51 bài toán GTLN – GTNN của hàm số trong đề thi THPT môn Toán (2016 – 2021)
51 bài toán GTLN – GTNN của hàm số trong đề thi THPT môn Toán (2016 – 2021) được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Chủ đề: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 375 tài liệu
Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
Luyenthitracnghiem.vn
51 BÀI TOÁN GTLN - GTNN TRONG Đ THI BGD T! 2016 - 2021 BÀI TOÁN GTLN - GTNN L uy TRONG THI BGD en thi 2016 - 2021 tra cng
Câu 1: (Câu 32 - MĐ 103 - BGD&ĐT - Đợt 2 - Năm 2019 - 2020) Giá trị nhỏ nhất của hàm số hi 4 2 e
f (x) = x −10x − 2 trên đoạn [0;9] bằng m .vn Ⓐ. 2 − . Ⓑ. 1 − 1. Ⓒ. 2 − 6. Ⓓ. 2 − 7 . Lời giải Chọn D Hàm số 4 2
f (x) = x −10x − 2 xác định và liên tục trên đoạn [0;9] . Ta có 3
f '(x) = 4x − 20x x = 0 ∈[0;9] 3
f '(x) = 0 ⇔ 4x − 20x = 0 ⇔ x = 5 ∈[0;9] x = − 5 ∉ [0;9] N guy f (0) = −2;
f ( 5) = −27; f (9) = 5749 . %n H
So sánh 3 giá trị trên và kết luận min f (x) = −27 . o x [ ∈ 0;9] àng V
Câu 2: (Câu 21 - MĐ 104 - BGD&ĐT - Năm 2018 - 2019) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) 3 = x −3x i)t trên đoạn [ 3 − ; ] 3 bằng Ⓐ. 18. Ⓑ. 1 − 8. Ⓒ. −2 . Ⓓ. 2 . Lời giải Chọn B
Ta có: f ′( x) 2 = 3x −3 x = −1∈[−3;3]
Có: f ′( x) = 0 ⇔ x = 1∈ [−3;3] Mặt khác: f (− ) 3 = 1 − 8; f ( ) 3 =18; f (− ) 1 = 2; f ( ) 1 = 2 − .
Vậy min f ( x) = f (−3) = −18 . [−3;3]
https://www.facebook.com/vietgold Trang 1 Luyenthitracnghiem.vn
51 BÀI TOÁN GTLN - GTNN TRONG Đ THI BGD T! 2016 - 2021
Câu 3: (Câu 19 - MĐ 103 - BGD&ĐT - Năm 2018 - 2019) Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) 3 = x −3x trên đoạn [ 3 − ; ] 3 bằng L − . u Ⓐ. 18. Ⓑ. 2. Ⓒ. 18 Ⓓ. 2 − . yen Lời giải thi Chọn A tra f ( x) 3
= x −3x xác định trên đoạn [ 3 − ; ] 3 . cng ′ = − h f ( x) 2 3x 3. iem x = 1∈[−3;3] Cho 2 ′ .
f ( x) = 0 ⇔ 3x − 3 = 0 ⇔ v = − ∈ − n x 1 [ 3;3] Ta có f (− ) 3 = 1 − 8; f (− ) 1 = 2; f ( ) 1 = 2 − ; f ( ) 3 =18.
Vậy max y = f (3) = 18 . [−3; ] 3
Câu 4: (Câu 21 - MĐ 103 - BGD&ĐT - Năm 2017 - 2018) Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
y = x + 3x trên đoạn [−4;− ] 1 bằng Ⓐ. 4 − . Ⓑ. −16 . Ⓒ. 0 . Ⓓ. 4 Lời giải Chọn B N x = 0 ∉ 4 − ; −1 2 [ ] ′ ′ g Ta có 2
y = 3x + 6x ; y = 0 ⇒ 3x + 6x = 0 ⇔ . u x = −2 ∈ [ 4 − ; − ] 1 y%n
Khi đó y (−4) = −16 ; y (−2) = 4 ; y (−1) = 2 . H oàn Nên min y = −16 . [−4;− ] 1 g Vi)
Câu 5: (Câu 18 - MĐ 102 - BGD&ĐT - Năm 2017 - 2018) Giá trị nhỏ nhất của hàm số t 3 2
y = x + 2x − 7x trên đoạn [0;4] bằng Ⓐ. 2 − 59. Ⓑ. 68. Ⓒ. 0 . Ⓓ. 4 − Lời giải Chọn D TXĐ D = . ℝ
Hàm số liên tục trên đoạn [0;4] . Ta có 2
y′ = 3x + 4x − 7
https://www.facebook.com/vietgold Trang 2 Luyenthitracnghiem.vn
51 BÀI TOÁN GTLN - GTNN TRONG Đ THI BGD T! 2016 - 2021 x = 1∈[0;4] y′ = 0 ⇔ 7 x = − ∉[0;4] 3 Lu y (0) = 0; y ( ) 1 = 4 − ; y(4) = 68. yent Vậy min y = −4 . h [0;4] itrac 2 n
Câu 6: (Câu 20 - MĐ 104 - BGD&ĐT - NĂM 2016 - 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 2 y = x + gh x ie 1 m trên đoạn ;2 . . 2 vn Ⓐ. 17 m = . Ⓑ. m =10. Ⓒ. m = 5 . Ⓓ. m = 3 4 Lời giải Chọn D 2
Đặt y = f ( x) 2 = x + x 3 2 2 − 2 1 Ta có ′ = 2 x y x − =
, y′ = 0 ⇒ x = 1∈ ; 2 2 2 x x 2 1 17 Khi đó f ( ) 1 = 3, f = , f (2) = 5 2 4
Vậy m = min f ( x) = f ( ) 1 = 3 . N 1;2 g 2 uy
Câu 7: (Câu 37 - MĐ 104 - BGD&ĐT - Đợt 1 - Năm 2020 - 2021) Trên đoạn [ 1 − ;2] , hàm số %n 3 2
y = x + 3x +1 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm H oàn Ⓐ. x = 2. Ⓑ. x = 0 . Ⓒ. x = 1 − . Ⓓ. x 1 = . g Vi Lời giải )t Chọn B 3 2
y = x + 3x +1 x = 0 2
y′ = 3x + 6x = 0 ⇔ . x = 2 − ∉ [ 1 − ;2] y (− )
1 = 3; y (0) = 1; y (2) = 21. Vậy GTNN trên đoạn [ 1
− ;2] của hàm số bằng 1 tại x = 0 .
Câu 8: (Câu 36 - MĐ 103 - BGD&ĐT - Đợt 1 - Năm 2020 - 2021) Trên đoạn [0; ] 3 , hàm số 3
y = x − 3x + 4
đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm Ⓐ. x =1. Ⓑ. x = 0 . Ⓒ. x = 3. Ⓓ. x = 2. Lời giải Chọn A
https://www.facebook.com/vietgold Trang 3 Luyenthitracnghiem.vn
51 BÀI TOÁN GTLN - GTNN TRONG Đ THI BGD T! 2016 - 2021 x = 1 Ta có 2
y′ = 3x − 3 ⇒ y ' = 0 ⇔ . x = 1 − ∉ [0; ] 3
Ta có: y (0) = 4, y (3) = 22, y ( ) 1 = 2 Lu Vậy hàm số 3
y = x − 3x + 4 đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;3] tại điểm x =1. yent
Câu 9: (Câu 35 - MĐ 102 - BGD&ĐT - Đợt 1 - Năm 2020 - 2021) Trên đoạn [−2; ] 1 , hàm số hit 3 2 r
y = x − 3x −1 đạt giá trị lớn nhất tại điểm acng Ⓐ. x = 2 − . Ⓑ. x = 0 . Ⓒ. x = 1 − . Ⓓ. x =1. hiem Lời giải .v Chọn B n
Tập xác định D = ℝ . x = 0 2
y′ = 3x − 6x = 0 ⇔ x = 2 ∉ [ 2 − ; ] 1 Ta có y ( 2
− ) = −21, y (0) = −1, y ( ) 1 = −3 . Vậy max y = 1 − tại x = 0 . [ 2 − ; ] 1
Câu 10: (Câu 31 - MĐ 101 - BGD&ĐT - Đợt 1 - Năm 2020 - 2021) Trên đoạn [0; ] 3 , hàm số 3
y = −x + 3x
đạt giá trị lớn nhất tại điểm Ⓐ. x = 0. Ⓑ. x = 3. Ⓒ. x =1. Ⓓ. x = 2. N Lời giải gu Chọn C y% = = − + ⇒ ′ n Ta có: y f ( x) 3 2 x 3x f (x) = 3 − x + 3 H x = 1 oà y′ = 0 ⇔ . n x = 1 − ∉ [0; ] 3 g V
Ta có f (0) = 0; f ( ) 1 = 2; f (3) = 1 − 8 . i)t Vậy hàm số 3
y = −x + 3x đạt giá trị lớn nhất tại điểm x = 1 .
