Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn? Toán lớp 9

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn? Toán lớp 9
1. Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
1.1. Đường thẳng và đường tròn cắt nhau
- Đường thẳng a và đường tròn (O) có hai điểm chung A và B, ta nói đường
thẳng và đường tròn (O) cắt nhau
- Đường thẳng a gọi là cát tuyến của đường tròn (O) - OH < R HA = HB =
1.2. Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau
- Khi đường thẳng a và đường tròn (O) chỉ có một điểm chung C ta nói đường
thẳng a và đường tròn (O) tiếp xúc nhau
- Đường thẳng a được gọi là tiếp tuyến của đường tròn (O), điểm C được gọi là tiếp điểm
- H trùng với C, OC vuông góc a và OH = R
* Định lí: Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó
vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
1.3. Đường thẳng và đường tròn không giao nhau
- Khi đường thẳng a và đường tròn (O) không có điểm chung, ta nói đường
thẳng a và đường tròn (O) không giao nhau - OH > R
2. Hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đừng tròn đến đường
thẳng và bán kính của đường tròn
Đường thẳng và đường
Đường thẳng và đường tròn
Đường thẳng và đường tròn tròn cắt nhau tiếp xúc nhau không giao nhau Số điểm chung 2 1 0 Hệ thức giữa d và R d < R d = R d > R
3. Câu hỏi ôn tập về đường thẳng và đường tròn
Câu 1. Cho đường thẳng a và một điểm O cách a là 3cm. Vẽ đường tròn tâm O bán kính 5cm
a. Đường thẳng a có vị trí như thế nào đối với đường tròn (O). Vì sao?
b. Gọi B và C là các giao điểm của đường thẳng a và đường tròn (O). Tính độ dài BC?
Câu 2. Cho điểm A thuộc đường tròn (O; 3m). Trên tiếp tuyến tại A của
đường tròn (O) lấy điểm B sao cho AB = 4cm. Tính độ dài đoạn OB. Lời giải chi tiết
Do AB là tiếp tuyến của đường tròn (O; 3cm)
Suy ra: AB vuông góc OA => góc BOA = 90 độ
Áp dụng định lí pitago trong tam giác vuông AOB Ta có: => ON = 5 cm
Câu 3. Cho đường tròn (O; 15 cm), dây AB = 24 cm. Một tiếp tuyến của
đường tròn song song với AB cắt các tại OA, OB theo thứ tự ở E và F. Tính độ dài EF? Lời giải chi tiết
Dễ thấy rằng: Tam giác OAB đồng dạng với tam giác OEF => tam giác OEF cân tại O
Gọi tiếp điểm I, gọi M là trung điểm của Ab
ta có: OM vuông góc Ab => OI vuông góc EF
Trong tam giác vuông OMB có: OM = 9 cm
Vì MB // IF nên theo định lí Ta lét, ta có:
OM / OI = AB / EF => EF = 40 cm
Câu 4. Cho tam giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O). Chứng
minh rằng: BC song song với tiếp tuyến tại A của đường tròn (O). Lời giải chi tiết
Gọi d là tiếp tuyến tại A của đường tròn tâm O, suy ra: d vuông góc với OA (1)
Mà AB = AC suy ra A thuộc trung trực của đoạn thẳng BC
Lại có: OB = OC, suy ra O thuộc trung trực của đoạn thẳng BC
Do đó, OA là trung trực của đoạn thẳng BC => OA vuông góc BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra, d // BC
Câu 5. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. E là
điểm đối xứng của B qua H. Vẽ đường tròn đường kính EC cắt AC tại K.
