Xác định góc giữa hai đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng Toán 12

Tài liệu gồm 21 trang được biên soạn bởi tập thể quý thầy, cô giáo Nhóm Word Và Biên Soạn Tài Liệu Môn Toán THPT, hướng dẫn giải bài toán xác định góc giữa hai đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng.Mời bạn đọc đón xem.

26 13 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Khối đa diện

Môn: Toán 12

Thông tin:

21 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Lan Tường
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 162
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1) Góc giữa hai đường thẳng
Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin hoặc tỉ số lượng giác.
Phương pháp 2: Sử dụng tích vô hướng: nếu
u
và
v
lần lượt là hai vectơ chỉ phương của hai
đường thẳng a và b thì góc
của hai đường thẳng này được xác định bởi công thức
.
cos cos , .
.
u v
u v
u v
2) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Muốn xác định góc của đường thẳng
a
và
P ta tìm hình chiếu vuông góc
a
của
a
trên
P .
Khi đó,
, , 'a P a a
3) Góc giữa hai mặt phẳng:
Phương pháp 1: Dựng hai đường thẳng a , b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng
và
.
Khi đó, góc giữa
và
là
, ,a b
. Tính góc
,a b .
Phương pháp 2:
Xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng
và
.
Dựng hai đường thẳng
a
,
b
lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao
tuyến c tại một điểm trên c . Khi đó:
, ,a b
.
a
a'
P
c
b
a
β
φ
α
XÁC ĐỊNH GÓC
GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG - ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG - HAI MẶT PHẲNG
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 163
Cách khác: Ta xác định mặt phẳng phụ
vuông góc với giao tuyến
c
mà
a
,
b
. Suy ra
, ,a b
.
4) Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian:
Chọn hệ trục thích hợp và cụ thể hóa tọa độ các điểm.
a) Giả sử đường thẳng
a
và
b
lần lượt có vectơ chỉ phương là ,a b
.
Khi đó:
.
cos , ,
.
a b
a b a b
a b
b) Giả sử đường thẳng
a
có vectơ chỉ phương là
a
và
P có vectơ pháp tuyến là
n
.
Khi đó:
.
sin , ,
.
a n
a P a P
a n
c) Giả sử mặt phẳng
và
lần lượt có vectơ pháp tuyến là ,a b
.
Khi đó:
.
cos , ,
.
a b
a b
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
3a
,
SA
vuông
góc với mặt phẳng đáy, 2SA a (minh họa như hình vẽ). Góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng
ABCD bằng:
A.
30
. B.
45
. C.
60
. D.
90
.
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
2. HƯỚNG GIẢI:
B1: Xác định hình chiếu của
SC
trên mặt phẳng
ABCD
B2: Tính góc giữa SC và hình chiếu của nó.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 164
Lời giải
Chọn A
Ta có:
SA ABCD
nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng
ABC
.
Do đó:
, , .SC ABCD SC AC SCA
Xét hình vuông ABCD ta có: 6.AC a
Xét
SAC
vuông tại A , ta có:
o
2 1
tan 30 .
6 3
SA a
SCA SCA
AC
a
Bài tập tương tự và phát triển:
Câu 17.1: Cho một hình thoi
ABCD
cạnh
a
và một điểm
S
nằm ngoài mặt phẳng chứa hình thoi sao cho
SA a
và vuông góc với
ABC . Tính góc giữa
SD
và
BC
A. 60
. B. 90
. C. 45
. D. 30
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
0
/ / , , 45AD BC SD BC SD AD ADS .
Câu 17.2: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành với 2 ,BC a
SA
vuông góc với mặt
phẳng đáy,
3SA a
(minh họa như hình vẽ). Góc giữa hai đường thẳng
SD
và
BC
nằm trong
khoảng nào?
C
A
D
B
S
C
A
D
B
S
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 165
A.
20 ;30 . B.
30 ;40 . C.
40 ;50 . D.
50 ;60 .
Lời giải
Chọn D
Ta có:
/ / , ,BC AD SD BC SD AD SDA ( Do
SAD
vuông tại A nên
90
o
SDA
)
Xét
SAD
vuông tại A , ta có:
3 3 3
tan arctan 56 .
2 2 2
o
SA a
SDA SDA
AD a
Câu 17.3: Cho tứ diện ABCD có 2 .AC BD a Gọi ,M N lần lượt là trung điểm ,BC AD . Biết rằng
3.MN a Tính góc của
AC
và BD .
A.
0
45 . B.
0
30 . C.
0
60 . D.
0
90 .
Lời giải
Chọn C
Gọi I là trung điểm của AB . Ta có IM IN a .
Áp dụng định lý cosin cho IMN ta có:
2 2 2 2 2 2
0
3 1
cos 120
2. . 2. . 2
IM IN MN a a a
MIN MIN
IM IN a a
.
a
a
a 3
2a
2a
N
M
I
B
D
C
A
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 166
Vì
0 0 0
/ / , / / , , 180 120 60IM AC IN BD AC BD IM IN
.
Câu 17.4: Cho tứ diện đều
ABCD
cạnh
a
. Gọi
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp
BCD
. Gọi M là trung
điểm CD . Tính cosin góc của AC và BM .
A.
3
4
. B.
3
6
. C.
3
2
. D.
2
2
.
Lời giải
Chọn B
.