Câu 11: (Câu 31 - Đề Tham Khảo - BGD&ĐT - Năm 2020 - 2021) Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) 4 2
= x − 2x + 3 trên đoạn [0;2] . Tổng M + m bằng Ⓐ. 11. Ⓑ. 14. Ⓒ. 5. Ⓓ. 13. Lời giải Chọn D
Tập xác định: D = ℝ f ′( x) 3 = 4x − 4x
https://www.facebook.com/vietgold Trang 4 Luyenthitracnghiem.vn
51 BÀI TOÁN GTLN - GTNN TRONG Đ THI BGD T! 2016 - 2021 x = 0 ∈[0;2] f ′( x) 3
= 0 ⇔ 4x − 4x = 0 ⇔ x = −1∉[0;2] x =1 ∈ [0;2] Lu f (0) = 3; f ( ) 1 = 2; f (2) = 11 yen M =11 t ⇒
⇒ M + m = 13 . hi m = 2 tracn
Câu 12: (Câu 31 - MĐ 104 - BGD&ĐT - Đợt 2 - Năm 2019 - 2020) Giá trị nhỏ nhất của hàm số gh f ( x) 4 2
= x −12x −1 trên đoạn [0;9] bằng iem. − − − v Ⓐ. 28. Ⓑ. −1. Ⓒ. 36. Ⓓ. 37. n Lời giải Chọn D x = 0 f ′( x) 3
= 4x − 24x ; f ′( x) = 0 ⇔ x = 6 x = − 6 ∉ [0;9]
f (0) = −1; f ( 6 ) = −37; f (9) = 5588
Vậy min f ( x) = −37 [0;9] N
Câu 13: (Câu 32 - MĐ 102 - BGD&ĐT - Đợt 2 - Năm 2019 - 2020) Giá trị nhỏ nhất của hàm số g 4 2 u
f (x) = x −12x − 4 trên đoạn [0;9] bằng y%n H Ⓐ. 3 − 9 . Ⓑ. 4 − 0 . Ⓒ. 3 − 6 . Ⓓ. −4. oàn Lời giải g Vi Chọn B )t +) Ta có 3 f (
′ x) = 4x − 24x . 3 f ′ x = ⇔ x − x = ⇔ x ( 2 ( ) 0 4 24 0 4 x − 6) = 0. x = 0
⇔ x = − 6 ∉(0;9). x = 6 ∈ (0;9) +) Ta có:
f (0) = −4; f ( 6 ) = −40; f (9) = 5585 .
Vậy min f (x) = f ( 6) = 4 − 0 . [0;9]
https://www.facebook.com/vietgold Trang 5 Luyenthitracnghiem.vn
51 BÀI TOÁN GTLN - GTNN TRONG Đ THI BGD T! 2016 - 2021
Câu 14: (Câu 31 - MĐ 101 - BGD&ĐT - Đợt 2 - Năm 2019 - 2020) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) 4 2
= x −10x − 4 trên đoạn [0;9] bằng L Ⓐ. 2 − 8. Ⓑ. 4 − . Ⓒ. 1 − 3. Ⓓ. 2 − 9. uyen Lời giải thi Chọn D tra x = 0 cn g Ta có f ′( x) 3
= 4x − 20x ; f ′( x) = 0 ⇔ x = 5 . h i e x = − 5 m .v Bảng biến thiên n
Dựa vào bảng biến thiên ta có min f ( x) = −29 khi x = 5 . [0;9]
Câu 15: (Câu 29 - MĐ 104 - BGD&ĐT - Đợt 1 - Năm 2019 - 2020) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) 3
= x − 33x trên đoạn [2;19] bằng N g Ⓐ. 7 − 2 . Ⓑ. 2 − 2 11 . Ⓒ. 5 − 8 . Ⓓ. 22 11 . uy%n Lời giải Ho Chọn B àng Ta có f ′( x) 2 = 3x − 33 Vi)t f ′( x) 2
= 0 ⇔ x =11 ⇔ x = ± 11
Xét trên [2;19] ta có x = 11∈[2;19]
Ta có f (2) = −58; f ( 11) = −22 11; f (19) = 6232 .
Vậy min f ( x) = f ( 11) = −22 11 [2;19]
Câu 16: (Câu 35 - MĐ 103 - BGD&ĐT - Đợt 1 - Năm 2019 - 2020) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) 3
= x −30x trên đoạn [2;1 ] 9 bằng Ⓐ. 20 10 . Ⓑ. 6 − 3 . Ⓒ. 2 − 0 10 . Ⓓ. 5 − 2 . Lời giải
https://www.facebook.com/vietgold Trang 6 Luyenthitracnghiem.vn
51 BÀI TOÁN GTLN - GTNN TRONG Đ THI BGD T! 2016 - 2021 Chọn C Ta có f ′( x) 2
= 3x − 30 ; f ′(x) = 0 ⇔ x = ± 10 . L Hàm số f ( x) 3
= x −30x liên tục trên đoạn [2;1 ] 9 và uye f (2) = −52; f
10 = −20 10; f 19 = 6289 . n ( ) ( ) thitr
So sánh các giá trị trên, ta có giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) 3
= x −30x trên đoạn [2;1 ] 9 acn bằng 2 − 0 10 ghie
Câu 17: (Câu 26 - MĐ 102 - BGD&ĐT - Đợt 1 - Năm 2019 - 2020) Giá trị nhỏ nhất của hàm số m .v f ( x) 3
= x − 21x trên đoạn [2; 19] bằng n Ⓐ. 3 − 6. Ⓑ. 1 − 4 7 . Ⓒ. 14 7 . Ⓓ. 3 − 4. Lời giải Chọn B
Đạo hàm f ′( x) 2
= 3x − 21, x ∈(2; 19). = f ′( x) x 7 (T / m) = 0 ⇔ . x = − 7 (L)
Ta có f (2) = −34; f ( 7 ) = −14 7; f (19) = 6460 . N g
Do vậy Min f ( x) = 1
− 4 7 , đạt được khi x = 7 . u x [ ∈ 2; 19] y%n H
Câu 18: (Câu 36 - MĐ 101 - BGD&ĐT - Đợt 1 - Năm 2019 - 2020) Giá trị nhỏ nhất của hàm số oà f ( x) 3
= x − 24x trên đoạn [2;19] bằng ng V − − − i Ⓐ. 32 2 . Ⓑ. 40 . Ⓒ. 32 2 . Ⓓ. 45 . )t Lời giải Chọn C Ta có: f ( x) 3 = x − 24x x = 2 2 ∈[2;19] f ′( x) 2 = 3x − 24 = 0 ⇔ . x = 2 − 2 ∉ [2;19] f ( ) 3 2 = 2 − 24.2 = 4 − 0 ; f ( ) =( )3 2 2
2 2 − 24.2 2 = −32 2 ; f ( ) 3
19 = 19 − 24.19 = 6403 . Mà 3
− 2 2 < − 40 < 6403.
