : x y z 2x 2 y 6z 5 0 1 1 2 3 2 z 1 2t
Viết phương trình mặt phẳng ( ) song song với hai đường thẳng , và cắt mặt cầu (S) 1 2 2 365
theo giao tuyến là đường tròn (C) có chu vi bằng . 5
A. x 5y 3z 4 0; x 5y 3z 10 0
B. x 5y 3z 10 0
C. x 5 y 3z 3 511 0; x 5y 3z 3 511 0
D. x 5y 3z 4 0 Chọn B. Hướng dẫn giải:
+ qua M (2; 1;1) và có vectơ chỉ phương u (1; 2; 3 ) . 1 1 1
qua M (0; 2;1) và có vectơ chỉ phương u (1; 1; 2) . 2 2 2
+ Mặt phẳng () song song với , nên có vectơ pháp tuyến: u ,u (1; 5; 3 ) 1 2 1 2
Phương trình mặt phẳng () có dạng: x 5y 3z D 0
+ Mặt cầu (S) có tâm I(1; 1
;3) và bán kính R 4 . 2 365 365
Gọi r là bán kính đường tròn (C), ta có: 2 r r 5 5
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 84
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz 35 D 3 35 D 4
Khi đó: d I , ( ) 2 2 R r 5 35 5 D 10
+ Phương trình mặt phẳng () : x 5y 3z 4 0 (1) hay x 5y 3z 10 0 (2) .
Vì / /( ), / /( ) nên M1 và M2 không thuộc () loại (1). 1 2
Vậy phương trình mặt phẳng () cần tìm là: x 5y 3z 10 0 . Chọn B.
Câu 16: Trong không gian Oxyz, cho điểm A1, 0,
1 và mặt phẳng P : x y z 3 0 . Mặt cầu S
có tâm I nằm trên mặt phẳng P , đi qua điểm A và gốc tọa độ O sao cho chu vi tam giác
OIA bằng 6 2 . Phương trình mặt cầu S là: 2 2 2 2 2 2
A. x 2 y 2 z 1
9 hoặc x 2 y 2 z 1 9. 2 2 2 2 2 2
B. x 2 y 2 z 1
9 hoặc x 1
y 2 z 2 9 2 2 2 2 2 2
C. x 2 y 2 z 1
9 hoặc x 2 y 2 z 1 9 2 2 2 2 2 2
D. x 2 y 2 z 1
9 hoặc x
1 y 2 z 2 9 Hướng dẫn giải: Gọi I ,
x y, z là tâm của S.
Khi đó I P, IO I ,
A IO IA AO 6 2 nên ta suy ra hệ x 2
1 y z 2 2 2 2 2 1
x y z
x z 1 0 2 2 2 2 2 2
2 x y z 2 6 2
x y z 9
x y z 3 0
x y z 3 0
Giải hệ ta tìm được I 2, 2,
1 hoặc I 1, 2, 2 Chọn D. x 1 y 6 z
Câu 17: Cho điểm I 1;7;5 và đường thẳng d :
. Phương trình mặt cầu có tâm I và 2 1 3
cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác diện tích tam giác IAB bằng 2 6015 là: 2 2 2 2 2 2 A. x
1 y 7 z 5 2018. B. x
1 y 7 z 5 2017. 2 2 2 2 2 2 C. x
1 y 7 z 5 2016. D. x
1 y 7 z 5 2019.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 85
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz Hướng dẫn giải:
Gọi H là hình chiếu của I 1;7;5 trên d H 0;0;4 IH d I ;d 2 3 2 IH .AB 2S AB A IB S AB 8020 2 2 R IH 2017 A IB 2 IH 2 2 2 2
Vậy phương trình mặt cầu là: x
1 y 7 z 5 2017. Chọn B. x 1 t
Câu 18: Cho điểm I (0; 0;3) và đường thẳng d : y 2t
. Phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt z 2 t
đường thẳng d tại hai điểm ,
A B sao cho tam giác IAB vuông là: 3 8
A. x y z 32 2 2 .
B. x y z 32 2 2 . 2 3 2 4
C. x y z 32 2 2 .
D. x y z 32 2 2 . 3 3 Hướng dẫn giải:
Gọi H 1 t; 2t;2 t d là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d
IH 1 t; 2t;1 t
Ta có vectơ chỉ phương của d : a 1;2 ;1 và IH d d 1 2 2 7
IH .a 0 1
t 4t 1 t 0 2
6t 0 t H ; ; d 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3 IH 3 3 3 3
Vì tam giác IAB vuông tại I và IA IB R . Suy ra tam giác IAB vuông cân tại I , do đó bán kính: 2 2 3 2 6 0
R IA AB cos 45 2IH . 2IH 2. 2 3 3 8
Vậy phương trình mặt cầu S : x y z 32 2 2 . 3 Chọn B.
Câu 19: Cho điểm A2;5;
1 và mặt phẳng (P) : 6x 3y 2z 24 0 , H là hình chiếu vuông góc của
A trên mặt phẳng P . Phương trình mặt cầu (S) có diện tích 784 và tiếp xúc với mặt
phẳng P tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt cầu là: 2 2 2 2 2 2
A. x 8 y 8 z 1 196.
B. x 8 y 8 z 1 196. 2 2 2 2 2 2
C. x 16 y 4 z 7 196.
D. x 16 y 4 z 7 196.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 86
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz Hướng dẫn giải:
x 2 6t
Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với P . Suy ra d : y 5 3t z 1 2t
Vì H là hình chiếu vuông góc của A trên P nên H d (P) .
Vì H d nên H 2 6t;5 3t;1 2t .
Mặt khác, H (P) nên ta có: 62 6t 35 3t 21 2t 24 0 t 1 Do đó, H 4 ; 2;3 .
Gọi I , R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu.
Theo giả thiết diện tích mặt cầu bằng 784 , suy ra 2
4 R 784 R 14 .
Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng P tại H nên IH (P) I d .
Do đó tọa độ điểm I có dạng I 2 6t;5 3t;1 2t , với t 1 .
