Tuyển chọn các bài toán về hàm số – Đặng Việt Hùng Toán 12

Tuyển chọn các bài toán về hàm số – Đặng Việt Hùng Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

43 22 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Môn: Toán 12

Thông tin:

41 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
CỔNG LUYỆN THI TRỰC TUYẾN SỐ 1 VIỆT NAM
§ÆNG VIÖT HïNG
TUYỂN CHỌN
CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ (P1)
(KHÓA LUYỆN THI 2015 – 2016)
Sách hay, chỉ TẶNG chứ không BÁN!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
CHỦ ĐỀ 1. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
DẠNG 1. TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ
Câu 1: [ĐVH]. Cho hàm số
2
2
x
y
x
=
−
, có
đồ
th
ị
(
)
C
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
(
)
C
t
ạ
i các
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
(
)
C
v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
y x
= −
.
Lời giải:
Phương trình giao điểm 2 đồ thị là
( )( )
2
2
3 3 2 2 3 3 3 11 6 0
2
= − ⇔ = − − ⇔ − + =
−
x
x x x x x x
x
( )
2 2
; 1
3 3
3 3;3
= ⇒ −
⇔
= ⇒
x M
x M
.
Với
( )
( )
2
2 9
'
2 4
3 4
'
2
2
' 3 4
= −
= ⇒ = − ⇒
−
−
= −
y
x
y y
x
x
y
Phương trình tiếp tuyến tại điểm
2
; 1
3
−
M
là
9 2 9 1
1 .
4 3 4 2
= − − − = − +
x
y x
Phương trình tiếp tuyến tại điểm
(
)
3;3
M là
(
)
4 3 3 4 15.
= − − + = − +
y x x
Câu 2: [ĐVH]. Cho hàm số
3 2
2 2 5
y x x
= − +
, có đồ thị
(
)
C
. Tìm
(
)
M C
∈ sao cho tiếp tuyến với
(
)
C
tại
M
vuông góc với đường thẳng
2 6 0
x y
+ − =
.
Lời giải:
Gọi
(
)
3 2
;2 2 5
− +
M m m m .
3 2 2
2 2 5 ' 6 4
= − + ⇒ = − ⇒
y x x y x x
phương trình tiếp tuyến tại M có hệ số góc
2
6 4
= −
k m m
.
Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
2 6 0
x y
+ − =
hay
3
2
= − +
x
y nên
2
6 4 2
− =
m m
(
)
2
1 1;5
6 4 2 0
1 1 127
;
3 3 27
= ⇒
⇔ − − = ⇔
−
= − ⇒
m M
m m
m M
Câu 3: [ĐVH]. Cho hàm số
4 2
4
y x x
= −
(
)
C
. Tìm
(
)
M C
∈ sao cho tiếp tuyến với
(
)
C
tại
M
đi
qua điểm
(
)
0;1
A .
Lời giải:
Gọi
(
)
4 2
; 4−
M m m m
.
Phương trình tiếp tuyến qua M có dạng :
(
)
(
)
(
)
4 2 3 4 2
' 4 4 8 4 .
= − + − = − − + −
m
y y x m m m m m x m m m
Tiếp tuyến qua
(
)
0;1
A nên
( )
( )
2
3 4 2 4 2
2
1
1 4 8 0 4 3 4 1 0
1
3
=
= − − + − ⇔ − + = ⇔
=
m
m
m m m m m m
m
(
)
1 1; 3
1 1 11
;
9
3 3
= ± ⇒ ± −
⇔
= ± ⇒ ± −
m M
m M
là các điểm cần tìm.
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Câu 4: [ĐVH]. Cho hàm số
( )
6 5
1
+
=
+
x
y C
x
. Tìm
M
thu
ộ
c
(
)
C
sao cho ti
ế
p tuy
ế
n qua
M
c
ắ
t
Ox
và
Oy
l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i
A
và
B
sao cho
4 .
=
OA OB
Lời giải:
Ta có
( )
2
6 5 1
' .
1
1
+
= ⇒ =
+
+
x
y y
x
x
Gọi
6 5
;
1
m
M m
m
+
+
là điểm thuộc đồ thị cần tìm.
Phương trình tiếp tuyến tại
6 5
;
1
m
M m
m
+
+
có dạng
( )
( )
2
1 6 5
.
1
1
m
y x m
m
m
+
= − +
+
+
Phương trình giao điểm với Ox:
( )
( )
2
0
1 6 5
0
1
1
y
m
x m
m
m
=
+
− + =
+
+
( )
2
2
0
6 10 5;0
6 10 5
y
A m m
x m m
=
⇔ ⇒ − − −
= − − −
Phương trình giao điểm với Oy:
( )
( ) ( )
( )
2
2
2
2 2
0
6 10 5
0
0; .
6 5 6 10 5
1
1
1 1
x
m m
m
B
m m m
y
m
m
m m
=
+ +
−
⇒
+ + +
= + =
+
+
+ +
Theo bài
( )
(
)
( )
2
2
2
2
2
6 10 5 0
6 10 5
4 6 10 5 4.
4
1
1
1
m m vo nghiem
m m
OA OB m m
m
m
+ + =
+ +
= ⇔ + + = ⇔
=
+
+
2
11
1
1;
2
2 3 0
13
3 3;
2
m M
m m
m M
= ⇒
⇔ + − = ⇔
= − ⇒ −
Câu 5: [ĐVH]. Cho hàm số
(
)
3 2
3 1 4 1
y x m x x m
= − + + − +
(
)
m
C
. Gọi
∆
là tiếp tuyến của
(
)
m
C
tại giao điểm của
(
)
m
C
với trục tung. Viết phương trình
∆
biết khoảng cách từ
(
)
2; 1
A
−
đến
∆
bằng
34
.
Lời giải:
0 1
x y m
= ⇒ = −
suy ra
(
)
0;1
B m
−
là giao điểm của
(
)
m
C
với trục tung.
Ta có:
(
)
(
)
2
' 3 6 1 4 ' 0 4
y x x m y
= − + + ⇒ =
suy ra phương trình tiếp tuyến của
(
)
m
C
đi qua B là:
(
)
(
)
: 1 4 0 4 1 0
y m x x y m
∆ − − = − ⇔ − + − =
( )
(
)
(
)
( )
2
2
4. 2 1 1
6 17 2
; 34 6 17 2
6 17 2
4 1
m
m
d A m
m
− − − + −
= − +
⇒ ∆ = = ⇒ + = ⇔
= − −
+ −
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
4 7 17 2 0
x y
− + − =
hoặc
4 7 17 2 0
x y
− + + =
.
Câu 6:
[ĐVH]. Cho hàm số
3 1
1
x
y
x
+
=
−
, có đồ thị
(
)
C
. Viết phương trình tiếp tuyến của
(
)
C
tại
điểm
0
x
biết
0
x
là nghiệm của phương trình
15 0
y y
′′
+ − =
.
Lời giải:
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Ta có
( ) ( )
2 3
4 4 8
3 ' ''
1
1 1
y y y
x
x x
= + ⇒ = − ⇒ =
−
− −
Ta có
( ) ( )
3 3
8 4 4 2
'' 15 0 3 15 0 6 0 2
1 1
1 1
y y x
x x
x x
+ − = ⇔ + + − = ⇔ + − = ⇔ =
− −
− −
Ta có
(
)
2 7
y
=
,
(
)
' 2 4
y
= −
suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
(
)
7 4 2 4 15
y x y x
− = − − ⇔ = − +
Câu 7: [ĐVH]. Cho hàm số
(
)
(
)
4 2
2 2 1 1
m
y x m x m C
= − + − − . Gọi
A
là điểm có hoành độ
dương mà
(
)
m
C
luôn đi qua với mọi
m
. Viết phương trình tiếp của hàm số tại
A
khi
1.
m
=
Lời giải:
Ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
4 2 4 2 4 2 2
2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 4 1
y x m x m y x m x m y x x m x
= − + − − ⇔ − = + − − ⇔ − + = + −
Gọi
(
)
0 0
,
A x y
ta có:
4 2
0
0 0 0
2
0
0
1
2 0
2
7
4 1 0
16
x
y x x
x
y
=
− + =
⇔
− =
= −
(Do
0
0
x
>
)
1 7
;
2 16
A
⇒ −
Khi
1
m
=
ta có
4 2 3
1 11
6 2 ' 4 12 '
2 2
y x x y x x y
= − − ⇒ = − ⇒ = −
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là
7 11 1 11 37
16 2 2 2 16
y x y x
+ = − − ⇔ = − +
Câu 8: [ĐVH]. Cho hàm số:
( )
2
1
x
y C
x
−
=
+
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
(
)
C
t
ạ
i.
a)
Giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
(
)
C
v
ớ
i tr
ụ
c hoành.
b)
Giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
(
)
C
v
ớ
i tr
ụ
c tung.
Lời giải:
Ta có:
( )
2
3
'
1
y
x
=
+
a)
Ph
ươ
ng trình tr
ụ
c hoành là:
0
y
=
. Do đó
0 0
0 2
y x
= ⇒ =
. Khi đó:
( )
( )
0
2
0
3 1
'
3
1
y x
x
= =
+
Do đó phương trình tiếp tuyến là:
( ) ( )
1 1
2 0 2
3 3
y x x
= − + = −
.
b) Phương trình trục tung là:
0
x
=
. Do đó
0 0
0 2
x y
= ⇒ = −
. Khi đó:
( )
( )
0
2
0
3
' 3
1
y x
x
= =
+
Do đó phương trình tiếp tuyến là:
(
)
3 0 2
y x
= − −
hay
3 2
y x
= −
.
Câu 9: [ĐVH]. Cho hàm số
(
)
4 2
4 1
y x x C
= − + . Viết phương trình tuyến tuyến của
(
)
C
tại điểm
0
x
thoã mãn điều kiện
(
)
0
'' 4
y x
=
.
Lời giải:
Ta có:
3
' 4 8
y x x
= −
suy ra
2
'' 12 8
y x
= −
.
Do đó:
(
)
2 2
0 0 0 0
'' 12 8 4 1 1
y x x x x
= − = ⇔ = ⇔ = ±
.
Xét 2 trường hợp:
+
) Với
(
)
3
0 0 0 0 0
1 2; ' 4 8 4
x y y x x x
= ⇒ = − = − = −
. Do vậy phương trình tiếp tuyến là:
(
)
4 1 2
y x
= − − −
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Hay
4 2
y x
= − +
.
+) Với
(
)
3
0 0 0 0 0
1 2; ' 4 8 4
x y y x x x
= − ⇒ = − = − =
. Do vậy phương trình tiếp tuyến là:
(
)
4 1 2
y x
= + −
Hay
4 2
y x
= +
.
Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
4 2
y x
= − +
và
4 2
y x
= +
.
Câu 10: [ĐVH]. Cho hàm số:
(
)
3 2
2
y x x x C
= + − + .
a) Tìm toạ độ giao điểm của
(
)
C
và trục Ox.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của
(
)
C
tại các giao điểm đó.
Lời giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm của
(
)
C
và trục Ox là:
3 2
2 0
x x x
+ − + =
(
)
(
)
2
2 1 0 2
x x x x
⇔ + − + = ⇔ = −
. Vậy toạ độ giao điểm của
(
)
C
và trục Ox là
(
)
2;0
A − .
b) Phương trình tiếp tuyến có dạng:
(
)
(
)
0 0 0
'
y f x x x y
= − +
.
Trong đó ta có:
0 0
2; 0
x y
= − =
.
(
)
(
)
(
)
2
0
' 3 2 1 ' ' 2 7
f x x x f x f
= + − ⇒ = − =
.
Vậy phương trình tiếp tuyến là:
(
)
7 2
y x
= −
.
Câu 11: [ĐVH]. Cho hàm số
( )
4 2
1
1 2
2
y x m x m
= − + + −
, có
đồ
th
ị
(
)
m
C
. Tìm
m
đề
ti
ế
p tuy
ế
n
c
ủ
a
(
)
m
C
t
ạ
i
đ
i
ể
m có hoành
độ
2
x
= −
đi qua gốc tọa độ
O
.
Lời giải:
+) TXĐ:
D
=
ℝ
. Ta có
(
)
3
2 2 1
y x m x
′
= − + .
+) Tiếp tuyến của
(
)
m
C
tại điểm
(
)
2; 3 2
M m
− − +
có hệ số góc là
(
)
2 4 20
k y m
′
= − = −
.
Khi đó, phương trình tiếp tuyến
d
tại
M
là
(
)
(
)
4 20 2 3 2
y m x m
= − + − +
.
+) Vì
d
đi qua gốc tọa độ
O
nên
( )
38
0 2 4 20 3 2 5 38 0
5
m m m m= − − + ⇔ − = ⇔ = .
Vậy
38
5
m = là giá trị cần tìm.
Câu 12: [ĐVH]. Cho hàm số
( )
2 1
2
x
y C
x
−
=
+
. Gọi
I
là giao điểm 2 tiệm cận của hàm số. Viết
phương trình tiếp tuyến của
(
)
C
qua
(
)
M C
∈ biết
5
2
IM IO
= và M có hoành độ dương.
Lời giải:
Ta có tiệm cận đứng của
(
)
C
là
2
x
= −
, tiệm cận ngang của
(
)
C
là
2
y
=
Suy ra
(
)
2
2;2 8
I IO
− ⇒ =
.
Gọi
2 1
;
2
m
M m
m
−
+
. Ta có
2 2
5 5
10
2 4
IM IO IM IO
= ⇒ = =
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
2 1 5
2 2 10 2 10 2 5 2 5
2 2
m
m m m m
m m
− −
⇒ + + − = ⇒ + + = ⇔ + = ⇒ = − +
+ +
(do
0
M
x
>
)
Ta có
( )
(
)
2
5 5
2 ' ' 2 5 1
2
2
y y y
x
x
= − ⇒ = ⇒ − + =
+
+
Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
(
)
( ) ( )
2 2 5 1
2 5 2 5 2 5 4 2 5
5
y x y x y x
− + −
− = − − + ⇔ − − = + − ⇔ = + −
DẠNG 2. TIẾP TUYẾN CÓ HỆ SỐ GÓC
Câu 1: [ĐVH]. Cho hàm số
2 1
3 2
x
y
x
−
=
+
, có
đồ
th
ị
(
)
C
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n
d
c
ủ
a
(
)
C
bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
28 4 0
x y
− + =
.
Lời giải:
+) TXĐ:
2
3
\D
−
=
ℝ
. Ta có:
(
)
(
)
( ) ( )
2 2
2 3 2 3 2 1
7
3 2 3 2
x x
y
x x
+ − −
′
= =
+ +
.
+) Gọi
0
0
0
2 1
; ,
3 2
x
M x
x
−
+
với
0
2
3
x
−
≠ là tiếp điểm của tiếp tuyến
d
với đồ thị
(
)
C
. Do
d
song
song với đường thẳng
28 10 0
x y
− + =
hay
1 5
28 14
y x
= +
nên
( )
0
1
28
y x
′
= . Ta có phương trình:
( )
( )
(
)
( )
0
2
0
0
2
0
0
0
4
3 2 14
7 1
3 2 196
16
3 2 14
28
3 2
3
x tm
x
x
x
x tm
x
=
+ =
= ⇔ + = ⇔ ⇔
−
+ = −
=
+
.
+) Với
0
1
4 4;
2
x M
= ⇒
. Phương trình tiếp tuyến
d
là:
( )
1 1
4
28 2
y x
= − +
hay
1 5
28 14
y x
== +
(loại).
+) Với
0
16 16 5
;
3 3 6
x M
− −
= ⇒
. Phương trình
d
là:
1 16 5
28 3 6
y x
= + +
hay
1 43
28 42
y x= + (tm).
Vậy
1 43
28 42
y x= + là đường thẳng
d
cần tìm.
Câu 2:
[ĐVH]. Cho hàm số
3 2
2 3 5
y x x
= − +
, có đồ thị
(
)
C
. Tìm
(
)
M C
∈ sao cho tiếp tuyến của
(
)
C
tại
M
vuông góc với đường thẳng
12 7 0
x y
+ − =
.
Lời giải:
+) TXĐ:
D
=
ℝ
. Ta có:
2
6 6
y x x
′
= −
.
+) Gọi
(
)
3 2
0 0 0
;2 3 5
M x x x
− +
là điểm cần tìm. Tiếp tuyến
d
của
(
)
C
tại
M
có hệ số góc là
2
0 0
6 6
k x x
= − .
Vì
d
vuông góc với đường thẳng
12 7 0
x y
+ − =
hay
1 7
12 12
y x
−
= +
nên
12
k
=
.
Ta có phương trình
0
2 2
0 0 0 0
0
1
6 6 12 2 0
2
x
x x x x
x
= −
− = ⇔ − − = ⇔
=
.
+) Với
(
)
0 1
1 1;0
x M
= − ⇒ − .
+) Với
(
)
0 2
2 2;9
x M
= ⇒ .
Vậy
(
)
1
1;0
M
− và
(
)
2
2;9
M
là các điểm cần tìm.
Câu 3:
[ĐVH]. Cho hàm số
3 2
2
4 1
3
y x x x
= − − +
, có đồ thị
(
)
C
. Viết phương trình tiếp tuyến của
(
)
C
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
7 1 0
x y
+ − =
.
Lời giải:
Gọi
(
)
0 0
;
M x y
là tiếp điểm
⇒
Hệ số góc của tiếp tuyến là
(
)
0
'
y x
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Ta có
2
' 2 8 1
y x x
= − −
Theo giả thiết, tiếp tuyến song song với đường thẳng
7 1 0
x y
+ − =
(
)
0
' 7
y x
⇒ = −
( )( )
2
1
2 8 1 7 1 3 0
3
x
x x x x
x
=
⇒ − − = − ⇒ − − = ⇒
=
( )
( )
( )
1 0
1
2 0
2
11
7 1
7
3
7 3
7 1
y y x
y x
y y x
y x loai
− = − −
= − −
⇒ ⇒
− = − −
= − +
Vậy phương trình tiếp tuyến của
(
)
C
là
11
7
3
y x
= − −
Câu 4:
[ĐVH].
Cho hàm s
ố
3 2
1
x
y
x
−
=
+
, có
đồ
th
ị
(
)
C
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
(
)
C
bi
ế
t
ti
ế
p tuy
ế
n vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
5 12 0
x y
+ − =
.
Lời giải:
G
ọ
i
(
)
0 0
;
M x y
là ti
ế
p
đ
i
ể
m
⇒
H
ệ
s
ố
góc c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n là
(
)
0
'
y x
Ta có
( )
2
5
'
1
y
x
=
+
Theo giả thiết, tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
5 12 0
x y
+ − =
( )
'
0
1
5
y x
⇒
=
( )
( )
( )
( )
1 0 1
2
2
2 0 2
1 1 6
4
4
5 1
5 5 5
1 25
6 1 1 26
5
1
6
5 5 5
y y x y x
x
x
x
x
y y x y x
− = − = +
=
⇒
=
⇒
+ =
⇒ ⇒ ⇒
= −
+
− = + = +
Vậy phương trình tiếp tuyến của
(
)
C
là
1 6 1 26
;
5 5 5 5
y x y x= + = +
Câu 5:
[ĐVH]. Cho hàm số
2
2
x m
y
x m
−
=
+
, có đồ thị
(
)
m
C
. Tìm
m
đề tiếp tuyến của
(
)
m
C
tại giao
điểm của đồ thị hàm số với trục tung song song với đường thẳng
5 17 0
x y
− + =
.
Lời giải:
Gọi
(
)
0 0
;
M x y
là tiếp điểm
⇒
Hệ số góc của tiếp tuyến là
(
)
0
'
y x
Ta có
(
)
(
)
( )
2
2
2
2
2
'
x m m m
m m
y y
x m
x m
+ − +
+
=
⇒
=
+
+
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là nghiệm của phương trình:
2
0
0
0
2
x
x
x m
y
x m
=
⇒ =
−
=
+
(
)
(
)
0 0 0
; 0;
M x y M y
⇒ =
Phương trình tiếp tuyến của
(
)
m
C
song song với đường thẳng
5 17 0
x y
− + =
.
( )
2
' 2
0
2
0
2
5 5 3 0
1
3
m
m m
y x m m
m
m
=
+
⇒ = ⇒ = ⇒ − = ⇒
=
Kh
i
0
0
m y
= ⇒ không có giá trị.
⇒
Loại
Khi
1
3
m
=
⇒
( )( ) ( )
'
0 0 0
2 2
5 0 5
3 3
y y y x x x y x y x
− = − ⇒ + = − ⇒ = −
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Vậy
1
3
m
=
Câu 6:
[ĐVH].
Cho hàm s
ố
( )
4 2
1
1 4 3
8
y x m x m
= + − − +
, có
đồ
th
ị
(
)
m
C
. Tìm m
m
đề
ti
ế
p tuy
ế
n
c
ủ
a
(
)
m
C
t
ạ
i t
ạ
i
đ
i
ể
m
A
vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
2 3 0
x y
+ + =
, ở đó
A
là điểm cố định có
hoành độ âm của hàm số đã cho.
Lời giải:
Gọi
(
)
0 0
;
A x y
là tiếp điểm
⇒
Hệ số góc của tiếp tuyến là
(
)
0
'
y x
Ta có
( ) ( ) ( )
3
4 2 '
1
1 4 3 2 1
8 2
x
y x m x m y x m x
= + − − + ⇒ = + −
A
là điểm cố định có hoành độ âm của hàm số đã cho nên
( )
( )
( )
4
4 2 2 2
0
0 0 0 0 0 0
2
0
0
4
2
0
0
0 0
1
1 4 3 4 3 0
8 8
4
2
2;1
1
3 0
8
x
y x m x m m x x y
x
x
A
x
y
x y
= + − − + ⇒ − + − − + =
=
= −
⇒ ⇒ ⇒ −
=
− − + =
Đề tiếp tuyến của
(
)
m
C
tại tại điểm
A
vuông góc với đường thẳng
2 3 0
x y
+ + =
( ) ( )
3
0
0 0
1 1
' 2 1
2 2 2
x
y x m x
⇒ = ⇒ + − =
1
8
m
⇒
= −
Thử lại, ta có
4 2
1 9 7
8 8 2
y x x
= − +
,
PT tiếp tuyến:
( ) ( )
3
2 1 1 1
1 2 1 . 2 2 1 2 2
2 8 2 2
y x y x y x
−
− = + − − − + ⇒ − = + ⇒ = +
Vậy
1
8
m
= −
là giá trị cần tìm.
Câu 7: [ĐVH]. Cho hàm số
3 2
3 2
y x x
= − +
, có đồ thị
(
)
C
. Viết phương trình tiếp tuyến của
(
)
C
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng đi qua 2 điểm
(
)
(
)
0;3 , 1; 6
A B
−
.
Lời giải:
Gọi
(
)
0 0
;
M x y
là tiếp điểm
⇒
Hệ số góc của tiếp tuyến là
(
)
'
0
y x
Ta có
3 2 ' 2
3 2 3 6
y x x y x x
= − +
⇒
= −
Tiếp tuyến đi qua 2 điểm
(
)
(
)
0;3 , 1; 6
A B
−
thì hệ số góc của tiếp tuyến là
( )
'
0
6 3
9
1 0
B A
B A
y y
y x
x x
−
− −
⇒ = = = −
− −
( )( )
(
)
( )
1 0
1
2
0 0
2
2 0
9 1
9 11
1
3 6 9 1 3 0
3 9 29
9 3
y y x
y x
x
x x x x
x y x
y y x
− = − +
= − −
= −
⇒ − = − ⇒ + − = ⇒ ⇒ ⇒
= = − +
− = − −
9 11; 9 29
y x y x
⇒ = − − = − +
Vậy phương trình tiếp tuyến của
(
)
9 11; 9 29
C y x y x
= − − = − +
Câu 8: [ĐVH]. Cho hàm số
( )
1
1
x
y C
x
− −
=
−
. Viết phương trình tiếp tuyến của
(
)
C
biết tiếp tuyến
có hệ số góc bằng
2
.
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Lời giải:
Ta có:
( )
( )
2
2
'
1
f x
x
=
−
. Vì tiếp tuyến có hệ số góc
2
k
=
nên ta có:
(
)
0
' 2
f x
=
( )
( )
2
0
0
2
0
0
0
2
2 1 1
2
1
x
x
x
x
=
⇔ = ⇔ − = ⇔
=
−
+) Với
0 0
0 1
x y
= ⇒ =
. Phương trình tiếp tuyến là:
(
)
2 0 1
y x
= − +
hay
2 1
y x
= +
.
+) Với
0 0
2 3
x y
= ⇒ = −
. Phương trình tiếp tuyến là:
(
)
2 2 3
y x
= − −
hay
2 7
y x
= −
.
Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến là:
2 1
y x
= +
và
2 7
y x
= −
.
Câu 9: [ĐVH]. Cho hàm số:
(
)
3 2
3 4
y x x C
= − − . Viết phương trình tiếp tuyến của
(
)
C
biết tiếp
tuyến song song với đường thẳng
: 9 5
d y x
= +
Lời giải:
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d nên hệ số góc của tiếp tuyến là
9
k
=
.
Ta có:
(
)
2
' 3 6
f x x x
= −
. Xét phương trình:
( )
0
2 2
0 0 0 0 0
0
1
' 3 6 9 3 6 9 0
3
x
f x x x x x
x
= −
= − = ⇔ − − = ⇔
=
+) Với
0 0
1 8
x y
= − ⇒ = −
. Phương trình tiếp tuyến là:
(
)
9 1 8
y x
= + −
hay
(
)
9 1 /
y x t m
= +
.
+) Với
0 0
3 4
x y
= ⇒ = −
. Phương trình tiếp tuyến là:
(
)
9 3 4
y x
= − −
hay
(
)
9 31 /
y x t m
= −
.
Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến là:
9 1
y x
= +
và
9 31
y x
= −
.
Câu 10: [ĐVH]. Cho hàm số:
(
)
3 2
3 4
y x x C
= + −
.
a) Viết phương trình tiếp tuyến d của
(
)
C
tại điểm có hoành độ
0
3
x
= −
.
b) Với đường thẳng d ở câu a hãy viết phương trình tiếp tuyến
∆
của
(
)
C
biết tiếp tuyến song
song với đường thẳng d.
Lời giải:
Ta có :
(
)
2
' 3 6
f x x x
= +
a) Ta có:
0 0
3 4
x y
= − ⇒ = −
,
(
)
(
)
0
' ' 3 9
f x f
= − =
Do vậy phương trình tiếp tuyến là:
(
)
9 3 4
y x
= + −
hay
(
)
9 23
y x d
= +
.
b) Do
/ / 9
d
d k k
∆
∆ ⇒ = =
. Xét phương trình
( )
0
2
0 0 0
0
1
' 3 6 9
3
x
f x x x
x
=
= + = ⇔
= −
+) Với
0 0
3 4
x y
= − ⇒ = −
( loại vì khi đó
∆
trùng với d ).
+) Với
0 0
1 0
x y
= ⇒ =
. Phương trình tiếp tuyến là:
(
)
9 1
y x
= −
.
Câu 11: [ĐVH]. Cho hàm số:
(
)
4 2
4 1
y x x C
= − +
. Viết phương trình tiếp tuyến của
(
)
C
biết tiếp
tuyến vuông góc với đường thẳng
: 16 4 0
d x y
+ − =
.
Lời giải:
Viết lại đường thẳng d ta có:
1 1
:
16 4
d y x
−
= +
suy ra h
ệ
s
ố
góc c
ủ
a d là
1
16
d
k
−
= .
Vì ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
(
)
C
vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
d
nên ta có h
ệ
s
ố
góc c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n là
16
k
=
.
Xét ph
ươ
ng trình
(
)
3 3
0 0 0 0 0 0 0
' 4 4 8 16 2 4 0 2 1
f x x x x x x y
= − ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ =
⇒
=
.
Do v
ậ
y ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n là:
(
)
16 2 1
y x
= − +
hay
16 31
y x
= −
.
DẠNG 3. TIẾP TUYẾN ĐI QUA MỘT ĐIỂM
Câu 1:
[ĐVH].
Cho hàm s
ố
( )
2 1
1
x
y C
x
+
=
−
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
(
)
C
.
a)
T
ạ
i
đ
i
ể
m có hoành
độ
2
x
=
.
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
b) Biết tiếp tuyến đi qua điểm
(
)
4; 1
A
−
.
Lời giải:
Ta có:
( )
( )
2
3
'
1
f x
x
−
=
−
.
a) Ta có :
(
)
(
)
0 0 0
2 5 ' ' 2 3
x y f x f
= ⇒ = ⇒ = = −
.
Do vậy phương trình tiếp tuyến là:
(
)
3 2 5
y x
= − − +
hay
3 11
y x
= − +
b) Phương trình tiếp tuyến của
(
)
C
tại điểm
( )
0
0
0
2 1
;
1
x
M x C
x
+
∈
−
là:
( )
( )
0
0
2
0
0
2 1
3
1
1
x
y x x
x
x
+
−
= − +
−
−
.
Vì tiếp tuyến đi qua
(
)
4; 1
A
−
nên ta có:
( )
( )
0
0
2
0
0
2 1
3
1 4
1
1
x
x
x
x
+
−
− = − +
−
−
(
)
( )
(
)
(
)
( )
( )
2
0
0 0 0
2 2
0 0 0 0
2 2
0
0 0
2
3 4 2 1 1
1 1 2 2 11 3 12
2
1 1
x
x x x
x x x x
x
x x
=
− + −
⇔ − = + ⇔ − − = + − ⇔ = ⇔
= −
− −
+) Với
0
2
x
=
ta có phương trình tiếp tuyến là:
(
)
3 2 5
y x
= − − +
hay
3 11
y x
= − +
+) Với
0
2
x
= −
ta có phương trình tiếp tuyến là:
( )
1
2 1
3
y x
= − + +
hay
1 1
3 3
y x
−
= +
Câu 2:
[ĐVH].
Cho hàm s
ố
:
(
)
3
2 2
y x x C
= − + . Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
(
)
C
.
a)
T
ạ
i
đ
i
ể
m có hoành
độ
0
x
=
.
b) Biết tiếp tuyến đi qua gốc toạ độ O.
Lời giải:
Ta có:
2
' 3 2
y x
= −
a) Ta có:
0 0
0 2
x y
= ⇒ =
và
(
)
(
)
0
' ' 0 2
y x y
= = −
.
Do vậy phương trình tiếp tuyến là:
(
)
2 0 2
y x
= − − +
hay
2 2
y x
= − +
.
b) Phương trình tiếp tuyến của
(
)
C
tại điểm
(
)
(
)
3
0 0 0
; 2 2
M x x x C
− + ∈
là:
(
)
(
)
2 3
0 0 0 0
3 2 2 2
y x x x x x
= − − + − +
.
Vì tiếp tuyến đi qua
(
)
0;0
O
nên ta có:
(
)
(
)
2 3
0 0 0 0
0 3 2 0 2 2
x x x x
= − − + − +
3
0 0
2 2 0 1
x x
⇔ − + = ⇔ =
Với
0
1
x
=
ta có phương trình tiếp tuyến là:
y x
=
.
Câu 3: [ĐVH]. Cho hàm số:
(
)
4 2
3
y x x C
= −
. Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi qua
a) Gốc toạ độ
(
)
0;0
O
.
b) Qua điểm
(
)
36;0
A −
Lời giải:
Gọi
(
)
4 2
0 0 0
; 3
M x x x
− là toạ độ tiếp điểm.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là:
(
)
(
)
3 4 2
0 0 0 0 0
4 6 3
y x x x x x x
= − − + −
a) Vì tiếp tuyến đi qua
(
)
0;0
O
nên ta có:
(
)
(
)
3 4 2
0 0 0 0 0
0 4 6 0 3
x x x x x
= − − + −
( )
0
4 2 2 2
0 0 0 0
0
0
3 3 0 1 0
1
x
x x x x
x
=
⇔ − + = ⇔ − = ⇔
= ±
+) Với
0
0
x
=
phương trình tiếp tuyến là:
0
y
=
.
