Bài giảng dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân Toán 11 CTST
Tài liệu gồm 94 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Trần Đình Cư, bao gồm tóm tắt kiến thức cơ bản cần nắm, phân loại và phương pháp giải bài tập chuyên đề dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân trong chương trình
Chủ đề: Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit
Môn: Toán 12
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Chủ đề:
Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit
Môn:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ
CS 1: TRUNG TÂM MASTER EDUCATIPM- 25 THẠCH HÃN
CS 2: TRUNG TÂM 133 XUÂN 68
CS 3: TRUNG TÂM 168 MAI THÚC LOAN
CS 4: TRUNG TÂM TRƯỜNG NGUYỄN TRƯỜNG TỘ TOÁN 11 CTST
TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH LỚP TOÁN THẦY CƯ-TP HUẾ
(Chiêu sinh thường xuyên, bổ trợ kiến thức kịp thời)
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
CHƯƠNG 2: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN BÀI 1: DÃY SỐ
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Dãy số là gì ?
Khái niệm dãy số:
Hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương *
được gọi là một dãy số vô hạn (hay gọi tắt là u : dãy số), nghĩa là
n u u n n
Dãy số trên được kí hiệu là u . n
Dạng khai triển của dãy số u là: u ;u ; ; u ; n 1 2 n Chú ý:
a) u u 1 gọi là số hạng đầu, u u n gọi là số hạng thứ n (hay số hạng tổng quát) của dãy số. n 1
b) Nếu u C với mọi n , ta nói u là dãy số không đổi. n n
Hàm số u xác định trên tập hợp M 1; 2;3; ;
m thì được gọi là một dãy số hữu hạn.
Dạng khai triển của dãy số này là u , u ,, u , trong đó u là số hạng đầu và u là số hạng cuối. 1 2 m 1 m
2. Cách xác định dãy số GV: T
Thông thường một dãy số có thể được cho bằng các cách sau: R
Cách 1: Liệt kê các số hạng (với các dãy số hữu hạn). Ầ N ĐÌN
Cách 2: Cho công thức của số hạng tổng quát u . n H CƯ
Cách 3: Cho hệ thức truy hồi, nghĩa là –
Cho số hạng thứ nhất u (hoặc một vài số hạng đầu tiên); 1 0834 3321
Cho một công thức tính u theo u
(hoặc theo vài số hạng đứng ngay trước nó). n n 1
Cách 4: Cho bằng cách mô tả. 33
3. Dãy số tăng, dãy số giảm Cho dãy số u . n
Dãy số u được gọi là dãy số tăng nếu * u u , n . n n 1 n
Dãy số u được gọi là dãy số giảm nếu * u u , n . n n 1 n
4. Dãy số bị chặn
Dãy số ( u ) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho *
u M , n . n n
Dãy số u được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho * u , m n . n n
Dãy số u được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số n M
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 1
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com và m sao cho *
m u M , n . n
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tìm số hạng của dãy số 1. Phương pháp
Một dãy số có thể cho bằng:
- Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng);
- Công thức của số hạng tồng quát; - Phương pháp mô tả; - Phương pháp truy hồi. 2. Các ví dụ n (1)n
Ví dụ 1. Cho dãy số ( u ) xác định bởi u
. Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy số. n n 2n 1 Lời giải n (1)n 3 2 5 4 Ta có u
u 0;u ;u ;u ;u . n 1 2 3 4 5 2n 1 5 7 9 11
Ví dụ 2. Cho dãy số u , từ đó dự đoán u n n u 5 u 3 a) u 1 : ; b) u : n 1 n u u 3 u 4u GV: T n 1 n n 1 n Lời giải R Ầ a) Ta có: N ĐÌN u 5 1 H CƯ u 5 1.3 2 u 5 2.3 3 – 0834 u 5 3.3 4 ... 3321 u 5 n 1 .3 * n 33 b) Ta có u 3 1 u 3.4 2 2 u 3.4 3 3 u 3.4 4 ... n 1 u 3.4 * n
Ví dụ 3. Cho dãy số u , từ đó dự đoán u n n u 1 u 3 a) u 1 : ; b) u : n 1 n u 2u 3 2 n 1 n u 1 u n 1 n Lời giải a) Ta có:
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 2
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com 2 u 1 2 3 1 3 u 5 2 3 2 4 u 13 2 3 3 5 u 29 2 3 4 ... n 1 u 2 3 * n b) Ta có 2 u 3 3 0 1 2 u 10 3 1 2 2 u 11 3 2 3 2 u 12 3 3 4 ... 3 u 3 n 1 * n
Dạng 2. Tính tăng giảm của dãy số 1. Phương pháp
(un) là dãy số tăng un+1 > un, n N*. u u n
n+1 – un > 0 , n N*
1 1,n N* ( un > 0). un GV: T
(un) là dãy số giảm
un+1 < un với n N*. R Ầ u N u n
n+1 – un< 0 , n N*
1 1, n N* (un > 0). ĐÌN un H CƯ 2. Các ví dụ –
Ví dụ 1. Xét tính đơn điệu của dãy số sau: 0834 n 3321
a) u 2n 3 b) u n n 2n 33 Lời giải
a) Ta có: u 2n 3;u
2(n 1) 3 2n 5 u
u (2n 5) (2n 3) 0 n n 1 n 1 n Suy ra u
u dãy số đã cho là dãy tăng. n 1 n n n 1 u n 1 2n 1 n 1 1 n 1 b) Ta có: n 1 u ;u n n n 1 n 1 n 1 2 2 u 2 n 2 n 2 n n u 1 n 1 1 n 1 Giả sử: n 1 1
1 n 1 4n 3n 1 vô lý. u 2 n 4 n n u Vậy n 1 1 u
u dãy số đã cho là dãy số giảm. n 1 n un
Ví dụ 2. Xét tính đơn điệu của dãy số sau:
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 3
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com n n 1 n a) u b) u n 2 n 1 n n Lời giải n n 1 n 1 a) Ta có: u ;u n 2 n 1 2 2 n 1 (n 1) 1 n 2n 2 (n 1) n n 2 n 1 n 2 n 2n 2 1 u u n 1 n 2 2 n 2n 2 n 1 2 n 1 2
n 2n 2 3 2 3 2 2
n n n 1 n 2n 2n n n 1 0 n
1 u là dãy số giảm. n 2 n 1 2
n 2n 2 2 n 1 2
n 2n 2 n 1 n n 1 n 2 b) u 1 u 1 n n 1 n n n 1 n 2 n 1 n 2 n 1
n n 2 (n 1) n 1 Khi đó ta có: u u 1 1 n 1 n n 1 n n 1 n n(n 1) Giả sử: u
u 0 n n 2 (n 1) n 1 0 n n 2 (n 1) n 1 n 1 n 2 3 3 2 3 2 2
n (n 2) (n 1) n 2n n 3n 3n 1 n 3n 1 0 vô lý. Vậy u
u 0 u là dãy số giảm. n 1 n n GV: T
Ví dụ 3. Xét tính đơn điệu của dãy số sau: 1 n 1 R Ầ a) u 2 b) u n n N n n 1 ĐÌN Lời giải H CƯ 1 1 1 1 1 – a) u 2 u 2 u u 2 2 0 u u n n 1 n 1 n n 1 n 0834 n n 1 n 1 n nn 1 3321
Vậy dãy số u là dãy số giảm. n 33 n 1 2 b) u 1 n n 1 n 1 2 2 2 2 Khi đó: u 1 u u 1 1 0 u u n 1 n 1 n 2 n n 2 n 1 n 1 n 2 n 1 n
Vậy dãy số u là dãy số tăng. n
Ví dụ 4. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau: 2n 1 a) u b) 2 u 2n 5 n 5n 2 n Lời giải 2n 1 2 1 2 1 a) u u n 5n 2 3 55n 2 n 1 5 55n 7
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 4
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com 2 1 2 1 1 Khi đó: u u 0 u u . n 1 n
5 55n 7 5 55n 2
5n 25n 7 n 1 n
Vậy u là dãy số giảm. n
b) u 2n 5 u 2n 2 2 1 5 n n 1 2 Khi đó u
u 2 n n n u u u là dãy số tăng n 1 5 2 2 5 4 2 0 n 1 n 1 n n
Ví dụ 5. Xét tính đơn điệu của dãy số sau: 2 2n 1 a) u b) u
n 1 n n 2 n 1 n Lời giải 2 2n 1 3 3 a) u 2 u 2 n 2 2 n 1 n 1 n 1 n 2 1 1 2 1 1 3 3 Với *
n N n 2 1 n 2 2 u u n 2 2 n n 1 1 n 1 n 2 2 1 1 1 n 1
u là dãy số tăng. n 1 1 b) u n 1 n u n n 1 n n 1
n 1 n 2 GV: T 1 1
Do n * nên n 2 n 1
n 1 n u u n 1 n R
n 2 n 1 n 1 n Ầ N ĐÌN u
u u là dãy số giảm. n 1 n n H CƯ
Ví dụ 6. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau: – 0834 2 3n 2n 1 n 1 1 3321 a) u b) u n n 1 n n 33 Lời giải 2 3n 2n 1 6 6 a) u 3n 5 u 3n 2 n n 1 n 1 n 1 n 1 6 6 6 Khi đó: u
u 3n 2 3n 5 3 n 1 n n 2 n 1
(n 1)(n 2) n 1 6 6 Với
(n 1)(n 2) 6 1 3 2 u u 1 n N
(n 1)(n 2)
(n 1)(n 2) n n
u là dãy số tăng. n n 1 1 n 1 b) Ta có: u n n
n n 1 1 n 1 1
Khi n tăng thì dễ thấy mẫu số tăng, phân số giảm nên dãy số đã cho là dãy số giảm.
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 5
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com 3n
Ví dụ 7. Xét tính tăng - giảm của dãy số u với u . n n n 1 2 Lời giải n 1 n 1 n 1 3 u 3 2 3 Ta có: n 1 u 1 n 1 n2 n2 2 u 2 3n 2 n Do * * u 0, n u u , n u tăng. n n 1 n n n
Ví dụ 8. Xét tính tăng - giảm của dãy số u với u . n n 2n Lời giải n 1 u n 1 2n 1 n 1 1 1 Ta có: n 1 u 1 n 1 n 1 n 1 2 u 2 n 2 n 2 n n 1 u 1 Với * n 1 n n 1 1 2 1 n u 2 n Mà * * u 0, n u u , n u giảm. n n 1 n n 3n
Ví dụ 9. Xét tính tăng - giảm của dãy số u với u . n n 2 n Lời giải GV: T 2 2 n 1 n 1 2 3 u 3 n n u 1 1 Ta có: n 1 u 3 n 1 R n 1 2 2 n Ầ (n 1) u (n 1) 3 n 1 u 3 n n n 1 N ĐÌN u 1 1 1 n H CƯ Khi đó: 1 1 3 3 1 n mà *
n n 1. u n n n 3 1 1 – 0834 u 1 1 1 n 1 1 3 3 1 n mà *
n n 2 . u n n n 3 1 3321 1 33 u
u n 1 Hơn nữa * u 0, n nên n 1 n n
u u n 2 n 1 n
Do đó u u và u u u u u
không tăng và cũng không giảm. 2 3 n n 1 n 1 2
Ví dụ 10. Xét tính tăng - giảm của dãy số u với u n n 1 . n n Lời giải Ta có: u
n 1 n u u
n 1 2 n n 1 . n 1 n 1 n 2 2
Lại có: n n n 2 n
n n 2 n n * 1 1 2 2 2 1 4 2 1 0, n * *
n 1 n 1 2 n, n u u 0, n u giảm. n 1 n n na 2
Ví dụ 11. Với giá trị nào của a thì dãy số u , với u n n n 1
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 6
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com a) là dãy số tăng. b) là dãy số giảm Lời giải na 2 2 a 2 a a 2 Ta có: u a u 2 u u . n n 1 n 1 n 1 n 1 n 2 n n 1 n 2 a 2
a) Để u là dãy số tăng thì u u 0 a 2 . n n 1 n n 1 n 2 a 2
b) Để u là dãy số giảm thì u u 0 a 2 n n 1 n n 1 n 2
Dạng 3. Dãy số bị chặn 1. Phương pháp
(un) là dãy số bị chăn trên M R: un M, n N*.
(un) là dãy số bị chặn dưới m R: un m, n N*.
