Trắc nghiệm nâng cao hình học tọa độ Oxyz – Đặng Việt Đông Toán 12

Trắc nghiệm nâng cao hình học tọa độ Oxyz – Đặng Việt Đông Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

ST&BS: Th.S Đng Vit Đông Trưng THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Đ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN
A - LÝ THUYT CHUNG
1. Véc tơ trong không gian
* Định nghĩa
Trong không gian, vecto là một đoạn thng có định hướng tức là đoạn thng có quy đnh th t ca hai
đầu
Chú ý: Các định nghĩa về hai vecto bng nhau, đối nhau các phép toán trên các vecto trong
không gian được xác định tương tự như trong mặt phng.
2. Vecto đồng phng
* Định nghĩa: Ba vecto
, ,
a b c
khác
0
gi là đồng
phng khi giá ca chúng cùng song song vi mt
mt phng.
Chú ý:
n
vecto khác
0
gọi là đồng phng khi giá
ca chúng cùng song song vi mt mt phng.
Các giá ca các vecto đồng phng có th
là các đường thng chéo nhau.
* Điều kiện đ 3 vecto khác
0
đồng phng
Định lý 1:
, ,
a b c
đồng phng ,m n

:
* Phân tích một vecto theo ba vecto không đồng phng
Đnh lý 2: Cho 3 vecto
1 2 3
, ,
e e e
không đồng phng. Bt mt vecto
a
nào trong không gian cũng
có th phân tích theo ba vecto đó, nghĩa la có mt b ba s thc
1 2 3
, ,
x x x
duy nht
1 1 2 2 3 3
a x e x e x e
Chú ý: Cho vecto
, ,
a b c
khác
0
:
1.
, ,
a b c
đồng phng nếu có ba s thc
, ,
m n p
không đồng thi bng 0 sao cho:
0
ma nb pc
2.
, ,
a b c
không đồng phng nếu t
0 0
ma nb pc m n p
3. Tọa độ ca vecto
Trong không gian xét h trc
Ox ,
yz
có trc
Ox
vng c vi trc
Oy
ti O, trc
Oz
vng c
vi mt phng
Ox
y
tại O. Các vecto đơn vị trên tng trc
Ox, ,
Oy Oz
ln lượt
1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1 .
i j k
a)
1 2 3 1 2 3
; ;
a a a a a a i a j a k
b)
, ,
M M M M M M
M x y z OM x i y j z k
D
3
D
1
D
2
a
b
c
Δ
1
Δ
2
Δ
3
P
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
c) Cho
, , , , ,
A A A B B B
A x y z B x y z
ta có:
; ;
B A B A B A
AB x x y y z z
2 2 2
.
B A B A B A
AB x x y y z z
d) M là trung điểm
AB
thì
; ;
2 2 2
B A B A B A
x x y y z z
M
e) Cho
1 2 3
; ;
a a a a
1 2 3
; ;
b b b b
ta có:
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
1 1 2 2 3 3
; ;
a b a b a b a b
1 2 3
. ; ;
k a ka ka ka
1 1 2 2 3 3
. . cos ;
a b a b a b a b a b a b
2 2 2
1 2 3
a a a a
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
cos cos ;
.
a b a b a b
a b
a a a b b b
(vi
0, 0
a b
)
a
b
vuông góc:
1 1 2 2 3 3
. 0 0
a b a b a b a b
a
b
cùng phương:
1 1
2 2
3 3
:
a kb
k R a kb a kb
a kb
4. Tích hướng và ng dng
Tích có ng ca
1 2 3
; ;
a a a a
1 2 3
; ;
b b b b
là:
2 3 3 1 1 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
, ; ; ; ;
a a a a a a
a b a b a b a b a b a b a b
b b b b b b
a. Tính cht:
, , ,
a b a a b b
, . sin ,
a b a b a b
a
b
cùng phương:
, 0
a b
, ,
a b c
đồng phng
, . 0
a b c
b. Các ng dụng tích có hướng
Din tích tam giác:
1
,
2
ABC
S AB AC
Th tích t din
1
, .
6
ABCD
V AB AC AD
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Th tích khi hp:
. ' ' ' '
, .AA'
ABCD A B C D
V AB AD

5. Mt s kiến thc khác
a)
Nếu
M
chia đoạn AB theo t s
k MA kMB
thì ta có:
; ;
1 1 1
A B A B A B
M M M
x kx y ky z kz
x y z
k k k
vi
1
k
b)
G là trng tâm tam giác ; ;
3 3 3
A B C A B C A B C
G G G
x x x y y y z z z
ABC x y z
G là tr
ng tâm t din
0
ABCD GA GB GC GD
B – BÀI TP TRC NGHIM
Câu 1: Cho 4 đim
1,2,3 ; 2,2,3 ; 1,3,3 ; 1,2,4 .
S A B C
SABC
là:
A. T din. B. Hình chóp đều.
C. T din đều. D. Hình thang vuông
Hướng dn gii:
1;1;0 ; 0; 1;1 ; 1;0;1
AB BC AC
2
AB BC CA ABC
là tam giác đều
1;0;0 ; 0;1;0 ; 0;0;1 1
SA SB SC SA SB SC
1 0 0
, , 0 1 0 1 0
0 0 1
D SA SB SC
Hay ta có th tính
; 0
SA SB SC
, ,
SA SB SC
 
không đồng phng.
SABC
là hình chóp đều, đỉnh S.
Chn B.
Câu 2: Cho bn điểm
1,2,3 ; 2,2,3 ; 1,3,3 ; 1,2,4 .
S A B C Gi
, ,
M N P
ln ợt là trung đim
ca
,
BC CA
AB.
Khi đó
SMNP
là:
A. Hình chóp. B. Hình chóp đều. C. T diện đều. D. Tam din vuông
Hướng dn gii:
Tam giác:
ABC
2
AB BC CA
2
2
MN NP PM
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
1;0;0 ; 0;1;0 ; 0;0;1
. 0
SA SB SC
SA SB SA SB
Tương tự ,
SA SC SB SC
Các tam giác vuông , ,
SAB SBC SCA
vuông
ti S, có các trung tuyến:
2
2 2
AB
SP SM SN MN NP PM
Ta có:
; ;
SP SAB SM SBC SN SCA
, ,
SP SM SN
 
không đồng phng
SMNP
là t din đều.
Chn C.
Câu 3: Cho bốn điểm
1,2,3 ; 2,2,3 ; 1,3,3 ; 1,2,4 .
S A B C Xác định ta độ trng tâm G ca
hình chóp
.
SABC
A.
5,9,13
. B.
5 13
,3,
3 3
. C.
7 9
1, ,
4 4
. D.
5 9 13
, ,
4 4 4
Hướng dn gii:
Ta có 4
GS GA GB GC OG OA OB OC OS
1 5
2 1 1 1
4 4
1 9
2 3 2 2
4 4
1 13
3 3 4 3
4 4
x
G y
z
Chn D.
Câu 4: Cho 3 vectơ
1,1, 2 ; 2, 1,2 ; 2,3, 2 .
a b c
Xác định vec tơ
d
tha mãn
. 4; . 5; . 7.
a d b d c d
A.
3,6,5
. B.
3,6, 5
. C.
3 5
,6,
2 2
. D.
5
3,6,
2
.
Hướng dn gii:
. 4
2 4 1
. 5 2 2 5 2
2 3 2 7 3
. 7
a d
x y z
b d x y z
x y z
c d
1 2 :3 9 3
x x
2 3 : 2 12 6
y y
1 1 5 5
1 : 4 3 6 4 3;6;
2 2 2 2
z x y d
Chn D.
M
N
P
A
B
C
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho đim
2;0; 2 , 3; 1; 4 , 2;2;0
A B C . Đim D trong mt
phẳng (Oyz) cao độ âm sao cho th tích ca khi t din ABCD bng 2 khong cách
t D đến mt phng (Oxy) bng 1 có th là:
A.
0; 3; 1
D B.
0;2; 1
D C.
0;1; 1
D D.
0;3; 1
D
Hướng dn gii:
Do
0; ;

D Oyz D b c
vi
0
c
Theo gi thiết:
1
, 1 1 0; ; 1
1

c loai
d D Oxy c D b
c
Ta có
1; 1; 2 , 4;2;2 , 2; ;1
AB AC AD b
Suy ra
, 2;6; 2 , . 6 6

AB AC AB AC AD b
Cũng theo gi thiết, ta có:
3
1
, . 1 2
1
6
ABCD
b
V AB AC AD b
b
Chn D.
Câu 6:
Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho ba điểm
1;2;0
A ,
3;4;1
B ,
1;3;2
D . m
ta độ đim
C
sao cho
ABCD
hình thang hai cnh đáy
AB
,
CD
c
C
bng
45 .
A.
5;9;5
C . B.
1;5;3
C .
C.
3;1;1
C . D.
3;7;4
C .
Hướng dn gii:
Chn D.
Cách 1.
(2;2;1)
AB
.
Đường thng
CD
có phương trình là
1 2
: 3 2
2
x t
CD y t
z t
.
Suy ra
1 2 ;3 2 ;2
C t t t
;
(4 2 ;1 2 ; 1 ),
CB t t t
( 2 ; 2 ; )
CD t t t
.
Ta có
2 2 2 2 2 2
(4 2 )( 2 ) (1 2 )( 2 ) ( 1 )( )
cos
(4 2 ) (1 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( )
t t t t t t
BCD
t t t t t t
Hay
2 2 2 2 2 2
(4 2 )( 2 ) (1 2 )( 2 ) ( 1 )( ) 2
2
(4 2 ) (1 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( )
t t t t t t
t t t t t t
(1).
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
z
y
x
m
n
m
D'
C'
B'
A'
D
C
B
AO
Lần lượt thay
t
bng
3;1; 1;2
(tham s
t
tương ứng vi to độ đim
C
các phương án A,
B, C, D), ta thy
2
t
tho (1).
Cách 2.
Ta có
(2;2;1), ( 2;1;2)
AB AD
. Suy ra
AB CD
AB AD
. Theo gi thiết, suy
ra
2
DC AB
. Kí hiu
( ; ; )
C a b c
, ta có
( 1; 3; 2)
DC a b c
,
2 (4;4;2)
AB
. T
đó
(3;7;4)
C .
Câu 7: Trong không gian vi h ta độ
Oxy
, cho hình hp ch nht .
ABCD A B C D
A
trùng
vi gc ta độ
O
, các đỉnh
( ;0;0)
B m ,
(0; ;0)
D m ,
(0;0; )
A n
vi
, 0
m n
4
m n
. Gi
M
là trung đim ca cnh
CC
. Khi đó th tích t din
BDA M
đạt giá tr ln nht bng
A.
245
108
. B.
9
4
. C.
64
27
. D.
75
32
.
Hướng dn gii:
Ta độ điểm
( ; ;0), ( ; ;; ), ; ;
2
n
C m m C m m n M m m
;0; , ; ;0 , 0; ;
2
n
BA m n BD m m BM m
 
2
, ; ;
BA BD mn mn m
2
1
, .
6 4
BDA M
m n
V BA BD BM
Ta có
3
2
2 512 256
. .(2 )
3 27 27
m m n
m m n m n
64
27
BDA M
V
Chn C.
Câu 8: Cho ba đim
3;1;0 , 0; 1;0 , 0;0; 6
A B C
. Nếu tam giác
A B C
tha mãn h thc
0
A A B B C C
thì có ta độ trng tâm là:
D
C
B
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
1;0; 2 .
B.
2; 3;0 .
C.
3; 2;0 .
D.
3; 2;1 .
Hướng dn gii:
Chọn A
* Cách diễn đạt th nht:
Gi G, G’ theo th t ln lượt là trng tâm tam giác ABC, AB’C’. Vi mi điểm T trong
không gian có:
1 : ' ' ' 0 ' ' ' 0
A A B B C C TA TA TB TB TC TC

' ' ' 2
TA TB TC TA TB TC

H thc (2) chng t. Nếu
T G
tc là
0
TA TB TC

t ta cũng
' ' ' 0
TA TB TC

hay
'
T G
hay (1) là h thc cần và đủ để hai tam giác ABC, A’B’C’ có cùng trng tâm.
Ta có ta độ ca G là:
3 0 0 1 1 0 0 0 6
; ; 1;0; 2
3 3 3
G
Đó cũng là ta đ trng tâm G’ ca
' ' '
A B C
* Cách diễn đạt th hai:
Ta có:
' ' ' 0
AA BB CC
(1)
' ' ' ' ' ' ' ' ' 0
A G G G GA B G G G GB C G G G GC

' ' ' ' ' ' 3 ' 0
GA GB GC A G B G C G G G
 
(2)
Nếu G, G’ theo th t ln lưt là trng tâm tam giác ABC, A’B’C’ nghĩa là
' ' ' ' ' '
GA GB GC A G B G C G
 
thì
2 ' 0 '
G G G G
m li (1) là h thc cần và đủ để hai tam giác ABC, A’B’C’ có cùng trng tâm.
Ta có ta độ ca G là:
3 0 0 1 1 0 0 0 6
; ; 1;0; 2
3 3 3
G
. Đó cũng là ta đ trng
tâm G’ ca
' ' '
A B C
Câu 9: Trong không gian vi h trc ta độ
Oxyz
, cho ba đim
3;0;0 , , ,0 , 0;0;
M N m n P p
.
Biết
0
13, 60
MN MON , th tích t din
OMNP
bng 3. Giá tr ca biu thc
2 2
2
A m n p
bng
A.
29.
B.
27.
C.
28.
D.
30.
Hướng dn gii:
3;0;0 , ; ;0 . 3
OM ON m n OM ON m
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
0
2 2
. 1 1
. . cos60
2 2
.
OM ON m
OM ON OM ON
OM ON
m n
2
2
3 13
MN m n
Suy ra
2; 2 3
m n
1
, . 6 3 6 3 3 3
6
OM ON OP p V p p

Vy
2 2.12 3 29.
A
Câu 10: Cho nh chóp .
S ABCD
biết
2;2;6 , 3;1;8 , 1;0;7 , 1;2;3
A B C D . Gi
H
là trung
điểm ca
,
CD
SH ABCD
. Để khi chóp .
S ABCD
th tích bng
27
2
(đvtt) thì hai
điểm
1 2
,
S S
tha mãn yêu cu bài toán. Tìm ta độ trung đim
I
ca
1 2
S S
A.
0; 1; 3
I
. B.
1;0;3
I C.
0;1;3
I . D.
1;0; 3 .
I
Hướng dn gii:
Ta có
1 3 3
1; 1;2 , 1; 2;1 ,
2 2
ABC
AB AC S AB AC
2; 2;4 , 1; 1;2 2.
DC AB DC AB
ABCD
là hình thang và
9 3
3
2
ABCD ABC
S S
.
1
. 3 3
3
S ABCD ABCD
V SH S SH
Li
H
là trung đim ca
0;1;5
CD H
Gi
; ; ;1 ;5 , 3;3;3 3 ;3 ;3
S a b c SH a b c SH k AB AC k k k k
Suy ra
2 2 2
3 3 9 9 9 1
k k k k
+) Vi
1 3;3;3 3; 2;2
k SH S
+) Vi
1 3; 3; 3 3;4;8
k SH S
Suy ra
0;1;3
I
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 11: Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho hình vuông
ABCD
,
(3;0;8)
B
,
( 5; 4;0)
D
. Biết
đỉnh
A
thuc mt phng (
Oxy
) và có tọa đ là những số nguyên, khi đó
CA CB
bng:
A.
5 10.
B.
6 10.
C.
10 6.
D.
10 5.
Hướng dn gii:
Ta có trung đim
BD
là
( 1; 2;4)
I
,
12
BD
và đim
A
thuc mt phng
( )
Oxy
nên
( ; ;0)
A a b
.
ABCD
là hình vuông
2 2
2
2
1
2
AB AD
AI BD
2 2 2 2 2
2 2 2
( 3) 8 ( 5) ( 4)
( 1) ( 2) 4 36
a b a b
a b
2 2
4 2
( 1) (6 2 ) 20
b a
a a
1
2
a
b
hoc
17
5
14
5
a
b
A(1; 2; 0) hoc
17 14
; ;0
5 5
A
(loại). Vi
(1;2;0)
A
( 3; 6;8)
C
.
Câu 12: Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho 4 đim
(2;4; 1)
A
,
(1;4; 1)
B
,
(2;4;3)
C
(2;2; 1)
D
. Biết
; ;
M x y z
, để
2 2 2 2
MA MB MC MD
đạt giá tr nh nht t
x y z
bng
A.
7.
B.
8.
C.
9.
D.
6.
Hướng dn gii:
Gi
G
là trng tâm ca
ABCD
ta có:
7 14
; ;0
3 3
G
.
Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
4
MA MB MC MD MG GA GB GC GD
2 2 2 2
GA GB GC GD
. Du bng xy ra khi
M
7 14
; ;0 7
3 3
G x y z
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
PHƯƠNG TRÌNH MT PHNG NÂNG CAO
A - LÝ THUYT CHUNG
1. Định nghĩa
Trong không gian
Ox
yz
phương trình dng
0
Ax By Cz D
vi
2 2 2
0
A B C
được gi là
phương trình tng quát ca mt phng.
 Phương trình mt phng
: 0
P Ax By Cz D
vi
2 2 2
0
A B C
có vec tơ pháp tuyến
; ; .
n A B C
Mt phng
P
đi qua điểm
0 0 0 0
; ;
M x y z
và nhn vecto
; ; , 0
n A B C n
làm vecto pháp tuyến
dng
0 0 0
: 0.
P A x x B y y C z z
Nếu
P
có cp vecto
1 2 3 1 2 3
; ; ; ; ;
a a a a b b b b
không cùng phương, có giá song song hoặc
nm trên
.
P
Thì vecto pháp tuyến ca
P
được xác định
,
n a b
.
2. Các trường hp riêng ca mt phng
Trong không gian
Ox
yz
cho mp
: 0,
Ax By Cz D
vi
2 2 2
0.
A B C
Khi đó:
0
D
khi và ch khi
đi qua gốc tọa độ.
0, 0, 0, 0
A B C D
khi và ch khi
song song trc
Ox.
0, 0, 0, 0
A B C D
khi và ch khi
song song mt phng
Ox .
y
, , , 0.
A B C D
Đặt
, , .
D D D
a b c
A B C
Khi đó:
: 1
x y c
a b z
3. V trí tương đối ca hai mt phng
Trong không gian
Oxyz
cho
: 0
Ax By Cz D
' : ' ' ' ' 0
A x B y C z D
ct
'
' '
' '
' '
AB A B
BC B C
CB C B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
//
'
' '
' ' ' '
' '
AB A B
BC B C va AD A D
CB C B
'
' '
' '
' '
' '
AB A B
BC B C
CB C B
AD A D
Đặt bit:
1 2
' . 0 . ' . ' . ' 0
n n A A B B C C
4. Góc gia hai mt phng
Gi
là góc gia hai mt phng
0 0
0 90
: 0
P Ax By Cz D
: ' ' ' ' 0
Q A x B y C z D
2 2 2 2 2 2
.
. ' . ' . '
cos = cos ,
.
. ' ' '
P Q
P Q
P Q
n n
A A B B C C
n n
n n
A B C A B C
B – BÀI TP TRC NGHIM
Câu 1: Trong không gian vi h ta độ
0
2 2 2 0
y
x y z
Oxyz
cho điểm
1;0;0
M
0;0; 1
N , mt phng
P
qua đim
,
M N
to vi mt phng
: 4 0
Q x y một
góc bằng
O
45
. Phương trình mt phng
P
A.
0
2 2 2 0
y
x y z
. B.
0
2 2 2 0
y
x y z
.
C.
2 2 2 0
2 2 2 0
x y z
x y z
. D.
2 2 2 0
.
2 2 2 0
x z
x z
Hướng dn gii:
Gọi vectơ pháp tuyến ca mp
P
Q
ln lượt là
; ;
P
n a b c
2 2 2
0
a b c ,
Q
n
qua 1;0;0 : 1 0
P M P a x by cz
P
qua
0;0; 1
N
0
a c
P
hp vi
Q
c
O
45
O
2 2
0
1
, 45
2
2
2 2
P Q
a
a b
cos n n cos
a b
a b
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Vi
0 0
a c chn
1
b
phương trình
: 0
P y
Vi
2
a b
chn
1 2
b a phương trình mt phng
: 2 2 2 0
P x y z
.
Chn A.
Câu 2: Trong không gian vi h to độ
Oxyz
,cho
: 4 2 6 0
P x y z
,
: 2 4 6 0
Q x y z
.
Lập phương trình mt phng
cha giao tuyến ca
,
P Q
và ct các trc tọa đ ti các
điểm
, ,
A B C
sao cho hình chóp
.
O ABC
là hình chóp đều.
A.
6 0
x y z
. B.
6 0
x y z
. C.
6 0
x y z
. D.
3 0
x y z
.
Hướng dn gii:
Chn
6;0;0 , 2;2;2
M N thuc giao tuyến ca
,
P Q
Gi
;0;0 , 0; ;0 , 0;0;
A a B b C c
ln lượt là giao điểm ca
vi các trc
, ,
Ox Oy Oz
: 1 , , 0
x y z
a b c
a b c
cha
,
M N
6
1
2 2 2
1
a
a b c
Hình chóp
.
O ABC
là hình chóp đều
OA OB OC a b c
Vây phương trình
6 0
x y z
.
Chn B.
Câu 3: Trong không gian vi h to độ Oxyz, cho 2 đường thng:
, mt cu
Viết phương trình mt phng song song với hai đường thng và ct mt cu (S)
theo giao tuyến là đường tròn (C) có chu vi bng .
A.
B.
C.
D.
1
2 1 1
:
1 2 3
x y z
2
: 2
1 2
x t
y t
z t
2 2 2
( ): 2 2 6 5 0
S x y z x y z
( )
1 2
,
2 365
5
5 3 4 0; 5 3 10 0
x y z x y z
5 3 10 0
x y z
5 3 3 511 0; 5 3 3 511 0
x y z x y z
5 3 4 0
x y z
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chn B.
Hướng dn gii:
+ qua và có vectơ chỉ phương .
qua và có vectơ chỉ phương .
+ Mt phng () song song vi n vecpháp tuyến:
Phương trình mt phng () có dng:
+ Mt cu (S) có tâm và bán kính .
Gọi r là bán kính đường tròn (C), ta có:
Khi đó:
+ Phương trình mt phng .
nên M
1
và M
2
không thuc loi (1).
Vậy phương trình mt phng () cn tìm là: .
Chn B.
Câu 4: Cho t giác
ABCD
0;1; 1 ; 1;1;2 ; 1; 1;0 ; 0;0;1 .
A B C D Viết phương trình ca
mt phng
P
qua
,
A B
chia t din thành hai khi
ABCE
ABDE
t s th tích
bng 3.
A.
15 4 5 1 0
x y z
. B.
15 4 5 1 0
x y z
.
C.
15 4 5 1 0
x y z
. D.
15 4 5 1 0
x y z
Hướng dn gii:
P
ct cnh
CD
ti
,
E E
chia đoạn
CD
theoo t s
3
3 1 3.0 1
4 4 4
3
4 4 4
3
0 3.1 3
4 4 4
C D
C D
C D
x x
x
y y
E y
z z
z
1 5 7 1
1;0;3 ; ; ; 1; 5;7
4 4 4 4
AB AE
1
1
(2; 1;1)
M
1
(1;2; 3)
u
2
2
(0;2;1)
M
2
(1; 1;2)
u
1 2
,
1 2
, (1; 5; 3)
u u
5 3 0
x y z D
I(1; 1;3)
4
R
2 365 365
2
5 5
r r
2 2
35
,( )
5
d I R r
4
3
35
10
5
35
DD
D
( ): 5 3 4 0 (1) hay 5 3 10 0 (2)
x y z x y z
1 2
/ /( ), / /( )
( )
5 3 10 0
x y z
F
N
C
B
A
D
E
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Vecto pháp tuyến ca
: , 15; 4; 5 : 0 15 1 4 1 5 0
15 4 5 1 0
P n AB AE P x y z
x y z
Chn A.
Câu 5: Trong không gian vi h ta độ
0
2 2 2 0
y
x y z
Oxyz
cho đim
1;0;0
M
0;0; 1
N
, mt phng
P
qua đim
,
M N
to vi mt phng
: 4 0
Q x y
một
góc bằng
O
45
. Phương trình mt phng
P
A.
0
2 2 2 0
y
x y z
. B.
0
2 2 2 0
y
x y z
.
C.
2 2 2 0
2 2 2 0
x y z
x y z
. D.
2 2 2 0
.
2 2 2 0
x z
x z
Hướng dn gii:
Gọi vectơ pháp tuyến ca mp
P
Q
ln ợt
; ;
P
n a b c
2 2 2
0
a b c
,
Q
n
qua 1;0;0 : 1 0
P M P a x by cz
P
qua
0;0; 1
N
0
a c
P
hp vi
Q
c
O
45
O
2 2
0
1
, 45
2
2
2 2
P Q
a
a b
cos n n cos
a b
a b
Vi
0 0
a c
chn
1
b
phương trình
: 0
P y
Vi
2
a b
chn
1 2
b a
phương trình mt phng
:2 2 2 0
P x y z
.
Chn A.
Câu 6: Cho t giác
ABCD
0;1; 1 ; 1;1;2 ; 1; 1;0 ; 0;0;1 .
A B C D Viết phương trình tng
quát ca mt phng
Q
song song vi mt phng
BCD
chia t din thành hai khi
AMNF
MNFBCD
có t s th tích bng
1
.
27
A.
3 3 4 0
x z
. B.
1 0
y z
.
C.
4 0
y z
. D.
4 3 4 0
x z
Hướng dn gii:
T s th tích hai khi
AMNF
MNFBCD
:
3
1
27
AM
AB
1
3
AM
M
AB
chia cnh
AB
theo t s
2
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
1 2.0 1
3 3
1 2.1
1 ; 2 0;1;1 ; 1;1;1
3
2 2 1
0
3
x
E y BC BD
x
Vecto pháp tuyến ca
: 0;1; 1
Q n
1
: 0 1 1 0 1 0
3
: 1 0
M Q Q x y z
P y z
Chn B.
Câu 7: T gc
O
v
OH
vuông góc vi mt phng
,
P OH p
; gi
, ,
ln lượt các góc
to bởi vec tơ pháp tuyến ca
P
vi ba trc
Ox, , .
Oy Oz
Phương trình ca
P
là:
A.
cos cos cos 0
x y z p
. B.
sin sin sin 0
x y z p
.
C.
cos cos cos 0
x y z p
. D.
sin sin sin 0
x y z p
Hướng dn gii:
cos , cos , cos cos , cos , cos
H p p c OH p p c
Gi:
, , cos , cos , cos
M x y z P HM x p y p z c
cos cos cos cos cos cos
: cos cos cos 0
OH HM
x p p y p p z c p
P x y z p
Chn A.
Câu 8: Viết phương trình tng quát ca mt phng
P
ct hai trc
'
y Oy
'
z Oz
ti
0, 1,0 , 0,0,1
A B và to vi mt phng
yOz
mt góc
0
45 .
A.
2 1 0
x y z
. B.
2 1 0
x y z
.
C.
2 1 0; 2 1 0
x y z x y z
. D.
2 1 0; 2 1 0
x y z x y z
Hướng dn gii:
Gi
,0,0
C a là giao đim ca
P
và trc
'Ox
x
0, 1, 1 ; ,0, 1
BA BC a
Vec tơ pháp tuyến ca
P
là
, 1, ,
n BA BC a a
Vec tơ pháp tuyến ca
yOz
là:
1
1,0,0
e
Gi
là góc to bi
P
0 2
2
1 2 1
os45 4 2
2
2
1 2
yOz c a a
a
Vy hai mt phng
: 2 1 2 1 0; 2 1 0
P x y z x y z x y z
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chn D.
Câu 9: Trong không gian vi h to độ Oxyz, cho mt cầu (S) phương trình:
. Viết phương trình mt phng (P) song song vi gca
c tơ , vuông góc vi mt phng và tiếp xúc vi (S).
A.
2 2 3 0
2 2 21 0
x y z
x y z
. B.
2 2 3 0
2 2 21 0
x y z
x y z
.
C.
2 3 0
2 1 0
x y z
x y z
. D.
2 13 0
2 1 0
x y z
x y z
Hướng dn gii:
Vy: (P): hoc (P):
(S) có tâm I(1; –3; 2) bán kính R = 4. VTPT ca là .
VTPT ca (P) là: PT ca (P) có dng: .
Vì (P) tiếp xúc vi (S) nên .
Vy: (P): hoc (P): .
Chn B.
Câu 10: Cho đim
(0;8;2)
A
mt cu
( )
S
phương trình
2 2 2
( ):( 5) ( 3) ( 7) 72
S x y z
điểm
(9; 7;23)
B
. Viết phương trình mt phng
( )
P
qua
A
tiếp xúc vi
( )
S
sao cho khong
cách t
B
đến
( )
P
là ln nht. Gi s
(1; ; )
n m n
là mt vectơ pháp tuyến ca
( )
P
. Lúc đó
A.
. 2.
m n
B.
. 2.
m n
C.
. 4.
m n
D.
. 4.
m n
Hướng dn gii:
Chn D.
Mt phng
( )
P
qua
A
dng
( 0) ( 8) ( 2) 0 8 2 0
a x b y c z ax by cz b c
.
Điều kin tiếp xúc:
2 2 2 2 2 2
5 3 7 8 2 5 11 5
( ;( )) 6 2 6 2 6 2
a b c b c a b c
d I P
a b c a b c
. (*)
2 2 2 2 2 2
9 7 23 8 2 9 15 21
( ;( ))
a b c b c a b c
d B P
a b c a b c
2 2 2
5 11 5 4( 4 )
a b c a b c
a b c
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
5 11 5 4
1 ( 1) 4 .
4 6 2 4 18 2
a b c a b c
a b c
a b c a b c a b c
.
2 2 2
2 6 4 2 0
x y z x y z
(1;6;2)
v
( ): 4 11 0
x y z
2 2 3 0
x y z
2 2 21 0
x y z
( )
(1;4;1)
n
, (2; 1;2)
P
n n v
2 2 0
x y z m
( ,( )) 4
d I P
21
3
m
m
2 2 3 0
x y z
2 2 21 0
x y z
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Du bng xy ra khi
1 1 4
a b c
. Chn
1; 1; 4
a b c
tha mãn (*).
Khi đó
( ) : 4 0
P x y z
. Suy ra
1; 4
m n
. Suy ra:
. 4.
m n
Câu 11: Cho mt phng
P
đi qua hai điểm
3,0,4 , 3,0,4
A B hp vi mt phng
xOy
mt góc
0
30
và ct
'
y Oy
ti
.
C
Viết phương trình tng quát mt phng
.
P
A.
3 4 3 0
y z
. B.
3 4 3 0
y z
.
C.
3 4 3 0
y z
. D.
3 4 3 0
x y z
Hướng dn gii:
0, ,0 ; 3, , 4 ; 6,0,0
C c AC c AB
Vec tơ pháp tuyến ca
: , 6 0,4,
P n AC AB c
Vec tơ pháp tuyến ca
3
: 0,0,1
xOz e
0 2
2
3
cos30 48 4 3 6 0,4, 4 3
2
16
: 3 .0 0 4 4 4 3 0 3 4 3 0
c
c c n
c
P x y z y z
Chn C.
Câu 12: Trong không gian vi h tọa đ
Oxyz
, cho ba đưng thng
1
1
: 0
0
x t
d y
z
,
2 2
1
:
0
x
d y t
z
,
3
3
1
: 0
x
d y
z t
. Viết phương trình mt phẳng đi qua điểm
3;2;1
H cắt ba đường thng
1
d
,
2
d
,
3
d
lần lưt ti
A
,
B
,
C
sao cho
H
là trc tâm tam giác
ABC
.
A.
2 2 11 0
x y z
. B.
6 0
x y z
.
C.
2 2 9 0
x y z
. D.
3 2 14 0
x y z
.
Hướng dn gii:
Chn A.
Gi
A a;0;0
,
1; ;0
B b
,
1;0;
C c
.
1 ; ;0 , 0; ; , 2;2;1 , 3 ;2;1
AB a b BC b c CH c AH a
.
Yêu cu bài toán
2 3
, . 0
2 2 1 1 1 0
0
. 0 1 9 2 0
9
2
2
. 0
AB BC CH
bc c a c b a
b
AB CH a b b b
b
c b
BC AH
Nếu
0
b
suy ra
A B
(loi).
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Nếu
9
2
b
, ta đ
11
;0;0
2
A
,
9
1; ;0
2
B
,
1;0;9
C . Suy ra phương trình mt phng
ABC
2 2 11 0
x y z
.
Câu 13: Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thng d: và d’:
Viết phương trình mt phng () cha (d) và to vi mt phng Oyz mt góc nh nht.
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dn gii:
Gi s (β): (đk: ), (β) có vtpt là
d (β)
=
TH 1: A = 0 (không tho đb hoặc không nh nht)
TH 2: A ≠ 0, ta có:
= = =
nh nht ln nht nh nht
nên . Vậy: (β):
3
2
2
x t
y t
z t
'
5 '
2 ' 3 2 5
x t
y t
z t
3 2 7 0
x y z
3 2 7 0
x y z
3 2 7 0
x y z
3 2 7 0
x y z
0
Ax By Cz D
2 2 2
0
A B C
( ; ; )
n A B C
( )
. 0
A
n a
3 2 0
2 0
A B D
A B C
2 2
2
D A C
B A C
cos(( ),( )) cos( , )
Oyz n i
2 2 2
( 2)
A
A A C C
( ),( )
Oyz
cos(( ),( ))
Oyz
2 2
1
1 (1 2) ( )
C C
A A
2 2
1
6 12
( 3) 2. 2 ( )
3 9
C C
A A
2
1
6 12
( 3 )
3 9
C
A
( ),( )
Oyz
cos(( ),( ))
Oyz
2
6
( 3 )
3
C
A
6
3 0
3
C
A
1 (choïn)
2
3
A
C
1
3
7
3
B
D
3 2 7 0
x y z
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chn D.
Câu 14: Trong không gian vi h tọa độ Oxyz, cho đường thng
2 1
:
1 2 1
x y z
d
. Viết phương
tnh mt phng (P) chứa đường thng d ct các trc Ox, Oy lần lượt ti A B sao cho
đường thng AB vuông góc vi d.
A.
: 2 5 4 0.
P x y z
B.
: 2 5 5 0.
P x y z
C.
: 2 4 0.
P x y z
D.
:2 3 0.
P x y
Hướng dn gii:
Cách 1 (T lun)
Đường thng d qua M(2;1;0) và VTCP
1;2; 1
d
u
Ta có: AB
d và AB
Oz nên AB có VTCP là:
, 2; 1;0
AB d
u u k
(P) chứa d và AB nên (P) đi qua M(2;1; 0), có VTPT là:
, 1;2;5
d AB
n u u
: 2 5 4 0
P x y z
Chn A
Cách 2: Dùng phương trình mt phng theo đoạn chn.
Đường thẳng d qua 2 đim M(2;1;0) và N(3;3;-1)
Gi s mp(P) ct Ox, Oy, Oz ln lượt ti A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)
: 1
x y z
P
a b c
AB
d
. 0 2
d
AB u a b
(1)
P
cha d nên d cũng đi qua M, N
2 1
1
a b
(2),
3 3 1
1
a b c
(3)
T (1), (2), (3)
a = 4, b = 2, c =
4
5
: 2 5 4 0
P x y z
Chn A
Câu 15:
Trong không gian ta độ Oxyz cho đường thng mp
. Viết phương trình mt phng qua d và to vi mt c
nh nht.
A. B.
: 1 2
2
x t
d y t
z t
: 2 2 2 0
P x y z
R
P
3 0
x y z
3 0
x y z
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
C. D.
Hướng dn gii:
Đường thng d là giao tuyến ca hai mt phng: .
Do vy mt phng qua d t thuc chùm mt phng:
.
Hay mp : (*). Mp
.
Vy:
Do nh nht cho n ln nht khi .
Vy thay vào (*) ta có mp .
Chn B.
Câu 16: Cho hai đường thng
1
2
: 1
2
x t
d y t
z t
2
2 2
: 3
x t
d y
z t
. Mt phẳng cách đều hai đường
thng
1
d
2
d
có phương trình là
A.
5 2 12 0.
x y z
B.
5 2 12 0.
x y z
C.
5 2 12 0.
x y z
D.
5 2 12 0.
x y z
Hướng dn gii:
Chn D.
1
d
qua
2;1;0
A và có VTCP là
1
1; 1;2
u
;
2
d
qua
2;3;0
B và có VTCP là
2
2;0;1
u
.
1 2
, 1; 5; 2
u u
;
0;2;0
AB
, suy ra
1 2
, . 10
u u AB
, nên
1 2
;
d d
là chéo nhau.
Vy mt phng
P
cách đều hai đường thng
1 2
,
d d
là đường thng song song vi
1 2
,
d d
đi qua trung đim
2;2;0
I của đoạn thng
AB
.
Vậy phương trình mt phng
P
cn lp là:
5 2 12 0
x y z
.
3 0
x y z
3 0
x y z
1
2 1 0
1 2
2 2 0
1 1
x y
x y
x z x z
R
R
2 1 2 0
x y m x z
R
2 1 2 0
m x y mz m
R
1
2;1; ; 2; 1; 2
P
n m m n
1
2 2 2
2
1
2 2 1 2
.
5 5 1 5
cos
3
3 3
3 2 4 5
2 1 4 1 4 2 1 3
P
P
m m
n n
m m
n n
m m m

cos
1
m
: 3 0
R x y z
A
B
M
P
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 17: Trong không gian vi h to độ
Oxyz
,cho hai đường thng
1 2
,
d d
lần lượt phương trình
1
2 2 3
:
2 1 3
x y z
d
,
2
1 2 1
:
2 1 4
x y z
d
. Phương trình mt phng
cách đu
hai đường thng
1 2
,
d d
là:
A.
7 2 4 0
x y z
. B.
7 2 4 3 0
x y z
.
C.
2 3 3 0
x y z
. D.
14 4 8 3 0
x y z
.
Hướng dn gii:
Ta có
1
d
đi qua
2;2;3
A và có
1
2;1;3
d
u
,
2
d
đi qua
1;2;1
B và có
2
2; 1;4
d
u
1 2
1;1; 2 ; ; 7; 2; 4
d d
AB u u
;
1 2
; 1 0
d d
u u AB
nên
1 2
,
d d
chéo nhau.
Do
cách đều
1 2
,
d d
nên
song song vi
1 2
,
d d
1 2
; 7; 2; 4
d d
n u u
có dng
7 2 4 0
x y z d
Theo gi thiết thì
, ,d A d B
2 1
3
2
69 69
d d
d
:14 4 8 3 0
x y z
Câu 18: Trong không gian vi h ta độ Oxyz, viết phương trình mt phng song song ch
đều hai đưng thng và
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dn gii:
Ta có: đi qua đim và có VTCP .
đi qua đim VTCP song songvới hai đường
thng nên VTPT ca là
Khi đó có dng loi đáp án A và C.
P
1
2
:
1 1 1
y
x z
d
2
1
2
: .
2 1 1
y
x z
d
: 2 2 1 0
xP z
: 2 2 1 0
yP z
: 2 2 1 0
xP y
: 2 2 1 0
yP z
1
d
2;0;0
A
1
1;1;1
u
2
d
0;1;2
B
2
2; 1; 1 .
u
P
1
d
2
d
P
1 2
, 0;1; 1
n u u
P
0
y z D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Li cách đều nên đi qua trung điểm ca . Do đó
Chn B.
Câu 19: Trong h trc tọa độ
Oxyz
cho mt phng
:5 4 0
P x z
hai đưng thng
1 2
;
d d
ln
lượt phương trình
1 1 1 2 1
; .
1 1 2 2 1 1
x y z x y z
Viết phương trình ca mt
phng
/ / ,
Q P
theo th t ct
1 2
,
d d
ti
,
A B
sao cho
4 5
.
3
AB
A.
1 2
25 331 25 331
:5 0; :5 0
7 7
Q x z Q x z
.
B.
1 2
:5 2 0; :55 11 14 0
Q x z Q x z
.
C.
1 2
: 5 2 0; : 55 11 14 0
Q x z Q x z
.
D.
1 2
:5 4 0; :55 11 7 0
Q x z Q x z
Hướng dn gii:
1 2
1 2
1 1 2 '
: , : 2 ' ; :5 0, 4
1 2 1 '
3 6 15 2 3 2 12 30 5
; ; , ; ;
3 3 3 9 9 9
x t x t
d y t d y t Q x z d d
z t z t
d d d d d d
Q d A Q d B
Suy ra
6 6 4 30 5 1
; ; 6 ; 6 4 ;30 5
9 9 9 9
d d d
AB d d d
Do
2 2 2
4 5 1
6 6 4 30 5
3 8
AB d d d
2
25 331
80
7
42 300 252 0
9
25 331
7
d
d d
d
Vy, tìm được hai mt phng tha mãn:
1 2
25 331 25 331
:5 0; :5 0
7 7
Q x z Q x z
Chn A.
Câu 20: Trong không gian vi h tọa độ
,
Oxyz
cho đim
1;2;3
A đường thng
:
d
. Mt phng
P
chứa đường thng
d
và có khong cách t
A
đến
P
ln nht. Khi đó
P
có một véctơ pháp tuyến là
P
1
d
2
d
P
1
0; ;1
2
M
AB
: 2 2 1 0
yP z
3 1
2 1 1
x y z
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A. B. C. D.
Hướng dn gii:
Gi H,K lần lươt là hình chiếu vuông góc ca A lên d và (P)
Khi đó: d(A,(P)) = AK AH hay d(A,(P)) ln nht khi và ch khi
Ta có:
Suy ra:
Hay mt véctơ pháp tuyến ca (P) là
Chn A.
Câu 21: Trong không gian vi h tọa đ , cho hai đường thng
. Viết phương trình mt phng cha sao cho góc gia mt
phng và đường thng là ln nht.
A.
6 0
x y z . B.
7 5 9 0
x y z . C.
6 0
x y z
. D.
3 0
x y z .
Hướng dn gii:
Ta có: đi qua và có .
Phương trình mt phng dng: .
Ta có:
Gi
Vi
Vi . Đặt , ta được
Xét hàm s . Ta có:
4 5 13
( ; ; )
n
4 5 13
( ; ; )
n
4 5 13
( ; ; )
n
4 5 13
( ; ; )
n
H K
3 2 1 2 1 1
( ; ; ); ( ; ; )
H t t t a
4
0
3
.AH a t
4 5 13
3 3 3
( ; ; )
AH
4 5 13
( ; ; )
n
Oxyz
1
1 2
:
1 2 1
x y z
d
2
2 1
:
2 1 2
x y z
d
( )
P
1
d
( )
P
2
d
1
d
(1; 2;0)
M
(1;2; 1)
VTCPu
( )
P
2 2 2
( 1) ( 2) 0,( 0)
A x B y Cz A B C
( ) . 0 2
d P u n C A B
2
2
2 2
2 2
4 3
1 (4 3 )
(( ), ) sin .
3
2 4 5
3 2 4 5
A B
A B
P d
A AB B
A AB B
0
B
2 2
sin
3
0
B
A
t
B
2
2
1 (4 3)
sin .
3
2 4 5
t
t t
2
2
(4 3)
( )
2 4 5
t
f t
t t
2
2 2
16 124 84
'( )
(2 4 5)
t t
f t
t t
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Da vào BBT ta có: khi
Khi đó:
Vy khi Phương trình mt phng
Chn B.
Câu 22: Trong không gian vi h ta độ cho đim Viết phương trình mt phng
đi qua gốc tọa độ và cách mt khong ln nht.
A. B. C. D.
Hướng dn gii:
Gi là hình chiếu ca trên vuông ti
. Khi đó đi qua và vuông góc vi vecto
pháp tuyến ca phương trình ca mt phng
hay
Chn A.
Câu 23: Trong không gian vi h trc ta đ
Oxyz
, cho hai đường thng
1
1 2
:
1 2 1
x y z
d
2
2 1
:
2 1 2
x y z
d
. Gi
P
mt phng cha
1
d
sao cho c gia mt phng
P
đường thng
2
d
là ln nht. Chn mệnh đề đúng trong các mnh đề sau:
A.
P
có vectơ pháp tuyến
1; 1;2
n
.
B.
P
qua điểm
0;2;0
A .
C.
P
song song vi mt phng
:7 5 3 0
Q x y z
.
D.
P
ct
2
d
tại đim
2; 1;4
B .
Hướng dn gii:
1
d
qua
1; 2;0
M và có VTCP
1;2; 1
u
. Vì
1
d P
nên
M P
.
3
'( ) 0
4
7
t
f t
t
25
max ( )
3
f t
7
t
7
A
B
5 3
sin ( 7)
9
f
5 3
sin
9
7
A
B
( ):7 5 9 0
P x y z
,
Oxyz
1;2; 1 .
M
0;0;0
O
M
2 0.
x y z
1.
1 2 1
y
x z
0.
x y z
2 0.
x y z
H
M
( )
P
MHO
H
MH MO
max
MH
MO
( )
P
M
MO
(1;2; 1)
MO
( )
P
( )
P
1( 0) 2( 0) 1( 0) 0
x y z
2 0.
x y z
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Pt mt phng
P
dng:
2 2 2
1 2 0 0
A x B y Cz A B C
.
Ta có:
1
. 0 2
d P u n C A B
.
Gi
2
2
2 2
2 2
4 3
4 3
1
, sin
3 2 4 5
3 2 4 5
A B
A B
P d
A AB B
A AB B
.
TH1: Vi
0
B
thì
2 2
sin
3
.
TH2: Vi
0
B
. Đặt
A
t
B
, ta được:
2
2
4 3
1
sin
3 2 4 5
t
t t
.
Xét hàm s
2
2
4 3
2 4 5
t
f t
t t
. Da vào bng biến thiên ta có:
25
max
7
f x khi
7
t
khi
7
A
B
.
Khi đó
5 3
sin 7
9
f
.
So sánh TH1 và TH2
ln nht vi
5 3
sin
9
khi
7
A
B
.
Vậy phương trình mt phng
:7 5 9 0
P x y z
.
Chn B.
Câu 24: Trong không gian vi h trc to độ
Oxyz
,cho t din
ABCD
điểm
1;1;1 , 2;0;2
A B ,
1; 1;0 , 0;3;4
C D . Trên c cnh , ,
AB AC AD
ln lượt ly các điểm
', ', '
B C D
tha:
4
' ' '
AB AC AD
AB AC AD
. Viết phương trình mt phng
' ' '
B C D
biết t din
' ' '
AB C D
th tích nh nht?
A.
16 40 44 39 0
x y z
. B.
16 40 44 39 0
x y z
.
C.
16 40 44 39 0
x y z
. D.
16 40 44 39 0
x y z
.
Hướng dn gii:
Áp dng bất đẳng thc
AM GM
ta có:
3
. .
4 3
' ' ' '. '. '
AB AC AD AB AC AD
AB AC AD AB AC AD
'. '. ' 27
. . 64
AB AC AD
AB AC AD
' ' '
'. '. ' 27
. . 64
AB C D
ABCD
V AB AC AD
V AB AC AD
' ' '
27
64
AB C D ABCD
V V
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Để
' ' '
AB C D
V
nh nht khi và ch khi
' ' ' 3
4
AB AC AD
AB AC AD
3 7 1 7
' ' ; ;
4 4 4 4
AB AB B
Lúc đó mt phng
' ' '
B C D
song song vi mt phng
BCD
đi qua
7 1 7
' ; ;
4 4 4
B
' ' ' :16 40 44 39 0
B C D x y z
.
Câu 25: Trong không gian vi h to đ Oxyz, cho mt phng
đi qua đim
1;2;3
M ct các
trc Ox, Oy, Oz lần lưt ti
A
,
B
,
C
( khác gc to độ
O
) sao cho
M
là trc tâm tam giác
ABC
. Mt phng
có phương trình là:
A.
2 3 14 0
x y z
. B.
1 0
1 2 3
x y z
.
C.
3 2 10 0
x y z
. D.
2 3 14 0
x y z
.
Hướng dn gii:
Cách 1:Gi
H
là hình chiếu vng góc ca
C
trên
AB
,
K
là hình chiếu vuông góc
B
trên
AC
.
M
là trc tâm ca tam giác
ABC
khi ch khi
M BK CH
Ta có:
(1)
AB CH
AB COH AB OM
AB CO
(1)
Chng minh tương tự, ta có:
AC OM
(2).
T (1) và (2), ta có:
OM ABC
Ta có:
1;2;3
OM
.
Mt phng
đi qua điểm
1;2;3
M và có mt VTPT
1;2;3
OM
nên có phương trình
là:
1 2 2 3 3 0 2 3 14 0
x y z x y z
.
Cách 2:
+) Do
, ,
A B C
lần lưt thuc các trc
, ,
Ox Oy Oz
nên
( ;0;0), (0; ;0), (0;0; )
A a B b C c
(
, , 0
a b c
).
Phương trình đon chn ca mt phng
( )
ABC
là:
1
x y z
a b c
.
M
K
H
O
z
y
x
C
B
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
+) Do
M
là trc tâm tam giác
ABC
nên
. 0
. 0
( )
AM BC
BM AC
M ABC