Theo giả thiết, tọa độ điểm I thỏa mãn:
6 2 6t 35 3t 21 2t 24 t 1 14
d (I ,(P)) 14 2 2 2 6 3 ( 2) t 3 t 1 AI 14
t 2 t 2 t 2 2 t 2 6 3 2 14
Do đó: I 8;8; 1 . 2 2 2
Vậy phương trình mặt cầu (S) : x 8 y 8 z 1 196 . Chọn A. x 2 y z 1
Câu 20: Cho mặt phẳng P : x 2y 2z 10 0 và hai đường thẳng : , 1 1 1 1 x 2 y z 3 :
. Mặt cầu S có tâm thuộc , tiếp xúc với và mặt phẳng P , 2 1 1 4 1 2 có phương trình: 2 2 2 11 7 5 81 A. 2 2 2
(x 1) ( y 1) (z 2) 9 hoặc x y z . 2 2 2 4 2 2 2 11 7 5 81 B. 2 2 2
(x 1) ( y 1) (z 2) 9 hoặc x y z . 2 2 2 4 C. 2 2 2
(x 1) ( y 1) (z 2) 9. D. 2 2 2
(x 1) ( y 1) (z 2) 3. Hướng dẫn giải: x 2 t
: y t ; đi qua điểm (
A 2;0; 3) và có vectơ chỉ phương a (1;1; 4) . 1 2 2 z 1 t
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 87
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Giả sử I (2 t;t;1 t) là tâm và R là bán kính của mặt cầu S . 1 AI , a 5t 4
Ta có: AI (t;t; 4 t) AI , a (5t 4; 4 5t; 0)
d I; 2 2 2 a 3 2
2 t 2t 2(1 t) 10 t 10
d (I, (P)) . 1 4 4 3 7 t
S tiếp xúc với và P d(I, ) d(I,(P)) 5t 4 t 10 . 2 2 2 t 1 2 2 2 7 11 7 5 9 11 7 5 81 Với t I ; ; , R
S : x y z . 2 2 2 2 2 2 2 2 4 Với t 1
I (1; 1; 2), R 3 S 2 2 2
: (x 1) ( y 1) (z 2) 9 . Chọn A. x 1
Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng d : y 1,t ; 1 z t x 2 x 1 y z 1
d : y u , u ; :
. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với cả d , d 2 1 2 1 1 1 z 1 u
và có tâm thuộc đường thẳng ? 2 2 2 2 2 1 1 1 5 A. x 2
1 y z 1 1. B. x y z . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 3 1 5 1 5 9 C. x y z . D. x y z . 2 2 2 2 4 4 4 16 Hướng dẫn giải: Chọn A.
Đường thẳng d đi qua điểm M 1;1; 0 và có véc tơ chỉ phương u . d 0;0 ;1 1 1 1
Đường thẳng d đi qua điểm M
2; 0;1 và có véc tơ chỉ phương u . d 0;1 ;1 2 2 2
Gọi I là tâm của mặt cầu. Vì I nên ta tham số hóa I 1 t;t;1 t , từ đó
IM t;1 t; 1 t ,
IM 1 t; t; t . 1 2
Theo giả thiết ta có d I; d d I ;d , tương đương với 1 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 88
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz 2 2 2 IM ;u IM ;u 1 d d 1 t t 2 1 t 1 2 2 t 0 u u 1 2 1 d d2 Suy ra I 1;0;
1 và bán kính mặt cầu là R d I;d 1. Phương trình mặt cầu cần tìm là 1
x 2 y z 2 2 1 1 1.
x 2 t
Câu 22: Cho mặt cầu S 2 2 2
: x y z 2x 4z 1 0 và đường thẳng d : y t . Tìm m để d z m t
cắt S tại hai điểm phân biệt ,
A B sao cho các mặt phẳng tiếp diện của S tại A và tại B vuông góc với nhau. A. m 1 hoặc m 4
B. m 0 hoặc m 4 C. m 1 hoặc m 0 D. Cả ,
A B,C đều sai Hướng dẫn giải:
Để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì trước tiên d phải cắt mặt cầu, tức là phương trình
t 2 t m t 2 2 2
2.2 t 4.m t 1 0 có hai nghiệm phân biệt. 2
t m 2 3 2
1 t m 4m 1 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi m 2 2 ' 0 1
3m 12m 3 0 2
m 5m 1 0 .
Với phương trình có hai nghiệm phân biệt, áp dụng định lí Viet ta có 2 m 4m 1 2 t t ;t t m 1 1 2 1 2 3 3
Khi đó IA 1 t ;t ;m 2 t , IB 1 t ;t ;m 2 t . 1 1 1 2 2 2 Vậy I .
A IB 1 t 1 t
t t m 2 t m 2 t 0 1 2 1 2 1 2
3t t m
1 t t m 22 1 0 1 2 1 2 2 m 1
m 4m 1 m 2 1 m 22 2 1 0 (TM). 3 m 4 Chọn A.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 89
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Câu 23: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S 2 2 2
: x y z 4x 6 y m 0 và đường thẳng x y 1 z 1 d :
. Tìm m để (d) cắt (S) tại hai điểm M, N sao cho độ dài MN bằng 8. 2 1 2 A. m 2 4 B. m 8 C. m 16 D. m 1 2 Hướng dẫn giải: 2
(S) có tâm I 2;3;0 và bán kính R 2 2 2
3 0 m 13 m m 13
Gọi H là trung điểm M, N MH 4
Đường thẳng (d) qua A0;1;
1 và có vectơ chỉ phương u, AI u
2;1; 2 d I;d 3 u Suy ra 2 2 R
MH d I d 2 2 ; 4 3 5
Ta có 13 m 5 13 m 25 m 1 2 Chọn D.
Câu 24: Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( )
: x 2y 2z 4 0
() : 2x 2y z 1 0, và mặt cầu S có phương trình 2 2 2
x y z 4x 6y m 0 .
Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 8. A. 9 B. 12 C. 5 D. 2 Hướng dẫn giải: Ta có n (2; 2; 1
), n (1; 2; 2) lần lượt là VTPT của (α) và (β) 1 2 1
Suy ra VTCP của đường thẳng d là u n ;n (2;1; 2), 1 2 3
Ta có A(6;4;5) là điểm chung của hai mặt phẳng (α) và (β) nên Ad.
Mặt cầu (S) có tâm I(-2;3;0), bán kính R 13 m với m < 13.
