73 bài toán cực trị hàm số hợp trong các đề thi thử THPT môn Toán
73 bài toán cực trị hàm số hợp trong các đề thi thử THPT môn Toán được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Chủ đề: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 375 tài liệu
Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021
“Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường.” BÀI TOÁN CỰC TRỊ h t HÀM SỐ HỢP t 73 p s: TRONG CÁC THI TH 20-21 // lu ye n thi tracng
Ngày đã r ng, bình minh đang t nh gi c! h iem
“Khi nào em c m th y mu n phê phán và chê bai m t ai đó, .vn
hãy nh r ng không ph i ai trên th# gi i này c$ng có nh%ng
thu&n l(i trong cu c s ng mà em có đư(c."
Họ và Tên học sinh: …………
…………………….................. ht tps:
Trường:………………………… ………………. Lớp: ………. //w w w.f ace boo k.com/vietgold 0
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng”
Câu 1: (Câu 31 - Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f ′( x) 2
= x (1− x), x
∀ ∈ ℝ . Hỏi hàm số = ( 2 y
f x ) có bao nhiêu điểm cực tiểu? Ⓐ. 3 . Ⓑ. 2 . Ⓒ. 0 . Ⓓ. 1. Lời giải .vn Chọn D 2 iem
Xét hàm số y = f (x ) . gh
Tập xác định: D = ℝ . y ' = f ( 2 x ) ' = 2 . x f ' ( 2x) 4 = 2 . x x ( 2 1− x ) 5 = 2x ( 2 1− x ) itracn x = 0 th 5 y ' = 0 ⇔ 2x ( 2
1− x ) = 0 ⇔ x =1 yen x = −1 Bảng biến thiên: s://lu ttp h
Vậy hàm số có 1 điểm cực tiểu.
Câu 2: (Câu 18 - THPT Lê Lợi - Thanh Hóa - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số bậc bốn y = f (x) . Hàm
số y = f '(x) có đồ thị như hình vẽ. /vietgold
Số điểm cực đại của hàm số y = f ( 2 x + ) 1 là
htps://www.facebook.com Ⓐ. 2. Ⓑ. 1. Ⓒ. 4. Ⓓ. 3. Lời giải Chọn B Ta có: 2 y ' = 2 . x f '(x +1) . x = 0 x = 0 x = 0 2 y ' = 0 ⇔
⇔ x + = ⇔ x = . f ' ( 1 1 2 2 x + ) 1 = 0 2 x +1 = 3 x = − 2 1
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021
Ta có bảng biến thiên sau:
Hàm số đạt cực đại tại điểm x khi đạo hàm của hàm số đó đổi dấu dương (+) sang âm (-) khi đi 0 qua điểm x . 0
Vậy hàm số y = f ( 2 x + ) 1 có 1 cực đại. h ttp
Câu 3: (Câu 4 - THPT Quế Võ 1 - Bắc Ninh - Lần 02 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số có đạo s f ( x) ://l hàm trên
f ′ x như sau u ℝ và có dấu của ( ) yenthit rac
Hàm số y = f (2 − x) có bao nhiêu điểm cực trị? n ghi e Ⓐ. 1. Ⓑ. 4 . Ⓒ. 3. Ⓓ. 2. m . Lời giải vn Chọn C Cách 1
Ta có y = f (2 − x) ⇒ y′ = − f ′(2 − x) . 2 − x = 1 − x = 3 2 − x = 1 x = 1
Ta có y′ = 0 ⇔ f ′(2 − x) = 0 ⇔ ⇔ 2 − x = 2 x = 0 2 − x = 3 x = 1 − . htt 2 − x < 1 − x > 3 p
y′ < 0 ⇔ f ′ 2 − x > 0 ⇔ ⇔ s ( ) : 2 < 2 − x < 3 1 − < x < 0 / /w Mặt khác 1 − < 2 − x <1 1 < x < 3 ww
y′ > 0 ⇔ f ′ 2 − x < 0 ⇔ 1 < 2 − x < 2 ⇔ 0 < x < 1 . ( ) f ac 2 − x > 3 x < 1 − . e boo
Ta có bảng xét dấu của y′ = − f ′(2 − x) k.com/v iet ′ = − ′ − = − g
Từ bảng xét dấu của y
f (2 x) ta thấy hàm số y
f (2 x) có 3 điểm cực trị. old Cách 2
Số điểm cực trị của hàm số f (2 − x) bằng số điểm cực trị của hàm số f ( x) .
Từ bảng xét dấu của f ′( x) ta thấy hàm số f (x) có 3 điểm cực trị.
Câu 4: (Câu 44 - MĐ 101 - BGD&ĐT - Đợt 1 - Năm 2019 - 2020) Cho hàm số f (x) bậc 4 có bảng biến thiên như sau: 2
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng”
.vn Số điểm cực trị của hàm số g (x) = x f (x + ) 2 4 1 là iem Ⓐ. 11. Ⓑ. 9 . Ⓒ. 7 . Ⓓ. 5. gh Lời giải Chọn B itracn th Ta chọn hàm bậc bốn 4 2 y = f ( )
x = 5x −10x + 3 có bảng biến thiên như đề cho. 2 3 4 yen
Ta có g '(x) = 4x f ( x + ) 1 + x .2. f (x + ) 1 f '( x + ) 1 = 0 3
⇔ 2x . f (x + ) 1 .2 f (x + ) 1 + xf '( x + ) 1 = 0 s://lu 3 ttp x = 0 (1) h
⇔ f ( x + ) 1 = 0 (2) 2 f (x + ) 1 + xf '( x + ) 1 = 0 (3)
+ Phương trình (1) có nghiệm bội x = 0 .
+ Từ bảng biến thiên của hàm số y = f ( x) , ta có phương trình f ( x) = 0 có 4 nghiệm phân biệt
x ≠1 ⇒ Phương trình (2): f ( x + )
1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt x ≠ 0.
+ Giải (3): Đặt x +1= t ⇒ x = t −1, phương trình (3) trở thành:
2 f (t) + (t − )
1 . f '(t) = 0 ⇔ 2( 4 2
5t −10t + 3) + (t − ) 1 ( 3
20t − 20t ) = 0 4 3 2
⇔ 30t −20t − 40t + 20t + 6 = 0 (3') /vietgold
Bấm MTCT thấy phương trình (3’) có 4 nghiệm phân biệt t ≠1.
⇒ Phương trình (3) có 4 nghiệm phân biệt x ≠ 0.
Ngoài ra, nghiệm của phương trình (2) không phải là nghiệm của phương trình (3) vì những giá
trị x thỏa mãn f (x + )
1 = 0 không thỏa mãn phương trình (3).
Do đó phương trình g '( x) = 0 có 9 nghiệm phân biệt nên hàm số g ( x) = x f ( x + ) 2 4 1 có 9 điểm cực trị.
Câu 5: (Câu 44) (MĐ 103 - BGD&ĐT - Đợt 1 - Năm 2019 - 2020) Cho hàm số bậc 4 có bảng biến htps://www.facebook.com thiên như hình vẽ
Số điểm cực trị của hàm số g ( x) = x f ( x − ) 2 4 1 là 3
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 Ⓐ. 7 . Ⓑ. 5. Ⓒ. 9 . Ⓓ. 11. Lời giải Chọn C
Cách 1. Từ giả thiết đề bài đã cho ta thấy rằng hàm số f ( x) có dạng ( ) 4 2
f x = ax + bx + c .
Sử dụng giả thiết ta được
f ( x) = x − x + ⇒ f ( x − ) = (x − )3 4 2 4 8 3 ' 1 16 1 −16( x − )
1 = 16x ( x − ) 1 ( x − 2) Ta có h t 2 t 3 4 p
g′( x) = 0 ⇔ 4x f ( x − ) 1 + 2x . f (x − )
1 . f ′( x − ) 1 = 0 s:// x = 0 lu y ⇔ f ( x − ) 1 = 0 en t 2 f (x − ) 1 + . x f ′( x − ) 1 = 0 ( ) * h itr x x 2 a
Xét phương trình (*) ⇔ f ( x − )
1 = − . f ′( x − )
1 , ta có − . f ′( x − )
1 = −8x ( x − ) 1 ( x − 2) . c 2 2 n g x h
Biểu diễn hai hàm số f ( x − )
1 và − . f ′( x − )
1 trên cùng một đồ thị đồ thị ta có ie 2 m .vn https://www.faceboo k.co Như vậy phương trình ( )
* có 4 nghiệm phân biệt. m /v 6 ie x = ± +1 tg 2 3 2 o (x ) 1 − = l d 2 5
Xét phương trình f ( x − ) 1 = 0 ⇔ ⇔ x = . (x − )2 1 4 1 = 2 3 x = 4
Thay 4 nghiệm này vào phương trình ( )
* thì ta thấy rằng các nghiệm của phương trình này không
phải là nghiệm của phương trình ( ) * .
Vậy hàm số đã cho có tất cả 9 điểm cực trị. Cách 2. 4
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng”
Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy rằng phương trình f ( x − )
1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt khác 0,
suy ra phương trình g ( x) = x f ( x − ) 2 4 1 = 0
có tất cả 5 nghiệm bội chẵn, khi đó đồ thị hàm số
g ( x) sẽ có dạng như sau .vn iem gh
Như vậy hàm g ( x) có 9 điểm cực trị.
itracn Câu 6: (Câu 38 - SGD Cần Thơ - Mã đề 102 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số bậc bốn y = f (x) và th
có đồ thị f ′ ( x ) như sau: yen s://lu ttp h /vietgold
Số điểm cực trị của hàm số g ( x) = f ( 2 x − ) 1 là Ⓐ. 1. Ⓑ. 3. Ⓒ. 2. Ⓓ. 4. Lời giải Chọn B
Ta có g′( x) = x f ′( 2 2 . x − ) 1 htps://www.facebook.com x = 0 x = 0 x = 0
Xét g′( x) = 0 ⇔ ⇔ ⇔ f ′ ( 2 x − ) 2 1 = 0 x −1 = 2 x = ± 3
g ′ (2) = 4. f ′ (3) > 0
Ta có bảng xét dấu g ′( x) : x −∞ − 3 0 3 +∞ g ′ ( x ) − 0 + 0 − 0 +
Vậy số điểm cực trị của hàm số là 3 điểm. 5
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021
Câu 7: (Câu 41 - SGD Quảng Nam - Lần 2 - Năm 2020 - 2021) Biết hàm số f (x) có đồ thị được cho
như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực đại của hàm số 2
y = f f ( x) h ttps://lu yen Ⓐ. 3. Ⓑ. 4. Ⓒ. 2. Ⓓ. 1. thi Lời giải tra Chọn C cn Ta có: gh
y′ = 2 f f x . f ′ f x . f ′ x ; i ( ) ( ) ( ) em ′ . f ( x) = 0 ( ) 1 v n
y′ = 0 ⇔ f ′ f ( x) = 0 (2). f f ( x) = 0 (3) x = Giải ( ) 1 : f ′( x) 0 = 0 ⇔ x = 2 x = 0(kep) f (x) = 0
Giải (2) : f ′ f ( x) = 0 ⇔ ⇔ x = x > 2 1 f x = 2 h ( ) t
x = x > x t 2 1 ps:/ x = 0(kep) /w f ( x) = 0 w
Giải (3) : f f ( x) = 0 ⇔ ⇔ x = x > 2 1 w f
( x) = x x > 2 1 ( 1 ) . = > f x 3 x 2 x a ceb
Vậy phương trình y′ = 0 có nghiệm x = 0 (bội 5 ), x = 2 , x = (kép), = , = Phương 1 x x 2 x x 3 x ook
trình (1) có 4 nghiệm làm đổi dấu y′ nên hàm số đã cho có hai điểm cực đại, hai điểm cực tiểu. .com/
Câu 8: (Câu 47 - SGD Quảng Nam - Lần 2 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ viet thị như hình vẽ bên gold 6
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” .vn iem gh itracn
th Số nghiệm thực của phương trình f ( 3x−3x)=2 là yen Ⓐ. 9 . Ⓑ. 10. Ⓒ. 8 . Ⓓ. 6 . s://lu ttp Lời giải h Chọn C Đặt 3
t = x − 3x (t ≥ 0) /vietgold
t = a (−2 < a < 0) f ( 3
x − 3x ) = 2 ⇔ f (t) = 2 ⇔ t = b (0 < b < 2) t = c (c > 2) htps://www.facebook.com Ta có đồ thị hàm số 3
y = x − 3x (là phần nằm phía trên trục hoành trong hình vẽ dưới đây) 7
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 h ttps://luy en
Dựa vào đồ thị của hàm số 3
y = x − 3x ta có thi
Với t = a ta có 3
x − 3x = a phương trình vô nghiệm trac
Với t = b ta có 3
x − 3x = b phương trình có 6 nghiệm thực phân biệt n gh
Với t = c ta có 3
x − 3x = c phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt iem
Vậy số nghiệm thực của phương trình 3 f
x − 3x = 2 là 8 . . ( ) vn
Câu 9: (Câu 38 - SGD Sơn La - Lần 2 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm
f ′( x) = ( x − )2
1 ( x − 2) . Số điểm cực trị của hàm số g ( x) = f ( 2x + 2x + 5) là Ⓐ. 3. Ⓑ. 0 . Ⓒ. 1. Ⓓ. 2 . Lời giải Chọn C htt 2 x =1 p
Ta có: f ′ x = 0 ⇔ x −1 x − 2 = 0 ⇔ . s ( ) ( ) ( ) : x = 2 / /w x + 1 w g′ ( x) = f ′ ( 2 x + 2x + 5 . 2 ) w x + 2x + 5 .fac x + 1 2 e g′( x) = 0 ⇔ f ′ x + 2x + 5 = 0 b 2 ( ) o x + 2x + 5 ok. x = 1 − co m 2 / ⇔
x + 2x + 5 = 1 VN . 2 v f ′
x + 2x + 5 = 0 ⇔ i ( ) ( ) e 2 2 t g
x + 2x + 5 = 2 ⇔ x + 2x +1 = 0 ⇔ x = −1 old ′
Bảng xét dấu g ( x) : Suy ra: Chọn C
Câu 10: (Câu 39 - THPT Chuyên Bắc Ninh - Lần 3 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f ( x) . Biết
hàm số y = f '( x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số f ( x ) f ( x) y = 2021 + 2020 là 8
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” .vn iem gh itracn th Ⓐ. 2. Ⓑ. 5 . Ⓒ. 3 . Ⓓ. 4 . yen Lời giải Chọn C s://lu
Ta có y = f ( x) f ( x) + f ( x) f ( x) ' ' .2021 .ln 2021 ' .2020 .ln 2020. ttp h = f ( x) f ( x ) f ( x ) ' . 2021 .ln 2021 + 2020 .ln 2020 . = 1 x a Do f ( x) f ( x) 2021 .ln 2021 2020 .ln 2020 0, +
> ∀x ⇒ y ' = 0 ⇔ f '( x) = 0 ⇔ x = b. 2 = 3 x c /vietgold Vậy hàm số f ( x) f ( x) y = 2021 + 2020 có ba điểm cực trị.
htps://www.facebook.com Câu 11: (Câu 24 - Chuyên Vinh- Nghệ An – Lần 1 – Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f (x) có đạo
hàm trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số y = f (1− 2x) đạt cực tiểu tại 1 1
Ⓐ. x = − .
Ⓑ. x = .
Ⓒ. x =1. Ⓓ. x = 0 2 2 Lời giải 9
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 Chọn B x =1 1 − 2x = 1 −
g′( x) = − f ′( − x) = ⇔⇒ − f ′( − x) 1 2 1 2 0 2 1 2 = 0 ⇔ 1− 2x = 0 ⇔ x = 2 1 − 2x = 2 1 x = − 2 Ta có bảng biến thiên h ttps://luyenth itr
Ta xét dấu bằng cách thay số acn
Với x = 2 ⇒ g′(2) = −2 f ′(−3) < 0 gh 3 3 1 ie
Với x = ⇒ g′ = 2 − f ′ − > 0 m 4 4 2 .v 1 1 1 n
Với x = ⇒ g′ = 2 − f ′ < 0 4 4 2
Với x = −1 ⇒ g′(− )
1 = −2 f ′(3) > 0 1
Vậy hàm số y = f (1− 2x) đạt cực tiểu tại x = . 2
Câu 12: (Câu 24 - Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - Lần 02 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f (x)
có bảng biến thiên như sau:
https://www.facebook.com/v ietg
Điểm cực tiểu của hàm số y = f (3x) là old 2 2 Ⓐ. y = 3 −
Ⓑ. x = .
Ⓒ. x = 2 . Ⓓ. x = − . 3 3 Lời giải Chọn B Ta có:
y′ = 3 f ′(3x)
Từ BBT của hàm số y = f (x) ta có: 10
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” 1 3 x = − x = 1 − 3
y′ = 0 ⇔ f ′(3x) = 0 ⇔ ⇔ 3 x = 2 2 x = 3 1 x < − 3x < 1 − 3 y′ > 0 ⇔ ⇔ 3 x > 2 2 .vn x > 3 iem 1 2 gh y′ <0 ⇔ 1
− < 3x < 2 ⇔ − < x < 3 3 2
Do đó, điểm cực tiểu của hàm số là x = . itracn 3
th Câu 13: (Câu 47 - Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f (x), yen
có đạo hàm f ′( x) = ( x + )2
1 ( x − 3). Tìm số điểm cực trị của hàm số g ( x) = f ( 2x + 2x + 6) s://lu ttp h Ⓐ. 1. Ⓑ. 2 . Ⓒ. 3 . Ⓓ. 5. Lời giải Chọn C x + = x = − Ta có f ′( x) 1 0 1 = 0 ⇔ ⇔ . x − 3 = 0 x = 3 Bảng xét dấu /vietgold x +1
Xét hàm số g ( x) = f ( 2x + 2x + 6) có g′(x) = f ′( 2
x + 2x + 6 2 ) x + 2x + 6 x +1 = 0 x = 1 −
g′( x) = 0 ⇔ ⇔
f ′( 2x + 2x + 6) 2 = 0
x + 2x + 6 = 3 x = −1 x = 1 − ⇔ ⇔ x = −3 2 x 2x 3 0 + − = x = 1 Bảng xét dấu htps://www.facebook.com
Từ bảng biến thiên. Ta thấy hàm số g ( x) có 3 điểm cực trị.
Câu 14: (Câu 45 - Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần 3 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f ( x)
có đạo hàm liên tục trên ℝ và có đồ thị hàm số y = f ′( x) như hình dưới đây: 11
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 Hàm số = ( 2 y
f x + x) có bao nhiêu điểm cực đại? h Ⓐ. 1. Ⓑ. 0 . Ⓒ. 3. Ⓓ. 2 . ttp Lời giải s:/ Chọn D /lu Bảng xét dấu của ′ : y f ( x) enthitr ac 2 2 n
Đặt g ( x) = f (x + x) , ta có g′(x) = (2x + )
1 f ′(x + x) , ghi 1 − e x = m 2x +1 = 0 2 . v 2 x + x = 1 − 1 − ± 5 n g′( x) = 0 ⇔ ⇔ x = 2 x + x = 1 2 2 x + x = 4 1 − ± 17 x = 2 −1− 17 1 − − 5 1 − + 5 −1+ 17 Đặt a = , b = , c = , d =
; Ta có bảng xét dấu của g′( x) 2 2 2 2 https:/ /w
Từ bảng xét dấu của g′( x) ta có hàm số ( ) = ( 2 g x
f x + x) có 2 điểm cực đại. ww.fa
Câu 15: (Câu 13 - Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số bậc ceb
ba y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ: ook.com/vietgold Gọi 2
S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = f ( x − )
1 + m) có 3 điểm cực trị.
Tổng các phần tử của S là: Ⓐ. 2 . Ⓑ. 4 . Ⓒ. 8 . Ⓓ. 10 . Lời giải 12
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” Chọn A
Ta có y = ( x − ) f ( x − )2 ' 2 1 ' 1 + m) . x = 1 x = 1 x = 1 y ' = 0 ⇔ ⇔ − + = − ⇔ − = − − . f ( 2 2 (x − )2 + m) (x ) 1 m 1 (x ) 1 1 m( ) 1 ' 1 = 0 ( x − )2 1 + m = 3 ( x − )2 1 = 3 − m(2) .vn +) Nếu 1
− − m = 0 ⇔ m = 1
− khi đó phương trình ( ) ⇔ (x − )2 2
1 = 4 có hai nghiệm phân biệt iem khác 1 nên m = 1 − thỏa mãn. gh
+) Nếu 3 − m = 0 ⇔ m = 3 khi đó phương trình ( ) ⇔ ( x − )2 1
1 = −4 vô nghiệm. Do đó, m = 3 không thỏa mãn. itracn th
+) Để hàm số y = f ( x − )2
1 + m) có 3 điểm cực trị thì phương ( )
1 có hai nghiệm phân biệt và yen (2) vô nghiệm; hoặc ( )
1 vô nghiệm và (2) có hai nghiệm phân biệt. −1− m > 0 m < 1 − s://lu 3 − m < 0 m > 3 ttp ⇔ ⇔
⇔ −1 < m < 3. h 1 m 0 − − < m > −1 3 − m > 0 m < 3 Vậy 1 3 m m ∈ − ≤ <
ℤ→ m ∈{−1;0;1; } 2 . Chọn A .
Câu 16: (Câu 45 - Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 2 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số
y = f ( x) (với f (x) là đa thức bậc 5). Đồ thị hàm y = f '( x ) hình vẽ sau /vietgold
htps://www.facebook.com Hỏi hàm số y= f ( 2x−2x)có bao nhiêu điểm cực tiểu? Ⓐ. 1. Ⓑ. 3 . Ⓒ. 2 . Ⓓ. 0 . Lời giải Chọn B
Ta có: y = ( x − ) f ( 2 ' 2 2 ' x − 2x) 13
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 x = 1 2 x − 2 = 0 x = 0 2 2x − 2 = 0 x − 2x = 0 x = 2
y ' = 0 ⇔ (2x − 2) f '( 2
x − 2x) = 0 ⇔ ⇔ ⇔ f ' ( 2 x − 2x) 2 = 0 x − 2x =1 x = 1± 2 . 2 x − 2x = 3 x = 3 x = 1 −
Dựa vào đồ thị ta suy ra y ' = 0 có đúng 5 nghiệm bội lẻ là: x = 1
− ; x = 0; x = 1; x = 2; x = 3 nên h 2 t
hàm số y = f (x − 2x) có 5 điểm cực trị. tps 2 :
Từ giả thiết đồ thị hàm số y = f '
và hàm số y = f x − 2x có 5 điểm cực trị suy ra hàm số / (x) ( ) /lu 2 y
y = f ( x − 2x) có 3 điểm cực tiểu enth
Câu 17: (Câu 44 - Chuyên Quốc Học Huế - Huế - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f ( x) itra 2 2 c
có đạo hàm f ′( x) = x ( x + 2)( x − 3) . Điểm cực đại của hàm số g(x) = f (x −2x) là n ghi x = x = − x = x = e Ⓐ. 0. Ⓑ. 1. Ⓒ. 3. Ⓓ. 1. m .v Lời giải n Chọn D x = 0
Theo giả thiết : f ′( x) = 0 ⇔ x = −2
(trong đó x = 0 là nghiệm kép). x = 3 2x − 2 = 0 2 2x − 2 = 0 x − 2x = 0 2
g′ x = 0 ⇔ ⇔ h
Ta có g′( x) = (2x −2) f ′(x −2x) , có ( ) 2 2 t
f ′ x − 2x = 0 t ( ) x − 2x = 2 − (vn) p s: 2 / x − 2x = 3 /ww x = 1 w .f x = 0 a ce
⇔ x = 2 (trong đó x = 0 và x = 2 là nghiệm kép). bo o x = − 1 k.c x = 3 o m /
Bảng biến thiên của hàm số g(x) vietgold
Dựa vào BBT, hàm số g(x) đạt cực đại tại x =1. 14
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng”
Câu 18: (Câu 48 - Chuyên Thái Bình - Thái Bình - Lần 4 - Năm 2020 - 2021 ) Cho hàm số f ( x) ,
bảng biến thiên của hàm số f ′( x) như sau: x ∞ 1 0 1 +∞ +∞ +∞ 2 f'(x) .vn 1 3 iem
gh Số điểm cực trị của hàm số y = f ( 2
3x − 6x + 2) là: itracn Ⓐ. 3 . Ⓑ. 5 . Ⓒ. 7 . Ⓓ. 9 . th Lời giải yen Chọn C
Ta có: y′ = ( x − ) f ′( 2 6 6 3x − 6x + 2) s://lu x = 1 ttp
y′ = 0 ⇔ (6x − 6) f ′( 2
3x − 6x + 2) = 0 ⇔ h f ′ ( 2
3x − 6x + 2) = 0 ( ) 1 BBT: /vietgold 2
3x − 6x + 2 = a ∈ − ; ∞ 1 − : 1 ( ) (vn) 2
3x − 6x + 2 = a ∈ 1 − ;0 2 2 ( ) ( 0n ) ( ) 1 ⇔ 2
3x − 6x + 2 = a ∈ 0;1 2 3 ( ) ( 0n ) 2
3x − 6x + 2 = a ∈ 1;+∞ 2 4 ( ) ( 0n ) 2 htps://www.facebook.com
Vì phưưng trình y′ =0 có 7 nghiưm đưn phân biưt nên hàm sư y = f (3x −6x + 2) có 7 cưc trư.
Câu 19: (Câu 50 - THPT Cẩm Bình - Hà Tĩnh - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số bậc ba y = f ( x)
có đồ thị như hình vẽ. 15
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 h ttp s:/ 2 /
Số điểm cực tiểu của hàm số y = f −x + x bằng l ( ) u yen Ⓐ. 1. Ⓑ. 5. Ⓒ. 3. Ⓓ. 2 . thi Lời giải tra Chọn C cng
Từ đồ thị ta có hàm số bậc ba y = f ( x) có hai điểm cực trị x = 2 − ; x = 0 h ie 1 m Đặt 2
u = −x + x . Ta có u ' = 2
− x +1 = 0 ⇔ x = 2 .vn
Bảng biến thiên của hàm số = ( 2 y
f −x + x ) ht tps: 2 /
Câu 20: Vậy hàm số = − +
có 3 điểm cực tiểu.(Câu 46 - THPT Cẩm Bình - Hà Tĩnh - Lần / y f ( x x) ww
2 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số
có bảng biến thiên như hình dưới w y = f ( ) x .facebook.com/vietgo ld
Số điểm cực trị của hàm số y = f ( 2 x − 4x + ) 1 là Ⓐ. 1. Ⓑ. 5. Ⓒ. 3. Ⓓ. 2 . Lời giải Chọn B
Xét hàm số: y = g ( x) = f ( 2 x − 4x + ) 1
y ' = g '( x) = (2x − 4) f '( 2 x − 4x + ) 1 16
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” x = 2 2x − 4 = 0 x = 2 x = 2 + 2 2 x − 4 = 0
g '( x) = 0 ⇔ 2
⇔ x − 4x +1 = −1 2
⇔ x − 4x + 2 = 0 ⇔ x = 2 − 2 f ' ( 2 x − 4x + ) 1 = 0 2
x − 4x +1 = 3 2
x − 4x − 2 = 0 x = 2 + 6 x = 2 − 6 .vn
Suy ra g '(x) bị đổi dấu 5 lần, nên hàm số y = f ( 2 x − 4x + ) 1 có 5 điểm cực trị.
iem Câu 21: (Câu 18 - THPT Đào Duy Từ - Hà Nội - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số gh
f ( x) . Bảng biến thiên của hàm số f ′( x) như sau: itracn th yen s://lu ttp
h Số điểm cực trị của hàm số y = f ( 2x − 2x) là Ⓐ. 7 . Ⓑ. 9 . Ⓒ. 3. Ⓓ. 6 . Lời giải Chọn A
Có y′ = ( x − ) f ′( 2 2 2 x − 2x) . 2x − 2 = 0 x = 1
Xét phương trình y′ = 0 ⇔ ⇔ f ′ ( 2 x − 2x) = 0 f ′ ( 2 x − 2x) = 0 /vietgold
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số f ′(x) , ta có 2
x − 2x = a (a < − ) 1 ( ) 1 2 − = − < < f ′( x 2x b 1 b 0 2 2 x − 2x) ( ) ( ) = 0 ⇔ 2
x − 2x = c (0 < c < ) 1 (3) 2
x − 2x = d (d > ) 1 (4)
Xét hàm số g (x) 2
= x − 2x , có bảng biến thiên như sau htps://www.facebook.com
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số g (x) 2
= x − 2x , suy ra:
+ Phương trình (1) vô nghiệm. 17
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021
+ Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x ,1 2 x khác 1.
+ Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt x , x , x ,1 . 3 4
x khác các nghiệm: 1 2
+ Phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt x ,
x , x , x , x ,1. 5 6
x khác các nghiệm: 1 2 3 4
Vậy phương trình y′ = 0 có 7 nghiệm phân biệt nên hàm số đã cho có 7 điểm cực trị.
Câu 22: (Câu 27 - THPT Đội Cấn - Vĩnh Phúc - Lần 01 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số bậc bốn h
y = f(x) có đồ thị hình vẽ bên? ttps://luyenthitr acn
Số điểm cực trị của hàm số 3
g(x) = f (x − 3x) là ghie Ⓐ. 7 . Ⓑ. 9. Ⓒ. 11. Ⓓ. 5. m .v Lời giải n Chọn B x = 1 ± Ta có 2 3
g '(x) = (3x − 3) f '(x − 3x) = 0 ⇔ 3
f '(x − 3x) = 0 3
x − 3x = t(−2 > t) Dựa vào đồ thị ta có 3 3
f '( x − 3x) = 0 ⇔ x − 3x = u(−2 < u < 0) (*) 3
x − 3x = v(0 < v < 2) ht Xét 3 2 ( h )
x = x −3x ⇒ h'( )
x = 3x −3 = 0 ⇔ x = 1 ± t
ta có bảng biến thiên sau: ps://www.faceboo k.co
Dựa vào bảng biến thiên ta được (*) có 7 nghiệm phân biệt khác ± 1 nên g '(x) = 0 có 9 nghiệm m /v
đơn phân biệt. Vậy hàm số 3
g(x) = f (x − 3x) có 9 cực trị. ietgo
Câu 23: (Câu 37 - THPT Kinh Môn - Hải Dương - Lần 02 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f x l ( ) d
. Đồ thị của hàm số y = f ′(x) như hình bên. 18
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” .vn
iem Hàm số g (x) = f ( x ) + 2021 có bao nhiêu điểm cực trị? gh Ⓐ. 5 . Ⓑ. 7. Ⓒ. 3. Ⓓ. 2. itracn Lời giải th Chọn A yen
Từ hình vẽ ta thấy đồ thị của y = f ′( x) cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ dương (và 1 điểm có hoành độ âm). s://lu
Suy ra hàm số f ( x) có 2 điểm cực trị dương. ttp h
Suy ra hàm số f ( x ) có 5 điểm cực trị.
Suy ra hàm số g ( x) = f ( x ) + 2021 có 5 điểm cực trị (vì tịnh tiến đồ thị lên trên hay xuống
dưới không ảnh hưởng đến số điểm cực trị của hàm số).
Câu 24: (Câu 36 - THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - Lần 2 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số bậc bốn
y = f ( x) có đồ thị (
và hàm số y = f ′( x) có đồ thị (C như hình vẽ 2 ) 1 C )
bên. Số điểm cực trị của đồ thị hàm số ( ) = e−x g x f . f ( x) trên khoảng (− ; ∞ 3) là /vietgold Ⓐ. 9. Ⓑ. 6. Ⓒ. 7. Ⓓ. 8. Lời giải htps://www.facebook.com Chọn D
Ta có ′( ) = e−x. ′ ( ) − ( ). ′ (e−x g x f x f x f − f ( x)) . 19
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 h tt p s
f ′(x) − f ( x) = 0
f ′( x) = f (x) :/ ′ /
Xét g ( x) = 0 ⇔ ⇔ . l − x − x u f
(e . f ( x)) = 0 f
(e . f ( x)) = 0 yen x = a x = a th x = 0 x = 0 it ra x = b x = b c ⇔ n ⇔ e− x . f x = 2 −x − g ( ) f ( x) = 2e h − x i e . f x = 0 f x = 0 e ( ) ( ) m −x x . e . f (x) = 2 f ( x) = 2e vn
Từ đồ thị ta suy ra được: Phương trình ( ) 2ex f x = − có nghiệm đơn.
Phương trình f ( x) = 0 có 2 nghiệm đơn và 1 nghiệm bội chẵn ( x = 0) . Phương tridnh ( ) 2ex f x = có 1 nghiệm đơn.
Vậy g′( x) = 0 có 8 nghiệm đơn nên hàm số g ( x) có 8 điểm cực trị. h
Câu 25: (Câu 45 - THPT Ngọc Tảo - Hà Nội - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm ttps
trên ℝ và có bảng xét dấu của f ′( x) như sau ://www.fac ebo 2 o
Hỏi hàm số g ( x) = f (x − 2x) có bao nhiêu điểm cực tiểu? k.com Ⓐ. 4 . Ⓑ. 1. Ⓒ. 3. Ⓓ. 2 . /vie Lời giải tgo Chọn B ld
Ta có g′( x) = ( x − ) f ′( 2 2 2 x − 2x) . Suy ra x = 1 x = 1 2 2 x − 2 = 0 − = x = 3 ′( ) x x
g x = 0 ⇔ (2x − 2) f ′( 2 3 2
x − 2x) = 0 ⇔ ⇔ ⇔ . f ′ x = 1 − ( 2 x − 2x) 2 = 0
x − 2x = −2 2 x − 2x = 1 x = 1± 2 20
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” x ≥1 2x − 2 ≥ 0 2 2
− ≤ x − 2x ≤ 3 f ′ ( 2 x − 2x) ≥ 0 Xét
g′( x) ≥ 0 ⇔ ( x − ) f ′( 2 2 2
x − 2x) ≥ 0 ⇔ ⇔ x ≤1 2 x − 2 ≤ 0 2
x − 2x ≥ 3 f ′ ( 2 x − 2x) ≤ 0 2
x − 2x ≤ 2 − .vn x ≥1 2 x ≥1 iem
x − 2x + 2 ≥ 0 1 − ≤ x ≤ 3 gh 2
x − 2x − 3 ≤ 0 1 ≤ x ≤ 3 ⇔ ⇔ x ≤1 ⇔ . x ≤ 1 x ≤ 1 − x ≥ 3 itracn 2
x − 2x − 3 ≥ 0 th x ≤ 1 − 2
x − 2x + 2 ≤ 0 yen Bảng biến thiên s://lu ttp h
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số g ( x) = f ( 2
x − 2x) có 1 điểm cực tiểu. Cách khác: /vietgold
Từ BBT hàm f ( 2
x − 2x) được mô tả ở dưới ta suy ra hàm có 1 điểm cực tiểu. htps://www.facebook.com
Câu 26: (Câu 45 - THPT Phụ Dực - Thái Bình - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số = ( ) 3 2 y
f x = ax + bx + cx + d với a ≠ 0 có đồ thị hàm số như hình bên. Điểm cực đại của đồ thị
hàm số y = f (2 − x) + 3 là 21
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 y 2 x -2 O 2 -2 h ttps 6 ://l u ye Ⓐ. (0;5) . Ⓑ. (0;2) . Ⓒ. (5;−6) . Ⓓ. (5; ) 3 . n th Lời giải itr Chọn A acn x = x < − g
Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có f ′( x) 2 = 0 ⇔ và f ′( x) 2 < 0 ⇔ . h x = 2 − x > 2 iem 2 − x = 2 − x = 0 .
Ta có y′ = − f ′(2 − x) . Cho y′ = 0 ⇔ ⇔ . v 2 − x = 2 x = 4 n − x < x >
Giả sử y′ > ⇔ − f ′( − x) > ⇔ f ′( − x) 2 2 4 0 2 0 2 < 0 ⇔ ⇔ . 2 − x > 2 x < 0
Do đó ta có bảng biến thiên sau: https: //w
Vậy hàm số y = f (2 − x) + 3 đặt cực tại tại x = 0 khi y(0) = f (2) + 3 = 2 + 3 = 5 . ww
Vậy tọa độ điểm cực đại là (0;5) . .faceb
Câu 27: (Câu 46 - THPT Tam Dương - Vĩnh Phúc - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f (x) ook
có bảng biến thiên như hình dưới: .com/vietgold
Số điểm cực trị của hàm số y = f ( 2 x − 4x + ) 1 là: Ⓐ. 1. Ⓑ. 5. Ⓒ. 3 . Ⓓ. 2 . Lời giải Chọn B
Ta có g ( x) = f ( 2 x − 4x + ) 1 . 22
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” ⇒ ′ g′( x) = ( 2 x − 4x + ) 1 . f ′( 2 x − 4x + )
1 = 2( x − 2). f ′( 2 x − 4x + ) 1 . x = 2 x = 2 x = 2 − 2
Ta có g′( x) = 0 ⇔ 2( x − 2). f ′( 2 x − 4x + ) 2
1 = 0 ⇔ x − 4x +1 = 1 − ⇔ x = 2 + 2 . 2
x − 4x +1= 3 x = 2 − 6 .vn x = 2 + 6 iem
Ta có bảng xét dấu của g′( x) . gh itracn th yen
Dựavào bảng biến thiên ta thấy hàm số g ( x) = f ( 2 x − 4x + ) 1 có 5 điểm cực trị. s://lu
ttp Câu 28: (Câu 47 - THPT Yên Hòa - Hà Nội - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f (x) có đạo h
hàm trên R . Biết hàm số y = f (′x) có đồ thị như hình vẽ.
Sô điểm cực trị của hàm số y = f ( 2 x − 3) là /vietgold Ⓐ. 5. Ⓑ. 4. Ⓒ. 2. Ⓓ. 3. Lời giải Chọn D
Đặt g x = f ( 2 ( )
x − 3) ta có g′ x = x f ′( 2 ( ) 2 . x − 3) . 2x = 0 x = 0 Từ đồ thị của y = f ( ′ x) ta có 2 g (
′ x) = 0 ⇔ x − 3 = 1 ⇔ x = 2 ± . 2 x −3 = −2 x = 1 ± htps://www.facebook.com
Cũng từ đồ thị ta thấy x = 2
± là nghiệm kép của phương trình, nên ta có x = 0, x = 1 ± là các
nghiệm đơn của g (
′ x) = 0. Vậy hàm số y = g x = f ( 2 ( )
x − 3) có tất cả là 3 cực trị.
Câu 29: (Câu 46 - MĐ 101 - BGD&ĐT - Năm 2018 - 2019) Cho hàm số f ( x) , bảng biến thiên của hàm số f ′( ) x như sau 23
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021
Số điểm cực trị của hàm số y = f ( 2 x − 2 x ) là Ⓐ. 9. Ⓑ. 3. Ⓒ. 7. Ⓓ. 5. h ttp Lời giải s:/ Chọn C /lu Cách 1 yenthitracng h ie
x = a, a ∈(− ; ∞ − ) 1 m . x = , b b ∈ (−1;0) v
Từ bảng biến thiên ta có phương trình f ′( x) = 0 có các nghiệm tương ứng là n
x = c, c ∈ (0; ) 1
x = d,d ∈(1;+∞ ) .
Xét hàm số y = f ( 2
x − x) ⇒ y′ = ( x − ) f ′( 2 2 2 1 x − 2x) . x = 1 2
x − 2x = a ( ) 1 x −1 = 0 h Giải phương trình 2 2
y′ = 0 ⇔ 2 x −1 f ′ x − 2x = 0 ⇔
⇔ x − 2x = b 2 . t ( ) ( ) 2 ( ) t p f ′
( x − 2x) = 0 s 2 :
x − 2x = c (3) / /w 2
x − 2x = d (4) ww.
Xét hàm số h x = x − x ta có = − = − + − ≥ − ∀ ∈ f ( ) 2 2 h ( x) x x (x )2 2 2 1 1 1, x ℝ do đó ace 2 b
Phương trình x − 2x = , a (a < − ) 1 vô nghiệm. ook 2 .
Phương trình x − 2x = , b ( 1
− < b < 0) có hai nghiệm phân biệt x ; x không trùng với nghiệm c 1 2 om/ của phương trình ( ) 1 . vie 2 tg
Phương trình x − 2x = ,
c (0 < c < )
1 có hai nghiệm phân biệt x ; 3 4
x không trùng với nghiệm của old phương trình ( ) 1 và phương trình (2) . Phương trình 2
x − 2x = d,(d > )
1 có hai nghiệm phân biệt x ; 5 6
x không trùng với nghiệm của phương trình ( )
1 và phương trình (2) và phương trình (3) . Vậy phương trình 2
y′ = 0 có 7 nghiệm phân biệt nên hàm số y = f ( x − 2x) có 7 điểm cực trị. Cách 2 24
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng”
x = a, a ∈(− ; ∞ − ) 1 x = ,bb∈ ( 1 − ;0)
Từ bảng biến thiên ta có phương trình f ′( x) = 0 có các nghiệm tương ứng là
x = c, c ∈ (0; ) 1
x = d,d ∈(1;+∞ )
Xét hàm số y = f ( 2
x − x) ⇒ y′ = ( x − ) f ′( 2 2 2 1 x − 2x) . .vn x = 1 2 iem
x − 2x = a ( ) 1 x −1 = 0 gh
y′ = 0 ⇔ 2 ( x − ) 1 f ′( 2 x − 2x ) 2 = 0 ⇔ ⇔ − = . f ′ ( x 2x b 2 2 x − 2x ) ( ) = 0 2
x − 2x = c (3) itracn 2
x − 2x = d (4) th
Vẽ đồ thị hàm số h( x) 2 = x −2x yen s://lu ttp h
Dựa vào đồ thị ta thấy: phương trình (1) vô nghiệm. Các phương trình (2);(3);(4) mỗi
phương trình có 2 nghiệm. Các nghiệm đều phân biệt nhau. Vậy phương trình 2
y′ = 0 có 7 nghiệm phân biệt nên hàm số y = f ( x − 2x) có 7 điểm cực trị.
Câu 30: (Câu 48 - MĐ 102 - BGD&ĐT - Năm 2018 - 2019) Cho hàm số f (x), bảng biến thiên của
hàm số f '( x) như sau: /vietgold x ∞ 1 0 1 +∞ +∞ +∞ 2 f'(x) 1 3 htps://www.facebook.com
Số điểm cực trị của hàm số y = f ( 2
x + 2 x ) là Ⓐ. 3. Ⓑ. 9. Ⓒ. 5. Ⓓ. 7. Lời giải Chọn D
Xét hàm số y = f ( 2
x + 2 x ) trên ℝ .
Ta có y = ( x + ) f ( 2 ' 2 2 ' x + 2x) . 25
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021
Dựa vào bảng biến thiên của hàm f '( ) x ta được x = 1 − x = 1 −
x + x = a (x+ )2 2 1 = a +1 ( ) 1 2 y ' 0
= ⇔ x + 2x = b ⇔ ( x + )2 2 1 = b +1 (2)
< − < < < < < , trong đó a
1 b 0 c 1 d . 2
x + 2x = c ( x + )2 1 = c +1 (3) 2 x 2x d + = (x + )2 1 = d +1 (4) h ttp a +1 < 0 s : b +1 > 0 //
< − < < < < < l Do a
1 b 0 c 1 d nên . u c + 1 > 0 y e d +1 > 0 n th 2 , 3 , 4 i Khi đó phương trình ( )
1 vô nghiệm. Các phương trình ( ) ( ) ( ) mỗi phương trình đều có 2 trac
nghiệm phân biệt và khác nhau, cùng khác 1
− . Suy ra phương trình y' = 0 có 7 nghiệm đơn. n g Vậy hàm số 2
y = f x + 2 x có 7 điểm cực trị. h ( ) iem
Câu 31: (Câu 48 - MĐ 103 - BGD&ĐT - Năm 2018 - 2019) Cho hàm số f ( x) , bảng biến thiên của .vn ′
hàm số f ( x) như sau: ht 2 t
Số điểm cực trị của hàm số y = f (4x − 4x) là ps://w Ⓐ. 9. Ⓑ. 5. Ⓒ. 7. Ⓓ. 3. ww.f Lời giải ace Chọn C boo
x = a ∈(− ; ∞ − ) 1 k. co x = b ∈ ( 1 − ;0) m
Dựa vào bảng biến thiên ta có: f ′( x) = 0 ⇔ . / v x = c ∈(0; ) 1 i etg
x = d ∈(1;+ ∞ ) old 1 x = 2 2
4x − 4x = a ∈(− ; ∞ − ) 1 8 x − 4 = 0
Ta có: y′ = ( x − ) f ′( 2 8 4
4x − 4x) , y′ = 0 ⇔ 2
⇔ 4x − 4x = b ∈ (−1;0) . f ′ ( 2 4x − 4x) = 0 2
4x − 4x = c ∈ (0; ) 1 2
4x − 4x = d ∈(1;+ ∞) 26
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” 1 Ta có khi 2 x =
⇒ 4x − 4x = −1 và f ′(− ) 1 = −3 ≠ 0 2
Mặt khác: x − x = ( x − )2 2 4 4 2 1 −1 ≥ −1 nên: 2
4x − 4x = a vô nghiệm. 2
4x − 4x = b có 2 nghiệm phân biệt 1 x , 2 x . 2
4x − 4x = c có 2 nghiệm phân biệt .vn 3 x , 4 x . 2
4x − 4x = d có 2 nghiệm phân biệt 5 x , 6 x . iem
Vậy phương trình y′ = 0 có 7 nghiệm bội lẻ phân biệt nên hàm số có 7 điểm cực trị. gh Cách 2:
Gọi m đại diện cho các tham số ta xét phương trình 2
4x − 4x − m = 0 có ∆ ' = 4(m + ) 1 , itracn th ′ ∆ > 0 ⇒ m > 1 − .
Vậy với mỗi giá trị b, c, 2
f ′ 4x − 4x = 0 có 6 nghiệm phân yen
d thuộc khoảng đã cho phương trình ( ) biệt. s://lu
Vậy phương trình y′ = 0 có 7 nghiệm bội lẻ phân biệt nên hàm số có 7 điểm cực trị. ttp
h Câu 32: (Câu 50 - MĐ 104 - BGD&ĐT - Năm 2018 - 2019) Cho hàm số f (x) , bảng biến thiên của
hàm số f ′( x) như sau:
Số điểm cực trị của hàm số y = f ( 2
4x + 4x) là /vietgold Ⓐ. 5. Ⓑ. 9 . Ⓒ. 7 . Ⓓ. 3. Lời giải Chọn C ′ + =
f ′( x + x) f ( 2 2 4x 4x) 0 4 4 = 0 Ta có
y′ = ( x + ) f ′( 2 8 4
4x + 4x); y′ = 0 ⇔ ⇔ 1 . 8 x + 4 = 0 = − 1 x 2
x = a ∈(− ; ∞ − ) 1 htps://www.facebook.com x = b ∈ (−1;0)
Dựa vào bảng biến thiên của f ′( x) nhận thấy f ′( x) = 0 ⇔ . x = c ∈ (0; ) 1
x = d ∈(1;+∞ ) 2
4x + 4x = a ∈(− ; ∞ − ) 1 2
4x + 4x = b ∈(−1;0) Do đó f ′( 2
4x + 4x) = 0 ⇔ (*) . Lại có 2
4x + 4x = c ∈ (0; ) 1 2
4x + 4x = d ∈(1;+∞ ) 2
4x + 4x = a vô nghiệm vì x + x = ( x + )2 2 4 4 2 1 −1 ≥ −1,∀x ; 27
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 x = x 2 2
4x + 4x = b ⇔ ; x = 3 x x = x 2 4
4x + 4x = c ⇔ ; x = 5 x x = x 2 6
4x + 4x = d ⇔ . x = 7 x
Vì ≠ ≠ do thuộc các khoảng khác nhau (như * ) nên các nghiệm x , x , x , x , x , h b c d ( ) 2 3 4 5 6 7 x đều ttp 1 s khác nhau và khác
có 7 nghiệm đơn phân biệt nên 1 x = − . Do đó y′ = 0
y′ đổi dấu 7 lần suy :/ 2 /lu
ra hàm số có 7 điểm cực trị. yen
Câu 33: (Câu 45 - MĐ 102 - BGD&ĐT - Đợt 1 - Năm 2019 - 2020) Cho hàm số bậc bốn f ( x) có bảng thi biế thiên như sau: tracnghiem.vn
Số điểm cực trị của hàm số g ( x) = x f ( x − ) 4 2 1 là Ⓐ. 7 . Ⓑ. 8 . Ⓒ. 5. Ⓓ. 9. Lời giải htt Chọn D ps:
Ta có hàm số g (x) liên tục và có đạo hàm là //w 4 3 3 2 w g ' ( x ) = 2 . x f
( x − 1) + 4.x . f ' (x − ) 1 . f
( x − 1) = 2x f ( x − ) 1 .
( f ( x − )
1 + 2xf '( x − ) 1 ) w.f a x = x = 0 1 c e Cho . b g ( x ) = 0 ⇔ f ( x − 1) = 0 oo k f
( x − 1) + 2x. f '( x − 1) = 0 .com
* Với phương trình f ( x − ) 1 = 0 . /vie
Vì f ( x) là hàm bậc bốn và có bảng biến thiên như trên ta thấy phương trình f ( x − ) 1 = 0 có tgo
bốn nghiệm đơn phân biệt x , x , x , x khác l 2 3 4 5 1 x . d
* Với phương trình f ( x − )
1 + 2xf '( x − ) 1 = 0
Ta thấy phương trình không nhận các số x , x , x , x , 1 2 3 4 5 x làm nghiệm. Gọi ( ) 4 2
f x = ax + bx + c , vì f '( x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt −1; 0;1 và f (0) = −1, f ( ) 1 = 3
nên c = −1, a = −4,b = 8 , suy ra f ( x) 4 2
= −4x + 8x −1 .
Đặt t = x − 1, phương trình f ( x − )
1 + 2xf '( x − )
1 = 0 trở thành f (t ) + 2(t + ) 1 f '(t ) = 0 4 2
⇔ − t + t − + (t + )( 3 − t + t ) 4 3 2 4 8 1 2 1 16
16 = 0 ⇔ −36t − 32t + 40t + 32t − 1 = 0 . 28
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng”
Xét hàm số h (t ) 4 3 2
= −36t − 32t + 40t + 32t −1 có h (t ) 3 2 '
= −144t − 96t + 80t + 32 , cho h ( x) 1 2 '
= 0 ⇔ x = −1; x = − , x = . 3 3 Ta có bảng biến thiên .vn iem gh itracn th
Do đó phương trình h (t ) = 0 có 4 nghiệm đơn phân biệt hay phương trình yen f ( x − )
1 + 2xf '( x − )
1 = 0 có 4 nghiệm đơn phân biệt x , x , x , có 9 điểm 6 7 8 9
x . Hay hàm số g ( x) s://lu
cực trị là x , x , x , x , x , x , x , x , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x . ttp
h Câu 34: (Câu 46 - MĐ 104 - BGD&ĐT - Đợt 1 - Năm 2019 - 2020) Cho hàm số bậc bốn f (x) có bảng biến thiên sau:
/vietgold Số điểm cực trị của hàm số g(x) = x f (x+ ) 4 2 1 là Ⓐ. 7 . Ⓑ. 8 . Ⓒ. 9 . Ⓓ. 5. Lời giải Chọn C
g (x) ≥ 0, x ∀ Nhận xét ,
lim g ( x) = +∞ x→±∞ htps://www.facebook.com 2 x = 0 x = 0
Cho g ( x) = 0 ⇔ ⇔ f ( x + )
f ( x + ) 4 1 = 0 1 = 0
Nhận thấy: Tịnh tiến đồ thị f ( x) sang trái 1 đơn vị ta thu được đồ thị của f ( x + ) 1
x = a, a < 2 −
x = ,b − 2 < b < 1 −
Do đó f ( x + ) 1 = 0 ⇔
x = c, −1 < c < 0
x = d, d > 0 29
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 h ttp
Vì thế g ( x) = 0 có 5 nghiệm phân biệt s://l
Hay đồ thị g ( x) có 5 điểm tiếp xúc với trục hoành u ye
Vậy hàm số g ( x) có 9 cực trị. n thi
Câu 35: (Câu 45 - MĐ 104 - BGD&ĐT - Đợt 2 - Năm 2019 - 2020) Cho hàm số y = f ( x) với f (0) = 0 trac
. Biết y = f ′( x) là một hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong như hình dưới đây n ghiem.vn
Số điểm cực trị của hàm số ( ) = ( 4 ) 2 g x f x + x là https : Ⓐ. 3. Ⓑ. 6. Ⓒ. 5. Ⓓ. 4 . //w Lời giải ww Chọn C .fa 4 2 2 4 = + ⇒ ′ = ′ c
Xét hàm số h ( x) f (x ) x
h ( x) 2x (2x . f ( x ) + ) 1 eboo x = 0 k h′ x = 0 ⇔ . ( ) c 2 4 ′ o 2x f (x )+1= 0(1) m /v Giải phương trình ( ) 1 ietg 1 o Đặt 4
x = t t ≥ 0 , ta có phương trình ′ + = ⇔ ′
(Vì t = 0 không thỏa l ( ) 2 t f (t ) 1 0 f (t ) = − (2) d 2 t mãn)
Số nghiệm của phương trình (2) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ′(t ) và đồ thị 1 hàm số y = − 2 t
Ta có các đồ thị như sau 30
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” .vn iem gh
Căn cứ đồ thị, suy ra phương trình (2) có nghiệm duy nhất 4 4
t = a > 0 ⇒ x = a ⇔ x = ± a
Căn cứ đồ thị hàm số y = f ′(t) ⇒ lim ( f ′(t )) = −∞ ⇒ lim (2 t f ′(t) + ) 1 = −∞ itracn t →+∞ t →+∞ th
Ta có bảng biến thiên của hàm số y = h( x) và y = g ( x) như sau: yen s://lu ttp h /vietgold
Câu 36: (Câu 46 - Đề Tham Khảo - BGD&ĐT - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số f ( x) là hàm số bậc
bốn thoả mãn f (0) = 0. Hàm số f ′( x) có bảng biến thiên như sau: htps://www.facebook.com
Hàm số g ( x) = f ( 3
x ) − 3x có bao nhiêu điểm cực trị? Ⓐ. 3 . Ⓑ. 5. Ⓒ. 4. Ⓓ. 2 . Lời giải Chọn A 31
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021
Bảng biến thiên hàm số f ( x) 1
Đặt h ( x) = f ( 3
x ) − 3x ⇒ h′( x) 2 = 3x f ′( 3
x ) − 3 = 0 ⇔ f ′( 3 x ) = 2 h x ttp 1 Đặt 3 3 = ⇒ =
thế vào phương trình trên ta được ′ s t x x t f (t ) = ( ) 1 : 3 2 / t /lu 1 2 y Xét hàm số y = ⇒ y′ = − , lim y = 0 . e 3 2 3 5 t →±∞ n t 3 t th 1 i
Bảng biến thiên của hàm số y = tr 3 2 a t cnghiem.vn
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình ( )
1 có một nghiệm t = a > 0 . Bảng biến thiên https://www.facebook.c om
Vậy hàm số g ( x) có 3 cực trị. /vietg
Câu 37: (Câu 41 - SGD Bắc Giang - lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên old
ℝ và đồ thị hàm số y = f ′( x ) cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ −3 ; −2 ; a ; b ; 3; c ; 4 4
5 với − < a < 1
− ; 1< b < ; 4 < c < 5 (có dạng như hình vẽ bên dưới). Có bao nhiêu giá trị 3 3
nguyên của tham số thực m để hàm số y = f (2 x + m −3) có 7 điểm cực trị? 32
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” .vn iem gh itracn th Ⓐ. 3 . Ⓑ. 2 . Ⓒ. 4 . Ⓓ. Vô số. yen Lời giải Chọn A s://lu
Xét hàm số h ( x) = f (2x + m − 3) ttp
Ta có: h′( x) = 2 f ′(2x + m − 3) = 0 ⇔ f ′(2x + m − 3) = 0 h k + 3 − m
Từ đồ thị của hàm số f ′( x ) suy ra f ′(2x + m − 3) = 0 ⇔ 2x + m − 3 = k ⇔ x = với 2 4 4
k ∈ {−3; − 2 ; a ; b ; 3; c ; } 5 ( − < a < 1
− ; 1< b < ; 4 < c < 5 ) 3 3
Hàm số y = f (2 x + m − )
3 có 7 điểm cực trị ⇔ hàm số h (x) = f (2x + m − 3) có 3 cực trị có
hoành độ dương, mà 3 là nghiệm bội chẵn của f ′( x) nên hàm số h ( x) = f (2x + m − 3) có 3 6 −
cực trị có hoành độ dương ⇔ phương trình m
h′ ( x ) = 0 có 3 nghiệm dương phân biệt khác 2 /vietgold
a + 3 − m < 0 2
a + 3 − m < 0 m > a + 3 ⇔ ⇔ ⇔
⇔ a + 3 < m < b + 3 b + 3 − m
b + 3 − m > 0 m < b + 3 > 0 2 4 4 Do − < a < 1
− và 1< b < nên −1+ 3 ≤ m ≤ 1+ 3 hay 2 ≤ m ≤ 4 3 3
Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 2 ; 3 ; 4 .
Câu 38: (Câu 46 - SGD Hải Phòng - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số f ( x) có htps://www.facebook.com f ′( x) = ( 2 x − )(x + )( 2 16
1 x − 4x + m − 4). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [ 2 − 021;202 ] 1 sao cho hàm số ( ) = ( 2 g x
f x ) có 5 điểm cực trị? Ⓐ. 2025. Ⓑ. 2026. Ⓒ. 2021. Ⓓ. 4043. Lời giải Chọn A
Ta có: g ( x) = x f ′( 2 x ) = x ( 4 x − )( 2x + )( 4 2 ' 2 . 2 16
1 x − 4x + m − 4). 33
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 x = 0 x = 0 x = 2 g '( x) 4 = 0 ⇔ x −16 = 0 ⇔ . x = 2 − 4 2
x − 4x + m − 4 = 0 4 2
x − 4x + m − 4 = 0 (*)
TH1: Phương trình ( * ) có nghiệm x = 0 ⇒ m − 4 = 0 ⇒ m = 4. x = 0
Thay m = 4 vào phương trình ( * ) ta có: 4 2
x − 4x = 0 ⇔ x = 2 . h t x = −2 tps
Khi đó g′( x) = 0 có 3 nghiệm bội chẵn nên hàm số g (x) không thể có 5 điểm cực trị nên m = 4 : //lu loại. ye
TH2: Phương trình ( * ) có nghiệm x = ±2 ⇒ m−4 = 0 ⇒ m = 4 n (loại). th
TH3: Phương trình ( * ) có 2 nghiệm đơn phân biệt, khác 0 và khác ±2 hay it 2 ra
t − 4t + m− 4 = 0 phải có hai nghiệm trái dấu (với 2
t = x ) ⇔ m − 4 < 0 ⇔ m < 4 . cn
Khi đó g′( x) = 0 có 5 nghiệm phân biệt nên hàm số g (x) có 5 điểm cực trị. ghi
Kết hợp điều kiện m thuộc [ 2 − 021;202 ] 1 suy ra 2
− 021≤ m < 4,m∈ℤ e nên có 2025 giá trị m
nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu. .vn 1
Câu 39: (Câu 48 - Sở GD Lào Cai - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số 4 3 2 f (x) =
x + ax + bx + cx có đồ 4
thị (C) của hàm y = f '(x) như hình vẽ sau: https://www.fac ebo
Đặt g(x) = f ( f '(x)), h
(x) = f '( f (x)). Tổng số điểm cực trị của g(x) và h(x) là: ok.com Ⓐ. 12. Ⓑ. 11. Ⓒ. 8. Ⓓ. 13. /vi Lời giải etg Chọn C old 1 Ta có: 4 3 2 3 2 f (x) =
x + ax + bx + cx ⇒ f '( x) = x + 3ax + 2bx + c 4 f '(0) = 4 c = 4 c = 4 a = 1 −
Ta lại có: f '(−1) = 0 ⇔ 1
− + 3a − 2b + 4 = 0 ⇔ 3 a − 2b = 3 − ⇔ b = 0 f '(2) = 0
8 +12a + 4b + 4 = 0 12a + 4b = 1 − 2 c = 4 1 hay 4 3 3 2 2 f (x) =
x − x + 4x, f '(x) = x − 3x + 4 → f ' (x) = 3x − 6x 4 34
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” x = 0 2
f '(x) = 3x − 6x = 0 ⇔ x = 2
● Tìm số cực trị của hàm số: g(x) = f ( f '(x)) x = 0 x = 0 x = 2 f '(x) = 0 x = 2 x = x .vn Ta có: 1 g '(x)
f ' (x). f '( f '(x)) 0 = = ⇔ ⇔ ⇔
f '( f '(x)) = 0 f '(x) = 1 − x = 2 x iem f '(x) = 2 x = 3 x gh x = 4 x với f x = − itracn 1
x là nghiệm của phương trình '( ) 1 th và x , x ,
= , x < x < 0 < x < 2 < 2 3 4
x là ba nghiệm của phương trình f '(x) 2 1 2 3 4 x yen
Bảng xét dấu y = g '(x) s://lu ttp h
nhìn vào bảng trên, hàm số g(x) = f ( f '(x)) có 3 cực trị
●Tìm số cực trị của hàm số h(x) = f '( f (x))
BBT của hàm số y = f (x) /vietgold x = 1 − x = 2 f '(x) 0 = x = x Ta có: 1
h '(x) = f '(x). f ' ( f (x)) = 0 ⇔ f (x) = 0 ⇔ x = 2 x f (x) = 2 x = 3x x = 4 x htps://www.facebook.com Với x , = x , = 1 2
x là nghiệm của phương trình f (x) 0, 3 4
x là nghiệm của phương trình f (x) 2
và x < x < 1
− < x < x < 2 3 1 2 4
Bảng xét dấu y = h '(x)
nhìn vào bảng trên, hàm số h(x) = f '( f (x)) có 5 cực trị 35
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021
Vậy tổng có 8 cực trị.
Câu 40: (Câu 49 - SGD Nam Định - Online - Lần 01 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số f ( x) có đạo
hàm liên tục trên ℝ và bảng biến thiên của f ′( x) như sau: h ttps:// lu Hỏi hàm số 4
có mấy điểm cực tiểu? y
g ( x) = f ( x ) − 4x ent Ⓐ. 3 . Ⓑ. 1. Ⓒ. 4 . Ⓓ. 2 . h itr Lời giải ac Chọn D n g 3 4 h
Có g '( x) = 4x f '(x ) − 4 . iem g′( x) 1 3 = 0 ⇔ 4x f ′( 4
x ) − 4 = 0 ⇔ f ′( 4 x ) = x ≠ 0 1 . 3 ( ) ( ) .v x n Đặt 4 4
t = x > 0 ⇒ x = ± t phương trình trở thành: f ′(t) 1 = (2) 4 3 t . f ′(t) 1 = − (3) 4 3 t
Mô phỏng bằng đồ thị https://www.facebook.com/vie tgo
Dựa vào đồ thị ta có: ld (2) có nghiệm 4
t = a ⇒ x = a (
t = 1 ⇒ x = −1 3) có nghiệm 4
t = b ⇒ x = − b Bảng biến thiên 36
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng”
Vậy hàm số g ( x) có 2 điểm cực tiểu.
.vn Câu 41: (Câu 46 - SGD Quảng Bình - Năm 2020 - 2021) Cho y = f (x) là hàm số đa thức bậc bốn thỏa iem mãn f ( )
1 ≤ 0 và hàm số y = f ′( x) có bảng biến thiên như sau gh itracn th yen s://lu 2 2
ttp Hàm số g (x) = f ( x +1) + x có mấy điểm cực trị? h Ⓐ. 1. Ⓑ. 3. Ⓒ. 5. Ⓓ. 2. Lời giải Chọn C
Ta có f ′ ( x) = a ( 2
x − ) ⇒ f ′( x) a 3 1
= x − ax + C 3 2 ′ (− ) 1 = 1 a = − f − 3 ⇔ ⇒ f ′( x) 2 2 2 3 = − − − ′ ( ) x x f 1 = 3 − 2 9 3 9 C = − /vietgold 9 Xét hàm số 2 x u = x +1 có u′ =
,u′ = 0 ⇔ x = 0 2 x +1 Bảng biến thiên htps://www.facebook.com
Xét hàm số h(u) = f (u) 2
+ u −1 có h′(u) = u f′ ′(u) + 2u.u′ = u′ f ′(u) + 2u u′ = 0
h′(u) = 0 ⇔ f ′ (u) = 2 − u
u′ = 0 ⇔ x = 0
f ′(u) = − u ⇔ u = a ∈( ) 2 2
1;2 ⇒ x +1 = a có 2 nghiệm trái dấu x , 1 2 x Do f ( )
1 ≤ 0 nên ta có bảng biến thiên 37
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đã cho có 5 điểm cực trị. h
Câu 42: (Câu 29 - SGD Quảng Trị - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số f ( x) liên tục trên ℝ và có bảng ttp
biến thiên của đạo hàm như sau: s://luyenthitracng h ie 2 ln x +1 − 2 m ( )
Hàm số g ( x) = f
có bao nhiêu điểm cực trị? .v 2 n Ⓐ. 5 . Ⓑ. 9 . Ⓒ. 11. Ⓓ. 7 . Lời giải Chọn B ( 2 ln x + ) 1 − 2 Xét t ( x) =
, ta có bảng giá trị của t ( x) 2 https://www. fac 2 + − e ln (x )1 2 b
Ta có g ( x) = f
= f ( t(x) o ) o 2 k .com
Hàm số không có đạo hàm tại hai điểm 2 x = ± e −1 . /vie Tại mọi điểm 2
x ≠ ± e −1 , ta có: tgol f ' t x . d ( ( ) ) x 2 2 khi x ∈ − ; ∞ − e −1 ∪ e −1; +∞ 2 ( ) ( ) +
g ( x) = f ( t ( x) ) ( t ( x) ) x 1 ' ' . ' = (*)
f '( t (x) ).x − khi x ∈ ( 2 2
− e −1; e −1 2 ) x +1 38
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” x = 0
t (x) = t t < 1 − (1) 1 ( 1 )
g '( x) = 0 ⇔ t ( x) = t 1 − < t < 0 (2) 2 ( 2 )
t ( x) = t 0 < t < 1 3 3 ( 3 ) ( )
t(x) = t t > 1 4 4 ( 4 ) ( ) .vn
Dựa vào bảng giá trị hàm t , suy ra:
+) Phương trình (1) , (2) vô nghiệm. iem gh
+) Phương trình (3) có 4 nghiệm phân biệt khác 0 .
+) Phương trình (4) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 và khác các nghiệm của phương trình (3) . itracn
⇒ g '( x) = 0 có 7 nghiệm và qua các nghiệm này g '( x) đều đổi dấu. th
Từ (*) , ta thấy g '( x) cũng đổi dấu khi x đi qua 2 điểm 2 2
− e −1, e −1 . yen
Vậy hàm số g ( x) có 9 cực trị. s://lu
ttp Câu 43: (Câu 48 - SGD Sóc Trăng - Lần 2 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số bậc bốn y = f (x) có đồ h
thị của đạo hàm f ′( x) là đường cong như hình vẽ bên dưới và f (0) = −1. /vietgold
Hàm số g ( x) = f ( 2
x ) +1 có bao nhiêu điểm cực tiểu? Ⓐ. 7 . Ⓑ. 5 . Ⓒ. 4 . Ⓓ. 3 . htps://www.facebook.com Lời giải Chọn B 39
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 h t tp 2 2 s
Xét h ( x) = f (x ) +1⇒ h′(x) = 2xf ′(x ) . ://lu −1 < x < 1 2 y 0 ≤ t < 1 0 ≤ x < 1 e Đặt 2
x = t,t ≥ 0 ta có hàm f ′(t ) > 0 ⇔ ⇒ ⇔ x > 2 . n 2 t 4 > x > 4 t h x < −2 itr −1 < x < 1 ac 2 n
Vậy f ′( x ) > 0 ⇔ x > 2 . g h x < −2 iem
Ta có f ′( x) là hàm bậc ba có hệ số của 3
x dương suy ra f ( x) là hàm bậc bốn có hệ số của 4 x .vn dương. Suy ra ( ) = ( 2 h x
f x ) là hàm bậc tám có hệ số của 8
x dương. Vậy lim h ( x) = +∞ . x→±∞
h (0) = f (0) +1 = 1 − +1 = 0 , h( 2
− ) = h(2) = f (4) +1 1 4
Từ đồ thị hàm f ′( x) ta có f ′
∫ (x)dx < − f ′
∫ (x)dx ⇒ f (4) < f (0) = 1
− ⇒ f (4) < −1. 0 1
Suy ra h(−2) = h(2) < 0 . Vậy ta có bảng sau https://www.facebook.c om
Từ bảng suy ra hàm số g ( x) = h ( x) có 5 điểm cực tiểu. /vietg
Câu 44: (Câu 50 - SGD Vĩnh Phúc - Lần 2 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số f (x) . Biết f '( x) là hàm old
bậc 3. Có đồ thị như hình vẽ sau 40
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” .vn iem gh
itracn Có bao nhiêu giá trị nguyên m ∈[−10,10] để hàm số g (x) = f (x) + mx + 2021 có đúng 1 cực trị? th Ⓐ. 20 . Ⓑ. 16. Ⓒ. 15. Ⓓ. 18. yen Lời giải s://lu Chọn D ttp
Ta có g '( x) = f '( x) + m ⇔ g '( x) = 0 ⇔ g '( x) = −m ( ) 1 h
Số nghiệm của (1) là số giao điểm của 2 đồ thị hàm số y = f '( x) và đường d : y = −m /vietgold
Dựa vào đồ thị trên. Để g (x) có đúng 1 cực trị thì điều kiện là m ∈[ 1 − 0,10] m < 1 −
⇔ m ∈{4,5,6,7,8,9,10, 1 − 0, 9 − , 8 − , 7 − , 6 − , 5 − , 4 − , 3 − , − } 2 m > 3 htps://www.facebook.com
Số giá trị của m là 16 .
Câu 45: (Câu 48 - Chuyên Vinh- Nghệ An – Lần 1 – Năm 2020 - 2021) Cho hàm số 4 3 2
f (x) = ax + bx + cx + dx + e ( ae < 0 ). Đồ thị hàm số y = f (
′ x) như hình bên. Hàm số 2
y = 4 f (x) − x có bao nhiêu điểm cực tiểu 41
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 h ttps Ⓐ. 3. Ⓑ. 5. Ⓒ. 4 . Ⓓ. 2 . ://lu Lời giải ye Chọn A n th Đặt 2
g(x) = 4 f (x) − x . Ta có g (
′ x) = 4 f (′x) − 2x = 2(2 f (′x) − x). itracnghiem.vn Ta có (′ ) = 0 ⇔ ( ′ ) x x g x f x =
. Dựa vào đồ thị hàm số y = f (
′ x) và đường thẳng y = suy ra 2 2 x = 1 − x f (
′ x) = ⇔ x = 0 . h t 2 tp x = 2 s ://
Theo hình vẽ ta có a < 0 , mà ae < 0 ⇒ e > 0 suy ra g(0) = 4 f (0) = 4e > 0 . www
Bảng biến thiên của y = g(x) như sau: .facebook.com/vietgold
Dựa vào đồ thị y = g(x) suy ra hàm số 2
y = 4 f (x) − x có 3 điểm cực tiểu.
Câu 46: (Câu 43 - Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - Lần 02 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f (x)
có bảng biến thiên như sau: 42
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” .vn 2 2
iem Số điểm cực đại của hàm số g(x)= f (2x + x) là gh Ⓐ. 3. Ⓑ. 2. Ⓒ. 1. Ⓓ. 4. Lời giải itracn th Chọn B 2 yen
Ta có: g (x) f ( 2 2x x) = + 2 2
; g′(x)= 2 f (2x + x). f ′(2x + x).(4x + ) 1 . s://lu 4x +1 = 0 ttp
g ′(x) = 0 ⇔ f ( 2 2x + x)= 0 h f ′( 2 2x + x)= 0 1
4x +1= 0 ⇔ x = − . 4 2 x = 1 2 − x + x = 2 − VN 2 ( )
Từ bảng biến thiên ta có: f (2x x) 0 ′ + = ⇔ ⇔ 1 . 2 2x + x = 1 x = 2
Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình f (x)= 0 chỉ có 1 nghiệm x >1 (Vì đồ thị hàm số 0
y = f (x) cắt trục Ox tại một điểm có hoành độ lớn hơn 1). Khi đó /vietgold
x = x ∈ − ; ∞ −1 1 ( ) f ( 2 2x + x) 2 = 0 ⇔ 2x + x = ⇔ . 0 x 1
x = x ∈ ; 2 +∞ 2
Do lim g (x)= lim g (x)= +∞ nên ta có bảng biến thiên: x→+∞ x→−∞ htps://www.facebook.com 2
Từ bảng biến thiên của hàm số y = g (x) ta có số điểm cực đại của hàm số g (x) f ( 2 2x x) = + là 2.
Câu 47: (Câu 50 - Chuyên Hưng Yên - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số f ( x) 4 3 2
= ax + bx + cx + dx + e,(a ≠ 0) có đồ thị hàm số f ′( x) như hình vẽ. Biết rằng e > n 43
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021
Số điểm cực trị của hàm số y = f ′( f ( x) − 2x) là h ttp Ⓐ. 7 . Ⓑ. 6 . Ⓒ. 10 Ⓓ. 14 . s://lu Lời giải ye Chọn A n th
f ′( x) = 2 it
Xét y = f ′( f (x) − 2x) ⇒ y′ = ( f ′(x) − 2). f ′ ( f ( x) − 2x) = 0 ⇔ . ra f ′
( f (x)− 2x) = 0 cngh
Với f ′( x) = 2 . Đường thẳng y = 2 cắt đồ thị f ′( x) tại 3 điểm phân biệt. iem
f x − 2x = m, m < 0 1 . ′ v
Với f ( f (x) − 2x) ( ) ( ) ( ) = 0 ⇔ n f
( x) − 2x = n,(n < e) (2)
Đặt h ( x) = f ( x) − 2x ⇒ h′( x) = f ′( x) − 2 = 0 ⇔ f ′( x) = 2 .
Bảng biến thiên của h ( x) : https:// ww Vậy các phương trình ( )
1 và (2) cho 4 nghiệm phân biệt. w.fac
Câu 48: Vậy số điểm cực trị của hàm số y = f ′( f (x) − 2x) là 7.(Câu 47 - Chuyên Lê Khiết - Quảng eboo
Ngãi - Lần 3 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên ℝ , đồ thị hàm số k.co
y = f ′( x) có đúng 4 điểm chung với trục hoành như hình vẽ bên dưới: m /vietgold 44
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng”
Có bao nhiêu giá trị nguyên của 3
m để hàm số y = f ( x −3 x + m + 202 )
1 có đúng 11 điểm cực trị? Ⓐ. 0 . Ⓑ. 2 . Ⓒ. 5 . Ⓓ. 1. Lời giải Chọn D .vn
Xét x > 0 : Hàm số có dạng y = f ( 3
x − 3x + m + 202 ) 1 iem y′ = ( 2 x − ) f ′( 3 3 3
x − 3x + m + 202 ) 1 gh
Do nghiệm của phương trình 3
x − 3x + m + 2021 = 4 là các nghiệm bội bậc chẵn của phương trình y′ = 0 nên ta có: itracn
x = 1 (do x > 0)
x = 1 (do x > 0) th 2 3x − 3 = 0 3
x − 3x + m + 2021 = 1 − 3
m + 2021 = −x + 3x −1 yen y′ = 0 ⇔ ⇔ ⇔ f ′ 3 3 ( 3
x − 3x + m + 202 ) 1 = 0
x − 3x + m + 2021 = 1
m + 2021 = −x + 3x +1 3 3 s://lu
x − 3x + m + 2021 = 2
m + 2021 = −x + 3x + 2 ttp Vẽ đồ thị ba hàm số 3
y = −x + 3x −1; 3
y = −x + 3x +1; 3
y = −x + 3x + 2 với x > 0 trên cùng một h hệ trục. /vietgold
Hàm số y = f ( 3
x − 3 x + m + 202 )
1 có đúng 11 điểm cực trị
⇔ Hàm số y = f ( 3
x − 3x + m + 202 )
1 có đúng 5 điểm cực trị dương
⇔ Phương trình f ′( 3
x − 3x + m + 202 )
1 = 0 có đúng 4 nghiệm bội lẻ dương khác 1 htps://www.facebook.com
⇔ Đường thẳng y = m + 2021 cắt đồ thị ba hàm số 3
y = −x + 3x −1; 3
y = −x + 3x +1; 3
y = −x + 3x + 2 tại 4 điểm phân biệt có hoành độ dương khác 1 1
− < m + 2021 < 1
−2022 < m < 2 − 020 ⇔ ⇔ 2 < m + 2021 < 3 −2019 < m < 2 − 018
Do m nguyên nên m = 2 − 021.
Vậy chỉ có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 49: (Câu 4 - Chuyên Lê Quý Đôn - Điện Biên - Lần 3 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số f ( x) 4 3 2
= ax + bx + cx + dx + ,
e (a ≠ 0) có đồ thị của đạo hàm f ′( x) như hình vẽ. 45
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021
Biết rằng e > n. Số điểm cực trị của hàm số y = f ′( f ( x) − 2x) bằng h ttp Ⓐ. 7 . Ⓑ. 10. Ⓒ. 14. Ⓓ. 6 . s:// Lời giải lu Chọn A yen
f ′( x) = 2 th
g(x) = f ′( f ( x) − 2x) ⇒ g (
′ x) = f ′( x) − 2. f ′ ( f (x) − 2x) = 0 ⇔ i f ′
( f (x)−2x) = 0 t racng
x = a < m h i e + f (
′ x) = 2 ⇔ x = 0 m , ( có 3 nghiệm đơn) = > . x b n vn y
y=f ' (x) 2 y=2 m a O n b x http s:/ x = m /w
+ Từ đồ thị hàm số y = f ( ′ )
x ta suy ra f ′ ( ′ x) = 0 ⇔ w x = n w.f
f x − x = m a ′ c
Do đó f ( f x − x) ( ) 2 , (1) ( ) 2 = 0 ⇔ e
f (x) − 2x = n , (2) b ook Lập BBT cho hàm số ( h ) x = f ( )
x − 2x , với h ( ′ ) x = f ( ′ ) x − 2. .co = = > > m Ta có ( h 0) f (0) , e e n m /vietgold
Do đó phương trình (1) và (2) có 4 nghiệm đơn.
Suy ra phương trình g ( ′ )
x = 0 có 7 nghiệm đơn 46
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng”
nên hàm số g(x) = f ′( f ( x) − 2x) có 7 cực trị.
Câu 50: (Câu 49 - Chuyên Lê Thánh Tông - Quảng Nam - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số
y = f ( x) có đồ thị y = f ′( x − ) 1 như hình vẽ .vn iem gh itracn th yen f x x
s://lu Khi đó hàm số ( ) 2 y e + =
đạt cực tiểu tại điểm 0
x . Mệnh đề nào dưới đây đúng? ttp h
Ⓐ. x ∈ −1;0 . Ⓑ. x ∈ 4 − ; 2 − .
Ⓒ. x ∈ 0;1 . Ⓓ. x ∈ 2 − ; 1 − . 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) Lời giải Chọn A f (x)+2 x y′ = e (. f ′(x)+ ) 2 Ta có:
y′(x) = 0 ⇔ f ′(x)+ 2 = 0 ⇔ f ′(x) = −2
Đồ thị y = f ′(x − )
1 dời sang phải 1 đơn vị theo trục Ox ta được đồ thị y = f ′(x). Khi đó
đường thẳng y = 2 cắt đồ thị y = f ′(x) tại 2 điểm có hoành độ là 1 và a với 1 − < a <0 nên
phương trình y′(x)= 0 có 2 nghiệm là 1 (nghiệm kép) và 1 − < a <0 /vietgold Bảng biến thiên x – ∞ a 1 + ∞ y' – 0 + 0 + y f(1) f(a)
Vậy hàm số đạt tiểu tại điểm x = a ∈ −1;0 . 0 ( )
htps://www.facebook.com Câu 51: (Câu 40 - Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm
số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ. 47
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 y 4 -2 O 2 x h ttps ://
Mệnh đề nào sau đây đúng: lu 1 y
Ⓐ. Hàm số y = f ln đạt cực tiểu tại = . e ( x) x n e thi
Ⓑ. Hàm số y = f (ln x) đạt cực tiểu tại 2 x = e . trac
Ⓒ. Hàm số y = f (ln x) đạt cực tiểu tại x = 0 . n gh
Ⓓ. Hàm số y = f ln đạt cực tiểu tại x = 2 . i ( x) em .v Lời giải n Chọn B
y = g ( x) = f (ln x); TXĐ: x > 0 ln x = 0 x = 1 g′( x) 1
= . f ′(ln x) ; g′( x) = 0 ⇔ ⇔ x ln x = 2 2 x = e BBT: x 0 1 2 e +∞ h g′ ( x) + 0 − 0 + ttps:/ g ( x) 4 +∞ /ww −∞ 0 w.fa
Từ BBT, ta thấy: hàm số y = g ( x) = f (ln x) đạt cực tiểu tại 2 x = e . cebook
Câu 52: (Câu 50 - Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số F ( x) .com
có F (0) = 0 . Biết y = F ( x) là một nguyên hàm của hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ. /vietgold 48
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng”
Số điểm cực trị của hàm số ( ) = ( 6 ) 3 G x F x − x là Ⓐ. 4 . Ⓑ. 5 . Ⓒ. 6 . Ⓓ. 3 . Lời giải Chọn D
Xét g ( x) = F ( 6 x ) 3
− x ⇒ g ( x) 5 = x F ( 6 x ) 2 2 3
− x = x x f ( 6 ' 6 ' 3 3 2 x ) −1 .vn . Xét hàm số iem h ( x) 3 = x f ( 6
x ) − ⇒ h ( x) 2 = x f ( 6 x ) 8 + x f ( 6 x ) 2 = x f ( 6x) 6 + x f ( 6 2 1 ' 6 12 . ' 3 2 4 . ' x ) gh .
Từ đồ thị của y = f ( x) suy ra dấu của f '( x) itracn th yen f ( 6 x ) s://lu > 0 nên
⇒ h '( x) > 0 ∀x nên hàm số y = h ( x) đồng biến trên ℝ và vì lim h( x) = ±∞ ttp f ' x→±∞ ( 6 x ) > 0 h
nên phương trình h ( x) = 0 có 1 nghiệm duy nhất =
đổi dấu từ âm sang dương khi 0 x và y h ( x) qua g '
đổi dấu từ âm sang dương khi qua 0 x . Suy ra (x) 0 x nên 0
x là điểm cực tiểu. Bảng biến thiên /vietgold
Câu 53: Từ bảng biến thiên suy ra hàm số y = G ( x) có 3 cực trị.(Câu 40 - Chuyên PTNK - HCM - Lần
1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm là f ′ ( x) 2 = x − ( 2 (
2) x − x), x ∈ ℝ . Gói htps://www.facebook.com 1
S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số 2 f
x − 6x + m có 5 2
điểm cực trị. Tính tổng tất cả các phần tử của S. Ⓐ. 154. Ⓑ. 17 . Ⓒ. 213. Ⓓ. 153. Lời giải Chọn D
Ta có. Với x = 2 là nghiệm kép, x = 0, x =1 là nghiệm đơn. Dó đó hàm số f ( x) có hai điểm
cực trị là x = 0, x =1. 49
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 1 1 Đặt 2 2 g(x) = f
x − 6x + m ⇒ g (
′ x) = (x − 6) f ′
x − 6x + m . 2 2 x = 6 1 2
x − 6x + m = 2 2 Khi đó g ( ′ x) = 0 ⇔ 1 . 2
x − 6x + m = 0(1) 2 1 2 h
x − 6x + m = 1(2) t 2 tps
Để hàm số có 5 điểm cực trị thì ( )
1 & (2) có hai nghiệm phân biệt không trùng nhau và khác ://lu ∆ > 0 1 m y 9 − > 0 e ∆ > 0 2 n 2 th 1 m −1 2 i
6 Suy ra ⋅6 − 6.6 + m ≠ 0 9 −
> 0 ⇔ m < 18 ⇒ m ∈{1, 2,…,17}. t r 2 2 a c 1 n 2
m ≠ 18, m ≠ 19 ⋅6 − 6.6 + m ≠ 1 g 2 h iem
Vậy Tổng các giá trị của m là 1+ 2 +…+17 = 153. .vn
Câu 54: (Câu 49 - Đề thi thử cụm trường THPT - Hải Dương - Lần 4 - năm 2021) Cho hàm số bậc
năm y = f ( x) có đồ thị y = f ′( x) như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số
g ( x) = f ( 3 2 x + x ) 3 2 3
− 2x − 6x là https://www.facebook .com Ⓐ. 7. Ⓑ. 10. Ⓒ. 5. Ⓓ. 11. /viet Lời giải gol Chọn B d
Xét hàm số g ( x) = f ( 3 2 x + x ) 3 2 3 − 2x − 6x
Ta có g′( x) = ( 2
x + x) f ′( 3 2 x + x ) 2
− x − x = x(x + ) f ′ ( 3 2 3 6 3 6 12 3 2
x + 3x ) − 2 . 50
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” .vn iem gh itracn x = 0 th x = −2 x = 0 3 2 yen
x + 3x = c c < 0 1 1 ( 1 ) ( )
Cho g′( x) = 0 ⇔ x = 2 − ⇔ . 3 2
x + 3x = c 0 < c < 2 2 2 ( 2 ) ( ) s://lu f ′ ( 3 2 x + 3x ) = 2 3 2
x + 3x = c 2 < c < 4 3 3 ( 3 ) ( ) ttp h 3 2
x + 3x = c c > 4 4 4 ( 4 ) ( )
Xét hàm số h( x) 3 2
= x + 3x , ta có h′( x) 2 = 3x + 6x .
Bảng biến thiên h( x) : /vietgold
Vẽ đồ thị của các hàm số y = h ( x) , y = , = , = , = trên cùng một mặt phẳng tọa 1 c y 2 c y 3 c y 4 c độ ta được htps://www.facebook.com 51
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 h
ttps://luyenthitracnghiem.vn x = = 2 x x 3 x ( ) 1 ⇔ x = ; (2) ⇔ = ; (3) ⇔ = ; (4) ⇔ = 1 x x 5 x x 4 x x 8 x x = = 6 x x 7 x
Trong đó x < x < x < 2
− < x < x < 0 < < < . 1 2 3 4 5 6 x 7 x 8 x
Bảng xét dấu g′( x) : https://www .fa
Từ bảng xét dấu ta kết luận được hàm số g ( x) có 10 điểm cực trị. ceboo
Câu 55: (Câu 44 - THPT Gia Bình - Bắc Ninh - Lần 1- Nưm 2020 - 2021) Cho hàm số k.c = = + + o ( ) 4 2 y f x ax bx
c có đồ thị như hình vẽ bên dưới. m /vietgold 52
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” .vn iem gh itracn th
yen Số điểm cực trị của hàm số ( ) = ( 3 g x
f x + f ( x)) là s://lu Ⓐ. 11. Ⓑ. 9. Ⓒ. 8. Ⓓ. 10. ttp h Lời giải Chọn B
Từ đồ thị ta thấy hàm số trên có phương trình là 4 2
y = x − 2x . Vậy ta có: f ( x) 4 2
= x − 2x và f ′( x) 3 = 4x − 4x ′ ′
g′( x) = ( f ( 3
x + f ( x))) = ( 3
x + f ( x)) f ′( 3
x + f ( x)) = ( 2
x + f ′( x)) f ( 3 3
x + f ( x)) .
Suy ra g′( x) = ( 2
x + f ′( x)) f ′( 3
x + f ( x)) = ( 2 3
x + x − x) f ′( 3 4 2 3 3 4 4
x + x − 2x ) .
g′( x) = 0 ⇔ ( 2 3
3x + 4x − 4x) f ′( 3 4 2
x + x − 2x ) = 0 x = 0 /vietgold x ≈ 0,6930 x ≈ 1 − , 4430 3 2 3 2
4x + 3x − 4x = 0
4x + 3x − 4x = 0 x ≈ 1, 21195 4 3 2 4 3 2
x + x − 2x = 1
x + x − 2x −1 = 0 . ⇔ ⇔ ⇒ x ≈ 2 − ,0754 4 3 2 4 3 2
x + x − 2x = −1
x + x − 2x +1 = 0 x ≈ 0 − ,6710 4 3 2 4 3 2
x + x − 2x = 0
x + x − 2x = 0 x ≈ 1 − ,9051 x = 1 x = 2 − htps://www.facebook.com
Phương trình g′( x) = 0 có đúng 8 nghiệm đơn và 1 nghiệm bội lẻ x = 0(nghiệm bội ba).
Vậy hàm số g ( x) có 9 điểm cực trị.
Câu 56: (Câu 42 - THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm đa thức
y = f (x) . Hàm số y = f '(x) có đồ thị như hình vẽ sau 53
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 h 2 t
Có bao nhiêu giá trị của m ∈[0;6];2m ∈ ℤ để hàm số g(x) = f (x − 2 x −1 − 2x + m) có đúng 9 điểm cực tps trị? ://luy Ⓐ. 7 . Ⓑ. 5. Ⓒ. 3. Ⓓ. 6. en Lời giải thi Chọn C tra 2( x − ) 1 ( x −1 − ) 1 c 2 n Ta có: g ( ′ x) =
f '( x − 2 x −1 − 2x + m) g x −1 h ie x =1 m . x = 0 v n g ( ′ x) = 0 ⇔ x = 2 f ' ( 2
x − 2 x −1 − 2x + m) = 0
Dựa vào đồ thị hàm số x = 0 2 2
x − 2 x −1 − 2x + m =1
x − 2 x −1 − 2x =1− m =
f ′( x) ⇒ f ′( x) x 1 2 2 = 0 ⇔
⇒ x − 2 x −1 − 2x + m = 2 ⇒ x − 2 x −1 − 2x = 2 − m x = 2 2 2
x − 2 x −1 − 2x + m = 3 =
x − 2 x −1 − 2x = 3− m h x 3 ttps
Xét hàm số h ( x) 2
= x − 2 x −1 − 2x .Ta có ://www.facebook. co
Để hàm số có 9 cực trị thì m /v TH1: 2 − < 2−m< 1 − ⇔3< m< 4 ietg TH2: 1−m ≥ 1 − ⇔m≤ 2. old
Vậy có ba giá trị của m.
Câu 57: (Câu 50 - THPT Hậu Lộc 4 - Thanh Hóa - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số f ( x ) có
đạo hàm trên ℝ và có bảng biến thiên như sau 54
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng”
.vn Số điểm cực đại của hàm số g (x) = f ( 2 2
x − 8x + 7 + x − 3) là iem Ⓐ. 6 . Ⓑ. 8. Ⓒ. 7 . Ⓓ. 9. gh Lời giải Chọn C itracn th 2 Đặt
2 x − 8x + 4 khi x ≤ 1 ∨ x ≥ 7 u( x) 2 2
= x −8x + 7 + x −3, ta có u (x) = . 8x − 10
khi1 < x < 7 yen − < ∨ > ⇒ u′( x)
4x 8 khi x 1 x 7 = . s://lu 8
khi 1 < x < 7 ttp Ta có bảng biến thiên h
Đặt h ( x) = f (u (x)) , ta có h′(x) = u′(x). f ′(u (x)) .
Ta có: u′( x ) chỉ đổi dấu qua . x = 1 u ( x) = 3 u(x) = 2 /vietgold
f ′(u ( x)) = 0 ⇔ u ( x) = 1 . u(x) = 1 − u ( x) = 3 −
Từ bảng biến thiên của u(x) ta có
u ( x ) = 3 có hai nghiệm phân biệt x , 1 8 x .
u ( x ) = 2 có hai nghiệm phân biệt x , 2 7 x
u ( x ) = 1 có hai nghiệm phân biệt x , 3 6 x htps://www.facebook.com
u ( x) = −1 có hai nghiệm x , 4 5 x
u ( x) = −3 vô nghiệm Ta có bảng biến thiên 55
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 2 2 h
Câu 58: Từ bảng, dễ dàng suy ra hàm số g (x) = f ( x − 8x + 7 + x − 3) = h(x) có 7 điểm cực đại.(Câu ttp
48 - THPT Hồng Quang - Hải Dương - Lần 3 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số bậc bốn trùng s://
phương y = f ( x) có bảng biến thiên sau luyenthitracnghiem .vn 1
Số điểm cực trị của hàm số g (x) =
( f (x)− 6)4 là 2 x Ⓐ. 2 . Ⓑ. 4 . Ⓒ. 5. Ⓓ. 3. Lời giải Chọn B Theo giả thiết ta có ( ) 4 2
f x = ax + bx + c ⇒ f ′( x) 3 = 4ax + 2bx .
Từ bảng biến thiên ta có hàm số f ( x) đi qua A( 2
− ;2), B(0;6),C (2;2) và có ba điểm cực trị http 1 s: a = / 1
6a + 4b + c = 2 / 4 w 1 w ⇒ c = 6 ⇔ b = 2
− . Vậy f (x) 4 2
= x − 2x + 6 , f ′( x) 3 = x − 4x w 4 . 32a + 4b = 0 c = 6 f a ce boo 1 k
Ta có Hàm số g ( x) =
( f (x)− 6)4 xác định trên D = ℝ \{ } 0 . 2 .c x om 2 4 1 3 / g′ ( x) = − f x − 6 +
.4 f x − 6 . f ′ x 3 ( ( ) ) 2 ( ( ) ) ( ) vi x x etg 3 o ( f (x)−6) ld ⇒ g′( x) = 4 .
x f ′ x − 2 f x +12 3 ( ( ) ( ) ) x f ( x) − 6 = 0 ( ) 1
g′( x) = 0 ⇔ 4xf ′
(x) − 2 f (x) +12 = 0 (2) 1 x = 0 Ta có ( ) 4 2 1 ⇔
x − 2x + 6 = 6 ⇔ . 4 x = ±2 2 56
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” x = 0 ( 2) 4 . ⇔ x ( 1 7 3 x − 4x) 4 2 4 2 − 2
x − 2x + 6 +12 = 0 ⇔ x −12x = 0 2 42 . 4 2 x = ± 7 x = ±2 2 Vì
x ≠ 0 nên có g′( x) = 0 ⇔
và các nghiệm đó đều là nghiệm bội lẻ. 2 42 x = ± 7 .vn
Do đó hàm số g (x) có 4 điểm cực trị. iem
gh Câu 59: (Câu 49 - THPT Kim Liên - Hà Nội - Lần 2 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f (x) liên
tục trên ℝ có bảng biến thiên như hình vẽ: itracn th yen s://lu ttp h
Số điểm cực đại của hàm số y = f ( f (x) ) là Ⓐ. 2. Ⓑ. 3. Ⓒ. 0. Ⓓ. 1. Lời giải Chọn A
f ′ x . f x
Đặt g ( x) = f ( f (x) ) ⇒ g′(x) = f ′( f (x) ) ( ) ( ) . f ( x) /vietgold
Do đó g′( x) không xác định khi f ( x) = 0 hay x = 0 . f ′(x) = f ′( x) 0 = 0 x = 1 ±
g′( x) = 0 ⇔ ⇔ = ⇔ ⇔ = ± . f ′ ( f ( x) 1 x 1 f ( x) ) = 0 f ( x) = 1 ±
f ( x) = −1
Từ bảng biến thiên của f ( x) ta có: f ( x) ∈[0; ] 1 , x
∀ ∈ ℝ . Suy ra f ′( f (x) ) ≥ 0, x ∀ ∈ ℝ .
Ta có bảng xét dấu g′( x) như sau: htps://www.facebook.com
Từ bảng biến thiên suy ra số điểm cực đại của hàm số y = f ( f (x) ) là 2..
Câu 60: (Câu 41 - THPT Kim Sơn A- Ninh Bình - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f (x)
có đạo hàm liên tục trên R và bảng biến thiên của hàm số f '(x) như sau: 57
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 h ttp Hỏi hàm số s: 2 / ln(x +1) − 2 /l g ( x) = f
có bao nhiêu điểm cực tiểu? u 2 y enth Ⓐ. 9. Ⓑ. 4. Ⓒ. 7 . Ⓓ. 5. itra Lời giải cn Chọn B gh 2 2 ln(x +1) − 2 i
+) Do x ≥ 0 với ∀x ∈ nên
≥ −1 với ∀x ∈ . e ℝ ℝ m 2 .v +) Bảng biến thiên n http s:/
x = a ∈ (1; +∞) /w w x = b ∈ (0; ) 1 w
Suy ra f '(x) = 0 ⇔ . .f
x = c ∈ (−1;0) a ce
x = d ∈ −∞;−1 b ( ) oo 2 k ln(x +1)−2 .c
+) Xét hàm số trên y = f trên +∞ o 0; ) m 2 /vi 2 e ln(x +1)−2 tg =a o 2 l d 2
ln(x +1)−2 =b 2 + a 2 2 x + − x = e −1 ln( 1) 2 2 f ' 0 2 = 2 2 + ln(x +1)−2 b 2 x 2 ln(x +1)−2 x = e −1 y' = f ' . =0⇔ ⇔ =c ⇔ 2 2 x +1 2 2 + x c 2 x = e − = 1 0 2 2 ln(x +1)−2 x +1 = ( d VN) x = 0 2 x= 0 Suy ra bảng biến thiên 58
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” .vn iem gh 2 ln(x +1) − 2
Mặt khác đồ thị hàm số g(x) = f được vẽ như sau: itracn 2 th 2 ln(x +1)−2 yen
- Giữ phần đồ thị hàm số y = f trên +∞ 0; ). 2 s://lu 2 ln(x +1)−2
- Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y = f trên +∞ 0; ) qua Ox. ttp 2 h 2 ln(x +1) − 2
Vậy hàm số g(x) = f có 4 điểm cực tiểu. 2
Câu 61: (Câu 50 - THPT Lê Hồng Phong - Nam Định - Năm 2020 - 2021) Cho f ( x) là hàm số có đạo
hàm liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên của f ′( x) như sau: /vietgold
Tìm số điểm cực tiểu của hàm số g ( x) = f ( 3 x ) −3 x . Ⓐ. 1. Ⓑ. 2 . Ⓒ. 3. Ⓓ. 0. Lời giải htps://www.facebook.com Chọn C
Xét hàm số h ( x) = f ( 3 x ) − 3x . h′( x) 2 = x f ′( 3 3 . x ) − 3. h′( x) 2 = ⇔ x f ′( 3 0 3 . x ) − 3 = 0 (1). 1
Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của (1) nên ( ) 1 ⇔ f ′( 3 x ) = (2). 2 x 1 Đặt 3
t = x thì (2) trở thành f ′(t ) = ( t ≠ 0 - 3). 3 2 t 59
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 Xét hàm số 1 y = 3 2 t 2 5 − 2 − + t > 0 thì 3 y = t là hàm số lũy thừa, 3 y′ = − t
< 0 nên y nghịch biến trên (0;+ ∞) và đồ thị 3
của y nhận hai trục tọa độ làm hai tiệm cận.
+ y (t ) = y (−t ) nên y là hàm số chẵn. Do đó đồ thị của y nhận Oy làm trục đối xứng. Vẽ đồ thị của 1
f ′ (t ) và y =
trên cùng hệ trục tọa độ ta có: 3 2 h t
ttps://luyenthitracnghiem.vn
Từ đồ thị ta có (3) ⇔ t = a > 0 . Suy ra 3 x = a > 0
Bảng biến thiên của h( x) : https://www .fac
Ta thấy hàm số g ( x) = h( x ) là hàm số chẵn nên đồ thị của g ( x) nhận Oy làm trục đối xứng. eboo
Do đó ta có bảng biến thiên của g (x) như sau: k.com/vietgold (Để ý ( 3 − ) = (3 g a g a ) )
Vậy hàm số g ( x) có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại.
Câu 62: --- HẾT ---(Câu 48 - THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hà Nội - Lần 2 - Năm 2020 - 2021) Cho
hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên ℝ , có đồ thị hàm số f ′( x) như hình vẽ. Số điểm cực
tiểu của hàm số g ( x) = f ( x) + x là 60
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” .vn iem gh Ⓐ. 1. Ⓑ. 2 . Ⓒ. 3 . Ⓓ. 0 . itracn th Lời giải Chọn A yen
Ta có: g′( x) = f ′( x) +1; g′( x) = 0 ⇔ f ′( x) = 1 − (*). s://lu
Phương trình chính là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số f ′( x) và đường thẳng ttp − h y = 1. /vietgold
Dựa vào đồ thị, ta thấy có nghiệm x = 0 , x = 1 và x = 2 .
Bảng biến thiên của hàm số g ( x) : htps://www.facebook.com
Dựa vào BBT, hàm số g ( x) = f ( x) + x có một điểm cực tiểu x = 1.
Câu 63: (Câu 44 - THPT Nguyễn Đăng Đạo - Thanh Hóa - Lần 2 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số
y = f ( x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau: 61
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021
Số điểm cực tiểu của hàm số f ( x) f ( x) y = 2021 − 2020 là Ⓐ. 1. Ⓑ. 3 . Ⓒ. 2 . Ⓓ. 4 . h ttp Lời giải s:/ Chọn B /lu
Xét hàm số y = g ( x) f ( x) f ( x ) = 2021 − 2020 yen Ta có: ' g ( x) ' = f ( x) f ( x) f ( x) (2021 ln2021−2020 ln2020). thi ' t f
x = 0 ⇔ x = 0; x = ±2 r ' ( ) a y = 0 ⇔ . c f ( x) f ( x) n log 2021 ln 2021 2020 ln 2020 0(*) − = gh f ( x) 2021
x = a ∈ (0;2) i e Ta có: (*) ⇔ = log 2020 ⇔ f x = log log 2020 ⇒ 2021 ( ) 2021 ( 2021 ) m 2020
x = b ∈ (2; +∞ ) 2020 . vn
Vậy, từ bảng xét dấu ta thấy số điểm cực tiểu của hàm số y = g ( x) là 3. ht
Câu 64: (Câu 49 - THPT Nguyễn Huệ - Đắk Lắk - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho y = f ( x) là hàm đa tp s:/
thức bậc 4 và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ 1 − 2;12] / ww
để hàm số g (x) = 2 f ( x − )
1 + m có 5 điểm cực trị? w.facebook.com/vietgold Ⓐ. 12 . Ⓑ. 14 . Ⓒ. 15 . Ⓓ. 13. Lời giải Chọn C 62
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng”
Nhận xét: Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x − )
1 bằng số điểm cực trị của hàm số y = f ( x) trên tập xác định ℝ
Dựa vào đồ thị, hàm số y = f ( x) có 3 điểm cực trị .vn iem gh itracn th yen s://lu
Để hàm số g ( x) có 5 điểm cực trị ttp m h
⇔ 2 f ( x) + m = 0 ⇔ f ( x) = − có 2 ngiệm phân biệt hoặc 3 nghiệm trong đó có 1 nghiệm bội 2 chẵn và 2 nghiệm đơn m − ≥ 2 m ≤ 4 2 − ⇔ ⇔ m 6 ≤ m < 12 6 − < − ≤ 3 − 2
Mà m là giá trị nguyên thuộc [ 1 − 2;12] nên m∈{ 1 − 2;−11;...; 4 − ;6;7;...;1 } 1
Vậy có 15 giá trị nguyên m thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 65: (Câu 40 - PTNK Cơ Sở 2 - TPHCM - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f ( x) có đạo /vietgold
hàm f ( x) = ( x − )2 ( 2 ' 2
x − x) với x
∀ ∈ℝ . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số 1 m để hàm số 2 f
x − 6x + m
có 5 điểm cực trị. Tính tổng các phần tử của S ? 2 Ⓐ. 154. Ⓑ. 17 . Ⓒ. 213. Ⓓ. 153. Lời giải Chọn D x = 2 htps://www.facebook.com Ta có
f '( x) = ( x − 2)2 ( 2
x − x) ⇒ f '( x) = 0 ⇔ x = 1
. Với x = 2 là nghiệm kép, x = 1, x = 0 là x = 0
nghiệm đơn. Do đó hàm số f = f ( x) đạt cực trị tại x = 1, x = 0 . Đặt g ( x) 1 1 2 = f
x − 6x + m ⇒ g ' (x) = (x − 6) 2 f '
x − 6x + m . Khi đó 2 2 63
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 x = 6 1 2
x − 6x + m = 2 2
g '( x) = 0 ⇔ 1 . Giả sử 2 0
x là nghiệm của phương trình ( ) 1 thì
x − 6x + m = 0( ) 1 2 1 2
x − 6x + m = 1 (2) 2 1 2 h
x − 6x + m = 0 do đó 2 hay nói cách khác 0 0 0
x không thể là nghiệm của phương trình ( ) t 2 tps 1 : phương trình ( )
1 ,(2) không có nghiệm chung. Vì vậy, để hàm số 2 f
x − 6x + m có 5 điểm / / 2 l u y
cực trị thì phương trình ( )
1 ,(2) có hai nghiệm phân biệt khác 6 hay ent ∆ > 0 h 1 9 m − > 0 i t ∆ > 0 2 r 2 a c m −1 1 m + ∈ n 2 ⇔ 9 − + ≠ −
> 0 ⇔ m < 18 ℤ → m m ∈ {1,2,...,1 } 7 .6 6.6 0 . g 2 h 2 ie 1
m ≠ 18,m ≠ 19 2 m
.6 − 6.6 + m ≠ 1 2 .vn
Vậy tổng các giá trị của m là: 1+ 2 +...+17 =153.
Câu 66: (Câu 49 - THPT Quảng Xương - Thanh Hóa - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f (x) . Hàm
số y = f ′( x) có đồ thị như hình vẽ. https://www.facebook.c om/ 1 v
Số điểm cực đại của hàm số 2 2 4
g (x) = f (x − 4x + 3) − 3( x − 2) + (x − 2) là ie 2 tgold Ⓐ. 7. Ⓑ. 3. Ⓒ. 4. Ⓓ. 5. Lời giải Chọn B Ta có: 2 3 2 2 g (
′ x) = (2x − 4) f (′x − 4x + 3) − 6(x − 2) + 2(x − 2) = (2x − 4) f (′x − 4x + 3) − 3 + (x − 2) 2x − 4 = 0 Ta có: g ( ′ x) = 0 ⇔ 2 2 f (
′ x − 4x + 3) − 3+ (x − 2) = 0 64
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” x = 2 ⇔ 2 2 f (
′ x − 4x + 3) = 2 − (x − 4x + 3) (*) Đặt 2
x − 4x + 3 = t , ta có: (*) ⇔ f ′(t ) = 2 − t . .vn iem gh itracn th yen s://lu ttp h
Từ đồ thị hàm số y = f ′(t) và y = 2 − t ta có: 2 t = −2
x − 4x + 3 = −2 x = 1 2 t = x − x + = x = 3 0 4 3 0 f ( ′ t) = 2 − t ⇔ ⇔ ⇔ 2 t = 1 x − 4x + 3 = 1 x = 2 ± 2 2 t = 2
x − 4x + 3 = 2 x = 2 ± 3
Ta có bảng biến thiên hàm số y = g (x) như sau: /vietgold
Vậy hàm số y = g(x) có 3 điểm cực đại.
Câu 67: (Câu 47 - THPT Quảng Xương 1 - Thanh Hóa - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số f ( x) 5 4 3 2
= ax + bx + cx + dx + ex + f (a ≠ 0) và hàm số y = f ′(x) có hình vẽ dưới đây htps://www.facebook.com 65
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 9
Đặt g ( x) = f (3x − ) 3 2
1 − 9x + x − 6x + 2021. Hòi hàm số f = g ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị ? 2 Ⓐ. 7 . Ⓑ. 3. Ⓒ. 9. Ⓓ. 5. Lời giải Chọn B
g′( x) = f ′( x − ) 2 3 3
1 − 27x + 9x − 6 h
Đặt t = 3x −1⇒ 3x = t +1 ttp ′ = ′ − − − s g (t) f (t) 2 3 3t 3t 6 ://l 1 u t = 2 − ⇒ x = − y e 3 n ′ = ⇔ ′ t * g (t) 0 f (t ) 2
= t + t + 2 ⇔ t = 1 − ⇒ x = 0 h i t 2 r t =1⇒ x = ac 3 n g
Bảng biến thiên của g ( x) h iem.vn https://www .fa
Vậy hàm số g ( x ) có ba điểm cực trị ceboo
Câu 68: (Câu 50 - THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần 2 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số bậc năm k.c
y = f ( x) có đồ thị hàm số y = f ′( x) như hình vẽ dưới đây. Số điểm cực trị của hàm số om/ 8 2 3 2 v
y = f 4x − 4x −
x + 6x − 4x +1 là i ( ) et 3 gold 66
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” .vn iem gh itracn Ⓐ. 4. Ⓑ. 5. Ⓒ. 9 . Ⓓ. 7. th Lời giải yen Chọn B
Ta có y′ = ( x − ) f ′( 2 4 2 1
4x − 4x) − 4(2x − ) 1 ( x − ) 1 s://lu 2 ⇒ ′ = − ′ − − − ttp y 4(2x ) 1 f (4x 4x) (x ) 1 . h 1 x =
y′ = 0 ⇔ y′ = 4(2x − ) 1 f ′ ( 2
4x − 4x) − (x − ) 1 = 0 ⇔ 2 f ′ ( 2
4x − 4x) = x −1
Xét phương trình: f ′( 2
4x − 4x) = x −1 ( ) 1 Đặt 2 2
t = 4x − 4x ⇒ 4x − 4x − t = 0 ′
∆ = 4 + 4t ≥ 0 ⇔ t ≥ 1 − . 1− 1+ t −1− 1+ = −1 t x x = Khi đó: 2 2 2
4x − 4x − t = 0 ⇔ ⇒ 1+ 1+ t −1+ 1+ = −1 t x x = /vietgold 2 2 ′ ( ) −1− 1+ t f t = Phương trình ( ) 1 trở thành: 2 ′( ) −1+ 1+ t f t = 2 −1− 1+ x −1+ 1+
Vẽ đồ thị 3 hàm số = ′( ), = (C , x y f x y =
trên cùng hệ trục tọa độ 1 ) y (C2 ) 2 2 ta thấy đồ thị (
cắt đồ thị y = f ′( x) tại 3 điểm, đồ thị (C cắt đồ thị y = f ′( x) tại 1 điểm. 2 ) 1 C ) htps://www.facebook.com 67
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 h ttps://luy en 1 th
Với mỗi nhánh, mỗi giao điểm t sẽ tương ứng với một giá trị duy nhất của x khác . i 2 trac 8 2 3 2 n
Vậy hàm số y = f (4x − 4x) − x + 6x − 4x +1 có 5 điểm cực trị. g 3 h iem
Câu 69: (Câu 50 - THPT Thanh Chương 1 – Nghệ An – Lần 2 – Năm 2020 - 2021) Cho f (x) là một .v
hàm đa thức bậc năm thoả mãn f (0) = 0. Hàm số f '( x) có đồ thị như hình vẽ bên n y x h -1 O 1 t tps 1 : Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng 0;3π ? /
g ( x) = f (sin x) 3 2
+ sin x − sin x ( ) / 3 www Ⓐ. 15 . Ⓑ. 11. Ⓒ. 9. Ⓓ. 13. .fac Lời giải ebo Chọn D ok ′ .
Do f (x) là một hàm đa thức bậc năm nên f ( x) là một hàm đa thức bậc bốn. com
Dựa vào đồ thị hình vẽ ta nhận thấy f ′( x) có dạng ′( ) 4 2 f
x = ax + bx + c , đồ thị đi qua các điểm /viet (
A 0;1), B(1; 0) và có điểm cực tiểu x = 1. Từ đó ta có: g CT old f ′(0) =1 c =1 c =1 f ′( ) 4 2
1 = 0 ⇒ a + b + c = 0 ⇒ a =1 ⇒ f (′x) = x − 2x +1 f ′ ( ) 1 = 0 4a + 2b = 0 b = 2 − 5 3 x 2 ⇒ ( ) x f x = − + x + c 5 3 5 3 x 2 Do (0) = 0 ⇒ = 0 ⇒ ( ) x f c f x = − + x . 5 3 68
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” 1 1
Xét hàm số g ( x) = f (sin x) 3 2
+ sin x − sin x , ta đặt h ( x) = f (sin x) 3 2
+ sin x − sin x 3 3
Tìm số cực trị của hàm số y = h(x) . 2 h ( ′ x) = cos .
x f '(sin x) + sin .
x cos x − 2 sin . x cos x cos x = 0 h ( ′ x) = 0 ⇔ 2
f '(sin x) = − sin x + 2 sin x .vn π
+)Với cos x = 0 ⇔ x =
+ kπ , k ∈ Z . iem 2 gh
Vậy phương trình cos x = 0 có 3 nghiệm đơn thuộc khoảng (0;3π ) . ( ) 1 +)Với 2 f (
′ sin x) = −sin x + 2sin x itracn th Đặt t =
x t ∈[− ] ⇒ f (t) 2 sin , 1;1 ' = t − + 2t Xét phương trình hoành độ giao điểm: yen t
= α (α ≈1,3864) (l) 2 4 2 4 2 t
− + 2t = t − 2t +1 ⇔ t −t − 2t +1 = 0 ⇔ s://lu t = β (β ≈ 0,4257) (n) ttp Với t = β ∈(0; )
1 thì sin x = β , khi đó 2
f '(sin x) = − sin x + 2sin x có 4 nghiệm đơn thuộc h khoảng (0;3π ) .(2) Từ ( )
1 ,(2)suy ra hàm số y = h(x) có 7 cực trị trên khoảng (0;3π ) (*)
Tìm số nghiệm của phương trình h(x) = 0 . 1 3 2
t = sin x ⇒ f (t) + t − t = 0 3 1 2 1 5 3 3 2
⇒ t − t + t + t − t = 0 5 3 3 t = 0 t = 0 /vietgold sin x = 0 ⇒ 1 1
⇒ t = a a ≈ 1,69 (l) ⇒ 4 2 ( )
t − t − t +1 = 0 sin x = b (b ≈ 0,86) 5 3 t = b (b ≈ 0,86)
+ sin x = 0 ⇔ x = kπ , k ∈ Z ⇒ phương trình h(x) = 0 có 2 nghiệm thuộc khoảng (0;3π ) .(3)
+ sin x = b (b ≈ 0,86) ⇒phương trình h(x) = 0 có 4 nghiệm thuộc khoảng (0;3π ) .(4) Từ ( )
3 ,(4) , suy ra h(x) = 0 có 6 nghiệm đơn trên khoảng (0;3π ) (**)
Câu 70: Từ (*), (**) ta kết luận được hàm số y = g(x) đã cho có 13 điểm cực trị.(Câu 40 - TX Quảng htps://www.facebook.com
Trị - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên của đạo hàm như sau: 69
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 ( 2 ln x + ) 1 − 2
Hàm số g ( x) = f
có bao nhiêu điểm cực trị? 2 Ⓐ. 7. Ⓑ. 11. Ⓒ. 5. Ⓓ. 9. Lời giải Chọn D ( 2 ln x + ) 1 − 2 h Đặt x h( x) = ⇒ h′( x) = t 2 t 2 x + 1 p s:
Cho h′( x) = 0 ⇒ x = 0 //lu BBT ( ) 1 yenthitracnghiem.vn h x
Ta có: g ( x) = f ( h(x) ) ⇒ g′(x) = h′(x) ( ) ⋅
f ′( h( x) ) h( x) h′(x) = 0 h
Cho g′(x) = 0 ⇒ h( x) = 0 tt ps ′ = : f ( h ( x) ) 0 //w ′ w
Với h ( x) = 0 ⇔ x = 0 w.f
x = a (a < 0) ac
Với h ( x) = 0 ⇔ eb x = b (b > 0) ook.
Với f ′( h(x) ) = 0, ta có: com/vietgold
h(x) = c(c < − ) 1 (l)
h( x) = d ( 1
− < d < 0)(l)
⇒ f ′( h(x) ) = 0 ⇔
h( x) = e(0 < e < ) 1
h( x) = f ( f > ) 1 70
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng”
Dựa vào bảng biến thiên ( )
1 ta có được phương trình h ( x) = e có 4 nghiệm phân biệt và phương
trình h ( x) = f có hai nghiệm phân biệt, tất cả đều khác 0,a và b .
Vậy phương trình g′( x) = 0 có tổng cộng 9 nghiệm bội lẻ ⇒ hàm số g ( x) có 9 cực trị.
Câu 71: (Câu 40 - THPT – Thuận Thành 01 – Bắc Ninh – Lần 1 – Năm 2020 - 2021) Cho hàm số
y = f ( x) có đạo hàm trên ℝ và có bảng biến thiên f ′( x) như hình vẽ: .vn iem gh itracn th
yen Hàm số = ( 2x y f e
− 2x − 2 ) có bao nhiêu điểm cực trị? s://lu Ⓐ. 9. Ⓑ. 7. Ⓒ. 11. Ⓓ. 5. ttp Lời giải h Chọn A
Ta có: f ′( x) = 0 tại x ; x ; x ;
x < −1 < x < 0 < x < 1 < 1 2 3 4 x trong đó 1 2 3 4 x Xét hàm số = ( 2x y f e
− 2x − 2 ) có tập xác định là ℝ 2( 2x e − ) 1 ( 2x e − 2x − 2) y′ = f ′ e − x − x ( 2x 2 2 2 ) e − 2x − 2 Với 2x e − 2x − 2 ≠ 0 x = 0 2 x = 0 x e − 2x − 2 = x (1) /vietgold 2 x − = 3 e 1 0 2x ′ = ⇔ ⇔ 2 y 0 − − = ⇔ − − = f ′ ( e 2x 2 x x e 2x 2 x (2) 2x e − 2x − 2 ) 3 4 = 0 2 2 x x
e − 2x − 2 = −x (3) e − 2x − 2 = x 3 4 2x
e − 2x − 2 = −x (4) 4 Xét hàm số ( ) 2x
g x = e − 2x − 2 có tập xác định là ℝ . ′( ) 2 = 2 x g x e − 2
g′( x) = 0 ⇔ x = 0
Ta có bảng biến thiên của hàm số htps://www.facebook.com
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có: phương trình (1), (2), (3) có hai nghiệm phân biệt
khác 0, phương trình (4) vô nghiệm vì vậy phương trình y′ = 0 có 7 nghiệm phân biệt.
Mặt khác hàm số đạt cực trị tại các điểm thỏa mãn: 2x
e − 2x − 2 = 0 (5) . 71
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021
Dựa vào bảng biến thiên hàm g ( x) suy ra phương trình (5) có hai nghiệm phân biệt khác 7
nghiệm của phương trình y′ = 0 .
Vậy hàm số đã cho có 9 điểm cực trị.
Câu 72: (Câu 42 - THPT Trần Phú - Đà Nẵng - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số f ( )
x , bảng biến thiên của hàm số f ( ′ ) x như sau: h ttps://luyenthitr acn Hàm số 3
g(x) = f (x − 3x) có bao nhiêu điểm cực đại? ghie m Ⓐ. 1. Ⓑ. 4. Ⓒ. 2. Ⓓ. 3. .v Lời giải n Chọn C Ta có: 3 2 3
g(x) = f (x − 3x) ⇒ g (
′ x) = (3x − 3). f (′x − 3x) x = 1 ⇒ g (
′ x) = 0 ⇔ x = −1 3
x − 3x = x (x > 3) 0 0 x =1 Xét hàm: 3 2
h(x) = x − 3x ⇒ h (
′ x) = 3x −3 = 0 ⇔ h x = 1 − ttps BBT: ://www.facebook.com/vietgo ld
Từ BBT suy ra phương trình 3
x − 3x = x (x > 3) có 1 nghiệm đơn x = x (x > 1) 0 0 1 1
Vậy phương trình g ( ′ )
x = 0 có 3 nghiệm đơn x = 1
− ; x =1; x = x (x >1) và 1 1 g ( ′ 0) = 3
− . f (′0) < 0 (Do f (′0)∈(3;5)) nên ta có BBT của hàm g(x) như sau: 72
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” .vn iem gh
Từ BBT ta có hàm số đã cho có 2 điểm cực đại.
Câu 73: (Câu 48 - THPT Triệu Sơn 1 - Thanh Hóa - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) [ Mức độ 4] Cho hàm itracn
số f ( x) có f (0) = 1
− . Biết y = f ′( x) là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong dưới đây. th yen y 3 s://lu 2 ttp h 1 x O 1 3
Số điểm cực trị của hàm số g ( x) = f ( 4 x ) 2 − 6x là Ⓐ. 3. Ⓑ. 6 . Ⓒ. 5. Ⓓ. 4 . Lời giải Chọn C /vietgold
Xét hàm số h( x) = f ( 4 x ) 2
− 6x có h′(x) 3 = x f ′( 4 x ) 2
− x = x x f ′ ( 4 4 12 4 x ) − 3 . x = 0 h′( x) 2
= 0 ⇔ 4x x f ′( 4 x ) − 3 = 0 ⇔ . f ′( 3 4 x ) = x ≠ 0 1 2 ( ) ( ) x Xét phương trình ( ) 1 : đặt 4
t = x thì phương trình có dạng ′( ) 3 f t = với t > 0 (2) . t y htps://www.facebook.com 3 2 1 x O 1 3
Dựa vào đồ thị, phương trình (2) có một nghiệm duy nhất a > 0 . Khi đó ta được 4 x = ± a . 73
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021
Bảng biến thiên của hàm số h( x) = f ( 4 x ) 2 − 6x
Số điểm cực trị của hàm số g ( x) = f ( 4 x ) 2
− 6x bằng số điểm cực trị của hàm số h 4 2 t
h( x) = f x − 6x cộng với số nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ của phương trình h ( x) = 0 . t ( ) p s:
Do đó hàm số g ( x) có 5 cực trị. //lu ye n th it rac n gh iem .vn
THAM GIA LỚP LUYỆN THI CHẤT LƯỢNG CAO MR.VIỆT MATH CLASS
82 Võ Thị Sáu - TDP Bến Chợ – Phường Q.Thuận - T.xã Ba h
Đồn –Tỉnh Quảng Bình ttps:// LIÊN w
http://luyenthitracnghiem.vn w HỆ w.fa
0905 193 688 (Điện thoại hoặc nhắn tin) cebook
Facebook: https://www.facebook.com/vietgold .com/vietgold 74