Trắc nghiệm nâng cao số phức – Đặng Việt Đông Toán 12

Trắc nghiệm nâng cao số phức – Đặng Việt Đông Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

25 13 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 4: Số phức

Môn: Toán 12

Thông tin:

84 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 0
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A - LÝ THUYẾT CHUNG
1. Định nghĩa
- Một biểu thức dạng
a bi
với
2
, , 1
a b R i được gọi là một số phức.
- Đối với số phức
,
z a bi
ta nói
a
là phần thực,
là phần ảo của
.
- Tập hợp số phức kí hiệu là

2. Hai số phức bằng nhau
- Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.
- Công thức:
a c
a bi c di
b d
Biểu diễn hình học của số phức.
- Điểm
;
M a b
trong hệ tọa độ vuông góc
Ox
y
được gọi là điểm biểu diễn của số phức
.
z a bi
Môđun của số phức.
- Cho số phức
z a bi
có điểm biểu diễn là
;
M a b
trên mặt phẳng tọa độ
Ox
y
. Độ dài của
véctơ

OM
được gọi là mô đun của số phức
z
và kí hiệu là
.
z
- Công thức
2 2
.
z OM a bi a b
3. Số phức liên hợp
- Cho số phức
,
z a bi
số phức dạng
z a bi
được gọi là số phức liên hợp của
.
Phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia.
- Cho số phức
1 2
, ,
z a bi z c di
ta có
1 2
.
z z a bi c di a c b d i
- Cho số phức
1 2
, ,
z a bi z c di
ta có
1 2
.
z z a bi c di a c b d i
- Cho số phức
1 2
, ,
z a bi z c di
ta có
1 2
. . .
z z a bi c di ac bd ad bc i
- Cho số phức
1 2
, ,
z a bi z c di
(với
2
0
z
) tacó:
1
2 2 2 2
2
.
a bi c di ac bd bc ad
z a bi
i
z c di c di c di c d c d
Phương trình bậc hai với hệ số thực.
Cho phương trình bậc hai
2
ax 0
bx c
với , ,
a b c R
và
0.
a Phương trình này có biệt thức
2
4 ,
b ac
nếu:
-
0
phương trình có nghiệm thực
.
2
b
x
a
-
0
phương trình có hai nghiệm thực phân biệt
1,2
.
2
b
x
a
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
-
0
phương trình có hai nghiệm phức
1,2
.
2
b i
x
a
4. Acgumen của số phức
0
z
ĐỊNH NGHĨA 1
Cho số phức
0
z . Gọi
M
là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số
z
. Số đo (radian) của mỗi
góc lượng giác tia đầu
,
Ox
tia cuối
OM
được gọi là acgumen của
.
CHÚ Ý
Nếu
là một acgumen của
z
(hình dưới) thì gọi acgumen của
z
có dạng
2 , .
k k Z
(người ta
thường nói: Acgumen của
0
z xác định sai khác 2 ,
k k Z
).
5. Dạng lượng giác của số phức
Xét số phức
0 , .
z a bi a b
Kí hiệu
r
là mô đun của
z
và
của một acgumen của
z
(hình dưới) thì dễ thấy rằng:
cos , sin .
a r b r
Vậy
0
z a bi
có thể viết dưới dạng
cos + sin .
z r i
ĐỊNH NGHĨA
Dạng
cos + sin
z r i , trong đó
0,
r được gọi là dạng lượng giác của số phức
0.
z
Dạng
0 , z a bi a b
, được gọi là dạng đại số của số phức
.
Nhận xét. Để tìm dạng lượng giác
cos + sin
z r i của số phức
0 , z a bi a b
khác 0
cho trước ta cần:
1. Tìm
:
r
đó là mô đun của
2 2
, ;
z r a b
số
r
cũng là khoảng cách từ gốc
O
đến điểm
M
biểu
diễn số
z
trong mặt phẳng phức.
2. Tìm
:
đó là một acgumen của
;
z
là số thực sao cho
cos =
a
r
và
sin ;
b
r
số
đó cũng là
số đo một góc lượng giác tia đầu
Ox,
tia cuối
.
OM
CHÚ Ý
1.
1
Z khi và chỉ khi
os + sin ; .
Z c i
2. Khi
0
z thì
0
z r nhưng acgumen của
z
không xác định (đôi khi coi acgumen của 0 là số
thực tùy ý và vẫn viết
0 0 os + sin .
c i
3. Cần để ý đòi hỏi
0
r trong dạng lượng giác
os + sin
r c i của số phức
0.
z
6. Nhân và chia số phức lượng giác
Ta đã công thức nhân và chia số phức dưới dạng đại số. Sau đây là định lý nêu lên công thức nhân
và chia số phức dưới dạng lượng giác; chúng giúp cho các quy tắc tính toán đơn giản về nhân và
chia số phức.
ĐỊNH LÝ
Nếu
os + sin
z r c i ;
' ' os '+ sin ' 0, ' 0
z r c i r r
Thì
' ' os ' + sin ' ;
zz rr c i
os ' + sin ' ; 0
' '
z r
c i khi r
z r
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Nói một cách khác, để nhân các số phức dưới dạng lượng giác, ta lấy tích các mô đun và tổng
acgumen; để chia các số phức dưới dạng lượng giác ta lấy thương các mô đun và hiệu các acgumen.
Chứng minh
' os + sin ' os '+ sin ' lim
' os . os ' sin .sin ' sin . os '+cos .sin '
' os ' + sin ' .

x
zz r c i r c i
rr c c i c
rr c i
Mặt khác, ta có
1 1
cos sin .
i
z r
Theo công thức nhân số phức,
Ta có:
1
. os ' + sin ' .
' ' '
z r
z c i
z z r
7. Công thức Moa-vrơ (Moivre)
Từ công thức nhân số phức dưới dạng lượng giác, bằng quy nạp toán học dễ dàng suy ra rằng với
mọi số nguyên dương
.
n
os + sin osn + sin
n
n
r c i r c i n
Và khi
1,
r ta có
os + sin osn + sin
n
c i c i n
Cả hai công thức đó đều được gọi là công thức Moa – vrơ.
8. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác
Từ công thức Moa – vrơ, dễ thấy số phức
os + sin , 0
z r c i r có căn bậc hai là
os + sin
2 2
r c i
và
os + sin os( + )+ sin( ) .
2 2 2 2
r c i r c i
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
B - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
DẠNG 1: TÍNH TOÁN TRÊN SỐ PHỨC
Câu 1: Cho số phức
z
thỏa mãn
5
2 1 .
1
z i
i
z
Tính mô đun của số phức
2
1 .
z z
A.
13
B.
15
C.
17
D.
19
Hướng dẫn giải:
Giả sử
z a bi
2
5
1 2 5 5 1 2 2 2
1
3 2 0 1
3 2 5 5 2 1 0 1
3 4 0 1
a bi i
i a i b a bi ai bi i
a bi
a b a
a b i b b a z i
b a b
1 1 1 2 1 2 3 4 9 13
i i i
Chọn A.
Câu 2: Cho
1 2
,
z z
là hai số phức liên hợp của nhau và thỏa mãn
1
2
2
z
z
và
1 2
2 3.
z z Tính
môđun của số phức
.
z
A.
1
5.
z B.
1
3.
z C.
1
2.
z D.
1
5
.
2
z
Hướng dẫn giải:
Gọi
1 2
; ;
z a bi z a bi a b . Không mất tính tổng quát ta gọi
0.
b
Do
1 2
2 3 2 2 3 3.
z z bi b
Do
1 2
,
z z
là hai số phức liên hợp của nhau nên
1 2
.
z z
, mà
3
3
1 1
1
2
2
2
1 2
.
z z
z
z
z z
Ta có:
3
3 3 2 2 3 2 3 2
1
2 2
0
3 3 3 0 1.
3
b
z a bi a ab a b b i a b b a
a b
Vậy
2 2
1
2.
z a b
Chọn C.
Câu 3: Cho số phức
2 6
,
3
m
i
z
i
m
nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị
1;50
m để
z
là số
thuần ảo?
A. 24. B. 26. C. 25. D. 50.
Hướng dẫn giải:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có:
2 6
(2 ) 2 .
3
m
m m m
i
z i i
i
z
là số thuần ảo khi và chỉ khi 2 1,
m k k (do
*
0;
z m ).
Vậy có 25 giá trị
m
thỏa yêu cầu đề bài.
Chọn C.
Câu 4: Nếu
1
z thì
2
1
z
z
A. lấy mọi giá trị phức. B. là số thuần ảo.
C. bằng 0. D. lấy mọi giá trị thực.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
2
2
1 1
.
z z z
z z z z z
z z z z
z
là số thuần ảo.
Chọn B.
Câu 5: Nếu
; 0
z a a thì
2
z a
z
A. lấy mọi giá trị phức. B. là số thuần ảo.
C. bằng 0. D. lấy mọi giá trị thực.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
2 2 2 2
2
.
z a a a z a z
z z z z z
z z z z
z
là số thuần ảo.
Chọn B.
Câu 6: Có bao nhiêu số phức
z
thỏa
1
1
z
i z
và
1?
2
z i
z
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
1
3
1
1
3 3
2
.
4 2 3 3
2 2
2
1
2
2
z
x
z i z
x y
i z
z i
x y
z i z i z
y
z
Chọn A.
Câu 7: Cho hai số phức
1 2
,
z z
thảo mãn
1 2 1 2
1; 3.
z z z z Tính
1 2
z z
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
Nhận xét: Bài này nhìn vào có vẻ khá khó, nhưng các em cần phải bình tĩnh, chỉ cần gọi
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
; , , , z a bi z a b i a a b b
sau đó viết hết các giả thiết đề bài cho:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2 2 2 2
1 2
1 1 2 2
2 2
1 2
1 2 1 2
1
1
3
3
z z
a b a b
z z
a a b b
Và viết cái cần tính ra
2
2 2
1 2 1 2 1 2
z z a a b b
. Hãy quan sát cái cần tính và thấy
rằng chỉ cần bình phương lên là có thể dùng được giả thiết.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
; , , , z a bi z a b i a a b b
2 2 2 2
1 2
1 1 2 2
2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
2 2
1 2
1 2 1 2
1
1
2 1 1
3
3
z z
a b a b
a b a b a a b b
z z
a a b b
Vậy:
2 2 2
1 2 1 2 1 2
1.
z z a a b b
Chọn A.
Câu 8: Tính
2 3 2008
...
z i i i i
có kết quả:
A.
0
B.
1
C.
i
D.
i
Hướng dẫn giải:
Ta có
2 3 2008 2009
...
iz i i i i
và
2 3 2008
... .
z i i i i
Suy ra
2009 2008
1 1 0 0
z i i i i i z
Chọn A.
Câu 9: Tính
2 3 2017
1009 2 3 ... 2017
S i i i i
.
A.
S 2017 1009i.
B.
1009 2017 .
i
C.
2017 1009 .
i
D.
1008 1009 .
i
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có
2 3 4 2017
4 8 2016 5 9 2017
2 6 10 2014 3 7 11 2015
504 505 504 504
1 1 1 1
1009 2 3 4 ... 2017
1009 4 8 ... 2016 5 9 ... 2017
2 6 10 ... 2014 3 7 11 ... 2015
1009 4 4 3 4 2 4 1
1009
n n n n
S i i i i i
i i i i i i i
i i i i i i i i
n i n n i n
509040 509545 508032 508536 2017 1009 . i i i
Cách khác:
Đặt
2 3 2017
2 2016
2 3 2017
1 ....
1 2 3 ... 2017
2 3 ... 2017 1
f x x x x x
f x x x x
xf x x x x x
Mặt khác:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2018
2 3 2017
2017 2018
2
2017 2018
2
1
1 ....
1
2018 1 1
1
2018 1 1
. 2
1
x
f x x x x x
x
x x x
f x
x
x x x
xf x x
x
Thay
x i
vào
1
và
2
ta được:
2017 2018
2
2018 1 1
2018 2018 2
1009 . 1009 2017 1009
2
1
i i i
i
S i i i
i
i
Câu 10: Cho số phức
z
có mô đun bằng
2017
và
w
là số phức thỏa mãn biểu thức
1 1 1
z w z w
.
Môđun của số phức
w
bằng:
A. 1 B. 2 C. 2016 D. 2017
Hướng dẫn giải:
Từ
2
1 1 1 1
0 0
z w zw
z w
z w z w zw z w zw z w
2 2 2 2 2
2
2 2
2
1 3
0 0
4 4
1 3 1 3
2 4 2 2
z w zw z zw w w
i w
z w w z w
Từ
2
2
w 3w 1 3
w w=
2 2 2 2
1 3
2 2
i i z
z z
i
Suy ra:
2017
w 2017
1 3
4 4
Chọn D.
Câu 11: ho số phức z thoả mãn:
6 7
1 3 5
z i
z
i
. Tìm phần thực của số phức
2017
z
.
A.
1008
2
B.
1008
2
C.
504
2
D.
2017
2
Hướng dẫn giải:
Cho số phức z thoả mãn:
6 7
1 3 5
z i
z
i
. Tìm phần thực của số phức
2013
z
.
Gọi số phức ( , )
z a bi a b z a bi
thay vào (1) ta có
6 7
1 3 5
a bi i
a bi
i
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
( )(1 3 ) 6 7
10 10 3 ( 3 ) 12 14
10 5
9 3 (11 3 ) 12 14
a bi i i
a bi a bi a b i b a i
a b i b a i
9 3 12 1
11 3 14 1
a b a
b a b
504
504
2017 4 1008 1008
1 1 (1+i) 1 4 1 2 2
a b z i z i i i
Chọn B.
Câu 12: Cho các số phức
1 2
,
z z
khác nhau thỏa mãn:
1 2
.
z z
Chọn phương án đúng:
A.
1 2
1 2
0
z z
z z
. B.
1 2
1 2
z z
z z
là số phức với phần thực và phần ảo đều khác
0
.
C.
1 2
1 2
z z
z z
là số thực. D.
1 2
1 2
z z
z z
là số thuần ảo.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Phương pháp tự luận:
Vì
1 2
z z
và
1 2
z
z
nên cả hai số phức đều khác
0
. Đặt
1 2
1 2
z z
w
z z
và
1 2
z z a
, ta
có
2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 2
1
2
2
2
2
1
2
1
a a
z z z z z z z z
w w
a a
z z z z
z z
z z
Từ đó suy ra
w
là số thuần ảo.
Chọn D.
Phương pháp trắc nghiệm:
Số phức
1 2
,
z z
khác nhau thỏa mãn
1 2
z z
nên chọn
1 2
1;
z z i
, suy ra
1 2
1 2
1
1
z z
i
i
z z i
là số thuần ảo.
Câu 13: Cho hai số phức u,v thỏa mãn
10
u v và
3 4 2016
u v . Tính
4 3
M u v
.
A.
2984
B.
2884
C.
2894
D.
24
Hướng dẫn giải:
Ta có
2
.
z z z
. Đặt
3 4
N u v
.
Khi đó
2 2
2
3 4 3 4 9 16 12
N u v u v u v uv vu
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Tương tự ta có
2 2
2
16 9 12
M u v uv vu
.
Do đó
2 2
2 2
25 5000
M N u v .
Suy ra
2 2
5000 5000 2016 2984 2984
M N M .
Câu 4( Số phức).Cho các số phức z thỏa mãn
2
z .Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn
các số phức
3 2 2
w i i z
là một đường tròn.Tính bán kính r của đường tròn đó.
A. 20 B.
20
C.
7
D. 7
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Đặt
, ,
w x yi x y
2 2
2 2
2 2
3 2 2 3 2 2
3 2
2 8 2 1 2 8 2 1
2
2 5 5 5 5
6 4 7 0 3 2 20
w i i z x yi i i z
x y i
x y x y x y x y
z i
i
x y x y x y
Bán kính của đường tròn là
20
r
Câu 14: Cho ba số phức
1 2 3
, ,
z z z
thỏa mãn
1 2 3
1
z z z và
1 2 3
1
z z z
. Mệnh đề nào sau
đây là sai.
A. Trong ba số đó có hai số đối nhau.
B. Trong ba số đó phải có một số bằng 1.
C. Trong ba số đó có nhiều nhất hai số bằng 1.
D. Tích của ba số đó luôn bằng 1.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
1 2 3 1 2 3
1 1
z z z z z z
.
Nếu
1
1 0
z
thì
2 3 2 3
0
z z z z
.
Nếu
1
1 0
z
thì điểm P biểu diễn số phức
1 2 3
1
z z z
không trùng với góc tọa độ O.
Gọi M là điểm biểu diễn của số phức
1
z
và A là điểm biểu diễn của số 1.
Khi đó ta có
OA OM OP
(do P là điểm biểu diễn của số
1
1
z
) nên OAPM là hình
bình hành. Mà
1 2 3
1
z z z nên các điểm biểu diễn cho ba số
1 2 3
, ,
z z z
đều nằm trên
đường tròn đơn vị. Ta cũng có
1
OA OM nên OAPM là hình thoi. Khi đó ta thấy M, A là
giao điểm của đường trung trực đoạn OP với đường tròn đơn vị.
Tương tự do P cũng là điểm biểu diễn của
2 3
z z
, nếu M’ và A’ là hai điểm biểu diễn của số
2 3
,
z z
thì ta cũng có M’, A’ là giao điểm đường trung trực của OP và đường tròn đơn vị.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Vậy
' , '
M M A A
hoặc ngược lại. Nghĩa là
2 3 1
1,
z z z
hoặc
3 2 1
1,
z z z
.
Do đó A, B là mệnh đề đúng.
C đúng là hiển nhiên, vì nếu ba số đều 1 một thì tổng bằng 3.
D sai vì với
1 2 3
2 2 2 2
1, ,
2 2 2 2
z z i z i
thỏa hai tính chất trên của đề bài nhưng
1 2 3
1
z z z
.
Chọn D.
Câu 15: Cho số phức
1
1 2 1
m
z m
m i
. Số các giá trị nguyên của
m
để
1
z i
là
A.
0
B.
1
C.
4
D. Vô số
Hướng dẫn giải:
Ta có
1 1 2 3 1 1
1
1 2 1 1 2 1 1 2
m i mi m m m i
m
z i i
m i m i m mi
2 2 2
2
2
3 1 1
3 1 1
1
1 2 1 2
3 1 1 1 2 3 1 1 1 4
1
5 6 1 0 1
5
m m i
m m i
z i
m mi m mi
m m i m mi m m m m
m m m
Vì
m Không có giá trị của
m
thỏa mãn.
Câu 16: Cho
z
là số phức có mô đun bằng 2017 và
w
là số phức thỏa mãn
1 1 1
.
w w
z z
Mô đun
của số phức
z
là:
A.
2015
B.
1
C.
2017
D.
0
Hướng dẫn giải:
Từ
1 1 1
w w
z z
ta suy ra
2 2
w w 0
z z
2
2
w 3w 1 3
w
2 2 2 2
i i
z z
Lấy mô đun hai vế ta có
w 2017.
z
Chọn C.
Câu 17: Cho số phức
z
thỏa mãn
1
z . Đặt
2
2
z i
A
iz
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
1
A . B.
1
A . C.
1
A . D.
1
A .
Hướng dẫn giải:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn A.
Đặt Có
2 2
, , 1
a a bi a b a b (do
1
z )
2
2
2
2
2 2 1 4 2 1
2
2 2
2
a b i a b
z i
A
iz b ai
b a
Ta chứng minh
2
2
2
2
4 2 1
1
2
a b
b a
.
Thật vậy ta có
2
2
2 2
2 2 2 2
2
2
4 2 1
1 4 2 1 2 1
2
a b
a b b a a b
b a
Dấu “=” xảy ra khi
2 2
1
a b
.
Vậy
1
A .
Câu 18: Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
2
4 2 .
z z
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
3 1 3 1
.
6 6
z B.
5 1 5 1.
z
C.
6 1 6 1.
z D.
2 1 2 1
.
3 3
z
Hướng dẫn giải:
Áp dụng bất đẳng thức
,
u v u v
ta được
2 2
2
2 4 4 4 2 4 0 5 1.
z z z z z z
2 2
2 2
2 4 4 2 4 0 5 1.
z z z z z z z
Vậy,
z
nhỏ nhất là
5 1,
khi
5
z i i
và
z
lớn nhất là
5 1,
khi
5.
z i i
Chọn B.
Câu 19: Cho
1 2 3
, ,
z z z
là các số phức thỏa mãn
1 2 3
0
z z z
và
1 2 3
1.
z z z Khẳng định
nào dưới đây là sai ?
A.
3 3 3 3 3 3
1 2 3 1 2 3
.
z z z z z z
B.
3 3 3 3 3 3
1 2 3 1 2 3
.
z z z z z z
C.
3 3 3 3 3 3
1 2 3 1 2 3
.
z z z z z z
D.
3 3 3 3 3 3
1 2 3 1 2 3
.
z z z z z z
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Cách 1: Ta có:
1 2 3 2 3 1
0
z z z z z z
3
3 3 3
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 1 2 3 2 3 2 3
3 3
z z z z z z z z z z z z z z z z z
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
3 3 3
1 2 3 1 2 3
3
z z z z z z
3 3 3
1 2 3 1 2 3
3
z z z z z z
.
3 3 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 3 3
z z z z z z z z z
Mặt khác
1 2 3
1
z z z nên
3 3 3
1 2 3
3
z z z . Vậy phương án D sai.
Cách 2: thay thử
1 2 3
1
z z z
vào các đáp án, thấy đáp án D bị sai
Câu 20: Cho
1 2 3
, ,
z z z
là các số phức thỏa
1 2 3
1.
z z z Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A.
1 2 3 1 2 2 3 3 1
.
z z z z z z z z z
B.
1 2 3 1 2 2 3 3 1
.
z z z z z z z z z
C.
1 2 3 1 2 2 3 3 1
.
z z z z z z z z z
D.
1 2 3 1 2 2 3 3 1
.
z z z z z z z z z
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Cách 1: Kí hiệu
Re
: là phần thực của số phức.
Ta có
2
1 2 3
z z z
2 2 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1
2Re
z z z z z z z z z
1 2 2 3 3 1
3 2Re
z z z z z z
(1).
2
1 2 2 3 3 1
z z z z z z
2 2 2
1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 2 3 3 1 3 1 1 2
2Re
z z z z z z z z z z z z z z z z z z
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 2 3 3 1 1 2 3 2 3 1 3 1 2
. . . 2Re
z z z z z z z z z z z z z z z
1 3 2 1 3 2 1 2 3 3 3 1
3 2Re 3 2Re
z z z z z z z z z z z z
(2).
Từ
1
và
2
suy ra
1 2 3 1 2 2 3 3 1
z z z z z z z z z
.
Các h khác: B hoặc C đúng suy ra D đúngLoại B, C.
Chọn
1 2 3
z z z
A đúng và D sai
Cách 2: thay thử
1 2 3
1
z z z
vào các đáp án, thấy đáp án D bị sai
Câu 21: Tìm số phức
z
có
1
z và
max
:
z i
A.
1
B.
1
C.
i
D.
i
Hướng dẫn giải:
Đặt
z a bi
thì
2
2 2 2
; 1
z a b z i a b
Khi đó ta có:
2
2 2 2 2 2
1 1 1; 1 2 1 2 2 2
z a b b z i a b a b b b
Do đó giá trị lớn nhất đạt được bằng 2 khi
0; 1; .
a b z i
Chọn C.
Câu 22: Tìm phần thực của số phức
1 ,
n
z i n
thỏa mãn phương trình:
4 4
log 3 log 9 3
n n
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
5
B.
6
C.
7
D.
8
Hướng dẫn giải:
Điều kiện 3,
n n
Phương trình:
4 4 4
log 3 log 9 3 log 3 9 3 7
n n n n n (so đk)
3
7 2 3
1 1 1 1 2 8 8
z i i i i i i
Vậy phần thực của số phức
z
là 8.
Chọn D.
Câu 23: Cho hai số phức phân biệt
1 2
;
z z
thỏa mãn điều kiện
1 2
1 2
z z
z z
là số ảo. Khẳng định nào sau
đây đúng?
A.
1 2
1; 1
z z B.
1 2
z z
C.
1 2
z z
D.
1 2
z z
Hướng dẫn giải:
1 2 1 2
0
z z z z
Thì
1 2
1 2
z z
z z
là số ảo
1 2 1 2
1 2 1 2
0.
z z z z
z z z z
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
1 2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2
0 0.
2 0 0 0.
z z z z
z z z z z z z z
z z
z z
z z z z z z z z z z
Chọn C.
Câu 24: Trong mặt phẳng phức
Oxy
, các số phức
z
thỏa 2 1
z i z i
. Tìm số phức
z
được
biểu diễn bởi điểm
M
sao cho
MA
ngắn nhất với
1,3
A .
A.
3
i
. B.
1 3
i
. C.
2 3
i
. D.
2 3
i
.
Hướng dẫn giải:
Gọi
,
M x y
là điểm biểu diễn số phức
,
z x yi x y R
Gọi
1, 2
E là điểm biểu diễn số phức
1 2
i
Gọi
0, 1
F là điểm biểu diễn số phức
i
Ta có: 2 1
z i z i ME MF
Tập hợp điểm biểu diễn số phức
z
là đường trung
trục
: 2 0
EF x y .
Để
MA
ngắn nhất khi
MA EF
tại
M
3,1 3
M z i
Câu 25: Trong các số phức
z
thỏa mãn
1.
z Tìm số phức
z
để 1 31
z z
đạt giá trị lớn nhất.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
4 3 4 3
, .
5 5 5 5
z i z i
B.
3 3
, .
5 5
z i z i
C.
4 3 4 3
, .
5 5 5 5
z i z i
D.
3 4 3
, .
5 5 5
z i z i
Hướng dẫn giải:
Giả sử
, , z x yi x y
Vì
2 2 2 2
1 1 1
z x y x y
Khi đó:
2 2
2 2
2 2
2 2
1 31 1 3 1
1 1 3 1 1 2 1 3 1
z z x y x y
x x x x x x
Xét hàm số
2 1 3 1
f x x x
trên đoạn
1;1
ta có:
1 3 4
' 2 ; ' 0
5
2 1 2 1
f x f x x
x x
Ta có:
4
1 6; 2 10
5
f f
Vậy
max
2 2
4 3
4
;
4
5 5
2 10
5
4 3
5
;
1
5 5
x y
x
f f
x y
y x
Vậy
4 3 4 3
, .
5 5 5 5
z i z i
Chọn A.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÊN SỐ PHỨC
Câu 1:
Tính tổng mô-đun tất cả các nghiệm của phương trình:
A. 3. B. 4. C. 6. D. 8
Hướng dẫn giải:
Suy ra tổng mô-đun các nghiệm bằng 6.
Chọn C.
Câu 2: Gọi
1 2
,
z z
là 2 nghiệm của phương trình
2
2 2 0
z z
trên tập số phức. Tìm mô đun của số
phức
2015 2016
1 2
1 1 .
z z
A.
5
B.
2
C.
1
D.
3
Hướng dẫn giải:
Phương trình
2
2 2 0
z z
có
2
' 1 2 1 .
i
Suy ra phương trình có hai nghiệm
1
2
1
1
z i
z i
hoặc
1
2
1
1
z i
z i
Thay
1
2
1
1
z i
z i
vào
ta được:
1007 1013
2015
2016 2 2
. 1 .
i i i i i i
Thay
1
2
1
1
z i
z i
vào
1002 1003
2016
2015 2 2
. 1 .
i i i i i i
Vậy
2.
Chọn B.
Câu 3: Tìm các số thực
,
b c
để phương trình (với ẩn
z
)
2
0
z bz c
nhận
1
z i
là một
nghiệm.
A.
2; 2
b c B.
2; 2
b c C.
2; 2
b c D.
1; 1
b c
Hướng dẫn giải:
Nếu
1
z i
là nghiệm thì:
2
0 2
1 1 0 2 0
2 0 2
b c b
i b i c b c b i
b c
2 3
1 0
z i z z i
2 3
3 3
2
1
1
1 0 1
0
5
1 0
2
z i
z i
z i
z
z
z i z z i z
z i
z i
z i
i
z iz
z
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Một phương trình bậc hai với hệ số thực, nếu có một nghiệm phức
z
thì cũng nhận
z
lam
nghiệm. Vậy nếu
1
z i
là một nghiệm thì
1
z i
cũng là nghiệm. Theo định lý Vi-ét:
1 1 2
1 1 2
i i b b
i i c
Chọn A.
Câu 4: Tìm điều kiện cần và đủ về các số thực
,
m n
để phương trình
4 2
0
z mz n
không có
nghiệm thực.
A.
2
4 0.
m n
B.
2
4 0
m n
hoặc
2
4 0
0
0
m n
m
n
.
C.
2
4 0
0 .
0
m n
m
n
D.
2
4 0
m n
hoặc
2
4 0
0
0
m n
m
n
.
Hướng dẫn giải:
Phương trình
4 2
0
z mz n
không có nghiệm thực trong các trường hợp:
TH1: Phương trình vô nghiệm, tức là
2
4 0.
m n
TH2: Phương trình
4 2 2
0;
t mt n t z
có hai nghiệm âm
2
0 4 0
0 0 .
0 0
m n
S m
P n
Chọn D.
Câu 5: Trong mặt phẳng phức, các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình
1 3 2 3 0
iz z i z i là các điểm nào sau đây?
A.
0; 1 ; 0; 3 ; 2;3
A B C B.
1;0 ; 3;0 ; 2; 3
A B C
C.
0; 2 ; 0;1 ; 2;3
A B C D.
2; 2 ; 1;1 ; 1;0
A B C
Hướng dẫn giải:
1
1 0
1 3 2 3 0 3 0 3 3
2 3
2 3 0 2 3
z i
iz z i
i
iz z i z i z i z i z i
z i
z i z i
Vậy các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình đã cho là
0; 1 ; 0; 3 ; 2;3 .
A B C
Chọn A.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 6: Tìm các số thực
, ,
a b c
sao cho hai phương trình
2 2
0, 16 16 0
az bz c cz bz a i
có nghiệm chung là
1 2
z i
A.
, , 1; 2;5
a b c B.
, , 1;2;5
a b c
C.
, , 1; 2;5
a b c D.
, , 1; 2; 5
a b c
Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết phương trình
2
0
az bz c
có nghiệm
1 2
z i
khi
2
3 0
1 2 1 2 0 3 4 2 0 1
4 2 0
a b c
a i b i c a b c a b i
a b
Tương tự phương trình
2
16 16 0
cz bz a i
có nghiệm
1 2
z i
khi
2
1 2 1 2 16 16 0 3 4 2 16 16 0
3 16 0
3 16 2 2 8 0 2
2 8 0
c i b i a i c i b bi a i
a b c
a b c b c i
b c
Từ
1 , 2
suy ra
, , 1; 2;5 .
a b c
Chọn A.
Câu 7: Tìm các số thực
, ,
a b c
để phương trình (với ẩn
z
)
3 2
0
z az bz c
nhận
1
z i
làm
nghiệm và cũng nhận
2
z
làm nghiệm.
A.
4; 6; 4
a b c B.
4; 5; 4
a b c
C.
3; 4; 2
a b c D.
1; 0; 2
a b c
Hướng dẫn giải:
1
z i
là nghiệm thì
3 2
1 1 1 0
i a i b i c
2
z
là ngiệm thì
8 4 2 0
a b c
Từ đó ta có hệ phương trình
2 0 1
2 2 0 2
4 2 8 0 3
b c
a b
a b c
Từ
1
suy ra
2
c b
Từ
2
suy ra
2 2 2 2 2 4 2
b a c a a
Thay vào
3
ta có:
4 2 2 2 4 2 8 0 4
a a a a
Với
4 6; 4.
a b c
Chọn A.
Câu 8: Phương trình
4
1
1
1
z
z
có bao nhiêu nghiệm.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. 4 nghiệm
Hướng dẫn giải:
2
4
2
1
1, 1
1
1
1
1
1
1, 2
1
z
z
z
z
z
z
1
1
1 1
1
1 0
1 1 1 0
1
1
z
z z i i
z
z
z z z z
z
1
1 1 1
1
2
1 1 1 1
1
z
i
z iz z
z
z z iz z
i
z
Vậy nghiệm phương trình là:
0; 1; 1
z z z
Chọn C.
Câu 9: Số nghiệm phức của phương trình
25
8 6
z i
z
là?
A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. 4 nghiệm
Hướng dẫn giải:
Giả sử
z a bi
với; ,
a b R
và
,
a b
không đồng thời bằng 0.
Khi đó
2 2
1 1
;
a bi
z a bi
z a bi a b
Khi đó phương trình
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
25 8 1
25
25
8 6 8 6 .
25 6 2
a a b a b
a bi
z i a bi i
z a b
b a b a b
Lấy
1
chia
2
theo vế ta có
3
,
4
b a
thế vào
1 .
Ta có
0
a hoặc
4.
a
Với
0 0
a b (Loại)
Với
4 3.
a b Ta có số phức
4 3 .
z i
Chọn B.
Câu 10: Gọi
1 2 3 4
; ; ;
z z z z
là 4 nghiệm phức của phương trình
4 2
4 4 0.
z m z m Tìm tất cả các
giá trị
m
để
1 2 3 4
6.
z z z z
A.
1
m B.
2
m C.
3
m D.
1
m
Hướng dẫn giải:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
1,2
4 2 2 2
3,4
2
4 4 0 4 0
z i
z m z m z z m
z m
Nếu
0
m hoặc
1;2
3;4
2
z i
z i m
nếu
0
m
Khi đó
1 2 3 4
6 4 2
1
0
z z z z m
m
m
Hoặc
1 2 3 4
6 4 2
1
0
z z z z m
m
m
Kết hợp lại
1
m thỏa mãn bài toán.
Chọn D.
Câu 11: Gọi
1 2 3 4
, , ,
z z z z
là các nghiệm của phương trình
4
1
1.
2
z
z i
Tính giá trị biểu thức
2 2 2 2
1 2 3 4
1 1 1 1
P z z z z .
A.
2.
P B.
17
.
9
P C.
16
.
9
P D.
15
.
9
P
Hướng dẫn giải:
Ta có phương trình
4 4
2 1 0.
f z z i z
Suy ra:
1 2 3 4
15
f z z z z z z z z z
. Vì
2
1 1 1
.
1 1 .
225
f i f i
z z i z i P
Mà
4 4 4
4
1 5; 3 1 85.
f i i i f i i i Vậy từ
17
1 .
9
P
Chọn B.
Câu 12: Tìm số thực
20
m a b (a, b là các số nguyên khác 0) để phương trình
2
2 2( 1) (2 1) 0
z m z m có hai nghiệm phức phân biệt z
1
, z
2
thỏa mãn
1 2
10
z z .
Tìm a.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Hướng dẫn giải:
2
' 6 1
m m
TH1:
' 0 hay ( ;3 10) (3 10; )
 
m
Khi đó
2 2
1 2 1 2 1 2
10 2 10
z z z z z z
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2
2
2
2 1 0
(1 ) 10
1 10 ( )
(1 ) (2 1) 2 1 10
2 1 0
3 20
6 11 0
m
m
m loai
m m m
m
m
m m
TH2:
' 0 hay (3 10;3 10)
m
Khi đó:
2 2
1 2
1 ( 6 1) 1 ( 6 1)
10 10
2 2
m i m m m i m m
z z
Hay
2 2
(1 ) ( 6 1) 10 2
m m m m
Vậy m = 2 hoặc
3 20
m
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
DẠNG 3: TÌM TẬP HỢP ĐIỂM, BIỂU DIỄN SỐ PHỨC
Câu 1: Tìm tập hợp
T
các điểm
M
biểu diễn các số phức
z
sao cho
1 1
2 2
log 2 log .
z z
A. Miền phẳng nằm bên phải đường thẳng
1
x
B. Đường tròn tâm
0;1
I , bán kính
1
R
C. Hình vành khăn gồm các điểm giữa hai hình tròn
;1
O và
;2
O kể cả các điểm nằm
trên đường tròn
;2
O ; không kể các điểm nằm trên đường tròn
;1
O
D. Đường thẳng
1
x
Hướng dẫn giải:
Điều kiện:
0, 2
z z
Cách 1: Đặt
, , .
z x yi x y R
2
2 2 2
1 1
2 2
log 2 log 2 2 1.
z z z z x y x y x
Do đó, tập hợp
T
các điểm .
.
biểu diễn các số phức
z
là miền phẳng nằm bên phải đường
thẳng
1
x
.
Cách 2: Ta có:
1 1
2 2
log 2 log 2
z z z z
.
Gọi
A
là điểm biểu diễn số phức
1
2 2;0
z A
Xét trường hợp 2
z z MA MO
Khi đó
M
chạy trên đường trung trực
của đoạn
,
OA
có phương trình
1.
x
Với trường hợp 2
z z MA MB
M
nằm bên phải đường thẳng
.
Do đó, tập hợp
T
các điểm
M
biểu diễn các số phức
z
là miền phẳng nằm bên phải
đường thẳng
, trung trực của đoạn thẳng
OA
là miền phẳng nằm bên phải đường thẳng
1
x
.
Chọn A.
Câu 2: Tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện
1 1 4
z z
là:
A.
2 2
4
x y
B.
2 2
1 1 4
x y
C.
2 2
1
4 3
x y
D.
2 2
3 4 36 0
x y
Hướng dẫn giải:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Xét hai điểm:
1 2
1;0 , 1;0 ,
F F theo giả thiết ta có:
1 2
1 1 4 4, .
z z MF MF M z
Vậy tập hợp điểm cần tìm là elip có các tiêu điểm
1 2
1;0 , 1;0 ,
F F nửa trục lớn
2,
a
nửa trục nhỏ
b . Phương trình elip
2 2
1
4 3
x y
.
Chọn C.
Câu 3:
Tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện
2 2 3
z z
là:
A.
2 2
1
x y B.
2 2
2 2 9
x y
C.
2 2
1
3 2
x y
D.
2 2
2 2
1
3
7
2
2
x y
Hướng dẫn giải:
Xét hai điểm
1 2
2;0 , 2;0 ,
F F theo giả thiết ta có:
1 2
2 2 3 3,
z z MF MF M z
.
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hyperbol có các tiêu điểm
1 2
2;0 , 2;0 ,
F F nửa trục lớn
3
,
2
a
nửa trục nhỏ
3
.
2
b
Phương trình của hyperbol
2 2
2 2
1.
3
7
2
2
x y
Chọn D.
Câu 4: Cho 3 số phức:
1;3 ; 3 5
i i
biểu diễn bởi các điểm
, ,
A B C
. Điểm
I
thỏa mãn
2 3 2 0
IA IB IC
biểu diễn số phức nào sau đây?
A.
4 19
i
B.
4 19
i
C.
4 19
i
D.
4 6
i
Hướng dẫn giải:
Ta có:
1;0 , 0;3 , 3; 5
A B C
2 3 2 0 2 3 2 0
2 3 2 4; 19
IA IB IC OA OI OB OI OC OI
OI OA OB OC I