IA (8;1;5) IA, u (3; 6;6) d(I, d) 3 AB
Gọi H là trung điểm của AB AH 4 vµ IH 3 . 2
Trong tam giác vuông IHA ta có: 2 2 2 2
IA IH AH R 9 16
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 90
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
13 m 25 m 1
2 . Vậy m = 12 là giá trị cần tìm. Chọn B.
Câu 25: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho (
A 1; 0; 2), B(3;1; 4),C(3; 2 ;1) . Tìm tọa độ
điểm S, biết SA vuông góc với (ABC), mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC có bán kính bằng
3 11 và S có cao độ âm. 2 A. S (4; 6 ; 4) . B. S (3; 4; 0) . C. S (2; 2;1) .
D. S (4;6; 4) . Hướng dẫn giải:
Ta có AB (2;1; 2); AC (2; 2 ; 1
) , suy ra AB AC . S
Tam giác ABC vuông nên I và S có thể sử dụng các tính chất của phép dụng tâm để tính. N Tính được IM. I A C
MI ( ABC) MI k AB, AC k M B
AS 2MI , tìm S.
AB, AC (3;6; 6) 1 5 Gọi M 3; ;
là trung điểm BC. Ta có: 2 2 2 3 11 9 81 9 2 2 2
IM IB BM IM 2 2 4 2 9 1
MI ( ABC) MI k AB, AC k (3; 6; 6)
MI 9 k . Suy ra
9 k k 2 2 1 k
thì AS 2MI 3;6; 6
S 4;6;4 2 Chọn D.
Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 0;0; 4 , điểm M nằm trên mặt phẳng
Oxy và M O . Gọi D là hình chiếu vuông góc của O lên AM và E là trung điểm của
OM . Biết đường thẳng DE luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định. Tính bán kính mặt cầu đó. A. R 2 . B. R 1 . C. R 4 . D. R 2 .
Hướng dẫn giải: Chọn A.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 91
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Ta có tam giác OAM luôn vuông tại O . A
Gọi I là trung điểm của OA (Điểm I cố định)
Ta có tam giác ADO vuông tại D có ID là 1
đường trung tuyến nên ID OA 2 1 2 I
Ta có IE là đường trung bình của tam giác OAM
nên IE song song với AM mà OD AM OD IE D
Mặt khác tam giác EOD cân tại E . Từ đó suy ra
IE là đường trung trực của OD M O Nên E
DOE ODE; IOD IDO IDE IOE 90 ID DE 2 OA
Vậy DE luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm I bán kính R 2 2 A0;0; 1 B ;
m 0; 0 C 0; ; n 0
Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét các điểm , , , D 1;1;
1 với m 0;n 0 và m n 1. Biết rằng khi m , n thay đổi, tồn tại một mặt cầu cố ABC
định tiếp xúc với mặt phẳng
và đi qua d . Tính bán kính R của mặt cầu đó? 2 3 3 A. R 1 . B. R . C. R . D. R . 2 2 2 Hướng dẫn giải:
Gọi I (1;1;0) là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng (Oxy) x y
Ta có: Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng ( ABC) là: z 1 m n
Suy ra phương trình tổng quát của ( ABC) là nx my mnz mn 0 1 mn
Mặt khác d (I,( ABC))
1 (vì m n 1) và ID 1 d (I,( ABC)) 2 2 2 2
m n m n
Nên tồn tại mặt cầu tâm I (là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng Oxy ) tiếp xúc
với ( ABC) và đi qua D Chọn A.
Câu 28: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm (
A 0;1;1), B(1;0; 3 ),C( 1 ; 2 ; 3 ) và mặt cầu (S) có phương trình: 2 2 2
x y z 2x 2z 2 0 .Tìm tọa độ điểm D trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện
ABCD có thể tích lớn nhất. 7 4 1 1 4 5 7 4 1 7 4 1 A. D ; ; B. D ; ; C. D ; ; D. D ; ; 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 92
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz Ta có (S) 2 2 2
: (x 1) y (z 1) 4 suy ra (S) có tâm I(1;0;-1), bán kính R 2
Và AB (1; 1; 4); AC (1; 3; 4)
Mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là n AB, AC ( 8 ;8; 4)
Suy ra mp(ABC) có phương trình: 8
x 8(y 1) 4(z 1) 0 2x 2y z 1 0 1 Ta có V d ( ;
D ( ABC)).S nên V
lớn nhất khi và chỉ khi d( ;
D ( ABC)) lớn nhất. ABCD 3 ABC ABCD
Gọi D D là đường kính của mặt cầu (S) vuông góc với mp(ABC). Ta thấy với D là 1 điểm 1 2
bất kỳ thuộc (S) thì d ( ;
D ( ABC)) maxd (D ;(ABC)); d (D ;(ABC)) 1 2 .
Dấu “=” xảy ra khi D trùng với D1 hoặc D2
Đường thẳng D D đi qua I(1;0;-1), và có VTCP là nABC (2; 2 ;1) 1 2 x 1 2t
Do đó (D1D2) có phương trình: y 2 t . z 1 t x 1 2t 2 t y 2 t 3
Tọa độ điểm D1 và D2 thỏa mãn hệ: z 1 t 2 t 2 2 2
(x 1) y (z 1) 4 3 7 4 1 1 4 5 D ; ; & D ; ; 1 2 3 3 3 3 3 3 7 4 1
Ta thấy: d (D ; ( ABC)) d (D ; ( ABC)) . Vậy điểm D ; ; là điểm cần tìm 1 2 3 3 3 Chọn D. x 1 y z 3
Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : và mặt cầu 1 2 1 2 2 2
S tâm I có phương trình S : x
1 y 2 z 1
18 . Đường thẳng d cắt S tại hai điểm ,
A B . Tính diện tích tam giác IAB . 8 11 16 11 11 8 11 A. . B. . C. . D. . 3 3 6 9 Hướng dẫn giải: Chọn A.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 93
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Đường thẳng d đi qua điểm C 1;0; 3
và có vectơ chỉ phương u 1 ; 2; 1
Mặt cầu S có tâm I 1; 2;
1 , bán kính R 3 2
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d . IC,u Khi đó: IH , với IC 0; 2 ; 2 ; u
2x y 3z 4 0 2 2 2 6 2 2 66 Vậy IH 1 4 1 3 22 4 6 Suy ra HB 18 3 3 1 1 66 8 6 8 11 Vậy, S IH AB . IAB 2 2 3 3 3 1 3
Câu 30: Trong không gian Oxyz , cho điểm M ;
;0 và mặt cầu S 2 2 2
: x y z 8. Đường 2 2
thẳng d thay đổi, đi qua điểm M , cắt mặt cầu S tại hai điểm phân biệt. Tính diện tích lớn
nhất S của tam giác OA . B A. S 7 . B. S 4 . C. S 2 7 . D. S 2 2 . Hướng dẫn giải:
Mặt cầu S có tâm O0;0;0 và bán kính R 2 2 .
