ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH (ĐỀ SỐ 01)
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Mã đề thi 001
Họ, tên thí sinh:..................................................................... Trường: ...........................................
1. Biểu diễn tuyến tính •
Cho hệ m véctơ n chiều X1, X2 ,..., Xm. Véctơ X ∈ !n được biểu diễn tuyến tính qua m véctơ
X1, X2 ,..., Xm nếu tồn tại m số thực α1,α2 ,...,αm sao cho X = α1 X1 + α2 X2 +...+ αm Xm. •
Đẳng thức trên tương đương với: α1,α2 ,...,αm là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính gồm n
phương trình và m ẩn α1,α2 ,...,αm có ma trận hệ số mở rộng A = (X1 X2 ...Xm X ) trong đó các
véctơ X1, X2 ,..., Xm , X được viết dưới dạng cột:
Ví dụ 1: Hãy biểu diễn véctơ X = (7,11,−6) qua các véctơ X1 = (1,3,−2), X2 = (3,4,−1), X3 = (5,5,1). Giải.
Giả sử X = α1 X1 + α2 X2 + α3 X3 khi đó α1,α2 ,α3 là nghiệm của hệ phương trình có ma trận hệ số mở rộng 1 3 5 7 3 5 7 −3d +d 1 3 5 7 1 1 2 2d +d d+d 2 3 −5 −10 −10 A = 3 4 5 11 1 → 0 −5 −10 −10 2 → 0 . 0 −1 −2 −2 −1 1 −6 0 5 11 8 0
α +3α +5α =7 α =−1 1 2 3 1
Vậy −5α −10α = −10 ⇔α=6. Vậy X = −X + 6 X −2 X . 2 3 2 1 2 3 α3 = −2 α3 =−2 Ví dụ 2:
Tìm m để véctơ X = (3,−1,11, m) biểu diễn tuyến tính qua các véctơ
X1 = (2,1,3,8), X2 = (1,3,0,5), X3 = (−1,2,2,2).
Giải. Giả sử X = α1 X1 + α2 X2 + α3 X3 khi đó α1,α2 ,α3 là nghiệm của hệ phương trình có ma trận hệ số 2 1 −1 3 1 3 2 −1 mở rộng A = . 3 0 2 11 8 5 2 m
Khử ẩn ma trận hệ số mở rộng: 1 2 2 1 −1 3 132−1 1 3 2 −1 doichod1&d 2 2 1 −1 3 A = → 30211 30211 8 5 2 m 8 5 2 m −2d1+d2 1 3 2 −1 1 3 2 −1 −3d1+d3 1 −8d +d 0 −5 −5 5 − d 2 0 1 1 −1 1 5 4 → → 0−9−4 14 0 −9 −4 14 0 −19 −14 m +8 0 −19 −14 m +8 1 3 2 −1 1 3 2 −1 9d2+d3 19d2+d4 0 1 1 −1 −d3+d4 0 1 1 −1 → → . 0 0 5 5 0 0 5 5 0 0 5 m−11 0 0 0 m−16
Vậy điều kiện là hệ có nghiệm ⇔ m−16 = 0 ⇔ m = 16.
2. Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của một hệ véctơ •
Cho m véctơ n chiều X1, X2 ,..., Xm. Xét đ ẳng
thức: α1 X1 + α2 X2 +...+ αm Xm = On (*). Đẳng
thức này tương đương với hệ tuyến tính tổng quát gồm n phương trình và m ẩn α1,α2 ,...,αm có
ma trận hệ số là A = (X1 X2 Xm ), trong đó các véctơ X1, X2 ,..., Xm viết dưới dạng cột. •
Hệ gồm m véctơ n chiều X1, X2 ,..., Xm được gọi là đ ộc lập tuyến tính nếu (*) chỉ xảy ra khi
α1 = α2 = ... = αm = 0, tức hệ tuyến tính thuần nhất có ma trận hệ số A có nghiệm tầm thường
duy nhất, tức quá trình biến đổi ma trận hệ số A kết thúc dưới dạng tam giác. •
Hệ gồm m véctơ n chiều X1, X2 ,..., Xm được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại m số thực
α1,α2 ,...,αm không đồng thời bằng 0 sao cho đẳng thức (*) xảy ra, tức hệ tuyến tính thuần nhất
có ma trận hệ số A có vô số nghiệm, tức quá trình biến đổi ma trận hệ số A kết thúc dưới dạng hình thang.
Ví dụ 1: Xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ véctơ X1 = (2,1,−1), X2 = (1,5,−2), X3 = (3,−7,2).
Giải. Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có ma trận hệ số: 2 1 3 −1 −2 2 doichod1&d 3 A = 1 5 −7 → 1 5 −7 −1 −2 2 2 1 3 d +d −1−2 2 −1 −2 2 1 2 2d +d d+d 1 3 3 → 0 3 −5 2 → 0 3 −5 . 0−37 0 0 2
Quá trình khử ẩn kết thúc dạng tam giác nên hệ véctơ độc lập tuyến tính.
