31 bài tập Tích phân tổ hợp nhiều hàm số có lời giải – Trần Sĩ Tùng Toán 12

Bài tập Tích phân
Trần Sĩ Tùng
TP5: TÍCH PHÂN TỔ HỢP NHIỀU HÀM SỐ 1  4 3  Câu 1. 2 x x
I   x e  dx   0  1 x  1 1 4 2 x3 x
 I  x e dx  dx   . 0 0 1 x 1 1 3 2 1 t 1 t 1 1 1 + Tính x I  x e dx 1  . Đặt t x3   I 
e dt  e  e 1  3  3 3 3 . 0 0 0 1 4 x 1 4 4 t  2   + Tính I  dx 2 
. Đặt t  x  I  4 dt 2  4     2  1  3 4 0 1 x 0 t  1
Vậy: I  e    3 3 2  2 4   Câu 2. x x
I  x e   dx   x3  1   2 2 2 x 4  x  I  xe dx  + dx  2 . 1 1 x 2 2 2 2 4  x    + Tính x
I  xe dx  e 1  + Tính I  dx 2 
. Đặt x  2sint  2 , t 0;  2    . 1 1 x  2 2 cos t    I 
dt  ( cot t  t 2 2 )   2 = 3 sin t   3 6 6 
Vậy: I  e2  3  3 . 1 x I   2x
e . 4  x2  x2  Câu 3. dx.  4  x2 0 1 1 3 2x x
 I  x e dx 
dx  I  I   1 2  x2 0 0 4 1 2 2 1 + Tính x e I  x e dx 1   4 0 1 x3 16 + Tính I  dx 2  . Đặt t   x2 4  I2  3  3   x2 3 0 4 e2 61  I   3 3  4 12 1 x2 1 Câu 4. x I  e dx  (x 2 0 1) Trang 34
Trần Sĩ Tùng
Bài tập Tích phân 2 t2  t 2 2  2  2  t 1   2 2  t 1  2 e
 Đặt t  x 1 dx  dt I  e dt  1  e dt    = e 1    e  1 e  2  1 t2 1  t2 t    x x e 2 3 3 1 .  dx
Câu 5. I   1 x2 0 2 2 2 2 t 2 2 2
 Đặt t  1 x  dx  tdt  I  t( 1 e ) dt  t t  t e dt  e  J  e (  e)  1 1 1 2 2  2  2 t 2 t 2 t 2 t 2 t 2 t t 2
+ J  t e dt  t e  t 2 e dt  e
4  e  2te
 e dt   e
4  e  2 t(e  e )      1 1 1 1  1 1  Vậy: I e2 
x ln(x2 1)  x3 Câu 6. I  dx  x2 1
x ln(x2 1) x(x2 1)  x x ln(x2 1) x
 Ta có: f (x)     x  x2 1 x2 1 x2 1 x2 1 1 2 2 1 2
 F(x)  f (x d ) x  ln(x 1 d
) (x 1)  xdx  d ln(x 1)  2   2  1 2 2 1 2 1 2 =
ln (x 1)  x  ln(x 1)  C 4 2 2 .