Vậy điểm
I
biểu diễn số phức
4 19 .
z i
Chọn C.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 5: Tập hợp điểm biểu diễn số phức
2 3
z i
là đường tròn tâm
.
I
Tất cả giá trị
m
thỏa mãn
khoảng cách từ
I
đến
:3 4 0
x y m
bằng
5
là:
A.
7; 9
m m
B.
8; 8
m m
C.
7; 9
m m
D.
8; 9
m m
Hướng dẫn giải:
2 2
2 2
2 3 2 3 2 3 2 9 0;2
z i x y i x y x y I
2 2
3.0 4.2
1
, 8
5
3 4
8 1 7
1 1 1
, 8
8 1 9
5 5 5
m
d I m
m m
d I m
m m
Chọn C.
Câu 6: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức
z
trên mặt phẳng tọa độ thảo mãn điều kiện:
2
5 5 0.
z z z
A. Đường thẳng qua gốc tọa độ. B. Đường tròn bán kính 1.
C. Đường tròn tâm
5;0
I bán kính 5 D. Đường tròn tâm
5;0
I bán kính 3
Hướng dẫn giải:
Đặt
,
z x yi
ta có
.
z x yi
Do đó:
2 2
2 2 2
5 5 0 5 5 5 5 0 5 25
z z z x y x yi x yi x y
Trên mặt phẳng tọa độ, đó là tập hợp các điểm thuộc đường tròn bán kính bằng 5 và tâm là
5;0
I .
Chọn C.
Câu 7: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức
z
sao cho
2 3
z i
u
z i
là một số thuần ảo.
A. Đường tròn tâm
1; 1 ,
I
bán kính bằng
5,
khuyết 2 điểm
0;1
và
2; 3 .
B. Đường tròn tâm
1; 3 ,
I
bán kính bằng
5,
khuyết 2 điểm
0;1
và
2; 3 .
C. Đường tròn tâm
1; 4 ,
I
bán kính bằng
5,
khuyết 2 điểm
0;1
và
2; 3 .
D. Đường tròn tâm
2; 1 ,
I
bán kính bằng
5,
khuyết 2 điểm
0;1
và
2; 3 .
Hướng dẫn giải:
Giả sử
, , ,
z a bi a b z i
khi đó:
2
2
2 3 1
2 3
1
1
a b i a b i
a bi i
u
a b i
a b
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Tử số bằng
2 2
2 2 3 2 2 1
a b a b a b i
là số thuần ảo khi và chỉ khi:
2 2
2 2
1 1 5
2 2 3 0
2 1 0
; 0;1 , 2; 3
a b
a b a b
a b
a b
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức
z
là đường tròn tâm
1; 1 ,
I
bán kính bằng
,
khuyết 2 điểm
0;1
và
2; 3 .
Chọn A.
Câu 8: Tìm trong mặt phẳng tập hợp
các điểm
M
biểu diễn số phức
z
sao cho
4
Z z
z
là
một số thực.
A. Trục hoành
'
x Ox
ngoại trừ điểm gốc và đường tròn tâm
O
, bán kính
2
R
B. Trục hoành
'
x Ox
ngoại trừ điểm gốc và đường tròn tâm
O
, bán kính
1
R
C. Đường tròn tâm
O
, bán kính
1
R
D. Trục hoành
'
x Ox
ngoại trừ điểm gốc
Hướng dẫn giải:
Đặt
, 0
z x yi z
với ,x y

Ta có:
2 2
4
4 4
x yi
Z z x yi x yi
z x yi x y
2 2 2 2
2 2
4 4
x x y y x y i
Z
x y
Z
là một số thực:
2 2
2 2
2 2
2 2
4 0
0 4
0
0
y x y
y x y
x y
x y
Do đó
gồm:
- Trục hoành
'
x Ox
ngoại trừ điểm gốc.
- Đường tròn tâm
,
O
bán kính
2.
R
Chọn A.
Câu 9: Trong mặt phẳng phức, cho
M
là điểm biểu diễn số phức
, 0.
z x yi M Xem số phức
2
2
1 1
.
2
Z z
z
Tìm tập hợp điểm
M
sao cho
Z
là một số thực.
A. Trục tung (hay trục hoành ), không kể điểm
.
O
B. Trục tung hay trục hoành
C. Đường thẳng
1
y
D. Đường thẳng
1
x
Hướng dẫn giải:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trường hợp
Z
là một số thực
Phần ảo bằng 0.
2
2 2 2 2
2
2 2
0, 0
1 0 0, 0
0, 0
x y
xy
x y xy x y
y x
x y
Tập hợp điểm
M
trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức
z
là
- Trục tung, không kể điểm
.
O
- Trục hoành, không kể điểm
.
O
Chọn A.
Câu 10: Trong mặt phẳng phức, cho
M
là điểm biểu diễn số phức
, 0.
z x yi M Xem số phức
2
2
1 1
.
2
Z z
z
Tìm tập hợp điểm
M
sao cho
Z
là một số thuần ảo.
A. Đường tròn tâm
,
O
bán kính
1
R
B. Đường tròn tâm
0;1
I bán kính
1
R
C. Đường thẳng
1
y
D. Đường thẳng
1
x
Hướng dẫn giải:
Trường hợp
Z
là một số thuần ảo
Phần thực bằng 0.
2
2 2 2 2
1 0 1
x y x y
Tập hợp điểm
M
là đường tròn tâm
,
O
bán kính
1
R
.
Chọn A.
Câu 11: Cho
1
,
1
iz
Z z
iz
,
z x yi
với ,
x y
. Tìm tập hợp điểm
M
sao cho
Z
là một số
thực.
A. Trục tung ngoại trừ điểm
0;1
A B. Trục hoành ngoại trừ điểm
0;1
A
C. Đường thẳng
1
y
D. Đường thẳng
1
x
Hướng dẫn giải:
Ta có:
1
1
; ,
1 1
i x yi
zi
z x yi x y R Z
zi i x yi
2
2
2
2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
1 1
1 1
1 1 1 1
1
1 2 1 2
1 1 1
y xi y xi
yi xi y xi
Z
yi xi y xi y xi y xi
xi y
x i xi y x y xi
y x i y x y x
Z
là một số thực
0, 0
x y
Ta có
, 1
z yi y
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Tập hợp các điểm
M
biểu diễn số phức
z
là trục tung ngoại trừ điểm
1;0 .
A
Chọn A.
Câu 12: Cho
1
,
1
iz
Z z
iz
,
z x yi
với ,
x y
. Tìm tập hợp điểm
M
sao cho
Z
là một số
thuần ảo.
A. Đường tròn tâm
,
O
bán kính
1
R
ngoại trừ điểm
0;1
A
B. Đường tròn tâm
,
O
bán kính
1
R
C. Đường thẳng
1
y
D. Đường thẳng
1
x
Hướng dẫn giải:
Số phức
Z
là một số thuần ảo khi và chỉ khi:
2 2
2 2
2
2
1 0
1
0, 0
1 0
x y
x y
x y
y x
Tập hợp các điểm
M
biểu diễn số phức
z
là đường tròn tâm
,
O
bán kính
1
R
ngoại
trừ điểm
0;1
A
Chọn A.
Câu 13: Trong mặt phẳng phức, cho
m
và
M
là điểm biểu diễn số phức
, 0.
z x yi M
1 1
.
2
Z X Yi z
z
Tìm tập hợp điểm
M
sao cho
Z
là một số thực.
A. Đường tròn tâm
O
, bán kính
1
R
và trục hoành
Ox,
không kể điểm gốc
O
B. Đường tròn tâm
O
, bán kính
1
R
C. Đường thẳng
1.
y
D. Đường thẳng
1
x và trục hoành
Ox
Hướng dẫn giải:
Ta có:
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1
1 1 1 1
2 2
2 2
x y x x y x
Z z x yi
z x yi
x y x y
Z
là số thực khi và chỉ khi:
2 2
2 2
1 0
0 1
0
x y y
Y
x y
Ta có:
2 2 2 2
0 0
1
1 0 1
y y
x y x y
Tập hợp các điểm
M
phải gồm:
+ Trục hoành
,
Ox
không kể điểm gốc
.
O
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
+ Đường tròn tâm
O
, bán kính
1
R
Chọn A.
Câu 14: Trong mặt phẳng phức, cho
m
và
M
theo thứ tự là điểm biểu diễn của số phức
z x yi
và
1
.
2
z
Z
z i
Tìm tập hợp các điểm
m
sao cho:
Z
là một số thuần ảo.
A. Đường tròn tâm
1
; 1
2
I
, bán kính
5
2
R
B. Đường tròn tâm
0;1
I , bán kính
1
R
C. Đường thẳng
2 2
y x
D. Đường thẳng
1
x
Hướng dẫn giải:
Ta có:
1 2
1
1 1
2 2 2
2 2
x yi x y i
x yi
z x yi
Z
z i x yi i x y i
x y i x y i
2
2
1 2 2 2
2
x x y y y x i
Z
x y
Z
là một số thuần ảo khi và chỉ khi:
2 2
1 2 0 2 0
x x y y x y x y
Tập hợp các điểm
m
là đường tròn tâm
1
; 1
2
I
, bán kính
5
2
R .
Chọn A.
Câu 15: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm
M
biểu diễn số phức
z
sao cho:
2 .
z z i
A.
2 2
8 4
0
3 3
x y y B.
2 2
1 1 4
x y
C.
2 2
1
4 3
x y
D.
2 2
3 4 36 0
x y
Hướng dẫn giải:
Cách 1. Đặt
, 0
z x yi z với ,
x y R
Ta có:
2
2 2 2 2 2
8 4
2 4 1 0
3 3
z z i x y x y x y y
Cách 2. Ta có: 2 2 2
z z i OM OM OB OM BM
Với
1;0
B là điểm biểu diễn số
.
i
Do đó ta có:
2 2
MO
OM BM
MB
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta suy ra tập hợp các điểm
M
là đường tròn Apollonius đường kính
IJ
, với
,
I J
thuộc trục
tung và:
2
O 2
OI IB
J JB
2
0;
3
I
và
0;2
J
Phương trình đường tròn:
2
2 2 2
2 8 4
2 0 0
3 3 3
x y y x y y
Chọn A.
Câu 16: Cho A là điểm biểu diễn của các số phức:
1 2
1 2 ; ,
z i M M
lần lượt là điểm biểu diễn của
các số phức
1
z
và
2
z
. Điều kiện để
1 2
AM M
cân tại
A
là:
A.
1 2
z z
B.
1 2
1 2 1
z i z zi
C.
1 2
1 2
z z i
D.
1 1 2
1 2
z i z z
Hướng dẫn giải:
1 2
AM M
cân tại
A
nên
1 1 2
M A M M
hay:
1 2
1 2 1 2
z i z i
Chọn B.
Câu 17: Trong mặt phẳng phức, cho số phức
a
bất kì, tìm tập hợp các điểm
M
biểu diễn số phức
z
sao cho:
. .
z a z a aa
A. Đường tròn tâm
A
, bán kính
R AO
B. Đường tròn tâm
A
, bán kính
2
R
C. Một hyperbol vuông góc
D. Đường thẳng
1
x
Hướng dẫn giải:
Ta có:
2 2
. 1
z a z a aa z a a
Gọi
A
là điểm biểu diễn số phức
a
trong mặt phẳng phức.
Ta có:
2 2
2 2
1
MA OA AM OA AM AO
Do đó, tập hợp các điểm
M
là đường tròn tâm
A
, bán kính
R AO
.
Chọn A.
Câu 18: Trong mặt phẳng phức, cho số phức
a
bất kì, tìm tập hợp các điểm
M
biểu diễn số phức
z
sao cho:
2 2
2 2
.
z a z a
A. Đường tròn tâm
A
, bán kính
R AO
B. Đường tròn tâm
A
, bán kính
2
R
C. Một hyperbol vuông góc
D. Đường thẳng
1
x
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải:
Ta có:
2 2 2 2
2 2 2 2
2
z a z a z z a a z z z z a a a a
Đặt:
z x yi
a i
Ta có:
2 2 2 2 2

x yi i xy
Do đó, tập hợp các điểm
M
là một hyperbol vuông góc.
Chọn C.
Câu 19: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm
M
là ảnh của số phức
z
sao cho: Ảnh của các
số
, ,
i z iz
thẳng hàng.
A. Đường tròn
2 2
0,
x y x y có tâm
1 1
;
2 2
I
, bán kính
2
2
R ngoại trừ điểm
0;1
B. Đường tròn
2 2
0,
x y x y có tâm
1 1
;
2 2
I
, bán kính
2
2
R
C. Một hyperbol vuông góc
D. Đường thẳng
1
x
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Gọi điểm biểu diễn số phức
z
là
; .
M x y
Gọi điểm biểu diễn số phức
i
là
0;1 .
N
Gọi điểm biểu diễn số phức
iz
là
; .
P y x
; 1 ; ; 1

NM x y NP y x
Vì 3 điểm
, ,
M N P
thẳng hàng nên ta có:
2 2
1 1 0.
x x y y x y x y
Vậy tập hợp các điểm
M
là đường tròn
2 2
0,
x y x y có tâm
1 1
;
2 2
I
, bán kính
2
2
R ngoại trừ điểm
0;1
.
Cách 2: Kí hiệu
M z
dùng để chỉ
M
là điểm biểu diễn số phức
z
hay ảnh của số phức
.
Giả sử các điểm
, , '
A i M z M iz
thẳng hàng:
' ,
iz z
MM kMA k R iz z k i z k
i z
Đặt
1
1 1
y x x y i x y i
i x yi x yi
z x yi k k
i x yi
x y i x y i
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 30
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2 2 2 2
2 2
2 2
1 1
x y x y x y x y
k i
x y x y
k
là một số thực. Do đó ta có:
2 2
2
2
0
1 0
x y x y
x y
Vậy tập hợp các điểm
M
là đường tròn
2 2
0,
x y x y có tâm
1 1
;
2 2
I
, bán kính
2
2
R ngoại trừ điểm
0;1
.
Chọn A.
Câu 20: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm
M
là ảnh của số phức
z
sao cho: Ảnh của các
số
2 4
, ,
z z z
thẳng hàng.
A. Đường tròn
2 2
0,
x y x y có tâm
1 1
;
2 2
I
, bán kính
1
R
ngoại trừ điểm
0;1
B. Đường tròn
2 2
0,
x y x y có tâm
1 1
;
2 2
I
, bán kính
2
2
R
C. Một hyperbol vuông góc và trục hoành
Ox
D. Đường thẳng
1
x và trục hoành
Ox
Hướng dẫn giải:
Các điểm
2 4
, ' , ''
M z M z M z
thẳng hàng.
4 2 3
2 2
'' ', 1 1 0
1 1 0, 0,1 1 0
MM kMM k R z z k z z z z kz z
z z z z k z z z k
Đặt ; ,
z x yi x y R
Ta có:
2
2 2 2
1 1 1 2
k z z x yi x yi i k x y x xy y i
1
2 0 0
2
k R xy x y x
Vậy tập hợp điểm
M
gồm:
+ Trục hoành
.
Ox
+ Đường thẳng
1
.
2
x
Chọn D.
Câu 21: Tìm tập hợp các điểm
M
biểu diễn số phức
z
sao cho:
.
z z k z
Với
k
là một số thực
cho trước.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 31
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A. Đường tròn tâm
0;0
O , bán kính
1
R
B. Đường tròn tâm
0;1
I , bán kính
1
R
C. Nửa trục
,
Ox
nửa trục
Ox'
D. Nửa trục
Ox'
Hướng dẫn giải:
Đặt ; ,
z x yi x y R
Ta có:
2 2
1 2 2
z z k z x k x y
Nếu
0,
k ta có:
0
x
Tập hợp các điểm
M
là trục tung.
Xét
0:
k
Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2
4 4
2
0 0
x k x y k x k y
kx kx
Với
2 2
k và
0,
k ta có:
2 2
2 2
2
4 4
0
k k
y x y x kx
k k
Do đó, tập hợp
M
phải tìm là:
- Các đường thẳng
2
4
k
y x
k
+ Giới hạn bởi
0 2, 0.
k x
+ Hoặc giới hạn bởi
2 0, 0.
k x
- Nửa trục
Ox
nếu
2.
k
- Nửa trục
Ox'
nếu
2.
k
Chọn C.
Câu 22: Cho hai số phức: ;
p a bi q c di
Tìm tập hợp các điểm
M
biểu diễn số phức
z
sao cho số
z p z q
là số thực.
A. Đường tròn tâm
0;0
O , bán kính
1
R
B. Đường tròn tâm
0;1
I , bán kính
1
R
C. Một hyperbol vuông góc có tiệm cận là ;
2 2
a c b d
x y
D. Các đường thẳng
2 ,
y x
trừ gốc tọa độ
0;0
O
Hướng dẫn giải:
Đặt ; ,
z x yi x y R
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 32
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có:
;
z p x a y b i z q x c y d i
z p z q x a y b i x c y d i
x a x c y b y d x a y d x c y b i
z p z q
là một số thực.
0
x a x c y b y d
x a x c y x a d x c b
2
b d x ad bc
y
x a c
với
2
a c
x
Do đó ta có tập hợp các điểm
M
là một hyperbol vuông góc có tiệm cận là
;
2 2
a c b d
x y
Chọn C.
Câu 23: Trong mặt phẳng phức, cho
, '
M M
theo thứ tự là điểm biểu diễn của hai số phức
z
và
1
': , '
1
z i
z z x yi z
z
. Tìm tập hợp điểm
E
các điểm
M
sao cho: Điểm
'
M
nằm
trên trục tung và
' 0.
M
A. Đường tròn tâm
1
1; ,
2
I
bán kính
1
2
R ngoại trừ các điểm
1;0
và
1; 1 .
B. Đường tròn tâm
0;1 ,
I bán kính
1
R
ngoại trừ các điểm
1;0
và
1; 1 .
C. Đường thẳng
1
y
ngoại trừ các điểm
1;0
và
1; 1 .
D. Đường thẳng
1
x
ngoại trừ các điểm
1;0
và
1; 1 .
Hướng dẫn giải:
Ta có:
2
2
2
1 1 1 1 1
1
'
1 1
1
x y i x y y x i
z i
z
z x yi
x y
Trường hợp
'
M
nằm trên trục tung và
' 0.
M
'
z
là một số thuần ảo khác 0.
2
2 2
2 1 0
1 1 0
1
1 0
x y x y
x y y
x
x
E
là đường tròn tâm
1
1;
2
I
bán kính
1
2
R ngoại trừ các điểm
1;0
và
1; 1 .
Chọn A.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 33
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 24: Trong mặt phẳng phức, cho
, '
M M
theo thứ tự là điểm biểu diễn của hai số phức
z
và
1
': , '
1
z i
z z x yi z
z
. Tìm tập hợp điểm
E
các điểm
M
sao cho: Điểm
'
M
nằm
trên trục hoành và
' 0.
M
A. Đường tròn tâm
1
1; ,
2
I
bán kính
1
2
R ngoại trừ các điểm
1;0
và
1; 1 .
B. Đường tròn tâm
0;1 ,
I bán kính
1
R
ngoại trừ các điểm
1;0
và
1; 1 .
C. Đường thẳng
1
y
ngoại trừ các điểm
1;0
và
1; 1 .
D. Đường thẳng
1
x
ngoại trừ các điểm
1;0
và
1; 1 .
Hướng dẫn giải:
Ta có:
2
2
2
1 1 1 1 1
1
'
1 1
1
x y i x y y x i
z i
z
z x yi
x y
Trường hợp
'
M
nằm trên trục tung và
' 0.
M
'
z
là một số thực.
2
1 1 0
1 0
x y y
x
E
là đường thẳng
1
x
ngoại trừ các điểm
1;0
và
1; 1 .
Chọn D.
Câu 25: Tìm quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức
1 3 2
w i z
biết số phức
z
thỏa mãn:
1 2 1 .
z
A. Hình tròn
2
2
3 3 16
x y
B. Hình tròn
2
2
3 3 9
x y
C. Hình tròn
2
2
3 3 25
x y
D. Hình tròn
2
2
3 3 36
x y
Hướng dẫn giải:
Giả sử
w a bi
Ta có:
3 3
2
1 3 2 1
1 3 1 3
a b i
a bi
a bi i z z z
i i
2
2
2
2
3 3
3 3
1 2 2 3 3 16
2
1 3
a b i
a b i
a b
i
Vậy quỹ tích các điểm
M
biểu diễn số phức là hình tròn
2
2
3 3 16
x y
(kể cả
những điểm nằm trên biên)
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 34
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn A.
Câu 26: Trong mặt phẳng phức, gọi
, , ,
N M A B
theo thứ tự là điểm biểu diễn các số:
1
; ;1; 1.
1
z
z x yi Z X Yi
z
Tìm tập hợp điểm
M
khi
N
chạy trên đường tròn
2 2
1.
x y
A. Đường tròn tâm
2 2;0 ,
I bán kính
5 4 2
R
B. Đường tròn tâm
0;1 ,
I bán kính
1
R
C. Trục tung
D. Trục hoành
Hướng dẫn giải:
Ta có:
2 2
2 2
2 2
1 1 2
;
1
1 1
z x y y
Z X Yi X Y
z
x y x y
Vì
N
chạy trên đường tròn:
2
2
1 1
x y nên ta có
2
2
1 1 0
x y X
Vậy tập hợp điểm
M
là trục tung.
Chọn C.
Câu 27: Gọi
M
và
A
là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức
; 10 6 .
z x yi a i
Tìm tập hợp
1
E
các điểm
M
sao cho tích
z z a
là một số thực.
A. Đường tròn tâm
2 2;0 ,
I bán kính
5 4 2
R
B. Đường tròn tâm
0;1 ,
I bán kính
1
R
C. Là một hyperbol vuông góc
3
, 5
5
x
y x
x
D. Là một hyperbol
3
, 5
5
x
y x
x
Hướng dẫn giải:
Ta có:
10 6 10 6
z z a x yi x yi i x yi x y i
10 6 2 10 6
x x y y xy y x i
Tích
z z a
là một số thực.
3
2 10 6 0 , 5
5
xy y x y x
x
Trong mặt phẳng phức, tập hợp
1
E
là một hyperbol vuông góc có phương trình:
3
, 5.
5
x
y x
x
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 35
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn C.
Câu 28: Gọi
M
và
A
là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức
; 10 6 .
z x yi a i
Tìm tập hợp
2
E
các điểm
M
sao cho tích
z z a
là một số thuần
ảo.
A. Đường tròn tâm
2 2;0 ,
I bán kính
5 4 2
R
B. Đường tròn tâm
0;1 ,
I bán kính
1
R
C. Là một hyperbol vuông góc có tâm đối xứng
5; 3 ,
I có trục thực nằm trên trục
Ox,
độ dài các trục đều bằng 8.
D. Là một hyperbol có tâm đối xứng
5;3 ,
I có trục thực nằm trên trục
Ox,
độ dài các trục
đều bằng 8.
Hướng dẫn giải:
Tích
z z a
là một số thuần ảo
Phần thực bằng 0.
2 2
2 2
2 2
10 6 0 10 6 0
5 3
5 3 16 1
16 16
x x y y x x y y
x y
x y
Trong mặt phẳng phức, tập hợp
2
E
là một hyperbol có tâm đối xứng
5;3 ,
I có trục thực
nằm trên trục
Ox,
độ dài các trục đều bằng 8.
Chọn C.
Câu 29: Tìm tập hợp
T
các điểm
M
trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức
z
thỏa mãn hệ thức
z z z
A. Đường tròn tâm
0;0 ,
O bán kính
1
R
B. Đường tròn tâm
0;1 ,
I bán kính
1
R
C. Đường thẳng
3, 3
x y x y
D. Đường thẳng
3, 3
y x y x
Hướng dẫn giải:
Đặt
z x yi
với ,
x y
Ta có
2 2 2 2
2
z z z x yi x yi x y x x y
2 2 2
0
0
4
3
x
x
x x y
y x
Tập hợp các điểm
M
trong mặt phẳng biểu diễn số phức
z x yi
gồm hai đường thẳng:
1
2
: 3
: 3
D y x
D y x
Chọn D.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 36
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 30: Điểm M biểu diễn số phức
0
z và điểm M’ biểu diễn số phức
1
'
z
z
. Nếu điểm M di động
trên đường tròn tâm A(-1;1) bán kính
2
R
thì M’ di động trên đường nào?
A.
2 2
2 2 0
x y x y B.
2 2 1 0
x y
C.
2 2 1 0
x y D.
2 2 1 0
x y
Đáp án: C
Giải: Ta có
2
1
'
z
z
z
z
. Do đó
2 2
2 2
'
'
x
x
x y
y
y
x y
M di động trên đường tròn tâm A(-1;1) bán kính
2
R
nên
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 2 2 2 0 0
2 2
1 0 2 ' 2 ' 1 0
x y x y
x y x y x y
x y
x y
x y
x y x y
Câu 31: Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
3 4 2.
z i Trong mặt phẳng
Oxy
tập hợp điểm biểu
diễn số phức
2 1
w z i
là hình tròn có diện tích
A.
9
S . B.
12
S . C.
16
S . D.
25
S .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
1
2 1
2
w i
w z i z
1
3 4 2 3 4 2 1 6 8 4 7 9 4 1
2
w i
z i i w i i w i
Giả sử
,
w x yi x y , khi đó
2 2
1 7 9 16
x y
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức
w
là hình tròn tâm
7; 9
I , bán kính
4.
r
Vậy diện tích cần tìm là
2
.4 16 .
S
Câu 32: Cho số phức
z
thỏa mãn
2
2
z và điểm
A
trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của
z
.
Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức
1
w
iz
là một trong bốn điểm
M
,
N
,
P
,
Q
. Khi đó điểm biểu diễn của số phức
w
là
A. điểm
Q
. B. điểm
M
. C. điểm
N
. D. điểm
P
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
O
A
Q
M
N
P
y
x
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 37
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Do điểm
A
là điểm biểu diễn của
z
nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng
Oxy
nên gọi
( , 0)
z a bi a b .
Do
2
2
z nên
2 2
2
2
a b .
Lại có
2 2 2 2
1
b a
w i
iz a b a b
nên điểm biểu diễn
w
nằm trong góc phần tư thứ ba của
mặt phẳng
Oxy
.
1 1
2 2 2
.
w z OA
iz i z
.
Vậy điểm biểu diễn của số phức
w
là điểm
P
.
Câu 33: Biết số phức
z
thỏa điều kiện
3 3 1 5
z i . Tập hợp các điểm biểu diễn của
z
tạo thành
một hình phẳng. Diện tích của hình phẳng đó bằng
A.
16
B.
4
C.
9
D.
25
Đáp án chi tiết :
Đặt
z x yi
2 2
3 1 1 ( 3) ( 1) ( 3)
z i x y i x y
Do đó
2 2
3 3 1 5 9 ( 1) ( 3) 25
z i x y
Tập hợp các điểm biểu diễn của Z là hình phẳng nằm
trong đường tròn
Tâm
1 ;3
I với bán kính bằng
5
R đồng thời nằm
ngoài đường tròn tâm
1 ;3
I với bán kính
3
r
Diện tích của hình phẳng đó là
2 2
.5 .3 16
S
Câu 34: Gọi
M
là điểm biểu diễn số phức
2
2 3
2
z z i
z
, trong đó
z
là số phức thỏa mãn
2 3
i z i i z
. Gọi
N
là điểm trong mặt phẳng sao cho
, 2
Ox ON , trong đó
,
Ox OM
là góc lượng giác tạo thành khi quay tia
Ox
tới vị trí tia
OM
. Điểm
N
nằm
trong góc phần tư nào?
A. Góc phần tư thứ (I). B. Góc phần tư thứ (II).
C. Góc phần tư thứ (III). D. Góc phần tư thứ (IV).
Hướng dẫn giải:
Ta có:
5 1 5 1 1
2 3 1 ; tan .
4 4 4 4 5
i z i i z z i w i M
8
6
4
2
2
5
O
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 38
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Lúc đó:
2
2 2
2tan 5 1 tan 12
sin 2 0; cos2 0
1 tan 13 1 tan 13
.
Chọn A.
Câu 35: Gọi điểm
,
A B
lần lượt biểu diễn các số phức
z
và
1
; 0
2
i
z z z trên mặt phẳng tọa
độ (
, ,
A B C
và
, ,
A B C
đều không thẳng hàng). Với
O
là gốc tọa độ, khẳng định nào sau
đây đúng?
A. Tam giác
OAB
đều. B. Tam giác
OAB
vuông cân tại
.
O
C. Tam giác
OAB
vuông cân tại
.
B
D. Tam giác
OAB
vuông cân tại
.
A
Hướng dẫn giải:
Ta có:
1 1 2
; . . .
2 2 2
i i
OA z OB z z z z
Ta có:
1 1 2
. .
2 2 2

i i
BA OA OB BA z z z z z z
Suy ra:
2 2 2
OA OB AB
và
AB OB OAB
là tam giác vuông cân tại
.
B
Chọn C.
Câu 36: Cho
, , ,
A B C D
là bốn điểm trong mặt phẳng tọa độ theo thứ tự biểu diễn các số phức
1 2 ; 1 3 ; 1 3 ; 1 2
i i i i
. Biết
ABCD
là tứ giác nội tiếp tâm
.
I
Tâm
I
biểu diễn
số phức nào sau đây?
A.
3.
z B.
1 3 .
z i
C.
1.
z D.
1.
z
Hướng dẫn giải:
Ta có
AB
biểu diễn số phức
3 ;
DB
biểu diễn số phức
3 3
i
. Mặt khác
3 3
3
3
i
i
i
nên
. 0
AB DB
. Tương tự (hay vì lí do đối xứng qua
Ox
),
. 0
DC AC
. Từ đó suy ra
AD
là một đường kính của đường tròn đi qua
, , , .
A B C D
Vậy
1;0 1.
I z
Chọn C.
Câu 37: Trên mặt phẳng tọa độ
,
Oxy
lấy điểm
M
là điểm biểu diễn số phức
2
2 4
z i i
và
gọi
là góc tạo bởi chiều dương trục hoành và vectơ
.
OM
Tính
cos2 .
A.
425
.
87
B.
475
.
87
C.
475
.
87
D.
425
.
87
Hướng dẫn giải:
Ta có:
2
13
2 4 16 13 16;13 tan .
16
z i i i M
Ta có:
2
2
1 tan 425
cos2 .
1 tan 87
Chọn D.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 39
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 38: Gọi điểm
,
A B
lần lượt biểu diễn các số phức
1
z
;
2 1 2
; . 0
z z z trên mặt phẳng tọa độ (
, ,
A B C
và
, ,
A B C
đều không thẳng hàng) và
2 2
1 2 1 2
.
z z z z
. Với
O
là gốc tọa độ,
khẳng định nào sau đây đúng?
A. Tam giác
OAB
đều. B. Tam giác
OAB
vuông cân tại
.
O
C. Tam giác
OAB
vuông cân tại
.
B
D. Diện tích tam giác
OAB
không đổi.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
2
2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1
. ; .
z z z z z z z z z z z z
. Do
2
2
1 2 1
1
0 ;
z
z z z
z
(1)
Mặt khác:
2
2
12
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2
.
z
z z z z z z z z z z
z
(do
2
0
z
) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
2 2
2 1
1 2
1 2
z z
z z
z z
. Vậy ta có:
1 2 2 1
z z z z OA OB AB
.
Chọn A.
Câu 39: Gọi
M
là điểm biểu diễn số phức
2
2 1
z z i
z i
, trong đó
z
là số phức thỏa mãn
1 2
i z i i z
. Gọi
N
là điểm trong mặt phẳng sao cho
, 2
Ox ON , trong đó
,
Ox OM
là góc lượng giác tạo thành khi quay tia
Ox
tới vị trí tia
OM
. Điểm
N
nằm
trong góc phần tư nào?
A. Góc phần tư thứ (I). B. Góc phần tư thứ (II).
C. Góc phần tư thứ (III). D. Góc phần tư thứ (IV).
Hướng dẫn giải:
Ta có:
7 19 7 19 19
1 2 3 ; tan .
82 82 82 82 7
i z i i z z i w i M
Lúc đó:
2
2 2
2tan 133 1 tan 156
sin 2 0; cos2 0
1 tan 205 1 tan 205
.
Chọn C.
Câu 40: Biết số phức
z
thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
3 4 5
z i và biểu thức
2 2
2
M z z i
đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức
.
z i
A.
2 41
z i B.
3 5.
z i C.
5 2
z i D.
41.
z i
Hướng dẫn giải:
Gọi
; ;
z x yi x y . Ta có:
2 2
3 4 5 : 3 4 5
z i C x y : tâm
3;4
I và
5.
R
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 40
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Mặt khác:
2 2 2 2
2 2
2 2 1 4 2 3 : 4 2 3 0.
M z z i x y x y x y d x y M
Do số phức
z
thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên
d
và
C
có điểm chung
23
; 5 23 10 13 33
2 5
M
d I d R M M
2 2max
4 2 30 0
5
33 5 4 41.
5
3 4 5
x y
x
M z i i z i
y
x y
Chọn D.
Câu 41: Các điểm
, ,
A B C
và
, ,
A B C
lần lượt biểu diễn các số phức
1 2 3
, ,
z z z
và
1 2 3
, ,
z z z
trên
mặt phẳng tọa độ (
, ,
A B C
và
, ,
A B C
đều không thẳng hàng). Biết
1 2 3 1 2 3
z z z z z z
, khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hai tam giác
ABC
và
A B C
bằng nhau.
B. Hai tam giác
ABC
và
A B C
có cùng trực tâm.
C. Hai tam giác
ABC
và
A B C
có cùng trọng tâm.
D. Hai tam giác
ABC
và
A B C
có cùng tâm đường tròn ngoại tiếp.
Hướng dẫn giải:
Gọi
1 1 1 2 2 2 3 3 3
; ; ; ; ; 1;3
k k
z x y i z x y i z x y i x y k .
Khi đó:
1 1 2 2 3 3
; ; ; ; ;
A x y B x y C x y
, gọi
G
là trọng tâm
1 2 3 1 2 3
; .
3 3
x x x y y y
ABC G
Tương tự, gọi
1 1 1 2 2 2 3 3 3
; ; ; ; ; 1;3
k k
z x y i z x y i z x y i x y k .
Khi đó:
1 1 2 2 3 3
; ; ; ; ;
A x y B x y C x y
,
gọi
G
là trọng tâm
1 2 3 1 2 3
; .
3 3
x x x y y y
A B C G
Do
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
z z z z z z x x x y y y i x x x y y y i
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
.
x x x x x x
G G
y y y y y y
Chọn C.
Câu 42: Cho số phức
1 2
,
z z
thỏa mãn
1
z ,
2
2
z được biểu diễn trong mặt phẳng phức lần
lượt là các điểm
,
M N
. Biết
,
6
OM ON , tính giá trị của biểu thức
1 2
1 2
z z
z z
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 41
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A. 13 B.
1
C.
7 3
2
D.
1
13
Hướng dẫn giải:
Dựng hình bình hành OMPN trong mặt phẳng phức, khi đó biểu diễn của :
1 2
1 2
z z OP
z z MN
2 2
0
1 2 1 2 1 2
2 2
0
1 2 1 2 1 2
2 cos 150 1
2 cos 30 1
z z z z z z
z z z z z z
1 2
1 2
1 2 1 2
1
z z
z z
z z z z
.
Chọn B.
Câu 43: Cho thỏa mãn
z
thỏa mãn
10
2 1 2 i z i
z
. Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho
số phức
3 4 1 2 w i z i là đường tròn
I
, bán kính
R
. Khi đó.
A.
1; 2 , .5 I R B.
1;2 , 5.I R C.
1;2 , .5 I R D.
1; 2 , 5. I R
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Đặt z a bi và 0 z c , với ; ; a b c .
Lại có
1 2
3 4 1 2
3 4
w i
w i z i z
i
.
Gọi w x yi với ; x y .
Khi đó
1 2
1 2
1 2 5
3 4 3 4
w i
w i
z c c c x yi i c
i i
2 2 2 2
2
1 2 5 1 2 25 x y c x y c .
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức
w
là đường tròn
1;2I .
Khi đó chỉ có đáp án C có khả năng đúng và theo đó 5 5 5 1 R c c .
Thử 1c vào phương trình (1) thì thỏa mãn.
Câu 44: Tìm tập hợp các điểm
M
biểu diễn hình học số phức z trong mặt phẳng phức, biết số phức
z thỏa mãn điều kiện: 4 4 10. z z
A. Tập hợp các điểm cần tìm là đường tròn có tâm
0;0O và có bán kính 4.R .
B. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình
2 2
1.
9 25
x y
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 42
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
C. Tập hợp các điểm cần tìm là những điểm
;
M x y
trong mặt phẳng
Oxy
thỏa mãn
phương trình
2 2
2 2
4 4 12.
x y x y
D. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình
2 2
1.
25 9
x y
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: Gọi
;
M x y
là điểm biểu diễn của số phức
.
z x yi
Gọi
4;0
A là điểm biểu diễn của số phức
4.
z
Gọi
4;0
B là điểm biểu diễn của số phức
4.
z
Khi đó:
4 4 10 10.
z z MA MB (*)
Hệ thức trên chứng tỏ tập hợp các điểm
M
là elip nhận
,
A B
là các tiêu điểm.
Gọi phương trình của elip là
2 2
2 2 2
2 2
1, 0,
x y
a b a b c
a b
Từ (*) ta có:
2 10 5.
a a
2 2 2
2 8 2 4 9
AB c c c b a c
Vậy quỹ tích các điểm
M
là elip:
2 2
: 1.
25 9
x y
E
Câu 45: Trong mặt phẳng phức
Oxy
, các số phức
z
thỏa 2 1
z i z i
. Tìm số phức
z
được
biểu diễn bởi điểm
M
sao cho
MA
ngắn nhất với
1,3
A .
A.
3
i
. B.
1 3
i
. C.
2 3
i
. D.
2 3
i
.
Hướng dẫn giải:
Gọi
,
M x y
là điểm biểu diễn số phức
,
z x yi x y R
Gọi
1, 2
E là điểm biểu diễn số phức
1 2
i
Gọi
0, 1
F là điểm biểu diễn số phức
i
Ta có: 2 1
z i z i ME MF
Tập hợp điểm biểu diễn số phức
z
là đường trung
trục
: 2 0
EF x y .
Để
MA
ngắn nhất khi
MA EF
tại
M
3,1 3
M z i
Chọn A.
Câu 46: Trong mặt phẳng phức
Oxy
, tập hợp các điểm biểu diễn số phức
Z
thỏa mãn
2
2
2
2 16
z z z là hai đường thẳng
1 2
,
d d
. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng
1 2
,
d d
là
bao nhiêu?
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 43
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
1 2
, 2
d d d . B.
1 2
, 4
d d d . C.
1 2
, 1
d d d . D.
1 2
, 6
d d d .
Hướng dẫn giải:
Gọi
,
M x y
là điểm biểu diễn số phức
,
z x yi x y R
Ta có:
2
2
2 2 2 2 2 2 2
2 16 2 2 2 2 16
z z z x xyi y x xyi y x y
2
4 16 2
x x
1 2
, 4
d d d
Chọn B.
Ở đây lưu ý hai đường thẳng x = 2 và x = -2 song song với nhau.
Câu 47: Trên mặt phẳng tọa độ
Oxy
, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức
z
thỏa mãn điều
kiện
2 2 10
z z .
A. Đường tròn
2 2
2 2 100
x y . B. Elip
2 2
1
25 4
x y
.
C. Đường tròn
2 2
2 2 10
x y . D. Elip
2 2
1
25 21
x y
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Gọi
;
M x y
là điểm biểu diễn số phức
z x yi
, ,
x y .
Gọi
A
là điểm biểu diễn số phức
2
Gọi
B
là điểm biểu diễn số phức
2
Ta có:
2 2 10 10
z z MB MA .
Ta có
4
AB
. Suy ra tập hợp điểm
M
biểu diễn số phức
z
là Elip với
2
tiêu điểm là
2;0
A ,
2;0
B , tiêu cự
4 2
AB c
, độ dài trục lớn là
10 2
a
, độ dài trục bé là
2 2
2 2 2 25 4 2 21
b a c .
Vậy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức
z
thỏa mãn điều kiện
2 2 10
z z là
Elip có phương trình
2 2
1.
25 21
x y
Câu 48: Cho số phức
z
thỏa mãn
2
2 5
z m m với
m
là số thực. Biết rằng tập hợp điểm của số
phức
3 4 2
w i z i
là đường tròn. Tìm bán kính
R
nhỏ nhất của đường tròn đó.
A.
5
R . B.
10
R . C.
15
R . D.
20
R
Hướng dẫn giải:
2
2 3 4 2 3 4 3 4 5 1 4 20
w i i z w i i z i z m .
2 20
w i . Vậy đường tròn có bán kính
min
20
R
với tâm
0;2
I
Dấu
" "
xảy ra khi và chỉ khi
1
m .
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 44
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 49: Cho số phức
z
thỏa mãn
2
2
z và điểm
A
trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của
z
.
Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức
1
w
iz
là một trong bốn điểm
M
,
N
,
P
,
Q
. Khi đó điểm biểu diễn của số phức
w
là:
A. Điểm
Q
. C. Điểm
M
. B. Điểm
N
. D. Điểm
P
Hướng dẫn giải:
Gọi
,
z a bi a b là điểm biểu diễn số phức
A
.
Do
z
thuộc góc phần tư thứ nhất trong mặt phẳng
Oxy
, nên
, 0
a b .
Lại có
2 2 2 2
1
b a
w i
iz a b a b
Điểm biểu diễn
w
nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng
Oxy
.
1 1
2 2 2
.
w z OA
iz i z
.
Vậy điểm biểu diễn của số phức
w
là điểm
P
.
Câu 50: Trong mặt phẳng phức cho các điểm
O
(gốc tọa độ),
A
biểu diễn số 1,
B
biểu diễn số phức
z
không thực,
'
A
biểu diễn số phức
' 0
z và
'
B
biểu diễn số phức
'.
zz
Nhận định nào
sau đây đúng?
A. Tam giác
OAB
đều
B. Hai tam giác
, ' '
OAB OA B
là hai tam giác đồng dạng
C.
O
là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác
' '
AA B
D. Trọng tâm của
OAB
là điểm biểu diễn của số phức
1 2 3
z z z
Hướng dẫn giải:
Ta có
,1 , ' ' , ' . ' '
z OB OA z OA zz z z OB
y
Ta có:

AB OB OA z
B
' ' ' ' ' ' ' . 1
A B OB OA zz z z z
B’
Từ trên ta suy ra
' . ' ' . 1
' ' ' '
1 1
z z z z z
OA OB A B
z z OA OB AB
A
' ' .
OA B OAB
O A’ x
Chọn B.
Câu 51: Cho
1 2
1 ; 1 .
z i z i
Tìm
3
z
sao cho các điểm biểu diễn
1 2 3
, ,
z z z
tạo thành tam giác
đều.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 45
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
2 1
z i
và
3
2 1
z i
B.
3
3 1
z i
và
3
3 1
z i
C.
3
2 1
z i
và
3
2 1
z i
D.
3
3 1
z i
và
3
3 1
z i
Hướng dẫn giải:
Để giải bài toán này ta cần chú ý đến kiến thức sau:
Giả sử
1 1 1
;
M x y
biểu diễn số phức
1 1 1
z x y i
Giả sử
2 2 2
;
M x y
biểu diễn số phức
2 2 2
z x y i
Khi đó khoảng cách giữa 2 điểm
1 2
M M
bằng mô đun của số phức
1 2
.
z z
Vậy
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
M M z z x x y y
Áp dụng vào bài toán: Giả sử
3
z x yi
Để các điểm biểu diễn của
1 2 3
, ,
z z z
tạo thành một tam giác đều thì
2 2
2 2
1 2 1 3
2 2
1 2 2 3
4 4 1 1
1 1 8
0
4 4 1 1
x y
z z z z
x y
z z z z
x y
x y
2
2 6 3 3
y y x
Vậy có hai số phức thỏa mãn là:
3
3 1
z i
và
3
3 1
z i
Chọn D.
Câu 52: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất 2 lần. Ký hiệu
;
a b
là kết quả sẽ xảy ra sau khi
gieo, trong đó
,
a b
lần lượt là số chấm xuất hiện lần thứ nhất, thứ hai. Gọi
A
là biến cố số
chấm xuất hiện trên hai lần gieo như nhau. Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố
A
là
tập hợp con của tập hợp các điểm biểu diễn của số phức
z
thỏa mãn điều kiện nào sau đây?
A.
2 3 12
z i B.
2 3 10
z i
C.
2 3 13
z i D.
2 3 11
z i
Hướng dẫn giải:
Ta có
1;1 , 2;2 , 3;3 , 4;4 , 5;5 , 6;6
A
Gọi ; ,
z x yi x y R
khi đó
2 2
2 3 2 3
z i x y
Giả sử
2 2
2 3 2 3
z i R x y R
2 2
2
2 3 .
x y R
Khi đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức
z
là những điểm
thuộc miền trong và trên đường tròn tâm
2; 3
I và bán kính
.
R
Để tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A là tập hợp con của tập hợp các điểm biểu
diễn của số phức
z
thì
, .
IM R M R
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 46
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Khi đó ta được 13R
Chọn C.
Câu 53: Cho 3 số phức
1 2 3
, ,z z z
phân biệt thỏa mãn
1 2 3
3 z z z và
1 2 3
1 1 1
z z z
. Biết
1 2 3
, ,z z z
lần lượt được biểu diễn bởi các điểm , ,A B C trong mặt phẳng phức. Tính góc ACB .
Hướng dẫn giải:
Ta có:
31 2
1 2 3 1 1 2 2 3 3
31 2
1 2 3
2 2 2
1 2 3
1 1 1
. . .
zz z
z z z z z z z z z
zz z
z z z
z z z
Do tính đối xứng trục Ox nên C là điểm thứ 3 của
hình bình hành OACB .
Từ đó ta có:
OB AC
OA OC AC
OB OA OC
.
OAC là tam giác đều
Góc
0
120 ACB
.
Câu 54: Cho hai số phức
1 2
,z z
thỏa:
1 2
5 z z . Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa:
1 2
2 z z z z là đường tròn và có bán kính
R
. Tính giá trị của
R
.
A.
5
3
R . B.
7
3
R . C.
10
3
R . D.
14
3
R
Hướng dẫn giải:
Trong mặt phẳng phức, gọi
1 2
, ,Z Z Z
lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức
1 2
, ,z z z
.
A
là điểm thứ tư của hình bình hành
2 1
OZ AZ
.
1 2
1 2
5
OZ OZ OA
z z OA
.
Ta có:
1 1 1

z z OZ OZ ZZ và
2 2

z z OZ OZ OP với
P
là
điểm thứ tư của hình bình hành
2
OZ PZ
.
Gọi N là trung điểm 2,5 OA ON và
H
là trung điểm cạnh 2 OP OP OH và
H
cũng là trung điểm cạnh
2
ZZ
.
Ta có HN là đường trung bình của
1 2
ZZ Z
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 47
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
1
2
ZZ HN
.
1 2 1
2 2 2 4 2
z z z z ZZ OP HN OH HN HO
.
Gọi
,
I J
lần lượt là hai điểm thỏa:
2,5
2
3 3
2 2,5
ON
IN IO OI
JN JO OJ ON
.
Ta chứng minh được
,
HI HJ
lần lượt đường phân giác trong và phân giác ngoài tại đỉnh
H
của
HON HI HJ H
thuộc đường tròn đường kính
10
3
IJ .
Gọi
1
O
là trung điểm
1
5
3
IJ O I .
Gọi
'
O
là là điểm sao cho
1
O
là trung điểm
2
'
O Z
.
Ta có:
1
O H
là đường trung bình của
2 1
10
' ' 2
3
O ZZ O Z O H .
Với
1 2
,
z z
không đổi thì
1 2
, ,
A Z Z N
cố định
,
I J
cố định
1
O
cố định
'
O
cố định.
Vậy
Z
thuộc đường tròn tâm
'
O
, bán kính
10
3
R .
Câu 55: Trong mặt phẳng phức Oxy, tập hợp biểu diễn số phức Z thỏa mãn
2
0
z z z là đường
tròn
C
. Diện tích S của đường tròn
C
bằng bao nhiêu?
A.
4
S . B.
2
S . C.
3
S . D.
S
Hướng dẫn giải:
Đặt
,
z x yi x y , ta có
z x yi
và
2 2
z x y
.
Khi đó, giả thiết
2 2
2 2 2
0 0 1 1.
z z z x y x yi x yi x y
Suy ra tập hợp biểu diễn số phức
z
là đường tròn tâm
1;0
I , bán kính
1 .
C
R S
Chọn D.
Câu 56: Trong mặt phẳng phức Oxy, tập hợp biểu diễn số phức Z thỏa
1 1 2
z i là hình vành
khăn. Chu vi P của hình vành khăn là bao nhiêu?
A.
4
P . B.
P . C.
2
P . D.
3
P
Hướng dẫn giải:
Đặt
,
z x yi x y , khi đó ta có
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
z i x y i x y x y Tập hợp các
điểm biểu diễn số phức
z
nằm bên ngoài hình tròn có tâm
1
1;1
I , bán kính
1
1.
R
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 48
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2 2 2 2
1 1 1 1 1 2 1 1 4
z i x y i x y x y Tập hợp
các điểm biểu diễn số phức
z
nằm bên trong hình tròn có tâm
2
1;1
I , bán kính
2
2.
R
Vì hai đường tròn đồng tâm nên chu vi
P
hình vành khăn là
2 2 2 1
2 2 .
P C C R R
Chọn C.
Câu 57: Trong mặt phẳng phức Oxy, giả sử M là điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn
2 2 8
z z . Tập hợp những điểm M là?
A.
2 2
: 1
16 12
x y
E
. B.
2 2
: 1
12 16
x y
E
.
C.
2 2
: 2 2 64
T x y . D.
2 2
: 2 2 8
T x y
Hướng dẫn giải:
Xét điểm
1
2;0
F và
2
2;0
F , ta có
1 2
8 2 4
MF MF a a
2 2 2
1 2
4 2 2 12
F F c c b a c Tập hợp điểm là Elip
2 2
: 1
16 12
x y
E
.
Chọn A.
Câu 58: Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức
z
thỏa 2 1
z i z i
. Tìm số phức
z
được biểu
diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với
1;3
A
A.
3
i
. B.
1 3
i
. C.
2 3
i
. D.
2 3
i
Hướng dẫn giải:
Xét điểm
1; 2 , 0; 1
B C MB MC Tập hợp điểm
M
là đường thẳng trung được
của
BC
.
Ta có:
: 1 0
BC x y và trung điểm
BC
là
1 3
;
2 2
H
Phương trình đường trung
trực
BC
là:
: 2 0
x y . Lại có:
, 2 2
AM d A . Dấu bằng khi
M
là hình chiếu của
A
lên
Khi đó:
2 2 2 2
2 2 1 3 8 1 5 8
M M M M
AM x y x x
2
x 3 0 3 3;1
M M
x M .
Chọn A.
Câu 59: Xét 3 điểm
, ,
A B C
của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt
1 2 3
, ,
z z z
thỏa mãn
1 2 3
.
z z z
Nhận định nào sau đây đúng:
A. Tam giác
ABC
đều
B.
O
là tâm của tam giác
ABC
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 49
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
C.
O
là trọng tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
D. Trọng tâm của
ABC
là điểm biểu diễn của số phức
1 2 3
z z z
Hướng dẫn giải:
Từ điều kiện
1 2 3
z z z
chứng tỏ
, ,
A B C
nằm trên một đường tròn tâm
O
bán kính
1
R z
.
Nếu
ABC
là tam giác đều thì tâm
O
là trọng tâm của tam giác
.
ABC
Theo tính chất trọng tâm ta có:
0
OA OB OC
hay
1 2 3
0
z z z
Đảo lại, nếu
1 2 3
0
z z z
, ta có:
0