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
+) Với
0
1
x
=
phương trình tiếp tuyến là:
(
)
2 1 2
y x
= − − −
hay
2
y x
= −
.
+) Với
0
1
x
= −
phương trình tiếp tuyến là:
(
)
2 1 2
y x
= + −
hay
2
y x
=
.
b) Vì tiếp tuyến đi qua
(
)
0;0
O nên ta có:
(
)
(
)
3 4 2
0 0 0 0 0
36 4 6 0 3
x x x x x
− = − − + −
4 2 4 2
0 0 0 0
3 3 36 12 0.
x x x x
⇔ − + = − ⇔ − − =
Đặt
(
)
2
0
0
t x t
= ≥
ta có:
( )
2
4
12 0
3
t
t t
t loai
=
− − = ⇔
= −
Khi đó
2
0 0
4 2
x x
= ⇔ = ±
.
• Với
0
2
x
=
phương trình tiếp tuyến là:
(
)
20 2 4
y x
= − +
hay
20 36
y x
= −
• Với
0
2
x
= −
phương trình tiếp tuyến là:
(
)
20 2 4
y x
= − + +
hay
20 36
y x
= − −
Câu 4: [ĐVH]. Cho hàm số:
(
)
3
3
y x x C
= − . Viết phương trình tiếp tuyến của
(
)
C
biết tiếp tuyến
đi qua điểm
(
)
1; 3
A
−
.
Lời giải:
Ta có
2
' 3 3
y x
= −
Phương trình tiếp tuyến của
(
)
C
tại điểm
(
)
3
0 0 0
; 3
M x x x
− là:
(
)
(
)
2 3
0 0 0 0
3 3 3
y x x x x x
= − − + −
Vì tiếp tuyến đi qua điểm
(
)
1; 3
A
−
nên ta có:
(
)
(
)
2 3
0 0 0 0
3 3 3 1 3
x x x x
− = − − + −
0
3 2
0 0
0
0
2 3 0
3
2
x
x x
x
=
⇔ − + = ⇔
=
• Với
0
0
x
=
phương trình tiếp tuyến là:
3
y x
= −
• Với
0
3
2
x
=
ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n là:
15 3 9
4 2 8
y x
= − −
hay
15 27
4 4
x
y = − .
Vây có 2 phương trình tiếp tuyến thoã mãn là:
3
y x
= −
hoặc
15 27
4 4
x
y = − .
Câu 5:
[ĐVH]. Cho hàm số
3 2
3 2
y x x
= − +
, có đồ thị
(
)
C
. Viết phương trình tiếp tuyến của
(
)
C
biết tiếp tuyến đi qua
(
)
1;0
M .
Lời giải:
Ta có:
2
' 3 6
y x x
= −
Phương trình tiếp tuyến của
(
)
C
tại điểm
(
)
3 2
0 0 0
; 3 2
A x x x
− +
là:
(
)
(
)
2 3 2
0 0 0 0 0
3 6 6 2
y x x x x x x
= − − + − +
Vì tiếp tuyến đi qua điểm
(
)
1;0
M nên ta có:
(
)
(
)
2 3 2
0 0 0 0 0
0 3 6 1 3 2
x x x x x
= − − + − +
2 3 3 2 3 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0
9 3 6 3 2 0 2 6 6 2 0 1
x x x x x x x x x
⇔ − − + − + = ⇔ − + − + = ⇔ =
Với
0
1
x
=
phương trình tiếp tuyến là:
(
)
3 1
y x
= − −
hay
3 3
y x
= − +
Vây có phương trình tiếp tuyến thoã mãn là:
3 3
y x
= − +
Câu 6: [ĐVH]. Cho hàm số
2 1
2
x
y
x
+
=
−
, có đồ thị
(
)
C
. Viết phương trình tiếp tuyến của
(
)
C
biết
tiếp tuyến đi qua
(
)
2; 5
M
−
.
Lời giải:
Ta có:
(
)
2 2 5
5
2
2 2
x
y
x x
− +
= = +
− −
⇒
( )
2
5
'
2
y
x
= −
−
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Phương trình tiếp tuyến của
(
)
C
tại điểm
0
0
5
;2
2
A x
x
+
−
là:
( )
( )
0
2
0
0
5 5
2
2
2
y x x
x
x
= − − + +
−
−
Vì tiếp tuyến đi qua điểm
(
)
2; 5
M
−
nên ta có:
( )
( )
0
2
0
0
5 5
5 2 2
2
2
x
x
x
− = − + +
−
−
0
0
10 4
7
2 7
x
x
⇔ = − ⇔ =
−
Với
0
4
7
x
=
ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n là:
49 4 3
20 7 2
y x
= − − −
hay
49 1
20 10
x
y
= − −
.
Vây có ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n thoã mãn là:
49 1
20 10
x
y
= − −
Câu 7:
[ĐVH].
Cho hàm s
ố
3 2
6 9 1
y x x x
= − + −
, có
đồ
th
ị
(
)
C
. Tìm
(
)
M C
∈
sao cho ti
ế
p tuy
ế
n
c
ủ
a
(
)
C
t
ạ
i
M
đ
i qua
đ
i
ể
m
(
)
0;3
M .
Lời giải:
Ta có:
2
' 3 12 9
y x x
= − +
Ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
(
)
C
t
ạ
i
đ
i
ể
m
(
)
3 2
0 0 0 0
; 6 9 1
A x x x x
− + −
là:
(
)
(
)
2 3 2
0 0 0 0 0 0
3 12 9 6 9 1
y x x x x x x x
= − + − + − + −
Vì tiếp tuyến đi qua điểm
(
)
0;3
M
nên ta có:
(
)
(
)
2 3 2
0 0 0 0 0 0
3 3 12 9 0 6 9 1
x x x x x x
= − + − + − + −
0
3 2 3 2 3 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
1
3 12 9 6 9 4 2 6 4 0 1 3
1 3
x
x x x x x x x x x
x
=
⇔ − + − + − + = ⇔ − + − = ⇔ = +
= −
• Với
0
1
x
=
phương trình tiếp tuyến là:
(
)
0 1 3
y x
= − +
hay
3
y
=
• Với
0
1 3
x = + phương trình tiếp tuyến là:
(
)
(
)
9 6 3 1 3 6 3 3
y x= − − − − + hay
(
)
9 6 3 3
y x
= − +
• Với
0
1 3
x = − phương trình tiếp tuyến là:
(
)
(
)
9 6 3 1 3 6 3 3
y x= + − + − − hay
(
)
9 6 3 3
y x
= + +
Vây có 3 phương trình tiếp tuyến thoã mãn là:
3
y
=
;
(
)
9 6 3 3
y x
= − +
và
(
)
9 6 3 3
y x
= − +
Câu 8: [ĐVH]. Cho hàm số
(
)
3 2
2 2 1
y x mx m x
= − + + +
, có đồ thị
(
)
m
C
. Tìm
m
đề tiếp tuyến của
(
)
m
C
tại điểm có hoành độ
1
x
= −
đi qua điểm
(
)
2;3
M − .
Lời giải:
Ta có:
2
' 3 4 2
y x mx m
= − + +
Phương trình tiếp tuyến của
(
)
C
tại điểm
(
)
(
)
1; 1 2 2 1
A m m
− − − − + +
hay
(
)
1; 3 2
A m
− − −
là:
(
)
(
)
2
0 0 0
3 4 2 3 2
y x mx m x x m
= − + + − − −
(
)
(
)
3 4 2 1 3 2
y m m x m
⇔ = − + + + + − −
(
)
5 1 2 3
y m x m
⇔ = − + −
Vì tiếp tuyến đi qua điểm
(
)
2;3
M − nên ta có:
( )
1
3 2. 5 1 2 3
2
m m m
= − − + − ⇔ = −
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Với
1
2
m
= −
ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n là:
7
4
2
y x
= − −
Vây
1
2
m
= −
Câu 9:
[ĐVH].
Cho hàm s
ố
3
,( )
2 1
x
y C
x
−
=
+
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n
a)
T
ạ
i giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
đồ
th
ị
và
đườ
ng th
ẳ
ng
:2 3 0
d x y
+ − =
b) Song song với đường thẳng AB biết
(
)
(
)
0;1 , 1; 6
A B
−
Lời giải:
Ta có:
( )
( )
2
7
'
2 1
f x
x
−
=
+
a) Viết lại đường thằng d:
2 3
y x
= − +
.
Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có:
( )( )
1
3
22 3
2 1
2 1 2 3 3
x
x
x
x
x x x
−
≠
−
− + = ⇔
+
+ − + = −
2
1
0
2
5
4 5 0
4
x
x
x
x x
=
≠ −
⇔ ⇔
=
− + =
+) Với
(
)
0 0
0 3 ' 0 7
x y f
= ⇒ = ⇒ = −
. Phương trình tiếp tuyến là:
(
)
7 0 3
y x
= − − +
hay
7 3
y x
= − +
.
+) Với
0 0
5 1 5 4
'
4 2 4 7
x y f
= ⇒ = ⇒ = −
. Phương trình tiếp tuyến là:
4 5 1
7 4 2
y x
−
= − +
Hay
4 17
7 14
x
y
−
= +
.
b) Ta có:
(
)
(
)
1; 7 7;1
AB
AB n=
− ⇒ =

. Phương trình đường thẳng AB là:
7 1 0
x y
+ − =
hay
7 1
y x
= − +
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng AB nên ta có:
7
tt
k
= −
Xét phương trình
( )
( )
( )
2
0 0
0 0
2
0 0
0
2 1 1 0
7
' 7 7 2 1 1
2 1 1 1
2 1
x x
f x x
x x
x
+ = =
−
= − ⇔ = − ⇔ + = ⇔ ⇔
+ = − = −
+
+) Với
(
)
0 0 0
0; 3; ' 7
x y f x
= = = −
. Phương trình tiếp tuyến là:
7 3
y x
= − +
+) Với
0 0
1 4
x y
= − ⇒ = −
;
(
)
' 1 7
f
− = −
. Phương trình tiếp tuyến là:
(
)
7 1 4
y x
= − + −
hay
7 11
y x
= − −
.
Câu 10: [ĐVH]. Cho hàm số
2 1
,( )
1
x
y C
x
+
=
−
. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị biết tiếp
tuyến
a) Tại giao điểm của đồ thị và đường thẳng
:2 1 0
d x y
− + =
b) Tiếp tuyến có hệ số góc
3
k
= −
c) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
': 12 3 0
d x y
− + =
Lời giải:
Ta có
( )
( )
2
3
'
1
f x
x
−
=
−
.
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
a) Viết lại d :
2 1
y x
= +
. Xét phương trình hoành độ giao điểm:
1
2 1 0
2 1
2 1
2
1 1
1
2
x
x
x
x
x
x
x
+ =
= −
+
= + ⇔ ⇔
− =
−
=
.
+) Với
0 0
1
0
2
x y
= − ⇒ =
;
0 0
1 1 4
0; '
2 2 3
x y f
= − ⇒ = − = −
. Phương trình tiếp tuyến là
4 1
3 2
y x
= − +
.
+) Với
0 0
2 5
x y
= ⇒ =
;
(
)
' 2 3
f
= −
. Phương trình tiếp tuyến là
(
)
3 2 5
y x
= − − +
hay
3 11
y x
= − +
.
b) Ta có:
( )
( )
( )
2
0
0 0
2
0
0
0
3
' 3 1 1
2
1
x
k f x x
x
x
=
−
= = = − ⇔ − = ⇔
=
−
.
+) Với
0 0
0 1
x y
= ⇒ = −
. Phương trình tiếp tuyến là:
3 1
y x
= − −
.
+) Với
0 0
2 5
x y
= ⇒ =
. Phương trình tiếp tuyến là:
(
)
3 2 5
y x
= − − +
hay
3 11
y x
= − +
.
c) Viết lại phương trình
'
d
:
1 3
12 12
y x
= +
có
'
1
12
d
k
=
.
Do tiếp tuyến vuông góc với
'
d
nên ta có:
12
tt
k
Xét phương trình
( )
( )
0
2
0
2
0
0
1
3 1
2
12 1
3
4
1
2
x
x
x
x
=
−
= − ⇔ − = ⇔
−
=
+) Với
0 0
1
4
2
x y
= ⇒ = −
. Phương trình tiếp tuyến là:
1
12 4
2
y x
= − − −
hay
12 2
y x
= − +
.
+) Với
0 0
3
8
2
x y
= ⇒ =
. Phương trình tiếp tuyến là:
3
12 8
2
y x
= − − +
hay
12 26
y x
= − +
.
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
CHỦ ĐỀ 2. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
DẠNG 1. TƯƠNG GIAO HÀM BẬC BA
Câu 1: [ĐVH]. Cho hàm số
(
)
(
)
3 2
3 3 1 3
y x m x m x
= − + + + −
, có đồ thị là
(
)
C
. Tìm
m
để
(
)
C
giao
Ox
tại 3 điểm phân biệt.
Lời giải :
Phương trình hoành đọ giao điểm
( ) ( ) ( )
( )
( )
3 2 2
2
3
3 3 1 3 0 3 1 0
1 0
x
x m x m x x x mx
g x x mx
=
− + + + − = ⇔ − − + = ⇔
= − + =
Để
(
)
C
giao
Ox
tại 3 điểm phân biệt thì phương trình
(
)
0
g x
=
có 2 nghiệm phân biệt khác
3
( )
2
2, 2
0
4 0
10
3 0
10 3 0
3
m m
m
g
m
m
> < −
∆ >
− >
⇔ ⇔ ⇔
≠
≠
− ≠
Vậy
( )
10 10
; 2 2; ;
3 3
m
∈ −∞ − ∪ ∪ +∞
Câu 2: [ĐVH]. Cho hàm số
(
)
3 2
2 5 2 2 1 6 1
y x x m x m
= − − − + −
, có đồ thị là
(
)
C
và đường thẳng
: 4
d y x
= −
. Tìm
m
để
(
)
C
giao
d
tại 3 điểm phân biệt, trong đó có đúng hai điểm có hoành độ
dương.
Lời giải :
Phương trình hoành độ giao điểm
(
)
(
)
( )
( )
( )
3 2 3 2
2
2
2 5 2 2 1 6 1 4 2 5 4 1 6 3 0
3
2
2 3 2 1 0
2 1 0
x x m x m x x x m x m
x
x x x m
g x x x m
− − − + − = − ⇔ − − − + + =
=
⇔ − − − − = ⇔
= − − − =
Ta có
3
0
2
x
= >
nên
để
(
)
C
giao
d
t
ạ
i 3
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t, trong
đ
ó có
đ
úng hai
đ
i
ể
m có hoành
độ
d
ươ
ng thì ph
ươ
ng trình
(
)
0
g x
=
có 2 nghi
ệ
m trái d
ấ
u khác
3
2
1
0
2 1 0
2
3
1
0
1
2 0
2
4
8
P
m
m
g
m
m
<
− − <
> −
⇔ ⇔ ⇔
≠
− − ≠
≠ −
V
ậ
y
1 1 1
; ;
2 8 8
m
∈ − − ∪ − +∞
Câu 3:
[ĐVH].
Cho hàm s
ố
3
2 6 7
y x x
= − −
, có
đồ
th
ị
là
(
)
C
và
đườ
ng th
ẳ
ng
: 2 5
d y m
= −
. Tìm
m
để
(
)
C
giao
d
t
ạ
i 2
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t.
Lời giải :
Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m :
(
)
3 3
2 6 7 2 5 2 6 2 2 0
x x m g x x x m
− − = − ⇔ = − − − =
Ta có
( ) ( )
2
1 2 6
' 6 6; ' 0
1 2 2
x y m
g x x g x
x y m
= ⇒ = − −
= − = ⇔
= − ⇒ = −
Để
(
)
C
giao
d
t
ạ
i 2
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t thì hàm s
ố
(
)
y g x
=
ph
ả
i có c
ự
c tr
ị
và
. 0
CD CT
y y
=
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
( )( )
3
2 6 2 2 0
1
m
m m
m
= −
⇔ − − − = ⇔
=
Vậy
1
m
=
hoặc
3
m
= −
Câu 4: [ĐVH]. Cho hàm số
(
)
3 2
3 1 3 6 1
y x m x mx m
= − + + + −
, có đồ thị là
(
)
C
và đường thẳng
: y 4 5
d x
= −
. Tìm
m
để
(
)
C
giao
d
tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
1 2 3
, ,
x x x
thỏa mãn
2 2 2
1 2 3
18
x x x
+ + =
.
Lời giải :
Phương trình hoành độ giao điểm
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
3 2 3 2
2
2
3 1 3 6 1 4 5 3 1 3 4 6 4 0
2
2 3 1 3 2 0
3 1 3 2 0
x m x mx m x x m x m x m
x
x x m x m
g x x m x m
− + + + − = − ⇔ − + + − + + =
=
⇔ − − − − − = ⇔
= − − − − =
Đề
(
)
C
giao
d
tại 3 điễm phân biệt thì phương trình
(
)
0
g x
=
có 2 nghiệm phân biệt khác
2
( )
2
9 6 9 0,
0
4
4
2 0
9
9
m m m
m
g
m
+ + > ∀
∆ >
⇔ ⇔ ⇔ ≠
≠
≠
Giả sử
3
2
x
=
thì
1 2
,
x x
là 2 nghiệm của phương trình
( )
1 2
1 2
3 1
0
3 2
x x m
g x
x x m
+ = −
= ⇒
= − −
Ta có :
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
1 2 3 1 2 1 2 3
18 2 18 3 1 2 3 2 4 18 1
x x x x x x x x m m m
+ + = ⇔ + − + = ⇔ − + + + = ⇔ = ±
Vậy
1
m
= ±
là giá trị cần tìm.
Câu 5: [ĐVH]. Cho hàm số
(
)
3 2
1 3 4 2
y x m x mx m
= + − − − +
, có đồ thị là
(
)
C
và đường thẳng
: y 2
d x
= −
. Tìm
m
để
(
)
C
giao
d
tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 1.
Lời giải :
Phương trình hoành độ giao điểm
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
3 2 3 2
2
2
1 3 4 2 2 1 3 2 4 2 0
1
1 3 2 0
3 2 0
x m x mx m x x m x m x m
x
x x mx m
g x x mx m
+ − − − + = − ⇔ + − + − − + =
= −
⇔ + − − + = ⇔
= − − + =
Để
(
)
C
giao
d
tại 3 điễm phân biệt thì phương trình
(
)
0
g x
=
có 2 nghiệm phân biệt khác
1
−
( )
( )
2
2 2 19 2 2 19
,
0
9 4 8 0
9 9
*
1 0
2 3 0
3
2
m m
m m
g
m
m
− + − −
> <
∆ >
+ − >
⇔ ⇔ ⇔
− ≠
+ ≠
≠ −
Gọi
1 2
,
x x
là 2 nghiệm của phương trình
( )
1 2
1 2
3
0
2
x x m
g x
x x m
+ =
= ⇒
= − +
( )( ) ( )
1 2 1 2
1
1 1 1 2 1 2
2
2 2
1
3 2
2
1 1 0 1 01 2 3 1 0
3
x x x x
x
m
m
x x x x x xx m m
+ < + <
<
<
⇒ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ <
− − > − + + >< − + − + >
Kết hợp với điều kiện
(
)
*
, vậy
3 3 2
; ;
2 2 3
m
∈ −∞ − ∪ −
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Câu 6: [ĐVH]. Cho hàm số
(
)
(
)
(
)
3 2 2 2
2 1 3
y x m x m m x m C
= − + + + − và đường thẳng
:
d y x m
= − +
. Tìm
m
để
(
)
C
giao
d
tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
1 2 3
, ,
x x x
thỏa mãn
3 3 3
1 2 3
10
x x x
+ + =
.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
3 2 2 2 3 2 2 2
2 2
2 2
2 1 3 2 1 3 1 0
1
1 2 1 0
2 1 0
x m x m m x m x m x m x m m x m m
x
x x m x m m
g x x m x m m
− + + + − = − + ⇔ − + + + + − − =
=
⇔ − − + + + = ⇔
= − + + + =
Để
(
)
C
giao
d
tại 3 điễm phân biệt thì phương trình
(
)
0
g x
=
có 2 nghiệm phân biệt khác
1
( )
( )
(
)
{ }
2
2
2
0
2 1 4 0
1 0
1;0
1 0
0, 1
0
m m m
m
g
m m
m m
∆ >
+ − + >
>
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≠
≠
≠ ≠
− ≠
Ta có:
( )
2 1 1
1
2
0
2 1 1
2
m
x m
g x
m
x m
+ +
= = +
= ⇒
+ −
= =
Giả sử
1 2 3
1, , 1
x x m x m
= = = +
ta có
Khi đó
( ) ( )
(
)
3
3 3 2 2
1 1 10 2 3 3 8 0 1 2 5 8 0 1
m m m m m m m m m
+ + + = ⇔ + + − = ⇔ − + + = ⇔ =
Vậy
1
m
=
là giá trị cần tìm.
Câu 7: [ĐVH]. Cho hàm số
(
)
3 2
1 2 1
y x m x mx
= − + + +
, có đồ thị là
(
)
C
và đường thẳng
: 1
d y x
= − +
. Tìm
m
để
(
)
C
giao
d
tại 3 điễm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn
1
.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm
(
)
(
)
(
)
( )
( ) ( )
3 2 3 2
2
2
1 2 1 1 1 2 1 0
0
1 2 1 0
1 2 1 0
x x x mx x x m x m x
x
x x m x m
g x x m x m
− + + + = − + ⇔ − + + + =
=
⇔ − + + + = ⇔
= − + + + =
Để
(
)
C
giao
d
tại 3 điễm phân biệt thì phương trình
(
)
0
g x
=
có 2 nghiệm phân biệt khác
0
( )
( ) ( )
( )
2
2
6 3 0
3 2 3, 3 2 3
0
1 4 2 1 0
*
1
1
0 0
2 1 0
2
2
m m
m m
m m
g
m
m
m
− − >
> + < −
∆ >
+ − + >
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
≠
≠ −
≠ −
+ ≠
Gọi
1 2
,
x x
là 2 nghiệm của phương trình
( )
1 2
1 2
1
0
2 1
x x m
g x
x x m
+ = +
= ⇒
= +
( )( ) ( )
1 2 1 2
1
1 2 1 2 1 2
2
2 2
1
1 2
1 1
1 1 0 1 01 2 1 1 1 0
x x x x
x
m
m
x x x x x xx m m
+ < + <
<
+ <
⇒ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − < <
− − > − + + >< + − − + >
Kết hợp với điều kiện
(
)
*
, vậy
1 1
1; ;3 2 3
2 2
m
∈ − − ∪ − −
Câu 8: [ĐVH]. Cho hàm số:
(
)
(
)
(
)
2
1 1
y x x mx C
= − + + .
a) Tìm m để đồ thị
(
)
C
cắt trục Ox tại 1 điểm duy nhất.
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
b) Tìm m để đồ thị
(
)
C
cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
1 2 3
; ;
x x x
thoã mãn
2 2 2
1 2 3
10
x x x
+ + =
.
Lời giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm của
(
)
C
và trục Ox là:
(
)
(
)
2
1 1 0
x x mx
− + + =
( )
( )
2
1
1
1 0
x
g x x mx
=
⇔
= + + =
Đồ thị
(
)
C
cắt trục Ox tại 1 điểm duy nhất
(
)
1
⇔ có nghiệm duy nhất là
1
x
=
.
TH1:
(
)
: 0
PT g x
=
vô nghiệm
( )
2
4 0 2 2
g x
m m
⇔ ∆ = − < ⇔ − < <
.
TH2:
(
)
: 0
PT g x
=
có nghiệm kép
( )
( )
2
0
4 0
1 2
2 0
1 0
g x
m
x m
m
g
∆ =
−
=
= ⇔ ⇔ ⇔ = −
+ =
=
.
Kết luận: Vậy
2 2
m
− ≤ <
là giá trị cần tìm.
b) ) Phương trình hoành độ giao điểm của
(
)
C
và trục Ox là:
(
)
(
)
2
1 1 0
x x mx
− + + =
( )
( )
3
2
1
1
1 0
x
g x x mx
=
⇔
= + + =
Đồ thị
(
)
C
cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt
(
)
1
⇔ có 3 nghiệm phân biệt
(
)
0
g x
⇔ =
có 2 nghiệm
phân biệt và 2 nghiệm đó khác 1
( )
2
2
4 0
4
1 0
2 0
m
m
g
m
∆ = − >
>
⇔ ⇔
≠
+ ≠
.
Khi đó cho
3
1
x
=
và
1 2
;
x x
là nghiệm của PT
(
)
0
g x
=
. Theo định lý Viet ta có:
1 2
1 2
1
x x m
x x
+ = −
=
.
Theo đề bài ta có:
( ) ( )
2
2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 1 2
10 2 9 2 9 11 11
x x x x x x x m m m tm
+ + = ⇔ + − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ±
Vậy
11
m = ± là giá trị cần tìm.
Câu 9:
[ĐVH]. Cho hàm số:
(
)
(
)
(
)
2
2 2 2 1
y x x mx m C
= − + − − .
a) Tìm m để đồ thị
(
)
C
cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt.
b) Tìm m đề đồ thị
(
)
C
cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
1 2 3
; ;
x x x
thoã mãn :
2 2 2
1 2 3 1 2 3
8
A x x x x x x
= + + + =
Lời giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm của
(
)
C
và trục Ox là:
(
)
(
)
2
2 2 2 1 0
x x mx m
− + − − =
.
( )
( )
2
2
1
2 2 1 0
x
g x x mx m
=
⇔
= + − − =
Để đồ thị
(
)
C
cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt
(
)
1
⇔ có 2 nghiệm phân biệt.
TH1:
(
)
0
g x
=
có 1 nghiệm duy nhất và nghiệm đó khác 2
(
)
( )
( )
2
' 2 1 0
2 0
m m
vn
g
∆ = + + =
⇔
≠
.
TH2:
(
)
0
g x
=
có 2 nghiệm phân biệt và 1 trong 2 nghiệm bằng 2
(
)
( )
2
' 2 1 0
2 8 4 1 0
m m
g m m
∆ = + + >
⇔
= + − − =
7
3
m
−
⇔ = là giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
b) Để
đồ
th
ị
(
)
C
c
ắ
t tr
ụ
c Ox t
ạ
i 3
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t
(
)
1
⇔
có 3 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
(
)
( )
( )
2
' 2 1 0
*
2 7 3 0
m m
g m
∆ = + + >
⇔
= + ≠
. Khi đó gọi
3
2
x
=
và
1 2
;
x x
là nghiệm của PT
(
)
0
g x
=
.
Theo Viet ta có :
1 2
1 2
1
2
x x m
m
x x
+ = −
− −
=
Theo bài ra ta có:
( ) ( )
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
4 2 4 8 4 8 2
A x x x x x x m m tm
= + + + = + + = ⇔ + = ⇔ = ± .
Vậy
2
m
= ±
là giá trị cần tìm.
Câu 10: [ĐVH]. Cho hàm số :
(
)
3
1
y x mx m C
= − + − . Tìm m để đồ thị
(
)
C
cắt trục Ox tại 3 điểm
phân biệt có hoành độ
1 2 3
; ;
x x x
thoã mãn:
1 2 3
1 1 1
2
A
x x x
= + + =
.
Lời giải :
Phương trình hoành độ giao điểm của
(
)
C
và trục Ox là :
3
1 0
x mx m
− + − =
( ) ( )
( )
( )
( )
3
3 2
2
1
1 1 0 1 1 0 1
1 0
x
x m x x x x m
g x x x m
=
⇔ − − − = ⇔ − + + − = ⇔
= + + − =
Để đồ thị
(
)
C
cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt
(
)
1
⇔ có 3 nghiệm phân biệt
(
)
( )
( )
1 4 1 4 3 0
*
1 3 0
m m
g m
∆ = − − = − >
⇔
= − ≠
.
Khi đó Khi đó gọi
3
1
x
=
và
1 2
;
x x
là nghiệm của PT
(
)
0
g x
=
Theo Viet ta có:
1 2
1 2
1
1
x x
x x m
+ = −
= −
. Do vậy
( )
1 2
1 2 1 2
1 1 1
1 1 1 2 2
1
x x
A m tm
x x x x m
+
−
= + + = + = + = ⇔ =
−
Vậy
2
m
=
là giá trị cần tìm.
Câu 11:
[ĐVH]. Cho hàm số
(
)
3
1
y x mx m C
= + + +
. Tìm m để đồ thì
(
)
C
cắt trục Ox tại 3 điểm
phân biệt có hoành độ
1 2 3
; ;
x x x
thoả mãn
(
)
2 2 2
1 2 3 1 2 3
4.
A x x x x x x
= + + =
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của
(
)
C
và trục Ox là
3
1 0
x mx m
+ + + =
( ) ( )
( )
( )
( )
3
3 2
2
1
1 1 0 1 1 0 1
1 0
x
x m x x x x m
g x x x m
= −
⇔ + + + = ⇔ + − + + = ⇔
= − + + =
Để đồ thị
(
)
C
cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt
(
)
1
⇔
có 3 nghiệm phân biệt
(
)
( )
( )
1 4 1 4 3 0
*
1 3 0
m m
g m
∆ = − + = − − >
⇔
− = + ≠
.
Khi đó Khi đó gọi
3
1
x
= −
và
1 2
;
x x
là nghiệm của PT
(
)
0
g x
=
Theo Vi-et ta có:
1 2
1 2
1
1
x x
x x m
+ =
= +
. Do vậy
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 2 1 2
1 2 1 1 2 2 1
A m x x x x m m
= − + + − + = − + − +
( )
(
)
2
1
2 1 4 2 0
2
m loai
A m m m m
m
=
= + = ⇔ + − = ⇔
= −
Vậy
2
m
= −
là giá trị cần tìm.
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Câu 12: [ĐVH]. Cho hàm số
3 2
3
y x x x
= − +
, có đồ thị là
(
)
C
và đường thẳng
: 1
d y mx m
= − + −
. Tìm
m
để
(
)
C
giao
d
tại 3 điểm phân biệt
(
)
1; 1 , ,
A B C
− sao cho
2
4 4
B C
x x
+ =
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm
(
)
( )
( )
( )
3 2 3 2
2
2
3 1 3 1 1 0
1
1 2 1 0
2 1 0
x x x mx m x x m x m
x
x x x m
g x x x m
− + = − + + ⇔ − + + − + =
=
⇔ − − + − = ⇔
= − + − =
Để
(
)
C
giao
d
tại 3 điểm phân biệt thì phương trình
(
)
0
g x
=
có 2 nghiệm phân biệt khác
1
( )
' 0
1 1 0 2
2
1 0
2 0 0
m m
m
g
m m
∆ >
− + > >
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ >
≠
− ≠ ≠
Gọi
,
B C
x x
là hoành độ điểm
,
B C
thì
,
B C
x x
là 2 nghiệm của phương trình
( )
2
0
1
B C
B C
x x
g x
x x m
+ =
= ⇒
= −
Ta có:
( ) ( )
2
2 2 2
4 4 4 2 4 4 4 0 2 0 2 0
B C B B B B B B C
x x x x x x x x x
+ = ⇔ + − = ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ = ⇒ =
. 0 1 0 1
B C
x x m m
⇒ = ⇒ − = ⇔ =
Vậy
1
m
=
là giá trị cần tìm.