4 lnx  x2  9  3x3 Câu 7. I  dx  x2 0  9
4 lnx  x2  9 3x3
4 lnx  x2  9 4 x3  I  dx  dx  3
dx  I  I    1 3 2 x2  9 x2  9 x2 0 0 0  9
4 lnx  x2  9 2 1 + Tính I  dx 1 
. Đặt ln x  x  9  u  du  dx x2 0  9 x2  9 ln9 u2 2 2 ln9 ln 9  ln 3  I  udu 1    2 ln3 2 ln3 4 x3 2 x 2 2 + Tính I  dx 2 
. Đặt x  9  v  dv 
dx, x  v 9  x2 0  9 x2  9 5 u3 2 5 44  I  u (  d 9) u  (  9u 2 )   3 3 3 3
4 lnx  x2  9  3x3 2 2 ln 9  ln 3 Vậy I 
dx  I  I  1 3 2   44. x2 2 0  9
e (x3 1)ln x  2x2 1 Câu 8. I  dx  2  x ln x 1 e e e e 3 3 2 1 ln x 2 x e 1
 I  x dx  dx   x dx   2  x ln x . +  3 3 1 1 1 1 Trang 35
Bài tập Tích phân
Trần Sĩ Tùng e e 1 ln x
d(2  x ln x) e e  2 e3 1 e  2 + dx 
 ln 2  x ln x   ln I   ln 2   x ln x 2  x ln x 1 2 . Vậy: 3 2 . 1 1 e3 3 ln x Câu 9. I  dx  1 x 1 ln x 2 dx 3 2 3
 Đặt t  1 ln x 1 ln x  t   t 2 dt ln  ( 1) x và x t 2 t2 3 2 ( 1) t6  t4 3  t2 2 3 1 5 3 1  I  dt =
dt  t(  t 3  t 3  d ) t    t  t  15 ln2 t 4 1 1 1  4 sin Câu 10.   x x I dx 2 cos x 0  u  x    du  dx    x 4 dx 4 4  2 dx  Đặt  sin x   I     dv dx     v 1   cos x cos x 4 cos x 2  cos x  cosx 0 0 0   2 4 dx 4 cos xdx 2 dt 1 2  2 + I1     sin I   ln cos x  2 . Đặt t x  1  2 0 0 1  sin x 1 2 0 t 2  2  2 1 2  2 Vậy:   ln 4 2 2  2 4 3 ln(5  )  . 5  Câu 11.   x x x I dx 2 x 1 4 4 ln(5  x)  Ta có: I 
dx  x 5  x.dx  K    H . 2 x 1 1 4 ln(5
u  ln(5  x  x) )  + K  dx  . Đặt  dx  K 3  ln 4 x2 dv  5 1  x2 4
+ H= x 5  x d . x 
. Đặt t  5  x  H 164  15 1 Vậy: I 3 164  ln 4  5 15 2 Câu 12.  2 I
x(2 x) ln(4 x )     dx   0 2 2 2  Ta có: I  x(2  x d ) x  + ln(4  x d ) x  = I  I 1 2 0 0 2 2 2  + I  x(2  x d ) x  1 (x 1) dx 1    1 sin
2 (sử dụng đổi biến: x t ) 0 0 2 2 2 2 2 x2
+ I  ln(4  x d
) x  x ln(4  x )  2 dx 2  0 
(sử dụng tích phân từng phần) 4  x2 0 0
 6 ln 2    4 (đổi biến x  2 tan t ) Trang 36
Trần Sĩ Tùng
Bài tập Tích phân 3
Vậy: I  I  I 1 2   4  6ln2 2 8 ln x
Câu 13. I   dx 3 x 1 u  ln x  dx  du  8 8 x 1  Đặt  dx   x dv 
I 2 x 1ln x 2      dx   3 x  x 1
v  2 x 1 3 8 x 1 3 t2 2 dt 3  1  + Tính J  dx 
. Đặt t  x 1 J   2 1
dt  2  ln3  ln2 x   2  2  3 2 t 1 2  t 1
 I  6ln8  4ln3  2(2  ln3  ln2) 20ln2  6ln3  4 2 1 x2 Câu 14. I ln dx x    x3 1 2  1 1  u  ln x   Ta có: I   ln xdx   . Đặt dv 1 1  (  dx ) 1  x3 x   x3 x 2  1   2  1  1  1 63 1 2  I 
 ln x ln x   ln x dx     =  ln2   ln 2  4x4 1  64 4 2 1  4x5 x 
e x2  x ln x 1 Câu 15. x I  e dx  x 1 e e e x x x e
 Ta có: I  xe dx  e ln xdx 
dx  H  K  J    x 1 1 1 e e x x e x e
+ H  xe dx  xe  e dx  e e  1 ( 1)  1 1 e e e x e x x x e e e e
+ K  e ln xdx  e ln x  dx  e 
dx  e  J    1 x x 1 1 1 1  1  Vậy: e e e e
I  H  K  J  e
 e  e  J  J  e .  2 x cos x Câu 16. I  dx  3  sin x 4 1    2cos x u  x du  dx    Ta có    . Đặt  cos x  1 2    sin x 3  sin x dv  dx  v   3  sin x  2  2sin x    1 1 2 2 1 dx 1   1 2 1  I =  x.