.
cos , cos ,
3
.
.
2
AC CM CB
AC BM
AC BM AC BM
a
AC BM
a
2 2
2
0 0
2 2 2 2
. cos120 . .cos120
. .
4 2
3
2
4
6
3 3 3 3
2 2 2 2
a a
a
a
a a a
AC CM AC CB
a a a a

.
Câu 17.5: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với 2AB a , BC a . Các cạnh bên
của hình chóp cùng bằng
2a . Khi đó, góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng:
A. 45. B. 30 . C. 60. D. 90.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
//AB CD
nên
, ,AB SC CD SC SCD .
Gọi M là trung điểm của
CD
. Tam giác
SCM
vuông tại M và có
2SC a
,
CM a
nên
là tam giác vuông cân tại M nên
45SCD . Vậy
, 45AB SC .
Câu 17.6: Cho tứ diện ABCD . Gọi
M
, N ,
I
lần lượt là trung điểm của BC ,
AD
và AC . Cho 2 ,AB a
2 2CD a và 5MN a . Tính góc
,AB CD
A.
135
. B.
60
. C.
90
. D.
45
.
Lời giải
C
A
D
B
S
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 167
Chọn D
Theo tính chất đường trung bình trong tam giác:
1
/ / ; 2
2
1
/ / ;
2
IN CD IN CD a
IM AB IM AB a
, ,AB CD IM IN
. Áp dụng định lý cosin ta có:
2 2 2
0
2 2
cos 45
2. . 2 2
IM IN MN
IM IN
.
Câu 17.7: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với , 3,AB a AD a
SA
vuông góc
với mặt phẳng đáy,
2SA a
(minh họa như hình vẽ). Góc giữa hai đường thẳng
SC
và BD nằm
trong khoảng nào?
A.
30 ;40 . B.
40 ;50 . C.
50 ;60 . D.
60 ;70 .
Lời giải
Chọn D
a
2a
2a 2
a 5
M
I
N
B
D
C
A
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 168
Gọi
O AC BD
và M là trung điểm
SA
.
Xét hình chữ nhật
ABCD
, ta có:
2 2 2 2
3 2
.
2 2 2 2
BD AB AD a a a
OB OA a
Xét MAB vuông tại A , ta có:
2 2 2 2
2.MB AB MA a a a
Xét MAO vuông tại
A
, ta có:
2 2 2 2
2.MO AO MA a a a
Xét MBO , ta có:
2 2 2 2 2 2
2 2 1
cos 69 .
2. .
2. . 2 2 2
o
OB OM BM a a a
MOB MOB
OB OM
a a
Ta có:
/ / , , 69
o
SC MO SC BD MO BD MOB ( Do
90
o
MOB
).
Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ
Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ với
0;0;0 , ;0;0 , ; 3;0 , 0; 3;0A B a C a a D a và
0;0;2S a .
Ta có:
; 3; 2SC a a a SC
có một vectơ chỉ phương là
1; 3; 2 .u
; 3;0BD a a BD
có một vectơ chỉ phương là
1; 3;0 .v
Suy ra:
.
2 1
cos , , 69 .
2 2.2 2 2
.
o
u v
SC BD SC BD
u v
Câu 17.8: Cho hình chóp
.S ABC
có các
ABC
và
SBC
là các tam giác đều và nằm trong hai mặt phẳng
vuông góc với nhau. Góc giữa đường thẳng
SA
và
ABC bằng
A.
45
. B.
75
. C.
60
. D.
30
.
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 169
Lời giải
Chọn A
Theo giả thiết ta có
ABC SBC .
Trong mặt phẳng
SBC kẻ
SH BC
SH ABC nên AH là hình chiếu của
SA
trên
ABC . Do đó,
, ,SA ABC SA AH SAH
.
Giả sử
.AB a
Ta có:
SBC
và
ABC
là tam giác đều nên H là trung điểm của
BC
và
3
2
a
AH SH .
Xét tam giác vuông SHA ta có
tan 1
SH
SAH
AH
45SAH .
Vậy
, 45SA ABC .
Câu 17.9: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
,
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy,
2SA a
(minh họa như hình vẽ). Góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng
SAB bằng:
A. 30. B. 45. C. 60. D. 90 .
Lời giải
Chọn A
H
S
C
A
B
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 170
Ta có:
BC SA
BC SAB
BC AB
nên SB là hình chiếu của SC trên mặt phẳng
SAB .
Do đó:
, , .SC SAB SC SB BSC
Xét
SAB
vuông tại A , ta có:
2
2 2 2
2 3.SB SA AB a a a
Xét
SBC
vuông tại B , ta có:
1
tan 30 .
3 3
o
BC a
BSC BSC
SB
a
Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ
Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ với
0;0;0 , ;0;0 , ; ;0A B a C a a và
0;0; 2S a .
Ta có:
: 0SAB y vectơ pháp tuyến của
SAB là
0;1;0 .j
; ; 2SC a a a SC
có một vectơ chỉ phương là
1;1; 2 .u
Suy ra:
.
1
sin , , 30 .
2
.
o
j u
SC SAB SC SAB
j u
Câu 17.10:Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy,
3SA a (minh họa như hình vẽ). Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng
SAB bằng:
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 171
A. 30. B. 45. C. 60. D. 90 .
Lời giải
Chọn A
Ta có:
AD SAB nên
SA
là hình chiếu của
SD
trên mặt phẳng
SAB .