Vì OM 1 R nên M thuộc miền trong của
mặt cầu S . Gọi A , B là giao điểm của đường A
thẳng với mặt cầu. Gọi H là chân đường cao hạ
từ O của tam giác OAB .
Đặt x OH , ta có 0 x OM 1, đồng thời H 2 2 2 HA
R OH 8 x . Vậy diện tích tam giác OAB là O M B 1 2 S
OH .AB OH .HA x 8 x . OAB 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 94
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz Khảo sát hàm số 2
f (x) x 8 x trên 0;
1 , ta được max f x f 1 7 . 0; 1
Vậy giá trị lớn nhất của S
7 , đạt được khi x 1 hay H M , nói cách khác là OAB d OM . Chọn A.
Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 2;11;5 và mặt phẳng
P mx 2
m y 2 : 2 1 m
1 z 10 0 . Biết rằng khi m thay đổi, tồn tại hai mặt cầu cố
định tiếp xúc với mặt phẳng P và cùng đi qua A . Tìm tổng bán kính của hai mặt cầu đó. A. 2 2 . B. 5 2 . C. 7 2 . D. 12 2 . Hướng dẫn giải:
Gọi I a;b;c , r lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu. Do mặt cầu tiếp xúc với P nên ta có 2ma 2 m 1 b 2 m 1 c 10 b c 2
m 2ma b c 10
r d I, P 2 m 1 2 2 m 1 2 b c 2
m 2ma b c 10 r 2 m 1 2
b c r 2 2
m 2ma b c r 2 10 0 1
bcr 2 2m 2mabcr 2100 2
TH1: b c r 2
2 m 2ma b c r 2 10 0 1
Do m thay đổi vẫn có mặt cầu cố định tiếp xúc với P nên yêu cầu bài toán trờ thành tìm điều kiện , a , b c sao cho
1 không phụ thuộc vào m . Do đó 1 luôn đúng với mọi b
c r 2 0 a 0
b c r 2 10 0
b r 2 5 0 2 2 2 2 a 0
Suy ra I 0;5 r 2; 5
S : x y 5 r 2 z 5 r . c 5 r 2 2
Lại có A S nên suy ra: 4 11 5 r 2 2 2 2
r r 12 2r 40 0 r 10 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 95
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
TH2: b c r 2
2 m 2ma b c r 2 10 0 làm tương tự TH1 (trường hợp này không thỏa đề bài )
Tóm lại: Khi m thay đổi, tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng P và cùng đi
qua A và có tổng bán kính là: 12 2 suy ra chọn D
Câu 32: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 6cm và SA SB SC 4 3 cm
.Gọi D là điểm đối xứng của B qua
C. Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABD bằng? A. 5cm
B. 3 2cm C. 26cm D. 37cm Hướng dẫn giải:
Cách 1: Dựng CG vuông góc với ABC , Qua E dựng mặt phẳng vuông góc với SB , mặt
phẳng này cắt CG tại F. Suy ra F là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD.Đặt SF R Xét hình chữ nhật: 2 2
FGSH FC SH FG SH R CH 1 Lại có: 2 2 FC
R CB 2 .Từ (1) và (2) suy ra 2 2 2 2
SH R CH R CB 2 2 2 6 R 12
R 36 5 R 12 0 R 37 cm Suy ra chọn D Cách 2:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Ta có: C 0;0;0 , A3 3;3;0, B 3
3;3; 0, S 2 3;0;6
F CG F
t FA FS t t 2 2 0; 0; 36 12 6
t 1 SC 37 cm suy ra chọn D x 2 y z
Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : và mặt cầu 2 1 4
S x 2 y 2 z 2 : 1 2 1
2 . Hai mặt phẳng P và Q chứa d và tiếp xúc với S
. Gọi M , N là tiếp điểm. Tính độ dài đoạn thẳng MN. 4 A. 2 2. B. . C. 6. D. 4. 3
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 96
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz Hướng dẫn giải: Chọn B.
Mặt cầu S có tâm I 1; 2 ;1 , R 2
Đường thẳng d nhận u 2; 1
; 4 làm vectơ chỉ phương
Gọi H là hình chiếu của I lên đường thẳng d. H d H 2t 2;t; 4t Lại có:
IH.u 0 2t 1; t 2; 4t 1 .2; 1
; 4 0 22t
1 t 2 4 4t 1 0 t 0
Suy ra tọa độ điểm H 2;0;0 .