. Gii h điều kiện trên ta được
, ,
a b c
Vy phương trình mt phng:
2 3 14 0
x y z
.
Câu 26: Trong không gian vi h tọa độ Oxyz, cho mt phng (Q): và đường thng
. Phương trình mt phng (P) chứa đường thng d và to vi mt
phng (Q) mt góc nh nht
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải:
PT mt phng (P) có dng: . Gi .
Chn hai điểm . Ta có:
(P):
TH1: Nếu a = 0 thì .
TH2: Nếu a 0 thì . Đặt
Xét hàm s .
Da vào BBT, ta thy
Do đó chỉ trường hp 1 tho mãn, tức a = 0. Khi đó chọn .
Vy: (P): .
Chn A.
x y z
2 5 0
x y z
d
1 1 3
:
2 1 1
: 4 0
P y z
:x 4 0
P z
:x 4 0
P y z
: 4 0
P y z
ax by cz d a b c
2 2 2
0 ( 0)
P Q
(( ),( ))
a
M N d
( 1; 1;3), (1;0;4)
M P c a b
N P d a b
( )
( ) 7 4
ax by a b z a b
( 2 ) 7 4 0
a b
a ab b
2 2
3
cos .
6
5 4 2
b
b
2
3 3
cos .
2
6
2
0
30
a
b
a
b b
a a
2
1
3
cos .
6
5 4 2
b
x
a
f x
2
( ) cos
x x
f x
x x
2
2
9 2 1
( ) .
6
5 4 2
f x
0 0
min ( ) 0 cos 0 90 30
a
b c d
1, 1, 4
y z
4 0
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 27: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
3;0;2
A ,
3;0;2
B và mt cu
2 2 2
( 2) ( 1) 25
x y z
. Phương trình mặt phẳng
đi qua hai điểm
A
,
B
ct mt
cu
S
theo một đường tròn bán kính nh nhất là:
A.
4 5 17 0
x y z
. B.
3 2 7 0
x y z
.
C.
4 5 13 0
x y z
. D.
3 2 11 0
x y z
.
Hướng dn gii:
Mt cu
S
có tâm
0; 2;1
I , bán kính
5
R
. Do
17 R
IA
nên
AB
ln ct
S
.
Do đó
( )
ln ct
S
theo đường tròn
C
có bán kính
2
2
,r R d I
. Đề bán
kính
r
nh nht
,
d I P
ln nht.
Mặt phẳng
đi qua hai điểm
A
,
B
và vng c với mp
ABC
.
Ta có
AB (1; 1; 1)
,
AC ( 2; 3; 2)
suy ra
ABC
có véctơ pháp tuyến
, ( 1;4; 5)
n AB AC
(α) có ctơ pháp tuyến
, ( 9 6; 3) 3(3;2;1)
n n AB
Phương trình
: 3 2 2 1 1 3 0 3 2 11 0
x y z x y z
.
Câu 28: Trong không gian vi h to độ
Oxyz
,cho
: 4 2 6 0
P x y z
,
: 2 4 6 0
Q x y z
.
Lập phương trình mt phng
cha giao tuyến ca
,
P Q
và ct các trc tọa đ ti các
điểm
, ,
A B C
sao cho hình chóp .
O ABC
là hình chóp đều.
A.
6 0
x y z
. B.
6 0
x y z
. C.
6 0
x y z
. D.
3 0
x y z
.
Hướng dn gii:
Chn
6;0;0 , 2;2;2
M N thuc giao tuyến ca
,
P Q
Gi
;0;0 , 0; ;0 , 0;0;
A a B b C c
ln lượt là giao điểm ca
vi các trc
, ,
Ox Oy Oz
: 1 , , 0
x y z
a b c
a b c
cha
,
M N
6
1
2 2 2
1
a
a b c
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 30
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hình chóp .
O ABC
là hình chóp đều
OA OB OC a b c
Vây phương trình
6 0
x y z
.
Câu 29: Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho điểm
1;1;1
N . Viết phương trình mt phng
P
ct các trc
, ,
Ox Oy Oz
ln lượt ti
, ,
A B C
(không trùng vi gc ta độ
O
) sao cho
N
là tâm đường tròn ngoi tiếp tam giác
ABC
A.
: 3 0
P x y z
. B.
: 1 0
P x y z
.
C.
: 1 0
P x y z
. D.
: 2 4 0
P x y z
.
Hướng dn gii:
Gi
;0;0 , 0; ;0 , 0;0;
A a B b C c
ln lượt là giao điểm ca
P
vi các trc
, ,
Ox Oy Oz
: 1 , , 0
x y z
P a b c
a b c
Ta có:
1 1 1
1
1 1 3 3 0
1 1
N P
a b c
NA NB a b a b c x y z
NA NC a c
Câu 30: Phương trình ca mt phẳng nào sau đây đi qua điểm
1;2;3
M ct ba tia
Ox
,
Oy
,
Oz
lần lượt ti
A
,
B
,
C
sao cho th tích t din
OABC
nh nht?
A.
6 3 2 18 0
x y z
. B.
6 3 3 21 0
x y z
.
C.
6 3 3 21 0
x y z
. D.
6 3 2 18 0
x y z
.
Hướng dn gii:
Gi s
( ;0;0), (0; ;0), (0;0; ) ( , , 0)
A a B b C c a b c
(ABC):
1
x y z
a b c
(1)
M(1;2;3) thuc (ABC):
1 2 3
1
a b c
.
Th tích t din OABC:
1
6
V abc
Áp dng BDT Côsi ta có:
3
1 2 3 6 27.6 1
1 3 1 27 27
6
abc V
a b c abc abc
Ta có: V đạt giá tr nh nht
3
1 2 3 1
27 6
3
9
a
V b
a b c
c
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 31
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Vy (ABC):
6 3 2 18 0
x y z
. Chn (D)
Câu 31: Trong không gian vi h ta độ
Oxyz
cho điểm
E(8;1;1)
.Viết phương trình mt phng
( )
qua E và ct na trục dương
, ,
Ox Oy Oz
lần lượt ti
, ,
A B C
sao cho
OG
nh nht vi
G
là
trng tâm tam giác
ABC
.
A.
2 11 0
x y z
. B.
8 66=0
x y z
.
C.
2 18 0
x y z
. D.
2 2 12 0
x y z
.
Hướng dn gii:
Chn D.
Cách 1 :
Với đáp án A:
2
11 11 11 11 121
(11;0;0);B(0;11;0);C(0;0; ) ( ; ; ) OG
2 3 3 6 4
A G
Với đáp án B:
2
33 11 15609
( ;0;0);B(0;66;0);C(0;0;66) ( ;22;22) OG
4 4 16
A G
Với đáp án C:
2
18 18
(9;0;0);B(0;18;0);C(0;0;18) (3; ; ) OG 81
3 3
A G
Với đáp án D:
2
( 12;0;0);B(0;6;0);C(0;0;6) ( 4;2;2) OG 24
A G
Cách 2 :
Gi
;0;0 , 0; ;0 , 0;0;
A a B b C c
vi
, , 0
a b c
. Theo đề bài ta có :
8 1 1
1
a b c
. Cn tìm
giá tr nh nht ca
2 2 2
a b c
.
Ta có
2 2
2 2 2 2 2 2
4 1 1 .2 .1 .1 6. 2
a b c a b c a b c a b c
Mt khác
2 2 2
2
4 1 1 .2 .1 .1
8 1 1
2
4 1 1 36
a b c a b c
a b c
a b c
Suy ra
2 2 2 3
6
a b c
. Du
'' ''
xy ra khi
2
2 2
2 2 .
4
a
b c a b c
Vy
2 2 2
a b c
đạt giá tr nh nht bng 216 khi
12, 6
a b c
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 32
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
P
M
N
K
H'
H
Vậy phương trình mt phng : 1
12 6 6
x y z
hay 2 2 12 0x y z .
Câu 32: Trong không gian vi h to độ Oxyz cho 2;1;6 , 1;( ) ( )2;4A B và 1;3( ;2 .)I Viết phương
tnh mặt phẳng (P) đi qua ,A B sao cho khoảng cách từ I đến (P) ln nhất.
A. 3 7 6 35 0 x y z . B. 7 5 9 0 x y z .
C. 6 0x y z . D. 3 0 x y z .
Hướng dn gii:
Ta có
2 2 2
3 2 4 29 IA
2 2 2
0 5 2 29 IB . Gọi M là trung điểm của
đoạn thẳng AB, IA=IB nên IM AB, ta
1 1
; ;5 ;
2 2
M
94
2
IM
.
Gọi H hình chiếu vuông c của I lên
mặt phẳng (P):
Nếu H, M hai điểm phân biệt t tam
giác IHM vuông ti H, IH<IM hay
94
2
IH
.
Nếu H trùng với M t
94
2
IH IM
. Vậy ta có
94
2
IH
, IH ln nhất khi H M.
Khi đó (P) vectơ pháp tuyến
3 7
; ;3
2 2
P
n IH IM . Vậy phương trình mặt phẳng
(P) là
3 7
2 1 3 6 0
2 2
x y z
hay 3 7 6 35 0 x y z
Chn A.
Câu 33:
Trong không gian vi h trc ta độ Oxyz, cho hai đim . Mt phng
(P) đi qua M, N sao cho khong cách t đến (P) đạt giá tr ln nht. (P) vectơ
pháp tuyến là:
A. B. C. D.
Hướng dn gii:
- Khong cách t K đến (P) ln nht bng KH, khi H’
trùng H
- Vy mt phng (P) qua MN và vuông góc vi KH.
(0; 1;2)
M
( 1;1;3)
N
0;0;2
K
(1;1; 1)
(1; 1;1)
(1; 2;1)
(2; 1;1)
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 33
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
- Tìm H viết (P) hoc:
- (P) cha MN và vuông góc vi (MNP).
Gi H, H’ là hình chiếu ca K lên MN và (P).
Ta có: không đổi.
Vy ln nht khi và ch khi H’ trùng H hay (P) vuông góc vi KH.
;
(MNK) có vtpt là
Do n HK có vtcp là .
Chn A.
Câu 34: Trong không gian
,
Oxyz
cho các đim
1;0;0 ,
A
2;0;3 ,
B
0;0;1
M
0;3;1 .
N
Mt
phng
P
đi qua các điểm
,
M
N
sao cho khong ch t đim
B
đến
P
gp hai ln
khong cách t đim
A
đến
.
P
Có bao mt phng
P
tha mãn đầu bài?
A. vô s mt phng
.
P
B. Ch mt mt phng
.
P
C. Không có mt phng
P
o. D. Có hai mt phng
.
P
Hướng dn gii:
Chn A.
Gi s
P
có phương trình là:
2 2 2
z 0 0
ax by c d a b c
0 .
M P c d d c
3 0
N P b c d
hay
0
b
0.
c d
: 0.
P ax cz c
Theo bài ra:
, 2 ,
d B P d A P
2 2 2 2
2 3
2
a c c a c
a c a c
c a a c
Vy vô s mt phng
.
P
Câu 35: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho phương trình mt phng
( ,( )) '
d k P KH KH
( ,( ))
d K P
(0;1;0); (1; 1; 1)
MK NK
( 1;2;1)
MN
, ( 1;0; 1)
n MK NK
( )
HK MNK
HK MN
, (2;2; 2)
MN n
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 34
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
Xét các mệnh đề sau:
(I) Vi mi t các mt phng ln tiếp xúc vi mt mt cầu không đổi.
(II) Vi mi thì các mt phng luôn ct mt phng (Oxz).
(III) .
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Ch (I) và (II) B. Ch (I) và (III) C. Ch (II) và (III) D. C 3 đều đúng.
Hướng dn gii:
+ Ta có , vi mi .
Do đó vi mi m thay đổi trên t các mt phng luôn tiếp xúc vi mt cu tâm
O, bán kính . Khng đinh (I) đúng.
+ Vectơ pháp tuyến ca mt phng là và vectơ pháp tuyến
ca mt phng (Oxz) là .
ct (Oxz) khi và ch khi . Khng đinh (II) đúng.
+ Khẳng đinh (III) sai.
Chn A.
Câu 36: Cho mt phng
P
đi qua hai điểm
3,0,4 , 3,0,4
A B hp vi mt phng
xOy
mt góc
0
30
và ct
'
y Oy
ti
.
C
Tính khong cách t
O
đến
.
P
A.
4 3
. B.
3
. C.
3 3
. D.
2 3
Hướng dn gii:
V
OH KC
vi
K
là giao đim
ca
AB
và trc
'
z Oz
.
Ta có:
0 0
30 60 ; 4
C K OK
2
: 3 5 1 4 20 0, 1;1
m
mx m y mz m
1;1
m
m
0
m
m
; 5, 1;1
m
d O m
2 2 2
20
20
; 4
25
9 25 1 16
m
d O
m m m
1;1
m
1;1
m
4
R
m
2
3 ;5 1 ;4
n m m m
0;1;0
j
m
; 0 0
n j m
30
P
-3
3
B
y
z
O
x
K
A
C
x'
H
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 35
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
0
, .sin60
3
4. 2 3.
2
d O P OH OK
Chn D.
Câu 37: Trong không gian vi h ta độ
Oxyz
, hai mt phng
4 4 2 7 0
x y z
2 2 1 0
x y z
cha hai mt ca hình lập phương. Th tích khi lp phương đó là
A.
27
8
V B.
81 3
8
V
.
C.
9 3
2
V D.
64
27
V
Hướng dn gii:
Theo bài ra hai mt phng
4 4 2 7 0
x y z
2 2 1 0
x y z
cha hai mt ca hình
lp phương. Mà hai mặt phng
( ): 4 4 2 7 0
P x y z
( ) : 2 2 1 0
Q x y z
song
song vi nhau nên khong cách gia hai mt phng s bng cnh ca hình lập phương.
Ta có
(0;0; 1) ( )
M Q
nên
2 2 2
2 7 3
(( ),( )) ( ,( ))
2
4 ( 4) 2
d Q P d M P
Vy th tích khi lập phương là:
2 2 2 8
. .
3 3 3 27
V .
Câu 38:
Trong không gian vi h to đ , gi là mt phẳng qua hai điểm
đồng thi hp vi mt phng mt góc . Khong cách t O ti là:
A. B. C. D.
Hướng dn gii:
Gi ln lượt là hình chiếu vuông góc đim lên đường thng mt phng
Ta có:
Oxyz
2;0;1
A
2;0;5
B
Oxz
0
45
.
3
2
3
.
2
1
.
2
2
.
2
;
K H
O
AB
.
,
A B Oxz
Oxz AB
OH
HK AB
OK AB
OK AB
45
0
H
K
O
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 36
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Suy ra tam giác vuông cân ti
Khi đó:
Mt khác:
Khi đó:
Chn A.
Câu 39: Trong không gian vi h ta đ
,
Oxyz
cho mt phng
: 0
Q x y z
và hai điểm
4, 3,1 , 2,1,1 .
A B Tìm điểm
M
thuc mt phng
Q
sao cho tam giác
ABM
vuông
cân ti
.
M
A.
1; 2;1
17 9 8
; ;
7 7 7
M
M
. B.
1;2;1
17 9 8
; ;
7 7 7
M
M
.
C.
1;2;1
13 5 9
; ;
7 7 7
M
M
. D.
1;1;1
9 9 8
; ;
7 7 7
M
M
Hướng dn gii:
Gi
, , . 0 1 .
M a b c M Q a b c
Tam giác
ABM
cân ti
M
khi và ch khi:
2 2 2 2 2 2
2 2
4 3 1 2 1 1 2 5 0 2
AM BM a b c a b c a b
T
1
2
ta có:
0 2 5
*
2 5 0 5 3
a b c a b
a b c b
Trung đim
AB
là
3; 1;1 .
I Tam giác
ABM
cân ti
,
M
suy ra:
2 2 2
3 1 1 5 3
2
AB
MI a b c
Thay
*
3
ta được:
2 2 2
2
2 2 1 6 3 5
9
7
b
b b b
b
, ,
Oxz KH OK OKH
OHK
H
, .
2
OK
d O OH
3
, .
2
OA AB
OK d O AB
AB
3
, .
2
2
OK
d O OH
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 37
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2 1, 1 1; 2;1
9 17 8 17 9 8
, ; ;
7 7 7 7 7 7
b a c M
b a c M
Chn A.
Câu 40: Trong không gian vi h tọa độ
Ox ,
yz
cho 2 điểm
1;3;2 , 3;2;1
A B mt phng
: 2 2 11 0.
P x y x
Tìm điểm
M
trên
P
sao cho
0
2 2, 30 .
MB MBA
A.
1;2;3
1;4;1
M
M
. B.
1; 2;3
1; 4;1
M
M
. C.
2;1;3
4;1;1
M
M
. D.
1; 2;3
1;4;1
M
M
Hướng dn gii:
Nhn thy
, , 6.
A P B P AB
Áp dng định sin trong tam giác
MAB
ta có:
2 2 2 0 2 2 2
2 . . os30 2
MA MB BA MB BAc MB MB BA
Do đó tam giác
MAB
vuông ti
.
A
Ta có:
1
, 0; 5;5 : 3 1;3 ;2
2
AM p
x
u AB n AM y t M t t
z t
Ta có
2 2 2
2 2 1
MA t t t
Vi
1 1;2;3 ; 1 1;4;1
t M t M
Chn A.
Câu 41: Trong không gian ta độ , cho tám điểm , , ,
, , , , . Hi hình đa diện to bi
tám điểm đã cho có bao nhiêu mặt đối xng.
A. 3. B. 6. C. 8. D. 9
Hướng dn gii:
Vì tám điểm đã chõ to nên mt hình lập phương, nên hình đa diện to bởi tám đim này
9 mặt đối xng.
Chn D.
Câu 42: Trong không gian vi h ta đ
Oxyz
, cho bn đim
1; 2;0 ,
A
0; 1;1 ,
B
2;1; 1 ,
C
3;1;4
D . Hi có bao nhiêu mt phẳng cách đều bốn điểm đó?
A.
1
.
B.
4
.
C.
7
.
D. s.
Hướng dn gii:
Ta có
1;1;1 ,
AB
1;3; 1 ,
AC
2;3;4
AD .
Oxyz
2; 2;0
A
3; 2;0
B
3;3;0
C
2;3;0
D
2; 2;5
M
2; 2;5
N
3; 2;5
P
2;3;5
Q
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 38
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Khi đó
, 4;0; 4
AB AC suy ra
, . 24 0
AB AC AD .
Do đó
, , ,
A B C D
không đồng phẳng và là 4 đnh ca mt t din.
Khi đó sẽ 7 mt phẳng cách đễu bốn đỉnh ca t din. Bao gm: 4 mt phẳng đi qua trung
điểm ca ba cnh t din và 3 mt phẳng đi qua trung điểm bn cnh t diện (như hình v).
Chn C.
Câu 43: Trong không gian cho đim
(1; 3;2)
M
.Có bao nhiêu mt phẳng đi qua
M
ct các trc
ta độ ti
, ,
A B C
mà
0
OA OB OC
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Hướng dn gii:
Chn C.
Gi s mt phng
( )
cn tìm ct
, ,
Ox Oy Oz
ln lượt ti
(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0c)(a,b,c 0)
A
( ): 1
x y z
a b c
;
( )
qua
(1; 3;2)
M
nên:
1 3 2
( ): 1(*)
a b c
(1)
(2)
0 0
(3)
(4)
a b c
a b c
OA OB OC a b c
a b c
a b c
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 39
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Thay
(1)
vào (*) ta có phương trình vô nghim
Thay
(2),(3),(4)
vào (*) ta được tương ứng
3
4, 6,
4
a a a
Vy 3 mt phng.
Câu 44: Có bao nhiêu mt phẳng đi qua điểm
(1;9;4)
M ct các trc ta độ tại các điểm
A
,
B
,
C
(khác gc tọa đ) sao cho
OA OB OC
.
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Hướng dn gii:
Chn D.
Gi s mt phng
( )
ct các trc ta độ tại các đim khác gc ta độ là
( ;0;0), (0; ;0), (0;0; )
A a B b C c
vi
, , 0.
a b c
Phương trình mt phng
( )
có dng
1.
x y z
a b c
Mt phng
( )
đi qua đim
(1;9;4)
M nên
1 9 4
1 (1).
a b c
OA OB OC
nên
,
a b c
do đó xảy ra 4 trường hp sau:
+) TH1:
.
a b c
T
(1)
suy ra
1 9 4
1 14,
a
a a a
nên phương trình mp
( )
là
14 0.
x y z
+) TH2:
.
a b c
T
(1)
suy ra
1 9 4
1 6,
a
a a a
nên pt mp
( )
là
6 0.
x y z
+) TH3:
.
a b c
T
(1)
suy ra
1 9 4
1 4,
a
a a a
nên pt mp
( )
là
4 0.
x y z
+) TH4:
.
a b c
T
(1)
1 9 4
1 12,
a
a a a
nên pt mp
( )
là
12 0.
x y z
Vy 4 mt phng tha mãn.
Câu 45: Trong không gian vi h ta độ
Oxyz
, cho đim
(2; 2;0)
A
, đường thng
1 2
:
1 3 1
x y z
. Biết mt phng
( )
P
phương trình
0
ax by cz d
đi qua
A
,
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 40
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
song song vi
khong cách t
ti mt phng
( )
P
ln nht. Biết
,
a b
là các s
nguyên dương có ước chung ln nht bng 1. Hi tng
a b c d
bng bao nhiêu?
A.
3
. B.
0
. C.
1
. D.
1
.
Hướng dn gii:
Gi
H
là hình chiếu vng góc ca
A
trên đường thng
.
Do
( 1 ;3 ;2 )
H H t t t
( 3;3 2; 2)
AH t t t
Do
. 0
AH AH u

vi
( 1;3;1)
u
1.( 3) 3.(3 2) 1.( 2) 0 11 11
t t t t
1
t
0; 3;1
H
Gi
F
là hình chiếu vng góc ca
H
trên
( )
P
, khi đó: ( ,( )) ( ,( ))
d P d H P HF HA
Suy ra
max
( ,( ))
d P HA
. Du “=” xy ra khi
F A
( )
AH P
, hay bài toán được phát
biu li là:
Viết phương trình mt phng
( )
P
đi qua
A
và vuông góc vi
AH
Ta có
2; 1;1 (2;1; 1)
AH
, suy ra
( )
(2;1; 1)
P
n
Suy ra phương trình mt phng
( )
P
là:
2( 2) 2 0 2 2 0
x y z x y z
.
Do
, * 2, 1
0
( , ) 1 1, 2
a b a b
a b c d
a b c d
.
Chn B.
Câu 46: Trong không gain Oxyz, cho hai đưng thng
1
1 2 1
:
1 2 1
x y z
d
2
2
: 3
2
x t
d y t
z
.
Mt phng
: 0
P ax by cz d
(vi ; ; ;a b c d
) vuông c với đường thng
1
d
chn
1 2
,
d d
đoạn thẳng độ dài nh nht. Tính
a b c d
.
A.
14
B.
1
C.
8
D.
12
Hướng dn gii:
Ta có mt phng (P) vuông dóc với đường thng
1
d
nên (P) có véctơ pháp tuyến
1;2;1
n
.
Phương trình (P) có dng
: 2 0
P x y z d
.
Gọi M là giáo điểm ca (P) vi
1
d
và N là giao ca (P) vi
2
d
suy ra
2 2 10
; ;
6 3 6
d d d
M
,
4 1
; ; 2
3 3
d d
N
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 41
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có
2
2
16 155
18 9 9
d d
MN
.
Để MN nh nht t
2
MN
nh nht, nghĩa là
16
d
.
Khi đó
14
a b c d
.
Chn A.
Câu 47: Trong không gian vi h trc to độ Oxyz, cho điểm
10;2;1
A đường thng
1 1
:
2 1 3
x y z
d
. Gi
P
mt phẳng đi qua đim
A
, song song với đường thng
d
sao cho khong ch gia
d
P
ln nht. Khong cách t đim
1;2;3
M đến mp
P
A.
97 3
.
15
B.
76 790
.
790
C.
2 13
.
13
D.
3 29
.
29
Hướng dn gii::
P
là mt phẳng đi qua đim
A
song song với đường thng
d
nên
P
chứa đường thng
d
đi qua điểm
A
song song với đường thng
d
.
Gi
H
là hình chiếu ca
A
trên
d
,
K
là hình chiếu ca
H
trên
P
.
Ta có
,
d d P HK AH
(
AH
không đổi)
GTLN ca
( , ( ))
d d P
là
AH
,
d d P
ln nht khi
AH
vuông góc vi
P
.
Khi đó, nếu gi
Q
là mt phng cha
A
d
thì
P
vuông góc vi
Q
.
, 98;14; 70
97 3
:7 5 77 0 , .
15
P d Q
n u n
P x y z d M P
Câu 48: Trong không gian vi h trc to độ
,
Oxyz
cho đim
2;5;3
A đưng thng
1 2
:
2 1 2
x y z
d
. Gi
P
là mt phng chứa đường thng
d
sao cho khong cách t
A
đến
P
ln nht. nh khong cách t đim
1;2; 1
M
đến mt phng
P
.
A.
11 18
.
18
B.
3 2.
C.
11
.
18
D.
4
.
3
d'
d
K
H
A
P
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 42
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dn gii::
Gi
H
là hình chiếu ca
A
trên
d
;
K
là hình chiếu ca
A
trên
P
.
Ta có
,
d A P AK AH
(Không
đổi)
GTLN ca
( , ( ))
d d P
là
AH
,
d A P
ln nht khi
K H
.
Ta có
3;1;4
H ,
P
qua
H
AH
: 4 3 0
P x y z
Vy
11 18
,
18
d M P .
Câu 49: Trong không gian vi h ta đ
Oxyz
, cho
;0;0 , 0; ;0 , 0;0;
A a B b C c
vi
, ,
a b c
dương. Biết
, ,
A B C
di động trên các tia
, ,
Ox Oy Oz
sao cho
2
a b c
. Biết rng khi
, ,
a b c
thay đổi thì qu tích tâm hình cu ngoi tiếp t din
OABC
thuc mt phng
P
c
định. Tính khong cách t
2016;0;0
M ti mt phng
P
.
A.
2017
. B.
2014
3
. C.
2016
3
. D.
2015
3
.
Hướng dn gii:
Chn D.
Gi
là mt phng trung trc của đoạn
OA
đi qua điểm
;0;0
2
a
D
và có VTPT
;0;0 1;0;0
OA a a
: 0
2
a
x
.
Gi
là mt phng trung trc của đoạn
OB
đi qua điểm
0; ;0
2
a
E
và có VTPT
0; ;0 0;1;0
OB a a
: 0
2
a
y
.
Gi
là mt phng trung trc của đoạn
OC
đi qua điểm
0;0;
2
a
F
và có VTPT
0;0; 0;0;1
OC a a
: 0
2
a
z
.
d
H
K
A
P
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 43
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gi
I
là tâm mt cu ngoi tiếp t din
OABC
; ;
2 2 2
a a a
I I
.
Mà theo gi thiết,
2 1 : 1
2 2 2
a b c
a b c I P x y z
.
Vy,
2016 1
2015
,
3 3
d M P
.
Câu 50: Trong không gian vi h trc ta độ
,
Oxyz
cho mt phng
:3 5 0
P x y z
hai
điểm
1;0;2
A
,
2; 1;4 .
B
Tìm tp hợp các điểm
; ;
M x y z
nm trên mt phng
P
sao
cho tam giác
MAB
có din tích nh nht.
A.
7 4 7 0
.
3 5 0
x y z
x y z
B.
7 4 14 0
.
3 5 0
x y z
x y z
C.
7 4 7 0
.
3 5 0
x y z
x y z
D.
3 7 4 5 0
.
3 5 0
x y z
x y z
Hướng dn gii:
Chn C.
Ta thấy hai điểm
,
A B
nm cùng 1 phía vi mt phng
P
AB
song song vi
P
.
Điểm
M P
sao cho tam giác
ABM
có din tích nh nht
. ( ; )
2
ABC
AB d M AB
S
nh nht
;
d M AB
nh nht, hay
,
M P Q Q
là
mt phẳng đi qua
AB
và vng c vi
P
.
Ta có
1; 1;2
AB
, vtpt ca
P
3;1; 1
P
n
Suy ra vtpt ca
Q
:
, 1;7;4
Q P
n AB n
PTTQ
: 1 1 7 4 2 0
Q x y z
7 4 7 0
x y z
Qu tích
M
7 4 7 0
.
3 5 0
x y z
x y z
Câu 51: Trong không gian
Oxyz
, cho hình hp ch nht .
ABCD A B C D
điểm
A
trùng vi gc
ca h trc ta độ,
( ;0;0)
B a
,
(0; ;0)
D a
,
(0;0; )
A b
( 0, 0)
a b
. Gi
M
là trung đim ca
cnh
CC
. Giá tr ca t s
a
b
để hai mt phng
( )
A BD
MBD
vuông góc vi nhau là:
A.
1
3
. B.
1
2
. C.
1
. D. 1.
Hướng dn gii:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 44
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có
; ;0 ' ; ; ; ;
2
b
AB DC C a a C a a b M a a
Cách 1.
Ta có
0; ;
2
b
MB a
;
; ;0
BD a a
' ;0;
A B a b
Ta có
2
; ; ;
2 2
ab ab
u MB BD a
2 2 2
; ;; 'BD A aB
a
a
Chn
1;1;1
v
là VTPT ca
'
A BD
2
' . 0 0 1
2 2
ab ab a
A BD MBD u v a a b
b
Cách 2.
' ' '
A B A D A X BD
AB AD BC CD a
MB MD MX BD
vi
X
là trung đim
BD
' ; ' ;
A BD MBD A X MX
; ;0
2 2
a a
X
là trung đim
BD
' ; ;
2 2
a a
A X b
,
; ;
2 2 2
a a b
MX
' '
A BD MBD A X MX
' . 0
A X MX

2 2
2
0
2 2 2
a a b
1
a
b
Câu 52: Trong không gian vi h trc to độ cho 3 đim .
Gi là mt phng đi qua sao cho tng khong cách t và đến ln nht
biết rng không cắt đoạn . Khi đó, đim nào sau đây thuộc mt phng ?
A. B. C. D. .
Hướng dn gii:
,
Oxyz
1;0;1 ; 3; 2;0 ; 1;2; 2
A B C
P
A
B
C
P
P
BC
P
2; 0; 3 .
G
3; 0; 2 .
F
1;3;1 .
E
0;3;1
H
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 45
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gi là trung đim đoạn ; các đim
lần lưt là hình chiếu ca
trên .
Ta có t giác là hình thang và
đường trung bình.
(vi không đổi)
Do vy, ln nht khi
đi qua và vng c vi
Câu 53: Trong không gian vi h trc to độ cho các đim
trong đó dương mặt phng . Biết rng vuông c vi
, mnh đề nào sau đây đúng?
A. B. C. D.
Hướng dn gii:
Ta có phương trình mp( là
Ta có
T (1) và (2) .
Câu 54: Cho hình lập phương .
ABCD A B C D
cnh bng 2. Tính khong cách gia hai mt phng
và
.
AB D BC D
A.
3
.
3
B.
3.
C.
3
.
2
D.
2
.
3
Hướng dn gii:
Chn A.
Ta chn h trc tọa độ sao cho các đỉnh ca hình lập phương có tọa độ như sau:
I
BC
, ,
B C I
, ,
B C I
P
BCC B
II
, , 2 .
d B P d C P BB CC II
II IA
IA
, ,
d B P d C P
I A
P
A
IA
2;0; 1 .
I
: 2 1 0 1;3;1 .
P x z E P
,
Oxyz
1;0;0 , 0; ;0 , 0;0;
A B b C c
,
b c
: 1 0
P y z
mp ABC
mp P
1
,
3
d O ABC
1.
b c
2 1.
b c
3 1.
b c
3 3.
b c
)
ABC
1
1
x y z
b c
1 1
0 (1)
ABC P b c
b c
2 2
2 2
1 1 1 1 1
, 8(2)
3 3
1 1
1
d O ABC
b c
b c
1
1
2
b c b c
A
I'
C'
B'
I
C
B
P
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 46
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
0;0;0 2;0;0 2;2;0 0;2;0
0;0;2 2;0;2 2;2;2 0;2;2
A B C D
A B C D
2;0;2 , 0;2;2 ,
2;2;0 , 0;2;2
AB AD
BD BC
* Mt phng
AB D
qua
0;0;0
A và nhận véctơ
1
, 1; 1;1
4
n AB AD
làm véctơ pháp tuyến.
Phương trình
AB D
là:
0.
x y z
* Mt phng
BC D
qua
2;0;0
B nhn véctơ
1
, 1;1; 1
4
m BD BC
làm véctơ
pháp tuyến.
Phương trình
BC D
là:
2 0.
x y z
Suy ra hai mt phng
AB D
BC D
song song vi nhau nên khong cách gia hai
mt phng chính là khong cách t điểm
A
đến mt phng
BC D
:
2 2 3
, .
3
3
d A BC D
Cách khác: Thy khong cách cn tìm
1 1 2 3
, .2 3 .
3 3 3
d AB D BC D AC
Câu 55: Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho ba điểm
5;5;0 , 1;2;3 , 3;5; 1
A B C
mt
phng
:x 5 0
P y z
.
Tính th tích
V
ca khi t din
SABC
biết đỉnh
S
thuc mt
phng
P
SA SB SC
.
A.
145
6
V . B.
145
V
. C.
45
6
V . D.
127
3
V .
Hướng dn gii:
Gi
; ; 5 0 1
S a b c P a b c  .
Ta có:
2 2
2
5 5 ,
AS a b c
2 2 2 2 2 2
1 2 3 , 3 5 1
BS a b c CS a b c
Do
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
1 2 3 3 5 1
5 5 3 5 1
4 6 8 21 0
4 2 15 0
a b c a b c
SA SB SC
a b c a b c
a b c
a c
A'
D'
C'
B'
B
C
D
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 47
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có h:
6
4 6 8 21 0
23 13 9
4 2 15 0 6; ;
2 2 2
5 0
9
2
a
a b c
a c b S
a b c
c
. Li:
4; 3;3 , 2;0; 1
AB AC
.
23 9 145
3; 10; 6 ; 1; ; 145
2 2 6
S ABC
AB AC AS AB AC AS V
  
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 48
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THNG NÂNG CAO
A - LÝ THUYT CHUNG
1. Định nghĩa
Phương trình tham s của đường thng
đi qua đim
0 0 0 0
; ;
M x y z
vec chỉ phương
1 2 3
; ; , 0
a a a a a
:
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t
z z a t
Nếu
1 2 3
; ;
a a a
đều khác không. Phương trình đường thng
viết dưới dng chính tắc như sau:
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
Ngoài ra đường thng còn có dng tng quát là:
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
A x B y C z D
A x B y C z D
vi
1 1 1 2 2 2
, , , , ,
A B C A B C
tha
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
0, 0.
A B C A B C
2. V trí tương đối của hai đường thng
Chương trình cơ bản Chương trình nâng cao
1 )V trí tương đối của hai đường thng
Trong không gian
Ox
yz
cho hai đường thng
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
' ' '
: ; ': ' ' '
' ' '
x x a t x x a t
d y y a t d y y a t
z z a t z z a t
Vtcp
u
đi qua
0
M
'
d
vtcp
'
u
đi qua
0
'
M
, '
u u
cùng phương:
0 0
' '
/ / ' ; '
' '
u ku u ku
d d d d
M d M d
, '
u u
không cùng phương:
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
' ' '
' ' '
' ' '
x a t x a t
y a t y a t I
z a t y a t
d chéo d’
h phương trình
1
nghim
d ct d’
h phương trình
1
có 1 nghim
1 ) V trí tương đối của hai đường thng
Trong không gian
Ox
yz
cho hai đường thng
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
' ' '
: ; ': ' ' '
' ' '
x x a t x x a t
d y y a t d y y a t
z z a t z z a t
Vtcp
u
đi qua
0
M
'
d
vtcp
'
u
đi qua
0
'
M
0
, ' 0
/ / '
'
u u
d d
M d
0
, ' 0
'
'
u u
d d
M d
0
, ' 0
at '
, ' . 0
u u
d c d
u u MM
0
' , ' . 0
d cheo d u u MM
3. V trí tương đối của đường thng và mt phng
Phương pháp 1 Phương pháp 2
Trong không gian
Ox
yz
cho: Trong không gian
Ox
yz
cho đường thng d
qua
0 0 0
; ;
M x y z
có vtcp:
1 2 3
; ;
a a a a
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 49
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
:Ax+By+Cz+D=0
0 1
0 2
0 3
:
x x a t
d y y a t
z z a t
Pt:
0 1 0 2 0 3
0 1
A x a t B y a t C z a t D
Phương tr
ình
1
nghim t
/ /d
Phương tr
ình
1
có 1 nghim t
d
ct
Phương tr
ình
1
có vô s nghim t
d
Đặc bit:
,
d a n
cùng phương
:Ax+By+Cz+D=0
có vtpt
; ;
n A B C
d
ct
. 0
a n
. 0
/ /
a n
d
M
d
nm trên mp
. 0
a n
M
4. Khong cách
Khong cách t
0 0 0
; ;
M x y z
đến mt phng
:Ax+By+Cz+D=0
cho bi công thc
0 0 0
0
2 2 2
Ax
,
By Cz D
d M
A B C
Khong cách t M đến đường thng
d
Phương pháp 1:
L
p ptmp
đi qua
M
và vuông góc vi d.
Tìm t
ọa đ giao đim
H
ca mp
d
,
d M d MH
Kho
ng cách giữa hai đường thng chéo nhau
Phương pháp 1:
d
đi qua
0 0 0
; ;
M x y z
; có vtpt
1 2 3
; ;
a a a a
'
d
đi qua
0 0 0
' '; '; '
M x y z
; vtpt
1 2 3
' '; '; '
a a a a
Lập phương trình mp
cha d song song
vi d’:
, ' ',d d d d M
Kho
ng cách t M đến đường thng
d
Phương pháp 2:
(
d
đi qua
0
M
có vtcp
u
)
0
,
,
M M u
d M
u
Kho
ng cách giữa hai đường thng chéo nhau
Phương pháp 2:
d
đi qua
0 0 0
; ;
M x y z
; có vtpt
1 2 3
; ;
a a a a
'
d
đi qua
0 0 0
' '; '; '
M x y z
; vtpt
1 2 3
' '; '; '
a a a a
, ' . '
, '
, '
hop
day
a a MM
V
d
S
a a
5. Góc giữa hai đường thng
Góc giữa hai đường thng
đi qua
0 0 0
; ;
M x y z
có VTCP
1 2 3
; ;
a a a a
'
đi qua
0 0 0
' '; '; '
M x y z
có VTCP
1 2 3
' '; '; '
a a a a
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
. '
. ' . ' . '
cos cos , '
. '
. ' ' '
a a
a a a a a a
a a
a a
a a a a a a
6. Góc giữa đưng thng và mt phng
Góc giữa đường thng và mt phng
đi qua
0
M
VTCP
a
, mt phng
có VTPT
; ; .
n A B C
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 50
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gi
là góc hp bi
và mt phng
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3
Aa
:sin cos ,
.
Ba Ca
a n
A B C a a a
B – BÀI TP TRC NGHIM
Câu 1: Đường thng
song song vi
4 5 2
:
3 4 1
x y z
d
ct c hai đưng thng
1
1 1 2
:
3 1 2
x y z
d
2
2 3
:
2 4 1
x y z
d
. Phương trình nào không phải đường
thng
A.
4 1 1
:
3 4 1
x y z
B.
7 2
3
3 3
:
3 4 1
y z
x
C.
9 7 2
:
3 4 1
x y z
D.
4 1 1
:
3 4 1
x y z
Hướng dn gii:
Gii: Gọi M, N là giao đim ca
1 2
,
d d
.
Khi đó M, N thuộc
1 2
,
d d
nên
2 2 '
1 3
1 , 3 4 '
2 2 '
N
M
M N
M N
x t
x t
y t y t
z t z t
.
Vector ch phương của
3 2 ' 3 ;4 4 ' ; 2 ' 2
MN t t t t t t
song song vi
4 5 2
:
3 4 1
x y z
d
nên
3 2 ' 3 4 4 ' 2 ' 2
3 4 1
t t t t t t
Gii h ta được
4
' 1;
3
t t
. Vy
7 2
4; 1; 1 , 3; ;
3 3
N M
Vy
4 1 1
:
3 4 1
x y z
Chọn A.
Câu 2: Cho đường thng
1
( ): 1
2
x t
d y t
z t
mp (P) :
2 0
x y
. Tìm phương trình đưng thng
nm trong mt phng (P) ct và vng góc vi (d).
A.
1 2
1 2
0
x t
y t
z
B.
1 3
1 3
5
x t
y t
z
C.
1 2
1 2
0
x t
y t
z
D.
1
1
5
x t
y t
z
Hướng dn gii:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 51
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi I là giao đim ca (d) và (P):
(1 ;1 ;2 ), ( ) 0 (1;1;0)
I t t t I P t I
(d) có vectơ chỉ phương
( 1; 1;2)
u
, (P) có vectơ pháp tuyến
(1;1;0)
n
Vectơ pháp tuyến ca mt phng cn tìm là
,
u u v
=(-2 ;2 ;0)
Phương trình mt phng cn tìm là
1 2
1 2
0
x t
y t
z
Chọn A.
Câu 3: Trong không gian vi h ta độ cho đường thng mt phng
Phương trình đường thng nm trong sao cho ct và
vuông góc với đường thng là
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dn gii:
Chọn C.
Vectơ chỉ phương của , vectơ pháp tuyến ca
P
1;2;2
P
n
.
.
Ta độ giao đim là nghim ca h
.
Li , mà . Suy ra .
Vậy đường thng đi qua và có VTCP nên có phương trình
.
,
Oxyz
1 2
:
1 1 1
x y z
: 2 2 4 0.
P x y z
d
P
d
3
: 1 2
1
x t
d y t t
z t
3
: 2
2 2
x t
d y t t
z t
2 4
: 1 3
4
x t
d y t t
z t
1
: 3 3
3 2
x t
d y t t
z t
: 1;1; 1
u
; 4; 3;1
d
d P
d P
d
u u
u u n
d P
u n
H P
1
2 2; 1;4
2
2 2 4 0
x t
y t
t H
z t
x y z
;
d P d
H P
H d
d
2; 1;4
H
4; 3;1
d
u
2 4
: 1 3
4
x t
d y t t
z t
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 52
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 4: Trong không gian vi h tọa độ
Ox
yz
cho đường thng
2 2
:
2 1 1
x y z
d
mt phng
: 2 3 0.
P x y z
Viết phương trình đường thng
nm trong
P
sao cho
vuông
góc vi
d
và khong cách giữa hai đường thng
d
bng
2.
A.
7 4
:
1 1 1
3
:
1 1 1
x y z
x y z
. B.
7 4
:
1 1 1
3
:
1 1 1
x y z
x y z
.
C.
7 4
:
2 1 1
3
:
1 4 1
x y z
x y z
. D.
7 4
:
1 1 1
3 1
:
1 1 1
x y z
x y z
Hướng dn gii:
Đường thng d VTCP
2;1;1 .
d
u
Mt phng
P
có VTPT
1;2; 1 ,
p
n
ta có
, 3; 3; 3
p d
n u
1
, ; 0; 1;1
3
d
P d VTPT u u u

Khi đó, phương trình mt phng
: 0
Q y z m
Chn
1; 2;0 ,
A d
ta có:
4
2
; ; 2 2
0
2
m
m
d A Q d d
m
Vi
4 : 4 0
m Q y z
P Q
đi qua
7 4
7;0;4 :
1 1 1
x y z
B
Vi
0 : 0
m Q y z
P Q
đi qua
3
3;0;0 :
1 1 1
x y z
C
Chọn A.
Câu 5: Cho hai điểm
3;3;1 , 0;2;1
A B mt phng
: 7 0
x y z
. Đường thng
d
nm
trên
sao cho mi điểm ca
d
cách đều 2 đim
,
A B
phương trình
A.
7 3 .
2
x t
y t
z t
B.
7 3 .
2
x t
y t
z t
C.
7 3 .
2
x t
y t
z t
D.
2
7 3 .
x t
y t
z t
Hướng dn gii:
Chọn A.
Mọi đim trên
d
cách đều hai điểm
,
A B
nên
d
nm trên mt phng trung trc của đoạn
AB
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 53
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
3; 1;0
AB
và trung đim
AB
là
3 5
; ;1
2 2
I
nên mt phng trung trc ca
AB
là:
3 5
3 0 3 7 0
2 2
x y x y
.
Mt khác
d
nên
d
là giao tuyến ca hai mt phng:
3 7 0 7 3
7 0 2
x y y x
x y z z x
.
Vậy phương trình
: 7 3
2
x t
d y t t
z t
.
Câu 6: Trong không gian vi h ta độ
Ox
yz
cho đường thng
2 1
:
1 2 1
x y z
d
mt phng
: 3 0.
P x y z
Gi
I
là giao đim ca
, .
d P
Tìm
M P
sao cho
MI
vuông góc
vi
d
4 14.
MI
A.
5;9; 11
3; 7;13
M
M
. B.
5;7; 11
3; 7;13
M
M
.
C.
5;9; 11
3; 7;13
M
M
. D.
5; 7;11
3;7; 13
M
M
.
Hướng dn gii:
I d
nên
2 ; 1 2 ; .
I t t t
Hơn nữa
2 1 2 3 0 1 1;1;1
I P t t t I
Gi
; ; .
M a b c
Do:
3
. 0 2 2 0
d
M P a b c
MI d IM u a b c
1; 1; 1 , 1; 2; 1
d
IM a b c u
Do
2 2 2
4 14 1 1 1 224.
MI a b c
Khi đó ta có hệ phương trình:
2 2 2 2
3 2 1 5 3
2 2 0 4 3 9 7
11 13
1 1 1 224 1 16
a b c b a a a
a b c c a b b
c c
a b c a
Vi
; ; 5;9; 11 5;9; 11
a b c M
Vi
; ; 3; 7;13 3; 7;13
a b c M
Chọn A.
Câu 7: Trong không gian
Ox ,
yz
cho hai mt phng
: 2 2 0, :2 2 1 0.
P x y z Q x y z
Viết phương trình của đưng thng
d
đi qua
0;0;1 ,
A nm trong mt phng
Q
to
vi mt phng
P
mt góc bng
0
45 .
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 54
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
1 2
: ; :
1 4 1
x t x t
d y t d y t
z t z
. B.
1 2
: 2 1; : 1
1 4 1
x t x t
d y t d y t
z t z
.
C.
1 2
3
: 1 ; :
1 4 1 4
x t x t
d y t d y t
z t z t
. D.
1 2
1 4
: 1 ; :
1 4 1
x t x t
d y t d y t
z t z
Hướng dn gii:
Ta có
2;2;1
n
là vecto pháp tuyến ca
, 1; 2;2
Q b
là vec tơ pháp tuyến ca
P
.
Gi
2 2 2
; ; , 0
a a b c a b c
là mt vecto ch phương của
.
d
đường thng
d
đi qua
0;0;1
A mà
0;0;1 ,
A A Q
Do đó
. 0 2 2 0 2 2
d Q a n a n a b c c a b
Góc hp bi
d
P
bng
0
45 :
0
2 2 2
2
2 2 2
.
2 2
2
sin 45 cos ;
2
.
3
18( ) 4 2 2
a b
a b c
a b
a b
a b c
a b c a b c a b
1 1; 4
1 1; 0
a b b a c
a b b a c
Vy
1 2
: ; :
1 4 1
x t x t
d y t d y t
z t z
là các đường thng cn tìm.
Chọn A.
Câu 8: Trong không gian vi h ta đ
Ox ,
yz
cho hình thang cân
ABCD
hai đáy
,
AB CD
tha
mãn 2
CD AB
din tích bằng 27; đnh
1; 1;0 ;
A phương trình đường thng cha
cnh
CD
là
2 1 3
.
2 2 1
x y z
Tìm ta độ các đim
D
biết hoành độ đim
B
lớn n
hoành độ đim
.
A
A.
2; 5;1
D . B.
3; 5;1
D . C.
2; 5;1
D . D.
3; 5;1
D
Hướng dn gii:
Đường thng
CD
qua
2; 1;3
M có vec tơ chỉ phương
2;2;1
u
Gi
2 2 ; 1 2 ;3
H t t t
là hình chiếu ca A lên CD, ta có:
. 2 3 2 ;2.2 (3 1 0; 3;2 , , 3
AH u t t t t H d A CD AH
T gi thiết ta có:
2
3 18 6; 3; 9
ABCD
S
AB CD AB AB DH HC
AH
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 55
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Đặt
2 ;2 ; 0 2 4;4;2 3;3;2
B A
AB
AB tu t t t t x x t AB B
u
9
6;6;3 6;3;5
6
3
2; 2; 1 2; 5;1
6
HC AB C
HD AB D
Chọn A.
Câu 9: Trong không gian vi h ta độ
Ox ,
yz
cho hai đường thng
1
1 2
: ;
1 2 1
x y z
d
2
2 1 1
:
2 1 1
x y z
d
mt phng
: 2 5 0.
P x y z
Lập phương trình đường
thng d song song vi mt phng
P
ct
1 2
,
d d
ln lượt ti
,
A B
sao cho độ dài đoạn
AB
đạt giá tr nh nht.
A.
1 2 2
:
1 1 1
x y z
d
. B.
1 2 2
:
1 1 1
x y z
d
.
C.
1 2 2
:
1 1 1
x y z
d
. D.
2 2 2
:
1 1 1
x y z
d
Hướng dn gii:
1 2
; 1 ; 2 2 ; , 2 2 ;1 ;1
A d B d A a a a B b b b
Ta có
2 3; 2 3; 1
AB a b a b a b
P
có vec tơ pháp tuyến
1;1; 2 , / /
AB n
n AB P
A P
. 0 2 3 2 3 2 2 2 0 4 5; 1; 3
AB n AB n a b a b a b b a AB a a
Do đó:
2 2 2 2
5 1 3 2 2 27 3 3
AB a a a
min 3 3
AB khi
2 1;2;2
a A
3; 3; 3 , 1;2;2
AB A P
Vậy phương trình đường thng
1 2 2
: .
1 1 1
x y z
d
Chọn A.
Câu 10: Trong không gian vi h ta độ
Ox ,
yz
cho đường thng
3 2 1
:
2 1 1
x y z
d
mt
phng
: 2 0.
P x y z
Gi
M
là giao điểm gia
d
P
. Viết phương trình đường
thng
nm trong mt phng
P
, vuông góc vi
d
đồng thi khong cách t
M
đến
bng
42.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 56
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
5 2 5
:
2 3 1
3 4 5
:
2 3 1
x y z
x y z
. B.
5 2 5
:
2 3 1
3 4 5
:
2 3 1
x y z
x y z
.
C.
5 2 5
:
2 3 1
3 4 5
:
2 3 1
x y z
x y z
. D.
5 2 5
:
2 3 1
3 4 5
:
2 3 1
x y z
x y z
Hướng dn gii:
Phương trình tham s ca
3 2
: 2
1
x t
d y t
z t
Mt phng
P
có VTPT
1;1;1 ,
P
n
d có VTCP
2;1; 1
d
u
1; 3;0
M d P M
nm trong
P
và vng c vi d nên:
; 2; 3;1
d P
VTCP u u n
Gi
; ;
N x y z
là hình chiếu vng góc ca
M
trên
, khi đó:
1; 3;
MN x y z
Ta có:
2 2
2
2 0
5; 2; 5
2 3 11 0
3; 4;5
1 3 42
42
MN u
x y z
N
N P x y z
N
x y z
MN
Vi
5 2 5
5; 2; 5 :
2 3 1
x y z
N
Vi
3 4 5
3; 4;5 :
2 3 1
x y z
N
Chọn A.
Câu 11: Trong không gian vi h tọa độ
Ox
yz
cho điểm
1;2;3 ,
A đường thng
1
:
2 1 2
x y z
d
mt phng
: 2 1 0.
P x y z
Gi
'
d
đường thẳng đối xng vi d qua
.
P
Tìm
ta độ đim
B
trên
'
d
sao cho
9.
AB
A.
62 16 151 26 2 151 31 8 151
; ;
27 27 27
62 16 151 26 2 151 31 8 151
; ;
27 27 27
B
B
.
B.
62 151 26 151 31 151
; ;
27 27 27
62 151 26 151 31 151
; ;
27 27 27
B
B
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 57
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
C.
16 151 2 151 8 151
; ;
27 27 27
16 151 2 151 8 151
; ;
27 27 27
B
B
.
D.
62 4 151 26 2 151 31 8 151
; ;
27 27 27
62 4 151 26 2 151 31 8 151
; ;
27 27 27
B
B
Hướng dn gii:
d
ct
P
ti
2; 1;1 .
I Chn
0;0; 1
M d
'
M
là điểm đối xng ca
M
qua
.
P
Khi đó
' ' .
M d
Ta tìm
'.
M
Gi
là đường thẳng đi qua
M
và vng c vi mt phng
P
1
1;2 1 :
1 2 1
P
x y z
VTCP u VTPT n
Gi
H
là trung điểm
'
MM
thì tọa độ
H
định:
1
1 2 2 1 2 2
; ; ; ; .
1 2 1
3 3 3 3 3 3
2 1 0
x y z
x y z H
x y z
T đó:
2 4 1
' 2 ;2 ;2 ; ;
3 3 3
H M H M H M
M x x y y z z
Suy ra d’ là đường thẳng đi qua
2; 1;1
I nhn VTCP:
8 1 4 2 1 1
' ; ; ':
3 3 3 8 1 4
x y z
M I d
' 2 8 ; 1 ;1 4
B d B t t t
Theo đề bài ta phi:
2 2 2
2
1 2 151
9 1 8 3 4 2 81 81 6 67 0
27
AB t t t t t t
62 16 151 26 2 151 31 8 151
; ;
27 27 27
62 16 151 26 2 151 31 8 151
; ;
27 27 27
B
B
Chọn A.
Câu 12: Cho hai điểm và hai mt phng
. Viết phương trình đường thng qua ct lần t ti
sao cho tam giác cân ti và nhn là đường trung tuyến.
1;2;3 , 2;4;4
M A
: 2 1 0,
P x y z
: 2 4 0
Q x y z
M
,
P
Q
,
B C
ABC
A
AM
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 58
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A. B.
C. D.
Hướng dn gii:
Gi , t gi thiết suy ra là trung đim ca , suy ra .
nên có hai pt:
Tam giác cân ti nên:
T h:
Đường thng qua có pt .
Chọn D.
Câu 13: Trong không gian vi h trc ta độ Oxyz, gi d là đường thng đi qua điểm
1;0; 1
A
,
ct
1 2 2
2 1 1
x y z
, sao cho
2
cos ;d
là nh nht, biết phương trình của đường thng
2
3 2 3
:
1 2 2
x y z
. Phương trình đường thng d là?
A.
1 1
2 2 1
x y z
B.
1 1
4 5 2
x y z
C.
1 1
4 5 2
x y z
D.
1 1
2 2 1
x y z
Hướng dn gii:
Gi
1
1 2 ;2 ; 2
M d M t t t
.
d có vectơ chỉ phương là
2 2; 2; 1
d
u AM t t t
.
2
có vectơ chỉ phương
2
1;2;2
u
.
2
2
2
2
cos ;
3 6 14 9
t
d
t t
.
1 2 3
:
1 1 1
x y z
1 2 3
:
2 1 1
x y z
1 2 3
:
1 1 1
x y z
1 2 3
:
1 1 1
x y z
; ;
B a b c
M
BC
2 ;4 ;6
C a b c
,
B P C Q
2 1 0 1 2 8 0 2 .
a b c a b c ;
1; 2; 1 , 2 2 ;4 2 ;6 2 .
AM BC a b c
ABC
A
. 0 2 8 0 3 .
AM BC a b c

