64 bài tập Tích phân hàm lượng giác có lời giải – Trần Sĩ Tùng Toán 12

64 bài tập Tích phân hàm lượng giác có lời giải – Trần Sĩ Tùng Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

56 28 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Môn: Toán 12

Thông tin:

15 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 11
TP3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Dạng 1: Biến đổi lượng giác
Câu 1.
xx
I dx
xx
2
8cos sin2 3
sin cos

x x x
I dx x x x x dx
xx
2
(sin cos ) 4cos2
sin cos 4(sin cos
sin cos




x x C3cos 5sin
.
Câu 2.
x x x
I dx
x
cot tan 2tan2
sin4

Ta có:
x x x x
I dx dx dx C
x x x
x
2
2cot2 2tan2 2cot 4 cos4 1
2
sin4 sin4 2sin4
sin 4
Câu 3.
x
I dx
xx
2
cos
8
sin2 cos2 2




Ta có:
x
dx
dx
x
xx
2
cos 2
1
4
22
1 sin 2
sin cos
4
88













x
dx
dx
xx
2
cos 2
11
4
2
3
22
1 sin 2 sin
48










x x C
13
ln 1 sin 2 cot
48
42





Câu 4.
dx
I
xx
3
2 3sin cos

dx
I
x
3
1
2
1 cos
3




=
dx
I
x
2
3
1
4
2sin
26



=
1
43
.
Câu 5.
I dx
x
6
0
1
2sin 3
Ta có:
I dx dx
xx
66
00
1
11
2
2
sin sin sin sin
33





Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 12
xx
dx dx
xx
x
66
00
cos
cos
2 6 2 6
3
sin sin
2cos .sin
3
2 6 2 6









xx
dx dx
xx
66
00
cos sin
2 6 2 6
11
22
sin cos
2 6 2 6







xx
66
00
ln sin ln cos .....
2 6 2 6


Câu 6.
I x x x x dx
2
4 4 6 6
0
(sin cos )(sin cos )
.
Ta có:
x x x x
4 4 6 6
(sin cos )(sin cos )
xx
33 7 3
cos4 cos8
64 16 64
I
33
128
.
Câu 7.
I x x x dx
2
44
0
cos2 (sin cos )

I x x dx x d x
22
22
00
1 1 1
cos2 1 sin 2 1 sin 2 (sin2 ) 0
2 2 2


Câu 8.
I x x dx
2
32
0
(cos 1)cos .

A =
xdx x d x
22
2
52
00
cos 1 sin (sin )



=
8
15
B =
x dx x dx
22
2
00
1
cos . (1 cos2 ).
2



=
4
Vậy I =
8
15
–
4
.
Câu 9.
2
2
0
I cos cos2x xdx
I x xdx x xdx x x dx
2 2 2
2
0 0 0
11
cos cos2 (1 cos2 )cos2 (1 2cos2 cos4 )
24
x x x
2
0
11
( sin2 sin4 )
4 4 8
Câu 10.
x
I dx
x
3
2
0
4sin
1 cos
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 13
x x x
x x x x x
x
x
33
2
4sin 4sin (1 cos )
4sin 4sin cos 4sin 2sin2
1 cos
sin
I x x dx
2
0
(4sin 2sin2 ) 2
Câu 11.
I xdx
2
0
1 sin

x x x x
I dx dx
2
22
00
sin cos sin cos
2 2 2 2





x
dx
2
0
2 sin
24




xx
dx dx
3
2
2
3
0
2
2 sin sin
2 4 2 4








42
Câu 12.
dx
I
x
4
6
0
cos
Ta có:
I x x d x
4
24
0
28
(1 2tan tan ) (tan )
15
.
Dạng 2: Đổi biến số dạng 1
Câu 13.
xdx
I
xx
sin2
3 4sin cos2

Ta có:
xx
I dx
xx
2
2sin cos
2sin 4sin 2

. Đặt
txsin
I x C
x
1
ln sin 1
sin 1
Câu 14.
dx
I
xx
35
sin .cos
xx
dx
xxx
dx
I
23233
cos.2sin
8
cos.cos.sin
Đặt
txtan
.
I t t t dt x x x C
t
x
3 3 4 2
2
3 1 3 1
3 tan tan 3ln tan
42
2tan



Chú ý:
t
x
t
2
2
sin2
1
.
Câu 15.
dx
I
xx
3
sin .cos
dx dx
I
x x x x x
22
2
sin .cos .cos sin2 .cos


. Đặt
txtan
dx t
dt x
xt
22
2
; sin2
cos 1
dt t
I dt
t
t
t
2
2
1
2
2
1

tx
t dt t C x C
t
22
1 tan
( ) ln ln tan
22
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 14
Câu 16.
xx
I xdx
x
2011
2011 2009
5
sin sin
cot
sin
Ta có:
x
x
I xdx xdx
xx
2011
2011
2
2
44
1
1
cot
sin
cot cot
sin sin


Đặt
txcot
I t tdt t t C
2 4024 8046
2
2011 2011 2011
2011 2011
t (1 )
4024 8046
=
x x C
4024 8046
2011 2011
2011 2011
cot cot
4024 8046

Câu 17.
xx
I dx
x
2
0
sin2 .cos
1 cos
Ta có:
xx
I dx
x
2
2
0
sin .cos
2
1 cos
. Đặt
tx1 cos
t
I dt
t
2
2
1
( 1)
2 2ln2 1
Câu 18.
I x xdx
3
2
0
sin tan
Ta có:
x x x
I x dx dx
xx
2
33
2
00
sin (1 cos )sin
sin .
cos cos



. Đặt
txcos
u
I du
u
1
2
2
1
13
ln2
8
Câu 19.
I x x dx
2
2
sin (2 1 cos2 )
Ta có:
I xdx x xdx H K
22
22
2sin sin 1 cos2