Kết luận: min f ( x) = 3
− 2 2 tại x = 2 2 . x [ ∈ 2;19]
https://www.facebook.com/vietgold Trang 7 Luyenthitracnghiem.vn
51 BÀI TOÁN GTLN - GTNN TRONG Đ THI BGD T! 2016 - 2021
Câu 19: (Câu 28 - ĐTK - BGD&ĐT - Lần 2 - Năm 2019 - 2020) Giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 2
y = x −10x + 2 trên đoạn [ 1 − ; ] 2 bằng: L Ⓐ. 2. Ⓑ. −23 . Ⓒ. −22 . Ⓓ. 7 − . uye Lời giải nth Chọn C itra 4 2 3 2 = − + ⇒ ′ . c y x 10x 2
y = 4x − 20 x = 4x ( x − 5) ngh x = 0 iem
y′ = 0 ⇔ x = 5 . .vn x = − 5
Các giá trị x = − 5 và x = 5 không thuộc đoạn [ 1 − ; ] 2 nên ta không tính. Có f (− ) 1 = 7
− ; f (0) = 2; f (2) = 2 − 2.
Nên giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ 1 − ; ] 2 là −22 .
Câu 20: (Câu 19 - ĐTK - BGD&ĐT - Lần 1 - Năm 2019 - 2020) Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) 4 2
= −x +12x +1 trên đoạn [ 1 − ; ] 2 bằng Ⓐ. 1 Ⓑ. 37 . Ⓒ. 33 . Ⓓ. 12 . Lời giải N gu Chọn C y%n
Hàm số liên tục và xác định trên [ 1 − ; ] 2 . Ho x = 0 à n Ta có f ′( x) 3 = 4 − x + 24x 3
⇒ f ′ x = 0 ⇔ −4x + 24x = 0 ⇔ x = 6 ∉ −1;2 . g ( ) [ ] V i x = − 6 ∉ [−1;2] )t
Ta có f (0) =1; f (− ) 1 =12 ; f (2) = 33
Vậy max f ( x) = 33. [−1;2]
Câu 21: (Câu 17 - MĐ 102 - BGD&ĐT - Năm 2018 - 2019) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) 3
= x − 3x + 2 trên [ − 3;3] bằng Ⓐ. 20. Ⓑ. 4. Ⓒ. 0. Ⓓ. –16. Lời giải Chọn D
Ta có: f ′( x) 2
= 3x − 3 ⇒ f ′(x) = 0 ⇔ x = 1 ± .
https://www.facebook.com/vietgold Trang 8 Luyenthitracnghiem.vn
51 BÀI TOÁN GTLN - GTNN TRONG Đ THI BGD T! 2016 - 2021 Ta có: f (− ) 3 = 1 − 6; f (− ) 1 = 4; f ( ) 1 = 0; f ( ) 3 = 20.
Do hàm số f ( x) liên tục trên [ − 3;3] nên giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng –16. Luy
Câu 22: (Câu 20 - MĐ 101 - BGD&ĐT - Năm 2018 - 2019) Giá trị lớn nhất của hàm số 3 f ( )
x = x −3x+2 en
trên đoạn [ − 3; 3] bằng thitra Ⓐ. 1 − 6. Ⓑ. 20. Ⓒ. 0. Ⓓ. 4. cng Lời giải hie Chọn B m 3 2 .
f x = x − 3x + 2 ⇒ f ′ x = 3x −3 v Ta có: ( ) ( ) n x = 1 Có: f ′( x) 2
= 0 ⇔ 3x − 3 = 0 ⇔ x = 1 − Mặt khác: f (− ) 3 = 1 − 6, f (− ) 1 = 4, f ( ) 1 = 0, f ( ) 3 = 20.
Vậy max f ( x) = 20 . [ 3 − ; ] 3
Câu 23: (Câu 22 - MĐ 104 - BGD&ĐT - Năm 2017 - 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số 4 2
y = x − x +13
trên đoạn [−1; 2] bằng Ⓐ. 25 Ⓑ. 51 Ⓒ. 13 Ⓓ. 85 4 N gu Lời giải y%n Chọn A H oà
y = f ( x) 4 2
= x − x +13 ng V 3 i
y ' = 4x − 2x )t x = 0∈[ −1;2] 1 3
4x − 2x = 0 ⇔ x = − ∈[ −1;2] 2 1 x = ∈[ −1; 2] 2 1 51 1 51 f ( 1
− ) = 13; f (2) = 25; f (0) = 13; f − = ; f = 2 4 2 4
Giá trị lớn nhất của hàm số 4 2
y = x − x +13 trên đoạn [−1; 2] bằng 25.
https://www.facebook.com/vietgold Trang 9 Luyenthitracnghiem.vn
51 BÀI TOÁN GTLN - GTNN TRONG Đ THI BGD T! 2016 - 2021
Câu 24: (Câu 23 - MĐ 101 - BGD&ĐT - Năm 2017 - 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số 4 2
y = x − 4x + 9 trên đoạn [ 2 − ; ] 3 bằng L Ⓐ. 201 Ⓑ. 2 Ⓒ. 9 Ⓓ. 54 uyen Lời giải t hitr Chọn D ac x = 0 n 3 g
y′ = 4x − 8x ; y′ = 0 ⇔ . h x = ± 2 iem. Ta có y( 2 − ) = 9 ; y( )
3 = 54 ; y(0) = 9 ; y ± 2 = 5 . v ( ) n
Vậy max y = 54 . [ 2 − ; ] 3
Câu 25: (Câu 18 - ĐTK - BGD&ĐT - Năm 2017 - 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) 4 2 = x − 4x +5 trêm đoạn [ 2 − ; ] 3 bằng Ⓐ. 50 Ⓑ. 5 Ⓒ. 1 Ⓓ. 122 Lời giải Chọn A x = 0 3
f '(x) = 4x − 8x = 0 ⇔ ∈[ 2 − ; ] 3 ; N x = ± 2 guy%
f (0) = 5; f (± 2 ) = 1; f ( 2
− ) = 5; f (3) = 50 n Ho Vậy Max y = 50 à [ 2 − ; ] 3 ng V
Câu 26: (Câu 15 - MĐ 103 - BGD&ĐT - NĂM 2016 - 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất i m của hàm số )t 4 2
y = x − x +13 trên đoạn [ 2 − ; ] 3 . Ⓐ. 51 m = . Ⓑ. 49 m = . Ⓒ. m =13. Ⓓ. 51 m = . 4 4 2 Lời giải Chọn A Ta có: 3
y′ = 4x − 2 . x x = 0 1 51 y′ = 0 ⇔ 1 ; y (0) = 13, ± = , y ( 2
− ) = 25 , y (3) = 85 . y x = ± 2 4 2
https://www.facebook.com/vietgold Trang 10 Luyenthitracnghiem.vn
51 BÀI TOÁN GTLN - GTNN TRONG Đ THI BGD T! 2016 - 2021 51 Vậy: m = . 4
Câu 27: (Câu 24 - MĐ 102 - BGD&ĐT - Năm 2016 - 2017) Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số L 4 2 u
y = x − 2x + 3 trên đoạn 0; 3 y . enth Ⓐ. M = 9 Ⓑ. M = 8 3 Ⓒ. M = 1 Ⓓ. M = 6 itra Lời giải cn Chọn D g 3 2 h
Ta có: y′ = 4x − 4x = 4x(x − ) 1 iem x = 0 .v 2 n
y′ = 0 ⇔ 4x ( x − ) 1 = 0 ⇔ x = 1 x = 1 − (l)
Ta có : y (0) = 3 ; y( ) 1 = 2 ; y ( 3) = 6
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số 4 2
y = x − 2x + 3 trên đoạn 0; 3
là M = y ( 3) = 6
Câu 28: (Câu 23 - MĐ 101 - BGD&ĐT - Năm 2016 - 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 3 2
y = x − 7 x + 11x − 2 trên đoạn [0; 2] Ⓐ. m = 11 Ⓑ. m = 0 Ⓒ. m = 2 − Ⓓ. m = 3 Lời giải Chọn C 11 N x = ∉(0;2) 2 g ′