1 , 2
3
2 1 0 0
2 8 0 3 0;3;2 , 2;1;4 .
2 8 0 2
a b c a
a b c b B C
a b c c
B
C
1 2 3
:
1 1 1
x y z
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 59
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Xét hàm s
2
2
6 14 9
t
f t
t t
, ta suy ra được
min 0 0
f t f
.
Do đó
2
min cos ; 0
d
khi
0
t
. Nên
2;2; 1
AM
.
Vậy phương trình đường thng d là:
1 1
2 2 1
x y z
.
Chọn A.
Câu 14: Trong không gian vi h ta độ cho đim đường thng phương
tnh: . Viết phương trình đường thng đi qua , vuông góc và ct .
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dn gii:
Do ct nên tn tại giao đim gia chúng. Gi .
Phương trình tham s ca : . Do , suy ra
Do nên vectơ chỉ phương của .
Theo đề bài, vuông góc nên ( là vector ch phương của ). Suy ra
. Giải được . Vy
Chọn B.
Câu 15: Trong không gian ta độ Oxyz cho M(2;1;0) và đưng thẳng d phương trình:
1 1
2 1 1
x y z
. Gi
là đường thẳng đi qua M, ct và vuông c vi d. Viết phương
trình đường thng
?
A.
2
1 4
2
x t
y t
z t
B.
2
1 4
3 2
x t
y t
z t
C.
1
1 4
2
x t
y t
z t
D.
2
1 4
2
x t
y t
z t
Hướng dn gii:
,
Oxyz
1;0; 2
A
d
1 1
1 1 2
y
x z
A
d
1 2
:
1 1 1
y
x z
1 2
:
1 1 1
y
x z
1 2
:
2 1 1
y
x z
1 2
:
1 3 1
y
x z
d
B
B d
B d
d
1
,
1
x t
y t t
z t
B d
1; ; 1
B t t t
; ;2 3
AB t t t
,
A B
AB
d
AB u
(1;1;2)
u
d
. 0
ABu
t 1
1;1; 1
AB
1 2
: .
1 1 1
y
x z
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 60
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
PTTS ca d là
1 2
1
x t
y t
z t
.
Gi H là hình chiếu vuông c của M lên d, đường thng
cn tìm là đường thng MH.
Vì H thuc d nên
1 2 ; 1 ;
H t t t
suy ra
(2 1; 2 ; )
MH t t t
.
MH d
và d có 1 VTCP là
(2;1; 1)
u
nên
. 0
MH u
2
3
t
. Do đó
1 4 2
; ;
3 3 3
MH
Vy PTTS ca
là:
2
1 4
2
x t
y t
z t
.
Chọn A.
Câu 16: Trong không gian vi h ta độ
; 5 2 ;1
MN N t t t
gi
d
đi qua
1;0; 1
A
, ct
1
1 2 2
:
2 1 1
x y z
, sao cho c gia
d
2
3 2 3
:
1 2 2
x y z
nh nht.
Phương trình đường thng
d
là
A.
1 1
.
2 2 1
x y z
B.
1 1
.
4 5 2
x y z
C.
1 1
.
4 5 2
x y z
D.
1 1
.
2 2 1
x y z
Hướng dn gii:
Gi
1
1 2 ;2 ; 2
M d M t t t
d
có vectơ chỉ phương
2 2; 2; 1
d
a AM t t t
2
có vectơ chỉ phương
2
1;2;2
a
2
2
2
2
cos ;
3 6 14 9
t
d
t t
Xét hàm s
2
2
6 14 9
t
f t
t t
, ta suy ra được
min 0 0 0
f t f t
Do đó
min cos , 0 0 2;2 1
d t AM

Vậy phương trình đường thng
d
là
1 1
2 2 1
x y z
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 61
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 17: Trong không gian vi h ta độ
2
3 2
1 2
x t
y t
z t
cho hai đường thng
1
1 2
:
2 1 1
x y z
d
2
1 2 2
:
1 3 2
x y z
d
. Gi
là đường thng song song vi
: 7 0
P x y z
ct
1 2
,
d d
lần lưt tại hai điểm
,
A B
sao cho
AB
ngn nht. Phương trình của đường thng
là.
A.
12
5 .
9
x t
y
z t
B.
6
5
.
2
9
2
x t
y
z t
C.
6
5
.
2
9
2
x
y t
z t
D.
6 2
5
.
2
9
2
x t
y t
z t
Hướng dn gii:
1
2
1 2 ; ; 2
1 ; 2 3 ;2 2
A d A a a a
B d B b b b
có vectơ chỉ phương
2 ;3 2; 2 4
AB b a b a b a
P
vectơ pháp tuyến
1;1;1
P
n
/ /
P
nên
. 0 1
P P
AB n AB n b a
.Khi đó
1;2 5;6
AB a a a
2 2 2
2
2
1 2 5 6
6 30 62
5 49 7 2
6 ;
2 2 2
AB a a a
a a
a a
Du
" "
xy ra khi
5 5 9 7 7
6; ; , ;0;
2 2 2 2 2
a A AB
Đường thng
đi qua đim
5 9
6; ;
2 2
A
và vec tơ chỉ phương
1;0;1
d
u
Vậy phương trình ca
6
5
2
9
2
x t
y
z t
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 62
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 18: Trong không gian vi h tọa độ
,
Oxyz
cho hai đưng thng
1
1 2
:
2 1 1
x y z
d
2
1 2
: 1
3
x t
d y t
z
. Phương trình đường thng vuông c vi
:7 4 0
P x y z
ct hai
đường thng
1 2
,
d d
là:
A.
7 4
.
2 1 1
x y z
B.
2 1
.
7 1 4
x y z
C.
2 1
.
7 1 4
x y z
D.
2 1
.
7 1 4
x y z
Hướng dn gii:
Gi
d
là đường thng cn tìm
Gi
1 2
,
A d d B d d
1
2
2 ;1 ; 2
1 2 ;1 ;3
2 2 1; ; 5
A d A a a a
B d B b b
AB a b a b a
P
vectơ pháp tuyến
7;1; 4 ,
P
n
,
p
d P AB n
cùng phương
có mt s
k
tha
p
AB kn
2 2 1 7 2 2 7 1 1
0 2
5 4 4 5 1
a b k a b k a
a b k a b k b
a k a k k
d
đi qua điểm
2;0; 1
A
và có vectơ chỉ phương
7;1 4
d P
a n
Vậy phương trình ca
d
là
2 1
7 1 4
x y z
Câu 19: Trong không gian vi h tọa độ
,
Oxyz
cho hai đường thng
1
1 2 1
:
3 1 2
x y z
2
1 1
:
1 2 3
x y z
. Phương trình đưng thng song song vi
3
: 1
4
x
d y t
z t
ct hai
đường thng
1 2
;
là:
A.
2
3 .
3
x
y t
z t
B.
2
3 .
3
x
y t
z t
C.
2
3 .
3
x
y t
z t
D.
2
3 .
3
x
y t
z t
Hướng dn gii:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 63
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gi
là đường thng cn tìm
Gi
1 2
,A B
1
2
1 3 ;2 ;1 2
1 ;2 ; 1 3
3 2; 2 2; 2 3 2
A A a a a
B B b b b
AB a b a b a b
d
có vectơ chỉ phương
0;1;1
d
a
/ / ,
d
d AB a
cùng phương
có mt s
k
tha
d
AB ka
3 2 0 3 2 1
2 2 2 2 1
2 3 2 2 3 2 1
a b a b a
a b k a b k b
a b k a b k k
Ta có
2;3;3 ; 2;2;2
A B
đi qua điểm
2;3;3
A vectơ chỉ phương
0; 1; 1
AB
Vậy phương trình ca
là
2
3
3
x
y t
z t
Câu 20: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
3;3; 3
A
thuc mt phng
2 2 0
: 15x y z
mt cu
2 2 2
:(x 2) (y 3) (z 5) 100
S
. Đường thng
qua A, nm trên mt phng
ct
( )
S
ti
A
,
B
. Để đi
AB
ln nht t phương trình đường thng
là:
A.
3 3 3
1 4 6
x y z
. B.
3 3 3
16 11 10
x y z
.
C.
3 5
3
3 8
x t
y
z t
. D.
3 3 3
1 1 3
x y z
.
Hướng dn gii:
Mt cu
S
có tâm
2;3;5
I , bán kính
10
R
. Do
(I,( )) R
d
nên
ln ct
S
ti
A
,
B
.
Khi đó
2
2
(I, )
AB R d
. Do đó,
AB
ln nht t
,d I
nh nht nên
qua
H
,
vi
H
là hình chiếu vuông góc của I lên
. Phương trình
x 2 2t
y 3
5
:
2
z t
B
t
H
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 64
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
( ) 2 2 2 2 3 2 5 15 0
H t t t
2; 7;
t 2
3
H .
Do vậy
AH (1;4;6)
là véc tơ chỉ phương của
. Phương trình của
3 3 3
1 4 6
x y z
Câu 21: Phương trình nào sau đây không phải là phương trình hình chiếu vuông góc của đường thng
d: trên mt phng (Oxy):
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải:
A(1;-2;3), B(3;1;4) thuc d. Hình chiếu ca A,B trên mt phng (Oxy) là A
/
(1;-2;0),
B
/
(3;1;0)
Phương trình hình chiếu đi qua hoc và nhận véc tơ cùng phương với
làm véc tơ chỉ phương.
Chọn C.
Câu 22: Trong không gian vi h ta độ
,
Oxyz
cho đường thng
12 9 1
: ,
4 3 1
x y z
d
mt
thng
:3 5 2 0
P x y z
. Gi
'
d
là hình chiếu ca
d
lên
.
P
Phương trình tham s ca
'
d
A.
62
25 .
2 61
x t
y t
z t
B.
62
25 .
2 61
x t
y t
z t
C.
62
25 .
2 61
x t
y t
z t
D.
62
25 .
2 61
x t
y t
z t
Hướng dn gii:
Cách 1:
Gi
A d P
12 4 ;9 3 ;1
3 0;0; 2
A d A a a a
A P a A
d
đi qua điểm
12;9;1
B
1 2
2 3 ,
3
x t
y t t R
z t
3 2 '
1 3 ' , '
0
x t
y t t R
z
1 4 '
2 6 ', '
0
x t
y t t R
z
1 2 '
2 3 ', '
0
x t
y t t R
z
5 2 '
4 3 ', '
0
x t
y t t R
z
/
A
/
B
/ /
2;3;0
A B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 65
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gi
H
là hình chiếu ca
B
lên
P
P
vectơ pháp tuyến
3;5; 1
P
n
BH
đi qua
12;9;1
B và có vectơ chỉ phương
3;5; 1
BH P
a n
12 3
: 9 5
1
12 3 ;9 5 ;1
78 186 15 113
; ;
35 35 7 35
186 15 183
; ;
35 7 35
x t
BH y t
z t
H BH H t t t
H P t H
AH
'
d
đi qua
0;0; 2
A
và có vectơ chỉ phương
'
62; 25;61
d
a
Vậy phương trình tham s ca
'
d
62
25
2 61
x t
z t
Cách 2:
Gi
Q
qua
d
và vng c vi
P
d
đi qua điểm
12;9;1
B và có vectơ chỉ phương
4;3;1
d
a
P
có vectơ pháp tuyến
3;5; 1
P
n
Q
qua
12;9;1
B vectơ pháp tuyến
, 8;7;11
Q d P
n a n
:8 7 11 22 0
Q x y z
'
d
là giao tuyến ca
Q
P
Tìm mt đim thuc
'
d
, bng cách cho
0
y
Ta có h
3 2 0
0;0; 2 '
8 11 22 2
x z x
M d
x z y
'
d
đi qua điểm
0;0; 2
M
vectơ chỉ phương
; 62; 25;61
d P Q
a n n

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 66
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Vậy phương trình tham s ca
'
d
62
25
2 61
x t
z t
Câu 23: Trong không gian vi h ta độ
BH
cho đường thng
1 2
: 2 4
3
x t
d y t
z t
. Hình chiếu song
song ca
1; 2;2
BH Q
a n
lên mt phng
1
: 1 2
3 2
1 ; 1 2 ;3 2
10 1 11 7
; ;
9 9 9 9
x t
BH y t
z t
H BH H t t t
H P t H
theo
phương
1 6 2
:
1 1 1
x y z
có phương trình là:
A.
3 2
0 .
1 4
x t
y
z t
B.
3
0 .
1 2
x t
y
z t
C.
1 2
0 .
5 4
x t
y
z t
D.
3 2
0 .
1
x t
y
z t
Hướng dn gii:
Giao đim ca d và mt phng
1
: 1 2
3 2
1 ; 1 2 ;3 2
10 1 11 7
; ;
9 9 9 9
x t
BH y t
z t
H BH H t t t
H P t H
là:
0
(5;0;5)
M
.
Trên
1 2
: 2 4
3
x t
d y t
z t
chn M bt k không trùng vi
0
(5;0;5)
M
; ví d:
(1; 2;3)
M
. Gi A
là hình chiếu song song ca M lên mt phng
1
: 1 2
3 2
1 ; 1 2 ;3 2
10 1 11 7
; ;
9 9 9 9
x t
BH y t
z t
H BH H t t t
H P t H
theo
phương
1 6 2
:
1 1 1
x y z
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 67
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
+/ Lập phương trình d’ đi qua M và song song hoc trùng vi
1 6 2
:
1 1 1
x y z
.
+/ Đim A chính là giao điểm ca d’
1
: 1 2
3 2
1 ; 1 2 ;3 2
10 1 11 7
; ;
9 9 9 9
x t
BH y t
z t
H BH H t t t
H P t H
+/ Ta tìm được
(3;0;1)
A
Hình chiếu song song ca
1 2
: 2 4
3
x t
d y t
z t
lên mt phng
1
: 1 2
3 2
1 ; 1 2 ;3 2
10 1 11 7
; ;
9 9 9 9
x t
BH y t
z t
H BH H t t t
H P t H
theo phương
1 6 2
:
1 1 1
x y z
là đường thng
đi qua
0
(5;0;5)
M
(3;0;1)
A .
Vậy phương trình là:
3
0
1 2
x t
y
z t
Câu 24: Trong không gian vi h ta độ
: 2 2 1 0
Q x y z
gi
d
đi qua
3; 1;1
A , nm trong
mt phng
: 5 0
P x y z
, đồng thi to vi
2
:
1 2 2
x y z
mt c
0
45
. Phương
tnh đường thng
d
là
A.
3 7
1 8 .
1 15
x t
y t
z t
B.
3
1 .
1
x t
y t
z
C.
3 7
1 8 .
1 15
x t
y t
z t
D.
3
1
1
x t
y t
z
3 7
1 8 .
1 15
x t
y t
z t
Hướng dn gii:
có vectơ chỉ phương
1;2;2
a
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 68
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
d
có vectơ chỉ phương
; ;
d
a a b c
P
có vectơ pháp tuyến
1; 1;1
P
n
0 0
2 2 2
2
2 2 2
; 1
, 45 cos , cos45
2 2
2
2
3
2 2 2 9 ; 2
d P
d P a n b a c
d d
a b c
a b c
a b c a b c
T
1
1 2
:
1 2 1
x y z
2
1 1
:
1 2 3
x y z
, ta có:
2
0
14 30 0
15 7 0
c
c ac
a c
Vi
0
c
, chn
1
a b
, phương trình đường thng
d
3
1
1
x t
y t
z
Vi
15 7 0
a c
, chn
7 15; 8
a c b
, phương trình đường thng
d
3 7
1 8
1 15
x t
y t
z t
Câu 25: Trong không gian vi h tọa đ
,
Oxyz
gi
d
đi qua đim
1; 1;2
A , song song vi
: 2 3 0
P x y z , đồng thi to với đưng thng
1 1
:
1 2 2
x y z
mt c ln
nht. Phương trình đường thng
d
là.
A.
1 1 2
.
1 5 7
x y z
B.
1 1 2
.
4 5 7
x y z
C.
1 1 2
.
4 5 7
x y z
D.
1 1 2
.
1 5 7
x y z
Hướng dn gii:
có vectơ chỉ phương
1; 2;2
a
d
có vectơ chỉ phương
; ;
d
a a b c
P
có vectơ pháp tuyến
2; 1; 1
P
n
d P
nên . 0 2 0 2

d P d P
a n a n a b c c a b
2
2 2
2 2
5 4 5 4
1
cos ,
3 5 4 2
3 5 4 2
a b a b
d
a ab b
a ab b
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 69
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Đặt
a
t
b
, ta có:
2
2
5 4
1
cos ,
3 5 4 2
t
d
t t
Xét hàm s
2
2
5 4
5 4 2
t
f t
t t
, ta suy ra được:
1 5 3
max
5 3
f t f
Do đó:
5 3 1 1
max cos ,
27 5 5
a
d t
b
Chn
1 5, 7
a b c
Vậy phương trình đường thng
d
là
1 1 2
1 5 7
x y z
Chọn A.
Câu 26: Trong không gian cho đường thng
3 1
:
1 2 3
x y z
đường thng
3 1 2
:
3 1 2
x y z
d
. Viết phương trình mt phng
P
đi qua
và to với đường thng
d
mt góc ln nht.
A. 19 17 2 77
.
0 0
x y z
B. 19 17 2 34
.
0 0
x y z
C. 31 8 5 91
.
0
x y z
D. 31 8 5 98
.
0
x y z
Hướng dn gii:
Chọn D.
Đường thng
d
có VTCP là
1
3;1;2
u
.
Đường thng
đi qua đim
3;0; 1
M
và có VTCP là
1;2;3
u
.
Do
P
nên
M P
. Gi s VTPT ca
P
là
2 2 2
; ; , 0
n A B C A B C
.
Phương trình
P
có dng
3 1 0
A x By C z
.
Do
P
nên
. 0 2 3 0 2 3
u n A B C A B C
.
Gi
là góc gia
d
P
. Ta
1
2 2 2 2
2 2
1
.
3 2 3 2
3 2
.
14.
14. 2 3
u n
B C B C
A B C
sin
u n
A B C
B C B C
2
2 2
2 2
5 7 5 7
1
5 12 10
14
14. 5 12 10
B C B C
B BC C
B BC C
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 70
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
TH1: Vi
0
C
thì
5 70
14 14
sin
.
TH2: Vi
0
C
đặt
B
t
C
ta có
2
2
5 7
1
5 12 10
14
t
sin
t t
.
Xét hàm s
2
2
5 7
5 12 10
t
f t
t t
trên
.
Ta có
2
2
2
50 10 112
5 12 10
t t
f t
t t
.
2
8 8 75
5 5 14
0 50 10 112 0
7 7
0
5 5
t f
f t t t
t f
.
2
2
5 7
lim lim 5
5 12 10
x x
t
f t
t t
 
.
Bng biến thiên
T đó ta có
75
14
Maxf t khi
8 8
5 5
B
t
C
. Khi đó
1 8 75
.
5 14
14
sin f
.
So sánh TH1 và Th2 ta có
sin
ln nht là
75
14
sin
khi
8
5
B
C
.
Chn
8 5 31
B C A
.
Phương trình
P
là
31 3 8 5 1 0 31 8 5 98 0
x y z x y z
.
0
0
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 71
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 27: Trong không gian vi h trc to độ
,
Oxyz
cho mt phng
: 2 0
P x y z
hai
đường thng
1
:
2 2
x t
d y t
z t
;
3
': 1 .
1 2
x t
d y t
z t
Biết rằng có 2 đường thẳng các đặc điểm: song song vi
P
; ct
,
d d
và to vi
d
c
O
30
.
Tính cosin góc to bởi hai đưng thẳng đó.
A.
1
.
5
B.
1
.
2
C.
2
.
3
D.
1
.
2
Hướng dn gii::
Gọi
là đường thẳng cần tìm,
P
n
là VTPT của mặt phẳng
P
.
Gi
1 ; ;2 2
M t t t
là giao đim ca
d
; là giao đim ca
Ta có:
Ta có
Vậy, 2 đường thng tho mãn là .
Khi đó,
Câu 28: Trong không gian vi h ta độ Oxyz, cho hai đim . Đường
thng ct mt phng tại điểm . Tính t s .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dn gii:
Ta có:
;
;
Ta có:
thng hàng
3 ;1 ;1 2
M t t t
'
d
' 2 ;1 ; 1 2 2
MM t t t t t t
MM
//
2 4 ; 1 ;3 2
P
M P
P t MM t t t
MM n
O
2
4
6 9
3
cos30 cos ,
1
2
36 108 156
d
tt
MM u
t
t t
1 2
5
: 4 ; : 1
10
x x t
y t y
z t z t
1 2
1
cos , .
2
2;3;1
A
5; 6; 2
B
AB
Oxz
M
AM
BM
1
2
AM
BM
2
AM
BM
1
3
AM
BM
3
AM
BM
;0;
M Oxz M x z
; ;
7 31 59
AB AB
; ;
2 3 1
AM x z
, ,
A B M
.AM k AB k
2 7 9
3 3 1
1 0
x k x
k k
z k z
;0;
9 0 .
M
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 72
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn A.
Câu 29: Trong không gian vi h ta độ Oxyz, cho hai đim
( 2; 2; 1),
A
1; 2; 3
B
đường
thng
1 5
:
2 2 1
x y z
d
. Tìm vectơ chỉ phương
u
của đường thng
qua A, vuông góc
với d đồng thời cách điểm B mt khong bé nht.
A.
(2;1;6)
u
B.
(2;2; 1)
u
C.
(25; 29; 6)
u
D.
(1;0;2)
u
Hướng dn gii:
Cách 1 (T lun)
Gi (P) là mt phng qua A và vuông góc vi d, B’ là hình chiếu ca B lên (P)
Khi đó đường thng
chính là đường thng AB’ và
B'A
u
Ta có
( 2; 2;1)
: (P): 2 2 9 0
(2;2; 1)
P d
Qua A
P x y z
VTPT n u
Gọi d’ là đường thng qua B và song song d
1 2
' 2 2
3
x t
d y t
z t
B’ là giao đim ca d’ và (P)
'( 3; 2; 1) ' (1;0;2)
B u B A
Chn D
Cách 2: Không cn viết phương trình mt phng (P) qua A và vng góc vi d.
Gọi d’ là đường thng qua B và song song d
1 2
' 2 2
3
x t
d y t
z t
B’
d’
' 2 3; 2 4; 4
B A t t t
AB’
d
. ' 0 2 ' (1;0;2)
d
u B A t u B A

Chn D
Câu 30: Trong không gian vi h to độ Oxyz, cho hai đim
1;2; 1 , 7; 2;3
A B đường thng
d
phương trình
2 3
2 (t R)
4 2
x t
y t
z t
. Đim M trên
d
sao cho tng khong cách t
M
đến
A
B
là nh nht có tng các tọa đ là:
A.
2;0;4 .
M B.
2;0;1 .
M C.
1;0;4 .
M D.
1;0;2 .
M
Hướng dn gii:
; ;
14 6 2 118 2 .
BM BM AB
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 73
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Nếu M nm trên d t đim I có tọa độ là M=(2+3t;-2t;4+2t). T đó ta có:
2 2 2
3 1; 2 2 ;2 5 3 1 2 2 2 5
AM t t t AM t t t
Tương tự:
2 2 2
3 5;2 2 ;2 1 3 5 2 2 2 1
BM t t t BM t t t
T (*): MA=MB =
2 2 2
3 1 2 2 2 5
t t t
=
2 2 2
3 5 2 2 2 1
t t t
Hay:
2 2
17 34 30 17 36 30 34 36 0 11 70 0 0
t t t t t t t t
Ta độ M tha mãn yêu cu là: M=(2;0;4 ).
Chọn A.
Câu 31: Trong không gian vi h trc ta độ
,
Oxyz
cho đim
(2;3;0),
A
(0; 2;0),
B
6
; 2;2
5
M
đường thng
: 0 .
2
x t
d y
z t
Điểm
C
thuc
d
sao cho chu vi tam giác
ABC
nh nh t độ
dài
CM
bng
A.
2 3.
B.
4.
C.
2.
D.
2 6
.
5
Hướng dn gii:
Do
AB
có độ dài không đổi nên chu vi tam giác
ABC
nh nht khi
AC CB
nh nht.
2 2
;0;2 2 2 2 9, 2 2 4
C d C t t AC t BC t
2 2
2 2 2 9 2 2 4.
AC CB t t
Đặt
2 2 2;3 , 2 2;2
u t v t
ápdngbấtđẳngthc
u v u v
2 2 2
2 2 2 9 2 2 4 2 2 2 25.
t t Dubngxyrakhivàch
khi
2 2
2 2 2 3 7 7 3 6 7 3
;0; 2 2 2.
2 5 5 5 5 5 5
2 2
t
t C CM
t
Chọn C.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 74
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 32: Trong không gian vi h tọa độ., cho bốn điểm. và. Kí hiu
d
là đường thẳng đi qua
D
sao
cho tng khong cách t các điểm
, ,
A B C
đến
d
ln nht. Hỏi đường thng
d
đi qua
điểm nào dưới đây?
A.
1; 2;1
M . B.
5;7;3
N . C.
3;4;3
P . D.
7;13;5
Q .
Hướng dn gii:
Ta có phương trình mt phng qua A,B,C là:
: 1 2 3 6 0
3 2 6
x y z
ABC x y z
.
D thy
D ABC
.Gi. ln lưt là hình chiếu vuông góc ca
, ,
A B C
trên
d
.
Suy ra
, , , ' ' '
d A d d B d d C d AA BB CC AD BD CD
.Du bng xy ra khi
' ' '
A B C D
. Hay tng khong cách t các điểm
, ,
A B C
đến
d
ln nht khi d
đường thng qua D và vuông góc vi mt phng
1 2
: 1 3 ;
1
x t
ABC d y t N d
z t

chn B.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 75
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
PHƯƠNG TRÌNH MT CU NÂNG CAO
A - LÝ THUYT CHUNG
1. Định nghĩa mt cu
Tp hợp các điểm trong không gian cách đim
O
c định mt khong cách
R
cho trước là mt cu
tâm
O
và bán kính
.
R
hiu
; .
S O R
Trong không gian vi h trc
Ox :
yz
- Mt cu
S
m
, ,
I a b c
bán kính
R
có phương trình là:
2 2 2
2
.
x a y b z c R
- Phương trình:
2 2 2
2 2 2 0,
x y z ax by cz d vi
2 2 2
0
a b c d
là phương trình mt cu
tâm
; ; ,
I a b c
bán kính
2 2 2
R a b c d
.
2. V trí tương đối ca mt phng
P
và mt cu
S
,
d I P R
khi và ch khi
P
không ct mt cu
.
S
,
d I P R
khi và ch khi
P
tiếp xúc mt cu
.
S
,
d I P R
khi và ch khi
P
ct mt cu
S
theo
giao tuyến là đường tròn nm trên mt phng
P
có tâm
H
và có bán kính
2 2
.
r R d
3. V trí tương đối gia mt cầu và đường thng
a) Cho mt cu
;
S O R
và đường thng
. Gi
H
là hình
chiếu ca
O
lên
d OH
là khong cách t
O
đến
Nếu
d R
t
ct mt cu tại 2 điểm phân bit (H.3.1)
Nếu
d R
t
ct mt cu tại 1 điểm duy nht (H.3.2)
Nếu
d R
t
không ct mt cu (H.3.3)
A
O
B
H
O
H
O
H
R
I
H
P
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 76
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
B – BÀI TP TRC NGHIM
Câu 1: Trong không gian vi h trc ta độ , cho ba đim
. Mt cu tâm I đi qua và đội
(biết tâm I có hoành độ nguyên, O
gc ta độ). Bán kính mt cu là
A. B. C. D.
Hướng dn gii:
Phương trình mt cu (S) có dng:
đim thuc mt cu (S) nên ta có h:
Suy ra
Chn B.
Câu 2: Trong không gian vi h ta độ
Ox ,
yz
cho
1;0;0 , 2; 1;2 , 1;1; 3 .
A B C
Viết phương
tnh mt cu tâm thuc trc
,
Oy
đi qua
A
ct mt phng
ABC
theo mt đường
tròn có bán kính nh nht.
A.
2
2 2
1 5
2 4
x y z
. B.
2
2 2
1 5
2 4
x y z
.
C.
2
2 2
1 9
2 4
x y z
. D.
2
2 2
3 5
2 4
x y z
Hướng dn gii:
Mt phng
ABC
có phương trình:
1 0
x y z
Gi
S
là mt cu có tâm
I Oy
và ct
ABC
theo một đường tròn bán kính r nh nht.
I Oy
nên
0; ;0 ,
I t gi
H
là hình chiếu ca
I
lên
ABC
khi đó là có bán kính
đường tròn giao ca
ABC
S
là
2 2
.
r AH IA IH
Ta có
2 2
2 2 2
1
2 1 2 2 2
1, , 1 .
3 3
3
t
t t t t
IA t IH d I ABC r t
Do đó, r nh nht khi ch khi
1
.
2
t
Khi đó
2
1 5
0; ;0 ,
2 4
I IA
Oxyz
0;2;0 , 1;1;4
A B
3; 2;1
C
S
, ,
A B C
5
OI
S
1
R
3
R
4
R
5
R
2 2 2
2 2 2 0
x y z ax by cz d
4
, , ,
O A B C
( ) 4 4 0
( ) 2 2 8 18 0
( ) 6 4 2 14 0
A S b d
B S a b c d
C S a b c d
2 2 2 2
5 5 5
OI OI a b c
1; 0; 2; 4 3
a b c d R
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 77
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Vậy phương trình mt cu cn tìm là:
2
2 2
1 5
2 4
x y z
Chn A.
Câu 3: Trong không gian vi h ta độ
Ox ,
yz
viết phương trình mt cu có tâm
1;2;3
I tiếp
xúc với đường thng
2
.
1 2 2
x y z
A.
2 2
2
233
1 2 ( 3)
9
x y z . B.
2 2
2
243
1 2 ( 3)
9
x y z .
C.
2 2
2
2223
1 2 ( 3)
9
x y z . D.
2 2
2
333
1 2 ( 3)
9
x y z
Hướng dn gii:
+ Đường thng
d
đi qua
0; 2;0
M có vec tơ chỉ phương
1; 2;2 .
u
Tính được
1;4;3 .
MI
+ Khẳng định tính được
,
233
,
3
MI u
d I d
u
+ Khẳng định mt cu cn tìm bán kính bng
,
d I d
và viết phương trình:
2 2
2
233
1 2 ( 3)
9
x y z
Chn A.
Câu 4: Trong không gian vi h ta độ
Ox ,
yz
cho mt cầu có phương trình
2 2 2
4 2 6 12 0
x y z x y z
và đường thng
: 5 2 ; 4; 7 .
d x t y z t
Viết
phương trình đường thng
tiếp xúc mt cu
S
tại điểm
5;0;1
M biết đường thng
to với đường thng
d
mt góc
tha mãn
1
7
A.
5 3 5 13
: 5 : 5
1 1 11
x t x t
y t y t
z t z t
. B.
5 3 5 13
: 5 : 5
1 1 11
x t x t
y t y t
z t z t
.
C.
5 3 5 13
: 5 : 5
1 1 11
x t x t
y t y t
z t z t
. D.
5 3 5 13
: 5 : 5
1 1 21
x t x t
y t y t
z t z t
Hướng dn gii:
2 2 2
: 2 2 3 26
S x y z S
có tâm
2; 1; 3
I
và bán kính
26.
R
1
3;1;4 , 2;0;1
IM u
là 1 VTVP ca
d
Gi s
2
; ;
u a b c
là 1 VTCP của đường thng
2 2 2
0
a b c
Do tiếp xúc mt cu
S
ti
2
3 4 0 3 4 1
M IM u a b c b a c
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 78
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Mà góc giữa đường thng
và đường thng
d
bng
.
1 2
1 2
2 2 2
1 2
.
2
1 1
cos , os 2
7 7
.
. 5
u u
a c
u u c
u u
a b c
Thay
1
vào
2
ta được:
2
2 2 2 2 2 2 2 2
7 2 5. 3 4 7 4 4 5 9 24 16
a c a a c c a ac c a a ac c c
2 2
3
22 92 78 0
13
11
a c
a ac c
a c
Vi
3
a c
do
2 2 2
0
a b c
nên chn
1 3; 5
c a b
phương trình đường thng là:
5 3
: 5
1
x t
y t
z t
Vi
13
11
a c
do
2 2 2
0
a b c
nên chn
11 13; 5
c a b
phương trình đường thng là:
5 13
: 5
1 11
x t
y t
z t
Chn A.
Câu 5: Trong không gian vi h ta độ
Ox ,
yz
cho đường thng
1 2
: .
1 2 2
x y z
d
Tìm ta độ
điểm
M
thuc đường thng
d
sao cho mt cu
S
tâm
M
tiếp xúc vi trc
Oz
bán
kính bng 2.
A.
6 8 2
2;0; 2 ; ;
5 5 5
M M
. B.
6 8 2
2;0;2 ; ;
5 5 5
M M
.
C.
7 8 4
2;0; 2 ; ;
5 5 5
M M
. D.
6 8 2
4;0; 2 ; ;
5 5 5
M M
Hướng dn gii:
1 ; 2 2 ; 2 .
M d M t t t
Trc
Oz
đi qua đim
O 0;0;0
và có vtcp
0;0;1 ;
k
2
1 ; 2 2 ; 2 ; 2 2 ; 1 ;0
; 5 6 5
OM t t t OM k t t
OM k t t

Gi
R
là bán kính mt cu
S
, ta có:
2
; 5 6 5
R d M Oz t t
2 2
2; 2;0
1
2 5 6 5 2 5 6 5 0
1
6 8 2
; ;
5
5 5 5
M
t
R t t t t
t
M
Chn A.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 79
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 6: Trong không gian vi h ta độ
Ox ,
yz
cho hai đường thng
1 2
,
có phương trình:
1 2
2 1 1 2 3 1
: ; :
1 4 2 1 1 1
x y z x y z
. Viết phương trình mt cu bán kính
nh nht và tiếp xúc với hai đường thng
1 2
, ?
A.
2
2 2
2 6
x y z
. B.
2
2 2
2 6
x y z
.
C.
2
2 2
2 6
x y z
. D.
2
2 2
2 6
x y z
Hướng dn gii:
Mt cu có bán kính nh nht tiếp xúc với hai đường thng
1 2
,
là mt cu nhn đon
vuông góc chung ca
1 2
,
làm đường kính. Gi s mt cu cn lp
S
,
A B
ln
lượt là tiếp điểm ca
S
vi
1 2
,
. Viết phương trình
1 2
,
dưới dang tham s thì ta có:
2 ;1 4 ;1 2 , 2 ;3 ; 1
A m m m B n n n
Do
AB
là đoạn vuông góc chung ca
1 2
,
nên:
1
2
. 0
3 21 0
0 2;1;1 , 2;3; 1
3 0
. 0
ABU
n m
m n A B
n m
ABU
Trung đim
I
ca
AB
tọa đ là
0;2;0
I nên phương trình mt cu cn lp là:
2
2 2
2 6
x y z
Chn A.
Câu 7: Trong không gian vi h ta độ
Ox ,
yz
cho mt cu
2 2 2
: 2 4 2 3 0.
S x y z x y z
Viết phương trình mt phng
P
cha trc
Ox
và ct mt cu
S
theo một đường tròn có
bán kính bng 3.
A.
: 2 0
P y z
. B.
: 2 0
P x z
. C.
: 2 0
P y z
. D.
: 2 0
P x z
Hướng dn gii:
S
có tâm
1; 2; 1
I
và bán kính
3.
R
P
cha trc
Ox
và ct mt cu
S
theo một đường tròn có bán kính bng 3 nên
P
cha
Ox
và đi qua tâm
I
ca mt cu.
Ta có:
1; 2; 1 ,
OI P
có vec tơ pháp tuyến
, 0; 1; 2
n i OI
P
qua
.
O
Vy
: 2 0.
P y z
Chn A.
Câu 8: Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz,
cho đường thng
1 1
:
2 1 1
x y z
d
ct mt
phng
: 2 6 0
P x y z
tại đim
.
M
Viết phương trình mt cu
S
tâm
I
thuc
đường thng
d
tiếp xúc vi mt phng
P
tại điểm
,
A
biết din tích tam giác
IAM
bng
3 3
và tâm
I
có hoành độ âm.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 80
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2 2
2
: 1 1 6
S x y z
. B.
2 2
2
: 1 1 36
S x y z
.
C.
2 2
2
: 1 1 6
S x y z
. D.
2 2
2
: 1 1 6
S x y z
Hướng dn gii:
Một vec tơ chỉ phương của đường thng
d
là
2;1; 1 .
u
Một vec tơ pháp tuyến của đường
thng mt phng
P
là
1;2;1 .
n
Gi
là góc giữa đường thng
d
và mt phng
.
P
Ta có
0
2 2 1
1
sin cos , 30
2
6. 6
u n IMA
Gi
R
bán kính mt cu
.
S IA R
Tam giác
IAM
vuông ti
A
0
1
30 3. 3 3 . 3 3 6
2
IMA
IMA AM R S IA AM R
Gi s:
1
1 2 ;1 ; ,
2
I t t t t
T gi thuyết ta có khong cách:
3 3
, 1 3
6
t
d I P R t t
(loi)
1;0;1
I
Phương trình mt cu
2 2
2
: 1 1 6.
S x y z
Chn A.
Câu 9: Trong không gian tọa độ
Ox ,
yz
viết phương trình mt cầu đi qua ba điểm
1; 1;2 , 2;1; 1
A B
1;2; 3
C
biết tâm ca mt cu nm trên mt phng
.
Oxz
A.
2 2
2
12 4 1326
:
11 11 121
S x y z
. B.
2 2
2
12 4 1327
:
11 11 121
S x y z
.
C.
2 2
2
12 4 1328
:
11 11 121
S x y z
. D.
2 2
2
12 4 1329
:
11 11 121
S x y z
Hướng dn gii:
Oxz
I nên
;0; ,
I x z IA IB IC
nên:
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2 1 1
1 1 2 1 4 3
x z x z
x z x z
Gii h ta được
12 4 12 4
; ;0;
11 11 11 11
x z I
Bán kính
1326
121
R
Phương trình mt cu
2 2
2
12 4 1326
:
11 11 121
S x y z
Chn A.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 81
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 10: Trong không gian
Ox
yz
cho 3 đim
13; 1;0 , 2;1; 2 , 1;2;2
A B C và mt cu
2 2 2
: 2 4 6 67 0.
S x y z x y z
Viết phương trình mt phng
P
đi qua qua
,
A
song song vi
BC
và tiếp xúc vi mt cu
.
S S
có tâm
1;2;3
I và có bán kính
9.
R
A.
: 2 2 28 0
P x y z
hoc
:8 4 100 0
P x y z
.
B.
: 2 2 28 0
P x y z
hoc
:8 4 100 0
P x y z
.
C.
: 2 2 28 0
P x y z
hoc
:8 4 100 0
P x y z
.
D.
: 2 2 2 28 0
P x y z
hoc
:8 4 1000 0
P x y z
Hướng dn gii:
Gi s
P
có vtpt
2 2 2
; ; , 0 , / /
n A B C A B C P BC
nên:
, 1;1;4 . 0 4 4 ; ;
n BC BC n BC A B C n B C B C
P
đi qua
13; 1;0A
phương trình:
: 4 12 52 0
P B C x By Cz B C
P
tiếp xúc vi
2
2 2
4 2 3 12 52
, 9
4
B C B C B C
S d I P R
B C B C
2 2
2 0
2 8 0 2 4 0
4 0
B C
B BC C B C B C
B C
Vi
2 0
B C
chn
2
,
1
B
C
ta được phương trình:
: 2 2 28 0
P x y z
Vi
4 0
B C
chn
4
,
1
B
C
ta được phương trình:
:8 4 100 0
P x y z
Chn A.
Câu 11: Trong không gian
Ox ,
yz
cho mt cu
2 2 2
: 4 2 2 3 0,
S x y z x y z
mt phng
: 1 0
P x y z
hai điểm
1;1;0 , 2;2;1 .
A B
Viết phương trình mt phng
song song vi
,
AB
vuông c vi mt phng
P
ct mt cu
S
theo một đường tròn
C
có bán kính bng
3.
A.
: 2 1 0
x y z
và mp
: 2 11 0
x y z
.
B.
: 5 2 1 0
x y z
và mp
: 2 11 0
x y z
.
C.
: 2 1 0
x y z
và mp
: 5 2 11 0
x y z
.
D.
: 5 2 1 0
x y z
và mp
: 5 2 11 0
x y z
Hướng dn gii:
Pt
S
viết dưới dng
2 2 2
: 2 1 1 9
S x y z
Suy ra
S
có tâm
2; 1; 1
I
, bán kính
3.
R
Ta có
3;1;1
AB
mt VTPT ca mt phng
P
là
1; 1;1
n
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 82
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Do đó
. 2; 2;4 0
AB n
Gọi vec tơ là mt VTPT ca mt phng
.
Ta có:
/ /AB
u AB
u
P
u n
cùng phương với
. .
AB n
Chn
1
. 1; 1; 2
2
u AB n u

Mt phng
có mt VTPT
u
nên phương trình có dng
2 0
x y z D
Gi
d
là khong cách t
I
đến mt phng
ct
S
theo một đường tròn
C
bán
kính
3.
r Nên
2 2
9 3 6
d R r
Ta có:
2 1 2 1
1
6 6 5 6
11
6
D
D
d D
D
Vi
1
D
thì
: 2 1 0
x y z
không qua
1;1;0
A (
1 1 2.0 1 0
)
Nên
/ / .
AB
Tương tự, mt phng cũng song song với
.
AB
Vy hai mt phng
tha mãn u cầu bài toán có phương trình:
: 2 1 0
x y z
và mp
: 2 11 0
x y z
.
Chn A.
Câu 12: Trong không gian
Oxyz,
cho hai điểm
2;0;0 , 0;2;0 .
A B Đim
C
thuc trc
O
x
sao
cho tam giác
ABC
là tam giác đều, viết phương trình mt cu
S
tâm
O
tiếp xúc vi ba
cnh ca tam giác
.
ABC
A.
2 2 2
: 2
S x y z
. B.
2 2 2
: 2
S x y z
.
C.
2 2 2
: 2
S x y z . D.
2 2 2
: 2
S x y z
Hướng dn gii:
Oz C 0;0;
C c
và tam giác
ABC
đều khi và ch khi:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
AB AC BC AB AC BC c c
Vy
0;0;2
C hoc
0;0; 2
C
Lp luận được t din
OABC
đều vì
2
OA OB OC
và tam giác
ABC
đều.
Gi
I
là trung điểm ca
AB
thì
IO AB
ti
2 2 2 2
1 1
2 2 2
2 2
I OI AB OA OB
(Tam giác
OAB
vuông ti
O
)
Lp luận được mt cu
S
tâm
O
tiếp xúc vi 3 cnh ca tam giác
ABC
có bán kính
, 2.
R d O AB IO
Do đó phương trình có mt cu
2 2 2
: 2.
S x y z
Chn A.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 83
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 13: Trong không gian vi h ta độ
Ox ,
yz
cho đường thng
2 1 1
:
1 2 1
x y z
d
mt cu
2 2 2
: 1 2 1 25.
S x y z Viết phương trình đường thng
đi qua đim
1; 1; 2 ,
M
cắt đường thng
d
và mt cu
S
tại hai điểm
,
A B
sao cho
8.
AB
A.
1 6
: 1 2
2 9
x t
y t
z t
. B.
1 6
: 1 2
2 9
x t
y t
z t
.
C.
1 6
: 1 2
2 9
x t
y t
z t
. D.
2 6
: 3 2
2 9
x t
y t
z t
Hướng dn gii:
Gi:
1 1 1
2 ;1 2 ;1 3 ;2 2 ;3
M d M t t t MM t t t
Mt cu có tâm
1;2;1
I
Mt phng
1
1;2;1
1;2;1
: :
P
qua I
qua I
P P
P
VTPT n MM