OA OB OC OC OA OB OD
Điểm D cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp
ABC
( vì ,
OC OD OADB
là hình bình
hành có
OA OB BD DA
). Các tam giác
OAD
và
OBD
là các tam giác đều. Suy ra
0
d 120 .
s AB
Làm tương tự ta chứng minh được
0
d 120 .
s AC
Suy ra
ABC
đều.
Chọn A.
Câu 60: Cho các số phức
z
thỏa mãn
4
z . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức
(3 4 )
w i z i
là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó.
A. r 4. B. r 5. C. r 20. D. r 22.
Hướng dẫn giải:
Gọi
w a bi
, ta có
2
( 1) (3 4 )
( 1)
(3 4 )
3 4 9 16
a b i i
a b i
w a bi i z i z
i i
2 2
(3 4 4) (3 4 3)
3 4 4 (3 4 3)
.
25 25 25
a b b a
a b b a
i z
Mà
z
= 4 nên
2 2 2 2 2
(3 4 4) (3 4 3) 100 2 399
a b b a a b b
Theo giả thiết, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức
(3 4 )
w i z i
là một đường tròn
nên ta có
2 2 2 2
2 399 ( 1) 400 400 20
a b b a b r
Chọn C.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 50
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
DẠNG 4: SỐ PHỨC CÓ MODDUN NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT
Câu 1: Cho số phức
z
thỏa mãn
1 2 4 5
z i . Giá trị nhỏ nhất của
lần lượt là
A.
5
. B.
3 5
. C.
5 5
. D.
5 3
Hướng dẫn giải:
Ta có
4 5 1 2 1 2 5 3 5.
z i z i z z
Chọn B.
Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn
(1 ) 1 7 2
i z i . Tìm giá trị lớn nhất của
A.
max 4
z . B.
max 3
z . C.
max 7
. D.
max 6
z
Hướng dẫn giải:
Đặt
(1 7 )
(1 ) 1 7
1
w i
w i z i z
i
Ta có:
2
w . Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I là điểm biểu diễn số
phức
0 (1 7 )
3 4
1
i
i
i
, tức là
(3;4)
I . Bán kính
2
1
1
r
i
Vậy
max 6
z OI r
Câu 3: Cho số phức
z
thỏa mãn
2 2 1
z i
. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
lần lượt là
A.
2 2 1;2 2 1
. B.
2 1; 2 1
. C.
2;1
. D.
3 1; 3 1
Hướng dẫn giải:
Ta có
2 2 2 2 2 2 2 2 1.
z i z z i z z
Lại có
2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2.
z i i z i i z z
Chọn A.
Câu 4: Cho số phức
z
thỏa mãn
1 2 3
z i . Tìm môđun lớn nhất của số phức
2 .
z i
A.
26 6 17.
B.
26 6 17.
C.
26 8 17.
D.
26 4 17.
Hướng dẫn giải:
Gọi
; ; 2 2
z x yi x y z i x y i
. Ta có:
2 2
1 2 9 1 2 9
z i x y .
Đặt
1 3sin ; 2 3cos ; 0;2 .
x t y t t
2 2 2
2 1 3sin 4 3cos 26 6 sin 4cos 26 6 17 sin ; .
z i t t t t t
max
26 6 17 2 26 6 17 2 26 6 17.
z i z i
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 51
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn A.
Câu 5: Cho số phức
z
thỏa mãn
1 2 2
z i . Tìm môđun lớn nhất của số phức
.
z
A.
9 4 5.
B.
11 4 5
C.
6 4 5
D.
5 6 5
Hướng dẫn giải:
Gọi
; ;
z x yi x y . Ta có:
2 2
1 2 2 1 2 4.
z i x y
Đặt
1 2sin ; 2 2cos ; 0;2
x t y t t .
Lúc đó:
2 2 2
2 2
1 2sin 2 2cos 9 4sin 8cos 9 4 8 sin ;
z t t t t t
2
9 4 5sin 9 4 5; 9 4 5
z t z
max
9 4 5
z đạt được khi
5 2 5 10 4 5
.
5 5
z i
Chọn A.
Câu 6: Cho số phức
z
thỏa mãn
1 6 2 10
i z i . Tìm môđun lớn nhất của số phức
.
z
A.
4 5
B.
3 5.
C.
3.
D.
3 5
Hướng dẫn giải:
Gọi
; ;
z x yi x y .
Ta có:
6 2
1 6 2 10 1 . 10 2 4
1
i
i z i i z z i
i
2 2
5 2 4 5.
x y
Đặt
2 5sin ; 4 5 cos ; 0;2
x t y t t .
Lúc đó:
2 2
2
2 2
2 5sin 4 5 cos 25 4 5sin 8 5cos
25 4 5 8 5 sin ;
z t t t t
t
2
25 20sin 5;3 5
z t z
max
3 5
z đạt được khi
3 6 .
z i
Chọn B.
Câu 7: Cho số phức
z
thoã mãn
3 4 2
z i . Gọi
A
và
B
lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của
. Tính giá trị của biểu thức
2
2
P A B
.
A.
43
P . B.
80
P . C.
8
P . D.
48
P
Hướng dẫn giải:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 52
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Tập hợp điểm biểu diễn số phức
z
là đường tròn tâm
3; 4
I bán kính
2
R
Khi đó
max
5 2 7
A z OI R ;
min
3
B z OI R
Suy ra
43
P .
Chọn A.
Câu 8: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện
2 4 2
z i z i
. Tìm môđun nhỏ nhất của số phức
2 .
z i
A.
5
B.
3 5.
C.
3 2
D.
3 2
Hướng dẫn giải:
Gọi
; ;
z x yi x y .
Ta có:
2 2 2
2
2 4 2 2 4 2 4 0 4 .
z i z i x y x y x y y x
Ta có:
2 2 2 2
2 2 2
2 2 6 2 12 36 2 3 18 18
z i x y x x x x x
min
2 18 3 2
z i khi
3 .
z i
Chọn C.
Câu 9: Cho số phức
z
thỏa mãn
1 2 3
z i . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức
1 .
z i
A.
4.
B.
2 2.
C.
2.
D.
2.
Hướng dẫn giải:
Gọi
; ; 1 1 1
z x yi x y z i x y i
. Ta có:
2 2
1 2 9 1 2 9
z i x y .
Đặt
1 3sin ; 2 3cos ; 0;2 .
x t y t t
2 2 2
min
1 3sin 1 3cos 10 6cos 2 2 4 1 2
z i t t t z i z i , khi
1 .
z i
Chọn C.
Câu 10: Trong các số phức
z
thỏa mãn: 3 4
z i z
thì số phức
z
có modul nhỏ nhất là
A.
11
2
z i
. B.
3
2
2
z i
. C.
5
5
2
z i
. D.
1
3
6
z i
Hướng dẫn giải:
Ta có
2 2
2 2
8 25
3 4 3 4 25 6 8 0
6
b
a bi i a bi a b a b a b a
2 2
2
2 2
8 25 25 100 625 5 10 25 25 3
2 .
6 9 9 36 3 3 4 4 2
b
z b b b b b a
Chọn B.
Câu 11: Trong các số phức
z
thỏa mãn:
2 4 2
z i z i
thì số phức
z
có modul nhỏ nhất là
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 53
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
y
x
z
C
O
I
M
A.
2 2
z i
. B.
2 2
z i
. C.
2 2
z i
. D.
2 2
z i
Hướng dẫn giải:
Ta có
2 2 2
2
2 4 2 2 4 2
a bi i a bi i a b a b
20 4 8 4 4 4 4 16 4
a b b a b b a
2 2 2
2 2
4 2 8 16 2 2 8 2 2.
z a a a a a a b
Chọn D.
Câu 12:
Cho số phức z thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của
A. . B. 2. C. . D. 2
Hướng dẫn giải:
Các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn nằm trên đường tròn (C) tâm I(2; −3)
và bán kính R = .
(Ý nghĩa hình học của : độ dài OM)
Ta có |z| đạt giá trị nhỏ nhất điểm M(C) và OM nhỏ nhất.
(Bài toán hình học giải tích quen thuộc)
Ta có: OM OI – IM = OI – R = .
Dấu « = » xảy ra khi M là giao điểm của (C) và đoạn thẳng OI.
Vậy GTNN của là: .
Chọn A.
Câu 13: Cho số phức
z
thỏa mãn:
2 2 1
z i
. Số phức
z i
có môđun nhỏ nhất là:
A.
5 1
B.
5 1
C.
5 2
D.
5 2
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Gọi
z x yi
, ,
x y .
Ta có:
2 2
2 2 1 ( 2) ( 2) 1 ( 2) ( 2) 1
z i x y i x y
Tập hợp các điểm trong mặt phẳng
Oxy
biểu diễn của số
phức
z
là đường tròn
( )
C
tâm
(2;2)
I và bán kính
1
R
.
2
2
1
z i x y IM
, với
2;2
I là tâm đường
2 3 3
z i
z
13 3
13 2
2 3 3
z i
3
z
13 3
z
13 3
y
x
1
1
O
I
M
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 54
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
tròn, M là điểm chạy trên đường tròn. Khoảng cách này ngắn nhất khi M là giao điểm của
đường thẳng nối hai điểm
0;1 , 2;2N Oy I với đường tròn (C).
min
5 1 IM IN R
Câu 14: Trong các số phức z thỏa 3 4 2 z i , gọi
0
z là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó
A. Không tồn tại số phức
0
z . B.
0
2z .
C.
0
7z . D.
0
3z .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Cách 1:
Đặt ( , ) z a bi a b . Khi đó
2 2
3 4 2 ( 3) ( 4) 4 z i a b .
Suy ra biểu diễn hình học của số phức z là đường tròn
C
tâm
3; 4 I và bán kính 5R .
Gọi
M z là điểm biểu diễn số phức z . Ta có:
M z C .
3 z OM OI R .
Vậy z bé nhất bằng 3 khi
M z C IM .
Cách 2:
Đặt
3 2cos 3 2cos
4 2sin 4 2sin
a a
b b
.
2 2 2 2
(2cos 3) (2sin 4) 29 12cos 16sin
z a b .
3 4
29 20 cos sin 29 20cos( ) 9
5 5
.
0
3 z
A Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: 1 2 5 z i và 1 w z i có môđun lớn nhất. Số
phức z có môđun bằng:
A. 2 5 . B. 3 2 . C. 6 . D. 5 2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Gọi
, 1 2 1 2 z x yi x y z i x y i
Ta có:
2 2 2 2
1 2 5 1 2 5 1 2 5 z i x y x y
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 55
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Suy ra tập hợp điểm
;
M x y
biểu diễn số phức
z
thuộc đường tròn
C
tâm
1; 2
I bán
kính
5
R như hình vẽ:
Dễ thấy
O C
,
1; 1
N C
Theo đề ta có:
;
M x y C
là điểm biểu diễn cho số phức
z
thỏa mãn:
1 1 1 1
w z i x yi i x y i
2 2
1 1 1
z i x y MN
Suy ra
1
z i
đạt giá trị lớn nhất
MN
lớn nhất
Mà
,
M N C
nên
MN
lớn nhất khi
MN
là đường kính đường tròn
C
I
là trung điểm
2
2
3; 3 3 3 3 3 3 2
MN M z i z
Câu 15: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện
3 2 .
z i z i
Tìm số phức có môđun nhỏ nhất?
A.
1 2
z i
. B.
1 2
5 5
z i
. C.
1 2
5 5
z i
. D.
1 2
z i
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Phương pháp tự luận
Giả sử
,
z x yi x y
2 2 2
2
3 2 3 2 1 3 2 1
z i z i x y i x y i x y x y
6 9 4 4 2 1 4 8 4 0 2 1 0 2 1
y x y x y x y x y
2
2
2 2 2 2
2 1 5
2 1 5 4 1 5
5 5 5
z x y y y y y y
Suy ra
min
5
5
z khi
2 1
5 5
y x
Vậy
1 2
.
5 5
z i
Phương pháp trắc nghiệm
Giả sử
,
z x yi x y
2 2 2
2
3 2 3 2 1 3 2 1
z i z i x y i x y i x y x y
6 9 4 4 2 1 4 8 4 0 2 1 0
y x y x y x y
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức
z
thỏa điều kiện
3 2
z i z i
là đường thẳng
: 2 1 0
d x y .
Phương án A:
1 2
z i
có điểm biểu diễn
1; 2
d
nên loại A.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 56
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Phương án B:
1 2
5 5
z i
có điểm biểu diễn
1 2
;
5 5
d
nên loại B.
Phương án D:
1 2
z i
có điểm biểu diễn
1;2
d
nên loại B.
Phương án C:
1 2
5 5
z i
có điểm biểu diễn
1 2
;
5 5
d
Câu 16: Cho số phức
z
thảo mãn
4 2 4.
z i Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
z
A.
1
B.
3
C.
7
D.
8
Hướng dẫn giải:
Giả sử
,
z a bi
ta có:
2 2
3 4 4 3 4 16
a bi i a b
Đặt
3 4sin 3 4sin
4 4cos 4cos 4
a a
b b
2
2 2 2
9 16sin 24sin 16 32cos
3 4
41 24sin 32cos 41 40 sin cos
5 5
z a b
Đặt
2
2 2
3 4
cos = ,sin 41 40sin 1.
5 5
z a b
Dấu
" "
xảy ra khi
2 2 .
2 2
k k
Vậy
min 1.
z
Chọn A.
Câu 17: Trong các sô phức thỏa điều kiện
4 2 2 ,
z i i z
mô đun nhỏ nhất của số phức
z
bằng:
A.
2 2
B.
2
C.
1
D.
3 2
Hướng dẫn giải:
Giả sử số phức
z x yi
Theo đề
2 2 2
2
4 2 2 2 4 2 4 0 4 1
z i i z x y x y x y y x
Mà
2
2 2 2
4
z x y x x
(thay
1
vào)
2
2 2 8 2 2.
x
Chọn A.
Câu 18: Số phức
z
có mô đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện
13
1 3 2
2
z i i là:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 57
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
1 3
z i
B.
2 1
2 2
z i
C.
3 1
2 2
z i
D.
3 15
4 4
z i
Hướng dẫn giải:
+ Gọi
z x yi
Từ giả thiết ta có:
2 2
13
3 2 .
4
x y x y
+ Đồng thời
2 2
z x y
lớn nhất. Kiểm tra các đáp án và so sánh.
Chọn D.
Câu 19: Trong các số phức
z
thỏa:
3 4 ,
z i z
biết rằng số phức
, ,
z a bi a b có modul
nhỏ nhất. Khi đó, giá trị của
2
P a b
là
A.
1
4
P . B.
1
2
P . C.
1
4
P . D.
1
2
P
Hướng dẫn giải:
Ta có
2 2
2 2
25 6
3 4 3 4 25 6 8 0
8
a
a bi i a bi a b a b a b b
2 2
2
2 2
25 6 25 75 625 5 15 25 3
2.
8 16 16 64 4 8 4 2
a
z a a a a a b
Chọn A.
Câu 20: Trong các số phức
z
thỏa mãn:
1 5 3
z i z i
, biết rằng số phức
, ,
z a bi a b có
modul nhỏ nhất. Khi đó, tỉ số
a
b
bằng
A.
3
. B.
1
3
. C.
2
3
. D.
2
P
Hướng dẫn giải:
Ta có
2 2 2 2
1 5 3 1 5 3 1
a bi i a bi i a b a b
26 2 10 10 6 2 4 12 16 4 3
a b a b a b a b
2
2 2
2 2
12 8 6 2
4 3 10 24 16 10 .
5 5 5
10
z b b b b b b a
Chọn B.
Câu 21: Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức
z
thỏa
5 3
z i . Nếu số phức
z
có môđun nhỏ nhất
thì phần ảo bằng bao nhiêu?
A.
0
. B.
3
. C.
2
. D.
4
Hướng dẫn giải:
Giả sử M là điểm biểu diễn số phức
z
. Xét điểm
0;5 3
A AM
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 58
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Tập hợp điểm M là các điểm không nằm ngoài đường tròn tâm A bán kính 3R
5 3 2 OM AO AM .
Chọn C.
Câu 22: Trong mặt phẳng phức Oxy, trong các số phức z thỏa 1 1 z i . Nếu số phức z có môđun
lớn nhất thì số phức z có phần thực bằng bao nhiêu?
A.
2 2
2
. B.
2 2
2
. C.
2 2
2
. D.
2 2
2
Hướng dẫn giải:
Giả sử M là điểm biểu diễn số phức z . Xét điểm
1;1 1 A AM
Tập hợp điểm M là các điểm không nằm ngoài đường tròn
C tâm A bán kính 1R
2 1 OM AO AM . Dấu bằng khi M là giao điểm của
C và : OA y x
2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 1
M M
M M
M M
x y
x x
x y
(chọn điểm xa O hơn).
Chọn A.
Câu 23: Trong mặt phẳng phức Oxy , trong các số phức z thỏa 1 1 z i . Nếu số phức z có môđun
lớn nhất thì số phức z có phần thực bằng bao nhiêu?
A.
2 2
2
. B.
2 2
2
. C.
2 2
2
. D.
2 2
2
.
Hướng dẫn giải:
Gọi
,M x y là điểm biểu diễn số phức
, z x yi x y R
Gọi A là điểm biểu diễn số phức 1 i
Ta có: 1 1 1 z i MA . Vậy tập hợp điểm biểu
diễn số phức là hình tròn tâm
1,1 , 1 A R như hình
vẽ
Để max z
max OM
M thỏa hệ:
2 2
2 2 2 2
1 1 1
,
2 2
x y
x x
y x
Câu 24: Cho số phức z thỏa mãn
2
2 5 1 2 3 1
z z z i z i và số phức w thỏa 2 2 w z i
. Tìm giá trị nhỏ nhất của w .
Hướng dẫn giải:
Ta có:
2
2 5 1 2 3 1 z z z i z i
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 59
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
1 2 0
1 2 1 2 1 2 3 1
1 2 3 1
z i
z i z i z i z i
z i z i
.
Trường hợp 1:
1 2 0 1 2 1 z i z i w .
Trường hợp 2:
1
1 2 3 1
2
z i z i b với
, z a bi a b .
2
1 3 9 3
2 2 2 2
2 2 4 2
w a i i a i w a .
Câu 25: Cho số phức
, ; , 0 z a bi a b a b . Đặt đa thức
2
2 f x ax bx . Biết
1 0, f
1 5
4 4
f . Tính giá trị lớn nhất của z .
Hướng dẫn giải:
Ta có:
1 0 2 0 2 f a b b a
1 5 5
2 3
4 4 16 4 4 4
a b a
f b .
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng Oxy là một miền kín được giới hạn
bởi các đường thẳng sau:
0; 0; 2; 3
4
x
x y y x y .
Gọi M là điểm biễu diễn số phức
max max z z OM .
M là 1 trong các định sau
0;0 , 2;0 , 2;4 , 0;3A B C D .
max 2 5 Om OC .
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 60
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
DẠNG 5: GTLN, GTNN TRÊN SỐ PHỨC
Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn
2 3 1
z i
. Giá trị lớn nhất của
1
z i
là:
A.
13 2
. B. 4. C. 6. D.
13 1
Hướng dẫn giải:
Ta có:
2 3 1 2 3 1 2 3 1 (2 3 ) 1
z i z i z i z i
Đặt
1
w z i
Tập hợp điểm biểu diễn w là đường tròn tâm I, tâm I là điểm biểu diễn của số phức
2 3 1 3 2
i i i
, tức là
(3; 2)
I , bán kính
1
r
Vậy
2 2
max
3 ( 2) 1 13 1
w OI r
Chọn D
Câu 2: Số phức
0
z thỏa mãn
2.
z Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
z i
P
z
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
Lời giải
Ta có
1 1
1 1 1 1 1 1 .
i i i i
z z z z z z
Mặt khác
1 1
2
2
z
z
suy ra
1 3
.
2 2
P
Suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là
3 1
, .
2 2
Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
P
là
2.
Chọn B.
Câu 3: Cho số phức
z
thỏa mãn
1
z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
5
1 .
i
A
z
A.
5.
B.
4.
C.
6.
D.
8.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
5 5 5
1 1 1 6.
i i
A
z z z
Khi
6.
z i A
Chọn C.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 61
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 4: Cho số phức
z
thỏa mãn
1
z . Tìm giá trị lớn nhất
max
M
và giá trị nhỏ nhất
min
M
của biểu
thức
2 3
1 1.
M z z z
A.
max min
5; 1.
M M
B.
max min
5; 2.
M M
C.
max min
4; 1.
M M
D.
max min
4; 2.
M M
Hướng dẫn giải:
Ta có:
2 3
1 1 5
M z z z , khi
max
1 5 5.
z M M
Mặt khác:
3 3 3 3 3
3
1 1 1 1 1
1 1,
1 2 2 2
z z z z z
M z
z
khi
min
1 1 1.
z M M
Chọn A.
Câu 5: Cho số phức
z
thỏa
2
z . Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
z i
P
z
.
A.
3
.
4
B.
1.
C.
2
. D.
2
.
3
Hướng dẫn giải:
Ta có
1 3
1 1 .
| | 2
i
P
z z
Mặt khác:
1 1
1 1 .
| | 2
i
z z
Vậy, giá trị nhỏ nhất của
P
là
1
2
, xảy ra khi
2 ;
z i
giá trị lớn nhất của
P
bằng
3
2
xảy ra
khi
2 .
z i
Chọn A.
Câu 6: Cho số phức
z
thỏa mãn
1
z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 31 .
P z z
A.
3 15
B.
6 5
C.
20
D.
2 20.
Hướng dẫn giải:
Gọi
; ;
z x yi x y . Ta có:
2 2 2 2
1 1 1 1;1 .
z x y y x x
Ta có:
2 2
2 2
1 31 1 3 1 2 1 3 2 1
P z z x y x y x x
.
Xét hàm số
2 1 3 2 1 ; 1;1 .
f x x x x Hàm số liên tục trên
1;1
và với
1;1
x ta có:
1 3 4
0 1;1 .
5
2 1 2 1
f x x
x x
Ta có:
max
4
1 2; 1 6; 2 20 2 20.
5
f f f P
Chọn D.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 62
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 7: Cho số phức
z
thỏa mãn
1.
z Gọi
M
và
m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
2
1 1.
P z z z Tính giá trị của
.
M m
.
A.
13 3
.
4
B.
39
.
4
C.
3 3.
D.
13
.
4
Hướng dẫn giải:
Gọi
; ;
z x yi x y . Ta có:
1 . 1
z z z
Đặt
1
t z
, ta có
0 1 1 1 2 0;2 .
z z z t
Ta có
2
2
2
1 1 1 . 2 2 .
2
t
t z z z z z z x x
Suy ra
2
2 2 2
1 . 1 2 1 2 1 3
z z z z z z z z z x x t .
Xét hàm số
2
3 , 0;2 .
f t t t t Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra
13 13 3
max ; min 3 . .
4 4
f t f t M n
Chọn A.
Câu 8: Gọi
, z x yi x y
là số phức thỏa mãn hai điều kiện
2 2
2 2 26
z z và
3 3
2 2
z i
đạt giá trị lớn nhất. Tính tích
.
xy
A.
9
.
4
xy B.
13
.
2
xy C.
16
.
9
xy D.
9
.
2
xy
Hướng dẫn giải:
Đặt
, .
z x iy x y
Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được
2 2
36.
x y
Đặt
3cos , 3sin .
x t y t
Thay vào điều kiện thứ hai, ta có
3 3
18 18sin 6.
4
2 2
P z i t
Dấu bằng xảy ra khi
3 3 2 3 2
sin 1 .
4 4 2 2
t t z i
Chọn D.
Câu 9: Cho hai số phức
1 2
,
z z
thỏa mãn
1 2
8 6
z z i
và
1 2
2
z z . Tìm giá trị lớn nhất của
1 2
P z z
.
A.
4 6
P B.
2 26
P C.
5 3 5
P D.
32 3 2
P
Hướng dẫn giải:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 63
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi:
2 2
1
2 2
2 2
2
8 6
100
, , ,
4
4
a c b d i i
a c b d
z a bi
a b c d
z c di
a c b d
a c b d
.
2 2 2 2
2 2 2 2
104 52
a c b d a c b d a b c d .
Mặc khác:
. .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 26
B C S
P a b c d a b c d
.
Cách 2:
Gọi
,
A B
lần lượt là điểm biểu diễn số phức
1 2
,
z z
trên mặt phẳng phức và
D
là điểm thứ tư
của hình bình hành
AOBD D
là điểm biểu diễn số phức
1 2 1 2
10
z z OD z z .
1 2
z z
chính là độ dài đoạn
AB
.
OAB
có
2 2 2
2
2 2
2 2 2
2 . .cos 4
104 2
2 . .cos 100
AB OA OB OAOB AOB
OA OB OA OB
OD OA OB OAOB AOB
1 2
max
max
104 2 26 2 26
OA OB z z .
Câu 10: Cho số phức
z
thỏa
1
z . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức
1 2 1
T z z
.
A.
max 2 5
T . B.
max 2 10
T . C.
max 3 5
T . D.
max 3 2
T
Hướng dẫn giải:
Gọi
2 2
, 1
z a bi a b a b .
Ta có:
2 2
2 2
1 2 1 1 2 1
T z z a b a b
. .
2 2 2 2 2 2
2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 4 2 5
B C S
a b a a b a a a
.
Vậy
max 2 5
T .
Câu 11: Cho số phức
z
thỏa mãn
2
2 5 1 2 3 1
z z z i z i . Tính
min | |
w
, với
2 2
w z i
.
A.
3
min | |
2
w . B.
min | | 2
w . C.
min | | 1
w . D.
1
min | |
2
w .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có
2
2 5 1 2 3 1 1 2 1 2 1 2 3 1
z z z i z i z i z i z i z i
1 2 0
1 2 3 1
z i
z i z i
.
Trường hợp
1
:
1 2 0
z i
1 1
w w
1
.
Trường hợp 2:
1 2 3 1
z i z i
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 64
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
z a bi
(với ,
a b ) khi đó ta được
2 2
1 2 1 3 2 3
2
a b i a b i b b b .
Suy ra
2
3 9 3
2 2 2 2
2 4 2
w z i a i w a
2
.
Từ
1
,
2
suy ra
min | | 1
w .
Câu 12: Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
1 2
z . Tìm giá trị lớn nhất của
2
T z i z i
.
A.
max 8 2
T
. B.
max 4
T . C.
max 4 2
T
. D.
max 8
T .
Hướng dẫn giải:
2 1 1 1 1
T z i z i z i z i
.
Đặt
1
w z
. Ta có
1
w và
1 1
T w i w i
.
Đặt
.
w x y i
. Khi đó
2
2 2
2
w x y
.
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
1 1 1 1
1. 1 1 1. 1 1
1 1 1 1 1 1
2 2 2 4 4
T x y i x y i
x y x y
x y x y
x y
Vậy
max 4
T .
Chọn B.
Câu 13: Cho số phức
z
thỏa mãn
2 3 1
z i
. Giá trị lớn nhất của
1
z i
là
A.
13 2
. B.
4
. C.
6
. D.
13 1
.
Hướng dẫn giải:
Gọi
z x yi
ta có
2 3 2 3 2 3
z i x yi i x y i
.
Theo giả thiết
2 2
2 3 1
x y nên điểm
M
biểu diễn cho số
phức
z
nằm trên đường tròn tâm
2;3
I bán kính
1
R
.
Ta có
2 2
1 1 1 1 1 1
z i x yi i x y i x y
.
Gọi
;
M x y
và
1;1
H thì
2
2
1 1
HM x y .
Do
M
chạy trên đường tròn,
H
cố định nên
MH
lớn nhất khi
M
là giao của
HI
với
đường tròn.
M1
I
H
M2
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 65
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Phương trình
2 3
:
3 2
x t
HI
y t
, giao của
HI
và đường tròn ứng với
t
thỏa mãn:
2 2
1
9 4 1
13
t t t nên
3 2 3 2
2 ;3 , 2 ;3
13 13 13 13
M M
.
Tính độ dài
MH
ta lấy kết quả
13 1
HM .
Chọn D.
Câu 14: Cho số phức thỏa
1
z . Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
2
1 1
P z z z
.
Hướng dẫn giải:
Đặt
2 2
; 1
z a bi a b a b .
2
2
1 1 2 1
z a b a
2 2 2 2 2 2
1 2 2 2 1
z z a abi b a bi a b a a a bi
2
2 2
2 2 2 2
2 2 1 2 1 2 1
a a a b a a b a
.
Vậy
2 1 2 1
P a a .
Xét
max 1 3
1
;1
1
2
min 3
2
P P
a
P P
. Xét
7 13
max
8 4
1
1;
2
1
min 3
2
P P
a
P P
.
Kết luận
1
1
13 7 15
max
4 8 8
1 3
min 3
2 2
z
z
P z i
P z i
.
Câu 15: Cho số phức thỏa mãn Giá trị lớn nhất của là
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải:
Tập hợp điểm biểu diễn số phức
z
là đường tròn tâm
2;3
I bán kính
1
R
.
Gọi
1 1 1 1
z x yi z i x yi i x y i
. Gọi
1;1
K
Do đó
max
1 1 13
z i IK R .
Chọn D.
z
2 3 1
z i
1
z i
13 2.
4.
6.
13 1.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 66
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 16: Cho số phức
z
thoã mãn điều kiện
2 1 2
z i z i
. Gọi
w
là số phức thoã mãn điều
kiện
1 2
w i z . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P w
là:
A.
min
5
P . B.
min
5
34
P . C.
min
5
41
P . D.
min
3
P
Hướng dẫn giải:
Ta có:
2 1 2 1 2 2 1 1 3
z i z i i z i i z i
4 2 1 3
w i w i
. Gọi
4; 2 ; 1;3
A B và
M w
suy ra
MA MB
nên tập hợp
điểm M là trung trực của AB có PT là:
3 5 5 0
x y d
Ta có:
min
5
;
34
w OM OM d O d .
Chọn B.
Câu 17: Cho số phức
z
thoã mãn
1 2
z i . Gọi
A
và
B
lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của 2
z i
. Giá trị của biểu thức
2
2
P A B
gần bằng.
A. 6. B. 7. C. 8. D. 9
Hướng dẫn giải:
Tập hợp điểm biểu diễn số phức
z
là đường tròn tâm
1;1
I bán kính
2
R
Gọi
2; 1
K khi đó
max
2 5 2
A z i IK R ;
5 2
B
Do đó
2
2 8
P A B
.
Chọn C.
Câu 18: Cho số phức
z
thoã mãn
1
1 2
1
i
z i
i
. Giá trị lớn nhất của
2
A z i
là.
A.
2 2
. B.
5 2
. C.
2 5
. D. 5
Hướng dẫn giải:
Ta có:
1
1 2 1 2 . 1 2 1 2
1
i
z i iz i i z i z i
i
Tập hợp điểm biểu diễn số phức
z
là đường tròn tâm
1; 1
I bán kính
2
R
Gọi
2; 1
K suy ra
max
5
A IK R
.
Chọn D.
Câu 19: Trong tất cả các số phức thỏa mãn hãy tìm số phức có mođun nhỏ
nhất.
A. . B. . C. . D.
z
1
2 1
1
i z
i
z
min
1
z
min
2 2
z
min
0
z
min
2
z
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 67
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải:
1 2 1
1
2 1 1 2 1
1 1 1
i z i
i
z z i
i i i
Tập hợp điểm biểu diễn số phức
z
là đường tròn tâm
0;2
I bán kính
1
R
Ta có:
min
1
z OI R .
Chọn A.
Câu 20: Xét số phức
z
thỏa mãn
1 4 2 .
z i z i Tìm giá trị nhỏ nhất của
2 1.
z i
A.
98
.
5
B.
102
.
5
C.
7 10
.
5
D.
470
.
5
Hướng dẫn giải:
Ta có
2 2 2 2
1 4 2 1 1 2 4
a bi i a bi i a b a b
2 2 2 20 4 8 2 6 18 0 3 9.
a b a b a b a b
Khi đó
2 2
2 2 2 2
2 1 2 1 1 2 3 8 2
z i a bi i a b b b
2
2
22 98 98 7 10
10 44 68 10 2 1 .
5 5 5
10
b b b z i
Chọn C.
Câu 21: Xét số phức
z
thỏa mãn
2 3 1.
z i Tìm giá trị lớn nhất của
1.
z i
A.
1 13.
B.
2 13.
C. 4. D. 6.
Hướng dẫn giải:
Giả sử
2 2
2 sin
2 3 1 2 3 1
3 cos
a x
a bi i a b
b x
Ta có
2 2
2 2 2 2
1 1 1 1 3 sin 2 cos
z i a bi i a b x x
2 2 2 2
14 2 3sin 2cos 14 2 3 2 sin cos 14 2 13 1 1 13.
x x x x z i
Chọn A.
Câu 22: Cho số phức z thỏa mãn:
1 1 2 2
z i i . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ
nhất của
1 3
z i
. Khi đó
2 2
2
A B
có giá gần nhất bằng
A. 20. B. 18. C. 64. D. 32
Hướng dẫn giải:
Ta có
1 2 1 3
1 1 2 2 2
1 2 2
i i
z i i z z
i
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 68
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giả sử M là điểm biểu diễn số phức
z
. Xét điểm
1; 3
F và
1 3
; 2
2 2
E EM
Tập hợp điểm
M
là các điểm không nằm ngoài đường tròn
C
tâm
E
bán kính
2
R
Ta có:
2 2
3 10 3 10
2 2 2 64
2 2
FE EM MF FE EM MF A B .
Chọn C.
Câu 23: Cho số phức
z
thỏa mãn
3 3 8
z z . Gọi
M
,
m
lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
.
z
Khi đó
M m
bằng
A.
4 7.
B.
4 7.
C.
7.
D.
4 5.
Hướng dẫn giải:
Gọi
z x yi
với ;
x y .
Ta có
8 3 3 3 3 2 4
z z z z z z .
Do đó
4
M max z .
Mà
2 2
2 2
3 3 8 3 3 8 3 3 8
z z x yi x yi x y x y .
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
8 1. 3 1. 3 1 1 3 3
x y x y x y x y
2 2 2 2
8 2 2 2 18 2 2 2 18 64
x y x y
2 2 2 2
7 7 7
x y x y z .
Do đó
M min z .
Vậy
4 7
M m .
Chọn B.
Câu 24: Cho số phức z thỏa mãn:
1 2 2 5
z i . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của
z i
. Khi đó
.
A B
có giá trị bằng
A. 10. B. -10. C. 12. D. -12
Hướng dẫn giải:
Giả sử M là điểm biểu diễn số phức
z
. Xét điểm
0; 1
F và
1;2 2 5
E EM
Tập hợp điểm
M
là các điểm không nằm ngoài đường tròn
C
tâm
E
bán kính
2 5
R
Ta có:
2 5 10 2 5 10 10
FE EM MF FE EM MF AB .
Chọn A.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 69
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn:
1 2
z i . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của
2
z . Khi đó
2 2
A B
có giá trị bằng
A. 20. B. 18. C. 24. D. 32
Hướng dẫn giải:
Giả sử M là điểm biểu diễn số phức
z
. Xét điểm
2;0
F và
1; 1 2
E EM
Tập hợp điểm
M
là các điểm không nằm ngoài đường tròn
C
tâm
E
bán kính
2
R
Ta có:
2 2
10 2 10 2 24
FE EM MF FE EM MF A B .
Chọn C.
Câu 26: Cho số phức
z
thỏa mãn
1 2 4
z i . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của
2
z i
. Giá trị của
2 2
T M m
là
A.
50
T . B.
64
T . C.
68
T . D.
16
T
Hướng dẫn giải:
Đặt
2 2
w z i z w i
, khi đó
1 2 2 1 2 3 3 4.
z i w i i w i
Suy ra
2 2
max
2 2
2 2
min
3 3 4 3 2 4
68.
3 3 4 3 2 4
M w
M m
m w
Chọn C.
Câu 27: Cho số phức
z
thỏa mãn
1 2 10
z i . Giá trị lớn nhất của
1 4
z i
bằng
A.
10
. B.
10 3
. C.
3 10
. D.
4 10
Hướng dẫn giải:
Ta có
2
1 2 10 1 2 10
z i z i
1 2 . 1 2 10
z i z i .
1 2 . 1 2 10
z i z i
1 2 . 1 2 10 1 2 10.
z i z i z i .
Đặt
1 4 1 4
w z i z w i
, khi đó
1 2 2 6 10.
z i w i
Vậy giá trị lớn nhất là
2 2
max max
10 2 6 3 10 1 4 3 10.
w z i
Chọn C.
Câu 28: Cho số phức
z
thỏa mãn
2 1 1
i z . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
1
z
bằng
A.
3
. B.
2 2
. C.
2
5
. D.
2 3
Hướng dẫn giải:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 70
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có
2 1
1 1 2 1
2 1 1
2 2 2 5 5
5
i z
i
i z z z
i i i
.
Đặt
1 1
w z z w
, khi đó
2 2
max
2 7 1 7 1 1 1
2 .
5 5 5 5 5 5
5 5 5
i i
z w w
Và
2 2
max
7 1 1 1
2 .
5 5
5 5
w Vậy
min max
2 2.
w w
Chọn B.
Câu 29: Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
2 1
z i
. Giá trị lớn nhất của
1
z
là
A.
2 1
. B.
2 1
. C.
2
. D.
1
Đặt
1 1
w z z w
, khi đó
2 2
max
2 1 1 1 1 1 1 2.
z i w i w
Chọn A.
Câu 30: Cho số phức
,
z x yi x y thỏa mãn điều kiện
1 2 3 5
z i z i . Gọi
,
M m
lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
2
.
P x z
. Tổng
2
M m
bằng
A.
54.
B.
27.
C.
18.
D.
9.
Hướng dẫn giải:
Đặt
, ;
z
z x yi x y M x y
và
1;1 , 2;3
A B suy ra
5.
AB
Từ giả thiết ta có
2 2 2 2
1 2 3 1 1 2 3 .
z i z i x y x y MA MB AB
M
thuộc đường thẳng
:2 1 0 2 1
AB x y y x
với
2; 1
x .
Khi đó
2 2
2 3 2
. . 2 1 5 4
P x z x x x x x x
. Đặt
3 2
5 4
f x x x x
.
Xét hàm số
f x
trên đoạn
2; 1
, có
2
' 15 8 1 0; 2; 1
f x x x x .
Suy ra
f x
là hàm số đồng biến trên
2; 1
1 2
2 54.
2 26
M f
M m
m f
Chọn A.
Câu 31: Cho số phức
2 ;
z x yi x y thỏa
1
z . Tính tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
P x y
.
A. 0. B.
. C.
. D.
5
2
Hướng dẫn giải:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 71
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Theo giả thiết ta có:
2
2 2
2 2
2
1
5 2 1 0 *
4 1
4 1 0
z
y Py P
x y
P y y
x P y
P x y
x P y
x P y
.
Để hệ có nghiệm thì phương trình
*
có nghiệm với mọi
y .
2 2
*
2
' 5 1 0
5 5 5
4 2 2
P P
P P
max min 0
P P .
Câu 32: Cho số phức
1 2
i m
z m
m m i
. Gọi
k k là giá trị nhỏ nhất sao cho tồn tại
1
z k
. Giá trị
k
thuộc khoảng nào sau đây.
A.
1 1
;
3 2
. B.
1 2
;
2 3
. C.
2 4
;
3 5
. D.
4
;1
5
Hướng dẫn giải:
2 2
1
1
1
1 2 2
m i
i m i m
z z
m m i i mi m i m m i
Ta có:
0
a
a
b
b b
. Áp dụng
2
2
1
2 1
1
1
m i
m m
z
m i m
2
2
2
0
1
2 2
1
k
z k
m m
k
m
. Xét
2
2
2 2
1
m m
f m
m
Theo yêu cầu bài toán, tồn tại
min
k
để 1
z k
2
min
f m k
Ta có
2
5 1
1 5 3 5 5 1
min 0
2 2 4 2
f m f k k .
Vậy
5 1
2
k là giá trị
k
cần tìm
B
.
Cách biến đổi khác, bình thường hơn:
2 2 2 2
1
1 2 2 1 1
i m i m m i
z
m m i i mi m i m m m
2
2
2 2
2 2 2 2
1 1 1
1 1
1 1 1 1
m m i m m
z z
m m m m
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 72
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2
2
2 2 2 2
2
2
2
2 2 2
2
1 2 1 1 1
1 2 2
1
1 1 1
1
m m m m m m
m m
z
m m m
m
.
Câu 33: Cho số phức
2017
1 1
z . Gọi
P z
. Tính
2017. max 2017. min
A P P
.
A.
2016
2017. 2
A
. B.
2017
2017. 3
A . C.
2017
2017. 2
A
. D.
2017
A
Hướng dẫn giải:
Ta có:
2017
2017 2017
max 0 max P z P z z .
2017
2017 2017
min 0 min P z P z z .
Gọi
2017
,
z a bi a b
Tập hợp điểm biểu diễn số phức
2017
z
là đường tròn tâm
0;1
I có bán kính
1
R
.
2017
2017
2017
2017
max 2
max 2017. 2
2017. 2
min 0min 0
P
P
A
PP
.
Câu 34: Cho số phức
,
z a bi a b thỏa mãn
1 2
z i z i
và
2 3 1
P z i z
đạt
giá trị nhỏ nhất. Tính
2
P a b
:
Hướng dẫn giải:
Ta có:
1 2 1
z i z i a b
.
2 2 2
2
2 3 1 2 3 1
P P z i z a b a b
.
Xét trong mặt phẳng phức
Oab
, xét các điểm
; , 2;3 , 1;0
M a b A B với
M
điểm biểu
diễn số phức
: 1 0
z M d a b .
Ta có:
2 2 2
2
2 3 1
MA MB a b a b
. Vậy ta tìm
M d
sao cho
min
MA MB .
Do
1 1 0 ,
A A B B
x y x y A B
cùng thuộc một phía so với đường thẳng
d
.
Gọi
'
A
là điểm đối xứng của
A
qua
d
.
Ta có:
' '
MA MB MA MB A B
. Dấu
" "
xảy ra khi
3 1 5
' ; 2
2 2 2
M A B d M P a b
.
Câu 35: Cho số phức
,
z a bi a b thỏa mãn
1 2
z i z i
và
2 3 1 2
P z i z i
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính
2
P a b
:
Hướng dẫn giải:
Ta có:
1 2 1
z i z i a b
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 73
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2 2 2 2
2 3 1 2 3 1 2 P P z i z a b a b .
Xét trong mặt phẳng phức Oab , xét các điểm
; , 2;3 , 1; 2M a b A B với
M
điểm biểu
diễn số phức
: 1 0 z M d a b .
Ta có:
2 2 2 2
2 3 1 2 MA MB a b a b . Vậy ta tìm M d sao cho
min
MA MB .
Do
1 1 0 ,
A A B B
x y x y A B khác phía so với đường thẳng d .
Ta có:
MA MB AB
. Dấu
" "
xảy ra khi
3 1 5
; 2
2 2 2
M AB d M P a b
.
Câu 36: Cho số phức z a bi thỏa 1 2 z i z i và 3 P z i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính
2 A a b .
Hướng dẫn giải:
Gọi
, z a bi a b .
Ta có: 1 2 1 0 z i z i a b .
Vậy tập hợp điểm
: 1 0 M a b .
Trong mặt phẳng phức xét
0;3 A P MA với
M .
Vậy
min
; 2 2
MA d A .
Câu 37: Cho số phức
2 , z a bi a b và đa thức:
2
1 f x ax bx . Biết
1 1 f . Tính
giá trị lớn nhất của z .
A.
2
. B.
2 2
. C. 5 . D. 7
Hướng dẫn giải:
Ta có:
2
2
2 z a b .
1 1 1 1 2 2 2 2 1 f a b a b .
Đặt
2
a x
b y
, ta có
2 4 0
2 2 2 2 2 4 0
1 2 2 2 *
2 2 2 2 2 0
2 0
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
.
Miền nghiệm S của
* là tứ giác ABCD (kể cả cạnh).
Với
0;0 , 1;2 , 2;0 , 1; 2 A B C D .
Dễ dàng nhận thấy ABCD là hình thoi.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 74
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
;
M x y
là điểm biểu diễn số phức
z
trên mặt phẳng
Oxy M
chạy tung tăng trong
miền
S
.
Ta có
max max
z OM z OM .
Ta dễ nhận thấy
max max 5
OM OB OD z . Nhưng nhóm muốn chứng minh thêm
cho mọi người xem, phần chữ màu đỏ.
CHỨNG MINH:
Vì
OBC
và
ODC
đối xứng nhau qua trục
Ox
nên xét
M
chạy tung tăng trên
OBC
(
O A
).
Gọi
N OM BC OM ON
và
N
thuộc cạnh
BC
.
H
là hình chiếu của
O
trên
HN HB
BC
HN HC
.
Ta lại có
HN
là hình chiếu của
ON
trên
BC
.
HB
là hình chiếu của
OB
trên
BC
.
HC
là hình chiếu của
OC
trên
BC
.
Từ đó ta có
max max ;
ON OB OM OB
OM OB OC
ON OC OM OC
.
Mà
5
max 5
2
OB
OM OB M B
OC
.
Do tính đối xứng nên
1;2
max max 5
1; 2
M B
OM z
M D
.
Câu 38: Cho hàm số phức
2
4
f z i z az b
với
,
a b
là số phức. Biết
1 ,
f f i
là số thực.
Tính giá trị nhỏ nhất của
P a b
.
Hướng dẫn giải:
Gọi:
1 1
1 2 1 2
2 2
, , ,
a x y i
x x y y
b x y i
.
Ta có:
2
4
f z i z az b
.
1 2 1 2
1 4 4 1
f i a b x x y y i
.
1 2 1 2
4 4 1
f i i ai b y x x y i
.
Do
1 ,
f f i
là số thực
1 2
1 1
1 2
1 0
2 0
1 0
y y
x y
x y
.
Vậy để thỏa yêu cầu bài toán thì
: 2 0
a x y trong mặt phẳng
Oxy
còn
là số
phức tự do.
min
; 0 2
P a b d O .
Câu 39: Cho số phức
z
thỏa
1 2 2 2
z i . Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
1 2017 3 4
P z z i
.
Hướng dẫn giải:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 75
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
,
z a bi a b .
Gọi
;
M a b
là điểm biểu diễn số phức
z
trong mặt phẳng phức.
Trong mặt phẳng phức xét các điểm
1;0 , 3;4
A B .
Ta luôn có:
2 2 2
2
2 2
2017 0
2017
MA MB AB py ta go
P MB MB AB
P MA MB
.
2 2 2 2
2017 1 2. .2017 0 *
MB P MB P AB .
Để phương trình
*
có nghiệm thì:
2 2 2 2 2
*
' 0 2017 2017 1 0
P P AB
2 2 2 2
2017 1 2017 1
P AB P AB
.
Câu 40: Cho số phức
z
thỏa mãn
3 4 5
z i . Gọi
,
M m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của
2 2
2
P z z i
. Tính giá trị
2 2
A M m
.
Hướng dẫn giải:
Gọi
,
z a bi a b .
Ta có:
2 2
3 4 5 3 4 5
z i a b .
z
thuộc đường tròn
C
có tâm
3;4
I và bán kính
5
R .
Mặt khác:
2 2
2 4 2 3 0
P z z i a b P .
Vậy
z
thuộc đường thẳng
:4 2 3 0
a b P .
Ta có:
z C
z
Để
z
thì
;
C d I R
23
5 13 33
2 5
P
P
1258
A .
Câu 41: Cho số phức
0
z thoả
2
z . Họi
,
M m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
z i
P
z
. Tính
2 2
A M m
:
Hướng dẫn giải:
Gọi
1
z i
T T z i
z
.
1
T Không có số phức nào thoả mãn.
Xét
1
1 2 1
1 1 2
i i
T z z T
T T
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 76
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức
T
là hình tròn tâm
1;0
I có bán kính
1
2
R .
3
5
2
1
2
2
M OI R
A
m OI R
.
Câu 42: Cho số phức
z
thỏa
5
z . Tìm giá trị nhỏ nhất của
3 4
5
z
.
Hướng dẫn giải:
Đặt
3 4 3 5 4 3 5 4
5
i A i A i
A z z
z A A
3 5 4
5 3 5 4 5
A i
A i A
A
.
Gọi
,
A x yi x y
2 2
2 2
5 3 5 4 5
x y x y
.
6 8 5 0
x y .
Vậy tập hợp điểm của số phức
:6 8 5 0
A x y .
1
min ;
2
A d O .
Câu 43: Cho số phức
z
thỏa
5
z . Tìm giá trị nhỏ nhất của
4
5
z i
z
.
Hướng dẫn giải:
Đặt
4
5
z i
A
z
. Xét
1
A không có số phức
z
nào thỏa. Vậy
1
A
5 4 5 4
1 1
A i A i
z z
A A
5 4
5 5 4 5 1
1
A i
A i A
A
.
Gọi
,
A x yi x y
2 2 2
2
5 5 4 5 1
x y x y
.
50 40 9 0
x y .
Vậy tập hợp điểm của số phức
:50 40 9 0
A x y .
9
min ;
10 41
A d O .
Câu 44: Cho
1
z
là số phức,
2
z
là số thực thoả mãn
1
2 1
z i
và
2 1
1
z z
i
là số thực. Gọi
,
M m
lần
lượt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
1 2
z z
. Tính
2 2
A M m
.
Hướng dẫn giải:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 77
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trong mặt phẳng phức Oxy :
Gọi ,A B lần lượt là điểm biểu điểm số phức
1 2
,z z
.
2
2
: 2 1 A C x y và B Ox
2 1
z z OB OA AB .
Ta có
1 2
1;1
1 2
z z
k k AB k
i
Đường thẳng
AB
có véctơ pháp tuyến là
1; 1 .
Ta có:
AB
tạo với trục Ox một góc
0
45
.
0 0
0
0 0
max 3
max 3 2
sin 45 sin 45
20
min 1
sin 45
max 2
sin 45 sin 45
AO
AB
AO
AB P
AO
AB
.
Câu 45: Cho
1 2
,z z
là nghiệm của phương trình 6 3 2 6 9 i iz z i thõa mãn
1 2
8
5
z z . Gọi
,M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
1 2
z z . Tính P M m.
Hướng dẫn giải:
Đặt
, z a bi a b . Ta có:
2 2
6 3 2 6 9 3 4 1 i iz z i a b C .
Trong mặt phẳng phứcOxy , gọi ,A B lần lượt là điểm biểu diễn số phức
1 2
,z z
và ,I H lần
lượt là tâm đường tròn
C , trung điểm
AB
.
2 2
1 2
, : 3 4 1
2 2