y = 3x −14x +11 y ' = 0 ⇔ 3 u y x = 1∈ (0;2) %n f 0 = −2; f 1 = 3;
f 2 = 0 ⇒ min y = −2 H ( ) ( ) ( ) [0;2] oàn 2 g x + 3
Câu 29: (Câu 6 - ĐMH - BGD&ĐT - Năm 2017 - 2018) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên Vi x −1 )t đoạn [2;4] . 19 Ⓐ. min y = 6 Ⓑ. min y= 2 −
Ⓒ. min y = −3 Ⓓ. min y = [2;4] [2;4] [2;4] [2;4] 3 Lời giải Chọn A
Tập xác định: D = ℝ \{ } 1 2 x + 3 Hàm số y =
xác định và liên tục trên đoạn [2;4] x −1 2 x − 2x − 3 Ta có 2 y′ =
;y′ = 0 ⇔ x − 2x − 3 = 0 ⇔ x = 3 hoặc x = 1 − (loại) (x − )2 1
https://www.facebook.com/vietgold Trang 11 Luyenthitracnghiem.vn
51 BÀI TOÁN GTLN - GTNN TRONG Đ THI BGD T! 2016 - 2021
Suy ra y ( ) = y ( ) = y ( ) 19 2 7; 3 6; 4 =
. Vậy min y= 6 tại x = 3. 3 [2;4]
Câu 30: (Câu 19 - ĐTK - BGD&ĐT - Năm 2016 - 2017) Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số L 4 u y = 3x + trên khoảng (0; +∞ ) . 2 y x ent 3 h
Ⓐ. min y = 3 9 Ⓑ. min y = 7 i (0;+∞) (0;+∞) tra 33 c = 3 min y = 2 9 n Ⓒ. min y Ⓓ. (0;+∞) (0;+∞) g 5 hie Lời giải m .v Chọn A n Cách 1: 4 3x 3x 4 3x 3x 4 3 3 y = 3x + = + + ≥ 3 . . = 3 9 2 2 2 x 2 2 x 2 2 x 3x 4 8 Dấu " = " xảy ra khi 3 = ⇔ x = . 2 2 x 3 Vậy 3 min y = 3 9 (0;+∞) Cách 2: 4
Xét hàm số y = 3x + trên khoảng (0; +∞ ) 2 x N gu 4 8 y Ta có y = 3x + ⇒ y ' = 3 − 2 3 % x x n H 8 8 8 o Cho 3 3 y ' = 0 ⇔
= 3 ⇔ x = ⇔ x = à 3 n x 3 3 g Vi 8 ) 3 t x 0 +∞ 3 y ' − 0 + y 3 3 9 8 3 3 ⇒ min y = y = 3 9 (0;+∞) 3
Câu 31: (Câu 16 - ĐTK - BGD&ĐT - Năm 2018 - 2019) Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên
đoạn (-1;3) và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của hàm số đã cho trên đoạn [ 1 − ; ]
3 . Giá trị của M − m bằng
https://www.facebook.com/vietgold Trang 12 Luyenthitracnghiem.vn
51 BÀI TOÁN GTLN - GTNN TRONG Đ THI BGD T! 2016 - 2021 Luyenthitracnghi em .v Ⓐ. 0. Ⓑ. 1. Ⓒ. 4. Ⓓ. 5. n Lời giải Chọn D
Căn cứ vào đồ thị ta có M = max y = 3 , m = min y = −2 [ 1 − ;3] [ 1 − ;3]
Vậy M − m = 5 .
Câu 32: (Câu 39 - Đề Tham Khảo - BGD&ĐT - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số f ( x) , đồ thị
của hàm số y = f ′( x) là đường cong trong hình bên. N guy%n Hoàng Vi)t 3
Giá trị lớn nhất của hàm số g ( x) = f (2x) − 4x trên đoạn − ;2 bằng 2 Ⓐ. f (0) .
Ⓑ. f (−3) + 6 .
Ⓒ. f (2) − 4 . Ⓓ. f (4) −8 . Lời giải Chọn C
https://www.facebook.com/vietgold Trang 13 Luyenthitracnghiem.vn
51 BÀI TOÁN GTLN - GTNN TRONG Đ THI BGD T! 2016 - 2021 Luyenthitracnghiem.vn
Ta có: g′( x) = 2 f ′(2x) − 4 . 3
2x = x < −3 = < − 1 x 1 x 2 = g′( x) x
= 0 ⇔ 2 f ′(2x) − 4 = 0 ⇔ f ′(2x) 2 0 = 2 ⇔ ⇔ x = 0 2x = 2 x =1
2x = x > 4 2 x > 2 2
Ta có bảng biến thiên của hàm số y = g ( x) : N guy%n Hoàng Vi) t 3
Từ bảng biến thiên ta có: trên − ; 2
hàm số g ( x) = f (2x) − 4x đạt giá trị lớn nhất tại x = 1 và 2
max y = f (2) − 4 . 3;1 − 2
Câu 33: (Câu 37 - MĐ 104 - BGD&ĐT - Năm 2018 - 2019) Cho hàm số f ( x) , hàm số
y = f ′ ( x ) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương trình f ( x ) > 2x + m ( m là
tham số thực) nghiệm đúng với mọi x ∈ (0;2) khi và chỉ khi
https://www.facebook.com/vietgold Trang 14 Luyenthitracnghiem.vn
51 BÀI TOÁN GTLN - GTNN TRONG Đ THI BGD T! 2016 - 2021 Luyenth itra
Ⓐ. m ≤ f (2) − 4 .
Ⓑ. m ≤ f (0) .
Ⓒ. m < f (0) .
Ⓓ. m < f (2) − 4 . cng Lời giải hi Chọn A em
Ta có f ( x) > 2x + m nghiệm đúng với mọi x ∈ (0;2) .vn
⇒ m < f ( x) − 2x nghiệm đúng với mọi x ∈ (0;2)
Xét hàm số g ( x) = f ( x) − 2x với x ∈(0; 2)
⇒ g′( x) = f ′( x) − 2 ≤ 0 với mọi x ∈(0;2)
⇒ hàm số nghịch biến trên (0;2) .
Để m < f ( x) − 2x nghiệm đúng với mọi x ∈(0;2) thì m ≤ g (2) = f (2) − 4
Câu 34: (Câu 38 - MĐ 102 - BGD&ĐT - Năm 2018 - 2019) Cho hàm số f ( x) , hàm số y = f ′( x) liên
tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên N guy%n Hoàng Vi)
Bất phương trình f (x) > x+m ( m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x∈(0;2) khi và chỉ khi t Ⓐ. m≤ f ( ) 2 −2.
Ⓑ. m < f (2) −2.
Ⓒ. m ≤ f (0) .
Ⓓ. m < f (0). Lời giải Chọn A
Bất phương trình f ( x) > x+m nghiệm đúng với mọi x∈(0;2)
⇔m< f (x) −x nghiệm đúng với mọi x∈(0;2) (1)
Xét hàm số g( x) = f ( x) − x trên khoảng (0; ) 2
Có g′( x) = f ′( x) −1< 0, x ∀ ∈(0;2)
https://www.facebook.com/vietgold Trang 15 Luyenthitracnghiem.vn
51 BÀI TOÁN GTLN - GTNN TRONG Đ THI BGD T! 2016 - 2021 Bảng biến thiên Luyenthi trac
Vậy (1) ⇔ m ≤ g (2) ⇔m≤ f ( ) 2 −2 . nghie
Câu 35: (Câu 36 - MĐ 101 - BGD&ĐT - Năm 2018 - 2019) Cho hàm số f ( x) , hàm số y = f ′( x) liên m .v
tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên. n
Bất phương trình f (x) < x + m ( m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x ∈(0; 2) khi và chỉ khi N g
Ⓐ. m ≥ f (2) −2.
Ⓑ. m ≥ f (0).
Ⓒ. m > f (2) −2.
Ⓓ. m > f (0). uy% Lời giải n Chọn B H o
Ta có f ( x) < x + ,
m ∀x ∈(0;2) ⇔ m > f ( x) − ,
x ∀x ∈(0;2)( ) * . àng
Dựa vào đồ thị của hàm số y = f ′( x) ta có với x ∈ (0; 2) thì f ′( x) < 1. Vi)
Xét hàm số g ( x) = f ( x) − x trên khoảng (0;2) . t
g′( x) = f ′( x) −1< 0,∀x∈(0;2) .
Suy ra hàm số g ( x) nghịch biến trên khoảng (0;2) . Do đó ( )
* ⇔ m ≥ g(0) = f ( ) 0 .
Câu 36: (Câu 39 - ĐTK - BGD&ĐT - Năm 2018 - 2019) Cho hàm số y = f ( x) . Hàm số y = f ′( x) có bảng biến thiên như sau
Bất phương trình ( ) < ex f x
+ m đúng với mọi x ∈( 1 − ; ) 1 khi và chỉ khi
https://www.facebook.com/vietgold Trang 16 Luyenthitracnghiem.vn
51 BÀI TOÁN GTLN - GTNN TRONG Đ THI BGD T! 2016 - 2021 Ⓐ. m ≥ f ( ) 1 − e .
Ⓑ. m > f (− ) 1 1 − .
Ⓒ. m ≥ f (− ) 1 1 − .
Ⓓ. m > f ( ) 1 − e . e e Lời giải Luy Chọn C enth Ta có: ( ) < ex f x + m , x ∀ ∈( 1 − ; ) 1 ⇔ ( ) − ex f x < m , x ∀ ∈( 1 − ; ) 1 (*) . itrac = − n Xét hàm số ( ) ( ) ex g x f x ghi Ta có: ( ′ ) = (′ ) − ex g x f x . em . x x v Ta thấy với x ∀ ∈ ( 1 − ; ) 1 thì f ( ′ x) < 0 , e
− < 0 nên g (′x) = f (′x) − e < 0 , x ∀ ∈(−1; ) 1 . n Bảng biến thiên 1
Từ bảng biến thiên ta có m ≥ g( 1
− ) ⇔ m ≥ f (−1) − . e N
Câu 37: (Câu 48 - MĐ 104 - BGD&ĐT - NĂM 2016 - 2017) Cho hàm số y = f ( x) . Đồ thị guy%
của hàm số y = f ′( x) như hình bên. Đặt g ( x) = f ( x) + ( x + )2 2 1 . n Hoàng Vi)t
Mệnh đề nào dưới đây đúng? Ⓐ. g ( )
1 < g (3) < g (−3) .
Ⓑ. g (1) < g (−3) < g (3) .
Ⓒ. g (3) = g (−3) < g ( ) 1 .
Ⓓ. g (3) = g (−3) > g ( ) 1 . Lời giải Chọn A Ta có
https://www.facebook.com/vietgold Trang 17 Luyenthitracnghiem.vn
51 BÀI TOÁN GTLN - GTNN TRONG Đ THI BGD T! 2016 - 2021
g ′( x ) = 2 f ′( x) + 2 ( x + )
1 ⇒ g′(−3) = 2 f ′(−3) − 4, g′( ) 1 = 2 f ′( )
1 + 4, g′(3) = 2 f ′(3) + 8
Lại có nhìn đồ thị ta thấy f ′(−3) = 2, f ′(1) = −2, f ′(3) = −4 ⇒ g′(−3) = g′( ) 1 = g′(3) = 0
Hay phương trình g′( x) = 0 ⇔ f ′( x) = −x −1 có 3 nghiệm Luyenthitracnghiem.v n
Nhìn đồ thị ta có bảng biến thiên, suy ra g (3) > g ( )
1 , g (−3) > g ( ) 1 .
Mặt khác diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = −x −1 và đồ thị hàm số 1 3 , y = f ( )
x trên 2 miền [−3; ]
1 và [1;3] , ta có (−x −1− f ′( x))dx > ( f ′( x) + x + ∫ ∫ )1dx 3 − 1 1 3
⇔ − g (′x)dx > g′ ∫
∫ (x)dx ⇔ −g ( )1+ g( 3 − ) g > (3) − g ( ) 1 ⇔ g ( 3 − ) > g (3) . 3 − 1 Vậy g ( )
1 < g (3) < g (−3) . +
Câu 38: (Câu 35 - MĐ 102 - BGD&ĐT - Năm 2016 - 2017) Cho hàm số x m y = ( m là tham x +1 16
số thực) thoả mãn min y + max y =
. Mệnh đề nào dưới đây đúng? [1;2] 1;2 N [ ] 3 guy Ⓐ. m ≤ 0 Ⓑ. m > 4
Ⓒ. 0 < m ≤ 2 Ⓓ. 2 < m ≤ 4 %n H Lời giải oà Chọn B ng V 1− m i Ta có y′ = . )t (x + )2 1
Nếu m = 1⇒ y = 1, x ∀ ≠ 1
− . Không thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Nếu m <1 ⇒ Hàm số đồng biến trên đoạn [1; ] 2 . 16 + + Khi đó: min m m y + max y =
⇔ y ( ) + y ( ) 16 1 2 16 1 2 = ⇔ + = ⇔ m = 5 . [1;2] [1;2] 3 3 2 3 3
Nếu m >1 ⇒ Hàm số nghịch biến trên đoạn [1; ] 2 . 16 16 2 + m 1+ m 16
Khi đó: min y + max y =
⇔ y (2) + y ( ) 1 = ⇔ + = ⇔ m = 5 [1;2] [1;2] 3 3 3 2 3 +
Câu 39: (Câu 33 - MĐ 101 - BGD&ĐT - Năm 2016 - 2017) Cho hàm số x m y = thỏa mãn x − 1
min y = 3. Mệnh đề nào sau dưới đây đúng? [2;4]
https://www.facebook.com/vietgold Trang 18 Luyenthitracnghiem.vn
51 BÀI TOÁN GTLN - GTNN TRONG Đ THI BGD T! 2016 - 2021 Ⓐ. m < 1 −
Ⓑ. 3 < m ≤ 4 Ⓒ. m > 4 Ⓓ. 1≤ m < 3 Lời giải Chọn C Lu x + m −1− m y y = , D = ℝ \ { } 1 , y′ = e 2 n x −1 (x − ) 1 thi TH1: ′
y < 0 ⇔ m > −1 tracnghiem .vn 4 + m
min y = 3 ⇔ f 4 = 3 ⇔ = 3 ⇔ m = 5 ( ) (n) [2;4] 3 TH2: ′
y > 0 ⇔ m < −1 + y = ⇔ f ( ) 2 m min 3 2 = 3 ⇔
= 3 ⇔ m =1 (l) [2;4] 1 Vậy m = 5
Câu 40: (Câu 36 - ĐTK - BGD&ĐT - Năm 2017 - 2018) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của
tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 3
y = x − 3x + m trên đoạn [0; ] 2 bằng 3. S ố Ng phần tử của S là uy% n Ⓐ. 1 Ⓑ. 2 Ⓒ. 0 Ⓓ. 6 Ho Lời giải àng Chọn B Vi)
Xét hàm số f ( x) 3
= x −3x+m , ta có f ′(x) 2 =3x −3 f x : t
. Ta có bảng biến thiên của ( )
TH 1 : 2 + m < 0 ⇔ m < − 2 . Khi đó max f ( x) = −(− 2 + m) = 2 − m [0;2]
2 − m = 3 ⇔ m = −1 .
