203 bài tập nguyên hàm – tích phân và ứng dụng trong các đề thi thử THPT 2021 môn Toán

203 bài tập nguyên hàm – tích phân và ứng dụng trong các đề thi thử THPT 2021 môn Toán được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Môn:

Toán 12 3.8 K tài liệu

Thông tin:
126 trang 1 năm trước
Tác giả:
Student
Mai Nguyệt
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

203 bài tập nguyên hàm – tích phân và ứng dụng trong các đề thi thử THPT 2021 môn Toán

203 bài tập nguyên hàm – tích phân và ứng dụng trong các đề thi thử THPT 2021 môn Toán được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

73 37 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng 199 tài liệu

Môn: Toán 12 3.8 K tài liệu

Thông tin:

126 trang 1 năm trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
GV. LƯƠNG ANH NHẬT
3
GV. LƯƠNG ANH NHẬT
CHUYÊN ĐỀ
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
TỪ ĐỀ CÁC TRƯỜNG CHUYÊN 2020 - 2021
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 1 | HNT.E
NGUYÊN HÀM
ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT – NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
Câu 1: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 02) Mệnh đề nào sau đây sai?
Ⓐ
1
lndx x C
x
=+
. Ⓑ
.
Ⓒ
2
1
2
x
xdx C
+
=+
. Ⓓ
sin cosxdx x C=+
.
Câu 2: (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021) Hàm số
( )
42
3f x x x=−
có họ nguyên hàm là
Ⓐ
( )
3
6.F x x x C= − +
Ⓑ
( )
53
.F x x x C= + +
Ⓒ
( )
5
3
.
5
x
F x x C= + +
Ⓓ
( )
5
3
.
5
x
F x x C= − +
Câu 3: (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021) Họ nguyên hàm của
hàm số
( )
2x
f x e=
là
Ⓐ
( )
2
.
x
F x e C=+
Ⓑ
( )
3
.
x
F x e C=+
Ⓒ
( )
2
2.
x
F x e C=+
Ⓓ
( )
2
1
.
2
x
F x e C=+
Câu 4: (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2020-2021) Họ nguyên hàm của hàm số
53yx=−
là:
Ⓐ
( )
3
2
5 3 .
9
xC−+
Ⓑ
2
5 3 .
3
xC− − +
Ⓒ
( )
3
2
5 3 .
9
xC− − +
Ⓓ
1
5 3 .
2
xC−+
Câu 5: (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hàm số
( )
32
4 3 2 1f x x x x= − + −
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Ⓐ
( )
4 3 2
4df x x x x x x C= − + − +
. Ⓑ
( )
4 3 2
df x x x x x x C= − + − +
.
Ⓒ
( )
4 3 2
1
4
df x x x x x x C= − + − +
. Ⓓ
( )
4 3 2
12 6df x x x x x x C= − + − +
.
Câu 6: (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hàm số
( )
s
in3f x x=
. Trong
các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Ⓐ
( )
3
cos3df x x x C= − +
. Ⓑ
( )
3
cos3df x x x C=+
.
Ⓒ
( )
1
cos3
3
df x x x C= − +
. Ⓓ
( )
1
cos3
3
df x x x C=+
.
Câu 7: (CHUYÊN NGUYỄN BÌNH KHIÊM QUẢNG NAM NĂM 2020-2021) Cho
( )
Fx
là
một nguyên hàm của hàm số
( )
s
in2f x x=
và
1
4
F

=


. Tính
6
F



.
Ⓐ
1
62
F

=


. Ⓑ
5
64
F

=


. Ⓒ
3
64
F

=


. Ⓓ
0
6
F

=


.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 2 | HNT.E
Câu 8: (CHUYÊN NGUYỄN BÌNH KHIÊM QUẢNG NAM NĂM 2020-2021) Họ tất cả các
nguyên hàm của hàm số
2
( ) sinf x x
x
=+
.
Ⓐ
2
2
cos xC
x
−+
. Ⓑ
cos 2lnx x C− + +
.
Ⓒ
cos 2lnx x C− − +
. Ⓓ
cos 2lnx x C++
.
Câu 9: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho
C
là
một hằng số. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?
Ⓐ
2
2 dx x x C=+
. Ⓑ
sin d cosx x x C=+
.
Ⓒ
1
d ln | |x x C
x
=+
. Ⓓ
e d e
xx
xC=−
.
Câu 10: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số
( )
s
in3f x x=
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Ⓐ
( )
d
3cosf x x x C=+
. Ⓑ
( )
1
d cos
3
f x x x C=+
.
Ⓒ
( )
d
3cos3f x x x C=+
. Ⓓ
( )
1
d cos3
3
f x x x C= − +
.
Câu 11: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Họ nguyên hàm của hàm số
( )
e=+
x
f
x x
là:
Ⓐ
2
e
2
++
x
x
C
. Ⓑ
e1++
x
C
. Ⓒ
2
1
1
e
12
+
++
+
x
x
C
x
. Ⓓ
2
1
e
22
++
x
x
C
.
Câu 12: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Tìm họ nguyên hàm
1
d
1
xx
x

+

−

Ⓐ
2
ln 1x x C+ − +
. Ⓑ
1
1
xC
x
++
−
. Ⓒ
2
ln 1
2
x
xC+ − +
. Ⓓ
( )
2
1
1
1
C
x
−+
−
.
Câu 13: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho hàm số
( )
Fx
,
( )
fx
liên
tục trên khoảng
K
, khi đó
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm
( )
fx
trên khoảng
K
nếu với mọi
xK
ta có
Ⓐ
( ) ( )
F
x f x
=
. Ⓑ
( ) ( )
F
x f x

=
. Ⓒ
( ) ( )
F
x f x
=
. Ⓓ
( ) ( )
F
x f x

=
.
Câu 14: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hàm số
( )
c
os2f x x=
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Ⓐ
( )
sin2
d
2
x
f x x C= − +
. Ⓑ
( )
sin 2
d
2
x
f x x C=+
.
Ⓒ
( )
d
2sin2f x x x C= − +
. Ⓓ
( )
d
2sin2f x x x C=+
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 3 | HNT.E
Câu 15: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( )
2
3f x x=
.
Ⓐ
( )
d6f
x x x C=+
. Ⓑ
( )
df
x x x C=+
.
Ⓒ
( )
3
df x x x C=+
. Ⓓ
( )
3
1
d
3
f x x x C=+
.
Câu 16: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( ) 2 cos2 .f x x x=+
Ⓐ
2
sin2x x C−+
. Ⓑ
2
1
sin 2
2
x x C++
.
Ⓒ
2
sin2x x C++
. Ⓓ
2
1
sin 2
2
x x C−+
.
Câu 17: (THPT CHUYÊN NAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 01)
tan dxx
bằng
Ⓐ
2
1
sin
C
x
−+
. Ⓑ
ln cos xC+
. Ⓒ
2
1
cos
C
x
+
. Ⓓ
ln cos xC−+
.
Câu 18: (THPT CHUYÊN NAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 01) Một nguyên
hàm của hàm số
1
()
23
fx
x
=
−
là
()Fx
bằng
Ⓐ
( )
2
2
23x
−
−
. Ⓑ
( )
2
1
2 2 3x −
. Ⓒ
2ln 2 3x −
. Ⓓ
1
ln 2 3
2
x −
.
Câu 19: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM NĂM 2020-2021) Họ nguyên hàm của hàm
số
( )
2x
f x e=
là
Ⓐ
1
2
x
eC+
. Ⓑ
2
1
2
x
eC+
. Ⓒ
2
2
x
eC+
. Ⓓ
2
x
eC+
.
Câu 20: (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021 LẦN 01) Họ các
nguyên hàm của hàm số
( )
5
x
f
x x=−
là
Ⓐ
2
5
ln5 2
x
x
C−+
. Ⓑ
2
5
x
xC−+
. Ⓒ
2
5 ln2
2
x
x
C−+
. Ⓓ
5
1
ln5
x
C−+
.
Câu 21: (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021 LẦN 01) Họ
nguyên hàm của hàm số
( )
s
in 4f x x x=+
là
Ⓐ
2
cos 4x x C− + +
. Ⓑ
2
cos 4x x C++
. Ⓒ
2
cos 2x x C− + +
. Ⓓ
2
cos 2x x C++
.
Câu 22: (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021 LẦN 01) Tìm
nguyên hàm của hàm số
( )
1
32
fx
x
=
−
.
Ⓐ
d
ln 3 2
32
x
xC
x
= − +
−
. Ⓑ
d1
ln 3 2
3 2 2
x
xC
x
= − − +
−
.
Ⓒ
d1
ln 3 2
3 2 3
x
xC
x
= + +
−
. Ⓓ
d1
ln 2 3
3 2 3
x
xC
x
= − +
−
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 4 | HNT.E
Câu 23: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP NĂM 2020-2021) Nguyên hàm
của hàm số
( )
3
29f x x=−
là.
Ⓐ
4
1
9
2
x x C−+
. Ⓑ
3
49x x C−+
. Ⓒ
4
49x x C−+
. Ⓓ
4
1
4
xC+
.
Câu 24: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau
Ⓐ
4
3
d
4
xC
xx
+
=
. Ⓑ
( )
2
e d 2 e
xx
xC=+
.
Ⓒ
sin d cosx x C x=−
. Ⓓ
1
d lnx x C
x
=+
.
Câu 25: Họ nguyên hàm của hàm số
( )
2
sin2f x x x=+
là
Ⓐ
2
1
cos2
2
x x C−+
. Ⓑ
2
2cos2x x C++
.
Ⓒ
2
1
cos2
2
x x C++
. Ⓓ
2
2cos2x x C−+
.
Câu 26: (THPT CHUYÊN PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 02) Họ tất cả các nguyên hàm
của hàm số
32)( += xxf
là
Ⓐ
Cxx ++ 32
2
. Ⓑ
Cx +
2
2
. Ⓒ
Cx +
2
. Ⓓ
Cxx ++ 3
2
.
Câu 27: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021) Cho hàm số
( )
1
21f x x
x
= + +
.
( )
Fx
là một nguyên hàm của
( )
fx
thỏa mãn
( )
10F =
. Trong các
khẳng định sau khẳng định nào đúng?
Ⓐ
( )
2
ln 2F x x x x= + + −
. Ⓑ
( )
2
ln 2F x x x x= + + +
.
Ⓒ
( )
2
ln 2F x x x x= + − −
. Ⓓ
( )
2
ln 2F x x x x= − + +
.
Câu 28: (SGD&ĐT LAI CHÂU NĂM 2020-2021) Một nguyên hàm của hàm số
2
( ) 3 1f x x=+
là:
Ⓐ
6x
. Ⓑ
3
1x +
. Ⓒ
3
xx+
. Ⓓ
3
3xx+
.
Câu 29: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 03) Cho hàm số
( )
3
4 3.f x x=+
Mệnh đề nào sau đây đúng ?
Ⓐ
( )
4
d 3 .f x x x x C= + +
Ⓑ
( )
4
1
d 3 .
4
f x x x x C= + +
Ⓒ
( )
4
d 4 3 .f x x x x C= + +
Ⓓ
( )
3
d 12 3 .f x x x x C= + +
Câu 30: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Họ tất cả các
nguyên hàm của hàm số
2
()
x
fx
x
−
=
trên khoảng
(0; )+
là
Ⓐ
2
2
xC
x
++
. Ⓑ
2lnx x C−+
. Ⓒ
2lnx x C++
. Ⓓ
2
2
xC
x
−+
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 5 | HNT.E
Câu 31: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NINH NĂM 2020-2021) Họ nguyên hàm của
hàm số
2
( ) 3 sinf x x x=−
là
Ⓐ
6 cosx x C−+
. Ⓑ
3
cosx x C−+
. Ⓒ
3
cosx x C++
. Ⓓ
3
sinx x C−+
Câu 32: (CHUYÊN LONG AN NĂM 2020-2021 LẦN 03) Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( )
2
3 sinf x x x=+
(
C
là hằng số)
Ⓐ
3
cos .x x C−+
Ⓑ
6 cos .x x C++
Ⓒ
3
cos .x x C++
Ⓓ
6 cos .x x C−+
Câu 33: (CHUYÊN LONG AN NĂM 2020-2021 LẦN 03) Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( )
3x
f x e=
(
C
là hằng số)
Ⓐ
( )
3
3
x
f x x e C=+
d
. Ⓑ
( )
3
3
x
e
f x x C=+
d
.
Ⓒ
( )
3x
f x x e C=+
d
. Ⓓ
( )
31
31
x
e
f x x C
x
+
=+
+
d
.
Câu 34: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN VŨNG TÀU NĂM 2020-2021) Một nguyên hàm của hàm
số
( )
2
31f x x=+
là
Ⓐ
6x
. Ⓑ
3
1x +
. Ⓒ
3
xx+
. Ⓓ
3
3xx+
.
Câu 35: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề
sau
Ⓐ
4
3
4
xC
x dx
+
=
. Ⓑ
2 2( )
xx
e dx e C=+
.
Ⓒ
sinx cosdx C x=−
. Ⓓ
1
lndx x C
x
=+
.
Câu 36: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Họ nguyên hàm của hàm số
( )
2
sin2f x x x=+
là:
Ⓐ
2
1
cos2
2
x x C−+
. Ⓑ
2
2cos2x x C++
. Ⓒ
2
1
cos2
2
x x C++
. Ⓓ
2
2cos2x x C−+
Câu 37: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 02) Họ tất cả nguyên
hàm của hàm số
( )
c
os2f x x=
Ⓐ
2sin2xC+
. Ⓑ
1
sin 2
2
xC−+
. Ⓒ
1
sin 2
2
xC+
. Ⓓ
2sin2xC−+
.
Câu 38: (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho
( )
2
d 3 2 3f x x x x C= + − +
. Hỏi
( )
fx
là hàm số nào?
Ⓐ
( )
62f
x x=+
. Ⓑ
( )
32
3f x x x x C= + − +
.
Ⓒ
( )
62f
x x C= + +
. Ⓓ
( )
32
3f x x x x= + −
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 6 | HNT.E
Câu 39: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm
số
( )
1
sinf x x=+
là
Ⓐ
1 cos xC++
. Ⓑ
1 cosxC−+
. Ⓒ
cosx x C++
. Ⓓ
cosx x C−+
.
Câu 40: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm
số
( )
2x
f x e=
là
Ⓐ
x
eC+
. Ⓑ
2x
eC+
. Ⓒ
2
2
x
e
C+
. Ⓓ
2
x
e
C+
.
Câu 41: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 01) Họ các nguyên hàm của hàm
số
( ) sin3f x x=
là
Ⓐ
1
cos3
3
xC−+
. Ⓑ
cos3xC−+
. Ⓒ
cos3xC+
. Ⓓ
1
cos3
3
xC+
.
Câu 42: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hàm số
( )
21
, 1
1
x
f x x
x
+
=
−
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Ⓐ
( )
d 3ln 1 , 1f x x x C x= − +
. Ⓑ
( ) ( )
d
3ln 1 , 1f x x x C x= − +
.
Ⓒ
( )
d 2 3ln 1 , 1f x x x x C x= + − +
. Ⓓ
( ) ( )
d
3ln 1 , 1f x x x C x= − +
.
Câu 43: Biết
( )
2
f x dx x C=+
. Tính
( )
2f
x dx
Ⓐ
( )
2
1
2
2
f x dx x C=+
. Ⓑ
( )
2
1
2
4
f x dx x C=+
.
Ⓒ
( )
2
22f x dx x C=+
. Ⓓ
( )
2
24f x dx x C=+
.
Câu 44: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2020-2021) Tìm nguyên hàm
( )
3
4 2 1 dx x x++
.
Ⓐ
42
42x x x C+ + +
. Ⓑ
42
2x x x C+ + +
. Ⓒ
42
x x x C+ + +
. Ⓓ
4
2
4
x
x x C+ + +
.
Câu 45: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2020-2021) Biết rằng
( )
Fx
là
một nguyên hàm của
( )
c
os2=f x x
trên và
( )
0
0.=F
Tính giá trị của biểu thức
2.
24

=+
T F F
Ⓐ
2.=T
Ⓑ
3.=T
Ⓒ
1
.
2
=T
Ⓓ
1.=T
Câu 46: (THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020-2021 LẦN 01) Tính nguyên hàm
2
tan 2 dxx
.
Ⓐ
tan2 Cxx−+
. Ⓑ
1
tan2 C
2
xx−+
. Ⓒ
1
tan2 C
2
xx++
. Ⓓ
tan2 Cxx++
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 7 | HNT.E
Câu 47: (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021 LẦN 01) Cho
hàm số
( )
fx
xác định trên
1
\
3



thỏa mãn
( )
3
',
31
fx
x
=
−
( )
0
1.f =
Giá trị của
( )
1f −
bằng:
Ⓐ
3ln2 3+
. Ⓑ
2ln2 1+
. Ⓒ
3ln2 4+
. Ⓓ
12ln 2 3+
.
Câu 48: (THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021 LẦN 01) Với mọi hàm số
( )
fx
;
( )
gx
liên tục trên , cho các khẳng định sau:
( )
I
.
( ) ( ) ( ) ( )
d
d df x g x x f x x g x x− = −


.
( )
II
.
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
.
d d . df x g x x f x x g x x=


.
( )
III
. Nếu
( ) ( )
df
x x F x C=+
thì
( ) ( )
df
u u F u C=+
.
( )
IV
.
( ) ( )
ddk
f x x k f x x=

với mọi hằng số
k
.
Có bao nhiêu khẳng định sai?
Ⓐ
4
. Ⓑ
1
. Ⓒ
2
. Ⓓ
3
.
Câu 49: (THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021 LẦN 01) Biết rằng
( )
33
cos .sin3 sin .cos3 d cos4
a
x x x x x x C
b
+ = +
với
,ab
,
a
b
là phân số tối giản
( )
0
, 0ab
, tính
2ab+
.
Ⓐ
13−
. Ⓑ
13
. Ⓒ
10−
. Ⓓ
10
.
Câu 50: (THPT CHUYÊN PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho
( )
Fx
là một nguyên
hàm của hàm số
( )
2
x
f
x e x=+
thỏa mãn
( )
3
0
2
F =
. Tìm
( )
Fx
.
Ⓐ
( )
2
5
2
x
F x e x= + +
. Ⓑ
( )
2
1
2
2
x
F x e x= + −
.
Ⓒ
( )
2
3
2
x
F x e x= + +
. Ⓓ
( )
2
1
2
x
F x e x= + +
.
Câu 51: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021) Cho hàm số
( )
2
1 2cosf x x=−
. Tìm nguyên hàm của
( )
fx
?
Ⓐ
sin 2
2
x
C−+
. Ⓑ
sin 2
2
x
C+
. Ⓒ
sin2xC+
. Ⓓ
sin2xC−+
.
Câu 52: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NINH NĂM 2020-2021) Cho
( )
Fx
là một
nguyên hàm của hàm số
( )
1
21
fx
x
=
−
, biết
( )
01F =
. Giá trị
( )
2F −
bằng
Ⓐ
1
1 ln5
2
+
. Ⓑ
( )
1
1 ln5
2
+
. Ⓒ
1
1 ln3
2
+
. Ⓓ
1 ln5+
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 8 | HNT.E
Câu 53: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 02) Họ tất cả các
nguyên hàm của hàm số
( )
2
43
fx
x
=
−
trên khoảng
( )
1; +
là
Ⓐ
( )
2
ln 4 3 .xC−+
Ⓑ
( )
1
ln 4 3 .
2
xC−+
Ⓒ
( )
1
ln 4 3 .
4
xC−+
Ⓓ
( )
4
ln 4 3 .xC−+
Câu 54: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 01) Họ các nguyên hàm của hàm
số
( )
21
3
x
fx
−
=
là
Ⓐ
9
3
x
C+
. Ⓑ
9
3ln3
x
C+
. Ⓒ
9
6ln3
x
C+
. Ⓓ
9
6
x
C+
.
Câu 55: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho
( )
2
1
2
Fx
x
=
là một
nguyên hàm của hàm số
( )
fx
x
. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
lnf
x x
là
Ⓐ
( )
22
ln 1
ln d
x
f x x x C
xx
= + +
. Ⓑ
( )
22
ln 1
ln d
x
f x x x C
xx

= − + +


.
Ⓒ
( )
22
ln 1
ln d
2
x
f x x x C
xx

= − + +


. Ⓓ
( )
22
ln 1
ln d
2
x
f x x x C
xx
= + +
.
Câu 56: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho hàm số
( )
fx
thỏa mãn
( )
( )
( ) ( )
2
42
. 15 12 1,f x f x f x x x x
+ = + +
và
( )
00f =
. Tính giá trị của
( )
2
3 3 678Af=−
.
Ⓐ
2018
. Ⓑ
2021
. Ⓒ
2022
. Ⓓ
2019
.
Câu 57: (THPT CHUYÊN NAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 01) Cho hàm số
( )
fx
xác định trên , thỏa mãn
( )
'
2 1f x x=−
và
( )
35f =
. Giả sử phương trình
( )
999fx=
có hai nghiệm
1
x
và
2
x
. Tính tổng
12
log logS x x=+
.
Ⓐ
5
. Ⓑ
999
. Ⓒ
3
. Ⓓ
1001
.
Câu 58: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số
fx
có đạo hàm liên tục trên và thoả mãn
sin 1 cosf x x f x x
với mọi số thực
x
. Tính
6
f
.
Ⓐ
1
. Ⓑ
1
. Ⓒ
3
2
. Ⓓ
1
2
.
Câu 59: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho hàm số
( )
fx
thỏa mãn
( ) ( )
1
0
1 d 10x f x x
+=
và
( ) ( )
2
1 0 2ff−=
. Tính
( )
1
0
dI f x x=
.
Ⓐ
1I =
. Ⓑ
8I =
. Ⓒ
8I =−
. Ⓓ
12I =−
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 9 | HNT.E
Câu 60: (THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020-2021 LẦN 01) Tính nguyên hàm
2 3 2
(2 1) dx x x−
Ⓐ
( )
3
3
21
.
18
x
C
−
+
Ⓑ
( )
3
3
21
.
3
x
C
−
+
Ⓒ
( )
3
3
21
.
6
x
C
−
+
Ⓓ
( )
3
3
21
.
9
x
C
−
+
Câu 61: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP NĂM 2020-2021) Khi tính
nguyên hàm
3
d
1
x
x
x
−
+
, bằng cách đặt
1ux=+
ta được nguyên hàm nào?
Ⓐ
2
2 ( 4)du u u−
. Ⓑ
2
2( 1)duu−
. Ⓒ
2
2( 4)duu−
. Ⓓ
2
( 4)duu−
.
Câu 62: (THPT CHUYÊN PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 02) Tính nguyên hàm
d
4
x
xx+
bằng cách đặt
4tx=+
ta thu được nguyên hàm nào?
Ⓐ
2
2d
4
t
t −
. Ⓑ
( )
2
2d
4
tt
t −
. Ⓒ
( )
2
2d
4−
t
tt
. Ⓓ
2
d
4
t
t −
.
Câu 63: (SGD&ĐT LAI CHÂU NĂM 2020-2021) Cho
()Fx
là một nguyên hàm của hàm
()fx
trên . Hỏi
2
()Fx
là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây:
Ⓐ
2 . ( )x f x
. Ⓑ
2
. ( )x f x
. Ⓒ
2
()fx
. Ⓓ
2
2 . ( )x f x
.
Câu 64: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN VŨNG TÀU NĂM 2020-2021) Cho
( )
Fx
là một nguyên
hàm của hàm số
( )
fx
trên . Hỏi
( )
2
Fx
là một nguyên hàm của hàm số nào dưới
đây?
Ⓐ
( )
2.x
f x
. Ⓑ
( )
2
.x f x
. Ⓒ
( )
2
fx
. Ⓓ
( )
2
2.x f x
.
Câu 65: (THPT CHUYÊN NAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 01) Cho hàm số
()y f x=
có đạo hàm và liên tục trên
1
;2
, thỏa mãn
2
( ) ( )f x xf x x
=−
. Biết
(1) 3f =
. Tính
(2)f
.
Ⓐ
16
. Ⓑ
2
. Ⓒ
8
. Ⓓ
4
.
Câu 66: (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021 LẦN 01) Cho
( )
22
4 d .
x
f x x e x C= − +
Khi đó
( )
df
x x−
bằng
Ⓐ
2
2
4
4
x
e
xC++
. Ⓑ
2
2
1
4
4
x
e x C−+
. Ⓒ
2
2
1
4
4
x
e x C
−
− + +
. Ⓓ
2
2
4
x
x
eC
−

− + +


Câu 67: (THPT CHUYÊN PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 02) Biết
( ) ( )
2
2
1 ln ln
ln
+
= + +
mx x n px
dx x C
xx
với
, , ,m n p C
là các số thựⒸ Khi đó,
++m n p
bằng
Ⓐ
1+e
. Ⓑ
2+e
. Ⓒ
21−e
. Ⓓ
22−e
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 10 | HNT.E
Câu 68: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021) Cho
()Fx
là một nguyên hàm của
hàm số
( )
2021
2
2
1
()
1
xx
fx
x
++
=
+
và
( )
0
1.F =
Giá trị của
( )
1F
bằng
Ⓐ
( )
2020
1 2 2021
2020
+−
. Ⓑ
( )
2021
1 2 2020
2021
++
.
Ⓒ
( )
2020
1 2 2021
2020
++
. Ⓓ
( )
2021
1 2 2020
2021
+−
.
Câu 69: (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số
()fx
liên tục và có đạo
hàm trên
( )
2
; 2 \ 0−
, thỏa mãn
(1) 0f =
và
( )
()
()
'( ) 2 0
fx
fx
x
f x x e
e
+ + + =
. Giá trị của
1
2
f



bằng
Ⓐ
ln3
. Ⓑ
ln6
. Ⓒ
ln7
. Ⓓ
ln5
.
Câu 70: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hai hàm số
( ) ( )
,u
x v x
có đạo hàm lien tục trên . Chọn mệnh đề đúng?
Ⓐ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.
' . ' . 'u x v x dx u x v x u x v x dx=+

.
Ⓑ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.
' . ' . 'u x v x dx u x v x u x v x dx=−

.
Ⓒ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.
' . ' .u x v x dx u x v x u x v x dx=+

.
Ⓓ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.
' . ' .u x v x dx u x v x u x v x dx=−

.
Câu 71: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Tính nguyên hàm
1
d
ln
Ax
xx
bằng cách đặt
lntx
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ⓐ
dAt
. Ⓑ
2
1
dAt
t
. Ⓒ
1
dAt
t
. Ⓓ
dA t t
.
Câu 72: (THPT CHUYÊN NAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 01) Một nguyên
hàm của
ln x
bằng
Ⓐ
lnx x x−
. Ⓑ
1
x
. Ⓒ
lnx x x+
. Ⓓ
1 lnx x x−+
.
Câu 73: (THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020-2021 LẦN 01) Tìm nguyên hàm
( )
2
1 ln dx x x−
Ⓐ
( )
2
2
ln
2
x
x x x x C− − − +
. Ⓑ
( )
2
2
ln
2
x
x x x x C− + − +
.
Ⓒ
( )
2
2
ln
2
x
x x x x C− + + +
. Ⓓ
( )
2
2
ln
2
x
x x x x C− − + +
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 11 | HNT.E
Câu 74: (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021 LẦN 01) Cho
( )
( )
22
e
x
F x ax bx c= + −
là một nguyên hàm của hàm số
( )
( )
22
2020 2022 1 e
x
f x x x= + −
trên khoảng
( )
;−
+
. Tính
24T a b c= − +
.
Ⓐ
1012T =
. Ⓑ
2012T =−
. Ⓒ
1004T =
. Ⓓ
1018T =
.
Câu 75: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 03) Cho
( )
2
F x x=
là
một nguyên hàm của hàm số
( )
2x
f x e
. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
( )
2x
f x e
là
Ⓐ
2
2x x C− + +
. Ⓑ
2
x x C− + +
. Ⓒ
2
22x x C− + +
. Ⓓ
2
22x x C−+
.
Câu 76: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 01) Giả sử hàm số
( )
fx
có đạo
hàm liên tục trên. Biết rằng
( )
3
G x x=
là một nguyên hàm của
( ) ( )
2x
g x e f x
−
=
trên
. Họ tất cả các nguyên hàm của
( )
2x
e f x
−
là
Ⓐ
32
23x x C− + +
. Ⓑ
32
23x x C++
. Ⓒ
32
3x x C++
. Ⓓ
32
3x x C− + +
.
Câu 77: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN VŨNG TÀU NĂM 2020-2021) Cho hai hàm số
( ) ( )
,f
x g x
có đạo hàm trên và thỏa mãn
( ) ( )
,f
x g x x
+=
( ) ( )
g
x f x x
+ = −
x
. Biết
( ) ( )
0
0 1fg==
, tính
( )
1f
.
Ⓐ
2
2
e
−
. Ⓑ
1
2e
e
+−
. Ⓒ
2
2
2
e
e
−
. Ⓓ
2
2
2
e
e
+
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 12 | HNT.E
TÍCH PHÂN
ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT – TÍCH PHÂN CƠ BẢN
Câu 78: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho
( )
1
0
2f x dx =
,
( )
2
0
1f x dx =
. Tích phân
( )
2
1
f x dx
bằng
Ⓐ
1
. Ⓑ
2
. Ⓒ
1−
. Ⓓ
3
.
Câu 79: (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021) Cho
( ) ( )
1
0
2 d 12f x g x x−=


và
( )
1
0
d5g x x =
. Khi đó
( )
1
0
df x x
bằng
Ⓐ
2−
. Ⓑ
12
. Ⓒ
22
. Ⓓ
2
.
Câu 80: (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021) Giá trị của
2
0
sin dxx
bằng
Ⓐ
0
. Ⓑ
1
. Ⓒ
1−
. Ⓓ
2
.
Câu 81: (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2020-2021) Tích phân
1
2020
1
x dx
−
bằng
Ⓐ
1
2021
. Ⓑ
2
2021
. Ⓒ
2
2020
. Ⓓ
0
.
Câu 82: (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2020-2021 LẦN 04) Nếu
( )
1
0
3df x x =
và
( )
3
0
7df x x =
thì
( )
3
1
df x x
bằng
Ⓐ
10
. Ⓑ
4
. Ⓒ
4−
. Ⓓ
21
.
Câu 83: (CHUYÊN NGUYỄN BÌNH KHIÊM QUẢNG NAM NĂM 2020-2021) Cho hàm số
()y f x=
có đạo hàm trên đoạn
[0;2], (0) 1f =
và
2
0
'( ) 3.f x dx =−
Tính
(2)f
Ⓐ
(2) 4f =−
. Ⓑ
(2) 3f =−
. Ⓒ
(2) 2f =−
. Ⓓ
(2) 4f =
.
Câu 84: (CHUYÊN NGUYỄN BÌNH KHIÊM QUẢNG NAM NĂM 2020-2021) Cho
( ) ( )
,f
x g x
là các hàm số liên tục trên
R
thoả mn
( )
1
0
3;f x dx =
( ) ( )
2
0
34f x g x dx−=


và
( ) ( )
2
0
28f x g x dx+=


. Tnh
( )
2
1
f x dx
.
Ⓐ
0I =
. Ⓑ
2I =
. Ⓒ
1I =
. Ⓓ
3I =
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 13 | HNT.E
Câu 85: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021 LẦN 02) Nếu
( )
2
1
d5f x x =
và
( )
2
1
d9g x x =
thì
( ) ( )
2
1
2df x g x x+


bằng
Ⓐ
19
. Ⓑ
28
. Ⓒ
14
. Ⓓ
4
.
Câu 86: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021 LẦN 02) Nếu
( )
3
1
2 d 5f x x x−=


thì
( )
3
1
df x x
bằng
Ⓐ
9
. Ⓑ
13
. Ⓒ
10
. Ⓓ
12
.
Câu 87: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021 LẦN 02) Tích phân
2
0
cos d
π
xx
bằng
Ⓐ
1
. Ⓑ
0
. Ⓒ
2
. Ⓓ
2
.
Câu 88: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Tích phân
1
2
0
d
x
ex
bằng
Ⓐ
2
1e −
. Ⓑ
1
2
e −
. Ⓒ
( )
2
21e −
. Ⓓ
2
1
2
e −
.
Câu 89: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên
;ab
và
( )
Fx
là một nguyên hàm của
( )
fx
. Tìm khẳng định sai.
Ⓐ
( ) ( ) ( )
d
b
a
f
x x F b F a=−
. Ⓑ
( )
d0
a
a
f
x x =
.
Ⓒ
( ) ( )
dd
ba
ab
f
x x f x x=−

. Ⓓ
( ) ( ) ( )
d
b
a
f
x x F a F b=−
.
Câu 90: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 04) Nếu
( )
2
1
3f x dx =
và
( )
2
1
1g x dx =−
thì
( ) ( )
2
1
23f x g x dx+


bằng
Ⓐ
2
. Ⓑ
9
. Ⓒ
3
. Ⓓ
0
.
Câu 91: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 04) Tích phân
2
0
sin xdx
bằng
Ⓐ
2
−
. Ⓑ
1
. Ⓒ
1−
. Ⓓ
2
.
Câu 92: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2020-2021) Cho hàm số
( ) ( )
,f
x g x
liên tục trên
0
;1
và
( ) ( )
11
00
d 1, d 2= − =

f x x g x x
. Tính
( ) ( )
1
0
2 3 d+


f x g x x
Ⓐ
4
. Ⓑ 1. Ⓒ
2−
. Ⓓ
5
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 14 | HNT.E
Câu 93: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP NĂM 2020-2021) Cho hàm số
()fx
liên tục trên đoạn
0
;6
thoả mãn
6
0
( )d 10f x x =
và
4
2
( )d 6.f x x =
Tính giá trị
của biểu thức
26
04
( )d ( )d .P f x x f x x=+

Ⓐ 4. Ⓑ 8. Ⓒ 16. Ⓓ 10.
Câu 94: Tính
1
3
0
ed
x
Ix=
.
Ⓐ
3
e1I =−
. Ⓑ
e1I =−
. Ⓒ
3
e1
3
I
−
=
. Ⓓ
3
1
e
2
I =+
.
Câu 95: Nếu
( )
2
1
d3f x x =
và
( )
5
2
d1f x x =−
thì
( )
5
1
df x x
bằng
Ⓐ
2−
. Ⓑ
4
. Ⓒ
2
. Ⓓ
3
.
Câu 96: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021) Tích phân
2
2
4
2
sin
dx
x
bằng
Ⓐ
2
. Ⓑ
3
. Ⓒ
1
. Ⓓ
4
.
Câu 97: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021) Nếu
5
2
( ) 10f x dx =
và
9
2
( ) 7f x dx =
thì
9
5
()f x dx
bằng
Ⓐ
3−
. Ⓑ
3
. Ⓒ
17
. Ⓓ
17−
.
Câu 98: (SGD&ĐT LAI CHÂU NĂM 2020-2021) Tính tích phân
4
1
I xdx=
.
Ⓐ
14
3
. Ⓑ
13
3
. Ⓒ
4
. Ⓓ
11
3
.
Câu 99: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 03) Tích phân
( )
2
2
0
dx x x+
bằng
Ⓐ
14
3
−
. Ⓑ
5−
. Ⓒ
5
. Ⓓ
14
3
.
Câu 100: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NINH NĂM 2020-2021) Tích phân
( )
0
5
2
61x dx
−
+
bằng
Ⓐ
62.−
Ⓑ
64.
Ⓒ
68.
Ⓓ
68.−
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 15 | HNT.E
Câu 101: (CHUYÊN LONG AN NĂM 2020-2021 LẦN 03) Giá trị của
2
0
sin
xdx
bằng bao
nhiêu?
Ⓐ
1
. Ⓑ
1−
. Ⓒ
2
. Ⓓ
0
.
Câu 102: (CHUYÊN LONG AN NĂM 2020-2021 LẦN 03) Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên
thỏa mãn
( ) ( )
6 10
06
d 7, d 1f x x f x x= = −

. Tính
( )
10
0
dI f x x=
.
Ⓐ
5I =
. Ⓑ
8I =
. Ⓒ
7I =
. Ⓓ
6I =
.
Câu 103: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN VŨNG TÀU NĂM 2020-2021) Tính tích phân
4
1
dI x x=
.
Ⓐ
14
3
. Ⓑ
13
3
. Ⓒ
4
. Ⓓ
11
3
.
Câu 104: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( ) ( )
2
; 2;1 , 1; 1;3AB−−
.Tọa độ của vectơ
AB
là
Ⓐ
( )
3
; 3;4−
. Ⓑ
( )
1
;1;2−
. Ⓒ
( )
3
;3; 4−−
. Ⓓ
( )
1
; 1; 2−−
.
Câu 105: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Tính
1
3
0
dx
x
Ie=
Ⓐ
3
1Ie=−
. Ⓑ
1Ie=−
. Ⓒ
3
1
3
e
I
−
=
. Ⓓ
3
1
2
Ie=+
.
Câu 106: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Nếu
2
1
3f x dx
;
5
2
1f x dx
thì
5
1
f x dx
bằng
Ⓐ
2−
. Ⓑ
4
. Ⓒ
2
. Ⓓ
3
.
Câu 107: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số
( )
fx
có
( ) ( )
2
2, 3 5ff==
; hàm số
( )
fx
liên tục trên đoạn
2
;3
. Khi đó
( )
3
2
df x x
bằng
Ⓐ
3
. Ⓑ
10
. Ⓒ
3−
. Ⓓ
7
.
Câu 108: (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Biết
( )
3
1
5f x dx =
và
( )
3
1
7g x dx =−
.
Giá trị của
( ) ( )
3
1
32f x g x dx−


bằng
Ⓐ
29−
. Ⓑ 1. Ⓒ
29
. Ⓓ
31−
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 16 | HNT.E
Câu 109: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021) Cho hàm số
()fx
liên tục trên đoạn
0
;2
thỏa mãn
( )
1
0
d 3f x x =
và
( )
2
1
d 2f x x =
. Khi đó
( )
2
0
df x x
bằng
Ⓐ
6
. Ⓑ
1
. Ⓒ
1−
. Ⓓ
5
.
Câu 110: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 01) Biết
( )
1
0
1
3
f x dx =
và
( )
1
0
4
3
g x dx =
. Khi đó
( ) ( )
( )
1
0
g x f x dx−
bằng
Ⓐ
5
3
−
. Ⓑ
5
3
. Ⓒ
1−
. Ⓓ
1
.
Câu 111: (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021) Nếu
( )
4
1
5 3 d 5f x x
−
−=


thì
4
1
df x x
bằng
Ⓐ
4
. `Ⓑ
3
. Ⓒ
2
. Ⓓ
14
5
.
Câu 112: (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2020-2021) Nếu
( )
2021
2
12f x dx =
và
( )
2021
2020
2f x dx =
thì
( )
2020
2
f x dx
bằng
Ⓐ
10−
. Ⓑ
10
. Ⓒ
14
. Ⓓ 24.
Câu 113: (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho
( )
1
2021
1
5 20f x x x x
−

+ + =

d
.
Tính
( )
1
1
f x x
−
d
.
Ⓐ
5
. Ⓑ
4
. Ⓒ
1
. Ⓓ
0
.
Câu 114: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Tìm giá trị của
a
để
( )( )
4
3
1
d ln
12
xa
xx
=
−−
.
Ⓐ
3
4
. Ⓑ
1
3
. Ⓒ
12
. Ⓓ
4
3
.
Câu 115: (THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020-2021 LẦN 01) Biết rằng
2
3
2
1
1
d ln3 ln2
x
x a b c
xx
−
= + +
+
với
,,abc
là các số hữu tỉ. Tính
2 3 4a b c+−
.
Ⓐ
19−
. Ⓑ
19
. Ⓒ
5
. Ⓓ
5−
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 17 | HNT.E
Câu 116: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM NĂM 2020-2021) Biết
( ) ( ) ( )
8 4 4
1 1 1
d 2; d 3; d 7f x x f x x g x x= − = =
. Mệnh đề nào sau đây là sai?
Ⓐ
( ) ( )
84
41
d d 8f x x g x x+=

. Ⓑ
( ) ( )
4
1
d 10f x g x x+=


.
Ⓒ
( )
8
4
d5f x x =−
. Ⓓ
( ) ( )
4
1
4 2 d 2f x g x x− = −


.
Câu 117: Nếu
( )
( )
2
0
2 3 d 3x f x x−=
thì
( )
2
0
df x x
bằng
Ⓐ
1
.
3
Ⓑ
5
.
2
Ⓒ
5
.
2
Ⓓ
1
.
3
Câu 118: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021) Cho
( )
4
1
d 10f x x
−
=
.
Biết
( )
Fx
là một nguyên hàm của
( )
fx
và
( )
14F −
= −
. Tính
( )
4F
.
Ⓐ
( )
46F =
. Ⓑ
( )
4
14F =
. Ⓒ
( )
4
14F =−
. Ⓓ
( )
46F =−
.
Câu 119: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 03) Nếu
( )
1
0
32f x x x+=


d
thì
( )
1
0
2f x x =
d
bằng
Ⓐ
1
2
−
. Ⓑ
1
2
. Ⓒ
2
. Ⓓ
2
3
.
Câu 120: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 03) Nếu
( )
1
1
2f x x
−
=
d
và
( )
2
1
8f x x
−
=
d
thì
( )
2
1
f x x
d
bằng
Ⓐ
4
. Ⓑ
10
. Ⓒ
6
. Ⓓ
16
.
Câu 121: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NINH NĂM 2020-2021) Cho
2
và
2
1
( ) 1gx
−
=−
.
Tính
2
1
[ 2 ( ) 3 ( )]I x f x g x
−
= + +
bằng?
Ⓐ
11
2
I =
. Ⓑ
7
2
I =
. Ⓒ
17
2
I =
. Ⓓ
5
2
I =
.
Câu 122: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NINH NĂM 2020-2021) Nếu
3
1
( ) 3f x dx =
và
3
2
( ) 4f x dx =
thì
2
1
()f x dx
bằng:
Ⓐ
7−
. Ⓑ
7
Ⓒ
1−
. Ⓓ
1
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 18 | HNT.E
Câu 123: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Nếu
( )
( )
2
0
2 3 d 3x f x x−=
thì
( )
2
0
df x x
bằng
Ⓐ
1
3
−
. Ⓑ
5
2
−
. Ⓒ
5
2
. Ⓓ
1
3
Câu 124: (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Biết
( )
c
osF x x=
là một nguyên
hàm của hàm số
( )
fx
trên . Giá trị của
( )
0
3
2 df x x
+


bằng
Ⓐ
26
−
. Ⓑ
4−
. Ⓒ
2
. Ⓓ
2
.
Câu 125: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021) Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm liên
tục trên đoạn
1
;3
, và
( )
3
1
'6f x dx =
. Tính
( )
1f
Ⓐ
10
. Ⓑ
11
. Ⓒ
1
. Ⓓ
1−
.
Câu 126: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021) Cho hai hàm số
( ) ( )
,f
x g x
liên tục
trên đoạn
1
;2
và thỏa mãn
( ) ( )
2
1
3 2 d 1f x g x x+=


,
( ) ( )
2
1
2 d 3f x g x x− = −


. Khi đó,
( )
2
1
df x x
bằng
Ⓐ
6
7
. Ⓑ
16
7
. Ⓒ
11
7
. Ⓓ
5
7
−
.
Câu 127: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số
2021
( ) sinx 2021f x x= + +
. Biết rằng có duy nhất giá trị của
a
m
b
=−
để
'
0
( . (m ) ( )) 1
m
x f x f x dx− − =
. Tìm
ab+
.
Ⓐ
2021ab+=
. Ⓑ
2023ab+=
. Ⓒ
2020ab+=
. Ⓓ
2022ab+=
.
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Câu 128: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho hàm số
fx
liên tục trên
và
6
0
d 10f x x
, thì
3
0
2df x x
bằng
Ⓐ
30
. Ⓑ
20
. Ⓒ
10
. Ⓓ
5
.
Câu 129: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2020-2021) Tích phân
2
e
e
ln
d
x
x
x
bằng
Ⓐ 3. Ⓑ
3
2
. Ⓒ 1. Ⓓ 2.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 19 | HNT.E
Câu 130: (SGD&ĐT LAI CHÂU NĂM 2020-2021) Tính tích phân
1
0
d
1
x
x
I
e
=
+
bằng cách đặt
x
te=
, ta được:
Ⓐ
1
d
1
e
t
I
t
=
+
. Ⓑ
1
0
d
1
t
I
t
=
+
. Ⓒ
( )
1
d
1
e
t
I
tt
=
+
. Ⓓ
1
0
d
1
tt
I
t
=
+
.
Câu 131: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN VŨNG TÀU NĂM 2020-2021) Tính tích phân
1
0
d
1
x
x
I
e
=
+
bằng cách đặt
x
te=
, ta được
Ⓐ
1
dt
1
e
I
t
=
+
. Ⓑ
1
0
dt
1
I
t
=
+
. Ⓒ
( )
1
dt
1
e
I
tt
=
+
. Ⓓ
1
0
tdt
1
I
t
=
+
.
Câu 132: (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021) Cho hàm số
2
2 1 khi 2
()
5 khi 2
x x x
fx
xx
+ −
=
+
. Giá trị của
( )
4
e1
2
2
0
. ln 1 d
1
x
I f x x
x
−

=+

+
thuộc khoảng
nào dưới đây ?
Ⓐ
( )
2
;3−
. Ⓑ
( )
5
;7
. Ⓒ
( )
1
0;11
. Ⓓ
( )
8
;9
.
Câu 133: (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2020-2021) Cho hàm số
( )
2 1 khi 3
3 7 khi 3
xx
fx
ax a x
+
=
− +
(
a
là tham số thực). Nếu
( )
1
2
0
1
xx
f e e dx e+=
thì
a
bằng
Ⓐ
2
3 4 6
1
ee
e
+−
−
. Ⓑ
66e −
Ⓒ
66e +
Ⓓ
66e−+
Câu 134: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số
( )
2
1f x x=−
. Tích phân
( )
2
0
3cos 1 .sinf x xdx
−
bằng
Ⓐ
8
9
. Ⓑ
10
9
. Ⓒ
7
9
. Ⓓ
11
9
.
Câu 135: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Có bao nhiêu giá trị
thực dương của tham số
a
để
lna
ln3
13
ln
2 3 2
xx
dx
ee
−
=
+−
?.
Ⓐ
3
. Ⓑ
2
. Ⓒ
4
. Ⓓ
1
.
Câu 136: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NINH NĂM 2020-2021) Cho hàm số
( )
2
8 5 8
38
x x khi x
fx
x khi x
− −
=
− +
. Tích phân
( )
ln4
0
23
xx
f e e dx+
bằng
Ⓐ
39
2
. Ⓑ
39
4
. Ⓒ
123
2
−
. Ⓓ
123
4
−
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 20 | HNT.E
Câu 137: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN VŨNG TÀU NĂM 2020-2021) Cho hàm số
( )
y
f x=
có
( )
00f =
và
( )
42
tan tanf x x x
=+
,
0;
2
x




. Tính
( )
4
0
dI f x x
=
.
Ⓐ
1
12
. Ⓑ
1
6
. Ⓒ
1 ln 2
6
−
. Ⓓ
1 ln 2
3
−
.
Câu 138: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2020-2021) Biết rằng
ln4
0
d
ln2 ln3
1
x
x
a b c
e
= + +
+
với
,,abc
. Tính
abc++
.
Ⓐ –2. Ⓑ 3. Ⓒ 2. Ⓓ –1.
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Câu 139: (CHUYÊN NGUYỄN BÌNH KHIÊM QUẢNG NAM NĂM 2020-2021) Cho
( )
2
2
1
ln 1
d ln2
1
x x a
Ix
bc
x
+
= = −
+
với
,,abc
là các số nguyên dương và
a
b
là phân số tối
giản.Tính giá trị
ab
S
c
+
=
Ⓐ
2
3
S =
. Ⓑ
1
2
S =
. Ⓒ
1
3
S =
. Ⓓ
5
6
S =
.
Câu 140: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Tính tích phân
e
1
ln dI x x x=
,
ta được kết quả
2
e a
I
b
+
=
, với
a
,
b
là các số nguyên. Tính
33
ab+
.
Ⓐ
35
. Ⓑ
65
. Ⓒ
28
. Ⓓ
9
.
Câu 141: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP NĂM 2020-2021) Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm
( )
'fx
và thỏa
( ) ( ) ( ) ( )
1
0
2 1 ' dx 10, 3 1 0 12x f x f f+ = − =
. Tính
( )
1
0
dxI f x=
Ⓐ
1I =−
. Ⓑ
1I =
. Ⓒ
2I =
. Ⓓ
2I =−
.
Câu 142: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM NĂM 2020-2021) Cho hàm số
()fx
có đạo
hàm liên tục trên thỏa mãn
(3) 21,f =
3
0
( )d 9f x x =
. Tính tích phân
1
0
(3 )dI x f x x
=
Ⓐ
15I =
. Ⓑ
6I =
. Ⓒ
12I =
. Ⓓ
9I =
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 21 | HNT.E
Câu 143: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM NĂM 2020-2021) Cho hàm số
()fx
có đạo
hàm cấp 2 liên tục trên đoạn
0
;1
thỏa mãn
(1) 0; (1) 1ff
==
và
2
10 ( ) 5 ( ) ( ) 0f x xf x x f x
− + =
với mọi
0
;1x
. Khi đó tch phân
1
0
( )dxfx
bằng
Ⓐ
1
15
−
. Ⓑ
2
3
−
. Ⓒ
1
10
−
. Ⓓ
1
17
−
.
Câu 144: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm
( )
fx
trên đoạn
0
;1
thỏa mãn
( )
14f =
và
( )
1
0
3f x x =
d
. Tích phân
( )
1
32
0
x f x x
d
bằng
Ⓐ
1
2
−
. Ⓑ
1
. Ⓒ
1
2
. Ⓓ
1−
.
Câu 145: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm liên tục
trên và có đồ thị như hình bên.
Đặt
( ) ( )
1
0
'K xf x f x dx=
, khi đó
K
thuộc khoảng nào sau đây?
Ⓐ
( )
3
; 2−−
. Ⓑ
3
2;
2

−−


. Ⓒ
2
;0
3

−


. Ⓓ
32
;
23

−−


.
Câu 146: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm
( )
fx
trên đoạn
0
;1
thỏa mãn
( )
14=f
và
( )
1
0
d3=
f x x
. Tích phân
( )
1
32
0
d
x f x x
bằng
Ⓐ
1
.
2
−
Ⓑ
1.
Ⓒ
1
.
2
Ⓓ
1.−
Câu 147: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 01) Giả sử
( )
fx
là hàm có đạo
hàm liên tục trên khoảng
( )
0;
và
( ) ( ) ( )
'
sin cos , 0; .f x x x f x x x
=
+
Biết
( )
1
1, ln2 3
2 6 12
f f a b c

= = + +
, với
,,abc
là các số nguyên. Giá trị
abc++
bằng
Ⓐ
1−
. Ⓑ
1
. Ⓒ
11
. Ⓓ
11−
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 22 | HNT.E
TÍCH PHÂN HÀM ẨN – TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT
Câu 148: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2020-2021) Cho
( )
fx
là hàm số
liên tục trên và
( )
1
1
d6
−
=
f x x
. Tính tích phân
( )
1
0
2 1 2 d= − +


I f x x x
.
Ⓐ
4=I
. Ⓑ
13=I
. Ⓒ
7=I
. Ⓓ
5=I
.
Câu 149: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số
( )
y
f x=
có đạo
hàm trên
( )
0;+
. Biết
2
x
là một nguyên hàm của
( )
2
'x f x
trên
( )
0;+
và
( )
11f =
.
Tính
( )
fe
.
Ⓐ
2
. Ⓑ
3
. Ⓒ
21e+
. Ⓓ
e
.
Câu 150: (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm liên
tục trên và thỏa mn các điều kiện sau:
( )
02f =−
và
( )
( ) ( )
2
1x f x xf x x
+ + = −
,
x
. Tính tích phân
.
Ⓐ
5
2
I =
. Ⓑ
3
2
I =−
. Ⓒ
3
2
I =
. Ⓓ
5
2
I =−
.
Câu 151: (CHUYÊN NGUYỄN BÌNH KHIÊM QUẢNG NAM NĂM 2020-2021) Cho hàm số
( )
y
f x=
liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn
( ) ( )
( )
2
5 7 1 3 2 , .f x f x x x x− − = −
Biết rằng tích phân
( )
1
0
. ' d
a
I x f x x
b
= = −
. Tính
3.T a b=−
Ⓐ
0.T =
Ⓑ
48.T =−
Ⓒ
16.T =
Ⓓ
1.T =
Câu 152: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hàm số
()fx
có đạo hàm liên tục trên
R
và thỏa mãn
3
( 3 1) 3 2,f x x x x R+ + = +
. Tích phân
5
1
( )dxf x x
bằng
Ⓐ
31
4
−
. Ⓑ
33
4
. Ⓒ
17
4
. Ⓓ
49
4
.
Câu 153: (THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020-2021 LẦN 01) Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên
( )
0;+
và thỏa mãn
( )
1
2 f x xf x
x

+=


với mọi
0x
.
Tính
( )
2
1
2
df x x
.
Ⓐ
7
12
. Ⓑ
7
4
. Ⓒ
9
4
. Ⓓ
3
4
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 23 | HNT.E
Câu 154: (THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020-2021 LẦN 01) Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên
và thoả mãn
( ) ( ) ( )
1
x
x
f x x f x e
−
+ + =
với mọi
x
. Tính
( )
0f
.
Ⓐ
1
. Ⓑ
1−
. Ⓒ
e
. Ⓓ
1
e
.
Câu 155: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021) Biết
84
00
( )d 10; ( )d 4f x x f x x= = −

. Tính
( )
3
1
3 1 df x x
−
−
.
Ⓐ
2
. Ⓑ
1
. Ⓒ
0
. Ⓓ
4
.
Câu 156: (SGD&ĐT LAI CHÂU NĂM 2020-2021) Cho hàm số
()fx
có
(0) 0f =
và
( )
42
tan tanf x x x
=+
,
0;
2
x




. Tính
4
0
()I f x dx
=
.
Ⓐ
1
12
. Ⓑ
1
6
. Ⓒ
1 ln 2
6
−
. Ⓓ
1 ln 2
3
−
.
Câu 157: (SGD&ĐT LAI CHÂU NĂM 2020-2021) Cho hai hàm số
( ) ( )
,f
x g x
có đạo hàm
trên
R
và thỏa mãn
( ) ( )
f
x g x x
+=
,
( ) ( )
,g
x f x x x
+ = −
. Biết
( ) ( )
0
0 1.fg==
Tính
( )
1.f
Ⓐ
2
2
e
−
. Ⓑ
1
2e
e
+−
. Ⓒ
2
2
2
e
e
−
. Ⓓ
2
2
2
e
e
+
.
Câu 158: (CHUYÊN LONG AN NĂM 2020-2021 LẦN 03) Cho hàm số
( )
y
f x=
có đạo hàm
liên tục trên
1
;4
, đồng biến trên
1
;4
và thỏa mn đẳng thức
( ) ( )
2
/
2
, 1;4x xf x f x x

+ =

. Biết rằng
( )
3
1
2
f =
. Tính
( )
4
1
I f x dx=
.
Ⓐ
1222
45
. Ⓑ
1201
45
. Ⓒ
1174
45
. Ⓓ
1186
45
.
Câu 159: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên và có một nguyên hàm là hàm số
( )
2
1
1
2
g x x x= − +
. Khi đó
( )
2
2
1
f x dx
bằng
Ⓐ
2
3
. Ⓑ
4
3
−
. Ⓒ
4
3
. Ⓓ
2
3
−
.
Câu 160: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số
( )
y
f x=
có đạo hàm
trên thỏa mãn
( )
11f =
và
( )
( )
23
2 5 2 1f x xf x x x− = − −
với mọi
x
Tính tích phân
( )
2
1
'.I xf x dx=
Ⓐ
3.I =
Ⓑ
1.I =−
Ⓒ
2.I =
Ⓓ
5.I =
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 24 | HNT.E
Câu 161: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên và thỏa mãn
( ) ( ) ( )
2
0 1; . ,
x
f f x xf x xe x
= − =
. Tích phân
( )
1
0
1dxf x x+
bằng
Ⓐ
2
ee−
. Ⓑ
42ee−
. Ⓒ
1
. Ⓓ
e
.
Câu 162: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 03) Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm liên tục trên . Biết
( )
( )
24
2 4 ,f x f x x x x= + −
và
( )
1
0
4
d
3
f x x =
, khi
đó
( )
1
2
0
dx f x x
bằng
Ⓐ
7
6
. Ⓑ
8
15
. Ⓒ
7
10
. Ⓓ
2
3
.
Câu 163: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số
()fx
có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn
(0) 3f =
và
2
( ) (2 ) 2 2f x f x x x+ − = − +
,
x
. Tích phân
2
0
. '( )dx f x x
bằng
Ⓐ
10
3
−
. Ⓑ
5
3
−
. Ⓒ
11
3
−
. Ⓓ
7
3
−
.
Câu 164: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021) Cho hàm số
( )
y
f x=
có đạo hàm
liên tục trên khoảng
( )
0;+
và thỏa mãn
( ) ( )
22
..
lim 1
xt
x f t t f x
xt
→
−
=
−
với mọi
0t
. Biết
rằng
( )
11f =
, tính
( )
fe
.
Ⓐ
31
2
e +
. Ⓑ
3e
. Ⓒ
2e
. Ⓓ
e−
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 25 | HNT.E
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐỒ THỊ
Câu 165: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Diện tích hình phẳng giới hạn
bởi hai đường thẳng
0,xx
==
, đồ thị hàm số
cosyx=
và trục
Ox
là
Ⓐ
0
cos d .S x x
=
Ⓑ
0
cos d .S x x
=
Ⓒ
2
0
cos d .S x x
=
Ⓓ
0
cos d .S x x
=
Câu 166: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM NĂM 2020-2021) Hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hàm số
( )
y
f x=
, trục hoành và hai đường thẳng
,x a x b==
trong hình dưới
đây (phần gạch sọc có diện tích
S
bằng
Ⓐ
( ) ( )
cb
ac
f x dx f x dx+

. Ⓑ
( ) ( )
cb
ac
f x dx f x dx−

.
Ⓒ
( ) ( )
cb
ac
f x dx f x dx−+

. Ⓓ
( ) ( )
cb
ac
f x dx f x dx−−

.
Câu 167: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN VŨNG TÀU NĂM 2020-2021) Tìm công thức tính diện
tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
4
yx=
,
2
yx=
.
Ⓐ
( )
1
42
0
x x dx−
. Ⓑ
( )
1
24
0
x x dx−
. Ⓒ
( )
1
24
1
x x dx
−
−
. Ⓓ
( )
1
42
1
x x dx
−
−
.
Câu 168: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 02) Gọi
S
là diện tích
miền hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ dưới đây, với
( )
y
f x=
là hàm số liên
tục trên
Công thức tính
S
là
Ⓐ
( )
2
1
S f x dx
−
=−
. Ⓑ
( )
2
1
S f x dx
−
=
.
Ⓒ
( ) ( )
12
11
S f x dx f x dx
−
=−

. Ⓓ
( )
2
1
f x dx
−
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 26 | HNT.E
Câu 169: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho hàm số
fx
liên tục trên
và có đồ thị
C
là đường cong như hình bên, Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị
C
, trục hoành và hai đường thẳng
0x
,
2x
là
Ⓐ
12
01
ddf x x f x x
. Ⓑ
12
01
ddf x x f x x
.
Ⓒ
2
0
df x x
. Ⓓ
2
0
df x x
.
Câu 170: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho một viên gạch men có
dạng hình vuông
OABC
như hình vẽ. Sau khi tọa độ hóa, ta có
( )
0
;0O
,
( )
0
;1A
,
( )
1
;1B
,
( )
1
;0C
và hai đường cong lần lượt là đồ thị hàm số
3
yx=
và
3
yx=
. Tính diện tích
phần tô đậm trên viên gạch men.
Ⓐ
5
4
. Ⓑ
1
3
. Ⓒ
1
2
. Ⓓ
4
5
.
Câu 171: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021)
Cho hàm số
( )
y
f x=
có đạo hàm liên tục trên và có đồ
thị như hình vẽ bên.
Giá trị của
( ) ( )
24
00
2 d 2 df x x f x x

+ + −

bằng
Ⓐ
4
. Ⓑ
6
.
Ⓒ
4−
. Ⓓ
2
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 27 | HNT.E
Câu 172: (THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020-2021 LẦN 01) Diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đường thẳng
3yx=+
và parabol
2
21y x x= − −
bằng:
Ⓐ
13
6
. Ⓑ
9
2
. Ⓒ
9
. Ⓓ
13
3
.
Câu 173: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021) Cho hàm số
( )
42
y f x ax bx c= = + +
có đồ thị như hình vẽ.
Diện tích
S
của miền được tô xiên như hình được tính theo công thức nào?
Ⓐ
( ) ( ) ( )
1 1 2
2 1 1
d d dS f x x f x x f x x
−
−−
= − + −
. Ⓑ
( ) ( ) ( )
1 1 2
2 1 1
d d dS f x x f x x f x x
−
−−
= + +
.
Ⓒ
( ) ( ) ( )
1 1 2
2 1 1
d d dS f x x f x x f x x
−
−−
= − + +
. Ⓓ
( ) ( ) ( )
1 1 2
2 1 1
d d dS f x x f x x f x x
−
−−
= − +
.
Câu 174: (SGD&ĐT LAI CHÂU NĂM 2020-2021) Tìm công thức tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi các đường
42
,y x y x==
Ⓐ
( )
1
42
0
dx x x−
. Ⓑ
( )
1
24
0
dx x x−
. Ⓒ
( )
1
24
1
dx x x
−
−
. Ⓓ
( )
1
42
1
dx x x
−
−
.
Câu 175: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 03) Diện tích hình
phẳng được tô đậm trong hình bên bằng
Ⓐ
( )
2
2
1
2 2 4x x x
−
− + −
d
. Ⓑ
( )
2
2
1
2 2 4x x x
−
−−
d
.
Ⓒ
( )
2
2
1
2 2 4x x x
−
− − +
d
. Ⓓ
( )
2
2
1
2 2 4x x x
−
− + +
d
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 28 | HNT.E
Câu 176: (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
hai đường
( )
( )
2
1 5 6y x x x= − − +
và hai trục tọa độ bằng
Ⓐ
2
. Ⓑ
11
4
. Ⓒ
11
4
. Ⓓ
1
2
.
Câu 177: (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hai hàm số
( )
32
2f x ax bx cx= + + −
,
( )
2
2g x dx ex= + +
,
( )
,
, , ,a b c d e
. Biết đồ thị hàm số
( )
y
f x=
và
( )
y
g x=
cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là
2; 1;1−−
. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị.
Ⓐ
37
6
. Ⓑ
13
2
. Ⓒ
9
2
. Ⓓ
37
12
.
Câu 178: (CHUYÊN NGUYỄN BÌNH KHIÊM QUẢNG NAM NĂM 2020-2021) Cho hàm số
( )
3
1
3
y f x x ax= = +
có đồ thị như hình bên. Gọi
1
S
,
2
S
lần lượt là diện tích của hai
hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên.
Khi
1
2
7
40
S
S
=
thì
a
thuộc khoảng nào dưới đây?
Ⓐ
35
;
44



. Ⓑ
11
;
32



. Ⓒ
1
0;
3



. Ⓓ
13
;
24



.
Câu 179: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho parabol
( )
P
có phương
trình
2
yx=
và đường thẳng
d
đi qua điểm
( )
1
;3A
. Giả sử khi đường thẳng
d
có hệ
số góc
k
thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
( )
P
và đường thẳng
d
nhỏ
nhất. Giá trị thực của
k
thuộc khoảng nào sau đây?
Ⓐ
( )
0
;1
. Ⓑ
( )
;3−
. Ⓒ
( )
3
;0−
. Ⓓ
( )
3; +
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 29 | HNT.E
Câu 180: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2020-2021) Trong mặt phẳng
Oxy
cho
()H
là hình phẳng giới hạn bởi parabol
2
4yx=−
và trục hoành. Đường
thẳng
xk=
(
22k−
) chia
()H
thành hai phần
1
()H
,
2
()H
như hình vẽ
Biết rằng diện tích hình
1
()H
gấp
20
7
lần diện tích của hình
2
()H
, hỏi giá trị
k
thuộc
khoảng nào sau đây?
Ⓐ
( 2; 1)−−
. Ⓑ
(0;1)
. Ⓒ
( 1;0)−
. Ⓓ
(1;2)
.
Câu 181: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP NĂM 2020-2021) Cho hàm số
2
y mx x=−
( )
04m
có đồ thị
( )
C
. Gọi
12
SS+
là diện tch của hình phẳng giới
hạn bởi
( )
C
, trục hoành, trục tung và đường thẳng
4x =
. Giá trị
m
để
12
SS=
là
Ⓐ
10
3
m =
. Ⓑ
8
3
m =
. Ⓒ
3m =
. Ⓓ
2m=
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 30 | HNT.E
Câu 182: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hai hàm số
( )
4 3 2
1f x ax bx cx dx= + + + −
và
( )
2g
x ex=−
(
, , , ,a b c d e
là các số thực cho trước).
Biết rằng đồ thị của hai hàm số
( )
y
f x=
và
( )
y
g x=
tiếp xúc nhau tại hai điểm có
hoành độ lần lượt là
1;2−
.
Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đ cho có diện tích bằng
Ⓐ
81
20
. Ⓑ
81
4
. Ⓒ
81
10
. Ⓓ
81
40
.
Câu 183: (CHUYÊN LONG AN NĂM 2020-2021 LẦN 03) Cho hàm số
( ).y f x=
Đồ thị hàm
số
()y f x
=
như hình bên. Đặt
3
( ) 3 ( ).g x x f x=−
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ⓐ
(2) ( 1) (0).g g g −
Ⓑ
(0) ( 1) (2).g g g −
Ⓒ
( 1) (0) (2).g g g−
Ⓓ
(2) (0) ( 1)g g g −
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 31 | HNT.E
Câu 184: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021) Cho hình phẳng
( )
H
được giới hạn
bởi các đường
e
x
y =
;
0y =
;
0x =
và
ln4x =
. Đường thẳng
xk=
( )
;
0 ln4kk
chia hình phẳng
( )
H
thành hai phần có diện tích là
1
S
;
2
S
(xem hình vẽ).
Tìm
k
để
21
2SS=
.
Ⓐ
ln3k =
. Ⓑ
8
ln
3
k =
. Ⓒ
2
ln 4
3
k =
. Ⓓ
ln2k =
.
Câu 185: (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021) Cho hàm số bậc ba
( )
y
f x=
có đồ thị là đường cong bên dưới. Gọi
12
;xx
lần lượt là hai điểm cực trị thỏa
mãn
21
2xx=+
và
( ) ( )
12
30f
x f x−=
. Đường thẳng song song với trục
Ox
và đi qua
điểm cực tiểu cắt đồ thị hàm số tại điểm thứ hai có hoành độ
0
x
và
10
1xx=+
. Tính tỉ
số
1
2
S
S
(
1
S
và
2
S
lần lượt là diện tích hai hình phẳng được gạch ở hình bên dưới).
Ⓐ
9
8
. Ⓑ
5
8
. Ⓒ
3
8
. Ⓓ
3
5
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 32 | HNT.E
Câu 186: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho parabol
( )
2
1
:6P y x= − +
cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt
,AB
và đường thẳng
:d y a=
( )
06a
. Xét parabol
( )
2
P
đi qua
,AB
và có đỉnh thuộc đường thẳng
ya=
. Gọi
1
S
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( )
1
P
và
d
;
2
S
là diện tích hình phẳng giới hạn
bởi
( )
2
P
và trục hoành (tham khảo hình vẽ).
Biết
12
SS=
, tính
32
12 108T a a a= − +
.
Ⓐ
218T =
. Ⓑ
219T =
. Ⓒ
216T =
. Ⓓ
217T =
.
Câu 187: Cho hàm số
( )
y
f x=
có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị như hình bên. Biết rằng
tích phân
( ) ( )
1
0
. . dK x f x f x x
=
có giá trị thuộc khoảng nào sau đây?
Ⓐ
( )
3
; 2−−
. Ⓑ
3
2;
2

−−


. Ⓒ
2
;0
3

−


. Ⓓ
32
;
23

−−


.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 33 | HNT.E
Câu 188: Cho hàm số
42
y ax bx c= + +
có đồ thị
( )
C
, biết rằng
( )
C
đi qua điểm
( )
1
;0A −
, tiếp
tuyến
d
tại
A
của
( )
C
cắt
( )
C
tại hai điểm có hoành độ lần lượt là
0
và
2
và diện
tích hình phẳng giới hạn bởi
d
, đồ thị
( )
C
và hai đường thẳng
0; 2xx==
có diện
tích bằng
28
5
(phần tô màu trong hình vẽ).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( )
C
và hai đường thẳng
1; 0xx= − =
có diện tích
bằng
Ⓐ
2
5
. Ⓑ
1
4
. Ⓒ
2
9
. Ⓓ
6
5
.
Câu 189: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Cho hàm số
42
y ax bx c= + +
có đồ thị
( )
C
, biết rằng
( )
C
đi qua điểm
( )
1
;0A −
, tiếp tuyến
d
tại
A
của
( )
C
cắt
( )
C
tại hai
điểm có hoành độ lần lượt là
0
và 2 và diện tích hình phẳng giới hạn bởi
d
, đồ thị
( )
C
và hai đường thẳng
0; 2xx==
có diện tích bằng
28
5
(phần tô màu trong hình
vẽ).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( )
C
,
d
và hai đường thẳng
1; 0xx= − =
có diện
tích bằng
Ⓐ
2
5
. Ⓑ
1
4
. Ⓒ
2
9
. Ⓓ
1
5
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 34 | HNT.E
Câu 190: (CHUYÊN LONG AN NĂM 2020-2021 LẦN 03) Bồn hoa của một trường
X
có dạng
hình tròn bán kính bằng
8m
. Người ta chia bồn hoa thành các phần như hình vẽ dưới
đây và có ý định trồng hoa như sau: Phần diện tích bên trong hình vuông
ABCD
để
trồng hoⒶ Phần diện tích kéo dài từ 4 cạnh của hình vuông đến đường tròn dùng
để trồng cỏ. Ở bốn góc còn lại, mỗi góc trồng một cây cọ. Biết
4AB m=
, giá trồng hoa
là
200.000
đ/m
2
, giá trồng cỏ là
100.000
đ/m
2
, mỗi cây cọ giá
150.000
đ. Hỏi số tiền để
thực hiện việc trang trí bồn hoa như miêu tả ở trên gần bằng giá trị nào nhất?
Ⓐ
14.465.000
đồng. Ⓑ
14.865.000
đồng. Ⓒ
13.265.000
đồng. Ⓓ
12.218.000
đồng.
Câu 191: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 02) Mặt sàn của một thang máy
có dạng hình vuông
ABCD
cạnh
2m
được lát gạch màu trắng và trang trí bởi một
hình
4
cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ
Oxy
với
O
là tâm hình
vuông sao cho
( )
1
;1A
như hình vẽ bên thì các đường cong
OA
có phương trình
2
yx=
và
3
y ax bx=+
. Tính giá trị
ab
biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm
1
3
diện tích
mặt sàn.
Ⓐ
2−
. Ⓑ
3−
. Ⓒ
2
. Ⓓ
3
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 35 | HNT.E
Câu 192: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NINH NĂM 2020-2021) Cho hàm số bậc ba có
đồ thị như hình vẽ, biết
( )
fx
đạt cực tiểu tại điểm
1x =
và thỏa mãn
( )
1fx+


và
( )
1fx−


lần lượt chia hết cho
( )
2
1x−
và
( )
2
1x+
. Gọi
12
,SS
lần lượt là diện tích hình
phẳng như hình bên dưới. Tính
12
2SS−
Ⓐ
4
. Ⓑ
3
4
. Ⓒ
1
2
. Ⓓ
1
4
.
Câu 193: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021
LẦN 01) Một chiếc xe đua
1
F
đạt tới vận tốc lớn
nhất là
360 /km h
. Đồ thị bên biểu thị vận tốc
v
của xe trong
5
giây đầu tiên kể từ lúc xuất phát.
Đồ thị trong
2
giây đầu tiên là một phần của
parabol đỉnh tại gốc tọa độ
O
, giây tiếp theo là
đoạn thẳng và sau đúng
3
giây thì xe đạt vận
tốc lớn nhất. Biết rằng mỗi đơn vị trục hoành
biểu thị
1
giây, mỗi đơn vị trục tung biểu thị
10 /ms
và trong
5
giây đầu xe chuyển động
theo đường thẳng. Hỏi trong
5
giây đó xe đ đi
được qung đường là bao nhiêu?
Ⓐ
340
(mét). Ⓑ
420
(mét).
Ⓒ
400
(mét). Ⓓ
320
(mét).
Câu 194: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Thể tích vật thể tròn xoay do
hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
( )
y
f x=
, trục
Ox
và các đường thẳng
xa=
,
xb=
,
( )
ab
quay quanh trục
Ox
được tính theo công thức
Ⓐ
( )
2
d
b
a
V f x x=
. Ⓑ
( )
2
d
b
a
V f x x
=
. Ⓒ
( )
d
b
a
V f x x=
. Ⓓ
( )
d
b
a
V f x x
=
Câu 195: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2020-2021) Gọi
()H
là hình
phẳng giới hạn bởi các đồ thị
,0y x x y= − =
trong mặt phẳng
Oxy
. Quay hình
()H
quanh trục hoành ta được một khối tròn xoay có thể tích bằng
Ⓐ
1
0
dx x x
−
. Ⓑ
1
0
dx x x−
. Ⓒ
( )
1
2
0
1dx x x
−
. Ⓓ
( )
1
2
0
1dx x x−
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 36 | HNT.E
Câu 196: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 02) Gọi
( )
D
là hình phẳng giới
hạn bởi các đường
1y =
và
2
2yx=−
. Thể tích khối tròn xoay giới hạn được tạo thành
khi quay
( )
D
xung quanh trục
Ox
được tính theo công thức
Ⓐ
( )
2
2
2
2
2V x dx
−
=−
. Ⓑ
( )
1
2
2
1
2V x dx
−
=−
.
Ⓒ
( )
1
2
2
1
22V x dx

−
=
− −
. Ⓓ
( )
2
2
2
2
24V x dx

−
=
− −
.
Câu 197: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho
( )
H
là hình phẳng giới
hạn bởi parabol
2
yx=
và đường tròn
22
2xy+=
. Thể tích
V
của vật thể tròn xoay
tạo thành khi quay
( )
H
quanh trục hoành là
Ⓐ
44
15
V =
. Ⓑ
5
3
V
=
. Ⓒ
44
15
V
=
. Ⓓ
5
V
=
.
Câu 198: (THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020-2021 LẦN 01) Tính thể tích của khối tròn xoay
khi cho hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng
32yx=−
và đồ thị hàm số
2
yx=
quay
quanh trục
Ox
.
Ⓐ
4
5
. Ⓑ
1
6
. Ⓒ
4
5
. Ⓓ
6
.
Câu 199: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM NĂM 2020-2021) Cho hình phẳng
H
giới
hạn bởi đồ thị hàm số
2
2y x x
và trục hoành. Tính thể tích
V
vật thể tròn xoay
sinh ra khi cho
H
quanh quay trục
Ox
.
Ⓐ
4
3
V
=
. Ⓑ
16
15
V =
. Ⓒ
4
3
V =
. Ⓓ
16
15
V
=
.
Câu 200: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021) Gọi
( )
H
là hình
phẳng giới hạn bởi
2
y x x= − +
và trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành
khi quay hình
( )
H
quanh trục hoành bằng
Ⓐ
30
. Ⓑ
6
. Ⓒ
1
30
. Ⓓ
1
6
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 37 | HNT.E
Câu 201: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Thể tích của khối
tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi
lnyx=
, trục
Ox
và đường thẳng
2x =
quay
xung quanh trục
Ox
là
Ⓐ
2ln2 1−
. Ⓑ
2 ln2

+
. Ⓒ
2 ln2

−
. Ⓓ
2ln2 1−
.
Câu 202: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Một vật chuyển động có
phương trình vận tốc:
( )
3
31v t t t= − +
. Qung đường vật đi được từ thời điểm
0t =
đến khi
3t =
là
Ⓐ
39
4
m
. Ⓑ
19m
. Ⓒ
20m
. Ⓓ
15
4
.
Câu 203: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 03) Một chiếc máy bay
vào vị trí cất cánh chuyển động trên đường băng với vận tốc
( ) ( )
2
2 m/sv t t t=+
với
t
là thời gian được tnh theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết
máy bay đạt vận tốc
( )
1
20 m/s
thì nó rời đường băng. Qung đường máy bay đ di
chuyển trên đường băng gần nhất với giá trị nào dưới đây?
Ⓐ
( )
1
200 m .
Ⓑ
( )
1
100 m .
Ⓒ
( )
4
30 m .
Ⓓ
( )
3
30 m .
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 38 | HNT.E
HƯỚNG DẪN GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ CHUYÊN 2020-2021
NGUYÊN HÀM
ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT – NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
Câu 1: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 02) Mệnh đề nào sau đây sai?
Ⓐ
1
lndx x C
x
=+
. Ⓑ
.
Ⓒ
2
1
2
x
xdx C
+
=+
. Ⓓ
sin cosxdx x C=+
.
Lời giải
Ta có:
sin cosxdx x C= − +
. Suy ra đáp án D sai.
Câu 2: (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021) Hàm số
( )
42
3f x x x=−
có họ nguyên hàm là
Ⓐ
( )
3
6.F x x x C= − +
Ⓑ
( )
53
.F x x x C= + +
Ⓒ
( )
5
3
.
5
x
F x x C= + +
Ⓓ
( )
5
3
.
5
x
F x x C= − +
Lời giải
Áp dụng bảng nguyên hàm, ta có:
( )
5
4 2 3
3.
5
x
x x dx x C− = − +
Câu 3: (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021) Họ nguyên hàm của
hàm số
( )
2x
f x e=
là
Ⓐ
( )
2
.
x
F x e C=+
Ⓑ
( )
3
.
x
F x e C=+
Ⓒ
( )
2
2.
x
F x e C=+
Ⓓ
( )
2
1
.
2
x
F x e C=+
Lời giải
Áp dụng bảng nguyên hàm, ta có:
( )
22
1
.
2
xx
F x e dx e C= = +
Câu 4: (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2020-2021) Họ nguyên hàm của hàm số
53yx=−
là:
Ⓐ
( )
3
2
5 3 .
9
xC−+
Ⓑ
2
5 3 .
3
xC− − +
Ⓒ
( )
3
2
5 3 .
9
xC− − +
Ⓓ
1
5 3 .
2
xC−+
Lời giải
Ta có:
( )
( )
1
2
d 5 3
5 3 d 5 3
3
x
x x x
−
− = −
−

( ) ( )
1
2
1
5 3 d 5 3
3
xx= − − −
( )
3
2
53
1
.
3
3
2
x
C
−
= − +
( )
3
2
5 3 .
9
xC= − − +
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 39 | HNT.E
Câu 5: (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hàm số
( )
32
4 3 2 1f x x x x= − + −
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Ⓐ
( )
4 3 2
4df x x x x x x C= − + − +
. Ⓑ
( )
4 3 2
df x x x x x x C= − + − +
.
Ⓒ
( )
4 3 2
1
4
df x x x x x x C= − + − +
. Ⓓ
( )
4 3 2
12 6df x x x x x x C= − + − +
.
Lời giải
Ta có
( )
( )
3 2 4 3 2
4 3 2 1ddf x x x x x x x x x x C= − + − = − + − +

.
Câu 6: (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hàm số
( )
s
in3f x x=
. Trong
các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Ⓐ
( )
3
cos3df x x x C= − +
. Ⓑ
( )
3
cos3df x x x C=+
.
Ⓒ
( )
1
cos3
3
df x x x C= − +
. Ⓓ
( )
1
cos3
3
df x x x C=+
.
Lời giải
Ta có
1
3 cos3
3
sin dx x x C= − +
.
Câu 7: (CHUYÊN NGUYỄN BÌNH KHIÊM QUẢNG NAM NĂM 2020-2021) Cho
( )
Fx
là
một nguyên hàm của hàm số
( )
s
in2f x x=
và
1
4
F

=


. Tính
6
F



.
Ⓐ
1
62
F

=


. Ⓑ
5
64
F

=


. Ⓒ
3
64
F

=


. Ⓓ
0
6
F

=


.
Lời giải
Ta có:
( )
Fx
sin2 dxx=
1
cos2
2
xC= − +
.
Vì
1
4
F

=


1
cos2 1
24
C
− + =
1C=
( )
1
cos2 1
2
F x x = − +
.
Vậy
13
cos2 1
6 2 6 4
F


= − + =


.
Câu 8: (CHUYÊN NGUYỄN BÌNH KHIÊM QUẢNG NAM NĂM 2020-2021) Họ tất cả các
nguyên hàm của hàm số
2
( ) sinf x x
x
=+
.
Ⓐ
2
2
cos xC
x
−+
. Ⓑ
cos 2lnx x C− + +
.
Ⓒ
cos 2lnx x C− − +
. Ⓓ
cos 2lnx x C++
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 40 | HNT.E
Lời giải
Ta có:
( ) cos 2lnf x dx x x C= − + +
.
Câu 9: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho
C
là
một hằng số. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?
Ⓐ
2
2 dx x x C=+
. Ⓑ
sin d cosx x x C=+
.
Ⓒ
1
d ln | |x x C
x
=+
. Ⓓ
e d e
xx
xC=−
.
Lời giải
Ta có
sin d cosx x x C= − +
Câu 10: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số
( )
s
in3f x x=
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Ⓐ
( )
d
3cosf x x x C=+
. Ⓑ
( )
1
d cos
3
f x x x C=+
.
Ⓒ
( )
d
3cos3f x x x C=+
. Ⓓ
( )
1
d cos3
3
f x x x C= − +
.
Lời giải
Ta có
( )
1
d sin3 d cos3
3
f x x x x x C= = − +

.
Câu 11: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Họ nguyên hàm của hàm số
( )
e=+
x
f
x x
là:
Ⓐ
2
e
2
++
x
x
C
. Ⓑ
e1++
x
C
. Ⓒ
2
1
1
e
12
+
++
+
x
x
C
x
. Ⓓ
2
1
e
22
++
x
x
C
.
Lời giải
Ta có
( )
2
e d e
2
+ = + +
xx
x
x x C
.
Câu 12: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Tìm họ nguyên hàm
1
d
1
xx
x

+

−

Ⓐ
2
ln 1x x C+ − +
. Ⓑ
1
1
xC
x
++
−
. Ⓒ
2
ln 1
2
x
xC+ − +
. Ⓓ
( )
2
1
1
1
C
x
−+
−
.
Lời giải
Ta có
1
d
1
xx
x

+

−

2
ln 1 .
2
x
xC= + − +
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 41 | HNT.E
Câu 13: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho hàm số
( )
Fx
,
( )
fx
liên
tục trên khoảng
K
, khi đó
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm
( )
fx
trên khoảng
K
nếu với mọi
xK
ta có
Ⓐ
( ) ( )
F
x f x
=
. Ⓑ
( ) ( )
F
x f x

=
. Ⓒ
( ) ( )
F
x f x
=
. Ⓓ
( ) ( )
F
x f x

=
.
Lời giải
Hàm số
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm
( )
fx
trên khoảng
K
nếu với mọi
xK
ta có
( ) ( )
F
x f x
=
.
Câu 14: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hàm số
( )
c
os2f x x=
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Ⓐ
( )
sin2
d
2
x
f x x C= − +
. Ⓑ
( )
sin 2
d
2
x
f x x C=+
.
Ⓒ
( )
d
2sin2f x x x C= − +
. Ⓓ
( )
d
2sin2f x x x C=+
.
Lời giải
Ta có nếu
()Fx
là một nguyên hàm của hàm số
()fx
thì
( )
1
( )df ax b x F ax b C
a
+ = + +
Vậy
sin 2
cos2 d
2
x
x x C=+
.
Câu 15: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( )
2
3f x x=
.
Ⓐ
( )
d6f
x x x C=+
. Ⓑ
( )
df
x x x C=+
.
Ⓒ
( )
3
df x x x C=+
. Ⓓ
( )
3
1
d
3
f x x x C=+
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
( )
2 3 3
1
d 3 d 3.
3
f x x x x x C x C= = + = +

.
Câu 16: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( ) 2 cos2 .f x x x=+
Ⓐ
2
sin2x x C−+
. Ⓑ
2
1
sin 2
2
x x C++
. Ⓒ
2
sin2x x C++
. Ⓓ
2
1
sin 2
2
x x C−+
.
Lời giải
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 42 | HNT.E
Chọn B
Ta có:
( )
2
1
2 cos2 2 cos2 sin2
2
x x dx xdx xdx x x C+ = + = + +
.
Câu 17: (THPT CHUYÊN NAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 01)
tan dxx
bằng
Ⓐ
2
1
sin
C
x
−+
. Ⓑ
ln cos xC+
. Ⓒ
2
1
cos
C
x
+
. Ⓓ
ln cosxC−+
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
( )
d cos
sin
tan d d ln cos
cos cos
x
x
x x x x C
xx
= = − = − +
.
Câu 18: (THPT CHUYÊN NAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 01) Một nguyên
hàm của hàm số
1
()
23
fx
x
=
−
là
()Fx
bằng
Ⓐ
( )
2
2
23x
−
−
. Ⓑ
( )
2
1
2 2 3x −
. Ⓒ
2ln 2 3x −
. Ⓓ
1
ln 2 3
2
x −
.
Lời giải
Chọn D
1
()
23
I f x dx dx
x
==
−

. Đặt:
1
2 3 2
2
u x du dx dx du= − = =
.
Khi đó,
11
ln
22
du
I u C
u
= = +
.
Thay
23ux=−
ta được
1
ln 2 3
2
I x C= − +
.
Câu 19: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM NĂM 2020-2021) Họ nguyên hàm của hàm
số
( )
2x
f x e=
là
Ⓐ
1
2
x
eC+
. Ⓑ
2
1
2
x
eC+
. Ⓒ
2
2
x
eC+
. Ⓓ
2
x
eC+
.
Lời giải
Ta có
1
d
kx kx
e x e C
k
=+
. Vậy
22
1
d
2
xx
e x e C=+
.
Câu 20: (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021 LẦN 01) Họ các
nguyên hàm của hàm số
( )
5
x
f
x x=−
là
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 43 | HNT.E
Ⓐ
2
5
ln5 2
x
x
C−+
. Ⓑ
2
5
x
xC−+
. Ⓒ
2
5 ln2
2
x
x
C−+
. Ⓓ
5
1
ln5
x
C−+
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
( )
2
5
d5
ln5 2
x
x
x
x x C− = − +
.
Câu 21: (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021 LẦN 01) Họ
nguyên hàm của hàm số
( )
s
in 4f x x x=+
là
Ⓐ
2
cos 4x x C− + +
. Ⓑ
2
cos 4x x C++
. Ⓒ
2
cos 2x x C− + +
. Ⓓ
2
cos 2x x C++
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
( )
2
sinx 4 cos 2x dx x x C+ = − + +
.
Câu 22: (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021 LẦN 01) Tìm
nguyên hàm của hàm số
( )
1
32
fx
x
=
−
.
Ⓐ
d
ln 3 2
32
x
xC
x
= − +
−
. Ⓑ
d1
ln 3 2
3 2 2
x
xC
x
= − − +
−
.
Ⓒ
d1
ln 3 2
3 2 3
x
xC
x
= + +
−
. Ⓓ
d1
ln 2 3
3 2 3
x
xC
x
= − +
−
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
( )
d 3 2
d 1 1
ln 3 2
3 2 3 3 2 3
x
x
xC
xx
−
= = − +
−−

1
ln 2 3
3
xC= − +
.
Câu 23: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP NĂM 2020-2021) Nguyên hàm
của hàm số
( )
3
29f x x=−
là.
Ⓐ
4
1
9
2
x x C−+
. Ⓑ
3
49x x C−+
. Ⓒ
4
49x x C−+
. Ⓓ
4
1
4
xC+
.
Lời giải
Ta có
( )
3 4 4
21
2 9 d 9 9
42
x x x x C x x C− = − + = − +
.
Câu 24: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau
Ⓐ
4
3
d
4
xC
xx
+
=
. Ⓑ
( )
2
e d 2 e
xx
xC=+
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 44 | HNT.E
Ⓒ
sin d cosx x C x=−
. Ⓓ
1
d lnx x C
x
=+
.
Lời giải
Chọn D
Ta có công thức đúng là
1
d lnx x C
x
=+
, còn
1
d lnx x C
x
=+
chỉ đúng khi
0x
.
Câu 25: Họ nguyên hàm của hàm số
( )
2
sin2f x x x=+
là
Ⓐ
2
1
cos2
2
x x C−+
. Ⓑ
2
2cos2x x C++
. Ⓒ
2
1
cos2
2
x x C++
. Ⓓ
2
2cos2x x C−+
.
Lời giải
Chọn A
( )
2
1
2 sin2 cos2
2
f x x x x x x x C= + = − +

dd
Câu 26: (THPT CHUYÊN PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 02) Họ tất cả các nguyên hàm
của hàm số
32)( += xxf
là
Ⓐ
Cxx ++ 32
2
. Ⓑ
Cx +
2
2
. Ⓒ
Cx +
2
. Ⓓ
Cxx ++ 3
2
.
Lời giải
Họ nguyên hàm của
32)( += xxf
là
( )
++=+=+ Cxxxx 3dx3dx2dx32
2
.
Câu 27: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021) Cho hàm số
( )
1
21f x x
x
= + +
.
( )
Fx
là một nguyên hàm của
( )
fx
thỏa mãn
( )
10F =
. Trong các
khẳng định sau khẳng định nào đúng?
Ⓐ
( )
2
ln 2F x x x x= + + −
. Ⓑ
( )
2
ln 2F x x x x= + + +
.
Ⓒ
( )
2
ln 2F x x x x= + − −
. Ⓓ
( )
2
ln 2F x x x x= − + +
.
. Lời giải
Chọn A
Ta có:
( )
2
1
2 1 lnf x dx x dx x x x C
x

= + + = + + +



.
Do
( )
10F =
, nên
2C =−
. Vậy
( )
2
ln 2F x x x x= + + −
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 45 | HNT.E
Câu 28: (SGD&ĐT LAI CHÂU NĂM 2020-2021) Một nguyên hàm của hàm số
2
( ) 3 1f x x=+
là:
Ⓐ
6x
. Ⓑ
3
1x +
. Ⓒ
3
xx+
. Ⓓ
3
3xx+
.
Lời giải
Chọn C
( )
23
( ) ( ) 3 1F x f x dx x dx x x C= = + = + +

Chọn
0C =
thì
3
()F x x x=+
.
Câu 29: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 03) Cho hàm số
( )
3
4 3.f x x=+
Mệnh đề nào sau đây đúng ?
Ⓐ
( )
4
d 3 .f x x x x C= + +
Ⓑ
( )
4
1
d 3 .
4
f x x x x C= + +
Ⓒ
( )
4
d 4 3 .f x x x x C= + +
Ⓓ
( )
3
d 12 3 .f x x x x C= + +
Lời giải
Chọn A
Vì
( )
43
3 4 3.x x C x
+ + = +
Câu 30: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Họ tất cả các nguyên
hàm của hàm số
2
()
x
fx
x
−
=
trên khoảng
(0; )+
là
Ⓐ
2
2
xC
x
++
. Ⓑ
2lnx x C−+
. Ⓒ
2lnx x C++
. Ⓓ
2
2
xC
x
−+
.
Lời giải
Trên khoảng
(0; )+
ta có
22
d 1 d 2ln
x
x x x x C
xx
−

= − = − +



.
Câu 31: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NINH NĂM 2020-2021) Họ nguyên hàm của
hàm số
2
( ) 3 sinf x x x=−
là
Ⓐ
6 cosx x C−+
. Ⓑ
3
cosx x C−+
.
Ⓒ
3
cosx x C++
. Ⓓ
3
sinx x C−+
Lời giải
Chọn C
Ta có
( )
23
3 sin cosx x dx x x C− = + +
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 46 | HNT.E
Câu 32: (CHUYÊN LONG AN NĂM 2020-2021 LẦN 03) Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( )
2
3 sinf x x x=+
(
C
là hằng số)
Ⓐ
3
cos .x x C−+
Ⓑ
6 cos .x x C++
Ⓒ
3
cos .x x C++
Ⓓ
6 cos .x x C−+
Lời giải
Chọn A
( )
23
3 sin d cos .x x x x x C+ = − +
Câu 33: (CHUYÊN LONG AN NĂM 2020-2021 LẦN 03) Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( )
3x
f x e=
(
C
là hằng số)
Ⓐ
( )
3
3
x
f x x e C=+
d
. Ⓑ
( )
3
3
x
e
f x x C=+
d
.
Ⓒ
( )
3x
f x x e C=+
d
. Ⓓ
( )
31
31
x
e
f x x C
x
+
=+
+
d
.
Lời giải
Chọn B
( )
3
3
x
e
f x x C=+
d
.
Câu 34: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN VŨNG TÀU NĂM 2020-2021) Một nguyên hàm của hàm
số
( )
2
31f x x=+
là
Ⓐ
6x
. Ⓑ
3
1x +
. Ⓒ
3
xx+
. Ⓓ
3
3xx+
.
Lời giải
Ta có
( )
( )
23
d 3 1 df x x x x x x C= + = + +

.
Cho
0C =
ta được một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
là
3
xx+
. Chọn đáp án Ⓒ
Câu 35: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề
sau
Ⓐ
4
3
4
xC
x dx
+
=
. Ⓑ
2 2( )
xx
e dx e C=+
. Ⓒ
sinx cosdx C x=−
. Ⓓ
1
lndx x C
x
=+
.
Lời giải
Chọn D
p dụng công thức
=+
1
lndx x C
x
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 47 | HNT.E
Câu 36: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Họ nguyên hàm của hàm số
( )
2
sin2f x x x=+
là:
Ⓐ
2
1
cos2
2
x x C−+
. Ⓑ
2
2cos2x x C++
. Ⓒ
2
1
cos2
2
x x C++
. Ⓓ
2
2cos2x x C−+
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
( )
2
1
2 sin 2 d cos2
2
x x x x x C+ = − +
;
Câu 37: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 02) Họ tất cả nguyên
hàm của hàm số
( )
c
os2f x x=
Ⓐ
2sin2xC+
. Ⓑ
1
sin 2
2
xC−+
. Ⓒ
1
sin 2
2
xC+
. Ⓓ
2sin2xC−+
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
1
cos2 d sin 2
2
x x x C=+
.
Câu 38: (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho
( )
2
d 3 2 3f x x x x C= + − +
. Hỏi
( )
fx
là hàm số nào?
Ⓐ
( )
62f
x x=+
. Ⓑ
( )
32
3f x x x x C= + − +
.
Ⓒ
( )
62f
x x C= + +
. Ⓓ
( )
32
3f x x x x= + −
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
( )
( )
2
3 2 3 6 2f x x x C x
= + − + = +
.
Câu 39: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm
số
( )
1
sinf x x=+
là
Ⓐ
1 cos xC++
. Ⓑ
1 cosxC−+
. Ⓒ
cosx x C++
. Ⓓ
cosx x C−+
.
Lời giải
Chọn D
( ) ( )
d
cos .F x f x x x x C= = − +
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 48 | HNT.E
Câu 40: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm
số
( )
2x
f x e=
là
Ⓐ
x
eC+
. Ⓑ
2x
eC+
. Ⓒ
2
2
x
e
C+
. Ⓓ
2
x
e
C+
.
Lời giải
Chọn C
Áp dụng công thức nguyên hàm ta chọn C
Câu 41: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 01) Họ các nguyên hàm của hàm
số
( ) sin3f x x=
là
Ⓐ
1
cos3
3
xC−+
. Ⓑ
cos3xC−+
. Ⓒ
cos3xC+
. Ⓓ
1
cos3
3
xC+
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
cos3 1
( ) sin3 cos3 .
33
x
f x dx xdx C x C= = − + = − +

Câu 42: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hàm số
( )
21
, 1
1
x
f x x
x
+
=
−
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Ⓐ
( )
d 3ln 1 , 1f x x x C x= − +
. Ⓑ
( ) ( )
d
3ln 1 , 1f x x x C x= − +
.
Ⓒ
( )
d 2 3ln 1 , 1f x x x x C x= + − +
. Ⓓ
( ) ( )
d
3ln 1 , 1f x x x C x= − +
.
Lời giải
Ta có
( )
2 1 3
d d 2 d 2 3ln 1 , 1
11
x
f x x x x x x C x
xx
+

= = + = + − +

−−

.
Câu 43: Biết
( )
2
f x dx x C=+
. Tính
( )
2f
x dx
Ⓐ
( )
2
1
2
2
f x dx x C=+
. Ⓑ
( )
2
1
2
4
f x dx x C=+
.
Ⓒ
( )
2
22f x dx x C=+
. Ⓓ
( )
2
24f x dx x C=+
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
( ) ( )
2
2f x dx x C f x x= + =
.
Suy ra:
( )
2
2 2.2 2f x dx xdx x C= = +

.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 49 | HNT.E
Câu 44: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2020-2021) Tìm nguyên hàm
( )
3
4 2 1 dx x x++
.
Ⓐ
42
42x x x C+ + +
. Ⓑ
42
2x x x C+ + +
. Ⓒ
42
x x x C+ + +
. Ⓓ
4
2
4
x
x x C+ + +
.
Lời giải
Ta có:
( )
3 3 4 2
4 2 1 d 4 d 2 d 1dx x x x x x x x x x x C+ + = + + = + + +
.
Câu 45: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2020-2021) Biết rằng
( )
Fx
là
một nguyên hàm của
( )
c
os2=f x x
trên và
( )
0
0.=F
Tính giá trị của biểu thức
2.
24

=+
T F F
Ⓐ
2.=T
Ⓑ
3.=T
Ⓒ
1
.
2
=T
Ⓓ
1.=T
Lời giải
Ta có
( )
1
cos2 d sin 2 .
2
= = +
F x x x x C
Mà
( )
00=F
nên
0.=C
Suy ra
( )
1
sin 2 .
2
=F x x
Do đó
1
sin 0
22

==


F
và
11
sin .
4 2 2 2


==


F
Vậy
1
2 0 2. 1.
2 4 2

= + = + =
T F F
Câu 46: (THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020-2021 LẦN 01) Tính nguyên hàm
2
tan 2 dxx
.
Ⓐ
tan2 Cxx−+
. Ⓑ
1
tan2 C
2
xx−+
. Ⓒ
1
tan2 C
2
xx++
. Ⓓ
tan2 Cxx++
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
2
22
1 1 1
tan 2 d 1 d d d tan2 .
cos 2 cos 2 2
x x x x x x x C
xx

= − = − = − +


TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 50 | HNT.E
Câu 47: (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021 LẦN 01) Cho
hàm số
( )
fx
xác định trên
1
\
3



thỏa mãn
( )
3
',
31
fx
x
=
−
( )
0
1.f =
Giá trị của
( )
1f −
bằng:
Ⓐ
3ln2 3+
. Ⓑ
2ln2 1+
. Ⓒ
3ln2 4+
. Ⓓ
12ln 2 3+
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
( ) ( )
3
' ln 3 1
31
f x f x dx dx x C
x
= = = − +
−

Vì :
( ) ( )
0 1 1 ln 3 1 1f C f x x= = = − +
Vậy:
( )
1
ln4 1 2ln2 1f − = + = +
Câu 48: (THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021 LẦN 01) Với mọi hàm số
( )
fx
;
( )
gx
liên tục trên , cho các khẳng định sau:
( )
I
.
( ) ( ) ( ) ( )
d
d df x g x x f x x g x x− = −


.
( )
II
.
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
.
d d . df x g x x f x x g x x=


.
( )
III
. Nếu
( ) ( )
df
x x F x C=+
thì
( ) ( )
df
u u F u C=+
.
( )
IV
.
( ) ( )
ddk
f x x k f x x=

với mọi hằng số
k
.
Có bao nhiêu khẳng định sai?
Ⓐ
4
. Ⓑ
1
. Ⓒ
2
. Ⓓ
3
.
Lời giải
Chọn C
Các khẳng định sai là
( )
II
;
( )
IV
.
Câu 49: (THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021 LẦN 01) Biết rằng
( )
33
cos .sin3 sin .cos3 d cos4
a
x x x x x x C
b
+ = +
với
,ab
,
a
b
là phân số tối giản
( )
0
, 0ab
, tính
2ab+
.
Ⓐ
13−
. Ⓑ
13
. Ⓒ
10−
. Ⓓ
10
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 51 | HNT.E
( ) ( )
3 3 3 3 3 3
cos .sin3 sin .cos3 cos . 3sin 4sin sin . 4cos 3cosx x x x x x x x x x+ = − + −
3 3 3 3 3 3
3cos .sin 4sin .cos 4sin .cos 3sin .cosx x x x x x x x= − + +
33
3cos .sin 3sin .cosx x x x=+
( )
22
3sin .cos . cos sinx x x x=−
( )
22
3
sin 2 . cos sin
2
x x x=−
33
sin 2 .cos2 sin 4
24
x x x==
( )
33
33
cos .sin3 sin .cos3 d sin 4 d cos4 cos4
4 16
a
x x x x x x x x C x C
b
+ = = − + = +

.
Vì:
0
3
0 2 10
16
,
a
a
b a b
b
ab
=−
+ =

=
.
Câu 50: (THPT CHUYÊN PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho
( )
Fx
là một nguyên
hàm của hàm số
( )
2
x
f
x e x=+
thỏa mãn
( )
3
0
2
F =
. Tìm
( )
Fx
.
Ⓐ
( )
2
5
2
x
F x e x= + +
. Ⓑ
( )
2
1
2
2
x
F x e x= + −
.
Ⓒ
( )
2
3
2
x
F x e x= + +
. Ⓓ
( )
2
1
2
x
F x e x= + +
.
Lời giải
Ta có
( ) ( )
( )
2
d 2 d
xx
F x f x x e x x e x C= = + = + +

.
Mà
( )
31
0
22
FC= =
.
Vậy
( )
2
1
2
x
F x e x= + +
.
Câu 51: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021) Cho hàm số
( )
2
1 2cosf x x=−
. Tìm nguyên hàm của
( )
fx
?
Ⓐ
sin 2
2
x
C−+
. Ⓑ
sin 2
2
x
C+
. Ⓒ
sin2xC+
. Ⓓ
sin2xC−+
.
Lời giải
Chọn A
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 52 | HNT.E
Ta có:
( )
( )
2
1
1 2cos cos2 sin 2
2
f x dx x dx xdx x C= − = − = − +
.
Câu 52: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NINH NĂM 2020-2021) Cho
( )
Fx
là một
nguyên hàm của hàm số
( )
1
21
fx
x
=
−
, biết
( )
01F =
. Giá trị
( )
2F −
bằng
Ⓐ
1
1 ln5
2
+
. Ⓑ
( )
1
1 ln5
2
+
. Ⓒ
1
1 ln3
2
+
. Ⓓ
1 ln5+
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
( )
11
d ln 2 1
2 1 2
F x x x C
x
= = − +
−
.
Với
( ) ( ) ( )
11
0 1 ln 2 1 1 2 ln5 1
22
F C F x x F= = = − + − = +
.
Câu 53: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 02) Họ tất cả các nguyên
hàm của hàm số
( )
2
43
fx
x
=
−
trên khoảng
( )
1; +
là
Ⓐ
( )
2
ln 4 3 .xC−+
Ⓑ
( )
1
ln 4 3 .
2
xC−+
Ⓒ
( )
1
ln 4 3 .
4
xC−+
Ⓓ
( )
4
ln 4 3 .xC−+
Lời giải
Chọn B
Đặt
1
4 3 4
4
t x dt dx dx dt= − = =
. Vì
( )
1;x
+
nên
0.t
Ta có:
( )
2 1 1 1 1 1
( ) . ln ln ln 4 3 .
4 2 2 2 2
dt
f x dx dt t C t c x C
tt
= = = + = + = − +
Câu 54: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 01) Họ các nguyên hàm của hàm
số
( )
21
3
x
fx
−
=
là
Ⓐ
9
3
x
C+
. Ⓑ
9
3ln3
x
C+
. Ⓒ
9
6ln3
x
C+
. Ⓓ
9
6
x
C+
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
21
21
39
3d
2.ln3 6ln3
xx
x
x C C
−
−
= + = +
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 53 | HNT.E
Câu 55: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho
( )
2
1
2
Fx
x
=
là một
nguyên hàm của hàm số
( )
fx
x
. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
lnf
x x
là
Ⓐ
( )
22
ln 1
ln d
x
f x x x C
xx
= + +
. Ⓑ
( )
22
ln 1
ln d
x
f x x x C
xx

= − + +


.
Ⓒ
( )
22
ln 1
ln d
2
x
f x x x C
xx

= − + +


. Ⓓ
( )
22
ln 1
ln d
2
x
f x x x C
xx
= + +
.
Lời giải
Do
( )
2
1
2
Fx
x
=
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
x
nên ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
3
2
2
1
1
1
1
d
dd
2
2
f x f x
fx
Fx
x
x x x
fx
f x f x
xC
x F x C x C
xx
x x x

=−
= = −


=+
= + = +


.
Suy ra :
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
ln 1 ln 1
ln d ln d ln d
22
fx
xx
f x x x x f x f x x x C C
x x x x x

= = − = − − + = − + +


Câu 56: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho hàm số
( )
fx
thỏa mãn
( )
( )
( ) ( )
2
42
. 15 12 1,f x f x f x x x x
+ = + +
và
( )
00f =
. Tính giá trị của
( )
2
3 3 678Af=−
.
Ⓐ
2018
. Ⓑ
2021
. Ⓒ
2022
. Ⓓ
2019
.
Lời giải
Ta có
( )
( )
( ) ( )
2
42
. 15 12 1f x f x f x x x
+ = + +
( ) ( )
42
. 15 12 1f x f x x x
= + +


( ) ( )
53
1
. 3 4f x f x x x x C
= + + +
( ) ( )
11
0
. 0 0f f C C
= =
, .
Do đó ta có :
( ) ( )
53
. 3 4f x f x x x x
= + +
( ) ( )
( )
53
. d 3 4 df x f x x x x x x
= + +

( )
2 6 4 2
2
1 1 1
2 2 2
f x x x x C = + + +
( )
2
22
1
00
2
f C C = =
, .
Do đó ta có
( )
2 6 4 2
2f x x x x= + +
.
Vậy
( )
2
3 3 678 2022Af= − =
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 54 | HNT.E
Câu 57: (THPT CHUYÊN NAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 01) Cho hàm số
( )
fx
xác định trên , thỏa mãn
( )
'
2 1f x x=−
và
( )
35f =
. Giả sử phương trình
( )
999fx=
có hai nghiệm
1
x
và
2
x
. Tính tổng
12
log logS x x=+
.
Ⓐ
5
. Ⓑ
999
. Ⓒ
3
. Ⓓ
1001
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
( ) ( )
2
' 2 1f x x f x x x C= − = − +
.
Do
( )
35f =
nên
2
3 3 5 1CC− + = = −
Vậy:
( )
22
999 1 999 1000 0f x x x x x= − − = − − =
( )
*
Nhận thấy phương trình
( )
*
có hai nghiệm
1
x
,
2
x
mà
12
1000xx =−
.
Khi đó:
1 2 1 2
log log log . log1000 3.S x x x x= + = = =
Câu 58: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số
fx
có đạo hàm liên tục trên và thoả mãn
sin 1 cosf x x f x x
với mọi số thực
x
. Tính
6
f
.
Ⓐ
1
. Ⓑ
1
. Ⓒ
3
2
. Ⓓ
1
2
.
Lời giải
Ta có:
sin 1 cosf x x f x x
sin cos cosf x x f x x x
sin cosf x x x
Suy ra:
sin sinf x x x C
Chọn
00xC
.sin sinf x x x
.sin sin 1
6 6 6 6
ff
.
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Câu 59: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho hàm số
( )
fx
thỏa mãn
( ) ( )
1
0
1 d 10x f x x
+=
và
( ) ( )
2
1 0 2ff−=
. Tính
( )
1
0
dI f x x=
.
Ⓐ
1I =
. Ⓑ
8I =
. Ⓒ
8I =−
. Ⓓ
12I =−
.
Lời giải
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 55 | HNT.E
Ta có
( ) ( )
1
0
1 d 10x f x x
+=
.
Đặt
1 d du x u x= + =
.
( )
ddv
f x x
=
, ta chọn
( )
v
f x=
.
Khi đó
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
11
1
0
00
1 d 1 d .x f x x x f x f x x
+ = + −

Suy ra
( )
1
0
df x x =
( ) ( ) ( ) ( )
1
1
0
0
1 1 dx f x x f x x
+ − + =
( ) ( )
2
1 0 10 2 10 8ff= − − − = −
.
Vậy
( )
1
0
d8I f x x= = −
.
Câu 60: HẾT (THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020-2021 LẦN 01) Tính nguyên hàm
2 3 2
(2 1) dx x x−
.
Ⓐ
( )
3
3
21
.
18
x
C
−
+
Ⓑ
( )
3
3
21
.
3
x
C
−
+
Ⓒ
( )
3
3
21
.
6
x
C
−
+
Ⓓ
( )
3
3
21
.
9
x
C
−
+
Lời giải
Chọn A
Vì
( )
3
3
2 3 2 3 2 3
21
1
(2 1) d (2 1) d(2 1) .
6 18
x
x x x x x C
−
− = − − = +

Câu 61: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP NĂM 2020-2021) Khi tính
nguyên hàm
3
d
1
x
x
x
−
+
, bằng cách đặt
1ux=+
ta được nguyên hàm nào?
Ⓐ
2
2 ( 4)du u u−
. Ⓑ
2
2( 1)duu−
. Ⓒ
2
2( 4)duu−
. Ⓓ
2
( 4)duu−
.
Lời giải
Ta có:
3
d
1
x
Ix
x
−
=
+
. Đặt
22
1 1 1 2 .u x u x x u u du dx= + = + = − =
.
Khi đó
( )
2
2
13
2 . 2 4 .
u
I u du u du
u
−−
= = −

.
Câu 62: (THPT CHUYÊN PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 02) Tính nguyên hàm
d
4
x
xx+
bằng cách đặt
4tx=+
ta thu được nguyên hàm nào?
Ⓐ
2
2d
4
t
t −
. Ⓑ
( )
2
2d
4
tt
t −
. Ⓒ
( )
2
2d
4−
t
tt
. Ⓓ
2
d
4
t
t −
.
Lời giải
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 56 | HNT.E
Đặt
2
4 4 2 d d= + = + =t x t x t t x
và
2
4=−xt
. Ta có:
( )
2
2
d 2 d 2
4
4
4
==
−
−
+
x t t dt
.
t
tt
xx
Câu 63: (SGD&ĐT LAI CHÂU NĂM 2020-2021) Cho
()Fx
là một nguyên hàm của hàm
()fx
trên . Hỏi
2
()Fx
là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây:
Ⓐ
2 . ( )x f x
. Ⓑ
2
. ( )x f x
. Ⓒ
2
()fx
. Ⓓ
2
2 . ( )x f x
.
Lời giải
Chọn D
( ) ( )F x f x dx=
22
2 ( )t x dt xdx d x= = =
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ).2 2 . ( )F x F t f t dt f x xdx x f x dx= = = =
.
Câu 64: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN VŨNG TÀU NĂM 2020-2021) Cho
( )
Fx
là một nguyên
hàm của hàm số
( )
fx
trên . Hỏi
( )
2
Fx
là một nguyên hàm của hàm số nào dưới
đây?
Ⓐ
( )
2.x
f x
. Ⓑ
( )
2
.x f x
. Ⓒ
( )
2
fx
. Ⓓ
( )
2
2.x f x
.
Lời giải
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
trên
( ) ( )
,F
x f x x
=
.
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
. 2 . ,F x x F x x f x x

