59 bài tập tích phân hàm ẩn có lời giải chi tiết Toán 12

59 bài tập tích phân hàm ẩn có lời giải chi tiết Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

19 10 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020

Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 1

HOCMAI.VN

LUYENTHITRACNGHIEM.VN

Câu 1: Cho hàm số

()fx

thỏa mãn

(2) ; '( ) 2 ( ) , .

f f x x f x x      



. Giá trị của

(1)f

là

Ⓐ.



Ⓑ.



Ⓒ.



Ⓓ.



Lời giải

Chọn B

Cách 1: Ta có:

'( ) '( )

'( ) 2 ( ) 2 2

(x)

( ) ( )

f x f x

f x x f x x dx xdx x C

f x f x



         



   

   



(2)

()

f x C



    



.Vậy

( ) (1) .

f x f

    



Cách 2:

'( ) '( )

'( ) 2 ( ) 2 2 3 3

()

( ) ( )

(1) .

f x f x

f x x f x x dx xdx

f x f x

          



   

   







Câu 2: Cho hàm số

()fx

thỏa mãn

(2) ; '( ) ( ) , .

f f x x f x x      



. Giá trị của

(1)f

là

Ⓐ.



Ⓑ.



Ⓒ.



Ⓓ.



Lời giải

Chọn B

Cách 1 Ta có:

'( ) '( )

'( ) ( )

(x) 2

( ) ( )

f x f x

f x x f x x dx xdx C

f x f x



         



   

   



(2)

( ) 1

f x C



    



.Vậy

( ) (1) .

f x f

    



Cách 2:

'( ) '( )

3 1 2

'( ) ( ) 3 (1) .

2 ( ) 3

( ) ( )

f x f x

f x x f x x dx xdx f

f x f x



            



   

   



Câu 3: Cho hàm số

()fx

thỏa mãn

(2) ; '( ) 4 ( ) , .

f f x x f x x      



. Giá trị của

(1)f

là

Ⓐ.

400



Lời giải

Chọn B

BÀI TẬP TÍCH PHÂN HÀM ẨN

GIẢI CHI TIẾT

TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020

Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 2

HOCMAI.VN

LUYENTHITRACNGHIEM.VN

Ⓑ.



Ⓒ.

391

400



Ⓓ.



Cách 1 Ta có:

3 3 3 4

'( ) '( )

'( ) 4 ( ) 4 4

(x)

( ) ( )

f x f x

f x x f x x dx x dx x C

f x f x



         



   

   



(2)

( ) 9

f x C



    



.Vậy

( ) (1) .

f x f

    



Cách 2:

3 3 3

'( ) '( )

'( ) 4 ( ) 4 4 15 3 (1) .

( ) 10

( ) ( )

f x f x

f x x f x x dx x dx f

f x f x



            



   

   



Câu 4: Cho hàm số

 

thỏa mãn

 

f 

và

   

'f x x f x







với mọi

x

. Giá trị của

 

bằng :

Ⓐ.



Ⓑ.



Ⓒ.



Ⓓ.



Lời giải

Chọn D

Ta có

   

 

f x x f x x



  







(*).

Cách 1: Từ (*) suy ra

 

dx x dx C

    







 

   

1 1 1 1 4

5 4 5

f x C f x f



             





Cách 2: (*) suy ra

 

1 15 4

dx x dx f



      











Chọn đáp án.

Ⓓ.

Câu 5: Cho hàm số

 

y f x

xác định và liên tục trên thỏa mãn đồng thời các điều kiện

 

0fx

với

mọi

x

;

   

' . ,

f x e f x x   

và

 

f 

. Tính giá trị của

 

ln2f

Ⓐ.

 

ln2

f 

Ⓑ.

 

ln2

f 

Ⓒ.

 

ln2

f 

Lời giải

Chọn D

Biến đổi

   

 

ln2

ln2 ln2

' . 1 ln2

x x x

f x f x

f x e f x e dx e dx f

f x f x

             



Chọn đáp án.

Ⓓ.

TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020

Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 3

HOCMAI.VN

LUYENTHITRACNGHIEM.VN

Ⓓ.

 

ln2

f 

Câu 6: Cho hàm số

 

y f x

có đồ thị

 

, xác định và liên tục trên thỏa mãn đồng thời các điều kiện

 

0,f x x  

;

   

 

' . ,f x x f x x  

và

 

02f 

. Phương trình tiếp tuyến tại điểm có

hoành độ

1x 

của đồ thị

 

là

Ⓐ.

6 30yx

Ⓑ.

6 30yx  

Ⓒ.

36 30yx

Ⓓ.

36 42yx  

Lời giải

Chọn C

Biến đổi

 

f x f x

x dx x dx

f x f x

     



 

16f

Từ

   

 

   

 

' . ' 1 1. 1 36f x x f x f f   

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

 

36 1 6 36 30y x y x     

Chọn đáp án.

Ⓒ.

Câu 7: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm và liên tục trên đoạn

1; 1 



, thỏa mãn

 

0,f x x  

và

   

20f x f x





. Biết

 

11f 

tính

 

1f 

Ⓐ.

 

1fe





Ⓑ.

 

1fe

Ⓒ.

 

1fe

Ⓓ.

 

13f 

Lời giải

Chọn C

Ta có

   

 

2 0 2

f x f x



    

 

     

d -2d ln 2 ln 1 ln 1 4

x x f x x f f





         



   

ln 1 4 1f f e     

Câu 8: Cho hàm số

 

y f x

thỏa mãn

   

.f x f x x x





. Biết

 

02f 

. Tính

 

Ⓐ.

 

313

f 

Ⓑ.

 

332

f 

Ⓒ.

 

324

f 

Lời giải

Chọn B

Ta có

   

.f x f x x x





   

 

. d df x f x x x x x



  



 

2 2 2

2 5 3



  





   

 

136 332

2 2 15 15

f    

TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020

Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 4

HOCMAI.VN

LUYENTHITRACNGHIEM.VN

Ⓓ.

 

323

f 

Câu 9: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm và liên tục trên đoạn

 

0;

, biết

       

2 4 0, 0,f x x f x f x x



     

 

f 

. Tính

     

1 2 3f f f

Ⓐ.

Ⓑ.

Ⓒ.

Ⓓ.

Lời giải

Chọn D

     

 

2 4 0 2 4

f x x f x x



      

 

d 2 4 d 4

x x x x x C f x

f x x x C





           





Với

   

1 1 1 1

15 15 12

f C f x

       





Khi đó

     

1 1 1 7

1 2 3

8 15 24 30

f f f     

Câu 10: Cho hàm số

 

xác định và liên tục trên . Biết

   

. 12 13f x f x x





và

 

02f 

. Khi đó

phương trình

 

3fx

có bao nhiêu nghiệm

Ⓐ.

Ⓑ.

Ⓒ.

Ⓓ.

Lời giải

Chọn A

Từ

         

. 12 13 . 12 3f x f x x f x f x dx x dx



    



   

 

6 2 2

6 13 6 13 .

f x df x x x C x x C C



         



Suy ra

 

7 2 7

42 91 2f x x x  

Do đó phương trình

     

3 2187 42 91 2059 0 *f x f x x x      

Phương trình

 

có

0ac 

nên có hai nghiệm trái dấu

Câu 11: Cho hàm số

 

0fx

thỏa mãn điều kiện

     

23f x x f x





và

 

f 

. Biết rằng tổng

       

1 2 ... 2017 2018

f f f f

    

với

a

và

b

và

là phân số tối giản. Mệnh đề

nào sau đây đúng

Ⓐ.



Ⓑ.



Ⓒ.

1010ab

Ⓓ.

3029ba

Lời giải

Chọn B

Biến đổi:

     

 

2 3 . 2 3 2 3

f x f x

f x x f x x dx x dx

f x f x





       



 

x x C f x C

x x C



         



TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020

Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 5

HOCMAI.VN

LUYENTHITRACNGHIEM.VN

 

  

    



Khi đó:

       

1 1 1 1

1 2 ... 2017 2018 ....

2.3 3.4 2018.2019 2019.2020

f f f f



           





1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1009

...

2 3 3 4 2018 2019 2019 2020 2 2020 2020

   

             

   

   

Với điều kiện

,ab

thỏa mãn bài toán, suy ra

1009, 2020 3029a b b a     

Câu 12: (Chuyên Vinh – Lần 4 – 2017) Giả sử hàm số

 

liên tục, nhận giá trị dương trên

 

0;

và

thỏa mãn

     

1 1, 3 1f f x f x x



  

với mọi

0x 

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Ⓐ.

 

4 5 5f

Ⓑ.

 

2 3 3f

Ⓒ.

 

3 5 4f

Ⓓ.

 

1 5 2f

Lời giải

Chọn C

Ta có

   

 

3 1 3 1

f x f x

f x f x x dx

f x f x





     





 

       

3 1 3 1 ln 3 1

d f x

x d x f x x C f x e





         



Khi đó

       

4 2 4 4

3 3 3 3

1 1 1 5 3,79 3;4

f e C f x e f e

  

           

Cách 2: Với điều kiện bài toán, ta có

   

 

5 5 5

1 1 1

1 4 4 4

ln ln

3 3 3

f x f x x

f x df x f

dx dx f x

f x f x f



   





       



  

     

5 1 . 3,79 3;4f f e   

Câu 13: Cho hàm số

()fx

xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên

[1;4]

thỏa mãn

2 ( ) [ ( )] , [1;4], (1)

x xf x f x x f



    

. Giá trị

(4)f

bằng

Ⓐ.

391

Ⓑ.

361

Ⓒ.

381

Ⓓ.

371

Lời giải

Chọn A

Ta có

TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020

Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 6

HOCMAI.VN

LUYENTHITRACNGHIEM.VN

2 ( ) [ ( )] (1 2 ( )) [ ( )]

[ ( )]

1 2 ( )

()

1 2 ( )

()

1 2 ( )

14 391

1 2 (4) 2 (4)

3 18

x xf x f x x f x f x

dx xdx



    



















  

     



Chú ý:

Nếu không nhìn được ra luôn

()

1 2 ( ) 1 2 (4) 2

1 2 ( )

dx f x f



    





thì ta có thể

sử dụng kĩ thuật vi phân hoặc đổi biến (bản chất là một).

+ Vi phân

 

4 4 4

1 1 1

( ) ( )

1 2 ( ) (1 2 ( )) 1 2 ( ) 1 2 (4) 2

1 2 ( ) 1 2 ( )

f x df x

dx dx f x d f x f x f

f x f x





        



  

+ Đổi biến

Đặt

1 2 ( ) 1 2 ( ) ( )t f x t f x tdt f x dx



      

Với

1 1 2 (1) 2;

4 1 2 (4)

x t f

    

   

Khi đó

1 2 (4)

1 2 (4) 2

tdt

I t f



    



Câu 14: Cho hàm số

()fx

không âm thỏa mãn điều kiện

( ). ( ) 2 ( ) 1, (0) 0f x f x x f x f



  

. Tổng giá trị

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

()y f x

trên

[1;3]

bằng

Ⓐ.

Ⓑ.

4 11 3

Ⓒ.

20 2

Ⓓ.

3 11 3

Lời giải

Chọn D

Ta có

( ). ( )

( ). ( ) 2 ( ) 1 2

( ) 1

( ). ( )

( ) 1

f x f x

f x f x x f x x

f x f x

dx xdx

f x x C



   









   



Với

2 2 2 4 2

(0) 0 1 ( ) 1 1 ( ) 2 ( )f C f x x f x x x g x          

Ta có

( ) 4 4 0, [1;3]g x x x x



    

Suy ra

()gx

đồng biến trên

[1;3]

TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020

Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 7

HOCMAI.VN

LUYENTHITRACNGHIEM.VN

Suy ra

( ) 0

[1;3]

(1) ( ) ( ) (3) 3 ( ) 99 3 ( ) 3 11

min ( ) 3;max ( ) 3 11

g g x f x g f x f x

f x f x



        

  

Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

()y f x

trên

[1;3]

bằng

3 11 3

Chú ý:

Nếu không nhìn được ra luôn

( ). ( )

( ) 1

f x f x

dx f x C



  





thì ta có thể sử dụng kĩ

thuật vi phân hoặc đổi biến (bản chất là một).

+ Vi phân

   

2 2 2

( ). ( ) ( ). ( )

( ) 1 ( ) 1 ( ) 1

( ) 1 ( ) 1

f x f x f x df x

dx f x d f x f x C

f x f x





      



  

+ Đổi biến

Đặt

2 2 2

( ) 1 ( ) 1 ( ). ( )t f x t f x tdt f x f x dx



      

Suy ra

( ). ( )

( ) 1

f x f x

tdt

dx t C f x C



     





Câu 15: Cho hàm số

()fx

có đạo hàm và đồng biến trên

thỏa mãn

 

(0) 1; ( ) . ( ),

f f x e f x x R



   

Tính tích phân

()f x dx



bằng

Ⓐ.

2e 

Ⓑ.

1e 

Ⓒ.

2e 

Ⓓ.

1e 

Lời giải

Chọn B

Ta có

 

()) 1

2 2 2

()

( ) ( )

( ) . ( )

()

( ) ( ) 2 ( ) 2 0 ( ) ( )

x x x x

x x x

f x f x

f x e f x e e dx e dx

f x df x e dx f x e C C f x e f x e











      

          



Suy ra

( ) 1

f x dx e dx e e   



Câu 16: Cho hàm số

 

liên tục trên đoạn

0;1



thỏa mãn

 

f x x f x





. Tính

 

f x dx



Ⓐ.

Ⓑ.

Ⓒ.

1.

Ⓓ.

Lời giải

Chọn B

 

2 3 2 3

6 . 2 3 .

3 1 3 1

f x x f x I f x dx x f x dx A B



       









Gọi

 

2 3 . .A x f x dx



Đặt

3t x dt x dx  

Đổi cận

0 0; 1 1x t x t     

TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020

Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 8

HOCMAI.VN

LUYENTHITRACNGHIEM.VN

   

2 2 2A f t dt f x dx I  



   

6 6 3 1 . . 3 1 2.2. 3 1 4.

I I B

I B dx x d x x





        





Câu 17: Cho hàm số

 

liên tục trên đoạn

0;1



thỏa mãn

 

4 . 3 1 1x f x f x x   

Tính

 

f x dx



Ⓐ.



Ⓑ.



Ⓒ.



Ⓓ.



