Trắc nghiệm và tự luận phương pháp tọa độ trong không gian – Nguyễn Quốc Thịnh Toán 12

Trắc nghiệm và tự luận phương pháp tọa độ trong không gian – Nguyễn Quốc Thịnh Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Lời nói đầu
Chào các Em hc sinh thân mến!
Bắt đầu t năm 2017, k thi THPT Quc gia s áp dng hình thc trc nghiệm đối với môn Toán. Đó
một điều mi m đối vi tt c các em cũng ncác Thầy giáo, giáo. Khi biết thông tin v s đổi
mi này, bn thân các em hc sinh rt bi ri b bt ng bởi các em ít được tiếp xúc vi hình thc trc
nghim môn Toán t trước đến nay. Chính vì vy các Thầy giáo, Cô giáo đã không quản vt v mang đến
cho các em ngun hc liu tt nhất, cô đọng nhất để các em được rèn luyện trước k thi sp ti!
Các Thy, Cô xin gi ti các em cun:
“PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN”.
Ni dung cun tài liu bám sát ni dung kiến thc trong cấu trúc ĐỀ MINH HA ca B GD&ĐT
và SGK Hình học 12 Cơ bản. Tài liệu được chia thành 5 phn:
Phần 1. H TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.
Phần 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHNG TRONG KHÔNG GIAN.
Phần 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THNG TRONG KHÔNG GIAN.
Phần 4. BÀI TP ÔN TẬP CHƯƠNG.
Phần 5. GII TOÁN HÌNH KG BNG PP TỌA ĐỘ.
Thy hy vng rng cun tài liu s giúp các em chun b tht tt cho k thi THPT Quc gia. Cui
cùng xin chúc các em đạt điểm cao trong k thi sp ti!
Mặc dù đã hết sc c gng và tâm huyết để có tp tài liu này, song trong quá trình biên son chc
chn không tránh khi sai sót nhất định. Rt mong s thông cm ca bạn đọc gần xa góp ý để chúng tôi
có nhng sa cha kp thi và hoàn thin tài liu theo email mr.nguyenquocthinh@gmail.com !
Trong cun tài liu có s dụng tư liệu ca nhiu tác giả. Nhưng do tài liệu được phát hành vi mc
đích phi lợi nhun nên kính mong các thầy cô lượng th!
Nhóm tác gi:
1. Thy Nguyn Quc Thnh THPT Trn Tất Văn, An Lão, Hi Phòng.
2. Thầy Lê Văn Định TT GDNN GDTX Thanh Oai, Hà Ni.
3. Thy Nguyễn Đăng Tuấn TT GDNN GDTX Phú Lc, Tha Thiên Huế.
4. Thầy Đoàn Trúc Danh Tân An, Long An.
5. Thầy Đặng Công Vinh Bu THPT Nguyn Hu Cu, TP H Chí Minh.
6. Thy Ngô Nguyễn Anh Vũ Đà Nẵng.
7. Thy Trn Bá Hi THPT Qu Hp 1, Ngh An.
8. Thầy Lưu Chí Tài – THPT Marie Curie, Hi Phòng.
9. Cô Nguyn Tho Nguyên.
10. Thy Nguyn Hoàng Kim Sang THPT Thanh Bình, Tân Phú, Đồng Nai.
11. Cô Nguyn Ngân Lam THPT Trần Hưng Đạo, Hi Phòng.
Mùa xuân, tháng 1 năm 2017.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 1
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Chương III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
PHN 1: H TỌA Đ TRONG KHÔNG GIAN
A. TÓM TT LÝ THUYT
1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN:
H trc tọa độ Đề-các vuông góc trong không gian gm
ba trc
' , ' , 'x Ox y Oy z Oz
vuông góc vi nhau từng đôi một.
Gi
,,i j k
lần t các véctơ đơn vị trên các trc
' , ' , ' .x Ox y Oy z Oz
Đim
O
được gi gc tọa đ. Các mt
phng
( ),( ),( )Oxy Oyz Oxz
đôi một vuông góc với nhau được
gi là các mt phng tọa độ.
Không gian gn vi h tọa độ
Oxyz
được gi không
gian
.Oxyz
2. TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM:
Trong không gian
Oxyz
cho một điểm
tùy ý.
Khi đó ta có
OM xi yj zk
và gi b ba s
( ; ; )x y z
tọa độ của điểm
đối vi h trc tọa độ
Oxyz
đã cho.
Như vậy tương ứng vi 1 1 gia mỗi điểm
trong không
gian vi b ba s
( ; ; )x y z
gi tọa độ của điểm
đối vi
h tọa độ
Oxyz
cho trướC. Ta viết:
( ; ; )M x y z
hoc
( ; ; ).M x y z
3. III. TỌA ĐỘ CỦA MỘT VÉCTƠ:
Trong không gian
Oxyz
cho véctơ
a
vi
1 2 3
.a a i a j a k
Khi đó bộ ba s
1 2 3
( ; ; )a a a
được gi tọa độ ca véctơ
a
đối vi h tọa độ
Oxyz
cho trưC. Ta
viết:
1 2 3
( ; ; )a a a a
hoc
1 2 3
( ; ; ).a a a a
4. IV. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VÉCTƠ:
Trong kng gian
,Oxyz
cho hai véctơ
1 2 3 1 2 3
( ; ; ), ( ; ; )a a a a b b b b
và mt s thc
.k
Khi đó ta có:
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
1 2 3
( ; ; )
( ; ; )
( ; ; )
a b a b a b a b
a b a b a b a b
ka ka ka ka
Chú ý.
1.
11
22
33
.
ab
a b a b
ab
2.
0 (0;0;0).
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 2
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
3.
a
( 0)b
cùng phương
có mt s thc
k
sao cho
11
22
33
a kb
a kb
a kb
hay
11
22
33
b ka
b ka
b ka
4. Nếu
1 2 3 1 2 3
( ; ; ), ( ; ; )A a a a B b b b
thì
1 1 2 2 3 3
( ; ; ).AB b a b a b a
5. V. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG:
1. Trong không gian
Oxyz
cho hai véctơ
1 2 3 1 2 3
( ; ; ), ( ; ; ).a a a a b b b b
Ta có
1 1 2 2 3 3
..a b a b a b a b
2. Độ dài ca mt véctơ: Cho véctơ
1 2 3
( ; ; ),a a a a
ta có
222
1 2 3
..a a a a a a
3. Khong cách giữa hai điểm
( ; ; )
A A A
A x y z
( ; ; )
B B B
B x y z
2 2 2
( ) ( ) ( ) .
B A B A B A
AB x x y y z z
4. Gi
là góc gia hai véctơ
1 2 3
( ; ; )a a a a
1 2 3
( ; ; ).b b b b
Ta có:
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
cos cos ,
.
.
a b a b a b
ab
ab
ab
a a a b b b

1 1 2 2 3 3
0.a b a b a b a b
6. VI. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU:
Trong không gian
Oxyz
mt cu tâm
( ; ; )I a b c
bán kính
R
phương trình là:
2 2 2 2
( ) ( ) ( )x a y b z c R
hoc
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 .x y z ax by cz a b c R
Ngược lại, phương trình
2 2 2
2 2 2 0x y z Ax By Cz D
vi
2 2 2
0A B C D
phương trình của mt cu tâm
( ; ; )I A B C
và có bán kính
2 2 2
.R A B C D
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Dng 1. Tìm tọa độ ca một điểm, một véctơ và các yếu t liên quan đến véctơ thỏa mãn mt s điều
kiện cho trước, tọa độ các điểm đặc bit ca tam giác, t din.
Phương pháp giải
S dụng định nghĩa liên quan đến véctơ: tọa đ véctơ, độ dài ctơ, biết phân tích mt véctơ
theo ba véctơ không đồng phng, biết tính tng, hiệu, tích véctơ với mt s, biết tính các tọa độ trng
tâm ca một tam giác, trung điểm đoạn thẳng …
Mt s công thc cn nh:
Xét tam giác
ABC
ta có các điểm đặc bit sau:
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 3
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
G
trng tâm ca
3
1
33
3
A B C
G
A B C
G
A B C
G
xxx
x
yyy
ABC OG OA OB OC y
zzz
z



H
trc tâm ca
, , ®ång ph¼ng
AH BC
ABC BH AC
AH AB AC
'A
chân đường cao h t đỉnh
A
ca
'
'
AA BC
ABC
BA k BC

D
là chân đường phân giác trong ca góc
A
ca
.
AB
ABC DB DC
AC
E
là chân đường phân giác ngoài ca góc
A
ca
AB
ABC EB EC
AC
Xét t din
ABCD
ta có các điểm đặc bit sau:
G
trng tâm t din
4
4
4

A B C D
G
A B C D
G
A B C D
G
x x x x
x
y y y y
ABCD y
z z z z
z
H
hình chiếu vuông góc ca
A
trên
BCD
, , ®ång ph¼ng.
AH BD
AH BC
BH BC BD
VD 1. Trong không gian
Oxyz
cho
6 8 4a i j k
. Tọa độ ca
a
A.
6;8;4
.. B.
6;8;4
.. C.
3;4;2
.. D.
3;4;2
.
ng dn gii
Theo định nghĩa
6 8 4a i j k
nên tọa độ ca
6;8;4a 
Chọn đáp án A.
VD 2. Trong không gian
Oxyz
cho véctơ
5;7;2a
. Tọa độ của véctơ đối của véctơ
a
A.
5;7;2
.. B.
5; 7; 2
.. C.
2;7;5
.. D.
2; 7; 5
.
ng dn gii
Véctơ
5;7;2a
có véctơ đối là
5;7;2 5; 7; 2a
.
Chọn đáp án B.
VD 3. Trong không gian
Oxyz
cho hai điểm
5;7;2 , 3;0;4AB
. Tọa độ của véctơ
AB
A.
2; 7;2AB
.. B.
2;7;2AB
.. C.
8;7;6AB
.. D.
2;7; 2AB 
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 4
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
ng dn gii
Tọa độ véctơ
3 5;0 7;4 2 2; 7;2AB
Chn đáp án A.
VD 4. Trong không gian
Oxyz
cho ba véctơ
5;7;2 , 3;0;4 , 6;1; 1a b c
. Tọa độ ca
véctơ:
32m a b c
là.
A.
3;22; 3
. B.
3;22;3
. C.
3;22; 3
. D.
3; 22;3
.
Hướng dn gii
Ta có
3 3 5;7;2 15;21;6
2 2 3;0;4 6;0; 8
6;1; 1
a
b
c
Vy
3 2 15 6 6;21 0 1;6 8 1 3;22; 3m a b c
. Chọn đáp án A.
VD 5. Trong không gian
Oxyz
cho tam giác
ABC
vi
1;0; 2 , 2;1; 1 , 1; 2;2 .A B C
Tọa độ
trng tâm G ca tam giác là
A.
4 1 1
;;
3 3 3
G



. B.
4 1 1
;;
3 3 3
G




. C.
1 1 4
;;
3 3 3
G




. D.
4; 1; 1G 
.
ng dn gii
Áp dng công thức xác định tọa độ trng tâm tam giác ta có tọa độ trng tâm
G
cn tìm là
1 2 1 0 1 2 2 1 2 4 1 1
; ; ; ;
3 3 3 3 3 3
G
,
Chn đáp án B.
VD 6. Trong không gian
Oxyz
cho tam giác
ABC
vi
1;0; 2 , 2;1; 1 , 1; 2;2 .A B C
Xác định ta
độ điểm
D
đề
ABCD
là hình bình hành.
A.
0; 3;1D
. B.
0;3;1D
. C.
3;0;1D
. D.
0; 3; 1D 
.
ng dn gii
Để
ABCD
là hình bình hành thì
AB DC
Ta có
1;1;1AB
, gi
1 1 0
; ; 1 ; 2 ;2 1 2 3
1 2 1
xx
D x y z DC x y z y y
zz





Chọn đáp án A.
Dng 2. Tích vô hướng và các ng dng ca tích vô ng.
Phương pháp giải:
S dụng định nghĩa tích vô hướng và biu thc tọa độ của tích vô hướng ca hai véctơ.
S dng các công thc tính khong cách
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 5
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
VD 1. Trong không gian
Oxyz
cho 2 véctơ
5;7;2 , 1;3; 4ab
, tích vô hướng ca
a
b
có giá
tr bng
A.
18
.. B.
.. C.
14
.. D.
0
.
ng dn gii
Áp dng công thức tích vô hướng ca hai véctơ ta có
. 5.1 7.3 2. 4 5 21 8 18ab
Chọn đáp án A.
VD 2. Trong không gian
Oxyz
cho ba điểm
1; 2;3 , 0;3;1 , 4;2;2A B C
Tính
cosBAC
bng
A.
9
2
.. B.
9
2 35
.. C.
9
35
.. D.
9
2 35
.
ng dn gii
Ta có
1;5; 2 , 5;4; 1AB AC
.9
cos cos , ...
2 35
.
AB AC
BAC AB AC
AB AC
Chọn đáp án C.
VD 3. Trong không gian
Oxyz
cho tam giác
ABC
vi
1; 2;3 , 0;3;1 , 4;2;2A B C
. Có
,MN
ln
ợt là trung điểm các cnh
,AB AC
. Độ dại đường trung bình
MN
bng
A.
21
4
. B.
9
2
. C.
22
2
. D.
32
2
ng dn gii
Ta có tọa độ
11
; ;2
22



M
3 5 1 1
, ;0; 2; ;
2 2 2 2
N MN
Vậy độ dại đường trung bình
22
2
1 1 9 3 2
2
2 2 2
MN
Chọn đáp án D.
Dng 3. Lập phương trình mặt cu biết tâm và bán kính ca mt cầu đó
Phương pháp giải:
Phương trình mặt cu tâm
( ; ; )I a b c
, bán kính
R
có dng:
2 2 2 2
( ) ( ) ( )x a y b z c R
Dng khai trin của phương trình mặt cu:
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d
, vi
2 2 2
R a b c d
,
2 2 2
0a b c d
VD 1. Trong không gian
,Oxyz
phương trình mặt cu tâm
(5; 3;7)I
và có bán kính
2R
A.
2 2 2
( 5) ( 3) ( 7) 4x y z
.. B.
2 2 2
( 5) ( 3) ( 7) 2x y z
.
C.
2 2 2
( 5) ( 3) ( 7) 2x y z
.. D.
2 2 2
( 5) ( 3) ( 7) 4x y z
.
ng dn gii
Chn D.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 6
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
VD 2. Trong kng gian
,Oxyz
phương trình mt cu đi qua đim
(5; 2;1)M
và có m
(3; 3;1)I
A.
2 2 2
( 3) ( 3) ( 1) 5x y z
.. B.
2 2 2
( 3) ( 3) ( 1) 5x y z
.
C.
2 2 2
( 3) ( 3) ( 1) 5x y z
.. D.
2 2 2
( 3) ( 3) ( 1) 5x y z
.
ng dn gii
Ta có
(2;1;0).IM
Do đó
2 2 2
2 1 0 5.R IM
Chn A.
VD 3. Trong không gian
,Oxyz
phương trình mặt cầu đường kính
AB
vi
(4; 3;7), (2;1;3)AB
A.
2 2 2
( 3) ( 1) ( 5) 3x y z
.. B.
2 2 2
( 3) ( 1) ( 5) 9x y z
.
C.
2 2 2
( 3) ( 1) ( 5) 9x y z
.. D.
2 2 2
( 3) ( 1) ( 5) 3x y z
.
ng dn gii
Tâm ca mt cầu là trung điểm
I
của đoạn
AB
,
(3; 1;5)I
( 2;4; 4) 6 3AB AB R
Chn B.
Dng 4. Cho biết phương trình mặt cu, hãy xác định tâm và bán kính ca mt cầu đó
Phương pháp giải:
Biến đổi phương trình mặt cu v dng
2 2 2 2
( ) ( ) ( )x a y b z c R
. Khi đó mặt cu
có tâm
( ; ; )I a b c
, bán kính
R
.
Dng khai trin của phương trình mặt cu:
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d
. Khi đó
mt cu có tâm
( ; ; )I a b c
, bán kính
2 2 2
R a b c d
vi
2 2 2
0a b c d
VD 1. Trong không gian
,Oxyz
cho phương trình mặt cu
2 2 2
3 3 3 6 3 15 2 0x y z x y z
.
Tâm và bán kính ca mt cầu đó là
A. Tâm
15
1; ;
22
I
và bán kính
76
6
R
.
B. Tâm
15
1; ;
22
I
và bán kính
49
6
R
.
C. Tâm
15
1; ;
22
I
và bán kính
76
6
R
.
D. Tâm
15
1; ;
22
I
và bán kính
49
6
R
.
ng dn gii
Phương trình mặt cầu đã cho có thể viết dưới dng:
22
2 2 2 2
2 1 5 49
2 5 0 ( 1) .
3 2 2 6
x y z x y z x y z
Chn C.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 7
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
C. BÀI TP CÓ GII
DẠNG ĐIỀN KHUYT
Các câu hi trong phần này đều ly trong không gian
Oxyz
Câu 1. Cho đim
; ; , ; ;
A A A B B B
A x y z B x y z
, tọa độ véctơ
..............AB
Câu 2. Cho hai đim
,AB
phân bit,
M
là trung điểm
AB
. Tọa độ điểm
...;...;...M
Câu 3. Cho tam giác
,ABC G
là trng tâm tam giáC. Khi đó tọa độ
...;...;...G
Câu 4. Cho hai véctơ
1 2 3 1 2 3
; ; , ; ;u u u u v v v v
, điều kiện để hai véctơ cùng phương là … một s
thc
k
sao cho
u kv
Câu 5. Cho véctơ
a mi n j pk
khi đó tọa độ ca
...;...;...a
Câu 6. Hai véctơ vuông góc vi nhau khi và ch khi … của chúng bng
0
Câu 7. Trong không gian mt mt cầu luôn được xác định khi biết hai yếu tố: … mặt cu và bán kính
ca nó.
Câu 8. Cho mt cu
S
tâm
;;I a b c
bán kính
R
, điểm
;;M x y z
nm trong mt cu khi và ch
khi:
222
...... ..... ..... ..... .....IM R R
Câu 9. Cho mt cu
S
tâm
;;I a b c
bán kính
R
, điểm
;;M x y z
nm trên mt cu khi và ch khi:
222
...... ..... ..... ..... ......IM R
Câu 10. Cho mt cu
S
tâm
;;I a b c
bán kính
R
, điểm
;;M x y z
nm ngoài mt cu khi và ch
khi:
222
...... ..... ..... ..... ......IM R R
Câu 11.
Câu 12. Mt cu có đường kính là
AB
thì có bán kính là………………….
Đáp án:
2
AB
R
Câu 13. Tâm ca mt cầu đi qua hai điểm
A
B
nằm trên…………………..
Đáp án: mặt phng trung trc của đoạn
AB
Câu 14. Mt cu tâm
I
tiếp xúc vi mt phng
()P
có bán kính là……………..
Đáp án:
( ,( ))R d I P
Câu 15. Mt cu tâm
I
tiếp xúc với đường thng
d
có bán kính là……………..
Đáp án:
( , )R d I d
Câu 16. Mt cu có tâm
( , , )I a b c Ox
thì……..
Đáp án:
0bc
Câu 17. Mt cu có tâm
( , , ) ( )I a b c Oxy
thì……..
Đáp án:
0c
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 8
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
DNG TRC NGHIM KHÁCH QUAN
Dng 1: Tìm tọa độ ca một điểm, một véctơ và các yếu t liên quan đến véctơ thỏa mãn mt s điều
kiện cho trước, tọa độ các điểm đặc bit ca tam giác, t din.
Câu 1. Cho ba véctơ
2; 5;3 , 0;2; 1 , 1;7;2a b c
tọa độ véctơ
1
43
3
d a b c
A.
11
11; ;18
33
d


.. B.
11;1;18
d
.. C.
11
11; ;18
33



d
.. D.
11
11; ; 18
33



d
.
ng dn gii
Ta có
1 2 1 1 1 1
4 8; 20;12 , 0; ; ,3 3;21;6 4 3 11; ;18
3 3 3 3 3 3
a b c d a b c
Đáp án A.
Câu 2. Cho ba véctơ
2; 5;3 , 0;2; 1 , 1;7;2a b c
tọa độ véctơ
42d a b c
A.
0; 27;3d 
.. B.
0;27;3
d
.. C.
0; 27; 3
d
.. D.
0; 2;3
d
.
ng dn gii
Ta có
2; 5;3 , 4 0; 8;4 , 2 2; 14; 4 4 2 0; 27;3a b c d a b c
Đáp án A.
Câu 3. Cho ba véctơ
2; 1;2 , 3;0;1 , 4;1; 1a b c
tọa độ véctơ
32d a b c
A.
4; 2;3
d
.. B.
4; 2;3d
.. C.
4;2;3
d
.. D.
4;2;3
d
.
ng dn gii
Tương tự câu 1, 2 Đáp án B.
Câu 4. Cho ba véctơ
2; 1;2 , 3;0;1 , 4;1; 1a b c
tọa độ véctơ
24d a b c
A.
9; 2; 1
d
.. B.
9;2; 1
d
.. C.
9;2;1d 
.. D.
9; 2;1
d
.
ng dn gii
Tương tự câu 1, 2 Đáp án C.
Câu 5. Cho ba véctơ
1;2;3 , 2;2; 1 , 4;0; 4a b c
tọa độ véctơ
d a b
A.
1;0;4
d
.. B.
1;0; 4
d
.. C.
0;1;4
d
.. D.
1;0;4d 
.
ng dn gii
Tương tự câu 1, 2 Đáp án D.
Câu 6. Cho ba véctơ
1;2;3 , 2;2; 1 , 4;0; 4a b c
tọa độ véctơ
2d a b c
A.
7;0; 4
d
.. B.
7;0;4
d
.. C.
7;0; 4
d
.. D.
7;0;4d
.
ng dn gii
Tương tự câu 1, 2 Đáp án C.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 9
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 7. Cho ba véctơ
1;2;3 , 2;2; 1 , 4;0; 4a b c
tọa độ véctơ
24d a b c
A.
6;12; 6
d
.. B.
6;12;6
d
.. C.
6;12;6d
.. D.
1;2;1
d
.
ng dn gii
Tương tự câu 1, 2 Đáp án C.
Câu 8. Cho ba véctơ
2; 5;3 , 0;2; 1 , 1;7;2a b c
tọa độ véctơ
1
53
2
d a b c
A.
19; 69;17
d
. . B.
19 69
; ;17
22



d
.
C.
19 69
; ;17
22


d
. . D.
19 69
; ; 17
22


d
.
ng dn gii
Tương tự câu 1, 2 Đáp án B.
Câu 9. Cho ba véctơ
1;2;3 , 4;0; 4
ac
tọa độ véctơ
d
tha mãn
23d a c
A.
75
;3;
22
d


.. B.
75
; 3;
22



d
.. C.
7;3;5
d
.. D.
75
;3;
22



d
.
ng dn gii
3 1 3 9 7 5
2 3 2;3; 2 ;3;
2 2 2 2 2 2
d a c d a c
Đáp án A.
Câu 10. Cho ba véctơ
1;2;3 , 2;2; 1 , 4;0; 4a b c
tọa độ véctơ
d
tha mãn
2 3 0a b c d
A.
0; 2; 3d
.. B.
0;2; 3
d
.. C.
0; 2;3
d
.. D.
0;2;3
d
.
ng dn gii
2 1 1
2 3 0 0; 2; 3
3 3 3
a b c d d a b c
Đáp án A.
Câu 11. Cho ba điểm
1; 1;1 , 0;1;2 , 1;0;1A B C
tọa độ trng tâm
G
ca tam giác
ABC
A.
24
;0;
33
G



.. B.
24
; ;0
33



G
.. C.
24
;0;
33




G
.. D.
24
;0;
33




G
.
ng dn gii
Đáp án A.
Tọa độ trng tâm
G
ca tam giác
ABC
là:
12
33
1
0
3
14
33
G A B C
G A B C
G A B C
x x x x
y y y y
z z z z
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 10
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 12. Cho véctơ
3;2; 5u 
trong các véctơ sau véctơ nào cùng phương với
u
A.
6; 4;10a 
.. B.
4 10
2; ;
33
b



.. C.
6;4;10c
.. D.
1; 4;2d 
.
ng dn gii
Để
1 2 3
;;u u u u
cùng phương với
1 2 3
;;v v v v
thì
1 2 3
1 2 3
u u u
v v v

Thỏa mãn điều kiện Đáp án B
Câu 13. Trong không gian
Oxyz
cho t din
ABCD
biết
1;0;2 2;1;3 , 3;2;4 , 6;9; 5A B C D
. Ta
độ trng tâm
G
ca t din
ABCD
là.
A.
2; 3; 1G
.. B.
2; 3;1G 
.. C.
2;3;1G
.. D.
2;3; 1G
.
ng dn gii
Trng tâm t din
ABCD
là:
1
2
4
1
3
4
1
1
4
G A B C O
G A B C O
G A B C O
x x x x x
y y y y y
z z z z z
Đáp án C.
Câu 14. Cho hình hp
. ' ' ' 'ABCD A B C D
biết
1;0;1 , 2;1;2 , 1; 1;1 , ' 4;5; 5 .A B D C
Xác định ta
độ đỉnh
C
ca hình hp.
A.
2;2;0C
. B.
2;0;2C
. C.
0;2;2C
. D.
2;0; 2C
.
Câu 15. Cho hình hp
. ' ' ' 'ABCD A B C D
biết
1;0;1 , 2;1;2 , 1; 1;1 , ' 4;5; 5 .A B D C
Xác định ta
độ đỉnh
'B
ca hình hp
A.
' 6;5; 4B
. B.
' 4;5; 6B 
. C.
' 4; 6; 5B 
. D.
' 4;6; 5B
.
Câu 16. Cho hình hp
. ' ' ' 'ABCD A B C D
biết
1;0;1 , 2;1;2 , 1; 1;1 , ' 4;5; 5 .A B D C
Xác định ta
độ đỉnh
'A
ca hình hp.
A.
' 3;5; 6A
. B.
' 3; 5; 6A 
. C.
' 3;5; 6A 
. D.
' 3; 5; 6A 
.
Câu 17. Cho hình hp
. ' ' ' 'ABCD A B C D
biết
1;0;1 , 2;1;2 , 1; 1;1 , ' 4;5; 5 .A B D C
Xác định ta
độ đỉnh
'D
ca hình hp.
A.
' 3; 4; 6D 
. B.
' 3;4; 6D 
. C.
' 3;4; 6D
. D.
' 3;4;6D
.
ng dn gii Câu 14 17
Hình hp
. ' ' ' 'ABCD A B C D
Gi
;;
C C C
C x y z
ta có
AD BC
0; 1;0 , 2; 1; 2
2 0 2
1 1 0
2 0 2
C C C
CC
CC
CC
AD BC x y z
xx
AD BC y y
zz




TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 11
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Vy
2;0;2C
Câu 14 đáp án B.
Gi
' ' '
' ; ;
B B B
B x y z
ta có
''CB C B
' ' '
''
''
''
0;1;0 , ' ' 4; 5; 5
4 0 4
' ' 5 1 6
5 0 5
B B B
BB
BB
BB
CB C B x y z
xx
CB C B y y
zz




Vy
' 4;6; 5B
Câu 15 đáp án D.
Gi
' ' '
' ; ;
A A A
A x y z
ta có
''BA B A
' ' '
''
''
''
1; 1; 1 , ' ' 4; 6; 5
4 1 3
' ' 6 1 5
5 1 6
A A A
AB
AB
AB
BA B A x y z
xx
BA B A y y
zz




Vy
' 3;5; 6A
Câu 16 đáp án A.
Gi
' ' '
' ; ;
D D D
D x y z
ta có
''CD C D
' ' '
''
''
''
1; 1; 1 , ' ' 4; 5; 5
4 1 3
' ' 5 1 4
5 1 6
B B B
DB
DB
DB
CD C D x y z
xx
CB C D y y
zz




Vy
' 3;4; 6D
Câu 17 đáp án C
Câu 18. Cho hai b ba điểm
: 1;3;1 , 0;1;2 , 0;0;1I A B C
: 1;1;1 , 4;3;1 , 9;5;1II M N P
Kết luận nào sau đây là đúng?
A. B ba điểm
I
thng hàng.. B. B ba điểm
II
thng hàng.
C. C hai b ba điểm đều thng hàng.. D. C hai b ba điểm đều không thng hàng.
ng dn gii
Ta có
1; 2;1 , 1; 3;0AB AC
không cùng phương nên
I
không thng hàng
Ta có
5;2;0 ; 10;4;0 2MN MP MN
nên
,MN MP
cùng phương hay
II
thng
hàng
Đáp án B.
Dng 2. Tích vô hướng và các ng dng của tích vô hướng.
Câu 19. Trong không gian
Oxyz
cho
3;0; 6 , 2; 4;0ab
, xác định giá tr
.ab
A.
6
.. B.
7
.. C.
8
.. D.
5
.
ng dn gii
3;0; 6 , 2; 4;0 . 3.2 0. 4 6 .0 6a b a b
Đáp án A.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 12
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 20. Trong không gian
Oxyz
cho
1; 5;2 , 4;3; 5cd
, xác định giá tr
.cd
A.
20
. B.
21
. C.
21
. D.
19
.
ng dn gii
1; 5;2 , 4;3; 5 . 1.4 5 .3 2. 5 21c d c d
Đáp án B.
Câu 21. Cho điểm
M
thuc mt phng
Oxz
cách đều ba điểm
1;1;1 , 1;1;0 , 3;1; 1A B C
. Tọa độ
điểm
M
A.
57
;0;
66
M



. B.
57
;0;
66
M



. C.
57
;0;
66
M




. D.Không tn ti
M
.
ng dn gii
;0;
1 ;1;1 ; 1 ;1; ; 3 ;1; 1
M Oxz M x z
MA x z MB x z MC x z

M
cách đều 3 điểm
,,A B C
nên
MA MB MC
hay ta có h phương trình
2 2 2 2
2 2 2 2
5
1 1 1 1 1
6
...
7
1 1 1 3 1 1
6
x
x z x z
x z x z
z




Vy
57
;0;
66
M



Đáp án A.
Câu 22. Trong không gian
Oxyz
cho
4; 1;1 , 2;1;0AB
. Khong cách giữa hai điểm
,AB
A.
3
. B.
4
. C.
5
. D.
6
.
ng dn gii
Ta có
22
2
2;2; 1 2 2 1 4 4 1 9 3AB AB
Đáp án A.
Câu 23. Trong không gian
Oxyz
cho
2;3;4 , 6;0;4AB
. Khong cách giữa hai điểm
,AB
A.
3
. B.
4
. C.
5
. D.
6
.
ng dn gii
Ta có
2
2
4; 3;0 4 3 16 9 25 5AB AB
Đáp án C.
Câu 24. Trong không gian
Oxyz
cho bốn điểm
1; 1;1 , 1;3;1 , 4;3;1 , 4; 1;1A B C D
. Kết lun nào
sau đây là đúng
A.
ABCD
là mt t din.. B.
ABCD
là mt hình bình hành.
C.
ABCD
là mt hình thang.. D.
ABCD
là mt hình ch nht.
ng dn gii
Ta có
0;4;0 ; 3;0;0 ; 3;0;0 ; 0; 4;0AB AD CB CD
Ta thy
, ; ,AB AD C B C D A B CD AD CB
Nên
ABCD
là mt hình ch nht. Đáp án D.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 13
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Dng 3+4. Phương trình mặt cu.
Câu 25. Trong không gian
Oxyz
, cho bốn điểm
1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1 , 1;1;1A B C D
. Mt cu ngoi
tiếp t din
ABCD
có bán kính là
A.
3
2
. B.
2
. C.
3
. D.
3
4
.
ng dn gii
Phương trình mặt cầu dưi dng khai trin:
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d
Mt cu qua
, , ,A B C D
1
2
21
1
21
2
21
1
2 2 2 3
2
0
a
ad
bd
b
cd
c
a b c d
d





Bán kính
222
1 1 1 3
2 2 2 2
R
Chn A.
Câu 26. Cho
S
là mt cu tâm
2;1; 1I
và tiếp xúc vi mt phng
có phương trình:
2 2 3 0x y z
. Bán kính ca mt cu
S
A.
2
. B.
2
3
. C.
4
3
. D.
2
9
ng dn gii
Bán kính bng
( ,( )) 2dI
Chn A.
Câu 27. Cho bốn điểm
1;1;1 , 1;2;1 , 1;1;2 , 2;2;1A B C D
. Tâm
I
ca mt cu ngoi tiếp t din
ABCD
có tọa độ
A.
3 3 3
;;
2 2 2



. B.
333
;;
222



. C.
3;3;3
. D.
3; 3;3
ng dn gii
Dùng dng khai trin của phương trình mặt cu
Gii h phương trình tìm tâm
333
;;
222



Chn B.
Câu 28. Bán kính ca mt cu tâm
3;3; 4I
tiếp xúc vi trc
Oy
bng
A.
5
. B.
4
. C.
5
. D.
5
2
.
ng dn gii
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 14
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Hình chiếu vuông góc ca
I
lên
Oy
(0;3;0)H
Bán kính bng
5IH
Chn A.
Câu 29. Mt cu tâm
2;1; 1I
tiếp xúc vi mt phng tọa độ (Oyz) có phương trình là:
A.
2 2 2
2 1 1 4x y z
. B.
2 2 2
2 1 1 1x y z
.
C.
2 2 2
2 1 1 4x y z
. D.
2 2 2
2 1 1 2x y z
.
ng dn gii
Bán kính mt cu
( ,( )) 2d I Oyz
Chn A.
Câu 30. Cho mt cu tâm
4;2; 2I
, bán kính
r
tiếp xúc vi mt phng
:12 5 19 0P x z
.
Bán kính
r
bng
A.
39
. B.
3
. C.
13
. D.
39
13
.
ng dn gii
( ,( )) 3r d I P
Chn B
Câu 31. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, mt cu tâm
1;2;0I
đường kính bằng 10 có phương
trình là:
A.
2 2 2
( 1) ( 2) 25 x y z
. B.
2 2 2
( 1) ( 2) 100 x y z
.
C.
2 2 2
( 1) ( 2) 25 x y z
. D.
2 2 2
( 1) ( 2) 100 x y z
.
ng dn gii
Mt cu tâm
1;2;0I
đường kính bng 10 nên có bán kính
5R
có phương trình:
2 2 2
( 1) ( 2) 25. x y z
Chọn đáp án A.
Câu 32. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, vi giá tr nào của m thì phương trình
2 2 2
2 2 1 4 5 0 x y z mx m y z m
là phương trình mặt cu ?
A.
5
1
2
mm
.. B.
5
1
2
m
.. C.
3m
.. D.
5
1
2
mm
.
ng dn gii
Phương trình đã cho là phương trình mặt cu khi
22
22
1
1 2 5 0 2 7 5 0 .
5
2
m
m m m m m
m
Chọn đáp án D.
ĐÁP ÁN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
A
A
B
C
D
D
C
B
A
A
A
B
C
B
D
A
C
B
A
B
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
A
A
C
D
A
A
B
A
A
B
A
D
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 15
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
DNG T LUN
Dng 1: Tìm tọa độ ca một điểm, một véctơ và các yếu t liên quan đến véctơ thỏa mãn mt s điều
kiện cho trước, tọa độ các điểm đặc bit ca tam giác, t din.
Bài 1. Cho véctơ
u
có điểm đầu là
1; 1;3
và điểm cui là
2;3;5
. Trong các véctơ sau véctơ nào
cùng phương với
u
:
6 8 4 , 4 2 , 4 2a i j k b j k c i j k
ng dn gii
Ta có
3;4;2 ; 6;8;4 ; 0;4;2 ; 1; 4;2u a b c
Vy ch
a
cùng phương
u
.
Bài 2. Trong không gian
Oxyz
cho ba véctơ
5;7;2 , 3;0;4 , 6;1; 1 .a b c
Tìm tọa độ và độ
dài véctơ
,mn
biết
3 2 , 5 6 4 3 .m a b c n a b c i
ng dn gii
Ta có
3 2 ... 3;22;3 502 m a b c m
5 6 4 3 ... 16;39;16 2033 n a b c i n
Bài 3. Trong không gian
Oxyz
cho ba điểm
1;0; 2 , 2;1; 1 , 1; 2;2A B C
. Tìm tọa độ điểm
sao cho
2 3 .AM AB BC OM
ng dn gii
Gi
;;M x y z
Ta có
1;1;1 ; 1; 3;3 ; ; ; ; 1; ; 2AB BC OM x y z AM x y z
2 3 1 ; 7 ;11
AB BC OM x y z
Nên
0
11
7
2 3 7
2
2 11
9
2


x
xx
AM AB BC OM y y y
zz
z
Vy
79
0; ;
22
M



Bài 4. Trong không gian
Oxyz
cho ba điểm
1
2;3;1 , ;0;1 , 2;0;1
4
A B C



a) Chng minh rng
,,A B C
không thng hàng.
b) Tìm tọa độ hình chiếu
'B
ca
B
trên
AC
.
c) Tìm tọa độ chân đường phân giác trong ca góc
A
ca
ABC
.
ng dn gii
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 16
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
a) Ta có
9
; 3;0 , 4; 3;0
4
AB AC



. Vì
9
3
4
43
nên hai véctơ
,AB AC
không cùng
phương. Hay ba điểm
,,A B C
không thng hàng.
b) Gi
1
' ; ; 4; 3;0 , ' 2; 3; 1 , ' ; ; 1
4
B x y z AC AB x y z BB x y z


Để
'B
là hình chiếu ca
B
trên
AC
thì
', cïng ph¬ng
'
AB AC
BB AC
18
24
25
33
22
'
10
25
'. 0
21
1
4 3 0
25
4
1
t
xt
yt
AB t AC
x
z
BB AC
y
xy
z








Vy
22 21
' ; ;1
25 25
B



.
c) Ta có
15 3
, 5,
44
AB
AB AC k
AC
, gi
;;D x y z
là chân đường phân giác trong góc
A
, ta có:
3
4
DB k DC DC
3
4
1
3
1
4
BC
xx
x

,
3
4
0
3
1
4
BC
yy
y

,
3
4
1
3
1
4
BC
zz
z

Vy
1;0;1D
.
Bài 5. Trong không gian
Oxyz
cho ba véctơ tùy ý
, , .a b c
Gi
2 , 3 ,w 2 3 .u a b v b c c a
Chng
minh rng ba véctơ
, ,wuv
đồng phng.
ng dn gii
Mun chng minh ba véctơ đồng phng ta cn tìm hai s
,pq
sao cho
w pu qv
Gi s ta có
w 2 3 2 3 3 3 2 2 0 1pu qv c a p a b q b c p a q p b q c
Vì ba véctơ
,,a b c
tùy ý nên để
1
sy ra thì :
30
3
3 2 0
2
20
p
p
qp
q
q





Vy
w 3 2uv
, nên ba véctơ
, ,wuv
đồng phng.
Bài 6. Trong không gian
Oxyz
cho mt véctơ
a
tùy ý khác véctơ
0
. Gi
,,
là ba góc to bi ba
véctơ đơn vị
,,i j k
trên ba trc tọa độ
,,Ox Oy Oz
véctơ
a
. Chng minh rng:
2 2 2
cos cos cos 1.
ng dn gii
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 17
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Gi
0
a
véctơ đơn vị cùng hướng vi
a
, ta có
0
1
aa
a
Gi
0 0 1 2 3
; , ,OA a A A A
theo th t lần lượt là hình chiếu vuông góc ca
0
A
lên các trc ta
độ
,,Ox Oy Oz
. Khi đó ta có:
1 2 3
0 0 0
cos , cos , cos
OA OA OA
OA OA OA
0 1 2 3
1 cos , cos , cosOA OA OA OA
Ta có
0 1 2 3 0
cos . cos . cos . cos ;cos ;cosOA OA OA OA OA i j k
00
OA a
2 2 2
0
1 cos cos cos 1a
.
Bài 7. B ba điểm nào sau đây thng hàng
a)
1;3;1 , 0;1;2 , 0;0;1A B C
. b)
1;1;1 , 4;3;1 , 9;5;1A B C
.
c)
0; 2;5 , 3;4;4 , 2;2;1A B C
. d)
1; 1;5 , 0; 1;6 , 3; 1;5A B C
.
e)
1;2;4 , 3;7;4 , 0;1;5A B C
.
Hướng dn gii
Để xác định b ba điểm
,,A B C
thng hàng ta thc hiện các bước như sau
ớc 1: xác định tọa độ các véctơ
,AB AC
c 2: tìm s
k
tha mãn
AB kAC
Nếu tn ti s
k
thì b ba điểm
,,A B C
thng hàng
Thc hiện như vậy đối với bài toán trên ta được kết qu
a, c, d, e) Không thng hàng
b) Thng hàng
Dng 2. Tích vô hướng và các ng dng của tích vô hướng.
Bài 8. Tính tích vô hướng ca hai véctơ
,ab
trong không gian vi các tọa độ đã cho là:
a)
3;0; 6 , 2; 4;a b c
b)
1; 5;2 , 4;3; 5ab
c)
0; 2; 3 , 1; 3; 2ab
ng dn gii
Áp dng công thc tọa độ tính tích vô hướng ca hai véctơ ta d dàng tính được kết qu
a)
66c
; b)
21
; c)
0
Bài 9. Trong không gian
Oxyz
cho tam giác
ABC
có tọa độ ba đỉnh
( ;0;0 , 0; ;0 , 0;0;A a B b C c
.
Chng minh rng tam giác
ABC
nhn.
ng dn gii
Ta có
20
; ;0 ; ;0; . 0 90AB a b AC a c AB AC a BAC
Lp luận tương tự ta cũng chứng minh hai góc còn li nhn.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 18
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Bài 10. Trong không gian
Oxyz
cho ba điểm
1; 1;0 , 2;2;1 , 13;3;4A B C
.
a) Chng minh
,,A B C
là ba đỉnh ca mt tam giáC.
b) Tìm tọa độ điểm
E
là chân đường phân giác trong góc
A
ca tam giác
ABC
ng dn gii
a) Ta có
1;3;1 ; 12;4;4AB AC
d thy hai véctơ trên không cùng phương
Vậy ba điểm
,,A B C
là ba đỉnh ca mt tam giác
b)
11; 4 11AB AC
,
E
là chân đường phân giác trong góc
A
ca tam giác
ABC
Ta có:
1 21 11 2
... ; ;
4 5 5 5
AB
EB EC EC E
AC



.
Dng 3+4. Phương trình mặt cu.
Bài 11. Tìm tâm và bán kính ca các mt cầu có phương trình sau đây:
a.
2 2 2
8 2 1 0;x y z x y
b.
2 2 2
3 3 3 6 8 15 3 0.x y z x y z
ng dn gii
A. m
(4;1;0),I
bán kính
4.R
B. Tâm
45
1; ; ,
32
I




bán kính
433
.
6
R
Bài 12. Trong mỗi trường hp sau, hãy viết phương trình mặt cu:
a. Đi qua ba điểm
(0;8;0), (4;6;2), (0;12;4)A B C
và có tâm nm trên mt phng
( );Oyz
b. Có bán kính bng
2
, tiếp xúc vi mt phng
()Oyz
và có tâm nm trên tia
;Ox
c. Có tâm
(1;2;3)I
và tiếp xúc vi mt phng
( ).Oyz
ng dn gii
A. Mt cu có tâm
(0; ; )I b c
nm trên mt phng
()Oyz
,,A B C
thuc mt cu tâm
I IA IB IC



2 2 2
22
22
2 2 2 2 2
2
8 4 6 2
8 12 4
b c b c
IA IB
IA IC
b c b c
7b
5.c
Vy
(0;7;5)I
Bán kính ca mt cu là
0 1 25 26R IA
Phương trình của mt cu là
2 2 2
( 7) ( 5) 26.x y z
B. Mt cu
()S
có tâm
I
nm trên tia
Ox
và mt cu
()S
tiếp xúc vi mp
()Oyz
nên tiếp điểm
(0;0;0)O
Bán kính ca mt cu là
2R IO
(2;0;0).I
Phương trình của mt cu là
2 2 2
( 2) 4x y z
C. Mt cu có tâm
(1;2;3)I
và tiếp xúc vi mp
()Oyz
Bán kính ca mt cu là
( , ( )) 1
I
R d I mp Oyz x
Phương trình của mt cu là
2 2 2
( 1) ( 2) ( 3) 1.x y z
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 19
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
D. BÀI TP T LUYN
PHN 1 BÀI TP T LUN
Dng 1: Tìm tọa độ ca một điểm, một véctơ và các yếu t liên quan đến véctơ thỏa mãn mt s điều
kiện cho trước, tọa độ các điểm đặc bit ca tam giác, t din.
Bài 1. Trong không gian
Oxyz
cho
1; 3;4a 
.
a) Tìm
,yz
để véctơ
2; ;b y z
cùng phương với
a
.
b) Tìm
c
biết
c
ngược hướng vi
b
3.c a b
Bài 2. Cho
1;2;1 , 3;5;2 , 0;4;3 .a b c
Tìm tọa độ và độ dài véctơ
,mn
biết:
a)
2 3 4 5m a b c j
b)
2 3 .n a b c k
Bài 3. Cho điểm
0 0 0
;;M x y z
. Hãy tìm tọa độ các điểm:
a)
1 2 3
;;M M M
lần lượt là hình chiếu vuông góc ca
trên các mt phng tọa độ
,,Oxy Oyz Oxz
b)
', ''MM
lần lượt là các điểm đối xng vi
qua gc tọa độ
O
và qua trc
Oy
.
Bài 4. Cho ba điểm
1;1;1 , 1; 1;0 , 3;1; 1A B C
a) Tìm điểm
thuc trc
Oy
và cách đều hai điểm
,BC
b) Tìm điểm
N
thuc
Oxy
cách đều
,,A B C
c) Tìm điểm
P
thuc
Oxy
sao cho
PA PC
ngn nht.
Bài 5. Cho hai điểm
1;1;2 , 1;3; 9AB
a) Tìm điểm
thuc trc
Oy
sao cho tam giác
ABM
vuông ti
M
b) Gi
N
là giao điểm của đường thng
AB
vi mt phng
Oyz
. Hi
N
chia đoạn
AB
theo
t s nào ? Tìm tọa độ điểm
N
.
c) Gi
,,
là các góc to bởi đường thng
AB
và các trc tọa đọ. Hãy tính giá tr biu thc
2 2 2
cos cos cos .P
Dng 2. Tích vô hướng và các ng dng của tích vô hướng.
Bài 6. Tìm độ dài đường phân giác trong ca góc
A
ca
ABC
biết:
a)
1; 2;2 , 5;6;4 , 0;1; 2A B C
b)
2; 1;3 , 4;0;1 , 10;5;3A B C
Bài 7. Cho bốn điểm
1;2;4 , 2;1;3 , 0;0;5 , 3;0; 2A B C D
.
a) Chng minh
ABCD
là mt t din. Tính th tích ca t diện và độ dài đường cao ca t din
sut phát t đỉnh
D
b) Xét hình hp
'. ' ' 'ABCD A B C D
tìm tọa độ các đỉnh
', ', ', 'A B C D
ca hình hộp đó
c) Tìm tọa độ điểm K nm trong mt phng
ABC
sao cho
BCK
vuông ti
B
ACK
vuông ti
A
d) Tìm tọa độ điểm
I
là chân đường phân giác trong ca góc
A
ca
ADE
trong đó
1;3;7E
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 20
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Bài 8. Trong không gian
Oxyz
cho tam giác
ABC
vi
1;0;2 , 2;1;3 , 3;2;4A B C
. Tìm tọa độ
trc tâm
H
ca tam giác
ABC
.
Dng 3+4. Phương trình mặt cu
Bài 9. Trong không gian
Oxyz
hãy xác định tâm và bán kính các mt cầu có phương trình sau đây:
a)
2 2 2
6 2 16 26 0;x y z x y z
b)
2 2 2
2 2 2 8 4 12 100 0.x y z x y z
Bài 10. Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình của mt mt cu ? Nếu là
phương trình mặt cu, hãy tìm tâm và tính bán kính ca nó.
a.
2 2 2
2 6 8 1 0;x y z x y z
b.
2 2 2
10 4 2 30 0;x y z x y z
c.
2 2 2
0;x y z y
d.
2 2 2
2 2 2 2 3 5 2 0;x y z x y z
e.
2 2 2
3 4 8 25 0.x y z x y z
Bài 11. Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đây:
a. Có đường kính
AB
vi
(4; 3;7), (2;1;3).AB
b. Đi qua điểm
(5; 2;1)A 
và có tâm
(3; 3;1).C 
Bài 12. Trong không gian
Oxyz
hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hp sau:
a. Có tâm
(5; 3;7)I
và có bán kính
2;r
b. Có tâm là điểm
(4; 4;2)C
và đi qua gốc tọa độ;
c. Đi qua điểm
(2; 1; 3)M 
và có tâm
(3; 2;1).C
Bài 13. Viết phương trình mặt cu:
a. Có tâm
(1;0; 1),I
đường kính bng
8.
b. Có đường kính
AB
vi
( 1;2;1), (0;2;3).AB
c. Có tâm
(0;0;0)O
và tiếp xúc vi mt cu
()S
có tâm
(3; 2;4),
bán kính bng
1
.
d. Có tâm
(3; 2;4)I
và đi qua
(7;2;1).A
e. Có tâm
(2; 1;3)I
và tiếp xúc vi mt phng
( ).Oxy
f. Có tâm
(2; 1;3)I
và tiếp xúc vi mt phng
( ).Oxz
g. Có tâm
(2; 1;3)I
và tiếp xúc vi mt phng
( ).Oyz
Bài 14. Viết phương trình mt cầu trong các trường hp sau:
a. đi qua
(1;2; 4), (1; 3;1), (2;2;3)A B C
và có tâm nm trên mp
( ).Oxy
b. đi qua hai điểm
(3; 1;2), (1;1; 2)AB
và có tâm thuc trc
.Oz
c. đi qua bốn điểm
(1;1;1), (1;2;1). (1;1;2), (2;2;1).A B C D
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 21
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
PHN 2: DNG TRC NGHIÊM KHÁCH QUAN
TÌM TỌA ĐỘ ĐIM, TỌA ĐỘ VÉCTƠ
Câu 1. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho điểm
M
tha mãn h thc
2OM i j
. Tọa độ ca
điểm
M
là:
A.
0;2;1
. B.
2;0;1
. C.
2;1;0
. D.
0;1;2
.
Câu 2. Trong các cặp véctơ sau, cặp véctơ đối nhau là
A.
1;2; 1 , 1; 2;1
ab
. B.
1;2; 1 , 1;2; 1
ab
.
C.
1; 2;1 , 1; 2;1
ab
. D.
1;2; 1 , 1; 2;0
ab
.
Câu 3. Đim
4;0;7M
nm trên:
A.
mp Oxz
. B.trc
Oy
. C.
mp Oxy
. D.
mp Oyz
.
Câu 4. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, hình chiếu vuông góc của điểm
3;2;1M
trên
Ox
tọa độ là:
A.
0;0;1
. B.
3;0;0
. C.
3;0;0
. D.
0;2;0
.
Câu 5. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho điểm
(3;1; 2)M
. Điểm
N
đối xng vi
M
qua
trc
Ox
có tọa độ là:
A.
(3; 1;2)N
. B.
(0;1; 2)N
. C.
( 3;1; 2)N
. D.
(3;0;0)N
.
Câu 6. Trong không gian vi h ta độ
Oxyz
, cho điểm
3;4;5M
. Điểm
N
đối xng vi đim
M
qua mt phng
Oyz
có tọa độ là:
A.
3;4; 5
. B.
3; 4; 5
. C.
3;4;5
. D.
3; 4; 5
.
Câu 7. Trong không gian
Oxyz
, cho 3 véctơ
1;1;0
a
;
1;1;0
b
;
1;1;1
c
. Trong các mệnh đề
sau, mệnh đề nào sai:
A.
2a
. B.
3c
. C.
ab
. D.
bc
.
Câu 8. Cho 3 điểm
2;1;4 , 2;2; –6 , 6;0;–1A B C
. Tích
.AB AC
bng:
A.
–67
. B.
65
. C.
67
. D.
33
.
Câu 9. Cho
2;5;3
a
,
4;1; 2
b
. Kết qu ca biu thc
,

ab
A.
216
. B.
405
. C.
749
. D.
708
.
Câu 10. Cho ba véctơ
5; 7;2 ; 0;3;4 ; 1;1;3
a b c
. Tìm tọa độ véctơ
3 4 2 n a b c
.
A.
13; 7;28
n
. B.
13; 7; 28
n
. C.
13;7;28
n
. D.
13;7; 28
n
.
Câu 11. Trong không gian
Oxyz
, cho ba véctơ
( 1;1;0), (1;1;0), (1;1;1) a b c
. Trong các mệnh đề
sau, mệnh đề nào sai?
A.
bc
.. B.
ba
.. C.
2a
.. D.
3c
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 22
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 12. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho hai đim
1;3; 2A
4; 5;2B
. Tọa độ ca
véctơ
AB
là:
A.
3;8; 4
. B.
3; 8;4
. C.
3;2;4
. . D.
3;2;4
.
Câu 13. Trong không gian
Oxyz
, điểm nào sau đây nằm trên mt phng tọa độ
Oxmp y
.
A.
1;2;3A
. B.
0;1;2B
. C.
0;0;2C
. D.
2;0;0D
.
Câu 14. Trong không gian
Oxyz
, hình chiếu
A
của điểm
3;2;1A
lên trc
Ox
có tọa độ là:
A.
3;2;0
. B.
3;0;0
. C.
0;0;1
. D.
0;2;0
.
Câu 15. Trong không gian
Oxyz
, cho
1;2;3 , 2;3; 1
ab
.Khi đó
ab
có tọa độ là:
A.
1;5;2
. B.
3; 1;4
. C.
1;5;2
. D.
1; 5; 2
.
Câu 16. Trong không gian
Oxyz
, cho
1;2;3 , 2;3; 1
ab
.Khi đó:
A.
1;5;2
ab
. C.
3; 1; 4
ab
. B.
3; 1;4
ba
. D.
.3ab
.
Câu 17. Trong không gian
Oxyz
, cho
1;2;3 , 2;3; 1
ab
.Khi đó:
A.
3 1;9;8
ab
. B.
2 5;4;5
ab
.
B.
2 5; 4;5
ba
. D.
2 3;8;1
ab
.
Câu 18. Trong không gian
Oxyz
, cho
1;2;3 , 2;3; 1
ab
.Khi đó:
A.
.1ab
.
B. . 1ab
. C.
2 . 2ba
. D.
2 3;8;1
ab
.
Câu 19. Trong kng gian vi h ta độ
Oxyz
, cho
1;2;3 , 2;3; 1
ab
. Khi đó
ab
có ta độ :
A.
1;5;2
. B.
3; 1;4
. C.
1;5;2
. D.
1; 5; 2
.
Câu 20. Trong không gian
Oxyz
, cho 3 véctơ
2;1;0
a
;
1;3; 2
b
;
2;4;3
c
. Tọa độ ca
23 u a b c
là:
A.
3;7;9
. B.
5;3; 9
. C.
3; 7; 9
. D.
3;7;9
.
Câu 21. Trong không gian
Oxyz
, cho 2 điểm
1;2; 3 và 7;4; 2BC
. Nếu điểm
E
thỏa mãn đẳng
thc
2CE EB
thì tọa độ điểm
E
là :
A.
88
3; ;
33



