Tuyển tập các bài toán hình học không gian – Châu Ngọc Hùng Toán 12

Tuyển tập các bài toán hình học không gian được phân dạng theo khối hình, tài liệu gồm 75 trang do thầy Châu Ngọc Hùng biên soạn.Mời các bạn đón xem.

 

114 57 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Khối đa diện

Môn: Toán 12

Thông tin:

75 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Lan Tường
CÁC BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN CHO THI ĐẠI HỌC
1 - Khối chóp
Bài 1.1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác S AB đều và
S AD =90
0
. J là trung điểm SD. Tính theo a thể tích khối tứ diện ACDJ và khoảng cách từ D
đến mặt phẳng (ACJ).
Giải:
A
B
D
C
I
S
J
+
(
AD ⊥S A
AD ⊥ AB
⇒ AD ⊥(S AB)
+ Gọi I là trung điểm AB thì AD ⊥ SI (1). Mà ∆S AB đều nên SI ⊥ AB(2)
Từ (1) và (2) suy ra SI ⊥(ABCD). Do đó d(J,(ACD)) =
1
2
d(S,(ABCD)) =
1
2
SI =
a
p
3
4
Từ đó suy ra V
ACD J
=
1
3
.
1
2
.a
2
.
a
p
3
4
=
a
3
p
3
24
.
∆BCI vuông tại B nên C I
2
=CB
2
+BI
2
=
5a
2
4
∆SIC vuông tại I nên SC
2
=S I
2
+IC
2
=2a
2
Tương tự SD
2
=SC
2
=2a
2
∆SCD có C J là đường trung tuyến nên CJ
2
=
SC
2
+CD
2
2
−
SD
4
4
=a
2
Xét ∆J AC có J A =
a
p
2
; AC = a
p
2; CJ = a nên tính được cosA =
3
4
Từ đó sin
J AC =
p
7
4
nên dt(J AC) =
1
2
.
a
p
2
.
p
7
4
=
a
2
p
7
8
Vậy d(D,(J AC)) =
3.
a
3
p
3
24
a
2
p
7
8
=
a
p
21
7
Nhận xét: Có thể tính diện tích tam giác JAC bằng cách lấy hình chiếu của J trên mặt đáy (là
trung điểm H của DI). Trong mặt đáy, kẻ HK vuông góc với AC (hay HK song song với BD) với
K thuộc AC thì chỉ ra được JK vuông góc với AC và tính được JK là đường cao tam giác JAC.
Bài 1.2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC =2
p
3a, BD =
2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (S AC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (S AB ) bằng
a
p
3
4
, tính thể tích khối chóp S.ABCD
theo a.
http://boxmath.vn/ 1
Giải:
D
A
C
B
O
S
H
K
I
Từ giả thiết AC = 2a
p
3; BD = 2a và AC, BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi
đường chéo. Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = a
p
3; BO = a, do đó
ABD = 60
o
hay tam
giác ABD đều. Từ giả thiết hai mặt phẳng (S AC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO ⊥(ABCD).
Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có DH ⊥ AB
và DH =a
p
3;OK//DH và OK =
1
2
DH =
a
p
3
2
⇒OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥(SOK) Gọi I là hình chiếu của
O lên SK ta có OI ⊥ SK; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (S AB), hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng
(S AB). Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao ⇒
1
OI
2
=
1
OK
2
+
1
SO
2
⇒ SO =
a
2
Diện tích
đáy S
ABCD
=4S
∆ABO
=2.OA.OB =2
p
3a
2
; đường cao của hình chóp SO =
a
2
.
Thể tích khối chóp S.ABCD : V
S.ABCD
=
1
3
S
ABCD
.SO =
p
3a
3
3
Bài 1.3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 3cm , các cạnh S A =
SB = SC =3cm. Tam giác SBD có diện tích bằng 6cm
2
.Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Giải:
D
A
C
B
O
S
H
Gọi H là hình chiếu của S trên (ABCD) suy ra H nằm trên BD (Vì S A =SB == SC, BD là trung
trực của AC). Do đó SH đường cao của hình chóp cũng là đường cao của tam giác SBD; Gọi O
là giao điểm của AC và BD. Vì S A = SC = D A =DC nên SO =DO suy ra tam giác SBD là tam
giác vuông tại S. Vì dt(SBD) =6 và SB =3 nên SD =4; suy ra BD =5, SH =
12
5
.
ABCD là hình thoi có AD =3, DO =
5
2
nên AO =
p
11
2
suy ra dt(ABCD) =
5
p
11
2
.
http://boxmath.vn/ 2
V
S.ABCD
=
1
3
SH.dt(ABCD) =2
p
11.
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD bằng 2
p
11(cm
3
).
Bài 1.4. Cho hình chóp S.ABC có S A =3a (với a >0); S A tạo với đáy (ABC) một góc bằng 60
0
.
Tam giác ABC vuông tại B,
ACB =30
0
.G là trọng tâm tam giác ABC. Hai mặt phẳng (SGB)
và (SGC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a.
Giải:
A
C
B
K
G
S
Gọi K là trung điểm BC. Ta có SG ⊥(ABC);
S AG =60
0
, AG =
3a
2
.
Từ đó AK =
9a
4
; SG =
3a
p
3
2
.
Trong tam giác ABC đặt AB = x ⇒ AC =2x; BC = x
p
3.
Ta có AK
2
= AB
2
+BK
2
nên x =
9a
p
7
14
Vậy V
S.ABC
=
1
3
SG.dt(ABC) =
243
112
a
3
.
Bài 1.5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và tam giác S AB là tam giác
cân tại đỉnh S. Góc giữa đường thẳng S A và mặt phẳng đáy bằng 45
0
, góc giữa mặt phẳng
(S AB) và mặt phẳng đáy bằng 60
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD, biết rằng khoảng cách
giữa hai đường thẳng CD và S A bằng a
p
6.
Giải:
A
B
C
D
M
N
H
S
P
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt đáy, M là trung điểm AB và do tam giác S AB
cân tại S nên SM vuông góc với AB và kết hợp với SH vuông góc với đáy suy ra AB vuông góc
với mặt phẳng SMN nên theo giả thiết ta được:
á
(S A,(ABCD)) =
S AH =45
0
⇒S A = SH
p
2.
á
((S AB),(ABCD)) =
á
(SM, MH) =
SMH =60
0
⇒SM = SH.
2
p
3
.
http://boxmath.vn/ 3
Từ điểm N kẻ NP vuông góc với SM thì dễ thấy NP là khoảng cách giữa hai đường thẳng S A
và CD suy ra NP =a
p
6. Ta có SH.M N = NP.SM ⇐⇒ SH.AB = a
p
6.SH ⇐⇒ AB =2
p
2a
Trong tam giác S AM ta có SA
2
= AM
2
+SM
2
⇐⇒ 2.SH
2
=
4SH
2
3
+2a
2
⇐⇒ SH =a
p
3.
Vậy V
S.ABCD
=
1
3
SH.dt(ABCD) =
a
p
3.8a
2
3
=
8
p
3a
3
3
.
Bài 1.6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a,BC = 2a. Cạnh bên
S A vuông góc với mặt đáy, S A = a. Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Tính thể tích khối
chóp H.ACD theo a và côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Giải:
A
B
C
D
S
H
E
K
Kẻ HE//S A(E ∈ AB) ⇒ HE ⊥(ABCD).
Trong tam giác SAB có AB
2
=BH.SB ⇒
BH
SB
=
AB
2
SB
2
=
1
2
=
HE
S A
⇒ HE =
a
2
Diện tích ∆ACD là S
∆ACD
=
1
2
AD.CD = a
2
⇒ thể tích H.ACD là V
H.ACD
=
1
3
HE.S
∆ACD
=
a
3
6
S A ⊥ (ABCD) ⇒ S A ⊥ BC mà BC ⊥ AB nên BC ⊥ (S AB) ⇒ BC ⊥ H A mà H A ⊥ SB nên H A ⊥
(SBC) tương tự gọi K là hình chiếu của A trên SD thì AK ⊥ (SCD) do vậy góc giữa hai mặt
phẳng (SBC) và (SCD) là góc giữa AH và AK.
trong tam giác vuông SAB có
1
AH
2
=
1
AB
2
+
1
S A
2
⇒ AH =
a
p
2
2
, S A
2
=SH.SB ⇒ SH =
a
p
2
2
tương tự AK =
2a
p
5
, SK =
a
p
5
cos
BSD =
SB
2
+SD
2
−BD
2
2.SB.SD
=
SH
2
+SK
2
−HK
2
2.SH.SK
⇒ HK
2
=
a
2
2
Trong ∆AHK có cos
AHK =
AH
2
+AK
2
−HK
2
2.AH.AK
=
p
10
5
>0 ⇒ cos(
á
(SBC),(SCD)) =
p
10
5
Bài 1.7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông . Mặt bên S AB là tam giác
cân tại S, mặt phẳng (S AB) vuông góc với đáy, mặt phẳng (SCD) tạo với đáy góc 60
0
và cách
đường thẳng AB một khoảng là a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Giải:
http://boxmath.vn/ 4
A
B
C
D
H
I
S
K
Gọi H, I lần lượt là trung điểm AB và CD Do S AB cân tại S nên SH ⊥ AB mà (S AB) ⊥(ABCD)
do đó SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ CD, H I ⊥ CD nên CD ⊥ (SH I), kẻ HK ⊥ SI, CD ⊥ HK nên HK ⊥
(SCD) ⇒ HK = d(H,(SCD)) = d(AB, (SCD)) =a
CD ⊥(SH I) ⇒
HI⊥CD
SI⊥CD
CD =(SCD) ∩(AB CD)
⇒(
á
(SCD), (ABCD) =(
à
HI, SI) =
SIH =60
0
Trong ∆HK I có H I =
HK
sin60
0
=
2a
p
3
=BC. Trong ∆HSI có SH = HI.tan60
0
=2a
diện tích ABCD là S
ABCD
=BC
2
=
4a
2
3
Thể tích S.ABCD là V
S.ABCD
=
1
3
SH.S
ABCD
=
8a
3
9
.
Bài 1.8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành thỏa mãn AB = 2a, BC =
a
p
2, BD = a
p
6. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm của
tam giác BCD. Tính theo α thể tích khối chóp S.ABCD, biết rằng khoảng cách giữa hai đường
thẳng AC và SB bằng a.
Giải:
D
C
A
B
O
M
H
S
K
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD), M là trung điểm CD và O là tâm
của đáy ABCD. Do AO là trung tuyến của tam giác ABD nên AO
2
=
AB
2
+AD
2
2
−
BD
2
4
=
3a
2
2
⇒
AO =
a
p
6
2
⇒ AH = AO +
AO
3
=
2a
p
6
3
BM
2
=
BD
2
+BC
2
2
−
CD
2
4
=
6a
2
+2a
2
2
−
4a
2
4
=3a
2
⇒BM = a
p
3 ⇒BH =
2a
p
3
3
http://boxmath.vn/ 5
Ta có AH
2
+BH
2
=4a
2
= AB
2
⇒ AH⊥BH, kết hợp với AH vuông góc với SH ta được AH ⊥(SHB ).
Kẻ HK vuông góc với SB, theo chứng minh trên ta được AH ⊥ (SHB ) suy ra AH ⊥ HK ⇒ HK
là đoạn vuông góc chung của AC và SB suy ra HK =a.
Trong tam giác vuông SHB ta có
1
HK
2
=
1
SH
2
+
1
HB
2
⇒SH =2a
Ta có V
S.ABCD
=
1
3
SH.S
ABCD
=
1
3
SH.4.S
OAB
=
4
3
SH.
1
2
OA.BH =
4
p
2a
3
3
2 - Khối lăng trụ
Bài 2.1. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
có đáy là tam giác đều cạnh 2a, điểm A
1
cách đều ba điểm A, B, C. Cạnh bên A
1
A tạo với mặt phẳng đáy một góc α. Hãy tìm α , biết
thể tích khối lăng trụ ABC.A
1
B
1
C
1
bằng 2
p
3a
3
.
Giải:
A
B
C
I
H
G
A
1
B
1
C
1
Ta có tam giác ABC đều cạnh 2a nên S
ABC
=a
2
p
3
Mặt khác A
1
A = A
1
B = A
1
C ⇒ A
1
.ABC là hình chóp tam giác đều đỉnh A
1
.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có A
1
G là đường cao.
Trong tam giác ABC có A G =
2
3
AH =
2a
p
3
3
Trong tam giác vuông A
1
AG có:
à
A
1
AG =α; A
1
G = AG.tanα =
2a
p
3
3
.tanα.
Thể tích khối lăng trụ V = A
1
G.S
ABC
=2
p
3a
3
⇒ tanα =
p
3 ⇒α =60
o
.
Bài 2.2. Cho lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, góc
BAC = 120
0
, cạnh bên BB
0
= a . Gọi I là trung điểm của CC
0
. Chứng minh tam giác AB
0
I
vuông tại A và tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB
0
I).
Giải:
http://boxmath.vn/ 6
Ta có BC =a
p
3. Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông ACI, ABB
0
, B
0
C
0
I
Suy ra AI =
p
5
2
a, AB
0
=
p
2a, B
0
I =
p
13
2
a
Do đó AI
2
+AB
02
=B
0
I
2
Vậy tam giác AB
0
I vuông tại A
S
AB
0
I
=
1
2
AI.AB
0
=
p
10
4
a
2
, S
ABC
=
p
3
4
a
2
. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB
0
I). Tam
giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB
0
I.
suy ra S
A
0
BI
cosα = S
ABC
⇔
p
10
4
cosα =
p
3
4
⇔cosα =
r
3
10
Bài 2.3. (DB1 A 2007) Cho lăng trụ đứng ABC A
1
B
1
C
1
có AB = a, AC = 2a, A A
1
= 2a
p
5 và
BAC = 120
0
. Gọi M là trung điểm của cạnh CC
1
. Chứng minh MB ⊥ M A
1
và tính khoảng
cách từ điểm A tới mặt phẳng (A
1
BM).
Giải:
A
B
C
A
1
B
1
C
1
M
+ Ta có A
1
M
2
= A
1
C
2
1
+C
1
M
2
=9a
2
, BC
2
= AB
2
+AC
2
−2AB.AC.cos 120
0
=7a
2
;
BM
2
=BC
2
+CM
2
=12a
2
; A
1
B
2
= A
1
A
2
+AB
2
=21a
2
= A
1
M
2
+MB
2
⇒ MB vuông góc với M A
1
+ Hình chóp M ABA
1
và C ABA
1
có chung đáy là tam giác ABA
1
và đường cao bằng nhau nên
thể tích bằng nhau.
⇒ V =V
M AB A
1
= V
C ABA
1
=
1
3
A A
1
.S
ABC
=
1
3
a
3
p
15
⇒ d(a, (MBA
1
)) =
3V
S
MB A
1
=
6V
MB.M A
1
=
a
p
5
3
http://boxmath.vn/ 7
Bài 2.4. Cho lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên
và mặt đáy bằng 30
0
. Hình chiếu vuông góc H của đỉnh A trên mặt phẳng (A
1
B
1
C
1
) thuộc
đường thẳng B
1
C
1
. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A
1
B
1
C
1
và tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng AA
1
và B
1
C
1
theo a.
Giải:
A
1
B
1
C
1
H
A
C
B
D
à
A A
1
H =30
0
, AH = A A
1
.sin 30
0
=
a
2
Thể tích khối lăng trụ ABC.A
1
B
1
C
1
: V = AH.dt(A
1
B
1
C
1
) =
a
3
p
3
8
∆A A
1
H vuông, A
1
H = a.cos30
0
=
a
p
3
2
. Do ∆A
1
B
1
C
1
đều cạnh a, H thuộc B
1
C
1
và A
1
H =
a
p
3
2
nên A
1
H⊥B
1
C
1
Có AH⊥B
1
C
1
do đó B
1
C
1
⊥(A A
1
H). Kẻ đường cao HK của ∆A A
1
H thì HK chính là khoảng cách
giữa A A
1
và B
1
C
1
Ta có A A
1
.HK = AH.A
1
H, ⇒ HK =
A
1
H.AH
A A
1
=
a
p
3
4
.
Bài 2.5. Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc
của A
0
lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P)
chứa BC và vuông góc với A A
0
, cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng
a
2
p
3
8
. Tính
thể tích khối lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
theo a.
Giải:
A
B
C
M
O
A
0
B
0
C
0
H
Gọi M là trung điểm của BC, gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên A A
0
, Khi đó (P) ≡(BCH).
Do góc
à
A
0
AM nhọn nên H nằm giữa A A
0
. Thiết diện của lăng trụ cắt bởi (P) là tam giác BCH.
http://boxmath.vn/ 8
Do tam giác ABC đều cạnh a nên AM =
a
p
3
2
, AO =
2
3
AM =
a
p
3
3
Theo bài ra S
BCH
=
a
2
p
3
8
⇒
1
2
HM.BC =
a
2
p
3
8
⇒ HM =
a
p
3
4
,
AH =
p
AM
2
−HM
2
=
s
3a
2
4
−
3a
2
16
=
3a
4
Do hai tam giác A
0
AO và M AH đồng dạng nên
A
0
O
AO
=
HM
AH
suy ra A
0
O =
AO.HM
AH
=
a
p
3
3
a
p
3
4
4
3a
=
a
3
Thể tích khối lăng trụ: V = A
0
O.S
ABC
=
1
2
A
0
O.AM.BC =
1
2
a
3
a
p
3
2
a =
a
3
p
3
12
.
3 - Khối tròn xoay
Bài 3.1. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a và đường cao bằng a
p
2.
a) M và N là hai điểm lưu động trên hai đáy sao cho góc của MN và đáy bằng α . Tính
khoảng cách từ trục đến MN.
b) Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ tam giác đều ngọai tiếp hình trụ
Giải:
C
A
B
O
M
N
0
O
0
A
0
B
0
C
0
N
H
a) Kẻ đường sinh N N
0
ta có
à
NM N
0
=α, kẻ OH⊥MN
0
thì OH bằng khỏang cách giữa trục OO
0
và M N.
Ta có: MN
0
= N N
0
.cotα = a.
p
2.cot α
∆OMH vuông : OH
2
=OM
2
−MH
2
=a
2
−
a
2
2
cot
2
α =
a
2
2
(2 −cot
2
α)
⇒OH =a
s
2 −cot
2
α
2
b) Gọi x là cạnh của tam giác đều ngọai tiếp đường tròn đáy của hình trụ.
Ta có: O
0
N = R =
1
3
AN =
1
3
x
p
3
2
=
x
p
3
6
⇒ x =
6R
p
3
=
6a
p
3
V
ABC.A
0
B
0
C
0
=
x
2
p
3
4
.OO
0
=
36a
2
p
3
12
.a
p
2 =3a
2
.
p
6.
http://boxmath.vn/ 9
S
xq
=3x.OO
0
=
18a
p
3
.a
p
2 =6a
2
p
6.
Bài 3.2. Cho hình nón đỉnh S có đường sinh là a, góc giữa đường sinh và đáy là α .
a) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón.
b) Một mặt phẳng hợp với đáy một góc 60
0
và cắt hình nón theo hai đường sinh SA và SB.
Tính diện tích tam giác SAB và khoảng cách từ tâm của đáy hình nón đến mặt phẳng này.
Giải:
O
S
A
B
H
K
a) Tính V và S
xq
.
∆S AO vuông : SO =a.sinα, AO = a.cosα
V =
1
3
π.AO
2
.SO =
1
3
π.a
3
.cos
2
α.sin α
Sxq =π.AO.S A =π.a
2
.cos α
b) + Tính S
S AB
Kẻ OH⊥AB ⇒SH⊥AB, do đó
SOH =60
0
∆SOH vuông :OH = SO.cot.60
0
=
a
p
3.sin α
3
AOH vuông : AH
2
= AO
2
−OH
2
=a
2
.cos
2
α −
3a
2
.sin α
9
⇒ AH =
a
p
3
p
3cos
2
α −sin
2
α
Vậy S
S AB
=
1
2
AB.SH =
2a
2
.sin α
p
3cos
2
α −sin
2
α
3
+ Tính d(O,(S AB))
Kẻ OK⊥SH ⇒OK⊥(S AB)
OKH vuông : OK =OH.sin60
0
=
a
p
3sin α
3
.
p
3
2
=
a. sinα
2
Bài 3.3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và có cạnh bên S A vuông
góc với đáy.
a) Xác định tâm mặt cầu ngọai tiếp hình chóp SABCD.
b) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt AB, SC, SD lần lượt tại B
0
, C
0
, D
0
.
Chứng tỏ rằng bảy điểm A, B,C, D, B
0
, C
0
, D
0
cùng nằm trên một mặt cầu.
Giải:
http://boxmath.vn/ 10
A
B
C
D
S
B
0
D
0
O
C
0
I
a) Ta có :
BC⊥AB
BC⊥S A
)
⇒BC⊥SB
Tương tự CD⊥ SD
Vậy các điểm A, B, D đều nhìn đọan SC dưới một góc vuông, do đó tâm mặt cầu ngọai tiếp hình
chóp S.ABCD là trung điểm I của SC.
b)Ta có : AC
0
⊥SC tại C
0
AB
0
⊥SC và AB
0
⊥BC ( vì BC⊥(S AB)) nên AB
0
⊥(SBC) ⇒ AB
0
⊥B
0
C
Tương tự AD
0
⊥D
0
C
Vậy các điểm B
0
, C
0
, D
0
, D, B cùng nhìn đọan AC dưới một góc vuông, do đó bảy điểm A, B, C, D, B
0
, C
0
, D
0
cùng nằm trên mặt cầu đường kính AC.
4 - Bài tập tự luyện có đáp số
1. (CĐ 2012) Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a
p
2, S A =
SB = SC. Góc giữa đường thẳng S A và mặt phẳng (ABC) bằng 60
0
. Tính thể tích khối
chóp S.ABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a.
* Đáp số: V =
p
3a
3
3
, R =
2a
p
3
3
2. (D 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có đáy là hình vuông, tam giác A
0
AC vuông
cân, A
0
C = a. Tính thể tích của khối tứ diện ABB
0
C
0
và khoảng cách từ điểm A đến mặt
phẳng (BCD
0
) theo a.
* Đáp số: V =
a
3
p
2
48
, d =
a
p
6
6
3. (B 2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu
vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính
thể tích của khối chóp S.ABH theo a.
* Đáp số: V =
7
p
11a
3
96
4. (A 2012)Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của
S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho H A =2HB. Góc giữa đường
thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng S A và BC theo a.
* Đáp số: V =
a
3
p
7
12
, g =
a
p
42
8
http://boxmath.vn/ 11
5. (CĐ 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, S A
vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 30
0
. Gọi
M là trung điểm của cạnh SC. Tính thể tích của khối chóp S.ABM theo a.
* Đáp số: V =
a
3
p
3
36
6. (A 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a;
hai mặt phẳng (S AB ) và (S AC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung
điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai
mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60
0
. Tính thể tích khối chóp S.BCN M và khoảng cách
giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
* Đáp số: V =a
3
p
3, d =
2a
p
39
13
7. (B 2011) Cho hình lăng trụ ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB =
a, AD = a
p
3. Hình chiếu vuông góc của điểm A
1
trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao
điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD
1
A
1
) và (ABCD) bằng 60
0
. Tính thể
tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B
1
đến mặt phẳng (A
1
BD) theo a.
* Đáp số: V =
3a
3
2
, d =
a
p
3
2
8. (D 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a;
mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a
p
3 và
SBC = 30
0
. Tính
thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (S AC) theo a.
* Đáp số: V =2
p
3a
3
, d =
6a
p
7
7
9. (A 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần
lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a
p
3. Tính thể tích khối chóp S.CDN M và tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
* Đáp số: V =
5
p
3a
3
24
, d =
2
p
3a
p
19
10. (D 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A = a;
hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH =
AC
4
. Gọi CM là đường cao của tam giác S AC. Chứng minh M là trung điểm của S A và
tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.
* Đáp số: V =
a
3
p
14
48
11. (CĐ 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt
phẳng (S AB) vuông góc với mặt phẳng đáy, S A = SB, góc giữa đường thẳng
SC và mặt phẳng đáy bằng 45
0
. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
* Đáp số:
a
3
p
5
6
12. (B 2010) Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A
0
B
0
C
0
có AB = a, góc giữa hai mặt
phẳng (A
0
BC) và (ABC) bằng 60
0
. Gọi G là trọng tâm tam giác A
0
BC. Tính
thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện G ABC theo a.
* Đáp số: V =
3a
3
p
3
8
, R =
7a
12
http://boxmath.vn/ 12
13. (CĐ 2009) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, S A = a
p
2. Gọi M, N và P lần
lượt là trung điểm của các cạnh S A, SB và CD. Chứng minh đường thẳng MN vuông góc
với đường thẳng SP. Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP.
* Đáp số: V =
a
3
p
6
48
14. (A 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB =
AD =2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60
0
. Gọi I là trung điểm
của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (CSI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD),
tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
* Đáp số: V =
3
p
15a
3
5
15. (B 2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A
0
B
0
C
0
có BB
0
=a, góc giữa đường thẳng B B
0
và
mặt phẳng (ABC) bằng 60
0
; tam giác ABC vuông tại C và
BAC =60
0
. Hình chiếu vuông
góc của điểm B
0
lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể
tích khối tứ diện A
0
ABC theo a.
* Đáp số: V =
9a
3
208
16. (D 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
AB = a, AA
0
=2a, A
0
C =3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A
0
C
0
, I là giao điểm của
AM và A
0
C. Tính theo a thể tích khối tứ diện I ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt
phẳng (IBC).
* Đáp số: V =
4a
3
9
, d =
2a
p
5
5
17. (CĐ 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang,
BAD =
ABC =90
0
, AB =
BC = a, AD = 2a, S A vuông góc với đáy và S A = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của SA, SD. Chứng minh rằng BCN M là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp
S.BCNM theo a.
* Đáp số: V =
a
3
3
18. (A 2008) Cho lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác
vuông tại A, AB = a, AC = a
p
3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A
0
trên mặt phẳng
(ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A
0
.ABC và tính cosin
của góc giữa hai đường thẳng AA
0
, B
0
C
0
.
* Đáp số: V =
a
3
2
, cosϕ =
1
4
19. (B 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a
p
3
và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai
đường thẳng SM, DN.
* Đáp số: V =
a
3
p
3
3
, cosϕ =
p
5
5
20. (D 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a,
cạnh bên A A
0
= a
p
2. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối
http://boxmath.vn/ 13
lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B
0
C.
* Đáp số: V =
a
3
p
2
2
, d =
p
7a
7
21. (A 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên S AD là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của
các cạnh SB, BC,CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện
CMNP.
* Đáp số: V =
p
3a
3
96
22. (B 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm
đối xứng của D qua trung điểm của S A, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của
BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng
MN và AC.
* Đáp số: d =
a
p
2
4
23. (D 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,
ABC =
BAD = 90
0
, BA = BC =
a, AD = 2a. Cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A = a
p
2. Gọi H là hình chiếu vuông góc
của A trên SB . Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến
mặt phẳng (SCD).
* Đáp số: d =
a
3
24. (A 2006) Cho hình trụ có đáy là hai hình tròn tâm O và O
0
, bán kính đáy bằng
chiều cao và bằng a. T rên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn
đáy tâm O
0
lấy điểm B sao cho AB =2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO
0
AB.
* Đáp số: V =
p
3a
3
12
25. (B 2006) cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =a,
AD =a
p
2, S A = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần
lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh
mặt phẳng (S AC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện AN IB.
* Đáp số: V =
p
2a
3
36
26. (D 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, S A =2a và
S A vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A
trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCN M.
* Đáp số: V =
3
p
3a
3
50
27. (B 2004) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và
mặt đáy bằng ϕ((0
0
< ϕ < 90
0
). Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (S AB) và (ABCD)
theo ϕ. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và ϕ.
* Đáp số: tanα =
p
2tanϕ, V =
p
2a
3
tanϕ
6
28. (D 2003) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng
∆. Trên ∆ lấy hai điểm A,B với AB = a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt
http://boxmath.vn/ 14
phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC,BD cùng vuông góc với ∆ và AC = BD = AB. Tính bán
kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD)
theo a.
* Đáp số: R =
a
p
3
2
, d =
a
p
2
2
29. (B 2002) Cho hình lập phương AB CD.A
1
B
1
C
1
D
1
có cạnh bằng a. a) Tính theo a khoảng
cách giữa hai đường thẳng A
1
B và B
1
D. b) Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các
cạnh BB
1
, CD, A
1
D
1
. Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C
1
N.
* Đáp số: d =
a
p
6
, g =90
0
30. (D 2002) Cho hình tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD =
4cm; AB =3cm; BC =5cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD).
* Đáp số: d =
6
p
34
17
31. (DB1 A 2007) Cho lăng trụ đứng ABC A
1
B
1
C
1
có AB = a, AC = 2a, A A
1
=2a
p
5 và
BAC =
120
0
. Gọi M là trung điểm của cạnh CC
1
. Chứng minh MB ⊥ M A
1
và tính khoảng cách
từ điểm A tới mặt phẳng (A
1
BM).
* Đáp số: d =
a
p
5
3
32. (DB2 A 2007) Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng
60
0
, hai tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ B
đến mặt phẳng (S AC).
* Đáp số: d =
3a
p
13
33. (DB1 B 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, S A vuông
góc với đáy. Cho AB = a, S A = a
p
2. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB , SD.
Chứng minh SC ⊥(AHK) và tính thể tích khối chóp O AHK.
* Đáp số: V =
2a
3
27
34. (DB2 B 2007) Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB =2R và điểm C
thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy
điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (S AB) và (SBC) bằng 60
0
. Gọi H, K lần lượt là
hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Chứng minh tam giác AHK vuông và tính thể
tích khối tứ diện S ABC theo R.
* Đáp số: V =
R
3
p
6
12
35. (DB1 D 2007) Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có đáy ABC là tam giác vuông AB = AC =
a, A A
1
= a
p
2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A A
1
, BC
1
. Chứng minh MN là đường
vuông góc chung của các đường thẳng A A
1
và BC
1
. Tính thể tích khối tứ diện M A
1
BC
1
.
* Đáp số: V =
a
3
p
2
12
36. (DB2 D 2007) Cho lăng tr ụ đứng ABC A
1
B
1
C
1
có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung
điểm của A A
1
. Chứng minh BM ⊥ B
1
C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM
http://boxmath.vn/ 15
và B
1
C.
* Đáp số: d =
a
p
30
10
37. (DB1 A 2008) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, BA =BC =
2a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm E của AB và
SE = 2a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của EC, SC; M là điểm di động trên tia đối của
tia BA sao cho góc
ECM =α(α < 90
0
) và H là hình chiếu vuông góc của S trên MC. Tính
thể tích khối tứ diện EHI J theo a,α và tìm α để thể tích đó lớn nhất.
* Đáp số: V =
5a
3
sin2α
8
38. (DB2 A 2008) Cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông,
S A = SB =SC =a. Gọi M, N, E lần lượt là tr ung điểm của các cạnh AB, AC,
BC; D là điểm đối xứng của S qua E; I là giao điểm của đường thẳng AD với
mặt phẳng (SMN). Chứng minh AD ⊥SI và tính theo a thể tích của khối tứ
diện MBSI.
* Đáp số: V =
a
3
36
39. (DB1 B 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A = a
p
3 và
S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối tứ diện S ACD và tính cosin
của góc giữa hai đường thẳng SB và AC.
* Đáp số: V =
a
3
p
3
6
, cosα =
p
2
4
40. (DB2 B 2008) Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a,
các mặt ACD và BCD vuông góc với nhau. Hãy tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD
và tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AD, BC.
* Đáp số: ĐS V =
a
3
p
2
12
, g =60
0
5 - Các bài toán về khoảng cách
Phạm vi những bài tập này tôi sẽ đề cập một phương pháp xuyên suốt để giải các bài toán về
khoảng cách trong không gian đó là quy về bài toán cơ bản: Tính khoảng cách từ chân đường
cao đến một mặt của hình chóp.
Trước hết ta cần nắm chắc bài toán: Cho hình chóp S ABC có S A vuông góc với đáy ABC.
Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
• Việc tính khoảng cách này là rất đơn giản nhưng nó là chìa khóa để giải quyết mọi bài toán
liên quan đến khoảng cách:
Ta kẻ AM⊥BC, AH⊥SM ⇒ AH⊥(SBC) ⇒ d
A/(SBC)
= AH
Trong tam giác vuông S AM ta có
1
AH
2
=
1
AS
2
+
1
AM
2
⇒ AH =
AS.AM
p
AS
2
+AM
2
• Tính chất quan trọng
- Nếu đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P)
thì khoảng cách từ mọi điểm trên (d) đến mặt phẳng (P) là như nhau
http://boxmath.vn/ 16
- Nếu
−−→
AM =k
−−→
BM thì d
A/(P)
=|k|d
B/(P)
trong đó (P) là mặt phẳng đi qua M
- Nếu a, b là hai đường thẳng chéo nhau.
Gọi (P) là mặt phẳng chứa b và (P)ka thì d
a/b
= d
a/(P)
= d
M∈a/(P)
Trên cơ sở các tính chất trên. Khi cần tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ,
hay tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta luôn quy được về bài toán cơ bản.
Ta xét các bài toán sau:
Bài 5.1.
Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang
ABC =
BAD =90
o
, BA =BC = a, AD =2a.
Cạnh bên S A vuông góc với đáy và SA = a
p
2, góc tạo bởi SC và (S AD) bằng 30
o
. Gọi G là
trọng tâm tam giác (S AB). Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SCD)
Giải:
Kẻ CE vuông góc với AD thì E là trung điểm của AD và CE⊥(S AD)
⇒C
ˆ
SE =30
0
⇒SE =CE.tan 60 = a
p
3 ⇒S A = a
p
2
Gọi M là trung điểm của AB , N là trung điểm của AE. Ta có BE song song với (SCD), MN
cũng song song với (SCD). Ta có ND =
3
4
AD
GS =
2
3
MS ⇒ d
G/(SCD)
=
2
3
d
M/(SCD)
=
2
3
.d
N/(SCD)
=
2
3
.
3
4
d
A/(SCD)
=
1
2
d
A/(SCD)
Vì tam giác ACD vuông cân tại C nên CD vuông góc với (S AC).
Hạ AH vuông góc với SC thì AH⊥(SCD) ⇒ d
A/(SCD)
= AH =
S A.SC
p
S A
2
+SC
2
=a
(Ta cũng có thể lập luận tam giác SAC vuông cân suy ra AH =a)
Bài 5.2.
Cho hình lăng trụ ABC A
0
B
0
C
0
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A cạnh huyền BC =a
p
2
cạnh bên AA
0
= 2a, biết A
0
cách đều các đỉnh A, B, C . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
A A
0
, AC. Tính thể tích khối chóp C
0
MNB và khoảng cách từ C
0
đến mặt phẳng (MNB)
Giải:
- Tính thể tích:
Vì A
0
cách đều A, B, C nên chân đường cao hạ từ A
0
lên mặt phẳng (ABC) là tâm vòng tròn
ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi H là trung điểm của BC suy ra A
0
H⊥(ABC)
Gọi K = MN ∩ AC
0
⇒ AK =
1
3
C
0
K ⇒V
C
0
MNB
=3V
AMNB
Gọi E là trung điểm của AH ⇒ ME⊥(ABC) ⇒V
M ANB
=
1
3
ME.dt(ANB)
T ính được: ME =
1
2
A
0
H =
1
2
a
p
14
2
=
a
p
14
4
Suy ra: V
M ANB
=
1
3
.
a
p
14
4
.
a
2
4
=
p
14a
3
48
. Vậy V
C
0
MNB
=
p
14a
3
16
Ta thấy rằng việc tính trực tiếp khoảng cách từ điểm C
0
đến mặt phẳng (BMN) là tương đối
khó. Để khắc phục khó khăn này ta sẽ tạo ra bài toán cơ bản tính khoảng cách từ chân đường
cao đến mặt phẳng (BMN) bằng cách dựng đường cao ME của khối chóp ABMN.
- Tính khoảng cách: d
C
0
/(BMN)
=3d
A/(BMN)
. Gọi F là trọng tâm tam giác ABC
Ta có: AF =
2
3
AH; EH =
1
2
AH ⇒ EF +
1
3
AH =
1
2
AH ⇒ EF =
1
6
AH ⇒ d
A/(BMN)
=4d
E/(BMN)
Như vậy d
C
0
/(BMN)
=3d
A/(BMN)
=12d
E/(BMN)
http://boxmath.vn/ 17
Hạ
(
EP⊥BN
EQ⊥MP.
⇒EQ⊥(MNB) ⇒ d
E/(MNB)
=EQ =
EP.EM
p
EP
2
+EM
2
Ta có ∆EPF đồng dạng với ∆BHF⇒
EP
BH
=
EF
BF
⇒EP =
BH.EF
BF
T ính được BH =
a
p
2
2
; EF =
1
4
AF =
1
4
.
2
3
AH =
1
6
AH =
a
p
2
12
; BF =
a
p
5
3
Suy ra: EP =
a
p
5
20
⇒EQ =
EP.EM
p
EP
2
+EM
2
=
p
994a
284
Vậy d
C
0
/(BMN)
=12d
E/(BM N)
=12.
p
994a
284
=
3
p
994a
71
Qua ví dụ trên ta thấy rõ tầm quan trọng của bài toán cơ bản
Bài 5.3.
Cho hình chóp S AB C có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Chân đường cao hạ từ S lên
mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc AB sao cho
−−→
H A = −2
−−→
HB. Góc tạo bởi SC và mặt phẳng
(ABC) bằng 60
o
. Tính thể tích khối chóp S ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng S A,BC
theo a.
Giải:
- Tính thể tích:
Vì SH⊥(ABCD) nên HC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).
Góc tạo bởi SC và mặt phẳng (ABCD) là
SCH =60
o
.
Xét tam giác BHC theo định lý hàm số cosin ta có
HC
2
= HB
2
+BC
2
−2HB.BC. cos
HBC = HB
2
+BC
2
−2HB.BC. cos60
o
=
a
2
9
+a
2
−2.
a
3
.a.
1
2
=
7a
2
9
Suy ra HC =
a
p
7
3
⇒SH = HC.tan
SCH =
a
p
7
3
.
p
3 =
a
p
21
3
Ta suy ra V
S ABC
=
1
3
SH.S
∆ABC
=
1
3
a
p
21
3
.
1
2
a.a. sin60
o
=
p
7a
3
12
( ĐVTT)
- Tính khoảng cách:
Gọi E là trung điểm của BC , D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD
Ta có AD//BC nên d
S A/BC
= d
BC/(S AD)
= d
B/(S AD)
=
3
2
d
H/(S AD)
Kẻ
(
HF⊥AD
HK⊥SF
⇒ HK⊥(S AD) ⇒ d
H/(S AD)
= HK
Trong tam giác vuông SHF ta có
1
HK
2
=
1
HF
2
+
1
HS
2
⇒ HK =
HF.HS
p
HS
2
+HF
2
Mặt khác HF =
2
3
AE =
2
3
a
p
3
2
=
p
3a
3
.
Suy ra HK =
HF.HS
p
HS
2
+HF
2
=
p
3a
3
.
a
p
21
3
r
3
9
a
2
+
21
9
a
2
=
p
42
12
a
Vậy d
S A/BC
=
3
2
.
p
42
12
a =
p
42
8
a
6 - Giải toán Hình không gian bằng Phương pháp tọa độ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
J Phương pháp
http://boxmath.vn/ 18
• Bước 1: Chọn hệ trục tọa Ox yz. Xác định một góc tam diện vuông trên cơ sở có sẵn của
hình (như tam diện vuông, hình hộp chữ nhật, hình chóp tứ giác đều . . . ), hoặc dựa trên các
mặt phẳng vuông góc dựng thêm đường phụ.
• Bước 2: Tọa độ hóa các điểm của hình không gian. Tính tọa độ điểm liên quan trực tiếp
đến giả thiết và kết luận của bài toán. Cơ sở tính toán chủ yếu dựa vào quan hệ song song,
vuông góc cùng các dữ liệu của bài toán.
• Bước 3: Chuyển giả thiết qua hình học giải tích. Lập các phương trình đường, mặt liên
quan. Xác định tọa độ các điểm, véc tơ cần thiết cho kết luận.
• Bước 4: Giải quyết bài toán. Sử dụng các kiến thức hình học giải tích để giải quyết yêu
cầu của bài toán hình không gian.
Chú ý các công thức về góc, khoảng cách, diện tích và thể tích . . .
J Cách chọn hệ tọa độ một số hình không gian.
H Tam diện vuông, hình hộp chữ nhật, hình lập phương.
• Xét tam diện vuông S.AB C có SA =a, SB = b, SC = c. Chọn hệ trục tọa độ Ox yz sao cho
S ≡O,
−−→
S A,
−−→
SB,
−−→
SC lần lượt cùng hướng với các tia Ox, O y, Oz. Tọa độ các điểm khi đó là
S(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c).
• Xét hình hộp chữ nhật ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có độ dài các cạnh là AB = a, AD = b, A A
0
=
c. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A ≡ O,
−−→
AB,
−−→
AD,
−−→
A A
0
lần lượt cùng hướng với các tia
Ox, O y, Oz. Tọa độ các điểm khi đó là
A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; b ; 0), A
0
(0; 0; c),
C(a; b; 0), B
0
(a; 0; c), D
0
(0; b; c), C
0
(a; b; c).
H Hình chóp tứ giác đều, tam giác đều.
• Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có O là giao của hai đường chéo và SO = h, AC =2a, BD =
2b. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
−−→
OA,
−−→
OB,
−−→
OS lần lượt cùng hướng với các tia Ox, O y, Oz.
Tọa độ các điểm khi đó là
O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(−a; 0; 0), D(0; −b ; 0).
• Hình chóp tam giác đều S.ABC có O là tâm của tam giác ABC và SO = h, BC = a. Chọn
hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
−−→
OA,
−−→
CB,
−−→
OS lần lượt cùng hướng với các tia Ox, O y, Oz. Tọa độ
các điểm khi đó là
O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A
Ã
a
p
3
3
; 0; 0
!
, B
Ã
−
a
p
6
3
;
a
2
; 0
!
, C
Ã
−
a
p
6
3
; −
a
2
; 0
!
.
J Tùy vào từng bài toán mà có thể thay đổi linh hoạt cách chọn hệ tọa độ. Trong nhiều trường
hợp, phải biết kết hợp kiến thức hình không gian tổng hợp và kiến thức hình giải tích nhằm
thu gọn lời giải..
B. CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA
Bài 6.1.
Cho hình chóp S.ABC, trong đó S A vuông góc với mặt đáy ABC. Đáy là tam giác cân tại A,
đồ dài trung tuyên AD = a,; cạnh bên SB tạo với mặt đáy một góc α và tạo với mặt phẳng
(S AD) góc β. Tìm thể tích hình chóp S.ABC.
Giải:
http://boxmath.vn/ 19
Chọn hệ trục tọa độ Ox yz như hình vẽ. Tọa độ các đỉnh
A(0; 0; 0), B (a; 0; 0), D(0; a; 0), A
0
(0; 0; a),
C(a; a; 0), D
0
(0; a; a), B
0
(a; 0; a), C
0
(a; a; a ).
a) Ta có
−−→
A
0
B(a; 0; −a),
−−→
B
0
D(−a; a; −a),
−−−→
A
0
B
0
(a; 0; 0) ⇒
h
−−→
A
0
B,
−−→
B
0
D
i
=(a
2
; 2a
2
; a
2
)
Khoảng cách giữa hai đường thẳng là d(A
0
B, B
0
D) =
¯
¯
¯
h
−−→
A
0
B,
−−→
B
0
D
i
.
−−−→
A
0
B
0
¯
¯
¯
¯
¯
¯
h
−−→
A
0
B,
−−→
B
0
D
i
¯
¯
¯
=
a
p
6
.
b) Tọa độ các điểm M, N, P là
M
³
a; 0;
a
2
´
, N
³
a
2
; a; 0
´
, P
³
0;
a
2
; a
´
.
Do đó
−−→
MP
³
−a;
a
2
;
a
2
´
,
−−−→
NC
0
³
a
2
; 0; a
´
⇒
−−→
MP.
−−−→
NC
0
=0.
Vậy góc giữa hai đường thẳng bằng 90
0
.
c) Ta có
−−→
MP
³
−a;
a
2
;
a
2
´
,
−−−→
MC
0
³
0; a;
a
2
´
,
−−−→
MN
³
−
a
2
; a; −
a
2
´
⇒
h
−−→
MP,
−−−→
MC
0
i
=
µ
−
a
2
4
;
a
2
2
; −a
2
.
Thể tích khối tứ diện C
0
MNP là V
C
0
MNP
=
1
6
¯
¯
¯
h
−−→
MP,
−−−→
MC
0
i
.
−−−→
MN
¯
¯
¯
=
3
16
a
3
.
Bài 6.2. (Đề thi tuyển sinh đại học, khối A năm 2007)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (S AD) là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh
SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.
Giải:
Vì tam giác S AD là tam giác đều và (SAD)⊥(ABCD) nên gọi O là trung điểm của AD thì
SO⊥(ABCD). Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ (O y song song với AB ). Tọa độ các đỉnh
O(0; 0; 0), S
Ã
0; 0;
a
p
3
4
!