Câu 13: [ĐVH]. Cho hàm số
(
)
(
)
3 2
2 2 3 2 1
y x m x m x m
= − + + + − −
, có đồ thì là
(
)
C
. Tìm
m
để
(
)
C
giao trục hoành tại 3 điễm phân biệt
, ,
A B C
(trong đó điểm
A
có hoành độ ko đổi) sao cho
hoành độ điểm hai điễm
,
B C
là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng
5
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
3 2 2
2
2 2 3 2 1 0 1 2 1 1 0
1
2 1 1 0
x m x m x m x x m x m
x
g x x m x m
− + + + − − = ⇔ − − + + + =
=
⇔
= − + + + =
Để
(
)
C
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì PT
(
)
0
g x
=
có 2 nghiệm phân biệt khác
1
( )
( ) ( )
2
2
0
4 3 0
2 1 4 1 0
1 0
1
1 0
m
m m
g
m
m
∆ >
− >
+ − + >
⇔ ⇔ ⇔
≠
≠
− ≠
Gọi
,
B C
x x
là hoành độ điểm
,
B C
thì
,
B C
x x
là 2 nghiệm của phương trình
( )
2 1
0
1
B C
B C
x x m
g x
x x m
+ = +
= ⇒
= +
Từ giả thiết ta có
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
1
5 2 5 2 1 2 1 5 4 2 6 0
3
2
B C B C B C
m
x x x x x x m m m m
m
=
+ = ⇔ + − = ⇔ + − + = ⇔ + − = ⇔
= −
Vậy
3
1,
2
m m
= = −
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Câu 14: [ĐVH]. Cho hàm số
(
)
(
)
3 2 2
3 1 2 1 3
y x m x m x
= − − − + +
, có đồ thị là
(
)
C
và đường thẳng
: y 3
d x
= +
. Tìm
m
để
(
)
C
giao
d
tại 3 điểm phân biệt
(
)
0;3 , ,
A B C
sao cho
A
là trung điểm
của
BC
.
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của
d
và
(
)
C
là nghiệm của phương trình
(
)
(
)
(
)
3 2 2 3 2 2
3 1 2 1 3 3 3 1 2 0
x m x m x x x m x mx
− − − + + = + ⇔ − − − =
( )
( )
( )
2 2
2 2
0
3 1 2 0
3 1 2 0 1
x
x x m x m
x m x m
=
⇔ − − − = ⇔
−
− − =
Với
(
)
0 3 0;3
x y A= ⇒ = ⇒ ứng với đề bài đã cho.
Khi đó
d
và
(
)
C
cắt nhau tại
(
)
0;3 , ,
A B C
phân biệt
(
)
1
⇔ có hai nghiệm phân biệt khác 0
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2 2
9 1 8 0
9 1 8 0
* .
0 3 1 .0 2 0
0
m m
m m
m m
m
∆ = − + >
− + >
⇔ ⇔
− − − ≠
≠
Do ,
B C d
∈
nên ta gọi
(
)
(
)
1 1 2 2
; 3 , ; 3 .
B x x C x x
+ +
Ta có
1 2
;
x x
là 2 nghiệm của (1). Theo Vi-et thì
(
)
( )
2
1 2
1 2
3 1
2
2
x x m
x x m
+ = −
=
Khi đó
A
là trung điểm của
BC
( ) ( )
1 2
1 2
1 2
0
2
0.
3 3
3
2
A
A
x x
x
x x
x x
y
+
= =
⇔ ⇔ + =
+ + +
= =
Kết hợp với (2) ta được
(
)
2
3 1 0 1.
m m
− = ⇔ = ±
Đối chiếu với (*) ta được
1
m
=
thỏa mãn.
Đ/s:
1.
m
=
Câu 15: [ĐVH]. Cho hàm số
3 2
5 7 2
y x x x
= − + −
, có đồ thị là
(
)
C
và đường thẳng
d
đi qua
(
)
2;0
A có hệ số góc
k
. Tìm
k
để
(
)
C
giao
d
tại 3 điểm phân biệt
, ,
A B C
.
Lời giải:
Bài ra
d
đi qua
(
)
2;0
A và có hệ số góc k nên PT của
d
có dạng
(
)
(
)
: 2 0 2 .
d y k x y k x= − + ⇔ = −
Hoành độ giao điểm của
d
và
(
)
C
là nghiệm của phương trình
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2 2
5 7 2 2 2 3 1 2 0
x x x k x x x x k x
− + − = − ⇔ − − + − − =
( )
( )
( )
2
2
2
2 3 1 0
3 1 0 1
x
x x x k
x x k
=
⇔ − − + − = ⇔
− + − =
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Với
(
)
2 0 2;0
x y A= ⇒ = ⇒ ứng với đề bài đã cho.
Khi đó
d
và
(
)
C
cắt nhau tại
(
)
2;0 , ,
A B C
phân biệt
(
)
1
⇔ có hai nghiệm phân biệt khác 2
( )
2
9
9 4 0
* .
4
2 3.2 1 0
1
k
k
k
k
∆ = + >
> −
⇔ ⇔
− + − ≠
≠ −
Câu 16: [ĐVH]. Cho hàm số
(
)
(
)
3 2
1 1 2 2
y x m x m x m
= + − + − + −
, có đồ thị là
(
)
C
và đường
thẳng
: y 3 2
d x
= +
. Tìm
m
để
(
)
C
giao
d
tại 3 điểm phân biệt
(
)
1; 1 , ,
A B C
− − sao cho
,
B C
đối
xứng nhau qua đường thẳng
3 2 0
x y
+ − =
.
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của
d
và
(
)
C
là nghiệm của phương trình
(
)
(
)
(
)
3 2 3 2 2
1 1 2 2 3 2 4 4 2 0
x m x m x m x x x x m x x
+ − + − + − = + ⇔ + − − − − − =
( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )
1
1 2 2 1 2 0 1 2 2 0 2
2
x
x x x m x x x x x m x
x m
= −
⇔ + − + − + − = ⇔ + − + − = ⇔ =
= −
Với
(
)
1 1 1; 1
x y A
= − ⇒ = − ⇒ − −
ứng với đề bài đã cho.
Khi đó
d
và
(
)
C
cắt nhau tại
(
)
1; 1 , ,
A B C
− − phân biệt
( )
2 2 4
* .
2 1 1
m m
m m
− ≠ ≠
⇔ ⇔
− ≠ − ≠
Do vai trò của B, C là như nhau nên ta có thể giả sử
2; 2.
B C
x x m
= = −
Mà
( )
(
)
( )
2;83.2 2 8
,
3 2 2 3 4
2;3 4
B
C
By
B
C d
y m m
C m m
= + =
∈ ⇒ ⇒
=
− + = −
− −
Gọi
M
là giao điểm của
BC
và
': 3 2 0.
d x y
+ − =
Tọa độ
M
là nghiệm của hệ
2
3 2 3 2
2 4
5
; .
3 2 0 3 2 4
5 5
5
x
y x x y
M
x y x y
y
= −
= + − = −
⇔ ⇔ ⇒ −
+ − = + =
=
Rõ ràng
'
d d
⊥
nên khi đó B, C đối xứng nhau qua '
d M
⇔
là trung điểm của BC
2 2 2 4
4
2 5 5
2
.
8 3 4 4 4
5
2 5 5
2
B C
M
B C
M
m
x x
m
x
m
y y m
m
y
+ −
+
= − = −
=
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = −
+ + −
= = −
=
Đã thỏa mãn (*).
Đ/s:
4
.
5
m
= −
Câu 17:
[ĐVH].
Cho hàm s
ố
(
)
3 2
3 2 9
y x x m x m
= + + − +
, có
đồ
th
ị
là
(
)
C
và
đườ
ng th
ẳ
ng
: y 3
d x
= +
. Tìm
m
để
(
)
C
giao
d
t
ạ
i 3
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t
, ,
A B C
, trong
đ
ó
A
là
đ
i
ể
m c
ố
đị
nh và
độ
dài
2 10
BC = .
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của
d
và
(
)
C
là nghiệm của phương trình
(
)
(
)
3 2 3 2
3 2 9 3 7 3 3 3 0
x x m x m x x x x m x
+ + − + = + ⇔ + − − + + =
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
2
3
3 2 1 3 3 0 3 2 3 1 0
2 3 1 0 1
x
x x x m x x x x m
x x m
= −
⇔ + − − + + = ⇔ + − + − = ⇔
− + − =
Với
3 0.
x y
= − ⇒ =
Bài ra
A
là điểm cố định
(
)
3;0 .
A⇒ −
Khi đó
d
và
(
)
C
cắt nhau tại
, ,
A B C
phân biệt
(
)
1
⇔ có hai nghiệm phân biệt khác
3
−
( )
( ) ( )
( )
2
2
' 1 3 1 0
3
* .
14
3 2. 3 3 1 0
3
m
m
m
m
<
∆ = − − >
⇔ ⇔
− − − + − ≠
≠ −
Do ,
B C d
∈
nên ta gọi
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2 2 1 2 1
; 3 , ; 3 ;
B x x C x x BC x x x x
+ + ⇒ = − −

( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 1 2 1 1 2 1 2
2 8 .
BC x x x x x x x x
⇒ = − + − = + −
Ta có
1 2
;
x x
là 2 nghiệm của (1). Theo Vi-et thì
( )
1 2
2 2
1 2
2
2.2 8 3 1 16 24 .
3 1
x x
BC m m
x x m
+ =
⇒ = − − = −
= −
Bài ra
(
)
2
2 10 16 24 2 10 40 1.
BC m m
= ⇒ − = = ⇔ = −
Đã thỏa mãn (*).
Đ/s:
1
m
= −
là giá trị cần tìm.
Câu 18: [ĐVH]. Cho hàm số
(
)
(
)
3 2
4 3 5 4 1
y x m x m x m
= + − + − − +
, có đồ thị là
(
)
C
và đường
thẳng
: y 7
d x
= −
. Tìm
m
để
(
)
C
giao
d
tại 3 điểm phân biệt
(
)
4; 11 , ,
A B C
− −
sao cho diện tích
tam giác
OBC
bằng
21
2
.
Lời giải:
Hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
d
và
(
)
C
là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
(
)
3 2 3 2 2
4 3 5 4 1 7 4 2 8 5 4 0
x m x m x m x x x x m x x
+ − + − − + = − ⇔ + + + − + + =
( )
( )
( )( ) ( )
( )
( )
2 2
2
4
4 2 4 1 0 4 2 0
2 0 1
x
x x m x x x x mx m
x mx m
= −
⇔ + + − + + = ⇔ + + − − = ⇔
− + − =
V
ớ
i
(
)
4 11 4; 11
x y A
= − ⇒ = − ⇒ − −
ứ
ng v
ớ
i
đề
bài
đ
ã cho.
Khi
đ
ó
d
và
(
)
C
c
ắ
t nhau t
ạ
i
(
)
4; 11 , ,
A B C
− − phân bi
ệ
t
(
)
1
⇔ có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t khác
4
−
(
)
( ) ( )
( )
2
2
2
4 2 0
4 8 0
* .
6
4 . 4 2 0
m m
m m
m
m m
∆ = − − >
+ − >
⇔ ⇔
≠ −
− − − + − ≠
Do ,
B C d
∈
nên ta gọi
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2 2 1 2 1
; 7 , ; 7 ;
B x x C x x BC x x x x
− − ⇒ = − −
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 1 2 1 1 2 1 2
2 8 .
BC x x x x x x x x
⇒ = − + − = + −
Ta có
1 2
;
x x
là 2 nghiệm của (1). Theo Viet thì
( )
1 2
2 2 2
1 2
2 8 2 2 8 16.
2
x x m
BC m m m m
x x m
+ =
⇒ = − − = + −
= −
Bài ra có
( )
2
0 0 7
1 1 7 21
. ; . 18.
2 2 2
1 1 2 2
OBC
BC
S BC d O d BC BC
∆
− −
= = = = ⇒ =
+
Do đó
2
2 8 16 18 2 21.
m m m+ − = ⇔ = − ± Đã thỏa mãn (*).
Đ/s:
2 21
m = − ± là giá trị cần tìm.
Câu 19: [ĐVH]. Cho hàm số:
(
)
(
)
(
)
2
2 1
y x x mx C
= − + − . Tìm m đề đồ thị
(
)
C
cắt trục Ox tại 3
điểm phân biệt
(
)
; ; 2;0
A B C sao cho độ dài
5
AB =
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của
(
)
C
và trục Ox là:
(
)
(
)
2
2 1 0
x x mx
− + − =
.
(
)
( )
( )
2
2 2;0
1
1 0
x C
g x x mx
= ⇒
⇔
= + − =
Để đồ thị
(
)
C
cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt
(
)
1
⇔ có 3 nghiệm phân biệt
( )
( )
2
4 0
*
2 3 2 0
m
g m
∆ = + >
⇔
= + ≠
. Khi đó gọi
1 2
;
x x
là nghiệm của PT
(
)
0
g x
=
.
Theo Vi-et ta có :
1 2
1 2
1
x x m
x x
+ = −
= −
Khi đó :
(
)
(
)
1 2
;0 ; ;0
A x B x ta có:
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
1 2 1 2 1 2
4 4 5 1
AB x x x x x x m m tm
= − = + − = + = ⇔ = ±
Vậy
1
m
= ±
là giá trị cần tìm.
Câu 20: [ĐVH]. Cho hàm số :
(
)
3
y x x C
= − và đường thẳng
(
)
: 1
d y m x
= −
. Tìm m để đồ thị
(
)
C
cắt đường thẳng d tại 3 điểm phân biệt
(
)
; ; 1;0
A B C sao cho điểm
1
; 9
2
M
− −
là trung điểm
của đoạn AB.
Lời giải :
Phương trình hoành độ giao điểm của
(
)
C
và đường thẳng d là:
(
)
(
)
2
1 1 0
x x m x
− − − =
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
2
1
1 1 0 1 0
0
x
x x x m x x x x m
g x x x m
=
⇔ − + − − = ⇔ − + − = ⇔
= + − =
Đồ thị
(
)
C
cắt d tại 3 điểm phân biệt
(
)
1
⇔ có 3 nghiệm phân biệt
(
)
0
g x
⇔ =
có 2 nghiệm phân
biệt và 2 nghiệm đó khác 1
( )
( )
1 4 0
4 1 0
*
1 0
2 0
m
m
g
m
∆ = + >
+ >
⇔ ⇔
≠
− ≠
.
Khi đó gọi
1 2
;
x x
là nghiệm của PT
(
)
0
g x
=
. Theo định lý Vi-et ta có:
1 2
1 2
1
x x
x x m
+ = −
= −
.
Ta
có:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 2 1
; 1 ; ; 1
A x m x B x m x
− −
, trung điểm của AB
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
là
( ) ( ) ( )
1 2
1 2 1 2
1
2 2
1 1 2
3
2 2 2
M
M
x x
x
m x m x m x x m
m
y
+ −
= =
− + − + −
−
= = =
Theo bài ra
1
;0
2
M
−
nên
( )
3
9 6
2
m
m tm
−
= − ⇔ = .
V
ậ
y
6
m
=
là giá trị cần tìm.
Câu 21: [ĐVH]. Cho hàm số:
(
)
(
)
3
2
y x m x m C
= + + − và đường thẳng
: 2 1
d y x
= +
. Tìm m để
đồ thị
(
)
C
cắt đường thẳng d tại 3 điểm phân biệt có tung độ
1 2 3
; ;
y y y
thoã mãn
2 2 2
1 2 3
11
A y y y
= + + =
.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của
(
)
C
và đường thẳng d là:
3
1 0
x mx m
+ − − =
( )
( )
( )
( )
3 3
2
2
1 3
1 1 0 1
1 0
x y
x x x m
g x x x m
= ⇒ =
⇔ − + + − = ⇔
= + + − =
Đồ thị
(
)
C
cắt d tại 3 điểm phân biệt
(
)
1
⇔ có 3 nghiệm phân biệt
(
)
0
g x
⇔ =
có 2 nghiệm phân
biệt và 2 nghiệm đó khác 1
(
)
( )
( )
1 4 1 0
4 3 0
*
3 0
1 0
m
m
m
g
∆ = − − >
− >
⇔ ⇔
− ≠
≠
.
Khi đó cho
3 3
1; 3
x y
= =
và
1 2
;
x x
là nghiệm của PT
(
)
0
g x
=
. Theo định lý Viet ta có:
1 2
1 2
1
1
x x
x x m
+ = −
= −
.
Theo đề bài ta có:
( ) ( )
(
)
( )
2 2
2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 1 2 1 2
2 1 2 1 9 4 4 11
A y y y x x x x x x
= + + = + + + + = + + + +
.
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 2 1 2 1 2
4 2 4 11 4 1 2 1 4 11 8 3 11 1
A x x x x x x m m m tm
= + − + + + = − − − + = + = ⇔ =
Vậy
1
m
=
là giá trị cần tìm.
Câu 22: [ĐVH]. Cho hàm số :
(
)
3
4
y x mx C
= + − và đường thẳng
: 2 4
d y mx
= +
. Tìm m để d
cắt
(
)
C
tại 3 điểm phân biệt A,B,C sao cho trọng tâm tam giác OAB là
2
;8
3
G
−
trong đó C là
điểm có hoành độ
2
C
x
=
và O là gốc toạ độ.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của
(
)
C
và d là :
3
2 8 0
x mx mx
+ − − =
( )
( )
( ) ( )
( )
(
)
( )
( )
2 2
2
2 2;4 4
2 2 4 2 0 2 2 4 0 1
2 4 0
x C m
x x x m x x x x m
g x x x m
= ⇒ +
⇔ − + + + − = ⇔ − + + + = ⇔
= + + + =
Để đồ thị
(
)
C
cắt đường thẳng d tại 3 điểm phân biệt
(
)
1
⇔ có 3 nghiệm phân biệt
( )
( )
' 1 4 3 0
*
2 12 0
m m
g m
∆ = − − = − − >
⇔
=
+ ≠
.
Khi đó gọi
1 2
;
x x
là nghiệm của PT
(
)
0
g x
=
. Theo Viet ta có:
1 2
1 2
2
4
x x
x x m
+ = −
= +
.
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Gọi
(
)
(
)
1 1 2 2
;2 4 ; ;2 4
A x mx B x mx
+ +
ta có:
( )
1 2
1 2
1 2
0
2
3 3
2 8
2 4 2 4 0
3 3
G
G
x x
x
m x x
mx mx
y
+ +
−
= =
+ +
+ + + +
= =
Do vậy
2 8 4
;
3 3
m
G
−
−
. Cho
( )
8 4
8 4
3
m
m tm
−
= ⇔ = − .
V
ậ
y
4
m
= −
là giá trị cần tìm.
DẠNG 2. TƯƠNG GIAO HÀM PHÂN THỨC
Câu 1:
[ĐVH]. Cho hàm số
3
2 1
x
y
x
+
=
−
, có đồ thị là
(
)
C
và đường thẳng
: y 2
d x m
= − +
. Tìm
m
để
(
)
C
giao
d
tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm.
Lời giải:
TXĐ:
1
\ .
2
ℝ
Hoành độ giao điểm của
d
và
(
)
C
là nghiệm của phương trình
( )( )
( )
2
1
1
3
2
22
2 1
2 1 2 3 0
2 4 2 3 0 1
x
x
x
x m
x
x x m x
x mx m
≠
≠
+
− + = ⇔ ⇔
−
− − + + =
⇔ − + + =
Khi đó
d
giao
(
)
C
tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm
(1)
⇔
có hai nghiệm âm phân biệt khác
1
2
( )
2
2
1 2
1 2
2
1 7
'
4 2 2 3 0
2 2 3 0
2
0
2 0
3 1 7
1 7
.
0
2 3
2 2
0
2
2
1 1
3
2. 4 . 2 3 0
0
2 2
2
m m
m m
m
x x
m
m
x x
m
m
m m
m
m
+
∆ = − + >
− − >
>
+ <
<
−
−
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − < <
>
+
<
>
− + + ≠
∈
− < <
ℝ
Đ/s:
3 1 7
2 2
m
− −
< < .
Câu 2: [ĐVH]. Cho hàm số
2 3
2
x
y
x
−
=
+
, có đồ thị là
(
)
C
và đường thẳng
: 1
d y mx
= −
. Tìm
m
để
(
)
C
giao
d
tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thị.
Lời giải:
TXĐ:
{
}
\ 2 .
−
ℝ
Hoành độ giao điểm của
d
và
(
)
C
là nghiệm của phương trình
( ) ( )
2
2
2
2
2 3
1
3 2 1 0 1
2
2 2 2 3
x
x
x
mx
mx m x
x
mx mx x x
≠ −
≠ −
−
− = ⇔ ⇔
− − + =
+
+ − − = −
Ta có
d
giao
(
)
C
tại hai điểm phân biệt
(
)
1
⇔ có hai nghiệm phân biệt khác
2
−
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2
0
4 7
4 7
0
0
2
2
3 2 4 0 4 16 9 0 2
0
4 7
4 6 4 1 0
4 7
. 2 3 2 . 2 1 0
2
2
m
m
m
m
m
m m m m
m
m m
m
m m
m
m
≠
+
>
+
≠
≠
>
⇔ ∆ = − − > ⇔ − + > ⇔ ⇔
≠
−
+ − + ≠
<
−
− − − − + ≠
<
∈
ℝ
Khi đó theo Vi-et ta có
( )
1 2
1 2
3 2
3
1
m
x x
m
x x
m
−
+ =
=
Yêu cầu bài toán
(
)
1
⇔
có hai nghiệm phân biệt
1 2
;
x x
khác
2
−
thỏa mãn
(
)
(
)
1 2
2 2 0
x x
+ + >
Ta có
( )( ) ( )
1 2 1 2 1 2
1 3 2
2 2 0 2 4 0 2. 4 0
m
x x x x x x
m m
−
+ + > ⇔ + + + > ⇔ + + >
1 6 4 4
0 0.
m m
m
m
+ − +
⇔ > ⇔ >
K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i (2) ta
đượ
c
4 7
2
4 7
0
2
m
m
+
>
−
< <
thỏa mãn.
Đ/s:
4 7
2
m
+
> hoặc
4 7
0 .
2
m
−
< <
Câu 3: [ĐVH]. Cho hàm số
2
1
x m
y
x
−
=
+
, có đồ thị là
(
)
C
và đường thẳng
: y 2 3
d x
= − +
. Tìm
m
để
(
)
C
giao
d
tại hai điểm phân biệt có hoành độ
1 2
,
x x
thỏa mãn
2
1 2
3 4 9
x x
− =
.
Lời giải:
TXĐ:
{
}
\ 1 .
−
ℝ
Hoành độ giao điểm của
d
và
(
)
C
là nghiệm của phương trình
( )( )
( )
2
1
1
2
2 3
1 2 3 2 0
2 3 0 1
1
x
x
x m
x
x x x m
x x m
x
≠ −
≠ −
−
− + = ⇔ ⇔
+ − + − =
+ − − =
+
Ta có
d
giao
(
)
C
tại hai điểm phân biệt
(
)
1
⇔ có hai nghiệm phân biệt khác
1
−
( )
( )
( )
2
25
1 8 3 0
*
8
2. 1 1 3 0
2
m
m
m
m
∆ = + + >
> −
⇔ ⇔
− − − − ≠
≠ −
Khi đó theo Viet có
1 2 2 1
1 2 1 2
1 1
2 2
3 3
2 2
x x x x
m m
x x x x
+ = − = − −
⇔
+ +
= − = −
Kết hợp với
2
1 2
3 4 9
x x
− =
ta được
1
2 2
1 1 1 1
1
1
1
3 4 9 3 4 7 0
7
2
3
x
x x x x
x
=
− − − = ⇔ + − = ⇔
= −
• TH1.
1 2
1 3 3 3
1 1 1. 0.
2 2 2 2
m
x x m
+
= ⇒ = − − = − ⇒ − = − ⇔ =
Đã thỏa mãn (*).
• TH2.
1 2
7 1 7 11 3 7 11 50
. .
3 2 3 6 2 3 6 9
m
x x m
+
= − ⇒ = − + = ⇒ − = − ⇔ =
Đã thỏa mãn (*).
Đ/s:
0
m
=
hoặc
50
.
9
m =
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Câu 4: [ĐVH]. Cho hàm số
1
2 4
x
y
x
−
=
−
, có
đồ
th
ị
là
(
)
C
và
đườ
ng th
ẳ
ng
: y 1
d x m
= − +
. Tìm
m
để
(
)
C
giao
d
tại hai điểm phân biệt có hoành độ
1 2
,
x x
sao cho
1 2
3
2
x x
− =
.
Lời giải:
TXĐ:
{
}
\ 2 .
ℝ
Hoành độ giao điểm của
d
và
(
)
C
là nghiệm của phương trình
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
1
1
2 4 2 2 4 4 1 2 2 3 4 3 0 1
2 4
x x
x
x m
x x m x m x x m x m
x
≠ ≠
−
− + = ⇔ ⇔
− − − + − = − − + + − =
−
Ta có
d
giao
(
)
C
tại hai điểm phân biệt
(
)
1
⇔ có hai nghiệm phân biệt khác 2
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2 3 8 4 3 0
4 20 33 0
2 5 8 0
*
1 4 4 0
2.2 2 3 .2 4 3 0
m m
m m
m
m
m m
m
m m
+ − − >
− + >
− + >
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∈
− − + ≠
∈
− + + − ≠
ℝ
ℝ
Khi đó theo Viet thì
( )
1 2
1 2
2 3
2
2 .
4 3
2
m
x x
m
x x
+
+ =
−
=
Ta có
( ) ( )
2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
3 2 3 4 3
4 9 4 16 9 4 16. 9
2 2 2
m m
x x x x x x x x
+ −
− = ⇔ − = ⇔ + − = ⇔ − =
2
2
4 20 24 0
3
m
m m
m
=
⇔ − + = ⇔
=
đã thỏa mãn (*).
Đ/s:
2
m
=
hoặc
3.
m
=
Câu 5: [ĐVH]. Cho hàm số
2
1
x
y
x
+
=
−
, có đồ thị là
(
)
C
. Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua
(
)
0;2
M và cắt
(
)
C
tại 2 điểm phân biệt
,
A B
sao cho
M
là trung điểm của
AB
.
Lời giải:
TXĐ:
{
}
\ 1 .
ℝ
Gọi m là hệ số góc của d.
Bài ra
d
đi qua
(
)
0;2
M
⇒
phương trình của d có dạng
(
)
: 0 2 2.
d y m x y mx
= − + ⇔ = +
Hoành độ giao điểm của
d
và
(
)
C
là nghiệm của phương trình
( ) ( )
2
2
1
1
2
2
1 4 0 1
1
2 2 2
x
x
x
mx
mx m x
x
mx mx x x
≠
≠
+
+ = ⇔ ⇔
− − − =
−
− + − = +
Ta có
d
giao
(
)
C
tại hai điểm phân biệt A, B
(
)
1
⇔ có hai nghiệm phân biệt khác 1
( )
( )
( )
2
2
2
2
0
0
0
1 16 0 14 1 0 *
14 1 0
3 0
.1 1 .1 4 0
m
m
m
m m m m
m m
m m
m m
≠
≠
≠
⇔ ∆ = − + > ⇔ + + > ⇔
+ + >
− − ≠
− − − ≠
Do ,
A B d
∈
nên ta gọi
(
)
(
)
1 1 2 2
; 2 , ; 2 .
A x mx B x mx+ +
Ta có
1 2
;
x x
là hai nghiệm của (1) nên theo Viet thì
( )
1 2
1 2
1
2
4
m
x
x
m
x x
m
−
+ =
= −
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khi đó
M
là trung điểm của
AB
( )
1 2
1 2
1 21 2
0
0
2
0
2 2
2
2
M
M
x x
x
x x
m x x
mx mx
y
+
= =
+ =
⇔ ⇔
+ =
+ + +
= =
Kết hợp với (2) ta được
1
0
1.
1
. 0
m
m
m
m
m
m
−
=
⇔ =
−
=
Đã thỏa mãn (*)
: 2.
d y x
⇒ = +
Đ/s:
: 2.
d y x
= +
Câu 6:
[ĐVH]. Cho hàm số:
( )
1
1
x
y C
x
+
=
−
và
đườ
ng th
ẳ
ng :
d y x m
= +
. Tìm m
để
d c
ắ
t
(
)
C
t
ạ
i 2
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t có hoành
độ
1 2
;
x x
thoã mãn
2 2
1 2
9
x x
+ =
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của
(
)
C
và d
là:
1
1
x
x m
x
+
= +
−
.
( ) ( )
( )
2
1
1
2 1 0
x
g x x m x m
≠
⇔
= + − − − =
Để đồ thị
(
)
C
cắt d tại 2 điểm phân biệt
(
)
0
g x
⇔ =
có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
( ) ( )
( )
( )
2
2 4 1 0
*
1 2 0
m m
g
∆ = − + + >
⇔
= − ≠
. Khi đó gọi
1 2
;
x x
là nghiệm của PT
(
)
0
g x
=
.
Theo Viet ta có :
1 2
1 2
2
1
x x m
x x m
+ = −
= − −
Ta c
ó:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
3
2 2 2 1 2 6 9
1
m
x x x x x x m m m m tm
m
=
+ = + − = − + + = − + = ⇔
= −
Vậy
3; 1
m m
= = −
là các giá trị cần tìm.
Câu 7: [ĐVH]. Cho hàm số:
( )
2 1
1
x
y C
x
−
=
+
và đường thẳng : 2
d y x m
= +
. Tìm m để d cắt
(
)
C
tại 2 điểm phân biệt có hoành độ
1 2
;
x x
thoã mãn
1 2
1
2
x x
− =
.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của
(
)
C
và d là:
2 1
2
1
x
x m
x
−
= +
+
.
( )
2
1
2 1 0
x
g x x mx m
≠ −
⇔
= + + + =
Để đồ thị
(
)
C
cắt d tại 2 điểm phân biệt
(
)
0
g x
⇔ =
có 2 nghiệm phân biệt khác -1.
(
)
( )
( )
2
8 1 0
*
1 3 0
m m
g
∆ = − + >
⇔
− = ≠
. Khi đó gọi
1 2
;
x x
là nghiệm của PT
(
)
0
g x
=
.
Theo Viet ta có :
1 2
1 2
2
1
2
m
x x
m
x x
−
+ =
+
=
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
9
1 1 1 1
4 2 1
1
2 4 4 4 4
m
m
x x x x x x x x m tm
m
=
− = ⇔ − = ⇔ + − = ⇔ − + = ⇔
= −
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Vậy
9; 1
m m
= = −
là các giá trị cần tìm.
Câu 8: [ĐVH]. Cho hàm số:
( )
3
1
x
y C
x
+
=
−
và
đườ
ng th
ẳ
ng :
d y x m
= − +
. Tìm
m
để
d
c
ắ
t
(
)
C
t
ạ
i
2
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t có hoành
độ
1 2
;
x x
thoã mãn
2 2
1 1 2 2
9
A x x x x
= − + =
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của
(
)
C
và d là:
3
1
x
x m
x
+
= − +
−
.
( )
2
1
3 0
x
g x x mx m
≠
⇔
= − + + =
Để đồ thị
(
)
C
cắt d tại 2 điểm phân biệt
(
)
0
g x
⇔ =
có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
(
)
( )
( )
2
4 3
*
1 4 0
m m
g
∆
= − +
⇔
= ≠
. Khi đó gọi
1 2
;
x x
là nghiệm của PT
(
)
0
g x
=
.
Theo Viet ta có :
1 2
1 2
3
x x m
x x m
+ =
= +
Ta có:
( ) ( )
(
)
2
2 2
1 2 1 2
6
3 3 3 3 9 9
3
m loai
A x x x x m m m m
m
=
= + − = − + = − − = ⇔
= −
Vậy
3
m
= −
là các giá trị cần tìm.
Câu 9: [ĐVH]. Cho hàm số
( )
2
x m
y C
x
−
=
−
và đường thẳng
: 2
d y x
=
. Tìm m để d cắt
(
)
C
tại 2
điểm phân biệt có hoành độ
1 2
;
x x
thoã mãn
1 2
2 4
x x
+ =
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của
(
)
C
và d là:
2
2
x m
x
x
−
=
−
.