. B.
88
;3;
33



. C.
8
3;3;
3



. D.
1
1;2;
3



.
Câu 22. Cho
1;2;3 ; 0;1; 3AB
. Gi
M
là điểm sao cho
2AM BA
khi đó tọa độ điểm
M
là.
A.
3;4;9M
. B.
3;4;15M
. C.
1;0; 9M
. D.
1; 9()0;M
.
Câu 23. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
cho
2;0;0 ; 0;3;1 ; 3;6;4A B C
. Gi M điểm
nm trên cnh
BC
sao cho
2MC MB
. Độ dài đoạn
AM
là:
A.
33
. B.
27
. C.
29
. D.
30
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 23
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 24. Trong không gian vi h trc
Oxyz
, cho hai điểm
2; 2;1 , 3; 2;1 .AB
Tọa độ điểm
C
đối
xng vi
A
qua
B
là:
A.
1;2; 1C
. B.
1; 2; 1C
. C.
1;2;1C
. D.
4; 2;1C
.
Câu 25. Trong không gian vi h trc ta đ
Oxyz
, cho
1;1;2
u
,
1; ; 2
v m m
. Khi đó
, 14uv
thì:
A.
11
1;
5
mm
. B.
11
1;
3
mm
. C.
1; 3 mm
. D.
1m
.
Câu 26. Trong không gian
Oxyz
, cho ba véctơ
1;1;0
a
,
1;1;0
b
1;1;1
c
. Trong các mệnh đ
sau, mệnh đề nào sai?
A.
2a
. B.
3c
. C.
ab
. D.
bc
.
Câu 27. Trong không gian
Oxyz
, cho ba véctơ
1;1;0
a
,
1;1;0
b
1;1;1
c
. Trong các mệnh đ
sau, mệnh đề nào đúng?
A.
.1ac
.. B.
a
b
cùng phương.
C.
2
cos ,
6
bc
.. D.
0 a b c
.
Câu 28. Trong không gian
Oxyz
, cho bốn điểm
1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1A B C
1;1;1D
. Gi
,MN
lần lượt là trung điểm ca
AB
CD
. Khi đó tọa độ trung điểm
G
của đoạn thng
MN
là:
A.
111
;;
333



G
. B.
111
;;
444



G
. C.
222
;;
333



G
.. D.
111
;;
222



G
.
Câu 29. Trong không gian
Oxyz
, cho
1;2;3 , 2;3; 1
ab
. Kết luận nào sau đây đúng?
A.
1;5;2
ab
.. B.
3; 1; 4
ab
.
C.
3; 1;4
ba
. D
.3ab
.
Câu 30. Cho ba điểm
1;2;3 , 0; 1;2AB
1;0;1C
. Kết luận nào sau đây đúng?
A.
1; 3; 1
AB
. B.
1;3; 1
AC
. C.
1; 3;1
BC
. D
1; 3;1
BA
.
Câu 31. Cho hai điểm
0;1;0A
1;0;1B
Tính:
A.
1; 1;1
AB
. B.
1AB
. C.
5AB
. D.
1;1; 1
AB
.
Câu 32. Cho ba điểm
1;0; 1B
0; 1;2C
. Độ dài đoạn thng
BC
bng
A.
2
. B.
11
. C.
1
. D.
5
.
Câu 33. Cho hai điểm
1;2;0A
,
1;0; 1B
Độ dài đoạn thng
AB
bng?
A.
2
. B.
2
. C.
1
. D.
5
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 24
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 34. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho hai véctơ
4; 2; 4 , 6; 3;2
ab
thì
2 3 2a b a b
có giá tr bng
A.
250
. B.
200
. C.
2
200
. D.
200
.
Câu 35. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho ba điểm
2;1;4 , 2;2;6 , 6;0; 1A B C
. Khi đó
.AB AC
bng
A.
27
. B.
65
. C.
67
. D.
33
.
Câu 36. Trong không gian
Oxyz
, cho 3 ctơ:
( 1,1,0); (1,1,0); (1,1,1). a b c
Trong các mệnh đ
sau mệnh đề nào sai
A.
2.a
B.
3.c
C.
.ab
. D.
.bc
Câu 37. Cho
a
b
có độ dài lần lượt là
1
2
. Biết góc
0
, 60ab
thì
ab
bng:
A.
1
.. B.
2
.. C.
7
. D.
22
2
.
Câu 38. Trong không gian h tọa độ
Oxyz
, cho 3 véctơ
2;3;1 , 5;7;0 , 3; 2;4
a b c
. B s
;;m n p
tha mãn h thc
0 ma nb pc
A.
0;0;0
.. B.
1;0;0
. C.
0;1;0
.. D.
1;1;1
.
Câu 39. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho
2; 1;3 , 1; 3;2 , 3;2; 4
a b c
. Gi
x
véctơ tha mãn
. 5, . 11, . 20 x a x b x c
. Tọa độ
x
A.
2;3; 2
x
.. B.
2;3;1
x
.. C.
3;2; 2
x
.. D.
1;3;2
x
.
Câu 40. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho
;2;1 , 2;1;2
a x b
.Tìm
x
, biết
2
cos ,
3
ab
.
A.
1
2
x
.. B.
1
3
x
.. C.
3
2
x
.. D.
1
4
x
. .
Câu 41. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho
( 2;2; 1)A
,
2;3;0 ,B
;3; 1Cx
.Giá tr ca
x
để tam giác
ABC
đều là
A.
1x
. B.
3x
. C.
1
3


x
x
D
1x
.
Câu 42. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho hai đim
(2;1;1)A
,
0;3; 1B
điểm
C
nm trên
mt phng
Oxy
sao cho ba điểm
,,A B C
thng hàng. Đim
C
có tọa độ
A.
1;2;3
. B.
1;2;1
. C.
1;2;0
D
1;1;0
.
Câu 43. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho ba véctơ
1;1;0 , 1;1;0 , 1;1;1
a b c
Trong
các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 25
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
A.
2
cos ,
6
bc
. B.
1ac
.
C.
a
b
cùng phương D.
0 abc
.
Câu 44. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho ba điểm
2; 1;5 , 5; 5;7 , ; ;1A B M x y
Vi giá
tr nào ca
,xy
thì
,,A B M
thng hàng.
A.
4; 7xy
. B.
4; 7 xy
. C.
4; 7 xy
. D.
4; 7 xy
.
Câu 45. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho hai đim
; 1; 1 , 3; 3;1 P x Q
, biết
3PQ
, giá
tr ca
x
là:
A.2 hoc 4. B. -2 hoc -4. C.2 hoc -4. D. 4 hoc -2 .
Câu 46. Trong không gian vi h tọa đ
Oxyz
, cho
;2;1 , 2;1;2
a x b
.Tìm
x
biết
2
cos ,
3
ab
.
A.
1
2
x
. B.
1
3
x
. C.
3
2
x
. D.
1
4
x
.
Câu 47. Trong không gian
Oxyz
cho
3; 2;4 ;
a
5;1;6
b
;
3;0;2
c
Tọa độ ca
x
sao cho
x
đồng thi vuông góc vi
,,abc
là:
A.
0;0;1
. B.
0;0;0
. C.
0;1;0
. D.
1;0;0
.
Câu 48. Cho ba điểm
1;1;4 ,B 1;3;2 , 1;2;3AC
Tính tọa độ trung điểm
I
của đoạn
AC
A.
0;0;6I
.. B.
37
0; ;
22



I
.. C.
18
;2;
33



I
. . D.
3
0; ;2
2



I
.
Câu 49. Cho điểm
1; 1;1M
0;1;4H
. Tìm tọa độ điểm
N
sao cho đoạn thng
MN
nhn
H
làm
trung điểm.
A.
1;3;3N
. B.
1;3;4N
. C.
1;3;6N
. D.
1;3;7N
.
Câu 50. Góc gia hai véctơ
2;5;0
a
3 ; 7;0
b
là:
A.
0
30
.
B.
0
45
.
C.
0
60
. D.
0
135
.
Câu 51. Cho 4 điểm
M 2; 3;5
,
N 4;7; 9
,
P 3;2;1
,
Q 1; 8;12
. B 3 điểm nào sau đây là
thng hàng:
A.
M, N, P
. B.
M, N,Q
. C.
M, P,Q
. D.
N, P,Q
.
Câu 52. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
cho 3 điểm
M 2; 3; 1
,
N 1;1;1
,
P 1; m 1;2
Vi giá tr nào ca
m
thì tam giác
MNP
vuông ti
N
?
A.
m3
. B.
m2
. C.
m1
. D.
m0
.
Câu 53. Cho véctơ
(1;1; 2)u
(1;0; )vm
Tìm
m
để góc gia hai véctơ
u
v
có s đo bằng
0
45
Mt hc sinh giải như sau:
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 26
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
c 1:
2
12
cos ,
6. 1
m
uv
m
c 2: Góc gia
u
,
v
bng
0
45
suy ra
2
1 2 1
2
6. 1
m
m
2
1 2 3. 1 (*) mm
ớc 3: phương trình (*)
2
(1 2 ) 3( 1) mm
2
26
4 2 0
26


m
mm
m
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai bước nào?
A.Bài giải đúng. B.Sai bước 1. C.Sai bước 2. D.Sai bước 3 .
TỌA ĐỘ ĐIM ĐẶC BIT
Câu 54. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho tam giác
ABC
vi
(1; 4;2), ( 3;2;1), (3; 1;4) A B C
.
Khi đó trọng tâm
G
ca tam giác
ABC
là:
A.
17
; 1;
33



G
. B.
3; 9;21G
. C.
17
; 1;
22



G
. D.
1 1 7
;;
4 4 5



G
.
Câu 55. Trong không gian
Oxyz
cho 3 điểm
2; 1;1 , 5;5;4 , 3;2; 1A B C
. Tọa độ trng tâm
G
ca tam giác
ABC
A.
10 4
; ;2
33



. B.
10 4
;2;
33



. C.
1 4 10
;;
3 3 3



. D.
14
;2;
33



.
Câu 56. Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
1;1;3 ; 1; 3; 2 ; 1;2;3 A B C
.Tính tọa độ trng
tâm
G
ca tam giác
ABC
.
A.
0;0;6G
.. B.
3
0; ;3
2



G
.. C.
18
;2;
33



G
.. D.
3
0; ;2
2



G
.
Câu 57. Trong không gian
Oxyz
, cho 3 điểm
2; 1;1 , 5;5;4 3;2, ; 1 .A B C
Tọa độ trng tâm
G
ca tam giác
ABC
A.
10 4
; ;2
33



. B.
14
;2;
33



. C.
1 4 10
;;
3 3 3



. D.
10 4
;2;
33



.
Câu 58. Trong không gian
Oxyz
, cho tam giác
ABC
vi
(1; 4;2), ( 3;2;1), (3; 1;4) A B C
. Tọa độ
trng tâm
G
ca tam giác
ABC
A.
17
; 1;
33



. B.
3; 9;21
. C.
17
; 1;
22



. D.
1 1 7
;;
4 4 5



.
Câu 59. Trong không gian
Oxyz
, cho ba đim
(1;0;0), (1;1;0), (0;1;1)A B C
. Biết
D
đim sao cho t
giác
ABCD
là hình bình hành . Hãy tìm tọa độ của điểm
D
.
A.
1;1;1D
. B.
0;0;1D
. C.
0;2;1D
. D.
2;0;0D
.
Câu 60. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho tam giác ABC vi
1;2; 1 , 2;3; 2 ,AB
1;0;1C
.
Trong các điểm
4;3; 2 , 1; 2;3 , 2;1;0 M N P
, điểm nào đnh th của hình bình
hành có 3 đỉnh là A, B, C ?
A. C điểm MN. B. Ch có điểm M. C. Ch có điểm N. D. Ch có điểm P .
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 27
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 61. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho ba điểm
1;0;0M
,
0; 2;0N
0;0;1P
.
Biết
MNPQ
là hình bình hành. Tìm tọa độ điểm
Q
.
A.
1;2;1
. B.
1;2;1
. C.
2;1;2
. D.
2;3;4
.
Câu 62. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho
2;0;0A
,
0;4;0C
. Biết điểm
;;B a b c
điểm
sao cho t giác
OABC
là hình ch nht. Tính giá tr ca biu thc
4 P a b c
.
A.
14
. B.
12
. C.
14
. D.
12
.
Câu 63. Trong không gian
Oxyz
, cho hình bình hành
OADB
1;1;0
OA
,
OB i j
. Khi đó tọa
độ tâm hình hình
OADB
là:
A.
(0;1;0)
.. B.
(1;0;0)
.. C.
(1;0;1)
. D.
(1;1;0)
.
Câu 64. Trong không gian
Oxyz
, cho 4 điểm
1;0;2 , 2;1;3 , 3;2;4 , 6;9; 5 .A B C D
Tọa độ
trng tâm ca t din
ABCD
là:
A.
2;3;1
. B.
2; 3;1
.. C.
2;3;1
. D.
2;3; 1
.
Câu 65. Trong không gian
Oxyz
, cho bốn điểm
(1;0;0), (1;0;0),AB
(0;0;1)C
(1;1;1)D
. Gi
,MN
lần lượt là trung điểm ca
AB
CD
. Khi đó tọa độ trung điểm
G
của đoạn thng
MN
là:
A.
3 1 1
;;
442



G
. B.
111
;;
442



G
. C.
222
;;
333



G
. D.
111
;;
222



G
.
Câu 66. Cho hình hp
. ABCD A B C D
1;0;1 , 2;1;2 ; 1; 1;1A B D
4;5;5C
. Tọa độ ca
C
A
là:
A.
2;0;2 , 3;5;4 CA
. B.
2 ;5; 7 , 3;4; 6 CA
.
C.
4;6; 5 , 3;5; 6CA
. D.
2;0;2 , 3;4; 6CA
. .
Câu 67. Cho hình lập phương
. ABCD A B C D
có cnh bằng 1, đim
A
trùng vi gc tọa độ
, OB
nm
trên tia
Ox
,
D
nm trên tia
Oy
A
nm trên tia
Oz
. Kết luận nào sau đây SAI?
A.
0;0;0A
. B.
0;1;1
D
. C.
1;1;1
C
. D.
1; 1; 1
A
.
Câu 68. Trong không gian vi h tọa độ Oxyz, cho hai đim
(2;1;1)A
,
0;3; 1B
đim C nm trên
mt phng
Oxy
sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng. Điểm C có tọa độ
A.
1;2;3
. B.
1;2;1
. C.
1;2;0
D.
1;1;0
.
Câu 69. Chn h tọa độ sao cho hình lập phương
.
ABCD ABC D
(0;0;0)A
,
(2;2;0)C
và tân
I
ca
hình lập phương có tọa độ
(1;1;1)
. Tìm tọa độ của đỉnh
B
.
A.
2;0;2
. B.
0; 2;2
. C.
2;0;2
hoc
0;2;2
. D.
2;2;0
.
Câu 70. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho bốn điểm
3; 4;0 , 0;2;4 , 4;2;1A B C
. Tọa đ
điểm
D Ox
thỏa mãn
AD BC
là:
A.
0;0;0
hoc
6;0;0
. B.
0;0;2
hoc
0;0;8
.
C.
0;0; 3
hoc
0;0;3
. D.
0;0;0
hoc
0;0; 6
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 28
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 71. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho
(3;1;0 ; 1; 1;0 .)AB
Gi
M
điểm trên trc tung
và cách đều
và AB
thì:
A.
2;0;0M
. B.
0(0; 2; )M
). C.
0;2;0M
D.
0;0;2M
.
Câu 72. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho ba đim
1;1;1A
,
1; 1;0B
,
3;1; 1C
. Tọa độ
điểm
N
thuc
(Ox )y
cách đều
,,A B C
là :
A.
7
0; ;2
4



. B.
7
2; ;0
4



. C.
7
2; ;0
4



. D.
7
2; ;0
4




.
Câu 73. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
,cho hai đim
( 1; 1;0)B
,
(3;1; 1)C
. Tìm tọa độ điểm
M
thuc
Oy
và cách đều
,BC
.
A.
9
0; ;0
4



. B.
9
0; ;0
2



. C.
9
0; ;0
2



. D.
9
0; ;0
4



.
Câu 74. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho t din
ABCD
2; 1;1A
,
3;0; 1B
,
2; 1;3C
D
thuc trc
Oy
. Tính tổng tung độ của các điểm
D
.
Biết th tích t din bng 5.
A.
6
. B.
2
. C.
7
. D.
4
.
Câu 75. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm
(2;0;0), (0;2;0), (0;0;2), (2;2;2)A B C D
mt cu ngoi
tiếp t din
ABCD
có bán kính là
A.3. B.
3
. C.
3
2
. D.
2
3
.
Câu 76. Trong không gian Oxyz, cho 3 đim
2,3,1A
1
;0;1
4



B
,
2,0,1C
. Tọa đ chân đường
phân giác trong góc A ca tam giác ABC là
A.
1;0;1
. B.
-1;0;1
. C.
1;1;1
. D.
1;0; 1
.
Câu 77. Trong không gian vi tọa độ
Oxyz
, cho tam giác
ABC
vi
1;0;0 ; 0;1;0AB
;
0;0;1C
thì trc tâm
H
ca tam giác
ABC
A.
111
;;
333



. B.
1;1;1
. C.
111
;;
222



. D.
0;0;0
.
Câu 78. Trong không gian
Oxyz
, cho bốn điểm
1;0;2 , -2;1;3 , 3;2;4A B C
. Tọa độ trc tâm
H
ca
tam giác
ABC
A.
5 5 11
;;
4 8 8



H
. B.
5 5 11
;;
4 8 8



H
. C.
5 5 11
;;
4 8 8




H
. D.
5 5 11
;;
4 8 8



H
.
Câu 79. Trong không gian
Oxyz
, cho bốn điểm
1; 1;0 , 2;2;1 , 13;3;4 , 1;1;1 .A B C D
Tọa độ
chân đường cao
H
ca t din
ABCD
đỉnh
D
A.
10 10 5
;;
9 9 9



H
. B.
10 10 5
;- ;
9 9 9



H
. C.
10 10 5
- ; ;
9 9 9



H
. D.
10 10 5
; ;-
9 9 9



H
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 29
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU
Câu 80. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, mt cu (S):
2 2 2
8 4 2z 4 0 x y z x y
. Bán
kính R ca mt cu:
A.
17R
. B.
88R
. C.
2R
. D.
5R
.
Câu 81. Trong không gian
Oxyz
, tâm
I
ca mt cu
2 2 2
8 2 1 0 x y z x y
có tọa độ là:
A.
(4;1;0)I
. B.
(4; 1;0)I
. C.
( 4;1;0)I
. D.
( 4; 1;0)I
.
Câu 82. Cho mt cu (S):
2 2 2
2 4 `1 0 x y z x y
có tâm I và bán kính R là:
A.
(1; 2;0), 2IR
. B.
(1; 2;1), 2IR
.
C.
(1; 2;1), 6IR
. D.
(1; 2;0), 6IR
.
Câu 83. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho mt cu
S
:
22
2
5 4 9 x y z
. y tìm
tọa độ tâm
I
và bán kính
R
ca mt cu
S
.
A.
5;4;0I
,
3R
. B.
5;4;0I
,
9R
.
C.
5; 4;0I
,
3R
. D.
5; 4;0I
,
9R
.
Câu 84. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho mt cu
2 2 2
:( 1) ( 2) ( 1) 9 S x y z
. y
tìm tọa độ tâm
I
và bán kính
R
ca mt cu
S
.
A.
( 1;2;1)I
3R
. B.
(1; 2; 1)I
3R
.
C.
( 1;2;1)I
9R
. D.
(1; 2; 1)I
9R
.
Câu 85. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho mt cu
2 2 2
:9 S x y z
. Hãy tìm tọa độ tâm
I
và bán kính
R
ca mt cu
S
.
A.
(0;0;0)I
3R
. B.
(0;0;1)I
9R
.
C.
(1;1;1)I
3R
. D.
(0;1;0)I
3R
.
Câu 86. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho mt cu
2 2 2
:2 2 2 4 8 2 0 S x y z x y
. Hãy
tìm tọa độ tâm
I
và bán kính
R
ca mt cu
S
.
A.
2;4;0 ; 3 2IR
. B.
1;2;0 ; 7IR
.
C.
1;2;0 ; 2IR
. D.
1;2; 1 ; 6 IR
.
Câu 87. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho mt cu
2 2 2
( ): 2 1 0 S x y z x y
tâm
I
và bán kính
R
.Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A.
1
;1;0
2



I
1
4
R
. B.
1
; 1;0
2



I
1
2
R
.
C.
1
; 1;0
2



I
1
2
R
.
D.
1
;1;0
2



I
1
2
R
.
Câu 88. Trong mt cu
S
:
2 2 2
1 2 3 12 x y z
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:
A.
S
có tâm
1;2;3I
. B.
S
có bán kính
23R
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 30
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
C.
S
đi qua điểm
3;4;2N
. D.
S
đi qua điểm
1;0;1M
.
Câu 89. Tìm tâm và bán kính ca mt cu
2 2 2
x 2y - 3z = 0 x y z
A. Tâm
13
; 1;
22



I
và bán kính R =
13
2
. B. Tâm
1;1;3I
và bán kính R =
14
2
.
C. Tâm
1;1;3I
và bán kính R =
14
. D.Tâm
13
; 1;
22



I
và bán kính R =
14
2
.
Câu 90. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
,mt cu
2 2 2
2 4 6 2( ): x 0 Sy zz xy
tâm I,
bán kính R là :
A.
( 2;4; 6), 58 IR
. B.
(2; 4;6), 58IR
.
C.
( 1;2; 3), 4 IR
. D.
(1; 2;3), 4IR
.
Câu 91. Trong không gian vi h tọa độ Oxyz, trong các phương trình sau phương trình nào phương
trình ca mt cu:
A.
2 2 2
10xy 8 2z 1 0 x y z y
. B.
2 2 2
3 3 3 2x 6 4z 1 0 x y z y
.
C.
2 2 2
2 2 2 2x 6 4z 9 0 x y z y
. D.
2
2
2x 4 z 9 0 x y z y
.
Câu 92. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, giá tr ca tham s
m
để phương trình
2 2 2
2 2( 2) 2( 3) 8 37 0 x y z mx m y m z m
là phương trình của mt cu:
A.
24 m hay m
. B.
42 m hay m
.
C.
42 m hay m
. D.
24 m hay m
.
Câu 93. Tìm tt c các giá tr m để phương trình
2 2 2
2 4 6 28 0 x y z mx my mz m
phương
trình mt cu:
A.
0m
hoc
2m
. B.
02m
. C.
0m
. D.
2m
.
Câu 94. Trong mt cu
2 2 2
: 1 2 3 12 S x y z
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:
A.
S
có tâm
1;2;3I
. B.
S
có bán kính
23R
.
C.
S
đi qua điểm
1;0;1M
. D.
S
đi qua điểm
3;4;2N
.
Câu 95. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho điểm
1; 1;3M
mt cu
S
phương
trình
22
2
1 2 9 x y z
. Khẳng định đúng là:
A.
M
nm ngoài
S
. B.
M
nm trong
S
.
C.
M
nm trên
S
. D.
M
trùng vi tâm ca
S
.
Câu 96. Trong không gian
Oxyz
cho mt cu
2 2 2
( ): 2 4 6 0 S x y z x y z
ba điểm
(0;0;0), (1;2;3), (2; 1; 1)O A B
. Trong ba điểm trên s đim nm bên trong mt cu là:
A. 1 . B. 2 . C. 0 . D. 3 .
Câu 97. Trong không gian
Oxyz
cho mt cu
2 2 2
( ): 2 4 6 0 S x y z x y z
ba điểm
(0;0;0), (1;2;3), (2; 1; 1)O A B
. Trong ba điểm trên s đim thuc mt cu là:
A.1 . B. 2 . C. 0 . D. 3 .
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 31
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 98. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho mt cầu phương trình
2 2 2
( ): 2 6 4 0 S x y z x y z
. Biết
OA
, (
O
gc tọa độ) đường kính ca mt cu
()S
. Tọa độ điểm
A
A.
( 1;3;2)A
. B.
( 1; 3;2)A
. C.
(2; 6; 4)A
. D.
( 2;6;4)A
.
Câu 99. Trong không gian
Oxyz
, cho mt cu
2 2 2
:2 2 2 12 4 4 0 S x y z x y
. Mt cu
S
đường kính
AB
. Biết điểm
( 1; 1;0)A
thuc mt cu
S
. Tọa độ điểm
B
A.
( 5;3; 2)B
. B.
( 11;5;0)B
. C.
( 11;5; 4)B
. D.
( 5;3;0)B
.
Câu 100. Trong không gian
Oxyz
mt cu
2 2 2 2
( ): 4 4 2 4 0 S x y z mx y mz m m
. Có bán kính
nh nht khi
m
bng:
A.
1
2
. B.
1
3
. C.
3
2
. D. 0 .
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Câu 101. Trong không gian vi tọa độ
Oxyz
, phương trình mặt cu tâm
4; 1;3I
bán kính
5
là:
A.
2 2 2
4 1 3 5 x y z
. B.
2 2 2
4 1 3 25 x y z
.
C.
2 2 2
4 1 3 5 x y z
. D.
2 2 2
4 1 3 5 x y z
.
Câu 102. Trong không gian
Oxyz
, mt cu tâm
(1; 1;2)I
và bán kính
4R
có phương trình là:
A.
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 16 x y z
. B.
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 16 x y z
.
C.
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 4 x y z
. D.
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 4 x y z
.
Câu 103. Trong khônggian vi h tọa độ
Oxyz
, cho mt cu
S
tâm
5;4;3I
, bán kính
4.R
Hãy
tìm phương trình của mt cu
S
?
A.
2 2 2
5 4 3 2 x y z
. B.
2 2 2
5 4 3 16 x y z
.
C.
2 2 2
5 4 3 2 x y z
. D.
2 2 2
5 4 3 16 x y z
.
Câu 104. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, phương trình mặt cu tâm
1;2; 3I
bán kính
2R
là:
A.
2 2 2
2 4 6 10 0 x y z x y z
. B.
2 2 2
2 4 6 10 0 x y z x y z
.
C.
2 2 2
2
1 2 3 3 x y z
. D.
2 2 2
2
1 2 3 2 x y z
.
Câu 105. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho mt cu
S
tâm
5;4;3I
, bán kính
5.R
Phương trình mặt cu
S
A.
2 2 2
5 4 3 25 x y z
. B.
2 2 2
5 4 3 25 x y z
.
C.
2 2 2
5 4 3 25 x y z
. D.
2 2 2
5 4 3 25 xyz
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 32
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 106. Trong không gian vi h trc tọa độ
Oxyz
, cho các điểm
(1;2;5), (2;1;1)AB
(0;0;3)C
.
Phương trình mặt cu
S
có tâm là trng tâm tam giác
ABC
và bán kính bng 3.
A.
2 2 2
( 1) ( 1) ( 3) 3 x y z
. B.
2 2 2
( 1) ( 1) ( 3) 9 x y z
.
C.
2 2 2
( 1) ( 1) ( 3) 9 x y z
. D.
2 2 2
( 1) ( 1) ( 3) 3 x y z
.
Câu 107. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho mt cu
S
tâm
1;3; 2I
, biết din tích mt
cu bng
100
. Khi đó phương trình của mt cu
S
là:
A.
2 2 2
2x 6 4z 4 0 x y z y
. B.
2 2 2
2x 6 4z 86 0 x y z y
.
C.
2 2 2
2x 6 4z 9 0 x y z y
. D.
2 2 2
2x 6 4z 11 0 x y z y
.
Câu 108. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho mt cu
S
tâm
1;4;2I
, biết th tích khi
cu bng
972
. Khi đó phương trình của mt cu
S
là:
A.
2 2 2
1 4 2 81 x y z
. B.
2 2 2
1 4 2 9 x y z
.
C.
2 2 2
1 4 2 81 x y z
. D.
2 2 2
1 4 2 9 x y z
.
Câu 109. Trong khônggian
Oxyz
, mt cu tâm
(1;1;2)I
và đi qua
( 2;1;6)A
có phương trình là:
A.
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 25 x y z
. B.
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 5 x y z
.
C.
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 25 x y z
. D.
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 5 x y z
.
Câu 110. Mt cu
S
có tâm
(1;2;3)I
và bán kính
3R
khi đó phương trình của mt cu
S
là:
A.
2 2 2
1 2 3 9 x y z
. B.
2 2 2
1 2 3 3 x y z
.
C.
2 2 2
2 4 6 5 0 x y z x y z
. D.
2 2 2
1 2 3 3 x y z
.
Câu 111. Mt cu
S
có tâm
(2; 1;2)I
và đi qua điểm
(2;0;1)A
có phương trình là:
A.
2 2 2
2 1 2 1 x y z
. B.
2 2 2
2 1 2 2 x y z
.
C.
2 2 2
2 1 2 1 x y z
. D.
2 2 2
2 1 2 1 x y z
.
Câu 112. Trong không gian
Oxyz
, mt cu tâm
(1;1;2)I
và đi qua
( 2;1;6)A
có phương trình là :
A.
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 25 x y z
. B.
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 5 x y z
.
C.
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 25 x y z
. D.
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 5 x y z
.
Câu 113. Phương trình mặt cu tâm
2;1; 2I
đi qua
3;2; 1
là:
A.
2 2 2
4 2 4 6 0 x y z x y z
. B.
2 2 2
4 2 4 6 0 x y z x y z
.
C.
2 2 2
4 2 4 12 0 x y z x y z
. D.
2 2 2
4 2 4 6 0 x y z x y z
.
Câu 114. Trong không gian vi h trc tọa độ
Oxyz
, cho ba điểm
(2;1; 3), (4;3; 2), (6; 4; 1) A B C
.
Phương trình mặt cu tâm
A
đi qua trọng tâm
G
ca tam giác
ABC
là:
A.
2 2 2
( 2) ( 1) ( 3) 6 x y z
. B.
2 2 2
( 2) ( 1) ( 3) 6 x y z
.
C.
2 2 2
( 2) ( 1) ( 3) 4 x y z
. D.
2 2 2
( 2) ( 1) ( 3) 4 x y z
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 33
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 115. Trong không gian vi h tọa đ
Oxyz
, mt cu tâm
2; 1;2I
đi qua điểm
2;0;1A
phương trình là:
A.
2 2 2
2 1 2 2 x y z
. B.
2 2 2
2 1 2 2 x y z
.
C.
2 2 2
2 1 2 1 x y z
. D.
2 2 2
2 1 2 1 x y z
.
Câu 116. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho mt cu
S
tâm
3; 3;1I
đi qua đim
5; 2;1M
. Phương trình mặt cu
S
có dng:
A.
2 2 2
3 3 1 5 x y z
. B.
2 2 2
3 3 1 2 x y z
.
C.
2 2 2
3 3 1 5 x y z
. D.
2 2 2
3 3 1 5 x y z
.
Câu 117. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho điểm
(1; 2;3)I
. Phương trình mặt cu tâm I tiếp
xúc vi trc
Oy
.
A.
2 2 2
( 1) ( 2) ( 3) 13 x y z
. B.
2 2 2
( 1) ( 2) ( 3) 5 x y z
.
C.
2 2 2
( 1) ( 2) ( 3) 14 x y z
. D.
2 2 2
( 1) ( 2) ( 3) 10 x y z
.
Câu 118. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, mt cu
S
tâm
3; 4; 2I
tiếp xúc vi trc
Ox
. Bán kính mt cu
S
là:
A.
5R
. B.
25R
. C.
32R
. D.
3R
.
Câu 119. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho mt cu
S
tâm
3; 2;4I
tiếp xúc vi trc
Oy
. Viết phương trình của mt cu
S
.
A.
2 2 2
3 2 4 25 x y z
. B.
2 2 2
3 2 4 45 x y z
.
C.
2 2 2
3 2 4 25 x y z
. D.
2 2 2
3 2 4 54 x y z
.
Câu 120. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho hai đim
(1;1;9)B
,
(1;4;0)C
. Mt cu
S
đi qua
điểm
B
và tiếp xúc vi mt phng
Oxy
ti
C
có phương trình là:
A.
2 2 2
1 4 5 25 x y z
. B.
22
2
1 4 5 5 x y z
.
C.
2 2 2
1 4 5 25 x y z
. D.
2 2 2
1 4 5 5 x y z
.
Câu 121. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho ba điểm
( 1;0;1), (1;2; 1), ( 1;2;3) A B C
I
tâm đường tròn ngoi tiếp tam giác
ABC
. Lập phương trình mt cu
S
tâm
I
tiếp xúc
vi mt phng
Oxz
là:
A.
2 2 2
( 2) ( 1) 8 x y z
. C.
2 2 2
( 2) ( 1) 10 x y z
.
B.
2 2 2
( 2) ( 1) 4 x y z
. D.
2 2 2
( 2) ( 1) 6 x y z
.
Câu 122. Trong không gian h tọa độ
Oxyz
, cho điểm
(2; 1;3)A
. Phương trình mặt cu tâm
A
tiếp xúc vi mt phng
Oyz
là:
A.
2 2 2
( 2) ( 1) ( 3) 2 x y z
. B.
2 2 2
( 2) ( 1) ( 3) 14 x y z
.
C.
2 2 2
( 2) ( 1) ( 3) 4 x y z
. D.
2 2 2
( 2) ( 1) ( 3) 25 x y z
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 34
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 123. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho điểm
(3; 2;4)A
. Mt cu
S
tâm A tiếp xúc
vi mt phng (xOz) là:
A.
2 2 2
( 3) ( 2) ( 4) 25 x y z
. B.
2 2 2
( 3) ( 2) ( 4) 18 x y z
.
C.
2 2 2
( 3) ( 2) ( 4) 4 x y z
. D.
2 2 2
( 3) ( 2) ( 4) 13 x y z
.
Câu 124. Viết phương trình mt cu
S
qua điểm
1;2; 0A
và có tâm là gc tọa độ
O
.
A.
2 2 2
25 x y z
. B.
2 2 2
2 3 5 x y z
.
C.
2 2 2
25 x y z
. D.
2 2 2
5 x y z
.
Câu 125. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho điểm
1; 1;2 , 3;1;4MN
. Mt cầu đường kính
MN
có phương trình là:
A.
22
2
2 3 3 x y z
. B.
22
2
2 3 3 x y z
.
C.
2 2 2
1 1 1 3 x y z
. D.
2 2 2
1 1 1 12 x y z
.
Câu 126. Lập phương trình mặt cầu đường kính
AB
vi
6;2; 5A
4;0;7B
A.
2 2 2
5 1 6 62 x y z
. B.
2 2 2
5 1 6 62 x y z
.
C.
2 2 2
1 1 1 62 x y z
. D.
2 2 2
1 1 1 62 x y z
.
Câu 127. Trong không gian
Oxyz
, mt cu có đường kính
AB
vi
(4; 3;7); (2;1;3)AB
là:
A.
2 2 2
( 3) ( 1) ( 5) 9 x y z
. B.
2 2 2
( 3) ( 1) ( 5) 9 x y z
.
C.
2 2 2
( 3) ( 1) ( 5) 3 x y z
. D.
2 2 2
( 3) ( 1) ( 5) 3 x y z
.
Câu 128. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho hai đim
2;4;1 , 2;2; 3AB
. Phương trình mặt
cầu đường kính
AB
là:
A.
22
2
3 1 9 x y z
. B.
22
2
3 1 9 x y z
.
C.
22
2
3 1 3 x y z
. D.
22
2
3 1 9 x y z
.
Câu 129. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
( 2;0; 3)A
,
(2;2; 1)B
. Phương trình nào
sau đây là phương trình mặt cầu đường kính
AB
?
A.
2 2 2
2 4 1 0 x y z y z
. B.
2 2 2
2 4 1 0 x y z x z
.
C.
2 2 2
2 4 1 0 x y z y z
. D.
2 2 2
2 4 1 0 x y z y z
.
Câu 130. Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
(1; 2;1), ( 1;0;3)AB
. Tâm mt cu
S
đường kính
AB
có tọa độ là:
A.
(0; 2;4)I
. B.
(2; 2; 2)I
. C.
(0; 1;2)I
. D.
( 2;2;2)I
.
Câu 131. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
4, 3,7 , 2,1,3AB
. Phương trình mặt
cầu có đường kính
AB
là:
A.
2 2 2
3 1 5 9 x y z
. B.
2 2 2
3 1 5 9 x y z
.
C.
2 2 2
3 1 5 36 x y z
. D.
2 2 2
3 1 5 36 x y z
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 35
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 132. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho t din
ABCD
vi
2; 1; 0 , 1; 1; 3 , 2;–1; 3 , 1;–1( ; 0A B C D
). Tìm tọa độ tâm bán kính ca mt cu
ngoi tiếp t din
ABCD
.
A.
33
;0;
22



G
,
17
2
R GA
. B.
33
;0;
22



G
,
14
3
R GA
.
C.
33
;0;
22



G
,
13
2
R GA
. D.
33
;0;
22



G
,
14
2
R GA
.
Câu 133. Trong không gian
Oxyz
, cho bốn điểm
(1;0;0)A
,
(0;1;0)B
,
(0;0;1)C
(1;1;1)D
. Khi đó mt
cu ngoi tiếp t din
ABCD
có bán kính:
A.
3
2
. B.
2
. C.
3
. D.
3
4
.
Câu 134. Cho
(2;0;0)A
,
(0;2;0)B
,
(0;0;2)C
,
(2;2;2)D
. Mt cu ngoi tiếp t din
ABCD
bán
kính:
A.
3
. B.
3
. C.
3
2
. D.
2
3
.
Câu 135. Bán kính mt cầu đi qua bốn điểm
0;0;0 , 4;0;0 , ,0;4;0 0;0;4O A B C
là :
A.
2
. B.
23
. C.
32
. D.
12
Câu 136. Cho ba điểm
(1;0;0)A
,
(0;1;0)B
,
(0;0;1)C
,
(0;0;0)O
. Khi đó mt cu ngoi tiếp t din
OABC
có phương trình là:
A.
2 2 2
2 2 2 0 x y z x y z
. B.
2 2 2
0 x y z x y z
.
C.
2 2 2
0 x y z x y z
. D.
2 2 2
2 2 2 0 x y z x y z
.
Câu 137. Trong không gian
Oxyz
, mt cầu đi qua bốn điểm
(6; 2;3), (0;1;6),AB
(2;0; 1), (4;1;0)CD
phương trình là:
A.
2 2 2
4 2 6 3 0 x y z x y z
. B.
2 2 2
4 2 6 3 0 x y z x y z
.
C.
2 2 2
4 2 6 3 0 x y z x y z
. D.
2 2 2
4 2 6 3 0 x y z x y z
.
Câu 138. Trong không gian vi h trc tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( 1;2; 1),A
(2;1; 1),B
(3;0;1)C
. Mt cu
đi qua 4 điểm
, , , O A B C
. (
O
là gc tọa độ) có bán kính bng:
A.
13R
. B.
2 13R
. C.
14R
. D.
2 14R
.
Câu 139. Trong không gian vi h trc tọa độ
Oxyz
, cho 3 đim
1;0;0 , 0;2;0 0;0;3A B và C
Viết
phương trình mặt cu ngoi tiếp t din
OABC
.
A.
2 2 2
2 4 6 10 0 x y z x y z
. B.
2 2 2
2
1 2 3 2 x y z
.
C.
2 2 2
x 2y - 3z = 0 x y z
. D.
2 2 2
2
1 2 3 3 x y z
.
Câu 140. Trong không gian
Oxyz
, phương trình mặt cu
()S
qua ba điểm
A(1; 2;4)
,
(1;3; 1)B
,
C(2; 2; 3)
và có tâm nm trên mt phng
Oxy
là:
A.
2 2 2
4 2 21 0 x y z x y
. B.
2 2 2
4 2 3 21 0 x y z x y z
.
C.
2 2 2
4 2 21 0 x y z x y
. D.
2 2 2
4 2 21 0 x y z x y
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 36
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 141. Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
(1;2;0), ( 3;4;2)AB
I
điểm thuc trc
Ox
.
Phương trình mt cu tâm
I
qua
,AB
có phương trình là:
A.
2 2 2
( 3) 20 x y z
. B.
2 2 2
( 3) 20 x y z
.
C.
2 2 2
11
( 1) ( 3) ( 1)
4
x y z
. D.
2 2 2
( 1) ( 3) ( 1) 20 x y z
.
Câu 142. Trong không gian
Oxyz
, cho mt cu
S
đi qua điểm
A 1;2;3 , 2;0; 2B
tâm nm
trên trc
Ox
. Phương trình của mt cu
S
là:
A.
2 2 2
( 1) ( 2) 29 x y z
. B.
2 2 2
( 3) y 29 xz
.
C.
2 2 2
( 3) 29 x y z
. D.
2 2 2
( 3) y z 29 x
.
Câu 143. Cho mt cu
S
tâm
I
nm trên mt phng
()Oxy
đi qua
3
điểm
1,2, 4 ; A
1, 3,1 ; B
2,2,3C
. To độ tâm
I
A.
2,1,0
. B.
0;0; 2
. C.
2; 1;0
. D.
0,0,1
.
Câu 144. Cho hình lập phương
. ABCD A B C D
cnh bng
2
. Gi
M
trung đim của đoạn
AD
,
N
là tâm hình vuông
’’CC D D
. Tính bán kính mt cầu đi qua các điểm
, , ,B C M N
.
A.
35
. B.
35
2
. C.
4
. D.
7
.
Câu 145. Trong không gian vi h trc tọa độ
Oxyz
, cho ba điểm
(0;2;0), ( 1;1;4)AB
(3; 2;1)C
.
Mt cu
S
tâm
I
đi qua
, , A B C
độ dài
5OI
(biết tâm
I
hoành độ nguyên,
O
là gc tọa độ). Bán kính mt cu
S
là:
A.
2R
. B.
3R
. C.
4R
. D.
5R
.
Câu 146. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho hình hp ch nht
. ABCD A B C D
AO
,
3;0;0 , 0;2;0 , 0;0;1 .B D A
Viết phương trình mặt cu tâm
C
tiếp xúc vi
AB
.
A.
2 2 2
49
( 3) ( 2)
10
x y z
. B.
2 2 2
64
( 3) ( 2)
10
x y z
.
C.
2 2 2
25
( 3) ( 2)
10
x y z
. D.
2 2 2
81
( 3) ( 2)
10
x y z
.
Câu 147. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho hình lăng tr đứng
. ABC A B C
có tam giác
ABC
vuông ti
A
, đỉnh
A
trùng vi gc tọa độ
O
,
1; 2; 0B
và tam giác
ABC
có din tích bng
5
. Gi
M
là trung đim ca
CC
. Biết rằng điểm
' 0; 0; 2A
và điểm
C
có tung độ dương.
Viết phương trình mặt cu ngoi tiếp t din
''AB C M
.
A.
2 2 2
( ): 3 3 3 1 0 S x y z x y z
. B.
2 2 2
( ): 3 3 3 0 S x y z x y z
.
C.
2 2 2
( ): 3 3 3 0 S x y z x y z
. D.
2 2 2
( ): 3 3 3 1 0 S x y z x y z
.
Câu 148. Mt cu tâm
2;4;6I
tiếp xúc vi trc Oz có phương trình:
A.
2 2 2
2 4 6 20. x y z
. B.
2 2 2
2 4 6 40. x y z
C.
2 2 2
2 4 6 52. x y z
. D.
2 2 2
2 4 6 56. x y z
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 37
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 149. Mt cu tâm
2;4;6I
và tiếp xúc vi mt phng (Oxz) có phương trình:
A.
2 2 2
2 4 6 16. x y z
B.
2 2 2
2 4 6 4. x y z
C.
2 2 2
2 4 6 36. x y z
D.
2 2 2
2 4 6 56. x y z
Câu 150. Cho các điểm
2;1; 1A
1;0;1B
. Mt cầu đi qua hai điểm A, B tâm thuc trc Oy
đường kính là:
A.
2 6.
.
B.
2 2.
. C.
4 2.
. D.
6.
Câu 151. Gi (S) là mt cu có tâm
1; 3;0I
và ct trc Ox tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều.
Điểm nào sau đây không thuc mt cu (S):
A.
2; 1;1 .
. B.
3; 3;2 2 .
. C.
3; 3; 2 2 .
. D.
1; 3;2 3 .
Câu 152. Mt cu (S) tâm
2;1; 1I
ct trc Ox tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông.
Điểm nào sau đây thuộc mt cu (S):
A.
2;1;1 .
. B.
2;1;0 .
. C.
2;0;0 .
. D.
1;0;0 .
Câu 153. Cho ba điểm
(6; 2;3)A
,
(0;1;6)B
,
(2;0; 1)C
,
(4;1;0)D
. Khi đó mt cu ngoi tiếp t din
ABCD
có phương trình là:
A.
2 2 2
4 2 6 3 0. x y z x y z
. B.
2 2 2
4 2 6 3 0. x y z x y z
C.
2 2 2
2 3 3 0. x y z x y z
. D.
2 2 2
2 3 3 0. x y z x y z
ĐÁP ÁN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
C
A
A
B
C
C
D
D
C
A
A
B
D
A
A
A
A
D
A
B
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
A
B
C
D
C
D
C
D
A
A
A
B
D
D
A
D
C
A
A
D
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
C
C
A
D
A
D
B
B
D
D
B
D
D
A
B
C
D
A
B
D
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
B
C
A
A
A
A
D
C
C
A
A
C
A
A
B
A
A
B
A
D
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
A
A
C
A
A
C
B
C
D
D
B
A
A
D
A
A
A
A
D
A
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
A
B
B
B
B
B
D
A
C
C
B
C
A
A
A
D
D
B
C
A
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
1333
134
135
136
137
138
139
140
B
C
C
D
B
C
B
D
C
C
D
D
A
B
B
B
A
C
C
D
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
B
B
A
B
B
A
C
A
A
A
C
A
A
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 38
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
PHN 2: PHƯƠNG TRÌNH MT PHNG
A. TÓM TT LÝ THUYT
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Vectơ
0n
véctơ pháp tuyến của
nếu giá của
n
vuông góc với
.
Chú ý: Nếu
n
một VTPT của
thì
kn
0k
cũng là VTPT của
.
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
0Ax By Cz D
vi
2 2 2
0A B C
Nếu
phương trình
0Ax By Cz D
thì
( ; ; )n A B C
một véctơ pháp tuyến của
.
Phương trình mặt phẳng đi qua
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
và có một véctơ pháp tuyến
( ; ; )n A B C
là:
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z
3. Các trường hợp riêng
Chú ý:
Nếu trong phương trình của
không chứa ẩn nào thì
song song hoặc chứa trục
tương ứng.
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
1
x y z
a b c
cắt các trục toạ độ tại các
điểm
;0;0 , 0; ;0 , 0;0;abc
Các hệ số
Phương trình mặt phẳng
Tính chất mặt phẳng
0D
0Ax By Cz
đi qua gốc toạ độ
O
0A
0By Cz D
//Ox
hoặc
Ox
0B
0Ax Cz D
//Oy
hoặc
Oy
0C
0Ax By D
//Oz
hoặc
Oz
0AB
0Cz D
// Oxy
hoặc
Oxy
0AC
0By D
// Oxz
hoặc
Oxz
0BC
0Ax D
// Oyz
hoặc
Oyz
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 39
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng
,

có phương trình:
:
1 1 1 1
0A x B y C z D
:
2 2 2 2
0A x B y C z D
,

cắt nhau
1 1 1 2 2 2
: : : :A B C A B C
1 1 1 1
2 2 2 2
//
A B C D
A B C D

1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D

1 2 1 2 1 2
0A A B B C C

 
5. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Cho điểm
0 0 0 0
;;M x y z
và mt phng
:0Ax By Cz D
0 0 0
0
2 2 2
,( )
Ax By Cz D
dM
A B C

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Dạng 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm
0 0 0
;;M x y z
véc pháp tuyến
;;n A B C
Phương pháp giải:
Phương trình mặt phẳng đi qua
0 0 0 0
;;M x y z
và có một véctơ pháp tuyến
;;n A B C
là:
0 0 0
0A x x B y y C z z
VD 1. Gi
mt phẳng đi qua điểm
1; 2;4M
nhn
2;3;5n
làm véctơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phng
là:
A.
2 3 5 16 0.x y z
B.
2 3 5 16 0.x y z
C.
2 3 5 28 0.x y z
D.
2 3 5 28 0.x y z
ng dn gii
Chn A.
Phương trình mặt phng
là :
2 1 3 2 5 4 0 2 3 5 16 0x y z x y z
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 40
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
VD 2. Gi
mt phẳng đi qua điểm
1;2;3M
nhn
4;5;6n
làm véc pháp tuyến.
Phương trình mặt phng
là:
A.
4 5 6 32 0.xyz
B.
4 5 6 32 0.xyz
C.
2 3 32 0.x y z
D.
2 3 32 0.x y z
ng dn gii
Chn B.
Phương trình mặt phng
()
là :
4 1 5 2 6 3 0 4 5 6 32 0x y z x y z
VD 3. Gi
là mt phẳng đi qua điểm
2;0;1M
và nhn
1;1;1n
làm véc tơ pháp tuyến. Phương
trình mt phng
là:
A.
2 0 3 0.x y z
B.
3 0.x y z
C.
2 0 3 0.x y z
D.
3 0.x y z
ng dn gii
Chn D.
Phương trình mặt phng
là :
1 2 1 0 1 1 0 3 0x y z x y z
Dạng 2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và song song vi mt mt phng
Phương pháp giải:
Phương trình mặt phng
đi qua điểm
0 0 0
;;M x y z
song song vi mt
phng
:0Ax By Cz D
nên phương trình có dạng:
0 0 0
:0A x x B y y C z z
VD 1. Gi
mt phẳng đi qua đim
2; 1;2M
song song vi mt phng
( ): 2 3 4 0Q x y z
. Phương trình mặt phng
là:
A.
2 2 11 0.x y z
B.
2 3 11 0.x y z
C.
2 3 11 0.x y z
D.
2 3 4 0.x y z
ng dn gii
Chn C.
Phương trình mt phng
:2 3 4 0Q x y z
véc pháp tuyến
2; 1;3n
do đó
2; 1;3n
làm véc pháp tuyến ca mt phng
nên phương trình
2 3 11 0x y z
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 41
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
VD 2. Gi
mt phẳng đi qua điểm
1; 2;3M
song song vi mt phng
:2 3 5 0Q x y z
. Phương trình mặt phng
là:
A.
2 3 11 0.x y z
B.
2 3 11 0.x y z
C.
2 3 11 0.x y z
D.
2 3 5 0.x y z
ng dn gii
Chn A.
Mt phng
Q
có véc tơ pháp tuyến là
2; 3;1n
do đó
2; 3;1n
làm véc tơ pháp tuyến ca
mt phng
n có phương trình
2 3 11 0x y z
.
VD 3. Gi
mt phẳng đi qua điểm
2;6; 3M
song song vi mt phng
Oxy
. Phương
trình mt phng
là:
A.
3 0.z
B.
8 0.xy
C.
2 6 3 0.x y z
D.
3 0.z 
ng dn gii
Chn D.
Phương trình mặt phng
Oxy
véc pháp tuyến
0;0;1k
do đó chọn
0;0;1k
làm
véctơ pháp tuyến ca mt phng
nên có phương trình
30z 
.
Dạng 3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm vuông góc vi 2 mt phẳng cho trước.
(Hoc viết phương trình mt phẳng đi qua 1 đim song song hoc cha giá ca hai
véctơ cho trước.)
Phương pháp giải:
Mt phng
đi qua điểm
0 0 0
;;M x y z
vuông góc vi hai vi mt
phng
0 0 0 0
:0P A x B y C z D
;
1 1 1 1
:0Q A x B y C z D
nên mt véc pháp
tuyến :
, ( ; ; )
QP
n n n A B C


0 0 0
:0A x x B y y C z z
VD 1. Gi
mt phẳng đi qua điểm
( 2;3;1)M
vuông góc vi 2 mt phng
P
Q
phương trình lần lượt
2 2 5 0x y z
;3 2 3 0x y z
. Phương trình mặt phng
là:
A.
3 4 19 0x y z
B.
3 4 19 0x y z
C.
3 4 19 0x y z
D.
3 4 19 0x y z
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 42
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
ng dn gii
Chn C.
Gi
n
là mt véctơ pháp tuyến ca mt phng
, 3;4;1
QP
n n n


Mt phng
P
đi qua điểm
2;3;1M
và có mt véctơ pháp tuyến
n
nên có phương trình :
3 4 19 0x y z
VD 2. Gi
là mt phẳng đi qua điểm
3; 1; 5M 
và vuông góc vi 2 mt phng
P
Q
phương trình lần lượt
3 2 2 7 0x y z
;
5 4 3 1 0x y z
. Phương trình mặt phng
là:
A.
2 2 15 0.x y z
B.
2 2 15 0.x y z
C.
2 2 15 0.x y z
D.
2 2 15 0.x y z
ng dn gii
Chn A.
Gi
n
là mt véctơ pháp tuyến ca mt phng
, 2;1; 2
QP
n n n


Mt phng
P
đi qua điểm
3; 1; 5M 
và có mt véctơ pháp tuyến
n
nên có phương trình:
2 2 15 0x y z
VD 3. Gi
mt phẳng đi qua đim
0;2;0M
vuông góc vi 2 mt phng
P
Q
phương trình lần lượt là
30z 
;
3 4 7 1 0x y z
.Phương trình mặt phng
là:
A.
4 3 6 0xy
B.
4 3 6 0xy
C.
4 3 6 0xy
D.
4 3 6 0xy
ng dn gii
Chn D.
Gi
n
là mt véctơ pháp tuyến ca mt phng
, 4;3;0
QP
n n n


Mt phng
P
đi qua điểm
0;2;0M
và có mt véctơ pháp tuyến
n
nên có phương trình:
4 3 6 0xy
Dạng 4. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không thng hàng cho trước.
Phương pháp giải:
Mt phng
đi qua ba điểm
;,M N P
nên một véc pháp tuyến :
, ( ; ; )n MN MP A B C


:0
M M M
A x x B y y C z z
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 43
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
VD 1. Gi
là mt phẳng đi qua 3 điểm
2; 1;3 ; 4;0;1 ; 10;5;3A B C
. Phương trình của mt
phng
là:
A.
2 2 6 0.x y z
B.
2 2 6 0.x y z
C.
2 2 6 0.x y z
D.
2 2 2 0.x y z
ng dn gii
Chn B.
Gi
n
là mt véctơ pháp tuyến ca mt phng
, 1;2;2n AB AC


Mt phng
P
đi qua điểm
2; 1;3A
và có mt véctơ pháp tuyến
n
nên có phương trình:
2 2 6 0x y z
VD 2. Gi
mt phẳng đi qua 3 đim
1;0;0 ; 0; 2;0 ; 0;0; 3A B C
. Phương trình của mt
phng
là:
A.
6 3 2 6 0.x y z
B.
6 3 2 6 0.x y z
C.
6 3 2 6 0.x y z
D.
6 3 2 6 0.x y z
ng dn gii
Chn A.
Gi
n
là mt véctơ pháp tuyến ca mt phng
, 6; 3; 2n AB AC


Mt phng
P
đi qua điểm
1;0;0A
và có mt véctơ pháp tuyến
n
nên có phương trình:
6 3 2 6 0x y z
VD 3. Gi
mt phẳng đi qua 3 đim
1;1;1 ; 4;3;2 ; 5;2;1A B C
. Phương trình của mt
phng
là:
A.
4 5 2 0.x y z
B.
4 5 2 0.x y z
C.
4 5 10 0.x y z
D.
4 5 8 0.x y z
ng dn gii
Chn B.
Gi
n
là mt véctơ pháp tuyến ca mt phng
, 1; 4;5n AB AC


Mt phng
P
đi qua điểm
1;1;1A
và có mt véctơ pháp tuyến
n
nên có phương trình:
4 5 2 0x y z
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 44
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Dạng 5. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm và vuông góc vi 1 mt phng
Phương pháp giải:
Mt phng
đi qua ba điểm
;MN
vuông góc vi mt phng
P
nên một véc pháp
tuyến :
, ( ; ; )
P
n MN n A B C


:0
M M M
A x x B y y C z z
VD 1. Gi
mt phẳng đi qua 2 điểm
0;2;0 ; 0;0;0AB
vuông góc vi mt phng
( ): 2 3 4 2 0Q x y z
.Phương trình mặt phng
là:
A.
2 2 0.x y z
B.
2 0.xz
C.
2 0.xz
D.
2 0.x y z
ng dn gii.
Chn C.
Gi
n
là mt ctơ pháp tuyến ca mt phng
, 2;0;1
Q
n AB n


Mt phng
P
đi qua điểm
0;2;0A
và có mt véctơ pháp tuyến
n
nên có phương trình:
20xz
VD 2. Gi
mt phẳng đi qua 2 điểm
0;1;0 ; 2;3;1AB
vuông góc vi mt phng
( ): 2 0Q x y z
.Phương trình mặt phng
là:
A.
4 3 2 3 0.x y z
B.
4 3 2 3 0.x y z
C.
4 3 2 3 0.x y z
D.
4 3 2 3 0.x y z
ng dn gii.
Chn A.
Gi
n
là mt véctơ pháp tuyến ca mt phng
, 4; 3; 2
Q
n AB n


Mt phng
P
đi qua điểm
0;1;0A
và có mt véctơ pháp tuyến
n
nên có phương trình:
4 3 2 3 0x y z
VD 3. Gi
mt phẳng đi qua 2 điểm
1;0;1 ; 5;2;3AB
vuông góc vi mt phng
:2 7 0Q x y z
.Phương trình mặt phng
là:
A.
2 1 0.xz
B.
2 1 0.xz
C.
2 3 0.xz
D.
2 3 0.xz
ng dn gii.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 45
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Chn B.
Gi
n
là mt véctơ pháp tuyến ca mt phng
, 1;0; 2
Q
n AB n


Mt phng
P
đi qua điểm
1;0;1A
và có mt véctơ pháp tuyến
n
nên có phương trình:
2 1 0xz
Dạng 6. Viết phương trình mt phng trung trc ca đoạn thng
MN
.
Phương pháp giải:
Mt phng
đi qua trung điểm I ca hai điểm
;MN
vuông góc vi
MN
nên mt véc
tơ pháp tuyến :
( ; ; )n MN A B C
:0
I I I
A x x B y y C z z
VD 1. Gi
mt phng trung trc ca đoạn thng
AB
vi
2;3;7 ; 4;1;3AB
. Phương trình
mt phng
là:
A.
2 9 0.x y z
B.
2 9 0.x y z
C.
2 9 0.x y z
D.
2 9 0.x y z
ng dn gii
Chn C.
Gi
n
là mt véctơ pháp tuyến ca mt phng
2; 2; 4n AB
Mt phng
đi qua điểm trung đim
3;2;5I
ca
AB
và có mt véctơ pháp tuyến
n
nên
có phương trình :
2 9 0x y z
VD 2. Gi
mt phng trung trc của đoạn thng
AB
vi
1; 2;4 ; 3;6;2AB
. Phương trình
mt phng
là:
A.
4 7 0.x y z
B.
4 7 0.x y z
C.
4 7 0.x y z
D.
4 7 0.x y z
ng dn gii
Chn A.
Gi
n
là mt véctơ pháp tuyến ca mt phng
2;8; 2n AB
Mt phng
đi qua điểm trung đim
2;2;3I
ca
AB
và có mt véctơ pháp tuyến
n
nên
có phương trình:
4 7 0x y z
VD 3. Gi
mt phng trung trc ca đoạn thng
AB
vi
2;3; 7 ; 4; 1;3AB
. Phương
trình mt phng
là:
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 46
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
A.
3 2 5 11 0.x y z
B.
3 2 5 11 0.x y z
C.
3 2 5 11 0.x y z
D.
3 2 5 11 0.x y z
ng dn gii
Chn D.
Gi
n
là mt véctơ pháp tuyến ca mt phng
6; 4;10n AB
Mt phng
đi qua điểm trung điểm
1;1; 2I
ca
AB
mt véctơ pháp tuyến
n
nên có phương trình:
3 2 5 9 0x y z
Dạng 7. V trí tương đối ca hai mt phng.
Phương pháp giải:
Cho hai mặt phẳng
,

có phương trình:
:
1 1 1 1
0A x B y C z D
:
2 2 2 2
0A x B y C z D
,

cắt nhau
1 1 1 2 2 2
: : : :A B C A B C
1 1 1 1
2 2 2 2
//
A B C D
A B C D

1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D

1 2 1 2 1 2
0A A B B C C

 
VD 1. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho hai mt phng
:2 3 2 5 0x y z
:3 4 8 5 0x y z
. Khi đó v trí tương đối ca
:
A.
ct
. B.
// .

C.
.

D.
.

ng dn gii
Chn A.
2 3 2
3 4 8

ct
.
VD 2. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho hai mt phng
:5 5 5 1 0x y z
:3 3 3 7 0x y z
. Khi đó v trí tương đối ca
:
A.
ct
. B.
// .

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 47
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
C.
.

D.
.

ng dn gii
Chn B.
VD 3.
5 5 5 1
3 3 3 7

// .

Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho hai mt phng
: 2 4 6 0x y z
:2 3 5 0x y z
. Khi đó v trí tương đối ca
:
A.
ct
. B.
// .

C.
.

D.
.

ng dn gii
Chn D.
1.2 2 .3 4 . 1 0
.


VD 4. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho hai mt phng
:2 2 4 5 0x y z
25
:5 5 10 0
2
x y z
. Khi đó v trí tương đối ca
:
A.
ct
. B.
// .

C.
.

D.
.

ng dn gii
Chn C.
2 2 4 5
25
5 5 10
2


.


Dạng 8. Tìm ta độ hình chiếu vuông góc ca một điểm trên mt mt phng. Đim đối xng ca
một điểm qua mt phng.
Phương pháp giải:
Gi s mt phng
:0Ax By Cz D
có VTPT là
;;n A B C
.
;;H x y z
hình chiếu ca
;;
M M M
M x y z
lên mt phng
.
0
M
M
M
x At x
y Bt y
MH t n
z Ct z
H
Ax By Cz D






TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 48
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Gii h phương trình trên ta có
t
ri suy ra
,,x y z
.
;;M x y z
là điểm đối xng ca
qua mt phng
H
là trung điểm ca
MM
2
2
2
HM
HM
HM
x x x
y y y
z z z


T đó xác định được tọa độ của điểm
M
.
VD 1. Tọa độ hình chiếu
H
của điểm
1; 1;2M
lên mt phng
: 3 2 0x y z
là:
A.
13 5 20
; ; .
11 11 11
H



B.
13 5 20
; ; .
11 11 11
H



C.
13 5 20
; ; .
11 11 11
H



D.
13 5 20
; ; .
11 11 11
H




ng dn gii
Chn A.
Ta có:
có VTPT là
1;3; 1n 
.
Gi
;;H x y z
là hình chiếu ca
1; 1;2M
lên mt phng
13
2
1
11
11
31
.
5 13 5 20
1
; ; .
2
11 11 11 11
31
20
3 2 0
2
11
x
xt
t
yt
MH t n
xt
yH
zt
H
yt
x y z
z
zt







VD 2. Tọa độ
M
là điểm đối xng của điểm
1;2;3M
qua mt phng
: 5 0x y z
là:
A.
0;2; 1 .M
B.
4;2; 3 .M
C.
2; 1;5 .M
D.
0;1;3 .M
ng dn gii
Chn D.
có VTPT là
1;1; 1n 
.
Gi
;;H x y z
là hình chiếu ca
1;2;3M
lên mt phng
2
5
1
3
3
2
.
1 2 1 14
1
; ; .
3
3 3 3 3
2
14
50
3
3
x
xt
t
yt
MH t n
xt
yH
zt
H
yt
x y z
z
zt









;;M x y z
là điểm đối xng ca
M
qua mt phng
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 49
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
H
là trung điểm ca
MM
20
2 1 0;1;3 .
23
HM
HM
HM
x x x
y y y M
z z z

VD 3. Tọa độ
H
là hình chiếu của điểm
2; 3;1M
qua mt phng
: 2 1 0x y z
là:
A.
2 1 14
; ; .
3 3 3
H



B.
2 1 14
; ; .
3 3 3
H



C.
2 1 14
; ; .
3 3 3
H




D.
2 1 14
; ; .
3 3 3
H




ng dn gii
Chn B.
có VTPT là
1;2;1n 
.
Gi
;;H x y z
là hình chiếu ca
2; 3;1M
lên mt phng
21
1
2 3 2
.
1 1; 1;2 .
1 2 3
2
2 1 0 1
x t t
x
y t x t
MH t n
yH
z t y t
H
z
x y z z t



Dạng 9. Tìm khong cách t một điểm đến mt mt phng.
Phương pháp gii:
Khong cách t điểm
0 0 0 0
;;M x y z
đến mt phng
: 0Ax By Cz D
0 0 0
0
2 2 2
,( )
Ax By Cz D
dM
A B C

Chú ý: Khong cách gia hai mt phng song song bng khong cách t một điểm bt trên
mt phẳng này đến mt phng kia.
Nếu hai mt phng không song song thì khong cách gia chúng bng 0.
VD 1. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho điểm
(2; 3;5)M
mt phng
phương
trình:
2 2 6 0x y z
. Khong cách t đim
mt phng
là:
A.
57
.
7
B.
11
.
3
C.
17
.
3
D.
5
.
3
ng dn gii
Chn B.
Áp dng công thc
2
22
2.2 1. 3 2.5 6
11
,.
3
2 1 2
dM

VD 2. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho điểm
(2;1; 1)A
mt phng
P
phương
trình:
40x y z
. Khong cách t đim
A
mt phng
P
là:
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 50
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
A.
5
.
2
B.
4
.
2
C.
4
.
3
D.
5
.
3
ng dn gii
Chn C.
Áp dng công thc
2
22
1.2 1.1 1. 1 4
4
,.
3
1 1 1
d A P

VD 3. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho hai mt phng:
:2 3 2 0
:2 3 16 0
x y z
x y z
Khong cách gia hai mt phng
là:
A.
14.
B.
0.
C.
15.
D.
23.
ng dn gii
Chn A.
2 3 1 2
2 3 1 1 16

//

Chn
0;0;2M
thì khong cách gia
là:
2
22
2.0 3.0 2 16
, , 14.
2 3 1
d d M
Dạng 10. Tìm góc gia hai mt phng.
Phương pháp giải:
Cho hai mt phng
,

có phương trình
1 1 1 1
:0A x B y C z D
2 2 2 2
:0A x B y C z D
Vì góc gia
,

bng hoc vi góc gia hai VTPT
12
,nn
nên
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
12
1 1 1 2 2 2
.
cos ,
.
.
n n A A B B C C
nn
A B C A B C


Chú ý:
00
0 ( ),( ) 90


.
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 0A A B B C C

VD 1. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho hai mt phẳng có phương trình:
: 1 0x y z
: 5 0x y z
.
Gi
góc to bi hai mt phng
,
cos
là s nào?
A.
1
.
2
B.
1
.
3
C.
1
.
4
D.
4
.
5
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 51
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
ng dn gii
Chn B.
có VTPT là
1
1;1; 1n 
có VTPT là
2
1; 1;1n 
12
22
2 2 2 2
12
1.1 2. 1 1 .1
.
1
cos ,
.3
1 1 1 . 1 1 1
nn
nn

VD 2. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho hai mt phẳng có phương trình:
2:2 4 0x y z
: 2 2 4 0x y z
.
Góc gia hai mt phng
,

bng:
A.
90 .
B.
60 .
C.
30 .
D.
45 .
ng dn gii
Chn A.
có VTPT là
1
2; 1;2n 
có VTPT là
2
1; 2; 2n
12
12
2.1 1 . 2 2. 2
.
cos , 0
.
4 1 4. 1 4 4
nn
nn

, 90

.
VD 3. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho hai mt phẳng có phương trình:
3: 2 6 0x y z
: 3 1 0xz
.
Gi
là góc to bi hai mt phng
,
cos
là s nào?
A.
7
.
2
B.
3
.
2
C.
7
.
7
D.
1
.
3
ng dn gii
Chn C.
có VTPT là
1
1; 2;3n 
có VTPT là
2
1;0; 1n 
12
12
1.1 2 .0 3. 1
.
7
cos , .
.7
1 4 9. 1 1
nn
nn

, 90

.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 52
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
C. BÀI TP CÓ GII
DẠNG TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Phương trình tổng quát ca mt phng
qua điểm
3;4; 5B
song song vi giá ca
mỗi vectơ
3;1; 1 , 1; 2;1ab
là:
A.
4 7 16 0.x y z
B.
4 7 16 0.x y z
C.
4 7 16 0.x y z
D.
4 7 16 0.x y z
ng dn gii
Chn C.
Ta có:
, 1; 4; 7ab


Vectơ pháp tuyến ca
là:
1;4;7n
Phương trình
có dng:
4 7 0x y z D
.
3 16 35 0 16B D D
Vy
: 4 7 16 0x y z
Câu 2. Phương trình tổng quát ca mt phẳng đi qua điểm
3, 1,2 , 4; 2; 1 , 2,0,2A B C
:
A.
2 0.xy
B.
2 0.xy
C.
2 0.xy
D.
2 0.xy
ng dn gii
Chn A.
Ta có:
1; 1; 3 , 1;1;0AB AC
, 3;3;0AB AC



vectơ pháp tuyến ca mt phng
ABC
là:
1;1;0n
Phương trình mt phng
ABC
đi qua
3; 1;2A
nhận vectơ
1;1;0n
làm pháp tuyến
nên phương trình có dng:
20xy
.
Câu 3. Cho hai mt phng
: 5 2 4 0P x y z
:2 9 0Q x y z
. Gi
góc to bi
hai mt phng
,PQ
,
cos
là s nào?
A.
5
.
6
B.
6
.
5
C.
2
.
3
D.
3
.
5
ng dn gii
Chn A.
P
có VTPT
1
1; 5;2n 
Q
có VTPT
2
2;1; 1n 
12
1.2 5.1 1.2
5
cos cos , .
6
1 25 4. 4 1 1
nn

Câu 4. Phương trình tổng quát ca mt phẳng đi qua điểm
2; 1;3 , 3;1;2AB
song song vi
vectơ
3; 1; 4a
là:
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 53
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
A.
9 7 40 0.x y z
B.
9 7 40 0.x y z
C.
9 7 40 0.x y z
D.
9 7 40 0.x y z
ng dn gii
Chn B.
1;2; 1 VTPT , 9;1; 7AB n AB a


Phương trình tổng quát ca mt phẳng đi qua điểm
2; 1;3A
và nhn vectơ
9;1; 7n
làm vectơ pháp tuyến nên phương trình có dạng:
9 7 40 0x y z
Câu 5. Phương trình tổng quát ca mt phẳng đi qua đim
4; 1;1 , 3;1; 1AB
song song vi
trc
Ox
là:
A.
2 0.yz
B.
2 0.yz
C.
0.yz
D.
0.yz
ng dn gii
Chn C.
1;2; 2AB
, vectơ đơn vị ca trc
Ox
1;0;0i
, 0; 2; 2n AB i


Phương trình tổng quát ca mt phẳng đi qua điểm
4; 1;1A
và nhận vectơ
0; 2; 2n
làm vectơ pháp tuyến nên phương trình có dạng:
0yz
Câu 6. Cho t din
ABCD
3; 2;1 , 4;0;3 , 1;4; 3 , 2;3;5A B C D
. Phương trình tổng quát
ca mt phng cha
AC
và song song vi
BD
là:
A.
12 10 21 35 0.xyz
B.
12 10 21 35 0.x y z
C.
12 10 21 35 0.xyz
D.
12 10 21 35 0.x y z
ng dn gii
Chn C.
Ta có:
2;6; 4 ; 6;3;2 , 24; 20; 42AC BD n AC BD


Phương trình tng quát ca mt phẳng đi qua điểm
4; 1;1A
nhận vectơ
24; 20; 42n
làm vectơ pháp tuyến nên phương trình có dạng:
12 10 21 35 0xyz
.
Câu 7. Cho ba điểm
4;3;2 , 1; 2;1 , 2;2; 1A B C
. Phương trình tổng quát ca mt phẳng đi
qua
A
và vuông góc vi
BC
là:
A.
4 2 4 0.x y z
B.
4 2 4 0.x y z
C.
4 2 4 0.x y z
D.
4 2 4 0.x y z
ng dn gii
Chn C.
Ta có:
1;4; 2BC
Phương trình tng quát ca mt phng vuông góc vi
BC
có dng:
4 2 0x y z D
phương trình mặt phẳng đi qua
A
nên
4 4.3 2.2 0 4DD
Phương trình mặt phng cn tìm là:
4 2 4 0x y z
hay
4 2 4 0x y z
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 54
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 8. Cho hai điểm
1; 4;4 , 3;2;6AB
. Phương trình tổng quát ca mt phng trung trc ca
đoạn thng
AB
là:
A.
3 4 0.x y z
B.
3 4 0.x y z
C.
3 4 0.x y z
D.
3 4 0.x y z
ng dn gii
Chn D.
Gi
I
là trung điểm ca
AB
2; 1;5I
.
2;6;2AB
Phương trình tổng quát ca mt phng trung trc của đon thng
AB
đi qua
2; 1;5I
nhận vectơ
2;6;2AB
làm VTPT nên có dng:
3 4 0x y z
Câu 9. Mt phng
Oxy
có phương trình là:
A.
0.x y z
B.
0.xy
C.
0.xy
D.
0.z
ng dn gii
Chn D.
Phương trình mt phng
Oxy
véc pháp tuyến
0;0;1k
đi qua
0;0;0O
nên
phương trình
0z
.
Câu 10. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho ba đim
2; 1;1 , 1;0;4 , 0; 2; 1A B C
.
Phương trình mặt phng qua
A
và vuông góc với đường thng
BC
là:
A.
2 5 5 0.x y z
B.
2 5 5 0.x y z
C.
2 5 5 0.x y z
D.
2 5 5 0.x y z
ng dn gii
Chn C.
Véctơ chỉ phương (VTCP) đường thng
BC
( 1; 2; 5)BC
.
Phương trình mặt phẳng đi qua đim
2; 1;1A
vuông góc với đường thng
BC
nên
VTPT
( 1; 2; 5)n BC
.
Phương trình mặt phng là:
( 2) 2( 1) 5( 1) 0x y z
2 5 5 0x y z
.
Câu 11. Mt phng
Oyz
có phương trình là:
A.
0.yz
B.
0.x
C.
0.yz
D.
0.yz
ng dn gii
Chn B.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 55
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Phương trình mt phng
Oyz
véc pháp tuyến
1;0;0i
đi qua
0;0;0O
nên
phương trình
0x
Câu 12. Mt phng
Oxz
có phương trình là:
A.
0.y
B.
0.xz
C.
0.xz
D.
0.x y z
ng dn gii
Chn A.
Phương trình mt phng
Oxz
véc pháp tuyến
0;1;0j
đi qua
0;0;0O
nên
phương trình
0y
.
Câu 13. Gi
mt phẳng đi qua điểm
3;0;0M
nhn
1,2,3n
làm véc pháp tuyến.
Phương trình mặt phng
là:
A.
2 3 3 0.x y z
B.
2 3 3 0.x y z
C.
3 1 0.x 
D.
2 3 3 0.yz
ng dn gii
Chn A.
Phương trình mt phng
là:
1 3 2 0 3 0 0 2 3 3 0x y z x y z
Câu 14. Gi
mt phẳng đi qua điểm
1;3; 2M
vuông góc vi trc
Oy
. Phương trình mặt
phng
là:
A.
2 0.z 
B.
1 0.xz
C.
3 0.y 
D.
2 0.x y z
ng dn gii
Chn C.
Phương trình mt phng
véc pháp tuyến
0;1;0j
đi qua
1;3; 2M
nên
phương trình
30y 
Câu 15. Gi
mt phẳng đi qua điểm
3;2;0M
nhn
1,0,0i
làm véc pháp tuyến.
Phương trình mặt phng
là:
A.
3 2 3 0.xy
B.
2 0.y 
C.
0.z
D.
3 0.x
ng dn gii
Chn D.
Phương trình mặt phng
véc pháp tuyến
1;0;0j
đi qua
3;2;0M
nên
phương trình
30x
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 56
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 16. Gi
mt phẳng đi qua điểm
1;3; 2M
vuông góc với đường thng
BC
vi
0;2; 3 ; 1; 4;1BC
. Phương trình mặt phng
là:
A.
6 4 25 0.xyz
B.
6 4 25 0.xyz
C.
6 4 25 0.x y z
D.
6 4 25 0.x y z
ng dn gii
Chn A.
Phương trình mặt phng
véc pháp tuyến
1; 6;4BC 
đi qua
1;3; 2M
nên có phương trình
6 4 25 0xyz
Câu 17. Gi
mt phẳng đi qua đim
0; 1;2M
song song hoc cha giá ca hai véc
3;2;1 ; 3;0;1uv
.Phương trình mặt phng
là:
A.
3 3 9 0.x y z
B.
3 3 9 0.x y z
C.
3 3 9 0.x y z
D.
3 3 9 0.x y z
ng dn gii
Chn C.
Gi
n
là mt VTPT ca mt phng
, 2; 6;6n u v


Mt phng
P
đi qua điểm
0; 1;2M
và có mt VTPT
n
nên có phương trình:
3 3 9 0x y z
Câu 18. Gi
mt phẳng đi qua đim
3;1; 1M
song song hoc cha giá ca hai c
2; 1;3 ; 1; 2;5uv
.Phương trình mặt phng
là:
A.
13 5 5 0.x y z
B.
13 5 5 0.x y z
C.
13 5 5 0.x y z
D.
13 5 5 0.x y z
ng dn gii
Chn A.
Gi
n
là mt VTPT ca mt phng
, 1; 13; 5n u v


Mt phng
P
đi qua điểm
3;1; 1M
và có mt VTPT
n
nên có phương trình :
13 5 5 0x y z
Câu 19. Gi
mt phẳng đi qua điểm
0;0;0O
song song hoc cha giá ca hai véc
2;0;0 ; 4; 1;2uv
.Phương trình mặt phng
là:
A.
2 0.yz
B.
2 0.yz
C.
2 0.x y z
D.
2 0.x y z
ng dn gii
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 57
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Chn B.
Gi
n
là mt VTPT ca mt phng
, 0; 4; 2n u v


Mt phng
P
đi qua điểm
0;0;0M
và có mt VTPT
n
nên có phương trình :
20yz
Câu 20. Lập phương trình mặt phng
P
đi qua điểm
1; 3;2M
vuông góc vi hai mt phng
:2 3 1 0Q x y z
: 2 8 0R x y z
A.
7 5 3 14 0.x y z
B.
4 3 24 0.xy
C.
4 3 24 0.xy
D.
4 3 0.xy
ng dn gii
Chn A.
Gi
n
là mt VTPT ca mt phng
P
, 7;5; 3
QR
n n n


Mt phng
P
đi qua điểm
1; 3;2M
mt VTPT
n
nên phương trình:
7 5 3 14 0x y z
Câu 21. Gi
mt phẳng đi qua 3 điểm
5;1;3 ; 1;6;2 ; 5;0;4A B C
. Phương trình của mt
phng
là:
A.
3 0.x y z
B.
9 0.x y z
C.
7 0.x y z
D.
9 0.x y z
ng dn gii
Chn B.
Gi
n
là mt VTPT ca mt phng
, 4;4;4n AB AC


Mt phng
P
đi qua điểm
5;1;3A
và có mt VTPT
n
nên có phương trình :
90x y z
Câu 22. Gi
mt phẳng đi qua 3 điểm
5;1;3 ; 5;0;4 ; 4;0;6A B C
. Phương trình của mt
phng
là:
A.
2 14 0.x y z
B.
2 14 0.x y z
C.
2 8 0.x y z
D.
2 12 0.x y z
ng dn gii
Chn A.
Gi
n
là mt VTPT ca mt phng
, 2;1;1n AC AB


Mt phng
P
đi qua điểm
5;1;3A
và có mt VTPT
n
nên có phương trình :
2 14 0x y z
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 58
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 23. Gi
mt phẳng đi qua 3 điểm hình chiếu vuông góc của điểm
2;3; 5M
lên các
trc tọa độ
; ; .Ox Oy Oz
Phương trình mặt phng
là:
A.
15 10 6 30 0.x y z
B.
15 10 6 30 0.x y z
C.
15 10 6 30 0.x y z
D.
15 10 6 30 0.x y z
ng dn gii
Chn A.
Gi
;;A B C
hình chiếu của điểm
2;3; 5M
lên các trc tọa độ
; ; .Ox Oy Oz
Lúc đó ta
2;0;0 ; 0;3;0 ; 0;0; 5A B C
. Phương trình mặt phng
là:
1 15 10 6 30 0
2 3 5
x y z
x y z
.
Cách khác :Gi
n
là mt VTPT ca mt phng
, 15;10; 6n AB AC


Mt phng
P
đi qua điểm
2;0;0A
và có mt VTPT
n
nên có phương trình:
15 10 6 30 0x y z
Câu 24. Gi
mt phẳng đi qua 3 đim hình chiếu vuông góc ca điểm
1;1;1M
lên c mt
phng tọa độ
; ; .Oxy Oyz Ozx
Phương trình mặt phng
là:
A.
1 0.x y z
B.
3 0.x y z
C.
2 0.x y z
D.
2 0.x y z
ng dn gii
Chn C.
Gi
;;A B C
hình chiếu của đim
1;1;1M
lên các mt phng tọa độ
; ; .Oxy Oyz Ozx
Lúc đó
ta có:
1;1;0 ; 0;1;1 ; 1;0;1A B C
Gi
n
là mt VTPT ca mt phng
, 1;1;1n AB AC


Mt phng
P
đi qua điểm
1;1;0A
và có mt VTPT
n
nên có phương trình :
20x y z
Câu 25. Gi
mt phẳng đi qua 3 đim là hình chiếu vuông góc của đim
30;15;6M
lên các
trc tọa độ
; ; .Ox Oy Oz
Phương trình mặt phng
là:
A.
2 5 30 0.x y z
B.
2 5 30 0.x y z
C.
2 5 90 0.x y z
D.
2 5 30 0.x y z
ng dn gii
Chn D.
Gi
;;A B C
hình chiếu của đim
30;15;6M
lên các trc tọa độ
; ; .Ox Oy Oz
Lúc đó ta
30;0;0 ; 0;15;0 ; 0;0;6A B C
. Phương trình mt phng
là:
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 59
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
1 2 5 30 0
30 15 6
x y z
x y z
.
Câu 26. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, phương trình mặt phng trung trc của đoạn AB vi
3; 1;2 ,A
3;1;2B
là:
A.
30xy
. B.
30xy
.
C.
30xy
. D.
30xy
.
ng dn gii
Chn A.
VTPT ca mt phng là
6;2;0
n AB
.
Tọa độ
M
trung điểm
AB
là:
0;0;2M
.
Phương trình mặt phng:
0
6( 0) 2( 0 ) 0( 2) 0 3 0 x y z x y
.
Câu 27. Cho ba mt phng:
2 1 0x y z
;
: 2 0x y z
;
: 5 0xy
;
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.
// .

B.
.

C.
.

D.
.

ng dn gii
Chn A.
Véc pháp tuyến ca các mt là:
1;1;2 ; 1;1; 1 ; 1; 1;0 ;n n n
nhn thy
n k n

do đó
// ;

là sai
Câu 28. Vi giá tr nào ca
m
để cp mt phẳng sau đây vuông góc?
:2 2 9 0x my mz
:6 10 0x y z
A.
2.m
B.
3.m
C.
4.m
D.
1.m
ng dn gii
Chn C.
Ta véc pháp tuyến ca hai mt phng là:
2; ;2n m m
;
6; 1; 1n
. Để hai mt
phng vuông góc thì
. 0 4n n m

Câu 29. Xác định giá tr ca
m
n
để cp mt phẳng sau đây song song vi nhau:
:2 3 5 0
: 8 6 2 0
x my z
nx y z
A.
4
.
4
m
n

B.
4
.
4
m
n


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 60
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
C.
4
.
4
m
n
D.
4
.
4
m
n

ng dn gii
Chn A.
Ta có
3 12 4
2 3 5
//
6 24 4
8 6 2
nm
m
mn
n





Câu 30. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho hai mt phng
phương trình:
:2 1 3 5 0x m y z
,
: 1 6 6 0n x y z
. Hai mt phng
song
song vi nhau khi và ch khi tích
.mn
bng:
A.
5.
B.
10.
C.
10.
D.
5.
ng dn gii
Chn C.
Ta có:
//

A B C D
CD
AB


2 1 3
1 6 6
m
n


2
5
m
n

. 10mn
.
Câu 31. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho hai mt phng
:2 3 6 0x my z m
: 3 2 5 1 10 0m x y m z
. Vi giá tr nào ca m thì
song song vi
nhau?
A.
1.
B.
2.
C.
. D.
1
.
ng dn gii
Chn A.
Hai mt phng
//

nếu
2 3 6
3 2 5 1 10
mm
mm

(*) .
Xét phương trình
2
2
3 4 0
32
m
mm
m

1
4
m
m

Thay
1m
vào (*) ta có:
2 1 3 7
4 2 6 10

. Vy
1m
tha mãn yêu cu bài toán.
Thay
4m 
vào (*) ta có:
2 4 3
1 2 19

. Vy
4m 
không tha mãn yêu cu bài toán.
Câu 32. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho hai mt phng:
:3 5 3 0,x y mz
:2 3 1 0x ny z
. Cp s
,mn
bng bao nhiêu thì
song song vi nhau?
A.
3;3
. B.
1;3
. C.
1;2
. D.
9 10
;
23




.
ng dn gii
Chn D.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 61
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Hai mt phng
/ /( )

nếu
3 5 3
2 3 1
m
n

Ta có:
35
2
3
23
n
m
10
3
9
2
n
m


Câu 33. Gi
H
tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm
0;0;0O
lên mt phng ta độ
: 2 5 30 0xy
. Tọa độ ca
H
là:
A.
2;1;5 .H
B.
1;2;5 .H
C.
1;0;5 .H
D.
5;1;2 .H
ng dn gii
Chn B.
Gi
;;H x y z
tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm
(0;0;0)O
lên mt phng tọa độ
.
Lúc đó ta véctơ pháp tuyến ca mt phng
OH
cùng phương , tc
OH kn
.
Ta có h
2 5 30 0 4 25 30 0 1
1
1;2;5
2 2 2
5 5 5
x y z t t t t
x t x t x
H
y t y t y
z t z t z
Câu 34. Gi
H
ta độ hình chiếu vuông góc của điểm
1;1;1M
lên mt phng tọa độ
Oxy
. Tọa độ
ca
H
là:
A.
1;1;0 .H
B.
1;1;1 .H
C.
1;0;0 .H
D.
0;0;1 .H
ng dn gii
Chn A.
Gi
H
tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm
(1;1;1)M
lên mt phng tọa độ
Oxy
. Lúc đó
tọa độ ca
H
dng
; ;0H x y
do đó
1; 1; 1MH x y
.0
.0
MH i
MH Oxy
MH j

1 0 1
1;1;0
1 0 1
xx
H
yy



Câu 35. Gi
H
là Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm
1;1;1M
lên mt phng
Oyz
. Tọa độ ca H
là:
A.
0;0;1 .H
B.
1;0;1 .H
C.
1;0;0 .H
D.
0;1;1 .H
ng dn gii
Chn D.
Gi
H
tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm
1;1;1M
lên mt phng tọa độ
Oyz
. Lúc đó
tọa độ ca
H
có dng
0; ;H y z
và do đó
1; 1; 1MH y z
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 62
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
.0
O
.0
MH k
MH yz
MH j

1 0 1
0;1;1
1 0 1
zz
H
yy



Câu 36. Gi
H
tọa độ hình chiếu vuông góc của đim
1;1;1M
lên các mt phng tọa độ
Oxz
.
Tọa độ ca
H
là:
A.
0;1;1 .H
B.
1;0;1 .H
C.
1;0;0 .H
D.
0;1;1 .H
ng dn gii
Chn A.
Gi
H
tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm
1;1;1M
lên mt phng ta độ
Oxz
. Lúc
đó tọa độ ca
H
có dng
;0;H x z
và do đó
( 1; 1; 1)MH x z
.0
.0
MH i
MH Oxz
MH k

1 0 1
1;0;1
1 0 1
xx
H
zz



Câu 37. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, khong cách gia hai mt phng
:2 4 4 1 0x y z
: 2 2 2 0x y z
là:
A.
3
.
2
B. 1. C.
1
.
2
D.
5
.
2
ng dn gii
Chn C.
Mt phng
//

nên
2 2 2 2 2 2
1
2
'
1
2
,.
2
1 2 2
DD
d
A B C



Câu 38. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, góc hp bi mt phng
: 2 5 0x y z
và mt
phng (Oxy) là?
A.
0
60 .
B.
0
30 .
C.
0
45 .
D.
0
90 .
ng dn gii
Chn A.
Mt phng
có vec tơ pháp tuyến là
1
2;1;1n
Mt phng
O xy
có vec tơ pháp tuyến là
2
0;0;1n
Gi
là góc gia mt phng
12
12
2
2 2 2 2 2
12
.
| 2.0 1.0 1.1| 1
cos cos ,
2
.
2 1 1 . 0 0 1
nn
nn
nn

0
60 .

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 63
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 39. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, hình chiếu vuông góc ca
2;4;3A
trên mt phng
2 3 6 19 0x y z
có tọa độ là:
A.
1; 1;2 .
B.
20 37 3
; ; .
7 7 7



C.
2 37 31
; ; .
5 5 5



D.
2; 3;1 .
ng dn gii
Chn B.
Cách 1: Gii t lun
Mt phng
P
có một vectơ pháp tuyến
2; 3;6
P
n 
Đưng thng
AH
vuông góc
P
nên nhn
2; 3;6
P
n 
làm vectơ chỉ phương
Đưng thng
AH
đi qua
2;4;3A
có phương trình tham số là:
22
43
36
xt
yt
zt


Ta có
( 2 2 ;4 3 ;3 6 )H d H t t t
mt khác vì
()HP
nên:
3 20 37 3
2 2 2 3 4 3 6 3 6 19 0 ; ;
7 7 7 7
t t t t H



Cách 2: Gii trc nghim
ng dng công thc gii nhanh tìm hình chiếu ca một điểm lên mt phng
Hng s
2
2 2 2
22
2. 2 3.4 6.3 19
Ax
3
7
2 3 6
A A A
By Cz D
t
A B C

Tọa độ điểm H là:
3 20
. 2 2
77
3 37 20 37 3
. 4 3 ; ;
7 7 7 7 7
33
. 3 6
77
HA
HA
HA
x x At
y y B t H
z z C t






Câu 40. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, mt phẳng qua 3 điểm
1;2; 1 ,A
1;0;2 ,B
2; 1;1C
ct trc Ox tại điểm có hoành độ:
A.
11
;0;0 .
5
M



B.
11
;0;0 .
5
M



C.
11
;0;0 .
7
M



D.
3;0;0 .M
ng dn gii
Chn A.
Ta có:
2; 2;3
, 5;7;8
1; 3;2
AB
AB AC
AC




TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 64
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Mt phng
()ABC
qua
1;1;1A
nhn
, 5;7;8AB AC


làm vectơ pháp tuyến
phương trình là:
5 1 7 2 8 1 0 5 7 8 11 0x y z x y z
Gi
M
là giao điểm ca
ABC
vi trc
.Ox
;0;0M x Ox
11
;0;0 :5 7 8 11 0
5
M x ABC x y z x
Câu 41. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho mt phng
P
đi qua hai
điểm
4; 1;1 ,E
3;1; 1F
cha trc Ox. Phương trình nào phương trình tng quát ca
P
:
A.
: 0.P x y
B.
: 0.P x y z
C.
: 0.P y z
D.
: 0.P x z
ng dn gii :
Chn C.
Ta có:
1;2; 2EF
Trc
Ox
có véc tơ chỉ phương là:
1;0;0i
, 0; 2; 2EF i


Mt phng
P
đi qua
1;1;1A
và nhn
, 0; 2; 2EF i


làm véc tơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phng
P
là:
0yz
Câu 42. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, gi
P
mt phẳng đi qua
1;2;3A
song song
vi mt phng
: 4 12 0Q x y z
. Phương trình của mt phng
P
là:
A.
4 4 0x y z
. B.
4 12 0x y z
.
C.
4 4 0x y z
. D.
4 3 0x y z
.
ng dn gii :
Chn A.
Mt phng
Q
có một vectơ pháp tuyến
1; 4;1
Q
n 
mt phng
P
song song mt phng
Q
nên mt phng
P
nhn
1; 4;1
Q
n 
làm
vectơ pháp tuyến.
Mt phng
P
đi qua
1;2;3A
có phương trình là:
1 1 4 2 1 3 0 4 4 0x y z x y z
Câu 43. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho đim
2;6; 3I
các mt phng
: 2 0,x

: 6 0, : 3 0yz

. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A.
đi qua điểm I. B.
//Oz
.
C.
// xOz
. D.

.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 65
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
ng dn gii :
Chn B.
Mt phng
( ): 3 0z

ct trc
Oz
tại điểm
0;0; 3M
Câu 44. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, phương trình mặt phng cha trc Oy điểm
1;4; 3M
là:
A.
30xz
. B.
30xy
. C.
30xz
. D.
30xz
.
ng dn gii :
Chn D.
Ta có:
1;4; 3OM 
Trc
Oy
có véc tơ chỉ phương là:
0;1;0j
, 3;0;1OM j



Mt phng
Q
đi qua
0;0;0O
và nhn
, 3;0;1OM j


làm véc tơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phng
Q
là:
30xz
Câu 45. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho mt phng
:2 0yz

. Tìm mệnh đề đúng
trong các mệnh đề sau:
A.
//Ox
. B.
// yOz
. C.
//Oy
. D.
Ox
.
ng dn gii :
Chn D.
Ta thy
0;0;0O
thuc mt phng
:2 0yz

nên loi các câu A; B và C.
Câu 46. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, khong cách t điểm
2; 4;3M 
đến mt phng
:2 2 3 0P x y z
là :
A. 3. B. 2. C. 1. D. 11.
ng dn gii :
Chn C.
Ta có
2 2 2
2.( 2) 4 2.3 3
( ,( )) 1
2 1 2
d M P


.
Câu 47. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, gi H hình chiếu vuông góc ca
2; 1; 1A 
trên
mt phng
:16 12 15 4 0P x y z
. Độ dài đoạn AH là:
A. 55. B.
11
5
. C.
1
25
. D.
22
5
.
ng dn gii :
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 66
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Chn B.
H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên mt phng ( P) nên
Ta có
2 2 2
16.2 12 15 4
11
( ,( ))
5
16 12 15
AH d A P

.
Câu 48. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho hai mt phng
: 5 0x y z
:2 2 2 3 0x y z
. Khong cách gia
là:
A.
2
3
. B. 2. C.
7
2
. D.
7
23
.
ng dn gii :
Chn D.
Ta
: 5 0
3
:2 2 2 3 0 0
2
x y z
x y z x y z
//

nên ta có
222
3
5
7
2
( ,( ))
23
111
d



.
Câu 49. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho mt phng
:3 2 5 0x y z
và đường thng
1 7 3
:
2 1 4
x y z
. Gi
mt phng cha
song song vi
. Khong cách
gia
là:
A.
9
14
. B.
9
14
. C.
3
14
. D.
3
14
.
ng dn gii :
Chn B.
:3 2 5 0x y z
có véctơ pháp tuyến
(3; 2; 1)n
1 7 3
:
2 1 4
x y z
đi qua
(1;7;3)M
có véctơ chỉ phương
(2;1;4)u
Δ
//

nên
đi qua điểm
(1;7;3)M
có véctơ pháp tuyến
(3; 2; 1)n
Do đó
mp
3 2 14 0x y z
//

nên ta
2 2 2
14 5
9
( ,( ))
14
3 2 1
d



.
Câu 50. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho
1;1;3 , 1;3;2 , 1;2;3A B C
. Khong cách t
gc to độ O đến mp
ABC
bng:
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 67
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
A.
3
. B. 3. C.
3
2
. D.
3
2
.
ng dn gii :
Chn B.
Ta có
( 2;2; 1)
( 2;1;0)
AB
AC

Mt phng (ABC) đi qua điểm A có véctơ pháp tuyến
, (1;2;2)n AB AC



là
1 2( 1) 2( 3) 0 2 2 9 0x y z x y z
.
Do đó
222
9
( ,( )) 3
1 2 2
d O ABC 

.
DẠNG TỰ LUẬN
Bài 1. Viết phương trình ca mt phng:
a) Đi qua điểm
1; 2;4M
và nhn
2;3;5n
làm vectơ pháp tuyến.
b) Đi qua điểm
0; 1;2A
và song song vi giá ca mỗi vectơ
3;2;1u
3;0;1 .v 
c) Đi qua ba điểm
3;0;0A
,
0; 2;0B
0;0; 1 .C
d) Đi qua điểm
2; 1;2M
và song song vi mt phng
:2 3 4 0.x y z
e) Đi qua hai điểm
1;0;1A
,
5;2;3B
và vuông góc vi mt phng
:2 7 0.x y z
f) Đi qua ba điểm
2;0; 1M
,
1; 2;3N
,
0;1;2 .P
g) Đi qua hai
1;1; 1A
,
5;2;1B
và song song vi trc
.Oz
h) Đi qua điểm
3;2; 1M
và song song vi mt phẳng có phương trình
5 0.x y z
i) Đi qua hai điểm
0;1;1A
,
1;0;2B
và vuông góc vi mt phng
1 0.x y z
j) Đi qua điểm
1;2;3G
và ct các trc tọa đ tại các điểm
, , A B C
sao cho
G
là trng tâm
tam giác
ABC
.
k) Đi qua điểm
2;1;1H
ct các trc tọa đ tại các điểm
, , A B C
sao cho
H
trc tâm
tam giác
ABC
.
ng dn gii
a) Phương trình mt phẳng đi qua điểm
1; 2;4M
nhn
2;3;5n
làm vectơ pháp
tuyến là:
2 1 3 2 5 4 0 2 3 5 16 0x y z x y z
.
b) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm
0; 1;2A
nhn
, 2; 6;6n u v


làm vectơ
pháp tuyến nên có phương trình:
2 0 6 1 6 2 0 3 3 9 0x y z x y z
c) Ta có:
3; 2;0 , 3;0; 1AB AC
, 2;3;6n AB AC


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 68
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Phương trình mặt phẳng
ABC
đi qua
3;0;0A
và nhn
2;3;6n
làm vectơ pháp
tuyến nên có phương trình:
2 3 3 0 6 0 0 2 3 6 6 0x y z x y z
d) Đi qua điểm
2; 1;2M
và song song vi mt phng
:2 3 4 0.x y z
Mt phng cn tìm song song vi mt phng:
2 3 4 0x y z
nên phương trình
dng:
2 3 0x y z D
2; 1;2 2.2 1. 1 2.3 0 11M D D
Vậy phương trình mặt phng cn tìm là:
2 3 11 0.x y z
e) Gi
là mt phng cn tìm.
Ta có:
4;2;2AB
có VTPT là:
2; 1;1n

đi qua hai điểm
1;0;1A
,
5;2;3B
vuông góc vi mt phng
:2 7 0x y z
, 4;0; 8n AB n


Vậy phương trình mặt phng
đi qua
1;0;1A
nhn
4;0; 8n 
làm vectơ pháp
tuyến nên có phương trình:
4 1 8 1 0 2 1 0x z x z
.
f) Ta có:
1; 2;4 , 2;1;3MN MP
, 10; 5; 5n MN MP


Phương trình mặt phẳng
MNP
đi qua
2;0; 1M
nhn
10; 5; 5n
làm vectơ
pháp tuyến nên có phương trình:
10 2 5 0 5 1 0 2 3 0x y z x y z
g) Ta có:
4;1;2AB
Oz
có vectơ đơn vị
0;0;1k
, 1; 4;0n AB k


Phương trình mặt phẳng cần tìm đi qua
1;1; 1A
nhn
1; 4;0n 
làm vectơ pháp
tuyến nên có phương trình:
1 1 4 1 0 1 0 4 3 0x y z x y
h) Mt phng cn tìm song song vi mt phng:
50x y z
nên phương trình dng:
50x y z D
3;2; 1 3 5.2 1 0 8M D D
Vậy phương trình mặt phng cn tìm là:
5 8 0x y z
i) Ta có:
1; 1;1AB
1; 1;1n 
là VTPT ca mt phng
1 0.x y z
, 0;2;2m AB n


Phương trình mt phng cần tìm đi qua
0;1;1A
nhận vectơ
0;2;2m
làm VTPT
nên có phương trình là:
0 0 2 1 2 1 0 2 0x y z y z
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 69
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
j) Gi
là mt phng cn tìm.
ct các trc tọa độ tại các điểm
, , A B C
;0;0 , 0; ;0 , 0;0;A a B b C c
Mt khác:
1;2;3G
là trng tâm tam giác
ABC
1, 2, 3 3, 6, 9
3 3 3
a b c
a b c
3;0;0 , 0;6;0 , 0;0;9A B C
Vậy phương trình mặt phng
theo đoạn chn là:
1
3 6 9
x y z
.
k) Gi
là mt phng cn tìm.
ct các trc tọa độ ti các điểm
, , A B C
;0;0 , 0; ;0 , 0;0;A a B b C c
H
là trc tâm ca
ABC
. 0 2 0
20
0
.0
ABCH a b
b c a
bc
BC AH


.
phương trình mặt phng
theo đoạn chn là:
1 2 2
22
x y z
x y z a
aaa
Mt khác, ta có:
2;1;1 2.2 1 1 2 3H a a
Vậy phương trình mặt phng
là:
2 6 0x y z
.
Bài 2. Viết phương trình mặt phng trung trc của đoạn thng
AB
vi
2;3;7A
,
4;1;3B
.
ng dn gii
Mt phng trung trc
P
của đon thng
AB
chính đoạn thẳng qua trung điểm
I
ca
AB
và vuông góc với vectơ
AB
.
Ta có
2 ; 2; 4AB
3;2;5I
nên phương trình mặt phng
P
là:
2 3 2 2 4 5 0 2 2 9 0.x y z x y z
Bài 3.
a) Lập phương trình của các mt phng
Oxy
,
Oyz
,
Oxz
.
b) Lập phương trình của các mt phẳng đi qua điểm
2;6; 3M
lần lượt song song vi
các mt phng tọa độ.
ng dn gii
a) Mặt phẳng
Oxy
qua điểm
0;0;0O
và vectơ pháp tuyến
0;0;1k
vectơ chỉ
phương của trục
Oz
. Phương trình mặt phẳng
Oxy
có dạng:
0. 0 0. 0 1. 0 0 0.x y z z
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 70
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Tương tự ta có, phương trình mặt phẳng
Oyz
là:
0x
phương trình mặt phẳng
Oxz
là:
0y
.
b) Mặt phẳng
P
qua điểm
2;6; 3M
song song với mặt phẳng
Oxy
nhận
0;0;1k
làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng
P
có dạng:
3 0.z 
Tương tự mặt phẳng
Q
qua
2;6; 3M
song song với mặt phẳng
Oyz
phương
trình là:
2 0.x
Mặt phẳng qua
2;6; 3M
song song với mặt phẳng
Oxz
có phương trình
6 0.y 
Bài 4. Lập phương trình của mt phng:
a) Cha trc
Ox
và điểm
4; 1;2 .P
b) Cha trc
Oy
và điểm
1;4; 3 .Q
c) Cha trc
Oz
và điểm
3; 4;7 .R
ng dn gii
a) Gọi
mặt phẳng qua
P
chứa trục
Ox
thì
qua điểm
0;0;0O
chứa giá
của c vectơ
4 ; 1;2OP
1;0;0i
. Khi đó
0 2;1, ;n OP i



vectơ pháp
tuyến của
.
Phương trình mặt phẳng
có dạng:
2 0.yz
b) Tương tự phần a) mặt phẳng
qua điểm
1;4; 3Q
chứa trục
Oy
thì
qua điểm
0;0;0O
1;4; 3OQ
0;1;0j
. Khi đó
3 0;1, ;n OQ i



vectơ pháp
tuyến của
.
Phương trình mặt phẳng (β) có dạng:
3 0.xz
c) Mặt phẳng
qua điểm
3; 4;7R
chứa trục
Oz
chứa giá của các vectơ
3; 4;7OR
0;0;1k
. Khi đó
4 3;0, ;n OR i



là vectơ pháp tuyến của
.
Phương trình mặt phẳng
có dạng:
4 3 0.xy
Bài 5. Cho t diện có các đỉnh là
5;1;3A
,
1;6;2B
,
5;0;4C
,
4;0;6D
.
a) Viết phương trình của các mt phng
ACD
BCD
.
b) Viết phương trình mp
đi qua cạnh
AB
và song song vi cnh
CD
.
ng dn gii
a) Mặt phẳng
ACD
đi qua
5;1;3A
chứa giá của các vectơ
0; 1;1AC
1; 1;3 .AD
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 71
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Vectơ
2; 1; 1,n AC AD



vuông góc với mặt phẳng
ACD
.
Phương trình
ACD
có dạng:
2 5 1 3 0 2 14 0.x y z x y z
Tương tự: Mặt phẳng
BCD
qua điểm
1;6;2B
nhận vectơ
,m BC BD


làm
vectơ pháp tuyến.
Ta có
4; 6;2 , 3; 6;4BC BD
12; 10; 6m
Phương trình mặt phẳng
BCD
có dạng:
12 1 6 6 2 0 6 5 30 401 2x y z x y z
b) Ta có:
4;5;1AB
,
1;0;2CD
Mặt phẳng
qua cạnh
AB
song song với
CD
thì
qua
A
nhận
, 10;9;5n AB CD


làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng
có dạng:
10 9 5 74 0.x y z
Bài 6. Xét v trí tương đối ca mi cp mt phng sau:
a)
2 5 0x y z
2 3 7 4 0x y z
;
b)
2 3 0x y z
2 4 2 0x y z
;
c)
10x y z
2 2 2 3 0x y z
;
d)
3 2 3 5 0x y z
9 6 9 5 0x y z
;
e)
2 4 0x y z
10 10 20 40 0x y z
.
ng dn gii
a) Ta có:
1 2 1
2 3 7

hai mt phng ct nhau.
b) Ta có:
1 2 1
2 1 4

hai mt phng ct nhau.
c) Ta có:
1 1 1 1
2 2 2 3

hai mt phng song song nhau.
d) Ta có:
3 2 3
969


hai mt phng ct nhau.
e) Ta có:
1 1 2 4
10 10 20 40


hai mt phng trùng nhau.
Bài 7. Xác định
m
n
để mi cp mt phng sau song song:
a)
2 3 5 0x my z
8 6 2 0nx y z
.
b)
3 5 3 0x y mz
2 3 1 0x ny z
.
c)
2 2 3 0x ny z
2 4 7 0mx y z
.
d)
2 2 0x y mz
2 8 0x ny z
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 72
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
ng dn gii
a) Hai mt phng
2 3 5 0x my z
8 6 2 0nx y z
song song vi nhau khi ch
khi:
4
2 3 5
4
8 6 2
n
m
m
n


.
b) Hai mt phng
3 5 3 0x y mz
2 3 1 0x ny z
song song vi nhau khi ch
khi:
10
3 5 3
3
9
2 3 1
2
n
m
n
m



.
c) Hai mt phng
2 2 3 0x ny z
2 4 7 0mx y z
song song vi nhau khi và ch
khi:
1
2 2 3
4
2 4 7
n
n
m
m


.
d) Hai mt phng
2 2 0x y mz
2 8 0x ny z
song song vi nhau khi ch
khi:
1
2 1 2
2
1 2 8
4
n
m
n
m
.
Bài 8. Cho hai mt phng
2 3 6 0x my z m
3 2 5 1 10 0m x y m z
.
a) Tìm
m
để hai mt phẳng đó song song.
b) Tìm
m
để hai mt phẳng đó trùng nhau.
c) Tìm
m
để hai mt phẳng đó cắt nhau.
d) Tìm
m
để hai mt phẳng đó vuông góc.
ng dn gii
a) Để hai mt phng song song thì
2
2
2
2
32
3 4 0
2 3 6 3
5 6 0
3 2 5 1 10 2 5 1
5 29 24 0
36
5 1 10
m
m
mm
m m m
mm
m m m
mm
m
m