, D
³
a
2
; 0; 0
´
, A
³
−
a
2
; 0; 0
´
, C
³
a
2
; a; 0
´
, B
³
−
a
2
; a; 0
´
.
Nên các trung điểm P
³
a
2
;
a
2
; 0
´
, N
(
0; a; 0
)
, M
Ã
−
a
4
;
a
2
;
a
p
3
4
!
.
Ta có
−−→
AM
Ã
a
4
;
a
2
;
a
p
3
4
!
,
−−→
BP
³
a; −
a
2
; 0
´
nên
−−→
AM.
−−→
BP =
a
2
4
−
a
2
4
+0 =0.
Vậy AM vuông góc với BP. Mặt khác
−−−→
NM
Ã
−
a
4
; −
a
2
;
a
p
3
4
!
,
−−→
NC
³
a
2
; 0; 0
´
,
−−→
NP
³
a
2
; −
a
2
; 0
´
⇒
h
−−−→
NM,
−−→
NC
i
=
Ã
0;
a
2
p
3
8
;
a
2
4
!
.
Do đó thể tích khối tứ diện CM NP là V
CMNP
=
1
6
¯
¯
¯
h
−−−→
NM,
−−→
NC
i
.
−−→
NP
¯
¯
¯
=
a
3
p
3
96
.
http://boxmath.vn/ 20
Bài 6.3.
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC =a, A A
0
=a
p
2.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn A A
0
và BC
0
. Chứng minh M N là đường vuông góc
chung của AA
0
và BC
0
. Tính thể tích khối tứ diện M A
0
BC
0
.
Giải:
Chọn hệ trục tọa độ Ox yz như hình vẽ. Tọa độ các điểm là
A(0; 0;0), B(a;0; 0), C(0; a;0)A
0
(0;0; a), B
0
(a;0; a), C
0
(0; a; a), M
³
0;0;
a
2
´
, N
³
a
2
;
a
2
;
a
2
´
.
Ta có
−−−→
MN
³
a
2
;
a
2
; 0
´
và
−−→
BC
0
(a; −a ; a
p
2),
−−→
A A
0
(0; 0; a
p
2). Do đó
−−→
BC
0
.
−−−→
MN =0
−−→
A A
0
.
−−−→
MN =0
,
hay MN là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AA
0
và BC
0
.
Mặt khác
−−−→
M A
0
Ã
0; 0;
a
p
2
2
!
,
−−→
MB
Ã
0; a; −
a
p
2
2
!
,
−−−→
MC
0
Ã
a; 0;
a
p
2
2
!
Do đó
h
−−−→
M A
0
,
−−→
MB
i
=
Ã
a
2
p
2
2
; 0; 0
!
,
nên thể tích khối tứ diện M A
0
BC
0
là V
M A
0
BC
0
=
1
6
¯
¯
¯
h
−−−→
M A
0
,
−−→
MB
i
.
−−−→
MC
0
¯
¯
¯
=
a
3
p
2
2
.
Bài 6.4.
Cho hình chóp S.AB CD có đáy là nửa lục giác đều ABCD có AB = BC = CD = a,
S A⊥(ABCD), S A = a
p
3. Điểm M chia đoạn SB theo tỷ số −3, điểm I chia đoạn DS theo
tỷ số −
4
3
. Mặt phẳng (AMI) cắt SC tại N.
a) Chứng minh N là trung điểm của SC.
b) Chứng minh SD⊥(AM I) và AMN I thuộc một đường tròn.
c) Tính khoảng cách từ trung điểm của AD đến mặt phẳng (AMN I).
Giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, gốc tọa độ là trung điểm của AD, trục Ox là trục đối
xứng của hình thang ABCD, trục Oz song song với S A. Tọa độ các điểm là
A(0; −a; 0)B
Ã
a
p
3
2
; −
a
2
; 0
!
, D(0; a; 0), C
Ã
a
p
3
2
;
a
2
; 0
!
, S
³
0; −a; a
p
3
´
.
Vì
−−→
MS =−3
−−→
MB,
−→
ID =−
4
3
−→
IS nên M
Ã
3
p
3a
8
; −
5a
8
;
p
3a
4
!
, I
Ã
0; −
a
7
;
4
p
3a
7
!
.
a) Ta có
−−→
AM
Ã
3
p
3a
8
;
3a
8
;
2
p
3a
8
!
,
−→
AI
Ã
0;
6a
7
;
4
p
3a
7
!
Nên mặt phẳng (AMI) có phương trình 2y −
p
3z +2a =0.
Trung điểm của SC là N
Ã
p
3a
4
; −
a
4
;
p
3a
2
!
thuộc mặt phẳng(AMI).
Vậy mặt phẳng (AM I) cắt SC tại trung điểm của SC.
b) Ta có
−−→
SD(0; 2a; −a
p
3),
~
n
(AMI)
(0; 2; −
p
3) ⇒
−−→
SD =a.
~
n
(AMI)
nên SD⊥(AM I).
Vì
−−→
IM
Ã
3
p
3a
8
; −
27a
56
; −
9
p
3a
28
!
nên
−−→
AM.
−−→
IM =0, hay
AMI =90
o
. Tương tự
AN I =90
o
.
http://boxmath.vn/ 21
Vậy các điểm tứ giác AMN I nội tiếp trong đường tròn đường kính AI.
c) Khoảng cách cần tìm là d(O, (AMI)) =
|
2a
|
q
0
2
+2
2
+(−
p
3)
2
=
2
p
7
7
a.
Bài 6.5.
Cho hình chóp S.ABC có
ASC =90
o
,
CSB =60
o
,
BS A =120
o
, SA = SB = SC =a.
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (S AC) và (SBC).
b) Gọi M, N lần lượt chia đoạn SB, CS theo tỷ số −3. Tính khoảng cách và góc giữa hai đường
thẳng AN, CM.
Giải:
Ta có C A =a
p
2, CB = a, AB = a
p
3 nên tam giác AB C vuông tại C.
Mặt khác S A =SB = SC nên hình chiếu của điểm S trên mặt đáy là trung điểm O của AB.
Chọn hệ trục tọa độ Ox yz (hình vẽ), Ox//BC, O y//AC.
Tọa độ các đỉnh của hình chóp là
S
³
0; 0;
a
2
´
, A
Ã
a
2
; −
a
p
2
2
; 0
!
, B
Ã
−
a
2
;
a
p
2
2
; 0
!
, C
Ã
a
2
;
a
p
2
2
; 0
!
.
a) Ta có
h
−−→
SB,
−−→
SC
i
=
Ã
0; −
a
2
2
; −
a
2
p
2
2
!
⇒
~
n
(SBC)
=(0; 1;
p
2),
h
−−→
S A,
−−→
SB
i
=
Ã
a
2
p
2
2
;
a
2
2
; 0
!
⇒
~
n
(S AB)
=(
p
2; 1; 0).
Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
Khi đó cos ϕ =
¯
¯
cos(
~
n
(S AB)
,
~
n
(SBC)
)
¯
¯
=
1
3
⇒ϕ =arccos
1
3
.
b) Vì
−−→
MS =−3
−−→
MB,
−−→
NC =−3
−−→
NS nên tọa độ các điểm M, N là
M
Ã
−
3a
8
;
3a
p
2
8
;
a
8
!
, N
Ã
a
8
;
a
p
2
8
;
3a
8
!
.
Ta có
−−→
AN
Ã
−
3a
8
;
5a
p
2
8
;
3a
8
!
,
−−→
CM
Ã
−
7a
8
; −
a
p
2
8
;
a
8
!
,
−−→
AC
³
0; a
p
2; 0
´
⇒
h
−−→
AN,
−−→
CM
i
=
Ã
p
2a
2
8
; −
9a
2
32
;
19
p
2.a
2
32
!
.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng d(AN, CM) =
¯
¯
¯
h
−−→
AN,
−−→
CM
i
.
−−→
AC
¯
¯
¯
¯
¯
¯
h
−−→
AN,
−−→
CM
i
¯
¯
¯
=9
r
2
835
.
Góc giữa hai đường thẳng cos
á
(AN, CM) =
¯
¯
¯
cos(
−−→
AN,
−−→
CM)
¯
¯
¯
=
7
p
221
1768
⇒ϕ =arccos
7
p
221
1768
.
http://boxmath.vn/ 22
Bài 6.6.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a ,
BAD =60
o
. Đường thẳng SO vuông
góc với mặt phẳng (ABCD) và SO =
3a
4
. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC, BE.
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
b) Tính góc giữa hai đường thẳng AE và SF.
c) Mặt phẳng (α) chứa AD và vuông góc với (SBC) cắt hình chóp S.ABCD theo một thiết diện.
Tính diện tích thiết diện đó.
Giải:
Vì OA, OB, OS đôi một vuông góc nên chọn hệ trục tọa độ Oxyz (hình vẽ). Tọa độ các điểm
A
Ã
a
p
3
2
; 0; 0
!
, D
³
0; −
a
2
; 0
´
, C
Ã
−
a
p
3
2
; 0; 0
!
, B
³
0;
a
2
; 0
´
, S
µ
0; 0;
3a
4
.
a) Ta có
−−→
SB
µ
0;
a
2
; −
3a
4
,
−−→
SC
Ã
−
a
p
3
2
; 0; −
3a
4
!
nên
h
−−→
SB,
−−→
SC
i
=
a
2
p
3
8
¡
−
p
3; 3; 2
¢
Phương trình mặt phẳng (SBC) là (SBC) : −2
p
3x +6 y +4z −3a =0.
Khoảng cách cần tìm d(A, (SBC)) =
¯
¯
¯
¯
¯
−2
p
3.
a
p
3
2
+6.0 +4.0 −3a
¯
¯
¯
¯
¯
q
(−2
p
3)
2
+6
2
+4
2
=
3
4
a.
b) Vì E, F lần lượt là trung điểm của BC, BE nên E
Ã
−
a
p
3
4
;
a
2
; 0
!
, F
Ã
−
a
p
3
8
;
a
2
; 0
!
.
Do đó
−−→
AE
Ã
−
3a
p
3
4
;
a
2
; 0
!
,
−−→
BF
Ã
−
a
p
3
8
; 0; 0
!
, nên
cos
á
(AE, BF) =
¯
¯
¯
cos(
−−→
AE,
−−→
BF)
¯
¯
¯
=
3
p
93
31
⇒ϕ =arccos
3
p
93
31
.
c) Phương trình mặt phẳng (α) là (α) : 2x −2
p
3y +4
p
3z −a
p
3 =0.
Phương trình các đường thẳng
SB :
x =0
y =2t
z =
3a
4
−3t
, SC :
x =2t
y =0
z =
3a
4
+
p
3t
.
Do đó (α) ∩SB = M
µ
0;
a
4
;
3a
8
, (α) ∩SC = N
Ã
−
a
p
3
4
; 0;
3a
8
!
.
Thiết diện là hình thang ADN M có chiều cao bằng khoảng cách từ A đến (SBC)
nên diện tích của thiết diện là S
AD NM
=
1
2
(AD +MN).d(A, (SBC)) =
9a
2
16
.
Bài 6.7.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, BC =BS = a, BS⊥(ABC). Gọi M, N
lần lượt là trung điểm các cạnh SA và BC.
a) Tính độ dài đoạn thẳng M N.
b) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, MN.
Giải:
http://boxmath.vn/ 23
Chọn hệ trục tọa độ Ox yz (hình vẽ), với O ≡B, trục Oz chứa BS, trục O y chứa BC.
Tọa độ các điểm
B(0; 0; 0), C(0; a; 0), S(0; 0; a), A
³
a
2
;
a
2
; 0
´
, M
³
a
4
;
a
4
;
a
2
´
, N
³
0;
a
2
; 0
´
.
a) Ta có
−−−→
MN
³
−
a
4
;
a
4
; −
a
2
´
Nên MN =
a
p
6
4
.
b) Vì
−−→
BA
³
a
2
;
a
2
; 0
´
nên
h
−−→
BA,
−−−→
MN
i
=
µ
−
a
2
4
;
a
2
4
;
a
2
4
.
Ta có
−−→
BA.
−−−→
MN =0 nên
á
(AB, MN) =90
0
.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng là d(AB, MN) =
¯
¯
¯
h
−−→
BA,
−−−→
MN
i
.
−−→
BM
¯
¯
¯
¯
¯
¯
h
−−→
BA,
−−−→
MN
i
¯
¯
¯
=
a
p
3
4
.
Bài 6.8.
Cho hai đường thẳng ∆, ∆
0
chéo nhau và vuông góc với nhau nhận AB làm đường vuông góc
chung (A ∈∆, A
0
∈∆
0
). Gọi M, N là các điểm di chuyển trên ∆ và ∆
0
sao cho MN = AM +BN.
a) Chứng minh rằng tích AM.BN và thể tích khối tứ diện ABMN là những đại lượng không
đổi.
b) Chứng minh rằng MN luôn tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB.
Giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz (hình vẽ), với O ≡ A, trục Oz chứa AB, trục Ox chứa đường thẳng a,
trục O y//b. Đặt AB = h, AM =a, và AN = b , (h, a, b >0).
Tọa độ các điểm A(0; 0; 0), B(0; 0; h), M(a; 0; 0), N(0; b; h).
Vì MN = AM +BN nên
p
h
2
+a
2
+b
2
=a +b ⇔2a.b = h
2
.
a) Ta có
+) AM.BN =a.b =
h
2
2
.
+)
−−→
AB(0; 0; h),
−−→
AM(a; 0; 0),
−−→
AN(0; b; h) ⇒
h
−−→
AB,
−−→
AM
i
=(0; ah; 0).
Thể tích khối tứ diện ABMN là V
ABMN
=
1
6
¯
¯
¯
h
−−→
AB,
−−→
AM
i
.
−−→
AN
¯
¯
¯
=
1
6
abh =
1
12
h
3
.
Vì h = AB không đổi nên tích AM.BN và thể tích khối tứ diện ABMN là những đại lương
không đổi.
b) Gọi trung điểm của AB là I
µ
0; 0;
h
2
.
Ta có
−−−→
MN(−a; b; h),
−−→
IM
µ
a; 0;
h
2
nên
h
−−−→
MN,
−−→
IM
i
=
µ
−
hb
2
;
ha
2
; −ab
.
Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng MN là
d(I, M N) =
¯
¯
¯
h
−−−→
MN,
−−→
IM
i
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−−−→
MN
¯
¯
¯
=
s
h
2
b
2
+h
2
a
2
+4a
2
b
2
4(a
2
+b
2
+h
2
)
=
s
2ab
3
+2ba
3
+4a
2
b
2
4(a
2
+b
2
+h
2
)
=
s
ab
2
=
h
2
=
AB
2
.
Vậy đường thẳng M N tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB.
http://boxmath.vn/ 24
Bài 6.9.
Trên các tia Ox, O y, Oz của góc tam diện vuông Oxyz lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho
OA = a, OB = a
p
2, OC = c, (a, c > 0). Gọi D là đỉnh đối diện với O của hình chữ nhật AOBD
và M là trung điểm của đoạn BC. Mặt phẳng (α) qua A, M cắt mặt phẳng (OCD) theo một
đường thẳng vuông góc với đường thẳng AM.
a) Gọi E là giao điểm của (α) với đường thẳng OC. Tính độ dài đoạn thẳng OE.
b) Tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp C.AOBD bởi mặt
phẳng (α).
c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (α).
Giải:
Chọn hệ trục tọa độ Ox yz (hình vẽ). Tọa độ các điểm
O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; a
p
2; 0), D(a; a
p
2; 0), C(0; 0; c).
a) Vì M là trung điểm của B C nên M
Ã
0;
a
p
2
2
;
c
2
!
.
Ta có
−−→
OC(0; 0; c),
−−→
OD(a; a
p
2; 0) ⇒
h
−−→
OC;
−−→
OD
i
=(−ac
p
2; ac; 0).
Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (OCD) là
~
n
(OCD)
(−
p
2; 1; 0).
Gọi F =(α) ∩CD thì EF là giao tuyến của (α) với (OCD), ta có EF⊥AM.
Vì
−−→
AM
Ã
−a;
a
p
2
2
;
c
2
!
nên
h
~
n
(OCD)
,
−−→
AM
i
=
c
2
(1;
p
2; 0),
do đó một véc tơ chỉ phương của EF là
~
u
EF
(1;
p
2; 0).
Ta có
h
~
u
EF
,
−−→
AM
i
=
1
2
(c
p
2; −c; 3
p
2a) nên phương trình mặt phẳng (α) là
p
2cx −c y +3
p
2az −ac
p
2 =0.
Do đó (α) ∩Oz = E
³
0; 0;
c
3
´
⇒OE =
c
3
.
b) Ta có (α) ∩CD = F
Ã
2a
3
;
2
p
2a
3
;
c
3
!
⇒
CF
CD
=
2
3
. Mà V
COADB
=2V
C AOD
=2V
CBOD
nên
V
CE AF M
V
COADB
=
V
C AEF
2V
C AOD
+
V
CMEF
2V
CBOD
=
1
2
µ
CE
CO
.
CF
CD
+
CM
CB
.
CE
CO
.
CF
CD
=
1
3
Do đó tỷ số thể tích hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp C.AODB bởi mặt phẳng
(α) là
1
2
(hay 2).
c) Khoảng cách cần tìm d(C, (α)) =
¯
¯
3
p
2ac −ac
p
2
¯
¯
p
2c
2
+c
2
+18a
2
=
2
p
6ac
3
p
c
2
+6a
2
.
Chú ý:
+) Nếu để ý EF//OD thì việc tìm véc tơ chỉ phương của EF sẽ gọn hơn.
+) Hoàn toàn có thể tính tỷ số của câu b bằng phương pháp hình giải tích nhưng sẽ dài và
phức tạp.
http://boxmath.vn/ 25
Bài 6.10.
Cho hai hình chữ nhật ABCD (AC là đường chéo), ABEF (AE là đường chéo) không cùng
nằm trong một mặt phẳng và thỏa mãn các điều kiện AB = a, AD = AF = a
p
2, đường thẳng
AC vuông góc với đường thẳng BF. Gọi HK là đường vuông góc chung của AC, BF (H thuộc
AC, K thuộc BF).
a) Gọi I là giao điểm của đường thẳng DF với mặt phẳng chứa AC và song song với BF. Tính
tỷ số
DI
DF
.
b) Tính độ dài đoạn HK.
c) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABHK.
Giải:
Chọn hệ trục tọa độ Ox yz (hình vẽ). Tọa độ các điểm
A ≡O(0; 0; 0), B(0; 0; a), D(0; a
p
2; 0), C(0; a
p
2; a).
Gọi F(x; y; 0), x >0. Ta có AF
2
= x
2
+ y
2
=2a
2
.
Mặt khác AC⊥BF và
−−→
AC(0; a
p
2; a),
−−→
BF(x; y; −a) nên
−−→
AC.
−−→
BF =0 ⇔ y.a
p
2 −a
2
=0
Do đó y =
a
p
2
2
⇒ x =
a
p
6
2
, hay F
Ã
a
p
6
2
;
a
p
2
2
; 0
!
, E
Ã
a
p
6
2
;
a
p
2
2
; a
!
.
a) Mặt phẳng (α) chứa AC và song song với BF có phương trình
p
3x − y +
p
2z =0.
Đường thẳng DF
x =
p
3t
y =a
p
2 −t
z =0
Vì thế DF ∩(α) = I nên I
Ã
a
p
6
4
;
3a
p
2
4
; 0
!
.
Do đó
DI
DF
=
1
2
, hay I là trung điểm của DF.
b) Đường thẳng AC và BF có phương trình là AC :
x =0
y =
p
2.t
z = t
, BF :
x =
p
3.t
y = t
z = a −
p
2.t
.
Vì vậy H(0;
p
2m; m), K (
p
3n; n; a −
p
2n) nên
−−→
HK(
p
3n; n −
p
2m; a −
p
2n −m)
Mà HK là đường vuông góc chung nên
~
u
AC
.
−−→
HK =0
~
u
BF
.
−−→
HK =0
⇔
p
2n −2m +a −
p
2n −m =0
3n +n −
p
2m −
p
2a +2n +
p
2m =0
Giải hệ phương trình ta có m =
a
3
, n =
a
p
2
6
⇒
−−→
HK
Ã
a
p
6
6
; −
a
p
2
6
;
a
3
!
Vậy độ dài đoạn HK là HK =
a
p
3
3
.
c) Ta có
−−→
AB(0; 0; a),
−−→
AH
Ã
0;
a
p
2
3
;
a
3
!
,
−−→
AK
Ã
a
p
6
6
;
a
p
2
6
;
2a
3
!
,
−−→
HK
Ã
a
p
6
6
; −
a
p
2
6
;
a
3
!
,
−−→
BH
Ã
0;
a
p
2
3
; −
2a
3
!
.
Thể tích khối tứ diện ABHK là V
ABHK
=
1
6
¯
¯
¯
h
−−→
AB,
−−→
AH
i
.
−−→
AK
¯
¯
¯
=
a
3
p
3
3
.
Diện tích các mặt S
AHK
=
a
2
6
, S
BHK
=
a
2
6
, S
ABH
=
a
2
p
2
6
, S
ABK
=
a
2
p
2
6
⇒S
tp
=
a
2
(1 +
p
2)
3
.
Bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABHK là r =
3V
ABHK
S
tp
=
a(
p
6 −
p
3)
6
.
http://boxmath.vn/ 26
Bài 6.11.
Cho hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
và mặt cầu (S) nội tiếp trong hình lập phương đó. Mặt
phẳng (P) quay quanh A, tiếp xúc với mặt cầu (S) và cắt hai cạnh A
0
B
0
và A
0
D
0
lần lượt tại
M, N. Tìm tập hợp tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA
0
MN.
Giải:
Giả sử cạnh của hình lập phương là 1 đơn vị. Chọn hệ trục tọa độ Ox yz (hình vẽ).
Tọa độ các đỉnh O ≡ A
0
, B
0
(1; 0; 0), D
0
(0; 1; 0), A(0; 0; 1).
Xét hai điểm bất kỳ M, N nằm trong các cạnh A
0
B
0
, A
0
D
0
ta có M(m; 0; 0), N(0; n; 0),0 < m, n <
1.
Phương trình mặt phẳng (AMN) là (AMN) :
x
m
+
y
n
+z =1.
Mặt cầu nội tiếp hình lập phương có phương trình
(S) :
µ
x −
1
2
2
+
µ
y −
1
2
2
+
µ
z −
1
2
2
=
1
4
.
Tứ diện A A
0
MN có góc tam diện đỉnh A
0
vuông
nên tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp AA
0
MN là I
µ
m
2
;
n
2
;
1
2
.
Mặt phẳng (AMN) tiếp xúc với mặt cầu (S) khi và chỉ khi
d(I, (AMN)) =
1
2
⇔
¯
¯
¯
¯
1
2m
+
1
2n
+
1
2
−1
¯
¯
¯
¯
r
1
m
2
+
1
n
2
+1
=
1
2
⇔
µ
1
m
+
1
n
−
1
2
2
=
1
m
2
+
1
n
2
+1 ⇔ m +n =1
Tức là x
I
+ y
I
=
1
2
= z
I
0 < x
I
, y
I
<1
nên quỹ tích của điểm I là đoạn thẳng I
1
I
2
trừ hai điểm I
1
µ
1
2
; 0;
1
2
; I
2
µ
0;
1
2
;
1
2
Các điểm I
1
; I
2
đó chính là trung điểm các đoạn thẳng AB
0
, AD
0
.
Bài 6.12.
Tứ diện đều ABCD có tâm là S và có độ dài các cạnh bằng 2. Gọi A
0
, B
0
, C
0
, D
0
theo thứ tự là
hình chiếu của các đỉnh A, B, C, D trên đường thẳng nào ∆ đó đi qua S. Tìm tất cả các vị trí
của đường thẳng ∆ sao cho S A
0
4
+SB
0
4
+SC
0
4
+SD
0
4
đạt giá trị lớn nhất.
Giải:
Ngoại tiếp tứ diện đều ABCD bằng hình lập phương AB
1
CD
1
.C
1
D A
1
B.
Chọn hệ trục tọa độ Ox yz (hình vẽ).
Tọa độ các điểm A(
p
2; 0; 0), B(0;
p
2; 0), C(0; 0;
p
2),
Và D(
p
2;
p
2;
p
2), S
Ã
p
2
2
;
p
2
2
;
p
2
2
!
. Suy ra
−−→
S A
Ã
p
2
2
; −
p
2
2
;−
p
2
2
!
,
−−→
SB
Ã
−
p
2
2
;
p
2
2
;−
p
2
2
!
,
−−→
SC
Ã
−
p
2
2
; −
p
2
2
;
p
2
2
!
,
−−→
SD
Ã
−
p
2
2
; −
p
2
2
;−
p
2
2
!
.
Gọi
~
e(x; y; z) là véc tơ đơn vị của đường thẳng ∆. Khi đó
S A
0
=
¯
¯
¯
~
e.
−−→
S A
¯
¯
¯
, SB
0
=
¯
¯
¯
~
e.
−−→
SB
¯
¯
¯
, SC
0
=
¯
¯
¯
~
e.
−−→
SC
¯
¯
¯
, SD
0
=
¯
¯
¯
~
e.
−−→
SD
¯
¯
¯
http://boxmath.vn/ 27
Vì x
2
+ y
2
+z
2
=1 nên
4T =4(SA
0
4
+SB
0
4
+SC
0
4
+SD
0
4
)
=(−x + y +z)
4
+(x − y +z)
4
+(x + y −z)
4
+(x + y +z)
4
=4 +16(x
2
y
2
+ y
2
z
2
+z
2
x
2
) ≤4 +
16
3
(x
2
+ y
2
+z
2
)
2
Hay T ≤
7
3
.
Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi x
2
= y
2
= z
2
=
1
3
⇔
|
x
|
=
|
y
|
=
|
z
|
=
p
3
3
.
Vậy giá trị lớn nhất của T là
7
3
đạt được khi ∆ là các đường thẳng đi qua các đỉnh của tứ diện
đều ABCD.
C. BÀI TẬP
Bài 6.13.
Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = a, OB = b, OC = c.
a) Chứng minh rằng OH⊥(ABC), H ∈(ABC) khi và chỉ khi H là trực tâm của tam giác ABC.
b) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC).
c) Tính khoảng cách từ O đến tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.
d) Cho M là một điểm bất kỳ trên mặt phẳng (ABC), không trùng với A, B, C, H (H trực tâm
tam giác ABC). Chứng minh rằng
AM
2
AO
2
+
BM
2
BO
2
+
CM
2
CO
2
=2 +
HM
2
HO
2
.
e) Gọi α, β, γ lần lượt là góc giữa các mặt bên với mặt đáy.
Chứng minh rằng
sin
2
α
1 +sin βsin γ
+
sin
2
β
1 +sin γsin α
+
sin
2
γ
1 +sin αsin β
≥
6
5
.
Giải:
Kết luận:
Bài 6.14.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có AB = a, AD =2a, A A
0
= a
p
2, M là một điểm thuộc
đoạn AD, K là trung điểm của B
0
M.
a) Đặt AM = m (0 ≤ m ≤ 2a). Tính thể tích khối tứ diện A
0
K ID theo a và m, trong đó I là tâm
của hình hộp. Tìm vị trí của điểm M để thể tích đó đạt giá trị lớn nhất.
b) Khi M là trung điểm AD. Tính diện tích thiết diện cắt hình hộp bởi mặt phẳng (B
0
CK).
c) Khi M là trung điểm AD. Chứng minh rằng đường thẳng B
0
M tiếp xúc với mặt cầu đường
kính A A
0
.
Giải:
Kết luận:
Bài 6.15.
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có AB = a, AC = 2a, A A
0
= 2a
p
5 và
BAC = 120
o
. Gọi M
là trung điểm của CC
0
. Chứng minh MB⊥M A
0
và tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng
(A
0
BM).
Giải:
http://boxmath.vn/ 28
Kết luận:
Bài 6.16. (Đề thi tuyển sinh đại học, khối D năm 2007)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, BA =BC = a, AD =2a,
ABC =
BAD =90
0
. Cạnh
bên S A vuông góc với đáy và SA = a
p
2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng
minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).
Giải:
Kết luận:
Bài 6.17.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, S A vuông góc với đáy hình
chóp. Cho AB =a, S A =a
p
2. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh
SC⊥(AHK) và tính thể tích khối chóp OAHK.
Giải:
Kết luận:
Bài 6.18.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A =a
p
3 và vuông góc với đáy.
Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SB, AC.
Giải:
Kết luận:
Bài 6.19. (Đề thi tuyển sinh đại học, khối D năm 2008)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy ABC là tam giác vuông, AB =BC = a, A A
0
=a
p
2.
Gọi M là trung điểm của cạnh B C. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
và khoảng
cách giữa hai đường thẳng AM, B
0
C.
Giải:
Kết luận:
Bài 6.20. (Đề thi tuyển sinh đại học, khối D năm 2009)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, A A
0
=
2a, A
0
C =3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A
0
C
0
, I là giao điểm của AM và A
0
C. Tính
theo a thể tích khối tứ diện I ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).
Giải:
Kết luận:
Bài 6.21.
Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC.
Tính thể tích khối chóp và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết rằng BM⊥AN.
Giải:
Kết luận:
http://boxmath.vn/ 29
Bài 6.22.
Cho tam giác ABC vuông tại C. Tìm các điểm M trong không gian thỏa mãn M A
2
+MB
2
≤
MC
2
.
Giải:
Kết luận:
Bài 6.23.
Cho tứ diện đều A
1
A
2
A
3
A
4
có cạnh bằng c. Gọi (P) là mặt phẳng quay quanh tâm của tứ
diện. Gọi B
1
, B
2
, B
3
, B
4
lần lượt là hình chiếu của A
1
, A
2
, A
3
, A
4
trên mặt phẳng (P). Tìm
giá trị nhỏ nhất của tổng T = A
1
B
4
1
+ A
2
B
4
2
+ A
3
B
4
3
+ A
4
B
4
4
theo c và xác định vị trí của mặt
phẳng (P) khi đó.
Giải:
Kết luận:
Bài 6.24.
Cho tứ diện đều ABCD. Tìm quỹ tích những điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng
cách từ đó đến các mặt của tứ diện bằng k
2
cho trước.
Giải:
Kết luận:
.
7 - Một số bài toán tổng hợp
Bài 7.1.
Cho hình lăng trụ ABC.A
1
B
1
C
1
có M là trung điểm cạnh AB, BC =2a,
ACB =90
o
và
ABC =
60
o
, cạnh bên CC
1
tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 45
o
, hình chiếu vuông góc của C
1
lên mặt
phẳng (ABC) là trung điểm của CM. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và góc tạo bởi hai
mặt phẳng (ABC) và (ACC
1
A
1
).
Giải:
Gọi H là trung điểm CM. Từ giả thiết ⇒C
1
H⊥(ABC) ⇒
à
C
1
CH =
á
(CC
1
; (ABC)) =45
o
.
Từ tam giác vuông ABC với BC =2a,
ABC =60
o
⇒ AC =2a
p
3, AM =4a, CM =
1
2
AB =2a
⇒CH =a ⇒C
1
H =CH tan45
o
=a. V
ABC.A
1
B
1
C
1
=C
1
H.S
ABC
=a.2a
2
p
3 =2
p
3a
3
.
Kẻ HK⊥AC ⇒ đường xiên C
1
K⊥AC ⇒
á
((ABC); (ACC
1
A
1
)) =
à
C
1
K H.
Tam giác MC A cân tại M ⇒
MC A =
M AC =30
o
⇒ HK = HC.sin30
o
=
a
2
⇒tan(
à
C
1
K H) =
CH
HK
=2 ⇒
á
((ABC); (ACC
1
A
1
)) =arctan2.
Bài 7.2.
Cho hình chóp S.AB CDcó đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AD = DC, AB = 2AD,
mặt bên SBC là tam giác đều cạnh 2a và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Tính thể tích khối chóp S.AB CD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA theo a.
http://boxmath.vn/ 30
Giải:
Gọi M là tr ung điểm AB, H là trung điểm BC. Ta có SH⊥BC ⇒ SH⊥(ABCD), SH = a
p
3.
Tứ giác AMCD là hình vuông nên CM = AM = MB. Suy ra 4CMB vuông cân.
Do đó CM =a
p
2, AB =2a
p
2, CD =a
p
2.
Diện tích S
ABCD
=
(AB +CD).CM
2
=3a
2
. Thể tích V
S.ABCD
=
1
3
SH.S
ABCD
=
p
3a
3
.
Kẻ đường thẳng ∆ đi qua A, ∆//BC. Hạ H I⊥∆ (I ∈∆).
Suy ra BC//(S AI). Do đó d(BC, S A) = d(BC, (S AI)) = d(H, (S AI)).
Hạ HK⊥SI (K ∈ SI). Suy ra HK⊥(SAI). Do đó d(H, (S AI)) = HK.
Ta có CM = AM = MB nên tam giác ACB vuông tại C. Suy ra HI = AC =2a.
Do đó d(BC, S A) =HK =
HI.SH
p
HI
2
+SH
2
=
2
p
21a
7
.
Bài 7.3.
Cho hình chóp S.ABCcó đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S
trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh AB. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Biết góc giữa
hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 45
o
. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa
hai đường thẳng AB và SM theo a.
Giải:
Gọi H, K lần lượt là trung điểm AB, BM. Ta có SH⊥(ABC), HKkAM
suy ra HK⊥BC ⇒
SHK =45
o
nên SH = HK =
AM
2
=
a
p
3
4
.
Diện tích S
ABC
=
1
2
AM.BC =
a
2
p
3
4
. Thể tích V
S ABC
=
1
3
SH.S
ABC
=
a
3
16
.
Gọi N là trung điểm AC ⇒ MNkAB ⇒ ABk(SMN) ⇒ d(AB, SM) = d(AB, (SMN)) = d(H, (SMN)).
Gọi I là giao điểm của CH là MN. Suy ra I là trung điểm của CH và MN⊥CH.
Hạ H J⊥SI ⇒ H J⊥(SMN) ⇒ d(H, (SMN)) = H J. Ta có HI =
1
2
CH =
a
p
3
4
nên d(AB, SM) = H J =
HI.SH
p
HI
2
+SH
2
=
a
p
6
8
.
Bài 7.4.
Cho hình hộp đứng ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có đáy là hình thoi cạnh a,
BAD = α với cos α =
3
4
, cạnh
bên A A
0
=2a. Gọi M là điểm thỏa mãn
−−→
DM = k.
−−→
D A và N là trung điểm của cạnh A
0
B
0
. Tính
thể tích khối tứ diện C
0
MD
0
N theo a và tìm k để C
0
M⊥D
0
N.
Giải:
* Ta có V
C
0
MD
0
N
=
1
3
d(M, (A
0
B
0
C
0
D
0
)).S
C
0
ND
=
1
3
d(M, (A
0
B
0
C
0
D
0
)).
1
2
S
ABCD
=
1
3
.2a.
1
2
.a.a. sinα =
a
3
3
r
1 −
9
16
=
a
3
p
7
12
.
* Đặt
−−→
AB =
−→
x ,
−−→
AD =
−→
y ,
−−→
A A
0
=
−→
z . Ta có
−−−→
C
0
M =
−−−→
C
0
D
0
+
−−−→
D
0
D +
−−→
DM =−
−→
x −
−→
z −k
−→
y
−−−→
D
0
N =
−−−→
D
0
A
0
+
−−−→
A
0
N =−
−→
y +
1
2
−→
x .
Khi đó C
0
M⊥D
0
N ⇔
−−−→
C
0
M.
−−−→
D
0
N =0 ⇔
¡
−→
x +k
−→
y +
−→
z
¢
µ
1
2
−→
x −
−→
y
=0
⇔
1
2
¯
¯
−→
x
¯
¯
2
−k
¯
¯
−→
y
¯
¯
2
+
µ
k
2
−1
−→
x
−→
y =0 ⇔
1
2
a
2
−ka
2
+
µ
k
2
−1
.a.a.
3
4
=0 ⇔ k =−
2
5
.
http://boxmath.vn/ 31
Bài 7.5.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có AB = a, AD = a
p
2, A A
0
= 2a. Gọi M là điểm thỏa
mãn
−−→
DM = k.
−−→
D A và N là trung điểm của cạnh A
0
B
0
. Tính thể tích khối tứ diện C
0
MD
0
N theo
a và tìm k để C
0
M⊥D
0
N.
Giải:
Ta có V
C
0
MD
0
N
=
1
3
d
¡
M, (A
0
B
0
C
0
D
0
)
¢
.S
C
0
ND
0
=
1
3
d
¡
M, (A
0
B
0
C
0
D
0
)
¢
.
1
2
S
ABCD
=
1
3
.2a.
1
2
.a.a
p
2 =
a
3
p
2
3
.
Đặt
−−→
AB =
−→
x ,
−−→
AD =
−→
y ,
−−→
A A
0
=
−→
z .
Ta có
−−−→
C
0
M =
−−−→
C
0
D
0
+
−−−→
D
0
D +
−−→
DM =−
−→
x −
−→
z −k
−→
y
−−−→
D
0
N =
−−−→
D
0
A
0
+
−−−→
A
0
N =−
−→
y +
1
2
−→
x .
Khi đó C
0
M⊥D
0
N ⇔
−−−→
C
0
M.
−−−→
D
0
N =0 ⇔
¡
−→
x +k
−→
y +
−→
z
¢
µ
1
2
−→
x −
−→
y
=0
⇔
1
2
¯
¯
−→
x
¯
¯
2
−k
¯
¯
−→
y
¯
¯
2
=0 ⇔
1
2
a
2
−2ka
2
=0 ⇔ k =
1
4
.
Bài 7.6.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a
p
3, tam giác SBC vuông tại S và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SBC) một góc
bằng 60
o
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và
(ABCD).
Giải:
Vì (SBC)⊥(ABCD), CD⊥BC, CD ⊂(ABCD) nên CD⊥(SBC) ⇒
DSC =(SD; (SBC)) =60
o
⇒SC =CD.cot 60
o
=a. Suy ra SB = a
p
2. Kẻ SH⊥BC ⇒ SH⊥(ABCD).
Từ tam giác SBC vuông ta có SH =
a
p
2
p
3
. Suy ra V
S ABCD
=
1
3
SH.S
ABCD
=
a
3
p
6
3
.
Kẻ SK ⊥BD. Khi đó hình chiếu HK⊥BD. Suy ra (SBD, ABCD) =
SK H.
Từ tam giác vuông SB C ta có BH =
SB
2
BC
=
2a
p
3
⇒ HK =BH.sin45
o
=
a
p
2
p
3
.
Suy ra ∆SHK vuông cân tại H. Do đó
SK H =45
o
. Vậy (SBD, ABCD) =45
o
.
Bài 7.7.
Cho hình chóp S.ABCD có SD vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình thoi
cạnh a có
BAD =120
o
. Đường thẳng S A tạo với mặt phẳng (SBD) một góc bằng α với cotα =3.
Tính thể tích khối chóp S.AB CD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (S AC) theo a.
Giải:
Gọi O = AC∩BD. Từ giả thiết suy ra AC⊥(SBD) tại O nên
ASO =(S A; (SBD) =α.
BAD =120
o
⇒
ADC =60
o
⇒4ADC đều cạnh a. Suy ra S
ABCD
=2S
ADC
=
a
2
p
3
2
và DO =
a
p
3
2
, AO =
a
2
.
Do đó SO = AO.cot α =
3a
2
⇒SD =
p
SO
2
−OD
2
=
a
p
3
p
2
.
Suy ra V
S ABCD
=
1
3
SD.S
ABCD
=
a
3
2
p
2
=
a
3
p
2
4
.
Kẻ DH⊥SO. Vì AC⊥(SBD) nên AC⊥DH. Suy ra DH⊥(S AC) (1)
Ta có 4SDO vuông tại D nên DH =
a
p
2
2
(2)
Vì O là trung điểm BD nên d(B; (S AC)) = d(D; (SAC)) (3)
Từ (1), (2) và (3) ta suy ra d(B; (S AC)) =
a
p
2
2
.
http://boxmath.vn/ 32
Bài 7.8.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân (ABkCD), AB =2CD =4a, BC = a
p
10.
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Biết SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và mặt bên S AB
là tam giác đều. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính cosin góc giữa hai đường thẳng SD
và BC.
Giải:
Gọi H là hình chiếu của C trên AB; M, N là trung điểm của AB, CD.
Ta có HB =
AB −CD
2
=a ⇒CH =3a ⇒OM =2a, ON =a nên ∆O AB vuông cân.
Suy ra O A =OB =2a
p
2. Do đó SO =OB =2a
p
2. Suy ra V
S.ABCD
=
1
3
SO.S
ABCD
=6a
3
p
2.
BCkDM nên
á
(SD, BC) =
á
(SD, DM) =α ∈[0,
π
2
].
Ta có D M =BC =a
p
10, SD =
p
SO
2
+OD
2
=a
p
10, SM =2a
p
3.
Suy ra cos
SDM =
2
5
. Vậy cosα =
2
5
.
Bài 7.9.
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có AC = a, BC =2a,
ACB =120
o
và đường thẳng A
0
C tạo
với mặt phẳng (ABB
0
A
0
) góc 30
o
. Gọi M là trung điểm BB
0
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho
và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, CC
0
theo a.
Giải:
Kẻ CH⊥AB. Vì AA
0
⊥(ABC) nên AA
0
⊥CH ⇒CH⊥(ABB
0
A
0
) ⇒
à
C A
0
H =(A
0
C, (ABB
0
A
0
)) =30
o
.
Sử dụng định lí cosin và công thức diện tích cho ∆ ABC ta có AB = A
p
7,
CH =
2S
ABC
AB
=
A.2A. sin120
o
A
p
7
= A
r
3
7
. ⇒ C A
0
=2CH =2A
r
3
7
⇒ A A
0
=
p
A
0
C
2
−AC
2
= A
r
5
7
.
Thể tích lăng trụ là V = A A
0
.S
ABC
=a
r
5
7
.
a
2
p
3
2
=
a
3
p
105
14
.
Mặt phẳng (ABB
0
A
0
) chứa AM và song song CC
0
⇒ d(AM,CC
0
) = d(C, (ABB
0
A
0
)) =CH =a
r
3
7
=
a
p
21
7
Bài 7.10.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a
p
2, góc giữa hai
mặt phẳng (S AC) và (ABCD)bằng 60
o
. Gọi H là trung điểm của AB . Biết mặt bên S AB là
tam giác cân tại đỉnh S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối
chóp S.ABCD và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.AHC.
Giải:
Từ giả thiết suy ra SH⊥(ABCD). Vẽ HF⊥AC (F ∈ AC) ⇒ SF⊥AC (đlí ba đường vuông góc).
Suy ra
SFH =60
o
. Kẻ BE⊥AC (E ∈ AC). Khi đó HF =
1
2
BE =
a
p
2
2
p
3
.
Ta có SH = HF. tan60
o
=
a
p
2
2
. Suy ra V
S.ABCD
=
1
3
SH.S
ABCD
=
a
3
3
.
Gọi J, r lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC.
Ta có r =
AH.HC.AC
4S
AHC
=
AH.HC.AC
2S
ABC
=
3a
p
3
4
p
2
. Kẻ đường thẳng ∆ qua J và ∆kSH.
Khi đó tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.AHC là giao điểm của đường trung trực
đoạn SH và ∆ trong mặt phẳng (SH J).
Ta có I H =
p
I J
2
+JH
2
=
s
SH
2
4
+r
2
. Suy ra bán kính mặt cầu là R = a
r
31
32
.
http://boxmath.vn/ 33
Bài 7.11.
Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có độ dài tất cả các cạnh đều bằng a > 0 và
BAD =
à
D A A
0
=
A
0
AB =60
o
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A A
0
, CD. Chứng minh MNk(A
0
C
0
D) và tính
cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng MN và B
0
C.
Giải:
Gọi I là trung điểm DC
0
. Vì N IkCC
0
và N I =
1
2
CC
0
nên N I = M A
0
và N IkM A
0
.
Suy ra MNkA
0
I. Do đó MNk(D A
0
C
0
). Vì MNkAI, B
0
CkA
0
D nên
á
(MN, B
0
C) =
á
(A
0
I, A
0
D) (1)
Sử dụng giả thiết và định lí cosin cho các tam giác ta thu được A
0
D =a, DC
0
= A
0
C
0
=a
p
3.
Suy ra A
0
I
2
=
A
0
D
2
+A
0
C
0
2
2
−
DC
0
2
4
=
5a
2
4
⇒ A
0
I =
a
p
5
2
.
Trong 4A
0
DI ta có cos
D A
0
I =
A
0
D
2
+A
0
I
2
−DI
2
2A
0
D.A
0
I
=
3
2
p
5
(2)
Từ (1) và (2) suy ra cos(MN, B
0
C) = |cos
D A
0
I| =
3
2
p
5
=
3
p
5
10
.
Bài 7.12.
Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng (S AC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có S A = SB =
SC =2a, AB =3a, BC =a
p
3 (a >0). Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo a.
Giải:
Kẻ SH⊥AC. Do S A = SC nên H là trung điểm AC (1)
Vì (S AC)⊥(ABC) nên SH⊥(ABC) ⇒ H A = HC = HB (2)
Từ (1) và (2) suy ra 4ABC vuông tại B có H là tâm đường tròn nội tiếp.
Do đó AC =
p
AB
2
+BC
2
=2
p
3a ⇒ SH =
p
S A
2
−AH
2
=a.
SH là trục đường tròn ngoại tiếp 4ABC, trong mặt phẳng (S AC) đường trung trực của S A cắt
SH tại O là tâm mặt cầu. Gọi K là trung điểm S A. Khi đó hai tam giác vuông SOK và S AH
đồng dạng nên
SO
S A
=
SK
SH
. Suy ra bán kính mặt cầu R =SO =
SK.S A
SH
=2a.
Suy ra diện tích mặt cầu là S =4πR
2
=16πa
2
.
Bài 7.13.
Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O
0
; OO
0
= a. Gọi A, B là hai điểm thuộc
đường tròn đáy tâm O, điểm A
0
thuộc đường tròn đáy tâm O
0
sao cho O A, OB vuông góc với
nhau và A A
0
là đường sinh của hình trụ. Biết góc giữa đường thẳng AO
0
và mặt phẳng (A A
0
B)
bằng 30
o
. Tính thể tích khối trụ theo a.
Giải:
Gọi B
0
thuộc đường tròn (O
0
) sao cho BB
0
kA A
0
; M là tr ung điểm của A
0
B
0
.
Ta có 4A
0
B
0
O
0
vuông cân tại O
0
. Suy ra O
0
M⊥A
0
B
0
. Do đó O
0
M⊥(A A
0
B). Suy ra
à
O
0
AM =30
o
.
Ta có AO
0
=
O
0
M
sin30
o
=2.O
0
M. Mà O
0
M =
p
2
2
O
0
A
0
nên A
0
O =
p
2.O
0
A
0
.
Trong tam giác AA
0
O ta cóAO
0
2
= A A
0
2
+A
0
O
0
2
⇔O
0
A
0
=a. Vậy V =πa
3
.
Bài 7.14.
Cho hình lăng trụ ABC.A
1
B
1
C
1
có A A
1
=3a, BC = a, A A
1
⊥BC, khoảng cách giữa hai đường
thẳng AA
1
và B
1
C bằng 2a (a >0). Tính thể tích khối lăng trụ theo a.
Giải:
Từ giả thiết suy ra BB
1
C là tam giác vuông tại B và S
BB
1
C
=
1
2
BB
1
.BC =
3a
2
2
.
http://boxmath.vn/ 34
Mặt phẳng (BB
1
C) chứa B
1
C và song song với A A
1
nên d(AA
1
; B
1
C) = d(A ; BB
1
C) =2a.
Suy ra V
A.BB
1
C
=
1
3
d(A ; BB
1
C).S
BB
1
C
=a
3
.
Vì chung đáy và chung đường cao nên V lăng trụ =3.V
B
1
.ABC
=3.V
A.BB
1
C
=3a
3
Bài 7.15.
Cho hình chóp S.ABC có SC⊥(ABC) và tam giác ABC vuông tại B. Biết rằng AB = a, AC =
a
p
3 (a > 0) và góc giữa hai mặt phẳng (S AB),(S AC) bằng α với tan α =
r
13
6
. Tính thể tích
khối chóp S.ABC theo a.
Giải:
Gọi H, K là hình chiếu của C lên S A, SB. Ta chứng minh được CK⊥(SAB), S A⊥(CHK).
Suy ra 4CHK vuông tại K và S A⊥K H. Do đó α =
CHK.
Từ tan α =
r
13
6
⇒sinα =
r
13
19
⇔
CK
2
CH
2
=
13
19
(1)
Đặt SC = x >0. Trong tam giác vuông SAC ta có
1
CH
2
=
1
C A
2
+
1
CS
2
⇒CH
2
=
3a
2
x
2
3a
2
+x
2
.
Tương tự, trong tam giác vuông SB C ta có CK
2
=
2a
2
x
2
2a
2
+x
2
.
Do đó từ (1) ⇒
2(3a
2
+x
2
)
3(2a
2
+x
2
)
=
13
19
⇔ x =6a, vì x >0.
Suy ra V
S ABC
=
1
3
SC.S
ABC
=
1
3
SC.
1
2
AB.BC =
p
2 a
3
.
Bài 7.16.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông,
b
A =
b
D = 90
o
, AB = AD = 2a,
CD = a, góc giữa mặt phẳng
(
ABCD
)
và mặt phẳng
(
SCD
)
bằng 60
o
, mặt bên S AD là tam
giác cân tại S, mặt phẳng
(
S AD
)
vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng
(
SBC
)
theo a.
Giải:
Vì ∆S AD cân tại S, nên gọi H là trung điểm của AD thì SH⊥AD,
mặt khác
(
S AD
)
⊥
(
ABCD
)
nên SH là đường cao hình chóp S.ABCD.
Kẻ HK⊥BC thì SK⊥BC, tức
SK H là góc giữa hai mặt phẳng
(
SBC
)
và
(
ABCD
)
.
Suy ra:
SK H =60
o
Ta có: SH = HK.t an60
o
= HK
p
3.
Dễ thấy BC = a
p
5 và do HK.BC =2S
HBC
, S
HBC
=S
ABCD
−
(
S
H AB
−S
HCD
)
nên HK =
3a
p
5
5
.
Suy ra: SH =
3a
p
15
5
Do đó : V
S.ABCD
=
1
3
.S
ABCD
.SH =
1
6
(
AB +CD
)
.AD.SH =
3a
3
p
15
5
Kẻ HI⊥SK
(
I ∈ SK
)
, suy ra: H I⊥
(
SBC
)
.Gọi E là giao điểm của AD và BC.
Dễ thấy: DE =
2
3
HE ⇒ d
(
D;
(
SBC
))
=
2
3
d
(
H;
(
SBC
))
=
2
3
HI
Do
1
HI
2
=
1
SH
2
+
1
HK
2
=
250
135a
2
⇒ HI =
9a
p
2
10
. Vậy d
(
D;
(
SBC
))
=
3a
p
2
5
.
Bài 7.17.
Cho hình chóp S.ABCD,đáy là hình chữ nhật cóAB = 3, BC = 6,mặt phẳng
(
S AB
)
vuông góc
với mặt phẳng đáy,các mặt phẳng
(
SBC
)
và
(
SCD
)
cùng tạo với mặt phẳng
(
ABCD
)
các góc
bằng nhau.Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SAvà BD bằng
p
6.Tính thể tích khối chóp
S.AB CD và côsin góc giữa hai đường thẳng SAvà BD.
Giải:
http://boxmath.vn/ 35
Hạ SH⊥AB ⇒SH⊥
(
ABCD
)
(do
(
S AB
)
⊥
(
ABCD
)
= AB)
Kẻ HK⊥CD ⇒ tứ giác HBCK là hình chữ nhật.
Ta thấy BC⊥
(
S AB
)
⇒
SBH =
((
SBC
)
,
(
ABCD
))
, CD⊥
(
SHK
)
⇒
SK H =
((
SCD
)
,
(
ABCD
))
theo gt
SBH =
SK H ⇒∆SHB =∆SHK (gcg) ⇒ HB = HK =BC =6 do đó A là trung điểm HB.
Ta thấy ABDKlà hình bình hành⇒BDkAK ⇒BDk
(
S AK
)
mà S A ∈
(
S AK
)
⇒ d
(
BD, S A
)
= d
(
BD,
(
S AK
))
= d
(
D,
(
S AK
))
= d
(
H,
(
S AK
))
=
p
6 = h
Do tam diện H.S AK vuông tại H ⇒
1
h
2
=
1
HS
2
+
1
H A
2
+
1
HK
2
1
6
=
1
HS
2
+
1
9
+
1
36
⇒SH
2
=36 ⇒SH =6⇒V
S.ABCD
=
1
3
SH.dt
ABCD
=
1
3
.6.3.6 =36 (đvị dt).
Gọi β là góc giữa hai đường thẳng BD và S A⇒β =
(
BD, S A
)
=
(
AK, S A
)
Ta có SK =6
p
2, S A = AK =3
p
5.
Trong tam giác S AK: cos
S AK =
AS
2
+AK
2
−SK
2
2AS.AK
=
45 +45 −72
2.3
p
5.3
p
5
=
1
5
Vậy β =
S AK =arccos
1
5
Bài 7.18.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, S A = SB = a, SD = a
p
2 và
mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD
và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD.
Giải:
Theo giả thiết (ABCD) ∩(SBD) theo giao tuyến BD. Do đó nếu dựng AO⊥(SBD) thì O ∈ BD.
Mặt khác AS = AB = AD ⇒OS =OB =OD hay SBD là tam giác vuông tại S.
Từ đó: BD =
p
SB
2
+SD
2
=
p
a
2
+2a
2
=a
p
3 AO =
p
AB
2
−OB
2
=
s
a
2
−
3a
2
4
=
a
2
Suy ra thể tích khối chóp S.ABD được tính bởi:
V
S.ABD
=V
A.SBD
=
1
3
S
SBD
.AO =
1
6
SB.SD.AO =
1
6
a.a
p
2.
a
2
=
a
3
p
2
12
⇒V
S.ABCD
=2V
S.ABD
=
a
3
p
2
6
(đvtt).
Trong 4SBD dựng OH⊥SD tại H (1), nên H là trung điểm của SD.
Theo chứng minh trên AO⊥(SBD) ⇒ AO⊥OH (2)
(1) và (2) chứng tỏ OH là đoạn vuông góc chung của AC và SD
Vậy d(AC, BD) = OH =
1
2
SB =
a
2
Bài 7.19.
Cho lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
có cạnh bên bằng a, đáy ABC là tam giác đều, hình chiếu của A
trên (A
0
B
0
C
0
) trùng với trọng tâm G của 4A
0
B
0
C
0
. Mặt phẳng (BB
0
C
0
C) tạo với (A
0
B
0
C
0
) góc 60
o
.
Tính thể tích lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
theo a.
Giải:
Gọi M, M
0
lần lượt là trung điểm BC, B
0
C
0
⇒ A
0
,G, M
0
thẳng hàng và A A
0
M
0
M là hình bình
hành. A
0
M
0
⊥B
0
C
0
, AG⊥B
0
C
0
⇒B
0
C
0
⊥(A A
0
M
0
M). Suy ra góc giữa (BCC
0
B
0
) và (A
0
B
0
C
0
) là góc giữa
A
0
M
0
và M M
0
bằng
à
M
0
M A =60
o
.
Đặt x = AB. Ta có4AB C đều cạnh x có AM là đường cao. ⇒ AM =
x
p
3
2
= A
0
M
0
, A
0
G =
x
p
3
3
.
Trong4A A
0
G vuông có AG = AA
0
sin60
o
=
a
p
3
2
; A
0
G = A A
0
cos60
o
=
a
2
=
x
p
3
3
⇔ x =
a
p
3
2
.
http://boxmath.vn/ 36
S
4ABC
=
1
2
AB.AC.sin 60
o
=
x
2
p
3
4
=
p
3
4
Ã
a
p
3
2
!
2
=
3a
2
p
3
16
.
V
ABC.A
0
B
0
C
0
= AG.S
∆ABC
=
a
p
3
2
3a
2
p
3
16
=
9a
3
32
.
Bài 7.20. Đề thi thử ĐH lần 1 khối D-2012-THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu-Đồng Tháp
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc
ABC =60
0
, hai mặt phẳng
(S AC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng (S AB) và (ABCD) bằng 30
0
.
Tính thể tích khối chóp S.AB CD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, CD theo a.
Giải:
A
B
C
D
I
S
M
H
K
Gọi I là tâm hình thoi ABCD, khi đó (S AC) ∩(SBD) = SI. Vì hai mặt phẳng (S AC) và (SBD)
cùng vuông góc với đáy ABCD nên suy ra SI ⊥ mp(ABCD).
4ABC cân đỉnh B và
ABC =60
0
nên 4ABC là tam giác đều cạnh a . Do đó gọi M là trung điểm
AB thì BI =CM =
a
p
3
2
.
Kẻ I H ⊥ AB tại H, thì ta có SH ⊥ AB. Bởi vậy:
á
(
mp(S AB); mp(ABCD)
)
=
SH I =30
0
và IH =
1
2
CM =
a
p
3
4
SI = I H tan
SH I =
a
p
3
4
tan30
0
=
a
4
Vậy: V
S.ABCD
=
1
3
dt(ABCD).SI =
1
3
.AC.BI.SI =
1
3
.a.
a
p
3
2
.
a
4
=
a
3
p
3
24
.
Kẻ IK ⊥SH tại K, khi đó IK ⊥ mp(S AB).
Trong tam giác vuông SIH, ta có:
1
IK
2
=
1
SI
2
+
1
IH
2
=
16
a
2
+
16
3a
2
=
64
3a
2
Suy ra: IK =
a
p
3
8
.
Do CD ∥ mp(S AB)
nên d(S A; CD) = d(CD; mp(S AB)) = d(C; mp(S AB)) =2d(I; mp(S AB)) =2IK
Vậy: d(S A;CD) =2
a
p
3
8
=
a
p
3
4
Kết luận: V
S.ABCD
=
a
3
p
3
24
; d(S A; CD) =
a
p
3
4
http://boxmath.vn/ 37
Bài 7.21. Đề thi thử ĐH QX 4
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi; hai đường chéo AC = 2
p
3a, BD = 2a và
cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (S AC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết
khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (S AB) bằng
a
p
3
4
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
theo a.
Giải:
A
B
C
D
O
M
S
H
Vì mp(S AC) ∩m p(SBC) = SO và mp(S AC) ⊥ mp(ABCD), mp(SBD) ⊥ m p(ABCD) nên suy ra
SO ⊥mp(ABCD)
Kẻ OM ⊥ AB tại M, kẻ OH ⊥ SM tại H. Khi đó AB ⊥ mp(SOM) =⇒ AB ⊥ OH, do đó OH ⊥
mp(S AB).
Bởi vậy: OH = d(O; mp(S AB)) =
a
p
3
4
.
Trong tam giác vuông O AB, ta có:
1
OM
2
=
1
OA
2
+
1
OB
2
=
1
3a
2
+
1
a
2
=
4
3a
2
Trong tam giác vuông SOM, ta có:
1
OH
2
=
1
OM
2
+
1
SO
2
=⇒
1
SO
2
=
1
OH
2
+
1
OM
2
=
16
3a
2
−
4
3a
2
=
4
a
2
.
Hay: SO =
a
2
.
Vậy: V
S.ABCD
=
1
3
.dt(ABCD).SO =
1
3
.
1
3
.AC.BD.SO =
a
3
p
3
3
. Kết luận: V
S.ABCD
=
a
3
p
3
3
Bài 7.22. Đề thi ĐH - CĐ 2012 - THPT Đô Lương 4 - Nghệ An
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D. Biết AB = 2a, AD = a, DC =
a(a > 0) và SA vuông góc với mặt đáy (ABCD). Góc tạo bởi giữa mặt phẳng (SBC) với đáy
bằng 45
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B đến mp(SCD) theo a.
Giải:
Từ giả thiết ta có BC ⊥ AC và BC ⊥ S A, nên BC ⊥ mp(S AC). Do vậy:
á
(
(SBC);(ABCD)
)
=
SCA =
45
0
.
Từ S A ⊥mp(ABCD) suy ra 4S AC vuông tại A, kết hợp với
SCA =45
0
,ta có S A = AC =a
p
2
Vậy: V
S.ABCD
=
1
3
dt(ABCD).S A =
1
6
.(AB +CD).AD.S A =
a
3
p
2
2
.
Kẻ AH ⊥SD tại H, dễ dàng chứng minh được AH ⊥ mp(SCD). Trong tam giác SAD vuông tại
http://boxmath.vn/ 38
A, ta có:
1
AH
2
=
1
S A
2
+
1
AD
2
=
3
2a
2
. Suy ra: AH =
a
p
6
3
Do AB ∥CD =⇒ AB ∥ mp(SCD), nên:
d(B; mp(SCD)) =d(A; mp(SCD)) = AH =
a
p
6
3
Kết luận:V
S.ABCD
=
a
3
p
2
2
và d(B; mp(SCD)) =
a
p
6
3
A
B
C
D
S
H
Bài 7.23. Đề thi thử ĐH - CĐ 2012 - THPT Triệu Sơn 4
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, mặt bên tạo
với mặt đáy một góc 60
0
. Mặt phẳng (P) chứa AB và tạo với mặt đáy một góc 30
0
cắt SC, SD
lần lượt tại M và N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN.
Giải:
A
B
C
D
S
L
K
O
H
M
N
Gọi O là tâm hình vuông ABCD thì SO ⊥ mp(ABCD). Gọi K, L lần lượt là trung điểm AB, CD,
gọi H là trung điểm SL, khi đó AB ⊥ mp(SK L). Do đó:
SK H =
á
(
mp(S AB); mp(ABCD)
)
=60
0
.
http://boxmath.vn/ 39
Hình chóp S.ABCD là hình chóp đều nên SK = SL, kết hợp với
SK H =60
0
⇒ tam giác SK L là
tam giác đều cạnh a. Bởi vậy HK =
a
p
3
2
=
K L
p
3
2
và SH ⊥ K L,
HK L =30
0
.
Từ đó ta có
á
mp(ABH); mp(ABCD) =
HK L =30
0
, hay mp(P) trùng với mp(ABH).
Vì AB ∥ CD và H là trung điểm SL nên mặt phẳng (P) cắt SC, SD lần lượt tại M và N thì
M, N lần lượt là trung điểm SC, SD. Suy ra MN =
CD
2
=
a
2
. Mặt khác, do AB ⊥ mp (SK L) nên
HK ⊥ AB, HK ⊥CD.
Vậy: V
S.ABMN
=
1
3
.dt(ABM N).SH =
1
6
.(AB +MN).HK.SH =
1
6
.(a +
a
2
).
a
p
3
2
.
a
2
=
a
3
p
3
16
.
Kết luận: V
S.ABMN
=
a
3
p
3
16
Bài 7.24. Đề thi thử ĐH QX 4
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi; hai đường chéo AC = 2
p
3a, BD = 2a và
cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (S AC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết
khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (S AB) bằng
a
p
3
4
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
theo a.
Giải:
A
B
C
D
O
M
S
H
Vì mp(S AC) ∩m p(SBC) = SO và mp(S AC) ⊥ mp(ABCD), mp(SBD) ⊥ m p(ABCD) nên suy ra
SO ⊥mp(ABCD)
Kẻ OM ⊥ AB tại M, kẻ OH ⊥ SM tại H. Khi đó AB ⊥ mp(SOM) =⇒ AB ⊥ OH, do đó OH ⊥
mp(S AB).
Bởi vậy: OH = d(O; mp(S AB)) =
a
p
3
4
.
Trong tam giác vuông O AB, ta có:
1
OM
2
=
1
OA
2
+
1
OB
2
=
1
3a
2
+
1
a
2
=
4
3a
2
Trong tam giác vuông SOM, ta có:
1
OH
2
=
1
OM
2
+
1
SO
2
=⇒
1
SO
2
=
1
OH
2
+
1
OM
2
=
16
3a
2
−
4
3a
2
=
4
a
2
.
Hay: SO =
a
2
.
Vậy: V
S.ABCD
=
1
3
.dt(ABCD).SO =
1
3
.
1
3
.AC.BD.SO =
a
3
p
3
3
. Kết luận: V
S.ABCD
=
a
3
p
3
3
http://boxmath.vn/ 40
Bài 7.25. Đề thi thử ĐH - CĐ 2012 - THPT Chuyên Nguyễn Huệ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a. S A = a, SB = a
p
3,
BAD = 60
0
và
mp(S AB) vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N là trung điểm của AB, BC. Tính thể tích tứ diện
NSDC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN.
Giải:
A
B
C
D
S
M
K
N
L
I
H
Từ AB =2a, S A =a, SB = a
p
3 ⇒4S AB vuông tại S.
Kẻ SH ⊥ AB tại H, do mp (S AB) ⊥ mp(ABCD) nên suy ra SH ⊥ mp(ABCD) ⇒ SH là đường cao
của tam giác vuông S AB. Từ đó:
SH =
S A.SB
AB
=
a.a
p
3
2a
=
a
p
3
2
.
Mặt khác: dt(4CDN) =
1
2
.CD.CN. sin
DCN =
1
2
.2a.a. sin60
0
=
a
2
p
3
2
.
Do vậy: V
NSDC
=V
S.CDN
=
1
3
.dt(4CD N).SH =
1
3
.
a
2
p
3
2
.
a
p
3
2
=
a
3
4
.
Gọi K là trung điểm AD, L là trung điểm AK, I là trung điểm ML. Do SA = SM =a và SH ⊥ AB
nên suy ra H là trung điểm AM.
Ta có: BK
2
=BA
2
+AK
2
−2.BA.AK.cos
BAK =3a
2
⇒BK =a
p
3.
Từ đó: BK
2
+AK
2
=3a
2
+a
2
=4a
2
= AB
2
⇒4ABK vuông tại K ⇒BK ⊥ AD ⇒ ML ⊥ AD ⇒ ML ⊥
HI
Từ ML ⊥ HI và ML ⊥ SH ⇒ ML ⊥ SI. Bởi vậy:
cos
SML =
MI
SM
=
ML
2SM
=
BK
4SM
=
p
3
4
Vì ML ∥BK ∥ DN nên
á
(
SM; DN
)
=
á
(
SM; ML
)
=
SML, với cos
SML =
p
3
4
.
Kết luận: V
NSDC
=
a
3
4
và
á
(
SM; DN
)
=
SML, với cos
SML =
p
3
4
.
Bài 7.26.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, điểm M nằm trên
cạnh SC sao cho MC =2MS, AB = a, BC =2AD =2a
p
3. Tính thể tích khối chóp M.ABCD theo
a. Biết rằng S A = SB =SC và góc tạo bởi cạnh bên SC và mặt đáy là 60
0
.
http://boxmath.vn/ 41
Giải:
A
B
C
N
D
S
H
M
Gọi N là trung điểm BC thì DN ⊥ BC và DN = AB = a, CN =
BC
2
= a
p
3. Bởi vậy: CD
2
=
DN
2
+CN
2
=a
2
+(a
p
3)
2
=4a
2
⇒CD =2a ⇒ BD =2a.
Gọi H là trung điểm BD, do tam giác ABD vuông tại A nên H A = HB = HD, kết hợp với giả
thiết SA = SB =SD suy ra SH ⊥ mp(ABCD). Từ đó:
á
(
SC; mp(ABCD)
)
=
á
(
SC; CH
)
=
SCH =60
0
.
Mặt khác: CH
2
=
BC
2
+DC
2
2
−
BD
2
4
=7a
2
⇒CH =a
p
7.
Do đó: SH =CH tan
SCH = a
p
7.tan 60
0
=a
p
21.
Vì MC =2MS nên:
d
(
M; mp(ABCD)
)
=
2
3
.d
(
S; mp(ABCD)
)
=
2
3
.SH =
2a
p
21
3
.
Bởi vậy:
V
M.ABCD
=
1
3
.dt(ABCD).d
(
M; mp(ABCD)
)
=
1
3
.
(AD +BC).AD
2
.
2
3
.SH = a
3
p
7 Kết luận:V
M.ABCD
=
a
3
p
7
Bài 7.27.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. Biết AB = 2a, AD =
CD =a, S A =3a(a >0) và S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.BCD và
tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) theo a.
Giải:
D
A
B
C
S
Ta có: dt(4BCD) =
1
2
.CD.AD =
a
2
2
.
http://boxmath.vn/ 42
Nên: V
S.BCD
=
1
3
.dt(4BCD).S A =
1
3
.
a
2
2
.3a =
a
3
2
.
Do
CD ⊥SA
CD ⊥ AD
nên CD ⊥ SD.
Mặt khác: SD =
p
S A
2
+AD
2
=a
p
10 ⇒ dt(4SCD) =
1
2
.CD.SD =
a
2
p
10
2
.
Từ đó: d(B; mp(SCD)) =
3V
S.BCD
dt(4SCD)
=
3a
p
10
10
Kết luận:V
S.BCD
=
a
3
2
và d(B; mp(SCD)) =
3a
p
10
10
Bài 7.28.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên
của hình chóp bằng nhau và bằng a
p
2.
1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
2. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, SC, SD. Chứng minh
SN ⊥ mp(MEF)
Giải:
A
B
C
D
S
F E
N
H
I
K
1. Gọi I là tâm hình chữ nhật ABCD. Vì S A = SB = SC = SD = a
p
2 nên suy ra SI ⊥
mp(ABCD).
Ta có: AC =BD =
p
AB
2
+BC
2
=
p
(2a)
2
+a
2
=a
p
5 ⇒ I A =
AC
2
=
a
p
5
2
.
Trong tam giác vuông SI A, ta có: SI =
p
S A
2
−I A
2
=
a
p
3
2
Do vậy:
V
S.ABCD
=
1
3
.dt(ABCD).SI =
1
3
.AB.BC.SI =
a
3
p
3
3
2. Gọi K là giao điểm của EF với SN thì K là trung điểm của SN.
Ta có: SM
2
=SA
2
−AM
2
=(a
p
2)
2
−a
2
=a
2
⇒SM = MN = a ⇒ tam giác MSN cân đỉnh M.
Do vậy: MK ⊥SN.
Mặt khác, tam giác SCD cân đỉnh S và N là trung điểm CD nên suy ra SN ⊥CD.
Mà EF ∥CD ⇒ SN ⊥EF.
http://boxmath.vn/ 43
Từ
SN ⊥ MK
SN ⊥ EF
⇒SN ⊥ mp(MEF)
Kết luận: V
S.ABCD
=
a
3
p
3
3
Bài 7.29.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AD = 4a, các cạnh bên của
hình chóp bằng nhau và bằng a
p
6. Tìm côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD)
khi thể tích S.ABCD lớn nhất.
Giải:
A
B
C
D
S
O
Gọi O là tâm hình bùnh hành ABCD. Do S A = SB =SC = SD = a
p
6 nên suy ra SO ⊥ mp(ABCD).
Từ SA = SB =SC =SD =a
p
6 và SO ⊥ mp(ABCD), suy ra O A =OB =OC =OD ⇒ ABCD là hình
chữ nhật.
Giả sử AB = b, khi đó BD =
p
16a
2
+b
2
⇒OA =
p
16a
2
+b
2
2
.
Do vậy: SO
2
=S A
2
−O A
2
=6a
2
−
16a
2
+b
2
4
=
8a
2
−b
2
4
⇒S I =
p
8a
2
−b
2
4
.
Từ đó: V
S.ABCD
=
1
3
.AB.AD.SO =
2
3
.2a.b.
p
8a
2
−b
2
≤
2
3
.a.(b
2
+8a
2
−b
2
) =
16a
3
3
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi b =2a.
Vậy thể tích S.ABCD lớn nhất khi AB =2a, khi đó SO = a.
Chọn hệ trục tọa độ Ox yz sao cho: O(0;0;0); S(0; 0; a); B(2a; a;0); C(−2a ; a; 0); D(−2a −a;0).
Ta có:
−−→
SB(2a; a;−a),
−−→
SC(−2a; a;−a),
−−→
SD(−2a;−a; − a)
h
−−→
SB;
−−→
SC
i
=(0;4a
2
;4a
2
),
h
−−→
SC;
−−→
SD
i
=(−2a
2
;0; 4a
2
)
Từ đó ta tìm được vectơ pháp tuyến của mp(SBC) là
−→
n (0; 1;1), vectơ pháp tuyến của mp(SCD)
là
−→
n (1; 0;−2). Góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) là:
cosϕ =
|
1.0 +0.1 +(−2).1
|
p
0 +1 +1.
p
1 +0 +(−2)
2
=
2
p
10
Kết luận: cosϕ =
2
p
10
http://boxmath.vn/ 44
Bài 7.30.
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy là tam giác đều cạnh bằng a. Điểm A
0
cách
đều ba điểm A, B, C; cạnh bên A A
0
tạo với mặt đáy một góc 60
0
. Tính thể tích khối lăng trụ
và chứng minh mặt bên BCC
0
B
0
là hình chữ nhật.
Giải:
A
B
C
A
0
B
0
C
0
M
H
M
0
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC, do tam giác ABC đều và A
0
A = A
0
B = A
0
C
nên A
0
H ⊥ mp(ABC). Do đó:
á
(
A A
0
; mp(ABC)
)
=
à
A
0
AH =60
o
.
Nên: A
0
H = AH tan
à
A
0
AH =
2
3
.AM.tan 60
o
=a
Từ đó, ta có:V
ABC.A
0
B
0
C
0
= dt(4ABC).A
0
H =
a
2
p
3
4
.a =
a
3
p
3
4
. Vậy V
ABC.A
0
B
0
C
0
=
a
3
p
3
4
Gọi M, M
0
lần lượt là trung điểm BC, B
0
C
0
, khi đó MM
0
∥BB
0
∥ A A
0
.
Tam giác ABC đều nên AM ⊥BC. A
0
H ⊥ mp(ABC) ⇒ A
0
H ⊥BC.
Từ
(
AM ⊥BC
A
0
H ⊥BC
⇒BC ⊥ AA
0
⇒BC ⊥BB
0
. Nên BCC
0
B
0
là hình chữ nhật.
Bài 7.31.
Cho hình hộp đứng ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có các cạnh AB = AD =2, A A
1
=
p
3 và góc
BAD =60
0
.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh A
1
D
1
và A
1
B
1
.
1. Chứng minh rằng AC
1
vuông góc với mặt phẳng (BDMN).
2. Tính thể tích khối chóp A.BDMN
Giải:
http://boxmath.vn/ 45
A
B
C
D
C
1
B
1
D
1
A
1
E
M
N
F
K
1. Do hình bình hành ABCD có AB = AD = 2 và góc
BAD = 60
0
nên ABCD là hình thoi và
BD =2, BD ⊥ AC.
Từ
(
BD ⊥ AC
BD ⊥ AA
1
suy ra BD ⊥ AC
1
(1).
Ta có:
−−→
MD.
−−−→
AC
1
=
³
−−−→
M A
1
+
−−−→
A
1
A +
−−→
AD
´³
−−→
AB +
−−→
AD +
−−−→
A A
1
´
=
1
2
−−→
AD.
−−→
AD+
1
2
−−→
AD
2
−
−−−→
A A
1
2
=
1
2
.2.2.cos 60
0
+
1
2
.2
2
−
¡
p
3
¢
2
=0
Suy ra AC
1
⊥ MD (2).
Từ (1) và (2) suy ra AC
1
⊥ mp(BDMN).
2. Gọi E là giao điểm của AC và BD, F là giao điểm của A
1
C
1
và M N.
Do BD ⊥mp(ACC
1
A
1
) nên BD ⊥ EF, MN ⊥EF.
Kẻ A
1
K ∥EI (K thuộc AC) thì K là trung điểm AE
Gọi I là giao điểm của A
1
K và AC
1
; H là giao điểm của AC
1
và EF, thì I là trung điểm của
AH.
Trong tam giác A
1
AK vuông tại K, ta có:
A
1
K
2
= A
1
A
2
+AK
2
= A
1
A
2
+
µ
AE
2
2
=
¡
p
3
¢
2
+
Ã
2
p
3
4
!
2
=
15
4
Suy ra EF = A
1
K =
p
15
2
Từ đó dt(BDM N) =
1
2
(BD +M N).EF =
3
p
15
4
.
Mặt khác AI =
A A
1
.AK
A
1
K
=
3
p
15
Nên AH =2AI =
6
p
15
Vậy V
A.BD MN
=
1
3
dt(BDMN).AH =
3
2
http://boxmath.vn/ 46
Bài 7.32.
Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A
0
lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và
vuông góc với A A
0
, cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng
a
2
p
3
8
. Tính thể tích khối
lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
.
Giải:
A
B
C
A
0
B
0
C
0
M
O
H
Do tam giác ABC đều và hình chiếu của A
0
trùng với tâm O của tam giác ABC nên suy ra
A
0
A = A
0
B = A
0
C.
Gọi M là trung điểm BC, H là hình chiếu của M trên A A
0
, khi đó mp(BCH) ⊥ AA
0
, suy ra
mp(P) chính là mp(BCH).
Vì hình chóp A
0
.ABC là hình chóp đều nên
à
A
0
AM nhọn, suy ra H nằm giữa A A
0
. dt(4BCH) =
a
2
p
3
8
=
1
2
BC.HM =⇒ HM =
a
p
3
4
AH =
p
AM
2
−HM
2
=
3a
4
Vì tam giác ABC đều cạnh a nên OA =
2
3
AM =
a
p
3
3
Ta có 4MH A v 4A
0
OA nên
HM
OA
0
=
AH
OA
=⇒OA
0
=
HM.OA
AH
=
a
3
Vậy: V
ABC.A
0
B
0
C
0
= dt(4ABC).A
0
O =
a
2
p
3
4
.
a
3
=
a
3
p
3
12
Bài 7.33.
Cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có độ dài cạnh bằng a. Trên các cạnh AB và CD lấy
lần lượt các điểm M, N sao cho BM = CN = x. Xác định vị trí điểm M sao cho khoảng cách
giữa hai đường thẳng A
1
C và MN bằng
a
3
.
Giải:
Do MN ∥BC nên MN ∥m p(A
1
BC).
Kẻ MK ⊥ A
1
B với K nằm trên A
1
B, ⇒ MK ⊥ mp(A
1
BC).
Bởi vậy:
d(A
1
C; MN) = d(MN; mp(A
1
BC)) = d(M; mp(A
1
BC)) = MK
http://boxmath.vn/ 47
Gọi I là giao điểm của AB
1
với A
1
B, thì MK ∥ A
1
I và:
MK = AI.
BM
AB
=a
p
2.
x
a
= x
p
2
Vì thế d(A
1
C; MN) =
a
3
⇐⇒ x
p
2 =
a
3
⇐⇒ x =
a
p
2
6
Hay BM =
a
p
2
6
A
B
C
D
C
1
B
1
D
1
A
1
I
M
N
K
Bài 7.34.
Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có AB = a, AC = 2a, A A
1
= 2a
p
5 và
BAC = 120
0
. Gọi M là
trung điểm của cạnh CC
1
. Chứng minh MB ⊥ M A
1
và tính khoảng cách d từ điểm A tới
mp(A
1
BM).
Giải:
Ta có:
−−→
MB.
−−−→
M A
1
=(
−−→
MC +
−−→
AB −
−−→
AC)(
−−−→
MC
1
+
−−−−→
C
1
A
1
) =−
−−→
MC
2
−
−−→
AB.
−−→
AC +
−−→
AC
2
=−(a
p
5)
2
+a
2
+(2a)
2
=0
⇒ MB ⊥ M A
1
Kẻ CH ⊥ AB tại H thì CH ⊥ mp(ABA
1
)
⇒ d(M; mp(AB A
1
)) =CH = AC. sin
H AC = a
p
3
dt(4ABA
1
) =
1
2
.AB.A A
1
=
1
2
.a.2a
p
5 = a
2
p
5 Bởi vậy: V
ABA
1
M
=
1
3
dt(4ABA
1
).d(M; mp(ABA
1
)) =
a
3
p
15
3
Ta có: MB =
p
MC
2
+BC
2
=
p
MC
2
+AB
2
+AC
2
−2AB.AC cos
BAC = a
p
12
M A
1
=
q
MC
2
1
+C
1
A
2
1
=3a
⇒ dt(4M A
1
B) =
1
2
.MB.M A
1
=3a
2
p
3
Từ đó:d(A; mp(A
1
BM)) =
3V
ABA
1
M
dt(4M A
1
B)
=
a
p
5
3
http://boxmath.vn/ 48
A
B
C
C
1
A
1
B
1
H
M
Bài 7.35.
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
có đáy là tam giác đều cạnh 2a, điểm A
1
cách đều
ba điểm A, B, C. Cạnh bên A
1
A tạo với mặt đáy góc α. Hãy tìm α, biết thể tích khối lăng trụ
ABC.A
1
B
1
C
1
bằng 2
p
3a
3
.
Giải:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Do điểm A
1
cách đều ba điểm A, B, C và ABC là tam giác
đều nên suy ra A
1
G ⊥ mp(ABC)
Bởi vậy:
á
(
A
1
A; mp(ABC)
)
=
á
(
A
1
A; AG
)
=
à
A
1
AG =α
Ta có: dt(4ABC) =
(2a)
2
p
3
4
=a
2
p
3
⇒ A
1
G =
V
ABC.A
1
B
1
C
1
dt(4ABC)
=
2
p
3a
3
a
2
p
3
=2a
AG =
2
3
2a
p
3
2
=2a
p
33
Trong tam giác vuông A
1
G A, ta có: tan
à
A
1
AG =
A
1
G
AG
=
p
3 ⇒tanα =
p
3 ⇒α =60
0
http://boxmath.vn/ 49
A
B
C
C
1
A
1
B
1
M
G
Bài 7.36.
Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có các cạnh A A
1
=3a, AB = a
p
3, AC =2a và góc
BC A =60
0
.
Gọi M là trung điểm cạnh BB
1
, N là trung điểm cạnh A
1
B
1
, G là trọng tâm tam giác BB
1
C
1
.
Hãy tính thể tích khối tứ diện AMNG.
Giải:
Ta có: AB
2
= AC
2
+BC
2
−2AC.BC.cos
BC A ⇐⇒ BC
2
−2a.BC +a
2
=0 ⇐⇒ BC = a
Tam giác ABC có AC
2
= AB
2
+BC
2
nên tam giác ABC vuông tại B ⇒C
1
B
1
⊥ mp(ABB
1
A
1
)
Kẻ GH ⊥BB
1
(với H nằm trên cạnh BB
1
), khi đó GH ∥C
1
B
1
.
Bởi vậy: GH ⊥ mp(ABB
1
A
1
) và GH =
a
3
.
dt(4AMN) = dt(ABB
1
A
1
)−dt(AA
1
N)−dt (B
1
NM)−dt(ABM) =3a.a
p
3−
1
2
.3a.
a
p
3
2
−
1
2
.
3a
2
.
a
p
3
2
−
1
2
.a
p
3.
3a
2
=
9
p
3a
2
8
Vậy: V
AMNG
=
1
3
dt(4AMN).GH =
1
3
.
9
p
3a
2
8
.
a
3
=
a
3
p
3
8
http://boxmath.vn/ 50
A
B
C
C
1
A
1
B
1
M
N
G
H
Bài 7.37.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, B. Hai mặt phẳng (SAB), (S AD)
cùng vuông góc với đáy. Biết AB = 2a, S A = BC = a, CD = 2a
p
5. Tính thể tích khối chóp
S.AB CD. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S ACD.
Giải:
2a
p
5
R
a
2a
4a
J
A
B
C
D
S
E
I
O
Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD tại E,
suy ra tứ giác ABCE là hình chữ nhật nên AE = a và 4CED vuông tại E.
Theo định lí Pitago ta có:
DE
2
=CD
2
−CE
2
=20a
2
−4a
2
=16a
2
⇒DE =4a.
Vậy AD là đáy lớn của hình thang và AE = a +4a =5a .
Diện tích hình thang ABCD là S
ABCD
=
(BC + AD)AB
2
=
(a +5a).2a
2
=6a
2
(đvdt).
http://boxmath.vn/ 51
Thể tích khối chóp S.ABCD là : V =
1
3
S A.S
ABCD
=2a
3
.
Tam giác ACD vuông ở C, trong mp(S AD) gọi O là giao của đường thẳng vuông góc với SA tại
trung điểm I của S A và đường thẳng vuông góc với AD tại trung điểm J của AD suy ra O là
tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SACD (O là trung điểm của SD),
suy ra: R =O A =
p
OI
2
+AI
2
=a
p
26
2
.
Bài 7.38.
Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy là tam giác đều cạnh a, đỉnh A
0
cách đều các điểm
A, B, C. Mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với A A
0
cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện
tích bằng
a
2
p
3
8
. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
.
Giải:
A
B
C
A
0
B
0
C
0
O
M
H
Do A
0
A = A
0
B = A
0
C nên hình chiếu vuông góc của A
0
lên (ABC) trùng với trọng tâm O của tam
giác ABC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AA
0
, Khi đó (P) ≡(BCH).
Gọi M là trung điểm của BC thì MH⊥A A
0
và
à
A
0
AM nhọn H nằm giữa A A
0
. Thiết diện của
lăng trụ khi cắt bởi (P) là tam giác BCH.
4ABC đều cạnh a nên AM =
a
p
3
2
, AO =
2
3
AM =
a
p
3
3
; HB = HC =
p
a
2
+AH
2
⇒ HM⊥BC
Theo bài ra: S
BCH
=
a
2
p
3
8
⇒
1
2
HM.BC =
a
2
p
3
8
⇒ HM =
a
p
3
4
.
AH =
p
AM
2
−HM
2
=
s
3a
2
4
−
3a
2
16
=
3a
4
Hai tam giác A
0
AO và M AH đồng dạng
A
0
O
AO
=
HM
AH
Suy ra A
0
O =
AO.HM
AH
=
a
p
3
3
a
p
3
4
4
3a
=
a
3
.
Thể tích khối lăng trụ : V = A
0
O.S
ABC
=
1
2
A
0
O.AM.BC =
1
2
a
3
a
p
3
2
a =
a
3
p
3
12
(đvtt)
Bài 7.39.
Cho hình chóp O ABC có 3 cạnh OA,OB, OC vuông góc với nhau đôi một tại O,
OB = a, OC =OA = a
p
3. Gọi M là trung điểm của cạnh BC.
a. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC).
b. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và OM.
Giải:
http://boxmath.vn/ 52
z
x
y
a
p
3
a
p
3
a
O
A
B
C
M
N
Trong tam giác OBC, vẽ đường cao OK. Trong tam giác OAK, vẽ đường cao OH. Chứng minh
OH vuông góc mp (ABC).
1
OH
2
=
1
OA
2
+
1
OK
2
=
1
OA
2
+
1
OB
2
+
1
OC
2
=
5
a
2
.
Suy ra d(O, (ABC)) =OH =
a
p
5
5
.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó O(0;0; 0), A(0; 0; a
p
3); B(a; 0; 0), C(0; a
p
3; 0),
M
Ã
a
2
;
a
p
3
2
; 0
!
, N
Ã
0;
a
p
3
2
;
a
p
3
2
!
,
−−→
OM =
Ã
a
2
;
a
p
3
2
; 0
!
,
−−→
ON =
Ã
0;
a
p
3
2
;
a
p
3
2
!
h
−−→
OM;
−−→
ON
i
=
Ã
3a
2
4
;
a
2
p
3
4
;
a
2
p
3
4
!
−→
n =(
p
3; 1; 1) là VTPT của mp(OMN)
Phương trình mặt phẳng (OMN) qua O với vectơ pháp tuyến
−→
n :
p
3x + y +z =0
Ta có: d(B; (OMN)) =
¯
¯
p
3.a +0 +0
¯
¯
p
3 +1 +1
=
a
p
3
p
5
=
a
p
15
5
. Vậy: d(B; (NOM)) =
a
p
15
5
.
MN là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ ABkMN ⇒ ABk(OMN)
⇒ d(AB; OM) = d(AB;(OMN)) = d(B; (NOM)) =
a
p
15
5
.
Bài 7.40.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB = BC =a; AD =2a.
Các mặt phẳng (S AC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Biết góc giữa
hai mặt phẳng (S AB) và (ABCD) bằng 60
o
. T ính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai
đường thẳng CD và SB.
Giải:
Gọi H = AC ∩BD ⇒SH⊥(ABCD)&BH =
1
3
BD
Kẻ HE⊥AB ⇒ AB⊥(SHE) ⇒ g((S AB);(ABCD)) =
SEH =60
o
.
Mà HE =
1
3
AD =
2a
3
⇒SH =
2a
p
3
3
⇒V
S ABCD
=
1
3
.SH.S
ABCD
=
a
3
p
3
3
Gọi O là trung điểm AD ⇒ ABCO là hv cạnh a ⇒4ACD có trung tuyến CO =
1
2
AD
CD⊥AC ⇒ CD⊥(SAC) và BOkCD hay CDk(SBO)&BO⊥(S AC).
d(CD; SB) = d(CD;(SBO)) = d(C; (SBO)).
T ính chất trọng tâm tam giác BCO ⇒ I H =
1
3
IC =
a
p
2
6
⇒ IS =
p
IH
2
+HS
2
=
5a
p
2
6
kẻ CK ⊥SI mà CK⊥BO ⇒CK⊥(SBO) ⇒ d(C; (SBO)) =CK
Trong tam giác SIC có : S
SIC
=
1
2
SH.IC =
1
2
SI.CK ⇒CK =
SH.IC
SI
=
2a
p
3
5
http://boxmath.vn/ 53
Vậy d(CD; SB) =
2a
p
3
5
Bài 7.41.
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB =2, tam giác ACB vuông tại C,
các tam giác S AC và SBD là các tam giác đều cạnh bằng
p
3 . Tính thể tích của hình chóp
S.AB CD.
Giải:
Vì tam giác S AC và SBD đều cạnh
p
3 nên AC =BD hay tứ giác ABCD là hình thang cân.
Lại có góc ACB vuông nên hình thang ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AB.
Gọi H là trung điểm AB khi đó SH vuông góc (ABCD) hay SH là đường cao của hình chóp.
Ta có BC =
p
4 −3 =1 nên SH =
p
SB
2
−HB
2
=
p
2.
Lại có S
ABCD
=
3
p
3
4
(Do ABCD là nửa lục giác đều)
Vậy V
S.ABCD
=
1
3
.
3
p
3
4
.
p
2 =
p
6
4
(đvtt).
Bài 7.42.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AD =a
p
2, CD =2a, S A⊥(ABCD). Mặt phẳng
(SBC) tạo với đáy một góc 60
o
. Gọi M là trung điểm của CD, N là giao điểm của BM và AC.
Tính thể tích khối chóp S.ABM. Chứng minh các điểm S, A, D, M, N thuộc một mặt cầu.
Giải:
Kết luận:
Bài 7.43.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A,B, AB = BC = a; AD = 2a.
Cạnh bên S A vuông góc với đáy (ABCD) và S A = a. Gọi E là trung điểm của AD. Tính thể
tích khối chóp S.CDE và tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.CDE.
Giải:
Dễ dàng tính được V =
a
3
6
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SE và SC
ta có mặt phẳng (ABNM) là mặt phẳng trung trực của SE.
Vậy tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SCDE là giao điểm của mặt phẳng (ABMN) và
trục đường tròn ngoại tiếp đáy CDE.
Gọi ∆ là đường thẳng qua I là trung điểm của CD và song song với S A. Gọi K là trung điểm
của AB thì K NkAM. K N và ∆ đồng phẳng suy ra K N ∩∆ =O là điểm cần tìm.
Tam giác OIK vuông cân nên OI = IK =
BC +AD
2
=
3a
2
; CD = a
p
2; IC =
CD
2
=
a
p
2
2
.
Ta có OC
2
=OI
2
+IC
2
=
9a
2
4
+
2a
2
4
=
11a
2
4
⇒R =OC =
a
p
11
2
.
Bài 7.44.
Cho hình hộp đứng ABCD A
1
B
1
C
1
D
1
có AB = AD = a; A A
1
=
a
p
3
2
(a > 0);
BAD = 60
o
. M, N lần
lượt là trung điểm của A
1
D
1
và A
1
B
1
.
a. Chứng minh: AC
1
⊥(BDMN)
b. Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
Giải:
http://boxmath.vn/ 54
Kết luận:
Bài 7.45.
Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có đáy ABCD là hình bình hành có góc B AD bằng
45
o
. Các đường chéo AC
0
và DB
0
lần lượt tạo với mặt phẳng chứa đáy các góc 45
o
và 60
o
. Biết
A A
0
=2a. Tính theo a thể tích khối lăng trụ đã cho.
Giải:
Kết luận:
Bài 7.46.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = 2a. Hình chiếu vuông
góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm BC, mặt phẳng (S AC) tạo với đáy
(ABC) một góc 60
o
. Tính thể tích hình chóp và khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SAC)
theo a, với I là trung điểm SB.
Giải:
Gọi H, J lần lượt là trung điểm của BC, AC, Ta có
SH⊥(ABC)
H J⊥AC
)
⇒ AC⊥S J,
nên
SJH =60
o
. AB =
BC
p
2
=
p
2a, H J =
AB
2
=
p
2a
2
, SH = H J.tan 60
o
=
p
6
2
a
V
S.ABC
=
1
3
SH.
AB.AC
2
=
1
6
.
p
6
2
.
¡
p
2
¢
2
.a
3
=
p
6a
3
6
.
Gọi E là hình chiếu của H lên S J, khi đó ta có
HE⊥S J
HE⊥AC
)
⇒ HE⊥(S AC).
Mặt khác, do I HkSC ⇒ IHk(S AC),
nên d(I, (S AC)) =d(H, (S AC)) =HE = H J.sin 60
o
=
p
6
4
a.
Bài 7.47.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC = 2
p
3a, BD = 2a và
cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (S AC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết
khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (S AB) bằng
a
p
3
4
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
theo a.
Giải:
Kết luận:
Bài 7.48.
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có AC = a, BC = 2a,
ACB = 120
o
và đường thẳng A
0
C tạo
với mặt phẳng
¡
ABB
0
A
0
¢
góc 30
o
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai
đường thẳng A
0
B, CC
0
theo a.
Giải:
Trong (ABC), kẻ CH⊥AB
(
H ∈ AB
)
, suy ra CH⊥
¡
ABB
0
A
0
¢
nên A
0
H là hình chiếu vuông góc của
A
0
C lên (ABB
0
A
0
).
Do đó:
á
[
A
0
C,
(
ABB
0
A
0
)
]
=
á
(
A
0
C, A
0
H
)
=
à
C A
0
H =30
0
. S
∆ABC
=
1
2
AC.BC.s in120
0
=
a
2
p
3
2
,
http://boxmath.vn/ 55
AB
2
= AC
2
+BC
2
−2AC.BC.cos 120
0
=7a
2
⇒ AB = a
p
7,CH =
2.S
∆ABC
AB
=
a
p
21
7
.
Suy ra: A
0
C =
CH
sin30
o
=
2a
p
21
7
. Xét tam giác vuông A A
0
C ta được: AA
0
=
p
A
0
C
2
−AC
2
=
a
p
35
7
.
Suy ra: V =S
∆ABC
.A A
0
=
a
3
p
105
14
. Do CC
0
//A A
0
⇒CC
0
//
¡
ABB
0
A
0
¢
.
Suy ra: d
¡
A
0
B, CC
0
¢
= d
¡
CC
0
,
¡
ABB
0
A
0
¢¢
= d
¡
C,
¡
ABB
0
A
0
¢¢
=CH =
a
p
21
7
.
Bài 7.49.
Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A
0
lên mặt phẳng trùng với tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc
với A A
0
, cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng
a
2
p
3
8
. Tính thể tích khối lăng trụ
ABC.A
0
B
0
C
0
.
Giải:
Gọi M là trung điểm của BC, do A
0
O⊥(ABC) nên BC⊥(A
0
AM). Gọi K là điểm thuộc A A
0
sao
cho KB⊥AA
0
, nối K C thì AA
0
⊥(K BC) ⇒ A A
0
⊥K M AO =
2
3
.
a
p
3
2
=
a
p
3
3
;
KBC có diện tích
a
2
p
3
8
nên
K M.BC
2
=
a
2
p
3
8
⇒K M =
a
p
3
4
Xét A
0
AM có 2 đường cao A
0
M và MK nên A
0
O.AM = K M.A A
0
(∗) :
đặt A
0
O = x >0 khi đó từ (∗) ta có: x.AM = AA
0
.K M ⇔ x.
a
p
3
2
=
s
x
2
+
a
2
3
.
a
p
3
4
( Do A
0
AO vuông
tại O và AO =
a
p
3
3
) hay 2x =
s
x
2
+
a
2
3
⇔4x
2
= x
2
+
a
2
3
⇔3x
2
=
a
2
3
⇔ x =
a
3
.
Ta có diện tích đáy ABC bằng
1
2
.a.
a
p
3
2
=
a
2
p
3
4
( Diện tích tam giác đều cạnh a).
Vậy V
ABC.A
0
B
0
C
0
= A
0
O.S
ABC
=
a
3
.
a
2
p
3
4
=
a
3
p
3
12
.
Bài 7.50.
Cho hình hộp đứng ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
, cạnh AB = AD = 2, A A
0
=
p
3, góc
BAD = 60
o
. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm các cạnh AD, AB. Chứng minh A
0
C vuông góc với mặt phẳng (B
0
D
0
MN).
Tính thể tích khối chóp A
0
B
0
D
0
MN.
Giải:
Giả sử A
0
C cắt O
0
J tại H ( hình vẽ )⇒ H là giao điểm của A
0
C với mp(B
0
D
0
MN)
Xét hình chữ nhật ACC
0
A
0
có A
0
C
0
=2A A
0
A
0
O
0
OA là hình vuông.
Từ đó chứng minh được A
0
I⊥O
0
J hay A
0
C⊥O
0
J ( 4). Từ (3) và (4): A
0
C⊥mp(B
0
D
0
MN) đpcm
Tứ giác B
0
D
0
MN là hình thang cân có đường cao là O
0
J. Ta có: B
0
N =
p
B
0
B
2
+BN
2
=2
T ính được O
0
J =
p
15
2
⇒S
B
0
D
0
MN
=
1
2
(B
0
D
0
+MN).O
0
J =
3
p
15
4
(5)
4A
0
O
0
I vuông tại O
0
có A
0
O
0
=
p
3,O
0
I =
p
3
2
.
Từ đó tính được : O
0
H
2
=
3
5
⇒ A
0
H
2
= A
0
O
0
2
−O
0
H
2
=3 −
3
5
=
12
5
⇒ A
0
H =
2
p
3
p
5
Từ đó: V
A
0
B
0
D
0
MN
=
1
3
A
0
H.S
B
0
D
0
MN
=
3
2
.
http://boxmath.vn/ 56
Bài 7.51.
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân, đáy lớn AB bằng bốn lần đáy nhỏ CD,
chiều cao của đáy bằng a. Bốn đường cao của bốn mặt bên ứng với đỉnh S có độ dài bằng
nhau và bằng b. Tính thể tích của khối chóp theo a, b.
Giải:
Gọi H là chân đường cao của chóp thì H phải cách đều các cạnh của đáy và trong trường hợp
này ta chứng minh được H nằm trong đáy.
Suy ra hình thang cân AB CD có đường tròn nội tiếp tâm H là trung điểm đoạn MN với M, N
lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD và M N = a
Đường tròn đó tiếp xúc với BC tại E thì HM = HN = HE =
a
2
là bán kính đường tròn
và SE = SM = SN = b
³
b >
a
2
´
⇒SH =
1
2
p
4b
2
−a
2
Đặt CN = x thì BM =4x, CE = x, BE =4x. Tam giác HBC vuông ở H
nên HE
2
=EB.EC ⇔
a
2
4
=4x
2
⇔ x =
a
4
⇒CD =
a
2
, AB =2a,suy ra S
ABCD
=
5a
2
4
.
Vậy V
S.ABCD
=
1
3
.
5a
2
4
.
1
2
p
4b
2
−a
2
=
5a
2
24
p
4b
2
−a
2
(đvtt)
Bài 7.52.
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; AB = BC = 2a, AD =4a.
Cạnh S A =4a vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của S Av
˘
aSD. Tính thể tích
khối chóp S.BCN M.
Giải:
Kẻ SH⊥BM. Vì MNkAD; AD⊥(S AB) nên MN⊥(S AB) ⇒ MN⊥ SH.
Từ đó SH⊥(BCNM). Vậy SH là đường cao hình chóp S.BCN M.
Kẻ AK ⊥BM, suy ra AK =SH. Tam giác ABM vuông cân tại A
suy ra AB = AM =2a ⇒ AK = SH = a
p
2 .
BCNM là hình chữ nhật với diện tích: S
BCNM
=BC.BM =2a.2a
p
2 =4a
2
p
2 .
Vậy : V
SBCN M
=
1
3
S
BCNM
.SH =4a
2
p
2.a
p
2 =8a
3
.
Bài 7.53. Huỳnh Bảo Toàn
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và
ABC =60
o
. Mặt bên SBC là tam
giác cân tại C, cạnh bên S A vuông góc với đáy và SA = a. Gọi M là điểm nằm trên cạnh BC
sao cho BM =2MC. Mặt phẳng (α) qua SM và song song với AB cắt SC tại N. Tính khoảng
cách từ C tới mặt phẳng (α) và thể tích khối chóp S.BMN.
Giải:
Chọn hệ trục tọa độ Axyz có các điểm B, C, S lần lượt nằm trên các tia Ax, A y, Az như hình vẽ.
Trong hệ trục này, ta có A
(
0;0; 0
)
, S
(
0;0; a
)
và đặt B
(
t; 0;0
)
, với t >0.
Khi đó, AC = AB tan 60
o
= t
p
3 ⇒ C
¡
0; t
p
3;0
¢
,
−−→
CB =
¡
t; −t
p
3;0
¢
.
Do
−−→
AM =
−−→
AC +
−−→
CM =
−−→
AC +
1
3
−−→
CB nên M
³
t
3
;
2
p
3
3
t; 0
´
.
4SBC cân tại C nên CB = CS ⇔
q
t
2
+
¡
p
3t
¢
2
=
q
¡
p
3t
¢
2
+a
2
⇔ t =a.
Mặt phẳng (α) qua SM và song song với AB cắt SC tại N nên MN song song với AB và
−−→
AN =
2
3
−−→
AC,
suy ra N
³
0;
2
p
3
3
a; 0
´
. Ta có
−−→
SM =
³
a
3
;
2
p
3
3
a; −a
´
,
−−→
SN =
³
0;
2
p
3
3
a; −a
´
,
h
−−→
SM;
−−→
SN
i
=
³
0;
1
3
a
2
;
2
p
3
9
a
2
´
,
−−→
SB =
(
a; 0;−a
)
.
http://boxmath.vn/ 57
Phương trình (SMN) là 3y +2
p
3z −2
p
3a =0.
Khoảng cách từ C tới (SMN) là d(C,(SM N)) =
¯
¯
3
p
3a −2
p
3a
¯
¯
q
3
2
+
¡
2
p
3
¢
2
=
a
p
7
7
.
Thể tích khối chóp S.BMN là V
S.BMN
=
1
6
¯
¯
¯
−−→
SB.
h
−−→
SM;
−−→
SN
i
¯
¯
¯
=
a
p
3
27
(đvtt).
Bài 7.54. Huỳnh Bảo Toàn
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy
và SA = a
p
3. Trên các cạnh SB, BC và CS lần lượt lấy các điểm M, N và P sao cho SM =
2
3
SB,
BN =
2
3
BC và CP =
1
3
CS. Biết hình chóp A.MNP có thể tích bằng
a
3
p
6
27
. Hãy tính thể tích của
hình chóp đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và NP.
Giải:
Đặt AC = t >0 và chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ.
Trong hệ trục này, A(0;0;0), B(a;0;0), C(0; t;0), S(0; 0; a
p
3).
Ngoài ra,
−−→
AM =
−−→
AB +
−−→
BM =
−−→
AB +
1
3
−−→
BS =
Ã
2a
3
;0;
a
p
3
3
!
nên M
Ã
2a
3
;0;
a
p
3
3
!
,
−−→
AN =
−−→
AB +
−−→
BN =
−−→
AB +
2
3
−−→
BC =
µ
a
3
;
2t
3
;0
nên N
µ
a
3
;
2t
3
;0
,
−−→
AP =
−−→
AC +
−−→
CP =
−−→
AC +
1
3
−−→
CS =
Ã
0;
2t
3
;
a
p
3
3
!
nên P
Ã
0;
2t
3
;
a
p
3
3
!
.
h
−−→
AM,
−−→
AN
i
=
Ã
−
2a
2
p
3
9
;
a
2
p
3
9
;
4at
9
!
và
h
−−→
AM,
−−→
AN
i
.
−−→
AP =
2a
2
t
p
3
9
.
Thể tích khối chóp A.MNP là V
A.MN P
=
1
6
¯
¯
¯
h
−−→
AM,
−−→
AN
i
.
−−→
AP
¯
¯
¯
=
a
2
t
p
3
27
=
a
3
p
6
27
⇔ t =a
p
2.
Ta dễ dàng tính được thể tích khối chóp S.ABC là V
S.ABC
=
a
3
p
6
6
(đvtt).
Bây giờ, ta sẽ tính khoảng cách giữa hai đường thẳng S A và NP.
Ta có
−−→
NP =
Ã
−
a
3
;0;
a
p
3
3
!
,
h
−−→
AS,
−−→
NP
i
=
Ã
0;−
a
2
p
3
3
;0
!
,
h
−−→
AS,
−−→
NP
i
.
−−→
AN =−
2a
3
p
6
9
.
Khoảng cách cần tính d(S A, NP) =
¯
¯
¯
h
−−→
AS,
−−→
NP
i
.
−−→
AN
¯
¯
¯
¯
¯
¯
h
−−→
AS,
−−→
NP
i
¯
¯
¯
=
2a
p
2
3
.
Bài 7.55. Huỳnh Bảo Toàn
Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên tạo với đáy một góc 60
o
và khoảng cách từ
điểm A tới mặt phẳng (SBC) bằng
6a
p
13
13
. Tính thể tích khối chóp đã cho và cosin của góc
tạo bởi hai mặt bên.
Giải:
Gọi O là tâm của tam giác đều ABC, M là trung điểm của BC.
Chọn hệ trục tọa độ vuông góc Mx yz như hình vẽ. Gọi t (t >0) là độ dài của cạnh AB.
Ta có M
(
0;0; 0
)
, A
Ã
0;−
t
p
3
2
;0
!
, B
µ
t
2
;0; 0
, C
µ
−
t
2
;0; 0
và O
Ã
0;−
t
p
3
6
;0
!
.
Vì SO⊥(ABC) nên góc giữa S A và mặt phẳng (ABC) bằng góc
S AO.
Do đó SO = AO.tan 60
o
= t nên
−−→
OS =
(
0;0; t
)
và
−−→
MS =
−−→
MO +
−−→
OS =
Ã
0;−
t
p
3
6
; t
!
http://boxmath.vn/ 58
hay S
Ã
0;−
t
p
3
6
; t
!
. Khi đó
h
−−→
MB,
−−→
MS
i
=
Ã
0;−
t
2
2
;−
t
2
p
3
12
!
nên phương trình mặt phẳng (SB C) là 6y +
p
3z =0.
Vậy nên d(A,(SBC)) =
3t
p
3
p
39
=
6a
p
13
13
⇔ t =2a.
Lúc này
−−→
S A =
Ã
0;−
2a
p
3
3
;−2a
!
,
−−→
SB =
Ã
a;
a
p
3
3
;−2a
!
,
−−→
SC =
Ã
−a;
a
p
3
3
;−2a
!
,
h
−−→
S A,
−−→
SB
i
=
Ã
2
p
3a
2
;−2a
2
;
2a
2
p
3
3
!
,
h
−−→
S A,
−−→
SC
i
=
Ã
2
p
3a
2
;2a
2
;−
2a
2
p
3
3
!
.
Thể tích khối chóp S.ABC là V
S.ABC
=
1
6
.
¯
¯
¯
−−→
SB.
h
−−→
S A,
−−→
SC
i
¯
¯
¯
=
2
p
3
3
a
3
(đvtt).
Gọi α là góc giữa (SAB) va (SAC) thì cosα =
¯
¯
¯
h
−−→
S A,
−−→
SB
i
.
h
−−→
S A,
−−→
SC
i
¯
¯
¯
¯
¯
¯
h
−−→
S A,
−−→
SB
i
¯
¯
¯
.
¯
¯
¯
h
−−→
S A,
−−→
SC
i
¯
¯
¯
=
5
13
.
Bài 7.56. Huỳnh Bảo Toàn
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy. Biết
khoảng cách giữa AC và SD bằng
a
p
3
3
. Hãy tính thể tích của hình chóp đã cho và góc giữa
hai đường thẳng AC và SD.
Giải:
Kết luận:
Bài 7.57. Huỳnh Bảo Toàn
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, S A vuông góc với mặt phẳng
(ABCD). Cạnh bên SC tạo với đáy một góc 45
o
. Biết rằng khoảng cách từ điểm A tới mặt
phẳng (SCD) bằng
2a
p
21
7
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và SD. Tính thể tích khối
chóp S.ABCD và cosin của góc giữa hai đường thẳng MN và AC.
Giải:
Kết luận:
Bài 7.58. Huỳnh Bảo Toàn
Cho hình chóp đều S.ABCD có diện tích mặt bên bằng a
2
p
3, cạnh bên hợp với đáy một góc
45
o
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tính thể tích của khối chóp S.MND, từ
đó suy ra khoảng cách từ điểm D tới mặt phẳng(SMN).
Giải:
Kết luận:
Bài 7.59. Huỳnh Bảo Toàn
Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB = a. Hình chiếu
của A
0
trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của cạnh BC, cạnh bên A A
0
tạo với đáy
một góc 60
0
và A
0
C =2a .
a. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A
0
C.
http://boxmath.vn/ 59
Giải:
Kết luận:
Bài 7.60. Huỳnh Bảo Toàn
Cho lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung điểm của cạnh
AB và N là điểm thuộc cạnh AC sao cho AN =2CN, E là giao của BN và CM. Đường thẳng
đi qua E, song song với BC cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại P và Q. Tính thể tích khối
chóp A
0
.B
0
PQ, và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A
0
P và C
0
Q.
Giải:
Kết luận:
8 - Một số bài tập tổng hợp
Bài 8.1. Diễn đàn onluyentoan.vn
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. H là trung điểm AB. Hai mặt
phẳng (SHD),(SHC) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD, biết khối chóp
có ba mặt bên là ba tam giác vuông.
ĐS: V =
a
3
6
đvtt
Bài 8.2. Diễn đàn boxmath.vn
Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Gọi G là giao điểm của AC
0
với mp(A
0
BD).
Tính tỉ số k =
V
G.CB
0
D
0
V
ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
.
ĐS: k =
1
6
Bài 8.3. Diễn đàn boxmath.vn
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a
p
2, S A = a và S A
vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao
điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (S AC) vuông góc với mặt phẳng (SMB).
Tính thể tích của khối tứ diện AN IB.
ĐS: V =
a
3
p
2
36
Bài 8.4. Diễn đàn onluyentoan.vn
Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O
0
, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng
a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O
0
lấy điểm B sao cho
AB =2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO
0
AB.
ĐS: V =
a
3
p
3
12
http://boxmath.vn/ 60
Bài 8.5. Diễn đàn onluyentoan.vn
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và S A vuông
góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường
thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM.
ĐS: V =
3a
3
p
3
50
Bài 8.6. Diễn đàn boxmath.vn
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên S AD là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh
SB, BC,CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.
ĐS: V =
a
3
p
3
96
Bài 8.7. Diễn đàn onluyentoan.vn
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của
D qua trung điểm của S A, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh
MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng M N và AC.
ĐS:
HQ
2
Bài 8.8. Diễn đàn onluyentoan.vn
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, góc
ABC =
BAD = 90
o
, BA = BC = a, AD = 2a.
Cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A = a
p
2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB.
Chứng minh tam giác SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).
ĐS: d(H; (SCD)) =
a
3
Bài 8.9. Diễn đàn boxmath.vn
Cho lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A,
AB = a, AC = a
p
3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A
0
trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm
của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A
0
.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường
thẳng AA
0
, B
0
C
0
.
ĐS: ϕ =
B
0
BH, cosϕ =
1
4
Bài 8.10. Diễn đàn onluyentoan.vn
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, S A =a, SB =a
p
3 và mặt phẳng
(S AB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC.
Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng
SM, DN.
ĐS: ϕ =
SME, cosϕ =
1
p
5
Bài 8.11. Diễn đàn boxmath.vn
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên độ dài bằng a
p
5, các mặt bên cùng tạo với
mặt đáy một góc 60
o
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất
cả các mặt của hình chóp S.ABCD theo a.
http://boxmath.vn/ 61
ĐS: R =
a
p
3
3
Bài 8.12. Diễn đàn boxmath.vn
Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A
0
B
0
C
0
. Biết 4ABC vuông tại B. AB = a; BC = b; A A
0
=
c(a
2
+b
2
< c
2
) . Gọi (P) là phẳng đi qua A và vuông góc với A
0
C. Xác định thiết diện của lăng
trụ khi bị cắt bởi phẳng (P). Tính diện tích thiết diện theo a, b, c.
ĐS: S =
ab
p
a
2
+b
2
+c
2
2c
Bài 8.13. Diễn đàn boxmath.vn
Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A
0
B
0
C
0
có cạnh đáy bằng 2a và chiều cao là a. Dựng
thiết diện của lăng trụ tạo bởi mặt phẳng đi qua B
0
và vuông góc với cạnh A
0
C. T ính diện tích
của thiết diện.
ĐS: S =
3
p
15
8
a
2
Bài 8.14. Diễn đàn onluyentoan.vn
Cho lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A
0
lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và
vuông góc với A A
0
cắt lăng trụ theo 1 thiết diện có diện tích
a
2
p
3
8
Tính thể tích khối lăng trụ.
ĐS: V =
a
3
p
3
36
Bài 8.15. Diễn đàn onluyentoan.vn
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh 2a, cạnh
bên A A
0
=3a, Q, I lần lượt là trung điểm các đường thẳng DD
0
,OB. mặt phẳng α qua IQ song
song với AC chia hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích 2 phần đó.
ĐS:
V
1
V
2
=
25
119
Bài 8.16. Diễn đàn onluyentoan.vn
Cho lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy ABC là tam giác vuông với AB = BC = a, cạnh bên
A A
0
=
3a
p
2
. M là điểm trên cạnh A A
0
sao cho A A
0
= 3AM. Tính thể tích của khối tứ diện
MB
0
BC
0
. Tính khoảng cách từ B
0
đến mặt phẳng (C
0
BM).
ĐS: d(B
0
,(BC
0
M)) =
a
p
3
2
Bài 8.17. Diễn đàn onluyentoan.vn
Cho lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
có A
0
A = A
0
B, đáy ABC là một tam giác vuông tại B, BC = a, AB =
a
p
3. Mặt bên (ACC
0
A
0
) vuông góc với đáy, góc tạo bởi mặt phẳng (A
0
BC) và (ACC
0
A
0
) là α sao
cho tanα =2. Tính thể tích của khối chóp A
0
.BCC
0
B
0
và khoảng cách giữa A
0
B và B
0
C theo a.
ĐS: d(A
0
B; B
0
C) =
a
p
3
2
http://boxmath.vn/ 62
Bài 8.18. Diễn đàn onluyentoan.vn
Cho lăng trụ tam giác ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy là tam giác vuông tại B,
BAC =30
o
, cạnh AC bằng
2a. Cạnh bên A A
0
tạo với đáy một góc 60
o
và chân đường vuông góc hạ từ A
0
xuống mặt phẳng
(ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
và khoảng cách giữa hai đường thẳng B
0
C
0
và A A
0
ĐS: a
p
3
Bài 8.19. Diễn đàn boxmath.vn
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA =BC = a. Góc
giữa đường thẳng A
0
B với mặt phẳng (ABC) bằng 60
o
. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
theo a.
ĐS:
a
3
p
3
2
Bài 8.20. Diễn đàn boxmath.vn
Cho hình nón đỉnh S nội tiếp trong mặt cầu tâm O bán kính R và đáy là đường tròn giao
tuyến của mặt cầu đó với một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng OS tại H sao cho
SH = x(0 < x < 2R). Tính theo R và x thể tích V và diện tích xung quanh S của hình nón đó;
từ đó tìm một hệ thức liên hệ giữa ba đại lượng V , S và R.
ĐS:
S
2
V
=6πR
Bài 8.21. Diễn đàn onluyentoan.vn
Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có đáy AB CD là hình thang cân có đáy lớn AD = a
p
2.
Biết góc hợp bởi BC
0
và (ABCD) bằng 60
o
, góc hợp bởi A
0
D với (ABCD) là ϕ sao cho tan ϕ =
p
3
2
,
CD⊥(ABB
0
A
0
), A
0
B
0
⊥(CDD
0
C
0
). Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
và khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB
0
và CD
0
.
ĐS: V =
3
p
6a
3
16
. d((AB
0
),(CD
0
)) =
3
p
78a
26
Bài 8.22. Toán học tuổi trẻ số 400
Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a
p
3, D A = DB = DC. Biết
rằng DBC là tam giác vuông. Tính thể tích tứ diện ABCD.
ĐS: V =
p
3
6
a
3
Bài 8.23. Toán học tuổi trẻ số 401
Tính thể tích khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy bằng a và khoảng cách giữa cạnh bên và
cạnh đối diện bằng m.
ĐS: V =
a
3
m
6
p
3a
2
−4m
2
Ã
ĐK m <
a
p
3
2
!
Bài 8.24. Toán học tuổi trẻ số 402
Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. S là điểm bất kì nằm trên
đường thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) tại A. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp S.ABCD khi SA =2a.
http://boxmath.vn/ 63
ĐS: V =πa
3
p
6
Bài 8.25. Toán học tuổi trẻ số 403
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông, đường cao S A. Gọi M là trung điểm
SC; N, P lần lượt nằm trên SB và SD sao cho
SN
SB
=
SP
SD
=
2
3
. Mặt phẳng (MNP) chia hình
chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
ĐS:
1
2
Bài 8.26. Toán học tuổi trẻ số 404
Cho hình chóp S.ABC có AB = BC = a;
ABC =90
o
; S A⊥(ABC); số đo góc nhị diện cạnh SC là
60
o
. Kẻ AM⊥SB, AN⊥SC. Tính thể tích của hình chóp S.AMN
ĐS: V =
a
3
36
Bài 8.27. Toán học tuổi trẻ số 405
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh BC =a
ABC =30
o
. Hai mặt
phẳng (S AB) và (S AC) cùng tạo với đáy một góc 60
o
. Biết rằng hình chiếu của đỉnh S trên
mặt đáy thuộc cạnh BC. Tính thể tích khối chóp S.AB C theo a.
ĐS: V =
(3 −
p
3)a
3
32
Bài 8.28. Toán học tuổi trẻ số 406
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Hai mặt phẳng (S AB)
và (S AD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy . Biết AB = 2a, S A = B C = a, CD = 2a
p
5. Tính
thể tích của khối chóp S.ABCD. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
S ACD.
ĐS: V =2a
3
, R =
a
p
26
2
Bài 8.29. Toán học tuổi trẻ số 408
Cho hình chóp tam giác đều có góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 60
o
. Khoảng cách
giữa mặt bên và đỉnh đổi diện bằng 6. Hãy tính thể tích hình chóp.
ĐS: V =
26
p
39
3
Bài 8.30. Toán học tuổi trẻ số 412
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành, AD =4a, các cạnh bên của
hình chóp bằng nhau và bằng a
p
6. Tìm cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD)
khi thể tích của khối chóp S.ABCD lớn nhất.
ĐS: cosϕ =
2
p
10
Bài 8.31. Toán học tuổi trẻ số 413
Cho hình chóp S.ABC có S A = 3a (với a > 0); S A tạo với đáy (AB C) một góc 60
o
. Tam giác
ABC vuông tại B,
ACB = 30
o
. G là trong tâm của tam giác ABC. Hai mặt phẳng (SGB) và
(SGC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a.
http://boxmath.vn/ 64
ĐS: V =
243
112
a
3
Bài 8.32. Toán học tuổi trẻ số 414
Cho hình trụ với đáy là hai đường tròn (O; R); (O
0
; R
0
); có chiều cao OO
0
=
2R
3
và đường sinh
AB. Tính thể tích tứ diện đều ABCD biết rằng C, D nằm trên mặt trụ.
ĐS: V =
2R
3
81
(3 +2
p
2)
Bài 8.33. Toán học tuổi trẻ số 415
Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. M và N là hai điểm lần lượt thuộc cạnh AB và AD sao cho
AM =
2
3
AB; AN =
3
4
AD. E và F là hai điểm lần lượt thuộc cạnh B
0
N và A
0
M sao cho EFkAC.
Hãy xác định tỉ số
EB
0
NB
0
.
ĐS:
EB
0
NB
0
=
12
29
.
Bài 8.34. Toán học tuổi trẻ số 416
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
ABC = 120
o
. Cạnh S A vuông
góc với mặt phẳng (ABCD) và S A = a. Gọi C
0
là trung điểm của cạnh SC. Mặt phẳng (α) đi
qua AC
0
và song song với BD cắt các cạnh SB, SD lần lượt B
0
, D
0
. Tính thể tích khối chóp
S.AB
0
C
0
D
0
.
ĐS: V =
a
3
p
3
18
Bài 8.35. Toán học tuổi trẻ số 417
Cho hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có cạnh AB =
a
p
3
2
và các cạnh còn lại đều bằng a.
Tính thể tích hình cầu đó.
ĐS: V =
13
p
13
162
πa
3
Bài 8.36. Toán học tuổi trẻ số 418
Cho hình chóp tứ giác S.AB CD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên (S AB) là tam giác
đều và vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Tính thể tích khối nón có đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC và đỉnh của khối nón nằm trên mặt phẳng (SDC).
ĐS: V =
2πa
3
27
Bài 8.37. Toán học tuổi trẻ số 419
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
, đáy ABC là tam giác vuông có C A = CB = a, góc giữa
đường thẳng BA
1
và mặt phẳng (ACC
1
A
1
) bằng 30
o
. Gọi M là trung điểm cạnh A
1
B
1
. Tính
khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (A
1
BC).
ĐS:
a
p
6
6
http://boxmath.vn/ 65
Bài 8.38. Toán học tuổi trẻ số 420
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC =2a. Mặt bên (SBC) là
tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy . Biết góc giữa hai mặt phẳng
(S AB) và (ABC) bằng 30
o
. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường
thẳng SC và AB theo a.
ĐS: V =
a
3
p
3
9
, d((SC),(AB)) = a
Bài 8.39. Đề dự bị I khối A-2006
Cho hình hộp đứng ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có cạnh AB = AD = a, A A
0
=
a
p
3
2
và góc (BAD) =60
o
. Gọi
M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A
0
D
0
và A
0
B
0
. Chứng minh AC
0
vuông góc với
mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
ĐS: V =
3a
3
16
Bài 8.40. Đề dự bị II khối B-2006
Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
có A
0
.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB =a, cạnh
bên A A
0
= b. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A
0
BC). Tính tan α và thể tích khối
chóp A
0
BB
0
CC
0
.
ĐS: tanα =
2
p
3b
2
−a
2
a
;V =
a
2
p
3b
2
−a
2
6
Bài 8.41. Dự bị 2 khối A-2006
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD =2a, cạnh S A vuông
góc với đáy, cạnh SB tạo với đáy một góc 60
o
. Trên S A lấy điểm M sao cho AM =
a
p
3
3
. Mặt
phẳng mặt BCM cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM.
ĐS: V =
10
p
3a
3
27
Bài 8.42. Đề dự bị 2 khối A-2007
Cho hình chóp S.ABC có góc (
á
SBC, ABC) =60
o
, ABC là SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính
khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (S AC).
ĐS:
3a
p
13
Bài 8.43. Đề thi hsg tỉnh Bình Phước -2012
Cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
cạnh a . Gọi E và F lần lượt là trung điểm của BC và
CD.
a. Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (A
1
EF) và hình lập phương.
b. Tính thể tích hai phần của hình lập phương do mặt phẳng (A
1
EF) cắt ra và tỉnh tỉ số thể
tích hai phần đó.
ĐS: V =
47a
3
72
& V =
25a
3
72
http://boxmath.vn/ 66
Bài 8.44. Đề thi hsg vòng tỉnh Bình Phước-2011
Cho hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có cạnh bằng a. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên OC
lấy điểm N, trên A
0
D
0
lấy điểm P sao cho AM =CN =D
0
P = x (0 ≤ x ≤ a).
a. Chứng minh rắng tam giác MNP đều. Tính diện tích tam giác MNP theo a và x. Tìm x để
diện tích ấy nhỏ nhất.
b. Cho x =
a
2
, tính thể tích khối tứ diện B’MNP và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
này.
ĐS: a. V =
3a
2
p
3
8
khi x =
a
2
. b. V =
3a
3
16
, R =
5a
p
3
12
Bài 8.45. Diễn đàn boxmath.vn
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm SC. Mặt phẳng AK
cắt SB, SD tại M, N. Đặt V
0
=V
S AMNK
và V =V
S ABCD
. Chứng minh:
1
3
≤
V
0
V
≤
3
8
HD: Dùng đạo hàm và bảng biến thiên để chứng minh
Bài 8.46. Đề thi thử THPT Phan Bội Châu – Phú Yên
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi; hai đường chéo AC = 2
p
3a; BD = 2a cắt
nhau tại O; hai mặt phẳng (S AC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . Biết
khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (S AB) bằng
a
p
3
4
. Tính thể tích hình chóp S.ABCD
theo a.
ĐS: V =
a
3
p
3
3
Bài 8.47. Đề thi thử THPT Lê Lợi-Thanh Hóa
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , với AB =3a, AD = 2a. Cạnh bên SA
vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 60
o
. Gọi M là trung điểm của CD.
Tính thể tích khối chóp S ABM và khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và AM.
ĐS: V =
3
p
3a
3
8
Bài 8.48. Đề thi thử THPT Hồng Quang-Hải Dương
Cho lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
, biết A
0
.ABC là hình chóp đều có cạnh đáy bằng a. Góc giữa hai
mặt phẳng (A
0
BC) và (BCC
0
B
0
) bằng 90
o
.Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
và khoảng
cách giữa hai đường thẳng AA
0
và B
0
C theo a.
ĐS: V =
a
3
p
2
8
. Khoảng cách bằng
a
2
Bài 8.49. Đề thi thử THPT Minh Khai – Hà Tỉnh
Cho hình trụ có đáy lần lượt là các đường tròn (O), (O
0
) . Mặt phẳng (α) đi qua trung điểm I
của đoạn thẳng OO
0
tạo với đáy góc 60
o
cắt đáy trên theo dây cung AB, cắt đáy dưới theo dây
cung CD biết ABCD là hình vuông cạnh a. Tính diện tích toàn phần của hình trụ theo a.
ĐS: S =
2π
p
5a
2
16
(2
p
3 +
p
5)
http://boxmath.vn/ 67
Bài 8.50. Đề thi thử THPT Trần Hưng Đạo- Hưng Yên
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a. Mặt phẳng (S AD) vuông
góc với mặt phẳng (ABCD) ,tam giác S AD vuông tại S và
S AD =60
o
. Điểm M là trung điểm
của cạnh SC. Tính thể tích của khối chóp M.BCD và cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng
AC và DM.
ĐS: V =
a
3
p
3
6
,cos α =
p
14
28
Bài 8.51. Diễn đàn boxmath.vn
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết đường thẳng BD chia mặt
phẳng (ABCD) thành hai nữa mặt phẳng, hình chiếu của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD)
thuộc nữa mặt phẳng chứa điểm A. Cạnh bên SB vuông góc với BD và có độ dài là 2a
p
2, mặt
phẳng (SBD) tạo với mặt đáy góc 60
o
. Tính thể tích hình chóp S.ABCD và khoảng cách giữa
hai đường thẳng BD và SC theo a.
ĐS: V =
a
3
p
6
3
, khoảng cách bằng
a
p
14
7
.
Bài 8.52. Diễn đàn boxmath.vn
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của S A, SC. Biết góc tạo bởi đường thẳng BM và ND bằng 60
o
. Tính thể
tích khối chóp S.ABCD theo a.
ĐS:
p
30a
3
18
Bài 8.53. Diễn đàn boxmath.vn
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy ABC là tam giác vuông AB =BC = a, mặt phẳng
(AB
0
C) tạo với mặt phẳng (BCC
0
B
0
) góc α sao cho tanα =
r
3
2
. Gọi M là trung điểm của
BC.Tính thể tích khối chóp M A
0
B
0
C và xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
B
0
ACM theo a.
ĐS: V =
p
2a
3
12
Bài 8.54. Diễn đàn boxmath.vn
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a đường chéo BD = a
p
3 Biết
S A vuông góc BD, cạnh bên SB vuông góc AD và (SBD) tạo với mặt đáy góc 60
o
. Tính thể tích
hình chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB theo a.
ĐS: V =
3a
3
4
, K/cách bằng
3
p
30
20
a
Bài 8.55. Diễn đàn boxmath.vn
Cho hình chóp S AB CD có đáy AB CD là hình thang vuông tại A, B. Biết AB = BC = a; AD =
2a, S AC là tam giác cân tại S và (S AC) vuông góc với đáy. Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Giả sử mặt phẳng (P) qua O song song với SC cắt S A ở M. Tính thể tích khối chóp MB CD và
khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SCD).
ĐS: V =
a
3
p
6
54
, K/cách bằng
a
p
2
6
http://boxmath.vn/ 68
Bài 8.56. Diễn đàn boxmath.vn
Cho hình lặng trụ tam giác đều ABC.A
0
B
0
C
0
có cạnh đáy bằng a. Biết khoảng cách giữa hai
đường thẳng AB và A
0
C bằng
a
p
15
5
. Tính thể tích của khối lăng trụ.
ĐS: V =
a
3
4
Bài 8.57. Diễn đàn boxmath.vn
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có cạnh A A
0
= a. Đường thẳng B
0
C tạo với đường
thẳng AD một góc 60
o
, đường chéo B
0
D tạo với mặt bên (BCC
0
B
0
) một góc 30
o
. Tính thể tích
khối chóp ACB
0
D
0
và cosin góc tạo bởi AC và B
0
D.
ĐS: V =
p
3a
3
27
, cos =
1
4
p
7
.
Bài 8.58. Diễn đàn boxmath.vn
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, có S A⊥(ABCD). Gọi O là tâm của hình
thoi. M là trung điểm của SC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng S A và BM. Biết
SO =2
p
2, AC =4, AB =
p
5.
ĐS:
Bài 8.59. Diễn đàn boxmath.vn
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành với AB = a, AD = 2a, có SC vuông góc
(ABCD), góc
BAD = 60
o
; S A hợp với (ABCD) góc 45
o
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và
khoảng cách giữa SA và BD.
ĐS: V =
a
3
p
21
3
, K/cách
a
p
77
11
.
Bài 8.60. Diễn đàn boxmath.vn
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A(ADkBC), AB =BC =2a, AD =
3a. Gọi M là trung điểm AD, N là trung điểm CM, biết (SN A) và (SNB) cùng vuông góc với
mặt phẳng đáy và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, CD bằng
a
2
. Tính thể tích khối chóp
đã cho và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SCD).
ĐS: V =
25a
3
3
p
236
, K/cách
15a
4
p
41
.
Bài 8.61. Diễn đàn boxmath.vn
Cho hình chóp S.AB CD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = a, AD = 2a ,
BAD = 60
o
.
Cạnh S A = a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi AM, AN, BP lần lượt vuông góc với
BC, DC, SC tương ứng (M
0
BC, N
0
DC, P
0
SC). T ính thể tích khối tứ diện AMNP và khoảng cách
giữa hai đường thẳng NP, AC theo a.
ĐS: V =
5a
3
p
3
64
, K/cách
10a
p
2829
943
.
Phương pháp tính thể tích trực tiếp
http://boxmath.vn/ 69
Bài 8.62. Tính thể tích khối chóp ta giác đều S.ABC trong các trường hợp sau:
a. Cạnh đáy bằng a, góc
ABC
b. AB = a, S A = m.
c. S A = m,Góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng α
ĐS: a. V
S ABC
=
a
3
p
2
12
; b. V
S ABC
=
a
2
p
3
12
s
m
2
−
a
2
3
; c. V
S ABC
=
p
3
3
.
m
2
sinα
sin
2
α +4)
p
sin
2
α +4
Bài 8.63. Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
có đọ dài cạnh bên bằng 2a, tam giác ABC vuông
tại A, AB =a, AC = a
p
3. Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm của BC. Tính
V
A
0
ABC
.
ĐS:
a
2
2
Bài 8.64. Cho hình chóp S ABC có S A⊥(ABCD), SA =a. δABC vuông cân có AB =BC = a. B’
là trung điểm của SB. C’ là chân đường cao hạ từ A của ∆S AC.
a. Tính V
S ABC
b. Chứng minh AB⊥(AB
0
C
0
). Tính V
S AB
0
C
0
.
ĐS:a.V
S ABC
a
3
6
b.V
S AB
0
C
0
=
a
3
36
Bài 8.65. Cho lăng trụ xiên ABCA’B’C’, đáy ABC là tam giác đầu có tâm O. Hính chiếu của
C’ lên (ABC) trùng O. TÍnh thể tích khối lăng trụ biết khảng cách từ O đến CC’ là a và góc
giữa (ACC’A’) và (BCC’B’) bằng 2α
ĐS:
27a
3
tan
3
α
4
p
2tan
2
α −1
Bài 8.66. Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC =a
và
ACB =α. Đường chéo BC’ của mặt bên (BCC’B’) hợp với mặt bên (ACC’A’) một góc β. Tính
thể tích lăng trụ.
ĐS:
1
2
.
a
3
tanα
p
sin(α −β)sin(α +β)
cosαsinβ
Bài 8.67. Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, Góc A =α và chân
đường vuông góc hạ từ B’ xuống đáy (ABCD) trùng với giao điểm O của hai đường chéo. Cho
BB’ =a. Tính thể tích và diện tích xung quanh hình hộp.
ĐS:V = a
3
cos
α
2
sinα; S
xq
=4a
2
cos
α
2
r
1 +sin
2
α
2
Bài 8.68. Cho lăng trụ đứng ABC A
1
B
1
C
1
có đáy ABC là tam giác vuông AB=AC =a,AA
1
=
a
p
2. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của đoạn A A
1
và BC
1
. Chứng minh MN là đường vuông
góc chưng của các dường thẳng AA
1
và BC
1
. Tính V
M A
1
BC
1
ĐS:
Bài 8.69. Cho hình nón có đỉnh là S, đáy là đường trọn tâm O, SA và SB là hai đường sinh
biết SO=3cm, khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) bằng 1cm, diện tích tam giác SAB
bằng 18 cm
2
. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
ĐS:
http://boxmath.vn/ 70
Bài 8.70. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, canh SA vuông góc với
đáy .
ACB = 60
0
, BC = a, S A = a
p
3. Gọi M là trung điểm của của cạnh SB. Chứng minh rằng
(S AB)⊥(SB C) . TÍnh thể tích khối tứ diện MABC.
ĐS:
Bài 8.71. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với SC
cắt SB, SC lần lượt tại B’, C’ . biết C’ là trung điểm của SC, tính tỉ số giữa SB’ và B’B.
ĐS:
SB
0
B
0
B
=2
Bài 8.72. Cho hình chóp S.ABC có đáy AB = AC = a, BC =
a
2
.S A = a
p
3,
S AB =
S AC = 30
0
.
Tính thể tích khối chóp S.S ABC .
ĐS:
a
3
16
Bài 8.73. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD =2a. Cạnh
S A vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60
0
. Trên SA
lấy M sao cho AM =
a
p
3
3
, mặt phẳng (BCM ) cắt cạnh SD tại N . Tính thể tích chóp SBCMN.
ĐS:
10
p
3a
3
27
Bài 8.74. Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết SA vuông góc với
mặt phẳng (ABC) và AB= SA =a, BC =2a. Một mặt phẳng qua A vuông góc với SC tại H và
cắt SB tại K. Tính diện tích tam giác AHK theo a.
ĐS:
a
2
p
6
12
Bài 8.75. cho hình chóp SABCD có SB = a
p
2 các cạnh còn lại đều bằng a. Tính thể tích khối
chóp theo a.
ĐS:
Bài 8.76. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật S A⊥(ABCD); AB = SA =
1; AD =
p
2. Gọi M, N là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Tính thể
tích khối tứ diện ANIB.
ĐS:
p
2
36
Bài 8.77. Cho hình hộp ABCD A
0
B
0
C
0
D
0
, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, A A
0
=
a
p
3
3
và
BAD =
BA A
0
=
à
D A A
0
=60
0
. Tính thể tích khối hộp theo a.
ĐS:
a
3
p
6
6
Bài 8.78. Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’, có AB =a, BC=2a, AA’ =a. Lấy M trên AD sao cho
AM=3MD. Tính thể tích khối chóp M.AB’C và khoảng cách từ M đến (AB’C).
ĐS:V
M.AB
0
C
=
a
3
4
; d(M,(AB
0
C)) =
a
2
http://boxmath.vn/ 71
Bài 8.79. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a.
BAD = 60
0
. Hai mặt
phẳng (SAC) và (SBD ) cùng vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm canh BC và
SD. Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh bên SC tại E. Biết MN vuông góc với AN. T ính thể tích khối
đa diện ADN.MCE theo a.
ĐS:
5a
p
3
9
Bài 8.80. Cho tứ diện ABCD có AB=6, CD =7, khoảng cách giữa AB và CD bằng 8, góc giữa
AB và CD bằng 60
0
. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
ĐS:28
p
3
Bài 8.81. Cho hình lăng trụ đứng ABC A
0
B
0
C
0
có đáy ABC là tam giác vuông với AB=BC=a,
canh bên A A
0
= a
p
2. M là điểm trên AA’ sao cho
−−→
AM =
1
3
−−→
AA
0
. Tính thể tích khối tứ diện
MA’BC’.
ĐS:
a
3
p
2
9
Bài 8.82. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng a, đáy ABC là tam giác đều, hình chiếu
của A trên (A’B’C’) trùng với trọng tâm G của tam giác A’B’C’. Mặt phẳng (BB’C’C) tạo với
(A’B’C’) góc 60
0
. Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.
ĐS: V
ABC.A
0
B
0
C
0
=
9a
3
32
Bài 8.83. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh 2a, điểm A1
cách đều ba điểm A, B, C. Cạnh bên A1A tạo với mặt phẳng đáy một góc α. Hãy tìm α, biết
thể tích khối lăng trụ ABC.A1B1C1 bằng 2
p
3a
3
.
ĐS:α =60
0
Bài 8.84. Cho hình chóp S.ABCD có
˜
náy là hình thang vuông tại A, AB =AD=a, DC=2a ,
,SA=a 3 hai mặt bên (SDC) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) .
1. Tính thể tích của khốichóp S.ABCD theo a .
2. G là ttrọng tâm của tam giác DBC . Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC)
ĐS:1.V
S ABCD
=
a
3
p
2
2
;2.
a
3
Bài 8.85. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, mặt bên SAB là tam giác
đều và vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết khoảng cách giữa hai đường
thẳng AB và SC bằng a.
ĐS:
a
3
7
p
7
18
LĂNG TRỤ XIÊN
Lưu ý: Cần nắm vững kĩ thuật xác định chân đường cao đã học.
Bài 8.86. Cho lăng trụ ABC A’B’C’có các cạnh đáy là 13;14;15và biết cạnh bên bằng 2a hợp
với đáy ABCD một góc 45
o
. Tính thể tích lăng trụ.
ĐS: V = a
3
p
2
http://boxmath.vn/ 72
Bài 8.87. Cho lăng trụ ABCD A’B’C’D’có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và biết cạnh bên
bằng 8 hợp với đáy ABC một góc 30
o
.Tính thể tích lăng trụ.
ĐS: V =336
Bài 8.88. Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’có AB =a;AD =b;AA’ = c và ∠BAD = 30
0
và biết cạnh
bên AA’ hợp với đáy ABC một góc 60
o
.Tính thể tích lăng trụ.
ĐS: V =
abc
p
3
4
Bài 8.89. Cho lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm A’
cách đều A,B,C biết AA
0
=
2a
p
3
3
.Tính thể tích lăng trụ.
ĐS: V =
a
3
p
3
4
Bài 8.90. : Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , đỉnh A’ có hình
chiếu trên (ABC) nằm trên đường cao AH của tam giác ABC biết mặt bên (BB’C’C) hợp với
đáy (ABC) một góc60
o
.
1) Chứng minh rằng BB’C’C là hình chữ nhật.
2) Tính thể tích lăng trụ ABC A’B’C’.
ĐS: V =
3a
3
p
3
8
Bài 8.91. Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Cạnh b CC’ = a
hợp với đáy (ABC) 1 góc 60
o
và C’ có hình chiếu trên ABC trùng với O .
1) Chứng minh rằng AA’B’B là hình chữ nhật. T ính diện tích AA’B’B.
2) Tính thể tích lăng trụ ABCA’B’C’.
ĐS: 1.S =
a
2
p
3
2
,2.V =
3a
3
p
3
8
Bài 8.92. Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết chân đường vuông
góc hạ từ A’ trên ABC trùng với trung điểm của BC và AA’ = a.
1) Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ.
2) Tính thể tích lăng trụ.
ĐS: 1.30
0
;V =
a
3
p
3
8
Bài 8.93. Cho lăng trụ xiên ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình chiếu
của C’ trên (ABC) là O. Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC’ là a
và 2 mặt bên AA’C’Cvà BB’C’C hợp với nhau một góc 90
o
http://boxmath.vn/ 73
ĐS: V =
27a
3
4
p
2
Bài 8.94. Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ có 6 mặt là hình thoi cạnh a,hình chiếu vuông góc
của A’ trên (ABCD) nằm trong hình thoi,các cạnh xuất phát từ A của hộp đôi một tạo với
nhau một góc60
o
.
1) Chứng minh rằng H nằm trên đường chéo AC của ABCD.
2) Tính diện tích các mặt chéo ACC’A’ và BDD’B’.
3) Tính thể tích của hộp.
ĐS: S
ACC
0
A
0
=a
2
p
2; S
BDD
0
B
0
=a
2
,V =
a
3
p
2
2
Bài 8.95. Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc A =60
o
,chân
đường vuông góc hạ từ B’ xuông ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo đáy biết BB’ = a.
1)Tìm góc hợp bởi cạnh bên và đáy.
2)Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của hình hộp.
ĐS: 1.60
0
,V =
3a
3
4
& S =a
2
p
15
Bài 8.96. B – 2002 : Cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có cạnh bằng a
1)Tính theo a khoảng cách giữa 2 đường thẳng A
1
B và B
1
D.
2) Gọi M ,N , P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB
1
, CD, A
1
D
1
. Tính góc giữa 2 đường
thẳng MP và C
1
N.
ĐS: 1.d(A
1
B, B
1
D) =
a
p
6
6
,2.90
0
Bài 8.97. B 2009 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng
BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60
0
; tam giác ABC vuông tại C và ∠BAC = 60
0
. Hình chiếu
vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể
tích khối tứ diện A’ABC theo a.
ĐS: 9a
3
/208
Bài 8.98. D-09: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB
= a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và
A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).
ĐS: V =
4a
3
9
, d =
2a
p
5
5
Bài 8.99. (B-11) cho hình lăng trụ ABCD A
1
B
1
C
1
D
1
có đáy BAC là hình chữ nhật, AB=a,
AD = a
p
3. Hình chiếu vuông góc của A
1
lên (ABCD) trung với giao điểm của AC và BD. Góc
giữa hai mặt phẳng (ADD
1
A
1
) và (ABCD) bằng 60
0
. TÍnh thể tích khối lăng trụ đã cho và
khoảng cách từ B
1
đến mặt phẳng (A
1
BD) theo a.
http://boxmath.vn/ 74
ĐS: V =
3a
3
2
, d =
a
p
3
2
Bài 8.100. Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Các điểm E và F lần lượt là trung
điểm của C’B’ và C’D’.
1.Dựng thiết diện của khối lập phương khi cắt bởi mp(AEF).
2.Tính tỉ số thể tích hai phần của khối lập phương bị chia bởi mặt phẳng (AEF).
http://boxmath.vn/ 75
| 1/75
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CÁC BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN CHO THI ĐẠI HỌC 1 - Khối chóp
Bài 1.1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác S AB đều và
S AD = 900. J là trung điểm SD. Tính theo a thể tích khối tứ diện ACD J và khoảng cách từ D
đến mặt phẳng (AC J). Giải: S J I B A C D ( AD ⊥ S A + ⇒ AD ⊥ (S AB) AD ⊥ AB
+ Gọi I là trung điểm AB thì AD ⊥ SI (1). Mà ∆S AB đều nên SI ⊥ AB (2) p 1 1 a 3
Từ (1) và (2) suy ra SI ⊥ (ABCD). Do đó d(J,(ACD)) = d(S,(ABCD)) = SI = 2 2 4 p p 1 1 a 3 a3 3
Từ đó suy ra VACDJ = . .a2. = . 3 2 4 24 5a2
∆BCI vuông tại B nên CI2 = CB2 + BI2 = 4
∆SIC vuông tại I nên SC2 = SI2 + IC2 = 2a2 Tương tự SD2 = SC2 = 2a2 SC2 SD4 ∆ + CD2
SCD có C J là đường trung tuyến nên C J2 = − = a2 2 4 a p 3
Xét ∆J AC có J A = p ; AC = a 2; CJ = a nên tính được cosA = 2 4 p p p 7 1 a 7 a2 7 Từ đó sin J AC = nên dt(J AC) = .p . = 4 2 2 4 8 p a3 3 3. p a 21 Vậy 24 d(D, (J AC)) = p = a2 7 7 8
Nhận xét: Có thể tính diện tích tam giác JAC bằng cách lấy hình chiếu của J trên mặt đáy (là
trung điểm H của DI). Trong mặt đáy, kẻ HK vuông góc với AC (hay HK song song với BD) với
K thuộc AC thì chỉ ra được JK vuông góc với AC và tính được JK là đường cao tam giác JAC. p
Bài 1.2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC = 2 3a, BD =
2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (S AC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). p a 3
Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (S AB) bằng
, tính thể tích khối chóp S.ABCD 4 theo a. http://boxmath.vn/ 1 Giải: S I D A O H K C B p
Từ giả thiết AC = 2a 3; BD = 2a và AC, BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi p
đường chéo. Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = a 3; BO = a, do đó ABD = 60o hay tam
giác ABD đều. Từ giả thiết hai mặt phẳng (S AC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO ⊥ (ABCD).
Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có DH ⊥ AB p p 1 a 3
và DH = a 3;OK//DH và OK = DH =
⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK) Gọi I là hình chiếu của 2 2
O lên SK ta có OI ⊥ SK; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (S AB), hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng 1 1 1 a
(S AB). Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao ⇒ = + ⇒ SO = Diện tích OI2 OK 2 SO2 2 p a
đáy SABCD = 4S∆ABO = 2.OA.OB = 2 3a2; đường cao của hình chóp SO = . 2 p 1 3a3
Thể tích khối chóp S.ABCD : VS.ABCD = SABCD.SO = 3 3
Bài 1.3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 3cm , các cạnh S A =
SB = SC = 3cm. Tam giác SBD có diện tích bằng 6cm2 .Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. Giải: S D A H O C B
Gọi H là hình chiếu của S trên (ABCD) suy ra H nằm trên BD (Vì S A = SB == SC, BD là trung
trực của AC). Do đó SH đường cao của hình chóp cũng là đường cao của tam giác SBD; Gọi O
là giao điểm của AC và BD. Vì S A = SC = D A = DC nên SO = DO suy ra tam giác SBD là tam 12
giác vuông tại S. Vì dt(SBD) = 6 và SB = 3 nên SD = 4; suy ra BD = 5, SH = . 5 p p 5 11 5 11
ABCD là hình thoi có AD = 3, DO = nên AO = suy ra dt(ABCD) = . 2 2 2 http://boxmath.vn/ 2 1 p VS.ABCD = SH.dt(ABCD) = 2 11. 3 p
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD bằng 2 11(cm3).
Bài 1.4. Cho hình chóp S.ABC có S A = 3a (với a > 0); S A tạo với đáy (ABC) một góc bằng 600.
Tam giác ABC vuông tại B,
ACB = 300.G là trọng tâm tam giác ABC. Hai mặt phẳng (SGB)
và (SGC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a. Giải: S A C G K B 3a
Gọi K là trung điểm BC. Ta có SG ⊥ (ABC); S AG = 600, AG = . 2 p 9a 3a 3 Từ đó AK = ; SG = . 4 2 p
Trong tam giác ABC đặt AB = x ⇒ AC = 2x; BC = x 3. p 9a 7
Ta có AK2 = AB2 + BK2 nên x = 14 1 243 Vậy VS.ABC = SG.dt(ABC) = a3. 3 112
Bài 1.5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và tam giác S AB là tam giác
cân tại đỉnh S. Góc giữa đường thẳng S A và mặt phẳng đáy bằng 450, góc giữa mặt phẳng
(S AB) và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD, biết rằng khoảng cách p
giữa hai đường thẳng CD và S A bằng a 6. Giải: S P A D M H N B C
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt đáy, M là trung điểm AB và do tam giác S AB
cân tại S nên SM vuông góc với AB và kết hợp với SH vuông góc với đáy suy ra AB vuông góc p
với mặt phẳng SMN nên theo giả thiết ta được: (S á A, (ABCD)) = S AH = 450 ⇒ S A = SH 2. 2 ((S A á B), (ABCD)) = ( á SM, MH) = SMH = 600 ⇒ SM = SH.p . 3 http://boxmath.vn/ 3
Từ điểm N kẻ NP vuông góc với SM thì dễ thấy NP là khoảng cách giữa hai đường thẳng S A p p p
và CD suy ra NP = a 6. Ta có SH.MN = NP.SM ⇐⇒ SH.AB = a 6.SH ⇐⇒ AB = 2 2a 4SH2 p
Trong tam giác S AM ta có S A2 = AM2 + SM2 ⇐⇒ 2.SH2 = + 2a2 ⇐⇒ SH = a 3. 3 p p 1 a 3.8a2 8 3a3 Vậy VS.ABCD = SH.dt(ABCD) = = . 3 3 3
Bài 1.6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, BC = 2a. Cạnh bên
S A vuông góc với mặt đáy, S A = a. Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Tính thể tích khối
chóp H.ACD theo a và côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD). Giải: S K H D A E B C
Kẻ HE//S A(E ∈ AB) ⇒ HE ⊥ (ABCD). BH AB2 1 HE a
Trong tam giác SAB có AB2 = BH.SB ⇒ = = = ⇒ HE = SB SB2 2 S A 2
Diện tích ∆ACD là S∆ACD = 1 AD.CD HE.S 2
= a2 ⇒ thể tích H.ACD là VH.ACD = 13 ∆ACD = a3 6
S A ⊥ (ABCD) ⇒ S A ⊥ BC mà BC ⊥ AB nên BC ⊥ (S AB) ⇒ BC ⊥ H A mà H A ⊥ SB nên H A ⊥
(SBC) tương tự gọi K là hình chiếu của A trên SD thì AK ⊥ (SCD) do vậy góc giữa hai mặt
phẳng (SBC) và (SCD) là góc giữa AH và AK. p p 1 1 1 a 2 a 2 trong tam giác vuông SAB có = + ⇒ AH = , S A2 = SH.SB ⇒ SH = AH2 AB2 S A2 2 2 2a a tương tự AK = p , SK = p 5 5 SB2 + SD2 − BD2 SH2 + SK2 − HK2 a2 cos BSD = = ⇒ HK2 = 2.SB.SD 2.SH.SK 2 p p AH2 + AK2 − HK2 10 10 Trong ∆AHK có cos AHK = = > 0 ⇒ cos((S á BC), (SCD)) = 2.AH.AK 5 5
Bài 1.7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông . Mặt bên S AB là tam giác
cân tại S, mặt phẳng (S AB) vuông góc với đáy, mặt phẳng (SCD) tạo với đáy góc 600 và cách
đường thẳng AB một khoảng là a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Giải: http://boxmath.vn/ 4 S K A D H I B C
Gọi H, I lần lượt là trung điểm AB và CD Do S AB cân tại S nên SH ⊥ AB mà (S AB) ⊥ (ABCD)
do đó SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ CD, HI ⊥ CD nên CD ⊥ (SHI), kẻ HK ⊥ SI, CD ⊥ HK nên HK ⊥
(SCD) ⇒ HK = d(H,(SCD)) = d(AB,(SCD)) = a  H I⊥CD    CD ⊥ (SH I) ⇒ SI⊥CD ⇒ ((SCá D), (ABCD) = ( à H I, S I) = S I H = 600  CD = (SCD) ∩ (ABCD)   HK 2a Trong ∆HK I có HI =
= p = BC. Trong ∆HSI có SH = H I.tan600 = 2a sin600 3 4a2
diện tích ABCD là SABCD = BC2 = 3 1 8a3
Thể tích S.ABCD là VS.ABCD = SH.SABCD = . 3 9
Bài 1.8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành thỏa mãn AB = 2a, BC = p p
a 2, BD = a 6. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm của
tam giác BCD. Tính theo α thể tích khối chóp S.ABCD, biết rằng khoảng cách giữa hai đường
thẳng AC và SB bằng a. Giải: S K D M O C H A B
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD), M là trung điểm CD và O là tâm AB2 + AD2 BD2 3a2
của đáy ABCD. Do AO là trung tuyến của tam giác ABD nên AO2 = − = ⇒ 2 4 2 p p a 6 AO 2a 6 AO = ⇒ AH = AO + = 2 3 3 p BD2 + BC2 CD2 6a2 + 2a2 4a2 p 2a 3 BM2 = − = − = 3a2 ⇒ BM = a 3 ⇒ BH = 2 4 2 4 3 http://boxmath.vn/ 5
Ta có AH2+BH2 = 4a2 = AB2 ⇒ AH⊥BH, kết hợp với AH vuông góc với SH ta được AH ⊥ (SHB).
Kẻ HK vuông góc với SB, theo chứng minh trên ta được AH ⊥ (SHB) suy ra AH ⊥ HK ⇒ HK
là đoạn vuông góc chung của AC và SB suy ra HK = a. 1 1 1
Trong tam giác vuông SHB ta có = + ⇒ SH = 2a HK 2 SH2 HB2 p 1 1 4 1 4 2a3
Ta có VS.ABCD = SH.SABCD = SH.4.SOAB = SH. OA.BH = 3 3 3 2 3 2 - Khối lăng trụ
Bài 2.1. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh 2a, điểm A1
cách đều ba điểm A, B, C. Cạnh bên A1 A tạo với mặt phẳng đáy một góc α. Hãy tìm α , biết p
thể tích khối lăng trụ ABC.A1B1C1 bằng 2 3a3. Giải: A1 B1 C1 A B I G H C p
Ta có tam giác ABC đều cạnh 2a nên SABC = a2 3
Mặt khác A1 A = A1B = A1C ⇒ A1.ABC là hình chóp tam giác đều đỉnh A1.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có A1G là đường cao. p 2 2a 3
Trong tam giác ABC có AG = AH = 3 3 p 2a 3
Trong tam giác vuông A1 AG có: à
A1 AG = α; A1G = AG.tanα = .tanα. 3 p p
Thể tích khối lăng trụ V = A1G.SABC = 2 3a3 ⇒ tanα = 3 ⇒ α = 60o.
Bài 2.2. Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, góc
B AC = 1200 , cạnh bên BB0 = a . Gọi I là trung điểm của CC0. Chứng minh tam giác AB0I
vuông tại A và tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB0I). Giải: http://boxmath.vn/ 6 A0 B0 C0 A I B C p
Ta có BC = a 3. Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông ACI, ABB0, B0C0I p p 5 p 13 Suy ra AI = a, AB0 = 2a, B0I = a 2 2
Do đó AI2 + AB02 = B0I2 Vậy tam giác AB0I vuông tại A p p 1 10 3 SAB0I = AI.AB0 = a2, SABC =
a2. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB0I). Tam 2 4 4
giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB0I. p p 10 3 r 3
suy ra SA0BI cosα = SABC ⇔ cos α = ⇔ cos α = 4 4 10 p
Bài 2.3. (DB1 A 2007) Cho lăng trụ đứng ABC A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, A A1 = 2a 5 và
B AC = 1200. Gọi M là trung điểm của cạnh CC1. Chứng minh MB ⊥ M A1 và tính khoảng
cách từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM). Giải: A1 C1 B1 M A C B
+ Ta có A1M2 = A1C21 + C1M2 = 9a2, BC2 = AB2 + AC2 − 2AB.AC.cos1200 = 7a2;
BM2 = BC2 + CM2 = 12a2; A1B2 = A1 A2 + AB2 = 21a2 = A1M2 + MB2 ⇒ MB vuông góc với M A1
+ Hình chóp M ABA1 và C ABA1 có chung đáy là tam giác ABA1 và đường cao bằng nhau nên thể tích bằng nhau. 1 1 p ⇒ V = VMABA = V = A A a3 15 1 C AB A1 1.S ABC = 3 3 p 3V 6V a 5 ⇒ d(a, (MBA1) ) = = = SMBA MB.M A 3 1 1 http://boxmath.vn/ 7
Bài 2.4. Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên
và mặt đáy bằng 300 . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh A trên mặt phẳng (A1B1C1) thuộc
đường thẳng B1C1. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A1B1C1 và tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng A A1 và B1C1 theo a. Giải: A B D C A B 1 1 H C1 a à
A A1H = 300, AH = A A1.sin300 = 2 p a3 3
Thể tích khối lăng trụ ABC.A1B1C1: V = AH.dt(A1B1C1) = 8 p p a 3 a 3
∆AA1H vuông, A1H = a.cos300 =
. Do ∆A1B1C1 đều cạnh a, H thuộc B1C1 và A1H = 2 2 nên A1H⊥B1C1
Có AH⊥B1C1 do đó B1C1⊥(A A1H). Kẻ đường cao HK của ∆A A1H thì HK chính là khoảng cách giữa A A1 và B1C1 p A1H.AH a 3
Ta có A A1.HK = AH.A1H, ⇒ HK = = . A A1 4
Bài 2.5. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc
của A0 lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) p a2 3
chứa BC và vuông góc với A A0, cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng . Tính 8
thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 theo a. Giải: A0 C0 B0 H A O C M B
Gọi M là trung điểm của BC, gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên A A0, Khi đó (P) ≡ (BCH). Do góc à
A0 AM nhọn nên H nằm giữa A A0. Thiết diện của lăng trụ cắt bởi (P) là tam giác BCH. http://boxmath.vn/ 8 p p a 3 2 a 3
Do tam giác ABC đều cạnh a nên AM = , AO = AM = 2 3 3 p p p a2 3 1 a2 3 a 3 Theo bài ra SBCH = ⇒ HM.BC = ⇒ HM = , 8 2 8 4 s p 3a2 3a2 3a AH = AM2 − HM2 = − = 4 16 4 A0O H M
Do hai tam giác A0 AO và M AH đồng dạng nên = AO AH p p AO.H M a 3 a 3 4 a suy ra A0O = = = AH 3 4 3a 3 p p 1 1 a a 3 a3 3
Thể tích khối lăng trụ: V = A0O.SABC = A0O.AM.BC = a = . 2 2 3 2 12 3 - Khối tròn xoay p
Bài 3.1. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a và đường cao bằng a 2.
a) M và N là hai điểm lưu động trên hai đáy sao cho góc của MN và đáy bằng α . Tính
khoảng cách từ trục đến MN.
b) Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ tam giác đều ngọai tiếp hình trụ Giải: C0 N O0 B0 A0 C O N0 H B M A
a) Kẻ đường sinh N N0 ta có à
N M N0 = α, kẻ OH⊥MN0 thì OH bằng khỏang cách giữa trục OO0 và MN. p
Ta có: MN0 = N N0.cotα = a. 2.cotα a2 a2
∆OMH vuông : OH2 = OM2 − MH2 = a2 − cot2 α = (2 − cot2 α) 2 2 s 2 − cot2 α ⇒ OH = a 2
b) Gọi x là cạnh của tam giác đều ngọai tiếp đường tròn đáy của hình trụ. p p 1 1 x 3 x 3 6R 6a Ta có: O0N = R = AN = = ⇒ x = p = p 3 3 2 6 3 3 p p x2 3 36a2 3 p p VABC.A0B0C0 = .OO0 = .a 2 = 3a2. 6. 4 12 http://boxmath.vn/ 9 18a p p Sxq = 3x.OO0 = p .a 2 = 6a2 6. 3
Bài 3.2. Cho hình nón đỉnh S có đường sinh là a, góc giữa đường sinh và đáy là α .
a) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón.
b) Một mặt phẳng hợp với đáy một góc 600 và cắt hình nón theo hai đường sinh S A và SB.
Tính diện tích tam giác S AB và khoảng cách từ tâm của đáy hình nón đến mặt phẳng này. Giải: S K B O H A a) Tính V và Sxq.
∆SAO vuông : SO = a.sinα, AO = a.cosα 1 1
V = π.AO2.SO = π.a3.cos2 α.sinα 3 3
Sxq = π.AO.S A = π.a2.cosα b) + Tính SSAB
Kẻ OH⊥AB ⇒ SH⊥AB, do đó SOH = 600 p a 3. sin α
∆SOH vuông :OH = SO.cot.600 = 3 3a2. sin α
AOH vuông : AH2 = AO2 − OH2 = a2.cos2α − 9 a p ⇒ AH = p
3 cos2 α − sin2 α 3 1
2a2. sin αp3cos2 α − sin2 α Vậy SSAB = AB.SH = 2 3 + Tính d(O, (S AB)) Kẻ OK⊥SH ⇒ OK⊥(S AB) p p a 3 sin α 3 a. sin α OKH vuông : OK = OH.sin600 = . = 3 2 2
Bài 3.3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và có cạnh bên S A vuông góc với đáy.
a) Xác định tâm mặt cầu ngọai tiếp hình chóp S ABCD.
b) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt AB, SC, SD lần lượt tại B0, C0, D0.
Chứng tỏ rằng bảy điểm A, B, C, D, B0, C0, D0 cùng nằm trên một mặt cầu. Giải: http://boxmath.vn/ 10 S C0 D0 I B0 D A O C B ) BC⊥AB a) Ta có : ⇒ BC⊥SB BC⊥S A Tương tự CD⊥SD
Vậy các điểm A, B, D đều nhìn đọan SC dưới một góc vuông, do đó tâm mặt cầu ngọai tiếp hình
chóp S.ABCD là trung điểm I của SC.
b)Ta có : AC0⊥SC tại C0 AB0⊥SC và AB0⊥BC ( vì BC⊥(S AB)) nên AB0⊥(SBC) ⇒ AB0⊥B0C Tương tự AD0⊥D0C
Vậy các điểm B0, C0, D0, D, B cùng nhìn đọan AC dưới một góc vuông, do đó bảy điểm A, B, C, D, B0, C0, D0
cùng nằm trên mặt cầu đường kính AC. 4
- Bài tập tự luyện có đáp số p
1. (CĐ 2012) Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a 2, S A =
SB = SC. Góc giữa đường thẳng S A và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối
chóp S.ABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a. p p 3a3 2a 3 * Đáp số: V = , R = 3 3
2. (D 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A0B0C0D0 có đáy là hình vuông, tam giác A0 AC vuông
cân, A0C = a. Tính thể tích của khối tứ diện ABB0C0 và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD0) theo a. p p a3 2 a 6 * Đáp số: V = , d = 48 6
3. (B 2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với S A = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu
vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính
thể tích của khối chóp S.ABH theo a. p 7 11a3 * Đáp số: V = 96
4. (A 2012)Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của
S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho H A = 2HB. Góc giữa đường
thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng S A và BC theo a. p p a3 7 a 42 * Đáp số: V = , g = 12 8 http://boxmath.vn/ 11
5. (CĐ 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, S A
vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 300. Gọi
M là trung điểm của cạnh SC. Tính thể tích của khối chóp S.ABM theo a. p a3 3 * Đáp số: V = 36
6. (A 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a;
hai mặt phẳng (S AB) và (S AC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung
điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai
mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.BCN M và khoảng cách
giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. p p 2a 39 * Đáp số: V = a3 3, d = 13
7. (B 2011) Cho hình lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = p
a, AD = a 3. Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao
điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1 A1) và (ABCD) bằng 600. Tính thể
tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a. p 3a3 a 3 * Đáp số: V = , d = 2 2
8. (D 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; p
mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a 3 và SBC = 300. Tính
thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (S AC) theo a. p p 6a 7 * Đáp số: V = 2 3a3, d = 7
9. (A 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần
lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH p
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3. Tính thể tích khối chóp S.CDN M và tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. p p 5 3a3 2 3a * Đáp số: V = , d = p 24 19
10. (D 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A = a;
hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH =
AC . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và 4
tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a. p a3 14 * Đáp số: V = 48
11. (CĐ 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt
phẳng (S AB) vuông góc với mặt phẳng đáy, S A = SB, góc giữa đường thẳng
SC và mặt phẳng đáy bằng 450. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD. p a3 5 * Đáp số: 6
12. (B 2010) Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0 có AB = a, góc giữa hai mặt
phẳng (A0BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A0BC. Tính
thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện G ABC theo a. p 3a3 3 7a * Đáp số: V = , R = 8 12 http://boxmath.vn/ 12 p
13. (CĐ 2009) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, S A = a 2. Gọi M, N và P lần
lượt là trung điểm của các cạnh S A, SB và CD. Chứng minh đường thẳng MN vuông góc
với đường thẳng SP. Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP. p a3 6 * Đáp số: V = 48
14. (A 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB =
AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm
của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (CSI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD),
tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. p 3 15a3 * Đáp số: V = 5
15. (B 2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có BB0 = a, góc giữa đường thẳng BB0 và
mặt phẳng (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và
B AC = 600. Hình chiếu vuông
góc của điểm B0 lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể
tích khối tứ diện A0 ABC theo a. 9a3 * Đáp số: V = 208
16. (D 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
AB = a, A A0 = 2a, A0C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A0C0, I là giao điểm của
AM và A0C. Tính theo a thể tích khối tứ diện I ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC). p 4a3 2a 5 * Đáp số: V = , d = 9 5
17. (CĐ 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, B AD = ABC = 900, AB =
BC = a, AD = 2a, S A vuông góc với đáy và S A = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của S A, SD. Chứng minh rằng BCN M là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BCN M theo a. a3 * Đáp số: V = 3
18. (A 2008) Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác p
vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A0 trên mặt phẳng
(ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A0.ABC và tính cosin
của góc giữa hai đường thẳng A A0, B0C0. a3 1 * Đáp số: V = , cosϕ = 2 4 p
19. (B 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, S A = a, SB = a 3
và mặt phẳng (S AB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN. p p a3 3 5 * Đáp số: V = , cosϕ = 3 5
20. (D 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, p
cạnh bên A A0 = a 2. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối http://boxmath.vn/ 13
lăng trụ ABC.A0B0C0 và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B0C. p p a3 2 7a * Đáp số: V = , d = 2 7
21. (A 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên S AD là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của
các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CM N P. p3a3 * Đáp số: V = 96
22. (B 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm
đối xứng của D qua trung điểm của S A, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của
BC. Chứng minh M N vuông góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng M N và AC. p a 2 * Đáp số: d = 4
23. (D 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC = B AD = 900, BA = BC = p
a, AD = 2a. Cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A = a 2. Gọi H là hình chiếu vuông góc
của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD). a * Đáp số: d = 3
24. (A 2006) Cho hình trụ có đáy là hai hình tròn tâm O và O0, bán kính đáy bằng
chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn
đáy tâm O0 lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO0 AB. p3a3 * Đáp số: V = 12
25. (B 2006) cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, p
AD = a 2, S A = a và S A vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần
lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh
mặt phẳng (S AC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện AN IB. p2a3 * Đáp số: V = 36
26. (D 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, S A = 2a và
S A vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A
trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCN M. p 3 3a3 * Đáp số: V = 50
27. (B 2004) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và
mặt đáy bằng ϕ((00 < ϕ < 900). Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (S AB) và (ABCD)
theo ϕ. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và ϕ. p p 2a3tanϕ
* Đáp số: tanα = 2tanϕ,V = 6
28. (D 2003) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng
∆. Trên ∆ lấy hai điểm A,B với AB = a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt http://boxmath.vn/ 14
phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với ∆ và AC = BD = AB. Tính bán
kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a. p p a 3 a 2 * Đáp số: R = , d = 2 2
29. (B 2002) Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng a. a) Tính theo a khoảng
cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D. b) Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các
cạnh BB1, CD, A1D1. Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C1N. a * Đáp số: d = p , g = 900 6
30. (D 2002) Cho hình tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD =
4cm; AB = 3cm; BC = 5cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD). p 6 34 * Đáp số: d = 17 p
31. (DB1 A 2007) Cho lăng trụ đứng ABC A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, A A1 = 2a 5 và B AC =
1200. Gọi M là trung điểm của cạnh CC1. Chứng minh MB ⊥ M A1 và tính khoảng cách
từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM). p a 5 * Đáp số: d = 3
32. (DB2 A 2007) Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng
600, hai tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (S AC). 3a * Đáp số: d = p13
33. (DB1 B 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, S A vuông p
góc với đáy. Cho AB = a, S A = a 2. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD.
Chứng minh SC ⊥ (AHK) và tính thể tích khối chóp OAHK. 2a3 * Đáp số: V = 27
34. (DB2 B 2007) Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C
thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy
điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (S AB) và (SBC) bằng 600. Gọi H, K lần lượt là
hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Chứng minh tam giác AHK vuông và tính thể
tích khối tứ diện S ABC theo R. p R3 6 * Đáp số: V = 12
35. (DB1 D 2007) Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông AB = AC = p
a, A A1 = a 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A A1, BC1. Chứng minh MN là đường
vuông góc chung của các đường thẳng A A1 và BC1. Tính thể tích khối tứ diện M A1BC1. p a3 2 * Đáp số: V = 12
36. (DB2 D 2007) Cho lăng trụ đứng ABC A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung
điểm của A A1. Chứng minh BM ⊥ B1C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM http://boxmath.vn/ 15 và B1C. p a 30 * Đáp số: d = 10
37. (DB1 A 2008) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, BA = BC =
2a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm E của AB và
SE = 2a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của EC, SC; M là điểm di động trên tia đối của tia BA sao cho góc
ECM = α(α < 900) và H là hình chiếu vuông góc của S trên MC. Tính
thể tích khối tứ diện EH I J theo a, α và tìm α để thể tích đó lớn nhất. 5a3sin2α * Đáp số: V = 8
38. (DB2 A 2008) Cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông,
S A = SB = SC = a. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC,
BC; D là điểm đối xứng của S qua E; I là giao điểm của đường thẳng AD với
mặt phẳng (SMN). Chứng minh AD ⊥ SI và tính theo a thể tích của khối tứ diện MBSI. a3 * Đáp số: V = 36 p
39. (DB1 B 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A = a 3 và
S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối tứ diện S ACD và tính cosin
của góc giữa hai đường thẳng SB và AC. p p a3 3 2 * Đáp số: V = , cosα = 6 4
40. (DB2 B 2008) Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a,
các mặt ACD và BCD vuông góc với nhau. Hãy tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD
và tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AD, BC. p a3 2 * Đáp số: ĐS V = , g = 600 12 5
- Các bài toán về khoảng cách
Phạm vi những bài tập này tôi sẽ đề cập một phương pháp xuyên suốt để giải các bài toán về
khoảng cách trong không gian đó là quy về bài toán cơ bản: Tính khoảng cách từ chân đường
cao đến một mặt của hình chóp.
Trước hết ta cần nắm chắc bài toán: Cho hình chóp S ABC có S A vuông góc với đáy ABC.
Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
• Việc tính khoảng cách này là rất đơn giản nhưng nó là chìa khóa để giải quyết mọi bài toán
liên quan đến khoảng cách: Ta kẻ
AM⊥BC, AH⊥SM ⇒ AH⊥(SBC) ⇒ dA/(SBC) = AH
Trong tam giác vuông S AM ta có 1 1 1 AS.AM = + ⇒ AH = p AH2 AS2 AM2 AS2 + AM2 • Tính chất quan trọng
- Nếu đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P)
thì khoảng cách từ mọi điểm trên (d) đến mặt phẳng (P) là như nhau http://boxmath.vn/ 16 −−→ −−→
- Nếu AM = kBM thì dA/(P) = |k|dB/(P) trong đó (P) là mặt phẳng đi qua M
- Nếu a, b là hai đường thẳng chéo nhau.
Gọi (P) là mặt phẳng chứa b và (P)ka thì da/b = da/(P) = dM∈a/(P)
Trên cơ sở các tính chất trên. Khi cần tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ,
hay tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta luôn quy được về bài toán cơ bản. Ta xét các bài toán sau: Bài 5.1.
Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang ABC =
B AD = 90o, BA = BC = a, AD = 2a. p
Cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A = a 2, góc tạo bởi SC và (S AD) bằng 30o. Gọi G là
trọng tâm tam giác (S AB). Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SCD) Giải:
Kẻ CE vuông góc với AD thì E là trung điểm của AD và CE⊥(S AD) p p ⇒ C ˆ
SE = 300 ⇒ SE = CE.tan60 = a 3 ⇒ S A = a 2
Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AE. Ta có BE song song với (SCD), MN 3
cũng song song với (SCD). Ta có ND = AD 4 2 2 2 2 3 1
GS = MS ⇒ dG/(SCD) = dM/(SCD) = .dN/(SCD) = . dA/(SCD) = dA/(SCD) 3 3 3 3 4 2
Vì tam giác ACD vuông cân tại C nên CD vuông góc với (S AC). S A.SC
Hạ AH vuông góc với SC thì AH⊥(SCD) ⇒ dA/(SCD) = AH = p = a S A2 + SC2
(Ta cũng có thể lập luận tam giác S AC vuông cân suy ra AH = a) Bài 5.2. p
Cho hình lăng trụ ABC A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A cạnh huyền BC = a 2
cạnh bên A A0 = 2a, biết A0 cách đều các đỉnh A, B, C . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
A A0, AC. Tính thể tích khối chóp C0M NB và khoảng cách từ C0 đến mặt phẳng (M NB) Giải: - Tính thể tích:
Vì A0 cách đều A, B, C nên chân đường cao hạ từ A0 lên mặt phẳng (ABC) là tâm vòng tròn
ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi H là trung điểm của BC suy ra A0H⊥(ABC) 1
Gọi K = MN ∩ AC0 ⇒ AK = C0K ⇒ VC0MNB = 3VAMNB 3 1
Gọi E là trung điểm của AH ⇒ ME⊥(ABC) ⇒ VMANB = ME.dt(ANB) 3 p p 1 1 a 14 a 14 Tính được: ME = A0H = = 2 2 2 4 p p p 1 a 14 a2 14a3 14a3 Suy ra: VMANB = . . = . Vậy VC0MNB = 3 4 4 48 16
Ta thấy rằng việc tính trực tiếp khoảng cách từ điểm C0 đến mặt phẳng (BMN) là tương đối
khó. Để khắc phục khó khăn này ta sẽ tạo ra bài toán cơ bản tính khoảng cách từ chân đường
cao đến mặt phẳng (BMN) bằng cách dựng đường cao ME của khối chóp ABMN.
- Tính khoảng cách: dC0/(BMN) = 3dA/(BMN). Gọi F là trọng tâm tam giác ABC 2 1 1 1 1
Ta có: AF = AH; EH = AH ⇒ EF + AH = AH ⇒ EF = AH ⇒ dA/(BMN) = 4dE/(BMN) 3 2 3 2 6
Như vậy dC0/(BMN) = 3dA/(BMN) = 12dE/(BMN) http://boxmath.vn/ 17 ( EP⊥BN EP.EM Hạ
⇒ EQ⊥(MNB) ⇒ dE/(MNB) = EQ = p EQ⊥MP. EP2 + EM2 EP EF BH.EF
Ta có ∆EPF đồng dạng với ∆BHF⇒ = ⇒ EP = BH BF BF p p p a 2 1 1 2 1 a 2 a 5 Tính được BH = ; EF = AF = . AH = AH = ; BF = 2 4 4 3 6 12 3 p p a 5 EP.EM 994a Suy ra: EP = ⇒ EQ = p = 20 EP2 + EM2 284 p p 994a 3 994a Vậy dC0/(BMN) = 12d = 12. = E/(BM N) 284 71
Qua ví dụ trên ta thấy rõ tầm quan trọng của bài toán cơ bản Bài 5.3.
Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Chân đường cao hạ từ S lên −−→ −−→
mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc AB sao cho H A = −2HB. Góc tạo bởi SC và mặt phẳng
(ABC) bằng 60o. Tính thể tích khối chóp S ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng S A, BC theo a. Giải: - Tính thể tích:
Vì SH⊥(ABCD) nên HC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).
Góc tạo bởi SC và mặt phẳng (ABCD) là SCH = 60o.
Xét tam giác BHC theo định lý hàm số cosin ta có a2 a 1 7a2
HC2 = HB2 + BC2 − 2HB.BC.cos
HBC = HB2 + BC2 − 2HB.BC.cos60o = + a2 − 2. .a. = 9 3 2 9 p p p a 7 a 7 p a 21 Suy ra HC = ⇒ SH = HC. tan SCH = . 3 = 3 3 3 p p 1 1 a 21 1 7a3 Ta suy ra VSABC = SH.S∆ABC = . a.a. sin 60o = ( ĐVTT) 3 3 3 2 12 - Tính khoảng cách:
Gọi E là trung điểm của BC , D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD 3
Ta có AD//BC nên dSA/BC = dBC/(SAD) = dB/(SAD) = dH/(SAD) 2 ( HF⊥AD Kẻ
⇒ HK⊥(S AD) ⇒ dH/(SAD) = HK HK ⊥SF 1 1 1 HF.HS
Trong tam giác vuông SHF ta có = + ⇒ HK = p HK 2 HF2 HS2 HS2 + HF2 p p 2 2 a 3 3a Mặt khác HF = AE = = . 3 3 2 3 p p 3a a 21 . p HF.HS 3 3 42 Suy ra HK = p = = a HS2 r + HF2 3 21 12 a2 + a2 9 9 p p 3 42 42 Vậy dSA/BC = . a = a 2 12 8 6
- Giải toán Hình không gian bằng Phương pháp tọa độ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT J Phương pháp http://boxmath.vn/ 18
• Bước 1: Chọn hệ trục tọa Ox yz. Xác định một góc tam diện vuông trên cơ sở có sẵn của
hình (như tam diện vuông, hình hộp chữ nhật, hình chóp tứ giác đều . . . ), hoặc dựa trên các
mặt phẳng vuông góc dựng thêm đường phụ.
• Bước 2: Tọa độ hóa các điểm của hình không gian. Tính tọa độ điểm liên quan trực tiếp
đến giả thiết và kết luận của bài toán. Cơ sở tính toán chủ yếu dựa vào quan hệ song song,
vuông góc cùng các dữ liệu của bài toán.
• Bước 3: Chuyển giả thiết qua hình học giải tích. Lập các phương trình đường, mặt liên
quan. Xác định tọa độ các điểm, véc tơ cần thiết cho kết luận.
• Bước 4: Giải quyết bài toán. Sử dụng các kiến thức hình học giải tích để giải quyết yêu
cầu của bài toán hình không gian.
Chú ý các công thức về góc, khoảng cách, diện tích và thể tích . . .
J Cách chọn hệ tọa độ một số hình không gian.
H Tam diện vuông, hình hộp chữ nhật, hình lập phương.
• Xét tam diện vuông S.ABC có S A = a, SB = b, SC = c. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho −−→ −−→ −−→
S ≡ O, S A, SB, SC lần lượt cùng hướng với các tia Ox, O y, Oz. Tọa độ các điểm khi đó là
S(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c).
• Xét hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có độ dài các cạnh là AB = a, AD = b, A A0 = −−→ −−→ −−→
c. Chọn hệ trục tọa độ Ox yz sao cho A ≡ O, AB, AD, A A0 lần lượt cùng hướng với các tia
Ox, O y, Oz. Tọa độ các điểm khi đó là
A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; b; 0), A0(0; 0; c),
C(a; b; 0), B0(a; 0; c), D0(0; b; c), C0(a; b; c).
H Hình chóp tứ giác đều, tam giác đều.
• Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có O là giao của hai đường chéo và SO = h, AC = 2a, BD = −−→ −−→ −−→
2b. Chọn hệ trục tọa độ Ox yz sao cho O A, OB, OS lần lượt cùng hướng với các tia Ox, O y, Oz.
Tọa độ các điểm khi đó là
O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(−a; 0; 0), D(0; −b; 0).
• Hình chóp tam giác đều S.ABC có O là tâm của tam giác ABC và SO = h, BC = a. Chọn −−→ −−→ −−→
hệ trục tọa độ Ox yz sao cho O A, CB, OS lần lượt cùng hướng với các tia Ox, O y, Oz. Tọa độ các điểm khi đó là Ã p ! Ã p ! Ã p ! a 3 a 6 a a 6 a O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A ; 0; 0 , B − ; ; 0 , C − ; − ; 0 . 3 3 2 3 2
J Tùy vào từng bài toán mà có thể thay đổi linh hoạt cách chọn hệ tọa độ. Trong nhiều trường
hợp, phải biết kết hợp kiến thức hình không gian tổng hợp và kiến thức hình giải tích nhằm thu gọn lời giải..
B. CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA Bài 6.1.
Cho hình chóp S.ABC, trong đó S A vuông góc với mặt đáy ABC. Đáy là tam giác cân tại A,
đồ dài trung tuyên AD = a,; cạnh bên SB tạo với mặt đáy một góc α và tạo với mặt phẳng
(S AD) góc β. Tìm thể tích hình chóp S.ABC. Giải: http://boxmath.vn/ 19
Chọn hệ trục tọa độ Ox yz như hình vẽ. Tọa độ các đỉnh
A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A0(0; 0; a),
C(a; a; 0), D0(0; a; a), B0(a; 0; a), C0(a; a; a). a) Ta có −−→ −−→ −−−→ h−−→ −−→i
A0B(a; 0; −a), B0D(−a; a; −a), A0B0(a; 0; 0) ⇒ A0B, B0D = (a2; 2a2; a2) ¯h−−→ −−→i − −−→¯ ¯ A0B, B0D .A0B0¯ ¯ ¯ a
Khoảng cách giữa hai đường thẳng là d(A0B, B0D) = = p . ¯h−−→ −−→i¯ ¯ A0B, B0D ¯ 6 ¯ ¯
b) Tọa độ các điểm M, N, P là ³ a ´ ³ a ´ ³ a ´ M a; 0; , N ; a; 0 , P 0; ; a . 2 2 2 Do đó −−→ ³ a a ´ −−−→ ´ −−→ −−−→ MP −a; ;
, NC0 ³ a ; 0; a ⇒ MP.NC0 = 0. 2 2 2
Vậy góc giữa hai đường thẳng bằng 900. c) Ta có −−→ µ ¶ ³ a a ´ −−−→ a ´ −−−→³ a a ´ h−−→ − −−→ a2 a2 MP −a; ; , MC0 ³0; a; , M N − ; a; − ⇒ MP, MC0i = − ; ; −a2 . 2 2 2 2 2 4 2
1 ¯h−−→ −−−→i −−−→¯ 3
Thể tích khối tứ diện C0MNP là V ¯ ¯ C0 M N P = MP, MC0 .M N = a3. 6 ¯ ¯ 16 Bài 6.2.
(Đề thi tuyển sinh đại học, khối A năm 2007)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (S AD) là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh
SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CM NP. Giải:
Vì tam giác S AD là tam giác đều và (S AD)⊥(ABCD) nên gọi O là trung điểm của AD thì
SO⊥(ABCD). Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ (O y song song với AB). Tọa độ các đỉnh à p ! a 3 ³ a ´ ³ a ´ ³ a ´ ³ a ´ O(0; 0; 0), S 0; 0; , D ; 0; 0 , A − ; 0; 0 , C ; a; 0 , B − ; a; 0 . 4 2 2 2 2 à p ! ³ a a ´ a a a 3 Nên các trung điểm P ; ; 0 , N (0; a; 0) , M − ; ; . 2 2 4 2 4 à p ! −−→ a a a 3 −−→ ³ a ´ −−→ −−→ a2 a2 Ta có AM ; ; , BP a; − ; 0 nên AM.BP = − + 0 = 0. 4 2 4 2 4 4
Vậy AM vuông góc với BP. Mặt khác à p ! à p ! −−−→ a a a 3 −−→ ³ a ´ −−→ ³ a a ´ h− −−→ −−→i a2 3 a2 N M − ; − ; , NC ; 0; 0 , N P ; − ; 0 ⇒ N M, NC = 0; ; . 4 2 4 2 2 2 8 4 p
1 ¯h−−−→ −−→i −−→¯ a3 3
Do đó thể tích khối tứ diện CMNP là V ¯ ¯ CM N P = N M, NC .N P = . 6 ¯ ¯ 96 http://boxmath.vn/ 20 Bài 6.3. p
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a, A A0 = a 2.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn A A0 và BC0. Chứng minh MN là đường vuông góc
chung của A A0 và BC0. Tính thể tích khối tứ diện M A0BC0. Giải:
Chọn hệ trục tọa độ Ox yz như hình vẽ. Tọa độ các điểm là ³ a ´ ³ a a a ´
A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(0; a; 0)A0(0; 0; a), B0(a; 0; a), C0(0; a; a), M 0; 0; , N ; ; . 2 2 2 2 −−→ − −−→ −−−→ ³ a a ´ −−→ p −−→ p BC0.M N = 0 Ta có MN ;
; 0 và BC0(a; −a; a 2), A A0(0; 0; a 2). Do đó , 2 2 −−→ −−−→  A A0.M N = 0
hay MN là đường vuông góc chung của hai đường thẳng A A0 và BC0. Mặt khác p p p −−−→ Ã ! Ã ! Ã ! a 2 −−→ a 2 −−−→ a 2 M A0 0; 0; , MB 0; a; − , MC0 a; 0; 2 2 2 Do đó Ã p ! h− −−→ −−→i a2 2 M A0, MB = ; 0; 0 , 2 p
1 ¯h−−−→ −−→i −−−→¯ a3 2
nên thể tích khối tứ diện M A0BC0 là V ¯ ¯ M A0BC0 = M A0, MB .MC0 = . 6 ¯ ¯ 2 Bài 6.4.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều ABCD có AB = BC = CD = a, p
S A⊥(ABCD), S A = a 3. Điểm M chia đoạn SB theo tỷ số −3, điểm I chia đoạn DS theo 4
tỷ số − . Mặt phẳng (AMI) cắt SC tại N. 3
a) Chứng minh N là trung điểm của SC.
b) Chứng minh SD⊥(AMI) và AMN I thuộc một đường tròn.
c) Tính khoảng cách từ trung điểm của AD đến mặt phẳng (AMN I). Giải:
Chọn hệ trục tọa độ Ox yz như hình vẽ, gốc tọa độ là trung điểm của AD, trục Ox là trục đối
xứng của hình thang ABCD, trục Oz song song với S A. Tọa độ các điểm là Ã p ! Ã p ! a 3 a a 3 a ³ p ´ A(0; −a; 0)B ; − ; 0 , D(0; a; 0), C ; ; 0 , S 0; −a; a 3 . 2 2 2 2 Ã p p ! Ã p ! −−→ −−→ −→ 4 −→ 3 3a 5a 3a a 4 3a
Vì MS = −3MB, ID = − IS nên M ; − ; , I 0; − ; . 3 8 8 4 7 7 Ã p p ! Ã p ! −−→ 3 3a 3a 2 3a −→ 6a 4 3a a) Ta có AM ; ; , A I 0; ; 8 8 8 7 7 p
Nên mặt phẳng (AM I) có phương trình 2y − 3z + 2a = 0. Ã p p ! 3a a 3a Trung điểm của SC là N ; − ; thuộc mặt phẳng(AM I). 4 4 2
Vậy mặt phẳng (AM I) cắt SC tại trung điểm của SC. −−→ p p −−→ b) Ta có SD(0; 2a; −a 3), ~
n(AMI)(0; 2; − 3) ⇒ SD = a.~ n(AMI) nên SD⊥(AM I). Ã p p ! −−→ 3 3a 27a 9 3a −−→ −−→ Vì I M ; − ; − nên AM.I M = 0, hay AM I = 90o. Tương tự AN I = 90o. 8 56 28 http://boxmath.vn/ 21
Vậy các điểm tứ giác AMN I nội tiếp trong đường tròn đường kính AI. p |2a| 2 7
c) Khoảng cách cần tìm là d(O, (AM I)) = = a. q p 2 7 02 + 22 + (− 3) Bài 6.5.
Cho hình chóp S.ABC có ASC = 90o, CSB = 60o,
BS A = 120o, S A = SB = SC = a.
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (S AC) và (SBC).
b) Gọi M, N lần lượt chia đoạn SB, CS theo tỷ số −3. Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng AN, CM. Giải: p p
Ta có C A = a 2, CB = a, AB = a 3 nên tam giác ABC vuông tại C.
Mặt khác S A = SB = SC nên hình chiếu của điểm S trên mặt đáy là trung điểm O của AB.
Chọn hệ trục tọa độ Ox yz (hình vẽ), Ox//BC, O y//AC.
Tọa độ các đỉnh của hình chóp là Ã p ! Ã p ! Ã p ! ³ a ´ a a 2 a a 2 a a 2 S 0; 0; , A ; − ; 0 , B − ; ; 0 , C ; ; 0 . 2 2 2 2 2 2 2 a) Ta có Ã p ! h− −→ −−→i a2 a2 2 p SB, SC = 0; − ; − ⇒ ~ n(SBC) = (0; 1; 2), 2 2 Ã p ! h− −→ −−→i a2 2 a2 p S A, SB = ; ; 0 ⇒ ~ n(SAB) = ( 2; 1; 0). 2 2
Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (S AC) và (SBC). 1 1
Khi đó cos ϕ = ¯¯cos(~ n(SAB), ~ n(SBC))¯¯ = ⇒ ϕ = arccos . 3 3 −−→ −−→ −−→ −−→
b) Vì MS = −3MB, NC = −3NS nên tọa độ các điểm M, N là Ã p ! Ã p ! 3a 3a 2 a a a 2 3a M − ; ; , N ; ; . 8 8 8 8 8 8 Ta có Ã p ! Ã p ! −−→ 3a 5a 2 3a −−→ 7a a 2 a −−→ ³ p ´ AN − ; ; , CM − ; − ; , AC 0; a 2; 0 8 8 8 8 8 8 Ã p p ! h−−→ −−→i 2a2 9a2 19 2.a2 ⇒ AN, CM = ; − ; . 8 32 32
¯h−−→ −−→i −−→¯ ¯ AN, CM .AC¯ r ¯ ¯ 2
Khoảng cách giữa hai đường thẳng d(AN, CM) = = 9 . ¯h−−→ −−→i¯ 835 ¯ AN, CM ¯ ¯ ¯ p p ¯ −−→ −−→ ¯ 7 221 7 221
Góc giữa hai đường thẳng cos ( ¯ ¯ á AN, CM) = cos(AN, CM) = ⇒ ϕ = arccos . ¯ ¯ 1768 1768 http://boxmath.vn/ 22 Bài 6.6.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a,
B AD = 60o. Đường thẳng SO vuông 3a
góc với mặt phẳng (ABCD) và SO =
. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC, BE. 4
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
b) Tính góc giữa hai đường thẳng AE và SF.
c) Mặt phẳng (α) chứa AD và vuông góc với (SBC) cắt hình chóp S.ABCD theo một thiết diện.
Tính diện tích thiết diện đó. Giải:
Vì O A, OB, OS đôi một vuông góc nên chọn hệ trục tọa độ Ox yz (hình vẽ). Tọa độ các điểm à p ! à p ! a 3 µ ¶ ³ a ´ a 3 ³ a ´ 3a A ; 0; 0 , D 0; − ; 0 , C − ; 0; 0 , B 0; ; 0 , S 0; 0; . 2 2 2 2 4 à p ! p −−→ µ a 3a ¶ −−→ a 3 3a h− −→ −−→i a2 3 p a) Ta có SB 0; ; − , SC − ; 0; − nên SB, SC = ¡− 3; 3; 2¢ 2 4 2 4 8 p
Phương trình mặt phẳng (SBC) là (SBC) : −2 3x + 6y + 4z − 3a = 0. ¯ p ¯ ¯ p a 3 ¯ ¯−2 3. + 6.0 + 4.0 − 3a¯ ¯ 2 ¯ ¯ ¯ 3
Khoảng cách cần tìm d(A, (SBC)) = = a. q p 2 4 (−2 3) + 62 + 42 Ã p ! Ã p ! a 3 a a 3 a
b) Vì E, F lần lượt là trung điểm của BC, BE nên E − ; ; 0 , F − ; ; 0 . 4 2 8 2 Ã p ! Ã p ! −−→ 3a 3 a −−→ a 3 Do đó AE − ; ; 0 , BF − ; 0; 0 , nên 4 2 8 p p ¯ −−→ −−→ ¯ 3 93 3 93 cos ( ¯ ¯ á AE, BF) = cos(AE, BF) = ⇒ ϕ = arccos . ¯ ¯ 31 31 p p p
c) Phương trình mặt phẳng (α) là (α) : 2x − 2 3y + 4 3z − a 3 = 0.
Phương trình các đường thẳng   x x  = 0  = 2t       SB : y = 2t , SC : y = 0 .    3a  3a p    z = − 3t  z = + 3t  4  4 Ã p ! µ a 3a ¶ a 3 3a
Do đó (α) ∩ SB = M 0; ; , (α) ∩ SC = N − ; 0; . 4 8 4 8
Thiết diện là hình thang ADN M có chiều cao bằng khoảng cách từ A đến (SBC) 1 9a2
nên diện tích của thiết diện là SADNM = (AD + MN).d(A, (SBC)) = . 2 16 Bài 6.7.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, BC = BS = a, BS⊥(ABC). Gọi M, N
lần lượt là trung điểm các cạnh S A và BC.
a) Tính độ dài đoạn thẳng MN.
b) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, MN. Giải: http://boxmath.vn/ 23
Chọn hệ trục tọa độ Ox yz (hình vẽ), với O ≡ B, trục Oz chứa BS, trục O y chứa BC. Tọa độ các điểm ³ a a ´ ³ a a a ´ ³ a ´
B(0; 0; 0), C(0; a; 0), S(0; 0; a), A ; ; 0 , M ; ; , N 0; ; 0 . 2 2 4 4 2 2 p −−−→ ³ a a a ´ a 6 a) Ta có MN − ; ; − Nên MN = . 4 4 2 4 −−→ µ ¶ ³ a a ´ h− −→ −−−→i a2 a2 a2 b) Vì BA ; ; 0 nên BA, M N = − ; ; . 2 2 4 4 4 −−→ −−−→ Ta có BA.MN = 0 nên ( á AB, M N) = 900. ¯h−
−→ −−−→i −−→¯ p ¯ B A, M N .BM¯ ¯ ¯ a 3
Khoảng cách giữa hai đường thẳng là d(AB, MN) = = . ¯h− −→ −−−→i¯ 4 ¯ B A, M N ¯ ¯ ¯ Bài 6.8.
Cho hai đường thẳng ∆, ∆0 chéo nhau và vuông góc với nhau nhận AB làm đường vuông góc
chung (A ∈ ∆, A0 ∈ ∆0). Gọi M, N là các điểm di chuyển trên ∆ và ∆0 sao cho MN = AM + BN.
a) Chứng minh rằng tích AM.BN và thể tích khối tứ diện ABMN là những đại lượng không đổi.
b) Chứng minh rằng MN luôn tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB. Giải:
Chọn hệ trục tọa độ Ox yz (hình vẽ), với O ≡ A, trục Oz chứa AB, trục Ox chứa đường thẳng a,
trục O y//b. Đặt AB = h, AM = a, và AN = b, (h, a, b > 0).
Tọa độ các điểm A(0; 0; 0), B(0; 0; h), M(a; 0; 0), N(0; b; h). p Vì MN = AM + BN nên
h2 + a2 + b2 = a + b ⇔ 2a.b = h2. a) Ta có h2 +) AM.BN = a.b = . 2 −−→ −−→ −−→ h− −→ −−→i
+) AB(0; 0; h), AM(a; 0; 0), AN(0; b; h) ⇒ AB, AM = (0; ah; 0).
1 ¯h−−→ −−→i −−→¯ 1 1
Thể tích khối tứ diện ABMN là V ¯ ¯ ABM N = AB, AM .AN = abh = h3. 6 ¯ ¯ 6 12
Vì h = AB không đổi nên tích AM.BN và thể tích khối tứ diện ABMN là những đại lương không đổi. µ h ¶
b) Gọi trung điểm của AB là I 0; 0; . 2 −−−→ −−→ µ h ¶ µ ¶ h− −−→ −−→i hb ha
Ta có MN(−a; b; h), I M a; 0; nên MN, I M = − ; ; −ab . 2 2 2
Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng MN là ¯h− −−→ −−→i¯ s s s ¯ M N, I M ¯ ¯ ¯ h2b2 + h2a2 + 4a2b2 2ab3 + 2ba3 + 4a2b2 ab h AB d(I, M N) = = = = = = . ¯− −−→¯ 4(a2 4(a2 2 2 2 ¯M N¯ + b2 + h2) + b2 + h2) ¯ ¯
Vậy đường thẳng MN tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB. http://boxmath.vn/ 24 Bài 6.9.
Trên các tia Ox, O y, Oz của góc tam diện vuông Ox yz lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho p
O A = a, OB = a 2, OC = c, (a, c > 0). Gọi D là đỉnh đối diện với O của hình chữ nhật AOBD
và M là trung điểm của đoạn BC. Mặt phẳng (α) qua A, M cắt mặt phẳng (OCD) theo một
đường thẳng vuông góc với đường thẳng AM.
a) Gọi E là giao điểm của (α) với đường thẳng OC. Tính độ dài đoạn thẳng OE.
b) Tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp C.AOBD bởi mặt phẳng (α).
c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (α). Giải:
Chọn hệ trục tọa độ Ox yz (hình vẽ). Tọa độ các điểm p p
O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; a 2; 0), D(a; a 2; 0), C(0; 0; c). Ã p ! a 2 c
a) Vì M là trung điểm của BC nên M 0; ; . 2 2 −−→ −−→ p h− −→ −−→i p
Ta có OC(0; 0; c), OD(a; a 2; 0) ⇒ OC; OD = (−ac 2; ac; 0). p
Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (OCD) là ~ n(OCD)(− 2; 1; 0).
Gọi F = (α) ∩ CD thì EF là giao tuyến của (α) với (OCD), ta có EF⊥AM. Ã p ! −−→ a 2 c h −−→i c p Vì AM −a; ; nên ~ n(OCD), AM = (1; 2; 0), 2 2 2 p
do đó một véc tơ chỉ phương của EF là ~uEF(1; 2; 0). h −−→i 1 p p
Ta có ~uEF, AM = (c 2; −c; 3 2a) nên phương trình mặt phẳng (α) là 2 p p p
2cx − c y + 3 2az − ac 2 = 0. ³ c ´ c
Do đó (α) ∩ Oz = E 0; 0; ⇒ OE = . 3 3 Ã p ! 2a 2 2a c CF 2
b) Ta có (α) ∩ CD = F ; ; ⇒
= . Mà VCOADB = 2VCAOD = 2VCBOD nên 3 3 3 CD 3 V µ ¶ CE AF M VCAEF VCMEF 1 CE CF CM CE CF 1 = + = . + . . = VCOADB 2VCAOD 2VCBOD 2 CO CD CB CO CD 3
Do đó tỷ số thể tích hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp C.AODB bởi mặt phẳng 1 (α) là (hay 2). 2 p p p ¯ ¯3 2ac − ac 2¯¯ 2 6ac
c) Khoảng cách cần tìm d(C, (α)) = p = p . 2c2 + c2 + 18a2 3 c2 + 6a2 Chú ý:
+) Nếu để ý EF//OD thì việc tìm véc tơ chỉ phương của EF sẽ gọn hơn.
+) Hoàn toàn có thể tính tỷ số của câu b bằng phương pháp hình giải tích nhưng sẽ dài và phức tạp. http://boxmath.vn/ 25 Bài 6.10.
Cho hai hình chữ nhật ABCD (AC là đường chéo), ABEF (AE là đường chéo) không cùng p
nằm trong một mặt phẳng và thỏa mãn các điều kiện AB = a, AD = AF = a 2, đường thẳng
AC vuông góc với đường thẳng BF. Gọi HK là đường vuông góc chung của AC, BF (H thuộc
AC, K thuộc BF).
a) Gọi I là giao điểm của đường thẳng DF với mặt phẳng chứa AC và song song với BF. Tính D I tỷ số . DF
b) Tính độ dài đoạn HK.
c) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABHK. Giải:
Chọn hệ trục tọa độ Ox yz (hình vẽ). Tọa độ các điểm p p
A ≡ O(0; 0; 0), B(0; 0; a), D(0; a 2; 0), C(0; a 2; a).
Gọi F(x; y; 0), x > 0. Ta có AF2 = x2 + y2 = 2a2. −−→ p −−→ −−→ −−→ p
Mặt khác AC⊥BF và AC(0; a 2; a), BF(x; y; −a) nên AC.BF = 0 ⇔ y.a 2 − a2 = 0 p p à p p ! à p p ! a 2 a 6 a 6 a 2 a 6 a 2 Do đó y = ⇒ x = , hay F ; ; 0 , E ; ; a . 2 2 2 2 2 2 p p
a) Mặt phẳng (α) chứa AC và song song với BF có phương trình 3x − y + 2z = 0.  p x = 3t  Ã p p !   p a 6 3a 2 Đường thẳng DF y = a 2 − t
Vì thế DF ∩ (α) = I nên I ; ; 0 . 4 4     z = 0 D I 1 Do đó
= , hay I là trung điểm của DF. DF 2   p x = 0 x = 3.t      p 
b) Đường thẳng AC và BF có phương trình là AC : y = 2.t , BF : y = t .     p    z = t  z = a − 2.t p p p −−→ p p p Vì vậy H(0;
2m; m), K ( 3n; n; a − 2n) nên HK( 3n; n − 2m; a − 2n − m)  −−→ p p ~ uAC.HK = 0  2n − 2m + a − 2n − m = 0
Mà HK là đường vuông góc chung nên −−→ ⇔ p p p ~ uBF.HK = 0 3n + n − 2m − 2a + 2n + 2m = 0 p à p p ! a a 2 −−→ a 6 a 2 a
Giải hệ phương trình ta có m = , n = ⇒ HK ; − ; 3 6 6 6 3 p a 3
Vậy độ dài đoạn HK là HK = . 3 c) Ta có Ã p ! Ã p p ! −−→ −−→ a 2 a −−→ a 6 a 2 2a AB(0; 0; a), AH 0; ; , AK ; ; , 3 3 6 6 3 Ã p p ! Ã p ! −−→ a 6 a 2 a −−→ a 2 2a HK ; − ; , BH 0; ; − . 6 6 3 3 3 p
1 ¯h−−→ −−→i −−→¯ a3 3
Thể tích khối tứ diện ABHK là V ¯ ¯ ABHK = AB, AH .AK = . 6 ¯ ¯ 3 p p p a2 a2 a2 2 a2 2 a2(1 + 2) Diện tích các mặt SAHK = , SBHK = , SABH = , SABK = ⇒ Stp = . 6 6 6 6 3 p p 3VABHK a( 6 − 3)
Bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABHK là r = = . Stp 6 http://boxmath.vn/ 26 Bài 6.11.
Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 và mặt cầu (S) nội tiếp trong hình lập phương đó. Mặt
phẳng (P) quay quanh A, tiếp xúc với mặt cầu (S) và cắt hai cạnh A0B0 và A0D0 lần lượt tại
M, N. Tìm tập hợp tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A A0M N. Giải:
Giả sử cạnh của hình lập phương là 1 đơn vị. Chọn hệ trục tọa độ Ox yz (hình vẽ).
Tọa độ các đỉnh O ≡ A0, B0(1; 0; 0), D0(0; 1; 0), A(0; 0; 1).
Xét hai điểm bất kỳ M, N nằm trong các cạnh A0B0, A0D0 ta có M(m; 0; 0), N(0; n; 0), 0 < m, n < 1. x y
Phương trình mặt phẳng (AMN) là (AMN) : + + z = 1. m n
Mặt cầu nội tiếp hình lập phương có phương trình µ 1 ¶2 µ 1 ¶2 µ 1 ¶2 1 (S) : x − + y − + z − = . 2 2 2 4
Tứ diện A A0MN có góc tam diện đỉnh A0 vuông µ m n 1 ¶
nên tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp A A0MN là I ; ; . 2 2 2
Mặt phẳng (AMN) tiếp xúc với mặt cầu (S) khi và chỉ khi ¯ 1 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ + + − 1¯ 1 µ ¶2 ¯ 2m 2n 2 ¯ 1 1 1 1 1 1 d(I, (AM N)) = ⇔ = ⇔ + − = + + 1 ⇔ m + n = 1 2 r 1 1 2 m n 2 m2 n2 + + 1 m2 n2 1 Tức là xI + yI = = zI 0 < xI, yI < 1 2 µ 1 1 ¶ µ 1 1 ¶
nên quỹ tích của điểm I là đoạn thẳng I1I2 trừ hai điểm I1 ; 0; ; I2 0; ; 2 2 2 2
Các điểm I1; I2 đó chính là trung điểm các đoạn thẳng AB0, AD0. Bài 6.12.
Tứ diện đều ABCD có tâm là S và có độ dài các cạnh bằng 2. Gọi A0, B0, C0, D0 theo thứ tự là
hình chiếu của các đỉnh A, B, C, D trên đường thẳng nào ∆ đó đi qua S. Tìm tất cả các vị trí
của đường thẳng ∆ sao cho S A04 + SB04 + SC04 + SD04 đạt giá trị lớn nhất. Giải:
Ngoại tiếp tứ diện đều ABCD bằng hình lập phương AB1CD1.C1D A1B.
Chọn hệ trục tọa độ Ox yz (hình vẽ). p p p
Tọa độ các điểm A( 2; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2), p p p p p p p p p p à p ! à p ! à ! 2 2 2 −−→ 2 2 2 −−→ 2 2 2 Và D( 2; 2; 2), S ; ; . Suy ra S A ; − ; − , SB − ; ; − , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 à p p p ! à p p p ! −−→ 2 2 2 −−→ 2 2 2 SC − ; − ; , SD − ; − ; − . 2 2 2 2 2 2
Gọi ~e(x; y; z) là véc tơ đơn vị của đường thẳng ∆. Khi đó ¯ −−→¯ ¯ −−→¯ ¯ −−→¯ ¯ −−→¯
S A0 = ¯~e.S A¯, SB0 = ¯~e.SB¯, SC0 = ¯~e.SC¯, SD0 = ¯~e.SD¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ http://boxmath.vn/ 27 Vì x2 + y2 + z2 = 1 nên
4T = 4(S A04 + SB04 + SC04 + SD04)
= (−x + y + z)4 + (x − y + z)4 + (x + y − z)4 + (x + y + z)4 16 2
= 4 + 16(x2 y2 + y2z2 + z2x2) ≤ 4 + (x2 + y2 + z2) 3 7 Hay T ≤ . 3 p 1 3
Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi x2 = y2 = z2 = ⇔ |x| = |y| = |z| = . 3 3 7
Vậy giá trị lớn nhất của T là
đạt được khi ∆ là các đường thẳng đi qua các đỉnh của tứ diện 3 đều ABCD. C. BÀI TẬP Bài 6.13.
Cho hình chóp O.ABC có O A, OB, OC đôi một vuông góc và O A = a, OB = b, OC = c.
a) Chứng minh rằng OH⊥(ABC), H ∈ (ABC) khi và chỉ khi H là trực tâm của tam giác ABC.
b) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC).
c) Tính khoảng cách từ O đến tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.
d) Cho M là một điểm bất kỳ trên mặt phẳng (ABC), không trùng với A, B, C, H (H trực tâm AM2 BM2 CM2 H M2
tam giác ABC). Chứng minh rằng + + = 2 + . AO2 BO2 CO2 HO2
e) Gọi α, β, γ lần lượt là góc giữa các mặt bên với mặt đáy. sin2α sin2β sin2γ 6 Chứng minh rằng .
1 + sinβsinγ + 1 + sinγsinα + 1 + sinαsinβ ≥ 5 Giải: Kết luận: Bài 6.14. p
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có AB = a, AD = 2a, A A0 = a 2, M là một điểm thuộc
đoạn AD, K là trung điểm của B0M.
a) Đặt AM = m (0 ≤ m ≤ 2a). Tính thể tích khối tứ diện A0K ID theo a và m, trong đó I là tâm
của hình hộp. Tìm vị trí của điểm M để thể tích đó đạt giá trị lớn nhất.
b) Khi M là trung điểm AD. Tính diện tích thiết diện cắt hình hộp bởi mặt phẳng (B0CK).
c) Khi M là trung điểm AD. Chứng minh rằng đường thẳng B0M tiếp xúc với mặt cầu đường kính A A0. Giải: Kết luận: Bài 6.15. p
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có AB = a, AC = 2a, A A0 = 2a 5 và B AC = 120o. Gọi M
là trung điểm của CC0. Chứng minh MB⊥M A0 và tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (A0BM). Giải: http://boxmath.vn/ 28 Kết luận: Bài 6.16.
(Đề thi tuyển sinh đại học, khối D năm 2007)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, BA = BC = a, AD = 2a, ABC = B AD = 900. Cạnh p
bên S A vuông góc với đáy và S A = a 2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng
minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD). Giải: Kết luận: Bài 6.17.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, S A vuông góc với đáy hình p
chóp. Cho AB = a, S A = a 2. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh
SC⊥(AHK) và tính thể tích khối chóp OAHK. Giải: Kết luận: Bài 6.18. p
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A = a 3 và vuông góc với đáy.
Tính theo a thể tích khối tứ diện S ACD và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SB, AC. Giải: Kết luận: Bài 6.19.
(Đề thi tuyển sinh đại học, khối D năm 2008) p
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, A A0 = a 2.
Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 và khoảng
cách giữa hai đường thẳng AM, B0C. Giải: Kết luận: Bài 6.20.
(Đề thi tuyển sinh đại học, khối D năm 2009)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, A A0 =
2a, A0C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A0C0, I là giao điểm của AM và A0C. Tính
theo a thể tích khối tứ diện I ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC). Giải: Kết luận: Bài 6.21.
Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của S A, SC.
Tính thể tích khối chóp và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết rằng BM⊥AN. Giải: Kết luận: http://boxmath.vn/ 29 Bài 6.22.
Cho tam giác ABC vuông tại C. Tìm các điểm M trong không gian thỏa mãn M A2 + MB2 ≤ MC2. Giải: Kết luận: Bài 6.23.
Cho tứ diện đều A1 A2 A3 A4 có cạnh bằng c. Gọi (P) là mặt phẳng quay quanh tâm của tứ
diện. Gọi B1, B2, B3, B4 lần lượt là hình chiếu của A1, A2, A3, A4 trên mặt phẳng (P). Tìm
giá trị nhỏ nhất của tổng T = A1B4
theo c và xác định vị trí của mặt 1 + A2B4 2 + A3B4 3 + A4B4 4
phẳng (P) khi đó. Giải: Kết luận: Bài 6.24.
Cho tứ diện đều ABCD. Tìm quỹ tích những điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng
cách từ đó đến các mặt của tứ diện bằng k2 cho trước. Giải: Kết luận: . 7
- Một số bài toán tổng hợp Bài 7.1.
Cho hình lăng trụ ABC.A1B1C1 có M là trung điểm cạnh AB, BC = 2a, ACB = 90o và ABC =
60o, cạnh bên CC1 tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 45o, hình chiếu vuông góc của C1 lên mặt
phẳng (ABC) là trung điểm của CM. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và góc tạo bởi hai
mặt phẳng (ABC) và (ACC1 A1). Giải:
Gọi H là trung điểm CM. Từ giả thiết ⇒ C1H⊥(ABC) ⇒ à C1CH = (C á C1; (ABC)) = 45o. p 1
Từ tam giác vuông ABC với BC = 2a,
ABC = 60o ⇒ AC = 2a 3, AM = 4a, CM = AB = 2a 2 p p
⇒ CH = a ⇒ C1H = CH tan 45o = a. VABC.A = C 3 = 2 3a3. 1B1C1 1 H.S ABC = a.2a2
Kẻ HK⊥AC ⇒ đường xiên C1K⊥AC ⇒ ((AB á C); (ACC1 A1)) = à C1K H. a
Tam giác MC A cân tại M ⇒ MC A =
M AC = 30o ⇒ HK = HC.sin30o = 2 CH ⇒ tan( à C1K H) = = 2 ⇒ ((AB á C); (ACC1 A1)) = arctan2. HK Bài 7.2.
Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AD = DC, AB = 2AD,
mặt bên SBC là tam giác đều cạnh 2a và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và S A theo a. http://boxmath.vn/ 30 Giải: p
Gọi M là trung điểm AB, H là trung điểm BC. Ta có SH⊥BC ⇒ SH⊥(ABCD), SH = a 3.
Tứ giác AMCD là hình vuông nên CM = AM = MB. Suy ra 4CMB vuông cân. p p p Do đó CM = a 2, AB = 2a 2, CD = a 2. (AB + CD).CM 1 p Diện tích SABCD = = 3a2.
Thể tích VS.ABCD = SH.SABCD = 3a3. 2 3
Kẻ đường thẳng ∆ đi qua A, ∆//BC. Hạ HI⊥∆ (I ∈ ∆).
Suy ra BC//(S AI). Do đó d(BC, S A) = d(BC, (S AI)) = d(H, (S AI)).
Hạ HK⊥SI (K ∈ SI). Suy ra HK⊥(S AI). Do đó d(H, (S AI)) = HK.
Ta có CM = AM = MB nên tam giác ACB vuông tại C. Suy ra HI = AC = 2a. p H I.SH 2 21a Do đó d(BC, S A) = HK = p = . H I2 + SH2 7 Bài 7.3.
Cho hình chóp S.ABCcó đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S
trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh AB. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Biết góc giữa
hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 45o. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa
hai đường thẳng AB và SM theo a. Giải:
Gọi H, K lần lượt là trung điểm AB, BM. Ta có SH⊥(ABC), HKkAM p AM a 3 suy ra HK⊥BC ⇒ SHK = 45o nên SH = HK = = . 2 4 p 1 a2 3 1 a3 Diện tích SABC = AM.BC = . Thể tích VSABC = SH.SABC = . 2 4 3 16
Gọi N là trung điểm AC ⇒ MNkAB ⇒ ABk(SMN) ⇒ d(AB, SM) = d(AB, (SMN)) = d(H, (SMN)).
Gọi I là giao điểm của CH là MN. Suy ra I là trung điểm của CH và MN⊥CH. p 1 a 3
Hạ H J⊥SI ⇒ H J⊥(SMN) ⇒ d(H, (SMN)) = H J. Ta có HI = CH = 2 4 p H I.SH a 6 nên d(AB, SM) = H J = p = . H I2 + SH2 8 Bài 7.4. 3
Cho hình hộp đứng ABCD.A0B0C0D0 có đáy là hình thoi cạnh a,
B AD = α với cosα = , cạnh 4 −−→ −−→
bên A A0 = 2a. Gọi M là điểm thỏa mãn DM = k.D A và N là trung điểm của cạnh A0B0. Tính
thể tích khối tứ diện C0MD0N theo a và tìm k để C0M⊥D0N. Giải: 1 1 1
* Ta có VC0MD0N = d(M, (A0B0C0D0)).SC0ND = d(M, (A0B0C0D0)). SABCD 3 3 2 p 1 1 a3 r 9 a3 7 = .2a. .a.a. sin α = 1 − = . 3 2 3 16 12 −−→ −−→ −−→ * Đặt AB = − → x , AD = − → y , A A0 = − → z . Ta có −−−→
−−−→ −−−→ −−→ −−−→ −−−→ −−−→ 1 C0M = C0D0 + D0D + DM = −− → x − − → z − k− → y D0N = D0 A0 + A0N = −− → y + − → x . 2 −−−→ −−−→ µ 1 ¶ Khi đó
C0M⊥D0N ⇔ C0M.D0N = 0 ⇔ ¡− → x + k− → y + − → z ¢ − → x − − → y = 0 2 1 µ ¶ µ ¶ 2 2 k 1 k 3 2 ⇔ ¯− → − → − → ¯ x ¯ ¯ − k¯¯ y ¯¯ + − 1 x − → y = 0 ⇔ a2 − ka2 + − 1 .a.a. = 0 ⇔ k = − . 2 2 2 2 4 5 http://boxmath.vn/ 31 Bài 7.5. p
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có AB = a, AD = a 2, A A0 = 2a. Gọi M là điểm thỏa −−→ −−→
mãn DM = k.D A và N là trung điểm của cạnh A0B0. Tính thể tích khối tứ diện C0MD0N theo
a và tìm k để C0M⊥D0N. Giải: p 1 1 1 1 1 p a3 2
Ta có VC0MD0N = d ¡M, (A0B0C0D0)¢.SC0ND0 = d ¡M, (A0B0C0D0)¢. SABCD = .2a. .a.a 2 = . 3 3 2 3 2 3 −−→ −−→ −−→ Đặt AB = − → x , AD = − → y , A A0 = − → z . −−−→
−−−→ −−−→ −−→ −−−→ −−−→ −−−→ 1
Ta có C0M = C0D0 + D0D + DM = −− → x − − → z − k− → y D0N = D0 A0 + A0N = −− → y + − → x . 2 −−−→ −−−→ µ 1 ¶
Khi đó C0M⊥D0N ⇔ C0M.D0N = 0 ⇔ ¡− → x + k− → y + − → z ¢ − → x − − → y = 0 2 1 2 2 1 1 ⇔ ¯− → − → ¯ x ¯ ¯
− k¯¯ y ¯¯ = 0 ⇔ a2 − 2ka2 = 0 ⇔ k = . 2 2 4 Bài 7.6. p
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 3, tam giác SBC vuông tại S và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SBC) một góc
bằng 60o. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Giải:
Vì (SBC)⊥(ABCD), CD⊥BC, CD ⊂ (ABCD) nên CD⊥(SBC) ⇒ DSC = (SD; (SBC)) = 60o p
⇒ SC = CD. cot 60o = a. Suy ra SB = a 2. Kẻ SH⊥BC ⇒ SH⊥(ABCD). p p a 2 1 a3 6
Từ tam giác SBC vuông ta có SH = p . Suy ra VSABCD = SH.SABCD = . 3 3 3
Kẻ SK⊥BD. Khi đó hình chiếu HK⊥BD. Suy ra (SBD, ABCD) = SK H. p SB2 2a a 2
Từ tam giác vuông SBC ta có BH = = p ⇒ HK = BH.sin45o = p . BC 3 3
Suy ra ∆SHK vuông cân tại H. Do đó
SK H = 45o. Vậy (SBD, ABCD) = 45o. Bài 7.7.
Cho hình chóp S.ABCD có SD vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình thoi cạnh a có
B AD = 120o. Đường thẳng S A tạo với mặt phẳng (SBD) một góc bằng α với cotα = 3.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (S AC) theo a. Giải:
Gọi O = AC∩BD. Từ giả thiết suy ra AC⊥(SBD) tại O nên ASO = (S A; (SBD) = α. B AD = 120o p p a2 3 a 3 a ⇒
ADC = 60o ⇒ 4ADC đều cạnh a. Suy ra SABCD = 2SADC = và DO = , AO = . 2 2 2 p 3a p a 3 Do đó SO = AO.cotα = ⇒ SD = SO2 − OD2 = p . 2 2 p 1 a3 a3 2 Suy ra VSABCD = SD.SABCD = p = . 3 2 2 4
Kẻ DH⊥SO. Vì AC⊥(SBD) nên AC⊥DH. Suy ra DH⊥(S AC) (1) p a 2
Ta có 4SDO vuông tại D nên DH = (2) 2
Vì O là trung điểm BD nên d(B; (S AC)) = d(D; (S AC)) (3) p a 2
Từ (1), (2) và (3) ta suy ra d(B; (S AC)) = . 2 http://boxmath.vn/ 32 Bài 7.8. p
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân (ABkCD), AB = 2CD = 4a, BC = a 10.
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Biết SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và mặt bên S AB
là tam giác đều. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính cosin góc giữa hai đường thẳng SD và BC. Giải:
Gọi H là hình chiếu của C trên AB; M, N là trung điểm của AB, CD. AB − CD Ta có HB =
= a ⇒ CH = 3a ⇒ OM = 2a, ON = a nên ∆O AB vuông cân. 2 p p 1 p
Suy ra O A = OB = 2a 2. Do đó SO = OB = 2a 2. Suy ra VS.ABCD = SO.SABCD = 6a3 2. 3 BCkDM nên ( á SD, BC) = ( á
SD, D M) = α ∈ [0, π]. 2 p p p p
Ta có DM = BC = a 10, SD = SO2 + OD2 = a 10, SM = 2a 3. 2 2 Suy ra cos
SD M = . Vậy cosα = . 5 5 Bài 7.9.
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có AC = a, BC = 2a,
ACB = 120o và đường thẳng A0C tạo
với mặt phẳng (ABB0 A0) góc 30o. Gọi M là trung điểm BB0. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho
và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, CC0 theo a. Giải:
Kẻ CH⊥AB. Vì A A0⊥(ABC) nên A A0⊥CH ⇒ CH⊥(ABB0 A0) ⇒ à
C A0H = (A0C, (ABB0 A0)) = 30o. p
Sử dụng định lí cosin và công thức diện tích cho ∆ABC ta có AB = A 7, 2S r r r ABC A.2A. sin 120o 3 3 p 5 CH = = p = A . ⇒ C A0 = 2CH = 2A ⇒ A A0 = A0C2 − AC2 = A . AB A 7 7 7 7 p p r 5 a2 3 a3 105
Thể tích lăng trụ là V = A A0.SABC = a . = . 7 2 14
Mặt phẳng (ABB0 A0) chứa AM và song song CC0 p r 3 a 21
⇒ d(AM, CC0) = d(C, (ABB0 A0)) = CH = a = 7 7 Bài 7.10. p
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2, góc giữa hai
mặt phẳng (S AC) và (ABCD)bằng 60o. Gọi H là trung điểm của AB. Biết mặt bên S AB là
tam giác cân tại đỉnh S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối
chóp S.ABCD và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.AHC. Giải:
Từ giả thiết suy ra SH⊥(ABCD). Vẽ HF⊥AC (F ∈ AC) ⇒ SF⊥AC (đlí ba đường vuông góc). p 1 a 2 Suy ra
SF H = 60o. Kẻ BE⊥AC (E ∈ AC). Khi đó HF = BE = p . 2 2 3 p a 2 1 a3 Ta có SH = HF.tan60o = . Suy ra VS.ABCD = SH.SABCD = . 2 3 3
Gọi J, r lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC. p AH.HC.AC AH.HC.AC 3a 3 Ta có r = = =
p . Kẻ đường thẳng ∆ qua J và ∆kSH. 4SAHC 2SABC 4 2
Khi đó tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.AHC là giao điểm của đường trung trực
đoạn SH và ∆ trong mặt phẳng (SH J). s p SH2 r 31 Ta có I H = I J2 + JH2 =
+ r2. Suy ra bán kính mặt cầu là R = a . 4 32 http://boxmath.vn/ 33 Bài 7.11.
Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có độ dài tất cả các cạnh đều bằng a > 0 và B AD = à D A A0 =
A0 AB = 60o. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A A0, CD. Chứng minh MNk(A0C0D) và tính
cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng MN và B0C. Giải: 1
Gọi I là trung điểm DC0. Vì N IkCC0 và N I = CC0 nên N I = M A0 và N IkM A0. 2
Suy ra MNkA0I. Do đó MNk(D A0C0). Vì MNkAI, B0CkA0D nên ( á M N, B0C) = ( á A0 I, A0D) (1) p
Sử dụng giả thiết và định lí cosin cho các tam giác ta thu được A0D = a, DC0 = A0C0 = a 3. p A0D2 + A0C02 DC02 5a2 a 5 Suy ra A0I2 = − = ⇒ A0I = . 2 4 4 2 A0D2 + A0I2 − DI2 3 Trong 4A0DI ta có cos D A0 I = = p (2) 2A0D.A0 I 2 5 p 3 3 5
Từ (1) và (2) suy ra cos(MN, B0C) = |cos D A0 I| = p = . 2 5 10 Bài 7.12.
Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng (S AC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có S A = SB = p
SC = 2a, AB = 3a, BC = a 3 (a > 0). Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo a. Giải:
Kẻ SH⊥AC. Do S A = SC nên H là trung điểm AC (1)
Vì (S AC)⊥(ABC) nên SH⊥(ABC) ⇒ H A = HC = HB (2)
Từ (1) và (2) suy ra 4ABC vuông tại B có H là tâm đường tròn nội tiếp. p p p
Do đó AC = AB2 + BC2 = 2 3a ⇒ SH = S A2 − AH2 = a.
SH là trục đường tròn ngoại tiếp 4ABC, trong mặt phẳng (S AC) đường trung trực của S A cắt
SH tại O là tâm mặt cầu. Gọi K là trung điểm S A. Khi đó hai tam giác vuông SOK và S AH SO SK SK .S A đồng dạng nên =
. Suy ra bán kính mặt cầu R = SO = = 2a. S A SH SH
Suy ra diện tích mặt cầu là S = 4πR2 = 16πa2. Bài 7.13.
Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O0; OO0 = a. Gọi A, B là hai điểm thuộc
đường tròn đáy tâm O, điểm A0 thuộc đường tròn đáy tâm O0 sao cho O A, OB vuông góc với
nhau và A A0 là đường sinh của hình trụ. Biết góc giữa đường thẳng AO0 và mặt phẳng (A A0B)
bằng 30o. Tính thể tích khối trụ theo a. Giải:
Gọi B0 thuộc đường tròn (O0) sao cho BB0kA A0; M là trung điểm của A0B0.
Ta có 4A0B0O0 vuông cân tại O0. Suy ra O0M⊥A0B0. Do đó O0M⊥(A A0B). Suy ra à O0 AM = 30o. p O0M 2 p Ta có AO0 = O0 A0 nên A0O = 2.O0 A0. sin 30o = 2.O0M. Mà O0M = 2
Trong tam giác A A0O ta cóAO02 = A A02 + A0O02 ⇔ O0 A0 = a. Vậy V = πa3. Bài 7.14.
Cho hình lăng trụ ABC.A1B1C1 có A A1 = 3a, BC = a, A A1⊥BC, khoảng cách giữa hai đường
thẳng A A1 và B1C bằng 2a (a > 0). Tính thể tích khối lăng trụ theo a. Giải: 1 3a2
Từ giả thiết suy ra BB1C là tam giác vuông tại B và SBB BB . 1C = 1.BC = 2 2 http://boxmath.vn/ 34
Mặt phẳng (BB1C) chứa B1C và song song với A A1 nên d(A A1 ; B1C) = d(A ; BB1C) = 2a. 1 Suy ra VA.BB d(A ; BB 1C = 1C).SBB 3 1C = a3.
Vì chung đáy và chung đường cao nên V lăng trụ = 3.VB1.ABC = 3.VA.BB1C = 3a3 Bài 7.15.
Cho hình chóp S.ABC có SC⊥(ABC) và tam giác ABC vuông tại B. Biết rằng AB = a, AC = p r 13
a 3 (a > 0) và góc giữa hai mặt phẳng (S AB),(S AC) bằng α với tanα = . Tính thể tích 6
khối chóp S.ABC theo a. Giải:
Gọi H, K là hình chiếu của C lên S A, SB. Ta chứng minh được CK⊥(S AB), S A⊥(CHK).
Suy ra 4CHK vuông tại K và S A⊥K H. Do đó α = CHK . r 13 r 13 CK 2 13 Từ tan α = ⇒ sin α = ⇔ = (1) 6 19 CH2 19 1 1 1 3a2x2
Đặt SC = x > 0. Trong tam giác vuông S AC ta có = + ⇒ CH2 = . CH2 C A2 CS2 3a2 + x2 2a2x2
Tương tự, trong tam giác vuông SBC ta có CK2 = . 2a2 + x2 2(3a2 + x2) 13 Do đó từ (1) ⇒ = ⇔ x = 6a, vì x > 0. 3(2a2 + x2) 19 1 1 1 p
Suy ra VSABC = SC.SABC = SC. AB.BC = 2 a3. 3 3 2 Bài 7.16.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông, b A = D
b = 90o, AB = A D = 2a,
CD = a, góc giữa mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (SCD) bằng 60o, mặt bên S AD là tam
giác cân tại S, mặt phẳng (S AD) vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) theo a. Giải:
Vì ∆S AD cân tại S, nên gọi H là trung điểm của AD thì SH⊥AD,
mặt khác (S AD) ⊥(ABCD) nên SH là đường cao hình chóp S.ABCD.
Kẻ HK⊥BC thì SK⊥BC, tức
SK H là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD). p Suy ra:
SK H = 60o Ta có: SH = HK.tan60o = HK 3. p p 3a 5
Dễ thấy BC = a 5 và do HK.BC = 2SHBC, SHBC = SABCD − (SHAB − SHCD) nên HK = . 5 p p 3a 15 1 1 3a3 15 Suy ra: SH =
Do đó : VS.ABCD = .SABCD.SH = (AB + CD).AD.SH = 5 3 6 5
Kẻ H I⊥SK(I ∈ SK), suy ra: HI⊥(SBC).Gọi E là giao điểm của AD và BC. 2 2 2
Dễ thấy: DE = HE ⇒ d (D;(SBC)) = d (H;(SBC)) = HI 3 3 3 p p 1 1 1 250 9a 2 3a 2 Do = + = ⇒ H I = . Vậy d (D; (SBC)) = . H I2 SH2 HK 2 135a2 10 5 Bài 7.17.
Cho hình chóp S.ABCD,đáy là hình chữ nhật cóAB = 3, BC = 6,mặt phẳng (S AB) vuông góc
với mặt phẳng đáy,các mặt phẳng (SBC) và (SCD) cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) các góc p
bằng nhau.Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng S Avà BD bằng
6.Tính thể tích khối chóp
S.ABCD và côsin góc giữa hai đường thẳng S Avà BD. Giải: http://boxmath.vn/ 35
Hạ SH⊥AB ⇒ SH⊥(ABCD) (do (S AB)⊥(ABCD) = AB)
Kẻ HK⊥CD ⇒ tứ giác HBCK là hình chữ nhật. Ta thấy BC⊥(S AB) ⇒
SBH = ((SBC),(ABCD)), CD⊥(SHK) ⇒ SK H = ((SCD),(ABCD)) theo gt SBH =
SK H ⇒ ∆SHB = ∆SHK (gcg) ⇒ HB = HK = BC = 6 do đó A là trung điểm HB.
Ta thấy ABDKlà hình bình hành⇒ BDkAK ⇒ BDk(S AK) p
mà S A ∈ (S AK) ⇒ d (BD, S A) = d (BD,(S AK)) = d (D,(S AK)) = d (H,(S AK))= 6 = h 1 1 1 1 1 1 1 1
Do tam diện H.S AK vuông tại H ⇒ = + + = + + h2 HS2 H A2 HK 2 6 HS2 9 36 1 1
⇒ SH2 = 36 ⇒ SH = 6⇒ VS.ABCD = SH.dtABCD = .6.3.6 = 36 (đvị dt). 3 3
Gọi β là góc giữa hai đường thẳng BD và S A⇒ β = (BD, S A) = (AK, S A) p p Ta có SK = 6 2, S A = AK = 3 5. AS2 + AK2 − SK2 45 + 45 − 72 1 Trong tam giác S AK: cos S AK = = p p = 2AS.AK 2.3 5.3 5 5 1 Vậy β = S AK = arccos 5 Bài 7.18. p
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, S A = SB = a, SD = a 2 và
mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD
và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD. Giải:
Theo giả thiết (ABCD) ∩ (SBD) theo giao tuyến BD. Do đó nếu dựng AO⊥(SBD) thì O ∈ BD.
Mặt khác AS = AB = AD ⇒ OS = OB = OD hay SBD là tam giác vuông tại S. s p p p p 3a2 a
Từ đó: BD = SB2 + SD2 = a2 + 2a2 = a 3 AO = AB2 − OB2 = a2 − = 4 2
Suy ra thể tích khối chóp S.ABD được tính bởi: p 1 1 1 p a a3 2
VS.ABD = VA.SBD = SSBD.AO = SB.SD.AO = a.a 2. = 3 6 6 2 12 p a3 2 ⇒ VS.ABCD = 2VS.ABD = (đvtt). 6
Trong 4SBD dựng OH⊥SD tại H
(1), nên H là trung điểm của SD.
Theo chứng minh trên AO⊥(SBD) ⇒ AO⊥OH (2)
(1) và (2) chứng tỏ OH là đoạn vuông góc chung của AC và SD 1 a Vậy d(AC, BD) = OH = SB = 2 2 Bài 7.19.
Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 có cạnh bên bằng a, đáy ABC là tam giác đều, hình chiếu của A
trên (A0B0C0) trùng với trọng tâm G của 4A0B0C0. Mặt phẳng (BB0C0C) tạo với (A0B0C0) góc 60o.
Tính thể tích lăng trụ ABC.A0B0C0 theo a. Giải:
Gọi M, M0 lần lượt là trung điểm BC, B0C0 ⇒ A0,G, M0 thẳng hàng và A A0M0M là hình bình
hành. A0M0⊥B0C0, AG⊥B0C0 ⇒ B0C0⊥(A A0M0M). Suy ra góc giữa (BCC0B0) và (A0B0C0) là góc giữa A0M0 và M M0 bằng à M0M A = 60o. p p x 3 x 3
Đặt x = AB. Ta có4ABC đều cạnh x có AM là đường cao. ⇒ AM = = A0M0, A0G = . 2 3 p p p a 3 a x 3 a 3
Trong4A A0G vuông có AG = A A0 sin60o = ; A0G = A A0 cos60o = = ⇔ x = . 2 2 3 2 http://boxmath.vn/ 36 p p à p !2 p 1 x2 3 3 a 3 3a2 3 S4ABC = AB.AC.sin60o = = = . 2 4 4 2 16 p p a 3 3a2 3 9a3 VABC.A0B0C0 = AG.S∆ABC = = . 2 16 32
Bài 7.20. Đề thi thử ĐH lần 1 khối D-2012-THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu-Đồng Tháp
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc
ABC = 600, hai mặt phẳng
(S AC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng (S AB) và (ABCD) bằng 300.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng S A, CD theo a. Giải: S K D A H M I C B
Gọi I là tâm hình thoi ABCD, khi đó (S AC) ∩ (SBD) = SI. Vì hai mặt phẳng (S AC) và (SBD)
cùng vuông góc với đáy ABCD nên suy ra SI ⊥ mp(ABCD). 4ABC cân đỉnh B và
ABC = 600 nên 4ABC là tam giác đều cạnh a. Do đó gọi M là trung điểm p a 3 AB thì BI = CM = . 2
Kẻ I H ⊥ AB tại H, thì ta có SH ⊥ AB. Bởi vậy: p 1 a 3 (m p(S A á B); m p(ABCD)) = SH I = 300 và IH = CM = 2 4 p a 3 a S I = IH tan SH I = tan 300 = 4 4 p p 1 1 1 a 3 a a3 3
Vậy: VS.ABCD = dt(ABCD).SI = .AC.BI.SI = .a. . = . 3 3 3 2 4 24
Kẻ IK ⊥ SH tại K, khi đó IK ⊥ mp(S AB).
Trong tam giác vuông SI H, ta có: 1 1 1 16 16 64 = + = + = I K 2 S I2 I H2 a2 3a2 3a2 p a 3 Suy ra: IK = . 8 Do CD ∥ mp(S AB) nên
d(S A; CD) = d(CD; mp(S AB)) = d(C; mp(S AB)) = 2d(I; mp(S AB)) = 2IK p p a 3 a 3 Vậy: d(S A; CD) = 2 = 8 4 p p a3 3 a 3 Kết luận: VS.ABCD = ; d(S A; CD) = 24 4 http://boxmath.vn/ 37 Bài 7.21.
Đề thi thử ĐH QX 4 p
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi; hai đường chéo AC = 2 3a, BD = 2a và
cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (S AC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết p a 3
khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (S AB) bằng
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD 4 theo a. Giải: S H D A O M C B
Vì mp(S AC) ∩ mp(SBC) = SO và mp(S AC) ⊥ mp(ABCD), mp(SBD) ⊥ mp(ABCD) nên suy ra SO ⊥ mp(ABCD)
Kẻ OM ⊥ AB tại M, kẻ OH ⊥ SM tại H. Khi đó AB ⊥ mp(SOM) =⇒ AB ⊥ OH, do đó OH ⊥ m p(S AB). p a 3
Bởi vậy: OH = d(O; mp(S AB)) = . 4 1 1 1 1 1 4
Trong tam giác vuông O AB, ta có: = + = + = OM2 O A2 OB2 3a2 a2 3a2 1 1 1 1 1 1 16 4 4
Trong tam giác vuông SOM, ta có: = + =⇒ = + = − = . OH2 OM2 SO2 SO2 OH2 OM2 3a2 3a2 a2 a Hay: SO = . 2 p p 1 1 1 a3 3 a3 3
Vậy: VS.ABCD = .dt(ABCD).SO = . .AC.BD.SO = . Kết luận: VS.ABCD = 3 3 3 3 3 Bài 7.22.
Đề thi ĐH - CĐ 2012 - THPT Đô Lương 4 - Nghệ An
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D. Biết AB = 2a, AD = a, DC =
a(a > 0) và S A vuông góc với mặt đáy (ABCD). Góc tạo bởi giữa mặt phẳng (SBC) với đáy
bằng 450. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B đến mp(SCD) theo a. Giải:
Từ giả thiết ta có BC ⊥ AC và BC ⊥ S A, nên BC ⊥ mp(S AC). Do vậy: ((SB á C); (ABCD)) = SC A = 450. p
Từ S A ⊥ mp(ABCD) suy ra 4S AC vuông tại A, kết hợp với
SC A = 450,ta có S A = AC = a 2 p 1 1 a3 2
Vậy: VS.ABCD = dt(ABCD).S A = .(AB + CD).AD.S A = . 3 6 2
Kẻ AH ⊥ SD tại H, dễ dàng chứng minh được AH ⊥ mp(SCD). Trong tam giác S AD vuông tại http://boxmath.vn/ 38 p 1 1 1 3 a 6 A, ta có: = + = . Suy ra: AH =
Do AB ∥ CD =⇒ AB ∥ mp(SCD), nên: AH2 S A2 AD2 2a2 3 p a 6
d(B; m p(SCD)) = d(A; mp(SCD)) = AH = 3 p p a3 2 a 6 Kết luận:VS.ABCD = và d(B; mp(SCD)) = 2 3 S H A B C D Bài 7.23.
Đề thi thử ĐH - CĐ 2012 - THPT Triệu Sơn 4
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, mặt bên tạo
với mặt đáy một góc 600. Mặt phẳng (P) chứa AB và tạo với mặt đáy một góc 300 cắt SC, SD
lần lượt tại M và N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN. Giải: S N H M D A L K O B C
Gọi O là tâm hình vuông ABCD thì SO ⊥ mp(ABCD). Gọi K, L lần lượt là trung điểm AB, CD,
gọi H là trung điểm SL, khi đó AB ⊥ mp(SK L). Do đó: SK H = (mp(S A á B); m p(ABCD)) = 600. http://boxmath.vn/ 39
Hình chóp S.ABCD là hình chóp đều nên SK = SL, kết hợp với
SK H = 600 ⇒ tam giác SK L là p p a 3 K L 3
tam giác đều cạnh a. Bởi vậy HK = = và SH ⊥ K L, HK L = 300. 2 2 Từ đó ta có mp(AB á H); m p(ABCD) = HK L
= 300, hay m p(P ) trùng với m p( ABH).
Vì AB ∥ CD và H là trung điểm SL nên mặt phẳng (P) cắt SC, SD lần lượt tại M và N thì CD a
M, N lần lượt là trung điểm SC, SD. Suy ra M N =
= . Mặt khác, do AB ⊥ mp(SK L) nên 2 2 HK ⊥ AB, HK ⊥ CD. p p 1 1 1 a a 3 a a3 3
Vậy: VS.ABMN = .dt(ABMN).SH = .(AB + MN).HK.SH = .(a + ). . = . 3 6 6 2 2 2 16 p a3 3 Kết luận: VS.ABMN = 16 Bài 7.24.
Đề thi thử ĐH QX 4 p
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi; hai đường chéo AC = 2 3a, BD = 2a và
cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (S AC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết p a 3
khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (S AB) bằng
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD 4 theo a. Giải: S H D A O M C B
Vì mp(S AC) ∩ mp(SBC) = SO và mp(S AC) ⊥ mp(ABCD), mp(SBD) ⊥ mp(ABCD) nên suy ra SO ⊥ mp(ABCD)
Kẻ OM ⊥ AB tại M, kẻ OH ⊥ SM tại H. Khi đó AB ⊥ mp(SOM) =⇒ AB ⊥ OH, do đó OH ⊥ m p(S AB). p a 3
Bởi vậy: OH = d(O; mp(S AB)) = . 4 1 1 1 1 1 4
Trong tam giác vuông O AB, ta có: = + = + = OM2 O A2 OB2 3a2 a2 3a2 1 1 1 1 1 1 16 4 4
Trong tam giác vuông SOM, ta có: = + =⇒ = + = − = . OH2 OM2 SO2 SO2 OH2 OM2 3a2 3a2 a2 a Hay: SO = . 2 p p 1 1 1 a3 3 a3 3
Vậy: VS.ABCD = .dt(ABCD).SO = . .AC.BD.SO = . Kết luận: VS.ABCD = 3 3 3 3 3 http://boxmath.vn/ 40 Bài 7.25.
Đề thi thử ĐH - CĐ 2012 - THPT Chuyên Nguyễn Huệ p
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a. S A = a, SB = a 3, B AD = 600 và
m p(S AB) vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N là trung điểm của AB, BC. Tính thể tích tứ diện
N SDC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và D N. Giải: S A K L D H I M B N C p
Từ AB = 2a, S A = a, SB = a 3 ⇒ 4S AB vuông tại S.
Kẻ SH ⊥ AB tại H, do mp(S AB) ⊥ mp(ABCD) nên suy ra SH ⊥ mp(ABCD) ⇒ SH là đường cao
của tam giác vuông S AB. Từ đó: p p S A.SB a.a 3 a 3 SH = = = . AB 2a 2 p 1 1 a2 3
Mặt khác: dt(4CDN) = .CD.CN.sin DCN = .2a.a.sin600 = . 2 2 2 p p 1 1 a2 3 a 3 a3
Do vậy: VNSDC = VS.CDN = .dt(4CDN).SH = . . = . 3 3 2 2 4
Gọi K là trung điểm AD, L là trung điểm AK, I là trung điểm ML. Do S A = SM = a và SH ⊥ AB
nên suy ra H là trung điểm AM. p
Ta có: BK2 = BA2 + AK2 − 2.BA.AK.cos B AK = 3a2 ⇒ BK = a 3.
Từ đó: BK2 + AK2 = 3a2 + a2 = 4a2 = AB2 ⇒ 4ABK vuông tại K ⇒ BK ⊥ AD ⇒ ML ⊥ AD ⇒ ML ⊥ H I
Từ ML ⊥ HI và ML ⊥ SH ⇒ ML ⊥ SI. Bởi vậy: p M I ML BK 3 cos SML = = = = SM 2SM 4SM 4 p3 Vì ML ∥ BK ∥ DN nên ( á SM; D N) = ( á SM; ML) = SML, với cos SML = . 4 p a3 3 Kết luận: VNSDC = và ( á SM; D N) = SML, với cos SML = . 4 4 Bài 7.26.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, điểm M nằm trên p
cạnh SC sao cho MC = 2MS, AB = a, BC = 2AD = 2a 3. Tính thể tích khối chóp M.ABCD theo
a. Biết rằng S A = SB = SC và góc tạo bởi cạnh bên SC và mặt đáy là 600. http://boxmath.vn/ 41 Giải: S M B N C H A D BC p
Gọi N là trung điểm BC thì DN ⊥ BC và DN = AB = a, CN = = a 3. Bởi vậy: CD2 = 2 p
D N2 + CN2 = a2 + (a 3)2 = 4a2 ⇒ CD = 2a ⇒ BD = 2a.
Gọi H là trung điểm BD, do tam giác ABD vuông tại A nên H A = HB = HD, kết hợp với giả
thiết S A = SB = SD suy ra SH ⊥ mp(ABCD). Từ đó: (SC; á m p(ABCD)) = ( á SC; CH) = SCH = 600. BC2 + DC2 BD2 p Mặt khác: CH2 = − = 7a2 ⇒ CH = a 7. 2 4 p p Do đó: SH = CH tan SCH = a 7.tan600 = a 21. Vì MC = 2MS nên: p 2 2 2a 21
d (M; m p(ABCD)) = .d (S; mp(ABCD)) = .SH = . 3 3 3 Bởi vậy: 1 1 (AD + BC).AD 2 p
VM.ABCD = .dt(ABCD).d (M; mp(ABCD)) = .
. .SH = a3 7 Kết luận:VM.ABCD = 3 3 2 3 p a3 7 Bài 7.27.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. Biết AB = 2a, AD =
CD = a, S A = 3a(a > 0) và S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.BCD và
tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) theo a. Giải: S B A D C 1 a2 Ta có: dt(4BCD) = .CD.AD = . 2 2 http://boxmath.vn/ 42 1 1 a2 a3
Nên: VS.BCD = .dt(4BCD).S A = . .3a = . 3 3 2 2  C D ⊥ S A Do nên CD ⊥ SD. CD ⊥ AD p p p 1 a2 10
Mặt khác: SD = S A2 + AD2 = a 10 ⇒ dt(4SCD) = .CD.SD = . 2 2 p 3VS.BCD 3a 10 Từ đó: d(B; mp(SCD)) = = dt(4SCD) 10 p a3 3a 10 Kết luận:VS.BCD = và d(B; mp(SCD)) = 2 10 Bài 7.28.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên p
của hình chóp bằng nhau và bằng a 2.
1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
2. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, SC, SD. Chứng minh SN ⊥ mp(MEF) Giải: S F K E N C D I H B A p
1. Gọi I là tâm hình chữ nhật ABCD. Vì S A = SB = SC = SD = a 2 nên suy ra SI ⊥ m p(ABCD). p p p AC a 5 p Ta có: AC = BD = AB2 + BC2 = (2a)2 + a2 = a 5 ⇒ I A = = . 2 2 p p a 3
Trong tam giác vuông SI A, ta có: SI = S A2 − I A2 = 2 Do vậy: p 1 1 a3 3
VS.ABCD = .dt(ABCD).SI = .AB.BC.SI = 3 3 3
2. Gọi K là giao điểm của EF với SN thì K là trung điểm của SN. p
Ta có: SM2 = S A2 − AM2 = (a 2)2 − a2 = a2 ⇒ SM = MN = a ⇒ tam giác MSN cân đỉnh M. Do vậy: MK ⊥ SN.
Mặt khác, tam giác SCD cân đỉnh S và N là trung điểm CD nên suy ra SN ⊥ CD. Mà EF ∥ CD ⇒ SN ⊥ EF. http://boxmath.vn/ 43  S N ⊥ M K Từ ⇒ SN ⊥ mp(MEF) S N ⊥ EF p a3 3 Kết luận: VS.ABCD = 3 Bài 7.29.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AD = 4a, các cạnh bên của p
hình chóp bằng nhau và bằng a 6. Tìm côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD)
khi thể tích S.ABCD lớn nhất. Giải: S D C O B A p
Gọi O là tâm hình bùnh hành ABCD. Do S A = SB = SC = SD = a 6 nên suy ra SO ⊥ mp(ABCD). p
Từ S A = SB = SC = SD = a 6 và SO ⊥ mp(ABCD), suy ra OA = OB = OC = OD ⇒ ABCD là hình chữ nhật. p p 16a2 + b2
Giả sử AB = b, khi đó BD = 16a2 + b2 ⇒ OA = . 2 p 16a2 + b2 8a2 − b2 8a2 − b2
Do vậy: SO2 = S A2 − OA2 = 6a2 − = ⇒ SI = . 4 4 4 1 2 p 2 16a3
Từ đó: VS.ABCD = .AB.AD.SO = .2a.b. 8a2 − b2 ≤ .a.(b2 + 8a2 − b2) = . 3 3 3 3
Dấu đẳng thức xảy ra khi b = 2a.
Vậy thể tích S.ABCD lớn nhất khi AB = 2a, khi đó SO = a.
Chọn hệ trục tọa độ Ox yz sao cho: O(0; 0; 0); S(0; 0; a); B(2a; a; 0); C(−2a; a;0); D(−2a − a;0). −−→ −−→ −−→
Ta có: SB(2a; a; −a), SC(−2a; a;−a), SD(−2a;−a;−a) h− −→ −−→i h− −→ −−→i
SB; SC = (0;4a2;4a2), SC; SD = (−2a2;0;4a2)
Từ đó ta tìm được vectơ pháp tuyến của mp(SBC) là − →
n (0; 1; 1), vectơ pháp tuyến của m p(SCD) là − →
n (1; 0; −2). Góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) là: |1.0 + 0.1 + (−2).1| 2 cos ϕ = p = p p 0 + 1 + 1. 1 + 0 + (−2)2 10 2
Kết luận: cos ϕ = p 10 http://boxmath.vn/ 44 Bài 7.30.
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có đáy là tam giác đều cạnh bằng a. Điểm A0 cách
đều ba điểm A, B, C; cạnh bên A A0 tạo với mặt đáy một góc 600. Tính thể tích khối lăng trụ
và chứng minh mặt bên BCC0B0 là hình chữ nhật. Giải: A0 C0 M0 B0 C A H M B
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC, do tam giác ABC đều và A0 A = A0B = A0C
nên A0H ⊥ mp(ABC). Do đó: (A A0á ; m p(ABC)) = à A0 AH = 60o. 2 Nên: A0H = AH tan à A0 AH = .AM.tan60o = a 3 p p p a2 3 a3 3 a3 3
Từ đó, ta có:VABC.A0B0C0 = dt(4ABC).A0H = .a = . Vậy VABC.A0B0C0 = 4 4 4
Gọi M, M0 lần lượt là trung điểm BC, B0C0, khi đó MM0 ∥ BB0 ∥ A A0.
Tam giác ABC đều nên AM ⊥ BC. A0H ⊥ mp(ABC) ⇒ A0H ⊥ BC. ( AM ⊥ BC Từ
⇒ BC ⊥ A A0 ⇒ BC ⊥ BB0. Nên BCC0B0 là hình chữ nhật. A0H ⊥ BC Bài 7.31. p
Cho hình hộp đứng ABCD.A1B1C1D1 có các cạnh AB = AD = 2, A A1 = 3 và góc B AD = 600.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh A1D1 và A1B1.
1. Chứng minh rằng AC1 vuông góc với mặt phẳng (BDMN).
2. Tính thể tích khối chóp A.BDMN Giải: http://boxmath.vn/ 45 D C 1 1 M F N B1 A1 C D E K B A
1. Do hình bình hành ABCD có AB = AD = 2 và góc
B AD = 600 nên ABCD là hình thoi và BD = 2, BD ⊥ AC. ( BD ⊥ AC Từ suy ra BD ⊥ AC1 (1). BD ⊥ A A1 −−→ −−−→ ³−−−→
−−−→ −−→´ ³−−→ −−→ −−−→´
1 −−→ −−→ 1−−→ −−−→ 1 Ta có: MD.AC 2 1 = M A1 + A1 A + AD
AB + AD + A A1 = AD.AD + AD2− A A1 = .2.2.cos600+ 2 2 2 1 p .22 − ¡ 3¢2 = 0 2 Suy ra AC1 ⊥ MD (2).
Từ (1) và (2) suy ra AC1 ⊥ mp(BDMN).
2. Gọi E là giao điểm của AC và BD, F là giao điểm của A1C1 và MN.
Do BD ⊥ mp(ACC1 A1) nên BD ⊥ EF, MN ⊥ EF.
Kẻ A1K ∥ EI (K thuộc AC) thì K là trung điểm AE
Gọi I là giao điểm của A1K và AC1; H là giao điểm của AC1 và EF, thì I là trung điểm của AH.
Trong tam giác A1 AK vuông tại K, ta có: Ã p !2 µ AE ¶2 p 2 3 15 A1K2 = A1 A2 + AK2 = A1 A2 + = ¡ 3¢2 + = 2 4 4 p15 Suy ra EF = A1K = 2 p 1 3 15
Từ đó dt(BDMN) = (BD + MN).EF = . 2 4 A A1.AK 3 Mặt khác AI = = p A1K 15 6 Nên AH = 2AI = p15 1 3 Vậy VA.BDMN = dt(BDMN).AH = 3 2 http://boxmath.vn/ 46 Bài 7.32.
Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A0
lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và p a2 3
vuông góc với A A0, cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng
. Tính thể tích khối 8
lăng trụ ABC.A0B0C0. Giải: A0 B0 C0 H A B O M C
Do tam giác ABC đều và hình chiếu của A0 trùng với tâm O của tam giác ABC nên suy ra A0 A = A0B = A0C.
Gọi M là trung điểm BC, H là hình chiếu của M trên A A0, khi đó mp(BCH) ⊥ A A0, suy ra m p(P) chính là m p(BCH).
Vì hình chóp A0.ABC là hình chóp đều nên à
A0 AM nhọn, suy ra H nằm giữa A A0. dt(4BCH) = p p a2 3 1 a 3 = BC.HM =⇒ HM = 8 2 4 p 3a AH = AM2 − HM2 = 4 p 2 a 3
Vì tam giác ABC đều cạnh a nên O A = AM = 3 3 Ta có 4MH A v 4A0OA nên H M AH H M.O A a = =⇒ O A0 = = O A0 O A AH 3 p p a2 3 a a3 3
Vậy: VABC.A0B0C0 = dt(4ABC).A0O = . = 4 3 12 Bài 7.33.
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có độ dài cạnh bằng a. Trên các cạnh AB và CD lấy
lần lượt các điểm M, N sao cho BM = CN = x. Xác định vị trí điểm M sao cho khoảng cách a
giữa hai đường thẳng A1C và MN bằng . 3 Giải:
Do MN ∥ BC nên MN ∥ mp(A1BC).
Kẻ MK ⊥ A1B với K nằm trên A1B, ⇒ MK ⊥ mp(A1BC). Bởi vậy:
d(A1C; MN) = d(MN; mp(A1BC)) = d(M; mp(A1BC)) = MK http://boxmath.vn/ 47
Gọi I là giao điểm của AB1 với A1B, thì MK ∥ A1I và: BM p x p MK = AI. = a 2. = x 2 AB a p a p a a 2 Vì thế d(A1C; MN) = ⇐⇒ x 2 = ⇐⇒ x = 3 3 6 p a 2 Hay BM = 6 D C 1 1 B1 A1 I N C D K B A M Bài 7.34. p
Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, A A1 = 2a 5 và
B AC = 1200. Gọi M là
trung điểm của cạnh CC1. Chứng minh MB ⊥ M A1 và tính khoảng cách d từ điểm A tới m p(A1BM). Giải: −−→ −−−→
−−→ −−→ −−→ −−−→ −−−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ p
Ta có: MB.M A1 = (MC + AB − AC)(MC1 + C1 A1) = −MC2 − AB.AC + AC2 = −(a 5)2 + a2 + (2a)2 = 0 ⇒ MB ⊥ M A1
Kẻ CH ⊥ AB tại H thì CH ⊥ mp(ABA1) p
⇒ d(M; mp(ABA1)) = CH = AC. sin H AC = a 3 1 1 p p
dt(4ABA1) = .AB.A A1 = .a.2a 5 = a2 5 Bởi vậy: VABA dt(4ABA1).d(M; mp(ABA1)) = 2 2 1 M = 1 3 p a3 15 3 p p p Ta có: MB = MC2 + BC2 =
MC2 + AB2 + AC2 − 2AB.AC cos B AC = a 12 q M A1 = MC21 + C1A21 = 3a 1 p
⇒ dt(4M A1B) = .MB.M A1 = 3a2 3 2 p 3VABA a 5 Từ đó:d(A; mp(A 1 M 1BM)) = = dt(4M A1B) 3 http://boxmath.vn/ 48 C B A M H C1 B1 A1 Bài 7.35.
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh 2a, điểm A1 cách đều
ba điểm A, B, C. Cạnh bên A1 A tạo với mặt đáy góc α. Hãy tìm α, biết thể tích khối lăng trụ p
ABC.A1B1C1 bằng 2 3a3. Giải:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Do điểm A1 cách đều ba điểm A, B, C và ABC là tam giác
đều nên suy ra A1G ⊥ mp(ABC) Bởi vậy: (A á 1 A; m p( ABC)) = ( á A1 A; AG) = à A1 AG = α p (2a)2 3 p Ta có: dt(4ABC) = = a2 3 4 p VABC.A 2 3a3 ⇒ A 1B1C1 1G = = p = 2a dt(4ABC) a2 3 p 2 2a 3 p AG = = 2a 33 3 2 A1G p p
Trong tam giác vuông A1G A, ta có: tan à A1 AG =
= 3 ⇒ tan α = 3 ⇒ α = 600 AG http://boxmath.vn/ 49 C1 A1 B1 M A C G B Bài 7.36. p
Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có các cạnh A A1 = 3a, AB = a 3, AC = 2a và góc BC A = 600.
Gọi M là trung điểm cạnh BB1, N là trung điểm cạnh A1B1, G là trọng tâm tam giác BB1C1.
Hãy tính thể tích khối tứ diện AMNG. Giải:
Ta có: AB2 = AC2 + BC2 − 2AC.BC.cos
BC A ⇐⇒ BC2 − 2a.BC + a2 = 0 ⇐⇒ BC = a
Tam giác ABC có AC2 = AB2 + BC2 nên tam giác ABC vuông tại B ⇒ C1B1 ⊥ mp(ABB1 A1)
Kẻ GH ⊥ BB1 (với H nằm trên cạnh BB1), khi đó GH ∥ C1B1. a
Bởi vậy: GH ⊥ mp(ABB1 A1) và GH = . 3 p p p 1 a 3 1 3a a 3
dt(4AMN) = dt(ABB1 A1)− dt(A A1N)− dt(B1N M)− dt(ABM) = 3a.a 3− .3a. − . . − 2 2 2 2 2 p 1 p 3a 9 3a2 .a 3. = 2 2 8 p p 1 1 9 3a2 a a3 3 Vậy: VAMNG = dt(4AMN).GH = . . = 3 3 8 3 8 http://boxmath.vn/ 50 C1 A1 N B1 G H M A C B Bài 7.37.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, B. Hai mặt phẳng (S AB), (S AD) p
cùng vuông góc với đáy. Biết AB = 2a, S A = BC = a, CD = 2a 5. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S ACD. Giải: S I O A R E J 4a 2a D p 2a 5 a B C
Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD tại E,
suy ra tứ giác ABCE là hình chữ nhật nên AE = a và 4CED vuông tại E.
Theo định lí Pitago ta có:
DE2 = CD2 − CE2 = 20a2 − 4a2 = 16a2 ⇒ DE = 4a.
Vậy AD là đáy lớn của hình thang và AE = a + 4a = 5a. (BC + AD)AB (a + 5a).2a
Diện tích hình thang ABCD là SABCD = = = 6a2(đvdt). 2 2 http://boxmath.vn/ 51 1
Thể tích khối chóp S.ABCD là : V = S A.SABCD = 2a3. 3
Tam giác ACD vuông ở C, trong mp(S AD) gọi O là giao của đường thẳng vuông góc với S A tại
trung điểm I của S A và đường thẳng vuông góc với AD tại trung điểm J của AD suy ra O là
tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S ACD (O là trung điểm của SD), p p 26 suy ra: R = OA = OI2 + AI2 = a . 2 Bài 7.38.
Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có đáy là tam giác đều cạnh a, đỉnh A0 cách đều các điểm
A, B, C. Mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với A A0 cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện p a2 3 tích bằng
. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0. 8 Giải: A0 C0 B0 H A C O M B
Do A0 A = A0B = A0C nên hình chiếu vuông góc của A0 lên (ABC) trùng với trọng tâm O của tam
giác ABC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên A A0, Khi đó (P) ≡ (BCH).
Gọi M là trung điểm của BC thì MH⊥A A0 và à
A0 AM nhọn H nằm giữa A A0. Thiết diện của
lăng trụ khi cắt bởi (P) là tam giác BCH. p p a 3 2 a 3 p 4ABC đều cạnh a nên AM = , AO = AM =
; HB = HC = a2 + AH2 ⇒ HM⊥BC 2 3 3 p p p a2 3 1 a2 3 a 3 Theo bài ra: SBCH = ⇒ HM.BC = ⇒ HM = . 8 2 8 4 s p 3a2 3a2 3a AH = AM2 − HM2 = − = 4 16 4 A0O H M
Hai tam giác A0 AO và M AH đồng dạng = AO AH p p AO.H M a 3 a 3 4 a Suy ra A0O = = = . AH 3 4 3a 3 p p 1 1 a a 3 a3 3
Thể tích khối lăng trụ : V = A0O.SABC = A0O.AM.BC = a = (đvtt) 2 2 3 2 12 Bài 7.39.
Cho hình chóp O ABC có 3 cạnh O A, OB, OC vuông góc với nhau đôi một tại O, p
OB = a,OC = OA = a 3. Gọi M là trung điểm của cạnh BC.
a. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC).
b. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và OM. Giải: http://boxmath.vn/ 52 z p A a 3 N O p C a 3 y M B a x
Trong tam giác OBC, vẽ đường cao OK. Trong tam giác O AK, vẽ đường cao OH. Chứng minh OH vuông góc mp (ABC). 1 1 1 1 1 1 5 = + = + + = . OH2 O A2 OK 2 O A2 OB2 OC2 a2 p a 5 Suy ra d(O, (ABC)) = OH = . 5 p p
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó O(0; 0; 0), A(0; 0; a 3); B(a; 0; 0), C(0; a 3; 0), Ã p ! Ã p p ! Ã p ! Ã p p ! a a 3 a 3 a 3 −−→ a a 3 −−→ a 3 a 3 M ; ; 0 , N 0; ; , OM = ; ; 0 , ON = 0; ; 2 2 2 2 2 2 2 2 Ã p p ! h−−→ −−→i 3a2 a2 3 a2 3 p OM; ON = ; ; − →
n = ( 3; 1; 1) là VTPT của mp(OMN) 4 4 4 p
Phương trình mặt phẳng (OMN) qua O với vectơ pháp tuyến − → n : 3x + y + z = 0 p p p p ¯ ¯ 3.a + 0 + 0¯¯ a 3 a 15 a 15 Ta có: d(B; (OMN)) = p = p = . Vậy: d(B; (NOM)) = . 3 + 1 + 1 5 5 5
M N là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ ABkMN ⇒ ABk(OMN) p a 15
⇒ d(AB; OM) = d(AB; (OMN)) = d(B; (NOM)) = . 5 Bài 7.40.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB = BC = a; AD = 2a.
Các mặt phẳng (S AC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Biết góc giữa
hai mặt phẳng (S AB) và (ABCD) bằng 60o. Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai
đường thẳng CD và SB. Giải: 1
Gọi H = AC ∩ BD ⇒ SH⊥(ABCD)&BH = BD 3
Kẻ HE⊥AB ⇒ AB⊥(SHE) ⇒ g((S AB);(ABCD)) = SEH = 60o. p p 1 2a 2a 3 1 a3 3 Mà HE = AD = ⇒ SH = ⇒ VSABCD = .SH.SABCD = 3 3 3 3 3 1
Gọi O là trung điểm AD ⇒ ABCO là hv cạnh a ⇒ 4ACD có trung tuyến CO = AD 2
CD⊥AC ⇒ CD⊥(S AC) và BOkCD hay CDk(SBO)&BO⊥(S AC).
d(CD; SB) = d(CD;(SBO)) = d(C;(SBO)). p p 1 a 2 p 5a 2
Tính chất trọng tâm tam giác BCO ⇒ IH = IC = ⇒ IS = I H2 + HS2 = 3 6 6
kẻ CK⊥SI mà CK⊥BO ⇒ CK⊥(SBO) ⇒ d(C;(SBO)) = CK p 1 1 SH.IC 2a 3
Trong tam giác SIC có : SSIC = SH.IC = SI.CK ⇒ CK = = 2 2 S I 5 http://boxmath.vn/ 53 p 2a 3 Vậy d(CD; SB) = 5 Bài 7.41.
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB = 2, tam giác ACB vuông tại C, p
các tam giác S AC và SBD là các tam giác đều cạnh bằng
3 . Tính thể tích của hình chóp S.ABCD. Giải: p
Vì tam giác S AC và SBD đều cạnh
3 nên AC = BD hay tứ giác ABCD là hình thang cân.
Lại có góc ACB vuông nên hình thang ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AB.
Gọi H là trung điểm AB khi đó SH vuông góc (ABCD) hay SH là đường cao của hình chóp. p p p
Ta có BC = 4 − 3 = 1 nên SH = SB2 − HB2 = 2. p 3 3 Lại có SABCD =
(Do ABCD là nửa lục giác đều) 4p p 1 3 3 p 6 Vậy VS.ABCD = . . 2 = (đvtt). 3 4 4 Bài 7.42. p
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AD = a 2, CD = 2a, S A⊥(ABCD). Mặt phẳng
(SBC) tạo với đáy một góc 60o. Gọi M là trung điểm của CD, N là giao điểm của BM và AC.
Tính thể tích khối chóp S.ABM. Chứng minh các điểm S, A, D, M, N thuộc một mặt cầu. Giải: Kết luận: Bài 7.43.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B, AB = BC = a; AD = 2a.
Cạnh bên S A vuông góc với đáy (ABCD) và S A = a. Gọi E là trung điểm của AD. Tính thể
tích khối chóp S.CDE và tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.CDE. Giải: a3 Dễ dàng tính được V =
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SE và SC 6
ta có mặt phẳng (ABN M) là mặt phẳng trung trực của SE.
Vậy tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SCDE là giao điểm của mặt phẳng (ABMN) và
trục đường tròn ngoại tiếp đáy CDE.
Gọi ∆ là đường thẳng qua I là trung điểm của CD và song song với S A. Gọi K là trung điểm
của AB thì K NkAM. K N và ∆ đồng phẳng suy ra K N ∩ ∆ = O là điểm cần tìm. p BC + AD 3a p CD a 2
Tam giác OIK vuông cân nên OI = IK = = ; CD = a 2; IC = = . 2 2 2 2 p 9a2 2a2 11a2 a 11 Ta có OC2 = OI2 + IC2 = + = ⇒ R = OC = . 4 4 4 2 Bài 7.44. p a 3
Cho hình hộp đứng ABCD A1B1C1D1có AB = AD = a; A A1 = (a > 0); B AD = 60o. M, N lần 2
lượt là trung điểm của A1D1 và A1B1.
a. Chứng minh: AC1⊥(BDMN)
b. Tính thể tích khối chóp A.BDMN. Giải: http://boxmath.vn/ 54 Kết luận: Bài 7.45.
Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A0B0C0D0 có đáy ABCD là hình bình hành có góc BAD bằng
45o. Các đường chéo AC0 và DB0 lần lượt tạo với mặt phẳng chứa đáy các góc 45o và 60o. Biết
A A0 = 2a. Tính theo a thể tích khối lăng trụ đã cho. Giải: Kết luận: Bài 7.46.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = 2a. Hình chiếu vuông
góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm BC, mặt phẳng (S AC) tạo với đáy
(ABC) một góc 60o. Tính thể tích hình chóp và khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (S AC)
theo a, với I là trung điểm SB. Giải: SH⊥(ABC))
Gọi H, J lần lượt là trung điểm của BC, AC, Ta có ⇒ AC⊥S J, H J⊥AC p p BC p AB 2a 6 nên S J H = 60o. AB = p = 2a, H J = = , SH = H J.tan60o = a 2 2 2 2 p p 1 AB.AC 1 6 p 6a3 VS.ABC = SH. = . .¡ 2¢2.a3 = . 3 2 6 2 6 HE⊥SJ )
Gọi E là hình chiếu của H lên S J, khi đó ta có ⇒ HE⊥(S AC). HE⊥AC
Mặt khác, do I HkSC ⇒ IHk(S AC), p6
nên d(I, (S AC)) = d(H,(S AC)) = HE = H J.sin60o = a. 4 Bài 7.47. p
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC = 2 3a, BD = 2a và
cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (S AC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết p a 3
khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (S AB) bằng
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD 4 theo a. Giải: Kết luận: Bài 7.48.
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có AC = a, BC = 2a,
ACB = 120o và đường thẳng A0C tạo
với mặt phẳng ¡ABB0 A0¢góc 30o. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai
đường thẳng A0B, CC0 theo a. Giải:
Trong (ABC), kẻ CH⊥AB(H ∈ AB), suy ra CH⊥¡ABB0 A0¢ nên A0H là hình chiếu vuông góc của A0C lên (ABB0 A0). p 1 a2 3 Do đó: [A0 á C, (ABB0 A0)] = ( á A0C, A0H) = à C A0H = 300. S∆ABC = AC.BC.sin1200 = , 2 2 http://boxmath.vn/ 55 p p 2.S∆ABC a 21
AB2 = AC2 + BC2 − 2AC.BC.cos1200 = 7a2 ⇒ AB = a 7,CH = = . AB 7 p p CH 2a 21 p a 35 Suy ra: A0C = =
. Xét tam giác vuông A A0C ta được: A A0 = A0C2 − AC2 = . sin 30o 7 7 p a3 105 Suy ra: V = S∆ABC.AA0 =
. Do CC0//A A0 ⇒ CC0//¡ABB0 A0¢ . 14 p a 21
Suy ra: d ¡A0B, CC0¢ = d ¡CC0,¡ABB0 A0¢¢ = d ¡C,¡ABB0 A0¢¢ = CH = . 7 Bài 7.49.
Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A0
lên mặt phẳng trùng với tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc p a2 3
với A A0, cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng
. Tính thể tích khối lăng trụ 8 ABC.A0B0C0. Giải:
Gọi M là trung điểm của BC, do A0O⊥(ABC) nên BC⊥(A0 AM). Gọi K là điểm thuộc A A0 sao p p 2 a 3 a 3
cho K B⊥A A0, nối KC thì A A0⊥(KBC) ⇒ A A0⊥K M AO = . = ; 3 2 3 p p p a2 3 K M.BC a2 3 a 3 K BC có diện tích nên = ⇒ K M = 8 2 8 4
Xét A0 AM có 2 đường cao A0M và MK nên A0O.AM = K M.A A0 (∗) : p s p a 3 a2 a 3
đặt A0O = x > 0 khi đó từ (∗) ta có: x.AM = A A0.K M ⇔ x. = x2 + . ( Do A0 AO vuông 2 3 4 p s a 3 a2 a2 a2 a tại O và AO = ) hay 2x = x2 + ⇔ 4x2 = x2 + ⇔ 3x2 = ⇔ x = . 3 3 3 3 3 p p 1 a 3 a2 3
Ta có diện tích đáy ABC bằng .a. =
( Diện tích tam giác đều cạnh a). 2 2 4 p p a a2 3 a3 3
Vậy VABC.A0B0C0 = A0O.SABC = . = . 3 4 12 Bài 7.50. p
Cho hình hộp đứng ABCD.A0B0C0D0, cạnh AB = AD = 2, A A0 = 3, góc B AD = 60o. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm các cạnh AD, AB. Chứng minh A0C vuông góc với mặt phẳng (B0D0MN).
Tính thể tích khối chóp A0B0D0MN. Giải:
Giả sử A0C cắt O0 J tại H ( hình vẽ )⇒ H là giao điểm của A0C với mp(B0D0MN)
Xét hình chữ nhật ACC0 A0 có A0C0 = 2A A0 A0O0OA là hình vuông.
Từ đó chứng minh được A0I⊥O0J hay A0C⊥O0J ( 4). Từ (3) và (4): A0C⊥mp(B0D0MN) đpcm p
Tứ giác B0D0MN là hình thang cân có đường cao là O0 J. Ta có: B0N = B0B2 + BN2 = 2 p p 15 1 3 15 Tính được O0 J =
⇒ SB0D0MN = (B0D0 + MN).O0 J = (5) 2 2 4 p p 3
4A0O0I vuông tại O0 có A0O0 = 3, O0I = . 2 p 3 3 12 2 3
Từ đó tính được : O0H2 =
⇒ A0H2 = A0O02 − O0H2 = 3 − = ⇒ A0H = p 5 5 5 5 1 3
Từ đó: VA0B0D0MN = A0H.SB0D0MN = . 3 2 http://boxmath.vn/ 56 Bài 7.51.
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân, đáy lớn AB bằng bốn lần đáy nhỏ CD,
chiều cao của đáy bằng a. Bốn đường cao của bốn mặt bên ứng với đỉnh S có độ dài bằng
nhau và bằng b. Tính thể tích của khối chóp theo a, b. Giải:
Gọi H là chân đường cao của chóp thì H phải cách đều các cạnh của đáy và trong trường hợp
này ta chứng minh được H nằm trong đáy.
Suy ra hình thang cân ABCD có đường tròn nội tiếp tâm H là trung điểm đoạn MN với M, N
lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD và MN = a a
Đường tròn đó tiếp xúc với BC tại E thì HM = HN = HE = là bán kính đường tròn 2 ³ a ´ 1 p và SE = SM = SN = b b > ⇒ SH = 4b2 − a2 2 2
Đặt CN = x thì BM = 4x, CE = x, BE = 4x. Tam giác HBC vuông ở H a2 a a 5a2 nên HE2 = EB.EC ⇔ = 4x2 ⇔ x =
⇒ CD = , AB = 2a,suy ra SABCD = . 4 4 2 4 1 5a2 1 p 5a2 p Vậy VS.ABCD = . . 4b2 − a2 = 4b2 − a2(đvtt) 3 4 2 24 Bài 7.52.
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; AB = BC = 2a, AD = 4a.
Cạnh S A = 4a vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của S Av ˘aSD. Tính thể tích
khối chóp S.BCN M. Giải:
Kẻ SH⊥BM. Vì MNkAD; AD⊥(S AB) nên MN⊥(S AB) ⇒ MN⊥SH.
Từ đó SH⊥(BCN M). Vậy SH là đường cao hình chóp S.BCN M.
Kẻ AK⊥BM, suy ra AK = SH. Tam giác ABM vuông cân tại A p
suy ra AB = AM = 2a ⇒ AK = SH = a 2 . p p
BCN M là hình chữ nhật với diện tích: SBCNM = BC.BM = 2a.2a 2 = 4a2 2 . 1 p p
Vậy : VSBCNM = SBCNM.SH = 4a2 2.a 2 = 8a3. 3 Bài 7.53. Huỳnh Bảo Toàn
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và
ABC = 60o. Mặt bên SBC là tam
giác cân tại C, cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A = a. Gọi M là điểm nằm trên cạnh BC
sao cho BM = 2MC. Mặt phẳng (α) qua SM và song song với AB cắt SC tại N. Tính khoảng
cách từ C tới mặt phẳng (α) và thể tích khối chóp S.BMN. Giải:
Chọn hệ trục tọa độ Ax yz có các điểm B, C, S lần lượt nằm trên các tia Ax, A y, Az như hình vẽ.
Trong hệ trục này, ta có A (0; 0; 0), S (0; 0; a) và đặt B (t; 0; 0), với t > 0. p p −−→ p
Khi đó, AC = AB tan60o = t 3 ⇒ C ¡0; t 3;0¢,CB = ¡t;−t 3;0¢. −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ p ³ ´
Do AM = AC + CM = AC + 1 CB nên M t ; 2 3 t;0 . 3 3 3 q p q p
4SBC cân tại C nên CB = CS ⇔ t2 + ¡ 3t¢2 = ¡ 3t¢2 + a2 ⇔ t = a.
Mặt phẳng (α) qua SM và song song với AB cắt SC tại N nên MN song song với AB và −−→ −−→ AN = 2 AC, 3 p p p ³ ´ −−→ ³ ´ −−→ ³ ´
suy ra N 0; 2 3 a; 0 . Ta có SM a ; 2 3 a; , SN 0; 2 3 a; , 3 = 3 3 −a = 3 −a p h−−→ −−→i ³ ´ −−→ SM; SN = 0; 1 a2; 2 3 a2 , SB 3 9 = (a; 0; −a). http://boxmath.vn/ 57 p p
Phương trình (SMN) là 3y + 2 3z − 2 3a = 0. p p p ¯ ¯3 3a − 2 3a¯¯ a 7
Khoảng cách từ C tới (SMN) là d(C, (SMN)) = = . q p 7 32 + ¡2 3¢2 p
1 ¯−−→ h−−→ −−→i¯ a 3
Thể tích khối chóp S.BMN là V ¯ ¯ S.BM N = SB. SM; SN = (đvtt). 6 ¯ ¯ 27 Bài 7.54. Huỳnh Bảo Toàn
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a. Cạnh bên S A vuông góc với đáy p
và S A = a 3. Trên các cạnh SB, BC và CS lần lượt lấy các điểm M, N và P sao cho SM = 2 SB, 3 p a3 6 BN = 2 BC và CP
CS. Biết hình chóp A.M NP có thể tích bằng
. Hãy tính thể tích của 3 = 13 27
hình chóp đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng S A và NP. Giải:
Đặt AC = t > 0 và chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ. p
Trong hệ trục này, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(0; t; 0), S(0; 0; a 3). Ã p ! −−→ −−→ −−→ −−→ 1 −−→ 2a a 3
Ngoài ra, AM = AB + BM = AB + BS = ; 0; 3 3 3 Ã p ! 2a a 3 −−→ −−→ −−→ −−→ 2 −−→ µ a 2t ¶ nên M ; 0; , AN = AB + BN = AB + BC = ; ; 0 3 3 3 3 3 Ã p ! µ a 2t ¶ −−→ −−→ −−→ −−→ 1 −−→ 2t a 3 nên N ;
; 0 , AP = AC + CP = AC + CS = 0; ; 3 3 3 3 3 Ã p ! Ã p p ! p 2t a 3 h−−→ −−→i 2a2 3 a2 3 4at h−−→ −−→i − −→ 2a2t 3 nên P 0; ; . AM, AN = − ; ; và AM, AN .AP = . 3 3 9 9 9 9 p p
1 ¯h−−→ −−→i −−→¯ a2t 3 a3 6 p
Thể tích khối chóp A.MNP là V ¯ ¯ A.M NP = AM, AN .AP = = ⇔ t = a 2. 6 ¯ ¯ 27 27 p a3 6
Ta dễ dàng tính được thể tích khối chóp S.ABC là VS.ABC = (đvtt). 6
Bây giờ, ta sẽ tính khoảng cách giữa hai đường thẳng S A và NP. Ã p ! Ã p ! p −−→ a a 3 h− −→ −−→i a2 3 h− −→ −−→i −−→ 2a3 6 Ta có NP = − ;0; , AS, NP = 0;− ; 0 , AS, NP .AN = − . 3 3 3 9 ¯h− −→ −−→i −−→¯ p ¯ AS, N P .AN¯ ¯ ¯ 2a 2
Khoảng cách cần tính d(S A, NP) = = . ¯h− −→ −−→i¯ 3 ¯ AS, N P ¯ ¯ ¯ Bài 7.55. Huỳnh Bảo Toàn
Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên tạo với đáy một góc 60o và khoảng cách từ p 6a 13
điểm A tới mặt phẳng (SBC) bằng
. Tính thể tích khối chóp đã cho và cosin của góc 13
tạo bởi hai mặt bên. Giải:
Gọi O là tâm của tam giác đều ABC, M là trung điểm của BC.
Chọn hệ trục tọa độ vuông góc Mx yz như hình vẽ. Gọi t (t > 0) là độ dài của cạnh AB. Ã p ! Ã p ! t 3 µ t ¶ µ t ¶ t 3 Ta có M (0; 0; 0), A 0; − ; 0 , B
; 0; 0 , C − ;0;0 và O 0;− ; 0 . 2 2 2 6
Vì SO⊥(ABC) nên góc giữa S A và mặt phẳng (ABC) bằng góc S AO. Ã p ! −−→ −−→ −−→ −−→ t 3
Do đó SO = AO.tan60o = t nên OS = (0;0; t) và MS = MO + OS = 0;− ; t 6 http://boxmath.vn/ 58 Ã p ! Ã p ! t 3 h−−→ −−→i t2 t2 3 hay S 0; −
; t . Khi đó MB, MS = 0;− ;− 6 2 12 p
nên phương trình mặt phẳng (SBC) là 6y + 3z = 0. p p 3t 3 6a 13 Vậy nên d(A, (SBC)) = p = ⇔ t = 2a. 39 13 Ã p ! Ã p ! Ã p ! −−→ 2a 3 −−→ a 3 −−→ a 3 Lúc này S A = 0;− ; −2a , SB = a; ; −2a , SC = −a; ; −2a , 3 3 3 Ã p ! Ã p ! h− −→ −−→i p 2a2 3 h− −→ −−→i p 2a2 3 S A, SB = 2 3a2;−2a2; , S A, SC = 2 3a2;2a2;− . 3 3 p
1 ¯−−→ h−−→ −−→i¯ 2 3
Thể tích khối chóp S.ABC là V ¯ ¯ S.ABC = . SB. S A, SC = a3 (đvtt). 6 ¯ ¯ 3 ¯h−
−→ −−→i h−−→ −−→i¯ ¯ S A, SB . S A, SC ¯ ¯ ¯ 5
Gọi α là góc giữa (SAB) va (SAC) thì cosα = = . ¯h−
−→ −−→i¯ ¯h−−→ −−→i¯ 13 ¯ S A, SB ¯ . ¯ S A, SC ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Bài 7.56. Huỳnh Bảo Toàn
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy. Biết p a 3
khoảng cách giữa AC và SD bằng
. Hãy tính thể tích của hình chóp đã cho và góc giữa 3
hai đường thẳng AC và SD. Giải: Kết luận: Bài 7.57. Huỳnh Bảo Toàn
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, S A vuông góc với mặt phẳng
(ABCD). Cạnh bên SC tạo với đáy một góc 45o. Biết rằng khoảng cách từ điểm A tới mặt p 2a 21
phẳng (SCD) bằng
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và SD. Tính thể tích khối 7
chóp S.ABCD và cosin của góc giữa hai đường thẳng MN và AC. Giải: Kết luận: Bài 7.58. Huỳnh Bảo Toàn p
Cho hình chóp đều S.ABCD có diện tích mặt bên bằng a2 3, cạnh bên hợp với đáy một góc
45o. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tính thể tích của khối chóp S.M ND, từ
đó suy ra khoảng cách từ điểm D tới mặt phẳng(SMN). Giải: Kết luận: Bài 7.59. Huỳnh Bảo Toàn
Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB = a. Hình chiếu
của A0 trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của cạnh BC, cạnh bên A A0 tạo với đáy
một góc 600 và A0C = 2a.
a. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A0C. http://boxmath.vn/ 59 Giải: Kết luận: Bài 7.60. Huỳnh Bảo Toàn
Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung điểm của cạnh
AB và N là điểm thuộc cạnh AC sao cho AN = 2CN, E là giao của BN và CM. Đường thẳng
đi qua E, song song với BC cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại P và Q. Tính thể tích khối
chóp A0.B0PQ, và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A0P và C0Q. Giải: Kết luận: 8
- Một số bài tập tổng hợp Bài 8.1.
Diễn đàn onluyentoan.vn
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. H là trung điểm AB. Hai mặt
phẳng (SHD), (SHC) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD, biết khối chóp
có ba mặt bên là ba tam giác vuông. a3 ĐS: V = đvtt 6 Bài 8.2. Diễn đàn boxmath.vn
Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 . Gọi G là giao điểm của AC0 với mp(A0BD). V Tính tỉ số G.CB0D0 k = . VABCD.A0B0C0D0 1 ĐS: k = 6 Bài 8.3. Diễn đàn boxmath.vn p
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2, S A = a và S A
vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao
điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (S AC) vuông góc với mặt phẳng (SMB).
Tính thể tích của khối tứ diện AN IB. p a3 2 ĐS: V = 36 Bài 8.4.
Diễn đàn onluyentoan.vn
Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O0 , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng
a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O0 lấy điểm B sao cho
AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO0 AB. p a3 3 ĐS: V = 12 http://boxmath.vn/ 60 Bài 8.5.
Diễn đàn onluyentoan.vn
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, S A = 2a và S A vuông
góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường
thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCN M. p 3a3 3 ĐS: V = 50 Bài 8.6. Diễn đàn boxmath.vn
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên S AD là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh
SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CM NP. p a3 3 ĐS: V = 96 Bài 8.7.
Diễn đàn onluyentoan.vn
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của
D qua trung điểm của S A, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh
M N vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng M N và AC. HQ ĐS: 2 Bài 8.8.
Diễn đàn onluyentoan.vn
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, góc ABC =
B AD = 90o, BA = BC = a, AD = 2a. p
Cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A = a 2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB.
Chứng minh tam giác SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD). a ĐS: d(H; (SCD)) = 3 Bài 8.9. Diễn đàn boxmath.vn
Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, p
AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A0 trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm
của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A0.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường
thẳng A A0, B0C0. 1 ĐS: ϕ = B0BH, cos ϕ = 4 Bài 8.10.
Diễn đàn onluyentoan.vn p
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, S A = a, SB = a 3 và mặt phẳng
(S AB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC.
Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, D N. 1 ĐS: ϕ = SME, cos ϕ = p5 Bài 8.11. Diễn đàn boxmath.vn p
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên độ dài bằng a 5, các mặt bên cùng tạo với
mặt đáy một góc 60o. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất
cả các mặt của hình chóp S.ABCD theo a. http://boxmath.vn/ 61 p a 3 ĐS: R = 3 Bài 8.12. Diễn đàn boxmath.vn
Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A0B0C0 . Biết 4ABC vuông tại B. AB = a; BC = b; A A0 =
c(a2 + b2 < c2) . Gọi (P) là phẳng đi qua A và vuông góc với A0C. Xác định thiết diện của lăng
trụ khi bị cắt bởi phẳng (P). Tính diện tích thiết diện theo a, b, c. p ab a2 + b2 + c2 ĐS: S = 2c Bài 8.13. Diễn đàn boxmath.vn
Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A0B0C0 có cạnh đáy bằng 2a và chiều cao là a. Dựng
thiết diện của lăng trụ tạo bởi mặt phẳng đi qua B0 và vuông góc với cạnh A0C. Tính diện tích của thiết diện. p 3 15 ĐS: S = a2 8 Bài 8.14.
Diễn đàn onluyentoan.vn
Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A0
lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và p a2 3
vuông góc với A A0 cắt lăng trụ theo 1 thiết diện có diện tích
Tính thể tích khối lăng trụ. 8 p a3 3 ĐS: V = 36 Bài 8.15.
Diễn đàn onluyentoan.vn
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh 2a, cạnh
bên A A0 = 3a, Q, I lần lượt là trung điểm các đường thẳng DD0,OB. mặt phẳng α qua IQ song
song với AC chia hình hộp ABCD.A0B0C0D0 thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích 2 phần đó. V1 25 ĐS: = V2 119 Bài 8.16.
Diễn đàn onluyentoan.vn
Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông với AB = BC = a, cạnh bên 3a
A A0 = p . M là điểm trên cạnh A A0 sao cho A A0 = 3AM. Tính thể tích của khối tứ diện 2
MB0BC0. Tính khoảng cách từ B0 đến mặt phẳng (C0BM). p a 3 ĐS: d(B0, (BC0M)) = 2 Bài 8.17.
Diễn đàn onluyentoan.vn
Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 có A0 A = A0B, đáy ABC là một tam giác vuông tại B, BC = a, AB = p
a 3. Mặt bên (ACC0 A0) vuông góc với đáy, góc tạo bởi mặt phẳng (A0BC) và (ACC0 A0) là α sao
cho tan α = 2. Tính thể tích của khối chóp A0.BCC0B0 và khoảng cách giữa A0B và B0C theo a. p a 3 ĐS: d(A0B; B0C) = 2 http://boxmath.vn/ 62 Bài 8.18.
Diễn đàn onluyentoan.vn
Cho lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có đáy là tam giác vuông tại B,
B AC = 30o, cạnh AC bằng
2a. Cạnh bên A A0 tạo với đáy một góc 60o và chân đường vuông góc hạ từ A0 xuống mặt phẳng
(ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0
và khoảng cách giữa hai đường thẳng B0C0 và A A0 p ĐS: a 3 Bài 8.19. Diễn đàn boxmath.vn
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA = BC = a. Góc
giữa đường thẳng A0B với mặt phẳng (ABC) bằng 60o. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 theo a. p a3 3 ĐS: 2 Bài 8.20. Diễn đàn boxmath.vn
Cho hình nón đỉnh S nội tiếp trong mặt cầu tâm O bán kính R và đáy là đường tròn giao
tuyến của mặt cầu đó với một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng OS tại H sao cho
SH = x(0 < x < 2R). Tính theo R và x thể tích V và diện tích xung quanh S của hình nón đó;
từ đó tìm một hệ thức liên hệ giữa ba đại lượng V , S và R. S2 ĐS: = 6πR V Bài 8.21.
Diễn đàn onluyentoan.vn p
Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A0B0C0D0 có đáy ABCD là hình thang cân có đáy lớn AD = a 2. p3
Biết góc hợp bởi BC0 và (ABCD) bằng 60o, góc hợp bởi A0D với (ABCD) là ϕ sao cho tanϕ = , 2
CD⊥(ABB0 A0), A0B0⊥(CDD0C0). Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD.A0B0C0D0 và khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB0 và CD0. p p 3 6a3 3 78a ĐS: V = . d((AB0), (CD0)) = 16 26 Bài 8.22.
Toán học tuổi trẻ số 400 p
Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3, D A = DB = DC. Biết
rằng DBC là tam giác vuông. Tính thể tích tứ diện ABCD. p3 ĐS: V = a3 6 Bài 8.23.
Toán học tuổi trẻ số 401
Tính thể tích khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy bằng a và khoảng cách giữa cạnh bên và
cạnh đối diện bằng m. Ã p ! a3m a 3 ĐS: V = p ĐK m < 6 3a2 − 4m2 2 Bài 8.24.
Toán học tuổi trẻ số 402
Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. S là điểm bất kì nằm trên
đường thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) tại A. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp S.ABCD khi S A = 2a. http://boxmath.vn/ 63 p ĐS: V = πa3 6 Bài 8.25.
Toán học tuổi trẻ số 403
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông, đường cao S A. Gọi M là trung điểm SN SP 2
SC; N, P lần lượt nằm trên SB và SD sao cho =
= . Mặt phẳng (MNP) chia hình SB SD 3
chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó. 1 ĐS: 2 Bài 8.26.
Toán học tuổi trẻ số 404
Cho hình chóp S.ABC có AB = BC = a;
ABC = 90o; S A⊥(ABC); số đo góc nhị diện cạnh SC là
60o. Kẻ AM⊥SB, AN⊥SC. Tính thể tích của hình chóp S.AMN a3 ĐS: V = 36 Bài 8.27.
Toán học tuổi trẻ số 405
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh BC = a ABC = 30o. Hai mặt
phẳng (S AB) và (S AC) cùng tạo với đáy một góc 60o. Biết rằng hình chiếu của đỉnh S trên
mặt đáy thuộc cạnh BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. p (3 − 3)a3 ĐS: V = 32 Bài 8.28.
Toán học tuổi trẻ số 406
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Hai mặt phẳng (S AB) p
và (S AD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy . Biết AB = 2a, S A = BC = a, CD = 2a 5. Tính
thể tích của khối chóp S.ABCD. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S ACD. p a 26 ĐS: V = 2a3, R = 2 Bài 8.29.
Toán học tuổi trẻ số 408
Cho hình chóp tam giác đều có góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 60o. Khoảng cách
giữa mặt bên và đỉnh đổi diện bằng 6. Hãy tính thể tích hình chóp. p 26 39 ĐS: V = 3 Bài 8.30.
Toán học tuổi trẻ số 412
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành, AD = 4a, các cạnh bên của p
hình chóp bằng nhau và bằng a 6. Tìm cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD)
khi thể tích của khối chóp S.ABCD lớn nhất. 2 ĐS: cos ϕ = p10 Bài 8.31.
Toán học tuổi trẻ số 413
Cho hình chóp S.ABC có S A = 3a (với a > 0); S A tạo với đáy (ABC) một góc 60o. Tam giác
ABC vuông tại B,
ACB = 30o. G là trong tâm của tam giác ABC. Hai mặt phẳng (SGB) và
(SGC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a. http://boxmath.vn/ 64 243 ĐS: V = a3 112 Bài 8.32.
Toán học tuổi trẻ số 414 2R
Cho hình trụ với đáy là hai đường tròn (O; R); (O0; R0); có chiều cao OO0 = và đường sinh 3
AB. Tính thể tích tứ diện đều ABCD biết rằng C, D nằm trên mặt trụ. 2R3 p ĐS: V = (3 + 2 2) 81 Bài 8.33.
Toán học tuổi trẻ số 415
Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. M và N là hai điểm lần lượt thuộc cạnh AB và AD sao cho 2 3
AM = AB; AN = AD. E và F là hai điểm lần lượt thuộc cạnh B0N và A0M sao cho EFkAC. 3 4 EB0
Hãy xác định tỉ số . NB0 EB0 12 ĐS: = . NB0 29 Bài 8.34.
Toán học tuổi trẻ số 416
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
ABC = 120o. Cạnh S A vuông
góc với mặt phẳng (ABCD) và S A = a. Gọi C0 là trung điểm của cạnh SC. Mặt phẳng (α) đi
qua AC0 và song song với BD cắt các cạnh SB, SD lần lượt B0, D0. Tính thể tích khối chóp S.AB0C0D0. p a3 3 ĐS: V = 18 Bài 8.35.
Toán học tuổi trẻ số 417 p a 3
Cho hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có cạnh AB =
và các cạnh còn lại đều bằng a. 2
Tính thể tích hình cầu đó. p 13 13 ĐS: V = πa3 162 Bài 8.36.
Toán học tuổi trẻ số 418
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên (S AB) là tam giác
đều và vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Tính thể tích khối nón có đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC và đỉnh của khối nón nằm trên mặt phẳng (SDC). 2πa3 ĐS: V = 27 Bài 8.37.
Toán học tuổi trẻ số 419
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1, đáy ABC là tam giác vuông có C A = CB = a, góc giữa
đường thẳng BA1 và mặt phẳng (ACC1 A1) bằng 30o. Gọi M là trung điểm cạnh A1B1. Tính
khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (A1BC). p a 6 ĐS: 6 http://boxmath.vn/ 65 Bài 8.38.
Toán học tuổi trẻ số 420
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 2a. Mặt bên (SBC) là
tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy . Biết góc giữa hai mặt phẳng
(S AB) và (ABC) bằng 30o. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường
thẳng SC và AB theo a. p a3 3 ĐS: V = , d((SC), (AB)) = a 9 Bài 8.39.
Đề dự bị I khối A-2006 p a 3
Cho hình hộp đứng ABCD.A0B0C0D0 có cạnh AB = AD = a, A A0 =
và góc (BAD) = 60o. Gọi 2
M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A0D0 và A0B0. Chứng minh AC0 vuông góc với
mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN. 3a3 ĐS: V = 16 Bài 8.40.
Đề dự bị II khối B-2006
Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có A0.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh
bên A A0 = b. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A0BC). Tính tanα và thể tích khối chóp A0BB0CC0. p p 2 3b2 − a2 a2 3b2 − a2 ĐS: tan α = ; V = a 6 Bài 8.41.
Dự bị 2 khối A-2006
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh S A vuông p a 3
góc với đáy, cạnh SB tạo với đáy một góc 60o. Trên S A lấy điểm M sao cho AM = . Mặt 3
phẳng mặt BCM cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCN M. p 10 3a3 ĐS: V = 27 Bài 8.42.
Đề dự bị 2 khối A-2007
Cho hình chóp S.ABC có góc (S á
BC, ABC) = 60o, ABC là SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính
khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (S AC). 3a ĐS: p13 Bài 8.43.
Đề thi hsg tỉnh Bình Phước -2012
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của BC và CD.
a. Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (A1EF) và hình lập phương.
b. Tính thể tích hai phần của hình lập phương do mặt phẳng (A1EF) cắt ra và tỉnh tỉ số thể tích hai phần đó. 47a3 25a3 ĐS: V = & V = 72 72 http://boxmath.vn/ 66 Bài 8.44.
Đề thi hsg vòng tỉnh Bình Phước-2011
Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có cạnh bằng a. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên OC
lấy điểm N, trên A0D0 lấy điểm P sao cho AM = CN = D0P = x (0 ≤ x ≤ a).
a. Chứng minh rắng tam giác MNP đều. Tính diện tích tam giác MNP theo a và x. Tìm x để
diện tích ấy nhỏ nhất. a
b. Cho x = , tính thể tích khối tứ diện B’MNP và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 2 này. p p 3a2 3 a 3a3 5a 3 ĐS: a. V = khi x = . b. V = , R = 8 2 16 12 Bài 8.45. Diễn đàn boxmath.vn
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm SC. Mặt phẳng AK 1 V 0 3
cắt SB, SD tại M, N. Đặt V 0 = VSAMNK và V = VSABCD. Chứng minh: ≤ ≤ 3 V 8
HD: Dùng đạo hàm và bảng biến thiên để chứng minh Bài 8.46.
Đề thi thử THPT Phan Bội Châu – Phú Yên p
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi; hai đường chéo AC = 2 3a; BD = 2a cắt
nhau tại O; hai mặt phẳng (S AC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . Biết p a 3
khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (S AB) bằng
. Tính thể tích hình chóp S.ABCD 4 theo a. p a3 3 ĐS: V = 3 Bài 8.47.
Đề thi thử THPT Lê Lợi-Thanh Hóa
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , với AB = 3a, AD = 2a. Cạnh bên S A
vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 60o . Gọi M là trung điểm của CD.
Tính thể tích khối chóp S ABM và khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và AM. p 3 3a3 ĐS: V = 8 Bài 8.48.
Đề thi thử THPT Hồng Quang-Hải Dương
Cho lăng trụ ABC.A0B0C0, biết A0.ABC là hình chóp đều có cạnh đáy bằng a. Góc giữa hai
mặt phẳng (A0BC) và (BCC0B0) bằng 90o.Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 và khoảng
cách giữa hai đường thẳng A A0 và B0C theo a. p a3 2 a ĐS: V = . Khoảng cách bằng 8 2 Bài 8.49.
Đề thi thử THPT Minh Khai – Hà Tỉnh
Cho hình trụ có đáy lần lượt là các đường tròn (O), (O0) . Mặt phẳng (α) đi qua trung điểm I
của đoạn thẳng OO0 tạo với đáy góc 60o cắt đáy trên theo dây cung AB, cắt đáy dưới theo dây
cung CD biết ABCD là hình vuông cạnh a. Tính diện tích toàn phần của hình trụ theo a. p 2π 5a2 p p ĐS: S = (2 3 + 5) 16 http://boxmath.vn/ 67 Bài 8.50.
Đề thi thử THPT Trần Hưng Đạo- Hưng Yên
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a. Mặt phẳng (S AD) vuông
góc với mặt phẳng (ABCD) ,tam giác S AD vuông tại S và
S AD = 60o. Điểm M là trung điểm
của cạnh SC. Tính thể tích của khối chóp M.BCD và cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng AC và D M. p p a3 3 14 ĐS: V = , cos α = 6 28 Bài 8.51. Diễn đàn boxmath.vn
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết đường thẳng BD chia mặt
phẳng (ABCD) thành hai nữa mặt phẳng, hình chiếu của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) p
thuộc nữa mặt phẳng chứa điểm A. Cạnh bên SB vuông góc với BD và có độ dài là 2a 2, mặt
phẳng (SBD) tạo với mặt đáy góc 60o. Tính thể tích hình chóp S.ABCD và khoảng cách giữa
hai đường thẳng BD và SC theo a. p p a3 6 a 14 ĐS: V = , khoảng cách bằng . 3 7 Bài 8.52. Diễn đàn boxmath.vn
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của S A, SC. Biết góc tạo bởi đường thẳng BM và ND bằng 60o. Tính thể
tích khối chóp S.ABCD theo a. p30a3 ĐS: 18 Bài 8.53. Diễn đàn boxmath.vn
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông AB = BC = a, mặt phẳng r 3
(AB0C) tạo với mặt phẳng (BCC0B0) góc α sao cho tanα =
. Gọi M là trung điểm của 2
BC.Tính thể tích khối chóp M A0B0C và xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp B0 ACM theo a. p2a3 ĐS: V = 12 Bài 8.54. Diễn đàn boxmath.vn p
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a đường chéo BD = a 3 Biết
S A vuông góc BD, cạnh bên SB vuông góc AD và (SBD) tạo với mặt đáy góc 60o. Tính thể tích
hình chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB theo a. p 3a3 3 30 ĐS: V = , K/cách bằng a 4 20 Bài 8.55. Diễn đàn boxmath.vn
Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B. Biết AB = BC = a; AD =
2a, S AC là tam giác cân tại S và (S AC) vuông góc với đáy. Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Giả sử mặt phẳng (P) qua O song song với SC cắt S A ở M. Tính thể tích khối chóp MBCD và
khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SCD). p p a3 6 a 2 ĐS: V = , K/cách bằng 54 6 http://boxmath.vn/ 68 Bài 8.56. Diễn đàn boxmath.vn
Cho hình lặng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0 có cạnh đáy bằng a. Biết khoảng cách giữa hai p a 15
đường thẳng AB và A0C bằng
. Tính thể tích của khối lăng trụ. 5 a3 ĐS: V = 4 Bài 8.57. Diễn đàn boxmath.vn
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có cạnh A A0 = a. Đường thẳng B0C tạo với đường
thẳng AD một góc 60o, đường chéo B0D tạo với mặt bên (BCC0B0) một góc 30o. Tính thể tích
khối chóp ACB0D0 và cosin góc tạo bởi AC và B0D. p3a3 1 ĐS: V = , cos = p . 27 4 7 Bài 8.58. Diễn đàn boxmath.vn
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, có S A⊥(ABCD). Gọi O là tâm của hình
thoi. M là trung điểm của SC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng S A và BM. Biết p p
SO = 2 2, AC = 4, AB = 5. ĐS: Bài 8.59. Diễn đàn boxmath.vn
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành với AB = a, AD = 2a, có SC vuông góc (ABCD), góc
B AD = 60o; S A hợp với (ABCD) góc 45o. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và
khoảng cách giữa S A và BD. p p a3 21 a 77 ĐS: V = , K/cách . 3 11 Bài 8.60. Diễn đàn boxmath.vn
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A(ADkBC), AB = BC = 2a, AD =
3a. Gọi M là trung điểm AD, N là trung điểm CM, biết (SN A) và (SNB) cùng vuông góc với a
mặt phẳng đáy và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, CD bằng
. Tính thể tích khối chóp 2
đã cho và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SCD). 25a3 15a ĐS: V = p , K/cách p . 3 236 4 41 Bài 8.61. Diễn đàn boxmath.vn
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = a, AD = 2a, B AD = 60o.
Cạnh S A = a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi AM, AN, BP lần lượt vuông góc với
BC, DC, SC tương ứng (M0BC, N0DC, P0SC). Tính thể tích khối tứ diện AM NP và khoảng cách
giữa hai đường thẳng NP, AC theo a. p p 5a3 3 10a 2829 ĐS: V = , K/cách . 64 943
Phương pháp tính thể tích trực tiếp http://boxmath.vn/ 69
Bài 8.62. Tính thể tích khối chóp ta giác đều S.ABC trong các trường hợp sau:
a. Cạnh đáy bằng a, góc ABC b. AB = a, S A = m.
c. S A = m,Góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng α p p s p a3 2 a2 3 a2 3 m2sinα ĐS: a. VSABC = ; b. VSABC = m2 − ; c. VSABC = . p 12 12 3 3
sin2α + 4) sin2α + 4
Bài 8.63. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có đọ dài cạnh bên bằng 2a, tam giác ABC vuông p
tại A, AB =a, AC = a 3. Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm của BC. Tính VA0ABC. a2 ĐS: 2
Bài 8.64. Cho hình chóp S ABC có S A⊥(ABCD), SA =a. δABC vuông cân có AB = BC = a. B’
là trung điểm của SB. C’ là chân đường cao hạ từ A của ∆S AC. a. Tính VSABC
b. Chứng minh AB⊥(AB0C0). Tính VSAB0C0. a3 a3 ĐS:a.VSABC b.VSAB0C0 = 6 36
Bài 8.65. Cho lăng trụ xiên ABCA’B’C’, đáy ABC là tam giác đầu có tâm O. Hính chiếu của
C’ lên (ABC) trùng O. TÍnh thể tích khối lăng trụ biết khảng cách từ O đến CC’ là a và góc
giữa (ACC’A’) và (BCC’B’) bằng 2α 27a3tan3α ĐS: p 4 2tan2α − 1
Bài 8.66. Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC =a và
ACB = α. Đường chéo BC’ của mặt bên (BCC’B’) hợp với mặt bên (ACC’A’) một góc β. Tính
thể tích lăng trụ.
1 a3tanαpsin(α − β)sin(α + β) ĐS: . 2 cosαsinβ
Bài 8.67. Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, Góc A = α và chân
đường vuông góc hạ từ B’ xuống đáy (ABCD) trùng với giao điểm O của hai đường chéo. Cho
BB’ =a. Tính thể tích và diện tích xung quanh hình hộp. α αr α
ĐS:V = a3cos sinα; Sxq = 4a2cos 1 + sin2 2 2 2
Bài 8.68. Cho lăng trụ đứng ABC A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông AB=AC =a,A A1 = p
a 2. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của đoạn A A1 và BC1. Chứng minh MN là đường vuông
góc chưng của các dường thẳng A A1 và BC1. Tính VMA1BC1 ĐS:
Bài 8.69. Cho hình nón có đỉnh là S, đáy là đường trọn tâm O, SA và SB là hai đường sinh
biết SO=3cm, khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) bằng 1cm, diện tích tam giác SAB
bằng 18 cm2. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón đã cho. ĐS: http://boxmath.vn/ 70
Bài 8.70. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, canh SA vuông góc với p đáy .
ACB = 600, BC = a, S A = a 3. Gọi M là trung điểm của của cạnh SB. Chứng minh rằng
(S AB)⊥(SBC) . TÍnh thể tích khối tứ diện MABC. ĐS:
Bài 8.71. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với SC
cắt SB, SC lần lượt tại B’, C’ . biết C’ là trung điểm của SC, tính tỉ số giữa SB’ và B’B. SB0 ĐS: = 2 B0B a p
Bài 8.72. Cho hình chóp S.ABC có đáy AB = AC = a, BC = .S A = a 3, S AB = S AC = 300. 2
Tính thể tích khối chóp S.S ABC . a3 ĐS: 16
Bài 8.73. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD =2a. Cạnh
S A vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 600. Trên SA p a 3 lấy M sao cho AM =
, mặt phẳng (BCM ) cắt cạnh SD tại N . Tính thể tích chóp SBCMN. 3 p 10 3a3 ĐS: 27
Bài 8.74. Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết SA vuông góc với
mặt phẳng (ABC) và AB= SA =a, BC =2a. Một mặt phẳng qua A vuông góc với SC tại H và
cắt SB tại K. Tính diện tích tam giác AHK theo a. p a2 6 ĐS: 12 p
Bài 8.75. cho hình chóp SABCD có SB = a 2 các cạnh còn lại đều bằng a. Tính thể tích khối chóp theo a. ĐS:
Bài 8.76. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật S A⊥(ABCD); AB = S A = p
1; AD = 2. Gọi M, N là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Tính thể
tích khối tứ diện ANIB. p2 ĐS: 36 p a 3
Bài 8.77. Cho hình hộp ABCD A0B0C0D0, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, A A0 = và B AD = 3 B A A0 = à
D A A0 = 600. Tính thể tích khối hộp theo a. p a3 6 ĐS: 6
Bài 8.78. Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’, có AB =a, BC=2a, AA’ =a. Lấy M trên AD sao cho
AM=3MD. Tính thể tích khối chóp M.AB’C và khoảng cách từ M đến (AB’C). a3 a ĐS:VM.AB0C = ; d(M, (AB0C)) = 4 2 http://boxmath.vn/ 71
Bài 8.79. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a. B AD = 600. Hai mặt
phẳng (SAC) và (SBD ) cùng vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm canh BC và
SD. Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh bên SC tại E. Biết MN vuông góc với AN. Tính thể tích khối
đa diện ADN.MCE theo a. p 5a 3 ĐS: 9
Bài 8.80. Cho tứ diện ABCD có AB=6, CD =7, khoảng cách giữa AB và CD bằng 8, góc giữa
AB và CD bằng 600. Tính thể tích khối tứ diện ABCD. p ĐS:28 3
Bài 8.81. Cho hình lăng trụ đứng ABC A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông với AB=BC=a, p −−→ −−→
canh bên A A0 = a 2. M là điểm trên AA’ sao cho AM = 1AA0. Tính thể tích khối tứ diện 3 MA’BC’. p a3 2 ĐS: 9
Bài 8.82. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng a, đáy ABC là tam giác đều, hình chiếu
của A trên (A’B’C’) trùng với trọng tâm G của tam giác A’B’C’. Mặt phẳng (BB’C’C) tạo với
(A’B’C’) góc 600 . Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a. ĐS: VABC.A0B0C0 = 9a3 32
Bài 8.83. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh 2a, điểm A1
cách đều ba điểm A, B, C. Cạnh bên A1A tạo với mặt phẳng đáy một góc α. Hãy tìm α, biết p
thể tích khối lăng trụ ABC.A1B1C1 bằng 2 3a3. ĐS:α = 600
Bài 8.84. Cho hình chóp S.ABCD có ˜
náy là hình thang vuông tại A, AB =AD=a, DC=2a ,
,SA=a 3 hai mặt bên (SDC) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) .
1. Tính thể tích của khốichóp S.ABCD theo a .
2. G là ttrọng tâm của tam giác DBC . Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC) p a3 2 a ĐS:1.VSABCD = ; 2. 2 3
Bài 8.85. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, mặt bên SAB là tam giác
đều và vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết khoảng cách giữa hai đường
thẳng AB và SC bằng a. p a37 7 ĐS: 18 LĂNG TRỤ XIÊN
Lưu ý: Cần nắm vững kĩ thuật xác định chân đường cao đã học.
Bài 8.86. Cho lăng trụ ABC A’B’C’có các cạnh đáy là 13;14;15và biết cạnh bên bằng 2a hợp
với đáy ABCD một góc 45o . Tính thể tích lăng trụ. p ĐS: V = a3 2 http://boxmath.vn/ 72
Bài 8.87. Cho lăng trụ ABCD A’B’C’D’có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và biết cạnh bên
bằng 8 hợp với đáy ABC một góc 30o.Tính thể tích lăng trụ. ĐS: V = 336
Bài 8.88. Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’có AB =a;AD =b;AA’ = c và ∠BAD = 300và biết cạnh
bên AA’ hợp với đáy ABC một góc 60o.Tính thể tích lăng trụ. p abc 3 ĐS: V = 4
Bài 8.89. Cho lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm A’ p 2a 3
cách đều A,B,C biết A A0 =
.Tính thể tích lăng trụ. 3 p a3 3 ĐS: V = 4
Bài 8.90. : Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , đỉnh A’ có hình
chiếu trên (ABC) nằm trên đường cao AH của tam giác ABC biết mặt bên (BB’C’C) hợp với
đáy (ABC) một góc60o .
1) Chứng minh rằng BB’C’C là hình chữ nhật.
2) Tính thể tích lăng trụ ABC A’B’C’. p 3a3 3 ĐS: V = 8
Bài 8.91. Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Cạnh b CC’ = a
hợp với đáy (ABC) 1 góc 60o và C’ có hình chiếu trên ABC trùng với O .
1) Chứng minh rằng AA’B’B là hình chữ nhật. Tính diện tích AA’B’B.
2) Tính thể tích lăng trụ ABCA’B’C’. p p a2 3 3a3 3 ĐS: 1.S = , 2.V = 2 8
Bài 8.92. Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết chân đường vuông
góc hạ từ A’ trên ABC trùng với trung điểm của BC và AA’ = a.
1) Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ.
2) Tính thể tích lăng trụ. p a3 3 ĐS: 1.300; V = 8
Bài 8.93. Cho lăng trụ xiên ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình chiếu
của C’ trên (ABC) là O. Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC’ là a
và 2 mặt bên AA’C’Cvà BB’C’C hợp với nhau một góc 90o http://boxmath.vn/ 73 27a3 ĐS: V = p 4 2
Bài 8.94. Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ có 6 mặt là hình thoi cạnh a,hình chiếu vuông góc
của A’ trên (ABCD) nằm trong hình thoi,các cạnh xuất phát từ A của hộp đôi một tạo với
nhau một góc60o.
1) Chứng minh rằng H nằm trên đường chéo AC của ABCD.
2) Tính diện tích các mặt chéo ACC’A’ và BDD’B’.
3) Tính thể tích của hộp. p p ĐS: S 2 ACC0 A0 = a2 2; SBDD0B0 = a2,V = a32
Bài 8.95. Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc A = 60o ,chân
đường vuông góc hạ từ B’ xuông ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo đáy biết BB’ = a.
1)Tìm góc hợp bởi cạnh bên và đáy.
2)Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của hình hộp. p ĐS: 1.600, V = 3a3 & S 15 4 = a2
Bài 8.96. B – 2002 : Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1có cạnh bằng a
1)Tính theo a khoảng cách giữa 2 đường thẳng A1B và B1D.
2) Gọi M ,N , P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB1, CD, A1D1. Tính góc giữa 2 đường thẳng MP và C1N. p ĐS: 1.d(A 6 1B, B1D) = a , 2.900 6
Bài 8.97. B 2009 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng
BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và ∠BAC = 600 . Hình chiếu
vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể
tích khối tứ diện A’ABC theo a. ĐS: 9a3/208
Bài 8.98. D-09: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB
= a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và
A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC). p 4a3 2a 5 ĐS: V = , d = 9 5
Bài 8.99. (B-11) cho hình lăng trụ ABCD A1B1C1D1 có đáy BAC là hình chữ nhật, AB=a, p
AD = a 3. Hình chiếu vuông góc của A1 lên (ABCD) trung với giao điểm của AC và BD. Góc
giữa hai mặt phẳng (ADD1 A1) và (ABCD) bằng 600. TÍnh thể tích khối lăng trụ đã cho và
khoảng cách từ B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a. http://boxmath.vn/ 74 p 3a3 a 3 ĐS: V = , d = 2 2
Bài 8.100. Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Các điểm E và F lần lượt là trung
điểm của C’B’ và C’D’.
1.Dựng thiết diện của khối lập phương khi cắt bởi mp(AEF).
2.Tính tỉ số thể tích hai phần của khối lập phương bị chia bởi mặt phẳng (AEF). http://boxmath.vn/ 75
Document Outline

  • - Khối chóp
  • - Khối lăng trụ
  • - Khối tròn xoay
  • - Bài tập tự luyện có đáp số
  • - Các bài toán về khoảng cách
  • - Giải toán Hình không gian bằng Phương pháp tọa độ
  • - Một số bài toán tổng hợp
  • - Một số bài tập tổng hợp