: 3 1 2 2 2 3 1 0
P t x t y t z
Gi
H
là trung điểm
AB
thì
, 3
IH AB IH
Do
2
1
3 15
3 2 3 ,
3
6 8 22
5
t
t
IM MH d M P
t
t t
Vi
1 2
1 : 1 2 .
2
x t
t y t
z t
Vi
1 6
3
: 1 2 .
5
2 9
x t
t y t
z t
Chn A.
Câu 14: Trong không gian
Ox ,
yz
viết phương trình mt cu
S
tiếp xúc vi mt phng
:2 2 1 0
Q x y z
ti
1; 1; 1
M
và tiếp xúc mt phng
: 2 2 8 0
P x y z
A.
2 2
2
2 2 2
: 3 1 9
: 1 2 3 9
c x y z
c x y z
. B.
2 2
2
2 2 2
: 3 1 9
: 1 2 3 9
c x y z
c x y z
.
C.
2 2
2
2 2 2
: 3 1 9
: 1 2 3 9
c x y z
c x y z
. D.
2 2
2
2 2 2
: 3 1 81
: 1 2 3 81
c x y z
c x y z
Hướng dn gii:
Mt phng
Q
có vec tơ pháp tuyến
2;1;2 .
n
Đường thng
d
đi qua
M
và vng c
vi
Q
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 84
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
phương trình
1 2
1 .
1 2
x t
y t
z t
Ly
1 2 ; 1 ; 1 2
I t t t d
2 2 2
2 2
2
2 2 2
1 2 2 2 2 4 8
, 4 4
1 4 4
1 3;0;1 , 3 : 3 1 9
1 1; 2; 3 , 3 : 1 2 3 9
t t t
MI d I P t t t t
t I R S x y z
t I R S x y z
Chn A.
Câu 15: Trong không gian vi h to độ Oxyz, cho 2 đường thng:
, mt cu
Viết phương trình mt phng song song với hai đường thng và ct mt cu (S)
theo giao tuyến là đường tròn (C) có chu vi bng .
A.
B.
C.
D.
Chn B.
Hướng dn gii:
+ qua và có vectơ chỉ phương .
qua và có vectơ chỉ phương .
+ Mt phng () song song vi n vecpháp tuyến:
Phương trình mt phng () có dng:
+ Mt cu (S) có tâm và bán kính .
Gọi r là bán kính đường tròn (C), ta có:
1
2 1 1
:
1 2 3
x y z
2
: 2
1 2
x t
y t
z t
2 2 2
( ): 2 2 6 5 0
S x y z x y z
( )
1 2
,
2 365
5
5 3 4 0; 5 3 10 0
x y z x y z
5 3 10 0
x y z
5 3 3 511 0; 5 3 3 511 0
x y z x y z
5 3 4 0
x y z
1
1
(2; 1;1)
M
1
(1;2; 3)
u
2
2
(0;2;1)
M
2
(1; 1;2)
u
1 2
,
1 2
, (1; 5; 3)
u u
5 3 0
x y z D
I(1; 1;3)
4
R
2 365 365
2
5 5
r r
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 85
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Khi đó:
+ Phương trình mt phng .
nên M
1
và M
2
không thuc loi (1).
Vậy phương trình mt phng () cn tìm là: .
Chn B.
Câu 16: Trong không gian Oxyz, cho đim và mt phng . Mt cu S
tâm I nm trên mt phng , đi qua đim A gc tọa độ O sao cho chu vi tam giác
OIA bng . Phương trình mt cu S là:
A. hoc
B. hoc
C. hoc
D. hoc
Hướng dn gii:
Gi tâm ca S.
Khi đó nên ta suy ra h
Gii h ta tìm được hoc
Chn D.
Câu 17: Cho điểm
1;7;5
I đường thng
1 6
:
2 1 3
x y z
d
. Phương trình mt cu tâm
I
cắt đường thng d tại hai đim A, B sao cho tam giác din tích tam giác IAB bng
2 6015
là:
A.
2 2 2
1 7 5 2018.
x y z B.
2 2 2
1 7 5 2017.
x y z
C.
2 2 2
1 7 5 2016.
x y z D.
2 2 2
1 7 5 2019.
x y z
2 2
35
,( )
5
d I R r
4
3
35
10
5
35
DD
D
( ): 5 3 4 0 (1) hay 5 3 10 0 (2)
x y z x y z
1 2
/ /( ), / /( )
( )
5 3 10 0
x y z
1,0, 1
A
: 3 0
P x y z
P
6 2
2 2 2
2 2 1 9
x y z
2 2 2
2 2 1 9.
x y z
2 2 2
2 2 1 9
x y z
2 2 2
1 2 2 9
x y z
2 2 2
2 2 1 9
x y z
2 2 2
2 2 1 9
x y z
2 2 2
2 2 1 9
x y z
2 2 2
1 2 2 9
x y z
, ,
I x y z
, , 6 2
I P IO IA IO IA AO
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1
1 0
2 2 6 2 9
3 0
3 0
x y z x y z
x z
x y z x y z
x y z
x y z
2,2,1
I
1,2, 2
I
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 86
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dn gii:
Gi H hình chiếu ca
1;7;5
I trên d
0;0; 4
H
; 2 3
IH d I d
2
.
8020
2
AIB
AIB
S
IH AB
S AB
IH
2
2 2
2017
2
AB
R IH
Vậy phương trình mt cu là:
2 2 2
1 7 5 2017.
x y z
Chn B.
Câu 18: Cho đim
(0;0;3)
I và đường thng
1
: 2 .
2
x t
d y t
z t
Phương trình mt cu (S) có tâm
I
và ct
đường thng
d
tại hai điểm
,
A B
sao cho tam giác
IAB
vuông là:
A.
2
2 2
3
3 .
2
x y z
B.
2
2 2
8
3 .
3
x y z
C.
2
2 2
2
3 .
3
x y z
D.
2
2 2
4
3 .
3
x y z
Hướng dn gii:
Gi
1 ;2 ;2
H t t t d
là hình chiếu vuông góc ca
I
lên đường thng
d
1 ;2 ; 1
IH t t t
Ta có vectơ chỉ phương của
d
:
1;2;1
d
a
IH d
1 2 2 7
. 0 1 4 1 0 2 6 0 ; ;
3 3 3 3
d
IH a t t t t t H

2 2 2
2 2 2 2 3
3 3 3 3
IH
tam giác
IAB
vuông ti
I
IA IB R
. Suy ra tam giác
IAB
vuông cân ti
I
, do đó
bán kính:
0
2 2 3 2 6
cos45 2 . 2 2.
2 3 3
R IA AB IH IH
Vy phương trình mt cu
2
2 2
8
: 3
3
S x y z
.
Chn B.
Câu 19: Cho điểm
2;5;1
A mt phng
( ):6 3 2 24 0
P x y z
, H là hình chiếu vuông góc ca
A
trên mt phng
P
. Phương trình mt cu
( )
S
din tích
784
tiếp xúc vi mt
phng
P
ti H, sao cho đim A nm trong mt cu là:
A.
2 2 2
8 8 1 196.
x y z B.
2 2 2
8 8 1 196.
x y z
C.
2 2 2
16 4 7 196.
x y z D.
2 2 2
16 4 7 196.
x y z
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 87
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dn gii:
Gi
d
là đường thẳng đi qua
A
và vng c vi
P
. Suy ra
2 6
1 2
x t
d y t
z t
H là hình chiếu vuông góc ca
A
trên
P
nên
( )
H d P
.
H d
nên
2 6 ;5 3 ;1 2
H t t t
.
Mt khác,
( )
H P
nên ta có:
6 2 6 3 5 3 2 1 2 24 0 1
t t t t
Do đó,
4;2;3
H .
Gi
,
I R
ln lượt là tâm và bán kính mt cu.
Theo gi thiết din tích mt cu bng
784
, suy ra
2
4 784 14
R R
.
Vì mt cu tiếp xúc vi mt phng
P
ti Hn ( )
IH P I d
.
Do đó tọa độ đim
I
có dng
2 6 ;5 3 ;1 2
I t t t
, vi
1
t
.
Theo gi thiết, ta độ đim
I
tha mãn:
2 2 2
2 2 2
6 2 6 3 5 3 2 1 2 24
1
14
( ,( )) 14
6 3 ( 2)
1
3
14
2 2
6 3 2 14
t t t
t
d I P
t
t
AI
t
t t t
Do đó:
8;8; 1
I
.
Vy phương trình mt cu
2 2 2
( ): 8 8 1 196
S x y z .
Chn A.
Câu 20: Cho mt phng
: 2 2 10 0
P x y z
hai đường thng
1
2 1
:
1 1 1
x y z
,
2
2 3
:
1 1 4
x y z
. Mt cu
S
tâm thuc
1
, tiếp xúc vi
2
mt phng
P
,
phương trình:
A.
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 9
x y z
hoc
2 2 2
11 7 5 81
.
2 2 2 4
x y z
B.
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 9
x y z
hoc
2 2 2
11 7 5 81
.
2 2 2 4
x y z
C.
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 9.
x y z
D.
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 3.
x y z
Hướng dn gii:
1
2
:
1
x t
y t
z t
;
2
đi qua đim
(2;0; 3)
A
và có vectơ chỉ phương
2
(1;1;4)
a
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 88
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gi s
1
(2 ; ;1 )I t t t
là tâm
R
là bán kính ca mt cu
S
.
Ta có:
( ; ;4 )
AI t t t
2
, (5 4;4 5 ;0)
AI a t t
2
2
2
,
5 4
;
3
AI a
t
d I
a
2 2 2(1 ) 10
10
( ,( ))
3
1 4 4
t t t
t
d I P
.
S
tiếp xúc vi
2
P
2
( , ) ( ,( ))
d I d I P
5 4 10
t t
7
2
1
t
t
.
Vi
7
2
t
11 7 5
; ;
2 2 2
I
,
9
2
R
2 2 2
11 7 5 81
:
2 2 2 4
S x y z
.
Vi
1
t
(1; 1;2), 3
I R
2 2 2
:( 1) ( 1) ( 2) 9
S x y z
.
Chn A.
Câu 21: Trong không gian vi h ta độ
,
Oxyz
cho ba đường thng
1
1
: 1, ;
x
d y t
z t
2
2
: , ;
1
x
d y u u
z u
1 1
: .
1 1 1
x y z
Viết phương trình mt cu tiếp xúc vi c
1 2
,
d d
tâm thuc đường thng
?
A.
2 2
2
1 1 1
x y z
. B.
2 2 2
1 1 1 5
2 2 2 2
x y z
.
C.
2 2 2
3 1 3 1
2 2 2 2
x y z
. D.
2 2 2
5 1 5 9
4 4 4 16
x y z
.
Hướng dn gii:
Chn A.
Đường thng
1
d
đi qua đim
1
1;1;0
M và có véc tơ chỉ phương
1
0;0;1
d
u
.
Đường thng
2
d
đi qua đim
2
2;0;1
M và c tơ chỉ phương
2
0;1;1
d
u
.
Gi
I
là tâm ca mt cu.
I
nên ta tham s hóa
1 ; ;1
I t t t
, t đó
1 2
;1 ; 1 , 1 ; ;
IM t t t IM t t t

.
Theo gi thiết ta có
1 2
; ;
d I d d I d
, tương đương với
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 89
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
1 2
1 2
2 2
2
1 2
; ;
1 2 1
0
1
2
d d
d d
IM u IM u
t t t
t
u u
Suy ra
1;0;1
I và bán kính mt cu là
1
; 1
R d I d
. Phương trình mt cu cn tìm
2 2
2
1 1 1
x y z
.
Câu 22: Cho mt cu
2 2 2
: 2 4 1 0
S x y z x z đường thng
2
: .
x t
d y t
z m t
Tìm
m
để
d
ct
S
tại hai điểm phân bit
,
A B
sao cho các mt phng tiếp din ca
S
ti
A
và ti
B
vuông góc vi nhau.
A.
1
m hoc
4
m B.
0
m hoc
4
m
C.
1
m hoc
0
m D. C
, ,
A B C
đều sai
Hướng dn gii:
Để tha mãn u cầu đề bài t trước tiên d phi ct mt cu, tức là phương trình
2 2
2
2 2. 2 4. 1 0
t t m t t m t hai nghim phân bit.
2 2
3 2 1 4 1 0
t m t m m
Phương trình có hai nghim phân bit khi
2
2
' 0 1 3 12 3 0
m m m
2
5 1 0
m m .
Với phương trình hai nghim phân bit, áp dụng định lí Viet ta có
2
1 2 1 2
4 1 2
; 1
3 3
m m
t t t t m
Khi đó
1 1 1 2 2 2
1 ; ; 2 , 1 ; ; 2
IA t t m t IB t t m t
.
Vy
1 2 1 2 1 2
. 1 1 2 2 0
IA IB t t t t m t m t
2
1 2 1 2
3 1 2 1 0
t t m t t m
2 2
2
2
4 1 1 2 1 0
3
m m m m
1
4
m
m
(TM).
Chn A.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 90
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 23: Trong không gian Oxyz, cho mt cu
2 2 2
: 4 6 0
S x y z x y m đường thng
1 1
:
2 1 2
x y z
d
. Tìm m để (d) ct (S) tại hai điểm M, N sao cho đi MN bng 8.
A.
24
m B.
8
m C.
16
m D.
12
m
Hướng dn gii:
(S) có tâm
2;3;0
I và bán kính
2
2 2
2 3 0 13 13
R m m m
Gọi H là trung đim M, N
4
MH
Đường thng (d) qua
0;1; 1
A và có vectơ chỉ phương
,
2;1;2 ; 3
u AI
u d I d
u
Suy ra
2 2 2 2
; 4 3 5
R MH d I d
Ta có
13 5 13 25 12
m m m
Chn D.
Câu 24: Cho đường thng d giao tuyến ca hai mt phng
mt cầu S phương trình .
Tìm m để đường thng d ct mt cu (S) tại hai đim phân bit A, B sao cho AB = 8.
A. 9 B. 12 C. 5 D. 2
Hướng dn gii:
Ta có ln lượt là VTPT của (α) và (β)
Suy ra VTCP của đường thng d là
Ta có A(6;4;5) là đim chung ca hai mt phng (α) và (β) nên Ad.
Mt cu (S) có tâm I(-2;3;0), bán kính vi m < 13.
Gọi H là trung đim ca AB .
Trong tam giác vuông IHA ta có:
( ): x 2y 2z 4 0
( ): 2x 2y z 1 0,
2 2 2
x y z 4x 6y m 0
1 2
n (2; 2; 1), n (1;2; 2)
1 2
1
u n ;n (2;1;2),
3
R 13 m
IA (8;1;5) IA,u ( 3; 6;6) d(I,d) 3
AB
AH 4 IH 3
2
2 2 2 2
IA IH AH R 9 16
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 91
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
I
N
M
A
S
B
C
. Vy m = 12 là giá tr cn tìm.
Chn B.
Câu 25: Trong không gian vi h trc ta độ Oxyz, cho
(1;0;2), (3;1;4), (3; 2;1)
A B C
. Tìm tọa độ
điểm S, biết SA vuông c vi (ABC), mt cu ngoi tiếp t din S.ABC bán kính bng
3 11
2
S có cao độ âm.
A.
( 4; 6;4)
S
. B.
(3;4;0)
S . C.
(2;2;1)
S . D.
(4;6; 4)
S
.
Hướng dn gii:
Ta có
(2;1;2); (2; 2; 1)
AB AC
, suy ra
AB AC
.
Tam giác ABC vuông nên I và S có th s dng c tính cht ca phép
dụng tâm để tính.
Tính được IM.
( ) ,
MI ABC MI k AB AC k

2
AS MI
, tìm S.
, (3;6; 6)
AB AC
Gi
1 5
3; ;
2 2
M
là trung điểm
.
BC
Ta có:
2
2 2 2
3 11 9 81 9
2 2 4 2
IM IB BM IM
( ) , (3;6; 6) 9 .
MI ABC MI k AB AC k MI k
Suy ra
9 1
9
2 2
k k
1
2
k
thì
2 3;6; 6 4;6; 4
AS MI S

Chn D.
Câu 26: Trong không gian vi h ta độ
Oxyz
, cho điểm
0;0;4
A , điểm
M
nm trên mt phng
Oxy
M O
. Gi
D
là hình chiếu vuông góc ca
O
lên
AM
E
là trung điểm ca
OM
. Biết đường thng
DE
ln tiếp xúc vi mt mt cu c định. Tính bán kính mt cu
đó.
A.
2
R
. B.
1
R
. C.
4
R
. D.
2
R
.
Hướng dn gii:
Chn A.
13 m 25 m 12
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 92
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có tam giác
OAM
ln vng ti
O
.
Gi
I
là trung điểm ca
OA
(Đim
I
c định)
Ta có tam giác
ADO
vuông ti
D
ID
là
đường trung tuyến nên
1
2 1
2
ID OA
Ta có
IE
là đường trung bình ca tam giác
OAM
nên
IE
song song vi
AM
mà
OD AM OD IE
Mt khác tam giác
EOD
cân ti
E
. T đó suy ra
IE
là đường trung trc ca
OD
Nên
; 90 2
DOE ODE IOD IDO IDE IOE ID DE
Vy
DE
ln tiếp xúc vi mt cu tâm
I
bán kính
2
2
OA
R
Câu 27: Trong không gian vi h ta độ
,
Oxyz
xét các đim
0;0;1
A
,
;0;0
B m
,
0; ;0
C n
,
1;1;1
D
vi
0; 0
m n
1.
m n
Biết rng khi
m
,
n
thay đổi, tn ti mt mt cu c
định tiếp xúc vi mt phng
ABC
và đi qua
d
. Tính bán kính
R
ca mt cầu đó?
A.
1
R
. B.
2
2
R . C.
3
2
R
. D.
3
2
R .
Hướng dn gii:
Gi
(1;1;0)
I là hình chiếu vng góc ca
D
lên mt phng
( )
Oxy
Ta có: Phương trình theo đoạn chn ca mt phng
( )
ABC
là:
1
x y
z
m n
Suy ra phương trình tng quát ca
( )
ABC
là
0
nx my mnz mn
Mt khác
2 2 2 2
1
( ,( )) 1
mn
d I ABC
m n m n
(vì
1
m n
) và
1 ( ,( ))
ID d I ABC
Nên tn ti mt cu tâm
I
(là hình chiếu vuông góc ca
D
lên mt phng
Oxy
) tiếp xúc
vi
( )
ABC
và đi qua
D
Chn A.
Câu 28:
Trong không gian tọa đ Oxyz cho đim và mt cu (S) có
phương trình: .m ta đ đim D trên mt cu (S) sao cho t din
ABCD
có th ch ln nht.
A. B. C. D.
Hướng dn gii:
(0;1;1), (1;0; 3), ( 1; 2; 3)
A B C
2 2 2
2 2 2 0
x y z x z
7 4 1
; ;
3 3 3
D
1 4 5
; ;
3 3 3
D
7 4 1
; ;
3 3 3
D
7 4 1
; ;
3 3 3
D
A
M
D
E
I
O
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 93
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có (S) suy ra (S) có tâm I(1;0;-1), n kính
Mt phng (ABC) có một vectơ pháp tuyến
Suy ra mp(ABC) phương trình:
Ta có nên ln nht khi và ch khi ln nht.
Gi là đưng kính ca mt cu (S) vuông góc vi mp(ABC). Ta thy vi D là 1 đim
bt k thuc (S) thì .
Du “=xy ra khi D trùng vi D
1
hoc D
2
Đường thng đi qua I(1;0;-1), VTCP là
Do đó (D
1
D
2
) có phương trình: .
Ta độ điểm D
1
và D
2
tha mãn h:
Ta thy: . Vậy đim là điểm cn tìm
Chn D.
Câu 29: Trong không gian vi h ta độ
Ox
yz
, cho đường thng
1 3
:
1 2 1
x y z
d
mt cu
S
tâm
I
phương trình
2 2 2
: 1 2 1 18
S x y z
. Đường thng
d
ct
S
tại hai điểm
,
A B
. Tính din tích tam giác
IAB
.
A.
8 11
.
3
B.
16 11
.
3
C.
11
.
6
D.
8 11
.
9
Hướng dn gii:
Chọn A.
2 2 2
:( 1) ( 1) 4
x y z
R 2
(1; 1; 4); ( 1; 3; 4)
AB AC
, ( 8;8; 4)
n AB AC
 
8x 8(y 1) 4(z 1) 0 2x 2y z 1 0
1
( ;( )).
3
ABCD ABC
V d D ABC S
ABCD
V
( ;( ))
d D ABC
1 2
D D
1 2
( ;( )) max ( ;( )); ( ;( ))
d D ABC d D ABC d D ABC
1 2
D D
(2; 2;1)
ABC
n
1 2
2
1
x t
y t
z t
2 2 2
1 2
2
2
3
1 2
3
( 1) ( 1) 4
x t
t
y t
z t
t
x y z
1 2
7 4 1 1 4 5
; ; & ; ;
3 3 3 3 3 3
D D
1 2
( ;( )) ( ;( ))
d D ABC d D ABC
7 4 1
; ;
3 3 3
D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 94
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Đường thng
d
đi qua đim
1;0; 3C và có vectơ chỉ phương
1;2; 1u
Mt cu
S có tâm
1;2; 1I , bán kính
3 2R
Gi H là hình chiếu vuông góc ca I lên đường thng
d
.
Khi đó:
,IC u
IH
u
, vi
0; 2; 2IC
;
2 3 4 0x y z
Vy
2 2 2
6 2 2 66
3
1 4 1
IH
Suy ra
22 4 6
18
3 3
HB
Vy,
1 1 66 8 6 8 11
.
2 2 3 3 3
IAB
S IH AB
Câu 30: Trong không gian Oxyz , cho điểm
1 3
; ;0
2 2
M mt cu
2 2 2
: 8. S x y z Đường
thng d thay đổi, đi qua đim ,M ct mt cu
S tại hai điểm phân bit. Tính din tích ln
nht S ca tam giác .OAB
A. 7S . B. 4S . C. 2 7S . D. 2 2S .
Hướng dn gii:
Mt cu
S có tâm
0;0;0O và bán kính 2 2R .
1 OM R nên M thuc min trong ca
mt cu
S . Gi A , B là giao điểm của đường
thng vi mt cu. Gi H chân đường cao h
t O ca tam giác OAB .
Đặt x OH , ta có 0 1 x OM , đồng thi
2 2 2
8 OHHA R x . Vy din tích tam
giác OAB là
2
1
. . 8
2
OAB
S OH AB OH HA x x
.
A
B
M
H
O
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 95
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Kho sát hàm s
2
( ) 8
f x x x
trên
0;1
, ta được
0;1
max 1 7
f x f
.
Vy giá tr ln nht ca
7
OAB
S , đạt được khi
1
x
hay
H M
, nóich khác
d OM
.
Chn A.
Câu 31: Trong không gian vi h ta độ
Oxyz
, cho đim
2;11; 5
A
và mt phng
2 2
:2 1 1 10 0
P mx m y m z
. Biết rng khi
m
thay đổi, tn ti hai mt cu c
định tiếp xúc vi mt phng
P
và cùng đi qua
A
. Tìm tng bán kính ca hai mt cầu đó.
A.
2 2
. B.
5 2
. C.
7 2
. D.
12 2
.
Hướng dn gii:
Gi
; ; ,
I a b c r
lần lượt là tâm bán kính ca mt cu. Do mt cu tiếp xúc vi
P
nên ta
2 2
2
2 2
2 1 1 10
2 10
,
1 2 1 2
ma m b m c
b c m ma b c
r d I P
m m
2 2
2
2
2 10 1 2
2 2 2 10 0 1
2 2 2 10 0 2
b c m ma b c r m
b c r m ma b c r
b c r m ma b c r
TH1:
2
2 2 2 10 0 1
b c r m ma b c r
Do m thay đổi vn có mt cu c định tiếp xúc vi
P
nên yêu cu bài toán tr thành tìm
điều kin
, ,
a b c
sao cho
1
không ph thuc vào
m
. Do đó
1
luôn đúng vi mi
2 0
0
2 10 0
b c r
a
b c r
2 5 0
0
5
b r
a
c
Suy ra
2
2
2 2
0;5 2; 5 : 5 2 5
I r S x y r z r

.
Li
A S
nên suy ra:
2
2 2
2 2
4 11 5 2 12 2 40 0
10 2
r
r r r r
r
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 96
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
TH2:
2
2 2 2 10 0b c r m ma b c r
làm tương tự TH1 (trường hp này
không thỏa đề bài )
m li: Khi m thay đổi, tn ti hai mt cu c định tiếp xúc vi mt phng
P và cùng đi
qua A tng bán kính là:
12 2
suy ra chn D
Câu 32: Cho hình chóp SABC đáy là tam giác đều cnh bng
6cm
4 3SA SB SC cm
.Gi D là đim đối xng ca B qua C. Khi đó bán kính mt cu ngoi tiếp nh chóp
SABD bng?
A.
5cm
B.
3 2cm
C. 26cm D. 37cm
Hướng dn gii:
Cách 1: Dng CG vuông góc vi
ABC , Qua E dng mt phng vng góc vi
SB
, mt
phng này ct CG ti F. Suy ra F là tâm mt cu ngoi tiếp hình chóp S.ABD.Đặt
SF R
Xét hình ch nht:
2 2
1
FGSH FC SH FG SH R CH
Li có:
2 2
2FC R CB .T (1) và (2)
suy ra
2 2 2 2
SH R CH R CB
2 2 2
6 12 36 5 12 0 37R R R R cm
Suy ra chn D
Cách 2:
Chn h trc tọa đ như hình v.
Ta có:
0;0;0 , 3 3; 3;0 , 3 3;3;0 , 2 3;0;6C A B S
2
2
0;0; 36 12 6F CG F t FA FS t t 
1 37t SC cm  suy ra chn D
Câu 33: Trong không gian vi h tọa độ Oxyz , cho đường thng
2
:
2 1 4
x y z
d
mt cu
2 2 2
: 1 2 1 2S x y z . Hai mt phng
P
Q cha
d
và tiếp xúc vi
S
. Gi ,M N tiếp đim. Tính độ dài đoạn thng
.MN
A.
2 2.
B.
4
.
3
C. 6. D.
4.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 97
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dn gii:
Chn B.
Mt cu
S có tâm
1;2;1 , 2I R
Đường thng
d
nhn
2; 1;4u
làm vectơ chỉ phương
Gi H là hình chiếu của I lên đường thng d.
2 2; ;4H d H t t t
Li có:
. 0 2 1; 2;4 1 . 2; 1;4 0IH u t t t
2 2 1 2 4 4 1 0 0t t t t
Suy ra tọa độ đim
2;0;0H .
Vy 1 4 1 6IH
Suy ra: 6 2 2HM
Gi K là hình chiếu vng góc ca M lên
đường thng HI .
Suy ra:
2 2 2
1 1 1 1 1 3
4 2 4MK MH MI
.
Suy ra:
2 4
3 3
MK MN
.
Câu 34: Trong không gian vi h tọa đ ,Oxyz cho
điểm
;0;0 , 0; ;0 , 0;0; ,A a B b C c trong
đó
0a
,
0b
,
0c
1 2 3
7.
a b c
Biết mt phng
ABC tiếp xúc vi mt cu
2 2 2
72
: 1 2 3 .
7
S x y z Th tích ca khi t din
OABC
là
A.
2
.
9
B.
1
.
6
C.
3
.
8
D.
5
.
6
Hướng dn gii:
Chn A.
Cách 1: Ta có
: 1.
x y z
ABC
a b c
Mt cu
S có tâm
1;2;3I và bán kính
72
.
7
R
Mt phng
ABC tiếp xúc vi
2 2 2
1 2 3
1
72
; .
7
1 1 1
a b c
S d I ABC R
a b c
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 98
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2 2 2
1 2 3 1 1 1 7
7 .
2
a b c a b c
Áp dng BĐT Bunhiacopski ta
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 3 1 1 1 7
1 2 3 7 .
2
a b c a b c a b c
Du
" "
xy ra
1 2 3
1 1 1
2
2, 1, ,
3
1 2 3
7
a b c
a b c
a b c
khi đó
1 2
.
6 9
OABC
V abc
Cách 2: Ta có
: 1,
x y z
ABC
a b c
mt cu
S
tâm
72
(1;2;3),
7
I R .
Ta có
ABC
tiếp xúc vi mt cu
S
2 2 2
1 2 3
1
72
,( )
7
1 1 1
a b c
d I P R
a b c
2 2 2 2 2 2
2 2 2
7 1
72 1 1 1 7 1 1 1 7
7
7 2 2
1 1 1
a b c a b c
a b c
2 2 2
1 1 1 1 2 3 7
2
a b c a b c
2 2 2
1 1 1 1 3
1 0
2 2a b c
2
1
2
3
a
b
c
1 2
.
6 9
OABC
V abc
Cách 3: Ging Cách 2 khi đến
2 2 2
1 1 1 7
2
a b c
.
Đến đây ta có thể tìm a, b, c bng bất đẳng thức như sau:
Ta có
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7
7 1. 2. 3. 1 2 3
2
a b c a b c a b c a b c
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 99
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2 2 2
1 1 1 7
2
a b c
Du “=” của BĐT xảy ra
1 1 1
1 2 3
a b c
, kết hp vi gi thiết
1 2 3
7
a b c
ta được
2
a
,
1
b
,
2
3
c
. Vy:
1 2
.
6 9
OABC
V abc
Ta có
2
1
2
3
a
b
c
1 2
.
6 9
OABC
V abc
Cách 4: Mt cu
S
có tâm
1;2;3
I và bán kính
72
.
7
R
Phương trình mt phng
( ) : 1
x y z
ABC
a b c
.
Ta có:
1 2 3
1 2 3
7 7 7
7 1
a b c a b c
nên
1 2 3
; ;
7 7 7
M ABC
Thay ta độ
1 2 3
; ;
7 7 7
M
vào phương trình mt cu
( )
S
ta thy đúng nên
( )
M S
.
Suy ra:
( )
ABC
tiếp xúc vi
( )
S
thì
M
là tiếp đim.
Do đó:
( )
ABC
qua
1 2 3
; ;
7 7 7
M
, có VTPT là
6 12 18
; ; 1;2;3
7 7 7
MI n
( )
ABC
có phương trình:
2 3 2 0 1 2
2
2 1
3
x y z
x y z a
,
1
b
,
2
3
c
.
Vy
1 2
6 9
V abc
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 100
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
GTLN, GTNN TRONG HÌNH HC TA ĐỘ OXYZ
Câu 1: Trong không gian vi h ta độ cho hai điểm mt phng
Tìm ta độ đim thuc sao cho nh nht?
A. . B. .
C. . D.
; ;
M
.
Hướng dn gii:
Chn D.
Thay ta độ vào phương trình mt phng , ta được
hai điểm
,
A
B
cùng phía với đối vi mt phng .
Gi là điểm đối xng ca
A
qua
P
. Ta
.
Nên
min
MA MB A B
khi và ch khi
M
là giao
điểm ca
A B
vi
P
.
Phương trình ( đi qua
ctơ chỉ phương
1;2; 1
P
n
).
Gi
H
là giao đim ca
AA
trên
P
, suy ra tọa độ ca
H
là
0; 2;4
H , suy ra
1; 4;6
A
, nên phương trình
: 1 3
2 4
x t
A B y t
z t
.
M
là giao đim ca
A B
vi
P
nên ta tính được ta độ
Câu 2: Cho hai điểm
1,3, 2 ; 9,4,9
A B mt phng
:2 1 0.
P x y z
Điểm M thuc
(P). Tính GTNN ca
.
AM BM
A. B. C. D.
Hướng dn gii:
Ta có:
2. 1 3 2 1 2. 9 4 9 1 72 0
,
A B

nm ng phía so vi mt
phng (P).
,
Oxyz
1;0;2 ; 0; 1;2
A B
: 2 2 12 0.
P x y z
M
P
MA MB
2;2;9
M
6 18 25
; ;
11 11 11
M
7 7 31
; ;
6 6 4
M
1;0;2 ; 0; 1;2
A B
P
0
P A P B
P
A
MA MB MA MB A B
1
: 2
2 2
x t
AA y t
z t
AA
1;0;2
A
2 11 18
; ; .
5 5 5
M
6 204
7274 31434
6
2004 726
3
3 26
H
M
B
A'
A
P
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 101
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi A’ là đim đối xng ca A qua (P). Mt phng (P) có vtpt
Đường thẳng
AA
đi qua
1,3, 2
A
có vtcp pt:
Gọi H là giao của
AA
P
ta có:
2 1 2 3 2 1 0 1 1,2, 1 .
t t t t H
 
Ta có H là trung đim của
3,1,0 .
AA A
Đường A’B đi qua A’(3, 1, 0) có vtcp có pt:
Gọi N là giao đim của AB và mt phẳng
P
ta có:
2. 3 4 1 3 1 0 1 1,2,3 .
t t t t N  
Để
MA MB
nh nhất thì khi đó
MA MB A B
=
Chn D.
Câu 3: Trong không gian vi h tọa độ Oxyz, cho mt phng hai đim
. M một điểm trên mt phng . Giá tr ln nht ca
là:
A. B. C. D.
Hướng dn gii:
Ta có: A, B nm khác phía so vi (P). Gọi B’ là điểm đối xng vi B qua (P). Suy ra
.
Đẳng thc xy ra khi
, ,
M A B
thng hàng.
Chn A.
Câu 4: Trong không gian vi h trc ta độ
,
Oxyz
cho mt phẳng (P) phương trình
2 1 0
x y z
hai đim
3;1;0 , 9;4;9 .
M N Tìm điểm
; ;
I a b c
thuc mt phng
(P) sao cho đạt giá tr ln nht. Biết
, ,
a b c
tha mãn điu kin:
A. B. C. D.
Hướng dn gii:
Nhn thấy 2 điểm M, N nm v hai phía ca mt phng (P).
2, 1,1
n
2, 1,1
n
1 2
3
2
x t
y t
z t
' 12,3,9
A B
3 4
1
3
x t
y t
z t
M N
2
2 2
12 3 9 234 3 26
( ): 1 0
P x y z
(1; 3;0), 5; 1; 2
A B
( )
P
T MA MB
2 5.
T
2 6.
T
4 6
.
2
T
2 3
.
3
T
'( 1; 3;4)
B
' ' 2 5.
T MA MB MA MB AB
IM IN
21
a b c
14
a b c
5
a b c
19.
a b c
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 102
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi R là điểm đối xng ca M qua mt phẳng (P), khi đó đường thng MR đi qua điểm M(3;
1; 0) và vuông góc vi mt phẳng (P) có phương trình: . Gi
.
Ta có . Đẳng thc xy ra khi I, N, R thẳng hàng. Do đó tọa độ
điểm I giao đim của đường thng NR: (t là tham s ) và mt phng (P).
D dàng tìm được I(7; 2; 13).
Chn A.
Câu 5: Trong không gian vi h trc tọa độ Oxyz, cho hai điểm
1;2;2 , 5;4;4
A B mt phng
:2 6 0.
P x y z
Tọa đ đim M nm trên (P) saocho
2 2
nh nht là:
A.
1;3;2
B.
2;1; 11
C.
1;1;5
D.
1; 1;7
Hướng dn gii:
+ Kiểm tra phương án A không thuc (P).
+ Tính trc tiếp MA
2
+ MB
2
trong 3 phương án B,C,D so sánh.
Chn C.
Câu 6: Trong không gian ta độ
,
Oxyz
cho mt phng
:2 1 0, 8; 7;4 , 1;2; 2 .
P x y z A B
Tìm ta đ điểm
M
thuc mt phng
P
sao cho
2 2
2
MA MB
nh nht.
A.
0;0; 1
M
. B.
0;0;1
M . C.
1;0;1
M . D.
0;1;0
M
Hướng dn gii:
Gi
I
là điểm tha mãn
2 0 2; 1;0
IA IB I
2 2
2 2 2 2 2
2 2 3 2
MA MB MI IA MI IB MI IA IB
,
IA IB
không đổi nên
2 2
min
min
2
MA MB MI M
là hình chiếu vuông góc ca
I
lên mt phng
P
.
Đường thng
d
đi qua
I
và vng c vi
.
P
2 2
: 1 ; 0;0; 1
x t
d y t d P M
z t
Chn A.
3 1
2 1 1
x y z
(P) (1;2; 1) ( 1;3; 2)
H MR H R
IM IN IR IN RN
1 8
3
2 11
x t
y t
z t
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 103
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 7: Cho 2 điểm
0,0, 3 , 2,0, 1
A B
mt phng
:3 8 7 1 0.
P x y z
Tìm
M P
sao cho
2 2
2
MA MB
nh nht.
A.
283 104 214
; ;
183 183 183
M
. B.
283 104 214
; ;
183 183 183
M
.
C.
283 14 14
; ;
183 183 183
M
. D.
283 14 14
; ;
183 183 183
M
Hướng dn gii:
Gi
I
sao cho
4 5
2 0 ;0;
3 3
IA IB I
2
2
2 2 2
2
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 .
2 .
2 3 2 2 3 2
MA MA MI IA MI IA MI IA
MB MB MI IB MI IB MI IB
MA MB MI IA IB MI IA IB MI IA IB

Suy ra
2 2
min
2MA MB khi
MI
bé nht hay
M
là hình chiếu ca
I
trên
.
P
Tìm được ta độ
283 104 214
; ;
183 183 183
M
.
Chn A.
Câu 8:
Trong không gian vi h tọa độ , cho đường thng hai điểm
. Biết đim thuc t nh nht.Tìm
A. B. C. D.
Hướng dn gii:
Phương trình đường thng AB là: . D thấy đường thng và AB ct
nhau tại đim suy ra AB đồng phng.
Li .
Ta có: .
Do đó nh nht khi trùng vi điểm
Oxyz
x t
y t t
z t
2
: 1 2
3
A
2;0;3
B
2; 2; 3
M x y z
0 0 0
; ;
MA MB
4 4
x
0
x
0
0
x
0
1
x
0
2
x
0
3
x
y t t
z t
1 1
1
2
3 3
I
2; 1;0
IA IB IA IB IA IB AB
0;1;3 , 0; 1; 3 
MA MB MA MB MA MB AB IA IB
2
2
2 4
4 4 2 2 4
1 1 1 1 1
2 2 2 8 8
MA MB
4 4
M
I
2; 1;0
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 104
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chn C.
Câu 9: Trong không gian vi h trc to độ cho 3 đim .
Điểm sao cho giá tr ca biu thc nh
nht. Khi đó, đim cách mt khoảng bằng
A. B. C. D.
Hướng dn gii:
Gi . Ta có
vi
nh nht khi nh nht hình chiếu vuông góc ca trên
.
Câu 10: Trong không gian vi h trc ta độ
Oxyz
, cho
1;1;1
A ,
0;1;2
B ,
2;0;1
C
: 1 0
P x y z
. Tìm điểm
N P
sao cho
2 2 2
2
S NA NB NC
đạt giá tr nh
nht.
A.
1 5 3
; ;
2 4 4
N
. B.
3;5;1
N . C.
2;0;1
N . D.
3 1
; ; 2
2 2
N
.
Hướng dn gii:
Chn A.
Gi
I
là trung điểm
BC
J
là trung đim
AI
. Do đó
1 3
1; ;
2 2
I
3 5
0; ;
4 4
J
.
Khi đó
2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 4
2 2
S NA NI BC NJ IJ BC
.
Do đó
S
nh nht khi
NJ
nh nht. Suy ra
J
là hình chiếu ca
N
trên
P
.
Phương trình đường thng
3
:
4
5
4
x t
NJ y t
z t
.
,
Oxyz
1;2;3 ; 0;1;1 ; 1;0; 2
A B C
: 2 0
M P x y z
2 2 2
2 3
T MA MB MC
M
:2 2 3 0
Q x y z
121
.
54
24.
2 5
.
3
101
.
54
; ;
M x y z
2 2 2
6 6 6 8 8 6 31
T x y z x y z
2 2 2
2 2 1 145
6
3 3 2 6
T x y z
2
145
6
6
T MI
2 2 1
; ;
3 3 2
I
T
MI
M
I
P
5 5 13
; ;
18 18 9
M
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 105
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta độ điểm
J
là nghim ca h:
1 0
1
2
5
3
4
4
3
5
4
4
x y z
x
x t
y
y t
z
z t
Câu 11: rong không gian vi h ta độ Oxyz cho ba điểm
1;01;1 , 1;2;1 , 4;1; 2A B C mt
phng
: 0P x y z . Tìm trên (P) đim M sao cho
2 2 2
MA MB MC đạt giá tr nh
nht. Khi đó M có tọa độ
A.
1;1; 1M B.
1;1;1M C.
1;2; 1M D.
1;0; 1M
Hướng dn gii:
Gi G là trng tâm ca tam giác ABC, ta có
2;1;0G , ta
2 2 2 2 2 2 2
3 1MA MB MC MG GA GB GC
T h thc (1) ta suy ra:
2 2 2
MA MB MC đạt GTNN
MG
đạt GTNN M
là hình chiếu vng góc ca G trên (P).
Gọi (d) là đường thng qua G và vuông góc vi (P) thì (d) có phương trình tham s là
2
1
x t
y t
z t
Ta độ M là nghim ca h phương trình
2 1
1 1
1;0; 1
0
0 1
x t t
y t x
M
z t y
x y z z
Chn D.
Câu 12: (Hình Oxyz) Cho
1;3;5 , 2;6; 1 , 4; 12;5A B C điểm
: 2 2 5 0P x y z .
Gọi M điểm thuc
P sao cho biu thc
4S MA MB MA MB MC

đạt giá tr
nh nht. Tìm hoành độ điểm M.
A.
3
M
x
B.
1
M
x
C.
1
M
x
D.
3
M
x
Hướng dn gii:
Gọi I là đim
4 0 3;7; 3 .IA IB I
Gi G là trng tâm ta m giác ABC
1; 1;3G
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 106
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Nhn thy, M,I nm khác phía so vi mp(P).
3 3
S MI MG GI
. Du bng xảy ra khi M là giao đim ca GI và (P)
1;3;1
M
Chn C.
Câu 13: Trong không gian vi h ta đ
Oxyz
, cho hai điểm
2;1; 1
A
,
0;3;1
B mt phng
: 3 0
P x y z
. Tìm ta đ đim
M
thuc
( )
P
sao cho
2
MA MB
giá tr nh
nht.
A.
4; 1;0
M . B.
1; 4;0
M . C.
4;1;0
M . D.
1; 4;0
M .
Hướng dn gii:
Gi
; ;
I a b c
là điểm tha mãn
2 0
IA IB

, suy ra
4; 1; 3
I
.
Ta có
2 2 2 .
MA MB MI IA MI IB MI

Suy ra
2
MA MB MI MI
 
.
Do đó
2
MA MB
nh nht khi
MI
nh nht hay
M
là hình chiếu ca
I
trên mt phng
P
Đường thẳng đi qua
I
và vng c vi
P
có là
4 1 3
:
1 1 1
x y z
d
.
Ta độ hình chiếu
M
ca
I
trên
P
tha mãn
1;
4 1 3
4;0
1
3
1
0
1
M
x
y z
y
x
z
.
Chn D.
Câu 14: Trong không gian
Oxyz
, cho mt phng
2 2 9 0
x y z
mt cu
2 2 2
( ):( 3) ( 2) ( 1) 100
S x y z . Tọa độ đim
M
nm trên mt cu
( )
S
sao cho
khong cách t đim
M
đến mt phng
( )
P
đạt giá tr nh nht là:
A.
11 14 13
; ;
3 3 3
M
. B.
29 26 7
; ;
3 3 3
M
.
C.
29 26 7
; ;
3 3 3
M
. D.
11 14 13
; ;
3 3 3
M
.
Hướng dn gii:
Mt cu
( )
S
có tâm
(3; 2;1)
I
.
Khong cách t
I
đến mt phng
( )
P
: ( ;( )) 6
d I P R
nên
( )
P
ct
( )
S
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 107
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Khong cách t
M
thuc
( )
S
đến
( )
P
ln nht
( )
M d
đi qua
I
và vuông góc vi
( )
P
Phương trình
3 2
( ): 2 2
1
x t
d y t
z t
.
Ta có:
( ) (3 2 ; 2 2 ;1 )
M d M t t t
Mà:
( )
M S
1
2
10 29 26 7
; ;
3 3 3 3
10 11 14 13
; ;
3 3 3 3
t M
t M
Th li ta thy:
1 2
( ,( )) ( ,( ))
d M P d M P
nên
11 14 13
; ;
3 3 3
M
tha yêu cu bài toán
Câu 15: Trong không gian
Oxyz
, cho mt phng
( ): 2 2 4 0
P x y z
mt cu
2 2 2
( ): 2 2 2 1 0.
S x y z x y z
Giá tr của đim
M
trên
S
sao cho
,
d M P
đạt
GTNN là:
A.
1;1;3
. B.
5 7 7
; ;
3 3 3
. C.
1 1 1
; ;
3 3 3
. D.
1; 2;1
.
Hướng dn gii::
Ta có:
( ,( )) 3 2 ( ) ( ) .
d M P R P S
Đường thng d đi qua I và vuông góc vi (P) pt:
1
1 2 , .
1 2
x t
y t t
z t
Ta độ giao đim ca d(S) là:
5 7 7
; ;
3 3 3
A
,
1 1 1
; ;
3 3 3
B
Ta có:
( ,( )) 5 ( ,( )) 1.
d A P d B P
( ,( )) ( ,( )) ( ,( )).
d A P d M P d B P
Vy:
min
( ,( )) 1 .
d M P M B
Câu 16: Trong không gian
Oxyz
cho mt cu
2 2 2
: 1 2 3 9
S x y z
mt phng
:2 2 3 0
P x y z
. Gi
; ;
M a b c
đim trên mt cu
S
sao cho khong cách t
M
đến
P
là ln nhất. Khi đó
A.
5.
a b c
B.
6.
a b c
C.
7.
a b c
D.
8.
a b c
Hướng dn gii:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 108
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chn C.
Mt cu
2 2 2
: 1 2 3 9
S x y z
có tâm
1;2;3
I và bán kính
3.
R
Gi
d
là đường thẳng đi qua
1;2;3
I và vng góc
P
Suy ra phương trình tham s của đường thng
d
là
1 2
2 2
3
x t
y t
z t
.
Gi
,
A B
ln lượt là giao ca
d
S
, khi đó tọa độ
,
A B
ng vi
t
là nghim ca
phương trình
2 2 2
1
1 2 1 2 2 2 3 3 9
1
t
t t t
t
Vi
13
1 3;0;4 ;( ) .
3
t A d A P
Vi
5
1 1;4;2 ;( ) .
3
t B d B P
Vi mọi điểm
; ;
M a b c
trên
S
ta luôn có
;( ) ;( ) ;( ) .
d B P d M P d A P
Vy khong cách t
M
đến
P
là ln nht bng
13
3
khi
3;0;4
M
Do đó
7.
a b c
Câu 17: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm , , , . Gi
M là mt đim nằm trên đường thng CD sao cho tam giác MAB chu vi nht. Khi đó
to độ đim M là:
A. B. C. D.
Hướng dn gii:
Tam giác MAB có độ dài cnh không đổi, do đó chu vi bé nht khi và ch khi
bé nht.
; . nên , suy ra đim M cn tìm
hình chiếu vuông góc ca A, cũng là hình chiếu vuông góc ca B lên đường thng
CD
. T
đó tìm ra đim .
Chn A.
Câu 18: Cho hình chóp
.
O ABC
, ,
OA a OB b OC c
đôi mt vuông góc với nhau. Đim M c
định thuc tam giác
ABC
khong các lần lượt đến các mt phng
2;3;2
A
6; 1; 2
B
1; 4;3
C
1;6; 5
D
0;1; 1
M
2;11; 9
M
3;16; 13
M
1; 4;3
M
4 3
AB
MA MB
4; 4; 4
AB
2;10; 8
CD
. 0
ABCD
AB CD
0;1; 1
M
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 109
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
, ,
OBC OCA OAB
là 1,2,3. Khi tn ti
, ,
a b c
tha th tích khi chóp
.
O ABC
nh
nht, giá tr nh nht ca th tích khi chóp
.
O ABC
là
A. 18 B. 27
C. 6 D. Không tn ti
, ,
a b c
tha yêu cu bài toán
Hướng dn gii:
Chn h trc tọa đ tha
0,0,0 , ,0,0 , 0, ,0 , 0,0,
O A a B b C c
Điểm M c định thuc tam giác ABC có khong các ln lượt đến các mt phng
, ,
OBC OCA
OAB
là 1,2,3 nên ta đ đim M là (1,2,3)
Phương trình mt phng (ABC)
Vì M thuc mt phng (ABC) nên
V
OABC
=
Áp dng bất đẳng thc Cauchy ta có
Chn B.
Câu 19: Trong không gian vi h ta độ
Oxyz
, cho đim
1;2;1
M . Mt phng
P
thay đổi đi qua
M
lần lượt ct các tia
, ,
Ox Oy Oz
ti
, ,
A B C
khác
O
. Tính giá tr nh nht ca th tích
khi t din
OABC
.
A.
54.
B.
6.
C.
9.
D.
18.
Hướng dn gii:
Chn C.
Gi
;0;0 , 0; ;0 , 0,0,
A a B b C c
vi
, , 0
a b c
.
Phương trình mt phng
P
:
1
x y z
a b c
.
Vì:
1 2 1
1
M P
a b c
.
Th tích khi t din
OABC
là:
1
6
OABC
V abc
Áp dng bất đẳng thc Cauchy ta có:
3
1 2 1 1 2 1
3 .
a b c a b c
Hay
3
2 54
1 3 1
abc abc
. Suy ra:
1
54 9
6
abc abc
1
x y z
a b c
1 2 3
1
a b c
1
6
abc
3
1 2 3 1 1 1 1
1 3 . . 27
6
abc
a b c a b c
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 110
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Vy:
9
OABC
V
.
Câu 20: Trong h trc ta độ Oxyz cho 3 đim vi .Gi s
thay đổi nhưng thỏa mãn không đổi. Diện tích tam giác ABC đạt giá
tr ln nht bng
A. B. C. D.
Hướng dn gii:
Phương trình (ABC):
Gi là hình chiếu vng góc ca O lên
Khi đó
Ta có
Áp dng bất đẳng thc Cosi ta có
Du “=xy ra khi và ch khi
Vy
Chn B.
Câu 21: Trong không gian vi h to độ
,
Oxyz
phương trình mt phẳng (P) đi qua đim ,
ct các tia
, ,
Ox Oy Oz
ti
, ,
A B C
sao cho th tích t din
OABC
có giá tr nh nht là
;0;0 , 0; ;0 , 0;0;
A a B b C c
, , 0
a b c
, ,
a b c
2 2 2 2
a b c k
2
3
2
k
2
3
6
k
2
3
k
2
k
1
x y z
a b c
; ;
H x y z
ABC
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
0
0
ab c
x
ab bc ca
H ABC
bcx cay abz abc
a bc
OH AB ax by y
ab bc ca
OH AC ax cz
a b c
z
ab bc ca
2 2 2
abc
OH
ab bc ca
1 1
. .
6 6
OABC
V OAOB OC abc
2 2 2
3 1
2
ABCD
ABC
V
S ab bc ca
OH
4 4 4 4 4 4
2 2 2 2 2 2 4 4 4
2 2 2
a b b c c a
a b b c c a a b c
a b c
4 2
1 3
max
2 3 6
k k
S
M
(9;1;1)
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 111
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A. B. C. D.
Hướng dn gii:
Giá s .
Khi đó PT mt phng (P) có dng: .
Ta có: (1); (2)
(1)
Du "=" xy ra (P): .
Chn B.
Câu 22: Trong không gian vi h ta độ Oxyz, cho hình hp ch nht
.
ABCD A B C D
đim A
trùng vi gc ta độ,
( ;0;0), (0; ;0), (0;0; )
B a D a A b
vi
( 0, 0)
a b
. Gi M trung đim
ca cnh
CC
. Gi s
4
a b
, hãy tìm giá tr ln nht ca th tích khi t din
A BDM
?
A.
64
max
27
A MBD
V
B.
max 1
A MBD
V
C.
64
max
27
A MBD
V
D.
27
max
64
A MBD
V
Hướng dn gii:
Ta có:
( ; ;0), ( ;0; ), (0; ; ), ( ; ; ) ; ;
2
b
C a a B a b D a b C a a b M a a
Suy ra:
( ;0; ), (0; ; ), ; ;
2
b
A B a b A D a b AM a a
2 2
2
3
, ( ; ; ) , .
2 4
A MBD
a b a b
A B A D ab ab a A B A D A M V
Do
, 0
a b
nên áp dụng BĐT Côsi ta được:
2 2
3
1 1 1 64
4 3
2 2 4 27
a b a a b a b a b
Suy ra:
64
max
27
A MBD
V
.
Chn A.
1
7 3 3
x y z
1
27 3 3
x y z
1
27 3 3
x y z
1
27 3 3
x y z
A a Ox B b Oy C c Oz
( ;0;0) , (0; ;0) , (0;0; )
a b c
( , , 0)
x y z
a b c
1
M P
(9;1;1) ( )
a b c
9 1 1
1
OABC
V abc
1
6
abc bc ac ab
9
abc
2
3
3 9( )
abc abc abc
3 2
( ) 27.9( ) 243
a
bc ac ab
b
c
a b c
27
9
3
9 1 1
1
3
x y z
1
27 3 3
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Hc Tọa Độ Oxyz
File Word liên h: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 112
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 23: Trong không gian vi h tọa độ Oxyz, cho hai điểm
1;5;0 , 3;3;6
A B đường thng
phương trình tham s
1 2
1
2
x t
y t
z t
. Một đim M thay đổi trên đường thng
sao cho
chu vi tam giác MAB đạt giá tr nh nht. Ta đô đim M và chu vi tam giác ABC là
A.
1;0;2 ;
M P =
2( 11 29)
B.
1;2;2 ;
M P =
2( 11 29)
C.
1;0;2 ;
M P =
11 29
D.
1;2;2 ;
M P =
11 29
Hướng dn gii:
Gi P là chu vi ca tam giác MAB t
.
P AB AM BM
Vì AB không đổi nên P nh nht khi và ch khi
AM BM
nh nht.
Điểm
M
nên
1 2 ;1 ;2
M t t t
.
2 2 2 2
(3 ) (2 5) (3 6) (2 5)
AM BM t t
Trong mt phng ta đ Oxy, ta xét hai vectơ
3 ;2 5
u t
3 6;2 5
v t
.
Ta có
2 2 2 2
(3 ) (2 5) ; (3 6) (2 5)
u t v t
| | | |
AM BM u v
(6;4 5) | | 2 29
u v u v
Mt khác, ta ln
| | | | | |
u v u v
Như vy
2 29
AM BM
Đẳng thc xy ra khi và ch khi
,
u v
cùng hướng
3 2 5
1
3 6
2 5
t
t
t
(1;0;2)
M
min( ) 2 29
AM BM . Vy khi M(1;0;2) thì minP =
2( 11 29)
Chn A.
| 1/112