H này vô nghim nên không có
m
thỏa mãn đề bài.
b) Để hai mt phng trùng nhau thì
2
2
2
2
32
3 4 0
2 3 6 3
5 6 0 1.
3 2 5 1 10 2 5 1
5 29 24 0
36
5 1 10
m
m
mm
m m m
m m m
m m m
mm
m
m




c) Để hai mt phng ct nhau thì
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 73
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
2
2
2
2
32
3 4 0
2 3 6 3
5 6 0 1.
3 2 5 1 10 2 5 1
5 29 24 0
36
5 1 10
m
m
mm
m m m
m m m
m m m
mm
m
m




d) VTPT ca hai mt phng là:
1
2; ;3 , 3; 2;5 1n m m m m
Để hai mt phng vuông góc thì
12
9
. 0 2 3 2 3 5 1 0 .
19
n n m m m m
Bài 9. Tính khong cách t điểm
2;4; 3A
lần lượt đến các mt phng
P
sau:
a)
2 2 9 0x y z
;
b)
12 5 5 0xz
;
c)
0x
.
ng dn gii
a)
2
22
2.2 1.4 2. 3 9
, 5.
2 1 2
d A P

b)
2
2
12.2 5. 3 5
44
,.
13
12 5
d A P


c)
, 2.d A P
Bài 10. Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:
Cho hình lập phương
.ABCD AB CD
có cnh bng 1.
a) Chng minh rng hai mt phng
AB D

BC D
song song vi nhau.
b) Tính khong cách gia hai mt phng nói trên.
ng dn gii
x
y
z
D'
C'
A'
D
B
C
A
B'
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 74
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
như hình vẽ.
Ta có:
0;0;0 , 1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1A B D A
. Khi đó
1;0;1 , 0;1;1 , 1;1;1 .B D C
a) Mặt phẳng
AB D

qua điểm
A
nhận vevtơ
,n AB AD



làm vecpháp tuyến. Ta
1;0;1AB
,
0;1;1AD
1; 1;1 .n
Phương trình mặt phẳng
AB D

có dạng:
0. 1x y z
Tương tự, mặt phẳng
BC D
qua điểm
B
nhận vectơ
, n BD BC


làm vectơ pháp
tuyến.
Ta có
1;1;0 , 0;1;1BD BC
1;1; 1 .m 
Phương trình mặt phẳng
BC D
có dạng:
1 0. 2x y z
So sánh hai phương trình
1
2,
ta thấy hai mặt phẳng
AB D

BC D
song
song với nhau.
b)
//AB D BC D
nên khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
BC D
chính khoảng
cách giữa hai mặt phẳng. Ta có:
1
3
,.
3
3
d A BC D

Bài 11. Tìm tp hợp các điểm các đều hai mt phng sau:
a)
:2 4 5 0x y z
' :3 5 1 0x y z
;
b)
:2 2 1 0x y z
' :6 3 2 2 0x y z
;
c)
: 2 1 0x y z
' : 2 5 0x y z
.
ng dn gii
a) Gi
;;M x y z
là điểm cách đều
,

. Ta có:
2 4 5 3 5 1
, ,
4 1 16 9 25 1
x y z x y z
d M d M

5 2 4 5 3 3 5 1
2 5 3 3 5 5 3 4 5 3 5 5 3 0
2 5 3 3 5 5 3 4 5 3 5 5 3 0
x y z x y z
x y z
x y z
Vy tp hợp điểm là hai mt phng:
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 75
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
2 5 3 3 5 5 3 4 5 3 5 5 3 0x y z
2 5 3 3 5 5 3 4 5 3 5 5 3 0x y z
.
b) Gi
;;M x y z
là điểm cách đều
,

. Ta có:
2 2 1 6 3 2 2
, ,
4 1 4 36 9 4
x y z x y z
d M d M

7 2 2 1 3 6 3 2 2
4 16 20 1 0
32 2 8 13 0
x y z x y z
x y z
x y z
Vy tp hợp điểm là hai mt phng:
4 16 20 1 0x y z
32 2 8 13 0x y z
.
c) Gi
;;M x y z
là điểm cách đều
,

. Ta có:
2 1 2 5
, ,
1 4 1 1 4 1
x y z x y z
d M d M

2 1 2 5
2 1 2 5
2 1 2 5
x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
15
(vô lý) hoc
2 2 0x y z
Vy tp hợp điểm là mt phng:
2 2 0x y z
.
Bài 12. Tìm điểm
trên trc
Oz
trong mỗi trường hp sau:
a)
cách đều điểm
2;3;4A
và mp
:
2 3 17 0x y z
.
b)
cách đều 2 mp
10x y z
50x y z
.
ng dn gii
0;0;M Oz M c
.
a) Ta có:
22
4 9 4 18 4MA c c
M
cách đều điểm
2;3;4A
mp
:
2 3 17 0x y z
nên ta có:
2
2
,,MA d M MA d M



2
2
17
13 4 3
14
c
cc
0;0;3 .M
b)
M
cách đều 2 mp
10x y z
50x y z
nên ta có:
15
1 5 2.
33
cc
c c c

0;0;2 .M
Bài 13. Viết phương trình mặt phng song song vi mt phng
4 3 12 1 0x y z
tiếp xúc vi
mt cầu có phương trình
2 2 2
2 4 6 2 0x y z x y z
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 76
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
ng dn gii
Mt cu:
2 2 2
2 4 6 2 0x y z x y z
có tâm
1;2;3I
và bán kính
4R
.
Gi
là mt phng cn tìm.
mt phng
song song vi mt phng
4 3 12 1 0x y z
nên dng
4 3 12 0x y z D
.
Mt khác:
tiếp xúc vi mt cu
,d I R

78
4 6 36
4 26 52
26
16 9 144
D
D
D
D


Vy mt phng
có phương trình là:
4 3 12 78 0x y z
hoc
4 3 12 26 0x y z
.
D. BÀI TP T LUYN
Câu 1. Gi
mt phẳng đi qua điểm
0;2;0M
song song vi mt phng
( ): 2 3 4 5 0Q x y z
. Phương trình mặt phng
là:
A.
2 3 4 6 0.x y z
B.
2 3 4 6 0.x y z
C.
2 3 4 6 0.x y z
D.
2 3 4 6 0.x y z
Câu 2. Gi
mt phẳng đi qua điểm
3;2; 1M
song song vi mt phng
: 5 5 0Q x y z
. Phương trình mặt phng
là:
A.
5 8 0.x y z
B.
5 8 0.x y z
C.
5 18 0.x y z
D.
5 8 0.x y z
Câu 3. Gi
mt phẳng đi qua điểm
;;M a b c
song song vi mt phng
Oyz
. Phương
trình mt phng
là:
A.
0.yb
B.
0.zc
C.
0.xa
D.
0.y z b c
Câu 4. Gi
mt phẳng đi qua điểm
;;M a b c
song song vi mt phng
(Ox )y
. Phương
trình mt phng
là:
A.
0.x y b a
B.
0.xa
C.
0.yb
D.
0.zc
Câu 5. Gi
mt phng đi qua điểm
;;M a b c
song song vi mt phng
Oxz
. Phương
trình mt phng
là:
A.
0.yb
B.
0.zc
C.
0.xa
D.
0.x z a c
Câu 6. Gi
mt phng đi qua điểm
4;0;1M
vuông góc vi 2 mt phng
P
()Q
phương trình lần lượt
2 2 3 0x y z
;
12 6 7 0xy
.Phương trình mặt phng
là:
A.
2 2 6 0.x y z
B.
2 2 4 0.x y z
C.
2 2 6 0.x y z
D.
2 2 6 0.x y z
Câu 7. Gi
mt phng đi qua đim
2;5; 7M
vuông góc vi 2 mt phng
P
Q
phương trình lần lượt là
2 3 6 0x y z
;
3 5 9 0xz
.Phương trình mặt phng
là:
A.
5 2 3 21 0.x y z
B.
5 2 3 21 0.x y z
C.
5 2 3 21 0.x y z
D.
5 2 3 41 0.x y z
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 77
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 8. Gi
mt phng đi qua điểm
1;4; 3M
song song hoc cha giá của hai véc
0;1;0 ; 1;4; 3uv
.Phương trình mặt phng
là:
A.
3 6 0.xz
B.
3 0.xz
C.
3 6 0.xz
D.
3 0.xz
Câu 9. Gi
mt phẳng đi qua đim
3; 4;7M
song song hoc cha giá ca hai véc
0;0;1 ; 3; 4;7uv
.Phương trình mặt phng
là:
A.
4 3 0.xy
B.
4 3 24 0.xy
C.
4 3 24 0.xy
D.
4 3 0.xy
Câu 10. Gi
mt phẳng đi qua 3 điểm
1;6;2 ; 5;0;4 ; 4;0;6A B C
. Phương trình của mt
phng
là:
A.
10 9 5 74 0.x y z
B.
10 9 5 74 0.x y z
C.
10 9 5 74 0.x y z
D.
10 9 5 34 0.x y z
Câu 11. Gi
mt phẳng đi qua 3 đim
0;1;1 ; 1; 2;0 ; 1;0;2A B C
. Phương trình của mt
phng
là:
A.
2 0.x y z
B.
2 0.x y z
C.
2 2 0.x y z
D.
2 2 0.x y z
Câu 12. Gi
mt phẳng đi qua 2 điểm
3;1; 1 ; 2; 1;4AB
vuông góc vi mt phng
:2 3 4 0Q x y z
.Phương trình mặt phng
là:
A.
13 5 5 0.x y z
B.
2 2 0.x y z
C.
13 5 5 0.x y z
D.
2 0.x y z
Câu 13. Gi
mt phẳng đi qua 2 điểm
(2;3;4); (2;4;4)AB
vuông góc vi mt phng
:2 3 4 0Q x y z
.Phương trình mặt phng
là:
A.
3 2 14 0.xz
B.
3 2 2 0.xz
C.
3 2 2 0.xz
D.
3 2 2 0.xz
Câu 14. Gi
mt phẳng đi qua 2 điểm
0;6;0 ; 3;0;0AB
vuông góc vi mt phng
:5 3 3 7 0Q x y z
.Phương trình mặt phng
là:
A.
6 3 13 18 0.x y z
B.
6 3 13 18 0.x y z
C.
6 3 13 18 0.x y z
D.
6 3 13 18 0.x y z
Câu 15. Gi
mt phẳng đi qua 2 điểm
2;0;0 ; 0;3;0AB
vuông góc vi mt phng
: 1 0Q x y z
.Phương trình mặt phng
là:
A.
3 2 5 6 0.x y z
B.
3 2 5 6 0.x y z
C.
3 2 5 6 0.x y z
D.
3 2 5 6 0.x y z
Câu 16. Gi
mt phẳng đi qua 2 điểm
1;2;3 ; 3;3;5AB
vuông góc vi mt phng
:3 2 7 0Q x y z
.Phương trình mặt phng
là:
A.
3 4 8 0.x y z
B.
3 4 8 0.x y z
C.
3 4 8 0.xz
D.
3 4 8 0.x y z
Câu 17. Gi
là mt phng trung trc của đoạn thng
AB
vi
2;0;1 , 4;2;5AB
. PT mt phng
trung trực đoạn thng AB là:
A.
3 2 10 0.x y z
B.
3 2 10 0.x y z
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 78
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
C.
3 2 10 0.x y z
D.
3 2 10 0.x y z
Câu 18. Gi
mt phẳng đi qua 2 điểm
0;1;1 ; 1;0;2AB
vuông góc vi mt phng
: 1 0Q x y z
.Phương trình mặt phng
là:
A.
2 0.yz
B.
2 0.yz
C.
0.yz
D.
2 0.x y z
Câu 19. Gi
mt phng trung trc ca đoạn thng
AB
vi
1;3;1 ; 3; 3;3AB
. Phương trình
mt phng
là:
A.
3 4 0.x y z
B.
3 4 0.x y z
C.
3 4 0.x y z
D.
3 4 0.x y z
Câu 20. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, mt phẳng đi qua đim
1;1;1M
và nhn
1; 1;2a
2;3;4b
làm cặp vectơ chỉ phương, có phương trình là:
A.
2 1 0.xz
B.
2 1 0.x y z
C.
2 1 0.xz
D.
2 1 0.x y z
Câu 21. Gi
mt phẳng đi qua 2 điểm
1;1; 1 ; 5;2;1AB
vuông góc vi mt phng
Oxy
.Phương trình mặt phng
là:
A.
2 2 0.x y z
B.
4 3 0.xz
C.
2 2 0.x y z
D.
4 3 0.xz
Câu 22. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, mt phẳng nào phương trình sau đây mặt phng
đi qua 3 điểm
0; 1;2 , 1;2; 3 , 0;0; 2A B C
?
A.
7 4 2 0.x y z
B.
3 4 2 0.x y z
C.
5 4 2 0.x y z
D.
7 4 2 0.x y z
Câu 23. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho mt phng
đi qua hai đim
5; 2;0 , 3;4;1AB
một vectơ chỉ phương
1;1;1a
. Phương trình của mt phng
là:
A.
5 9 4 7 0.x y z
B.
5 9 14 7 0.x y z
C.
5 9 4 7 0.xyz
D.
5 9 4 7 0.xyz
Câu 24. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, gi
mt phng qua c hình chiếu ca
5;4;3A
lên các trc tọa độ. Phương trình của mt phng
là: (dùng pt đoạn chn)
A.
60 0.
5 4 3
x y z
B.
12 15 20 60 0.x y z
C.
0.
5 4 3
x y z
D.
12 15 20 60 0.x y z
Câu 25. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, phương trình mặt phẳng đi qua hai đim
3;1; 1 , 2; 1;4AB
và vuông góc vi mt phng
2 3 4 0x y z
là:
A.
13 5 5 0.x y z
B.
2 5 3 0.x y z
C.
13 5 5 0.x y z
D.
2 5 3 0.x y z
Câu 26. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho
là mt phẳng đi qua đim
1;3; 2M
và song
song vi mt phng
2 3 4 0x y z
. Phương trình của mt phng là:
A.
4 2 3 5 0.x y z
B.
2 3 0.x y z
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 79
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
C.
2 3 7 0.x y z
D.
2 3 7 0.x y z
Câu 27. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, phương trình mặt phẳng đi qua hai đim
2; 1;1 ,A
2;1; 1B 
và vuông góc vi mt phng
3 2 5 0x y z
là:
A.
5 7 0.x y z
B.
5 7 4 0.x y z
C.
5 7 0.xyz
D.
5 7 0.x y z
Câu 28. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho ba mt phng
: 2 1 0,x y z
: 2 0,x y z
: 5 0xy
. Trong các mệnh đề sau, mnh
đề nào sai?
A.
//

. B.

. C.

. D.

.
Câu 29. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho bốn điểm
5;1;3 , 1;6;2 , 5;0;4 , 4;0;6A B C D
. Mt phng
đi qua hai điểm A, B song song
với đường thng CD có phương trình là:
A.
10 9 5 0x y z
. B.
10 9 5 74 0x y z
.
C.
10 9 5 74 0x y z
. D.
9 10 5 74 0x y z
.
Câu 30. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, mt phng
đi qua điểm
5;4;3M
ct các tia
Ox, Oy, Oz tại các điểm
,,A B C
sao cho
OA OB OC
có phương trình là:
A.
12 0x y z
. B.
0x y z
.
C.
30x y z
. D.
0x y z
.
Câu 31. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, điểm M trên trc Oy cách đều hai mt phng
: 1 0,x y z
: 5 0x y z
có tọa độ là:
A.
0;2;0M
. B.
0; 3;0M
. C.
0;1;0M
. D.
0; 1;0M
.
Câu 32. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho
là mt phẳng đi qua đim
2;1;1H
và ct các
trc Ox, Oy, Oz lần lượt ti A, B, C sao cho H là trc tâm ca tam giác ABC. Phương trình mặt
phng
là?
A.
2 6 0x y z
. B.
2 2 0x y z
.
C.
40x y z
. D.
2 4 0x y z
.
Câu 33. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho
là mt phẳng đi qua đim
1;2;3G
và ct các
trc Ox, Oy, Oz lần lượt ti A, B, C sao cho G trng tâm ca tam giác ABC. Phương trình
mt phng
là?
A.
2 3 6 18 0x y z
. B.
6 3 2 18 0x y z
.
C.
3 6 2 18 0x y z
. D.
6 2 3 18 0x y z
.
Câu 34. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, mt phng
P
đi qua giao tuyến ca hai mt phng
1
: 2 4 0,yz
2
: 5 5 0x y z
vuông góc vi mt phng
3
: 2 0x y z
. Phương trình của mt phng
P
là?
A.
2 3 9 0x y z
. B.
3 2 5 5 0x y z
.
C.
3 2 5 4 0x y z
. D.
3 2 5 5 0x y z
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 80
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 35. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho mt phng
P
đi qua giao tuyến ca hai mt
phng
1
:3 2 0,x y z
2
: 4 5 0xy
đồng thi song song vi mt phng
3
:2 21 7 0x y z
. Phương trình của mt phng
P
là?
A.
2 21 23 0x y z
B.
2 21 23 0x y z
.
C.
2 21 23 0x y z
. D.
2 21 23 0x y z
Câu 36. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho mt phng
:2 0xy

. Trong các mệnh đề
sau, mệnh đề nào đúng?
A.
.Oz
B.
/ / .Oy
C.
/ / .yOz
D.
/ / .Ox
Câu 37. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, phương trình mt phẳng qua điểm
1;2;3M
cha trc
Oy
là:
A.
30xz
. B.
30xz
. C.
30xy
. D.
30xz
.
Câu 38. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho điểm
1;6; 3M
mt phng
: 1 0,x

: 3 0,y

: 3 0z

. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.
//Oz
. B.
qua M. C.
// xOz
. D.

.
Câu 39. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, mt phẳng đi qua ba đim
1;0;0 , 0; 2;0 ,AB
0;0; 3C
có phương trình:
A.
2 3 0.x y z
B.
6 3 2 6 0.x y z
C.
3 2 5 1 0.x y z
D.
2 3 0.x y z
Câu 40. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
,khong cách gia 2 mt phng
: 2 2 11 0P x y z
: 2 2 2 0Q x y z
là:
A. 7. B. 5. C. 3. D. 9.
-------------------------Hết-------------------------
ĐÁP ÁN PHẦN TRC NGHIM
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
A
A
B
C
C
C
D
D
C
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
B
A
A
C
D
A
C
A
B
A
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
B
A
A
C
D
A
A
C
A
C
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
A
D
B
A
D
A
C
A
B
A
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 81
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
C
A
B
D
D
C
B
D
B
B
ĐÁP ÁN PHẦN T LUYN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
A
C
D
A
A
C
D
A
A
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
B
A
C
A
A
D
A
B
A
A
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
D
A
B
A
C
D
A
A
B
A
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
B
A
B
A
C
A
B
A
B
C
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 82
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
PHẦN 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯNG THNG
A. TÓM TT LÝ THUYT
1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
Phương trình tham số ca đường thẳng
d
đi qua điểm
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
và có vectơ chỉ
phương
1 2 3
( ; ; )
a a a a
với
0a
:
1
2
3
( ): ( )


o
o
o
x x a t
d y y a t t
z z a t
Nếu
1 2 3
0a a a
thì
0 0 0
1 2 3
( ) :

x x y y z z
d
a a a
được gọi là phương trình chính tắc của
d
2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng
,dd
lần lượt đi qua hai điểm
0 0 0 0
;;M x y z
,
0 0 0 0
;;M x y z
vectơ
chỉ phương lần lượt là
1 2 3
;;a a a a
,
1 2 3
;;a a a a
. Khi đó, ta có:
0
;0aa
dd
Md

0
;0aa
dd
Md


d
cắt
d
00
;0
; . 0
aa
a a M M

d
d
chéo nhau
00
; . 0a a M M


.0d d a a
3. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho mặt phẳng
:0
Ax By Cz D
và đường thẳng
01
02
03
:



x x ta
d y y ta
z z ta
Xét phương trình:
0 1 0 2 0 3
( ) ( ) ( ) 0 A x ta B y ta C z ta D
(ẩn t) (*)
d
(*) vô nghiệm
d
ct
(*) có đúng một nghiệm
d
(*) có vô số nghiệm
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 83
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
4. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu
Cho đường thẳng
01
02
03
:



x x ta
d y y ta
z z ta
(1) và mặt cầu
2 2 2 2
:( ) ( ) ( ) S x a y b z c R
(2)
Để xét vị trí tương đối của đường thẳng
d
mặt cầu
S
ta thay (1) vào (2), a được phương
trình:
2 2 2
0 1 0 2 0 3
0x ta a yx ta b z ta c
(*)
d
S
không có điểm chung
(*) vô nghiệm
,d I d R
d
tiếp xúc
S
(*) có đúng một nghiệm
,d I d R
d
cắt
S
ti hai điểm phân biệt
(*) có hai nghiệm phân biệt
,d I d R
5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (chương trình nâng cao)
Cho đường thẳng
d
đi qua
0
M
và có VTCP
a
và điểm
M
.
0
;
( , )
M M a
d M d
a
6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (chương trình nâng cao)
Cho hai đường thẳng chéo nhau
1
d
2
.d
1
d
đi qua điểm
1
M
và có VTCP
1
a
,
2
d
đi qua điểm
2
M
và có VTCP
2
a
1 2 1 2
12
12
,.
( , )
,
a a M M
d d d
aa
Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
12
, dd
bằng khoảng cách giữa
1
d
với mặt
phẳng
chứa
2
d
và song song với
7. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng
d
với mặt phẳng
song song với nó bằng khoảng cách từ một
điểm
M
bất kì trên
d
đến mặt phẳng
.
8. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng
12
, dd
lần lượt có các VTCP
12
,aa
.
Khi đó góc giữa
12
, dd
là:
12
1 2 1 2
12
.
cos ; cos ,
.
aa
d d a a
aa
9. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho đường thẳng
d
có VTCP
1 2 3
( ; ; )
a a a a
và mặt phẳng
có VTPT
( ; ; )n A B C
.
Góc giữa đường thẳng
d
và mặt phẳng
bằng góc giữa đường thẳng
d
với hình chiếu
d
của
nó trên
.
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3
sin ,( )
.

Aa Ba Ca
d
A B C a a a
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 84
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Dạng 1. Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và biết 1 véctơ chỉ phương.
Phương pháp giải:
Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, đường thng
d
đi qua điểm
0 0 0 0
;;M x y z
và có mt
vectơ chỉ phương
1 2 3
;;
a a a a
vi
222
1 2 3
0 aaa
có phương trình tham số là:
01
02
03



x x a t
y y a t
z z a t
.
VD 1. Trong không gian vi h trc to độ
,Oxyz
cho hai mt phng
: 2 3 4 0 P x y z
:3 2 5 4 0. Q x y z
Giao tuyến ca
P
Q
có phương trình tham số là:
A.
22
17
4

xt
yt
zt
. B.
22
17
4


xt
yt
zt
. C.
22
17
4


xt
yt
zt
. D.
22
17
4


xt
yt
zt
.
ng dn gii
Cách 1: Xét h
2 3 4 0
( )
3 2 5 4 0
x y z
x y z
Cho
0x
thay vào
()
tìm được
8, 4 yz
Đặt
(0; 8; 4)A
Cho
0z
thay vào
()
tìm được
2, 1 xy
Đặt
(2; 1;0)B
2;7;4
AB
là mt VTCP ca
PQ
Như vậy, phương trình tham số ca
PQ
22
17
4

xt
yt
zt
Chọn đáp án A.
Cách 2: Xét h
2 3 4 0
( )
3 2 5 4 0
x y z
x y z
Cho
0z
thay vào
()
tìm được
2, 1 xy
Đặt
(2; 1;0)B
: 2 3 4 0 P x y z
có VTPT
(1; 2;3)
P
n
:3 2 5 4 0 Q x y z
có VTPT
(3;2; 5)
Q
n
, 4;14;8

PQ
nn
chn
(2;7;4)u
là mt VTCP ca giao tuyến
PQ
Như vậy, PTTS ca
PQ
22
17
4

xt
yt
zt
Chọn đáp án A.
Cách 3: (k năng máy tính cầm tay)
Xem như phím A,B,C (trên máy) là
,,x y z
(trong phương trình), nhập cùng lúc 2 biu thc
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 85
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
A 2B 3C 4:3A 2B 5C 4
Rút to độ điểm
0 0 0
( ; ; )x y z
t trong các PTTS ca các câu, dùng lnh CALC nhp vào máy.
KQ ng với câu nào cho 2 đáp số cùng bng 0 thì nhn ( bài này tm thi nhn A và B)
Tiếp tc cho
1t
(ngoài nháp) vào mỗi PTTS được nhận để b s
( ; ; )x y z
li thay vào 2
biu thức đã nhập trên màn hình
Li tìm b s cho 2 đáp số cùng bng 0 ( bài này câu A đảm bảo điều đó nên đáp án là A)
VD 2. Trong không gian vi h to độ
,Oxyz
cho đường thng
d
đi qua điểm
1; 2;0M
và có
véctơ chỉ phương
0;0;1 .
u
Đưng thng
d
có phương trình tham số là:
A.
1
2

x
y
zt
. B.
1
22

xt
yt
zt
. C.
2
1

xt
yt
z
. D.
12
2
0

xt
yt
z
.
ng dn gii
Hc thuc lòng công thc
0
0
0



x x at
y y bt
z z ct
và thay s vào nhé
1 0 1
2 0 2
01





x t x
y t y
z t z t
Chọn đáp án A.
VD 3. Phương trình tham số của đường thng
d
biết đi qua điểm
(1;2;3)M
và có véctơ chỉ
1; 4;5
a
A.
1
24
35



xt
yt
zt
. B.
1
42
53

xt
yt
zt
. C.
1
24
35



xt
yt
zt
. D.
1
42
53

xt
yt
zt
.
ng dn gii
Đưng thng
d
đi qua điểm
(1;2;3)M
và có một vectơ chỉ phương
1; 4;5
a
có phương
trình tham s là:
1
24
35



xt
yt
zt
.
Chọn đáp án A.
VD 4. Phương trình tham số của đường thng
d
biết đi qua điểm
(0; 2;5)M
và có véctơ chỉ
1; 1;3
a
A.
10
12
35


xt
yt
zt
B.
1
42
53

xt
yt
zt
C.
02
22
56


xt
yt
zt
D.
02
22
56



xt
yt
zt
ng dn gii
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 86
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Đưng thng
d
đi qua đim
(0; 2;5)M
và có vectơ chỉ phương
1; 1;3
a
có phương trình
tham s là:
02
22
56


xt
yt
zt
.
Chọn đáp án C.
VD 5. Phương trình tham số của đường thng
d
biết đi qua điểm
(1;2;3)M
và có véctơ chỉ
2;0;0
a
A.
1
2
3



xt
yt
zt
. B.
1
02
03



xt
yt
zt
. C.
1
2
3

xt
y
z
. D.
1
2
3


xt
yt
z
.
ng dn gii
Đưng thng
d
đi qua điểm
(1;2;3)M
và có véctơ chỉ phương
2;0;0
a
có phương trình
tham s là:
1
2
3

xt
y
z
.
Chọn đáp án C.
VD 6. Phương trình tham số của đường thng
d
biết đi qua gốc tọa độ
O
và có véctơ chỉ phương
2; 3;1
a
A.
2
3
1


xt
yt
zt
. B.
02
03
0



xt
yt
zt
. C.
12
03
0



xt
yt
zt
. D.
1
2
3


xt
yt
z
.
ng dn gii
Đưng thng
d
đi qua điểm qua gc tọa độ
O
và có véctơ chỉ phương
2; 3;1
a
có phương
trình tham s là:
02
03
0



xt
yt
zt
.
Chọn đáp án B.
Dạng 2. Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
;MN
.
Phương pháp giải:
Tìm ta độ véctơ
MN
Phương trình đường thng cần tìm đi qua
M
( hoc
N
) và có véctơ chỉ phương cùng
phương với véctơ
MN
VD 7. Trong không gian vi h to độ
,Oxyz
đoạn thng
AB
với hai đầu mút lần lượt là
2;3; 1A
1;2;4B
có phương trình tham số là:
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 87
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
A.
1
2 1 2
45


xt
y t t
zt
. B.
2
3 1 0
15

xt
y t t
zt
.
C.
1
2 0 1
45


xt
y t t
zt
. D.
2
3 2 4
15

xt
y t t
zt
.
ng dn gii
Phương pháp: Để tìm to độ các điểm đầu mút ca một đoạn thẳng có phương trình tham số
có điều kin kèm theo ta thay giá tr u mút) ca tham s vào phương trình tìm
, , .x y z
a) Với phương án A, thay
1t
vào PTTS ta được to độ điểm là
2;3; 1
nhưng
2t
thì ta lại được điểm
3;4; 6
khác to độ điểm A và điểm B
b) Với phương án B, thay
1t
ta được to độ điểm
1;2;4B
0t
ta được to độ điểm
2;3; 1A
.
Chn đáp án : B
Lưu ý 1:
- Để viết phương trình tham số của đoạn thng
AB
ta viết phương trình tham s của đường
thng
,AB
tìm giá tr
,
AB
tt
để t phương trình tham s đó ta tìm lại được to độ của điểm
,AB
- Kết qu phương trình tham số có kèm điều kin ca
t
là đoạn to bi
,
AB
tt
- Tuy nhiên phương pháp này chậm và rất khó để chọn phương án như cách cho đề bài này.
Lưu ý 2:
- Nếu HS nào dùng phương pháp thay to độ ca mỗi điểm
A
B
vào phương trình tham
s ca từng phương án (A,B,C,D) đ tìm giá tr
t
thì ch khi tìm được
,
AB
tt
là 2 đầu mút ca
đoạn điều kiện được cho kèm theo phương trình tham số, đó mới là phương án đúng.
VD 8. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho hai điểm
1;2; 3A
3; 1;1B
. Phương trình
nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm
A
B
?
A.
1 2 3
3 1 1

x y z
. B.
1 2 3
2 3 4

x y z
.
C.
3 1 1
1 2 3

x y z
. D.
1 2 3
2 3 4

x y z
.
ng dn gii:
Phương pháp tự lun:
Gi
d
là đường thẳng đi qua 2 điểm
1;2; 3A
3; 1;1B
. Đường thng
d
đi qua
(1;2; 3)A
và có vectơ chỉ phương
(2; 3;4)
d
u AB
nên có phương trình chính tắc là:
1 2 3
2 3 4

x y z
.
Chọn đáp án B.
Phương pháp trắc nghim:
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 88
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Đưng thẳng đi qua
1;2; 3A
3; 1;1B
có vectơ chỉ phương
(2; 3;4)AB
nên loi
phương án A và C. Xét thấy điểm
(1;2; 3)A
thỏa mãn phương trình chính tc phương án B
nên chọn B là đáp án đúng.
VD 9. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, đường thẳng đi qua hai điểm
1; 2;1 , 2;1;3AB
phương trình:
A.
1 2 1
1 3 2

x y z
. B.
1 2 1
1 2 1

x y z
.
C.
1 2 1
1 3 2

x y z
. D.
2 1 3
1 3 2

x y z
.
ng dn gii
Đưng thng
AB
đi qua
1; 2;1A
và nhn
(1;3;2)AB
làm mt vectơ chỉ phương nên có
phương trình:
1 2 1
1 3 2

x y z
Chọn đáp án A.
VD 10. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm
(1;2;3)M
(3;0;0)N
A.
1
24
35



xt
yt
zt
. B.
3
02
03



xt
yt
zt
. C.
12
22
33



xt
yt
zt
. D.
32
02
03



xt
yt
zt
.
ng dn gii
Ta có véctơ
2; 2; 3
MN
là một véctơ chỉ phương của đường thng
MN
Chọn đáp án D.
VD 11. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm
(1; 2; 3)A
(3;0;1)B
A.
1
24
35



xt
yt
zt
. B.
3
0
12



xt
yt
zt
. C.
12
22
33



xt
yt
zt
. D.
32
02
03



xt
yt
zt
.
ng dn gii
Ta có véctơ
2;2;4
AB
nên một véctơ chỉ phương của đường thng
AB
1;1;2
u
Chọn đáp án B.
VD 12. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm
(1; 2; 3)A
(3;0;1)B
A.
1
24
35



xt
yt
zt
. B.
2
1
12

xt
yt
zt
. C.
12
22
33



xt
yt
zt
. D.
32
02
03



xt
yt
zt
.
ng dn gii
Ta có véctơ
2;2;4
AB
nên một véctơ chỉ phương của đường thng AB
1;1;2
u
Mt khác tọa độ trung điểm ca AB là điểm
2; 1; 1I
Chọn đáp án B.
Dạng 3. Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm
0
M
và song song với 1 đường thng
cho trước.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 89
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Phương pháp giải:
Véctơ chỉ phương của đường thng
u
Phương trình đường thng cần tìm đi qua điểm M và có véctơ chỉ phương cùng phương với
véctơ
u
VD 13. Trong không gian vi h to độ
,Oxyz
phương trình của đường thẳng đi qua điểm
2;1;2M
và song song vi trc
Ox
là:
A.
12
2

xt
yt
zt
. B.
2
1
2


x
yt
z
. C.
2
1
2
xt
y
z
. D.
2
1
2


xt
yt
zt
.
ng dn gii
Trc hoành Ox nhận véctơ đơn vị
(1;0;0)i
làm mt VTCP
Đưng thng
d
song song vi trục hoành cũng phải nhn
(1;0;0)i
làm VTCP luôn.
Ngoài ra
2;1;2Md
nên viết PTTS ca
d
ta chọn được phương án C
Chọn đáp án C.
VD 14. Phương trình tham số của đường thng
đi qua hai điểm
(1;2;3)M
và song song với đường
thng
d
phương trình
1
34
15


xt
yt
zt
A.
1
24
35



xt
yt
zt
. B.
3
04
05



xt
yt
zt
. C.
1
24
35

xt
yt
zt
. D.
3
04
05



xt
yt
zt
.
ng dn gii
Ta có véctơ
1; 4; 5
u
là một véctơ chỉ phương của đường thng d
d
nên véctơ
1; 4; 5
u
cũng là một véctơ chỉ phương của đường thng
Chọn đáp án A.
VD 15. Phương trình tham số của đường thng
đi qua hai điểm
(1;1;1)M
và song song với đường
thng
d
phương trình
1
34
15


xt
yt
zt
A.
1
14
15



xt
yt
zt
. B.
1
14
15



xt
yt
zt
. C.
1
14
15



xt
yt
zt
. D.
3
14
15



xt
yt
zt
.
ng dn gii
Ta có véctơ
1; 4; 5
u
là một véctơ chỉ phương của đường thng d
d
nên véctơ
1;4;5
a
cũng là một véctơ chỉ phương của đường thng
Chọn đáp án B.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 90
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
VD 16. Phương trình tham số của đường thng
đi qua hai điểm
(1;1;1)M
và song song với đường
thng d có phương trình
1
3
12



xt
y
zt
A.
12
1
1


xt
y
zt
B.
1
1
12


xt
y
zt
C.
12
1
14


xt
y
zt
D.
13
14
15



xt
yt
zt
ng dn gii
Ta có véctơ
1;0; 2
u
một véctơ chỉ phương của đường thng d
d
nên véctơ
2;0;4
a
cũng là một véctơ chỉ phương của đường thng
Chọn đáp án C.
Dạng 4. Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm
0
M
và vuông góc vi 1 mt phng
()P
cho trước.
Phương pháp giải:
Véctơ pháp tuyến ca mt phng
()P
n
Phương trình đường thng cần tìm đi qua điểm
0
M
và có véctơ chỉ phương cùng phương
với véctơ
n
VD 17. Trong không gian vi h to độ
,Oxyz
gi
là đường thẳng đi qua điểm
2;0; 3M
vuông góc vi mt phng
:2 3 5 4 0
xyz
. Phương trình chính tắc ca
là:
A.
23
1 3 5


x y z
. B.
23
2 3 5


x y z
.
C.
23
2 3 5


x y z
. D.
23
2 3 5


x y z
.
ng dn gii
:2 3 5 4 0
xyz
VTPT
2; 3;5

n
Do
()

nên
nhn
n
làm mt VTCP.
Ngoài ra,
2;0; 3 M
nên phương trình chính tắc ca
23
:
2 3 5

x y z
Chọn đáp án C.
VD 18. Phương trình tham số của đường thng
đi qua hai điểm
(1;2;3)M
và vuông góc vi mt
phng
P
phương trình
4 5 3 0 x y z
A.
1
24
35



xt
yt
zt
B.
1
24
35



xt
yt
zt
C.
1
24
35

xt
yt
zt
D.
1
24
35



xt
yt
zt
ng dn gii
Ta có véctơ
1; 4; 5
n
là một véctơ pháp tuyến ca mt phng (P)
() P
nên véctơ
1; 4; 5
n
cũng là một véctơ chỉ phương của đường thng
Chọn đáp án A.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 91
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
VD 19. Phương trình tham số của đường thng
đi qua hai điểm
(1;2;3)M
và vuông góc vi mt
phng
P
phương trình
5 3 0 xz
A.
1
2
35


xt
y
zt
B.
1
2
35


xt
y
zt
C.
1
2
35


xt
y
zt
D.
1
2
35


xt
y
zt
ng dn gii
Ta có véctơ
1;0; 5
n
là một véctơ pháp tuyến ca mt phng
P
() P
nên véctơ
1;0;5
u
cũng là một véctơ chỉ phương của đường thng
Chọn đáp án A.
VD 20. Phương trình tham số của đường thng
đi qua hai điểm
(1;2;3)M
và vuông góc vi mt
phng
Oxy
A.
1
2
3

xt
y
z
B.
1
2
3

x
yt
z
C.
1
2
3

x
y
zt
D.
1
24
35



xt
yt
zt
ng dn gii
Ta có véctơ
0;0;1
k
là một véctơ pháp tuyến ca mt phng Oxy
() Oxy
nên véctơ
0;0; 1
n
cũng là một véctơ chỉ phương của đường thng
Chọn đáp án C.
Dạng 5. Phương trình giao tuyến ca hai mt phng.
Phương pháp giải:
Cách 1:
Đặt 1 n là
t
gii h phương trình theo
t
Cách 2:
Véctơ chỉ phương của đường thẳng chính là tích có hướng của 2 véctơ pháp tuyến 2 mt
phng
Chọn 1 điểm thuc c 2 mt phẳng chính là 1 điểm thuộc đường thng.
VD 21. Phương trình tham số của đường thng
là giao tuyến ca hai mt phẳng có phương trình
( ): 2 1 0x y z
( '): 2 3 0x y z
A.
55
23

xt
yt
zt
B.
55
23

xt
yt
zt
C.
55
23

xt
yt
zt
D.
1
24
35



xt
yt
zt
ng dn gii
Ta có phương trình tổng quát của đường thng
2 1 0
2 3 0
x y z
x y z
Đặt
zt
ri tìm
,xy
theo
t
Chọn đáp án A.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 92
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
VD 22. Phương trình tham số của đường thng
là giao tuyến ca hai mt phẳng có phương trình
( ):2 2 4 0x y z
( '):2 5 0x y z
A.
14
62


xt
yt
zt
B.
14
62


xt
yt
zt
C.
14
62


xt
yt
zt
D.
14
62

xt
yt
zt
ng dn gii
Ta có phương trình tổng quát của đường thng
2 2 4 0
2 5 0
x y z
x y z
Đặt
xt
ri tìm
;yz
theo
t
Chọn đáp án D.
VD 23. Phương trình tham số của đường thng
là giao tuyến ca hai mt phẳng có phương trình
( ): 0
xy
( ):2 15 0
x y z
A.
15 3


xt
yt
zt
B.
15 3


xt
yt
zt
C.
15 3

xt
yt
zt
D.
15 3



xt
yt
zt
ng dn gii
Ta có phương trình tổng quát của đường thng
0
2 15 0

xy
x y z
Đặt
xt
ri tìm
;yz
theo
t
Chọn đáp án A.
Dạng 6. Phương trình đường thng
d
đi qua 1 điểm
0
M
và vuông góc với 2 đường thng
12
;dd
không
song song.
Phương pháp giải:
Véctơ chỉ phương của đường thng
d
12
;


u u u
Phương trình đường thng cần tìm đi qua
0
M
và có véc tơ chỉ phương
u
VD 24. Cho hai đường thng
12
;dd
lần lượt có phương trình
1
: 1 4
66

xt
d y t
zt
2
12
:
2 1 5


x y z
d
. Phương trình chính tắc của đường thng
3
d
đi qua
1; 1;2M
vuông góc vi c
1
d
2
d
A.
1 14
1 17
29


xt
yt
zt
B.
1 14
1 17
29


xt
yt
zt
C.
1 14
1 17
29


xt
yt
zt
D.
1 14
1 17
29


xt
yt
zt
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 93
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
ng dn gii
Ta có: véctơ chỉ phương của
3
d
3 1 2
; 14;17;9



u u u
Chọn đáp án B.
VD 25. Cho hai đường thng
12
;dd
lần lượt có phương trình
1
: 1 4
26


xt
d y t
zt
2
2
:1
25


xt
d y t
zt
. Phương trình chính tắc của đường thng
3
d
đi qua
1; 1;2M
vuông góc vi c
1
d
2
d
A.
1 14
1 17
29


xt
yt
zt
B.
1 14
1 17
29


xt
yt
zt
C.
1 14
1 17
29


xt
yt
zt
D.
1 14
1 17
29


xt
yt
zt
ng dn gii
Ta có: véctơ chỉ phương của
3
d
3 1 2
; 14;17;9



u u u
Chọn đáp án A.
VD 26. Cho hai đường thng
12
;dd
lần lượt có phương trình
1
:1
2


xt
d y t
zt
2
2
:1
2

xt
d y t
zt
. Phương trình chính tắc của đường thng
3
d
đi qua
1; 1;2M
vuông góc vi c
1
d
2
d
A.
12
13
21


xt
yt
zt
B.
12
13
21


xt
yt
zt
C.
12
13
21


xt
yt
zt
D.
12
13
21


xt
yt
zt
ng dn gii
Ta có: véctơ chỉ phương của
3
d
3 1 2
; 2;3; 1


u u u
Chọn đáp án C.
Dạng 7. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của 1 điểm
0
M
lên mt mt phng
()
cho trước. Tìm ta
độ điểm đối xng vi một điểm qua 1 mt phẳng cho trước.
Phương pháp giải:
Viết phương trình đường thng
d
đi qua điểm
0
M
và vuông góc vi
()
Tọa độ H hình chiếu của điểm
0
M
lên mt phng
()
là nghim ca h phương trình
()
d
Đim M’điểm đối xng của điểm
0
M
qua mt phng
()
suy ra H là trung điểm ca
0
'MM
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 94
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
VD 27. Cho điểm
1;4;2M
và mt phng
( ): 2 1 0
x y z
. Tọa độ điểm H là hình chiếu vuông
góc của điểm
M
lên mt phng
()
A.
1;2;0
B.
1;2;0
C.
1; 2;0
D.
1;2;1
ng dn gii
Ta có:
Phương trình đường thng
d
đi qua điểm
1;4;2M
và vuông góc vi mt phng
()
là:
1
42
2



xt
yt
zt
. Tọa độ điểm
H
là nghim ca h phương trình
1
42
2
x 2 y z 1 0



xt
yt
zt
Chọn đáp án A.
VD 28. Cho điểm
1; 1;2M
và mt phng
( ):2 2 11 0
x y z
. Tọa độ điểm
H
là hình chiếu
vuông góc của điểm
M
lên mt phng
()
A.
3; 1; 2
B.
3;1; 2
C.
3;1; 2
D.
3;1;2
ng dn gii
Ta có:
Phương trình đường thng d đi qua điểm
và vuông góc vi mt phng
()
là:
12
1
22


xt
yt
zt
.
Tọa độ điểm
H
là nghim ca h phương trình
12
1
22
2 2 11 0


xt
yt
zt
x y z
Chọn đáp án C.
VD 29. Cho điểm
1;4;2M
và mt phng
( ): 2 1 0
x y z
. Tọa độ điểm
M
là điểm đối xng
của điểm
M
qua mt phng
()
A.
1;2;1
B.
3;0;2
C.
3;0; 2
D.
3;0;2
ng dn gii
Ta có:
Phương trình đường thng d đi qua điểm
1;4;2M
và vuông góc vi mt phng
()
là:
1
42
2



xt
yt
zt
. Tọa độ hình chiếu ca M trên
()
nghim ca h phương trình
1
42
2
2 1 0



xt
yt
zt
x y z
H
là trung điểm ca
MM
nên tọa độ của điểm là
3;0;2
M
Chọn đáp án D.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 95
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
VD 30. Cho điểm
1; 1;2M
và mt phng
( ):2 2 11 0
x y z
.
M
là điểm đối xng của điểm
M
qua mt phng
()
A.
7;3; 6
B.
7;3; 6
C.
7; 3; 6
D.
7;3;6
ng dn gii
Ta có:
Phương trình đường thng
d
đi qua điểm
và vuông góc vi mt phng
()
là:
12
1
22


xt
yt
zt
.
Tọa độ hình chiếu ca
M
trên
()
nghim ca h
12
1
22
2 2 11 0


xt
yt
zt
x y z
H
là trung điểm ca
MM
nên tọa độ của điểm là
7;3; 6
M
Chọn đáp án A.
Dạng 8. Hình chiếu của điểm
M
trên đường thng
d
Phương pháp giải:
Ly
.Hd
Tính
.MH
H
là hình chiếu ca
M
trên
d
.0
d
MH u
.
VD 31. Trong không gian
Oxyz
, cho đường thng
21
:
1 2 1
x y z
d


và điểm
1;2;7A
. Tìm to
độ điểm
H
là hình chiếu vuông góc ca
A
trên
?d
A.
4;5;2 .H
B.
2;1;0 .H
C.
3;3;1 .H
D.
1; 1; 1 .H 
ng dn gii:
Phương pháp trắc nghim:
Nhp vào máy tính:
1 1 2 2 1 7A B C
Sau đó: CALC tại
4, 5, 2A B C
ta được
60
loại đáp án A.
CALC ti
2, 1, 0A B C
ta được
60
loại đáp án B.
CALC ti
3, 3, 1A B C
ta được
0
chọn đáp án C.
CALC ti
1, 1, 1A B C
ta được
12 0
loại đáp án D.
Chọn đáp án C.
Phương pháp tự lun:
Đưng thng
d
có vectơ chỉ phương
1;2;1
d
u
.
H
là hình chiếu vuông góc ca
A
trên
d
Hd
2 ;1 2 ;H t t t
3 ; 1 2 ; 7AH t t t
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 96
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Ta có:
.0
d
AH u
1 3 2 1 2 1 7 0 1t t t t
Vy
3;3;1H
.
Chọn đáp án C.
VD 32. Trong không gian
Oxyz
, tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm
2; 1;1M 
trên đường thng
12
:
1 2 1
x y z
d


:
A.
1;0;2 .
B.
2;2;3 .
C.
0; 2;1 .
D.
1; 4;0 .
ng dn gii:
Phương pháp trắc nghim:
Nhp vào máy tính:
1 2 2 1 1 1A B C
Sau đó: CALC tại
1, 0, 2A B C
ta được
60
loại đáp án A.
CALC ti
2, 2, 3A B C
ta được
12 0
loại đáp án B.
CALC ti
0, 2, 1A B C
ta được
0
chọn đáp án C.
CALC ti
1, 4, 0A B C
ta được
60
loại đáp án D.
Chọn đáp án C.
Phương pháp tự lun:
Đưng thng
d
có vectơ chỉ phương
1;2;1
d
u
.
H
là hình chiếu vuông góc ca
A
trên
d
Hd
1 ;2 ;2H t t t
3 ;1 2 ; 1MH t t t
Ta có:
.0
d
MH u
1 3 2 1 2 1 1 0 1t t t t
Vy
0; 2;1H
.
Chọn đáp án C.
VD 33. Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
3; 5;2A
và đường thng
64
:2
12
xt
d y t
zt

. Hình chiếu
ca
A
lên
d
có tọa độ là:
A.
2; 3;1 .
B.
2; 3; 1 .
C.
2;3;1 .
D.
2; 4;3 .
ng dn gii
Phương pháp trắc nghim:
Nhp vào máy tính:
4 3 1 5 2 2A B C
Sau đó: CALC tại
2, 3, 1A B C
ta được
0
Chọn đáp án A.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 97
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
CALC ti
2, 3, 1A B C
ta được
40
loại đáp án B.
CALC ti
2, 3, 1A B C
ta được
60
loại đáp án C.
CALC ti
2, 4, 3A B C
ta được
21 0
loại đáp án D.
Chọn đáp án A.
Phương pháp tự lun:
Đưng thng
d
có vectơ chỉ phương
4; 1;2
d
u
.
Gi
H
là hình chiếu vuông góc ca
A
trên
d
Hd
6 4 ; 2 ; 1 2H t t t
3 4 ;3 ;2 3AH t t t
Ta có:
.0
d
AH u
4 3 4 1 3 2 2 3 0 1t t t t
Vy
2; 3;1H
.
Chọn đáp án A.
Dạng 9. Hình chiếu của đường thng
d
trên mt phng
.
Phương pháp giải:
Trường hp 1:
d
ct
.
Tìm giao điểm
A
ca
d
.
Ly
M
c th trên
d
. Tìm hình chiếu
M
ca
M
trên
.
Hình chiếu
d
là đường thng
AM
.
Trường hp 2:
.d
Ly
M
c th trên
d
. Tìm hình chiếu
M
ca
M
trên
d
.
Hình chiếu
d
là đường thng qua
M
và song song vi
.d
VD 34. Trong không gian
Oxyz
cho đường thng
13
:
2 1 1
x y z
d


: 10 0P x y z
. Viết
phương trình hình chiếu
d
ca
d
lên
P
.
ng dn gii
Mt phng
P
có vectơ pháp tuyến
1;1;1n
, ly
0;1;3Md
.
To độ giao điểm
A
ca
d
P
là nghim ca h
6
13
2 6; 2;6
2 1 1
10 0
6
x
x y z
yA
x y z
z





Gi
H
là hình chiếu ca
M
trên
P
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 98
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Đưng thng
MH
đi qua
0;1;3M
và nhn
1;1;1n
làm vectơ chỉ phương nên có phương
trình:
1
3
xt
yt
zt


To độ
H
tho h
2
13
2;3;5
35
10 0 2
x t x
y t y
H
z t z
x y z t









Đưng thng
d
qua
2;3;5H
và nh
4;5; 1AH
làm vectơ ch phương nên có phương
trình:
24
35
5
xt
yt
zt



VD 35. Trong không gian
Oxyz
cho đường thng
1 1 2
:
2 1 2
x y z
d

: 2 2 4 0P x y z
.
Viết phương trình hình chiếu
d
ca
d
lên
P
.
ng dn gii
Mt phng
P
có vectơ pháp tuyến
1;2; 2n 
Đưng thng
d
đi qua điểm
1; 1;2M
và có vectơ chỉ phương
2;1;2u
Nhn thy
dP
nên gi
H
là hình chiếu cu
M
trên
P
thì
d
qua
H
dd
.
Đưng thng
MH
đi qua
1; 1;2M
và nhn
1;2; 2n 
làm vectơ chỉ phương nên có
phương trình:
1
12
22
xt
yt
zt


To độ
H
tho h
12
1 2 1
2;1;0
2 2 0
2 2 4 0 1
x t x
y t y
H
z t z
x y z t








Đưng thng
d
qua
2;1;0H
và nhn
2;1;2u
làm vectơ ch phương nên có pơng
tnh:
22
1
02
xt
yt
zt



VD 36. Trong không gian
Oxyz
cho đường thng
4 1 2
:
3 1 4
x y z
d

: 2 13 0P x y z
.
Viết phương trình đường thng
d
đối xng vi
d
qua
P
.
ng dn gii
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 99
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Mt phng
P
có vectơ pháp tuyến
1; 1;2n 
, ly
4;1;2Md
.
To độ giao điểm
A
ca
d
P
là nghim ca h
1
4 1 2
0 1;0;6
3 1 4
2 13 0
6
x
x y z
yA
x y z
z




Gi
H
là hình chiếu ca
M
trên
P
.
Đưng thng
MH
đi qua
4;1;2M
và nhn
1; 1;2n 
làm vectơ chỉ phương nên có
phương trình:
4
1
22
xt
yt
zt



To độ
H
tho h
45
10
5;0;4
2 2 4
2 13 0 1
x t x
y t y
H
z t z
x y z t








Gi
M
đối xng vi
M
qua
P
H
là trung điểm
MM
6; 1;6M

Đưng thng
d
qua
6; 1;6M
và nhn
5; 1;0AM

làm vectơ chỉ phương nên có
phương trình:
65
1
6
xt
yt
z

Dạng 10. Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thng chéo nhau
1
d
2
.d
Phương pháp gii:
Chuyn
12
,dd
v dng tham s.
Gi s
,AB
là chân đường vuông góc chung ca
12
,dd
.
Tìm to độ
,AB
theo tham s ca
12
,dd
.
T điều kin
12
,d d d d
suy ra
1
2
d
d
AB u
AB u
to độ ca
A
B
.
Đưng thng
d
chính là đường thẳng đi qua
A
và nhn
AB
làm VTCP.
VD 37. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho hai đường thng
1
d
2
d
chéo nhau có phương
trình
1
1
: 10 2
x
d y t
zt

,
2
3
: 3 2
2
xt
d y t
z


. Gi là đường thng vuông góc chung ca
1
d
2
d
. Phương trình của là:
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 100
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
A.
2
177
3
98
17
6
49
xt
yt
zt
. B.
7
46
3
147
246
xt
yt
zt
. C.
tz
ty
tx
32
32
21
. D.
tz
ty
tx
46
32
21
.
ng dn gii
Phương pháp trắc nghim:
Nhp vào máy tính:
0 2 1A B C
Sau đó: CALC tại
2, 3, 6A B C
ta được
0
chọn đáp án A.
CALC ti
46, 147, 246A B C
ta được
48 0
loại đáp án B.
CALC ti
2, 3, 3A B C
ta được
30
loại đáp án C.
CALC ti
2, 3, 4A B C
ta được
10 0
loại đáp án D.
Chọn đáp án A.
Phương pháp tự lun:
1
d
có VTCP là
1
0;2;1u
,
2
d
có VTCP là
1
3; 2;0u 
.
Gi
1 1 1
1;10 2 ;M t t d
,
2 2 2
3 ;3 2 ; 2N t t d
.
Suy ra
2 2 1 1
3 1; 2 2 7; 2
MN t t t t
Ta có:
1
1 1 2
12
2
2
164
. 0 5 4 16
49
4 13 11 9
.0
49
t
MN u t t
tt
MN u
t