Vậy IH 1 4 1 6
Suy ra: HM 6 2 2
Gọi K là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng HI . 1 1 1 1 1 3 Suy ra: . 2 2 2 MK MH MI 4 2 4 2 4 Suy ra: MK MN . 3 3
Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
điểm A a;0;0, B 0; ;
b 0, C 0;0;c , trong 1 2 3
đó a 0 , b 0 , c 0 và
7. Biết mặt phẳng ABC tiếp xúc với mặt cầu a b c
S x 2 y 2 z 2 72 : 1 2 3
. Thể tích của khối tứ diện OABC là 7 2 1 3 5 A. . B. . C. . D. . 9 6 8 6 Hướng dẫn giải: Chọn A. x y z
Cách 1: Ta có ABC : 1. a b c 72
Mặt cầu S có tâm I 1; 2;3 và bán kính R . 7 1 2 3 1 a b c 72
Mặt phẳng ABC tiếp xúc với S d I; ABC R . 1 1 1 7 2 2 2 a b c
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 97
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz 1 2 3 1 1 1 7 Mà 7 . 2 2 2 a b c a b c 2
Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có 2 1 1 1 1 2 3 1 1 1 7 2 2 2 1 2 3 2 7 . 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a b c 2 1 2 3 1 1 1 2 1 2
Dấu " " xảy ra a b c
a 2, b 1, c , khi đó V abc . 3 OABC 6 9 1 2 3 7 a b c x y z 72
Cách 2: Ta có ABC :
1, mặt cầu S có tâm I (1;2;3), R . a b c 7 1 2 3 1 a b c 72
Ta có ABC tiếp xúc với mặt cầu S d I , (P) R 1 1 1 7 2 2 2 a b c 7 1 72 1 1 1 7 1 1 1 7 7 2 2 2 2 2 2 1 1 1 7 a b c 2 a b c 2 2 2 2 a b c a 2 2 2 2 1 1 1 1 2 3 7 1 1 1 1 3 1 0 b 1 2 2 2 a b c a b c 2 a 2 b c 2 2 c 3 1 2 V abc . OABC 6 9 1 1 1 7
Cách 3: Giống Cách 2 khi đến . 2 2 2 a b c 2
Đến đây ta có thể tìm a, b, c bằng bất đẳng thức như sau: Ta có 2 2 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 2 7 1. 2. 3. 2 2 2 1 2 3 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a b c a b c 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 98
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz 1 1 1 1 1 1 7 Mà
Dấu “=” của BĐT xảy ra a b c
, kết hợp với giả thiết 2 2 2 a b c 2 1 2 3 1 2 3 2 1 2
7 ta được a 2 , b 1, c . Vậy: V abc . a b c 3 OABC 6 9 a 2 1 2 Ta có b 1 V abc . OABC 6 9 2 c 3 72
Cách 4: Mặt cầu S có tâm I 1; 2;3 và bán kính R . 7 x y z
Phương trình mặt phẳng ( ABC) : 1. a b c 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Ta có: 7 7 7 7 1 nên M ; ; ABC a b c a b c 7 7 7 1 2 3 Thay tọa độ M ; ;
vào phương trình mặt cầu (S ) ta thấy đúng nên M (S ) . 7 7 7
Suy ra: ( ABC) tiếp xúc với (S ) thì M là tiếp điểm. 1 2 3
6 12 18
Do đó: ( ABC) qua M ; ;
, có VTPT là MI ; ; n 1; 2;3 7 7 7 7 7 7 x y z 2
( ABC) có phương trình: x 2 y 3z 2 0
1 a 2 , b 1, c . 2 1 2 3 3 1 2 Vậy V abc 6 9
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 99
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
GTLN, GTNN TRONG HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXYZ Câu 1:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1; 0; 2; B 0; 1; 2 và mặt phẳng
P : x 2y 2z 12 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc P sao cho MA MB nhỏ nhất? 6 18 25 A. M 2; 2;9 . B. M ; ; . 11 11 11 7 7 31 2 11 18 C. M ; ; . D. M ; ; . 6 6 4 5 5 5 Hướng dẫn giải: Chọn D.
Thay tọa độ A 1;0; 2; B 0; 1; 2 vào phương trình mặt phẳng P , ta được
P A P B 0 hai điểm ,
A B cùng phía với đối với mặt phẳng P . B
Gọi A là điểm đối xứng của A qua P . Ta có A
MA MB MA MB AB .
Nên min MA MB A B
khi và chỉ khi M là giao
điểm của AB với P . H M x 1 t P
Phương trình AA : y 2t
( AA đi qua A1;0; 2 và
z 2 2t A'
có véctơ chỉ phương n ). P 1;2; 1
Gọi H là giao điểm của AA trên P , suy ra tọa độ của H là H 0;2; 4 , suy ra x t A 1 ; 4
; 6 , nên phương trình AB : y 1 3t .
z 2 4t 2 11 18
Vì M là giao điểm của AB với P nên ta tính được tọa độ M ; ; . 5 5 5 Câu 2: Cho hai điểm A 1
,3, 2; B 9
, 4, 9 và mặt phẳng P : 2x y z 1 0. Điểm M thuộc
(P). Tính GTNN của AM BM . 7274 31434 2004 726 A. 6 204 B. C. D. 3 26 6 3 Hướng dẫn giải: Ta có: 2. 1 3 2
1 2.9 4 9 1 72 0 ,
A B nằm cùng phía so với mặt phẳng (P).
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 100
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (P). Mặt phẳng (P) có vtpt n 2, 1, 1
x 1 2t Đường thẳng A ’
A đi qua A 1 ,3, 2
có vtcp n2, 1 ,
1 có pt: y 3 t z 2 t
Gọi H là giao của A ’
A và P ta có: 2 1
2t 3 t 2
t 1 0 t 1 H 1, 2,
1 . Ta có H là trung điểm của A ’ A ’ A 3,1, 0.
x 3 4t
Đường A’B đi qua A’(3, 1, 0) có vtcp A' B 1
2,3,9 có pt: y 1 t z 3t
Gọi N là giao điểm của A’B và mặt phẳng P ta có:
2.3 4t – 1 t 3t 1 0 t 1 N 1 , 2,3.
Để MA MB nhỏ nhất thì M N khi đó MA MB ’ A B = 2 2 2 12 3 9 234 3 26 Chọn D. Câu 3:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x y z 1 0 và hai điểm ( A 1; 3 ;0), B 5; 1
;2 . M là một điểm trên mặt phẳng (P) . Giá trị lớn nhất của
T MA MB là: 4 6 2 3 A. T 2 5. B. T 2 6. C. T . D. T . 2 3 Hướng dẫn giải:
Ta có: A, B nằm khác phía so với (P). Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua (P). Suy ra B '( 1 ; 3 ;4) .
T MA MB MA MB ' AB ' 2 5. Đẳng thức xảy ra khi M , , A ’ B thẳng hàng. Chọn A. Câu 4:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình
2x – y z 1 0 và hai điểm M 3;1;0, N 9
; 4;9. Tìm điểm I a; ;
b c thuộc mặt phẳng
(P) sao cho IM IN đạt giá trị lớn nhất. Biết a,b, c thỏa mãn điều kiện:
A. a b c 21
B. a b c 14
C. a b c 5
D. a b c 19. Hướng dẫn giải:
Nhận thấy 2 điểm M, N nằm về hai phía của mặt phẳng (P).
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 101
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Gọi R là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng (P), khi đó đường thẳng MR đi qua điểm M(3; x 3 y 1 z
1; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình: . Gọi 2 1 1
H MR (P) H (1; 2; 1
) R(1;3; 2) .