(un) là dãy số bị chặn m, M R: m un M, n N*. Chú ý:
+) Trong các điều kiện về bị chặn ở trên thì không nhất thiết phải xuất hiện dấu ‘ ’
+) Nếu một dãy số tăng thì luôn bị chặn dưới bởi u ; còn dãy số giảm thì bị chặn trên bởi u . 1 1 2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 2 GV: T n 1 7n 5 a) u b) u n 2 2n 3 n 5n 7 R Ầ N Lời giải ĐÌN 3 2 H CƯ n 5 1 5
a) Viết lại u dưới dạng: 2 u n n 2 2 2 – 2n 3 2 2n 3 2 2 2n 3 0834 3321 1
n 0 u 0 3 33
Với n 1 u 2 u 2 1 n 1 2 n
2 2n 3 0 u n 2 2 2 u (n 1) 1 2n 3 Xét: n 1 2 2 u 2(n 1) 3 n 1 n u Nhận thấy u 0 thì n 1 1 2
n 2n 2 2 2n 3 2 n 1 2
2n 4n 1 n un 4 2 3 2 4 3 2 2 2 2
4n 3n 4n 6n 4n 6 4n 4n n 2n 4n 1 n 6n 6 n 4n 1 0 10n 5 * n Do đó: u
u u 1 n 1 n 2 Vậy 2
u 1 u bị chặn. n n
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 7
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com 7 24 (5n 7) 7n 5 7 24 7 5
b) Viết lại u dưới dạng 5 5 u n u n n 5n 7 5n 7 5 5(5n 7) 5 n 7 5 7 Do đó, u u bị chặn n n 7 5
Ví dụ 2. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 1 1 a) u b) u n 2 2n 3 n n n 1 Lời giải 1
n 0 u 0 3 a) Với
n 1 u 1 u 1 1 n 2 n
2 2n 3 0, u 0 n 2 u 2n 3 Xét n 1
1 n n 1 2 u 2(n 1) 3 n 1 1
Do đó, suy ra: u u u . Vậy 1 u u bị chặn. n n n n 1 2 5 5 b) Ta dễ dàng thấy: GV: T
u 0 do đó nó bị chặn dưới. n R Ầ 1 N ĐÌN
Vì n(n 1) 2 u
do đó nó bị chặn trên. n 2 H CƯ 1
Vậy ta được 0 u , do đó nó bị chặn. n – 2 0834
Ví dụ 3. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 3321 1 n 1 33 a) u b) u n 2 2n 1 n 2 n 1 Lời giải a) Với * 2
n 0 u 1 n
N : 2n 1 0 nên u 0 0 n do đó: u 1 n n 2 u 2n 1 Xét n 1
1 n n 1 2 u 2(n 1) 1 n
Do đó, suy ra u u
u u 1 n n 1 2 1 Vậy 1
u 1 u bị chặn. n n b) Với *
n 0 u 1 n N : n 1 0 và 2
n 1 0 nên u 0 0 n do đó u 1 n n
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 8
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com n 1 Và n , 1 , vậy 1
u 1 u bị chặn. n n 2 n 1
Ví dụ 4. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 2 2n 2 2n 2n 1 a) u . b) u . n 2 n 1 n 2 n n 4 Lời giải 2 2n 0 a) Vì n
N u 0 2 n n 1 0 2 2 n 1 2 2 Mặt khác, u 2
2. Vậy 0 u 2 u bị chặn. n n n 2 2 n 1 n 1 2
2n 2n 1 2 2 n 1 1 0 b) Vì n
N u 0 n 2
n n 4 n(n 1) 4 0 2 n n 2 2
n n 4 7 2 2 1 7 Mặt khác, u 2 2 n 2 2 2 n n 4 n n 4 n n 4
Vậy 0 u 2 u bị chặn. n n 3n ( 1 )n
Ví dụ 5. Cho dãy số u , với u n n n 1 4n (1) GV: T
a) Tính 6 số hạng dầu tiên của dãy, nêu nhận xét về tính đơn điệu của dãy số. R 3n 4 Ầ N
b) Tính u và u
. Chứng minh rằng 0 u . 2n 2n 1 n ĐÌN 4n 1 H CƯ Lời giải – 2 8 13 16 19 a) Ta có: u ;u 1;u ;u ;u ;u
, nhận xét thấy dãy số không tăng cũng không 0834 1 2 3 4 5 6 5 13 15 21 23 3321 giảm. 33 6n 1 u 2n 8n 1 b) Ta có 6n 2 u 2n 1 8n 5 3n 1 3n 1
Tổng quát, với n 2k(k 1, k Z ) u 0 u n 4n 1 n 4n 1 u 0 3n 1 n 3n 4
Vói n 2k 1(k 0, k Z ) u n n n u n 3 1 3 4 3 4 0 4n 1 n u 4n 1 n 4n 1 4n 1 4n 1 3n 4
Vậy với mọi n thì 0 u n 4n 1
Ví dụ 6. Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số ( u ) cho bởi: n
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 9
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com 2n 3 1 a) u b) u n n 2 n n(n 1) Lời giải 2n 5 2n 3 1 a) u u
0 nên dãy là dãy tăng. n 1 n n 3 n 2
(n 3)(n 2) 2n 3 2(n 2) 1 1 5 Hơn nữa u 2
1 u bị chặn trên bởi 2, chặn dưới bởi u . n n 2 n 2 n 2 n 1 3
Vậy dãy đã cho bị chặn. u n(n 1) n 1 b) n 1
1 dãy là dãy giảm và bị chặn trên bởi u . u
(n 1)(n 2) n 2 1 2 n
Ví dụ 7. Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số u cho bởi: n 2 n 2n n a) u b) u n 2 n n 1 n 2
n 2n n Lời giải 2 2 2 2
n 2n 1 2n 2 n 2n n 4n 3 n 2n a) u u 0 và n 1 n 2 2 2 2
n 2n 1 n 1 1 n n 1 n 3n 3 n n 1 2 2 n 2n
n n 1 n n u 1 1 n 2 2 2 n n 1 n n 1 n n 1 GV: T
Nên dãy đã cho là dãy tăng, bị chặn dưới bởi 1. R Ầ 2 2 N n
n( n 2n n)
n 2n n ĐÌN b) Ta có u 0 . Lại có n 2 2n 2
n 2n n H CƯ 2 u
n 4n 3 n 1 n 1 2 2 – 1
n 4n 3 n 2n 1 0834 2 un
n 2n n 3321 2 2 2 2 2 2
n 4n 3 n 2n 1 2 n 2n n 1
n 2n n 2n 1 n 2n (*) 33 1
Do (*) hiển nhiên đúng nên ta có dãy đã cho là dãy tăng, và bị chặn dưới bởi u . 1 3 1 n n Hơn nữa u
1 u bị chặn trên bởi 1. Vậy dãy đã cho bị chặn. n 2 n 2 n n n n n 3
Ví dụ 8. Chứng minh rằng dãy số u giảm và bị chặn. n n 1 Lời giải n 4 n 3
n 4n
1 n 2n 3 Xét: u u n 1 n n 2 n 1
n 2n 1 2 2
n 5n 4 n 5n 6 2 =
n 2n 1
n 2n 1
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 10
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Nhận thấy u
u 0 u
u , do đó, dãy số u giảm n 1 n n 1 n n 2
Viết lại u dưới dạng u 1 1 u
bị chặn dưới n n n n 1 1 1 1 1
Ví dụ 9. Chứng minh rằng dãy số u tăng và bị chặn trên. n 1.2 2.3 3.4 n(n 1) Lời giải
Viết lại u dưới dạng n 2 1 3 2 4 3 (n 1) n 1 1 1 1 1 1 1 1 u 1 1 n 1.2 2.3 3.4 n(n 1) 2 2 3 3 4 n n 1 n 1 1 1 1 1 Xét hiệu: u u 1 1 0 u tăng n 1 n n n 2 n 1 n 1 n 2 1
Nhận thấy u 1 1 u
bị chặn trên. n n n 1 2 n 1
Ví dụ 10. Chứng minh rằng dãy số u
là một dãy số bị chặn. n 2 2n 3 Lời giải 3 2 n 5 1 5
Viết lại u dưới dạng 2 u n n 2 2 2 2n 3 2 2n 3 2 GV: T 22n 3 R Ầ 1 N
n 0 u 0 ĐÌN 3 Với
n 1 u 2 u 2 H CƯ 1 n 1 2 n
2 2n 3 0 u – n 0834 2 3321 2 2 u (n 1) 1 2n 3 Xét n 1 2 2 u 2(n 1) 3 n 1 33 n u Nhận thấy: với u 0 thì n 1 1 2
n 2n 2 2 2n 3 2 n 1 2
2n 4n 1 n un 4 2 3 2 4 3 2 2 2 2
4n 3n 4n 6n 4n 6 4n 4n n 2n 4n 1 n 6n 6 n 4n 1 0 10n 5 n N Do đó, u
u u 1. Vậy 2 u 1 u bị chặn n n n 1 n 2 u 0 1
Ví dụ 11. Chứng minh rằng dãy số 1 u u 4 n1 2 n
a) Chúng minh rằng u 8 . n
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 11
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
a) Giả sử tồn tại u 8 u 2 u 4 8 n n 1 n Lời giải
Như vậy nếu tồn tại u 8 thì u 8, cũng suy ra u ,u
u ,u 8 Vô lí do u 0 8. Nên điều n n 1 n 2 n 3 2 1 1
giả sử là sai. Suy ra u 8 n 1 u 8 u b) Xét u u
u 4 u 4 n n 0 u u n 1 n n n n 1 2 2 2 n
Suy ra dãy tăng. Mà u 8 và u 0 u 0. Suy ra dãy bị chặn dưới. n 1 n
Vậy dãy tăng và bị chặn. u 1 1
Ví dụ 12. Chứng minh rằng dãy số u 2 n u n 1 u 1 n
a) Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy số 3
b) Chứng minh rằng dãy số bị chặn dưới bởi 1 và bị chặn trên bởi 2 Lời giải 3 7 17 2 2 2 1 2 3 7 17 41 a) 2 5 12 u 1;u ;u ;u ;u 1 2 3 4 5 1 1 2 3 5 7 12 17 29 1 1 1 GV: T 2 5 12 R 1 Ầ
b) u 1 0 u 0 suy ra u 1 1 1 n n 1 N u 1 ĐÌN n H CƯ v 1 2 1 –
Đặt u v 2 , ta có n n v 2 2 v (1 2) 1 1 1 2 n n 0834 v 2 v n 1 n1 v 2 1 v 1 2 v v n n n 1 2 1 n 3321 33 1 x 1 2 Đặt 1 x n vn x 1
2 (1 2)x n 1 n 2 (1 2) 1 2 y Đặt 1 y x n n 2 2
y (1 2)y n 1 n 2 n 1 (1 2) n (1 2)
Do y là cấp số nhân công bội 1 1 2 y (1 2) n n 2 2 n 1 1 2 (1 2) 2 2 Suy ra x v u 2 n n n 1 n n 1 2 2 1 2 (1 2) 1 2 (1 2)
Vậy ta có đpcm.
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 12
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com u 2
Ví dụ 13. Chứng minh rằng dãy số 1
tăng và bị chăn trên bởi 2. u u 2 n1 n Lời giải Ta có u 1 n
Giả sử tồn tại u 2 u 2 2 u 2 n n 1 n 1
Như vậy, nếu tồn tại u 2 thì suy ra u
2 , từ đó cũng suy ra được u ,u
u ,u 2 vô lý n n 1 n 2 n 3 2 1 Do u
2 2. Nên điều giả sử là sai. 1 Suy ra u 2 n 2 u 2 u 2 u u n n n 1 n Xét u
u u 2 u 0 n 1 n n n u 2 u u 2 u n n n n Suy ra u
u , nên đây là dãy tăng. n 1 n
Vậy dãy đã cho tăng và bị chặn trên bởi 2.
C . GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. Tìm u ,u và dự đoán công thức số hạng tổng quát u của dãy số: 2 3 n u 1 1 GV: T u n u n 1 . n 1 R 1 u n Ầ N ĐÌN Lời giải H CƯ 1 1 1 u ;u
. Dự đoán công thức số hạng tổng quát u của dãy số: u . 2 3 n n – 2 3 n 0834 3321 1 1 1
Bài 2. Cho dãy số u với u
. Tìm u ,u ,u và dự đoán công thức số hạng n n 1.2 2 3 n n 1 1 2 3 33 tổng quát u . n Lời giải 1 2 3 n u ;u ;u
. Dự đoán công thức số hạng tổng quát u : u . 1 2 3 2 3 4 n n n 1
Bài 3. Xét tính tăng, giảm của dãy số y với y n 1 n . n n Lời giải Ta có:
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 13
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
n 1 n n 1 n 1 y n 1 n n n 1 n n 1 n 1 y n 1
n 2 n 1 * n , y y n 1 n
Vậy dãy số y là dãy số giảm. n
Bài 4. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: n n 6n 4 a) a với 2 a sin cos ;
b) u với u . n n n 3 4 n n 2 Lời giải a) * n , ta có: n n 2 0 sin 1 1 cos 1 3 4 Suy ra 1 a 2 . n
Vậy dãy số a bị chặn. n 6n 4 16 b) u 6 n n 2 n 2 * u 6, n
. Vậy dãy số u bị chặn trên. n n * u 2 , n
. Vậy dãy số u bị chặn dưới. GV: T n n
Suy ra, dãy số u bị chặn n R Ầ N ĐÌN 2n 1
Bài 5. Cho dãy số u vởi u
.Chứng minh u là dãy số tăng và bị chặn. n n H CƯ n n 1 – Lời giải 0834 2n 1 3 3321 u 2 n n 1 n 1 33 3 3 Ta có * n ,u 2 u 2 n 1 n 2 n n 1
Vậy dãy số u là dãy số tăng. n 3 * u 2 1 , n
. Vậy dãy số u bị chặn dưới. n n n 1 3 * u 2 2, n
. Vậy dãy số u bị chặn trên. n n n 1
Suy ra dãy số u bị chặn. n na 2
Bài 6. Cho dãy số u với u
. Tìm giá trị của a để: n n n 1
a) u là dãy số tăng;
b) u là dãy số giảm. n n Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 14
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
a) u là dãy số tăng khi * x thì: u u n n 1 n n 1 a 2 na 2 2 a 2 a * * ; x a a ; x n 11 n 1 n 2 n 1 2 a 2 a * ; x
2 a 0 a 2 n 2 n 1
b) u là dãy số tăng khi * x thì: u u n n 1 n n 1 a 2 na 2 * ; x n 11 n 1 2 a 2 a 2 a 2 a * * a a ; x ; x
2 a 0 a 2 n 2 n 1 n 2 n 1
Bài 7. Trên lưới ô vuông, mỗi ô cạnh 1 đơn vị, người ta vẽ 8 hình vuông và tô màu khác nhau như Hình 3
. Tìm dãy số biểu diễn độ dài cạnh của 8 hình vuông đó từ nhỏ đến lớn. Có nhận xét gì về dãy số trên? GV: T R Ầ Lời giải N ĐÌN
u 1;u 1;u 2;u 3;u 5;u 8;u 13;u 21. 1 2 3 4 5 6 7 8 H CƯ u 1 – 1 0834
Ta có dãy số : u : u 1 n 2 3321 u u u n n 1 n2 33
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM n Câu 1:
Cho dãy số u , biết u
. Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào n n n 1 dưới đây? 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6
A. ; ; ; ; .
B. ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 C. ; ; ; ; . D. ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 Lời giải Chọn A 1 2 3 4 5
Ta có u ;u ;u ;u ;u . 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6
Nhận xét: (i) Dùng MTCT chức năng CALC để kiểm tra (tính) nhanh.
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 15
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com n Câu 2:
Cho dãy số u , biết u
. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào n n 3n 1 dưới đây? 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 2 3 A. ; ; . B. ; ; . C. ; ; . D. ; ; . 2 4 8 2 4 26 2 4 16 2 3 4 Lời giải Chọn B
Dùng MTCT chức năng CALC: ta có 1 2 2 1 3 3 u ;u ;u . 1 2 2 3 3 2 3 1 8 4 3 1 26 u 1 Câu 3:
Cho dãy số u , biết 1
với n 0 . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là lần lượt là n u u 3 n 1 n
những số nào dưới đây? A. 1 ;2;5. B. 1;4;7. C. 4;7;10. D. 1 ;3;7. Lời giải Chọn A
Ta có u 1; u u 3 2; u u 3 5. 1 2 1 3 2 2 2n 1 Câu 4:
Cho dãy số u , biết u
. Tìm số hạng u . n n 2 n 3 5 GV: T 1 17 7 71 A. u . B. u . C. u . D. u . R 5 5 5 5 Ầ 4 12 4 39 N ĐÌN Lời giải H CƯ Chọn C – 2 0834 2.5 1 49 7
Thế trực tiếp hoặc dùng chức năng CALC: u . 5 2 5 3 28 4 3321 n Câu 5: Cho dãy số u biết u
n Mệnh đề nào sau đây sai? n 1 .2 . n , 33 A. u 2. B. u 4. C. u 6. D. u 8. 1 2 3 4 Lời giải Chọn D
Thay trực tiếp hoặc dùng chức năng CALC: u 2.1 2 ; u 2
1 .2.2 4, u 3 1 2.3 6 ; u 4 1 2.4 8 . 1 2 3 4
Nhận xét: Dễ thấy u 0 khi n chẵn và ngược lại nên đáp án D sai. n 2n n Câu 6:
Cho dãy số u , biết u Tìm số hạng u . n 1 . . n n 3 8 8 A. u . B. u 2. C. u 2. D. u . 3 3 3 3 3 3 Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 16
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Chọn D 3 2 8
Thay trực tiếp hoặc dùng chức năng CALC: u 3 1 . . 3 3 3 u 2 1 Câu 7:
Cho dãy số u xác định bởi 1
. Tìm số hạng u . n u u 1 4 n 1 n 3 5 2 14 A. u .
B. u 1. C. u . D. u . 4 9 4 4 3 4 27 Lời giải Chọn A Ta có 1 1 1 2 1 1 2 5 u u 1 2 1 1; u u 1 ; u
u 1 1 . 2 1 3 2 4 3 3 3 3 3 3 3 3 9
Nhận xét: Có thể dùng chức năng “lặp” trong MTCT để tính nhanh. u 3 1 Câu 8:
Cho dãy u xác định bởi u
. Mệnh đề nào sau đây sai? n n u 2 n 1 2 5 15 31 63 A. u . B. u . C. u . D. u . 2 2 3 4 4 8 5 16 GV: T Lời giải R Ầ Chọn A N ĐÌN u 3 7 u 7 15 1 2 u
2 2 ; u 2 2 2 3 H CƯ Ta có 2 2 2 2 4 4 u 15 31 u 31 63 3 4 u 2 2 ; u 2 2 . – 4 5 2 8 8 2 16 16 0834
Nhận xét: Dùng chức năng “lặp” trong MTCT để tính nhanh. 3321 n 1 8 33 Câu 9:
Cho dãy số u , biết u . Số
là số hạng thứ mấy của dãy số? n n 2n 1 15 A. 8. B. 6. C. 5. D. 7. Lời giải Chọn D n 1 8
Ta cần tìm n sao cho u
15n 15 16n 8 n 7. n 2n 1 15
Nhận xét: Có thể dùng chức năng CALC để kiểm tra nhanh. 2n 5 7
Câu 10: Cho dãy số u , biết u . Số
là số hạng thứ mấy của dãy số? n n 5n 4 12 A. 8. B. 6. C. 9. D. 10. Lời giải Chọn A
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 17
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
Dùng chức năng “lặp” để kiểm tra đáp án. Hoặc giải cụ thể như sau: 2n 5 7 u
24n 60 35n28 11n 88 n 8. n 5n 4 12
Câu 11: Cho dãy số u , biết u 2 .
n Tìm số hạng u . n n n 1 A. u 2n.2. B. u 2n 1. C. u 2 n 1 . D. u 2n 2. n 1 n 1 n 1 n 1 Lời giải Chọn A
Thay n bằng n 1 trong công thức u ta được: n 1 u 2 2.2n . n n 1
Câu 12: Cho dãy số u , biết u 3 .
n Tìm số hạng u . n n 2n 1 A. 2 u 3 .3n 1. B. n n 1 u 3 .3 . C. 2 u 3 n 1. D. 2n 1 u 3 . 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 Lời giải Chọn B Ta có n n2n 1 2n 1 n n 1 u 3 u 3 3 .3 . n 2n 1
Câu 13: Cho dãy số u , với n 1 u 5 . Tìm số hạng u . n n n 1 A. n 1 u 5 . B. u 5 . n C. n 1 u 5.5 . D. n 1 u 5.5 . n 1 n 1 n 1 n 1 Lời giải GV: T Chọn B n 1 nn 1 n 1 1 n R u 5 u 5 5 . Ầ n n 1 N ĐÌN 2n3 n 1 H CƯ
Câu 14: Cho dãy số u , với u . Tìm số hạng u . n n n 1 n 1 – 2n 1 3 2n 1 3 n 1 n 1 0834 A. u . B. u . n 1 n 1 n 1 n 1 3321 2n3 2n5 n n 33 C. u . D. u . n 1 n 1 n 2 n 2 Lời giải Chọn D n n n n 1 n 2 1 3 2 3 2 5 1 1 n n n 1 u u . n n 1 n 1 n 1 1 n 2 1 2 3 4
Câu 15: Dãy số có các số hạng cho bởi: 0; ; ; ; ;. có số hạng tổng quát là công thức nào dưới 2 3 4 5 đây? n 1 n n 1 2 n n A. u . B. u . C. u . D. u . n n n n 1 n n n n 1 Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 18
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Chọn C
Vì u 0 nên loại các đáp án A và B 1 1
Ta kiểm tra u ở các đáp án C, D: 2 2 n 1 1 Xét đáp án C: u u n 2 n 2 2 n n 2 1 Xét đáp án D: u u loại n 2 n 1 3 2 11 1 2 1 2 31 n 1
Nhận xét: u 0 ; u ; u ,... nên đoán u . 1 2 3 1 2 2 3 3 n n
Câu 16: Dãy số có các số hạnh cho bởi: 1 ;1; 1 ;1; 1
;. có số hạng tổng quát là công thức nào dưới đây? n n A. u 1. B. u 1. C. u D. u n 1 1 . n 1 . n n Lời giải Chọn C
Vì dãy số đa cho không phải là dãy hằng nên loại các đáp án A và B
Ta kiểm tra u 1 ở các đáp án C, D: 1
Xét đáp án C: u u n n 1 1 1 Xét đáp án D: u u loại D n n 1 1 2 1 1 1 1 GV: T
Câu 17: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 2
;0; 2; 4;6;. Số hạng tổng quát của dãy số này là công R thức nào dưới đây? Ầ N ĐÌN A. u 2 . n
B. u n 2.
C. u 2 n
D. u 2n 4. n 1 . n n n H CƯ Lời giải – Chọn D 0834
Kiểm tra u 2 ta loại các đáp án B, C 1 3321
Ta kiểm tra u 0 ở các đáp án A, D: 2 33
Xét đáp án A: u 2n u 4 0 loại A n 2
Xét đáp án D: u 2n 4 2.2 4 0 n
Nhận xét: Dãy 2; 4;6;... có công thức là *
2n n nên dãy 2;0;2;4;6; . có được bằng cách
“tịnh tiến” 2n sang trái 4 đớn vị, tức là 2n 4. u 2
Câu 18: Cho dãy số u , được xác định 1
. Số hạng tổng quát u của dãy số là số hạng nào n u 2u n n 1 n dưới đây? A. n 1 u n . B. u 2 . n C. n 1 u 2 . D. u 2. n n n n Lời giải Chọn B
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 19
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com u 2 1 u 2 Từ công thức 1 u
2u 2.2 4. 2 1 u 2u n 1 n u
2u 2.4 8 3 2 Xét đáp án A với 1 1 0 n 1
u 1 1 1 A loại. 1
Xét đáp án B, ta thấy đều thỏa mãn. Xét đáp án C với 1 1 2 n 1 u 2 2 4 C loại. 1
Dễ thấy đáp án D không thỏa mãn. 1 u
Câu 19: Cho dãy số u , được xác định 1 2
. Số hạng tổng quát u của dãy số là số hạng nào n n u u 2 n 1 n dưới đây? 1 1 1 1
A. u 2 n
B. u 2 n C. u 2 . n D. u 2 . n n 1 . n 1 . 2 2 n 2 n 2 Lời giải Chọn B 1 u 1 2 1 u 1 3 Từ công thức 1 2 u
u 2 2 . 2 1 2 2 u u 2 n 1 n 3 7 u
u 2 2 3 2 2 2 GV: T 1 5
Xét đáp án A với n 2
u 2 21 A loại. 2 R Ầ 2 2 N ĐÌN
Xét đáp án B, ta thấy đều thỏa mãn. H CƯ 1 1 7
Xét đáp án C với n 2
u 2.2 4 C loại. 2 – 2 2 2 0834 1 5
Xét đáp án D với n 1
u 2.1 D loại. 1 3321 2 2 33 u 2
Câu 20: Cho dãy số u , được xác định 1
. Số hạng tổng quát u của dãy số là số hạng n u u 2n 1 n n 1 n nào dưới đây?
A. u n 2 2 1 . B. 2 u 2 n .
C. u n
D. u n n 2 2 1 . n 2 2 1 . n n Lời giải Chọn A
Kiểm tra u 2 ta loại các đáp án B và C 1
Ta có u u 2.11 3. 2 1
Xét đáp án A: u 2 n 2 1 u 3 n 2 Hoặc kiểm tra: u
u n n n n 2 2 1 2 1. n 1
Xét đáp án D: u 2n 2 1 u 1 loại D n 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 20
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Hoặc kiểm tra: u u n
n n n n 2 2 1 2 1 2 1. n 1 u 1
Câu 21: Cho dãy số
u , được xác định 1
. Số hạng tổng quát u của dãy số là số hạng nào n 2 u u n n n 1 n dưới đây?
n(n 1)(2n 1)
n(n 1)(2n 2) A. u 1 . B. u 1 . n 6 n 6
n(n 1)(2n 1)
n(n 1)(2n 2) C. u 1 . D. u 1 . n 6 n 6 Lời giải Chọn C
Kiểm tra u 1 ta loại đáp án A 1 Ta có 2
u u 1 2. 2 1
n(n 1)(2n 2) 2.1.6
Xét đáp án B: u 1 u 1 3 2 B loại. n 2 6 6
n(n 1)(2n 1 ) 2.1.3
Xét đáp án C: u u 1 u 1 2 n n 2 6 6
n(n 1)(2n 2) 2.3.2
Xét đáp án D: u 1 . u 1 3 2 D loại. n 2 6 6 u 2 GV: T 1
Câu 22: Cho dãy số u , được xác định
1 . Số hạng tổng quát u của dãy số là số hạng nào n u 2 n n 1 R u Ầ n N ĐÌN dưới đây? H CƯ n 1 n 1 n 1 n A. u . B. u . C. u . D. u . n n n n n n n n 1 – 0834 Lời giải 3321 Chọn C 33
Kiểm tra u 2 ta loại các đáp án A, B 1 1 3 Ta có u 2 . 2 u 2 1 n 1 3
Xét đáp án C: u u n 2 n 2 n 2
Xét đáp án D : u u D loại. n 2 n 1 3 u 1
Câu 23: Cho dãy số 1
u , được xác định
. Số hạng tổng quát u của dãy số là số hạng n n u u n n 2n 1 1 nào dưới đây? A. n u 1 . n B. u 1 . n C. u D. u . n n 2 1 1 . n n n Lời giải Chọn D
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 21
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
Kiểm tra u 1 ta loại đáp án A, B và C 1
Câu 24: Cho dãy số u có số hạng tổng quát là u 23n với *
n . Công thức truy hồi của dãy số đó n n là: u 6 u 6 u 3 u 3 A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1 . u
6u , n 1 u
3u , n 1 u
3u , n 1 u
6u , n 1 n n 1 n n 1 n n 1 n n 1 Lời giải Chọn B Vì 1
u 2.3 6 nên ta loại các đáp án C và D 1 Ta có 2 u 2.3 18. 2 u 6 Xét đáp án A: 1
u 6u 6.6 36 A loại. 2 1 u
6u , n 1 n n 1 u 6 Xét đáp án B: 1
u 3u 3.6 18 2 1 u
3u , n 1 n n 1 a 3 1
Câu 25: Cho dãy số a , được xác định 1
. Mệnh đề nào sau đây sai? n a a , n 1 n 1 2 n 93 3
A. a a a a a . B. a . 1 2 3 4 5 16 10 512 9 3 C. a a . D. a . n 1 n 2n n 2n GV: T Lời giải R Ầ N Chọn D ĐÌN u u u u H CƯ u u 3 Ta có 1 2 1 3 1 1 a 3; a ; a ; a ,... u nên suy ra đáp án D sai. 1 2 3 2 4 3 n n 1 n 1 2 2 2 2 2 2 2 – 0834 Xét đáp án A: 5 3321 1 1 1 1 1 1 2 93 33 a a a a a 3 1 3. A đúng. 1 2 3 4 5 2 3 4 2 2 2 2 1 16 1 2 3 3 Xét đáp án B: a B đúng. 10 9 2 512 Xét đáp án C 3 3 3 3.2 9 a a C đúng. n 1 n n n 1 2 2 2n 2n
Câu 26: Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng? 1 1 1 1
A. 1; 1; 1; 1; 1; 1; B. 1; ; ; ; ; 2 4 8 16 1 1 1 1
C. 1; 3; 5; 7; 9; D. 1; ; ; ; ; 2 4 8 16 Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 22
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Chọn C
Xét đáp án A: 1; 1; 1; 1; 1; 1; đây là dãy hằng nên không tăng không giảm. 1 1 1 1
Xét đáp án B: 1; ; ; ; ;
u u u loại B 1 2 3 2 4 8 16 Xét đáp án C: * 1; 3; 5; 7; 9;
u u , n n n 1 1 1 1 1 Xét đáp án D: 1; ; ; ; ;
u u u u loại D 1 2 3 2 4 8 16 n
Câu 27: Trong các dãy số u
cho bởi số hạng tổng quát u sau, dãy số nào là dãy số tăng? n n 1 1 n 5 2n 1 A. u . B. u . C. u . D. u . n 2n n n n 3n 1 n n 1 Lời giải Chọn D 1 1
Vì 2n; n là các dãy dương và tăng nên ;
là các dãy giảm, do đó loại A,B 2n n 3 u 1 n 5 Xét đáp án C: 2 u
u u loại C n 1 2 3n 1 7 u 2 6 2n 1 3 1 1 Xét đáp án D: u 2 u u 3 0 n n 1 n 1 n 1 n
n 1 n 2 GV: T
Câu 28: Trong các dãy số u
cho bởi số hạng tổng quát u sau, dãy số nào là dãy số tăng? n n R Ầ 2 3 n N A. u . B. u .
C. u 2n. D. u n 2 . ĐÌN n 3n n n n H CƯ Lời giải – Chọn C 0834 Xét đáp án C: n n 1 u 2 u
u 2 2n 2n 0 3321 n n 1 n 1 1 33
Vì 2n; n là các dãy dương và tăng nên ;
là các dãy giảm, do đó loại các đáp án A và 2n n B n u 4 Xét đáp án D: u
u u loại D n 2 2 2 3 u 8 3
Câu 29: Trong các dãy số u
cho bởi số hạng tổng quát u sau, dãy số nào là dãy số giảm? n n 1 3n 1 A. u . B. u . C. 2 u n .
D. u n 2. n 2n n n 1 n n Lời giải Chọn A 1
Vì 2n là dãy dương và tăng nên là dãy giảm 2n
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 23
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com u 1 1 3n 1 Xét B: u
u u loại B n 5 1 2 n 1 u 2 3 Hoặc 3n 2 3n 1 4 u u
0 nên u là dãy tăng. n 1 n n 2 n 1 n 1 n 2 n
Xét C: u n u u n
n n loại C n 2 2 2 1 2 1 0 n n 1 1
Xét D: u n 2 u
u n 3 n 2 0 loại D n n 1 n
n 3 n 2
Câu 30: Trong các dãy số u
cho bởi số hạng tổng quát u sau, dãy số nào là dãy số giảm? n n 2 n 1 A. n u sin . n B. u .
C. u n n 1.
D. u 1 .2n n 1 . n n n n Lời giải Chọn C 1 1
A. u sin n u
u 2 cosn
sin có thể dương hoặc âm phụ thuộc n nên đáp án A sai. n n 1 n 2 2
Hoặc dễ thấy sin n có dấu thay đổi trên *
nên dãy sin n không tăng, không giảm. 2 2 n 1 1 1 1 n n 1 B. u n u u 1
0 nên dãy đã cho tăng nên B sai. n n 1 n n n n 1 n nn 1 1
C. u n n 1
, dãy n n 1 0 là dãy tăng nên suy ra u giảm. n n GV: T n n 1 n n R D. u
là dãy thay dấu nên không tăng không giảm. n 1 2 1 Ầ N ĐÌN Cách trắc nghiệm. H CƯ
A. u sin n có dấu thay đổi trên *
nên dãy này không tăng không giảm. n – n 1 u 2 2 1 2 0834 n 1 n 1 B. u , ta có
u u u không giảm. n 5 n 1 2 n 2 n u n 2 3321 2 n
1 u 1 33
C. u n n 1 , ta có 1
u u nên dự đoán dãy này giảm. n 1 2 n
2 u 2 1 2
D. u n
1 2n là dãy thay dấu nên không tăng không giảm. n 1 Cách CASIO. Các dãy n sin ; 1 2n n
1 có dấu thay đổi trên *
nên các dãy này không tăng không giảm
nên loại các đáp án A, D
Còn lại các đáp án B, C ta chỉ cần kiểm tra một đáp án bằng chức năng TABLE. 2 X 1
Chẳng hạn kiểm tra đáp án B, ta vào chức năng TABLE nhập F X với thiết lập X
Start 1, End 10, Step 1.
Nếu thấy cột F X các giá trị tăng thì loại B và chọn C, nếu ngược lại nếu thấy cột F X các
giá trị giảm dần thị chọn B và loại C
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 24
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
Câu 31: Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 A. Dãy số n u 2 là dãy tăng.
B. Dãy số u
1 2n là dãy giảm. n 1 n n n 1 1
C. Dãu số u là dãy giảm.
D. Dãy số u 2n cos là dãy tăng. n n 1 n n Lời giải Chọn D 1 1 1
Xét đáp án A: u 2 u u 0 loại A n n 1 n n n 1 n
Xét đáp án B: u n
1 2n là dãy có dấu thay đổi nên không giảm nên loại B n 1 n 1 2 1 1 Xét đáp án C: u 1 u u 2 0 loại C n n 1 n 1 n 1 n
n 1 n 2 1 1 1
Xét đáp án D: u 2n cos u u 2cos cos 0 nên n n 1 n n n 1 n 2
Câu 32: Mệnh đề nào sau đây sai? 1 n
A. Dãy số u là dãy giảm. B. Dãy số 2
u 2n 5 là dãy tăng. n n n n 1
C. Dãy số u 1 là dãy giảm. D. Dãy số 2
u n sin n là dãy tăng. n n n Lời giải GV: T Chọn C R Ầ 1 n 1 1 1 N Xét A: u n u u
n n 1 0 nên dãy u là dãy giảm n n 1 n n ĐÌN n n n 1 n H CƯ nên C đúng. Xét đáp án B: 2 u 2n 5 là dãy tăng vì 2
n là dãy tăng nên B đúng. Hoặc – n 0834 u
u 22n nên u là dãy tăng. 1 0 n 1 n n 3321 n n n 1 n 1 u n n n 2 2 1 33 Xét đáp án C: u 1 0 . 1
u là dãy tăng nên n n n u n 1 n n n Xét đáp án D: 2
u n sin n u u n n nên D đúng. n 2 1 sin 1 2 sin 0 n n 1 3n 1
Câu 33: Cho dãy số u , biết u
. Dãy số u bị chặn trên bởi số nào dưới đây? n n n 3n 1 1 1 A. . B. 1. C. . D. 0. 3 2 Lời giải Chọn B 3n 1 2 5 1 1 Ta có u 1
1. Mặt khác: u 0 nên suy ra dãy u bị chặn trên bởi n 3n 1 3n 1 2 7 2 2 n số 1.
Câu 34: Trong các dãy số u
cho bởi số hạng tổng quát u sau, dãy số nào bị chặn trên? n n
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 25
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com 1 A. 2 u n .
B. u 2n. C. u .
D. u n 1. n n n n n Lời giải Chọn C Các dãy số 2; 2n n
; n 1 là các dãy tăng đến vô hạn khi n tăng lên vô hạn nên chúng không bị chặn
trên (có thể dùng chức năng TABLE của MTCT để kiểm tra). 1
Nhận xét: u 1 với mọi *
n nên dãy u bị chặn trên bởi 1. n n n
Câu 35: Cho dãy số u , biết u cos n sin .
n Dãy số u
bị chặn trên bởi số nào dưới đây? n n n A. 0. B. 1. C. 2.