( )
( )
2
2
1
2 5 0
x
g x x x m
≠
⇔
= − + =
Để đồ thị
(
)
C
cắt d tại 2 điểm phân biệt
(
)
0
g x
⇔ =
có 2 nghiệm phân biệt khác 2.
( )
( )
25 8 0
*
2 2 0
m
g m
∆ = − >
⇔
= − ≠
. Khi đó gọi
1 2
;
x x
là nghiệm của PT
(
)
0
g x
=
.
Theo Vi-et ta có :
( )
1 2
1 2
5
1
2
2
x x
m
x x
+ =
=
. Do
1 2
2 4
x x
+ =
.
Giải hệ PT
1 2 1
1 2
1 2 2
5 3
2 3
2 2
2 4 1
x x x
m x x
x x x
+ = =
⇔ → = =
+ = =
.
Do vậy
3
m
=
là giá trị cần tìm.
Câu 10: [ĐVH]. Cho hàm số
( )
1
2
x
y C
x
+
=
−
và đường thẳng :
d y x m
= +
. Tìm m để d cắt
(
)
C
tại
2 điểm phân biệt sao A,B cho
4 2
AB = .
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của
(
)
C
và d là:
1
2
x
x m
x
+
= +
−
.
( ) ( )
( )
2
2
1
3 2 1 0
x
g x x m x m
≠
⇔
= + − − − =
Để đồ thị
(
)
C
cắt d tại 2 điểm phân biệt
(
)
0
g x
⇔ =
có 2 nghiệm phân biệt khác 2.
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
( ) ( )
( )
( )
2
3 4 2 1 0
*
2 3 0
m m
g
∆ = − + + >
⇔
= − ≠
.
Khi đó gọi
(
)
(
)
1 1 2 2
; ; ;
A x x m B x x m
+ +
là 2 toạ độ các giao điểm.
Theo Viet ta có :
1 2
1 2
3
2 1
x x m
x x m
+ = −
= − −
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2 2
2 2 4
AB x x x x x x x x x x
= − + − = − = + −
( ) ( )
( )
( )
2
2 2
1
2 3 4 2 1 2 2 13 4 2 2 3 0
3
m
m m m m m m tm
m
=
= − − − − = + + = ⇔ + − = ⇔
= −
Vậy
3; 1
m m
= − =
là các giá trị cần tìm.
Câu 11: [ĐVH]. Cho hàm số
( )
2 1
1
x
y C
x
+
=
+
và
đườ
ng th
ẳ
ng : 2
d y x m
= +
. Tìm m
để
d c
ắ
t
(
)
C
t
ạ
i 2
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A,B sao cho
. 10
OAOB
= −
trong
đ
ó O là g
ố
c to
ạ
độ
.
Lời giải
Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m:
2 1
2
1
x
x m
x
+
= +
+
( )
( )
2
1
1
2 1 0
x
g x x mx m
≠ −
⇔
= + + − =
Để đồ thị
(
)
C
cắt d tại 2 điểm phân biệt
(
)
0
g x
⇔ =
có 2 nghiệm phân biệt khác -1.
(
)
( )
( )
2
8 1 0
*
1 1 0
m m
g
∆ = − − >
⇔
− = ≠
.
Khi đó gọi
(
)
(
)
1 1 2 2
;2 ; ;2
A x x m B x x m
+ + là 2 toạ độ các giao điểm.
Theo Viet ta có :
1 2
1 2
2
1
2
m
x x
m
x x
−
+ =
−
=
Ta có:
( )( ) ( )
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
5 5
. . 2 2 5 2 10
2
m
OAOB x x x m x m x x m x x m m m
−
= + + + = + + + = − + = −
(
)
3
m tm
⇔ = −
Vậy
3
m
= −
là các giá trị cần tìm.
Câu 12: [ĐVH]. Cho hàm số
( )
1
2
x
y C
x
−
=
−
và đường thẳng :
d y x m
= − +
. Tìm m để d cắt
(
)
C
tại
2 điểm phân biệt A, B sao cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng
0
x y
+ =
.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của
(
)
C
và d là:
1
2
x
x m
x
−
= − +
−
.
( ) ( )
( )
2
2
1
1 2 1 0
x
g x x m x m
≠
⇔
= − + + − =
Để đồ thị
(
)
C
cắt d tại 2 điểm phân biệt
(
)
0
g x
⇔ =
có 2 nghiệm phân biệt khác 2.
( ) ( )
( )
( )
2
1 4 2 1 0
*
1 1 0
m m
g
∆ = + − − >
⇔
= − ≠
.
Khi đó gọi
(
)
(
)
1 1 2 2
; ; ;
A x x m B x x m
− + − +
là 2 toạ độ các giao điểm.
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Theo Viet ta có :
1 2
1 2
1
2 1
x x m
x x m
+ = +
= −
Gọi G là trong tâm tam giác OAB ta có :
1 2
1 2
0 1
1 1
3 3
;
0 1
3 3
3 3
G
G
x x m
x
m m
G
x m x m m
y
+ + +
= =
+ −
⇒
− + − + + −
= =
Do điểm
0
G x y
∈ + =
nên ta có:
( )
1 1
0 0 /
3 3
m m
m t m
+ −
+ = ⇔ =
V
ậ
y
0
m
=
là các giá trị cần tìm.
Câu 13: [ĐVH]. Cho hàm số
( )
2 1
1
x
y C
x
+
=
−
và đường thẳng : 2
d y x m
= −
.Tìm m để d cắt
(
)
C
tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho
5
4
OAB
S
=
trong đó O là gốc toạ độ.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của
(
)
C
và d là:
2 1
2
1
x
x m
x
+
= −
−
.
( ) ( )
( )
2
1
1
2 4 1 0
x
g x x m x m
≠
⇔
= − + + − =
Để đồ thị
(
)
C
cắt d tại 2 điểm phân biệt
(
)
0
g x
⇔ =
có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
( ) ( )
( )
( )
2
4 8 1 0
*
1 3 0
m m
g
∆ = + − − >
⇔
= − ≠
.
Khi đó gọi
(
)
(
)
1 1 2 2
;2 ; ;2
A x x m B x x m
− −
là 2 toạ độ các giao điểm.
Theo Viet ta có :
1 2
1 2
4
2
1
2
m
x x
m
x x
+
+ =
−
=
.
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
5
2 2 5 5 4 24
4
AB x x x x x x x x x x m
= − + − = − = + − = +
( )
;
5
m
d O AB = . Khi đó :
( )
2
1 1 5
. ; 24
2 4 4
OAB
S AB d O AB m m
= = + =
(
)
(
)
(
)
4 2 2 2
24 25 1 25 0 1
m m m m m tm
⇔ + = ⇔ − + = ⇔ = ±
Vậy
1
m
= ±
là các giá trị cần tìm.
Câu 14: [ĐVH]. Cho hàm số
2
3
x
y
x
+
=
−
, có đồ thị là
(
)
C
và đường thẳng : 2
d y x m
= +
. Tìm
m
để
(
)
C
giao
d
tại hai điểm phân biệt
,
A B
sao cho
5 2
AB = .
Lời giải:
TXĐ:
{
}
\ 3 .
ℝ
Hoành độ giao điểm của
d
và
(
)
C
là nghiệm của phương trình
( ) ( )
2
2
3
3
2
2
2 7 3 2 0 1
3
2 6 3 2
x
x
x
x m
x m x m
x
x x mx m x
≠
≠
+
+ = ⇔ ⇔
+ − − − =
−
− + − = +
Kh
i đó
d
giao
(
)
C
tại hai điểm phân biệt
(
)
1
⇔ có hai nghiệm phân biệt khác 3
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
7 8 3 2 0
10 65 0
5 40 0
*
5 3 3 0
2.3 7 .3 3 2 0
m m
m m
m
m
m m
m
m m
∆ = − + + >
+ + >
+ + >
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∈
− + − ≠
∈
+ − − − ≠
ℝ
ℝ
Do
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2 2 1 2 1
, ;2 , ;2 ;2 2
A B d A x x m B x x m AB x x x x
∈ ⇒ + + ⇒ = − −
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 1 2 1 1 2 1 2
2 2 5 20 .
AB x x x x x x x x
⇒ = − + − = + −
Ta có
1 2
;
x x
là hai nghiệm của (1) nên theo Vi-et thì
1 2
1 2
7
2
3 2
2
m
x x
m
x x
−
+ =
+
= −
( )
( )
( )
2
2
2 2
7 3 2
5 20. 5 2 5 14 49 40 3 2 200
2 2
m m
AB m m m
− +
⇒ = + = ⇔ − + + + =
2
5 50 125 0 5.
m m m
⇔ + + = ⇔ = −
Đã thỏa mãn (*).
Đ/s:
5.
m
= −
Câu 15: [ĐVH]. Cho hàm số
3 1
1
x
y
x
−
=
−
, có
đồ
th
ị
là
(
)
C
và
đườ
ng th
ẳ
ng
: 2
d y mx
= − +
. Tìm
m
để
(
)
C
giao
d
t
ạ
i 2
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t
,
A B
sao cho tam giác
OAB
vuông t
ạ
i O.
Lời giải:
TX
Đ
:
{
}
\ 1 .
ℝ
Hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
d
và
(
)
C
là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
( )( )
( ) ( )
2
1
1
3 1
2
1 2 3 1 0
1 1 0 1
1
x
x
x
mx
x mx x
mx m x
x
≠
≠
−
− + = ⇔ ⇔
− − + − =
− − + =
−
Khi đó
d
giao
(
)
C
tại hai điểm phân biệt
(
)
1
⇔ có hai nghiệm phân biệt khác 1
( )
( )
( )
2
2
2
2
0
0
0
1 4 0 6 1 0 *
6 1 0
2 0
.1 1 .1 1 0
m
m
m
m m m m
m m
m m
m m
≠
≠
≠
⇔ ∆ = − − > ⇔ − + > ⇔
− + >
− + ≠
− − + ≠
Tam giác
OAB
vuông tại O
( )
0 .0 2
. 0 2
. 0 . 0
O d m
O AB
OAOB
OA OB
OAOB OAOB
∉ ≠ − +
∉
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =
⊥
= =
Do
( )
( )
( )
( )
( )
1 1 1 1
2
1 2 1 2 1 2
2 2
2 2
;2 ;2
, . 4 2 .
;2
;2
A x mx OA x mx
A B d OAOB x x m x x m x x
B x mx
OB x mx
− = −
∈ ⇒ ⇒ ⇒ = + − + +
−
= −
Ta có
1 2
;
x x
là hai nghiệm của (1) nên theo Viet thì
1 2
1 2
1
1
m
x x
m
x x
m
−
+ =
=
2
2
1 1 1 1 1 6 1
. 4 2 . . 4 2 2 6
m m m
OAOB m m m m m
m m m m m m
− − + +
⇒ = + − + = + − + + = − + =
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Kết hợp với (2) ta được
2
2
0
6 1
0 3 10.
6 1 0
m
m m
m
m
m m
≠
− + +
= ⇔ ⇔ = ±
− − =
Đã thỏa mãn (*).
Đ/s:
3 10.
m = ±
Câu 16: [ĐVH]. Cho hàm số
3 7
5
x
y
x
−
=
+
, có
đồ
th
ị
là
(
)
C
và
đườ
ng th
ẳ
ng
: 1
d y mx
= −
. Tìm
m
để
(
)
C
giao
d
tại hai điểm phân biệt
,
A B
sao cho khoảng cách từ
,
A B
đến đường thẳng
: 2
y x
∆ = − +
bằng nhau.
Lời giải:
TXĐ:
{
}
\ 5 .
−
ℝ
Hoành độ giao điểm của
d
và
(
)
C
là nghiệm của phương trình
( ) ( )
2
2
5
5
3 7
1
5 6 8 0 1
5
5 5 7 3 0
x
x
x
mx
mx m x
x
mx mx x x
≠ −
≠ −
−
− = ⇔ ⇔
+ + − =
+
+ − − + − =
Khi đó
d
giao
(
)
C
tại hai điểm phân biệt
(
)
1
⇔ có hai nghiệm phân biệt khác
5
−
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2
2
0
0
0
5 6 32 0 25 92 36 0 *
25 92 36 0
25 25 38 0
. 5 5 6 . 5 8 0
m
m
m
m m m m
m m
m m
m m
≠
≠
≠
⇔ ∆ = + + > ⇔ + + > ⇔
+ + >
− − ≠
− + + − − ≠
Do
(
)
(
)
1 1 2 2
, ; 1 , ; 1 .
A B d A x mx B x mx
∈ ⇒ − −
Phương trình
: 2 0.
x y
∆ + − =
Ta có
1 2
;
x x
là hai nghiệm của (1) nên theo Vi-et thì
( )
1 2
1 2
5 6
2
8
m
x
x
m
x x
m
+
+ = −
= −
Lạ có
( )
1 1 1 1
2 2
1 2 3
;
2
1 1
x mx x mx
d A
+ − − + −
∆ = =
+
và
( )
2 2 2 2
2 2
1 2 3
; .
2
1 1
x mx x mx
d B
+ − − + −
∆ = =
+
Do đó
( ) ( )
( )
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
3 3
3 3
; ;
3 3
2 2
x mx x mx
x mx x mx
d A d B
x mx x mx
+ − = + −
+ − + −
∆ = ∆ ⇔ = ⇔
+ − = − + −
• TH1.
( ) ( ) ( )( )
1 2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
3 3 0 1 0
1
x x
x mx x mx x x m x x x x m
m
=
+ − = + − ⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔
= −
Với
1 2
x x A B
= ⇒ ≡ ⇒
Loại do A, B phân biệt. Mà
1
m
= −
cũng không thỏa mãn
(
)
*
⇒
Loại.
• TH2.
(
)
(
)
1 1 2 2 1 2 1 2
3 3 6 0.
x mx x mx x x m x x
+ − = − + − ⇔ + + + − =
Kết hợp với (2) ta được
2
5 6 5 6 5 6 5 6 6
. 6 0 0
m m m m m m
m
m m m
+ + + + + +
− − − = ⇔ =
(
)
( )
2
3 (*)
0
2
5 17 6 0
(*)
5
m Ko TM
m
m
m
m TM
= −
≠
⇔ ⇔
+ + =
=
−
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Câu 17: [ĐVH]. Cho hàm số
1
3
mx
y
x
−
=
+
, có
đồ
th
ị
là
(
)
C
và
đườ
ng th
ẳ
ng
: 2 1
d y x
= − +
. Tìm
m
để
(
)
C
giao
d
tại hai điểm phân biệt có hoành độ
,
A B
sao cho
3
2
OAB
S
∆
=
, ở đó
O
là gốc tọa độ.
Lời giải:
TXĐ:
{
}
\ 3 .
−
ℝ
Hoành độ giao điểm của
d
và
(
)
C
là nghiệm của phương trình
( )( )
( ) ( )
2
3
3
1
2 1
3 2 1 1 0
2 5 4 0 1
3
x
x
mx
x
x x mx
x m x
x
≠ −
≠ −
−
− + = ⇔ ⇔
+ − + − =
+ + − =
+
Khi đó
d
giao
(
)
C
tại hai điểm phân biệt
(
)
1
⇔ có hai nghiệm phân biệt khác
3
−
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2
5 32 0
1
*
3 1 0
3
2. 3 5 . 3 4 0
m
m
m
m
m
∆ = + + >
∈
⇔ ⇔ ⇔ ≠ −
− − ≠
− + + − − ≠
ℝ
Do
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2 2 1 1 2
, ;1 2 , ;1 2 ;2 2
A B d A x x B x x AB x x x x
∈ ⇒ − − ⇒ = − −
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 1 1 2 1 2 1 2
2 2 5 20 .
AB x x x x x x x x
⇒ = − + − = + −
Ta có
1 2
;
x x
là hai nghiệm của (1) nên theo Vi-et thì
1 2
1 2
5
2
2
m
x x
x x
+
+ = −
= −
( )
( )
2
2
2
5 5 160
5
5 20. 2 .
2 4
m
m
AB
+ +
+
⇒ = − − − =
Ta có
( ) ( )
2
2 2
1
1 1
; O; .
5
5
2 1
h d O AB d d h
−
= = = = ⇒ =
+
Lại có
( )
2 2
1 1 3
. O; . . 9
2 2 2
OAB
S AB d AB AB h AB h
∆
= = =
⇒
=
( )
( ) ( )
(
)
( )
2
2 2
3
5 5 160
1
. 9 5 5 160 180 5 4
4 5
7
m tm
m
m m
m tm
= −
+ +
⇒
= ⇔ + + = ⇔ + = ⇔
= −
Vậy
3; 7
m m
= − = −
là các giá trị cần tìm.
Câu 18: [ĐVH]. Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
−
=
+
, có đồ thị là
(
)
C
và đường thẳng
d
đi qua
5 5
;
2 2
M
−
có
hệ số góc
k
. Tìm
k
để
d
và
(
)
C
giao nhau tại 2 điểm phân biệt
,
A B
thuộc 2 nhánh của đồ thị
sao cho 3
MA MB
=
.
Lời giải:
TXĐ:
{
}
\ 1 .
−
ℝ
Bài ra
d
đi qua
5 5
;
2 2
M
−
có hệ số góc
5 5
: .
2 2
k d y k x
⇒ = + +
Hoành độ giao điểm của
d
và
(
)
C
là nghiệm của phương trình
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
( )
2
2
1
1
5 5 2 1
7 5 5 5
7 1 5 7
2 1
2 2 1
0 1
2 2 2 2
2 2
x
x
x
k x
x x
k k
k x x
x
kx x
≠ −
≠ −
−
+ + = ⇔ ⇔
+ +
+ + + + = −
+
+ + =
Khi đó
d
giao
(
)
C
tại hai điểm phân biệt
(
)
1
⇔ có hai nghiệm phân biệt khác
1
−
( ) ( )
( )
2
2
2
2
7 1 5 7
9 1
4 0
14 0
9 1
2 2
14 0 *
4 4
4 4
7 1 5 7
3 0
. 1 . 1 0
2 2
k k
k
k k
k k
k k
k k
k
+ +
∆ = − >
− + >
⇔ ⇔ ⇔ − + >
+ +
− + ≠
− + − + ≠
Do
1 1 1 1
2 2 2 2
5 5 5
5
; ;
2 2 2 2
,
5 5 5 5
; ;
2 2 2 2
k k
A x kx MA x kx
A B d
k k
B x kx MB x kx
+ + = + +
∈ ⇒ ⇒
+ + = + +


Do
M
nằm trong đoạn
BC
nên
1 1 2 2
5 5 5 5
3 3 ; 3 ;
2 2 2 2
k k
MA MB MA MB x kx x kx
= ⇔ = − ⇔ + + = − + +

( )
( )
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
5 5
3
3 10
2 2
3 10 3 10 2
3 10
5 5
3
2 2
x x
x x
x x x x
k x x k
k k
kx kx
+ = − +
+ = −
⇔ ⇔ ⇔ + = − ⇔ = − −
+ = −
+ = − +
Hai điểm phân biệt A, B thuộc 2 nhánh của đồ thị
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2
1 1 0 1 0.
x x x x x x
⇔ + + < ⇔ + + + <
Ta
có
1 2
;
x x
là hai nghiệm của (1) nên theo Viet thì
( )
1 2
1 2
1 7
2
3
5 7
2
k
x x
k
k
x x
k
− −
+ =
+
=
Do đó
1 7 5 7 3
1 0 0 0.
2 2
k k
k
k k k
− − +
+ + < ⇔ < ⇔ <
K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i (*) ta
đượ
c
(
)
0 **
k <
T
ừ
(
)
2
và
( )
2 2 2 1
1 7 1 13 3 39 3 1
3 3 10 10 .
2 4 4 4 4 4 4
k
x x x x
k k k k
− − − −
⇒ − − + = ⇔ = − ⇒ = + − = −
Do
đ
ó
( )( ) ( )
2
1 2
3 1 1 13 5 7 1
3 1 13 8 5 7 9 6 1 0
4 4 4 4 2 3
k
x x k k k k k k k
k k k
− + −
= − − = ⇔ − − − = + ⇔ + + = ⇔ =
Th
ỏ
a mãn (**).
Đ
/s:
1
3
k
−
=
DẠNG 3. TƯƠNG GIAO HÀM TRÙNG PHƯƠNG
Câu 1:
[ĐVH].
Cho hàm s
ố
4 2
2 4 3
y x mx m
= − + − , có
đồ
th
ị
là
(
)
C
. Tìm
m
để
(
)
C
giao
Ox
t
ạ
i
hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t.
Lời giải:
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Hoành độ giao điểm của
Ox
và
(
)
C
là nghiệm của phương trình
(
)
4 2
2 4 3 0 1
x mx m− + − =
Đặt
(
)
2
0 1
t x= ≥ ⇒ thành
(
)
2
2 4 3 0 2
t mt m− + − =
Khi đó
(
)
C
giao
Ox
tại 2 điểm phân biệt
(
)
2
⇔ có nghiệp kép dương hoặc 2 nghiệm phân biệt trái
dấu
• TH1. (2) có nghiệp kép dương
( )
2
1 2
1 2
1
' 4 3 0
4
2 0 1.
4
4 3 0
0
3
m
m m
m
t t m m
t t m
m
=
∆ = − − =
= −
⇔ + = > ⇔ ⇔ =
= − >
< <
• TH2. (2) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
( )
(
)
(
)
2
1 2
1 4 0
' 4 3 0
4
.
4
3
4 3 0
3
m m
m m
m
t t m
m
− + >
∆ = − − >
⇔ ⇔ ⇔ >
= − <
>
Kết hợp 2 trường hợp ta được
1
m
=
hoặc
4
3
m
>
th
ỏ
a mãn.
Đ
/s:
1
m
=
ho
ặ
c
4
.
3
m
>
Câu 2:
[ĐVH].
Cho hàm s
ố
4 2
3 5
y x x
= − +
, có
đồ
th
ị
là
(
)
C
và
đườ
ng th
ẳ
ng
: 1
d y m
= − +
. Tìm
m
để
(
)
C
giao
d
tại ba điểm phân biệt.
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của
d
và
(
)
C
là nghiệm của phương trình
(
)
4 2
3 5 1 1
x x m− + = − +
Đặt
(
)
2
0 1
t x= ≥ ⇒ thành
(
)
2 2
3 5 1 3 4 0 2
t t m t t m− + = − + ⇔ − + + =
Khi đó
(
)
C
giao
d
tại 3 điểm phân biệt
(
)
2
⇔ có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương
(
)
3
Do đó
2
0 3.0 4 0 4.
m m
− + + = ⇔ = −
Ngược lại, với
4
m
= −
thì
(
)
2
thành
2
3 4 4 0 0
t t t
− − + = ⇔ =
hoặc
3.
t
=
Đã thỏa mãn
(
)
3 .
Đ/s:
4.
m
= −
Câu 3: [ĐVH]. Cho hàm số :
(
)
4 2
2 1
y x mx m C
= − + + . Tìm m để
(
)
C
cắt trục Ox tại 4 điểm phân
biệt có hoành độ
1 2 3 4
; ; ;
x x x x
thoã mãn:
4 4 4 4
1 2 3 4
20
x x x x
+ + + =
.
Lời giải :
+) Phương trình hoành độ giao điểm của
(
)
C
và Ox là:
(
)
4 2
2 1 0 1
x mx m− + + =
+) Đặt
(
)
(
)
2 2
: 1 2 1 0 2
t x t mt m= ⇒ − + + =
+) Để (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt
(
)
2
⇔ có 2 nghiệm phân biệt
1 2
0
t t
> >
( )
2
' 1 0
2 0 *
1 0
m m
S m
P m
∆ = − − >
⇔ = >
= + >
. Theo Viet:
1 2
1 2
2
1
t t m
t t m
+ =
= +
+)
Khi đó PT
(
)
1
có 4 nghiệm
1 2 2 1
; ; ;
t t t t
− −
Ta có: giả thiết bài toán
( )
2
2 2 2 2 2 2
1 2 2 1 1 2 1 2 1 2
20 10 2 10
t t t t t t t t t t
⇔ + + + = ⇔ + = ⇔ + − =
( )
2 2
2
4 2 2 10 2 6 0
3
m
m m m m
m loai
=
⇔ − − = ⇔ − − = ⇔
= −
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Vậy
2
m
=
là giá trị cần tìm.
Câu 4: [ĐVH]. Cho hàm số :
(
)
(
)
4 2
2 1 2
y x m x C
= − + + . Tìm m để
(
)
C
cắt trục Ox tại 4 điểm
phân biệt có hoành độ
1 2 3 4
; ; ;
x x x x
thoả mãn:
4 4 4 4
1 2 3 4
1 1 1 1 5
2
x x x x
+ + + =
.
Lời giải :
+) Phương trình hoành độ giao điểm của
(
)
C
và Ox là:
(
)
(
)
4 2
2 1 2 0 1
x m x− + + =
+) Đặt
(
)
(
)
(
)
2 2
: 1 2 1 2 0 2
t x t m t= ⇒ − + + =
+) Để (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt
(
)
2
⇔ có 2 nghiệm phân biệt
1 2
0
t t
> >
( )
( )
2
2 1 8 0
2 1 0 *
2 0
m
S m
P
∆
= + − >
⇔ = + >
= >
. Theo Viet:
1 2
1
2
2 1
2
t t m
t t
+ = +
=
+) Khi đó PT
(
)
1
có 4 nghiệm
1 2 2 1
; ; ;
t t t t
− − ta có:
2 2 2 2
1 2 2 1
1 1 1 1 5
2
t t t t
+ + + =
(
)
( ) ( )
( )
2 2
2 2
1 2
2 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 2
2
1
2 2 5 5
5 2 5 2 1 9
2
2 . 2
t t
m
t t t t t t m
m loai
t t t t
+
=
⇔ + = ⇔ = ⇔ + = ⇔ + − = ⇔ + = ⇔
= −
Vậy
1
m
=
là giá trị cần tìm.
Câu 5: [ĐVH]. Cho hàm số :
(
)
4 2
2 4
y x mx m C
= − + +
. Tìm m để
(
)
C
cắt trục Ox tại 4 điểm
phân biệt có hoành độ
1 2 3 4
; ; ;
x x x x
thoã mãn:
1 2 3 4
8
x x x x
+ + + =
.
Lời giải :
+) Phương trình hoành độ giao điểm của
(
)
C
và Ox là:
(
)
4 2
2 4 0 1
x mx m− + + =
+)
Đặt
(
)
(
)
2 2
: 1 2 4 0 2
t x t mt m= ⇒ − + + =
+) Để (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt
(
)
2
⇔
có 2 nghiệm phân biệt
1 2
0
t t
> >
( )
2
' 4 0
2 0 *
4 0
m m
S m
P m
∆ = − − >
⇔ = >
= + >
. Theo Viet:
1 2
1 2
2
4
t t m
t t m
+ =
= +
+) Khi đó PT
(
)
1
có 4 nghiệm
1 2 2 1
; ; ;
t t t t
− −
Ta có: giả thiết
1 2 2 1
8
t t t t
⇔ − + − + + = ⇔
(
)
1 2 1 2
2 8 4
t t t t
+ = ⇔ + =
( )
1 2 1 2
2
8
2 16 2 4 16 2 4 8 5
17 60 0
m
t t t t m m m m m tm
m m
≤
⇔ + + = ⇔ + = − ⇔ + = − ⇔ ⇔ =
− + =
Vậy
5
m
=
là giá trị cần tìm.
Câu 6: [ĐVH]. Cho hàm số:
(
)
4 2
5 2 2
y x x m C
= − + +
. Tìm m để
(
)
C
cắt trục Ox tại 4 điểm phân
biệt có hoành độ
1 2 3 4
; ; ;
x x x x
theo thứ tự tăng dần sao cho
1 2
2
x x
= .
Lời giải :
+) Phương trình hoành độ giao điểm của
(
)
C
và Ox là:
(
)
4 2
5 2 2 0 1
x x m− + + =
+) Đặt
(
)
(
)
2 2
: 1 5 2 2 0 2
t x t t m= ⇒ − + + =
+) Để (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt
(
)
2
⇔
có 2 nghiệm phân biệt
1 2
0
t t
> >
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
( )
' 25 8 8 0
5 0 *
2 2 0
m
S
P m
∆ = − − >
⇔ = >
= + >
. Theo Viet:
1 2
1 2
5
2 2
t t
t t m
+ =
= +
+) Khi đó PT
(
)
1
có 4 nghiệm theo thứ tự tăng dần là:
1 2 2 1
; ; ;
t t t t
− −
Ta có: giả thiết
2 1 2 1
2 4
t t t t
− = − ⇔ =
kết hợp với
1
1 2
1
4
5
1
t
t t
t
=
+ = ⇒
=
.
(
)
1 2
2 2 4 1
t t m m tm
⇒ = + = ⇔ =
Vậy
1
m
=
là giá trị cần tìm.
Câu 7:
[ĐVH]. Cho hàm số
4 2
2
(m 4) 3
y x x m
= − + + +
, có đồ thị là
(
)
C
. Tìm
m
để
(
)
C
giao
Ox
tại bốn điểm phân biệt có hoành độ
1 2 3 4
, , ,
x x x x
thỏa mãn
4 4 4 4
1 2 3 4
50
x x x x
+ + + =
.
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của
Ox
và
(
)
C
là nghiệm của phương trình
(
)
(
)
4 2 2
4 3 0 1
x m x m− + + + =
Đặt
(
)
2
0 1
t x= ≥ ⇒ thành
(
)
(
)
2 2
4 3 0 2
t m t m− + + + =
Khi đó
(
)
C
giao
Ox
tại bốn điểm phân biệt
(
)
2
⇔ có hai nghiệm dương phân biệt
( )
(
)
( )
2
2
2
1 2
2
1 2
4 4 3 0
3 8 4 0
4 0 *
4
3 0
m m
m m
t t m
m
t t m
∆ = + − + >
− + + >
⇔ + = + > ⇔
> −
= + >
Từ đó ta có
( )
( )
2
1
2 4 4 4 4 2 2
1 2 3 4 1 2 1 2 1 2
2
2 50 2 25
x t
x t x x x x t t t t t t
x t
= ±
= ⇔ ⇒ + + + = + = ⇔ + − =
= ±
( )
( )
(
)
( )
2
2 2
3 (*)
4 2 3 25 8 15 0
5 (*)
m TM
m m m m
m Ko TM
=
⇒ + − + = ⇔ − + − = ⇔
=
Đ/s:
3.
m
=
Câu 8: [ĐVH]. Cho hàm số
(
)
4 2
1 2
y x m x m
= − + + +
, có đồ thị là
(
)
C
. Tìm
m
để
(
)
C
cắt
Ox
tại 4 điểm phân biệt có hoành độ
1 2 3 4
, , ,
x x x x
thỏa mãn
4 4 4 4
1 2 3 4
26
x x x x
+ + + =
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm
(
)
4 2
1 2 0
x m x m
− + + + =
Đặt
(
)
(
)
2 2
1 2 0 *
t x t m t m= ⇒ − + + + =
Để
(
)
C
cắt
Ox
tại 4 điểm phân biệt thì phương trình
(
)
*
có 2 nghiệm dương phân biệt
( ) ( )
2
2
1 4 2 0
0 2 7 0 1 2 2, 1 2 2
0 1 0 1 1 1 2 2
0 2 0 2 2
m m
m m m m
S m m m m
P m m m
+ − + >
∆ > − − > > + < −
⇔ > ⇔ + > ⇔ > − ⇔ > − ⇔ > +
> + > > − > −
Gọi
1 2
,
t t
là 2 nghiệm của phương trình
(
)
*
1 1 2 1 3 2 4 2
, , ,
x t x t x t x t
⇒ = = − = = − và
1 2
1 2
1
2
t t m
t t m
+ = +
= +
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Ta có:
( )
2
4 4 4 4 2 2
1 2 3 4 1 2 1 2 1 2
26 2 2 26 2 4 26
x x x x t t t t t t
+ + + = ⇔ + = ⇔ + − =
( ) ( )
( )
2
2 2
4
2 1 4 2 26 2 32 16
4
m
m m m m
m loai
=
⇔ + − + = ⇔ = ⇔ = ⇔
= −
Vậy
4
m
=
là giá trị cần tìm.