Do đó:
162 164
1; ; ,
49 49
M



27 129
; ; 2
49 49
N



,
11
2;3; 6
49
MN
T đó suy ra phương trình của
MN
. Chn A.
Cách làm trc nghim:
có VTCP là
12
, 2;3; 6u u u
.
Chọn đáp án A.
VD 38. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, gi là đường vuông góc chung của hai đưng thng:
1
2
:
1
x
d y t
zt


2
4
7
:
4
11
4
xt
d y t
zt


. Phương trình của là:
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 101
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
A.
85
1
xt
yt
zt
B.
1
22
32
xt
yt
zt
C.
3
3
2
2
1
1
zyx
D.
2
3
2
2
1
1
zyx
ng dn gii
Phương pháp trắc nghim:
có VTCP là
12
, 2;4;4 2 1; 2; 2u u u
. Chn A hoc D.
Để loi A hoc D, ta cn xét thêm nó có ct vi
1
d
hay không bng cách gii h.
Chọn đáp án B.
Phương pháp tự lun:
1
d
có VTCP là
1
0; 1;1u 
,
2
d
có VTCP là
1
4;1;1u
.
Gi
1 1 1
2; ;1M t t d
,
2 2 2 2
7 11
4 ; ;
44
N t t t d



.
Suy ra
2 2 1 2 1
77
4 2; ;
44
MN t t t t t


.
Ta có:
1
1
2
2
0
.0
1
.0
4
t
MN u
t
MN u


Do đó:
2;0;1 ,M
1;2;3N
,
1;2;2 1; 2; 2MN
T đó suy ra phương trình của
MN
.
Chọn đáp án B.
VD 39. Trong không gian
Oxyz
cho hai đường thng chéo nhau
34
:2
1
xt
d y t
zt

6
:1
22
xt
d y t
zt



.
Phương trình nào sau đây là phương trình đường vuông góc chung ca
d
.d
A.
1 1 1
.
1 2 2
x y z

B.
1 1 1
1 2 2
x y z

.
C.
11
1 2 2
x y z

. D.
11
.
1 2 2
x y z

ng dn gii
Đưng thng
d
d
có vectơ chỉ phương lần lượt là
4;1;1a 
6;1;2b 
.
Ly
3 4 ; 2 ; 1 , 6 ;1 ;2 2M t t t d N t t t d
.
6 4 3; 3;2 3MN t t t t t t
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 102
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
MN
là đoạn vuông góc chung
. 0 3 2 2 0 1
41 27 27 0 0
.0
MN a MN a t t t
t t t
MN b MN b






1; 1;0 , 0;1;2MN
Phương trình
MN
là phương trình đường vuông góc chung ca
d
d
nên có phương trình:
11
1 2 2
x y z

.
Chọn đáp án C.
Dạng 11. Viết phương trình đường thng
đi qua điểm
0
M
cắt đường thng
d
và tho mãn điều kin
cho trước.
Điu kin cho trước là:
Vuông góc với đường thng
1
cho trước.
Song song vi mt mt phng
P
cho trước.
Phương pháp gii:
Gi s
cắt đường thng
d
ti
M
M
có to độ ph thuc tham s
t
ca
d
.
T điều kin cho trước dẫn đến một phương trình bậc nht theo tham s
t
to độ
M
Viết phương trình đường thng
đi qua
0
M
và có VTCP
o
MM
.
VD 40. Trong không gian
Oxyz
cho điểm
2;0;1A
và đường thng
12
:
1 2 1
x y z
d


. Phương trình
đường thẳng đi qua điểm
A
, vuông góc và cắt đường thng
d
là:
A.
2
0
2
xt
y
zt


. B.
2
1
1
xt
y
zt


. C.
2
0
1
xt
y
zt


. D.
1
0
1
xt
y
zt


.
ng dn gii
Đưng thng
d
có vectơ chỉ phương
1;2;1u
Gi
là đường thẳng đi qua điểm
A
, vuông góc và ct
d
ti
M
1 ;2 ;2M t t m
.
.0d u AM
4 0 0 1;0;2t t M
.
Phương trình
cn tìm là:
2
0
1
xt
y
zt


Chọn đáp án C.
VD 41. Trong không gian
Oxyz
, cho hai đường thng
1
2 2 3
:
1 1 1
x y z
d

;
2
1
: 1 2
1
xt
d y t
zt


điểm
(1;2;2)A
. Đường thng
đi qua
A
, vuông góc vi
1
d
và ct
2
d
có phương trình là
A.
1 2 2
2 3 1
x y z


. B.
1 2 2
1 3 4
x y z


.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 103
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
C.
1 2 2
1 3 5
x y z

. D.
1 2 2
1 3 4
x y z

.
ng dn gii
Đưng thng
1
d
có vectơ chỉ phương
1;1;1u
Gi
là đường thẳng đi qua điểm
A
và ct
2
d
ti
M
1 ;1 2 ; 1M t t t
.
;2 1; 3AM t t t
1
.0d u AM
2 4 2 1;5;1t t M
.
Phương trình
cần tìm đi qua
1;2;2A
và nhn
2;3; 1AM
làm vectơ chỉ phương nên
có phương trình:
122
2 3 1
x y z


Chọn đáp án A.
VD 42. Trong không gian
Oxyz
, cho đường thng
1 1 1
:
1 2 1
x y z
d

, mt phng
( ) : 2 3 0x y z
và điểm
(1;2; 1)A
. Đường thng
qua
A
ct
d
và song song vi
()mp
có phương trình là
A.
1 2 1
1 2 1
x y z

. B.
1 2 1
1 3 1
x y z


.
C.
1 2 1
2 2 2
x y z

. D.
1 2 1
1 1 3
x y z

.
ng dn gii
Mt phng
có vectơ pháp tuyến
2;1; 1n 
Gi
là đường thẳng đi qua điểm
A
và ct
d
ti
M
1 ;1 2 ; 1M t t t
.
;2 1;AM t t t
.0n AM
1 1 2; 1; 2t t M
.
Phương trình
cần tìm đi qua
1;2; 1A
và nhn
1; 3; 1AM
làm vectơ chỉ phương nên
có phương trình:
1 2 1
1 3 1
x y z


Chọn đáp án B.
Dạng 12. Viết phương trình đường thng
cắt hai đường thng
1
d
2
d
và tho mãn điều kin cho
trước.
Điu kiện cho trước là:
Đi qua một điểm
M
cho trước không thuc
1
d
2
d
.
Song song với đường thng
d
cho trước.
Vuông góc vi mt phng
P
cho trước.
Phương pháp gii:
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 104
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Gi s
ct
1
d
2
d
lần lượt ti
A
B
, khi đó
12
,A d B d
.
T điều kiện cho trước xác định được to độ điểm
,AB
.
Khi đó đường thng
là đường thẳng đi qua
A
và nhận vectơ
u AB

làm VTCP.
C th:
Nếu điều kiện là đi qua điểm
M
thì
, ,MAB
thng hàng.
Nếu điều kin song song với đường thng
d
thì
AB
cùng phương với
d
u
.
Nếu điều kin vuông góc vi mt phng
P
thì
AB
cùng phương với
P
n
.
VD 43. Trong không gian
Oxyz
, cho hai đường thẳng có phương trình
1
23
:1
32
xz
dy

2
3 7 1
:.
1 2 1
x y z
d


Viết phương trình đường thng ct
1
d
2
d
đồng thời đi qua điểm
3;10;1M
.
ng dn gii
Gọi đường thng cn tìm là
d
và gi s
d
cắt hai đường thng
1
d
2
d
lần lượt ti
1
2 3 ; 1 ; 3 2A a a a d
2
3 ;7 2 ;1 bB b b d
Do đường thng
d
đi qua
3;10;1M
MA kMB
3 1; 11; 4 2MA a a a
;
; 2 3;MB b b b
3 1 1
11 2 3 2
4 2 1
a kb a
a kb k k
a kb b





Phương trình đường thng
d
là:
32
10 10
12
xt
yt
zt



VD 44. Trong không gian
Oxyz
, viết phương trình đường thng song song với đường thng
1
d
và ct
c hai đường thng
2
d
3
d
, biết phương trình của
1 2 3
,,d d d
là:
1
1
: 2 6
1
x
d y t
zt

2
1 2 2
:
1 4 3
x y z
d

3
12
:3
xt
d y t
zt

ng dn gii
Đưng thng
1
d
có vectơ chỉ phương
0;6; 1u 
Gọi đường thng cn tìm là
d
và gi s
d
cắt hai đường thng
2
d
3
d
lần lượt ti
2
1 ; 2 4 ;2 3A a a a d
3
1 2 ;3 ;B b b b d
2 2; 4 5; 3 2AB b a b a b a
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 105
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Do đường thng
d
song song vi
1
d
AB ku
2 2 .0 0
4 5 .6 1
3 2 1
b a k a
b a k k
b a k b





1; 2;2 ,A
1;4;1B
Phương trình đường thng
d
đi qua
A
và có vectơ chỉ phương là
0;6; 1AB 
nên có
phương trình
1
26
2
x
yt
zt

VD 45. Trong không gian toạn độ
Oxyz
, cho mt phng
: 6 3 1 0P x y z
và hai đường thng
1
112
:
2 3 1
x y z
d

2
22
:
1 5 2
x y z
d


. Viết phương trình đường thng
d
vuông
góc vi
P
đồng thi cắt hai đường thng
1
d
2
.d
ng dn gii
Mt phng
P
có vectơ pháp tuyến
1; 6; 3n
Gọi đường thng cn tìm là
d
và gi s
d
cắt hai đường thng
1
d
2
d
lần lượt ti
1
1 2 ;1 3 ;2A a a a d
2
2 ; 2 5 ; 2B b b b d
2 3;5 3 3; 2 2AB b a b a b a
Do đường thng
d
vuông góc vi
P
AB kn
2 3 1
5 3 3 6 0
2 2 3 1
b a k a
b a k b
b a k k





1;4;3 , 2; 2;0AB
Phương trình đường thng
d
đi qua
A
và có vectơ chỉ phương là
1; 6; 3AB
nên có
phương trình
1
46
33
xt
yt
zt



Dạng 13. Viết phương trình đường thng
nm trong mt phng
P
và cắt hai đường thng
1
d
2
.d
Phương pháp giải:
Đưng thng
nm trong mt phng
P
và cắt đường thng
1
d
ti
1
A A P d
Đưng thng
nm trong mt phng
P
và cắt đường thng
2
d
ti
2
B B P d
Tìm to độ điểm
A
B
, tính
AB
Đưng thng
đi qua
A
và nhn
AB
làm VTCP.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 106
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
VD 46. Viết phương trình của đường thng
nm trong mt phng
: 2 1 0
x y z
và ct hai
đường thng
1
1
:
1


xt
d y t
zt
2
2
: 1 2
4


xt
d y t
z
.
A.
11
1 2 1
x y z

. B.
11
1 3 1
x y z

.
C.
11
1 1 2
x y z

. D.
11
1 3 1
x y z


.
ng dn gii
Gi
A
là giao điểm ca
1
d
nên to độ điểm
A
tho h
10
1
1;0;1
10
2z 1 0 1









x t t
y t x
A
z t y
x y z
Gi
B
là giao điểm ca
2
d
nên to độ điểm
B
tho h
24
1 2 2
2;9;4
49
2z 1 0 4








x t t
y t x
B
zy
x y z
3;9;3AB 
Đưng thng
tho mãn bài toán đi qua
1;0;1A
và có VTCP
1
1; 3; 1
3
u AB
Phương trình chính tắc của đường thng
là:
11
1 3 1
x y z


.
Chọn đáp án D.
VD 47. Trong không gian toạn độ
Oxyz
, cho hai đường thng
1
1 1 1
:
2 1 1
x y z
d

,
2
1 2 1
:
1 1 2
x y z
d

và mt phng
: 2 2 0P x y z
. Phương trình chính tc ca
đường thng
nm trong
P
và ct c hai đường thng
12
,dd
A.
1 1 1
1 2 3
x y z

. B.
1 1 1
3 2 4
x y z

.
C.
1 1 1
3 2 4
x y z

. D.
1 1 1
1 2 2
x y z

.
ng dn gii
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 107
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Đưng thng
1
d
2
d
có phương trình tham s
1
12
:1
1
xt
d y t
zt


2
1
:2
12
xt
d y t
zt


.
Gi
A
là giao điểm ca
1
d
nên to độ điểm
A
tho h
1 2 0
11
1;1;1
11
2 z 2 0 1







x t t
y t x
A
z t y
x y z
Gi
B
là giao điểm ca
2
d
nên to độ điểm
B
tho h
11
22
2;3; 3
1 2 3
2 z 2 0 3







x t t
y t x
B
z t y
x y z
Đưng thng
tho mãn bài toán đi qua
1;1;1A
và có VTCP
3;2; 4u AB
nên có
phương trình chính tắc là:
1 1 1
3 2 4
x y z

.
Chọn đáp án C.
VD 48. Trong không gian toạn độ
Oxyz
, cho mt phng
: 3 2 7 0P x y z
và hai đường thng
1
2
:
1 2 3
x y z
d

2
43
:
1 1 2
x y z
d


. Phương trình đường thng
nm trong
P
ct
c
1
d
2
d
A.
1 4 3
2 1 1
x y z

. B.
1 4 3
1 1 2
x y z


.
C.
1 4 3
1 1 2
x y z

. D.
1 4 3
1 2 2
x y z

.
ng dn gii
Đưng thng
1
d
2
d
có phương trình tham số
1
: 2 2
3
xt
d y t
zt


2
4
:
32
xt
d y t
zt


Gi
A
là giao điểm ca
1
d
nên to độ điểm
A
tho h
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 108
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
1
2 2 1
1;4;3
34
3 2 7 0 3








x t t
y t x
A
z t y
x y z z
Gi
B
là giao điểm ca
2
d
nên to độ điểm
B
tho h
10
21
1;2; 1
1 2 2
3 2z 7 0 1







x t t
y t x
B
z t y
x y z
2; 2; 4AB
Đưng thng
tho mãn bài toán đi qua
1;4;3A
và có VTCP
1
1; 1; 2
2
u AB
nên
có phương trình chính tắc là:
1 4 3
1 1 2
x y z


.
Chọn đáp án B.
Dạng 14. Viết phương trình đường thng
đi qua điểm
AP
, nm trong mt phng
P
và vuông
góc với đường thng
.d
Phương pháp gii:
Tìm VTCP ca
d
d
u
và VTPT ca
P
P
n
.
Đưng thng
có VTCP là
;
dP
u u n


.
Viết phương trình đường thng
đi qua
A
và có VTCP vừa tìm được trên.
VD 49. Trong không gian to độ
Oxyz
, cho mt phng
: 2 2 2 0P x y z
đường thng
1
:2
1
xt
d y t
z


. Đường thng
đi qua
1;2;1M
nm trong
P
và vuông góc vi
d
có phương
trình:
A.
1 2 1
4 2 3
x y z


. B.
1 2 1
4 2 3
x y z


.
C.
1 2 1
4 2 3
x y z

. D.
1 2 1
4 2 3
x y z

.
ng dn gii
Đưng thng
d
vectơ chỉ phương
1;2;0
d
u
, mt phng
P
vectơ pháp tuyến
2;1; 2n 
.
Đưng thng
nm trong
P
vuông góc vi
d
nên VTCP
; 4;2; 3 4; 2;3
d
u u n


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 109
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
đi qua
1;2;1M
và có VTCP
4; 2;3u 
nên có phương trình
1 2 1
4 2 3
x y z

.
Chọn đáp án D.
VD 50. Trong không gian to độ
Oxyz
, cho mt phng
: 2 2 0P x y z
đường thng
12
:
23
xt
d y t
zt

. Đường thng
đi qua giao điểm ca
P
d
, vuông góc vi
d
nm trong
P
có phương trình:
A.
1
12
1
xt
yt
z
. B.
1
12
1
xt
yt
z
. C.
1
22
3
xt
yt
z



. D.
1
12
1
xt
yt
z
.
ng dn gii
Gi
M
giao điểm ca
d
P
suy ra to độ
M
tho h:
12
23
2 2 0
xt
yt
zt
x y z

1
1
1
1
t
x
y
z



1; 1;1M
Đưng thng
d
vectơ chỉ phương
2;1; 3
d
u 
, mt phng
P
vectơ pháp tuyến
2;1;1n
.
Đưng thng
nm trong
P
vuông góc vi
d
nên VTCP
; 4; 8;0 4 1; 2;0
d
u u n


đi qua
1; 1;1M 
và có VTCP
1; 2;0u 
nên có phương trình
1
12
1
xt
yt
z
Chọn đáp án D.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 110
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Dạng 15. V trí tương đối của đường thng và mt phng.
Phương pháp giải:
Cho mt phng
:0 P Ax By Cz D
và đường thng
0
0
0
,: .
x x at
y y bt t
z z ct
d


Xét h phương trình
0
0
0
1
2
3
0 4



x x at
y y bt
z z ct
Ax By Cz D
Thay
1 , 2 , 3
vào
4
ta phương trình :
0 0 0
0 *A x at B y bt C z ct D
TH1:
*
vô nghim thì
d
P
không có giao điểm hay
d
P
song song
TH2:
*
có 1 nghim
t
duy nht thì
d
và
P
có 1 giao điểm hay
d
và
P
ct nhau ti 1 điểm
TH3:
*
có vô s nghim thì
d
và
P
có vô s giao điểm hay
d
nm trong mt phng
P
Chú ý:
1. Trong trưng hp
d P
hoc
dP
thì VTCP ca
d
và VTPT ca
P
vuông góc
2. Khi
d P
thì khong cách gia d
P
chính khong cách t một điểm trên
d
đến
mt phng
P
VD 51. (Bài 14 SGK trang 97) Cho mt phng
:2 3 1 0x y z
đường thng
d
phương
trình tham s:
3
2 2 .
1

xt
yt
z
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
A.
;d
B.
d
ct
;
C.
;d
D.
.d
ng dn gii
Cách 1: Xét phương trình
2 3 2 2 3.1 1 0 0 0tt
(luôn đúng với mi
t
) vy
d
có vô s điểm chung hay
.d
Chọn đáp án D.
Cách 2: Ta có vectơ pháp tuyến ca
:2 3 1 0x y z
2;1;3n
,vectơ chỉ phương
đường thng
d
1; 2;0u 
. 2 2 0nu n u
(loi A và B).
Trên đường thng
d
ly
3;2;1M
, thay tọa độ
M
vào phương trình
ta được
6 2 3 1 0
đúng vậy
.d
Chọn đáp án D.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 111
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
VD 52. (Bài tp 3.71 - SBTCB trang 119) Tọa độ giao điểm
M
của đường thng
12 9 1
:
4 3 1
x y z
d

và mt phng
:3 5 2 0x y z
là:
A.
1;0;1 ;
B.
0;0; 2 ;
C.
1;1;6 ;
D.
12;9;1 .
ng dn gii
Phương trình tham số ca
d
là:
12 4
93
1.
xt
yt
zt



Thay
,,x y z
phương trình trên vào phương trình tổng quát ca
ta được:
3 12 4 5 9 3 1 2 0 26 78 3t t t t t
. Vy
d
ct
và giao điểm là
0
0;0; 2 .M
Chọn đáp án B.
VD 53. (Bài 3.72 SBTCB trang 120) Cho mt phng
: 3 1 0x y z
và đường thng
d
phương trình tham số:
1
2
1 2 .
xt
yt
zt



Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
A.
;d
B.
d
ct
;
C.
;d
D.
.d
ng dn gii
Xét phương trình
1 3 2 1. 1 2 1 0 0. 3t t t t
(phương trình vô nghiệm) vy
d
không có điểm chung hay
.d
Chọn đáp án A.
VD 54. (Bài 3.73 SBTCB trang 120) Cho đường thng
1 1 2
:
1 2 3
x y z
d

và mt phng
: 4 0.x y z
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
A.
d
ct
;
B.
;d
C.
;d
D.
.d
ng dn gii
Phương trình tham số ca
d
là:
1
12
2 3 .
xt
yt
zt



Xét phương trình
1 1 2 2 3 4 0 0. 0t t t t
(phương trình vô số nghim) vy
.d
Chọn đáp án C.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 112
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Dạng 16. V trí tương đối gia hai đường thng.
Phương pháp giải:
Cho hai đường thng:
1
đi qua
A
và có vectơ chỉ phương
a
.
2
đi qua
B
và có vectơ chỉ phương
b
.
Ta có các trường hp sau:
1
2
cùng nm trong mt mp
, . 0



a b AB
1
2
ct nhau
,0
, . 0

ab
a b AB
1
2
song song vi nhau
,0
,0


ab
AB b
1
2
trùng nhau
,0
,0


ab
AB b
1
2
chéo nhau
, . 0



a b AB
VD 55. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho hai đường thng
1
1 1 2
:
1 1 4

x y z
2
2
: 1 2
18
xt
yt
zt
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A.
12
//
. B.
12
. C.
12
. D.
1
2
chéo nhau.
ng dn gii
Ta có :
1
đi qua điểm
1;1;2A
và có vectơ chỉ phương
1; 1; 4u 
2
đi qua điểm
(0;1; 1)B
và có vectơ ch phương
12
1
,0
,0



uu
u AB
nên
12

.
u 2; 2; 8
Chn đáp án A.
VD 56. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho hai đường thng
1
d
2
d
cắt nhau có phương trình
1
1 7 3
:
2 1 4

x y z
d
2
63
: 1 2
2

xt
d y t
zt
. Tọa độ giao điểm ca
1
d
2
d
là:
A.
3;5; 5
. B.
3;5; 5
. C.
3;2; 5
. D.
3; 5;5
.
ng dn gii
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 113
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Phương trình tham số của đường thng
1
12
: 7 ;
34


xs
d y s s
zs
Xét h phương trình:
2 3 5 (1)
2 8 (2)
4 5 (3)
st
st
st

. T (1) và (2) ta có:
2
3
s
t


tha mãn (3), tc là
1
d
2
d
ct nhau. Khi đó thế
3t 
vào phương trình
2
d
ta được
3;5; 5
Chọn đáp án A.
VD 57. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho hai đường thng:
1
:
23
x y z
d
m

2
15
:
3 2 1
x y z
d


. Vi giá tr nào ca m thì
1
d
2
d
ct nhau?
A.
1m
. B.
1m
. C.
2m
. D.
3m
.
ng dn gii
Phương trình tham số ca
1
2
: 3 ,
xs
d y s s
z ms
2
13
: 5 2 ,
xt
d y t t
zt
Để
1
d
2
d
ct nhau thì h phương trình sau có nghiệm:
3 2 1(1)
2 3 5 (2)
(3)
ts
ts
ms t


.
T (1) và (2) ta có:
1
1
t
s
. Thế
1
1
t
s
vào (3) ta được
1.m
Chn đáp án A.
VD 58. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho hai đường thng
1
:2
3
xt
d y t
zt



12
: 1 2
22
xt
d y t
zt



. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ?
A.
d
ct
B.
d
d
chéo nhau. C.
dd
. D.
dd
.
ng dn gii
Phương pháp tự lun :
Đưng thng
d
có VTCP
(1;1; 1)u 
.
Đưng thng
d
có VTCP
(2;2; 2)u

.
Ta thy
2uu
nên
,uu
là hai vectơ cùng phương. Suy ra
dd
hoc
dd
.
Mt khác, ly
(1;2;3)Md
, thay vào phương trình tham số của đường thng
d
ta được:
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 114
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
0
112
3
2 1 2
2
3 2 2
1
2
t
t
tt
t
t







(vô nghim). Suy ra
(1;2;3)Md
.
T đó suy ra
'dd
.
Chọn đáp án D.
Dạng 17. Khong cách t một điểm đến một đường thng.
Phương pháp giải:
Cho điểm
0 0 0
;;M x y z
và đường thng
0 0 0
:
x x y y z z
a b c
. Khong cách t
đến
d
. Ký hiu :
,dM
.
01
,
,


M M u
dM
u
VD 59. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho điểm
2;0;1M
và đường thng
d
có phương trình
12
1 2 1
x y z

. Khong cách t điểm
M
tới đường thng
d
bng
A.
12
. B.
3
. C.
2
. D.
12
6
.
ng dn gii
Phương pháp tự lun:
Gi
H
là hình chiếu ca
M
trên đường thng
d
thì
(1 ;2 ;2 )H d H t t t
.
Ta có:
( 1;2 ; 1)MH t t t
(1;2;1)u
là mt VTCP ca
d
.
. 0 1 4 1 0 0MH d MH u MH u t t t t
nên
(1;0;2)H
.
Khong cách t điểm
M
tới đường thng
d
bằng độ dài đoạn
MH
.
Ta có
2 2 2
( 1) 0 1 2MH MH
.
Chọn đáp án C.
Phương pháp trắc nghim :
Áp dng công thc tính khong cách t
M
ti
d
là:
0
,M M u
h
u

, vi
0
Md
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 115
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Dạng 18. Khong cách giữa hai đường thng chéo nhau.
Phương pháp giải:
Cho hai đường thng chéo nhau :
1
11
1
:


x x at
y y bt
z z ct
2
22
2
'
:'
'


x x a t
y y b t
z z c t
.
Khong cách giữa hai đường thng
1
2
. Ký hiu là
12
;d 
.
Ta có :
1
qua
1 1 1 1
;;M x y z
1
;;u a b c
,
2
qua
2 2 2 2
;;M x y z
2
'; '; 'u a b c
.
Khi đó:
1 2 1 2
12
12
,.
,
,



u u M M
d
uu
VD 60. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho hai đường đường thng
1
3 2 1
:
4 1 1
x y z
,
2
12
:
6 1 2
x y z
. Khong cách gia
1
2
là:
A.3. B.
3
. C.
14
. D.9.
ng dn gii
1
qua điểm
(3; 2; 1)A
và có véctơ chỉ phương
1
( 4;1;1)u
2
qua điểm
(0;1;2)B
và có véctơ chỉ phương
2
( 6;1;2)u
12
( 3;3;3), , (1;2;2)AB u u
12
12
12
,.
, 3.
,
u u AB
d
uu
Chọn đáp án A.
VD 61. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho hai đường thng
1
7 5 9
:
3 1 4
x y z
d

,
2
4 18
:
3 1 4
x y z
d


. Khong cách giữa hai đường thng
1
d
2
d
là:
A.25. B.20. C.15. D.
15
.
ng dn gii
Gi
12
7;5;9 , 0; 4; 18M d H d
. Ta có
7; 9; 27MH
,
2
3; 1;4
d
a 
suy ra
2
, 63; 109;20
d
MH a


. Vy
2
2
1 2 2
,
, , 25
d
d
MH a
d d d d M d
a

.
Chọn đáp án A.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 116
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
VD 62. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, khong cách giữa hai đường thng
1
21
:
4 6 8
x y z
d



và
2
72
:
6 9 12
x y z
d


là:
A.
35
17
. B.
35
17
. C.
854
29
. D.
30
.
ng dn gii
1
d
có vectơ chỉ phương
1
(4; 6; 8)u 
;
2
d
có vec tơ chỉ phương
2
( 6;9;12)u
Ta có:
4 6 8
6 9 12


nên nên
1
u
2
u
cùng phương
1
d
2
d
song song hoc trùng nhau.
Chn
1
(2;0; 1)Ad
,
2
(7;2;0)Bd
.Ta có:
(5;2;1)AB
;
2
, (15; 66;57)AB u



Khi đó :
2 2 2
2
1 2 2
2 2 2
2
AB,
(15) ( 66) (57)
(d , ) (A, ) 30
( 6) (9) (12)
u
d d d d
u

Chọn đáp án D.
Dạng 19. Góc giữa hai đường thng.
Phương pháp giải:
Cho hai đường thng :
0 0 0
:
x x y y z z
d
a b c

1 1 1
':
' ' '
x x y y z z
d
a b c

.
Gi
,'dd
. Thì :
2 2 2 2 2 2
. ' aa' ' '
os
.'
. ' ' '
u u bb cc
c
uu
a b c a b c

VD 63. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, s đo của góc to bởi hai đường thng
1
1
:2
2
xt
dy
zt

2
82
:
2
xt
d y t
zt

là:
A.90
o
. B.60
o
. C.30
o
. D.45
o
.
ng dn gii
Véctơ chỉ phương của
11
: (1;0;1)du
Véctơ chỉ phương của
22
: ( 2;1;2)du
Ta có:
1 2 1 2
.0u u d d
Vy s đo của góc to bi
1
d
2
d
là:
o
90
Chọn đáp án A.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 117
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
VD 64. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho hai đường thng
1
1
:2
2
xt
yt
zt


2
2
: 1 2
2
xt
yt
z mt


. Vi giá tr nào ca
m
thì
1
2
hp vi nhau mt góc 60
o
?
A.
1m
. B.
1m
. C.
1
2
m
. D.
3
2
m
.
ng dn gii
Véctơ chỉ phương của
11
: (1; 2;1)u
Véctơ chỉ phương của
22
: (1; 2; )um
Ta có:
2
12
cos60 cos , 3 3 1
o
u u m m m
Chọn đáp án A.
VD 65. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, s đo của góc giữa 2 đuờng thng
2 2 3
:
1 1 1
x y z
12
:1
13
xt
d y t
zt


A.
0
0
. B.
0
30
. C.
0
90
. D.
0
60
.
ng dn gii
có vec tơ chỉ phương
( 1;1;1)u
;
d
có vec tơ chỉ phương
(2; 1;3)
d
u
. ( 1)2 1.( 1) 1.3 0
d
uu
nên
0
, 90d
Chọn đáp án C.
Dạng 20. V trí tương đối giữa đường thng và mt cu.
Phương pháp giải
Cho mt cu
;S I R
và đường thng
.
Gi
H
là hình chiếu ca
I
trên
d IH
là khong cách t
I
đến
Ta có:
dR
suy ra
ct
;S I R
dR
suy ra
tiếp xúc vi
;S I R
dR
suy ra
không ct
;S I R
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 118
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
VD 66. Trong không gian vi h trc tọa độ Oxyz. Cho đường thng
d
và mt cu
S
có phương trình
2 2 2
1
: 3 ,( ): ( 1) ( 1) 6
22


xt
d y t S x y z
zt
. Giao điểm của đường thng và mt cu có ta
độ:
A.
2;0;0 , 1;3;2
B.
2;2;2 , 1;2;3
C.
2;2;2 , 1;3;2
D.
2;2;0 , 1;2;3
ng dn gii
Thay
,,x y z
từ phương trình tham số ca
d
vào phương trình mặt cu
S
ta được:
2 2 2 2
0 1;2;3
(1 ) (2 ) (2 1) 6 6 6 0
1 2;2;0

t
t t t t t
t
Chọn đáp án D.
VD 67. Trong không gian vi h trc tọa độ Oxyz. Cho đường thng
d
và mt cu
S
có phương trình
2
22
13
: ,( ): 1 11
xt
d y t S x y z
zt

. Gi
,AB
lần lượt là giao điểm của đường thng
d
và mt cu
S
. Độ dài đoạn thng
AB
bng:
A.
4 11
B.
33
C.
2 11
D.
3 11
ng dn gii
Thay
,,x y z
từ phương trình tham số ca
d
vào phương trình mặt cu
S
ta được:
2 2 2 2
(3 ) ( ) ( ) 11 11 11 0t t t t
1 4;1;1
36 4 4 2 11
1 2; 1; 1
tA
AB
tB

Chọn đáp án C.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 119
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
C. BÀI TP CÓ GII
DNG TRC NGHIM KHÁCH QUAN
Câu 1. [SGK - NC] Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm
2;0;1M
trên đường thng
12
:
1 2 1
x y z
d


là:
A.
1;0;2
. B.
2;2;3
. C.
0; 2;1
. D.
1; 4;0
.
ng dn gii:
Phương pháp trắc nghim:
Nhp vào máy tính:
1 2 2 0 1 1A B C
Sau đó: CALC tại
1, 0, 2A B C
ta được
0
chọn đáp án A.
CALC ti
2, 2, 3A B C
ta được
60
loại đáp án B.
CALC ti
0, 2, 1A B C
ta được
60
loại đáp án C.
CALC ti
1, 4, 0A B C
ta được
12 0
loại đáp án D.
Chọn đáp án A.
Phương pháp tự lun:
Đưng thng
d
có vectơ chỉ phương
1;2;1
d
u
.
Gi
H
là hình chiếu vuông góc ca
M
trên
d
Hd
1 ;2 ;2H t t t
1;2 ; 1MH t t t
Ta có:
.0
d
MH u
1 1 2 2 1 1 0 0t t t t
Vy
1;0 ;2H
.
Chọn đáp án A.
Câu 2. [SGK - NC] Cho điểm
1;1;1A
và đường thng
64
2
12
xt
yt
zt

. Hình chiếu ca
A
lên d có ta
độ là:
A.
2; 3;1
. B.
2; 3; 1
. C.
2;3;1
. D.
2;3;1
.
ng dn gii:
Phương pháp trắc nghim:
Nhp vào máy tính:
4 1 1 1 2 1A B C
Sau đó: CALC tại
2, 3, 1A B C
ta được
0
chọn đáp án A.
CALC ti
2, 3, 1A B C
ta được
40
loại đáp án B.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 120
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
CALC ti
2, 3, 1A B C
ta được
60
loại đáp án C.
CALC ti
2, 3, 1A B C
ta được
10 0
loại đáp án D.
Chọn đáp án A.
Phương pháp tự lun:
Đưng thng
d
có vectơ chỉ phương
4; 1;2
d
u
.
Gi
H
là hình chiếu vuông góc ca
A
trên
d
Hd
6 4 ; 2 ; 1 2H t t t
5 4 ; 3 ;2 2AH t t t
Ta có:
.0
d
AH u
4 5 4 1 3 2 2 2 0 1t t t t
Vy
2 ; 3;1H
.
Chọn đáp án A.
Câu 3. [SBT - NC] Cho đường thng
84
: 5 2
xt
d y t
zt

và điểm
(3; 2;5)A
. Tọa độ hình chiếu ca
điểm
A
trên
d
A.
(4; 1;3)
. B.
( 4;1; 3)
. C.
(4; 1; 3)
. D.
( 4; 1;3)
.
ng dn gii:
Phương pháp trắc nghim:
Nhp vào máy tính:
4 3 2 2 1 5A B C
Sau đó: CALC tại
4, 1, 3A B C
ta được
0
chọn đáp án A.
CALC ti
4, 1, 3A B C
ta được
42 0
loại đáp án B.
CALC ti
4, 1, 3A B C
ta được
60
loại đáp án C.
CALC ti
4, 1, 3A B C
ta được
32 0
loại đáp án D.
Chọn đáp án A.
Phương pháp tự lun:
Đưng thng
d
có vectơ chỉ phương
4; 2;1
d
u 
.
Gi
H
là hình chiếu vuông góc ca
A
trên
d
Hd
8 4 ;5 2 ;H t t t
11 4 ;7 2 ; 5AH t t t
Ta có:
.0
d
AH u
4 11 4 2 7 2 1 5 0 3t t t t
Vy
4 ; 1;3H
.
Chọn đáp án A.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 121
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 4. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho đường thng
42
:
1 1 1
x y z
và điểm
2; 1;5M
. Gi H là hình chiếu vuông góc ca M trên . Tọa độ ca H là:
A.
4;0;2 .H
B.
2;0;1 .H
C.
4;1;2 .H
D.
4;0;2 .H
ng dn gii:
Phương pháp trắc nghim:
Nhp vào máy tính:
1 2 1 1 1 5A B C
Sau đó: CALC tại
4, 0, 2A B C
ta được
0
chọn đáp án A.
CALC ti
2, 0, 1A B C
ta được
30
loại đáp án B.
CALC ti
4, 1, 2A B C
ta được
10
loại đáp án C.
CALC ti
2, 3, 1A B C
ta được
80
loại đáp án D.
Chọn đáp án A.
Phương pháp tự lun:
Gi
4 ; ;2H t t t
. Ta có:
2; 1; 3MH t t t
.
. 0 0MH u t
. Suy ra
4;0;2H
.
Chọn đáp án A.
Câu 5. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho đường thng
32
:4
7
xt
yt
zt

và điểm
1;0; 1A
.
Gi
A
là điểm đối xng vi
A
qua
. Tọa độ ca
A
là:
A.
9;6; 11 .
B.
9;3;11 .
C.
3;2;11 .
D.
9;6;11 .
ng dn gii:
Phương pháp trắc nghim:
Nhp vào máy tính:
2 1 1 0 1 1A B C
Sau đó: CALC tại
9, 6, 11A B C
ta được
0
chọn đáp án A.
CALC ti
9, 3, 11A B C
ta được
25 0
loại đáp án B.
CALC ti
3, 2, 11A B C
ta được
14 0
loại đáp án C.
CALC ti
9, 6, 11A B C
ta được
22 0
loại đáp án D.
Chọn đáp án A.
Phương pháp tự lun:
Gi
3 2 ;4 ; 7H t t t
là hình chiếu của điểm
A
lên đường thng
.
Ta có:
2 2 ;4 ; 6 .AH t t t
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 122
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Vectơ chỉ phương của đường thng
2; 1;1 .
u
H
là hình chiếu của điểm
A
lên đường thng
nên
. 0 1.AH AH u t
Vi
1t
ta có
5;3; 6 .H
Khi đó
A
là điểm đối xng vi
A
qua
khi
H
là trung điểm của đoạn
.AA
Vy: tọa độ điểm
H
2
2 9;6; 11 .
2
A H A
A H A
A H A
x x x
x y y A
z z z


Chọn đáp án A.
Câu 6. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho điểm
1; 3;2M
và đường thng
có phương
trình
12
1 2 1
x y z

. Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm
M
trên đường thng
A.
0; 2;1 .
B.
1;1; 1 .
C.
1;0;2 .
D.
2;2;3 .
ng dn gii:
Phương pháp trắc nghim:
Nhp vào máy tính:
1 1 2 3 1 2A B C
Sau đó: CALC tại
0, 2, 1A B C
ta được
0
chọn đáp án A.
CALC ti
1, 1, 1A B C
ta được
30
loại đáp án B.
CALC ti
1, 0, 2A B C
ta được
60
loại đáp án C.
CALC ti
2, 2, 3A B C
ta được
12 0
loại đáp án D.
Chọn đáp án A.
Phương pháp tự lun:
Gi
(1 ;2 ;2 )H t t t
là hình chiếu vuông góc ca
M
trên đường thng
.
Ta có
( ;2 3; )MH t t t
(1;2;1)u
là VTCP của đường thng
.
. 0 2(2 3) 0 6 6 0 1MH MH u t t t t t
nên
(0; 2;1)H
Chọn đáp án A.
Câu 7. [SBT - NC] Cho đường thng
1 1 2
:
2 1 1
x y z
d

. Hình chiếu vuông góc ca
d
trên mt
phng tọa độ
()Oxy
A.
0
1
0
x
yt
z
. B.
12
1
0
xt
yt
z

. C.
12
1
0
xt
yt
z

. D.
12
1
0
xt
yt
z
.
ng dn gii
Mt phng
()Oxy
có vectơ pháp tuyến
0;0;1n
, ly
1; 1;2Md
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 123
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
To độ giao điểm
A
ca
d
()Oxy
là nghim ca h
3
1 1 2
3 3; 3;0
2 1 1
0
0
x
x y z
yA
z
z





Gi
H
là hình chiếu ca
M
trên
()Oxy
1; 1;0H
Đưng thng
d
đi qua
1; 1;0H
và nhn
1
2;1;0
2
u AH
làm vectơ chỉ phương nên có
phương trình:
12
1
0
xt
yt
z

Chọn đáp án B.
Công thc nhanh:
Hình chiếu vuông góc của đường thng
0
0
0
:
x x at
d y y bt
z z ct



trên mt phng
Oxy
0
0
:
0
x x at
d y y bt
z


.
Hình chiếu vuông góc của đường thng
0
0
0
:
x x at
d y y bt
z z ct



trên mt phng
Oyz
0
0
0
:
x
d y y bt
z z ct


.
Hình chiếu vuông góc của đường thng
0
0
0
:
x x at
d y y bt
z z ct



trên mt phng
Oxz
0
0
:0
x x at
dy
z z ct


.
Câu 8. [SBT - NC] Phương trình hình chiếu vuông góc của đường thng
12
: 2 3
3
xt
d y t
zt


trên mt
phng
Oxy
là:
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 124
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
A.
0
0
3
x
y
zt

. B.
0
23
3
x
yt
zt

. C.
12
23
0
xt
yt
z

. D.
12
0
3
xt
y
zt


.
ng dn gii
Áp dng công thc nhanh
Chọn đáp án C.
Câu 9. [SBT - NC] Phương trình hình chiếu vuông góc của đường thng
12
: 2 3
3
xt
d y t
zt


trên mt
phng
Oyz
là:
A.
0
0
3
x
y
zt

. B.
0
23
3
x
yt
zt

. C.
12
23
0
xt
yt
z

. D.
12
0
3
xt
y
zt


.
ng dn gii
Áp dng công thc nhanh
Chọn đáp án B.
Câu 10. [SBT - NC] Cho đường thng
9
5
:5
7
3
5
xt
d y t
zt

và mt phng
: 3 2 3 1 0P x y z
. Gi
d
là hình chiếu ca
d
trên mt phng
.P
Trong các vectơ sau, vec nào không phi
vec ch phương của
d
?
A.
5; 51; 39 .
B.
10; 102; 78 .
C.
5;51;39 .
D.
5;51;39 .
ng dn gii:
Đưng thng
d
có vectơ chỉ phương
1;5;3
d
u 
Mt phng
P
có vectơ pháp tuyến
3; 2;3
P
n 
Gi
Q
là mt phng cha
d
và vuông góc vi mt phng
P
, suy ra
Q
có vectơ pháp
tuyến là
; 21;12; 13
Q d P
n u n


Đưng thng
d P Q

có vectơ chỉ phương là
; 10;102;78
pQ
u n n


.
Chọn đáp án D.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 125
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 11. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho hai đường thng
1
34
:2
1
xt
d y t
zt

2
6
:1
22



xt
d y t
zt
. Độ dài đoạn vuông góc chung ca
1
d
2
d
là:
A.3. B.6. C.
3
. D.
17
.
ng dn gii.
Gi
1
3 4 ; 2 ; 1 ( )M t t t d
2
6 ;1 ;2 2 .
N t t t d
Ta có:
3 4 6 ;3 ;3 2MN t t t t t t
Vec tơ chỉ phương của
1
d
2
d
lần lượt là:
1
4;1;1 ;u 
2
6;1;2u 
Khi đó
MN
là đoạn vuông góc chung ca
1
d
2
d
khi
11
22
.0
.0
MN u MN u
MN u MN u




18 27 18 1
27 41 27 0
t t t
t t t




Vi
1
0
t
t
, ta có
1;2;2 3.MN MN
Chọn đáp án A.
Câu 12. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho hai đường thng
1
1 1 1
:
2 1 3
x y z
d

2
22
:
3 2 3
x y z
d



. Đường vuông góc chung ca
1
d
2
d
có vectơ chỉ phương là:
A.
3; 3;1 .a
B.
3; 3;3 .a
C.
1;0; 1 .a
D.
1; 3;2 .a
ng dn gii:
Phương pháp trắc nghim:
Nhp vào máy tính:
2 1 3A B C
Sau đó: CALC tại
3, 3, 1A B C
ta được
0
chọn đáp án A.
CALC ti
3, 3, 3A B C
ta được
18 0
loại đáp án B.
CALC ti
1, 0, 1A B C
ta được
10
loại đáp án C.
CALC ti
1, 3, 2A B C
ta được
11 0
loại đáp án D.
Chọn đáp án A.
Phương pháp tự lun:
Ta có: Vec tơ chỉ phương của
1
d
2
d
lần lượt là:
1
2; 1;3 ;u 
2
3;2; 3u
Gi
là đường vuông góc chung ca
1
d
2
d
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 126
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
1
2
d
d


Khi đó: vectơ chỉ phương của
12
; 3; 3;1 .


u u u
Chọn đáp án A.
Câu 13. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho hai đường thng
1
7 3 9
:
1 2 1
x y z
d

2
3 1 1
:
7 2 3
x y z
d

. Phương trình đường vuông góc chung ca
1
d
2
d
là:
A.
3 1 1
1 2 4
x y z


. B.
7 3 9
2 1 4
x y z

.
C.
7 3 9
2 1 4
x y z

. D.
7 3 9
.
2 1 4

x y z
ng dn gii:
Phương pháp trắc nghim:
Nhp vào máy tính:
1 2 1A B C
(
1;2; 1
là to độ vectơ chỉ phương
1
d
)
Sau đó: CALC tại
1, 2, 4A B C
ta được
70
loại đáp án A.
CALC ti
2, 1, 4A B C
ta được
0
chọn đáp án B.
CALC ti
2, 1, 4A B C
ta được
40
loại đáp án C.
CALC ti
2, 1, 4A B C
ta được
80
loại đáp án D.
Chọn đáp án B.
Phương pháp tự lun:
Gi A, B là đoạn vuông góc chung ca
1
d
2
d
.
1
7 ;3 2 ;9A m m m d
2
3 7 ;1 2 ;1 3B n n n d
.
4 7 ; 2 2 2 ; 8 3AB n m n m n m
.
Do
1
2
.0
6 6 0 0
62 6 0 0
.0
AB n
n m m
n m n
AB n



nên
7;3;9 , 3;1;1 , 4; 2; 8A B AB
.
Đưng thng AB đi qua A có phương trình
7 3 9
2 1 4
x y z

.
Chọn đáp án B.
Câu 14. [SBT - NC] Cho hai đường thng
1
2 2 3
:
2 1 1
x y z
d

;
2
1
: 1 2
1
xt
d y t
zt


và điểm
(1;2;3)A
. Đường thng
đi qua
A
, vuông góc vi
1
d
và ct
2
d
có phương trình là
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 127
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
A.
1 2 3
1 3 5
x y z


. B.
1 2 3
1 3 5
x y z

.
C.
1 2 3
1 3 5
x y z

. D.
1 2 3
1 3 5
x y z

.
ng dn gii
Phương pháp trắc nghim:
Nhp vào máy tính:
2 1 1A B C
Sau đó: CALC tại
1, 3, 5A B C
ta được
0
chn đáp án A.
CALC ti
1, 3, 5A B C
ta được
40
loại đáp án B.
CALC ti
1, 3, 5A B C
ta được
40
loi đáp án C.
CALC ti
1, 3, 4A B C
ta được
60
loi đáp án D.
Chn đáp án A.
Phương pháp tự lun:
Đưng thng
1
d
có vectơ chỉ phương
2; 1;1
d
u 
.
Gi s
d
cắt đường thng
2
d
2
1 ;1 2 ; 1N b b b d
Do đường thng
d
đi qua
1;2;3A
và vuông góc vi
1
d
nên
.0
d
AN u
2 1 2 1 1 4 0 1b b b b
2; 1; 2N
Phương trình đường thng
d
đi qua
1;2;3A
và có VTCP
1; 3; 5AN
1 2 3
1 3 5
x y z


.
Chọn đáp án A.
Câu 15. [SBT - NC] Cho đường thng
33
:
1 3 2
x y z
d


, mt phng
( ) : 3 0x y z
điểm
(1;2; 1)A
. Đường thng
qua
A
ct
d
và song song vi
mp( )
có phương trình là
A.
1 2 1
1 2 1
x y z

. B.
1 2 1
1 2 1
x y z


.
C.
1 2 1
1 2 1
x y z


. D.
1 2 1
1 2 1
x y z

.
ng dn gii
Phương pháp trắc nghim:
nên
.0un
Nhp vào máy tính:
1 1 1A B C
Sau đó: CALC tại
1, 2, 1A B C
ta được
20
loại đáp án A.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 128
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
CALC ti
1, 2, 1A B C
ta được
40
loại đáp án B.
CALC ti
1, 2, 1A B C
ta được
0
chọn đáp án C.
CALC ti
1, 2, 1A B C
ta được
20
loại đáp án D.
Chọn đáp án C.
Phương pháp tự lun:
Mt phng
có vectơ pháp tuyến
1;1; 1n 
.
Gi s
cắt đường thng
d
ti
3 ;3 3 ;2N b b b d
2;3 1;2 1AN b b b
Do đường thng
d
đi qua
1;2; 1A
và song song vi
nên
.0AN n
1 2 1 3 1 1 2 1 0 2 2 1b b b b b
2;0; 2N
Phương trình đường thng
d
đi qua
1;2; 1A
và có VTCP
1; 2; 1AN
1 2 1
1 2 1
x y z


.
Chọn đáp án C.
Câu 16. [SBT - NC] Cho hai đường thng
3 6 1
: ; :
2 2 1
2
xt
x y z
d d y t
z
. Đường thẳng đi qua
0;1;1A
ct
d
và vuông góc
d
có phương trình là
A.
11
1 3 4
x y z

. B.
11
1 3 4
x y z

.
C.
11
1 3 4
x y z


. D.
11
1 3 4
x y z


.
ng dn gii
Phương pháp trắc nghim:
Nhp vào máy tính:
2 2 1A B C
Sau đó: CALC tại
1, 3, 4A B C
ta được
40
loi đáp án A.
CALC ti
1, 3, 4A B C
ta được
12 0
loại đáp án B.
CALC ti
1, 3, 4A B C
ta được
0
chọn đáp án C.
CALC ti
1, 3, 4A B C
ta được
0
chọn đáp án D.
Mặt khác đường thẳng đi qua
0;1;1A
nên chọn đáp án D.
Phương pháp tự lun:
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 129
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Đưng thng
d
có vectơ chỉ phương
2;2;1
d
u 
.
Gi
là đường thng cn tìm, gi s
cắt đường thng
d
ti
; ;2N t t d

; 1;1AN t t
Do đường thng
đi qua
0;1;1A
và vuông góc vi
d
nên
.0
d
AN u
1
2 2 1 1 1 0
4
t t t
11
; ;2
44
N




13
; ;1
44
AN


Phương trình đường thng
đi qua
0;1;1A
và có VTCP
4. 1; 3;4u AN
là:
11
1 3 4
x y z


.
Chọn đáp án D.
Câu 17. (Bài tp 24 - SGKNC trang 116) Cho mt phng
: 3 1 0x y z
và đường thng
1
:2
2 3 .
xt
d y t
zt



Tọa độ giao điểm
A
ca
d
là:
A.
3;0;4 ;A
B.
3; 4;0 ;A
C.
3;0;4 ;A
D.
3;0; 4 .A
ng dn gii
Xét phương trình
1 3 2 2 3 1 0 5. 10 2 3;0; 4t t t t t A
.
Chọn đáp án D.
Câu 18. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho đường thng
2
1
: 2 1
1 2 1
x m t
d y m t
zm


. Vi giá tr nào
ca
m
thì đường thng
d
nm trong mt phng
Oyz
?
A.
1m
. B.
1m
. C.
11mm
. D.
2m
.
ng dn gii:
Do
d Oyz
nên
0 1 0 1x m t m
.
Chọn đáp án A.
Câu 19. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho đường thng
1 2 3
:
2 1 2
x y z
mm
và mt phng
: 3 2 5 0x y z
. Vi giá tr nào ca
m
thì
vuông góc vi
?
A.
1m
. B.
1m
. C.
3m
. D.
3m
.
ng dn gii
Do

nên
u
cng phương
2 1 2
1 3 2
mm
1m
.
Chọn đáp án B.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 130
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 20. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho đường thng
11
: 1 2
7
xt
yt
zt
và mt phng
:5 3 2 0x my z
. Để
ct
tại điểm có hoành độ bng 0 thì giá tr thích hp ca
m là:
A.2. B.
2
. C.3. D.
3
.
ng dn gii
Gi
(11 ; 1 2 ;7 )M M t t t
.Hoành độ của điểm M bng 0 nên:
11 0 0tt
(0; 1;0) 5.0 ( 1) 3.0 2 0 2M m m
Chọn đáp án A.
Câu 21. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho mt phng
:2 3 1 0P x y z
và đuờng thng
d
có phương trình tham số:
3
22
1
xt
yt
z

, trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:
A.d vuông góc vi
()P
. B.d ct
()P
.
C.d song song vi
()P
. D.d thuc
()P
.
ng dn gii
Xét h phương trình :
3
22
1
2 3 1 0
xt
yt
z
x y z

2 3 2 2 3 1 1 0 0 0tt
(luôn đúng)
Do đó hệ phương trình có vô số nghim .Vy
d
thuc
P
.
Chọn đáp án D.
Câu 22. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, to độ giao điểm ca
31
:
1 1 2
x y z
d


và mt phng
( ): 2 7 0P x y z
là:
A.
1; 1;2M
. B.
2;0; 2M
. C.
3; 1;0M
. D.
3;1;0M
.
ng dn gii
Gi
M
là giao điểm của đường thng
d
và
.P
(3 ; 1 ;2 )M d M t t t
( ):2 3 1 2 7 0 0 M P t t t t
Vy :
(3; 1;0)M
Chọn đáp án C.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 131
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 23. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho đường thng
12 9 1
:
4 3 1
x y z
d

và mt
phng
: 3 5 2 0P x y z
. Tọa độ giao điểm
H
ca
d
()P
A.
1;0;1H
. B.
0;0; 2H
. C.
1;1;6H
. D.
12;9;1H
.
ng dn gii
Đưng thng
d
có phương trình tham số là:
12 4
93
1
xt
yt
zt



.
()H d P
suy ra
(12 4 ;9 3 ;1 )H d H t t t
. Mà
: 3 5 2 0H P x y z
nên ta có:
3(12 4 ) 5(9 3 ) (1 ) 2 0 26 78 0 3t t t t t
.
Vy
0;0; 2H
.
Chọn đáp án B.
Câu 24. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho đường thăng
1
:2
12
xt
d y t
zt



và mt phng
: 3 1 0P x y z
. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng ?
A.
//dP
. B.
d
ct
P
. C.
dP
. D.
dP
.
ng dn gii
Đưng thng
1
:2
12
xt
d y t
zt



có VTCP
(1; 1;2)u 
.
Mt phng
: 3 1 0P x y z
có VTPT
(1;3;1)n
.
Ta có:
. 1.1 ( 1).3 2.1 0un
nên
un
. T đó suy ra
//( )dP
hoc
()dP
.
Lấy điểm
1;2;1Md
, thay vào
: 3 1 0P x y z
ta được:
1 3.2 1 1 9 0
nên
()MP
. Suy ra
//( )dP
.
Chọn đáp án A.
Câu 25. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho mt phng
: 2 3 1 0x y z
và đường thng
3
: 2 2
1
xt
d y t
z

. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
A.
d
B.
d
ct
C.
d
D.
d
ng dn gii
Phương pháp tự lun:
Đưng thng d có véc tơ chỉ phương
(1; 2;0)u
và đi qua điểm
( 3;2;1)A
Mt phng (P) có véc tơ pháp tuyến
(2;1;3)n
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 132
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
D thy:
2 3 1 6 2 3 1 0
. 2 2 0 0
A A A
x y z
un
.
Vy d nm trong mt phng
P
.
Chọn đáp án D.
Phương pháp trắc nghim:
Xét h gồm phương trình d và phương trình (P):
2 3 1 0
3
22
1
x y z
xt
yt
z

h vô s nghim
T đó suy ra d nm trong mt phng
P
.
Chọn đáp án D.
Câu 26. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho đường thng
1
:2
23
xt
d y t
zt



và mt phng
: 3 1 0P x y z
. To độ giao điểm của đường thng và mt phng là:
A.
3;0;4
B.
3; 4;0
C.
3;0;4
D.
3;0; 4
ng dn gii
Phương pháp tự lun
Xét h gồm phương trình d và phương trình (P):
3 1 0 3
10
24
2 3 2
x y z x
x t y
y t z
z t t







T đó suy ra d ct mt phng
P
tại điểm
3;0; 4M
.
Chọn đáp án D.
Phương pháp trắc nghim
D thy tọa độ các điểm A
3;0;4
; B
3; 4;0
; C
3;0;4
không thỏa mãn phương trình mặt
phng (P).
Kim tra M(
3;0; 4
thỏa mãn phương trình
1
:2
23
xt
d y t
zt



và phương trình mặt phng
: 3 1 0P x y z
. Vy suy ra d ct mt phng
P
tại điểm M(
3;0; 4
.
Chọn đáp án D.
Câu 27. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho đường thng
34
:1
42
xt
d y t
zt


và mt phng
: 2 3 0P x y z
. trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 133
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
A.d song song vi mt phng
P
. B.d ct mt phng
P
.
C.d vuông góc vi mt phng
P
. D.d nm trong mt phng
P
.
ng dn gii
Phương pháp tự lun
Đưng thng d có véc tơ chỉ phương
(4; 1;2)u
và đi qua điểm
(3; 1;4)A
Mt phng (P) có véc tơ pháp tuyến
(1;2; 1)n
.
D thy:
2 3 3 2 4 3 0
. 4 2 2 0
A A A
x y z
un
. Vy d nm trong mt phng
P
.
Chọn đáp án D.
Phương pháp trắc nghim.
Chuyển phương trình d v dạng phương trình chính tắc:
3 1 4
4 1 2
x y z

Xét h gồm phương trình d và phương trình (P):
2 3 0
31
41
34
42
x y z
xy
xz


D thy h vô s nghim
; ; .x y z
T đó suy ra d nm trong mt phng
P
.
Chn đáp án D.
Câu 28. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho hai đường thng
1
1
:
12
x mt
d y t
zt

2
1
: 2 2
3
xt
d y t
zt



. Vi giá tr nào ca
m
thì
1
d
2
d
ct nhau ?
A.
0m
B.
1m
C.
1m
D.
2m
ng dn gii
1
d
có VTCP
1
;1;2um
qua
1
1;0; 1M
,
2
d
có VTCP
2
1;2; 1u
qua
2
1;2;3M
.
1
d
ct
2
d
khi
1 2 1 2
12
, . 0
0.( 5) 2( 2) 4(2 1) 0
0
5; 2;2 1 0
,0




u u M M
mm
m
mm
uu
Chn đáp án A.
Câu 29. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, gi là đường thẳng đi qua điểm
3; 2; 4A
, song
song vi mt phng
:3 2 3 7 0x y z
và cắt đường thng
2 4 1
d:
3 2 2
x y z
ti
điểm M. Tọa độ điểm M là:
A.
8; 8;5M
. B.
8; 4;5M
. C.
2;3;1M
. D.
8;8;5M
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 134
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
ng dn gii
có vec tơ pháp tuyến
(3; 2; 3)n 
;
d
vec tơ chỉ phương
(3; 2;2)u
Ta có:
(2 3t; 4 2t;1 2t)M d M
;
( 1 3t; 2 2t;5 2t)AM
song song vi
nên:
. 0 1 3t 3 2 2t 2 5 2t 3 0 2AM n t
Vy:
(8; 8;5)M
Chn đáp án A.
Câu 30. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho hai đường thng
1
21
:
4 6 8
x y z
d



2
72
:
6 9 12
x y z
d


. V trí tương đối gia
1
d
2
d
là:
A.Trùng nhau. B.Song song. C.Ct nhau. D.Chéo nhau.
ng dn gii
1
d
có vec tơ chỉ phương
1
(4; 6; 8)u 
;
2
d
có vec tơ chỉ phương
2
( 6;9;12)u
Ta có :
4 6 8
6 9 12


nên
1
u
2
u
cng phương
1
d
2
d
song song hoc trùng nhau.
Chn
1
(2;0; 1)Ad
.Thay vào phương trình đường thng
2
d
:
2 7 0 2 1
6 9 12

(vô nghim)
Do đó:
2
(2;0; 1)Ad
. Vy
1
d
song song
2
d
Chn đáp án B.
Câu 31. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho hai đường thng
32
: 2 3
64
xt
d y t
zt

5
: 1 4
20



xt
d y t
zt
. Tọa độ giao điểm của hai đường thng
d
d
A.
3; 2;6
B.
3;7;18
C.
5; 1;20
D.
3; 2;1
ng dn gii
Xét h phương trình:
3 2 5 (1)
2 3 1 4 (2)
6 4 20 (3)
tt
tt
tt
T phương trình (1) và (2) suy ra
3t
'2t 
. Thay vào phương trình (3) ta thấy nó tha
mãn. Vy h phương trình trên có nghiệm là
3, ' 2tt
.
Suy ra
d
ct
'd
tại điểm có tọa độ
3;7;18
.
Chn đáp án B.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 135
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 32. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho hai đường thng
1
:
12
x mt
d y t
zt

1
: 2 2
3




xt
d y t
zt
Giá tr ca tham s m để hai đường thng
d
'd
ct nhau là
A.
1m 
B.
1m
C.
0m
D.
2m
ng dn gii
Xét h phương trình:
1 1 (1)
2 2 (2)
1 2 3 ' (3)
mt t
tt
tt

Để đường thng
d
d
ct nhau thì h phương trình trên phải có nghim duy nht.
T phương trình (2) và (3) suy ra
2t
0
t
. Thay vào phương trình (3) suy ra
0m
.
Chn đáp án C.
Câu 33. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho hai đường thng chéo nhau
12
:1
1
xt
d y t
z

2 2 3
:
1 1 1

x y z
d
. Khong cách giữa hai đường thng
d
d
A.
6
B.
6
2
C.
1
6
D.
2
ng dn gii
[Phương pháp tự lun]
Gi
MN
là đoạn vuông góc chung của hai đường thng chéo nhau
d
'd
(
,'M d N d
).
(1 2 ; 1 ;1)M d M t t
' (2 '; 2 ';3 ')N d N t t t
.
Suy ra
(1 2 '; 1 ';2 ')MN t t t t t
.
Đưng thng
d
'd
lần lượt có VTCP là
(2; 1;0)
d
u 
'
( 1;1;1)
d
u 
.
Ta có:
'
3
.0
2(1 2 ') ( 1 ') 0
2
' (1 2 ') ( 1 ') (2 ') 0 3
.0
'
2
d
d
t
MN u
MN d t t t t
MN d t t t t t
MN u
t




T đó suy ra
11
; 1;
22
MN


6
2
MN MN
.
Vy khong cách giữa hai đường thng
d
'd
bng
6
2
.
Chn đáp án B.
[Phương pháp trắc nghim]
Áp dng công thc tính khong cách giữa 2 đường thng chéo nhau
d
'd
là:
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 136
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
'
'
, . '
,
dd
dd
u u MM
h
uu



, (vi
, ' 'M d M d
).
Câu 34. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho hai đường thng
1
13
:
1 2 3
x y z
d


2
12
:
2 4 6
x y z
d


. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
1
d
ct
2
d
B.
1
d
trùng
2
d
C.
12
dd
D.
1
d
chéo
2
d
ng dn gii
Th nht ta thy
1
d
có véc tơ chỉ phương
1
(1;2;3)u
;
2
d
có véc tơ chỉ phương
2
(2;4;6)u
.
Vy
21
2.uu
.
Mt khác
1
(1;0;3)A
1
d
nhưng không thuộc
2
d
. T đó suy ra
12
dd
.
Chn đáp án C.
Câu 35. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho đường thng
32
:4
7

xt
yt
zt
và điểm
1;0; 1A
.
Gi
A
là điểm đối xng vi
A
qua
. Tọa độ ca
A
là:
A.
9;6; 11
B.
9;3;11
C.
3;2;11
D.
9;6;11
ng dn gii
Gi
3 2 ;4 ; 7H t t t
là hình chiếu của điểm
A
lên đường thng
.
Ta có:
2 2 ;4 ; 6 .AH t t t
Vectơ chỉ phương của đường thng
2; 1;1 .n 
H
là hình chiếu của điểm
A
lên đường thng
nên
. 0 1.AH AH u t
Vi
1t
ta có
5;3; 6 .H
Khi đó
A
là điểm đối xng vi
A
qua
khi
H
là trung điểm của đoạn
.AA
Vy: tọa độ điểm
H
2
2 9;6; 11 .
2
A H A
A H A
A H A
x x x
x y y A
z z z


Chn đáp án A.
Câu 36. Trong không gian vi h trc tọa độ Oxyz. Cho đưng thng
d
và mt cu
S
có phương trình
2 2 2
1
: 3 ,( ): ( 1) ( 1) 6
22
xt
d y t S x y z
zt


. Giao điểm của đường thng và mt cu có ta
độ:
A.
2;0;0 , 1;3;2
B.
2;2;2 , 1;2;3
C.
2;2;2 , 1;3;2
D.
2;2;0 , 1;2;3
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 137
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
ng dn gii
Thay
,,x y z
từ phương trình tham số ca
d
vào phương trình mặt cu
S
ta được:
2 2 2 2
0 1;2;3
(1 ) (2 ) (2 1) 6 6 6 0
1 2;2;0

t
t t t t t
t
Chn đáp án D.
Câu 37. Trong không gian vi h trc tọa độ Oxyz. Cho đưng thng
d
và mt cu
S
có phương trình
2
22
13
: ,( ): 1 11

xt
d y t S x y z
zt
. Gi
,AB
lần lượt là giao điểm của đường thng
d
và mt cu
S
. Độ dài đoạn thng
AB
bng:
A.
4 11
B.
33
C.
2 11
D.
3 11
ng dn gii
Thay
,,x y z
từ phương trình tham s ca
d
vào phương trình mặt cu
S
ta được:
2 2 2 2
1 4;1;1
(3 ) ( ) ( ) 11 11 11 0 36 4 4 2 11
1 2; 1; 1

tA
t t t t AB
tB
Chn đáp án C.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 138
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
DNG T LUN
Câu 1. [SGK CB] Viết phương trình tham số của đường thng
d
trong mỗi trường hp sau:
a)
d
đi qua điểm
5;4;1M
và có VTCP
2; 3;1
a
.
b)
d
đi qua điểm
2; 1;3A
và vuông góc vi mt phng
: 5 0
x y z
.
c)
d
đi qua điểm
2;0; 3B
và song song với đường thng
12
: 3 3
4

xt
yt
zt
d)
d
đi qua hai điểm
1;2;3P
5;4;4Q
.
ng dn gii
a) PTTS của đường thng
d
đi qua điểm
5;4;1M
và có VTCP
2; 3;1
a
là:
52
43
1



xt
yt
zt
.
b) VTPT ca
: 5 0
x y z
1;1; 1
a
PTTS của đường thng
d
đi qua điểm
2; 1;3A
và có VTCP
1;1; 1
a
là:
2
1
3


xt
yt
zt
.
c) PTTS của đường thng
d
đi qua đim
2;0; 3B
song song với đường thng
12
: 3 3
4

xt
yt
zt
22
:3
34

xt
d y t
zt
d) Ta có
(4;2;1)PQ
. PTTS của đường thng
d
đi qua điểm
1;2;3P
và có VTCP
(4;2;1)PQ
là:
14
22
3



xt
yt
zt
.
Câu 2. [SGK CB] Viết phương trình tham số của đường thng hình chiếu vuông góc của đường
thng
2
: 3 2
13


xt
d y t
zt
lần lượt trên các mt phng sau:
a)
Oxy
b)
Oyz
ng dn gii
A'
A
I
d
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 139
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
a) PTTQ ca
Oxy
0z
,
5 11
( ) ; ;0
33



d Oxy I
Gi
(2; 3;1)A
điểm thuộc đường thng
d
, hình chiếu ca
(2; 3;1)A
lên
()Oxy
2; 3;0A
. Ta có
1 2 1
; ;0 1;2;0
3 3 3
AI


Vy PTTS của đường thng
AI
đi qua
2; 3;0A
nhn
1;2;0u
làm VTCP
2
32
0
xt
yt
z

b) PTTQ ca
Oyz
0x
,
( ) 0; 7; 5 d Oyz I
Gi
(2; 3;1)A
điểm thuộc đường thng
d
, hình chiếu ca
(2; 3;1)A
lên
()Oyz
0; 3;1A

. Ta có
0; 4; 6AI
Vy PTTS ca đường thng
AI
đi qua
0; 3;1A
nhn
0; 4; 6AI
m VTCP
0
34
16

x
yt
zt
Câu 3. [SGK CB] Cho điểm
1;4;2M
và mt phng
: 1 0
x y z
.
a) Tìm tọa độ điểm
H
là hình chiếu ca
M
trên
;
b) Tìm tọa độ điểm
M
đối xng vi
M
qua mt phng
;
ng dn gii
M'
H
M
a) Đưng thng
d
đi qua
1;4;2M
vuông góc vi
: 1 0
x y z
PTTS là:
1
:4
2



xt
d y t
zt
. Gi
( ) 1 ;4 ;2
d H t t t
, do
M
nên ta có
2t
Vy
1;2;0H
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 140
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
b) Gi
;;M x y z
điểm đối xng vi
M
qua mt phng
suy ra
H
trung điểm
đoạn
MM
. Vy
1 2 3
4 4 0 ( 3;0; 2)
2 0 2
xx
y y M
zz





Câu 4. [SGK NC] Trong không gian
Oxyz
, viết phương trình tham s chính tc (nếu có) ca
các đường thẳng sau đây:
a) Các trc to độ
Ox
,
Oy
,
Oz
.
b) Đưng thẳng đi qua
2;0; 1M
và có VTCP
1;3;5
u
c) Đưng thẳng đi qua
2;1;2N
và có VTCP
0;0; 3
u
d) Đưng thẳng đi qua
3;2;1N
và vuông góc vi mt phng
2 5 4 0 xy
e) Đưng thẳng đi qua hai điểm
2;3; 1P
1;2;4Q
ng dn gii
a) Trc
Ox
đi qua gốc tọa độ
(0;0;0)O
và nhn VTCP là
(1;0;0)i
nên có PTTS là:
0
0
xt
y
z
Tương tự
0
:
0
x
Oy y t
z
;
0
:0
x
Oz y
zt
b) Đưng thẳng đi qua
2;0; 1M
và có VTCP
1;3;5
u
Có PTTS là
2
3
15

xt
yt
zt
, PTCT là
21
1 3 5


x y z
c) Đưng thẳng đi qua
2;1;2N
và có VTCP
0;0; 3
u
2
1
23


x
y
zt
d) Đưng thẳng đi qua
3;2;1N
vuông góc vi mt phng
2 5 4 0 xy
dng tham
s
32
25
1


xt
yt
z
e) Đưng thẳng đi qua hai điểm
2;3; 1P
1;2;4Q
Có dng tham s là:
2
3
15


xt
yt
zt
, Dng chính tc:
2 3 1
1 1 5


x y z
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 141
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 5. [SGK NC] Viết phương trình tham s, chính tc (nếu có) của các đường thẳng sau đây:
a) Đưng thẳng đi qua điểm
4;3;1
song song với đường thẳng phương trình
12
3
32



xt
yt
zt
b) Đưng thẳng đi qua đim
2;3;1
song song với đường thng phương trình:
2 1 2
2 1 3

x y z
.
ng dn gii
a) Đưng thẳng đi qua điểm
4;3;1
song song với đường thẳng phương trình
12
3
32



xt
yt
zt
có dng tham s
42
33
12



xt
yt
zt
và chính tc
4 3 1
2 3 2

x y z
b) Đưng thẳng đi qua đim
2;3;1
song song với đường thẳng phương trình:
2 1 2
2 1 3

x y z
có dng tham s
22
3
13


xt
yt
zt
,
và dng chính tc là
2 3 1
2 1 3

x y z
Câu 6. [SBT CB] Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thng
trong các
trường hp sau:
a)
đi qua điểm
1;2;3A
và có VTCP
3;3;1
a
.
b)
đi qua điểm
1;0; 1B
và vuông góc vi mt phng
:2 9 0.
x y z
c)
đi qua hai điểm
1; 1;1C
2;1;4 .D
ng dn gii
a) Phương trình tham số của đường thng
13
23
3



xt
yt
zt
Phương trình chính tắc của đường thng
1 2 3
3 3 1

x y z
b) Do

nên
nhn
2; 1;1

n
làm véc tơ chỉ phương
Phương trình tham số của đường thng
12
1


xt
yt
zt
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 142
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Phương trình chính tắc của đường thng
11
2 1 1


x y z
c)
1;2;3
CD
là véc tơ chỉ phương của đường thng
Phương trình tham số của đường thng
1
12
13


xt
yt
zt
Phương trình chính tắc của đường thng
1 1 1
1 2 3

x y z
Câu 7. [SBT CB] Cho điểm
1; 1;2M
và mt phng
:2 2 12 0
x y z
.
a) Tìm to độ điểm
H
là hình chiếu vuông góc của điểm
M
trên mt phng
.
b) Tìm to độ điểm
M
đối xng vi
M
qua mt phng
.
ng dn gii
a) Gi
H
là hình chiếu vuông góc của điểm
M
trên mt phng
.
MH
nên đường thng
MH
nhn
2; 1;2

n
làm véc tơ chỉ phương.
Phương trình tham số của đường thng
MH
12
1
22


xt
yt
zt
Tọa độ
1 2 ; 1 ;2 2 2 1 2 1 2 2 2 12 0
H t t t t t t
19
19 0
9
tt
Vy,
29 10 20
;;
9 9 9




H
b)
M
đối xng vi
M
qua
, suy ra
H
là trung điểm của đoạn
MM
67
2
9
29
2
9
58
2
9
M H M
M H M
M H M
x x x
y y y
z z z
Câu 8. [SBT NC] Viết phương trình tham số hoc chính tc của đường thng
d
, biết:
a)
d
là giao tuyến ca hai mt phng
: 3 0
x y z
: 4 0.
x y z
b)
d
là giao tuyến ca mt phng
2z 3 0 y
vi mt phng to độ
.Oyz
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 143
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
ng dn gii
a)
có véc tơ pháp tuyến là
1
1; 3;1
n
có véc tơ pháp tuyến là
2
1;1; 1
n
Suy ra, véc tơ chỉ phương của đường thng
d
12
, 2;2;4 2 1;1;2


u n n
Xét h:
30
40
x y z
x y z
. Chn
2
0
2


x
y
z
. Suy ra
2;0;2Md
Phương trình chính tắc của đường thng
d
22
1 1 2


x y z
b)
có véc tơ pháp tuyến là
1
0;1; 2
n
Oyz
có véc tơ pháp tuyến là
2
1;0;0
n
Suy ra, véc tơ chỉ phương của đường thng
d
12
, 0; 2; 1


u n n
Xét h:
2 3 0
0
yz
x
. Chn
0 zy
. Suy ra
0; 3;0Md
Phương trình tham số của đường thng
d
0
32

x
yt
zt
Câu 9. [SBT NC] Cho hai điểm
2;4; 1A
5;0;7B
. Viết phương trình tham s của đường
thng
AB
, tia
AB
và đoạn thng
.AB
ng dn gii
3; 4;8
AB
là véc tơ chỉ phương của đường thng
AB
.
Phương trình tham số của đường thng
AB
23
44
18


xt
yt
zt
Gi
,,M x y z
thuộc đoạn
AB
. Khi đó:
25
0 4 0
17

x
yt
z
Suy ra, phương trình tham số của đoạn
AB
23
44
18


xt
yt
zt
, vi
01t
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 144
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Phương trình tham số ca tia
AB
23
44
18


xt
yt
zt
, vi
0t
Câu 10. [SBT NC] Viết phương trình đường thng trong mỗi trường hợp sau đây:
a) Đi qua
2;0; 1A
và có VTCP
3 5 . u i j k
b) Đi qua
2;1;2A
và song song vi trc
.Oz
c) Đi qua
2;3; 1A
1;2;4 .B
d) Đi qua
4;3;1A
và song song với đường thng
12
:3
32


xt
yt
zt
.
e) Đi qua
1;2; 1A
song song với đường thng giao tuyến ca hai mt phng
: 3 0
x y z
:2 5 4 0.
x y z
f) Đi qua
2;1;0A
và vuông góc vi mt phng
: 2 2 1 0
x y z
.
g) Đi qua
2; 1;1A
và vuông góc với hai đường thng lần lượt VTCPlà
1
1;1; 2
u
2
1; 2;0 .
u
ng dn gii
a) Đi qua
2;0; 1A
và có VTCP
3 5 . u i j k
Ta có
3 5 1;3;5
u i j k u
Đưng thẳng được xác định
2;0; 1
1;3;5


qua A
VTCP u
Đưng thng cn lập có phương trình
2
3
15

xt
yt
zt
b) Đi qua
2;1;2A
và song song vi trc
.Oz
Trc
.Oz
có VTCP
0;0;1
k
Đưng thẳng được xác định
2;1;2
0;0;1

qua A
VTCP k
Đưng thng cn lập có phương trình
2
1
2


x
y
zt
c) Đi qua
2;3; 1A
1;2;4 .B
Ta có
1; 1;5
AB
Đưng thẳng được xác định
2;3; 1
1; 1;5

qua A
VTCP AB
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 145
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Đưng thng cn lập có phương trình
2
3
15


xt
yt
zt
d) Đi qua
4;3;1A
và song song với đường thng
12
:3
32


xt
yt
zt
.
12
:3
32


xt
yt
zt
có VTCP
2; 3;2
u
Đưng thẳng được xác định
4;3;1
2; 3;2

qua A
VTCP u
Đưng thng cn lập có phương trình
42
33
12



xt
yt
zt
e) Đi qua
1;2; 1A
song song với đường thng giao tuyến ca hai mt phng
: 3 0
x y z
:2 5 4 0.
x y z
: 3 0
x y z
có VTPT
1;1; 1
n
:2 5 4 0.
x y z
có VTPT
' 2; 1;5
n
Ta có
, ' 4; 7; 3


u n n
Đưng thẳng được xác định
1;2; 1
4; 7; 3

qua A
VTCP u
Đưng thng cn lập có phương trình
14
27
13


xt
yt
zt
f) Đi qua
2;1;0A
và vuông góc vi mt phng
: 2 2 1 0
x y z
.
: 2 2 1 0
x y z
có VTPT
1;2; 2
n
Đưng thẳng được xác định
2;1;0
1;2; 2


qua A
VTCP n
Đưng thng cn lập có phương trình
2
12
2


xt
yt
zt
g) Đi qua
2; 1;1A
và vuông góc với hai đường thng lần lượt VTCPlà
1
1;1; 2
u
2
1; 2;0 .
u
Ta có
12
, 4; 2;1


u u u
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 146
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Đưng thẳng được xác định
2; 1;1
4; 2;1

qua A
VTCP n
Đưng thng cn lập có phương trình
24
12
1


xt
yt
zt
Câu 11. [SGK CB] Cho điểm
1;0;0A
21
:
1 2 1
x y z
.
a) Tìm tọa độ điểm
H
là hình chiếu vuông góc ca
A
trên
;
b) Tìm tọa độ điểm
A
đối xng vi
A
qua đường thng
.
ng dn gii
a)
H
là hình chiếu vuông góc ca
A
trên
2 ;1 2 ;H H t t t
1 ;1 2 ;AH t t t
có VTCP
1;2;1u
1
. 0 1 1 2 1 2 1. 0
2
AH AH u t t t t
Vy
31
;0;
22
H



.
b)
A
đối xng vi
A
qua đường thng
H
là trung điểm ca
AA
22
20
21
A H A
A H A
A H A
x x x
y y y
z z z
Vy
2 ;0 ; 1A
.
Câu 12. [SBT CB] Cho điểm
2; 1;1M
và đường thng
11
:
2 1 2
x y z
a) Tìm to độ điểm
H
là hình chiếu vuông góc của đim
M
trên đường thng
.
b) Tìm to độ điểm
M
đối xng vi
M
qua đường thng
.
ng dn gii
a)
H
là hình chiếu vuông góc ca
M
trên
1 2 ; 1 ;2H H t t t
2 1; ;2 1MH t t t
có VTCP
2;1; 2u

. 0 2 2 1 1 2. 2 1 0 0MH MH u t t t t
Vy
1; 1;0H
.
b)
M
đối xng vi
M
qua đường thng
H
là trung điểm ca
MM
20
21
21
M H M
M H M
M H M
x x x
y y y
z z z
Vy
0; 1; 1M

.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 147
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 13. [SBT NC] Cho ba điểm
1;3;2 , 4;0; 3 , 5; 1;4A B C
. Tìm to độ hình chiếu
H
ca
điểm
A
trên đường thng
.BC
ng dn gii
Đưng thng
BC
đi qua đim
4;0; 3B
nhận vectơ
1; 1;7BC 
làm VTCPnên có
phương trình tham số:
4
37
xt
yt
zt


H
là hình chiếu vuông góc ca
A
trên đường thng
BC
4 ; ; 3 7H BC H t t t
5 ; 3;7 5AH t t t
9
. 0 1(5 ) 1( 3) 7(7 5) 0
17
AH BC AH BC t t t t
Vy
77 9 12
;;
17 17 17
H



.
Câu 14. [SBT NC] Cho đường thng
22
:
3 2 1
x y z
d


điểm
4; 3;2M
. Tìm to độ hình
chiếu
H
ca
M
trên đường thng
.d
ng dn gii
Đưng thng
23
: 2 2
xt
d y t
zt

d
có VTCP
3;2; 1
d
u 
Gi
H
là hình chiếu vuông góc ca
M
lên
d
2 3 ; 2 2 ;H d H t t t
6 3 ;1 2 ; 2MH t t t
Ta có
. 0 3 6 3 2 1 2 2 1
d
MH u t t t t
Suy ra
1;0; 1H
M
đối xng vi
M
qua
d
H
là trung điểm ca
MM
22
23
2z 4
M H M
M H M
M H M
x x x
y y y
zz
Vy
2 ;3;4 .M
Câu 15. [SBT NC] Tìm to độ điểm đối xng ca
3;1; 1M 
qua đường thng
d
giao tuyến ca
hai mt phng
:4 3 13 0xy
: 2 5 0.yz
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 148
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
ng dn gii
Đưng thng
3
7
2
4 3 13 0
: 5 2
2 5 0
xt
xy
d y t
yz
zt


.
d
có VTCP
3
;2;1
2
d
u



Gi
H
là hình chiếu vuông góc ca
M
lên
d
3
7 ; 5 2 ;
2
H d H t t t



3
10 ; 6 2 ; 1
2
MH t t t


Ta có



3 3 104
. 0 10 2 6 2 1 0
2 2 29
d
MH u t t t t
Suy ra
47 63 104
;;
29 29 29
H



M
đối xng vi
M
qua
d
H
là trung điểm ca
MM
181
2
29
97
2
29
237
2z
29
M H M
M H M
M H M
x x x
y y y
zz
Vy
181 97 237
; ; .
29 29 29
M



Câu 16. [SBT NC] Tìm to độ điểm đối xng ca
2; 1;1M
qua đường thng
d
giao tuyến ca
hai mt phng
: 4 0yz
2 2 0.x y z
ng dn gii
Đưng thng
1
40
:4
2 2 0
x
yz
d y t
x y z
zt

.
d
có VTCP
0; 1;1
d
u 
Gi
H
là hình chiếu vuông góc ca
M
lên
d
1;4 ;H d H t t
1;5 ; 1MH t t
Ta có
. 0 5 1 0 3
d
MH u t t t
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 149
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Suy ra
1;1;3H
M
đối xng vi
M
qua
d
H
là trung điểm ca
MM
20
23
2z 5
M H M
M H M
M H M
x x x
y y y
zz
Vy
0;3;5 .M
Câu 17. [SGK CB] Viết phương trình tham số của đường thng hình chiếu vuông góc của đường
thng
2
: 3 2
13
xt
d y t
zt


lần lượt trên các mt phng sau:
a)
Oxy
b)
Oyz
ng dn gii
Phương trình hình chiếu vuông góc của đường thng
d
trên mt phng to độ
Oxy
là:
2
32
0
xt
yt
z

Phương trình hình chiếu vuông góc của đường thng
d
trên mt phng to độ
Oyz
là:
0
32
13
x
yt
zt

Câu 18. [SGK NC] Cho đường thng
: 8 4
32
xt
d y t
zt


và mt phng
: 7 0.P x y z
a) Tìm mt VTCPca
d
và một điểm nm trên
.d
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua
d
và vuông góc vi
mp .P
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc ca
d
trên
mp .P
ng dn gii
a) Đưng thng
d
đi qua điểm
0;8;3M
và có VTCP
1;4;2
d
u
.
b) Mt phng
đi qua
d
vuông góc vi
P
vectơ pháp tuyến
; 2;1; 3
dP
n u n


đi qua
d
nên
M
: 2 0 8 3 3 0 2 3 1 0x y z x y z
.
c) Hình chiếu vuông góc ca
d
trên
P
giao tuyến ca
P
vi mt phng
cha
d
vuông góc vi
P
. Vậy phương trình hình chiếu ca
d
lên
P
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 150
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
84
2 3 1 0
15 5
70
xt
x y z
yt
x y z
zt

.
Câu 19. [SGK NC] Cho đường thng
d
và mt phng
có phương trình:
2 1 1
: ; : 2 8 0
2 3 5
x y z
d x y z
Viết phương trình hình chiếu vuông góc ca
d
trên
.
ng dn gii
Hình chiếu vuông góc của đường thng
d
trên mt phng
giao tuyến ca mt phng
vi mt phng
, trong đó
là mt phng chứa đưng thng
d
vuông góc vi
.
Đưng thng
d
đi qua điểm
2; 1;1M
và có VTCP
2;3;5
d
u
Mt phng
có VTPT
2;1;1n
là mt phng cha
d
và vuông góc vi
nên có VTPT
; 2;8; 4
d
n u n



cha
d
nên
M
: 2 2 8 1 4 1 0 2 8 4 16 0x y z x y z
Vậy phương trình hình chiếu là
2 8 0
2 8 4 16 0
x y z
xyz
40 2
93
81
93
xt
yt
zt

Câu 20. [SBT NC] Viết phương trình hình chiếu ca đường thng
12
: 2 3
3
xt
d y t
zt


trên mi mt
phng sau:
mp Oxy
,
mp Oxz
,
mp Oyz
,
mp : 7 0.x y z
ng dn gii
Phương trình hình chiếu vuông góc của đường thng
d
trên mt phng to độ
Oxy
là:
12
23
0
xt
yt
z

Phương trình hình chiếu vuông góc của đường thng
d
trên mt phng to độ
Oxz
là:
12
0
3
xt
y
zt


Phương trình hình chiếu vuông góc của đường thng
d
trên mt phng to độ
Oyz
là:
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 151
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
0
23
3
x
yt
zt

Hình chiếu vuông góc của đường thng
d
trên mt phng
giao tuyến ca mt phng
vi mt phng
, trong đó
là mt phng cha đường thng
d
vuông góc vi
.
Đưng thng
d
đi qua điểm
1; 2;3M
và có VTCP
2;3;1
d
u
Mt phng
có VTPT
1;1;1n
là mt phng cha
d
và vuông góc vi
nên có VTPT
; 2; 1; 1
d
n u n



cha
d
nên
M
: 2 1 1 2 1 3 0 2 1 0x y z x y z
Vậy phương trình hình chiếu là
2 1 0
70
x y z
x y z
8
3
13
3
x
yt
zt
Câu 21. [SBT NC] Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thng
7
3
2
:2
2
xt
d y t
zt



trên mt phng
: 2 2 2 0.x y z
ng dn gii
Phương trình hình chiếu vuông góc là giao tuyến ca hai mt phng
trong đó
là mt phng cha
d
và vuông góc vi
.
Đưng thng
d
đi qua điểm
7
;0;0
2
M



và có VTCP
3; 2; 2
d
u
Mt phng
có VTPT
1;2; 2n 
là mt phng cha
d
và vuông góc vi
nên có VTPT
1
; 2;1;2
4
d
n u n




cha
d
nên
M
7
: 2 1 0 2 0 0 2 2 7 0
2
x y z x y z



Vậy phương trình hình chiếu là
2 2 2 0
2 2 7 0
x y z
x y z
3
1
2
2
xt
yt
zt

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 152
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 22. [SBT –CB] Cho hai đường thng
12
:
1 2 3
x y z
d


1
: 3 2
1
xt
d y t
z



Lập phương trình đường vuông góc chung ca
d
.d
ng dn gii
d
có VTCP là
1
1;2;3
u
,
d
có VTCP là
2
1; 2;0
u
.
Gi
1 1 1
1 ;2 2 ;3 M t t t d
,
22
1 ;3 2 ;1
N t t d
.
Suy ra
2 1 2 1 1
; 2 2 1; 3 1
MN t t t t t
Ta có:
1
1 1 2
12
2
2
1
. 0 14 5 5
3
5 5 2 1
.0
15



t
MN u t t
tt
MN u
t
Do đó:
28
; ;1 ,
33



M
16 43
; ;1
15 15



N
,
21
; ;0
55


MN
Đường vuông góc chung đi qua
28
; ;1
33
M



nhận vectơ

5 2;1;0u MN
làm VTCP nên
có phương trình :


2
2
3
8
3
1
xt
yt
z
Câu 23. [SBT NC] Viết phương trình đường vuông góc chung ca các cặp đường thng sau:
a)
2 3 4
:
2 3 5
x y z
d

1 4 4
:
3 2 1
x y z
d


.
b)
2
:1
2
xt
d y t
zt


22
:3
xt
dy
zt

ng dn gii
a) Đưng thng
d
d
lần lượt có VTCPlà
2;3; 5
d
u 
,
3; 2; 1
d
u
.
Đim
2 2 ;3 3 ; 4 5M d M t t t
Đim
1 3 ;4 2 ;4N d N t t t
3 3 2 ;1 2 3 ;8 5MN t t t t t t
MN
đường vuông góc chung ca
d
d
khi ch khi
2 3 3 2 3 1 2 3 5 8 5 0
.0
5 38 43 1
14 5 19 1
3 3 3 2 2 1 2 3 1 8 5 0
.0
d
d
t t t t t t
MN u
t t t
t t t
t t t t t t
MN u




Suy ra
0;0;1 , 2;2;3 2;2;2M N MN
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 153
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Vậy phương trình chính tắc của đường vuông góc chung
là:
1
1 1 1
x y z

.
b) Tương tự, phương trình đường vuông góc chung là:
23
.
1 5 2
x y z

Câu 24. [SGK NC] Viết phương trình đường thẳng đi qua
1; 1;1M
ct c hai đường thng sau
đây:
12
:
3
xt
d y t
zt


: 1 2
2
xt
d y t
zt

ng dn gii
Gọi đường thng cn tìm
gi s
cắt hai đường thng
d
d
lần lượt ti
1 2 ; ;3A a a a d
; 1 2 ;2B b b b d
Do đường thng
đi qua
1; 1;1M
MA kMB
2 ; 1;2MA a a a
;
1; 2 ;1MB b b b
33
22
21
11
12
4 13
21
13 13
44
aa
a k b
a k b kb b
a k b
kk









Phương trình đường thng
d
đi qua
1; 1;1M
VTCP
17
2. 2 3; ; 6;1; 7
22
MA



có phương trình là:
16
1
17
xt
yt
zt


Câu 25. [SGK NC] Viết phương trình đưng thng song song với đường thng
1
d
ct c hai
đường thng
2
d
3
d
, biết phương trình của
1 2 3
,,d d d
là:
1
1
: 2 4
1
x
d y t
zt

2
1 2 2
:
1 4 3
x y z
d

3
45
: 7 9
xt
d y t
zt
ng dn gii
Gọi đường thng cn m
d
gi s
d
cắt hai đường thng
2
d
3
d
lần lượt ti
2
1 ; 2 4 ;2 3A t t t d
3
4 5 ; 7 9 ;B t t t d
5 5;9 4 5; 3 2AB t t t t t t
Đưng thng
1
d
có VTCP
0;4; 1u 
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 154
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Do đường thng
d
song song
1
d
AB ku
5 5 .0 1
9 4 5 .4 0
3 2 1
t t k t
t t k t
t t k k






1; 2;2A
Phương trình đường thng
d
đi qua
1; 2;2A
và có VTCP
0;4; 1u 
nên có phương trình
là:
1
24
2
x
yt
zt

.
Câu 26. Cho hai đường thẳng có phương trình
1
23
:1
32
xz
dy

2
3 7 1
:.
1 2 1
x y z
d


Viết
phương trình đường thng ct
1
d
2
d
đồng thời đi qua điểm
3;10;1M
.
ng dn gii
Gọi đường thng cn tìm
d
gi s
d
cắt hai đường thng
1
d
2
d
lần lượt ti
1
2 3 ; 1 ; 3 2A a a a d
2
3 ;7 2 ;1 bB b b d
Do đường thng
d
đi qua
3;10;1M
MA kMB
3 1; 11; 4 2MA a a a
;
; 2 3;MB b b b
3 1 1
11 2 3 2
4 2 1
a kb a
a kb k k
a kb b





Phương trình đường thng
d
là:
32
10 10
12
xt
yt
zt



Câu 27. [SBT CB] Viết phương trình của đường thng
nm trong mt phng
: 2z 0y

cắt hai đường thng
1
1
:
4
xt
d y t
zt

2
2
: 4 2
4
xt
d y t
z


ng dn gii
Gi
A
là giao điểm ca
1
d
suy ra to độ
A
tho
1
1
0 1;0;0
4
0
2z 0
xt
x
yt
yA
zt
z
y





TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 155
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Gi
B
là giao điểm ca
2
d
suy ra to độ
B
tho
2
8
42
8 8; 8;4
4
4
2z 0
xt
x
yt
yB
z
z
y






Đưng thng
đi qua
1;0;0A
nhn
7; 8;4AB 
làm VTCPnên phương trình
17
:8
4
xt
yt
zt

.
Câu 28. Cho hai đường thng
1
1 1 1
:
2 1 1
x y z
d

,
2
1 2 1
:
1 1 2
x y z
d

và mt phng
: 2 3 0P x y z
. Viết phương trình chính tắc của đường thng
nm trong
P
ct
c hai đường thng
12
,dd
.
ng dn gii
Đưng thng
1
d
2
d
có phương trình tham số
1
12
:1
1
xt
d y t
zt


2
1
:2
12
xt
d y t
zt


Gi
1
1;0;2A d P A
;
2
2;3;1B d P B
Đưng thng
tho mãn bài toán đi qua
A
và có VTCP
1;3; 1u AB
Phương trình chính tắc của đường thng
là:
12
1 3 1
x y z

.
Câu 29. [SGK NC] Cho đường thng
và mt phng
P
có phương trình:
1 2 3
: ; : 2 5 0
1 2 2
x y z
P x z
Viết phương trình đường thẳng đi qua
1;2;3A
, nm trong
P
và vuông góc vi
.
ng dn gii
Đưng thng
có VTCP
1;2;2u
Mt phng
P
có vectơ pháp tuyến
2;0;1
P
n
Đưng thng
d
nm trong
P
vuông góc vi
n vectơ pháp tuyến
; 2;3; 4
P
u u n


Vậy phương trình đường thng cn tìm là:
1 2 3
2 3 4
x y z

.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 156
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 30. [SBT CB] Cho mt phng
:2 1 0x y z
đường thng
12
:
2 1 3
x y z
d


. Gi
M
là giao điểm ca
d
, hãy viết phương trình của đường thng
đi qua
M
và vuông
góc vi
d
và nm trong
.
ng dn gii
Phương trình tham số ca
12
:
23
xt
d y t
zt

To độ điểm
M
tho h
12
2
1
2 3 2
7
2 1 0
2
xt
x
yt
y
zt
x y z
z







17
2; ;
22
M




Đưng thng
d
có VTCP
2;1; 3
d
u 
Mt phng
có vectơ pháp tuyến
2;1;1n
Đưng thng
nm trong
vuông góc vi
d
nên vectơ pháp tuyến
; 4; 8;0
d
u u n


Vậy phương trình đường thng cn tìm là:
24
1
8
2
7
2
xt
yt
z



.
Câu 31. (Hoạt động 5 trang 89) Xét s giao điểm ca mt phng
: 3 0x y z
với đường thng
d
trong các trường hp sau:
a)
2
: 3 ;
1
xt
d y t
z


b)
12
: 1 ;
1
xt
d y t
zt



c)
15
: 1 4
1 3 .
xt
d y t
zt



ng dn gii
a) Xét phương trình
2 3 1 3 0 3 0tt
(vô lý) vy
d
không có đim chung
hay
d
song song nhau.
b) Xét phương trình
1 2 1 1 3 0 0 0ttt
(luôn đúng với mi
t
) vy
d
có vô s điểm chung hay
d
trùng nhau.
c) Xét phương trình
1 5 1 4 1 3 3 0 4 0 0t t t t t
(có mt nghim t ) vy
d
một đim chung hay
d
cắt nhau. Khi đó giao điểm ca
d
1;1;1 .M
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 157
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 32. (Bài tp 5 SGK trang 90) Tìm s giao điểm của đường thng
d
vi mt phng
vi trong
các trường hp sau:
a)
12 4
: 9 3
1
xt
d y t
zt



:3 5 2 0;x y z
b)
1
:2
12
xt
d y t
zt



: 3 1 0;x y z
c)
1
: 1 2
23
xt
d y t
zt



: 4 0.x y z
ng dn gii
a) Xét phương trình
3 12 4 5 9 3 1 2 0 26 78 3t t t t t
vy
d
có một điểm chung.
b) Xét phương trình
1 3 2 1 2 1 0 9 0t t t
(vô lý) vy
d
không có
điểm chung .
c) Xét phương trình
1 1 2 2 3 4 0 0 0t t t
(luôn đúng với mi
t
) vy
d
có vô s điểm chung.
Câu 33. (Ví d 1- SBTCB trang 106) Xét v trí tương đối của đường thng
12
: 2 4
3
xt
yt
zt


lần lượt vi
các mt phng sau :
a)
1
: 2 0;x y z
b)
2
:4 8 2 7 0;x y z
c)
3
: 2 5 0;x y z
d)
4
:2 2 4 10 0.x y z
ng dn gii
Đưng thng
đi qua điểm
0
1;2;3M
và có VTCP
2;4;1 .a
Các mt phng
1 2 3 4
, , ,
vectơ pháp tuyến lần lượt
1 2 3 4
1;1;1 ; 4;8;2 1; 1;2 ; ;;.2 2;4n n n n
Ta có:
a)
1
. 2 4 1 7 0.na
Vậy đường thng
ct mt phng
1
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 158
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
b)
2
2.na
Vậy đường thng
vuông góc vi mt phng
2
.
c)
3
0 3
. 2 4 2 0na
M
Vậy đường thng
3
song song nhau.
d)
4
0 4
vi 2. 1 2. 2 4.
. 4 8 4 0
3 10 0
na
M

Vậy đường thng
nm trong mt phng
4
.
Câu 34. (Ví d 2- SBTCB trang 106) Cho đưng thng
11
:
2 1 1
x y z
d


mt phng
: 2 1 0x y z
. Chng minh rng
d
ct
và tìm tọa độ giao điểm.
ng dn gii
Phương trình tham số ca
d
là:
12
1
.
xt
yt
zt


Thay
,,x y z
phương trình trên vào phương trình tổng quát ca
ta được:
2
1 2 2 1 1 0 3 2
3
t t t t t
có mt nghim t.
Vy
d
ct
và giao điểm là
0
7 1 2
;;
33
.
3
M 



Câu 35. (Bài tp 3.35 - SBTCB trang 113) Xét v trí tương đối của đường thng
d
vi mt phng
với trong các trường hp sau:
a)
: 1 2
1
xt
d y t
zt


: 2 3 0;x y z
b)
2
:
2
xt
d y t
zt


: 5 0;xz
c)
3
:2
12
xt
d y t
zt



: 6 0;x y z
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 159
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
ng dn gii
a) Thay
,,x y z
trong phương trình tham số ca
d
trên vào phương trình tổng quát ca
ta
được:
2 1 2 1 3 0 4 0 0.t t t t t
Vy đường thng
d
ct
ti
0
.0;1;1M
b) Thay
,,x y z
trong phương trình tham s ca
d
trên vào phương trình tổng quát ca
ta
được:
2 2 5 0 0 9.t t t
Phương trình vô nghiệm, vy đường thng
d
song
song vi
.
c) Thay
,,x y z
trong phương trình tham số ca
d
trên vào phương trình tổng quát ca
ta
được:
3 2 1 2 6 0 0 0.t t t t
Phương trình luôn tha mãn vi mi
t
,
vậy đường thng
d
cha trong
.
Câu 36. (Bài tp 6.3 - SBTNC trang 131) Xét v trí tương đối của đường thng
d
mt phng
cho bởi các phương trình sau :
a)
12 9 1
:,
4 3 1
x y z
d

:3 5 2 0;x y z
b)
13
:,
2 4 3
x y z
d


:3 3 2 5 0;x y z
c)
9 1 3
:,
8 2 3
x y z
d

: 2 4 5 0;x y z
d)
7 1 5
:,
5 1 4
x y z
d

: 3 2 5 0;x y z
e)
d
giao tuyến ca hai mt phng
( ):3 5 7 16 0P x y z
( ):2 6 0Q x y z
,
:5 4 0;xz
ng dn gii
a) Đưng thng
d
đi qua điểm
0
12;9;1M
và có VTCP
4;3;1 .a
Mt phng
có vectơ pháp tuyến
3;5; 1n 
.
20. 6na 
nên
d
ct
.
b) Đưng thng
d
đi qua điểm
0
1;3;0M
VTCP
2;4;3 .a
Mt phng
vectơ pháp tuyến
3; 3;2n 
. 0a n
0
M
nên
d
song song vi
.
c) Đưng thng
d
đi qua điểm
0
9;1;3M
và có VTCP
8;2;3 .a
Mt phng
có vectơ
pháp tuyến
1;2; 4n 
. 0a n
0
M
nên
d
song song
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 160
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
d) Đưng thng
d
đi qua điểm
0
7;1;5M
và có VTCP
5;1;4 .a
Mt phng
có vectơ pháp tuyến
1; 3;2n 
.
80.na 
nên
d
ct
.
e) Mt phng
P
vectơ pháp tuyến
1
3;5;7n
. Mt phng
P
vectơ pháp tuyến
2
2; 1;1n 
. T đó ta tính được
12
; 12;11; 13a n n


Mt phng
có vectơ pháp tuyến
5;0; 1n 
.
. 0a n
nên
d
ct
.
Câu 37. (Ví d 3 SGKCB trang 87) Xét v trí tương đối của hai đường thng sau:
12
: 1 3
5
xt
d y t
zt


13
: 2 2
1 2 .
xt
d y t
zt


ng dn gii
Hai đường thng
d
d
có VTCPlần lượt là:
a 2;3;1
a 3;2;2 .
không tn ti s
k
để
aak
nên
a
a
không cùng phương. Từ đó suy ra
d
d
ct
nhau hoc chéo nhau.
Xét h phương trình
1 2 1 3
1 3 2 2
5 1 2 .
tt
tt
tt
T hai phương trình đầu ta được
3
5
t 
2
5
t

, thay vào phương trình cuối không tha
mãn. Ta suy ra h vô nghim. Vậy hai đường thng
d
d
chéo nhau.
Câu 38. (Ví d 4 SGKCB trang 88) Chứng minh hai đường thẳng sau đây vuông góc
5
: 3 2
4
xt
d y t
zt

92
: 13 3
1.
xt
d y t
zt




ng dn gii
Hai đường thng
d
d
có VTCPlần lượt là:
a 1;2;4
a 2;3; 1 .
Ta có
a.a 2 6 4 0 .dd

Câu 39. (Bài tp 3 SGKCB trang 90) Xét v tría tương đối của hai đường thng sau:
a)
3 2 6
:
2 3 4
xyz
d

5 1 20
':
1 4 1
x y z
d

;
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 161
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
b)
1 2 3
:
1 1 1
x y z
d

1 1 2
':
2 2 2
x y z
d

;
ng dn gii
a) Hai đường thng
d
d
có VTCPlần lượt là:
a 2;3;4
a 1; 4;1 .
không tn ti s
k
để
aak
nên
a
a
không cùng phương. Từ đó suy ra
d
d
ct
nhau hoc chéo nhau.
Xét h phương trình
3 2 5
2 3 1 4
6 4 20 .
tt
tt
tt
, t hai phương trình đầu ta được
3t
2t

, thay
vào phương trình cuối ta được
18 18
tha mãn. Ta suy ra h nghim duy nht . Vy hai
đường thng
d
d
ct nhau ti
0
3;7;18M
.
b) Hai đường thng
d
d
có VTCPlần lượt là:
a 1;1; 1
a 2;2; 2 .
a 2a
nên
a
a
cùng phương. Từ đó suy ra
d
d
song song hoc trùng nhau.
Xét h phương trình
1 1 2
2 1 2
3 2 2 .
tt
tt
tt
T hai phương trình đầu ta suy ra h vô nghim. Vậy hai đường thng
d
d
song song nhau.
Câu 40. (Bài tp 4 SGKCB trang 90) Tìm
a
để hai đường thẳng sau đây cắt nhau:
1
:
12
x at
d y t
zt

1'
' : 2 2 '
3'
xt
d y t
zt



.
ng dn gii
Xét h phương trình
11
22
1 2 3 .
at t
tt
tt

d
d
ct nhau khi h nghim duy nht. T hai
phương trình cuối ta đưc
2t
0t
, thay vào phương trình đầu ta được
1 2 1 0 0aa
. Vy Khi
a 0
thì
d
d
ct nhau.
Câu 41. (Bài tp 9 SGKCB trang 91) Chng minh rng hai đường thẳng sau đây chéo nhau:
1
: 2 2
3
xt
d y t
zt


1'
' : 3 2 '
1
xt
d y t
z


.
ng dn gii
Hai đường thng
d
d
có VTCPlần lượt là:
a 1;2;3
a 1; 2;0 .
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 162
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
không tn ti s
k
để
aak
nên
a
a
không cùng phương. Từ đó suy ra
d
d
ct
nhau hoc chéo nhau.
Xét h phương trình
1 1 '
2 2 3 2 '
31
tt
tt
t

t hai phương trình đầu ta suy ra h nghim. Vy hai
đường thng
d
d
chéo nhau.
Câu 42. (Ví d 1. SBTCB trang 103) Xét v trí tương đối của đường thng
1 1 5
:
2 3 1
x y z
ln
t với các đường thng sau
a)

1
3 2 6
:
4 6 2
x y z
d
; b)

2
4 1 3
:
6 9 3
x y z
d
;
c)

3
3 2 6
:
4 3 5
x y z
d
; d)

4
1 2 1
:
3 2 2
x y z
d
.
ng dn gii
Ta có đường thng
đi qua điểm
0
1; 1;5M
và có VTCP
2;3;1 .a
a) Đưng thng
1
d
đi qua điểm
1
3;2;6 M
và có VTCP
1
2;4;6 .a
Ta có
1
; 0;0;0n a a



1
M
thuc
3 1 2 1 6 5
2 3 1


. Vy
1
d
b) Đưng thng
2
d
đi qua điểm
2
4;1;3 M
và có VTCP
2
6;9;3 .a
Ta có
2
; 0;0;0n a a



2
M
không thuc
4 1 1 1
23

. Vy
2
//d
.
c) Đưng thng
3
d
đi qua điểm
3
3;2;6 M
và có VTCP
3
4;3;5 .a
Ta có
3
; 12; 6; 6 0n a a


0 3 0 3
2;3;1 , . 24 18 6 0M M M M n
Vy
3
d
ct nhau.
d) Đưng thng
4
d
đi qua điểm
4
1; 2; 1 M 
và có VTCP
4
3;2;2 .a
Ta có
4
; 4; 1; 5 0n a a


0 3 0 3
0; 1; 6 , . 0 1 30 0M M M M n
Vy
4
d
là hai đường thng chéo nhau.
Câu 43. (Ví d 2- SBTCB trang 106) Cho đưng thng
11
:
2 1 1
x y z
d


mt phng
: 2 1 0x y z
. Chng minh rng
d
ct
và tìm tọa độ giao điểm.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 163
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
ng dn gii
Phương trình tham số ca
d
là:
12
1
.
xt
yt
zt


Thay
,,x y z
phương trình trên vào phương trình tổng quát ca
ta được:
2
1 2 2 1 1 0 3 2
3
t t t t t
có mt nghim t.
Vy
d
ct
và giao điểm là
0
7 1 2
;;
33
.
3
M 



Câu 44. (Bài tp 3.35 - SBTCB trang 113) Xét v trí tương đối của đường thng
d
vi mt phng
với trong các trường hp sau:
a)
: 1 2
1
xt
d y t
zt


: 2 3 0;x y z
b)
2
:
2
xt
d y t
zt


: 5 0;xz
c)
3
:2
12
xt
d y t
zt



: 6 0;x y z
ng dn gii
a) Thay
,,x y z
trong phương trình tham số ca
d
trên vào phương trình tng quát ca
ta
được:
2 1 2 1 3 0 4 0 0.t t t t t
Vy đường thng
d
ct
ti
0
.0;1;1M
b) Thay
,,x y z
trong phương trình tham số ca
d
trên vào phương trình tng quát ca
ta
được:
2 2 5 0 0 9.t t t
Phương trình vô nghiệm, vy đường thng
d
song
song vi
.
c) Thay
,,x y z
trong phương trình tham số ca
d
trên vào phương trình tng quát ca
ta
được:
3 2 1 2 6 0 0 0.t t t t
Phương trình luôn thỏa mãn vi mi
t
,
vậy đường thng
d
cha trong
.
Câu 45. (Bài tp 6.3 - SBTNC trang 131) Xét v trí tương đối của đường thng
d
mt phng
cho bởi các phương trình sau :
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 164
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
a)
12 9 1
:,
4 3 1
x y z
d