  (  )  cot x 2 2 +  = sin x  2 2 sin x 2 2 2 2   2 . 4 4 4  4 x sin x Câu 17. I  dx  3 0 cos x Trang 37
Bài tập Tích phân
Trần Sĩ Tùng  u  x du  dx     x 4 4 1 dx  1 4  1  Đặt:  sin x dv dx    I     tan x    v 1    2 2 3 2cos x 2 cos x 4 2 4 2  cos x  2  2.cos x 0 0 0  2 (x  2 sin x) Câu 18. I  dx  1  sin 2x 0   2 x 2 2 sin x  Ta có: I  dx 
dx  H  K  1   sin2x 1 sin2x 0 0   u   x 2 du  dx x 2 x  dx  + H  dx  dx  dv     1    1  . Đặt:  sin2x 2   2    v  tan x  0 0 2cos x       2cos x     2   4 4       4    x    2     2 1    H  tan x      ln cos x      2 4  2 4       4 0  0   2 2 sin x  2 2 cos x + K  dx  . Đặt   K  dx 1   sin 2x t x 2  1 sin2x 0 0   2 dx 1    2  2K   tan x   1     K 1  2    2  4 2 0 2cos  x   0 4    
Vậy, I  H  K 1   4 2 .  x 3
(cos x  cos x  sin x) Câu 19. I  dx  2 0 1 cos x  cos x 2 (1 cos x) sin x       x.sin x
 Ta có: I  x
dx  x.cos x d . x 
dx  J  K   2   1 cos x  2 0   0 0 1 cos x  u  x   
+ Tính J  x.cos x d . x  . Đặt 
 J  (x.sin x)  sin x d
. x  0  cos x  2  
dv  cos xdx 0 0 0 0  x.sin x + Tính K  dx        2 . Đặt x t dx dt 0 1 cos x
 (  t).sin(  t)
 (  t).sint    
(  x).sin x  K  dt  dt  dx  2   1 cos (  t 2 ) 1 cos t 2 0 0 0 1 cos x
 (x   x).sin x  sin x d.x    sin x d . x  2K  dx    K   2   1 cos x 2 1 cos x 2 2 0 0 0 1 cos x 1  dt 2
Đặt t  cos x  dt  sin x d . x  K   tan   (1 tan ) 2  , đặt t u dt u du  1  t2 1 Trang 38
Trần Sĩ Tùng
Bài tập Tích phân   4 2  (1 tan u d ) u 4  2     K   du  .u 4   2 2   1 tan u 2 2   4    4 4 4 2  Vậy I   2 4
2 x (x sin x)sin x Câu 20. I 3  dx   (1 sin x 2 )sin x 3
2 x(1sin x)sin x 2 x 2 2  dx  Ta có: I 3  dx 3  dx 3   H  K     (1 sin x 2 )sin x  2 sin x  1 sin x 3 3 3 2 x u  x  du  dx  + H 3  dx  dx      2 . Đặt  H sin x dv  
v   cot x 3 3 2  sin x 2 dx 2 dx 2 dx + K 3 3 3     3  2   1    sin x      2   x  3 3 1 cos  x 3 2 cos   2   4 2       Vậy I   3  2 3  x 2  sin x Câu 21. I 3  dx 0  1cos2x  x 2  sin x  x  2 sin x  Ta có: I 3  dx 3  dx 3 
dx  H  K 0  1    cos2x 0 2 2cos x 0 2 2cos x  x 1  x u  x  du  dx + H 3  dx 3  dx  dx  0  2  . Đặt  2cos x 0 2 2 cos x dv   v  tan x 2  cos x 1      1   1
 H  x tan x 3 3  tan xdx   ln cos x 3   ln2  0 0 2   2 3 2 0 2 3 2  2 sin x   3 1 3 2 1 1    + K  dx  tan xdx 
tan x  x 3  3  0  2      2cos x 0 2 2 0 2  3         
Vậy: I  H  K 1 1 3 1 1   ln2   3     ( 3  ln2) 2 3 2 2  3  6 2 3 Câu 22. I 
x 1sin x 1 d . x  0 2 2 2 2 2
 Đặt t  x 1  I  t.sint t .2 dt  t
2 sintdt  2x sin xdx    1 1 1 u  2x2 du  4xdx 2 2 2 Đặt    I  2
 x cos x  4x cos xdx 
dv  sin xdx 
v   cos x 1 1 u  4x du  4dx Đặt  
. Từ đó suy ra kết quả. dv cos xdx   v  sin x Trang 39
Bài tập Tích phân
Trần Sĩ Tùng  2 1 sin x Câu 23. x I  e . dx  1cosx 0   2 x 1 e dx 2 sin x x  I   e dx 2   2 x 1 cos x 0 cos 0 2   x x  2 x 2 2sin .cos sin 2 2 2 x + Tính x x I  e dx  e dx 1   tan e dx 1  x   cos x 2 x 2 0 0 2cos 0 2  x  u  e x   2 x 1 e dx  du  e dx   dx  2 x x + Tính I 2 2   
I  e  tan e dx 2  . Đặt dv   x  2  2 x 2 0 cos  2 x  v  tan 0 2 2cos  2  2 
Do đó: I  I  I  e 2 1 2 .  cos x Câu 24. I 2  dx 0  x e (1 sin2x)  cos x  (
 sin x  cos x d ) x  u  cos x  x du     x e  I 2  dx   e 0  . Đặt x 
e (sin x  cos x 2 ) dx sin x dv  v  
(sin x  cos x 2 )  sin x  cos x    cos x sin x 2 sin xdx 2 2 sin xdx  I  .   x  x  x e
sin x  cos x 0 0 e 0 e   u  sin x
du  cos xdx  1 1   2 1  cos xdx 2 2 1  cos xdx Đặt  dx   I  sin x.    dv   v 1  x  x   x 1   x  1 x e 0 0 e 0 e  e  e e2 u  cos x
du  sin xdx 2 2   Đặt  dx  dv   v 1  1   x  1 x  e  e     2 1 1     2 sin xdx 1  e 2 1  I   cos x.  
1 I  2I  e 2 1  I    x  x e  0 2 2 0 e e2 e2  4 6 sin x 6  cos x Câu 25. I  dx  x  6 1  4 Trang 40
Trần Sĩ Tùng
Bài tập Tích phân   4 6 6 4 6 6
t sin t  cos t
x sin x  cos x
 Đặt t  x  dt  d  x  I  6 dt  6 dx  t  x  6 1  6 1   4 4    4 6 6 4 4 x sin x  cos x 6 6  5 3    2I  (6 1) dx 
(sin x  cos x d ) x    cos4  x  x dx  5    6 1   8 8   16    4 4 4   I 5  32 .  6 4 sin xdx
Câu 26. I   x  2 1  6   6 x 4 0 x 4 6 x 2 sin xdx 2 sin xdx 4 2 sin xdx  Ta có: I     I  I  x  x  x 1 2  2 1  2 1 0 2 1   6 6 0 x 4 2 sin xdx 0 t 4 2 sin (t 0 4 ) sin t 0 4 sin x + Tính I1   . Đặt x  t   I   dt  dt  dx x 1  t  t  x  2 1  2 1  2  1  2  1  6 6 6 6     6 4 6 x sin xdx 4 2 sin xdx 6 6 4 1 2  I    sin xdx  (1 cos2x) dx  x  x   2 1 2 1 4 0 0 0 0  6 1   
(3  4cos2x  cos4x)dx  8  4 7 3 64 0 e Câu 27. I  cos(ln x d ) x  1  Đặt t t
t  ln x  x  e  dx  e dt  t 1 
 I  e costdt  =  e ( 1) 2
(dùng pp tích phân từng phần). 0  2 2 Câu 28. sin x 3 I  e .sin x.cos xdx  0 1 1 1 2 t
 Đặt t  sin x  I  e (1 t d ) t  e 2 
2 (dùng tích phân từng phần) 0  4
Câu 29. I  ln(1 tan x d ) x  0 Trang 41
Bài tập Tích phân
Trần Sĩ Tùng     4     4  1 tan t  4 2
 Đặt t   x   ln  1 tan  ln  1 dt ln 4 I t  dt =  = dt    4   1 tan t 1 tan t 0  0  0   4 4  = ln 2dt  ln(1 tan t)dt   = t 4 .ln2  I 0 0 0  
 2I  ln2  4  I ln2 8 .  2
Câu 30. I  sin x ln(1 sin x)dx  0  1 cos x
u  ln(1 sin x) du  dx  Đặt    1 sin x
dv  sin xdx
v  cosx     2 cos x 2 2 1 sin x 2 
 I  cos x.ln(1 sin x) 2  cos x. dx  0 
dx  (1 sin x)dx  1  1    sin x 1 sin x 2 0 0 0 0 
4 tan x.ln(cos x) Câu 31. I  dx  cos x 0 1 2 lnt 1 lnt
 Đặt t  cos x  dt  sin xdx  I   dt  dt   . 1 t2 t2 1 2 u  lnt  1  du  dt  t Đặt dv 1  dt    I 2  2 1 ln2  1 2  t2 v    t Trang 42