Câu 9: [ĐVH]. Cho hàm số
(
)
4 2 2
2 1
y x m x m m
= − + + +
, có đồ thị là
(
)
C
. Tìm
m
để
(
)
C
cắt
Ox
tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm
( )
( )( )
2
4 2 2 2 2
2
2 1 0 1 0
1
x m
x m x m m x m x m
x m
=
− + + + = ⇔ − − − = ⇔
= +
Để
(
)
C
cắt
Ox
tại 4 điểm phân biệt thì
0
0
1 0
m
m
m
>
⇔ >
+ >
Khi đó 4 nghiệm của phương trình theo thứ tự là
1 2 3 4
1, , , 1
x m x m x m x m
= − + = − = = +
Để 4 nghiệm của phương trình lập thành một cấp số cộng thì
2 1 3 2
1
1 1 3 1 9
8
x x x x m m m m m m m m m
− = − ⇔ − + + = + ⇔ + = ⇔ + = ⇔ =
V
ậ
y
1
8
m
=
là giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
Câu 10:
[ĐVH].
Cho hàm s
ố
:
(
)
(
)
4 2
2 1 2
y x m x m C
= − + + +
. Tìm m
để
đồ
th
ị
(
)
C
c
ắ
t tr
ụ
c Ox t
ạ
i
4
đ
i
ể
m A,B,C,D có hoành
độ
t
ă
ng d
ầ
n sao cho
2 2
18
AC BD
+ =
.
Lời giải :
+) Phương trình hoành độ giao điểm của
(
)
C
và Ox là:
(
)
(
)
4 2
2 1 2 0 1
x m x m− + + + =
+) Đặt
(
)
(
)
(
)
2 2
: 1 2 1 2 0 2
t x t m t m= ⇒ − + + + =
+) Để (
C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt
(
)
2
⇔ có 2 nghiệm phân biệt
1 2
0
t t
> >
( )
( )
2
' 2 1 4 8 0
2 1 0 *
2 0
m m
S m
P m
∆ = + − − >
⇔ = + >
= + >
. Theo Viet:
1 2
1 2
2 1
2
t t m
t t m
+ = +
= +
+) Khi đó PT
(
)
1
có 4 nghiệm sắp xếp theo thứ tự tăng dần là
1 2 2 1
; ; ;
t t t t
− − suy ra
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 2 1
;0 ; ;0 ; ;0 ; ;0
A t B t C t D t− − ta có:
(
)
2
2 2
2 1
AC t t BD
= + =
Do vậy giả thiết ta có:
(
)
2
1 2 1 2 1 2
9 2 9 2 1 2 2 9
t t t t t t m m
+ = ⇔ + + = ⇔ + + + =
( )
2 2
4 4
2 4 2
2 8 16 9 14 0
m m
m m m tm
m m m m m
≤ ≤
⇔ + = − ⇔ ⇔ ⇔ =
+ = − + − + =
.
Vậy
2
m
=
là giá trị cần tìm.
Câu 11*: [ĐVH]. Cho hàm số
(
)
4 2 2
2 2 1 7
y x m x
= − + − −
, có đồ thị là
(
)
C
và đường thẳng
: y 2 7
d mx
= − −
. Tìm
m
để
(
)
C
giao
d
tại bốn điểm phân biệt.
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của
d
và
(
)
C
là nghiệm của phương trình
(
)
4 2 2
2 2 1 7 2 7
x m x mx
− + − − = − −
( ) ( )
( )
( )
4 2 2 3 2
3 2
0
2 2 1 2 0 2 1 0
1 0 1
x
x m x mx x x m x m
x m x m
=
⇔ − − − = ⇔ − − − = ⇔
− − − =
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khi đó
d
và
(
)
C
giao nhau tại bốn điểm phân biệt
(
)
1
⇔ có 3 nghiệm phân biệt khác 0.
Xét hàm số
(
)
(
)
3 2
1 0
f x x m x m
= − − − =
với x
∈
ℝ
có
(
)
(
)
2 2
' 3 1
f x x m
= − −
Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khác 0
(
)
' 0
f x
⇔ =
có 2 nghiệm phân biệt
1 2
;
x x
với
(
)
(
)
1 2
. 0
f x f x
<
và
(
)
(
)
3 2
0 1 .0 0 2
m m− − − ≠
Ta có
(
)
' 0
f x
=
có 2 nghiệm phân biệt
2
1 0 1
m m
⇔ − > ⇔ >
hoặc
(
)
1 *
m < −
Khi đó
( )
2
2 2
1
' 0 3 1 .
3
m
f x x m x
−
= ⇔ = − ⇔ = ±
Do đó
( )
( ) ( )
3
2 2 2 2
2 2
1
1 1 1 2 1
1 1 .
3 3 3 3 3
m m m m
f x f m m m m
− − − −
= = − − − = − − −
( )
( ) ( )
3
2 2 2 2
2 2
2
1 1 1 2 1
1 1
3 3 3 3 3
m m m m
f x f m m m m
− − − −
= − = − + − − = − −
Từ đó
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2 3
2 2 2 2
1 2
4 1
. 1 . 0 27 4 1 0 3
9 3
m
f x f x m m m m
−
= − − < ⇔ − − <
Đặt
(
)
2
1 1 3
t m= − ≥ − ⇒ thành
( ) ( )( )
2
3 3
27 1 4 0 4 27 27 0 3 2 3 0
t t t t t t
+ − < ⇔ − − > ⇔ − + >
( )
2
2 3 0
3
3
t
t
t
+ >
⇔ ⇔ >
>
hay
2
1 3 2
m m
− > ⇔ >
hoặc
2.
m
< −
Kết hợp với (*) ta được
2
2
m
m
>
< −
Như vậy
( )
2
2 2
2
0
m
m
m
m
>
⇔ ⇔ >
< −
≠
hoặc
0
2
m
m
≠
< −
Đ/s:
2
m
>
hoặc
0
2
m
m
≠
< −
| 1/41
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CỔNG LUYỆN THI TRỰC TUYẾN SỐ 1 VIỆT NAM §ÆNG VIÖT HïNG TUYỂN CHỌN
CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ (P1)
(KHÓA LUYỆN THI 2015 – 2016)
Sách hay, chỉ TẶNG chứ không BÁN!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
CHỦ ĐỀ 1. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
DẠNG 1. TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ 2x
Câu 1: [ĐVH]. Cho hàm số y =
, có đồ thị (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại các x − 2
giao điểm của (C ) với đường thẳng y = 3x − 3 . Lời giải: 2x
Phương trình giao điểm 2 đồ thị là
= 3x − 3 ⇔ 2x = (x − 2)(3x −3) 2
⇔ 3x −11x + 6 = 0 x − 2  2  2  x = ⇒ M  ;−1 ⇔ 3  3   . x = 3 ⇒  M (3;3)   2  9 xy ' 2 4   = − Với y = ⇒ y ' = − ⇒    x − 2 (x −2) 3 4 2  y '  (3) = 4 −  2  9  2  9x 1
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M  ; 1
−  là y = −  x −  −1 = − + .  3  4  3  4 2
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M (3;3) là y = −4( x − 3) + 3 = −4x +15.
Câu 2: [ĐVH]. Cho hàm số 3 2
y = 2x − 2x + 5 , có đồ thị (C ) . Tìm M ∈(C ) sao cho tiếp tuyến với
(C) tại M vuông góc với đường thẳng x + 2y −6 = 0. Lời giải: Gọi M ( 3 2 ;
m 2m − 2m + 5) . 3 2 2
y = 2x − 2x + 5 ⇒ y ' = 6x − 4x ⇒ phương trình tiếp tuyến tại M có hệ số góc 2
k = 6m − 4m . x
Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 2 y − 6 = 0 hay y = − + 3 nên 2 2 6m − 4m = 2
m =1⇒ M (1;5)  2
⇔ 6m − 4m − 2 = 0 ⇔  1  −1 127 
m = − ⇒ M  ;   3  3 27 
Câu 3: [ĐVH]. Cho hàm số 4 2
y = x − 4x (C ) . Tìm M ∈(C ) sao cho tiếp tuyến với (C ) tại M đi qua điểm A(0; ) 1 . Lời giải: Gọi M ( 4 2 ; m m − 4m ) .
Phương trình tiếp tuyến qua M có dạng : y = y x m m m m m x m m m m ( − ) 4 2 + − = ( 3 − )( − ) 4 2 ' 4 4 8 + − 4 . 2 m =1 
Tiếp tuyến qua A(0; ) 1 nên 1 = ( 3
4m − 8m)(0 − m) 4 2 4 2
+ m − 4m ⇔ 3m − 4m +1 = 0 ⇔ 1  2 m =  3
m = ±1⇒ M (±1; 3 − )  ⇔  1  1
11  là các điểm cần tìm. m = ± ⇒  M  ± ; −   3  3 9 
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 6x + 5
Câu 4: [ĐVH]. Cho hàm số y =
(C). Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến qua M cắt Ox và x +1
Oy lần lượt tại A và B sao cho OA = 4O . B Lời giải: 6x + 5 1 Ta có y = ⇒ y ' = x +1 (x + ) .2 1  6m + 5  Gọi M  ; m
 là điểm thuộc đồ thị cần tìm.  m +1   6m + 5  1 6m + 5
Phương trình tiếp tuyến tại M ; m   có dạng y = x − m + . 2 ( )  m +1  (m+ )1 m +1  y = 0 
Phương trình giao điểm với Ox:  1 6m + 5 x − m + = 0 2  ( ) (m + ) 1 m +1  y = 0 ⇔  ⇒ A( 2
−6m −10m − 5;0 2 )
x = −6m −10m − 5 x = 0  2   6m +10m + 5
Phương trình giao điểm với Oy:  (0− m) 2 6m + 5
6m +10m + 5 ⇒ B  0; . 2 y = + =     (  +  m + )2 m 1 m + (m+ )2 ( )1 1 1 2
6m +10m + 5 = 0 vo nghiem 2 ( ) 6m +10m + 5  Theo bài 2
OA = 4OB ⇔ 6m +10m + 5 = 4. ⇔ (  m + ) 4 2 1 1 =   (m+ )2 1   11
m = 1 ⇒ M 1;   2  2 m 2m 3 0  ⇔ + − = ⇔   13  m = 3 − ⇒ M  3 − ;    2 
Câu 5: [ĐVH]. Cho hàm số 3
y = x − (m + ) 2 3
1 x + 4x − m +1 (C . Gọi ∆ là tiếp tuyến của (Cm ) m )
tại giao điểm của (C với trục tung. Viết phương trình ∆ biết khoảng cách từ A(2;− ) 1 đến ∆ m ) bằng 34 . Lời giải:
x = 0 ⇒ y = 1 − m suy ra B (0;1− m) là giao điểm của (C với trục tung. m ) Ta có: 2
y ' = 3x − 6x (m + )
1 + 4 ⇒ y '(0) = 4 suy ra phương trình tiếp tuyến của (C đi qua B là: m )
∆ : y − (1− m) = 4(x − 0) ⇔ 4x − y +1− m = 0 − − − + −  = − +
⇒ d ( A ∆) 4.( 2) ( ) 1 1 m m 6 17 2 ; =
= 34 ⇒ m + 6 = 17 2 ⇔  ( )2 2  + − m = −6 −17 2 4 1
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 4x − y + 7 −17 2 = 0 hoặc 4x − y + 7 + 17 2 = 0 . 3x +1
Câu 6: [ĐVH]. Cho hàm số y =
, có đồ thị (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại x −1
điểm x biết x là nghiệm của phương trình y′ + y − 15 = 0 . 0 0 Lời giải:
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 4 4 8 Ta có y = 3 + ⇒ y ' = − ⇒ y = x −1 (x − ) ' 2 1 (x − )3 1 8 4 4 2
Ta có y ' + y −15 = 0 ⇔ + + − = ⇔ + − = ⇔ = ( x − ) 3 15 0 6 0 x 2 3 1 x −1 (x − )3 1 x −1
Ta có y (2) = 7 , y '(2) = −4 suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
y − 7 = −4( x − 2) ⇔ y = −4x +15
Câu 7: [ĐVH]. Cho hàm số 4
y = x − ( m + ) 2 2 2
1 x − m −1 (C . Gọi A là điểm có hoành độ m )
dương mà (C luôn đi qua với mọi m . Viết phương trình tiếp của hàm số tại A khi m = 1. m ) Lời giải: Ta có: 4
y = x − ( m + ) 2 4
x − m − ⇔ y − x = ( m + ) 2 4 2
x − m − ⇔ y − x + x = (m + )( 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 4x − ) 1  1   = 4 2 x0
y − x + 2x = 0  2  1 7 
Gọi A(x , y ta có: 0 0 0  ⇔ 
(Do x > 0 ) ⇒ A ; −  0 0 ) 2  0 4x −1 = 0 7   2 16  0 y = − 0  16  1  11 Khi m = 1 ta có 4 2 3
y = x − 6x − 2 ⇒ y ' = 4x −12x ⇒ y '  = −  2  2 7 11  1  11 37
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y +
= −  x −  ⇔ y = − x + 16 2  2  2 16 x − 2
Câu 8: [ĐVH]. Cho hàm số: y =
(C) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại. x +1
a) Giao điểm của (C ) với trục hoành.
b) Giao điểm của (C ) với trục tung. Lời giải: 3
Ta có: y ' = (x+ )2 1 3 1
a) Phương trình trục hoành là: y = 0 . Do đó y = 0 ⇒ x = 2 . Khi đó: y '( x = = 0 ) 0 0 (x + )2 1 3 0 1 1
Do đó phương trình tiếp tuyến là: y = ( x − 2) + 0 = ( x − 2) . 3 3 3
b) Phương trình trục tung là: x = 0 . Do đó x = 0 ⇒ y = −2 . Khi đó: y '( x = = 3 0 ) 0 0 (x + )2 1 0
Do đó phương trình tiếp tuyến là: y = 3( x − 0) − 2 hay y = 3x − 2 .
Câu 9: [ĐVH]. Cho hàm số 4 2
y = x − 4x +1 (C ) . Viết phương trình tuyến tuyến của (C ) tại điểm
x thoã mãn điều kiện y ' ( x = 4 . 0 ) 0 Lời giải: Ta có: 3
y ' = 4x − 8x suy ra 2
y ' = 12x − 8 .
Do đó: y ' ( x ) 2 2
=12x −8 = 4 ⇔ x =1 ⇔ x = 1 ± . 0 0 0 0 Xét 2 trường hợp:
+) Với x = 1 ⇒ y = −2; y '( x ) 3
= 4x −8x = −4. Do vậy phương trình tiếp tuyến là: 0 0 0 0 0
y = −4( x − ) 1 − 2
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Hay y = 4 − x + 2 . +) Với x = 1
− ⇒ y = −2; y '(x ) 3
= 4x −8x = 4 . Do vậy phương trình tiếp tuyến là: 0 0 0 0 0 y = 4( x + ) 1 − 2
Hay y = 4x + 2 .
Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 4
− x + 2 và y = 4x + 2 .
Câu 10: [ĐVH]. Cho hàm số: 3 2
y = x + x − x + 2 (C ) .
a) Tìm toạ độ giao điểm của (C ) và trục Ox.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại các giao điểm đó. Lời giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và trục Ox là: 3 2
x + x − x + 2 = 0 ⇔ (x + )( 2 2 x − x + ) 1 = 0 ⇔ x = 2
− . Vậy toạ độ giao điểm của (C) và trục Ox là A(−2;0) .
b) Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f '( x
x − x + y . 0 ) ( 0 ) 0
Trong đó ta có: x = 2
− ; y = 0 . f '(x) 2
= 3x + 2x −1⇒ f '(x = f ' 2 − = 7 . 0 ) ( ) 0 0
Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = 7 ( x − 2) . 1
Câu 11: [ĐVH]. Cho hàm số 4 y = x − (m + ) 2
1 x + m − 2 , có đồ thị (C . Tìm m đề tiếp tuyến m ) 2
của (C tại điểm có hoành độ x = 2
− đi qua gốc tọa độ O . m ) Lời giải:
+) TXĐ: D = ℝ . Ta có 3
y′ = 2x − 2 (m + ) 1 x .
+) Tiếp tuyến của (C tại điểm M (−2;−3m + 2) có hệ số góc là k = y′(−2) = 4m − 20 . m )
Khi đó, phương trình tiếp tuyến d tại M là y = (4m − 20)( x + 2) − 3m + 2 .
+) Vì d đi qua gốc tọa độ O nên = ( m − ) 38 0 2 4
20 − 3m + 2 ⇔ 5m − 38 = 0 ⇔ m = . 5 38 Vậy m = là giá trị cần tìm. 5 2x −1
Câu 12: [ĐVH]. Cho hàm số y =
(C). Gọi I là giao điểm 2 tiệm cận của hàm số. Viết x + 2 5
phương trình tiếp tuyến của (C ) qua M ∈ (C ) biết IM =
IO và M có hoành độ dương. 2 Lời giải:
Ta có tiệm cận đứng của (C ) là x = −2 , tiệm cận ngang của (C ) là y = 2 Suy ra I (− ) 2 2; 2 ⇒ IO = 8 .  2m −1  5 5 Gọi M  ; m  . Ta có 2 2 IM = IO ⇒ IM = IO = 10  m + 2  2 4 2 2 (  −   −  ⇒ m + )2 2m 1 +  −  = ⇒ (m + )2 5 2 2 10 2 + 
 = 10 ⇔ (m + 2)2 = 5 ⇒ m = 2 − + 5  m + 2   m + 2  (do x > 0 ) M 5 5 Ta có y = 2 − ⇒ y ' = ⇒ y ' −2 + 5 = 1 2 ( ) x + 2 (x + 2)
Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 2 (−2 + 5) −1 y −
= x − (−2 + 5) ⇔ y −(2 − 5) = x + 2 − 5 ⇔ y = x + 4 − 2 5 5
DẠNG 2. TIẾP TUYẾN CÓ HỆ SỐ GÓC 2x −1
Câu 1: [ĐVH]. Cho hàm số y =
, có đồ thị (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến d của (C ) 3x + 2
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng x − 28 y + 4 = 0 . Lời giải:  −2 
2 (3x + 2) − 3(2x − ) 1 7 +) TXĐ: D = ℝ\   . Ta có: y′ = = .  3  (3x + 2)2 (3x + 2)2  2x 1  − 2 − +) Gọi 0 M x ;  , với x ≠
là tiếp điểm của tiếp tuyến d với đồ thị (C ) . Do d song 0  3x + 2  0 3 0 1 5 1
song với đường thẳng x − 28y +10 = 0 hay y = x + nên y′( x = . Ta có phương trình: 0 ) 28 14 28 x = 4 tm 0 ( ) 7 1 3x + 2 = 14  = ⇔ 3x + 2 =196 ⇔  ⇔  − . 2 ( 0 )2 0 ( 16 3x + 2 28 3x + 2 = −14 x = tm 0 ) 0 0 ( )  3  1  1 1 1 5
+) Với x = 4 ⇒ M  4;  . Phương trình tiếp tuyến d là: y =
(x −4)+ hay y == x + 0  2  28 2 28 14 (loại). −16  −16 5  1  16  5 1 43 +) Với x = ⇒ M
;  . Phương trình d là: y =  x +  + hay y = x + (tm). 0 3  3 6  28  3  6 28 42 1 43 Vậy y = x +
là đường thẳng d cần tìm. 28 42
Câu 2: [ĐVH]. Cho hàm số 3 2
y = 2x − 3x + 5 , có đồ thị (C ) . Tìm M ∈(C ) sao cho tiếp tuyến của
(C) tại M vuông góc với đường thẳng x +12y −7 = 0 . Lời giải:
+) TXĐ: D = ℝ . Ta có: 2
y′ = 6x − 6x . +) Gọi M ( 3 2
x ; 2x − 3x + 5 là điểm cần tìm. Tiếp tuyến d của (C ) tại M có hệ số góc là 0 0 0 ) 2
k = 6x − 6x . 0 0 −1 7
Vì d vuông góc với đường thẳng x +12 y − 7 = 0 hay y = x + nên k = 12 . 12 12 x = 1 − Ta có phương trình 2 2 0
6x − 6x = 12 ⇔ x − x − 2 = 0 ⇔  . 0 0 0 0 x = 2 0 +) Với x = 1 − ⇒ M −1;0 . 0 1 ( )
+) Với x = 2 ⇒ M 2;9 . 0 2 ( ) Vậy M
−1;0 và M 2;9 là các điểm cần tìm. 2 ( ) 1 ( ) 2
Câu 3: [ĐVH]. Cho hàm số 3 2 y =
x − 4x − x +1, có đồ thị (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của 3
(C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 7x + y −1= 0 . Lời giải:
Gọi M ( x ; y là tiếp điểm ⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến là y '( x0 ) 0 0 )
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Ta có 2
y ' = 2x − 8x −1
Theo giả thiết, tiếp tuyến song song với đường thẳng 7x + y −1 = 0 ⇒ y '( x = −7 0 )  11 x = 1
y − y = −7 x −1 y  = 7 − x − 1 0 ( ) 2
⇒ 2x − 8x −1 = 7 − ⇒ (x − ) 1 ( x − 3) = 0 ⇒ 1  ⇒  ⇒ 3 x = 3   y
− y = −7 x − 3 2 0 (
) y = −7x+1 loai 2 ( ) 11
Vậy phương trình tiếp tuyến của (C ) là y = 7 − x − 3 3x − 2
Câu 4: [ĐVH]. Cho hàm số y =
, có đồ thị (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) biết x +1
tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 5x + y −12 = 0 . Lời giải:
Gọi M ( x ; y là tiếp điểm ⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến là y '( x0 ) 0 0 ) 5
Ta có y ' = (x+ )2 1 1
Theo giả thiết, tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 5x + y −12 = 0 ' ⇒ y (x = 0 ) 5  1  1 6 y  − y = x − 4 y  = x + 1 0 ( ) 5 1 x = 4 5 5 5 ⇒ = ⇒ x +1 = 25 ⇒ ⇒  ⇒   2 ( ) 1 2 (x + )1 5 x = 6 −  1  1 26 y − y = x + 6 y = x + 2 0 ( ) 2  5    5 5 1 6 1 26
Vậy phương trình tiếp tuyến của (C ) là y = x + ; y = x + 5 5 5 5 2 x − 2m
Câu 5: [ĐVH]. Cho hàm số y =
, có đồ thị (C . Tìm m đề tiếp tuyến của (C tại giao m ) m ) x + m
điểm của đồ thị hàm số với trục tung song song với đường thẳng 5x − y +17 = 0 . Lời giải:
Gọi M ( x ; y là tiếp điểm ⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến là y '( x0 ) 0 0 ) (x + m)−( 2 m + 2m ) 2 m + 2m Ta có y = ⇒ y ' = x + m (x + m)2
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là nghiệm của phương trình: x = 0  2  ⇒ x − = 0 x 2m
⇒ M (x ; y = M 0; y 0 0 ) ( 0) 0  y =  x + m
Phương trình tiếp tuyến của (C song song với đường thẳng 5x − y +17 = 0 . m ) m = 0 +  ⇒ y (x ) 2 2m m ' 2 = 5 ⇒
= 5 ⇒ 3m − m = 0 ⇒ 0 1 2 mm =  3
Khi m = 0 ⇒ y không có giá trị. ⇒ Loại 0 1 2 2 Khi m = ⇒ '
y − y = y x
x − x ⇒ y +
= 5 x − 0 ⇒ y = 5x − 0 ( 0)( 0 ) ( ) 3 3 3
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 1 Vậy m = 3 1
Câu 6: [ĐVH]. Cho hàm số 4 y = x + (m − ) 2
1 x − 4m + 3 , có đồ thị (C . Tìm m m đề tiếp tuyến m ) 8
của (C tại tại điểm A vuông góc với đường thẳng 2x + y + 3 = 0 , ở đó A là điểm cố định có m )
hoành độ âm của hàm số đã cho. Lời giải:
Gọi A( x ; y là tiếp điểm ⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến là y '( x0 ) 0 0 ) 3 1 x Ta có 4 y = x + (m − ) 2 '
1 x − 4m + 3 ⇒ y ( x) = + 2(m − ) 1 x 8 2
A là điểm cố định có hoành độ âm của hàm số đã cho nên 1  xy =
x + m −1 x − 4m + 3 ⇒ m x − 4 + 
− x − y + 3 = 0 0 0 ( ) 0 ( 0 ) 4 4 2 2 0 2 0 0 8  8  2 x = 4 0  x = −2 0 4 ⇒    ⇒  ⇒ A −2;1 x0 2 ( )  
− x − y + 3 = 0  y = 1 0 0 0  8  
Đề tiếp tuyến của (C tại tại điểm A vuông góc với đường thẳng 2x + y + 3 = 0 m ) x ⇒ y '(x ) 3 1 1 0 = ⇒ + 2 m −1 x = 1 ⇒ m = − 0 ( ) 0 2 2 2 8 1 9 7 Thử lại, ta có 4 2 y = x − x + , 8 8 2 3  2 1  −   1 1
PT tiếp tuyến: y −1 = 
+ 2− −1.− 2(x + 2) ⇒ y −1= (x + 2) ⇒ y = x + 2  2  8   2 2 1
Vậy m = − là giá trị cần tìm. 8
Câu 7: [ĐVH]. Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + 2 , có đồ thị (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C )
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng đi qua 2 điểm A(0;3), B (1;−6) . Lời giải:
Gọi M ( x ; y là tiếp điểm ⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến là ' y ( x0 ) 0 0 ) Ta có 3 2 ' 2
y = x − 3x + 2 ⇒ y = 3x − 6x
Tiếp tuyến đi qua 2 điểm A(0;3), B (1;−6) thì hệ số góc của tiếp tuyến là y − y −6 − 3 ' ⇒ y ( B A x = = = −9 0 ) x − x 1− 0 B Ax = −1
y − y = −9 x +1
y = −9x −11 2
⇒ 3x − 6x = −9 ⇒ x +1 x − 3 = 0 ⇒ ⇒  ⇒   0 0 ( )( ) 1 0 ( ) 1 x = 3  y
− y = −9 x − 3
y = −9x + 29 2 0 ( ) 2 ⇒ y = 9
− x −11; y = −9x + 29
Vậy phương trình tiếp tuyến của (C ) y = −9x −11; y = 9 − x + 29 −x −1
Câu 8: [ĐVH]. Cho hàm số y =
(C) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến x −1 có hệ số góc bằng 2 .
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Lời giải: 2
Ta có: f '( x) = (
. Vì tiếp tuyến có hệ số góc k = 2 nên ta có: f '( x = 2 0 ) x − )2 1 2 x = 0 ⇔
= 2 ⇔ x −1 =1 ⇔  2 ( 0 )2 0 (x − )1 x = 2 0 0
+) Với x = 0 ⇒ y = 1. Phương trình tiếp tuyến là: y = 2( x − 0) +1 hay y = 2x +1. 0 0
+) Với x = 2 ⇒ y = 3
− . Phương trình tiếp tuyến là: y = 2(x − 2) −3 hay y = 2x − 7 . 0 0
Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến là: y = 2x +1 và y = 2x − 7 .
Câu 9: [ĐVH]. Cho hàm số: 3 2
y = x − 3x − 4 (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) biết tiếp
tuyến song song với đường thẳng d : y = 9x + 5 Lời giải:
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = 9 . x = −1 Ta có: f ( x) 2 '
= 3x − 6x . Xét phương trình: f '(x = 3x − 6x = 9 ⇔ 3x − 6x −9 = 0 ⇔  0 ) 2 2 0 0 0 0 0 x = 3 0 +) Với x = 1
− ⇒ y = −8. Phương trình tiếp tuyến là: y = 9(x + )
1 − 8 hay y = 9x +1 (t / m) . 0 0
+) Với x = 3 ⇒ y = 4
− . Phương trình tiếp tuyến là: y = 9(x −3) − 4 hay y = 9x −31(t / m) . 0 0
Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến là: y = 9x +1 và y = 9x − 31.
Câu 10: [ĐVH]. Cho hàm số: 3 2
y = x + 3x − 4 (C) .
a) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C ) tại điểm có hoành độ x = −3. 0
b) Với đường thẳng d ở câu a hãy viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C ) biết tiếp tuyến song
song với đường thẳng d. Lời giải: Ta có : f ( x) 2 ' = 3x + 6x
a) Ta có: x = 3
− ⇒ y = −4 , f '(x = f ' −3 = 9 0 ) ( ) 0 0
Do vậy phương trình tiếp tuyến là: y = 9( x + 3) − 4 hay y = 9x + 23 (d ) . x = 1
b) Do ∆ / /d ⇒ k = k = 9 2 = + = ⇔ ∆
. Xét phương trình f '( x 3x 6x 9  0 ) 0 d 0 0 x = 3 − 0 +) Với x = 3
− ⇒ y = −4 ( loại vì khi đó ∆ trùng với d ). 0 0
+) Với x = 1 ⇒ y = 0 . Phương trình tiếp tuyến là: y = 9( x − ) 1 . 0 0
Câu 11: [ĐVH]. Cho hàm số: 4 2
y = x − 4x +1 (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) biết tiếp
tuyến vuông góc với đường thẳng d : x +16 y − 4 = 0 . Lời giải: 1 − 1 1 −
Viết lại đường thẳng d ta có: d : y = x +
suy ra hệ số góc của d là k = . 16 4 d 16
Vì tiếp tuyến của (C ) vuông góc với đường thẳng d nên ta có hệ số góc của tiếp tuyến là k = 16 .
Xét phương trình f '( x ) 3 3 = 4
− ⇔ 4x − 8x =16 ⇔ x − 2x − 4 = 0 ⇔ x = 2 ⇒ y =1. 0 0 0 0 0 0 0
Do vậy phương trình tiếp tuyến là: y = 16( x − 2) +1 hay y = 16x − 31.
DẠNG 3. TIẾP TUYẾN ĐI QUA MỘT ĐIỂM 2x +1
Câu 1: [ĐVH]. Cho hàm số y =
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C). x −1
a) Tại điểm có hoành độ x = 2 .