:3 5 2 0;x y z
b)
13
:,
2 4 3
x y z
d


:3 3 2 5 0;x y z
c)
9 1 3
:,
8 2 3
x y z
d

: 2 4 5 0;x y z
d)
7 1 5
:,
5 1 4
x y z
d

: 3 2 5 0;x y z
e)
d
giao tuyến ca hai mt phng
( ):3 5 7 16 0P x y z
( ):2 6 0Q x y z
,
:5 4 0;xz
ng dn gii
a) Đưng thng
d
đi qua điểm
0
12;9;1M
và có VTCP
4;3;1 .a
Mt phng
có vectơ pháp tuyến
3;5; 1n 
.
20. 6na 
nên
d
ct
.
b) Đưng thng
d
đi qua điểm
0
1;3;0M
VTCP
2;4;3 .a
Mt phng
vectơ pháp tuyến
3; 3;2n 
. 0a n
0
M
nên
d
song song vi
.
c) Đưng thng
d
đi qua điểm
0
9;1;3M
VTCP
8;2;3 .a
Mt phng
vectơ
pháp tuyến
1;2; 4n 
. 0a n
0
M
nên
d
cha trong
.
d) Đưng thng
d
đi qua điểm
0
7;1;5M
và có VTCP
5;1;4 .a
Mt phng
có vectơ pháp tuyến
1; 3;2n 
.
20. 6na 
nên
d
ct
.
e) Mt phng
P
vectơ pháp tuyến
1
3;5;7n
. Mt phng
P
vectơ pháp tuyến
2
2; 1;1n 
. T đó ta tính được
12
; 12;11; 13a n n


Mt phng
có vectơ pháp tuyến
5;0; 1n 
.
. 0a n
nên
d
ct
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 165
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 46. (Ví d 3 SGKCB trang 87) Xét v trí tương đối của hai đường thng sau:
12
: 1 3
5
xt
d y t
zt


13
: 2 2
1 2 .
xt
d y t
zt


ng dn gii
Hai đường thng
d
d
có VTCPlần lượt là:
a 2;3;1
a 3;2;2 .
không tn ti s
k
để
aak
nên
a
a
không cùng phương. Từ đó suy ra
d
d
ct
nhau hoc chéo nhau.
Xét h phương trình
1 2 1 3
1 3 2 2
5 1 2 .
tt
tt
tt
T hai phương trình đầu ta được
3
5
t 
2
5
t

, thay vào phương trình cuối không tha
mãn. Ta suy ra h vô nghim. Vậy hai đường thng
d
d
chéo nhau.
Câu 47. (Ví d 4 SGKCB trang 88) Chứng minh hai đường thẳng sau đây vuông góc
5
: 3 2
4
xt
d y t
zt

92
: 13 3
1.
xt
d y t
zt




ng dn gii
Hai đường thng
d
d
có VTCPlần lượt là:
a 1;2;4
a 2;3; 1 .
Ta có
a.a 2 6 4 0 .dd

Câu 48. (Bài tp 3 SGKCB trang 90) Xét v trí tương đối của hai đường thng sau:
c)
3 2 6
:
2 3 4
xyz
d

5 1 20
':
1 4 1
x y z
d

;
d)
1 2 3
:
1 1 1
x y z
d

1 1 2
':
2 2 2
x y z
d

;
ng dn gii
c) Hai đường thng
d
d
có VTCPlần lượt là:
a 2;3;4
a 1; 4;1 .
không tn ti s
k
để
aak
nên
a
a
không cùng phương. Từ đó suy ra
d
d
ct
nhau hoc chéo nhau.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 166
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Xét h phương trình
3 2 5
2 3 1 4
6 4 20 .
tt
tt
tt
, t hai phương trình đầu ta được
3t
2t

, thay
vào phương trình cuối ta được
18 18
tha mãn. Ta suy ra h nghim duy nht . Vy hai
đường thng
d
d
ct nhau ti
0
3;7;18M
.
d) Hai đường thng
d
d
có VTCPlần lượt là:
a 1;1; 1
a 2;2; 2 .
a 2a
nên
a
a
cùng phương. Từ đó suy ra
d
d
song song hoc trùng nhau.
Xét h phương trình
1 1 2
2 1 2
3 2 2 .
tt
tt
tt
T hai phương trình đầu ta suy ra h vô nghim. Vậy hai đường thng
d
d
song song nhau.
Câu 49. (Bài tp 4 SGKCB trang 90) Tìm
a
để hai đường thẳng sau đây cắt nhau:
1
:
12
x at
d y t
zt

1'
' : 2 2 '
3'
xt
d y t
zt



.
ng dn gii
Xét h phương trình
11
22
1 2 3 .
at t
tt
tt

d
d
ct nhau khi h nghim duy nht. T hai
phương trình cuối ta đưc
2t
0t
, thay vào phương trình đầu ta được
1 2 1 0 0aa
. Vy Khi
a 0
thì
d
d
ct nhau.
Câu 50. (Bài tp 9 SGKCB trang 91) Chng minh rng hai đường thẳng sau đây chéo nhau:
1
: 2 2
3
xt
d y t
zt


1'
' : 3 2 '
1
xt
d y t
z


.
ng dn gii
Hai đường thng
d
d
có VTCPlần lượt là:
a 1;2;3
a 1; 2;0 .
không tn ti s
k
để
aak
nên
a
a
không cùng phương. Từ đó suy ra
d
d
ct
nhau hoc chéo nhau.
Xét h phương trình
1 1 '
2 2 3 2 '
31
tt
tt
t

t hai phương trình đầu ta suy ra h nghim. Vy hai
đường thng
d
d
chéo nhau.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 167
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 51. (Ví d 1. SBTCB trang 103) Xét v trí tương đối của đường thng
1 1 5
:
2 3 1
x y z
ln
t với các đường thng sau
a)

1
3 2 6
:
4 6 2
x y z
d
b)

2
4 1 3
:
6 9 3
x y z
d
;
c)

3
3 2 6
:
4 3 5
x y z
d
; d)

4
1 2 1
:
3 2 2
x y z
d
.
ng dn gii
Ta có đường thng
đi qua điểm
0
1; 1;5M
và có VTCP
2;3;1 .a
e) Đưng thng
1
d
đi qua điểm
1
3;2;6 M
và có VTCP
1
2;4;6 .a
Ta có
1
; 0;0;0n a a



1
M
thuc
3 1 2 1 6 5
2 3 1


. Vy
1
d
f) Đưng thng
2
d
đi qua điểm
2
4;1;3 M
và có VTCP
2
6;9;3 .a
Ta có
2
; 0;0;0n a a



2
M
không thuc
4 1 1 1
23

. Vy
2
//d
.
g) Đưng thng
3
d
đi qua điểm
3
3;2;6 M
và có VTCP
3
4;3;5 .a
Ta có
3
; 12; 6; 6 0n a a


0 3 0 3
2;1;3 , . 24 18 6 0M M M M n
Vy
3
d
ct nhau.
h) Đưng thng
4
d
đi qua điểm
4
1; 2; 1 M 
và có VTCP
4
3;2;2 .a
Ta có
4
; 4; 1; 5 0n a a


0 3 0 3
0; 1; 6 , . 0 1 30 0M M M M n
Vy
4
d
là hai đường thng chéo nhau.
Câu 52. (Ví d 2. SBTCB trang 104) Cho hai đường thng


11
:
2 1 1
x y z
d

3
:2
1.
xt
d y t
zt
a) Xét v trí tương đối gia
d
d
.
b) Tìm giao điểm nếu có ca
d
d
.
ng dn gii
a) Phương trình tham số ca
d
là:
12
1
.
xt
yt
zt


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 168
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Xét h phương trình
3 1 2 1
2 1 2
1 3
tt
tt
tt

, t hai phương trình đầu ta được
0t
1t
, thay
vào phương trình
3
tha mãn. Ta suy ra hnghim duy nht . Vy hai đưng thng
d
d
ct nhau .
b) Thay
0t
vào phương trình tham số ca
d
ta được giao điểm là
3;0; 1 .M
Câu 53. (Bài tp 3.33 SBTCB trang 112) Xét v trí tương đối của hai đường thng sau:
a)

1 1 2
:
1 2 3
x y z
d


1 5 4
':
3 2 2
x y z
d
;
b)


:1
2
xt
d y t
zt




92
: 8 2 ;
10 2
xt
d y t
zt
c)

:3
12
xt
d y t
zt
0
:9
5.
x
dy
zt
ng dn gii
a) Đưng thng
d
đi qua điểm
0
1;1; 2M
và có VTCP
1;2;3 .
a
Đưng thng
d
đi qua điểm
0
1;5;4
M
và có VTCP
3;2;2 .
a
Ta có
; 2;7; 4 0


n a a
0 0 0 3
2;4;6 , . 0

M M M M n
. Vy
3
d
ct nhau.
b) Đường thng
d
đi qua điểm
0
0;1;2 M
và có VTCP
1;1; 1 .
a
Đưng thng
d
đi qua điểm
0
9;8;10
M
và có VTCP
2;2; 2 .
a
Ta có
;0



n a a
0
Md
. Vy
3
d
song song.
c) Đưng thng
d
đi qua điểm
0
0;0; 1 M
và có VTCP
1;3; 2 .
a
Đưng thng
d
đi qua điểm
0
0;9;0
M
và có VTCP
0;0;5 .
a
Ta
; 15;5;0 0


n a a
0 0 0 3
0;9;1 , . 45 0
M M M M n
. Vy
3
d
chéo
nhau.
Câu 54. (Bài tp 3.34 SBTCB trang 113) Tìm
a
để hai đường thẳng sau đây song song:


5
:
2
xt
d y at
zt



1 2 '
' : 4 '
2 2 '.
xt
d y a t
zt
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 169
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
ng dn gii
Câu 55. Trong không gian
Oxyz
xét cặp đường thng
,
mm
dd
có phương trình là:
12
: 2 :
1 3 1 .
mm
x mt x m t
d y m t d y mt
z m t z m t






Xác định v trí tương đối của hai đường thẳng đó tùy theo giá trị ca m.
ng dn gii
Đưng thng
m
d
đi qua điểm
1;m;1Mm
và có VTCP
;2;-3 .am
Đưng thng
m
d
đi qua điểm
;0;1M m m
và có VTCP
2; ;1 .am
Ta có
1; ;0 . MM m m
T đó ta tính được
2
; . 4 7 2 2 4 1a a MM m m m m



.
Vy :
Nếu
2m
1
4
m 
thì hai đường thng là chéo nhau;
Nếu
2m
thì
2;2;-3a
2;2;1a
không cùng phương, suy ra hai đường thẳng đã cho cắt
nhau;
Nếu
1
4
m 
thì
1
;2;-3
4
a


1
2; ;1
4
a



không cùng phương, suy ra hai đường thẳng đã
cho ct nhau.
Câu 56. (Bài tp 62 SBTNC trang 131) Xét v trí tương đối ca các cặp đường thng sau:
a)

1 7 3
:
214
x y z
d
,

6 1 2
':
3 2 1
x y z
d
;
b)


12
:
2 2 1
x y z
d
,


84
':
2 3 1
x y z
d
;
c)



21
:
4 6 8
x y z
d
,


72
':
6 9 12
x y z
d
;
ng dn gii
a) Đưng thng
d
đi qua điểm
0
1;7;3M
và có VTCP
2;1;4 .
a
Đưng thng
d
đi qua điểm
0
6; 1; 2
M
và có VTCP
3; 2;1 .
a
Ta có
; 9;10; 7 0


n a a
0 0 0 3
5; 8; 5 , . 0
M M M M n
. Vy d và
d
ct nhau.
b) Đưng thng
d
đi qua điểm
0
1;2;0 M
và có VTCP
2; 2;1 .
a
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 170
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Đưng thng
d
đi qua điểm
0
0; 8;4
M
và có VTCP
2;3;1 .
a
Ta
; 5; 4;2 0


n a a
0 0 0 3
1; 10;4 , . 0
M M M M n
. Vy d
d
chéo
nhau.
c) Đưng thng
d
đi qua điểm
0
2;0; 1 M
và có VTCP
4; 6; 8 .
a
Đưng thng
d
đi qua điểm
0
7;2;0
M
và có VTCP
6;9;12 .
a
Ta có
;0



n a a
0
Md
. Vy d và
d
song song.
Câu 57. Cho hai đường thng
1
Δ
2
Δ
phương trình:
1
1 3 2
Δ : ;
2 1 1

x y z
2
3 1 1
Δ:
2 1 3

x y z
.Tìm góc giữa hai đường thẳng đó.
ng dn gii
Ta : Đưng thng
1
Δ
véctơ chỉ phương của
1
2; 1;1
v
đi qua đim
1
(1;3;2)M
Đưng thng
2
Δ
véctơ chỉ phương của
2
2;1;3
v
đi qua điểm
2
(3;1;1)M
Cosin góc
giữa hai đường thng
1
Δ
2
Δ
được cho bi:
12
12
2 2 2 2 2 2
12
| . |
| 2.( 2) 1.1 1.3| 1
cos ,
| |.| |
21
2 ( 1) 1 . ( 2) 1 3
vv
vv
vv
góc giữa hai đường thng là
77,40
Câu 58. ( Bài 7 SGKCB trang 91) Cho điểm
1;0;0A
21
:
1 2 1
x y z
.
a) Tìm tọa độ điểm
H
là hình chiếu vuông góc ca
A
trên
;
b) Tìm tọa độ điểm
'A
đối xng vi
A
qua đường thng
.
ng dn gii
a) Gi
2 ;1 2 ;H t t t
là hình chiếu của điểm
A
lên đường thng
.
Ta có:
1 ;1 2 ; .AH t t t
VTCPcủa đường thng
1;2;1 .u
H
hình chiếu của đim
A
lên đường thng
nên
1
. 0 1 2 1 2 0 .
2
AH AH u t t t t
Vi
1
2
t 
ta có
31
;0; .
22
H



b) Gi
A
là điểm đối xng vi
A
qua
khi
H
là trung điểm của đoạn
.AA
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 171
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Vy: tọa độ đim
H
2
2 2;0; 1 .
2
A H A
A H A
A H A
x x x
x y y A
z z z


Câu 59. ( Bài 3.40 SBTCB trang 114) Cho điểm
2; 1;1M

11
:
2 1 2
x y z
.
a) Tìm tọa độ điểm
H
là hình chiếu vuông góc ca
M
trên
;
b) Tìm tọa độ điểm
'M
đối xng vi
M
qua đường thng
.
ng dn gii
a) Gi
1 2 ; 1 ;2H t t t
là hình chiếu của điểm
M
lên đường thng
.
Ta có:
1 2 ; ; 1 2 .MH t t t
VTCPcủa đường thng
2; 1;2 .u 
H
hình chiếu của điểm
M
lên đường thng
nên
4
. 0 2 1 2 1 2 1 2 0 .
9
MH MH u t t t t
Vi
4
9
t
ta có
17 13 8
; ; .
9 9 9
H



b) Gi
M
là điểm đối xng vi
M
qua
khi
H
là trung điểm của đoạn
.MM
Vy: tọa độ điểm
H
2
16 17 7
2 ; ; .
9 9 9
2
M H M
M H M
M H M
x x x
x y y M
z z z





Câu 60. Cho điểm
A(2;-1;5)
đường thng
42
:
1 1 1


x y z
d
. Tìm tọa độ hình chiếu ca
A
trên
d
.
ng dn gii
Cách 1: Hình chiếu ca
A
trên
d
chính là giao đim ca
d
mt phng
qua
A
vuông
góc vi
d
. Phương trình mặt phng
: 6 0. x y z
Khi đó tọa độ ca H nghim ca
h
x = 4+ t
y = t
t = 0.
z = 2+ t
x + y +z -6 = 0
Vy tọa độ hình chiếu
H
4;0;2 .
Cách 2:
(4 ; ;2 ); (2 ;1 ; 2 ) H d H t t t AH t t t
.
H
hình chiếu vuông góc ca
A
trên
d
2 1 2 0 0.
d
AH u t t t t
Vy
.4;0;2H
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 172
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 61. ( Bài 3.36 SBTCB trang 113) Tính Tính khong cách t điểm
1;0;1A
đến đường thng
1
:.
2 2 1

x y z
d
ng dn gii
Gi
H
là hình chiếu ca
A
trên đường thng
d
thì
(2 1;2 ; )H d H t t t
.
Ta có:
(2 ;2 ; 1)AH t t t
(2;2;1)u
là mt VTCP ca
d
.
1
. 0 4 4 1 0
9
AH d AH u AH u t t t t
nên
11 2 1
;;
9 9 9
H



.
Khong cách t điểm
A
tới đường thng
d
bằng độ dài đoạn
AH
.
Ta có
2 2 2
2 2 8 2 2
9 9 9 3
AH AH
.
Câu 62. Tính Tính khong cách t điểm
2; 1;5A
đến đường thng
42
:.
1 1 1


x y z
d
ng dn gii
Cách 1: Gi
H
là hình chiếu ca
A
trên đường thng
d
thì
(4 ; ;2 ) H d H t t t
.
Ta có:
(2 ;1 ; 3 ) AH t t t
(1;1;1)u
là mt VTCP ca
d
.
. 0 2 1 3 0 0 AH d AH u AH u t t t t
nên
4;0;2H
.
Khong cách t điểm
A
tới đường thng
d
bằng độ dài đoạn
AH
.
Ta có
2 2 2
2 1 3 14. AH AH
Cách 2:
d
qua
4;0;2M
và có VTCP
(1;1;1), 2;1; 3 ,
u AM
, 4; 5;1



AM u
. Ta có:
,
42
, 14.
3

AM u
d M d
u
Câu 63. ( Ví d 3 SBTCB trang 111) Tính khong cách giữa hai đường thng sau:
12
: -1-
1


xt
yt
z
2 2 3
': .
1 1 1
x y z
;
ng dn gii
Cách 1:
Đưng thng
đi qua điểm
0
1; 1;1 M
và có VTCP
2; 1;0 .
a
Đưng thng
đi qua điểm
0
2; 2;3
M
và có VTCP
1;1;1 .
a
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 173
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Gi
mt phng cha
song song vi
khi đó vectơ pháp tuyến ca mt phng
, 1; 2;1 .


n a a
Mt phng
cha
nên đi qua đim
0
M
nên phương trình
mt phng
là:
2 2 0. x y z
Khi đó
0
2 4 3 2
6
,,
2
1 4 1


d d M
.
Cách 2: Ta có:
00
, 1; 2;1 , 1; 1;2 .



a a M M
Vy
00
,.
1 2 2
6
,.
2
1 4 1
,





a a M M
d
aa
Câu 64. ( Bài 3.38 SBTCB trang 113) Tính khong cách giữa hai đường thng sau:
a)
1
: -1-
1


xt
yt
z
2-3 '
': 2 3 '
3'
xt
yt
zt
;
b)
41
:
1 1 2


x y z
24
':
1 3 3

x y z
.
ng dn gii
a) Cách 1: Đưng thng
đi qua điểm
0
1; 1;1 M
và có VTCP
1; 1;0 .
a
Đưng thng
đi qua điểm
0
2;2;0
M
và có VTCP
3;3;3 .
a
Gi
mt phng cha
song song vi
khi đó vectơ pháp tuyến ca mt phng
, 3; 3;0 .


n a a
Mt phng
cha
nên đi qua đim
0
M
nên phương trình
mt phng
là:
0.xy
Khi đó
0
22
, , 2 2.
11

d d M
Cách 2: Ta có:
00
, 3; 3;0 , 1;3;1 .



a a M M
Vy
00
,.
39
12
, 2 2.
9 9 0 3 2
,






a a M M
d
aa
b) Cách 1: Đưng thng
đi qua điểm
0
0;4; 1 M
và có VTCP
1; 1;2 .
a
Đưng thng
đi qua điểm
0
0;2;0
M
và có VTCP
1; 3; 3 .

a
Gi
mt phng cha
song song vi
khi đó vectơ pháp tuyến ca mt phng
, 9;5; 2 .


n a a
Mt phng
cha
nên đi qua điểm
0
M
nên phương trình
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 174
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
mt phng
là:
9 5 2 22 0. xyz
Khi đó
0
5.2 22
12
, , .
81 25 4 110


d d M
Cách 2: Ta có:
00
, 9;5; 2 , 0; 2;1 .



a a M M
Vy
00
,.
10 2
12
,.
81 25 4 110
,






a a M M
d
aa
Câu 65. ( Bài 3.39 SBTCB trang 114) Cho hai đường thng
1 3 4
:
2 1 2
x y z
2 1 1
':
4 2 4
x y z

.
a) Xét v trí tương đối ca
'
.
b) Tính khong cách gia
'
.
ng dn gii
a) Đưng thng
đi qua điểm
0
1; 3;4M
và có VTCP
2;1; 2 .
a
Đưng thng
đi qua điểm
0
2;1; 1
M
và có VTCP
4; 2;4 .

a
Ta có :
2.
aa
0
.
M
Vy
song song.
b) Ta có
0 0 0 0
3;4; 5 , , 3; 16; 11 .



M M M M a
00
0
,
9 256 121 386
, , .
3
4 1 4




M M a
d d M
a
Câu 66. ( Bài 3.43 SBTCB trang 114) Cho hình lập phương
.ABCD AB C D
cnh bng
a
. Bng
phương pháp toạ độ hãy tính khong cách giữa hai đường thng
CA
DD
.
ng dn gii
Ta chn h trc tọa độ như sau:
C
là gc tọa độ,
,,
AD i CB j CC k
. Ta có:
0;0;0 , ; ; , ;0;0 , ;0; ; ; , 0;0; , ;0;0
C A a a a D a D a a CA a a a DD a CD a
3
22
2
,
2
, ; ;0 , , .
2
2
,







CA DD CD
a
a
CA DD a a d CA DD
a
CA DD
Câu 67. Tính khong cách giữa hai đường thng
3 2 1
:
4 1 1
x y z
12
:
6 1 2

x y z
.
ng dn gii
Cách 1: Đưng thng
đi qua điểm
0
3; 2; 1 M
và có VTCP
4;1;1 .
a
Đưng thng
đi qua điểm
0
0;1;2
M
và có VTCP
6;1;2 .
a
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 175
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Gi
mt phng cha
song song vi
khi đó vectơ pháp tuyến ca mt phng
, 1;2;2 .



n a a
Mt phng
cha
nên đi qua điểm
0
M
nên phương trình mặt
phng
là:
2 2 3 0. x y z
Khi đó
0
2 4 3
9
, , 3.
3
1 4 4



d d M
Cách 2: Ta có:
00
, 1;2;2 , 3;3;3 .




a a M M
Vy
00
,.
3 6 6
9
, 3.
3
1 4 4
,





a a M M
d
aa
Câu 68. Cho đường thng
d
mt cu
S
phương trình:
2 2 2
35
: ;( ):( 1) ( 2) 9
2 6 5

x y z
d S x y z
.
Chng minh rằng đường thng
d
không ct mt cu
.S
ng dn gii
Cách 1: Đưng thng
d
vec chỉ phương
(2;6;5)u
đi qua điểm
(0; 3; 5)M
.
Mt cu
S
có tâm
(1;0;2)I
và bán kính
3R
.
Chuyển phương trình của
d
v dng tham s:
2
6 3,
55

xt
y t t R
zt
Thay phương trình tham số ca
d
vào phương trình mt cu
S
ta được:
2 2 2 2
(2 1) (6 3) (5 7) 9 22 10 0 t t t t t
, nghim
Vậy đường thng
d
không ct mt cu
S
.
Cách 2: Đưng thng
d
có VTCP
(2;6;5)u
và đi qua điểm
(0; 3; 5)M
.
Mt cu
S
có tâm
(1;0;2)I
và bán kính
3R
.
Ta có:
,
9 10
1;3;7 , , 27; 9;0 , 9 2
5



u MI
MI u MI d I d R
u
. Vy Vy
đường thng
d
không ct mt cu
S
.
Câu 69. Cho đường thng
d
mt cu
S
phương trình:
2 2 2
1 2 1
: ,( ) :( 4) ( 1) ( 2) 27
2 1 2
x y z
d S x y z
Chng minh rng
d
ct mt cu
S
tại hai điểm
,AB
. Tính độ dài
AB
.
ng dn gii
Đưng thng
d
VTCP
(2;1;2)u
đi qua điểm
(1;2; 1)M
Mt cu
S
tâm
(4; 1;2)I
bán kính
3 3.R
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 176
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Ta
,
( ,( )) 3 2
MI u
d I d R
u
. Suy ra
d
ct mt cu
S
tại hai điểm
,AB
.
Khi đó, với
H
là trung điểm ca AB thì :
22
22
2 2 2 3 3 3 2 6. AB AH R d
Câu 70. Trong không gian tọa độ Oxyz cho mt cu
S
phương trình :
2 2 2
( ): 2 6 4 13 0 S x y z x y z
đường thng
d
đi qua đim
(2;1;0)A
VTCP
1;( ; )2am
. Bin lun theo
m
s giao điểm ca
d
S
.
ng dn gii
Phương trình đường thng
d
đi qua
(2;1;0)A
có VTCP
1;( ; )2am
2
1,
2
xt
y mt t
zt


.
Thay
,,x y z
từ phương trình tham số của
d
vào phương trình mặt cầu
S
,ta được phương
trình:
2 2 2
2 1 2 2 2 6 1 4 2 13 0t mt t t mt t
22
5 2 2 5 20 0, 1m t m t 
Vậy số giao điểm của đường thẳng
d
mặt cầu
S
số nghiệm của phương trình
1
Ta
2
4 40 75 mm
, do vậy:
Nếu
152
0
52

m
m
d
không cắt
S
.
Nếu
152
0
52

m
m
d
tiếp xúc với
S
.
Nếu
0 52 152 m
d
cắt
S
tại hai điểm phân biệt.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 177
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
PHN 4: ÔN TP CHƯƠNG
A. BÀI TP TRC NGHIM.
Câu 1. Trong không gian
Oxyz
cho ba vectơ:
1;1;0 , 1;1;0 , 1;1;1a b c
. Trong các mệnh đề
sau, mệnh đề nào sai ?.
A.
2a
. B.
3c
. C.
ab
. D.
bc
.
ng dn gii.
Ta có :
. 1.1 1.1 0.1 2 0bc
. Đáp án D.
Câu 2. Cho ba điểm
0;2;1 , 3;0;1 , 1;0;0A B C
. Phương trình mặt phng
ABC
A.
2 3 4 2 0x y z
. B.
2 3 4 2 0x y z
.
C.
10 4 6 21 0x y z
. D.
5 2 3 21 0x y z
.
ng dn gii.
Ta có :
3; 2;0 , 1; 2; 1AB AC
; 2;3; 4n AB AC


.
Phương trình mặt phng
:2 3 4 2 0ABC x y z
.
Đáp án B.
Câu 3. Cho ba mt phng
: 2 1 0P x y z
,
: 2 0Q x y z
,
: 5 0R x y
. Trong các
mệnh đề sau,mệnh đề nào sai ?.
A.
PQ
. B.
RQ
. C.
PR
. D.
PR
.
ng dn gii.
Ta có :
1 1 2
1 1 1

.
Đáp án C.
Câu 4. Cho
d
đường thẳng đi qua điểm
1;2;3A
vuông góc vi mt phng
:
4 3 7 1 0x y z
. Phương trình tham số ca
d
.
A.
14
23
37
xt
yt
zt
. B.
14
23
37
xt
yt
zt



. C.
13
24
37
xt
yt
zt



. D.
18
26
3 14
xt
yt
zt
.
ng dn gii .
Đưng thng
d
đi qua điểm
1;2;3A
nhận vectơ pháp tuyến
4;3; 7n
ca mt phng
làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số :
14
23
37
xt
yt
zt



.
Đáp án B.
Câu 5. Cho
S
mt cu tâm
2;1; 1I
tiếp xúc vi mt phng
phương trình :
2 2 3 0x y z
. Bán kính ca
S
?
A.
2
. B.
2
3
. C.
3
4
. D.
2
9
.
ng dn gii.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 178
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Do mt cu
S
tiếp xúc mt phng
2.2 2.1 1 3
,2
4 4 1
R d I

.
Đáp án A.
Câu 6. Viết phương trình mặt phng trung trc
của đoạn thng
MN
vi
(1;2; 4), (5;4;2)MN
.
A.
10 9 5 70 0x y z
. B.
4 2 6 11 0x y z
.
C.
2 3 6 0x y z
. D.
2 3 3 0xz
.
ng dn gii.
Ta có :
4;2;6MN
Gi
I
là trung điểm ca
AB
3;3; 1I
.
Mt phng trung trc ca
AB
đi qua điểm
I
và nhn
MN
làm VTPT nên có phương trình :.
4 3 2 3 6 1 0 2 3 6 0x y z x y z
.
Đáp án C.
Câu 7. Cho
(2; 1;1), ( ;3; 1), (1;2;1).u v m w
Ba vectơ đồng phng khi giá tr ca
m
là:.
A.
8
. B.
4
. C.
7
3
. D.
8
3
.
ng dn gii.
Ta có :
; 3; 1;5uw


8
; . 3 3 5 0
3
u w v m m


.
Đáp án D.
Câu 8. Góc giữa đường thng
5
:6
2
xt
dy
zt


và mp
: 1 0P y z
là:.
A.
0
60
. B.
0
45
. C.
0
30
. D.
0
90
.
Hướng dn gii .
Đưng thng
d
có một vectơ chỉ phương
1;0;1u 
.
Mt phng
P
có một vectơ pháp tuyến
0;1, 1n 
.
Gi
là góc gia mt phng
và đường thng
d
.
Ta có
.
11
sin cos , 30
2
2. 2
.
un
un
un

.
Đáp án C.
Câu 9. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
cho 3 điểm
2;3; 1M
,
1;1;1N
,
1; 1;2Pm
. Vi
giá tr nào ca
m
thì tam giác
MNP
vuông ti
N
.
A.
3m
. B.
2m
. C.
1m
. D.
0m
.
ng dn gii.
3;2; 2 , 2; 2;1 6 2 4 2 0 0NM NP m m m
.
Đáp án D.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 179
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 10. Cho hai mt phng
: 1 0, : 5 0P x y z Q x y z
. Đim nm trên
Oy
cách đều
P
Q
là:
A.
0;3;0
. B.
0; 3;0
. C.
0; 2;0
. D.
0;2;0
.
ng dn gii.
0; ;0 ; ; 1 5 3 0; 3;0M m d M P d M Q m m m M
.
Đáp án B.
Câu 11. Trong không gian
Oxyz
cho mt cu
2 2 2
: 1 3 2 49S x y z
. Phương trình nào sau
đây là phương trình của mt phng tiếp xúc vi mt cu
S
?.
A.
6 2 3 0x y z
. B.
2 2 7 0x y z
.
C.
6 2 3 55 0x y z
. D.
2 3 6 5 0x y z
.
ng dn gii .
S
có tâm
1; 3;2 ; 7IR
.
1
6 6 6 6
;
7
36 4 9
dI



;
2
1 6 4 7
8
;
3
1 4 4
dI


;
3
6 6 6 55
;7
36 4 9
dI


.
Đáp án C.
Câu 12. Mt phẳng nào sau đây cắt các trc tọa độ
,,Ox Oy Oz
lần lưt ti
,,A B C
sao cho tam giác
ABC
nhn
điểm
1;2;1G
làm trng tâm?.
A.
2 2 6 0x y z
. B.
2 2 6 0x y z
.
C.
2 2 6 0x y z
. D.
2 2 6 6 0x y z
.
ng dn gii .
Gi
;0;0 , 0; ;0 , 0;0;A a B b C c
lần lượt giao điểm ca mt phng
ABC
ct c trc
,,Ox Oy Oz
.
Phương trình mặt phng
:1
x y z
ABC
a b c
.
G
là trng tâm
ABC
3
6
3
a
b
c
1 2 2 6 0
363
x y z
x y z
.
Đáp án B.
Câu 13. Trong không gian
Oxyz
cho ba vectơ :
1;1;0 , 1;1;0ab
. cho hình bình hành tha mãn điều
kin
;OA a OB b
.Tọa độ ca tâm hình bình hành
OADB
bng bao nhiêu ?.
A.
0;1;0
. B.
1;0;0
. C.
1;0;1
. D.
1;1;0
.
ng dn gii.
Ta có:
1 1 1
0;1;0 0;1;0
2 2 2
OI OD OA OB a b I
.
Đáp án A.
Câu 14. Trong không gian
Oxyz
, cho các điểm
1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1 , 1;1;1A B C D
.Trong các mnh
đề sau, mệnh đề nào sai ?.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 180
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
A. Bốn điểm
, , ,A B C D
to thành mt t din. B.
ABD
là tam giác đều.
C.
AB CD
. D.
BCD
là tam giác đều .
ng dn gii.
Ta có :
1;1;0 , 1;1;0AB CD
. 1.1 1.1 0 0ABCD AB CD
.
Đáp án C.
Câu 15. Trong không gian
Oxyz
cho bốn đim
1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1 , 1;1;1A B C D
. Mt cu ngoi tiếp t
din
ABCD
có bán kính bng bao nhiêu ?.
A.
3
2
. B.
2
. C.
3
. D.
3
4
.
ng dn gii.
Phương trình tng quát ca mt cu :
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d
2 2 2
( 0)a b c d
.
Mt cầu đi qua bốn điểm
, , ,A B C D
ta có h :
0
1
1 2 0
2
1 2 0
3
1
1 2 0
2
2
3 2 2 2 0
1
2
d
ad
a
bd
R
cd
b
a b c d
c




.
Đáp án A.
Câu 16. Cho hai đường thng
1
12
: 2 3
34
xt
d y t
zt



2
34
: 5 6
78
xt
d y t
zt



.Trong các mệnh đề sau ,mệnh đề nào đúng ?.
A.
12
dd
. B.
12
dd
. C.
12
dd
. D.
1
d
,
2
d
chéo nhau .
ng dn gii.
Đưng thng
1
d
đi qua điểm
1;2;3M
và có VTCP
1
2;3;4u
.
Đưng thng
2
d
đi qua điểm
3;5;7N
và có VTCP
2
4;6;8u
.
Ta có :
2 1 1 2
2,u u u u
cùng phương
12
dd
,
12
dd
.
Thế tọa độ điểm
M
vào phương trình
2
:d
1 3 2 5 3 7 1
4 6 8 2
.
2
Md
12
dd
.
Đáp án C.
Câu 17. Cho đường thng
1
:2
xt
d y t t
zt

. Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc ca
d
.
A.
12
1 1 1
x y z


. B.
12
1 1 1
x y z

.
C.
12
1 1 1
x y z

. D.
12
1 1 1
x y z

.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 181
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Hướng dẫn giải .
Đáp án B.
Câu 18. Trong không gian vi h trc ta độ
Oxyz
cho ta đ 4 đim
2; 1;1 ;A
1;0;0 ;B
3;1;0C
0;2;1D
. Cho các mnh đề sau :.
(1) Độ dài
2AB
; (2) Tam giác
BCD
vuông ti
B
; (3) Th tích ca t din
.ABCD
bng 6.
Các mệnh đề đúng là :.
A. (1); (2). B. (3). C. (1); (3). D. (2).
ngdn gii.
1;1;1 3AB AB
1
sai loai đáp án A,C.
Mà
2;1;1 ; 1;2;1 . 2 2 1 1 0BC BD BC BD
loi D.
Đáp án B.
Câu 19. Trong không gian cho hai đường thng:
12
1
12
: 2 ; :
2 1 3
3
xt
x y z
d y d
zt



. Phương trình của
đường thng
d
đi qua
0;0;0O
và vuông góc vi c
1
d
2
d
là:.
A.
5
xt
yt
zt

. B.
xt
yt
zt
. C.
5
xt
yt
zt
. D.
1
5
1
x
yt
z

.
ng dn gii.
Ta có :
12
; 1; 5;1
d d d
u u u


:5
xt
d y t
zt
.
Đáp án A.
Câu 20. Cho
( ;0;0); (0; ;0);C(0;0;c)A a B b
với
, , 0abc
. Biết mặt phẳng
ABC
qua điểm
(1;3;3)I
thể
tích tứ diện
OABC
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó phương trình
ABC
.
A.
3 3 21 0x y z
. B.
3 3 15 0x y z
.
C.
3 9 0x y z
. D.
3 9 0x y z
.
Hướng dn giải .
:1
x y z
ABC
a b c
.Do
I ABC
1 3 3
1
abc
.
Áp dng bất đẳng thc cau-chy:
3
1 3 3 9 1 9
1 3 243
27
abc
a b c abc abc
.
1 81
62
OABC
V abc
.
Giá tr nh nht ca th tích là
.
1 3 3
3
81
9
1 3 3
2
1
9
O ABC
a
abc
Vb
c
a b b




.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 182
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Phương trình mặt phng
: 1 3 9 0
399
x y z
ABC x y z
.
Đáp án C.
A. BÀI TP T LUN.
Bài 1. Trong không gian
,Oxyz
cho bốn điểm
1;0;0A
,
0;1;0B
,
0;0;1C
,
2;1; 1D
.
a) Chng minh
, , , A B C D
là 4 đỉnh ca mt t din.
b) Tìm góc giữa hai đường thng
AB
CD
.
c) Tính độ dài đường cao ca hình chóp
.A BCD
.
ng dn gii
a) Theo phương trình đoạn chn ta có :
: 1 1 0
1 1 1
x y z
ABC x y z
Thế tọa độ
D
vào vế phi ca mt phng
ABC
ta có:
2 1 1 1 1 0
Vy
D A BC
.Suy ra 4 điểm
, , ,A B C D
là bốn đỉnh ca t din
b) Gi
là góc giữa hai đường thng
,AB CD
Ta có :
cos cos ,AB CD
.2
cos ,
2
ABCD
AB CD
AB CD
0
, 45AB CD
0
45

c) Ta có:
0; 1;1 ; 2;0; 1BC BD
Gi
n
là mt vptt ca mt phng
BCD
Ta có :
; 1; 2;2n BC BD


Phương trình mặt phng
BCD
:
2 2 2 0x y z
Chiu cao ca hình chóp
.ABCD
bng khong cách t
A
đến mt phng
BCD
:
2
22
12
,1
1 2 2
h d A BCD
Bài 2. Cho mt cu
S
có đường kính là
AB
biết rng
6;2; 5A
,
4;0;7B
.
a) Tìm tọa độ tâm
I
và tính bán kính
R
ca
S
.
b) Lập phương trình của
S
.
c) Lập phương trình mặt phng
tiếp xúc vi
S
ti
A
.
ng dn gii
a) Tâm
I
ca mt cu
S
là trung điểm của đoạn
AB
1;1;1I
Bán kính
2 2 2
4 6 0 2 7 5
62
22
AB
R
b) Phương trình mặt cu
2 2 2
: 1 1 1 62S x y z
Mt phng
tiếp xúc vi mt cu
S
tại điểm
A
chính mt phng
đi qua
A
vuông góc vi bán kính
IA
Ta có :
5;1; 6IA 
là mt vtpt ca mt phng
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 183
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Phương trình mặt phng
:5 6 62 0x y z
Bài 3. Cho mt cu
2 2 2
: 3 2 1 100S x y z
mt phng
: 2 2 9 0x y z
. Chng minh rng
ct
S
theo một đường tròn. Tìm tọa độ
tâm và tính bán kính của đường tròn đó.
ng dn gii
Mt cu
S
có tâm
3; 2;1I
và bán kính
10R
,6d I R

.Suy ra mt phng
ct mt cu
S
theo giao tuyến đường tròn
C
có tâm
J
và có bán kính
r
Xác định tâm
:J
Gi
d
là đường thẳng đi qua tâm
I
và vuông góc vi mt phng
d
nhn
2; 2; 1n

làm mt VTCP
32
: 2 2
1
xt
d y t t R
zt


Jd

nên tọa độ ca tha h :
32
22
1
2 2 9 0
xt
yt
zt
x y z


18 9 0 2tt
Vy tâm
1;2;3J
Xác định bán kính
r
:
2
22
, 100 36 64 8r R d I r
Bài 4. Cho
: 3 5 2 0x y z



12 4
: 9 3
1
xt
d y t
zt
.
a) Tìm giao điểm
M
của đường thng
d
và mt phng
.
b) Viết phương trình mp
cha
M
và vuông góc vi
d
.
ng dn gii.
a)
Md

suy ra tọa độ ca
M
tha h phương trình :



3 5 2 0
12 4
93
1
x y z
xt
yt
zt
26 78 0 2 0;0; 2t t M
Mt phng
vuông góc vi
d
nên nhn mt VTCP
4;3;1a
ca
d
làm một VTPT do đó
phương trình mặt phng
:4 3 2 0x y z
Bài 5. Cho điểm
1;2; 3A 
, vectơ
6; 2; 3a
và đường thng
1 1 3
:
3 2 5
x y z
.
a) Viết pt mp
cha
A
và vuông góc vi giá ca
a
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 184
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
b) Tìm giao điểm
M
ca
d
.
c) Viết phương trình đường thng
đi qua
A
vuông góc vi giá ca
a
và ct
d
.
ng dn gii.
Mt phng
cha
1;2; 3A 
vuông góc vi giá ca
6; 2; 3a
nên nhn
a
làm
VTPT suy ra có phương trình
:
6 2 3 1 0x y z
a)
Md

suy ra tọa độ ca
M
tha h phương trình :
6 2 3 1 0
13
12
35
x y z
xt
yt
zt


0 1; 1;3tM
b) Đưng thng
cần tìm chính là đường thng
AM
nên nhn
2; 3;6AM 
làm VTCP
có phương trình đường thng
12
: 1 3
36
xt
yt
zt


Bài 6. Viết phương trình mp
tiếp xúc vi mt cu
2 2 2
: 10 2 26 170 0S x y z x y z
và song song với hai đường thng
52
: 1 3
13 2
xt
d y t
zt

;
7 3 '
' : 1 2 '
8.
xt
d y t
z
ng dn gii
Đưng thng
d
có mt VTCP là
2; 3;2
d
a 
Đưng thng
'd
có mt VTCP là
'
3; 2;0
d
a 
Mt cu
S
có tâm
5; 1; 13I 
và bán kính
5R
Phương trình mt phng
song song vi
;'dd
nên nhận vectơ
'
; 4;6;5
dd
n a a



làm
một VTPT suy ra phương trình mặt phng
:4 6 5 0x y z m
Do
tiếp xúc vi
S
nên
, 51 5 77d I R m
51 5 77m
Vây phương trình mặt phng
:4 6 5 51 5 77 0x y z
Bài 7. Tìm tọa độ điểm
H
hình chiếu vuông góc của điểm
1; 1;2M
trên mt phng
: 2 2 11 0x y z
.
ng dn gii
Ta có
2; 1;2n

là mt VTPT ca mt phng
Gi
d
là đường thẳng đi qua
1; 1;2M
và vuông góc vi mt phng
d
nhn
2; 2; 1n

làm mt VTCP
12
:1
22
xt
d y t t R
zt


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 185
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Hd

nên tọa độ ca tha h :
12
1
22
2 2 11 0
xt
yt
zt
x y z


18 9 0 2 3;1; 2t t H
Bài 8. Cho điểm
2;1;0M
mp
: 3 27 0x y z
. Tìm tọa độ đim
M
đối xng vi
M
qua
.
ng dn gii
Ta có
1;3; 1n

là mt VTPT ca mt phng
Gi
H
là hình chiếu vuông góc
M
ca lên mt phng
Gi
d
là đường thẳng đi qua
2;1;0M
và vuông góc vi mt phng
d
nhn
1;3; 1n
làm mt VTCP
2
: 1 3
xt
d y t t
zt


Hd

nên tọa độtha h:
2
13
3 27 0
xt
yt
zt
x y z



11 22 0 2 4;7; 2t t H
M
đối xng vi
M
qua
suy ra
H
trung điểm ca
MM
2
2 6;13; 4
2
M H M
M H M
M H M
x x x
y y y M
z z z


.
Bài 9. Viết phương trình đường thng
vuông góc vi mt phng tọa độ
Oxz
cắt hai đường
thng
43
:
1 1 1
x y z
d


;


1 3 4
:
2 1 5
x y z
d
.
ng dn gii
Gi
M
là giao điểm của đường thng
và đường thng
d
nên
; 4 ;3M t t t
Gi
N
là giao điểm của đường thng
và đường thng
d
nên
1 2 ; 3 ;4 5N t t t
Ta có
1 2 ;1 ;1 5MN t t t t t t
, mt phng
Oxz
có mt VTPT
0,1,0j
Do đường thng
vuông góc vi mt phng tọa độ
Oxz
nên ta có
MN k j
1 2 0
1
1 5 0
tt
t t k
tt
3
7
6
7
2
7
t
k
t

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 186
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Đưng thng
đi qua
3 25 18
;;
7 7 7
M



nhn
0,1,0j
làm VTCP nên phương trình :
3
7
25
7
18
7
x
y m m
z
Bài 10. Tìm tọa độ điểm
A
đối xng với điểm
1; 2; 5A 
qua đường thng
:
12
1
2
xt
yt
zt

ng dn gii
Gi
là mt phng cha
A
và vuông góc vi
Mt phng
đi qua nhận
2; 1;2
d
u
làm một VTPT n phương trình :
2 2 6 0x y z
Gi
H
hình chiếu vuông góc ca
A
lên mt phng
H
nên tọa độ ca
tha h :
12
1
2
2 2 6 0
xt
yt
zt
x y z

9 9 0 1 1;0; 2t t H
Do
A
đối xng vi
A
qua đường thng
nên
H
trung điểm ca
AA
'
'
'
2
2 ' 3;2;1
2
A H A
A H A
A H A
x x x
y y y A
z z z


Bài 11. Cho hai điểm
1;2; 1A
,
7; 2;3B
và đường thng
d
có phương trình:
13
22
22
xt
yt
zt


.
a) Chng minh rằng hai đường thng
AB
d
đồng phng.
b) Tìm điểm
I
trên
d
sao cho
IA IB
nh nht.
ng dn gii
a) Đưng thng
AB
có mt VTCP
6; 4;4AB 
Đưng thng
d
có mt VTCP
3; 2;2u 
Xét
; 0;0;0n AB u



hai đường thng
,d AB
cùng thuc mt mt phng
b) Ta nhn thy :
2AB u
;
Ad
d AB
Gi
A
là điểm đối xng ca
A
qua đường thng
d
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 187
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Ta có:
IA IB IA IB A B

.Để
IA IB
nh nht khi
0
IA IB A B I I

.Lúc đó điểm
I
giao điểm ca
'AB
d
. Do
d AB
nên
I
giao điểm ca
d
và mt phng trung trc ca
AB
Phương trình mặt phng
trung trc ca
:AB
3 2 2 14 0x y z
3 1 3 2 2 2 2 2 2 14 0I d t t t
1 2;0;4tI
Bài 12. Cho hai đường thng
1
d
:
1xt
yt
zt


2
d
:
2
1
xt
yt
zt
.
a) Chứng minh hai đường thng
1
d
2
d
chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phng
cha
1
d
và song song
2
d
.
ng dn gii
a) Ta có :
1
d
đi qua điểm
1;0;0M
và có VTCP
1
1;1; 1u
2
d
đi qua điểm
0; 1;0N
và có VTCP
2
2;1;1u
Do :
12
; 2; 1; 3 ; 1; 1;0u u MN


Xét
12
; . 1 0u u MN


12
;;u u MN
không đồng phng
1
d
;
2
d
chéo nhau
b) Gi
n
là mt VTPT ca mt phng
Do mt phng
cha
1
d
và song song
2
d
12
; 2; 1; 3n u u


Mt phng
đi qua
M
và có VTPT
2; 1; 3n
có phương trình :
2 3 2 0x y z
Bài 13. Cho t din
ABCD
cnh
AD
vuông vi
ABC
. Biết rng
4AC AD cm
,
3AB cm
,
5BC cm
a) Tính th tích t din
ABCD
b) Tính khong cách t điểm
A
ti mt phng
BDC
ng dn gii
d
I
°
A
A'
B
I
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 188
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Chn h trc gc tọa độ điểm
A
,các đường thng
,,AB AC AD
theo th t các trc
, , .Ox Oy Oz
Ta có :
0;0;0 , 3;0;0 , 0;4;0 , 0;0;4A B C D
3
1
, . 8( )
6
ABCD
V AB AC AD cm



Phương trình mặt phng
( ): 1 4 3 3 12 0
3 4 4
x y z
BCD x y z
222
12 12
,
34
3 4 4
d A BDC 

Bài 14. Lập phương trình mặt phng
P
song song cách đu hai mt phng
1
:2 2 1 0P x y z
2
:2 2 5 0P x y z
ng dn gii
Gi
;;M x y z
là điểm thuc mt phng
P
Theo để:
12
12
,,
, , 2 2 1 2 2 5
d P P d P P
d M P d M P x y z x y z
2 2 3 0x y z
Vậy phương trình mặt phng
P
:
2 2 3 0x y z
Bài 15. Cho hai mt phng
1
:2 2 1 0P x y z
2
:4 2 4 7 0P x y z
.Lập phương trình
mt phng
P
sao cho khong cách t mỗi điểm của nó đến
12
,PP
là bng nhau
ng dn gii
Gi
;;M x y z
là điểm thuc mt phng
P
Theo để:
12
2 2 1 4 2 4 7
,,
4 1 4 16 4 16
x y z x y z
d M P d M P
2 2 2 1 4 2 4 7x y z x y z
x
z
y
A
D
B
C
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 189
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
4 8 5 0
8 9 0
yz
x

Vậy phương trình mặt phng
P
4 8 5 0yz
8 9 0x
Bài 16. Cho hai đường thng
6
:2
7
x
d y t
zt


1
2
:2
11
xt
dy
zt

.Lập phương trình mt phng
P
sao
cho khong cách t
1
,dd
đến
P
là bng nhau
ng dn gii.
Đưng thng
d
đi qua
6;0;7M
và có mt VTCP
0; 2;1u
Đưng thng
1
d
đi qua
2; 2; 11N 
và có mt VTCP
1
1;0; 1u
Xét :
11
; 2;1;2 ; 8; 2; 18 ; . 16 2 36 0u u MN u u MN
1
,dd
chéo nhau
Do
1
,dd
chéo nhau nên
P
mt phẳng đi qua trung đim
I
của đoạn vuông góc chung
AB
ca
1
,dd
và song song vi
1
,dd
Ta có:
0 . 0 5 14 2
2 10 4
0 . 0
AB u ABu t t t
t t t
AB u ABu






6;4;5 , 6; 2; 7AB
Gi
n
là mt VTCP ca mt phng
P
1
, 2,1,2n u u


Gi
I
là trung điểm
AB
nên
0;1; 1I
Phương trình mặt phng
:2 2 1 0x y z
.
Bài 17. Lập phương trình mặt phng
P
đi qua điểm
1; 3;2M
vuông góc vi hai mt phng
:2 3 1 0Q x y z
: 2 8 0R x y z
ng dn gii.
Gi
n
là mt VTCP ca mt phng
P
, 7;5; 3
QR
n n n


Mt phng
P
đi qua điểm
1; 3;2M
mt VTPT
n
nên phương trình :
7 5 3 14 0x y z
d
d
1
P
I
B
A
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 190
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Bài 18. Cho mt phng
: 2 2 3 0P x y z
đường thng
1
:1
9
xt
d y t
z


.Lập phương trình
đường thng
d
là hình chiếu vuông góc ca
d
lên mt phng
P
ng dn gii.
Đưng thng
d
đi qua điểm
1;1;9M
và có mt VTCP
1;1;0u
Gi
Q
là mt phng cha
d
và vuông góc vi mt phng
P
Ta có :
; 2;2;1
QP
n u n


Phương trình mặt phng
Q
:
2 2 9 0x y z
Khi đó
d P Q

; 6;3;6
QP
u n n


Gi
A
là điểm thuc
d
tọa độ ca
A
tha h :
2 2 9 0
2 2 3 0
x y z
x y z
Cho
1y 
2 7 0
3; 1
2 5 0
xz
xz
xz
3;1;1A
Phương trình đường thng
d
:
32
1
12
xt
yt
zt


Bài 19. Trong không gian
,Oxyz
cho đim
4; 2;4A 
và đường thng
32
:1
14
xt
d y t
zt

. Viết phương
trình đường thng
đi qua
A
,ct và vuông góc với đường thng
d
ng dn gii
Ta có :
2; 1;4u
là VTCP ca
d
Gi
B
là giao điểm ca
,d
Do đó :
3 2 ;1 ; 1 4B t t t
1 2 ;3 ; 5 4AB t t t
. 0 21 21 0 1d ABu t t
3;2; 1AB
Vậy phương trình đường thng
4 2 4
:
3 2 1
x y z
.
Bài 20. Cho đim
2;0;0 ; 0;0;8AB
điểm
C
sao cho
0;6;0AC
.Tính khong cách t trung
điểm
I
ca
BC
đến đường thng
OA
ng dn gii
Ta có :
2; ;AC x y z
2;6;0C
I
là trung điểm
1;3;4AB I
.
Phương trình mặt phng
qua
I
và vuông góc vi
OA
10x
Lúc đó
ct
OA
ti
1;0;0K
,5d I OA IK
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 191
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Bài 21. Cho hình lập phương
1 1 1 1
.ABCD A B C D
cnh bng
1
.Gi
,,M N P
lần lượt trung điểm
ca các cnh
1 1 1
,,BB CD A D
. Tính khong cách và góc giữa hai đường thng
1
,MP C N
.
ng dn gii
Ta chn h trục như sau :
1
B
gc tọa độ
O
,
11
BA
trc
Ox
,
11
BC
trc
Oy
,
1
BB
trc
Oz
Ta có:
1
1 1 1
0;0; , ;1;1 , 1; ;0 , 0;1;0
2 2 2
M N P C
Gi
là mt phng cha
1
CN
và song song vi
MP
Gi
n
là mt VTPT ca mt phng
Ta có :
11
1 5 1 1 1
, ; ; ; 2; 5; 1
2 4 4 4 4
n MP n C N n MP C P n





Mt phẳng đi qua
1
C
và có mt VTPT
2; 5; 1n

có phương trình :
2 5 5 0x y z
1
3 30
;,
20
d MP C N d M

1
11
1
.
cos , 0 , 90
.
MP C N
MP C N MP C N
MP C N
B. BÀI TP T LUYN.
Bài 1. Trong không gian
Oxyz
, cho bốn điểm
2;6;3A
,
1;0;6B
,
0;2; 1C
,
1;4;0D
.
a) Viết phương trình mp
BCD
. Suy ra
ABCD
là mt t din.
b) Tính chiu cao
AH
ca t din
ABCD
.
c) Viết phương trình mp
cha
AB
và song song
CD
.
Đáp Án :
a)
8 3 2 4 0x y z
.
A BCD
.
b)
36
,
77
AH d A BCD
c)
50xz
Bài 2. Lập phương trình tham số của đường thng:
a) Đi qua hai điểm
1;0; 3A
,
3; 1;0B
.
z
y
x
B
1
C
1
D
1
A
1
N
P
M
C
D
A
B
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 192
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
b) Đi qua
2;3;5M
và song song vi
23
:
2 4 5
x y z