https://www.facebook.com/vietgold Trang 19 Luyenthitracnghiem.vn
51 BÀI TOÁN GTLN - GTNN TRONG Đ THI BGD T! 2016 - 2021 2 + m > 0
TH 2 :
⇔ − 2< m <0 . Khi đó : m−2 =2−m>2>2+m m < 0
⇒ max f (x) = −(− 2+ m)= 2−m [0;2] Luye
2 − m = 3 ⇔ m = −1 . nth m >0 it
TH 3 :
⇔ 0< m < 2 . Khi đó : m−2 =2−m<2<2+m ⇒max f (x) =2+ m ra − 2 + m <0 [0;2] cngh
2 + m = 3⇔ m =1 . iem
TH 4: − 2 + m > 0 ⇔ m > 2 . Khi đó max f ( x) = 2 + m .v [0;2] n
2 + m = 3⇔ m =1 . +
Câu 41: (Câu 48 - ĐTK - BGD&ĐT - Lần 2 - Năm 2019 - 2020) Cho hàm số ( ) x m f x = ( x +1
m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của S sao cho max f ( x) + min f ( x) = 2 [0; ] 1 [0; ] 1
. Số phần tử của S là Ⓐ. 6. Ⓑ. 2. Ⓒ. 1. Ⓓ. 4. Lời giải Chọn B N
a/ Xét m =1, ta có f ( x) = 1 ∀x ≠ −1 guy
Dễ thấy max f ( x) =1, min f ( x) =1 suy ra max f ( x) + min f ( x) = 2 . % [0; ]1 [0; ]1 [0; ] 1 [0; ] 1 n H
Tức là m =1 thỏa mãn yêu cầu. oà 1− m n
b/ Xét m ≠1 ta có f '( x) = không đổi dấu x ∀ ∈ ℝ \{− } 1 g (x + )2 1 Vi)
Suy ra f (x) đơn điệu trên đoạn [0; ] 1 t + Ta có ( ) = ( ) 1 0 ; 1 m f m f = 2 min f (x) = 0 [0; ]1 1+ m Trường hợp 1: . m < 0 ⇔ 1
− < m < 0 ⇒ m +1 2
max f (x) = max m ; < 1 [0; ]1 2
Suy ra không thỏa mãn điều kiện max f ( x) + min f ( x) = 2 [0; ] 1 [0; ] 1 1+ m
m ≥ 0(m ≠ ) 1 Trường hợp 2: . m ≥ 0 ⇔ 2 m ≤ 1 − m = 1(KTM ) m +1 3m +1
Suy ra min f (x) max f (x) m 2 + = + = = ⇔ 5 [0; ]1 [0; ]1 2 2 m = − (TM ) 3
https://www.facebook.com/vietgold Trang 20 Luyenthitracnghiem.vn
51 BÀI TOÁN GTLN - GTNN TRONG Đ THI BGD T! 2016 - 2021 5 Vậy S = 1 ; − . 3
Câu 42: (Câu 42 - ĐTK - BGD&ĐT - Lần 1 - Năm 2019 - 2020) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực Lu
của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 3
y = x − 3x + m trên đoạn [0; ] 3 bằng yent
16 . Tính tổng các phần tử của S bằng hitr Ⓐ. −16 . Ⓑ. 16. Ⓒ. −12. Ⓓ. −2. acng Lời giải hiem Chọn A .v
Nhận xét: Hàm số 3
g(x) = x − 3x + m là hàm số bậc ba không đơn điệu trên đoạn [0; ] 3 nên ta n
sẽ đưa hàm số này về hàm bậc nhất để sử dụng các tính chất cho bài tập này. Đặt 3
t = x − 3x , do [0; ]
3 nên ta tìm được miền giá trị t ∈[ 2 − ;1 ]
8 . Khi đó y = t + m đơn điệu trên [ 2 − ;1 ] 8 . Ta có
m − 2 + m +18 + m − 2 − m −18
max y = max t + m = max{ m − 2 ; m +18} = . = m+8 +10 x [ ∈ 0; ] 3 t [ ∈ −2;18] 2 m = 2 −
Từ giả thiết ta có max y = 16 ⇔ m + 8 +10 =16 ⇔ m + 8 = 6 ⇔ . x [ ∈ 0;2] m = 1 − 4 N
Chú ý: Cách giải trên ta đã sử dụng tính chất của hàm số bậc nhất là gu
a + b + a −b y max a ; b = 1 . % { } ( ) n 2 Ho
Tuy nhiên có thể trình bày phần sau bài toán như sau mà không cần công thức ( ) 1 . àng Ta có Vi)t
max y = max t + m = max{ m − 2 ; m +18} x [ ∈ 0; ] 3 t [ ∈ −2;18] m +18 = 16
+ Trường hợp 1:
max y = m +18 = 16 ⇔ ⇔ m = −2 . x [ ∈ 0; ] 3 m − 2 < 16 m − 2 = 16 +
Trường hợp 2: max y = m − 2 = 16 ⇔ ⇔ m = −14 . x [ ∈ 0;3] m +18 < 16 Cách 2 Xét 3
u = x −3x + m trên đoạn [0;3]có 2
u ′ = 0 ⇔ 3x − 3 = 0 ⇔ x = 1 ∈ [0;3] .
https://www.facebook.com/vietgold Trang 21 Luyenthitracnghiem.vn
51 BÀI TOÁN GTLN - GTNN TRONG Đ THI BGD T! 2016 - 2021 max u = max {u(0),u( ) 1 ,u( ) 3 } = max {m, m−2,m+1 } 8 = m +18 Khi đó [0; ] 3 . min u = min {u(0),u( ) 1 ,u( ) 3 } = min {m, m−2,m+1 } 8 = m −2 [0;3] Lu m +18 =16 y e n m +18 ≥ m − 2 m = −2 t h
Suy ra M ax f (x)= max{ m−2 , m +18 } =16 ⇔ ⇔ . 0;3 i [ ] m− 2 =16 m = −14 t r a c m − 2 ≥ m +18 n ghie
Do đó tổng tất cả các phần tử của S bằng −16 . m
Câu 43: (Câu 47 - MĐ 104 - BGD&ĐT - Đợt 1 - Năm 2019 - 2020) Xét các số thực không .vn
âm x và y thỏa mãn 1 2 .4x y 3 x y + − +
≥ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức = 2 + 2 + 4 + 2 P x y x y bằng Ⓐ. 33 . Ⓑ. 9 . Ⓒ. 21 . Ⓓ. 41 . 8 8 4 8 Lời giải Chọn D Ta có : 1 2 y− 3−2 2 .4x y 3 x y + − + ≥ ( x) ⇔ 2 . y 2 ≥ 3− 2x 2 y ( ) 3 2 2 .2 3 2 .2 x y x − ⇔ ≥ − (*) .
Xét hàm số ( ) = .2t f t t
có ′( ) = 2t + .2t f t t .ln 2 . N 3 g
Trường hợp 1 : Với x ≥ ⇒ (*) luôn đúng ∀y ≥ 0 . u 2 y%n 2 2 2 3 2 33 H
Ta có : P = ( x + 2) + ( y + ) 1 − 5 ≥ + 2 + (0 + ) 1 − 5 = . o 2 4 àng 3 V x = i) Dấu bằng xảy ra ⇔ 2 . t y = 0 3
Trường hợp 2 : 0 ≤ x < suy ra t ≥ 0 ⇒ f ′(t ) > 0 hay hàm số y = f (t) luôn đồng biến nên 2 ( 3 − 2 *) ⇔ 2 x
y ≥ 3 − 2x ⇔ y ≥ . 2 2 3 − 2 Ta có : 2 2 2 = + + 4 + 2 x P x y x y ≥ x + + 4x + 3 − 2x 2 1 2 = 21 x 1 41 41 2 = 2 4 x − x + = 2 x − + ≥ dấu bằng xảy ra ⇔ . 4 4 8 8 5 y = 4
https://www.facebook.com/vietgold Trang 22 Luyenthitracnghiem.vn
51 BÀI TOÁN GTLN - GTNN TRONG Đ THI BGD T! 2016 - 2021
Câu 44: (Câu 45 - MĐ 103 - BGD&ĐT - Đợt 1 - Năm 2019 - 2020) Xét các số thực không âm , x y thỏa mãn x+ y 1 2x y.4 − +
≥ 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
P = x + 2x + y + 4 y . Lu Ⓐ. 33 . Ⓑ. 9 . Ⓒ. 21 . Ⓓ. 41 . y 8 8 4 8 enth Lời giải itra Chọn D cng
Cách 1 (Thầy Nguyễn Duy Hiếu). hie + − + − m Ta có x y 1 2x + . y 4 ≥ 3 ⇔ 2x 2 y 3 2x − 3 + 2 . y 2
≥ 0 ⇔ x + y − + y ( 2x+2y−3 2 2 3 2 . 2 − ) 1 ≥ 0 (1) .vn 3
Nếu 2x + 2 y − 3 < 0 thì VT(1) < 0, vô lý, nên từ (1) suy ra 2x + 2 y − 3 ≥ 0 ⇔ x + y ≥ 2
P = ( x + )2 + ( y + )2 1 1 2 − 5 = (1+ ) 1 ( x + )2 1 + ( y + 2)2 − 5 2 2 1 ( ≥ x + + y + )2 1 3 41 1 2 − 5 ≥ 3 + − 5 = . 2 2 2 8 5 1 41
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = , y = . Vậy min P = . 4 4 8
Cách 2 (Trần Văn Trưởng). x+ y− y x− 2 y 2−2x N Ta có 1 1 2x + . y 4 ≥ 3 ⇔ . y 4 .4 ≥ 3 − 2x ⇔ . y 2 ≥ (3− 2x).2 guy% 2 y 3 2 2 .2 3 2 .2 x y x − ⇔ ≥ − n ( ) . (*) Ho 3 3 à
Nếu 3 − 2x ≤ 0 ⇔ x ≥ thì với mọi x ≥ , y ≥ 0 đều thỏa mãn (*) và khi đó ng 2 2 Vi 2 2 21 )
P = x + y + 2x + 4 y ≥ . t 4
Nếu 3 − 2x > 0 .
Xét hàm số ( ) = .2t f t t
với t ∈ (0; +∞) .
Ta có '( ) = 2t + .2t f t
t .ln 2 > 0, t ∀ ( ∈ 0;+ ) ∞ .
Do đó hàm số f (t) đồng biến trên (0;+∞) . Từ (*) suy ra 2y ≥ 3− 2x ⇔ 2x + 2y ≥ 3. Xét 2 2
P = ( x + )2 + ( y + )2 1 2 − 5 ⇔ ( x + )
1 + ( y + 2) = P + 5 .
https://www.facebook.com/vietgold Trang 23 Luyenthitracnghiem.vn
51 BÀI TOÁN GTLN - GTNN TRONG Đ THI BGD T! 2016 - 2021 3 0 ≤ x < ( ) 1 2
Ta có hệ điều kiện sau: y ≥ 0 (2) L
2x + 2y − 3 ≥ 0 (3) u 2 2 y e (x + )
1 + ( y + 2) = P + 5 (4) nthit
Hệ điều kiện (1), (2), (3) là phần tô màu trên hình vẽ. racn
(4) coi như là đường tròn tâm I ( 1 − ; 2
− ), R = P + 5 . ghiem.vn N g uy%
Để hệ có nghiệm thì d (I;∆) ≤ R = P + 5 , ở đó ∆ : 2x + 2y − 3 = 0 . n Hoà 2(− ) 1 + 2( 2 − ) −3 41 n Suy ra
≤ P + 5 ⇔ P ≥ . g 2 2 2 + 2 8 Vi)t
Dấu bằng xảy ra khi hệ sau có nghiệm: 3 0 ≤ x < 2 y ≥ 0
2x + 2 y − 3 = 0
( x + )2 + ( y + )2 41 1 2 = + 5 8 5 x =
Giải hệ này ta tìm được 4 . 1 y = 4
https://www.facebook.com/vietgold Trang 24 Luyenthitracnghiem.vn
51 BÀI TOÁN GTLN - GTNN TRONG Đ THI BGD T! 2016 - 2021 41 5 1 Vậy Min P =
khi x = , y = . 8 4 4
Câu 45: Cách 3 (Nguyễn Kim Duyên) Luy x+ y 1 2x . y 4 − + ≥ 3 1 2 x+2 y−2 e
Câu 46: Giả thiết
( ) ⇔ 2x − 2 + y.2 ≥ 1. nthi a − b tr
Đặt a = 2x + 2y − 2 ; b = 2x − 2 ⇒ a ≥ b và y = . a 2 cng a − b h ( )1 viết lại: b +
.2a ≥ 1 ⇔ 2(b − a) + (a − b) 2a ≥ 2 − 2a ⇔ ( − )(2a a b
− 2) ≥ 2 − 2a ( ) * ie 2 m .v
VT * ≤ 0 < VP * n
• Nếu a < 1 thì ( )
( ) . Vậy không xảy ra a < 1. x ≥ 0
• Nếu a ≥ 1 thì y ≥ 0 (D) . 2x + 2y ≥ 3
Biểu diễn được P + = ( x + )2 + ( y + )2 5 1
2 , xem như là phương trình đường tròn (C) có tâm I ( 1 − ; 2 − ) , bán kính P + 5 . N guy%n Hoàng Vi)t
Ta cần tìm min P trên miền (D) . Khi đó (C) là đường tròn có bán kính nhỏ nhất chạm miền (D)
⇔ d (I,∆) = P + 5 (trong đó, ∆ : 2x + 2y − 3 = 0 ). 9 41 ⇔ = 5 1 P + 5 ⇔ P =
. Khi đó ∆ tiếp xúc (C) tại điểm ; . 2 2 8 4 4 41 5 1 Vậy min P =
, đạt được khi x = , y = . 8 4 4
Cách 4 ( NT AG). Ta có x + y 1 − 2 x+2 y−3 2x + y.4
≥ 3⇔ 2x + 2 y.2 ≥ 3 .
Nếu 2x + 2y − 3 < 0 thì 2 x+2 y−3 0 3 ≤ 2x + 2 y.2
< 2x + 2 y.2 = 2x + 2 y . Suy ra 2x + 2y − 3 > 0 . Mâu thuẫn.
https://www.facebook.com/vietgold Trang 25 Luyenthitracnghiem.vn
51 BÀI TOÁN GTLN - GTNN TRONG Đ THI BGD T! 2016 - 2021 3 5 5
Nếu 2x + 2y − 3 ≥ 0 (1). Ta có (1) ⇔ x + y ≥
⇔ x + ( y + 1) ≥ . Đặt t = y +1 ( t ≥ 1). Ta có x + t≥ . 2 2 2 Khi đó, L 2 2 2 2 2 2 u
P = x + 2x + y + 4 y = x + ( y + 1) + 2x + 2 y + 2 − 3 = x + t + 2(x + t) − 3 yen 2 th 1 1 5 5 41 2 i
≥ (x + t) + 2(x + t) − 3 ≥ . + 2. − 3 = . tr 2 2 2 2 8 acng 5 5 1 h
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = t = hay x = , y = . i 4 4 4 em .