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
b) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(4;− ) 1 . Lời giải: −3
Ta có: f '( x) = ( . x − )2 1
a) Ta có : x = 2 ⇒ y = 5 ⇒ f ' x = f ' 2 = −3. 0 0 ( 0) ( )
Do vậy phương trình tiếp tuyến là: y = −3( x − 2) + 5 hay y = −3x +11  2x 1  +
b) Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm 0 M x ;  ∈ C là: 0 ( )  x −1  0 −3 2x +1 y = x − x + . 2 ( 0 ) 0 (x − )1 x −1 0 0 3 − 2x +1
Vì tiếp tuyến đi qua A(4;− ) 1 nên ta có: −1 = 4 − x + 2 ( 0 ) 0 (x − )1 x −1 0 0 3( x − 4 2x +1 x −1 x = 2 0 ) ( 0 )( 0 ) ⇔ −1 = +
⇔ − x −1 = 2x + 2x −11 ⇔ 3x =12 ⇔  2 2 ( 0 )2 2 2 0 (x − )1 (x − ) 0 0 0 1 x = −2 0 0 0
+) Với x = 2 ta có phương trình tiếp tuyến là: y = −3( x − 2) + 5 hay y = −3x +11 0 1 −1 1 +) Với x = 2
− ta có phương trình tiếp tuyến là: y = − (x + 2) +1 hay y = x + 0 3 3 3
Câu 2: [ĐVH]. Cho hàm số: 3
y = x − 2x + 2 (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) .
a) Tại điểm có hoành độ x = 0 .
b) Biết tiếp tuyến đi qua gốc toạ độ O. Lời giải: Ta có: 2 y ' = 3x − 2
a) Ta có: x = 0 ⇒ y = 2 và y '( x = y ' 0 = −2 . 0 ) ( ) 0 0
Do vậy phương trình tiếp tuyến là: y = −2( x − 0) + 2 hay y = 2 − x + 2 .
b) Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm M ( 3
x ; x − 2x + 2 ∈ C 0 0 0 ) ( ) là: y = ( 2
3x − 2)( x − x ) 3 + x − 2x + 2 . 0 0 0 0
Vì tiếp tuyến đi qua O (0;0) nên ta có: 0 = ( 2
3x − 2)(0 − x ) 3 + x − 2x + 2 0 0 0 0 3 ⇔ 2
− x + 2 = 0 ⇔ x =1 0 0
Với x = 1 ta có phương trình tiếp tuyến là: y = x . 0
Câu 3: [ĐVH]. Cho hàm số: 4 2
y = x − 3x (C) . Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi qua
a) Gốc toạ độ O (0;0) .
b) Qua điểm A(−36;0) Lời giải: Gọi M ( 4 2
x ; x − 3x
là toạ độ tiếp điểm. 0 0 0 )
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y = ( 3
4x − 6x )( x − x ) 4 2 + x − 3x 0 0 0 0 0
a) Vì tiếp tuyến đi qua O (0;0) nên ta có: 0 = ( 3
4x − 6x )(0 − x ) 4 2 + x − 3x 0 0 0 0 0 x = 0 4 2 2 ⇔ 3
− x + 3x = 0 ⇔ x ( 2x −1 = 0 ⇔  0 0 0 0 ) 0 x = ±1 0
+) Với x = 0 phương trình tiếp tuyến là: y = 0 . 0
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
+) Với x = 1 phương trình tiếp tuyến là: y = −2( x − )
1 − 2 hay y = −2x . 0
+) Với x = −1phương trình tiếp tuyến là: y = 2( x + )
1 − 2 hay y = 2x . 0
b) Vì tiếp tuyến đi qua O (0;0) nên ta có: −36 = ( 3
4x − 6x )(0 − x ) 4 2 + x − 3x 0 0 0 0 0 t = 4 4 2 4 2 ⇔ 3
− x + 3x = −36 ⇔ x − x −12 = 0. Đặt 2 t = x t ≥ 0 ta có: 2
t − t −12 = 0 ⇔  0 ( ) 0 0 0 0 t  = −3 (loai) Khi đó 2 x = 4 ⇔ x = 2 ± . 0 0
• Với x = 2 phương trình tiếp tuyến là: y = 20(x − 2) + 4 hay y = 20x −36 0 • Với x = 2
− phương trình tiếp tuyến là: y = −20(x + 2) + 4 hay y = −20x −36 0
Câu 4: [ĐVH]. Cho hàm số: 3
y = x − 3x (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) biết tiếp tuyến
đi qua điểm A(1;−3) . Lời giải: Ta có 2 y ' = 3x − 3
Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm M ( 3
x ; x − 3x là: y = ( 2
3x − 3 x − x + x − 3x 0 )( 0) 3 0 0 0 ) 0 0
Vì tiếp tuyến đi qua điểm A(1;−3) nên ta có: −3 = ( 2
3x − 3)(1− x ) 3 + x − 3x 0 0 0 0 x = 0 0 3 2  ⇔ 2
− x + 3x = 0 ⇔ 0 0 3 x = 0  2
• Với x = 0 phương trình tiếp tuyến là: y = −3x 0 • 3 15  3  9 15x 27 Với x =
phương trình tiếp tuyến là: y =
x −  − hay y = − . 0 2 4  2  8 4 4 15x 27
Vây có 2 phương trình tiếp tuyến thoã mãn là: y = −3x hoặc y = − . 4 4
Câu 5: [ĐVH]. Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + 2 , có đồ thị (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C )
biết tiếp tuyến đi qua M (1;0) . Lời giải: Ta có: 2
y ' = 3x − 6x
Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm A( 3 2
x ; x − 3x + 2 là: 0 0 0 ) y = ( 2
3x − 6x )( x − x ) 3 2 + x − 6x + 2 0 0 0 0 0
Vì tiếp tuyến đi qua điểm M (1;0) nên ta có: 0 = ( 2
3x − 6x )(1− x ) 3 2 + x − 3x + 2 0 0 0 0 0 2 3 3 2 3 2
⇔ 9x − 3x − 6x + x − 3x + 2 = 0 ⇔ 2
− x + 6x − 6x + 2 = 0 ⇔ x =1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Với x = 1 phương trình tiếp tuyến là: y = −3( x − )
1 hay y = −3x + 3 0
Vây có phương trình tiếp tuyến thoã mãn là: y = −3x + 3 2x +1
Câu 6: [ĐVH]. Cho hàm số y =
, có đồ thị (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) biết x − 2
tiếp tuyến đi qua M (2;−5) . Lời giải: 2 ( x − 2) + 5 5 5 Ta có: y = = 2 + ⇒ y ' = − x − 2 x − 2 (x − 2)2
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95  5  5 5
Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm Ax ;2 +  là: y = − x − x + 2 + 2 ( 0 ) 0  x − 2  (x − 2) x − 2 0 0 0 5 5
Vì tiếp tuyến đi qua điểm M (2;−5) nên ta có: −5 = x − 2 + 2 + 2 ( 0 ) (x − 2) x − 2 0 0 10 4 ⇔ = −7 ⇔ x = 0 x − 2 7 0 4 49  4  3 49x 1 Với x =
phương trình tiếp tuyến là: y = −
x −  − hay y = − − . 0 7 20  7  2 20 10 49x 1
Vây có phương trình tiếp tuyến thoã mãn là: y = − − 20 10
Câu 7: [ĐVH]. Cho hàm số 3 2
y = x − 6x + 9x −1, có đồ thị (C ) . Tìm M ∈(C ) sao cho tiếp tuyến
của (C ) tại M đi qua điểm M (0;3) . Lời giải: Ta có: 2
y ' = 3x −12x + 9
Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm A( 3 2
x ; x − 6x + 9x −1 là: 0 0 0 0 ) y = ( 2
3x −12x + 9)( x − x ) 3 2
+ x − 6x + 9x −1 0 0 0 0 0 0
Vì tiếp tuyến đi qua điểm M (0;3) nên ta có: 3 = ( 2
3x −12x + 9)(0 − x ) 3 2
+ x − 6x + 9x −1 0 0 0 0 0 0 x = 1 0  3 2 3 2 3 2 ⇔ 3
− x +12x −9x + x − 6x + 9x = 4 ⇔ 2
− x + 6x − 4 = 0 ⇔ x =1+ 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0  x = 1− 3 0
• Với x =1 phương trình tiếp tuyến là: y = 0(x − ) 1 + 3 hay y = 3 0
• Với x = 1+ 3 phương trình tiếp tuyến là: y = (9−6 3)(x −1− 3)−6+3 3 hay 0
y = (9 − 6 3) x + 3
• Với x = 1− 3 phương trình tiếp tuyến là: y = (9+ 6 3)(x −1+ 3)−6−3 3 hay 0
y = (9 + 6 3) x + 3
Vây có 3 phương trình tiếp tuyến thoã mãn là: y = 3 ; y = (9 − 6 3) x + 3 và y = (9 − 6 3) x + 3
Câu 8: [ĐVH]. Cho hàm số 3 2
y = x − 2mx + (m + 2) x +1, có đồ thị (C . Tìm m đề tiếp tuyến của m )
(C tại điểm có hoành độ x = 1
− đi qua điểm M (−2;3) . m ) Lời giải: Ta có: 2
y ' = 3x − 4mx + m + 2
Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm A(−1; 1
− − 2m − (m + 2) + ) 1 hay A(−1; 3 − m − 2) là: y = ( 2
3x − 4mx + m + 2 x − x − 3m − 2 ⇔ y = ( 3
− + 4m + m + 2)(x + ) 1 − 3m − 2 0 0 )( 0)
⇔ y = (5m − ) 1 x + 2m − 3
Vì tiếp tuyến đi qua điểm M (−2;3) nên ta có: = − ( m − ) 1 3 2. 5
1 + 2m − 3 ⇔ m = − 2
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 1 7 Với m = −
phương trình tiếp tuyến là: y = − x − 4 2 2 1 Vây m = − 2 3 − x
Câu 9: [ĐVH]. Cho hàm số y =
, (C) . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị biết tiếp tuyến 2x +1
a) Tại giao điểm của đồ thị và đường thẳng d : 2x + y − 3 = 0
b) Song song với đường thẳng AB biết A(0; ) 1 , B (1;−6) Lời giải: −7
Ta có: f '( x) = (2x+ )2 1
a) Viết lại đường thằng d: y = 2 − x + 3 .  −1 3 − xx ≠
Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có: −2x + 3 = ⇔  2 2x +1 (2x  + )
1 (−2x + 3) = 3 − x  1 x = 0 x ≠ −  ⇔  2 ⇔ 5   = 2 x
−4x + 5x = 0  4
+) Với x = 0 ⇒ y = 3 ⇒ f ' 0 = −7 . Phương trình tiếp tuyến là: y = −7 ( x − 0) + 3 hay 0 0 ( ) y = 7 − x + 3 . 5 1  5  4 4 −  5  1 +) Với x =
⇒ y = ⇒ f '  = − . Phương trình tiếp tuyến là: y =  x −  + 0 0 4 2  4  7 7  4  2 4 − x 17 Hay y = + . 7 14
b) Ta có: AB = (1;−7) ⇒ n = (7; )
1 . Phương trình đường thẳng AB là: 7x + y −1 = 0 hay AB y = −7x +1
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng AB nên ta có: k = 7 − tt 7 2x +1 = 1  − x = 0
Xét phương trình f '( x ) = 7 − ⇔
= −7 ⇔ 2x +1 =1 ⇔  ⇔  2 ( 0 )2 0 0 0 (2x + )1 2x +1 = 1 − x = −1 0 0 0
+) Với x = 0; y = 3; f ' x = 7
− . Phương trình tiếp tuyến là: y = 7 − x + 3 0 0 ( 0 ) +) Với x = 1 − ⇒ y = 4 − ; f '(− )
1 = −7 . Phương trình tiếp tuyến là: y = −7 ( x + ) 1 − 4 hay 0 0
y = −7x −11. 2x +1
Câu 10: [ĐVH]. Cho hàm số y =
, (C) . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị biết tiếp x −1 tuyến
a) Tại giao điểm của đồ thị và đường thẳng d : 2x − y +1 = 0
b) Tiếp tuyến có hệ số góc k = −3
c) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d ' : x −12 y + 3 = 0 Lời giải: −3
Ta có f '( x) = ( . x − )2 1
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 a) Viết lại d : y = 2x +1. Xét phương trình hoành độ giao điểm:  1 2x +1 2x +1 = 0 x  = − = 2x +1 ⇔  ⇔ 2 . x −1 x 1 1  − = x = 2 1 1  1  4 +) Với x = −
⇒ y = 0 ; x = − ⇒ y = 0; f ' −  = − . Phương trình tiếp tuyến là 0 0 2 0 0 2  2  3 4  1 
y = −  x +  . 3  2 
+) Với x = 2 ⇒ y = 5 ; f '(2) = −3. Phương trình tiếp tuyến là y = −3( x − 2) + 5 hay 0 0 y = −3x +11 . 3  − x = 0
b) Ta có: k = f '( x ) = = 3
− ⇔ x −1 =1 ⇔  . 2 ( 0 )2 0 0 (x − )1 x = 2 0 0
+) Với x = 0 ⇒ y = −1 . Phương trình tiếp tuyến là: y = 3 − x −1. 0 0
+) Với x = 2 ⇒ y = 5 . Phương trình tiếp tuyến là: y = −3( x − 2) + 5 hay y = −3x +11. 0 0 1 3 1
c) Viết lại phương trình d ' : y = x + có k = . 12 12 d ' 12
Do tiếp tuyến vuông góc với d ' nên ta có: k = −12 tt  1 x  = 3 − 1 2 Xét phương trình
= −12 ⇔ x −1 = ⇔  2 ( 0 ) 0 2 (x −1 4  3 0 ) x = 0  2 1  1  +) Với x = ⇒ y = 4
− . Phương trình tiếp tuyến là: y = −12 x −  − 4 hay y = 1 − 2x + 2 . 0 0 2  2  3  3  +) Với x =
⇒ y = 8. Phương trình tiếp tuyến là: y = −12 x −  + 8 hay y = −12x + 26 . 0 0 2  2 
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
CHỦ ĐỀ 2. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
DẠNG 1. TƯƠNG GIAO HÀM BẬC BA
Câu 1: [ĐVH]. Cho hàm số 3
y = x − (m + ) 2 3 x + (3m + )
1 x − 3 , có đồ thị là (C ) . Tìm m để (C )
giao Ox tại 3 điểm phân biệt. Lời giải :
Phương trình hoành đọ giao điểm x = 3 3 x − (m + 3) 2 x + (3m + )
1 x − 3 = 0 ⇔ ( x − 3)( 2 x − mx + ) 1 = 0 ⇔ g  ( x) 2
= x − mx +1 = 0
Để (C ) giao Ox tại 3 điểm phân biệt thì phương trình g ( x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 3
m > 2, m < −2 2 ∆ > 0 m − 4 > 0  ⇔  ⇔  ⇔  g  ( ) 10 3 ≠ 0 1  0 − 3m ≠ 0 m ≠  3    
Vậy m ∈ (−∞ − ) 10 10 ; 2 ∪  2;  ∪  ; +∞   3   3 
Câu 2: [ĐVH]. Cho hàm số 3 2
y = 2x − 5x − 2 (2m − )
1 x + 6m −1, có đồ thị là (C ) và đường thẳng
d : y = x − 4 . Tìm m để (C ) giao d tại 3 điểm phân biệt, trong đó có đúng hai điểm có hoành độ dương. Lời giải :
Phương trình hoành độ giao điểm 3 2
2x − 5x − 2 (2m − ) 3 2
1 x + 6m − 1 = x − 4 ⇔ 2x − 5x − (4m − ) 1 x + 6m + 3 = 0  3 ⇔ ( x  = 2x − 3)( 2
x − x − 2m − ) 1 = 0 ⇔ 2  g  ( x) 2
= x − x − 2m −1 = 0 3 Ta có x =
> 0 nên để (C) giao d tại 3 điểm phân biệt, trong đó có đúng hai điểm có hoành độ 2 3
dương thì phương trình g ( x) = 0 có 2 nghiệm trái dấu khác 2  1 P < 0  2 − m −1 < 0 m  > −    2 ⇔   3  ⇔  1 ⇔  g    ≠ 0 − − 2m ≠ 0 1    2   4 m ≠ −  8  1 1   1 
Vậy m ∈  − ; −  ∪  − ; +∞   2 8   8 
Câu 3: [ĐVH]. Cho hàm số 3
y = 2x − 6x − 7 , có đồ thị là (C ) và đường thẳng d : y = 2m − 5 . Tìm
m để (C ) giao d tại 2 điểm phân biệt. Lời giải :
Phương trình hoành độ giao điểm : 3
x − x − = m − ⇔ g ( x) 3 2 6 7 2 5
= 2x − 6x − 2m − 2 = 0
x = 1 ⇒ y = −2m − 6 Ta có g '( x) 2
= 6x − 6; g '(x) = 0 ⇔ x = −1⇒ y = 2−2m
Để (C ) giao d tại 2 điểm phân biệt thì hàm số y = g ( x) phải có cực trị và y .y = 0 CD CT
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 ⇔ (  = −
− m − )( − m) m 3 2 6 2 2 = 0 ⇔ m =1
Vậy m = 1 hoặc m = 3 −
Câu 4: [ĐVH]. Cho hàm số 3
y = x − ( m + ) 2 3
1 x + 3mx + 6m −1 , có đồ thị là (C ) và đường thẳng
d : y = 4x − 5 . Tìm m để (C ) giao d tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x , x , x thỏa mãn 1 2 3 2 2 2
x + x + x = 18 . 1 2 3 Lời giải :
Phương trình hoành độ giao điểm 3 x − (3m + ) 2 3
1 x + 3mx + 6m −1 = 4x − 5 ⇔ x − (3m + ) 2
1 x + (3m − 4) x + 6m + 4 = 0 ⇔ ( x = x − 2) 2 2 x  − (3m − )
1 x − 3m − 2 = 0 ⇔ g  ( x) 2
= x − (3m − )
1 x − 3m − 2 = 0
Đề (C ) giao d tại 3 điễm phân biệt thì phương trình g ( x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2 2 9
m + 6m + 9 > 0,∀ ∆ > 0 m  4 ⇔  ( ) ⇔  4 ⇔ m ≠ g 2 ≠ 0 m ≠ 9  9
x + x = 3m −1
Giả sử x = 2 thì x , x là 2 nghiệm của phương trình g ( x) 1 2 = 0 ⇒  3 1 2 x x = 3 − m − 2 1 2 Ta có :
x + x + x = 18 ⇔ ( x + x )2 − 2x x + x = 18 ⇔ (3m − )2 2 2 2 2 1
+ 2 3m + 2 + 4 = 18 ⇔ m = ±1 1 2 3 1 2 1 2 3 ( ) Vậy m = 1 ± là giá trị cần tìm.
Câu 5: [ĐVH]. Cho hàm số 3
y = x + ( − m) 2 1 3
x − 4mx − m + 2 , có đồ thị là (C ) và đường thẳng
d : y = −2x . Tìm m để (C ) giao d tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 1. Lời giải :
Phương trình hoành độ giao điểm 3 x + (1− 3m) 2 3
x − 4mx − m + 2 = −2x ⇔ x + (1− 3m) 2
x + (2 − 4m) x − m + 2 = 0 ⇔ ( + ) x = − x 1 ( 1 2
x − 3mx − m + 2) = 0 ⇔ g  ( x) 2
= x − 3mx − m + 2 = 0
Để (C ) giao d tại 3 điễm phân biệt thì phương trình g ( x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác −1  2 − + 2 19 −2 − 2 19  > < 2 m , ∆ > 0 m 9
m + 4m − 8 > 0  9 9 ⇔  ⇔  ⇔  g  (− ) (*) 1 ≠ 0 2m + 3 ≠ 0  3 m ≠ −  2
x + x = 3m
Gọi x , x là 2 nghiệm của phương trình g ( x) 1 2 = 0 ⇒  1 2
x x = −m + 2 1 2 x < 1
x + x < 2
x + x < 2 3  m < 2 1 1 2 1 2 2 ⇒  ⇔  ⇔  ⇔  ⇔ m < x < 1  x  −1 x −1 > 0 x x
− x + x +1 > 0
−m + 2 − 3m + 1 > 0 3 2 ( 1 )( 1 ) 1 2 ( 1 2 )  3   3 2 
Kết hợp với điều kiện (*) , vậy m ∈  − ; ∞ −  ∪  − ;   2   2 3 
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Câu 6: [ĐVH]. Cho hàm số 3
y = x − ( m + ) 2 x + ( 2 m + m) 2 2 1 3
x − m (C ) và đường thẳng
d : y = −x + m . Tìm m để (C ) giao d tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x , x , x thỏa mãn 1 2 3 3 3 3
x + x + x = 10 . 1 2 3 Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm 3 x − (2m + ) 2 1 x + ( 2 m + 3m) 2 3
x − m = −x + m ⇔ x − (2m + ) 2 1 x + ( 2 m + 3m + ) 2
1 x − m − m = 0 ⇔ (  = x − ) x 1 2 1 x  − (2m + ) 2
1 x + m + m = 0 ⇔ g  ( x) 2 = x − (2m + ) 2
1 x + m + m = 0
Để (C ) giao d tại 3 điễm phân biệt thì phương trình g ( x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1  0 ( ∆ >  2m + )2 1 − 4( 2 m + m) > 0 1  > 0 ⇔  ⇔  ⇔  ⇔ ≠ g  ( ) m {1; } 0 2 1 ≠ 0 
m ≠ 0, m ≠ 1 m − m ≠ 0  2m + 1 + 1 x  = = m +1 2
Ta có: g ( x) = 0 ⇒  2m +1−1 x = = m  2
Giả sử x = 1, x = ,
m x = m +1 ta có 1 2 3 3 Khi đó 3 + m + (m + ) 3 2 =
⇔ m + m + m − = ⇔ (m − )( 2 1 1 10 2 3 3 8 0
1 2m + 5m + 8) = 0 ⇔ m = 1
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
Câu 7: [ĐVH]. Cho hàm số 3
y = x − (m + ) 2
1 x + 2mx + 1 , có đồ thị là (C ) và đường thẳng
d : y = −x + 1 . Tìm m để (C ) giao d tại 3 điễm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 1 . Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm 3 x − ( x + ) 2 3
1 x + 2mx + 1 = −x + 1 ⇔ x − (m + ) 2 1 x + (2m + ) 1 x = 0 x = 0 2 ⇔ x x  − (m + )
1 x + 2m + 1 = 0 ⇔ g  ( x) 2 = x − (m + ) 1 x + 2m + 1 = 0
Để (C ) giao d tại 3 điễm phân biệt thì phương trình g ( x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ∆ > (    − − > > + < −
m + ) − ( m + ) 2 2 m 6m 3 0 m 3 2 3, m 3 2 3 0 1 4 2 1 > 0   ⇔  ⇔  ⇔  ⇔  g  (0) (* 1 1 ) ≠ 0 2m +1 ≠ 0 m ≠ − m ≠ −  2  2
x + x = m +1
Gọi x , x là 2 nghiệm của phương trình g ( x) 1 2 = 0 ⇒  1 2 x x = 2m +1 1 2 x < 1
x + x < 2
x + x < 2 m +1 < 2 1 1 2 1 2 ⇒  ⇔  ⇔  ⇔  ⇔ −1 < m < 1 x < 1  x  −1 x −1 > 0 x x
− x + x +1 > 0
2m + 1 − m −1 + 1 > 0 2 ( 1 )( 2 ) 1 2 ( 1 2 )  1   1 
Kết hợp với điều kiện (*) , vậy m ∈  −1;−  ∪  − ;3 − 2 3   2   2 
Câu 8: [ĐVH]. Cho hàm số: y = ( x − )( 2 1 x + mx + ) 1 (C ) .
a) Tìm m để đồ thị (C ) cắt trục Ox tại 1 điểm duy nhất.
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
b) Tìm m để đồ thị (C ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x ; x ; x thoã mãn 1 2 3 2 2 2
x + x + x = 10 . 1 2 3 Lời giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và trục Ox là: ( x − )( 2 1 x + mx + ) 1 = 0 x = 1 ⇔ g(x) 1 2 ( ) = x + mx +1 = 0
Đồ thị (C ) cắt trục Ox tại 1 điểm duy nhất ⇔ ( )
1 có nghiệm duy nhất là x = 1 .
TH1: PT : g ( x) = 0 vô nghiệm 2
⇔ ∆ ( ) = m − 4 < 0 ⇔ −2 < m < 2. g x ∆ =  g ( x) 2 0 m − 4 = 0
TH2: PT : g ( x) = 0 có nghiệm kép x = 1 ⇔  ⇔  ⇔ = − . g  ( ) m 2 1 = 0 m + 2 = 0
Kết luận: Vậy −2 ≤ m < 2 là giá trị cần tìm.
b) ) Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và trục Ox là: ( x − )( 2 1 x + mx + ) 1 = 0 x = 1 3 ⇔ g(x) 1 2 ( ) = x + mx +1 = 0
Đồ thị (C ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔ ( )
1 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ g ( x) = 0 có 2 nghiệm 2 2
∆ = m − 4 > 0 m > 4
phân biệt và 2 nghiệm đó khác 1 ⇔  ⇔  . g  ( ) 1 ≠ 0 m + 2 ≠ 0
x + x = −m
Khi đó cho x = 1 và x ; x là nghiệm của PT g ( x) = 0 . Theo định lý Viet ta có: 1 2  . 3 1 2 x x = 1 1 2 Theo đề bài ta có:
x + x + x = 10 ⇔ ( x + x )2 2 2 2 2 2
− 2x x = 9 ⇔ m − 2 = 9 ⇔ m =11 ⇔ m = ± 11 tm 1 2 3 1 2 1 2 ( )
Vậy m = ± 11 là giá trị cần tìm.
Câu 9: [ĐVH]. Cho hàm số: y = ( x − )( 2
2 2x + 2mx − m − ) 1 (C ) .
a) Tìm m để đồ thị (C ) cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt.
b) Tìm m đề đồ thị (C ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x ; x ; x thoã mãn : 1 2 3 2 2 2
A = x + x + x + x x x = 8 1 2 3 1 2 3 Lời giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và trục Ox là: ( x − )( 2
2 2x + 2mx − m − ) 1 = 0 . x = 2 ⇔ g  ( x) 1 2 ( )
= 2x + 2mx − m −1 = 0
Để đồ thị (C ) cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt ⇔ ( ) 1 có 2 nghiệm phân biệt. 2
∆ ' = m + 2(m + ) 1 = 0
TH1: g ( x) = 0 có 1 nghiệm duy nhất và nghiệm đó khác 2 ⇔  (vn). g  (2) ≠ 0 2
∆ ' = m + 2(m + ) 1 > 0
TH2: g ( x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt và 1 trong 2 nghiệm bằng 2 ⇔ g
 (2) = 8 + 4m − m −1 = 0 7 − ⇔ m = là giá trị cần tìm. 3
b) Để đồ thị (C ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔ ( ) 1 có 3 nghiệm phân biệt
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 2
∆ ' = m + 2(m + ) 1 > 0 ⇔ 
(*) . Khi đó gọi x = 2 và x ;x là nghiệm của PT g(x) = 0. 3 1 2 g  (2) = 7 + 3m ≠ 0
x + x = −m 1 2  Theo Viet ta có :  −m −1 x x = 1 2  2 2 Theo bài ra ta có: 2 2
A = x + x + 4 + 2x x = ( x + x ) 2
+ 4 = 8 ⇔ m + 4 = 8 ⇔ m = 2 ± tm . 1 2 1 2 1 2 ( )
Vậy m = ±2 là giá trị cần tìm.
Câu 10: [ĐVH]. Cho hàm số : 3
y = x − mx + m −1 (C) . Tìm m để đồ thị (C ) cắt trục Ox tại 3 điểm 1 1 1
phân biệt có hoành độ x ; x ; x thoã mãn: A = + + = 2 . 1 2 3 x x x 1 2 3 Lời giải :
Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và trục Ox là : 3
x − mx + m −1 = 0 x =
⇔ x −1− m(x − ) 1 = 0 ⇔ ( x − )
1 ( x + x +1− m) 1 3 3 2
= 0 ⇔ g(x) 1 2 ( )
= x + x +1− m = 0
Để đồ thị (C ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔ ( ) 1 có 3 nghiệm phân biệt
∆ =1− 4(1− m) = 4m −3 > 0 ⇔  . g  ( ) (*) 1 = 3 − m ≠ 0
Khi đó Khi đó gọi x = 1 và x ; x là nghiệm của PT g ( x) = 0 3 1 2 x + x = −1 1 1 x + x −1 Theo Viet ta có: 1 2  . Do vậy 1 2 A = + +1 = +1 =
+1 = 2 ⇔ m = 2 (tm) x x = 1− m x x x x 1− m 1 2 1 2 1 2
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Câu 11: [ĐVH]. Cho hàm số 3
y = x + mx + m +1 (C ) . Tìm m để đồ thì (C ) cắt trục Ox tại 3 điểm
phân biệt có hoành độ x ; x ; x thoả mãn A = x x x ( 2 2 2 x + x + x = 4. 1 2 3 1 2 3 ) 1 2 3 Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và trục Ox là 3
x + mx + m +1 = 0 x = −
⇔ x +1+ m(x + ) 1 = 0 ⇔ ( x + )
1 (x − x +1+ m) 1 3 3 2
= 0 ⇔ g(x) 1 2 ( )
= x − x +1+ m = 0
Để đồ thị (C ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔ ( ) 1 có 3 nghiệm phân biệt
∆ =1− 4(1+ m) = 4 − m − 3 > 0 ⇔  . g  (− ) (*) 1 = 3 + m ≠ 0
Khi đó Khi đó gọi x = −1 và x ; x là nghiệm của PT g ( x) = 0 3 1 2 x + x = 1 Theo Vi-et ta có: 1 2  . Do vậy x x = 1+ m 1 2 A
(1 m)(x x )2 2x x 1 = − + + − + = − 1+ m 2   − 2 1+ m  1 2 1 2 ( ) ( ) m = loai
A = 2m (1+ m) 1 2 ( )
= 4 ⇔ m + m − 2 = 0 ⇔ m = −2
Vậy m = −2 là giá trị cần tìm.
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Câu 12: [ĐVH]. Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + x , có đồ thị là (C ) và đường thẳng
d : y = −mx + m −1 . Tìm m để (C ) giao d tại 3 điểm phân biệt A(1;− ) 1 , B,C sao cho 2 x + 4x = 4 B C Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm 3 2 3 2
x − 3x + x = −mx + m + 1 ⇔ x − 3x + (m + )
1 x − m + 1 = 0 ⇔ ( − ) x = x 1 ( 1 2
x − 2x + m − ) 1 = 0 ⇔ g  ( x) 2
= x − 2x + m −1 = 0
Để (C ) giao d tại 3 điểm phân biệt thì phương trình g ( x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 ∆ ' > 0 1  − m +1 > 0 m > 2 ⇔  ⇔  ⇔  ⇔ > g  ( ) m 2 1 ≠ 0 m − 2 ≠ 0 m ≠ 0
Gọi x , x là hoành độ điểm B, C thì x , x là 2 nghiệm của phương trình B C B C  + = g ( x) x x 2 = 0 B C
⇒ x x = m −1 B C Ta có: x + x =
⇔ x + ( − x ) = ⇔ x − x + = ⇔ (x − )2 2 2 2 4 4 4 2 4 4 4 0 2
= 0 ⇔ x = 2 ⇒ x = 0 B C B B B B B B C
⇒ x .x = 0 ⇒ m −1 = 0 ⇔ m = 1 B C
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
Câu 13: [ĐVH]. Cho hàm số 3
y = x − ( m + ) 2 2
2 x + (3m + 2) x − m −1 , có đồ thì là (C ) . Tìm m
để (C ) giao trục hoành tại 3 điễm phân biệt ,
A B, C (trong đó điểm A có hoành độ ko đổi) sao cho
hoành độ điểm hai điễm B, C là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm 3 x − (2m + 2) 2
x + (3m + 2) x − m −1 = 0 ⇔ ( x − ) 2 1 x  − (2m + )
1 x + m + 1 = 0 x = 1 ⇔ g(x) 2 = x − (2m + ) 1 x + m + 1 = 0
Để (C ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì PT g ( x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 ∆ > (2m + )2 1 − 4(m + ) 2 0 1 > 0 4m − 3 > 0 ⇔  ⇔  ⇔  g  ( ) 1 ≠ 0 1  − m ≠ 0 m ≠ 1
Gọi x , x là hoành độ điểm B, C thì x , x là 2 nghiệm của phương trình B C B C  + = + g ( x) x x 2m 1 = 0 B C
⇒ x x = m +1 B C Từ giả thiết ta có m = 1 
x + x = 5 ⇔ x + x
− x x = ⇔ m +
− m + = ⇔ m + m − = ⇔ B C ( B C )2 2 5 B C (2 )2 2 2 1 2 ( ) 2 1 5 4 2 6 0 3 m = −  2 3
Vậy m = 1, m = − 2
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Câu 14: [ĐVH]. Cho hàm số 3 y = x − ( 2 m − ) 2 3 1 x − (2m + )
1 x + 3 , có đồ thị là (C ) và đường thẳng
d : y = x + 3 . Tìm m để (C ) giao d tại 3 điểm phân biệt A(0;3), B,C sao cho A là trung điểm của BC . Lời giải:
Hoành độ giao điểm của d và (C ) là nghiệm của phương trình 3 x − ( 2 m − ) 2 x − ( m + ) 3
x + = x + ⇔ x − ( 2 m − ) 2 3 1 2 1 3 3 3 1 x − 2mx = 0 x = 0 2 x x 3( 2 m )1x 2m ⇔ − − − = 0 ⇔    2 x − 3  ( 2 m − )
1 x − 2m = 0 ( ) 1
Với x = 0 ⇒ y = 3 ⇒ A(0;3) ứng với đề bài đã cho.