Đáp án :
a)
12
33
xt
y t t R
zt

b)
12
34
55
xt
y t t R
zt

Bài 3. Cho
2;4; 1 , 1;4; 1 , 2;4;3 , 2;2; 1A B C D
.
a) Chng minh rng
, , AB AC AD
vuông góc vi nhau từng đôi một. Tính th tích khi t din
ABCD
.
b) Viết phương trình mặt cu
S
đi qua 4 điểm
, , , A B C D
.
c) Viết phương trình mặt phng
tiếp xúc vi
S
và song song vi mt phng
ABD
.
Đáp án:
a)
. 0; . 0; . 0AB AC AB AD AC AD
;;AB AC AB AD AC AD
.
14
..
63
A BCD
V AB AC AD
b)
2
22
3 21
: 3 1
24
S x y z



c)
21
:4 4 0
2
z
Bài 4. Cho các điểm :
1;2;0 , 3;0;2 , 1;2;3 , 0;3; 2A B C D
.
a) Viết phương trình mặt phng
ABC
và phương trình chính tắc của đường thng
AD
.
b) Viết phương trình mặt phng
cha
AD
và song song vi
BC
.
Đáp án :
a)
3 5 2 13 0x y z
,
12
1 1 2
x y z

b)
5 9 2 23 0xyz
Bài 5. Trong không gian
Oxyz
, cho mt phng
: 4 2 1 0x y z
mt phng
: 2 2 3 0x y z
.
a) Chng minh
ct
.
b) Viết phương trình tham số của đường thng
d
là giao điểm ca

;
.
Đáp án :
a) Ta có :
4 1 2
2 2 1

,nn
không cùng phương .Suy ra
ct
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 193
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
b)
:1
12
xt
dy
zt
Bài 6. Lập phương trình mặt phng
P
đi qua điểm
1; 1;1I 
chứa đường thng
2 1 1
:
1 4 1
x y z
d


Đáp án:
:2 2 1 0P x y z
.
Bài 7. Trong không gian
Oxyz
, cho hai đường thng chéo nhau:


2
:1
1
xt
d y t
zt


22
:
1
xt
d y t
zt
.
a) Viết phương trình
song song vi nhau và lần lượt cha
d
d
.
b) Lấy hai đim
2; 1;1 ; 2;0;1MM
lần lượt trên
;dd
. Tính khong cách t
M
đến mt
phng
và khong cách t
M
đến mt phng
.So sánh hai khoảng cách đó.
Đáp án:
a)
:2 3 2 0x y z
,
:2 3 1 0x y z
b)
1
,,
14
d M d M


Bài 8. Cho
3; 2; 2 , 3;2;0 , 0;2;1 , 1;1;2A B C D
.
a) Viết phương trình
BCD
. Suy ra
ABCD
là mt t din.
b) Viết phương trình mặt cu
S
tâm
A
và tiếp xúc
BCD
.
c) Tìm tọa độ tiếp điểm ca
S
và mt phng
BCD
.
Đáp án:
a)
2 3 7 0x y z
.
A BCD
.Suy ra 4 điểm
, , ,A B C D
là bốn đỉnh ca t din.
b)
2 2 2
3 2 2 14x y z
c)
4;0;1H
Bài 9. Cho


1
13
: 1 2
32
xt
d y t
zt

2
:1
32
xt
d y t
zt
.
a) Chng minh
1
d
2
d
cùng thuc mt mt phng .
b) Viết phương trình mặt phẳng đó.
Đáp án:
a)
12
; . 0u u MN


.
b)
6 8 11 0x y z
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 194
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Bài 10. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai mặt phẳng
1
( ): -2 2 -3 0P x y z
mặt
phẳng
2
P
:
2 -2 - 4 0x y z
đường thẳng
d
:
24
1 2 3
x y z


. Lập phương trình mặt
cầu
S
có tâm
I
thuộc
d
và tiếp xúc với hai mặt phẳng
1
P
;
2
P
.
Đáp án:
2 2 2 2 2 2
11 26 35 1444, 1 2 1 4x y z x y z
B. CÁC ĐỀ KIM TRA.
Đề Kiểm Tra 45’ Số 1
I. Phn Trc Nghim
Câu 1. Trong không gian
Oxyz
cho ba vectơ :
1;1;0 , 1;1;0 , 1;1;1a b c
. Trong các mnh
đề sau, mệnh đề nào sai ?
A.
2a
. B.
3c
. C.
ab
. D.
bc
.
Câu 2. Trong không gian
Oxyz
cho ba vectơ :
1;1;0 , 1;1;0 , 1;1;1a b c
. Trong các mnh
đề sau, mệnh đề nào đúng ?
A.
.1ac
. B.
,,abc
đồng phng. C.
2
cos ,
6
bc
. D.
0abc
.
Câu 3. Trong không gian
Oxyz
cho bốn điểm
1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1 , 1;1;1A B C D
.Gi
M
,
N
ln
ợt là trung điểm ca
,AB CD
.Tọa độ trung điểm
G
ca
MN
là:
A.
111
;;
333
G



. B.
111
;;
444
G



. C.
222
;;
333
G



. D.
111
;;
222
G



.
Câu 4. Cho mt phng
đi qua điểm
0,0, 1M
song song vi giá của vectơ
1; 2;3 , 3;0;5ab
.Phương trình mặt phng
A.
5 2 3 21 0x y z
. B.
5 2 3 3 0x y z
.
C.
10 4 6 21 0x y z
. D.
5 2 3 21 0x y z
.
Câu 5. Gi
mt phng ct các trc tọa độ tại ba điểm
8;0;0 , 0; 2;0 , 0;0;4M N P
.Phương trình mặt phng
là :
A.
0
8 2 4
x y z
. B.
1
4 1 2
x y z
.
C.
4 2 0x y z
. D.
4 2 8 0x y z
.
Câu 6. Cho đường thng
đi qua
2;0; 1A
vectơ chi phương
4; 6;2a 
.Phương trình
tham s của đường thng
là :
A.
24
6
12
xt
yt
zt


. B.
22
3
1
xt
yt
zt


.
C.
22
3
1
xt
yt
zt


. D.
42
63
2
xt
yt
zt


.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 195
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 7. Xác định
m
để cp mt phng sau vuông góc vi nhau:
7 3 3 0x y mz
, .
3 4 5 0x y z
A.
6
. B.
4
. C.
1
. D.
2
.
Câu 8. Cho mt phng
2 3 1 0: 4P x y z
. Tìm tọa độ
M
đối xng vi
1; 1;1M
qua
P
A.
1;3;7M
. B.
2; 3; 2M

. C.
1; 3;7M
. D.
2; 1;1M
.
Câu 9. Bán kính mặt cầu tâm
1;3;5I
và tiếp xúc với đường thẳng
:1
2
xt
d y t
zt

là:
A.
14
. B.
14
. C.
7
. D.
23
.
Câu 10. Trong không gian
Oxyz
, cho 2 đường thng lần lượt phương trình
1
12
:2
xt
dy
zt


2
3'
: 4 '
4
xt
d y t
z


. Độ dài đoạn vuông góc chung ca
1
d
2
d
A.
6
. B.
4
. C.
22
. D.
26
.
Câu 11. Gọi
góc giữa hai đường thẳng
1
3 2 6
:
234
x y z
d

2
19
:
1 4 1
x y z
d

. Khi đó
cos
bằng:
A.
2
58
. B.
2
5
. C.
1
2
. D.
2
58
.
Câu 12. Mặt phẳng
qua
1; 2; 5A 
song song với mặt phẳng
P
: cách
P
một
khoảng có độ dài là:
A.
4
. B.
2
. C.
22
. D.
2
.
Câu 13. Cho điểm
0,0,0 , 1,1,3OA
đường thẳng
1
:
1 1 2
x y z
d

.Điểm
M
thuộc
d
hoành
độ dương sao cho
MOA
cân tại
O
. Tìm tọa độ điểm
M
A.
2,1,4M
. B.
0,0,1M
. C.
1,1,4M
. D.
1, 1,3M
.
Câu 14. Cho đường thẳng
13
:
2 3 2
x y z
d


mặt phẳng
:P
2 2 1 0x y z
. Mặt phẳng
chứa đường thẳng
d
và vuông góc với
P
có phương trình :
A.
2 2 8 0 x y z
. B.
2 2 8 0 x y z
.
C.
2 2 8 0 x y z
. D.
2 2 8 0 x y z
.
Câu 15. Trong không gian
Oxyz
, cho
1;0; 3 , 1; 3; 2 , 1;5;7A B C
. Gi
G
trng tâm ca tam
giác
ABC
. Khi đó độ dài ca
OG
A.
3
. B.
5
. C.
3
. D.
1
.
II. Phn T Lun
10xy
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 196
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Bài 1. Trong không gian
Oxyz
, cho hình hp ch nht
.OAIBCEDF
có tọa độ các đỉnh là
3;0;0A
,
0;4;0 , 0;0;5 , 0;0;0B C O
a) Viết phương trình mặt phng
ABD
.
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua
A
và vuông góc vi mt phng
ABD
.
c) Viết phương trình mặt cu
S
ngoi tiếp t din
ABCD
.
d) Tính khong cách gia hai đường thng
,AC EF
.
Bài 2. Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
3;5; 5 , 5; 3;7AB
mt phng
:0P x y z
.Tìm điểm
M
thuc mt phng
P
sao cho
22
MA MB
nh nht
Đề Kiểm Tra 45’ Số 2
I. Phn Trc Nghim
Câu 1. Cho mt phng
:2 3 1 0x y z
đường thng
d
phương trình tham số:
3
22
1
xt
yt
z

.Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
A.
d
. B.
d
ct
. C.
d
. D.
d
.
Câu 2. Cho 3 điểm
2;1;4 , –2;2;–6 , 6;0;–1A B C
. Tích
.AB AC
bng:
A. 67. B. 65. C. 67. D. 33.
Câu 3. Cho điểm
(1,2,3)M
.Gi
,,A B C
lần lượt là hình chiếu ca
M
trên các trc
,,Ox Oy Oz
. Viết
mt phng
ABC
.
A.
6 3 2 6 0x y z
. B.
6 3 2 6 0x y z
.
C.
6 3 2 3 0x y z
. D.
6 3 2 3 0x y z
.
Câu 4. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho
1;2;1 , 1;1;1 , 0;3;2A B C
.tọa độ ca
,AB BC


là:
A.
1; 2;3
. B.
1,2,3
. C.
1; 2; 3
. D.
1;2; 3
.
Câu 5. Điu kin cần và đủ để ba vec tơ
a, ,bc
khác
0
đồng phng là:
A.
a. . 0bc
. B.
a, . 0bc


.
C. Ba vec tơ đôi một vuông góc nhau.
D. Ba vectơ có độ ln bng nhau.
Câu 6. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho 3 điểm
3;1;1 , 7;3;9 , 2;2;2A B C
. Tìm tọa độ
trng tâm ca tam giác
ABC
:
A.
6;3;6G
. B.
4;2;4G
. C.
4; 3; 4G
. D.
4;3; 4G
.
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho ba vectơ
1;0; 2 , 2;1;3ab
,
4;3;5c 
.
Tìm hai số thực
m
,
n
sao cho
..ma nb c
ta được:
A.
2; 3.mn
B.
2; 3.mn
C.
2; 3.mn
D.
2; 3.mn
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 197
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 8. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho hai đường thẳng
1
13
:
1 2 3
x y z
d


2
2
: 1 4
26
xt
d y t
zt


. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A.
12
;dd
cắt nhau. B.
12
;dd
trùng nhau. C.
12
//dd
. D.
12
;dd
chéo nhau.
Câu 9. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
1;0;1 , 2;1;2AB
: 2 3 3 0P x y z
. Viết phương trình mặt phng
Q
đi qua hai điểm
,AB
vuông
góc vi
.P
A.
( ):x 2 2 0Q y z
. B.
( ):x 2 2 0Q y z
.
C.
( ):x 2 2 0Q y z
. D.
( ):x 2 2 0Q y z
.
Câu 10. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho
2;1;0M
đường thng
2 1 1
:
1 1 2
x y z
. Điểm
N
thuc
sao cho
11MN
. Tọa độ điểm
N
là:
A.
1,2, 1
. B.
1,2,1
. C.
2,1,1
. D.
2, 1,1
.
Câu 11. Trong không gian vi h trc ta đ
Oxyz
, cho t din
.AB CD
vi ta độ
1;0;0 ; 2;1;1AB
;
0;3; 2 ; 1;3;0CD
, th ch ca t din đã cho :
A.
1
. B.
1
6
. C.
1
2
. D.
6
.
Câu 12. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho
:S
2 2 2
4 2 10 14 0x y z x y z
. Mt
phng
:P
40x y z
ct mt cu
S
theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi là
A.
8
. B.
4
. C.
43
. D.
2
.
Câu 13. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho đường thng
1 2 2
:
3 2 2
x y z
d

mt
phng
: 3 2 2 0P x y z
. Lp phương trình đường thng
song song vi mt phng
P
, đi qua
2;2;4M
và cắt đường thng
()d
.
A.
2 2 4
9 7 6
x y z

. B.
2 2 4
9 7 6
x y z

.
C.
2 2 4
9 7 6
x y z

. D.
2 2 4
3 2 2
x y z

.
Câu 14. Phương trình đường thẳng qua
1;2; 1A
vuông góc với mặt phẳng
: 2 3 1 0P x y z
là:
A. . B. .
1 2 1
1 2 3
x y z

1 2 1
2 3 1
x y z

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 198
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
C. . D. .
Câu 15. Cho mt cu
2 2 2
:4S x y z
mt phng
:2P x z
.Tâm ca đường tròn
C
giao tuyến ca
P
S
có tọa độ là ?
A.
1,1,1
. B.
0,1,0
. C.
1,0,1
. D.
0,1,1
.
II. Phn T Lun
Bài 1. Trong không gian
Oxyz
cho bốn điểm
2;4; 1A
,
1;4; 1 , 2;4;3 , 2;2; 1B C D
a) Chng minh rằng các đường thng
,,AB AC AD
vuông góc vi nhau từng đôi một .
b) Viết phương trình tham số của đường vuông góc chung
của hai đường thng
AB
CD
.
c) Viết phương trình mặt cu
S
đi qua bốn điểm
, , ,A B C D
.
d) Viết phương trình mặt phng
tiếp xúc vi mt cu
S
và song song vi mt phng
ABD
Bài 2. Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
1;3; 2 ; 3;7; 8AB
mt phng
:2 1 0P x y z
. Tìm tọa độ điểm
M
thuc mt phng
P
sao cho
MA MB
nh nht
Đề Kiểm Tra 45’ Số 3
I. Phn Trc Nghim
Câu 1. Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
2,0,0 ; 0, 3,0 ; 0,0,4M N P
. Nếu
MNPQ
là hình
bình hành thì tọa độ điểm
Q
A.
2;3;4
. B.
3;4;2
. C.
2; 3;4
. D.
2; 3; 4
.
Câu 2. Mt cu tâm
2;1; 1I
tiếp xúc vi mt phng tọa độ
Oyz
có phương trình là
A.
2 2 2
2 1 1 4x y z
. B.
2 2 2
2 1 1 1x y z
.
C.
2 2 2
2 1 1 4x y z
. D.
2 2 2
2 1 1 2x y z
.
Câu 3. Cho đường thng
34
:1
42
xt
d y t
zt


: 2 3 0P x y z
.
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
A.
d
vuông góc
P
. B.
d
song song vi
P
.
C.
d
giao ct vi
P
. D.
d
nm trong vi
P
.
Câu 4. Cho
1;1;3 , 1;3;2 , 1;2;3A B C
. Khong cách t gc tọa độ
O
ti
ABC
bng.
A.
3
. B.
3
. C.
3
2
. D.
3
2
.
Câu 5. Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
1;1;1G
, mt phng qua
G
và vuông góc với đường thng
OG
có phương trình là .
A.
0x y z
. B.
0x y z
.
C.
0x y z
. D.
30x y z
.
1 2 1
1 2 3
x y z

2 4 4
1 2 3
x y z

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 199
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 6. Cho
0;0;1 , 1; 2;0 , 2;1; 1A B C
. Đường thng
đi qua trọng tâm
G
ca tam giác
ABC
và vuông góc vi mt phng
ABC
có phương trình là
A.
1
5
3
1
4
3
3
xt
yt
zt


. B.
1
5
3
1
4
3
3
xt
yt
zt


.
C.
1
5
3
1
4
3
3
xt
yt
zt


. D.
1
5
3
1
4
3
3
xt
yt
zt



.
Câu 7. Cho mt phng
:3 4 5 8 0P x y z
và đường thng
d
là giao tuyến gia hai mt phng
: 2 1 0xy
: 2 3 0xz
. Gi
là góc giữa đường thng
d
P
. Khi đó
A.
0
45
. B.
0
30
. C.
0
60
. D.
0
90
.
Câu 8. Phương trình mặt phng
P
cha trc
Oy
và điểm
1; 1;1M
là.
A.
0xz
. B.
0xz
. C.
0xy
. D.
0xy
.
Câu 9. Cho mt cu
2 2 2
: 2 4 6 0S x y z x y z
. Trong ba điểm
0;0;0 , 1;2;3 , 2; 1; 1
.
Có bao nhiêu điểm nm trong mt cu (S)?
A.
2
. B.
0
. C.
1
. D.
3
.
Câu 10. Cho t din
ABCD
1;0;0 ; 1;1;0 ; 0;1;0 ; 0;0;2A B C D
. Tính khong cách gia hai
đường thng
AC
BD
.
Mt học sinh làm như sau:
1B
:
1;1;0 ; 1; 1;2 ; 0;1;0AC BD AB
.
2:B
, 2;2;2AC BD


.
3:B
,.
23
,
3
12
,
AC BD AB
d AC BD
AC BD



.
Bài giải trên đúng hay sai ?. Nếu sai thì sai bước nào ?
A. Sai bước 1. B. Sai bước 2. C. Sai bước 3. D. Đúng.
Câu 11. Gi
d
là đường thẳng đi qua gốc tọa độ
O
, vuông góc vi trc
Ox
và vuông góc với đường
thng
1
:2
13
xt
yt
zt


. Phương trình của
d
A.
0
3
x
yt
zt

. B.
3
xt
yt
zt

. C.
1
3
x
yt
zt


. D.
1 3 1
x y z

.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 200
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 12. Cho điểm
1;2; 3M 
. Gi
1 2 3
,,M M M
lần lượt là điểm đối xng ca
M
qua các mt
phng
,,Oxy Oxz Oyz
. Phương trình mặt phng
1 2 3
M M M
là:
A.
6 3 2 6 0x y z
. B.
6 2 3 6 0x y z
.
C.
6 2 3 6 0x y z
. D.
6 3 2 6 0x y z
.
Câu 13. Cho mt cu
2 2 2
: 2 4 6 2 0S x y z x y z
và mt phng
:4 3 12 10 0x y z
.
Mt cu tiếp xúc vi
S
và song song vi
có phương trình là .
A.
4 3 12 78 0
4 3 12 26 0
x y z
x y z
. B.
4 3 12 78 0
4 3 12 26 0
x y z
x y z
.
C.
4 3 12 78 0x y z
. D.
4 3 12 26 0x y z
.
Câu 14. Cho hai mt phng
22
: 2 2 0m x y m z
2
:2 2 1 0x m y z
.
vuông góc khi
A.
2m
. B.
1m
. C.
2m
. D.
3m
.
Câu 15. Cho hai điểm
1;4;2 1;2;4AB
và đường thng
12
:
1 1 2
x y z
. Điểm
M 
22
MA MB
nh nht có tọa độ là.
A.
1;0;4
. B.
0; 1;4
. C.
1;0;4
. D.
1;0; 4
.
II. Phn T Lun
Bài 1. Cho điểm
1;2; 1A
và mt phng
: 2 2 4 0P x y z
a) Viết phương trình tham số của đường thng
đi qua
A
vuông góc vi
P
. Tìm tọa độ
giao điểm
M
ca
P
.
b) Viết phương trình mặt phng
song song vi
P
và cách
P
mt khong bng
2
.
c) Viết phương trình mặt cu
S
đi qua điểm
A
và tiếp xúc vi mt phng
()P
ti
M
.
Bài 2. Trong không gian
Oxyz
, cho đường thng
2
:1
2
xt
d y t
zt


mt cu
S
có phương trình
2 2 2
4 2 6 11 0x y z x y z
.
a) Lập phương trình
P
vuông góc vi
d
và tiếp xúc vi mt cu
.S
b) Lập phương trình mặt cu
'S
đối xng vi
S
qua đường thng
d
.
Đề Kiểm Tra 45’ Số 4
I. Phn Trc Nghim
Câu 1. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho điểm
2; 5;7M
. Điểm
M
đối xng với điểm
M
qua mt phng
Oxy
có tọa độ là:
A.
2;5;7
. B.
2; 5; 7
. C.
2; 5;7
. D.
2;5;7
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 201
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Câu 2. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho mt cu
2 2 2
: 4 2 21 0S x y z x y
1;2; 4M
. Tiếp din ca
S
ti
M
có phương trình là:
A.
3 4 21 0x y z
. B.
3 4 21 0x y z
.
C.
3 4 21 0x y z
. D.
3 4 21 0x y z
.
Câu 3. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, phương trình mặt phẳng đi qua điểm
2; 3;1M
song song vi mt phng
Oyz
là:
A.
20x
. B.
20x
. C.
20xy
. D.
2 1 0xy
.
Câu 4. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho
1;0;0 , 0;2;0 , 0;0;3A B C
. Phương trình nào
sau đây không phi là phương trình mặt phng
ABC
.?
A.
1
1 2 3
x y z
. B.
6 3 2 6 0x y z
.
C.
6 3 2 6 0x y z
. D.
12 6 4 12 0x y z
.
Câu 5. Trong không gian vi h to độ
,Oxyz
hãy viết phương trình của đường thng
đi qua điểm
1;2; 1M
và song song vi hai mt phng
: 3 0,P x y z
:2 5 4 0Q x y z
?
A.
1 12
27
13
xt
yt
zt


. B.
14
27
13
xt
yt
zt


.
C.
1 2 1
4 7 3
x y z


. D.
1 2 1
4 7 3
x y z

.
Câu 6. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, s đo của góc to bởi hai đường thng
1
1
:2
2
xt
dy
zt

2
82
:
2
xt
d y t
zt

là:
A. 90
o
. B. 60
o
. C. 30
o
. D. 45
o
.
Câu 7. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho đường thng
1 2 3
:
2 1 2
x y z
mm
và mt
phng
: 3 2 5 0x y z
. Vi giá tr nào ca
m
thì
vuông góc vi
?
A.
1m
. B.
1m
. C.
3m
. D.
3m 
.
Câu 8. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho hai đường thng
1
1 1 1
:
2 1 3
x y z
d

2
22
:
3 2 3
x y z
d



. Đường vuông góc chung ca
1
d
2
d
có vectơ chỉ phương là:
A.
3; 3;1a 
. B.
3; 3;3a
. C.
1;0; 1a
. D.
1; 3;2a
.
Câu 9. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho hai đường thng
1
12
: 2 3
34
xt
d y t
zt



2
3 4 '
: 5 6 '
7 8 '
xt
d y t
zt



. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 202
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
A.
12
dd
. B.
12
dd
.
C.
12
dd
. D.
1
d
2
d
chéo nhau.
Câu 10. Trong không gian vi h to độ
Oxyz
, cho ba điểm
2;2;1 , 1;0;2AB
1;2;3C
. Din
tích tam giác
ABC
là:
A.
5
2
. B.
35
. C.
45
. D.
35
2
.
Câu 11. Trong không gian vi h tọa độ
Oxyz
, cho
2;1;0M
và đường thng
2 1 1
:
1 1 2
x y z
. Điểm
N
thuc
sao cho
11MN
. Tọa độ điểm
N
là:
A.
1,2, 1
. B.
1,2,1
. C.
2,1,1
. D.
2, 1,1
.
Câu 12. Cho 2 đường thng lần lượt có phương trình
1
12
:2
xt
dy
zt


2
3'
: 4 '
4
xt
d y t
z


. Độ dài đoạn
vuông góc chung ca
1
d
2
d
A.
6
. B.
4
. C.
22
. D.
26
.
Câu 13. Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
2;4;1 , –2;2; –3AB
. Phương trình mặt cầu đường
kính
AB
là:
A.
2 2 2
( 3) ( 1) 9x y z
. B.
2 2 2
( 3) ( 1) 9x y z
.
C.
2 2 2
( 3) ( 1) 3x y z
. D.
2 2 2
( 3) ( 1) 9x y z
.
Câu 14. Trong mt phng
Oxyz
, cho t din
ABCD
2;3;1 , 4;1; 2 , 6;3;7 , 5; 4; 8A B C D
.
Độ dài đường cao k t
D
ca t din là.
A.
11
. B.
65
5
. C.
5
5
. D.
43
3
.
Câu 15. Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
0;0; 3 , 2;0; 1AB
:3 8 7 1 0P x y z
.
Gi
M
là điểm trên
P
để tam giác
ABM
đều khi đó tọa độ điểm
M
là:
A.
( 3;1;2)M
. B.
1 3 1
( ; ; )
222
M

. C.
221
( ; ; )
3 3 3
M

. D.
(1;2; 1)M
.
II. Phn T Lun
Bài 1. Trong không gian
Oxyz
, cho hai đim
1, 1, 2A 
;
3,1,1B
mt phng
: 2 3 5 0P x y z
.
a) Viết phương trình mặt cu
S
có tâm
A
và tiếp xúc vi mt phng
P
.
b) Viết phương trình
Q
đi qua
,AB
và vuông góc vi
P
.
c) Viết phương trình đường thng
nm trong
P
, đi qua
I
và vuông góc vi
AB
.
d) Tìm điểm
M
thuc mt phng
P
sao cho
MA MB
ngn nht .
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 203
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Bài 2. Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
()ABC
cắt các trục tọa độ lần lượt tại các điểm
,0,0Aa
,
(0, ,0)Bb
,
0,0,Cc
với
, , 0abc
thỏa mãn
2 2 2
3abc
. Biết khoảng cách từ điểm
O
0,0,0
đến mặt phẳng
ABC
đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình mặt phẳng
()ABC
.
C. NG DN GIẢI ĐỀ
I. Kết Qu Phn Trc Nghim :
Đề S 1
Câu 1
Câu 2
Câu 3
Câu 4
Câu 5
D
C
D
B
D
Câu 6
Câu 7
Câu 8
Câu 9
Câu 10
C
B
A
A
D
Câu 11
Câu 12
Câu 13
Câu 14
Câu 15
A
C
D
A
D
Đề S 2
Câu 1
Câu 2
Câu 3
Câu 4
Câu 5
D
D
A
A
B
Câu 6
Câu 7
Câu 8
Câu 9
Câu 10
B
C
C
D
A
Câu 11
Câu 12
Câu 13
Câu 14
Câu 15
C
B
B
D
C
Đề S 3
Câu 1
Câu 2
Câu 3
Câu 4
Câu 5
A
A
D
A
D
Câu 6
Câu 7
Câu 8
Câu 9
Câu 10
A
C
B
C
D
Câu 11
Câu 12
Câu 13
Câu 14
Câu 15
A
D
A
C
A
Đề S 4
Câu 1
Câu 2
Câu 3
Câu 4
Câu 5
B
A
A
C
B
Câu 6
Câu 7
Câu 8
Câu 9
Câu 10
A
A
A
C
D
Câu 11
Câu 12
Câu 13
Câu 14
Câu 15
A
D
D
A
A
II. ng Dn Phn T Lun :
ng dn giải đề s 1
Bài 1.
a) Ta có :
3;4;5D
0;4;5AD
3;4;0AB 
Gi
n
là VTPT ca mt phng
ABD
Lúc đó :
; 20; 15;12n AD AB


Phương trình mặt phng
ABD
:
20 15 12 60 0x y z
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 204
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
b) Phương trình tham số ca đường thng
đi qua
D
vuông góc vi mt phng
ABD
:
3 20
4 15
5 12
xt
yt
zt



c) Phương trình tổng quát ca mt cu :
2 2 2 2 2 2
2 2 2 0 0x y z ax by cz d a b c d
Mt cu ngoi tiếp t din
ABCD
.cũng mặt cu ngoi tiếp t din
OABC
thì đi qua
4
điểm
,,,O A B C
nên tha h:
3
0
2
9 6 0 2
16 8 0 5
2
25 10 0
0
a
d
a d b
bd
c
cd
d






2 2 2
9 25
4 3 0
44
a b c d
Vậy phương trình mặt cu ngoi tiếp t din
ABCD
:
2 2 2
3 4 5 0x y z x y z
d)
, , ,d EF AC d EF ABC d E ABC
Ta có :
3;4;0 , 3;0;5 ; 20;15;12AB AC AB AC


Phương trình mặt phng
:20 15 12 60 0ABC x y z
3;0;5OE OA OC E
60
;
769
d EF AC
Bài 2. Gi
H
trung đim của đoạn
AB
.Trong tam giác
MAB
ta
MH
đường trung tuyến
nên
2
2 2 2
2
2
AB
MA MB MH
Do đó :
22
MA MB
nh nht khi và ch khi
2
MH
nh nht
MH P
x
z
y
F
D
E
I
O
B
A
C
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 205
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Ta
1;1;1H
.Đường thng
MH
đi qua
H
nhn
1;1;1
P
n
làm một VTCP phương
trình :
1
1
1
xt
yt
zt



M MH P
tọa độ điểm
M
tha h :
0
1
1
1
x y z
xt
yt
zt



3 3 0 1 0;0;0t t M
ng dn giải đề s 2
Bài 1.
a) Ta có :
1;0;0 , 0;0;4 , 0; 2;0AB AC AD
Do
. . . 0AB AC AC AD AD AC
,suy ra
,,AB AC AC AD AD AB
.Vy
,,AB AC AD
vuông góc vi nhau từng đôi một.
b) Gi
H
hình chiếu vuông góc ca
A
trên
CD
.Ta
AH
chính đường vuông góc chung
ca
,AB CD
Ta có :
1;0;0 , 0; 2; 4AB CD
Gi
u
là mt VTCP của đường thng
; 0; 4;2u AB CD


Phương trình tham số của đường thng
AH
:
2
44
12
x
yt
zt

c) Gọi M tâm đưng tròn ngoi tiếp
ACD
.Do
ACD
vuông ti
A
nên
M
trung điểm
DC
2;3;1M
V đường thng
d
đi qua
M
vuông góc vi mp
ACD
.K đường trung trc của đường
thng
AB
ct
d
ti
I
IA IC ID IB
I
tâm mt cu
S
đi qua bốn điểm
, , ,A B C D
Ta thy
13
;3;1
22
MI AB I




;
22
21
4
R IA
d
I
N
M
A
D
C
B
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 206
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Phương trình mặt cu
2
22
3 21
: 3 1
24
S x y z



d) Mt phng
ABD
nên có VTPT là
0,0,4AC
Phương trình mặt phng
có dng :
0zm
Do
tiếp xúc vi mt cu
S
:
,d I r
21 2
11
22
DD
Phương trình mặt phng
:
2
10
2
z
Bài 2. Đặt
, , 2 1f x y z x y z
.
6; 30 . 0f A f B f A f B
,AB
mt bên
đối vi mt phng
P
Gi
A
là điểm đối xng ca
A
qua mt phng
P
Phương trình đường thng
AA
:
12
3
2
xt
yt
zt

H AA P

tọa độ điểm
H
tha h :
2 1 0
12
3
2
x y z
xt
yt
zt

6 6 0 1 1;2; 1t t M
. Lúc đó
H
là trung điểm
AA
3;1;0A
Ta có :
MA MB MA MB A B

Để
MA MB
nh nht
,,A B M
thng hàng
M A B P
Đưng thng
'AB
đi qua
3;7; 8B 
nhn
' 6;6; 18AB
làm mt VTCP nên
phương trình :
3
7
18 3
xt
yt
zt

ng dn giải đề s 3
P
A'
H
A
B
M
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 207
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Bài 1.
a)
vuông góc vi mt phng
P
nên nhn
1; 2;2
P
n
làm mt VTCP
Phương trình tham số của đường thng
:
1
22
12
xt
yt
zt


Gi
M
là giao điểm ca
P
Tọa độ điểm
M
tha h :
2 2 5 0
1
22
12
x y z
xt
yt
zt


Thay vào :
1 2 2 2 2 1 2 4 0t t t
9 9 1 2;0;1t t M
b) Mt phng
có dng
2 2 0 4x y z m m
Ta có :
, , , 2d P d M d M
4
2
3
m

4 6 2, 10m m m
Vậy phương trình mặt phng
12
: 2 2 2 0, : 2 2 10 0x y z x y z

c) Mt cu
()S
có đường kính là
AM
3
;1;0
2
I



, bán kính
3
22
AM
R 
Phương trình mặt cu :
2
2
2
39
:1
24
S x y z



Bài 2.
a) Mt cu
S
có tâm
2,1; 3 ; 2 1 9 12 2 6IR
P
vuông góc vi
d
nên nhn
2; 1;1
d
u 
làm mt VTPT
Phương trình mặt phng
P
có dng :
20x y z m
Do
P
tiếp xúc vi
S
nên :
,d I P R
8
26
6
m

4; 20mm
Vậy phương trình mặt phng
12
:2 4 0, :2 20 0P x y z P x y z
b) Gi
I
là tâm ca mt cu
S
I
đối xng vi
I
qua đường thng
d
Gi
R
là bán kính mt cu
S
26RR

Gi
H
là hình chiếu vuông góc ca
I
lên đường thng
'd
Mt phng
đi qua
I
vuông góc với đường thng
d
:
2 2 1 3 0 2 8 0x y z x y z
Ta có :
H d H
tha h :
2 8 0
2
1
2
x y z
xt
yt
zt


3
6 9 0
2
tt
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 208
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
51
3, ,
22
H




H
là trung điểm ca
' 4;4;4II I

Phương trình mặt cu
2 2 2
: 4 4 4 24S x y z
ng dn giải đề s 4
Bài 1. Ta có :
1 2 6 5
8
;
1 4 9 14
R d I P R

a) Phương trình mặt cu
2 2 2
32
: 1 1 2
7
S x y z
Gi
Q
n
là mt VTPT ca mt phng
Q
Ta có:
2;2;3 , 1; 2;3
P
AB n
; 12; 3; 6 3 4; 1; 2
QP
n AB n


Phương trình mặt phng
:4 2 9 0Q x y z
b) Gi
u
là mt VTCP của đường thng
Ta có :
; 12; 3; 6 3 4; 1; 2
P
u AB n


Phương trình đường thng
24
:1
2
xt
yt
zt


c) Gi
K
là trung điểm ca
AB
1
2;0;
2
K




Ta có :
22MA MB MK MK
Để
MA MB
nh nht
MK
nh nht
MK P
Đưng thng
2
:2
1
3
2
xt
MK y t
zt


M MK P M
tha h :
2 3 5 0
2
9 9 65 9 13
14 ; ;
2
2 28 28 14 28
1
3
2
x y z
xt
t t M
yt
zt





Bài 2. Mặt phẳng
ABC
có dạng :
10
x y z
bcx acy abz abc
a b c
Ta có:
2 2 2 2 2 2
,
abc
d O ABC
b c a c a b


2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
1 1 1 1
;
a b a c b c
a b c c b a
d O ABC

2 2 2
2 2 2
1 1 1
3
3
abc
abc




2
1
;1
3
d O ABC a b c
: 1 0ABC x y z
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 209
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
PHN 5: GII HÌNH HC KHÔNG GIAN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
A. TÓM TT LÝ THUYT
Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cn phi chn h trc ta
độ thích hp. Lp tọa độ các đỉnh, điểm liên quan da vào h trc ta độ đã chọn độ dài cnh
ca hình.
c 1: Chn h trc to độ
Oxyz
thích hợp (chú ý đến v trí ca gc
O
)
c 2: Xác định to độ các điểm liên quan (có th xác định to độ tt c các đim hoc mt
s điểm cn thiết)
Khi xác định tọa độ các điểm ta có th da vào:
Ý nghĩa hình học ca tọa độ điểm (khi các điểm nm trên các trc tọa độ, mt phng tọa độ).
Da vào c quan h hình học như bằng nhau, vuông góc, song song ,cùng phương , thng
hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ
Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thng, mt phng.
Da vào các quan h v góc của đường thng, mt phng.
c 3: S dng các kiến thc v to độ để gii quyết bài toán
Các dạng toán thường gp:
Độ dài đọan thng
Khong cách t điểm đến mt phng
Khong cách t điểm đến đường thng
Khong cách giữa hai đường thng
Góc giữa hai đường thng
Góc giữa đường thng và mt phng
Góc gia hai mt phng
Th tích khối đa diện
Din tích thiết din
Chng minh các quan h song song , vuông góc
Bài toán cc tr, qu tích
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1. Hình chóp tam giác
Dng 1. Dng tam din vuông
Ví dụ 1. Cho hình chóp
.O ABC
OA a
,
OB b
,
OC c
vuông góc nhau từng đôi một. Gi
điểm c định thuc tam giác
ABC
có khong cách lần lượt đến các
mp OBC
,
mp OCA
,
mp OAB
1
,
2
,
3
. Giá tr
,,abc
để th tích khi chóp
.O ABC
nh nht là
A.
3; 6; 9a b c
. B.
1; 1; 1abc
. C.
abc
. D.
1; 2; 3a b c
.
ng dn gii
Chn h trc tọa độ như hình vẽ, ta có:
0;0;0O
,
; 0; 0Aa
,
0; ; 0Bb
,
0; 0;Cc
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 210
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
, 3d M OAB
3
M
z
. Tương tự
1; 2; 3M
.
PT
:1
x y z
mp ABC
a b c
.
()M ABC
1 2 3
1
abc
(1).
.
1
6
O ABC
V abc
(2).
3
1 2 3 1 2 3
(1) 1 3 . .
a b c a b c
1
27
6
abc
.
(2)
min
1 2 3 1
27
3
V
abc
.
Vy
3; 6; 9a b c
Dng 2. Dng t din có mt cnh vuông góc mt mt ti góc nhn ca tam giác vuông
Ví dụ 2. T din
.S ABC
có cnh
SA
vuông góc với đáy và
ABC
vuông ti
C
. Độ dài ca các cnh
4SA
,
3AC
,
1BC
. Gi
là trung điểm ca cnh
AB
,
H
là điểm đối xng ca
C
qua
. Tính góc
là góc phng nh din
,,H SB C
(tính đến độ, phút, giây)
A.
82 35 57
o
. B.
97 24 2
o
. C.
63 30
o
. D.
15 14 13
o
.
ng dn gii
x
3
y
4
z
1
M
B
(1;3;0)
A
H
(1;0;0)
C
(0;3;0)
S
(0;0;4)
I
K
Chn h trc to độ Đêcac vuông góc
Oxyz
như hình v:
0;0;0OA
;
1;3;0B
;
0;3;0C
;
0;0;4S
1;0;0H
Dng mp
P
qua
H
vuông góc
SB
ti
I
cắt đường thng
SC
ti
K
, d thy
,,H SB C
=
,IH IK
(1)
* Tìm to độ véc tơ
1;3; 4SB 
0;3; 4SC 
,
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 211
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
* Phương trình tham số đưng thng
1
: 3 3
4
xt
SB y t
zt



,
0
: 3 3
4
x
SC y t
zt


, phương trình mp
: 3 4 1 0P x y z
* Tìm to độ giao điểm
I SB P
K SC P
17 51 18
;;
26 26 13
I



,
51 18
0; ;
26 13
K



. To độ véctơ
9 51 18
;;
26 26 13
IH


,
17
;0;0
26
IK



.
.
cos cos , , cos ,
.
IH IK
H SB C IH IK
IH IK
=
153
676
0.1427
3 442 17
.
26 26

98 12 13
o
Dng 3. Dng hình chóp tam giác đều
.S ABC
:
Gi s cạnh tam giác đều bng
a
và đường cao bng
h
. Gi
O
là tâm tam giác đều
ABC
.
Trong
mp ABC
, ta v tia
Oy
vuông góc vi
OA
. Đặt
SO h
, chn h trc tọa độ như hình vẽ ta
được:
0;0;0O
,
3
;0;0
3
a
A




,
0;0;Sh
. Suy ra to độ
3
;0;0
6
a
I




,
3
; ;0
62
aa
B




,
3
C ; ;0
62
aa





2. Hình chóp t giác
Dng 1. Hình chóp
.S ABCD
có cnh
SA ABCD
và đáy
ABCD
là hình vuông (hoc hình
ch nht): Ta chn h trc to độ như dạng tam din vuông
a
a
a
x
y
z
O
I
C
B
A
S
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 212
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
z
x
y
C
(
a;a;0
)
A
(0;0;0)
B
(
a;0;0
)
D
(0;a;0)
S
(0;0;h)
Dng 2. Hình chóp t giác đều
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông (hoc hình thoi) tâm
O
có đường cao
SO ABCD
: Ta chn h trc to độ: Tia
OA
,
OB
,
OS
lần lượt là
Ox
,
Oy
,
Oz
. Gi s s đo
SO h
,
OA a
,
OB b
thì ta có to độ
0;0;0O
,
;0;0Aa
,
0; ;0Bb
,
0;0;Sh
;0;0Ca
,
0; ;0Db
.
z
x
y
O
A
(
a;0;0
)
C
(-
a;0;0
)
B
(0;b;0)
D
(0;-
b;0
)
S
(0;0;h)
Dng 3. Hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình ch nht có cnh
AB b
, tam giác
SAD
đều cnh
a
và mp
SAD ABCD
: Ta gi
H
là trung điểm
AD
, trong
ABCD
ta v
tia
Hy AD
. Ta chn h trc to độ
Hxyz
:
0;0;0H
,
;0;0
2
a
A



,
B ;b;0
2
a



,
C ;b;0
2
a



,
D ;0;0
2
a



,
3
S 0;0;
2
a




TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 213
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
3. Hình lăng trụ đứng
Dng 1. Hình lập phương
.ABCD AB CD
cnh bng
a
: Chn h trc to độ sao cho:
(0;0;0)A
,
( ;0;0)Ba
,
( ; ;0)C a a
,
D(0; ;0)a
;
(0;0; )Aa
,
( ;0; )B a a
,
( ; ; )C a a a
,
D (0; ; )aa
x
y
z
C'
D'
B'
C
A
(0;0;0)
D
(0;a;0)
B
(
a;0;0
)
A'
(0;0;a)
Dng 2. Hình hp ch nht
.ABCD A BCD
cnh
AB a
,
AD b
,
AA c
: Chn h trc to độ
sao cho:
(0;0;0)A
,
( ;0;0)Ba
,
( ; ;0)C a b
,
(0; ;0)Db
;
(0;0; )Ac
,
( ;0; )B a c
,
( ; ; )C a b c
,
(0; ;c)Db
b
a
c
x
y
z
C'
D'
B'
C
A
(0;0;0)
D
(0;b;0)
B
(
a;0;0
)
A'
(0;0;c)
y
x
z
H
(0;0;0)
;0;0
2
a
A



; ;0
2
a
Bb



; ;0
2
a
Cb



;0;0
2
a
D



3
0;0;
2
a
S



TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 214
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Dng 3. Hình hộp đứng đáy hình thoi
.ABCD AB CD
: Chn h trc to độ sao cho: gc trùng
với giao điểm
O
của hai đường chéo
AC
,
BD
; hai trc
,Ox Oy
lần lượt chứa hai đường
chéo ca hình thoi, trc
Oz
đi qua tâm hai đáy.
x
y
z
O'
C'
D'
B'
O
C
A
D
B
A'
B. BÀI TP CÓ GII
Câu 1. Cho t din
ABCD
có các cnh
,,AB AC AD
vuông góc nhau từng đôi một, có độ dài
3AB
,
4AC AD
. Tính khong cách
d
t điểm
A
đến mt phng
BCD
A.
6 34
17
d
. B.
12
5
d
. C.
1
2
d
. D.
34
17
d
ng dn gii
Chn h trc to độ Đêcac vuông góc
Oxyz
như sau:
0;0;0OA
;
4;0;0D
;
0;4;0C
;
0;0;3B
* Tìm phương trình mặt phng
BCD
:
1
4 4 3
x y z
3 3 4 12 0x y z
z
O
B
y
C
x
D
A
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 215
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
* Tính khong cách
d
=
,d A BCD
=
2 2 2
12 6 34
17
3 3 4

Câu 2. Cho t din
ABCD
AD
vuông góc vi mt phng
ABC
AD a
, có tam giác
ABC
vuông ti
A
AC b
,
AB c
. Tính din tích
S
ca tam giác
BCD
theo
,,abc
.
A.
1
2
S abc
. B. .
2 2 2 2 2 2
1
2
S a b b c c a
.
C.
1
2
S ab bc ca
. D.
2 2 2 2 2 2
1
2
S a b b c c a
.
ng dn gii
x
y
z
A
B
C
D
Chn h trc to độ Đêcac vuông góc
Oxyz
như sau:
0;0;0OA
;
;0;0Bc
;
0; ;0Cb
;
0;0;Da
* Tìm to độ véc tơ
Cnh ca tam giác
BCD
:
; ;0BC c b
,
;0;BD c a
Véctơ tích có hướng
; ; ;BC BD ab ac bc


* S dng công thc tính din tích tam giác
1
,
2
BCD
S BC BD


=
2 2 2 2 2 2
1
2
a b b c c a
Câu 3. Cho t din
.O ABC
có các tam giác
OAB
,
OBC
,
OCA
đều là tam giác vuông tại đỉnh
O
. Gi
, ,
lần lượt là góc hp bi các mt phng
OBC
,
OCA
,
OAB
vi mt phng
ABC
. Tìm h thức lượng giác liên h gia
, ,
.
A.
2 2 2
sin sin sin 1
. B.
60
o
.
C.
2 2 2
cos cos cos 1
. D.
cos2 cos2 cos2 1
.
ng dn gii
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 216
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
x
y
z
B'
H
O
A
B
C
A'
C'
Chn h trc to độ Đêcac vuông góc
Oxyz
như sau:
(0;0;0)O
;
( ;0;0)Aa
;
(0; ;0)Bb
;
(0;0; )Cc
.
; ; 0AB a b
,
; 0;AC a c
* Tìm vectơ pháp tuyến ca
Mt phng
ABC
:
, ; ;n AB AC bc ca ab



Mt phng
OBC
:
1; 0; 0i
(vì:
()Ox OBC
)
Mt phng
OCA
:
0; 1; 0j
(vì:
()Oy OCA
)
Mt phng
OAB
:
0; 0; 1k
(vì:
()Oz OAB
)
* S dng công thc tính góc gia hai mt phng
cos cos ,OBC ABC
2 2 2 2 2 2
cos
bc
b c c a a b

cos cos ,OCA ABC
2 2 2 2 2 2
cos
ac
b c c a a b

2 2 2 2 2 2
cos
ab
b c c a a b

* Biến đổi và kết lun
cos cos ,OAB ABC
22
2
2 2 2 2 2 2
cos
bc
b c c a a b

22
2
2 2 2 2 2 2
cos
ca
b c c a a b

22
2
2 2 2 2 2 2
cos
ab
b c c a a b

Vy
2 2 2
cos cos cos 1
Câu 4. Cho hình chóp
SABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân vi
AB AC a
, có
SA
vuông góc
vi mt phng
ABC
2
2a
SA
. Tính góc
gia hai mt phng
SAC
SBC
A.
120
o
. B.
30
o
. C.
45
o
. D.
60
o
.
ng dn gii
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 217
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
x
y
z
A
B
C
S
Chn h trc to độ Đêcac vuông góc
Oxyz
như sau:
0;0;0OA
;
;0;0Ba
;
0; ;0Ca
;
2
0;0;
2
a
S



.
* Tìm vectơ pháp tuyến ca
Mt phng .
SAC
.:
1; 0; 0i
(vì
()Ox SAC
)
Mt phng
SBC
: có cặp véc tơ chỉ phương
2
;0;
2
a
SB a



,
2
0; ;
2
a
SC a



véc
tơ pháp tuyến là
22
2
22
, ; ;
22
aa
SB SC a





hay là
1;1; 2n
* Tính góc gia hai mt phng
SAC
SBC
.
1
cos
2
.
in
in
60
o
.
Câu 5. Cho hình chóp
SABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân vi
AB AC a
, có
SA
vuông góc
vi mt phng
ABC
2
2a
SA
. Tính khong cách
d
giữa hai đường thng
AI
SC
,
vi
I
trung điểm cnh
BC
.
A.
2
a
d
. B.
da
. C.
2
2
a
d
. D.
3
2
a
d
ng dn gii
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 218
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
x
y
z
I
A
B
C
S
Chn h trc to độ Đêcac vuông góc
Oxyz
như sau:
0;0;0OA
;
;0;0Ba
;
0; ;0Ca
;
2
0;0;
2
a
S



.
; ; 0AB a b
,
0; ;0AC a
* Tìm vectơ pháp tuyến ca
Mt phng
SAC
:
1;0;0i
(vì
()Ox SAC
)
Mt phng
SBC
: có cặp véc tơ chỉ phương
22
;0; ; 0; ;
22
aa
SB a SC a
véc
tơ pháp tuyến là
22
2
22
, ; ;
22
aa
SB SC a





hay là
1;1; 2n
* Tính khong cách
d
giữa hai đường thng
AI
SC
Vì I là trung điểm ca BC
; ;0
22
aa
I



nên ta có:
; ;0
22
aa
AI


,
2
0; ;
2
a
SC a



,
222
22
, ; ;
4 4 2
aaa
AI SC





,
2
0;0;
2
a
AS


3
2
,.
4
a
AI SC AS


, mà
4 4 4 2
,
8 8 4
2
a a a a
AI SC


.
Vy khong cách giữa hai đường thng AI và SC là
3
2
,.
22
,.
42
,
AI SC AS
aa
f AI SC
a
AI SC


Câu 6. Cho hình chóp
.O ABC
OA a
,
OB b
,
OC c
vuông góc nhau từng đôi một. Gi M là
điểm c định thuc tam giác
ABC
có khong cách lần lượt đến các
mp OBC
,
mp OCA
,
mp OAB
là 1, 2, 3. Giá tr
,,abc
để th tích khi chóp
.O ABC
nh nht
A.
1; 1; 1abc
. B.
3; 6; 9a b c
. C.
abc
. D.
1; 2; 3a b c
.
ng dn gii
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 219
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Chn h trc tọa độ như hình vẽ, ta có:
0;0;0O
,
;0;0Aa
,
0; ;0Bb
,
0;0;Cc
.
,3d M OAB

.
.
3
M
z
. Tương tự
1;2;3M
.
PT
:1
x y z
mp ABC
a b c
.
1 2 3
( ) 1M ABC
abc
(1).
.
1
6
O ABC
V abc
(2).
3
1 2 3 1 2 3
(1) 1 3 . .
a b c a b c
1
27
6
abc
.
(2)
min
1 2 3 1
27
3
V
abc
.
Vy
3; 6; 9a b c
Câu 7. Cho hình chóp tam giác đều
.S ABC
có độ dài cạnh đáy là
a
. Gi
,MN
lần lượt là là trung
điểm
,SB SC
. Cho biết
AMN
vuông góc vi
SBC
; Tính theo
a
din tích
AMN
.
A. .
2
3
4
AMN
a
S
.. B.
2
2
AMN
a
S
. C.
2
10
16
AMN
a
S
. D.
2
10
8
AMN
a
S
.
ng dn gii
a
a
a
x
y
z
M
N
O
I
C
B
A
S
Gi
O
là hình chiếu ca
S
trên
ABC
, ta suy ra
O
là trng tâm
ABC
. Gi
I
là trung điểm
ca
BC
, ta có:
33
22
a
AI BC
3
3
a
OA
,
3
6
a
OI
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 220
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
Trong mp
ABC
, ta v tia
Oy
vuông góc vi
OA
. Đặt
SO h
, chn h trc tọa độ như hình
v ta được:
0; 0; 0O
,
3
;0;0
3
a
A




,
0; 0;Sh
Suy ra toa độ
3
;0;0
6
a
I




,
3
; ;0
62
aa
B




,
3
C ; ;0
62
aa





,
3
M ; ;
12 4 2
a a h




3
;;
12 4 2
a a h
N





.
* Véctơ pháp tuyến mp
AMN
:
,
AMN
n AM AN


=
2
53
;0;
4 24
ah a




, mp
SBC
:
,
SBC
n SB SC


=
2
3
;0;
6
a
ah




. T gi thiết
( ) ( )AMN SBC
.0
AMN SBC
nn

2
2
5
12
a
h
.
* Din tích tam giác
AMN
:
2
1 10
,
2 16
AMN
a
S AM AN



Câu 8. Cho hình lăng trụ tam giác
1 1 1
.ABC A B C
có đáy là tam giác đều cnh bng
a
, có
1
2AA a
vuông góc vi mt phng
ABC
. Gi
D
là trung điểm ca
1
BB
; Lấy điểm
di động trên
cnh
1
AA
. Tìm giá tr ln nht, nh nht ca din tích tam giác
1
MC D
.
A.
1
2
3
4
MC D
a
S
. B.
1
2
5
4
MC D
a
S
. C.
1
2
42
4
MC D
a
S
. D.
1
2
15
4
MC D
a
S
.
ng dn gii
Chn h trc tọa độ
Oxyz
sao cho
0;0;0OA
;
B Oy
:
0; ;0Ba
,
1
A Oz
:
1
0;0;2Aa
1
3
; ;2
22
aa
Ca



0; ;D a a
Do
M
di động trên
1
AA
có tọa độ
0;0;Mt
vi
0; 2ta
Ta có:
1
1
1
,
2
DC M
S DC DM


z
x
C
C
1
M
A
A
1
B
1
B
D
y
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 221
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM
1
3
;;
22
aa
DC a



,
0; ;DM a t a
,DG DM



3 ; 3( ); 3
2
a
t a t a a

2 2 2 2 2
, ( 3 ) 3( ) 3 4 12 15
22
aa
DG DM t a t a a t at a


.
1
22
1
. . 4 12 15
22
DC M
a
S t at a
Xét
22
4 12 15f t t at a
vi
0; 2ta
. Ta có
8 12f t t a

;
3
0
2
a
f t t
Giá tr ln nht ca hàm s đạt được khi
0t
MA
, vy GTLN ca din tích là
1
2
15
4
MC D
a
S
| 1/223