Câu 47: (Câu 48 - MĐ 102 - BGD&ĐT - Đợt 1 - Năm 2019 - 2020) Xét các số thực không âm x và y vn thỏa mãn x+ y 1 2x y.4 − +
≥ 3 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
P = x + y + 6x + 4 y bằng Ⓐ. 65 . Ⓑ. 33 . Ⓒ. 49 . Ⓓ. 57 . 8 4 8 8 Lời giải Chọn A Ta có x+ y 1 − 2 x+2 y−2 2x + y.4 ≥ 3 ⇔ y.2 ≥ 3 − 2x 2 y ( ) 3 2 2 .2 3 2 .2 x y x − ⇔ ≥ − (*) Hàm số ( ) = .2t f t t
đồng biến trên R , nên từ (*) ta suy ra 2y ≥ 3 − 2x ⇔ 2x + 2y − 3 ≥ 0 ( ) 1 Ta thấy ( )
1 bất phương trình bậc nhất có miền nghiệm là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng
d : 2x + 2 y − 3 = 0 (phần không chứa gốc tọa độ O ), kể cả các điểm thuộc đường thẳng d . N
Xét biểu thức P = x + y + x + y ⇔ ( x + )2 + ( y + )2 2 2 6 4 3 2 = P +13 (2) guy
Để P tồn tại thì ta phải có P +13 ≥ 0 ⇔ P ≥ 1 − 3 . %n
Trường hợp 1: Nếu P = 1
− 3 thì x = −3; y = −2 không thỏa ( )
1 . Do đó, trường hợp này không H oà thể xảy r Ⓐ. ng
Trường hợp 2: Với P > 1
− 3, ta thấy 2 là đường tròn có tâm I 3 − ; 2 − và bán kính V ( ) (C) ( ) i)t R = P + 13 .
Để d và (C ) có điểm chung thì d (I d ) 13 65 ; ≤ R ⇔
≤ P +13 ⇔ P ≥ . 2 2 8 65 1 5 Khi P =
đường tròn (C ) tiếp xúc đường thẳng d tại N ;
(thỏa mãn vì N thuộc (T ) 8 4 4 ). 65 Vậy min P = . 8
Câu 48: (Câu 48 - MĐ 101 - BGD&ĐT - Đợt 1 - Năm 2019 - 2020) Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn x+ y 1 2x . y 4 − +
≥ 3. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
P = x + y + 4x + 6y bằng
https://www.facebook.com/vietgold Trang 26 Luyenthitracnghiem.vn
51 BÀI TOÁN GTLN - GTNN TRONG Đ THI BGD T! 2016 - 2021
Ⓐ. 33 . Ⓑ. 65 . Ⓒ. 49 . Ⓓ. 57 . 4 8 8 8 Lời giải Luy Chọn B ent x+ y 1 − h
Nhận xét: Giá trị của ,
x y thỏa mãn phương trình 2x + y ⋅ 4 = 3( )
1 sẽ làm cho biểu thức P itra nhỏ nhất. Khi đó cngh x+ y− x+ y− 2 3 1 1 i
(1) : 2x + y ⋅ 4 = 3 ⇔ 4
+ (x + y) − 2 − = 0 em y y .vn
Đặt a = x + y , từ ( ) 1 ta được phương trình a− 2 3 1 4 + .a − 2 − = 0 ( ) * . y y a− 2 a− 2 3
Xét hàm số f (a) 1
= 4 + .a − 2 − . Ta có f '(a) 1 = 4 .ln 4 + > 0, y
∀ > 0 nên f (a) hàm y y y số đồng biến.
Mặt khác, lim f (a) = −∞ , lim f (a) = +∞ . x→−∞ x→+∞ 3 3
Do đó, phương trình (*) có nghiệm duy nhất a = ⇒ x + y = . 2 2 N 2 1 1 65 65 g
Ta viết lại biểu thức P = ( x + y) + 4( x + y) + 2 y − − = . Vậy m P = . in u 4 8 8 8 y%n Cách khác: H oà Với mọi , x y không âm ta có ng 3 3 V x+ y− + − x+ y− 3 3 x y i 1 2 2 ) 2x + y.4
≥ 3 ⇔ x + y.4 ≥ ⇔ x + y − + y. 4 − 1 ≥ 0 (1) t 2 2 3 3 + − Nếu 3 x y x + y −
< 0 thì x + y − + y. 4 − 1 < 0 + y.( 0 2 4 − ) 1 = 0 (vô lí) 2 2 3
Vậy x + y ≥ . 2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhyakovski ta được
P = x + y + x + y = ( x + )2 + ( y + )2 2 2 4 6 3 2 −13 2 1 ( ≥ x + y + )2 1 3 65 5 −13 ≥ + 5 −13 = 2 2 2 8
https://www.facebook.com/vietgold Trang 27 Luyenthitracnghiem.vn
51 BÀI TOÁN GTLN - GTNN TRONG Đ THI BGD T! 2016 - 2021 5 3 y = x + y = Đẳng thức xảy ra khi 4 2 ⇔ . 1 x + 3 = y + 2 x = 4 Luye 65 n Vậy min P = . t 8 hit
Câu 49: (Câu 41 - MĐ 103 - BGD&ĐT - NĂM 2016 - 2017) Một vật chuyển động theo quy rac 1 n luật 3 2
s = − t + 6t với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s g 2 hie
(mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian m .
6 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu? vn
Ⓐ. 24(m / s).
Ⓑ. 108(m / s).
Ⓒ. 18(m / s).
Ⓓ. 64(m / s). Lời giải Chọn A 2 3 Ta có ( ) = ′( ) t v t s t = − +12t ; 2 v′(t ) = 3
− t +12 ; v′(t ) = 0 ⇔ t = 4 .
v (0) = 0 ; v (4) = 24 ; v (6) = 18 . Suy ra vận tốc lớn nhất của vật đạt được trong 6 giây đầu là 24(m / s). 1
Câu 50: (Câu 7 - ĐTN - BGD&ĐT - Năm 2016 - 2017) Một vật chuyển động theo quy luật 3
s = − t + 9t 2 N 2 gu
với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật y%n
đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển H
động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu? oàng
Ⓐ. 216 (m/s)
Ⓑ. 30 (m/s)
Ⓒ. 400 (m/s) Ⓓ. 54 (m/s) Vi) Lời giải t Chọn D 3
Vận tốc tại thời điểm t là 2
v(t) = s (
′ t) = − t +18t với t ∈ [0;10]. 2
Ta có : v (′t) = −3t +18 = 0 ⇔ t = 6 .
Suy ra: v (0) = 0;v (10) = 30;v (6) = 54 . Vậy vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng 54 (m/s) .
Câu 51: (Câu 10 - ĐMH - BGD&ĐT - Năm 2017 - 2018) Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm.
Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh
bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm
x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.
https://www.facebook.com/vietgold Trang 28 Luyenthitracnghiem.vn
51 BÀI TOÁN GTLN - GTNN TRONG Đ THI BGD T! 2016 - 2021 Luyenthit racn Ⓐ. x = 6 Ⓑ. x = 3 Ⓒ. x = 2 Ⓓ. x = 4 ghiem Lời giải .vn Chọn C
Ta có : h = x (cm) là đường cao hình hộp
Vì tấm nhôm được gấp lại tạo thành hình hộp nên cạnh đáy của hình hộp là: 12 − 2x (cm) x > 0 x > 0
Vậy diện tích đáy hình hộp S = ( − x)2 ( 2 12 2 cm ). Ta có: ⇔ ⇔ x ∈(0;6) 12 − 2x > 0 x < 6
Thể tích của hình hộp là: V = S.h = x ( 2 − 2x)2 . 1
Xét hàm số: y = x ( − x)2 . 12 2 x ∀ ∈(0;6)
Ta có : y = ( − x)2 ' 12 2
− 4x (12 − 2x) = (12 − 2x)(12 − 6x) ; N gu
y ' = 0 ⇔ (12 − 2x ).(12 − 6x ) = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = 6 (loại). y%n Hoàng Vi)t
Suy ra với x = 2 thì thể tích hộp là lớn nhất và giá trị lớn nhất đó là y (2) = 128 .
https://www.facebook.com/vietgold Trang 29