A B C x y
z z OA OB OH OH
.
Với 3 điểm , ,O I H ta có: OI IH OH OH HI .
2 2
2 2
44 56
2 2 2 2 20
4 4 5 5
AB AB
OI IA OH OI IA OH P .
Dấu
" "
xảy ra:
Khi OH đạt giá trị nhỏ nhất thì , ,O H I thẳng hàng theo thứ tự đó.
Khi OH đạt giá trị lớn nhất thì , ,O I H thẳng hàng theo thứ tự đó.
Câu 46: Cho số phức
1 2
,z z
thoả mãn
1 2 2
3 4 1, 1 z i z z i và
1 2
2
z z
i
là số thực. Gọi ,M m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
1 2
z z . Tính P M m.
Hướng dẫn giải:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 78
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi ,A B lần lượt là điểm biểu diễn của
số phức
1 2
,z z
.
2 1 2 1
z z OA OB AB z z AB
.
Ta có
1 2
2; 1
2
z z
k k AB k
i
Đường thẳng
AB
có véctơ pháp tuyến
là
1;2 .
Trong mặt phẳng phức Oxy ta có:
2 2
1
2
: 3 4 1
: 0
z C x y
z d x y
.
Ta có góc giữa
AB
và d là:
.
3 10
cos ;
10
.
AB d
AB d
n n
AB d
n n
1
sin ;
10
AB d .
Ta có
C không cắt
d
; 0
C
d I d R . Gọi
H
là hình chiếu của
A
trên
d .
;
max
max 7 5 10
sin ; sin ;
14 5
sin ;
;
min
max 7 5 10
sin ; sin ;
C
C
d I d R
AH
AB
AB d AB d
AO
AB P
AB d
d I d R
AH
AB
AB d AB d
.
Câu 47: Cho số phức z thoả mãn z không phải là số thực và
2
2
z
w
z
là thực. Giá trị lớn nhất của
1 P z i là:
Hướng dẫn giải:
Do 0 z z . Ta có:
2
2
1 2 2
2
z z
w z
z w z z
.
Gọi
, z a bi a b .
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
1
a bi
a
z a bi a bi a b i
z a bi a b a b a b
.
Do
2 2
2 2
0
1 2
1 0
2
b loai
b
w a b
a b
.
Vậy tập hợp điểm của số phức z là đường tròn
2 2
: 2 C a b trong mặt phẳng phức.
Trong mặt phẳng phức xét điểm
1;1 max 2 2
C
A P MA P OA R .
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 79
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 48: Cho số phức
z
thỏa
3 4 2
z i và
2
P z i
. Gọi
,
M m
lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của
P
. Tính
A M m
.
Hướng dẫn giải:
Gọi
,
z a bi a b .
Ta có:
2 2
3 4 2 3 4 4
z i a b .
Vậy tập hợp điểm
2 2
: 3 4 4
M C a b có tâm
3;4
I và bán kính
2
R
Trong mặt phẳng phức xét
2;1
A , ta có: 2
P z i MA
với
2 2
: 3 4 4
M C a b .
Vậy:
min
max
34 2
34 2
MA AI R
MA AI R
.
Câu 49: Cho hai số phức
1 2
;
z z
thỏa mãn
1
1
2
2
iz và
2 1
z iz
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 2
z z
.
A.
1
2
2
B.
1
2
2
C.
1
2
2
D.
1
2
2
Hướng dẫn giải:
Bài toán này, thực chất là dựa trên kiến thức “ Biểu
diễn hình học số phức”. Ta thấy nếu đặt
1 1 1 1 1
;
z x y i x y . Khi đó điểm
1 1
;
M x y
là
điểm biểu diễn số phức
1
z
thỏa mãn:
1 1
1
2
2
i x y i
1 1
1
2
2
ix y
2
2
1 1
1
2
4
x y . Suy ra tập hợp các điểm M
biểu diễn
1
z
là đường trong
C
có tâm
0; 2
I và
bán kính
1
2
R .
Khi đó nếu N là điểm biểu diễn của số phức
2
z
thì
việc tìm GTNN của
1 2
z z
là việc tìm GTNN của MN.
Theo đề thì
2 1 1 1 1 1
;
z iz y x i N y x
là điểm biểu diễn
2
z
. Ta nhận thấy rõ ràng
1 1 1 1
. 0
OM ON x y x y
OM ON
. Dễ nhận thấy
2 2
1 1
OM ON x y
Ta có hình vẽ sau:
I
M
N
y
x
M’
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 80
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Do
OMN
là tam giác vuông cân tại O nên
2
MN OM
, do đó để MN nhỏ nhất thì OM
nhỏ nhất. Dễ thấy, OM nhỏ nhất khi
'
M M
(M’ là giao điểm của OI với đường tròn như
hình vẽ) Tức là
1
0; 2
2
M
. Khi đó
1 1
2 2 2 2
2
2
MN OM
.
Câu 50: Xét số phức
z
và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là
,
M M
. Số phức
(4 3 )
w z i
và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là
,
N N
. Biết rằng
, , ,
M M N N
là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của
4 5
z i
.
A.
5
34
. B.
2
5
. C.
1
2
. D.
4
13
Hướng dẫn giải:
Gọi số phức
,
z a bi a b .
4 3 4 3 3 4 4 3 3 4
w a bi i a b a b i w a b a b i
Ta có:
M
và
'
M
đối xứng nhau qua trục
Ox
,
N
và
'
N
đối xứng nhau qua trục
Ox
'
'
MM Ox
NN Ox
.
Ta có:
, , ,
M M N N
là bốn đỉnh của hình chữ nhật
' '
MM N N
hoặc
' '
MM NN
.
Trong mặt phẳng phức
Oab
, xét điểm
5; 4
A 4 5
z i MA
Trường hợp 1: Với hình chữ nhật
' '
MM N N
.
' ' / / 3 4 0
M N
MN M N MN Ox y y b a b a b
1
: 0
M d a b . Vậy
min 1
5 4
1
;
2 2
MA d A d .
Trường hợp 2: Với hình chữ nhật
' '
MM NN
.
'
' ' ' '/ / 3 4 3 5 0
M N
MN M M MN Ox y y b a b a b
2
:3 5 0
M d a b . Vậy
min 2
2 2
3.5 5. 4
5
;
34
3 5
MA d A d
.
Vì
1 2 min
1
; ;
2
d A d d A d MA .
Câu 51: Cho số phức
1
z
thỏa
1 1
1
z i z
, số phức
2
z
thỏa
2
5 35
5 23 4
i
z i
là số thực và số phức
w
thỏa điều kiện
2 1 3 2 2
w i w i . Cho
1 2 1 2
P w z w z z z
, gọi
a
là giá
trị nhỏ nhất của biểu thức
P
(nếu có). Đáp án nào sau đây là đúng:
A.
16 10
5
a . B.
8 10
5
a . C.
6 4 5
2
a . D.
3 4 5
2
a
Hướng dẫn giải:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 81
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trong mặt phẳng phức Oxy gọi , ,A B C
lần lượt là điểm biểu diễn của số phức
1 2
, ,w z z
.
Gọi
1 1 1
, 1 1 0 z a bi a b z i z a b
.
1 1
: 1 0 z x y trong mặt phẳng
phức Oxy .
Ta có:
2
5 35 1
1; 7
5 23 4
i
k k CD
z i k
với
23 4
;
5 5
D
. Vậy
2
z
thuộc đường thẳng có véctơ chỉ phương là
1; 7 và đi qua điểm
D
nhưng không lấy điểm
2 2
:7 33 0 D z x y và
2
23 4
5 5
z i .
Ta có: 2 1 3 2 2 2 3 2 w i w i AE AF với
1; 1E
2; 1F .
Mà
2 2 2 2 AE AF EF
. vậy dấu
" "
xảy ra khi 2 w i .
P AB BC CA . Ta có
A
thuộc góc nhọn được tạo bởi 2 đường thẳng
1 2
, .
Gọi
1 2
,A A
lần lượt là điểm đối xứng của
A
qua
1
1 2
2
,
AB A B
AC A C
và
1
2
2;3
38 1
;
5 5
A
A
1 2 1 2
16 10
5
P AB BC CA A B BC A C A A Chọn A … ah mà thôi:v.
Dấu
" "
xảy ra khi và chỉ khi
1 2 1
1 2 2
B A A
C A A
. Ta cần tìm tọa độ C để so sánh với điểm
loại đi trên
2
23 4
;
5 5
C
Không tồn tại điểm C Không tồn tại
min
P
.
Câu 52: Cho số phức
1 2
,z z
thỏa 1 z i z và
1 2
6 2 z z , số phức
1 2
,w w
thỏa điều kiện
1
4 2
i
w i
là số thực và
1 2
3 2 w w , số phức
u
thỏa 2 2 3 1 2 6 2 u i u i . Gọi
giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau (nếu có) là
1 2 1 2
P u z u z u w u w . Đáp án
nào sau đây là đúng:
A.
3 26
. B.
9 2 6
. C.
6 2 26
. D.
3 26
Hướng dẫn giải:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 82
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trong mặt phẳng phức gọi ,A B lần lượt là
điểm biểu diễn số phức
1 2 1 2
, 6 2 6 2 z z z z AB .
Gọi
, 1 1 0
z a bi a b z i z a b
.
Vậy
1 2
, : 1 0 z z x y trong mặt
phẳng phức với
1 2
6 2 z z .
Trong mặt phẳng phức gọi , ,X C D lần lượt
là là điểm biểu diễn số phức
1 2
, ,w w w
1 2
3 2 3 2 w w CD .
Ta có:
1
1;1
4 2
i
k k XY k
w i
với
4; 2Y .
Vậy
w
thuộc đường thẳng có véctơ chỉ phương là
1;1 và đi qua điểm
4; 2Y nhưng
4 2 w i .
2
: 6 0 w x y loại đi điểm
4; 2Y .
Trong mặt phẳng phức gọi
M
là điểm biểu diễn số phức
u
.
Ta có
2;1 , 1; 2 2 2 3 1 2 6 2 2 3 6 2 E F u i u i ME MF .
Mà
2 2 2 6 2 ME MF EF
. Vậy dấu
" "
xảy ra khi và chỉ khi
0 1; 2 MF M .
P MA MB MC MD với
2 6 2 AB CD
. Ta cần tìm
min
P
.
Gọi ,E F lần lượt là định thứ tư của hình bình hành ,MCDE MBAF .
Gọi
'E
là điểm đối xứng của
E
qua
2
,
'F
là điểm đối xứng của
F
qua
1
.
Ta có:
'
' ' ' '
'
MC DE DE
P E D DM F A AM E M F M
MB AF AF
.
Dấu
" "
xảy ra khi và chỉ khi
2
1
'
'
D ME
A MF
.
Gọi N là hình chiếu của
M
trên
1
' MHA ANF g c g với
1
' N FF
' MA AF AF MB MAB cân tại
M
. Chứng minh tương tự MCD cân tại
M
.
min
6 2 26 P MA MB MC MD .
Kiểm tra lại tọa độ của ,C D . Ta viết phương trình đường tròn tâm
M
bán kính R MC .
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 83
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2
4; 2
,
1; 5
C
C D C
D
Không tồn tại
min
P
do
4 2
w i
.
| 1/84
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 0
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao A - LÝ THUYẾT CHUNG 1. Định nghĩa
- Một biểu thức dạng a bi với 2 a,b  , R i  1
 được gọi là một số phức.
- Đối với số phức z a bi, ta nói a là phần thực, b là phần ảo của . z
- Tập hợp số phức kí hiệu là
2. Hai số phức bằng nhau
- Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau. a c
- Công thức: a bi c di  b   d
Biểu diễn hình học của số phức. - Điểm M  ;
a b trong hệ tọa độ vuông góc Oxy được gọi là điểm biểu diễn của số phức z a b .i Môđun của số phức.
- Cho số phức z a bi có điểm biểu diễn là M  ;
a b trên mặt phẳng tọa độ Oxy . Độ dài của 
véctơ OM được gọi là mô đun của số phức z và kí hiệu là z .  - Công thức 2 2
z OM a bi a b .
3. Số phức liên hợp
- Cho số phức z a bi, số phức dạng z a bi được gọi là số phức liên hợp của . z
Phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia.
- Cho số phức z a bi, z c di, ta có z z a bi c di a c b d . i 1 2         1 2
- Cho số phức z a bi, z c di, ta có z z a bi c di a c b d . i 1 2         1 2
- Cho số phức z a bi, z c di, ta có z .z a bi . c di ac bd ad bc . i 1 2         1 2
- Cho số phức z a bi, z c di, (với z  0 ) tacó: 1 2 2 z a bi
a bic di ac bd  bc ad  1     i. z c di
c dic di 2 2 2 2 c d c d 2
Phương trình bậc hai với hệ số thực. Cho phương trình bậc hai 2
ax  bx c  0 với a, b, c R và a  0. Phương trình này có biệt thức 2
  b  4a , c nếu: b
-   0 phương trình có nghiệm thực x   . 2ab  
-   0 phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x  . 1,2 2a
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao b i
-   0 phương trình có hai nghiệm phức x  . 1,2 2a
4. Acgumen của số phức z  0 ĐỊNH NGHĨA 1
Cho số phức z  0 . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z . Số đo (radian) của mỗi
góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là acgumen của . z CHÚ Ý
Nếu là một acgumen của z (hình dưới) thì gọi acgumen của z có dạng k 2, k Z. (người ta
thường nói: Acgumen của z  0 xác định sai khác k 2, k Z ).
5. Dạng lượng giác của số phức
Xét số phức z a bi  0  ,
a b . Kí hiệu r là mô đun của z và của một acgumen của z
(hình dưới) thì dễ thấy rằng: a r cos, b r sin .
Vậy z a bi  0 có thể viết dưới dạng z r cos+i sin. ĐỊNH NGHĨA
Dạng z r cos+i sin , trong đó r  0, được gọi là dạng lượng giác của số phức z  0.
Dạng z a bi  0 a,b  , được gọi là dạng đại số của số phức . z
Nhận xét. Để tìm dạng lượng giác z r cos+i sin của số phức z a bi  0a,b  khác 0 cho trước ta cần:
1. Tìm r : đó là mô đun của 2 2 z, r
a b ; số r cũng là khoảng cách từ gốc O đến điểm M biểu
diễn số z trong mặt phẳng phức. a b
2. Tìm : đó là một acgumen của ;
z  là số thực sao cho cos= và sin
; số đó cũng là r r
số đo một góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM . CHÚ Ý
1. Z  1 khi và chỉ khi Z  o
c s+i sin ;.
2. Khi z  0 thì z r  0 nhưng acgumen của z không xác định (đôi khi coi acgumen của 0 là số
thực tùy ý và vẫn viết 0  0 o
c s+i sin .
3. Cần để ý đòi hỏi r  0 trong dạng lượng giác r  o
c s+i sin của số phức z  0.
6. Nhân và chia số phức lượng giác
Ta đã công thức nhân và chia số phức dưới dạng đại số. Sau đây là định lý nêu lên công thức nhân
và chia số phức dưới dạng lượng giác; chúng giúp cho các quy tắc tính toán đơn giản về nhân và chia số phức. ĐỊNH LÝ
Nếu z r  o
c s+i sin  ; z '  r ' o
c s' +i sin ' r  0, r '  0 z r
Thì zz '  rr ' cos ' +i sin ' ;     os c
'+i sin ';khi r  0 z ' r '  
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
Nói một cách khác, để nhân các số phức dưới dạng lượng giác, ta lấy tích các mô đun và tổng
acgumen; để chia các số phức dưới dạng lượng giác ta lấy thương các mô đun và hiệu các acgumen. Chứng minh
zz '  r  os
c  +i sin  r ' os
c  ' +i sin ' lim     x  rr '  os c . os
c  ' sin.sin' i sin. os
c '+cos.sin'    rr '  os c
' +i sin '.   1 1 Mặt khác, ta có  cos 
   i sin   . 
 Theo công thức nhân số phức, z r z 1 r Ta có:  z.   os c
' +i sin '. z ' z ' r '  
7. Công thức Moa-vrơ (Moivre)
Từ công thức nhân số phức dưới dạng lượng giác, bằng quy nạp toán học dễ dàng suy ra rằng với mọi số nguyên dương . n n
  os+ sin  n r c i r  o
c sn+i sin n   
Và khi r  1, ta có  n o
c s+i sin   o
c sn+i sin n
Cả hai công thức đó đều được gọi là công thức Moa – vrơ.
8. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác
Từ công thức Moa – vrơ, dễ thấy số phức z r  o
c s+i sin , r  0 có căn bậc hai là      r o c s +i sin   và  r o c s +i sin  r o c s( +)+i sin(  ) .      2 2   2 2   2 2 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
B - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
DẠNG 1: TÍNH TOÁN TRÊN SỐ PHỨC 5 z iCâu 1:
Cho số phức z thỏa mãn  2  i  
1 . Tính mô đun của số phức 2
 1 z z . z  1 A. 13 B. 15 C. 17 D. 19 Hướng dẫn giải:
Giả sử z a bi
5a bi i   1 
 2  i  5a  5i b   2
1  2a  2bi  2  ai bi i a bi 1 3
a  2  b  0 a  1
 3a  2  b i 5b  5  2b a   1  0      z  1 i
3b a  4  0 b  1  
 11 i  1 2i 1  2  3i  4  9  13 Chọn A. z Câu 2:
Cho z , z là hai số phức liên hợp của nhau và thỏa mãn 1   và z z  2 3. Tính 1 2 2 z 1 2 2
môđun của số phức z . 1 5 A. z  5. B. z  3. C. z  2. D. z  . 1 1 1 1 2 Hướng dẫn giải:
Gọi z a bi z a bi; a  ;
b   . Không mất tính tổng quát ta gọi b  0. 1 2  
Do z z  2 3  2bi  2 3  b  3. 1 2 3 z z
Do z , z là hai số phức liên hợp của nhau nên z .z   , mà 1 1 3     z  .  1 2 1 2 2 z2  z z 1 2 2 1 b  0 3 Ta có: 3
z  a bi   3 2
a  3ab    2 3 3a b b  2 3 2
i    3a b b  0   a  1. 1  2 2 3a   b Vậy 2 2 z a b  2. 1
Chọn C. m  2  6i Câu 3: Cho số phức z  ,  
m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị m 1;50 để z là số  3  i  thuần ảo? A. 24. B. 26. C. 25. D. 50. Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao m  2  6i  Ta có: z
 (2i)m  2 . m m   i  3  i
z là số thuần ảo khi và chỉ khi m  2k  1, k   (do *
z  0; m   ).
Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài. Chọn C. 2 z 1 Câu 4: Nếu z  1 thì z
A. lấy mọi giá trị phức. B. là số thuần ảo. C. bằng 0.
D. lấy mọi giá trị thực. Hướng dẫn giải: 2 z 1 1 z z Ta có:  z   z   z
z z là số thuần ảo. 2 z z z.z z Chọn B. 2 z a Câu 5:
Nếu z a; a  0 thì z
A. lấy mọi giá trị phức. B. là số thuần ảo. C. bằng 0.
D. lấy mọi giá trị thực. Hướng dẫn giải: 2 2 2 2 z a a a z a z Ta có:  z   z   z
z z là số thuần ảo. 2 z z z .z z Chọn B. z 1 z i Câu 6:
Có bao nhiêu số phức z thỏa  1 và  1? i z 2  z A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải:z 1  3  1  xi zz 1    i   zx   y   2 3 3 Ta có:         z    . i z   i
z i  2  z
4x  2 y  3 3 2 2    1  y   2   z  2  Chọn A. Câu 7:
Cho hai số phức z , z thảo mãn z z  1; z z  3. Tính z z 1 2 1 2 1 2 1 2 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Nhận xét: Bài này nhìn vào có vẻ khá khó, nhưng các em cần phải bình tĩnh, chỉ cần gọi
z a b i; z a b i
a , a , b ,b sau đó viết hết các giả thiết đề bài cho: 1 1 1 2 2 2  1 2 1 2 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao 2 2 2 2
z z  1
a b a b  1  1 2  1 1 2 2    z z  3   
a a 2  b b 2  3 1 2  1 2 1 2 2 2 2
Và viết cái cần tính ra z za ab b
. Hãy quan sát cái cần tính và thấy 1 2  1 2   1 2 
rằng chỉ cần bình phương lên là có thể dùng được giả thiết. Hướng dẫn giải:
Ta có: z a b i; z a b i
a , a , b ,b 1 1 1 2 2 2  1 2 1 2  2 2 2 2
z z  1
a b a b  1  1 2  1 1 2 2   
 2 a b a b
 1  a ab b  1 2 2  1 1 2 2   1 2 2  1 2 2 z z  3    a ab b  3 1 2   1 2   1 2  2 2 2 Vậy: z za ab b  1. 1 2  1 2   1 2  Chọn A. Câu 8: Tính 2 3 2008
z i i i  ...  i có kết quả: A. 0 B. 1 C. i D. i Hướng dẫn giải: Ta có 2 3 2008 2009
iz i i  ...  ii và 2 3 2008
z i i i  ...  i .
Suy ra z i   2009  i
i i  2008 1 i   1  0  z  0 Chọn A. Câu 9: Tính 2 3 2017
S  1009  i  2i  3i  ...  2017i .
A. S  2017 1009 i.
B. 1009  2017i.
C. 2017 1009i. D. 1008 1009 . i Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có 2 3 4 2017
S  1009  i  2i  3i  4i  ...  2017i  1009   4 8 2016
4i  8i  ...  2016i    5 9 2017
i  5i  9i  ...  2017i     2 6 10 2014
2i  6i 10i  ...  2014i    3 7 11 2015
3i  7i 11i  ...  2015i  504 505 504 504
 1009  4n  i4n  3  4n  2  i4n   1 n 1  n 1  n 1  n 1 
 1009  509040  509545i  508032  508536i  2017  1009 . i Cách khác: Đặt f x 2 3 2017
 1 x x x  ....  x f  x 2 2016
 1 2x  3x  ...  2017x xf  x 2 3 2017
x  2x  3x  ...  2017x   1 Mặt khác:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao 2018 x 1 f x 2 3 2017
 1 x x x  ....  xx 1 2017 2018xx   1   2018 x   1
f  x   x  2 1 2017 2018xx   1   2018 x   1
xf   x  . x 2 2    x   1
Thay x i vào   1 và 2 ta được: 2017 2018ii   1   2018 i   1 2  018  2018i  2 S  1009  . i  1009  i  2017 1009ii  2 1 2i 1 1 1
Câu 10: Cho số phức z có mô đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn biểu thức   . z w z w
Môđun của số phức w bằng: A. 1 B. 2 C. 2016 D. 2017 Hướng dẫn giải: z wz w2 1 1 1 1  zw Từ      0   0 z w z w zw z w
zwz w 1 3 2 2 2 2 2
z w zw  0  z zw w w  0 4 4 2 2 2 1 3  1   i 3w    2  z w   w z w        2 4 2  2        2 2 w  i 3w   1 i 3    z Từ z        z      w  w=  2   2   2 2       1 i 3      2 2   2017 Suy ra: w   2017 1 3  4 4 Chọn D. z 6  7i
Câu 11: ho số phức z thoả mãn: z  
. Tìm phần thực của số phức 2017 z . 1 3i 5 A. 1008 2  B. 1008 2 C. 504 2 D. 2017 2 Hướng dẫn giải: z 6  7i
Cho số phức z thoả mãn: z  
. Tìm phần thực của số phức 2013 z . 1 3i 5 a bi 6  7i
Gọi số phức z a bi (a,b  )  z a bi thay vào (1) ta có a bi   1 3i 5
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
(a bi)(1 3i) 6  7i a bi  
 10a 10bi a  3b i(b  3a)  12 14i 10 5
 9a  3b i(11b  3a)  12 14i 9
a  3b  12 a  1    
11b  3a  14 b  1  
a b   z   i z  
504   i   504 2017 4   i 1008 1008 1 1 (1+i) 1 4 1  2  2 i Chọn B.
Câu 12: Cho các số phức z , z khác nhau thỏa mãn: z z . Chọn phương án đúng: 1 2 1 2 z z z z A. 1 2  0 . B. 1
2 là số phức với phần thực và phần ảo đều khác 0 . z z z z 1 2 1 2 z z z z C. 1 2 là số thực. D. 1 2 là số thuần ảo. z z z z 1 2 1 2 Hướng dẫn giải: Chọn D.
Phương pháp tự luận: z z
Vì z z và z z nên cả hai số phức đều khác 0 . Đặt 1 2 w
và z z a , ta 1 2 1 2 z z 1 2 1 2 có 2 2 a a   z z z z z z z z 1 2 1 2 1 2 1 2 w         w 2 2 z z z z a a z   z 1 2  1 2 2 1  z z 1 2
Từ đó suy ra w là số thuần ảo. Chọn D.
Phương pháp trắc nghiệm: z z 1 i
Số phức z , z khác nhau thỏa mãn z z nên chọn z  1; z i , suy ra 1 2   i 1 2 1 2 1 2 z z 1 i 1 2
là số thuần ảo.
Câu 13: Cho hai số phức u,v thỏa mãn u v  10 và 3u  4v
2016 . Tính M  4u  3v . A. 2984 B. 2884 C. 2894 D. 24 Hướng dẫn giải: 2 Ta có z  .
z z . Đặt N  3u  4v . 2 2 Khi đó 2
N  3u  4v3u  4v  9 u 16 v 12uv vu .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao 2 2 Tương tự ta có 2
M  16 u  9 v 12 uv vu . 2 2 Do đó 2 2
M N  25 u v   5000 . Suy ra 2 2
M  5000  N  5000  2016  2984  M  2984 .
Câu 4( Số phức).Cho các số phức z thỏa mãn z  2 .Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn
các số phức w  3  2i  2  iz là một đường tròn.Tính bán kính r của đường tròn đó. A. 20 B. 20 C. 7 D. 7 Hướng dẫn giải: Chọn B.
Đặt w x yi, x, y  
w  3  2i  2  iz x yi  3  2i  2  iz
x  3   y  2 2 2 i 2x y  8 x  2 y 1
 2x y  8 
x  2 y 1   z    i    2     2  i 5 5  5   5 
x y  6x  4 y  7  0   x  32   y  22 2 2  20
Bán kính của đường tròn là r  20
Câu 14: Cho ba số phức z , z , z thỏa mãn z z z  1 và z z z  1. Mệnh đề nào sau 1 2 3 1 2 3 1 2 3 đây là sai.
A. Trong ba số đó có hai số đối nhau.
B. Trong ba số đó phải có một số bằng 1.
C. Trong ba số đó có nhiều nhất hai số bằng 1.
D. Tích của ba số đó luôn bằng 1. Hướng dẫn giải:
Ta có: z z z  1  1 z z z . 1 2 3 1 2 3
Nếu 1 z  0 thì z z  0  z  z . 1 2 3 2 3
Nếu 1 z  0 thì điểm P biểu diễn số phức 1 z z z không trùng với góc tọa độ O. 1 1 2 3
Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z và A là điểm biểu diễn của số 1. 1
  