Ta có IM IN IR IN RN . Đẳng thức xảy ra khi I, N, R thẳng hàng. Do đó tọa độ x 1 8t
điểm I là giao điểm của đường thẳng NR: y 3 t
(t là tham số ) và mặt phẳng (P).
z 2 11t
Dễ dàng tìm được I(7; 2; 13). Chọn A. Câu 5:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1; 2; 2, B 5;4;4 và mặt phẳng
P : 2x y – z 6 0. Tọa độ điểm M nằm trên (P) saocho 2 2
MA MB nhỏ nhất là: A. 1 ;3; 2 B. 2;1; 1 1 C. 1 ;1;5 D. 1; 1 ; 7 Hướng dẫn giải:
+ Kiểm tra phương án A không thuộc (P).
+ Tính trực tiếp MA2 + MB2 trong 3 phương án B,C,D và so sánh. Chọn C. Câu 6: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : 2x y z 1 0, A8; 7
; 4 , B 1; 2;2. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng P sao cho 2 2
MA 2MB nhỏ nhất.
A. M 0;0; 1 . B. M 0;0; 1 . C. M 1;0; 1 . D. M 0;1;0 Hướng dẫn giải:
Gọi I là điểm thỏa mãn IA 2IB 0 I 2;1;0 2 2 Có 2 2
MA MB MI IA MI IB 2 2 2 2 2
3MI IA 2IB Vì I ,
A IB không đổi nên 2 2 MA 2MB MI
M là hình chiếu vuông góc của I min min
lên mặt phẳng P .
Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với P. x 2 2t
d : y 1 t;d P M 0;0; 1 z t Chọn A.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 102
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz Câu 7:
Cho 2 điểm A0, 0, 3
, B 2, 0,
1 và mặt phẳng P : 3x 8y 7z 1 0. Tìm M P sao cho 2 2
MA 2MB nhỏ nhất. 283 104 2 14 2 83 104 214 A. M ; ; . B. M ; ; . 183 183 183 183 183 183 283 14 1 4 283 14 14 C. M ; ; . D. M ; ; 183 183 183 183 183 183 Hướng dẫn giải: 4 5
Gọi I sao cho IA 2IB 0 I ;0; 3 3 2 2
MA MA MI IA2 2 2
MI IA 2MI.IA 2 2
MB MB MI IB2 2 2
MI IB 2MI.IB
2 2 2 2 2
MA 2MB 3MI IA 2IB 2MI IA IB 2 2 2
3MI IA 2IB Suy ra 2 2 MA 2MB
khi MI bé nhất hay M là hình chiếu của I trên P. min 283 104 2 14
Tìm được tọa độ M ; ; . 183 183 183 Chọn A. x 2 t Oxyz : y 1 t 2 t Câu 8:
Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng hai điểm z t 3
A 2;0;3 và B 2; 2 ; 3
. Biết điểm M x ;y ;z thuộc thì MA4 MB4 nhỏ nhất.Tìm 0 0 0 x0 A. x 0 B. x 1 C. x 2 D. x 3 0 0 0 0 Hướng dẫn giải: x 2
Phương trình đường thẳng AB là: y t
t . Dễ thấy đường thẳng và AB cắt 1 1 z 3 t 3 1
nhau tại điểm I 2; 1; 0 suy ra AB và đồng phẳng.
Lại có IA 0;1; 3 , IB 0; 1 ; 3 IA I
B IA IB AB . 2 2 1 1 1 1 1 Ta có: 2 4 MA4 MB4 MA2 MB2 MA MB AB4 IA IB . 2 2 2 8 8 Do đó MA4 MB4
nhỏ nhất khi M trùng với điểm I 2;1;0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 103
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz Chọn C. Câu 9:
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A1;2;3; B0;1; 1 ;C 1;0; 2 . Điểm M
P :x y z 2 0 sao cho giá trị của biểu thức 2 2 2
T MA 2MB 3MC nhỏ
nhất. Khi đó, điểm M cách Q :2x y 2z 3 0 một khoảng bằng 121 2 5 101 A. . B. 24. C. . D. . 54 3 54 Hướng dẫn giải: 2 2 2 Gọi M ; x ;
y z . Ta có T 6x 6y 6z 8x 8y 6z 31 2 2 2 2 2 1 145
T 6 x y z 3 3 2 6 145 2 2 1 2 T 6MI với I ; ; 6 3 3 2
T nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất M là hình chiếu vuông góc của I trên P 5 5 13 M ; ; . 18 18 9
Câu 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A1;1;
1 , B 0;1;2 , C 2 ; 0; 1
P : x y z 1 0 . Tìm điểm N P sao cho 2 2 2
S 2NA NB NC đạt giá trị nhỏ nhất. 1 5 3 3 1 A. N ; ; . B. N 3;5; 1 . C. N 2 ;0; 1 . D. N ; ; 2 . 2 4 4 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 3 3 5
Gọi I là trung điểm BC và J là trung điểm AI . Do đó I 1 ; ; và J 0; ; . 2 2 4 4 1 1 Khi đó 2 2 2 2 2 2
S 2NA 2NI
BC 4NJ IJ BC . 2 2
Do đó S nhỏ nhất khi NJ nhỏ nhất. Suy ra J là hình chiếu của N trên P . x t 3
Phương trình đường thẳng NJ : y t . 4 5 z t 4
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 104
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
x y z 1 0 1 x x t 2 5 Tọa độ điểm 3
J là nghiệm của hệ: y y t 4 4 3 5 z z t 4 4
Câu 11: rong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A 1;01; 1 , B 1;2;
1 , C 4;1; 2 và mặt
phẳng P : x y z 0 . Tìm trên (P) điểm M sao cho 2 2 2
MA MB MC đạt giá trị nhỏ
nhất. Khi đó M có tọa độ
A. M 1;1; 1 B. M 1;1; 1
C. M 1;2; 1
D. M 1;0; 1 Hướng dẫn giải:
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có G 2;1;0 , ta có 2 2 2 2 2 2 2
MA MB MC 3MG GA GB GC 1
Từ hệ thức (1) ta suy ra: 2 2 2
MA MB MC đạt GTNN MG đạt GTNN M
là hình chiếu vuông góc của G trên (P).