Do đó:
, , .SD SAB SD SA ASD
Xét
SAD
vuông tại A , ta có:
1
tan 30 .
3 3
o
AD a
ASD ASD
SA
a
Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ
Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ với
0;0;0 , ;0;0 , 0; ;0A B a D a và
0;0; 3S a .
Ta có:
: 0SAB y vectơ pháp tuyến của
SAB là
0;1;0 .j
0; ; 3SD a a SD
có một vectơ chỉ phương là
0;1; 3 .u
Suy ra:
.
1
sin , , 30 .
2
.
o
j u
SD SAB SD SAB
j u
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 172
Câu 17.11:Cho hình chóp .S ABC có
SA ABC , SA a , ABC đều cạnh a . Tính góc giữa SB và
ABC
A.
o
30 . B.
60
. C.
45
. D.
90
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
SA ABC AB
là hình chiếu của SB trên mặt phẳng
0
, 45ABC ASB SD AD
.
Câu 17.12:Cho hình chóp .S ABC có
SA ABC , SA a , ABC đều cạnh a . Gọi
là góc giữa
SC
và mặt phẳng
SAB . Khi đó,
tan
bằng
A.
3
5
. B.
5
3
. C.
1
2
. D.
2
.
Lời giải
Chọn A
Gọi
I
là trung điểm của
AB
. Ta có:
CI AB
CI SAB
CI SA
A
C
B
S
a
a
a
I
A
C
B
S
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 173
SI là hình chiếu của SC trên mặt phẳng
, ,SAB SC SAB SC SI CSI
2 2 2
2
3
3
2
tan tan
5
2
a
CI CI
CSI
SI
SA AI
a
a
.
Câu 17.13:Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
,a
SA
vuông góc với
ABCD
cà
6SA a . Tính sin của góc tạo bởi
AC
và mặt phẳng
SBC
.
A.
1
3
. B.
1
6
. C.
1
7
. D.
3
7
.
Lời giải
Chọn D
Kẻ
AH SB BC AH AH SBC
AH
là hình chiếu của
AC
lên mặt phẳng
, ,SBC AC SBC AC HC ACH .
Tam giác
SAB
vuông
. 6. 6
7 7
SA AB a a a
AH
SB
a
Vì AHC vuông tại
3
sin
7
AH
H ACH
AC
.
Câu 17.14:Cho hình chóp đều .S ABCD có cạnh đá 2a , cạnh bên 2a (minh họa như hình vẽ). Góc giữa
cạnh bên và mặt đáy bằng:
A.
30
. B.
45
. C.
60
. D.
90
.
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 174
Lời giải
Chọn C
Ta có: góc giữa cạnh bên và mặt đáy là góc giữa
SD
và
.ABCD
Gọi
.O AC BD
Vì
.S ABCD
là hình chóp đều nên
.SO ABCD
OD là hình chiếu của SD trên
.ABCD
Do đó:
, , .SD ABCD SD OD SDO
Xét hình vuông ABCD ta có:
2 2 2
.
2 2 2
BD AB a
OD a
Xét
SOD
vuông tại
O
, ta có:
1
cos 60 .
2 2
o
OD a
SDO SDO
SD a
Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ
Gọi
.O AC BD
Vì
.S ABCD
là hình chóp đều nên
.SO ABCD
Ta có: 2 2AC BD AB a và
2 2 2 2
4 3.SO SD OD a a a
Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ với
0;0;0 , ;0;0 , 0; ;0O C a D a và
0;0; 3S a
.
Ta có:
: 0ABCD z ABCD có một vectơ pháp tuyến là
0;0;1 .k
0; ; 3SD a a SD
có một vectơ chỉ phương là
0;1; 3 .u
Suy ra:
.
3
sin , , 60 .
2
.
o
k u
SD ABCD SD ABCD
k u
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 175
Câu 17.15:Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại
A
và
B
với
2 2 2 ;AD AB BC a SA
vuông góc với mặt phẳng đáy,
2SA a
(minh họa như hình vẽ).
Góc giữa đường thẳng
SD
và mặt phẳng
SAC bằng:
A.
30
. B.
45
. C.
60
. D.
90
.
Lời giải
Chọn A
Gọi M là trung điểm
.AD
Ta có:
ACM
và
DCM
vuông cân tại
.M
45 45 90
o o o
ACD ACM DCM CD AC mà CD SA nên
.CD SAC
SC
là hình chiếu của
SD
trên mặt phẳng
SAC .
Do đó:
, , .SD SAC SD SC CSD
Xét
ACD
vuông cân tại
C
, ta có:
2.AC CD a
Xét SAC vuông tại A , ta có:
2 2 2 2
4 2 6.SC SA AC a a a
Xét SCD vuông tại C , ta có:
2 1
tan 30
6 3
o
CD a
CSD CSD
SC
a
Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ
Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ với
0;0;0 , ;0;0 , ; ;0 , 0;2 ;0A B a C a a D a và
0;0;2S a .
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 176
Ta có:
0;2 ; 2SD a a SD
có một vectơ chỉ phương là
0;1; 1 .u
2 2
0;0;2
, 2 ;2 ;0
; ;0
AS a
AS AC a a
AC a a
SAC có một vectơ pháp tuyến là
1;1;0 .n
Suy ra:
.
1
sin , , 30 .
2
.
o
u n
SD SAC SD SAC
u n
Câu 17.16:Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD cạnh đáy bằng a và SA SB SC SD a . Khi đó, cosin
góc giữa hai mặt phẳng
SAB và
SAD bằng
A.
1
4
. B.
1
3
. C.
3
2
. D.
1
3
.
Lời giải
Chọn B
Gọi I là trung điểm SA .
Do tam giác
SAD
và
SAB
đều nên
, ,
BI SA
SAB SAD BI DI
DI SA
.
Áp dụng định lý cosin cho tam giác BID ta có:
2 2
2
2 2 2
3 3
2
2 2
1
cos
2 . 3
3 3
2. .
2 2
a a a
IB ID BD
BID
IB ID
a a
.
Vậy
1
cos ,
3
SAB SAD .
Câu 17.17:Cho tam giác ABC vuông cân tại
A
có AB a , trên đường thẳng d vuông góc với
ABC
tại điểm A ta lấy một điểm D sao cho DBC đều. Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng
ABC và
DBC nằm trong khoảng nào?
I
C
A
D
B
S
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 177
A.
o o
40 ;50 . B.
o o
50 ;60 . C.
o o
60 ;70 . D.
o o
70 ;80 .
Lời giải
Chọn B
Gọi
M
là trung điểm .BC
Ta có:
BC DM
BC DMA
BC DA
Mặt khác:
, ,
ABD DBC BC
DMA BC
ABC DBC AM DM DMA
DMA ABC AM
DMA DBC DM
Ta có:
2 2
2 2 2
BC AB a
AM ,
3 6
2 2
BC a
DM
Xét ADM vuông tại A , ta có:
3 3
cos arccos 54
3 3
o
.
AM
AMD AMD
DM
Cách khác:
Gọi
là góc giữa hai mặt phẳng
ABC và
DBC .
Theo công thức diện tích hình chiếu của đa giác.
Ta có: .cos
ABC DBC
S S
Mà:
2
0
1 1 3 3
. .sin 60 2. 2.
2 2 2 2
DBC
a
S DB DC a a
Mặt khác:
2
1 1
.
2 2
ABC
S AB AC a
o
3 3
cos arccos 54 .
3 3
ABC
DBC
S
S
a
a
a 2
M
A
C
B
D
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 178
Câu 17.18:Cho hình chóp đều .S ABCD có cạnh
2a
, cạnh bên 3a (minh họa như hình vẽ). Góc giữa mặt
bên và mặt đáy bằng:
A.
30
. B.
45
. C.
60
. D.
90
.
Lời giải
Chọn B
Ta có: góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc giữa
SCD và
.ABCD
Gọi .O AC BD Vì .S ABCD là hình chóp đều nên
.SO ABCD
Gọi M là trung điểm .CD Ta có:
.
CD SM
CD SOM
CD OM
Do đó:
, , .
CD SOM
SCD ABCD CD
SCD ABCD SM OM SMO
SOM SCD SM
SOM ABCD OM
Xét hình vuông ABCD ta có: OM a và
2 2 2
2.
2 2 2
BD AB a
OD a
Xét
SOD
vuông tại
O
, ta có:
2 2
2 2
3 2 .SO SD OD a a a
Xét
SOM
vuông tại
O
, ta có:
tan 1 45 .
o
SO a
SMO SMO
OM a
Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ
Gọi .O AC BD Vì .S ABCD là hình chóp đều nên
.SO ABCD
Ta có:
2 2 2AC BD AB a
và
2 2 2 2
3 2 .SO SD OD a a a
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 179
Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ với
0;0;0 , 2;0;0 , 0; 2;0O C a D a và
0;0;S a .
Ta có:
: 0ABCD z ABCD có một vectơ pháp tuyến là
0;0;1 .k
: 1 2 2 0
2 2
x y z
SCD x y z a
a
a a
SCD có một vectơ pháp tuyến là
1;1; 2 .n
Suy ra:
.
2
cos , , 45 .
2
.
o
k n
SCD ABCD SCD ABCD
k n
Câu 17.19:Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh
2a
,
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy,
3SA a
(minh họa như hình vẽ). Góc giữa hai mặt phẳng
SBD và
ABCD bằng:
A.
30
. B.
45
. C. 60. D. 90.
Lời giải
Chọn C
Gọi
.O AC BD
Ta có:
.
BD SA
BD SAC
BD AC
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 180
Do đó:
, , .
BD SAC
SBD ABCD BD
SBD ABCD SO AC SOA
SAC SBD SO
SAC ABCD AC
Xét hình vuông
ABCD
ta có:
2 2 2
.
2 2 2
AC AB a
OA a
Xét SAO vuông tại A , ta có:
3
tan 3 60 .
o
SA a
SOA SOA
OA a
Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ
Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ với
0;0;0 , 2;0;0 , 0; 2;0A B a D a
và
0;0; 3S a
.
Ta có:
: 0ABCD z ABCD có một vectơ pháp tuyến là
0;0;1 .k
: 1 3 3 2 6 0
2 2 3
x y z
SBD x y z a
a a a
SBD có một vectơ pháp tuyến là
3; 3; 2 .n
Suy ra:
.
1
cos , , 60 .
2
.
o
k n
SBD ABCD SBD ABCD
k n
Câu 17.20:Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình chữ nhật với
2 3
2 ,
3
a
AB a AD , SA vuông góc với
mặt phẳng đáy, SA a (minh họa như hình vẽ). Góc giữa hai mặt phẳng
SBD và
ABCD
bằng:
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 181
A. 30. B. 45. C. 60. D. 90.
Lời giải
Chọn B
Vẽ AM BD tại .M Ta có:
.
BD SA
BD SAM
BD AM
Do đó:
, , .
BD SAM
SBD ABCD BD
SBD ABCD SM AM SMA
SAM SBD SM
SAM ABCD AM
Xét
ABD
vuông tại
A
, ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 3 1
.
4 4
AM a
AM AB AD a a a
Xét
SAM
vuông tại A , ta có:
tan 1 45 .
o
SA a
SMA SMA
AM a
Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ
Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ với
2 3
0;0;0 , 2 ;0;0 , 0; ;0
3
a
A B a D
và
0;0;S a .
Ta có:
: 0ABCD z ABCD có một vectơ pháp tuyến là
0;0;1 .k
: 1 3 2 2 0
2
2 3
3
x y z
SBD x y z a
a a
a
SBD có một vectơ pháp tuyến là
1; 3;2 .n
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Trang 182
Suy ra:
.
1
cos , , 45 .
2
.
o
k n
SBD ABCD SBD ABCD
k n
| 1/21
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 XÁC ĐỊNH GÓC
GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG - ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG - HAI MẶT PHẲNG
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1) Góc giữa hai đường thẳng
Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin hoặc tỉ số lượng giác.  
Phương pháp 2: Sử dụng tích vô hướng: nếu u và v lần lượt là hai vectơ chỉ phương của hai
đường thẳng a và b thì góc của hai đường thẳng này được xác định bởi công thức     . u v
cos cos u,v    . u . v
2) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: a a' P
Muốn xác định góc của đường thẳng a và  P ta tìm hình chiếu vuông góc a của a trên  P .
Khi đó, a P   a a   , , '
3) Góc giữa hai mặt phẳng:
Phương pháp 1: Dựng hai đường thẳng a , b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng  và   .
Khi đó, góc giữa  và   là ,    
 a,b . Tính góc  a,b.
Phương pháp 2: β b φ c a α
 Xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng  và  .
 Dựng hai đường thẳng a , b lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao
tuyến c tại một điểm trên c . Khi đó: ,       a,b . Trang 162
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Cách khác: Ta xác định mặt phẳng phụ  vuông góc với giao tuyến c mà     a ,
    b . Suy ra ,      a,b .
4) Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian:
Chọn hệ trục thích hợp và cụ thể hóa tọa độ các điểm.  
a) Giả sử đường thẳng a và b lần lượt có vectơ chỉ phương là a,b .   . a b Khi đó: co  s a, b
     a,b  a . b  
b) Giả sử đường thẳng a có vectơ chỉ phương là a và  P có vectơ pháp tuyến là n .   . a n
Khi đó: sina,  P
     a,P  a . n  
c) Giả sử mặt phẳng  và  lần lượt có vectơ pháp tuyến là a,b .   . a b Khi đó: co 
s ,
     ,  a . b BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a 3 , SA vuông
góc với mặt phẳng đáy, SA a 2 (minh họa như hình vẽ). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABCD bằng: A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. 2. HƯỚNG GIẢI:
B1: Xác định hình chiếu của SC trên mặt phẳng  ABCD
B2: Tính góc giữa SC và hình chiếu của nó.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Trang 163
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Lời giải Chọn A S A D B C
Ta có: SA   ABCD nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng  ABC  .
Do đó: SC ABCD   SC AC   , ,  SC . A
Xét hình vuông ABCD ta có: AC a 6. SA a 2 1
Xét SAC vuông tại A , ta có:   o tan SCA     SCA  30 . AC a 6 3
Bài tập tương tự và phát triển:
Câu 17.1: Cho một hình thoi ABCD cạnh a và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa hình thoi sao cho
SA a và vuông góc với  ABC  . Tính góc giữa SD và BC A. 60 . B. 90 . C. 45 . D. 30 . Lời giải Chọn C S A D B C Ta có: AD
BC   SD BC    SD AD   0 / / , ,  ADS  45 .
Câu 17.2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với BC  2a, SA vuông góc với mặt
phẳng đáy, SA  3a (minh họa như hình vẽ). Góc giữa hai đường thẳng SD và BC nằm trong khoảng nào? Trang 164
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 A. 20 ;  30 . B. 30 ;  40 . C. 40 ;  50 . D. 50 ;  60 . Lời giải Chọn D Ta có: BC
AD   SD BC    SD AD   / / , ,
SDA ( Do SAD vuông tại A nên  90o SDA  ) SA 3a 3 3
Xét SAD vuông tại A , ta có:   tan SDA     SDA  arctan  56 . o AD 2a 2 2
Câu 17.3: Cho tứ diện ABCD có AC BD  2 .
a Gọi M , N lần lượt là trung điểm BC, AD . Biết rằng
MN a 3. Tính góc của AC và BD . A. 0 45 . B. 0 30 . C. 0 60 . D. 0 90 . Lời giải Chọn C A I a N a 3 a 2a B D 2a M C
Gọi I là trung điểm của AB . Ta có IM IN a .
Áp dụng định lý cosin cho IMN ta có:  2 2 2 2 2 2
IM IN MN
a a  3a 1  0 cos MIN      MIN  120 . 2.IM .IN 2. . a a 2 Trang 165
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Vì IM AC IN
BD   AC BD   IM IN   0 0 0 / / , / / , ,  180 120  60 .
Câu 17.4: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD . Gọi M là trung
điểm CD . Tính cosin góc của AC và BM . 3 3 3 2 A. . B. . C. . D. . 4 6 2 2 Lời giải Chọn B  
     AC.BM
AC.CM CB
cos  AC, BM
  cosAC,BM      AC . BM a 3 . a 2 2 2 2
    a a a 0 0 . a cos120  . a . a cos120 a  
AC.CM AC.CB 2 4 2 3 4      . 2 2 2 2 a 3 a 3 a 3 a 3 6 2 2 2 2
Câu 17.5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  2a , BC a . Các cạnh bên
của hình chóp cùng bằng a 2 . Khi đó, góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng: A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn A S A D M B C
Ta có: AB//CD nên  AB SC   CD SC  , ,  SCD .
Gọi M là trung điểm của CD . Tam giác SCM vuông tại M và có SC a 2 , CM a nên
là tam giác vuông cân tại M nên 
SCD  45 . Vậy 
AB,SC  45 .
Câu 17.6: Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N , I lần lượt là trung điểm của BC , AD và AC . Cho AB  2a,
CD  2a 2 và MN a 5 . Tính góc 
  AB,CDA. 135 . B. 60 . C. 90 . D. 45 . Lời giải Trang 166
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Chọn D A N 2a I a a 5 B D 2a 2 M C  1 IN / /C ; D IN CD a 2   2
Theo tính chất đường trung bình trong tam giác:  1
IM / / AB; IM AB a   2
  AB CD   IM IN  , ,
. Áp dụng định lý cosin ta có: 2 2 2
IM IN MN 2 2 0 cos      45 . 2.IM .IN 2 2
Câu 17.7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a, AD a 3, SA vuông góc
với mặt phẳng đáy, SA  2a (minh họa như hình vẽ). Góc giữa hai đường thẳng SC và BD nằm trong khoảng nào? A. 30 ;  40 . B. 40 ;  50 . C. 50 ;  60 . D. 60 ;  70 . Lời giải Chọn D Trang 167
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Gọi O AC BD và M là trung điểm SA . 2 2 2 2 BD AB AD a  3a 2a
Xét hình chữ nhật ABCD , ta có: OB OA      . a 2 2 2 2
Xét MAB vuông tại A , ta có: 2 2 2 2 MB
AB MA a a a 2.
Xét MAO vuông tại A , ta có: 2 2 2 2 MO AO MA
a a a 2.  2 2 2 2 2 2
OB OM BM
a  2a  2a 1 
Xét MBO , ta có: cosMOB   
MOB  69o. 2.O . B OM 2. . a a 2 2 2 Ta có:          / / , ,   69o SC MO SC BD MO BD MOB ( Do  90o MOB  ).
Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ
Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ với A0; 0;0, B a; 0;0,C  ;
a a 3;0, D 0; a 3;0 và
S 0;0; 2a .  
Ta có: SC  a;a 3;2a  SC có một vectơ chỉ phương là u  1; 3;2.   BD   ;
a a 3; 0  BD có một vectơ chỉ phương là v  1; 3;0.   . u v 2 1
Suy ra: cos SC, BD        SC, BD   69 .o u . v 2 2.2 2 2
Câu 17.8: Cho hình chóp S.ABC có các A
BC và SBC là các tam giác đều và nằm trong hai mặt phẳng
vuông góc với nhau. Góc giữa đường thẳng SA và  ABC  bằng A. 45 . B. 75 . C. 60 . D. 30 . Trang 168
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Lời giải Chọn A S A C H B
Theo giả thiết ta có  ABC   SBC  .
Trong mặt phẳng SBC  kẻ SH BC SH   ABC  nên AH là hình chiếu của SA trên
ABC  . Do đó, SA ABC   SA AH    , ,  SAH . Giả sử AB  . a a 3
Ta có: SBC và ABC là tam giác đều nên H là trung điểm của BC và AH SH  . 2 SH
Xét tam giác vuông SHA ta có  tan SAH   1   SAH  45 . AH
Vậy SA ABC   ,  45 .
Câu 17.9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy,
SA a 2 (minh họa như hình vẽ). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAB bằng: A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn A Trang 169
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 BC SA Ta có: 
BC  SAB nên SB là hình chiếu của SC trên mặt phẳng SAB . BC AB
Do đó: SC SAB   SC SB   , ,  BSC.
Xét SAB vuông tại A , ta có: SB SA AB  a 2 2 2 2 2  a a 3. BC a 1
Xét SBC vuông tại B , ta có:   tan BSC     BSC  30o. SB a 3 3
Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ
Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ với A0; 0;0, B a;0; 0,C a; a;0 và S 0;0;a 2 . 
Ta có:  SAB : y  0  vectơ pháp tuyến của SAB là j  0;1;0.   SC   ;
a a; a 2   SC có một vectơ chỉ phương là u  1;1; 2 .   j.u 1
Suy ra: sin SC, SAB
      SC,SAB   30 .o j . u 2
Câu 17.10:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy,
SA a 3 (minh họa như hình vẽ). Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng  SAB bằng: Trang 170
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn A
Ta có: AD  SAB nên SA là hình chiếu của SD trên mặt phẳng SAB .
Do đó: SD SAB   SD SA   , ,  AS . D AD a 1
Xét SAD vuông tại A , ta có:   tan ASD     ASD  30o. SA a 3 3
Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ
Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ với A0; 0;0, B a;0; 0, D 0; ;
a 0 và S 0;0;a 3 . 
Ta có:  SAB : y  0  vectơ pháp tuyến của SAB là j  0;1;0.  
SD  0;a;a 3  SD có một vectơ chỉ phương là u  0;1; 3.   j.u 1
Suy ra: sin SD, SAB
      SD,SAB   30 .o j . u 2 Trang 171
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Câu 17.11:Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC , SA a , A
BC đều cạnh a . Tính góc giữa SB và  ABC A. o 30 . B. 60 . C. 45 . D. 90 . Lời giải Chọn C S A C B
Ta có SA   ABC   AB là hình chiếu của SB trên mặt phẳng  ABC 
ASB  SD AD  0 ,  45 .
Câu 17.12:Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  , SA a , A
BC đều cạnh a . Gọi là góc giữa SC
và mặt phẳng SAB . Khi đó, tan bằng 3 5 1 A. . B. . C. . D. 2 . 5 3 2 Lời giải Chọn A S a a A C a I B CI AB
Gọi I là trung điểm của AB . Ta có: 
CI  SABCI SA Trang 172
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
SI là hình chiếu của SC trên mặt phẳng SAB  SC SAB   SC SI    , ,  CSI a 3  CI CI 3 2
 tan  tan CSI     . 2 2 2 SI 5 SA AIa 2  a     2 
Câu 17.13:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với  ABCD cà
SA a 6 . Tính sin của góc tạo bởi AC và mặt phẳng  SBC  . 1 1 1 3 A. . B. . C. . D. . 3 6 7 7 Lời giải Chọn D
Kẻ AH SB BC AH AH   SBC
AH là hình chiếu của AC lên mặt phẳng SBC    AC SBC    AC HC   , ,  ACH . S . A AB a 6.a a 6
Tam giác SAB vuông  AH    SB a 7 7  AH 3 Vì A
HC vuông tại H  sin ACH   . AC 7
Câu 17.14:Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đá a 2 , cạnh bên 2a (minh họa như hình vẽ). Góc giữa
cạnh bên và mặt đáy bằng: A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 . Trang 173
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Lời giải Chọn C
Ta có: góc giữa cạnh bên và mặt đáy là góc giữa SD và  ABCD.
Gọi O AC B .
D Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO   ABCD.
OD là hình chiếu của SD trên  ABCD.
Do đó: SD ABCD   SD OD   , ,  SD . O BD AB 2 a 2 2
Xét hình vuông ABCD ta có: OD     . a 2 2 2 OD a 1
Xét SOD vuông tại O , ta có:   cosSDO     SDO  60 . o SD 2a 2
Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ
Gọi O AC B .
D Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO   ABCD.
Ta có: AC BD AB 2  2a và 2 2 2 2 SO
SD OD  4a a a 3.
Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ với O 0; 0; 0,C a;0; 0, D 0; ;
a 0 và S 0;0;a 3 . 
Ta có:  ABCD : z  0   ABCD có một vectơ pháp tuyến là k  0;0;  1 .  
SD  0;a;a 3  SD có một vectơ chỉ phương là u  0;1; 3.   k.u 3
Suy ra: sin SD, ABCD     
 SD, ABCD   60o. k . u 2 Trang 174
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Câu 17.15:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với
AD  2 AB  2BC  2 ;
a SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA  2a (minh họa như hình vẽ).
Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng SAC  bằng: A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn A
Gọi M là trung điểm AD. Ta có: ACM và DCM vuông cân tại M .      
 45o  45o  90o ACD ACM DCM
CD AC mà CD SA nên CD  SAC .
SC là hình chiếu của SD trên mặt phẳng SAC  .
Do đó: SD SAC    SD SC   , ,  CS . D
Xét ACD vuông cân tại C , ta có: AC CD a 2.
Xét SAC vuông tại A , ta có: 2 2 2 2 SC SA AC
4a  2a a 6.  CD a 2 1 
Xét SCD vuông tại C , ta có: tan CSD     CSD  30o SC a 6 3
Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ
Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ với A0; 0;0, B a;0;0,C  ;
a a; 0, D 0; 2 ;
a 0 và S 0; 0; 2a . Trang 175
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020  
Ta có: SD  0;2a;2a  SD có một vectơ chỉ phương là u  0;1;  1 . 