Preview text:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN A - LÝ THUYẾT CHUNG
1. Véc tơ trong không gian * Định nghĩa
Trong không gian, vecto là một đoạn thẳng có định hướng tức là đoạn thẳng có quy định thứ tự của hai đầu
Chú ý: Các định nghĩa về hai vecto bằng nhau, đối nhau và các phép toán trên các vecto trong
không gian được xác định tương tự như trong mặt phẳng.
2. Vecto đồng phẳng     D3 c
* Định nghĩa: Ba vecto a, ,
b c khác 0 gọi là đồng
phẳng khi giá của chúng cùng song song với một D2 b mặt phẳng. Chú ý:  a
n vecto khác 0 gọi là đồng phẳng khi giá D1
của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Các giá của các vecto đồng phẳng có thể Δ3 Δ2
là các đường thẳng chéo nhau. 
* Điều kiện để 3 vecto khác 0 đồng phẳng Định lý 1:    Δ    1 P a, ,
b c đồng phẳng  m
 , n : a mb nc
* Phân tích một vecto theo ba vecto không đồng phẳng    
Định lý 2: Cho 3 vecto e , e , e không đồng phẳng. Bất kì một vecto a nào trong không gian cũng 1 2 3
có thể phân tích theo ba vecto đó, nghĩa la có một bộ ba số thực  x , x , x duy nhất 1 2 3     
a x e x e x e 1 1 2 2 3 3    
Chú ý: Cho vecto a, , b c khác 0 :       1. a, ,
b c đồng phẳng nếu có ba số thực , m ,
n p không đồng thời bằng 0 sao cho: ma nb pc  0       2. a, ,
b c không đồng phẳng nếu từ ma nb pc  0  m n p  0 3. Tọa độ của vecto
Trong không gian xét hệ trục Oxyz, có trục Ox vuông góc với trục Oy tại O, và trục Oz vuông góc
với mặt phẳng Oxy tại O. Các vecto đơn vị trên từng trục Ox,Oy, Oz lần lượt là   
i  1;0;0, j  0;1;0 , k  0;0;  1 .     
a) a  a ; a ;a a a i a j a k 1 2 3  1 2 3    
b) M x , y , z
OM x i y j z k M M M M M M
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
c) Cho Ax , y , z  , B x , y , z ta có: A A A B B B   2 2 2
AB   x x ; y y ; z z AB   x xy yz z B A   B A   B A  . B A B A B A   x x y y z z
d) M là trung điểm AB thì B A M ; B A ; B A    2 2 2   
e) Cho a  a ; a ; a b  b ;b ;b ta có: 1 2 3  1 2 3  a b 1 1   
a b  a b 2 2 a b  3 3  
a b  a b ; a b ;a b 1 1 2 2 3 3  
k.a  ka ; ka ;ka 1 2 3        .
a b a . b cos  ;
a b  a b a b a b 1 1 2 2 3 3  2 2 2
a a a a 1 2 3  
a b a b a b     cos cos  ; a b 1 1 2 2 3 3 
(với a  0,b  0 ) 2 2 2 2 2 2
a a a . b b b 1 2 3 1 2 3    
a b vuông góc:  .
a b  0  a b a b a b  0 1 1 2 2 3 3 a kb   1 1   
a b cùng phương:  k
  R : a kb  a kb 2 2 a kb  3 3
4. Tích có hướng và ứng dụng  
Tích có hướng của a  a ; a ; a b  b ;b ;b là: 1 2 3  1 2 3     a a a a a a  2 3 3 1 1 2  , a b   ; ;
  a b a b ; a b a b ; a b a b 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1    b b b b b b 2 3 3 1 1 2   a. Tính chất:      
a,b  a, a,b  b          
a,b  a . b sin   a,b     
a b cùng phương: a,b  0         a, ,
b c đồng phẳng   , a b .c  0  
b. Các ứng dụng tích có hướng 1  
Diện tích tam giác: S   AB, ACABC 2  
1   
Thể tích tứ diện V
AB, AC.AD ABCD 6  
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
  
Thể tích khối hộp: V
  AB, AD .AA'
ABCD. A' B 'C ' D '  
5. Một số kiến thức khác  
a) Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k MA k MB thì ta có: x kx y ky z kz A B x  ; A B y  ; A B z  với k  1 M 1 Mk 1 Mk 1 k
x
x x
y y y
z z z
b) G là trọng tâm tam giác A B C ABC x  ; A B C y  ; A B C z G 3 G 3 G 3
    
G là trọng tâm tứ diện ABCD GA GB GC GD  0
B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1:
Cho 4 điểm S 1, 2, 3; A2, 2,3; B 1,3,3;C 1, 2, 4. SABC là: A. Tứ diện. B. Hình chóp đều. C. Tứ diện đều. D. Hình thang vuông Hướng dẫn giải:    AB   1
 ;1; 0; BC  0;1;  1 ; AC   1  ;0;  1
AB BC CA  2  ABC là tam giác đều   
SA  1;0;0; SB  0;1;0; SC  0;0; 
1  SA SB SC  1 1 0 0 D S ,
A SB, SC   0 1 0  1  0 0 0 1
   
Hay ta có thể tính S ; A SBSC  0  
    S ,
A SB, SC không đồng phẳng.
SABC là hình chóp đều, đỉnh S. Chọn B. Câu 2:
Cho bốn điểm S 1, 2, 3; A2, 2,3; B 1,3,3;C 1, 2, 4.Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm
của BC,CA và AB. Khi đó SMNP là: A. Hình chóp. B. Hình chóp đều. C. Tứ diện đều. D. Tam diện vuông Hướng dẫn giải: 2
Tam giác: ABC AB BC CA  2  MN NP PM  2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz   
SA  1;0;0; SB  0;1;0; SC  0;0  ;1 S    S .
A SB  0  SA SB
Tương tự SA SC, SB SC
Các tam giác vuông SAB, SBC, SCA vuông
tại S, có các trung tuyến: AB 2
SP SM SN  
MN NP PM 2 2 A C
Ta có: SP   SAB; SM  SBC ; SN   SCAN
  
SP, SM , SN không đồng phẳng P M
SMNP là tứ diện đều. B Chọn C. Câu 3:
Cho bốn điểm S 1, 2, 3; A2, 2,3; B 1,3,3;C 1, 2, 4.Xác định tọa độ trọng tâm G của hình chóp SABC.  5 13   7 9   5 9 13  A. 5,9,13 . B. , 3,   . C. 1, ,   . D. , ,    3 3   4 4   4 4 4  Hướng dẫn giải:
   
    
Ta có GS GA GB GC  4OG OA OB OC OS  1 5 x  2 11  1   4 4   1 9
G y  2  3  2  2  4 4   1 13 z  3  3  4  3    4 4 Chọn D.     Câu 4:
Cho 3 vectơ a  1,1, 2  ;b  2, 1  , 2;c   2  , 3, 2
 . Xác định vec tơ d thỏa mãn       . a d  4; . b d  5; . c d  7.  3 5   5  A. 3, 6,5 . B.  3  , 6, 5 . C. , 6,   . D. 3, 6,   .  2 2   2  Hướng dẫn giải:    . a d  4
x y  2z  4   1      .
b d  5  2x y  2z  5 2    . c d  7 2
x  3y  2z  7 3     
1  2 : 3x  9  x  3 và 2  3 : 2 y  12  y  6 1 1 5   5    1 : z
x y  4  3  6  4   d  3;6;   2 2 2  2  Chọn D.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz Câu 5:
Trong không gian Oxyz, cho điểm A2;0;2, B 3;1; 4  ,C  2
 ; 2;0 . Điểm D trong mặt
phẳng (Oyz) có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2 và khoảng cách
từ D đến mặt phẳng (Oxy) bằng 1 có thể là: A. D 0; 3  ;   1 B. D 0;2;  1 
C. D 0;1;  1
D. D 0;3;  1 Hướng dẫn giải:
Do D  Oyz   D 0; ;
b c với c  0 c   1 loai
Theo giả thiết: d D,Oxy  1  c  1       D 0; ; b   1 c  1     Ta có AB  1; 1  ; 2  , AC   4
 ; 2; 2, AD   2  ; ; b  1  
  
Suy ra  AB, AC  2;6; 2   
  AB, AC .AD  6b  6    
1    b  3
Cũng theo giả thiết, ta có: V
AB, AC.AD b 1  2  ABCD    6 b  1  Chọn D. Câu 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A1; 2;0 , B 3; 4 
;1 , D 1;3; 2 . Tìm
tọa độ điểm C sao cho ABCD là hình thang có hai cạnh đáy AB , CD và có góc C bằng 45 . 
A. C 5;9;5 .
B. C 1;5;3 .
C. C 3;1  ;1 .
D. C 3;7;4 . Hướng dẫn giải: Chọn D. 
Cách 1. AB  (2; 2;1) .
x  1 2t
Đường thẳng CD có phương trình là CD : y  3  2t . z  2  t    Suy ra C  1
  2t;3  2t; 2  t  ; CB  (4  2t;1 2t;1 t), CD  ( 2  t; 2  t; t) .  (4  2t)( 2
t)  (1 2t)(2t)  ( 1   t)( t  ) Ta có cos BCD  2 2 2 2 2 2
(4  2t)  (1 2t)  ( 1   t) (2t)  ( 2  t)  ( t  ) (4  2t)( 2
t)  (1 2t)(2t)  ( 1   t)(t) 2 Hay  (1). 2 2 2 2 2 2 2
(4  2t)  (1 2t)  (1 t) ( 2  t)  ( 2  t)  ( t  )
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Lần lượt thay t bằng 3;1; 1; 2 (tham số t tương ứng với toạ độ điểm C ở các phương án A,
B, C, D), ta thấy t  2 thoả (1). Cách 2.  
Ta có AB  (2; 2;1), AD  ( 2  ;1; 2) . Suy ra A B  
AB CD AB AD . Theo giả thiết, suy  
ra DC  2 AB . Kí hiệu C(a; ; b c) , ta có  
DC  (a 1;b  3; c  2) , 2AB  (4; 4; 2) . Từ
đó C(3; 7; 4) . D C Câu 7:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho hình hộp chữ nhật ABC . D AB CD   có A trùng
với gốc tọa độ O , các đỉnh B( ; m 0; 0) , D(0; ; m 0) , A (
 0; 0; n) với m, n  0 và m n  4 . Gọi
M là trung điểm của cạnh CC . Khi đó thể tích tứ diện BDA M
đạt giá trị lớn nhất bằng 245 9 64 75 A. . B. . C. . D. . 108 4 27 32 z Hướng dẫn giải: A' B'n
Tọa độ điểm C( ; m ; m 0), C (  ; m ;
m ; n), M  ; m ; m D'C'  2  n     n AO B BA   ;
m 0; n, BD   ; m ;
m 0 , BM   0; ; m mx m  2  D C   2 y
BA , BD  m ; n m ; n m  2
1    m n V
BA , BD.BM BDA M  6 4 3
m m  2n  512 256 Ta có 2 . m . m (2n)      m n   3  27 27 64  VBDAM 27 Chọn C. Câu 8:
Cho ba điểm A3;1;0, B 0; 1  ;0,C 0;0; 6
  . Nếu tam giác AB C
  thỏa mãn hệ thức
   
AA B B   C C
  0 thì có tọa độ trọng tâm là:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz A. 1;0; 2  . B. 2;3;0. C. 3; 2  ;0. D. 3; 2   ;1 . Hướng dẫn giải: Chọn A
* Cách diễn đạt thứ nhất:
Gọi G, G’ theo thứ tự lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, A’B’C’. Với mọi điểm T trong không gian có:
            
1 : A' A B ' B C 'C  0  TATA'  TB TB'  TC TC '  0
     
TA TB TC TA '  TB '  TC ' 2
   
   
Hệ thức (2) chứng tỏ. Nếu T G tức là TA TB TC  0 thì ta cũng có TA '  TB '  TC '  0
hay T G ' hay (1) là hệ thức cần và đủ để hai tam giác ABC, A’B’C’ có cùng trọng tâm.
 3  0  0 11 0 0  0  6 
Ta có tọa độ của G là: G  ; ;  1;0; 2      3 3 3 
Đó cũng là tọa độ trọng tâm G’ của A  ' B 'C '
* Cách diễn đạt thứ hai:
   
Ta có: AA '  BB '  CC '  0 (1)
  
  
   
  A'G ' G 'G GA  B'G ' G 'G GB  C 'G '  G 'G GC  0
  
    
 GAGB GC   A'G '  B 'G '  C 'G '  3G 'G  0 (2)
Nếu G, G’ theo thứ tự lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, A’B’C’ nghĩa là
       
GA GB GC A 'G '  B 'G '  C 'G ' thì 2  G 'G  0  G '  G
Tóm lại (1) là hệ thức cần và đủ để hai tam giác ABC, A’B’C’ có cùng trọng tâm.
 3  0  0 11 0 0  0  6 
Ta có tọa độ của G là: G  ; ;  1;0; 2   
. Đó cũng là tọa độ trọng  3 3 3  tâm G’ của A  ' B 'C ' Câu 9:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm M 3;0;0 , N  , m ,
n 0, P 0;0; p .  Biết 0
MN  13, MON  60 , thể tích tứ diện OMNP bằng 3. Giá trị của biểu thức 2 2
A m  2n p bằng A. 29. B. 27. C. 28. D. 30. Hướng dẫn giải:    
OM  3;0;0,ON   ; m ;
n 0  OM .ON  3m
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz       OM .ON 1 m 1 0
OM .ON OM . ON cos 60       2 2 OM . ON 2 2 m n
MN  m  2 2 3  n  13
Suy ra m  2; n  2 3
   1
OM , ON  .OP  6 3 p V
6 3 p  3  p   3   6
Vậy A  2  2.12  3  29.
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD biết A 2  ; 2; 6, B  3  ;1;8 ,C  1
 ; 0; 7, D 1;2;3 . Gọi H là trung 27
điểm của CD, SH   ABCD . Để khối chóp S.ABCD có thể tích bằng (đvtt) thì có hai 2
điểm S , S thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tìm tọa độ trung điểm I của S S 1 2 1 2 A. I 0; 1  ; 3 . B. I 1;0;3
C. I 0;1;3 . D. I  1  ; 0; 3  . Hướng dẫn giải:   1   3 3
Ta có AB  1; 1
 ; 2, AC  1; 2   ;1  S
AB, AC   ABC 2   2     DC  2; 2
 ; 4, AB   1
 ; 1; 2  DC  2.AB ABCD là hình thang và 9 3 S  3SABCD ABC 2 1 Vì VSH.SSH  3 3 S .ABCD 3 ABCD
Lại có H là trung điểm của CD H 0;1;5     Gọi S  ; a ;
b c  SH   ;1 a  ;
b 5  c  SH k AB, AC  k 3;3;3  3k;3k;3k    Suy ra 2 2 2
3 3  9k  9k  9k k  1  
+) Với k  1  SH  3;3;3  S  3  ; 2  ; 2 
+) Với k  1  SH   3
 ; 3; 3  S 3; 4;8 Suy ra I 0;1;3
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vuông ABCD , B(3;0;8) , D( 5  ; 4  ; 0) . Biết  
đỉnh A thuộc mặt phẳng ( Oxy ) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó CA CB bằng: A. 5 10. B. 6 10. C. 10 6. D. 10 5. Hướng dẫn giải:
Ta có trung điểm BD I ( 1  ; 2
 ; 4) , BD  12 và điểm A thuộc mặt phẳng (Oxy) nên ( A a; ; b 0) . 2 2 AB AD 2 2 2 2 2  
(a  3)  b  8  (a  5)  (b  4)
ABCD là hình vuông  2   1   2  2 2 2 AI   BD
(a 1)  (b  2)  4  36    2   17 a b   4  2aa  1   5  17 14      hoặc 
 A(1; 2; 0) hoặc A ; ;0 2 2  
(a  1)  (6  2a)  20  b  2  1  4  5 5  b     5 (loại). Với (
A 1; 2; 0)  C( 3  ; 6  ;8) .
Câu 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho 4 điểm ( A 2; 4; 1
 ) , B(1;4;1) , C(2;4;3) D(2; 2; 1
 ) . Biết M  ;x y; z , để 2 2 2 2  
MA MB MC MD đạt giá trị nhỏ nhất thì x y z bằng A. 7. B. 8. C. 9. D. 6. Hướng dẫn giải:  7 14 
Gọi G là trọng tâm của ABCD ta có: G  ; ; 0  .  3 3  Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2
MA MB MC MD  4MG GA GB GC GD  7 14   2 2 2 2
GA GB GC GD . Dấu bằng xảy ra khi M G ;
; 0  x y z    7 .  3 3 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG NÂNG CAO A - LÝ THUYẾT CHUNG 1. Định nghĩa
Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax By Cz D  0 với 2 2 2
A B C  0 được gọi là
phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Phương trình mặt phẳng  P : Ax By Cz D  0 với 2 2 2
A B C  0 có vec tơ pháp tuyến là  n   ; A ; B C .   
Mặt phẳng  P đi qua điểm M x ; y ; z
và nhận vecto n   ; A ;
B C , n  0 làm vecto pháp tuyến 0  0 0 0 
dạng  P : Ax x B y y C z z  0. 0   0   0   
Nếu  P có cặp vecto a  a ; a ; a ;b b ;b ;b không cùng phương, có giá song song hoặc 1 2 3   1 2 3    
nằm trên  P. Thì vecto pháp tuyến của  P được xác định n  a,b .  
2. Các trường hợp riêng của mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho mp :Ax By Cz D  0, với 2 2 2
A B C  0. Khi đó:
D  0 khi và chỉ khi  đi qua gốc tọa độ.
A  0, B  0, C  0, D  0 khi và chỉ khi  song song trục Ox.  Oxy.
A  0, B  0, C  0, D  0 khi và chỉ khi song song mặt phẳng D D D x y c a   , b   , c   .
 :    1 ,
A B, C, D  0. Đặt A B C Khi đó: a b z
3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho  : Ax By Cz D  0 và ' : A' x B ' y C ' z D '  0
AB '  A' B '  cắt
 BC '  B 'C
CB'  C ' B
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
AB '  A' B '  //
 BC '  B 'C
va AD '  A' D
CB'  C 'B
AB '  A ' B    '
BC '  B 'C
 CB'  C 'B
AD '  A' D   
Đặt biệt:   '  n .n  0  . A A ' .
B B ' C.C '  0 1 2
4. Góc giữa hai mặt phẳng
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng  0 0 0   90 
P : Ax By Cz D  0 và Q : A' x B ' y C ' z D'  0     n .n   A A B B C C n n     P Q P Q . ' . ' . ' cos = cos , 2 2 2 2 2 2 n . n
A B C . A '  B '  C ' P Q
B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM y  0 Câu 1:
Trong không gian với hệ tọa độ 
Oxyz cho điểm M 1;0;0 và
2x y  2z  2  0  N 0;0;  1
 , mặt phẳng  P qua điểm M , N và tạo với mặt phẳng Q : x y  4  0 một góc bằng O
45 . Phương trình mặt phẳng  P là  y  0  y  0 A.  . B.  .
2x y  2z  2  0 
2x y  2z  2  0 
2x y  2z  2  0
2x  2z  2  0 C.  . D. . 
2x y  2z  2  0 
2x  2z  2  0  Hướng dẫn giải:  
Gọi vectơ pháp tuyến của mp  P và Q lần lượt là n a b c  2 2 2
a b c  0 , n P  ; ;  Q
P qua M 1;0;0  P : ax  
1  by cz  0
P qua N 0;0;  1
  a c  0   a b 1 a  0
P hợp với Q góc O
45  cos n ,n cos P Q  O  45     2 2 2 2 2 a  2    b a b
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Với a  0  c  0 chọn b  1 phương trình  P : y  0
Với a  2b chọn b  1  a  2 phương trình mặt phẳng  P  : 2x y  2z  2  0 . Chọn A. Câu 2:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho  P : x  4 y  2z  6  0 , Q : x  2 y  4z  6  0 .
Lập phương trình mặt phẳng  chứa giao tuyến của  P ,Q và cắt các trục tọa độ tại các điểm ,
A B, C sao cho hình chóp O.ABC là hình chóp đều.
A. x y z  6  0 .
B. x y z  6  0 .
C. x y z  6  0 .
D. x y z  3  0 . Hướng dẫn giải:
Chọn M 6;0;0, N 2; 2; 2 thuộc giao tuyến của  P ,Q Gọi A ;
a 0; 0, B 0; ;
b 0, C 0;0;c lần lượt là giao điểm của  với các trục Ox, Oy, Oz x y z   :    1a, , b c  0 a b c  6 1    a
 chứa M , N  2 2 2     1  a b c
Hình chóp O.ABC là hình chóp đều  OA OB OC a b c
Vây phương trình x y z  6  0 . Chọn B. Câu 3:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng: x t x  2 y 1 z 1   :   ,  : 2 2 2
y  2  t và mặt cầu (S ) : x y z  2x  2 y  6z  5  0 1 1 2 3 2 z  1 2t
Viết phương trình mặt phẳng () song song với hai đường thẳng  ,  và cắt mặt cầu (S) 1 2 2 365
theo giao tuyến là đường tròn (C) có chu vi bằng . 5
A. x  5y  3z  4  0; x  5y  3z 10  0
B. x  5y  3z 10  0
C. x  5 y  3z  3  511  0; x  5 y  3z  3  511  0
D. x  5y  3z  4  0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz Chọn B. Hướng dẫn giải: 
+  qua M (2; 1;1) và có vectơ chỉ phương u  (1; 2; 3  ) . 1 1 1 
 qua M (0; 2;1) và có vectơ chỉ phương u  (1; 1; 2) . 2 2 2  
+ Mặt phẳng () song song với  ,  nên có vectơ pháp tuyến: u ,u   (1; 5; 3  ) 1 2 1 2  
 Phương trình mặt phẳng () có dạng: x  5y  3z D  0
+ Mặt cầu (S) có tâm I(1; 1
 ;3) và bán kính R  4 . 2 365 365
Gọi r là bán kính đường tròn (C), ta có: 2 r   r  5 5 35 D  3 35 D  4
Khi đó: d I , () 2 2  R r      5 35 5 D  10 
+ Phương trình mặt phẳng () : x  5y  3z  4  0 (1) hay x  5y  3z 10  0 (2) .
Vì  / /(),  / /() nên M1 và M2 không thuộc ()  loại (1). 1 2
Vậy phương trình mặt phẳng () cần tìm là: x  5y  3z 10  0 . Chọn B. Câu 4:
Cho tứ giác ABCD A0;1;  
1 ; B 1;1; 2;C 1;1;0; D 0;0 
;1 . Viết phương trình của
mặt phẳng  P qua ,
A B và chia tứ diện thành hai khối ABCE ABDE có tỉ số thể tích bằng 3.
A. 15x  4 y  5z 1  0 .
B. 15x  4 y  5z 1  0 .
C. 15x  4 y  5z 1  0 .
D. 15x  4 y  5z 1  0 Hướng dẫn giải:
P cắt cạnh CD tại E, E chia đoạn CD theoo tỷ số 3  Ax  3x 1 3.0 1 C D x    F  4 4 4   y  3y 1 3.0 1 N C DE y    4 4 4   z  3z 0  3.1 3 C D z      4 4 4 B D   E  1 5 7  1
AB  1; 0;3; AE  ;  ;    1;5;7  4 4 4  4 C
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz Vecto pháp tuyến của   
P : n  AB, AE  15; 4  ; 5
    P :  x  015   y   1  4
    z   1 5  0  
 15x  4 y  5z 1  0 Chọn A. y  0 Câu 5:
Trong không gian với hệ tọa độ 
Oxyz cho điểm M 1;0;0 và
2x y  2z  2  0  N 0;0; 
1 , mặt phẳng  P qua điểm M , N và tạo với mặt phẳng Q : x y  4  0 một góc bằng O
45 . Phương trình mặt phẳng  P là  y  0  y  0 A.  . B.  .
2x y  2z  2  0 
2x y  2z  2  0 
2x y  2z  2  0
2x  2z  2  0 C.  . D. . 
2x y  2z  2  0 
2x  2z  2  0  Hướng dẫn giải:  
Gọi vectơ pháp tuyến của mp  P và Q lần lượt là n a;b;c  2 2 2
a b c  0 , n PQ
P qua M 1;0;0  P : ax  
1  by cz  0
P qua N 0;0; 
1  a c  0   a b 1 a  0
P hợp với Q góc O
45  cos n , ncos    P Q  O 45  2 2 2  2 2 a  2  b a b
Với a  0  c  0 chọn b  1 phương trình  P : y  0
Với a  2b chọn b  1  a  2 phương trình mặt phẳng  P : 2x y  2z  2  0 . Chọn A. Câu 6:
Cho tứ giác ABCD A0;1;  
1 ; B 1;1; 2;C 1;1;0; D 0;0 
;1 . Viết phương trình tổng
quát của mặt phẳng Q song song với mặt phẳng  BCD và chia tứ diện thành hai khối 1
AMNF MNFBCD có tỉ số thể tích bằng . 27
A. 3x  3z  4  0 .
B. y z 1  0 .
C. y z  4  0 .
D. 4x  3z  4  0 Hướng dẫn giải: 3  AM  1
Tỷ số thể tích hai khối AMNF MNFBCD :     AB  27 AM 1  
M chia cạnh AB theo tỉ số 2 AB 3
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz  1 2.0 1 x    3 3   1 2.1    E y   1 ; BC  2  0;1 
;1 ; BD   1;1  ;1 3   2  2  1 x   0  3 
Vecto pháp tuyến của Q : n  0;1;   1  1 
M  Q  Q : x  0     y  
1 1  z  0  1  0  3 
  P : y z 1  0 Chọn B. Câu 7:
Từ gốc O vẽ OH vuông góc với mặt phẳng  P ,OH p ; gọi , , lần lượt là các góc
tạo bởi vec tơ pháp tuyến của  P với ba trục Ox,Oy,O .
z Phương trình của  P là:
A. x cosy cos z cos p  0 .
B. x siny sin z sin p  0 .
C. x cosy cos z cos p  0 .
D. x siny sin z sin p  0 Hướng dẫn giải: 
H p cos, p cos , c cos  OH   p cos, p cos , c cos 
Gọi: M x, y, z   P  HM   x p cos, y p cos , z c cos   OH HM
  x p cosp cos  y p cos p cos   z c cosp cos
  P : x cosy cos z cosp  0 Chọn A. Câu 8:
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng  P cắt hai trục y 'Oy z 'Oz tại A0, 1
 , 0 , B 0, 0, 
1 và tạo với mặt phẳng  yOz một góc 0 45 .
A. 2x y z 1  0 .
B. 2x y z 1  0 .
C. 2 x y z 1  0; 2 x y z 1  0 .
D. 2 x y z 1  0; 2 x y z 1  0 Hướng dẫn giải:
Gọi C a, 0,0 là giao điểm của  P và trục x 'Ox    BA  0, 1  ,  
1 ; BC  a, 0,   1   
Vec tơ pháp tuyến của  P là n  B ,
A BC  1, a, a   
Vec tơ pháp tuyến của  yOz là: e  1, 0, 0 1   1 2 1
Gọi là góc tạo bởi  P và  yOz  0 2  os c 45  
 4a  2  a   2 2 1 2a 2
Vậy có hai mặt phẳng  P :  2x y z  1  2x y z 1  0; 2x y z 1  0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz Chọn D. Câu 9:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: 2 2 2
x y z  2x  6 y  4z  2  0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của 
véc tơ v  (1;6;2) , vuông góc với mặt phẳng () : x  4 y z 11  0 và tiếp xúc với (S).
2x y  2z  3  0
2x y  2z  3  0 A.  . B.  .
2x y  2z  21  0 
2x y  2z  21  0 
2x y z  3  0
2x y z  13  0 C.  . D.
2x y z  1  0 
2x y z  1  0  Hướng dẫn giải:
Vậy: (P): 2x y  2z  3  0 hoặc (P): 2x y  2z  21  0
(S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT của () là n  (1; 4;1) .   
 VTPT của (P) là: n  n,v   (2; 1; 2)  PT của (P) có dạng: 2x y  2z m  0. Pm  21 
Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d (I ,(P))  4  . m  3 
Vậy: (P): 2x y  2z  3  0 hoặc (P): 2x y  2z  21  0 . Chọn B. 2 2 2 Câu 10: Cho điểm (
A 0;8; 2) và mặt cầu (S) có phương trình (S) : (x  5)  (y  3)  (z  7)  72 và điểm B(9; 7
 ; 23) . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua Atiếp xúc với (S) sao cho khoảng 
cách từ B đến (P) là lớn nhất. Giả sử n  (1; ;
m n) là một vectơ pháp tuyến của (P) . Lúc đó A. . m n  2. B. . m n  2  . C. . m n  4. D. . m n  4  . Hướng dẫn giải: Chọn D.
Mặt phẳng (P) qua A có dạng a(x  0)  b( y  8)  c(z  2)  0  ax by cz  8b  2c  0 . Điều kiện tiếp xúc:
5a  3b  7c  8b  2c
5a 11b  5c
d (I; (P))  6 2   6 2   6 2 . (*) 2 2 2 2 2 2
a b c
a b c
9a  7b  23c  8b  2c
9a 15b  21cd ( ; B (P))   2 2 2 2 2 2
a b c
a b c
5a 11b  5c  4(a b  4c)   2 2 2
a b c 2 2 2 2 2 2
5a 11b  5c
a b  4c
1  (1)  4 . a b c   4  6 2  4  18 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c
a b c
a b c
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz a b c Dấu bằng xảy ra khi  
. Chọn a  1;b  1; c  4 thỏa mãn (*). 1 1  4
Khi đó (P) : x y  4z  0 . Suy ra m  1
 ; n  4 . Suy ra: . m n  4  .
Câu 11: Cho mặt phẳng  P đi qua hai điểm A3, 0, 4, B  3
 , 0, 4 và hợp với mặt phẳng  xOy một góc 0
30 và cắt y 'Oy tại C. Viết phương trình tổng quát mặt phẳng  P.
A. y  3z  4 3  0 .
B. y  3z  4 3  0 .
C. y  3z  4 3  0 .
D. x y  3z  4 3  0 Hướng dẫn giải:  
C 0, c, 0; AC   3  , , c 4
 ; AB  6, 0, 0   
Vec tơ pháp tuyến của  P : n   AC, AB  60, 4, c   
Vec tơ pháp tuyến của  xOz : e  0, 0,1 3   c 3  0 2 cos 30  
c  48  c  4 
3  n  6 0, 4, 4 3 2   2 16  c
  P :  x  3.0   y  0 4   z  4 4 
3   0  y z 3  4 3  0 Chọn C. x tx  1 1  
Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba đường thẳng d :  y  0 , d :  y t , 1 2 2 z  0   z  0  x  1 
d : y  0 . Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm H 3;2 
;1 và cắt ba đường thẳng d , 3 1 z t  3
d , d lần lượt tại A , B , C sao cho H là trực tâm tam giác ABC . 2 3
A. 2x  2 y z 11  0 .
B. x y z  6  0 .
C. 2x  2 y z  9  0 .
D. 3x  2 y z 14  0 . Hướng dẫn giải: Chọn A.
Gọi Aa; 0; 0 , B 1; ;
b 0 , C 1;0;c .    
AB  1 a;b;0, BC  0;  ;
b c, CH  2;2;1 c, AH  3  a; 2;  1 . Yêu cầu bài toán
  
 AB, BC .CH  0  
2bc  2c a  
1  1 cb a   1  0  b   0    2 3  A . B CH 0 a b 1 9b 2b 0          9   b    c  2 .  0 b BC AH  2   
Nếu b  0 suy ra A B (loại).
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz 9  11   9  Nếu b  , tọa độ A ; 0; 0   , B 1; ;0 
 , C 1; 0;9 . Suy ra phương trình mặt phẳng 2  2   2 
ABC  là 2x  2 y z 11  0 .
x  3  tx t '  
Câu 13: Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng d:  y  2
  t và d’:  y  5  t '   z  2  t z  2t ' 3 2  5 
Viết phương trình mặt phẳng () chứa (d) và tạo với mặt phẳng Oyz một góc nhỏ nhất.
A. 3x y  2z  7  0 .
B. 3x y  2z  7  0 . C. 3
x y  2z  7  0 .
D. 3x y  2z  7  0 . Hướng dẫn giải:
Giả sử (β): Ax By Cz D  0 (đk: 2 2 2
A B C  0), (β) có vtpt là n  ( ; A B;C)  A() 
3A  2B D  0  
D   A  2C 2 d  (β)        n . a  0 
A B C 2  0 
B A C 2     A
cos((), (Oyz))  cos(n, i ) = 2 2 2
A  ( A C 2)  C
TH 1: A = 0 (không thoả đb hoặc 
(), (Oyz) không nhỏ nhất) TH 2: A ≠ 0, ta có:  1 1
cos((),(Oyz)) = = = C 2 C 2 1 (1  2 )  ( ) C C 6 12 2 2 ( 3)  2. 2  ( )  A A A A 3 9 1 C 6 12 2 ( 3  )  A 3 9  C 6
(), (Oyz) nhỏ nhất  
cos((),(Oyz)) lớn nhất  2 ( 3  ) nhỏ nhất  A 3 C 6 3   0 A 3  1  A  1 (choïn) B     3  nên . Vậy: (β):  2 
3x y  2z  7  0 C    7   3 D     3
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz Chọn D. x  2 y 1 z
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :   . Viết phương 1 2 1 
trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho
đường thẳng AB vuông góc với d.
A. P : x  2y  5z  4  0.
B. P : x  2 y  5z  5  0.
C. P : x  2 y z  4  0.
D. P : 2x y  3  0. Hướng dẫn giải:
Cách 1 (Tự luận) 
Đường thẳng d qua M(2;1;0) và có VTCP u  1;2;  1 d   
Ta có: AB  d và AB  Oz nên AB có VTCP là: u
 u , k   2; 1  ;0 AB d      
(P) chứa d và AB nên (P) đi qua M(2;1; 0), có VTPT là: n  u ,u   1;2;5 d AB   
  P : x  2y  5z  4  0 Chọn A
Cách 2: Dùng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
Đường thẳng d qua 2 điểm M(2;1;0) và N(3;3;-1)
Giả sử mp(P) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) x y z   P :    1 a b c   AB  d  A .
B u  0  a  2b (1) d   2 1 3 3 1
P chứa d nên d cũng đi qua M, N    1 (2),    1 (3) a b a b c 4
Từ (1), (2), (3)  a = 4, b = 2, c =
  P : x  2y  5z  4  0 Chọn A 5 x t    
Câu 15: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : y 1 2t và mp
z  2t 
P: 2x y2z 2  0 . Viết phương trình mặt phẳng R qua d và tạo với P một góc nhỏ nhất.
A.
x y z  3  0
B. x y z  3  0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
C. x y z  3  0
D. x y z  3  0 Hướng dẫn giải:  x y 1     
2x y 1 0 1 2 
Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng:    .  x z  2
x z 2  0     1 1
Do vậy mặt phẳng R qua d thì R thuộc chùm mặt phẳng:
2x y 1 mx z 2  0 .
Hay mp R : 2  mx y mz 1 2m  0 (*). Mp R có  
n m  2;1;m ;n  2; 1  ; 2  1   P  . Vậy:  n .n
2m  21 2m 5 5 1 5 1 cos P       n n m    m   m m    P  22 2 3 1 4 1 4 3 2 4 5 2m 2 2 3 3 1 1 3
Do nhỏ nhất cho nên cos lớn nhất khi m  1  .
Vậy thay vào (*) ta có mp R: x y z  3  0 . Chọn B. x  2  t
x  2  2t  
Câu 16: Cho hai đường thẳng d :  y  1 t d :  y  3
. Mặt phẳng cách đều hai đường 1 2 z  2t   z t 
thẳng d d có phương trình là 1 2
A. x  5 y  2z 12  0.
B. x  5 y  2z  12  0.
C. x  5y  2z 12  0.
D. x  5 y  2z 12  0. A
Hướng dẫn giải: Chọn D. MB
d qua A2;1;0 và có VTCP là u  1; 1  ; 2 ; 1   1 P
d qua B 2;3;0 và có VTCP là u  2;0;1 . 2   2       Có u ,u  1  ; 5
 ; 2 ; AB  0;2;0 , suy ra u ,u .AB  10 , nên d ; d là chéo nhau. 1 2  1 2    1 2
Vậy mặt phẳng  P cách đều hai đường thẳng d , d là đường thẳng song song với d , d và 1 2 1 2
đi qua trung điểm I 2; 2;0 của đoạn thẳng AB .
Vậy phương trình mặt phẳng  P cần lập là: x  5 y  2z 12  0 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Câu 17: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho hai đường thẳng d , d lần lượt có phương trình 1 2 x  2 y  2 z  3 x 1 y  2 z 1 d :   , d :  
. Phương trình mặt phẳng  cách đều 1 2 1 3 2 2 1 4
hai đường thẳng d , d là: 1 2
A. 7x  2 y  4z  0 .
B. 7x  2 y  4z  3  0 .
C. 2x y  3z  3  0 .
D. 14x  4 y  8z  3  0 . Hướng dẫn giải:  
Ta có d đi qua A2;2;3 và có u  2;1;3 , d đi qua B 1;2  ;1 và có u  2; 1  ; 4 dd  1 1 2 2    AB   1  ;1; 2
 ; u ;u   7; 2  ; 4  ; d d  1 2  
    u  ;u AB  1
  0 nên d , d chéo nhau. d d 1 2 1 2     
Do  cách đều d , d nên  song song với d , d n  u ;u   7; 2  ; 4  d d  1 2 1 2 1 2  
  có dạng 7x  2 y  4z d  0 d  2 d 1 3
Theo giả thiết thì d  ,
A   d B,    d  69 69 2
  :14x  4 y  8z  3  0
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng P song song và cách x  2 y z x y  1 z  2
đều hai đường thẳng d :   và d :   . 1 1 1 1 2 2 1 1
A. P : 2x  2z  1  0 .
B. P : 2y  2z  1  0 .
C. P : 2x  2y  1  0 .
D. P : 2y  2z  1  0 . Hướng dẫn giải:
Ta có: d đi qua điểm A 2; 0; 0 và có VTCP u  1;1; 1 1  . 1 
d đi qua điểm B 0;1; 2 và có VTCP u  2; 1; 1 . P 2   Vì song songvới hai đường 2   
thẳng d d nên VTPT của P là n  u ,u   0;1; 1  1 2    1 2
Khi đó P có dạng y z D  0  loại đáp án A và C.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz  1 
Lại có P cách đều d d nên P đi qua trung điểm M 0; ;1 của AB. Do đó 1 2    2 
P : 2y  2z  1  0 Chọn B.
Câu 19: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  P : 5x z  4  0 và hai đường thẳng d ; d lần 1 2 x 1 y z  1 x 1 y  2 z  1 lượt có phương trình   ;  
. Viết phương trình của mặt 1 1 2 2 1 1 4 5
phẳng Q / /  P, theo thứ tự cắt d , d tại ,
A B sao cho AB  . 1 2 3 25  331 25  331
A. Q : 5x z
 0; Q : 5x z   0 . 1   2  7 7
B. Q : 5x z  2  0; Q : 55x 11z 14  0 . 1   2 
C. Q : 5x z  2  0; Q : 5
 5x 11z 14  0 . 1   2 
D. Q : 5x z  4  0; Q : 55x 11z  7  0 1   2  Hướng dẫn giải: x  1 t
x  1 2t '  
d : y t
, d :  y  2  t ' ; Q : 5x z d  0, d  4  1 2   z 1 2t     z  1   t '    3
  d 6  d 1  5  2d   3
  2d 12  d 30  5d  
Q  d A ; ;
, Q d B ; ; 1     2    3 3 3   9 9 9 
  6  d 6  4d 30  5d  1 Suy ra AB  ; ;   
6  d;6  4d;30  5d   9 9 9  9 4 5 1 2 2 2 Do AB  
6 d  6
  4d   30  5d   3 8  2  5  331 d  80 2 7 
 42d  300d  252  0   9  2  5  331 d   7
Vậy, tìm được hai mặt phẳng thỏa mãn: 25  331 25  331
Q : 5x z
 0; Q : 5x z   0 1   2  7 7 Chọn A.
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A1;2;3 và đường thẳng d : x  3 y 1 z   2 1 1
 . Mặt phằng P chứa đường thẳng d và có khoảng cách từ A đến P là
lớn nhất. Khi đó  P có một véctơ pháp tuyến là
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz    
A. n  (4; 5;13)
B. n  (4; 5; 1  3)
C. n  (4; 5;13)
D. n  (4; 5;13) Hướng dẫn giải:
Gọi H,K lần lươt là hình chiếu vuông góc của A lên d và (P)
Khi đó: d(A,(P)) = AK  AH hay d(A,(P)) lớn nhất khi và chỉ khi H K    4 Ta có: H( 3   2t; 1   t; t  ); a  (2;1; 1
 ) và AH.a  0  t  3  4 5 13
Suy ra: AH  ( ;  ;  ) 3 3 3 
Hay một véctơ pháp tuyến của (P) là n  (4; 5;13) Chọn A. x 1 y  2 z
Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d :   và 1 1 2 1 x  2 y 1 z d :  
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho góc giữa mặt 2 2 1  2 1
phẳng (P) và đường thẳng d là lớn nhất. 2
A. x y z  6  0 .
B. 7x y  5z  9  0 . C. x y z  6  0 .
D. x y z  3  0 . Hướng dẫn giải:
Ta có: d đi qua M(1; 2
 ; 0) và có VTCPu  (1; 2; 1) . 1
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: 2 2 2 (
A x 1)  B(y  2)  Cz  0,(A B C  0) .  
Ta có: d  (P)  .
u n  0  C A  2B 2 4A  3B 1 (4A  3B)
Gọi  ((P),d )  sin  . 2 2 2 2 2 3 2A  4AB  5 3 2  4  5 B A AB B 2 2
Với B  0  sin 3 A 2 1 (4t  3)
Với B  0 . Đặt t
, ta được sin . B 2 3 2t  4t  5 2 (4t  3) 2
16t 124t  84
Xét hàm số f (t) 
. Ta có: f '(t)  2 2t  4t  5 2 2
(2t  4t  5)
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz  3 t   f '(t) 0    4  t  7   25 A
Dựa vào BBT ta có: max f (t)  khi t  7   7 3 B 5 3
Khi đó: sinf (7)  9 5 3 A Vậy sin khi  7
  Phương trình mặt phẳng (P) : 7x y  5z  9  0 9 B Chọn B.
Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M 1; 2;  
1 . Viết phương trình mặt phẳng
 đi qua gốc tọa độ O 0;0; 0 và cách M một khoảng lớn nhất. x y z
A. x  2y z  0. B.    1.
C. x y z  0.
D. x y z  2  0. 1 2 1  Hướng dẫn giải:
Gọi H là hình chiếu của M trên (P)  MHO vuông tại H MH MO   MH
MO . Khi đó (P) đi qua M và vuông góc với MO M ( O 1; 2; 1  ) là vecto max
pháp tuyến của (P)  phương trình của mặt phẳng (P) là 1(x  0)  2(y  0)  1(z  0)  0
hay x  2y z  0. Chọn A. x 1 y  2 z
Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d :   và 1 1 2 1  x  2 y 1 z d :  
. Gọi  P là mặt phẳng chứa d sao cho góc giữa mặt phẳng  P và 2 2 1  2 1
đường thẳng d là lớn nhất. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: 2 
A. P có vectơ pháp tuyến là n  1; 1  ; 2 .
B. P qua điểm A0; 2;0 .
C. P song song với mặt phẳng Q : 7x y  5z  3  0 .
D. P cắt d tại điểm B 2; 1  ; 4 . 2 Hướng dẫn giải:d qua M 1; 2
 ;0 và có VTCP u  1; 2;  
1 . Vì d P nên M   P . 1   1
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Pt mặt phẳng  P có dạng: Ax    B y    Cz   2 2 2 1 2
0 A B C  0 .  
Ta có: d P u.n  0  C A  2B . 1   4A  3B 1 4 A  3B
Gọi   P   ,d   2  sin   . 2 2 2 2 2 3
2 A  4 AB  5 3 2  4  5 B A AB B 2 2
TH1: Với B  0 thì sin . 3 A 1 4t  32
TH2: Với B  0 . Đặt t
, ta được: sin  . B 2 3 2t  4t  5 4t  32 25
Xét hàm số f t  
. Dựa vào bảng biến thiên ta có: max f x  khi t  7 2 2t  4t  5 7 A khi  7 . B 5 3
Khi đó sinf  7    . 9 5 3 A
So sánh TH1 và TH2  lớn nhất với sin khi  7 . 9 B
Vậy phương trình mặt phẳng  P : 7x y  5z  9  0 . Chọn B.
Câu 24: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho tứ diện ABCD có điểm A1;1  ;1 , B 2;0; 2 , C 1; 1
 ; 0 , D 0;3;4 . Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B ', C ', D ' thỏa: AB AC AD  
 4 . Viết phương trình mặt phẳng  B 'C ' D ' biết tứ diện AB 'C ' D ' có AB ' AC ' AD ' thể tích nhỏ nhất?
A. 16x  40 y  44z  39  0 .
B. 16x  40 y  44z  39  0 .
C. 16x  40 y  44z  39  0 .
D. 16x  40 y  44z  39  0 . Hướng dẫn giải: AB AC AD A . B AC.AD
Áp dụng bất đẳng thức AM GM ta có: 3 4     3 AB ' AC ' AD '
AB '.AC '.AD '
AB '.AC '.AD ' 27 V
AB '.AC '.AD ' 27 27   
AB 'C ' D '    VV A . B AC.AD 64 V A . B AC.AD 64
AB 'C ' D ' 64 ABCD ABCD
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz AB ' AC ' AD ' 3  3   7 1 7  Để V
nhỏ nhất khi và chỉ khi     AB '  AB B ' ; ; AB 'C 'D'   AB AC AD 4 4  4 4 4   7 1 7 
Lúc đó mặt phẳng  B 'C ' D ' song song với mặt phẳng  BCD và đi qua B ' ; ;    4 4 4 
  B 'C ' D ' :16x  40y  44z  39  0 .
Câu 25: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng  đi qua điểm M 1; 2;3 và cắt các
trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A , B , C ( khác gốc toạ độ O ) sao cho M là trực tâm tam giác
ABC . Mặt phẳng  có phương trình là: x y z
A. x  2 y  3z 14  0 . B.   1  0 . 1 2 3
C. 3x  2 y z 10  0 .
D. x  2 y  3z 14  0 . Hướng dẫn giải:
Cách 1:Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB , K là hình chiếu vuông góc B trên
AC . M là trực tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi M BK CH AB CH  Ta có: z
  AB  COH   AB OM (1) AB CO C (1) K M
Chứng minh tương tự, ta có: AC OM (2). A
Từ (1) và (2), ta có: OM   ABC O x H 
Ta có: OM 1; 2;3 . B y 
Mặt phẳng  đi qua điểm M 1; 2;3 và có một VTPTOM 1; 2;3 nên có phương trình là:  x  
1  2  y  2  3 z  3  0  x  2y  3z 14  0 . Cách 2: +) Do ,
A B, C lần lượt thuộc các trục Ox, Oy, Oz nên (
A a; 0; 0), B(0; ;
b 0), C(0; 0; c) (
a, b, c  0 ). x y z
Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng ( ABC) là:    1 . a b c
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz    AM .BC  0 
 