Lời giải

Chọn C

 

4 . 3 1 1x f x f x x   

 

   

1 1 1 1

2 2 2

0 0 0 0

2. 2 . 3 1 1 2 3 1 *x f x dx f x dx x dx A B x dx        

   

 

2.A x f x dx



Đặt

2t x dt xdx  

;

0 0; 1 1x t x t     

   

A f t dt f x dx



 

1B f x dx



Đặt

1 ; 0 1, 1 0t x dt dx x t x t          

   

B f t dt f x dx



       

1 1 1 1 1

0 0 0 0 0

* 2 3 1 5. 1f x dx f x dx x dx f x dx x dx      

    

Đặt:

sin , ; ; 0 0, 1

2 2 2

x t dx costdt t x t x t

  



          





0 0 0

1 2 1 1

1 1 sin .cos . sin2

2 2 2 4

cos t

x dx t tdt dt t t





  

       





  

Vậy

 

f x dx







Câu 18: Cho hàm số

 

liên tục trên đoạn

0;2



thỏa mãn

   

22f x f x x  

Tính

 

f x dx



Ⓐ.

4.

Ⓑ.

Ⓒ.

Lời giải

Chọn D

           

2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0

2 2 2 2 2 2f x f x x f x dx f x dx xdx f x dx f x dx xdx           

     

Đặt:

2t x dt dx    

TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020

Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 9

HOCMAI.VN

LUYENTHITRACNGHIEM.VN

Ⓓ.

0 2, 2 0x t x t     

     

2 2 2

0 0 0

2f x dx f t dt f x dx  

  

Do đó:

 

f x dx x



Vậy:

 

2f x dx 



Câu 19: Xét hàm số

 

liên tục trên đoạn

1,2 



và thỏa mãn

 

2 2 3 1 4f x xf x f x x    

. Tính

giá trị tích phân

 

I f x dx







Ⓐ.

5I 

Ⓑ.

I 

Ⓒ.

3I 

Ⓓ.

15I 

Lời giải

Chọn C

 

   

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 3 1 4

2 . 2 3 1 4 15 .

f x xf x f x x

f x dx x f x dx f x x ds

   

    

       

   

Đặt

22u x du xdx   

; với

1 1; 2 2x u x u       

Khi đó

 

     

2 2 2

1 1 1

2 . 2 1x f x dx f u du f x dx

  

  

  

Đặt

1t x dt dx    

; với

1 2; 2 1x t x t       

Khi đó

       

2 2 2

1 1 1

12f x dx f t dt f x dx

  

  

  

Thay

   

1 , 2

vào

 



ta được

   

5 15 3f x dx f x dx



  



Câu 20: Xét hàm số

 

liên tục trên đoạn

1,2 



và thỏa mãn

 

23f x x xf x   

. Tính giá trị

tích phân

 

I f x dx







Ⓐ.

I 

Ⓑ.

I 

Ⓒ.

I 

Ⓓ.

2I 

Lời giải

Chọn B

 

2 2 2

1 1 1

3 2 3 2

f x xf x x f x dx xf x dx x dx

  

          

  

Đặt

32u x du xdx    

; với

1 2; 2 1x u x u       

Khi đó

 

     

2 2 2

1 1 1

xf x dx f u du f x dx

  

  

  

Thay vào

 



ta được

     

2 2 2

1 1 1

1 14 28

2 3 3

f x dx f x dx f x dx

  

   

  

TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020

Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang

10

HOCMAI.VN

LUYENTHITRACNGHIEM.VN

Câu 21: Xét hàm số

 

liên tục trên đoạn

0,1



và thỏa mãn

 

1 3 1

f x xf x f x

    



. Tính

giá trị tích phân

 

I f x dx



Ⓐ.

ln2

I 

Ⓑ.

ln2

I 

Ⓒ.

I 

Ⓓ.

I 

Lời giải

Chọn B

 

   

1 1 1 1

0 0 0 0

1 3 1

1 3 1 ln 1 ln2

f x xf x f x

f x dx xf x dx f x dx x

    



         



   

Đặt

12u x du xdx    

; với

0 1; 1 0x u x u     

Khi đó

 

     

1 1 1

0 0 0

2 2 1

xf x dx f u du f x dx  

  

Đặt

1t x dt dx    

; với

0 1; 1 0x t x t     

Khi đó

       

1 1 1

0 0 0

12f x dx f t dt f x dx  

  

Thay

   

1 , 2

vào

 



ta được

         

1 1 1 1 1

0 0 0 0 0

1 9 2

3 ln2 ln2 ln2

2 2 9

f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx      

    

Câu 22: Cho hàm số

 

y f x

và thỏa mãn

 

f x x f x

  



. Tích phân

 

2ab

I f x dx







với

,,a b c 

và

;

tối giản. Tính

a b c

Ⓐ. 6.

Ⓑ.

4

Ⓒ. 4.

Ⓓ.

10

Lời giải

Chọn A

Cách 1: (Dùng công thức - Dạng 2).

Biến đổi:

 

   

3 4 3 4

8 0 2 4

f x x f x f x x f x

      



với

1; 2; 0A B C   

Áp dụng công thức ta có:

 

1 1 1

0 0 0

f x dx dx dx

  





  

Đặt

2 2 2

1 1 ;t x t x tdt xdx      

với

   



  





Khi đó

TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020

Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang

11

HOCMAI.VN

LUYENTHITRACNGHIEM.VN

 

1 1 2 2

2 2 3

0 0 1 1

. 1 .

2 2 2

x t t

f x dx xdx tdt t dt t



     







   

Suy ra

2; 1; 3 6a b c a b c      

Cách 2: Đổi biến số.

Từ

 

1 1 1

3 4 3 4

0 0 0

8 0 2 4 0 * .

f x x f x f x dx x f x dx dx

      



  

Đặt

4;u x du x dx  

với

0 0; 1 1.x u x u     

Khi đó

 

   

1 1 1

0 0 0

4x f x dx f u du f x dx

  

thay vào

 

, ta được:

     

1 1 1 1 1

0 0 0 0 0

f x dx f x dx dx f x dx dx

   



    

Đặt

2 2 2

1 1 ;t x t x tdt xdx      

với

   



  





Khi đó

 

1 1 2 2

2 2 3

0 0 1 1

. 1 .

2 2 2

x t t

f x dx xdx tdt t dt t



     







   

Câu 23: Cho hàm số liên tục trên đoạn

ln2;ln2 



và thỏa mãn

   

f x f x

  



Biết

 

ln2

ln2 ln3f x dx a b







với

,ab

. Tính giá trị của

P a b

Ⓐ.

P 

Ⓑ.

2P 

Ⓒ.

1P 

Ⓓ.

2P 

Lời giải

Chọn A

Cách 1: Dùng công thức – Dạng 2

Từ

   

f x f x

  



Ta có

1; 1; 0A B C  

Suy ra

 

ln2 ln2 ln2

1 1 2

dx dx

f x dx

  







  

Cách 2: Dùng công thức đổi biến số.

Từ

         

ln2 ln2 ln2

f x f x f x dx f x dx dx

  

      



  

Đặt

;u x du dx    

Với

ln2 ln2; ln2 ln2.x u x u       

Suy ra

     

ln2 ln2 ln2

f x dx f u du f x dx

  

  

  

thay vào

 

, ta được:

TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020

Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang

12

HOCMAI.VN

LUYENTHITRACNGHIEM.VN

   

ln2 ln2 ln2 ln2

1 1 1

f x dx dx f x dx dx

   

  



   

Đặt

;

t e dt e dx  

Với

ln2 ; ln2 2.

x t x t      

Suy ra

 

ln2 ln2 2

ln2 ln2

ln ln2

e dt t

dx dx



   



  

Khi đó

 

ln2

1 1 1

ln2 ln 2 ln3 ; 0

2 2 2

f x dx a b a b P





       



Câu 24: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm liên tục trên ,

 

00f 

và

 

sin os

f x f x xc x





  





với

x

. Giá trị của tích phân

 

xf x dx







bằng

Ⓐ.





Ⓑ.

Ⓒ.



Ⓓ.



Lời giải

Chọn D

Cách 1:

Với

 

sin os

f x f x xc x





  





ta có

1; 0; 1.A B C  

Suy ra

 

sin os

1 1 4

f x dx xc x dx



   





Cách 2:

Từ

   

2 2 2

0 0 0

sin os sin os

2 2 2

f x f x xc x f x dx f x dx xc xdx

  



   

       

   

   

  

 

Đặt

; 0 ; 0

2 2 2

u x du dx x u x u

  

          

Suy ra

   

2 2 2

0 0 0

f x dx f u du f x dx

  





  





  

thay vào

 

, ta được:

     

f x dx f x dx



  



Đặt

   

u x du dx

dv f x dx v f x

   















;

       

2 2 2

0 0 0

xf x dx xf x f x dx f f x dx

  









    





  

 

TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020

Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang

13

HOCMAI.VN

LUYENTHITRACNGHIEM.VN

Từ điều kiện

 

sin os 0 2

f x f x xc x f

















   





     



   



   













Thay

   

1 , 2

vào

 

, ta được

 

xf x dx











Câu 25: (Diễn Châu – Nghệ An – Lần 3 – 2018) Cho hàm số

 

liên tục trên và thỏa mãn

   

1 2 1 2 ,

f x f x x

     



. Tính tích phân

 

I f x dx







Ⓐ.





Ⓑ.





Ⓒ.





Ⓓ.





Lời giải

Chọn A

Đặt

1 2 1 2 2t x x t     

và





khi đó điều kiện trở thành:

             

2 2 2

2 1 2 1

2 2 2 .

2 5 2 5

t t x x

f t f t f t f t f x f x

t t x x

  



   



           

   

  







Cách 1: (Dùng công thức - theo góc nhìn dạng 2)

Với

   

f x f x



  



, ta có

1; 1AB

Suy ra:

 

1 2 1

0,429 2 .

f x dx dx







   







Chọn đáp án.Ⓐ.

Cách 2: (Dùng phương pháp biến đổi – nếu không nhớ công thức)

Từ

 



, ta có:

         

3 3 3

1 1 1

2 1 2 1

2 2 2 .

2 5 2 5

x x x x

f x f x f x dx f x dx dx

x x x x

  

   

       

   

  

Đặt

2u x du dx    

, Với

13xu   

và

31xu   

Suy ra

     

3 3 3

1 1 1

2f x dx f u du f x dx

  

  

  

thay vào

 



, ta được:

   

3 3 3 3

1 1 1 1

2 1 1 2 1

2 0,429 2

2 5 2 5

x x x x

f x dx dx f x dx dx

x x x x



   

   

     

   

   

. Chọn đáp án.A

Câu 26: (Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa – Lần 3 – 2018) Cho hàm số

 

y f x

xác định và liên tục trên

 

và thỏa mãn

       

2 1 1x f x x f x xf x



   

với

 

\0x

và

 

12f 

. Tính

 

f x dx



Ⓐ.

ln2



Lời giải

Chọn A

Biến đổi

         

 

    

2 1 1x f x xf x f x xf x xf x f x xf x



        

TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020

Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang

14

HOCMAI.VN

LUYENTHITRACNGHIEM.VN

Ⓑ.

ln2



Ⓒ.

ln2



Ⓓ.

3 ln2



Đặt

         

1.h x xf x h x f x x f x



    

, Khi đó

 



có dạng:

   

 

   

 

2 2 2

1 1 1

1 2 1 0.

h x h x dh x

h x h x dx dx x C x C

h x h x h x

h x xf x C

x C x C C







           

            

  

  

Khi đó

   

1 1 1

1.xf x f x

      

Suy ra:

 

1 1 1

ln2

f x dx dx

     



. Chọn đáp án.A

Câu 27: Cho hàm số

 

có đạo hàm và liên tục trên đoạn

4;8



và

 

00f 

với

4;8x  



. Biết rằng

 















và

   

4 , 8 .

ff

Tính

 

Ⓐ.

Ⓑ.

Ⓒ.

Ⓓ.

Lời giải

Chọn D

Xét

 

   

 

2 4 2

f x df x

f x f x



       



Gọi

là một hằng số thực, ta sẽ tìm

để

 

k dx













Ta có:

 

8 8 8 8

2 4 2

4 4 4 4

2 1 4 4 2 1 .

f x f x

k dx dx k dx k dx k k k

f x f x











        









   

Suy ra

k 

thì

 

8 6 6

2 2 2

4 4 4

1 1 1

2 2 2

f x f x f x

dx dx dx

f x f x f x



  

     





  

 

     

 

1 1 1 1

1 1 4 1 6

4 6 6

df x

dx f

f f f

         



. Chọn đáp án.

Ⓓ.

Chú ý:

 

f x dx 



không được phép suy ra

 

0fx

, nhưng

   

0 0.

f x dx f x  



Câu 28: Cho hàm số

 

liên tục trên thỏa mãn

 

1f x x x  

. Tính

 

dI f x x



Ⓐ.

I 

Ⓑ.

I 

Ⓒ.

I 

Lời giải

Chọn D

Đặt

 

d 3 1 d

t x x

f t x







  









Đổi cận:

0 0 0t x x x     

và

2 2 1t x x x     

TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020

Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang

15

HOCMAI.VN

LUYENTHITRACNGHIEM.VN

Ⓓ.

I 

Khi đó

 

  

Casio

d 1 3 1 d

I f t t x x x     



Câu 29: Cho hàm số

 

liên tục trên thỏa mãn

 

2 2 3 1f x x x   

. Tính

 

dI f x x



Ⓐ.

I 

Ⓑ.

I 

Ⓒ.

135

I 

Ⓓ.

I 

Lời giải

Chọn C

Đặt

 

d 3 2 d

t x x

f t x







   









Đổi cận:

1 2 2 1 1t x x x      

và

10 2 2 10 2t x x x      

Khi đó

   

 

10 2

Casio

135

d 3 1 3 2 d

I f t t x x x    



Câu 30: Cho hàm số

 

liên tục trên thỏa mãn

 

1 2 1,f x x x    

. Tính

 

dI f x x



Ⓐ.

2I 

Ⓑ.

I 

Ⓒ.

4I 

Ⓓ.

6I 

Lời giải

Chọn A

Đặt

 

d 3 d

t x x

f t x







  









Đổi cận:

0 1 0 1t x x      

và

2 1 2 1t x x     

Khi đó

   

Casio

d 2 1 3 d 2I f t t x x x



    



Câu 31: Cho hàm số

 

y f x

thỏa mãn

 

3 1 3 2,f x x x x     

. Tính

 

'I xf x dx



Ⓐ.

I 

Ⓑ.

I 

Ⓒ.