D. Không bị chặn trên. Lời giải Chọn C Ta có MTCT u
u sin1 cos11 0 nên loại các đáp án A và B (dùng TABLE của MTCT để n 1
kiểm tra, chỉ cần 1 số hạn nào đó của dãy số lớn hơn thì dãy số đó không thể bị chặn trên bởi . )
Ta có u cos n sin n 2 sinn 2 n 4
Câu 36: Cho dãy số u , biết u sin n cos .
n Dãy số u
bị chặn dưới bởi số nào dưới đây? n n n A. 0. B. 1. C. 2. D. Không bị chặn GV: T dưới. R Ầ Lời giải N ĐÌN Chọn C H CƯ MTCT u
u sin 5cos5 1 0
loại A và B (dùng TABLE của MTCT để kiểm tra, chỉ n 5 –
cần có một số hạng nào đó của dãy số nhỏ hơn thì dãy số đó không thể bị chặn dưới với số 0834 . ) 3321
Ta có u 2 sinn 2 n 33 4
Câu 37: Cho dãy số u , biết u 3 cos n sin .
n Dãy số u
bị chặn dưới và chặn trên lần lượt bởi các n n n
số m và M nào dưới đây? 1
A. m 2; M 2.
B. m ; M 3 1. 2 1 1
C. m 3 1; M 3 1.
D. m ; M . 2 2 Lời giải Chọn A MTCT TABLE 1 u
u 3 1
loại C và D n 1 2 MTCT TABLE 1 u u loại B n 4 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 26
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Vậy 3 1
Nhận xét: u 2
sin n cos n 2sinn 2 u 2. n 2 2 6 n
Câu 38: Cho dãy số n u , biết u
Mệnh đề nào sau đây đúng? n 2n 5 1 .5 . n
A. Dãy số u bị chặn trên và không bị chặn dưới. n
B. Dãy số u bị chặn dưới và không bị chặn trên. n
C. Dãy số u bị chặn. n
D. Dãy số u không bị chặn. n Lời giải Chọn D Nếu n chẵn thì 2n 1 u 5
0 tăng lên vô hạn (dương vô cùng) khi n tăng lên vô hạn nên dãy u n n không bị chặn trên. Nếu n lẻ thì 2n 1 u 5
0 giảm xuống vô hạn (âm vô cùng) khi n tăng lên vô hạn nên dãy u n n không bị chặn dưới.
Vậy dãy số đã cho không bị chặn. 1 1 1
Câu 39: Cho dãy số u , với u ... , n 1; 2; 3 .
Mệnh đề nào sau đây đúng? n n 1.4 2.5 nn 3
A. Dãy số u bị chặn trên và không bị chặn dưới. n GV: T
B. Dãy số u bị chặn dưới và không bị chặn trên. n R
C. Dãy số u bị chặn. n Ầ N ĐÌN
D. Dãy số u không bị chặn. n H CƯ Lời giải – Chọn C 0834 1 1 1 1 * 3321 Ta có u 0
u bị chặn dưới bởi 0. Mặt khác
k nên suy n n k k 3 k k 1 k k 1 33 ra: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 u
1 1 1 n 1.2 2.3 3.4 nn 1 2 2 3 2 4 n n 1 n 1
nên dãy u bị chặn trên, do đó dãy u bị chặn. n n 1 1 1
Câu 40: Cho dãy số u , với u ... , n 2; 3; 4; .
Mệnh đề nào sau đây đúng? n n 2 2 2 2 3 n
A. Dãy số u bị chặn trên và không bị chặn dưới. n
B. Dãy số u bị chặn dưới và không bị chặn trên. n
C. Dãy số u bị chặn. n
D. Dãy số u không bị chặn. n Lời giải Chọn C
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 27
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com 1 1 1 1 Ta có u 0
u bị chặn dưới bởi 0. Mặt khác *
k , k 2 nên suy 2 n n k k 1 k k 1 k ra: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 u
1 1 1 n 1.2 2.3 3.4 nn 1 2 2 3 2 4 n n 1 n 1
nên dãy u bị chặn trên, do đó dãy u bị chặn. n n
Câu 41: Trong các dãy số u sau đây, dãy số nào là dãy số bị chặn? n 1 n A. 2 u n 1.
B. u n .
C. u 2n 1. D. u . n n n n n n 1 Lời giải Chọn D Các dãy số 2; ; 2n n n
dương và tăng lên vô hạn (dương vô cùng) khi n tăng lên vô hạn, nên các 1 dãy 2 1; ; 2n n n
1 cũng tăng lên vô hạn (dương vô cùng), suy ra các dãy này không bị chặn n
trên, do đó chúng không bị chặn. n 1
Nhận xét: 0 u 1 1. n n 1 n 1
Câu 42: Trong các dãy số u cho bởi số hạng tổng quát u sau, dãy số nào bị chặn? n n 1 A. u .
B. u 3n.
C. u n 1. D. 2 u n . n 2n n n n GV: T Lời giải R Ầ N Chọn A ĐÌN H CƯ Các dãy số 2; ; 3n n n
dương và tăng lên vô hạn (dương vô cùng) khi n tăng lên vô hạn nên các dãy 2; 1; 3n n n
cũng tăng lên vô hạn (dương vô cùng), suy ra các dãy này không bị chặn trên, – 0834
do đó chúng không bị chặn. 3321 1 1
Nhận xét: 0 u . n 2n 2 33 u 6
Câu 43: Cho dãy số
u , xác định bởi 1
. Mệnh đề nào sau đây đúng? n * u
6 u , n n 1 n 5
A. 6 u .
B. 6 u 3.
C. 6 u 2.
D. 6 u 2 3. n 2 n n n Lời giải Chọn D 5
Ta có u 12 3 2 nên loại các đáp án A, B, C 2 2 Nhận xét: Ta có u 6 u 6 u 6 1 1 1 u 0 u 6. n n u 6 u u 0 u u n n 6 6 n 1 1 n 1 n
Ta chứng minh quy nạp u 2 3. n
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 28
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
u 2 3;u 2 3 u 6 u
6 2 3 6 6 2 3. 1 k k 1 k 1
Câu 44: Cho dãy số u , với u sin
. Khẳng định nào sau đây là đúng? n n n 1
A. Số hạng thứ n 1 của dãy là u sin . n 1 n 1
B. Dãy số u là dãy số bị chặn. n
C. Dãy số u là một dãy số tăng. n
D. Dãy số u không tăng không giảm. n Lời giải Chọn B u sin u sin sin A sai. n n 1 n 1 n 1 1 n 2 u sin 1 u 1 B đúng. n n 1 n u u sin sin 0 0 C, D sai. n 1 n n 2 n 1 n 2 n 1 2
Câu 45: Cho dãy số n
u , với u
Mệnh đề nào sau đây đúng? n 1 . n
A. Dãy số u là dãy số tăng.
B. Dãy số u là dãy số giảm. n n
C. Dãy số u là dãy số bị chặn.
D. Dãy số u là dãy số không bị chặn. n n GV: T Lời giải R Ầ N Chọn C ĐÌN u
là dãy thay dấu nên không tăng, không giảm A, B sai. n n 1 H CƯ n –
Tập giá trị của dãy u là 1; 1 1 u 1 C đúng. n 1 n 0834 3321 33
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 29
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
BÀI 2: CẤP SỐ CỘNG
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Cấp số cộng
Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hoặc hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều
bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số d không đổi, nghĩa là: u
u d n n * . n 1
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Nhận xét: Nếu u là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp n
số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là: u u k 1 k 1 u k . k 2 2
2. Số hạng tổng quát của cấp số cộng Định lí 1
Nếu một cấp số cộng u có số hạng đầu u và công sai d thì số hạng tổng quát u của nó được xác n 1 n định bởi công thức:
u u n 1 d, n 2. n 1
3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng GV: T Định lí 2 R
n u u 1 n Ầ N
Giả sử u là một cấp số cộng có công sai d . Đặt S u u u , khi đó S n n 1 2 n n ĐÌN 2 H CƯ
n 2u n 1 d 1 hay S . n 2 – 0834
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 3321
Dạng 1. Nhận dạng 1 dãy số là cấp số cộng 33 1. Phương pháp
Sử dụng định nghĩa u là một cấp số cộng khi và chỉ khi u
u d, với d là một hằng số. n n 1 n
Để chứng minh dãy số u là một cấp số cộng, ta xét d u u n n 1 n
Nếu d là hằng số thì u là một cấp số cộng với công sai d. n
Nếu d phụ thuộc vào n thì u không là cấp số cộng. n
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1. Chứng minh các dãy số sau là cấp số cộng.
a) Dãy số u với u 2020n 2021. n n
b) Dãy số u với u 2 n 5. n n Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 30
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
a) Dãy số u với u 2020n 2021. n n Ta có u
u 2020 n 1 2021 2020n 2021 2020. n 1 n
Vậy u là một cấp số cộng với công sai d 2020. n
b) Dãy số u với u 2 n 5. n n Ta có u
u 2 n 1 5 2n 5 2. n 1 n
Vậy u là một cấp số cộng với công sai d 2 . n
Ví dụ 2. Chứng minh các dãy số sau không phải là cấp số cộng.
a) Dãy số u với 2
u n n 1. n n n
b) Dãy số u với u n n 1 3 . n Lời giải
a) Dãy số u với 2
u n n 1. n n 2 Ta có u u n n
n n
n phụ thuộc vào n. n 1 1 1 2 1 2 2 n 1
Vậy u không là cấp số cộng. n n
b) Dãy số u với u n n 1 3 . n n 1 n n n n Ta có u u 1 3 n 1 1 3n 1 3 1
3 2 1 phụ thuộc vào n. n 1 n GV: T
Vậy u không là cấp số cộng. n R Ầ N
Dạng 2. Xác định số hạng , công sai và số hạng tổng quát của cấp số cộng ĐÌN 1. Phương pháp H CƯ
Xác định một cấp số cộng là xác định số hạng đầu u và công sai d 1 – 0834
Từ những giải thiết ta thường lập hệ phương trình theo ẩn số u và d rồi giải hệ đó. 1 3321
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 33
Ví dụ 1: Cho cấp số cộng u có u 15 và d 2 . Tìm u . n 3 n Lời giải 15
u u 2d u 19 Ta có 3 1 1
u u n 1 d 2 n 21. n 1 d 2 d 2
Ví dụ 2: Một cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu là 5, số hạng thứ tám là 40. Khi đó công sai d của
cấp số cộng đó là bao nhiêu? Lời giải u 5 Ta có: 1 d 5
40 u u 7d 8 1
Ví dụ 3: Cho cấp số cộng u
có u 123 và u u
84 . Tìm số hạng u . n 1 3 15 17 Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 31
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com u u 84
Ta có công sai của cấp số cộng là 3 15 d 7 . 3 15 12 Suy ra u
u (17 1)d 11 . 17 1
Ví dụ 4: Cho cấp số cộng u
có u 123 và u u
84 . Tìm số hạng u . n 1 3 15 17
Cho cấp số cộng u có u 2u 0 và S 14 . Tính số hạng đầu u và công sai d của cấp số cộng. n 1 5 4 1 Lời giải
Ta có u 2u 0 u 2(u 4d ) 0 3u 8d 0 . 1 5 1 1 1 4(2u 3d ) 1 S 14
14 2u 3d 7 4 1 2 3
u 8d 0 u 8 Ta có hệ phương trình 1 1 . 2u 3d 7 d 3 1
Dạng 3. Tính tổng các số hạng trong một cấp số cộng 1. Phương pháp n u u n 2u n 1 d 1 n 1
Tính tổng n số hạng đầu tiên nhờ công thức: S n 2 2
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Cho cấp số cộng u có u 4 và d 5. Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng. n 1 Lời giải GV: T n n 1 100.99 S nu d S 100u d 24350 n 1 100 1 2 2 R Ầ N
Ví dụ 2: Xét các số nguyên dương chia hết cho 3. Tính tổng số 50 số nguyên dương đầu tiên ĐÌN Lời giải H CƯ
Số nguyên dương chia hết cho 3 có dạng *
3n n nên chúng lập thành cấp số cộng – 0834 u 3 1 50 u 3n S u u 3825 n 50 1 50 3321 u 150 2 50 33 n n n 1 Chú ý: S u u nu d n . 1 n 1 2 2
Ví dụ 3: Tính tổng S 1 2 3 4 5 ... 2n
1 2n với n 1 và n . Lời giải Với mọi *
n thì 2n 1 2n 1.
Ta có S 1 2 3 4 5 6 2n
1 2n . Do đó ta xem S là tổng của n số
hạng, mà mỗi số hạng đều bằng 1 nên S . n
Nhận xét: Ta có 1;3;5;; 2n 1 và 2; 4;6;; 2n là các cấp số cộng có n số hạng nên
S 1 3 5 2n
1 2 4 6 2n n n
n n 2 n 2 1 2 1 2 2
n n . n 2 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 32
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
Ví dụ 4: Cho cấp số cộng u thỏa mãn u u u u 100. Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số n 2 8 9 15 cộng đã cho. Lời giải
Ta có u u u u 100 4u 30d 100 2u 15d 50. 2 8 9 15 1 1 16 Khi đó S u u
8 2u 15d 8.50 400 16 1 16 1 2
Ví dụ 5: Cho cấp số cộng u có công sai d 3 và 2 2 2
u u u đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng S n 2 3 4 100
của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. Lời giải
Đặt a u thì 1
u u u a d 2 a 2d 2 a 3d 2 3a 36a 126 3a 62 2 2 2 2
18 18 với mọi a . 2 3 4
Dấu bằng xảy ra khi a 6 0 a 6 .Suy ra u 6 . 1
100.2u 100 1 d 1 Ta có S 1 4250 . 100 2
Ví dụ 5. Biết u u u u 224. Tính S . 4 8 12 16 19 Hướng dẫn giải
Ta có u u u u 224 4 8 12 16
u 3d u 7d u 11d u 15d 224 4u 36d 224 u 9d 56. 1 1 1 1 1 1 GV: T 19 Ta có S
2u 18d 19 u 9d 19.56 1064. 19 1 1 2 R Ầ N
Dạng 4: Giải phương trình ( tìm x trong cấp số cộng) ĐÌN 1. Phương pháp H CƯ Ba số a, ,
b c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi a c 2 . b – 0834
Sử dụng các tính chất của cấp số cộng
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 3321
Ví dụ 1: Cho các số 4
;1;6; x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm . x 33 Lời giải. Vì các số 4
;1;6; x theo thứ tự u ,u ,u , u lập thành cấp số cộng nên 1 2 3 4
u u u u
x 6 6 1 x 11 4 3 3 2
Ví dụ 2: Nếu các số 5 ; m 7 2 ;
m 17 m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m bằng bao nhiêu? Lời giải. Ba số 5 ; m 7 2 ;
m 17 m theo thứ tự u ,u ,u lập thành cấp số cộng nên 1 2 3
u u 2u 5 m 17 m 2 7 2m m 4 1 3 2
Nhận xét: Ta có thể dùng tính chất u u u u . 3 2 2 1
Ví dụ 3: Với giá trị nào của x và y thì các số 7 ; ;
x 11; y theo thứ tự đó lập thành một cấp số công? Lời giải.
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 33
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Bốn số 7 ; ;
x 11; y theo thứ tự u ,u ,u , u lập thành cấp số cộng nên 1 2 3 4 u
u u u
y 11 11 x
x y 22 x 2 4 3 3 2
u u u u
y 11 x 7
x y 18 y 20 4 3 2 1
Dạng 5. Chứng minh một hệ thức trong cấp số cộng lập thành cấp số cộng, bài toán có sử dụng yếu tố cấp số cộng 1. Phương pháp
Nếu u là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối cùng đối với cấp số n u u
cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là k 1 k 1 u . k 2
Hệ quả: Ba số a, ,
b c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi a c 2 . b
Sử dụng các tính chất của cấp số cộng
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Chứng minh rằng ba số dương a, ,
b c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi các số 1 1 1 , ,
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. b c c a a b Lời giải.
Ta sẽ chứng minh bằng phép biến đổi tương đương. 1 1 1 Ba số , ,
lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi b c c a a b GV: T 1 1 1 1 b a c b c a b c a b c a
( c a )( b c )
( a b )( c a ) R Ầ N ĐÌN
( b a )( b a ) ( c b )( c b ) H CƯ
b a c b a, ,
b c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
Ví dụ 2. Cho a, ,
b c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, chứng minh rằng – 0834 a) 2 2
a 2bc c 2a . b
b) a bc b c2 2 8 2 . 3321 Hướng dẫn giải 33 Vì a, ,
b c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng nên a c 2b a 2b . c 2 a) Ta có 2
a ab b c b c 2 2 2 2 2 2 2
.b 4b 4bc c 4b 2bc 2 = c 2b . c Vậy 2 2 2 2
a 2ab c 2bc a 2bc c 2a . b
b) Ta có a bc b c2 2 2 2 8 2
8bc 4b 4bc c 8bc
b bc c b c2 2 2 = 4 4 2 .
Ví dụ 3. Một tam giác vuông có chu vi bằng 3a và ba cạnh lập thành một cấp số cộng. Tính độ dài ba
cạnh của tam giác theo a.
Hướng dẫn giải
Gọi x, y, z theo thứ tự là độ dài ba cạnh của tam giác x y z.