= =

.
Vậy
( )
2
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
2
2.x f x
.
Câu 65: (THPT CHUYÊN NAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 01) Cho hàm số
()y f x=
có đạo hàm và liên tục trên
1
;2
, thỏa mãn
2
( ) ( )f x xf x x
=−
. Biết
(1) 3f =
. Tính
(2)f
.
Ⓐ
16
. Ⓑ
2
. Ⓒ
8
. Ⓓ
4
.
Lời giải
Chọn C
Theo bài
22
2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 1
xf x f x
f x xf x x xf x f x x
x
−

= − − = =
'
2
( ) ( )
1 1. ( )
f x f x
dx x C f x x Cx
xx

= = = + = +


.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 57 | HNT.E
Mà
2
(1) 3 1 .1 3 2f C C= + = =
. Vậy
2
( ) 2f x x x=+
. Suy ra
2
(2) 2 2.2 8f = + =
.
Câu 66: (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021 LẦN 01) Cho
( )
22
4 d .
x
f x x e x C= − +
Khi đó
( )
df
x x−
bằng
Ⓐ
2
2
4
4
x
e
xC++
. Ⓑ
2
2
1
4
4
x
e x C−+
. Ⓒ
2
2
1
4
4
x
e x C
−
− + +
. Ⓓ
2
2
4
x
x
eC
−

− + +


Lời giải
Chọn C
Ta có
( ) ( )
( )
2 2 2 2 2
4 d 4 2 2 .
x x x
f x x e x C f x e x C e x
= − + = − + = −
Đặt
1
4
xt=−
suy ra
( ) ( )
1
2
1
4 2 .
2
t
f x f t e t
−
= − = +
Khi đó
( )
1
2
1
2.
2
x
f x e x
−
− = +
Ta có
( )
1
2
22
11
d 2 d 4 .
24
x
x
f x x e x x e x C
−−

− = + = − + +



Câu 67: (THPT CHUYÊN PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 02) Biết
( ) ( )
2
2
1 ln ln
ln
+
= + +
mx x n px
dx x C
xx
với
, , ,m n p C
là các số thựⒸ Khi đó,
++m n p
bằng
Ⓐ
1+e
. Ⓑ
2+e
. Ⓒ
21−e
. Ⓓ
22−e
.
Lời giải
( )
12
22
1 ln
ln ln
+
= + = +
mx x
xx
dx m dx dx I I
x x x
.
* Tính
1
ln
=
x
I m dx
x
Đặt
1
ln= =t x dt dx
x
22
1 1 1
ln
22
mt m x
I m tdt C C= = + = +
*Tính
2
2
ln
=
x
I dx
x
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 58 | HNT.E
2
1
ln
11
= =
−
= =
u x du dx
x
dv dx v
xx
( )
2 2 2
2
ln
1 1 1 1
ln ln
ex
I x dx x C C
x x x x x
−
= − + = − − + = +
Suy ra
( ) ( )
2
2
1 ln ln
ln
2
+−
= + +
mx x ex
m
dx x C
xx
2, 1, 1 = = − = + + = +m n p e m n p e
.
Câu 68: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021) Cho
()Fx
là một nguyên hàm của
hàm số
( )
2021
2
2
1
()
1
xx
fx
x
++
=
+
và
( )
0
1.F =
Giá trị của
( )
1F
bằng
Ⓐ
( )
2020
1 2 2021
2020
+−
. Ⓑ
( )
2021
1 2 2020
2021
++
.
Ⓒ
( )
2020
1 2 2021
2020
++
. Ⓓ
( )
2021
1 2 2020
2021
+−
.
Lời giải
Chọn B
Đặt
2
2
2
1
1.
1
xx
t x x dt dx
x
++
= + + =
+
( ) ( )
2021 2021
22
2021
2020
2
11
( ) .
2021 2021
1
x x x x
t
F x dx t dt C C
x
+ + + +
= = = + = +
+

Lại có
( )
2021
2
1
2020
(0) 1 ( ) .
2021 2021
xx
F F x
++
= = +
( )
2021
1 2 2020
(1) .
2021
F
++
=
Câu 69: (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số
()fx
liên tục và có đạo
hàm trên
( )
2
; 2 \ 0−
, thỏa mãn
(1) 0f =
và
( )
()
()
'( ) 2 0
fx
fx
x
f x x e
e
+ + + =
. Giá trị của
1
2
f



bằng
Ⓐ
ln3
. Ⓑ
ln6
. Ⓒ
ln7
. Ⓓ
ln5
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 59 | HNT.E
Lời giải
Chọn C
Ta có phương trình trên tương đương với:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
()
2
( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )
()
2
()
'( ) 2 0 '( ) 2 0
'( ) 2 1 0 '( ) 1 0
'( )
1
f x f x f x f x
fx
f x f x f x f x f x
fx
fx
x
f x x e e f x xe e x
e
e f x x e e e f x x e
e f x
x
e
+ + + = + + + + =
+ + + = + + =
−
=
+
Đến đây ta nguyên hàm hai vế, ta được như sau:
( )
( ) ( )
( ) 2 2
2
( ) ( )
()
'( ) 1 1
22
11
1
fx
f x f x
fx
e f x x x
dx xdx d C C
ee
e

−

= = + = +

++
+

Mà
(1) 0f =
nên ta suy ra
( )
2
2
()
12
0 ( ) ln 1
2
1
fx
x
C f x
x
e

= = = −

+

Từ đó suy ra
1
ln7
2
f

=


PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Câu 70: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hai hàm số
( ) ( )
,u
x v x
có đạo hàm lien tục trên . Chọn mệnh đề đúng?
Ⓐ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.
' . ' . 'u x v x dx u x v x u x v x dx=+

.
Ⓑ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.
' . ' . 'u x v x dx u x v x u x v x dx=−

.
Ⓒ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.
' . ' .u x v x dx u x v x u x v x dx=+

.
Ⓓ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.
' . ' .u x v x dx u x v x u x v x dx=−

.
Lời giải
Ta có theo công thức tính nguyên hàm của hàm hợp ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.
' . ' .u x v x dx u x v x u x v x dx=−

Câu 71: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Tính nguyên hàm
1
d
ln
Ax
xx
bằng cách đặt
lntx
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ⓐ
dAt
. Ⓑ
2
1
dAt
t
. Ⓒ
1
dAt
t
. Ⓓ
dA t t
.
Lời giải
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 60 | HNT.E
Xét
1
d
ln
Ax
xx
.
Đặt
1
ln d dt x t x
x
.
Suy ra
1 1 1 1
d . d dt
ln ln
A x x
x x x x t
.
Câu 72: (THPT CHUYÊN NAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 01) Một nguyên
hàm của
ln x
bằng
Ⓐ
lnx x x−
. Ⓑ
1
x
. Ⓒ
lnx x x+
. Ⓓ
1 lnx x x−+
.
Lời giải
Chọn D
Đặt
lnux
dv dx
=
=
1
du dx
x
vx
=
=
Ta có:
ln ln lnxdx x x dx x x x C= − = − +

Vậy một nguyên hàm của
ln x
bằng
1 lnx x x−+
.
Câu 73: (THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020-2021 LẦN 01) Tìm nguyên hàm
( )
2
1 ln dx x x−
Ⓐ
( )
2
2
ln
2
x
x x x x C− − − +
. Ⓑ
( )
2
2
ln
2
x
x x x x C− + − +
.
Ⓒ
( )
2
2
ln
2
x
x x x x C− + + +
. Ⓓ
( )
2
2
ln
2
x
x x x x C− − + +
.
Lời giải
Chọn D
Đặt
( )
2
1
ln
d
2 1 d
ux
du x
x
dv x x
v x x
=
=


=−
=−
.
Ta có
( )
( ) ( )
22
1
2 1 ln d ln dx x x x x x x x x
x
− = − − −

( )
( )
( )
2
22
ln 1 d ln
2
x
x x x x x x x x x C= − − − = − − + +
.
Câu 74: (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021 LẦN 01) Cho
( )
( )
22
e
x
F x ax bx c= + −
là một nguyên hàm của hàm số
( )
( )
22
2020 2022 1 e
x
f x x x= + −
trên khoảng
( )
;−
+
. Tính
24T a b c= − +
.
Ⓐ
1012T =
. Ⓑ
2012T =−
. Ⓒ
1004T =
. Ⓓ
1018T =
.
Lời giải
Chọn A
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 61 | HNT.E
Xét
( )
( )
22
2020 2022 1 e d
x
F x x x x= + −
.
Đặt
( )
2
2
2
d 4040 2022 d
2020 2022 1
1
d e d
e
2
x
x
u x x
u x x
vx
v
=+
= + −


=
=
.
Do đó
( )
( )
( )
2 2 2
11
2020 2022 1 e 4040 2022 e d
22
xx
F x x x x x C= + − − + +
.
Đặt
( )
2
4040 2022 e d
x
I x x=+
.
Đặt
1
1
2
2
1
1
d 4040d
4040 2022
1
e
d e d
2
x
x
ux
ux
v
vx
=
=+

=
=
.
Do đó
( )
22
1
4040 2022 e 2020 e d
2
xx
I x x= + −
( )
22
1
4040 2022 e 1010e
2
xx
x= + −
( )
2
2020 1 e
x
x=+
.
( )
( )
( )
2 2 2
11
2020 2022 1 e 2020 1 e
22
xx
F x x x x C= + − − + +
2 2 2 2 2 2
11
1010 e 1011 e e 1010 e e
22
x x x x x
x x x C= + − − − +
2 2 2 2
1010 e e e
x x x
x x C= + − +
( )
22
1010 1 e
x
x x C= + − +
.
Theo đề bài, ta có
1010a =
,
1b =
,
1c =
,
0C =
. Vậy
1010 2 4 1012T = − + =
.
Câu 75: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 03) Cho
( )
2
F x x=
là
một nguyên hàm của hàm số
( )
2x
f x e
. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
( )
2x
f x e
là
Ⓐ
2
2x x C− + +
. Ⓑ
2
x x C− + +
. Ⓒ
2
22x x C− + +
. Ⓓ
2
22x x C−+
.
Lời giải
Chọn C
Đặt
( ) ( )
22
2d
d
xx
u e du e x
dv f x x v f x

==


==


( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
d 2 d 2
x x x x
f x e x e f x f x e x e f x x C I
= − = − + =

Ta lại có
( )
2
F x x=
là một nguyên hàm của hàm số
( )
2x
f x e
( )
( )
22
2
x
f x e x x
= =
2
22I x x C = − +
Câu 76: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 01) Giả sử hàm số
( )
fx
có đạo
hàm liên tục trên. Biết rằng
( )
3
G x x=
là một nguyên hàm của
( ) ( )
2x
g x e f x
−
=
trên
. Họ tất cả các nguyên hàm của
( )
2x
e f x
−
là
Ⓐ
32
23x x C− + +
. Ⓑ
32
23x x C++
. Ⓒ
32
3x x C++
. Ⓓ
32
3x x C− + +
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 62 | HNT.E
Lời giải
Chọn B
Dùng công thức nguyên hàm từng phần ta có:
( ) ( ) ( )
2 2 2
d 2 d
x x x
e f x x e f x e f x x
− − −
=+

( ) ( )
2 3 3 2 3
2 2 3 2
x
e f x x C G x x C x x C
−
= + + = + + = + +
Câu 77: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN VŨNG TÀU NĂM 2020-2021) Cho hai hàm số
( ) ( )
,f
x g x
có đạo hàm trên và thỏa mãn
( ) ( )
,f
x g x x
+=
( ) ( )
g
x f x x
+ = −
x
. Biết
( ) ( )
0
0 1fg==
, tính
( )
1f
.
Ⓐ
2
2
e
−
. Ⓑ
1
2e
e
+−
. Ⓒ
2
2
2
e
e
−
. Ⓓ
2
2
2
e
e
+
.
Lời giải
Đặt
( ) ( ) ( )
h
x f x g x=+
.
Từ giả thiết ta có
( ) ( )
0h
x h x
+=
x
( ) ( )
.
. 0
xx
h x e h x e
+ =
x
( )
( )
.0
x
h
x e
=
x
.
Suy ra
( )
.
x
h
x e C=
. Do
( ) ( )
00fg=
( )
0
0 0.hC = =
Do đó
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
x x x
f x g x g x f x g x f x
e e e

+ = = − = − −
.
Kết hợp với giả thiết ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
22
xx
f x f x x f x f x x
ee

− − + = − − = −
( ) ( )
2
2
. . .
x x x
x
f x e f x e x e
e
− − −
− = −
( )
( )
2
2
..
xx
x
f x e x e
e
−−
= −
.
Suy ra
( )
( )
2 2 2
2 2 1
. . dx= . dx dx= .d e +
x x x x
x x x
f x e x e x e x
e e e
− − − −

= − − −


( )
1
22
11
. e .dx
x x x x
xx
x e xe e C
ee
− − − −
= − − + = − − + +
.
Do
( )
01f =
nên ta có
1
1C =
. Do đó
( )
1
1
x
x
f x x e
e
= − − + +
.
Vậy
( )
1
12fe
e
= − + +
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 63 | HNT.E
TÍCH PHÂN
ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT – TÍCH PHÂN CƠ BẢN
Câu 78: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho
( )
1
0
2f x dx =
,
( )
2
0
1f x dx =
. Tích phân
( )
2
1
f x dx
bằng
Ⓐ
1
. Ⓑ
2
. Ⓒ
1−
. Ⓓ
3
.
Lời giải
Ta có
( ) ( ) ( )
2 2 1
1 0 0
f x dx f x dx f x dx=−
1 2 1= − = −
.
Câu 79: (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021) Cho
( ) ( )
1
0
2 d 12f x g x x−=


và
( )
1
0
d5g x x =
. Khi đó
( )
1
0
df x x
bằng
Ⓐ
2−
. Ⓑ
12
. Ⓒ
22
. Ⓓ
2
.
Lời giải
( ) ( )
1
0
2 d 12f x g x x−=


( ) ( )
11
00
d 2 d 12f x x g x x − =

( ) ( )
11
00
d 12 2 d 12 2.5 22f x x g x x = + = + =

.
Câu 80: (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021) Giá trị của
2
0
sin dxx
bằng
Ⓐ
0
. Ⓑ
1
. Ⓒ
1−
. Ⓓ
2
.
Lời giải
2
2
0
0
sin d cos 1x x x
= − =
.
Câu 81: (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2020-2021) Tích phân
1
2020
1
x dx
−
bằng
Ⓐ
1
2021
. Ⓑ
2
2021
. Ⓒ
2
2020
. Ⓓ
0
.
Lời giải
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 64 | HNT.E
1
1
2021
2020
1
1
1 1 2
2021 2021 2021 2021
x
x dx
−
−
−

= = − =


.
Câu 82: (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2020-2021 LẦN 04) Nếu
( )
1
0
3df x x =
và
( )
3
0
7df x x =
thì
( )
3
1
df x x
bằng
Ⓐ
10
. Ⓑ
4
. Ⓒ
4−
. Ⓓ
21
.
Lời giải
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 1 3 3 3 1
0 0 1 1 0 0
7 3 4d d d d d df x x f x x f x x f x x f x x f x x= + = − = − =
.
Câu 83: (CHUYÊN NGUYỄN BÌNH KHIÊM QUẢNG NAM NĂM 2020-2021) Cho hàm số
()y f x=
có đạo hàm trên đoạn
[0;2], (0) 1f =
và
2
0
'( ) 3.f x dx =−
Tính
(2)f
Ⓐ
(2) 4f =−
. Ⓑ
(2) 3f =−
. Ⓒ
(2) 2f =−
. Ⓓ
(2) 4f =
.
Lời giải
Ta có
2
2
0
0
'( ) ( ) (2) (0) 3 (2) 3 (0) 2f x dx f x f f f f= = − = − = − + = −
Câu 84: (CHUYÊN NGUYỄN BÌNH KHIÊM QUẢNG NAM NĂM 2020-2021) Cho
( ) ( )
,f
x g x
là cc hàm số liên tc trên
R
tho mn
( )
1
0
3;f x dx =
( ) ( )
2
0
34f x g x dx−=


và
( ) ( )
2
0
28f x g x dx+=


. Tnh
( )
2
1
f x dx
.
Ⓐ
0I =
. Ⓑ
2I =
. Ⓒ
1I =
. Ⓓ
3I =
.
Lời giải
Do
( ) ( )
2
0
34f x g x dx−=


và
( ) ( )
2
0
28f x g x dx+=


nên
( ) ( )
( ) ( )
22
00
22
00
34
28
f x dx g x dx
f x dx g x dx
−=
+=


V vy
( )
2
0
4f x dx =
.
Ta có
( ) ( ) ( )
2 2 1
1 0 0
1f x dx f x dx f x dx=−=
.
Câu 85: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021 LẦN 02) Nếu
( )
2
1
d5f x x =
và
( )
2
1
d9g x x =
thì
( ) ( )
2
1
2df x g x x+


bằng
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 65 | HNT.E
Ⓐ
19
. Ⓑ
28
. Ⓒ
14
. Ⓓ
4
.
Lời giải
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1
2 d 2 d d 2.5 9 19f x g x x f x x g x x+ = + = + =


.
Câu 86: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021 LẦN 02) Nếu
( )
3
1
2 d 5f x x x−=


thì
( )
3
1
df x x
bằng
Ⓐ
9
. Ⓑ
13
. Ⓒ
10
. Ⓓ
12
.
Lời giải
Ta có:
( ) ( ) ( )
3
3 3 3
3
2
1
1 1 1
1
2x d d 2 d 5 d 5 5 8 13f x x f x x x x f x x x− = − = = + = + =


.
Câu 87: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021 LẦN 02) Tích phân
2
0
cos d
π
xx
bằng
Ⓐ
1
. Ⓑ
0
. Ⓒ
2
. Ⓓ
2
.
Lời giải
Ta có
2
2
0
0
cos d sin sin sin0 1
2
π
π
π
x x x
.
Câu 88: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Tích phân
1
2
0
d
x
ex
bằng
Ⓐ
2
1e −
. Ⓑ
1
2
e −
. Ⓒ
( )
2
21e −
. Ⓓ
2
1
2
e −
.
Lời giải
Ta có
1
2
22
0
1
11
d
0
22
xx
e
e x e
−
==
.
Câu 89: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho hàm số
( )
fx
liên tc trên
;ab
và
( )
Fx
là một nguyên hàm của
( )
fx
. Tìm khẳng định sai.
Ⓐ
( ) ( ) ( )
d
b
a
f
x x F b F a=−
. Ⓑ
( )
d0
a
a
f
x x =
.
Ⓒ
( ) ( )
dd
ba
ab
f
x x f x x=−

. Ⓓ
( ) ( ) ( )
d
b
a
f
x x F a F b=−
.
Lời giải
Theo định nghĩa tch phân, ta có
( ) ( ) ( )
d
b
a
f
x x F b F a=−
.
Vy
D
là khẳng định sai.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 66 | HNT.E
Câu 90: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 04) Nếu
( )
2
1
3f x dx =
và
( )
2
1
1g x dx =−
thì
( ) ( )
2
1
23f x g x dx+


bằng
Ⓐ
2
. Ⓑ
9
. Ⓒ
3
. Ⓓ
0
.
Lời giải
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1
2 3 2 3 2.3 3 1 3f x g x dx f x dx g x dx+ = + = + − =


.
Câu 91: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 04) Tích phân
2
0
sin xdx
bằng
Ⓐ
2
−
. Ⓑ
1
. Ⓒ
1−
. Ⓓ
2
.
Lời giải
2
2
0
0
sin cos cos cos0 1
2
xdx x
= − = − + =
.
Câu 92: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2020-2021) Cho hàm số
( ) ( )
,f
x g x
liên tc trên
0
;1
và
( ) ( )
11
00
d 1, d 2= − =

f x x g x x
. Tính
( ) ( )
1
0
2 3 d+


f x g x x
Ⓐ
4
. Ⓑ 1. Ⓒ
2−
. Ⓓ
5
.
Lời giải
Ta có :
( ) ( )
1
0
2 3 d+


f x g x x
( ) ( ) ( )
11
00
2 d 3 d 2 1 3.2 4= + = − + =

f x x g x x
.
Câu 93: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP NĂM 2020-2021) Cho hàm số
()fx
liên tc trên đoạn
0
;6
tho mãn
6
0
( )d 10f x x =
và
4
2
( )d 6.f x x =
Tính giá trị
của biểu thức
26
04
( )d ( )d .P f x x f x x=+

Ⓐ 4. Ⓑ 8. Ⓒ 16. Ⓓ 10.
Lời giải
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 67 | HNT.E
Ta có
6 2 4 6
0 0 2 4
( )d ( )d ( )d ( )d 10f x x f x x f x x f x x= + + =
Suy ra
2 6 4
0 4 2
( )d ( )d 10 ( )d 10 6 4P f x x f x x f x x= + = − = − =
.
Câu 94: Tính
1
3
0
ed
x
Ix=
.
Ⓐ
3
e1I =−
. Ⓑ
e1I =−
. Ⓒ
3
e1
3
I
−
=
. Ⓓ
3
1
e
2
I =+
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
( ) ( )
1
1
3 3 3
0
0
11
e d e e 1
33
xx
x = = −
.
Câu 95: Nếu
( )
2
1
d3f x x =
và
( )
5
2
d1f x x =−
thì
( )
5
1
df x x
bằng
Ⓐ
2−
. Ⓑ
4
. Ⓒ
2
. Ⓓ
3
.
Lời giải
Chọn C
( ) ( ) ( ) ( )
5 2 5
1 1 2
d d d 3 1 2f x x f x x f x x= + = + − =
.
Câu 96: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021) Tích phân
2
2
4
2
sin
dx
x
bằng
Ⓐ
2
. Ⓑ
3
. Ⓒ
1
. Ⓓ
4
.
Lời giải
Chọn A
Tích phân
2
2
2
4
4
2
2cot 2 cot cot 2
sin 2 4
dx x
x


= − = − − =


.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 68 | HNT.E
Câu 97: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021) Nếu
5
2
( ) 10f x dx =
và
9
2
( ) 7f x dx =
thì
9
5
()f x dx
bằng
Ⓐ
3−
. Ⓑ
3
. Ⓒ
17
. Ⓓ
17−
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
9 9 5
5 2 2
( ) ( ) ( ) 7 10 3f x dx f x dx f x dx= − = − = −
.
Câu 98: (SGD&ĐT LAI CHÂU NĂM 2020-2021) Tính tích phân
4
1
I xdx=
.
Ⓐ
14
3
. Ⓑ
13
3
. Ⓒ
4
. Ⓓ
11
3
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
4
1
14
3
I xdx==
.
Câu 99: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 03) Tích phân
( )
2
2
0
dx x x+
bằng
Ⓐ
14
3
−
. Ⓑ
5−
. Ⓒ
5
. Ⓓ
14
3
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
( )
2
2
3 2 3 2
2
0
0
2 2 8 14
d2
3 2 3 2 3 3
xx
x x x

+ = + = + = + =


.
Câu 100: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NINH NĂM 2020-2021) Tích phân
( )
0
5
2
61x dx
−
+
bằng
Ⓐ
62.−
Ⓑ
64.
Ⓒ
68.
Ⓓ
68.−
Lời giải
Chọn A
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 69 | HNT.E
Ta có
( ) ( )
( )
0
0
6
56
2
2
6 1 2 2 62.x dx x x
−
−

+ = + = − − − = −

Câu 101: (CHUYÊN LONG AN NĂM 2020-2021 LẦN 03) Giá trị của
2
0
sin
xdx
bằng bao nhiêu?
Ⓐ
1
. Ⓑ
1−
. Ⓒ
2
. Ⓓ
0
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
2
2
0
0
sin cos cos cos0 1
2

= − = − − =


xdx x
.
Câu 102: (CHUYÊN LONG AN NĂM 2020-2021 LẦN 03) Cho hàm số
( )
fx
liên tc trên
thỏa mãn
( ) ( )
6 10
06
d 7, d 1f x x f x x= = −

. Tính
( )
10
0
dI f x x=
.
Ⓐ
5I =
. Ⓑ
8I =
. Ⓒ
7I =
. Ⓓ
6I =
.
Lời giải
Chọn Ⓓ
Ta có
( ) ( ) ( )
10 6 10
0 0 6
d d d 7 1 6I f x x f x x f x x= = + = − =
.
Câu 103: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN VŨNG TÀU NĂM 2020-2021) Tính tích phân
4
1
dI x x=
.
Ⓐ
14
3
. Ⓑ
13
3
. Ⓒ
4
. Ⓓ
11
3
.
Lời giải
Ta có
4
4
13
44
22
1
11
1
2 2 14
dd
3 3 3
I x x x x x x x= = = = =

.
Câu 104: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( ) ( )
2
; 2;1 , 1; 1;3AB−−
.Tọa độ của vectơ
AB
là
Ⓐ
( )
3
; 3;4−
. Ⓑ
( )
1
;1;2−
. Ⓒ
( )
3
;3; 4−−
. Ⓓ
( )
1
; 1; 2−−
.
Lời giải
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 70 | HNT.E
Chọn B
Tọa độ của vectơ
AB
là
( )
1
;1;2−
.
Câu 105: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Tính
1
3
0
dx
x
Ie=
Ⓐ
3
1Ie=−
. Ⓑ
1Ie=−
. Ⓒ
3
1
3
e
I
−
=
. Ⓓ
3
1
2
Ie=+
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
1
3
1
33
0
0
11
dx
33
xx
e
I e e
−
= = =
Câu 106: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Nếu
2
1
3f x dx
;
5
2
1f x dx
thì
5
1
f x dx
bằng
Ⓐ
2−
. Ⓑ
4
. Ⓒ
2
. Ⓓ
3
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
5 2 5
1 1 2
3 1 2f x dx f x dx f x dx
.
Câu 107: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số
( )
fx
có
( ) ( )
2
2, 3 5ff==
; hàm số
( )
fx
liên tc trên đoạn
2
;3
. Khi đó
( )
3
2
df x x
bằng
Ⓐ
3
. Ⓑ
10
. Ⓒ
3−
. Ⓓ
7
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
3
3
2
2
d 3 2 5 2 3f x x f x f f
= = − = − =
.
Câu 108: (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Biết
( )
3
1
5f x dx =
và
( )
3
1
7g x dx =−
.
Giá trị của
( ) ( )
3
1
32f x g x dx−


bằng
Ⓐ
29−
. Ⓑ 1. Ⓒ
29
. Ⓓ
31−
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 71 | HNT.E
Lời giải
Chọn C
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 3 3
1 1 1 1 1
3 2 3 2 3 2 3.5 2. 7 29f x g x dx f x dx g x dx f x dx g x dx− = − = − = − − =


.
Câu 109: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021) Cho hàm số
()fx
liên tc trên đoạn
0
;2
thỏa mãn
( )
1
0
d 3f x x =
và
( )
2
1
d 2f x x =
. Khi đó
( )
2
0
df x x
bằng
Ⓐ
6
. Ⓑ
1
. Ⓒ
1−
. Ⓓ
5
.
Lời giải
Chọn D
( ) ( ) ( )
2 1 2
0 0 1
d d d 3 2 5f x x f x x f x x= + = + =
.
Câu 110: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 01) Biết
( )
1
0
1
3
f x dx =
và
( )
1
0
4
3
g x dx =
. Khi đó
( ) ( )
( )
1
0
g x f x dx−
bằng
Ⓐ
5
3
−
. Ⓑ
5
3
. Ⓒ
1−
. Ⓓ
1
.
Lời giải
Chọn D
( ) ( )
( )
( ) ( )
1 1 1
0 0 0
41
1
33
g x f x dx g x dx f x dx− = − = − =
,
Câu 111: (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021) Nếu
( )
4
1
5 3 d 5f x x
−
−=


thì
4
1
df x x
bằng
Ⓐ
4
. `Ⓑ
3
. Ⓒ
2
. Ⓓ
14
5
.
Lời giải
Ta có
( ) ( ) ( )
4 4 4 4
1 1 1 1
5 3 d 5 5 d 3 d 5 d 4f x x f x x x f x x
− − − −
− = − = =


.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 72 | HNT.E
Câu 112: (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2020-2021) Nếu
( )
2021
2
12f x dx =
và
( )
2021
2020
2f x dx =
thì
( )
2020
2
f x dx
bằng
Ⓐ
10−
. Ⓑ
10
. Ⓒ
14
. Ⓓ 24.
Lời giải
Ta có
( ) ( )
2021 2020
2020 2021
22f x dx f x dx= = −

( ) ( ) ( )
2020 2021 2020
2 2 2021
12 2 10.f x dx f x dx f x dx= + = − =
Vy
( )
2020
2
10.f x dx =
Câu 113: (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho
( )
1
2021
1
5 20f x x x x
−

+ + =

d
.
Tính
( )
1
1
f x x
−
d
.
Ⓐ
5
. Ⓑ
4
. Ⓒ
1
. Ⓓ
0
.
Lời giải
Ta có
( ) ( )
1 1 1
2021 2021
1 1 1
55d d df x x x x f x x x x x
− − −
+ + = + +
( )
1
1
2022 2
1
1
5
2022 2
d
xx
f x x
−
−

= + +


( )
1
1
5 df x x
−
=
.
Do đó
( ) ( )
11
11
5 20 4ddf x x f x x
−−
= =

.
Câu 114: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Tìm giá trị của
a
để
( )( )
4
3
1
d ln
12
xa
xx
=
−−
.
Ⓐ
3
4
. Ⓑ
1
3
. Ⓒ
12
. Ⓓ
4
3
.
Lời giải
Ta có
( )( )
44
33
1 1 1
dd
1 2 2 1
xx
x x x x

=−

− − − −


( ) ( )
( )
4
4
3
3
2
ln 2 ln 1 ln
1
x
xx
x
−

= − − − =

−

4
ln
3
=
.
Do đó
44
ln ln
33
aa= =
.
Câu 115: (THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020-2021 LẦN 01) Biết rằng
2
3
2
1
1
d ln3 ln2
x
x a b c
xx
−
= + +
+
với
,,abc
là các số hữu tỉ. Tính
2 3 4a b c+−
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 73 | HNT.E
Ⓐ
19−
. Ⓑ
19
. Ⓒ
5
. Ⓓ
5−
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
22
3
22
11
11
d 1 d
xx
x x x
x x x x
−−

= − +

++


( )
2
1
11
1d
11
xx
x x x

= − + −

++

2
1
1 1 1
1d
11
xx
x x x


= − + − −


++


2
2
2
1
1
2 1 1
1 d 2ln 1 ln
12
x x x x x x
xx
= − + − = − + + −
+
1
2 2 2ln3 ln2 1 2ln2
2
= − + − − + −
1
2ln3 3ln2
2
= + −
1
; 2; 3
2
a b c = = = −
2 3 4 1 6 12 19a b c + − = + + =
Câu 116: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM NĂM 2020-2021) Biết
( ) ( ) ( )
8 4 4
1 1 1
d 2; d 3; d 7f x x f x x g x x= − = =
. Mệnh đề nào sau đây là sai?
Ⓐ
( ) ( )
84
41
d d 8f x x g x x+=

. Ⓑ
( ) ( )
4
1
d 10f x g x x+=


.
Ⓒ
( )
8
4
d5f x x =−
. Ⓓ
( ) ( )
4
1
4 2 d 2f x g x x− = −


.
Lời giải
Từ
( ) ( ) ( )
8 4 8
1 1 4
d 2; d 3 d 5f x x f x x f x x= − = = −
.
Do đó
( ) ( )
84
41
d d 5 7 2f x x g x x+ = − + =

Câu 117: Nếu
( )
( )
2
0
2 3 d 3x f x x−=
thì
( )
2
0
df x x
bằng
Ⓐ
1
.
3
Ⓑ
5
.
2
Ⓒ
5
.
2
Ⓓ
1
.
3
Lời giải
Chọn D
Ta có
( )
( )
( )
2 2 2
0 0 0
2 3 d 3 2 d 3 d 3x f x x x x f x x− = − =
( )
2
2
2
0
0
3 d 3x f x x − =
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 74 | HNT.E
( )
2
0
4 3 d 3f x x − =
( )
2
0
1
d
3
f x x=
Câu 118: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021) Cho
( )
4
1
d 10f x x
−
=
.
Biết
( )
Fx
là một nguyên hàm của
( )
fx
và
( )
14F −
= −
. Tính
( )
4F
.
Ⓐ
( )
46F =
. Ⓑ
( )
4
14F =
. Ⓒ
( )
4
14F =−
. Ⓓ
( )
46F =−
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
( )
4
1
d 10f x x
−
=
( ) ( )
4
1 10FF − − =
( ) ( )
4
10 1 10 4 6FF = + − = − =
.
Câu 119: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 03) Nếu
( )
1
0
32f x x x+=


d
thì
( )
1
0
2f x x =
d
bằng
Ⓐ
1
2
−
. Ⓑ
1
2
. Ⓒ
2
. Ⓓ
2
3
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( ) ( ) ( )
1
1 1 1 1
2
0 0 0 0
0
3 2 3 2 3 2
2
x
f x x x f x x x x f x x

+ = + = + =





d d d d
( ) ( ) ( )
1 1 1
0 0 0
1 3 1
3 2 3
2 2 2
f x x f x x f x x = − = =
d d d
.
Câu 120: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 03) Nếu
( )
1
1
2f x x
−
=
d
và
( )
2
1
8f x x
−
=
d
thì
( )
2
1
f x x
d
bằng
Ⓐ
4
. Ⓑ
10
. Ⓒ
6
. Ⓓ
16
.
Lời giải
Chọn C
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 75 | HNT.E
Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 2 1
1 1 1 1 1
8 8 8 8 2 6f x x f x x f x x f x x f x x
− − −
= + = = − = − =
d d d d d
.
Câu 121: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NINH NĂM 2020-2021) Cho
2
và
2
1
( ) 1gx
−
=−
.
Tính
2
1
[ 2 ( ) 3 ( )]I x f x g x
−
= + +
bằng?
Ⓐ
11
2
I =
. Ⓑ
7
2
I =
. Ⓒ
17
2
I =
. Ⓓ
5
2
I =
.
Lời giải
Chọn D
Vì
2 2 2 2
1 1 1 1
35
[ 2 ( ) 3 ( )] 2 ( ) 3 ( ) 2.2 3.( 1)
22
I x f x g x dx xdx f x dx g x dx
− − − −
= + + = + + = + + − =
.
Câu 122: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NINH NĂM 2020-2021) Nếu
3
1
( ) 3f x dx =
và
3
2
( ) 4f x dx =
thì
2
1
()f x dx
bằng:
Ⓐ
7−
. Ⓑ
7
Ⓒ
1−
. Ⓓ
1
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
2 3 3
1 1 2
( ) ( ) ( ) 3 4 1f x dx f x dx f x dx= − = − = −
.
Câu 123: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Nếu
( )
( )
2
0
2 3 d 3x f x x−=
thì
( )
2
0
df x x
bằng
Ⓐ
1
3
−
. Ⓑ
5
2
−
. Ⓒ
5
2
. Ⓓ
1
3
Lời giải
Chọn D
( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
0 0 0 0 0
1
2 3 d 3 2 d 3 d 3 4 3 d 3 d
3
x f x x x x f x x f x x f x x− = − = − = =
.
Câu 124: (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Biết
( )
c
osF x x=
là một nguyên
hàm của hàm số
( )
fx
trên . Giá trị của
( )
0
3
2 df x x
+


bằng
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 76 | HNT.E
Ⓐ
26
−
. Ⓑ
4−
. Ⓒ
2
. Ⓓ
2
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
( )
0
3
2 df x x
+


( )
00
3
d 2 df x x x

=+

( )
0
0
32F x x
=+
00
3cos 2xx

=+
26
=−
.
Câu 125: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021) Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm liên
tc trên đoạn
1
;3
, và
( )
3
1
'6f x dx =
. Tính
( )
1f
Ⓐ
10
. Ⓑ
11
. Ⓒ
1
. Ⓓ
1−
.
Lời giải
Chọn D
Ta có :
( ) ( ) ( )
3
1
' 3 1 6f x dx f f= − =
( ) ( )
1
3 6 5 6 1ff = − = − = −
Câu 126: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021) Cho hai hàm số
( ) ( )
,f
x g x
liên tc
trên đoạn
1
;2
và thỏa mãn
( ) ( )
2
1
3 2 d 1f x g x x+=


,
( ) ( )
2
1
2 d 3f x g x x− = −


. Khi đó,
( )
2
1
df x x
bằng
Ⓐ
6
7
. Ⓑ
16
7
. Ⓒ
11
7
. Ⓓ
5
7
−
.
Lời giải
Chọn D
Theo đề:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
5
3 2 d 1 3 d 2 d 1 d
7
11
2 d 3 2 d d 3 d
7
+ = + = = −



− = − − = − =


f x g x x f x x g x x f x x
f x g x x f x x g x x g x x
.
Câu 127: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số
2021
( ) sinx 2021f x x= + +
. Biết rằng có duy nhất giá trị của
a
m
b
=−
để
'
0
( . (m ) ( )) 1
m
x f x f x dx− − =
. Tìm
ab+
.
Ⓐ
2021ab+=
. Ⓑ
2023ab+=
. Ⓒ
2020ab+=
. Ⓓ
2022ab+=
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 77 | HNT.E
Lời giải
Ta có
'
0
( . (m ) ( )) 1
m
x f x f x dx− − =
'
00
. (m ) ( ) 1
mm
x f x dx f x dx − − =

( ) ( )
00
.
d ( ) 1
mm
m
x f m x f m x x f x dx
o
− − + − − =



0
0
(0) ( ) ( ) 1
m
m
mf f t dt f x dx − − − =

0
2021 ( ) ( ) 1
mm
o
m f t dt f x dx − + − =

1
2021
m = −
. Vy
1; 2021 2022a b a b= = + =
.
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Câu 128: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho hàm số
fx
liên tc trên
và
6
0
d 10f x x
, thì
3
0
2df x x
bằng
Ⓐ
30
. Ⓑ
20
. Ⓒ
10
. Ⓓ
5
.
Lời giải
Xét
3
0
2dI f x x
.
Đặt
2 d 2dt x t x
.
Đổi cn:
00xt
.
36xt
.
Lúc đó:
6 6 6
0 0 0
1 1 1 1
. d d . d .10 5
2 2 2 2
I f t t f t t f x x
.
Câu 129: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2020-2021) Tích phân
2
e
e
ln
d
x
x
x
bằng
Ⓐ 3. Ⓑ
3
2
. Ⓒ 1. Ⓓ 2.
Lời giải
Ta có
( ) ( )
2
22
2
ln 1 3
d ln d ln ln
22
e
ee
e
ee
x
x x x x
x
= = =

.
Câu 130: (SGD&ĐT LAI CHÂU NĂM 2020-2021) Tính tích phân
1
0
d
1
x
x
I
e
=
+
bằng cch đặt
x
te=
, ta được:
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 78 | HNT.E
Ⓐ
1
d
1
e
t
I
t
=
+
. Ⓑ
1
0
d
1
t
I
t
=
+
. Ⓒ
( )
1
d
1
e
t
I
tt
=
+
. Ⓓ
1
0
d
1
tt
I
t
=
+
.
Lời giải
Chọn C
Đặt
dd
xx
t e t e x= =
.
Đổi cn
01
1
xt
x t e
= =
= =
Ta có:
1
01
1 (1 )
e
x
dx dt
I
e t t
==
++

.
Câu 131: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN VŨNG TÀU NĂM 2020-2021) Tính tích phân
1
0
d
1
x
x
I
e
=
+
bằng cch đặt
x
te=
, ta được
Ⓐ
1
dt
1
e
I
t
=
+
. Ⓑ
1
0
dt
1
I
t
=
+
. Ⓒ
( )
1
dt
1
e
I
tt
=
+
. Ⓓ
1
0
tdt
1
I
t
=
+
.
Lời giải
Đặt
x
te=
dd
x
t e x=
.
Đổi cn:
01xt= =
.
1x t e= =
.
Khi đó:
( )
11
00
d .d
1
1
x
x
xx
x e x
I
e
ee
==
+
+

( )
1
dt
1
e
tt
=
+
.
Câu 132: (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021) Cho hàm số
2
2 1 khi 2
()
5 khi 2
x x x
fx
xx
+ −
=
+
. Giá trị của
( )
4
e1
2
2
0
. ln 1 d
1
x
I f x x
x
−

=+

+
thuộc khong
nào dưới đây ?
Ⓐ
( )
2
;3−
. Ⓑ
( )
5
;7
. Ⓒ
( )
1
0;11
. Ⓓ
( )
8
;9
.
Lời giải
Đặt
( )
2
2
2
ln 1 d d
1
x
u x u x
x
= + =
+
.
Đổi cn:
00xu= =
;
4
e 1 4xu= − =
.
( )
4
e 1 4 2 4
2
2
0 0 0 2
1 1 1
. ln 1 d ( )d ( )d ( )d
1 2 2 2
x
I f x x f u u f u u f u u
x
−

= + = = +

+
( )
( )
24
2
02
1 1 31
2 1 d 5 d
2 2 3
u u u u u= + − + + =

.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 79 | HNT.E
Suy ra:
( )
1
0;11 .I
Câu 133: (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2020-2021) Cho hàm số
( )
2 1 khi 3
3 7 khi 3
xx
fx
ax a x
+
=
− +
(
a
là tham số thực). Nếu
( )
1
2
0
1
xx
f e e dx e+=
thì
a
bằng
Ⓐ
2
3 4 6
1
ee
e
+−
−
. Ⓑ
66e −
Ⓒ
66e +
Ⓓ
66e−+
Lời giải
Đặt
1
xx
t e dt e dx= + =
. Nếu
02xt= =
, Nếu
11x t e= = +
Suy ra:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1 1 3 1 3 1
0 2 2 3 2 3
3
2
1
2
2
2
22
2
2
2
1 3 7 2 1
37
2
.3 .2
3 .3 7.3 3 .2 7.2 1 1 3 3
22
33
2
e e e
xx
e
f e e dx f t dt f t dt f t dt at a dt t dt
at
at t t t
aa
a a e e
a
ee
+ + +
+
+ = = + = − + + +

= − + + + =


= − + − − + + + + + − +
−
= + + −
Theo gi thiết:
( )
1
2
0
1
xx
f e e dx e+=
nên ta có phương trnh:
22
3 3 3 3 6 6
22
aa
e e e e a e
−
+ + − = = − = −
Câu 134: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số
( )
2
1f x x=−
. Tích phân
( )
2
0
3cos 1 .sinf x xdx
−
bằng
Ⓐ
8
9
. Ⓑ
10
9
. Ⓒ
7
9
. Ⓓ
11
9
.
Lời giải
Ta có
( )
( ) ( )
2
2
2
1 , ; 1 1;
1
1 , 1;1
xx
f x x
xx
− − − − +
= − =
− + −
.
Đặt
3cos 1 3sinx t xdx dt− = − =
.
Khi
0x =
thì
2t =
; Khi
2
x
=
thì
1t =−
.
Vy
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 80 | HNT.E
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
12
2
0 2 1
1 2 1 2
22
1 1 1 1
11
3cos 1 .sin
33
1 1 8
11
3 3 9
f x xdx f t dt f t dt
f t dt f t dt t dt t dt
−
−
−−
− = − =
= + = − + + − =
Câu 135: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Có bao nhiêu giá trị
thực dương của tham số
a
để
lna
ln3
13
ln
2 3 2
xx
dx
ee
−
=
+−
?.
Ⓐ
3
. Ⓑ
2
. Ⓒ
4
. Ⓓ
1
.
Lời giải
Xét
ln
ln3
23
a
xx
dx
I
ee
−
=
+−
Đặt
xx
t e dt e dx= =
Đổi cn
ln
2
ln3 3 3
3
2 2 1
ln ln ln
2 3 3 2 ( 1)( 2) 1 1 2
a
a a a
xx
dx dt dt t a
I
e e t t t t t a
−
−−
= = = = = −
+ − − + − − − −
Ta có
3 2 1 3 2 3
ln ln ln ln ln ln
2 1 2 2 1 4
23
5
4 8 3 3
23
14
11
2 3 4 8 3 3
14
7
14
aa
I
aa
a
a
aa
a
a
a a a
a
a
a
−−
= − = =
−−
−
=
=
− = −
−
−
=
− − − = − +
−
=
=
−
Khi
11
7
a =
thì hàm số
( )( )
1
()
12
ft
tt
=
−−
không liên tc trên khong
11
;3
7



nên
không thỏa mãn.
Vy có
1
giá trị của
a
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 136: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NINH NĂM 2020-2021) Cho hàm số
( )
2
8 5 8
38
x x khi x
fx
x khi x
− −
=
− +
. Tích phân
( )
ln4
0
23
xx
f e e dx+
bằng
Ⓐ
39
2
. Ⓑ
39
4
. Ⓒ
123
2
−
. Ⓓ
123
4
−
.
Lời giải
Chọn B
x
ln3
ln a
t
3
a
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 81 | HNT.E
Ta có:
( )
ln4
0
23
xx
I f e e dx=+
.
Đặt
2 3 2
xx
u e du e dx= + =
.
Đổi cn:
0 5; ln4 11x u x u= = = =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
11 11 11 8 11
5 5 5 5 8
1 1 1 1
.
2 2 2 2 2
du
I f u f u du f x dx f x dx f x dx= = = = +
( )
( )
8 11
8 11
23
22
58
58
1 1 1
3 8 5 3 4 5
2 2 2 2 3
xx
x dx x x dx x x x


= − + + − − = − + + − −



.
1 5 286 376 39
8
2 2 3 3 4

= − − − + =


.
Đổi đề do hàm số
( )
2
18
38
x x khi x
fx
x khi x
− +
=
− +
không liên tục tại
8x =
.
Câu 137: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN VŨNG TÀU NĂM 2020-2021) Cho hàm số
( )
y
f x=
có
( )
00f =
và
( )
42
tan tanf x x x
=+
,
0;
2
x




. Tính
( )
4
0
dI f x x
=
.
Ⓐ
1
12
. Ⓑ
1
6
. Ⓒ
1 ln 2
6
−
. Ⓓ
1 ln 2
3
−
.
Lời giải
Ta có:
( )
( ) ( )
4 2 2 2 2
2
1
d tan tan d tan tan 1 d tan . d
cos
f x x x x x x x x x x
x
= + = + =
( )
3
2
tan
tan d tan
3
x
x x C= = +
.
Suy ra
( )
3
tan
3
x
f x C=+
;
( )
00f =
0C=
. Do đó
( )
3
tan
3
x
fx=
.
Ta có
( ) ( )
4 4 4 4 4
3
2
0 0 0 0 0
1 1 1 1 sin
d tan d tan 1 d tan d tan d
3 3 cos 3 cos
x
I f x x x x x x x x x
xx



= = = − = −





2
1 tan 1 1 1 1 ln2
ln cos ln2
4
3 2 3 2 2 6
0
x
x

−

= + = − =




.
Vy
( )
4
0
1 ln2
d
6
I f x x
−
==
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 82 | HNT.E
Câu 138: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2020-2021) Biết rằng
ln4
0
d
ln2 ln3
1
x
x
a b c
e
= + +
+
với
,,abc
. Tính
abc++
.
Ⓐ –2. Ⓑ 3. Ⓒ 2. Ⓓ –1.
Lời giải
◦ Ta có:
ln4
0
d
1
x
x
I
e
=
+
(
)
ln4
0
d
1
x
xx
e
x
ee
=
+
.
◦ Đặt
1
x
te=+
( )
2
1
x
et = −
.
◦ Suy ra:
( )
d
2 1 d
x
e x t t=−
.
◦ Đổi cn:
02xt= =
và
ln4 3xt= =
.
◦ Khi đó:
( )
( )
( )
33
2
22
2 1 d
1
2d
1
1
tt
It
tt
tt
−
==
−
−

3
2
1
2ln
t
t
−

=


21
2ln 2ln
32
=−
2ln2 2ln3 2ln2= − +
4ln2 2ln3=−
.
◦ Vy:
0, 4, 2a b c= = = −
2.abc→ + + =
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Câu 139: (CHUYÊN NGUYỄN BÌNH KHIÊM QUẢNG NAM NĂM 2020-2021) Cho
( )
2
2
1
ln 1
d ln2
1
x x a
Ix
bc
x
+
= = −
+
với
,,abc
là các số nguyên dương và
a
b
là phân số tối
gin.Tính giá trị
ab
S
c
+
=
Ⓐ
2
3
S =
. Ⓑ
1
2
S =
. Ⓒ
1
3
S =
. Ⓓ
5
6
S =
.
Lời giải
Đặt
( )
2
1
ln
dd
1
d
1
1
1
x
u x x
ux
x
dv x
v
x
x
+
=+
=


=

=−
+
+
Ta được
( ) ( )
2
22
11
1
1 1 1 1 2 1
ln 2 ln2 ln ln2
1 3 2 3 6
I x x dx x
xx
= − + + = − + + + = −
+
.
Suy ra:
2, 3, 6a b c= = =
. Vy
5
6
S =
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 83 | HNT.E
Câu 140: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Tính tích phân
e
1
ln dI x x x=
,
ta được kết qu
2
e a
I
b
+
=
, với
a
,
b
là các số nguyên. Tính
33
ab+
.
Ⓐ
35
. Ⓑ
65
. Ⓒ
28
. Ⓓ
9
.
Lời giải
e
1
ln dI x x x=
Đặt
ln
dd
ux
v x x
=
=
, ta có
2
1
dd
2
ux
x
x
v
=
=
.
Ta có
ee
e
2 2 2 2 2 2
1
11
ln e e e 1 e 1
d
2 2 2 4 2 4 4 4
x x x x
Ix

+
= − = − = − − =


.
Suy ra
1a =
,
4b =
.
Vy
3 3 3 3
1 4 65ab+ = + =
.
Câu 141: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP NĂM 2020-2021) Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm
( )
'fx
và thỏa
( ) ( ) ( ) ( )
1
0
2 1 ' dx 10, 3 1 0 12x f x f f+ = − =
. Tính
( )
1
0
dxI f x=
Ⓐ
1I =−
. Ⓑ
1I =
. Ⓒ
2I =
. Ⓓ
2I =−
.
Lời giải
Từ gi thiết:
( ) ( )
1
0
2 1 ' dx 10x f x+=
.
Đặt
( ) ( )
2 1 d 2d
d ' dx
u x u x
v f x v f x
= + =


==

.
Khi đó ta có:
( ) ( )
1
0
2 1 ' dx 10x f x+=
( ) ( ) ( )
1
1
0
0
2 1 2 d 10x f x f x x + − =
.
( ) ( ) ( )
1
0
12 10
3 0 2 d 10 1
2
f x f f x x I
−
− − = = =
.
Câu 142: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM NĂM 2020-2021) Cho hàm số
()fx
có đạo
hàm liên tc trên thỏa mãn
(3) 21,f =
3
0
( )d 9f x x =
. Tính tích phân
1
0
(3 )dI x f x x
=
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 84 | HNT.E
Ⓐ
15I =
. Ⓑ
6I =
. Ⓒ
12I =
. Ⓓ
9I =
.
Lời giải
Xét có:
( )
0
311
00
11
(3 )d 3 (3 )d 3 ( )d
99
I x f x x x f x x t f t t
= = =
Đặt
( ) ( )
u t du dt
dv f t dt v f t
==



==


Do đó
( ) ( ) ( ) ( )
33
3
0
00
9 . 3 3 3.21 9 54 6I t f t f t dt f f x dx I= − = − = − = =

.
Câu 143: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM NĂM 2020-2021) Cho hàm số
()fx
có đạo
hàm cấp 2 liên tc trên đoạn
0
;1
thỏa mãn
(1) 0; (1) 1ff
==
và
2
10 ( ) 5 ( ) ( ) 0f x xf x x f x
− + =
với mọi
0
;1x
. Khi đó tch phân
1
0
( )dxfx
bằng
Ⓐ
1
15
−
. Ⓑ
2
3
−
. Ⓒ
1
10
−
. Ⓓ
1
17
−
.
Lời giải
Ta đặt
1 1 1
2
0 0 0
( ) ; ( ) ; ( )I f x dx J xf x dx K x f x dx
= = =
.
Theo đề ta có
10 5I J K=−
. Hơn nữa, dùng phương php tch phân từng phần ta
được :
1
1
2
0
0
( ) 2 ( ) 1 2K x f x xf x dx J

= − = −
1
1
0
0
( ) ( ) 0J x f x f x dx I I= − = − = −
Suy ra
10 5 (1 2 ) 7 1I I I I= − − + = − −
. Do đó
1
17
I
−
=
.
Câu 144: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm
( )
fx
trên đoạn
0
;1
thỏa mãn
( )
14f =
và
( )
1
0
3f x x =
d
. Tích phân
( )
1
32
0
x f x x
d
bằng
Ⓐ
1
2
−
. Ⓑ
1
. Ⓒ
1
2
. Ⓓ
1−
.
Lời giải
Chọn C
Đặt
2
2ddt x t x x= =
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 85 | HNT.E
Khi đó
( )
( )
11
32
00
1
.
2
x f x x t f t t

=

dd
.
Đặt
( ) ( )
u t u t
v f t t v f t
==



==


dd
dd
Suy ra
( )
1
0
.t f t t
d
( ) ( ) ( ) ( )
11
1
0
00
. 1 4 3 1t f t f t t f f x x= − = − = − =

dd
.
Vy
( )
1
32
0
1
2
x f x x
=
d
Câu 145: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm liên tc
trên và có đồ thị như hnh bên.
Đặt
( ) ( )
1
0
'K xf x f x dx=
, khi đó
K
thuộc khong nào sau đây?
Ⓐ
( )
3
; 2−−
. Ⓑ
3
2;
2

−−


. Ⓒ
2
;0
3

−


. Ⓓ
32
;
23

−−


.
Lời giải
Chọn D
Đặt
( ) ( )
( )
2
'
2
du dx
ux
fx
dv f x f x dx
v
=
=


=
=
Khi đó
( ) ( )
( )
( ) ( )
1
2
1 1 1
22
0 0 0
0
1 1 1
'
2 2 2 2
xf x
K xf x f x dx f x dx f x dx= = − = −
.
Từ đồ thị ta thấy:
·
( )
( ) ( ) ( )
2
22
1 1 1
0 0 0
2
7 1 2
2 , 0;1
2 2 6 2 2 3
f x x f x
f x x x dx dx K dx
−
− = = − −
.
·
( )
( ) ( )
22
1 1 1
0 0 0
13
2, 0;1 2 2
2 2 2 2
f x f x
f x x dx dx K dx = = − −
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 86 | HNT.E
Vy
32
23
K− −
.
Câu 146: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm
( )
fx
trên đoạn
0
;1
thỏa mãn
( )
14=f
và
( )
1
0
d3=
f x x
. Tích phân
( )
1
32
0
d
x f x x
bằng
Ⓐ
1
.
2
−
Ⓑ
1.
Ⓒ
1
.
2
Ⓓ
1.−
Lời giải
Chọn C
Đặt
2
d 2 d= =t x t x x
Đổi cn:
0 0, 1 1.= = = =x t x t
Do đó
( )
( ) ( )
1 1 1
32
0 0 0
11
. d . d . d
22
==
x f x x t f t t x f x x
Đặt
( ) ( )
dd
dd
==



==


u
x u x
v f x x v f x
Khi đó
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
1 1 1
32
0 0 0
1
0
1 1 1 1 1
. d . d . d 1 3 4 3 .
2 2 2 2 2
−


= = = − = − =


x f x x x f x x x f x f x x f
Câu 147: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 01) Gi sử
( )
fx
là hàm có đạo
hàm liên tc trên khong
( )
0;
và
( ) ( ) ( )
'
sin cos , 0; .f x x x f x x x
=
+
Biết
( )
1
1, ln 2 3
2 6 12
f f a b c

= = + +
, với
,,abc
là các số nguyên. Giá trị
abc++
bằng
Ⓐ
1−
. Ⓑ
1
. Ⓒ
11
. Ⓓ
11−
.
Lời giải
Chọn A
( )
0;x