AS  0;0; 2a   
   AS, AC    2 2 2
a ; 2a ; 0   AC   ; a ; a 0  
  SAC  có một vectơ pháp tuyến là n  1;1;0.   u.n 1
Suy ra: sin SD,SAC 
      SD,SAC   30o. u . n 2
Câu 17.16:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a và SA SB SC SD a . Khi đó, cosin
góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAD bằng 1 1 3 1 A. . B. . C. . D.  . 4 3 2 3 Lời giải Chọn B S I A D B C
Gọi I là trung điểm SA . BI SA
Do tam giác SAD và SAB đều nên 
 SAB, SAD    
 BI, DI  . DI SA
Áp dụng định lý cosin cho tam giác BID ta có: 2 2  3   3   a    a   a 2 2 2 2  2 
IB ID BD 2 2     1 cos BID     . 2I . B ID 3 3 3 2. . a a 2 2 Vậy
SAB SAD    1 cos ,  . 3
Câu 17.17:Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB a , trên đường thẳng d vuông góc với  ABC
tại điểm A ta lấy một điểm D sao cho DBC đều. Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và
DBC  nằm trong khoảng nào? Trang 176
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 A.  o o 40 ;50 . B.  o o 50 ; 60 . C.  o o 60 ;70 . D.  o o 70 ;80 . Lời giải Chọn B D a A C a M a 2 B
Gọi M là trung điểm BC. BC DM Ta có: 
BC   DMABC DA  
ABD  DBC   BC DMA    BC Mặt khác: 
  ABC   DBC    AM DM    , ,  DMADMA
  ABC   AM
DMA DBC  DMBC AB 2 a 2 BC 3 a 6 Ta có: AM    , DM   2 2 2 2 2 AM 3 3
Xét ADM vuông tại A , ta có:   cos AMD    AMD  arccos  54o. DM 3 3 Cách khác:
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  DBC  .
Theo công thức diện tích hình chiếu của đa giác. Ta có: SS .cosABC DBC 2 1 1 3 a 3 Mà: 0 SD . B DC.sin 60  a 2.a 2.  DBC 2 2 2 2 1 1 Mặt khác: 2 SA . B AC a ABC 2 2 S 3 3 ABC o  cos    arccos  54 . S 3 3 DBC Trang 177
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Câu 17.18:Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh 2a , cạnh bên a 3 (minh họa như hình vẽ). Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng: A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn B
Ta có: góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc giữa SCD và  ABCD.
Gọi O AC B .
D Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO   ABCD. CD SM
Gọi M là trung điểm C . D Ta có: 
CD  SOM . CD OM C
D  SOM   
SCD   ABCD  CD Do đó:    SCD ABCD
  SM OM SMO
SOM   SCD         , , .  SM SOM
   ABCD  OMBD AB 2 2a 2
Xét hình vuông ABCD ta có: OM a và OD     a 2. 2 2 2 2 2
Xét SOD vuông tại O , ta có: 2 2 SO
SD OD  a 3  a 2  . a SO a
Xét SOM vuông tại O , ta có:   tan SMO  
 1  SMO  45o. OM a
Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ
Gọi O AC B .
D Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO   ABCD.
Ta có: AC BD AB 2  2a 2 và 2 2 2 2 SO
SD OD  3a  2a  . a Trang 178
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ với O 0;0;0,C a 2;0;0, D0;a 2;0 và S 0;0;a . 
Ta có:  ABCD : z  0   ABCD có một vectơ pháp tuyến là k  0;0;  1 . x y zSCD :  
 1  x y  2z a 2  0 a 2 a 2 a
  SCD có một vectơ pháp tuyến là n  1;1; 2.   k.n 2
Suy ra: cos SCD, ABCD     
 SCD,  ABCD   45o. k . n 2
Câu 17.19:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a 2 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy,
SA a 3 (minh họa như hình vẽ). Góc giữa hai mặt phẳng SBD và  ABCD bằng: A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn C BD SA
Gọi O AC B . D Ta có: 
BD  SAC . BD AC Trang 179
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020
BD  SAC   
SBD   ABCD  BD Do đó:      
 SBD  ABCD   SO AC   , ,  SO . A SAC SBD SO SAC
   ABCD  ACAC AB 2 a 2 2
Xét hình vuông ABCD ta có: OA     . a 2 2 2 SA a 3
Xét SAO vuông tại A , ta có:   tan SOA  
 3  SOA  60o. OA a
Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ
Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ với A0;0;0, B a 2;0;0, D 0;a 2;0 và S 0;0;a 3 . 
Ta có:  ABCD : z  0   ABCD có một vectơ pháp tuyến là k  0;0;  1 . x y zSBD :    1 
3x  3y  2z a 6  0 a 2 a 2 a 3 
  SBD có một vectơ pháp tuyến là n   3; 3; 2.   k.n 1
Suy ra: cos SBD, ABCD
      SBD,ABCD   60 .o k . n 2 2a 3
Câu 17.20:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB  2a, AD
, SA vuông góc với 3
mặt phẳng đáy, SA a (minh họa như hình vẽ). Góc giữa hai mặt phẳng  SBD và  ABCD bằng: Trang 180
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn B BD SA
Vẽ AM BD tại M . Ta có: 
BD  SAM . BD AM
BD  SAM   
SBD   ABCD  BD Do đó:    SBD ABCD
  SM AM SMA
SAM   SBD         , , .  SM SAM
   ABCD  AM  1 1 1 1 3 1
Xét ABD vuông tại A , ta có:       AM  . a 2 2 2 2 2 2 AM AB AD 4a 4a a SA a
Xét SAM vuông tại A , ta có:   tan SMA    1  SMA  45 . o AM a
Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ  2a 3 
Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ với A0; 0;0, B 2 ;
a 0; 0, D  0;
; 0  và S 0;0; a .  3    
Ta có:  ABCD : z  0   ABCD có một vectơ pháp tuyến là k  0;0;  1 . x y zSBD :  
 1  x  3 y  2z  2a  0 2a 2a 3 a 3 
  SBD có một vectơ pháp tuyến là n  1; 3;2. Trang 181
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020   k.n 1
Suy ra: cos SBD, ABCD     
 SBD, ABCD   45o. k . n 2 Trang 182