Chu vi của tam giác là x y z 3 . a 1
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 34
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
Theo tính chất của cấp số cộng, ta có x z 2 y. 2
Tam giác đã cho vuông nên 2 2 2
x y z . 3
Thay (2) và (1), ta được 3y 3a y . a
Thay y a vào (2), ta được x z 2a x 2a z.
Thay x 2a z và y a vào (3), ta được 5a 3a 2a z2 2 2 2
a z 5a 4az 0 z x . 4 4 3a 5a
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác là , a, . 4 4
Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: 3 2
x mx m m 2 3 2
4 x 9m m 0 . Lời giải
- Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt x , x , x lập thành một cấp số cộng. 1 2 3
Theo định lý Vi-ét đối với phương trình bậc ba, ta có x x x 3m . Vì x , x , x lập thành cấp số cộng 1 2 3 1 2 3
nên x x 2x . Suy ra 3x 3m x m . Thay x m vào phương trình đã cho, ta được 1 3 2 2 2 2 m 0 3 2 m 3 .
m m 2m m 4 2 2
.m 9m m 0 m m 0 m 1
- Điều kiện đủ:
+ Với m 0 thì ta có phương trình 3
x 0 x 0 (phương trình có nghiệm duy nhất). Do đó m 0 GV: T
không phải giá trị cần tìm.
+ Với m 1, ta có phương trình 3 2
x 3x 6x 8 0 x 1; x 2; x 4. R Ầ
Ba nghiệm 2; 1; 4 lập thành một cấp số cộng nên m 1 là giá trị cần tìm. N ĐÌN
Ví dụ 5. Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số H CƯ cộng: 4 2 2
x 10x 2m 7m 0 . Lời giải. – 0834 Đặt 2
t x t 0 . Khi đó ta có phương trình: 2 2
t 10t 2m 7m 0 (*) . 3321
Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân 2 2 33 5
(2m 7m) 0 2 biệt
0 2m 7m 25. 2
2m 7m 0
(do tổng hai nghiệm bằng 10 0 nên không cần điều kiện này).
+ Với điều kiện trên thì (*) có hai nghiệm dương phân biệt là t , t (t t ) . 1 2 1 2
Khi đó phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt là t ; t ; t ; t . 2 1 1 2
Bốn nghiệm này lập thành một cấp số cộng khi t t t t
t t t 9t . 1 2 1 1 2 1 2 1
Theo định lý Vi-ét ta có: 2
t t 10; t .t 2m 7m . 1 2 1 2 t 9t t 1 2 1 1 m 1
Suy ra ta có hệ phương trình t t 10 t 9 . 1 2 2 9 m 2 2
t .t 2m 7m 2m 7m 9 2 1 2
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. Chứng minh dãy số hữu hạn sau là cấp số cộng: 1; 3 ; 7 ; 1 1; 1 5 .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 35
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Ta thấy: u u 4 . n 1 n
Vậy dãy số trên là dãy số cộng có công sai bằng -4.
Bài 2. Cho u là cấp số cộng với số hạng đầu u 4 và công sai d 10 . Viết công thức số hạng tổng n 1 quát u . n Lời giải
u 4 n 1 10 1 0n 14 n
Vậy công thức số hạng tổng quát u 1 0n 14 . n
Bài 3. Cho cấp số cộng u có số hạng đầu u 3
và công sai d 2 . n 1 a) Tìm u . 12
b) Số 195 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đó? Lời giải
u 3 2 n 1 2n 5 n
a) u 2.12 5 19 . 12
b) u 2n 5 195 n 100 . n GV: T
Bài 4. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của nó. n 9 5n R
a) u 3 4n ; b) u 4 ; c) u 5n ; d) u . Ầ n n n n N 2 3 ĐÌN Lời giải H CƯ
a) u 3 4n 1 4 n 1 . n – 0834
Vậy dãy số trên là cấp số cộng có số hạng đầu là -1 và công sai là -4. n 7 1 3321 b) u 4 n . n 1 2 2 2 33 7 1
Vậy dãy số trên là cấp số cộng có số hạng đầu là và công sai là . 2 2 c) u 5n n
Dãy số trên không phải cấp số cộng. 9 5n 4 5 d) u n . n 1 3 3 3 4 5
Vậy dãy số trên là cấp số cộng có số hạng đầu là và công sai là . 3 3
Bài 5. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng u , biết: n u u 20 u u 0 u u 3 a) 3 1 ; b) 2 3 ; c) 5 2 . u u 54 u u 80 u , u 24 2 5 2 5 8 3 Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 36
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
u u 20
u 2d u 20 d 10 3 1 1 1 a) u u 54
u d u 4d 54 u 2 2 5 1 1 1
u u 0
u d u 2d 0
2u 3d 0 d 40 2 3 1 1 1 b) u u 80
u d u 4d 80 2u 5d 80 u 60 2 5 1 1 1 1 d 1 u u 3
u 4d u d 3 u 1 5 2 1 1 1 c) u u 24 u 7d u 2d 24 8 3 1 1 d 1 u 10 1
Bài 6. Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm các thanh ngang của một cái thang. Biết rằng
chiều dài các thanh ngang của cái thang đó (từ bậc dưới cùng) lần lượt là 45 cm, 43 cm , 41 cm,,31 cm .
a) Cái thang đó có bao nhiêu bậc? GV: T
b) Tính chiều dài thanh gỗ mà người đó cần mua, giả sử chiều dài các mối nối (phần gỗ bị cắt thành
mùn cưa) là không đáng kể. R Ầ N ĐÌN Lời giải H CƯ
a) Chiều dài các thanh ngang là dãy cấp số cộng có số hạng đầu là 45, công sai là -
u 45 2 n 1 47 2n n – 0834
Khi u 31 n 8 n 3321 Vậy cái thang có 8 bậc. 8.45 31 33 b) S 304 . 8 2
Vậy chiều dài thanh gỗ là 304 cm.
Bài 7. Khi một vận động viên nhảy dù nhảy ra khỏi máy bay, giả sử quãng đường người ấy rơi tự do
(tính theo feet) trong mỗi giây liên tiếp theo thứ tự trước khi bung dù lần lượt là: 16; 48;80;112;144;
(các quãng đường này tạo thành cấp số cộng).
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 37
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
a) Tỉnh công sai của cấp số cộng trên.
b) Tính tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên. Lời giải
a) Công sai của cấp số cộng trên là: d 32 .
10 2.16 10 1 32 b) S 1600 . 10 2
Vậy tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên là 1600 feet.
Bài 8. Ở một loài thực vật lưỡng bội, tính trạng chiều cao cây do hai gene không alen là A và B cùng
quy định theo kiểu tương tác cộng gộp. Trong kiểu gene nếu cứ thêm một alen trội A hay B thì chiều
cao cây tăng thêm 5 cm . Khi trưởng thành, cây thấp nhất của loài này với kiểu gene aabb có chiều cao
100 cm . Hỏi cây cao nhất với kiểu gene AABB có chiều cao bao nhiêu? Lời giải
Cây với kiểu gene AABB có chiều cao là: 100 + 5.4 = 120 (cm)
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1:
Dãy số nào sau đây không phải là cấp số cộng? 2 1 1 2 4
A. ; ; 0; ; ;1; ....
B. 15 2;12 2;9 2; 6 2;.... 3 3 3 3 3 4 7 9 11 1 2 3 4 3 5 C. ;1; ; ; ;.... D. ; ; 3; ; ;... 5 5 5 5 3 3 3 3 Lời giải GV: T Chọn C R Ầ
Chỉ cần tồn tại hai cặp số hạng liên tiếp của dãy số có hiệu khác nhau: u u u u thì ta N m 1 m k 1 k ĐÌN
kết luận ngay dãy số đó không phải là cấp số cộng. H CƯ 2 1 1 2 4 1
Xét đáp án A: ; ;0; ; ;1; ....
u u u u u u loại A 2 1 3 2 4 3 3 3 3 3 3 3 – 0834 Xét đáp án B: 3321 15 2;12 2;9 2; 6 2;....
3 3 u u u u u u loại B 2 1 3 2 4 3 33 4 7 9 11 1 2 Xét đáp án C: ;1; ; ; ;....
u u
u u Chọn C 2 1 3 2 5 5 5 5 5 5 1 2 3 4 3 5 3 Xét đáp án D: ; ; 3; ; ;...
u u u u u u loại D 2 1 3 2 4 3 3 3 3 3 3 1 1 Câu 2:
Cho cấp số cộng có số hạng đầu u , công sai d
. Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của 1 2 2 cấp số này là: 1 1 1 1 1 1 3 5 1 1 3 A. ; 0;1; ;1. B. ; 0; ; 0; . C. ;1; ; 2; . D. ; 0; ;1; . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn D 1 1 n 1
Ta dùng công thức tổng quát u u n 1 d n 1 1 , hoặc u
u d u n 1 2 2 2 n 1 n n 2
để tính các số hạng của một cấp số cộng.
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 38
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com 1 u 1 2
u u d 0 2 1 1 1 1 Ta có
u ; d u
u d 1 3 2 2 2 2
u u d 1 4 3 3 u
u d 5 4 2
Nhận xét: Dùng chức năng “lặp” của MTCT để tính: 1
Nhập: X X (nhập X X d ). 2 1
Bấm CALC: nhập (nhập u ). 2 1
Để tính 5 số hạng đầu ta bấm dấu “=” liên tiếp để ra kết quả 4 lần nữa! Câu 3:
Viết ba số hạng xen giữa các số 2 và 22 để được một cấp số cộng có năm số hạng. A. 7; 12; 17, B. 6; 10; 14. C. 8; 13; 18. D. 6; 12; 18. Lời giải Chọn A
Giữa 2 và 22 có thêm ba số hạng nữa lập thành cấp số cộng, xem như ta có một cấp số cộng có
5 số hạng với u 2; u 22; ta cần tìm u , u , u . 1 5 2 3 4 u
u d 7 2 1 u u 22 2 Ta có 5 1
u u 4d d 5 u
u 2d 12 5 1 3 1 4 4 GV: T u u 3d 17 4 1 R Câu 4:
Cho hai số 3 và 23. Xen kẽ giữa hai số đã cho n số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số Ầ N
cộng có công sai d 2. Tìm n. ĐÌN A. n 12. B. n 13. C. n 14. D. n 15. H CƯ Lời giải – Chọn A 0834
Theo giả thiết thì ta được một cấp số cộng có n 2 số hạng với u 3, u 23. 1 n2 3321 u u 23 3 n2 1 33 Khi đó u
u n 1 d n 1
13 n 12 A n2 1 d 2 Câu 5: Biết các số 1 2 3
C ; C ; C theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với n 3. Tìm n. n n n A. n 5. B. n 7. C. n 9. D. n 11. Lời giải Chọn B Ba số 1 2 3
C ; C ; C theo thứ tự u , u , u lập thành cấp số cộng nên n n n 1 2 3
n2n 1 n n 1 n 1 3 2
u u 2u C C 2C
n 3 n 2. 1 3 2 n n n 6 2 2 n 3n 2 n 2 2 1 n 1
n 9n 14 n 7n 3 . 6 n 7
Nhận xét: Nếu u , u , u u u 2u . k 1 k k 1
là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng thì ta có k 1 k 1 k
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 39
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Câu 6:
Cho cấp số cộng u có các số hạng đầu lần lượt là 5; 9; 13; 17; . Tìm số hạng tổng quát u n n của cấp số cộng.
A. u 5n 1.
B. u 5n 1.
C. u 4n 1.
D. u 4n 1. n n n n Lời giải Chọn C
Các số 5; 9; 13; 17; theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng u nên n u 5 1 CTTQ
u u n
1 d 5 4n 1 4n 1 n 1
d u u 4 2 1 1 Câu 7:
Cho cấp số cộng u có u 3 và d . Khẳng định nào sau đây đúng? n 1 2 1 1 A. u 3 n B. u 3 n 1. n 1 . 2 n 2 1 1 C. u 3 n D. u 3 n n 1 . n 1 . 2 4 Lời giải Chọn C u 3 1 CTTQ 1 Ta có 1
u u n1 d 3 n 1 n 1 d 2 2 Câu 8:
Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng? GV: T 7
A. u 7 3 . n
B. u 7 3 . n C. u . D. u 7.3 . n n n n n R 3n Ầ N ĐÌN Lời giải H CƯ Chọn A
Dãy u là cấp số cộng u an b ( a,b là hằng số). n n – 0834 Câu 9:
Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng? 3321 n u 1 u 1 A. u n B. u sin . C. 1 . D. 1 . n 1 2 1 . n 33 n u u 1 u 2u n n 1 n n 1 Lời giải Chọn C
Dãy u là một cấp số cộng u u
d ( d là hằng số). n n n 1
Câu 10: Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng?
A. u 4n 9. B. u 2 n 19.
C. u 2n 21.
D. u 2n 15. n n n n Lời giải Chọn D
Dãy số u 2n 15 không có dạng an b nên có không phải là cấp số cộng. n
Câu 11: Cho cấp số cộng u có u 5 và d 3. Mệnh đề nào sau đây đúng? n 1 A. u 34. B. u 45. C. u 31. D. u 35. 15 15 13 10 Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 40
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Chọn C u 37 15 u 5 1
u 3n8 u 31 n 13 d 3 u 22 10 1 1
Câu 12: Cho cấp số cộng u có u
và d . Gọi S là tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số cộng n 1 4 4 5
đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng? 5 4 5 4
A. S . B. S . C. S .
D. S . 5 4 5 5 5 4 5 5 Lời giải Chọn A 1 u 1 4 5.4 1 1 5 S 5u d 5. 10. 5 1 1 2 4 4 4 d 5
Câu 13: Cho cấp số cộng u có d 2 và S 72. Tìm số hạng đầu tiên u . n 8 1 1 1 A. u 16. B. u 16. C. u . D. u . 1 1 1 16 1 16 Lời giải Chọn A d 2 GV: T 8.7 72 8u 28. 2
u 16 1 1 72 S 8u d 8 1 2 R Ầ N ĐÌN
Câu 14: Một cấp số cộng có số hạng đầu là 1, công sai là 4, tổng của n số hạng đầu là 561. Khi đó số H CƯ
hạng thứ n của cấp số cộng đó là u có giá trị là bao nhiêu? n A. u 57. B. u 61. C. u 65. D. u 69. n n n n – 0834 Lời giải 3321 Chọn C 33 u 1, d 4 1 2 n n 2 nn 1 561 n
.4 2n n 561 0 n 17. 5
61 S nu d 2 n 1 2
u u u 16d 116.4 65 C n 17 1
Câu 15: Một cấp số cộng có 12 số hạng. Biết rằng tổng của 12 số hạng đó bằng 144 và số hạng thứ
mười hai bằng 23. Khi đó công sai d của cấp số cộng đã cho là bao nhiêu? A. d 2. B. d 3. C. d 4. D. d 5. Lời giải Chọn A u 11d 23 u 1 1 1 u 23 12 1 2 u S 144 u u 23 1 144 d 2 12 1 12 2 11
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 41
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com 2 3n 19n
Câu 16: Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là S với *
n . Tìm số hạng đầu n 4
tiên u và công sai d của cấp số cộng đã cho. 1 1 3 3 5 1
A. u 2; d .
B. u 4; d .
C. u ; d 2.
D. u ; d . 1 2 1 2 1 2 1 2 2 Lời giải Chọn B 2 2 3n 19n 3 19 n n d d Ta có 2 2 n
n S nu d n u n n 1 1 4 4 4 2 2 2 d 3 u 4 1 2 4 3 . d 19 d u 1 2 2 4
Câu 17: Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là 2
S n 4n với *
n . Tìm số hạng tổng quát n
u của cấp số cộng đã cho. n n 1 8
A. u 2n 3.
B. u 3n 2. C. n 1 u 5.3 . D. u 5. . n n n n 5 Lời giải Chọn A d 1 d d
n n S n 2 GV: T Ta có 2 2 4 u n n 1 2 2 d u 4 1 2 R Ầ N u 5 ĐÌN 1 u 2n 3 d 2 n H CƯ
Câu 18: Cho cấp số cộng u có u 2001 và u 1995 . Khi đó u bằng: n 2 5 1001 – 0834 A. u 4005. B. u 4003. C. u 3. D. u 1. 1001 1001 1001 1001 3321 Lời giải 33 Chọn C
2001 u u d u 2003 2 1 1 u
u 1000d 3 1001 1 19
95 u u 4d d 2 5 1
Câu 19: Cho cấp số cộng u , biết: u 1,u
8 . Tính công sai d cảu cấp số cộng đó. n n n 1 A. d 9. B. d 7. C. d 7. D. d 9. Lời giải Chọn D d u u 8 1 9 n 1 n un .
Câu 20: Cho cấp số cộng
Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau: u u u .u 10 20 u u . 10 30 u . 5 10 u u 2u . u .u u . 20 A. 2 B. 90 210 150 C. 10 30 20 D. 2 Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 42
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Chọn B u u
u 9d u 29d 10 30 1 1 u 19d Xét đáp án A: 1 2 2 loại u
u u 4d u 9d 2u 13d 5 10 1 1 2 u u
2u 298d 2 u 149d 90 210 2 1 Xét đáp án B:
2u 2 u 159d 150 1
Nhận xét: Có thể lấy một cấp số cộng cụ thể để kiểm tra, ví dụ u n * n . n
Câu 21: Cho cấp số cộng u thỏa mãn u u 60. Tính tổng S của $24$ số hạng đầu tiên của cấp n 2 23 24 số cộng đã cho. A. S 60. B. S 120. C. S 720. D. S 1440. 24 24 24 24 Lời giải Chọn C u u
60 u du 22d 60 2u 23d 60. 2 23 1 1 1 24 Khi đó S u u
12 u u 23d 12 2u 23d 12.60 720. 24 1 24 1 1 1 2
Câu 22: Một cấp số cộng có 6 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 17; tổng
của số hạng thứ hai và số hạng thứ tư bằng 14. Tìm công sai d của câp số cộng đã cho.
A. d 2.
B. d 3.
C. d 4.
D. d 5. Lời giải GV: T Chọn B u u 17
2u 5d 17 u 16 1 6 1 1 R Ầ u u 14
2u 6d 14 d 3 N 2 4 1 ĐÌN u u 8 H CƯ
Câu 23: Cho cấp số cộng u thỏa mãn 7 3
. Tìm công sai d của câp số cộng đã cho. n u u 75 2 7 – 0834 1 1 A. d . B. d . C. d 2.
D. d 3. 2 3 3321 Lời giải 33 Chọn C u u 8
u 6d u 2d 8 d 2 7 3 1 1 u u 75
u d u 6d 75
u 2 u 12 75 2 7 1 1 1 1 u u 26 1 7
Câu 24: Cho cấp số cộng u thỏa mãn
. Mệnh đề nào sau đây đúng? n 2 2 u u 466 2 6 u 13 u 10 u 1 u 13 A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1 . d 3 d 3 d 4 d 4 Lời giải Chọn C u u 26 2
u 6d 26 u 133d (1) Ta có 1 1 1 7 . u u 466
u d2 u 5d2 466
u d 2 u 5d 2 2 2 466 2 2 6 1 1 1 1
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 43
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
Thay (1) và (2) ta được: d2 d2 2 13 2 13 2
466 8d 338 466
d 4 u 1 1
d 4 u 25 1 u
u u 15
Câu 25: Cho cấp số cộng u thỏa mãn 1 3 5
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định n u u 27 1 6 sau? u 21 u 21 u 18 u 21 A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1 . d 3 d 3 d 3 d 4 Lời giải Chọn B
u u u 15
u u 2d u 4d 15
u 2d 15 u 21 1 3 5 1 1 1 Ta có 1 1 . u u 27
u u 5d 27
2u 5d 27 d 3 1 6 1 1 1 u
u u 36
Câu 26: Cho cấp số cộng u thỏa 2 4 6
. Tìm công sai d của cấp số cộng u biết d 10. n n u u 54 2 3 A. d 3. B. d 4. C. d 5. D. d 6. Lời giải Chọn A u
u u 36
u d u 3d u 5d 36 2 4 6 1 1 1 Ta có u u 54
u d u 2d 54 2 3 1 1 GV: T u 3d 12 1 1 R . Từ 1 suy ra
u 12 3d . Thay vào 2 , ta được 1 Ầ
u d u 2d 54 2 1 1 N ĐÌN
d d 2 12 2 12
54 d 18d 45 0 d 3 hoặc d 15 . H CƯ u
u u 27 1 2 3 –
Câu 27: Cho cấp số cộng u thỏa . Tính u . n 2 0834 2 2 2 u
u u 275 1 2 3 3321 A. u 3. B. u 6. C. u 9. D. u 12. 2 2 2 2 33 Lời giải Chọn C u
u u 27 u
u d u 2d 27 1 1 1 Ta có 1 2 3 2 2 2 2 u
u u 275 1 2 3 u u d u 2d 275 1 1 2 1 2 u d 9 1 1 . u
u d2 u 2d2 2 275 2 1 1 1 Từ
1 suy ra d 9 u . Thay vào 2 , ta được 1
u u 9 u 2 2
u 29u 2 2
275 u 18u 65 0 u 13 u 5 . 1 1 1 1 1 1 1 1 hoặc 1 u 13 u 5 Vậy 1 hoặc 1
u u d 9 d 4 2 1 d 4
Câu 28: Tính tổng T 15 20 25 ... 7515.
A. T 5651265.
B. T 5651256.
C. T 5651625.
D. T 5651526.
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 44
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn A
Ta thấy các số hạng của tổng T tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu u 15 và công sai 1 d 5.
Giả sử tổng trên có n số hạng thì u 7515 n
u n 1 d 7515 15 n 1 5 7515 n 1501 . 1
2u 1500d .1501 2.15 1500.5 .1501 1 Vậy T S 5651265 1501 2 2 Câu 29: Tính tổng 2 2 2 2 2 2
T 1000 999 998 997 ... 2 1 .
A. T 500500.
B. T 500005.
C. T 505000.
D. T 500050. Lời giải Chọn A
Ta có T 1.1000 9991.998 997...1.2
1 1999 1995 ... 3.
Ta thấy các số hạng của tổng T tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu u 1999 và công 1 sai d 4.
Giả sử tổng trên có n số hạng thì
u 3 u n
1 d 3 1999 n
1 4 3 n 500. n 1 u u .500 1999 3 .500 1 500 Vậy T S 500500 500 2 2 GV: T
Câu 30: Cho cấp số cộng u ; u ; u ; ; u có công sai $d,$ các số hạng của cấp số cộng đã cho đều 1 2 3 n R 1 1 1 1 Ầ
khác $0.$ Với giá trị nào của d thì dãy số ; ; ; ; là một cấp số cộng? N u u u u ĐÌN 1 2 3 n A. d 1. B. d 0. C. d 1. D. d 2. H CƯ Lời giải – 0834 Chọn B 3321 1 1 d u
u d u u u u . 33 Ta có 2 1 2 1 1 2 u u d 1 1 d 3 2 u u u u 3 2 2 3 1 1 1 1
Theo yêu cầu bài toán thì ta phải có u u u u 2 1 3 2 d 0 d 0 1 1 d 0
u u u 2d 1 3 1 u u 1 3
Câu 31: Ba góc của một tam giác vuông tạo thành cấp số cộng. Hai góc nhọn của tam giác có số đo (độ) là: A. 20 và 70 . B. 45 và 45 . C. 20 và 45 . D. 30 và 60 . Lời giải Chọn D
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 45
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Ba góc ,
A B, C của một tam giác vuông theo thứ tự đó ( A B C ) lập thánh cấp số cộng nên
C 90, C A 2B .
A B C 180 3 B 180 B 60
Ta có A C 2B
AC 2B A 30 C 90 C 90 C 90 Câu 32: Ba góc ,
A B, C A B C của tam giác tạo thành cấp số cộng, biết góc lớn nhất gấp đôi góc bé
nhất. Hiệu số đo độ của góc lớn nhất với góc nhỏ nhất bằng: A. 40 . B. 45 . C. 60 . D. 80 . Lời giải Chọn A Ba góc ,
A B, C của một tam giác theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng thỏa yêu cầu, thì C 2 ,
A C A 2B . Ta có 0 0 0 0
A B C 180 3 B 180 B 60 A 40 0 0 0
A C 2B
A C 2B A C 120 B 60
C A 40 . 0 C 2A C 2A C 2A C 80
Câu 33: Một tam giác vuông có chu vi bằng 3 và độ dài các cạnh lập thành một cấp số cộng. Độ dài các
cạnh của tam giác đó là: 1 3 1 5 3 5 1 7 A. ; 1; . B. ; 1; . C. ; 1; . D. ; 1; . 2 2 3 3 4 4 4 4 Lời giải GV: T Chọn C R Ầ
Ba cạnh a, b, c a b c của một tam giác theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng thỏa yêu N ĐÌN 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c
a b c
a b c H CƯ cầu thì
a b c 3 3 b 3 b 1 .
a c 2b
a c 2b
a 2bc 2c – 0834 3 a 3321 4 b 5 Ta có a b c 2c2 2 2 2 1 2
1 c 4c 5 0 c b 1 . a2c 33 4 5 c 4
Câu 34: Một rạp hát có 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 25 ghế. Mỗi dãy sau có hơn dãy trước 3 ghế. Hỏi
rạp hát có tất cả bao nhiêu ghế? A. 1635. B. 1792. C. 2055. D. 3125. Lời giải Chọn C
Số ghế của mỗi dãy (bắt đầu từ dãy đầu tiên) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có 30
số hạng có công sai d 3 và u 25. 1 30.29
Tổng số ghế là S u u u 30u d 2055 30 1 2 30 1 2
Câu 35: Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai
trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây,.Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng cây?
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 46
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com A. 73. B. 75. C. 77. D. 79. Lời giải. Chọn C
Số cây mỗi hàng (bắt đầu từ hàng thứ nhất) lập thành một cấp số cộng u có u 1, d 1. Giả n 1
sử có n hàng cây thì u u u 3003 S . 1 2 n n nn 1 Ta có 2
3003 S nu
d n n 6006 0 n 77 n 1 2
Câu 36: Một chiếc đồng hồ đánh chuông, kể từ thời điểm 0 (giờ) thì sau mỗi giờ thì số tiếng chuông được
đánh đúng bằng số giờ mà đồng hồ chỉ tại thời điểm đánh chuông. Hỏi một ngày đồng hồ đó
đánh bao nhiêu tiếng chuông? A. 78. B. 156. C. 300. D. 48. Lời giải Chọn C
Kể từ lúc 1 (giờ) đến 24 (giời) số tiếng chuông được đánh lập thành cấp số cộng có 24 số hạng
với u 1, công sai d 1. Vậy số tiếng chuông được đánh trong 1 ngày là: 1 24 S S u u 12 1 24 300 24 1 24 2
Câu 37: Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ
hai số hạt nhiều hơn ô thứ nhất là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt nhiều hơn ô thứ hai là 5,…
và cứ thế tiếp tục đến ô thứ n . Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng 25450
hạt. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô vuông? GV: T A. 98. B. 100. C. 102. D. 104. R Ầ Lời giải N ĐÌN Chọn B H CƯ
Số hạt dẻ trên mỗi ô (bắt đầu từ ô thứ nhất) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng u có n
u 7, d 5. Gọi n là số ô trên bàn cờ thì u u u 25450 S . Ta có – 1 1 2 n n 0834 nn 2 1 n n
25450 S nu d 7n .5 n 1 3321 2 2 2
5n 9n 50900 0 n 100 33
Câu 38: Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước đến để
khoan giếng nước. Biết giá của mét khoan đầu tiên là 80.000 đồng, kể từ mét khoan thứ 2 giá
của mỗi mét khoan tăng thêm 5000 đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải
khoan sâu xuống 50m mới có nước. Vậy hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó? A. 5.2500.000 đồng. B. 10.125.000 đồng. C. 4.000.000 đồng. D. 4.245.000 đồng. Lời giải Chọn B
Giá tiền khoang mỗi mét (bắt đầu từ mét đầu tiên) lập thành cấp số cộng u có n
u 80 000, d 5000. Do cần khoang 50 mét nên tổng số tiền cần trả là 1 50.49
u u u S 50u
d 50.80 000 1225.5000 10125 000 1 2 50 0 5 1 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 47
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com GV: T R Ầ N ĐÌN H CƯ – 0834 3321 33
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 48
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
BÀI 3: CẤP SỐ NHÂN
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Cấp số nhân
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều
bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số q không đổi, nghĩa là: u u .q n n * . n 1
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
2. Số hạng tổng quát Định lí 1
Nếu một cấp số nhân u có số hạng đầu u và công bội q thì số hạng tổng quát u của nó được xác n 1 n định bởi công thức: n 1 u u q , n 2 n 1
3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân Định lí 2
Giả sử u là một cấp số nhân có công bội q 1. Đặt S u u u , khi đó n n 1 2 n u 1 n q 1 S n 1 q GV: T
Chú ý: Khi q 1 thì S n u .. n 1 R Ầ N ĐÌN
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP H CƯ
Dạng 1. Chứng mình một dãy số là cấp số nhân 1. Phương pháp – 0834
Xác định một cấp số nhân là xác định số hạng đầu u1 và công bội q 3321
Từ những giải thiết ta thường lập hệ phương trình theo ẩn số u1 và q rồi giải hệ đó.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 33 u 2
Ví dụ 1: Cho dãy số 1 . n u xác định bởi u
4u 9, n 1 1 n n
a) Chứng minh dãy số v với v u 3 , là một cấp số nhân. n n n n 1
b) Tìm công thức tổng quát của dãy số n u . Lời giải v 4u 9 3 4u 3
a) Ta có v u 3 , suy ra v u u n 1 n n . Do đó . n n 1 1 3 4 9 3 n n n 4 v u 3 u 3 n n n
Vậy v là cấp số nhân với số hạng đầu v u và công bội . n 1 1 3 2 3 5 q 4 v b) Do
v là cấp số nhân với 1 5
nên số hạng tổng quát của n 1 n 1 . n v v q q n 1. 5.4 4
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 49
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
Suy ra công thức tổng quát của dãy số n . n u là 1 u v 3 5.4 3 n n
Ví dụ 2: Xét trong các dãy số số sau, dãy số nào là cấp số nhân, (nếu có) tìm công bối của cấp số nhân đó: a). 2 1 u ( 3) n b). n 3n2 u ( 1 ) .5 n n u 3 u 2 1 1 c). d). 9 2 u u u n 1 n n 1 u n Lời giải 2n3 u (3) a). Ta có n 1 2
(3) 9 (không đổi). Kết luận u là cấp số nhân với công bội n 2n 1 u (3) n q 9 . n 1 3( n 1 )2 u (1) .5 b). Ta có n 1 3
1.5 125 (không đổi). Kết luận u là cấp số nhân với n n 3n2 u (1) .5 n
công bội q 125 . u 4 u 256 c). Ta có 2 u u 4 , 2
u u 16 , 2
u u 256 , suy ra 2 2 và 4 16 2 1 3 2 4 3 u 2 u 16 1 3 u u 2 4
. Do đó u không là cấp số nhân. n u u 1 3 9 u u u d). n 1 n n 1 u u , n 2 . Do đó có: n 1 n 1 u 9 u n n GV: T un 1 R Ầ
u u u .... u .... (1) 1 3 5 2n 1 N ĐÌN
Và u u u .... u ... (2) 2 4 6 2n H CƯ 9
Theo đề bài có u 3 u 3 (3) 1 2 – u1 0834
Từ (1), (2),(3) suy ra u u u u u .... u u
.... Kết luận u là cấp số nhân n 1 2 3 4 5 2n 2n 1 3321
với công bội q 1. 33 u 2
Ví dụ 3: Cho dãy số u được xác định bởi 1 , n
1. Chứng minh rằng dãy số v xác n n u 4u 9 n 1 n
định bởi v u 3, n
1 là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân n n đó. Lời giải
Vì có v u 3 (1) v u 3 (2) . n n n 1 n 1 Theo đề u
4u 9 u
3 4 u 3 (3). n 1 n n 1 n v
Thay (1) và (2) vào (3) được: n 1 v 4v , n 1
4 (không đổi). Kết luận v là cấp số n n 1 n vn
nhân với công bội q 4 và số hạng đầu v u 3 5 . 1 1
Ví dụ 4: Cho x, 3, y theo thứ tự lập thành cấp số nhân và 4
x y 3. Tìm x, y. Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 50
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com 9 Ta có: .
x y 9 y x 9 4 5 Thay vào 4 4
x y 3 x 3 5 x 5 3
. 3 x 3 x 3 x 9 x 3 y 3 3. Kết luận 3 y 3 3
Dạng 2. Xác định các số hạng của cấp số nhân, tổng của cấp số nhân 1. Phương pháp
Dựa vào giả thuyết, ta lập một hệ phương trình chứa công bội q và số hạng đầu u , giải hệ phương 1
trình này tìm được q và u . 1
Để xác định số hạng thứ k, ta sử dụng công thức: 1 u u . k q . k 1 1 n q
Để tính tổng của n số hạng, ta sử dụng công thức: S u .
, q 1 . Nếu q 1 thì n 1 1 q
u u u ... u , do đó S nu . 1 2 3 n n 1
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết: u u 51
u u u 135 u 6 GV: T a) 1 5 b) 1 2 3 c) 2 u u 102
u u u 40 S 43. 2 6 4 5 6 3 R Ầ N Lời giải ĐÌN u u u u u q 4 4 1 q 51 * 51 51 1 H CƯ a). 1 5 1 1 5 u u 102 u
q u q 102 u q 4 2 6 1 1 1 q 102 ** 1 – 0834 ** u q 4 1 q 1 102 51 51 3321 Lấy
q 2 u 3. * 1 u 4 1 q 51 4 1 q 17 1 33
Kết luận có công bội q 2 và số hạng đầu tiên u 3. 1
Kết luận: u 3 và q 2 1 2 u
u u 135 u
u q u q 135 b) 1 2 3 1 1 1 3 4 5
u u u 40 4 5 6 u
.q u q u q 40 1 1 1 u 2 1 q q 135 * 1 3 u q 2 1 q q 40 ** 1 ** 3 u q 2 1 q q 1 40 8 2 Lấy 3 q q * u 2 1 q q 135 27 3 1
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 51
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com 135 1215 u . 1 2 1 q q 19 2 1215
Kết luận có công bội q
và số hạng đầu tiên u . 3 1 19 u 6 u q 6 u q 6 2 1 1 c) 2 S 43
u u u 43 u
u q u q 43 3 1 2 3 1 1 1 u q 6 * 1 * u q 6 1 . Lấy u 2 2 1 q q 43 ** * *
u 1 q q 43 1 1 1 q 2 43
6 1 q q 2
6q 37q 6 0 q 6 q 6 1
Với q 6 u 1. Với q u 36. 1 1 6 1 q 6 q Kết luận hoặc 6 u 1 1 u 36 1 u u 51
Ví dụ 2: Cho CSN u có các số hạng thỏa: 1 5 n
u u 102 2 6 GV: T
a). Tìm số hạng đầu và công bội của CSN. R Ầ
b). Hỏi tổng bao nhiêu số hạng đầu tiên bằng 3069? N ĐÌN
c). Số 12288 là số hạng thứ mấy? H CƯ Lời giải – 0834 4 4 3321 u u 51 u u q 51 u
(1 q ) 51 (*) a). Ta có 1 5 1 1 1 5 4 u u 102 33 2 6 u
q u q 102 u
q(1 q ) 102 (**) 1 1 1 4 (**) u q(1 q ) 102 Lấy 1
q 2 u 3 . 4 1 (*) u (1 q ) 51 1 1 n q 1 2n
b). Có S 3069 u . 3069 3.
3069 2n 1024 n 10 . Kết luận tổng n 1 1 q 1 2
của 10 số hạng đầu tiên bằng 3069. c).Có k 1 k 1 k 1 12
u 12288 u .q 12288 3.2 12288 2 4096 2 k 1
k 1 12 k 13 . Kết luận số 12288 là số hạng thứ 13.
Ví dụ 3: Cho cấp số nhân u . Tìm u và q, biết rằng: n 1
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 52
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com 35
u u u 2 3 4 2
u u u 65 u
u u 42 1) u u 25 2) 1 3 5 3) 2 4 6 1 5 u u 325. u u 20 1 7 3 5
u 0i 1,...,5 i u
u u u 15 1 2 3 4
4) u u 165;u u 60. 5). 1 6 3 4 2 2 2 2 u
u u u 85. 1 2 3 4 u
u u 13 8
u 5 5u 0 6) 1 2 3 7) 2 5
u u u 351 3 3 4 5 6 u u 189 1 3 u u u 1728 u u 3 1 3 8) 1 2 3 9).
u u u 63 2 2 u u 5 1 2 3 1 3 u
u u 7 1 2 3 10). 2 2 2 u
u u 21 1 2 3 Lời giải 35
u u u 2 3 4 2 35 2 3 GV: T
u .q u .q u .q 1 1 1 1 1). u u 25 2 1 5 4 R
u 0 i 1,,,5
u .u .q 25 2 1 1 Ầ i N ĐÌN H CƯ 5 2 2 u .q 2 2
5 u .q 5 u thay vào (1) được: 1 1 1 2 q – 0834 5 35 1 2 3 2 2 3321
q q q
2 1 q q
79 2q 5q 2 0 q 2 q . 2 q 2 2 33 5 1
Với q 2 u . Với q u 20. 1 4 1 2 2 4
u u u 65 2 4 u 1 q q 65 1 u
u q u q 65 1 2). 1 3 5 1 1 1 u u 325. 6 6 1 7 u u q 325. u 1 q 325 2 1 1 1 2 1 325 2 1 q 2 4 6 1 q q q 3 Lấy: 5 6 vi 1+q 1 2 q 2 4 2 4 1 1 q q 65 1 q q 2 2
1 q 5 q 4 q 2 . 65 65
Với q 2 u 5 . Với q 2 u 5. 1 2 4 1 2 2 1 1 2 2 2 4
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 53
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com u .q u u u u
q u q u q 2 4 3 5 1 q q 42 1 42 . . . 42. 1 3). 2 4 6 1 1 1 2 4 u u 20 u
.q u .q 20 u .q 2 3 5 1 q 20 2 1 1 1 2 4 1 1 q q 21 Lấy: 2 4 3
10 10q 10q 2 1q 21q 2 q 2 1 q 10 21 10 4 3 2 2
10q 21q 10q 21q 10 0 10q 21q 10 10 2 q q 1 1 2 10 q 21 1 10 0 2 q q 2 1 1 1 Đặt: 2 2 2 t q t q q t 2.
Điều kiện t 2 2 q q q 5 2 10 2 t 2 2
21t 10 0 10t 21t 10 0 t= t (loại). 2 5 5 1 5 1 Với 2 t q
2q 5q 2 0 q q 2 2 q 2 2 1 20 20 Nếu q u 64 1 2 4 2 4 2 q q 1 1 GV: T 2 2 R 20 20 Ầ
Nếu q 2 u 1. N 1 2 4 2 4 ĐÌN q q 2 2 H CƯ
4). u u 165; u u 60. 1 6 3 4 – 0834 5
u u q 165 u 1 q 165 1 1 1 1 5 2 3 3321 2
u q u q 60 1 1
u q 1 q 60 2 1 33 2 3 4 5 1 1 11
1 q1 q q q q q 11 Lấy 2 2 q 1 q 2 4 q 1 q 4 2 3 4
q q q q 2 4 3 2 4 1
11q 4q 4q 7q 4q 4 0 4 3 2 4q 4q 7q 4q 4 1 1 2 0 4 q 4 q 7 0 2 2 2 2 2 2 q q q q q q q 2 1 1 1 Đặt: 2 2 2 t q t q q t 2.
Điều kiện: t 2. 2 q q q 5 3
4 2t 2 2
4t 7 0 4t 4t 15 0 t t (loại). 2 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 54
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com 5 1 5 1 Với 2 t q
2q 5q 2 0 q 2 q = 2 q 2 2 165 165 1 165 165
với q 2 u 5 với q u 160. 1 5 2 5 1 q 1 2 1 2 5 2 1 q 1 1 2 u
u u u 15 2 3 u
u q u q u q 15 1 2 3 4 5). 1 1 1 1 2 2 2 2 u
u u u 85. 2 2 2 2 4 6 u
u q u q u q 85. 1 2 3 4 1 1 1 1 2 u 2 2 3 2 2 3
1 q q q 15 u
1 q q q 15 1 1 1 2 u 2 4 6
1 q q q 85. 2 u 2 4 6
1 q q q 85 2 . 1 1 2 1
1 q q q 2 2 3 2 45
1 q q 1 q 45 Lấy 2 2 4 6
1 q q q 17 2 1 q 4 q 2 1 q 17 2 1 q 2 1 q 2 2 2 2 45
1 q 1 q 45
1 2q q 1 q 45 2 1 q 4 1 q 17 4 1 q 17 4 1 q 17 2 3 2 4
q q q q q 4 17 1 2 2 45 1 q 4 3 2 GV: T 28q 34q 34q 34q 28 4 3 2
28q 34q 34q 34q 28 0 0 (vì dễ dàng thấy 2 2 2 2 2 q q q q q R Ầ q 0 ) N ĐÌN H CƯ 34 1 1 2 2
28q 34q 34
28 0 14 q 17 q 17 0 2 q q q – 0834 2 1 1 1 2 2 2 3321
Đặt t q t q q t 2
. Điều kiện: t 2. 2 q q q 33 5 9 2t 2 14
2 17t 17 0 14t 17t 45 0 t t (loại) 2 7 5 1 5 1 Với 2 t q
2q 5q 2 0 q 2 q = 2 q 2 2 1 15
với q 2 u 1. với q u 8. 1 1 2 3 2
1 q q q u u u u 2 1 q q 13 13 1 6). 1 2 3 3
u u u 351 u q 2 4 5 6 1 q q 351 1 13 13 Lấy 3
q 27 q 3 u 1. 1 2 1 q q 1 3 9
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 55
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com 8
u 5 5u 0 7). 2 5 1 3 3 u u 189. 1 3 3 8 2 2 3 3 4 8
u q 5 5u q 0 8
5 5q q q 1 1 5 5 5 5 1 u u q 3 3 2 189. 189 1 1 3 u 6 1 q 3 189 u 125 u 5. 1 1 6 1 1 q u u u 1728 8). 1 2 3 1
u u u 63 1 2 3 2 u .u . . q u .q 1728 u q 12 u q 12 1 1 1 1 3 3 1 1 u
u q u q 3 u
1 q q 63 u 2 2 2 1 q q 63 1 1 1 1 1 12 u 12 1
q 4 u 3 1 q u 1 q 1 12 2 q u 1 q q 48. 2 1 63
12q 51q 12 0 4 q 2 u 2 u 3 2 2 u 1 q 3 1 u 1 q 9 1 1 3 9). 2 2 u u 5 4 2 4 1 3 u 1 q 5 2 u 1 q 5 1 GV: T R 1 q 2 2 9 Ầ Lấy . Đặt: 2
t q ,t 0. N 4 ĐÌN 1 q 5 H CƯ 1
51 t 2 9 2 1 t 2
4t 10t 4 0 t 2 t = – 2 0834
Với t 2 q 2 3321 33 3 3 q 2 u
1 q 2 u 1 1 2 1 q 1 2 1 q 1 2 Với t q 2 2 2 3 2 3 q u 2 q u 2. 1 2 2 1 q 1 2 2 1 q 2 u
u u 7
u u q u q 7 1 2 3 1 1 1 10). 2 2 2 2 u 2
u u 21 2 2 u u q u q 21 1 1 1 1 2 3 u
1 q q 7 u
1 q q 2 2 2 2 1 49 1 . Lấy được: 2 u 2 4 1 q q 2 21 u 2 4 1 1 q q 21 1
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 56
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
1 q q 2 2 49 21 2 4 2 3
1 q q 2q 2q 2q 49 2 4 1 q q 2 4 1 q q 21 2 3 4
q q q q 2 4 q q 4 3 2 21 1 2 3 2 49 1
28q 42q 14q 42q 28 0. 4 3 2 28q 42q 14q 42q 28 42 28 2
0 28q 42q 14 0 2 2 2 2 2 2 q q q q q q q 1 1 2 28 q 42 q 14 0 2 2 q q 2 1 1 1 Đặt: 2 2 2 t q t q q t 2
. Điều kiện: t 2 2 q q q 5 2 28 2 t 2 2
42t 14 0 28t 42t 70 0 t t 1(loại) 2 5 1 5 1 Với 2 t q
2q 5q 2 0 q 2 q = 2 q 2 2 7 1 7
q 2 u 1 q u 4 1 2 1 q q 1 2 2 1 q q
Ví dụ 3: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết: GV: T u u 72
u u u 65 u u 90 a) 4 2 b) 1 3 5 c) 3 5 R u u 144 u u 325 u u 240 5 3 1 7 2 6 Ầ N ĐÌN u
u u 21 1 2 3 u
u u u 30 H CƯ
u u u 14 1 2 3 4 d) 1 2 3 e) 1 1 1 7 f)
u .u .u 64 2 2 2 2 u
u u u 340 1 2 3 1 2 3 4 – u u u 12 1 2 3 0834 Lời giải 3321 u q u u u
q u q 2 3 q 1 72 (1) 72 72 1 33 a) 4 2 1 1 4 2 2 u u 144 u
q u q 144 u q 2 5 3 q 1 144 (2) 1 1 1
Lấy (2):(1) được: q 2 , thay q 2 vào (1) được u 12 1 2 u q u u u
q u q 2 2 4 1 q 90 (1) 90 90 1 c) 3 5 1 1 5 u u 240 u
q u q 240 u q 4 2 6 1 q 240 (2) 1 1 1 u q 4 1 q 2 1 q 2 1 (2) 240 q 2 1 8 1 q 8 Lấy 2 (1) u q 2 1 q 90 q 2 1 q 3 q 3 1 1 2
3q 8q 3 0 q q 3 3
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 57
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com 1 Với q
thay vào (1) được u 729 . 3 1
Với q 3 thay vào (1) được u 1. 1 u
u u 14 u
u q u q 14 u 2 2 1 q q 14 (1) 1 1 2 3 1 1 1 d) 2
u .u .u 64 u u qu q 64 u q3 1 2 3 1 1 1 64 (2) 1 4 4
(2) u q 4 u , thay vào (1) được 2
1 q q 14 1 1 q q 1 2
2q 5q 2 0 q 2 q 2 1
Với q 2 u 2 . Với q u 8 . 1 1 2 u
u u 21 u
u q u q 21 u 1 q q 21 (1) 1 2 3 1 1 1 2 2 1 e) 2 1 1 1 7 1 1 1
7 q q 1 7 2 (2) 2 u u u 12 u u q u q 12 1 2 3 1 1 1 u q 12 1 21 21 1 7 2
(1) 1 q q , thay vào (2): u q 36 u q 6 2 1 2 u 1 u u q 12 1 1 1 GV: T 6 6 1 Với u thay vào (1): 2 1 q q 2
21 2q 5q 2 0 q 2 q 1 q q 2 R Ầ N ĐÌN 1
Nếu q 2 u 3 . Nếu q u 12 1 1 H CƯ 2 – 6 0834 Với u thay vào (1): 1 q 3321 6 9 65 9 65 2 1 q q 2
21 2q 9q 2 0 q q 33 q 4 4 9 65 27 3 65 9 65 27 3 65 Nếu q u . Nếu q u 1 4 2 1 4 2 2 3 u
u u u 30 u
u q u q u q 30 1 2 3 4 f) 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 6 u
u u u 340 u
u q u q u q 340 1 2 3 4 1 1 1 1 u 2 2 3
1 q q q 30
u 1 q 1 q 30 1 1 2 u 2 4 2 2 4 6
1 q q q 340 u 1 q 1 q 340 1 1 2 u 1 q2 2 2 1 q 900 (1) 1 2 u 4 1 q 2 1 q 340 (2) 1
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 58
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com 1 q2 2 1 (1) q 45 Lấy
, quy đồng rút gọn được: 4 3 2
14q 17q 17q 17q 14 0 4 (2) 1 q 17 17 14 2
14q 17q 17 0 2 q q 1 1 1 2 14 q 17 q 17 0
. Đặt t q
, điều kiện t 2 2 q q q 5 9 2
14t 17t 45 0 t t (loại). 2 7 5 1 5 1 Với 2 t q
2q 5q 2 0 q 2 q 2 q 2 2 1
Với q 2 u 2 . Với q u 16 1 1 2
Ví dụ 4: Tìm a, b biết rằng: 1, a, b là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng và 2 2
1, a ,b là 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Lời giải 1 b 2a 1 b 2a 1
Theo đề bài ta có hệ phương trình: 2 4 b a 2 b a Với 2
b a thay vào (1) được 2 2
1 a 2a a 2a 1 0 a 1 b 1 GV: T R Với 2
b a thay vào (1) được 2 2
1 a 2a a 2a 1 0 a 1 2 a 1 2 Ầ N ĐÌN a
b 2 1 2 1 2 b 3 2 2 H CƯ – a b b 0834 2 1 2 1 2 3 2 2 3321 a 1 a 1 2 a 1 2 Kết luận
thỏa yêu cầu đề bài. 33 b 1 b 3 2 2 b 3 2 2
Ví dụ 5: Tìm số hạng đầu của CSN biết công bội bằng 3, tổng số các số hạng là 728 và số hạng cuối bằng 486. Lời giải S 728 Theo đề bài ta có: n u 486 n u 1 n q 1 728 n u
u q 728(1 q) 1 1 1 q
u 486q 728(1 q) u 2 1 1 n u q 486q 1 n 1 u q 486 1
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 59
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
Ví dụ 6: Cho 3 số tạo thành một cấp số cộng có tổng 21.Nếu thêm 2, 3, 9 lần lượt vào số thứ nhất, số thứ
hai, số thứ ba tạo thành một cấp số nhân. Tìm 3 số đó. Lời giải
Gọi u ,u , u thành lập cấp số cộng. 1 2 3
Theo đề bài: u 2;u 3;u 9 là ba số liên tiếp tạo thành cấp số nhân. 1 2 3 u
u u 21 3 u 21 1 2 3 2 Theo đề bài: u u 2u u u 2u 1 3 2 1 3 2 2 u 2
u 9 u 32
u 2 u 9 u 3 1 3 2 1 3 2 u 7 2 u 14 u 1 3
14 u 2 u 9 100 3 3
Giải : 16 u u 9 100 2 u
7u 44 0 u 11 u 4 3 3 3 3 3 3
Với u 11 u 3 . Với u 4 u 18. 3 1 3 1
Ví dụ 7: Cho 3 số dương có tổng là 65 lập thành một cấp số nhân tăng, nếu bớt một đơn vị ở số hạng thứ
nhất và 19 đơn vị ở số hạng thứ ba ta được một cấp số cộng. Tìm 3 số đó. Lời giải
Gọi u ,u , u theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. 1 2 3 GV: T R
Theo đề: u 1;u 19 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. 1 3 Ầ N ĐÌN u
u u 65 H CƯ Ta có: 1 2 3
u 1 u 19 2u 1 3 2 – 0834 2 u 2
u u 65 u
u .q u .q 65 u 1 q q 65 1 1 1 2 3 1 1 1 3321
u 2u u 20 2 2 1 2 3 u
2u .q u .q 20 u 1 2q q 20 2 1 1 1 1 33 2 1 1 q q 65 13 Lấy 2
q q 2 4 1
13 1 2q q 2 2 1 2q q 20 4 2 1
9q 30q 9 0 q 3 q 3
Vì u ,u , u theo thứ tự lập thành cấp số nhân tăng dần nên chọn q 3 u 5 1 2 3 1
Vậy u 5; u 15; u 45. 1 2 3
Ví dụ 8: Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân biết tổng của chúng là 19 và tích là 216. Lời giải
Gọi ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân là u ,u , u với công bội là q. Theo đề bài ta có hệ 1 2 3
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 60
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com u 2 2 1 q q 19 ( ) 1 u
u u 19 u
u q u q 19 1 1 1 1 2 3 phương trình: 6
u .u .u 216 u q 6
u q 6 u 1 3 3 1 2 3 1 1 q 6 3 2 Thay u vào ( ) được: 2
6q 13q 6 0 q hoặc q . 1 q 2 3 3 Với q
u 4, u 6, u 9 . 1 2 3 2 2 Với q
u 9,u 6, u 4 . 1 2 3 3
Ví dụ 9: Tìm công bội của một cấp số nhân có số hạng đầu là 7, số hạng cuối là 448 và tổng số các số hạng là 889. Lời giải n u q 1 1 S 889 u q u q n 889 n 889( 1) (1) Theo đề bài ta có 1 1 q 1 u 448 n n u
q 448q (2) 1 n 1 u q 448 1
Thay (2) vào (1) được: 448q 7 889q 889 q 2
Ví dụ 10: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, trong đó số hạng thứ hai nhỏ hơn số hạng thứ
nhất 35, còn số hạng thứ ba lớn hơn số hạng thứ tư 560. GV: T Lời giải R
Theo đề bài ta có hệ phương trình: Ầ N u u 35 u u q 35 u (1 q) 35 (1) ĐÌN 1 2 1 1 1 2 3 2 u u 560
u q u q 560
u q (1 q) 560 (2) H CƯ 3 4 1 1 1 –
Thay (1) vào (2) ta được 2
q 16 q 4 0834 35 140 560 2240 3321
Với q 4 thay vào (1) được u
, u u q , u , u 1 3 2 1 3 3 3 3 3 33
Tìm 3 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng khi tăng số thứ hai thêm 2 thì các số đó tạo
thành một cấp số cộng, còn nếu sau đó tăng số cuối thêm 9 thì chúng lại lập thành một cấp số nhân.