Gọi (d) là đường thẳng qua G và vuông góc với (P) thì (d) có phương trình tham số là x 2 t y 1 t z t x 2 t t 1 y 1 t x 1
Tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình M 1;0; 1 z t y 0
x y z 0 z 1 Chọn D.
Câu 12: (Hình Oxyz) Cho A 1
;3;5, B 2;6; 1 , C 4 ; 1
2;5 và điểm P : x 2 y 2z 5 0 .
Gọi M là điểm thuộc P sao cho biểu thức S MA 4MB MA MB MC đạt giá trị
nhỏ nhất. Tìm hoành độ điểm M. A. x 3 B. x 1 C. x 1 D. x 3 M M M M Hướng dẫn giải:
Gọi I là điểm IA 4IB 0 I 3;7; 3
.Gọi G là trọng tâm ta m giác ABC G 1; 1 ;3
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 105
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Nhận thấy, M,I nằm khác phía so với mp(P).
Có S 3MI MG 3GI . Dấu bằng xảy ra khi M là giao điểm của GI và (P) M 1;3; 1 Chọn C.
Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A2;1; 1 , B 0;3; 1 và mặt phẳng
P : x y z 3 0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho 2MA MB có giá trị nhỏ nhất. A. M 4; 1 ; 0 . B. M 1; 4 ; 0 .
C. M 4;1;0 . D. M 1; 4 ;0 . Hướng dẫn giải: Gọi I a; ;
b c là điểm thỏa mãn 2IA IB 0 , suy ra I 4; 1 ; 3 .
Ta có 2MA MB 2MI 2IA MI IB MI. Suy ra 2MA MB MI MI .
Do đó 2MA MB nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của I trên mặt phẳng x 4 y 1 z 3
P Đường thẳng đi qua I và vuông góc với P có là d : . 1 1 1
Tọa độ hình chiếu M của I trên P thỏa mãn x 4 y 1 z 3 1 1 1 M 1; 4 ; 0 .
x y z 3 0 Chọn D.
Câu 14: Trong không gian
Oxyz , cho mặt phẳng
2x 2 y z 9 0 và mặt cầu 2 2 2
(S) : (x 3) ( y 2) (z 1) 100 . Tọa độ điểm M nằm trên mặt cầu (S ) sao cho
khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) đạt giá trị nhỏ nhất là: 11 14 13 29 26 7 A. M ; ; . B. M ; ; . 3 3 3 3 3 3 29 26 7 11 14 13 C. M ; ; . D. M ; ; . 3 3 3 3 3 3 Hướng dẫn giải:
Mặt cầu (S ) có tâm I (3; 2 ;1) .
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) : d (I; (P)) 6 R nên (P) cắt (S ) .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 106
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Khoảng cách từ M thuộc (S ) đến (P) lớn nhất M (d ) đi qua I và vuông góc với (P)
x 3 2t
Phương trình (d ) : y 2 2t . z 1 t
Ta có: M (d ) M (3 2t; 2
2t;1 t) 10 29 26 7 t M ; ; 1 3 3 3 3 Mà: M (S) 10 11 14 13 t M ; ; 2 3 3 3 3 11 14 13
Thử lại ta thấy: d(M , (P)) d (M , (P)) nên M ; ; thỏa yêu cầu bài toán 1 2 3 3 3
Câu 15: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P) : x 2 y 2z 4 0 và mặt cầu 2 2 2
(S) : x y z 2x 2y 2z 1 0.Giá trị của điểm M trên S sao cho d M ,P đạt GTNN là: 5 7 7 1 1 1 A. 1;1;3 . B. ; ; . C. ; ; . D. 1; 2; 1 . 3 3 3 3 3 3
Hướng dẫn giải::
Ta có: d (M , (P)) 3 R 2 (P) (S ) . x 1 t
Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với (P) có pt: y 1 2t ,t . z 1 2t 5 7 7 1 1 1
Tọa độ giao điểm của d và (S) là: A ; ; , B ; ; 3 3 3 3 3 3 Ta có: d ( ,
A (P)) 5 d (B, (P)) 1. d ( ,
A (P)) d (M , (P)) d (B, (P)).
Vậy: d (M , (P)) 1 M . B min 2 2 2
Câu 16: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S : x
1 y 2 z 3 9 và mặt phẳng
P : 2x 2y z 3 0 . Gọi M a; ;
b c là điểm trên mặt cầu S sao cho khoảng cách từ
M đến P là lớn nhất. Khi đó
A. a b c 5.
B. a b c 6.
C. a b c 7.
D. a b c 8. Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 107
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz Chọn C. 2 2 2
Mặt cầu S : x
1 y 2 z 3 9 có tâm I 1; 2;3 và bán kính R 3.
Gọi d là đường thẳng đi qua I 1; 2;3 và vuông góc P x 1 2t
Suy ra phương trình tham số của đường thẳng d là y 2 2t . z 3 t Gọi ,
A B lần lượt là giao của d và S , khi đó tọa độ ,
A B ứng với t là nghiệm của 2 2 2 t 1
phương trình 1 2t
1 2 2t 2 3 t 3 9 t 1 13
Với t 1 A3;0; 4 d ; A (P) . 3 5 Với t 1 B 1
; 4; 2 d ; B (P) . 3
Với mọi điểm M a; ;
b c trên S ta luôn có d B;(P) d M ;(P) d ; A (P). 13
Vậy khoảng cách từ M đến P là lớn nhất bằng khi M 3;0;4 3
Do đó a b c 7.
Câu 17: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A2;3;2 , B 6; 1 ; 2 , C 1
; 4;3 , D1;6; 5 . Gọi
M là một điểm nằm trên đường thẳng CD sao cho tam giác MAB có chu vi bé nhất. Khi đó
toạ độ điểm M là:
A. M 0;1; 1 B. M 2;11; 9 C. M 3;16; 1 3 D. M 1; 4 ;3 Hướng dẫn giải:
Tam giác MAB có độ dài cạnh AB 4 3 không đổi, do đó chu vi bé nhất khi và chỉ khi
MA MB bé nhất. AB 4;4; 4
; CD 2;10; 8 . Vì .
AB CD 0 nên AB CD , suy ra điểm M cần tìm là
hình chiếu vuông góc của A, cũng là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng CD . Từ
đó tìm ra điểm M 0;1; 1 . Chọn A.
Câu 18: Cho hình chóp .