+) Do M là trực tâm tam giác ABC nên BM .AC  0 . Giải hệ điều kiện trên ta được a,b, cM (ABC)  
Vậy phương trình mặt phẳng: x  2 y  3z 14  0 .
Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x  2y z  5  0 và đường thẳng x  1 y  1 z  3 d :  
. Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt 2 1 1
phẳng (Q) một góc nhỏ nhất là
A. P  : y z  4  0
B. P  : x z  4  0
C. P  : x y z  4  0
D. P  : y z  4  0 Hướng dẫn giải:
PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d
a2  b2  c2 0 (
 0) . Gọi a  ((P), Q ( )) . M (P)
c  a b
Chọn hai điểm M(1; 1;3), N (1; 0; 4)  d . Ta có:   N (P)   d a 7  4b   3 a b
 (P): ax by  (2a b)z  7a  4b  0  cos . 6 a2 5  4ab  2b2 3 b 3
TH1: Nếu a = 0 thì cos .   0 a  30 . 6 2b2 2 b 1 3 a b
TH2: Nếu a  0 thì cos . . Đặt x  và f x 2 ( )  cos 2 6 a bb  5  4  2  aa
9 x2  2x  1
Xét hàm số f (x)  . .
6 5  4x  2x2 Dựa vào BBT, ta thấy f x 0 0
min ( )  0  cos 0  a  90  30
Do đó chỉ có trường hợp 1 thoả mãn, tức a = 0. Khi đó chọn b  1,c  1, d  4 .
Vậy: (P): y z  4  0 . Chọn A.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Câu 27: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
A3;0; 2 , B 3;0; 2 và mặt cầu 2 2 2
x  ( y  2)  (z 1)  25 . Phương trình mặt phẳng  đi qua hai điểm A , B và cắt mặt
cầu  S  theo một đường tròn bán kính nhỏ nhất là:
A. x  4 y  5z  17  0 .
B. 3x  2 y z  7  0 .
C. x  4 y  5z 13  0 .
D. 3x  2 y z – 11  0 . Hướng dẫn giải:
Mặt cầu  S  có tâm I 0; 2  
;1 , bán kính R  5 . Do IA  17  R nên AB luôn cắt S .
Do đó () luôn cắt  S  theo đường tròn C  có bán kính r R  d I 2 2 , . Đề bán
kính r nhỏ nhất  d I,P lớn nhất.
Mặt phẳng  đi qua hai điểm A , B và vuông góc với mp  ABC  .   Ta có AB  (1; 1; 1  ) , AC  ( 2  ; 3; 2
 ) suy ra  ABC  có véctơ pháp tuyến   
n   AB, AC   (1; 4; 5  )     
(α) có véctơ pháp tuyến n   , n AB  ( 9   6; 3  )  3  (3; 2;1)  
Phương trình  : 3 x – 2  2 y –  1  
1 z – 3  0  3x  2 y z –11  0 .
Câu 28: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho  P : x  4 y  2z  6  0 , Q : x  2y  4z  6  0 .
Lập phương trình mặt phẳng  chứa giao tuyến của  P ,Q và cắt các trục tọa độ tại các điểm ,
A B, C sao cho hình chóp .
O ABC là hình chóp đều.
A. x y z  6  0 .
B. x y z  6  0 .
C. x y z  6  0 .
D. x y z  3  0 . Hướng dẫn giải:
Chọn M 6;0;0, N 2; 2; 2 thuộc giao tuyến của  P ,Q Gọi A ;
a 0;0, B 0; ;
b 0,C 0;0;c lần lượt là giao điểm của  với các trục Ox, Oy, Oz x y z   :    1a, , b c  0 a b c  6 1    a
 chứa M , N   2 2 2    1   a b c
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz Hình chóp .
O ABC là hình chóp đều  OA OB OC a b c
Vây phương trình x y z  6  0 .
Câu 29: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm N 1;1 
;1 . Viết phương trình mặt phẳng
P cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại ,
A B, C (không trùng với gốc tọa độ O ) sao cho N
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
A. P : x y z  3  0 .
B. P : x y z 1  0 .
C. P : x y z 1  0 .
D. P : x  2y z  4  0 . Hướng dẫn giải: Gọi A ;
a 0;0, B 0; ;
b 0,C 0;0;c lần lượt là giao điểm của  P với các trục Ox, Oy, Oz x y z   P :  
 1a,b, c  0 a b c  1 1 1   
N   P 1  a b c  
Ta có: NA NB   a 1  b 1  a b c  3  x y z  3  0 NA NC  
a 1  c 1   
Câu 30: Phương trình của mặt phẳng nào sau đây đi qua điểm M 1; 2;3 và cắt ba tia Ox , Oy , Oz
lần lượt tại A , B , C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất?
A. 6x  3y  2z  18  0 .
B. 6x  3y  3z  21  0 .
C. 6x  3y  3z  21  0 .
D. 6x  3y  2z 18  0 . Hướng dẫn giải: Giả sử (
A a; 0; 0), B(0; ;
b 0), C(0;0;c) (a, b, c  0) x y z (ABC):    1 (1) a b c 1 2 3 M(1;2;3) thuộc (ABC):    1. a b c 1
Thể tích tứ diện OABC: V abc 6 1 2 3 6 27.6 1 Áp dụng BDT Côsi ta có: 3 1     3  1  
abc  27  V  27 a b c abc abc 6 a  3 1 2 3 1 
Ta có: V đạt giá trị nhỏ nhất  V  27      b   6 a b c 3 c  9 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 30
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Vậy (ABC): 6x  3y  2z 18  0 . Chọn (D)
Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm E(8;1;1) .Viết phương trình mặt phẳng ()
qua E và cắt nửa trục dương Ox, Oy, Oz lần lượt tại ,
A B, C sao cho OG nhỏ nhất với G
trọng tâm tam giác ABC .
A. x y  2z 11  0 .
B. 8x y z  66=0 .
C. 2x y z 18  0 .
D. x  2 y  2z 12  0 . Hướng dẫn giải: Chọn D. Cách 1 : 11 11 11 11 121 Với đáp án A: 2 (
A 11; 0;0); B(0;11; 0);C(0;0; )  G( ; ; )  OG  2 3 3 6 4 33 11 15609 Với đáp án B: 2 ( A
;0; 0); B(0;66; 0); C(0; 0; 66)  G( ; 22; 22) OG  4 4 16 18 18 Với đáp án C: 2 (
A 9; 0; 0); B(0;18;0); C(0;0;18)  G(3; ; )  OG  81 3 3 Với đáp án D: 2 ( A 1
 2; 0; 0); B(0;6; 0); C(0; 0; 6)  G(4; 2; 2)  OG  24 Cách 2 : 8 1 1 Gọi A ;
a 0;0, B 0; ;
b 0,C 0;0;c với a,b, c  0 . Theo đề bài ta có :    1. Cần tìm a b c
giá trị nhỏ nhất của 2 2 2
a b c . 2 2 Ta có  2 2 2
a b c      a b c    2 2 2 4 1 1 .2 .1 .1
6. a b c   2a b c Mặt khác  2 2 2
a b c 4 1  1  a.2  . b 1 . c  1  8 1 1  
 2a b c      a b c   4 1 2 1  36 2 a Suy ra 2 2 2 3
a b c  6 . Dấu '  ' xảy ra khi 2 2
b c a  2b  2 . c 4 Vậy 2 2 2
a b c đạt giá trị nhỏ nhất bằng 216 khi a  12, b c  6 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 31
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz x y z
Vậy phương trình mặt phẳng là :  
 1 hay x  2 y  2z 12  0 . 12 6 6
Câu 32: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ( A 2;1; 6 , ) B 1 ( ; 2; 4) và I 1 ( ; 3; 2 . ) Viết phương
trình mặt phẳng (P) đi qua ,
A B sao cho khoảng cách từ I đến (P) lớn nhất.
A. 3x  7 y  6z  35  0 .
B. 7x y  5z  9  0 .
C. x y z  6  0 .
D. x y z  3  0 . Hướng dẫn giải: Ta có 2 2 2
IA  3  2  4  29 và 2 2 2
IB  0  5  2 
29 . Gọi M là trung điểm của
đoạn thẳng AB, vì IA=IB nên IM  AB, ta  1 1  94 có M ; ;5 ;   IM  .  2 2  2
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P):
Nếu H, M là hai điểm phân biệt thì tam giác IHM vuông tại H, IH94 IH  . 2 94 94
Nếu H trùng với M thì IH IM  . Vậy ta có IH
, IH lớn nhất khi H  M. 2 2     3 7 
Khi đó (P) có vectơ pháp tuyến là n IH IM
; ;3 . Vậy phương trình mặt phẳng P    2 2  3 7
(P) là  x  2   y  
1  3 z  6  0 hay 3x  7 y  6z  35  0 2 2 Chọn A. M(0;1;2) N(1;1; 3)
Câu 33: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm và . Mặt phẳng
(P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ K 0; 0;2 đến (P) đạt giá trị lớn nhất. (P) có vectơ pháp tuyến là: A. (1;1; 1  ) B. (1; 1  ;1) C. (1; 2  ;1) D. (2; 1  ;1) Hướng dẫn giải:
- Khoảng cách từ K đến (P) lớn nhất bằng KH, khi H’ K trùng H
- Vậy mặt phẳng (P) qua MN và vuông góc với KH.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Tr H ang ' 32 M
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay N P H
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
- Tìm H và viết (P) hoặc:
- (P) chứa MN và vuông góc với (MNP).
Gọi H, H’ là hình chiếu của K lên MN và (P).
Ta có: d(k,(P))  KH KH ' không đổi.
Vậy d(K,(P)) lớn nhất khi và chỉ khi H’ trùng H hay (P) vuông góc với KH.   
MK  (0;1;0); NK  (1; 1; 1) ; MN  (1;2;1)    (MNK) có vtpt là  
n MK, NK  (1;0;1)     HK  (MNK) Do nên HK có vtcp là  
MN,n  (2;2;2). HK     MN Chọn A.
A1;0;0, B  2
 ; 0;3, M 0;0  ;1 N 0;3  ;1 .
Câu 34: Trong không gian Oxyz, cho các điểm và Mặt P P phẳng
đi qua các điểm M , N sao cho khoảng cách từ điểm B đến gấp hai lần  P. P
khoảng cách từ điểm A đến Có bao mặt phẳng thỏa mãn đầu bài?
A. Có vô số mặt phẳng  P.
B. Chỉ có một mặt phẳng  P.
C. Không có mặt phẳng  P nào.
D. Có hai mặt phẳng  P. Hướng dẫn giải: Chọn A.
Giả sử  P có phương trình là: ax by c d   2 2 2 z
0 a b c  0
M   P  c d  0  d   . c
N  P  3b c d  0 hay b  0 vì c d  0.
  P :ax cz c  0. 2
a  3c c a c
Theo bài ra: d B, P  2d  ,
A P   2
c a a c 2 2 2 2 a c a c
Vậy có vô số mặt phẳng  P.
Câu 35: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho phương trình mặt phẳng
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 33
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz mx m y mz m          m  2 : 3 5 1 4 20 0, 1;1 .   Xét các mệnh đề sau: (I) Với mọi m  1;1  
thì các mặt phẳng
luôn tiếp xúc với một mặt cầu không đổi.    m
(II) Với mọi m  0 thì các mặt phẳng m  luôn cắt mặt phẳng (Oxz).   (III) d O;   m       m  5, 1;1 .      
Khẳng định nào sau đây đúng? A. Chỉ (I) và (II) B. Chỉ (I) và (III) C. Chỉ (II) và (III)
D. Cả 3 đều đúng. Hướng dẫn giải: 20 20  
+ Ta có d O;      m   1;1 m  4 , với mọi .     2 9m  25 2 1  m  2  16m 25
Do đó với mọi m thay đổi trên  1;1 
thì các mặt phẳng
luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm    m
O, bán kính R  4 . Khẳng đinh (I) đúng.  2
+ Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 
n  3m;5 1m ;4mm  là và vectơ pháp tuyến 
của mặt phẳng (Oxz) là j  0;1;  0 .      n
 ; j  0  m  0
m  cắt (Oxz) khi và chỉ khi . Khẳng đinh (II) đúng.   + Khẳng đinh (III) sai. Chọn A.
Câu 36: Cho mặt phẳng  P đi qua hai điểm A3, 0, 4, B  3
 , 0, 4 và hợp với mặt phẳng  xOy một góc 0
30 và cắt y 'Oy tại C. Tính khoảng cách từ O đến  P. A. 4 3 . B. 3 . C. 3 3 . D. 2 3 z B Hướng dẫn giải: K x'
Vẽ OH KC với K là giao điểm H
của AB và trục z 'Oz . A P   Ta có: 0 0
C  30  K  60 ;OK  4 -3 y 30
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com O Trang C 34
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 3 x
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz d O P 0 ,
OH OK.sin 60 3  4.  2 3. 2 Chọn D.
Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , hai mặt phẳng 4x  4 y  2z  7  0 và
2x  2 y z 1  0 chứa hai mặt của hình lập phương. Thể tích khối lập phương đó là 27 81 3 9 3 64 A. V B. V C. V D. V  8 8 . 2 27 Hướng dẫn giải:
Theo bài ra hai mặt phẳng 4x  4 y  2z  7  0 và 2x  2 y z 1  0 chứa hai mặt của hình
lập phương. Mà hai mặt phẳng (P) : 4x  4 y  2z  7  0 và (Q) : 2x  2 y z  1  0 song
song với nhau nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng sẽ bằng cạnh của hình lập phương. 2   7 3 Ta có M (0; 0; 1
 )  (Q) nên d ((Q), (P))  d (M , (P))   2 2 2 2 4  ( 4  )  2 2 2 2 8
Vậy thể tích khối lập phương là: V  . .  . 3 3 3 27 A2; 0  ;1
Câu 38: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi
là mặt phẳng qua hai điểm và B 2  ;0; 
5 đồng thời hợp với mặt phẳng Oxz một góc 0
45 . Khoảng cách từ O tới  là: 3 3 1 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải:
Gọi K; H lần lượt là hình chiếu vuông góc điểm O lên đường thẳng AB và mặt phẳng . Ta có: , A B Oxz
   Oxz  AB O O
H   HK AB    OK AB OK AB   K 450
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com H
Trang 35
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
 Oxz       KH OK   , ,  OKH
Suy ra tam giác OHK vuông cân tại H OK
Khi đó: d O,  OH  . 2   OA AB 3
Mặt khác: OK d  , O AB    . AB 2 OK
Khi đó: d O  3 ,  OH   . 2 2 Chọn A.
Câu 39: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng Q : x y z  0 và hai điểm A4, 3  ,  1 , B 2,1, 
1 . Tìm điểm M thuộc mặt phẳng Q sao cho tam giác ABM vuông cân tại M . M 1; 2  ;  1 M 1;2;  1   A.  17 9 8  . B.  17 9 8  . M ;  ;    M ; ;      7 7 7    7 7 7  M 1;2;  1 M 1;1;  1   C.  13 5 9  . D.   9 9 8  M ;  ;    M ;  ;       7 7 7    7 7 7  Hướng dẫn giải: Gọi M  , a ,
b c.M Q  a b c  0   1 .
Tam giác ABM cân tại M khi và chỉ khi:
AM BM  a  2  b  2  c  2  a  2  b  2  c  2 2 2 4 3 1 2 1 1
 a  2b  5  0 2
a b c  0
a  2b  5 Từ   1 và 2 ta có:    *
a  2b  5  0 c  5   3b  
Trung điểm AB I 3; 1; 
1 . Tam giác ABM cân tại M , suy ra: AB MI
 a  2  b  2  c  2 3 1 1  5 3 2 b  2 2 2 2
Thay * và 3 ta được: 2b 2 b  1  6 3b 5          9 b    7
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 36
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz b  2
  a  1,c  1  M 1;2  ;1 9 17 8  17 9 8  b    a  , c    M ;  ;    7 7 7  7 7 7  Chọn A.
Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 điểm A1;3; 2, B 3; 2  ;1 và mặt phẳng 
P : x  2y  2x 11  0. Tìm điểm M trên P sao cho 0
MB  2 2, MBA  30 . M 1; 2;3 M 1;2;3 M 2;1;3 M 1;2;3 A.  . B.  . C.  . D.  M 1; 4;  1  M 1; 4;  1  M 4;1;  1  M 1; 4;  1  Hướng dẫn giải:
Nhận thấy A   P , B  P, AB  6.
Áp dụng định lý côsin trong tam giác MAB ta có: 2 2 2 0 2 2 2
MA MB BA  2M . B B . A o
c s30  2  MB MB BA
Do đó tam giác MAB vuông tại . A x  1     Ta có: u
  AB, n   
AM y   t Mtt AM p 0; 5;5 : 3 1;3 ; 2    z  2  t  Ta có 2 2 2
MA  2  t t  2  t  1 
Với t  1  M 1; 2;3; t  1  M 1; 4;  1 Chọn A.
Câu 41: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho tám điểm A 2; 2; 0 , B 3; 2; 0 , C 3;3; 0 ,
D 2; 3; 0 , M  2; 2; 5 , N 2; 2; 5 , P 3; 2; 5 , Q  2;3;5 . Hỏi hình đa diện tạo bởi
tám điểm đã cho có bao nhiêu mặt đối xứng. A. 3. B. 6. C. 8. D. 9 Hướng dẫn giải:
Vì tám điểm đã chõ tạo nên một hình lập phương, nên hình đa diện tạo bởi tám điểm này có 9 mặt đối xứng. Chọn D.
Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A1; 2  ;0, B 0; 1   ;1 , C 2;1;  1 ,
D 3;1; 4 . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó? A. 1. B. 4. C. 7. D. Vô số. Hướng dẫn giải:   
Ta có AB  1;1; 
1 , AC  1;3; 
1 , AD  2;3;4 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 37
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz  
  