I 

Ⓓ.

1761I 

Lời giải

Chọn C

Đặt

   

         

5 5 1

u x du dx

I xf x f x dx f f f t dt

dv f x dx v f x

   



      











Đặt

 

dt x dx

t x x

f t x







   









Đổi cận:

1 3 1 1 0; 5 3 1 5 1t x x x t x x x             

Suy ra:

   

5 3.1 2 1fx  

và

   

1 3.0 2 0fx  

Khi đó

 

5.5 2 3 2 3 3

Casio

I x x dx     



. Chọn

Câu 32: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên

 

0;

thỏa mãn

 

f x x x

   



. Biết

 

I f x dx

  



với

, , ,a b c d

và

là các phân số tối giản. Tính

TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020

Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang

16

HOCMAI.VN

LUYENTHITRACNGHIEM.VN

T a b c d   

Ⓐ.

243T 

Ⓑ.

306T 

Ⓒ.

312T 

Ⓓ.

275T 

Lời giải

Chọn B

Đặt

 

4 2 1

dt x x dx

t x x x



  



    











Đổi cận:

 

4 2 4 2

2 1 2 1; 21 1 21 2 0t x x x x t x x x x x                

Ta có:

   

 

21 21 2 2

2 2 1 1

4 2 1 4 4 6

I f x dx f t dt x x dx x x dx



        







   

4 28 3 28 243

2 6 5ln 1 5ln ln

3 3 2 3 32

x x x



        





Suy ra

28; 3; 243; 32 306a b c d T     

. Chọn

Câu 33: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên

 

0;

thỏa mãn

1fx



  





. Biết

 

lnc

I f x dx

  



với

,,a b c

và

là các phân số tối giản. Tính

T a b c  

Ⓐ.

13T 

Ⓑ.

69T 

Ⓒ.

96T 

Ⓓ.

88T 

Lời giải

Chọn B

Đặt

 

dt dx















   











Đổi cận:

 

1 5 1 5

1 1 1 1; 1 2 0

t x x t x x x

              

Ta có:

   

2 2 2

2 2 3

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

. 1 . 1I f x dx f t dt dx dx dx

x x x

   

       

   

   

    

ln ln2



   





Suy ra

3; 8; 2 13a b c T    

. Chọn

Câu 34: Cho hàm số

 

liên tục trên thỏa mãn

   

,f x f x x x   

. Tính

 

I f x dx



Ⓐ.

2I 

Ⓑ.

I 

Ⓒ.

I 

Lời giải

Chọn D

Đặt

 

y f x

 

31x y y dx y dy     

Đổi cận:

0 0 0x y y y     

;

TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020

Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang

17

HOCMAI.VN

LUYENTHITRACNGHIEM.VN

Ⓓ.

I 

2 2 1x y y y     

Khi đó

 

   

2 1 1

casio

0 0 0

3 1 3

I f x dx y y dy y y dy     

  

Câu 35: Cho

 

liên tục trên

thỏa mãn

     

2 3 6 ,f x f x f x x x    

. Tính tích phân

 

I f x dx



Ⓐ.

I 

Ⓑ.

I 

Ⓒ.

I 

Ⓓ.

I 

Lời giải

Chọn B

Đặt

 

y f x

 

3 2 2

2 3 6 6 6 6x y y y dx y y dy       

Đổi cận:

0 2 3 6 0 0x y y y y      

;

5 2 3 6 5 1x y y y y      

Khi đó

 

   

5 1 1

2 3 2

0 0 0

.6 1 6

casio

I f x dx y y y dy y y y dy       

  

Câu 36: Cho

 

liên tục trên

thỏa mãn

   

2 1,x f x f x x    

. Tính tích phân

 

I f x dx







Ⓐ.

I 

Ⓑ.

I 

Ⓒ.

I 

Ⓓ.

I 

Lời giải

Chọn A

Đặt

 

y f x

 

2 1 3 2x y y dx y dy        

Đổi cận:

2 2 1 2 1x y y y         

;

1 2 1 1 0x y y y       

Khi đó

 

I f x dx







   

. 3 2 3 2

casio

y y dy y y dy     



Câu 37: Cho

 

liên tục trên

thỏa mãn

   

2 4 0,x f x f x x     

. Tính tích phân

 

I f x dx



Ⓐ.

I 

Ⓑ.

I 

Ⓒ.

I 

Ⓓ.

I 

Lời giải

Chọn D

Đặt

 

y f x

 

2 4 2 5 1x y y dx y dy        

Đổi cận:

1 4 1 1x y y y       

;

2 4 2 0x y y y       

Khi đó

 

I f x dx



   

. 5 1 5

casio

y y dy y y dy     



TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020

Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang

18

HOCMAI.VN

LUYENTHITRACNGHIEM.VN

Câu 38: Cho hàm số

 

y f x

thỏa mãn

   

30x f x f x   

. Tính

 

I xf x dx









Ⓐ.

I 

Ⓑ.

I 

Ⓒ.

I 

Ⓓ.

I 

Lời giải

Chọn C

Đặt:

   

           

7 7 7

1 1 1

7 7 1

u x du dx

I xf x dx xf x f x dx f f f x dx

dv f x dx v f x



  

   





        











  

Từ

   

30x f x f x   

   

 

7 7 10 0 7 2

1 1 2 0

f f f



   









    





Đặt

 

3 3 2

3 0 3 3t f x x t t x t t dx t t dt            

Đổi cận

1 1 3 1

7 7 3 2

x t t t



        





      





Khi đó

 

Casio

f x dx t t dx



  



Suy ra

 

51 9

15 15

I f x dx



    



Câu 39: Cho hàm số

 

y f x

liên tục và nhận giá trị dương trên

0;1



biết

   

. 1 1f x f x

với

0;1x  



. Tính giá trị của

 







Ⓐ.

Ⓑ.

Ⓒ.

Ⓓ.

Lời giải

Chọn B

Cách 1: (Sử dụng công thức giải nhanh)

Theo Dạng 7: “Cho

   

.f x f a b x k  

khi đó

 

dx b a

k f x









Khi đó:

 

1 0 1

2.1 2



  





Cách 2:

Đặt:

 

1;t x dt dx f x

     

và

0 1; 1 0x t x t     

Khi đó

 

1 1 1 1

0 0 0 0

1 1 1

f t dt f x dx

dx dt

f x f t f x

   

  



   

 

1 1 1

0 0 0

f x dx

I dx I

f x f x

      



  

TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020

Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang

19

HOCMAI.VN

LUYENTHITRACNGHIEM.VN

Câu 40: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên , ta có

 

0fx

và

   

. 2018 1f x f x

. Giá trị của tích

phân

 

2018







Ⓐ.

2018I 

Ⓑ.

0I 

Ⓒ.

1009I 

Ⓓ.

4016I 

Lời giải

Chọn C

Cách 1: (Sử dụng công thức giải nhanh)

Theo Dạng 7: “Cho

   

.f x f a b x k  

khi đó

 

dx b a

k f x









Khi đó:

 

2018

2018 0

1009

2.1



  





Cách 2:

Đặt:

 

1;t x dt dx f x

     

và

0 2018; 2018 0x t x t     

Khi đó

 

2018 2018 2018 2018

0 0 0 0

1 1 1

f t dt f x dx

dx dt

f x f t f x

   

  



   

 

2018 2018 2018

0 0 0

2 2018 1009

f x dx

I dx I

f x f x

      



  

Câu 41: Cho hàm số

 

liên tục trên tập R, ta có

     

0 0 . 10 9f x và f f x  

. Giá trị của tích

phân

 

I dx









Ⓐ.

I 

Ⓑ.

I 

Ⓒ.

I 

Ⓓ.

I 

Lời giải

Chọn D

Sử dụng công thức giải nhanh:

Theo dạng 7:

   

" . ,Cho f x f a b x k  

khi đó:

 

dx b a

k f x









Do đó:

 

12 2

2.3 3

I dx





  





Câu 42: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên tập R và thỏa mãn

   

4f x f x

.Biết

 

.5x f x dx 



Tính tích phân

 

f x dx



Ⓐ.

Ⓑ.

Lời giải

Chọn A

Cách 1: Sử dụng công thức giải nhanh:

TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020

Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang

20

HOCMAI.VN

LUYENTHITRACNGHIEM.VN

Ⓒ.

Ⓓ.

Theo dạng 8:

   

"Cho f x f a b x và  

 

I x f x dx



. Thì ta có:

 

f x dx







”.

Do đó:

 

2.5 5

1 3 2

f x dx 





Cách 2: Đặt

4 1 3; 3 1t x dt dx và x t x t          

Khi đó:

             

3 3 3 3

1 1 1 1

5 . 4 . 4 4 . 4 4 .x f x dx t f t dt x f x dx x f x dx        

   

Suy ra:

         

3 3 3 3

1 1 1 1

10 . 4 . 4

x f x dx x f x dx f x dx f x dx     

   

Câu 43: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên tập R và thỏa mãn

   

30f x f x  

. Biết

 

.2x f x dx







. Tính

tích phân

 

f x dx





Ⓐ.

Ⓑ.

Ⓒ.

Ⓓ.

Lời giải

Chọn C

Sử dụng công thức giải nhanh:

Theo dạng 8:

   

"Cho f x f a b x và  

 

I x f x dx



. Thì ta có:

 

f x dx







”.

Do đó:

 

2.2 4

1 4 3

f x dx









Câu 44: Cho hàm số

 

x khi x

  













. Tính tích phân

 

.I f x dx



Ⓐ.

121

I 

Ⓑ.

163

I 

Ⓒ.

I 

Ⓓ.

223

I 

Lời giải

Chọn B

Ta có;

       

9 4 9 4 9

1 1 4 1 4

163

I f x dx f x dx f x dx xdx x dx      

    

Câu 45: Cho hàm số

 

sin

x khi x





















. Biết

   

,f x dx a b a b



  



. Tính

.T a b

Ⓐ.

T 

Ⓑ.

T 

Lời giải

Chọn A

Ta có :

     

4 4 2 4 2

sin sinI f x dx f x dx f x dx xdx xdx



  

    

    

    

TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020

Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang

21

HOCMAI.VN

LUYENTHITRACNGHIEM.VN

Ⓒ.

T 

Ⓓ.

T 

1 cos2 1 1 5 1

sin sin2 cos .

2 2 4 4 8

dx xdx x x x a b





  

        







5 1 11

, ; .

4 8 8

a b a b T a b       

Câu 46: Cho hàm số

 

x khi x

e khi x

















. Tính tích phân

 

.I f x dx







Ⓐ.





Ⓑ.





Ⓒ.





Ⓓ.

11 11





Lời giải

Chọn C

Ta có:

       

2 0 2 0 2

1 1 0 1 0

I f x dx I f x dx I f x dx e dx I x dx

  



         

    

Câu 47: Cho hàm số

 

3 0 1

4 1 2

x khi x











  





. Tính tích phân

 

.I f x dx



Ⓐ.

Ⓑ.

Ⓒ.

Ⓓ.

Lời giải

Chọn A

Ta có:

     

1 2 1 2

2 3 1 2

0 1 0 1

3 4 4 1 .

2 2 2

I f x dx f x dx x dx x dx x x



          





   

Câu 48: Cho hàm số

 

6 khi 0

()

y f x

a a x khi x

















và

()I f x dx







. Hỏi có tất cả bao nhiêu số

nguyên

để

46 0I 

Ⓐ.

Ⓑ.

Ⓒ.

Ⓓ.

Lời giải

Chọn C

Ta có

   

0 4 0 4

2 2 3 2 2

1 0 1 0

( ) ( ) 6 2 2 8 8

I f x dx f x dx x dx a a xdx x a a a a





          

   

Khi đó

46 0 2 8 8 46 0 6 0I a a a a          

2 3, { 2; 1;0;1;2;3}a a a        

Vậy có 6 giá trị nguyên của

thỏa mãn.

Câu 49: Tính tích phân

 

max ;4 3I x x x dx



TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020

Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang

22

HOCMAI.VN

LUYENTHITRACNGHIEM.VN

Ⓐ.

117

Ⓑ.

707

Ⓒ.

275

Ⓓ.

119

Lời giải

Chọn C

Trên đoạn

0;3



Xét

3 2 3 2

4 3 4 3 0 ( 1)( 3) 0 [0;1]do 0;3x x x x x x x x x x x             



Vậy

[0;1] 4 3

[1;3] 4 3

x x x x



   





   





 

[0 ;3]

khi [0;1]

max ;4 3

4 3 khi [1; 3]

x x x









  









Khi đó

   

3 1 3

3 2 3 2

0 0 1

275

max ;4 3 4 3

I x x x dx x dx x x dx     

  

Câu 50: Tính

min{ ; 2 }I x x dx



Ⓐ.

2I 

Ⓑ.

I 

Ⓒ.

1I 

Ⓓ.

I 

Lời giải

Chọn D

Trên đoạn

0;2



Xét

 

0;2

3 3 2

2 2 2 0 ( 1) 2 0 [1;2]

x x x x x x x x x x

 



               

Vậy

[0;1] 2

[1;2] 2

x x x



   





   





[0 ;2]

[0;1]

min{ ; 2 }

2 khi [1;2]

x khi x







  









Khi đó

Castio

2 1 2

0 0 1

min{ ; 2 } 2

I x x dx xdx xdx      

  

Câu 51: (Đề tham khảo – 2018) Cho hàm số

 

xác định trên







thỏa mãn

   

' ; 0 1

f x f





và

 

12f 

. Giá trị của biểu thức

   

13ff

bằng

Ⓐ.

4 ln15

Ⓑ.

2 ln15

Ⓒ.

3 ln15

Ⓓ.

ln15

Lời giải

Chọn C

Cách 1: Từ

   

ln 2 1 khi ;

2 1 2 1

ln 2 1 khi ;

x C x

f x f x

x C x





   









   









   











Ta có:

 

ln 2 1 1 khi ;

0 1 1

0 2 2

ln 2 1 2 khi ;





   









    





   

   

  











   









Khi đó:

   

1 3 ln3 1 ln5 2 3 ln15ff       

Cách 2: Ta có:

       

0 1 | ' ln 2 1| ln (1)

2 1 3

3 1 | ' ln 2 1| ln5 (2)

f f f x f x dx dx x





       











      









Lấy

(2) (1)

, ta được:

           

3 1 0 1 ln15 3 1 3 ln15f f f f f f         

TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020

Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang

23

HOCMAI.VN

LUYENTHITRACNGHIEM.VN

Câu 52: (Toán học và tuổi trẻ - Số 6 – 2018) Cho hàm số

 

xác định trên

 

\1R

thỏa mãn

   

' ; 0 2017

f x f





và

 

2 2018f 

. Tính

   

31S f f  

Ⓐ.

1S 

Ⓑ.

ln2S 

Ⓒ.

ln4035S 

Ⓓ.

4S 

Lời giải

Chọn A

Cách 1: Từ

   

 

ln 1 khi ;1

ln 1 khi 1;

x C x

f x f x

x C x



   



   





   







Ta có:

 

ln 1 2017 khi ;1

0 2017

0 2017 2017

0 2018 2018

2 2018

ln 1 2018 khi 1;



   



    



   

   

  



   







Khi đó:

     

3 1 ln2 2018 ln2 2017 1ff      

Cách 2: Ta có:

       

0 1 | ' ln 1| ln (1)

3 2 | ' ln 1| ln 2 (2)

f f f x f x dx dx x





       











      









Lấy

(2) (1)

, ta được:

               

3 1 0 2 0 3 1 2 0 1f f f f S f f f f           

Câu 53: (Lục Ngạn – Bắc Giang – 2018) Cho hàm số

 

xác định trên







thỏa mãn

   

' ; 0 1

f x f





và









. Giá trị của biểu thức

   

13ff

bằng

Ⓐ.

3 5ln2

Ⓑ.

2 5ln2

Ⓒ.

4 5ln2

Ⓓ.

2 5ln2

Lời giải

Chọn A

Cách 1: Từ

   

ln 3 1 khi ;

3 1 3 1

ln 3 1 khi ;

x C x

f x f x

x C x





   









   









   











Ta có:

 

0 1 ln 3 1 1 khi ;

0 1 1

0 2 2

ln 3 1 2 khi ;

f x x







    





    





   

   



  











   













Khi đó:

   

1 3 ln4 1 ln8 2 3 ln32 3 5ln2ff         

Cách 2: Ta có:

       

     

0 1 | ' ln 3 1| ln (1)

3 1 4

3 | ' ln 3 1| ln8 (2)

3 2 1

f f f x f x dx dx x





       













      













TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020

Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang

24

HOCMAI.VN

LUYENTHITRACNGHIEM.VN

Lấy

(2) (1)

, ta được:

         

3 1 0 ln32 1 3 3 5ln 2

f f f f f f



         





Câu 54: Cho hàm số

 

xác định trên

   

0; \ e

, thỏa mãn

 

, 3, ln6

ln 1

f x f e f



   







Tính giá trị biểu thức

 

f f e









Ⓐ.

 

3 ln2 1

Ⓑ.

2ln2

Ⓒ.

3ln2 1

Ⓓ.

ln2 3

Lời giải

Chọn A

Ta có

   

 

ln 1

ln ln 1

ln 1

f x f x dx dx x C



      



  

 

   

ln ln 1 ;

ln 1 ln 0;

x C khi x e



     







    





Ta có

   

3 ln ln 1 3

ln2

ln6 ln 1 ln ln6

f e e C



   







  

   



   





   

   



Do đó

 

   

 

ln ln 1 3 ;

3 ln2 1

ln 1 ln ln 2 0;

x khi x e

f x f f e

x khi x e



     





    





    







Câu 55: Cho hàm số

 

xác định trên

 

\ 2;2

, thỏa mãn

     

, 3 0, 0 1

f x f f

    



và

 

32f 

. Tính giá trị biểu thức

     

4 1 4P f f f    

Ⓐ.

3 ln

P 

Ⓑ.

3 ln3P 

Ⓒ.

2 ln

P 

Ⓓ.

2 ln

P 

Lời giải

Chọn B

Ta có

   

  

4 4 2

dx x

f x f x dx dx C



     







  

 

ln 2;

ln 2;2

ln ; 2

C khi x

f x C khi x

C khi x



  

    











  



      











  

     













Ta có

 

ln 2

2 ln 5

0 1 1 1

ln5 0 ln5

f C C





 









  





  

    

  

  

   













TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020

Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang

25

HOCMAI.VN

LUYENTHITRACNGHIEM.VN

Do đó

 

ln 2 ln5 2;

ln 1 2;2

ln ln 5 ; 2

khi x

f x khi x

khi x



  

     











  



     











  

     













Suy ra

     

4 1 4 3 ln3P f f f      

Câu 56: Cho hàm số

 

xác định trên

 

\ 2;1

, thỏa mãn

       

, 3 3 0, 0

f x f f f

     



Giá trị của biểu thức

     

4 1 4f f f   

Ⓐ.

1 ln80

Ⓑ.

ln2



Ⓒ.

1 ln 2 ln



Ⓓ.

1 ln



Lời giải

Chọn B

Ta có

   

  

dx dx x

f x f x dx C



     







  

 

ln 1;

ln 2;1

ln ; 2

C khi x

f x C khi x

C khi x



  

    











  



      











  

     













Ta có

   

3 1 1 3

1 1 2 1

3 3 0 ln4 ln 0 ln10

3 3 5 3

f f C C C C



          





 

1 1 1 1 1 1

0 ln ln2

3 3 2 3 3 3

f C C      

Do đó

 

1 1 1

ln ln10 1;

3 2 3

1 1 1 1

ln ln 2 2;1

3 2 3 3

ln ; 2

C khi x

f x khi x

C khi x



  

     











  



      











  

     













Suy ra

     

1 5 1 1 1 1 1 1

4 1 4 ln ln2 ln2 ln ln10

3 2 3 3 3 3 2 3

f f f C C

     

           

     

     

ln2



Câu 57: (SỞ BẮC GIANG -2018) Cho hàm số

 

xác định trên

 

\ 1;1

và thỏa mãn

 







   

3 3 0ff  

và

   

  

   

   

. Tính giá trị của biểu thức

   

04P f f

TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020

Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang

26

HOCMAI.VN

LUYENTHITRACNGHIEM.VN

Ⓐ.

ln 2

P 

Ⓑ.

1 ln

P 

Ⓒ.

1 ln

P 

Ⓓ.

P 

Lời giải

Chọn C

Ta có

 

df x x











  







1 1 1

2 1 1













 

ln 1 ln 1

x x C    

ln , 1

























 

3 ln2

fC  

;

 

3 ln 2

fC  

, do đó

   

3 3 0 0f f C    

ln3



  





;

ln3



  





, do đó

   

  

   

   

1C

 

01fC

;

 

4 ln

f 

, do đó

   

0 4 1 ln

ff  

Câu 58: (SỞ PHÚ THỌ -2018) Cho hàm số

 

xác định trên

 

\ 1;1

thỏa mãn

 







   

2 2 0ff  

và

   

  

   

   

. Tính

     

3 0 4f f f  

được kết quả

Ⓐ.

1 ln



Ⓑ.

1 ln



Ⓒ.

1 ln



Ⓓ.

1 ln



Lời giải

Chọn D

Ta có

 

df x x











  



















ln 1 ln 1x x C    

ln , 1

























 

2 ln3fC  

;

 

2 ln

fC

, do đó

   

2 2 0 0f f C    

ln3



  





;









, do đó

   

  

   

   

1C

Vậy

     

3 0 4 ln2 1 ln ln 1

f f f       

Câu 59: (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 4-2018) Cho

 

là một nguyên hàm của hàm số

1 sin2





với

x k k



 

   





, biết

 

01F 

;

( ) 0F





. Tính

12 12

P F F



   

  

   

   

Ⓐ.

23P 

Ⓑ.

0P 

Ⓒ. Không

tồn tại

Lời giải

Chọn D

Cách 1:

TÍCH PHÂN HÀM ẨN NĂM HỌC 2019 – 2020

Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang

27

HOCMAI.VN

LUYENTHITRACNGHIEM.VN

Ⓓ.

1P 

Ta có

 

df x x





1 sin2







 

sin cos







2sin















tan , ; 2

2 4 4 4

tan , ; 2

2 4 4 4

x C x k

  



  





   

     



   



   





   



    

   



   



 

1 1 5

tan , ; 2

2 4 2 4 4

1 1 3

tan , ; 2

2 4 2 4 4

x x k

  



  





   



     



  

   







   

   

  

   



   



  



   

    

   







   



Khi đó

11 1 1 1 7 1

tan tan 1

12 12 2 6 2 2 6 2

P F F

   

       

       

       

       

Cách 2:

     

12 1 sin2

F F F x









   

















  















Lấy

   

2 – 1

ta được

   

12 12

12 12 1 sin2 1 sin2

dx dx

F F F F









   

     

   



   



11 11

1 0 1

12 12 12 12

casio

F F F F

   

       

        

       

       

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/27

| | Tải xuống

Preview text:

TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020
BÀI TẬP TÍCH PHÂN HÀM ẨN GIẢI CHI TIẾT H OC M AI 2 2 .V
Câu 1: Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (2)   ; f '(x)  2x  f ( ) x  , x   . f là N   . Giá trị của (1) 9  Ⓐ 35 Lời giải . . 36 Chọn B  Ⓑ 2  . . 2 f '(x) f '(x) 1 Cách 1: Ta có: 2
f '(x)  2x  f (x)   2x  dx  2xdx   x  C   3   2 2     f (x) f (x) f (x)      Ⓒ 19 . . 2 36 f (2) 9 1 1 1 2 
 f (x)  
 C  .Vậy f (x)    f (1)   . 2 Ⓓ 2 . . x  C 2 2 1 3 x  5 2 Cách 2: 2 2 2 2 f '(x) f '(x) 1
f '(x)  2x  f (x)   2x 
dx  2xdx  3    3     2 2     f (x) f (x) 1 f (x) 1 LUY 1     2  E   N f (1) . T 3 H I 1 2 TRA
Câu 2: Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (2)   ; f '(x)  x  f (x) , x   .  
. Giá trị của f (1) là 3 C N  G Ⓐ 11 Lời giải . . H I 6 Chọn B EM 2 2 . 2 f '(x) f '(x) 1  x V Ⓑ. .           N 3
Cách 1 Ta có: f '(x) x f (x) x dx xdx C     2 2     f (x) 2 f (x) f (x)      Ⓒ 2 . . 1 9 f (2) 3 1 1 2 
 f (x)  
 C  1 .Vậy f (x)    f (1)   . 2 Ⓓ 7 2 . . x   x 1 3 6 C 2 Cách 2: 2 2 2 2 f '(x) f '(x) 3 1 2 
f '(x)  x  f (x)   x  dx  xdx     3  f (1)  .     2 2     2 f (x) 3 f (x) 1 f (x) 1 1     1 2
Câu 3: Cho hàm số f (x) thỏa mãn 3 f (2)   ; f '( )
x  4x  f ( ) x  , x   .  
. Giá trị của f (1) là 25  Ⓐ 41 Lời giải . . 400 Chọn B
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
Trang 1 TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020   Ⓑ 1 2 f '(x) f '(x) 1 . . Cách 1 Ta có: 3 3 3 4
f '(x)  4x  f (x)   4x  dx  4x dx   x C     10 2 2     f (x) f (x) f (x)      Ⓒ 391 . . 1 f (2) 400 25 1      1 1       f (x) C 9 .Vậy f (x) f (1) . 4  2  Ⓓ 1 x C x 9 10 . . 40 Cách 2: 2 2 2 2 f '(x) f '(x)  3 3 3 1 1
f '(x)  4x  f (x)   4x 
dx  4x dx  15    3  f (1)  .     2 2     f (x) 10 f (x) f (x) H 1 1 1     OC M
Câu 4: Cho hàm số f x thỏa mãn f   1
2   và f x  x  f  x 2 3 '  f 1 A
 với mọi x . Giá trị của   I 5 .VN bằng : Ⓐ 4 Lời giải .  . 35 Chọn D Ⓑ 71 .  . 2 f ' x 3 3    20
Ta có f 'x x f x       (*).  f x x 2    Ⓒ 79 .  . 20 f 'x 4 1 x Cách 1: Từ (*) suy ra 3
dx  x dx     C   . 2 Ⓓ 4 .  .    f x f x  4  5   f x 1 f   1 2 1 1 1 4 5      
 C  1 f x    f 1   . 4   4   x 5 4  C x 5  C  1 4 4 2 LUY 2 f 'x 2  1  15 4 Cách 2: (*) suy ra 3
dx  x dx       f 1     . E 2  f x    4 5 N 1 f x 1         1 THITRA Chọn đáp án. Ⓓ. C N G
Câu 5: Cho hàm số y  f x xác định và liên tục trên thỏa mãn đồng thời các điều kiện f x  0 với H IEM mọi x  ; f x x 2 '
 e . f x, x   và f   1 0 
. Tính giá trị của f ln 2 . .V 2 N Ⓐ. Lời giải Chọn D f   2 ln 2  . 9 Biến đổi Ⓑ. ln 2 f x f x f x x
 e f x '  ln 2 ' x   ln 2 2 x 1 1 ' .   e  dx  e dx    1 f ln 2    f   2 ln 2   2 f x 2 f x f x 3 0   0     9 1 . Chọn đáp án. Ⓒ. Ⓓ. f   2 ln 2  . 3
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
Trang 2 TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020 Ⓓ. f   1 ln 2  . 3
Câu 6: Cho hàm số y  f x có đồ thị C , xác định và liên tục trên thỏa mãn đồng thời các điều kiện
f x  0, x
  ; f x  x f x2 ' . , x
  và f 0  2 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm có
hoành độ x  1 của đồ thị C là H Ⓐ. Lời giải OC
y  6x  30 . Chọn C M A 1 I Ⓑ. 1 1 . f 'x f ' x 2   V 2 1 1 N Biến đổi  x 
dx  x dx       f   1  6 . 2 2 y  6  x  30 . f x f x f x 3 0   0   0 Ⓒ. 2 2
Từ f 'x   .
x f x  f '  1  1. f   1   36 .
y  36x  30 . Ⓓ.
Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  36x  
1  6  y  36x  30 . y  3
 6x  42 Chọn đáp án. . Ⓒ.
Câu 7: Cho hàm số y  f x có đạo hàm và liên tục trên đoạn  1  ; 1 
 , thỏa mãn f x  0, x   và
f x  2 f x  0 . Biết f  
1  1 tính f   1 . Ⓐ. Lời giải f   2 1 e   . Chọn C LUY Ⓑ  . f x Ta có
f x  2 f x    0   2  . E f x N f   3 1  e . TH 1 f x 1 I Ⓒ. 1 1 TRA 
dx  -2dx  ln f x  2
 x  ln f 1  ln f 1   4     f x   1     1 1     f   4 1  e . 1  C N G  ln f  
1  4  f   4 Ⓓ  . 1 e H IE   M f   1 3 . .VN
Câu 8: Cho hàm số y  f x thỏa mãn f x f x 4 2 .
 x  x . Biết f 0  2 . Tính 2 f 2 . Ⓐ. Lời giải 2 Chọn B f   313 2  . 15 2 2    4 2     Ⓑ
Ta có f x f x 4 2 . x x f
 x.f xdx x x dx . 0 0 2 f   332 2  . 1  x x  15  f x 5 3 2 2 2     0 0 2  5 3  Ⓒ. 2 f 2 2 f 0 136 2 332 2     f 2  f   324 2  . 15 2 2 15 15
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
Trang 3 TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020 Ⓓ. 2 f   323 2  . 15
Câu 9: Cho hàm số y  f x có đạo hàm và liên tục trên đoạn 0 ;   , biết
f x   x   2 2
4 f x  0, f x  0, x   , f   1 2  . Tính f  
1  f 2  f 3 . 15 Ⓐ 7 Lời giải . . 15 H Chọn D OC Ⓑ 11 f  x M . .
f x  2x  4 2 f x    0   2  x  4. A 15 2 I f x .V 11 N Ⓒ. . f x 1 30 1 2 1  dx  2
 x  4 dx  
 x  4x  C  f x    . 2 f x      f x x 4x C 1     2 Ⓓ 7 . . 30 1 1 1 1 Với f 2     C  3
  f x  . 2 15 15 12  C x  4x  3
Khi đó f    f    f   1 1 1 7 1 2 3     8 15 24 30
Câu 10: Cho hàm số f x xác định và liên tục trên . Biết 6
f x. f x  12x 13 và f 0  2 . Khi đó
phương trình f x  3 có bao nhiêu nghiệm Ⓐ. 2 . Lời giải Ⓑ. 3 . Chọn A Ⓒ. 7 . 6 6        LUY
Từ f x. f x 12x 13 f
 x.f xdx 12x 3dx Ⓓ. 1 . 7 E 7 f x f  2 N 6  f
 xdf x 2   2 0 2
 6x 13x C 
 6x 13x C C  . TH 7 7 ITRA Suy ra 7 f x 2 7
 42x  91x  2 . C 7 2 N
Do đó phương trình f x  3  f x  2187  42x  91x  2059  0 * . G H IE
Phương trình * có ac  0 nên có hai nghiệm trái dấu M .VN  2     
Câu 11: Cho hàm số f x 0 thỏa mãn điều kiện f x 2x 3 f x và f   1 0 . Biết rằng tổng 2   a a
f 1  f 2  ...  f 2017  f 2018  với a và * b
và là phân số tối giản. Mệnh đề b b nào sau đây đúng Ⓐ a Lời giải .  1  . b Chọn B Ⓑ a f  x f  x 2   .  1 . b
Biến đổi: f x  2x  3. f x     2x  3  dx  2x  3 dx   2 f x 2 f x   Ⓒ. 
a  b  1010 . 1 1 f           
f x x 3x C f x   1 0 2 2 C 2 2   Ⓓ x 3x C .
b  a  3029 .
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
Trang 4 TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020  f x 1 1     . 2 x  3x  2
x 1x2 Khi đó: a  
  f    f     f   f   1 1 1 1 1 2 ... 2017 2018     ....    b  2.3 3.4 2018.2019 2019.2020   1 1 1 1 1 1 1 1   1 1  1009      ...             .  2 3 3 4 2018 2019 2019 2020   2 2020  2020 H
Với điều kiện a, b thỏa mãn bài toán, suy ra a  1
 009, b  2020  b  a  3029 OC M
Câu 12: (Chuyên Vinh – Lần 4 – 2017) Giả sử hàm số f x liên tục, nhận giá trị dương trên 0;  và AI.V     N thỏa mãn f   1 1, f x
f x 3x 1 với mọi x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? Ⓐ. Lời giải
4  f 5  5 . Chọn C f  x 1 f x Ⓑ. dx
Ta có f x  f x   3x  1      dx    . f x 3x  1 f x
2  f 3  3 . 3x  1 Ⓒ
d f x . 1  3x1 1 2 C   x  d x   f x 
x   C  f x  e   . 3 f x 3  2 1 3 1 ln   3 1   23
3  f 5  4 . 3 3 Ⓓ 4 2 4 4 . C 3x1 4  Khi đó f   3 1  1  e
 1  C    f x 3 3  e  f 5 3
 e  3,793;4 .
1  f 5  2 . 3
Cách 2: Với điều kiện bài toán, ta có f  x 1 LUY
f x  f x   3x  1   f x 3x  1 E N 5 5 5  T f x 1 df x 4 4 f 5 5 4 H  dx  dx 
  ln f x   ln     1 ITRA f x 3x  1 f x 3 3 f 1 3 1   1 1         C 4 N
 f    f   3 5
1 .e  3,79 3; 4 G H IE
Câu 13: Cho hàm số f (x) xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên [1; 4] thỏa mãn M .VN 2 3
x  2xf (x)  [f (  x)] , x
 [1; 4], f (1)  . Giá trị f (4) bằng 2 Ⓐ 391 Lời giải . . 18 Chọn A Ⓑ 361 . . Ta có 18 Ⓒ 381 . . 18 Ⓓ 371 . . 18
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
Trang 5 TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020 2 2
x  2xf (x)  [f (  x)]  (
x 1  2 f (x))  [f (  x)] 2 [f (  x)]   x 1  2 f (x) f (  x)   x 1  2 f (x) 4 4 f (  x)  dx  xdx    1 1 2 f (x) 1 4 H 14 OC
 1 2 f (x)  1 3 M A 14 391 I
 1 2 f (4)  2   f (4)  .V 3 18 N Chú ý: 4  4 f (x)
Nếu không nhìn được ra luôn
dx  1 2 f (x)  1  2 f (4)  2  thì ta có thể 1  1 1 2 f (x)
sử dụng kĩ thuật vi phân hoặc đổi biến (bản chất là một). + Vi phân 4 4 4 f (x) df (x) 1   dx  dx   
12 f(x) 1 4 2 (
d 1 2 f (x))  1  2 f (x)  1  2 f (4)  2 1 1 2 f (x) 1  2 f ( ) x 2 1 1 1 + Đổi biến Đặt 2
t  1 2 f ( )
x  t  1 2 f ( )
x  tdt  f (  ) x dx Với LUY
x  1  t  1 2 f (1)  2; E N
x  4  t  1 2 f (4) THI 12 f (4) TRA tdt 12 f (4) Khi đó I   t  1 2 f (4)  2  C 2 t N 2 G H
Câu 14: Cho hàm số f (x) không âm thỏa mãn điều kiện 2 f ( ) x . f (  )
x  2x f (x)  1, f (0)  0 . Tổng giá trị IEM
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên . y f ( ) x [1; 3] bằng VN Ⓐ. 22 . Lời giải Ⓑ. Chọn D 4 11  3 . Ta có  Ⓒ
f (x). f (x) . 20  2 . 2
f (x). f (
 x)  2x f (x) 1   2x 2 Ⓓ  . f (x) 1
f (x). f (  x) 3 11  3 .  dx  2xdx   2 f (x)  1 2 2
 f (x)  1  x  C Với 2 2 2 4 2
f (0)  0  1  C  f ( )
x  1  x  1  f ( )
x  x  2x  ( g ) x Ta có 3 g (  )
x  4x  4x  0, x  [1;3] Suy ra (
g x) đồng biến trên [1; 3]
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
Trang 6 TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020 Suy ra f ( x)0 2 2 ( g 1)  (
g x)  f (x)  (
g 3)  3  f (x)  99  3  f ( ) x  3 11
 min f (x)  3; max f (x)  3 11 [1;3] [1;3]
Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( ) x trên [1; 3] bằng 3 11  3 Chú ý: H
f (x). f (  x) OC
Nếu không nhìn được ra luôn 2
dx  f (x)  1  C 
thì ta có thể sử dụng kĩ 2  M f (x) 1 AI.
thuật vi phân hoặc đổi biến (bản chất là một). VN  1
f (x). f (  x)
f (x).df (x) 1 + Vi phân dx    
 2f(x) 1 d 2f(x)1 2 2  f ( ) x  1  C 2 2   2 f (x) 1 f (x) 1 + Đổi biến Đặt 2 2 2 t  f ( )
x  1  t  f ( )
x  1  tdt  f (x). f (  x)dx
f (x). f (  x) tdt Suy ra 2 dx 
 t C  f (x) 1 C   2 ( )  1 t f x
Câu 15: Cho hàm số f (x) có đạo hàm và đồng biến trên R thỏa mãn    2 (0) 1; ( ) x f f x  e . f( ) x , x  R . 1
Tính tích phân f (x)dx  bằng 0
Ⓐ. e  2. Lời giải LUY
Ⓑ. e 1. Chọn B ENT Ⓒ. 2 e  2 . Ta có H I 2 TRA Ⓓ. 2 e  1.     f  x 2 f x f x f x x  ( ) x ( ) x ( ) ( )
 e . f (x) x   e   e  dx  e dx   C f (x) x x N G 1  x x f ())1 x H 2 2 2 2 x            I
 f(x) df(x) e dx 2 f(x) 2e C C 0 f (x) e f (x) e E  M 1 1 .V 1 x x N
Suy ra f (x)dx  e dx  e  e 1   0 0 0 6 1
Câu 16: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0;1 
 thỏa mãn f x 2  6x . f  3 x  
. Tính f xdx  3x  1 0 Ⓐ. 2.. Lời giải Ⓑ. 4.. Chọn B Ⓒ. 1.  .  
f x  x f x  1 6   I  f  x 1 2 3 2
dx   x f  3 x  3 6 . 2 3 .  d
 x  A  B Ⓓ. 6. 3x  1    0 0 3x 1 1 Gọi 2
A  2 3x . f 
 3xd .x 0 Đặt 3 2
t  x  dt  3x dx
Đổi cận x  0  t  0; x  1  t  1
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
Trang 7 TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020 1 A  2 f  t 1 dt  2 f
 xdx  2I 0 0
I  2I  B 1 1 1   I  B  6 dx  6  3x1 1 1 1
2 . .d 3x  1  2.2. 3x  1  4. 3x  1 3 0 0 0
Câu 17: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0;1 
 thỏa mãn x f  2
x   f   x 2 4 . 3 1  1 x . 1 H
Tính f xdx  OC 0 M A  Lời giải I Ⓐ. . . .V 4 N Chọn C  Ⓑ. . . x f  2
x   f   x 2 4 . 3 1  1 x 6  1 1 1 1 Ⓒ 2 2 2 . ..  2. 2 . x f 
x dx3 f
 1xdx  1x dx  2A3B  1x dx   * 20 0 0 0 0  1 Ⓓ. . A  2 . x f 
 2xdx Đặt 2
t  x  dt  2xdx ; x  0  t  0; x  1  t  1 16 0 1 A  f  t 1 dt  f  xdx 0 0 1 B  f
 1xdx Đặt t 1xdt  d  ;
x x  0  t  1, x  1  t  0 0 1 1 LUY B  f
 tdt  f  xdx 0 0 EN 1 1 1 1 1 T 2 2 H *  2 f
 xdx3 f
 xdx  1x dx  5. f 
 xdx  1x dx  ITRA 0 0 0 0 0 C      N
Đặt: x  sin t  dx  costdt, t   ;
; x  0  t  0, x  1  t    G  2 2  2 H IE   M  1 2 2 . 1  cos2t 1  1   V 2 2         N 1 x dx 1 sin t .costdt dt .    t sin 2t  2 2 2  2  4 0 0 0 0 1  Vậy f
 xdx  . 20 0
Câu 18: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0; 2 
 thỏa mãn f x  f 2  x  2x . 2
Tính f xdx  0 Ⓐ. 4.  . Lời giải Ⓑ 1 Chọn D . . . 2
f x  f 2  x 2  2x  f  x 2 dx  f  2x 2 2
dx  2xdx  f   x 2 dx   f  2x 2 dx  2xdx  Ⓒ 4 . . . 0 0 0 0 0 0 3
Đặt: t  2  x  dt  d  x
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
Trang 8 TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020 Ⓓ. 2.
x  0  t  2, x  2  t  0 2 f  2x 2 dx  f  t 2 dt  f  xdx 0 0 0 2 2 Do đó: 2 f  x 2 dx  x  4 0 0 2 Vậy: f
 xdx  2 0 H 2 3 OC
Câu 19: Xét hàm số f x liên tục trên đoạn  1  ,2 
 và thỏa mãn f x  2xf x  2  3 f 1 x  4x . Tính M 2 AI.
giá trị tích phân I  f
 xdx . VN 1 
Ⓐ. I  5 . Lời giải Ⓑ 5 Chọn C . I  . 2
f x  2xf  2
x  2  3 f 1 x 3  4x
Ⓒ. I  3 . 2 2 2 2 Ⓓ 2 3 . I  15 .
 f xdx  2 .
x f x  2dx  3 f 1 x  4x ds  15     . 1  1  1  1  Đặt 2
u  x  2  du  2xdx ; với x  1   u  1
 ; x  2  u  2 . 2 2 2 Khi đó 2 . x f 
 2x 2dx  f
 udu  f
 xdx 1. 1  1  1 
Đặt t  1 x  dt  d
 x ; với x  1
  t  2; x  2  t  1  . 2 2 2 LUY Khi đó f
 1xdx  f
 tdt  f
 xdx2 1  1  1  EN 2 2 T     H Thay  
1 ,2 vào   ta được 5 f  xdx 15 f
 xdx 3 ITRA 1  1  2 C
Câu 20: Xét hàm số f x liên tục trên đoạn  1  ,2 
 và thỏa mãn f x  x  2  xf 3  x  . Tính giá trị N G 2 H I  E tích phân I f
 xdx . M 1  .VN 14 Lời giải
Ⓐ. I  . 3 Chọn B Ⓑ 28 2 2 2 . I  .
f x  xf  2
 x   x   f xdx  xf  2  x  14 3 2 3 dx  x  2dx       3 .    3 1 1 1 Ⓒ 4 . I  . Đặt 2
u  3  x  du  2
 xdx ; với x  1
  u  2; x  2  u  1  . 3 2 2 2 Ⓓ. I  2 . 1 1 Khi đó xf   2 1 x dx  f
 udu  f
 xdx2  2  2 1 1 1  2 2 2 1 14 28
Thay vào  ta được f xdx 
f xdx 
 f xdx      2  3  3 1 1 1
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng
Trang 9 TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020 1
Câu 21: Xét hàm số f x liên tục trên đoạn 0,1 
 và thỏa mãn f x  xf  2
1 x   3 f 1 x  . Tính x  1 1
giá trị tích phân I  f
 xdx. 0 Ⓐ 9 Lời giải
. I  ln 2 2 Chọn B .
f x  xf  2
 x  f   x 1 1 3 1  2  H Ⓑ. I  ln 2 x 1 OC 9 1 1 1 1 1 2 dx           M f  xdx xf
 1 x dx 3 f  1 xdx ln x 1 ln 2    . 0  A x 1 0 0 0 0 I.V 4 N
Ⓒ. I  . Đặt 2
u  1 x  du  2
 xdx; với x  0  u  1; x  1 u  0 . 3 1 1 1 1 1 Khi đó 2xf
  2x 2dx  f
 udu  f
 xdx 1. Ⓓ 3 . I  . 2 2 2 0 0 0
Đặt t  1 x  dt  d
 x ; với x  0  t  1; x  1 t  0 . 1 1 1 Khi đó f
 1xdx  f
 tdt  f
 xdx2. 0 0 0 Thay  
1 ,2 vào  ta được 1 f  x 1 1 dx  f  x 1 dx  f  x 1 9 dx   f  x 1 dx   f  x 2 3 ln 2 ln 2 dx  ln 2 . 2 2 9 0 0 0 0 0 LUY  x    E
Câu 22: Cho hàm số y
f x và thỏa mãn f x 8x f x  3 3 4 0 . Tích phân N 2 x  1 TH 1 ITRA  a b
I  f x a b 2 dx  
với a,b,c  và ; tối giản. Tính a  b  c c c c C 0 N G Ⓐ. 6. Lời giải H IE Ⓑ. 4  . Chọn A M .V Ⓒ. 4.
Cách 1: (Dùng công thức - Dạng 2). N Ⓓ. 10  . 3 3 x x
Biến đổi: f x 3  8x f  4 x  
 0  f x  2 3 4x  f  4 x    với 2 2 x  1 x  1 A  1; B  2  ;C  0 . 1 1 3 1 3 1 x x
Áp dụng công thức ta có: f
 xdx   dx  dx   . 1  2   2 2   0 0 x 1 0 x 1
x  0  t  1 Đặt 2 2 2
t  x  1  t  x  1  tdt  xd ; x với  .
x  1 t  2 Khi đó
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 10 TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020 1    1 2 2 2 2 x t  1 t f x dx  xdx  .tdt     t 1 3 2 2 .dt   t 1 | 2  t 3 0 0 x 1 1 1 2  2 a  b 2   . 3 c
Suy ra a  2; b  1; c  3  a  b  c  6 .
Cách 2: Đổi biến số. 3 1 1 1 3 x x Từ f x 3  8x f  4 x    0  f  x 3 dx  2 4x f   4xdx dx  0  *.Đặt H 2 2 x  1  0 0 0 x 1 OC 4 3 M
u  x  du  4x d ;
x với x  0  u  0; x  1  u  1. AI. 1 1 1 VN Khi đó 3 4x f 
 4xdx  f
 udu  f
 xdx thay vào *, ta được: 0 0 0 1    1 x x f x dx  2 f  x 1 3 1 dx  dx  f   x 1 3 dx  dx  . 2 2   0 0 0 x 1 0 0 x 1
x  0  t  1 Đặt 2 2 2
t  x  1  t  x  1  tdt  xd ; x với  .
x  1 t  2 Khi đó 1    1 2 2 2 2 x t  1 t f x dx  xdx  .tdt     t 1 3 2 2 .dt   t 1 | 2  t 3 0 0 x 1 1 1 2  2 a  b 2   . LUY 3 c EN
Câu 23: Cho hàm số liên tục trên đoạn  ln 2; ln 2 
 và thỏa mãn f x  f x 1  . Biết x T e  1 H I ln 2 TRA f
 xdx  aln2bln3 với a,b . Tính giá trị của P  ab C ln2 N G 1 Lời giải H
Ⓐ. P  . IE 2 Chọn A M .V Ⓑ. P  2  .
Cách 1: Dùng công thức – Dạng 2 N Ⓒ. P  1  .
Từ f x  f x 1 
. Ta có A  1; B  1;C  0 . Ⓓ. P  2 . x e  1 ln 2 ln 2 ln 2 1 dx 1 dx Suy ra f
 xdx         1 1 x  e 1 2 x  e 1 ln 2 ln 2 ln 2
Cách 2: Dùng công thức đổi biến số. ln 2 ln 2 ln 2 1 1
Từ f x  f x   f x dx  f x dx  dx    . x     x * e  1     e 1 ln 2 ln 2 ln 2
Đặt u  x  du  d  ;
x Với x  ln 2  u  ln 2; x  ln 2  u  ln 2. ln 2 ln 2 ln 2 Suy ra f
 xdx  f
 udu  f
 xdx thay vào *, ta được: ln2 ln2 ln2
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 11 TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020 ln 2 f  x ln 2 ln 2 1 dx  dx  f x dx  dx    . x   ln 2 1 1 2     e 1  2 x  e 1 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 1 Đặt x x
t  e  dt  e d ;
x Với x   ln 2  t  ; x  ln 2  t  2. 2 ln 2 ln 2 x 2 2 1 e dt t Suy ra dx  dx   ln  ln 2    . x      e 1 x x  e e 1 t t 1 t 1 ln 2 ln 2     1 1 2 2 H Khi đó OC ln 2 1 a,b 1 1 M
f xdx  ln 2  aln 2  bln 3 a  ;b  0  P   A  2 2 2 I ln 2 .VN   
Câu 24: Cho hàm số y  f x có đạo hàm liên tục trên , f 0  0 và f x  f  x    sin x o c sx với  2   2 x  
. Giá trị của tích phân xf 
 xdx bằng 0   Ⓐ Lời giải . . 4 Chọn D Ⓑ 1 . . Cách 1: 4    
Với f x  f  x    sin x o
c sx ta có A  1; B  0;C  1. Ⓒ. .  2  4   LUY 2 2 Ⓓ 1 .  . 1 1 Suy ra f
 xdx  
sin xcosx dx    . E 4 1 1 4 N 0 0 TH Cách 2: ITRA Từ C    N 2 2 2 G       1 H
f x  f
 x  sin x o
c sx  f
 xdx f x dx  sinxcosxdx        * IE  2   2  2 0 0 0 M .V    N Đặt u 
 x  du  d
 x; x  0  u  ; x   u  0 . 2 2 2    2 2 2    Suy ra f  x dx  f 
 udu    f
 xdx thay vào *, ta được:  2  0 0 0   2 f x 2 1 dx   f x 1 2 dx     1 2 4 0 0 u   x du    dx Đặt    ; dv  f   xdx v    f  x    2       xf 
 xdx  xf x 2  f  x 2 2 dx  f    f
 xdx. * 0 2  2  0 0 0
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 12 TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020     f  f 0     0      2    
Từ điều kiện f x  f   x   sin x o c sx    f    0 2  2        f  f   2 0    0   2   2 1  Thay  
1 ,2 vào * , ta được xf xdx   4 0
Câu 25: (Diễn Châu – Nghệ An – Lần 3 – 2018) Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn H OC x 3 M
f 1 2x  f 1 2x 2  , x
  . Tính tích phân I  f
 xdx. A 2  I x 1 1  .VN Ⓐ . Lời giải  Chọn A I  2  . . 2       t  1   Đặt t 1 2x
1 2x 2 t và x
, khi đó điều kiện trở thành: Ⓑ 2 . I  1  . 4 2  t 1 .        
f t  f   t 2 
 f t  f  t 2 t 2t 1 
 f x f   x 2 x 2x 1 2 2 2   . 2 2 2   Ⓒ.    t  2t  5 x  2x  5 t 1  1    1 I   ..  2  2 8 
Cách 1: (Dùng công thức - theo góc nhìn dạng 2) Ⓓ. I  . x  2x  1 4
Với f x  f 2  x 2 
, ta có A  1; B  1. 2   LUY x 2x 5 3 3 2 1 x  2x  1  E     N Suy ra: f  xdx dx 0, 429 2 .  Chọn đáp án.Ⓐ. 2 T     x 1 x 2x 5 2 1 1 H ITRA
Cách 2: (Dùng phương pháp biến đổi – nếu không nhớ công thức) 2 3 3 3 2 C x  2x  1 x  2x  1 N
Từ  , ta có: f x  f 2  x 
 f x dx  f 2  x dx  dx 2  .    2     2   G x  2x  5      x 2x 5 H 1 1 1 IE              M Đặt u 2 x du dx , Với x 1 u 3 và x 3 u 1. .V 3 3 3 N Suy ra f
 2xdx  f
 udu  f
 xdx thay vào , ta được: 1  1  1  3      f  x 3 2 3 x 2x 1 dx  dx  f   x 3 2 1 x 2x 1 2 dx  dx  0, 429  2   . Chọn đáp án.A 2 2       x 2x 5  2  x 2x 5 2 1 1 1 1
Câu 26: (Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa – Lần 3 – 2018) Cho hàm số y  f x xác định và liên tục trên  \  0 và thỏa mãn 2 2
x f x  2x  
1 f x  xf x 1 với x    \  0 và f   1  2  . Tính 2
f xdx  . 1 Ⓐ 1 Lời giải .   ln 2 2 Chọn A . 2 Biến đổi 2 2
x f x  2xf x  1  f x  xf x  xf x  
1  f x  xf x .
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 13 TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020         Ⓑ 3
Đặt hx xf x 1 h x f x .
x f x , Khi đó   có dạng: .   ln 2 2 h x h x dh x 2     1 .
h x  hx     1  dx  dx 
 x  C    x  C.    2 h x 2 h x 2 h x h x Ⓒ ln 2 . 1   . 2   hx 1    xf x 1 f   1 2 1  1    2   1    C  0.    Ⓓ x C x C 1 C . 1 1 1 3 ln 2         
Khi đó xf x 1 f x . . 2 x x x 2 2 2 2 H 1 1 1 OC Suy ra: f
 xdx    dx  ln2  . Chọn đáp án.A 2 x x 2 M 1 1 AI.
Câu 27: Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên đoạn 4; 8
f 0  0 với x   4;8 V   và     . Biết rằng N  f   x 2 8    1 1
và f 4  , f 8  . Tính f 6 .  f  x dx 1 4  4 2 4  Ⓐ 5 Lời giải . . 8 Chọn D Ⓑ 2 8 f x 8 df x . . 1 1 3 Xét dx       2  4  2   . 2 f x 2 f x f 8 f 4 4 4         Ⓒ 3 . . 2 8
8  f x 
Gọi k là một hằng số thực, ta sẽ tìm k để 
 k  dx  0  2  f x  4    Ⓓ 1 . .  3 2 2 LUY
8  f x 8   f x 8  f    x 8 2 Ta có: 2 2   k  dx  dx  2k dx  k
dx  1 4k  4k  2k  1 . E     2 4 2   N f x     f x 4   4 f  x 4     4 T  H I 2 TRA 1