Khi đó ta có OA OM OP (do P là điểm biểu diễn của số 1 z ) nên OAPM là hình 1 
bình hành. Mà z z z  1 nên các điểm biểu diễn cho ba số z , z , z đều nằm trên 1 2 3 1 2 3
đường tròn đơn vị. Ta cũng có OA OM  1 nên OAPM là hình thoi. Khi đó ta thấy M, A là
giao điểm của đường trung trực đoạn OP với đường tròn đơn vị.
Tương tự do P cũng là điểm biểu diễn của z z , nếu M’ và A’ là hai điểm biểu diễn của số 2 3
z , z thì ta cũng có M’, A’ là giao điểm đường trung trực của OP và đường tròn đơn vị. 2 3
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
Vậy M '  M , A '  A hoặc ngược lại. Nghĩa là z  1, z  z hoặc z  1, z  z . 2 3 1 3 2 1
Do đó A, B là mệnh đề đúng.
C đúng là hiển nhiên, vì nếu ba số đều 1 một thì tổng bằng 3. 2 2 2 2
D sai vì với z  1, z   i, z   
i thỏa hai tính chất trên của đề bài nhưng 1 2 3 2 2 2 2 z z z  1. 1 2 3 Chọn D. m 1
Câu 15: Cho số phức z
m  . Số các giá trị nguyên của m để z i  1 là
1 m 2i   1 A. 0 B. 1 C. 4 D. Vô số Hướng dẫn giải: m 1
m 1 i 1 2mi m
3m 1 m   1 i
Ta có z i   i  
1 m 2i   1
1 m 2i   1 1 m  2mi
3m 1 m   1 i
3m  1 m   1 iz i    1 1 m  2mi 1 m  2mi
 3m 1 m  
1 i  1 m  2mi  3m  2 1  m  2 1  1 m2 2  4m 1 2
 5m  6m 1  0  1   m   5
Vì m    Không có giá trị của m thỏa mãn. 1 1 1
Câu 16: Cho z là số phức có mô đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn   . Mô đun z w z  w
của số phức z là: A. 2015 B. 1 C. 2017 D. 0 Hướng dẫn giải: 1 1 1 Từ   ta suy ra 2 2 z  w  w z  0 z w z  w 2 2 w  i 3w   1 i 3     z        z      w 2  2   2 2       
Lấy mô đun hai vế ta có z  w  2017. Chọn C. 2z i
Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn z  1. Đặt A
. Mệnh đề nào sau đây đúng? 2  iz A. A  1. B. A  1. C. A  1. D. A  1. Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao Chọn A.
Đặt Có a a bi a b   2 2 , ,
a b  1 (do z  1) 2z i
2a  2b   1 i
4a  2b  2 2 1 A    2  iz 2  b ai 2  b2 2  a
4a  2b  2 2 1 Ta chứng minh  1. 2  b2 2  a
4a  2b  2 2 1 2 2 Thật vậy ta có 2
 1  4a  2b 1  2  b
a a b  1 2     2 2 2 2  b 2  a Dấu “=” xảy ra khi 2 2 a b  1 . Vậy A  1.
Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2
z  4  2 z . Khẳng định nào sau đây là đúng? 3 1 3 1 A.z
. B. 5 1  z  5 1. 6 6 2 1 2 1
C. 6 1  z  6 1. D. z  . 3 3 Hướng dẫn giải:
Áp dụng bất đẳng thức u v u v , ta được 2 2 2
2 z  4  z  4  4  z z  2 z  4  0  z  5 1. 2 2 2 2
2 z z z  4  z  4  z  2 z  4  0  z  5 1.
Vậy, z nhỏ nhất là 5 1, khi z  i i 5 và z lớn nhất là 5 1, khi z i i 5. Chọn B.
Câu 19: Cho z , z , z là các số phức thỏa mãn z z z  0 và z z z  1. Khẳng định 1 2 3 1 2 3 1 2 3
nào dưới đây là sai ? A. 3 3 3 3 3 3
z z z z z z . B. 3 3 3 3 3 3
z z z z z z . 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 C. 3 3 3 3 3 3
z z z z z z . D. 3 3 3 3 3 3
z z z z z z . 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn D.
Cách 1: Ta có: z z z  0  z z  z 1 2 3 2 3 1
z z z 3 3 3 3
z z z  3 z z z z
z z z  3z z z z 1 2 3 1 2 3  1 2 1 3   1 2 3  2 3  2 3 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao 3 3 3
z z z  3z z z 3 3 3
z z z  3z z z . 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 3 3
z z z  3z z z  3 z z z  3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 3 3
Mặt khác z z z  1 nên zzz
 3 . Vậy phương án D sai. 1 2 3 1 2 3
Cách 2: thay thử z z z  1 vào các đáp án, thấy đáp án D bị sai 1 2 3
Câu 20: Cho z , z , z là các số phức thỏa z z z  1. Khẳng định nào dưới đây là đúng? 1 2 3 1 2 3
A. z z z z z z z z z .
B. z z z z z z z z z . 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 2 3 3 1
C. z z z z z z z z z .
D. z z z z z z z z z . 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 2 3 3 1 Hướng dẫn giải: Chọn A.
Cách 1: Kí hiệu Re : là phần thực của số phức. 2 2 2 2
Ta có z z zzzz
 2 Re z z z z z z
 3  2 Re  z z z z z z 1 2 2 3 3 1  1 2 3  1 2 2 3 3 1  1 2 3 (1). 2 2 2 2
z z z z z zz zz zz z
 2 Re z z z z z z z z z z z z 1 2 2 3 3 1  1 2 2 3 2 3 3 1 3 1 1 2  1 2 2 3 3 1 2 2 2 2 2 2  z . zz . zz . z  2 Re  2 2 2 z z z z z z z z z 1 2 2 3 3 1 1 2 3 2 3 1 3 1 2 
 3  2 Re  z z z z z z  3  2 Re z z z z z z (2). 1 3 2 1 3 2   1 2 3 3 3 1  Từ  
1 và 2 suy ra z z z z z z z z z . 1 2 3 1 2 2 3 3 1
Các h khác: B hoặc C đúng suy ra D đúngLoại B, C.
Chọn z z z  A đúng và D sai 1 2 3
Cách 2: thay thử z z z  1 vào các đáp án, thấy đáp án D bị sai 1 2 3
Câu 21: Tìm số phức z có z  1 và z i : max A. 1 B. 1  C. i D. i Hướng dẫn giải:
Đặt z a bi thì z a b z i
a  b  2 2 2 2 ; 1 Khi đó ta có:
z   a b   b z i
a  b  2 2 2 2 2 2 1 1 1; 1 
a b  2b  1  2b  2  2
Do đó giá trị lớn nhất đạt được bằng 2 khi a  0;b  1; z i. Chọn C. n
Câu 22: Tìm phần thực của số phức z  1 i , n thỏa mãn phương trình: log n  3  log n  9  3 4   4  
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 Hướng dẫn giải:
Điều kiện n  3, n Phương trình: log n  3  log n  9  3  log
n  3 n  9  3  n  7 (so đk) 4   4   4    3 zi 7  i   i2      
   i  i 3 1 1 1 1 2  8  8i  
Vậy phần thực của số phức z là 8. Chọn D. z z
Câu 23: Cho hai số phức phân biệt z ; z thỏa mãn điều kiện 1
2 là số ảo. Khẳng định nào sau 1 2 z z 1 2 đây đúng?
A. z  1; z  1
B. z z
C. z z
D. z  z 1 2 1 2 1 2 1 2 Hướng dẫn giải:
z z z z  0 1 2 1 2 z z z zz z  Thì 1 2 là số ảo 1 2 1 2    0.   z z z z z z 1 2 1 2  1 2  z z z z 1 2 1 2  
 0   z z z zz z z z  0. 1 2   1 2   1 2   1 2  z z z z 1 2 1 2
 2  z z z z  0  z z z z  0  z z  0. 1 1 2 2  1 1 2 2 1 2 Chọn C.
Câu 24: Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa z  2i 1  z i . Tìm số phức z được
biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A1, 3 . A. 3  i . B. 1 3i . C. 2  3i . D. 2   3i . Hướng dẫn giải:
Gọi M x, y là điểm biểu diễn số phức z x yi  , x y R Gọi E 1, 2
  là điểm biểu diễn số phức 1 2i Gọi F 0,  1 
là điểm biểu diễn số phức i
Ta có: z  2i 1  z i ME MF  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung
trục EF : x y  2  0 .
Để MA ngắn nhất khi MA EF tại M M 3, 
1  z  3  i
Câu 25: Trong các số phức z thỏa mãn z  1. Tìm số phức z để 1 z  3 1 z đạt giá trị lớn nhất.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao 4 3 4 3 3 3 A. z    i, z    . i
B. z   i, z i. 5 5 5 5 5 5 4 3 4 3 3 4 3 C. z   i, z   . i
D. z   i, z    . i 5 5 5 5 5 5 5 Hướng dẫn giải:
Giả sử z x yi, , x y  Vì 2 2 2 2 z  1 
x y  1  x y  1 Khi đó:
1 z  3 1 z   x  2
1  y  3  x  2 2 2 1  y   x  2
1 1 x  3  x  2 2 2
1 1 x  2  1 x  3 1 x
Xét hàm số f x  2  1 x  3 1 x  trên đoạn  1   ;1 ta có:  1 3  4
f ' x  2 
; f ' x  0  x      2 1 x 2 1 x  5  4  Ta có: f   1  6; f   2 10    5   4 3  4
x   ; y    4 x      5 5 Vậy ff   2 10  5   max   5    4 3 2 2  y  1   x
x   ; y    5 5 4 3 4 3 Vậy z    i, z    . i 5 5 5 5 Chọn A.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÊN SỐ PHỨC
z i 2 z   3
1 z i   0 Câu 1:
Tính tổng mô-đun tất cả các nghiệm của phương trình: A. 3. B. 4. C. 6. D. 8 Hướng dẫn giải: z i   z iz i      z  1  z  1     z i  2 z  1  3 z i 0 z 1            z i   z i  3 3 z i  0   2  i   5
z iz 1  0  z   2
Suy ra tổng mô-đun các nghiệm bằng 6. Chọn C. Câu 2:
Gọi z , z là 2 nghiệm của phương trình 2
z  2z  2  0 trên tập số phức. Tìm mô đun của số 1 2 2015 2016
phức   z 1  z 1 . 1   2  A.  5
B.  2 C.  1 D.  3 Hướng dẫn giải: Phương trình 2
z  2z  2  0 có 2  '  1 2  1   i .  z  1 iz  1 i
Suy ra phương trình có hai nghiệm 1  hoặc 1  z  1  i z  1 i 2  2  z  1 i 1007 1013 2015 Thay 1 2016 2 2 
vào ta được:  i  i   i  .i  i   1 . i z  1  i 2  z  1 i 1002 1003 2016 Thay 1 2015 2 2  vào i  i  i  .i  i   1   i. z  1  i 2 Vậy  2. Chọn B. Câu 3:
Tìm các số thực b, c để phương trình (với ẩn z ) 2
z bz c  0 nhận z  1 i là một nghiệm.
A. b  2; c  2
B. b  2;c  2 C. b  2  ; c  2  D. b  1  ;c  1 Hướng dẫn giải:
Nếu z  1 i là nghiệm thì: b c  b     i2 0 2 1
b 1 i  c  0  b c  b  2i  0     b  2  0 c  2  
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
Một phương trình bậc hai với hệ số thực, nếu có một nghiệm phức z thì cũng nhận z lam
nghiệm. Vậy nếu z  1 i là một nghiệm thì z  1 i cũng là nghiệm. Theo định lý Vi-ét:   1 
i  1 i  b b  2 
1i1i  2    c Chọn A. Câu 4:
Tìm điều kiện cần và đủ về các số thực ,
m n để phương trình 4 2
z mz n  0 không có nghiệm thực. 2
m  4n  0  A. 2 m  4n  0. B. 2
m  4n  0 hoặc m  0 . n  0  2
m  4n  0 2
m  4n  0   C. m  0 . D. 2
m  4n  0 hoặc m  0 . n  0   n  0  Hướng dẫn giải: Phương trình 4 2
z mz n  0 không có nghiệm thực trong các trường hợp:
TH1: Phương trình vô nghiệm, tức là 2 m  4n  0. 2   0
m  4n  0   TH2: Phương trình 4 2
t mt n   2
0; t z  có hai nghiệm âm  S  0  m  0 . P 0   n  0   Chọn D. Câu 5:
Trong mặt phẳng phức, các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình iz  
1  z  3i z  2  3i  0 là các điểm nào sau đây? A. A0;  1 ; B 0; 3  ;C 2;3
B. A1;0; B 3;0;C 2; 3   C. A0; 2  ; B 0  ;1 ;C  2  ;3 D. A2; 2  ; B  1   ;1 ;C 1;0 Hướng dẫn giải:  1 z   iiz 1  0  z  i i   iz  
1  z  3i z  2  3i  0  z  3i  0  z  3  iz  3   i          z  2  3 2 3 0 2 3   i z i z i  
Vậy các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình đã cho là A0;   1 ; B 0; 3  ;C 2;3. Chọn A.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao Câu 6:
Tìm các số thực a, b, c sao cho hai phương trình 2 2
az bz c  0, cz bz a 16 16i  0
có nghiệm chung là z  1 2i A. a, , b c  1; 2  ;5 B.  , a , b c  1;2;5 C.  , a , b c   1  ; 2;5 D.  , a , b c  1; 2  ; 5   Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết phương trình 2
az bz c  0 có nghiệm z  1 2i khi
 a b c a   i2 3 0 1 2
b 1 2i  c  0  3
a b c  4a  2bi  0     1 4a  2b  0  Tương tự phương trình 2
cz bz a 16 16i  0 có nghiệm z  1 2i khi c   i2 1 2
b 1 2i  a 16 16i  0  c 3  4i  b  2bi a 16 16i  0
a b  3c 16  0
 a b  3c 16  2b  2c  8i  0   2
b  2c  8  0  Từ   1 ,2 suy ra  , a , b c  1; 2  ;5. Chọn A. Câu 7:
Tìm các số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z ) 3 2
z az bz c  0 nhận z  1 i làm
nghiệm và cũng nhận z  2 làm nghiệm.
A. a  4;b  6; c  4
B. a  4;b  5; c  4 
C. a  3;b  4; c  2 D. a  1
 ;b  0; c  2 Hướng dẫn giải: 3 2
z  1 i là nghiệm thì 1 i  a 1 i  b 1 i  c  0
z  2 là ngiệm thì 8  4a  2b c  0
b c  2  0   1 
Từ đó ta có hệ phương trình 2a b  2  0 2
4a  2b c 8  0 3  Từ  
1 suy ra c  2  b
Từ 2 suy ra b  2
  2a c  2   2
  2a  4  2a
Thay vào 3 ta có: 4a  22  2a  4  2a  8  0  a  4
Với a  4  b  6;c  4  . Chọn A. 4  z 1  Câu 8: Phương trình  1   có bao nhiêu nghiệm.  z 1 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Hướng dẫn giải: 2  z 1   1, 1 4      z 1   z 1   1    2  z 1     z 1    1,   2  z 1   z 1 1  z
z 1  z 1 i  i   1 1      z  0   z 1
z 1  z 1 z  0   1     z 1  z 1   i z
z 1  iz 1  z  1   1 2       z 1
z 1  iz 1 z  1      i  z 1
Vậy nghiệm phương trình là: z  0; z  1; z  1 Chọn C. 25 Câu 9:
Số nghiệm phức của phương trình z   8  6i là? z A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Hướng dẫn giải:
Giả sử z a bi với; a, b R và a, b không đồng thời bằng 0. 1 1 a bi
Khi đó z a bi;   2 2 z a bi a b Khi đó phương trình 2 2 2 2  25  
a a b  25  8a    b a bi    1 25 z
 8  6i a bi   8  6i   . 2 2 z a bb  2 2
a b  25  6 2 2
a b  2  3 Lấy  
1 chia 2 theo vế ta có b a, thế vào  
1 . Ta có a  0 hoặc a  4. 4
Với a  0  b  0 (Loại)
Với a  4  b  3. Ta có số phức z  4  3 . i Chọn B.
Câu 10: Gọi z ; z ; z ; z là 4 nghiệm phức của phương trình 4
z    m 2 4
z  4m  0. Tìm tất cả các 1 2 3 4
giá trị m để z z z z  6. 1 2 3 4 A. m  1 B. m  2 C. m  3 D. m  1 Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao z  2i
z  4  mz  4m  0   z  4 z m 1,2 4 2 2 2  0    z   m 3,4   z  2i 1;2
Nếu m  0 hoặc   nếu m  0  z  i m 3;4  
6  z z z z  4  2 m Khi đó 1 2 3 4   m  1 m  0  
6  z z z z  4  2 m Hoặc 1 2 3 4   m  1 m  0 
Kết hợp lại m  1 thỏa mãn bài toán. Chọn D. 4  z 1 
Câu 11: Gọi z , z , z , z là các nghiệm của phương trình
 1. Tính giá trị biểu thức 1 2 3 4    2z i P   2 z   1  2 z   1  2 z   1  2 z 1 . 1 2 3 4  17 16 15 A. P  2. B. P  . C. P  . D. P  . 9 9 9 Hướng dẫn giải: 4 4
Ta có phương trình  f z  2z i   z   1  0.
Suy ra: f z  15 z z z z z z z z . Vì 1   2   3   4 
f i . f i 2    
z 1  z i
z i P  1 . 1  1  1    225 4 4 4 17 Mà f i 4
i  i   1
 5; f i   3
i  i   1  85. Vậy từ   1  P  . 9 Chọn B.
Câu 12: Tìm số thực m a b 20 (a, b là các số nguyên khác 0) để phương trình 2
2z  2(m 1)z  (2m 1)  0 có hai nghiệm phức phân biệt z1, z2 thỏa mãn z z  10 . 1 2 Tìm a. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải: 2
 '  m  6m 1 
TH1:  '  0 hay m  ( ;
 3  10)  (3  10; ) Khi đó 2 2
z z  10  z z  2 z z  10 1 2 1 2 1 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao 2m 1  0  2 (1 m)  10   m  1 10 (loai) 2
 (1 m)  (2m 1)  2m 1  10    2m 1 0 m  3  20    2
m  6m 11  0 
TH2:  '  0 hay m  (3  10;3  10) 2 2
1 m i (m  6m 1)
1 m i (m  6m 1)
Khi đó: z z  10    10 1 2 2 2 Hay 2 2
(1 m)  (m  6m 1)  10  m  2
Vậy m = 2 hoặc m  3  20
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
DẠNG 3: TÌM TẬP HỢP ĐIỂM, BIỂU DIỄN SỐ PHỨC Câu 1:
Tìm tập hợp T  các điểm M biểu diễn các số phức z sao cho log z  2  log z . 1 1 2 2
A. Miền phẳng nằm bên phải đường thẳng x  1
B. Đường tròn tâm I 0  ;1 , bán kính R  1
C. Hình vành khăn gồm các điểm giữa hai hình tròn O  ;1 và  ;
O 2 kể cả các điểm nằm trên đường tròn  ;
O 2 ; không kể các điểm nằm trên đường tròn O  ;1
D. Đường thẳng x  1 Hướng dẫn giải:
Điều kiện: z  0, z  2
Cách 1: Đặt z x yi, , x y R.
log z  2  log z z  2  z   x  22 2 2 2
y x y x  1. 1 1 2 2
Do đó, tập hợp T  các điểm .. biểu diễn các số phức z là miền phẳng nằm bên phải đường thẳng x  1 .
Cách 2: Ta có: log z  2  log z z  2  z . 1 1 2 2
Gọi A là điểm biểu diễn số phức z  2  A 2; 0 1  
Xét trường hợp z  2  z MA MO
Khi đó M chạy trên đường trung trực  của đoạn O ,
A có phương trình x  1.
Với trường hợp z  2  z MA MB
M nằm bên phải đường thẳng  .
Do đó, tập hợp T  các điểm M biểu diễn các số phức z là miền phẳng nằm bên phải
đường thẳng  , trung trực của đoạn thẳng OA là miền phẳng nằm bên phải đường thẳng x  1 . Chọn A. Câu 2:
Tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện z 1  z 1  4 là: 2 2 A. 2 2 x y  4 B. x   1   y   1  4 2 2 x y C.   1 D. 2 2
3x  4 y  36  0 4 3 Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao Xét hai điểm: F 1
 ; 0 , F 1; 0 , theo giả thiết ta có: 1   2  
z 1  z 1  4  MF MF  4, Mz . 1 2  
Vậy tập hợp điểm cần tìm là elip có các tiêu điểm F 1
 ; 0 , F 1; 0 , nửa trục lớn a  2, 1   2   2 2 x y
nửa trục nhỏ b  3 . Phương trình elip   1 4 3 . Chọn C. Câu 3:
Tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện z  2  z  2  3 là: 2 2 A. 2 2 x y  1
B. x  2   y  2  9 2 2 x y 2 2 x y C.   1 D.   1 3 2 2 2  3   7    2     2   Hướng dẫn giải: Xét hai điểm F 2
 ; 0 , F 2;0 , theo giả thiết ta có: 1   2  
z  2  z  2  3  MF MF  3,M z . 1 2  
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hyperbol có các tiêu điểm F 2
 ; 0 , F 2;0 , nửa trục lớn 1   2   3 3 a
, nửa trục nhỏ b  . 2 2 2 2 x y
Phương trình của hyperbol   1. 2 2  3   7    2     2   Chọn D. Câu 4:
Cho 3 số phức: 1;3i; 3
  5i biểu diễn bởi các điểm ,
A B, C . Điểm I thỏa mãn    
2IA  3IB  2IC  0 biểu diễn số phức nào sau đây? A. 4 19i B. 4 19i C. 4  19i D. 4  6i Hướng dẫn giải:
Ta có: A1;0, B 0;3, C  3  ; 5           
2IA  3IB  2IC  0  2 OA OI   3OB OI   2OC OI   0    
OI  2OA  3OB  2OC I 4; 19  
Vậy điểm I biểu diễn số phức z  4 19 . i Chọn C.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao Câu 5:
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z  2i  3 là đường tròn tâm I. Tất cả giá trị m thỏa mãn 1
khoảng cách từ I đến  : 3x  4 y m  0 bằng là: 5 A. m  7  ; m  9 B. m  8  ; m  8
C. m  7; m  9
D. m  8;m  9 Hướng dẫn giải:
z i   x   y  i   x   y  2   x   y  2 2 2 2 3 2 3 2 3 2  9  I 0;2 3.0  4.2  m 1
d I ,    8  m 2 2 5 3  4 1 1 1 8   m  1 m  7
d I ,    8  m      5 5 5 8  m  1  m  9   Chọn C. Câu 6:
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ thảo mãn điều kiện: 2
z  5z  5z  0.
A. Đường thẳng qua gốc tọa độ.
B. Đường tròn bán kính 1.
C. Đường tròn tâm I 5;0 bán kính 5
D. Đường tròn tâm I 5;0 bán kính 3 Hướng dẫn giải:
Đặt z x yi, ta có z x yi. 2 2 Do đó: 2 2
z z z
x y x   yi x yi    x   2 5 5 0 5 5 5 5 0 5  y  25
Trên mặt phẳng tọa độ, đó là tập hợp các điểm thuộc đường tròn bán kính bằng 5 và tâm là I 5;0 . Chọn C. z  2  3i Câu 7:
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho u  là một số thuần ảo. z i
A. Đường tròn tâm I  1  ;   1 , bán kính bằng 5, khuyết 2 điểm 0  ;1 và  2  ; 3.
B. Đường tròn tâm I  1  ; 3   , bán kính bằng 5, khuyết 2 điểm 0  ;1 và  2  ; 3.
C. Đường tròn tâm I  1  ; 4   , bán kính bằng 5, khuyết 2 điểm 0  ;1 và  2  ; 3.
D. Đường tròn tâm I  2  ;   1 , bán kính bằng 5, khuyết 2 điểm 0  ;1 và  2  ; 3. Hướng dẫn giải:
Giả sử z a bi  ,
a b , z i, khi đó:
a  2  bi  3i
a  2  b  3ia  b   1 iu  
a  b   1 i
a  b  2 2 1
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao Tử số bằng 2 2
a b  2a  2b  3  22a b  
1 i u là số thuần ảo khi và chỉ khi:
a b  2a  2b  3  0 
 a  2  b  2 2 2 1 1  5   
2a b 1  0   ; a b  0  ;1 , 2  ; 3 
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I  1  ;   1 , bán kính bằng 5 , khuyết 2 điểm 0  ;1 và  2  ; 3. Chọn A. 4 Câu 8:
Tìm trong mặt phẳng tập hợp  các điểm M biểu diễn số phức z sao cho Z z  là z một số thực.
A. Trục hoành x 'Ox ngoại trừ điểm gốc và đường tròn tâm O , bán kính R  2
B. Trục hoành x 'Ox ngoại trừ điểm gốc và đường tròn tâm O , bán kính R  1
C. Đường tròn tâm O , bán kính R  1
D. Trục hoành x 'Ox ngoại trừ điểm gốc Hướng dẫn giải:
Đặt z x yi, z  0 với x, y 4 4
4  x yi
Ta có: Z z   x yi   x yi  2 2 z x yi x y x  2 2
x y  4  y  2 2
x y  4iZ  2 2 x yy   2 2 x y  4 2 2  0 
y  0  x y  4
Z là một số thực:     2 2 2 2 x y  0 x y  0  
Do đó  gồm:
- Trục hoành x 'Ox ngoại trừ điểm gốc.
- Đường tròn tâm O, bán kính R  2. Chọn A. Câu 9:
Trong mặt phẳng phức, cho M là điểm biểu diễn số phức z x yi, M  0. Xem số phức 1  1 2  Z z  . 
Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số thực. 2  2  z
A. Trục tung (hay trục hoành ), không kể điểm . O
B. Trục tung hay trục hoành
C. Đường thẳng y  1
D. Đường thẳng x  1 Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
Trường hợp Z là một số thực  Phần ảo bằng 0. xy
x  0, y  0  x y 1   
 0  xy  0, x y  0  2  2 2 2 2 2   2 2
x y    y  0, x  0 
Tập hợp điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z là
- Trục tung, không kể điểm . O
- Trục hoành, không kể điểm . O Chọn A.
Câu 10: Trong mặt phẳng phức, cho M là điểm biểu diễn số phức z x yi, M  0. Xem số phức 1  1 2  Z z  . 
Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số thuần ảo. 2  2  z
A. Đường tròn tâm O, bán kính R  1
B. Đường tròn tâm I 0  ;1 bán kính R  1
C. Đường thẳng y  1
D. Đường thẳng x  1 Hướng dẫn giải:
Trường hợp Z là một số thuần ảo  Phần thực bằng 0.
  x y 2 2 2 2 2
1  0  x y  1
Tập hợp điểm M là đường tròn tâm O, bán kính R  1 . Chọn A. 1 iz
Câu 11: Cho Z
, z , z x yi với x, y . Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số 1 iz thực.
A. Trục tung ngoại trừ điểm A0  ;1
B. Trục hoành ngoại trừ điểm A0  ;1
C. Đường thẳng y  1
D. Đường thẳng x  1 Hướng dẫn giải: 1 zi
1 i x yi
Ta có: z x yi; x, y R Z   1 zi
1 i x yi 2 1 yi xi 1 y xi
1 y xi1 y xi  Z    2 1 yi xi 1 y xi
1 y xi1 y xi 1 xi2 2 2 2 2 2 2  y
1 x i  2xi y
1 x y  2xi   
1 y2  x i
1 y2  x 1 y2 2 2 2 2  x
Z là một số thực  x  0, y  0
Ta có z yi, y  1.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
 Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là trục tung ngoại trừ điểm A1;0. Chọn A. 1 iz
Câu 12: Cho Z
, z , z x yi với x, y . Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số 1 iz thuần ảo.
A. Đường tròn tâm O, bán kính R  1 ngoại trừ điểm A0  ;1
B. Đường tròn tâm O, bán kính R  1
C. Đường thẳng y  1
D. Đường thẳng x  1 Hướng dẫn giải: 2 2 2 2 1
  x y  0  x y  1
Số phức Z là một số thuần ảo khi và chỉ khi:      1 y 2 2  x  0 x  0, y  0  
 Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm O, bán kính R  1 ngoại trừ điểm A0  ;1 Chọn A.
Câu 13: Trong mặt phẳng phức, cho m và M là điểm biểu diễn số phức z x yi, M  0. 1  1 
Z X Yi z  . 
 Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số thực. 2  z
A. Đường tròn tâm O , bán kính R  1 và trục hoành Ox, không kể điểm gốc O
B. Đường tròn tâm O , bán kính R  1
C. Đường thẳng y  1. 1
D. Đường thẳng x   và trục hoành Ox 2 Hướng dẫn giải:      2 2 x y   1 x  2 2 x y   1 1 1 1 1 x Ta có: Z z   x yi        2  z  2 x   yi  2 2 2 x y  2  2 2 x y   2 2  x y    1 y  0
Z là số thực khi và chỉ khi: Y  0     1 2 2 x y  0   y  0  y  0 Ta có:   1    2 2  2 2
x y 1  0 x y  1  
Tập hợp các điểm M phải gồm:
+ Trục hoành Ox, không kể điểm gốc . O
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
+ Đường tròn tâm O , bán kính R  1 Chọn A.
Câu 14: Trong mặt phẳng phức, cho m và M theo thứ tự là điểm biểu diễn của số phức z x yi z 1 và Z
. Tìm tập hợp các điểm m sao cho: Z là một số thuần ảo. z  2i  1  5
A. Đường tròn tâm I ; 1    , bán kính R   2  2
B. Đường tròn tâm I 0  ;1 , bán kính R  1
C. Đường thẳng y  2x  2
D. Đường thẳng x  1 Hướng dẫn giải: z 1
x yi 1 x 1 yi
x 1 yi x   y  2i Ta có: Z     z  2i
x yi  2i
x   y  2i
x   y  2ix  y  2ix x  
1  y y  2   y  2x  2iZ
x   y  22 2
Z là một số thuần ảo khi và chỉ khi: x x    y y   2 2 1
2  0  x y x  2 y  0  1  5
Tập hợp các điểm m là đường tròn tâm I ; 1    , bán kính R  .  2  2 Chọn A.
Câu 15: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z sao cho: z  2 z i . 8 4 2 2 A. 2 2 x y y   0 B. x   1   y   1  4 3 3 2 2 x y C.   1 D. 2 2
3x  4y  36  0 4 3 Hướng dẫn giải:
Cách 1. Đặt z x yi, z  0 với x, y R 2 8 4 Ta có: 2 2
z  2 z i x y  4  2
x   y   1  2 2  x y y   0 3 3     
Cách 2. Ta có: z  2 z i OM  2 OM OB OM  2 BM
Với B 1;0 là điểm biểu diễn số . i MO
Do đó ta có: OM  2BM   2 MB
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
Ta suy ra tập hợp các điểm M là đường tròn Apollonius đường kính IJ , với I , J thuộc trục tung và:   OI  2IB  2     I 0;   và J 0; 2 OJ  2JB  3  2  2  8 4
Phương trình đường tròn: 2 x y     y  2 2 2
 0  x y y   0  3  3 3 Chọn A.
Câu 16: Cho A là điểm biểu diễn của các số phức: z  1 2 ;
i M , M lần lượt là điểm biểu diễn của 1 2
các số phức z và z . Điều kiện để AM M cân tại A là: 1 2 1 2
A. z z
B. z 1 2i z 1 zi 1 2 1 2
C. z z  1 2i
D. z 1 2i z z 1 2 1 1 2 Hướng dẫn giải:
AM M cân tại A nên M A M M hay: z 1 2i z 1 2i 1 2 1 1 2 1 2 Chọn B.
Câu 17: Trong mặt phẳng phức, cho số phức a bất kì, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z
sao cho: z a . z a a . a
A. Đường tròn tâm A , bán kính R AO
B. Đường tròn tâm A , bán kính R  2
C. Một hyperbol vuông góc
D. Đường thẳng x  1 Hướng dẫn giải: 2 2
Ta có: z a . z a aa z a a   1
Gọi A là điểm biểu diễn số phức a trong mặt phẳng phức.   2 2 Ta có:   2 2
1  MA OA AM OA AM AO
Do đó, tập hợp các điểm M là đường tròn tâm A , bán kính R AO . Chọn A.
Câu 18: Trong mặt phẳng phức, cho số phức a bất kì, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z 2 2 sao cho: 2 2
z a z a .
A. Đường tròn tâm A , bán kính R AO
B. Đường tròn tâm A , bán kính R  2
C. Một hyperbol vuông góc
D. Đường thẳng x  1
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao Hướng dẫn giải: 2 2 2 2 Ta có: 2 2 2 2
z a z a z z a a  z z z z  a aa a 2
z x yi
Đặt: a i
Ta có: 2  2x 2 yi  22i  xy 
Do đó, tập hợp các điểm M là một hyperbol vuông góc. Chọn C.
Câu 19: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm M là ảnh của số phức z sao cho: Ảnh của các
số i, z,iz thẳng hàng.  1 1  2 A. Đường tròn 2 2
x y x y  0, có tâm I ;   , bán kính R
ngoại trừ điểm 0  ;1  2 2  2  1 1  2 B. Đường tròn 2 2
x y x y  0, có tâm I ;   , bán kính R   2 2  2
C. Một hyperbol vuông góc
D. Đường thẳng x  1 Hướng dẫn giải:
Cách 1: Gọi điểm biểu diễn số phức z là M  ; x y.
Gọi điểm biểu diễn số phức i là N 0  ;1 .
Gọi điểm biểu diễn số phức iz là P  y; x.   NM   ; x y  
1 ; NP   y; x   1
Vì 3 điểm M , N , P thẳng hàng nên ta có: x x     y y   2 2 1
1  x y x y  0.  1 1 
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn 2 2
x y x y  0, có tâm I ;   , bán kính  2 2  2 R
ngoại trừ điểm 0  ;1 . 2
Cách 2: Kí hiệu M z dùng để chỉ M là điểm biểu diễn số phức z hay ảnh của số phức . z
Giả sử các điểm Ai, M z, M 'iz thẳng hàng:   iz z
MM '  k M ,
A k R iz z k i z   k i z
i x yi   x yi
 y x   x yi x   y   1 i    
Đặt z x yi k   k
i   x yi
x   y  
1 i x   y   1 i    
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao 2 2 2 2
x y x y
x y x yk   i
x   y  2
x   y  2 2 2 1 1 2 2
x y x y  0 
k là một số thực. Do đó ta có: 
x   y  2 2 1  0   1 1 
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn 2 2
x y x y  0, có tâm I ;   , bán kính  2 2  2 R
ngoại trừ điểm 0  ;1 . 2 Chọn A.
Câu 20: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm M là ảnh của số phức z sao cho: Ảnh của các số 2 4
z, z , z thẳng hàng.  1 1  A. Đường tròn 2 2
x y x y  0, có tâm I ; 
 , bán kính R  1 ngoại trừ điểm 0  ;1  2 2   1 1  2 B. Đường tròn 2 2
x y x y  0, có tâm I ;   , bán kính R   2 2  2
C. Một hyperbol vuông góc và trục hoành Ox 1
D. Đường thẳng x   và trục hoành Ox 2 Hướng dẫn giải:
Các điểm M zM  2 z M  4 , ' , ' z  thẳng hàng.   4
MM '  k MM ', k R z z k  2
z z   z  3 z  
1  kz z   1  0
z z   1  2
z z 1 k  2
 0, z  0,1  z z 1 k  0
Đặt z x yi; x, y R 2 Ta có: 2
k z z    x yi   x yi  2 2 1
i 1  k x y x 1 2xy y i 1
k R  2xy x  0  y  0  x   2
Vậy tập hợp điểm M gồm: + Trục hoành O . x 1
+ Đường thẳng x   . 2 Chọn D.
Câu 21: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z sao cho: z z k z . Với k là một số thực cho trước.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 30
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
A. Đường tròn tâm O 0;0 , bán kính R 1
B. Đường tròn tâm I 0  ;1 , bán kính R  1
C. Nửa trục Ox, nửa trục Ox' D. Nửa trục Ox' Hướng dẫn giải:
Đặt z x yi; x, y R
Ta có: z z k z   2 2
1  2x k x y 2
Nếu k  0, ta có: x  0
Tập hợp các điểm M là trục tung. Xét k  0 : 2 2 
x k  2 2 x y   2    k  2 2 2 4 4 x k y Ta có: 2     kx  0  kx  0  Với 2
  k  2 và k  0, ta có: 2 2 4  k 4  k 2 2 y x y   x kx  0 2   k k
Do đó, tập hợp M phải tìm là: 2 4  k
- Các đường thẳng y   x k
+ Giới hạn bởi 0  k  2, x  0. + Hoặc giới hạn bởi 2
  k  0, x  0.
- Nửa trục Ox nếu k  2.
- Nửa trục Ox ' nếu k  2  . Chọn C.
Câu 22: Cho hai số phức: p a bi; q c di
Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z sao cho số  z p z q là số thực.
A. Đường tròn tâm O 0;0 , bán kính R 1
B. Đường tròn tâm I 0  ;1 , bán kính R  1 a c b d
C. Một hyperbol vuông góc có tiệm cận là x  ; y  2 2
D. Các đường thẳng y  2x, trừ gốc tọa độ O 0;0 Hướng dẫn giải:
Đặt z x yi; x, y R
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 31
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
Ta có: z p x a   y bi ;
z q x c   y d i
  z p z q  x a   y bi x c   y d i     
  x a x c   y b y d    x a y d    x c y b   i
z p z q là một số thực.
  x a  x c   y b y d   0
  x a   x c y   x a d   x c   b
b d x  ad bca cy  với x
2x  a c 2
Do đó ta có tập hợp các điểm M là một hyperbol vuông góc có tiệm cận là a c b d x  ; y  2 2 Chọn C.
Câu 23: Trong mặt phẳng phức, cho M , M ' theo thứ tự là điểm biểu diễn của hai số phức z và z 1 i
z ' : z x yi, z ' 
. Tìm tập hợp điểm  E  các điểm M sao cho: Điểm M ' nằm z 1
trên trục tung và M '  0.  1  1
A. Đường tròn tâm I 1;  ,   bán kính R
ngoại trừ các điểm 1;0 và 1;  1 .  2  2
B. Đường tròn tâm I 0 
;1 , bán kính R  1 ngoại trừ các điểm 1;0 và 1;  1 .
C. Đường thẳng y  1 ngoại trừ các điểm 1;0 và 1;  1 .
D. Đường thẳng x  1 ngoại trừ các điểm 1;0 và 1;  1 . Hướng dẫn giải: z 1 ix   1   y   1 ix  2
1  y y   1   x   1 i Ta có: z '    z 1  x   1  yix  2 2 1  y
Trường hợp M ' nằm trên trục tung và M '  0.
z ' là một số thuần ảo khác 0.   x  2 1
y y   2 2 1  0
x y  2x y 1  0     x 1  0 x  1    1  1
  E là đường tròn tâm I 1;    bán kính R
ngoại trừ các điểm 1;0 và 1;  1 .  2  2 Chọn A.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 32
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
Câu 24: Trong mặt phẳng phức, cho M , M ' theo thứ tự là điểm biểu diễn của hai số phức z và z 1 i
z ' : z x yi, z ' 
. Tìm tập hợp điểm  E  các điểm M sao cho: Điểm M ' nằm z 1
trên trục hoành và M '  0.  1  1
A. Đường tròn tâm I 1;  ,   bán kính R
ngoại trừ các điểm 1;0 và 1;  1 .  2  2
B. Đường tròn tâm I 0 
;1 , bán kính R  1 ngoại trừ các điểm 1;0 và 1;  1 .
C. Đường thẳng y  1 ngoại trừ các điểm 1;0 và 1;  1 .
D. Đường thẳng x  1 ngoại trừ các điểm 1;0 và 1;  1 . Hướng dẫn giải: z 1 ix   1   y   1 ix  2
1  y y   1   x   1 i Ta có: z '    z 1  x   1  yix  2 2 1  y
Trường hợp M ' nằm trên trục tung và M '  0.
z ' là một số thực.    x  2
1  y y   1  0   x 1  0 
  E là đường thẳng x  1 ngoại trừ các điểm 1;0 và 1;  1 . Chọn D.
Câu 25: Tìm quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức w  1 i 3 z  2 biết số phức z thỏa mãn: z 1  2   1 .
A. Hình tròn  x     y  2 2 3 3  16
B. Hình tròn  x     y  2 2 3 3  9
C. Hình tròn  x     y  2 2 3 3  25
D. Hình tròn  x     y  2 2 3 3  36 Hướng dẫn giải:
Giả sử w a bi a  3    b  3 2 i a bi
Ta có: a bi  1 i 3 z  2  z   z 1  1 i 3 1 i 3
a  3  b  3i 2
a  32  b  3i 2   1   2 
 2  a  32  b  3  16 1 i 3 2
Vậy quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức là hình tròn  x     y  2 2 3 3  16 (kể cả
những điểm nằm trên biên)
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 33
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao Chọn A.
Câu 26: Trong mặt phẳng phức, gọi N , M , ,
A B theo thứ tự là điểm biểu diễn các số: z 1
z x yi; Z X Yi  ;1; 1. 
Tìm tập hợp điểm M khi N chạy trên đường tròn z 1 2 2 x y  1.
A. Đường tròn tâm I 2  2;0, bán kính R  5  4 2
B. Đường tròn tâm I 0  ;1 , bán kính R  1 C. Trục tung D. Trục hoành Hướng dẫn giải: 2 2 z 1 x y 1 2 y
Ta có: Z X Yi   X  ;Y z 1  x  2 1  yx  2 2 2 1  y
Vì N chạy trên đường tròn:  x  2 2
1  y  1 nên ta có  x  2 2
1  y  1  X  0
Vậy tập hợp điểm M là trục tung. Chọn C.
Câu 27: Gọi M và A là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức
z x yi; a  10  6 .
i Tìm tập hợp E các điểm M sao cho tích z z a là một số thực. 1
A. Đường tròn tâm I 2  2;0, bán kính R  5  4 2
B. Đường tròn tâm I 0  ;1 , bán kính R  1 3x
C. Là một hyperbol vuông góc y  , x  5 x  5 3x
D. Là một hyperbol y  , x  5 x  5 Hướng dẫn giải:
Ta có: z z a   x yi  x yi 10  6i   x yi 
x 10   y  6i  
x x 10  y y  6  2xy 10y  6xi
Tích z z a là một số thực. 3
 2xy 10 y  6x  0  y  , x  5 x  5
Trong mặt phẳng phức, tập hợp E là một hyperbol vuông góc có phương trình: 1 3x y  , x  5. x  5
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 34
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao Chọn C.
Câu 28: Gọi M và A là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức
z x yi; a  10  6 .
i Tìm tập hợp E các điểm M sao cho tích z z a là một số thuần 2 ảo.
A. Đường tròn tâm I 2  2;0, bán kính R  5  4 2
B. Đường tròn tâm I 0  ;1 , bán kính R  1
C. Là một hyperbol vuông góc có tâm đối xứng I  5  ; 3
  , có trục thực nằm trên trục Ox,
độ dài các trục đều bằng 8.
D. Là một hyperbol có tâm đối xứng I 5;3 , có trục thực nằm trên trục Ox, độ dài các trục đều bằng 8. Hướng dẫn giải:
Tích z z a là một số thuần ảo  Phần thực bằng 0.
x x 10  y y  6  0   2
x 10x   2
y  6 y   0 2 2
x  52  y  32
  x  5   y  3  16    1 16 16
Trong mặt phẳng phức, tập hợp E là một hyperbol có tâm đối xứng I 5;3 , có trục thực 2
nằm trên trục Ox, độ dài các trục đều bằng 8. Chọn C.
Câu 29: Tìm tập hợp T  các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn hệ thức
z z z
A. Đường tròn tâm O 0;0, bán kính R 1
B. Đường tròn tâm I 0  ;1 , bán kính R  1
C. Đường thẳng x y 3, x   y 3
D. Đường thẳng y x 3, y  x 3 Hướng dẫn giải:
Đặt z x yi với x, y
Ta có z z z   x yi    x yi 2 2 2 2 
x y  2x x yx  0 x  0      2 2 2 4x x   yy  x 3 
Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng biểu diễn số phức z x yi gồm hai đường thẳng:
D : y x 3 1
D : y  x 3 2 Chọn D.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 35
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao 1
Câu 30: Điểm M biểu diễn số phức z  0 và điểm M’ biểu diễn số phức z '  . Nếu điểm M di động z
trên đường tròn tâm A(-1;1) bán kính R  2 thì M’ di động trên đường nào? A. 2 2
x y  2x  2 y  0
B. 2x  2 y 1  0
C. 2x  2 y  1  0
D. 2x  2 y 1  0 Đáp án: C  x x '   2 2 1 zx y Giải: Ta có z '   . Do đó  2 z zy y '  2 2  x   y
M di động trên đường tròn tâm A(-1;1) bán kính R  2 nên 2 2
x y  2x  2 yx  2 1   y  2 2 2 1
 2  x y  2x  2 y  0   0 2 2 x y 2x 2 y  1 
 0  2x ' 2 y '1  0 2 2 2 2 x y x y
Câu 31: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  3  4i  2. Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu
diễn số phức w  2z 1 i là hình tròn có diện tích
A. S  9.
B. S  12.
C. S  16.
D. S  25. Hướng dẫn giải: Chọn C. w 1 i
w  2z  1 i z  2 w 1 i
z  3  4i  2 
 3  4i  2  w 1 i  6  8i  4  w  7  9i  4   1 2 2 2
Giả sử w x yi x, y   , khi đó  
1   x  7   y  9  16
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức w là hình tròn tâm I 7; 9 , bán kính r  4.
Vậy diện tích cần tìm là 2
S .4  16. 2
Câu 32: Cho số phức z thỏa mãn z
và điểm A trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của z . 2 1
Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức w
là một trong bốn điểm M , iz
N , P , Q . Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là y Q A. điểm Q . B. điểm M . C. điểm N . D. điểm P . Hướng dẫn giải: M A Chọn D. O x
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com N
Trang 36
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay P
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
Do điểm A là điểm biểu diễn của z nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng Oxy
nên gọi z a bi (a, b  0) . 2 2 Do z  nên 2 2 a b  . 2 2 1 b a Lại có w   
i nên điểm biểu diễn w nằm trong góc phần tư thứ ba của 2 2 2 2 iz a b a b mặt phẳng Oxy . 1 1 w  
 2  2 z  2OA . iz i . z
Vậy điểm biểu diễn của số phức w là điểm P .
Câu 33: Biết số phức z thỏa điều kiện 3  z  3i 1  5 . Tập hợp các điểm biểu diễn của z tạo thành
một hình phẳng. Diện tích của hình phẳng đó bằng A. 16 B. 4 C. 9 D. 25 Đáp án chi tiết : 8
Đặt z x yi 2 2 6
z  3i 1  x 1 ( y  3)i
(x 1)  ( y  3) Do đó 4 2 2
3  z  3i 1  5  9  (x 1)  ( y  3)  25 2
Tập hợp các điểm biểu diễn của Z là hình phẳng nằm trong đường tròn 5 O
Tâm I 1 ;3 với bán kính bằng R  5 đồng thời nằm 2
ngoài đường tròn tâm I 1 ;3 với bán kính r  3
Diện tích của hình phẳng đó là 2 2
S .5  .3  16
z  2z  3i
Câu 34: Gọi M là điểm biểu diễn số phức
, trong đó z là số phức thỏa mãn 2 z  2  
2  i z i  3  i z . Gọi N là điểm trong mặt phẳng sao cho O ,xON   2, trong đó  
 Ox,OM  là góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia OM . Điểm N nằm trong góc phần tư nào?
A. Góc phần tư thứ (I).
B. Góc phần tư thứ (II).
C. Góc phần tư thứ (III).
D. Góc phần tư thứ (IV). Hướng dẫn giải: 5 1  5 1  1
Ta có: 2  i z i  3  i z z  1 i w   i M ;  tan  .   4 4  4 4  5
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 37
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao 2 2 tan 5 1 tan 12 Lúc đó: sin 2   0; cos 2   0 . 2 2 1 tan 13 1 tan 13 Chọn A. 1 i
Câu 35: Gọi điểm ,
A B lần lượt biểu diễn các số phức z và z 
z;  z  0 trên mặt phẳng tọa 2 độ ( ,
A B, C và A ,
B , C đều không thẳng hàng). Với O là gốc tọa độ, khẳng định nào sau đây đúng?
A. Tam giác OAB đều.
B. Tam giác OAB vuông cân tại . O
C. Tam giác OAB vuông cân tại . B
D. Tam giác OAB vuông cân tại . A Hướng dẫn giải: 1 i 1 i 2
Ta có: OA z ; OB z  .z  . z z . 2 2 2
   1 i 1 i 2
Ta có: BA OA OB BA z z  z z  . z z . 2 2 2 Suy ra: 2 2 2
OA OB AB và AB OB OAB là tam giác vuông cân tại . B Chọn C. Câu 36: Cho ,
A B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng tọa độ theo thứ tự biểu diễn các số phức 1 2 ; i 1 3  ;
i 1 3  i; 1 2i . Biết ABCD là tứ giác nội tiếp tâm I. Tâm I biểu diễn số phức nào sau đây? A. z  3.
B. z  1 3 . i C. z  1. D. z  1  . Hướng dẫn giải:   3  3i
Ta có AB biểu diễn số phức 3  ;
i DB biểu diễn số phức 3  3i . Mặt khác  3i 3  i     nên A .
B DB  0 . Tương tự (hay vì lí do đối xứng qua Ox ), DC.AC  0 . Từ đó suy ra AD
là một đường kính của đường tròn đi qua ,
A B, C, D. Vậy I 1;0  z  1. Chọn C. 2
Câu 37: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy điểm M là điểm biểu diễn số phức z  2  i 4  i và 
gọi là góc tạo bởi chiều dương trục hoành và vectơ OM . Tính cos 2. 425 475 475 425 A.  . B. . C.  . D. . 87 87 87 87 Hướng dẫn giải: 2 13
Ta có: z  2  i 4  i  16 13i M 16;13  tan . 16 2 1 tan 425 Ta có: cos 2  . 2 1 tan 87 Chọn D.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 38
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao Câu 38: Gọi điểm ,
A B lần lượt biểu diễn các số phức z ; z ; z .z  0 trên mặt phẳng tọa độ ( 2  1 2  1 ,
A B, C và A ,
B , C đều không thẳng hàng) và 2 2
z z z .z . Với O là gốc tọa độ, 1 2 1 2
khẳng định nào sau đây đúng?
A. Tam giác OAB đều.
B. Tam giác OAB vuông cân tại . O
C. Tam giác OAB vuông cân tại . B
D. Diện tích tam giác OAB không đổi. Hướng dẫn giải: 2 z
Ta có: z z z .z z z z z  2 2 2 2 ; z
z . z z . Do 2
z  0  z z  ; 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 z1 (1) 2 2 z Mặt khác: 2 z z z zz
z . z z z z  (do z  0 ) (2) 1 2  1 2  1 1 2 1 2 1 2 z 2 2 2 2 z z Từ (1) và (2) suy ra: 2 1 
z z . Vậy ta có: 1 2 z z 1 2
z z z z OA OB AB . 1 2 2 1 Chọn A.
2z z  1 i
Câu 39: Gọi M là điểm biểu diễn số phức
, trong đó z là số phức thỏa mãn 2 z i  
1 i z i  2  i z . Gọi N là điểm trong mặt phẳng sao cho O ,xON   2, trong đó  
 Ox,OM  là góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia OM . Điểm N nằm trong góc phần tư nào?
A. Góc phần tư thứ (I). B. Góc phần tư thứ (II).
C. Góc phần tư thứ (III). D. Góc phần tư thứ (IV). Hướng dẫn giải: 7 19  7 19  19
Ta có: 1 i z i  2  i z z  3i w    i M  ;   tan .   82 82  82 82  7 2 2 tan 133 1 tan 156 Lúc đó: sin 2   0; cos 2    0 . 2 2 1 tan 205 1 tan 205 Chọn C.
Câu 40: Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z  3  4i  5 và biểu thức 2 2
M z  2  z i đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức z  . i
A. z i  2 41
B. z i  3 5.
C. z i  5 2
D. z i  41. Hướng dẫn giải: 2 2
Gọi z x yi;  x  ;
y   . Ta có: z  3 4i  5  C : x  3   y  4  5 : tâm
I 3;4 và R  5.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 39
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao Mặt khác: 2 2 M z
z i   x  2  y   x    y  2 2 2 2 2
1   4x  2 y  3  d : 4x  2 y  3  M  0.  
Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d và C  có điểm chung 23  M
d I;d   R
 5  23  M  10  13  M  33 2 5
4x  2 y  30  0  x  5  M  33    
z i  5  4i z i  41. max
 x  32   y  42  5 y  5   Chọn D. Câu 41: Các điểm ,
A B, C và A ,
B , C lần lượt biểu diễn các số phức z , z , z và z, z , z trên 1 2 3 1 2 3 mặt phẳng tọa độ ( ,
A B, C và A ,
B , C đều không thẳng hàng). Biết
z z z z  z  z , khẳng định nào sau đây đúng? 1 2 3 1 2 3
A. Hai tam giác ABC và 
A BC bằng nhau.
B. Hai tam giác ABC và 
A BC có cùng trực tâm.
C. Hai tam giác ABC và 
A BC có cùng trọng tâm.
D. Hai tam giác ABC và 
A BC có cùng tâm đường tròn ngoại tiếp. Hướng dẫn giải:
Gọi z x y i; z x y i; z x y i;  x ; y  ;  k  1;3 . 1 1 1 2 2 2 3 3 3  k k
Khi đó: Ax ; y ; B x ; y ; C x ; y , gọi G là trọng tâm 1 1   2 2   3 3 
x x x
y y y  1 2 3 1 2 3 ABC G ; .    3 3 
Tương tự, gọi z  x  yi; z  
x yi; z  x  yi;  x ; y  ;  k  1;3 . 1 1 1 2 2 2 3 3 3  k k  Khi đó:  A x ;
y ; Bx; y ; C  x ; y , 1 1   2 2   3 3 
x  x  xy  y  y 
gọi G là trọng tâm 1 2 3 1 2 3  
A BC  G ; .    3 3 
Do z z z z  z  z  x x x y y y i  
x x  x  y  y  yi 1 2 3 1 2 3  1 2 3   1 2 3   1 2 3   1 2 3 
x x x x  x  x 1 2 3 1 2 3  
G G .
y y y y  y  y  1 2 3 1 2 3 Chọn C.
Câu 42: Cho số phức z , z thỏa mãn z  3 , z  2 được biểu diễn trong mặt phẳng phức lần 1 2 1 2   z z
lượt là các điểm M , N . Biết  OM ,ON   , tính giá trị của biểu thức 1 2 . 6 z z 1 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 40
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao 7 3 1 A. 13 B. 1 C. D. 2 13 Hướng dẫn giải:
Dựng hình bình hành OMPN trong mặt phẳng phức, khi đó biểu diễn của :  z z   OP 1 2   z z    MN 1 2 2 2
z z z z  2 z z cos 0 150  1 1 2 1 2 1 2    2 2  z z zz  2 z z cos  0 30  1 1 2 1 2 1 2   z z z z 1 2 1 2    1. z z z z 1 2 1 2 Chọn B. 10
Câu 43: Cho thỏa mãn z  thỏa mãn 2  iz
1 2i . Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho z
số phức w  3  4iz 1 2i là đường tròn I , bán kính R . Khi đó. A. I 1; 2  , R  5.
B. I 1;2, R  5.
C. I 1;2, R  . 5
D. I 1;2 , R  5. Hướng dẫn giải: Chọn C.
Đặt z a bi và z c  0 , với a; ; b c   . w 1 2i
Lại có w  3  4iz 1 2i z  . 3  4i
Gọi w x yi với x; y   . w  1 2i w 1 2i
Khi đó z c   c
c x yi 1 2i  5c 3  4i 3  4i
  x  2   y  2  c   x  2   y  2 2 1 2 5 1 2  25c .
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn I  1  ; 2 .
Khi đó chỉ có đáp án C có khả năng đúng và theo đó R  5  5c  5  c  1 .
Thử c  1 vào phương trình (1) thì thỏa mãn.
Câu 44: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn hình học số phức z trong mặt phẳng phức, biết số phức
z thỏa mãn điều kiện: z  4  z  4  10.
A. Tập hợp các điểm cần tìm là đường tròn có tâm O 0;0 và có bán kính R  4.. 2 2 x y
B. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình   1. 9 25
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 41
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
C. Tập hợp các điểm cần tìm là những điểm M  ;
x y  trong mặt phẳng Oxy thỏa mãn 2 2
phương trình  x   2
y   x   2 4 4  y  12. 2 2 x y
D. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình   1. 25 9 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: Gọi M  ;
x y  là điểm biểu diễn của số phức z x yi.
Gọi A4;0 là điểm biểu diễn của số phức z  4. Gọi B  4
 ;0 là điểm biểu diễn của số phức z  4  .
Khi đó: z  4  z  4  10  MA MB  10. (*)
Hệ thức trên chứng tỏ tập hợp các điểm M là elip nhận ,
A B là các tiêu điểm. 2 2 x y
Gọi phương trình của elip là   1,  2 2 2
a b  0, a b c 2 2  a b
Từ (*) ta có: 2a  10  a  5. 2 2 2
AB  2c  8  2c c  4  b a c  9 2 2 x y
Vậy quỹ tích các điểm M là elip:  E  :   1. 25 9
Câu 45: Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa z  2i 1  z i . Tìm số phức z được
biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A1, 3 . A. 3  i . B. 1 3i . C. 2  3i . D. 2   3i . Hướng dẫn giải:
Gọi M x, y là điểm biểu diễn số phức z x yi  ,
x y R Gọi E 1, 2
  là điểm biểu diễn số phức 1 2i Gọi F 0,  1 
là điểm biểu diễn số phức i
Ta có: z  2i 1  z i ME MF  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung
trục EF : x y  2  0 .
Để MA ngắn nhất khi MA EF tại M M 3, 
1  z  3  i Chọn A.
Câu 46: Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn z   z2 2 2  2 z
 16 là hai đường thẳng d , d . Khoảng cách giữa 2 đường thẳng d , d là 1 2 1 2 bao nhiêu?
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 42
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
A. d d , d  2 .
B. d d , d  4 .
C. d d , d  1.
D. d d , d  6 . 1 2  1 2  1 2  1 2  Hướng dẫn giải:
Gọi M x, y là điểm biểu diễn số phức z x yi  ,
x y R
Ta có: z   z2 2 2 2 2 2 2 2 2  2 z
 16  x  2xyi y x  2xyi y  2x  2 y  16 2
 4x  16  x  2
  d d , d  4 1 2  Chọn B.
Ở đây lưu ý hai đường thẳng x = 2 và x = -2 song song với nhau.
Câu 47: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện z  2  z  2  10 . 2 2 2 2 x y
A. Đường tròn  x  2   y  2  100 . B. Elip   1 . 25 4 2 2 2 2 x y
C. Đường tròn  x  2   y  2  10 . D. Elip   1 . 25 21 Hướng dẫn giải: Chọn D. Gọi M  ;
x y  là điểm biểu diễn số phức z x yi , x, y   .
Gọi A là điểm biểu diễn số phức 2
Gọi B là điểm biểu diễn số phức 2 
Ta có: z  2  z  2  10  MB MA  10 .
Ta có AB  4 . Suy ra tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là Elip với 2 tiêu điểm là
A2;0 , B  2
 ;0 , tiêu cự AB  4  2c , độ dài trục lớn là 10  2a , độ dài trục bé là 2 2
2b  2 a c  2 25  4  2 21 .
Vậy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  z  2  10 là 2 2 x y Elip có phương trình   1. 25 21
Câu 48: Cho số phức z thỏa mãn 2
z m  2m  5 với m là số thực. Biết rằng tập hợp điểm của số
phức w  3  4iz  2i là đường tròn. Tìm bán kính R nhỏ nhất của đường tròn đó. A. R  5 . B. R  10 . C. R  15 . D. R  20 Hướng dẫn giải:
w i    iz w i    iz    iz  m  2 2 3 4 2 3 4 3 4 5 1  4  20 .  
w  2i  20 . Vậy đường tròn có bán kính R
 20 với tâm I 0;2 min
Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi m  1.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 43
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao 2
Câu 49: Cho số phức z thỏa mãn z
và điểm A trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của z . 2 1
Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức w
là một trong bốn điểm M , iz
N , P , Q . Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là: A. Điểm Q . C. Điểm M . B. Điểm N . D. Điểm P Hướng dẫn giải:
Gọi z a bi  ,
a b   là điểm biểu diễn số phức A .
Do z thuộc góc phần tư thứ nhất trong mặt phẳng Oxy , nên a, b  0 . 1 b a Lại có w    i 2 2 2 2 iz a b a b
 Điểm biểu diễn w nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng Oxy . 1 1 w  
 2  2 z  2OA . iz i . z
Vậy điểm biểu diễn của số phức w là điểm P .
Câu 50: Trong mặt phẳng phức cho các điểm O (gốc tọa độ), A biểu diễn số 1, B biểu diễn số phức
z không thực, A' biểu diễn số phức z '  0 và B ' biểu diễn số phức zz '. Nhận định nào sau đây đúng?
A. Tam giác OAB đều
B. Hai tam giác OAB, OA ' B ' là hai tam giác đồng dạng
C. O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AA' B '
D. Trọng tâm của OAB là điểm biểu diễn của số phức z z z 1 2 3 Hướng dẫn giải:    
Ta có z OB ,1  OA , z '  OA' , zz '  z . z '  OB ' y   
Ta có: AB OB OA z 1 B   
A' B '  OB '  OA'  zz ' z '  z ' . z 1 B’ Từ trên ta suy ra z ' z . z ' z ' . z 1 OA' OB ' A' B '      A 1 z z 1 OA OB AB
 OA ' B '  OA . B O A’ x Chọn B.
Câu 51: Cho z  1 ; i z  1   .
i Tìm z sao cho các điểm biểu diễn z , z , z tạo thành tam giác 1 2 3 1 2 3 đều.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 44
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
A. z   2 1 i và z  2 1 i
B. z   3 1 i và z  3 1 i 3   3   3   3   C. z
2 1 i và z   2 1 i
D. z  3 1 i và z   3 1 i 3   3   3   3   Hướng dẫn giải:
Để giải bài toán này ta cần chú ý đến kiến thức sau: Giả sử M
x ; y biểu diễn số phức z x y i 1  1 1  1 1 1 Giả sử M x ; y
biểu diễn số phức z x y i 2  2 2  2 2 2
Khi đó khoảng cách giữa 2 điểm M M bằng mô đun của số phức z z . 1 2 1 2 2 2
Vậy M M z z x xy y 1 2 1 2  1 2   1 2 
Áp dụng vào bài toán: Giả sử z x yi 3
Để các điểm biểu diễn của z , z , z tạo thành một tam giác đều thì 1 2 3 
z z z z
4  4   x  2 1   y  2 1     x  2 1   y  2 1 2 1 3 1  8     
z z z    z  
  x  2   y  2 x y  1 2 2 3 0 4 4 1 1   2
 2 y  6  y   3  x   3
Vậy có hai số phức thỏa mãn là: z  3 1 i và z   3 1 i 3   3   Chọn D.
Câu 52: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất 2 lần. Ký hiệu  ;
a b là kết quả sẽ xảy ra sau khi
gieo, trong đó a, b lần lượt là số chấm xuất hiện lần thứ nhất, thứ hai. Gọi A là biến cố số
chấm xuất hiện trên hai lần gieo như nhau. Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A là
tập hợp con của tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện nào sau đây?
A. z  2  3i  12
B. z  2  3i  10
C. z  2  3i  13
D. z  2  3i  11 Hướng dẫn giải: Ta có A    1 
;1 ,2; 2 ,3;3,4; 4 ,5;5 ,6;6 2 2
Gọi z x yi; x, y R khi đó z  2  3i   x  2   y  3 2 2
Giả sử z  2  3i R   x  2   y  3  R
  x  2   y  2 2 2 3
R . Khi đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là những điểm
thuộc miền trong và trên đường tròn tâm I  2  ; 3   và bán kính . R
Để tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A là tập hợp con của tập hợp các điểm biểu
diễn của số phức z thì IM R, M  . R
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 45
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
Khi đó ta được R  13 Chọn C. 1 1 1
Câu 53: Cho 3 số phức z , z , z phân biệt thỏa mãn z z z  3 và  
. Biết z , z , z 1 2 3 1 2 3 z z z 1 2 3 1 2 3
lần lượt được biểu diễn bởi các điểm ,
A B, C trong mặt phẳng phức. Tính góc ACB . Hướng dẫn giải: 1 1 1 z z z 1 2 3      z z z z .z z .z z .z 1 2 3 1 1 2 2 3 3 Ta có: z z z 1 2 3   
z z z 2 2 2 1 2 3 z z z 1 2 3
Do tính đối xứng trục Ox nên C là điểm thứ 3 của
hình bình hành OACB . OB AC Từ đó ta có: 
OA OC AC . OB OA   OC
 OAC là tam giác đều  Góc 0 ACB  120 .
Câu 54: Cho hai số phức z , z thỏa: z z  5 . Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa: 1 2 1 2
z z  2 z z là đường tròn và có bán kính R . Tính giá trị của R . 1 2 5 7 10 14 A. R  . B. R  . C. R  . D. R  3 3 3 3 Hướng dẫn giải:
Trong mặt phẳng phức, gọi Z, Z , Z 1 2
lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức
z, z , z . 1 2
A là điểm thứ tư của hình bình hành OZ AZ . 2 1
  