xác định vị trí tương đối của HK với đường tròn đường kính EC. Lời giải chi tiết
Gọi I là tâm của đường tròn đường kính EC, I là trung điểm của EC
Vì EC là đường kính của (I) và K thuộc (I) nên EK vuông góc KC
Vì K thuộc AC => AC vuông góc EK
Mặt khác, tam giác ABC vuông ại A => AB vuông góc AC => AB // KE
Suy ra tứ giác ABEK là hình thang (dấu hiệu nhận biết hình thang)
Lấy M là trung điểm của AK. Vì E đối xứng với B qua H
Suy ra H là trung điểm của BE, suy ra HM là đường trung bình của hình thang
ABEK => HM // EK, mà EK vuông góc AC => HM vuông góc AC => HM vông góc AK
HM vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của tam giác AHK
=> tam giác AHK cân tại H => góc HAK = góc AKH (1)
Vì AK vuông góc EK, AH vuông góc BE =>góc HAK = góc KEI = góc EKI
Vì E và K thuộc (I) nên IK = IE => tam giác KEI cân tại I => góc KEI = góc EKI (2)
Từ (1) và (2) ta có: góc AKH = góc EKI => góc HKI = góc HKE + góc EKI =
góc AKH + góc HKR = góc AKE = 90 độ
Suy ra HK vuông góc IK => HK và đường tròn đường kính EC tiếp xúc với nhau
Câu 6. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) đường cao AH. Gọi E là
điểm đối xứng với B qua H. Đường tròn tâm O đường kính EC cắt AC tại
K. Chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn (O). Lời giải chi tiết
Vì tam giác EKC có một cạnh EC là đường kính của (O) Nên EKC = 90 độ
Kẻ HI vuông góc AC => BA // HI// EK
suy ra: AI = IK từ đó, ta có ta giác AHK cân tại H
Do đó, góc K2 = góc B (cùng phụ với góc hai góc bằng nhau là góc BAH, góc IHK)
Mặt khác, ta cũng có: góc K2 = góc C3 (do tam giác KOC cân tại O)
mà góc B + góc C3 = 90 độ
=> góc K1 + góc K2 = 90 độ suy ra góc HKO = 90 độ
Hay HK là tiếp tuyến của (O)
Câu 7. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa
đường tròn, kẻ tiếp tuyến d của đường tròn. Gọi E và F lần lượt là chân
các đường vuông góc kẻ từ A và B đến d. Gọi H là chân đường vuông
góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh: a. CE = CF
b. AC là tia phân giác của góc BAE c. CH^2 = AE . BF Lời giải chi tiết
a. Ta có: AE vuông góc d, BF vuông góc d => AE // BF
Suy ra tứ giác AEFB là hình thang
Lại có, O là trung điểm của AB và OC // AE // BF (vì OC vuông góc d)
=> C là trung điểm của EF => CE = CF
b. Ta có: AE // OC => góc CAE = góc ACO (hai góc so le trong) (1)
Mặt khác, OC = OA => tam giác AOC cân tại O => góc ACO = góc OAC (2)
Từ (1) và (2) suy ra góc CAE = góc CAO (2)
Suy ra AC là tia phân giác của góc BAE
c. Do C thuộc nửa đường tròn đường kính => OC = OA = OB = AB/2
Suy ra tam giác ABC vuông tại C
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại C, đường cao CH, ta có: (3)
Xét tam giác ACE và tam giác ACH vuông ta có: góc AEC = góc AHC = 90 độ góc CAE = góc CAH AC chung
Suy ra tam giác ACE = tam giác ACH (cạnh huyền- góc nhọn)
Theo phần b, ta có: tam giác ACE = tam giác ACH => AH = AE (4)
Tương tự, ta chứng minh và rút ra được BH = BF (5) Từ (3), (4) và (5) suy ra:
=AE . BF (điều phải chứng minh)
Câu 8. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M và N là hai điểm trên
các cạnh AB, AD sao cho chu vi tam giác AMN bằng 2a. Chứng minh đường
thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Câu 9. Cho hình thang vuông ABCD, góc A = góc B = 90 độ. Có O là trung
điểm của Ab và góc COD = 90 độ. CHứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn kính.
Câu 10. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BH. Trên nửa mặt phẳng
chứa C bờ AB vẽ Bx vuông góc BA cắt đường tròn tâm B bán kính BH tại D.
Chứng minh CD là tiếp tuyến của (B)
Document Outline

• Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn? To
  • 1. Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tr
    • 1.1. Đường thẳng và đường tròn cắt nhau
    • 1.2. Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau
    • 1.3. Đường thẳng và đường tròn không giao nhau
  • 2. Hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đừng tròn đến đ
  • 3. Câu hỏi ôn tập về đường thẳng và đường tròn