Ví dụ 2: Tìm m để hệ véctơ X1 = (−1,3,2), X2 = (2,4,−3), X3 = (5,5, m) độc lập tuyến tính. −125 3d +d −1 2 5 1 −1 2 5 1 2 2d +d 3 − d2+d3 Giải. Có A = 3 4 5 1 → 0 10 20 10 → 0 10 20 . 2 −3 m 0 1 m+10 0 0 m+8
Vậy hệ véctơ độc lập tuyến tính khi và chỉ khi m + 8 ≠ 0 ⇔ m ≠−8. 2 3
Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu hệ véctơ {X1, X2 ,..., Xm } phụ thuộc tuyến tính và véctơ Xm không biểu
diễn tuyến tính qua các véctơ X1, X2 ,..., Xm−1 thì hệ véctơ {X1, X2 ,..., Xm−1} phụ thuộc tuyến tính.
Giải. Vì hệ véctơ {X1, X2 ,..., Xm } phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại m số thực α1,α2 ,...,αm không đồng
thời bằng 0 sao cho α1 X1 + α2 X2 +...+ αm Xm = On.
Do Xm không biểu diễn tuyến tính qua các véctơ X1, X2 ,..., Xm−1 nên αm = 0.
Vậy α1 X1 + α2 X2 +...+ αm−1 Xm−1 = On.
Mặt khác m−1 số thực α1,α2 ,...,αm−1 không đồng thời bằng 0 nên hệ véctơ {X1, X2 ,..., Xm−1} phụ thuộc tuyến tính.
3. Các định lí về độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
Định lí 1: Một hệ véctơ n chiều có số véctơ lớn hơn hoặc bằng hai. Hệ véctơ đó phụ thuộc tuyến tính
khi và chỉ khi có một véctơ trong hệ được biểu diễn tuyến qua các véctơ còn lại.
Hệ quả: Hệ gồm hai véctơ X ,Y phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi X ,Y tỷ lệ và ngược lại X ,Y độc lập
tuyến tính khi và chỉ khi X ,Y không tỷ lệ.
Định lí 2: Cho hai hệ véctơ n chiều {X1, X2 ,..., Xm } và {Y1,Y2 ,...,Yk }.
Nếu m > k và mọi véctơ Xi (i = 1,2,..., m) được biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ {Y1,Y2 ,...,Yk } thì hệ
véctơ {X1, X2 ,..., Xm } phụ thuộc tuyến tính.
Hệ quả: Mọi hệ véctơ n chiều có số véctơ lớn hơn số chiều (lớn hơn n ) thì hệ véctơ đó ph ụ thuộc tuyến tính.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu hệ véctơ {X1, X2 ,..., Xm }⊂ !n độc lập tuyến tính và tồn tại véctơ
X ∈ !n không biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ {X1, X2 ,..., Xm } thì m ≤ n−1.
Giải. Giả sử m > n−1 suy ra hệ véctơ X1, X2 ,..., Xm , X có số véctơ là m +1> n lớn hơn số chiều của
! n nên phụ thuộc tuyến tính. Vì vậy tồn tại m +1 số thực α1,α2 ,...,αm ,α không đồng thời bằng 0 sao cho
α1 X1 + α2 X2 +...+ αm Xm + αX = On.
Do X không biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ {X1, X2 ,..., Xm } nên α = 0.
Vậy α1 X1 + α2 X2 +...+ αm Xm = On ⇔α1 = α2 = ... = αm = 0 (do hệ véctơ {X1, X2 ,..., Xm }⊂ !n độc lập
tuyến tính). Vậy α1 = α2 = ... = αm = α = 0 (mâu thuẫn với m +1 số thực α1,α2 ,...,αm ,α không đồng thời
bằng 0). Vậy ta có điều phải chứng minh.
Câu 1. Hãy biểu diễn tuyến tính véctơ X = (16,7,−1) qua các véctơ X1 = (1,−1,3), X2 = (2,1,1), X3 = (5,3,−1).
Câu 2. Hãy biểu diễn véctơ X = (7,11,−6) qua các véctơ X1 = (1,3,−2), X2 = (3,4,−1), X3 = (5,5,1). Câu 3. Tìm m để véctơ
X = (3,−1,11, m) biểu diễn tuyến tính qua các véctơ
X1 = (2,1,3,8), X2 = (1,3,0,5), X3 = (−1,2,2,2). Câu 4. Hãy biểu diễn tuyến tính véctơ
X = (−3,1,−20,25) qua các véctơ
X1 = (1,2,3,4), X2 = (−1,5,6,1), X3 = (−2,3,−2,5). Câu 5. Hãy biểu diễn tuyến tính véctơ
X = (7,26,−7,−28) qua các véctơ
X1 = (4,2,1,−1), X2 = (1,−4,2,5). 3 Câu 6. Hãy biểu diễn tuyến tính véctơ X = (3,−5,−10,15) qua các véctơ
X1 = (3,−2,4,5), X2 = (1,1,7,−3), X3 = (0,2,3,−4). Câu 7. Hãy biểu diễn tuyến tính véctơ X = (1,−2,0,7) qua các véctơ
X1 = (1,3,4,5), X2 = (2,2,−1,3), X3 = (3,5,1,−2), X4 = (−4,7,2,4).
Câu 8. Xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ véctơ X1 = (2,1,−1), X2 = (1,5,−2), X3 = (3,−7,2).
Câu 9. Tìm m để hệ véctơ X1 = (−1,3,2), X2 = (2,4,−3), X3 = (5,5, m) độc lập tuyến tính.
Câu 10. Xét sự phụ thuộc tuyến tính của các hệ véctơ sau: X = (1,−2,1,−1) = (−1,3,2) X = (2,1,−1) = (1,1,−1,−1) 1 X 1 1 X 1 a) X = (1,5,−2) . b) X = (2,6,3,2) . c) X = (3,3,5,−2) . d) X = (2,4,−3). 2 2 2 2 X 3 = (3,−7,2) X 3 = (5,9,0,−1) X 3 = (0,−9,−2,1) X 3 = (5,5, m) X = (4,3,−1,2) 1 e) X = (2,−2,4,5) . 2
X 3 = (−2,9,−13,−13) Câu 11. Tìm m
để véctơ X = (−3,−2,1, m) biểu diễn tuyến tính qua các véctơ
X1 = (2,1, m,−1), X2 = (1,3,−1,2), X3 = (2,−1,−3,−1).
Câu 12. Chứng minh rằng với mọi m hệ véctơ X1 = (2,3,4,−1), X2 = (−1,2,−2,1), X3 = (3, m,4,2) độc lập tuyến tính.
Câu 13. Chứng minh rằng với mọi m véctơ X = (−m,2, m) luôn biểu diễn tuyến tính qua các véctơ
X1 = (1,3, m), X2 = (−2,−1,1), X3 = (4,2,−3).
Câu 14. Chứng minh X1 = (1,1,1), X2 = (1,1,2), X3 = (1,2,3) độc lập tuyến tính và hãy biểu diễn véctơ
X = (6,9,14) qua các véctơ X1, X2 , X3.
Câu 15. Chứng minh rằng nếu hệ véctơ {X1, X2 ,..., Xm } phụ thuộc tuyến tính và véctơ Xm không biểu
diễn tuyến tính qua các véctơ X1, X2 ,..., Xm−1 thì hệ véctơ {X1, X2 ,..., Xm−1} phụ thuộc tuyến tính.
Câu 16. Chứng minh rằng nếu hệ véctơ {X1, X2 ,..., Xm }⊂ !n độc lập tuyến tính và tồn tại véctơ
X ∈ !n không biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ {X1, X2 ,..., Xm } thì m ≤ n−1.
Câu 17. Tìm m để hệ véctơ X1 = (−1,3,2,1), X2 = (2,4,−3,−1), X3 = (1,2,3,4), X4 = (5,5,5, m) độc lập tuyến tính.
Câu 18. Chứng minh rằng nếu hệ véctơ {X1, X2 ,..., Xm }⊂ !n
độc lập tuyến tính và khi thêm vào véctơ
X ∈ !n ta đư ợc hệ véctơ
{X1, X2 ,..., Xm , X } phụ thuộc tuyến tính thì véctơ X được biểu diễn tuyến
tính một cách duy nhất qua các véctơ X1, X2 ,..., Xm. Câu 19. Tìm m để véctơ X = (1,2,3, m) biểu diễn tuyến tính qua các véctơ
X1 = (−1,2,−3,5), X2 = (2,1,4,6), X3 = (−3,2,5,7). Câu 20. Tìm m để véctơ X = (1,2,3,4, m) biểu diễn tuyến tính qua các véctơ
X1 = (−1,2,−3,5,1), X2 = (2,1,4,6,3), X3 = (−3,2,5,7,−1), X4 = (−2,3,−1,4,5). 4 5
Hiện tại 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên
năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế của tất cả các trường:
1 Khoá: PRO S1 - MÔN TOÁN CAO C ẤP 1 - ĐẠI SỐ TUY ẾN TÍNH
2 Khoá: PRO S2 - MÔN TOÁN CAO C ẤP 2 - GIẢ I TÍCH
Khoá h ọc cung cấp đầy đủ kiến thức và phương pháp
giải bài tập các dạ ng toán đi kèm mỗi bài học. Hệ thống
bài tập rèn luyện dạng Tự luận có lời giải chi ti ết tại
website sẽ giúp học viên học nhanh và vận d ụng chắc
chắ n kiến thứ c. Mục tiêu của khoá học giúp học viên
đạt đi ểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 và
Toán cao cấp 2 trong các trường kinh tế.
Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này: - ĐH Kinh Tế Quốc Dân - ĐH Ngoại Thương - ĐH Thương Mại - Học viện Tài Chính - Học viện ngân hàng
- ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội
và các trường đ ại học, ngành kinh tế của các trường ĐH khác trên kh ắp cả nước...