, ta có:
( ) ( ) ( )
'
sin cos , 0; .f x x x f x x x
=
+
( ) ( )
22
' sin cos
sin sin
f x x f x x
x
xx
−
=
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 87 | HNT.E
( )
'
2
sin sin
fx
x
xx

=


( )
2
.cot ln sin
sin sin
fx
x
dx x x x C
xx
= = − + +
( )
.cos sin .ln sin .sinf x x x x x C x = − + +
Ta lại có:
11
2
fC

= =


( )
3 1 1 1 1
. .ln 6 6ln2 3
6 2 6 2 2 2 12
6, 6, 1.
f
a b c


= − + + = − −


= = − = −
Vy
1abc+ + = −
.
TÍCH PHÂN HÀM ẨN – TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT
Câu 148: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2020-2021) Cho
( )
fx
là hàm số
liên tc trên và
( )
1
1
d6
−
=
f x x
. Tính tích phân
( )
1
0
2 1 2 d= − +


I f x x x
.
Ⓐ
4=I
. Ⓑ
13=I
. Ⓒ
7=I
. Ⓓ
5=I
.
Lời giải
Ta có :
( ) ( )
1 1 1
0 0 0
2 1 2 d 2 1 d 2 d= − + = − +


I f x x x f x x x x
.
Xét
( )
1
1
0
2 1 d=−
I f x x
đặt
1
2 1 d 2d d d
2
= − = =u x u x x u
.
Đổi cn:
( ) ( )
11
1
11
11
d d 3.
22
−−
= = =

I f u u f x x
Vy
3 1 4= + =I
.
Câu 149: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số
( )
y
f x=
có đạo
hàm trên
( )
0;+
. Biết
2
x
là một nguyên hàm của
( )
2
'x f x
trên
( )
0;+
và
( )
11f =
.
Tính
( )
fe
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 88 | HNT.E
Ⓐ
2
. Ⓑ
3
. Ⓒ
21e +
. Ⓓ
e
.
Lời giải
Vì
2
x
là một nguyên hàm của
( )
2
'x f x
trên
( )
0;+
nên ta có
( )
( )
22
' ' 2x f x x x==
( )
2
'fx
x
=
.
Ta có
( ) ( ) ( )
11
2
'
2ln 2ln 2ln1 2 1
1
ee
e
f x dx dx x e f e f
x
= = = − = = −

.
( )
21fe
= −
( )
2
1 3fe = + =
.
Câu 150: (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm liên
tc trên và thỏa mn cc điều kiện sau:
( )
02f =−
và
( )
( ) ( )
2
1x f x xf x x
+ + = −
,
x
. Tính tích phân
( )
3
0
dI xf x x=
.
Ⓐ
5
2
I =
. Ⓑ
3
2
I =−
. Ⓒ
3
2
I =
. Ⓓ
5
2
I =−
.
Lời giải
•
( )
( ) ( )
2
1x f x xf x x
+ + = −
( ) ( )
2
22
1. .
11
xx
x f x f x
xx
+ + = −
++
( )
(
)
22
1. 1x f x x

+ = − +

( )
22
1. 1x f x x C + = − + +
.
•
( )
02f =−
( )
1. 0 1 1f C C= − + = −
.
•
( ) ( )
22
2
1
1. 1 1 1
1
x f x x f x
x
+ = − + − = − −
+
.
Khi đó:
( ) ( )
3
33
22
2
00
0
1 3 5
1 3 1 0 1
2 2 2
1
dd
x
I xf x x x x x x
x

= = − − = − − + = − − + − − − = −



+


.
Câu 151: (CHUYÊN NGUYỄN BÌNH KHIÊM QUẢNG NAM NĂM 2020-2021) Cho hàm số
( )
y
f x=
liên tc và có đạo hàm trên thỏa mãn
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 89 | HNT.E
( ) ( )
( )
2
5 7 1 3 2 , .f x f x x x x− − = −
Biết rằng tích phân
( )
1
0
. ' d
a
I x f x x
b
= = −
. Tính
3.T a b=−
Ⓐ
0.T =
Ⓑ
48.T =−
Ⓒ
16.T =
Ⓓ
1.T =
Lời giải
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1
0
0 0 0 0
. ' d .d . d 1 d .I x f x x x f x I x f x f x x f f x x= = = = − = −
Theo gi thiết:
( ) ( )
( )
2
5 7 1 3 2f x f x x x− − = −
( ) ( )
( )
11
2
00
5 7 1 d 3 2 df x f x x x x x

− − = −

( ) ( )
( )
1 1 1
2
0 0 0
5 d 7 1 d 3 2 df x x f x x x x x − − = −
( ) ( )
11
00
5 d 7 1 d 2.f x x f x x − − = −

Bằng cch đổi biến
1tx=−
, ta có
( ) ( ) ( )
1 0 1
0 1 0
1 d d df x x f t t f t t− =− =
( )
1
0
df x x=
.
Thay vào , ta có
( ) ( )
11
00
5 d 7 d 2f x x f x x− =−

( )
1
0
d 1.f x x=
Mặt khác do
( ) ( )
( )
2
5 7 1 3 2f x f x x x− − = −
nên lần lượt chọn
0, 1xx==
ta có
( ) ( )
( ) ( )
5 0 7 1 0
5 1 7 0 3
ff
ff
−=
− = −
( )
5
1
8
f=
.
Thay
( )
5
1
8
f =
và
( )
1
0
d1f x x =
vào ta có
( ) ( )
1
0
53
1 d 1 .
88
I f f x x= − = − =−
Vy
3; 8ab==
3 9 8 1.T a b= − = − =
Câu 152: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hàm số
()fx
có đạo hàm liên tc trên
R
và thỏa mãn
3
( 3 1) 3 2,f x x x x R+ + = +
. Tích phân
5
1
( )dxf x x
bằng
Ⓐ
31
4
−
. Ⓑ
33
4
. Ⓒ
17
4
. Ⓓ
49
4
.
Lời giải
Ta có
3 2 3 2
( 3 1) 3 2 (3 3) ( 3 1) (3 3)(3 2)f x x x x f x x x x+ + = + + + + = + +
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 90 | HNT.E
11
2 3 2
00
59
(3 3) ( 3 1)d (3 3)(3 2)d
4
x f x x x x x x + + + = + + =

.
1
33
0
59
( 3 1)d( 3 1)
4
f x x x x + + + + =
hay
55
11
59
( )d ( )d
4
f t t f x x==

.
Do đó
55
11
5
59 59 33
( )d ( ) ( )d 5 (5) (1) 5.5 2
1
4 4 4
xf x x xf x f x x f f
= − = − − = − − =

.
Câu 153: (THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020-2021 LẦN 01) Cho hàm số
( )
fx
liên tc trên
( )
0;+
và thỏa mãn
( )
1
2 f x xf x
x

+=


với mọi
0x
.
Tính
( )
2
1
2
df x x
.
Ⓐ
7
12
. Ⓑ
7
4
. Ⓒ
9
4
. Ⓓ
3
4
.
Lời giải
Chọn D
Xét
( ) ( ) ( )
11
2 4 2 2 1f x xf x f x xf x
xx
+ = + =
Đặt
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 1 2x f f t f f x xf f x
t t t t x x x x
= + = + = + =
Từ
( )
1
và
( )
2
( )
21
3
x
fx
−
=
Khi đó:
( )
2
22
2
1
11
2
22
2 1 2 1 3
dd
3 3 3 12 4
x x x
f x x x

−−
= = = + =



.
Câu 154: (THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020-2021 LẦN 01) Cho hàm số
( )
fx
liên tc trên
và tho mãn
( ) ( ) ( )
1
x
x
f x x f x e
−
+ + =
với mọi
x
. Tính
( )
0f
.
Ⓐ
1
. Ⓑ
1−
. Ⓒ
e
. Ⓓ
1
e
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
11
x
x
f x x f x e x
−
+ + =
( )
1
( ) ( ) ( )
11
xx
e
xf x e x f x
+ + =
( )
( )
( )
1
x
x x
e xf x e x e f x
+ + =
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 91 | HNT.E
( )
( )
( )
1
xx
e
xf x e x f x
+ =
( )
( )
.1
x
e
x f x
=
.
Suy ra:
( )
( )
.
x
e
x f x dx dx
=

( ) ( )
.2
x
e
x f x x C = +
.
Do đẳng thức
( )
1
đúng với mọi
x
nên
( )
1
cũng đúng với
0x =
.
Thay
0x =
vào
( )
1
ta được
( )
01f =
.
Thay
0x =
vào
( )
2
0 0 0CC = + =
( )
x
e xf x x=
( )
1
x
fx
e
=
với
0x
.
Mà:
( )
0
1
0f
e
=
( )
x
f x e x
−
=
.
Suy ra:
( )
x
f x e
−
=−
( )
01f
=−
.
Câu 155: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021) Biết
84
00
( )d 10; ( )d 4f x x f x x= = −

. Tính
( )
3
1
3 1 df x x
−
−
.
Ⓐ
2
. Ⓑ
1
. Ⓒ
0
. Ⓓ
4
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
( )
( ) ( )
1
33
3
1
11
3
3 1 d 3 1 d 1 3 dI f x x f x x f x x
−−
= − = − + −
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
3
3
1
1
3
8 0 8 4
0 4 0 0
11
3 1 d 3 1 1 3 d 1 3
33
1 1 1 1 10 4
d d d d 2
3 3 3 3 3
I f x x f x x
I f u u f t t f u u f t t
−
= − − − − −
−
= − = + = =

.
Câu 156: (SGD&ĐT LAI CHÂU NĂM 2020-2021) Cho hàm số
()fx
có
(0) 0f =
và
( )
42
tan tanf x x x
=+
,
0;
2
x




. Tính
4
0
()I f x dx
=
.
Ⓐ
1
12
. Ⓑ
1
6
. Ⓒ
1 ln 2
6
−
. Ⓓ
1 ln 2
3
−
.
Lời giải
Chọn C
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 92 | HNT.E
Ta có
' 4 2
( ) tan tanf x x x=+
Nguyên hàm hai vế, ta được
4 2 2 2
( ) (tan tan ) tan .(tan 1)f x x x dx x x dx= + = +

Đặt
t tan x=
2
2
1
(1 tan )dt dx x dx
cos x
= = +
Khi đó:
3
23
1
( ) tan
33
t
f x t dt C x C= = + = +
, mà
(0) 0f =
nên
0C =
. Vy
3
1
( ) tan
3
f x x=
Tính
44
3
00
1
( ) tan
3
I f x dx xdx

==

Đặt
t tan x=
2
2
1
(1 tan )dt dx x dx
cos x
= = +
Đổi cn:
11
3
22
00
11
.
3 1 3 1
dt t
I t t dt
tt

= = −

++


( )
1 1 1 1
2
22
0 0 0 0
1 1 1 1 1
1
3 3 1 3 6 1
t
I tdt dt tdt d t
tt
= − = − +
++
2
2
11
11
. ln 1
00
3 2 6
t
It= − +
1 ln 2
6
−
=
.
Câu 157: (SGD&ĐT LAI CHÂU NĂM 2020-2021) Cho hai hàm số
( ) ( )
,f
x g x
có đạo hàm
trên
R
và thỏa mãn
( ) ( )
f
x g x x
+=
,
( ) ( )
,g
x f x x x
+ = −
. Biết
( ) ( )
0
0 1.fg==
Tính
( )
1.f
Ⓐ
2
2
e
−
. Ⓑ
1
2e
e
+−
. Ⓒ
2
2
2
e
e
−
. Ⓓ
2
2
2
e
e
+
.
Lời giải
Chọn B
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 93 | HNT.E
( ) ( )
( ) ( )
f x g x x
g x f x x
+=
+ = −
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
2
f x g x g x f x
f x g x g x f x x

+ + + =

+ − − =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
2
x x x x
x x x x x
e f x e g x e g x e f x
e f x e g x e g x e f x xe
− − − − −

+ + + =

+ − − =
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
0
2
xx
x x x
e f x g x e f x g x
e f x g x e f x g x xe
− − −
+ + + =
− + − =
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1
0
11
00
dx=0
0
2
dx= 2 dx
x
x
xx
xx
e f x g x
e f x g x
e f x g x xe
e f x g x xe
−−
−−

+


+=




−=

−



( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
1 1 0 0 0
4
1 1 0 0 2
e f g f g
e f g f g
e
−
+ − + =
−
− − − = +
( ) ( )
( ) ( )
2
11
1 1 4 2
fg
e
f g e
+=
− = − +
( )
1
12fe
e
= + −
.
Câu 158: (CHUYÊN LONG AN NĂM 2020-2021 LẦN 03) Cho hàm số
( )
y
f x=
có đạo hàm
liên tc trên
1
;4
, đồng biến trên
1
;4
và thỏa mn đẳng thức
( ) ( )
2
/
2
, 1;4x xf x f x x

+ =

. Biết rằng
( )
3
1
2
f =
. Tính
( )
4
1
I f x dx=
.
Ⓐ
1222
45
. Ⓑ
1201
45
. Ⓒ
1174
45
. Ⓓ
1186
45
.
Lời giải
Chọn D
Vì hàm số
( )
y
f x=
có đạo hàm liên tc trên
1
;4
, đồng biến trên
1
;4
;
( )
3
1
2
f =
.
Nên từ đẳng thức
( ) ( )
2
/
2
, 1;4x xf x f x x

+ =

( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
//
/
12
1 2 1 2
f x f x
f x x f x x dx xdx
f x f x
= + = =
++

( )
2
12
3
f x x x C + = +
, mà
( )
3
1
2
f =
nên
4
3
C =
Vy
( ) ( )
2
2 4 1 2 4
1 2 1
3 3 2 3 3
f x x x f x x x


+ = + = + −





TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 94 | HNT.E
Vy
( )
4
1
1186
.
45
I f x dx==
Câu 159: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số
( )
fx
liên tc trên và có một nguyên hàm là hàm số
( )
2
1
1
2
g x x x= − +
. Khi đó
( )
2
2
1
f x dx
bằng
Ⓐ
2
3
. Ⓑ
4
3
−
. Ⓒ
4
3
. Ⓓ
2
3
−
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
( ) ( )
( )
22
11f x g x x f x x
= = − = −


.
Khi đó
( ) ( )
2
22
3
22
11
1
4
1
33
x
f x dx x dx x

= − = − =



.
Câu 160: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số
( )
y
f x=
có đạo
hàm trên thỏa mn
( )
11f =
và
( )
( )
23
2 5 2 1f x xf x x x− = − −
với mọi
x
Tính tích
phân
( )
2
1
'.I xf x dx=
Ⓐ
3.I =
Ⓑ
1.I =−
Ⓒ
2.I =
Ⓓ
5.I =
Lờigiải
Ta có:
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 2
1 1 1
2
' d d d .
1
I xf x x x f x xf x f x x= = = −
Từ gi thiết
( )
( )
( )
( ) ( )
1 1 1
2 3 2 3
0 0 0
2 5 2 1 2 d d 5 2 1 d 1.f x xf x x x f x x xf x x x x x− = − − − = − − =
Đặt
( )
1
0
2 d .K f x x=
Đổi biến
( ) ( )
22
00
11
2 2 dt d .
22
t x dt dx K f t f x x= = = =

Đặt
( )
1
2
0
d.L xf x x=
Đổi biến
( ) ( )
11
2
00
11
2 dt d .
22
t x dt xdx L f t f x x= = = =

Khi đó
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 1 2
0 0 0 0 1
1 1 1
d d 1 d d 1 d 2.
2 2 2
f x x f x x f x x f x x f x x

− = − = =


Từ gi thiết
( )
( )
23
2 5 2 1f x xf x x x− = − −
ta suy ra
( )
2
3.f =
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 95 | HNT.E
Như vy:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
11
2
d 2. 2 1. 1 d 2.3 1.1 2 3.
1
I xf x f x x f f f x x= − = − − = − − =

Câu 161: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hàm số
( )
fx
liên tc trên và thỏa mãn
( ) ( ) ( )
2
0 1; . ,
x
f f x xf x x e x
= − =
. Tích phân
( )
1
0
1dxf x x+
bằng
Ⓐ
2
ee−
. Ⓑ
42ee−
. Ⓒ
1
. Ⓓ
e
.
Lời giải
Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
. . .
x x x x x
x
f x xf x x e e f x xe f x x e e f x x e
− − −


− = − = =



( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
. d d .
2
x x x x x x
x
e f x x e x e f x e e f x e C
− − −

= = = +



Theo bài ra
( )
0
1 0fC= =
. Từ đó suy ra
( )
2
x
f x e=
.
Do đó
( )
( )
1 1 1 1
11
1 1 1 1 2 1 2 2
00
0 0 0 0
1 d . d d . d
x x x x x
xf x x x e x x e x e e x e e e e e e
+ + + + +
+ = = = − = − = − + =
.
Câu 162: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 03) Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm liên tc trên . Biết
( )
( )
24
2 4 ,f x f x x x x= + −
và
( )
1
0
4
d
3
f x x =
, khi
đó
( )
1
2
0
dx f x x
bằng
Ⓐ
7
6
. Ⓑ
8
15
. Ⓒ
7
10
. Ⓓ
2
3
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
( )
( )
( )
( )
2 4 2 5 2
2 4 2 4 2 8f x f x x x xf x xf x x x= + − = + −
.
( )
( )
( )
1 1 1
2 5 2
0 0 0
2 d 4 d 2 8 dxf x x xf x x x x x = + −
.
Đặt:
( )
( ) ( )
1 1 1
22
0 0 0
4
2 2 d d d
3
x t xdx dt xf x x f t t f x x= = = = =
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 96 | HNT.E
Đặt
( )
( )
2
1
dd
2
dd
x x v
xv
f x u
f x x u
=
=


=
=
. Nên
( ) ( ) ( )
1
11
22
0
00
11
dd
22
xf x x x f x x f x x
=−

.
( ) ( )
( )
11
1
2 2 5 2
0
00
4
2 2 d 2 8 d
3
x f x x f x x x x x
= − + −

( ) ( )
1
2
0
47
2 1 2 d
33
f x f x x
= − −
( ) ( )
1
2
0
11
2 d 2 1
3
x f x x f
= − +
Với
( ) ( ) ( )
1
2 1 1 4 1 3f f f= + − =
.
Vy
( )
1
2
0
7
d
6
x f x x
=
.
Câu 163: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số
()fx
có đạo hàm liên tc trên và thỏa mãn
(0) 3f =
và
2
( ) (2 ) 2 2f x f x x x+ − = − +
,
x
. Tích phân
2
0
. '( )dx f x x
bằng
Ⓐ
10
3
−
. Ⓑ
5
3
−
. Ⓒ
11
3
−
. Ⓓ
7
3
−
.
Lời giải
Chọn A
Đặt
dd
d '( )d ( )
u x u x
v f x x v f x
==


==

( )
2 2 2
2
0
0 0 0
. '( )d ( )d 2 (2) ( )dI x f x x xf x f x x f f x x = = − = −
.
Ta có
2
( ) (2 ) 2 2f x f x x x+ − = − +
thế
0x =
vào ta được
(0) (2) 2 (2) 1f f f+ = = −
(1)
Ta lại có
( )
2
2 2 2
3
22
0 0 0
0
8
( )d (2 )d 2 2 d 2
33
x
f x x f x x x x x x x

+ − = − + = − + =


.
Mặt khc đặt
2tx=−
ta có
2 0 2 2
0 2 0 0
( )d (2 t)d (2 t)d (2 )df x x f t f t f x x= − − = − = −
Nên suy ra
2 2 2 2
0 0 0 0
84
( )d (2 )d 2 ( )d ( )d
33
f x x f x x f x x f x x+ − = = =
(2)
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 97 | HNT.E
Từ (1) và (2) suy ra
22
00
4 10
. '( )d 2 (2) ( )d 2
33
I x f x x f f x x= = − = − − = −

.
Câu 164: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021) Cho hàm số
( )
y
f x=
có đạo hàm
liên tc trên khong
( )
0;+
và thỏa mãn
( ) ( )
22
..
lim 1
xt
x f t t f x
xt
→
−
=
−
với mọi
0t
. Biết
rằng
( )
11f =
, tính
( )
fe
.
Ⓐ
31
2
e +
. Ⓑ
3e
. Ⓒ
2e
. Ⓓ
e−
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( )
( )
( )( )
( ) ( )
22
. . . . . .
lim lim lim
.
22
x t x t x t
t f t f x
x f t t f x x f t t f t t f t t f x f t
x t x t x t x t x t x t
f t f t
t
→ → →

−
− − + −
= = +

− − + + − +


=−
Theo đề
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
22
..
l
im 1 1 . 2 , 0.
22
xt
x f t t f x f t f t
f t t f t t t
x t t
→
−
= − = − =
−
Như vy ta có
( ) ( )
.
2 , 0f x x f x x x
− =
( ) ( ) ( )
2
1 1 2 1 2
f x f x f x
x x x x x

− + = − = −


.
Suy ra
( )
12
2lnf x dx x C
xx
= − = − +
.
Theo đề
( )
11f =
nên
1.C =
Suy ra
( ) ( )
2
ln 1f x x x= − +
.
Vy
( )
.f
e e=−
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 1
2
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 98 | HNT.E
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐỒ THỊ
Câu 165:
(CHUYÊN
NGUYỄN
DU
ĐĂKLẮC
NĂM
2020-2021)
Diện tích hình phẳng giới hạn
bởi hai đường thẳng
0,x x
, đồ thị hàm số
cosy x
và trục
Ox
là
Ⓐ
0
cos d .S x x
Ⓑ
0
cos d .S x x
Ⓒ
2
0
cos d .S x x
Ⓓ
0
cos d .S x x
Lời giải
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng
0,x x
, đồ thị hàm số
cosy x
và trục
Ox
là
0
cos d .S x x
Câu 166:
(CHUYÊN
LÊ
HỒNG
PHONG
TPHCM
NĂM
2020-2021)
Hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hàm số
y f x
, trục hoành và hai đường thẳng
,x a x b
trong hình dưới
đây (phần gạch sọc có diện tích
S
bằng
Ⓐ
c b
a c
f x dx f x dx
. Ⓑ
c b
a c
f x dx f x dx
.
Ⓒ
c b
a c
f x dx f x dx
. Ⓓ
c b
a c
f x dx f x dx
.
Lời giải
Từ hình ta thấy :
c b c b
a c a c
S f x dx f x dx f x dx f x dx
.
Câu 167:
(CHUYÊN
LÊ
QUÝ
ĐÔN
VŨNG
TÀU
NĂM
2020-2021)
Tìm công thức tính diện
tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
4
y x
,
2
y x
.
Ⓐ
1
4 2
0
x x dx
. Ⓑ
1
2 4
0
x x dx
. Ⓒ
1
2 4
1
x x dx
. Ⓓ
1
4 2
1
x x dx
.
Lời giải
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
4
y x
,
2
y x
là nghiệm của phương
trình:
4 2 4 2 2 2
1
0 . 1 0 0
1
x
x x x x x x x
x
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 1
2
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 99 | HNT.E
Ta có
4 2 2 2
. 1 0x x x x
,
1;1x
.
Suy ra diện tích hình phẳng cần tính là:
1 1
4 2 2 4
1 1
x x dx x x dx
.
Câu 168:
(CHUYÊN
LAM
SƠN
THANH
HÓA
NĂM
2020-2021
LẦN
02)
Gọi
S
là diện tích
miền hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ dưới đây, với
y f x
là hàm số liên
tục trên
Công thức tính
S
là
Ⓐ
2
1
S f x dx
. Ⓑ
2
1
S f x dx
.
Ⓒ
1 2
1 1
S f x dx f x dx
. Ⓓ
2
1
f x dx
.
Lời giải
Chọn C
Câu 169:
(CHUYÊN
NGUYỄN
DU
ĐĂKLẮC
NĂM
2020-2021)
Cho hàm số
f x
liên tục trên
và có đồ thị
C
là đường cong như hình bên, Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị
C
, trục hoành và hai đường thẳng
0x
,
2x
là
Ⓐ
1 2
0 1
d df x x f x x
. Ⓑ
1 2
0 1
d df x x f x x
.
Ⓒ
2
0
df x x
. Ⓓ
2
0
df x x
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 1
2
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 100 | HNT.E
Lời giải
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
C
, trục hoành và hai đường thẳng
0x
,
2x
là
2 1 2 1 2
0 0 1 0 1
d d d d dS f x x f x x f x x f x x f x x
.
Câu 170:
(CHUYÊN
NGUYỄN
DU
ĐĂKLẮC
NĂM
2020-2021)
Cho một viên gạch men có
dạng hình vuông
OABC
như hình vẽ. Sau khi tọa độ hóa, ta có
0;0O
,
0;1A
,
1;1B
,
1;0C
và hai đường cong lần lượt là đồ thị hàm số
3
y x
và
3
y x
. Tính diện tích
phần tô đậm trên viên gạch men.
Ⓐ
5
4
. Ⓑ
1
3
. Ⓒ
1
2
. Ⓓ
4
5
.
Lời giải
Phần tô đậm là hình phẳng giới hạn bời các đường
3
y x
,
3
y x
,
0x
,
1x
.
Suy ra diện tích phần hình phẳng là
1
3
3
0
1
d
2
S x x x
.
Câu 171:
(CHUYÊN
NGUYỄN
DU
ĐĂKLẮC
NĂM
2020-2021)
Cho hàm số
y f x
có đạo
hàm liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ bên.
Giá trị của
2 4
0 0
2 d 2 df x x f x x
bằng
Ⓐ
4
. Ⓑ
6
. Ⓒ
4
. Ⓓ
2
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 1
2
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 101 | HNT.E
Lời giải
+) Xét
2
0
2 dI f x x
. Đặt
2 d dt x t x
.
Đổi cận:
0 2x t
và
2 4x t
.
4 4
2 2
( )d ( )dI f t t f x x
.
+) Xét
4
0
2 dJ f x x
. Đặt
2 d dt x t x
.
Đổi cận:
0 2x t
và
4 2x t
.
2 2
2 2
( )d ( )dJ f t t f x x
.
Suy ra:
4 2 4
2 2 2
4
d d d 4 2 4 2 6
2
I J f x x f x x f x x f x f f
.
Câu 172:
(THPT
CHUYÊN
KHTN
NĂM
2020-2021
LẦN
01)
Diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đường thẳng
3y x
và parabol
2
2 1y x x bằng:
Ⓐ
13
6
. Ⓑ
9
2
. Ⓒ
9
. Ⓓ
13
3
.
Lời giải
Chọn
C
Xét phương trình:
2 2
1
3 2 1 2 2 4 0
1
x
x x x x x
x
.
Diện tích hình phẳng cần tìm:
2 2
2 2
1 1
2 2 4 2 2 4 9S x x dx x x dx
.
Câu 173:
(CHUYÊN
QUANG
TRUNG
BÌNH
PHƯỚC
NĂM
2020-2021)
Cho hàm số
4 2
y f x ax bx c
có đồ thị như hình vẽ.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 1
2
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 102 | HNT.E
Diện tích
S
của miền được tô xiên như hình được tính theo công thức nào?
Ⓐ
1 1 2
2 1 1
d d dS f x x f x x f x x
.
Ⓑ
1 1 2
2 1 1
d d dS f x x f x x f x x
.
Ⓒ
1 1 2
2 1 1
d d dS f x x f x x f x x
.
Ⓓ
1 1 2
2 1 1
d d dS f x x f x x f x x
.
Lời giải
Chọn A
Diện tích
S
của miền được tô xiên như hình là:
2 1 1 2 1 1 2
2 2 1 1 2 1 1
d d d d d d dS f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x
.
Câu 174:
(SGD&ĐT
LAI
CHÂU
NĂM
2020-2021)
Tìm công thức tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi các đường
4 2
,y x y x
Ⓐ
1
4 2
0
dx x x
. Ⓑ
1
2 4
0
dx x x
. Ⓒ
1
2 4
1
dx x x
. Ⓓ
1
4 2
1
dx x x
.
Lời giải
Chọn C
Xét phương trình hoành độ giao điểm
4 2
0
1
x
x x
x
Do đó diện tích hình phẳng là
1 1 1
4 2 2 2 2 4
1 1 1
d 1 dS x x x x x dx x x x
.
Câu 175:
(CHUYÊN
LAM
SƠN
THANH
HÓA
NĂM
2020-2021
LẦN
03)
Diện tích hình
phẳng được tô đậm trong hình bên bằng
Ⓐ
2
2
1
2 2 4x x x
d
. Ⓑ
2
2
1
2 2 4x x x
d
.
Ⓒ
2
2
1
2 2 4x x x
d
. Ⓓ
2
2
1
2 2 4x x x
d
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 1
2
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 103 | HNT.E
Lời giải
Chọn D
Trên
1; 2
ta có
g x f x
nên diện tích hình phẳng là:
2 2
2
1 1
2 2 4g x f x x x x x
d d
.
Câu 176:
(CHUYÊN
HẠ
LONG
NĂM
2020-2021
LẦN
02)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
hai đường
2
1 5 6y x x x
và hai trục tọa độ bằng
Ⓐ
2
. Ⓑ
11
4
. Ⓒ
11
4
. Ⓓ
1
2
.
Lời giải
Chọn B
Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
1 5 6
0
0
y x x x
y
x
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
2
( 1)( 5 6) 0x x x
1
2
3
x
x
x
Diện tích hình phẳng là:
3
2
0
1 2 3
2 2 2
0 1 2
1 2 3
2 2 2
0 1 2
1 5 6
1 5 6 1 5 6 1 5 6
1 5 6 1 5 6 1 5 6
9 1 1 11
4 4 4 4
S x x x dx
x x x dx x x x dx x x x dx
x x x dx x x x dx x x x dx
Câu 177:
(CHUYÊN
THÁI
BÌNH
NĂM
2020-2021
LẦN
04)
Cho hai hàm số
3 2
2f x ax bx cx
,
2
2g x dx ex
,
, , , ,a b c d e
. Biết đồ thị hàm số
y f x
và
y g x
cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là
2; 1;1
. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị.
Ⓐ
37
6
. Ⓑ
13
2
. Ⓒ
9
2
. Ⓓ
37
12
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 1
2
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 104 | HNT.E
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
y f x
và
y g x
là:
0f x g x f x g x
3 2
4 0 *ax b d x c e x
Ta có
2; 1;1
là ba nghiệm của phương trình
*
nên ta có hệ phương trình:
8 4 2 4
2
4 4
2
4
a b d c e
a
a b d c e b d
c e
a b d c e
Do đó
3 2
2 4 2 4 0f x g x x x x
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên là:
1
2
dS f x g x x
1
3 2
2
2 4 2 4 dx x x x
1 1
3 2 3 2
2 1
2 4 2 4 d 2 4 2 4 dx x x x x x x x
5 16 37
6 3 6
.
Câu 178:
(CHUYÊN
NGUYỄN
BÌNH
KHIÊM
QUẢNG
NAM
NĂM
2020-2021)
Cho hàm số
3
1
3
y f x x ax
có đồ thị như hình bên. Gọi
1
S
,
2
S
lần lượt là diện tích của hai
hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên.
Khi
1
2
7
40
S
S
thì
a
thuộc khoảng nào dưới đây?
Ⓐ
3 5
;
4 4
. Ⓑ
1 1
;
3 2
. Ⓒ
1
0;
3
. Ⓓ
1 3
;
2 4
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 1
2
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 105 | HNT.E
Lời giải
Dựa vào đồ thị suy ra:
1 0
2 0
f
f
1
0
3
8
2 0
3
a
a
1
3
4
3
a
a
1
3
a
.
Ta có:
0
3
1
1
1
d
3
S x ax x
0
3
1
1
d
3
x ax x
0
3
1
1
d
3
x ax x
4 2
0
1
12 2
x ax
1
12 2
a
.
2
3
2
0
1
d
3
S x ax x
2
3
0
1
d
3
x ax x
2
3
0
1
d
3
x ax x
4 2
2
0
12 2
x ax
4
2
3
a
.
1
2
7
40
S
S
1
7
12 2
4
40
2
3
a
a
1a
. Vậy
3 5
;
4 4
a
.
Câu 179:
(CHUYÊN
NGUYỄN
DU
ĐĂKLẮC
NĂM
2020-2021)
Cho parabol
P
có phương
trình
2
y x
và đường thẳng
d
đi qua điểm
1;3A
. Giả sử khi đường thẳng
d
có hệ
số góc
k
thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
P
và đường thẳng
d
nhỏ
nhất. Giá trị thực của
k
thuộc khoảng nào sau đây?
Ⓐ
0;1
. Ⓑ
;3
. Ⓒ
3;0
. Ⓓ
3;
.
Lời giải
Đường thẳng
d
đi qua điểm
1;3A
, có hệ số góc
k
có phương trình dạng
3y kx k
.
Phương trình hoành độ giao điểm của
d
và
P
:
2
3x kx k
2
3 0 *x kx k
.
Do
2
4 12 0,k k k
nên
d
luôn cắt parabol
P
tại hai điểm phân biệt.
Gọi
1 2
,x x
là hai nghiệm phân biệt của phương trình
*
,
1 2
x x
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 1
2
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 106 | HNT.E
Ta có:
1 2
1 2
2
2 1
3
4 12
x x k
x x k
x x k k
.
Gọi
S
diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
P
và đường thẳng
d
.
Parabol
P
quay bề lõm lên trên suy ra
2
1
2
3 2
2 1 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 1
3 3
3 2 3 3 2
x
x
S x kx k x x x x x x x k x x k
2 2 2
1 1 1
4 12. 3 3
3 3 2
k k k k k k
3
3
3
2
2
1 1 1 8 2
. 4 12 . 2 8 . 8 ,
6 6 6 3
k k k k
Do đó
8 2
min
3
S
, đạt được khi
2k
.
Câu 180:
(CHUYÊN
LÊ
HỒNG
PHONG
NAM
ĐỊNH
NĂM
2020-2021)
Trong mặt phẳng
Oxy
cho
( )H
là hình phẳng giới hạn bởi parabol
2
4y x
và trục hoành. Đường
thẳng
x k
(
2 2k
) chia
( )H
thành hai phần
1
( )H
,
2
( )H
như hình vẽ
Biết rằng diện tích hình
1
( )H
gấp
20
7
lần diện tích của hình
2
( )H
, hỏi giá trị
k
thuộc
khoảng nào sau đây?
Ⓐ
( 2; 1)
. Ⓑ
(0;1)
. Ⓒ
( 1;0)
. Ⓓ
(1;2)
.
Lời giải
Gọi
1
S
,
2
S
lần lượt là diện tích hình
1
( )H
,
2
( )H
.
Khi đó
2 2
1 1
2 2
3 3
x x
x x
S x kx k dx kx k x dx
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 1
2
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 107 | HNT.E
3
2
1
2
16
(4 )d 4
3 3
k
k
S x x k
và
2
3
2
2
16
(4 )d 4
3 3
k
k
S x x k
.
Theo giả thiết, có
3 3
3
1 2
20 16 20 16
4 4 27 324 208 0
7 3 3 7 3 3
k k
S S k k k k
.
Giải phương trình trên, ta có
2 1 105
;
3 3
k k
.
Đối chiếu với điều kiện, suy ra
2
3
k
.
Câu 181:
(CHUYÊN
NGUYỄN
QUANG
DIỆU
ĐỒNG
THÁP
NĂM
2020-2021)
Cho hàm số
2
y mx x
0 4m
có đồ thị
C
. Gọi
1 2
S S
là diện tích của hình phẳng giới
hạn bởi
C
, trục hoành, trục tung và đường thẳng
4x
. Giá trị
m
để
1 2
S S
là
Ⓐ
10
3
m
. Ⓑ
8
3
m
. Ⓒ
3m
. Ⓓ
2m
.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của
C
và trục
Ox
là:
2
0
0
0 4
x
mx x
x m m
Ta có:
2 3 3
2 2
1
0 0
0
d d
2 3 6
m
m m
mx x m
S mx x x mx x x
.
Lại có:
4
4 4 3 2 3
2 2
2
64
d d 8
3 2 6 3
m m
m
x mx m
S mx x x x mx x m
.
Theo giả thiết ta có:
3 3
1 2
64 8
8
6 6 3 3
m m
S S m m
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 1
2
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 108 | HNT.E
Câu 182:
(CHUYÊN
LÊ
QUÝ
ĐÔN
ĐÀ
NẴNG
NĂM
2020-2021
LẦN
02)
Cho hai hàm số
4 3 2
1f x ax bx cx dx
và
2g x ex
(
, , , ,a b c d e
là các số thực cho trước).
Biết rằng đồ thị của hai hàm số
y f x
và
y g x
tiếp xúc nhau tại hai điểm có
hoành độ lần lượt là
1; 2
.
Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng
Ⓐ
81
20
. Ⓑ
81
4
. Ⓒ
81
10
. Ⓓ
81
40
.
Lời giải
Hình phẳng
,
:
1, 2
y f x y g x
H
x x
.
Dựa vào hình vẽ trên diện tích hình phẳng
H
là:
2
1
S f x g x dx
.
Ta có:
4 3 2
1f x g x ax bx cx d e x
Do đồ thị của hai hàm số
y f x
và
y g x
tiếp xúc nhau tại hai điểm có hoành
độ lần lượt là
1; 2
nên
1, 2x x
là hai nghiệm bội chẵn của phương trình
0f x g x
.
Suy ra
2 2
4 3 2
1 1 2f x g x ax bx cx d e x a x x
.
Đồng nhất hệ số tự do ta được:
1
1 4
4
a a
.
Do đó
2 2
1
1 2
4
f x g x x x
hay
2
2 2
1
1 81
1 2
4 40
S x x dx
.
Câu 183:
(CHUYÊN
LONG
AN
NĂM
2020-2021
LẦN
03)
Cho hàm số
( ).y f x
Đồ thị hàm
số
( )y f x
như hình bên. Đặt
3
( ) 3 ( ).g x x f x Mệnh đề nào dưới đây đúng?
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 1
2
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 109 | HNT.E
Ⓐ
(2) ( 1) (0).g g g
Ⓑ
(0) ( 1) (2).g g g
Ⓒ
( 1) (0) (2).g g g
Ⓓ
(2) (0) ( 1)g g g
.
Lời giải
Ta có:
2 2
( ) 3 3 ( ) 3 ( )g x x f x x f x
. Suy ra:
2
1
( ) 0 ( ) 0
2
x
g x x f x x
x
BBT:
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 1
2
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 110 | HNT.E
Từ BBT suy ra
1; 2
max ( ) (0).g x g
Theo hình vẽ thì
0 2 0 2
2 2 2 2
1 2
1 0 1 0
( ) d ( ) d 3 ( ) d 3 ( ) dS S x f x x x f x x x f x x x f x x
0 2
1 0
( )d ( )dg x x g x x
(0) ( 1) (2) (0)g g g g
( 1) (2).g g
Tóm lại:
(0) ( 1) (2).g g g
Ta chọn đáp án Ⓐ
Câu 184:
(CHUYÊN
QUỐC
HỌC
HUẾ
NĂM
2020-2021)
Cho hình phẳng
H
được giới hạn
bởi các đường e
x
y ;
0y
;
0x
và
ln 4x
. Đường thẳng
x k
;0 ln 4k k
chia hình phẳng
H
thành hai phần có diện tích là
1
S ;
2
S (xem hình vẽ).
Tìm
k
để
2 1
2S S .
Ⓐ
ln 3k
.
Ⓑ
8
ln
3
k
.
Ⓒ
2
ln 4
3
k
.
Ⓓ
ln 2k
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
2 1
2S S
ln 4
0
e d 2 e d
k
x x
k
x x
ln 4
e 2e
0
x x
k
k
4 e 2e 2
k k
e 2
k
ln 2k
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 1
2
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 111 | HNT.E
Câu 185:
(CHUYÊN
NGUYỄN
TRÃI
HẢI
DƯƠNG
NĂM
2020-2021)
Cho hàm số bậc ba
y f x
có đồ thị là đường cong bên dưới. Gọi
1 2
;x x
lần lượt là hai điểm cực trị thỏa
mãn
2 1
2x x
và
1 2
3 0f x f x
. Đường thẳng song song với trục
O x
và đi qua
điểm cực tiểu cắt đồ thị hàm số tại điểm thứ hai có hoành độ
0
x
và
1 0
1x x
. Tính tỉ
số
1
2
S
S
(
1
S
và
2
S
lần lượt là diện tích hai hình phẳng được gạch ở hình bên dưới).
Ⓐ
9
8
. Ⓑ
5
8
. Ⓒ
3
8
. Ⓓ
3
5
.
Lời giải
Do
f x
là hàm số bậc ba nên
3 2 2
, 0 3 2f x ax bx cx d a f x ax bx c
Mặt khác do hàm số
y f x
có hai điểm cực trị
1 2
;x x
thỏa mãn
2 1
2x x
nên
2
1 2 1 1 1 1
3 3 2 3 6f x a x x x x a x x x x a x x a x x
.
Mặt khác
df x f x x
3 2
1 1
3f x a x x a x x C
, khi đó
1
f x C
và
3 2
2 1 1 1 1 1
2 2 3 2 4f x f x a x x a x x C a C
.
Mà
1 2 2
3 0 3 4 0 6 2f x f x C a C C a f x a
.
3 2
1 1
3 6f x a x x x x
.
Do
2 1
0 1
2
3 2
1 2 1 1
1
27
d 3 4 d
4
x x
x x
S f x f x x a x x x x x a
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 1
2
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 112 | HNT.E
2 1
0 1
2
2 2
1
d 2 d 6
x x
x x
S f x x a x a
.
Vậy
1
2
9
8
S
S
.
Câu 186:
(CHUYÊN
QUANG
TRUNG
BÌNH
PHƯỚC
NĂM
2020-2021
LẦN
02)
Cho parabol
2
1
: 6P y x
cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt
,A B
và đường thẳng
:d y a
0 6a
. Xét parabol
2
P
đi qua
,A B
và có đỉnh thuộc đường thẳng
y a
. Gọi
1
S
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi
1
P
và
d
;
2
S
là diện tích hình phẳng giới hạn
bởi
2
P
và trục hoành (tham khảo hình vẽ).
Biết
1 2
S S
, tính
3 2
12 108T a a a
.
Ⓐ
218T
. Ⓑ
219T
. Ⓒ
216T
. Ⓓ
217T
.
Lời giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
2
6x a
2
6x a
6x a
.
Khi đó
6
3
2
1
0
46
2 6 2 6 6 6
3 3
0
a
x a
S x a x ax a a
.
Tọa độ giao điểm
,A B
là nghiệm của hệ
2
6 0
6
0
6 0
x y
y x
y
x y
.
Vậy
6;0 , 6;0A B .
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 1
2
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 113 | HNT.E
Gọi
2
2
:P y mx nx p
.
Vì parabol
2
P
đi qua
,A B
và có đỉnh thuộc đường thẳng
y a
nên
2
2
6 6 0
0
6 6 0 :
6
6
m n p
n
a
m n p p a P y x a
p a a
m
.
Do đó
6
3
2
2
0
6 4 66
2 2 2 6
6 18 3 3
0
a ax a a
S x a dx ax a
.
Theo đề bài
3
2 2 3 2
1 2
4 4 6
6 6 6 6 216 108 18 6
3 3
a
S S a a a a a a a a
3 2
12 108 216a a a
.
Câu 187:
Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên
và có đồ thị như hình bên. Biết
rằng tích phân
1
0
. . dK x f x f x x
có giá trị thuộc khoảng nào sau đây?
Ⓐ
3; 2
. Ⓑ
3
2;
2
. Ⓒ
2
;0
3
. Ⓓ
3 2
;
2 3
.
Lời giải
Chọn D
Đặt
2
d d
1
d . d
2
u x u x
v f x f x x v f x
.
Khi đó
1
1 1
2 2 2
0
0 0
1 1 1
d d
2 2 2 2
x
K f x f x x f x x
.
Cách 1. Từ đồ thị ta thấy
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 1
2
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 114 | HNT.E
Đồ thị
y f x
nằm trên đường thẳng
2y x
trên
0;1
.
Nên
2 2
2
1 1 1
0 0 0
2
7 1 2
2 d d d
2 2 6 2 2 3
f x f x
x
f x x x x K x
.
Đồ thị
y f x
nằm dưới đường thẳng
2y
trên
0;1
.
Nên
2 2
2
1 1 1
0 0 0
2
1 3
2 d d 2 d
2 2 2 2 2
f x f x
f x x x K x
.
Cách 2. [Khi có rất nhiều điểm thuộc đồ thị trên hình]
Chọn
4 3 2
f x ax bx cx dx e
. Dựa vào độ thị ta có hệ phương trình
2 1
1 1
1 1 7 1
0 2 , , , , 2
6 6 6 6
1 1
3 1
f
f
f a b c d e
f
f
.
2
1
4 3 2
0
1 1 1 1 7 1
2 d 0,968
2 2 6 4 6 6
K x x x x x
. Suy ra
3 2
;
2 3
K
.
Câu 188:
Cho hàm số
4 2
y ax bx c có đồ thị
C
, biết rằng
C
đi qua điểm
1; 0A
, tiếp
tuyến
d
tại
A
của
C
cắt
C
tại hai điểm có hoành độ lần lượt là
0
và
2
và diện
tích hình phẳng giới hạn bởi
d
, đồ thị
C
và hai đường thẳng
0; 2x x
có diện
tích bằng
28
5
(phần tô màu trong hình vẽ).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
C
và hai đường thẳng
1; 0x x
có diện tích
bằng
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 1
2
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 115 | HNT.E
Ⓐ
2
5
. Ⓑ
1
4
. Ⓒ
2
9
. Ⓓ
6
5
.
Lời giải
Chọn D
Từ đồ thị ta có phương trình hoành độ giao điểm là:
2
4 2
1 2 0 3 2 0a x x x ax ax ax
,
0a
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
d
, đồ thị
C
và hai đường thẳng
0; 2x x
bằng
28
8
nên:
2
5
4 2 3 2
0
2
28 28
3 2 d 1
0
5 5 5
ax
ax ax ax x ax ax a
Suy ra phương trình hoành độ giao điểm là:
4 2
3 2 0x x x
Từ đồ thị ta thấy
d
đi qua điểm
1; 0A
và
0;B k
nên phương trình đường thẳng
d
là:
y kx k
. Suy ra hàm số
C
có dạng:
4 2
3 2 0y x x k x k
. Mà đồ thị hàm số
C
là hàm trùng phương
4 2
y ax bx c
nên
2 0 2k k
Vậy diện tích cần tìm là:
0
4 2
1
6
3 2 d
5
x x x
.
Câu 189:
(THPT
CHUYÊN
BẾN
TRE
NĂM
2020-2021)
Cho hàm số
4 2
y ax bx c
có đồ thị
C
, biết rằng
C
đi qua điểm
1;0
A
, tiếp tuyến
d
tại
A
của
C
cắt
C
tại hai
điểm có hoành độ lần lượt là
0
và 2 và diện tích hình phẳng giới hạn bởi
d
, đồ thị
C
và hai đường thẳng
0; 2x x
có diện tích bằng
28
5
(phần tô màu trong hình
vẽ).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
C
,
d
và hai đường thẳng
1; 0x x
có diện
tích bằng
Ⓐ
2
5
. Ⓑ
1
4
. Ⓒ
2
9
. Ⓓ
1
5
.
Lời giải
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 1
2
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 116 | HNT.E
Gọi phương trình đường thẳng
d
có dạng
y mx n
.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
,C d
và hai đường thẳng
0, 2x x
là
2 2
4 2 4 2
0 0
28 28
| | d d *
5 5
a x bx c mx n x a x bx c mx n x
Vì
C
và
d
tiếp xúc tại điểm
1x
và giao nhau tại các điểm có hoành độ
0; 2x x
nên ta có
2
4 2 4 2
2 1 3 2ax bx c mx n a x x x a x x x
.
Khi đó:
2
5
4 2 3 2
0
2
28 28
* 3 2 d .
0
5 5 5
x
a x x x x a x x
28 28
1
5 5
a a
.
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi
,C d
và hai đường thẳng
1, 0x x
là
0
4 2
1
1
| 3 2 | d
5
S x x x x
.
Lưu ý: Đề bài trên đã bổ sung thêm yếu tố giới hạn bởi đồ thị
C
với đường thẳng
d
vào
câu hỏi so với đề bài gốc vì nếu đề bài gốc là tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
C
và hai
đường thẳng
1; 0x x
là không hợp lí vì hình phẳng hở nên không tính được diện tích,
nếu chọn bổ sung giới hạn với trục
Ox
thì đáp án là
6
5
không có trong 4 đáp án.
BÀI TOÁN THỰC TẾ SỬ DỤNG DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Câu 190:
(CHUYÊN
LONG
AN
NĂM
2020-2021
LẦN
03)
Bồn hoa của một trường
X
có dạng
hình tròn bán kính bằng
8m
.
Người ta chia bồn hoa thành các phần như hình vẽ dưới
đây và có ý định trồng hoa như sau: Phần diện tích bên trong hình vuông
ABCD
để
trồng ho
Ⓐ
Phần diện tích kéo dài từ 4 cạnh của hình vuông đến đường tròn dùng
để trồng cỏ. Ở bốn góc còn lại, mỗi góc trồng một cây cọ. Biết
4AB m
, giá trồng hoa
là
200.000
đ/m
2
, giá trồng cỏ là
100.000
đ/m
2
, mỗi cây cọ giá
150.000
đ. Hỏi số tiền để
thực hiện việc trang trí bồn hoa như miêu tả ở trên gần bằng giá trị nào nhất?
Ⓐ
14.465.000
đồng. Ⓑ
14.865.000
đồng. Ⓒ
13.265.000
đồng. Ⓓ
12.218.000
đồng.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 1
2
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 117 | HNT.E
Lời giải
Chọn C
Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ trùng với tâm hình tròn, suy ra phương
trình
đường tròn là:
2 2
64x y .
Diện tích hình vuông
ABCD
là:
2
4 4 16
ABCD
S m
.
Số tiền để trồng hoa là:
1
16 200.000 3.200.000T .
Diện tích trồng cỏ là:
2
2 2
2
4 64 2 d 94,654S x x m
.
Số tiền trồng cỏ là:
2
94,654 100.000 9.465.000T .
Số tiền trồng 4 cây cọ là:
3
150.000 4 600.000T .
Vậy tổng số tiền để thực hiện việc trang trí bồn hoa là:
1 2 3
13.265.000T T T T .
Câu 191:
(CHUYÊN
ĐẠI
HỌC
VINH
NĂM
2020-2021
LẦN
02)
Mặt sàn của một thang máy
có dạng hình vuông
ABCD
cạnh
2m
được lát gạch màu trắng và trang trí bởi một
hình
4
cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ
Oxy
với
O
là tâm hình
vuông sao cho
1;1A
như hình vẽ bên thì các đường cong
OA
có phương trình
2
y x
và
3
y ax bx
. Tính giá trị
ab
biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm
1
3
diện tích
mặt sàn.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 1
2
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 118 | HNT.E
Ⓐ
2
. Ⓑ
3
. Ⓒ
2
. Ⓓ
3
.
Lời giải
Vì đường cong
OA
có phương trình
3
y ax bx
đi qua điểm
1;1A
nên
1 1a b b a
3
1y ax a x
Diện tích mặt sàn hình vuông là:
2 2
2 4
ABCD
S m
Diện tích hình một cánh màu sẫm là:
1 1
2 3 2 3
0 0
1S x ax a x dx x ax ax x dx
1
3 4 2 2
0
1 1 1
3 4 2 2 3 4 2 2 4 6
x ax ax x a a a
Theo đề bài, ta có:
1 1
4 12 12 4 2
3 4 6
ABCD ABCD
a
S S S S a
1b
Do đó:
2ab
.
Câu 192:
(CHUYÊN
LÊ
QUÝ
ĐÔN
QUẢNG
NINH
NĂM
2020-2021)
Cho hàm số bậc ba có
đồ thị như hình vẽ, biết
f x
đạt cực tiểu tại điểm
1x
và thỏa mãn
1f x
và
1f x
lần lượt chia hết cho
2
1x
và
2
1x
. Gọi
1 2
,S S lần lượt là diện tích hình
phẳng như hình bên dưới. Tính
1 2
2S S
Ⓐ
4
.
Ⓑ
3
4
.
Ⓒ
1
2
.
Ⓓ
1
4
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 1
2
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 119 | HNT.E
Lời
giải
Chọn B
Theo giả thiết, ta có:
2
2
1 1
1
1 1
1
1 1
1 1
f x x
f x x
f x x
f x x
f x x
f x x
f x
có dạng:
2
1 1 1 0f x a x x a x a
Và
3
3
x
f x a x C
Theo hình vẽ,
0 0 0f C
2
2
2a
1 0
1 1
1 1 0
3
3
2
2
1 1 0
1 1
1 0
3
f x x
f
a
a
f
f x x
Vậy
3 3
3 3
2 3 2 2
x x
f x x x
* Phương trình giao điểm của của
:C y f x
với trục hoành:
3
0
3
0 3
2 2
3
x
x
x x
x
Diện tích hình phẳng
3
1 1
1
0 0
3 5
2 2 8
x
S f x dx x dx
Diện tích hình phẳng
3
3 3
2
1 1
3 1
2 2 2
x
S f x dx x dx
Vậy:
1 2
5 1 3
2 2.
8 2 4
S S
Câu 193:
(CHUYÊN
ĐẠI
HỌC
VINH
NĂM
2020-2021
LẦN
01)
Một chiếc xe đua
1
F đạt tới vận tốc lớn
nhất là
360 /km h
. Đồ thị bên biểu thị vận tốc
v
của xe trong
5
giây đầu tiên kể từ lúc xuất phát.
Đồ thị trong
2
giây đầu tiên là một phần của
parabol đỉnh tại gốc tọa độ
O
, giây tiếp theo là
đoạn thẳng và sau đúng
3
giây thì xe đạt vận
tốc lớn nhất. Biết rằng mỗi đơn vị trục hoành
biểu thị
1
giây, mỗi đơn vị trục tung biểu thị
10 /m s
và trong
5
giây đầu xe chuyển động
theo đường thẳng. Hỏi trong
5
giây đó xe đã đi
được quãng đường là bao nhiêu?
Ⓐ
340
(mét).
Ⓑ
420
(mét).
Ⓒ
400
(mét).
Ⓓ
320
(mét).
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 1
2
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 120 | HNT.E
Lời giải
Chọn D
Giả sử
2;6A
;
3;10B
Theo gt thì phương trình của parabol là
2
3
2
y x
; phương trình đường thẳng
AB
là
4 2y x
Vậy trong
5
giây đó xe đã đi được quãng đường là:
2 3
2
0 2
3
10 d 4 2 d 2.10 320
2
S x x x x
(mét).
THỂ TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐỒ THỊ (TRÒN XOAY)
Câu 194:
(CHUYÊN
NGUYỄN
DU
ĐĂKLẮC
NĂM
2020-2021)
Thể tích vật thể tròn xoay do
hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
y f x
, trục
Ox
và các đường thẳng
x a
,
x b
,
a b
quay quanh trục
Ox
được tính theo công thức
Ⓐ
2
d
b
a
V f x x
. Ⓑ
2
d
b
a
V f x x
. Ⓒ
d
b
a
V f x x
. Ⓓ
d
b
a
V f x x
.
Lời giải
Thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
y f x
, trục
Ox
và
các đường thẳng
x a
,
x b
,
a b
quay quanh trục
Ox
được tính theo công
thức
2
d
b
a
V f x x
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 1
2
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 121 | HNT.E
Câu 195:
(CHUYÊN
LÊ
HỒNG
PHONG
NAM
ĐỊNH
NĂM
2020-2021)
Gọi
( )H
là hình
phẳng giới hạn bởi các đồ thị
, 0y x x y
trong mặt phẳng
Oxy
. Quay hình
( )H
quanh trục hoành ta được một khối tròn xoay có thể tích bằng
Ⓐ
1
0
dx x x
. Ⓑ
1
0
dx x x
. Ⓒ
1
2
0
1 dx x x
. Ⓓ
1
2
0
1 dx x x
.
Lời giải
Xét phương trình
2
0
0
0
1
x
x
x x x x
x
x x
.
Ta có thể tích khối tròn xoay là
1 1 1
2
2 2
0 0 0
d 1 d 1 dV x x x x x x x x x
.
Câu 196:
(CHUYÊN
ĐẠI
HỌC
VINH
NĂM
2020-2021
LẦN
02)
Gọi
D
là hình phẳng giới
hạn bởi các đường
1y
và
2
2y x . Thể tích khối tròn xoay giới hạn được tạo thành
khi quay
D
xung quanh trục
Ox
được tính theo công thức
Ⓐ
2
2
2
2
2V x dx
. Ⓑ
1
2
2
1
2V x dx
.
Ⓒ
1
2
2
1
2 2V x dx
. Ⓓ
2
2
2
2
2 4V x dx
.
Lời giải
Ta có phương trình hoành độ giao điểm
2
1 2 1x x
.
Thể tích khối tròn xoay giới hạn được tạo thành khi quay
D
xung quanh trục
Ox
được tính theo công thức
1 1
2 2
2 2 2
1 1
2 1 2 1V x dx x dx
1 1
2
2
1 1
2 x dx dx
1
2
2
1
1
2
1
x dx x
1
2
2
1
2 2x dx
.
Câu 197:
(CHUYÊN
NGUYỄN
DU
ĐĂKLẮC
NĂM
2020-2021)
Cho
H
là hình phẳng giới
hạn bởi parabol
2
y x
và đường tròn
2 2
2x y
. Thể tích
V
của vật thể tròn xoay
tạo thành khi quay
H
quanh trục hoành là
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 1
2
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 122 | HNT.E
Ⓐ
44
15
V
. Ⓑ
5
3
V
. Ⓒ
44
15
V
. Ⓓ
5
V
.
Lời giải
Ta có:
2
2 2
2
2
2
2
y x
x y
y x
.
Hình
H
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
2
2y x và
2
y x
.
Phương trình hoành độ giao điểm:
2 2 4 2
1
2 2 0
1
x
x x x x
x
.
Ta có
1 1 1
3 5
2
2
2 2 2 4
1 1 1
1
44
2 d d 2 d 2
1
3 5 15
x x
V x x x x x x x x
.
Câu 198:
(THPT
CHUYÊN
KHTN
NĂM
2020-2021
LẦN
01)
Tính thể tích của khối tròn xoay
khi cho hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng
3 2y x
và đồ thị hàm số
2
y x quay
quanh trục
Ox
.
Ⓐ
4
5
. Ⓑ
1
6
. Ⓒ
4
5
. Ⓓ
6
.
Lời giải
Chọn
A
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
2
3 2x x
2
1
3 2 0
2
x
x x
x
Mà
2
3 2x x
với
1; 2x
Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới
hạn bởi đường thẳng
3 2y x
và đồ thị hàm số
2
y x quay quanh trục
Ox
là:
2
2 2
5
2
4 4 2 3 2
1 1
1
4
3 2 9 12 4 3 6 4
5 5
d d
x
V x x x x x x x x x x
Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là
4
5
.
Câu 199:
(CHUYÊN
LÊ
HỒNG
PHONG
TPHCM
NĂM
2020-2021)
Cho hình phẳng
H
giới
hạn bởi đồ thị hàm số
2
2y x x
và trục hoành. Tính thể tích
V
vật thể tròn xoay
sinh ra khi cho
H
quanh quay trục
Ox
.
Ⓐ
4
3
V
. Ⓑ
16
15
V
. Ⓒ
4
3
V
. Ⓓ
16
15
V
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 1
2
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 123 | HNT.E
Lời giải
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
2
2y x x
và trục hoành là nghiệm của
phương trình:
2
0
2 0
2
x
x x
x
.
2
0
2
2
16
. 2 d
15
V x x x
.
Câu 200:
(CHUYÊN
QUANG
TRUNG
BÌNH
PHƯỚC
NĂM
2020-2021)
Gọi
H
là hình
phẳng giới hạn bởi
2
y x x và trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành
khi quay hình
H
quanh trục hoành bằng
Ⓐ
30
. Ⓑ
6
. Ⓒ
1
30
. Ⓓ
1
6
.
Lời giải
Chọn A
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
2
y x x và trục hoành là
2
0
0
1
x
x x
x
.
Thể tích của khối tròn xoay cần tìm là
1
2
2
0
30
V x x dx
.
Câu 201:
(CHUYÊN
LÊ
QUÝ
ĐÔN
ĐÀ
NẴNG
NĂM
2020-2021
LẦN
02)
Thể tích của khối
tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi
lny x
, trục
Ox
và đường thẳng
2x
quay
xung quanh trục
Ox
là
Ⓐ
2ln 2 1
. Ⓑ
2 ln2
. Ⓒ
2 ln2
. Ⓓ
2ln 2 1
.
Lời giải
Ta có:
ln 0 1x x
Thể tích mặt tròn xoay:
2 2 2
2
2 2 2
1 1 1
1 1 1
ln d ln d .ln d .ln 2 ln 2V x x x x x x x x x x
.
ỨNG
DỤNG
TÍCH
PHÂN
VÀO
CÁC
BÀI
TOÁN
CHUYỂN
ĐỘNG
Câu 202:
(CHUYÊN
NGUYỄN
DU
ĐĂKLẮC
NĂM
2020-2021)
Một vật chuyển động có
phương trình vận tốc:
3
3 1v t t t
. Quãng đường vật đi được từ thời điểm
0t
đến khi
3t
là
Ⓐ
39
4
m
. Ⓑ
19m
. Ⓒ
20m
. Ⓓ
15
4
.
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 1
2
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 124 | HNT.E
Lời giải
Quãng đường vật đi được từ thời điểm
0t
đến khi
3t
là:
3
3
0
3 1 dS t t t
4 2
3
3
0
4 2
t t
t
39
4
m
.
Câu 203:
(CHUYÊN
LAM
SƠN
THANH
HÓA
NĂM
2020-2021
LẦN
03)
Một chiếc máy bay
vào vị trí cất cánh chuyển động trên đường băng với vận tốc
2
2 m/sv t t t
với t
là thời gian được tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết
máy bay đạt vận tốc
120 m/s
thì nó rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di
chuyển trên đường băng gần nhất với giá trị nào dưới đây?
Ⓐ
1200 m .
Ⓑ
1100 m .
Ⓒ
430 m .
Ⓓ
330 m .
Lời giải
Chọn C
Máy bay đạt vận tốc
120 m/s
tại thời điểm thỏa mãn pt:
2
2 120 0 10.t t t
Khi đó quãng đường máy bay di chuyển là
10
2
0
1300
2 d m 430 m .
3
s t t t
GV. LƯƠNG ANH NHẬT
HNT EDUCATION
VỮNG KIẾN THỨC – NHẠY TƯ DUY
Giảng dạy Toán lớp 6 – 12 + Luyện thi đại học
Điện thoại: 0968 373 054
Nguyên hàm – Tích phân – Ứng dụng
LƯU HÀNH NỘI BỘ
HNT.E - 20082021
| 1/126