OZ OZ OA 1 2 .
z z OA  5 1 2  
Ta có: z z OZ OZ ZZ và 1 1 1  
z z OZ OZ OP với P là 2 2
điểm thứ tư của hình bình hành OZ PZ . 2
Gọi N là trung điểm OA ON  2, 5 và H là trung điểm cạnh OP OP  2OH và H
cũng là trung điểm cạnh ZZ . 2
Ta có HN là đường trung bình của ZZ Z 1 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 46
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
ZZ  2HN . 1
z z  2 z z ZZ  2OP  2HN  4OH HN  2HO . 1 2 1   ON 2, 5 IN  2
IO OI   
Gọi I , J lần lượt là hai điểm thỏa: 3 3   .
JN  2JO OJ ON  2,5 
Ta chứng minh được HI , HJ lần lượt đường phân giác trong và phân giác ngoài tại đỉnh H 10
của HON HI HJ H thuộc đường tròn đường kính IJ  . 3 5
Gọi O là trung điểm IJ O I  . 1 1 3
Gọi O ' là là điểm sao cho O là trung điểm O ' Z . 1 2 10
Ta có: O H là đường trung bình của O ' ZZ O ' Z  2O H  . 1 2 1 3
Với z , z không đổi thì ,
A Z , Z N cố định  I, J cố định  O cố định  O ' cố định. 1 2 1 2 1 10
Vậy Z thuộc đường tròn tâm O ' , bán kính R  . 3 2
Câu 55: Trong mặt phẳng phức Oxy, tập hợp biểu diễn số phức Z thỏa mãn z z z  0 là đường
tròn C  . Diện tích S của đường tròn C  bằng bao nhiêu?
A. S  4.
B. S  2.
C. S  3.
D. S Hướng dẫn giải:
Đặt z x yi x, y   , ta có z x yi và 2 2 z x y . 2 2 Khi đó, giả thiết 2 2
z z z
x y x yi x yi    x   2 0 0 1  y  1.
Suy ra tập hợp biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I 1;0 , bán kính R  1  S. C Chọn D.
Câu 56: Trong mặt phẳng phức Oxy, tập hợp biểu diễn số phức Z thỏa 1  z 1  i  2 là hình vành
khăn. Chu vi P của hình vành khăn là bao nhiêu?
A. P  4.
B. P .
C. P  2.
D. P  3 Hướng dẫn giải:
Đặt z x yi x, y   , khi đó ta có 2 2 2 2
z 1 i x 1  y  
1 i   x   1   y   1  1   x   1   y   1  1  Tập hợp các
điểm biểu diễn số phức z nằm bên ngoài hình tròn có tâm I 1;1 , bán kính R  1. 1   1
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 47
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao 2 2 2 2
z 1 i x 1  y  
1 i   x   1   y   1  2   x   1   y   1  4  Tập hợp
các điểm biểu diễn số phức z nằm bên trong hình tròn có tâm I
1;1 , bán kính R  2. 2   2
Vì hai đường tròn đồng tâm nên chu vi P hình vành khăn là
P C C  2 R R  2. 2 2  2 1  Chọn C.
Câu 57: Trong mặt phẳng phức Oxy, giả sử M là điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn
z  2  z  2  8 . Tập hợp những điểm M là? 2 2 x y 2 2 x y A. E  :   1 . B. E  :   1 . 16 12 12 16 2 2 2 2
C. T  :  x  2   y  2  64 .
D. T  :  x  2   y  2  8 Hướng dẫn giải:
Xét điểm F 2; 0 và F 2
 ; 0 , ta có MF MF  8  2a a  4 2   1   1 2 2 2 2 2 2 x y
F F  4  2c c  2  b a c  12  Tập hợp điểm là Elip  E  :   1 . 1 2 16 12 Chọn A.
Câu 58: Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức z thỏa z  2i 1  z i . Tìm số phức z được biểu
diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A1;3 A. 3  i . B. 1 3i . C. 2  3i . D. 2   3i Hướng dẫn giải:
Xét điểm B 1;2 ,C 0; 
1  MB MC  Tập hợp điểm M là đường thẳng trung được của BC .  1 3 
Ta có:  BC  : x y 1  0 và trung điểm BC là H ;    
Phương trình đường trung  2 2  trực BC là:
 : x y  2  0 . Lại có: AM d  ,
A   2 2 . Dấu bằng khi M là hình chiếu của A lên  2 2 2 2
Khi đó: AM  2 2   x y x x M  1    3 M   8    M  1    5 M   8    2 x 3  0  x  3  M . M M 3;  1 Chọn A.
Câu 59: Xét 3 điểm ,
A B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt z , z , z 1 2 3
thỏa mãn z z z . Nhận định nào sau đây đúng: 1 2 3
A. Tam giác ABC đều
B. O là tâm của tam giác ABC
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 48
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
C. O là trọng tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
D. Trọng tâm của ABC là điểm biểu diễn của số phức z z z 1 2 3 Hướng dẫn giải:
Từ điều kiện z z z chứng tỏ ,
A B, C nằm trên một đường tròn tâm O bán kính 1 2 3 R z . 1
Nếu ABC là tam giác đều thì tâm O là trọng tâm của tam giác ABC.
   
Theo tính chất trọng tâm ta có: OA OB OC  0 hay z z z  0 1 2 3
Đảo lại, nếu z z z  0 , ta có: 1 2 3
       