O ABC có OA a, OB ,
b OC c đôi một vuông góc với nhau. Điểm M cố định thuộc tam giác
ABC có khoảng các lần lượt đến các mặt phẳng
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 108
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
OBC,OCA,OAB là 1,2,3. Khi tồn tại a,b,c thỏa thể tích khối chóp . O ABC nhỏ
nhất, giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp . O ABC là A. 18 B. 27 C. 6
D. Không tồn tại a,b, c thỏa yêu cầu bài toán Hướng dẫn giải:
Chọn hệ trục tọa độ thỏa O 0, 0, 0, Aa, 0, 0 , B 0,b, 0 ,C 0, 0, c
Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng các lần lượt đến các mặt phẳng
OBC ,OCA, OAB là 1,2,3 nên tọa độ điểm M là (1,2,3) x y z
Phương trình mặt phẳng (ABC) là 1 a b c 1 2 3
Vì M thuộc mặt phẳng (ABC) nên 1 a b c 1 VOABC= abc 6 1 2 3 1 1 1 1
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3 1 3 . . abc 27 a b c a b c 6 Chọn B.
Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 1; 2;
1 . Mặt phẳng P thay đổi đi qua
M lần lượt cắt các tia Ox, Oy, Oz tại ,
A B,C khác O . Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích
khối tứ diện OABC . A. 54. B. 6. C. 9. D. 18. Hướng dẫn giải: Chọn C.
Gọi Aa;0;0, B 0; ;
b 0,C 0, 0, c với , a , b c 0 . x y z
Phương trình mặt phẳng P : 1 . a b c 1 2 1
Vì: M P 1. a b c 1
Thể tích khối tứ diện OABC là: V abc OABC 6 1 2 1 1 2 1
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 3 3 . a b c a b c 2 54 1 Hay 3 1 3 1
. Suy ra: abc 54 abc 9 abc abc 6
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 109
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz Vậy: V 9 . OABC
Câu 20: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm A ;
a 0; 0, B 0; ;
b 0 ,C 0;0;c với a, , b c 0 .Giả sử , a ,
b c thay đổi nhưng thỏa mãn 2 2 2 2
a b c k không đổi. Diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất bằng 2 k 3 2 k 3 A. B. C. 2 k 3 D. 2 k 2 6 Hướng dẫn giải: x y z Phương trình (ABC): 1 a b c Gọi H ; x ;
y z là hình chiếu vuông góc của O lên ABC 2 2 ab c x
ab2 bc2 ca2
H ABC b
cx cay abz abc 2 2 a bc Khi đó O
H AB ax by 0 y O H AC
ax cz 0
ab2 bc2 ca2 2 2 a b c z
ab2 bc2 ca2 abc OH
ab2 bc2 ca2 1 1 Ta có V O . A O . B OC abc OABC 6 6 3V 1 ABCD S ab bc ca ABC 2 2 2 OH 2
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có 4 4 4 4 4 4 a b b c c a 2 2 2 2 2 2 4 4 4
a b b c c a
a b c 2 2 2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b c 4 2 1 k k 3 Vậy max S 2 3 6 Chọn B.
Câu 21: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(9;1;1) ,
cắt các tia Ox, Oy, Oz tại ,
A B,C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất là
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 110
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz x y z x y z x y z x y z A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 7 3 3 27 3 3 27 3 3 27 3 3 Hướng dẫn giải:
Giá sử A(a;0; 0)Ox, B(0;b;0)Oy,C(0;0;c) Oz (a,b,c 0) . x y z
Khi đó PT mặt phẳng (P) có dạng: 1 . a b c 9 1 1 1
Ta có: M(9;1;1) (P) 1 (1); V abc (2) a b c OABC 6 3
(1) abc 9bc ac ab ≥ 3 9(abc 2 ) abc 3 abc 2 ( ) 27.9( ) abc 243
9bc ac ab a 27 x y z Dấu "=" xảy ra 9 1 1
b 3 (P): 1. 1 c 27 3 3 a b c 3 Chọn B.
Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có điểm A
trùng với gốc tọa độ, B( ; a 0; 0), D(0; ; a 0), A ( 0; 0; )
b với (a 0,b 0) . Gọi M là trung điểm
của cạnh CC . Giả sử a b 4 , hãy tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện A B DM ? 64 A. maxV B. maxV 1 A M BD 27 A MBD 64 27 C. maxV D. maxV AMBD 27 A MBD 64 Hướng dẫn giải: b Ta có: C( ; a ; a 0), B ( ; a 0; ) b , D ( 0; ; a ) b ,C ( ; a ; a b) M ; a ; a 2 b
Suy ra: AB ( ; a 0; b ), A D (0; ; a b ), AM ; a a; 2 2 2
3a b a b 2 A B , A D (a ; b a ;
b a ) AB, A D
.AM V 2 A MBD 4 1 1 1 64
Do a,b 0 nên áp dụng BĐT Côsi ta được: 2 2 3
4 a b a a b 3 a b a b 2 2 4 27 64 Suy ra: maxV . A M BD 27 Chọn A.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 111
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1;5;0, B 3;3;6 và đường thẳng x 1 2t
có phương trình tham số y 1 t
. Một điểm M thay đổi trên đường thẳng sao cho z 2t
chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Tọa đô điểm M và chu vi tam giác ABC là
A. M 1;0;2; P = 2( 11 29)
B. M 1; 2; 2; P = 2( 11 29)
C. M 1;0;2; P = 11 29
D. M 1; 2; 2; P = 11 29 Hướng dẫn giải:
Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P AB AM BM .
Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM BM nhỏ nhất.
Điểm M nên M 1
2t;1 t; 2t . 2 2 2 2
AM BM (3t) (2 5) (3t 6) (2 5)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ u 3t;2 5 và v 3 t 6; 2 5 . Ta có 2 2 2 2
u (3t) (2 5) ; v (3t 6) (2 5) AM BM |
u | | v | và u v (6; 4 5) |
u v | 2 29
Mặt khác, ta luôn có | u | | v | |
u v | Như vậy AM BM 2 29 3t 2 5
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u, v cùng hướng t 1 3 t 6 2 5
M (1; 0; 2) và min( AM BM ) 2 29 . Vậy khi M(1;0;2) thì minP = 2( 11 29) Chọn A.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 112
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay