Xét tính độc lập và phụ thuộc tuyến tính của vectơ trong R^3 và R^4 Môn Toán kinh tế |Trường Đại học Kinh Tế - Luật, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh

II.1. Xét tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của các hệ vectơ dưới đây trong không gian đã chỉ ra.
a) v1 = (1,-3,5), v2 = (2,2,4), v3 = (4,-4,14) trong R3.
b) v1 = (1,1,2,-3), v2 = (2,3,5,8), v3 = (3,4,7,5) trong R4.
c) v1 = (1,2,-3,4), v2 = (2,5,1,7), v3 = (4,9,-5,16) trong R4. Bài giải
a) Xếp v1, v2, v3 thành dòng [1 −3 5 A= 2 2 4 4 −4 14] BĐSC ta được d1 giữ nguyên d1,d2 giữ nguyên d 1 −3 5 2 → d2 – 2d1 d3 A → d 0 8 3 – 4d1 − 6 [ ][1 −3 5 0d3 →8d3 – −d6 2 ] 0 8 −6 0 0 0
→ Hạng (v1, v2, v3) = Hạng (A) = 2 < Số vectơ = 3.
→Hệ v1, v2, v3 phụ thuộc tuyến tính.
b) Xếp v1, v2, v3 thành dòng 1 2 −3 B=[12 3 5 8 3 4 7 5 ] d1 giữ nguyên d BĐSC ta được 1,d2 giữ nguyên d2 → d2 – 2d1 d3 → d d3 → d3 – d2 3 – 3d1 1 1 2 −3 1 1 2 −3 B 0 1 1 14 0 0 0 0 [0 1 1 14][01 1 14]
→ Hạng (v1, v2, v3) = Hạng (A) = 2 < Số vectơ = 3.
→Hệ v1, v2, v3 phụ thuộc tuyến tính.
c) Xếp v1, v2, v3 thành dòng 1 2 −3 4 C=[14d2gi9ữ5n d ,d giữ nguyên − gu5y1ên 7 d2 → d2 – 2d1 d3 ]16 1 2 d3 → d3 – d2 BĐS→ C dta3–đư4ợd1c 1 2 −3 4 1 2 −3 4 C 0 1 7 0 0 0 0 1 [01 7 −1][01 7 −1]
→ Hạng (v1, v2, v3) = Hạng (A) = Số vectơ = 3
→Hệ v1, v2, v3 độc lập tuyến tính.
II.2. Tìm điều kiện của tham số m để hệ vectơ dưới đây độc lập tuyến tính.
a) v1 = (1,2,2), v2 = (2,5,4), v3 = (4,9,m) trong R3.
b) v1 = (1,1,2,-3), v2 = (2,3,5,8), v3 = (5,6,11,m) trong R4.
c) v1 = (1,2,3,4), v2 = (3,7,9,15), v3 = (9,20,27,m) trong R4. Bài giải
a) Xếp v1, v2, v3 thành dòng [1 2 2 A= 2 5 4 4 9 m] BĐSC ta được d1 giữ nguyên d1,d2 giữ nguyên d 1 2 2 1 −3 5 2 → d2 – 2d1 d3 A → d 0 1 0 3 – 4d1 0d3→1d3– d20 [ ][ ] 0 1 m−8 0 0 m−8
Do đó Hạng (v ,v ,v ) = Hạng (A) = 2 khim=8 1 2 3 {3khim≠8
Hệ đltt ⇔ Hạng (v1,v2,v3) = Hạng (A) = 3 ⇔ m≠ 8
Hệ pttt ⇔ Hạng (v1,v2,v3) = Hạng (A) = 2 ⇔ m=8
b) Xếp v1, v2, v3 thành dòng [1 1 2 −3 B=¿ 2 3 5 8 ] 5 6 11 m d1 giữ nguyên d1,d2 giữ nguyên BĐSdC ư 2 → tadđ2 –ợ2cd1 d3 d → d 3 → d3 – d2 3 – 5d1 [1 1 2 −3 1 1 2 −3 B 0 1 1 14 0 1 1 14 ][ ] 0 1 1 m+15 0 0 0 m+1
Do đó Hạng (v ,v ,v ) = Hạng (B) = 2 khim=−1 1 2 3 {3khim≠−1
Hệ đltt ⇔ Hạng (v1,v2,v3) = Hạng (B) = 3 ⇔ m≠−1
Hệ pttt ⇔ Hạng (v1,v2,v3) = Hạng (B) = 2 ⇔ m=−1
c) Xếp v1, v2, v3 thành dòng [1 2 3 4 C=¿ 3 7 9 15 9 20 27 m ] BĐSC ta được 1 2 3 4 1 2 3 4 C 0 1 0 3 0 [ ][ 1 0 3 0 2 0 m−36 0 0 0 m−42]
Do đó Hạng (v ,v ,v ) = Hạng (C) = 2 khim=42 1 2 3 {3khim≠42
Hệ đltt ⇔ Hạng (v1,v2,v3) = Hạng (C) = 3 ⇔ m≠ 42
Hệ pttt ⇔ Hạng (v1,v2,v3) = Hạng (C) = 2 ⇔ m=42
II.3. Tìm điều kiện của tham số m để vectơ v được biểu thị tuyến tính qua hệ vectơ đã cho dưới đây.
a) v1 = (1,1,2); v2 = (3,4,5); v3 = (4,5,7), v = (13,16,m).
b) v1 = (1,1,2,3); v2 = (2,3,5,8); v3 = (5,6,11,17); v = (12,15,27,m).
c) v1 = (1,2,3,4); v2 = (3,7,9,15); v3 = (6,13,18,27); v = (10,22,30,m). Bài giải
a) Xếpdv11g,ivữ2n,gvu3ytêhnành dòng 1 d ,d2 giữ nguyên d2 →1d2–3d1 4d3 13 d3 → d3 + d2 [A∨v ]=→¿d[31–2d41 5 16 2 5 7 ]m BĐSC ta được [1 3 4 13 ][1 3 4 13 [A|v] 0 1 1 3 0 1 1 3 ] 0 −1 −1 m−26 0 0 0 m+23
Do đó Hạng (v ,v ,v ) = Hạng (A) = 2 khim=−1 1 2 3 { 3khim≠−1
Hệ đltt ⇔ Hạng (v1,v2,v3) = Hạng (A) = 3 ⇔ m≠−1
Hệ pttt ⇔ Hạng (v1,v2,v3) = Hạng (A) = 2 ⇔ m=−1 d1 giữ nguyên d1,d2 giữ nguyên d2 → d2 – 3d1 d3 d3 → d3 – 2d2 → d3 – 9d1