Khi đó  AB, AC    4  ;0; 4
  suy ra  AB, AC.AD  2  4  0 .     Do đó ,
A B,C, D không đồng phẳng và là 4 đỉnh của một tứ diện.
Khi đó sẽ có 7 mặt phẳng cách đễu bốn đỉnh của tứ diện. Bao gồm: 4 mặt phẳng đi qua trung
điểm của ba cạnh tứ diện và 3 mặt phẳng đi qua trung điểm bốn cạnh tứ diện (như hình vẽ). Chọn C.
Câu 43: Trong không gian cho điểm M (1; 3; 2) .Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua M và cắt các trục tọa độ tại ,
A B, C OA OB OC  0 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải: Chọn C.
Giả sử mặt phẳng () cần tìm cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại (
A a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0 c)(a, b, c  0) x y z 1 3 2 () :  
 1 ; () qua M (1; 3; 2) nên: () :    1(*) a b c a b c
a b c(1)
a b  c(2) OA OB OC 0 a b c 0          a b   c(3) a b   c(4) 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 38
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Thay (1) vào (*) ta có phương trình vô nghiệm 3 
Thay (2), (3), (4) vào (*) ta được tương ứng a  4
 , a  6, a  4 Vậy có 3 mặt phẳng.
Câu 44: Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm M (1;9; 4) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A , B , C
(khác gốc tọa độ) sao cho OA OB OC . A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải: Chọn D.
Giả sử mặt phẳng () cắt các trục tọa độ tại các điểm khác gốc tọa độ là (
A a; 0; 0), B(0; ;
b 0), C(0; 0; c) với a, b, c  0. x y z
Phương trình mặt phẳng () có dạng    1. a b c 1 9 4
Mặt phẳng () đi qua điểm M (1;9; 4) nên    1 (1). a b c
OA OB OC nên a b c , do đó xảy ra 4 trường hợp sau:
+) TH1: a b  . c 1 9 4 Từ (1) suy ra  
 1  a  14, nên phương trình mp () là x y z 14  0. a a a 1 9 4
+) TH2: a b   . c Từ (1) suy ra  
 1  a  6, nên pt mp () là x y z  6  0. a a a 1 9 4 +) TH3: a b   . c Từ (1) suy ra  
 1  a  4, nên pt mp () là a a a
x y z  4  0. 1 9 4 +) TH4: a b    . c Từ (1) có    1  a  12 
, nên pt mp () là a a a
x y z 12  0.
Vậy có 4 mặt phẳng thỏa mãn.
Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm ( A 2; 2  ; 0) , đường thẳng x 1 y z  2  :  
. Biết mặt phẳng (P) có phương trình ax by cz d  0 đi qua A , 1  3 1
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 39
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
song song với  và khoảng cách từ  tới mặt phẳng (P) lớn nhất. Biết a, b là các số
nguyên dương có ước chung lớn nhất bằng 1. Hỏi tổng a b c d bằng bao nhiêu? A. 3 . B. 0 . C. 1 . D. 1. Hướng dẫn giải:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng  . 
Do H    H (1 t;3t; 2  t)  AH  ( t
  3;3t  2;t  2)   
Do AH    AH .u  0 với u  ( 1  ;3;1)    1
 .(t  3)  3.(3t  2)  1.(t  2)  0  11t  11  t  1  H 0; 3   ;1
Gọi F là hình chiếu vuông góc của H trên (P) , khi đó: d (, (P))  d (H , (P))  HF HA Suy ra d( ,  ( ) P )
HA . Dấu “=” xảy ra khi F A AH  (P) , hay bài toán được phát max biểu lại là:
“ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với AH ”   Ta có AH   2  ; 1  ;  1  (2;1; 1  ) , suy ra n  (2;1; 1  ) ( P)
Suy ra phương trình mặt phẳng (P) là: 2(x  2)  y  2  z  0  2x y z  2  0 . a,b   *
a  2,b  1 Do   
a b c d  0 . (a, b)  1 c  1  , d  2    Chọn B. x  2  t x 1 y  2 z 1 
Câu 46: Trong không gain Oxyz, cho hai đường thẳng d :  
d : y  3  t . 1 1 2 1  2 z  2  
Mặt phẳng  P : ax by cz d  0 (với a; ;
b c; d   ) vuông góc với đường thẳng d và 1
chắn d , d đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất. Tính a b c d . 1 2 A. 14 B. 1 C. 8 D. 12 Hướng dẫn giải:
Ta có mặt phẳng (P) vuông dóc với đường thẳng d nên (P) có véctơ pháp tuyến n  1; 2;  1 . 1
Phương trình (P) có dạng  P : x  2y z d  0 .
Gọi M là giáo điểm của (P) với d và N là giao của (P) với d suy ra 1 2
 2  d 2  d 10  d   4  d 1   dM ; ;   , N ; ; 2    .  6 3 6   3 3 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 40
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz 2 d 16d 155 Ta có 2 MN    . 18 9 9 Để MN nhỏ nhất thì 2
MN nhỏ nhất, nghĩa là d  16 .
Khi đó a b c d  14 . Chọn A.
Câu 47: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A10; 2  ;1 và đường thẳng x 1 y z 1 d :  
. Gọi  P là mặt phẳng đi qua điểm A , song song với đường thẳng d 2 1 3
sao cho khoảng cách giữa d và  P lớn nhất. Khoảng cách từ điểm M  1  ; 2;3 đến mp P là 97 3 76 790 2 13 3 29 A. . B. . C. . D. . 15 790 13 29
Hướng dẫn giải:: dH
P là mặt phẳng đi qua điểm A
song song với đường thẳng d nên  P
chứa đường thẳng d  đi qua điểm A
song song với đường thẳng d . K d'
Gọi H là hình chiếu của A trên d , K A
là hình chiếu của H trên  P . P
Ta có d d, P  HK AH ( AH không đổi)
 GTLN của d (d, (P)) là AH
d d, P lớn nhất khi AH vuông góc với  P .
Khi đó, nếu gọi Q là mặt phẳng chứa A d thì  P vuông góc với Q .     n    P
ud , nQ 98;14; 70   97 3
  P :7x y  5z  77  0 d M ,P  . 15
Câu 48: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A2;5;3 và đường thẳng x 1 y z  2 d :  
. Gọi  P là mặt phẳng chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A 2 1 2
đến  P lớn nhất. Tính khoảng cách từ điểm M 1;2;  
1 đến mặt phẳng  P . 11 18 11 4 A. . B. 3 2. C. . D. . 18 18 3
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 41
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Hướng dẫn giải:: A
Gọi H là hình chiếu của A trên d ;
K là hình chiếu của A trên  P . Ta có d  ,
A P  AK AH (Không đổi) K d
 GTLN của d (d, (P)) là AH H d  ,
A P lớn nhất khi K H . P
Ta có H 3;1;4 ,  P qua H và  AH
  P :x  4 y z  3  0
Vậy d M P 11 18 ,  . 18
Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A ;
a 0; 0, B 0; ;
b 0, C 0;0;c với a, b, c dương. Biết ,
A B, C di động trên các tia Ox, Oy, Oz sao cho a b c  2 . Biết rằng khi
a, b, c thay đổi thì quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng P cố
định. Tính khoảng cách từ M 2016;0;0 tới mặt phẳng  P . 2014 2016 2015 A. 2017 . B. . C. . D. . 3 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn D.
Gọi  là mặt phẳng trung trực của đoạn OA a  
  đi qua điểm D ; 0; 0 
 và có VTPT OA   ;
a 0;0  a 1;0;0  2  a
  : x   0 . 2
Gọi  là mặt phẳng trung trực của đoạn OBa  
   đi qua điểm E 0; ;0 
 và có VTPT OB  0; a; 0  a 0;1; 0  2  a
  : y   0 . 2
Gọi  là mặt phẳng trung trực của đoạn OCa  
  đi qua điểm F 0;0; 
 và có VTPT OC  0;0; a   a 0; 0;  1  2  a
  : z   0 . 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 42
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz a a a
Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC I        I ; ;   .  2 2 2  a b c
Mà theo giả thiết, a b c  2   
 1  I   P : x y z  1. 2 2 2 2016 1 2015
Vậy, d M , P   . 3 3
P :3x y z  5  0
Câu 50: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng và hai
A1;0; 2 B 2;1;4. M  ; x y; z  P điểm ,
Tìm tập hợp các điểm nằm trên mặt phẳng sao
cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất.
x  7 y  4z  7  0
x  7 y  4z  14  0 A.  . B.  .
3x y z  5  0 
3x y z  5  0 
x  7 y  4z  7  0 3
x  7 y  4z  5  0 C.  . D.  .
3x y z  5  0 
3x y z  5  0  Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta thấy hai điểm ,
A B nằm cùng 1 phía với mặt phẳng  P và AB song song với  P .
Điểm M   P sao cho tam giác ABM có diện tích nhỏ nhất A .
B d (M ; AB)  S
nhỏ nhất  d M ; AB nhỏ nhất, hay M     P  Q,Q là ABC 2
mặt phẳng đi qua AB và vuông góc với  P .   Ta có AB  1; 1
 ; 2 , vtpt của  Pn   P 3;1;  1     
Suy ra vtpt của Q : n   AB, n    1  ;7; 4 Q P        PTTQ Q : 1   x  
1  7 y  4  z  2  0
x  7 y  4z  7  0
x  7 y  4z  7  0 Quỹ tích M là  .
3x y z  5  0 
Câu 51: Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABC . D AB CD
  có điểm A trùng với gốc 
của hệ trục tọa độ, B(a;0;0) , D(0; a; 0) , A (0; 0;b) (a  0, b  0) . Gọi M là trung điểm của a
cạnh CC . Giá trị của tỉ số
để hai mặt phẳng ( A BD) và  MBD vuông góc với nhau là: b 1 1 A. . B. . C. 1  . D. 1. 3 2 Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 43
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz    b
Ta có AB DC C  ; a ;
a 0  C ' ; a ; a b  M ; a ; a    2  Cách 1.   b    Ta có MB  0;  ; a  
 ; BD  a; a; 0 và A ' B   a;0; b  2      ab ab    Ta có 2 u   ; MB BD  ; ; a 2 2 2           và B ; D A' B
a ; a ; a   2 2    
Chọn v  1;1; 
1 là VTPT của  A' BD   ab ab a
A BD  MBD 2 '
u.v  0  
a  0  a b   1 2 2 b Cách 2.
A' B A' D
A' X BD
AB AD BC CD a    
với X là trung điểm BD MB MD MX BD   
  A' BD; MBD  
  A' X ;MX     a aX ; ; 0 
 là trung điểm BD  2 2    a a    a a b A' X  ; ; b
 , MX   ;  ;     2 2   2 2 2 
A'BD  MBD  A' X MX
  2 2 2  a   a b a
A ' X .MX  0      0       1  2   2  2 b
Câu 52: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A1;0;  1 ; B 3; 2  ; 0;C 1;2; 2   .
Gọi  P là mặt phẳng đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B C đến  P lớn nhất
biết rằng  P không cắt đoạn BC . Khi đó, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng P ? A. G  2  ; 0; 3. B. F 3; 0; 2  .
C. E 1;3;  1 .
D. H 0;3;  1 . Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 44
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Gọi I là trung điểm đoạn BC ; các điểm B B ,
C , I  lần lượt là hình chiếu của B, C , I I trên  P . C Ta có tứ giác BCC B
  là hình thang và IIlà đường trung bình.
d B, P  d C, P  BB  CC  2II .
II   IA (với IA kh ông đổi) B' I' C'
Do vậy, d B, P  d C, P lớn nhất khi P A I   A 
  P  đi qua A và vuông góc IA với I 2; 0; 1.
  P : x  2z 1  0  E 1;3;  1   P .
Câu 53: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho các điểm A1;0;0, B0; ;
b 0,C 0;0;c
trong đó b, c dương và mặt phẳng  P : y z 1 0 . Biết rằng mp ABC  vuông góc với
mp P  và d O ABC  1 ,
 , mệnh đề nào sau đây đúng? 3
A. b c 1.
B. 2b c 1.
C. b  3 c 1.
D. 3b c  3. Hướng dẫn giải: x y z
Ta có phương trình mp( ABC) là    1 1 b c 1 1
ABCP    0b c (1) b c 1 1 1 1 1
Ta có d O, ABC        8 (2) 2 2 3 1 1 3 b c 1  2 2 b c 1
Từ (1) và (2)  b c
b c 1 . 2
Câu 54: Cho hình lập phương ABC . D AB CD
  có cạnh bằng 2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng  AB D   và  BC D  . 3 3 2 A. . B. 3. C. . D. . 3 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn A.
Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho các đỉnh của hình lập phương có tọa độ như sau:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 45
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
A0;0;0 B 2;0;0 C 2; 2;0 D 0; 2;0 A' D'
A 0;0; 2 B2;0;2 C2; 2; 2 D0; 2; 2  
AB  2;0; 2, AD  0; 2; 2, C'   B'
BD  2; 2; 0 , BC  0; 2; 2 A
* Mặt phẳng  AB D
  qua A0;0;0 và nhận véctơ D 1    B n
AB , AD  1; 1  ;  1 làm véctơ pháp tuyến. 4   C
Phương trình  AB D
  là: x y z  0. 1   
* Mặt phẳng  BC D
  qua B 2;0;0 và nhận véctơ m  BD, BC  1;1;   1 làm véctơ 4   pháp tuyến.
Phương trình  BC D
  là: x y z  2  0.
Suy ra hai mặt phẳng  AB D   và  BC D
  song song với nhau nên khoảng cách giữa hai
mặt phẳng chính là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  BC D   :
d A BC D   2 2 3 ,   . 3 3
Cách khác: Thấy khoảng cách cần tìm d  AB D   BC D   1 1 2 3 ,  AC  .2 3  . 3 3 3
Câu 55: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A5;5;0, B 1;2;3, C 3;5;   1 và mặt
phẳng  P : x y z  5  0 Tính thể tích V của khối tứ diện SABC biết đỉnh S thuộc mặt .
phẳng  P và SA SB SC . 145 45 127 A. V  . B. V  145 . C. V  . D. V  . 6 6 3 Hướng dẫn giải: Gọi S  ; a ;
b c  P  a b c  5  0  1 . 2 2
Ta có: AS  a    b   2 5 5  c ,
BS  a  2  b  2  c  2 CS  a  2  b  2  c  2 1 2 3 , 3 5 1  a  2
1  b  22  c  32  a  32  b  52  c  2 1 
SA SB SC   2 2 2 2 2 2  Do
a  5  b  5  c  a  3  b  5  c   1 
4a  6b  8c  21  0
 4a 2c 15  0 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 46
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz  a  6
4a  6b  8c  21  0    23  13 9 
Ta có hệ: 4a  2c 15  0  b    S  6;  ;    . Lại có: 2  2 2  a b c 5 0        9 c     2   AB  4
 ; 3;3, AC 2;0;   1     23 9 
   145
 AB AC  3; 1
 0; 6; AS  1; ; 
  AB AC AS  145  V    S.  2 2 ABC  6
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 47
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG NÂNG CAO A - LÝ THUYẾT CHUNG 1. Định nghĩa
Phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm M x ; y ; z
và có vec tơ chỉ phương 0  0 0 0   
 x x a t 0 1 
a  a ; a ; a , a  0 :  y y a t 1 2 3  0 2
z z a t  0 3
Nếu a ; a ; a đều khác không. Phương trình đường thẳng  viết dưới dạng chính tắc như sau: 1 2 3 x x y y z z 0 0 0   a a a 1 2 3
A x B y C z D  0
Ngoài ra đường thẳng còn có dạng tổng quát là: 1 1 1 1
A x B y C z D  0  2 2 2 2 với A
 , B ,C , A , B , C thỏa 2 2 2 2 2 2
A B C  0, A B C  0. 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Chương trình cơ bản
Chương trình nâng cao
1 )Vị trí tương đối của hai đường thẳng
1 ) Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng
Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng
x x a t
x x ' a 't '
x x a t
x x ' a 't ' 0 1 0 1 0 1 0 1    
d :  y y a t
; d ' :  y y ' a 't '
d :  y y a t
; d ' :  y y ' a 't ' 0 2 0 2 0 2 0 2 z z a t   
z z ' a 't '   
z z a t
z z ' a 't ' 0 3  0 3     0 3 0 3  
Vtcp u đi qua M d ' có vtcp u ' đi qua M '
Vtcp u đi qua M d ' có vtcp u ' đi qua M ' 0 0   0 0   
u, u ' cùng phương: 
u,u '  0    
d  / / d '      u ku '  u ku ' M d '  d / /d '  0 
; d d '      M d '  M d ' 0  0   
u,u '  0   u, u '
d   d '  
không cùng phương:M d '  0
x a t x ' a 't '    0 1 0 1 
u,u '  0
y a t y ' a 't ' I   0 2 0 2   d  a
c t d '      
z a t y ' a 't '  
u, u ' .MM  0 0 3 0 3 0  
d chéo d’  hệ phương trình   1 vô nghiệm   
d cheo d '  u,u '.MM  0 0  
d cắt d’  hệ phương trình   1 có 1 nghiệm
3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp 1 Phương pháp 2
Trong không gian Oxyz cho:
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d 
qua M x ; y ; z có vtcp: a  a ;a ; a và 1 2 3  0 0 0 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 48
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
x x a t  0 1
 :Ax+By+Cz+D=0 có vtpt n  ; A ; B C     
:Ax+By+Cz+D=0 và d : y y a t 0 2 d    . a n  0  cắt
z z a t  0 3     . a n  0 Pt:
d  / /   
A x a t B y a t C z a t D  0 1 M     0 1   0 2   0 3        1 d / /   Phương trình vô nghiệm thì d    . a n  0 nằm trên mp     1 M     Phương trình
có 1 nghiệm thì d cắt   1 d   Phương trình có vô số nghiệm thì  
Đặc biệt: d    a, n cùng phương 4. Khoảng cách
Khoảng cách từ M x ; y ; z đến mặt phẳng :Ax+By+Cz+D=0 cho bởi công thức 0 0 0 
Ax  By Cz D
d M , 0 0 0  0 2 2 2
A B C
Khoảng cách từ M đến đường thẳng d
Khoảng cách từ M đến đường thẳng d  Phương pháp 1: Phương pháp 2: 
Lập ptmp  đi qua M và vuông góc với d.
( d đi qua M có vtcp u ) 0 
Tìm tọa độ giao điểm H của mp  và d M M , u 0  
d M ,   
d M , d   MH u
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phương pháp 1:  Phương pháp 2:
d đi qua M x ; y ; z ; có vtpt a  a ;a ; a 1 2 3  0 0 0 
d đi qua M x ; y ; z ; có vtpt a  a ;a ; a 1 2 3  0 0 0   d ' đi qua
M ' x '; y '; z ' ; vtpt 0 0 0  
d ' đi qua M ' x '; y '; z ' ; vtpt a '  a ';a ';a ' 1 2 3  0 0 0    
a '  a ';a ';a ' 1 2 3 
a, a '.MM ' V   hop
Lập phương trình mp  chứa d và song song d ,  '      , ' S a a day  
với d’: d d, d '  d M ',
5. Góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng 
 đi qua M x ; y ; z có VTCP a  a ;a ; a 1 2 3  0 0 0  
 ' đi qua M ' x '; y '; z ' có VTCP a '  a ';a ';a ' 1 2 3  0 0 0      . a a '
a a a a a a
cos cos a, a ' . ' . ' . ' 1 1 2 2 3 3     2 2 2 2 2 2 a . a '
a a a . a '  a '  a ' 1 2 3 1 2 3
6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng  đi qua M có VTCP a , mặt phẳng  có VTPT 0  n   ; A B;C .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 49
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz   Aa  Ba Ca
Gọi là góc hợp bởi  và mặt phẳng  : sin cos a, n 1 2 3  2 2 2 2 2 2
A B C . a a a 1 2 3
B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM x  4 y  5 z  2 Câu 1:
Đường thẳng  song song với d :  
và cắt cả hai đường thẳng 3 4 1 x  1 y  1 z  2 x  2 y  3 z d :   và d :  
. Phương trình nào không phải đường 1 3 1 2 2 2 4 1 thẳng  7 2 y z x  4 y  1 z  1 x  3 A.  :   B. 3 3  :   3 4  1 3 4  1 x  9 y  7 z  2 x  4 y  1 z  1 C.  :   D.  :   3 4 1 3 4 1 Hướng dẫn giải:
Giải: Gọi M, N là giao điểm của  và d , d . 1 2 x
 1  3t x  2   2t ' M N  
Khi đó M, N thuộc d , d nên y  1   t , y t . M   3  4 ' 1 2 Nz 2 2    t z t '  MN 
Vector chỉ phương của  là MN   3
  2t ' 3t;4  4t ' t;2  t ' 2t x  4 y  5 z  2
3  2t ' 3t 4  4t ' t
2  t ' 2t  song song với d :   nên   3 4  1 3 4  1 4  7 2 
Giải hệ ta được t '  1;t   . Vậy N  4  ; 1  ;  1 , M 3;  ;    3  3 3  x  4 y  1 z  1 Vậy  :   3 4  1 Chọn A. x  1 tCâu 2:
Cho đường thẳng (d ) :  y  1 t và mp (P) : x y  2  0 . Tìm phương trình đường thẳng z  2t
nằm trong mặt phẳng (P) cắt và vuông góc với (d). x  1 2tx  1 3tx  1 2tx  1 t    
A. y  1 2t
B. y  1 3t
C. y  1 2t
D. y  1 tz  0     z  5  z  0  z  5  Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 50
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Gọi I là giao điểm của (d) và (P): I (1 t;1 t; 2t), I  (P)  t  0  I (1;1;0)  
(d) có vectơ chỉ phương u  (1; 1
 ; 2) , (P) có vectơ pháp tuyến n  (1;1; 0)   
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là u    
u, v =(-2 ;2 ;0)   x  1 2t
Phương trình mặt phẳng cần tìm là y  1 2tz  0  Chọn A. x y 1 z  2 Câu 3:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  :   và mặt phẳng 1 1 1
P : x  2 y  2z  4  0. Phương trình đường thẳng d nằm trong P sao cho d cắt và
vuông góc với đường thẳng  là
x  3  tx  3t  
A. d :  y  1 2t t   .
B. d :  y  2  t t   .      z  1 t   z  2  2t
x  2  4t
x  1 t  
C. d :  y  1 3t t   .
D. d :  y  3  3t t   .    
z  4  t   z  3  2tHướng dẫn giải: Chọn C.  
Vectơ chỉ phương của  : u  1;1; 1 , vectơ pháp tuyến của  P là n  1;2; 2 . P      d   u    d u    Vì      u    d
u ; nP  4; 3;  1 . dP     
ud nP 
Tọa độ giao điểm H     P là nghiệm của hệ x t   y  1 t   t  2   H  2  ; 1  ; 4 . z  2  t
x  2y  2z  4  0 
Lại có d;    P  d , mà H     P . Suy ra H d . 
Vậy đường thẳng d đi qua H 2; 1; 4 và có VTCP ud  4; 3;1 nên có phương trình
x  2  4t
d :  y  1 3t t   .
z  4  t
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 51
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz x  2 y  2 z Câu 4:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :   và mặt phẳng 2 1 1
P : x  2 y z  3  0. Viết phương trình đường thẳng  nằm trong P sao cho  vuông
góc với d và khoảng cách giữa hai đường thẳng  và d bằng 2.  x  7 y z  4  x  7 y z  4  :     :   1 1  1   1 1 1 A.  . B.  . x  3 y zx  3 y z  :    :    1 1  1  1 1 1   x  7 y z  4  x  7  y z  4  :     :   2 1 1  1 1  1  C.  . D. x  3 y zx  3  y z 1  :    :    1 4 1  1 1  1 Hướng dẫn giải:  
Đường thẳng d có VTCP u  2;1; 
1 . Mặt phẳng  P có VTPT n   ta có p 1;2;  1 , d  
n ,u   3; 3  ; 3  p d   
 1  
Vì    P,   d VTPT u  u ;u      0; 1;  1 3 d  
Khi đó, phương trình mặt phẳng Q : y z m  0
Chọn A1;2;0  d, ta có: 2   mm  4 d  ;
A Q  d ;d   2   2   2 m  0 
Với m  4  Q : y z  4  0 x  7 y z  4
Vì    P  Q   đi qua B 7; 0; 4   :   1 1 1
Với m  0  Q : y z  0 x  3 y z
Vì    P  Q   đi qua C 3;0; 0   :   1 1  1 Chọn A. Câu 5:
Cho hai điểm A 3;3;  1 , B 0;2; 
1 và mặt phẳng  : x y z  7  0 . Đường thẳng d nằm
trên  sao cho mọi điểm của d cách đều 2 điểm ,
A B có phương trình là x tx tx t  x  2t    
A. y  7  3t .
B. y  7  3t .
C. y  7  3t .
D. y  7  3t . z  2t     z  2tz  2tz tHướng dẫn giải: Chọn A.
Mọi điểm trên d cách đều hai điểm ,
A B nên d nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn AB .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 52
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz   3 5  Có AB   3
 ; 1; 0 và trung điểm AB I ; ;1 
 nên mặt phẳng trung trực của AB là:  2 2   3   5  3  x   y
 0  3x y  7  0     .  2   2  3
x y  7  0
y  7  3x
Mặt khác d   nên d là giao tuyến của hai mặt phẳng:    .
x y z  7  0 z  2x   x t
Vậy phương trình d :  y  7  3t t   . z  2tx  2 y 1 z Câu 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :   và mặt phẳng 1 2 1 
P : x y z  3  0. Gọi I là giao điểm của d, P. Tìm M P sao cho MI vuông góc
với d MI  4 14. M 5;9;1  1 M 5;7; 1   1 A.  . B.  . M  3  ; 7  ;13  M  3  ; 7  ;13  M  5  ;9; 1   1 M 5; 7  ;1  1 C.  . D.  . M 3; 7  ;13  M 3; 7; 1  3  Hướng dẫn giải:
I d nên I 2  t;1 2t; t  .
Hơn nữa I   P  2  t 1 2t  3  0  t  1   I 1;1;  1 M  
P  a b c  3 Gọi M a; ; b c. Do:   
MI d IM .u  0  a  2b c  2  0  d  
IM  a 1;b 1;c  
1 ,u  1;2;   1 d  2 2 2
Do MI  4 14  a   1  b   1  c   1  224.
Khi đó ta có hệ phương trình: a b c 3     b  2a 1 a  5 a  3       
a  2b c  2  0
 c  4  3a  b  9  b  7      
a  2  b  2  c  2   a  2 c  11  c  13 1 1 1 224 1  16   
Với a;b;c  5;9;1  1  M 5;9; 1   1 Với a; ; b c   3
 ; 7;13  M 3; 7  ;13 Chọn A. Câu 7:
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng  P : x  2y  2z  0,Q : 2x  2 y z 1  0.
Viết phương trình của đường thẳng d đi qua A0;0; 
1 , nằm trong mặt phẳng Q và tạo
với mặt phẳng  P một góc bằng 0 45 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 53
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz x tx tx tx t    
A. d :  y t
; d :  y t  .
B. d :  y  2t 1;d :  y  1 t . 1 2 1 2 z 1 4t    z  1     z  1 4t z  1   x tx  3tx  1 4tx t    
C. d :  y t 1 ; d : y t  .
D. d :  y  1 t ;d :  y t  1 2 1 2 z 1 4t    z  1 4t     z  1 4t z  1   Hướng dẫn giải:  
Ta có n  2;2; 
1 là vecto pháp tuyến của Q,b  1;2; 2 là vec tơ pháp tuyến của  P . 
Gọi a  a b c 2 2 2 ; ;
, a b c  0 là một vecto chỉ phương của d.
Vì đường thẳng d đi qua A0;0;  1 mà A0;0; 
1 , A  Q    
Do đó d  Q  a n  .
a n  0  2a  2b c  0  c  2  a  2b
Góc hợp bởi d và  P bằng 0 45 :     . a b 2
a  2b  2c 0  sin 45  cos  ; a b      2 2 2 a . b 2
3 a b c
 18(a b c )  4 a  2b  2c2 2 2 2  a  b
a b b  1 a  1;c  4 a b  b  1
  a  1; c  0 x tx t  
Vậy d :  y t
; d :  y t
 là các đường thẳng cần tìm. 1 2 z 1 4t    z  1   Chọn A. Câu 8:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB, CD thỏa
mãn CD  2AB và diện tích bằng 27; đỉnh A 1
 ; 1; 0; phương trình đường thẳng chứa x  2 y  1 z  3 cạnh CD là  
. Tìm tọa độ các điểm D biết hoành độ điểm B lớn hơn 2 2 1 hoành độ điểm . A A. D  2  ; 5  ;  1 . B. D  3  ; 5  ;  1 . C. D 2; 5  ;  1 . D. D 3; 5  ;  1 Hướng dẫn giải:
Đường thẳng CD qua M 2; 1
 ;3 có vec tơ chỉ phương u  2;2;  1
Gọi H 2  2t; 1
  2t;3  t  là hình chiếu của A lên CD, ta có:  
AH .u  2 3  2t;2.2t  (3  t   t  1   H 0; 3  ; 2, d  ,
A CD  AH  3 Từ giả thiết ta có: 2S AB CD  3 ABCD AB
 18  AB  6; DH  3; HC  9 AH
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 54
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz    AB 
Đặt AB tu  2t;2t;t   t  0 x x   t    2  AB 4; 4; 2  B 3;3; 2 B Au  9  HC
AB  6;6;3  C 6;3;5 6  3  HD   AB   2  ; 2  ;   1  D 2; 5  ;  1 6 Chọn A. x 1 y  2 z Câu 9:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d :   ; 1 1 2 1 x  2 y 1 z 1 d :  
và mặt phẳng  P : x y  2z  5  0. Lập phương trình đường 2 2 1 1
thẳng d song song với mặt phẳng  P và cắt d , d lần lượt tại ,
A B sao cho độ dài đoạn 1 2
AB đạt giá trị nhỏ nhất. x 1 y  2 z  2 x 1 y  2 z  2 A. d :   . B. d :   . 1 1 1 1 1 1 x 1 y  2 z  2 x  2 y  2 z  2 C. d :   . D. d :   1 1 1 1 1 1 Hướng dẫn giải:
A d ; B d A 1   a; 2
  2a; a , B 2  2 ; b 1 ; b 1 b 1 2     
Ta có AB  a  2b  3; 2
a b  3; a b   1      AB n
P có vec tơ pháp tuyến n  1;1;2, AB / / P   A  P      
AB n A .
B n  0  a  2b  3  2a b  3  2a  2b  2  0  b a  4  AB  a  5; a 1;3 2 2 2 2
Do đó: AB  a  5  a  
1  3  2a  2  27  3 3
 min AB  3 3 khi a  2  A1;2;2  AB   3  ; 3  ; 3
 , A1;2; 2   Px 1 y  2 z  2
Vậy phương trình đường thẳng d :   . 1 1 1 Chọn A. x  3 y  2 z  1
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :   và mặt 2 1 1
phẳng  P : x y z  2  0. Gọi M là giao điểm giữa d và  P . Viết phương trình đường
thẳng  nằm trong mặt phẳng  P , vuông góc với d đồng thời khoảng cách từ M đến  bằng 42.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 55
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz x  5 y  2 z  5  x  5 y  2 z  5  :     :   2 3  1  2 3  1 A.  . B.  . x  3 y  4 z  5  x  3 y  4 z  5  :    :    2 3  1  2 3  1  x  5 y  2 z  5  x  5 y  2 z  5  :     :   2 3 1  2 3 1 C.  . D. x  3 y  4 z  5  x  3 y  4 z  5  :    :    2 3  1  2 3 1 Hướng dẫn giải:
x  3  2t
Phương trình tham số của d : y  2   tz  1   t   
Mặt phẳng  P có VTPT n  1;1;  1 , d có VTCP u   d 2;1;  1 P
M d   P  M 1;3;0   
Vì  nằm trong  P và vuông góc với d nên: VTCP u  u ;n     2; 3;  1 d P    Gọi N  ;
x y; z  là hình chiếu vuông góc của M trên  , khi đó: MN   x 1; y  3; z    MN u  
x y z  2  0    N  5; 2  ; 5
Ta có: N  P
 2x  3y z 11  0      N 3; 4  ;5 2 2    MN  42    x   1   y  3 2  z  42  x  5 y  2 z  5
Với N 5; 2; 5   :   2 3  1 x  3 y  4 z  5
Với N 3; 4;5   :   2 3 1 Chọn A. x y z 1
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A1; 2;3, đường thẳng d :   2 1 2
và mặt phẳng  P : x  2 y z 1  0. Gọi d ' là đường thẳng đối xứng với d qua  P. Tìm
tọa độ điểm B trên d ' sao cho AB  9.   62 16 151 2
 6  2 151 31 8 151  B  ; ;   27 27 27     A.  .
 62 16 151 26  2 151 31 8 151  B  ; ;    27 27 27       62  151 2  6  151 31 151  B  ; ;   27 27 27     B.  .  62  151 2  6  151 31 151  B  ; ;    27 27 27    
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 56
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz  16 151 2 151 8 151  B  ; ;   27 27 27     C.  .  1  6 151 2  151 8 151  B  ; ;    27 27 27       62  4 151 2
 6  2 151 31 8 151  B  ; ;   27 27 27     D.   624 151 2
 6  2 151 31 8 151  B  ; ;    27 27 27     Hướng dẫn giải:
d cắt  P tại I 2; 1; 
1 . Chọn M 0;0; 
1  d M ' là điểm đối xứng của M qua
P. Khi đó M 'd '. Ta tìm M '.
Gọi  là đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng  P   x y z 1
VTCP u VTPT n        P 1;2  1 : 1 2 1 
Gọi H là trung điểm MM ' thì tọa độ H định:  x y z 1    1 2 2  1 2 2  1 2 1 
x   ; y   ; z    H  ;  ;  .   3 3 3  3 3 3 
x  2y z 1  0   2 4 1 
Từ đó: M '2x x ; 2 y y ; 2z z     H M H M H M  ; ;    3 3 3 
Suy ra d’ là đường thẳng đi qua I 2; 1;  1 nhận VTCP:   8 1 4  x  2 y 1 z 1 M ' I  ; ;  d ' :      3 3 3  8 1 4
B d '  B 2  8t; 1
  t;1 4t
Theo đề bài ta phải có: 1 2 151
AB  9  1 8t 2  t  32  4t  22 2
 81  81t  6t  67  0  t  27
  62 16 151 26  2 151 31 8 151  B  ; ;   27 27 27    
   6216 151 262 151 318 151 B ; ;    27 27 27     Chọn A.
Câu 12: Cho hai điểm M 1; 2;3, A2;4; 4 và hai mặt phẳng  P : x y  2z 1  0,
Q : x  2y z  4  0 . Viết phương trình đường thẳng  qua M cắt  P, Q lần lượt tại , B C
sao cho tam giác ABC cân tại A và nhận AM là đường trung tuyến.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 57
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz x 1 y  2 z  3 x 1 y  2 z  3 A.  :   B.  :   1  1  1 2 1  1 x 1 y  2 z  3 x 1 y  2 z  3 C.  :   D.  :   1 1 1 1 1  1 Hướng dẫn giải: Gọi B  ; a ;
b c , từ giả thiết suy ra M là trung điểm của BC , suy ra C 2  ; a 4  ; b 6  c.
B  P, C
Q nên có hai pt: a b  2c 1  0  
1 ;  a  2b c  8  0 2.   AM 1; 2  ;   1 , BC 2  2 ; a 4  2 ; b 6  2c.  
Tam giác ABC cân tại A nên: AM .BC  0  a  2b c  8  0 3.
a b  2c 1  0 a  0   Từ  
1 , 2 và 3 có hệ: a  2b c  8  0  b  3  B 0;3;2, C 2;1; 4. a 2b c 8 0      c  2   x 1 y  2 z  3
Đường thẳng  qua B C có pt  :   . 1 1  1 Chọn D.
Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi d là đường thẳng đi qua điểm A  1  ; 0;   1 , x 1 y  2 z  2 cắt  
, sao cho cos d; là nhỏ nhất, biết phương trình của đường thẳng 2  2 1 1  x  3 y  2 z  3  :  
. Phương trình đường thẳng d là? 2 1  2 2 x 1 y z 1 x 1 y z 1 A.   B.   2 2 1  4 5 2  x 1 y z 1 x 1 y z 1 C.   D.   4 5 2  2 2 1 Hướng dẫn giải:
Gọi M d    M 1 2t; 2  t; 2   t . 1    
d có vectơ chỉ phương là ud AM  2t  2;t  2; 1   t  . 
 có vectơ chỉ phương u2   1  ; 2; 2 . 2 2 2 t cos d;   . 2  2 3 6t 14t  9
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 58
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz 2 t
Xét hàm số f t  
, ta suy ra được min f t   f 0  0 . 2 6t 14t  9 
Do đó min cos d;    0
t  . Nên AM  2; 2;   1 . 2    khi 0 x 1 y z 1
Vậy phương trình đường thẳng d là:   . 2 2 1  Chọn A.
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 1; 0; 2 và đường thẳng d có phương x  1 y z  1 trình:  
. Viết phương trình đường thẳng  đi qua A , vuông góc và cắt d . 1 1 2 x  1 y z  2 x  1 y z  2 A.  :   . B.  :   . 1 1 1 1 1 1  x  1 y z  2 x  1 y z  2 C.  :   . D.  :   . 2 1 1 1 3 1 Hướng dẫn giải: B  
Do  cắt d nên tồn tại giao điểm giữa chúng. Gọi B    d  .  Bd  x t  1 
Phương trình tham số của d :  y t ,t   . Do B d , suy ra Bt  1;t; t  1 z t 1  
AB  t;t; 2t  3 
Do A, B   nên AB là vectơ chỉ phương của  .   
Theo đề bài,  vuông góc d nên AB u ( u  (1; 1; 2) là vector chỉ phương của d ). Suy ra    x  1 y z  2 A .
B u  0 . Giải được t  1  AB  1;1; 1   . Vậy  :   . 1 1 1  Chọn B.
Câu 15: Trong không gian tọa độ Oxyz cho M(2;1;0) và đường thẳng d có phương trình: x 1 y 1 z  
. Gọi  là đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d. Viết phương 2 1 1 
trình đường thẳng  ? x  2  tx  2  tx  1 tx  2  t    
A. y  1 4t
B. y  1 4t
C. y  1 4t
D. y  1 4tz  2t     z  3  2tz  2tz  2tHướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 59
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz x  1 2t
PTTS của d là y  1   t . z  t
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d, đường thẳng  cần tìm là đường thẳng MH. 
Vì H thuộc d nên H 1 2t; 1   t; t
  suy ra MH  (2t 1;2  t; t  ) .    2
MH d và d có 1 VTCP là u  (2;1; 1
 ) nên MH .u  0  t  . Do đó 3   1 4  2   MH  ; ;    3 3 3  x  2  t
Vậy PTTS của  là: y  1 4t . z  2tChọn A.
Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ MN N t; 5
  2t;1 t  gọi d đi qua A 1  ; 0;   1 , cắt x 1 y  2 z  2 x  3 y  2 z  3  :  
, sao cho góc giữa d và  :   là nhỏ nhất. 1 2 1 1  2 1  2 2
Phương trình đường thẳng d x 1 y z 1 x 1 y z 1 x 1 y z 1 x 1 y z 1 A.   . B.   . C.   . D.   . 2 2 1  4 5 2  4 5 2 2 2 1 Hướng dẫn giải:
Gọi M d    M 1 2t; 2  t; 2   t 1    
d có vectơ chỉ phương a AM  2t  2;t  2; 1   t d  
 có vectơ chỉ phương a  1; 2; 2 2   2 2 2 t cos d;   2  2 3 6t 14t  9 2 t
Xét hàm số f t  
, ta suy ra được min f t   f 0  0  t  0 2 6t 14t  9 
Do đó min cos , d   0  t  0  AM  2; 2   1   x 1 y z 1
Vậy phương trình đường thẳng d là   2 2 1 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 60
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz x  2  tx 1 y z  2
Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ  y  3  2t cho hai đường thẳng d :   và 1  2 1 1  z  1   2tx 1 y  2 z  2 d :  
. Gọi  là đường thẳng song song với  P : x y z  7  0 và cắt 2 1 3 2
d , d lần lượt tại hai điểm ,
A B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng  1 2 là.    x  6  tx  6
x  6  2t
x  12  t      5  5  5 A. y  5 . B. y  .
C. y   t .
D. y   t .  2 2 2 z  9  t      9  9  9 z    tz    t z    t  2   2   2 Hướng dẫn giải:
Ad A 1 2a; a; 2   a 1  
B d B 1 ; b 2  3 ; b 2  2b 2   
 có vectơ chỉ phương AB  b  2a;3b a  2; 2
b a  4 
P có vectơ pháp tuyến n  1;1;  1 P     
Vì  / /  P nên AB n A .
B n  0  b a 1.Khi đó AB  a 1; 2a  5;6  aP P
AB  a  2
1  2a  52  6  a2 2
 6a  30a  62 2  5  49 7 2  6 a    ; a       2  2 2 5  5 9    7 7 
Dấu "  " xảy ra khi a   A 6; ;  , AB   ; 0;     2  2 2   2 2   5 9  
Đường thẳng  đi qua điểm A 6; ;  
 và vec tơ chỉ phương u   1  ; 0;  1 d  2 2   x  6  t   5
Vậy phương trình của  là  y  2   9 z    t   2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 61
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz x y 1 z  2
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d :   và 1 2 1  1 x  1   2t
d :  y  1 t
. Phương trình đường thẳng vuông góc với  P : 7x y  4z  0 và cắt hai 2 z  3 
đường thẳng d , d là: 1 2 x  7 y z  4 x  2 y z 1 A.   . B.   . 2 1 1 7 1 4  x  2 y z 1 x  2 y z 1 C.   . D.   . 7  1  4 7 1 4 Hướng dẫn giải:
Gọi d là đường thẳng cần tìm
Gọi A d d , B d d 1 2
A d A 2a;1 a; 2  a 1  
B d B 1   2 ; b 1 ; b 3 2    AB   2
a  2b 1; a  ; b a  5   
P có vectơ pháp tuyến n  7;1;4, d  P  AB,n cùng phương P p  
 có một số k thỏa AB k np
2a  2b 1  7k  2
a  2b  7k  1 a  1   
 a b k
 a b k  0  b   2   a 5 4ka 4k 5          k  1     
d đi qua điểm A2; 0;  
1 và có vectơ chỉ phương a n  7;1 4 d Px  2 y z 1
Vậy phương trình của d là   7 1 4 x 1 y  2 z 1
Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng  :   và 1 3 1 2 x  3 x 1 y z 1   :  
. Phương trình đường thẳng song song với d :  y  1
  t và cắt hai 2 1 2 3 z  4  t
đường thẳng  ;  là: 1 2 x  2 x  2  x  2  x  2    
A. y  3  t .
B. y  3  t .
C. y  3  t .
D. y  3  t . z  3  t     z  3  tz  3  tz  3  tHướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 62
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Gọi  là đường thẳng cần tìm
Gọi A     , B     1 2
A    A 1 3a; 2  a;1 2a 1  
B    B 1 b; 2b; 1   3b 2   
AB  3a b  2; a  2b  2; 2
a  3b  2 
d có vectơ chỉ phương a  0;1;  1 d  
 / /d AB, a cùng phương d  
 có một số k thỏa AB k ad
3a b  2  0  3
a b  2  a  1   
 a  2b  2  k  a  2b k  2  b  1
 2a 3b 2 k  2a 3b k 2          k  1    
Ta có A2;3;3; B 2;2;2 
 đi qua điểm A 2;3;3 và có vectơ chỉ phương AB  0; 1  ;   1 x  2 
Vậy phương trình của  là y  3  tz  3  tA  3  ;3; 3
 : 2x – 2 y z 15  0
Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho điểm thuộc mặt phẳng và S  2 2 2
: (x 2)  (y 3)  (z 5)  100 mặt cầu
. Đường thẳng  qua A, nằm trên mặt phẳng
 cắt (S) tại A , B . Để độ dài AB lớn nhất thì phương trình đường thẳng  là: x  3 y  3 z  3 x  3 y  3 z  3 A.   . B.   . 1 4 6 16 11 10
x  3  5tx  3 y  3 z  3 C. y  3 . D.   .  1 1 3 z  3   8tHướng dẫn giải:
Mặt cầu S  có tâm I 2;3;5 , bán kính R  10 . Do d(I, ())  R nên  luôn cắt S tại A , B . Khi đó AB R  d  2 2 (I, )
. Do đó, AB lớn nhất thì d I, nhỏ nhất nên  qua H , x  2  2t 
với H là hình chiếu vuông góc của I lên  . Phương trình BH : y  3  2t z  5  t 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 63
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
H  ()  2 2  2t   2 3 – 2t   5  t 15  0  t  2   H  2  ; 7; 3 .  x  3 y  3 z  3
Do vậy AH  (1; 4; 6) là véc tơ chỉ phương của  . Phương trình của   1 4 6
Câu 21: Phương trình nào sau đây không phải là phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng x  1 2t  d:  y  2
  3t , t R trên mặt phẳng (Oxy): z  3  t
x  3  2t '
x  1 4t '
x  1 2t '   
A. y  1 3t ' ,t ' R B. y  2
  6t ',t ' R C. y  2  3t ',t ' R D. z  0    z  0  z  0 
x  5  2t ' 
y  4  3t ',t '  R z  0  Hướng dẫn giải:
A(1;-2;3), B(3;1;4) thuộc d. Hình chiếu của A,B trên mặt phẳng (Oxy) là A/(1;-2;0), B/(3;1;0) 
Phương trình hình chiếu đi qua / A hoặc /
B và nhận véc tơ cùng phương với / / A B  2;3;0 làm véc tơ chỉ phương. Chọn C. x 12 y  9 z 1
Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :   , và mặt 4 3 1
thẳng  P: 3x  5y z  2  0 . Gọi d 'là hình chiếu của d lên  P.Phương trình tham số của d ' là x  62tx  62tx  62tx  62t    
A. y  25t .
B. y  25t .
C. y  25t .
D. y  25t .
z  2  61t     z  2  61tz  2   61tz  2  61tHướng dẫn giải: Cách 1:
Gọi A d   P
A d A12  4a;9  3 ; a 1 a
A  P  a  3   A0;0; 2  
d đi qua điểm B 12;9;  1
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 64
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Gọi H là hình chiếu của B lên  P 
P có vectơ pháp tuyến n  3;5;   1 P  
BH đi qua B 12;9; 
1 và có vectơ chỉ phương a
n  3;5;   1 BH P
x  12  3t
BH : y  9  5tz 1 t
H BH H 12  3t;9  5t;1 t 78  186 15 113 
H  P  t    H ;  ;   35  35 7 35   186 15 183  AH  ;  ;    35 7 35  
d ' đi qua A0;0; 2 và có vectơ chỉ phương a  62; 25; 61 d '   x  62t
Vậy phương trình tham số của d ' là  y  25tz  2   61tCách 2:
Gọi Q qua d và vuông góc với  P 
d đi qua điểm B 12;9; 
1 và có vectơ chỉ phương a  4;3;  1 d 
P có vectơ pháp tuyến n  3;5;   1 P   
Q qua B 12;9; 
1 có vectơ pháp tuyến n  a , n   8;7;  11 Q d P  
Q : 8x  7 y 11z  22  0
d ' là giao tuyến của Q và  P
Tìm một điểm thuộc d ' , bằng cách cho y  0 3
x z  2 x  0 Ta có hệ   
M 0;0;2  d ' 8x 11z  22 y  2     
d ' đi qua điểm M 0; 0; 2
  và có vectơ chỉ phương a  n ;n   62; 25  ;  61 d P Q  
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 65
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz x  62t
Vậy phương trình tham số của d ' là  y  25tz  2   61t  x  1 2t
Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ BH cho đường thẳng d :  y  2
  4t . Hình chiếu song z  3 t  x  1 tBH : y  1   2t
z  3  2t    song của an  1; 2  ; 2
lên mặt phẳng H BH H 1 t; 1
  2t;3  2t  theo BH Q  10  1 11 7 
H  P  t    H  ; ;   9  9 9 9  x 1 y  6 z  2 phương  :   có phương trình là: 1  1 1
x  3  2tx  3  tx  1   2t
x  3  2t     A. y  0 . B. y  0 . C. y  0 . D. y  0 . z 1 4t     z  1 2tz  5  4tz  1 tHướng dẫn giải: x  1 tBH : y  1   2t
z  3  2t
Giao điểm của d và mặt phẳng H BH H 1 t; 1
  2t;3  2t  là: M (5; 0;5) . 0 10  1 11 7 
H  P  t    H  ; ;   9  9 9 9  x  1 2t
Trên d :  y  2
  4t chọn M bất kỳ không trùng với M (5; 0;5) ; ví dụ: M (1; 2;3) . Gọi A 0 z  3 t  x  1 tBH : y  1   2t
z  3  2t
là hình chiếu song song của M lên mặt phẳng H BH H 1 t; 1
  2t;3  2t  theo 10  1 11 7 
H  P  t    H  ; ;   9  9 9 9  x 1 y  6 z  2 phương  :   . 1  1 1
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 66
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz x 1 y  6 z  2
+/ Lập phương trình d’ đi qua M và song song hoặc trùng với  :   . 1  1 1 x  1 tBH : y  1   2t
z  3  2t
+/ Điểm A chính là giao điểm của d’H BH H 1 t; 1
  2t;3  2t  10  1 11 7 
H  P  t    H  ; ;   9  9 9 9  +/ Ta tìm được ( A 3; 0;1) x  1 2t
Hình chiếu song song của d :  y  2
  4t lên mặt phẳng z  3 t  x  1 tBH : y  1   2t
z  3  2tx 1 y  6 z  2
H BH H 1 t; 1
  2t;3  2t  theo phương  :   là đường thẳng 1  1 1 10  1 11 7 
H  P  t    H  ; ;   9  9 9 9 
đi qua M (5; 0;5) và ( A 3; 0;1) . 0 x  3  t
Vậy phương trình là: y  0 z  1 2t
Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Q : x  2y  2z 1  0 gọi d đi qua A3; 1  ;  1 , nằm trong x y  2 z
mặt phẳng  P : x y z  5  0 , đồng thời tạo với  :   một góc 0 45 . Phương 1 2 2
trình đường thẳng d
x  3  7tx  3  t  
A. y  1 8t .
B. y  1 t . z  1  15t   z  1 
x  3  7tx  3  t
x  3  7t    C. y  1   8t . D. y  1
  t y  1   8t . z  115t    z  1  z  115tHướng dẫn giải: 
 có vectơ chỉ phương a   1; 2;2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 67
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz 
d có vectơ chỉ phương a  a; ; b c d  
P có vectơ pháp tuyến n  1; 1  ;  1 P  
d   P  a n b a  ; c d P   1 , d  0
 45  cos , d  0  cos 45
a  2b  2c 2   2 2 2 2
3 a b c
 2 a  2b  2c2  9 2 2 2
a b c ; 2 x 1 y  2 z x 1 y z 1 c  0 Từ  :   và  :   , ta có: 2
14c  30ac  0  1  1 2 1 2 1 2 3 15a  7c  0  x  3  t
Với c  0 , chọn a b  1 , phương trình đường thẳng d là y  1   tz  1 
Với 15a  7c  0 , chọn a  7  c  1  5;b  8
 , phương trình đường thẳng d
x  3  7t   y  1   8tz 115t
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua điểm A1;1;2 , song song với x  1 y  1 z
P : 2x y z  3  0 , đồng thời tạo với đường thẳng  :   một góc lớn 1 2  2
nhất. Phương trình đường thẳng d là. x  1 y  1 z  2 x  1 y  1 z  2 A.   . B.   . 1 5 7 4 5  7 x  1 y  1 z  2 x  1 y  1 z  2 C.   . D.   . 4 5 7 1 5 7 Hướng dẫn giải: 
 có vectơ chỉ phương a  1; 2  ;2   
d có vectơ chỉ phương a a b c d  ; ;  
P có vectơ pháp tuyến n P 2;1;  1    
d   P nên a n a .n  0  2a b c  0  c  2a b d P d P 5a  4b 1 5a  4b2 cos, d    2 2 2 2
3 5a  4ab  2b
3 5a  4ab  2b
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 68
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz a 1 5t  42 Đặt t
, ta có: cos, d   b 2
3 5t  4t  2 5t  42  1  5 3
Xét hàm số f t  
, ta suy ra được: max f t   f   2   5t  4t  2  5  3 5 3 1 a 1
Do đó: max cos, d    t        27 5 b 5
Chọn a  1  b  5  ,c  7 x  1 y  1 z  2
Vậy phương trình đường thẳng d là   1 5  7 Chọn A. x  3 y z 1 Câu 26: Trong không gian cho đường thẳng  :   và đường thẳng 1 2 3 x  3 y 1 z  2 d :  
. Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua  và tạo với đường thẳng 3 1 2
d một góc lớn nhất.
A. 19x 17 y  20z  77  . 0
B. 19x 17 y  20z  34  . 0
C. 31x  8 y  5z  91  . 0
D. 31x  8 y  5z  98  . 0 Hướng dẫn giải: Chọn D. 
Đường thẳng d có VTCP là u  3;1; 2 . 1   
Đường thẳng  đi qua điểm M 3;0;  
1 và có VTCP là u  1; 2;3 . 
Do    P nên M  P . Giả sử VTPT của  P là n   A B C  2 2 2 ; ;
, A B C  0 .
Phương trình  P có dạng Ax  3  By C z   1  0 .  
Do    P nên u.n  0  A  2B  3C  0  A  2  B  3C .
Gọi là góc giữa d và  P . Ta có   u .n 1
3A B  2C 3 2
B  3C   B  2C
sin      2 2 2 u . n
14. A B C
14. 2B  3C 2 2 2 1  B C 5B  7C 1 5B  7C2   . 2 2 2 2 14. 5 12 10 14
5B 12BC 10C B BC C
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 69
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz 5 70
TH1: Với C  0 thì sin   . 14 14 B 1 5t  72
TH2: Với C  0 đặt t  ta có sin  . C 2 14 5t 12t 10 5t  72
Xét hàm số f t   trên  . 2 5t 12t 10 2
50t 10t 112
Ta có f t   .
5t 12t 102 2  8  8  75 t   f     5  5  14 f t 2
 0  50t 10t 112  0   .  7  7  t    f   0    5   5  5t  72
Và lim f t   lim  5 . 2 x
x 5t  12t 10 Bảng biến thiên 0 0 75 8 B 8 1  8  75
Từ đó ta có Maxf t   khi t    . Khi đó sin  . f    . 14 5 C 5 14  5  14 75 B 8
So sánh TH1 và Th2 ta có sin lớn nhất là sin  khi  . 14 C 5
Chọn B  8  C  5  A  31.
Phương trình  P là 31 x  3  8y  5 z  
1  0  31x  8 y  5z  98  0 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 70
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Câu 27: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : x y z  2  0 và hai x  1 t
x  3  t  
đường thẳng d : y t
; d ' : y  1 t .
z  2  2t   z  1 2t 
Biết rằng có 2 đường thẳng có các đặc điểm: song song với  P ; cắt d, d và tạo với d góc O
30 . Tính cosin góc tạo bởi hai đường thẳng đó. 1 1 2 1 A. . B. . C. . D. . 5 2 3 2
Hướng dẫn giải:: 
Gọi  là đường thẳng cần tìm, n là VTPT của mặt phẳng  P . P
Gọi M 1 t;t; 2  2t  là giao điểm của  và d ; M 3  t ;1 t ;1 2t là giao điểm của 
d ' 
Ta có: MM '2  t  t;1 t  t;1 2t  2t  M    P 
MM  //  P     t  2 MM 4  t; 1
  t;3  2t  MM   nP   3 6  t  9 t  4 Ta có O
cos30  cos MM ,ud     2 2 t  1 36t 108t 156     x  5 x t  
Vậy, có 2 đường thẳng thoả mãn là  : y  4  t ;  : y  1  . 1 2 z 10  tz t   1
Khi đó, cos  ,   . 1 2  2
Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 2; 3;1 và B5; 6; 2 . Đường AM
thẳng AB cắt mặt phẳng Oxz tại điểm M . Tính tỉ số . BM AM 1 AM AM 1 AM A.  . B.  2 . C.  . D.  3 . BM 2 BM BM 3 BM Hướng dẫn giải:  
M  Oxz  M  ;
x 0;z ; AB  7; ;
3 1  AB  59 AM  x  ; 2  ; 3 z  1 và Ta có: ;  
x  2  7kx  9     Ta có: A, B, M thẳng hàng  AM  .
k ABk     3   3k   1   kz 1 k    z  0    M  ; 9 0;0.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 71
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz  BM  1 ; 4  ;
6  2  BM  118  2A . BChọn A.
Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm ( A 2; 2
 ; 1), B 1; 2; 3 và đường x 1 y  5 z  thẳng d :  
. Tìm vectơ chỉ phương u của đường thẳng  qua A, vuông góc 2 2 1
với d đồng thời cách điểm B một khoảng bé nhất.    
A. u  (2;1; 6)
B. u  (2; 2; 1  )
C. u  (25; 29; 6)
D. u  (1; 0; 2) Hướng dẫn giải:
Cách 1 (Tự luận)
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d, B’ là hình chiếu của B lên (P)  
Khi đó đường thẳng  chính là đường thẳng AB’ và u  B'A Qua ( A 2; 2  ;1)  Ta có  P :   
 (P) : 2x  2 y z  9  0 V
TPT n u  (2; 2; 1  )  P dx  1 2t
Gọi d’ là đường thẳng qua B và song song d’  d '  y  2  2t
z  3 t   
B’ là giao điểm của d’ và (P)  B '( 3  ; 2
 ; 1)  u B ' A  (1; 0; 2)  Chọn D
Cách 2: Không cần viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d. x  1 2t
Gọi d’ là đường thẳng qua B và song song d’  d '  y  2  2t
z  3 t  
B’ d’  B ' A   2  t  3; 2
t  4;t  4    
AB’  d  u . B ' A  0  t  2
  u B ' A  (1;0; 2)  Chọn D d
Câu 30: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A 1; 2;  
1 , B 7; 2;3 và đường thẳng
x  2  3t
d có phương trình  y  2  t
(t  R) . Điểm M trên d sao cho tổng khoảng cách từ M
z  4  2t
đến A B là nhỏ nhất có tổng các tọa độ là:
A. M  2;0; 4 .
B. M  2;0;  1 .
C. M  1;0;4 .
D. M  1;0;2 . Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 72
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Nếu M nằm trên d thì điểm I có tọa độ là M=(2+3t;-2t;4+2t). Từ đó ta có: 
AM   t    t t    AM   t  2    t 2   t  2 3 1; 2 2 ;2 5 3 1 2 2 2 5  2 2 2
Tương tự:  BM  3t  5;2  2t;2t  
1  BM  3t  5  2  2t   2t   1 2 2 2 2 2 2
Từ (*): MA=MB = 3t  
1  2  2t  2t  5 = 3t  5  2  2t   2t   1 Hay: 2 2
 17t  34t  30  17t  36t  30  34t  36t  0 11  70t  0  t  0
Tọa độ M thỏa mãn yêu cầu là: M=(2;0;4 ). Chọn A.  6 
Câu 31: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm (
A 2;3;0), B(0;  2; 0), M ;  2; 2    5  x t
và đường thẳng d : y  0
.Điểm C thuộc d sao cho chu vi tam giác ABC là nhỏ nhấ thì độ z  2  t  dài CM bằng 2 6 A. 2 3. B. 4. C. 2. D. . 5 Hướng dẫn giải:
Do AB có độ dài không đổi nên chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi AC CB nhỏ nhất. 2 2
C d C t;0; 2  t   AC   2t  2 2  9, BC   2t  2   4
AC CB   t
2    t  2 2 2 2 9 2 2  4.      
Đặt u   2t  2 2;3, v   2t  2;2 ápdụngbấtđẳngthức u v u v   t
2    t  2     2 2 2 2 9 2 2 4 2 2 2
 25. Dấubằngxảyrakhivàchỉ 2 2 2t  2 2 3 7  7 3   6 7   3  khi   t   C ; 0;  CM    2  2   2.        2t  2 2 5  5 5   5 5   5  Chọn C.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 73
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ., cho bốn điểm. và. Kí hiệu d là đường thẳng đi qua D sao
cho tổng khoảng cách từ các điểm ,
A B, C đến d lớn nhất. Hỏi đường thẳng d đi qua
điểm nào dưới đây? A. M  1  ; 2;  1 .
B. N 5;7;3 .
C. P 3;4;3 .
D. Q 7;13;5 . Hướng dẫn giải: x y z
Ta có phương trình mặt phẳng qua A,B,C là: ABC  :  
 1  2x  3y z  6  0 . 3 2 6
Dễ thấy D   ABC  .Gọi. lần lượt là hình chiếu vuông góc của ,
A B,C trên d . Suy ra d  ,
A d   d B, d   d C, d   AA' BB ' CC '  AD BD CD .Dấu bằng xảy ra khi
A '  B '  C '  D . Hay tổng khoảng cách từ các điểm ,
A B, C đến d lớn nhất khi d là x  1 2t
đường thẳng qua D và vuông góc với mặt phẳng  ABC   d :  y  1 3t ; N dz  1 t chọn B.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 74
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU NÂNG CAO A - LÝ THUYẾT CHUNG 1. Định nghĩa mặt cầu
Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng cách R cho trước là mặt cầu
tâm O và bán kính .
R Kí hiệu S O; R.
Trong không gian với hệ trục Oxyz : 2 2 2
- Mặt cầu S  tâm I a,b, c bán kính R có phương trình là:  x a   y b   z c 2  R . - Phương trình: 2 2 2
x y z  2ax  2by  2cz d  0, với 2 2 2
a b c d  0 là phương trình mặt cầu
tâm I a;b;c, bán kính 2 2 2 R
a b c d .
2. Vị trí tương đối của mặt phẳng P và mặt cầuS
d I, P  R khi và chỉ khi  P không cắt mặt cầu S . IP
d I, P  R khi và chỉ khi
tiếp xúc mặt cầu  S . R
d I, P  R khi và chỉ khi  P cắt mặt cầu S  theo H
giao tuyến là đường tròn nằm trên mặt phẳng  P có tâm H và có bán kính 2 2 r R d .
3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng P
a) Cho mặt cầu S O; R và đường thẳng  . Gọi H là hình
chiếu của O lên  và d OH là khoảng cách từ O đến  O O O A H H B H
Nếu d R thì  cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt (H.3.1)
Nếu d R thì  cắt mặt cầu tại 1 điểm duy nhất (H.3.2)
Nếu d R thì  không cắt mặt cầu (H.3.3)
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 75
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A0; 2;0, B  1
 ;1;4 và C 3; 2  ;  1
. Mặt cầu  S  tâm I đi qua , A ,
B C và độ dài OI  5 (biết tâm I có hoành độ nguyên, O là
gốc tọa độ). Bán kính mặt cầu  S  là A. R  1 B. R  3 C. R  4 D. R  5 Hướng dẫn giải:
Phương trình mặt cầu (S) có dạng: 2 2 2
x y z  2ax  2by  2cz d  0 Vì 4 điểm , O , A ,
B C thuộc mặt cầu (S) nên ta có hệ:  A  (S )
4b d  4  0  
B  (S )   2
a  2b  8c d 18  0 C  (S)  
6a  4b  2c d 14  0   2 2 2 2
OI  5  OI  5  a b c  5 Suy ra a  1
 ;b  0;c  2  ;d  4   R  3 Chọn B. Câu 2:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A1;0;0 , B 2; 1
 ; 2,C 1;1; 3  . Viết phương
trình mặt cầu có tâm thuộc trục Oy, đi qua A và cắt mặt phẳng  ABC  theo một đường
tròn có bán kính nhỏ nhất. 2 2  1  5  1  5 A. 2 2 x y   z  2 2   .
B. x y   z    .  2  4  2  4 2 2  1  9  3  5 C. 2 2 x y   z  2 2   .
D. x y   z     2  4  2  4 Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng  ABC  có phương trình: x y z 1  0
Gọi S  là mặt cầu có tâm I Oy và cắt  ABC  theo một đường tròn bán kính r nhỏ nhất.
I Oy nên I 0;t;0, gọi H là hình chiếu của I lên  ABC  khi đó là có bán kính
đường tròn giao của  ABC  và S  là 2 2 r AH IA IH . 2 2 t 1 t  2t 1 2t  2t  2 Ta có 2 2
IA t 1, IH d I , ABC  2 
r t  1  . 3 3 3 1  1  5
Do đó, r nhỏ nhất khi và chỉ khi t  . Khi đó 2 I 0; ;0 , IA    2  2  4
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 76
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz 2  1  5
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: 2 2 x y   z     2  4 Chọn A. Câu 3:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu có tâm I 1; 2;3 và tiếp x y  2 z xúc với đường thẳng   . 1 2  2 2 2 233 2 2 243 A. x   1   y  2 2  (z  3)  . B. x   1   y  2 2  (z  3)  . 9 9 2 2 2223 2 2 333 C. x   1   y  2 2  (z  3)  . D. x   1   y  2 2  (z  3)  9 9 Hướng dẫn giải:
+ Đường thẳng d đi qua M 0; 2
 ;0 có vec tơ chỉ phương u  1; 2; 2. Tính được  MI  1; 4;3.   MI ,u   233
+ Khẳng định và tính được d I , d     u 3
+ Khẳng định mặt cầu cần tìm có bán kính bằng d I , d  và viết phương trình: 233  x  2 1   y  22 2  (z  3)  9 Chọn A. Câu 4:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình 2 2 2
x y z  4x  2 y  6z 12  0 và đường thẳng d : x  5  2t; y  4; z  7  t. Viết
phương trình đường thẳng  tiếp xúc mặt cầu S  tại điểm M 5;0;  1 biết đường thẳng  1
tạo với đường thẳng d một góc thỏa mãn cos . 7
x  5  3t
x  5 13t
x  5  3t
x  5 13t    
A.  :  y  5t   :  y  5t .
B.  :  y  5t   :  y  5t . z 1 t    z  111t     z  1 t z  111t  
x  5  3t
x  5 13t
x  5  3t
x  5 13t    
C.  :  y  5t
  :  y  5t .
D.  :  y  5t   :  y  5tz 1 t    z  111t     z  1 t z  1 21t   Hướng dẫn giải:
S   x  2   y  2   z  2 : 2 2 3
 26   S  có tâm I 2; 1
 ; 3 và bán kính R  26.  
IM  3;1; 4,u  2;0;1 là 1 VTVP của d  1   
Giả sử u a; ;
b c là 1 VTCP của đường thẳng   2 2 2
a b c  0 2    
Do tiếp xúc mặt cầu S  tại M IM u  3a b  4c  0  b  3a  4c 1 2  
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 77
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Mà góc giữa đường thẳng  và đường thẳng d bằng .     u .u    u u  1 2 1 2a c 1 cos ,  o
c s      2 1 2   2 2 2 u . u 7
a b c . 5 7 1 2 Thay   1 vào 2 ta được: a c
a   a c2 2 2  c   2 2
a ac c    2 2 2 2 7 2 5. 3 4 7 4 4
5 a  9a  24ac 16c c  a  3c 2 2 22a 92ac 78c 0       13 a   c  11 Với a  3  c do 2 2 2
a b c  0 nên chọn c  1  a  3;b  5 
x  5  3t
 phương trình đường thẳng là:  :  y  5  tz  1 t  13 Với a   c do 2 2 2
a b c  0 nên chọn c  1
 1  a  13;b  5 11
x  5 13t
 phương trình đường thẳng là:  :  y  5tz  111tChọn A. x 1 y  2 z Câu 5:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :   . Tìm tọa độ 1 2 2 
điểm M thuộc đường thẳng d sao cho mặt cầu S  tâm M tiếp xúc với trục Oz có bán kính bằng 2.  6 8 2   6 8 2 
A. M 2; 0; 2  M ;  ;   .
B. M 2; 0; 2  M ; ;   .  5 5 5   5 5 5   7 8 4   6 8 2 
C. M 2; 0; 2  M ;  ;   .
D. M 4; 0; 2  M ;  ;    5 5 5   5 5 5  Hướng dẫn giải:
M d M 1 t; 2   2t; 2
t . Trục Oz đi qua điểm O0;0;0 và có vtcp k  0;0;  1 ;   
OM  1 t; 2   2t; 2  t   O
M ;k   2  2t; 1   t; 0     2
 OM ; k   5t  6t  5  
Gọi R là bán kính mặt cầu S  , ta có: R d M Oz  2 ;
 5t  6t  5 t  1 M 2; 2  ; 0 2 2  R 2 5t 6t 5 2 5t 6t 5 0            1    6 8 2  t M ;  ;   5     5 5 5  Chọn A.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 78
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz Câu 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng  ,  có phương trình: 1 2 x  2 y 1 z 1 x  2 y  3 z 1  :   ;  :  
. Viết phương trình mặt cầu có bán kính 1 2 1 4 2 1 1 1 
nhỏ nhất và tiếp xúc với hai đường thẳng  ,  ? 1 2
A. x   y  2 2 2 2  z  6 .
B. x   y  2 2 2 2  z  6 .
C. x   y  2 2 2 2  z  6 .
D. x   y  2 2 2 2  z  6 Hướng dẫn giải:
Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất và tiếp xúc với hai đường thẳng  ,  là mặt cầu nhận đoạn 1 2
vuông góc chung của  ,  làm đường kính. Giả sử mặt cầu cần lập là S  và , A B lần 1 2
lượt là tiếp điểm của S  với  ,  . Viết phương trình  ,  dưới dang tham số thì ta có: 1 2 1 2 A 2  ; m 1 4 ;
m 1 2m, B  2   n;3  ; n 1 n
Do AB là đoạn vuông góc chung của  ,  nên: 1 2   A . B U  0   3
n  21m  0 1    
m n  0  A2;1  ;1 , B  2  ;3;   1 3n m  0 A . B U  0    2
Trung điểm I của AB có tọa độ là I 0; 2;0 nên phương trình mặt cầu cần lập là:
x   y  2 2 2 2  z  6 Chọn A. Câu 7:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S  2 2 2
: x y z  2x  4 y  2z  3  0.
Viết phương trình mặt phẳng  P chứa trục Ox và cắt mặt cầu S  theo một đường tròn có bán kính bằng 3.
A. P : y  2z  0 .
B. P : x  2z  0 .
C. P : y  2z  0 .
D. P : x  2z  0 Hướng dẫn giải:
S  có tâm I 1; 2  ;  
1 và bán kính R  3.
P chứa trục Ox và cắt mặt cầu S  theo một đường tròn có bán kính bằng 3 nên P
chứa Ox và đi qua tâm I của mặt cầu.     Ta có: OI 1; 2  ;  
1 ,  P có vec tơ pháp tuyến n i
 ,OI   0;1; 2
  và  P qua . O  
Vậy  P : y  2z  0. Chọn A. x 1 y 1 z Câu 8:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :   và cắt mặt 2 1 1 
phẳng  P : x  2 y z  6  0 tại điểm M . Viết phương trình mặt cầu S  có tâm I thuộc
đường thẳng d và tiếp xúc với mặt phẳng  P tại điểm ,
A biết diện tích tam giác IAM
bằng 3 3 và tâm I có hoành độ âm.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 79
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz 2 2 2 2
A. S   x   2 : 1
y   z   1  6 .
B. S   x   2 : 1
y   z   1  36 . 2 2 2 2
C. S   x   2 : 1
y   z   1  6 .
D. S   x   2 : 1
y   z   1  6 Hướng dẫn giải:
Một vec tơ chỉ phương của đường thẳng d u 2;1;  
1 . Một vec tơ pháp tuyến của đường 
thẳng và mặt phẳng  P là n  1; 2; 
1 . Gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng P.   2  2 1 1
Ta có sin  cos u, n  0  
IMA  30 6. 6 2
Gọi R bán kính mặt cầu S   IA  .
R Tam giác IAM vuông tại A có  1 0
IMA  30  AM R 3.S  3 3  I .
A AM  3 3  R  6 IMA 2 1
Giả sử: I 1 2t;1 t; t  ,t  2 3t  3
Từ giả thuyết ta có khoảng cách: d I, P  R
t  1 t  3 (loại) 6  I  1  ;0;  1 2 2
Phương trình mặt cầu S   x   2 : 1
y   z   1  6. Chọn A. Câu 9:
Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm
A1;1; 2, B 2;1;   1 C  1  ; 2; 3
  biết tâm của mặt cầu nằm trên mặt phẳng Ox . z 2 2 2 2  12   4  1326  12   4  1327 A. S  2 : x   y z   2     .
B. S  : x   y z       .  11   11  121  11   11  121 2 2 2 2  12   4  1328  12   4  1329 C. S  2 : x   y z   2     .
D. S  : x   y z        11   11  121  11   11  121 Hướng dẫn giải:   x  2
1 1  z  22   x  22 1  z   2 1
I  Oxz nên I  ;
x 0; z , IA IB IC nên: x 2
1 1  z  22   x  2
1  4   z  32  12 4  12 4 
Giải hệ ta được x   ; z    I  ; 0;    11 11  11 11  1326 Bán kính R  121 2 2  12   4  1326
Phương trình mặt cầu  S  2 : x   y z        11   11  121 Chọn A.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 80
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Câu 10: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A  1
 3; 1; 0, B 2;1;2 ,C 1; 2; 2 và mặt cầu S  2 2 2
: x y z  2x  4 y  6z  67  0. Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua qua , A
song song với BC và tiếp xúc với mặt cầu S .S  có tâm I 1; 2;3 và có bán kính R  9. A. P : 2
x  2 y z  28  0 hoặc  P :8x  4 y z 100  0 . B. P : 2
x  2 y z  28  0 hoặc  P :8x  4 y z 100  0 . C. P : 2
x  2 y z  28  0 hoặc  P :8x  4 y z 100  0 . D. P : 2
x  2 y  2z  28  0 hoặc  P :8x  4y z 1000  0 Hướng dẫn giải:
Giả sử  P có vtpt n   A B C   2 2 2 ; ;
, A B C  0,P / /BC nên:      
n BC, BC  1;1;4  .
n BC  0  A B  4C n   B  4C; ; B C
P đi qua A13; 1
 ;0  phương trình:  P :  B  4C x By Cz 12B  52C  0
B  4C  2B  3C 12B  52C
P tiếp xúc với S   d I,P  R   9   B  4C 2 2 2  B C
B  2C  0 2 2
B  2BC  8C  0   B  2C  B  4C   0  B  4C  0  B  2
Với B  2C  0 chọn 
, ta được phương trình:  P : 2
x  2 y z  28  0 C  1   B  4
Với B  4C  0 chọn 
, ta được phương trình:  P : 8x  4 y z 100  0 C  1  Chọn A. S  2 2 2
: x y z  4x  2 y  2z  3  0,
Câu 11: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu mặt phẳng
P : x y z 1  0
A1;1;0, B 2; 2;  1 .  và hai điểm
Viết phương trình mặt phẳng P S
song song với AB, vuông góc với mặt phẳng và cắt mặt cầu theo một đường tròn
C có bán kính bằng 3.
A.  : x y  2z 1  0 và mp  : x y  2z 11  0 .
B.  : x  5y  2z 1  0 và mp  : x y  2z 11  0 .
 : x  5y  2z 11  0
C.  : x y  2z 1  0 và mp .
D.  : x  5y  2z 1  0 và mp  : x  5y  2z 11  0 Hướng dẫn giải: 2 2 2
Pt S  viết dưới dạng  S  :  x  2   y   1   z   1  9
Suy ra S  có tâm I 2;1; 
1 , bán kính R  3.  
Ta có AB  3;1; 
1 một VTPT của mặt phẳng  P là n  1; 1  ;  1
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 81
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz    Do đó  A . B n  2; 2  ; 4  0  
Gọi vec tơ là một VTPT của mặt phẳng . Ta có:       / / AB u    AB      
  u cùng phương với  A . B n .       Pu    n   1    Chọn u   A .
B n  u  1;1; 2   2   
Mặt phẳng  có một VTPT u nên phương trình có dạng x y  2z D  0
Gọi d là khoảng cách từ I đến mặt phẳng  cắt S  theo một đường tròn C  có bán kính r  3. Nên 2 2 d
R r  9  3  6 2    1  2  1  DD  1 Ta có: d  6 
 6  5  D  6   6 D  1  1 
Với D  1 thì  : x y  2z 1  0 không qua A 1  ;1; 0 (vì 1  1 2.0 1  0 )
Nên  / / A .
B Tương tự, mặt phẳng cũng song song với A . B
Vậy có hai mặt phẳng  thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình:
 : x y  2z 1  0 và mp  : x y  2z 11  0 . Chọn A.
Câu 12: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A2;0;0, B 0;2;0. Điểm C thuộc trục Ox sao
cho tam giác ABC là tam giác đều, viết phương trình mặt cầu S  có tâmO tiếp xúc với ba
cạnh của tam giác ABC. A. S  2 2 2
: x y z  2 . B. S  2 2 2
: x y z  2  . C. S  2 2 2
: x y z  2 . D. S  2 2 2
: x y z   2 Hướng dẫn giải:
C  Oz  C 0;0;c và tam giác ABC đều khi và chỉ khi: 2 2 2 2 2 2
AB AC BC AB AC BC  2  2  2  c c  2 
Vậy C 0;0; 2 hoặc C 0;0;2
Lập luận được tứ diện OABC đều vì OA OB OC  2 và tam giác ABC đều.
Gọi I là trung điểm của AB thì IO AB tại 1 1 2 2 2 2 I OI
AB OA OB  2  2  2 2 2
(Tam giác OAB vuông tại O )
Lập luận được mặt cầu S  có tâm O tiếp xúc với 3 cạnh của tam giác ABC có bán kính
R d O, AB  IO  2.
Do đó phương trình có mặt cầu  S  2 2 2
: x y z  2. Chọn A.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 82
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz x  2 y 1 z 1
Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :   và mặt cầu 1  2  1
S   x  2   y  2   z  2 : 1 2 1
 25. Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M  1  ; 1; 2
 , cắt đường thẳng d và mặt cầu S  tại hai điểm ,
A B sao cho AB  8. x  1   6tx  1   6t  
A.  : y  1   2t .
B.  : y  1   2t . z  2   9t   z  2   9t  x  1   6tx  2   6t  
C.  : y  1 2t .
D.  : y  3   2t
z  2  9t   z  2   9tHướng dẫn giải: 
Gọi: M d    M
2  t;1 2t;1 t MM  3  t; 2  2t;3  t 1 1   1  
Mặt cầu có tâm I  1  ; 2;  1 qua I   1  ; 2;  1 qua I  1; 2;  1
Mặt phẳng  P :    P :     P    V   TPT n MMP 1
  P : 3  t  x  
1  2  2t  y  2  3  t   z   1  0
Gọi H là trung điểm AB thì IH AB, IH  3 t  1  3t 15 Do IM 3 2 MH 3
d M , P        3 2 6t  8t  22 t   5 x  1   2tx  1   6t  3 
Với t  1   : y  1
  2t . Với t    :  y  1   2t .  5 z  2  t   z  2   9tChọn A.
Câu 14: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu S  tiếp xúc với mặt phẳng
Q : 2x y  2z 1  0 tại M 1; 1  ;  
1 và tiếp xúc mặt phẳng  P : x  2y  2z  8  0  2 2
c :  x  32  y   z  2 2 1  9
c :  x  3 2
y   z   1  9 A.  . B.  .  2 2 2
c :  x  2
1   y  22   z  32  9  
c :  x  
1   y  2   z  3  9   2 2
c :  x  32  y   z  2 2 1  9
c : x  3 2
y   z   1  81 C. . D.   2 2 2
c :  x  2
1   y  22   z  32  9  
c :  x  
1   y  2   z  3  81  Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng Q có vec tơ pháp tuyến n  2;1; 2. Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với Q
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 83
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz x  1 2t
có phương trình là y  1   t . z  1   2t
Lấy I 1 2t; 1
  t; 1 2t   d       MI d  1 2t 2 2t 2 4t 8 I,  P 2 2 2 
4t t  4t   t   1 4  4
t  1  I 3;0; 
1 , R  3  S  :  x  32  y   z  2 2 1  9 t  1   I 1; 2  ; 3
  , R  3   S  :  x  2
1   y  22   z  32  9 Chọn A.
Câu 15: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng: x t x  2 y 1 z 1   :   ,  : 2 2 2
y  2  t và mặt cầu (S ) : x y z  2x  2 y  6z  5  0 1 1 2 3 2 z  1 2t
Viết phương trình mặt phẳng () song song với hai đường thẳng  ,  và cắt mặt cầu (S) 1 2 2 365
theo giao tuyến là đường tròn (C) có chu vi bằng . 5
A. x  5y  3z  4  0; x  5y  3z 10  0
B. x  5y  3z 10  0
C. x  5 y  3z  3  511  0; x  5y  3z  3  511  0
D. x  5y  3z  4  0 Chọn B. Hướng dẫn giải: 
+  qua M (2; 1;1) và có vectơ chỉ phương u  (1; 2; 3  ) . 1 1 1 
 qua M (0; 2;1) và có vectơ chỉ phương u  (1; 1; 2) . 2 2 2  
+ Mặt phẳng () song song với  ,  nên có vectơ pháp tuyến: u ,u   (1; 5; 3  ) 1 2 1 2  
 Phương trình mặt phẳng () có dạng: x  5y  3z D  0
+ Mặt cầu (S) có tâm I(1; 1
 ;3) và bán kính R  4 . 2 365 365
Gọi r là bán kính đường tròn (C), ta có: 2 r   r  5 5
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 84
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz 35 D  3 35 D  4
Khi đó: d I , () 2 2  R r      5 35 5 D  10 
+ Phương trình mặt phẳng () : x  5y  3z  4  0 (1) hay x  5y  3z 10  0 (2) .
Vì  / /(),  / /() nên M1 và M2 không thuộc ()  loại (1). 1 2
Vậy phương trình mặt phẳng () cần tìm là: x  5y  3z 10  0 . Chọn B.
Câu 16: Trong không gian Oxyz, cho điểm A1, 0,  
1 và mặt phẳng  P : x y z  3  0 . Mặt cầu S
có tâm I nằm trên mặt phẳng  P , đi qua điểm A và gốc tọa độ O sao cho chu vi tam giác
OIA bằng 6  2 . Phương trình mặt cầu S là: 2 2 2 2 2 2
A. x  2   y  2   z   1
 9 hoặc  x  2   y  2   z   1  9. 2 2 2 2 2 2
B. x  2   y  2   z   1
 9 hoặc  x   1
  y  2   z  2  9 2 2 2 2 2 2
C. x  2   y  2   z   1
 9 hoặc  x  2   y  2   z   1  9 2 2 2 2 2 2
D. x  2   y  2   z   1
 9 hoặc  x  
1   y  2   z  2  9 Hướng dẫn giải: Gọi I  ,
x y, z  là tâm của S.
Khi đó I   P, IO I ,
A IO IA AO  6  2 nên ta suy ra hệ  x  2
1  y   z  2 2 2 2 2 1 
x y z
x z 1  0  2 2 2  2 2 2
2 x y z  2  6  2
 x y z  9
x y z 3  0
x y z  3  0   
Giải hệ ta tìm được I 2, 2, 
1 hoặc I 1, 2, 2   Chọn D. x 1 y  6 z
Câu 17: Cho điểm I 1;7;5 và đường thẳng d :  
. Phương trình mặt cầu có tâm I và 2 1  3
cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác diện tích tam giác IAB bằng 2 6015 là: 2 2 2 2 2 2 A. x  
1   y  7   z  5  2018. B. x  
1   y  7   z  5  2017. 2 2 2 2 2 2 C. x  
1   y  7   z  5  2016. D. x  
1   y  7   z  5  2019.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 85
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz Hướng dẫn giải:
Gọi H là hình chiếu của I 1;7;5 trên dH 0;0;4  IH d I ;d   2 3 2 IH .AB 2SAB AIB S   AB   8020 2 2  R IH   2017 AIB   2 IH  2  2 2 2
Vậy phương trình mặt cầu là:  x  
1   y  7   z  5  2017. Chọn B. x  1   t
Câu 18: Cho điểm I (0; 0;3) và đường thẳng d :  y  2t
. Phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt z  2  t
đường thẳng d tại hai điểm ,
A B sao cho tam giác IAB vuông là: 3 8
A. x y   z  32 2 2  .
B. x y   z  32 2 2  . 2 3 2 4
C. x y   z  32 2 2  .
D. x y   z  32 2 2  . 3 3 Hướng dẫn giải:
Gọi H 1 t; 2t;2  t  d là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d 
IH  1 t; 2t;1 t 
Ta có vectơ chỉ phương của d : a  1;2  ;1 và IH d d   1  2 2 7 
IH .a  0  1
  t  4t 1 t  0  2
  6t  0  t   H  ; ; d   3  3 3 3  2 2 2  2   2   2  2 3  IH            3   3   3  3
Vì tam giác IAB vuông tại I IA IB R . Suy ra tam giác IAB vuông cân tại I , do đó bán kính: 2 2 3 2 6 0
R IA AB cos 45  2IH .  2IH  2.  2 3 3 8
Vậy phương trình mặt cầu S  : x y   z  32 2 2  . 3 Chọn B.
Câu 19: Cho điểm A2;5; 
1 và mặt phẳng (P) : 6x  3y  2z  24  0 , H là hình chiếu vuông góc của
A trên mặt phẳng  P . Phương trình mặt cầu (S) có diện tích 784 và tiếp xúc với mặt
phẳng  P tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt cầu là: 2 2 2 2 2 2
A. x  8   y  8   z   1  196.
B. x  8   y  8   z   1  196. 2 2 2 2 2 2
C. x 16   y  4   z  7  196.
D. x 16   y  4   z  7  196.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 86
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz Hướng dẫn giải:
x  2  6t
 Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với P . Suy ra d :  y  5  3tz  1 2t
 Vì H là hình chiếu vuông góc của A trên P nên H d  (P) .
H d nên H 2  6t;5  3t;1 2t  .
 Mặt khác, H  (P) nên ta có: 62  6t   35  3t   21 2t   24  0  t  1  Do đó, H  4  ; 2;3 .
 Gọi I , R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu.
Theo giả thiết diện tích mặt cầu bằng 784, suy ra 2
4 R  784R  14 .
Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng  P tại H nên IH  (P)  I d .
Do đó tọa độ điểm I có dạng I 2  6t;5  3t;1 2t  , với t  1  .
 Theo giả thiết, tọa độ điểm I thỏa mãn:
 6 2  6t  35  3t   21 2t   24 t  1   14
d (I ,(P))  14  2 2 2   6 3 ( 2)        t  3  t  1  AI  14   
  t 2   t 2   t 2 2   t  2 6 3 2  14  
Do đó: I 8;8;   1 . 2 2 2
Vậy phương trình mặt cầu (S) :  x  8   y  8   z   1  196 . Chọn A. x  2 y z 1
Câu 20: Cho mặt phẳng  P : x  2y  2z 10  0 và hai đường thẳng  :   , 1 1 1 1  x  2 y z  3  :  
. Mặt cầu S  có tâm thuộc  , tiếp xúc với  và mặt phẳng  P , 2 1 1 4 1 2 có phương trình: 2 2 2  11   7   5  81 A. 2 2 2
(x 1)  ( y 1)  (z  2)  9 hoặc  x     y     z    .  2   2   2  4 2 2 2  11   7   5  81 B. 2 2 2
(x  1)  ( y 1)  (z  2)  9 hoặc  x     y     z    .  2   2   2  4 C. 2 2 2
(x 1)  ( y 1)  (z  2)  9. D. 2 2 2
(x 1)  ( y 1)  (z  2)  3. Hướng dẫn giải: x  2  t  
  :  y t ;  đi qua điểm (
A 2;0; 3) và có vectơ chỉ phương a  (1;1; 4) . 1 2 2 z 1 t
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 87
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
 Giả sử I (2  t;t;1 t)   là tâm và R là bán kính của mặt cầu S  . 1       AI , a    5t  4
 Ta có: AI  (t;t; 4  t)   AI , a   (5t  4; 4  5t; 0) 
d I;     2  2 2  a 3 2
2  t  2t  2(1 t)  10 t 10
d (I, (P))   . 1 4  4 3  7 t
 S  tiếp xúc với  và P  d(I,  )  d(I,(P))  5t  4  t 10   . 2 2 2 t  1  2 2 2 7  11 7 5  9  11   7   5  81  Với t   I  ; ;   , R
  S  :  x     y     z    . 2  2 2 2  2  2   2   2  4  Với t  1
  I (1; 1; 2), R  3  S  2 2 2
: (x 1)  ( y  1)  (z  2)  9 . Chọn A.x  1 
Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng d :  y  1,t  ;  1  z t   x  2  x 1 y z 1
d :  y u , u  ;   :  
. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với cả d , d 2 1 2  1 1 1 z  1 u
và có tâm thuộc đường thẳng  ? 2 2 2 2 2  1   1   1  5 A. x   2
1  y   z   1  1. B. x   y   z         .  2   2   2  2 2 2 2 2 2 2  3   1   3  1  5   1   5  9 C. x   y   z         . D. x   y   z         .  2   2   2  2  4   4   4  16 Hướng dẫn giải: Chọn A. 
Đường thẳng d đi qua điểm M 1;1; 0 và có véc tơ chỉ phương u  . d 0;0  ;1 1   1 1 
Đường thẳng d đi qua điểm M
2; 0;1 và có véc tơ chỉ phương u  . d 0;1  ;1 2   2 2
Gọi I là tâm của mặt cầu. Vì I   nên ta tham số hóa I 1 t;t;1 t  , từ đó  
IM  t;1 t; 1   t ,
IM  1 t; t; t  . 1   2  
Theo giả thiết ta có d I; d d I ;d , tương đương với 1   2 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 88
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz     2 2 2 IM ;u  IM ;u  1 d d 1 tt 2 1 t 1 2 2               t  0 u u 1 2 1 d d2 Suy ra I 1;0; 
1 và bán kính mặt cầu là R d I;d  1. Phương trình mặt cầu cần tìm là 1 
x  2  y   z  2 2 1 1  1.
x  2  t
Câu 22: Cho mặt cầu S  2 2 2
: x y z  2x  4z  1  0 và đường thẳng d :  y t . Tìm m để dz m   t
cắt S  tại hai điểm phân biệt ,
A B sao cho các mặt phẳng tiếp diện của S  tại A và tại B vuông góc với nhau. A. m  1  hoặc m  4 
B. m  0 hoặc m  4  C. m  1  hoặc m  0 D. Cả ,
A B,C đều sai Hướng dẫn giải:
Để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì trước tiên d phải cắt mặt cầu, tức là phương trình
  t 2  t  m t 2 2 2
 2.2  t   4.m t  1  0 có hai nghiệm phân biệt. 2
t  m   2 3 2
1 t m  4m  1  0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi    m  2 2 ' 0 1
 3m  12m  3  0 2
m  5m  1  0 .
Với phương trình có hai nghiệm phân biệt, áp dụng định lí Viet ta có 2 m  4m  1 2  t t  ;t t m  1 1 2 1 2   3 3  
Khi đó IA  1 t ;t ;m  2  t , IB  1  t ;t ;m  2  t . 1 1 1   2 2 2    Vậy I .
A IB  1 t 1  t
t t m  2  t m  2  t  0 1   2  1 2  1   2 
 3t t  m  
1 t t   m  22 1  0 1 2 1 2 2 m  1 
m  4m  1  m  2 1  m  22 2  1  0   (TM). 3 m  4   Chọn A.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 89
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Câu 23: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S  2 2 2
: x y z  4x  6 y m  0 và đường thẳng x y  1 z  1 d  :  
. Tìm m để (d) cắt (S) tại hai điểm M, N sao cho độ dài MN bằng 8. 2 1 2 A. m  2  4 B. m  8 C. m  16 D. m  1  2 Hướng dẫn giải: 2
(S) có tâm I 2;3;0 và bán kính R    2 2 2
 3  0  m  13  m m  13
Gọi H là trung điểm M, N  MH  4
Đường thẳng (d) qua A0;1; 
1 và có vectơ chỉ phương     u, AI u   
 2;1; 2  d I;d     3 u Suy ra 2 2 R
MH d I d  2 2 ;  4  3  5
Ta có 13  m  5  13  m  25  m  1  2 Chọn D.
Câu 24: Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( )
 : x  2y  2z  4  0
() : 2x  2y  z 1  0, và mặt cầu S có phương trình 2 2 2
x  y  z  4x  6y  m  0 .
Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 8. A. 9 B. 12 C. 5 D. 2 Hướng dẫn giải:   Ta có n  (2; 2; 1
 ), n  (1; 2; 2) lần lượt là VTPT của (α) và (β) 1 2  1  
Suy ra VTCP của đường thẳng d là u  n ;n   (2;1; 2), 1 2 3  
Ta có A(6;4;5) là điểm chung của hai mặt phẳng (α) và (β) nên Ad.
Mặt cầu (S) có tâm I(-2;3;0), bán kính R  13  m với m < 13.   
IA  (8;1;5)  IA, u   (3; 6;6)  d(I, d)  3   AB
Gọi H là trung điểm của AB  AH   4 vµ IH  3 . 2
Trong tam giác vuông IHA ta có: 2 2 2 2
IA  IH  AH  R  9  16
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 90
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
 13  m  25  m  1
 2 . Vậy m = 12 là giá trị cần tìm. Chọn B.
Câu 25: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho (
A 1; 0; 2), B(3;1; 4),C(3; 2  ;1) . Tìm tọa độ
điểm S, biết SA vuông góc với (ABC), mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC có bán kính bằng
3 11 và S có cao độ âm. 2 A. S (4; 6  ; 4) . B. S (3; 4; 0) . C. S (2; 2;1) .
D. S (4;6; 4) . Hướng dẫn giải:    
Ta có AB  (2;1; 2); AC  (2; 2  ; 1
 ) , suy ra AB AC . S
Tam giác ABC vuông nên I và S có thể sử dụng các tính chất của phép dụng tâm để tính. N Tính được IM. I    A C
MI  ( ABC)  MI k AB, AC   k   M   B
AS  2MI , tìm S.  
AB, AC   (3;6; 6)     1  5  Gọi M 3; ; 
 là trung điểm BC. Ta có:  2 2  2  3 11  9 81 9 2 2 2
IM IB BM       IM   2  2 4 2      9 1
MI  ( ABC)  MI k AB, AC   k (3; 6; 6) 
MI  9 k . Suy ra
 9 k k     2 2 1   k
thì AS  2MI  3;6; 6
   S 4;6;4 2 Chọn D.
Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 0;0; 4 , điểm M nằm trên mặt phẳng
Oxy và M O . Gọi D là hình chiếu vuông góc của O lên AM E là trung điểm của
OM . Biết đường thẳng DE luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định. Tính bán kính mặt cầu đó. A. R  2 . B. R  1 . C. R  4 . D. R  2 .
Hướng dẫn giải: Chọn A.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 91
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Ta có tam giác OAM luôn vuông tại O . A
Gọi I là trung điểm của OA (Điểm I cố định)
Ta có tam giác ADO vuông tại D ID là 1
đường trung tuyến nên ID OA  2   1 2 I
Ta có IE là đường trung bình của tam giác OAM
nên IE song song với AM OD AM OD IE D
Mặt khác tam giác EOD cân tại E . Từ đó suy ra
IE là đường trung trực của OD M O Nên E      
DOE ODE; IOD IDO IDE IOE  90  ID DE 2 OA
Vậy DE luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm I bán kính R   2 2 A0;0;  1 B  ;
m 0; 0 C 0; ; n 0
Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét các điểm , , , D 1;1; 
1 với m  0;n  0 và m n 1. Biết rằng khi m , n thay đổi, tồn tại một mặt cầu cố  ABC
định tiếp xúc với mặt phẳng
và đi qua d . Tính bán kính R của mặt cầu đó? 2 3 3 A. R  1 . B. R  . C. R  . D. R  . 2 2 2 Hướng dẫn giải:
Gọi I (1;1;0) là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng (Oxy) x y
Ta có: Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng ( ABC) là:   z  1 m n
Suy ra phương trình tổng quát của ( ABC) là nx my mnz mn  0 1  mn
Mặt khác d (I,( ABC)) 
 1 (vì m n  1) và ID  1  d (I,( ABC)) 2 2 2 2
m n m n
Nên tồn tại mặt cầu tâm I (là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng Oxy ) tiếp xúc
với ( ABC) và đi qua D Chọn A.
Câu 28: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm (
A 0;1;1), B(1;0; 3  ),C( 1  ; 2  ; 3  ) và mặt cầu (S) có phương trình: 2 2 2
x y z  2x  2z  2  0 .Tìm tọa độ điểm D trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện
ABCD có thể tích lớn nhất.  7 4 1   1  4 5   7 4 1   7 4 1  A. D ;  ;  B. D ; ; C. D ; ; D.       D ;  ;    3 3 3   3 3 3   3 3 3   3 3 3  Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 92
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz Ta có (S) 2 2 2
: (x 1)  y  (z 1)  4 suy ra (S) có tâm I(1;0;-1), bán kính R  2  
AB  (1; 1; 4); AC  (1; 3; 4)   
Mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là n   AB, AC   ( 8  ;8; 4)   
Suy ra mp(ABC) có phương trình: 8
 x  8(y 1)  4(z 1)  0  2x  2y  z 1  0 1 Ta có Vd ( ;
D ( ABC)).S nên V
lớn nhất khi và chỉ khi d( ;
D ( ABC)) lớn nhất. ABCD 3 ABC ABCD
Gọi D D là đường kính của mặt cầu (S) vuông góc với mp(ABC). Ta thấy với D là 1 điểm 1 2
bất kỳ thuộc (S) thì d ( ;
D ( ABC))  maxd (D ;(ABC)); d (D ;(ABC)) 1 2  .
Dấu “=” xảy ra khi D trùng với D1 hoặc D2 
Đường thẳng D D đi qua I(1;0;-1), và có VTCP là nABC  (2; 2  ;1) 1 2 x  1 2t
Do đó (D1D2) có phương trình: y  2  t . z  1    tx  1 2t  2  t   y  2  t  3
Tọa độ điểm D1 và D2 thỏa mãn hệ:    z  1 t 2   t  2 2 2
 (x 1)  y  (z 1)  4  3   7 4  1    1  4 5   D ; ; & D ; ; 1   2    3 3 3   3 3 3   7 4 1 
Ta thấy: d (D ; ( ABC))  d (D ; ( ABC)) . Vậy điểm D ;  ;  là điểm cần tìm 1 2    3 3 3  Chọn D. x 1 y z  3
Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :   và mặt cầu 1 2 1  2 2 2
S  tâm I có phương trình  S  :  x  
1   y  2   z   1
 18 . Đường thẳng d cắt S  tại hai điểm ,
A B . Tính diện tích tam giác IAB . 8 11 16 11 11 8 11 A. . B. . C. . D. . 3 3 6 9 Hướng dẫn giải: Chọn A.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 93
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Đường thẳng d đi qua điểm C 1;0; 3
  và có vectơ chỉ phương u   1  ; 2;   1
Mặt cầu S  có tâm I 1; 2;  
1 , bán kính R  3 2
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d .   IC,u    Khi đó: IH   , với IC  0; 2  ; 2   ; u
2x y  3z  4  0 2 2 2 6  2  2 66 Vậy IH   1 4 1 3 22 4 6 Suy ra HB  18   3 3 1 1 66 8 6 8 11 Vậy, SIH AB     . IAB 2 2 3 3 3  1 3 
Câu 30: Trong không gian Oxyz , cho điểm M  ;
;0  và mặt cầu S  2 2 2
: x y z  8. Đường  2 2   
thẳng d thay đổi, đi qua điểm M , cắt mặt cầu S  tại hai điểm phân biệt. Tính diện tích lớn
nhất S của tam giác OA . B A. S  7 . B. S  4 . C. S  2 7 . D. S  2 2 . Hướng dẫn giải:
Mặt cầu S  có tâm O0;0;0 và bán kính R  2 2 .
OM  1  R nên M thuộc miền trong của
mặt cầu S  . Gọi A , B là giao điểm của đường A
thẳng với mặt cầu. Gọi H là chân đường cao hạ
từ O của tam giác OAB .
Đặt x OH , ta có 0  x OM  1, đồng thời H 2 2 2 HA
R OH  8  x . Vậy diện tích tam giác OAB O M B 1 2 S
OH .AB OH .HA x 8  x . OAB 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 94
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz Khảo sát hàm số 2
f (x)  x 8  x trên 0; 
1 , ta được max f x  f   1  7 . 0;  1
Vậy giá trị lớn nhất của S
 7 , đạt được khi x  1 hay H M , nói cách khác là OAB d OM . Chọn A.
Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 2;11;5 và mặt phẳng
Pmx   2
m   y   2 : 2 1 m  
1 z 10  0 . Biết rằng khi m thay đổi, tồn tại hai mặt cầu cố
định tiếp xúc với mặt phẳng  P và cùng đi qua A . Tìm tổng bán kính của hai mặt cầu đó. A. 2 2 . B. 5 2 . C. 7 2 . D. 12 2 . Hướng dẫn giải:
Gọi I a;b;c , r lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu. Do mặt cầu tiếp xúc với  P nên ta có 2ma   2 m   1 b   2 m   1 c 10 b c 2
m  2ma b c 10
r d I,  P    2 m   1 2  2 m   1 2 b c 2
m  2ma b c 10  r  2 m   1 2
b c r 2 2
m  2ma b c r 2 10  0   1 
 bcr 2 2m 2mabcr 2100 2 
TH1: b c r  2
2 m  2ma b c r 2 10  0   1
Do m thay đổi vẫn có mặt cầu cố định tiếp xúc với  P nên yêu cầu bài toán trờ thành tìm điều kiện , a , b c sao cho  
1 không phụ thuộc vào m . Do đó   1 luôn đúng với mọi b
  c r 2  0   a  0
b c r 2 10  0 
b r 2  5  0  2 2  2 2 a  0
Suy ra I 0;5  r 2; 5
   S  : x   y  5  r 2  z  5  r . c  5   r  2 2
Lại có A  S  nên suy ra: 4   11   5  r 2 2 2 2
r r 12 2r  40  0   r  10 2 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 95
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
TH2: b c r  2
2 m  2ma b c r 2 10  0 làm tương tự TH1 (trường hợp này không thỏa đề bài )
Tóm lại: Khi m thay đổi, tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng  P và cùng đi
qua A và có tổng bán kính là: 12 2 suy ra chọn D
Câu 32: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 6cm SA SB SC  4 3 cm
.Gọi D là điểm đối xứng của B qua
C. Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABD bằng? A. 5cm
B. 3 2cm C. 26cm D. 37cm Hướng dẫn giải:
Cách 1: Dựng CG vuông góc với  ABC  , Qua E dựng mặt phẳng vuông góc với SB , mặt
phẳng này cắt CG tại F. Suy ra F là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD.Đặt SF R Xét hình chữ nhật: 2 2
FGSH  FC SH FG SH R CH   1 Lại có: 2 2 FC
R CB 2 .Từ (1) và (2) suy ra 2 2 2 2
SH R CH R CB 2 2 2 6  R 12 
R  36  5  R 12  0  R  37 cm Suy ra chọn D Cách 2:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Ta có: C 0;0;0 , A3 3;3;0, B  3 
3;3; 0, S 2 3;0;6
F CG  F
t   FA FS   t   t  2 2 0; 0; 36 12 6
t  1  SC  37 cm suy ra chọn D x  2 y z
Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :   và mặt cầu 2 1 4
S   x  2   y  2   z  2 : 1 2 1
 2 . Hai mặt phẳng  P và Q chứa d và tiếp xúc với S
. Gọi M , N là tiếp điểm. Tính độ dài đoạn thẳng MN. 4 A. 2 2. B. . C. 6. D. 4. 3
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 96
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz Hướng dẫn giải: Chọn B.
Mặt cầu S  có tâm I 1; 2  ;1 , R  2 
Đường thẳng d nhận u  2; 1
 ; 4 làm vectơ chỉ phương
Gọi H là hình chiếu của I lên đường thẳng d. H d H 2t  2;t; 4t  Lại có:  
IH.u  0  2t 1; t   2; 4t   1 .2; 1
 ; 4  0  22t  
1  t  2  4 4t   1  0  t  0
Suy ra tọa độ điểm H 2;0;0 .
Vậy IH  1 4  1  6
Suy ra: HM  6  2  2
Gọi K là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng HI . 1 1 1 1 1 3 Suy ra:      . 2 2 2 MK MH MI 4 2 4 2 4 Suy ra: MK   MN  . 3 3
Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
điểm A a;0;0, B 0; ;
b 0, C 0;0;c , trong 1 2 3
đó a  0 , b  0 , c  0 và  
 7. Biết mặt phẳng  ABC  tiếp xúc với mặt cầu a b c
S   x  2   y  2   z  2 72 : 1 2 3 
. Thể tích của khối tứ diện OABC là 7 2 1 3 5 A. . B. . C. . D. . 9 6 8 6 Hướng dẫn giải: Chọn A. x y z
Cách 1: Ta có  ABC  :    1. a b c 72
Mặt cầu S  có tâm I 1; 2;3 và bán kính R  . 7 1 2 3   1 a b c 72
Mặt phẳng  ABC  tiếp xúc vớiS   d I; ABC   R   . 1 1 1 7   2 2 2 a b c
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 97
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz 1 2 3 1 1 1 7 Mà    7     . 2 2 2 a b c a b c 2
Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có 2   1 1 1   1 2 3  1 1 1 7 2 2 2 1  2  3  2       7     .  2 2 2    2 2 2  a b c   a b c a b c 2  1 2 3    1 1 1  2 1 2
Dấu "  " xảy ra   a b c
a  2, b  1, c  , khi đó Vabc  . 3 OABC  6 9 1 2 3     7  a b c x y z 72
Cách 2: Ta có  ABC  :  
 1, mặt cầu S  có tâm I (1;2;3), R  . a b c 7 1 2 3   1 a b c 72
Ta có  ABC  tiếp xúc với mặt cầu S   d I , (P)  R   1 1 1 7   2 2 2 a b c 7 1 72 1 1 1 7 1 1 1 7           7  2 2 2 2 2 2 1 1 1 7 a b c 2 a b c 2   2 2 2 a b c  a  2 2 2 2 1 1 1 1 2 3 7  1 1   1   1 3             1    0  b   1 2 2 2       a b c a b c 2  a 2   b   c 2   2 c   3 1 2  Vabc  . OABC 6 9 1 1 1 7
Cách 3: Giống Cách 2 khi đến    . 2 2 2 a b c 2
Đến đây ta có thể tìm a, b, c bằng bất đẳng thức như sau: Ta có 2 2  1 2 3   1 1 1   1 1 1  1 1 1 7 2 7     1.  2.  3.   2 2 2 1  2  3             2 2 2  2 2 2  a b c   a b c   a b c a b c 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 98
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz 1 1 1 1 1 1 7 Mà   
 Dấu “=” của BĐT xảy ra a b c  
, kết hợp với giả thiết 2 2 2 a b c 2 1 2 3 1 2 3 2 1 2  
 7 ta được a  2 , b  1, c  . Vậy: Vabc  . a b c 3 OABC 6 9  a  2  1 2 Ta có  b   1  Vabc  . OABC  6 9 2 c   3 72
Cách 4: Mặt cầu S  có tâm I 1; 2;3 và bán kính R  . 7 x y z
Phương trình mặt phẳng ( ABC) :    1. a b c 1 2 3 1 2 3  1 2 3  Ta có: 7 7 7    7     1 nên M ; ;     ABC a b c a b c  7 7 7   1 2 3  Thay tọa độ M ; ; 
 vào phương trình mặt cầu (S ) ta thấy đúng nên M  (S ) .  7 7 7 
Suy ra: ( ABC) tiếp xúc với (S ) thì M là tiếp điểm.  1 2 3 
  6 12 18  
Do đó: ( ABC) qua M ; ; 
 , có VTPT là MI  ; ;  n    1; 2;3  7 7 7   7 7 7  x y z 2
( ABC) có phương trình: x  2 y  3z  2  0   
 1  a  2 , b  1, c  . 2 1 2 3 3 1 2 Vậy V abc  6 9
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 99
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
GTLN, GTNN TRONG HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXYZ Câu 1:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1; 0; 2; B 0; 1; 2 và mặt phẳng
P : x  2y  2z 12  0. Tìm tọa độ điểm M thuộc P sao cho MA MB nhỏ nhất?  6 18 25 A.M 2; 2;9 . B. M  ;  ; .    11 11 11   7 7 31   2 11 18  C. M ; ; . D. M  ;  ;     .  6 6 4   5 5 5  Hướng dẫn giải: Chọn D.
Thay tọa độ A 1;0; 2; B 0; 1; 2 vào phương trình mặt phẳng P , ta được
P AP B  0  hai điểm ,
A B cùng phía với đối với mặt phẳng P . B
Gọi A là điểm đối xứng của A qua  P . Ta có A
MA MB MA  MB AB .
Nên min  MA MB  A B
 khi và chỉ khi M là giao
điểm của AB với  P . H Mx  1 t P
Phương trình AA :  y  2t
( AA đi qua A1;0; 2 và
z  2  2t   A'
có véctơ chỉ phương n   ). P 1;2;  1  
Gọi H là giao điểm của AA trên  P , suy ra tọa độ của H H 0;2; 4 , suy ra x tA  1  ; 4
 ; 6 , nên phương trình AB :  y  1   3t .
z  2  4t   2 11 18
M là giao điểm của AB với  P nên ta tính được tọa độ  M  ;  ; .    5 5 5  Câu 2: Cho hai điểm A 1
 ,3, 2; B  9
 , 4, 9 và mặt phẳng  P : 2x y z 1  0. Điểm M thuộc
(P). Tính GTNN của AM BM . 7274  31434 2004  726 A. 6  204 B. C. D. 3 26 6 3 Hướng dẫn giải: Ta có: 2.  1  3   2    
1 2.9  4  9   1  72  0  ,
A B nằm cùng phía so với mặt phẳng (P).
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 100
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (P). Mặt phẳng (P) có vtpt n 2, 1,  1 
x  1 2t  Đường thẳng A
A đi qua A  1  ,3, 2
  có vtcp n2, 1  , 
1 có pt:  y  3  tz  2   t
Gọi H là giao của A
A và  P ta có: 2 1
  2t   3  t    2
  t  1  0  t  1  H 1, 2,  
1 . Ta có H là trung điểm của A A  ’ A 3,1, 0. 
x  3  4t
Đường A’B đi qua A’(3, 1, 0) có vtcp A' B  1
 2,3,9 có pt: y  1 tz  3t
Gọi N là giao điểm của A’B và mặt phẳng  P ta có:
2.3  4t  – 1 t   3t 1  0  t  1  N  1  , 2,3.
Để MA MB nhỏ nhất thì M N khi đó MA MB  ’ A B =  2 2 2 12  3  9  234  3 26 Chọn D. Câu 3:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x y z 1  0 và hai điểm ( A 1; 3  ;0), B 5; 1
 ;2 . M là một điểm trên mặt phẳng (P) . Giá trị lớn nhất của
T MA MB là: 4 6 2 3 A. T  2 5. B. T  2 6. C. T  . D. T  . 2 3 Hướng dẫn giải:
Ta có: A, B nằm khác phía so với (P). Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua (P). Suy ra B '( 1  ; 3  ;4) .
T MA MB MA MB '  AB '  2 5. Đẳng thức xảy ra khi M , , AB thẳng hàng. Chọn A. Câu 4:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình
2x y z 1  0 và hai điểm M 3;1;0, N  9
 ; 4;9. Tìm điểm I a; ;
b c thuộc mặt phẳng
(P) sao cho IM IN đạt giá trị lớn nhất. Biết a,b, c thỏa mãn điều kiện:
A. a b c  21
B. a b c  14
C. a b c  5
D. a b c  19. Hướng dẫn giải:
Nhận thấy 2 điểm M, N nằm về hai phía của mặt phẳng (P).
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 101
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Gọi R là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng (P), khi đó đường thẳng MR đi qua điểm M(3; x  3 y 1 z
1; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình:   . Gọi 2 1 1
H MR  (P)  H (1; 2; 1
 )  R(1;3; 2) .
Ta có IM IN IR IN RN . Đẳng thức xảy ra khi I, N, R thẳng hàng. Do đó tọa độ x  1   8t
điểm I là giao điểm của đường thẳng NR:  y  3  t
(t là tham số ) và mặt phẳng (P).
z  2 11t
Dễ dàng tìm được I(7; 2; 13). Chọn A. Câu 5:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1; 2; 2, B 5;4;4 và mặt phẳng
P : 2x y z  6  0. Tọa độ điểm M nằm trên (P) saocho 2 2
MA MB nhỏ nhất là: A.  1  ;3; 2 B. 2;1; 1   1 C.  1  ;1;5 D. 1; 1  ; 7 Hướng dẫn giải:
+ Kiểm tra phương án A không thuộc (P).
+ Tính trực tiếp MA2 + MB2 trong 3 phương án B,C,D và so sánh. Chọn C. Câu 6: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : 2x y z 1  0, A8; 7
 ; 4 , B 1; 2;2. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng  P sao cho 2 2
MA  2MB nhỏ nhất.
A. M 0;0;   1 . B. M 0;0;  1 . C. M 1;0;  1 . D. M 0;1;0 Hướng dẫn giải:  
Gọi I là điểm thỏa mãn IA  2IB  0  I 2;1;0     2 2 Có 2 2
MA MB  MI IA  MI IB 2 2 2 2 2
 3MI IA  2IBI ,
A IB không đổi nên  2 2 MA  2MB   MI
M là hình chiếu vuông góc của I min min
lên mặt phẳng  P .
Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với  P. x  2  2t
d :  y  1 t;d   P  M 0;0;  1 z tChọn A.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 102
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz Câu 7:
Cho 2 điểm A0, 0, 3
 , B 2, 0,  
1 và mặt phẳng  P : 3x  8y  7z 1  0. Tìm M  P sao cho 2 2
MA  2MB nhỏ nhất.  283 104 2  14   2  83 104 214  A. M ; ;   . B. M ; ;   .  183 183 183   183 183 183   283 14 1  4   283 14 14  C. M ; ;   . D. M ; ;    183 183 183   183 183 183  Hướng dẫn giải:    4 5 
Gọi I sao cho IA  2IB  0  I ;0;    3 3       2 2
MA MA  MI IA2 2 2
MI IA  2MI.IA      2 2
MB MB  MI IB2 2 2
MI IB  2MI.IB
   2 2 2 2 2
MA  2MB  3MI IA  2IB  2MI IA IB 2 2 2
 3MI IA  2IB Suy ra  2 2 MA  2MB
khi MI bé nhất hay M là hình chiếu của I trên  P. min  283 104 2  14 
Tìm được tọa độ M ; ;   .  183 183 183  Chọn A. x   2  t Oxyz   : y   1   t 2 t Câu 8:
Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng  hai điểm   z   t 3 
A 2;0;3 và B 2; 2  ; 3 
. Biết điểm M x ;y ;z thuộc  thì MA4 MB4  nhỏ nhất.Tìm      0 0 0  x0 A. x  0 B. x  1 C. x  2 D. x  3 0 0 0 0 Hướng dẫn giải: x   2 
Phương trình đường thẳng AB là: y   t
t . Dễ thấy đường thẳng  và AB cắt 1  1  z   3  t 3 1 
nhau tại điểm I 2; 1; 0 suy ra AB và  đồng phẳng.      
Lại có IA 0;1; 3 , IB 0; 1  ; 3   IA I
B IA IB AB .     2 2 1 1  1  1 1 Ta có: 2 4 MA4  MB4  MA2  MB2  MA MBAB4  IA IB .         2 2 2 8 8   Do đó MA4 MB4 
nhỏ nhất khi M trùng với điểm I 2;1;0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 103
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz Chọn C. Câu 9:
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A1;2;3; B0;1;  1 ;C 1;0; 2 . Điểm M
P :x y z  2  0 sao cho giá trị của biểu thức 2 2 2
T MA  2MB  3MC nhỏ
nhất. Khi đó, điểm M cách Q :2x y  2z  3  0 một khoảng bằng 121 2 5 101 A. . B. 24. C. . D. . 54 3 54 Hướng dẫn giải: 2 2 2 Gọi M  ; x ;
y z . Ta có T  6x  6y  6z 8x 8y  6z  31 2 2 2  2 2 1        145
T  6  x   y z           3   3   2  6   145  2 2 1 2  T  6MI  với I ; ;    6  3 3 2 
T nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất  M là hình chiếu vuông góc của I trên P  5 5 13   M  ;  ;  .    18 18 9 
Câu 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A1;1; 
1 , B 0;1;2 , C  2  ; 0;  1
P : x y z 1  0 . Tìm điểm N  P sao cho 2 2 2
S  2NA NB NC đạt giá trị nhỏ nhất.  1 5 3   3 1  A. N  ; ;   . B. N 3;5;  1 . C. N  2  ;0;  1 . D. N ;  ; 2    .  2 4 4   2 2  Hướng dẫn giải: Chọn A.  1 3   3 5 
Gọi I là trung điểm BC J là trung điểm AI . Do đó I 1  ; ;   và J 0; ;   .  2 2   4 4  1 1 Khi đó 2 2 2 2 2 2
S  2NA  2NI
BC  4NJ IJ BC . 2 2
Do đó S nhỏ nhất khi NJ nhỏ nhất. Suy ra J là hình chiếu của N trên  P .  x t   3
Phương trình đường thẳng NJ :  y   t . 4   5 z   t   4
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 104
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
x y z 1  0  1 x   x t   2     5 Tọa độ điểm 3
J là nghiệm của hệ:      y y t  4  4    3 5 zz t       4 4
Câu 11: rong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A 1;01;  1 , B 1;2; 
1 , C 4;1; 2 và mặt
phẳng  P : x y z  0 . Tìm trên (P) điểm M sao cho 2 2 2
MA MB MC đạt giá trị nhỏ
nhất. Khi đó M có tọa độ
A. M 1;1;  1 B. M 1;1;  1
C. M 1;2;   1
D. M 1;0;  1 Hướng dẫn giải:
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có G 2;1;0 , ta có 2 2 2 2 2 2 2
MA MB MC  3MG GA GB GC   1
Từ hệ thức (1) ta suy ra: 2 2 2
MA MB MC đạt GTNN  MG đạt GTNN  M
là hình chiếu vuông góc của G trên (P).
Gọi (d) là đường thẳng qua G và vuông góc với (P) thì (d) có phương trình tham số là x  2  t   y  1 t z t  x  2  t t   1    y  1 tx  1
Tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình     M 1;0;   1 z t y  0  
x y z  0 z  1    Chọn D.
Câu 12: (Hình Oxyz) Cho A  1
 ;3;5, B 2;6;  1 , C  4  ; 1
 2;5 và điểm  P : x  2 y  2z  5  0 .  
  