Khi đó d và (C ) cắt nhau tại A(0;3), B, C phân biệt ⇔ ( )
1 có hai nghiệm phân biệt khác 0   9 ( 2 m )2 1 8m 0  ∆ = − + > 9  ( 2 m − )2 1 + 8m > 0 ⇔  ⇔  * . 2 0 − 3  ( 2 m − ) ( ) 1 .0 − 2m ≠ 0 m ≠ 0
Do B, C ∈ d nên ta gọi B ( x ; x + 3 , C x ; x + 3 . 1 1 ) ( 2 2 )
x + x = 3( 2 m −1 1 2 )
Ta có x ; x là 2 nghiệm của (1). Theo Vi-et thì  (2) 1 2 x x = 2m 1 2  x + x 1 2  = x = 0  2 A
Khi đó A là trung điểm của BC ⇔  ( ⇔ x + x =
x + 3) + ( x + 3) 0. 1 2 1 2 = y = 3  2 A
Kết hợp với (2) ta được ( 2 3 m − )
1 = 0 ⇔ m = ±1. Đối chiếu với (*) ta được m = 1 thỏa mãn. Đ/s: m = 1.
Câu 15: [ĐVH]. Cho hàm số 3 2
y = x − 5x + 7x − 2 , có đồ thị là (C ) và đường thẳng d đi qua
A(2;0) có hệ số góc k . Tìm k để (C ) giao d tại 3 điểm phân biệt , A B, C . Lời giải:
Bài ra d đi qua A(2;0) và có hệ số góc k nên PT của d có dạng
d : y = k ( x − 2) + 0 ⇔ y = k ( x − 2).
Hoành độ giao điểm của d và (C ) là nghiệm của phương trình 3 2
x − x + x − = k ( x − ) ⇔ ( x − )( 2 5 7 2 2 2 x − 3x + )
1 − k ( x − 2) = 0 ⇔ ( x = x − 2)( 2 2
x − 3x +1− k ) = 0 ⇔  2 x
− 3x +1− k = 0 ( )1
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Với x = 2 ⇒ y = 0 ⇒ A(2;0) ứng với đề bài đã cho.
Khi đó d và (C ) cắt nhau tại A(2;0), B, C phân biệt ⇔ ( )
1 có hai nghiệm phân biệt khác 2  9 ∆ = 9 + 4k > 0 k > − ⇔  ⇔  4 * . 2 ( )
2 − 3.2 +1− k ≠ 0 k ≠ −1
Câu 16: [ĐVH]. Cho hàm số 3
y = x + ( − m) 2 1 x + (m − )
1 x + 2m − 2 , có đồ thị là (C ) và đường
thẳng d : y = 3x + 2 . Tìm m để (C ) giao d tại 3 điểm phân biệt A( 1 − ;− )
1 , B,C sao cho B, C đối
xứng nhau qua đường thẳng x + 3y − 2 = 0 . Lời giải:
Hoành độ giao điểm của d và (C ) là nghiệm của phương trình 3 x + ( − m) 2 x + (m − ) 3 2
x + m − = x + ⇔ x + x − x − − m ( 2 1 1 2 2 3 2 4 4
x − x − 2) = 0 x = −1 (  ⇔ x + )
1 ( x − 2)( x + 2) − m( x + )
1 ( x − 2) = 0 ⇔ ( x + )
1 ( x − 2)( x + 2 − m) = 0 ⇔ x = 2 
x = m − 2 Với x = 1
− ⇒ y = −1⇒ A(−1;− )
1 ứng với đề bài đã cho. m − 2 ≠ 2 m ≠ 4
Khi đó d và (C ) cắt nhau tại A(−1;− )
1 , B, C phân biệt ⇔  ⇔  (*). m − 2 ≠ −1 m ≠ 1
Do vai trò của B, C là như nhau nên ta có thể giả sử x = 2; x = m − 2. B C  y = 3.2 + 2 = 8 B B (2;8)
Mà B, C ∈ d ⇒  ⇒   y
= 3 m − + = m − Cm  − m − C ( 2) 2 3 4 ( 2;3 4)
Gọi M là giao điểm của BC và d ' : x + 3y − 2 = 0.  2 x  = −  y = 3x + 2 3  x − y = 2 −  5  2 4 
Tọa độ M là nghiệm của hệ  ⇔  ⇔  ⇒ M  − ; .
x + 3y − 2 = 0 x + 3y = 2 4  5 5   y =  5
Rõ ràng d ⊥ d ' nên khi đó B, C đối xứng nhau qua d ' ⇔ M là trung điểm của BC x + x  2 + m − 2 2  4 B C  = x  = − m  = −  2 M  2 5  5 4 ⇔  ⇔  ⇔ 
⇔ m = − . Đã thỏa mãn (*). y  + y 8  + 3m − 4 4 4 5 B C  = y = m = −  2 M  2 5  5 4 Đ/s: m = − . 5
Câu 17: [ĐVH]. Cho hàm số 3 2
y = x + x + 3(m − 2) x + 9m , có đồ thị là (C ) và đường thẳng
d : y = x + 3 . Tìm m để (C ) giao d tại 3 điểm phân biệt ,
A B, C , trong đó A là điểm cố định và độ dài BC = 2 10 .
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Lời giải:
Hoành độ giao điểm của d và (C ) là nghiệm của phương trình 3 2
x + x + (m − ) 3 2 3
2 x + 9m = x + 3 ⇔ x + x − 7x − 3 + 3m ( x + 3) = 0 ⇔ ( x = − x + 3)( 3 2 x − 2x − )
1 + 3m ( x + 3) = 0 ⇔ ( x + 3)( 2
x − 2x + 3m − ) 1 = 0 ⇔  2 x
− 2x + 3m −1 = 0 ( ) 1 Với x = 3
− ⇒ y = 0. Bài ra A là điểm cố định ⇒ A(−3;0).
Khi đó d và (C ) cắt nhau tại ,
A B, C phân biệt ⇔ ( )
1 có hai nghiệm phân biệt khác −3   = − ( − ) 2  < ∆ ' 1 3 1 > 0 m m  3 ⇔  ⇔  * . 2 ( )
(−3) − 2.(−3)+3m−1≠ 0 14 m ≠ −  3
Do B, C ∈ d nên ta gọi B ( x ; x + 3 , C x ; x + 3 ⇒ BC = x − x ; x − x 1 1 ) ( 2 2 ) ( 2 1 2 1)
⇒ BC = (x − x )2 + (x − x )2 = 2(x + x )2 2 −8x x . 2 1 2 1 1 2 1 2 x + x = 2
Ta có x ; x là 2 nghiệm của (1). Theo Vi-et thì 1 2 2 2 
⇒ BC = 2.2 −8(3m − ) 1 = 16 − 24 . m 1 2 x x = 3m −1 1 2 Bài ra BC = ⇒ − m = ( )2 2 10 16 24 2 10
= 40 ⇔ m = −1. Đã thỏa mãn (*). Đ/s: m = 1
− là giá trị cần tìm.
Câu 18: [ĐVH]. Cho hàm số 3
y = x + ( − m) 2 4
x + (3 − 5m) x − 4m +1, có đồ thị là (C ) và đường
thẳng d : y = x − 7 . Tìm m để (C ) giao d tại 3 điểm phân biệt A(−4; − )
11 , B, C sao cho diện tích 21 tam giác OBC bằng . 2 Lời giải:
Hoành độ giao điểm của d và (C ) là nghiệm của phương trình 3 x + ( − m) 2 x + ( − m) 3 2
x − m + = x − ⇔ x + x + x + − m ( 2 4 3 5 4 1 7 4 2 8 x + 5x + 4) = 0 ⇔ ( x = − x + 4)( 4 2
x + 2) − m( x + 4)( x + ) 1 = 0 ⇔ ( x + 4)( 2
x + 2 − mx − m) = 0 ⇔  2 x
− mx + 2 − m = 0 ( ) 1 Với x = 4 − ⇒ y = 11 − ⇒ A( 4 − ;− )
11 ứng với đề bài đã cho.
Khi đó d và (C ) cắt nhau tại A(−4;− )
11 , B, C phân biệt ⇔ ( )
1 có hai nghiệm phân biệt khác −4 2
∆ = m − 4(2 − m) 2 > 0
m + 4m − 8 > 0 ⇔  ⇔  * . 2 ( ) (−4) − .
m (−4) + 2 − m ≠ 0 m ≠ 6 −
Do B, C ∈ d nên ta gọi B ( x ; x − 7 , C x ; x − 7 ⇒ BC = x − x ; x − x 1 1 ) ( 2 2 ) ( 2 1 2 1)
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
⇒ BC = (x − x )2 + (x − x )2 = 2(x + x )2 2 −8x x . 2 1 2 1 1 2 1 2 Ta có x ; x là 2 nghiệm của (1). Theo Viet thì 1 2
x + x = m 1 2 2 2 
⇒ BC = 2m −8(2 − m) 2
= 2m + 8m −16. x x = 2 − m 1 2 1 1 0 − 0 − 7 7BC 21 Bài ra có S
= BC.d O d = BC = = ⇒ BC = O ∆ BC ( ; ) 2 . 18. 2 2 1+1 2 2 2 Do đó 2
2m + 8m −16 = 18 ⇔ m = 2
− ± 21. Đã thỏa mãn (*).
Đ/s: m = −2 ± 21 là giá trị cần tìm.
Câu 19: [ĐVH]. Cho hàm số: y = ( x − )( 2 2 x + mx − )
1 (C) . Tìm m đề đồ thị (C ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt ; A ;
B C (2;0) sao cho độ dài AB = 5 Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và trục Ox là: ( x − )( 2 2 x + mx − ) 1 = 0 .
x = 2 ⇒ C (2;0) ⇔  1 2 ( ) g
 ( x) = x + mx −1 = 0
Để đồ thị (C ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔ ( ) 1 có 3 nghiệm phân biệt 2
∆ = m + 4 > 0 ⇔ 
. Khi đó gọi x ; x là nghiệm của PT g ( x) = 0 .  1 2 g  (2) (*) = 3 + 2m ≠ 0
x + x = −m Theo Vi-et ta có : 1 2  x x = −1 1 2 2 2
Khi đó : A( x ;0 ; B x ;0 ta có: 2
AB = ( x − x ) = ( x + x ) 2
− 4x x = m + 4 = 5 ⇔ m = 1 ± tm 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 ) ( 2 ) Vậy m = 1 ± là giá trị cần tìm.
Câu 20: [ĐVH]. Cho hàm số : 3
y = x − x (C) và đường thẳng d : y = m( x − )
1 . Tìm m để đồ thị (  1 
C ) cắt đường thẳng d tại 3 điểm phân biệt ; A ;
B C (1;0) sao cho điểm M  − ;−9 là trung điểm  2  của đoạn AB. Lời giải :
Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và đường thẳng d là: x ( 2 x − )
1 − m ( x − ) 1 = 0 ⇔ ( − ) x = x 1 ( 1 2
x + x) − m( x − ) 1 = 0 ⇔ ( x − ) 1 ( 2
x + x − m) = 0 ⇔ g  ( x) 2
= x + x − m = 0
Đồ thị (C ) cắt d tại 3 điểm phân biệt ⇔ ( )
1 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ g ( x) = 0 có 2 nghiệm phân
∆ = 1+ 4m > 0 4m +1 > 0
biệt và 2 nghiệm đó khác 1 ⇔  ⇔  . g  ( ) (*) 1 ≠ 0 2 − m ≠ 0 x + x = −1
Khi đó gọi x ; x là nghiệm của PT g ( x) = 0 . Theo định lý Vi-et ta có: 1 2  . 1 2 x x = −m 1 2
Ta có: A( x ;m x −1 ; B x ;m x −1 , trung điểm của AB 1 ( 1 )) ( 2 ( 1 ))
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 x + x 1 − 1 2 x  = = M  2 2 là  m
(x −1 + m x −1 m x + x − 2m −3m 1 ) ( 2 ) ( 1 2 ) y = = = M  2 2 2  1  −3m
Theo bài ra M  − ;0 nên
= −9 ⇔ m = 6 (tm) .  2  2
Vậy m = 6 là giá trị cần tìm.
Câu 21: [ĐVH]. Cho hàm số: 3
y = x + (m + 2) x − m (C ) và đường thẳng d : y = 2x +1. Tìm m để
đồ thị (C ) cắt đường thẳng d tại 3 điểm phân biệt có tung độ y ; y ; y thoã mãn 1 2 3 2 2 2
A = y + y + y = 11. 1 2 3 Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và đường thẳng d là: 3
x + mx − m −1 = 0 ⇔ ( − ) x = ⇒ y =
x 1 ( x + x +1− m) 1 3 3 3 2
= 0 ⇔ g(x) 1 2 ( )
= x + x +1− m = 0
Đồ thị (C ) cắt d tại 3 điểm phân biệt ⇔ ( )
1 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ g ( x) = 0 có 2 nghiệm phân
∆ =1− 4(1− m) > 0 4m − 3 > 0
biệt và 2 nghiệm đó khác 1 ⇔  ⇔  . g  ( ) (*) 1 ≠ 0 3  − m ≠ 0
Khi đó cho x = 1; y = 3 và x ; x là nghiệm của PT g ( x) = 0 . Theo định lý Viet ta có: 3 3 1 2 x + x = −1 1 2  . x x = 1− m 1 2 2 2 Theo đề bài ta có: 2 2 2
A = y + y + y = (2x + ) 1 + (2x + ) 1 + 9 = 4( 2 2 x + x + 4 x + x +11. 1 2 3 1 2 1 2 ) ( 1 2) A
4 ( x x )2 2x x  = + −
+ 4 x + x +11 = 4 1  − 2 1− m   
 − 4 +11 = 8m + 3 = 11 ⇔ m = 1 tm 1 2 1 2 ( 1 2) ( ) ( )
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
Câu 22: [ĐVH]. Cho hàm số : 3
y = x + mx − 4 (C) và đường thẳng d : y = 2mx + 4 . Tìm m để d  2 
cắt (C ) tại 3 điểm phân biệt A,B,C sao cho trọng tâm tam giác OAB là G  − ;8 trong đó C là  3 
điểm có hoành độ x = 2 và O là gốc toạ độ. C Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và d là : 3
x + mx − 2mx − 8 = 0  ⇔ ( x = ⇒ C m + x − 2)( 2 2; 4 4 2
x + 2x + 4) + m( x − 2) = 0 ⇔ ( x − 2)( 2
x + 2x + 4 + m) ( ) = 0 ⇔  1 2 ( ) g
 ( x) = x + 2x + 4 + m = 0
Để đồ thị (C ) cắt đường thẳng d tại 3 điểm phân biệt ⇔ ( ) 1 có 3 nghiệm phân biệt
∆ ' = 1− 4 − m = −m − 3 > 0 ⇔  . g  (2) (*) =12 + m ≠ 0 x + x = −2
Khi đó gọi x ; x là nghiệm của PT g ( x) = 0 . Theo Viet ta có: 1 2  . 1 2 x x = 4 + m 1 2
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 x + x + 0 2 − 1 2 x  = = G  3 3
Gọi A( x ;2mx + 4 ; B x ;2mx + 4 ta có:  1 1 ) ( 2 2 ) 
2mx + 4 + 2mx + 4 + 0 2m x + x + 8 1 2 ( 1 2) y = = G  3 3  2 8 − 4m  8 − 4m Do vậy G  − ;  . Cho = 8 ⇔ m = 4 − (tm) .  3 3  3
Vậy m = −4 là giá trị cần tìm.
DẠNG 2. TƯƠNG GIAO HÀM PHÂN THỨC x + 3
Câu 1: [ĐVH]. Cho hàm số y =
, có đồ thị là (C ) và đường thẳng d : y = −x + 2m . Tìm m 2x −1
để (C ) giao d tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm. Lời giải: 1  TXĐ: ℝ \  .  2 
Hoành độ giao điểm của d và (C ) là nghiệm của phương trình  1  1 x + 3 x ≠ x ≠ −x + 2m = ⇔  2 ⇔  2 2x −1 (2x  − ) 1 ( x − 2m)  2 + x + 3 = 0
⇔ 2x − 4mx + 2m + 3 = 0 ( ) 1
Khi đó d giao (C ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm ⇔ (1) có hai nghiệm âm phân biệt khác 1 2 2 
∆ = m − ( m + ) > + 2 1 7 ' 4 2 2 3 0
2m − 2m − 3 > 0 m >    2 x + x < 0   < 1 2 2m 0    3 1− 7 1− 7 ⇔ x x > 0 ⇔  ⇔  + ⇔ − < m < . 1 2 2m 3 m <   > 0  2 2 2 2    2 1 1   2.  − 4 . m + 2m + 3 ≠ 0 3  m ∈ ℝ     − < m < 0 2 2  2 −3 1− 7 Đ/s: < m < . 2 2 2x − 3
Câu 2: [ĐVH]. Cho hàm số y =
, có đồ thị là (C ) và đường thẳng d : y = mx −1. Tìm m để x + 2
(C) giao d tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thị. Lời giải: TXĐ: ℝ \ {− }
2 . Hoành độ giao điểm của d và (C ) là nghiệm của phương trình 2x 3  − x ≠ −2 x ≠ 2 − mx −1 = ⇔  ⇔  2 2 x + 2
mx + 2mx − x − 2 = 2x − 3 mx
− (3− 2m) x +1= 0 ( ) 1
Ta có d giao (C ) tại hai điểm phân biệt ⇔ ( )
1 có hai nghiệm phân biệt khác −2
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 m ≠ 0   4 + 7   ≠   +  > 0 4 7 m m m ≠ 0  m > 2   ⇔ ∆ = (   − m)2 2 2 3 2 − 4m > 0
⇔ 4m −16m + 9 > 0  ⇔  ⇔ m ≠ 0 (2)     −    + − + ≠ .  ( 2 − ) 4 7 2 − (3− 2 ).( 2 − ) 4m 6 4m 1 0 +1 ≠ 0 m m m <    4 − 7  2 m <   2 m ∈ ℝ  3 − 2m x  + x = 1 2  m Khi đó theo Vi-et ta có  (3) 1 x x = 1 2  m Yêu cầu bài toán ⇔ ( )
1 có hai nghiệm phân biệt x ; x khác −2 thỏa mãn ( x + 2 x + 2 > 0 1 )( 2 ) 1 2 1 3 − 2m
Ta có ( x + 2 x + 2 > 0 ⇔ x x + 2 x + x + 4 > 0 ⇔ + 2. + 4 > 0 1 )( 2 ) 1 2 ( 1 2 ) m m  4 + 7 m > 1+ 6 − 4m + 4m ⇔ > 2
0 ⇔ m > 0. Kết hợp với (2) ta được  thỏa mãn. m  4 − 7 0 < m <  2 4 + 7 4 − 7 Đ/s: m > hoặc 0 < m < . 2 2 2x − m
Câu 3: [ĐVH]. Cho hàm số y =
, có đồ thị là (C ) và đường thẳng d : y = 2
− x + 3. Tìm m x +1
để (C ) giao d tại hai điểm phân biệt có hoành độ x , x thỏa mãn 2 3x − 4x = 9 . 1 2 1 2 Lời giải: TXĐ: ℝ \ {− }
1 . Hoành độ giao điểm của d và (C ) là nghiệm của phương trình x −  ≠ −1 x ≠ −1 2x m −2x + 3 = ⇔  ⇔  x +1 (x  + ) 1 (2x − 3) 2 + 2x − m = 0 2x
+ x − m − 3 = 0 ( ) 1
Ta có d giao (C ) tại hai điểm phân biệt ⇔ ( )
1 có hai nghiệm phân biệt khác −1  (  ∆ = + m + ) 25 1 8 3 > 0 m > − ⇔  ⇔  8 * 2 ( ) 2.  (− ) 1 −1− m − 3 ≠ 0 m ≠ −2  1  1 x  + x = − x  = − − x 1 2 2 1  2  2 Khi đó theo Viet có  ⇔  m  + 3 m  + 3 x x = − x x = − 1 2 1 2  2  2 x = 1 1  1   Kết hợp với 2
3x − 4x = 9 ta được 2 2
3x − 4 − − x  = 9 ⇔ 3x + 4x − 7 = 0 ⇔ 1 2 1 1 1 1 7  2   x = − 1  3 • 1 3 m + 3  3 
TH1. x = 1 ⇒ x = − −1 = − ⇒ −
=1. −  ⇔ m = 0. Đã thỏa mãn (*). 1 2 2 2 2  2  • 7 1 7 11 m + 3  7  11 50
TH2. x = − ⇒ x = − + = ⇒ −
=  − .  ⇔ m = . Đã thỏa mãn (*). 1 2 3 2 3 6 2  3   6  9 50
Đ/s: m = 0 hoặc m = . 9
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 x −1
Câu 4: [ĐVH]. Cho hàm số y =
, có đồ thị là (C ) và đường thẳng d : y = x − m +1. Tìm m 2x − 4 3
để (C ) giao d tại hai điểm phân biệt có hoành độ x , x sao cho x − x = . 1 2 1 2 2 Lời giải: TXĐ: ℝ \ { }
2 . Hoành độ giao điểm của d và (C ) là nghiệm của phương trình x −  ≠ 2 x ≠ 2 x 1 x − m +1 = ⇔  ⇔  2 2x − 4 2x
− 4x − (2m − 2) 2
x + 4m − 4 = x −1 2x
− (2m + 3) x + 4m −3 = 0 ( ) 1
Ta có d giao (C ) tại hai điểm phân biệt ⇔ ( )
1 có hai nghiệm phân biệt khác 2
(2m 3)2 8(4m 3) 0 4m 20m 33 0 ( + − − >  − + >  2m − 5)2 2 + 8 > 0 ⇔  ⇔  ⇔  ⇔ m∈ℝ (*) 2 2.2 
− (2m + 3).2 + 4m −3 ≠ 0
−1− 4m + 4m ≠ 0 m ∈ ℝ  2m + 3 x  + x = 1 2  2 Khi đó theo Viet thì  (2). 4m  − 3 x x = 1 2  2 2 3 2 2  2m + 3  4m − 3 Ta có x − x = ⇔ 4 x − x = 9 ⇔ 4 x + x −16x x = 9 ⇔ 4  −16. = 9 1 2 ( 1 2) ( 1 2) 1 2 2  2  2 m = 2 2
⇔ 4m − 20m + 24 = 0 ⇔  đã thỏa mãn (*). m = 3
Đ/s: m = 2 hoặc m = 3. x + 2
Câu 5: [ĐVH]. Cho hàm số y =
, có đồ thị là (C ) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua x −1
M (0;2) và cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt ,
A B sao cho M là trung điểm của AB . Lời giải: TXĐ: ℝ \ { }
1 . Gọi m là hệ số góc của d.
Bài ra d đi qua M (0;2) ⇒ phương trình của d có dạng d : y = m( x − 0) + 2 ⇔ y = mx + 2.
Hoành độ giao điểm của d và (C ) là nghiệm của phương trình x 2  + x ≠ 1 x ≠ 1 mx + 2 = ⇔  ⇔  2 2 x −1
mx − mx + 2x − 2 = x + 2 mx  − (m − ) 1 x − 4 = 0 ( ) 1
Ta có d giao (C ) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔ ( )
1 có hai nghiệm phân biệt khác 1 m ≠ 0 m ≠ 0  ⇔ ∆ = (   ≠ m − ) m 0 2 2
1 +16m > 0 ⇔ m +14m +1 > 0 ⇔  * 2 ( )  
m +14m +1 > 0 2 m  − (m − ) m − ≠  − m − 3 ≠ 0 .1 1 .1 4 0 Do ,
A B ∈ d nên ta gọi A( x ;mx + 2 , B x ;mx + 2 . 1 1 ) ( 2 2 )  m −1 x  + x = 1 2  m
Ta có x ; x là hai nghiệm của (1) nên theo Viet thì  (2) 1 2 4 x x = − 1 2  m
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 x + x 1 2  = x = 0 M  x + x = 0 2 1 2
Khi đó M là trung điểm của AB ⇔  ⇔  mx  + 2 + mx + 2 m x  + x = 0 1 2 ( 1 2 ) = y = 2  2 Mm −1  = 0  m
Kết hợp với (2) ta được 
⇔ m =1. Đã thỏa mãn (*) ⇒ d : y = x + 2. m  −1 . m = 0  m
Đ/s: d : y = x + 2. x +1
Câu 6: [ĐVH]. Cho hàm số: y =
(C) và đường thẳng d : y = x + m . Tìm m để d cắt (C) tại 2 x −1
điểm phân biệt có hoành độ x ; x thoã mãn 2 2 x + x = 9 1 2 1 2 Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và d x +1 x ≠ 1 là:
= x + m . ⇔  1 x −1 g  ( x) 2 = x + (m − 2) ( ) x − m −1 = 0
Để đồ thị (C ) cắt d tại 2 điểm phân biệt ⇔ g ( x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1. ∆ = (m − )2 2 + 4(m + ) 1 > 0 ⇔ 
( ). Khi đó gọi x ;x là nghiệm của PT g(x) = 0. 1 2 g  ( ) * 1 = −2 ≠ 0
x + x = 2 − m Theo Viet ta có : 1 2 
x x = −m −1 1 2  = 2 2 m 3 Ta có: 2 2
x + x = ( x + x ) − 2x x = (2 − m) + 2(m + ) 2
1 = m − 2m + 6 = 9 ⇔  tm 1 2 1 2 1 2 ( ) m = −1
Vậy m = 3; m = −1 là các giá trị cần tìm. 2x −1
Câu 7: [ĐVH]. Cho hàm số: y =
(C) và đường thẳng d : y = 2x + m . Tìm m để d cắt (C) x +1 1
tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x ; x thoã mãn x − x = . 1 2 1 2 2 Lời giải: 2x −1 x ≠ −1
Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và d là:
= 2x + m . ⇔  x +1 g  ( x) 2
= 2x + mx + m +1 = 0
Để đồ thị (C ) cắt d tại 2 điểm phân biệt ⇔ g ( x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác -1. 2
∆ = m − 8(m + ) 1 > 0 ⇔ 
(*) . Khi đó gọi x ;x là nghiệm của PT g(x) = 0. 1 2 g  (− ) 1 = 3 ≠ 0  −m x  + x = 1 2  2 Theo Viet ta có :  m  +1 x x = 1 2  2 2 1  = 2 1 2 1 m 1 m 9
Ta có: x − x = ⇔ x − x = ⇔ x + x − 4x x = ⇔ − 2 m +1 = ⇔  tm 1 2 ( 1 2) ( 1 2) 1 2 ( ) ( ) 2 4 4 4 4 m = −1
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Vậy m = 9; m = 1
− là các giá trị cần tìm. x + 3
Câu 8: [ĐVH]. Cho hàm số: y =
(C) và đường thẳng d : y = −x + m . Tìm m để d cắt (C) tại x −1
2 điểm phân biệt có hoành độ x ; x thoã mãn 2 2
A = x − x x + x = 9 1 2 1 1 2 2 Lời giải: x + 3 x ≠ 1
Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và d là:
= −x + m . ⇔  x −1 g  ( x) 2
= x − mx + 3+ m = 0
Để đồ thị (C ) cắt d tại 2 điểm phân biệt ⇔ g ( x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1. 2
∆ = m − 4(3+ m) ⇔ 
(*). Khi đó gọi x ;x là nghiệm của PT g(x) = 0. 1 2 g  ( ) 1 = 4 ≠ 0
x + x = m Theo Viet ta có : 1 2  x x = 3 + m 1 2  = 2 m 6 loai
Ta có: A = ( x + x
− 3x x = m − 3 3 + m = m − 3m − 9 = 9 ⇔  1 2 ) 2 1 2 ( ) 2 ( ) m = 3 −
Vậy m = −3 là các giá trị cần tìm. x − m
Câu 9: [ĐVH]. Cho hàm số y =
(C) và đường thẳng d : y = 2x. Tìm m để d cắt (C) tại 2 x − 2
điểm phân biệt có hoành độ x ; x thoã mãn 2x + x = 4 1 2 1 2 Lời giải: x − m x ≠ 2
Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và d là: = 2x . ⇔  1 x − 2 g  ( x) 2 ( )
= 2x − 5x + m = 0
Để đồ thị (C ) cắt d tại 2 điểm phân biệt ⇔ g ( x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2.
∆ = 25 − 8m > 0 ⇔ 
. Khi đó gọi x ; x là nghiệm của PT g ( x) = 0 . g 1 2  (2) (*) = m − 2 ≠ 0  5 x  + x = 1 1 2 ( )  2 Theo Vi-et ta có : 
. Do 2x + x = 4 . m 1 2 x x = 1 2  2  5  3 x + x = x = Giải hệ PT 1 2 1  2 ⇔  2 
→m = 2x x = 3. 1 2 2x x 4  + = x = 1 1 2 2
Do vậy m = 3 là giá trị cần tìm. x +1
Câu 10: [ĐVH]. Cho hàm số y =
(C) và đường thẳng d : y = x + m . Tìm m để d cắt (C) tại x − 2
2 điểm phân biệt sao A,B cho AB = 4 2 . Lời giải x +1
Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và d là: = x + m . x − 2 x ≠ 2 ⇔ g  ( x) 1 2 = x + (m −3) ( )
x − 2m −1 = 0
Để đồ thị (C ) cắt d tại 2 điểm phân biệt ⇔ g ( x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2.
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 ∆ = (m − )2 3 + 4(2m + ) 1 > 0 ⇔  ( ) . g  ( ) * 2 = 3 − ≠ 0
Khi đó gọi A( x ; x + m ; B x ; x + m là 2 toạ độ các giao điểm. 1 1 ) ( 2 2 )
x + x = 3 − m Theo Viet ta có : 1 2 
x x = −2m −1 1 2 2 2 2 2 Ta có: AB (x x x x 2  x x  2  x x 4x x  = − + − = − = + − 1 2 ) ( 1 2) ( 1 2 )  ( 1 2 ) 2 2  m =
2 (3 m)2 4( 2m )1 = − − − − = 2( 1 2 m + 2m +13) 2
= 4 2 ⇔ m + 2m − 3 = 0 ⇔    (tm) m = −3 Vậy m = 3
− ;m = 1 là các giá trị cần tìm. 2x +1
Câu 11: [ĐVH]. Cho hàm số y =
(C) và đường thẳng d : y = 2x + m . Tìm m để d cắt (C) x +1
tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho O . A OB = 1
− 0 trong đó O là gốc toạ độ. Lời giải 2x +1 x ≠ −1
Phương trình hoành độ giao điểm: = 2x + m ⇔  1 x +1 g  ( x) 2 ( )
= 2x + mx + m −1 = 0
Để đồ thị (C ) cắt d tại 2 điểm phân biệt ⇔ g ( x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác -1. 2
∆ = m −8(m − ) 1 > 0 ⇔  (*). g  (− ) 1 = 1 ≠ 0
Khi đó gọi A( x ;2x + m ; B x ;2x + m là 2 toạ độ các giao điểm. 1 1 ) ( 2 2 )  −m x  + x = 1 2  2 Theo Viet ta có :  m  −1 x x = 1 2  2 5m − 5 Ta có: O .
A OB = x .x + (2x + m)(2x + m) = 5x x + 2m( x + x ) 2 2 2 + m =
− m + m = −10 1 2 1 2 1 2 1 2 2
⇔ m = −3 (tm)
Vậy m = −3 là các giá trị cần tìm. x −1
Câu 12: [ĐVH]. Cho hàm số y =
(C) và đường thẳng d : y = −x + m . Tìm m để d cắt (C) tại x − 2
2 điểm phân biệt A, B sao cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng x + y = 0 . Lời giải x −1
Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và d là: = −x + m . x − 2 x ≠ 2 ⇔ g  ( x) 1 2 = x − (m + ) ( )
1 x + 2m −1 = 0
Để đồ thị (C ) cắt d tại 2 điểm phân biệt ⇔ g ( x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2. ∆ = (m + )2 1 − 4 (2m − ) 1 > 0 ⇔  ( ) . g  ( ) * 1 = 1 − ≠ 0
Khi đó gọi A( x ;−x + m ; B x ;−x + m là 2 toạ độ các giao điểm. 1 1 ) ( 2 2 )
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
x + x = m +1 Theo Viet ta có : 1 2  x x = 2m −1 1 2  x + x + 0 m +1 1 2 x  = = G  3 3
m +1 m −1
Gọi G là trong tâm tam giác OAB ta có :  ⇒ G  ; 
−x + m − x + m + 0 m −1  3 3   1 2 y = = G  3 3 m +1 m −1
Do điểm G ∈ x + y = 0 nên ta có: +
= 0 ⇔ m = 0 (t / m) 3 3
Vậy m = 0 là các giá trị cần tìm. 2x +1
Câu 13: [ĐVH]. Cho hàm số y =
(C) và đường thẳng d : y = 2x − m .Tìm m để d cắt (C) x −1 5
tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho S
= trong đó O là gốc toạ độ. OAB 4 Lời giải: 2x +1
Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và d là: = 2x − m . x −1 x ≠ 1 ⇔ g  ( x) 1 2 = 2x − (m + 4) ( ) x + m −1 = 0
Để đồ thị (C ) cắt d tại 2 điểm phân biệt ⇔ g ( x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1. ∆ = (m + )2 4 −8(m − ) 1 > 0 ⇔  (*). g  ( ) 1 = 3 − ≠ 0
Khi đó gọi A( x ;2x − m ; B x ;2x − m là 2 toạ độ các giao điểm. 1 1 ) ( 2 2 )  m + 4 x  + x = 1 2  2 Theo Viet ta có :  . m  −1 x x = 1 2  2 2 2 2 2 5 Ta có: AB
(x x ) (2x 2x ) 5( x x )
5 ( x x ) 4x x  = − + − = − = + − =  ( 2 m + 24 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ) 4 ( m 1 1 5 d ; O AB) = . Khi đó : S = A . B d O AB = m m + = OAB ( ; ) 2 24 5 2 4 4 4 2 ⇔ m + m = ⇔ ( 2 m − )( 2 24 25
1 m + 25) = 0 ⇔ m = ±1(tm) Vậy m = 1
± là các giá trị cần tìm. x + 2
Câu 14: [ĐVH]. Cho hàm số y =
, có đồ thị là (C ) và đường thẳng d : y = 2x + m . Tìm m x − 3
để (C ) giao d tại hai điểm phân biệt ,
A B sao cho AB = 5 2 . Lời giải: TXĐ: ℝ \ { }
3 . Hoành độ giao điểm của d và (C ) là nghiệm của phương trình x 2  + x ≠ 3 x ≠ 3 2x + m = ⇔  ⇔  2 2 x − 3
2x − 6x + mx − 3m = x + 2 2x
+ (m − 7) x −3m − 2 = 0 ( ) 1
Khi đó d giao (C ) tại hai điểm phân biệt ⇔ ( )
1 có hai nghiệm phân biệt khác 3
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95  (m 7)2 8(3m 2) 0 m 10m 65 0 ( ∆ = − + + >  + + >  m + 5)2 2 + 40 > 0 ⇔  ⇔  ⇔  ⇔ m∈ ℝ (*) 2 2.3 
+ (m − 7).3−3m − 2 ≠ 0
−5 + 3m − 3m ≠ 0 m ∈ ℝ Do ,
A B ∈ d ⇒ A( x ;2x + m , B x ;2x + m ⇒ AB = x − x ;2x − 2x 1 1 ) ( 2 2 ) ( 2 1 2 1 )
⇒ AB = (x − x )2 + (2x − 2x )2 = 5(x + x )2 2 − 20x x . 2 1 2 1 1 2 1 2  7 − m x  + x = 1 2  2
Ta có x ; x là hai nghiệm của (1) nên theo Vi-et thì  1 2 3m  + 2 x x = − 1 2  2 2  7 − m  3m + 2 ⇒ AB = 5  + 20. = (5 2)2 2 ⇔ 5( 2
m −14m + 49) + 40(3m + 2) = 200  2  2 2
⇔ 5m + 50m +125 = 0 ⇔ m = −5. Đã thỏa mãn (*). Đ/s: m = −5. 3x −1
Câu 15: [ĐVH]. Cho hàm số y =
, có đồ thị là (C ) và đường thẳng d : y = −mx + 2 . Tìm m x −1
để (C ) giao d tại 2 điểm phân biệt ,
A B sao cho tam giác OAB vuông tại O. Lời giải: TXĐ: ℝ \ { }
1 . Hoành độ giao điểm của d và (C ) là nghiệm của phương trình x −  ≠ 1 x ≠ 1 3x 1 −mx + 2 = ⇔  ⇔  x −1 (x  − ) 1 (mx − 2) 2 + 3x −1 = 0 mx  − (m − ) 1 x +1 = 0 ( )1
Khi đó d giao (C ) tại hai điểm phân biệt ⇔ ( )
1 có hai nghiệm phân biệt khác 1 m ≠ 0 m ≠ 0  ⇔ ∆ = (   ≠ m − ) m 0 2 2
1 − 4m > 0 ⇔ m − 6m +1 > 0 ⇔  * 2 ( )  
m − 6m +1 > 0 2 m  − (m − ) m + ≠  − m + 2 ≠ 0 .1 1 .1 1 0 O  ∉ AB O  ∉ d 0 ≠ − .0 m + 2
Tam giác OAB vuông tại O ⇔  ⇔  ⇔  ⇔ O . A OB = 0 (2) OA ⊥ OB O  . A OB = 0 O  . A OB = 0
A( x ;2 mx O  −
A = x ; 2 − mx 1 1 ) ( 1 1 ) Do 2 ,
A B ∈ d ⇒  ⇒  ⇒  (
OA OB = x x + − m x + x + m x x B x ; 2 − mx ) . 4 2 . 1 2 ( 1 2 ) OB  = (x ;2 − mx ) 1 2 2 2 2 2  m −1 x  + x = 1 2  m
Ta có x ; x là hai nghiệm của (1) nên theo Viet thì  1 2 1 x x = 1 2  m 2 1 m −1 1 1 1 −m + 6m +1 2 ⇒ O . A OB = + 4 − 2 . m
+ m . = + 4 − 2m + 2 + m = − m + 6 = m m m m m m
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 2 m 6m 1  − + + m ≠ 0
Kết hợp với (2) ta được = 0 ⇔ 
⇔ m = 3± 10. Đã thỏa mãn (*). 2 m
m − 6m −1 = 0 Đ/s: m = 3 ± 10. 3 − 7x
Câu 16: [ĐVH]. Cho hàm số y =
, có đồ thị là (C ) và đường thẳng d : y = mx −1. Tìm m x + 5
để (C ) giao d tại hai điểm phân biệt ,
A B sao cho khoảng cách từ ,
A B đến đường thẳng
∆ : y = −x + 2 bằng nhau. Lời giải: TXĐ: ℝ \ {− }
5 . Hoành độ giao điểm của d và (C ) là nghiệm của phương trình 3 7x  − x ≠ −5 x ≠ −5 mx −1 = ⇔  ⇔  2 2 x + 5
mx + 5mx − x − 5 + 7x − 3 = 0 mx
+ (5m + 6) x −8 = 0 ( ) 1
Khi đó d giao (C ) tại hai điểm phân biệt ⇔ ( )
1 có hai nghiệm phân biệt khác −5 m ≠ 0 m ≠ 0  ⇔ ∆ = (  m ≠ 5m + 6) 0 2 2 + 32m > 0
⇔ 25m + 92m + 36 > 0 ⇔  * 2 ( )  
25m + 92m + 36 > 0   − − ≠ m
 (− )2 + ( m + ) (− ) 25m 25m 38 0 . 5 5 6 . 5 − 8 ≠ 0 Do ,
A B ∈ d ⇒ A( x ;mx −1 , B x ;mx −1 . Phương trình ∆ : x + y − 2 = 0. 1 1 ) ( 2 2 )  5m + 6 x  + x = − 1 2  m
Ta có x ; x là hai nghiệm của (1) nên theo Vi-et thì  (2) 1 2 8 x x = − 1 2  m x + mx −1− 2 x + mx − 3 x + mx −1− 2 x + mx − 3 Lạ có d ( ; A ∆) 1 1 1 1 = = và d ( ; B ∆) 2 2 2 2 = = . 2 2 1 +1 2 2 2 1 +1 2 x + mx − 3 x + mx − 3
x + mx − 3 = x + mx − 3 1 1 2 2 Do đó d ( ;
A ∆) = d (B;∆) 1 1 2 2 ⇔ = ⇔  2 2 x
 + mx − 3 = − x + mx − 3 1 1 ( 2 2 )  = • x x
TH1. x + mx − 3 = x + mx − 3 ⇔ ( x − x ) + m( x − x ) = 0 ⇔ ( x − x )(m + ) 1 2 1 = 0 ⇔ 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2  m = −1
Với x = x ⇒ A ≡ B ⇒ Loại do A, B phân biệt. Mà m = 1
− cũng không thỏa mãn ( ) * ⇒ Loại. 1 2
• TH2. x + mx − 3 = − x + mx − 3 ⇔ x + x + m x + x − 6 = 0. 1 1 ( 2 2 ) 1 2 ( 1 2) 2 5m + 6 5m + 6
5m + 6 + 5m + 6m + 6m
Kết hợp với (2) ta được − − . m − 6 = 0 ⇔ = 0 m m mm = 3 − (Ko TM (*)) m ≠ 0  ⇔  ⇔ 2  2
5m +17m + 6 = 0 m = − (TM (*))  5
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 mx −1
Câu 17: [ĐVH]. Cho hàm số y =
, có đồ thị là (C ) và đường thẳng d : y = 2 − x +1. Tìm m x + 3 3
để (C ) giao d tại hai điểm phân biệt có hoành độ , A B sao cho S
= , ở đó O là gốc tọa độ. O ∆ AB 2 Lời giải: TXĐ: ℝ \ {− }
3 . Hoành độ giao điểm của d và (C ) là nghiệm của phương trình x −  ≠ −3 x ≠ −3 mx 1 −2x +1 = ⇔  ⇔  x + 3 (x  + 3)(2x − ) 2 1 + mx −1 = 0 2x
+ (m + 5) x − 4 = 0 ( ) 1
Khi đó d giao (C ) tại hai điểm phân biệt ⇔ ( )
1 có hai nghiệm phân biệt khác −3
∆ = (m +5)2 + 32 > 0 m ∈ ℝ 1 ⇔  ⇔  ⇔ m ≠ − * 2 ( )
 (− ) + (m + ) (− ) − ≠  3 − m −1 ≠ 0 3 2. 3 5 . 3 4 0 Do ,
A B ∈ d ⇒ A( x ;1− 2x , B x ;1− 2x ⇒ AB = x − x ;2x − 2x 1 1 ) ( 2 2 ) ( 2 1 1 2 )
⇒ AB = (x − x )2 + (2x − 2x )2 = 5(x + x )2 2 − 20x x . 2 1 1 2 1 2 1 2  m + 5 x + x = −
Ta có x ; x là hai nghiệm của (1) nên theo Vi-et thì 1 2  2 1 2 x x = 2 − 1 2 2  m + 5  5 m + 5 +160 2 ⇒ AB = 5 −  − 20.(−2) ( )2 = .  2  4 −1 1 1 Ta có h = d ( ;
O AB) = d (O;d ) 2 = = ⇒ h = . 2 2 2 +1 5 5 1 1 3 Lại có S = . AB d AB = AB h = ⇒ AB h = O ∆ AB (O; ) 2 2 . . 9 2 2 2 5(m 5)2 160 1  + + m = − tm ⇒ . = 9 ⇔ 5(m + 5) 3
2 +160 =180 ⇔ (m + 5)2 ( ) = 4 ⇔  4 5 m  = −7 (tm) Vậy m = 3 − ;m = 7
− là các giá trị cần tìm. 2x −1  −5 5 
Câu 18: [ĐVH]. Cho hàm số y =
, có đồ thị là (C ) và đường thẳng d đi qua M  ;  có x +1  2 2 
hệ số góc k . Tìm k để d và (C ) giao nhau tại 2 điểm phân biệt ,
A B thuộc 2 nhánh của đồ thị
sao cho MA = 3MB . Lời giải:  −5 5   5  5 TXĐ: ℝ \ {− }
1 . Bài ra d đi qua M
;  có hệ số góc k ⇒ d : y = k x +  + .  2 2   2  2
Hoành độ giao điểm của d và (C ) là nghiệm của phương trình
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 x ≠ 1 − x ≠ 1 −  5  5 2x −1  
k x +  + = ⇔   7x 5  5x 5 ⇔  + + 2 7k 1 5k 7 2  2  2 x +1 k   x + +  + + = 2x −1 kx + x + = 0 ( ) 1   2 2  2 2  2 2
Khi đó d giao (C ) tại hai điểm phân biệt ⇔ ( )
1 có hai nghiệm phân biệt khác −1 2   7k +1 5k + 7 ∆ =   − 4k > 0 9 1 2   k   −14k + > 0 2 2 9 1 2 ⇔  ⇔ 4 4
⇔ k −14k + > 0 (*)  + +  k  (− ) 4 4 2 7k 1 + (− ) 5k 7 + ≠
k − k + 3 ≠ 0 . 1 . 1 0  2 2   5k 5    5 5k
Ax ; kx + + 
MA =  x + ; kx +  1 1 1 1   2 2    2 2  Do ,
A B ∈ d ⇒  ⇒   5k 5   5 5k   
B x ; kx + + 
MB =  x + ; kx +  2 2 2 2  2 2      2 2 
Do M nằm trong đoạn BC nên  5 5k   5 5k
MA = 3MB ⇔ MA = −3MB ⇔  x + ; kx +  = 3
−  x + ;kx +  1 1 2 2  2 2   2 2   5  5  x + = −3 x +  1 2  2  2 
x + 3x = −10 1 2 ⇔  ⇔ 
⇔ x + x = − ⇔ x = − x −  5k  5k  k  ( 3 10 3 10 2 x + 3x = −10k 1 2 ) 1 2 1 2 ( ) kx + = −3 kx +  1 2  2  2 
Hai điểm phân biệt A, B thuộc 2 nhánh của đồ thị ⇔ ( x +1 x +1 < 0 ⇔ x x + x + x +1 < 0. 1 )( 2 ) 1 2 1 2  −1− 7k x  + x = 1 2  2k
Ta có x ; x là hai nghiệm của (1) nên theo Viet thì  (3) 1 2 5k  + 7 x x = 1 2  2k
−1− 7k 5k + 7 3 Do đó +
+1< 0 ⇔ < 0 ⇔ k < 0. Kết hợp với (*) ta được k < 0 (**) 2k 2k k −1− 7k 1 13 3 − 39 −3 1
Từ (2) và (3) ⇒ −3x −10 + x = ⇔ x = − ⇒ x = + −10 = − . 2 2 2 1 2k 4k 4 4k 4 4k 4 Do đó  −3 1  1 13  5k + 7 − x x =  −  −  = ⇔ ( 3
− − k )(1−13k) = 8(5k + 7) 1 2
k ⇔ 9k + 6k +1 = 0 ⇔ k = 1 2  4k 4   4k 4  2k 3 Thỏa mãn (**). −1 Đ/s: k = 3
DẠNG 3. TƯƠNG GIAO HÀM TRÙNG PHƯƠNG
Câu 1: [ĐVH]. Cho hàm số 4 2
y = x − 2mx + 4 − 3m , có đồ thị là (C ) . Tìm m để (C ) giao Ox tại hai điểm phân biệt. Lời giải:
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Hoành độ giao điểm của Ox và (C ) là nghiệm của phương trình 4 2
x − 2mx + 4 − 3m = 0 ( ) 1 Đặt 2
t = x ≥ 0 ⇒ ( ) 1 thành 2
t − 2mt + 4 − 3m = 0 (2)
Khi đó (C ) giao Ox tại 2 điểm phân biệt ⇔ (2) có nghiệp kép dương hoặc 2 nghiệm phân biệt trái dấu
• TH1. (2) có nghiệp kép dương  2  =
∆ = m − ( − m) m 1 ' 4 3 = 0   m = −4 ⇔ t
 + t = 2m > 0 ⇔  ⇔ m =1. 1 2   4
t t = 4 − 3m > 0  < < 1 2 0 m  3
• TH2. (2) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
m −1 m + 4 > 0 2
∆ ' = m − (4 −3m) ( )( ) > 0  4 ⇔  ⇔  ⇔ m > . 4 t
 t = 4 − 3m < 0 m > 3 1 2  3 4
Kết hợp 2 trường hợp ta được m = 1 hoặc m > thỏa mãn. 3 4
Đ/s: m = 1 hoặc m > . 3
Câu 2: [ĐVH]. Cho hàm số 4 2
y = x − 3x + 5 , có đồ thị là (C ) và đường thẳng d : y = −m +1. Tìm
m để (C ) giao d tại ba điểm phân biệt. Lời giải:
Hoành độ giao điểm của d và (C ) là nghiệm của phương trình 4 2
x − 3x + 5 = −m +1 ( ) 1 Đặt 2
t = x ≥ 0 ⇒ ( ) 1 thành 2 2
t − 3t + 5 = −m +1 ⇔ t − 3t + m + 4 = 0 (2)
Khi đó (C ) giao d tại 3 điểm phân biệt ⇔ (2) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương (3) Do đó 2
0 − 3.0 + m + 4 = 0 ⇔ m = −4.
Ngược lại, với m = −4 thì (2) thành 2
t − 3t − 4 + 4 = 0 ⇔ t = 0 hoặc t = 3. Đã thỏa mãn (3). Đ/s: m = −4.
Câu 3: [ĐVH]. Cho hàm số : 4 2
y = x − 2mx + m +1 (C ) . Tìm m để (C ) cắt trục Ox tại 4 điểm phân
biệt có hoành độ x ; x ; x ; x thoã mãn: 4 4 4 4
x + x + x + x = 20 . 1 2 3 4 1 2 3 4 Lời giải :
+) Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và Ox là: 4 2
x − 2mx + m +1 = 0 ( ) 1 +) Đặt 2 t = x ( ) 2
: 1 ⇒ t − 2mt + m +1 = 0 (2)
+) Để (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt t > t > 0 1 2 2
∆ ' = m − m −1 > 0   + = ⇔ t t 2mS = 2m > 0 (*). Theo Viet: 1 2   tt = m +1 P 1 2  = m +1 > 0 +) Khi đó PT ( )
1 có 4 nghiệm − t ; − t ; t ; t 1 2 2 1
Ta có: giả thiết bài toán ⇔ t + t + t + t = 20 ⇔ t + t = 10 ⇔ (t + t )2 2 2 2 2 2 2 − 2t t =10 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 m = 2 2 2
⇔ 4m − 2m − 2 =10 ⇔ 2m − m − 6 = 0 ⇔ m  = 3 − (loai)
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Câu 4: [ĐVH]. Cho hàm số : 4
y = x − ( m + ) 2 2
1 x + 2 (C) . Tìm m để (C ) cắt trục Ox tại 4 điểm 1 1 1 1 5
phân biệt có hoành độ x ; x ; x ; x thoả mãn: + + + = . 1 2 3 4 4 4 4 4 x x x x 2 1 2 3 4 Lời giải :
+) Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và Ox là: 4 x − ( m + ) 2 2 1 x + 2 = 0 ( ) 1 +) Đặt 2 t = x ( ) 2
: 1 ⇒ t − (2m + ) 1 t + 2 = 0 (2)
+) Để (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt t > t > 0 1 2 ∆ = ( m + )2 2 1 − 8 > 0   + = + ⇔ t t 2m 1
S = 2m +1 > 0 (*). Theo Viet: 1 2   tt = 2 P = 2 > 0 1 2  1 1 1 1 5 +) Khi đó PT ( )
1 có 4 nghiệm − t ; − t ; t ; t ta có: + + + = 1 2 2 1 2 2 2 2 t t t t 2 1 2 2 1 2( 2 2 t + tm = 1 2 2 5 1 2 ) 5 2 2 ⇔ + = ⇔
= ⇔ t + t = 5 ⇔ t + t
− 2t t = 5 ⇔ 2m +1 = 9 ⇔  2 2 2 2 1 2 ( 1 2)2 1 2 ( )2 t t 2 t .t 2 m  = 2 − loai 1 2 1 2 ( )
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
Câu 5: [ĐVH]. Cho hàm số : 4 2
y = x − 2mx + m + 4 (C) . Tìm m để (C ) cắt trục Ox tại 4 điểm
phân biệt có hoành độ x ; x ; x ; x thoã mãn: x + x + x + x = 8 . 1 2 3 4 1 2 3 4 Lời giải :
+) Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và Ox là: 4 2
x − 2mx + m + 4 = 0 ( ) 1 +) Đặt 2 t = x ( ) 2
: 1 ⇒ t − 2mt + m + 4 = 0 (2)
+) Để (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt t > t > 0 1 2 2
∆ ' = m − m − 4 > 0   + = ⇔ t t 2mS = 2m > 0 (*) . Theo Viet: 1 2   tt = m + 4 P 1 2  = m + 4 > 0 +) Khi đó PT ( )
1 có 4 nghiệm − t ; − t ; t ; t 1 2 2 1
Ta có: giả thiết ⇔ − t + − t + t +
t = 8 ⇔ 2 ( t + t = 8 ⇔ t + t = 4 1 2 ) 1 2 2 1 1 2 m ≤ 8
⇔ t + t + 2 t t =16 ⇔ 2 m + 4 =16 − 2m ⇔ m + 4 = 8 − m ⇔  ⇔ m = 5 tm 1 2 1 2 2 ( )
m −17m + 60 = 0
Vậy m = 5 là giá trị cần tìm.
Câu 6: [ĐVH]. Cho hàm số: 4 2
y = x − 5x + 2m + 2 (C ) . Tìm m để (C ) cắt trục Ox tại 4 điểm phân
biệt có hoành độ x ; x ; x ; x theo thứ tự tăng dần sao cho x = 2x . 1 2 3 4 1 2 Lời giải :
+) Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và Ox là: 4 2
x − 5x + 2m + 2 = 0 ( ) 1 +) Đặt 2 t = x ( ) 2
: 1 ⇒ t − 5t + 2m + 2 = 0 (2)
+) Để (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt t > t > 0 1 2
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
∆ ' = 25 − 8m − 8 > 0   + = ⇔ t t 5 S = 5 > 0 (*). Theo Viet: 1 2   tt = 2m + 2
P = 2m + 2 > 0 1 2 +) Khi đó PT ( )
1 có 4 nghiệm theo thứ tự tăng dần là: − t ; − t ; t ; t 1 2 2 1 t  = 4
Ta có: giả thiết −2 t = − t ⇔ 4t = t kết hợp với 1
t + t = 5 ⇒  . 2 1 2 1 1 2 t  = 1 1
⇒ t t = 2m + 2 = 4 ⇔ m =1 tm 1 2 ( )
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
Câu 7: [ĐVH]. Cho hàm số 4 2 2
y = x − (m+ 4)x + m + 3 , có đồ thị là (C ) . Tìm m để (C ) giao Ox
tại bốn điểm phân biệt có hoành độ x , x , x , x thỏa mãn 4 4 4 4
x + x + x + x = 50 . 1 2 3 4 1 2 3 4 Lời giải:
Hoành độ giao điểm của Ox và (C ) là nghiệm của phương trình 4 x − (m + ) 2 2
4 x + m + 3 = 0 ( ) 1 Đặt 2
t = x ≥ 0 ⇒ ( ) 1 thành 2 t − (m + ) 2
4 t + m + 3 = 0 (2)
Khi đó (C ) giao Ox tại bốn điểm phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm dương phân biệt
∆ = (m + 4)2 − 4( 2 m + 3) > 0  2 
−3m + 8m + 4 > 0 ⇔ t
 + t = m + 4 > 0 ⇔  * 1 2 ( )  m > 4 − 2
t t = m + 3 > 0  1 2  x = ± t1 Từ đó ta có 2 4 4 4 4 x = t ⇔ 
⇒ x + x + x + x = 2( 2 2 t + t = 50 ⇔ t + t − 2t t = 25 1 2 3 4 1 2 ) ( 1 2)2 1 2 x  = ± t2  ⇒ ( m = TM m + 4) 3 (*) 2 − 2( 2 m + 3) 2 ( )
= 25 ⇔ −m + 8m −15 = 0 ⇔ m
 = 5 ( Ko TM (*)) Đ/s: m = 3.
Câu 8: [ĐVH]. Cho hàm số 4
y = x − (m + ) 2
1 x + m + 2 , có đồ thị là (C ) . Tìm m để (C ) cắt Ox
tại 4 điểm phân biệt có hoành độ x , x , x , x thỏa mãn 4 4 4 4
x + x + x + x = 26 1 2 3 4 1 2 3 4 Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm 4 x − (m + ) 2 1 x + m + 2 = 0 Đặt 2 2
t = x ⇒ t − (m + )
1 t + m + 2 = 0 ( ) *
Để (C ) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt thì phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt   0
(m + )2 − (m + ) 2 1 4 2 > 0  ∆ >
m − 2m − 7 > 0
m > 1+ 2 2,m < 1− 2 2     
⇔ S > 0 ⇔ m +1 > 0 ⇔ m > 1 − ⇔ m > −1 ⇔ m > 1+ 2 2     P > 0 m + 2 > 0 m   > 2 − m > −2  
Gọi t , t là 2 nghiệm của phương trình (*) ⇒ x = t , x = − t , x = t , x = − t và 1 2 1 1 2 1 3 2 4 2 t  + t = m +1 1 2
tt = m + 2 1 2
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Ta có: x + x + x + x = 26 ⇔ 2t + 2t = 26 ⇔ 2 (t + t )2 4 4 4 4 2 2 − 4t t = 26 1 2 3 4 1 2 1 2 1 2 m = ⇔ 2(m + ) 4 2 1 − 4(m + 2) 2 2
= 26 ⇔ 2m = 32 ⇔ m = 16 ⇔ m  = −4(loai)
Vậy m = 4 là giá trị cần tìm.
Câu 9: [ĐVH]. Cho hàm số 4
y = x − ( m + ) 2 2 2
1 x + m + m , có đồ thị là (C ) . Tìm m để (C ) cắt
Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm − ( x = m x 2m + )
1 x + m + m = 0 ⇔ ( x − m)( x − m − ) 2 4 2 2 2 2 1 = 0 ⇔  2 x = m + 1 m > 0
Để (C ) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt thì  ⇔ m > 0 m + 1 > 0
Khi đó 4 nghiệm của phương trình theo thứ tự là x = − m + 1, x = − m, x = m, x = m + 1 1 2 3 4
Để 4 nghiệm của phương trình lập thành một cấp số cộng thì 1
x − x = x − x ⇔ − m + m + 1 = m + m ⇔ m + 1 = 3 m ⇔ m + 1 = 9m ⇔ m = 2 1 3 2 8 1 Vậy m = là giá trị cần tìm. 8
Câu 10: [ĐVH]. Cho hàm số: 4
y = x − ( m + ) 2 2
1 x + m + 2 (C) . Tìm m để đồ thị (C ) cắt trục Ox tại
4 điểm A,B,C,D có hoành độ tăng dần sao cho 2 2 AC + BD = 18 . Lời giải :
+) Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và Ox là: 4 x − ( m + ) 2 2
1 x + m + 2 = 0 ( ) 1 +) Đặt 2 t = x ( ) 2
: 1 ⇒ t − (2m + )
1 t + m + 2 = 0 (2)
+) Để (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt t > t > 0 1 2 ∆ = ( m + )2 ' 2 1 − 4m − 8 > 0   + = + ⇔ t t 2m 1
S = 2m +1 > 0 (*) . Theo Viet: 1 2   tt = m + 2 P = m + 2 > 0 1 2  +) Khi đó PT ( )
1 có 4 nghiệm sắp xếp theo thứ tự tăng dần là − t ; − t ; t ; t suy ra 1 2 2 1
A(− t ;0 ; B − t ;0 ;C t ;0 ; D t ;0 ta có: AC = ( t + t = BD 2 1 )2 2 2 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 1 )
Do vậy giả thiết ta có: ( t + t )2 = 9 ⇔ t + t + 2 t t = 9 ⇔ 2m +1+ 2 m + 2 = 9 1 2 1 2 1 2 m ≤ 4 m ≤ 4
⇔ m + 2 = 4 − m ⇔  ⇔  ⇔ m = 2 tm . 2 2 ( )
m + 2 = m − 8m +16
m − 9m +14 = 0
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Câu 11*: [ĐVH]. Cho hàm số 4 y = − x + ( 2 m − ) 2 2 2
1 x − 7 , có đồ thị là (C ) và đường thẳng d : y = 2
− mx − 7 . Tìm m để (C) giao d tại bốn điểm phân biệt. Lời giải:
Hoành độ giao điểm của d và (C ) là nghiệm của phương trình 4 − x + ( 2 m − ) 2 2 2 1 x − 7 = 2 − mx − 7 x = 0 4 2x 2 ( 2 m ) 2 3 1 x 2mx 0 2x x ( 2 m )1x m ⇔ − − − = ⇔ − − − = 0 ⇔    3 x −  ( 2 m − )
1 x − m = 0 ( ) 1
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Khi đó d và (C ) giao nhau tại bốn điểm phân biệt ⇔ ( )
1 có 3 nghiệm phân biệt khác 0.
Xét hàm số f ( x) 3 = x − ( 2 m − )
1 x − m = 0 với x ∈ ℝ có f ( x) 2 = x − ( 2 ' 3 m − ) 1
Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khác 0
⇔ f '(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x ; x với f (x . f x < 0 và 3 −( 2 0 m − ) 1 .0 − m ≠ 0 (2) 1 ) ( 2) 1 2
Ta có f '( x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt 2
⇔ m −1 > 0 ⇔ m >1 hoặc m < −1 ( )* m −1 Khi đó f '( x) 2 2 2
= 0 ⇔ 3x = m −1 ⇔ x = ± . 3 3  2  2 2 2 m −1  m −1 m −1 2 m −1
Do đó f ( x ) = f   =   −   ( 2 m − ) 1 − m = − ( 2 m −1 − . m 1 ) 3  3  3 3 3   3   ( ) 2 2 m −1  m −1 =  −  = −   +   ( − ) 2 m −1 2 m − f x f m 1 − m = (m − ) 2 1 2 2 1 − m 2 3  3  3 3 3   2 2 3 4 m −1
Từ đó f ( x ). f ( x ) 2 = m − ( 2 m − ) 2 1 . < 0 ⇔ 27m − 4( 2 m −1 < 0 3 1 2 ) ( ) 9 3 Đặt 2
t = m −1 ≥ −1 ⇒ (3) thành
(t + )− t < ⇔ t − t − > ⇔ (t − )( t + )2 3 3 27 1 4 0 4 27 27 0 3 2 3 > 0 ( t + )2 2 3 > 0  > ⇔ m 2  ⇔ t > 3 hay 2
m −1 > 3 ⇔ m > 2 hoặc m < −2. Kết hợp với (*) ta được  t  > 3 m < −2 m > 2  m ≠ 0
Như vậy (2) ⇔ m < −2 ⇔ m > 2 hoặc   m < −2 m ≠ 0 m ≠ 0
Đ/s: m > 2 hoặc  m < −2
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!