8  f x 1  f x 6 1 f x 6 1
Suy ra k   thì    dx  0    dx  dx    2 2 2 C 2  f x 2  f x 2 f x 2 4       4   N 4 G H 6 df x I 1 1 1 1 E  dx 1     1  4   1  f 6  M  . Chọn đáp án. 2 f x f 4 f 6 f 6 3 4           .VN Ⓓ. b b Chú ý: f
 xdx 0 không được phép suy ra f x  0, nhưng 2k f
 xdx 0  f x  0. a a 2
Câu 28: Cho hàm số f x liên tục trên thỏa mãn f  3 x  x 2
 x 1. Tính I  f
 xdx? 0 Ⓐ 6 Lời giải
. I   . 5 Chọn D Ⓑ 15 . I  . d  t   2 3x   1 dx 3  16
Đặt t  x  x   .  f  t 2  x 1 Ⓒ 6
. I   . 5 Đổi cận: 3
t  0  x  x  0  x  0 và 3
t  2  x  x  2  x  1.
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 14 TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020 2 1 Casio Ⓓ 15 . I   . 16
Khi đó I  f tdt   2 x   1  2 3x   1 dx     16 15 0 0 10
Câu 29: Cho hàm số f x liên tục trên thỏa mãn f  3
x  2x  2  3x 1. Tính I  f
 xdx ? 1 Ⓐ 45 Lời giải . I  . 4 Chọn C Ⓑ 9 . I  . d  t   2 3x   2 dx 3      H 4 Đặt t x 2x 2  . OC  f
 t  3x 1 135 M Ⓒ. I  . A 4 Đổi cận: 3
t  1  x  2x  2  1  x  1 và 3
t  10  x  2x  2  10  x  2 . I.V 10 2 N 5 Casio 135 Ⓓ. I  . 2      4 Khi đó I f
 tdt 3x 13x 2dx 4 1 1 2
Câu 30: Cho hàm số f x liên tục trên thỏa mãn f  3 x  
1  2x  1, x
  . Tính I  f
 xdx? 0 Ⓐ. I  2  . Lời giải Ⓑ 5 Chọn A . I  . 2 2 d
 t  3x dx 3 Ⓒ    . I  4  . Đặt t x 1  . f
 t  2x   1 Ⓓ. I  6 . Đổi cận: 3
t  0  x  1  0  x  1  và 3
t  2  x  1  2  x  1 . 2 1 Casio 2 LUY Khi đó I  f
 tdt   2x 13x dx  2 0 1  EN 5 T 3        H
Câu 31: Cho hàm số y  f x thỏa mãn f x 3x
1 3x 2, x . Tính I xf '
 xdx. ITRA 1 5 Lời giải C
Ⓐ. I  . N G 4 Chọn C H I 17 5 5 E Ⓑ. I  . u   x du    dx 5 M 4 Đặt   
 I  xf x  f x dx  5 f 5  f 1  f t dt   . . 1 V dv  f '  xdx v    f  x           N 1 1 Ⓒ 33 . I  . 2  4 dt  3x   3 dx 3  
Đặt t  x  3x  1   . Ⓓ.  f
 t  3x  2 I  1761  . Đổi cận: 3 3
t  1  x  3x  1  1  x  0;t  5  x  3x  1  5  x  1 .
Suy ra: f 5  3.1 2 x   1 và f  
1  3.0  2 x  0 . 1 Casio 33
Khi đó I  5.5  2  3x  2 2
3x  3dx   . Chọn 4 0 1
Câu 32: Cho hàm số y  f x liên tục trên 0;  thỏa mãn f  4 2
x  x  x   1  . Biết x  1 21     a c a c I
f x dx   ln với *
a,b,c,d 
và , là các phân số tối giản. Tính b d b d 2
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 15 TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020
T  a  b  c  d .
Ⓐ. T  243. Lời giải
Ⓑ. T  306. Chọn B
Ⓒ. T  312. dt   3
4x  2x   1 dx 
Ⓓ. T  275. Đặt 4 2
t  x  x  x  1   .  f t 1   x  1 Đổi cận: 4 2 4 2
t  2  x  x  x  1  2  x  1;t  21  x  x  x  1  21  x  2 x  0 . H 21 21 2 2 OC 1  5  Ta có: I  f
 xdx  f
 tdt    3
4x  2x   2 1 dx 
4x  4x  6   dx . M x  1  x  1  2 2 1 1 AI. 2 V 3 N  4x  2 28 3 28 243  
 2x  6x  5ln x 1    5ln   ln .  3  3 2 3 32 1
Suy ra a  28; b  3; c  243; d  32  T  306 . Chọn  1  1
Câu 33: Cho hàm số y  f x liên tục trên 0;  thỏa mãn f x   1    . Biết  x  x 5 2     a a I
f x dx   lnc với * a,b,c 
và là các phân số tối giản. Tính T  a  b  c . b b 1
Ⓐ. T  13 . Lời giải
Ⓑ. T  69 . Chọn B
Ⓒ. T  96 .   1  LUY dt  1    dx Ⓓ. T  88 . 2 1   x  E
Đặt t  x   1   . N x  1 T f t  H  I x TRA 1 5 1 5 C
Đổi cận: t  1  x   1  1  x  1;t 
 x   1   x  2 x  0 . N x 2 x 2 G H 5 5 I 2 2 2 2 2 E 1  1  1  1  1 1 M Ta có: I  f
 xdx  f
 tdt  . 1 dx  . 1 dx         dx .  2 2 3 V x  x  x  x  x x N 1 1 1 1 1 2  1  3  ln x      ln 2 . 2  2x  8 1
Suy ra a  3; b  8; c  2  T  13 . Chọn 2
Câu 34: Cho hàm số f x liên tục trên thỏa mãn 3
f x  f x  x, x
  . Tính I  f
 xdx . 0
Ⓐ. I  2 . Lời giải Ⓑ 3 Chọn D . I  . 2
Đặt y  f x 3
 x  y  y  dx   2 3y   1 dy . Ⓒ 1 . I  . 2 Đổi cận: 3
x  0  y  y  0  y  0 ;
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 16 TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020 3       Ⓓ 5 . I  . x 2 y y 2 y 1. 4 2 1 1 casio 5
Khi đó I  f xdx  y  2 3y   1 dy   3
3y  ydy     4 0 0 0
Câu 35: Cho f x liên tục trên thỏa mãn 3 f x 2 2
 3 f x 6 f x  x, x   . Tính tích phân 5 I  f
 xdx. 0 5 Lời giải H
Ⓐ. I  . OC 4 Chọn B M 5 3 2 2 A Ⓑ
Đặt y  f x  x  2y  3y  6y  dx  6y  6y  6dy . I . I  . .V 2 N Đổi cận: Ⓒ 5 . I  . 12 3 2
x  0  2y  3y  6y  0  y  0 ; 3 2 Ⓓ 5 . I  .
x  5  2y  3y  6y  5  y  1. 3 5 1 1 casio 5
Khi đó I  f xdx  . y 6 2 y  y   1 dy  6  3 2
y  y  ydy     2 0 0 0 1
Câu 36: Cho f x liên tục trên thỏa mãn 3
x  f x  2 f x  1, x
  . Tính tích phân I  f
 xdx. 2  Ⓐ 7 Lời giải . I  . 4 Chọn A 7  3 2          LUY
Ⓑ. I  . Đặt y f x x y 2y 1 dx  3y 2dy . 2 E Đổi cận: N 7 T
Ⓒ. I  . 3 H 3 x  2
  y  2y 1  2   y  1; ITRA Ⓓ 5 3 . I  .
x  1  y  2y  1  1  y  0 . C 4 N 1 0 1 casio G 2 3 7 H Khi đó I  f
 xdx  .y 3
 y  2dy  3y  2ydy    I 4 E 2  1 0 M . 2 VN
Câu 37: Cho f x liên tục trên thỏa mãn 5
2x  f x  f x  4  0, x
  . Tính tích phân I  f  xdx 1 . Ⓐ 3 Lời giải . I  . 4 Chọn D Ⓑ 1 . 5 4 I  .
Đặt y  f x  2x  y  y  4  2dx   5  y   1 dy . 2 Đổi cận: Ⓒ 5 . I  . 3 5
x  1  y  y  4  1  y  1; 5 Ⓓ 4 . I  .
x  2  y  y  4  2  y  0 . 3 2 0 1 casio 4 Khi đó I  f
 xdx  .y 4 5  y   1 dy   5
5y  ydy    3 1 1 0
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 17 TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020 7
Câu 38: Cho hàm số y  f x thỏa mãn 3
x  f x  f x  3  0 . Tính I  xf 
 xdx. 1  Ⓐ 5 Lời giải . I  . 4 Chọn C Ⓑ 51 . I  . Đặt: 4 7 7 7 u   x du    dx 7   
 I  xf  x dx  xf x
 f x dx  7 f 7  f 1   f x dx    Ⓒ 9 . I  . dv  f   xdx v    f  x             1  4 1  1  1  H 3  OC
f 7  f 7 10  0  f 7    2 Ⓓ 3 . I  . Từ 3
x  f x  f x  3  0     M 4 3  f    1  f   1  2  0  f    1  1 AI.VN
Đặt t  f x 3 3
 x t t    x  t  t   dx   2 3 0 3
3t  tdt 3 x  1   1
  t  t  3  t  1 Đổi cận  3
x  7  7  t  t  3  t  2 7 2 Casio 51 Khi đó
f xdx   2
3t  tdx     4 1 1 7 51 9 Suy ra I  15 
f xdx  15     4 4 1
Câu 39: Cho hàm số y  f x liên tục và nhận giá trị dương trên 0;1 
 biết f x. f 1 x  1với 1 dx x   0;1 
 . Tính giá trị của I   . LUY 1  f x 0   E 3 Lời giải N Ⓐ. . T 2 H Chọn B ITRA Ⓑ 1 . .
Cách 1: (Sử dụng công thức giải nhanh) C 2    N
Theo Dạng 7: “Cho f x f a b x 2 . k G Ⓒ. 1 . H b I dx b  a E Ⓓ. 2 . khi đó I   M  k f x k a   2 .V N 1 dx 1 0 1 Khi đó: I     1 f x 2.1 2 0   Cách 2: 1
Đặt: t  1 x  dt  dx; f x 
và x  0  t  1; x  1  t  0 f t 1 1 1 dx dt f t 1 dt
f xdx Khi đó I         1  f x 1 1  f t 1  f x 0   0 0   0   1  f t 1 1 dx f x 1 dx 1  2I  
 dx  1 I     1 f x 1 f x 2 0   0   0
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 18 TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020
Câu 40: Cho hàm số y  f x liên tục trên , ta có f x  0 và f x. f 2018  x  1. Giá trị của tích 2018 dx phân I   . 1  f x 0  
Ⓐ. I  2018 . Lời giải
Ⓑ. I  0 . Chọn C
Ⓒ. I  1009. Cách 1: (Sử dụng công thức giải nhanh)
Ⓓ. I  4016 . Theo Dạng 7: “Cho f x f a  b  x 2 .  k H OC b dx b  a M khi đó I    A k  f x k a   2 I .VN 2018 dx 2018  0 Khi đó: I    1009  1 f x 2.1 0   Cách 2: 1
Đặt: t  1 x  dt  dx; f x 
và x  0  t  2018; x  2018  t  0 f t 2018 2018 2018 dx dt f t 2018 dt
f xdx Khi đó I         1  f x 1 1  f t 1  f x 0   0 0   0   1  f t 2018 2018 dx f x 2018 dx  2I   
dx  2018  I  1009    1 f x 1 f x 0   0   0 LUY
Câu 41: Cho hàm số f x liên tục trên tập R, ta có f x  0 và f 0. f 10  x  9 . Giá trị của tích EN 12 T 1 H phân I  dx I  . TRA   3 f x 2   C 14 N Ⓐ Lời giải . I  . G H 3 Chọn D IE 2 M
Ⓑ. I  .
Sử dụng công thức giải nhanh: .V 3 b N dx b  a
Theo dạng 7: Cho f x f a  b  x 2 " .
 k , khi đó: I    Ⓒ 7 . I  . k  f x k a   ". 2 6 12 1 12   2   7 Ⓓ 7 . I  Do đó: I  dx    3   3 f x 2.3 3 2   3
Câu 42: Cho hàm số y  f x liên tục trên tập R và thỏa mãn f 4  x  f x.Biết . x f
 xdx  5. 1 3
Tính tích phân f xdx  . 1 Ⓐ 5 Lời giải . . 2 Chọn A Ⓑ 7 . .
Cách 1: Sử dụng công thức giải nhanh: 2
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 19 TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020 b b Ⓒ 9 . . I
Theo dạng 8: "Cho f x  f a  b  x và I  . x f
 xdx . Thì ta có: f  x 2 dx  ”. 2 a  b a a Ⓓ 11 . . 3 2.5 5 2 Do đó: f
 xdx   . 1 3 2 1
Cách 2: Đặt t  4  x  dt  d
 x và x  1 t  3; x  3  t  1. 3 3 3 3 Khi đó: 5  . x f
 xdx  4t.f 4tdt  4x.f 4xdx  4x.f xdx . 1 1 1 1 H 3 3 3 3 OC 5 Suy ra: 10  .
x f xdx  4  x. f xdx  4 f xdx  f xdx      M 2 1 1 1 1 AI. 4 VN     
Câu 43: Cho hàm số y
f x liên tục trên tập R và thỏa mãn f x f 3 x 0 . Biết . x f
 xdx 2. Tính 1  4 tích phân f
 xdx. 1  Ⓐ 3 Lời giải . . 2 Chọn C Ⓑ 2 . .
Sử dụng công thức giải nhanh: 3 b b I
Theo dạng 8: "Cho f x  f a  b  x và I  . x f
 xdx . Thì ta có: f  x 2 dx  ”. Ⓒ 4 . . a  b 3 a a 4 2.2 4 Ⓓ 3   . . Do đó: f  xdx    1 4 3 LUY 4 1 9 E
x  khi x   N
Câu 44: Cho hàm số f x 2 4  
. Tính tích phân I  f
 xd .x TH  x khi x  4 1 ITRA Ⓐ 121 Lời giải C . I  . N 6 Chọn B G H 163 9 4 9 4 9 I Ⓑ. I  . 163 E Ta có; I  f
 xdx  f
 xdx f
 xdx  xdx 
x2dx  . M 6 6 . 1 1 4 1 4 VN 85 Ⓒ. I  . 6 Ⓓ 223 . I  . 6   sin x khi x   
Câu 45: Cho hàm số f x 2          . Biết f
 xdx a b a,b . Tính T a .b  2 sin x khi x    2 4 Ⓐ 11 Lời giải . T  . 8 Chọn A   Ⓑ 3
. T  .  2  2  2 Ta có : I  f
 xdx  f
 xdx f  x 2
dx  sin xdx  sin xdx        4 4 2 4 2
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 20 TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020  Ⓒ 15 . T  . 2      8 1 cos 2x 1 1  5 1 2 
dx  sin xdx  x  sin 2x
 cos x     a      b . 2  2 4      4 8 4 2 Ⓓ 7 . T  . 4 2 2 Do 5 1 11 a,b
 a  ; b   T  a  b  . 4 8 8
x 1 khi x  0 2
Câu 46: Cho hàm số f x  
. Tính tích phân I  f
 xd .x 2x e khi x  0 1  H Ⓐ. Lời giải OC 2 3e  1 Chọn C M I  . 2 A 2e 2 0 2 0 2 2 I  2x 9e 1 .V Ta có: I  f
 xdx  I  f
 xdxI  f
 xdx  e dxI  
x 1dx  . N Ⓑ. 2    2e 1 1 0 1 0 2 7e  1 I  . 2 2e Ⓒ. 2 9e  1 I  . 2 2e Ⓓ. 2 11e  11 I  . 2 2e  x khi  x  2
Câu 47: Cho hàm số f x 2 3 0 1  
. Tính tích phân I  f
 xd .x
4  x khi1  x  2 0 LUY 7 Lời giải E Ⓐ. . N 2 Chọn A TH Ⓑ. 1. 1 2 1 2 2 I   TRA x 5 7
Ta có: I  f
 xdx f  x 2 dx  3x dx   4x 3 1 2 dx  x
 4x    1  . 0 1 Ⓒ 5  2  2 2 C . . 0 1 0 1 N 2 G H 3 I Ⓓ E . . M 2 .V 2 N 6x khi x   0 4
Câu 48: Cho hàm số y  f (x)   và I  f (x)dx 
. H ỏ i c ó t ấ t c ả b a o n h i ê u s ố 2 a  a  x khix  0 1 
n g u y ê n a đ ể I  46  0 ? Ⓐ. 7 . Lời giải Ⓑ. 4 . Chọn C Ⓒ. 6 . 0 4 0 4 2 2 3 2 x 2            Ⓓ Ta có I f (x)dx f (x)dx 6x dx   
 a a xdx 2x a a  42 0 2 8a 8a . 5 . 1  0 1  0 1  2 0 Khi đó 2 2
I  46  0  2  8a  8a  46  0  a  a  6  0  2
  a  3,a  a{ 2  ; 1  ;0;1;2;3}
Vậy có 6 giá trị nguyên của a thỏa mãn. 3
Câu 49: Tính tích phân I  max   3 2 x ; 4x  3  x dx . 0
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 21 TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020 Ⓐ 117 Lời giải . . 2 Chọn C Ⓑ 707 . . Trên đoạn 0 ; 3   : 2 Xét 3 2 3 2
x  4x  3x  x  4x  3x  0  (
x x  1)(x  3)  0  x [0;1]do x  0 ; 3   Ⓒ 275 . . 12 3 2
x[0;1] x  4x  3x 3  x khi x [0;1] Vậy   max 3 2 x ; 4x  3  x   . 3 2 2 Ⓓ 119 . .
x[1;3] x  4x  3x    x [  0;3] 4x 3x khi x [1; 3] 6 3 1 3 275 H Khi đó I  max   3 2 x ; 4x  3  3 x dx  x dx     2
4x  3xdx  . OC 0 0 1 12 M 2 3 A
Câu 50: Tính I 
min{x; 2  x}dx I  . . 0 VN
Ⓐ. I  2 . Lời giải Ⓑ 3 Chọn D . I  . 4 Trên đoạn 0 ; 2   :
Ⓒ. I  1.   Xét 3 3 3 x 2 x x 2 x x x 2 0 (x 1) 2 x x 2 x 0; 2 0               
 x[1; 2] Ⓓ 5 . I  . 4 3
x[0;1] x  2  x x khi x  [0;1] Vậy  3
 min{x; 2  x}   . 3
x[1;2] x  2  x 3 x [  0;2]
 2  x khi x[1;2] Castio 2 1 2 5 Khi đó 3 3 I 
min{x; 2  x}dx  xdx  2  xdx     . 0 0 1 4 1 2
Câu 51: (Đề tham khảo – 2018) Cho hàm số f x xác định trên R\  thỏa mãn f 'x  ; f 0  1 LUY 2  2x  1 E    N và f   1
2 . Giá trị của biểu thức f   1
f 3 bằng TH Ⓐ  I
. 4 ln15 . Lời giải TRA
Ⓑ. 2  ln15 Chọn C C N
Ⓒ. 3  ln15 .    G 1     H
ln 2x 1 C khi x  ;  I Ⓓ. ln15. 2 2dx   2  E
Cách 1: Từ f 'x   f x 1   . M   2x  1 2x  1   .  1 V
ln 2x  1  C khi x  ;  N 2     2    1          f   ln 2x 1 1 khi x ; 0  1 0  C  1 C   1   2  Ta có: 1 1         .  f   f x 1    2 0  C  2 C   2   1  2 2
ln 2x  1  2 khi x  ;      2  Khi đó: f  
1  f 3  ln 3 1 ln 5  2  3  ln15 . 
 f    f    f x 0  f       x 0 0 2 0 1 0 1 | ' dx dx ln 2x 1 | ln (1)  1 1  2x  1    3 Cách 2: Ta có: 1 1 
 f 3 f  1  f x 3 |  f '  x 3 3 2 3 dx 
dx  ln 2x  1 |  ln 5 (2)  1 1  2x   1 1 1
Lấy (2) (1) , ta được: f 3  f  
1  f 0  f  
1  ln15  f 3  f   1  3  ln15
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 22 TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020
Câu 52: (Toán học và tuổi trẻ - Số 6 – 2018) Cho hàm số f x xác định trên R  \  1 thỏa mãn f x 1 ' 
; f 0  2017 và f 2  2018 . TínhS  f 3  f   1 x  1
Ⓐ. S  1. Lời giải
Ⓑ. S  ln 2 . Chọn A Ⓒ.
ln x 1 C khi x   ;1 1 dx 1      S  ln 4035 f ' x f x  . Cách 1: Từ       . x  1 x  1
ln x  1  C khi x  1;   2   H Ⓓ. S  4 . OC Ta có: M          A f 0 2017 0 C 2017 C 2017
ln x 1  2017 khi x ;1 I 1 1 .       f x   . VN  f  2      2018 0  C  2018 C   2018
ln x 1  2018 khi x 1;  2 2   
Khi đó: f 3  f  
1  ln 2  2018  ln 2  2017  1. 
 f    f    f x 0  f       x 0 0 1 0 1 0 1 | ' dx dx ln x 1 | ln (1)  1 1  x  1    2 Cách 2: Ta có: 1 1 
 f 3 f 2  f x 3 |  f '  x 3 3 1 3 dx 
dx  ln x  1 |  ln 2 (2)  2 2  x   1 2 2
Lấy (2)  (1) , ta được: f 3  f  
1  f 0  f 2  0  S  f 3  f  
1  f 2  f 0  1 1
Câu 53: (Lục Ngạn – Bắc Giang – 2018) Cho hàm số f x xác định trên R\  thỏa mãn 3   LUY 2 f x 3 ' 
; f 0  1 và f 
  2 . Giá trị của biểu thức f  
1  f 3 bằng 3x  1  3  ENT
Ⓐ. 3  5ln 2 Lời giải H ITRA . Chọn A C Ⓑ.   1  N
ln 3x  1  C khi x     ;  G 2   5ln2 . 3 3dx   3  H
Cách 1: Từ f 'x   f x 1     . IE Ⓒ. 4  5ln 2 3x  1 3x  1   1  M
ln 3x  1  C khi x  ;  2  .  V .   3  N Ⓓ. 2  5ln 2     f   1 0  1
ln 3x  1  1 khi x     ;  .  0  C  1 C   1   3  Ta có: 1 1   2     
 f x   .  f    2 0  C  2 C   2   1  2 2   3
ln 3x  1  2 khi x  ;       3  Khi đó: f  
1  f 3  ln 4 1 ln8  2  3  ln 32  3  5ln 2 . 
 f    f    f x 0  f       x 0 0 3 0 1 0 1 | ' dx dx ln 3x 1 | ln (1)  1 1 3x  1     4 1 1 Cách 2: Ta có:     f 3 2  f  f x 3 |  f '  x 3 3 2 3 dx 
dx  ln 3x  1 |    ln 8 (2)  2 2   3  2x  1 3 2 2 3  3 3
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 23 TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020  2 
Lấy (2) (1) , ta được: f 3  f  
1  f 0  f
 ln 32  f  
1  f 3  3    5ln 2  3  1  1 
Câu 54: Cho hàm số f x xác định trên 0;   \ 
e , thỏa mãn f x   f e  f    .
x ln x   ,  2  3, ln 6 2 1  e   1 
Tính giá trị biểu thức f    f  3 e .  e  Ⓐ. Lời giải H 3ln 2   1 . Chọn A OC M 1 dln x   Ⓑ. 2ln 2 . 1 A
Ta có f x  f 
 xdx  dx 
 ln ln x 1 C I   . xln x   1 ln x  1 V
Ⓒ. 3ln 2 1. N Ⓓ. ln 2  3 .          f x ln ln x 1 C khi x e; 1     ln
 1 ln x  C  k  hi x    0; e 2  
 f  2e  3 ln 2 ln e   1  C  3 1   C   3 Ta có 1   1     1     f    ln 6 ln1 ln   C  ln 6 C   ln 2 2 2 2 2   e    e 
ln lnx 1  3 khi x e;  1
Do đó f x     3            x   k  hi x   e f
f e  3ln 2 1 ln 1 ln ln 2 0;  e  4
Câu 55: Cho hàm số f x xác định trên  \ 2;  
2 , thỏa mãn f x  , f 3
  0, f 0  1 và 2     x  4 LUY
f 3  2 . Tính giá trị biểu thức P  f  4   f  
1  f 4 . ENT Ⓐ. Lời giải H ITRA 3 Chọn B P  3  ln . 25 C 4 4dx x  2 N
Ta có f x  f 
 xdx  dx   ln C   2 G Ⓑ. x  4
x2x2 x  2 H I  E P  3 ln 3. M
  x  2       . Ⓒ ln  C khi x 2; 1   V .    N x 2  5
P  2  ln .   2  x  3
 f x  ln    C k
 hix 2; 2 2     x  2  Ⓓ.   x  2  ln    C k  hi x   ; 2 3   5 P  2  ln .   x  2  3   1        C  f 3 ln 2 1  2    5  C   2  ln 5 1   
Ta có  f 0  1  C   1  C   1 2 2     f   3    0 ln 5  C  0 C   ln 5 3   3 
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 24 TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020   x  2  ln  2  ln 5 k  hi x  2;        x  2    2  x 
Do đó f x  ln    1 k  hi x   2  ; 2   x  2    x  2  ln    ln 5 k  hi x  ; 2     x  2 
Suy ra P  f  4   f  
1  f 4  3  ln 3 H 4 1 OC
Câu 56: Cho hàm số f x xác định trên  \ 2; 
1, thỏa mãn fx  , f 3
  f 3  0, f 0  . 2         M x x 2 3 AI     .
Giá trị của biểu thức f  4 f   1 f 4 . VN
Ⓐ. 1 ln80. Lời giải Ⓑ. Chọn B 1 1  dx dx 1 x  1 ln 2 .
Ta có f x  f 
 xdx    ln C   3 3 2 x  x  2
x 1x2 3 x2 Ⓒ. 1  x 1  1 4 ln  C k  hi x   1;     1   1 ln 2  ln 3   x  2  3 5 1  1 x  .
 f x   ln    C k
 hix 2  ;1 2   3   x  2  Ⓓ. 1  x 1  1 8  ln    C k  hi x   ; 2  3   1  ln . 3  x  2  3 5 LUY 1  1 2  1 Ta có f  3
   f 3  0  ln4 C  ln C  0  C  C    ln10 E 3 1 1 3 N 3  3 5  3 TH 1 1 1 1 1 1 ITRA
f 0   ln  C   C   ln 2 2 2 3 3 2 3 3 3 C N 1  x 1  1 G ln  C  ln10 k  hi x   1;     3   H 3   x  2  3 IEM 1  1 x  1 1 .
Do đó f x   ln     ln 2 k
 hix 2  ;1 VN 3   x  2  3 3 1  x 1   ln    C k  hi x   ; 2  3   3  x  2   1 5   1 1 1   1 1 1  Suy ra f  4
   f   1  f 4  ln  C  ln 2   ln 2  ln  C       ln10 . 3 1   3 2   3 3 3   3 2 3  1 1   ln 2 3 3 1
Câu 57: (SỞ BẮC GIANG -2018) Cho hàm số f x xác định trên  \ 1  ; 
1 và thỏa mãn f x  , 2 x  1  1   1  f  3
   f 3  0 và f   f   
  2 . Tính giá trị của biểu thức P  f 0  f 4 .  2   2 
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 25 TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020 Ⓐ. Lời giải 3 Chọn C
P  ln  2 . 5 1 1 Ta có f 
 xdx  dx   dx  Ⓑ. 2 x  1
x 1x 1 3 P  1 ln . 1 x  1 5 ln  C , x  1 1  1 1   1   1    
ln x  1  ln x  1  2 x 1  Ⓒ  .  dx C  .
2  x 1 x  1  2 1 1  x  ln  C , x  1 1 3 2 2 x 1 H P  1  ln OC 2 5 1 f   1
3  ln 2  C ; f 3   ln 2  C , do đó f  3
   f 3  0  C  0 . M . 1 2 1 2 1 AI. Ⓓ V .  1  1  1  1  1   1  N f   ln 3    C ; f   ln 3   
C , do đó f   f   
  2  C  1 . 1 3 2 2 P  ln .  2  2  2  2  2   2  2 2 5
f 0  C  1; f   1 3
4  ln , do đó f    f   1 3 0 4  1 ln 2 2 5 2 5 2
Câu 58: (SỞ PHÚ THỌ -2018) Cho hàm số f x xác định trên  \ 1  ; 
1 thỏa mãn f x  , 2 x  1  1   1  f  2
   f 2  0 và f   f   
  2 . Tính f  3
  f 0 f 4 được kết quả  2   2  Ⓐ 4 Lời giải . 1   ln 5 Chọn D Ⓑ 6 . 1   ln 2 2 Ta có f 
 xdx  dx   dx  2 LUY 5 x  1
x 1x 1 4 E Ⓒ. 1 ln   N x 1   T 5 ln C , x 1  1 H  1 1          x 1  I 6 
dx ln x 1 ln x 1 C  . TRA Ⓓ. 1 ln
 x 1 x  1 1  x  5 ln  C , x  1 2 C  x 1 N G 1 H f  2
   ln3C ; f 2  ln C , do đó f  2
   f 2  0  C  0 . I 1 1 1 E 3 M .V  1   1  1  1   1  N f   ln 3    C ; f  ln   
C , do đó f   f   
  2  C  1 . 2  2  2  2  3  2   2  2
Vậy f    f    f   3 6 3 0 4  ln 2  1 ln  ln 1 5 5 1
Câu 59: (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 4-2018) Cho F x là một nguyên hàm của hàm số y  1  sin 2x         11  với x   \
 k ,k  , biết F0  1; F()  0 . Tính P  F     F   .  4   12   12  Ⓐ. Lời giải P  2  3 . Chọn D Ⓑ. P  0 . Cách 1: Ⓒ. Không tồn tại P .
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 26 TÍCH PHÂN HÀM ẨN
NĂM HỌC 2019 – 2020 Ⓓ. P  1. 1 1 Ta có f 
 xdx  dx   dx  1 sin 2x
sinxcosx2 1     5   tan x   C ,x  ;        k2 1 1  2  4   4 4  dx    .           2 1 3 2 sin x    tan x 
 C ,x  ;      k2  4  1 2  4   4 4  1    1  5 1 1         tan  x    , x    ;     k2 H    C 1 0   1 C F  2  2   2  4  2  4 4 OC 2 2         M F     0 1 1 1    1   3                A C 0 C tan  x  , x  ;  k2 1 1 I 2  2  . 2  4  2  4 4  VN     11   1  1   1 7 1 
Khi đó P  F   F  tan   tan           1  12   12   2 6 2   2 6 2  Cách 2:       dx F 0  F     F x 0 0    1   12     1 sin 2x 12   12       11        dx F F F x     11  2  12    1 sin 2x 12 11  12      11  dx dx Lấy 2 –   1 ta được F   F
 F    F0 0          12   12     1 sin 2x  1 sin 2x 11  LUY 12 12 E             casio 11 11 N  F   F 1  0  F   F          1 T  12   12   12   12  H ITRA C N G H IEM.VN
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 27

59 bài tập tích phân hàm ẩn có lời giải chi tiết Toán 12

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Gắn hệ tọa độ Oxyz để giải các bài toán hình học không gian – Phương Nguyễn Toán 12

20 kĩ thuật chinh phục vận dụng cao số phức – Hoàng Xuân Nhàn Toán 12

Phân dạng bài tập và lời giải chi tiết chuyên đề Tích phân – Lưu Huy Thưởng Toán 12

Phương pháp giải các bài toán Tích phân – Trung tâm LTĐH Vĩnh Viễn Toán 12

Phương pháp giải các dạng Tích phân thường gặp Toán 12