Gọi M là điểm thuộc  P sao cho biểu thức S MA  4MB MA MB MC đạt giá trị
nhỏ nhất. Tìm hoành độ điểm M. A. x  3 B. x  1  C. x  1 D. x  3  M M M M Hướng dẫn giải:   
Gọi I là điểm IA  4IB  0  I 3;7; 3
 .Gọi G là trọng tâm ta m giác ABC  G 1; 1  ;3
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 105
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Nhận thấy, M,I nằm khác phía so với mp(P).
S  3MI MG  3GI . Dấu bằng xảy ra khi M là giao điểm của GI và (P)  M 1;3;  1 Chọn C.
Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A2;1;  1 , B 0;3;  1 và mặt phẳng  
P : x y z  3  0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho 2MA MB có giá trị nhỏ nhất. A. M 4; 1  ; 0 . B. M 1; 4  ; 0 .
C. M 4;1;0 . D. M 1; 4  ;0 . Hướng dẫn giải:    Gọi I a; ;
b c là điểm thỏa mãn 2IA IB  0 , suy ra I 4; 1  ; 3 .   
      
Ta có 2MA MB  2MI  2IA MI IB MI. Suy ra 2MA MB MI MI .  
Do đó 2MA MB nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của I trên mặt phẳng x  4 y 1 z  3
P Đường thẳng đi qua I và vuông góc với P có là d :   . 1 1 1
Tọa độ hình chiếu M của I trên  P thỏa mãn  x  4 y  1 z  3     1 1 1   M 1; 4  ; 0 .
x y z  3  0  Chọn D.
Câu 14: Trong không gian
Oxyz , cho mặt phẳng
2x  2 y z  9  0 và mặt cầu 2 2 2
(S) : (x  3)  ( y  2)  (z 1)  100 . Tọa độ điểm M nằm trên mặt cầu (S ) sao cho
khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) đạt giá trị nhỏ nhất là:  11 14 13   29 26 7  A. M  ; ;   . B. M ;  ;    .  3 3 3   3 3 3   29 26 7   11 14 13  C. M  ; ;    . D. M ; ;    .  3 3 3   3 3 3  Hướng dẫn giải:
Mặt cầu (S ) có tâm I (3; 2  ;1) .
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) : d (I; (P))  6  R nên (P) cắt (S ) .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 106
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Khoảng cách từ M thuộc (S ) đến (P) lớn nhất  M  (d ) đi qua I và vuông góc với (P)
x  3  2t
Phương trình (d ) :  y  2  2t . z 1 t
Ta có: M  (d )  M (3  2t; 2
  2t;1 t)  10  29 26 7  t   M ;  ;   1   3  3 3 3  Mà: M  (S)    10  11 14 13  t    M  ; ;  2   3   3 3 3   11 14 13 
Thử lại ta thấy: d(M , (P))  d (M , (P)) nên M  ; ; thỏa yêu cầu bài toán 1 2    3 3 3 
Câu 15: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P) : x  2 y  2z  4  0 và mặt cầu 2 2 2
(S) : x y z  2x  2y  2z 1  0.Giá trị của điểm M trên S  sao cho d M ,P đạt GTNN là:  5 7 7   1 1 1  A. 1;1;3 . B. ; ;   . C. ;  ;    . D. 1; 2;  1 .  3 3 3   3 3 3 
Hướng dẫn giải::
Ta có: d (M , (P))  3  R  2  (P)  (S )  .   x  1 t
Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với (P) có pt: y  1 2t ,t  .   z 1 2t   5 7 7   1 1 1 
Tọa độ giao điểm của d(S) là: A ; ;   , B ;  ;     3 3 3   3 3 3  Ta có: d ( ,
A (P))  5  d (B, (P))  1.  d ( ,
A (P))  d (M , (P))  d (B, (P)).
Vậy:  d (M , (P))  1  M  . B min 2 2 2
Câu 16: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu  S  :  x  
1   y  2   z  3  9 và mặt phẳng
P : 2x  2y z  3  0 . Gọi M a; ;
b c là điểm trên mặt cầu S  sao cho khoảng cách từ
M đến  P là lớn nhất. Khi đó
A. a b c  5.
B. a b c  6.
C. a b c  7.
D. a b c  8. Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 107
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz Chọn C. 2 2 2
Mặt cầu  S  :  x  
1   y  2   z  3  9 có tâm I 1; 2;3 và bán kính R  3.
Gọi d là đường thẳng đi qua I 1; 2;3 và vuông góc  P x  1 2t
Suy ra phương trình tham số của đường thẳng d là y  2  2t . z  3 t  Gọi ,
A B lần lượt là giao của d và S  , khi đó tọa độ ,
A B ứng với t là nghiệm của 2 2 2 t   1
phương trình 1 2t  
1  2  2t  2  3  t  3  9  t  1   13
Với t  1  A3;0; 4  d  ; A (P)  . 3 5 Với t  1   B  1
 ; 4; 2  d  ; B (P)  . 3
Với mọi điểm M a; ;
b c trên S  ta luôn có d B;(P)  d M ;(P)  d  ; A (P). 13
Vậy khoảng cách từ M đến  P là lớn nhất bằng khi M 3;0;4 3
Do đó a b c  7.
Câu 17: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A2;3;2 , B 6; 1  ; 2 , C  1
 ; 4;3 , D1;6; 5   . Gọi
M là một điểm nằm trên đường thẳng CD sao cho tam giác MAB có chu vi bé nhất. Khi đó
toạ độ điểm M là:
A. M 0;1;   1 B. M 2;11; 9   C. M 3;16; 1   3 D. M 1; 4  ;3 Hướng dẫn giải:
Tam giác MAB có độ dài cạnh AB  4 3 không đổi, do đó chu vi bé nhất khi và chỉ khi
MA MB bé nhất.     AB  4;4; 4
  ; CD  2;10; 8   . Vì .
AB CD  0 nên AB CD , suy ra điểm M cần tìm là
hình chiếu vuông góc của A, cũng là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng CD . Từ
đó tìm ra điểm M 0;1;  1 . Chọn A.
Câu 18: Cho hình chóp .
O ABC OA a, OB  ,
b OC c đôi một vuông góc với nhau. Điểm M cố định thuộc tam giác
ABC có khoảng các lần lượt đến các mặt phẳng
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 108
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
OBC,OCA,OAB là 1,2,3. Khi tồn tại a,b,c thỏa thể tích khối chóp . O ABC nhỏ
nhất, giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp . O ABC A. 18 B. 27 C. 6
D. Không tồn tại a,b, c thỏa yêu cầu bài toán Hướng dẫn giải:
Chọn hệ trục tọa độ thỏa O 0, 0, 0, Aa, 0, 0 , B 0,b, 0 ,C 0, 0, c
Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng các lần lượt đến các mặt phẳng
OBC ,OCA, OAB là 1,2,3 nên tọa độ điểm M là (1,2,3) x y z
Phương trình mặt phẳng (ABC) là    1 a b c 1 2 3
Vì M thuộc mặt phẳng (ABC) nên    1 a b c 1 VOABC= abc 6 1 2 3 1 1 1 1
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3 1     3 . .  abc  27 a b c a b c 6 Chọn B.
Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 1; 2; 
1 . Mặt phẳng  P thay đổi đi qua
M lần lượt cắt các tia Ox, Oy, Oz tại ,
A B,C khác O . Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích
khối tứ diện OABC . A. 54. B. 6. C. 9. D. 18. Hướng dẫn giải: Chọn C.
Gọi Aa;0;0, B 0; ;
b 0,C 0, 0, c với , a , b c  0 . x y z
Phương trình mặt phẳng  P :    1 . a b c 1 2 1
Vì: M   P     1. a b c 1
Thể tích khối tứ diện OABC là: Vabc OABC 6 1 2 1 1 2 1
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 3    3 . a b c a b c 2 54 1 Hay 3 1  3  1 
. Suy ra: abc  54  abc  9 abc abc 6
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 109
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz Vậy: V  9 . OABC
Câu 20: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm A ;
a 0; 0, B 0; ;
b 0 ,C 0;0;c với a, , b c  0 .Giả sử , a ,
b c thay đổi nhưng thỏa mãn 2 2 2 2
a b c k không đổi. Diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất bằng 2 k 3 2 k 3 A. B. C. 2 k 3 D. 2 k 2 6 Hướng dẫn giải: x y z Phương trình (ABC):    1 a b c Gọi H  ; x ;
y z  là hình chiếu vuông góc của O lên  ABC  2 2  ab cx  
ab2  bc2  ca2
H   ABC b
cx cay abz abc 2 2     a bc Khi đó O
H AB  ax by  0  y OH AC
ax cz  0   
ab2  bc2  ca2 2 2  a b c z   
ab2  bc2  ca2  abcOH
ab2  bc2  ca2 1 1 Ta có VO . A O . B OC abc OABC 6 6 3V 1 ABCDS   abbccaABC  2  2  2 OH 2
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có 4 4 4 4 4 4 a b b c c a 2 2 2 2 2 2 4 4 4
a b b c c a   
a b c 2 2 2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b c 4 2 1 k k 3 Vậy max S   2 3 6 Chọn B.
Câu 21: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(9;1;1) ,
cắt các tia Ox, Oy, Oz tại ,
A B,C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất là
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 110
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz x y z x y z x y z x y z A.    1 B.    1 C.    1 D.    1 7 3 3 27 3 3 27 3 3 27 3 3 Hướng dẫn giải:
Giá sử A(a;0; 0)Ox, B(0;b;0)Oy,C(0;0;c) Oz (a,b,c  0) . x y z
Khi đó PT mặt phẳng (P) có dạng:    1 . a b c 9 1 1 1
Ta có: M(9;1;1) (P)     1 (1); Vabc (2) a b c OABC 6 3
(1)  abc  9bc ac ab ≥ 3 9(abc 2 )  abc 3  abc 2 ( ) 27.9( )  abc  243
9bc ac aba  27   x y z Dấu "=" xảy ra  9 1 1
 b  3  (P):    1.    1  c 27 3 3  a b c  3  Chọn B.
Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A BCD   có điểm A
trùng với gốc tọa độ, B( ; a 0; 0), D(0; ; a 0), A (  0; 0; )
b với (a  0,b  0) . Gọi M là trung điểm
của cạnh CC . Giả sử a b  4 , hãy tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện A BDM ? 64 A. maxVB. maxV  1 A MBD  27 A MBD 64 27 C. maxV   D. maxVAMBD  27 A MBD 64 Hướng dẫn giải: b  Ta có: C( ; a ; a 0), B (  ; a 0; ) b , D (  0; ; a ) b ,C (  ; a ; a b)  M ; a ; a    2      b
Suy ra: AB  ( ; a 0; b  ), A D   (0; ; a b  ), AM  ; a a;     2  2 2  
   3a b a b 2   A B  , A D    (a ; b a ;
b a )   AB, A D
  .AM   V       2 A MBD 4 1 1 1 64
Do a,b  0 nên áp dụng BĐT Côsi ta được: 2 2 3
4  a b a a b  3 a b a b  2 2 4 27 64 Suy ra: maxV  . A MBD 27 Chọn A.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 111
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hình Học Tọa Độ Oxyz
Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1;5;0, B 3;3;6 và đường thẳng  x  1   2t
có phương trình tham số  y  1 t
. Một điểm M thay đổi trên đường thẳng  sao cho z  2t
chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Tọa đô điểm M và chu vi tam giác ABC là
A. M 1;0;2; P = 2( 11  29)
B. M 1; 2; 2; P = 2( 11  29)
C. M 1;0;2; P = 11  29
D. M 1; 2; 2; P = 11  29 Hướng dẫn giải:
Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P AB AM BM .
Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM BM nhỏ nhất.
Điểm M   nên M  1
  2t;1 t; 2t  . 2 2 2 2
AM BM  (3t)  (2 5)  (3t  6)  (2 5)  
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ u  3t;2 5 và v   3  t  6; 2 5  .   Ta có 2 2 2 2
u  (3t)  (2 5) ; v  (3t  6)  (2 5)        AM BM |
u |  | v | và u v  (6; 4 5) |
u v | 2 29    
Mặt khác, ta luôn có | u |  | v | |
u v | Như vậy AM BM  2 29   3t 2 5
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u, v cùng hướng    t  1 3  t  6 2 5
M (1; 0; 2) min( AM BM )  2 29 . Vậy khi M(1;0;2) thì minP = 2( 11  29) Chọn A.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 112
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay