Ứng dụng hình học của tích phân xác định | Giải tích 1 | Đại học Bách Khoa Hà Nội

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TPXĐ
I. Các ứng dụng hình học của tpxđ:
1. Diện tích miền phẳng y=f(x) y=f(x) y=g(x) a b a b y  f ( ) x , y  0 y  f ( )
x , y  g( x) D :  D :  x  , a x   b x  , a x   b b b  S  f ( ) x dx   S  f ( ) x g(x) dx  a a
2. Thể tích vật thể tròn xoay: y=f(x) y=f(x) y=g(x) a a b b y  f ( ) x , y  0
y  f (x), y  g (x) D :  D : 
a  x  b 
a  x  b  b b 2
 V  f (x)dx  2 2
 V  f (x)  g (x) dx  0x 0x a a b b V  2 xf ( ) x dx  V  2 x f ( )
x  g(x) dx  0 y   0 y a a Chú ý:
+ Khi quay quanh Ox thì miền D phải nằm về 1 phía so với Ox và khi quay
quanh Oy thì miền D phải nằm về 1 phía so với Oy.
+ Tính đối xứng: Miền D đối xứng qua Ox, D ầ ủ
1 là ph n phía trên Ox c a D 1 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt V  D  V D  x   x  1  V D  V D  y   2 y  1
3. Độ dài cung: b
C : y  f (x), a  x  b  L  1 
 f '(x)2dx Đường cong C : a d
C : x  g (y), c  y  d  L  1   g'(y)2dy c
4. Diện tích mặt tròn xoay: b
- Khi C quay quanh Ox tạo thành diện tích : S   f x  f x dx x  2 2 ( ) 1 '( )  a d
- Khi C quay quanh Oy tạo thành diện tích: S    dy  y  2 2 g(y) 1 g'(y) c
II. SỬ DỤNG QUI TẮC ĐỂ TÍNH GIÁ TRỊ XẤP XỈ CỦA TPXĐ: 2
- Không phải tất cả các TP đều có thể được tính toán, điển hình là TPXĐ 2 x I  e dx  0
nên ta sẽ dùng phương pháp để ước tính giá trị của TPXD. 2 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt b
- Ta có 3 phương pháp khác nhau để ước tính f (x) dx 
, bằng cách xem tích phân a
như là diện tích và sử dụng hình dạng đã biết để ước tính diện tích dưới đường cong. Ba phương pháp đó là  Qui tắc trung điểm  Qui tắc hình thang  Qui tắc Simpson
1. Qui tắc trung điểm:
Qui tắc quen thuộc nên ta sẽ chia các khoảng [a,b] thành n các khoảng nhỏ có chiều b a rộng bằng nhau: x  
, ta có các phân đoạn như sau: n
 x , x , x , x , x , x ,..., x , x , x  , a x  b . 0 1   1 2   2 3   n 1 với n  0 n b
f (x) dx  xf 
 *x xf  *x  ...xf  *x 1 2 n Khi đó, a  x   f   *
x   f  *
x  ...  f  * x  1 2 n  n
- Xét tổng Riemann: R 
f ( x ).x  n i i 1  b n 
f (x)dx  lim R  lim f   (x ).x n i n  n  i 1 a 
2. Qui tắc hình thang: 3 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
- Qui tắc này cũng giống như qui tắc trung điểm, ta cũng sẽ chia khoảng [a,b] 
thành n khoảng nhỏ có chiều rộng bằ b a ng nhau x   , n -
- Ta tính diện tích thực tế xấp xỉ của mỗi hình thang dưới đường cong. Và diện tích
hình thang trong khoảng  x được đưa ra bở ứ  , x i công th c sau: i 1 i  x  A  f x  f x i   i1  i  2
Vì vậy, chứng ta sử dụng n khoảng thì tích phân xấp xỉ là : b x  x  x 
f (x)dx 
 f (x )  f (x ) 
f ( x )  f (x )  ... f (x )  f ( x )  0 1   1 2   n 1  n  2 2 2 a
3. Qui tắc Simpson:
- Phương pháp này ta cũng phân hoạch [a,b] thành n đoạn con bằng nhau với n 
chẵn. Độ rộng mỗi khoả b a ng là x  với x  , a x  b n 0 n
- Xấp xỉ diện tích trên khoảng kép  x , x x , x l à i và  i i 1  1 i  x  A  f x  f x  f x i    4 i 1   i   i1 3 4 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
- Với 2n đoạn con như vậy, thì tích phân xấp xỉ : b x  x  x 
f (x)dx  
 f x  4 f x  f x  f x
 4 f x  f x  ... f x    4 f x f x 0   1  2   2   3   4    n 2  n 1  n  3 3 3 a 2 Ví dụ 2 : Tính x I  e dx 
với n = 4 theo 3 phương pháp lấy xấp xỉ 0 2 2 Giá trị của x e dx 16.45262776  0 2  0 1
Với :x 
 và những khoảng chia là : [0; 0,5], [0,5; 1], [1; 1,5], [1,5 ; 2] 4 2
 Qui tắc trung điểm Sai số: 1 .96701523
 Qui tắc hình thang: Sai số: 4.19193129
 Qui tắc Simpson: Sai số: 0.90099869 5 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
III. BÀI TẬP: 1. Cho miền phẳng 2 2
D : y  0, y  x 3, x  y  4 . Tính thể tích vật thể được tạo ra khi D quay quanh Ox.
2. Tính thể tích vật thể được tạo ra khi miền D giới hạn bởi y  2  x, x  y, y  0 quay quanh Oy.
3. Tính thể tích vật thể tạo ra khi miền phẳng giới hạn bởi các đường 2 x 2
y  x  6, y 
, x  0, y  0 quay quanh Oy. 2 x
4. Tính diện tích miền phẳng Oxy được giới hạn bởi: y  x  2 1 , y   1, y  0 2 5. Cho đường cong (C): 2
x  y  4 . Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đường cong
này tại (0;2). Gọi D là miền phẳng giới hạn bởi đường cong (C), tiếp tuyến d và
trục Ox. Tính thể tích vật thể được tạo ra khi quay quanh Ox.
6. Cho miền phẳng D giới hạn bởi: 2 2
y  x  2x  3, y  x  2x 1, y  1 . Tính diện tích miền D.
7. Cho miền D giới hạn bởi 2 2 2 2
y  0, x  y  2, x  y  2 y . Tính thể tích vật thể tạo ra
khi quay miền D quanh trục Oy
8. Cho miền phẳng D giới hạn bởi 2 y 
2x  x , y  2x, 0  x 1 . Tính diện tích bề
mặt của vật thể tạo ra khi miền D quay quanh trục Ox (kể cả đáy) 9. Cho miền phẳng D: 2 0  y  ,
x x  2  y . Tính thể tích vật thể tạo ra khi quay D
quanh trục Ox và quanh trục Oy. 6 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
10. Tính diện tích phần mặt phẳng Oxy giới hạn bởi 2 2 2 2
y  2, x  y  4y  4, x  y  4 7 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt