-
Thông tin
-
Quiz
134 bài toán đơn điệu, cực trị, GTLN – GTNN, tương giao của đồ thị hàm số (VD – VDC) Toán 12
134 bài toán đơn điệu, cực trị, GTLN – GTNN, tương giao của đồ thị hàm số (VD – VDC) được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Toán 12 3.9 K tài liệu
134 bài toán đơn điệu, cực trị, GTLN – GTNN, tương giao của đồ thị hàm số (VD – VDC) Toán 12
134 bài toán đơn điệu, cực trị, GTLN – GTNN, tương giao của đồ thị hàm số (VD – VDC) được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Chủ đề: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 375 tài liệu
Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
L Trường PHTP THIÊN ĐÌNH HÀM SỐ VD-VDC
ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ, GTLN-GTNN
TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM (VD-VDC)
CÂU 1. Cho hàm số y = f (x) liên tục và xác định
Trong khoảng (0; π) đồ thị hàm số y = f ′(x) nằm
trên R. Biết f (x) có đạo hàm f ′(x) và hàm số
phía trên trục hoành nên hàm số f (x) đồng biến
y = f ′(x) có đồ thị như hình vẽ, trên khoảng (0; π). y Chọn đáp án D □
CÂU 3. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị hàm số y = f ′(x) như hình bên. y x −1 O 1 4
khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số f (x) đồng biến trên R. −2 x −1 O 1
B. Hàm số f (x) nghịch biến trên R.
Khẳng định nào sau đây sai?
C. Hàm số f (x) chỉ nghịch biến trên khoảng
A. Hàm số f (x) đồng biến trên (−2; 1). (−∞;0).
B. Hàm số f (x) đồng biến trên (1; +∞).
D. Hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng (0; +∞).
C. Hàm số f (x) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2. Lời giải.
D. Hàm số f (x) nghịch biến trên (−∞; −2).
Trong khoảng (0; +∞) đồ thị hàm số y = f ′(x) Lời giải.
nằm phía dưới trục hoành nên hàm số f (x)
Dựa vào đồ thị của hàm số y nghịch biến trên khoảng = f ′(x) ta thấy: (0; +∞). " − 2 < x < 1 Chọn đáp án D □ f ′(x) > 0 ⇔
⇒ f (x) đồng biến trên các x > 1
CÂU 2. Cho hàm số y = f (x) liên tục và xác định khoảng (−2;1), (1;+∞).
trên R. Biết f (x) có đạo hàm f ′(x) và hàm số Suy ra A đúng, B đúng.
y = f ′(x) có đồ thị như hình vẽ.
f ′(x) < 0 khi x < −2 ⇒ f (x) nghịch biến trên khoảng (−∞;−2). Suy ra D đúng. y Vậy C sai. π 1 − Chọn đáp án C □ 2 −π π x O π
CÂU 4. Cho hàm số y = f (x). Hàm số y = f ′(x) có 2 đồ thị như hình bên. −1 y y = f ′(x)
Xét trên (−π;π), khẳng định nào sau đây x −1 O 1 4 đúng?
A. Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng (−π; π).
B. Hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng Hàm số y (−π;π).
= g(x) = f (2 − x) đồng biến trên khoảng
C. Hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng ³ −π ´ ³ π ´ A. (1; 3). B. (2; +∞). −π; và ; π . 2 2 C. (−2; 1). D. (−∞; −2).
D. Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng (0; π). Lời giải. Lời giải.
Ta có: g′(x) = (2 − x).f ′(2 − x) = −f ′(2 − x) 1
Đại số và giải tích 12 Trường PHTP THIÊN ĐÌNH L HÀM SỐ VD-VDC
Hàm số đồng biến khi g′(x) > 0 ⇔ f ′(2 − x) < 0 ⇔
Nhận thấy các nghiệm của g′(x) là nghiệm đơn " " 2 − x < −1 x > 3
nên qua nghiệm đổi dấu. ⇔ . 1 < 2 − x < 4 − 2 < x < 1 Chọn đáp án C □ Chọn đáp án C □
CÂU 6. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị hàm số y =
CÂU 5. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị hàm số y =
f ′(x) như hình bên dưới
f ′(x) như hình bên dưới y y x −2 O 2 5 x −1 O 1 2 4
Hàm số g(x) = f (3 − 2x) nghịch biến trên khoảng Hàm số g(x) nào trong các khoảng sau?
= f (1 − 2x) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. (0; 2). B. (1; 3). C. (−∞; −1). D. (−1; +∞). A. (−1; 0). B. (−∞; 0). Lời giải. C. (0; 1). D. (1; +∞). " Lời giải. − 2 < x < 2
Dựa vào đồ thị, suy ra f ′(x) > 0 ⇔ . Ta "x < −1 x > 5
Dựa vào đồ thị, suy ra f ′(x) < 0 ⇔ . Ta có g′(x) 1 = −2 f ′(3 − 2x). < x < 2 " − 2 < 3 − 2x < 2
có g′(x) = −2f ′(1 − 2x).
Xét g′(x) < 0 ⇔ f ′(3 − 2x) > 0 ⇔ ⇔ "1 − 2x < −1 3 − 2x > 5
Xét g′(x) > 0 ⇔ f ′(1 − 2x) < 0 ⇔ ⇔ 1 1 5 < 1 − 2x < 2 < x < 2 2 x > 1 . x < −1 1 . − < x < 0 µ 1 5 ¶ 2
Vậy g(x) nghịch biến trên các khoảng ; và µ 1 ¶ 2 2
Vậy g(x) đồng biến trên các khoảng − ;0 và (−∞;−1). 2 Cách 2. Ta có
g′(x) = 0 ⇔ f ′(3 − 2x) = (1; +∞). 5
Cách 2. Ta có g′(x) = 0 ⇔ −2f ′(1 − 2x) = 0 3 x − 2x = −2 = 2 x = 1 theo đồ thị f ′(x) 1 − 2x = −1
0 −−−−−−−−−−−→ 3 − 2x = 2 ⇔ 1 x . = 0 x =
theo đồ thị f ′(x) 1 − 2x = 1 3 − 2x = 5 2 ⇐⇒ 1 ⇔ . x = −1 x = − 1 − 2x = 2 2 Bảng biến thiên 1 − 2x = 4 (nghiệm kép) 3 x = −2 x −∞ −1 0.5 2.5 +∞ Bảng biến thiên f ′(x) − 0 + 0 − 0 + x −∞ −1.5 0.5 0 1 +∞ +∞ f (0. (0 5) +∞ f ′(x) − 0 − 0 + 0 − 0 + f (x) +∞ f (0) +∞ f (− ( 1) − f (2. (2 5) f (x)
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp f (− ( 0 − . 0 5) f (1) án, ta
Chú ý: Dấu của g′(x) được xác định như sau:
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp µ 1 ¶ án, ta
Ví dụ ta chọn x = 0 ∈ −1; , suy ra 3 − 2x = 3 2
Chú ý: Dấu của g′(x) được xác định như sau: theo đồ thị f ′(x) Ví dụ chọn x
−−−−−−−−−−−→ f ′(3 − 2x) = f ′(3) < 0. Khi đó g′(0) =
= 2 ∈ (1; +∞), suy ra 1 − 2x = −3 theo đồ thị f ′(x) − f ′(3) > 0.
−−−−−−−−−−−→ f ′(1 − 2x) = f ′(−3) < 0. Khi đó g′(2) =
Đại số và giải tích 12 2 L Trường PHTP THIÊN ĐÌNH HÀM SỐ VD-VDC −2 f ′(−3) > 0.
f (x + 4) > 10, khi 3 < x + 4 < a 1 µ ¶
Nhận thấy các nghiệm x = − ; x = 0 và x = 1 của Khi đó ta có 3 3 ⇒ 2 g 2x −
⩽ 5, khi 0 ⩽ 2x − < 11 2 2
g′(x) là các nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu; 3
f (x + 4) > 10, khi − 1 < x < 4 nghiệm x = −
là nghiệm kép nên qua nghiệm µ ¶ 2 3 3 25 . g 2x − ⩽ 5, khi ⩽ x ⩽ không đổi dấu. 2 4 4 Chọn đáp án D µ ¶ □ 3 3
Do đó h′(x) = f ′(x + 4) − 2g′ 2x − > 0 khi ⩽ x < 2 4 4.
Cách 3 Kiểu đánh giá khác: Ta có h′(x) =
CÂU 7. Cho hai hàm số y = f (x), y = g(x). Hai µ 3 ¶
hàm số y = f ′(x) và y = g′(x) có đồ thị như hình f ′(x + 4) − 2g′ 2x − . 2
vẽ bên dưới, trong đó đường cong đậm hơn là đồ µ 9 ¶ 25 thị của hàm số y ; 3 = g′(x).
Dựa vào đồ thị, ∀x ∈ , ta có < x + 4 < 7, 4 4 y f (x + 4) > f (3) = 10; 3 9 µ 3 ¶
3 < 2x − < , do đó g 2x − < f (8) = 5. y = f ′(x) 2 2 2 µ 3 ¶ µ 9 ¶ 10
Suy ra h′(x) = f ′(x+4)−2g′ 2x − > 0, ∀x ∈ ; 3 . 2 4 8 µ 9 ¶
Do đó hàm số đồng biến trên ; 3 . 5 4 4 O x Chọn đáp án B □ 3 8 1011
CÂU 8. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f ′(x) xác
định, liên tục trên R và f ′(x) có đồ thị như hình vẽ bên. y −1 1 x O 3 y = g′(x) µ 3 ¶
Hàm số h(x) = f (x + 4) − g 2x − đồng biến trên 2 khoảng nào dưới đây? −4 µ 31 ¶ µ 9 ¶
Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 5; . B. ; 3 . 5 4
A. Hàm số đồng biến trên (1; +∞). µ 31 ¶ µ 25 ¶
B. Hàm số đồng biến trên (−∞; −1) và (3; +∞). C. ; +∞ . D. 6; . 5 4
C. Hàm số nghịch biến trên (−∞; −1). Lời giải.
D. Hàm số đồng biến trên (−∞; −1) ∪ (3; +∞). 3
Cách 1 Đặt X = x + 4, Y = 2x − . Ta có h′(x) = Lời giải. 2
Trên khoảng (−∞;−1) và (3;+∞) đồ thị hàm số f ′(X ) − 2g′(Y ). µ 3 ¶
f ′(x) nằm phía trên trục hoành.
Để hàm số h(x) = f (x + 4) − g 2x − đồng biến Chọn đáp án B 2 □ thì h′(x) ⩾ 0
CÂU 9. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f ′(x) xác ⇒ f ′(X ) ⩾ 2g′(Y ) với X , Y ∈ [3; 8] ⇒
định, liên tục trên R và f ′(x) có đồ thị như hình 3 ⩽ x + 4 ⩽ 8 vẽ bên. 3 . y 3 ⩽ 2x − ⩽ 8 2 − 1 ⩽ x ⩽ 4 − 1 ⩽ x ⩽ 4 9 19 x ⇔ 9 19 ⇔ 9 19 ⇔ ⩽ x ⩽ .Vì 4 4 ⩽ 2x ⩽ ⩽ x ⩽ O 1 2 2 4 4 µ 9 ¶ µ 9 19 ¶ ; 3 ⊂ ; nên 4 4 4
Cách 2 Kẻ đường thẳng y = 10 cắt đồ thị hàm số
Khẳng định nào sau đây là đúng?
y = f ′(x) tại A(a;10), a ∈ (8;10).
A. Hàm số f (x) đồng biến trên (−∞; 1). 3
Đại số và giải tích 12 Trường PHTP THIÊN ĐÌNH L HÀM SỐ VD-VDC
B. Hàm số f (x) đồng biến trên (−∞; 1) và
hàm số y = f ′(x) ta có bảng biến thiên như sau: (1; +∞). x −∞ −2 0 2 +∞
C. Hàm số f (x) đồng biến trên (1; +∞). g′ − 0 + 0 − 0 +
D. Hàm số f (x) đồng biến trên R. Lời giải. g
Trên khoảng (1; +∞) đồ thị hàm số f ′(x) nằm phía trên trục hoành. Chọn đáp án C □ Chọn đáp án D □
CÂU 12. Cho hàm số f (x) xác định trên R và có
CÂU 10. Hàm số y = f (x) liên tục và xác định
đồ thị của hàm số f ′(x) như hình vẽ.
trên R. Biết f (x) có đạo hàm f ′(x) và hàm số y
y = f ′(x) có đồ thị như hình vẽ, 4 y 1 −3 −2 x O O x 1 2
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng
Khẳng định nào sau đây đúng? (−∞;−2); (0;+∞).
B. Hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng
A. Hàm số f (x) đồng biến trên R. (−2;0).
B. Hàm số f (x) nghịch biến trên R.
C. Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng
C. Hàm số f (x) chỉ nghịch biến trên khoảng (−3;+∞). (0; 1).
D. Hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng
D. Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng (0; +∞). (−∞;0). Lời giải. Lời giải.
Trong khoảng (0; 1) đồ thị hàm số y = f ′(x) nằm
Trên khoảng (−3;+∞) ta thấy đồ thị hàm số f ′(x)
phía dưới trục hoành nên hàm số f (x) nghịch nằm trên trục hoành. biến trên khoảng (0; 1). Chọn đáp án C □ Chọn đáp án C □
CÂU 13. Cho hàm số f (x) xác định trên R và có
đồ thị của hàm số f ′(x) như hình vẽ.
CÂU 11. Cho hàm số f (x) xác định trên R và có y đồ thị hàm số O
f ′(x) là đường cong trong hình bên. 2 y x −1 −2 O x 2 −4
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (−4;2).
A. Hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng (−1;1).
B. Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (−∞;−1).
B. Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng (1; 2).
C. Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng
C. Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng (−2; 1). (0; 2).
D. Hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng (0; 2).
D. Hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng Lời giải. (−∞;−4) và (2;+∞).
Cách 1: sử dụng bảng biến thiên. Từ đồ thị của Lời giải.
Đại số và giải tích 12 4 L Trường PHTP THIÊN ĐÌNH HÀM SỐ VD-VDC ( (
Trong khoảng (−∞;−1) đồ thị hàm số f ′(x) nằm |x| < 2 − 2 < x < 2 |x| < 2 ⇔ ⇔ ⇔ x ∈ (−2; −1) ∪
trên trục hoành nên hàm số đồng biến (−∞;−1). |x| > 1 x < −1 ∪ x > 1 Chọn đáp án B □
(1; 2) và ngược lại tức là những khoảng còn lại f ′(u)
CÂU 14. Cho hàm số f (x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e < 0. B2: xét dấu x.
(a ̸= 0). Biết rằng hàm số f (x) có đạo hàm là f ′(x) và hàm số
B3: Lập bảng xét dấu rồi nhân dấu của f ′(u) và
y = f ′(x) có đồ thị như hình vẽ bên. y
x ta được như bảng trên. 4 Chọn đáp án C □
CÂU 16. Cho hàm số y = f (x) = ax4 + bx3 + cx2 + 2
dx + e, đồ thị hình bên dưới là đồ thị của hàm số
y = f ′(x). Xét hàm số g(x) = f (x2 − 2). x y −1 O 1
Khi đó nhận xét nào sau đây là sai? −1 1
A. Trên (−2; 1) thì hàm số f (x) luôn tăng. x O 2
B. Hàm f (x) giảm trên đoạn [−1; 1].
C. Hàm f (x) đồng biến trên khoảng (1; +∞). −2 D. Hàm f (x) nghịch biến trên khoảng (−∞;−2). −4 Lời giải.
Mệnh đề nào dưới đây sai?
Trên khoảng [−1;1] đồ thị hàm số f ′(x) nằm phía
A. Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng trên trục hoành. (−∞;−2). Chọn đáp án B □
B. Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (2; +∞).
CÂU 15. Cho hàm số y = f (x). Hàm số y = f ′(x) có
C. Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng
đồ thị như hình bên dưới. (−1;0). y
D. Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (0; 2). Lời giải. y = f ′(x) Ta có
g′(x) = 2x · f ′(x2 − 2); g′(x) = 0 ⇔ −1 1 x = 0 x = 0 "x = 0 x O 4 ⇔ x2 − 2 = −1 ⇔ x = ±1 f ′(x2 − 2) = 0 x2 − 2 = 2 x = ±2
Hàm số y = f (x2) đồng biến trong khoảng?
Từ đồ thị của y = f ′(x) suy ra f ′(x2 − 2) > 0 ⇔ µ −1 1¶
x2 − 2 > 2 ⇔ x ∈ (−∞;−2) ∪ (2;+∞) và ngược lại. A. ; . B. (0; 2). 2 2 x −∞ −2 −1 0 1 2 +∞ µ −1 ¶ C. ; 0 . D. (−2; −1). 2x − − − 0 + + + 2 f ′(2 − x2) + 0 − 0 − − 0 − 0 + Lời giải. g(x) − 0 Đặt g(x) + 0 + 0 − 0 − 0 +
= f (u), u = x2 ⩾ 0 thì g′(x) = 2x · f ′(u) nên "x = 0 Chọn đáp án A □ g′(x) = 0 ⇔ ⇔
f ′(u) = 0 ⇔ u = ±1; u = 4
CÂU 17. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị hàm số "x = 0
y = f ′(x) như hình bên dưới. x = ±1; x = ±2 y
Lập bảng xét dấu của hàm số g′(x) 2 x −∞ −2 −1 0 1 2 +∞ g′(x) + 0 − 0 + 0 − 0 + 0 −
Lưu ý: Cách xét dấu của g′(x) x O 1 2 B1: Xét dấu f ′(u):
Hỏi hàm số g(x) = f (1 − x2) nghịch biến trên " " 1 < u < 4 1 < x2 < 4
khoảng nào trong các khoảng sau? Ta có f ′(u) > 0 ⇔ ⇔ ⇔ 1 < u < −1 x2 < −1(loại) A. (1; 2). B. (0; +∞). 5
Đại số và giải tích 12 Trường PHTP THIÊN ĐÌNH L HÀM SỐ VD-VDC C. (−2; −1). D. (−1; 1). C. (2; 3). D. (−2; −1). Lời giải. Lời giải.
Cách 1.Ta có g′(x) = −2x · f ′(1 − x2). Hàm số g(x)
Ta có: y′ = −2x · f ′(3 − x2) " ( − 2x > 0 x = 0
y′ = 0 ⇔ f ′(3 − x2) · (−2x) = 0 ⇔ . f ′(1 − x2) < 0 f ′(3 − x2) = 0
nghịch biến ⇔ g′(x) < 0 ⇔ . ( − 2x < 0
Từ đồ thị hàm số suy ra f ′(3 − x2) = 0 ⇔ 3 − x2 = −6 x = ±3 f ′(1 − x2) > 0 Trường hợp 1: 3 − x2 = −1 ⇔ x = ±2. ( − 2x > 0 (x < 0 3 − x2 = 2 x = ±1 ⇔ . f ′(1 − x2) < 0
1 < 1 − x2 < 2: vô nghiệm Bảng biến thiên Trường hợp 2: x −∞ −3 −2 −1 0 1 2 3 +∞ ( − 2x < 0 (x > 0 y′ − ⇔ ⇔ x > 0.
0 + 0 − 0 + 0 − 0 + 0 − 0 + f ′(1 − x2) > 0
1 − x2 < 1 ∨ 1 − x2 > 2 Cách 2. "x y = 0 Theo đồ thị f ′(x) Ta có g′(x) = 0 ⇔
←−−−−−−−−−−−→ f ′(1 − x2) = 0 x = 0
Lập bảng xét dấu của hàm số y = f (3−x2) ta được
hàm số đồng biến trên (−1;0). 1 − x2 = 1 ⇔ x = 0. Chọn đáp án B □ 1 − x2 = 2 Bảng biến thiên
CÂU 19. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R. x −∞ 0 +∞
Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của g′ + 0 − hàm số y = f ′(x). y g x O −1 3
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án
Xét hàm số g(x) = f (3−x2). Mệnh đề nào dưới đây
Chú ý: Dấu của g′(x) được xác định như sau: Ví là đúng?
dụ chọn x = 1 ∈ (0;+∞).
A. Hàm số g(x) đồng biến trên (−∞; 1).
B. Hàm số g(x) đồng biến trên (0; 3). ○ x = 1 − → −2x < 0. (1)
C. Hàm số g(x) nghịch biến trên (−1; +∞). ○ x = 1 → 1 − x2 = 0 − → f ′(1 − x2) =
D. Hàm số g(x) nghịch biến trên (−∞; −2) và theo đồ thị f ′(x) (0; 2).
f ′(0) −−−−−−−−−−−→ f ′(0) = 2 > 0. (2) Lời giải.
Từ (1) và (2), suy ra g′(1) < 0 trên khoảng (0;+∞).
Nhận thấy nghiệm của g′(x) = 0 là nghiệm đơn ○ Ta có
g′(x) = −2x · f ′(3 − x2); f ′(3 − "
nên qua nghiệm đổi dấu. 3 − x2 = −1 x2) = 0 ⇔ ⇔ Chọn đáp án B □ 3 − x2 = 3 (nghiệm kép) "
CÂU 18. Cho hàm số y = f (x). Biết rằng hàm số x = ±2
y = f ′(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. x = 0 (nghiệm kép) y ○ Ta có bảng xét dấu x −∞ −2 0 2 +∞ O −x + | + 0 − | − x −6 −1 2 f ′(3 − x2) − 0 + | + 0 −
Hàm số y = f (3 − x2) đồng biến trên khoảng g′(x) − 0 + 0 − | + A. (0; 1). B. (−1; 0).
Đại số và giải tích 12 6 L Trường PHTP THIÊN ĐÌNH HÀM SỐ VD-VDC
○ Hàm số g(x) nghịch biến trên (−∞;−2) và Lời giải. (0; 2).
Ta có g′(x) = (1 − 2x) · f ′(x − x2).
Cách 1 Hàm số g(x) nghịch biến ⇔ g′(x) < 0 ⇔ Chọn đáp án D □ (1 − 2x < 0
CÂU 20. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị hàm số f ′(x − x2) > 0 y = f ′(x) như hình bên. . ( 1 − 2x > 0 y f ′(x − x2) < 0 (1 − 2x < 0 ○ Trường hợp 1: ⇔ x O −1 1 f ′(x − x2) > 0 1 x >
Hàm số g(x) = f (x3) đồng biến trên khoảng nào 2 1 trong các khoảng sau? "x − x2 < 1 ⇔ x > . 2 A. (−∞; −1). B. (−1; 1). x − x2 > 2 C. (1; +∞). D. (0; 1). Lời giải. (1 − 2x > 0 ○ Trường hợp 2: ⇔
○ Ta có g′(x) = 3x2 · f ′(x3); g′(x) = 0 ⇔ f ′(x − x2) < 0 x2 = 0 1 x < " 2 x2 = 0 " x3 = 0 x = 0 ⇔ ⇔ . 1 < x − x2 < 2 (Bpt vô nghiệm). f ′(x3) = 0 x x3 = −1 = ±1 x3 = 1 1
Kết hợp hai trường hợp ta được x > . 2 ○ " Ta có bảng biến thiên 1 − 2x = 0
Cách 2 Ta có g′(x) = 0 ⇔ ⇔ x −∞ −1 0 1 +∞ f ′(x − x2) = 0 g′(x) − 0 + 0 − 0 + 1 x = +∞ 2 g(0) +∞ 1 ⇔ x = . x − x2 = 1 2 g(x) x − x2 = 2 g(− ( 1) − g(1) Bảng biến thiên x −∞ 1 2 +∞
○ Hàm số g(x) đồng biến trên các khoảng g′(x) + 0 − (−1;0) và (1;+∞). g ¡ 1 ¢ g ¡ 12 Chọn đáp án C □ g(x)
CÂU 21. Cho hàm số y = f (x). Hàm số y = f ′(x) có đồ thị như hình bên. −∞ −∞ y µ 1 ¶
Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng ; . y = f ′(x) +∞ 2 µ 1 ¶2 1 2 Cách 3 Vì x − x2 = − x − + ⩽ 2 4
1 theo đồ thị của f ′(x)
−−−−−−−−−−−−−−→ f ′(x − x2) > 0. x O 4 1 2
Suy ra dấu của g′(x) phụ thuộc vào dấu của Hàm số
y = f (x − x2) nghịch biến trên 1
1 − 2x. Do đó g′(x) < 0 ⇔ 1 − 2x < 0 ⇔ x > . khoảng? 2 µ ¶ µ 1 ¶ µ 3 ¶ 1 A. − ; +∞ . B. − ; +∞ .
Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng ; +∞ . 2 2 2 µ 3 ¶ µ 1 ¶ Chọn đáp án D □ C. −∞; . D. ; +∞ . 2 2 7
Đại số và giải tích 12 Trường PHTP THIÊN ĐÌNH L HÀM SỐ VD-VDC
CÂU 22. Cho hàm số y = f (x). Hàm số y = f ′(x) có Ta có bảng biến thiên đồ thị như hình bên. x −∞ −1 0 1 2 3 +∞ y y = f ′(x) g′(x) − 0 + 0 + 0 − 0 − 0 + 2 +∞ g(1) +∞ g(x) x O 1 2 g(−1) − g(3)
Hàm số y = f (1 + 2x − x2) đồng biến trên khoảng dưới đây?
Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (−1;0). A. (−∞; 1). B. (1; +∞). Chọn đáp án D □ C. (0; 1). D. (1; 2). Lời giải.
CÂU 24. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm là hàm
Ta có y′ = (2 − 2x) · f ′(1 + 2x − x2); y′ = 0 ⇔
số f ′(x) trên R. Biết rằng hàm số y = f ′(x − 2) + 2 x = 1 x = 1
có đồ thị như hình vẽ bên. y 1 + 2x − x2 = 1 ⇔ x = 0. 1 + 2x − x2 = 2 x = 2 2 Bảng biến thiên 1 x −∞ 0 1 2 +∞ 2 x y′ + 0 − 0 + 0 − O 1 3 −1 y(0) y y(2) y
Hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng nào? y A. (−∞; 2). B. (−1; 1). µ 3 5 ¶ −∞ y(1) y −∞ C. ; . D. (2; +∞). 2 2
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1; 2). Lời giải. Chọn đáp án D □
Cách 1: Dựa vào đồ thị (C) ta có: f ′(x − 2) + 2 <
2, ∀x ∈ (1;3) ⇔ f ′(x − 2) < 0, ∀x ∈ (1;3).
CÂU 23. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x)
Đặt x∗ = x − 2 thì f ′(x∗) < 0, ∀x∗ ∈ (−1;1).
trên R và đồ thị của hàm số f ′(x) như hình vẽ bên.
Vậy: Hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng y (−1;1).
Cách 2: Phân tích: Cho biết đồ thị của hàm số x O −1 1 2
f ′(x) sau khi đã tịnh tiến và dựa vào đó để xét sự −2
đồng biến của hàm số f (x). −4
* Bước 1: Từ đồ thị hàm số f ′(x − 2) + 2 tịnh
tiến xuống dưới 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm số
Hàm số g(x) = f (x2−2x−1) đồng biến trên khoảng f ′(x − 2) như sau nào dưới đây? y 2 A. (−∞; 1). B. (1; +∞). x O C. (0; 2). D. (−1; 0). 1 3 −1 Lời giải. −2
Ta có g′(x) = (2x − 2)f ′(x2 − 2x − 1); g′(x) = 0 ⇔ −3 x = 1 x = 0 x2 − 2x − 1 = −1 ⇔ x = ±1
* Bước 2: Tiếp tục tịnh tiến đồ thị hàm số f ′(x −2) x2 − 2x − 1 = 2 x = 2; x = 3
sang trái 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm số f ′(x)
Đại số và giải tích 12 8 L Trường PHTP THIÊN ĐÌNH HÀM SỐ VD-VDC như sau
thiên của hàm số f (x) như sau y x −∞ −2 1 2 +∞ y′ x + 0 − 0 + 0 − O −1 1 −1 0 0 −2 y −3 −∞ y(1) y −∞
Từ bảng biến thiên suy ra f (x) ⩽ 0,∀x ∈ R.
* Bước 3: Từ đồ thị hàm số f ′(x), ta thấy f ′(x) < 0
Ta có g′(x) = −2f ′(3 − x) · f (3 − x). khi x ∈ (−1;1). Xét
g′(x) < 0 ⇔ f ′(3 − x) · f (3 − x) > 0 ⇔ Chọn đáp án B □ ( f ′ " ( (3 − x) < 0 − 2 < 3 − x < 1 2 < x < 5 ⇔ ⇔ f (3 − x) < 0 3 − x > 2 x < 1.
CÂU 25. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm là hàm
Suy ra hàm số g(x) nghịch biến trên các khoảng
số f ′(x) trên R. Biết rằng hàm số y = f ′(x + 2) − 2 (−∞;1), (2;5).
có đồ thị như hình vẽ bên dưới. y Chọn đáp án C □ 2 −3 −1 1 3
CÂU 27. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị hàm số x O y = f ′(x) như hình bên. y −2 −1 1 4 x
Hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng nào? O
A. (−3; −1), (1; 3). B. (−1; 1), (3; 5).
C. (−∞; −2), (0; 2).
D. (−5; −3), (−1; 1). Lời giải.
Ta có f ′(x + 2) − 2 < −2, ∀x ∈ (−3;−1) ∪ (1;3) ⇔
Hàm số g(x) = f (|3 − x|) đồng biến trên khoảng
f ′(x + 2) < 0, ∀x ∈ (−3;−1) ∪ (1;3). nào trong các khoảng sau?
Đặt x∗ = x+2 suy ra f ′(x∗) < 0, ∀x∗ ∈ (−1;1)∪(3;5). A. (−∞; −1). B. (−1; 2). Vậy hàm số
f (x) đồng biến trên khoảng C. (2; 3). D. (4; 7). (−1;1),(3;5). Lời giải. Chọn đáp án B □ " − 1 < x < 1
Dựa vào đồ thị, suy ra f ′(x) > 0 ⇔ và x
CÂU 26. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị hàm số > 4 " y = f ′(x) như hình bên x < −1 f ′(x) < 0 ⇔ . y 1 < x < 4
Với x > 3 khi đó g(x) = f (x − 3) ⇒ g′(x) = f ′(x − 3) > x " " − 1 < x − 3 < 1 2 < x < 4 −2 O 1 2 0 ⇔ ⇔ x − 3 > 4 x > 7.
⇒ hàm số g(x) đồng biến trên các khoảng (3; 4), (7; +∞).
Với x < 3 khi đó g(x) = f (3− x) ⇒ g′(x) = −f ′(3− x) >
và f (−2) = f (2) = 0. Hàm số g(x) = [f (3 − x)]2 0 ⇔ f ′(3 − x) < 0 " "
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng 3 − x < −1 x > 4 (loại) ⇔ ⇔ sau? 1 < 3 − x < 4 − 1 < x < 2. A. (−2; −1). B. (1; 2).
⇒ hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (−1; 2). C. (2; 5). D. (5; +∞). Chọn đáp án B □ Lời giải.
Dựa vào đồ thị hàm số y = f ′(x), suy ra bảng biến
CÂU 28. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị hàm số 9
Đại số và giải tích 12 Trường PHTP THIÊN ĐÌNH L HÀM SỐ VD-VDC µ ¶ y = f ′(x) như hình bên. 1 C. ; +∞ . D. (−1; +∞). y 2 Lời giải. Ta có µ 1 1 ¶ −1 1 3 x g′(x) = (x + 1) p − p × O x2 + 2x + 3 x2 + 2x + 2 ³p p ´ × f ′ x2 + 2x + 3 − x2 + 2x + 2 . 1 1 ○ ³p ´ p − p < 0 với mọi x ∈ R. Hàm số g(x) = f
x2 + 2x + 2 nghịch biến trên x2 + 2x + 3 x2 + 2x + 2 (1)
khoảng nào trong các khoảng sau? p p p
A. ¡−∞; −1 − 2 2¢. B. (−∞; 1). ○ p p 0 < u = x2 + 2x + 3 − x2 + 2x + 2 = C. ¡1; 2 2 − 1¢. D. ¡2 2 − 1; +∞¢. 1 1 ⩽ p < 1 p p Lời giải. (x + 1)2 + 2 + (x + 1)2 + 1 2 + 1 x = −1 theo đồ thị f ′(x)
−−−−−−−−−−−→ f ′(u) > 0, ∀x ∈ R. (2)
Dựa vào đồ thị, suy ra f ′(x) = 0 ⇔ x = 1 . Ta có
Từ (1) và (2), suy ra dấu của g′(x) phụ thuộc vào x = 3
dấu của nhị thức x + 1 (ngược dấu) x + 1 ³p ´ g′(x) = p f ′ x2 + 2x + 2 ; Bảng biến thiên x2 + 2x + 2 x −∞ 1 +∞ x + 1 = 0 theo đồ thị f ′(x) g′(x) = 0 ⇔ ´
←−−−−−−−−−−→ g′(x) + 0 − f ′ ³px2 + 2x + 2 = 0 x + 1 = 0
x = −1 (nghiệm bội ba) p g(x) p
x2 + 2x + 2 = 1 ⇔ x = −1 − 2 2 p px2 +2x+2 = 3 x = −1 + 2 2. Chọn đáp án A □ Bảng xét dấu g′(x): p p x −∞
CÂU 30. Cho hàm số y −1 − 2 2 −1 −1 + 2 2 +∞
= f (x) có đạo hàm liên tục
trên R và hàm số y = f ′(x) có đồ thị như hình vẽ g′(x) − 0 + 0 − 0 + bên. y
Chú ý: Cách xét dấu g′(x) như sau: Ví dụ xét p
trên khoảng ¡−1;−1 + 2 2¢ ta chọn x = 0. Khi đó 4 1 p
g′(0) = p f ′ ¡ 2¢ < 0 vì dựa vào đồ thị f ′(x) ta 2 p p
thấy tại x = 2 ∈ (1;3) thì f ′ ¡ 2¢ < 0. Các nghiệm 2
của phương trình g′(x) = 0 là nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu. O x Chọn đáp án A □ −2 −1 1
CÂU 29. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị hàm số
Mệnh đề nào sau đây đúng? y = f ′(x) như hình bên.
A. Hàm số y = f (x) đạt cực đại tại điểm x = −1. y
B. Hàm số y = f (x) đạt cực tiểu tại điểm x = 1.
C. Hàm số y = f (x) đạt cực tiểu tại điểm x = 2 −2.
D. Hàm số y = f (x) đạt cực đại tại điểm x = −2. x Lời giải. O 1 2
Giá trị của hàm số y = f ′(x) đổi dấu từ âm sang ³p p ´ Hàm số dương khi qua x g(x) = f
x2 + 2x + 3 − x2 + 2x + 2 đồng = −2. Chọn đáp án C □
biến trên khoảng nào sau đây? µ 1 ¶
CÂU 31. Cho hàm số y = f (x) xác định trên R và A. (−∞; −1). B. −∞; . 2
có đồ thị hàm số y = f ′(x) là đường cong trong
Đại số và giải tích 12 10 L Trường PHTP THIÊN ĐÌNH HÀM SỐ VD-VDC hình bên.
y = f ′(x) cắt trục Ox tại mấy điểm mà thôi, không y
kể các điểm mà đồ thị y = f ′(x) tiếp xúc với trục 4
Ox (vì đạo hàm ko đổi dấu). Chọn đáp án B □ −2 2
CÂU 34. Hàm số f (x) có đạo hàm f ′(x) trên p O p x − 2 2
khoảng K. Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số f ′(x)
Mệnh đề nào dưới đây đúng? trên khoảng K. y
A. Hàm số y = f (x) đạt cực đại tại x = 2.
B. Hàm số y = f (x) đạt cực tiểu tại x = 0.
C. Hàm số y = f (x) có 3 cực trị. p x
D. Hàm số y = f (x) đạt cực đại tại x = 2. O −1 1 2 Lời giải.
Giá trị của hàm số y = f ′(x) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x = 2.
Hỏi hàm số f (x) có bao nhiêu điểm cực trị? Chọn đáp án A □ A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. Lời giải.
CÂU 32. Cho hàm số f (x) xác định trên R và có
Đồ thị hàm số f ′(x) cắt trục hoành tại điểm
đồ thị của hàm số f ′(x) như hình vẽ bên. x y = −1. Chọn đáp án B □ 2
CÂU 35. Cho hàm số y = f (x) xác định trên R và
có đồ thị hàm số y = f ′(x) là đường cong trong 1 hình bên. y −3 −2 −1 1 2 x O
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? x O
A. f (x) đạt cực tiểu tại x = 0. −1 1 2
B. f (x) đạt cực tiểu tại x = −2.
C. f (x) đạt cực đại tại x = −2.
D. Giá trị cực tiểu của f (x) nhỏ hơn giá trị cực đại của f (x).
Mệnh đề nào dưới đây đúng? Lời giải.
A. Hàm số y = f (x) đạt cực tiểu tại x = 2 và x Giá trị hàm số = 0.
y = f ′(x) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x = −2.
B. Hàm số y = f (x) có 4 cực trị. Chọn đáp án B □
C. Hàm số y = f (x) đạt cực tiểu tại x = −1.
D. Hàm số y = f (x) đạt cực đại tại x = −1.
CÂU 33. Hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng K, Lời giải.
biết đồ thị của hàm số y = f ′(x) trên K như hình
Giá trị của hàm số y = f ′(x) đổi dấu từ âm sang vẽ bên. y dương khi qua x = −1. Chọn đáp án C □
CÂU 36. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục
trên R. Biết đồ thị của hàm số f ′(x) như hình vẽ. x O −2 −1 1 2 y
Tìm số cực trị của hàm số y = f (x) trên K. A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. x O 1 2 3 Lời giải.
Đối với dạng này ta chỉ cần tìm xem đồ thị 11
Đại số và giải tích 12 Trường PHTP THIÊN ĐÌNH L HÀM SỐ VD-VDC
Tìm điểm cực tiểu của hàm số y = f (x) trên đoạn
Khi đó trên K, hàm số y = f (x) có bao nhiêu điểm [0; 3] ? cực trị? A. x = 0 và x = 2. B. x = 1 và x = 3. A. 1. B. 4. C. 3. D. 2. C. x = 2. D. x = 0. Lời giải. Lời giải.
Đồ thị hàm số f ′(x) cắt trục hoành tại 1 điểm x0
Đồ thị hàm số f ′(x) có 4 điểm chung với trục
và đổi đấu từ âm sang dương khi qua x0.
hoành, nhưng cắt trục hoành tại 3 điểm trong Chọn đáp án A đó □
f ′(x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = 2. Chọn đáp án C □
CÂU 39. Cho hàm số y = f (x). Hàm số y = f ′(x) có
CÂU 37. Đường cong trong hình vẽ bên dưới là
đồ thị trên một khoảng K như hình vẽ bên.
đồ thị hàm số y = f ′(x). y y = f ′(x) y x O O x3 x x1 x2 x4
Số điểm cực trị của hàm số y = f (x) là A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Lời giải. Chọn khẳng định đúng?
Ta thấy đồ thị hàm số f ′(x) có 4 điểm chung với
A. Hàm số y = f (x) có 2 cực đại và 2 cực tiểu.
trục hoành x1;0;x2; x3 nhưng chỉ cắt thực sự tại B. Hàm số y hai điểm là 0 và x
= f (x) có 3 cực đại và 1 cực tiểu. 3. Bảng biến thiên
C. Hàm số y = f (x) có 1 cực đại và 2 cực tiểu. x −∞ x D. Hàm số y 1 0 x2 x3 +∞
= f (x) có 2 cực đại và 1 cực tiểu. Lời giải. y′ + 0 + 0 − 0 − 0 +
Qua x3 thì y = f ′(x) không đổi dấu, nên ta coi f (0) như không xét x3. y
Dựa vào đồ thị của hàm số y = f ′(x), ta có bảng xét dấu: f (x3 x ) x −∞ x1 x2 x4 +∞
Vậy hàm số y = f (x) có 2 điểm cực trị. y′ − 0 + 0 − 0 +
Cách trắc nghiệm. Ta thấy đồ thị của f ′(x) có 4
Như vậy, trên K, hàm số y = f (x) có điểm cực đại
điểm chung với trục hoành nhưng cắt và băng
là x2 và điểm cực tiểu là x1, x4.
qua luôn trục hoành chỉ có 2 điểm nên có hai Chọn đáp án C cực trị. □
Cắt và băng qua trục hoành từ trên xuống thì
CÂU 40. Cho hàm số y đó là điểm cực đại.
= f (x). Biết f (x) có đạo hàm f ′(x) và hàm số y
Cắt và băng qua trục hoành từ dưới lên thì đó là
= f ′(x) có đồ thị như hình vẽ. điểm cực tiểu. y Chọn đáp án A □
CÂU 38. Cho hàm số f (x) có đồ thị f ′(x) của nó 4 x
trên khoảng K như hình vẽ. 5 y O 1 2 3
Hàm số g(x) = f (x − 1) đạt cực đại tại điểm nào x O −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 dưới đây? A. x = 2. B. x = 4. C. x = 3. D. x = 1. Lời giải.
Đại số và giải tích 12 12 L Trường PHTP THIÊN ĐÌNH HÀM SỐ VD-VDC Cách 1: Ta có
g′(x) = f ′(x + 1) vẫn cắt trục hoành tại hai điểm.
Dựa vào đồ thị ta có bảng xét dấu của g′(x) = g′(x) = f ′(x − 1) = 0 f ′(x + 1): x − 1 = 1 x −∞ x1 0 +∞ ⇔ x − 1 = 3 f ′(x + 1) − 0 + 0 + x − 1 = 5
Vậy hàm số g(x) = f (x + 1) có 1 cực trị. x = 2 Chọn đáp án B □ ⇔ x = 4
CÂU 42. Cho hàm số f (x) có đồ thị f ′(x) của nó x = 6.
trên khoảng K như hình vẽ. g′(x) = f ′(x − 1) > 0 y y = f ′(x) "1 < x − 1 < 3 ⇔ x − 1 > 5 "2 < x < 4 ⇔ x > 6. x O Ta chọn đáp án B.
Cách 2: Đồ thị hàm số g′(x) = f ′(x − 1) là phép Khi đó trên K, hàm số y
tịnh tiến đồ thị hàm số y = f (x−2018) có bao nhiêu
= f ′(x) theo phương trục điểm cực trị?
hoành sang phải 1 đơn vị. Hình vẽ A. 1. B. 4. C. 3. D. 2. y y = f ′(x − 1) Lời giải.
Đồ thị hàm số f ′(x − 2018) là phép tịnh tiến của
đồ thị hàm số f ′(x) theo phương trục hoành nên
dựa vào đồ thị ta có bảng xét dấu của f ′(x−2018): 4 x x −∞ x1 x2 x3 +∞ O 1 2 3 5 6 f ′(x − 2018) − 0 + 0 + 0 +
Vậy hàm số g(x) = f (x − 2018) có 1 cực trị. Chọn đáp án A □
Đồ thị hàm số g′(x) = f ′(x − 1) cắt trục hoành tại
các điểm có hoành độ x
CÂU 43. Cho hàm số f (x) xác định trên R và có
= 2; x = 4; x = 6 và giá trị hàm số
đồ thị của hàm số f ′(x) như hình vẽ.
g′(x) đổi dấu từ dương sang âm khi qua y điểm x = 4. Chọn đáp án B □ y = f ′(x)
CÂU 41. Hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng K,
biết đồ thị của hàm số y = f ′(x) trên K như hình x vẽ. y O y = f ′(x)
Hàm số f (x + 2018) có mấy điểm cực trị? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. x Lời giải. −1 O
Đồ thị hàm số f ′(x + 2018) là phép tịnh tiến của
đồ thị hàm số f ′(x) theo phương trục hoành nên
Tìm số cực trị của hàm số g(x) = f (x + 1) trên K
đồ thị hàm số f ′(x + 2018) vẫn cắt trục hoành tại ?
các điểm như đồ thị hàm f ′(x). Dựa vào đồ thị ta A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
có bảng xét dấu của f ′(x − 2018): Lời giải. x −∞ x1 x2 x3 x4 +∞
Ta có g′(x) = f ′(x + 1) có đồ thị là phép tịnh tiến f ′(x + 2018) − 0 + 0 − 0 + 0 +
của đồ thị hàm số y = f ′(x) theo phương trục
hoành sang trái 1 đơn vị. Khi đó đồ thị hàm số
Vậy hàm số g(x) = f (x − 2018) có 3 cực trị. 13
Đại số và giải tích 12 Trường PHTP THIÊN ĐÌNH L HÀM SỐ VD-VDC Chọn đáp án C □ vẽ bên. y
CÂU 44. Cho hàm số f (x) xác định trên R và có 2
đồ thị của hàm số f ′(x) như hình vẽ. 1 O y x −1 1 2 2 x −1 −1 O −2
Đặt g(x) = f (x) + x. Tìm số cực trị của hàm số g(x)? −4 y = f ′(x) A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Hàm số y = g(x) = f (x)+4x có bao nhiêu điểm cực trị? Lời giải. A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. y 2 Lời giải. 1
Số cực trị của hàm g(x) bằng số nghiệm bội lẻ O của phương trình x −1 1 2 −1
g′(x) = f ′(x) + 4 = 0 ⇔ f ′(x) = −4 −2
Dựa vào đồ thị của hàm f ′(x) ta thấy phương
trình trên có một nghiệm đơn. Ta có g′(x) = f ′(x) + 1. Chọn đáp án A □
Đồ thị của hàm số g′(x) là phép tịnh tiến đồ thị
của hàm số y = f ′(x) theo phương O y lên trên 1
CÂU 45. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục
đơn vị, khi đó đồ thị hàm số g′(x) cắt trục hoành
trên R. Đồ thị hàm số y = f ′(x) như hình vẽ bên.
tại hai điểm phân biệt. y 2 Chọn đáp án B □ 1 −2 −1 1 2 x O −1
CÂU 47. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên và −2
đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm f ′ (x).
Số điểm cực trị của hàm số y = f (x) + 2x là y A. 4. B. 1. C. 3. D. 2. −1 O 1 2 Lời giải. x
Xét hàm số g(x) = f (x) + 2x. Ta có g′(x) = f ′(x) + 2. −1
Từ đồ thị hàm số f ′(x) ta thấy: "x = −1 Ë
g′(x) = 0 ⇔ f ′(x) = −2 ⇔ x =α (α>0).
Hàm số g(x) = f (x) + x đạt cực tiểu tại điểm "x < α Ë
g′(x) > 0 ⇔ f ′(x) > −2 ⇔ x ̸=−1. A. x = 0. Ë g′(x) B. x
< 0 ⇔ f ′(x) < −2 ⇔ x > α. = 1. Từ đó suy ra hàm số y C. x
= f (x) + 2x liên tục và có = 2.
đạo hàm chỉ đổi dấu khi qua giá trị x
D. Không có điểm cực tiểu. = α.
Từ đó ta có bảng xét dấu g′(x): Lời giải. x −∞ −1 α +∞ g′(x) + 0 + 0 −
Vậy hàm số đã cho có đúng một cực trị. Chọn đáp án B □
CÂU 46. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục
○ Cách 1: g′(x) = f ′(x) + 1. Tịnh tiến đồ thị
trên R, có đồ thị của hàm số y = f ′(x) như hình
hàm số f ′(x) lên trên 1 đơn vị ta được đồ
Đại số và giải tích 12 14 L Trường PHTP THIÊN ĐÌNH HÀM SỐ VD-VDC thị hàm số g′(x).
đồ thị hình bên là đồ thị của đạo hàm f ′(x). y y 1 −1 1 2 3 x O−1 −1 O 1 2 −2 x −3 −4 −1
Hỏi hàm số g(x) = f (x)+3x có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 7. Lời giải.
Từ đó ta có bảng biến thiên:
Ta có g′(x) = f ′(x)+3; g′(x) = 0 ⇔ f ′(x) = −3. Suy ra x −∞ 0 1 2 +∞
số nghiệm của phương trình g′(x) = 0 chính là số y′ − 0 − 0 + 0 −
giao điểm giữa đồ thị của hàm số f ′(x) và đường thẳng y = −3. y y 1 −1 1 2 3 x ○ O
Cách 2: Ta có g′(x) = f ′(x) + 1; g′(x) = 0 ⇔
f ′(x) = −1. Suy ra số nghiệm của phương −1
trình g′(x) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ
thị của hàm số f ′(x) và đường thẳng y = −1. −2 y −3 y = −3 −1 O 1 2 −4 x x = −1 y = −1 −1 x = 0
Dựa vào đồ thị ta suy ra g′(x) = 0 ⇔ . Ta x = 1 x − 2
thấy x = −1 ,x = 0, x = 1 là các nghiệm đơn và x = 2 x = 0
là nghiệm kép nên đồ thị hàm số g(x) = f (x) + 3x có 3 điểm cực trị.
Dựa vào đồ thị ta suy ra g′(x) = 0 ⇔ x = 1. Chọn đáp án B □ x = 2
Lập bảng biến thiên cho hàm g(x) ta thấy
CÂU 49. Cho hàm số f (x) xác định trên R và có
g(x) đạt cực tiểu tại x = 1.
đồ thị f ′(x) như hình vẽ bên. y 2 1 Chú ý x O −1 1 2 −1
Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên −2
khoảng (−∞;0) ta thấy đồ thị hàm f ′(x) nằm phía
Hàm số g(x) = f (x) − x đạt cực đại tại
dưới đường y = −1 nên g′(x) mang dấu “- ”.
A. x = −1. B. x = 0. C. x = 1. D. x = 2. Lời giải. Chọn đáp án B □
○ Cách 1: Ta có g′(x) = f ′(x) − 1; g′(x) = 0 ⇔
f ′(x) = 1. Suy ra số nghiệm của phương
CÂU 48. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên và
trình g′(x) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ 15
Đại số và giải tích 12 Trường PHTP THIÊN ĐÌNH L HÀM SỐ VD-VDC
thị của hàm số f ′(x) và đường thẳng y = 1.
đồ thị của hàm số f ′(x) như hình vẽ. y y 5 2 4 3 y = 1 1 2 1 x x O −3 −2 −1 1 O −1 −1 1 2 Hàm số y −1
= g(x) = f (x)−3x có bao nhiêu điểm cực trị? −2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. x = −1 y 5
Dựa vào đồ thị ta suy ra g′(x) = 0 ⇔ x = 1 . 4 x = 2 3 2 Ta có bảng biến thiên: 1 x −∞ −1 1 2 +∞ x y′ + 0 − 0 − 0 + O −3 −2 −1 1 −1 −2 y −3
Ta có y′ = g′(x) = f ′(x) − 3 có đồ thị là phép tịnh
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) đạt
tiến đồ thị của hàm số f ′(x) theo phương O y cực đại tại x = −1.
xuống dưới 3 đơn vị. Khi đó đồ thị hàm số g′(x)
cắt trục hoành tại 3 điểm. Chú ý Chọn đáp án C □
Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ
trên khoảng (−∞;−1) ta thấy hàm số f ′(x)
CÂU 51. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục
nằm phía trên đường thẳng y = 1 nên g′(x)
trên R .Đồ thị hàm số y = f ′(x) như hình vẽ bên. mang dấu “+ ”. y 4 3
○ Cách 2: Ta có g′(x) = f ′(x) − 1. Đồ thị của 2
hàm số g′(x) là phép tịnh tiến đồ thị của 1
hàm số f ′(x) theo phương O y xuống dưới 1 x O −2 −1 1 2 đơn vị. −1 y
Hỏi số điểm cực trị của hàm số g(x) = f (x) − 5x 2 là 1 A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. x Lời giải. O −1 1 2 −1
Ta có g′(x) = f ′(x) − 5. Khi đó đồ thị hàm số
y′ = f ′(x) dịch chuyển theo phương trục O y xuống −2
dưới 5 đơn vị ta được đồ thị hàm số g′(x).
Khi đó: g′(x) = 0 cắt trục hoành tại 1 điểm duy
Ta thấy giá trị hàm số g′(x) đổi dấu từ
nhất.Vậy số điểm cực trị là 1.
dương sang âm khi qua điểm x = −1. Chọn đáp án D □ □
CÂU 50. Cho hàm số f (x) xác định trên R và có
CÂU 52. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R.
Đại số và giải tích 12 16 L Trường PHTP THIÊN ĐÌNH HÀM SỐ VD-VDC
Hàm số y = f ′(x) có đồ thị như hình bên.
Đồ thị hàm số y = f ′(x) như hình vẽ bên. y y 5 1 4 −1 1 2 3 x O 2 −1 1 −2 x1 x2 x3 x O −1 2017 − 2018x Hàm số y = g(x) = f (x) + có bao 2017
Hàm số g(x) = 2f (x)+x2 đạt cực tiểu tại điểm nhiêu cực trị?
A. x = −1. B. x = 0. C. x = 1. D. x = 2. A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Lời giải. y y 5 1 4 −1 1 2 3 x 2 O 1 −1 x1 x2 x3 x O −1 −2 2018
Ta có y′ = g′(x) = f ′(x) − . Suy ra đồ thị của 2017
hàm số g′(x) là phép tịnh tiến đồ thị hàm số 2018
y = f ′(x) theo phương O y xuống dưới đơn
Ta có g′(x) = 2f ′(x) + 2x; g′(x) = 0 ⇔ f ′(x) = −x. 2017 vị.
Suy ra số nghiệm của phương trình g′(x) = 0 2018
chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số Ta có 1 <
< 2 và dựa vào đồ thị của hàm số 2017
f ′(x) và đường thẳng y = −x.
y = f ′(x), ta suy ra đồ thị của hàm số g′(x) cắt x = −1 trục hoành tại 4 điểm. x = 0
Dựa vào đồ thị ta suy ra g′(x) = 0 ⇔ Chọn đáp án D □ x = 1 x = 2.
CÂU 53. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R.
Đồ thị hàm số y = f ′(x) như hình vẽ bên. Bảng biến thiên y x −∞ −1 0 1 2 +∞ 4 g′ + 0 − 0 + 0 + 0 + 2 g x −1 O 1
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) đạt cực
Số điểm cực trị của hàm số g(x) = f (x − 2017) − tiểu tại x = 0. 2018x + 2019 là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Chú ý Lời giải.
Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên
Ta có g′(x) = f ′(x − 2017) − 2018; g′(x) = 0 ⇔ f ′(x −
khoảng (−∞;−1) ta thấy đồ thị hàm f ′(x) nằm 2017) = 2018.
phía trên đường y = −x nên g′(x) mang dấu “+”.
Dựa vào đồ thị hàm số y = f ′(x) suy ra phương
trình f ′(x − 2017) = 2018 có 1 nghiệm đơn duy
nhất. Suy ra hàm số g(x) có 1 điểm cực trị. Chọn đáp án B □ Chọn đáp án A □
CÂU 54. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R.
CÂU 55. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) 17
Đại số và giải tích 12 Trường PHTP THIÊN ĐÌNH L HÀM SỐ VD-VDC như hình bên. A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. y Lời giải. 1 y x O 1 1 1
Số điểm cực tiểu của hàm số g(x) = f (x) − x3 9 x1 x2 x3 x O 1 là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 1
Ta có: g′(x) = f ′(x)− x2. Khi đó g′(x) = 0 ⇔ f ′(x) = Lời giải. 3 1 y x2. 3 1
Vẽ đồ thị hàm số y = x2 trên mặt phẳng toạ độ 3 đã có đồ thị f ′(x). 1 x1 x2 x3 x O 1
Dựa vào hình vẽ trên ta thấy phương trình 1
f ′(x) = x2 có ba nghiệm đơn x 1 1 < x2 < x3. 3
Ta có: g′(x) = f ′(x)− x2. Khi đó g′(x) = 0 ⇔ f ′(x) = 3
Ta lập được bảng xét dấu của g′ như sau 1 x2. 3 x −∞ x1 x2 x3 +∞ 1
Vẽ đồ thị hàm số y = x2 trên mặt phẳng toạ độ − 3 g′ 0 + 0 − 0 + đã có đồ thị f ′(x).
Dựa vào hình vẽ trên ta thấy phương trình g 1
f ′(x) = x2 có ba nghiệm đơn x1 < x2 < x3. 3
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy dấu của g′ thay
Ta lập được bảng xét dấu của g′ như sau
đổi từ “−” sang “+” hai lần.
Vậy có hai điểm cực tiểu. x −∞ x1 x2 x3 +∞ g′ − 0 + 0 − 0 + Chọn đáp án B □ g
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy dấu của g′ thay
đổi từ “−” sang “+” hai lần.
CÂU 57. Cho hàm số y
Vậy có hai điểm cực tiểu.
= f (x) có đạo hàm trên R.
Đồ thị hàm số y = f ′(x) như hình vẽ bên. Chọn đáp án B □ y
CÂU 56. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) 1 như hình bên. −1 y x O 1 2 1 −2 x3 x Hàm số g(x) = f (x) −
+ x2 − x + 2 đạt cực đại O 1 3 tại 1
Số điểm cực tiểu của hàm số g(x) = f (x) − x3 9 là
A. x = −1. B. x = 0. C. x = 1. D. x = 2.
Đại số và giải tích 12 18 L Trường PHTP THIÊN ĐÌNH HÀM SỐ VD-VDC Lời giải.
Ta có g′(x) = 2x f ′(x2 − 3); " y x = 0 (P)
g′(x) = 0 ⇔ f ′(x2−3)=0 1 Theo đồ thị f ′(x) ta có: f ′(x) = 0 ⇔ " −1 x = −2 x O 1 2 x = 1 (nghiệm kép) x = 0 Do đó: g′(x) = 0 ⇔ x2 − 3 = −2 ⇔ −2 x2 − 3 = 1 (nghiệm kép)
Ta có g′(x) = f ′(x) − x2 + 2x − 1; g′(x) = 0 ⇔ f ′(x) = x = 0 (x − 1)2. x = ±1
Suy ra số nghiệm của phương trình g′(x) = 0 x = ±2 (nghiệm kép).
chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số Bảng biến thiên
f ′(x) và parapol (P) : y = (x − 1)2. x x = 0 −∞ −2 −1 0 1 2 +∞
Dựa vào đồ thị ta suy ra g′(x) = 0 ⇔ x = 1. g′ − 0 − 0 + 0 − 0 + 0 + x = 2 g Bảng biến thiên x −∞ 0 1 2 +∞
Dựa vào bảng biến thiên kết luận số điểm cực g′ − 0 + 0 − 0 + trị là 3. g Chú ý
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) đạt cực đại
Dấu của g′(x) được xác định như sau: Ví dụ xét tại x = 1. trên khoảng (2; +∞)
x ∈ (2;+∞) → x > 0. (1) Chú ý theo đồ thị f ′(x)
x ∈ (2;+∞) → x2 > 4 −
→ x2 − 3 > 1 −−−−−−−−−−−→ f ′(x2 − 3) > 0. (2)
Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên
Từ (1) và (2), suy ra g′(x) = 2x f ′(x2 − 3) > 0 trên
khoảng (−∞;0) ta thấy đồ thị hàm f ′(x) nằm phía
khoảng (2; +∞) nên g′(x) mang dấu “+”.
trên đường y = (x − 1)2 nên g′(x) mang dấu “−”.
Nhận thấy các nghiệm x = ±1 và x = 0 là các
Nhận thấy các nghiệm x = 0; x = 1; x = 2 là các
nghiệm bội lẻ nên g′(x) qua nghiệm đổi dấu; các
nghiệm đơn nên qua nghiệm g′(x) đổi dấu.
nghiệm x = ±2 là nghiệm bội chẵn (lí do dựa vào
đồ thị ta thấy f ′(x) tiếp xúc với trục hoành tại
điểm có hoành độ bằng 1 ) nên qua nghiệm không Chọn đáp án C □ đổi dấu.
CÂU 58. Cho hàm số y = f (x) và đồ thị hình bên
là đồ thị của đạo hàm f ′(x). Chọn đáp án B □ y 4
CÂU 59. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R
và có bảng biến thiên của đạo hàm f ′(x) như sau: x −∞ −2 1 3 +∞ g′ − 0 + 0 + 0 − x −2 −1 O 1
Hỏi hàm số g(x) = f (x2 − 2x) có bao nhiêu điểm
Tìm số điểm cực trị của hàm số g(x) = f (x2 − cực tiểu? 3). A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Lời giải. Lời giải.
g′(x) = (2x − 2)f ′(x2 − 2x); 19
Đại số và giải tích 12 Trường PHTP THIÊN ĐÌNH L HÀM SỐ VD-VDC "2x − 2 = 0
B. Hàm số có năm cực trị.
g′(x) = 0 ⇔ f ′(x2−2x)=0
C. Hàm số có bốn cực trị.
Dựa vào bảng xét dấu của hàm f ′(x) = 0 ⇔
D. Hàm số có ba cực trị. x = −2 Lời giải. x = 3
Ta có: g′(x) = (2x − 2)f ′(x2 − 2x − 1). x = 1 (nghiệm kép). x = 1 x = 1 Nhận xét: g′(x) = 0 ⇔ x2 − 2x − 1 = −1 ⇔ x2 − 2x = −2 Do đó: g′(x) = 0 ⇔ ⇔ x2 − 2x − 1 = 2 x2 − 2x = 3 x = 0 x2 − 2x = 1 (nghiệm kép) x = ±1 x = 1 x = 2; x = 3. x = −1 Ta có bảng biến thiên: x = 3 x −1 0 1 2 3 p x = 1 ± 2 (nghiệm kép). y′ − 0 + 0 + 0 − 0 − 0 + Bảng biến thiên p p x −∞ −1 1 − 2 1 1 + 2 3 +∞ y g′ + 0 − 0 − 0 + 0 + 0 − g
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có đúng ba cực trị.
Dựa vào bảng biến thiên kết luận hàm số g(x) Chọn đáp án D □ một điểm cực tiểu. Chú ý
CÂU 61. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R
và đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm
Dấu của g′(x) được xác định như sau: Ví dụ xét f ′(x). trên khoảng y (3; +∞)
x ∈ (3;+∞) → 2x − 2 > 0. (1) theo BBT của f ′(x)
x ∈ (3;+∞) → x2 − 2x > 3 −−−−−−−−−−−−−→ f ′(x2 − x 2x) < 0. (2) O
Từ (1) và (2), suy ra g′(x) = (2x−2)f ′(x2 −2x) < 0
trên khoảng (3; +∞) nên g′(x) mang dấu “−”.
Nhận thấy các nghiệm x = ±1 và x = 3 là các
Hàm số g(x) = f (|x|)+2018 có bao nhiêu điểm cực
nghiệm bội lẻ nên g′(x) qua nghiệm đổi dấu. trị? A. 2. B. 3. C. 5. D. 7. Chọn đáp án A □ Lời giải.
CÂU 60. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x)
Từ đồ thị hàm số f ′(x) ta thấy f ′(x) cắt trục
trên R và đồ thị của hàm số f ′(x) như hình vẽ.
hoành tại 2 điểm có hoành độ dương (và 1 điểm y có hoành độ âm) −1 1 2 x −
→ f (x) có 2 điểm cực trị dương O −
→ f (|x|) có 5 điểm cực trị −2 −
→ f (|x|)+2018 có 5 điểm cực trị với mọi m (vì tịnh −3
tiến lên trên hay xuống dưới không ảnh hưởng −4
đến số điểm cực trị của hàm số). Chọn đáp án C □
Xét hàm số g(x) = f (x2 −2x −1). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số có sáu cực trị.
CÂU 62. Cho hàm số y = f (x) và đồ thị hình bên
Đại số và giải tích 12 20 L Trường PHTP THIÊN ĐÌNH HÀM SỐ VD-VDC
là đồ thị của đạo hàm f ′(x).
đồ thị của hàm số f ′(x) như hình vẽ bên. y y 2 1 −1 1 2 x O x O 1 2 3
Hỏi đồ thị của hàm số g(x) = |2f (x)−(x−1)2| có tối
Khẳng định nào dưới đây đúng?
đa bao nhiêu điểm cực trị?
A. Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng A. 9. B. 11. C. 8. D. 7. (−∞;2).
B. Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng Lời giải. (−∞;−1). y
C. Hàm số y = f (x) có ba điểm cực trị.
D. Hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng 2 (0; 1). 1 Lời giải. x O 1 2 3
Đồ thị f ′(x) nằm phía trên trục hoành nên hàm
số đồng biến trên khoảng (−1;1), (2;+∞).
Đặt h(x) = 2f (x) − (x − 1)2 ⇒ h′(x) = 2f ′(x) − 2(x − 1).
Đồ thị f ′(x) nằm phía dưới trục hoành nên hàm
Ta vẽ thêm đường thẳng y = x − 1. Ta có h′(x) =
số nghịch biến trên khoảng (−∞;−1), (1;2). x = 0
Đồ thị hàm số f ′(x) cắt trục hoành tại 3 điểm. x Chọn đáp án C □ = 1
0 ⇔ f ′(x) = x − 1 ⇔ x = 2
CÂU 64. Cho hàm số y x = 3
= f (x). Đồ thị của hàm số x y = a (a ∈ (1; 2)) . = f ′(x) như hình bên. y
Theo đồ thị h′(x) > 0 ⇔ f ′(x) > x − 1 ⇔ x ∈ (0;1) ∪ (a; 2) ∪ (3;+∞). 1
Lập bảng biến thiên của hàm số h(x). x −∞ 0 1 a 2 3 +∞ x −1 O 1 2 −1 h′(x) − 0 + 0 − 0 + 0 − 0 +
Đặt g(x) = f (x)−x. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. g(−1) < g(1) < g(2).
B. g(2) < g(1) < g(−1). h(x)
C. g(2) < g(−1) < g(1).
D. g(1) < g(−1) < g(2).
Đồ thị hàm số g(x) có nhiều điểm cực trị nhất Lời giải.
khi h(x) có nhiều giao điểm với trục hoành nhất. y
Vậy đồ thị hàm số h(x) cắt trục hoành tại nhiều
nhất 6 điểm, suy ra đồ thị hàm số g(x) có tối đa 1 11 điểm cực trị. x −1 O 1 2 Chọn đáp án B □ −1
Ta có: g′(x) = f ′(x) − 1; g′(x) = 0 ⇔ f ′(x) = 1.
Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng y = 1 cắt đồ
CÂU 63. Cho hàm số f (x) xác định trên R và có
thị hàm số y = f ′(x) tại 3 điểm là x = −1; x = 1 và 21
Đại số và giải tích 12 Trường PHTP THIÊN ĐÌNH L HÀM SỐ VD-VDC x = 2 Bảng xét dấu
x = 2. Vậy g′(x) = 0 ⇔ x = 1 x −∞ −1 1 3 +∞ x = −1. g′(x) − 0 + 0 − 0 + Bảng biến thiên
Vậy hàm số y = g(x) đồng biến trên các khoảng x −∞ −1 1 2 +∞(−1; 1). Chọn đáp án C □ g′(x) + 0 − 0 − 0 +
CÂU 66. Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục g(− ( 1) −
+∞trên R và có f (−2) < 0 và đồ thị hàm số f ′(x) như hình vẽ bên. g(x) g(1) y −∞ g(2)
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: g(2) < g(1) < g(−1). x −2 O 2 Chọn đáp án B □
CÂU 65. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R.
Đồ thị của hàm số y = f ′(x) như hình vẽ. y
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? 2
A. Hàm số y = ¯¯ f ¡1 − x2018¢¯¯ nghịch biến trên khoảng (−∞;−2). −1
B. Hàm số y = ¯¯ f ¡1 − x2018¢¯¯ có hai cực tiểu. x O 1 3
C. Hàm số y = ¯¯ f ¡1 − x2018¢¯¯ có hai cực đại và một cực tiểu. −2
D. Hàm số y = ¯¯ f ¡1 − x2018¢¯¯ đồng biến trên khoảng (2;
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số g(x) +∞). =
2 f (x) − x2 + 2x + 2017. Mệnh đề nào dưới đây Lời giải. đúng?
Từ đồ thị của f ′(x) ta có bảng biến thiên sau:
A. Hàm số g(x) nghịch biến trên (1; 3). x −∞ −2 1 2 +∞
B. Hàm số g(x) có 2 điểm cực trị. f ′(x) + 0 − 0 +
C. Hàm số g(x) đồng biến trên (−1; 1). f (−2) − +∞
D. Hàm số g(x) nghịch biến trên (3; +∞). f (x) Lời giải. −∞ f (2) y
Từ giả thiết f (−2) < 0 và 1 − x2018 ⩽ 1 ⇒ 2
f ¡1 − x2018¢ < 0 với mọi x. p p ³ ´ f ′ 2018 − 3; 2018 3
t (t) < 0 khi t ∈ (−2; 1) ⇔ x ∈ Đặt t = 1−x2018, ta có −1 ³ p p 2018 ´ ³ 2018 ´ f ′ −∞; − 3 ∪ 3; +∞ . x
t (t) > 0 khi t ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞) ⇔ x ∈ O 1 3 Đặt
g(x) = ¯¯f ¡1 − x2018¢¯¯, ta có g′(x) = 2018 · x2017 · f ′(t) t · f (t) − −2 2p f 2(t)
Ta có g′(x) = 2f ′(x) − 2x + 2 = 2[f ′(x) − (x − 1)].
Do đó, ta có bảng biến thiên của y = g(x) như
Dựa vào hình vẽ ta thấy đường thẳng y = sau: p p x x
− 1 cắt đồ thị hàm số y = f ′(x) tại 3 điểm: −∞ − 2018 3 0 2018 3 +∞ (−1;−2),(1;0),(3;2). g′(x) − 0 + 0 − 0 + Dựa vào đồ thị ta có +∞ +∞ x = −1 g(x)
g′(x) = 0 ⇔ 2[f ′(x) − (x − 1)] = 0 ⇔ x = 1 x = 3.
Đại số và giải tích 12 22 L Trường PHTP THIÊN ĐÌNH HÀM SỐ VD-VDC
Từ bảng biến thiên, ta có “hàm số y = ¯ y
¯ f ¡1 − x2018¢¯¯ có hai cực đại và một cực tiểu”. Chọn đáp án C □ 2 ³ x ´ y = f 2
CÂU 67. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục y = f (x)
trên [−2;2], có đồ thị của hàm số y = f ′(x) như 1 2 hình bên. y x O 2 x −2 −1 O 1 −2 y 3 3 ³ x ´ y = f
Tìm giá trị x0 để hàm số y = f (x) đạt giá trị lớn 2 2 2 nhất trên [−2;2]. A. x0 = 2. B. x0 = −1. y = f (x) C. x0 = −2. D. x0 = 1. 1 2 Lời giải. x O "x = −1 (nghiệm kép) ³ x ´
Từ đồ thị ta có f ′(x) = 0 ⇔ . y = f x = 1 2 −2 Bảng biến thiên: x −2 −1 1 2
Vậy M = 3, m = 0 ⇒ M + m = 3.3 ³x´ y′ + 0 + 0 − Cách khác: Ta có g′(x) = f ′ , g′(x) = 0 ⇔ 4 2 " f (1) ³ x ´ x = 0 f ′ = 0 ⇔
. Từ đó lập bảng biến thiên của y 2 x = 4 hàm số g(x).
Từ bảng biến thiên, ta có Chọn đáp án A x □ 0 = 1. Chọn đáp án D □
CÂU 69. Người ta khảo sát gia tốc a(t) của một
vật thể chuyển động (t là khoảng thời gian tính
CÂU 68. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình
bằng giây từ lúc vật thể chuyển động) từ giây vẽ. y
thứ nhất đến giây thứ 3 và ghi nhận được a(t) là 2
một hàm số liên tục có đồ thị như hình bên dưới. y 6 1 2 x O 3 −2 2 3 x
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị O 11,5 3 ³ x ´
nhỏ nhất của hàm số y = f trên đoạn [0; 2]. 2 2 Khi đó M + m là −6 A. 3. B. 1. C. 2. D. 0.
Hỏi trong thời gian từ giây thứ nhất đến giây Lời giải.
thứ 3 được khảo sát đó, thời điểm nào vật thể có
Cách 1: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị: vận tốc lớn nhất? ³ x ´
Ta suy ra đồ thị hàm số y = 3f từ đồ thị hàm 2 A. giây thứ 2. B. giây thứ nhất.
số y = f (x) bằng cách thực hiện phép dãn theo C. giây thứ 1,5. D. giây thứ 3.
trục hoành với hệ số dãn 2. Sau đó thực hiện Lời giải. 3
phép dãn theo trục tung với hệ số dãn . Phương pháp: a(t) 2
= v′(t). Từ đồ thị ta có: a(t) = 23
Đại số và giải tích 12 Trường PHTP THIÊN ĐÌNH L HÀM SỐ VD-VDC 0 ⇒ v′(t) = 0 ⇔ t = 2. [0; 5]? t 1 1,5 2 3
A. m = f (0), M = f (5).
B. m = f (2), M = f (0).
C. m = f (1), M = f (5).
D. m = f (2), M = f (5). a(t) = v′(t) + + 0 − Lời giải. v(2) x 0 2 3 5 v(t) f ′(x) − v(1,5) 0 + f (0) f (5) v(1) v(3) f (x) f (3) Chọn đáp án A □ f (2)
CÂU 70. Người ta khảo sát gia tốc a(t) của một
vật thể chuyển động (t là khoảng thời gian tính
min f (x) = f (2) và f (3) > f (2) [0;5]
bằng giây từ lúc vật thể chuyển động) từ giây
Mà f (0) + f (3) = f (2) + f (5) ⇒ f (0) − f (5) = f (2) −
thứ nhất đến giây thứ 10 và ghi nhận được a(t)
f (3) < 0 ⇒ f (0) < f (5).
là một hàm số liên tục có đồ thị như hình bên Chọn đáp án D dưới. □ a(t) 1
CÂU 72. Cho hàm số f (x) có đạo hàm là f ′(x). Đồ 3 7 10
thị của hàm số y = f ′(x) được cho như O 1 t hình vẽ bên. y −2
Hỏi trong thời gian từ giây thứ nhất đến giây O 2 4 x
thứ 10 được khảo sát đó, thời điểm nào vật thể có vận tốc lớn nhất? A. giây thứ 7. B. giây thứ nhất. C. giây thứ 10. D. giây thứ 3.
Biết rằng f (0) + f (1) − 2f (2) = f (4) − f (3). Tìm giá Lời giải.
trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của f (x)
Phương pháp: a(t) = v′(t). Từ đồ thị ta có bảng trên đoạn [0; 4]? biến thiên sau:
A. m = f (4), M = f (2).
B. m = f (4), M = f (1). t 1 3 7 10
C. m = f (0), M = f (2).
D. m = f (1), M = f (2). a(t) = v′(t) + 0 − − Lời giải. x 0 1 2 3 4 v(3) f ′(x) + 0 − v(t) v(7) f (2) v(1) v(10) f (x) f (1) f (3) Chọn đáp án D f (0) f (4) □
CÂU 71. Cho hàm số f (x) có đạo hàm là f ′(x). Đồ
Dựa vào BBT ta có M = f (2), GTNN chỉ có thể là
thị của hàm số y = f ′(x) được cho như f (0) hoặc f (4) hình vẽ bên.
Ta lại có: f (1); f (3) < f (2) ⇒ f (1) + f (3) < 2f (2) ⇔ y
2 f (2) − f (1) − f (3) > 0
f (0)+ f (1)−2f (2) = f (4)− f (3) ⇔ f (0)− f (4) = 2f (2)−
f (3) − f (1) > 0 ⇒ f (0) > f (4). x O 2 5 Chọn đáp án A □
Biết rằng f (0) + f (3) = f (2) + f (5). Tìm giá trị nhỏ
nhất m và giá trị lớn nhất M của f (x) trên đoạn
CÂU 73. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên R và
Đại số và giải tích 12 24 L Trường PHTP THIÊN ĐÌNH HÀM SỐ VD-VDC
có đồ thị hàm số y = f ′(x) như hình vẽ. Lời giải. y y 6 4 B O A 3 1 4 x −1 2 −3 x −1 O 1 3 −2
Biết rằng f (−1) + f (2) = f (1) + f (4), các điểm
A(1; 0), B(−1;0) thuộc đồ thị. Giá trị nhỏ nhất và
giá trị lớn nhất của hàm số f (x) trên đoạn [−1;4]
Ta có y = g(x) là hàm số liên tục trên R và có lần lượt là
g′(x) = 2¡f ′(x) − (x + 1)¢. Để xét dấu g′(x) ta xét vị
trí tương đối giữa y = f ′(x) và y = x + 1. A. f (1); f (−1). B. f (0); f (2).
Từ đồ thị ta thấy y = f ′(x) và y = x + 1 có ba C. f (−1); f (4). D. f (1); f (4).
điểm chung là A(−3;−2), B(1;2), C(3;4); đồng thời
g′(x) > 0 ⇔ x ∈ (−3;1) ∪ (3;+∞) và g′(x) < 0 ⇔ x ∈ Lời giải.
(−∞;−3) ∪ (1;3). Trên đoạn [−3;3] ta có BBT: Bảng biến thiên: x −3 1 3 x −1 1 2 4 g′(x) 0 + 0 − 0 f ′(x) − 0 + g(1) f (−1) − f (4) g(x) f (x) g(−3) − g(3) f (2) f (1) Từ BBT suy ra B đúng. Chọn đáp án B □
Ta có: f (1) < f (−1), f (1) < f (2), f (1) < f (4) mà
f (−1)+ f (2) = f (1)+ f (4) ⇒ f (2)− f (1) = f (4)− f (−1) >
CÂU 75. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm và liên 0 ⇒ f (4) > f (−1).
tục trên R. Biết rằng đồ thị hàm số y = f ′(x) như hình bên. Chọn đáp án D □ y 5 3
CÂU 74. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R. Đồ −1
thị của hàm số y = f ′(x) như hình bên. x O y −11 2 6 4
Lập hàm số g(x) = f (x) − x2 − x. Mệnh đề nào 3
sau đây đúng? choice g(−1) > g(1) g(−1) = g(1) 2 −3 g(1) = g(2) g(1) > g(2) x −1 O 1 3 Lời giải. −2 x −∞ −1 1 2 +∞ g′(x) − 0 + 0 − 0 +
Đặt g(x) = 2f (x) − (x + 1)2. Mệnh đề nào dưới đây +∞ g(1) +∞ đúng. g(x) A. min g(x) = g(1). [−3;3] g(− ( 1) − g(2) B. max g(x) = g(1). [−3;3]
Ta có g′(x) = f ′(x) − 2x − 1. Ta thấy đường thẳng C. max g(x) = g(3). [ y −3;3]
= 2x + 1 là đường thẳng đi qua các điểm
D. Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của g(x) A(−1;−1), B(1;3), C(2;5). trên [−3;3].
Từ đồ thị hàm số y = f ′(x) và đường thẳng y = 25
Đại số và giải tích 12 Trường PHTP THIÊN ĐÌNH L HÀM SỐ VD-VDC
2x + 1 ta có bảng biến thiên: f ′(−1) = −2 g′(−1) = 0 Suy ra đáp án đúng là D. ta có: f ′(1) = 1 ⇒ g′(1) = 0 y f ′(−3) = 3 g′(−3) = 0 5 3 3
Ngoài ra, vẽ đồ thị (P) của hàm số y = x2 + x − 2 2
trên cùng hệ trục tọa độ như hình vẽ bên (đường 3
nét đứt ), ta thấy (P) đi qua các điểm (−3;3), µ 3 33 ¶
(−1;−2), (1;1) với đỉnh I − ;− . 4 16 −1 Rõ ràng 3 3 x O 1 2
• Trên khoảng (−1; 1) thì f ′(x) > x2 + x − , nên −1 2 2
g′(x) > 0 ∀x ∈ (−1;1) 3 3
• Trên khoảng (−3; −1) thì f ′(x) < x2 + x − , nên 2 2 Chọn đáp án D □
g′(x) < 0 ∀x ∈ (−3;−1)
Từ những nhận định trên, ta có bảng biến thiên
CÂU 76. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị y = f ′(x)
của hàm y = g′(x) trên [−3;1] như sau: như hình vẽ. y x −3 −1 1 g′(x) 0 − 0 + 0 3 g(−3) − g(1) 1 −1 g(x) x −3 O 1 g(−1) − −2 Vậy min g(x) = g(−1). [−3;1] 1 3 3 Chọn đáp án A □
Xét hàm số g(x) = f (x) − x3 − x2 + x + 2018. 3 4 2
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
CÂU 77. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) A. min g(x) = g(−1). [−3;1]
trên R. Đồ thị của hàm số y = f ′(x) như hình vẽ. B. min g(x) = g(1). y [−3;1] 4 C. min g(x) = g(−3). [−3;1] g(−3) + g(1) D. min g(x) = . 2 [−3;1] 2 Lời giải. −2 O x y −1 1 2
Đồ thị của hàm số y = (f (x))3 có bao nhiêu điểm 3 cực trị? choice 1 2 3 8 1 Lời giải. −1 x −3 O 1
Ta có y = (f (x))3, y′ = 3f ′(x)f 2(x).
Từ đồ thị ta có f ′(x) = 0 tại x = 1, x = −1. −2
Bởi f 2(x) không đổi dấu trên R suy ra y′ = (f (x))3
có 2 điểm cực trị là x = 1, x = −1. 1 3 3 Chọn đáp án D □
Ta có: g(x) = f (x) − x3 − x2 + x + 2018 ⇒ g′(x) = 3 4 2 3 3 f ′(x) − x2 − x + 2 2
CÂU 78. Cho hàm số y = f (x) luôn dương và có
Căn cứ vào đồ thị y = f ′(x),
đạo hàm f ′(x) trên R. Đồ thị của hàm số y = f ′(x)
Đại số và giải tích 12 26 L Trường PHTP THIÊN ĐÌNH HÀM SỐ VD-VDC như hình vẽ. y | f (x) + 4| y −4 −1 O x x 2
Dựa vào đồ thị hàm số g(x) = |f (x) + 4| suy ra tọa Đồ thị hàm số y
độ các điểm cực trị là (
= p f (x) có bao nhiêu điểm cực −1; 0), (0; 4), (2; 0).
đại, bao nhiêu điểm cực tiểu?
Suy ra tổng tung độ các điểm cực trị bằng T = 0
A. 1 điểm cực tiểu, 2 điểm cực đại. + 4 + 0 = 4.
B. 1 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu. Chọn đáp án D □
C. 1 điểm cực tiểu, 1 điểm cực đại.
CÂU 80. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình
D. 1 điểm cực tiểu, 0 điểm cực đại. bên dưới. Lời giải. y f ′(x)
Ta có y = pf (x) xác định trên R và y′ = . 2 2p f (x)
Bởi vì p f (x) > 0, ∀x ∈ R, nên ta suy ra được số O x
điểm cực trị của y = pf (x) bằng số điểm cực trị −1 1 2 của y = f (x).
Từ đồ thị trên ta thu được y −2 = p f (x) có 1 điểm
cực đại, 2 điểm cực tiểu.
Đồ thị hàm số h(x) = |2f (x)−3| có bao nhiêu điểm Chọn đáp án B □ cực trị ? choice 4 5 7 9 Lời giải.
CÂU 79. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình bên dưới.
Xét g(x) = 2f (x) − 3 ⇒ g′(x) = 2f ′(x). y x = −1 −1 2 x x = 0 3
g′(x) = 0 ⇔ f ′(x) = 0 ⇔ x = a , 1 < a < 2 x = 2.
Ta tính được g(−1) = 1, g(0) = −7, g(a) > 1, g(2) = 1. −4
Bảng biến thiên của hàm số là
Đồ thị hàm số g(x) = |f (x)+4| có tổng tung độ của x −∞
các điểm cực trị bằng bao nhiêu? −1 0 a 2 +∞ choice 2 3 4 5 g′(x) + 0 − 0 + 0 − 0 + Lời giải. 1 g(a) +∞
Đồ thị hàm số g(x) = |f (x) + 4| có được bằng cách g(x)
○ Tịnh tiến đồ thị hàm số y = f (x) lên trên 4 −∞ −7 − 1
đơn vị ta được f (x) + 4.
Dựa vào bảng biến thiên suy ra
○ Lấy đối xứng phần phía dưới Ox của đồ thị
hàm số 4 qua f (x) + 4 ta được |f (x) + 4|.
○ Đồ thị hàm số g(x) có 4 điểm cực trị. y f (x) + 4 −4
○ Đồ thị hàm số g(x) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.
Suy ra đồ thị hàm số h(x) = |g(x)| có 7 điểm cực trị. −1 O x Chọn đáp án D □ 2 27
Đại số và giải tích 12 Trường PHTP THIÊN ĐÌNH L HÀM SỐ VD-VDC
CÂU 81. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình y bên dưới. 4 y x −2 1 x O 1 4 O 3 g(x) = f (|x| − 2)
Đồ thị hàm số h(x) = f (|x|) + 2018 có bao nhiêu
điểm cực trị ? choice 2 3 5 7 Lời giải. -16
Từ đồ thị ta thấy hàm số f (x) có 2 điểm cực trị dương
Dựa vào đồ thị hàm số g(x) = f (|x| − 2), suy ra
hàm số g(x) có 5 điểm cực trị.
⇒ hàm số f (|x|) có 5 điểm cực trị Chọn đáp án D
⇒ hàm số h(x) có 5 điểm cực trị (vì phép tịnh □
tiến không làm thay đổi số điểm cực trị).
CÂU 83. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình bên. Chọn đáp án D □ y −1 1 x O
CÂU 82. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình −3 y −4 4
Đồ thị hàm số g(x) = f (|x − 2|) + 1 có bao nhiêu
điểm cực trị? choice 2 3 5 7 Lời giải.
Đồ thị hàm số g(x) = f (|x − 2|) + 1 được suy ra từ x
đồ thị hàm số f (x) như sau: 1 2 bên dưới. O Đồ thị
Bước 1: Lấy đối xứng qua O y nhưng vì đồ thị
hàm số g(x) = f (|x| − 2) có bao nhiêu điểm
đã đối xứng sẵn nên bước này bỏ qua. cực trị? choice 1 3 5 7
Bước 2: Tịnh tiến đồ thị ở bước 1 sang phải 2 Lời giải. đơn vị.
Ta biết rằng, đồ thị hàm số g(x) = f (|x| − 2) được
Bước 3: Tịnh tiến đồ thị ở bước 2 lên trên 1 đơn
suy ra từ đồ thị hàm số y = f (x) bằng cách tịnh vị.
tiến sang phải 2 đơn vị rồi mới lấy đối xứng.
Vì phép tịnh tiến không làm thay đổi số cực trị y
nên ta không quan tâm đến bước 2 và bước 3. Từ 4
nhận xét bước 1 ta thấy số điểm cực trị của đồ
thị hàm số g(x) bằng số điểm cực trị của đồ thị x
hàm số f (x) là 3 điểm cực trị. O 1 4 Chọn đáp án D □ y = f (x − 2)
CÂU 84. Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục
trên R và có bảng biến thiên như sau. x −∞ −1 0 1 +∞ f ′ − + 0 − 0 + +∞ 2 +∞ f -16 1 1
Đại số và giải tích 12 28 L Trường PHTP THIÊN ĐÌNH HÀM SỐ VD-VDC
Hàm số g(x) = 3f (x) + 1 đạt cực tiểu tại điểm nào 1 ³ x ´
Ta có g′(x) = − f ′ 1 − + 1. Xét g′(x) < 0 ⇔ sau đây? 2 2 ³ x ´
A. x = −1. B. x = 1.
C. x = ±1. D. x = 0. f ′ 1 − > 2. 2 Lời giải. ³ x ´ x TH1: f ′ 1 − > 2 ⇔ 2 < 1 −
< 3 ⇔ −4 < x < −2. Ta có g′(x) = 3f ′(x). 2 2
Do đó điểm cực tiểu của hàm số g(x) trùng với
Do đó hàm số nghịch biến trên (−4;−2). ³ x ´ x
điểm cực tiểu của hàm số y = f (x). TH2: f ′ 1 − > 2 ⇔ −1 < 1 − < a < 0 ⇔ 2 < 2 2
Vậy điểm cực tiểu của hàm số là x ± 1.
2 − 2a < x < 4 nên hàm số chỉ nghịch biến trên Chọn đáp án C □
khoảng (2 − 2a;4) chứ không nghịch biến trên toàn khoảng (2; 4).
CÂU 85. Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục ³ x ´
trên R và có bảng biến thiên như sau. Vậy hàm số g(x) = f 1 − + x nghịch biến trên 2 x −∞ 0 1 2 +∞ (−4;−2). y′ + 0 − + 0 −
Chú ý: Từ trường hợp 1 ta có thể chọn nhưng cứ
xét tiếp trường hợp 2 xem thử. 3 2 Chọn đáp án A □ y
CÂU 87. Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục +∞ −1 − −∞
trên R và có bảng biến thiên như sau.
Hàm số g(x) = f (3 − x) có bao nhiêu điểm cực x −∞ −1 3 +∞ trị? f ′(x) + 0 − 0 + A. 2. B. 3. C. 5. D. 6. Lời giải. 2018 +∞ f (x)
Ta có g′(x) = −f ′(3 − x). −∞ −2018 − " " 3 − x = 0 x = 3
Hỏi đồ thị hàm số g(x) = |f (x − 2017) + 2018| có
○ g′(x) = 0 ⇔ f ′(3 − x) = 0 ⇔ ⇔
bao nhiêu điểm cực trị? 3 − x = 2 x = 1. A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. ○ Lời giải.
g′(x) không xác định ⇔ 3 − x = 1 ⇔ x = 2
Đồ thị hàm số u(x) = f (x − 2017) + 2018 có được từ Bảng biến thiên
đồ thị f (x) bằng cách tịnh tiến đồ thị f (x) sang x −∞ 1 2 3 +∞
phải 2017 đơn vị và lên trên 2018 đơn vị. Suy ra
bảng biến thiên của u(x). g′ + 0 − + 0 − x −∞ 2016 2020 +∞ 2 3 g u′(x) + 0 − 0 + 4036 +∞ +∞ −1 − −∞ u(x) 0 Vậy hàm số −∞
g(x) = f (3 − x) có ba điểm cực trị. Chọn đáp án C □
Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số
g(x) = |u(x)| có 3 điểm cực trị.
CÂU 86. Cho hàm số f có đạo hàm liên tục trên Chọn đáp án B R □
. Bảng biến thiên của hàm số f ′(x) như hình vẽ. x −1 0 1 2 3
CÂU 88. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ. 3 4 x −∞ −1 3 +∞ f ′(x) 1 2 f ′(x) + 0 − 0 + −1 − 5 +∞ ³ x ´ f (x) Hàm số g(x) = f 1 − + x nghịch biến trên 2 −∞ −3 −
khoảng nào trong các khoảng sau? A. (−4; −2) . B. (−2; 0) .
Phương trình |f (1 − 3x) + 3| = 3 có bao nhiêu C. (0; 2) . D. (2; 4) . nghiệm. Lời giải. A. 4. B. 3. C. 6. D. 5. 29
Đại số và giải tích 12 Trường PHTP THIÊN ĐÌNH L HÀM SỐ VD-VDC Lời giải.
CÂU 90. Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục
Đặt g(x) = f (1−3x)+3 ⇒ g′(x) = −3· f ′(1−3x) = 0 ⇔
trên R và có bảng biến thiên như sau. 2 x 1 − 3x = −1 ⇔ x = −∞ −1 3 +∞ 3 y′ + 0 − 0 + 2 1 −3x = 3 ⇔ x = − . f (−1) − +∞ 3 y Bảng biến thiên −∞ f (3) 2 2
Hỏi đồ thị hàm số g(x) = |f (|x|)| có nhiều nhất x −∞ − +∞ 3 3
bao nhiêu điểm cực trị? A. 5. B. 7. C. 11. D. 13. g′(x) − 0 + 0 − Lời giải. +∞ 6
Ta có đồ thị hàm số y = f (x) có điểm cực tiểu g(x)
nằm bên phải trục tung nên đồ thị hàm số cắt −2 − −∞
trục hoành tại tối đa 2 điểm có hoành độ dương. +∞ 2 6 +∞ Khi đó |g(x)| 0 0 0
○ Đồ thị hàm số f (|x|) cắt trục hoành tối đa 4
Vậy |g(x)| = 3 có bốn nghiệm. điểm. Chọn đáp án A □
CÂU 89. Cho hàm số y = f (x) xác định trên R\{0}
○ Hàm số f (|x|) có 3 điểm cực trị.
và có bảng biến thiên như hình vẽ. x −∞ 0 1 +∞
Suy ra hàm số g(x) = |f (|x|)| sẽ có tối đa 7 điểm y′ − − cực trị. 0 + Chọn đáp án B □ +∞ +∞ +∞ y −∞ 3
CÂU 91. Cho hàm số y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d
(a ̸= 0) có đồ thị như hình vẽ.
Số nghiệm của phương trình 3|f (2x − 1)| − 10 = 0 y là 2 A. 2. B. 1. C. 4. D. 3. Lời giải.
Đặt t = 2x − 1, ta có phương trình trở thành x −2 −1 O 1 2 10 | f (t)| =
. Với mỗi nghiệm của t thì có một 3 −2 t + 1 nghiệm x =
nên số nghiệm t của phương
Phương trình f ( f (x)) = 0 có bao nhiêu nghiệm 2 10 thực? choice 3 7 9 5 trình |f (t)| =
bằng số nghiệm của 3|f (2x−1)|− 3 Lời giải.
10 = 0. Bảng biến thiên của hàm số y = |f (x)| là
Đặt t = f (x), phương trình f (f (x)) = 0 trở thành x −∞ x
f (t) = 0(∗) (số nghiệm phương trình (∗) là số giao 0 0 1 +∞
điểm của đồ thị hàm số y = f (x) với trục Ox). y′ − + − 0 +
Nhìn vào đồ thị ta thấy phương trình (∗) có 3
nghiệm t thuộc khoảng (−2;2), với mỗi giá trị t +∞ +∞ +∞ +∞
như vậy phương trình f (x) = t có 3 nghiệm phân y
biệt. Vậy phương trình f ( f (x)) = 0 có 9 nghiệm.
Lưu ý: khi t có 3 giá trị thuộc (−2;2) thì nghiệm 0 3
phương trình f (x) = t là giao điểm của đồ thị 10
Suy ra phương trình |f (t)| = có 4 nghiệm
hàm số y = f (x) và đường thẳng y = t, t ∈ (−2;2) 3
(là hàm hằng song song trục Ox).
phân biệt nên phương trình 3|f (2x − 1)| − 10 = 0 có 4 nghiệm phân biệt. Chọn đáp án D □ Chọn đáp án C □
CÂU 92. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hìn-
Đại số và giải tích 12 30 L Trường PHTP THIÊN ĐÌNH HÀM SỐ VD-VDC hvẽ.
f (|x|). Điều kiện là −4 < −m < 0 ⇔ 0 < m < 4. Do
m ∈ Z ⇒ m ∈ {1;2;3} nên m có 3 giá trị. y Chọn đáp án A 1 □
CÂU 94. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên O x −2 −1 1 2 như hình bên. x −∞ 0 1 +∞ f ′(x)
Hỏi có bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng
giác biểu diễn nghiệm của phương trình +∞ 3
f ( f (cos 2x)) = 0 ? choice 3 4 2 1 f (x) Lời giải. −∞ −∞ −∞
Từ đồ thị ta có f (x) ⩽ 1,∀x ∈ R và suy ra được
Với các giá trị thực của tham số m, phương trình
f (cos 2x) = ±a (a > 1) hoặc f (cos2x) = 0 f ( TH1: Nếu f (cos 2x)
|x| + m) = 0 có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?
= a > 1 thì phương trình này choice 4 5 6 3 vô nghiệm.
TH2: Nếu f (cos 2x) = −a < −1 thì |cos2x| > 1, Lời giải.
phương trình này vô nghiệm.
Phân tích: Vì hàm số y = f (|x| + m) là hàm chẵn
TH3: Nếu f (cos 2x) = 0 ⇔ cos2x = ±a (vô nghiệm)
nên đồ thị đối xứng nhau qua trục O y và đồ thị
và cos 2x = 0 có 4 điểm trên vòng tròn lượng giác.
hàm số y = f (x + m) có được bằng cách tịnh tiến Vậy có 4 điểm.
đồ thị hàm số y = f (x) qua trái hay qua phải |m| Chọn đáp án D □
đơn vị. Do đó, ta chỉ cần chọn giá trị tham số m
CÂU 93. Cho hàm số f (x) = x3 − 3x2. Có bao
để phương trình f (x + m) = 0 có số nghiệm x > 0
nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số nhiều nhất.
g(x) = f (|x|) + m cắt trục hoành tại 4 điểm phân
Áp dụng: Phương trình f (x) = 0 có ba nghiệm biệt?
phân biệt nên phương trình f (x + m) = 0 có tối đa
ba nghiệm phân biệt lớn hơn 0. Do đó phương A. 3. B. 4. C. 2. D. 0. trình f ( Lời giải.
|x| + m) = 0 có nhiều nhất là 6 nghiệm " phân biệt. x = 0
f ′(x) = 3x2−6x; f ′(x) = 0 ⇒ . Bảng biến thiên
Giả sử phương trình f (x) = 0 có ba nghiệm phân x = 2
biệt x1 < 0 < x2 < 1 < x3. Ta chỉ cần chọn m < x1 < của hàm số y = f (x)
0. Khi đó hàm số y = f (x + m) có bảng biến thiên x −∞ 0 2 +∞ x −∞ 0
x1 − m −m x2 − m 1 − m x3 − m +∞ f ′(x) + 0 − 0 + +∞ 3 0 +∞ f (x + m) f (x) −∞ −∞ −∞ −∞ −4 −
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình
Bảng biến thiên của hàm số y = f (|x|)
f (x+m) = 0 có 3 nghiệm phân biệt lớn hơn 0 và do x −∞ −2 0 2 +∞
đó phương trình f (|x| + m) = 0 có 6 nghiệm phân f ′(x) − 0 + 0 − 0 + biệt. +∞ 0 +∞ Chọn đáp án D □ f (|x|) −4 − −4 − x + 1
Đồ thị hàm số g(x) = f (|x|) cắt trục hoành tại 4
CÂU 95. Cho hàm số f (x) = . Có bao nhiêu x − 2 điểm phân biệt
giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số g(x) =
⇔ phương trình g(x) = 0 có 4 nghiệm phân biệt
f (|x|)+m cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt?
⇔ phương trình f (|x|) = −m có 4 nghiệm phân biệt A. 0. B. 2. C. 4. D. 6.
⇔ đường thẳng d : y = −m cắt đồ thị hàm số f (|x|) Lời giải. tại 4 điểm phân biệt. 3
Dựa vào bảng biến thiên của đồ thị hàm số
TXĐ: D = R \ {2}; f ′(x) = − < 0, ∀x ∈ D. (x − 2)2 31
Đại số và giải tích 12 Trường PHTP THIÊN ĐÌNH L HÀM SỐ VD-VDC · ¸
Bảng biến thiên hàm số f (x) 3 3
2 điểm phân biệt có hoành độ thuộc đoạn − ; x −∞ 2 +∞ 2 2
⇔ phương trình g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt f ′(x) − − · 3 3 ¸ thuộc đoạn − ; 1 +∞ 2 2 f (x)
⇔ phương trình f (|x|) = −m có 2 nghiệm phân · 3 3 ¸ biệt thuộc đoạn − ; −∞ 1 2 2
Bảng biến thiên của hàm số f (|x|)
⇔ đường thẳng d : y = −m cắt đồ thị hàm số f (|x|) x
tại 2 điểm phân biệt có hoành độ thuộc đoạn −∞ −2 0 2 +∞ · 3 3 ¸ f ′(x) + + − − − ; . 2 2 +∞ −1 − +∞
Dựa vào bảng biến thiên của đồ thị hàm số f (|x|). f (|x|)
Điều kiện là −5 ≤ m < −1 ⇔ 1 < m ≤ 5.
Do m ∈ Z nên m ∈ {2;3;4;5}. Vậy có 4 giá trị 1 −∞ −∞ 1
nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán.
Đồ thị hàm số g(x) = f (|x|) + m cắt trục hoành tại Chọn đáp án C □ 4 điểm phân biệt
CÂU 97. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên
⇔ phương trình g(x) = 0 có 4 nghiệm phân biệt
của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của
⇔ phương trình f (|x|) = −m có 4 nghiệm phân ¯ 1 19 ¯ hàm số y ¯ x4 x2 ¯ trên đoạn biệt = ¯ − + 30x + m − 20¯ ¯ 4 2 ¯
⇔ đường thẳng d : y = −m cắt đồ thị hàm số f (|x|)
[0; 2] không vượt quá 20. Tổng các phần tử của S tại 4 điểm phân biệt. bằng
Dựa vào bảng biến thiên của đồ thị hàm số f (|x|) A. 210. B. −195. C. 105. D. 300.
thì không tồn tại giá trị nào của m thỏa mãn. Lời giải. Chọn đáp án A □ 1 19 1 Đặt t = x4 − x2 + 30x, ta xét hàm g(x) = − 4 2 4 x + 1 19
CÂU 96. Cho hàm số f (x) = . Có bao nhiêu x2 + 30x với x ∈ [0;2]. x − 2 2
giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số g(x) =
g′(x) = x3 − 19x + 30 = (x − 2)(x + 5)(x − 3) ≥ 0; ∀x ∈
f (|x|) + m cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có [0; 2]. · 3 3 ¸
Do đó g(x) là hàm số đồng biến trên [0; 2] suy ra
hoành độ thuộc đoạn − ; ? 2 2 t ∈ [0;26]. A. 0. B. 2. C. 4. D. 6.
Đặt f (t) = |t + m − 20|, khi t ∈ [0;26] thì f (t) liên Lời giải. tục trên [0; 26] nên 3 max f (t) TXĐ: D = max {|m − 20| ; |m + 6|} . = R \ {2}; f ′(x) = − < 0, ∀x ∈ D. t (x − 2)2 ∈[0;26]
Bảng biến thiên hàm số f (x)
Nếu m ≥ 7 thì max f (t) = max{|m − 20|;|m + 6|} = x −∞ t 2 +∞ ∈[0;26] |m + 6|, do đó ta có f ′(x) − −
|m + 6| ≤ 20 ⇔ −26 ≤ m ≤ 14 nên m ∈ {7;8;. .. ;14}. 1 +∞ f (x)
Nếu m < 7 thì max f (t) = max{|m − 20|;|m + 6|} = t∈[0;26] −∞ 1 |m − 20|, do đó ta có
Bảng biến thiên của hàm số f (|x|)
|m − 20| ≤ 20 ⇔ 0 ≤ m ≤ 40 nên m ∈ {0;1;. .. ;6}. x −∞ −2 − 3 0 3 2
Vậy tổng các giá trị nguyên thỏa mãn là 2 2 +∞ f ′(x) + + + − − − 14 · 15 1 + 2 + ··· + 14 = = 105. +∞ −1 − +∞ 2 f (|x|)
Tìm công thức cho bài toán tổng quát:
Cho hàm số y = |f (x) + h(m)| với x ∈ [a; b]. Hãy 1 −∞ −∞ 1
tìm giá trị lớn nhất của hàm số theo m.
Đồ thị hàm số g(x) = f (|x|) + m cắt trục hoành tại
Giả sử khi x ∈ [a; b] thì f (x) ∈ [α;β] và y =
Đại số và giải tích 12 32 L Trường PHTP THIÊN ĐÌNH HÀM SỐ VD-VDC
| f (x) + h(m)| liên tục trên [α;β] nên ta có max y = y y x∈[a;b] max ©|α + h(m)|;¯ ª
¯β + h(m)¯¯ . Đặt u = h(m), đồ thị
của hàm g(u) = max©|α + u|;¯ ª ¯β + u¯¯ được mô phỏng như hình vẽ: x O x O A
Dựa vào các đồ thị trên ta thấy số nghiệm lớn
nhất của phương trình |f (x)| = m có thể có là 8. B C u = h(m) Chọn đáp án C □
CÂU 99. Cho hàm số bậc bốn f (x) = ax4 + bx2 + c
biết a > 0, c > 2018 và a + b + c < 2018. Số cực trị
Trong đó đồ thị của g(u) được mô phỏng là đường
của đồ thị hàm số g(x) = |f (x) − 2018| là µ
α + β β − α¶
liền nét; B ¡−β;0¢, C (−α;0), A − ; , dễ A. 1. B. 3. C. 5. D. 7. 2 2 β Lời giải. − α
thấy hàm số g(u) đạt giá trị lớn nhất bằng
Cách 1: Đặt h(x) = f (x)−2018 = ax4+bx2+c−2018. 2 α + β a > 0 ( tại u = − . a > 0 2 Từ giả thiết c > 0 ⇒ ⇒ đồ thị
Cũng từ mô phỏng trên ta suy ra g(u) = b < 0 a + b + c < 2018 α + β
|u + α| ; u ≤ −
hàm số h(x) có 3 điểm cực trị (1). 2 ( α . h(1) + β = a + b + c − 2018 < 0 ¯ Ta có ⇒ h(1)· h(0) < 0 có ¯u + β¯ ¯ ; u ≥ − 2 h(0) = c − 2018
Vận dụng vào bài toán trên: α = 0; β = 26; u = nghiệm thuộc (0; 1). m − 20 ta có kết quả.
⇒ h(x) = 0 có 4 nghiệm phân biệt (dáng điệu của Chọn đáp án C □ hàm trùng phương) (2).
Từ (1) và (2) suy ra hàm số g(x) = |f (x) − 2018| có
CÂU 98. Cho hàm số y = f (x) = ax4 + bx2 + c thoả 7 điểm cực trị. (ab < 0
Cách 2. Trắc nghiệm. điều kiện . Số nghiệm lớn nhất ac ¡b2 a − 4ac¢ > 0 = 1
có thể có của phương trình |f (x)| = m, m ∈ R là Chọn b = −4 y A. 4. B. 6. C. 8. D. 12. c = 2019. Lời giải. ⇒ g(x) = | f (x) − 2018| =
Do ab < 0 nên hàm số đã cho có ba điểm cực trị ¯ ¯x4 − 4x2 + 1¯¯.
và tính toán được ba điểm cực trị đó lần lượt là Vẽ phát họa đồ thị ta thấy có 7 điểm x s s O b ∆ b ∆ cực trị. A(0; c), B − ; − , C − − ; − Cách 3: Ta có a 2a 4a 2a 4a
> 0, c > 2018 nên a + c > 2018 ⇒
b < 2018 − a − c < 0.
Do đó hàm số f (x) − 2018 có 3 cực trị. với ∆ = b2 − 4ac.
Vì f (0)−2018 = c−2018 > 0, f (±1)−2018 = a+b+c− Lại có
2018 < 0 và lim [f (x) − 2018] = +∞ nên phương x→+∞
trình f (x) − 2010 có đúng 4 nghiệm. b2 − 4ac ∆
Do đó, đồ thị hàm số y = |f (x) − 2018| có 7 cực trị. ac(b2 − 4ac) > 0 ⇔ c · · a2 > 0 ⇔ −c · < 0. a 4a Chọn đáp án D □
CÂU 100. Cho hàm số bậc ba f (x) = ax3+bx2+cx+
Do đó đồ thị hàm số có hai điểm cực trị B, C
d (a ̸= 0) biết a > 0, d > 2018 và a+b+c+d−2018 <
nằm khác phía với A so với trục hoành. Suy ra
0. Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số
dạng đồ thị của hàm số |f (x)| lúc này là g(x) = |f (x) − 2018| là 33
Đại số và giải tích 12 Trường PHTP THIÊN ĐÌNH L HÀM SỐ VD-VDC A. 1. B. 2. C. 3. D. 5.
Vậy hàm số y = |f (x)| có đúng 5 điểm cực trị. Lời giải. Chọn đáp án D □
Cách 1: Hàm số g(x) = f (x)−2018 (là hàm số bậc CÂU 102. Cho hàm số f (x) = ¡m218 + 1¢ x4 + ba) liên tục trên R.
¡−2m2018 − 22018m2 − 3¢ x2+¡m2018 + 2018¢, với m là lim g(x) = −∞
tham số. Số cực trị của hàm số y = |f (x) − 2017| x→−∞ là g(0) = d − 2018 Ta có ⇒ g(x) = 0 có A. 3. B. 5. C. 6. D. 7. g(1)
= a + b + c + d − 2018 < 0 Lời giải. lim g(x) = +∞ x→+∞
○ Cách 1: Xét hàm số g(x) = f (x) − 2017 =
đúng 3 nghiệm phân biệt trên R.
¡m2018 + 1¢ x4 + ¡−2m2018 − 22018m2 − 3¢ x2 +
Khi đó đồ thị hàm số f (x) − 2018 cắt trục ¡m2018 + 1¢.
hoành tại 3 điểm phân biệt nên hàm số g(x) =
Đặt t = x2 (t ≥ 0) ta có h(t) = ¡m2018 + 1¢ t2 +
| f (x) − 2018| có đúng 5 điểm cực trị.
¡−2m2018 − 22018m2 − 3¢ t + ¡m2018 + 1¢.
Cách 2: Hàm số g(x) = f (x)−2018 (là hàm số bậc ba) liên tục trên R.
Nhận thấy phương trình h(t) = 0 có
Ta có g(0) = d−2018 > 0; g(1) = a+b+c+d−2018 < ( 0.
∆ = ¡22018m2 +1¢¡4m2018 +22018m2 +5¢ > 0
Vì lim g(x) = −∞ và lim g(x) = +∞ nên ∀x1 < S > 0; P > 0. x→−∞ x→+∞
0 : f (x1) < 0 và ∀x2 < 0: f (x2) > 0 nên phương
nên luôn có hai nghiệm dương phân biệt.
trình g(x) = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt trên
Do đó, phương trình g(x) = 0 có 4 nghiệm R.
phân biệt. Từ đó suy ra hàm số y = |g(x)| =
Khi đó đồ thị hàm số g(x) = f (x) − 2018 cắt trục
| f (x) − 2017| có 7 điểm cực trị.
hoành tại 3 điểm phân biệt nên hàm số g(x) =
| f (x) − 2018| có đúng 5 điểm cực trị.
○ Cách 2: Xét hàm số g(x) = f (x) − 2017 = ¡ Chọn đáp án D □
m2018 + 1¢ x4 + ¡−2m2018 − 22018m2 − 3¢ x2 + ¡m2018 + 1¢.
CÂU 101. Cho hàm số bậc ba f (x) = x3+ax2+bx+c Nhận xét rằng,
với a, b, c ∈ R, biết −8 + 4a − 2b + c > 0 và 8 + 4a + (a = m2018 + 1 > 0
2b + c < 0. Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm vì , với mọi m b số
= −2m2018 − 22018m2 − 3 < 0 g(x) = |f (x)| là
nên hàm số g(x) có 3 điểm cực trị. A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải.
Ta có g′(x) = 4ax3 + 2bx. Suy ra
Cách 1: Hàm số f (x) = x3 +ax2 + bx+ c (là hàm số bậc ba) liên tục trên R. x = 0 ⇒ g(0) = a > 0,∀m lim f (x) = −∞ g′(x) = 0 ⇔ 2m2018 + 22018m2 + 3 b x2 x→−∞ = = − · 2 ¡m2018 + 1¢ 2a
f (−2) = −8 + 4a − 2b + c > 0 Ta có ⇒ f (x) = 0 có f (2) b2 (2a − b)(2a + b) = 8 + 4a + 2b + c < 0 ⇒ g ¡x2¢ = − + a = < 0, ∀m. 4a 4a lim f (x) = +∞ x→+∞
(Vì 2a−b = 4m2018+22018m2+5 > 0 và 2a+b =
đúng 3 nghiệm phân biệt trên R. −22018m2 − 1 < 0).
Khi đó đồ thị hàm số f (x) cắt trục hoành tại 3
Từ đó suy ra hàm số y = |f (x) − 2017| có 7
điểm phân biệt nên hàm số g(x) = |f (x)| có đúng điểm cực trị. 5 điểm cực trị. Chọn đáp án D Cách 2: □
Hàm số y = f (x) (là hàm số bậc ba) liên tục trên R.
CÂU 103. Cho hàm số f (x) = x3 − (2m − 1)x2 + (2 −
Ta có f (−2) = −8+4a−2b+c > 0, f (2) = 8+4a+2b+
m)x + 2 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá c < 0.
trị của m để hàm số g(x) = f (|x|) có 5 điểm cực
Và lim f (x) = −∞; lim f (x) = +∞. trị. x→−∞ x→+∞ 5 5
Nên phương trình f (x) = 0 có đúng 3 nghiệm A. −2 < m < . B. − < m < 2. 4 4 thực phân biệt. 5 5
Do đó, đồ thị hàm số y = f (x) cắt trục hoành tại C. < m < 2. D. < m ≤ 2. 4 4 3 điểm phân biệt. Lời giải.
Đại số và giải tích 12 34 L Trường PHTP THIÊN ĐÌNH HÀM SỐ VD-VDC Ta có f ′(x)
= 3x2 − 2(2m − 1)x + 2 − m. ∆′ = 4m2 −5m +1 > 0 1 0 ≤ m <
Hàm số g(x) = f (|x|) có 5 điểm cực trị ⇔ hàm số 2(2m + 1) ⇒ 4 ⇒ S
f (x) có hai cực trị dương khi và chỉ khi f ′(x) = 0 = > 0; P = m ≥ 0 3 m > 1
có hai nghiệm dương phân biệt 1 0 ≤ m < 4
(2m −1)2 −3(2− m) > 0 m > 1. ∆ > 0 2(2m − 1) Chọn đáp án B □ 5 ⇔ S > 0 ⇔ > 0 3 ⇔ < m < 2. 4
CÂU 106. Cho hàm số bậc ba f (x) = x3 + mx2 + P > 0 2 − m
mx −1 với m, n ∈ R, biết m+ n > 0 và 7+2(2m+ n) < > 0 3
0. Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số g(x) = |f (|x|)| là Chọn đáp án C □ A. 2. B. 5. C. 9. D. 11. Lời giải.
CÂU 104. Cho hàm số bậc ba f (x) = ax3 + bx2 +
cx + d (a ̸= 0) có đồ thị nhận hai điểm A(0;3) và f (0) = −1
B(2; −1) làm hai điểm cực trị. Khi đó số điểm cực ○ Cách 1: Ta có f (1) = m + n > 0 và
trị của đồ thị hàm số g(x) = ¯¯ax2¯¯ x ¯¯+bx2 + c¯¯ x|+d| f (2) = 7 + 4m + 2n < 0 là
lim f (x) = +∞ ⇒ ∃p > 2 sao cho f (p) > 0. A. 5. B. 7. C. 9. D. 11. x→+∞
Suy ra f (x) = 0 có ba nghiệm phân biệt Lời giải.
c1 ∈ (0;1), c2 ∈ (1;2) và c3 ∈ (2; p) (1)
○ Cách 1: Ta có g(x) = ¯
Suy ra đồ thị hàm số f (x) có hai điểm cực ¯a x2¯ ¯ x ¯ ¯+bx2 + c¯¯ x|+d| =
| f (|x|)|. Hàm số f (x) có hai điểm cực trị
trị x1 ∈ (c1; c2) và x2 ∈ (c2; c3) (2)
trong đó có một điểm cực trị bằng 0 và một
Từ (1) và (2) suy ra đồ thị hàm số f (x) có
điểm cực trị dương ⇒ hàm số f (|x|) có 3 dạng như hình bên dưới điểm cực trị. (1) y
Đồ thị hàm số f (x) có điểm cực trị A(0; 3) ∈ y = f (x)
O y và điểm cực trị B(2; −1) thuộc góc phần
tư thứ IV nên đồ thị f (x) cắt trục hoành tại O
3 điểm (1 điểm có hoành độ âm, 2 điểm có x
hoành độ dương) ⇒ đồ thị hàm số f (|x|) cắt
trục hoành tại 4 điểm phân biệt. (2) −1
Từ (1) và (2) suy ra đồ thị hàm số g(x) =
| f (|x|)| có 7 điểm cực trị.
Từ đó suy ra hàm số f (|x|) có 5 điểm cực trị
⇒ hàm số | f (|x|)| có 11 điểm cực trị.
○ Cách 2: Vẽ phác họa đồ thị f (x) rồi suy ra
đồ thị f (|x|), tiếp tục suy ra đồ thị |f |(|x|)|. y y = f (|x|) Chọn đáp án B □
CÂU 105. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của O x
tham số m để hàm số y = |x|3−(2m+1)x2+3m|x|−5 có ba điểm cực trị? −1 µ 1 ¶ · 1 ¶ A. −∞; . B. 0; ∪ (1 + ∞). 4 4 C. (−∞; 0]. D. (1; +∞). y y Lời giải. = | f (|x|)|
(Học sinh tự vẽ hình tưởng tượng) Hàm số 1
y = |x|3 − (2m + 1)x2 + 3m|x| − 5 có ba điểm cực trị
khi và chỉ khi hàm số y = x3 −(2m +1)x2 +3mx −5
có hai điểm cực trị không âm. O x
Vậy phương trình 3x2 − 2(2m + 1)x + 3m = 0 khi 35
Đại số và giải tích 12 Trường PHTP THIÊN ĐÌNH L HÀM SỐ VD-VDC (m + n > 0
Bình luận: Đây là dạng bài tập về đếm số điểm ○ Cách 2: Ta có ⇔ 7 + 2(2m + n) < 0
cực trị của hàm số dạng |f (|x|)| trong đó số điểm ( f (1) > 0
cực trị của hàm số f (x) và những điều kiện liên quan bị ẩn đi. f (2) < 0.
Để giải quyết bài toán này bạn đọc cần dựa vào
Vì f (1) > 0 > f (2) nên hàm số f (x) không thể
giả thiết bài toán để tìm đồng biến trên R.
Vậy hàm số f (x) có hai điểm cực trị.
○ Số điểm cực trị n của hàm số f (x);
Ta có f (0) = −1, f (1) = m + n > 0, f (2) = 7 +
○ Số điểm cực trị dương m (với m
4m + 2n < 0 và lim f (x) = +∞ ⇒ ∃p > 2 sao < n) của x→+∞ hàm số;
cho f (p) > 0. Suy ra phương trình f (x) = 0
có ba nghiệm phân biệt c1 ∈ (0;1), c2 ∈ (1;2)
○ Số giao điểm p của đồ thị hàm số với trục
và c3 ∈ (2; p). Do đó đồ thị hàm số có hai
hoành trong đó có q điểm có hoành độ
điểm cực trị x1 ∈ (c1; c2) và x2 ∈ (c2; c3), dễ dương.
thấy x1, x2 là các số dương, hơn nữa hai giá
trị cực trị này trái dấu f (x
Bây giờ giả sử ta tìm được các dữ kiện trên khi 1) > 0 > f (x2) (vì
hệ số cao nhất là 1). Đồ thị hàm số f (x) có đó ta suy ra
hai điểm cực trị x1, x2 là các số dương nên
○ Đồ thị hàm số f (|x|) có 2m + 1 điểm cực trị;
đồ thị hàm số f (|x|) sẽ có 5 điểm cực trị.
○ Đồ thị hàm số |f (x)| có n + p điểm cực trị; y y = f (x)
○ Đồ thị hàm số |f (|x|)| có 2m+2q+1 điểm cực trị. O
Ngoài vấn đề tìm số điểm cực trị, bài toán còn có x
nhiều hướng để ra đề khác ví dụ như hỏi số giao
điểm với trục hoành, tính đồng biến nghịch biến −1 của hàm số. Chọn đáp án D □
CÂU 107. Cho các số thực a, b, c thoả mãn y a + b + c < −1 y = f (|x|) 4a − 2b + c > 8 bc < 0.
Đặt f (x) = x3+a2+bx+c. Số điểm cực trị của hàm O x
số |f (|x|)| lớn nhất có thể có là −1 A. 2. B. 9. C. 11. D. 5. Lời giải.
Từ giả thiết bài toán ta có f (1) < 0, f (−2) > 0 và
lim f (x) = −∞, lim f (x) = +∞ ta suy ra phương y x→−∞ x→+∞ y = |f (|x| tr )|
ình f (x) = 0 có ba nghiệm phân biệt, suy ra
hàm số f (x) có hai điểm cực trị x1, x2 (x1 < x2) và 1
hai giá cực trị trái dấu nhau. (b < 0 b Khi thì ta có x1 · x2 = < 0 nên x1 < 0 < x2 c > 0 3 O x
và f (0) = c > 0 nên f (x) = 0 có hai nghiệm dương.
Do đó đồ thị hàm số |f (|x|)| có 7 điểm cực trị. (b > 0 Khi
thì ta có x1 · x2 > 0 và f (0) = c < 0 nên
Do f (x) có hai giá trị cực trị trái dấu và c < 0
f (0) = −1 nên phương trình f (|x|) = 0 có 6
hàm số có hai điểm cực trị dương và ba giao điểm nghiệm
với trục hoành có hoành độ dương. Khi đó đồ thị
phân biệt nên đồ thị hàm số |f (|x|)| có 5+6 =
hàm số |f (|x|)| có 11 điểm cực trị. 11 điểm cực trị. Chọn đáp án C □
Đại số và giải tích 12 36 L Trường PHTP THIÊN ĐÌNH HÀM SỐ VD-VDC
CÂU 108. Cho hàm số f (x) = x3 + ax2 + bx − 2 thỏa (1; 4). (a + b > 1
Ta có f ′(x) = (x + 1)2(x − 1)(5 − x) > 0, ∀x ∈ (1;4). mãn
. Số điểm cực trị của hàm số 3 + 2a + b < 0
Nên hàm số y = f (x) đồng biến trên (1;4) mà y 1 = | f (|x|)| bằng
< 2 < 4 ⇒ f (1) < f (2) < f (4). Chọn đáp án B A. 11. B. 9. C. 2. D. 5. □ Lời giải.
CÂU 111. Cho hàm số y Hàm số y
= f (x) có đạo hàm f ′(x) =
= f (x) (là hàm số bậc ba) liên tục trên R (1 .
− x)(x+2)· t(x)+2018 với mọi x ∈ R, và t(x) < 0 với mọi R. Hàm số g(x) Ta có f (0)
= f (1−x)+2018x+2019 nghịch
= −2 < 0, f (1) = −a + b − 1 > 0, f (2) =
biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? 2a + b + 3 < 0. và lim f (x) = +∞ nên ∃x A. (−∞; 3). B. (0; 3). 0 > 2, f (x0) > 0. x→+∞ Do đó, phương trình f (x) C. (1; = 0 có đúng 3 nghiệm +∞). D. (3; +∞). dương phân biệt trên R. Lời giải. Ta có g′(x)
Hàm số y = f (|x|) là hàm số chẵn. Do đó, hàm số = − f ′(1 − x) + 2018. Theo giả thiết f ′(x)
y = f (|x|) có 5 điểm cực trị.
= (1 − x)(x + 2) · t(x) + 2018 ⇒ f ′(1
Vậy hàm số y = |f (|x|)| có 11 điểm cực trị.
− x) = x(3 − x) · t(1 − x) + 2018. Từ đó suy ra g′(x) Chọn đáp án A □ = −x(3 − x) · t(1 − x).
Mà t(x) < 0, ∀x ∈ R ⇒ −t(1 − x) > 0, ∀x ∈ R nên dấu
CÂU 109. Cho hàm số bậc ba f (x) = ax3 + bx2 +
của g′(x) cùng dấu với x(3 − x).
cx + d đạt cực trị tại các điểm x1, x2 thỏa mãn
Vậy hàm số g(x) nghịch biến trên các khoảng
x1 ∈ (0;1), x2 ∈ (1;2). Biết hàm số đồng biến trên (−∞;0), (3;+∞).
khoảng (x1; x2) và đồ thị hàm số cắt trục tung tại Chọn đáp án D □
điểm có tung độ âm. Khẳng định nào sau đây đúng?
CÂU 112. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f ′(x) =
A. a < 0, b > 0, c > 0, d < 0. ³ x ´
x2 − 2x với mọi x ∈ R. Hàm số g(x) = f 1 − + 4x
B. a < 0, b < 0, c > 0, d < 0. 2
C. a > 0, b > 0, c > 0, d < 0.
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng
D. a < 0, b > 0, c < 0, d < 0. sau? Lời giải. A. (−∞; −6). B. (−6; 6). p p p
Vì hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực trị tại các C. ¡−6 2; 6 2¢. D. ¡−6 2; +∞¢. điểm x Lời giải.
1, x2 và hàm số đồng biến trên khoảng (x Ta có 1; x2) nên suy ra a < 0. 1 · ¸ ³ x ´ 1 ³ x ´2 ³ x ´
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ g′(x) = − f ′ 1 − + 4 = − 1 − − 2 1 − + âm nên 2 2 2 2 2 d < 0. 9 x2
Ta có y′ = 3ax2 + 2bx + c. Hàm số đạt cực trị tại 4 = − . các điểm x 2 8
1, x2 thỏa mãn x1 ∈ (0; 1), x2 ∈ (1; 2) 9 x2
nên suy ra y′ = 0 có hai nghiệm cùng dấu Xét −
> 0 ⇔ x2 < 36 ⇔ −6 < x < 6. 2 8 ⇒ 3ac < 0 ⇒ c > 0. Chọn đáp án B □
Mặt khác x1 ∈ (0;1), x2 ∈ (1;2) nên x1 + x2 > 0 ⇒ 2b − > 0 ⇒ b > 0. 3a
CÂU 113. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) =
Vậy a < 0, b > 0, c > 0, d < 0.
x2(x − 9)(x − 4)2. Khi đó hàm số g(x) = f (x2) đồng biến trên khoảng nào? Chọn đáp án A □ A. (−2; 2). B. (3 : +∞).
CÂU 110. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm C. (−∞; −3).
D. (−∞; −3) ∪ (0; 3).
f ′(x) = (x2 − 1)(x + 1)(5 − x). Mệnh đề nào sau đây Lời giải. đúng?
Ta có f ′(x) = x2(x − 9)(x − 4)2 ⇒ g′(x) = 2x · x4(x2 −
A. f (1) < f (4) < f (2).
B. f (1) < f (2) < f (4). 9)(x2 − 4)2. x = 0
C. f (2) < f (1) < f (4).
D. f (4) < f (2) < f (1). Lời giải.
g′(x) = 0 ⇔ 2x5(x2 − 9)(x2 − 4)2 = 0 ⇔ x = ±3. Ta có
Dựa vào sự so sánh ở các phương án, ta thấy chỉ x = ±2
cần xét sự biến thiên của hàm số trên khoảng bảng biến thiên 37
Đại số và giải tích 12 Trường PHTP THIÊN ĐÌNH L HÀM SỐ VD-VDC x −∞ −3 −2 0 2 3 +∞ (2; +∞).
Vậy số 3 thuộc khoảng đồng biến của hàm số g′ − 0 + 0 + 0 − 0 − 0 + g(x). Chọn đáp án B □ g
CÂU 116. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) =
x(x − 1)2(x − 2) với mọi x ∈ R. Hàm số g(x) = µ 5x ¶ f
đồng biến trên khoảng nào trong các x2 + 4 khoảng sau?
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (3; +∞). A. (−∞; −2). B. (−2; 1). Chọn đáp án B □ C. (0; 2). D. (2; 4).
CÂU 114. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) = Lời giải.
x2(x −1)(x −4)· t(x) với mọi x ∈ R và t(x) > 0 với mọi x = 0
x ∈ R. Hàm số g(x) = f ¡x2¢ đồng biến trên khoảng
Ta có f ′(x) = 0 ⇔ x(x − 1)2(x −2) = 0 ⇔ x = 1 . Xét nào trong các khoảng sau? x = 2 A. (−∞ − 2). B. (−2; −1). 20 − 5x2 µ 5x ¶ C. (−1; 1). D. (1; 2). g′(x) = · f ′ , ¡x2 + 4¢2 x2 + 4 Lời giải. 20 Ta có g′(x) − 5x2 = 0 = 2x f ′ ¡x2¢. 5x
Theo giả thiết f ′(x) = x2(x − 1)(x − 4)t(x) ⇒ f ′ ¡x2¢ = = 0 x = ±2 x2 + 4
x4 ¡x2 − 1¢¡x2 − 4¢ · t ¡x2¢. 5x x = 0 Từ đó suy ra
g′(x) = 2x5 ¡x2 − 1¢¡x2 − 4¢ · ¡x2¢. g′(x) = 0c ⇔ = 1 ⇔ x2 + 4
x = 1( nghiệm bội chẵn)
Mà t(x) > 0,∀x ∈ R nên dấu của g′(x) cùng dấu 5x = 2 2x5 ¡x2 − 1¢¡x2 − 4¢. x2 x = 4( nghiệm bội chẵn). + 4 5x Bảng biến thiên = 2 x2 + 4 x −∞ −2 −1 0 1 2 +∞ Bảng biến thiên y′ − 0 + 0 − 0 + − 0 + x −∞ −2 0 1 2 4 +∞ g′(x) − 0 + 0 − 0 − 0 + 0 + y g(x)
Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên (−2;−1).
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp Chọn đáp án B □
án, suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (2; 4).
Chú ý: Dấu của g′(x) được xác định như sau: Ví
CÂU 115. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f ′(x) =
dụ xét trên khoảng (4 + ∞) ta chọn x = 5
(x − 1)2 ¡x2 − 2x¢ với mọi x ∈ R. Hỏi số thực nào 20 − 5x2
dưới đây thuộc khoảng đồng biến của hàm số x = 5 → < 0 (1) ¡ g(x) x2 = f (x2 − 2x + 2)? + 4¢2 3 5x 25 µ 25 ¶ 25 µ 25 ¶2 µ 25 ¶ A. −2. B. −1. C. . D. 3. x = 5 → = ⇒ f ′ = − 1 − 2 < 2 x2 + 4 29 29 29 29 29 Lời giải. 0 (2) Ta có
Từ (1) và (2) suy ra g′(x) > 0 trên khoảng (4;+∞). Chọn đáp án D □
g′(x) = 2(x − 1) · f ′ ¡x2 − 2x + 2¢ h CÂU ii
117. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) =
= 2(x − 1) ¡x2 − 2x + 2 − 1¢2 ³¡x2 − 2x + 2¢2 − 2 ¡x2 − 2x + 2¢
(x −1)(3− x) với mọi x ∈ R. Hàm số y = f (x) đạt cực
= 2(x − 1)5 £(x − 1)4 − 1¤ . đại tại A. x = 0. B. x = 1. C. x = 2. D. x = 3. · 0 < x < 1 Lời giải.
Xét 2(x − 1)5 £(x − 1)4 − 1¤ > 0 ⇔ . Suy x > 2 · x = 1
ra hàm số đồng biến trên các khoảng Ta có f ′(x) . (0; 1) và
= 0 ⇔ (x − 1)(3 − x) = 0 ⇔ x = 3
Đại số và giải tích 12 38 L Trường PHTP THIÊN ĐÌNH HÀM SỐ VD-VDC Bảng biến thiên Lời giải. x −∞ 1 3 +∞
Ta có g′(x) = f ′(x) − 1 = (x + 1)(x − 1)2 (x − 2). f ′(x) − 0 + 0 − x = −1
g′(x) = 0 ⇔ (x + 1)(x − 1)2 (x − 2) = 0 ⇔ x = 1 . x f (x) = 2 Ta có bảng biến thiên x −∞
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y −1 1 2 +∞ = f (x)
đạt cực đại tại x = 3. h′(x) − 0 + 0 + 0 − Chọn đáp án D □ +∞
CÂU 118. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) = h(x)
¡x2 − 1¢(x − 4) với mọi x ∈ R. Hàm số g(x) = f (3 − x) có bao nhiêu cực đại? −∞ A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Ta thấy x = −1 và x = 2 là các nghiệm đơn còn Lời giải.
x = 1 là nghiệm kép nên hàm số g(x) có 2 điểm
Ta có g′(x) = −f ′(3 − x) = £(3 − x)2 − 1¤ · [4 − (3 − x)] = cực trị. (2 − x)(4 − x)(x + 1). Chọn đáp án B □ x = −1
CÂU 121. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp 3,
g′(x) = 0 ⇔ (2 − x)(4 − x)(x + 1) = 0 ⇔ x = 2 .
liên tục trên R và thỏa mãn x = 4 Lập bảng biến thiên
f (x) · f ′′′(x) = x (x − 1)2 (x + 4)3 với mọi x ∈ R. x −∞ −1 2 4 +∞
Hàm số g(x) = £f ′(x)¤2 − 2f (x) · f ′′(x) có bao nhiêu điểm cực trị? g′(x) − 0 + 0 − 0 + A. 1. B. 2. C. 3. D. 6. Lời giải. g(x)
Ta có g′(x) = 2f ′′(x) · f ′(x) − 2f ′(x) · f ′′(x) − 2f (x) ·
f ′′′(x) = −2f (x) · f ′′′(x). x
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số g(x) đạt cực = 0 đại tại x = 2.
g′(x) = 0 ⇔ f (x)·f ′′′(x) = 0 ⇔ x (x − 1)2 (x + 4)3 = 0 ⇔ x = 1 . Chọn đáp án B □ x = −4
CÂU 119. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) = Ta có bảng biến thiên
x2(x − 1)(x − 4)2 với mọi x ∈ R. Hàm số g(x) = f ¡x2¢
có bao nhiêu điểm cực trị? x −∞ −4 0 1 +∞ A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. g′(x) − 0 + 0 + 0 − Lời giải.
Ta có g′(x) = 2x · y′ ¡x2¢ = 2x5 ¡x2 − 1¢¡x2 − 4¢2. +∞ g′(x) = 0 ⇔ 2x5 ¡x2 − 1¢¡x2 − 4¢2 = 0 ⇔ g(x) x = ±1 −∞ x = 0
. Ta thấy x = ±1 và x = 0 là
Ta thấy x = 0 và x = −4 là các nghiệm đơn nên (x − 2)2(x + 2)2 = 0.
hàm số g(x) có 2 điểm cực trị.
các nghiệm bội lẻ, do đó hàm số g(x) có 3 điểm Chọn đáp án B □ cực trị.
CÂU 122. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f ′(x) = Chọn đáp án B □
(x + 1)4 (x − 2)5 (x + 3)3. Số điểm cực trị của hàm số
CÂU 120. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) = f (|x|) là
(x + 1)(x − 1)2 (x − 2) + 1 với mọi x ∈ R. A. 5. B. 3. C. 1. D. 2.
Hàm số g(x) = f (x) − x có bao nhiêu điểm cực Lời giải. trị?
Nhận xét. Số điểm cực trị của hàm số f (|x|) là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
2a + 1, trong đó a là số điểm cực trị dương của 39
Đại số và giải tích 12 Trường PHTP THIÊN ĐÌNH L HÀM SỐ VD-VDC hàm số f (x). Ta có bảng biến thiên
Ta có f ′(x) = 0 ⇔ (x + 1)3 (x − 2)5 (x + 3)3 = 0 ⇔ x −∞ −2 0 +∞ x = −1 y′ − 0 − 0 + x = 2 . +∞ +∞ x = −3 y
Do f ′(x) chỉ đổi dấu khi x đi qua x = −3 và x = 2 f (0)
nên hàm số f (x) có 2 điểm cực trị x = −3 và x = 2
trong đó chỉ có 1 điểm cực trị dương.
Suy ra bảng biến thiên của hàm số y = (|x|)
Do f (|x|) = f (x) nếu x ≥ 0 và f (|x|) là hàm số chẵn x −∞ 0 +∞
nên hàm số f (|x|) có 3 điểm cực trị x = 2, x = 0. y′ − 0 + Chọn đáp án B □ +∞ +∞ y
CÂU 123. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) = f (0)
(x − 1)(x − 2)4(x2 − 4). Số điểm cực trị của hàm số
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y = y = f (|x|).
f (|x|) có 1 điểm cực trị. A. 2. B. 3 . C. 4 . D. 5. Chọn đáp án D □ Lời giải.
CÂU 125. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) = x = 1
x(x − 1)2(x2 + mx + 9) với mọi x ∈ R và m là tham
số. Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số
f ′(x) = 0 ⇔ (x − 1)(x − 2)4(x2 − 4) ⇔ x = 2
g(x) = f (3−x) đồng biến trên khoảng (3;+∞)? x = −2. A. 5. B. 6. C. 7. D. 8. Ta có bảng biến thiên Lời giải. x −∞ −2 0 1 2 +∞ Từ giả thiết suy ra
f ′(3 − x) = (3 − x)(2 − y′ − 0 + + 0 − 0 +
x)2 £(3 − x)2 + m(3 − x) + 9¤. +∞ f (0) +∞
Ta có g′(x) = −f ′(3 − x). y
Do đó hàm số g(x) đồng biến trên (3; +∞) khi và
chỉ khi g′(x) ≥ 0, ∀x ∈ (3;+∞) f (− ( 2) − f (2)
⇔ f ′(3 − x) ≥ 0, ∀x ∈ (3; +∞)
Suy ra bảng biến thiên của hàm số y = (|x|)
⇔ (3 − x)(2 − x)2 £(3 − x)2 + m(3 − x) + 9¤ ≥ 0, ∀x ∈ x −∞ (3; −2 −1 0 1 2 +∞ +∞) (x − 3)2 + 9 y′ − 0 + 0 − + 0 − 0 + ⇔ m ≤
, ∀x ∈ (3;+∞) ⇔ m ≤ min h(x) x − 3 (3;+∞) −∞ f (− ( 1) − f (1) +∞ (x − 3)2 + 9 với h(x) . y = x − 3 9 f (− ( 2) − f (0) f (2)
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có h(x) = x−3+ ≥ x − 3 r
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y = 9 2 (x − 3) · = 6, ∀x ∈ (3; +∞)
f (|x|) có 5 điểm cực trị. x − 3
Suy ra min h(x) = 6 khi x = 6. Do đó m ≤ 6 ⇒ m ∈ Chọn đáp án D □ (3;+∞) {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Chọn đáp án B □
CÂU 124. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) =
CÂU 126. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) =
x(x + 2)4(x2 + 4). Số điểm cực trị của hàm số y =
x2(x − 1)(x2 + mx + 5), ∀x ∈ R và m là tham số. Có f (|x|).
bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số g(x) = f (x2) A. 3. B. 2 . C. 0 . D. 1.
đồng biến trên (1; +∞)? A. 3. B. 4. C. 5. D. 7. Lời giải. Lời giải. "x = 0
Từ giả thiết suy ra f ′(x2) = x4(x2 −1)(x4 + mx2 +5).
f ′(x) = 0 ⇔ x(x + 2)4(x2 + 4) ⇔ x =−2. Ta có g′(x) = 2x f ′(x2).
Đại số và giải tích 12 40 L Trường PHTP THIÊN ĐÌNH HÀM SỐ VD-VDC
Để hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (1; +∞) Vậy 18 ≤ m < 100.
khi và chỉ khi g′(x) ≥ 0, ∀x ∈ (1;+∞) Chọn đáp án B □
⇔ 2x f ′(x2) ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞) ⇔ 2x · x4(x2 − 1)(x4 +
mx2 + 5) ≥ 0, ∀x ∈ (1;+∞)
CÂU 129. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) = −x4 − 5
x2(x + 1)(x2 + 2mx + 5). Có tất cả bao nhiêu giá trị
⇔ x4+mx2+5 ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞) ⇔ m ≥ , ∀x ∈ x2
nguyên của m để hàm số f (x) có đúng một điểm (1; +∞) cực trị? −x4 − 5
⇔ m ≥ max h(x) với h(x) = . A. 7. B. 0. C. 6. D. 5. (1;+∞) x2 Lời giải. −x4 − 5 Khảo sát hàm số h(x) = trên (1; +∞) ta
f ′(x) = 0 ⇔ x2(x + 1)(x2 + 2mx + 5) = 0 ⇔ x2 p x = 0 được max h(x) = −2 5. (1;+∞) p x = −1 Suy ra m
≥ −2 5 ⇒ m ∈ {−4, −3, −2, −1}. x2 + 2mx + 5 = 0 (1) Chọn đáp án B □
Để hàm số f (x) có đúng một điểm cực trị có các
CÂU 127. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) = trường hợp sau:
x(x − 1)2(3x4 + mx3 + 1), với mọi x ∈ R và m là
+ Phương trình (1) vô nghiệm: khi đó m2 − 5 <
tham số. Có bao nhiêu số nguyên âm để hàm số p p 0 ⇔ − 5 < m < 5.
g(x) = f (x2) đồng biến trên khoảng (0;+∞).
+ Phương trình (1) có nghiệm kép bằng −1: khi A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. p ( ( m2 − 5 = 0 m = ± 5 Lời giải. đó ⇔ ⇒ m ∈ ∅ − 2m + 6 = 0 m = 3
Từ giả thiết suy ra f ′(x2) = x2(x2 − 1)2(3x8 + mx6 +
+ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, 1). (m2 −5 > 0 Ta có g′(x) = 2x f ′(x2).
trong đó có một nghiệm bằng −1:
Để hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (0; − 2m + 6 = 0 +∞) p "
khi và chỉ khi g′(x) ≥ 0, ∀x ∈ (0;+∞) ⇔ 2x f ′(x2) ≥ m > 5 p
0, ∀x ∈ (0;+∞) ⇔ 2x · x2(x2 − 1)2(3x8 + mx6 + 1) ≥ 0, ⇔
m < − 5 ⇔ m = 3. Vậy giá trị nguyên
∀x ∈ (0; +∞) ⇔ 3x8 + mx6 + 1 ≥ 0, ∀x ∈ (0; +∞) m = 3 −3x8 − 1 ⇔ m ≥
⇔ m ≥ max h(x) với h(x) = m ∈ {−2;−1;0;1;2;3}. x6 (0;+∞) Chọn đáp án C □ −3x8 − 1 . x6
CÂU 130. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) = −3x8 + 1 Khảo sát hàm h(x) = trên (0; +∞) ta
(x − 1)2(x2 − 2x) với mọi x ∈ R. Có bao nhiêu giá x6
trị nguyên dương của tham số m để hàm số
được max h(x) = −4. Suy ra m ≥ −4. Vậy m ∈ (0;+∞)
g(x) = f (x2 − 8x + m) có 5 điểm cực trị? {−4;−3;−2;−1}. A. 15. B. 16. C. 17. D. 18. Chọn đáp án B □ Lời giải.
CÂU 128. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f ′(x) =
Cách 1: Xét f ′(x) = 0 ⇔ (x − 1)2(x2 − 2x) = 0 ⇔
(x − 1)2(x2 − 2x) với mọi x ∈ R và m là tham số. Có x = 1
bao nhiêu số nguyên m < 100 để hàm số g(x) = x = 0
f (x2 −8x+m) đồng biến trên khoảng (4;+∞)? x = 2 A. 18. B. 82. C. 83. D. 84.
Ta có g′(x) = 2(x − 4) · f ′(x2 − 8x + m) Lời giải. g′(x) "
= 0 ⇔ 2(x − 4) · f ′(x2 − 8x + m) = 0 ⇔ x < 0
Ta có f ′(x) = (x − 1)2(x2 − 2x) > 0 ⇔ . x = 4 x > 2 x2 − 8x + m = 1
Xét hàm số g′(x) = (2x − 8)f ′(x2 − 8x + m).
Để hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (4; +∞) x2 − 8x + m = 0 (1)
khi và chỉ khi g′(x) ≥ 0, ∀x > 4 x2 − 8x + m = 2 (2)
⇔ (2x−8) f ′(x2 −8x+m) ≥ 0, x > 4 ⇔ f ′(x2 −8x+m) ≥
Yêu cầu bài toán ⇔ g′(x) = 0 có 5 nghiệm bội lẻ 0, ∀x > 4
⇔ mỗi phương trình (1), (2) đều có hai nghiệm
"x2 − 8x + m ≤ 0, ∀x ∈ (0;+∞) phân biệt khác 4. (∗) ⇔ ⇔ x ≥ 18.
x2 − 8x + m ≥ 2, ∀x ∈ (0;+∞)
Xét đồ thị (C) của hàm số y = x2−8x và hai đường 41
Đại số và giải tích 12 Trường PHTP THIÊN ĐÌNH L HÀM SỐ VD-VDC thẳng d
1 : y = −m, d2 : y = −m + 2 (như hình vẽ). x2 = 0 x = 0 y Xét f ′(x) = 0 ⇔ x x + 1 = 0 ⇔ = −1 . 4 x x2 + 2mx + 5 = 0 x2 + 2mx + 5 = 0 (1)
Do đó (∗) ⇔ (1) có hai nghiệm dương phân biệt ∆′ = m2 − 5 > 0 p ⇔ S = −2m > 0 ⇔ m < − 5. P = 5 > 0
Suy ra m ∈ {−9;−8;−7;−6;−5;−4;−3}. Chọn đáp án B □ y = 2 − m
CÂU 132. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) =
x2(x + 1)(x2 + 2mx + 5) với mọi x ∈ R. Có bao nhiêu y = −m
giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số −16
g(x) = f (|x|) có đúng 1 điểm cực trị? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Khi đó (∗) ⇔ d1, d2 cắt (C) tại bốn điểm phân biệt Lời giải.
⇔ −m > −16 ⇔ m < 16
Vậy có 15 giá trị m nguyên dương thỏa. x2 = 0 x Cách 2: Đặt Xét f ′(x) g(x) + 1 = 0
= f (x2 − 8x + m). Ta có f ′(x) = = 0 ⇔ ⇔
(x−1)2(x2−2x) ⇒ g′(x) = (2x−8)(x2−8x+m−1)2(x2− x2 + 2mx + 5 = 0 8x + m)(x2 − 8x + m − 2) x = 0 x = 4 x = −1 . x2 − 8x + m = 1(1) g′(x) x2 = 0 ⇔ + 2mx + 5 = 0(1) . Các phương x2 − 8x + m = 0(2)
Theo yêu cầu bài toán ta suy ra x2 − 8x + m − 2 = 0(3)
Trường hợp 1. Phương trình (1) có hai nghiệm
trình (1), (2), (3) không có nghiệm chung từng đôi ∆′ = m2 −5 > 0 p
một và (x2 − 8x + m − 2)2 ⩾ 0 với ∀x ∈ R nên g(x) có
âm phân biệt ⇔ S = −2m < 0 ⇔ m > 5
5 cực trị khi và chỉ khi (1) và (2) có hai nghiệm P = 5 > 0 16 − m > 0
Trường hợp này không có giá trị m thỏa yêu cầu 16 − m − 2 > 0 bài toán. phân biệt và khác 4 ⇔ ⇔ 16
Trường hợp 2. Phương trình (1) vô nghiệm hoặc − 32 + m ̸= 0 p p có nghiệm kép 5 5. 16 − 32 + m − 2 ̸= 0
⇔ ∆′ = m2−5 ⩽ 0 ⇔ − ⩽ m ⩽ m Suy ra m < 16 ∈ {−5; −1}. Chọn đáp án A □
m < 18 ⇔ m < 16. Vì m nguyên dương và m < 16 m
CÂU 133. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) = ̸= 16
(x + 1)2(x2 + m2 − 3m − 4)3(x + 3)5 với mọi x ∈ R. Có m ̸= 18
bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm
nên có 15 giá trị m cần tìm.
số g(x) = f (|x|) có 3 điểm cực trị? Chọn đáp án A □ A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Lời giải.
CÂU 131. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) = x + 1 = 0
x2(x + 1)(x2 + 2mx + 5) với mọi x ∈ R. Có bao nhiêu Xét f ′(x) = 0
⇔ x2 + m2 − 3m − 4 = 0 ⇔
giá trị nguyên của tham số m > −10 để hàm số x + 3 = 0
g(x) = f (|x|) có 5 điểm cực trị? x = −1 A. 6. B. 7. C. 8. D. 9. x = −3 Lời giải. x2 + m2 − 3m − 4 = 0(1)
Do tính chất đối xứng qua trục O y của đồ thị
Yêu cầu bài toán ⇔ (1) có hai nghiệm trái dấu
hàm thị hàm số f (|x|) nên yêu cầu bài toán
⇔ m2 − 3m − 4 < 0 ⇔ −1 < m < 4.
⇔ f (x) có 2 điểm cực trị dương. (∗) Suy ra m ∈ {0;1;2;3}.
Đại số và giải tích 12 42 L Trường PHTP THIÊN ĐÌNH HÀM SỐ VD-VDC Chọn đáp án B □
CÂU 134. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) =
(x + 1)4(x − m)5(x + 3)3 với mọi x ∈ R. Có bao nhiêu
giá trị nguyên của tham số m ∈ [−5;5] để hàm số
g(x) = f (|x|) có 3 điểm cực trị? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Lời giải. x + 1 = 0 x = −1
Xét f ′(x) = 0 ⇔ x − m = 0 ⇔ x = m x + 3 = 0 x = −3
Nếu m = −1 thì hàm số y = f (x) có hai điểm cực
trị âm (x = −3; x = −1). Khi đó, hàm số g(x) = f (|x|)
chỉ có 1 cực trị là x = 0. Do đó m = −1 không thỏa yêu cầu đề bài.
Nếu m = −3 thì hàm số y = f (x) không có cực trị.
Khi đó, hàm số g(x) = f (|x|) chỉ có 1 cực trị là
x = 0. Do đó m = −3 không thỏa yêu cầu đề bài. (m ̸= −1 Khi
thì hàm số y = f (x) có hai điểm cực m ̸= −3 trị là x = m và x = −3.
Để hàm số g(x) = f (|x|) có 3 điểm cực trị thì hàm
số y = f (x) phải có hai điểm cực trị trái dấu
⇔ m > 0. Suy ra m ∈ {1; 2; 3; 4; 5}. Chọn đáp án C □ 43
Đại số và giải tích 12
Document Outline
- ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ, GTLN-GTNNTƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM (VD-VDC)