OA OB OC  0  OC   OA OB  OD  
Điểm D cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp ABC ( vì OC   OD ,OADB là hình bình
hành có OA OB BD DA ). Các tam giác OAD và OBD là các tam giác đều. Suy ra  0 sd AB  120 . 
Làm tương tự ta chứng minh được 0 sd AC  120 . Suy ra ABC đều. Chọn A.
Câu 60: Cho các số phức z thỏa mãn z  4 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức
w  (3  4i)z i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. r  4. B. r  5. C. r  20. D. r  22. Hướng dẫn giải:
a  (b  1)i
a  (b 1)i(3  4i)
Gọi w a bi , ta có w a bi  (3  4i)z i z   2 3  4i 9  16i 2 2 3a  4b  4
(3b  4a  3)
(3a  4b  4)  (3b  4a  3)   .i z  25 25 25 Mà z = 4 nên 2 2 2 2 2
 (3a  4b  4)  (3b  4a  3)  100  a b  2b  399
Theo giả thiết, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w  (3  4i)z i là một đường tròn nên ta có 2 2 2 2
a b  2b  399  a  (b  1)  400  r  400  20 Chọn C.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 49
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
DẠNG 4: SỐ PHỨC CÓ MODDUN NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT Câu 1:
Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i  4 5 . Giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là A. 5 . B. 3 5 . C. 5 5 . D. 5 3 Hướng dẫn giải:
Ta có 4 5  z 1 2i z  1 2i z  5  z  3 5. Chọn B. Câu 2:
Cho số phức z thỏa mãn (1 i)z 1 7i
2 . Tìm giá trị lớn nhất của z
A. max z  4 .
B. max z  3 . C. max 7 . D. max z  6 Hướng dẫn giải: w  (1 7i)
Đặt w  (1 i)z  1 7i z  1 i
Ta có: w  2 . Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I là điểm biểu diễn số 0  (1 7i) 2 phức
 3  4i , tức là I (3; 4) . Bán kính r   1 1 i 1 i
Vậy max z OI r  6 Câu 3:
Cho số phức z thỏa mãn z  2  2i  1. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là A. 2 2 1; 2 2 1. B. 2 1; 2 1 . C. 2;1 .
D. 3  1; 3 1 Hướng dẫn giải:
Ta có z  2  2i  z z  2  2i z  2 2  z  2 2 1.
Lại có z  2  2i  2i  2  z  2  2i  2i  2  z z  1 2 2. Chọn A. Câu 4:
Cho số phức z thỏa mãn z 1  2i  3 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z  2 . i A. 26  6 17 . B. 26  6 17 . C. 26  8 17 . D. 26  4 17 . Hướng dẫn giải:
Gọi z x yi;  x  ;
y    z  2i x   y  2i . Ta có: z   i
  x  2   y  2 1 2 9 1 2  9 .
Đặt x  1 3sin t; y  2
  3cos t; t 0; 2. 2
z i    t 2    t 2 2 1 3sin 4 3cos
 26  6 sin t  4cos t   26  6 17 sin t ;  . 
26  6 17  z  2i
26  6 17  z  2i  26  6 17 . max
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 50
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao Chọn A. Câu 5:
Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i  2 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z. A. 9  4 5 . B. 11 4 5 C. 6  4 5 D. 5  6 5 Hướng dẫn giải: 2 2
Gọi z x yi;  x  ;
y   . Ta có: z 1 2i  2   x  
1   y  2  4.
Đặt x  1 2 sin t; y  2  2 cos t; t 0; 2 . Lúc đó: 2 z    t 2    t 2    t t  2 2 1 2 sin 2 2 cos 9 4 sin 8cos
 9  4  8 sin t ;   2 z 9 4 5 sin t    z 9 4 5 ; 9 4 5             5  2 5 1  0  4 5  z
 9  4 5 đạt được khi z   . i max 5 5 Chọn A. Câu 6:
Cho số phức z thỏa mãn 1 iz  6  2i  10 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z. A. 4 5 B. 3 5. C. 3. D. 3  5 Hướng dẫn giải:
Gọi z x yi;  x  ;  y   . 6   2i
Ta có: 1 iz  6  2i  10  1 i . z
 10  z  2  4i 1 i
  x  2   y  2 5 2 4  5.
Đặt x  2  5 sin t; y  4  5 cos t; t 0; 2 . Lúc đó:
z  2  5 sin t2  4  5 cost2 2
 25  4 5 sin t  8 5 cost
 25  4 52  8 52 sin t ;   2
z  25  20 sin t   z   5;3 5    z
 3 5 đạt được khi z  3  6 . i max Chọn B. Câu 7:
Cho số phức z thoã mãn z  3  4i  2 . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của z . Tính giá trị của biểu thức 2
P A  2B . A. P  43 . B. P  80 . C. P  8 . D. P  48 Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 51
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I 3; 4
  bán kính R  2 Khi đó A z
OI R  5  2  7 ; B z
OI R  3 max min Suy ra P  43 . Chọn A. Câu 8:
Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z  2  4i z  2i . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z  2 . i A. 5 B. 3 5. C. 3 2 D. 3  2 Hướng dẫn giải:
Gọi z x yi;  x  ;  y   . 2 2 2
Ta có: z   i z i   x     y   2 2 4 2 2 4 
x   y  2  x y  4  0  y  4  . x 2 2 2 2 Ta có: 2
z i x   y   2
x    x 2 2 2 6
 2x 12x  36  2  x  3 18  18  z  2i
 18  3 2 khi z  3  . i min Chọn C. Câu 9:
Cho số phức z thỏa mãn z 1  2i  3 . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z 1 . i A. 4. B. 2 2. C. 2. D. 2. Hướng dẫn giải:
Gọi z x yi;  x  ;
y    z 1 i   x   1   y   1 i . Ta có: z   i
  x  2   y  2 1 2 9 1 2  9 .
Đặt x  1 3sin t; y  2
  3cos t; t 0; 2. 2
z 1 i  3sin t 2   1
  3cos t 2  10  6 cos t  2  z  2i  4  z 1 i  2 , khi min z  1 . i Chọn C.
Câu 10: Trong các số phức z thỏa mãn: z  3  4i z thì số phức z có modul nhỏ nhất là 11 3 5 1 A. z   i . B. z   2i . C. z  5   i . D. z  3   i 2 2 2 6 Hướng dẫn giải: 2 2 8b  25
Ta có a bi  3  4i a bi  a  3  b  4 2 2
a b  25  6a  8b  0  a  6 2 2 2  8b  25  25 100 625  5 10  25 25 3 2 2  z   b b b   b   
b  2  a  .      6  9 9 36  3 3  4 4 2 Chọn B.
Câu 11: Trong các số phức z thỏa mãn: z  2  4i z  2i thì số phức z có modul nhỏ nhất là
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 52
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao A. z  2   2i . B. z  2   2i .
C. z  2  2i .
D. z  2  2i Hướng dẫn giải: 2 2 2
Ta có a bi   i a bi i  a    b   2 2 4 2 2 4
a  b  2
 20  4a  8b  4  4b  4a  4b  16  b  4  a 2
z a    a2  a a   a  2 2 2 4 2 8 16 2 2
 8  a  2  b  2. Chọn D.
z  2  3i  3 z
Câu 12: Cho số phức z thoả mãn điều kiện
. Tìm giá trị nhỏ nhất của A. 13  3 . B. 2. C. . D. 2 13  2 Hướng dẫn giải:
Các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn z  2  3i  3 nằm trên đường tròn (C) tâm I(2; −3) y và bán kính R = 3. x
(Ý nghĩa hình học của z : độ dài OM) O z M
Ta có |z| đạt giá trị nhỏ nhất  điểm M(C) và OM nhỏ nhất. C
(Bài toán hình học giải tích quen thuộc) I
Ta có: OM  OI – IM = OI – R = . 13  3
Dấu « = » xảy ra khi M là giao điểm của (C) và đoạn thẳng OI.
Vậy GTNN của z là: . 13  3 Chọn A.
Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn: z  2  2i  1 . Số phức z i có môđun nhỏ nhất là: A. 5 1 B. 5 1 C. 5  2 D. 5  2 . Hướng dẫn giải: Chọn A.
Gọi z x yi , x, y   . y Ta có: I 2 2
z  2  2i  1  (x  2)  ( y  2)i  1  (x  2)  ( y  2)  1 1 M O 1 x
Tập hợp các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn của số
phức z là đường tròn (C) tâm I (2; 2) và bán kính R  1 . z i
x   y  2 2 1
IM , với I 2;2 là tâm đường
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 53
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
tròn, M là điểm chạy trên đường tròn. Khoảng cách này ngắn nhất khi M là giao điểm của
đường thẳng nối hai điểm N 0 
;1  Oy, I 2;2 với đường tròn (C). IM
IN R  5 1 min
Câu 14: Trong các số phức z thỏa z  3  4i  2 , gọi z là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó 0
A. Không tồn tại số phức z . B. z  2 . 0 0 C. z  7 . D. z  3 . 0 0 Hướng dẫn giải: Chọn D. Cách 1:
Đặt z a bi (a, b  ) . Khi đó 2 2
z  3  4i  2  (a  3)  (b  4)  4 .
Suy ra biểu diễn hình học của số phức z là đường tròn C  tâm I  3  ; 4
  và bán kính R  5 .
Gọi M z là điểm biểu diễn số phức z . Ta có:
M z C  .
z OM OI R  3 .
Vậy z bé nhất bằng 3 khi M z  C   IM . Cách 2:
a  3  2 cos
a  3  2 cos Đặt    .
b  4  2 sin b  4   2 sin   2 2 2 2
z a b
(2 cos 3)  (2 sin  4)  29 12 cos16sin .  3 4   29  20 cos
sin  29  20 cos()  9    5 5  .  z  3 0
A Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z 1 2i
5 và w z 1 i có môđun lớn nhất. Số
phức z có môđun bằng: A. 2 5 . B. 3 2 . C. 6 . D. 5 2 . Hướng dẫn giải: Chọn B.
Gọi z x yi
x, y    z 1 2i   x  
1   y  2i 2 2 2 2
Ta có: z 1 2i  5   x  
1   y  2  5   x  
1   y  2  5
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 54
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
Suy ra tập hợp điểm M  ;
x y  biểu diễn số phức z thuộc đường tròn C  tâm I 1;2 bán
kính R  5 như hình vẽ:
Dễ thấy O  C  , N 1;   1  C  Theo đề ta có: M  ;
x y C  là điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:  2 2
w z 1 i x yi 1 i   x   1   y  
1 i z 1 i   x   1   y   1  MN
Suy ra z 1 i đạt giá trị lớn nhất  MN lớn nhất
Mà M , N  C  nên MN lớn nhất khi MN là đường kính đường tròn C
I là trung điểm MN M     z   i z    2 2 3; 3 3 3 3 3  3 2
Câu 15: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z  3i z  2  i . Tìm số phức có môđun nhỏ nhất? 1 2 1 2
A. z  1 2i . B. z    i . C. z   i .
D. z  1 2i . 5 5 5 5 Hướng dẫn giải: Chọn C.
Phương pháp tự luận
Giả sử z x yi x, y  
z i z   i x   y  i   x     y  i x   y  2   x  2   y  2 2 3 2 3 2 1 3 2 1
 6 y  9  4x  4  2 y 1  4x  8 y  4  0  x  2 y 1  0  x  2 y  1 2  2  1 5 z
x y  2 y  2 2 2 2 2
1  y  5 y  4 y 1  5 y       5  5 5 5 2 1 Suy ra z  khi y    x  min 5 5 5 1 2 Vậy z   i. 5 5
Phương pháp trắc nghiệm
Giả sử z x yi  , x y  
z i z   i x   y  i   x     y  i x   y  2   x  2   y  2 2 3 2 3 2 1 3 2 1
 6 y  9  4x  4  2 y 1  4x  8 y  4  0  x  2 y 1  0
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z  3i z  2  i là đường thẳng
d : x  2 y 1  0 .
Phương án A: z  1 2i có điểm biểu diễn 1; 2  d nên loại A.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 55
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao 1 2  1 2 
Phương án B: z   
i có điểm biểu diễn  ;   
d nên loại B. 5 5  5 5 
Phương án D: z  1 2i có điểm biểu diễn  1
 ; 2  d nên loại B. 1 2  1 2  Phương án C: z  
i có điểm biểu diễn ;     d 5 5  5 5 
Câu 16: Cho số phức z thảo mãn z  4i  2  4. Tìm giá trị nhỏ nhất của z . A. 1 B. 3 C. 7 D. 8 Hướng dẫn giải: 2 2
Giả sử z a bi, ta có: a bi  3  4i  4  a  3  b  4  16
a  3  4 sin
a  3  4sin Đặt   
b  4  4 cos
b  4 cos 4   2 2 2 2
z a b  9 16 sin  24sin 16  32 cos  3 4 
 41 24 sin  32 cos 41 40 sin  cos    5 5  3 4 2 Đặt 2 2
cos= , sin
z a b  41 40 sin   1. 5 5
Dấu "  " xảy ra khi  
k 2 
k 2. 2 2 Vậy min z  1. Chọn A.
Câu 17: Trong các sô phức thỏa điều kiện z  4i  2  2i z , mô đun nhỏ nhất của số phức z bằng: A. 2 2 B. 2 C. 1 D. 3 2 Hướng dẫn giải:
Giả sử số phức z x yi Theo đề z i
i z   x  2   y  2  x   y  2 2 4 2 2 2 4 2
x y  4  0  y  4  x   1 Mà z x y
x    x2 2 2 2 4 (thay   1 vào)   x  2 2 2  8  2 2. Chọn A. 13
Câu 18: Số phức z có mô đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện z 1 i  3  2i  là: 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 56
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao 2 1 3 1 3 15
A. z  1 3i B. z   i C. z   i D. z   i 2 2 2 2 4 4 Hướng dẫn giải:
+ Gọi z x yi 2 2 13
Từ giả thiết ta có:  x y  3   x y  2  . 4 + Đồng thời 2 2 z
x y lớn nhất. Kiểm tra các đáp án và so sánh. Chọn D.
Câu 19: Trong các số phức z thỏa: z  3  4i z , biết rằng số phức z a bi,a,b   có modul
nhỏ nhất. Khi đó, giá trị của 2
P a b là 1 1 1 1 A. P  . B. P  . C. P   . D. P   4 2 4 2 Hướng dẫn giải: 2 2 25  6a
Ta có a bi  3  4i a bi  a  3  b  4 2 2
a b  25  6a  8b  0  b  8 2 2 2  25  6a  25 75 625  5 15  25 3 2 2  z a   a a   a    a   b  2.      8  16 16 64  4 8  4 2 Chọn A.
Câu 20: Trong các số phức z thỏa mãn: z 1 5i z  3  i , biết rằng số phức z a bi,a,b   có a
modul nhỏ nhất. Khi đó, tỉ số bằng b 1 2 A. 3 . B. . C. . D. P   2 3 3 Hướng dẫn giải: 2 2 2 2
Ta có a bi  1 5i a bi  3  i  a   1
 b  5  a  3  b   1
 26  2a 10b  10  6a  2b  4a 12b  16  a  4  3b 2 2  12  8 6 2
z  4  3b2 2 2
b  10b  24b 16  b 10    b   a  .    10  5 5 5 Chọn B.
Câu 21: Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức z thỏa z  5i  3 . Nếu số phức z có môđun nhỏ nhất
thì phần ảo bằng bao nhiêu? A. 0 . B. 3 . C. 2 . D. 4 Hướng dẫn giải:
Giả sử M là điểm biểu diễn số phức z . Xét điểm A0;5  AM  3
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 57
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
Tập hợp điểm M là các điểm không nằm ngoài đường tròn tâm A bán kính R  3
OM AO AM  5  3  2 . Chọn C.
Câu 22: Trong mặt phẳng phức Oxy, trong các số phức z thỏa z 1 i  1. Nếu số phức z có môđun
lớn nhất thì số phức z có phần thực bằng bao nhiêu?  2  2 2  2 2  2 2  2 A. . B. . C. . D. 2 2 2 2 Hướng dẫn giải:
Giả sử M là điểm biểu diễn số phức z . Xét điểm A 1   ;1  AM  1
Tập hợp điểm M là các điểm không nằm ngoài đường tròn C  tâm A bán kính R  1
OM AO AM  2 1. Dấu bằng khi M là giao điểm của C  và OA : y  xx    y M M 2  2 2   2    x   x  (chọn điểm xa O hơn).  M M x   y M 2 1    M 2 1  1 2 2  Chọn A.
Câu 23: Trong mặt phẳng phức Oxy , trong các số phức z thỏa z 1 i  1. Nếu số phức z có môđun
lớn nhất thì số phức z có phần thực bằng bao nhiêu?  2  2 2  2 2  2 2  2 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải:
Gọi M x, y là điểm biểu diễn số phức
z x yi x, y R
Gọi A là điểm biểu diễn số phức 1   i
Ta có: z 1 i  1  MA  1. Vậy tập hợp điểm biểu
diễn số phức là hình tròn tâm A 1  ,  1 , R  1 như hình vẽ
Để max z  max OM     x  2 1   y  2 1  1 2  2 2  2  M thỏa hệ:   x  , x    y  x 2 2 
Câu 24: Cho số phức z thỏa mãn 2
z  2z  5   z 1 2i  z  3i  
1 và số phức w thỏa w z  2  2i
. Tìm giá trị nhỏ nhất của w . Hướng dẫn giải: Ta có: 2
z  2z  5   z 1 2i  z  3i   1
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 58
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
  z 1 2i  0
  z 1 2i  z 1 2i   z 1 2i z  3i   1   .
  z 1 2i   z  3i   1 
Trường hợp 1:  z 1 2i  0  z  1 2i w  1. 1
Trường hợp 2:  z 1 2i   z  3i   1  b  
với z a bi a,b   . 2  1  3 9 3  w a
i  2  2i  a  2  i w  a  22     .  2  2 4 2
Câu 25: Cho số phức z a bi a,b  ;
a,b  0 . Đặt đa thức f x 2
ax bx  2 . Biết f   1  0,  1  5 f    
. Tính giá trị lớn nhất của z .  4  4 Hướng dẫn giải: Ta có: f  
1  0  a b  2  0  b a  2  1  5 a b 5 a f      2    b  3    .  4  4 16 4 4 4
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng Oxy là một miền kín được giới hạn
bởi các đường thẳng sau: x
x  0; y  0; y x  2; y    3 . 4
Gọi M là điểm biễu diễn số phức
z  max z  max OM .
M là 1 trong các định sau
A0;0, B 2;0,C 2; 4 , D 0;3 .
 max Om OC  2 5 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 59
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
DẠNG 5: GTLN, GTNN TRÊN SỐ PHỨC Câu 1:
Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1. Giá trị lớn nhất của z 1 i là: A. 13  2 . B. 4. C. 6. D. 13 1 Hướng dẫn giải: Ta có:
z  2  3i  1  z  2  3i  1  z  2  3i  1  z  (2  3i)  1
Đặt w z 1 i
Tập hợp điểm biểu diễn w là đường tròn tâm I, tâm I là điểm biểu diễn của số phức
2  3i 1 i  3  2i , tức là I (3; 2) , bán kính r  1 Vậy 2 2 w
OI r  3  (2) 1  13 1 max Chọn D Câu 2:
Số phức z  0 thỏa mãn z  2. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức z i P  . z A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải i i i 1 i 1 Ta có 1  1  1  1  1  1 . z z z z z z 1 1 1 3 Mặt khác z  2   suy ra  P  . z 2 2 2 3 1
Suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là , . Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ 2 2
nhất của biểu thức P là 2. Chọn B. 5i Câu 3:
Cho số phức z thỏa mãn z  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  1 . z A. 5. B. 4. C. 6. D. 8. Hướng dẫn giải: 5i 5i 5 Ta có: A  1  1   1
 6. Khi z i A  6. z z z Chọn C.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 60
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao Câu 4:
Cho số phức z thỏa mãn z  1. Tìm giá trị lớn nhất M
và giá trị nhỏ nhất M của biểu max min thức 2 3
M z z  1  z  1 . A. M  5; M  1. B. M  5; M  2. max min max min C. M  4; M  1. D. M  4; M  2. max min max min Hướng dẫn giải: 2 3
Ta có: M z z 1 z 1  5 , khi z  1  M  5  M  5. max 3 3 3 3 3 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z Mặt khác: 3 M   1 z     1, khi 1 z 2 2 2 z  1
  M  1  M  1. min Chọn A. Câu 5:
Cho số phức z thỏa z  2 . Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức z i P  . z 3 2 A. . B. 1. C. 2 . D. . 4 3 Hướng dẫn giải: i 1 3 i 1 1 Ta có P  1  1  . Mặt khác: 1  1  . z | z | 2 z | z | 2 1 3
Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là , xảy ra khi z  2
i; giá trị lớn nhất của P bằng xảy ra 2 2 khi z  2 . i Chọn A. Câu 6:
Cho số phức z thỏa mãn z  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  1 z  3 1 z . A. 3 15 B. 6 5 C. 20 D. 2 20. Hướng dẫn giải:
Gọi z x yi;  x  ;
y   . Ta có: 2 2 2 2 z  1 
x y  1  y  1 x x 1;  1 . 2 2
Ta có: P   z
z    x 2  y    x 2 1 3 1 1 3 1  y
2 1 x  3 21 x .
Xét hàm số f x  2 1 x  3 21 x; x  1  ; 
1 . Hàm số liên tục trên  1   ;1 và với 1 3 4 x  1; 
1 ta có: f  x    0  x    1;  1 . 21 x 2 1 x 5  4  Ta có: f   1  2; f   1  6; f   2 20  P  2 20.   max  5  Chọn D.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 61
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao Câu 7:
Cho số phức z thỏa mãn z  1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2
P z  1  z z 1 . Tính giá trị của M .m . 13 3 39 13 A. . B. . C. 3 3. D. . 4 4 4 Hướng dẫn giải:
Gọi z x yi;  x  ;
y   . Ta có: z 1  z.z  1
Đặt t z 1 , ta có 0  z 1  z 1  z 1  2  t 0;2. 2 t  2 Ta có 2
t  1 z 1 z   1 z.z z z  2  2x x  . 2
Suy ra z z   z z z z z z   z   x  2 2 2 2 1 . 1 2 1
 2x 1  t  3 .
Xét hàm số f t  2
t t  3 , t 0;2. Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra 13 13 3
max f t  
; min f t   3  M .n  . 4 4 Chọn A. 2 2 Câu 8:
Gọi z x yi  ,
x y   là số phức thỏa mãn hai điều kiện z  2  z  2  26 và 3 3 z  
i đạt giá trị lớn nhất. Tính tích x . y 2 2 9 13 16 9 A. xy  . B. xy  . C. xy  . D. xy  . 4 2 9 2 Hướng dẫn giải:
Đặt z x iy  ,
x y  . Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được 2 2 x y  36.
Đặt x  3cos t, y  3sin t. Thay vào điều kiện thứ hai, ta có 3 3  P z  
i  18 18sin t   6.   2 2  4    3 3 2 3 2
Dấu bằng xảy ra khi sin t   1  t    z    .   i  4  4 2 2 Chọn D. Câu 9:
Cho hai số phức z , z thỏa mãn z z  8  6i và z z  2 . Tìm giá trị lớn nhất của 1 2 1 2 1 2
P z z . 1 2 A. P  4 6 B. P  2 26
C. P  5  3 5
D. P  32  3 2 Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 62
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao z a  a c bi
b d i  8  6  i   a  
c2  b d 2  100 Gọi: 1  a, ,
b c, d       . z c   di
a c2  b d 2  4  
a c 2  b d 2 2  4 
 a c2  b d 2  a c2  b d 2 2 2 2 2
 104  a b c d  52 . B.C .S Mặc khác: 2 2 2 2 P
a b c d   2 2   2 2 2 2 1 1
a b c d   2 26 . Cách 2: Gọi ,
A B lần lượt là điểm biểu diễn số phức z , z trên mặt phẳng phức và D là điểm thứ tư 1 2
của hình bình hành AOBD D là điểm biểu diễn số phức  z z OD z z  10 . 1 2  1 2
z z chính là độ dài đoạn AB . 1 2 OAB có 2 2 2  
AB OA OB  2O . A O . B cos AOB  4 
 104  2 OA OB   OA OB2 2 2 2 2 2 
OD OA OB  2O . A O .
B cos AOB  100 
 OA OB
 104  2 26   z z  2 26 . 1 2 max max
Câu 10: Cho số phức z thỏa z  1. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức T z 1  2 z 1 .
A. max T  2 5 .
B. maxT  2 10 .
C. max T  3 5 . D. max T  3 2 Hướng dẫn giải:
Gọi z a bi a b   2 2 ,
a b  1 . 2 2
Ta có: T z  
z   a   2  b  a   2 1 2 1 1 2 1  b B.C.S 2 2 2 2 
a b a  
a b a   a    a   2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1  2 4  2 5 . Vậy max T  2 5 .
Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn 2
z  2z  5   z 1 2i  z  3i  
1 . Tính min | w | , với
w z  2  2i . 3 1 A. min | w | .
B. min | w | 2 .
C. min | w | 1 . D. min | w | . 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có 2
z  2z  5   z 1 2i z  3i  
1   z 1 2i z 1 2i    z 1 2i z  3i   1
z 1 2i  0   .
z 1 2i   z  3i    1 
Trường hợp 1: z 1 2i  0  w  1   w  1   1 .
Trường hợp 2: z 1 2i z  3i 1
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 63
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
Gọi z a bi (với a, b   ) khi đó ta được
a   b  i  a    b  i  b  2  b  2 1 1 2 1 3 2 3  b   . 2 3 9 3
Suy ra w z  2  2i a  2 
i w  a  22   2 . 2 4 2 Từ  
1 , 2 suy ra min | w | 1 .
Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 
2 . Tìm giá trị lớn nhất của
T z i z  2  i .
A. max T  8 2 . B. max T  4 .
C. max T  4 2 . D. max T  8 . Hướng dẫn giải:
T z i z  2  i   z  
1  1 i   z   1  1 i .
Đặt w z 1 . Ta có w  1 và T w  1 i  w  1 i . 2
Đặt w x  . y i . Khi đó 2 2
w  2  x y .
T   x   1   y  
1 i   x   1   y   1 i  1.  x  2 1   y  2 1 1.  x  2 1   y  2 1
 1 1 x  2 1   y  2 1   x  2 1   y  2 2 2 1   2 2 2
2x  2 y  4  4 Vậy max T  4 . Chọn B.
Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1. Giá trị lớn nhất của z 1 i là A. 13  2 . B. 4 . C. 6 . D. 13 1 . Hướng dẫn giải:
Gọi z x yi ta có z  2  3i x yi  2  3i x  2   y  3 i . 2 2
Theo giả thiết  x  2   y  3  1 nên điểm M biểu diễn cho số
phức z nằm trên đường tròn tâm I 2;3 bán kính R 1 . M2 Ta có M1 I
z   i x yi   i x     yi   x  2   y  2 1 1 1 1 1 1 . H 2 2 Gọi M  ;
x y  và H  1  
;1 thì HM   x   1   y   1 .
Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao của HI với đường tròn.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 64
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
x  2  3t
Phương trình HI : 
, giao của HI và đường tròn ứng với t thỏa mãn: y  3  2  t 1  3 2   3 2  2 2
9t  4t  1  t   nên M 2  ;3  , M 2  ;3      . 13  13 13   13 13 
Tính độ dài MH ta lấy kết quả HM  13 1 . Chọn D.
Câu 14: Cho số phức thỏa z  1. Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 2
P z 1  z z 1 . Hướng dẫn giải:
Đặt z a bi a b   2 2 ;
a b  1 . 2
z   a   2 1 1  b  2 a   1 2
z z    2 2
a abi b   a bi 2 2
a b   2 1 2
2a a  2a   1 bi
  a a2   a  2 b   a  2 2 2  2 2 2 2 1 2 1
a b   2a 1 . Vậy P  2 a   1  2a 1 .   7   13
max P P   1  3 max P P      1    1    8  4 Xét a  ;1      1  . Xét a  1  ;     .  2  min P P  3     2   1     2  min P P  3      2   13 7 15 max P   z     i 4 8 8  z 1  Kết luận  .  1 3 
min P  3  z    i 2 2 z 1  
Câu 15: Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 Giá trị lớn nhất của z 1 i là A. 13  2. B. 4. C. 6. D. 13 1. Hướng dẫn giải:
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I 2;3 bán kính R 1 .
Gọi z x yi z 1 i x 1 yi i   x   1   y  
1 i . Gọi K 1  ;1
Do đó z 1 i
IK R  1 13 . max Chọn D.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 65
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
Câu 16: Cho số phức z thoã mãn điều kiện z  2i z 1 2i . Gọi w là số phức thoã mãn điều
kiện w  1 iz  2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P w là: 1 5 5 1 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  min 5 min min min 34 41 3 Hướng dẫn giải:
Ta có: z  2i z 1 2i  1 iz  2  2i  1 iz 1 3i
w  4  2i w 1 3i . Gọi A4;2; B 1;3 và M w suy ra MA MB nên tập hợp
điểm M là trung trực của AB có PT là: 3x  5 y  5  0 d  5
Ta có: w OM OMd O; d  . min   34 Chọn B.
Câu 17: Cho số phức z thoã mãn z 1 i
2 . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của z  2  i . Giá trị của biểu thức 2
P  2 A B gần bằng. A. 6. B. 7. C. 8. D. 9 Hướng dẫn giải:
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I 1;  1 bán kính R  2 Gọi K 2;  1 
khi đó A z  2  i
IK R  5  2 ; B  5  2 max Do đó 2
P  2A B  8 . Chọn C. 1 i
Câu 18: Cho số phức z thoã mãn
z 1 i  2 . Giá trị lớn nhất của A z  2  i là. 1 i A. 2  2 . B. 5  2 . C. 2  5 . D. 5 Hướng dẫn giải: 1 i Ta có:
z 1 i  2  iz 1 i  2  i . z 1 i  2  z 1 i  2 1 i
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I  1  ;   1 bán kính R  2 Gọi K 2;  1  suy ra A
IK R  5 . max Chọn D. 1 iz
Câu 19: Trong tất cả các số phức z thỏa mãn  2 
1 hãy tìm số phức z có mođun nhỏ 1 i nhất. A. z  1. B. z  2  2 . C. z  0 . D. z  2 min min min min
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 66
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao Hướng dẫn giải: 1 iz 1 i 2 1 i  2  1  z
 1  z  2i  1 1 i 1 i 1 i
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I 0;2 bán kính R 1 Ta có: z
OI R  1. min Chọn A.
Câu 20: Xét số phức z thỏa mãn z i 1  z  4i  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z  2i 1 . 98 102 7 10 470 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Hướng dẫn giải: 2 2 2 2
Ta có a bi i  1  a bi  4i  2  a   1  b   1
 a  2  b  4
 2  2a  2b  20  4a  8b  2a  6b 18  0  a  3  b  9. 2 2 2 2 2 2
Khi đó z  2i 1  a bi  2i 1  a   1
 b  2   3
b  8  b  2 2  22  98 98 7 10 2
 10b  44b  68  b 10   
z  2i 1  .    10  5 5 5 Chọn C.
Câu 21: Xét số phức z thỏa mãn z  2  3i  1. Tìm giá trị lớn nhất của z i 1 . A. 1 13. B. 2  13. C. 4. D. 6. Hướng dẫn giải: 2 2
a  2  sin x
Giả sử a bi  2  3i  1  a  2  b  3  1 b  3cos  x 2 2 2 2 2 2
Ta có z i 1  a bi i  1  a   1  b   1
 3  sin x  2  cos x    x x    2 2   2 2 14 2 3sin 2 cos 14 2 3 2
sin x  cos x  14  2 13  z i 1  1 13. Chọn A.
Câu 22: Cho số phức z thỏa mãn: z 1 i 1 2i  2 . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ
nhất của z 1 3i . Khi đó 2 2
2A B có giá gần nhất bằng A. 20. B. 18. C. 64. D. 32 Hướng dẫn giải: 1 2i  1 3i
Ta có z 1 i 1 2i  2  z   z    2   1 i  2 2 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 67
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao  1 3 
Giả sử M là điểm biểu diễn số phức z . Xét điểm F 1;3 và E ;  EM  2    2 2 
Tập hợp điểm M là các điểm không nằm ngoài đường tròn C  tâm E bán kính R  2 3 10 3 10 Ta có: 2 2
FE EM MF FE EM   2  MF
 2  2A B  64 . 2 2 Chọn C.
Câu 23: Cho số phức z thỏa mãn z  3  z  3  8 . Gọi M , m lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
z . Khi đó M m bằng A. 4  7. B. 4  7. C. 7. D. 4  5. Hướng dẫn giải:
Gọi z x yi với x; y   .
Ta có 8  z  3  z  3  z  3  z  3  2z z  4 .
Do đó M max z  4 . 2 2 Mà z   z
  x   yi x   yi    x   2
y   x   2 3 3 8 3 3 8 3 3  y  8 .
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có  x 2 yx 2 y
 x 2 y x 2 2 2 2 2 2 2 8 1. 3 1. 3 1 1 3 3               y      2 2 x y     2 2 8 2 2 2 18
2 2x  2 y 18  64 2 2 2 2
x y  7  x y  7  z  7 .
Do đó M min z  7 .
Vậy M m  4  7 . Chọn B.
Câu 24: Cho số phức z thỏa mãn: z 1 2i  2 5 . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của z i . Khi đó .
A B có giá trị bằng A. 10. B. -10. C. 12. D. -12 Hướng dẫn giải:
Giả sử M là điểm biểu diễn số phức z . Xét điểm F 0;  1  và E  1
 ; 2  EM  2 5
Tập hợp điểm M là các điểm không nằm ngoài đường tròn C  tâm E bán kính R  2 5
Ta có: FE EM MF FE EM  2 5  10  MF  2 5  10  AB  10 . Chọn A.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 68
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn: z 1 i  2 . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của z  2 . Khi đó 2 2
A B có giá trị bằng A. 20. B. 18. C. 24. D. 32 Hướng dẫn giải:
Giả sử M là điểm biểu diễn số phức z . Xét điểm F  2
 ; 0 và E 1;   1  EM  2
Tập hợp điểm M là các điểm không nằm ngoài đường tròn C  tâm E bán kính R  2 Ta có: 2 2
FE EM MF FE EM  10  2  MF  10  2  A B  24 . Chọn C.
Câu 26: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i  4 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của z  2  i . Giá trị của 2 2
T M m là A. T  50 . B. T  64 . C. T  68 . D. T  16 Hướng dẫn giải:
Đặt w z  2  i z w  2  i , khi đó z 1 2i w  2  i 1 2i w  3  3i  4. 2 2 M w
 3  3  4  3 2  4  Suy ra max 2 2 
M m  68. 2 2 m w
 3  3  4  3 2  4  min Chọn C.
Câu 27: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i  10 . Giá trị lớn nhất của z 1 4i bằng A. 10 . B. 10 3 . C. 3 10 . D. 4 10 Hướng dẫn giải: 2
Ta có z 1 2i  10  z 1 2i  10   z 1 2i.z 1 2i  10 .
  z 1 2i. z 1 2i  10  z 1 2i . z 1 2i  10  z 1 2i  10. .
Đặt w z 1 4i z w 1 4i , khi đó z 1 2i w  2  6i  10.
Vậy giá trị lớn nhất là 2 2 w
 10  2  6  3 10  z 1  4i  3 10. max max Chọn C.
Câu 28: Cho số phức z thỏa mãn 2  iz 1  1. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z 1 bằng 2 A. 3 . B. 2 2 . C. . D. 2 3 5 Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 69
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
2  iz 1 1 1 2 i 1
Ta có 2  iz 1  1    z   z    . 2  i 2  i 2  i 5 5 5
Đặt w z 1  z w 1, khi đó 2 2 2 i 7 i 1  7   1  1 1 z    w     w     2  . max     5 5 5 5 5  5   5  5 5 2 2  7   1  1 1 Và w     2  . Vậy ww  2 2. max      5   5  5 5 min max Chọn B.
Câu 29: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  i  1 . Giá trị lớn nhất của z 1 là A. 2 1. B. 2 1. C. 2 . D. 1
Đặt w z 1  z w 1, khi đó 2 2
z  2  i w 1  i  1  w  1 1  1  1  2. max Chọn A.
Câu 30: Cho số phức z x yi x, y   thỏa mãn điều kiện z 1 i z  2  3i  5 . Gọi M , m 2
lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P  .
x z . Tổng M  2m bằng A.  54. B. 27. C. 18. D.  9. Hướng dẫn giải:
Đặt z x yi x, y    M
x y và A1 
;1 , B  2;3 suy ra AB  5. z  ;    Từ giả thiết ta có
z   i z   i   x  2   y  2   x  2   y  2 1 2 3 1 1 2 3
MA MB A . B
M thuộc đường thẳng  AB : 2x y 1  0  y   2x 1 với x  2;   1 . 2 2 Khi đó 2 P x z  
x x   x   3 2 . . 2
1   5x  4x x . Đặt f x 3 2
 5x  4x x .  
Xét hàm số f x trên đoạn  2; 
1 , có f x 2 '
 15x  8x 1  0; x  2;   1 . M   f   1   2
Suy ra f x là hàm số đồng biến trên  2;  1  
M  2m   54. m  
f  2   26  Chọn A.
Câu 31: Cho số phức z x  2 yi  ;
x y    thỏa z  1. Tính tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
P x y . 5 A. 0. B. 5 . C.  5 . D. 2 Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 70
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao Theo giả thiết ta có: 2 2   z  1
x  4 y  1    P y 2 2 2 2  4 y 1  0 
5 y  2Py P 1  0*         .
P x y x P    y
x P yx P    y
Để hệ có nghiệm thì phương trình * có nghiệm với mọi y   . 2   '  P  5 2 P 1  0 *    5 5 5 2  P     P  4 2 2
 max P  min P  0 . i m
Câu 32: Cho số phức z
m  . Gọi k k   là giá trị nhỏ nhất sao cho tồn tại
1 m m  2i
z 1  k . Giá trị k thuộc khoảng nào sau đây.  1 1   1 2   2 4   4  A. ;   . B. ;   . C. ;   . D. ;1    3 2   2 3   3 5   5  Hướng dẫn giải: i m i m 1
1 m  i z     z 1 
1 m m  2i 2 2
i  2mi m i m m i a a 1 m 2  i m  2m 1 Ta có: 
b  0 . Áp dụng z 1   b b 2 m i m 1 k  0  2 m  2m  2 2
z 1  k  m  2m  2
. Xét f m  2  2  k m  1 2  m 1
Theo yêu cầu bài toán, tồn tại k
để z 1  k f m 2 min  k min       2 5 1 1 5 3 5 5 1
Ta có min f m  f      k  k  0 .  2  2 4 2   5 1 Vậy k
là giá trị k cần tìm  B . 2
Cách biến đổi khác, bình thường hơn: i m i m 1 m i z     
1 m m  2i 2 2 2 2
i  2mi m i m m 1 m  1 2 2 2 2 m m 1 i
m m 1  1   z 1    z 1   2 2  2   2  m 1 m 1 m 1    m 1 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 71
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
m  m   2 2 1  m  2   m m   1  m  2 2 2 2 2 2 1 1 1 m  2m  2  z 1       . 2  2   m 1   m 1  m m   2 2 2  1 1
Câu 33: Cho số phức 2017 z
1  1. Gọi P z . Tính A  2017.max P  2017.min P . A. 2016 A  2017. 2 . B. 2017 A  2017. 3 . C. 2017 A  2017. 2 . D. A  2017 Hướng dẫn giải: 2017 Ta có: 2017 2017
max P z  0  max Pzz . 2017 2017 2017
min P z  0  min Pzz . Gọi 2017 z
a bi a,b  
 Tập hợp điểm biểu diễn số phức 2017 z
là đường tròn tâm I 0 
;1 có bán kính R  1 . 2017 2017  max P  2  max P  2017. 2 2017      A  2017. 2 . 2017 min P  0  min P  0 
Câu 34: Cho số phức z a bi a,b   thỏa mãn z 1 i z  2i và P z  2  3i z 1 đạt
giá trị nhỏ nhất. Tính P a  2b : Hướng dẫn giải:
Ta có: z 1 i z  2i a b  1.
P P z   i z   a  2  b  2  a  2 2 2 3 1 2 3 1  b .
Xét trong mặt phẳng phức Oab , xét các điểm M  ;
a b, A2;3, B  1
 ; 0 với M điểm biểu
diễn số phức z M d  : a b 1  0 . 2 2 2
Ta có: MA MB  a    b    a   2 2 3 1
b . Vậy ta tìm M d sao cho
MA MB . min
Do  x y x y
A B cùng thuộc một phía so với đường thẳng d . A A  1    B B  1  0  ,
 Gọi A' là điểm đối xứng của A qua d . Ta có:
MA MB MA' MB A' B . Dấu "  " xảy ra khi  3 1  5
M A' B d M ;
P a  2b    .  2 2  2
Câu 35: Cho số phức z a bi a,b   thỏa mãn z 1 i z  2i và P z  2  3i z 1 2i
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P a  2b : Hướng dẫn giải:
Ta có: z 1 i z  2i a b  1.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 72
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
P P z   i z   a  2  b  2  a  2  b  2 2 3 1 2 3 1 2 .
Xét trong mặt phẳng phức Oab , xét các điểm M  ;
a b , A2;3 , B 1; 2
  với M điểm biểu
diễn số phức z M d  : a b 1  0 . 2 2 2 2
Ta có: MA MB  a  2  b  3  a  
1  b  2 . Vậy ta tìm M d sao cho
MA MB . min
Do  x y x y
A B khác phía so với đường thẳng d . A A  1    B B  1  0  ,  3 1  5
Ta có: MA MB AB . Dấu "  " xảy ra khi M AB d M ;
P a  2b    .  2 2  2
Câu 36: Cho số phức z a bi thỏa z 1 i z  2i và P z  3i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính
A a  2b . Hướng dẫn giải:
Gọi z a bi  , a b   .
Ta có: z 1 i z  2i a b 1  0 .
Vậy tập hợp điểm M   : a b 1  0 .
Trong mặt phẳng phức xét A0;3  P MA với M  . Vậy MAd  ; A    2 2 . min    
Câu 37: Cho số phức z a  2bi a,b   và đa thức: f x 2
ax bx 1. Biết f   1  1 . Tính
giá trị lớn nhất của z . A. 2 . B. 2 2 . C. 5 . D. 7 Hướng dẫn giải:
Ta có: z a   b2 2 2 . f  
1  1  a b 1  1  2a  2b  2  2   1 . a x Đặt  , ta có 2b   y
2x y  4  0   2
  2x y  2  2
2x y  4  0  
1  2x y  2  2     * 2
  2x y  2  2 2x y  0  
2x y  0  .
Miền nghiệm S của * là tứ giác ABCD (kể cả cạnh).
Với A0;0 , B 1; 2, C  2  ;0, D  1  ; 2   .
Dễ dàng nhận thấy ABCD là hình thoi.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 73
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao Gọi M  ;
x y  là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Oxy M chạy tung tăng trong miền S .
Ta có z OM z max  OM max .
Ta dễ nhận thấy OM max  OB OD z max  5 . Nhưng nhóm muốn chứng minh thêm
cho mọi người xem, phần chữ màu đỏ. CHỨNG MINH:
Vì OBC và ODC đối xứng nhau qua trục Ox nên xét M chạy tung tăng trên OBC ( O A ).
Gọi N OM BC OM ON và N thuộc cạnh BC . HN HB
H là hình chiếu của O trên BC   . HN   HC
Ta lại có HN là hình chiếu của ON trên BC .
HB là hình chiếu của OB trên BC .
HC là hình chiếu của OC trên BC . ON OBOM OB Từ đó ta có   OM max  max   OB;OC . ON OC OM    OC  OB  5 Mà 
OM max  OB  5  M B . OC  2  M B  1  ; 2
Do tính đối xứng nên OM max    z max  5 .
M D 1; 2   
Câu 38: Cho hàm số phức f z    i 2 4
z az b với a, b là số phức. Biết f  
1 , f i là số thực.
Tính giá trị nhỏ nhất của P a b . Hướng dẫn giải:
a x y i Gọi: 1 1 
x , x , y , y   . 1 2 1 2  b x   y i 2 2
Ta có: f z    i 2 4
z az b .  f  
1  4  i a b  4  x x y y 1 i . 1 2   1 2 
f i   4  i  ai b   4
  y x  1 x y i . 1 2   1 2 
y y  1  0 Do f  
1 , f i là số thực 1 2  
x y  2  0 . 1 1
x y 1  0  1 2
Vậy để thỏa yêu cầu bài toán thì a  : x y  2  0 trong mặt phẳng Oxy còn b là số phức tự do.  P
a b d O;    0  2 . min    
Câu 39: Cho số phức z thỏa z 1 2i  2 2 . Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P z 1  2017 z  3  4i . Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 74
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
Gọi z a bi  , a b   . Gọi M  ;
a b là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức.
Trong mặt phẳng phức xét các điểm A1;0, B  3  ; 4 . 2 2 2 
MA MB AB py ta go 2 Ta luôn có:    P MB 2 2 2017
MB AB  0 .
P MA  2017  MB   2   2 MB P MB   2 2 2017 1 2. .2017
P AB   0 * .
Để phương trình * có nghiệm thì: 2 2  '
 0  2017 P   2 2017   1  2 2 P AB  0 *    2 2  P AB
2    P AB  2 2017 1 2017   1 .
Câu 40: Cho số phức z thỏa mãn z  3  4i   5 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị 2 2
nhỏ nhất của P z  2  z i . Tính giá trị 2 2
A M m . Hướng dẫn giải:
Gọi z a bi  , a b   . 2 2
Ta có: z  3  4i  5  a  3  b  4  5 .
z thuộc đường tròn C  có tâm I 3;4 và bán kính R  5 . 2 2
Mặt khác: P z  2  z i  4a  2b  3  P  0 .
Vậy z thuộc đường thẳng  : 4a  2b  3  P  0 . z   C Ta có: 
 Để z thì C     d I;    R z      23  P
 5  13  P  33  A  1258 . 2 5
Câu 41: Cho số phức z  0 thoả z  2 . Họi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z i P  . Tính 2 2
A M m : z Hướng dẫn giải: z i Gọi T   T  
1 z i . T  1  Không có số phức nào thoả mãn. z i i 1
Xét T  1  z   z   2  T 1  . T 1 T 1 2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 75
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao 1
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức T là hình tròn tâm I 1;0 có bán kính R  . 2  3
M OI R    2 5    A  . 1 2
m OI R    2 3  4i
Câu 42: Cho số phức z thỏa z  5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của . z  5 Hướng dẫn giải: 3  4i 3  5A  4i 3  5A  4i Đặt A   z   z z  5 A A 3  5A  4i
 5  3  5A  4i  5 A . A 2 2
Gọi A x yi  ,
x y     x     y   2 2 5 3 5 4  5 x y .
 6x  8 y  5  0 .
Vậy tập hợp điểm của số phức A  : 6x  8y  5  0 . 1
 min A d O;    . 2 z  4i
Câu 43: Cho số phức z thỏa z  5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của . z  5 Hướng dẫn giải: z  4i Đặt A
. Xét A  1  không có số phức z nào thỏa. Vậy A  1 z  5 5A  4i 5A  4i 5A  4iz   z  
 5  5A  4i  5 A 1 . A 1 A 1 A 1 2 2 2
Gọi A x yi  ,
x y     x   y     x   2 5 5 4 5 1  y .
 50x  40 y  9  0 .
Vậy tập hợp điểm của số phức A : 50x  40y  9  0 . 9
 min A d O;    . 10 41 z z
Câu 44: Cho z là số phức, z là số thực thoả mãn z  2i  1 và 2
1 là số thực. Gọi M , m lần 1 2 1 1 i
lượt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z z . Tính 2 2
A M m . 1 2 Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 76
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
Trong mặt phẳng phức Oxy : Gọi ,
A B lần lượt là điểm biểu điểm số phức z , z . 1 2
A  C x   y  2 2 : 2
 1 và B Ox   
z z OB OA AB . 2 1 z   z Ta có 1
2  k k    AB k 1;  1  1 2i
Đường thẳng AB có véctơ pháp tuyến là 1;  1  .
Ta có: AB tạo với trục Ox một góc 0 45 .  max AO 3 max AB    3 2  0 0 AO  sin 45 sin 45  AB     P  20 . 0 sin 45 min AO 1 max AB    2 0 0   sin 45 sin 45 8
Câu 45: Cho z , z là nghiệm của phương trình 6  3i iz  2z  6  9i thõa mãn z z  . Gọi 1 2 1 2 5
M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z z . Tính P M m . 1 2 Hướng dẫn giải: 2 2
Đặt z a bi  ,
a b   . Ta có: 6  3i iz  2z  6  9i  a  3  b  4  1 C  .
Trong mặt phẳng phức Oxy , gọi ,
A B lần lượt là điểm biểu diễn số phức z , z và I , H lần 1 2
lượt là tâm đường tròn C  , trung điểm AB .  ,
A B  C  :  x  32   y  42  1       .
z z OA OB  2 OH  2OH 1 2 
Với 3 điểm O, I , H ta có: OI IH OH OH HI . 2 2   AB AB 44 56 2 2
 2 OI IA
 2OH  2 OI IA     2OH   P  20 . 4 4 5 5     Dấu "  " xảy ra:
Khi OH đạt giá trị nhỏ nhất thì O, H , I thẳng hàng theo thứ tự đó.
Khi OH đạt giá trị lớn nhất thì O, I , H thẳng hàng theo thứ tự đó. z z
Câu 46: Cho số phức z , z thoả mãn z  3  4i  1, z 1  z i và 1
2 là số thực. Gọi M , m 1 2 1 2 2 2  i
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z z . Tính P M m . 1 2 Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 77
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao Gọi ,
A B lần lượt là điểm biểu diễn của
số phức z , z . 1 2
  
z z OA OB AB z z AB 2 1 2 1 . Ta có z   z 1
2  k k    AB k 2;  1  2  i
Đường thẳng AB có véctơ pháp tuyến là 1;2 .
Trong mặt phẳng phức Oxy ta có: 
z  C  :  x  32   y  42  1 1  .
z d : x y  0  2  
Ta có góc giữa AB và d là:   n .n AB d 3 10 1 cos  A ;
B d       sin  A ; B d   . n . n 10 10 AB d
Ta có C  không cắt d   d I;d   R  0  
. Gọi H là hình chiếu của A trên d  . C   d I ; max d     R AHC max AB    7 5  10 sin   A ; B d  sin  AB;d AO   AB     P  14 5 .
sin  AB; d d I ;  min d     R AHC  max AB    7 5  10  sin  A ; B d  sin  AB;d   z
Câu 47: Cho số phức z thoả mãn z không phải là số thực và w
là thực. Giá trị lớn nhất của 2 2  z
P z 1 i là: Hướng dẫn giải: 2 z 1 2  z  2 
Do z    z  0 . Ta có: w        z   . 2   2  z w zz
Gọi z a bi  , a b   . 2 2 2a bi  2a   2    z   a bi   a bi   a b 1 i . 2 2  2 2   2 2  z a bi a ba b   a b  1  2 b  0  loai Do    b 1  0     . 2 2 2 2 wa b  a b  2 
Vậy tập hợp điểm của số phức z là đường tròn C  2 2
: a b  2 trong mặt phẳng phức.
Trong mặt phẳng phức xét điểm A 1  ; 
1  P MA  max P OA R  2 2 . C
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 78
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
Câu 48: Cho số phức z thỏa z  3  4i  2 và P z  2  i . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của P . Tính A M m . Hướng dẫn giải:
Gọi z a bi  , a b   . 2 2
Ta có: z  3  4i  2  a  3  b  4  4 . 2 2
Vậy tập hợp điểm M  C  : a  3  b  4  4 có tâm I 3;4 và bán kính R  2 Trong mặt phẳng phức xét A 2   ;1 , ta có:
P z  2  i MA với
M  C  a  2  b  2 : 3 4  4 . MA
AI R  34  2  min Vậy:  . MA
AI R  34  2  max 1
Câu 49: Cho hai số phức z ; z thỏa mãn iz  2 
và z iz . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2 1 2 2 1 z z . 1 2 1 1 1 1 A. 2  B. 2  C. 2  D. 2  2 2 2 2 Hướng dẫn giải: y
Bài toán này, thực chất là dựa trên kiến thức “ Biểu
diễn hình học số phức”. Ta thấy nếu đặt
z x y i
x ; y   . Khi đó điểm M x ; y là 1 1  1 1 1  1 1 
điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: 1 1 1
i x y i  2 
ix y  2  I M 1 1  2 1 1 2 N M’
x   y  22 1 2 
. Suy ra tập hợp các điểm M x 1 1 4 O
biểu diễn z là đường trong C  có tâm I 0; 2  và 1 1 bán kính R  . 2
Khi đó nếu N là điểm biểu diễn của số phức z thì 2
việc tìm GTNN của z z là việc tìm GTNN của MN. 1 2
Theo đề thì z iz   y x i N y ; x là điểm biểu diễn z . Ta nhận thấy rõ ràng 2 1 1 1  1 1 2  
OM .ON  x y x y  0  OM ON . Dễ nhận thấy 2 2 OM ON x y 1 1 1 1 1 1 Ta có hình vẽ sau:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 79
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
Do OMN là tam giác vuông cân tại O nên MN OM 2 , do đó để MN nhỏ nhất thì OM
nhỏ nhất. Dễ thấy, OM nhỏ nhất khi M M ' (M’ là giao điểm của OI với đường tròn như  1   1  1
hình vẽ) Tức là M 0; 2  
 . Khi đó MN OM 2  2  2  2    .  2   2  2
Câu 50: Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M , M  . Số phức
w z(4  3i) và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N , N  . Biết rằng M , M ,
N , N  là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của z  4i  5 . 5 2 1 4 A. . B. . C. . D. 34 5 2 13 Hướng dẫn giải:
Gọi số phức z a bi  , a b   .
w  a bi4  3i  4a  3b  3a  4bi w  4a  3b  3a  4bi
Ta có: M và M ' đối xứng nhau qua trục Ox , N và N ' đối xứng nhau qua trục OxMM '  Ox   . NN '   Ox Ta có: M , M ,
N , N  là bốn đỉnh của hình chữ nhật MM ' N ' N hoặc MM ' NN ' .
Trong mặt phẳng phức Oab , xét điểm A5;4  z  4i  5  MA
Trường hợp 1: Với hình chữ nhật MM ' N ' N .
MN M ' N '  MN / /Ox y y b a b a b M N 3  4     0 5   4   1
M  d : a b  0 . Vậy MAd  ; A d    . min   1  1   2 2
Trường hợp 2: Với hình chữ nhật MM ' NN ' .
MN '  M ' M '  MN '/ /Ox y
y b   3a  4b  3a  5b  0 M N '   3.5  5.4 5
M d : 3a  5b  0 . Vậy MAd  ; A d    . min   2  2   2 2 3  5 34 1 Vì d  ;
A d   d  ; A d   MA   . 1     2  min 2 5  35i
Câu 51: Cho số phức z thỏa z 1 i z , số phức z thỏa
là số thực và số phức w 1 1 1 2 5z  23  4i 2
thỏa điều kiện 2 w 1 i  3 w  2  i  2 . Cho P w z w z z z , gọi a là giá 1 2 1 2
trị nhỏ nhất của biểu thức P (nếu có). Đáp án nào sau đây là đúng: 16 10 8 10 6  4 5 3  4 5 A. a  . B. a  . C. a  . D. a  5 5 2 2 Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 80
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
Trong mặt phẳng phức Oxy gọi , A B, C
lần lượt là điểm biểu diễn của số phức , w z , z . 1 2 Gọi
z a bi a,b    z 1 i z a b 1  0 1   1 1 .
z   : x y 1  0 trong mặt phẳng 1  1  phức Oxy . Ta có: 5  35  i 1
k k    CD  1; 7   5z  23  4i k 2  23 4  với D ; 
 . Vậy z thuộc đường thẳng có véctơ chỉ phương là 1; 7 và đi qua điểm 2  5 5  23 4
D nhưng không lấy điểm D z  
: 7x y  33  0 và z   i . 2  2  2 5 5
Ta có: 2 w 1 i  3 w  2  i  2  2 AE  3AF  2 với E 1;  1  F 2;  1  .
Mà 2AE  2AF  2EF  2 . vậy dấu "  " xảy ra khi w  2  i .
P AB BC CA . Ta có A thuộc góc nhọn được tạo bởi 2 đường thẳng  ,  . 1   2   A 2  ;3 1    AB A B
Gọi A , A lần lượt là điểm đối xứng của A qua  ,   và 1   2  1 1 2    38 1  AC   A C A ;  2  2     5 5  16 10
P AB BC CA A B BC A C A A
Chọn A … ah mà thôi:v. 1 2 1 2 5
B A A    1 2  1
Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi 
. Ta cần tìm tọa độ C để so sánh với điểm
C A A     1 2  2   23 4 
loại đi trên   C ;
 Không tồn tại điểm C  Không tồn tại P . 2    min  5 5 
Câu 52: Cho số phức z , z
thỏa z 1 i z và z z  6 2 , số phức w , w thỏa điều kiện 1 2 1 2 1 2 1 i
là số thực và w w  3 2 , số phức u thỏa 2 u  2  i  3 u 1 2i  6 2 . Gọi w  4  2i 1 2
giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau (nếu có) là P u z u z u w u w . Đáp án 1 2 1 2
nào sau đây là đúng: A. 3  26 . B. 9 2  6 . C. 6  2 26 . D. 3  26 Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 81
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao
Trong mặt phẳng phức gọi , A B lần lượt là
điểm biểu diễn số phức
z , z z z  6 2  AB  6 2 . 1 2 1 2 Gọi
z a bi a,b    z 1 i z a b 1  0 .
Vậy z , z   : x y 1  0 trong mặt 1 2  
phẳng phức với z z  6 2 . 1 2
Trong mặt phẳng phức gọi X , C, D lần lượt
là là điểm biểu diễn số phức , w w , w 1 2
w w  3 2  CD  3 2 . 1 2 1  i Ta có:
k k    XY k 1;  1 w  4  2i với Y 4;2 .
Vậy w thuộc đường thẳng có véctơ chỉ phương là 1 
;1 và đi qua điểm Y 4;2 nhưng
w  4  2i .
w : x y  6  0 loại đi điểm Y 4;2 . 2 
Trong mặt phẳng phức gọi M là điểm biểu diễn số phức u . Ta có E 2; 
1 , F 1; 2  2 u  2  i  3 u 1 2i  6 2  2ME  3MF  6 2 .
Mà 2ME  2MF  2EF  6 2 . Vậy dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi MF  0  M 1;2 .
P MA MB MC MD với AB  2CD  6 2 . Ta cần tìm P . min
Gọi E, F lần lượt là định thứ tư của hình bình hành MCDE, MBAF .
Gọi E ' là điểm đối xứng của E qua  , F ' là điểm đối xứng của F qua  . 1  2 
MC DE DE ' Ta có: 
P   E ' D DM    F ' A AM   E ' M F ' M .
MB AF AF '  D ME '  2 
Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi  .
A MF '    1 
Gọi N là hình chiếu của M trên   MHA  ANF ' g c g  với N FF ' 1  1 
MA AF '  AF MB  MAB cân tại M . Chứng minh tương tự MCD cân tại M .  P
MA MB MC MD  6  2 26 . min
Kiểm tra lại tọa độ của C, D . Ta viết phương trình đường tròn tâm M bán kính R MC .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 82
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Số Phức Nâng Cao  C  4; 2  
C, D  C     Không tồn tại P
do w  4  2i . 2   min D 1; 5 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 83
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay