Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
0
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
“Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường.”
Ngày đã rng, bình minh đang tnh gic!
Khi nào em cm thy mun phê phán và chê bai mt ai đó,
hãy nh rng không phi ai trên th# gii này c$ng có nh%ng
thu&n l(i trong cuc sng mà em có đư(c."
73
BÀI TOÁN CỰC TRỊ
HÀM SỐ HỢP
TRONG CÁC  THI TH 20-21
Họ và Tên học sinh: ………………………………..................
Trư
ng:
………………………………………….
L
……
….
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
1
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
Câu 1: (Câu 31 - Chuyên Hồng Phong - Nam Định - Năm 2020 - 2021) Cho m số
( )
f x
thỏa
mãn
( ) ( )
2
1 ,f x x x x
=
. Hỏi hàm s
( )
2
y f x=
bao nhiêu điểm cực tiểu?
Ⓐ.
3
.
Ⓑ.
2
.
Ⓒ.
0
.
Ⓓ.
1
.
Lời giải
Chọn D
Xét hàm s
( )
2
y f x=
.
Tập xác định:
D =
.
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 4 2 5 2
5 2
' ' 2 . ' 2 . 1 2 1
0
' 0 2 1 0 1
1
y f x x f x x x x x x
x
y x x x
x
= = = =
=
= = =
=
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số có 1 điểm cực tiểu.
Câu 2: (Câu 18 - THPT Lê Lợi - Thanh Hóa - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số bậc bốn
( )y f x= . Hàm
số '( )y f x= đồ thị như hình vẽ.
Số điểm cực đại của hàm số
( )
2
1y f x= +
Ⓐ.
2
.
Ⓑ.
1
.
Ⓒ.
4
.
Ⓓ.
3
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
2
' 2 . '( 1)y x f x= +
.
( )
2
2
2
0
' 0 1 1
0
0
1
2
' 1 0
3
2
y
x
x
x
x x
f x
x
x
=
=
=
=
= + =
+ =
=
=
+
.
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
2
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
Ta có bảng biến thiên sau:
Hàm số đạt cực đại tại điểm
0
x
khi đạo hàm của hàm số đó đổi dấu dương (+) sang âm (-) khi đi
qua điểm
0
x
.
Vậy hàm số
( )
2
1y f x= +
có 1 cực đại.
Câu 3: (Câu 4 - THPT Quế Võ 1 - Bắc Ninh - Lần 02 - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm số
( )
f x
có đạo
hàm trên
và có dấu của
( )
f x
như sau
Hàm s
( )
2y f x=
bao nhiêu điểm cực trị?
Ⓐ.
1
.
Ⓑ.
4
.
Ⓒ.
3
.
Ⓓ.
2.
Lời giải
Chọn C
Cách
1
Ta có
( ) ( )
2 2y f x y f x
= =
.
Ta có
( )
2 1 3
2 1 1
0 2 0
2 2 0
2 3 1.
x x
x x
y f x
x x
x x
= =
= =
= =
= =
= =
Mặt khác
( )
( )
2 1 3
0 2 0
2 2 3 1 0
1 2 1 1 3
0 2 0 1 2 2 0 1
2 3 1.
x x
y f x
x x
x x
y f x x x
x x
< >
< >
< < < <
< < < <
> < < < < <
> <
Ta có bảng xét dấu của
( )
2y f x
=
Từ bảng xét dấu của
( )
2y f x
=
ta thấy hàm số
( )
2y f x=
3
điểm cực trị.
Cách
2
Số điểm cực trị của hàm số
( )
2f x
bằng số điểm cực trị của hàm số
( )
f x
.
Từ bảng xét dấu của
( )
f x
ta thấy hàm số
( )
f x
3
điểm cực trị.
Câu 4: (Câu 44 - 101 - BGD&ĐT - Đợt 1 - Năm 2019 - 2020)
Cho m số ( )f x bậc 4 có bảng
biến thiên như sau:
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
3
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
Số điểm cực trị của hàm số
( ) ( )
2
4
1g x x f x
= +
Ⓐ.
11
.
Ⓑ.
9
.
Ⓒ.
7
.
Ⓓ.
5.
Lời giải
Chọn B
Ta chọn hàm bậc bốn
4 2
( ) 5 10 3y f x x x= = +
có bảng biến thiên như đề cho.
Ta có
( ) ( ) ( )
2
3 4
'( ) 4 1 .2. 1 ' 1 0g x x f x x f x f x
= + + + + =
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
3
3
2 . 1 . 2 1 ' 1 0
0 (1)
1 0 (2)
2 1 ' 1 0 (3)
x f x f x xf x
x
f x
f x xf x
+ + + + =
=
+ =
+ + + =
+ Phương trình (1) có nghiệm bội
0x =
.
+ Từ bảng biến thiên của hàm số
( )
y f x=
, ta có phương trình
( )
0f x =
có 4 nghiệm phân biệt
1
x
Phương trình (2):
( )
1 0f x + =
4 nghiệm phân biệt
0
x
.
+ Giải (3): Đặt
1 1
x t x t+ = =
, phương trình (3) trở thành:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
4 2 3
4 3 2
2 1 . ' 0 2 5 10 3 1 20 20 0
30 20 40 20 6 0 (3')
f t t f t t t t t t
t t t t
+ = + + =
+ + =
Bấm MTCT thấy phương trình (3’) có 4 nghiệm phân biệt
1
t
.
Phương trình (3) có 4 nghiệm phân biệt
0
x
.
Ngoài ra, nghiệm của phương trình (2) không phải là nghiệm của phương trình (3) vì những giá
trị x thỏa mãn
( )
1 0f x + =
không thỏa mãn phương trình (3).
Do đó phương trình
( )
' 0g x =
9 nghiệm phân biệt n m số
( ) ( )
2
4
1g x x f x
= +
9
điểm cực trị.
Câu 5: (Câu 44) (MĐ 103 - BGD&ĐT - Đợt 1 - Năm 2019 - 2020)
Cho hàm sbậc 4 bảng biến
thiên như hình vẽ
Số điểm cực trị của hàm số
( ) ( )
2
4
1g x x f x=
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
4
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
Ⓐ.
7
.
Ⓑ.
5
.
Ⓒ.
9
.
Ⓓ.
11
.
Lời giải
Chọn C
Cách 1.
Từ giả thiết đề bài đã cho ta thấy rằng hàm số
( )
f x
có dạng
( )
4 2
f x ax bx c= + +
.
Sử dụng giả thiết ta được
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
3
4 2
4 8 3 ' 1 16 1 16 1 16 1 2f x x x f x x x x x x= + = =
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2
3 4
0 4 1 2 . 1 . 1 0
0
1 0
2 1 . 1 0 *
g x x f x x f x f x
x
f x
f x x f x
= + =
=
=
+ =
Xét phương trình
( ) ( ) ( )
* 1 . 1
2
x
f x f x
= , ta có
( ) ( )( )
2
. 1 8 1 2
2
x
f x x x x
= .
Biểu diễn hai hàm số
( )
1f x
( )
. 1
2
x
f x
trên cùng một đồ thị đồ thị ta có
Như vậy phương trình
( )
*
có 4 nghiệm phân biệt.
Xét phương trình
( )
( )
( )
2
2
6
1
3
2
1
5
2
1 0
1
4
1
3
2
4
x
x
f x x
x
x
= ± +
=
= =
=
=
.
Thay 4 nghiệm này vào phương trình
( )
*
thì ta thấy rằng các nghiệm của phương trình y không
phải là nghiệm của phương trình
( )
*
.
Vậy hàm số đã cho có tất cả 9 điểm cực trị.
Cách 2.
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
5
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy rằng phương trình
( )
1 0f x =
4 nghiệm phân biệt khác 0,
suy ra phương trình
( ) ( )
2
4
1 0g x x f x= =
có tất cả 5 nghiệm bội chẵn, khi đó đồ thị hàm số
( )
g x
sẽ có dạng như sau
Như vậy hàm
( )
g x
có 9 điểm cực trị.
Câu 6: (Câu 38 - SGD Cần Thơ - đề 102 - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm số bậc bốn
( )
y f x=
có đồ thị
( )
f x
như sau:
Số điểm cực trị của hàm số
( )
( )
2
1g x f x=
Ⓐ.
1.
Ⓑ.
3.
Ⓒ.
2.
Ⓓ.
4.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( )
( )
2
2 . 1g x x f x
=
Xét
( )
( )
2
2
0
0
0
0
1 0
1 2
3
x
x
x
g x
f x
x
x
=
=
=
=
=
=
= ±
( ) ( )
2 4. 3 0g f
= >
Ta có bảng xét dấu
( )
g x
:
x
3
0
3
+
(
)
g x
0
+
0
0
+
Vậy số điểm cực trị của hàm số là 3 điểm.
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
6
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
Câu 7: (Câu 41 - SGD Quảng Nam - Lần 2 - Năm 2020 - 2021)
Biết hàm số
( )
f x
có đồ thị được cho
như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực đại của hàm số
( )
2
y f f x=
Ⓐ.
3.
Ⓑ.
4.
Ⓒ.
2.
Ⓓ.
1.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 . . ;
0 1
0 0 2 .
0 3
y f f x f f x f x
f x
y f f x
f f x
=
=
= =
=
Giải
( )
1
:
( )
0
0
2
x
f x
x
=
=
=
Giải
( )
2
:
( )
( )
( )
( )
1
2 1
0
0
0 2
2
x kep
f x
f f x x x
f x
x x x
=
=
= = >
=
= >
Giải
( )
3
:
( )
( )
( ) ( )
1 1
0
0
2
f x
f f x
f x x x
=
=
= >
( )
1
3 2
0
2
x kep
x x
x x x
=
= >
= >
Vậy phương trình
0y
=
nghiệm
0x =
(bội
5
),
2x =
,
1
x x=
(kép),
2
x x=
,
3
x x=
Phương
trình (1) có 4 nghiệm làm đổi dấu
y
nên hàm số đã cho có hai điểm cực đại, hai điểm cực tiểu.
Câu 8: (Câu 47 - SGD Quảng Nam - Lần 2 - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm số bậc ba
( )
y f x=
đồ
thị như hình vẽ bên
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
7
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
Số nghiệm thực của phương trình
( )
3
3 2f x x =
Ⓐ.
9
.
Ⓑ.
10
.
Ⓒ.
8
.
Ⓓ.
6
.
Lời giải
Chọn C
Đặt
3
3t x x=
( )
0t
( )
( )
( )
( )
( )
3
2 0
3 2 2 0 2
2
t a a
f x x f t t b b
t c c
= < <
= = = < <
= >
Ta có đồ thị hàm s
3
3y x x=
(là phần nằm phía trên trục hoành trong hình vẽ dưới đây)
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
8
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
Dựa vào đồ thị của hàm số
3
3y x x=
ta có
Với
t a=
ta có
3
3x x a =
phương trình vô nghiệm
Với
t b=
ta có
3
3x x b =
phương trình có
6
nghiệm thực phân biệt
Với
t c=
ta có
3
3x x c =
phương trình có
2
nghiệm thực phân biệt
Vậy số nghiệm thực của phương trình
( )
3
3 2f x x =
8
.
Câu 9: (Câu 38 - SGD Sơn La - Lần 2 - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm số
( )
y f x=
đạo hàm
( ) ( ) ( )
2
1 2f x x x
=
. Số điểm cực trị của hàm số
( )
(
)
2
2 5g x f x x= + +
Ⓐ.
3
.
Ⓑ.
0
.
Ⓒ.
1
.
Ⓓ.
2
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
( ) ( ) ( )
2
1
0 1 2 0
2
x
f x x x
x
=
= =
=
.
( )
( )
2
2
1
2 5
2 5
x
g x f x x
x x
+
= + +
+ +
.
( )
(
)
2
2
1
0 2 5 0
2 5
x
g x f x x
x x
+
= + + =
+ +
(
)
( )
2
2
2 2
1
2 5 1
2 5 0
2 5 2 2 1 0 1
x
x x VN
f x x
x x x x x
=
+ + =
+ + =
+ + = + + = =
.
Bảng xét dấu
( )
g x
:
Suy ra:
Chọn C
Câu 10: (Câu 39 - THPT Chuyên Bắc Ninh - Lần 3 - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm số
( )
y f x=
. Biết
hàm số
( )
'y f x=
có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số
( ) ( )
2021 2020
f x f x
y = +
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
9
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
Ⓐ.
2.
Ⓑ.
5
.
Ⓒ.
3
.
Ⓓ.
4
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
( )
( )
( )
( )
' ' .2021 .ln 2021 ' .2020 .ln 2020.
f x f x
y f x f x= +
( )
( ) ( )
' . 2021 .ln 2021 2020 .ln 2020 .
f x f x
f x
= +
Do
( ) ( )
( )
1
2
3
2021 .ln 2021 2020 .ln 2020 0, ' 0 ' 0 .
f x f x
x a
x y f x x b
x c
=
+ > = = =
=
Vậy hàm số
( ) ( )
2021 2020
f x f x
y = +
có ba điểm cực trị.
Câu 11: (Câu 24 - Chuyên Vinh- Nghệ An – Lần 1 – Năm 2020 - 2021)
Cho hàm s
( )
y f x=
có đạo
hàm trên
và có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số
( )
1 2y f x=
đạt cực tiểu tại
Ⓐ.
1
2
x =
.
Ⓑ.
1
2
x =
.
Ⓒ.
1x =
.
Ⓓ.
0x =
Lời giải
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
10
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
Chọn B
( ) ( ) ( )
1
1 2 1
1
2 1 2 0 2 1 2 0 1 2 0
2
1 2 2
1
2
x
x
g x f x f x x x
x
x
=
=
= = ⇔⇒ = = =
=
=
Ta có bảng biến thiên
Ta xét dấu bằng cách thay số
Với
( ) ( )
2 2 2 3 0x g f
= = <
Với
3 3 1
2 0
4 4 2
x g f
= = >
Với
1 1 1
2 0
4 4 2
x g f
= = <
Với
( ) ( )
1 1 2 3 0x g f
= = >
Vậy hàm số
( )
1 2y f x=
đạt cực tiểu tại
1
2
x =
.
Câu 12: (Câu 24 - Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - Lần 02 - Năm 2020 - 2021)
Cho m số
( )
y f x
=
có bảng biến thiên như sau:
Điểm cực tiểu của hàm số
( )
3y f x
=
Ⓐ.
3y =
Ⓑ.
2
3
x
=
.
Ⓒ.
2x
=
.
Ⓓ.
2
3
x
=
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
( )
3 3y f x
=
Từ BBT của hàm s
( )
y f x
=
ta có:
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
11
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
0y
=
( )
3 0f x
=
3 1
3 2
x
x
=
=
1
3
2
3
x
x
=
=
0y
>
3 1
3 2
x
x
<
>
1
3
2
3
x
x
<
>
0y
<
1 3 2x
< <
1 2
3 3
x
< <
Do đó, điểm cực tiểu của hàm số là
2
3
x
=
.
Câu 13: (Câu 47 - Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần 1 - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm số
( )
,y f x=
có đạo hàm
( ) ( ) ( )
2
1 3 .f x x x
= +
m số điểm cực trị của hàm số
( )
( )
2
2 6g x f x x= + +
Ⓐ.
1
.
Ⓑ.
2
.
Ⓒ.
3
.
Ⓓ.
5
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
( )
1 0 1
0
3 0 3
x x
f x
x x
+ = =
=
= =
.
Bảng xét dấu
Xét hàm số
( )
(
)
2
2 6g x f x x= + +
( )
(
)
2
2
1
2 6
2 6
x
g x f x x
x x
+
= + +
+ +
( )
(
)
2
2
1 0
1
0
2 6 0
2 6 3
x
x
g x
f x x
x x
+ =
=
=
+ + =
+ + =
2
1
1
3
2 3 0
1
x
x
x
x x
x
=
=
=
+ =
=
Bảng xét dấu
Từ bảng biến thiên. Ta thấy hàm số
( )
g x
3
điểm cực trị.
Câu 14: (Câu 45 - Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần 3 - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm liên tục trên
và có đồ thị hàm số
( )
y f x
=
như hình dưới đây:
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
12
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
Hàm số
( )
2
y f x x= +
có bao nhiêu điểm cực đại?
Ⓐ.
1
.
Ⓑ.
0
.
Ⓒ.
3
.
Ⓓ.
2
.
Lời giải
Chọn D
Bảng xét dấu của
( )
f x
:
Đặt
( )
( )
2
g x f x x= +
, ta có
( ) ( )
( )
2
2 1g x x f x x
= + +
,
( )
2
2
2
1
2 1 0
2
1
1 5
0
2
1
1 17
4
2
x
x
x x
g x x
x x
x x
x
=
+ =
+ =
±
= =
+ =
±
+ =
=
Đặt
1 17 1 5 1 5 1 17
, , ,
2 2 2 2
a b c d
+ +
= = = =
; Ta có bảng xét dấu của
( )
g x
Từ bảng xét dấu của
( )
g x
ta có hàm số
( )
( )
2
g x f x x= +
có
2
điểm cực đại.
Câu 15: (Câu 13 - Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 1 - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm số bậc
ba
( )
y f x=
có đồ thị như hình vẽ:
Gọi
S
là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số
( )
( )
2
1y f x m= +
có 3 điểm cực trị.
Tổng các phần tử của
S
là:
Ⓐ.
2
.
Ⓑ.
4
.
Ⓒ.
8
.
Ⓓ.
10
.
Lời giải
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
13
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
Chọn A
Ta
( ) ( )
( )
2
' 2 1 ' 1y x f x m= + .
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2 2
1 1
1
' 0 1 1 1 1 1
' 1 0
1 3 1 3 2
x x
x
y x m x m
f x m
x m x m
= =
=
= + = =
+ =
+ = =
.
+) Nếu
1 0 1m m = =
khi đó phương trình
( ) ( )
2
2 1 4x =
hai nghiệm phân biệt
khác
1
nên
1m =
thỏa mãn.
+) Nếu
3 0 3m m = =
khi đó phương trình
( ) ( )
2
1 1 4x =
nghiệm. Do đó,
3m =
không thỏa mãn.
+) Để hàm số
( )
( )
2
1y f x m= +
3 điểm cực trị thì phương
( )
1
có hai nghiệm phân biệt
( )
2
vô nghiệm; hoặc
( )
1
vô nghiệm và
( )
2
hai nghiệm phân biệt.
1 0 1
3 0 3
1 3
1 0 1
3 0 3
m m
m m
m
m m
m m
> <
< >
< <
< >
> <
.
Vậy
{ }
1 3 1;0;1;2
m
m m
<
. Chọn
A
.
Câu 16: (Câu 45 - Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 2 - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm số
( )
y f x=
(với
( )
f x
là đa thức bậc 5). Đồ thị hàm
( )
'y f x=
hình vẽ sau
Hỏi hàm số
( )
2
2
y f x x=
bao nhiêu điểm cực tiểu?
Ⓐ.
1
.
Ⓑ.
3
.
Ⓒ.
2
.
Ⓓ.
0
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
( )
( )
2
' 2 2 ' 2
y x f x x=
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
14
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
1
2 2 0
0
2 2 0
2
2 0
' 0 2 2 ' 2 0
' 2 0
2 1
1 2
3
2 3
1
x
x
x
x
x
x x
y x f x x
f x x
x x
x
x
x x
x
=
=
=
=
=
=
= =
=
=
= ±
=
=
=
.
Dựa vào đồ thta suy ra
' 0y =
đúng 5 nghiệm bội lẻ là:
1; 0; 1; 2; 3x x x x x= = = = =
nên
hàm s
( )
2
2
y f x x=
5 điểm cực trị.
Từ giả thiết đồ thị hàm số
( )
'y f x=
hàm s
( )
2
2
y f x x=
có 5 điểm cực trị suy ra hàm số
( )
2
2
y f x x=
có 3 điểm cực tiểu
Câu 17: (Câu 44 - Chuyên Quốc Học Huế - Huế - Lần 1 - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm số
( )
=y f x
có đạo hàm
( ) ( )( )
2
2 3
= + f x x x x
. Điểm cực đại của hàm số
( )
( )
2
2g x f x x=
Ⓐ.
0
=x
.
Ⓑ.
1
= x
.
Ⓒ.
3
=x
.
Ⓓ.
1
=x
.
Lời giải
Chọn D
Theo giả thiết :
( )
0
0 2
3
=
= =
=
x
f x x
x
(trong
đó
0x =
nghiệm
kép)
.
Ta có
( ) ( )
( )
2
2 2 2g x x f x x
=
, có
( )
( )
2
2
2
2
2 2 0
2 2 0
2 0
0
2 0
2 2( )
2 3
=
=
=
=
=
=
=
x
x
x x
g x
f x x
x x vn
x x
=
=
=
=
=
1
0
2
1
3
x
x
x
x
x
(trong
đó
0x =
2x =
nghiệm
kép)
.
Bảng biến thiên của hàm số
( )g x
Dựa vào BBT, hàm số
( )g x
đạt cực đại tại
1x =
.
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
15
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
Câu 18: (Câu 48 - Chuyên Thái Bình - Thái Bình - Lần 4 - Năm 2020 - 2021 )
Cho hàm s
( )
f x
,
bảng biến thiên của hàm số
( )
f x
như sau:
Số điểm cực trị của hàm số
( )
2
3 6 2
y f x x= +
là:
Ⓐ.
3
.
Ⓑ.
5
.
Ⓒ.
7
.
Ⓓ.
9
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
( )
( )
2
6 6 3 6 2
y x f x x
= +
( )
( )
( )
( )
2
2
1
0 6 6 3 6 2 0
3 6 2 0 1
x
y x f x x
f x x
=
= + =
+ =
BBT:
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
1
2
2 0
2
3 0
2
4 0
3 6 2 ; 1 :
3 6 2 1;0 2
1
3 6 2 0;1 2
3 6 2 1; 2
x x a vn
x x a n
x x a n
x x a n
+ = −∞
+ =
+ =
+ = +∞
phưưng trình
0y
=
7
nghiưm đưn phân biưt nên hàm
( )
2
3 6 2
y f x x= +
7
cưc trư.
Câu 19: (Câu 50 - THPT Cẩm Bình - Tĩnh - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) C
ho hàm số bậc ba
( )
y f x=
có đồ thị như hình vẽ.
f'
(x)
+∞
0
+∞
x
+∞
1
1
1
3
2
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
16
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
Số điểm cực tiểu của hàm số
( )
2
y f x x
= +
bằng
Ⓐ.
1
.
Ⓑ.
5
.
Ⓒ.
3
.
Ⓓ.
2
.
Lời giải
Chọn C
Từ đồ thị ta có hàm số bậc ba
( )
y f x=
hai điểm cực trị
2; 0x x= =
Đặt
2
u x x= +
. Ta có
1
' 2 1 0
2
u x x= + = =
Bảng biến thiên của hàm số
( )
2
y f x x
= +
Câu 20:
Vậy hàm số
( )
2
y f x x
= +
có
3
điểm cực tiểu.
(Câu 46 - THPT Cẩm Bình - Hà Tĩnh - Lần
2 - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm số
( )
y f x
=
có bảng biến thiên như hình dưới
Số điểm cực trị của hàm số
( )
2
4 1y f x x
= +
Ⓐ.
1
.
Ⓑ.
5
.
Ⓒ.
3
.
Ⓓ.
2
.
Lời giải
Chọn B
Xét hàm số:
( )
( )
2
4 1
f xy g x x= = +
( ) ( )
( )
2
1' ' 2 4 ' 4
y f xg xx x= = +
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
17
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
( )
( )
2
2 4 0
0
' 4 1 0
'
x
g
f
x
x x
+
=
=
=
2
2
1
2 4 0
4 1
4 1 3
x x
x x
x
+ =
+ =
=
2
2
4 2
0
2
0
4 2
x x
x
x x
+ =
=
=
2 2
2 2
2 6
2 6
2
x
x
x
x
x
= +
=
= +
=
=
Suy ra
( )
'g x
bị đổi dấu 5 lần, nên hàm số
( )
2
4 1y f x x
= +
có 5 điểm cực trị.
Câu 21: (Câu 18 - THPT Đào Duy Từ - Hà Nội - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số
( )
f x
. Bảng biến thiên của hàm số
( )
f x
như sau:
Số điểm cực trị của hàm số
( )
2
2y f x x=
Ⓐ.
7
.
Ⓑ.
9
.
Ⓒ.
3
.
Ⓓ.
6
.
Lời giải
Chọn A
( )
( )
2
2 2 2
y x f x x
=
.
Xét phương trình
( ) ( )
2 2
2 2 0 1
0
2 0 2 0
x x
y
f x x f x x
= =
=
= =
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số
( )
f x
, ta có
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
2
2 1 1
2 1 0 2
2 0
2 0 1 3
2 1 4
x x a a
x x b b
f x x
x x c c
x x d d
= <
= < <
=
= < <
= >
Xét hàm số
( )
2
2g x x x=
, có bảng biến thiên như sau
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số
( )
2
2g x x x=
, suy ra:
+ Phương trình (1) vô nghiệm.
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
18
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
+ Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
khác 1.
+ Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt
3 4
,x x
khác các nghiệm:
1 2
, ,1x x
.
+ Phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt
5 6
,x x khác các nghiệm:
1 2 3 4
, , , ,1x x x x .
Vậy phương trình
0y
=
7 nghiệm phân biệt nên hàm số đã cho 7 điểm cực
trị.
Câu 22: (Câu 27 - THPT Đội Cấn - Vĩnh Phúc - Lần 01 - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm số bậc bốn
y = f(x) có đồ thị hình vẽ bên?
Số điểm cực trị của hàm số
3
( ) ( 3 )g x f x x=
Ⓐ.
7
.
Ⓑ.
9
.
Ⓒ.
11
.
Ⓓ.
5
.
Lời giải
Chọn B
Ta
2 3
3
1
'( ) (3 3) '( 3 ) 0
'( 3 ) 0
x
g x x f x x
f x x
= ±
= =
=
Dựa vào đồ thị ta có
3
3 3
3
3 ( 2 )
'( 3 ) 0 3 ( 2 0) (*)
3 (0 2)
x x t t
f x x x x u u
x x v v
= >
= = < <
= < <
Xét
3 2
( ) 3 '( ) 3 3 0 1h x x x h x x x= = = = ±
ta có bảng biến thiên sau:
Dựa o bảng biến thiên ta được (*) có 7 nghiệm phân biệt khác
1±
n '( ) 0g x = 9 nghiệm
đơn phân biệt. Vậy hàm số
3
( ) ( 3 )g x f x x=
có 9 cực trị.
Câu 23: (Câu 37 - THPT Kinh Môn - Hải Dương - Lần 02 - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm s
( )
y f x=
. Đồ thị của hàm s
( )
y f x
=
như hình bên.
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
19
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
Hàm số
( )
( )
2021g x f x
= +
có bao nhiêu điểm cực trị?
Ⓐ.
5
.
Ⓑ.
7
.
Ⓒ.
3
.
Ⓓ.
2
.
Lời giải
Chọn A
Từ hình vẽ ta thấy đồ thị của
( )
y f x
=
cắt trục hoành tại
2
điểm có hoành độ dương (và
1
điểm
có hoành độ âm).
Suy ra hàm số
( )
f x
có
2
điểm cực trị dương.
Suy ra hàm số
( )
f x
có
5
điểm cực trị.
Suy ra m số
( )
( )
2021g x f x
= +
5
điểm cực trị (vì tịnh tiến đồ thị lên trên hay xuống
dưới không ảnh hưởng đến số điểm cực trị của hàm số).
Câu 24: (Câu 36 - THPT Thái Tổ - Bắc Ninh - Lần 2 - Năm 2020 - 2021)
Cho m số bậc bốn
( )
y f x=
đồ thị
( )
1
C
hàm s
( )
y f x
=
có đồ thị
( )
2
C
như hình vẽ
bên. Số điểm cực trị của đồ thị hàm s
( ) ( )
e .
x
g x f f x
=
trên khoảng
( )
;3−∞
Ⓐ.
9.
Ⓑ.
6.
Ⓒ.
7.
Ⓓ.
8.
Lời giải
Chọn D
Ta
( ) ( ) ( ) ( )
( )
e . . e
x x
g x f x f x f f x
=
.
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
20
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
Xét
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
0
0
e . 0 e . 0
x x
f x f x f x f x
g x
f f x f f x
= =
=
= =
.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
0
e . 2
2e
0
e . 0
2e
e . 2
x
x
x
x
x
x a
x a
x
x
x b
x b
f x
f x
f x
f x
f x
f x
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Từ đồ thị ta suy ra được:
Phương trình
( )
2e
x
f x =
có nghiệm đơn.
Phương trình
( )
0f x =
có 2 nghiệm đơn và 1 nghiệm bội chẵn
( )
0x =
.
Phương tridnh
( )
2e
x
f x =
có 1 nghiệm đơn.
Vậy
( )
0g x
=
có 8 nghiệm đơn nên hàm s
( )
g x
có 8 điểm cực trị.
Câu 25: (Câu 45 - THPT Ngọc Tảo - Nội - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm s
( )
y f x=
đạo m
trên
có bảng xét dấu của
( )
f x
như sau
Hỏi hàm số
( )
( )
2
2
g x f x x=
bao nhiêu điểm cực tiểu?
Ⓐ.
4
.
Ⓑ.
1
.
Ⓒ.
3
.
Ⓓ.
2
.
Lời giải
Chọn B
Ta
( ) ( )
( )
2
2 2 2
g x x f x x
=
.
Suy ra
( ) ( )
( )
( )
2
2
2
2
2
1
2 2 0
2 3
0 2 2 2 0
2 0
2 2
2 1
x
x
x x
g x x f x x
f x x
x x
x x
=
=
=
= =
=
=
=
1
3
1
1 2
x
x
x
x
=
=
=
= ±
.
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
21
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
Xét
( )
0g x
( )
( )
2
2 2 2 0
x f x x
( )
( )
2
2
2 2 0
2 0
2 2 0
2 0
x
f x x
x
f x x
2
2
2
1
2 2 3
1
2 3
2 2
x
x x
x
x x
x x
2
2
2
2
1
2 2 0
2 3 0
1
2 3 0
2 2 0
x
x x
x x
x
x x
x x
+
+
1
1 3
1
3
1
x
x
x
x
x
1 3
1
x
x
.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số
( )
( )
2
2
g x f x x=
có 1 điểm cực tiểu.
Cách khác:
Từ BBT hàm
( )
2
2f x x
được mô tả ở dưới ta suy ra hàm có 1 điểm cực tiểu.
Câu 26: (Câu 45 - THPT Phụ Dực - Thái Bình - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số
( )
3 2
y f x ax bx cx d= = + + +
với
0a
có đồ thị hàm số như hình bên. Điểm cực đại của đồ thị
hàm số
( )
2 3y f x= +
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
22
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
Ⓐ.
( )
0;5
.
Ⓑ.
( )
0;2
.
Ⓒ.
( )
5; 6
.
Ⓓ.
( )
5;3
.
Lời giải
Chọn A
Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có
( )
2
0
2
x
f x
x
=
=
=
( )
2
0
2
x
f x
x
<
<
>
.
Ta có
( )
2y f x
=
. Cho
2 2 0
0
2 2 4
x x
y
x x
= =
=
= =
.
Giả sử
( ) ( )
2 2 4
0 2 0 2 0
2 2 0
x x
y f x f x
x x
< >
> > <
> <
.
Do đó ta có bảng biến thiên sau:
Vậy hàm số
( )
2 3= +y f x
đặt cực tại tại
0=x
khi
( ) ( )
0 2 3 2 3 5= + = + =y f
.
Vậy tọa độ điểm cực đại là
( )
0;5
.
Câu 27: (Câu 46 - THPT Tam Dương - Vĩnh Phúc - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số
( )=y f x
có bảng biến thiên như hình dưới:
Số điểm cực trị của hàm số
( )
2
14y f x x= +
là:
Ⓐ.
1
.
Ⓑ.
5
.
Ⓒ.
3
.
Ⓓ.
2
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( )
( )
2
14
g f xx x= +
.
6
2
2
-2
-2
y
x
O
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
23
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 2
14 . 41 1 2 2 . 4x f x x f xg x x x x
=
= + + +
.
Ta có
( ) ( )
( )
2 2
2
3
2
2 2
2
2 2 . 4 0 4 20 2
4
2
6
1 1
6
2
1
1
x
x
x
x fg x x x
x
x
x
x
x x
x
=
=
=
=
+
= + + =
=
= +
=
= +
.
Ta có bảng xét dấu của
( )
g x
.
Dựavào bảng biến thiên ta thấy hàm số
( )
( )
2
14g f xx x= +
5 điểm cực trị.
Câu 28: (Câu 47 - THPT Yên Hòa - Hà Nội - Lần 1 - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm số
( )y f x=
có đạo
m trên
R
. Biết hàm số
( )y f x
=
đồ thị như hình vẽ.
Sô điểm cực trị của hàm số
( )
2
3y f x=
Ⓐ.
5
.
Ⓑ.
4
.
Ⓒ.
2
.
Ⓓ.
3
.
Lời giải
Chọn D
Đặt
( )
2
( ) 3g x f x=
ta có
( )
2
( ) 2 . 3g x x f x
=
.
Từ đồ thị của
( )y f x
=
ta có
2
2
2 0
0
( ) 0 3 1 2
1
3 2
x
x
g x x x
x
x
=
=
= = = ±
= ±
=
.
Cũng tđồ thta thấy
2x = ±
nghiệm kép của phương trình, nên ta
0, 1x x= = ±
c
nghiệm đơn của
( ) 0g x
=
. Vậy hàm s
( )
2
( ) 3y g x f x= =
có tất cả
3
cực trị.
Câu 29: (Câu 46 - 101 - BGD&ĐT - Năm 2018 - 2019)
Cho hàm số
( )
f x
, bảng biến thiên của
m số
( )
f x
như sau
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
24
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
Số điểm cực trị của hàm số
( )
2
2y f x x=
Ⓐ.
9
.
Ⓑ.
3
.
Ⓒ.
7
.
Ⓓ.
5
.
Lời giải
Chọn C
Cách
1
Từ bảng biến thiên ta có phương trình
( )
0f x
=
có các nghiệm tương ứng
( )
( )
( )
( )
, ; 1
, 1;0
,c 0;1
, 1;
x a a
x b b
x c
x d d
= −∞
=
=
= +∞
.
Xét hàm số
( )
( )
( )
2 2
2 2 1 2y f x x y x f x x
= =
.
Giải phương trình
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2
2
2
2
1
2 1
1 0
0 2 1 2 0 2 2
2 0
2 3
2 4
x
x x a
x
y x f x x x x b
f x x
x x c
x x d
=
=
=
= = =
=
=
=
.
Xét hàm số
( )
2
2h x x x=
ta có
( ) ( )
2
2
2 1 1 1,h x x x x x= = +
do đó
Phương trình
( )
2
2 , 1x x a a = <
nghiệm.
Phương trình
( )
2
2 , 1 0x x b b = < <
hai nghiệm phân biệt
1 2
;x x
không trùng với nghiệm
của phương trình
( )
1
.
Phương trình
( )
2
2 , 0 1x x c c = < <
có hai nghiệm phân biệt
3 4
;x x
không trùng với nghiệm của
phương trình
( )
1
và phương trình
( )
2
.
Phương trình
( )
2
2 , 1x x d d = >
hai nghiệm phân biệt
5 6
;x x
không trùng với nghiệm của
phương trình
( )
1
và phương trình
( )
2
phương trình
( )
3
.
Vậy phương trình
0
=y
7
nghiệm phân biệt nên hàm số
( )
2
2y f x x=
7
điểm cực trị.
Cách
2
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
25
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
Từ bảng biến thiên ta có phương trình
( )
0f x
=
có các nghiệm tương ứng
( )
( )
( )
( )
, ; 1
, 1;0
,c 0;1
, 1;
x a a
x b b
x c
x d d
= −∞
=
=
= +∞
Xét hàm số
( )
( )
( )
2 2
2 2 1 2y f x x y x f x x
= =
.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2
2
2
2
1
2 1
1 0
0 2 1 2 0 2 2
2 0
2 3
2 4
x
x x a
x
y x f x x x x b
f x x
x x c
x x d
=
=
=
= = =
=
=
=
.
Vẽ đồ thị hàm số
( )
2
2h x x x=
Dựa vào đồ thị ta thấy: phương trình
( )
1
nghiệm. Các phương trình
( ) ( ) ( )
2 ; 3 ; 4
mỗi
phương trình có 2 nghiệm. Các nghiệm đều phân biệt nhau.
Vậy phương trình
0
=y
7
nghiệm phân biệt nên hàm số
( )
2
2y f x x=
7
điểm cực trị.
Câu 30: (Câu 48 - 102 - BGD&ĐT - Năm 2018 - 2019)
Cho hàm số
( )
f x
, bảng biến thiên của
m số
( )
'f x
như sau:
Số điểm cực trị của hàm số
( )
2
2y f x x= +
Ⓐ.
3
.
Ⓑ.
9
.
Ⓒ.
5
.
Ⓓ.
7
.
Lời giải
Chọn D
Xét hàm số
( )
2
2y f x x= +
trên
.
Ta
( )
( )
2
' 2 2 ' 2y x f x x= + +
.
+
+
1
3
+
1
1
f'(x)
x
0
2
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
26
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
Dựa vào bảng biến thiên của hàm
( )
'f x
ta được
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1 1 1
2
' 0 2 1 1 2
2
1 1 3
2
1 1 4
x
x
x a
x x a
y x x b x b
x x c
x c
x x d
x d
=
=
+ = +
+ =
= + = + = +
+ =
+ = +
+ =
+ = +
, trong đó
1 0 1
a b c d< < < < < <
.
Do
1 0 1
a b c d< < < < < <
nên
1 0
1 0
1 0
1 0
a
b
c
d
+ <
+ >
+ >
+ >
.
Khi đó phương trình
( )
1
nghiệm. Các phương trình
( ) ( ) ( )
2 , 3 , 4
mỗi phương trình đều có 2
nghiệm phân biệt và khác nhau, cùng khác
1
. Suy ra phương trình
' 0y =
có 7 nghiệm đơn.
Vậy hàm số
( )
2
2y f x x= +
có 7 điểm cực trị.
Câu 31: (Câu 48 - 103 - BGD&ĐT - Năm 2018 - 2019)
Cho hàm số
( )
f x
, bảng biến thiên của
m số
( )
f x
như sau:
Số điểm cực trị của hàm số
( )
2
4 4y f x x=
Ⓐ.
9
.
Ⓑ.
5
.
Ⓒ.
7
.
Ⓓ.
3
.
Lời giải
Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
( )
0f x
=
( )
( )
( )
( )
; 1
1;0
0;1
1;
x a
x b
x c
x d
= −∞
=
=
= +
.
Ta có:
( )
( )
2
8 4 4 4y x f x x
=
, 0y
=
( )
2
8 4 0
4 4 0
x
f x x
=
=
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
1
2
4 4 ; 1
4 4 1;0
4 4 0;1
4 4 1;
x
x x a
x x b
x x c
x x d
=
=
=
=
= +
.
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
27
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
Ta có khi
2
1
4 4 1
2
x x x= =
( )
1 3 0f
=
Mặt khác:
( )
2
2
4 4 2 1 1 1x x x =
nên:
2
4 4x x a =
nghiệm.
2
4 4x x b =
2
nghiệm phân biệt
1
x
,
2
x
.
2
4 4x x c =
2
nghiệm phân biệt
3
x
,
4
x
.
2
4 4x x d =
2
nghiệm phân biệt
5
x
,
6
x
.
Vậy phương trình 0y
=
7
nghiệm bội lẻ phân biệt nên hàm số có
7
điểm cực trị.
Cách 2:
Gọi
m
đại diện cho các tham số ta xét phương trình
2
4 4 0x x m =
( )
' 4 1m = +
,
0 1
m
> >
.
Vậy với mỗi giá trị , ,b c d thuộc khoảng đã cho phương trình
( )
2
4 4 0f x x
=
có 6 nghiệm phân
biệt.
Vậy phương trình 0y
=
7
nghiệm bội lẻ phân biệt nên hàm số có
7
điểm cực trị.
Câu 32: (Câu 50 - 104 - BGD&ĐT - Năm 2018 - 2019)
Cho hàm số
( )
f x
, bảng biến thiên của
m số
( )
f x
như sau:
Số điểm cực trị của hàm số
( )
2
4 4y f x x= +
Ⓐ.
5
.
Ⓑ.
9
.
Ⓒ.
7
.
Ⓓ.
3
.
Lời giải
Chọn C
Ta
( )
( )
2
8 4 4 4 ; 0y x f x x y
= + + =
( )
( )
2
2
1
4 4 0
4 4 0
1
8 4 0
2
f x x
f x x
x
x
+ =
+ =
+ =
=
.
Dựa vào bảng biến thiên của
( )
f x
nhận thấy
( )
( )
( )
( )
( )
; 1
1;0
0
0;1
1;
x a
x b
f x
x c
x d
= −∞
=
=
=
= +∞
.
Do đó
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
4 4 ; 1
4 4 1;0
4 4 0 *
4 4 0;1
4 4 1;
x x a
x x b
f x x
x x c
x x d
+ = −∞
+ =
+ =
+ =
+ = +∞
. Lại
2
4 4x x a+ = vô nghiệm
( )
2
2
4 4 2 1 1 1,x x x x+ = +
;
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
28
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
2
2
3
4 4
x x
x x b
x x
=
+ =
=
;
4
2
5
4 4
x x
x x c
x x
=
+ =
=
;
6
2
7
4 4
x x
x x d
x x
=
+ =
=
.
b c d
do thuộc các khoảng khác nhau (như
( )
*
) n các nghiệm
2 3 4 5 6 7
, , , , ,
x x x x x x
đều
khác nhau khác
1
1
2
x = . Do đó 0y
= có 7 nghiệm đơn phân biệt n y
đổi dấu 7 lần suy
ra hàm số có 7 điểm cực trị.
Câu 33: (Câu 45 - MĐ 102 - BGD&ĐT - Đợt 1 - Năm 2019 - 2020)
Cho hàm số bậc bốn
( )
f x
có bảng
biế thiên như sau:
Số điểm cực trị của hàm số
( ) ( )
4
2
1g x x f x=
Ⓐ.
7
.
Ⓑ.
8
.
Ⓒ.
5
.
Ⓓ.
9
.
Lời giải
Chọn D
Ta có hàm số
( )
g x
liên tục và có đạo hàm là
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
4 3 3
2
' 2 . 1 4. . ' 1 . 1 2 1 . 1 2 ' 1g x x f x x f x f x x f x f x xf x= + = +
Cho
( ) ( )
( ) ( )
1
0
0 1 0
1 2 . ' 1 0
x x
g x f x
f x x f x
= =
= =
+ =
.
* Với phương trình
( )
1 0f x =
.
( )
f x
hàm bậc bốn bảng biến thiên ntrên ta thấy phương trình
( )
1 0f x =
bốn nghiệm đơn phân biệt
2 3 4 5
, , ,x x x x
khác
1
x
.
* Với phương trình
( ) ( )
1 2 ' 1 0f x xf x + =
Ta thấy phương trình không nhận các s
1 2 3 4 5
, , , ,x x x x x
làm nghiệm.
Gọi
( )
4 2
f x ax bx c= + +
,
( )
' 0f x =
có 3 nghiệm phân biệt
1; 0;1
( ) ( )
0 1, 1 3f f= =
n
1, 4, 8c a b= = =
, suy ra
( )
4 2
4 8 1f x x x= +
.
Đặt
1t x=
, phương trình
( ) ( )
1 2 ' 1 0f x xf x + =
trở thành
( ) ( ) ( )
2 1 ' 0f t t f t+ + =
( )
( )
4 2 3 4 3 2
4 8 1 2 1 16 16 0 36 32 40 32 1 0t t t t t t t t t + + + + = + + =
.
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
29
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
Xét hàm số
( )
4 3 2
36 32 40 32 1h t t t t t= + +
( )
3 2
' 144 96 80 32h t t t t= + +
, cho
( )
1 2
' 0 1; ,
3 3
h x x x x= = = =
.
Ta có bảng biến thiên
Do đó phương trình
( )
0h t =
có 4 nghiệm đơn phân biệt hay phương trình
( ) ( )
1 2 ' 1 0f x xf x + =
có 4 nghiệm đơn phân biệt
6 7 8 9
, , ,x x x x
. Hay hàm số
( )
g x
có 9 điểm
cực trị là
1 2 3 4 5 6 7 8 9
, , , , , , , ,x x x x x x x x x
.
Câu 34: (Câu 46 - MĐ 104 - BGD&ĐT - Đợt 1 - Năm 2019 - 2020)
Cho hàm số bậc bốn
( )
f x
có bảng
biến thiên sau:
Số điểm cực trị của hàm số
( ) ( )
4
2
1= +
g x x f x
Ⓐ.
7
.
Ⓑ.
8
.
Ⓒ.
9
.
Ⓓ.
5
.
Lời giải
Chọn C
Nhận xét
( )
( )
0,
lim
x
g x x
g x
→±∞
= +∞
,
Cho
( )
0=g x
( )
2
4
0
1 0
=
+ =
x
f x
( )
0
1 0
=
+ =
x
f x
Nhận thấy: Tịnh tiến đồ thị
( )
f x
sang trái
1
đơn vị ta thu được đồ thị của
( )
1+f x
Do đó
( )
1 0+ =f x
, 2
, 2 1
, 1 0
, 0
= <
= < <
= < <
= >
x a a
x b b
x c c
x d d
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
30
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
thế
( )
0=g x
có
5
nghiệm phân biệt
Hay đồ thị
( )
g x
5 điểm tiếp xúc với trục hoành
Vậy hàm số
( )
g x có 9 cực trị.
Câu 35: (Câu 45 - MĐ 104 - BGD&ĐT - Đợt 2 - Năm 2019 - 2020)
Cho hàm số
( )
y f x=
với
( )
0 0f =
. Biết
( )
y f x
=
một hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong như hình dưới đây
Số điểm cực trị của hàm số
( )
( )
4 2
g x f x x= +
Ⓐ.
3
.
Ⓑ.
6
.
Ⓒ.
5
.
Ⓓ.
4
.
Lời giải
Chọn C
Xét hàm số
( )
( )
( )
( )
( )
4 2 2 4
2 2 . 1h x f x x h x x x f x
= + = +
( )
( )
2 4
0
0
2 1 0 (1)
x
h x
x f x
=
=
+ =
Giải phương trình
( )
1
Đặt
( )
4
0x t t=
, ta có phương trình
( ) ( ) ( )
1
2 1 0 2
2
t f t f t
t
+ = =
(Vì
0
t =
không thỏa
n)
Số nghiệm của phương trình
( )
2
chính số giao điểm của đồ thị m số
( )
y f t
=
đồ thị
m số
1
2
y
t
=
Ta có các đồ thị như sau
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
31
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
n cứ đồ thị, suy ra phương trình
( )
2
có nghiệm duy nhất
4
4
0
t a x a x a= > = = ±
n cứ đồ thị hàm số
( ) ( )
( )
( )
( )
lim lim 2 1
t t
y f t f t t f t
+ +∞
= = −∞ + = −∞
Ta có bảng biến thiên của hàm số
( )
y h x=
( )
y g x=
như sau:
Câu 36: (Câu 46 - Đề Tham Khảo - BGD&ĐT - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm số
( )
f x
hàm sbậc
bốn thoả mãn
( )
0 0f =
. Hàm số
( )
f x
có bảng biến thiên như sau:
Hàm số
( )
( )
3
3g x f x x=
có bao nhiêu điểm cực trị?
Ⓐ.
3
.
Ⓑ.
5
.
Ⓒ.
4
.
Ⓓ.
2
.
Lời giải
Chọn A
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
32
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
Bảng biến thiên hàm số
( )
f x
Đặt
( )
( )
( )
( ) ( )
3 2 3 3
2
1
3 3 3 0h x f x x h x x f x f x
x
= = = =
Đặt
3
3
t x x t= =
thế vào phương trình trên ta được
( ) ( )
3 2
1
1f t
t
=
t hàm số
3 32 5
1 2
3
y y
t t
= =
,
lim 0
t
y
±∞
=
.
Bảng biến thiên của hàm số
3 2
1
y
t
=
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình
( )
1
một nghiệm
0t a= >
.
Bảng biến thiên
Vậy hàm số
( )
g x
3 cực trị.
Câu 37: (Câu 41 - SGD Bắc Giang - lần 1 - Năm 2020 - 2021)
Cho m s
( )
y f x=
có đạo m trên
đồ thị hàm số
( )
y f x
=
cắt trục hoành tại các điểm có hoành đ
3
;
2
; a ;
b
; 3; c ;
5
với
4
1
3
a < <
;
4
1
3
b< <
;
4 5c< <
(có dạng như hình vẽ bên dưới)
. Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số thực m để hàm số
( )
2 3y f x m= +
7
điểm cực trị?
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
33
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
Ⓐ.
3
.
Ⓑ.
2
.
Ⓒ.
4
.
Ⓓ.
Vô số.
Lời giải
Chọn A
Xét hàm số
( ) ( )
2 3h x f x m= +
Ta có:
( ) ( )
2 2 3 0h x f x m
= + =
( )
2 3 0f x m
+ =
Từ đồ thị của m số
( )
f x
suy ra
( )
2 3 0f x m
+ =
2 3x m k + =
3
2
k m
x
+
=
với
{ }
3; 2 ; ; ;3; ;5k a b c
(
4
1
3
a < <
;
4
1
3
b< <
;
4 5c< <
)
Hàm số
( )
2 3y f x m= +
7
điểm cực trị
m số
( ) ( )
2 3h x f x m= +
3
cực trị có
hoành đdương,
3
nghiệm bội chẵn của
( )
f x
nên hàm s
( ) ( )
2 3h x f x m= +
có
3
cực trị có hoành độ dương
phương trình
( )
0h x
=
3
nghiệm dương phân biệt khác
6
2
m
3
0
2
3
0
2
a m
b m
+
<
+
>
3 0
3 0
a m
b m
+ <
+ >
3
3
m a
m b
> +
< +
3 3a m b + < < +
Do
4
1
3
a < <
4
1
3
b< <
nên
1 3 1 3m + +
hay
2 4m
Vậy
3
giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là
2
;
3
;
4
.
Câu 38: (Câu 46 - SGD Hải Phòng - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm số
( )
f x
( )
( )
( )
( )
2 2
16 1 4 4f x x x x x m
= + +
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
thuộc
[ ]
2021;2021
sao cho hàm s
( )
( )
2
g x f x=
5
điểm cực trị?
Ⓐ.
2025
.
Ⓑ.
2026
.
Ⓒ.
2021
.
Ⓓ.
4043
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
( )
( ) ( )( )( )
2 4 2 4 2
' 2 . 2 16 1 4 4g x x f x x x x x x m
= = + +
.
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
34
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
( )
( )
4
4 2
4 2
0
0
2
' 0 16 0
2
4 4 0
4 4 0 *
x
x
x
g x x
x
x x m
x x m
=
=
=
= =
=
+ =
+ =
.
TH1: Phương trình ( * ) có nghiệm
0 4 0 4
x m m= = =
.
Thay
4
m =
vào phương trình ( * ) ta có:
4 2
0
4 0 2
2
x
x x x
x
=
= =
=
.
Khi đó
( )
0g x
=
3 nghiệm bội chẵn nên hàm s
( )
g x
không thể có 5 điểm cực trị n
4
m =
loại.
TH2: Phương trình ( * ) có nghiệm
2 4 0 4x m m= ± = =
(loại).
TH3: Phương trình ( * ) có 2 nghiệm đơn phân biệt, khác
0
và khác
2±
hay
2
4 4 0t t m + =
phải có hai nghiệm trái dấu (với
2
t x=
)
4 0 4
m m < <
.
Khi đó
( )
0g x
=
5 nghiệm phân biệt nên hàm số
( )
g x
có 5 điểm cực trị.
Kết hợp điều kiện m thuộc
[ ]
2021;2021
suy ra
2021 4,m m <
nên có 2025 giá trị
nguyên của tham s m thỏa mãn yêu cầu.
Câu 39: (Câu 48 - Sở GD Lào Cai - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm số
4 3 2
1
( )
4
f x x ax bx cx= + + +
có đồ
thị
( )C
của hàm
'( )y f x=
như hình vẽ sau:
Đặt
( ) ( )
( ) '( ) , ( ) ' ( ) .g x f f x h x f f x= =
Tổng số điểm cực trị của ( )g x ( )h x là:
Ⓐ.
12.
Ⓑ.
11.
Ⓒ.
8.
Ⓓ.
13.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
4 3 2 3 2
1
( ) '( ) 3 2
4
f x x ax bx cx f x x ax bx c= + + + = + + +
Ta lại có:
'(0) 4 4 4 1
'( 1) 0 1 3 2 4 0 3 2 3 0
'(2) 0 8 12 4 4 0 12 4 12 4
f c c a
f a b a b b
f a b a b c
= = = =
= + + = = =
= + + + = + = =
hay
4 3 3 2 2
1
( ) 4 , '( ) 3 4 ''( ) 3 6
4
f x x x x f x x x f x x x= + = + =
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
35
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
2
0
''( ) 3 6 0
2
x
f x x x
x
=
= =
=
● Tìm số cực trị củam số:
( )
( ) '( )g x f f x=
Ta có:
1
2
3
4
0
2
0
''( ) 0 2
'( ) ''( ). '( '( )) 0
'( '( )) 0 '( ) 1
'( ) 2
x
x
x
x x
f x x
g x f x f f x
x x
f f x f x
x x
f x
x x
=
=
=
=
= =
= =
=
= =
=
=
=
với
1
x
là nghiệm của phương trình '( ) 1f x =
2 3 4
, ,x x x
ba nghiệm của phương trình '( ) 2f x = ,
1 2 3 4
0 2x x x x< < < < <
Bảng xét dấu
'( )y g x=
nhìn vào bảng trên, hàm số
( )
( ) '( )g x f f x=
có 3 cực trị
●Tìm số cực trị của hàm s
( )
( ) ' ( )h x f f x=
BBT của hàm số ( )y f x=
Ta có:
1
2
3
4
1
2
'( ) 0
'( ) '( ). ''( ( )) 0 ( ) 0
( ) 2
x
x
f x
x x
h x f x f f x f x
x x
f x
x x
x x
=
=
=
=
= = =
=
=
=
=
Với
1 2
,x x
nghiệm của phương trình ( ) 0,f x =
3 4
,x x
nghiệm của phương trình ( ) 2f x =
3 1 2 4
1 2x x x x< < < < <
Bảng xét dấu '( )y h x=
nhìn vào bảng trên, hàm số
( )
( ) ' ( )h x f f x=
có 5 cực trị
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
36
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
Vậy tổng có 8 cực trị.
Câu 40: (Câu 49 - SGD Nam Định - Online - Lần 01 - Năm 2020 - 2021)
Cho m số
( )
f x
đạo
m liên tục trên
và bảng biến thiên của
( )
f x
như sau:
Hỏi hàm số
( )
( )
4
4g x f x x=
có mấy điểm cực tiểu?
Ⓐ.
3
.
Ⓑ.
1
.
Ⓒ.
4
.
Ⓓ.
2
.
Lời giải
Chọn D
( )
( )
3 4
' 4 ' 4g x x f x=
.
( )
( ) ( )
( ) ( )
3 4 4
3
1
0 4 4 0 0 1g x x f x f x x
x
= = =
.
Đặt
4
4
0t x x t= > = ±
phương trình trở thành:
( ) ( )
( ) ( )
3
4
34
1
2
1
3
f t
t
f t
t
=
=
.
phỏng bằng đồ thị
Dựa vào đồ thị ta có:
( )
2
có nghiệm
4
t a x a= =
( )
3
có nghiệm
4
1 1t x
t b x b
= =
= =
Bảng biến thiên
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
37
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
Vậy hàm số
( )
g x
2 điểm cực tiểu.
Câu 41: (Câu 46 - SGD Quảng Bình - Năm 2020 - 2021)
Cho
( )
y f x=
là hàm số đa thức bậc bốn thỏa
n
( )
1 0f
hàm s
( )
y f x
=
có bảng biến thiên như sau
Hàm số
( )
(
)
2 2
1g x f x x= + +
có mấy điểm cực trị?
Ⓐ.
1.
Ⓑ.
3.
Ⓒ.
5.
Ⓓ.
2.
Lời giải
Chọn C
Ta
( )
( )
( )
2 3
1
3
a
f x a x f x x ax C
= = +
( )
( )
( )
3
2
1 1
2 2 2
3
2
9 3 9
1 3
9
a
f
f x x x
f
C
=
=
=
=
=
Xét hàm số
2
1u x= +
2
, 0 0
1
x
u u x
x
= = =
+
Bảng biến thiên
Xét hàm số
( ) ( )
2
1h u f u u= +
( ) ( ) ( )
2 . 2h u u f u u u u f u u
= + = +
( )
( )
0
0
2
u
h u
f u u
=
=
=
0 0u x
= =
( ) ( )
2
2 1;2 1f u u u a x a
= = + =
2
nghiệm trái dấu
1 2
,x x
Do
( )
1 0f
n ta có bảng biến thiên
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
38
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đã cho
5
điểm cực trị.
Câu 42: (Câu 29 - SGD Quảng Trị - Năm 2020 - 2021)
Cho m số
( )
f x
liên tục trên
bảng
biến thiên của đạo hàm như sau:
Hàm số
( )
( )
2
ln 1 2
2
x
g x f
+
=
có bao nhiêu điểm cực trị?
Ⓐ.
5
.
Ⓑ.
9
.
Ⓒ.
11
.
Ⓓ.
7
.
Lời giải
Chọn B
Xét
( )
( )
2
ln 1 2
2
x
t x
+
= , ta có bảng giá trị của
( )
t x
Ta
( )
( )
( )
( )
2
ln 1 2
2
x
g x f f t x
+
= =
Hàm số không đạo hàm tại hai điểm
2
1x e= ±
.
Tại mọi điểm
2
1x e ±
, ta có:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
(
)
( )
2 2
2
2 2
2
' .
; 1 1;
1
' ' . ' *
' .
1; 1
1
f t x x
khi x e e
x
g x f t x t x
f t x x
khi x e e
x
−∞ +∞
+
= =
+
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
39
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1
2 2
3 3
4 4
0
1 (1)
1 0 (2)
' 0
0 1 3
1 4
x
t x t t
t x t t
g x
t x t t
t x t t
=
= <
= < <
=
= < <
= >
Dựa vào bảng giá trị hàm
t
, suy ra:
+) Phương trình
(1)
,
(2)
vô nghiệm.
+) Phương trình
( )
3
có 4 nghiệm phân biệt khác
0
.
+) Phương trình
( )
4
có 2 nghiệm phân biệt khác
0
và khác các nghiệm của phương trình
( )
3
.
( )
' 0g x =
có 7 nghiệm và qua các nghiệm này
( )
'g x
đều đổi dấu.
Từ
( )
*
, ta thấy
( )
'g x
cũng đổi dấu khi x đi qua 2 điểm
2 2
1, 1e e
.
Vậy hàm số
( )
g x
có 9 cực trị.
Câu 43: (Câu 48 - SGD Sóc Trăng - Lần 2 - Năm 2020 - 2021)
Cho m sbậc bốn
( )
y f x=
đồ
thị của đạo hàm
( )
f x
là đường cong như hình vẽ bên dưới
( )
0 1f =
.
Hàm s
( )
( )
2
1g x f x= +
có bao nhiêu điểm cực tiểu?
Ⓐ.
7
.
Ⓑ.
5
.
Ⓒ.
4
.
Ⓓ.
3
.
Lời giải
Chọn B
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
40
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
Xét
( )
( )
( )
( )
2 2
1 2h x f x h x xf x
= + =
.
Đặt
2
, 0x t t=
ta có hàm
( )
2
2
1 1
0 1 0 1
0 2
4
4
2
x
t x
f t x
t
x
x
< <
< <
> >
>
>
<
.
Vậy
( )
2
1 1
0 2
2
x
f x x
x
< <
> >
<
.
Ta có
( )
f x
là hàm bậc ba có hệ số của
3
x
dương suy ra
( )
f x
là hàm bậc bốn có hệ số của
4
x
dương. Suy ra
( )
( )
2
h x f x=
là hàm bậc tám có hệ số của
8
x
dương. Vậy
( )
lim
x
h x
±∞
= +∞
.
( ) ( )
0 0 1 1 1 0h f= + = + =
,
( ) ( ) ( )
2 2 4 1h h f = = +
Từ đồ thị hàm
( )
f x
ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 4
0 1
d d 4 0 1 4 1f x x f x x f f f
< < = <
.
Suy ra
( ) ( )
2 2 0h h = <
. Vậy ta có bảng sau
Từ bảng suy ra hàm số
( ) ( )
g x h x=
5
điểm cực tiểu.
Câu 44: (Câu 50 - SGD Vĩnh Phúc - Lần 2 - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm số
( )
f x
. Biết
( )
'f x
hàm
bậc 3. Có đồ thị như hình vẽ sau
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
41
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
Có bao nhiêu giá trị nguyên
[ ]
10,10m
để hàm số
( ) ( )
2021g x f x mx= + +
đúng 1 cực trị?
Ⓐ.
20
.
Ⓑ.
16
.
Ⓒ.
15
.
Ⓓ.
18
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
' ' ' 0 ' 1g x f x m g x g x m= + = =
Số nghiệm của
( )
1
là số giao điểm của 2 đồ thị hàm số
( )
'y f x=
và đường :d y m=
Dựa vào đồ thị trên. Để
( )
g x
có đúng 1 cực trị thì điều kiện là
[ ]
{ }
10,10
1 4,5,6,7,8,9,10, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2
3
m
m m
m
<
>
Số giá trị của m
16
.
Câu 45: (Câu 48 - Chuyên Vinh- Nghệ An Lần 1 Năm 2020 - 2021)
Cho hàm số
4 3 2
( )f x ax bx cx dx e= + + + +
(
0
ae <
). Đồ thị hàm số ( )y f x
= như nh bên. Hàm số
2
4 ( )y f x x=
có bao nhiêu điểm cực tiểu
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
42
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
Ⓐ.
3
.
Ⓑ.
5
.
Ⓒ.
4
.
Ⓓ.
2
.
Lời giải
Chọn A
Đặt
2
( ) 4 ( )g x f x x=
. Ta có
( )
( ) 4 ( ) 2 2 2 ( )g x f x x f x x
= =
.
Ta có
( ) 0 ( )
2
x
g x f x
= =
. Dựa vào đồ thị hàm số
( )y f x
=
đường thẳng
2
x
y =
suy ra
1
( ) 0
2
2
x
x
f x x
x
=
= =
=
.
Theo hình vẽ ta có
0
a <
, mà
0 0
ae e< >
suy ra
(0) 4 (0) 4 0g f e= = >
.
Bảng biến thiên của
( )y g x=
như sau:
Dựa vào đồ thị
( )y g x=
suy ra hàm số
2
4 ( )y f x x=
có 3 điểm cực tiểu.
Câu 46: (Câu 43 - Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - Lần 02 - Năm 2020 - 2021)
Cho m số
( )
y f x
=
có bảng biến thiên như sau:
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
43
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
Số điểm cực đại của hàm số
( )
( )
2
2
2g x f x x
= +
Ⓐ.
3.
Ⓑ.
2.
Ⓒ.
1.
Ⓓ.
4.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
( )
( )
2
2
2g x f x x
= +
;
( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2 . 2 . 4 1 .g x f x x f x x x
= + + +
( )
( )
( )
2
2
4 1 0
0 2 0
2 0
x
g x f x x
f x x
+ =
= + =
+ =
1
4 1 0 .
4
x x+ = =
Từ bảng biến thiên ta có:
( )
( )
2
2
2
1
2 2
2 0 .
1
2 1
2
x
x x VN
f x x
x
x x
=
+ =
+ =
=
+ =
Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình
( )
0f x =
chỉ có 1 nghiệm
0
1x
>
(Vì đồ thị hàm số
( )
y f x=
cắt trục Ox tại một điểm hoành đ lớn hơn
1
). Khi đó
( )
2 2
0
2 0 2f x x x x x
+ = + =
( )
1
2
; 1
1
;
2
x x
x x
= −∞
= +
.
Do
( ) ( )
lim lim
x x
g x g x
→+ →−
= = +
nên ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên của hàm số
( )
y g x=
ta sđiểm cực đại của m số
( )
( )
2
2
2g x f x x
= +
2
.
Câu 47: (Câu 50 - Chuyên Hưng Yên - Lần 1 - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm số
( ) ( )
4 3 2
, 0f x ax bx cx dx e a= + + + +
đồ thị hàm số
( )
f x
như hình vẽ. Biết rằng
e n>
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
44
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
Số điểm cực trị của hàm số
( )
( )
2y f f x x
=
Ⓐ.
7
.
Ⓑ.
6
.
Ⓒ.
10
Ⓓ.
14
.
Lời giải
Chọn A
Xét
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2 . 2 0
2 0
f x
y f f x x y f x f f x x
f f x x
=
= = =
=
.
Với
( )
2f x
=
. Đường thẳng
2y =
cắt đồ thị
( )
f x
tại 3 điểm phân biệt.
Với
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 , 0 1
2 0
2 , 2
f x x m m
f f x x
f x x n n e
= <
=
= <
Đặt
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 0 2h x f x x h x f x f x
= = = =
.
Bảng biến thiên của
( )
h x
:
Vậy các phương trình
( )
1
( )
2
cho 4 nghiệm phân biệt.
Câu 48:
Vậy số điểm cực trị của hàm số
( )
( )
2y f f x x
=
7.
(Câu 47 - Chuyên Khiết - Quảng
Ngãi - Lần 3 - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm s
( )
f x
có đạo hàm liên tục trên
, đồ thị hàm số
( )
y f x
=
đúng
4
điểm chung với trục hoành như hình vẽ bên dưới:
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
45
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
Có bao nhiêu giá trị nguyên của
m
để hàm s
( )
3
3 2021y f x x m= + +
có đúng
11
điểm cực trị?
Ⓐ.
0
.
Ⓑ.
2
.
Ⓒ.
5
.
Ⓓ.
1
.
Lời giải
Chọn D
Xét
0x >
: Hàm số có dạng
( )
3
3 2021y f x x m= + +
( ) ( )
2 3
3 3 3 2021y x f x x m
= + +
Do nghiệm của phương trình
3
3 2021 4x x m
+ + =
các nghiệm bội bậc chẵn của phương trình
0y
=
nên ta có:
0y
=
( )
2
3
3 3 0
3 2021 0
x
f x x m
=
+ + =
( )
3
3
3
1 do 0
3 2021 1
3 2021 1
3 2021 2
x x
x x m
x x m
x x m
= >
+ + =
+ + =
+ + =
( )
3
3
3
1 do 0
2021 3 1
2021 3 1
2021 3 2
x x
m x x
m x x
m x x
= >
+ = +
+ = + +
+ = + +
Vẽ đồ thị ba hàm số
3
3 1y x x= +
;
3
3 1y x x= + +
;
3
3 2y x x= + +
với
0x >
trên cùng một
hệ trục.
Hàm số
( )
3
3 2021y f x x m= + +
có đúng 11 điểm cực trị
Hàm số
( )
3
3 2021y f x x m= + +
đúng
5
điểm cực trị dương
Phương trình
( )
3
3 2021 0f x x m
+ + =
có đúng
4
nghiệm bội lẻ dương khác
1
Đường thẳng 2021y m= + cắt đồ thị ba hàm số
3
3 1y x x= +
;
3
3 1y x x= + +
;
3
3 2y x x= + +
tại
4
điểm phân biệt có hoành độ dương khác
1
1 2021 1
2 2021 3
m
m
< + <
< + <
2022 2020
2019 2018
m
m
< <
< <
Do
m
nguyên n
2021m =
.
Vậy chỉ có
1
giá trị nguyên của
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 49: (Câu 4 - Chuyên Quý Đôn - Đin Biên - Lần 3 - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm số
( ) ( )
4 3 2
, 0f x ax bx cx dx e a
= + + + +
có đồ thị của đạo hàm
( )
f x
như hình vẽ.
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
46
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
Biết rằng
e n>
. Số điểm cực trị của hàm s
( )
( )
2y f f x x
=
bằng
Ⓐ.
7
.
Ⓑ.
10
.
Ⓒ.
14
.
Ⓓ.
6
.
Lời giải
Chọn A
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
( ) 2 ( ) 2 . 2 0
2 0
f x
g x f f x x g x f x f f x x
f f x x
=
′′
= = =
=
( ) 2 0
x a m
f x x
x b n
= <
+ = =
= >
, ( có 3 nghiệm đơn)
+ Từ đồ thị hàm số
( )y f x
=
ta suy ra
( ) 0
x m
f x
x n
=
=
=
Do đó
( )
( ) 2 , (1)
( ) 2 0
( ) 2 , (2)
f x x m
f f x x
f x x n
=
=
=
Lập BBT cho hàm số
( ) ( ) 2h x f x x=
, với
( ) ( ) 2h x f x
=
.
Ta
(0) (0) , h f e e n m= = > >
Do đó phương trình
(1)
(2)
4 nghiệm đơn.
Suy ra phương trình
( ) 0g x
=
có 7 nghiệm đơn
x
y
2
O
y
=2
n
m
y
=
f
' (
x
)
a
b
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
47
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
nên hàm s
( )
( )
( ) 2g x f f x x
=
7 cực trị.
Câu 50: (Câu 49 - Chuyên Thánh Tông - Quảng Nam - Lần 1 - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm số
( )
y f x=
đồ thị
( )
1y f x
=
như hình vẽ
Khi đó hàm s
( )
2
f x x
y e
+
=
đạt cực tiểu tại điểm
0
x
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ⓐ.
( )
0
1;0x
.
Ⓑ.
( )
0
4; 2x
.
Ⓒ.
( )
0
0;1x
.
Ⓓ.
( )
0
2; 1x
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
( )
( )
( )
2
. 2
f x x
y e f x
+
= +
( ) ( )
0 2 0y x f x
= + =
( )
2f x
=
Đồ thị
( )
1y f x
=
dời sang phải 1 đơn vị theo trục
Ox
ta được đồ thị
( )
y f x
=
. Khi đó
đường thẳng 2y
=
cắt đồ thị
( )
y f x
=
tại 2 điểm hoành độ là
1
a với
1 0
a
< <
n
phương trình
( )
0y x
=
2 nghiệm
1
(nghiệm kép) và
1 0
a
< <
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt tiểu tại điểm
( )
0
1;0x a
=
.
Câu 51: (Câu 40 - Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - Lần 1 - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm
số
( )
y f x=
có đồ thị như hình vẽ.
x
a
+ ∞
y'
0
+
y
f(a)
1
f(1)
0
+
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
48
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
Mệnh đề nào sau đây đúng:
Ⓐ.
Hàm số
( )
lny f x=
đạt cực tiểu tại
1
x
e
=
.
Ⓑ.
Hàm số
( )
lny f x=
đạt cực tiểu tại
2
x e=
.
Ⓒ.
Hàm số
( )
lny f x=
đạt cực tiểu tại
0x =
.
Ⓓ.
Hàm số
( )
lny f x=
đạt cực tiểu tại
2x =
.
Lời giải
Chọn B
( ) ( )
lny g x f x= =
; TXĐ:
0x >
( ) ( )
1
. lng x f x
x
= ;
( )
0g x
=
ln 0
ln 2
x
x
=
=
2
1x
x e
=
=
BBT:
x
0
1
2
e
+
(
)
g x
+
0
0
+
(
)
g x
4
0
+
Từ BBT, ta thấy: hàm số
( ) ( )
lny g x f x= =
đạt cực tiểu tại
2
x e=
.
Câu 52: (Câu 50 - Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương - Lần 1 - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm s
( )
F x
( )
0 0F =
. Biết
( )
y F x=
là một nguyên hàm của hàm s
( )
y f x=
có đồ thị như hình vẽ.
y
x
O
2
-2
4
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
49
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
Số điểm cực trị của hàm s
( )
( )
6 3
G x F x x=
Ⓐ.
4
.
Ⓑ.
5
.
Ⓒ.
6
.
Ⓓ.
3
.
Lời giải
Chọn D
Xét
( )
( )
( )
( ) ( )
6 3 5 6 2 2 3 6
' 6 ' 3 3 2 1g x F x x g x x F x x x x f x
= = =
.
Xét hàm s
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 6 2 6 8 6 2 6 6 6
2 1 ' 6 12 . ' 3 2 4 . 'h x x f x h x x f x x f x x f x x f x
= = + = +
.
Từ đồ thị của
( )
y f x=
suy ra dấu của
( )
'f x
nên
( )
( )
( )
6
6
0
' 0
' 0
f x
h x
f x
>
>
>
x
nên hàm số
( )
y h x=
đồng biến trên
và vì
( )
lim
x
h x
→±∞
= ±
nên phương trình
( )
0h x =
có 1 nghiệm duy nhất
0
x
( )
y h x=
đổi dấu từ âm sang dương khi
qua
0
x
. Suy ra
( )
'g x
đổi dấu từ âm sang dương khi qua
0
x
nên
0
x
là điểm cực tiểu.
Bảng biến thiên
Câu 53:
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số
( )
y G x=
có 3 cực trị.
(Câu 40 - Chuyên PTNK - HCM - Lần
1 - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm là
( )
( )
2 2
( 2) ,f x x x x x
=
. Gói
S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để m số
2
1
6
2
f x x m
+
5
điểm cực trị. Tính tổng tất cả các phần tử của S.
Ⓐ.
154
.
Ⓑ.
17
.
Ⓒ.
213
.
Ⓓ.
153
.
Lời giải
Chọn D
Ta có. Với
2x =
nghiệm kép,
0, 1x x= =
nghiệm đơn. đó hàm số
( )
f x
hai điểm
cực trị là
0, 1x x= =
.
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
50
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
Đặt
2 2
1 1
( ) 6 ( ) ( 6) 6
2 2
g x f x x m g x x f x x m
= + = +
.
Khi đó
2
2
2
6
1
6 2
2
( ) 0 .
1
6 0(1)
2
1
6 1(2)
2
x
x x m
g x
x x m
x x m
=
+ =
=
+ =
+ =
Để hàm số có
5
điểm cực trị thì
( ) ( )
1 & 2
có hai nghiệm phân biệt không trùng nhau và khác
6
Suy ra
1
2
2
2
0
9 0
0
2
1 1
6 6.6 0 9 0 18 {1,2, ,17}.
2 2
1
18, 19
6 6.6 1
2
m
m
m m m
m m
m
>
>
>
+ > <
+
Vậy Tổng các giá trị của m
1 2 17 153.+ ++ =
Câu 54: (Câu 49 - Đề thi thử cụm trường THPT - Hải Dương - Lần 4 - năm 2021)
Cho hàm số bậc
năm
( )
y f x=
đồ thị
( )
y f x
=
như hình bên. Số điểm cực trị của m số
( )
( )
3 2 3 2
3 2 6g x f x x x x= +
Ⓐ.
7
.
Ⓑ.
10.
Ⓒ.
5.
Ⓓ.
11.
Lời giải
Chọn B
Xét hàm s
( )
( )
3 2 3 2
3 2 6g x f x x x x= +
Ta
( )
( ) ( )
( )
( )
2 3 2 2 3 2
3 6 3 6 12 3 2 3 2g x x x f x x x x x x f x x
= + + = + +
.
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
51
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
Cho
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3 2
1 1
3 2
2 2
3 2
3 2
3 3
3 2
4 4
0
2
0
3 0 1
0 2
3 0 2 2
3 2
3 2 4 3
3 4 4
x
x
x
x x c c
g x x
x x c c
f x x
x x c c
x x c c
=
=
=
+ = <
= =
+ = < <
+ =
+ = < <
+ = >
.
Xét hàm số
( )
3 2
3h x x x= +
, ta có
( )
2
3 6h x x x
= +
.
Bảng biến thiên
( )
h x
:
Vẽ đồ thị của các hàm s
( )
y h x=
,
1
y c=
,
2
y c=
,
3
y c=
,
4
y c=
trên cùng một mặt phẳng tọa
độ ta được
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
52
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
( )
1
1 x x =
;
( )
2
5
6
2
x x
x x
x x
=
=
=
;
( )
3
4
7
3
x x
x x
x x
=
=
=
;
( )
8
4 x x =
Trong đó
1 2 3 4 5 6 7 8
2 0x x x x x x x x< < < < < < < < <
.
Bảng xét dấu
( )
g x
:
Từ bảng xét dấu ta kết luận được hàm s
( )
g x
có 10 điểm cực trị.
Câu 55: (Câu 44 - THPT Gia Bình - Bắc Ninh - Lần 1- Nưm 2020 - 2021)
Cho hàm số
( )
4 2
y f x ax bx c= = + +
có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
53
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
Số điểm cực trị của hàm số
( ) ( )
( )
3
g x f x f x= +
Ⓐ.
11
.
Ⓑ.
9
.
Ⓒ.
8
.
Ⓓ.
10
.
Lời giải
Chọn B
Từ đồ thị ta thấy hàm số trên có phương trình là
4 2
2y x x=
. Vậy ta có:
( )
4 2
2f x x x=
( )
3
4 4f x x x
=
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 3 3 2 3
3g x f x f x x f x f x f x x f x f x f x
= + = + + = + +
.
Suy ra
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2 3 2 3 3 4 2
3 3 4 4 2g x x f x f x f x x x x f x x x
= + + = + +
.
( )
( ) ( )
2 3 3 4 2
3 2 3 2
4 3 2 4 3 2
4 3 2 4 3 2
4 3 2 4 3 2
0 3 4 4 2 0
0
0,6930
1,4430
4 3 4 0 4 3 4 0
1, 21195
2 1 2 1 0
2,0754
2 1 2 1 0
0,6710
2 0 2 0
1,9051
1
g x x x x f x x x
x
x
x
x x x x x x
x
x x x x x x
x
x x x x x x
x
x x x x x x
x
x
= + + =
=
+ = + =
+ = + =
+ = + + =
+ = + =
=
2x
=
.
Phương trình
( )
0g x
=
có đúng
8
nghiệm đơn và
1
nghiệm bội lẻ
0x =
(nghiệm bội ba).
Vậy hàm số
( )
g x
9
điểm cực trị.
Câu 56: (Câu 42 - THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh - Lần 1 - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm đa thức
( )y f x=
. Hàm số
'( )y f x=
đồ thị như hình vẽ sau
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
54
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
Có bao nhiêu giá trị của
[ ]
0;6 ;2m m
để hàm s
( )
2
( ) 2 1 2g x f x x x m= +
đúng
9
điểm cực
trị?
Ⓐ.
7
.
Ⓑ.
5
.
Ⓒ.
3
.
Ⓓ.
6
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
( )
( )
( )
2
2 1 1 1
( ) ' 2 1 2
1
x x
g x f x x x m
x
= +
( )
2
1
0
( ) 0
2
' 2 1 2 0
x
x
g x
x
f x x x m
=
=
=
=
+ =
Dựa vào đồ thị hàm s
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
0
2 1 2 1 2 1 2 1
1
0 2 1 2 2 2 1 2 2
2
2 1 2 3 2 1 2 3
3
x
x x x m x x x m
x
f x f x x x x m x x x m
x
x x x m x x x m
x
=
+ = =
=
= + = =
=
+ = =
=
Xét hàm số
( )
2
2 1 2h x x x x=
.Ta có
Để hàm số có 9 cực trị thì
TH1:
2 2 1 3 4m m < < < <
TH2:
1 1 2.m m
Vậy có ba giá trị của m.
Câu 57: (Câu 50 - THPT Hậu Lộc 4 - Thanh Hóa - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) C
ho hàm số
( )
f x
đạo hàm trên
và có bảng biến thiên như sau
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
55
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
Số điểm cực đại của hàm số
( )
( )
2 2
8 7 3g x f x x x= + +
Ⓐ.
6
.
Ⓑ.
8
.
Ⓒ.
7
.
Ⓓ.
9
.
Lời giải
Chọn C
Đặt
( )
2 2
8 7 3u x x x x= + +
, ta có
( )
2
2 8 4 1 7
8 10 1 7
x x khi x x
u x
x khi x
+
=
< <
.
( )
4 8 1 7
8 1 7
x khi x x
u x
khi x
< >
=
< <
.
Ta có bảng biến thiên
Đặt
( ) ( )
( )
h x f u x=
, ta có
( ) ( ) ( )
( )
.h x u x f u x
=
.
Ta có:
( )
u x
chỉ đổi dấu qua
1x =
.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3
2
0 1
1
3
u x
u x
f u x u x
u x
u x
=
=
= =
=
=
.
Từ bảng biến thiên của
( )
u x
ta có
( )
3u x =
có hai nghiệm phân biệt
1 8
,x x
.
( )
2u x =
có hai nghiệm phân biệt
2 7
,x x
( )
1u x =
có hai nghiệm phân biệt
3 6
,x x
( )
1u x =
có hai nghiệm
4 5
,x x
( )
3u x =
vô nghiệm
Ta có bảng biến thiên
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
56
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
Câu 58:
Từ bảng, ddàng suy ra hàm số
( )
( )
( )
2 2
8 7 3g x f x x x h x= + + =
7
điểm cực đại.
(Câu
48 - THPT Hồng Quang - Hải Dương - Lần 3 - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm số bậc bốn trùng
phương
( )
y f x=
có bảng biến thiên sau
Số điểm cực trị của hàm số
( ) ( )
( )
4
2
1
6g x f x
x
=
Ⓐ.
2
.
Ⓑ.
4
.
Ⓒ.
5
.
Ⓓ.
3
.
Lời giải
Chọn B
Theo giả thiết ta có
( )
4 2
f x ax bx c= + +
( )
3
4 2f x ax bx
= +
.
Từ bảng biến thiên ta có hàm số
( )
f x
đi qua
( ) ( ) ( )
2;2 , 0;6 , 2;2A B C
và có ba điểm cực trị
16 4 2
6
32 4 0
a b c
c
a b
+ + =
=
+ =
1
4
2
6
a
b
c
=
=
=
. Vậy
( )
4 2
1
2 6
4
f x x x= +
,
( )
3
4f x x x
=
Ta có Hàm số
( ) ( )
( )
4
2
1
6g x f x
x
=
xác định trên
{ }
\ 0D =
.
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
4 3
3 2
2 1
6 .4 6 .g x f x f x f x
x x
= +
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
3
3
6
4 . 2 12
f x
g x x f x f x
x
= +
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
6 0 1
0
4 2 12 0 2
f x
g x
xf x f x
=
=
+ =
Ta có
( )
4 2
0
1
1 2 6 6
4
2 2
x
x x
x
=
+ =
= ±
.
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
57
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
( )
( )
3 4 2 4 2
0
1 7
2 4 . 4 2 2 6 12 0 12 0
2 42
4 2
7
x
x x x x x x x
x
=
+ + = =
= ±
.
0x
nên có
( )
2 2
0
2 42
7
x
g x
x
= ±
=
= ±
và các nghiệm đó đều là nghiệm bội lẻ.
Do đó hàm số
( )
g x
có 4 điểm cực trị.
Câu 59: (Câu 49 - THPT Kim Liên - Nội - Lần 2 - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm số
( )
y f x=
liên
tục trên
có bảng biến thiên như hình vẽ:
Số điểm cực đại của hàm số
( )
( )
y f f x=
Ⓐ.
2.
Ⓑ.
3.
Ⓒ.
0.
Ⓓ.
1.
Lời giải
Chọn A
Đặt
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
.
.
f x f x
g x f f x g x f f x
f x
= =
Do đó
( )
g x
không xác định khi
( )
0f x =
hay
0x =
.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
0
1
0 1 1
1
0
1
f x
f x
x
g x f x x
f x
f f x
f x
=
=
= ±
= = = ±
= ±
=
=
.
Từ bảng biến thiên của
( )
f x
ta có:
( )
[ ]
0;1f x
,
x
. Suy ra
( )
( )
0f f x
,
x
.
Ta có bảng xét dấu
( )
g x
như sau:
Từ bảng biến thiên suy ra số điểm cực đại của hàm số
( )
( )
y f f x=
2.
.
Câu 60: (Câu 41 - THPT Kim Sơn A- Ninh nh - Lần 1 - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm số ( )=y f x
có đạo hàm liên tục trên
R
và bảng biến thiên của hàm số '( )f x như sau:
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
58
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
Hỏi hàm số
( )
+
=
2
ln( 1) 2
2
x
g x f
có bao nhiêu điểm cực tiểu?
Ⓐ.
9
.
Ⓑ.
4
.
Ⓒ.
7
.
Ⓓ.
5
.
Lời giải
Chọn B
+) Do
2
0x
với
x
nên
+
2
ln( 1) 2
1
2
x
với
x
.
+) Bảng biến thiên
Suy ra
( )
( )
( )
( )
1;
0;1
'( ) 0
1;0
; 1
x a
x b
f x
x c
x d
= +∞
=
=
=
= −∞
.
+) Xét hàm số trên
+
=
2
ln( 1) 2
2
x
y f
trên
)
+∞
0;
+
+
+
+
=
+
=
=
+
=
+ +
=
= = =
+
=
=
+
+
=
=
=
2
2
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
2
2
ln( 1) 2
2
ln( 1) 2
1
ln( 1) 2
2
' 0
ln( 1) 2 ln( 1) 2
2
1
' ' . 0
2 2
1
1
0
ln( 1) 2
1
(VN)
0
2
0
a
b
c
x
a
x
b
x e
x
f
x x x
x e
y f c
x
x
x e
x
x
d
x
x
Suy ra bảng biến thiên
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
59
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
Mặt khác đồ thị hàm số
( )
+
=
2
ln( 1) 2
2
x
g x f
được vẽ như sau:
- Giữ phần đồ thị hàm số
+
=
2
ln( 1) 2
2
x
y f
trên
)
+∞
0; .
- Lấy đối xứng phần đồ thị hàm s
+
=
2
ln( 1) 2
2
x
y f
trên
)
+∞
0;
qua
.Ox
Vậy hàm số
( )
+
=
2
ln( 1) 2
2
x
g x f
4
điểm cực tiểu.
Câu 61: (Câu 50 - THPT Lê Hồng Phong - Nam Định - Năm 2020 - 2021)
Cho
( )
f x
là hàm số có đạo
hàm liên tục trên
và có bảng biến thiên của
( )
f x
như sau:
Tìm số điểm cực tiểu của hàm số
( )
( )
3
3g x f x x=
.
Ⓐ.
1
.
Ⓑ.
2
.
Ⓒ.
3
.
Ⓓ.
0
.
Lời giải
Chọn C
Xét hàm số
( )
( )
3
3h x f x x
=
.
( )
( )
2 3
3 . 3h x x f x
=
.
( )
( )
2 3
0 3 . 3 0h x x f x
= =
(1).
Dễ thấy
0x =
không là nghiệm của (1) nên
( )
( )
3
2
1
1 f x
x
=
(2).
Đặt
3
t x
=
thì
( )
2
trở thành
( )
3
2
1
f t
t
=
(
0t
- 3).
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
60
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
Xét hàm số
3
2
1
y
t
=
+
0t >
thì
2
3
y t
=
m số lũy thừa,
5
3
2
0
3
y t
= <
nên
y
nghịch biến trên
( )
0;+
và đồ thị
của
y
nhận hai trục tọa độ làm hai tiệm cận.
+
( ) ( )
y t y t=
n
y
là hàm số chẵn. Do đó đồ thị của
y
nhận
Oy
làm trục đối xứng.
Vẽ đồ thị của
( )
f t
3
2
1
y
t
=
trên cùng hệ trục tọa độ ta có:
Từ đồ thị ta có
( )
3
0
t a= >
. Suy ra
3
0x a= >
Bảng biến thiên của
( )
h x
:
Ta thấy hàm số
( )
( )
g x h x=
là hàm số chẵn nên đồ thị của
( )
g x
nhận
Oy
làm trục đối xứng.
Do đó ta có bảng biến thiên của
( )
g x
như sau:
(Để ý
( ) ( )
3 3
g a g a =
)
Vậy hàm số
( )
g x
có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại.
Câu 62: ---
HẾT
---(Câu 48 - THPT Ngô Quyền - Ba - Nội - Lần 2 - Năm 2020 - 2021)
Cho
hàm số
( )
y f x=
xác định và liên tục trên
, có đồ thị hàm số
( )
f x
như hình vẽ. Số điểm cực
tiểu của hàm số
( ) ( )
g x f x x= +
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
61
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
Ⓐ.
1
.
Ⓑ.
2
.
Ⓒ.
3 .
Ⓓ.
0 .
Lời giải
Chọn A
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
1; 0 1 (*)g x f x g x f x
= + = =
.
Phương trình chính là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
( )
f x
đường thẳng
1y =
.
Dựa vào đồ thị, ta thấy có nghiệm
0x =
,
1x =
2x =
.
Bảng biến thiên của hàm số
( )
g x
:
Dựa vào BBT, hàm s
( ) ( )
g x f x x= +
có một điểm cực tiểu
1x =
.
Câu 63: (Câu 44 - THPT Nguyễn Đăng Đạo - Thanh Hóa - Lần 2 - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên
R
và có bảng biến thiên như sau:
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
62
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
Số điểm cực tiểu của hàm số
( ) ( )
2021 2020
f x f x
y =
Ⓐ.
1
.
Ⓑ.
3
.
Ⓒ.
2
.
Ⓓ.
4
.
Lời giải
Chọn B
Xét hàm số
( )
( ) ( )
2021 2020
f x f x
y g x= =
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
( )
' '
2021 ln 2021 2020 ln 2020
f x f x
g x f x=
.
( )
( ) ( )
'
'
log 2021 ln 2021 2020 ln 2020 0
0
(*)
0; 2
0
f x f x
f x x x
y
= = = ±
=
=
.
Ta có:
( )
( ) ( )
2021 2021 2021
2020
2021
(*) log 2020 log log 2020
2020
f x
f x
= =
( )
( )
0;2
2;
x a
x b
=
= +∞
Vậy, từ bảng xét dấu ta thấy số điểm cực tiểu của hàm số
( )
y g x=
là 3.
u 64: (Câu 49 - THPT Nguyễn Huệ - Đắk Lắk - Lần 1 - Năm 2020 - 2021)
Cho
( )
y f x=
m đa
thức bậc
4
và có đồ thị n nh vẽ. bao nhiêu gtrị nguyên của tham số m thuộc đoạn
[ ]
12;12
để hàm số
( ) ( )
2 1g x f x m
= +
5
điểm cực trị?
Ⓐ.
12
.
Ⓑ.
14
.
Ⓒ.
15
.
Ⓓ.
13
.
Lời giải
Chọn C
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
63
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
Nhận xét: Số điểm cực trị của hàm số
( )
1y f x=
bằng sđiểm cực trị của hàm số
( )
y f x=
trên tập xác định
Dựa vào đồ thị, hàm số
( )
y f x=
có 3 điểm cực trị
Để hàm số
( )
g x
có 5 điểm cực trị
( ) ( )
2 0
2
m
f x m f x + = =
có 2 ngiệm phân biệt hoặc 3 nghiệm trong đó có 1 nghiệm bội
chẵn và 2 nghiệm đơn
2
4
2
6 12
6 3
2
m
m
m m
<
<
m là giá trị nguyên thuộc
[ ]
12;12
nên
{ }
12; 11;...; 4;6;7;...;11m
Vậy có
15
giá trị nguyên
m
thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 65: (Câu 40 - PTNK Cơ Sở 2 - TPHCM - Lần 1 - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo
hàm
( ) ( )
( )
2
2
' 2f x x x x
=
với
x
. Gọi
S
là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của
tham số m để hàm số
2
1
6
2
f x x m
+
5
điểm cực trị. Tính tổng các phần tử của
S
?
Ⓐ.
154
.
Ⓑ.
17
.
Ⓒ.
213
.
Ⓓ.
153
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
( ) ( )
( )
( )
2
2
2
' 2 ' 0 1
0
x
f x x x x f x x
x
=
= = =
=
. Với
2x =
nghiệm kép,
1, 0x x
= =
nghiệm đơn. Do đó hàm số
( )
f f x=
đạt cực trị tại
1, 0x x
= =
.
Đặt
( ) ( ) ( )
2 2
1 1
6 ' 6 ' 6
2 2
g x f x x m g x x f x x m
= + = +
. Khi đó
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
64
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
( )
( )
( )
2
2
2
6
1
6 2
2
' 0
1
6 0 1
2
1
6 1 2
2
x
x x m
g x
x x m
x x m
=
+ =
=
+ =
+ =
. Giả s
0
x
là nghiệm của phương trình
( )
1
thì
2
0 0
1
6 0
2
x x m + =
do đó
0
x
không thể là nghiệm của phương trình
( )
2
hay nói cách khác
phương trình
( ) ( )
1 , 2
không có nghiệm chung. Vì vậy, để hàm số
2
1
6
2
f x x m
+
5
điểm
cực trị thì phương trình
( ) ( )
1 , 2
có hai nghiệm phân biệt khác
6
hay
{ }
1
2
2
2
0
9 0
2
0
1
1
9 0 18 1, 2,...,17
.6 6.6 0
2
2
18, 19
1
.6 6.6 1
2
m
m
m
m m
m
m m
m
+
>
>
>
> <
+
+
.
Vậy tổng các giá trị của m là:
1 2 ... 17 153+ + + =
.
Câu 66: (Câu 49 - THPT Quảng Xương - Thanh Hóa - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm số
( )=y f x
. Hàm
số
( )
y f x
=
có đồ thị như hình vẽ.
Số điểm cực đại của hàm số
2 2 4
1
( ) ( 4 3) 3( 2) ( 2)
2
g x f x x x x= + +
Ⓐ.
7.
Ⓑ.
3.
Ⓒ.
4.
Ⓓ.
5.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
2 3 2 2
( ) (2 4) ( 4 3) 6( 2) 2( 2) (2 4) ( 4 3) 3 ( 2)
= + + = + +
g x x f x x x x x f x x x
Ta có:
2 2
2 4 0
( ) 0
( 4 3) 3 ( 2) 0
x
g x
f x x x
=
=
+ + =
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
65
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
2 2
2
( 4 3) 2 ( 4 3) (*)
x
f x x x x
=
+ = +
Đặt
2
4 3 + =x x t
, ta có:
(*) ( ) 2
= f t t
.
Từ đồ thị hàm số
( )y f t
=
2= y t
ta có:
2
2
2
2
1
4 3 2
2
3
0 4 3 0
( ) 2
1 2 2
4 3 1
2
2 3
4 3 2
=
+ =
=
=
= + =
=
= = ±
+ =
=
= ±
+ =
x
x x
t
x
t x x
f t t
t x
x x
t
x
x x
Ta có bảng biến thiên hàm số
( )=y g x
như sau:
Vậy hàm số
( )y g x=
có 3 điểm cực đại.
Câu 67: (Câu 47 - THPT Quảng Xương 1 - Thanh Hóa - Lần 1 - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm s
( ) ( )
5 4 3 2
0f x ax bx cx dx ex f a= + + + + +
và hàm số
( )
y f x
=
có hình vẽ dưới đây
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
66
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
Đặt
( ) ( )
3 2
9
3 1 9 6 2021.
2
g x f x x x x
= + +
i hàm số
( )
f g x
=
có bao nhiêu điểm cực trị ?
Ⓐ.
7 .
Ⓑ.
3
.
Ⓒ.
9
.
Ⓓ.
5
.
Lời giải
Chọn B
( ) ( )
2
3 3 1 27 9 6g x f x x x
= +
Đặt
3 1 3 1t x x t= = +
( ) ( )
2
3 3 3 6g t f t t t
=
*
( ) ( )
2
1
2
3
0 2 1 0
2
1
3
t x
g t f t t t t x
t x
= =
= = + + = =
= =
Bảng biến thiên của
( )
g x
Vậy hàm số
( )
g x
có ba điểm cực trị
Câu 68: (Câu 50 - THPT Thăng Long - Nội - Lần 2 - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm số bậc năm
( )
y f x=
đồ thị hàm số
( )
y f x
=
như hình vẽ dưới đây. Số điểm cực trị của hàm số
( )
2 3 2
8
4 4 6 4 1
3
y f x x x x x= + +
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
67
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
Ⓐ.
4.
Ⓑ.
5.
Ⓒ.
9 .
Ⓓ.
7
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( )
( )
( )( )
2
4 2 1 4 4 4 2 1 1y x f x x x x
=
( )
( )
( )
2
4 2 1 4 4 1y x f x x x
=
.
( )
( )
( )
( )
2
2
1
2
0 4 2 1 4 4 1 0
4 4 1
x
y y x f x x x
f x x x
=
= = =
=
Xét phương trình:
( )
2
4 4 1f x x x
=
( )
1
Đặt
2 2
4 4 4 4 0t x x x x t
= =
4 4 0 1t t
= +
.
Khi đó:
2
1 1 1 1
1
2 2
4 4 0
1 1 1 1
1
2 2
t t
x x
x x t
t t
x x
+ +
= =
=
+ + + +
= =
Phương trình
( )
1
trở thành:
( )
( )
1 1
2
1 1
2
t
f t
t
f t
+
=
+ +
=
Vẽ đồ thị 3 hàm s
( ) ( ) ( )
1 2
1 1 1 1
, ,
2 2
x x
y f x y C y C
+ + +
= = =
trên cùng hệ trục tọa độ
ta thấy đồ thị
( )
1
C
cắt đồ thị
( )
y f x
=
tại 3 điểm, đồ thị
( )
2
C
cắt đồ thị
( )
y f x
=
tại 1 điểm.
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
68
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
Với mỗi nhánh, mỗi giao điểm
t
sẽ tương ứng với một giá trị duy nhất của
x
khác
1
2
.
Vậy hàm số
( )
2 3 2
8
4 4 6 4 1
3
y f x x x x x= + +
có 5 điểm cực trị.
Câu 69: (Câu 50 - THPT Thanh Chương 1 – Nghệ An – Lần 2 – Năm 2020 - 2021) C
ho
( )f x
là một
hàm đa thức bậc năm thoả mãn
( )
0 0f =
. Hàm s
( )
'f x
có đồ thị như hình vẽ bên
Hàm s
( ) ( )
3 2
1
sin sin sin
3
g x f x x x
= +
bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng
( )
0;3
π
?
Ⓐ.
15
.
Ⓑ.
11
.
Ⓒ.
9
.
Ⓓ.
13
.
Lời giải
Chọn D
Do ( )f x là một hàm đa thức bậc năm nên
( )
f x
là một hàm đa thức bậc bốn.
Dựa vào đồ thị hình vẽ ta nhận thy
( )
f x
có dạng
( )
4 2
f x ax bx c
= + +
, đồ thị đi qua các điểm
(0;1), (1;0)A B và có điểm cực tiểu
1
CT
x =
. Từ đó ta có:
( )
( )
( )
4 2
0 1
1 1
1 0 0 1 ( ) 2 1
4 2 0 2
1 0
f
c c
f a b c a f x x x
a b b
f
=
= =
= + + = = = +
+ = =
=
5 3
2
( )
5 3
x x
f x x c
= + +
Do
( )
5 3
2
0 0 0 ( )
5 3
x x
f c f x x
= = = +
.
x
y
-1
O
1
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
69
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
Xét hàm số
( ) ( )
3 2
1
sin sin sin
3
g x f x x x
= +
, ta đặt
( ) ( )
3 2
1
sin sin sin
3
h x f x x x= +
Tìm số cực trị của hàm số ( )y h x= .
2
2
( ) cos . '(sin ) sin .cos 2sin .cos
cos 0
( ) 0
'(sin ) sin 2sin
h x x f x x x x x
x
h x
f x x x
= +
=
=
= +
+)Với
cos 0 ,
2
x x k k
π
π
= = +
Z
.
Vậy phương trình
cos 0x =
có 3 nghiệm đơn thuộc khoảng
( )
0;3
π
.
( )
1
+)Với
2
(sin ) sin 2sinf x x x
= +
Đặt
[ ]
( )
2
sin , 1;1 ' 2t x t f t t t= = +
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
2 4 2 4 2
( 1,3864) ( )
2 2 1 2 1 0
( 0,4257) ( )
t l
t t t t t t t
t n
α α
β β
=
+ = + + =
=
Với
( )
0;1t
β
=
thì sin x
β
= , khi đó
2
'(sin ) sin 2sinf x x x= + 4 nghiệm đơn thuộc
khoảng
( )
0;3
π
.
( )
2
Từ
( ) ( )
1 , 2
suy ra hàm số ( )y h x= 7 cực trị trên khoảng
( )
0;3
π
(*)
Tìm số nghiệm của phương trình
( ) 0h x =
.
( )
( )
( )
3 2
5 3 3 2
4 2
1
sin ( ) 0
3
1 2 1
0
5 3 3
0
0
sin 0
1,69 ( )
1 1
sin 0,86
1 0
5 3
0,86
t x f t t t
t t t t t
t
t
x
t a a l
x b b
t t t
t b b
= + =
+ + =
=
=
=
=
=
+ =
=
+
sin 0 ,x x k k
π
= =
Z
phương trình
( ) 0h x =
2 nghiệm thuộc khoảng
( )
0;3
π
.
( )
3
+
( )
sin 0,86x b b=
phương trình ( ) 0h x = có 4 nghiệm thuộc khoảng
( )
0;3
π
.
( )
4
Từ
( ) ( )
3 , 4
, suy ra ( ) 0h x = có 6 nghiệm đơn trên khoảng
( )
0;3
π
(**)
Câu 70:
Từ (*), (**) ta kết luận được hàm số ( )y g x= đã cho 13 điểm cực trị.
(Câu 40 - TX Quảng
Trị - Lần 1 - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên
có bảng biến thiên
của đạo hàm như sau:
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
70
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
Hàm s
( )
( )
2
ln 1 2
2
x
g x f
+
=
có bao nhiêu điểm cực trị?
Ⓐ.
7
.
Ⓑ.
11
.
Ⓒ.
5
.
Ⓓ.
9
.
Lời giải
Chọn D
Đặt
( )
( )
2
ln 1 2
2
x
h x
+
=
( )
2
1
x
h x
x
=
+
Cho
( )
0 0h x x
= =
BBT
( )
1
Ta có:
( ) ( )
( )
g x f h x=
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
h x
g x h x f h x
h x
=
Cho
( )
0g x
=
( )
( )
( )
( )
0
0
0
h x
h x
f h x
=
=
=
Với
( )
0h x
=
0
x =
Với
( )
0h x =
( )
( )
0
0
x a a
x b b
= <
= >
Với
( )
( )
0f h x
=
, ta có:
( )
( )
0f h x
=
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
1
1 0
0 1
1
h x c c l
h x d d l
h x e e
h x f f
= <
= < <
= < <
= >
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
71
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
Dựa vào bảng biến thiên
( )
1
ta có được phương trình
( )
h x e=
4 nghiệm phân biệt phương
trình
( )
h x f=
có hai nghiệm phân biệt, tất cả đều khác
0,a
b
.
Vậy phương trình
( )
0g x
=
có tổng cộng 9 nghiệm bội lẻ
hàm số
( )
g x
có 9 cực trị.
Câu 71: (Câu 40 - THPT Thuận Thành 01 Bắc Ninh Lần 1 Năm 2020 - 2021)
Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm trên
và có bảng biến thiên
( )
f x
như hình vẽ:
Hàm s
( )
2
2 2
x
y f e x=
bao nhiêu điểm cực trị?
Ⓐ.
9.
Ⓑ.
7.
Ⓒ.
11.
Ⓓ.
5.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
( )
0f x
=
tại
1 2 3 4
; ; ;x x x x
trong đó
1 2 3 4
1 0 1x x x x< < < < < <
Xét hàm số
( )
2
2 2
x
y f e x=
có tập xác định là
( )( )
( )
2 2
2
2
2 1 2 2
2 2
2 2
x x
x
x
e e x
y f e x
e x
=
Với
2
2 2 0
x
e x
( )
2
2
3
2 2
3 4
2
2
2
3
4
2
4
0
0
2 2 (1)
1 0
0 2 2 2 2 (2)
2 2 0
2 2 (3)
2 2
2 2 (4)
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
e x x
e
y e x x e x x
f e x
e x x
e x x
e x x
=
=
=
=
= = =
=
=
=
=
Xét hàm số
( )
2
2 2
x
g x e x=
có tập xác định là
.
( )
2
2 2
x
g x e
=
( )
0 0g x x
= =
Ta có bảng biến thiên của hàm số
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có: phương trình (1), (2), (3) hai nghiệm phân biệt
khác 0, phương trình (4) vô nghiệm vì vậy phương trình
0y
=
có 7 nghiệm phân biệt.
Mặt khác hàm số đạt cực trị tại các điểm thỏa mãn:
2
2 2 0 (5)
x
e x =
.
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
72
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
Dựa vào bảng biến thiên hàm
( )
g x
suy ra phương trình (5) hai nghiệm phân biệt khác 7
nghiệm của phương trình
0y
=
.
Vậy hàm số đã cho có 9 điểm cực trị.
Câu 72: (Câu 42 - THPT Trần Phú - Đà Nẵng - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm số
( )f x
, bảng biến thiên
của hàm số
( )f x
như sau:
Hàm số
3
( ) ( 3 )g x f x x=
có bao nhiêu điểm cực đại?
Ⓐ.
1.
Ⓑ.
4.
Ⓒ.
2.
Ⓓ.
3.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
3 2 3
( ) ( 3 ) ( ) (3 3). ( 3 )g x f x x g x x f x x
= =
3
0 0
1
1
( ) 0
3 ( 3)
x
x
g x
x x x x
=
=
=
= >
Xét hàm:
3 2
1
( ) 3 ( ) 3 3 0
1
x
h x x x h x x
x
=
= = =
=
BBT:
Từ BBT suy ra phương trình
3
0 0
3 ( 3)x x x x = >
có 1 nghiệm đơn
1 1
( 1)x x x= >
Vậy phương trình
( ) 0g x
=
3 nghiệm đơn
1 1
1; 1; ( 1)x x x x x= = = >
( )
(0) 3. (0) 0 Do (0) (3;5)g f f
= <
nên ta có BBT của hàm
( )g x
như sau:
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành ng là nói không v!i lư#i bi%ng
73
https://luyenthitracnghiem.vn
https://www.facebook.com/vietgold
Từ BBT ta có hàm số đã cho có 2 điểm cực đại.
Câu 73: (Câu 48 - THPT Triệu Sơn 1 - Thanh Hóa - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) [ Mức độ 4]
Cho hàm
số
( )
f x
( )
0 1f =
. Biết
( )
y f x
=
là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong dưới đây.
Số điểm cực trị của hàm số
( )
( )
4 2
6g x f x x=
Ⓐ.
3
.
Ⓑ.
6
.
Ⓒ.
5
.
Ⓓ.
4
.
Lời giải
Chọn C
Xét hàm số
( )
( )
4 2
6h x f x x=
( )
( ) ( )
3 4 2 4
4 12 4 3h x x f x x x x f x
= =
.
( )
( )
( )
( ) ( )
2 4
4
2
0
0 4 3 0
3
0 1
x
h x x x f x
f x x
x
=
= =
=
.
Xét phương trình
( )
1
: đặt
4
t x= thì phương trình có dạng
( )
3
f t
t
=
với
0
t >
( )
2
.
Dựa vào đồ thị, phương trình
( )
2
có một nghiệm duy nhất
0
a >
.
Khi đó ta được
4
x a= ±
.
x
y
2
1
3
3
O
1
x
y
2
1
3
3
O
1
Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
Cc trm s hp trong các đ thi 2020 - 2021
74
https://www.facebook.com/vietgold
https://luyenthitracnghiem.vn
THAM GIA L
P LUY
N THI
CHẤT LƯỢNG CAO
MR.VIỆT MATH CLASS
LIÊN
HỆ
82 Võ Thị Sáu - TDP Bến Chợ – Phường Q.Thuận - T.xã Ba
Đồn –Tỉnh Quảng Bình
http://luyenthitracnghiem.vn
0905 193 688 (Điện thoại hoặc nhắn tin)
Facebook: https://www.facebook.com/vietgold
Bảng biến thiên của hàm số
( )
( )
4 2
6h x f x x=
Số điểm cực trị của hàm số
( )
( )
4 2
6g x f x x=
bằng số điểm cực trị của hàm số
( )
( )
4 2
6h x f x x=
cộng với số nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ của phương trình
( )
0h x =
.
Do đó hàm s
( )
g x
có 5 cực trị.

Preview text:

↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021
“Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường.” BÀI TOÁN CỰC TRỊ h t HÀM SỐ HỢP t 73 p s: TRONG CÁC THI TH 20-21 // lu ye n thi tracng
Ngày đã r ng, bình minh đang t nh gi c! h iem
“Khi nào em c m th y mu n phê phán và chê bai m t ai đó, .vn
hãy nh r ng không ph i ai trên th# gi i này c$ng có nh%ng
thu&n l(i trong cu c s ng mà em có đư(c."
Họ và Tên học sinh: …………
…………………….................. ht tps:
Trường:………………………… ………………. Lớp: ………. //w w w.f ace boo k.com/vietgold 0
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng”
Câu 1: (Câu 31 - Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f ′( x) 2
= x (1− x), x
∀ ∈ ℝ . Hỏi hàm số = ( 2 y
f x ) có bao nhiêu điểm cực tiểu? Ⓐ. 3 . Ⓑ. 2 . Ⓒ. 0 . Ⓓ. 1. Lời giải .vn Chọn D 2 iem
Xét hàm số y = f (x ) . gh
Tập xác định: D = ℝ . y ' =  f  ( 2 x ) ' = 2 . x f '  ( 2x) 4 = 2 . x x ( 2 1− x ) 5 = 2x ( 2 1− x ) itracnx = 0 th 5  y ' = 0 ⇔ 2x ( 2
1− x ) = 0 ⇔ x =1  yenx = −1  Bảng biến thiên: s://lu ttp h
Vậy hàm số có 1 điểm cực tiểu.
Câu 2: (Câu 18 - THPT Lê Lợi - Thanh Hóa - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số bậc bốn y = f (x) . Hàm
số y = f '(x) có đồ thị như hình vẽ. /vietgold
Số điểm cực đại của hàm số y = f ( 2 x + ) 1 là
htps://www.facebook.com Ⓐ. 2. Ⓑ. 1. Ⓒ. 4. Ⓓ. 3. Lời giải Chọn B Ta có: 2 y ' = 2 . x f '(x +1) .  x = 0  x = 0  x = 0   2 y ' = 0 ⇔ 
x + = ⇔ x =   . f '  ( 1 1 2 2 x + ) 1 = 0 2 x +1 = 3   x = − 2  1
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021
Ta có bảng biến thiên sau:
Hàm số đạt cực đại tại điểm x khi đạo hàm của hàm số đó đổi dấu dương (+) sang âm (-) khi đi 0 qua điểm x . 0
Vậy hàm số y = f ( 2 x + ) 1 có 1 cực đại. h ttp
Câu 3: (Câu 4 - THPT Quế Võ 1 - Bắc Ninh - Lần 02 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số có đạo s f ( x) ://l hàm trên
f x như sau u ℝ và có dấu của ( ) yenthit rac
Hàm số y = f (2 − x) có bao nhiêu điểm cực trị? n ghi e Ⓐ. 1. Ⓑ. 4 . Ⓒ. 3. Ⓓ. 2. m . Lời giải vn Chọn C Cách 1
Ta có y = f (2 − x) ⇒ y′ = − f ′(2 − x) . 2 − x = 1 − x = 3 2  − x = 1 x = 1
Ta có y′ = 0 ⇔ f ′(2 − x) = 0   ⇔ ⇔ 2 − x = 2 x = 0   2 − x = 3 x = 1 − .   htt  2 − x < 1 − x > 3 p
y′ < 0 ⇔ f ′ 2 − x > 0 ⇔ ⇔ s ( )   : 2 < 2 − x < 3 1 − < x < 0 /    /w  Mặt khác   1 − < 2 − x <1 1  < x < 3 ww   
y′ > 0 ⇔ f ′ 2 − x < 0 ⇔ 1 < 2 − x < 2 ⇔ 0 < x < 1 . ( ) f    ac  2 − x > 3 x < 1 − . e    boo
Ta có bảng xét dấu của y′ = − f ′(2 − x) k.com/v iet ′ = − ′ − = − g
Từ bảng xét dấu của y
f (2 x) ta thấy hàm số y
f (2 x) có 3 điểm cực trị. old Cách 2
Số điểm cực trị của hàm số f (2 − x) bằng số điểm cực trị của hàm số f ( x) .
Từ bảng xét dấu của f ′( x) ta thấy hàm số f (x) có 3 điểm cực trị.
Câu 4: (Câu 44 - MĐ 101 - BGD&ĐT - Đợt 1 - Năm 2019 - 2020) Cho hàm số f (x) bậc 4 có bảng biến thiên như sau: 2
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng”
.vn Số điểm cực trị của hàm số g (x) = x f (x +  ) 2 4 1  là iem Ⓐ. 11. Ⓑ. 9 . Ⓒ. 7 . Ⓓ. 5. gh Lời giải Chọn B itracn th Ta chọn hàm bậc bốn 4 2 y = f ( )
x = 5x −10x + 3 có bảng biến thiên như đề cho. 2 3 4 yen
Ta có g '(x) = 4x f  ( x + ) 1  + x .2. f  (x + ) 1 f '( x + ) 1 = 0 3
⇔ 2x . f (x + ) 1 .2 f  (x + ) 1 + xf '( x + ) 1  = 0  s://lu 3  ttp x = 0 (1) h
⇔  f ( x + ) 1 = 0 (2) 2 f  (x + ) 1 + xf '( x + ) 1 = 0 (3)
+ Phương trình (1) có nghiệm bội x = 0 .
+ Từ bảng biến thiên của hàm số y = f ( x) , ta có phương trình f ( x) = 0 có 4 nghiệm phân biệt
x ≠1 ⇒ Phương trình (2): f ( x + )
1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt x ≠ 0.
+ Giải (3): Đặt x +1= t x = t −1, phương trình (3) trở thành:
2 f (t) + (t − )
1 . f '(t) = 0 ⇔ 2( 4 2
5t −10t + 3) + (t − ) 1 ( 3
20t − 20t ) = 0 4 3 2
⇔ 30t −20t − 40t + 20t + 6 = 0 (3') /vietgold
Bấm MTCT thấy phương trình (3’) có 4 nghiệm phân biệt t ≠1.
⇒ Phương trình (3) có 4 nghiệm phân biệt x ≠ 0.
Ngoài ra, nghiệm của phương trình (2) không phải là nghiệm của phương trình (3) vì những giá
trị x thỏa mãn f (x + )
1 = 0 không thỏa mãn phương trình (3).
Do đó phương trình g '( x) = 0 có 9 nghiệm phân biệt nên hàm số g ( x) = x f ( x +  ) 2 4 1  có 9 điểm cực trị.
Câu 5: (Câu 44) (MĐ 103 - BGD&ĐT - Đợt 1 - Năm 2019 - 2020) Cho hàm số bậc 4 có bảng biến htps://www.facebook.com thiên như hình vẽ
Số điểm cực trị của hàm số g ( x) = x f ( x − ) 2 4 1    là 3
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 Ⓐ. 7 . Ⓑ. 5. Ⓒ. 9 . Ⓓ. 11. Lời giải Chọn C
Cách 1.
Từ giả thiết đề bài đã cho ta thấy rằng hàm số f ( x) có dạng ( ) 4 2
f x = ax + bx + c .
Sử dụng giả thiết ta được
f ( x) = x x + ⇒ f ( x − ) = (x − )3 4 2 4 8 3 ' 1 16 1 −16( x − )
1 = 16x ( x − ) 1 ( x − 2) Ta có h t 2 t 3 4 p
g′( x) = 0 ⇔ 4x f  ( x − ) 1  + 2x . f  (x − )
1 . f ′( x − ) 1 = 0 s://x = 0 luyf  ( x − ) 1 = 0 ent 2 f  (x − ) 1 + . x f ′( x − ) 1 = 0 ( ) * h itr x x 2 a
Xét phương trình (*) ⇔ f ( x − )
1 = − . f ′( x − )
1 , ta có − . f ′( x − )
1 = −8x ( x − ) 1 ( x − 2) . c 2 2 n g x h
Biểu diễn hai hàm số f ( x − )
1 và − . f ′( x − )
1 trên cùng một đồ thị đồ thị ta có ie 2 m .vn https://www.faceboo k.co Như vậy phương trình ( )
* có 4 nghiệm phân biệt. m /v  6 ie x = ± +1 tg  2 3 2 o (x ) 1  − = l  d 2  5
Xét phương trình f ( x − ) 1 = 0 ⇔  ⇔ x =  . (x − )2 1 4 1 =   2 3 x =  4 
Thay 4 nghiệm này vào phương trình ( )
* thì ta thấy rằng các nghiệm của phương trình này không
phải là nghiệm của phương trình ( ) * .
Vậy hàm số đã cho có tất cả 9 điểm cực trị. Cách 2. 4
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng”
Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy rằng phương trình f ( x − )
1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt khác 0,
suy ra phương trình g ( x) = x f  ( x − ) 2 4 1  = 0 
có tất cả 5 nghiệm bội chẵn, khi đó đồ thị hàm số
g ( x) sẽ có dạng như sau .vn iem gh
Như vậy hàm g ( x) có 9 điểm cực trị.
itracn Câu 6: (Câu 38 - SGD Cần Thơ - Mã đề 102 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số bậc bốn y = f (x) và th
có đồ thị f ′ ( x ) như sau: yen s://lu ttp h /vietgold
Số điểm cực trị của hàm số g ( x) = f ( 2 x − ) 1 là Ⓐ. 1. Ⓑ. 3. Ⓒ. 2. Ⓓ. 4. Lời giải Chọn B
Ta có g′( x) = x f ′( 2 2 . x − ) 1 htps://www.facebook.com x = 0 x = 0 x = 0
Xét g′( x) = 0 ⇔  ⇔ ⇔   f ′  ( 2 x − ) 2 1 = 0 x −1 = 2  x = ± 3 
g ′ (2) = 4. f ′ (3) > 0
Ta có bảng xét dấu g ′( x) : x −∞ − 3 0 3 +∞ g ′ ( x ) − 0 + 0 − 0 +
Vậy số điểm cực trị của hàm số là 3 điểm. 5
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021
Câu 7: (Câu 41 - SGD Quảng Nam - Lần 2 - Năm 2020 - 2021) Biết hàm số f (x) có đồ thị được cho
như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực đại của hàm số 2
y = f f ( x)   h ttps://lu yen Ⓐ. 3. Ⓑ. 4. Ⓒ. 2. Ⓓ. 1. thi Lời giải tra Chọn C cn Ta có: gh
y′ = 2 f f x . f ′  f x  . f x ; i  ( )  ( ) ( ) em  ′ . f ( x) = 0 ( ) 1 vn
y′ = 0 ⇔  f ′  f  ( x) = 0  (2).   f f   ( x) = 0  (3) x = Giải ( ) 1 : f ′( x) 0 = 0 ⇔  x = 2  x = 0(kep)  f (x) = 0 
Giải (2) : f ′  f  ( x) = 0 ⇔   ⇔ x = x > 2  1  f x = 2 h  ( )  t
x = x > x t 2 1  ps:/ x = 0(kep) /w  f ( x) = 0  w
Giải (3) : f f  ( x) = 0 ⇔   ⇔ x = x > 2  1 w  f
 ( x) = x x > 2 1 ( 1 )  . = > f x 3 x 2 x a  ceb
Vậy phương trình y′ = 0 có nghiệm x = 0 (bội 5 ), x = 2 , x = (kép), = , = Phương 1 x x 2 x x 3 x ook
trình (1) có 4 nghiệm làm đổi dấu y′ nên hàm số đã cho có hai điểm cực đại, hai điểm cực tiểu. .com/
Câu 8: (Câu 47 - SGD Quảng Nam - Lần 2 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ viet thị như hình vẽ bên gold 6
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” .vn iem gh itracn
th Số nghiệm thực của phương trình f ( 3x−3x)=2 là yen Ⓐ. 9 . Ⓑ. 10. Ⓒ. 8 . Ⓓ. 6 . s://lu ttp Lời giải h Chọn C Đặt 3
t = x − 3x (t ≥ 0) /vietgold
t = a (−2 < a < 0)  f ( 3
x − 3x ) = 2 ⇔ f (t) = 2 ⇔ t = b  (0 < b < 2) t = c  (c > 2) htps://www.facebook.com Ta có đồ thị hàm số 3
y = x − 3x (là phần nằm phía trên trục hoành trong hình vẽ dưới đây) 7
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 h ttps://luy en
Dựa vào đồ thị của hàm số 3
y = x − 3x ta có thi
Với t = a ta có 3
x − 3x = a phương trình vô nghiệm trac
Với t = b ta có 3
x − 3x = b phương trình có 6 nghiệm thực phân biệt n gh
Với t = c ta có 3
x − 3x = c phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt iem
Vậy số nghiệm thực của phương trình 3 f
x − 3x = 2 là 8 . . ( ) vn
Câu 9: (Câu 38 - SGD Sơn La - Lần 2 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm
f ′( x) = ( x − )2
1 ( x − 2) . Số điểm cực trị của hàm số g ( x) = f ( 2x + 2x + 5) là Ⓐ. 3. Ⓑ. 0 . Ⓒ. 1. Ⓓ. 2 . Lời giải Chọn C htt 2 x =1 p
Ta có: f x = 0 ⇔ x −1 x − 2 = 0 ⇔ . s ( ) ( ) ( )  : x = 2 /  /w x + 1 w g′ ( x) = f ′ ( 2 x + 2x + 5 . 2 ) w x + 2x + 5 .fac x + 1 2 e g′( x) = 0 ⇔ f x + 2x + 5 = 0 b 2 ( ) o x + 2x + 5 ok. x = 1 − co  m 2  / ⇔ 
x + 2x + 5 = 1 VN . 2 v f
x + 2x + 5 = 0 ⇔  i  ( ) ( ) e 2 2 t  g 
x + 2x + 5 = 2 ⇔ x + 2x +1 = 0 ⇔ x = −1   old ′
Bảng xét dấu g ( x) : Suy ra: Chọn C
Câu 10: (Câu 39 - THPT Chuyên Bắc Ninh - Lần 3 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f ( x) . Biết
hàm số y = f '( x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số f ( x ) f ( x) y = 2021 + 2020 là 8
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” .vn iem gh itracn th Ⓐ. 2. Ⓑ. 5 . Ⓒ. 3 . Ⓓ. 4 . yen Lời giải Chọn C s://lu
Ta có y = f ( x) f ( x) + f ( x) f ( x) ' ' .2021 .ln 2021 ' .2020 .ln 2020. ttp h = f ( x) f ( x ) f ( x ) ' . 2021 .ln 2021 + 2020 .ln 2020 .    = 1 x a Do f ( x) f ( x) 2021 .ln 2021 2020 .ln 2020 0,  +
> ∀x y ' = 0 ⇔ f '( x) = 0 ⇔ x = b. 2   =  3 x c /vietgold Vậy hàm số f ( x) f ( x) y = 2021 + 2020 có ba điểm cực trị.
htps://www.facebook.com Câu 11: (Câu 24 - Chuyên Vinh- Nghệ An – Lần 1 – Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f (x) có đạo
hàm trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số y = f (1− 2x) đạt cực tiểu tại 1 1
Ⓐ. x = − .
Ⓑ. x = .
Ⓒ. x =1. Ⓓ. x = 0 2 2 Lời giải 9
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 Chọn B  x =1 1  − 2x = 1 −  
g′( x) = − f ′( − x) = ⇔⇒ − f ′( − x) 1 2 1 2 0 2 1 2 = 0 ⇔ 1− 2x = 0  ⇔ x =   2 1  − 2x = 2   1 x = −  2 Ta có bảng biến thiên h ttps://luyenth itr
Ta xét dấu bằng cách thay số acn
Với x = 2 ⇒ g′(2) = −2 f ′(−3) < 0 gh 3  3   1  ie
Với x = ⇒ g′ = 2 − f ′ − > 0     m 4  4   2  .v 1  1   1 n
Với x = ⇒ g′ = 2 − f ′ < 0 4  4   2     
Với x = −1 ⇒ g′(− )
1 = −2 f ′(3) > 0 1
Vậy hàm số y = f (1− 2x) đạt cực tiểu tại x = . 2
Câu 12: (Câu 24 - Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - Lần 02 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f (x)
có bảng biến thiên như sau:
https://www.facebook.com/v ietg
Điểm cực tiểu của hàm số y = f (3x) là old 2 2 Ⓐ. y = 3 −
Ⓑ. x = .
Ⓒ. x = 2 . Ⓓ. x = − . 3 3 Lời giải Chọn B Ta có:
y′ = 3 f ′(3x)
Từ BBT của hàm số y = f (x) ta có: 10
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng”  1 3 x = − x = 1 −  3
y′ = 0 ⇔ f ′(3x) = 0 ⇔  ⇔ 3  x = 2   2 x =  3  1 x < − 3x < 1 −  3 y′ > 0 ⇔  ⇔ 3  x > 2  2 .vn  x >  3 iem 1 2 gh y′ <0 ⇔ 1
− < 3x < 2 ⇔ − < x < 3 3 2
Do đó, điểm cực tiểu của hàm số là x = . itracn 3
th Câu 13: (Câu 47 - Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f (x), yen
có đạo hàm f ′( x) = ( x + )2
1 ( x − 3). Tìm số điểm cực trị của hàm số g ( x) = f ( 2x + 2x + 6) s://lu ttp h Ⓐ. 1. Ⓑ. 2 . Ⓒ. 3 . Ⓓ. 5. Lời giải Chọn C x + = x = − Ta có f ′( x) 1 0 1 = 0 ⇔ ⇔   . x − 3 = 0 x = 3   Bảng xét dấu /vietgold x +1
Xét hàm số g ( x) = f ( 2x + 2x + 6) có g′(x) = f ′( 2
x + 2x + 6 2 ) x + 2x + 6 x +1 = 0 x = 1 −
g′( x) = 0 ⇔  ⇔ 
f ′( 2x + 2x + 6) 2 = 0
x + 2x + 6 = 3   x = −1 x = 1 −  ⇔ ⇔ x = −3  2 x 2x 3 0  + − =  x = 1  Bảng xét dấu htps://www.facebook.com
Từ bảng biến thiên. Ta thấy hàm số g ( x) có 3 điểm cực trị.
Câu 14: (Câu 45 - Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần 3 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f ( x)
có đạo hàm liên tục trên ℝ và có đồ thị hàm số y = f ′( x) như hình dưới đây: 11
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 Hàm số = ( 2 y
f x + x) có bao nhiêu điểm cực đại? h Ⓐ. 1. Ⓑ. 0 . Ⓒ. 3. Ⓓ. 2 . ttp Lời giải s:/ Chọn D /lu Bảng xét dấu của ′ : y f ( x) enthitr ac 2 2 n
Đặt g ( x) = f (x + x) , ta có g′(x) = (2x + )
1 f ′(x + x) , ghi  1 − e x = m 2x +1 = 0  2 .   v 2 x + x = 1 −   1 − ± 5 n g′( x) = 0 ⇔ ⇔ x = 2   x + x = 1 2   2 x + x = 4  1 − ± 17  x =  2 −1− 17 1 − − 5 1 − + 5 −1+ 17 Đặt a = , b = , c = , d =
; Ta có bảng xét dấu của g′( x) 2 2 2 2 https:/ /w
Từ bảng xét dấu của g′( x) ta có hàm số ( ) = ( 2 g x
f x + x) có 2 điểm cực đại. ww.fa
Câu 15: (Câu 13 - Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số bậc ceb
ba y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ: ook.com/vietgold Gọi 2
S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = f ( x − )
1 + m) có 3 điểm cực trị.
Tổng các phần tử của S là: Ⓐ. 2 . Ⓑ. 4 . Ⓒ. 8 . Ⓓ. 10 . Lời giải 12
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” Chọn A
Ta có y = ( x − ) f ( x − )2 ' 2 1 ' 1 + m) . x = 1 x = 1 x = 1   y ' = 0 ⇔  ⇔  − + = − ⇔  − = − − .  f ( 2 2 (x − )2 + m) (x ) 1 m 1 (x ) 1 1 m( ) 1 ' 1 = 0    ( x − )2 1 + m = 3   ( x − )2 1 = 3 − m(2) .vn +) Nếu 1
− − m = 0 ⇔ m = 1
− khi đó phương trình ( ) ⇔ (x − )2 2
1 = 4 có hai nghiệm phân biệt iem khác 1 nên m = 1 − thỏa mãn. gh
+) Nếu 3 − m = 0 ⇔ m = 3 khi đó phương trình ( ) ⇔ ( x − )2 1
1 = −4 vô nghiệm. Do đó, m = 3 không thỏa mãn. itracn th
+) Để hàm số y = f ( x − )2
1 + m) có 3 điểm cực trị thì phương ( )
1 có hai nghiệm phân biệt và yen (2) vô nghiệm; hoặc ( )
1 vô nghiệm và (2) có hai nghiệm phân biệt. −1− m > 0 m < 1 − s://lu   3 − m < 0 m > 3 ttp   ⇔ ⇔
⇔ −1 < m < 3. h  1 m 0  − − < m > −1    3 − m > 0   m < 3  Vậy 1 3 m m ∈ − ≤ < 
ℤ→ m ∈{−1;0;1; } 2 . Chọn A .
Câu 16: (Câu 45 - Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 2 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số
y = f ( x) (với f (x) là đa thức bậc 5). Đồ thị hàm y = f '( x ) hình vẽ sau /vietgold
htps://www.facebook.com Hỏi hàm số y= f ( 2x−2x)có bao nhiêu điểm cực tiểu? Ⓐ. 1. Ⓑ. 3 . Ⓒ. 2 . Ⓓ. 0 . Lời giải Chọn B
Ta có: y = ( x − ) f ( 2 ' 2 2 ' x − 2x) 13
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 x = 1 2  x − 2 = 0 x = 0   2 2x − 2 = 0 x − 2x = 0 x = 2 
y ' = 0 ⇔ (2x − 2) f '( 2
x − 2x) = 0 ⇔  ⇔ ⇔  f '  ( 2 x − 2x) 2 = 0 x − 2x =1 x = 1± 2  . 2  x − 2x = 3 x = 3   x = 1 − 
Dựa vào đồ thị ta suy ra y ' = 0 có đúng 5 nghiệm bội lẻ là: x = 1
− ; x = 0; x = 1; x = 2; x = 3 nên h 2 t
hàm số y = f (x − 2x) có 5 điểm cực trị. tps 2 :
Từ giả thiết đồ thị hàm số y = f '
và hàm số y = f x − 2x có 5 điểm cực trị suy ra hàm số / (x) ( ) /lu 2 y
y = f ( x − 2x) có 3 điểm cực tiểu enth
Câu 17: (Câu 44 - Chuyên Quốc Học Huế - Huế - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f ( x) itra 2 2 c
có đạo hàm f ′( x) = x ( x + 2)( x − 3) . Điểm cực đại của hàm số g(x) = f (x −2x) là n ghi x = x = − x = x = e Ⓐ. 0. Ⓑ. 1. Ⓒ. 3. Ⓓ. 1. m .v Lời giải n Chọn D x = 0 
Theo giả thiết : f ′( x) = 0 ⇔ x = −2 
(trong đó x = 0 nghiệm kép). x = 3  2x − 2 = 0  2 2x − 2 = 0 x − 2x = 0  2
gx = 0 ⇔  ⇔ h
Ta có g′( x) = (2x −2) f ′(x −2x) , có ( ) 2 2 t
f x − 2x = 0  t  ( ) x − 2x = 2 − (vn) p  s: 2 / x − 2x = 3  /ww x = 1 w  .f x = 0 a  ce
⇔ x = 2 (trong đó x = 0 x = 2 nghiệm kép). bo  o x = −  1 k.c x = 3 o  m /
Bảng biến thiên của hàm số g(x) vietgold
Dựa vào BBT, hàm số g(x) đạt cực đại tại x =1. 14
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng”
Câu 18: (Câu 48 - Chuyên Thái Bình - Thái Bình - Lần 4 - Năm 2020 - 2021 ) Cho hàm số f ( x) ,
bảng biến thiên của hàm số f ′( x) như sau: x ∞ 1 0 1 +∞ +∞ +∞ 2 f'(x) .vn 1 3 iem
gh Số điểm cực trị của hàm số y = f ( 2
3x − 6x + 2) là: itracn Ⓐ. 3 . Ⓑ. 5 . Ⓒ. 7 . Ⓓ. 9 . th Lời giải yen Chọn C
Ta có: y′ = ( x − ) f ′( 2 6 6 3x − 6x + 2) s://lux = 1 ttp
y′ = 0 ⇔ (6x − 6) f ′( 2
3x − 6x + 2) = 0 ⇔ hf ′  ( 2
3x − 6x + 2) = 0 ( ) 1 BBT: /vietgold 2
3x − 6x + 2 = a ∈ − ; ∞ 1 − : 1 ( ) (vn)  2
3x − 6x + 2 = a ∈ 1 − ;0 2 2 ( ) ( 0n ) ( ) 1 ⇔  2
3x − 6x + 2 = a ∈ 0;1 2  3 ( ) ( 0n )  2
3x − 6x + 2 = a ∈ 1;+∞ 2  4 ( ) ( 0n ) 2 htps://www.facebook.com
Vì phưưng trình y′ =0 có 7 nghiưm đưn phân biưt nên hàm sư y = f (3x −6x + 2) có 7 cưc trư.
Câu 19: (Câu 50 - THPT Cẩm Bình - Hà Tĩnh - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số bậc ba y = f ( x)
có đồ thị như hình vẽ. 15
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 h ttp s:/ 2 /
Số điểm cực tiểu của hàm số y = f x + x bằng l ( ) u yen Ⓐ. 1. Ⓑ. 5. Ⓒ. 3. Ⓓ. 2 . thi Lời giải tra Chọn C cng
Từ đồ thị ta có hàm số bậc ba y = f ( x) có hai điểm cực trị x = 2 − ; x = 0 h ie 1 m Đặt 2
u = −x + x . Ta có u ' = 2
x +1 = 0 ⇔ x = 2 .vn
Bảng biến thiên của hàm số = ( 2 y
f x + x ) ht tps: 2 /
Câu 20: Vậy hàm số = − +
có 3 điểm cực tiểu.(Câu 46 - THPT Cẩm Bình - Hà Tĩnh - Lần / y f ( x x) ww
2 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số
có bảng biến thiên như hình dưới w y = f ( ) x .facebook.com/vietgo ld
Số điểm cực trị của hàm số y = f ( 2 x − 4x + ) 1 là Ⓐ. 1. Ⓑ. 5. Ⓒ. 3. Ⓓ. 2 . Lời giải Chọn B
Xét hàm số: y = g ( x) = f ( 2 x − 4x + ) 1
y ' = g '( x) = (2x − 4) f '( 2 x − 4x + ) 1 16
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” x = 2  2x − 4 = 0 x = 2 x = 2 + 2 2  x − 4 = 0   
g '( x) = 0 ⇔  2
x − 4x +1 = −1 2
x − 4x + 2 = 0 ⇔ x = 2 − 2 f '     ( 2 x − 4x + ) 1 = 0 2
x − 4x +1 = 3  2
x − 4x − 2 = 0  x = 2 + 6  x = 2 − 6  .vn
Suy ra g '(x) bị đổi dấu 5 lần, nên hàm số y = f ( 2 x − 4x + ) 1 có 5 điểm cực trị.
iem Câu 21: (Câu 18 - THPT Đào Duy Từ - Hà Nội - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số gh
f ( x) . Bảng biến thiên của hàm số f ′( x) như sau: itracn th yen s://lu ttp
h Số điểm cực trị của hàm số y = f ( 2x − 2x) là Ⓐ. 7 . Ⓑ. 9 . Ⓒ. 3. Ⓓ. 6 . Lời giải Chọn A
y′ = ( x − ) f ′( 2 2 2 x − 2x) .  2x − 2 = 0  x = 1
Xét phương trình y′ = 0 ⇔  ⇔  f ′   ( 2 x − 2x) = 0 f ′  ( 2 x − 2x) = 0 /vietgold
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số f ′(x) , ta có 2
x − 2x = a (a < − ) 1 ( ) 1  2 − = − < <  f ′( x 2x b 1 b 0 2 2 x − 2x) ( ) ( ) = 0 ⇔ 2
x − 2x = c (0 < c < ) 1 (3)  2
x − 2x = d  (d > ) 1 (4)
Xét hàm số g (x) 2
= x − 2x , có bảng biến thiên như sau htps://www.facebook.com
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số g (x) 2
= x − 2x , suy ra:
+ Phương trình (1) vô nghiệm. 17
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021
+ Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x ,1 2 x khác 1.
+ Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt x , x , x ,1 . 3 4
x khác các nghiệm: 1 2
+ Phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt x ,
x , x , x , x ,1. 5 6
x khác các nghiệm: 1 2 3 4
Vậy phương trình y′ = 0 có 7 nghiệm phân biệt nên hàm số đã cho có 7 điểm cực trị.
Câu 22: (Câu 27 - THPT Đội Cấn - Vĩnh Phúc - Lần 01 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số bậc bốn h
y = f(x) có đồ thị hình vẽ bên? ttps://luyenthitr acn
Số điểm cực trị của hàm số 3
g(x) = f (x − 3x) là ghie Ⓐ. 7 . Ⓑ. 9. Ⓒ. 11. Ⓓ. 5. m .v Lời giải n Chọn B x = 1 ± Ta có 2 3
g '(x) = (3x − 3) f '(x − 3x) = 0 ⇔  3
f '(x − 3x) = 0  3
x − 3x = t(−2 > t) Dựa vào đồ thị ta có  3 3
f '( x − 3x) = 0 ⇔ x − 3x = u(−2 < u < 0) (*)   3
x − 3x = v(0 < v < 2)  ht Xét 3 2 ( h )
x = x −3x h'( )
x = 3x −3 = 0 ⇔ x = 1 ± t
ta có bảng biến thiên sau: ps://www.faceboo k.co
Dựa vào bảng biến thiên ta được (*) có 7 nghiệm phân biệt khác ± 1 nên g '(x) = 0 có 9 nghiệm m /v
đơn phân biệt. Vậy hàm số 3
g(x) = f (x − 3x) có 9 cực trị. ietgo
Câu 23: (Câu 37 - THPT Kinh Môn - Hải Dương - Lần 02 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f x l ( ) d
. Đồ thị của hàm số y = f ′(x) như hình bên. 18
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” .vn
iem Hàm số g (x) = f ( x ) + 2021 có bao nhiêu điểm cực trị? gh Ⓐ. 5 . Ⓑ. 7. Ⓒ. 3. Ⓓ. 2. itracn Lời giải th Chọn A yen
Từ hình vẽ ta thấy đồ thị của y = f ′( x) cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ dương (và 1 điểm có hoành độ âm). s://lu
Suy ra hàm số f ( x) có 2 điểm cực trị dương. ttp h
Suy ra hàm số f ( x ) có 5 điểm cực trị.
Suy ra hàm số g ( x) = f ( x ) + 2021 có 5 điểm cực trị (vì tịnh tiến đồ thị lên trên hay xuống
dưới không ảnh hưởng đến số điểm cực trị của hàm số).
Câu 24: (Câu 36 - THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - Lần 2 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số bậc bốn
y = f ( x) có đồ thị (
và hàm số y = f ′( x) có đồ thị (C như hình vẽ 2 ) 1 C )
bên. Số điểm cực trị của đồ thị hàm số ( ) = e−x g x f . f ( x)   trên khoảng (− ; ∞ 3) là /vietgold Ⓐ. 9. Ⓑ. 6. Ⓒ. 7. Ⓓ. 8. Lời giải htps://www.facebook.com Chọn D
Ta có ′( ) = e−x. ′  ( ) − ( ). ′  (e−x g x f x f x ff ( x)) . 19
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 h tt p s
f ′(x) − f ( x) = 0
f ′( x) = f (x) ://
Xét g ( x) = 0 ⇔  ⇔  . lxx uf
 (e . f ( x)) = 0  f
 (e . f ( x)) = 0 yenx = ax = a th   x = 0 x = 0 it   rax = bx = b c ⇔  n ⇔  e− x . f x = 2 −xg  ( ) f  ( x) = 2e h  −  x i e . f x = 0 f x = 0 e ( ) ( )   m  −x x. e . f  (x) = 2 f  ( x) = 2e vn
Từ đồ thị ta suy ra được: Phương trình ( ) 2ex f x = − có nghiệm đơn.
Phương trình f ( x) = 0 có 2 nghiệm đơn và 1 nghiệm bội chẵn ( x = 0) . Phương tridnh ( ) 2ex f x = có 1 nghiệm đơn.
Vậy g′( x) = 0 có 8 nghiệm đơn nên hàm số g ( x) có 8 điểm cực trị. h
Câu 25: (Câu 45 - THPT Ngọc Tảo - Hà Nội - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm ttps
trên ℝ và có bảng xét dấu của f ′( x) như sau ://www.fac ebo 2 o
Hỏi hàm số g ( x) = f (x − 2x) có bao nhiêu điểm cực tiểu? k.com Ⓐ. 4 . Ⓑ. 1. Ⓒ. 3. Ⓓ. 2 . /vie Lời giải tgo Chọn B ld
Ta có g′( x) = ( x − ) f ′( 2 2 2 x − 2x) . Suy ra x = 1 x = 1  2 2  x − 2 = 0 − = x = 3 ′( ) x x  
g x = 0 ⇔ (2x − 2) f ′( 2 3 2
x − 2x) = 0 ⇔  ⇔ ⇔ . f ′  x = 1 −  ( 2 x − 2x) 2 = 0
x − 2x = −2   2 x − 2x = 1  x = 1± 2  20
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng”  x ≥1 2x − 2 ≥ 0     2 2
− ≤ x − 2x ≤ 3   f ′  ( 2 x − 2x) ≥ 0 Xét 
g′( x) ≥ 0 ⇔ ( x − ) f ′( 2 2 2
x − 2x) ≥ 0 ⇔  ⇔ x ≤1 2  x − 2 ≤ 0   2 
x − 2x ≥ 3 f ′    ( 2 x − 2x) ≤ 0 2
 x − 2x ≤ 2 −  .vn x ≥1   2 x ≥1 iem
x − 2x + 2 ≥ 0   1 − ≤ x ≤ 3  gh 2
x − 2x − 3 ≤ 0   1  ≤ x ≤ 3 ⇔  ⇔ x ≤1 ⇔ .   x ≤ 1  x ≤ 1 −    x ≥ 3 itracn  2
x − 2x − 3 ≥ 0  th  x ≤ 1 −  2
 x − 2x + 2 ≤ 0  yen Bảng biến thiên s://lu ttp h
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số g ( x) = f ( 2
x − 2x) có 1 điểm cực tiểu. Cách khác: /vietgold
Từ BBT hàm f ( 2
x − 2x) được mô tả ở dưới ta suy ra hàm có 1 điểm cực tiểu. htps://www.facebook.com
Câu 26: (Câu 45 - THPT Phụ Dực - Thái Bình - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số = ( ) 3 2 y
f x = ax + bx + cx + d với a ≠ 0 có đồ thị hàm số như hình bên. Điểm cực đại của đồ thị
hàm số y = f (2 − x) + 3 là 21
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 y 2 x -2 O 2 -2 h ttps 6 ://l u ye Ⓐ. (0;5) . Ⓑ. (0;2) . Ⓒ. (5;−6) . Ⓓ. (5; ) 3 . n th Lời giải itr Chọn A acnx = x < − g
Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có f ′( x) 2 = 0 ⇔  và f ′( x) 2 < 0 ⇔  . h x = 2 −  x > 2  iem 2 − x = 2 − x = 0 .
Ta có y′ = − f ′(2 − x) . Cho y′ = 0 ⇔ ⇔ . v 2  − x = 2 x = 4 n    − x < x >
Giả sử y′ > ⇔ − f ′( − x) > ⇔ f ′( − x) 2 2 4 0 2 0 2 < 0 ⇔ ⇔  . 2  − x > 2 x < 0  
Do đó ta có bảng biến thiên sau: https: //w
Vậy hàm số y = f (2 − x) + 3 đặt cực tại tại x = 0 khi y(0) = f (2) + 3 = 2 + 3 = 5 . ww
Vậy tọa độ điểm cực đại là (0;5) . .faceb
Câu 27: (Câu 46 - THPT Tam Dương - Vĩnh Phúc - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f (x) ook
có bảng biến thiên như hình dưới: .com/vietgold
Số điểm cực trị của hàm số y = f ( 2 x − 4x + ) 1 là: Ⓐ. 1. Ⓑ. 5. Ⓒ. 3 . Ⓓ. 2 . Lời giải Chọn B
Ta có g ( x) = f ( 2 x − 4x + ) 1 . 22
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” ⇒ ′ g′( x) = ( 2 x − 4x + ) 1 . f ′( 2 x − 4x + )
1 = 2( x − 2). f ′( 2 x − 4x + ) 1 . x = 2  x = 2 x = 2 − 2   
Ta có g′( x) = 0 ⇔ 2( x − 2). f ′( 2 x − 4x + ) 2
1 = 0 ⇔ x − 4x +1 = 1 − ⇔ x = 2 + 2   . 2
x − 4x +1= 3   x = 2 − 6 .vn  x = 2 + 6  iem
Ta có bảng xét dấu của g′( x) . gh itracn th yen
Dựavào bảng biến thiên ta thấy hàm số g ( x) = f ( 2 x − 4x + ) 1 có 5 điểm cực trị. s://lu
ttp Câu 28: (Câu 47 - THPT Yên Hòa - Hà Nội - Lần 1 - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm số y = f (x) có đạo h
hàm trên R . Biết hàm số y = f (′x) có đồ thị như hình vẽ.
Sô điểm cực trị của hàm số y = f ( 2 x − 3) là /vietgold Ⓐ. 5. Ⓑ. 4. Ⓒ. 2. Ⓓ. 3. Lời giải Chọn D
Đặt g x = f ( 2 ( )
x − 3) ta có gx = x f ′( 2 ( ) 2 . x − 3) . 2x = 0 x = 0  Từ đồ thị của  y = f ( ′ x) ta có 2 g (
x) = 0 ⇔ x − 3 = 1 ⇔ x = 2 ±   . 2 x −3 = −2 x = 1 ±   htps://www.facebook.com
Cũng từ đồ thị ta thấy x = 2
± là nghiệm kép của phương trình, nên ta có x = 0, x = 1 ± là các
nghiệm đơn của g (
x) = 0. Vậy hàm số y = g x = f ( 2 ( )
x − 3) có tất cả là 3 cực trị.
Câu 29: (Câu 46 - MĐ 101 - BGD&ĐT - Năm 2018 - 2019) Cho hàm số f ( x) , bảng biến thiên của hàm số f ′( ) x như sau 23
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021
Số điểm cực trị của hàm số y = f ( 2 x − 2 x ) là Ⓐ. 9. Ⓑ. 3. Ⓒ. 7. Ⓓ. 5. h ttp Lời giải s:/ Chọn C /lu Cách 1 yenthitracng h ie
x = a, a ∈(− ; ∞ − ) 1 m. x = , b b ∈  (−1;0) v
Từ bảng biến thiên ta có phương trình f ′( x) = 0 có các nghiệm tương ứng là n
x = c, c ∈ (0; ) 1 
x = d,d ∈(1;+∞  ) .
Xét hàm số y = f ( 2
x x) ⇒ y′ = ( x − ) f ′( 2 2 2 1 x − 2x) . x = 1  2
x − 2x = a ( ) 1 x −1 = 0  h Giải phương trình 2 2
y′ = 0 ⇔ 2 x −1 f x − 2x = 0 ⇔ 
x − 2x = b 2 . t ( ) ( ) 2 ( ) t  p f
 ( x − 2x) = 0 s  2 :
x − 2x = c (3) /  /w 2
x − 2x = d  (4) ww.
Xét hàm số h x = x x ta có = − = − + − ≥ − ∀ ∈ f ( ) 2 2 h ( x) x x (x )2 2 2 1 1 1, x ℝ do đó ace 2 b
Phương trình x − 2x = , a (a < − ) 1 vô nghiệm. ook 2 .
Phương trình x − 2x = , b ( 1
− < b < 0) có hai nghiệm phân biệt x ; x không trùng với nghiệm c 1 2 om/ của phương trình ( ) 1 . vie 2 tg
Phương trình x − 2x = ,
c (0 < c < )
1 có hai nghiệm phân biệt x ; 3 4
x không trùng với nghiệm của old phương trình ( ) 1 và phương trình (2) . Phương trình 2
x − 2x = d,(d > )
1 có hai nghiệm phân biệt x ; 5 6
x không trùng với nghiệm của phương trình ( )
1 và phương trình (2) và phương trình (3) . Vậy phương trình 2
y′ = 0 có 7 nghiệm phân biệt nên hàm số y = f ( x − 2x) có 7 điểm cực trị. Cách 2 24
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng”
x = a, a ∈(− ; ∞ − ) 1 x = ,bb∈  ( 1 − ;0)
Từ bảng biến thiên ta có phương trình f ′( x) = 0 có các nghiệm tương ứng là 
x = c, c ∈ (0; ) 1 
x = d,d ∈(1;+∞  )
Xét hàm số y = f ( 2
x x) ⇒ y′ = ( x − ) f ′( 2 2 2 1 x − 2x) . .vnx = 1  2 iem
x − 2x = a ( ) 1 x −1 = 0  gh
y′ = 0 ⇔ 2 ( x − ) 1 f ′( 2 x − 2x ) 2 = 0 ⇔  ⇔ − =  . f ′  ( x 2x b 2 2 x − 2x ) ( ) = 0  2
x − 2x = c (3)  itracn 2
x − 2x = d  (4) th
Vẽ đồ thị hàm số h( x) 2 = x −2x yen s://lu ttp h
Dựa vào đồ thị ta thấy: phương trình (1) vô nghiệm. Các phương trình (2);(3);(4) mỗi
phương trình có 2 nghiệm. Các nghiệm đều phân biệt nhau. Vậy phương trình 2
y′ = 0 có 7 nghiệm phân biệt nên hàm số y = f ( x − 2x) có 7 điểm cực trị.
Câu 30: (Câu 48 - MĐ 102 - BGD&ĐT - Năm 2018 - 2019) Cho hàm số f (x), bảng biến thiên của
hàm số f '( x) như sau: /vietgold x ∞ 1 0 1 +∞ +∞ +∞ 2 f'(x) 1 3 htps://www.facebook.com
Số điểm cực trị của hàm số y = f ( 2
x + 2 x ) là Ⓐ. 3. Ⓑ. 9. Ⓒ. 5. Ⓓ. 7. Lời giải Chọn D
Xét hàm số y = f ( 2
x + 2 x ) trên ℝ .
Ta có y = ( x + ) f ( 2 ' 2 2 ' x + 2x) . 25
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021
Dựa vào bảng biến thiên của hàm f '( ) x ta được x = 1 − x = 1 − 
x + x = a (x+ )2 2 1 = a +1 ( ) 1 2   y ' 0 
= ⇔ x + 2x = b ⇔ ( x + )2 2 1 = b +1 (2)
< − < < < < <  , trong đó a
1 b 0 c 1 d . 2 
x + 2x = c ( x + )2 1 = c +1 (3)  2 x 2x d  + =  (x + )2 1 = d +1 (4) h ttpa +1 < 0 s:b +1 > 0 //
< − < < < < < l Do a
1 b 0 c 1 d nên  . u c + 1 > 0 yed +1 > 0 nth 2 , 3 , 4 i Khi đó phương trình ( )
1 vô nghiệm. Các phương trình ( ) ( ) ( ) mỗi phương trình đều có 2 trac
nghiệm phân biệt và khác nhau, cùng khác 1
− . Suy ra phương trình y' = 0 có 7 nghiệm đơn. n g Vậy hàm số 2
y = f x + 2 x có 7 điểm cực trị. h ( ) iem
Câu 31: (Câu 48 - MĐ 103 - BGD&ĐT - Năm 2018 - 2019) Cho hàm số f ( x) , bảng biến thiên của .vn
hàm số f ( x) như sau: ht 2 t
Số điểm cực trị của hàm số y = f (4x − 4x) là ps://w Ⓐ. 9. Ⓑ. 5. Ⓒ. 7. Ⓓ. 3. ww.f Lời giải ace Chọn C boo
x = a ∈(− ; ∞ − ) 1 k.  co x = b ∈  ( 1 − ;0) m
Dựa vào bảng biến thiên ta có: f ′( x) = 0 ⇔ . /  v x = c ∈(0; ) 1 i  etg
x = d ∈(1;+ ∞  ) old  1 x =  2  2
4x − 4x = a ∈(− ; ∞ − ) 1 8  x − 4 = 0 
Ta có: y′ = ( x − ) f ′( 2 8 4
4x − 4x) , y′ = 0 ⇔  2
⇔ 4x − 4x = b ∈  (−1;0) . f ′  ( 2 4x − 4x) = 0  2
4x − 4x = c ∈ (0; ) 1  2
4x − 4x = d ∈(1;+ ∞)   26
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” 1 Ta có khi 2 x =
⇒ 4x − 4x = −1 và f ′(− ) 1 = −3 ≠ 0 2
Mặt khác: x x = ( x − )2 2 4 4 2 1 −1 ≥ −1 nên: 2
4x − 4x = a vô nghiệm. 2
4x − 4x = b có 2 nghiệm phân biệt 1 x , 2 x . 2
4x − 4x = c có 2 nghiệm phân biệt .vn 3 x , 4 x . 2
4x − 4x = d có 2 nghiệm phân biệt 5 x , 6 x . iem
Vậy phương trình y′ = 0 có 7 nghiệm bội lẻ phân biệt nên hàm số có 7 điểm cực trị. gh Cách 2:
Gọi m đại diện cho các tham số ta xét phương trình 2
4x − 4x m = 0 có ∆ ' = 4(m + ) 1 , itracn th ′ ∆ > 0 ⇒ m > 1 − .
Vậy với mỗi giá trị b, c, 2
f ′ 4x − 4x = 0 có 6 nghiệm phân yen
d thuộc khoảng đã cho phương trình ( ) biệt. s://lu
Vậy phương trình y′ = 0 có 7 nghiệm bội lẻ phân biệt nên hàm số có 7 điểm cực trị. ttp
h Câu 32: (Câu 50 - MĐ 104 - BGD&ĐT - Năm 2018 - 2019)
Cho hàm số f (x) , bảng biến thiên của
hàm số f ′( x) như sau:
Số điểm cực trị của hàm số y = f ( 2
4x + 4x) là /vietgold Ⓐ. 5. Ⓑ. 9 . Ⓒ. 7 . Ⓓ. 3. Lời giải Chọn C  ′ + =
f ′( x + x) f ( 2 2 4x 4x) 0 4 4 = 0 Ta có 
y′ = ( x + ) f ′( 2 8 4
4x + 4x); y′ = 0 ⇔  ⇔  1 . 8  x + 4 = 0  = −  1 x  2
x = a ∈(− ; ∞ − ) 1  htps://www.facebook.com x = b ∈  (−1;0)
Dựa vào bảng biến thiên của f ′( x) nhận thấy f ′( x) = 0 ⇔  . x = c ∈ (0; ) 1 
x = d ∈(1;+∞  ) 2
4x + 4x = a ∈(− ; ∞ − ) 1  2
4x + 4x = b ∈(−1;0) Do đó f ′( 2
4x + 4x) = 0 ⇔  (*) . Lại có 2
4x + 4x = c ∈  (0; ) 1  2
4x + 4x = d ∈(1;+∞  ) 2
4x + 4x = a vô nghiệm vì x + x = ( x + )2 2 4 4 2 1 −1 ≥ −1,∀x ; 27
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 x = x 2 2
4x + 4x = b ⇔  ; x =  3 xx = x 2 4
4x + 4x = c ⇔  ; x =  5 xx = x 2 6
4x + 4x = d ⇔  . x =  7 x
Vì ≠ ≠ do thuộc các khoảng khác nhau (như * ) nên các nghiệm x , x , x , x , x , h b c d ( ) 2 3 4 5 6 7 x đều ttp 1 s khác nhau và khác
có 7 nghiệm đơn phân biệt nên 1 x = − . Do đó y′ = 0
y′ đổi dấu 7 lần suy :/ 2 /lu
ra hàm số có 7 điểm cực trị. yen
Câu 33: (Câu 45 - MĐ 102 - BGD&ĐT - Đợt 1 - Năm 2019 - 2020) Cho hàm số bậc bốn f ( x) có bảng thi biế thiên như sau: tracnghiem.vn
Số điểm cực trị của hàm số g ( x) = x f ( x − ) 4 2 1    là Ⓐ. 7 . Ⓑ. 8 . Ⓒ. 5. Ⓓ. 9. Lời giải htt Chọn D ps:
Ta có hàm số g (x) liên tục và có đạo hàm là //w 4 3 3 2 w g ' ( x ) = 2 . x f
 ( x − 1) + 4.x . f '  (x − ) 1 .  f
 ( x − 1) = 2x f   ( x − ) 1  .
 ( f ( x − )
1 + 2xf '( x − ) 1 ) w.f  a x = x = 0 1 c  e Cho . b g ( x ) = 0 ⇔ f  ( x − 1) = 0 oo  k f
 ( x − 1) + 2x. f '( x − 1) = 0 .com
* Với phương trình f ( x − ) 1 = 0 . /vie
f ( x) là hàm bậc bốn và có bảng biến thiên như trên ta thấy phương trình f ( x − ) 1 = 0 có tgo
bốn nghiệm đơn phân biệt x , x , x , x khác l 2 3 4 5 1 x . d
* Với phương trình f ( x − )
1 + 2xf '( x − ) 1 = 0
Ta thấy phương trình không nhận các số x , x , x , x , 1 2 3 4 5 x làm nghiệm. Gọi ( ) 4 2
f x = ax + bx + c , vì f '( x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt −1; 0;1 và f (0) = −1, f ( ) 1 = 3
nên c = −1, a = −4,b = 8 , suy ra f ( x) 4 2
= −4x + 8x −1 .
Đặt t = x − 1, phương trình f ( x − )
1 + 2xf '( x − )
1 = 0 trở thành f (t ) + 2(t + ) 1 f '(t ) = 0 4 2
⇔ − t + t − + (t + )( 3 − t + t ) 4 3 2 4 8 1 2 1 16
16 = 0 ⇔ −36t − 32t + 40t + 32t − 1 = 0 . 28
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng”
Xét hàm số h (t ) 4 3 2
= −36t − 32t + 40t + 32t −1 có h (t ) 3 2 '
= −144t − 96t + 80t + 32 , cho h ( x) 1 2 '
= 0 ⇔ x = −1; x = − , x = . 3 3 Ta có bảng biến thiên .vn iem gh itracn th
Do đó phương trình h (t ) = 0 có 4 nghiệm đơn phân biệt hay phương trình yen f ( x − )
1 + 2xf '( x − )
1 = 0 có 4 nghiệm đơn phân biệt x , x , x , có 9 điểm 6 7 8 9
x . Hay hàm số g ( x) s://lu
cực trị là x , x , x , x , x , x , x , x , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x . ttp
h Câu 34: (Câu 46 - MĐ 104 - BGD&ĐT - Đợt 1 - Năm 2019 - 2020)
Cho hàm số bậc bốn f (x) có bảng biến thiên sau:
/vietgold Số điểm cực trị của hàm số g(x) = x f (x+ ) 4 2 1    là Ⓐ. 7 . Ⓑ. 8 . Ⓒ. 9 . Ⓓ. 5. Lời giải Chọn C
g (x) ≥ 0, x ∀  Nhận xét  ,
lim g ( x) = +∞ x→±∞ htps://www.facebook.com 2 x = 0 x = 0
Cho g ( x) = 0 ⇔  ⇔    f ( x + )
 f ( x + ) 4 1  = 0  1 = 0
Nhận thấy: Tịnh tiến đồ thị f ( x) sang trái 1 đơn vị ta thu được đồ thị của f ( x + ) 1
x = a, a < 2 −
x = ,b − 2 < b < 1 −
Do đó f ( x + ) 1 = 0 ⇔ 
x = c, −1 < c < 0
x = d, d > 0  29
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 h ttp
Vì thế g ( x) = 0 có 5 nghiệm phân biệt s://l
Hay đồ thị g ( x) có 5 điểm tiếp xúc với trục hoành u ye
Vậy hàm số g ( x) có 9 cực trị. n thi
Câu 35: (Câu 45 - MĐ 104 - BGD&ĐT - Đợt 2 - Năm 2019 - 2020) Cho hàm số y = f ( x) với f (0) = 0 trac
. Biết y = f ′( x) là một hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong như hình dưới đây n ghiem.vn
Số điểm cực trị của hàm số ( ) = ( 4 ) 2 g x f x + x là https : Ⓐ. 3. Ⓑ. 6. Ⓒ. 5. Ⓓ. 4 . //w Lời giải ww Chọn C .fa 4 2 2 4 = + ⇒ ′ = ′ c
Xét hàm số h ( x) f (x ) x
h ( x) 2x (2x . f ( x ) + ) 1 eboo x = 0 k hx = 0 ⇔ . ( )  c 2 4 ′ o 2x f  (x )+1= 0(1) m /v Giải phương trình ( ) 1 ietg 1 o Đặt 4
x = t t ≥ 0 , ta có phương trình ′ + = ⇔ ′
(Vì t = 0 không thỏa l ( ) 2 t f (t ) 1 0 f (t ) = − (2) d 2 t mãn)
Số nghiệm của phương trình (2) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ′(t ) và đồ thị 1 hàm số y = − 2 t
Ta có các đồ thị như sau 30
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” .vn iem gh
Căn cứ đồ thị, suy ra phương trình (2) có nghiệm duy nhất 4 4
t = a > 0 ⇒ x = a x = ± a
Căn cứ đồ thị hàm số y = f ′(t) ⇒ lim ( f ′(t )) = −∞ ⇒ lim (2 t f ′(t) + ) 1 = −∞ itracn t →+∞ t →+∞ th
Ta có bảng biến thiên của hàm số y = h( x) và y = g ( x) như sau: yen s://lu ttp h /vietgold
Câu 36: (Câu 46 - Đề Tham Khảo - BGD&ĐT - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số f ( x) là hàm số bậc
bốn thoả mãn f (0) = 0. Hàm số f ′( x) có bảng biến thiên như sau: htps://www.facebook.com
Hàm số g ( x) = f ( 3
x ) − 3x có bao nhiêu điểm cực trị? Ⓐ. 3 . Ⓑ. 5. Ⓒ. 4. Ⓓ. 2 . Lời giải Chọn A 31
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021
Bảng biến thiên hàm số f ( x) 1
Đặt h ( x) = f ( 3
x ) − 3x h′( x) 2 = 3x f ′( 3
x ) − 3 = 0 ⇔ f ′( 3 x ) = 2 h x ttp 1 Đặt 3 3 = ⇒ =
thế vào phương trình trên ta được ′ s t x x t f (t ) = ( ) 1 : 3 2 / t /lu 1 2 y Xét hàm số y = ⇒ y′ = − , lim y = 0 . e 3 2 3 5 t →±∞ n t 3 t th 1 i
Bảng biến thiên của hàm số y = tr 3 2 a t cnghiem.vn
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình ( )
1 có một nghiệm t = a > 0 . Bảng biến thiên https://www.facebook.c om
Vậy hàm số g ( x) có 3 cực trị. /vietg
Câu 37: (Câu 41 - SGD Bắc Giang - lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên old
ℝ và đồ thị hàm số y = f ′( x ) cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ −3 ; −2 ; a ; b ; 3; c ; 4 4
5 với − < a < 1
− ; 1< b < ; 4 < c < 5 (có dạng như hình vẽ bên dưới). Có bao nhiêu giá trị 3 3
nguyên của tham số thực m để hàm số y = f (2 x + m −3) có 7 điểm cực trị? 32
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” .vn iem gh itracn th Ⓐ. 3 . Ⓑ. 2 . Ⓒ. 4 . Ⓓ. Vô số. yen Lời giải Chọn A s://lu
Xét hàm số h ( x) = f (2x + m − 3) ttp
Ta có: h′( x) = 2 f ′(2x + m − 3) = 0 ⇔ f ′(2x + m − 3) = 0 h k + 3 − m
Từ đồ thị của hàm số f ′( x ) suy ra f ′(2x + m − 3) = 0 ⇔ 2x + m − 3 = k x = với 2 4 4
k ∈ {−3; − 2 ; a ; b ; 3; c ; } 5 ( − < a < 1
− ; 1< b < ; 4 < c < 5 ) 3 3
Hàm số y = f (2 x + m − )
3 có 7 điểm cực trị ⇔ hàm số h (x) = f (2x + m − 3) có 3 cực trị có
hoành độ dương, mà 3 là nghiệm bội chẵn của f ′( x) nên hàm số h ( x) = f (2x + m − 3) có 3 6 −
cực trị có hoành độ dương ⇔ phương trình m
h′ ( x ) = 0 có 3 nghiệm dương phân biệt khác 2 /vietgold
a + 3 − m < 0  2
a + 3 − m < 0 m > a + 3 ⇔  ⇔  ⇔ 
a + 3 < m < b + 3 b + 3 − m
b + 3 − m > 0 m < b + 3 > 0    2 4 4 Do − < a < 1
− và 1< b < nên −1+ 3 ≤ m ≤ 1+ 3 hay 2 ≤ m ≤ 4 3 3
Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 2 ; 3 ; 4 .
Câu 38: (Câu 46 - SGD Hải Phòng - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số f ( x) có htps://www.facebook.com f ′( x) = ( 2 x − )(x + )( 2 16
1 x − 4x + m − 4). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [ 2 − 021;202 ] 1 sao cho hàm số ( ) = ( 2 g x
f x ) có 5 điểm cực trị? Ⓐ. 2025. Ⓑ. 2026. Ⓒ. 2021. Ⓓ. 4043. Lời giải Chọn A
Ta có: g ( x) = x f ′( 2 x ) = x ( 4 x − )( 2x + )( 4 2 ' 2 . 2 16
1 x − 4x + m − 4). 33
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 x = 0 x = 0 x = 2   g '( x) 4 = 0 ⇔ x −16 = 0 ⇔   . x = 2 − 4 2
x − 4x + m − 4 = 0   4 2
x − 4x + m − 4 = 0  (*)
TH1: Phương trình ( * ) có nghiệm x = 0 ⇒ m − 4 = 0 ⇒ m = 4. x = 0
Thay m = 4 vào phương trình ( * ) ta có: 4 2 
x − 4x = 0 ⇔ x = 2  . ht x = −2  tps
Khi đó g′( x) = 0 có 3 nghiệm bội chẵn nên hàm số g (x) không thể có 5 điểm cực trị nên m = 4 : //lu loại. ye
TH2: Phương trình ( * ) có nghiệm x = ±2 ⇒ m−4 = 0 ⇒ m = 4 n (loại). th
TH3: Phương trình ( * ) có 2 nghiệm đơn phân biệt, khác 0 và khác ±2 hay it 2 ra
t − 4t + m− 4 = 0 phải có hai nghiệm trái dấu (với 2
t = x ) ⇔ m − 4 < 0 ⇔ m < 4 . cn
Khi đó g′( x) = 0 có 5 nghiệm phân biệt nên hàm số g (x) có 5 điểm cực trị. ghi
Kết hợp điều kiện m thuộc [ 2 − 021;202 ] 1 suy ra 2
− 021≤ m < 4,m∈ℤ e nên có 2025 giá trị m
nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu. .vn 1
Câu 39: (Câu 48 - Sở GD Lào Cai - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số 4 3 2 f (x) =
x + ax + bx + cx có đồ 4
thị (C) của hàm y = f '(x) như hình vẽ sau: https://www.fac ebo
Đặt g(x) = f ( f '(x)), h
(x) = f '( f (x)). Tổng số điểm cực trị của g(x) và h(x) là: ok.com Ⓐ. 12. Ⓑ. 11. Ⓒ. 8. Ⓓ. 13. /vi Lời giải etg Chọn C old 1 Ta có: 4 3 2 3 2 f (x) =
x + ax + bx + cx f '( x) = x + 3ax + 2bx + c 4  f '(0) = 4 c = 4 c = 4 a = 1 −    
Ta lại có:  f '(−1) = 0 ⇔  1
− + 3a − 2b + 4 = 0 ⇔ 3  a − 2b = 3 − ⇔ b = 0     f '(2) = 0
8 +12a + 4b + 4 = 0 12a + 4b = 1 − 2 c = 4     1 hay 4 3 3 2 2 f (x) =
x x + 4x, f '(x) = x − 3x + 4 → f ' (x) = 3x − 6x 4 34
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” x = 0 2
f '(x) = 3x − 6x = 0 ⇔  x = 2 
● Tìm số cực trị của hàm số: g(x) = f ( f '(x)) x = 0  x = 0 x = 2    f '(x) = 0 x = 2 x = x .vn Ta có: 1 g '(x)
f ' (x). f '( f '(x)) 0  = = ⇔ ⇔ ⇔  
f '( f '(x)) = 0  f '(x) = 1 − x =   2 x iemf '(x) = 2 x =  3 x gh  x =  4 x với f x = − itracn 1
x là nghiệm của phương trình '( ) 1 thx , x ,
= , x < x < 0 < x < 2 < 2 3 4
x là ba nghiệm của phương trình f '(x) 2 1 2 3 4 x yen
Bảng xét dấu y = g '(x) s://lu ttp h
nhìn vào bảng trên, hàm số g(x) = f ( f '(x)) có 3 cực trị
●Tìm số cực trị của hàm số h(x) = f '( f (x))
BBT của hàm số y = f (x) /vietgold x = 1 − x = 2  f '(x) 0  = x = x Ta có:  1
h '(x) = f '(x). f ' ( f (x)) = 0 ⇔ f (x) = 0 ⇔   x =  2 xf (x) = 2  x = 3x  x =  4 x htps://www.facebook.com Với x , = x , = 1 2
x là nghiệm của phương trình f (x) 0, 3 4
x là nghiệm của phương trình f (x) 2
x < x < 1
− < x < x < 2 3 1 2 4
Bảng xét dấu y = h '(x)
nhìn vào bảng trên, hàm số h(x) = f '( f (x)) có 5 cực trị 35
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021
Vậy tổng có 8 cực trị.
Câu 40: (Câu 49 - SGD Nam Định - Online - Lần 01 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số f ( x) có đạo
hàm liên tục trên ℝ và bảng biến thiên của f ′( x) như sau: h ttps:// lu Hỏi hàm số 4
có mấy điểm cực tiểu? y
g ( x) = f ( x ) − 4x ent Ⓐ. 3 . Ⓑ. 1. Ⓒ. 4 . Ⓓ. 2 . h itr Lời giải ac Chọn D n g 3 4 h
g '( x) = 4x f '(x ) − 4 . iem g′( x) 1 3 = 0 ⇔ 4x f ′( 4
x ) − 4 = 0 ⇔ f ′( 4 x ) = x ≠ 0 1 . 3 ( ) ( ) .v x n Đặt 4 4
t = x > 0 ⇒ x = ± t phương trình trở thành:  f ′(t) 1 = (2)  4 3 t  .  f ′(t) 1 = −  (3) 4 3  t
Mô phỏng bằng đồ thị https://www.facebook.com/vie tgo
Dựa vào đồ thị ta có: ld (2) có nghiệm 4
t = a x = a (
t = 1 ⇒ x = −1 3) có nghiệm  4
t = b x = − b  Bảng biến thiên 36
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng”
Vậy hàm số g ( x) có 2 điểm cực tiểu.
.vn Câu 41: (Câu 46 - SGD Quảng Bình - Năm 2020 - 2021) Cho y = f (x) là hàm số đa thức bậc bốn thỏa iem mãn f ( )
1 ≤ 0 và hàm số y = f ′( x) có bảng biến thiên như sau gh itracn th yen s://lu 2 2
ttp Hàm số g (x) = f ( x +1) + x có mấy điểm cực trị? h Ⓐ. 1. Ⓑ. 3. Ⓒ. 5. Ⓓ. 2. Lời giải Chọn C
Ta có f ′ ( x) = a ( 2
x − ) ⇒ f ′( x) a 3 1
= x ax + C 3  2  ′  (− ) 1 = 1 a = − f −  3  ⇔  ⇒ f ′( x) 2 2 2 3 = − − − ′  ( ) x x f 1 = 3 − 2 9 3 9 C  = − /vietgold  9 Xét hàm số 2 x u = x +1 có u′ =
,u′ = 0 ⇔ x = 0 2 x +1 Bảng biến thiên htps://www.facebook.com
Xét hàm số h(u) = f (u) 2
+ u −1 có h′(u) = u f′ ′(u) + 2u.u′ = u′ f ′(u) + 2u   u′ = 0
h′(u) = 0 ⇔  f ′  (u) = 2 − u
u′ = 0 ⇔ x = 0
f ′(u) = − u u = a ∈( ) 2 2
1;2 ⇒ x +1 = a có 2 nghiệm trái dấu x , 1 2 x Do f ( )
1 ≤ 0 nên ta có bảng biến thiên 37
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đã cho có 5 điểm cực trị. h
Câu 42: (Câu 29 - SGD Quảng Trị - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số f ( x) liên tục trên ℝ và có bảng ttp
biến thiên của đạo hàm như sau: s://luyenthitracng h ie 2  ln x +1 − 2  m ( )
Hàm số g ( x) = f
 có bao nhiêu điểm cực trị? .v  2  n   Ⓐ. 5 . Ⓑ. 9 . Ⓒ. 11. Ⓓ. 7 . Lời giải Chọn B ( 2 ln x + ) 1 − 2 Xét t ( x) =
, ta có bảng giá trị của t ( x) 2 https://www. fac 2  + −  e ln (x )1 2 b
Ta có g ( x) = f
 = f ( t(x) o ) o  2  k   .com
Hàm số không có đạo hàm tại hai điểm 2 x = ± e −1 . /vie Tại mọi điểm 2
x ≠ ± e −1 , ta có: tgol  f ' t x . d ( ( ) ) x 2 2  khi x ∈ − ; ∞ − e −1 ∪ e −1; +∞ 2 ( ) ( )  +
g ( x) = f ( t ( x) ) ( t ( x) ) x 1 ' ' . ' =  (*)
f '( t (x) ).x − khi x ∈ ( 2 2
e −1; e −1 2 )  x +1 38
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng”  x = 0
t (x) = t t < 1 − (1) 1 ( 1 )  
g '( x) = 0 ⇔ t ( x) = t 1 − < t < 0 (2) 2 ( 2 ) 
t ( x) = t 0 < t < 1 3 3 ( 3 ) ( )
t(x) = t t > 1 4 4 ( 4 ) ( )  .vn
Dựa vào bảng giá trị hàm t , suy ra:
+) Phương trình (1) , (2) vô nghiệm. iem gh
+) Phương trình (3) có 4 nghiệm phân biệt khác 0 .
+) Phương trình (4) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 và khác các nghiệm của phương trình (3) . itracn
g '( x) = 0 có 7 nghiệm và qua các nghiệm này g '( x) đều đổi dấu. th
Từ (*) , ta thấy g '( x) cũng đổi dấu khi x đi qua 2 điểm 2 2
e −1, e −1 . yen
Vậy hàm số g ( x) có 9 cực trị. s://lu
ttp Câu 43: (Câu 48 - SGD Sóc Trăng - Lần 2 - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm số bậc bốn y = f (x) có đồ h
thị của đạo hàm f ′( x) là đường cong như hình vẽ bên dưới và f (0) = −1. /vietgold
Hàm số g ( x) = f ( 2
x ) +1 có bao nhiêu điểm cực tiểu? Ⓐ. 7 . Ⓑ. 5 . Ⓒ. 4 . Ⓓ. 3 . htps://www.facebook.com Lời giải Chọn B 39
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 h t tp 2 2 s
Xét h ( x) = f (x ) +1⇒ h′(x) = 2xf ′(x ) . ://lu −1 < x < 1 2 y 0 ≤ t < 1 0 ≤ x < 1  e Đặt 2
x = t,t ≥ 0 ta có hàm f ′(t ) > 0 ⇔ ⇒   ⇔ x > 2 . n 2 t 4  >  x > 4 th x < −2  itr −1 < x < 1 ac 2  n
Vậy f ′( x ) > 0 ⇔ x > 2 . ghx < −2  iem
Ta có f ′( x) là hàm bậc ba có hệ số của 3
x dương suy ra f ( x) là hàm bậc bốn có hệ số của 4 x .vn dương. Suy ra ( ) = ( 2 h x
f x ) là hàm bậc tám có hệ số của 8
x dương. Vậy lim h ( x) = +∞ . x→±∞
h (0) = f (0) +1 = 1 − +1 = 0 , h( 2
− ) = h(2) = f (4) +1 1 4
Từ đồ thị hàm f ′( x) ta có f
∫ (x)dx < − f
∫  (x)dx ⇒ f  (4) < f (0) = 1
− ⇒ f (4) < −1. 0 1
Suy ra h(−2) = h(2) < 0 . Vậy ta có bảng sau https://www.facebook.c om
Từ bảng suy ra hàm số g ( x) = h ( x) có 5 điểm cực tiểu. /vietg
Câu 44: (Câu 50 - SGD Vĩnh Phúc - Lần 2 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số f (x) . Biết f '( x) là hàm old
bậc 3. Có đồ thị như hình vẽ sau 40
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” .vn iem gh
itracn Có bao nhiêu giá trị nguyên m ∈[−10,10] để hàm số g (x) = f (x) + mx + 2021 có đúng 1 cực trị? th Ⓐ. 20 . Ⓑ. 16. Ⓒ. 15. Ⓓ. 18. yen Lời giải s://lu Chọn D ttp
Ta có g '( x) = f '( x) + m g '( x) = 0 ⇔ g '( x) = −m ( ) 1 h
Số nghiệm của (1) là số giao điểm của 2 đồ thị hàm số y = f '( x) và đường d : y = −m /vietgold
Dựa vào đồ thị trên. Để g (x) có đúng 1 cực trị thì điều kiện là m ∈[ 1 − 0,10]  m < 1 −
m ∈{4,5,6,7,8,9,10, 1 − 0, 9 − , 8 − , 7 − , 6 − , 5 − , 4 − , 3 − , − } 2 m > 3  htps://www.facebook.com
Số giá trị của m là 16 .
Câu 45: (Câu 48 - Chuyên Vinh- Nghệ An – Lần 1 – Năm 2020 - 2021) Cho hàm số 4 3 2
f (x) = ax + bx + cx + dx + e ( ae < 0 ). Đồ thị hàm số y = f (
x) như hình bên. Hàm số 2
y = 4 f (x) − x có bao nhiêu điểm cực tiểu 41
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 h ttps Ⓐ. 3. Ⓑ. 5. Ⓒ. 4 . Ⓓ. 2 . ://lu Lời giải ye Chọn A n th Đặt 2
g(x) = 4 f (x) − x . Ta có g (
x) = 4 f (′x) − 2x = 2(2 f (′x) − x). itracnghiem.vn Ta có (′ ) = 0 ⇔ ( ′ ) x x g x f x =
. Dựa vào đồ thị hàm số y = f (
x) và đường thẳng y = suy ra 2 2 x = 1 − xf (
x) = ⇔ x = 0 . h  t 2 tp x = 2 s  ://
Theo hình vẽ ta có a < 0 , mà ae < 0 ⇒ e > 0 suy ra g(0) = 4 f (0) = 4e > 0 . www
Bảng biến thiên của y = g(x) như sau: .facebook.com/vietgold
Dựa vào đồ thị y = g(x) suy ra hàm số 2
y = 4 f (x) − x có 3 điểm cực tiểu.
Câu 46: (Câu 43 - Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - Lần 02 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f (x)
có bảng biến thiên như sau: 42
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” .vn 2 2  
iem Số điểm cực đại của hàm số g(x)= f (2x + x) là   gh Ⓐ. 3. Ⓑ. 2. Ⓒ. 1. Ⓓ. 4. Lời giải itracn th Chọn B 2 yen
Ta có: g (x)  f ( 2 2x x) = + 2 2 
; g′(x)= 2 f (2x + x). f ′(2x + x).(4x + ) 1 .    s://lu 4x  +1 = 0  ttp
g ′(x) = 0 ⇔  f ( 2 2x + x)= 0 h    f ′( 2 2x + x)= 0  1
4x +1= 0 ⇔ x = − . 4 2 x = 1 2 −  x + x = 2 − VN 2 ( ) 
Từ bảng biến thiên ta có: f (2x x) 0  ′ + = ⇔ ⇔  1 .  2 2x + x = 1 x =   2
Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình f (x)= 0 chỉ có 1 nghiệm x >1 (Vì đồ thị hàm số 0
y = f (x) cắt trục Ox tại một điểm có hoành độ lớn hơn 1). Khi đó /vietgold
x = x ∈ − ; ∞ −1 1 ( )  f ( 2 2x + x) 2 = 0 ⇔ 2x + x =  ⇔ . 0 x 1 
x = x ∈ ;  2 +∞    2  
Do lim g (x)= lim g (x)= +∞ nên ta có bảng biến thiên: x→+∞ x→−∞ htps://www.facebook.com 2
Từ bảng biến thiên của hàm số y = g (x) ta có số điểm cực đại của hàm số g (x)  f ( 2 2x x) = +    là 2.
Câu 47: (Câu 50 - Chuyên Hưng Yên - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số f ( x) 4 3 2
= ax + bx + cx + dx + e,(a ≠ 0) có đồ thị hàm số f ′( x) như hình vẽ. Biết rằng e > n 43
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021
Số điểm cực trị của hàm số y = f ′( f ( x) − 2x) là h ttp Ⓐ. 7 . Ⓑ. 6 . Ⓒ. 10 Ⓓ. 14 . s://lu Lời giải ye Chọn A n th
f ′( x) = 2 it
Xét y = f ′( f (x) − 2x) ⇒ y′ = ( f ′(x) − 2). f ′ ( f ( x) − 2x) = 0 ⇔  . raf ′ 
( f (x)− 2x) = 0 cngh
Với f ′( x) = 2 . Đường thẳng y = 2 cắt đồ thị f ′( x) tại 3 điểm phân biệt. iem
f x − 2x = m, m < 0 1 .v
Với f ( f (x) − 2x) ( ) ( ) ( ) = 0 ⇔  nf
 ( x) − 2x = n,(n < e) (2)
Đặt h ( x) = f ( x) − 2x h′( x) = f ′( x) − 2 = 0 ⇔ f ′( x) = 2 .
Bảng biến thiên của h ( x) : https:// ww Vậy các phương trình ( )
1 và (2) cho 4 nghiệm phân biệt. w.fac
Câu 48: Vậy số điểm cực trị của hàm số y = f ′( f (x) − 2x) là 7.(Câu 47 - Chuyên Lê Khiết - Quảng eboo
Ngãi - Lần 3 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên ℝ , đồ thị hàm số k.co
y = f ′( x) có đúng 4 điểm chung với trục hoành như hình vẽ bên dưới: m /vietgold 44
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng”
Có bao nhiêu giá trị nguyên của 3
m để hàm số y = f ( x −3 x + m + 202 )
1 có đúng 11 điểm cực trị? Ⓐ. 0 . Ⓑ. 2 . Ⓒ. 5 . Ⓓ. 1. Lời giải Chọn D .vn
Xét x > 0 : Hàm số có dạng y = f ( 3
x − 3x + m + 202 ) 1 iem y′ = ( 2 x − ) f ′( 3 3 3
x − 3x + m + 202 ) 1 gh
Do nghiệm của phương trình 3
x − 3x + m + 2021 = 4 là các nghiệm bội bậc chẵn của phương trình y′ = 0 nên ta có: itracn
x = 1 (do x > 0)
x = 1 (do x > 0) th 2    3x − 3 = 0 3
x − 3x + m + 2021 = 1 − 3
m + 2021 = −x + 3x −1 yen y′ = 0 ⇔  ⇔ ⇔    f ′ 3 3  ( 3
x − 3x + m + 202 ) 1 = 0
x − 3x + m + 2021 = 1 
m + 2021 = −x + 3x +1  3 3 s://lu
x − 3x + m + 2021 = 2 
m + 2021 = −x + 3x + 2  ttp Vẽ đồ thị ba hàm số 3
y = −x + 3x −1; 3
y = −x + 3x +1; 3
y = −x + 3x + 2 với x > 0 trên cùng một h hệ trục. /vietgold
Hàm số y = f ( 3
x − 3 x + m + 202 )
1 có đúng 11 điểm cực trị
⇔ Hàm số y = f ( 3
x − 3x + m + 202 )
1 có đúng 5 điểm cực trị dương
⇔ Phương trình f ′( 3
x − 3x + m + 202 )
1 = 0 có đúng 4 nghiệm bội lẻ dương khác 1 htps://www.facebook.com
⇔ Đường thẳng y = m + 2021 cắt đồ thị ba hàm số 3
y = −x + 3x −1; 3
y = −x + 3x +1; 3
y = −x + 3x + 2 tại 4 điểm phân biệt có hoành độ dương khác 1  1
− < m + 2021 < 1
−2022 < m < 2 − 020 ⇔  ⇔ 2 <  m + 2021 < 3  −2019 < m < 2 − 018 
Do m nguyên nên m = 2 − 021.
Vậy chỉ có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 49: (Câu 4 - Chuyên Lê Quý Đôn - Điện Biên - Lần 3 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số f ( x) 4 3 2
= ax + bx + cx + dx + ,
e (a ≠ 0) có đồ thị của đạo hàm f ′( x) như hình vẽ. 45
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021
Biết rằng e > n. Số điểm cực trị của hàm số y = f ′( f ( x) − 2x) bằng h ttp Ⓐ. 7 . Ⓑ. 10. Ⓒ. 14. Ⓓ. 6 . s:// Lời giải lu Chọn A yen
f ′( x) = 2 th
g(x) = f ′( f ( x) − 2x) ⇒ g (
x) =  f ′( x) − 2. f ′ ( f (x) − 2x) = 0 ⇔    if ′ 
( f (x)−2x) = 0 t racng
x = a < m h ie + f (
x) = 2 ⇔ x = 0 m  , ( có 3 nghiệm đơn)  = > . x b nvn y
y=f ' (x) 2 y=2 m a O n b x http s:/ x = m /w
+ Từ đồ thị hàm số y = f ( ′ )
x ta suy ra f ′ ( ′ x) = 0 ⇔  w x = n w.f
f x x = m a ′ c
Do đó f ( f x x) ( ) 2 , (1) ( ) 2 = 0 ⇔  e
f (x) − 2x = n , (2) b  ook Lập BBT cho hàm số ( h ) x = f ( )
x − 2x , với h ( ′ ) x = f ( ′ ) x − 2. .co = = > > m Ta có ( h 0) f (0) , e e n m /vietgold
Do đó phương trình (1) và (2) có 4 nghiệm đơn.
Suy ra phương trình g ( ′ )
x = 0 có 7 nghiệm đơn 46
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng”
nên hàm số g(x) = f ′( f ( x) − 2x) có 7 cực trị.
Câu 50: (Câu 49 - Chuyên Lê Thánh Tông - Quảng Nam - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số
y = f ( x) có đồ thị y = f ′( x − ) 1 như hình vẽ .vn iem gh itracn th yen f x x
s://lu Khi đó hàm số ( ) 2 y e + =
đạt cực tiểu tại điểm 0
x . Mệnh đề nào dưới đây đúng? ttp h
Ⓐ. x ∈ −1;0 . Ⓑ. x ∈ 4 − ; 2 − .
Ⓒ. x ∈ 0;1 . Ⓓ. x ∈ 2 − ; 1 − . 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) Lời giải Chọn A f (x)+2 x y′ = e (. f ′(x)+ ) 2 Ta có:
y′(x) = 0 ⇔ f ′(x)+ 2 = 0 ⇔ f ′(x) = −2
Đồ thị y = f ′(x − )
1 dời sang phải 1 đơn vị theo trục Ox ta được đồ thị y = f ′(x). Khi đó
đường thẳng y = 2 cắt đồ thị y = f ′(x) tại 2 điểm có hoành độ là 1 và a với 1 − < a <0 nên
phương trình y′(x)= 0 có 2 nghiệm là 1 (nghiệm kép) và 1 − < a <0 /vietgold Bảng biến thiên x – ∞ a 1 + ∞ y' – 0 + 0 + y f(1) f(a)
Vậy hàm số đạt tiểu tại điểm x = a ∈ −1;0 . 0 ( )
htps://www.facebook.com Câu 51: (Câu 40 - Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm
số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ. 47
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 y 4 -2 O 2 x h ttps ://
Mệnh đề nào sau đây đúng: lu 1 y
Ⓐ. Hàm số y = f ln đạt cực tiểu tại = . e ( x) x n e thi
Ⓑ. Hàm số y = f (ln x) đạt cực tiểu tại 2 x = e . trac
Ⓒ. Hàm số y = f (ln x) đạt cực tiểu tại x = 0 . n gh
Ⓓ. Hàm số y = f ln đạt cực tiểu tại x = 2 . i ( x) em .v Lời giải n Chọn B
y = g ( x) = f (ln x); TXĐ: x > 0 ln x = 0 x = 1 g′( x) 1
= . f ′(ln x) ; g′( x) = 0 ⇔  ⇔  x ln x = 2 2 x = e  BBT: x 0 1 2 e +∞ h g′ ( x) + 0 − 0 + ttps:/ g ( x) 4 +∞ /ww −∞ 0 w.fa
Từ BBT, ta thấy: hàm số y = g ( x) = f (ln x) đạt cực tiểu tại 2 x = e . cebook
Câu 52: (Câu 50 - Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số F ( x) .com
F (0) = 0 . Biết y = F ( x) là một nguyên hàm của hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ. /vietgold 48
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng”
Số điểm cực trị của hàm số ( ) = ( 6 ) 3 G x F xx Ⓐ. 4 . Ⓑ. 5 . Ⓒ. 6 . Ⓓ. 3 . Lời giải Chọn D
Xét g ( x) = F ( 6 x ) 3
x g ( x) 5 = x F ( 6 x ) 2 2 3
x = x x f  ( 6 ' 6 ' 3 3 2 x ) −1 .vn  . Xét hàm số iem h ( x) 3 = x f ( 6
x ) − ⇒ h ( x) 2 = x f ( 6 x ) 8 + x f ( 6 x ) 2 = x f  ( 6x) 6 + x f ( 6 2 1 ' 6 12 . ' 3 2 4 . ' x ) gh  .
Từ đồ thị của y = f ( x) suy ra dấu của f '( x) itracn th yenf  ( 6 x ) s://lu > 0 nên 
h '( x) > 0 ∀x nên hàm số y = h ( x) đồng biến trên ℝ và vì lim h( x) = ±∞ ttpf ' x→±∞  ( 6 x ) > 0 h
nên phương trình h ( x) = 0 có 1 nghiệm duy nhất =
đổi dấu từ âm sang dương khi 0 x y h ( x) qua g '
đổi dấu từ âm sang dương khi qua 0 x . Suy ra (x) 0 x nên 0
x là điểm cực tiểu. Bảng biến thiên /vietgold
Câu 53: Từ bảng biến thiên suy ra hàm số y = G ( x) có 3 cực trị.(Câu 40 - Chuyên PTNK - HCM - Lần
1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm là f ′ ( x) 2 = x − ( 2 (
2) x x), x ∈ ℝ . Gói htps://www.facebook.com  1
S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số 2  f
x − 6x + m  có 5 2   
điểm cực trị. Tính tổng tất cả các phần tử của S. Ⓐ. 154. Ⓑ. 17 . Ⓒ. 213. Ⓓ. 153. Lời giải Chọn D
Ta có. Với x = 2 là nghiệm kép, x = 0, x =1 là nghiệm đơn. Dó đó hàm số f ( x) có hai điểm
cực trị là x = 0, x =1. 49
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021  1   1 Đặt 2 2  g(x) = f
x − 6x + m g (
x) = (x − 6) f
x − 6x + m  . 2   2      x = 6 1 2
x − 6x + m = 2  2 Khi đó g ( ′ x) = 0 ⇔ 1 . 2
x − 6x + m = 0(1) 2  1 2 h
x − 6x + m = 1(2)  t  2 tps
Để hàm số có 5 điểm cực trị thì ( )
1 & (2) có hai nghiệm phân biệt không trùng nhau và khác ://lu ∆ > 0 1  m y  9 − > 0 e ∆ > 0  2 n 2   th 1   m −1 2  i
6 Suy ra  ⋅6 − 6.6 + m ≠ 0 9  −
> 0 ⇔ m < 18 ⇒ m ∈{1, 2,…,17}. t   r 2  2  a   c 1  n 2
m ≠ 18, m ≠ 19 ⋅6 − 6.6 + m ≠ 1 g 2  h   iem
Vậy Tổng các giá trị của m là 1+ 2 +…+17 = 153. .vn
Câu 54: (Câu 49 - Đề thi thử cụm trường THPT - Hải Dương - Lần 4 - năm 2021) Cho hàm số bậc
năm y = f ( x) có đồ thị y = f ′( x) như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số
g ( x) = f ( 3 2 x + x ) 3 2 3
− 2x − 6x là https://www.facebook .com Ⓐ. 7. Ⓑ. 10. Ⓒ. 5. Ⓓ. 11. /viet Lời giải gol Chọn B d
Xét hàm số g ( x) = f ( 3 2 x + x ) 3 2 3 − 2x − 6x
Ta có g′( x) = ( 2
x + x) f ′( 3 2 x + x ) 2
x x = x(x + )  f ′  ( 3 2 3 6 3 6 12 3 2
x + 3x ) − 2 . 50
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” .vn iem gh itracnx = 0 thx = −2  x = 0 3 2 yen  
x + 3x = c c < 0 1 1 ( 1 ) ( )
Cho g′( x) = 0 ⇔ x = 2  − ⇔ . 3 2
x + 3x = c 0 < c < 2 2  2 ( 2 ) ( ) s://lu f ′  ( 3 2 x + 3x ) = 2  3 2
x + 3x = c 2 < c < 4 3 3 ( 3 ) ( ) ttp h  3 2
x + 3x = c c > 4 4  4 ( 4 ) ( )
Xét hàm số h( x) 3 2
= x + 3x , ta có h′( x) 2 = 3x + 6x .
Bảng biến thiên h( x) : /vietgold
Vẽ đồ thị của các hàm số y = h ( x) , y = , = , = , = trên cùng một mặt phẳng tọa 1 c y 2 c y 3 c y 4 c độ ta được htps://www.facebook.com 51
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 h
ttps://luyenthitracnghiem.vn
x =  = 2 x x 3 x ( ) 1 ⇔   x = ; (2) ⇔ = ; (3) ⇔ = ; (4) ⇔ = 1 x x 5 xx 4 xx 8 xx =   = 6 x x  7 x
Trong đó x < x < x < 2
− < x < x < 0 < < < . 1 2 3 4 5 6 x 7 x 8 x
Bảng xét dấu g′( x) : https://www .fa
Từ bảng xét dấu ta kết luận được hàm số g ( x) có 10 điểm cực trị. ceboo
Câu 55: (Câu 44 - THPT Gia Bình - Bắc Ninh - Lần 1- Nưm 2020 - 2021) Cho hàm số k.c = = + + o ( ) 4 2 y f x ax bx
c có đồ thị như hình vẽ bên dưới. m /vietgold 52
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” .vn iem gh itracn th
yen Số điểm cực trị của hàm số ( ) = ( 3 g x
f x + f ( x)) là s://lu Ⓐ. 11. Ⓑ. 9. Ⓒ. 8. Ⓓ. 10. ttp h Lời giải Chọn B
Từ đồ thị ta thấy hàm số trên có phương trình là 4 2
y = x − 2x . Vậy ta có: f ( x) 4 2
= x − 2x f ′( x) 3 = 4x − 4x ′ ′
g′( x) = ( f ( 3
x + f ( x))) = ( 3
x + f ( x)) f ′( 3
x + f ( x)) = ( 2
x + f ′( x)) f ( 3 3
x + f ( x)) .
Suy ra g′( x) = ( 2
x + f ′( x)) f ′( 3
x + f ( x)) = ( 2 3
x + x x) f ′( 3 4 2 3 3 4 4
x + x − 2x ) .
g′( x) = 0 ⇔ ( 2 3
3x + 4x − 4x) f ′( 3 4 2
x + x − 2x ) = 0 x = 0 /vietgold x ≈ 0,6930  x ≈ 1 − , 4430 3 2 3 2
4x + 3x − 4x = 0
4x + 3x − 4x = 0    x ≈ 1, 21195 4 3 2 4 3 2 
x + x − 2x = 1
x + x − 2x −1 = 0   . ⇔ ⇔ ⇒ x ≈ 2 − ,0754  4 3 2  4 3 2
x + x − 2x = −1
x + x − 2x +1 = 0    x ≈ 0 − ,6710  4 3 2 4 3 2
x + x − 2x = 0
x + x − 2x = 0   x ≈ 1 − ,9051  x = 1 x = 2 −  htps://www.facebook.com
Phương trình g′( x) = 0 có đúng 8 nghiệm đơn và 1 nghiệm bội lẻ x = 0(nghiệm bội ba).
Vậy hàm số g ( x) có 9 điểm cực trị.
Câu 56: (Câu 42 - THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm đa thức
y = f (x) . Hàm số y = f '(x) có đồ thị như hình vẽ sau 53
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 h 2 t
Có bao nhiêu giá trị của m ∈[0;6];2m ∈ ℤ để hàm số g(x) = f (x − 2 x −1 − 2x + m) có đúng 9 điểm cực tps trị? ://luy Ⓐ. 7 . Ⓑ. 5. Ⓒ. 3. Ⓓ. 6. en Lời giải thi Chọn C tra 2( x − ) 1 ( x −1 − ) 1 c 2 n Ta có: g ( ′ x) =
f '( x − 2 x −1 − 2x + m) g x −1 h iex =1 m. x = 0 vn g ( ′ x) = 0 ⇔ x = 2   f '  ( 2
x − 2 x −1 − 2x + m) = 0
Dựa vào đồ thị hàm số x = 0 2 2
x − 2 x −1 − 2x + m =1
x − 2 x −1 − 2x =1− m  =  
f ′( x) ⇒ f ′( x) x 1 2 2 = 0  ⇔
⇒ x − 2 x −1 − 2x + m = 2 ⇒ x − 2 x −1 − 2x = 2 − m x = 2   2 2 
x − 2 x −1 − 2x + m = 3 = 
x − 2 x −1 − 2x = 3− m  h x 3  ttps
Xét hàm số h ( x) 2
= x − 2 x −1 − 2x .Ta có ://www.facebook. co
Để hàm số có 9 cực trị thì m /v TH1: 2 − < 2−m< 1 − ⇔3< m< 4 ietg TH2: 1−m ≥ 1 − ⇔m≤ 2. old
Vậy có ba giá trị của m.
Câu 57: (Câu 50 - THPT Hậu Lộc 4 - Thanh Hóa - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số f ( x ) có
đạo hàm trên ℝ và có bảng biến thiên như sau 54
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng”
.vn Số điểm cực đại của hàm số g (x) = f ( 2 2
x − 8x + 7 + x − 3) là iem Ⓐ. 6 . Ⓑ. 8. Ⓒ. 7 . Ⓓ. 9. gh Lời giải Chọn C itracn th 2  Đặt
2 x − 8x + 4 khi x ≤ 1 ∨ x ≥ 7 u( x) 2 2
= x −8x + 7 + x −3, ta có u (x) =  . 8x − 10
khi1 < x < 7  yen  − < ∨ > ⇒ u′( x)
4x 8 khi x 1 x 7 =  . s://lu 8 
khi 1 < x < 7 ttp Ta có bảng biến thiên h
Đặt h ( x) = f (u (x)) , ta có h′(x) = u′(x). f ′(u (x)) .
Ta có: u′( x ) chỉ đổi dấu qua . x = 1 u ( x) = 3 u(x) = 2 /vietgold 
f ′(u ( x)) = 0 ⇔ u ( x) = 1  . u(x) = 1 −  u ( x) = 3 − 
Từ bảng biến thiên của u(x) ta có
u ( x ) = 3 có hai nghiệm phân biệt x , 1 8 x .
u ( x ) = 2 có hai nghiệm phân biệt x , 2 7 x
u ( x ) = 1 có hai nghiệm phân biệt x , 3 6 x htps://www.facebook.com
u ( x) = −1 có hai nghiệm x , 4 5 x
u ( x) = −3 vô nghiệm Ta có bảng biến thiên 55
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 2 2 h
Câu 58: Từ bảng, dễ dàng suy ra hàm số g (x) = f ( x − 8x + 7 + x − 3) = h(x) có 7 điểm cực đại.(Câu ttp
48 - THPT Hồng Quang - Hải Dương - Lần 3 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số bậc bốn trùng s://
phương y = f ( x) có bảng biến thiên sau luyenthitracnghiem .vn 1
Số điểm cực trị của hàm số g (x) =
( f (x)− 6)4 là 2 x Ⓐ. 2 . Ⓑ. 4 . Ⓒ. 5. Ⓓ. 3. Lời giải Chọn B Theo giả thiết ta có ( ) 4 2
f x = ax + bx + c f ′( x) 3 = 4ax + 2bx .
Từ bảng biến thiên ta có hàm số f ( x) đi qua A( 2
− ;2), B(0;6),C (2;2) và có ba điểm cực trị http  1 s: a = / 1
 6a + 4b + c = 2  / 4 w   1 w ⇒ c = 6 ⇔ b  = 2
− . Vậy f (x) 4 2
= x − 2x + 6 , f ′( x) 3 = x − 4x w   4 . 32a + 4b = 0 c = 6 f  a  ce  boo 1 k
Ta có Hàm số g ( x) =
( f (x)− 6)4 xác định trên D = ℝ \{ } 0 . 2 .c x om 2 4 1 3 / g′ ( x) = − f x − 6 +
.4 f x − 6 . f x 3 ( ( ) ) 2 ( ( ) ) ( ) vi x x etg 3 o ( f (x)−6) ld ⇒ g′( x) = 4 .
x f x − 2 f x +12 3 ( ( ) ( ) ) xf  ( x) − 6 = 0 ( ) 1
g′( x) = 0 ⇔  4xf ′ 
(x) − 2 f (x) +12 = 0 (2) 1 x = 0 Ta có ( ) 4 2 1 ⇔
x − 2x + 6 = 6 ⇔  . 4 x = ±2 2  56
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” x = 0 (   2) 4 .  ⇔ x ( 1 7 3 x − 4x) 4 2 4 2 − 2
x − 2x + 6 +12 = 0 ⇔ x −12x = 0   2 42 . 4 2    x = ±  7 x = ±2 2 Vì 
x ≠ 0 nên có g′( x) = 0 ⇔
và các nghiệm đó đều là nghiệm bội lẻ.  2 42 x = ±  7 .vn
Do đó hàm số g (x) có 4 điểm cực trị. iem
gh Câu 59: (Câu 49 - THPT Kim Liên - Hà Nội - Lần 2 - Năm 2020 - 2021)
Cho hàm số y = f (x) liên
tục trên ℝ có bảng biến thiên như hình vẽ: itracn th yen s://lu ttp h
Số điểm cực đại của hàm số y = f ( f (x) ) là Ⓐ. 2. Ⓑ. 3. Ⓒ. 0. Ⓓ. 1. Lời giải Chọn A
f x . f x
Đặt g ( x) = f ( f (x) ) ⇒ g′(x) = f ′( f (x) ) ( ) ( ) . f ( x) /vietgold
Do đó g′( x) không xác định khi f ( x) = 0 hay x = 0 .  f ′(x) =  f ′( x) 0 = 0  x = 1 ±
g′( x) = 0 ⇔  ⇔  = ⇔  ⇔ = ± .  f ′  ( f ( x) 1 x 1 f ( x) ) = 0  f  ( x) = 1 ±
f ( x) = −1 
Từ bảng biến thiên của f ( x) ta có: f ( x) ∈[0; ] 1 , x
∀ ∈ ℝ . Suy ra f ′( f (x) ) ≥ 0, x ∀ ∈ ℝ .
Ta có bảng xét dấu g′( x) như sau: htps://www.facebook.com
Từ bảng biến thiên suy ra số điểm cực đại của hàm số y = f ( f (x) ) là 2..
Câu 60: (Câu 41 - THPT Kim Sơn A- Ninh Bình - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f (x)
có đạo hàm liên tục trên R và bảng biến thiên của hàm số f '(x) như sau: 57
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 h ttp Hỏi hàm số s: 2 / ln(x +1) − 2 /l g ( x)   = f
 có bao nhiêu điểm cực tiểu? u  2  y   enth Ⓐ. 9. Ⓑ. 4. Ⓒ. 7 . Ⓓ. 5. itra Lời giải cn Chọn B gh 2 2 ln(x +1) − 2 i
+) Do x ≥ 0 với ∀x ∈ nên
≥ −1 với ∀x ∈ . e ℝ ℝ m 2 .v +) Bảng biến thiên n http s:/
x = a ∈ (1; +∞) /w  w x = b ∈  (0; ) 1 w
Suy ra f '(x) = 0 ⇔  . .f
x = c ∈ (−1;0) a  ce
x = d ∈ −∞;−1 b  ( ) oo 2 k  ln(x +1)−2  .c
+) Xét hàm số trên y = f trên  +∞ o   0; ) m  2  /vi 2 e ln(x +1)−2 tg  =a o 2 l  d 2
ln(x +1)−2 =b  2 +    a 2 2 x + −  x = e −1 ln( 1) 2 2  f ' 0 2    =  2 2 + ln(x +1)−2 b 2 x   2  ln(x +1)−2 x = e −1 y' = f ' . =0⇔ ⇔ =c ⇔ 2  2 x +1   2 2 +   xc 2   x = e − = 1 0 2 2 ln(x +1)−2  x +1  = ( d VN) x =  0  2 x=  0  Suy ra bảng biến thiên 58
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” .vn iem gh 2 ln(x +1) − 2
Mặt khác đồ thị hàm số g(x)   = f   được vẽ như sau: itracn  2    th  2 ln(x +1)−2  yen
- Giữ phần đồ thị hàm số y = f   trên  +∞ 0; ).  2  s://lu  2 ln(x +1)−2 
- Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y = f   trên  +∞ 0; ) qua Ox. ttp  2  h 2 ln(x +1) − 2
Vậy hàm số g(x)   = f    có 4 điểm cực tiểu. 2   
Câu 61: (Câu 50 - THPT Lê Hồng Phong - Nam Định - Năm 2020 - 2021) Cho f ( x) là hàm số có đạo
hàm liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên của f ′( x) như sau: /vietgold
Tìm số điểm cực tiểu của hàm số g ( x) = f ( 3 x ) −3 x . Ⓐ. 1. Ⓑ. 2 . Ⓒ. 3. Ⓓ. 0. Lời giải htps://www.facebook.com Chọn C
Xét hàm số h ( x) = f ( 3 x ) − 3x . h′( x) 2 = x f ′( 3 3 . x ) − 3. h′( x) 2 = ⇔ x f ′( 3 0 3 . x ) − 3 = 0 (1). 1
Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của (1) nên ( ) 1 ⇔ f ′( 3 x ) = (2). 2 x 1 Đặt 3
t = x thì (2) trở thành f ′(t ) = ( t ≠ 0 - 3). 3 2 t 59
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 Xét hàm số 1 y = 3 2 t 2 5 − 2 − + t > 0 thì 3 y = t là hàm số lũy thừa, 3 y′ = − t
< 0 nên y nghịch biến trên (0;+ ∞) và đồ thị 3
của y nhận hai trục tọa độ làm hai tiệm cận.
+ y (t ) = y (−t ) nên y là hàm số chẵn. Do đó đồ thị của y nhận Oy làm trục đối xứng. Vẽ đồ thị của 1
f ′ (t ) và y =
trên cùng hệ trục tọa độ ta có: 3 2 h t
ttps://luyenthitracnghiem.vn
Từ đồ thị ta có (3) ⇔ t = a > 0 . Suy ra 3 x = a > 0
Bảng biến thiên của h( x) : https://www .fac
Ta thấy hàm số g ( x) = h( x ) là hàm số chẵn nên đồ thị của g ( x) nhận Oy làm trục đối xứng. eboo
Do đó ta có bảng biến thiên của g (x) như sau: k.com/vietgold (Để ý ( 3 − ) = (3 g a g a ) )
Vậy hàm số g ( x) có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại.
Câu 62: --- HẾT ---(Câu 48 - THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hà Nội - Lần 2 - Năm 2020 - 2021) Cho
hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên ℝ , có đồ thị hàm số f ′( x) như hình vẽ. Số điểm cực
tiểu của hàm số g ( x) = f ( x) + x 60
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” .vn iem gh Ⓐ. 1. Ⓑ. 2 . Ⓒ. 3 . Ⓓ. 0 . itracn th Lời giải Chọn A yen
Ta có: g′( x) = f ′( x) +1; g′( x) = 0 ⇔ f ′( x) = 1 − (*). s://lu
Phương trình chính là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số f ′( x) và đường thẳng ttph y = 1. /vietgold
Dựa vào đồ thị, ta thấy có nghiệm x = 0 , x = 1 và x = 2 .
Bảng biến thiên của hàm số g ( x) : htps://www.facebook.com
Dựa vào BBT, hàm số g ( x) = f ( x) + x có một điểm cực tiểu x = 1.
Câu 63: (Câu 44 - THPT Nguyễn Đăng Đạo - Thanh Hóa - Lần 2 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số
y = f ( x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau: 61
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021
Số điểm cực tiểu của hàm số f ( x) f ( x) y = 2021 − 2020 là Ⓐ. 1. Ⓑ. 3 . Ⓒ. 2 . Ⓓ. 4 . h ttp Lời giải s:/ Chọn B /lu
Xét hàm số y = g ( x) f ( x) f ( x ) = 2021 − 2020 yen Ta có: ' g ( x) ' = f ( x) f ( x) f ( x) (2021 ln2021−2020 ln2020). thi ' tf
x = 0 ⇔ x = 0; x = ±2 r ' ( ) a y = 0 ⇔  . c f ( x) f ( x) n log 2021 ln 2021 2020 ln 2020 0(*)  − = gh f ( x)  2021
x = a ∈ (0;2) ie Ta có: (*) ⇔ = log 2020 ⇔ f x = log log 2020   ⇒ 2021 ( ) 2021 ( 2021 )  m  2020 
x = b ∈ (2; +∞  ) 2020 . vn
Vậy, từ bảng xét dấu ta thấy số điểm cực tiểu của hàm số y = g ( x) là 3. ht
Câu 64: (Câu 49 - THPT Nguyễn Huệ - Đắk Lắk - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho y = f ( x) là hàm đa tp s:/
thức bậc 4 và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ 1 − 2;12] / ww
để hàm số g (x) = 2 f ( x − )
1 + m có 5 điểm cực trị? w.facebook.com/vietgold Ⓐ. 12 . Ⓑ. 14 . Ⓒ. 15 . Ⓓ. 13. Lời giải Chọn C 62
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng”
Nhận xét: Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x − )
1 bằng số điểm cực trị của hàm số y = f ( x) trên tập xác định ℝ
Dựa vào đồ thị, hàm số y = f ( x) có 3 điểm cực trị .vn iem gh itracn th yen s://lu
Để hàm số g ( x) có 5 điểm cực trị ttp m h
⇔ 2 f ( x) + m = 0 ⇔ f ( x) = − có 2 ngiệm phân biệt hoặc 3 nghiệm trong đó có 1 nghiệm bội 2 chẵn và 2 nghiệm đơn  m − ≥ 2  m ≤ 4 2 − ⇔  ⇔  m 6 ≤ m < 12  6 − < − ≤ 3  −  2
m là giá trị nguyên thuộc [ 1 − 2;12] nên m∈{ 1 − 2;−11;...; 4 − ;6;7;...;1 } 1
Vậy có 15 giá trị nguyên m thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 65: (Câu 40 - PTNK Cơ Sở 2 - TPHCM - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f ( x) có đạo /vietgold
hàm f ( x) = ( x − )2 ( 2 ' 2
x x) với x
∀ ∈ℝ . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số  1  m để hàm số 2 f
x − 6x + m
có 5 điểm cực trị. Tính tổng các phần tử của S ? 2    Ⓐ. 154. Ⓑ. 17 . Ⓒ. 213. Ⓓ. 153. Lời giải Chọn D x = 2 htps://www.facebook.com Ta có 
f '( x) = ( x − 2)2 ( 2
x x) ⇒ f '( x) = 0 ⇔ x = 1 
. Với x = 2 là nghiệm kép, x = 1, x = 0 là x = 0 
nghiệm đơn. Do đó hàm số f = f ( x) đạt cực trị tại x = 1, x = 0 . Đặt     g ( x) 1 1 2 = f
x − 6x + m g '   (x) = (x − 6) 2 f '
x − 6x + m . Khi đó 2  2      63
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 x = 6 1 2
x − 6x + m = 2  2
g '( x) = 0 ⇔ 1 . Giả sử 2  0
x là nghiệm của phương trình ( ) 1 thì
x − 6x + m = 0( ) 1 2  1 2
x − 6x + m = 1  (2)  2 1 2 h
x − 6x + m = 0 do đó 2 hay nói cách khác 0 0 0
x không thể là nghiệm của phương trình ( ) t 2 tps  1  : phương trình ( )
1 ,(2) không có nghiệm chung. Vì vậy, để hàm số 2 f
x − 6x + m có 5 điểm /   /  2 lu y
cực trị thì phương trình ( )
1 ,(2) có hai nghiệm phân biệt khác 6 hay ent ∆ > 0 h 1 9 m − > 0 i   t ∆ > 0 2 r 2 a   c    m −1 1  m + ∈ n 2  ⇔ 9 − + ≠  −
> 0 ⇔ m < 18  ℤ → m m ∈   {1,2,...,1 } 7 .6 6.6 0 . g  2  h 2  ie 1
m ≠ 18,m ≠ 19 2 m
 .6 − 6.6 + m ≠ 1  2  .vn
Vậy tổng các giá trị của m là: 1+ 2 +...+17 =153.
Câu 66: (Câu 49 - THPT Quảng Xương - Thanh Hóa - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f (x) . Hàm
số y = f ′( x) có đồ thị như hình vẽ. https://www.facebook.c om/ 1 v
Số điểm cực đại của hàm số 2 2 4
g (x) = f (x − 4x + 3) − 3( x − 2) + (x − 2) là ie 2 tgold Ⓐ. 7. Ⓑ. 3. Ⓒ. 4. Ⓓ. 5. Lời giải Chọn B Ta có: 2 3 2 2 g (
x) = (2x − 4) f (′x − 4x + 3) − 6(x − 2) + 2(x − 2) = (2x − 4)  f (′x − 4x + 3) − 3 + (x − 2)    2x − 4 = 0 Ta có: g ( ′ x) = 0 ⇔  2 2 f (
x − 4x + 3) − 3+ (x − 2) = 0  64
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” x = 2 ⇔  2 2 f (
x − 4x + 3) = 2 − (x − 4x + 3) (*)  Đặt 2
x − 4x + 3 = t , ta có: (*) ⇔ f ′(t ) = 2 − t . .vn iem gh itracn th yen s://lu ttp h
Từ đồ thị hàm số y = f ′(t) và y = 2 − t ta có: 2 t = −2
x − 4x + 3 = −2 x = 1    2 t = x x + = x = 3 0 4 3 0 f ( ′ t) = 2    − t ⇔ ⇔ ⇔  2 t = 1 x − 4x + 3 = 1 x = 2 ± 2    2 t = 2 
x − 4x + 3 = 2 x = 2 ± 3  
Ta có bảng biến thiên hàm số y = g (x) như sau: /vietgold
Vậy hàm số y = g(x) có 3 điểm cực đại.
Câu 67: (Câu 47 - THPT Quảng Xương 1 - Thanh Hóa - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số f ( x) 5 4 3 2
= ax + bx + cx + dx + ex + f (a ≠ 0) và hàm số y = f ′(x) có hình vẽ dưới đây htps://www.facebook.com 65
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 9
Đặt g ( x) = f (3x − ) 3 2
1 − 9x + x − 6x + 2021. Hòi hàm số f = g ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị ? 2 Ⓐ. 7 . Ⓑ. 3. Ⓒ. 9. Ⓓ. 5. Lời giải Chọn B
g′( x) = f ′( x − ) 2 3 3
1 − 27x + 9x − 6 h
Đặt t = 3x −1⇒ 3x = t +1 ttp ′ = ′ − − − s g (t) f (t) 2 3 3t 3t 6 ://l  1 u t = 2 − ⇒ x = − ye 3 n  ′ = ⇔ ′ t * g (t) 0 f (t ) 2
= t + t + 2 ⇔ t = 1 − ⇒ x = 0  h it 2 rt =1⇒ x = ac  3 n g
Bảng biến thiên của g ( x) h iem.vn https://www .fa
Vậy hàm số g ( x ) có ba điểm cực trị ceboo
Câu 68: (Câu 50 - THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần 2 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số bậc năm k.c
y = f ( x) có đồ thị hàm số y = f ′( x) như hình vẽ dưới đây. Số điểm cực trị của hàm số om/ 8 2 3 2 v
y = f 4x − 4x
x + 6x − 4x +1 là i ( ) et 3 gold 66
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” .vn iem gh itracn Ⓐ. 4. Ⓑ. 5. Ⓒ. 9 . Ⓓ. 7. th Lời giải yen Chọn B
Ta có y′ = ( x − ) f ′( 2 4 2 1
4x − 4x) − 4(2x − ) 1 ( x − ) 1 s://lu 2 ⇒ ′ = −  ′ − − −  ttp y 4(2x ) 1 f  (4x 4x) (x ) 1  . h  1 x = 
y′ = 0 ⇔ y′ = 4(2x − ) 1  f ′  ( 2
4x − 4x) − (x − ) 1  = 0 ⇔ 2    f ′  ( 2
4x − 4x) = x −1
Xét phương trình: f ′( 2
4x − 4x) = x −1 ( ) 1 Đặt 2 2
t = 4x − 4x ⇒ 4x − 4x t = 0 ′
∆ = 4 + 4t ≥ 0 ⇔ t ≥ 1 − .  1− 1+ t  −1− 1+  =  −1 t x x = Khi đó: 2 2 2
4x − 4x t = 0 ⇔  ⇒   1+ 1+ t  −1+ 1+  =  −1 t x x = /vietgold  2  2  ′  ( ) −1− 1+ t f t = Phương trình ( ) 1 trở thành: 2    ′( ) −1+ 1+ t f t =  2 −1− 1+ x −1+ 1+
Vẽ đồ thị 3 hàm số = ′( ), = (C , x y f x y =
trên cùng hệ trục tọa độ 1 ) y (C2 ) 2 2 ta thấy đồ thị (
cắt đồ thị y = f ′( x) tại 3 điểm, đồ thị (C cắt đồ thị y = f ′( x) tại 1 điểm. 2 ) 1 C ) htps://www.facebook.com 67
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021 h ttps://luy en 1 th
Với mỗi nhánh, mỗi giao điểm t sẽ tương ứng với một giá trị duy nhất của x khác . i 2 trac 8 2 3 2 n
Vậy hàm số y = f (4x − 4x) − x + 6x − 4x +1 có 5 điểm cực trị. g 3 h iem
Câu 69: (Câu 50 - THPT Thanh Chương 1 – Nghệ An – Lần 2 – Năm 2020 - 2021) Cho f (x) là một .v
hàm đa thức bậc năm thoả mãn f (0) = 0. Hàm số f '( x) có đồ thị như hình vẽ bên n y x h -1 O 1 t tps 1 : Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng 0;3π ? /
g ( x) = f (sin x) 3 2
+ sin x − sin x ( ) / 3 www Ⓐ. 15 . Ⓑ. 11. Ⓒ. 9. Ⓓ. 13. .fac Lời giải ebo Chọn D ok ′ .
Do f (x) là một hàm đa thức bậc năm nên f ( x) là một hàm đa thức bậc bốn. com
Dựa vào đồ thị hình vẽ ta nhận thấy f ′( x) có dạng ′( ) 4 2 f
x = ax + bx + c , đồ thị đi qua các điểm /viet (
A 0;1), B(1; 0) và có điểm cực tiểu x = 1. Từ đó ta có: g CT old  f ′(0) =1 c =1 c =1     f ′( ) 4 2
1 = 0 ⇒ a + b + c = 0 ⇒ a =1 ⇒ f (′x) = x − 2x +1    f ′ ( ) 1 = 0 4a + 2b = 0 b = 2 −    5 3 x 2 ⇒ ( ) x f x = − + x + c 5 3 5 3 x 2 Do (0) = 0 ⇒ = 0 ⇒ ( ) x f c f x = − + x . 5 3 68
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” 1 1
Xét hàm số g ( x) = f (sin x) 3 2
+ sin x − sin x , ta đặt h ( x) = f (sin x) 3 2
+ sin x − sin x 3 3
 Tìm số cực trị của hàm số y = h(x) . 2 h ( ′ x) = cos .
x f '(sin x) + sin .
x cos x − 2 sin . x cos x cos x = 0 h ( ′ x) = 0 ⇔  2
f '(sin x) = − sin x + 2 sin x.vn π
+)Với cos x = 0 ⇔ x =
+ kπ , k Z . iem 2 gh
Vậy phương trình cos x = 0 có 3 nghiệm đơn thuộc khoảng (0;3π ) . ( ) 1 +)Với 2 f (
′ sin x) = −sin x + 2sin x itracn th Đặt t =
x t ∈[− ] ⇒ f (t) 2 sin , 1;1 ' = t − + 2t Xét phương trình hoành độ giao điểm: yen t
 = α (α ≈1,3864) (l) 2 4 2 4 2 t
− + 2t = t − 2t +1 ⇔ t t − 2t +1 = 0 ⇔  s://lu t =  β (β ≈ 0,4257) (n) ttp Với t = β ∈(0; )
1 thì sin x = β , khi đó 2
f '(sin x) = − sin x + 2sin x có 4 nghiệm đơn thuộc h khoảng (0;3π ) .(2) Từ ( )
1 ,(2)suy ra hàm số y = h(x) có 7 cực trị trên khoảng (0;3π ) (*)
 Tìm số nghiệm của phương trình h(x) = 0 . 1 3 2
t = sin x f (t) + t t = 0 3 1 2 1 5 3 3 2
t t + t + t t = 0 5 3 3 t = 0 t = 0 /vietgold  sin x = 0  ⇒ 1 1
t = a a ≈ 1,69 (l) ⇒ 4 2  ( ) 
t t t +1 = 0 sin x = b   (b ≈ 0,86) 5 3 t = b  (b ≈ 0,86)
+ sin x = 0 ⇔ x = kπ , k Z ⇒ phương trình h(x) = 0 có 2 nghiệm thuộc khoảng (0;3π ) .(3)
+ sin x = b (b ≈ 0,86) ⇒phương trình h(x) = 0 có 4 nghiệm thuộc khoảng (0;3π ) .(4) Từ ( )
3 ,(4) , suy ra h(x) = 0 có 6 nghiệm đơn trên khoảng (0;3π ) (**)
Câu 70: Từ (*), (**) ta kết luận được hàm số y = g(x) đã cho có 13 điểm cực trị.(Câu 40 - TX Quảng htps://www.facebook.com
Trị - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên của đạo hàm như sau: 69
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021  ( 2 ln x + ) 1 − 2 
Hàm số g ( x) = f
 có bao nhiêu điểm cực trị?  2    Ⓐ. 7. Ⓑ. 11. Ⓒ. 5. Ⓓ. 9. Lời giải Chọn D ( 2 ln x + ) 1 − 2 h Đặt x h( x) = ⇒ h′( x) = t 2 t 2 x + 1 p s:
Cho h′( x) = 0 ⇒ x = 0 //lu BBT ( ) 1 yenthitracnghiem.vn h x
Ta có: g ( x) = f ( h(x) ) ⇒ g′(x) = h′(x) ( ) ⋅
f ′( h( x) ) h( x) h′(x) = 0  h
Cho g′(x) = 0 ⇒ h( x) = 0 tt  ps  ′ = : f  ( h ( x) ) 0 //w ′ w
Với h ( x) = 0 ⇔ x = 0 w.f
x = a (a < 0) ac
Với h ( x) = 0 ⇔  eb x = b  (b > 0) ook.
Với f ′( h(x) ) = 0, ta có: com/vietgold
h(x) = c(c < − ) 1 (l) 
h( x) = d ( 1
− < d < 0)(l)
f ′( h(x) ) = 0 ⇔ 
h( x) = e(0 < e < ) 1 
h( x) = f ( f > ) 1  70
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng”
Dựa vào bảng biến thiên ( )
1 ta có được phương trình h ( x) = e có 4 nghiệm phân biệt và phương
trình h ( x) = f có hai nghiệm phân biệt, tất cả đều khác 0,a b .
Vậy phương trình g′( x) = 0 có tổng cộng 9 nghiệm bội lẻ ⇒ hàm số g ( x) có 9 cực trị.
Câu 71: (Câu 40 - THPT – Thuận Thành 01 – Bắc Ninh – Lần 1 – Năm 2020 - 2021) Cho hàm số
y = f ( x) có đạo hàm trên ℝ và có bảng biến thiên f ′( x) như hình vẽ: .vn iem gh itracn th
yen Hàm số = ( 2x y f e
− 2x − 2 ) có bao nhiêu điểm cực trị? s://lu Ⓐ. 9. Ⓑ. 7. Ⓒ. 11. Ⓓ. 5. ttp Lời giải h Chọn A
Ta có: f ′( x) = 0 tại x ; x ; x ;
x < −1 < x < 0 < x < 1 < 1 2 3 4 x trong đó 1 2 3 4 x Xét hàm số = ( 2x y f e
− 2x − 2 ) có tập xác định là ℝ 2( 2x e − ) 1 ( 2x e − 2x − 2) y′ = f ex x ( 2x 2 2 2 ) e − 2x − 2 Với 2x e − 2x − 2 ≠ 0 x = 0   2 x = 0 x e − 2x − 2 = x (1) /vietgold 2 x  − =   3 e 1 0 2x ′ = ⇔  ⇔   2 y 0 − − = ⇔ − − =  f ′  ( e 2x 2 x x e 2x 2 x (2) 2x e − 2x − 2 ) 3 4 = 0   2 2 x x
e − 2x − 2 = −x (3) e − 2x − 2 = x 3 4   2x
e − 2x − 2 = −x (4)  4 Xét hàm số ( ) 2x
g x = e − 2x − 2 có tập xác định là ℝ . ′( ) 2 = 2 x g x e − 2
g′( x) = 0 ⇔ x = 0
Ta có bảng biến thiên của hàm số htps://www.facebook.com
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có: phương trình (1), (2), (3) có hai nghiệm phân biệt
khác 0, phương trình (4) vô nghiệm vì vậy phương trình y′ = 0 có 7 nghiệm phân biệt.
Mặt khác hàm số đạt cực trị tại các điểm thỏa mãn: 2x
e − 2x − 2 = 0 (5) . 71
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021
Dựa vào bảng biến thiên hàm g ( x) suy ra phương trình (5) có hai nghiệm phân biệt khác 7
nghiệm của phương trình y′ = 0 .
Vậy hàm số đã cho có 9 điểm cực trị.
Câu 72: (Câu 42 - THPT Trần Phú - Đà Nẵng - Năm 2020 - 2021) Cho hàm số f ( )
x , bảng biến thiên của hàm số f ( ′ ) x như sau: h ttps://luyenthitr acn Hàm số 3
g(x) = f (x − 3x) có bao nhiêu điểm cực đại? ghie m Ⓐ. 1. Ⓑ. 4. Ⓒ. 2. Ⓓ. 3. .v Lời giải n Chọn C Ta có: 3 2 3
g(x) = f (x − 3x) ⇒ g (
x) = (3x − 3). f (′x − 3x)  x = 1  ⇒ g (
x) = 0 ⇔ x = −1  3
x − 3x = x (x > 3)  0 0  x =1 Xét hàm: 3 2
h(x) = x − 3x h (
x) = 3x −3 = 0 ⇔  h x = 1 −  ttps BBT: ://www.facebook.com/vietgo ld
Từ BBT suy ra phương trình 3
x − 3x = x (x > 3) có 1 nghiệm đơn x = x (x > 1) 0 0 1 1
Vậy phương trình g ( ′ )
x = 0 có 3 nghiệm đơn x = 1
− ; x =1; x = x (x >1) và 1 1 g ( ′ 0) = 3
− . f (′0) < 0 (Do f (′0)∈(3;5)) nên ta có BBT của hàm g(x) như sau: 72
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không v!i lư#i bi%ng” .vn iem gh
Từ BBT ta có hàm số đã cho có 2 điểm cực đại.
Câu 73: (Câu 48 - THPT Triệu Sơn 1 - Thanh Hóa - Lần 1 - Năm 2020 - 2021) [ Mức độ 4] Cho hàm itracn
số f ( x) có f (0) = 1
− . Biết y = f ′( x) là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong dưới đây. th yen y 3 s://lu 2 ttp h 1 x O 1 3
Số điểm cực trị của hàm số g ( x) = f ( 4 x ) 2 − 6x Ⓐ. 3. Ⓑ. 6 . Ⓒ. 5. Ⓓ. 4 . Lời giải Chọn C /vietgold
Xét hàm số h( x) = f ( 4 x ) 2
− 6x h′(x) 3 = x f ′( 4 x ) 2
x = x x f ′  ( 4 4 12 4 x ) − 3 . x = 0 h′( x) 2
= 0 ⇔ 4x x f ′( 4 x ) − 3 = 0  ⇔   .  f ′( 3 4 x ) = x ≠ 0 1 2 ( ) ( )  x Xét phương trình ( ) 1 : đặt 4
t = x thì phương trình có dạng ′( ) 3 f t = với t > 0 (2) . t y htps://www.facebook.com 3 2 1 x O 1 3
Dựa vào đồ thị, phương trình (2) có một nghiệm duy nhất a > 0 . Khi đó ta được 4 x = ± a . 73
↸ Quảng Thuận – Ba Đồn – Quảng Bình
C c tr hàm s h p trong các đ thi 2020 - 2021
Bảng biến thiên của hàm số h( x) = f ( 4 x ) 2 − 6x
Số điểm cực trị của hàm số g ( x) = f ( 4 x ) 2
− 6x bằng số điểm cực trị của hàm số h 4 2 t
h( x) = f x − 6x cộng với số nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ của phương trình h ( x) = 0 . t ( ) p s:
Do đó hàm số g ( x) có 5 cực trị. //lu ye n th it rac n gh iem .vn
THAM GIA LỚP LUYỆN THI CHẤT LƯỢNG CAO MR.VIỆT MATH CLASS
82 Võ Thị Sáu - TDP Bến Chợ – Phường Q.Thuận - T.xã Ba h
Đồn –Tỉnh Quảng Bình ttps:// LIÊN w
http://luyenthitracnghiem.vn w HỆ w.fa
0905 193 688 (Điện thoại hoặc nhắn tin) cebook
Facebook: https://www.facebook.com/vietgold .com/vietgold 74