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

GV. LƯƠNG ANH NHẬT CHUYÊN ĐỀ
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨN 3 G DỤNG
TỪ ĐỀ CÁC TRƯỜNG CHUYÊN 2020 - 2021 GV. LƯƠNG ANH NHẬT
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 NGUYÊN HÀM
ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT – NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Câu 1:
(CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 02) Mệnh đề nào sau đây sai? Ⓐ 1
dx = ln x + C  . Ⓑ x x
e dx = e + C  . x 2 + Ⓒ x 1 xdx = + C  . Ⓓ
sin xdx = cos x + C  . 2 Câu 2:
(CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021) Hàm số f ( x) 4 2 = x −3x có họ nguyên hàm là Ⓐ F ( x) 3
= x − 6x + C. Ⓑ F (x) 5 3
= x + x + C. x x Ⓒ F ( x) 5 3 = + x + C. Ⓓ F ( x) 5 3 = − x + C. 5 5 Câu 3:
(CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021) Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2 x
f x = e là Ⓐ ( ) 2x F x = e + C. Ⓑ ( ) 3x
F x = e + C. Ⓒ ( ) 1 2 = 2 x F x e + C. Ⓓ ( ) 2 x F x = e + C. 2 Câu 4:
(CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2020-2021) Họ nguyên hàm của hàm số
y = 5 − 3x là: Ⓐ 2 ( 2 2 1 5 − 3x)3 + C. Ⓑ − 5 − 3x + C. Ⓒ −
(5−3x)3 +C. Ⓓ 5 − 3x + C. 9 3 9 2 Câu 5: (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hàm số f ( x) 3 2
= 4x − 3x + 2x −1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Ⓐ f  (x) 4 3 2
dx = 4x − x + x − x +C . Ⓑ f  (x) 4 3 2
dx = x − x + x − x +C . Ⓒ f  (x) 1 4 3 2
dx = x − x + x − x + C . Ⓓ f  (x) 4 3 2
dx =12x −6x + x − x +C . 4 Câu 6:
(CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hàm số f ( x) = sin 3x . Trong
các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Ⓐ f  (x)dx = 3 − cos3x +C . Ⓑ f
 (x)dx =3cos3x+C. Ⓒ f  (x) 1
dx = − cos3x + C . Ⓓ f  (x) 1
dx = cos3x + C . 3 3 Câu 7:
(CHUYÊN NGUYỄN BÌNH KHIÊM QUẢNG NAM NĂM 2020-2021) Cho F ( x) là      
một nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 2x và F =1   . Tính F   .  4   6     1    5    3    Ⓐ F =   . Ⓑ F =   . Ⓒ F =   . Ⓓ F = 0   .  6  2  6  4  6  4  6 
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 1 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 Câu 8:
(CHUYÊN NGUYỄN BÌNH KHIÊM QUẢNG NAM NĂM 2020-2021) Họ tất cả các 2
nguyên hàm của hàm số f (x) = sin x + . x Ⓐ 2 cos x − + C .
Ⓑ − cos x + 2ln x + C . 2 x
Ⓒ − cos x − 2ln x + C .
Ⓓ cos x + 2ln x + C . Câu 9:
(CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho C là
một hằng số. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ? Ⓐ 2
2x dx = x + C  . Ⓑ
sinx dx = cos x + C  . 1 Ⓒ
dx = ln | x | +C  . Ⓓ ex d = ex x −C  . x
Câu 10: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số
f ( x) = sin 3x . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Ⓐ f
 (x)dx =3cosx+C . Ⓑ f  (x) 1 dx = cos x + C . 3 Ⓒ f
 (x)dx =3cos3x+C. Ⓓ f  (x) 1
dx = − cos 3x + C . 3
Câu 11: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Họ nguyên hàm của hàm số ( ) = ex f x + x là: 2 2 2 Ⓐ 1 x x x 1 + 1 x ex + + C .
Ⓑ ex +1+ C . Ⓒ e +
+ C . Ⓓ ex + + C . 2 x +1 2 2 2
Câu 12: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Tìm họ nguyên hàm  1  x + dx    x −1  2 Ⓐ 2 1 x 1
x + ln x −1 + C . Ⓑ x + + C . Ⓒ
+ ln x −1 + C . Ⓓ 1− + C . x −1 2 (x − )2 1
Câu 13: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho hàm số F ( x) , f ( x) liên
tục trên khoảng K , khi đó F ( x) là một nguyên hàm của hàm f ( x) trên khoảng K
nếu với mọi x K ta có
Ⓐ F ( x) = f ( x).
Ⓑ F (x) = f  (x) .
Ⓒ F( x) = f ( x).
Ⓓ F (x) = f (x) .
Câu 14: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hàm số
f ( x) = cos 2x . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? x x Ⓐ f  (x) sin 2 dx = − + C . Ⓑ f  (x) sin 2 dx = + C . 2 2 Ⓒ f  (x)dx = 2
− sin 2x + C . Ⓓ f
 (x)dx = 2sin2x+C .
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 2 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 15: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 = 3x . Ⓐ f
 (x)dx = 6x+C. Ⓑ f
 (x)dx = x+C. 1 Ⓒ f  (x) 3
dx = x + C . Ⓓ f  (x) 3 dx = x + C . 3
Câu 16: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + cos 2 . x 1 Ⓐ 2
x − sin 2x + C . Ⓑ 2 x + sin 2x + C . 2 1 Ⓒ 2
x + sin 2x + C . Ⓓ 2 x − sin 2x + C . 2
Câu 17: (THPT CHUYÊN NAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 01) tan d x x  bằng 1 1 Ⓐ − + C .
Ⓑ ln cos x + C . Ⓒ + C .
Ⓓ −ln cos x + C . 2 sin x 2 cos x
Câu 18: (THPT CHUYÊN NAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 01) Một nguyên 1
hàm của hàm số f (x) = là F(x) bằng 2x − 3 Ⓐ 2 1 1 − ( . Ⓑ . Ⓒ 2ln 2x − 3 . Ⓓ ln 2x − 3 . 2x − 3)2 2 (2x − 3)2 2
Câu 19: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM NĂM 2020-2021) Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2 x f x = e là Ⓐ 1 1 x e + C . Ⓑ 2 x e + C . Ⓒ 2 2 x e + C . Ⓓ 2 x e + C . 2 2
Câu 20: (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021 LẦN 01) Họ các
nguyên hàm của hàm số ( ) = 5x f x − x là x 2 5 x 2 x 5x Ⓐ − + C . Ⓑ 2
5x − x + C . Ⓒ 5x ln 2 − + C . Ⓓ −1+ C . ln 5 2 2 ln 5
Câu 21: (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021 LẦN 01) Họ
nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin x + 4x là Ⓐ 2
−cos x + 4x +C . Ⓑ 2
cos x + 4x + C . Ⓒ 2
−cos x + 2x +C . Ⓓ 2
cos x + 2x + C .
Câu 22: (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021 LẦN 01) Tìm
nguyên hàm của hàm số f ( x) 1 = 3x− . 2 Ⓐ dx dx 1
= ln 3x − 2 + C  . Ⓑ
= − ln 3x − 2 + C  . 3x − 2 3x − 2 2 Ⓒ dx 1 dx 1 = ln 3x + 2 + C  . Ⓓ
= ln 2 − 3x + C  . 3x − 2 3 3x − 2 3
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 3 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 23: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP NĂM 2020-2021) Nguyên hàm
của hàm số f ( x) 3 = 2x −9 là. 1 Ⓐ 1 4
x − 9x + C . Ⓑ 3
4x − 9x + C . Ⓒ 4
4x − 9x + C . Ⓓ 4 x + C . 2 4
Câu 24: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau 4 x + C Ⓐ 3 x dx =  . Ⓑ 2exd = 2  (ex x + C). 4 1 Ⓒ sin d
x x = C − cos x  . Ⓓ
dx = ln x + C  . x
Câu 25: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2x + sin 2x là Ⓐ 2 1 x −
cos 2x + C . Ⓑ 2
x + 2 cos 2x + C . 2 Ⓒ 2 1 x +
cos 2x + C . Ⓓ 2
x − 2 cos 2x + C . 2
Câu 26: (THPT CHUYÊN PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 02) Họ tất cả các nguyên hàm
của hàm số f (x) = 2x + 3 là
Ⓐ 2x2 + 3x + C . Ⓑ x2 2 + C . Ⓒ x2 + C .
Ⓓ x2 + 3x + C .
Câu 27: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021) Cho hàm số f ( x) 1
= 2x + +1. F (x) là một nguyên hàm của f ( x) thỏa mãn F ( ) 1 = 0 . Trong các x
khẳng định sau khẳng định nào đúng? Ⓐ F (x) 2
= x + x + ln x − 2 . Ⓑ F (x) 2
= x + x + ln x + 2 . Ⓒ F (x) 2
= x + x − ln x − 2 . Ⓓ F (x) 2
= x − x + ln x + 2 .
Câu 28: (SGD&ĐT LAI CHÂU NĂM 2020-2021) Một nguyên hàm của hàm số 2
f (x) = 3x +1 là: Ⓐ 6x . Ⓑ 3 x +1. Ⓒ 3 x + x . Ⓓ 3 3x + x .
Câu 29: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 03) Cho hàm số f ( x) 3
= 4x + 3. Mệnh đề nào sau đây đúng ? Ⓐ 1 f  (x) 4
dx = x + 3x + . C Ⓑ f  (x) 4 dx =
x + 3x + C. 4 Ⓒ f  (x) 4
dx = 4x + 3x + . C Ⓓ f  (x) 3
dx = 12x + 3x + . C
Câu 30: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Họ tất cả các x − 2
nguyên hàm của hàm số f (x) = trên khoảng (0; ) + là x 2 2 Ⓐ x + + C .
Ⓑ x − 2ln x + C .
Ⓒ x + 2ln x + C . Ⓓ x − + C . 2 x 2 x
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 4 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 31: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NINH NĂM 2020-2021) Họ nguyên hàm của hàm số 2
f (x) = 3x − sin x là
Ⓐ 6x − cos x + C . Ⓑ 3
x − cos x + C . Ⓒ 3
x + cos x + C . Ⓓ 3
x − sin x + C
Câu 32: (CHUYÊN LONG AN NĂM 2020-2021 LẦN 03) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 2
= 3x + sin x (C là hằng số) Ⓐ 3 x − cos x + . C
Ⓑ 6x + cos x + C. Ⓒ 3 x + cos x + . C
Ⓓ 6x − cos x + C.
Câu 33: (CHUYÊN LONG AN NĂM 2020-2021 LẦN 03) Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) 3x
f x = e ( C là hằng số) 3x e Ⓐ  ( ) 3 d = 3 x f x x e + C . Ⓑ f  (x) x d = + C . 3 3x 1 + e Ⓒ  ( ) 3x f x x d = e + C . Ⓓ f  (x) x d = + C . 3x + 1 Câu 34:
(CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN VŨNG TÀU NĂM 2020-2021) Một nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 = 3x +1 là Ⓐ 6x . Ⓑ 3 x +1. Ⓒ 3 x + x . Ⓓ 3 3x + x .
Câu 35: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau 4 x + C Ⓐ 3 x dx =  . Ⓑ 2 x = 2( x e dx e + C)  . 4 Ⓒ 1
sin xdx = C − cos x  . Ⓓ
dx = ln x + C  . x
Câu 36: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Họ nguyên hàm của hàm số
f ( x) = 2x + sin 2x là: 1 1 Ⓐ 2
x − cos 2x + C . Ⓑ 2
x + 2cos 2x + C . Ⓒ 2 x +
cos 2x + C . Ⓓ 2
x − 2cos 2x + C 2 2
Câu 37: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 02) Họ tất cả nguyên
hàm của hàm số f ( x) = cos 2x 1 1
Ⓐ 2sin 2x + C .
Ⓑ − sin 2x + C . Ⓒ
sin 2x + C . Ⓓ 2
− sin 2x + C . 2 2
Câu 38: (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho f  (x) 2
dx = 3x + 2x − 3 + C . Hỏi
f ( x) là hàm số nào?
Ⓐ f ( x) = 6x + 2 . Ⓑ f ( x) 3 2
= x + x −3x + C .
Ⓒ f ( x) = 6x + 2 + C . Ⓓ f ( x) 3 2
= x + x − 3x .
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 5 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 39: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm
số f ( x) =1+ sin x là
Ⓐ 1+ cos x + C .
Ⓑ 1− cos x + C .
Ⓒ x + cos x + C .
Ⓓ x − cos x + C .
Câu 40: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) 2x f x = e là 2 x x Ⓐ x e e e + C . Ⓑ 2x e + C . Ⓒ + C . Ⓓ + C . 2 2
Câu 41: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 01) Họ các nguyên hàm của hàm
số f (x) = sin3x là 1 1
Ⓐ − cos3x + C .
Ⓑ −cos3x + C .
Ⓒ cos3x + C .
Ⓓ cos3x + C . 3 3
Câu 42: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hàm số + f ( x) 2x 1 =
, x  1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? x −1 Ⓐ f
 (x)dx =3ln x−1 +C, x  1. Ⓑ f
 (x)dx =3ln(x− )1+C, x  1. Ⓒ f
 (x)dx = 2x+3ln x−1 +C, x  1. Ⓓ f
 (x)dx =3ln(x− )1+C, x  1.  ( ) 2
f x dx = x + C f (2x)dxCâu 43: Biết . Tính 1 1 Ⓐ f  (2x) 2 dx = x + C . Ⓑ f  (2x) 2 dx = x + C . 2 4 Ⓒ f  ( x) 2 2
dx = 2x + C . Ⓓ f  ( x) 2 2
dx = 4x + C .
Câu 44: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2020-2021) Tìm nguyên hàm ( 3 4x + 2x +  )1dx. 4 Ⓐ x 4 2
4x + 2x + x + C . Ⓑ 4 2
x + 2x + x + C . Ⓒ 4 2
x + x + x + C . Ⓓ 2
+ x + x + C . 4
Câu 45: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2020-2021) Biết rằng F ( x) là
một nguyên hàm của f ( x) = cos 2x trên
và F (0) = 0. Tính giá trị của biểu thức       T = F + 2F .      2   4  Ⓐ 1 T = 2. Ⓑ T = 3. Ⓒ T = . Ⓓ T = 1. 2
Câu 46: (THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020-2021 LẦN 01) Tính nguyên hàm 2 tan 2 d x x  . 1 1
Ⓐ tan 2x − x + C . Ⓑ
tan 2x − x + C . Ⓒ
tan 2x + x + C . Ⓓ tan 2x + x + C . 2 2
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 6 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 47: (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021 LẦN 01) Cho 1
hàm số f ( x) xác định trên
\   thỏa mãn f ( x) 3 ' = ,
f (0) =1. Giá trị của 3 3x −1 f (− ) 1 bằng: Ⓐ 3ln 2 + 3. Ⓑ 2ln 2 +1. Ⓒ 3ln 2 + 4 . Ⓓ 12ln 2 + 3 .
Câu 48: (THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021 LẦN 01) Với mọi hàm số f ( x)
; g ( x) liên tục trên
, cho các khẳng định sau: (I ) .  f
 (x)−g(x)dx = f
 (x)dx− g  (x)dx . (II ) .  f
 (x).g(x)dx = 
( f (x)dx).( g(x)dx). (III ) . Nếu f
 (x)dx = F(x)+C thì f
 (u)du = F(u)+C . (IV ). kf
 (x)dx = k f
 (x)dx với mọi hằng số k .
Có bao nhiêu khẳng định sai? Ⓐ 4 . Ⓑ 1. Ⓒ 2 . Ⓓ 3 .
Câu 49: (THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021 LẦN 01) Biết rằng ( a a 3 3 cos . x sin 3x + sin .
x cos 3x)dx = cos 4x + C với , a b  , là phân số tối giản b b
(a  0,b  0), tính 2a +b . Ⓐ −13 . Ⓑ 13 . Ⓒ −10 . Ⓓ 10 .
Câu 50: (THPT CHUYÊN PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) x
f x = e + 2x thỏa mãn F ( ) 3 0 = . Tìm F ( x) . 2 x 1 x 5 Ⓐ F ( x) 2 = e + x + . Ⓑ F ( x) 2 = 2e + x − . 2 2 x 1 x 3 Ⓒ F ( x) 2 = e + x + . Ⓓ F ( x) 2 = e + x + . 2 2
Câu 51: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021) Cho hàm số f ( x) 2
=1− 2cos x . Tìm nguyên hàm của f ( x) ? Ⓐ sin 2x sin 2x − + C . Ⓑ + C .
Ⓒ sin 2x + C .
Ⓓ −sin 2x + C . 2 2
Câu 52: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NINH NĂM 2020-2021) Cho F ( x) là một
nguyên hàm của hàm số f ( x) 1 =
F 0 = 1 . Giá trị F ( 2 − ) bằng 2x − , biết ( ) 1 1 1 1 Ⓐ 1+ ln 5 . Ⓑ (1+ ln5). Ⓒ 1+ ln 3 . Ⓓ 1+ ln 5 . 2 2 2
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 7 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 53: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 02) Họ tất cả các
nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 = 1; + là 4x − trên khoảng ( ) 3 1 1 Ⓐ 2ln (4x −3) + . C Ⓑ
ln (4x − 3) + C. Ⓒ
ln (4x − 3) + C.
Ⓓ 4ln (4x −3) + . C 2 4
Câu 54: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 01) Họ các nguyên hàm của hàm số ( ) 2 1 3 x f x − = là x x x x Ⓐ 9 9 9 9 + C . Ⓑ + C . Ⓒ + C . Ⓓ + C . 3 3ln 3 6ln 3 6 1
Câu 55: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho F ( x) = là một 2 2x f ( x) nguyên hàm của hàm số
. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)ln x là x  ln x 1  Ⓐ f   (x) ln x 1 ln d x x = + + C . Ⓑ f   (x)ln d x x = − + + C   . 2 2 x x 2 2  x x   ln x 1  Ⓒ ln x 1 f   (x)ln d x x = − + + C   . Ⓓ f   (x)ln d x x = + + C . 2 2  x 2x  2 2 x 2x
Câu 56: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn
( f (x))2 + f (x) f  (x) 4 2 .
=15x +12x +1, x   và
f (0) = 0. Tính giá trị của 2
A = 3 f (3) − 678 . Ⓐ 2018 . Ⓑ 2021. Ⓒ 2022 . Ⓓ 2019 .
Câu 57: (THPT CHUYÊN NAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 01) Cho hàm số
f ( x) xác định trên
, thỏa mãn f '( x) = 2x −1 và f (3) = 5 . Giả sử phương trình
f ( x) = 999 có hai nghiệm x và x . Tính tổng S = log x + log x . 1 2 1 2 Ⓐ 5 . Ⓑ 999 . Ⓒ 3 . Ⓓ 1001.
Câu 58: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số f x
có đạo hàm liên tục trên
và thoả mãn f x sin x 1
f x cos x với mọi số thực x . Tính f . 6 3 1 Ⓐ 1. Ⓑ 1. Ⓒ . Ⓓ . 2 2
Câu 59: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn 1 1
(x+ )1 f (x)dx =10 và 2 f ( )1− f (0) = 2. Tính I = f  (x)dx . 0 0 Ⓐ I =1. Ⓑ I = 8 . Ⓒ I = 8 − . Ⓓ I = 12 − .
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 8 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 60: (THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020-2021 LẦN 01) Tính nguyên hàm 2 3 2
x (2x −1) dx  ( x − )3 3 2 1 ( x − )3 3 2 1 ( x − )3 3 2 1 ( x − )3 3 2 1 Ⓐ + C. Ⓑ + C. Ⓒ + C. Ⓓ + C. 18 3 6 9
Câu 61: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP NĂM 2020-2021) Khi tính x − 3 nguyên hàm dx
, bằng cách đặt u = x +1 ta được nguyên hàm nào? x +1 Ⓐ 2
2u(u − 4)du  . Ⓑ 2 2(u −1)du  . Ⓒ 2 2(u − 4)du  . Ⓓ 2 (u − 4)du  . dx
Câu 62: (THPT CHUYÊN PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 02) Tính nguyên hàm  x x+4
bằng cách đặt t = x + 4 ta thu được nguyên hàm nào? 2tdt 2d Ⓐ 2dt dt  . Ⓑ  . Ⓒ t . Ⓓ  . 2 t − 4 ( 2t −4) ( 2t −4)t 2 t − 4
Câu 63: (SGD&ĐT LAI CHÂU NĂM 2020-2021) Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm f (x) trên . Hỏi 2
F (x ) là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây: Ⓐ 2 . x f ( ) x . Ⓑ 2 .
x f (x ) . Ⓒ 2 f (x ) . Ⓓ 2 2 . x f (x ) .
Câu 64: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN VŨNG TÀU NĂM 2020-2021) Cho F ( x) là một nguyên
hàm của hàm số f ( x) trên . Hỏi ( 2
F x ) là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? Ⓐ 2 . x f ( x). Ⓑ ( 2 . x f x ). Ⓒ ( 2 f x ) . Ⓓ ( 2 2 . x f x ) .
Câu 65: (THPT CHUYÊN NAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 01) Cho hàm số
y = f (x) có đạo hàm và liên tục trên 1;2 , thỏa mãn 2
f (x) = xf (
x) − x . Biết
f (1) = 3. Tính f (2) . Ⓐ 16 . Ⓑ 2 . Ⓒ 8 . Ⓓ 4 .
Câu 66: (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021 LẦN 01) Cho f  ( x) 2x 2 4
dx = e − x + . C Khi đó f
 (−x)dx bằng 2 x x x 2 − x −  x  Ⓐ e 1 1 2 + 4x + C . Ⓑ 2 2 4e − x + C . Ⓒ 2 2 4
− e + x + C . Ⓓ 2 −e + + C   4 4 4  4  Câu 67: (THPT CHUYÊN PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 02) Biết ( + ) 1 ln ln 2 ( ) = ln + +  mx x n px dx x C với , m , n ,
p C là các số thựⒸ Khi đó, m + n + p 2 x x bằng Ⓐ e +1. Ⓑ e + 2 . Ⓒ 2e −1. Ⓓ 2e − 2 .
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 9 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 68: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021) Cho F(x) là một nguyên hàm của (x+ x +1)2021 2
hàm số f (x) =
và F (0) =1.Giá trị của F ( ) 1 bằng 2 x +1 ( + )2020 1 2 − 2021 ( + )2021 1 2 + 2020 Ⓐ . Ⓑ . 2020 2021 ( + )2020 1 2 + 2021 ( + )2021 1 2 − 2020 Ⓒ . Ⓓ . 2020 2021
Câu 69: (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm trên (− 2; 2) \ 
0 , thỏa mãn f (1) = 0 và x  1 
f '(x) + x ( f (x) e + 2) +
= 0 . Giá trị của f   bằng f ( x) e  2  Ⓐ ln 3 . Ⓑ ln 6 . Ⓒ ln 7 . Ⓓ ln 5 .
Câu 70: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hai hàm số
u ( x),v( x) có đạo hàm lien tục trên . Chọn mệnh đề đúng? Ⓐ u
 (x).v'(x)dx =u(x).v(x)+ u'
 (x).v'(x)dx . Ⓑ u
 (x).v'(x)dx =u(x).v(x)− u'
 (x).v'(x)dx . Ⓒ u
 (x).v'(x)dx =u(x).v(x)+ u'
 (x).v(x)dx . Ⓓ u
 (x).v'(x)dx =u(x).v(x)− u'
 (x).v(x)dx .
Câu 71: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Tính nguyên hàm 1 A
dx bằng cách đặt t
ln x . Mệnh đề nào dưới đây đúng? x ln x Ⓐ 1 1 A dt . Ⓑ A dt . Ⓒ A dt . Ⓓ A tdt . 2 t t
Câu 72: (THPT CHUYÊN NAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 01) Một nguyên
hàm của ln x bằng 1
Ⓐ x − x ln x . Ⓑ .
Ⓒ x + x ln x .
Ⓓ 1− x + x ln x . x
Câu 73: (THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020-2021 LẦN 01) Tìm nguyên hàm (2x −  )1ln d x x x x Ⓐ (x − x) 2 2 ln x − − x + C . Ⓑ (x − x ) 2 2 ln x + − x + C . 2 2 x x Ⓒ (x − x) 2 2 ln x + + x + C . Ⓓ (x − x) 2 2 ln x − + x + C . 2 2
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 10 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 74: (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021 LẦN 01) Cho ( ) = ( 2 + − ) 2ex F x ax bx c
là một nguyên hàm của hàm số ( ) = ( 2 + − ) 2 2020 2022 1 e x f x x x
trên khoảng (−;+ ) . Tính T = a − 2b + 4c . Ⓐ T = 1012 . Ⓑ T = 2012 − . Ⓒ T = 1004 . Ⓓ T = 1018 .
Câu 75: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 03) Cho ( ) 2 F x = x là
một nguyên hàm của hàm số ( ) 2x
f x e . Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) 2x f x e là Ⓐ 2
−x + 2x +C . Ⓑ 2
−x + x +C . Ⓒ 2 2
− x + 2x + C . Ⓓ 2
2x − 2x + C .
Câu 76: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 01) Giả sử hàm số f ( x) có đạo
hàm liên tục trên. Biết rằng ( ) 3
G x = x là một nguyên hàm của ( ) 2 − x g x = e f ( x) trên
. Họ tất cả các nguyên hàm của 2 − x e f ( x) là Ⓐ 3 2 2
− x +3x +C . Ⓑ 3 2
2x + 3x + C . Ⓒ 3 2
x + 3x + C . Ⓓ 3 2
−x +3x +C .
Câu 77: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN VŨNG TÀU NĂM 2020-2021) Cho hai hàm số f ( x), g ( x) có đạo hàm trên
và thỏa mãn f ( x) + g ( x) = , x
g( x) + f ( x) = −x x
  . Biết f (0) = g (0) =1, tính f ( ) 1 . 2 2 − 2 + Ⓐ 1 e 2 e 2 − 2 . Ⓑ e + − 2 . Ⓒ . Ⓓ . e e 2e 2e
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 11 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 TÍCH PHÂN
ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT – TÍCH PHÂN CƠ BẢN 1
Câu 78: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho f  (x)dx = 2, 0 2 2 f
 (x)dx =1. Tích phân f (x)dx  bằng 0 1 Ⓐ 1. Ⓑ 2 . Ⓒ 1 − . Ⓓ 3 . Câu 79: (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021) Cho 1 1 1  f
 (x)−2g(x) dx =12  và g
 (x)dx = 5. Khi đó f (x)dx  bằng 0 0 0 Ⓐ 2 − . Ⓑ 12 . Ⓒ 22 . Ⓓ 2 .  2
Câu 80: (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021) Giá trị của sin d x x 0 bằng  Ⓐ 0 . Ⓑ 1. Ⓒ 1 − . Ⓓ . 2 1
Câu 81: (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2020-2021) Tích phân 2020 x dx  bằng 1 − 1 2 Ⓐ 2 . Ⓑ . Ⓒ . Ⓓ 0 . 2021 2021 2020 1 3 Câu 82:
(CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2020-2021 LẦN 04) Nếu f
 (x)dx = 3 và f  (x)dx = 7 0 0 3
thì f ( x) dx  bằng 1 Ⓐ 10 . Ⓑ 4 . Ⓒ 4 − . Ⓓ 21.
Câu 83: (CHUYÊN NGUYỄN BÌNH KHIÊM QUẢNG NAM NĂM 2020-2021) Cho hàm số 2
y = f (x) có đạo hàm trên đoạn [0; 2], f (0) =1 và f '(x)dx = 3 − .  Tính f (2) 0 Ⓐ f (2) = 4 − . Ⓑ f (2) = 3 − . Ⓒ f (2) = 2 − . Ⓓ f (2) = 4 .
Câu 84: (CHUYÊN NGUYỄN BÌNH KHIÊM QUẢNG NAM NĂM 2020-2021) Cho 1
f ( x), g ( x) là các hàm số liên tục trên R thoả mãn f  (x)dx = 3; 0 2 2 2  f
 (x)−3g(x)dx = 4  và 2 f
 (x)+ g(x)dx =8 
. Tính f ( x)dx  . 0 0 1 Ⓐ I = 0 . Ⓑ I = 2 . Ⓒ I =1. Ⓓ I = 3 .
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 12 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 2
Câu 85: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021 LẦN 02) Nếu f  (x)dx = 5 1 2 2 và g
 (x)dx = 9 thì 2 f
 (x)+ g(x)dx  bằng 1 1 Ⓐ 19 . Ⓑ 28 . Ⓒ 14 . Ⓓ 4 .
Câu 86: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021 LẦN 02) Nếu 3  3 f
  (x)−2xdx =5  thì f ( x)dx  bằng 1 1 Ⓐ 9 . Ⓑ 13 . Ⓒ 10 . Ⓓ 12.
Câu 87: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021 LẦN 02) Tích phân π 2 cos d x x bằng 0 Ⓐ 1. Ⓑ 0 . Ⓒ 2 . Ⓓ 2 . 1
Câu 88: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Tích phân 2 x e dx  bằng 0 2 e −1 Ⓐ e −1 2 e −1. Ⓑ . Ⓒ ( 2 2 e − ) 1 . Ⓓ . 2 2 Câu 89:
(CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho hàm số f ( x) liên tục trên
 ;ab và F (x) là một nguyên hàm của f (x). Tìm khẳng định sai. b a Ⓐ f
 (x)dx = F(b)−F(a) . Ⓑ f  (x)dx = 0. a a b Ⓒ b f  (x) a dx = − f  (x)dx. Ⓓ f
 (x)dx = F(a)−F(b) . a b a 2
Câu 90: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 04) Nếu f  (x)dx = 3 1 2 2
và g ( x) dx = 1 −  thì 2 f
 (x)+3g(x)dx  bằng 1 1 Ⓐ 2 . Ⓑ 9 . Ⓒ 3 . Ⓓ 0 .
Câu 91: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 04) Tích phân  2 sin xdx  bằng 0   Ⓐ − . Ⓑ 1. Ⓒ 1 − . Ⓓ . 2 2
Câu 92: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2020-2021) Cho hàm số 1 1 1
f ( x), g ( x) liên tục trên 0 
;1 và  f (x)dx = 1
− ,  g (x)dx = 2 . Tính 2
 f (x)+3g(x)d  x 0 0 0 Ⓐ 4 . Ⓑ 1. Ⓒ 2 − . Ⓓ 5 .
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 13 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 93: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP NĂM 2020-2021) Cho hàm số 6 4
f (x) liên tục trên đoạn 0;6 thoả mãn f (x)dx = 10 
và f (x)dx = 6.  Tính giá trị 0 2 2 6 của biểu thức P = f (x)dx + f (x)d . x   0 4 Ⓐ 4. Ⓑ 8. Ⓒ 16. Ⓓ 10. 1 Câu 94: Tính 3 = e x I dx  . 0 3 e −1 1 Ⓐ 3 I = e −1. Ⓑ I = e −1. Ⓒ I = . Ⓓ 3 I = e + . 3 2 2 5 5 Câu 95: Nếu f
 (x)dx = 3 và f (x)dx = 1 − 
thì f ( x) dx  bằng 1 2 1 Ⓐ 2 − . Ⓑ 4 . Ⓒ 2 . Ⓓ 3 .  2 2
Câu 96: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021) Tích phân dx  2  sin x 4 bằng  Ⓐ 2 . Ⓑ 3 . Ⓒ 1. Ⓓ . 4 5
Câu 97: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021) Nếu f (x)dx = 10  và 2 9 9
f (x)dx = 7 
thì f (x)dx  bằng 2 5 Ⓐ −3 . Ⓑ 3 . Ⓒ 17 . Ⓓ −17 . 4
Câu 98: (SGD&ĐT LAI CHÂU NĂM 2020-2021) Tính tích phân I = xdx  . 1 Ⓐ 14 13 11 . Ⓑ . Ⓒ 4 . Ⓓ . 3 3 3
Câu 99: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 03) Tích phân 2
( 2x + x)dx bằng 0 14 14 Ⓐ − . Ⓑ −5 . Ⓒ 5 . Ⓓ . 3 3 0
Câu 100: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NINH NĂM 2020-2021) Tích phân ( 5 6x +  )1dx 2 − bằng Ⓐ 62. − Ⓑ 64. Ⓒ 68. Ⓓ 68. −
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 14 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021  2
Câu 101: (CHUYÊN LONG AN NĂM 2020-2021 LẦN 03) Giá trị của sin  xdx bằng bao 0 nhiêu?  Ⓐ 1. Ⓑ 1 − . Ⓒ . Ⓓ 0 . 2
Câu 102: (CHUYÊN LONG AN NĂM 2020-2021 LẦN 03) Cho hàm số f ( x) liên tục trên 6 10 10
thỏa mãn f ( x)dx = 7,
f ( x)dx = 1 −   . Tính I = f  (x)dx . 0 6 0 Ⓐ I = 5 . Ⓑ I = 8 . Ⓒ I = 7 . Ⓓ I = 6 . 4
Câu 103: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN VŨNG TÀU NĂM 2020-2021) Tính tích phân I = xdx  . 1 14 13 11 Ⓐ . Ⓑ . Ⓒ 4 . Ⓓ . 3 3 3
Câu 104: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Trong không gian Oxyz , cho điểm A(2; 2 − ; ) 1 , B (1; 1
− ;3) .Tọa độ của vectơ AB là Ⓐ (3; 3 − ;4) . Ⓑ ( 1 − ;1;2) . Ⓒ ( 3 − ;3; 4 − ) . Ⓓ (1; 1 − ; 2 − ). 1
Câu 105: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Tính 3x I = e dx 0 3 − 1 Ⓐ e 1 3
I = e −1. Ⓑ I = e −1. Ⓒ I = . Ⓓ 3 I = e + . 3 2 2 5
Câu 106: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Nếu f x dx 3 ; f x dx 1 thì 1 2 5 f x dx bằng 1 Ⓐ 2 − . Ⓑ 4 . Ⓒ 2 . Ⓓ 3 .
Câu 107: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số f ( x) 3
có f (2) = 2, f (3) = 5 ; hàm số f ( x) liên tục trên đoạn 2;  3 . Khi đó f
 (x)dx bằng 2 Ⓐ 3 . Ⓑ 10 . Ⓒ −3 . Ⓓ 7 . 3 3
Câu 108: (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Biết f
 (x)dx =5 và g(x)dx = 7 −  . 1 1 3 Giá trị của 3 f
 (x)−2g(x)dx  bằng 1 Ⓐ −29 . Ⓑ 1. Ⓒ 29 . Ⓓ 31 − .
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 15 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 109: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021) Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn 1 2 2 0;2 thỏa mãn f
 (x) dx = 3 và f
 (x) dx = 2. Khi đó f (x)dx  bằng 0 1 0 Ⓐ 6 . Ⓑ 1. Ⓒ 1 − . Ⓓ 5 . 1 1
Câu 110: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 01) Biết
f ( x)dx =  và 3 0 1 1 g ( x) 4 dx = 
. Khi đó (g (x) − f (x))dx bằng 3 0 0 5 5 Ⓐ − . Ⓑ . Ⓒ 1 − . Ⓓ 1. 3 3 Câu 111: (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021) Nếu 4 4 5 f
  (x)−3dx =5  thì f x dx bằng 1 − 1 14 Ⓐ 4 . `Ⓑ 3 . Ⓒ 2 . Ⓓ . 5 2021 2021
Câu 112: (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2020-2021) Nếu f
 (x)dx =12 và f  (x)dx = 2 2 2020 2020 thì f ( x)dx  bằng 2 Ⓐ −10 . Ⓑ 10 . Ⓒ 14 . Ⓓ 24. 1
Câu 113: (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho 5 f  (x) 2021 + x + xx d = 20   . 1 − 1 Tính f  (x) x d . 1 − Ⓐ 5 . Ⓑ 4 . Ⓒ 1. Ⓓ 0 .
Câu 114: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Tìm giá trị của a để 4 1 dx = ln a  . x −1 x − 2 3 ( )( ) Ⓐ 3 1 4 . Ⓑ . Ⓒ 12 . Ⓓ . 4 3 3 Câu 115: (THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020-2021 LẦN 01) Biết rằng 2 3
x −1 dx = a +bln3+cln 2  với , a ,
b c là các số hữu tỉ. Tính 2a + 3b − 4c . 2 x + x 1 Ⓐ −19 . Ⓑ 19 . Ⓒ 5 . Ⓓ −5 .
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 16 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 Câu 116: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM NĂM 2020-2021) Biết 8 f  (x) 4 dx = 2 − ; f  (x) 4 dx = 3; g
 (x)dx = 7. Mệnh đề nào sau đây là sai? 1 1 1 8 4 4 Ⓐ f
 (x)dx+ g  (x)dx =8. Ⓑ  f
 (x)+ g(x)dx =10  . 4 1 1 8 4 Ⓒ
f ( x) dx = 5 −  . Ⓓ 4 f
 (x)−2g(x)dx = 2 −  . 4 1 2 2
Câu 117: Nếu (2x −3 f (x))dx = 3 thì f (x)dx  bằng 0 0 1 5 5 1 Ⓐ . Ⓑ . Ⓒ . Ⓓ . 3 2 2 3 4
Câu 118: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021) Cho f  (x)dx =10. 1 −
Biết F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) và F (− ) 1 = 4
− . Tính F (4). Ⓐ F (4) = 6 . Ⓑ F (4) =14 . Ⓒ F (4) = 1 − 4 . Ⓓ F (4) = 6 − .
Câu 119: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 03) Nếu 1 1 3 f
  (x)+ xx d = 2  f  (x) x d = 2 0 thì 0 bằng Ⓐ 1 1 2 − . Ⓑ . Ⓒ 2 . Ⓓ . 2 2 3 1
Câu 120: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 03) Nếu f  (x) x d = 2 1 − 2 2 và f  (x) x
d = 8 thì f ( x) x  d bằng 1 − 1 Ⓐ 4 . Ⓑ 10 . Ⓒ 6 . Ⓓ 16 . 2
Câu 121: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NINH NĂM 2020-2021) Cho 2 và g(x) = 1 −  . 1 − 2
Tính I = [x + 2 f (x) + 3g(x)]  bằng? 1 − 11 7 17 5 Ⓐ I = .
Ⓑ I = . Ⓒ I = . Ⓓ I = . 2 2 2 2 3
Câu 122: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NINH NĂM 2020-2021) Nếu
f (x)dx = 3  và 1 3 2
f (x)dx = 4 
thì f (x)dx  bằng: 2 1 Ⓐ −7 . Ⓑ 7 Ⓒ 1 − . Ⓓ 1.
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 17 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 2 2
Câu 123: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Nếu (2x −3 f (x))dx = 3 thì f (x)dx  0 0 bằng Ⓐ 1 5 5 1 − . Ⓑ − . Ⓒ . Ⓓ 3 2 2 3
Câu 124: (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Biết F ( x) = cos x là một nguyên 
hàm của hàm số f ( x) trên . Giá trị của 3 f
 (x)+ 2dx  bằng 0 Ⓐ 2 − 6 . Ⓑ 4 − . Ⓒ 2 . Ⓓ 2 .
Câu 125: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên 3 tục trên đoạn 1;  3 , và f '
 (x)dx = 6. Tính f ( )1 1 Ⓐ 10 . Ⓑ 11. Ⓒ 1. Ⓓ 1 − .
Câu 126: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021) Cho hai hàm số f ( x), g ( x) liên tục 2 2
trên đoạn 1;2 và thỏa mãn 3 f
 (x)+2g(x)dx =1  , 2 f
 (x)− g(x)dx = 3 −  . Khi đó, 1 1 2 f ( x) dx  bằng 1 6 16 11 5 Ⓐ . Ⓑ . Ⓒ . Ⓓ − . 7 7 7 7
Câu 127: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số 2021 f ( ) x = x
+ sinx + 2021. Biết rằng có duy nhất giá trị của a m m = − để ' ( .
x f (m− x) − f (x))dx = 1 
. Tìm a + b . b 0
Ⓐ a + b = 2021.
Ⓑ a + b = 2023.
Ⓒ a + b = 2020 .
Ⓓ a + b = 2022 .
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Câu 128: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho hàm số f x liên tục trên 6 3 và f x dx 10 , thì
f 2x dx bằng 0 0 Ⓐ 30 . Ⓑ 20 . Ⓒ 10 . Ⓓ 5 . 2 e ln x
Câu 129: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2020-2021) Tích phân dxx e bằng Ⓐ 3 3. Ⓑ . Ⓒ 1. Ⓓ 2. 2
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 18 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 1 dx
Câu 130: (SGD&ĐT LAI CHÂU NĂM 2020-2021) Tính tích phân I =  bằng cách đặt 1 x + e 0 x
t = e , ta được: e 1 e 1 Ⓐ dt dt dt tdt I =  . Ⓑ I =  . Ⓒ I =  . Ⓓ I =  . 1+ t 1+ t t 1+ t 1+ t 1 ( ) 1 0 0 1 dx
Câu 131: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN VŨNG TÀU NĂM 2020-2021) Tính tích phân I = 1 x + e 0 bằng cách đặt x
t = e , ta được e 1 e 1 Ⓐ dt dt dt tdt I =  . Ⓑ I =  . Ⓒ I =  . Ⓓ I =  . 1+ t 1+ t t t +1 1+ t 1 ( ) 1 0 0
Câu 132: (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021) Cho hàm số 4 2  −
x + 2x −1 khi x  2 e 1 x f (x) =  . Giá trị của I = . f ln   ( 2
x +1  dx thuộc khoảng 2 )
x + 5 khi x  2 x +1 0 nào dưới đây ? Ⓐ ( 2 − ;3) . Ⓑ (5;7) . Ⓒ (10;1 ) 1 . Ⓓ (8;9) . Câu 133: (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2020-2021) Cho hàm số  +  1 f ( x) 2x 1 khi x 3 = 
( a là tham số thực). Nếu f  ( xe + ) x 2
1 e dx = e thì a bằng
ax − 3a + 7 khi x  3 0 2 + − Ⓐ 3e 4e 6 . Ⓑ 6e − 6 Ⓒ 6e + 6 Ⓓ 6 − e + 6 e −1
Câu 134: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số  2 f ( x) 2
= x −1 . Tích phân f (3cos x −  )1.sin xdx bằng 0 8 7 Ⓐ 10 . Ⓑ . Ⓒ . Ⓓ 11 . 9 9 9 9
Câu 135: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Có bao nhiêu giá trị ln a 1 3
thực dương của tham số a để dx = ln  ?. x e + 2 x e− − 3 2 ln 3 Ⓐ 3 . Ⓑ 2 . Ⓒ 4 . Ⓓ 1.
Câu 136: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NINH NĂM 2020-2021) Cho hàm số  − −  ln 4 f ( x) 2 x 8x 5 khi x 8 = 
. Tích phân  (2 x + 3) x f e e dx bằng −x + 3 khi x  8 0 123 123 Ⓐ 39 39 . Ⓑ . Ⓒ − . Ⓓ − . 2 4 2 4
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 19 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 137: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN VŨNG TÀU NĂM 2020-2021) Cho hàm số y = f ( x) có     4
f (0) = 0 và f ( x) 4 2
= tan x + tan x , x   0; 
 . Tính I = f  (x)dx.  2  0 1 1 1− ln 2 1− ln 2 Ⓐ . Ⓑ . Ⓒ . Ⓓ . 12 6 6 3
Câu 138: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2020-2021) Biết rằng ln 4 dx
= a + bln 2 + c ln 3  với , a ,
b c  . Tính a + b + c . + 0 1 x e Ⓐ –2. Ⓑ 3. Ⓒ 2. Ⓓ –1.
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Câu 139: (CHUYÊN NGUYỄN BÌNH KHIÊM QUẢNG NAM NĂM 2020-2021) Cho 2 x + ln x a 1 a I = = −  ( với , a ,
b c là các số nguyên dương và là phân số tối x + ) dx ln 2 2 1 b c b 1 a + b
giản.Tính giá trị S = c 2 1 1 5 Ⓐ S = . Ⓑ S = . Ⓒ S = . Ⓓ S = . 3 2 3 6 e
Câu 140: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Tính tích phân I = x ln d x x  , 1 2 e + a
ta được kết quả I =
, với a , b là các số nguyên. Tính 3 3 a + b . b Ⓐ 35 . Ⓑ 65 . Ⓒ 28 . Ⓓ 9 .
Câu 141: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP NĂM 2020-2021) Cho hàm số 1
f ( x) có đạo hàm f '( x) và thỏa (2x + )
1 f '( x)dx = 10, 3 f ( )
1 − f (0) = 12 . Tính 0 1 I = f  (x)dx 0 Ⓐ I = 1 − . Ⓑ I =1. Ⓒ I = 2 . Ⓓ I = 2 − .
Câu 142: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM NĂM 2020-2021) Cho hàm số f (x) có đạo 1
hàm liên tục trên thỏa mãn f (3) = 3 21,
f (x)dx = 9  . Tính tích phân I = x f (  3x)dx  0 0 Ⓐ I = 15 . Ⓑ I = 6 . Ⓒ I = 12. Ⓓ I = 9 .
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 20 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 143: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM NĂM 2020-2021) Cho hàm số f (x) có đạo
hàm cấp 2 liên tục trên đoạn 0;  1 thỏa mãn f (1) = 0; f (  1) =1và 1 2
10 f (x) − 5xf (
x) + x f (x) = 0với mọi x0 
;1 . Khi đó tích phân f (x)dx  bằng 0 − − − − Ⓐ 1 2 1 1 . Ⓑ . Ⓒ . Ⓓ . 15 3 10 17
Câu 144: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ( x) trên đoạn 0;  1 thỏa mãn f ( ) 1 = 4 và 1 1 f
 (x)dx = 3. Tích phân 3x f   ( 2x) x d bằng 0 0 1 1 Ⓐ − . Ⓑ 1. Ⓒ . Ⓓ 1 − . 2 2
Câu 145: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên
và có đồ thị như hình bên. 1 Đặt K = xf
 (x)f '(x)dx, khi đó K thuộc khoảng nào sau đây? 0       Ⓐ ( 3 2 3 2 3 − ;− 2) . Ⓑ −2; −   . Ⓒ − ;0   . Ⓓ − ;−   .  2   3   2 3 
Câu 146: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ( x) 1 1 trên đoạn 0;  1 thỏa mãn f ( )
1 = 4 và  f (x)dx = 3. Tích phân 3 
x f ( 2x)dx bằng 0 0 Ⓐ 1 1 − . Ⓑ 1. Ⓒ . Ⓓ −1. 2 2
Câu 147: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 01) Giả sử f ( x) là hàm có đạo
hàm liên tục trên khoảng (0; ) và f '( x)sin x = x + f ( x)cos x, x  (0; ). Biết       1 f =1, f =    
(a+bln2+c 3), với ,a ,b c là các số nguyên. Giá trị a+b+c  2   6  12 bằng Ⓐ 1 − . Ⓑ 1. Ⓒ 11. Ⓓ 11 − .
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 21 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
TÍCH PHÂN HÀM ẨN – TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT
Câu 148: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2020-2021) Cho f ( x) là hàm số 1 1 liên tục trên
và  f (x)dx = 6. Tính tích phân I = 
 f (2x− )1+2xd  x . 1 − 0 Ⓐ I = 4 . Ⓑ I = 13 . Ⓒ I = 7 . Ⓓ I = 5 .
Câu 149: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên (0;+) . Biết 2
x là một nguyên hàm của 2
x f '( x) trên (0; +) và f ( ) 1 = 1. Tính f (e) . Ⓐ 2 . Ⓑ 3 . Ⓒ 2e +1 . Ⓓ e .
Câu 150: (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên
và thỏa mãn các điều kiện sau: f (0) = 2 − và ( 2 x + )
1 f ( x) + xf ( x) = −x , 3 x
  . Tính tích phân I = xf
 (x)dx . 0 Ⓐ 5 3 3 5 I = .
Ⓑ I = − .
Ⓒ I = .
Ⓓ I = − . 2 2 2 2
Câu 151: (CHUYÊN NGUYỄN BÌNH KHIÊM QUẢNG NAM NĂM 2020-2021) Cho hàm số
y = f ( x) liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn 1 a
f ( x) − f ( − x) = ( 2 5 7 1
3 x − 2x), x
  . Biết rằng tích phân I = .
x f '( x) dx = −  . Tính b 0 T =3a − . b Ⓐ T =0. Ⓑ T =− 48. Ⓒ T 16. = Ⓓ T =1.
Câu 152: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hàm số f (x)
có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn 3
f (x + 3x +1) = 3x + 2, x
  R . Tích phân 5 xf (  x)dx  bằng 1 −31 33 17 49 Ⓐ . Ⓑ . Ⓒ . Ⓓ . 4 4 4 4
Câu 153: (THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020-2021 LẦN 01) Cho hàm số f ( x) liên tục trên (   0; +) và thỏa mãn ( ) 1 2 f x + xf = x   với mọi x  0 .  x  2
Tính f ( x) dx  . 1 2 7 7 9 3 Ⓐ . Ⓑ . Ⓒ . Ⓓ . 12 4 4 4
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 22 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 154: (THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020-2021 LẦN 01) Cho hàm số f ( x) liên tục trên và thoả mãn ( ) ( ) 1 ( ) x xf x x f x e−  + + =
với mọi x . Tính f (0) . 1 Ⓐ 1. Ⓑ 1 − . Ⓒ e . Ⓓ . e
Câu 155: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021) Biết 8 4 3
f (x)dx = 10; f (x)dx = 4 −   . Tính f
 ( 3x−1)dx. 0 0 1 − Ⓐ 2 . Ⓑ 1. Ⓒ 0 . Ⓓ 4 .
Câu 156: (SGD&ĐT LAI CHÂU NĂM 2020-2021) Cho hàm số f (x) có f (0) = 0 và     4 f ( x) 4 2
= tan x + tan x , x   0; 
 . Tính I = f (x)dx  .  2  0 − − Ⓐ 1 1 1 ln 2 1 ln 2 . Ⓑ . Ⓒ . Ⓓ . 12 6 6 3
Câu 157: (SGD&ĐT LAI CHÂU NĂM 2020-2021) Cho hai hàm số f ( x), g ( x) có đạo hàm
trên R và thỏa mãn f ( x) + g ( x) = x , g( x) + f ( x) = − , x x
  . Biết f (0) = g (0) =1. Tính f ( ) 1 . 2 e − 2 2 e + 2 Ⓐ 2 1 − 2 .
Ⓑ e + − 2 . Ⓒ . Ⓓ . e e 2e 2e
Câu 158: (CHUYÊN LONG AN NĂM 2020-2021 LẦN 03) Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm
liên tục trên 1;4 , đồng biến trên 1;4 và thỏa mãn đẳng thức 4
x + xf ( x) =  f ( x) 2 / 2  , x    
1;4 . Biết rằng f ( ) 3 1 = . Tính I = f  (x)dx . 2 1 1222 1201 1174 1186 Ⓐ . Ⓑ . Ⓒ . Ⓓ . 45 45 45 45
Câu 159: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số f ( x) 1 2 liên tục trên
và có một nguyên hàm là hàm số g ( x) 2
= x − x +1. Khi đó f ( 2 x ) dx  2 1 bằng 2 4 4 2 Ⓐ . Ⓑ − . Ⓒ . Ⓓ − . 3 3 3 3
Câu 160: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên thỏa mãn f ( )
1 = 1và f ( x) − xf ( 2 x ) 3 2
= 5x − 2x −1với mọi x  Tính tích phân 2 I = xf '
 (x)d .x 1 Ⓐ I = 3. Ⓑ I = 1. − Ⓒ I = 2. Ⓓ I = 5.
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 23 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 161: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hàm số f ( x) liên tục trên và thỏa mãn ( ) = ( )− ( ) 2 0 1; = . x f f x xf x x e , x  . Tích phân 1 xf
 ( x+1)dx bằng 0 Ⓐ 2 e − e .
Ⓑ 4 e − 2e . Ⓒ 1. Ⓓ e .
Câu 162: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 03) Cho hàm số f ( x) 1 4
có đạo hàm liên tục trên . Biết f ( 2
x ) = f ( x) 4 2
+ x − 4x, x
  và f (x)dx =  , khi 3 0 1 đó 2 x f   (x)dx bằng 0 7 8 7 2 Ⓐ . Ⓑ . Ⓒ . Ⓓ . 6 15 10 3
Câu 163: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số f (x)
có đạo hàm liên tục trên
và thỏa mãn f (0) = 3 và 2
f (x) + f (2 − x) = x − 2x + 2 , 2 x   . Tích phân .
x f '(x)dx  bằng 0 − 5 − −11 7 − Ⓐ 10 . Ⓑ . Ⓒ . Ⓓ . 3 3 3 3
Câu 164: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021) Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm .
x f (t ) − t. f ( x)
liên tục trên khoảng (0;+) và thỏa mãn lim
=1 với mọi t  0 . Biết 2 2 x→t x − t rằng f ( )
1 = 1, tính f (e) . 3e +1 Ⓐ . Ⓑ 3e . Ⓒ 2e . Ⓓ −e . 2
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 24 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐỒ THỊ
Câu 165: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Diện tích hình phẳng giới hạn
bởi hai đường thẳng x = 0, x =  , đồ thị hàm số y = cos x và trục Ox là    
Ⓐ S = cos x d . x  Ⓑ S = cos d x . x  Ⓒ 2 S = cos d x . x
Ⓓ S =  cos x d . x  0 0 0 0
Câu 166: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM NĂM 2020-2021) Hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x = ,
a x = b trong hình dưới
đây (phần gạch sọc có diện tích S bằng c b c b Ⓐ f
 (x)dx + f  (x)dx . Ⓑ f
 (x)dx − f  (x)dx. a c a c c b c b Ⓒ − f
 (x)dx + f  (x)dx . Ⓓ − f
 (x)dx − f  (x)dx. a c a c
Câu 167: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN VŨNG TÀU NĂM 2020-2021) Tìm công thức tính diện
tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 4 y = x , 2 y = x . 1 1 1 1 Ⓐ ( 4 2
x − x )dx . Ⓑ ( 2 4
x − x )dx . Ⓒ  ( 2 4
x − x )dx . Ⓓ  ( 4 2
x − x )dx . 0 0 1 − 1 −
Câu 168: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 02) Gọi S là diện tích
miền hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ dưới đây, với y = f ( x) là hàm số liên tục trên
Công thức tính S là 2 2 Ⓐ S = − f
 (x)dx . Ⓑ S = f
 (x)dx . 1 − 1 − 1 2 2 Ⓒ S = f
 (x)dx− f
 (x)dx. Ⓓ f  (x)dx . 1 − 1 1 −
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 25 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 169: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho hàm số f x liên tục trên
và có đồ thị C là đường cong như hình bên, Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị C , trục hoành và hai đường thẳng x 0 , x 2 là 1 2 1 2 Ⓐ f x dx f x dx . Ⓑ f x dx f x dx . 0 1 0 1 2 2 Ⓒ f x dx . Ⓓ f x dx . 0 0
Câu 170: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho một viên gạch men có
dạng hình vuông OABC như hình vẽ. Sau khi tọa độ hóa, ta có O (0;0) , A(0 ) ;1 , B (1; ) 1
, C (1;0) và hai đường cong lần lượt là đồ thị hàm số 3 y = x và 3
y = x . Tính diện tích
phần tô đậm trên viên gạch men. Ⓐ 5 1 1 4 . Ⓑ . Ⓒ . Ⓓ . 4 3 2 5
Câu 171: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021)
Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. 2 4 Giá trị của f
 (x+2)dx+ f
 (x−2)dx bằng 0 0 Ⓐ 4 . Ⓑ 6 . Ⓒ 4 − . Ⓓ 2 .
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 26 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 172: (THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020-2021 LẦN 01) Diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đường thẳng y = x + 3 và parabol 2
y = 2x − x −1 bằng: 13 9 13 Ⓐ . Ⓑ . Ⓒ 9 . Ⓓ . 6 2 3
Câu 173: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021) Cho hàm số = ( ) 4 2 y
f x = ax + bx + c có đồ thị như hình vẽ.
Diện tích S của miền được tô xiên như hình được tính theo công thức nào? 1 − 1 2 1 − 1 2 Ⓐ S = − f
 (x)dx+ f
 (x)dx− f
 (x)dx . Ⓑ S = f
 (x)dx+ f
 (x)dx+ f
 (x)dx . 2 − 1 − 1 2 − 1 − 1 1 − 1 2 1 − 1 2
Ⓒ S = − f
 (x)dx+ f
 (x)dx+ f
 (x)dx . Ⓓ S = f
 (x)dx− f
 (x)dx+ f  (x)dx . 2 − 1 − 1 2 − 1 − 1
Câu 174: (SGD&ĐT LAI CHÂU NĂM 2020-2021) Tìm công thức tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi các đường 4 2
y = x , y = x 1 1 1 1 Ⓐ ( 4 2
x − x )dx . Ⓑ ( 2 4
x − x )dx . Ⓒ  ( 2 4
x − x )dx . Ⓓ  ( 4 2
x − x )dx . 0 0 1 − 1 −
Câu 175: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 03) Diện tích hình
phẳng được tô đậm trong hình bên bằng 2 2 Ⓐ  ( 2 2
− x + 2x − 4) x d . Ⓑ  ( 2
2x − 2x − 4) x d . 1 − 1 − 2 2 Ⓒ  ( 2 2
− x − 2x + 4) x d . Ⓓ  ( 2 2
− x + 2x + 4) x d . 1 − 1 −
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 27 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 176: (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
hai đường y = ( x − )( 2
1 x − 5x + 6) và hai trục tọa độ bằng   Ⓐ 11 11 1 . Ⓑ . Ⓒ . Ⓓ . 2 4 4 2
Câu 177: (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hai hàm số f ( x) 3 2
= ax + bx + cx − 2, g (x) 2
= dx + ex + 2 , (a, , b , c d, e
) . Biết đồ thị hàm số
y = f ( x) và y = g ( x) cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là 2 − ; 1 − ;1
. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị. Ⓐ 37 13 9 37 . Ⓑ . Ⓒ . Ⓓ . 6 2 2 12
Câu 178: (CHUYÊN NGUYỄN BÌNH KHIÊM QUẢNG NAM NĂM 2020-2021) Cho hàm số
y = f ( x) 1 3
= x + ax có đồ thị như hình bên. Gọi S , S lần lượt là diện tích của hai 3 1 2
hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. S 7 Khi 1 =
thì a thuộc khoảng nào dưới đây? S 40 2         Ⓐ 3 5 1 1 1 1 3 ;   . Ⓑ ;   . Ⓒ 0;   . Ⓓ ;   .  4 4   3 2   3   2 4 
Câu 179: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho parabol ( P) có phương trình 2
y = x và đường thẳng d đi qua điểm A(1;3) . Giả sử khi đường thẳng d có hệ
số góc k thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol ( P) và đường thẳng d nhỏ
nhất. Giá trị thực của k thuộc khoảng nào sau đây? Ⓐ (0 ) ;1 . Ⓑ ( ;3 − ) . Ⓒ ( 3 − ;0) . Ⓓ (3;+) .
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 28 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 180: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2020-2021) Trong mặt phẳng
Oxy cho (H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2
y = 4 − x và trục hoành. Đường
thẳng x = k ( 2
−  k  2) chia (H) thành hai phần (H ) , (H ) như hình vẽ 1 2 20
Biết rằng diện tích hình (H ) gấp
lần diện tích của hình (H ) , hỏi giá trị k thuộc 1 7 2 khoảng nào sau đây? Ⓐ ( 2 − ; 1 − ). Ⓑ (0;1) . Ⓒ ( 1 − ;0) . Ⓓ (1;2) .
Câu 181: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP NĂM 2020-2021) Cho hàm số 2
y = mx − x
(0  m  4) có đồ thị (C) . Gọi S + S là diện tích của hình phẳng giới 1 2
hạn bởi (C ) , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 4 . Giá trị m để S = S là 1 2 10 8 Ⓐ m = .
Ⓑ m = . Ⓒ m = 3. Ⓓ m = 2. 3 3
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 29 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 182: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hai hàm số f ( x) 4 3 2
= ax + bx + cx + dx −1 và g (x) = ex − 2 ( , a , b ,
c d, e là các số thực cho trước).
Biết rằng đồ thị của hai hàm số y = f ( x) và y = g ( x) tiếp xúc nhau tại hai điểm có
hoành độ lần lượt là 1 − ;2 .
Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng 81 81 81 81 Ⓐ . Ⓑ . Ⓒ . Ⓓ . 20 4 10 40
Câu 183: (CHUYÊN LONG AN NĂM 2020-2021 LẦN 03) Cho hàm số y = f ( ) x . Đồ thị hàm số y = f (  )
x như hình bên. Đặt 3
g(x) = x − 3 f (x). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ⓐ g(2)  g( 1 − )  g(0).
Ⓑ g(0)  g( 1 − )  g(2). Ⓒ g( 1
− )  g(0)  g(2).
Ⓓ g(2)  g(0)  g( 1 − ) .
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 30 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 184: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021) Cho hình phẳng ( H ) được giới hạn bởi các đường ex y =
; y = 0 ; x = 0 và x = ln 4 . Đường thẳng x = k (k  ;0  k  ln 4)
chia hình phẳng ( H ) thành hai phần có diện tích là S ; S (xem hình vẽ). 1 2
Tìm k để S = 2S . 2 1 8 2 Ⓐ k = ln 3. Ⓑ k = ln . Ⓒ k = ln 4 . Ⓓ k = ln 2 . 3 3
Câu 185: (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021) Cho hàm số bậc ba
y = f ( x) có đồ thị là đường cong bên dưới. Gọi x ; x lần lượt là hai điểm cực trị thỏa 1 2
mãn x = x + 2 và f ( x − 3 f x = 0 . Đường thẳng song song với trục Ox và đi qua 1 ) ( 2 ) 2 1
điểm cực tiểu cắt đồ thị hàm số tại điểm thứ hai có hoành độ x và x = x +1. Tính tỉ 0 1 0 S
số 1 ( S và S lần lượt là diện tích hai hình phẳng được gạch ở hình bên dưới). S 1 2 2 Ⓐ 9 5 3 3 . Ⓑ . Ⓒ . Ⓓ . 8 8 8 5
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 31 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 186: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho parabol (P ) 2
: y = −x + 6 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt ,
A B và đường thẳng d : y = a 1
(0  a  6) . Xét parabol (P đi qua ,
A B và có đỉnh thuộc đường thẳng y = a . Gọi S 2 ) 1
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( P và d ; S là diện tích hình phẳng giới hạn 1 ) 2
bởi ( P và trục hoành (tham khảo hình vẽ). 2 )
Biết S = S , tính 3 2
T = a −12a +108a . 1 2 Ⓐ T = 218 . Ⓑ T = 219 . Ⓒ T = 216 . Ⓓ T = 217 .
Câu 187: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị như hình bên. Biết rằng 1 tích phân K = . x f
 (x).f (x)dx có giá trị thuộc khoảng nào sau đây? 0       Ⓐ ( 3 2 3 2 3 − ; 2 − ) . Ⓑ 2; − −   . Ⓒ − ;0   . Ⓓ − ; −   .  2   3   2 3 
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 32 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 188: Cho hàm số 4 2
y = ax + bx + c có đồ thị (C) , biết rằng (C) đi qua điểm A( 1 − ;0) , tiếp
tuyến d tại A của (C) cắt (C) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2 và diện
tích hình phẳng giới hạn bởi d , đồ thị (C) và hai đường thẳng x = 0; x = 2 có diện 28 tích bằng
(phần tô màu trong hình vẽ). 5
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và hai đường thẳng x = 1
− ; x = 0 có diện tích bằng 2 6 Ⓐ 2 1 . Ⓑ . Ⓒ . Ⓓ . 5 4 9 5
Câu 189: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Cho hàm số 4 2
y = ax + bx + c có đồ thị
(C), biết rằng (C) đi qua điểm A( 1
− ;0) , tiếp tuyến d tại A của (C) cắt (C) tại hai
điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2 và diện tích hình phẳng giới hạn bởi d , đồ thị ( 28
C ) và hai đường thẳng x = 0; x = 2 có diện tích bằng (phần tô màu trong hình 5 vẽ).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , d và hai đường thẳng x = 1 − ; x = 0 có diện tích bằng Ⓐ 2 1 2 1 . Ⓑ . Ⓒ . Ⓓ . 5 4 9 5
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 33 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 190: (CHUYÊN LONG AN NĂM 2020-2021 LẦN 03) Bồn hoa của một trường X có dạng
hình tròn bán kính bằng 8m . Người ta chia bồn hoa thành các phần như hình vẽ dưới
đây và có ý định trồng hoa như sau: Phần diện tích bên trong hình vuông ABCD để
trồng hoⒶ Phần diện tích kéo dài từ 4 cạnh của hình vuông đến đường tròn dùng
để trồng cỏ. Ở bốn góc còn lại, mỗi góc trồng một cây cọ. Biết AB = 4m , giá trồng hoa
là 200.000 đ/m2, giá trồng cỏ là 100.000 đ/m2, mỗi cây cọ giá 150.000 đ. Hỏi số tiền để
thực hiện việc trang trí bồn hoa như miêu tả ở trên gần bằng giá trị nào nhất?
Ⓐ 14.465.000 đồng. Ⓑ 14.865.000 đồng. Ⓒ 13.265.000 đồng. Ⓓ 12.218.000 đồng.
Câu 191: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 02) Mặt sàn của một thang máy
có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí bởi một
hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy với O là tâm hình vuông sao cho A(1; )
1 như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình 2 y = x 1 và 3
y = ax + bx . Tính giá trị ab biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm diện tích 3 mặt sàn. Ⓐ 2 − . Ⓑ −3 . Ⓒ 2 . Ⓓ 3 .
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 34 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 192: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NINH NĂM 2020-2021) Cho hàm số bậc ba có
đồ thị như hình vẽ, biết f ( x) đạt cực tiểu tại điểm x = 1 và thỏa mãn  f ( x) +1   và
f (x) −1 
 lần lượt chia hết cho (x − )2 1 và (x + )2
1 . Gọi S , S lần lượt là diện tích hình 1 2
phẳng như hình bên dưới. Tính 2S − S 1 2 3 1 1 Ⓐ 4 . Ⓑ . Ⓒ . Ⓓ . 4 2 4
Câu 193: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021
LẦN 01) Một chiếc xe đua F đạt tới vận tốc lớn 1
nhất là 360km / h . Đồ thị bên biểu thị vận tốc v
của xe trong 5 giây đầu tiên kể từ lúc xuất phát.
Đồ thị trong 2 giây đầu tiên là một phần của
parabol đỉnh tại gốc tọa độ O , giây tiếp theo là
đoạn thẳng và sau đúng 3 giây thì xe đạt vận
tốc lớn nhất. Biết rằng mỗi đơn vị trục hoành
biểu thị 1 giây, mỗi đơn vị trục tung biểu thị
10m / s và trong 5 giây đầu xe chuyển động
theo đường thẳng. Hỏi trong 5 giây đó xe đã đi
được quãng đường là bao nhiêu? Ⓐ 340 (mét). Ⓑ 420 (mét). Ⓒ 400 (mét). Ⓓ 320 (mét).
Câu 194: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Thể tích vật thể tròn xoay do
hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f ( x) , trục Ox và các đường thẳng x = a , x = b ,
(a b) quay quanh trục Ox được tính theo công thức b b b b Ⓐ 2 V = f  (x)dx. Ⓑ 2 V =  f
 (x)dx. Ⓒ V = f
 (x) dx . Ⓓ V = f  (x) dx a a a a
Câu 195: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2020-2021) Gọi (H ) là hình
phẳng giới hạn bởi các đồ thị y = x − ,
x y = 0 trong mặt phẳng Oxy . Quay hình (H )
quanh trục hoành ta được một khối tròn xoay có thể tích bằng 1 1 1 1 2 2 Ⓐ
x − x dx  . Ⓑ
x − x dx  . Ⓒ  x
 (1− x) dx . Ⓓ x
 (1− x) dx . 0 0 0 0
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 35 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 196: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 02) Gọi ( D) là hình phẳng giới
hạn bởi các đường y = 1 và 2
y = 2 − x . Thể tích khối tròn xoay giới hạn được tạo thành
khi quay ( D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức 2 1 2 Ⓐ 2 V =   ( 2 2 − x ) dx . Ⓑ V =   ( 2 2 − x ) dx . − 2 1 − 1 2 2 Ⓒ 2 V =   ( 2
2 − x ) dx − 2 .
Ⓓ V =   ( 2
2 − x ) dx − 4 . 1 − − 2
Câu 197: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho (H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2
y = x và đường tròn 2 2
x + y = 2 . Thể tích V của vật thể tròn xoay
tạo thành khi quay (H ) quanh trục hoành là    Ⓐ 44 5 44 V = . Ⓑ V = . Ⓒ V = . Ⓓ V = . 15 3 15 5
Câu 198: (THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020-2021 LẦN 01) Tính thể tích của khối tròn xoay
khi cho hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = 3x − 2 và đồ thị hàm số 2 y = x quay quanh trục Ox . 4 1 4  Ⓐ . Ⓑ . Ⓒ . Ⓓ . 5 6 5 6
Câu 199: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM NĂM 2020-2021) Cho hình phẳng H giới
hạn bởi đồ thị hàm số 2 y 2x
x và trục hoành. Tính thể tích V vật thể tròn xoay
sinh ra khi cho H quanh quay trục Ox . Ⓐ 4 16 4 16 V =  . Ⓑ V = . Ⓒ V = . Ⓓ V =  . 3 15 3 15
Câu 200: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021) Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi 2
y = −x + x và trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành
khi quay hình ( H ) quanh trục hoành bằng   Ⓐ 1 1 . Ⓑ . Ⓒ . Ⓓ . 30 6 30 6
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 36 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 201: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Thể tích của khối
tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi y = ln x , trục Ox và đường thẳng x = 2 quay xung quanh trục Ox là Ⓐ 2ln 2 −1. Ⓑ 2 ln 2 + . Ⓒ 2 ln 2 − . Ⓓ 2ln 2 −1.
Câu 202: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Một vật chuyển động có
phương trình vận tốc: v(t ) 3
= t −3t +1 . Quãng đường vật đi được từ thời điểm t = 0 đến khi t = 3 là Ⓐ 39 15 m . Ⓑ 19m . Ⓒ 20m . Ⓓ . 4 4
Câu 203: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 03) Một chiếc máy bay
vào vị trí cất cánh chuyển động trên đường băng với vận tốc v (t ) 2
= t + 2t (m/s) với t
là thời gian được tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết
máy bay đạt vận tốc 120(m/s) thì nó rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di
chuyển trên đường băng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Ⓐ 1200(m). Ⓑ 1100(m). Ⓒ 430(m). Ⓓ 330(m).
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 37 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
HƯỚNG DẪN GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ CHUYÊN 2020-2021 NGUYÊN HÀM
ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT – NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Câu 1:
(CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 02) Mệnh đề nào sau đây sai? Ⓐ 1
dx = ln x + C  . Ⓑ x x
e dx = e + C  . x 2 + Ⓒ x 1 xdx = + C  . Ⓓ
sin xdx = cos x + C  . 2 Lời giải
Ta có: sin xdx = −cos x + C  . Suy ra đáp án D sai. Câu 2:
(CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021) Hàm số f ( x) 4 2 = x −3x có họ nguyên hàm là Ⓐ F ( x) 3
= x − 6x + C. Ⓑ F (x) 5 3
= x + x + C. x x Ⓒ F ( x) 5 3 = + x + C. Ⓓ F ( x) 5 3 = − x + C. 5 5 Lời giải x
Áp dụng bảng nguyên hàm, ta có: (x − x ) 5 4 2 3 3 dx = − x + C. 5 Câu 3:
(CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021) Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2 x f x = e là Ⓐ ( ) 2x F x = e + C. Ⓑ ( ) 3x
F x = e + C. Ⓒ ( ) 1 2 = 2 x F x e + C. Ⓓ ( ) 2 x F x = e + C. 2 Lời giải x 1
Áp dụng bảng nguyên hàm, ta có: ( ) 2 2 x
F x = e dx = e + C.  2 Câu 4:
(CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2020-2021) Họ nguyên hàm của hàm số y = 5 − 3x là: Ⓐ 2 ( 2 2 1 5 − 3x)3 + C. Ⓑ − 5 − 3x + C. Ⓒ −
(5−3x)3 +C. Ⓓ 5 − 3x + C. 9 3 9 2 Lời giải 1 d 5 − 3x Ta có: 5 − 3xdx =  (5−3x) ( ) 2 3 − 1 1 ( − x)3 = − ( 2 5 3 2
5 − 3x)12 d (5 − 3x) = − . + C = − (5−3x)3 + C. 3 3 3 9 2
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 38 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 Câu 5: (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hàm số f ( x) 3 2
= 4x − 3x + 2x −1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Ⓐ f  (x) 4 3 2
dx = 4x − x + x − x +C . Ⓑ f  (x) 4 3 2
dx = x − x + x − x +C . Ⓒ f  (x) 1 4 3 2
dx = x − x + x − x + C . Ⓓ f  (x) 4 3 2
dx =12x −6x + x − x +C . 4 Lời giải Ta có f
 (x)dx = ( 3 2
x − x + x − ) 4 3 2 4 3 2
1 dx = x − x + x − x + C . Câu 6:
(CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hàm số f ( x) = sin 3x . Trong
các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Ⓐ f  (x)dx = 3 − cos3x +C . Ⓑ f
 (x)dx =3cos3x+C. Ⓒ f  (x) 1
dx = − cos3x + C . Ⓓ f  (x) 1
dx = cos3x + C . 3 3 Lời giải 1
Ta có sin 3x dx = − cos 3x + C  . 3 Câu 7:
(CHUYÊN NGUYỄN BÌNH KHIÊM QUẢNG NAM NĂM 2020-2021) Cho F ( x) là      
một nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 2x và F =1   . Tính F   .  4   6     1    5    3    Ⓐ F =   . Ⓑ F =   . Ⓒ F =   . Ⓓ F = 0   .  6  2  6  4  6  4  6  Lời giải
Ta có: F ( x) = sin 2 d x x  1
= − cos 2x + C . 2    1  Vì F =1    − cos 2
+ C = 1  C =1  F (x) 1 = − cos 2x +1.  4  2 4 2    1  3 Vậy F = − cos 2 +1 =   .  6  2 6 4 Câu 8:
(CHUYÊN NGUYỄN BÌNH KHIÊM QUẢNG NAM NĂM 2020-2021) Họ tất cả các 2
nguyên hàm của hàm số f (x) = sin x + . x Ⓐ 2 cos x − + C .
Ⓑ − cos x + 2ln x + C . 2 x
Ⓒ − cos x − 2ln x + C .
Ⓓ cos x + 2ln x + C .
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 39 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 Lời giải Ta có: f ( )
x dx = − cos x + 2ln x + C  . Câu 9:
(CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho C là
một hằng số. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ? Ⓐ 2
2x dx = x + C  .
Ⓑ sinx dx = cos x + C  . 1 Ⓒ
dx = ln | x | +C  . Ⓓ ex d = ex x −C  . x Lời giải
Ta có sinxdx = −cos x + C
Câu 10: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số
f ( x) = sin 3x . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Ⓐ f
 (x)dx =3cosx+C . Ⓑ f  (x) 1 dx = cos x + C . 3 Ⓒ f
 (x)dx =3cos3x+C. Ⓓ f  (x) 1
dx = − cos 3x + C . 3 Lời giải Ta có f  (x) 1 dx = sin 3 d
x x = − cos 3x + C  . 3
Câu 11: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Họ nguyên hàm của hàm số ( ) = ex f x + x là: 2 2 1 x 2 Ⓐ x x 1 + 1 x ex + + C .
Ⓑ ex +1+ C . Ⓒ e +
+ C . Ⓓ ex + + C . 2 x +1 2 2 2 Lời giải x Ta có ( + x) 2 e dx = e + +  x x C . 2
Câu 12: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Tìm họ nguyên hàm  1  x + dx    x −1  2 Ⓐ 2 1 x 1
x + ln x −1 + C . Ⓑ x + + C
+ ln x −1 + C . Ⓓ 1− + C . x − . Ⓒ 1 2 (x − )2 1 Lời giải  1  x Ta có x + dx  2   =
+ ln x −1 + C .  x −1 2
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 40 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 13: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho hàm số F ( x) , f ( x) liên
tục trên khoảng K , khi đó F ( x) là một nguyên hàm của hàm f ( x) trên khoảng K
nếu với mọi x K ta có
Ⓐ F ( x) = f ( x).
Ⓑ F (x) = f  (x) .
Ⓒ F( x) = f ( x).
Ⓓ F (x) = f (x) . Lời giải
Hàm số F ( x) là một nguyên hàm của hàm f ( x) trên khoảng K nếu với mọi x K
ta có F( x) = f ( x).
Câu 14: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hàm số
f ( x) = cos 2x . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? x x Ⓐ f  (x) sin 2 dx = − + C . Ⓑ f  (x) sin 2 dx = + C . 2 2 Ⓒ f  (x)dx = 2
− sin 2x + C . Ⓓ f
 (x)dx = 2sin2x+C . Lời giải
Ta có nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) thì 1
f (ax + b)dx = F  (ax +b)+C a sin 2x Vậy cos 2 d x x = + C  . 2
Câu 15: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 = 3x . Ⓐ f
 (x)dx = 6x+C. Ⓑ f
 (x)dx = x+C. 1 Ⓒ f  (x) 3
dx = x + C . Ⓓ f  (x) 3 dx = x + C . 3 Lời giải Chọn C 1 Ta có f  (x) 2 3 3
dx = 3x dx = 3. x + C = x + C  . 3
Câu 16: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + cos 2 . x 1 Ⓐ 2
x − sin 2x + C . Ⓑ 2 x +
sin 2x + C . Ⓒ 2
x + sin 2x + C . Ⓓ 2 1 2 x − sin 2x + C . 2 Lời giải
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 41 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 Chọn B 1
Ta có: (2x + cos2x) 2
dx = 2xdx + cos 2xdx = x + sin 2x + C   . 2
Câu 17: (THPT CHUYÊN NAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 01) tan d x x  bằng 1 1 Ⓐ − + C .
Ⓑ ln cos x + C . Ⓒ + C .
Ⓓ −ln cos x + C . 2 sin x 2 cos x Lời giải Chọn D sin x d (cos x) Ta có: tan d x x = dx = −
= −ln cos x + C    . cos x cos x
Câu 18: (THPT CHUYÊN NAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 01) Một nguyên 1
hàm của hàm số f (x) = là F(x) bằng 2x − 3 Ⓐ 2 1 1 − ( . Ⓑ . Ⓒ 2ln 2x − 3 . Ⓓ ln 2x − 3 . 2x − 3)2 2 (2x − 3)2 2 Lời giải Chọn D 1 1 I = f (x)dx = dx  
. Đặt: u = 2x − 3  du = 2dx dx = du . 2x − 3 2 1 du 1 Khi đó, I = = ln u + C  . 2 u 2 1
Thay u = 2x − 3 ta được I = ln 2x − 3 + C . 2
Câu 19: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM NĂM 2020-2021) Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2 x f x = e là Ⓐ 1 1 x e + C . Ⓑ 2 x e + C . Ⓒ 2 2 x e + C . Ⓓ 2 x e + C . 2 2 Lời giải x 1 kx 1 Ta có d kx e x = e + C  . Vậy 2 2 d x e x = e + C  . k 2
Câu 20: (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021 LẦN 01) Họ các
nguyên hàm của hàm số ( ) = 5x f x − x là
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 42 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 x 2 5 x 2 x 5x Ⓐ − + C . Ⓑ 2
5x − x + C . Ⓒ 5x ln 2 − + C . Ⓓ −1+ C . ln 5 2 2 ln 5 Lời giải Chọn A x x
Ta có (5x − x) 2 5 dx = − + C . ln 5 2 Câu 21:
(THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021 LẦN 01) Họ
nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin x + 4x là Ⓐ 2
−cos x + 4x +C . Ⓑ 2
cos x + 4x + C . Ⓒ 2
−cos x + 2x +C . Ⓓ 2
cos x + 2x + C . Lời giải Chọn C Ta có ( + x) 2
sinx 4 dx = −cos x + 2x + C .
Câu 22: (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021 LẦN 01) Tìm
nguyên hàm của hàm số f ( x) 1 = 3x− . 2 Ⓐ dx dx 1
= ln 3x − 2 + C  . Ⓑ
= − ln 3x − 2 + C  . 3x − 2 3x − 2 2 Ⓒ dx 1 dx 1 = ln 3x + 2 + C  . Ⓓ
= ln 2 − 3x + C  . 3x − 2 3 3x − 2 3 Lời giải Chọn D dx 1 d (3x − 2) 1 Ta có =
= ln 3x − 2 + C   1
= ln 2 − 3x + C . 3x − 2 3 3x − 2 3 3
Câu 23: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP NĂM 2020-2021) Nguyên hàm
của hàm số f ( x) 3 = 2x −9 là. 1 Ⓐ 1 4
x − 9x + C . Ⓑ 3
4x − 9x + C . Ⓒ 4
4x − 9x + C . Ⓓ 4 x + C . 2 4 Lời giải 2 1 Ta có ( 3 2x − 9) 4 4 dx =
x − 9x + C =
x − 9x + C . 4 2
Câu 24: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau 4 x + C Ⓐ 3 x dx =  . Ⓑ 2exd = 2  (ex x + C). 4
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 43 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 1 Ⓒ sin d
x x = C − cos x  . Ⓓ
dx = ln x + Cx . Lời giải Chọn D 1 1
Ta có công thức đúng là
dx = ln x + C  , còn
dx = ln x + C
chỉ đúng khi x  0 . x x
Câu 25: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2x + sin 2x là Ⓐ 2 1 x −
cos 2x + C . Ⓑ 2
x + 2 cos 2x + C . Ⓒ 2 1 x +
cos 2x + C . Ⓓ 2 2 2
x − 2 cos 2x + C . Lời giải Chọn A f  (x) 2 1 x
d = 2x + sin 2x x d = x − cos 2x + C  2
Câu 26: (THPT CHUYÊN PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 02) Họ tất cả các nguyên hàm
của hàm số f (x) = 2x + 3 là
Ⓐ 2x2 + 3x + C . Ⓑ x2 2 + C . Ⓒ x2 + C .
Ⓓ x2 + 3x + C . Lời giải
Họ nguyên hàm của f (x) = 2x + 3 là (2x + )  3 dx = 2xdx +  dx 3
= x2 + 3x + C .
Câu 27: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021) Cho hàm số f ( x) 1
= 2x + +1. F (x) là một nguyên hàm của f ( x) thỏa mãn F ( ) 1 = 0 . Trong các x
khẳng định sau khẳng định nào đúng? Ⓐ F (x) 2
= x + x + ln x − 2 . Ⓑ F (x) 2
= x + x + ln x + 2 . Ⓒ F (x) 2
= x + x − ln x − 2 . Ⓓ F (x) 2
= x − x + ln x + 2 . . Lời giải Chọn A  1  Ta có: f  (x) 2 dx = 2x +
+1 dx = x + ln x + x + C   .  x  Do F ( ) 1 = 0 , nên C = 2
− . Vậy F (x) 2
= x + ln x + x − 2 .
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 44 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 28: (SGD&ĐT LAI CHÂU NĂM 2020-2021) Một nguyên hàm của hàm số 2
f (x) = 3x +1 là: Ⓐ 6x . Ⓑ 3 x +1. Ⓒ 3 x + x . Ⓓ 3 3x + x . Lời giải Chọn C F x = f x dx =  ( 2x + ) 3 ( ) ( ) 3
1 dx = x + x + C Chọn C = 0 thì 3
F (x) = x + x .
Câu 29: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 03) Cho hàm số f ( x) 3
= 4x + 3. Mệnh đề nào sau đây đúng ? Ⓐ 1 f  (x) 4
dx = x + 3x + . C Ⓑ f  (x) 4 dx =
x + 3x + C. 4 Ⓒ f  (x) 4
dx = 4x + 3x + . C Ⓓ f  (x) 3
dx = 12x + 3x + . C Lời giải Chọn A  Vì ( 4
x + x + C ) 3 3 = 4x + 3.
Câu 30: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Họ tất cả các nguyên x − 2
hàm của hàm số f (x) = trên khoảng (0; ) + là x 2 2 Ⓐ x + + C .
Ⓑ x − 2ln x + C .
Ⓒ x + 2ln x + C . Ⓓ x − + C . 2 x 2 x Lời giải x − 2  2  Trên khoảng (0; ) + = − = − + ta có dx 1 dx x 2 ln x C    . xx
Câu 31: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NINH NĂM 2020-2021) Họ nguyên hàm của hàm số 2
f (x) = 3x − sin x là
Ⓐ 6x − cos x + C . Ⓑ 3
x − cos x + C . Ⓒ 3
x + cos x + C . Ⓓ 3
x − sin x + C Lời giải Chọn C Ta có ( 2 x − x) 3 3 sin
dx = x + cos x + C
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 45 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 32: (CHUYÊN LONG AN NĂM 2020-2021 LẦN 03) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 2
= 3x + sin x (C là hằng số) Ⓐ 3 x − cos x + . C
Ⓑ 6x + cos x + C. Ⓒ 3 x + cos x + . C
Ⓓ 6x − cos x + C. Lời giải Chọn A ( 2x + x) 3 3 sin
dx = x − cos x + . C
Câu 33: (CHUYÊN LONG AN NĂM 2020-2021 LẦN 03) Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) 3x
f x = e ( C là hằng số) 3x e Ⓐ  ( ) 3 d = 3 x f x x e + C . Ⓑ f  (x) x d = + C . 3 3x 1 + e Ⓒ  ( ) 3x f x x d = e + C . Ⓓ f  (x) x d = + C . 3x + 1 Lời giải Chọn B 3x  ( ) e f x x d = + C . 3
Câu 34: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN VŨNG TÀU NĂM 2020-2021) Một nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 = 3x +1 là Ⓐ 6x . Ⓑ 3 x +1. Ⓒ 3 x + x . Ⓓ 3 3x + x . Lời giải Ta có f
 (x) x = ( 2x + ) 3 d 3
1 dx = x + x + C .
Cho C = 0 ta được một nguyên hàm của hàm số f ( x) là 3
x + x . Chọn đáp án Ⓒ
Câu 35: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau 4 x + C Ⓐ 3 x dx =  . Ⓑ 2 x = 2( x e dx e + C) 
. Ⓒ sin xdx = C − cos x  . Ⓓ 4
1dx = ln x +C  . x Lời giải Chọn D Áp dụng công thức dx = x +  1 ln C x .
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 46 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 36: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Họ nguyên hàm của hàm số
f ( x) = 2x + sin 2x là: 1 1 Ⓐ 2
x − cos 2x + C . Ⓑ 2
x + 2cos 2x + C . Ⓒ 2 x +
cos 2x + C . Ⓓ 2
x − 2cos 2x + C 2 2 . Lời giải Chọn A 1
Ta có (2x + sin 2x) 2 dx = x − cos 2x + C ; 2
Câu 37: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 02) Họ tất cả nguyên
hàm của hàm số f ( x) = cos 2x 1 1
Ⓐ 2sin 2x + C .
Ⓑ − sin 2x + C . Ⓒ
sin 2x + C . Ⓓ 2
− sin 2x + C . 2 2 Lời giải Chọn C 1 Ta có cos 2 d x x = sin 2x + C  . 2
Câu 38: (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho f  (x) 2
dx = 3x + 2x − 3 + C . Hỏi
f ( x) là hàm số nào?
Ⓐ f ( x) = 6x + 2 . Ⓑ f ( x) 3 2
= x + x −3x + C .
Ⓒ f ( x) = 6x + 2 + C . Ⓓ f ( x) 3 2
= x + x − 3x . Lời giải Chọn A
Ta có f ( x) = ( 2
3x + 2x − 3 + C ) = 6x + 2 .
Câu 39: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm
số f ( x) =1+ sin x là
Ⓐ 1+ cos x + C .
Ⓑ 1− cos x + C .
Ⓒ x + cos x + C .
Ⓓ x − cos x + C . Lời giải Chọn D
F ( x) = f
 (x)dx = x−cosx+ . C
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 47 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 40: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) 2x f x = e là 2 x x Ⓐ e e x e + C . Ⓑ 2x e + C . Ⓒ + C . Ⓓ + C . 2 2 Lời giải Chọn C
Áp dụng công thức nguyên hàm ta chọn C
Câu 41: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 01) Họ các nguyên hàm của hàm
số f (x) = sin3x là 1 1
Ⓐ − cos3x + C .
Ⓑ −cos3x + C .
Ⓒ cos3x + C .
Ⓓ cos3x + C . 3 3 Lời giải Chọn A cos 3x 1
Ta có f (x)dx = sin 3xdx = −
+ C = − cos3x + C.   3 3
Câu 42: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hàm số + f ( x) 2x 1 =
, x  1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? x −1 Ⓐ f
 (x)dx =3ln x−1 +C, x  1. Ⓑ f
 (x)dx =3ln(x− )1+C, x  1. Ⓒ f
 (x)dx = 2x+3ln x−1 +C, x  1. Ⓓ f
 (x)dx =3ln(x− )1+C, x  1. Lời giải x +   Ta có f  (x) 2 1 3 dx = dx = 2 +
dx = 2x + 3ln x −1 + C, x   1    . x −1  x −1  Câu 43: Biết  ( ) 2
f x dx = x + C . Tính f (2x)dx  1 1 Ⓐ f  (2x) 2 dx = x + C . Ⓑ f  (2x) 2 dx = x + C . 2 4 Ⓒ f  ( x) 2 2
dx = 2x + C . Ⓓ f  ( x) 2 2
dx = 4x + C . Lời giải Chọn C Ta có: f  (x) 2
dx = x + C f (x) = 2x . Suy ra: f  ( x) 2 2
dx = 2.2xdx = 2x + C  .
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 48 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 44: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2020-2021) Tìm nguyên hàm ( 3 4x + 2x +  )1dx. 4 Ⓐ x 4 2
4x + 2x + x + C . Ⓑ 4 2
x + 2x + x + C . Ⓒ 4 2
x + x + x + C . Ⓓ 2
+ x + x + C . 4 Lời giải Ta có: ( 3x + x+ ) 3 4 2 4 2
1 dx = 4x dx + 2 d
x x + 1dx = x + x + x + C    .
Câu 45: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2020-2021) Biết rằng F ( x) là
một nguyên hàm của f ( x) = cos 2x trên
và F (0) = 0. Tính giá trị của biểu thức       T = F + 2F .      2   4  Ⓐ 1 T = 2. Ⓑ T = 3. Ⓒ T = . Ⓓ T = 1. 2 Lời giải Ta có F ( x) 1 = cos 2 d x x = sin 2x + C.  2
Mà F (0) = 0 nên C = 0. Suy ra F ( x) 1 = sin 2 . x 2    1    1  1 Do đó F = sin = 0   và F = sin = .    2  2  4  2 2 2       1 Vậy T = F + 2F = 0 + 2. = 1.      2   4  2
Câu 46: (THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020-2021 LẦN 01) Tính nguyên hàm 2 tan 2 d x x  . 1 1
Ⓐ tan 2x − x + C . Ⓑ
tan 2x − x + C . Ⓒ
tan 2x + x + C . Ⓓ tan 2x + x + C . 2 2 Lời giải Chọn B  1  1 1 Ta có: 2 tan 2 d x x = −1 dx = dx − dx =
tan 2x − x + C.      2 2  cos 2x  cos 2x 2
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 49 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 47: (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021 LẦN 01) Cho 1
hàm số f ( x) xác định trên
\   thỏa mãn f ( x) 3 ' = ,
f (0) =1. Giá trị của 3 3x −1 f (− ) 1 bằng: Ⓐ 3ln 2 + 3. Ⓑ 2ln 2 +1. Ⓒ 3ln 2 + 4 . Ⓓ 12ln 2 + 3 . Lời giải Chọn B
Ta có: f ( x) = f  (x) 3 ' dx =
dx = ln 3x −1 + C  3x−1
Vì : f (0) =1 C =1 f ( x) = ln 3x −1 +1 Vậy: f (− ) 1 = ln 4 +1 = 2 ln 2 +1
Câu 48: (THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021 LẦN 01) Với mọi hàm số f ( x)
; g ( x) liên tục trên
, cho các khẳng định sau: (I ) .  f
 (x)−g(x)dx = f
 (x)dx− g  (x)dx . (II ) .  f
 (x).g(x)dx = 
( f (x)dx).( g(x)dx). (III ) . Nếu f
 (x)dx = F(x)+C thì f
 (u)du = F(u)+C . (IV ). kf
 (x)dx = k f
 (x)dx với mọi hằng số k .
Có bao nhiêu khẳng định sai? Ⓐ 4 . Ⓑ 1. Ⓒ 2 . Ⓓ 3 . Lời giải Chọn C
Các khẳng định sai là ( II ) ; ( IV ) .
Câu 49: (THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021 LẦN 01) Biết rằng ( a a 3 3 cos . x sin 3x + sin .
x cos 3x)dx = cos 4x + C với , a b  , là phân số tối giản b b
(a  0,b  0), tính 2a +b . Ⓐ −13 . Ⓑ 13 . Ⓒ −10 . Ⓓ 10 . Lời giải Chọn D Ta có:
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 50 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 3 3 3 x x + x x = x ( 3 x − x) 3 + x ( 3 cos .sin 3 sin .cos3 cos . 3sin 4sin sin
. 4cos x − 3cos x) 3 3 3 3 3 3 = 3cos . x sin x − 4sin . x cos x + 4sin . x cos x + 3sin . x cos x 3 3 = 3cos . x sin x + 3sin . x cos x = x x ( 2 2
3sin .cos . cos x − sin x) 3 = sin 2 . x ( 2 2 cos x − sin x) 2 3 3 = sin 2 . x cos 2x = sin 4x 2 4  ( 3 3 a 3 3 cos . x sin 3x + sin .
x cos 3x)dx = sin 4 d x x = − cos 4x + C = cos 4x + C  . 4 16 ba  0  a = 3 − Vì: b   0  
 2a + b =10 . b   =16 a,b  
Câu 50: (THPT CHUYÊN PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) x
f x = e + 2x thỏa mãn F ( ) 3 0 = . Tìm F ( x) . 2 x 1 x 5 Ⓐ F ( x) 2 = e + x + . Ⓑ F ( x) 2 = 2e + x − . 2 2 x 1 x 3 Ⓒ F ( x) 2 = e + x + . Ⓓ F ( x) 2 = e + x + . 2 2 Lời giải
Ta có F ( x) = f
 (x) x = ( xe + x) x 2 d
2 dx = e + x + C . Mà F ( ) 3 1 0 =  C = . 2 2 x 1 Vậy F ( x) 2 = e + x + . 2
Câu 51: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021) Cho hàm số f ( x) 2
=1− 2cos x . Tìm nguyên hàm của f ( x) ? sin 2x sin 2x Ⓐ − + C . Ⓑ + C .
Ⓒ sin 2x + C .
Ⓓ − sin 2x + C . 2 2 Lời giải Chọn A
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 51 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 1 Ta có: f  (x)dx = ( 2
1− 2 cos x) dx = − cos 2xdx = − sin 2x + C  . 2
Câu 52: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NINH NĂM 2020-2021) Cho F ( x) là một
nguyên hàm của hàm số f ( x) 1 =
F 0 = 1 . Giá trị F ( 2 − ) bằng 2x − , biết ( ) 1 1 1 1 Ⓐ 1+ ln 5 . Ⓑ (1+ ln5). Ⓒ 1+ ln 3 . Ⓓ 1+ ln 5 . 2 2 2 Lời giải Chọn A Ta có F ( x) 1 1 = dx = ln 2x −1 + C  . 2x −1 2 1 1
Với F (0) = C = 1 F ( x) = ln 2x −1 +1 F ( 2 − ) = ln5+1. 2 2
Câu 53: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 02) Họ tất cả các nguyên
hàm của hàm số f ( x) 2 = 1; + là 4x − trên khoảng ( ) 3 1 1 Ⓐ 2ln (4x −3) + . C Ⓑ
ln (4x − 3) + C. Ⓒ
ln (4x − 3) + C.
Ⓓ 4ln (4x −3) + . C 2 4 Lời giải Chọn B 1
Đặt t = 4x − 3  dt = 4dx dx = dt . Vì x (1;+) nên t  0. 4 2 1 1 dt 1 1 1
Ta có: f (x)dx = . dt =
= ln t + C = ln t + c = ln    (4x −3)+C. t 4 2 t 2 2 2
Câu 54: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 01) Họ các nguyên hàm của hàm số ( ) 2 1 3 x f x − = là x x x x Ⓐ 9 9 9 9 + C . Ⓑ + C . Ⓒ + C . Ⓓ + C . 3 3ln 3 6ln 3 6 Lời giải Chọn C 2 x 1 − x− 3 9x Ta có: 2 1 3 dx = + C = + C  . 2.ln 3 6ln 3
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 52 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 1
Câu 55: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho F ( x) = là một 2 2x f ( x) nguyên hàm của hàm số
. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)ln x là x  ln x 1  Ⓐ f   (x) ln x 1 ln d x x = + + C . Ⓑ f   (x)ln d x x = − + + C   . 2 2 x x 2 2  x x   ln x 1  Ⓒ ln x 1 f   (x)ln d x x = − + + C   . Ⓓ f   (x)ln d x x = + + C . 2 2  x 2x  2 2 x 2x Lời giải 1 f ( x) Do F ( x) =
là một nguyên hàm của hàm số nên ta có: 2 2x xf (x)    = F(x) f ( x) 1  = − f ( x) 1 = −  3 2  xx xx      . f  (x) f x  1 f  (x) dx = F  (x) ( ) 1 + C dx = + C dx = + C   2 2  x  x 2x  x 2x Suy ra :   f
 (x) x x = x
( f (x)) = f (x) f ( x) ln x 1 ln x 1 ln d ln d ln x − dx = − − + C = − + + C    2 2 2 2 x x 2xx 2x
Câu 56: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn
( f (x))2 + f (x) f  (x) 4 2 .
=15x +12x +1, x   và f (0) = 0. Tính giá trị của 2
A = 3 f (3) − 678 . Ⓐ 2018 . Ⓑ 2021. Ⓒ 2022 . Ⓓ 2019 . Lời giải 2
Ta có ( f ( x)) + f ( x) f  ( x) 4 2 . =15x +12x +1    f
 ( x) f ( x) 4 2 .  =15x +12x +1 
f (x). f (x) 5 3
= 3x + 4x + x + C1
f (0). f (0) = C C = 0, . 1 1
Do đó ta có : f ( x) f ( x) 5 3 .
= 3x + 4x + xf
 (x) f (x) x = ( 5 3 . d
3x + 4x + x)dx 1 1 1 2  f (x) 6 4 2
= x + x + x + C2 2 2 2 1 2
f (0) = C C = 0, . 2 2 2 Do đó ta có 2 f ( x) 6 4 2
= x + 2x + x . Vậy 2
A = 3 f (3) − 678 = 2022 .
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 53 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 57: (THPT CHUYÊN NAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 01) Cho hàm số
f ( x) xác định trên
, thỏa mãn f '( x) = 2x −1 và f (3) = 5 . Giả sử phương trình
f ( x) = 999 có hai nghiệm x và x . Tính tổng S = log x + log x . 1 2 1 2 Ⓐ 5 . Ⓑ 999 . Ⓒ 3 . Ⓓ 1001. Lời giải Chọn C
Ta có: f ( x) = x −  f ( x) 2 ' 2 1
= x − x + C . Do f (3) = 5 nên 2
3 − 3+ C = 5  C = 1 − Vậy: f ( x) 2 2
= 999  x − x −1= 999  x − x −1000 = 0 ( ) *
Nhận thấy phương trình ( )
* có hai nghiệm x , x mà x x = −1000 . 1 2 1 2
Khi đó: S = log x + log x = log x .x = log1000 = 3. 1 2 1 2
Câu 58: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số f x
có đạo hàm liên tục trên
và thoả mãn f x sin x 1
f x cos x với mọi số thực x . Tính f . 6 3 1 Ⓐ 1. Ⓑ 1. Ⓒ . Ⓓ . 2 2 Lời giải
Ta có: f x sin x 1 f x cos x f x sin x f x cos x cos x f x sin x cos x
Suy ra: f x sin x sin x C Chọn x 0 C 0 f x .sin x sin x f .sin sin f 1 . 6 6 6 6
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Câu 59: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn 1 1
(x+ )1 f (x)dx =10 và 2 f ( )1− f (0) = 2. Tính I = f  (x)dx . 0 0 Ⓐ I =1. Ⓑ I = 8 . Ⓒ I = 8 − . Ⓓ I = 12 − . Lời giải
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 54 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 1 Ta có (x + )
1 f ( x)dx = 10 . 0
Đặt u = x +1 du = dx .
dv = f ( x)dx , ta chọn v = f ( x). 1 1 1 Khi đó (x + )
1 f ( x)dx = ( x + )
1 f ( x) − f  (x)d .x 0 0 0 1 1 1
Suy ra f ( x)dx = 
(x + )1 f (x) − (x + )1 f (x)dx =  = 2 f ( )
1 − f (0) −10  2 −10 = 8 − . 0 0 0 1
Vậy I = f ( x)dx = 8 −  . 0
Câu 60: HẾT (THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020-2021 LẦN 01) Tính nguyên hàm 2 3 2
x (2x −1) dx  . ( x − )3 3 2 1 ( x − )3 3 2 1 ( x − )3 3 2 1 ( x − )3 3 2 1 Ⓐ + C. Ⓑ + C. Ⓒ + C. Ⓓ + C. 18 3 6 9 Lời giải Chọn A 2x −1 1 2 3 2 3 2 3 ( )3 3
Vì x (2x −1) dx =
(2x −1) d(2x −1) = + C.   6 18
Câu 61: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP NĂM 2020-2021) Khi tính x − 3 nguyên hàm dx
, bằng cách đặt u = x +1 ta được nguyên hàm nào? x +1 Ⓐ 2
2u(u − 4)du  . Ⓑ 2 2(u −1)du  . Ⓒ 2 2(u − 4)du  . Ⓓ 2 (u − 4)du  . Lời giải x − 3 Ta có: I = dx  . Đặt 2 2 u =
x +1  u = x +1  x = u −1  2 . u du = dx . x +1 2 u −1− 3 Khi đó I = 2 . u du = 2 
 ( 2u −4).du . u dx
Câu 62: (THPT CHUYÊN PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 02) Tính nguyên hàm  x x+4
bằng cách đặt t = x + 4 ta thu được nguyên hàm nào? 2tdt 2d Ⓐ 2dt dt  . Ⓑ  . Ⓒ t . Ⓓ  . 2 t − 4 ( 2t −4) ( 2t −4)t 2 t − 4 Lời giải
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 55 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 Đặt 2 t =
x + 4  t = x + 4  2tdt = dx và 2
x = t − 4 . Ta có: dx 2 d t t 2 = =    dt . x x + 4 ( 2t −4) 2 t t − 4
Câu 63: (SGD&ĐT LAI CHÂU NĂM 2020-2021) Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm f (x) trên . Hỏi 2
F (x ) là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây: Ⓐ 2 . x f ( ) x . Ⓑ 2 .
x f (x ) . Ⓒ 2 f (x ) . Ⓓ 2 2 . x f (x ) . Lời giải Chọn D F( ) x = f ( ) x dx  2 2
t = x dt = 2xdx = d (x ) 2 2 2
F(x ) = F(t) = f (t)dt =
f (x ).2xdx = 2 .
x f (x )dx    . Câu 64:
(CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN VŨNG TÀU NĂM 2020-2021) Cho F ( x) là một nguyên
hàm của hàm số f ( x) trên . Hỏi ( 2
F x ) là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? Ⓐ 2 . x f ( x). Ⓑ ( 2 . x f x ). Ⓒ ( 2 f x ) . Ⓓ ( 2 2 . x f x ) . Lời giải
F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên
F(x) = f (x), x   .   Ta có F ( 2 x ) = ( 2 x ) F( 2 x ) = x f ( 2 . 2 . x ), x     . Vậy ( 2
F x ) là một nguyên hàm của hàm số ( 2 2 . x f x ) .
Câu 65: (THPT CHUYÊN NAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 01) Cho hàm số
y = f (x) có đạo hàm và liên tục trên 1;2 , thỏa mãn 2
f (x) = xf (
x) − x . Biết
f (1) = 3. Tính f (2) . Ⓐ 16 . Ⓑ 2 . Ⓒ 8 . Ⓓ 4 . Lời giải Chọn C xf (
x) − f (x) Theo bài 2 2
f (x) = xf (
x) − x xf (x) − f (x) = x  =1 2 x '  f (x)  f (x) 2  =1 
= 1.dx = x + C f (x) = x + Cx    .  x x
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 56 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 Mà 2 f (1) = 3  1 + .
C 1 = 3  C = 2 . Vậy 2
f (x) = x + 2x . Suy ra 2 f (2) = 2 + 2.2 = 8 .
Câu 66: (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021 LẦN 01) Cho f  ( x) 2x 2 4
dx = e − x + . C Khi đó f
 (−x)dx bằng 2 x x x 2 x − −  x  Ⓐ e 1 1 2 + 4x + C . Ⓑ 2 2 4e − x + C . Ⓒ 2 2 4
− e + x + C . Ⓓ 2 −e + + C   4 4 4  4  Lời giải Chọn C  Ta có  ( ) 2 x 2 = − +  ( ) = ( 2x 2 − + ) 2 4 d 4 = 2 x f x x e x C f x e x C e − 2 . x 1 1 − t 1
Đặt x = − t suy ra f (4x) = f ( t − ) 2 = 2e + t. 4 2 1 − x 1
Khi đó f (−x) 2 = 2e + . x 2 1  − 1 x x  − 1 Ta có f  (−x) 2 2 2 dx =  2e + x dx = 4
− e + x + C. 2 4   Câu 67: (THPT CHUYÊN PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 02) Biết ( + ) 1 ln ln 2 ( ) = ln + +  mx x n px dx x C với , m , n ,
p C là các số thựⒸ Khi đó, m + n + p 2 x x bằng Ⓐ e +1. Ⓑ e + 2 . Ⓒ 2e −1. Ⓓ 2e − 2 . Lời giải (mx + ) 1 ln x ln x ln = + x dx m dx dx = I +    I . 2 2 1 2 x x x ln * Tính =  x I m dx 1 x 1
Đặt t = ln x dt = dx x 2 2 mt m ln x I = m tdt = + C = + C  1 1 1 2 2 ln *Tính =  x I dx 2 2 x
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 57 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021  1
u = ln x du =  dxx 1 1 −
dv = dx v = 2  x x 1 1 1 1 −ln (ex) I = − ln x + dx = − ln x − + C = + C  2 2 2 2 x x x x x ( + ) 1 ln m −ln 2 ( ) Suy ra dx = ln x + +  mx x ex C 2 x 2 xm = 2,n = 1
− , p = e m+ n + p =1+ e .
Câu 68: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021) Cho F(x) là một nguyên hàm của (x+ x +1)2021 2
hàm số f (x) =
và F (0) =1.Giá trị của F ( ) 1 bằng 2 x +1 ( + )2020 1 2 − 2021 ( + )2021 1 2 + 2020 Ⓐ . Ⓑ . 2020 2021 ( + )2020 1 2 + 2021 ( + )2021 1 2 − 2020 Ⓒ . Ⓓ . 2020 2021 Lời giải Chọn B 2 x + x +1 Đặt 2
t = x + x +1  dt = d . x 2 x +1 (x+ x +1)2021 + + t (x x 1)2021 2 2 2021 2020  F(x) = dx = t dt = + C = + C.   2 2021 2021 x +1 (x+ x + )2021 2 1 2020
Lại có F (0) = 1  F (x) = + . 2021 2021 ( + )2021 1 2 + 2020  F(1) = . 2021 Câu 69:
(CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm trên (− 2; 2) \ 
0 , thỏa mãn f (1) = 0 và x  1 
f '(x) + x ( f (x) e + 2) +
= 0 . Giá trị của f   bằng f ( x) e  2  Ⓐ ln 3 . Ⓑ ln 6 . Ⓒ ln 7 . Ⓓ ln 5 .
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 58 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 Lời giải Chọn C
Ta có phương trình trên tương đương với: x
f '(x) + x ( f (x) e + 2) f ( x) f ( x) + = 0 +  e
f '(x) + xe e + + x = f x ( f(x) 2 0 ( ) ) e f xe
f '(x) + x ( f x e + 2 f x e + ) 1 = 0 f xe
f '(x) + x ( f x e + )2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 = 0 f ( x) −e f '(x)  ( = x f x e + )2 ( ) 1
Đến đây ta nguyên hàm hai vế, ta được như sau: f ( x)   2 2 −e f '(x) 1 x 1 x  =     (   + ) dx xdx d = + C = + C 2 f x f x f x  +  1  ( ( ) e )1 2  ( ( ) ( ) e e + ) 1 2 2 1 x  2 
Mà f (1) = 0 nên ta suy ra C = 0  ( =  f (x) = ln −1   f ( x) e + ) 2 1 2  x   1  Từ đó suy ra f = ln 7    2 
PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Câu 70: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hai hàm số
u ( x),v( x) có đạo hàm lien tục trên . Chọn mệnh đề đúng? Ⓐ u
 (x).v'(x)dx =u(x).v(x)+ u'
 (x).v'(x)dx . Ⓑ u
 (x).v'(x)dx =u(x).v(x)− u'
 (x).v'(x)dx . Ⓒ u
 (x).v'(x)dx =u(x).v(x)+ u'
 (x).v(x)dx . Ⓓ u
 (x).v'(x)dx =u(x).v(x)− u'
 (x).v(x)dx . Lời giải
Ta có theo công thức tính nguyên hàm của hàm hợp ta có u
 (x).v'(x)dx =u(x).v(x)− u'
 (x).v(x)dx
Câu 71: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Tính nguyên hàm 1 A
dx bằng cách đặt t
ln x . Mệnh đề nào dưới đây đúng? x ln x Ⓐ 1 1 A dt . Ⓑ A dt . Ⓒ A dt . Ⓓ A tdt . 2 t t Lời giải
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 59 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 1 Xét A dx . x ln x 1 Đặt t ln x dt dx . x 1 1 1 1 Suy ra A dx . dx dt . x ln x ln x x t
Câu 72: (THPT CHUYÊN NAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 01) Một nguyên
hàm của ln x bằng 1
Ⓐ x − x ln x . Ⓑ .
Ⓒ x + x ln x .
Ⓓ 1− x + x ln x . x Lời giải Chọn D  1 u  = ln xdu = dx Đặt    xdv = dx v = x
Ta có: ln xdx = x ln x − dx = x ln x − x + C  
Vậy một nguyên hàm của ln x bằng 1− x + x ln x .
Câu 73: (THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020-2021 LẦN 01) Tìm nguyên hàm (2x −  )1ln d x x x x Ⓐ (x − x) 2 2 ln x − − x + C . Ⓑ (x − x ) 2 2 ln x + − x + C . 2 2 x x Ⓒ (x − x) 2 2 ln x + + x + C . Ⓓ (x − x) 2 2 ln x − + x + C . 2 2 Lời giải Chọn D  1 u  = ln x  du = dx Đặt  .  =  (   x dv 2x − ) 1 dx  2 v  = x − x 1 Ta có (2x − ) 1 ln d x x = ( 2
x − x)ln x − ( 2
x − x) dx x x
= (x − x) x − (x − ) x =(x − x) 2 2 2 ln 1 d ln x − + x + C . 2
Câu 74: (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021 LẦN 01) Cho ( ) = ( 2 + − ) 2ex F x ax bx c
là một nguyên hàm của hàm số ( ) = ( 2 + − ) 2 2020 2022 1 e x f x x x
trên khoảng (−;+ ) . Tính T = a − 2b + 4c . Ⓐ T = 1012 . Ⓑ T = 2012 − . Ⓒ T = 1004 . Ⓓ T = 1018 . Lời giải Chọn A
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 60 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 Xét ( ) = ( 2 + −  ) 2 2020 2022 1 e x F x x x dx .  = + 2 du (4040x 2022)dx u
 = 2020x + 2022x −1  Đặt    . x 1 2 2 dv = e dxv = e x  2 1 x 1 Do đó ( ) = ( 2 2020 + 2022 − ) 2 1 e
− (4040 + 2022) 2ex F x x x x dx + C . 2 2 Đặt = ( +  ) 2 4040 2022 e x I x dx . d  u = 4040dx 1 u  = 4040x + 2022  Đặt 1    . x 1 2 2 dv = e dx v = e x  1  1  2 Do đó 1 = ( 1 4040 + 2022) 2x 2 e − 2020 e x I x dx  = (4040 + 2022) 2x 2 e −1010e x x = ( + ) 2 2020 1 e x x . 2 2 ( ) 1 = ( x 1 2 2020 + 2022 − ) 2 1 e − (2020 + ) 2 1 e x F x x x x + C 2 2 x x 1 x x 1 2 2 2 2 2 2
=1010 e +1011 e − e −1010 e − e x x x x + C 2 2 2 2x 2x 2 =1010 e + e − e x x x + C = ( 2 + − ) 2 1010 1 e x x x + C .
Theo đề bài, ta có a = 1010 , b = 1, c = 1, C = 0 . Vậy T = 1010 − 2 + 4 = 1012 .
Câu 75: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 03) Cho ( ) 2 F x = x là
một nguyên hàm của hàm số ( ) 2x
f x e . Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) 2x f x e là Ⓐ 2
−x + 2x +C . Ⓑ 2
−x + x +C . Ⓒ 2 2
− x + 2x + C . Ⓓ 2
2x − 2x + C . Lời giải Chọn C 2 x 2  =  = 2 x u e du e dx Đặt    dv = f   (x)dxv = f  (x)    ( ) 2x 2x = ( )−  ( ) 2x 2x f x e x e f x f x e
x = e f ( x) 2 d 2 d
− 2x +C = I  Ta lại có ( ) 2
F x = x là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2x f x e  ( ) 2x f x e = ( 2 x ) = 2x 2
I = 2x − 2x +C Câu 76:
(CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 01) Giả sử hàm số f ( x) có đạo
hàm liên tục trên. Biết rằng ( ) 3
G x = x là một nguyên hàm của ( ) 2 − x g x = e f ( x) trên
. Họ tất cả các nguyên hàm của 2 − x e f ( x) là Ⓐ 3 2 2
− x +3x +C . Ⓑ 3 2
2x + 3x + C . Ⓒ 3 2
x + 3x + C . Ⓓ 3 2
−x +3x +C .
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 61 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 Lời giải Chọn B
Dùng công thức nguyên hàm từng phần ta có: 2 − x   ( ) 2 − x = ( ) 2 d + 2 − x e f x x e f x e f  (x)dx 2 − x = e f (x) 3
+ x + C = G(x) 3 2 3 2
+ 2x + C = 3x + 2x + C
Câu 77: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN VŨNG TÀU NĂM 2020-2021) Cho hai hàm số f ( x), g ( x) có đạo hàm trên
và thỏa mãn f ( x) + g ( x) = , x
g( x) + f ( x) = −x x
  . Biết f (0) = g (0) =1, tính f ( ) 1 . 2 2 − 2 + Ⓐ 1 e 2 e 2 − 2 . Ⓑ e + − 2 . Ⓒ . Ⓓ . e e 2e 2e Lời giải
Đặt h( x) = f ( x) + g ( x) .
Từ giả thiết ta có h( x) + h( x) = 0 x  
 ( ). x + ( ). x h x e h x e = 0 x     ( ( ). x h x e ) = 0 x   . Suy ra ( ). x
h x e = C . Do f (0) = g (0)  h(0) = 0  C = 0. 2 2 2
Do đó f ( x) + g ( x) =  g x =
− f x gx = − − f x . x ( ) x ( ) ( ) x ( ) e e e 2 2
Kết hợp với giả thiết ta có: −
− f x + f x = −x f x − f x = x − x ( ) ( ) ( ) ( ) x e e −x −x −x 2 −  x − x 2
f ( x).e − f ( x).e = . x e −
 ( f (x).e ) = .xe − . 2 x e 2 x e −   x − x 2 − x 2 − x 1
Suy ra f ( x).e = . x e − dx= . x e dx − dx= − . x d e +      2 x 2 x ( ) 2xee e − x − x 1 − x − x 1 = − ( . x e − e .dx 
)+ = −xe −e + +C . 2 x 2 x 1 e e
Do f (0) =1 nên ta có C = 1 . Do đó f ( x) 1 = −x −1 x + + e . 1 x e Vậy f ( ) 1 1 = 2 − + + e . e
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 62 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 TÍCH PHÂN
ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT – TÍCH PHÂN CƠ BẢN 1
Câu 78: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho f  (x)dx = 2, 0 2 2 f
 (x)dx =1. Tích phân f (x)dx  bằng 0 1 Ⓐ 1. Ⓑ 2 . Ⓒ 1 − . Ⓓ 3 . Lời giải 2 2 1 Ta có f
 (x)dx = f
 (x)dx − f
 (x)dx =1−2 = 1 − . 1 0 0 Câu 79: (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021) Cho 1 1 1  f
 (x)−2g(x) dx =12  và g
 (x)dx = 5. Khi đó f (x)dx  bằng 0 0 0 Ⓐ 2 − . Ⓑ 12 . Ⓒ 22 . Ⓓ 2 . Lời giải 1 1 1  f
 (x)−2g(x) dx =12   f
 (x)dx −2 g  (x)dx =12 0 0 0 1 1  f
 (x)dx =12+2 g
 (x)dx =12+2.5 = 22 . 0 0  2
Câu 80: (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021) Giá trị của sin d x x 0 bằng  Ⓐ 0 . Ⓑ 1. Ⓒ 1 − . Ⓓ . 2 Lời giải  2  = − 2 sin d x x cos x =1  . 0 0 1
Câu 81: (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2020-2021) Tích phân 2020 x dx  bằng 1 − 1 2 Ⓐ . Ⓑ . Ⓒ 2 . Ⓓ 0 . 2021 2021 2020 Lời giải
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 63 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 1 1 2021 x 1  1 −  2 2020 x dx = = − =    . 2021 2021  2021 2021 1 − 1 − 1 3
Câu 82: (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2020-2021 LẦN 04) Nếu f
 (x)dx = 3 và f  (x)dx = 7 0 0 3
thì f ( x) dx  bằng 1 Ⓐ 10 . Ⓑ 4 . Ⓒ 4 − . Ⓓ 21. Lời giải 3 1 3 3 3 1 Ta có: f
 (x)dx = f
 (x)dx + f
 (x)dx f
 (x)dx = f
 (x)dx − f
 (x)dx = 7−3= 4. 0 0 1 1 0 0
Câu 83: (CHUYÊN NGUYỄN BÌNH KHIÊM QUẢNG NAM NĂM 2020-2021) Cho hàm số 2
y = f (x) có đạo hàm trên đoạn [0; 2], f (0) = 1 và
f '(x)dx = 3 − .  Tính f (2) 0 Ⓐ f (2) = 4 − . Ⓑ f (2) = 3 − . Ⓒ f (2) = 2 − . Ⓓ f (2) = 4 . Lời giải 2 Ta có 2
f '(x)dx = f (x) = f (2) − f (0) = 3 −  f (2) = 3 − + f (0) = 2 −  0 0
Câu 84: (CHUYÊN NGUYỄN BÌNH KHIÊM QUẢNG NAM NĂM 2020-2021) Cho 1
f ( x), g ( x) là các hàm số liên tục trên R thoả mãn f  (x)dx = 3; 0 2 2 2  f
 (x)−3g(x)dx = 4  và 2 f
  (x)+ g(x)dx = 8 
. Tính f ( x)dx  . 0 0 1 Ⓐ I = 0 . Ⓑ I = 2 . Ⓒ I =1. Ⓓ I = 3 . Lời giải 2 2   f
 (x)dx−3 g  (x)dx = 4 2 2 0 0 Do  f
 (x)−3g(x)dx = 4  và 2 f
  (x)+ g(x)dx = 8  nên  2 2  0 0 2 f
 (x)dx+ g  (x)dx =8 0 0 2 Vì vậy f  (x)dx = 4 . 0 2 2 1 Ta có f
 (x)dx = f
 (x)dx − f  (x)dx =1. 1 0 0
Câu 85: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021 LẦN 02) Nếu 2 2 2 f
 (x)dx = 5 và g
 (x)dx = 9 thì 2 f
 (x)+ g(x)dx  bằng 1 1 1
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 64 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 Ⓐ 19 . Ⓑ 28 . Ⓒ 14 . Ⓓ 4 . Lời giải 2 2 2 Ta có 2 f
 (x)+ g(x)dx = 2 f
 (x)dx+ g
 (x)dx = 2.5+9 =19. 1 1 1
Câu 86: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021 LẦN 02) Nếu 3  3 f
  (x)−2xdx =5  thì f ( x)dx  bằng 1 1 Ⓐ 9 . Ⓑ 13 . Ⓒ 10 . Ⓓ 12 . Lời giải 3 3 3 3 3 Ta có:  f
  (x)−2xdx = f   (x)dx− 2 d x x = 5  f   (x) 2 dx = 5 + x = 5 + 8 =13. 1 1 1 1 1
Câu 87: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021 LẦN 02) Tích phân π 2 cos d x x bằng 0 Ⓐ 1. Ⓑ 0 . Ⓒ 2 . Ⓓ 2 . Lời giải π 2 π π Ta có 2 cos d x x sin x sin sin 0 1 . 0 2 0 1
Câu 88: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Tích phân 2 x e dx  bằng 0 2 e −1 Ⓐ e − 2 e −1. Ⓑ 1 . Ⓒ ( 2 2 e − ) 1 . Ⓓ . 2 2 Lời giải 1 2 e − x 1 1 x 1 Ta có 2 2 e dx = e =  . 2 0 2 0
Câu 89: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho hàm số f ( x) liên tục trên
 ;ab và F (x) là một nguyên hàm của f (x). Tìm khẳng định sai. b a Ⓐ f
 (x)dx = F(b)−F(a) . Ⓑ f  (x)dx = 0. a a b Ⓒ b = − f  (x) a dx = − f  (x)dx. Ⓓ f
 (x)dx F(a) F(b) . a b a Lời giải b
Theo định nghĩa tích phân, ta có f
 (x)dx = F(b)−F(a) . a
Vậy D là khẳng định sai.
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 65 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 2
Câu 90: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 04) Nếu f  (x)dx = 3 1 2 2
và g ( x) dx = 1 −  thì 2 f
 (x) +3g(x)dx  bằng 1 1 Ⓐ 2 . Ⓑ 9 . Ⓒ 3 . Ⓓ 0 . Lời giải 2 2 2 2 f
 (x)+3g(x)dx = 2 f   (x)dx 3 + g
 (x)dx = 2.3+3(− )1 = 3. 1 1 1 Câu 91:
(CHUYÊN HÙNG VƯƠNG PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 04) Tích phân  2 sin xdx  bằng 0   Ⓐ − . Ⓑ 1. Ⓒ 1 − . Ⓓ . 2 2 Lời giải  2   = − 2 sin xdx cos x = −cos + cos0 = 1  . 0 2 0
Câu 92: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2020-2021) Cho hàm số 1 1
f ( x), g ( x) liên tục trên 0  ;1 và
f (x)dx = 1
− ,  g (x)dx = 2 . Tính 0 0 1 2
 f (x)+3g(x)d  x 0 Ⓐ 4 . Ⓑ 1. Ⓒ 2 − . Ⓓ 5 . Lời giải 1 1 1 Ta có : 2
 f (x)+3g(x)d
x = 2 f (x)dx + 3 g (x)dx = 2(− ) 1 + 3.2 = 4 . 0 0 0 Câu 93:
(CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP NĂM 2020-2021) Cho hàm số 6 4
f ( x) liên tục trên đoạn 0;6 thoả mãn
f (x)dx = 10  và
f (x)dx = 6.  Tính giá trị 0 2 2 6 của biểu thức P =
f (x)dx + f (x)d . x   0 4 Ⓐ 4. Ⓑ 8. Ⓒ 16. Ⓓ 10. Lời giải
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 66 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 6 2 4 6
Ta có f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx + f (x)dx = 10     0 0 2 4 2 6 4 Suy ra P =
f (x)dx + f (x)dx = 10 − f (x)dx = 10 − 6 = 4    . 0 4 2 1 Câu 94: Tính 3 = e x I dx  . 0 3 e −1 Ⓐ 1 3 I = e −1. Ⓑ I = e −1. Ⓒ I = . Ⓓ 3 I = e + . 3 2 Lời giải Chọn C 1 1 x 1 x 1 Ta có 3 e dx = ( 3e ) = ( 3e −  )1. 0 3 3 0 2 5 5 Câu 95: Nếu f
 (x)dx = 3 và f (x)dx = 1 − 
thì f ( x) dx  bằng 1 2 1 Ⓐ 2 − . Ⓑ 4 . Ⓒ 2 . Ⓓ 3 . Lời giải Chọn C 5 2 5 f
 (x)dx = f
 (x)dx+ f
 (x)dx = 3+(− )1 = 2. 1 1 2  2 2
Câu 96: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021) Tích phân dx  2  sin x 4 bằng  Ⓐ 2 . Ⓑ 3 . Ⓒ 1. Ⓓ . 4 Lời giải Chọn A  2  2     Tích phân 2 dx = 2 − cot x = 2 − cot − cot = 2    . 2   sin x  2 4  4 4
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 67 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 5
Câu 97: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021) Nếu f (x)dx = 10  và 2 9 9
f (x)dx = 7 
thì f (x)dx  bằng 2 5 Ⓐ −3 . Ⓑ 3 . Ⓒ 17 . Ⓓ −17 . Lời giải Chọn A 9 9 5
Ta có: f (x)dx = f (x)dx − f (x)dx = 7 −10 = 3 −    . 5 2 2 4
Câu 98: (SGD&ĐT LAI CHÂU NĂM 2020-2021) Tính tích phân I = xdx  . 1 Ⓐ 14 . Ⓑ 13 . Ⓒ 4 . Ⓓ 11 . 3 3 3 Lời giải Chọn A 4 14 Ta có I = xdx =  . 3 1
Câu 99: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 03) Tích phân 2
( 2x + x)dx bằng 0 Ⓐ 14 − . Ⓑ −5 . Ⓒ 5 . Ⓓ 14 . 3 3 Lời giải Chọn D 2 2 3 2 3 2  x x  2 2 8 14 Ta có ( 2
x + x)dx =  +  = + = + 2 = .  3 2  3 2 3 3 0 0 0
Câu 100: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NINH NĂM 2020-2021) Tích phân ( 5 6x +  )1dx 2 − bằng Ⓐ 62. − Ⓑ 64. Ⓒ 68. Ⓓ 68. − Lời giải Chọn A
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 68 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 0 0 Ta có  (6x + )
1 dx = ( x + x) = − ( 2 − )6 5 6 − 2 = 6 − 2.   2 − 2 −  2
Câu 101: (CHUYÊN LONG AN NĂM 2020-2021 LẦN 03) Giá trị của sin
xdx bằng bao nhiêu? 0  Ⓐ 1. Ⓑ 1 − . Ⓒ . Ⓓ 0 . 2 Lời giải Chọn A   2    Ta có: 2 sin = −cos = − cos − cos0 = 1  xdx x   . 0  2  0
Câu 102: (CHUYÊN LONG AN NĂM 2020-2021 LẦN 03) Cho hàm số f ( x) liên tục trên 6 10 10
thỏa mãn f ( x)dx = 7,
f ( x) dx = 1 −   . Tính I = f  (x)dx . 0 6 0 Ⓐ I = 5 . Ⓑ I = 8 . Ⓒ I = 7 . Ⓓ I = 6 . Lời giải Chọn Ⓓ 10 6 10 Ta có I = f
 (x)dx = f
 (x)dx + f
 (x)dx = 7 −1= 6 . 0 0 6 4
Câu 103: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN VŨNG TÀU NĂM 2020-2021) Tính tích phân I = xdx 1 . Ⓐ 14 . Ⓑ 13 . Ⓒ 4 . Ⓓ 11 . 3 3 3 Lời giải 4 4 4 1 3 4 2 2 14 Ta có 2 2 I =
xdx = x dx = x = x x =   . 3 3 3 1 1 1 1
Câu 104: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Trong không gian Oxyz , cho điểm A(2; 2 − ; ) 1 , B (1; 1
− ;3) .Tọa độ của vectơ AB là Ⓐ (3; 3 − ;4) . Ⓑ ( 1 − ;1;2) . Ⓒ ( 3 − ;3; 4 − ) . Ⓓ (1; 1 − ; 2 − ). Lời giải
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 69 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 Chọn B
Tọa độ của vectơ AB là ( 1 − ;1;2) . 1
Câu 105: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Tính 3x I = e dx 0 3 e −1 Ⓐ 3 1
I = e −1. Ⓑ I = e −1. Ⓒ I = . Ⓓ 3 I = e + . 3 2 Lời giải Chọn C 1 3 1 e − x 1 x 1 Ta có: 3 3 I = e dx = e =  0 3 3 0 2 5
Câu 106: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Nếu f x dx 3 ; f x dx 1 thì 1 2 5 f x dx bằng 1 Ⓐ 2 − . Ⓑ 4 . Ⓒ 2 . Ⓓ 3 . Lời giải Chọn C 5 2 5 Ta có f x dx f x dx f x dx 3 1 2 . 1 1 2
Câu 107: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số f ( x) 3
có f (2) = 2, f (3) = 5 ; hàm số f ( x) liên tục trên đoạn 2;  3 . Khi đó f
 (x)dx bằng 2 Ⓐ 3 . Ⓑ 10 . Ⓒ −3 . Ⓓ 7 . Lời giải Chọn A 3 3 Ta có f
 (x)dx = f (x) = f (3)− f (2) = 5−2 = 3. 2 2 3 3
Câu 108: (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Biết f
 (x)dx =5 và g(x)dx = 7 −  . 1 1 3 Giá trị của 3 f
 (x)−2g(x)dx  bằng 1 Ⓐ −29 . Ⓑ 1. Ⓒ 29 . Ⓓ 31 − .
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 70 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 Lời giải Chọn C 3 3 3 3 3 3  f
 (x)−2g(x)dx = 3f
 (x)dx − 2g
 (x)dx =3 f
 (x)dx −2 g
 (x)dx =3.5−2.( 7 − ) = 29 1 1 1 1 1 .
Câu 109: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021) Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn  1 2 2 0; 2 thỏa mãn f
 (x) dx = 3 và f
 (x) dx = 2. Khi đó f (x)dx  bằng 0 1 0 Ⓐ 6 . Ⓑ 1. Ⓒ 1 − . Ⓓ 5 . Lời giải Chọn D 2 1 2 f
 (x)dx = f
 (x)dx + f
 (x)dx = 3+2 = 5 . 0 0 1 1 1
Câu 110: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 01) Biết
f ( x)dx =  và 3 0 1 1 g ( x) 4 dx = 
. Khi đó (g (x) − f (x))dx bằng 3 0 0 Ⓐ 5 − . Ⓑ 5 . Ⓒ 1 − . Ⓓ 1. 3 3 Lời giải Chọn D 1 ( 1 1
g ( x) − f ( x))dx = g
 (x)dx− f  (x) 4 1 dx = − = 1, 3 3 0 0 0 Câu 111: (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021) Nếu 4 4 5 f
  (x)−3dx = 5  thì f x dx bằng 1 − 1 14 Ⓐ 4 . `Ⓑ 3 . Ⓒ 2 . Ⓓ . 5 Lời giải 4 4 4 4 Ta có 5 f
  (x)−3dx = 5  5 f
 (x)dx−3 dx= 5  f   (x)dx = 4. 1 − 1 − 1 − 1 −
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 71 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 2021 2021
Câu 112: (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2020-2021) Nếu f
 (x)dx =12 và f  (x)dx = 2 2 2020 2020 thì f ( x)dx  bằng 2 Ⓐ −10 . Ⓑ 10 . Ⓒ 14 . Ⓓ 24. Lời giải 2021 2020 Ta có
f ( x)dx = 2 
f ( x)dx = 2 −   2020 2021 2020 2021 2020 2020 f
 (x)dx = f
 (x)dx + f
 (x)dx =12−2 =10. Vậy f  (x)dx =10. 2 2 2021 2 1
Câu 113: (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho 5 f  (x) 2021 + x + xx d = 20   . 1 − 1 Tính f  (x) x d . 1 − Ⓐ 5 . Ⓑ 4. Ⓒ 1. Ⓓ 0 . Lời giải 1 1 1 1 1 2022 2   Ta có 5 f  (x) 2021 + x
+ x dx = 5 f  (x) 2021 dx + x + x dx      = 5 ( )d x x f x x +  +   2022 2  1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 = 5 f  (x)dx . 1 − 1 1 Do đó 5 f
 (x)dx = 20 f  (x)dx = 4. 1 − 1 −
Câu 114: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Tìm giá trị của a để 4 1 dx = ln a  . x −1 x − 2 3 ( )( ) Ⓐ 3 . Ⓑ 1 . Ⓒ 12 . Ⓓ 4 . 4 3 3 Lời giải 4 4 1  1 1  4  −  Ta có 4 x 2 4 dx = − dx   
= (ln(x − 2) − ln(x − ) 1 ) = ln   = ln . x −1 x − 2
x − 2 x −1 3  x −1  3 3 ( )( ) 3 3 Do đó 4 4 ln a = ln  a = . 3 3 Câu 115: (THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020-2021 LẦN 01) Biết rằng 2 3
x −1 dx = a +bln3+cln 2  với , a ,
b c là các số hữu tỉ. Tính 2a + 3b − 4c . 2 x + x 1
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 72 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 Ⓐ −19 . Ⓑ 19 . Ⓒ 5 . Ⓓ −5 . Lời giải Chọn B Ta có: 2 3 2 x −1  x −1  dx = x −1+ dx    2 2 x + xx + x  1 1 2  1 1  =  2    x −1+ −  dx 1 1 1 = x −1+ − − dx    x +1 x x +1  x +1  x x +1 1  ( ) 1 2 2  2 1   1  2 = x −1+ − dx =
x − x + 2 ln x +1 − ln x      x +1 x   2  1 1 1
= 2 − 2 + 2ln 3 − ln 2 − +1− 1 2 ln 2 = + 2ln 3 − 3ln 2 2 2 1
a = ;b = 2;c = 3 − 2
 2a + 3b − 4c =1+ 6 +12 =19 Câu 116: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM NĂM 2020-2021) Biết 8 f  (x) 4 dx = 2 − ; f  (x) 4 dx = 3; g
 (x)dx = 7. Mệnh đề nào sau đây là sai? 1 1 1 8 4 4 Ⓐ f
 (x)dx+ g  (x)dx =8. Ⓑ  f
 (x)+ g(x)dx =10  . 4 1 1 8 4 Ⓒ
f ( x) dx = 5 −  . Ⓓ 4 f
 (x)−2g(x)dx = 2 −  . 4 1 Lời giải 8 4 8
Từ f ( x) dx = 2
− ; f (x)dx = 3  f (x)dx = 5 −    . 1 1 4 8 4 Do đó f
 (x)dx+ g  (x)dx = 5 − + 7 = 2 4 1 2 2
(2x−3f (x))dx = 3 f ( x) dxCâu 117: Nếu 0 thì 0 bằng Ⓐ 1 . Ⓑ 5 . Ⓒ 5 . Ⓓ 1 . 3 2 2 3 Lời giải Chọn D 2 2 2
Ta có (2x −3 f (x))dx = 3  2 d x x − 3 f   (x)dx = 3 0 0 0 2 2 2  x − 3 f  (x)dx = 3 0 0
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 73 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 2  4 − 3 f  (x)dx = 3 0 2  f (x) 1 dx =  3 0 4
Câu 118: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021) Cho f  (x)dx =10. 1 −
Biết F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) và F (− ) 1 = 4
− . Tính F (4). Ⓐ F (4) = 6 . Ⓑ F (4) =14. Ⓒ F (4) = 1 − 4 . Ⓓ F (4) = 6 − . Lời giải Chọn A 4 Ta có f
 (x)dx =10  F(4)−F(− )1 =10  F(4) =10+ F(− )1 =10−4 = 6. 1 −
Câu 119: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 03) Nếu 1 1 3 f
 (x)+ xx d = 2  f  (x) x d = 2 0 thì 0 bằng Ⓐ 1 − . Ⓑ 1 . Ⓒ 2 . Ⓓ 2 . 2 2 3 Lời giải Chọn B 1 1 1 1 1 2  x  Ta có 3 f
 (x)+ xx d = 2  3 f   (x) x d + x x d = 2  3 f   (x) x d +   = 2  2  0 0 0 0   0 1 1 1  f ( x) 1 x d = −  f ( x) 3 x d =  f (x) 1 3 2 3 x d =    . 2 2 2 0 0 0 1 f  (x) x d = 2
Câu 120: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 03) Nếu 1 − 2 2 f  (x) x d = 8 f ( x) x  d và 1 − thì 1 bằng Ⓐ 4 . Ⓑ 10 . Ⓒ 6 . Ⓓ 16 . Lời giải Chọn C
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 74 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 2 1 2 2 1 Ta có f  (x) x d = 8  f  (x) x d + f  (x) x d = 8  f  (x) x d = 8 − f  (x) x d = 8 − 2 = 6 . 1 − 1 − 1 1 1 − 2
Câu 121: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NINH NĂM 2020-2021) Cho 2 và g(x) = 1 −  . 1 − 2
Tính I = [x + 2 f (x) + 3g(x)]  bằng? 1 − Ⓐ 11 I = . Ⓑ 7 I = . Ⓒ 17 I = . Ⓓ 5 I = . 2 2 2 2 Lời giải Chọn D 2 2 2 2 3 5
Vì I = [x + 2 f (x) + 3g(x)]dx = xdx + 2 f (x)dx + 3 g(x)dx = + 2.2 + 3.( 1 − ) =     . 2 2 1 − 1 − 1 − 1 − 3
Câu 122: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NINH NĂM 2020-2021) Nếu
f (x)dx = 3  và 1 3 2
f (x)dx = 4 
thì f (x)dx  bằng: 2 1 Ⓐ −7 . Ⓑ 7 Ⓒ 1 − . Ⓓ 1. Lời giải Chọn C 2 3 3
Ta có f (x)dx = f (x)dx − f (x)dx = 3 − 4 = 1 −    . 1 1 2 2 2
Câu 123: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Nếu (2x −3 f (x))dx = 3 thì f (x)dx  0 0 bằng Ⓐ 1 − . Ⓑ 5 − . Ⓒ 5 . Ⓓ 1 3 2 2 3 Lời giải Chọn D 2 ( 2 2 2 2
x − f ( x)) x =  x x −
f ( x) x =  −
f ( x) x =  f ( x) 1 2 3 d 3 2 d 3 d 3 4 3 d 3 dx =      . 3 0 0 0 0 0
Câu 124: (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Biết F ( x) = cos x là một nguyên 
hàm của hàm số f ( x) trên
. Giá trị của 3 f
 (x)+ 2dx  bằng 0
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 75 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 Ⓐ 2 − 6 . Ⓑ 4 − . Ⓒ 2 . Ⓓ 2 . Lời giải Chọn A       Ta có:   3 f
 (x)+ 2dx  = 3 f
 (x)dx + 2 dx
 = 3F (x) + 2x =3cosx +2x = 2 −6. 0 0 0 0 0 0 0
Câu 125: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên 3 tục trên đoạn 1;  3 , và f '
 (x)dx = 6. Tính f ( )1 1 Ⓐ 10 . Ⓑ 11. Ⓒ 1. Ⓓ 1 − . Lời giải Chọn D 3 Ta có : f '
 (x)dx = f (3)− f ( )1 = 6  f ( )1 = f (3)−6 =5−6 = 1 − 1
Câu 126: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021) Cho hai hàm số f ( x), g ( x) liên tục 2 2
trên đoạn 1; 2 và thỏa mãn 3 f
 (x)+2g(x)dx =1  , 2 f
 (x)− g(x)dx = 3 −  . Khi đó, 1 1 2 f ( x) dx  bằng 1 Ⓐ 6 . Ⓑ 16 . Ⓒ 11 . Ⓓ 5 − . 7 7 7 7 Lời giải Chọn D 2 2 2 2   
 f (x) g(x)   x
  f (x) x g (x)  + = + x =  f (x) 5 3 2 d 1 3 d 2 d 1 dx = −    7 1 1 1 1 Theo đề:      . 2 2 2 2  
f (x) g(x)      x
f (x) x g(x)  − = − − x = − g(x) 11 2 d 3 2 d d 3 dx =   7 1  1 1 1
Câu 127: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số 2021 f ( ) x = x
+sinx + 2021. Biết rằng có duy nhất giá trị của a m m = − để ' ( .
x f (m− x) − f (x))dx = 1 
. Tìm a + b . b 0
Ⓐ a + b = 2021.
Ⓑ a + b = 2023.
Ⓒ a + b = 2020 .
Ⓓ a + b = 2022 .
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 76 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 Lời giải m m m Ta có ' ( .
x f (m− x) − f (x))dx = 1  '  .
x f (m− x)dx −
f (x)dx = 1   0 0 0 m m m  − . x f
(m − x) + f
 (m− x)dx − f (x)dx =1  o 0 0 0 m
 −mf (0) − f (t)dt − f (x)dx = 1   m 0 m m  2
− 021m + f (t)dt − f (x)dx =1   o 0 1  m = −
. Vậy a =1;b = 2021 a + b = 2022 . 2021
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Câu 128: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho hàm số f x liên tục trên 6 3 và f x dx 10 , thì
f 2x dx bằng 0 0 Ⓐ 30 . Ⓑ 20 . Ⓒ 10 . Ⓓ 5 . Lời giải 3 Xét I
f 2x dx . 0 Đặt t 2x dt 2dx . Đổi cận: x 0 t 0 . x 3 t 6 . 6 6 6 Lúc đó: 1 1 1 1 I f t . dt f t dt . f x dx .10 5 . 0 0 0 2 2 2 2 2 e Câu 129: ln x
(CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2020-2021) Tích phân dxx e bằng Ⓐ 3. Ⓑ 3 . Ⓒ 1. Ⓓ 2. 2 Lời giải 2 2 2 e e e Ta có ln x x = x ( x) 1 = ( x)2 3 d ln d ln ln =   . x 2 2 e e e 1 dx
Câu 130: (SGD&ĐT LAI CHÂU NĂM 2020-2021) Tính tích phân I =  bằng cách đặt 1 x + e 0 x
t = e , ta được:
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 77 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 e 1 e 1 Ⓐ dt dt dt tdt I =  . Ⓑ I =  . Ⓒ I =  . Ⓓ I =  . 1+ t 1+ t t 1+ t 1+ t 1 ( ) 1 0 0 Lời giải Chọn C Đặt x =  d x t e
t = e dx .
x = 0  t =1
Đổi cận x =1t = e 1 e dx dt Ta có: I = =   . 1 x + e t(1+ t) 0 1 1 dx
Câu 131: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN VŨNG TÀU NĂM 2020-2021) Tính tích phân I = 1 x + e 0 bằng cách đặt x
t = e , ta được e 1 e 1 Ⓐ dt dt dt tdt I =  . Ⓑ I =  . Ⓒ I =  . Ⓓ I =  . 1+ t 1+ t t t +1 1+ t 1 ( ) 1 0 0 Lời giải Đặt x t = e  d x
t = e dx .
Đổi cận: x = 0  t = 1.
x = 1  t = e . 1 1 x e dt Khi đó: dx e .dx I = =   =  . 1 x x + e e 1 x + e t 1+ t 1 ( ) 0 0 ( )
Câu 132: (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021) Cho hàm số 4 e 1 − 2
x + 2x −1 khi x  2 x 2 =  +  f (x) =  . Giá trị của I . f ln x 1 dx  thuộc khoảng 2  ( )
x + 5 khi x  2 x +1 0 nào dưới đây ? Ⓐ ( 2 − ;3) . Ⓑ (5;7) . Ⓒ (10;1 ) 1 . Ⓓ (8;9) . Lời giải Đặt = ( 2x + ) 2x u ln 1  du = dx . 2 x +1
Đổi cận: x = 0  u = 0 ; 4
x = e −1  u = 4 . 4 e 1 − x I = . f ln   (x + ) 4 2 4 1 1 1 2 1  dx =
f (u) du =
f (u) du + f (u) du    2  x +1 2 2 2 0 0 0 2 2 1 = (u +2u − ) 4 1 31 2 1 du + (u +5)du =   . 2 2 3 0 2
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 78 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 Suy ra: I (10;1 ) 1 . Câu 133: (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2020-2021) Cho hàm số  +  1 f ( x) 2x 1 khi x 3 = 
( a là tham số thực). Nếu f  ( xe + ) x 2
1 e dx = e thì a bằng
ax − 3a + 7 khi x  3 0 2 3e + 4e − 6 Ⓐ e − Ⓒ 6e + 6 Ⓓ 6 − e + 6 e − . Ⓑ 6 6 1 Lời giải Đặt x = +1 x t e
dt = e dx . Nếu x = 0  t = 2, Nếu x =1 t = e +1 Suy ra: 1 + + + f  ( xe + ) e 1 3 e 1 3 e 1 1 x e dx = f
 (t)dt = f
 (t)dt + f
 (t)dt = (at −3a +7)dt +  (2t + )1dt 0 2 2 3 2 3 3 2   e at + = 
− 3at + 7t  + (t + t) 1 2 = 2  2  2 2 2  .3 a   .2 a  =  − 3 .3 a + 7.3 −  − 3 .2
a + 7.2  + ( e + )2 1 + e + ) 1 − ( 2 3 + 3)  2   2  −a 2 = + e + 3e − 3 2 1 Theo giả thiết: f  ( xe + ) x 2
1 e dx = e nên ta có phương trình: 0 −a a 2 2
+ e + 3e − 3 = e
= 3e − 3  a = 6e − 6 2 2
Câu 134: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số  2 f ( x) 2
= x −1 . Tích phân f (3cos x −  )1.sin xdx bằng 0 Ⓐ 8 . Ⓑ 10 . Ⓒ 7 . Ⓓ 11 . 9 9 9 9 Lời giải 2 x −1 , x  (− ;  − ) 1  ( 1 − ;+  ) Ta có f ( x) 2 = x −1 =  . 2 −x +1 , x     1 − ;  1
Đặt 3cos x −1 = t  3
− sin xdx = dt . 
Khi x = 0 thì t = 2 ; Khi x = thì t = 1 − . 2 Vậy
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 79 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021  2 1 − 2 f  ( x − ) 1 xdx = − f  (t) 1 3cos 1 .sin dt = f  (t)dt 3 3 0 2 1 − 1 2 1 2 1     =  f
 (t)dt + f  (t) 1 dt  =   ( 8 2 t
− +1 )dt + ( 2t − )1dt = 3 3 9  1 − 1   1− 1 
Câu 135: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Có bao nhiêu giá trị ln a 1 3
thực dương của tham số a để dx = ln  ?. x e + 2 x e− − 3 2 ln 3 Ⓐ 3 . Ⓑ 2 . Ⓒ 4 . Ⓓ 1. Lời giải ln a dx Xét I =  x e + 2 x e− − 3 ln 3 Đặt x x
t = e dt = e dx Đổi cận x ln 3 ln a t 3 a ln a a a a dx dt dt t − 2 a − 2 1 I = = = = ln = ln − ln    x −x 2 e + 2e − 3 t − 3t + 2
(t −1)(t − 2) t −1 a −1 2 ln 3 3 3 3 3 a − 2 1 3 a − 2 3 I = ln  ln − ln = ln  ln = ln 2 a −1 2 2 a −1 4  − Ta có a 2 3 =   a = 5 a − 2 3  −
4a − 8 = 3a − 3 a 1 4    =     11 a −1 4 a − 2 3 − 4a −8 = 3 − a + 3   a = =   7  a −1 4 1 11  Khi 11 a =
thì hàm số f (t) = ;3   nên 7 (t − )1(t −
không liên tục trên khoảng 2)  7  không thỏa mãn.
Vậy có 1 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 136: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NINH NĂM 2020-2021) Cho hàm số  − −  ln 4 f ( x) 2 x 8x 5 khi x 8 = 
. Tích phân  (2 x + 3) x f e e dx bằng −x +3 khi x  8 0 Ⓐ 39 . Ⓑ 39 . Ⓒ 123 − . Ⓓ 123 − . 2 4 2 4 Lời giải Chọn B
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 80 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 ln 4
Ta có: =  (2 x + 3) x I f e e dx . 0 Đặt = 2 x + 3  = 2 x u e du e dx . Đổi cận:
x = 0  u = 5; x = ln 4  u = 11 11 11 11 8 11 I = f  (u) du 1 = f  (u) 1 du = f  (x) 1 dx = f  (x) 1 . dx + f  (x)dx 2 2 2 2 2 5 5 5 5 8 8 11 8 11   1 = (  x   x  −x + 3) 1 dx + (x −8x−5) 2 3 1 2 2 dx =
− +3x + − 4x −5x   . 2 2 2  2 3      5 8  5 8  1  5 286 376  39 = 8 − − − + =   . 2  2 3 3  4
x − x + khi x
Đổi đề do hàm số f ( x) 2 1 8 = 
không liên tục tại x = 8 . −x +3 khi x  8
Câu 137: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN VŨNG TÀU NĂM 2020-2021) Cho hàm số y = f ( x) có     4
f (0) = 0 và f ( x) 4 2
= tan x + tan x , x   0; 
 . Tính I = f  (x) .  dx 2  0 − − Ⓐ 1 . Ⓑ 1 . Ⓒ 1 ln 2 . Ⓓ 1 ln 2 . 12 6 6 3 Lời giải Ta có: f   (x)dx = ( 1 4 2 tan x + tan x) 2 dx = tan x  ( 2 tan x + ) 2 1 dx = tan . x dx  2 cos x x = tan d x  (tan x) 3 tan 2 = + C . 3 x x Suy ra f ( x) 3 tan =
+ C ; f (0) = 0  C = 0. Do đó f (x) 3 tan = . 3 3        4 4 4 4 4 1 1  1  1  sin x  Ta có I = f  (x) 3 dx = tan d x x = tan x −1 dx = tan d x tan x − dx       2 ( )   3 3  cos x  3 cos x 0 0 0 0 0      2 1  tan x  1  1 1  1− ln 2 = + ln cos x   4 = − ln 2 =   . 3  2  3  2 2  6 0  4 1− ln 2
Vậy I = f ( x)dx =  . 6 0
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 81 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 138: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2020-2021) Biết rằng ln 4 dx
= a + bln 2 + c ln 3  với , a , b c
. Tính a + b + c . + 0 1 x e Ⓐ –2. Ⓑ 3. Ⓒ 2. Ⓓ –1. Lời giải ln 4 dx ln 4 x e ◦ Ta có: I =  = dx  . + x x + 0 e (1 e ) 0 1 x e ◦ Đặt = 1 x t + e x
e = (t − )2 1 . ◦ Suy ra: x
e dx = 2(t − ) 1 dt .
◦ Đổi cận: x = 0  t = 2 và x = ln 4  t = 3 . 3 3 2(t − ) 3 1 dt  −  ◦ Khi đó: 1 t 1 2 1 I = =  = = − (  2 ln   2 ln 2 ln t − ) 2 dt 2 1 t t −1 tt  3 2 2 2 ( ) 2
= 2ln 2 − 2ln 3+ 2ln 2 = 4ln 2 − 2ln 3.
◦ Vậy: a = 0,b = 4,c = 2
− → a + b + c = 2.
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Câu 139: (CHUYÊN NGUYỄN BÌNH KHIÊM QUẢNG NAM NĂM 2020-2021) Cho 2 x + ln x a 1 I = = −  với là phân số tối ( , a ,
b c là các số nguyên dương và a x + ) dx ln 2 2 1 b c b 1 + giản.Tính giá trị a b S = c Ⓐ 2 S = . Ⓑ 1 S = . Ⓒ 1 S = . Ⓓ 5 S = . 3 2 3 6 Lời giải x +1 u  = x + ln x du = dx    Đặt x  1   dv =  (  x +  ) dx 2 1 1 v = −  x +1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 Ta được I = −
(x +ln x) + dx = − 
(2+ln2)+ +ln x = ln2− . x +1 1 x 3 2 1 3 6 1
Suy ra: a = 2,b = 3,c = 6 . Vậy 5 S = . 6
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 82 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 e
Câu 140: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Tính tích phân I = x ln d x x  , 1 2 e + a
ta được kết quả I =
, với a , b là các số nguyên. Tính 3 3 a + b . b Ⓐ 35 . Ⓑ 65 . Ⓒ 28 . Ⓓ 9 . Lời giải e I = x ln d x x 1  1 du = dx u  = ln x  Đặt  , ta có x  . d  v = d x x 2 xv =  2 e e 2 e 2 2 2 2 2 x ln x x e x e  e 1  e +1 Ta có I = − dx = − = −   −  = . 2 2 2 4 2  4 4  4 1 1 1
Suy ra a = 1, b = 4 . Vậy 3 3 3 3
a + b = 1 + 4 = 65 .
Câu 141: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP NĂM 2020-2021) Cho hàm số 1
f ( x) có đạo hàm f '( x) và thỏa (2x + )
1 f '( x)dx = 10, 3 f ( )
1 − f (0) = 12. Tính 0 1 I = f  (x)dx 0 Ⓐ I = 1 − . Ⓑ I =1. Ⓒ I = 2 . Ⓓ I = 2 − . Lời giải 1
Từ giả thiết: (2x + )
1 f '( x) dx = 10 . 0  u = 2x +1 du = 2dx Đặt    . dv = f '  (x)dx v = f  (x) 1 1 1
Khi đó ta có: (2x + )
1 f '( x) dx = 10  (2x + )
1 f ( x) − 2 f  (x)dx =10 . 0 0 0 1 −
f (x) − f ( ) − f  (x) 12 10 3 0 2 dx = 10  I = = 1. 2 0
Câu 142: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM NĂM 2020-2021) Cho hàm số f (x) có đạo 3 1 hàm liên tục trên thỏa mãn =   f (3) = 21,
f (x)dx = 9  . Tính tích phân I
x f (3x)dx  0 0
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 83 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 Ⓐ I = 15. Ⓑ I = 6 . Ⓒ I =12. Ⓓ I = 9 . Lời giải 1 1 3 Xét có: 1 I = x f x x = x f x   ( x) 1 (3 )d 3 (3 )d 3 = t f (  t)dt  0 0 0 9 9 u  = t  du = dt  Đặt    dv = f  
(t)dt v = f  (t) 3 3 3
Do đó 9I = t. f (t ) − f
 (t)dt = 3f (3)− f
 (x)dx = 3.21−9 = 54  I = 6. 0 0 0
Câu 143: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM NĂM 2020-2021) Cho hàm số f (x) có đạo
hàm cấp 2 liên tục trên đoạn
0; 1 thỏa mãn f (1) = 0; f (1) =1và 1 2
10 f (x) − 5xf (
x) + x f (x) = 0với mọi x0 
;1 . Khi đó tích phân f (x)dx  bằng 0 − − − − Ⓐ 1 . Ⓑ 2 . Ⓒ 1 . Ⓓ 1 . 15 3 10 17 Lời giải 1 1 1 Ta đặt 2 I = f (x)d ; x J = xf (  x)d ; x K = x f  (  x)dx    . 0 0 0
Theo đề ta có 10I = 5J − K . Hơn nữa, dùng phương pháp tích phân từng phần ta được : 1 1 2 K = x f (
x) − 2 xf (x)dx =1− 2J  0 0 1 1
J = x f (x) −
f (x)dx = 0 − I = −I  0 0 − Suy ra 10I = 5
− I − (1+ 2I) = 7 − I −1. Do đó 1 I = . 17
Câu 144: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ( x) trên đoạn 0;  1 thỏa mãn f ( ) 1 = 4 và 1 1 f
 (x)dx = 3. Tích phân 3x f   ( 2x) xd bằng 0 0 Ⓐ 1 − . Ⓑ 1. Ⓒ 1 . Ⓓ 1 − . 2 2 Lời giải Chọn C Đặt 2
t = x  dt = 2 d x x .
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 84 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 1 1 1 Khi đó 3 x f   ( 2x) x d = t. f   (t) td . 2 0 0 u  = t   u d = t  d Đặt     v d = f  
(t) td v = f  (t) 1 1 1 1 Suy ra t. f
 (t) td = t.f (t) − f
 (t) td = f ( )1− f  (x) x d = 4 − 3 =1. 0 0 0 0 1 1 Vậy 3 x f ( 2 x ) x =  d 2 0
Câu 145: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên
và có đồ thị như hình bên. 1 Đặt K = xf
 (x)f '(x)dx, khi đó K thuộc khoảng nào sau đây? 0  3   2   3 2  Ⓐ ( 3 − ;− 2) . Ⓑ −2; −   . Ⓒ − ;0   . Ⓓ − ; −   .  2   3   2 3  Lời giải Chọn D du = dx u  = x   Đặt  =  ( )   f x dv f x f '( x) 2 ( ) dxv =  2 1 1 2 1 1 xf x 1 1 1 Khi đó K = xf
 (x)f '(x) ( ) 2 dx = − f  (x) 2 dx = − f  (x)dx. 2 2 2 2 0 0 0 0 Từ đồ thị ta thấy: · 2 1 2 1 1 2 −
f ( x)  − x x    f ( x) (2 x) 7 1 f ( x) 2 2 , 0;1  dx dx =  K = − dx  −    . 2 2 6 2 2 3 0 0 0 1 2 1 1 2 f x 1 f x 3 ·
f ( x)  2, x  0  ( ) ( ) ;1 
dx  2dx = 2  K = − dx  −    . 2 2 2 2 0 0 0
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 85 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 Vậy 3 2 −  K  − . 2 3
Câu 146: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ( x) 1 1 trên đoạn 0;  1 thỏa mãn f ( )
1 = 4 và  f (x)dx = 3. Tích phân 3 
x f ( 2x)dx bằng 0 0 Ⓐ 1 − . Ⓑ 1. Ⓒ 1 . Ⓓ −1. 2 2 Lời giải Chọn C Đặt 2
t = x  dt = 2 d x x
Đổi cận: x = 0  t = 0, x =1 t =1. Do đó 1 x . f   (x ) 1 1 1 1 3 2 dx = t. f   (t)dt = . x f   (x)dx 2 2 0 0 0 u =  x du = d  x Đặt    dv = f  
(x)dx v =  f ( x) Khi đó 1   x . f   (x ) 1 1 1 1 1 1 1 3 2 dx = . x f  
(x)dx =  .x f (x) 1 −  f (x)dx = ( f ( )1−3) = (4−3) = . 2 2 0 2 2 2 0 0  0 
Câu 147: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 01) Giả sử f ( x) là hàm có đạo
hàm liên tục trên khoảng (0; ) và f '( x)sin x = x + f ( x)cos x, x  (0; ). Biết       1 f =1, f =    
(a+bln2+c 3), với + +  , a ,
b c là các số nguyên. Giá trị a b c 2   6  12 bằng Ⓐ 1 − . Ⓑ 1. Ⓒ 11. Ⓓ 11 − . Lời giải Chọn A x
 (0; ) , ta có: f '(x)sin x = x + f (x)cos x, x  (0; ).
f '( x)sin x − f ( x)cos x x  = 2 2 sin x sin x
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 86 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021f (x) ' x    = 2 sin x sin x   f ( x) x  = dx = − .
x cot x + ln sin x + C  2 sin x sin x
f (x) = − .xcos x +sin .xln sin x +C.sin x    Ta lại có: f =1  C =1    2     3  1 1 1 1  f = − . + .ln + =   (6−6ln2− 3)  6  2 6 2 2 2 12  a = 6, b = 6 − , c = 1 − .
Vậy a + b + c = 1 − .
TÍCH PHÂN HÀM ẨN – TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT
Câu 148: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2020-2021) Cho f ( x) là hàm số 1 1 liên tục trên
và  f (x)dx = 6. Tính tích phân I = 
 f (2x − )1+ 2xd  x . 1 − 0 Ⓐ I = 4 . Ⓑ I = 13 . Ⓒ I = 7 .
Ⓓ I = 5 . Lời giải Ta có : 1 1 1 I = 
 f (2x − )1+ 2xdx = 
f (2x − )1dx + 2xd  x . 0 0 0 1 Xét I = f 2x −1 d  x đặt 1
u = 2x −1  du = 2dx  dx = du . 1 ( ) 2 0 Đổi cận: 1 1 1 1 I = f u du = f x dx = 3.   Vậy I = 3 +1 = 4 . 1 ( ) ( ) 2 2 1 − 1 −
Câu 149: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên (0;+) . Biết 2 2
x là một nguyên hàm của x f '( x) trên (0; +) và f ( ) 1 = 1. Tính f (e) .
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 87 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 Ⓐ 2 . Ⓑ 3 . Ⓒ 2e +1. Ⓓ e . Lời giải Vì 2 2
x là một nguyên hàm của x f '( x) trên (0; +) nên ta có 2 x f ( x) = ( 2 '
x )' = 2x f ( x) 2 ' = . x e e 2 e Ta có f '
 (x)dx = dx = 2ln x = 2lne−2ln1= 2 = f  (e)− f ( ) 1 . x 1 1 1
 2 = f (e)−1  f (e) = 2+1= 3.
Câu 150: (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên
và thỏa mãn các điều kiện sau: f (0) = 2
− và ( 2x + )1 f (x)+ xf (x) = −x , 3 x
  . Tính tích phân I = xf
 (x)dx . 0 Ⓐ 5 I = . Ⓑ 3 I = − . Ⓒ 3 I = . Ⓓ 5 I = − . 2 2 2 2 Lời giải • ( 2 x + )
1 f ( x) + xf ( x) = −x x x 2
x +1. f (x) + . f ( x) = − 2 2 x +1 x +1   2  x f ( x)  + =   ( 2 1. − x +1) 2
x + f (x) 2 1.
= − x +1 + C . • f (0) = 2
−  1. f (0) = − 1 + C C = 1 − . • 1 2
x +1. f ( x) 2
= − x +1 −1  f (x) = −1− . 2 x +1 Khi đó: 3 3 3       I = xf  (x) x 1 3 5 2 2
dx =  −x−
 dx = − x − x +1 = − − 3+1 −     (−0 − ) 1 = − . 2  +   2   2  2 0 0 x 1 0
Câu 151: (CHUYÊN NGUYỄN BÌNH KHIÊM QUẢNG NAM NĂM 2020-2021) Cho hàm số
y = f ( x) liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 88 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 1 a
f ( x) − f ( − x) = ( 2 5 7 1
3 x − 2x), x
  . Biết rằng tích phân I = .
x f '( x) dx = −  . Tính b 0 T = 3a − . b Ⓐ T =0. Ⓑ T =− 48. Ⓒ T 16. = Ⓓ T =1. Lời giải 1 1 1 1 Ta có: I = . x f ' 
(x)dx = .xd f
(x) = I = .x f (x)1 − f
 (x)dx = f ( )1− f  (x)d .x 0 0 0 0 0
Theo giả thiết: f ( x) − f ( − x) = ( 2 5 7 1 3 x − 2x)  1 1 5 f
  (x)−7 f (1− x)dx =3 
( 2x −2x)dx 0 0 1 1 1 1 1 5 f
 (x)dx −7 f
 (1− x)dx =3( 2x −2x)dx 5 f
 (x)dx −7 f
 (1− x)dx =−2. 0 0 0 0 0 1 0 1 1
Bằng cách đổi biến t =1 x − , ta có f
 (1− x)dx =− f
 (t)dt = f
 (t)dt = f  (x)dx . 0 1 0 0 1 1 1 Thay vào , ta có 5 f
 (x)dx −7 f
 (x)dx =− 2  f  (x)dx =1. 0 0 0
Mặt khác do f ( x) − f ( − x) = ( 2 5 7 1
3 x − 2x) nên lần lượt chọn x =0, x =1 ta có 5  f  (0) −7 f ( ) 1 = 0   f ( ) 5 1 = . 5  f  ( ) 1 − 7 f (0) = 3 − 8 1 1 5 3 Thay f ( ) 5 1 = và f
 (x)dx =1 vào ta có I = f ( )1− f
 (x)dx = −1=− . 8 8 8 0 0
Vậy a = 3; b =8  T =3a −b =9 −8 1 = .
Câu 152: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hàm số f (x) 3
có đạo hàm liên tục trên R + + = +  
và thỏa mãn f (x
3x 1) 3x 2, x R . Tích phân 5 xf (  x)dx  bằng 1 − Ⓐ 31 . Ⓑ 33 . Ⓒ 17 . Ⓓ 49 . 4 4 4 4 Lời giải 3 2 3 2
Ta có f (x + 3x +1) = 3x + 2  (3x + 3) f (x + 3x +1) = (3x + 3)(3x + 2) .
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 89 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 1 1 59 2 3 2
 (3x + 3) f (x + 3x +1)dx = (3x + 3)(3x + 2)dx =   . 4 0 0 1 5 5 59 59 3 3
f (x + 3x +1)d(x + 3x +1) = 
hay f (t)dt = f (x)dx =   . 4 4 0 1 1 5 5 5 59 59 33 Do đó xf (
x)dx = xf (x) − f (x)dx = 5 f (5) − f (1) − = 5.5 − 2 − =   . 1 4 4 4 1 1
Câu 153: (THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020-2021 LẦN 01) Cho hàm số f ( x) liên tục trên (   0;+) và thỏa mãn ( ) 1 2 f x + xf = x   với mọi x  0 .  x  2
Tính f ( x) dx  . 1 2 Ⓐ 7 . Ⓑ 7 . Ⓒ 9 . Ⓓ 3 . 12 4 4 4 Lời giải Chọn D  1   1 
Xét 2 f ( x) + xf = x  4 f   (x)+ 2xf = 2x   ( )1  x   x  1 1 1 1  1  1 1  1 
Đặt x =  2 f + f   (t) =  2 f + f   (x) =  2xf + f   (x) =1 (2) tt t tx x xx  − Từ ( )
1 và (2)  f ( x) 2x 1 = 3 2 2 2 2 2x −1  x − x  2 1 3 Khi đó: f  (x)dx = dx =    = + = . 3  3 1  3 12 4 1 1 2 2 2
Câu 154: (THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020-2021 LẦN 01) Cho hàm số f ( x) liên tục trên và thoả mãn ( ) ( )1 ( ) x xf x x f x e−  + + =
với mọi x . Tính f (0) . Ⓐ 1. Ⓑ 1 − . Ⓒ e . Ⓓ 1 . e Lời giải Chọn B − Ta có: ( )+( + ) 1 ( ) x xf x x f x = e ( )1 x   ( )1 x  ( ) x e xf
x + e ( x + ) 1 f ( x) =1 x  ( )+( x x e xf x
e x + e ) f (x) =1
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 90 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021   x  ( ) + ( x e xf x
e x) f ( x) =1  ( x e . x f ( x)) =1.  Suy ra: ( x e .
x f ( x)) dx = dxxe .
x f ( x) = x + C (2) . Do đẳng thức ( )
1 đúng với mọi x nên ( )
1 cũng đúng với x = 0 . Thay x = 0 vào ( )
1 ta được f (0) =1.
Thay x = 0 vào ( 2)  0 = 0 + C C = 0 x
e xf (x) = x f (x) 1 = với x  0 . x e − Mà: f ( ) 1 0 =  ( ) x f x = e x   . 0 e Suy ra: ( ) x f x e−  = −  f (0) = 1 − .
Câu 155: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021) Biết 8 4 3
f (x)dx = 10; f (x)dx = 4 −   . Tính f
 ( 3x−1)dx. 0 0 1 − Ⓐ 2 . Ⓑ 1. Ⓒ 0 . Ⓓ 4 . Lời giải Chọn A 1 3 3 3 Ta có I = f
 ( 3x−1)dx = f
 (3x− )1dx+ f  (1−3x)dx 1 − 1 1 − 3 1 3 1 I = f
 ( x− ) ( x− ) 3 1 3 1 d 3 1 − f
 (1−3x)d(1−3x) 3 3 1 1 − 3 . 8 0 8 4 1 − I = f  (u) 1 u − f  (t) 1 t = f  (u) 1 u + f  (t) 10 4 d d d dt = = 2 3 3 3 3 3 0 4 0 0
Câu 156: (SGD&ĐT LAI CHÂU NĂM 2020-2021) Cho hàm số f (x) có f (0) = 0 và     4 f ( x) 4 2
= tan x + tan x , x   0;   . Tính =  I f (x)dx  . 2  0 − − Ⓐ 1 . Ⓑ 1 . Ⓒ 1 ln 2 . Ⓓ 1 ln 2 . 12 6 6 3 Lời giải Chọn C
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 91 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 ' 4 2
Ta có f (x) = tan x + tan x
Nguyên hàm hai vế, ta được 4 2 2 2 f ( ) x = (tan x + tan ) x dx = tan .
x (tan x +1)dx   Đặt t = tan x 1 2  dt =
dx = (1+ tan x)dx 2 cos x 3 t 1 Khi đó: 2 3
f (x) = t dt =
+ C = tan x + C  , mà 1
f (0) = 0 nên C = 0 . Vậy 3 f (x) = tan x 3 3 3   4 4 1 Tính 3 I = f (x)dx = tan xdx   3 0 0 Đặt t = tan x 1 2  dt =
dx = (1+ tan x)dx 2 cos x Đổi cận: 1 1 1 dt 1  t  3 I = t . = t − dt    2 2 3 1+ t 3  t +1  0 0 1 1 1 1 1 1 t 1 1 1  I = tdt − dt = tdt − d     ( 2 1+ t 2 2 ) 3 3 1+ t 3 6 1+ t 0 0 0 0 2 1 t 1 1 1 − 2 I = . − ln t + 1 ln 2 1 = . 3 2 0 6 0 6
Câu 157: (SGD&ĐT LAI CHÂU NĂM 2020-2021) Cho hai hàm số f ( x), g ( x) có đạo hàm
trên R và thỏa mãn f ( x) + g ( x) = x , g( x) + f ( x) = − , x x
  . Biết f (0) = g (0) =1. Tính f ( ) 1 . 2 e − 2 2 e + 2 Ⓐ 2 − 2 . Ⓑ 1 e + − 2 . Ⓒ . Ⓓ . e e 2e 2e Lời giải Chọn B
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 92 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021f
 (x) + g (x) = xf
 (x) + g (x) + g(x) + f (x) = 0    g
 (x) + f (x) = −xf
 (x) + g (x) − g(x) − f (x) = 2x x ef   (x) x
+ e g (x) x
+ e g(x) x + e f (x) = 0   −x ef   (x) −x
+ e g (x) −x
− e g(x) −x
−e f (x) = 2 −x xe    x e f
  ( x) + g ( x) +  ( x e )  f
 ( x) + g ( x) = 0    −    x ef
 ( x) − g ( x) +  ( −x e )  f
 ( x) − g ( x) = 2 −x xe  1       +    e
 ( f (x) + g (x)) x x e  =
 ( f ( x) g (x)) dx=0 0   0     −   x  −    e 
( f (x) g(x)) 1 = 2 −x −x xee    ( 1
f ( x) − g ( x)) dx= 2 −x xe dx   0 0 e f  ( ) 1 + g ( ) 1  −  f
  (0) + g (0) = 0   2   f ( ) 1 + g ( ) 1 =     e − 4 − 1 e f  ( ) 1 − g ( ) 1  −  f
  (0) − g (0) = + 2    f  ( ) 1 − g ( ) 1 = 4 − + 2e ef ( ) 1 1 = e + − 2. e
Câu 158: (CHUYÊN LONG AN NĂM 2020-2021 LẦN 03) Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm
liên tục trên 1; 4 , đồng biến trên 1; 4 và thỏa mãn đẳng thức 4
x + xf ( x) =  f ( x) 2 / 2  , x    
1;4 . Biết rằng f ( ) 3 1 = . Tính I = f  (x)dx . 2 1 Ⓐ 1222 . Ⓑ 1201 . Ⓒ 1174 . Ⓓ 1186 . 45 45 45 45 Lời giải Chọn D
Vì hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên 1; 4 , đồng biến trên 1; 4 ; f ( ) 3 1 = . 2
Nên từ đẳng thức x + xf ( x) =  f ( x) 2 / 2  , x     1;4 / / f x f x /
f (x) = x(1+ 2 f (x)) ( ) ( )  = x dx = xdx   1+ 2 f ( x) 1+ 2 f ( x)  + f ( x) 2 1 2
= x x + C , mà f ( ) 3 1 = nên 4 C = 3 2 3 2 2 4 1  2 4   
Vậy 1+ 2 f ( x) = x x +
f (x) =  x x + −1    3 3 2  3 3   
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 93 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 4 1186 Vậy I = f  (x)dx = . 45 1
Câu 159: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số f ( x) liên tục trên
và có một nguyên hàm là hàm số g ( x) 1 2
= x − x +1. Khi đó 2 2 f ( 2 x ) dx  bằng 1 Ⓐ 2 . Ⓑ 4 − . Ⓒ 4 . Ⓓ 2 − . 3 3 3 3 Lời giải Chọn C
Ta có f ( x) = g
 (x) = x −  f  ( 2x) 2 1 = x −1. 2 2 2 3  x  4 Khi đó f
 ( 2x)dx = ( 2x − )1dx = − x = .  3  3 1 1 1
Câu 160: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên thỏa mãn f ( )
1 = 1và f ( x) − xf ( 2 x ) 3 2
= 5x − 2x −1với mọi x Tính tích 2 phân I = xf '
 (x)d .x 1 Ⓐ I = 3. Ⓑ I = 1. − Ⓒ I = 2. Ⓓ I = 5. Lờigiải 2 2 2 2 Ta có: I = xf '
 (x)dx = xd
 ( f (x)) = xf (x) − f  (x)d .x 1 1 1 1 Từ giả thiết 1 1 1
f (2x) − xf ( 2 x ) 3
= 5x − 2x −1 f
 (2x)dx − xf
 ( 2x)dx = ( 3 5x − 2x − ) 1 dx = 1. 0 0 0 1 2 2 1 1 Đặt K = f
 (2x)d .xĐổi biến t = 2x dt = 2dx K = f  (t)dt = f  (x)d .x 2 2 0 0 0 1 1 1 1 1 Đặt L = xf
 ( 2x)d .xĐổi biến 2
t = x dt = 2xdx L = f  (t)dt = f  (x)d .x 2 2 0 0 0 2 1 2 1 2 1 1 1   Khi đó f
 (x)dx− f
 (x)dx =1  f
 (x)dx− f
 (x)dx =1 f  (x)dx = 2. 2 2 2 0 0  0 0  1
Từ giả thiết f ( x) − xf ( 2 x ) 3 2
= 5x − 2x −1 ta suy ra f (2) = 3.
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 94 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 2 2 2
Như vậy: I = xf ( x) − f
 (x)dx = 2.f (2)−1.f ( )1− f
 (x)dx = 2.3−1.1−2 =3. 1 1 1
Câu 161: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hàm số f ( x) liên tục trên và thỏa mãn ( ) = ( )− ( ) 2 0 1; = . x f f x xf x x e , x  . Tích phân 1 xf
 ( x +1)dx bằng 0 Ⓐ 2 e − e .
Ⓑ 4 e − 2e . Ⓒ 1. Ⓓ e . Lời giải  2 2 2 2 2 x x x x x − −  − 
Ta có f ( x) − xf ( x) 2 x 2 = x e e f ( x) 2 − xe f ( x) 2 2 = x e  e f ( x) 2 . .  = . x e   2 2 2 2 2 2 x x x x x x − −   −  e
f ( x) = x e x e f  (x) 2 x 2 2 2 2 2 = e     e f ( x) 2 . d d = e + C.  2 
Theo bài ra f (0) =1 C = 0 . Từ đó suy ra ( ) 2 x f x = e . 1 1 1 1 1 1 Do đó xf  ( x+1) x 1 dx = . x e + dx = d x   ( x 1 e + ) x 1 + x 1 + 2 x 1 + 2 2 = . x e
− e dx = e −e
= e − e + e = e  0 0 0 0 0 0 .
Câu 162: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 03) Cho hàm số f ( x) 1 4
có đạo hàm liên tục trên . Biết f ( 2
x ) = f ( x) 4 2
+ x − 4x, x  
và f ( x) dx =  , khi 3 0 1 2 đó x f   (x)dx bằng 0 Ⓐ 7 . Ⓑ 8 . Ⓒ 7 . Ⓓ 2 . 6 15 10 3 Lời giải Chọn A Ta có: f ( 2
x ) = f ( x) 4
+ x − x xf ( 2
x ) = xf ( x) 5 2 2 4 2 4 + 2x − 8x . 1  2xf  (x ) 1 1 2 dx = 4 xf
 (x)dx+( 5 2
2x − 8x )dx . 0 0 0 1 1 1 2 2 4
Đặt: x = t  2xdx = dt  2xf ( x )dx = f (t)dt = f ( x)dx =    . 3 0 0 0
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 95 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 1 2  d x x = dv   x = v 1 1 1 1 2 1 2 Đặt    . Nên xf
 (x)dx = x f (x) − x f   (x)dx.  f  ( x) 2 = u  2 2 f
 ( x)dx = du 0 0 0 1 1 4  = 2x f (x)1 2 2 − 2 x f   (x)dx+ ( 5 2
2x − 8x )dx 0 3 0 0 1 4  = f ( ) 2 − x f (x) 7 2 1 2 dx −  3 3 0 1 2  x f   (x) 11 2 dx = − + 2 f ( ) 1 3 0 Với f ( ) 1 = 2 f ( ) 1 +1− 4  f ( ) 1 = 3 . 1 2 7
Vậy x f ( x) dx =  . 6 0
Câu 163: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số f (x) 2
có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn + − = − +
f (0) = 3 và f (x) f (2 x) x 2x 2 , 2 x   . Tích phân .
x f '(x)dx  bằng 0 − − − − Ⓐ 10 . Ⓑ 5 . Ⓒ 11 . Ⓓ 7 . 3 3 3 3 Lời giải Chọn A u  = x d  u = dx 2 2 2 2 Đặt     I = .
x f '(x)dx = xf
(x) − f (x)dx = 2 f (2) − f (x)dx   . d
v = f '(x)dx v  = f (x) 0 0 0 0 2
Ta có f (x) + f (2 − x) = x − 2x + 2 thế x = 0 vào ta được f (0) + f (2) = 2  f (2) = 1 − (1) 2 2 2 2 3  x  8
Ta lại có f (x)dx + f (2 − x)dx =   ( 2x −2x+2) 2 dx = 
− x + 2x = .  3  3 0 0 0 0 2 0 2 2
Mặt khác đặt t = 2 − x ta có f (x)dx = − f (2 − t)dt = f (2 − t)dt = f (2 − x)dx     0 2 0 0 2 2 2 2 8 4
Nên suy ra f (x)dx + f (2 − x)dx = 2 f (x)dx =  f (x)dx =     (2) 3 3 0 0 0 0
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 96 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 2 2 4 10
Từ (1) và (2) suy ra I = .
x f '(x)dx = 2 f (2) −
f (x)dx = 2 − − = −   . 3 3 0 0
Câu 164: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021) Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm .
x f (t ) − t. f ( x)
liên tục trên khoảng (0;+) và thỏa mãn lim =1 t  . Biết 2 2 x→t x − với mọi 0 t rằng f ( )
1 = 1, tính f (e) . Ⓐ 3e +1 . Ⓑ 3e . Ⓒ 2e . Ⓓ −e . 2 Lời giải Chọn D Ta có: .
x f (t ) − t. f ( x) .
x f (t ) − t. f (t ) + t. f (t ) − t. f ( x)
f (t) t( f (t) − f (x)) lim = lim = lim  +  2 2 x→t x t x − t →
(x −t)(x +t) x t → x + t
(x −t)(x +t)   f (t ) f (t ) = − . 2t 2 .
x f (t) − t. f ( x) f (t ) f (t ) Theo đề lim =1 −
=1 f t −t. f t = 2t, t   0. 2 2 ( ) ( ) x t → x − t 2t 2 Như vậy ta có  f ( x) − .
x f ( x) = 2x, x   0 1 1 2  1  2  − f x + f x = −  f x = −   . 2 ( ) ( ) ( ) x x xxx Suy ra 1 f ( x) 2 = − dx = 2 − ln x + C  . x x Theo đề f ( )
1 = 1 nên C =1. Suy ra f ( x) = x( 2 − ln x + ) 1 .
Vậy f (e) = − . e
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 97 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐỒ THỊ
Câu 165: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Diện tích hình phẳng giới hạn
bởi hai đường thẳng x  0, x   , đồ thị hàm số y  cos x và trục Ox là    
Ⓐ S  cos x d . x  Ⓑ S  cos d x . x  Ⓒ 2 S  cos d x . x
Ⓓ S   cos x d . x  0 0 0 0 Lời giải
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x  0, x   , đồ thị hàm số 
y  cos x và trục Ox là S  cos x d . x  0
Câu 166: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM NĂM 2020-2021) Hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a, x b trong hình dưới
đây (phần gạch sọc có diện tích S bằng c b c b Ⓐ
f xdx f xdx   . Ⓑ
f xdx f xdx   . a c a c c b c b
Ⓒ  f xdx f xdx   .
Ⓓ  f xdx f xdx   . a c a c Lời giải Từ hình ta thấy : c b c b
S   f xdx f xdx   f xdx f xdx     . a c a c
Câu 167: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN VŨNG TÀU NĂM 2020-2021) Tìm công thức tính diện
tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 4 y x , 2 y x . 1 1 1 1 Ⓐ  4 2
x x dx . Ⓑ  2 4
x x dx . Ⓒ   2 4
x x dx . Ⓓ   4 2
x x dx . 0 0 1  1 Lời giải
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số 4 y x , 2
y x là nghiệm của phương x  1  trình: 4 2 4 2 2 
x x x x  0  x . 2 x   1  0  x  0 .  x  1 
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 98 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 Ta có 4 2 2
x x x  2
. x  1  0 , x   1   ;1 . 1 1
Suy ra diện tích hình phẳng cần tính là: 4 2 x x dx     2 4
x x dx . 1  1 
Câu 168: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 02) Gọi S là diện tích
miền hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ dưới đây, với y f x là hàm số liên tục trên 
Công thức tính S là 2 2
Ⓐ S   f xdx  . Ⓑ S
f xdx  . 1  1 1 2 2
Ⓒ S f xdx f xdx   . Ⓓ
f xdx  . 1  1 1  Lời giải Chọn C
Câu 169: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho hàm số f x liên tục trên
 và có đồ thị C là đường cong như hình bên, Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị C, trục hoành và hai đường thẳng x  0 , x  2 là 1 2 1 2 Ⓐ 
f xdx
f xdx   . Ⓑ
f xdx
f xdx   . 0 1 0 1 2 2 Ⓒ
f xdx  . Ⓓ
f xdx  . 0 0
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 99 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 Lời giải
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C, trục hoành và hai đường thẳng x  0 , x  2 là 2 S f x 1 dx f x 2 dx f x 1 dx f x 2 dx
f xdx      . 0 0 1 0 1
Câu 170: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho một viên gạch men có
dạng hình vuông OABC như hình vẽ. Sau khi tọa độ hóa, ta có O 0;0 , A0  ;1 , B 1  ;1
, C 1;0 và hai đường cong lần lượt là đồ thị hàm số 3 y x và 3
y x . Tính diện tích
phần tô đậm trên viên gạch men. Ⓐ 5 . Ⓑ 1 . Ⓒ 1 . Ⓓ 4 . 4 3 2 5 Lời giải
Phần tô đậm là hình phẳng giới hạn bời các đường 3 y x , 3
y x , x  0 , x  1 . 1 1
Suy ra diện tích phần hình phẳng là S   3 3
x x dx   . 2 0
Câu 171: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho hàm số y f x có đạo
hàm liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. 2 4
Giá trị của f  x  2dx f  x  2 dx   bằng 0 0 Ⓐ 4 . Ⓑ 6 . Ⓒ 4  . Ⓓ 2 .
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 100 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 Lời giải 2
+) Xét I f  x  2 dx
. Đặt t x  2  dt  dx . 0
Đổi cận: x  0  t  2 và x  2  t  4 . 4 4  I f (  t)dt f (  x)dx   . 2 2 4
+) Xét J f  x  2 dx
. Đặt t x  2  dt  dx . 0
Đổi cận: x  0  t  2
 và x  4  t  2 . 2 2  J f (  t)dt f (  x)dx   . 2 2  Suy ra: 4 2 4 4 I J
f  x dx f  x dx
f  x dx f x
f 4  f 2  4  2  6    . 2 2 2 2
Câu 172: (THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020-2021 LẦN 01) Diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đường thẳng y x  3 và parabol 2
y  2x x 1 bằng: 13 9 13 Ⓐ . Ⓑ . Ⓒ 9 . Ⓓ . 6 2 3 Lời giải Chọn C x  1  Xét phương trình: 2 2
x  3  2x x 1  2x  2x  4  0   . x  1  2 2
Diện tích hình phẳng cần tìm: 2 S
2x  2x  4 dx   2 2
x  2x  4 dx 9    . 1  1 
Câu 173: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021) Cho hàm số    4 2 y
f x ax bx c có đồ thị như hình vẽ.
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 101 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Diện tích S của miền được tô xiên như hình được tính theo công thức nào? 1 1 2 1 1 2
Ⓐ S   f x dx f xdx f x dx    . Ⓑ S
f x dx
f x dx f x dx    . 2 1 1 2 1  1 1 1 2 1 1 2
Ⓒ S   f x dx f xdx f xdx    . Ⓓ S
f x dx
f x dx f x dx    . 2 1 1 2  1  1 Lời giải Chọn A
Diện tích S của miền được tô xiên như hình là: 2 1  1 2 1  1 2 S
f x dx
f x dx
f x dx
f x dx   f x dx
f x dx f xdx        . 2  2 1 1 2  1  1
Câu 174: (SGD&ĐT LAI CHÂU NĂM 2020-2021) Tìm công thức tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi các đường 4 2
y x , y x 1 1 1 1 Ⓐ  4 2
x x dx . Ⓑ  2 4
x x dx . Ⓒ   2 4
x x dx . Ⓓ   4 2
x x dx . 0 0 1 1  Lời giải Chọn Cx  0
Xét phương trình hoành độ giao điểm 4 2
x x  x  1  1 1 1
Do đó diện tích hình phẳng là 4 2 2 2 S
x x dx x x 1 dx      2 4
x x dx . 1 1 1
Câu 175: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 03) Diện tích hình
phẳng được tô đậm trong hình bên bằng 2 2 Ⓐ   2
2 x  2 x  4 dx . Ⓑ   2
2 x  2 x  4 dx . 1 1 2 2 Ⓒ   2
2 x  2 x  4 dx . Ⓓ   2
2 x  2 x  4 dx . 1 1
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 102 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 Lời giải Chọn D
Trên 1; 2 ta có g x  f x nên diện tích hình phẳng là: 2 2  g
x   f x  dx      2
2 x  2 x  4 dx . 1 1
Câu 176: (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
hai đường y   x   2
1 x  5x  6 và hai trục tọa độ bằng   Ⓐ . Ⓑ 11 . Ⓒ 11 . Ⓓ 1 . 2 4 4 2 Lời giải Chọn B
y   x   2
1 x  5x  6  
Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi  y  0 x  0   x  1 
Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2
(x 1)(x  5x  6)  0  x  2 x  3 
Diện tích hình phẳng là: 3 S   x   1   2
x  5x  6dx 0 1 2 3   x   1   2
x  5x  6dx   x   1   2
x  5x  6dx   x   1   2
x  5x  6dx 0 1 2 1 2 3   x   1   2
x  5x  6dx   x   1   2
x  5x  6dx   x   1   2
x  5x  6dx 0 1 2 9 1 1 11     4 4 4 4
Câu 177: (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hai hàm số f x 3 2
ax bx cx  2 , g x 2
dx ex  2 , a,b, c, d, e   . Biết đồ thị hàm số
y f x và y g x cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là 2  ; 1  ;1
. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị. Ⓐ 37 . Ⓑ 13 . Ⓒ 9 . Ⓓ 37 . 6 2 2 12
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 103 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y f x và y g x là:
f x  g x  f x  g x  0 3
ax  b d  2
x  c ex  4  0 * Ta có 2  ; 1
 ;1 là ba nghiệm của phương trình * nên ta có hệ phương trình:  8
a  4b d   2c e  4 a  2  
a  b d   c e  4  b   d  4  
a  b d   c e  4 c e  2   
Do đó f x  g x 3 2
 2x  4x  2x  4  0
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên là: 1 S
f x  g x dx 2 1 3 2 
2x  4x  2x  4 dx 2 1 1    3 2
2x  4x  2x  4dx     3 2
2x  4x  2x  4dx 2 1 5 16 37    . 6 3 6
Câu 178: (CHUYÊN NGUYỄN BÌNH KHIÊM QUẢNG NAM NĂM 2020-2021) Cho hàm số 1
y f x 3 
x ax có đồ thị như hình bên. Gọi S , S 3 1
2 lần lượt là diện tích của hai
hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. S 7 Khi 1 
thì a thuộc khoảng nào dưới đây? S 40 2 Ⓐ  3 5        ;   . Ⓑ 1 1 ;   . Ⓒ 1 0;   . Ⓓ 1 3 ;   .  4 4   3 2   3   2 4 
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 104 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 Lời giải  1  1   a  0 a    f    1  0   3   3 1
Dựa vào đồ thị suy ra:       a   . f  2  0  8  4 3  2a  0 a    3   3 0 1 0 0  1   1  4 2  x ax  0 1 a Ta có: 3 S
x axdx 3 
x ax dx 3  
x ax dx      . 1          3  3   3  12 2 1  12 2 1  1  1    2 1 2  1 2  1 4 2  x ax  2 4 3   S
x axdx 3 
x ax dx 3 
x ax dx     2a . 2        3  3   3  12 2 0 3 0 0 0   1 aS 7 7 1  3 5   12 2  
a  1. Vậy a  ;   . S 40 4 40  4 4 2  2a  3
Câu 179: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho parabol  P có phương trình 2
y x và đường thẳng d đi qua điểm A1;3 . Giả sử khi đường thẳng d có hệ
số góc k thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol  P và đường thẳng d nhỏ
nhất. Giá trị thực của k thuộc khoảng nào sau đây? Ⓐ 0  ;1 . Ⓑ  ;  3 . Ⓒ  3  ;0 . Ⓓ 3; . Lời giải
Đường thẳng d đi qua điểm A1;3 , có hệ số góc k có phương trình dạng
y kx k  3 .
Phương trình hoành độ giao điểm của d và  P : 2
x kx k  3 2
x kx k  3  0   * . Do 2
  k  4k  12  0, k nên d luôn cắt parabol  P tại hai điểm phân biệt.
Gọi x , x là hai nghiệm phân biệt của phương trình * ,  x x . 1 2  1 2
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 105 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
x x k 1 2  
Ta có: x x k  3  . 1 2  2 x x k  4k 12  2 1
Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol  P và đường thẳng d . Parabol P quay bề lõm lên trên suy ra x x 2 2 2 S
x  kx k   dx  kx k   2 3 3  x dx      1 x 1 x 2 x  1 1   1 1 1  S   x
kx  3  k x
  x x    x x 2 3 2  x x k x x  3  k 2 1 1 2 1 2  1 2   3 2   3 3 2      1 x  1 1 1  2 2
k  4k 12.  k  k  3 2  k  3  k  3 3 2    3 1  k k 3 3 1 1 8 2 . 4 12 .  k 22 2 8        . 8  , k  6 6     6 3 8 2 Do đó min S
, đạt được khi k  2 . 3
Câu 180: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2020-2021) Trong mặt phẳng
Oxy cho (H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2
y  4  x và trục hoành. Đường
thẳng x k ( 2
  k  2 ) chia (H ) thành hai phần (H ) , (H ) như hình vẽ 1 2 20
Biết rằng diện tích hình (H ) gấp
lần diện tích của hình (H ) , hỏi giá trị k thuộc 1 7 2 khoảng nào sau đây? Ⓐ ( 2  ; 1  ) . Ⓑ (0;1) . Ⓒ ( 1  ;0) . Ⓓ (1;2) . Lời giải
Gọi S , S lần lượt là diện tích hình (H ) , (H ) . 1 2 1 2 Khi đó
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 106 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 k 3 k 16 2 3 k 16 2 S
(4  x )dx    4k  2
S  (4  x )dx   4k  1  và  . 3 3 2 3 3 2  k Theo giả thiết, có 3 3 20 k 16 20  k 16  3 S S    4k    4k
 27k  324k  208  0 . 1 2   7 3 3 7 3 3   2 1 105
Giải phương trình trên, ta có k  ; k  . 3 3 2
Đối chiếu với điều kiện, suy ra k  . 3
Câu 181: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP NĂM 2020-2021) Cho hàm số 2
y mx x 0  m  4 có đồ thị C . Gọi S S là diện tích của hình phẳng giới 1 2
hạn bởi C , trục hoành, trục tung và đường thẳng x  4 . Giá trị m để S S là 1 2 10 8 Ⓐ m  . Ⓑ m  . Ⓒ m  3 . Ⓓ m  2 . 3 3 Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của
C và trục Ox là: x  0 2
mx x  0  x m 0  m  4  m m m 2 3 3  mx x m Ta có: 2 S
mx x dx    2
mx x dx    . 1    2 3 6 0 0   0 4 4 4 3 2 3  x mx m 64 Lại có: 2 S
mx x dx    2
x mx dx     8m  . 2    3 2 6 3 m m   m 3 3 m m 64 8
Theo giả thiết ta có: S S    8m   m  . 1 2 6 6 3 3
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 107 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 182: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hai hàm số f x 4 3 2
ax bx cx dx 1 và g x  ex  2 ( a,b, c, d , e là các số thực cho trước).
Biết rằng đồ thị của hai hàm số y f x và y g x tiếp xúc nhau tại hai điểm có
hoành độ lần lượt là 1; 2 .
Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng 81 81 81 81 Ⓐ . Ⓑ . Ⓒ . Ⓓ . 20 4 10 40 Lời giải
y f x, y g x
Hình phẳng  H  :  . x  1  , x  2  2
Dựa vào hình vẽ trên diện tích hình phẳng  H  là: S    f x  g xdx . 1 
Ta có: f x  g x 4 3 2
ax bx cx  d ex 1
Do đồ thị của hai hàm số y f x và y g x tiếp xúc nhau tại hai điểm có hoành
độ lần lượt là 1; 2 nên x  1, x  2 là hai nghiệm bội chẵn của phương trình
f x  g x  0. 2 2
Suy ra f x  g x 4 3 2
ax bx cx  d ex 1  a x   1  x  2 . 1
Đồng nhất hệ số tự do ta được: 1  4a a  . 4 1 2 2 2 1 2 2 81
Do đó f x  g x   x  
1  x  2 hay S   x  
1  x  2 dx   . 4 4 40 1
Câu 183: (CHUYÊN LONG AN NĂM 2020-2021 LẦN 03) Cho hàm số y f (x). Đồ thị hàm
số y f (x) như hình bên. Đặt 3
g(x)  x  3 f (x). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 108 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Ⓐ g(2)  g( 1  )  g(0).
Ⓑ g(0)  g( 1  )  g(2). Ⓒ g( 1
 )  g(0)  g(2).
Ⓓ g(2)  g(0)  g( 1  ) . Lời giải x  1  Ta có: 2 
gx x f x   2 ( ) 3 3 ( ) 3 x f (  x) . Suy ra: 2 g (
x)  0  x f (
x)  x  0  x  2  BBT:
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 109 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Từ BBT suy ra max g(x)  g(0). 1;2 Theo hình vẽ thì 0 2 0 2
S S    2 x f (
x)dx   2 x f (
x)dx  3   2 x f (
x)dx   3   2 x f (  x) dx 1 2  1  0 1 0 0 2  g (
x)dx   g (  x)dx   1 0
g(0)  g (1)  g (2)  g(0)
g(1)  g (2).
Tóm lại: g(0)  g(1)  g(2). Ta chọn đáp án Ⓐ
Câu 184: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021) Cho hình phẳng  H  được giới hạn bởi các đường ex y
; y  0 ; x  0 và x  ln 4 . Đường thẳng x k k   ; 0  k  ln 4
chia hình phẳng  H  thành hai phần có diện tích là S ; S (xem hình vẽ). 1 2
Tìm k để S  2S . 2 1 8 2 Ⓐ k  ln 3. Ⓑ k  ln . Ⓒ k  ln 4 . Ⓓ k  ln 2 . 3 3 Lời giải Chọn D Ta có ln 4 k ln 4 k S  2S
exdx  2 exdx ex  2ex  4 ek 2ek  
 2  ek  2  k  ln 2 . 2 1    k 0 k 0
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 110 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 185: (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021) Cho hàm số bậc ba
y f x có đồ thị là đường cong bên dưới. Gọi x ; x lần lượt là hai điểm cực trị thỏa 1 2
mãn x x  2 và f x  3 f x  0 . Đường thẳng song song với trục O x và đi qua 1   2  2 1
điểm cực tiểu cắt đồ thị hàm số tại điểm thứ hai có hoành độ x và x x 1. Tính tỉ 0 1 0 S
số 1 ( S và S lần lượt là diện tích hai hình phẳng được gạch ở hình bên dưới). S 1 2 2 Ⓐ 9 . Ⓑ 5 . Ⓒ 3 . Ⓓ 3 . 8 8 8 5 Lời giải
Do f x  là hàm số bậc ba nên f x  3 2
ax bx cx d a    f   x  2 , 0
 3ax  2bx c
Mặt khác do hàm số y f x có hai điểm cực trị x ; x thỏa mãn x x  2 nên 1 2 2 1
f  x  3ax x  x x   3ax x  x x  2  3ax x 2 6a x x . 1 2 1 1 1  1  3 2
Mặt khác f x  f  xdx
f x  ax x 3a x xC , khi đó và 1   1 
f x C 1 
f x   f x  2  ax  2 x 3 3ax  2 x 2 C  4  a C . 2 1 1 1 1 1
Mà f x  3 f x  0  C  3 4a C  0  C  6a f x  2a . 1   2     2  f x
a  x x 3 3 x x 2 6       . 1 1   2 x 1 x 2 3 2 27 Do Sf x f x d  x ax x 3 x x 4 d         x a 1      2    1   1     . 4 x x 1  0 1
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 111 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 2 x 1 x 2 S f x dx  2 d a x  6a 2  2    . x x 1  0 1 S 9 Vậy 1  . S 8 2
Câu 186: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho parabol P  2
: y  x  6 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt ,
A B và đường thẳng d : y a 1
0  a  6 . Xét parabol P đi qua ,
A B và có đỉnh thuộc đường thẳng y a . Gọi S 2  1
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P và d ; S là diện tích hình phẳng giới hạn 1  2
bởi P và trục hoành (tham khảo hình vẽ). 2 
Biết S S , tính 3 2
T a 12a 108a . 1 2 Ⓐ T  218 . Ⓑ T  219 . Ⓒ T  216 . Ⓓ T  217 . Lời giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2 x  6  a 2
x  6  a
x   6  a . 6a 3  x  6  a 4
Khi đó S  2   2
x  6  a  2   6x ax  6  a 6  a . 1      3   0 3 0 2
y  x  6
x  6  y  0 Tọa độ giao điểm ,
A B là nghiệm của hệ    . y  0 
x   6  y  0 
Vậy A 6;0, B  6;0 .
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 112 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 Gọi  P  2
: y mx nx p . 2
Vì parabol  P đi qua ,
A B và có đỉnh thuộc đường thẳng y a nên 2  
6m  6n p  0 n  0    a
6m  6n p  0   p a   P  2 : y   x a . 2 6  p a   a   m    6 6 3  a   ax  6  6a  4 6a Do đó 2 S  2 
x a dx  2   ax  2         6a   . 2 6 18   0  3    3 0   Theo đề bài 4 4 6a S S
6  a 6  a   6  a3 2 2 3 2
 6a  216 108a 18a a  6a 1 2 3 3 3 2
a 12a 108a  216 .
Câu 187: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị như hình bên. Biết 1
rằng tích phân K  .
x f x. f  x dx
có giá trị thuộc khoảng nào sau đây? 0 Ⓐ        3; 2 . Ⓑ 3 2  ;    . Ⓒ 2  ; 0   . Ⓓ 3 2  ;    .  2   3   2 3  Lời giải Chọn D u
  x  du  dx  Đặt  1 .
dv f x. f  x dx v   f x 2   2    1 1 1 x 2 1 2 1 1 2 Khi đó K
f x 
f x dx  
f x dx   . 2   2   2 2   0 0 0
Cách 1. Từ đồ thị ta thấy
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 113 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Đồ thị y f xnằm trên đường thẳng y  2  x trên 0;  1 .  f x 2 2    2  x2 1 1 1 7 1
f x 2
Nên f x 2 x dx dx K           dx      . 2 2 6 2 2 3 0 0 0
Đồ thị y f xnằm dưới đường thẳng y  2 trên 0;  1 .  f x 2 2    22 1 1 1 1
f x 3
Nên f x 2 dx dx 2 K          dx      . 2 2 2 2 2 0 0 0
Cách 2. [Khi có rất nhiều điểm thuộc đồ thị trên hình] Chọn   4 3 2
f x ax bx cx dx e . Dựa vào độ thị ta có hệ phương trình  f  2    1  f    1  1  1 1 7 1
f 0  2  a
, b   , c   , d  , e  2 . 6 6 6 6  f   1  1   f 3 1  1 2 1 1  1 1 7 1 4 3 2   3 2  K   x x x
x  2 dx  0, 968 
. Suy ra K   ;    . 2 2  6 4 6 6     2 3  0
Câu 188: Cho hàm số 4 2
y ax bx c có đồ thị C  , biết rằng C  đi qua điểm A1; 0 , tiếp
tuyến d tại A của C  cắt C  tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2 và diện
tích hình phẳng giới hạn bởi d , đồ thị C  và hai đường thẳng x  0; x  2 có diện 28 tích bằng
(phần tô màu trong hình vẽ). 5
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi C  và hai đường thẳng x  1
 ; x  0 có diện tích bằng
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 114 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 2 6 Ⓐ 2 . Ⓑ 1 . Ⓒ . Ⓓ . 5 4 9 5 Lời giải Chọn D
Từ đồ thị ta có phương trình hoành độ giao điểm là:
a x  2  x   4 2 1
2 x  0  ax  3ax  2ax  0 , a  0
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d , đồ thị C  và hai đường thẳng x  0; x  2 bằng 28 2 5 28 ax 2 28 nên: 4 2 3 2
ax  3ax  2ax dx     ax ax   a  1  8 5 5 0 5 0
Suy ra phương trình hoành độ giao điểm là: 4 2
x  3x  2x  0
Từ đồ thị ta thấy d đi qua điểm A1;0 và B 0; k  nên phương trình đường thẳng d là:
y kx k . Suy ra hàm số C  có dạng: 4 2
y x  3x  2  k x k  0 . Mà đồ thị hàm số
C  là hàm trùng phương 4 2
y ax bx c nên 2  k  0  k  2 0 6
Vậy diện tích cần tìm là:  4 2
x  3x  2dx   . 5 1 
Câu 189: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Cho hàm số 4 2
y ax bx c có đồ thị
C , biết rằng C đi qua điểm A1;0 , tiếp tuyến d tại A của C cắt C tại hai
điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2 và diện tích hình phẳng giới hạn bởi d , đồ thị  28
C  và hai đường thẳng x  0; x  2 có diện tích bằng (phần tô màu trong hình 5 vẽ).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi C  , d và hai đường thẳng x  1; x  0 có diện tích bằng Ⓐ 2 . Ⓑ 1 . Ⓒ 2 . Ⓓ 1 . 5 4 9 5 Lời giải
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 115 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Gọi phương trình đường thẳng d có dạng y mx n .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi C, d và hai đường thẳng x  0, x  2 là 2 2 28 28 4 2
| a x bx c mx n | dx      4 2
a x bx c mx ndx  * 5 5 0 0
Vì C  và d tiếp xúc tại điểm x  1
 và giao nhau tại các điểm có hoành độ 2
x  0; x  2 nên ta có 4 2
ax bx c mx n a x   x x    a  4 2 2 1
x  3x  2x . Khi đó: 2 5 28  x  2 28 28 28
*  a 4 2
x  3x  2x 3 2 dx    . ax x     a   a  1. 5 5 0 5 5 5 0  
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi C, d và hai đường thẳng x  1, x  0 là 0 1 4 2
S  | x  3x  2x | dx   . 5 1 
Lưu ý: Đề bài trên đã bổ sung thêm yếu tố giới hạn bởi đồ thị C với đường thẳng d vào
câu hỏi so với đề bài gốc vì nếu đề bài gốc là tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi C và hai
đường thẳng x  1; x  0 là không hợp lí vì hình phẳng hở nên không tính được diện tích, 6
nếu chọn bổ sung giới hạn với trục Ox thì đáp án là không có trong 4 đáp án. 5
BÀI TOÁN THỰC TẾ SỬ DỤNG DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Câu 190: (CHUYÊN LONG AN NĂM 2020-2021 LẦN 03) Bồn hoa của một trường X có dạng
hình tròn bán kính bằng 8m . Người ta chia bồn hoa thành các phần như hình vẽ dưới
đây và có ý định trồng hoa như sau: Phần diện tích bên trong hình vuông ABCD để
trồng hoⒶ Phần diện tích kéo dài từ 4 cạnh của hình vuông đến đường tròn dùng
để trồng cỏ. Ở bốn góc còn lại, mỗi góc trồng một cây cọ. Biết AB  4m , giá trồng hoa
là 200.000 đ/m2, giá trồng cỏ là 100.000 đ/m2, mỗi cây cọ giá 150.000 đ. Hỏi số tiền để
thực hiện việc trang trí bồn hoa như miêu tả ở trên gần bằng giá trị nào nhất?
Ⓐ 14.465.000 đồng. Ⓑ 14.865.000 đồng. Ⓒ 13.265.000 đồng. Ⓓ 12.218.000 đồng.
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 116 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 Lời giải Chọn C
Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ trùng với tâm hình tròn, suy ra phương trình đường tròn là: 2 2
x y  64 .
Diện tích hình vuông ABCD là: S     2 4 4 16 m . ABCD
 Số tiền để trồng hoa là: T  16 200.000  3.200.000 . 1 2
Diện tích trồng cỏ là: S  4   2
64  x  2dx  94,654  2 m  . 2 
 Số tiền trồng cỏ là: T  94, 654100.000  9.465.000 . 2
Số tiền trồng 4 cây cọ là: T  150.000 4  600.000 . 3
Vậy tổng số tiền để thực hiện việc trang trí bồn hoa là:
T T T T  13.265.000 . 1 2 3
Câu 191: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 02) Mặt sàn của một thang máy
có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí bởi một
hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy với O là tâm hình
vuông sao cho A1 
;1 như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình 2 y x 1 và 3
y ax bx . Tính giá trị ab biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm diện tích 3 mặt sàn.
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 117 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 Ⓐ 2  . Ⓑ 3  . Ⓒ 2 . Ⓓ 3 . Lời giải
Vì đường cong OA có phương trình 3
y ax bx đi qua điểm A1  ;1 nên
a b  1  b  1 a 3
y ax  1 ax
Diện tích mặt sàn hình vuông là: 2 S    2 2 4 m ABCD
Diện tích hình một cánh màu sẫm là: 1 1 2 3 S
x  ax  1 axdx       2 3
x ax ax xdx 0 0 1 3 4 2 2  x ax ax x  1 a a 1 a 1             3 4 2 2 3 4 2 2 4 6   0 1  a 1 
Theo đề bài, ta có: 4S S  12S S  12   4  a  2    b  1  3 ABCD ABCD  4 6  Do đó: ab  2  .
Câu 192: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NINH NĂM 2020-2021) Cho hàm số bậc ba có
đồ thị như hình vẽ, biết f x đạt cực tiểu tại điểm x 1 và thỏa mãn  f x 1   và
f x 1 
 lần lượt chia hết cho  x  2 1 và  x  2
1 . Gọi S , S lần lượt là diện tích hình 1 2
phẳng như hình bên dưới. Tính 2S S 1 2 3 1 1 Ⓐ 4 . Ⓑ . Ⓒ . Ⓓ . 4 2 4
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 118 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 Lời giải Chọn B
 f x 1 x  2 1   
 f x 1    x   1  f  
x x   1 Theo giả thiết, ta có:       
      2
      
f  x x f x x f x x    1 1 1 1 1     
f  x có dạng: f  x  a x   x    a  2 1 1 x   1 a  0 3  x
Và f x  ax C   3  
Theo hình vẽ, f 0  0  C  0  2a  f x  x 2        f      1 0 1 1 1 1  0   3 3       a
   1  2 1 f f x x    1 1  0 2a 2     1  0   3 3 3 3  xx 3
Vậy f x   x   x   2 3 2 2  
* Phương trình giao điểm của của C  : y f x với trục hoành: x  0 3 x 3  
x  0  x   3  2 2 x  3  3 1 1 x 3 5
Diện tích hình phẳng S f x dx   x dx  1     0 0 2 2 8 3 3 3 x 3 1
Diện tích hình phẳng S f x dx   x dx  2     1 1 2 2 2 5 1 3
Vậy: 2S S  2.   1 2 8 2 4
Câu 193: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021
LẦN 01) Một chiếc xe đua F đạt tới vận tốc lớn 1
nhất là 360 km / h . Đồ thị bên biểu thị vận tốc v
của xe trong 5 giây đầu tiên kể từ lúc xuất phát.
Đồ thị trong 2 giây đầu tiên là một phần của
parabol đỉnh tại gốc tọa độ O , giây tiếp theo là
đoạn thẳng và sau đúng 3 giây thì xe đạt vận
tốc lớn nhất. Biết rằng mỗi đơn vị trục hoành
biểu thị 1 giây, mỗi đơn vị trục tung biểu thị
10 m / s và trong 5 giây đầu xe chuyển động
theo đường thẳng. Hỏi trong 5 giây đó xe đã đi
được quãng đường là bao nhiêu? Ⓐ 340 (mét). Ⓑ 420 (mét). Ⓒ 400 (mét). Ⓓ 320 (mét).
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 119 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 Lời giải Chọn D
Giả sử A2;6 ; B3;10 3
Theo gt thì phương trình của parabol là 2 y
x ; phương trình đường thẳng AB là 2 y  4x  2
Vậy trong 5 giây đó xe đã đi được quãng đường là: 2 3  3  2 S  10
x dx  4x  2dx  2.10  320   (mét). 2  0 2 
THỂ TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐỒ THỊ (TRÒN XOAY)
Câu 194: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Thể tích vật thể tròn xoay do
hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y f x , trục Ox và các đường thẳng x a , x b ,
a b quay quanh trục Ox được tính theo công thức b b b b Ⓐ 2 V
f x dx  . Ⓑ 2
V   f x dx  . Ⓒ V
f x dx  .
Ⓓ V   f x dxa a a a . Lời giải
Thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y f x , trục Ox và
các đường thẳng x a , x b , a b quay quanh trục Ox được tính theo công b thức 2
V   f x dx  . a
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 120 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021
Câu 195: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2020-2021) Gọi (H ) là hình
phẳng giới hạn bởi các đồ thị y x x, y  0 trong mặt phẳng Oxy . Quay hình (H )
quanh trục hoành ta được một khối tròn xoay có thể tích bằng 1 1 1 1 2 2 Ⓐ 
x x dx  . Ⓑ
x x dx  . Ⓒ x
 1 x  dx . Ⓓ x
 1 x  dx . 0 0 0 0 Lời giải x  0 x  0
Xét phương trình x x  0  x x    . 2  x x x  1   Ta có thể tích khối tròn xoay là 1 1 1 V
  x x2 dx   x  1 x  2     dx   x
 1 x 2 dx .   0 0 0
Câu 196: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 02) Gọi  D  là hình phẳng giới
hạn bởi các đường y 1 và 2
y  2  x . Thể tích khối tròn xoay giới hạn được tạo thành
khi quay  D  xung quanh trục Ox được tính theo công thức 2 1 2 Ⓐ 2 V     2
2  x dx . Ⓑ V     2
2  x dx .  2 1  1 2 2 2 Ⓒ V     2
2  x dx  2 . Ⓓ V     2
2  x dx  4 . 1  2 Lời giải
Ta có phương trình hoành độ giao điểm 2
1  2  x x  1  .
Thể tích khối tròn xoay giới hạn được tạo thành khi quay  D  xung quanh trục Ox
được tính theo công thức 1 1 2 2 V    2 2  x  2 1 dx    2 2  x     1dx 1  1 1 1 1 1 2 1 2
   2  x 2 2 dx   dx      2
2  x dx  x     2
2  x dx  2 . 1  1 1  1  1 
Câu 197: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2
y x và đường tròn 2 2
x y  2 . Thể tích V của vật thể tròn xoay
tạo thành khi quay  H  quanh trục hoành là
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 121 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021    Ⓐ 44 5 44 V  . Ⓑ V  . Ⓒ V  . Ⓓ V  . 15 3 15 5 Lời giải 2
y  2  x Ta có: 2 2
x y  2   . 2
y   2  x
Hình  H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 2 y  2  x và 2 y x . x  1
Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 4 2
2  x x x x  2  0   . x  1  1 1 1 3 5 2 2  x x  1 44
Ta có V     2
2  x  dx    2
x  dx     2 4
2  x x dx   2x      . 3 5 1  15 1 1 1   
Câu 198: (THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020-2021 LẦN 01) Tính thể tích của khối tròn xoay
khi cho hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y  3x  2 và đồ thị hàm số 2 y x quay quanh trục Ox . 4 1 4  Ⓐ . Ⓑ . Ⓒ . Ⓓ . 5 6 5 6 Lời giải Chọn A
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình: x  1 2 x  3x  2 2
x  3x  2  0  x  2  Mà 2
x  3x  2 với x
 1; 2  Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới
hạn bởi đường thẳng y  3x  2 và đồ thị hàm số 2
y x quay quanh trục Ox là: 2 2 2 5  x  4 V  3x 22 4 x     dx     4 2
x  9x 12x  4 3 2 dx   
 3x  6x  4x      5 5 1 1   1 4
Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là . 5
Câu 199: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM NĂM 2020-2021) Cho hình phẳng H  giới
hạn bởi đồ thị hàm số 2
y  2x x và trục hoành. Tính thể tích V vật thể tròn xoay
sinh ra khi cho H  quanh quay trục Ox . Ⓐ 4 16 4 16 V   . Ⓑ V  . Ⓒ V  . Ⓓ V   . 3 15 3 15
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 122 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 Lời giải
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 2
y  2x x và trục hoành là nghiệm của phương trình: x  0 2
2x x  0   . x  2  2 V  .
 2xx 2 16 2 dx . 15 0
Câu 200: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021) Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi 2
y  x x và trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành
khi quay hình  H  quanh trục hoành bằng   Ⓐ 1 1 . Ⓑ . Ⓒ . Ⓓ . 30 6 30 6 Lời giải Chọn A
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 2
y  x x và trục hoành là  x  0 2
x x  0   . x  1  1 2 
Thể tích của khối tròn xoay cần tìm là V    2
x xdx   . 30 0
Câu 201: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Thể tích của khối
tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi y  ln x , trục Ox và đường thẳng x  2 quay
xung quanh trục Ox là Ⓐ 2ln 2 1. Ⓑ 2 ln2 . Ⓒ 2 ln2 . Ⓓ 2ln 2 1. Lời giải
Ta có: ln x  0  x  1 Thể tích mặt tròn xoay: 2 2 2  
V    ln x 2 2
dx   ln x dx   .
x ln x  dx      2 2 .
x ln x x  2 ln 2     . 1 1 1  1 1  1 
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀO CÁC BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG
Câu 202: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Một vật chuyển động có
phương trình vận tốc: v t  3
t  3t 1 . Quãng đường vật đi được từ thời điểm t  0 đến khi t  3 là Ⓐ 39 m . Ⓑ 19m . Ⓒ 20m . Ⓓ 15 . 4 4
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 123 | HNT.E
TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021 Lời giải
Quãng đường vật đi được từ thời điểm t  0 đến khi t  3 là: 3 4 2  t t  3 39 S   3 t  3t   1 dt    3  t    m . 4 2 0 4 0  
Câu 203: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 03) Một chiếc máy bay
vào vị trí cất cánh chuyển động trên đường băng với vận tốc v t  2
t  2t m/s với t
là thời gian được tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết
máy bay đạt vận tốc 120m/s thì nó rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di
chuyển trên đường băng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Ⓐ 1200m. Ⓑ 1100m. Ⓒ 430m. Ⓓ 330m. Lời giải Chọn C
Máy bay đạt vận tốc 120m/s tại thời điểm thỏa mãn pt: 2
t  2t 120  0  t  10. 10 1300
Khi đó quãng đường máy bay di chuyển là s    2t  2tdt  m  430m. 3 0
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI 124 | HNT.E
GV. LƯƠNG ANH NHẬT HNT EDUCATION
VỮNG KIẾN THỨC – NHẠY TƯ DUY
Nguyên hàm – Tích phân – Ứng dụng
Giảng dạy Toán lớp 6 – 12 + Luyện thi đại học LƯU HÀNH NỘI BỘ
Điện thoại: 0968 373 054 HNT.E - 20082021