+
H xdx x dx
2
22
2sin (1 cos2 )
22




+
K x x x xdx
2 2 2
22
sin 2cos 2 sin cos



xd x
2
2
2
2 sin (sin )
3
I
2
23
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 15
Câu 20.
dx
I
xx
3
24
4
sin .cos
dx
I
xx
3
22
4
4.
sin 2 .cos
. Đặt
txtan
dx
dt
x
2
cos
.
t dt t
I t dt t
t
tt
3
33
2 2 3
2
22
1
11
(1 ) 1 1 8 3 4
22
33








Câu 21.
2
2
0
sin2
2 sin
x
I dx
x
Ta có:
x x x
I dx dx
xx
22
22
00
sin2 sin cos
2
(2 sin ) (2 sin )




. Đặt
tx2 sin
.
t
I dt dt t
tt
tt
3
33
22
22
2
2 1 2 2
2 2 2 ln

32
2ln
23

Câu 22.
x
I dx
x
6
0
sin
cos2
xx
I dx dx
x
x
66
2
00
sin sin
cos2
2cos 1



. Đặt
t x dt xdxcos sin
Đổi cận:
x t x t
3
0 1;
62
Ta được
t
I dt
t
t
3
1
2
2
3
1
2
1 1 2 2
ln
2 2 2 2
21
=
1 3 2 2
ln
2 2 5 2 6
Câu 23.
x
I e x x dx
2
2
sin 3
0
.sin .cos .
Đặt
tx
2
sin
I =
t
e t dt
1
0
1
(1 )
2
=
e
1
1
2
.
Câu 24.
I x x dx
2
1
2
sin sin
2
6
Đặt
txcos
.
I
3
( 2)
16

Câu 25.
x
I dx
xx
4
66
0
sin4
sin cos
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 16
x
I dx
x
4
2
0
sin4
3
1 sin 2
4
. Đặt
tx
2
3
1 sin 2
4

I =
dt
t
1
4
1
21
3



=
t
1
1
4
42
33
.
Câu 26.
x
I dx
xx
2
3
0
sin
sin 3 cos
Ta có:
x x xsin 3 cos 2cos
6



;
xxsin sin
66







=
xx
31
sin cos
2 6 2 6

I =
x dx
dx
xx
22
32
00
sin
6
31
16 16
cos cos
66







=
3
6
Câu 27.
xx
I dx
x
2
4
2
3
sin 1 cos
cos
xx
I x dx x dx
xx
44
2
22
33
sin sin
1 cos . sin
cos cos




xx
x dx x dx
xx
0
4
22
0
3
sin sin
sin sin
cos cos


=
xx
dx dx
xx
0
22
4
22
0
3
sin sin
cos cos


7
31
12
.
Câu 28.
I dx
xx
6
0
1
sin 3 cos
I dx
xx
6
0
1
sin 3 cos
=
dx
x
6
0
11
2
sin
3



=
x
dx
x
6
2
0
sin
1
3
2
1 cos
3







.
Đặt
t x dt x dxcos sin
33

I dt
t
1
2
2
0
1 1 1
ln3
24
1

Câu 29.
I x xdx
2
2
0
1 3sin2 2cos
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 17
I x x dx
2
0
sin 3cos

=
I x x dx x x dx
3
2
0
3
sin 3cos sin 3 cos

33
Câu 30.
xdx
I
xx
2
3
0
sin
(sin cos )
Đặt
x t dx dt
2
tdt xdx
I
t t x x
22
33
00
cos cos
(sin cos ) (sin cos )




dx dx
2I x
xx
x
22
4
2
2
0
00
11
cot( ) 1
2 2 4
(sin cos )
sin ( )
4


I
1
2
Câu 31.
xx
I dx
xx
2
3
0
7sin 5cos
(sin cos )
Xét:
xdx xdx
II
x x x x
22
12
33
00
sin cos
;
sin cos sin cos




.
Đặt
xt
2

. Ta chứng minh được I
1
= I
2
Tính I
1
+ I
2
=
dx dx
x
xx
x
22
2
2
00
1
tan( ) 1
2
24
sin cos
0
2cos ( )
4


II
12
1
2

I I I
12
7 –5 1
.
Câu 32.
xx
I dx
xx
2
3
0
3sin 2cos
(sin cos )
Đặt
x t dx dt
2
t t x x
I dt dx
t t x x
22
33
00
3cos 2sin 3cos 2sin
(cos sin ) (cos sin )





x x x x
I I I dx dx dx
x x x x x x
2 2 2
3 3 2
0 0 0
3sin 2cos 3cos 2sin 1
21
(sin cos ) (cos sin ) (sin cos )

I
1
2
.
Câu 33.
xx
I dx
x
2
0
sin
1 cos
Đặt
t t t
x t dx dt I dt dt I
tt
22
00
( )sin sin
1 cos 1 cos




Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 18
t d t
I dt I
tt
2
22
00
sin (cos )
2
4 4 8
1 cos 1 cos






Câu 34.
xx
I dx
xx
4
2
33
0
cos sin
cos sin
Đặt
x t dx dt
2
t t x x
I dt dx
t t x x
0
44
2
3 3 3 3
0
2
sin cos sin cos
cos sin cos sin


x x x x x x x x
I dx dx xdx
x x x x
4 4 3 3
2 2 2
3 3 3 3
0 0 0
cos sin sin cos sin cos (sin cos ) 1 1
2 sin2
22
sin cos sin cos


I
1
4
.
Câu 35.
I x dx
x
2
2
2
0
1
tan (cos )
cos (sin )





Đặt
x t dx dt
2
I t dt
t
2
2
2
0
1
tan (sin )
cos (cos )





x dx
x
2
2
2
0
1
tan (sin )
cos (cos )





Do đó:
I x x dx
xx
2
22
22
0
11
2 tan (cos ) tan (sin )
cos (sin ) cos (cos )




=
dt
2
0
2
I
2
.
Câu 36.
xx
I dx
x
4
0
cos sin
3 sin2
Đặt
u x xsin cos
du
I
u
2
2
1
4

. Đặt
ut2sin
tdt
I dt
t
44
2
66
2cos
12
4 4sin



.
Câu 37.
x
I dx
xx
3
2
0
sin
cos 3 sin
Đặt
tx
2
3 sin
=
x
2
4 cos
. Ta có:
xt
22
cos 4
và
xx
dt dx
x
2
sin cos
3 sin
.
I =
x
dx
xx
3
2
0
sin
.
cos 3 sin
=
xx
dx
xx
3
22
0
sin .cos
cos 3 sin
=
dt
t
15
2
2
3
4
=
dt
tt
15
2
3
1 1 1
4 2 2




Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 19
=
t
t
15
2
3
12
ln
42
=
1 15 4 3 2
ln ln
4
15 4 3 2






=
1
ln 15 4 ln 3 2
2
.
Câu 38.
x x x x
I dx
xx
2
3
32
3
( sin )sin
sin sin

x dx
I dx
x
x
22
33
2
33
1 sin
sin




.
+ Tính
x
I dx
x
2
3
1
2
3
sin
. Đặt
ux
du dx
dx
dv
vx
x
2
cot
sin


I
1
3
+ Tính
dx dx dx
I=
x
x
x
2 2 2
3 3 3
2
2
3 3 3
4 2 3
1 sin
1 cos 2cos
2 4 2

Vậy:
I 4 2 3
3
.
Câu 39.
x
dx
xx
I
2
22
0
sin2
cos 4sin
xx
dx
x
I
2
2
0
2sin cos
3sin 1
. Đặt
ux
2
3sin 1
udu
du
u
I
22
11
2
22
3
33


Câu 40.
x
I dx
x
6
0
tan
4
cos2



x
x
I dx dx
x
x
2
66
2
00
tan
tan 1
4
cos2
(tan 1)





. Đặt
t x dt dx x dx
x
2
2
1
tan (tan 1)
cos
dt
I
t
t
1
1
3
3
2
0
0
1 1 3
12
( 1)
.
Câu 41.
x
I dx
xx
3
6
cot
sin .sin
4



x
I dx
xx
3
2
6
cot
2
sin (1 cot )
. Đặt
xt1 cot
dx dt
x
2
1
sin
t
I dt t t
t
31
31
31
31
3
3
12
2 2 ln 2 ln 3
3



Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 20
Câu 42.
dx
I
xx
3
24
4
sin .cos
Ta có:
dx
I
xx
3
22
4
4.
sin 2 .cos
. Đă
t
dt
t x dx
t
2
tan
1
t dt t
I t dt t
t
tt
3
2 2 3
33
(1 ) 1 1 8 3 4
2
( 2 ) ( 2 )
22
33
11
1


Câu 43.
x
I dx
x x x
4
2
0
sin
5sin .cos 2cos
Ta có:
x
I dx
x x x
4
22
0
tan 1
.
5tan 2(1 tan ) cos

. Đặt
txtan
,
t
I dt dt
tt
tt
11
2
00
1 2 1 1 2
ln3 ln2
3 2 2 1 2 3
2 5 2






Câu 44.
xdx
x x x
I
2
4
42
4
sin
cos (tan 2tan 5)

Đă
t
dt
t x dx
t
2
tan
1
t dt dt
I
t t t t
2
11
22
11
2
2 ln 3
3
2 5 2 5


Tính
dt
I
tt
1
1
2
1
25

. Đă
t
t
u I du
0
1
4
11
tan
2 2 8
. Vâ
y
I
23
2 ln
38
.
Câu 45.
x
I dx
x
2
2
6
sin
sin3
.
xx
I dx dx
x x x
2
22
32
66
sin sin
3sin 4sin 4cos 1





Đặt
t x dt xdxcos sin
dt dt
I
t
t
3
0
2
2
2
0
3
2
11
ln(2 3)
1
44
41
4

Câu 46.
xx
I dx
x
2
4
sin cos
1 sin2
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 21
Ta có:
x x x x x1 sin2 sin cos sin cos
(vì
x ;
42




)
xx
I dx
xx
2
4
sin cos
sin cos
. Đặt
t x x dt x x dxsin cos (cos sin )
I dt t
t
2
2
1
1
11
ln ln2
2
Câu 47.
I x x xdx
2
6
35
1
2 1 cos .sin .cos
Đặt
t dt
t x t x t dt x xdx dx
xx
5
6
3 6 3 5 2
2
2
1 cos 1 cos 6 3cos sin
cos sin
tt
I t t dt
1
1
7 13
66
0
0
12
2 (1 ) 2
7 13 91



Câu 48.
xdx
I
xx
4
2
0
tan
cos 1 cos
Ta có:
xdx
I
xx
4
22
0
tan
cos tan 2
. Đặt
2 2 2
2
tan
2 tan 2 tan
cos
x
t x t x tdt dx
x
33
22
32

tdt
I dt
t
Câu 49.
x
I dx
xx
2
3
0
cos2
(cos sin 3)

Đặt
t x xcos sin 3
t
I dt
t
4
3
2
31
32
.
Câu 50.
x
I dx
xx
4
24
0
sin4
cos . tan 1
Ta có:
x
I dx
xx
4
44
0
sin4
sin cos
. Đặt
t x x
44
sin cos
I dt
2
2
1
2 2 2
.
Câu 51.
x
I dx
x
4
2
0
sin4
1 cos
Ta có:
xx
I dx
x
2
4
2
0
2sin2 (2cos 1)
1 cos
. Đặt
tx
2
cos
t
I dt
t
1
2
1
2(2 1) 1
2 6ln
13
.
Câu 52.
x
I dx
x
6
0
tan( )
4
cos2
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 22
Ta có:
2
6
2
0
tan 1
(tan 1)

x
I dx
x
. Đặt
txtan
1
3
2
0
13
( 1) 2
dt
I
t
.
Câu 53.
3
6
0
tan
cos2
x
I dx
x
Ta có:
33
66
tan tan
2 2 2 2
cos sin cos (1 tan )
00




xx
I dx dx
x x x x
.
Đặt
txtan
3
3
3
1 1 2
ln
2
6 2 3
1
0
t
I dt
t
.
Câu 54.
x
I dx
x
2
0
cos
7 cos2
Câu 55.
dx
xx
3
4
35
4
sin .cos
Ta có:
dx
x
x
x
3
3
8
4
4
3
1
sin
.cos
cos
dx
x
x
3
2
4
3
4
11
.
cos
tan
.
Đặt
txtan
I t dt
3
3
8
4
1
4 3 1
Câu 56.
3
2
0
cos cos sin
()
1 cos
x x x
I x dx
x

Ta có:
x x x x x
I x dx x x dx dx J K
xx
2
22
0 0 0
cos (1 cos ) sin .sin
.cos .
1 cos 1 cos






+ Tính
J x x dx
0
.cos .
. Đặt
u x du dx
dv xdx v xcos sin





J 2
+ Tính
xx
K dx
x
2
0
.sin
1 cos
. Đặt
x t dx dt
t t t t x x
K dt dt dx
t t x
2 2 2
0 0 0
( ).sin( ) ( ).sin ( ).sin
1 cos ( ) 1 cos 1 cos
x x x x dx x dx
K dx K
x x x
2 2 2
0 0 0
( ).sin sin . sin .
2
2
1 cos 1 cos 1 cos


Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 23
Đặt
txcos
dt
K
t
1
2
1
2
1

, đặt
t u dt u du
2
tan (1 tan )
u du
K du u
u
22
44
4
2
4
44
(1 tan )
.
2 2 2 4
1 tan




Vậy
I
2
2
4

Câu 57.
2
2
6
cos
I
sin 3 cos
x
dx
xx
Ta có:
2
22
6
sin cos
sin 3 cos
xx
I dx
xx
. Đặt
tx
2
3 cos
dt
I
t
15
2
2
3
1
ln( 15 4) ln( 3 2)
2
4
Dạng 3: Đổi biến số dạng 2
Câu 58.
I x x dx
2
1
2
sin sin .
2
6
Đặt
x t t
3
cos sin , 0
22



I =
tdt
4
2
0
3
cos
2
=
31
2 4 2



.
Câu 59.
2
22
0
3sin 4cos
3sin 4cos
xx
I dx
xx
2 2 2
2 2 2
0 0 0
3sin 4cos 3sin 4cos
3 cos 3 cos 3 cos
x x x x
I dx dx dx
x x x
22
22
00
3sin 4cos
3 cos 4 sin




xx
dx dx
xx
+ Tính
2
1
2
0
3sin
3 cos
x
I dx
x
. Đặt
cos sin t x dt xdx
1
1
2
0
3
3
dt
I
t
Đặt
2
3tan 3(1 tan ) t u dt u du
2
6
1
2
0
3 3(1 tan ) 3
3(1 tan ) 6

u du
I
u
+ Tính
2
2
2
0
4cos
4 sin
x
I dx
x
. Đặt
11
sin cos t x dt xdx
1
1
21
2
1
0
4
ln3
4

dt
I dt
t
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 24
Vậy:
3
ln3
6
I
Câu 60.
x
I dx
xx
4
2
6
tan
cos 1 cos
Ta có:
xx
I dx dx
xx
x
x
44
22
2
2
66
tan tan
1
cos tan 2
cos 1
cos




Đặt
u x du dx
x
2
1
tan
cos
u
I dx
u
1
2
1
3
2
. Đặt
u
t u dt du
u
2
2
2
2
.
I dt t
3
3
7
7
3
3
7 3 7
3.
33
Câu 61.
x
I dx
xx
2
4
sin
4
2sin cos 3



Ta có:
xx
I dx
xx
2
2
4
1 sin cos
2
sin cos 2


. Đặt
t x xsin cos
I dt
t
1
2
0
11
2
2

Đặt
tu2 tan
u
I du
u
1
arctan
2
2
2
0
1 2(1 tan ) 1 1
arctan
2
22
2tan 2
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 25
Dạng 4: Tích phân từng phần
Câu 62.
xx
I dx
x
3
2
3
sin
cos
.
Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có:
x dx
I xd J
x x x
33
3
3
33
14
,
cos cos cos 3







với
dx
J
x
3
3
cos
Để tính J ta đặt
txsin .
Khi đó
dx dt t
J
xt
t
3
3
3
2
2
2
3
3
2
3
2
1 1 2 3
ln ln
cos 2 1
23
1


Vậy
I
4 2 3
ln .
3
23

Câu 63.
x
x
I e dx
x
2
0
1 sin
.
1 cos



Ta có:
xx
xx
xx
x
22
1 2sin cos
1 sin 1
22
tan
1 cos 2
2cos 2cos
22
x
x
e dx x
I e dx
x
22
2
00
tan
2
2cos
2



=
e
2
Câu 64.
xx
I dx
x
4
2
0
cos2
1 sin2
Đặt
ux
du dx
x
dv dx
v
x
x
2
cos2
1
1 sin2
(1 sin2 )




I x dx dx
xx
x
44
2
00
1 1 1 1 1 1 1
. . .
4
2 1 sin2 2 1 sin2 16 2
2
0
cos
4







x
1 1 1 2 2
. tan . 0 1
4
16 2 4 16 2 2 4 16
2
0



| 1/15
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Trần Sĩ Tùng
Bài tập Tích phân
TP3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Dạng 1: Biến đổi lượng giác 2
8cos x  sin2x  3 Câu 1. I dx  sinx  cos x x x 2 (sin cos )  4cos2x I dx  
 sin x cosx 4(sin x  cosx   dx sin x cos x  
 3cos x  5sin x C .
cot x  tan x  2tan2x Câu 2. I dx  sin 4x
2cot 2x  2tan2x 2cot 4x cos4x 1 Ta có: I dx dx  2 dx    C  sin 4x  sin4x  2 sin 4x 2sin 4x 2 cos  x     8    Câu 3. I dx
sin2x  cos2x  2
1 cos2x   1  4    Ta có: I dx
2 2 1 sin2x     4       cos2x    1   4    dx dx     2 2 2 
 1 sin2x             sin x
   cos x   4     8   8          cos2x  1  4  1 dx      dx     2 2     2 1 sin  2x 2 
sin  x 3        4   8     1      3  
 ln 1 sin2x    cot x    C 4 2   4   8      dx
Câu 4. I  
 2  3 sin x  cos x 3 1  dx 1  dx 1 I I  2  = = .  4 1 cos  2  x   4 3  x      2sin    3  3  3  2 6   6 1 Câu 5. I dx  0 2sin x  3   1 6 6 1 1 2 Ta có: I dx dx 2     0 sin x  sin 0 sin x  sin 3 3 Trang 11
Bài tập Tích phân
Trần Sĩ Tùng  
 x    x  cos       6 cos 6   2 6     2 6  3  dx dx    x    x  0 sin x  sin 0 2cos  .sin   3  2 6   2 6        x     x cos sin     6   6 1 2 6 1  2 6              dx dx  ln sin   ln cos   ..... 2   x x 6 6 x   2  x    0   0  2 6   2 6 0 0 sin  cos     2 6   2 6       2 Câu 6. 4 4 6 6
I  (sin x  cos x)(sin x  cos x d ) x  . 0 4 4 6 6 33 7 3
Ta có: (sin x  cos x)(sin x  cos x)   cos4x
cos8x I 33   64 16 64 128 .  2 Câu 7. 4 4
I  cos2x(sin x  cos x)dx  0   2 2  1 2  1  1 2 
I  cos2x 1 sin 2x dx
1 sin 2x d(sin2x)  0     2   2  2  0 0   2 Câu 8. 3 2
I  (cos x 1)cos x dx .  0   2 2 2 5 cos xdx 8   2 1 sin x A = d(sin x)   = 15 0 0   2 2 2 1  B = cos x d . x  (1 cos2x d ). x  2  = 4 0 0 8 
Vậy I = 15 – 4 .  2 Câu 9. 2 I  cos x cos 2xdx  0    2 2 2 2 1 1
I  cos x cos2xdx
(1 cos2x)cos2xdx
(1 2cos2x  cos4x d ) x  2  4  0 0 0  1 1 
 (x  sin 2x  sin 4x 2 )  4 4 0 8  3 4sin x Câu 10. I 2  dx 0  1cosx Trang 12
Trần Sĩ Tùng
Bài tập Tích phân 3 4sin x 3
4sin x(1 cos x)
 4sin x  4sin x cos x  4sin x  2sin2x 1  cos x 2 sin x I 2 
(4sin x  2sin2x d ) x  2 0  2 Câu 11. I  1 sin xdx 0 2 x x 2 2   x x 2   
I   sin  cos  dx  sin  cos dxx  2 sin    dx  2 2  2 2  2 4 0 0  0 3   2  x 2    x     2  sin    dx  sin 
   dx  4 2  2 4   2 4   0 3   2    4 dx 4 28 Câu 12. 2 4 I    (1 2 tan  tan ) (tan )  6 Ta có: I x x d x  15 . 0 cos x 0
Dạng 2: Đổi biến số dạng 1 sin2xdx
Câu 13. I   3
 4sin x  cos2x 2sin x cos x 1 Ta có: I dx
. Đặt t  sin x  ln sin 1   2 I x C
2sin x  4sin x  2 sin x 1 dx
Câu 14. I   3 x 5 sin .cos x dx dx I    8 3 3 2 
sin x.cos x.cos x 3 sin 2x 2 .cos x  3 3 3   1 4 3 2 1
Đặt t  tan x . I  t t
3   t dt  tan x  tan x  3ln tan x   C t 2  4 2 2tan x 2t
Chú ý: sin 2x . 1 t2 dx
Câu 15. I   x 3 sin .cos x dx dx dx t 2 I   2  
. Đặt t  tan x dt  ; sin2x sin x.cos x 2 .cos x sin2x 2 .cos x 2 cos x 1 t2 dt t2 1 2 2 1 tan I  2  dt   (  )   ln    ln tan  t 2  t x t dt t C x C tt 2 2 1 t2 Trang 13
Bài tập Tích phân
Trần Sĩ Tùng 2011 2011 sin x 2009  sin x Câu 16. I  cot xdx  5 sin x 1 20111 2 sin x 2011 2 cot x Ta có: I  cot xdx  cot xdx  4  sin x 4 sin x 2 4024 8046 2011 2 2011 2011
Đặt t  cot x I  t (1 t t)dt t 2011  t 2011  C  4024 8046 4024 8046 2011 2011 = 2011 cot x 2011  cot x C 4024 8046  2 sin2x.cos x Câu 17. I dx  1cosx 0  2 sin x 2 .cos x 2 t 2 ( 1) Ta có: I  2 dx
. Đặt t  1 cos x I  2 dt  2ln2 1 1   cos x t 0 1  3 Câu 18. 2 I  sin x tan xdx  0   3 2 sin x 3 2
(1 cos x)sin x
Ta có: I  sin x. dx dx   cos cos x. Đặt t x cos x 0 0 1 2 1 u2 3 I   du  ln2   u 8 1  Câu 19. 2 I
sin x(2  1 cos2x d ) x   2   2 2
Ta có: I  2sin xdx  sin x 1 cos2xdx H K     2 2   2   + H
2sin xdx  (1 cos2x d ) x       2 2   2 2    2 2 2 2 2 + K
sin x 2cos x   2 sin x cos xdx  
  2 sin xd(sin x)     3  2 2 2  I 2   2 3 Trang 14
Trần Sĩ Tùng
Bài tập Tích phân  3 dx
Câu 20. I   2  sin x 4 .cos x 4  3 dx dx I  4.  tan dt  2 . Đặt t x 2 .  sin 2x 2 .cos x cos x 4 3 3 (1 t2 2)dt 3  1    2 1 t3 I     t dt         t 8 3  4 2 2       3  3 1 t2 1 t2 t 1  2 sin 2x
Câu 21. I    dx 2  sin x2 0   2 sin2x 2 sin x cos x Ta có: I dx  2 dx  
. Đặt t  2  sin x . (2  sin x 2 ) (2  sin x 2 0 0 ) 3 3 t 3  2 1 2   2  I  2 dt  2  dt  2 lnt    3 2      2ln  2 3 2 t2  t 2 t2   t  2  6 sin x Câu 22. I dx  cos2x 0   6 sin x 6 sin x I dx dx   cos   sin cos2x. Đặt t x dt xdx 2 0 0 2 cos x 1 
Đổi cận: x   t x   t 3 0 1;  6 2 3 1 2 1 1 2t  2 1 3  2 2 Ta được I   dt  ln  = ln 1 t2 2 1 2 2 2t  2 3 2 2 5  2 6 2  2 1 2 1 1 Câu 23. sin x 3 2 t I e .sin x.cos x dx . 
Đặt t  sin x I = e (1 t d ) t 1 2  = e 2 . 0 0  2 2 1
Câu 24. I   sin x  sin x dx  cos    2 Đặt t x . I 3 ( 2)  16 6  4 sin 4x Câu 25. I dx  6 sin x 6 0  cos x Trang 15
Bài tập Tích phân
Trần Sĩ Tùng  1 4 sin 4x 3 4 1 2  2 1  4 2 I dx
. Đặt t  1 sin 2x   4  I = dt
  3  = t 1 . 0 3 2 3 3 1 1  t  sin 2x  4 4  2 sin x Câu 26. I dx   3
0 sin x  3 cos x   
Ta có: sin x  3 cos x  2cos x  6 ;        3    1   
sin x  sin x    sin   cos  6  = x x       6  2  6  2  6   sin x    dx  2   2 3  6  1 dx 3 I =  16   = 3    16 6 cos x 2   0 0  cos x    6   6       4 sin x 2 1 cos x Câu 27. I dx  2  cos x  3    4 sin x 4 0 4 2 sin x sin x sin x I  1 cos x d . x  sin x dx   sin x dx  sin x dx 2   2  2  cos x 2  cos x  cos x 0  cos x    3 3 3  0 2 sin x 4 2 sin x = dx dx     2  7 3 1.  cos x 2 12 0 cos x  3  6 1 Câu 28. I dx
0 sin x  3 cos x       6 1 6 1 1 6 sin x 1  3    I dx = dx dx 2  = 2    .
0 sin x  3 cos x  0 sin x    2 0 1 cos  x  3      3  1       2 1 1 1
Đặt t  cos x    dt  sin x  dx I dt  ln3   3   3  2 1 t2 4 0  2 Câu 29. 2 I
1 3 sin2x  2cos xdx  0 Trang 16
Trần Sĩ Tùng
Bài tập Tích phân    2 3 2
I  sin x  3 cos x dx = I
sin x  3 cos x dx  sin x  3 cos x dx    3  3 0 0  3  2 sin xdx
Câu 30. I  
(sin x  cos x 3 0 )    2 costdt 2 cos xdx
Đặt x   t dx  dt I   2   (sint  cost 3 )
(sin x  cos x 3 0 0 )    2 dx 2 1 dx 1  4 2I  
  cot(x  )  1   I 1  (sin  cos ) 2  2 4 2 0 x x 2 2 0 sin (x  ) 0 4 
2 7sin x  5cos x Câu 31. I dx
(sin x  cos x 3 0 )   2 sin xdx 2 cos xdx Xét: I  ; I 1    3 2  .
sin x  cos x
sinx  cosx3 0 0  Đặt x
t . Ta chứng minh được I 2 1 = I2   2 dx 2 dx 1   Tính I   tan(x  )  1 1 + I2 =    2
sin x  cos x2 2  2 4 0 0 2cos (x  ) 0 4 1 I I 1 2 
I  7I –5I  1 2 1 2 .
2 3sin x  2cos x Câu 32. I dx
(sin x  cos x 3 0 )   
2 3cost  2sint
2 3cos x  2sin x
Đặt x   t dx  dt I dt dx 2  
(cost  sin t 3 )
(cos x  sin x 3 0 0 )   
2 3sin x  2cos x
2 3cos x  2sin x 2 1
2I I I dx dx dx  1    I 1  .
(sin x  cos x 3 )
(cos x  sin x 3 )
(sin x  cos x 2 2 0 0 0 )  x sin x Câu 33. I dx  2 0 1  cos x  (  t)sint   sint
Đặt x    t dx  dt I dt   dt I  2  1 cos t 2 0 0 1 cos t Trang 17
Bài tập Tích phân
Trần Sĩ Tùng  sintd(cost 2 )    2I dt                I  2 1 cos t 2 1 cos  4 4  8 0 0 t  2 4 cos x sin x Câu 34. I dx  3 cos x 3 0  sin x   0 4 sin t cost 2 4 sin x cos x
Đặt x   t dx  dt I   dt dx 2  3   cos t 3  sin t 3 cos x 3 0  sin x 2    2 4 cos x sin x 4  sin x cos x 2 sin x cos x 3 (sin x 3  cos x 2 ) 1 1 2I dx dx  sin2xdx   3   sin x 3  cos x 3 sin x 3  cos 2 2 0 0 x 0 I 1  4 .  2  1  Câu 35. 2 I   
 tan (cos x) dx 2 0  cos (sin x)  
Đặt x   t dx  dt 2   2  1 2 2   1 2  I   
 tan (sint) dt     tan (sin ) 2 x dx 2 0  cos (cost)  0  cos (cos x)    2  1 1 2 2 2 
Do đó: 2I    
 tan (cos x)  tan (sin x) dx 2   2 = dt cos (sin x 2 0 ) cos (cos x)  0  I  2 .
4 cos x  sin x Câu 36. I dx  0 3  sin2x   2 du 4 2costdt 4 
Đặt u  sin x  cos x I  
. Đặt u  2sin t I   dt    .  u2 12 1 4 2  4  4sin t  6 6  3 sin x Câu 37. I dx  cos x 2 0 3  sin x 2 2 2 2 sin x cos x
Đặt t  3  sin x = 4  cos x . Ta có: cos x  4  t và dt dx . 2 3  sin x   15 15 3 sin x 3 sin x.cos x 2 dt 2 1  1 1  I = dx .  = dx= =    dt cos x 2 2 4
t  2 t  2 0 3  sin x 2 cos x 2 0 3  sin x t  3 4  3 Trang 18
Trần Sĩ Tùng
Bài tập Tích phân 15 1 t  2 2 1  15 4 3 2   
1 ln 15 4ln 3 2 = ln  ln  ln  4 t  2 = 4  = 2 . 3 15  4 3  2  
2 x (x sin x)sin x Câu 38. I 3  dx   3 sin x 2  sin x 3 2 x 2 dx I 3  dx 3    2  . sin x  1 sin x 3 3 2 xu x  du dx + Tính I 3  dx 1  dx     . Đặt 2  I sin x dv  1 
v   cot x 3 3 2  sin x 2 dx 2 dx 2 dx + Tính I = 3 3 3 2   4  2 3   1    sin x      2   x  3 3 1 cos  x  3 2 cos   2 4 2       Vậy: I   4  2 3 . 3  2 sin2x Câu 39. I dx  2 cos x 2 0  4sin x  2 2 2sin x cos x 2 udu 2 2 2 2 3 I dx
. Đặt u  3sin x 1  I   du    2 u 3 3 0 3sin x 1 1 1     6 tan  x  4    Câu 40. I dx  cos2x 0      6 tan  x   6 2  4  tan x 1 1 2 I dx   dx   tan    (tan 1) cos2x. Đặt t x dt dx x dx (tan x 2 2 0 0 1) cos x 1 1 3 dt 1 3 1 3 I      . t 2 ( 1) t 1 0 2 0  3 cot x Câu 41. I dx
 sin x.sin x     6  4   3 cot x 1 I  2 dx
. Đặt 1 cot x t dx  dt 2 2
 sin x(1  cot x) sin x 6 3 1  t 3 1 1   2  I  2 dt  2  t lnt  2   ln 3 t 3 1   3 1  3   3 3 Trang 19
Bài tập Tích phân
Trần Sĩ Tùng  3 dx
Câu 42. I   2  sin x 4 .cos x 4  3 dx dt Ta có: I  4.
t  tan x dx  2 . Đặt  sin 2x 2 .cos x 1 t2 4 3 3  t2 2dt 3 (1 ) 1 2 1 t3 8 3  4 I     (  2  t d
) t  (  2t  )  2 2 t t t 3 3 1 1 1  4 sin x Câu 43. I dx  5sin x 2 0
.cos x  2cos x  4 tan x 1 Ta có: I  . dx
. Đặt t  tan x , 5tan x 2  2(1 tan x 2 0 ) cos x 1 t 1 1  2 1  1 2 I dt   dt  ln3  ln2    t2 2  5  2 3   2 2 1 2 3 0 t t t 0  4 2 sin xdx
Câu 44. I   4  cos x 2
(tan x  2 tan x  5)  4 dt 1 t2dt 1 2 dt
Đặt t  tan x dx I   2  ln  3   1 t2
t2  2t  5 3  t2 1 1  2t  5 1 dt t 0 1 1   Tính I
 tan u I du     1  . Đặt 1  . Vậy I 2 3 2 ln . 2 2 8 3 8  t2 1  2t  5   4  2 2 sin x Câu 45. I dx  sin3x .  6   2 2 sin x 2 sin x I dx dx    3sin x 3  4sin x 2  4 cos x 1 6 6 3 0 dt 2 1 dt 1
Đặt t  cos x dt  sin xdx I     ln(2  3)   4t2 1 4 1 4 3 t2 0  2 4
 sin x  cosx Câu 46. I 2  dx   1 sin2x 4 Trang 20
Trần Sĩ Tùng
Bài tập Tích phân   
Ta có: 1 sin2x  sin x  cos x  sin x  cos x (vì x  ;  4 2    )
 sin x  cosx I 2  dx  sin  cos   (cos  sin )   . Đặt t x x dt x x dx sin x  cos x 4 2 1 2 1 I dt  ln t  ln2  t 1 1 2 2 6 Câu 47. 3 5 I  2
1 cos x.sin x.cos xdx  1 t 2 d 5 6 3 6 3 5 2 t
Đặt t  1 cos x t  1 cos x t
6 dt  3cos xsin xdx dx  2 cos x sin x 1 1  t7 t13  6 6 12
I  2 t (1 t d ) t  2      7 13  91 0 0  4 tan xdx
Câu 48. I   cos x 2 0 1 cos x  4 tan xdx tan Ta có: I   . Đặt 2 2 2  2  tan   2  tan   x t x t x tdt dx 2 cos x 2 2 0 tan x  2 cos x 3 3 tdt I   dt  3  2   t 2 2  2 cos2x 4 t 3 1 Câu 49. I dx
Đặt t  cos x sin x  3 I dt    . (cos x  sin x 3 3 32 0  3) 2 t  4 sin 4x Câu 50. I dx  2 cos x 4 0 . tan x 1  2 4 sin 4x 2 4 4 Ta có: I dx
. Đặt t  sin x  cos x I  2  dt  2  2  . 4 sin x 4 0  cos x 1  4 sin 4x Câu 51. I dx  2 0 1  cos x  1 4 2sin2x 2 (2cos x 1) 2 2 2(2t 1) 1 Ta có: I dx
. Đặt t  cos xI   dt  2  6ln 2 t1 3 . 0 1 cos x 1   6 tan(x  ) Câu 52. 4 I dx  cos2x 0 Trang 21
Bài tập Tích phân
Trần Sĩ Tùng  1 6 2 tan 1 3 1 3 Ta có:   x I
dx . Đặt t  tan x     dt I . 2 (tan x  1) 2 (t 1) 2 0 0  6 3 tan Câu 53.   x I dx cos 2x 0   3 3 6 6 tan x tan x Ta có: I   dx   dx . 2 2 2 2
0 cos x  sin x
0 cos x(1 tan x) 3 3 3 t 1 1 2
Đặt t  tan x I   dt    ln . 2 6 2 3 0 1  t   2 cos x 2 1 cos x dxCâu 54. I dx   I    0 7  cos2x 2 2 2 0 2 sin x 6 2  3 dx Câu 55.  4 3  sin x 5 .cos x 4   3 1 3 1 1 Ta có: dx   . dx. 3 4 2  sin x 3 8  tan x cos x 4 .cos x 4 3 cos x 4 3 3 
I t 4dt  4 8 3  
Đặt t  tan x 1  1  3
cos x  cos x  sin x
Câu 56. I x( )dx  2 1 cos x 0  cos x 2 (1 cos x) sin x       x.sin x
Ta có: I x
dx x.cos x d . x
dx J K   2   1 cos x  2 0   0 0 1 cos x  u xdu dx
+ Tính J x.cos x d . x. Đặt   J  2  dv cos xdx   v  sin x 0  x.sin x + Tính K dx        2 . Đặt x t dx dt 0 1 cos x
 (  t).sin(  t)
 (  t).sint    
(  x).sin x K dt dt dx  2   1 cos (  t 2 ) 1 cos t 2 0 0 0 1 cos x
 (x   x).sin x  sin x d.x    sin x d . x  2K dx    K   2   1 cos x 2 1 cos x 2 2 0 0 0 1 cos x Trang 22
Trần Sĩ Tùng
Bài tập Tích phân 1  dt 2
Đặt t  cos x K   tan   (1 tan ) 2  , đặt t u dt u du  1  t2 1   4 2  (1 tan u d ) u 4  2    K   du  .u 4   2 2   1 tan u 2 2   4    4 4 4 2  Vậy I   2 4  2 cos Câu 57. I   x dx 2
 sin x 3  cos x 6  2 sin cos 2 Ta có:   x x I
dx . Đặt t  3  cos x 2 2
 sin x 3  cos x 6 15 2 dt I 1   
ln( 15 4)ln( 3 2) 4  t2 2 3
Dạng 3: Đổi biến số dạng 2  2 2 1
Câu 58. I   sin x  sin x d . x 2  6  3    4 3 2 3   1 
Đặt cos x
sint, 0  t  cos   2 2     I = tdt 2 
= 2  4 2 . 0  2 3sin  4 cos Câu 59.   x x I dx 2 2
3sin x  4 cos x 0      2 2 2
3sin x  4 cos x 3sin x 4 cos x 2 2 3sin x 4 cos x I dx dx     dx dx    dx 2 2 2 3  cos x 3  cos x 3  cos x 2 2 3  cos x 4  sin x 0 0 0 0 0  2 3sin 1 3 + Tính   x I
dx . Đặt t  cos x dt  sin xdx   dt I 1 2 3  cos x 1 2 3  t 0 0  6 2 3 3(1  tan )  3 Đặt 2
t  3 tan u dt  3(1 tan u)du    u du I 1 2 3(1  tan u) 6 0  2 4 cos 1 4 + Tính   x I
dx . Đặt t  sin x dt  cos xdx 1   ln 3  dt I dt 2 2 4  sin x 1 1 2 2 1 4  t 0 0 1 Trang 23
Bài tập Tích phân
Trần Sĩ Tùng Vậy: 3 I   ln 3 6  4 tan x Câu 60. I dx   cos x 2 1 cos x 6   4 tan x 4 tan x Ta có: I dx dx   2  1  cos x 2 2 tan x x  2 cos 1 6 2 cos x 6 1 1 u 2 u
Đặt u  tan x du dx I dx
t u  2  dt du 2 . Đặt . cos x u2 1  2 u2  2 3 3 3 7 3  7 I dt t  3   .  7 7 3 3 3 3  sin x    2  4    Câu 61. I dx  2sinxcosx  3  4  2 1 sin x  cos x 1 1 1 Ta có: I   dx
. Đặt t  sin x  cos x I   dt 2 2
 sin x  cos x2  2 2 0 t  2 4 1 arctan 2 2 1 2(1 tan u) 1 1
Đặt t  2 tanu I   du   arctan  2 2 2tan  2 2 0 u 2 Trang 24
Trần Sĩ Tùng
Bài tập Tích phân
Dạng 4: Tích phân từng phần  3 xsin x Câu 62. I dx  2 .   cos x 3
Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có:     3  1  x 3 3 dx 4 3 dx I xd     J,   J  cos x   với   cos x  cos x 3 cos x      3   3 3 3  3 3 3 dx 2 dt 1 t 1 2 2  3
Để tính J ta đặt t  sin x. Khi đó J     ln   ln  cosx  1 t2 2 t 1 3 3 2  3    2 3 2   Vậy I 4 2 3   ln . 3 2  3  2  1 sin x Câu 63. x I e . dx   1 cos x  0  x xx 1 2sin cos 1 sin 1 x 2 2 Ta có:    tan 1 cos x 2 x 2 x 2 2cos 2cos 2 2   2 x e dx 2  x x I   e tan dx   = e 2 2 x 2 0 2cos 0 2  4 x cos2x Câu 64. I dx   1 sin2x2 0 u xdu dx   Đặt cos2xdv dx    v 1    (1 sin2x 2 )  1 sin2x    4 4  1 1  1 1  1 1 1
I x.  .   4  dx    . dx    2 1 sin2x  2 1 sin2x 16 2 2 2   0 0 0 cos x    4      1 1     1 2 2     . tan x    4    . 0 1   16 2 2  4  16 2 2 4 16 0 Trang 25