Ví dụ 11: Tìm các số dương a và b sao cho a, a + 2b, 2a + b lập thành một cấp số cộng và (b + 1)2, ab +
5, (a + 1)2 lập thành một cấp số nhân. Lời giải
Theo tính chất của CSC ta có: a (2a b) 2(a 2b) (1)
Theo tính chất của CSN ta có: 2 2 2
(b 1) (a 1) (ab 5) (2)
Từ (1) khai triển rút gọn ta được: a 3b , thay vào (2): 2 2 2 2 2
(b 1) (3b 1) (3b 5) (b 1)(3b 1) (3b 5)
Với b b 2 1 3
1 3b 5 b 1 a 3
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 61
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
Với b b 2 2 1 3 1 3
b 5 6b 4b 6 0 (vô nghiệm).
Kết luận a 3,b 1
Ví dụ 12: Tính các tổng sau: a). 2 3
S 2 2 2 2n n 1 1 1 1 b). S n 2 3 2 2 2 2n 2 2 2 1 1 n 1 c). S 3 9 3 n 3 9 3n
d). S 6 66 666 666...6 n n so 6 Lời giải a). Ta có dãy số 2 3 2, 2 , 2 , , 2n
là một cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu u 2 và 1 2 2 1 n q 1 2n công bội q
2 . Do đó S u . 2. 2 2n 1 . n 1 2 1 q 1 2 1 1 1 1 1 b). Ta có dãy số , , , ,
là một cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu u và 2 3 2 2 2 2n 1 2 n 1 1 1 2 1 1 n q 1 2 1 công bội 2 q
. Do đó S u . . 1 . 1 2 n 1 1 q 2 1 2n 1 GV: T 2 2 2 2 2 R Ầ 1 1 n 1 N c). S 3 9 3 n n ĐÌN 3 9 3 H CƯ 1 1 n 1 2 4 2 3 2 3 2 3 2 2 4 2 3 3 3 n – 0834 n 1 1 1 2 4 2
3 3 3
2 2 2 2 3321 2 4 2 3 3 3 n n 33 • Có dãy số 2 4 2 3 ,3 , ,3 n
là cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu 2
u 3 và công bội 1 4 3 1 n q 1 9n 9 q
9 . Do đó S u . 9. 9n 1 . 1 1 2 3 1 q 1 9 8 1 1 1 1 • Có dãy số , , ,
là cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu u và công bội 2 4 2 3 3 3 n 1 2 3 1 n 1 1 1 q 1 1 1 9n n 1 q . Do đó 9 S u . . 1 . 9 1 1 1 q 9 1 8 9n 8.9n 1 9 n n n n 1 9 1 9 1 9 9 1 Vậy S n n . n 9 1 2 2 8 8.9n 8.9n
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 62
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com 6
d). S 6 66 666 666...6
9 99 999 999...9 n 9 n so 6 n 2
(10 1) (100 1) (1000 1) (10n 1) 3 2 2 10n n n 1 20 n 2 2 3 10
10 10 10 n 10. n 10 1 3 3 10 1 27 3
Dạng 3. Các bài toán thực tế Câu 1.
Với hình vuông A B C D như hình vẽ bên, cách tô màu như phần gạch sọc được gọi là cách tô 1 1 1 1
màu “đẹp”. Một nhà thiết kế tiến hành tô màu cho một hình vuông như hình bên, theo quy trình sau:
Bước 1: Tô màu “đẹp” cho hình vuông A B C D . 1 1 1 1
Bước 2: Tô màu “đẹp” cho hình vuông A B C D là hình vuông ở chính giữa khi chia hình 2 2 2 2
vuông A B C D thành 9 phần bằng nhau như hình vẽ. 1 1 1 1 GV: T
Bước 3: Tô màu “đẹp” cho hình vuông A B C D là hình vuông ở chính giữa khi chia hình 3 3 3 3 R Ầ
vuông A B C D thành 9 phần bằng nhau. Cứ tiếp tục như vậy. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu 2 2 2 2 N ĐÌN
bước để tổng diện tích phần được tô màu chiếm 49, 99% . H CƯ Lời giải
Gọi diện tích được tô màu ở mỗi bước là u , *
n . Dễ thấy dãy các giá trị u là một cấp số – n n 0834 4 1
nhân với số hạng đầu u và công bội q . 1 3321 9 9 k u q 1 33 1
Gọi S là tổng của k số hạng đầu trong cấp số nhân đang xét thì S . k k q 1 k u q 1 1
Để tổng diện tích phần được tô màu chiếm 49, 99% thì
0, 4999 k 3,8 . q 1
Vậy cần ít nhất 4 bước. Câu 2. Cho hình vuông C a 1 có cạnh bằng
. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần
bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C2 (Hình vẽ).
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 63
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Từ hình vuông C C C C
2 lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông , , ,., 1 2 3
C . Gọi S là diện tích của hình vuông C i 1, 2,3,.... .
T S S S ...S ... i . Đặt . Biết n i 1 2 3 n 32 T , tính a ? 3 Lời giải 2 2 3 1 a 10 5 5
Cạnh của hình vuông C a a a 2 S a S 2 là: . Do đó diện tích 2 2 1 4 4 4 8 8 . 2 2 2 3 1 a 10 10
Cạnh của hình vuông C 2 a a a a 3 là: . Do đó diện tích 3 2 2 4 4 4 4 2 GV: T 5 5 2 S a
S . Lý luận tương tự ta có các S , S , S ,...S .... tạo thành một dãy cấp số 3 2 1 2 3 n 8 8 R Ầ N 5 ĐÌN
nhân lùi vô hạn có u S và công bội q . 1 1 8 H CƯ S 2 8a 32 1 2 – T . Với T
ta có a 4 a 2 . 0834 1 q 3 3 3321
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 33
Bài 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? a) u 3( 2 )n ; n b) n 1 u ( 1) 7n ; n u 1 c) n u 2u 3. n 1 n Lời giải
a) u 3(2)n 6 ( 2 )n n
Vậy dãy trên là cấp số nhân có công bội là -2. b) n 1 n n 1 u ( 1) 7 7 ( 7) n
Vậy dãy trên là cấp số nhân có công bội là -7.
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 64
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com u 1 c) n u 2u 3 n 1 n
Dãy trên không phải cấp số nhân.
Bài 2. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân u , biết: n u u 15 u
u u 65 a) 5 1 ; b) 1 3 5 . u u 6 u u 325 4 2 1 7 Lời giải 4 u u 15
u .q u 15 q 2 5 1 1 1 a) 3 u u 6
u .q u .q 6 u 1 4 2 1 1 1 2 4 u
u u 65 u
u .q u .q 65 q 2 1 3 5 1 1 1 b) 6 u u 325
u u .q 2 3 5 u 5 1 7 1 1 1
Bài 3. a) Số đo bốn góc của một tứ giác lập thành cấp số nhân. Tìm số đo của bốn góc đó biết rằng số đo
của góc lớn nhất gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất.
b) Viết sáu số xen giữa các số -2 và 256 để được cấp số nhân có tám số hạng. Nếu viết tiếp thì số hạng thứ 15 là bao nhiêu? Lời giải
a) Gọi số đo 4 góc lần lượt là: 2 3 u ;u . ;
q u .q ;u .q 1 1 1 1 GV: T Ta có: 3
u .q 8u q 2 1 1 R
u 2u 4u 8u 360. u 24 1 1 1 1 1 Ầ N ĐÌN
Vậy số đo các góc là: 24 ; 48 ;96 ;192 . H CƯ b) Ta có: 7 u 2
;u 256 u q 1 8 1 Suy ra: q 2 . – 0834 Vậy u 2 14 (2) 32768 . 15 3321 2 1 2 33 Bài 4. Ba số , ,
theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số a, , b c theo thứ
b a b b c
tự lập thành cấp số nhân. Lời giải 2 1 2 Vì ba số , ,
theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có:
b a b b c 1 2 bd 1 a
d b a 2b db b a bd
1 a bd 1 b b b a bd 1 b 2 1 bd 1 b
d 2b b c qb b c 1 bd c b bd 1 b c b bd 1 c a b Suy ra: b c Gọi b = a.q
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 65
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com a aq Ta có: 2
c aq c bq aq c
Vậy a,b,c lần lượt là cấp số nhân có công bội là q.
Bài 5. Tính các tổng sau: 1 1 1 a) S 1 ;
b) S 9 99 999 99...9 ( n chữ n 2 3 3 3n n số 9) Lời giải 1 1 1 a) S 1 n 2 3 3 3n n n 1 1 n 1 3n 1 3 3 S n 1 2 1 3
b) S 9 99 999 999 9 ( n chữ số 9) n S 10 1 2 10 1 3 10 1 10n n 1 S 2 3
10 10 10 10n n n n 110n S n n GV: T 110 n 10n 1 R S n Ầ n N 9 ĐÌN
Bài 6. Một loại vi khuẩn được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm, cứ mỗi phút số lượng lại tăng lên gấp H CƯ
đôi số lượng đang có. Từ một vi khuẩn ban đầu, hãy tính tổng số vi khuẩn có trong ống nghiệm sau 20 – phút. 0834 3321 33 Lời giải
Tổng số vi khuẩn có trong ống nghiệm sau 20 phút là: 20 20 1 2 S 20971500 . 20 1 2
Bài 7. Giả sử một thành phố có dân số năm 2022 là khoàng 2,1 triệu người và tốc độ gia tăng dân số trung bình mỗi năm là 0, 75% .
a) Dự đoán dân số của thành phố đó vào năm 2032.
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 66
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
b) Nếu tốc độ gia tăng dân số vẫn giữ nguyên như trên thì ước tính vào năm nào dân số của thành phố đó
sẽ tăng gấp đôi so với năm 2022? Lời giải
Dân số của thành phố từ năm 2022 lần lượt tạo thành cấp số nhân có công bội là 1 0, 0075 1, 0075
Dân số của thành phố vào năm n là: 2022
u 2,1.1, 0075n n a) 20322022 u 2,1.1, 0075 2, 26 2032 b) Khi n2022 u 2.u 1, 0075 2 n 2115 n 2022
Vậy đến năm 2115 , dân số thành phố gấp đôi so với năm 2022 .
Bài 8. Trong trò chơi mạo hiểm nhảy bungee, mỗi lần nhảy, người chơi sẽ
được dây an toàn có tính đàn hồi kéo nảy ngược lên 60% chiều sâu của cú
nhảy. Một người chơi bungee thực hiện củ nhảy đầu tiên có độ cao nảy ngược lên là 9 m .
a) Tính độ cao nảy ngược lên của người đó ở lần nảy thứ ba.
b) Tính tổng các độ cao nảy ngược lên của người đó trong 5 lần nảy đầu. Lời giải
Độ cao nảy ngược lên của người đó ở lần nảy thứ nhất là u 9 1
Độ cao các lần nảy lần lượt tạo thành cấp số nhân có công bội là q = 0,6 1 u 9.0, 6n n a) 3 1 u 9.0, 6 3, 24 3 GV: T 5 5 1 0, 6 b) S 11, 528 R 5 Ầ 1 0, 6 N ĐÌN
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM H CƯ Câu 1:
Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là một cấp số nhân? – 0834
A. 2; 4; 8; 16;
B. 1; 1; 1; 1; C. 2 2 2 2 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; D. 3 5 7
a; a ; a ; a ; a 0. 3321 Lời giải 33 Chọn C u 9 u Xét đáp án C: 2 2 2 2 2 3 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 4 u 4 u 1 2
Các đáp án A, B, D đều là các cấp số nhân.
Nhận xét: Dãy u với u
0 là cấp số nhân u . n
a q , tức là các số hạng của nó đều được n n n
biểu diễn dưới dạng lũy thừa của cùng một cơ số q (công bội), các số hạng liên tiếp (kể từ số
hạng thứ hai) thì số mũ của chúng cách đều nhau. Ví dụ 2; 4; 8; 16;
là cấp số nhân và u 2n. n n 1; 1; 1; 1;
là cấp số nhân và u n 1 . n 1 n 3 5 7
a; a ; a ; a ; a 0 là cấp số nhân và 2 1 u a a n 2 . . a
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 67
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Câu 2:
Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân? 1 1 1 1 1 1 A. 1; 2; 4; 8; B. 2 3 4 3; 3 ; 3 ; 3 ; C. 4; 2; ; ; D. ; ; ; ; 2 4 2 4 6 Lời giải Chọn D 1
Các đáp án A, B, C đều là các cấp số nhân công bội lần lượt là 2;3; . 2 1 1 1 1 u 1 1 u Xét đáp án D: 2 3 ; ; ; ; 2 4 6 2 u u 1 2 Câu 3:
Dãy số 1; 2; 4; 8; 16; 32; là một cấp số nhân với:
A. Công bội là 3 và số hạng đầu tiên là 1.
B. Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 1.
C. Công bội là 4 và số hạng đầu tiên là 2.
D. Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 2. Lời giải Chọn B u 1 1
Cấp số nhân: 1; 2; 4; 8; 16; 32; u 2 q 2 u 1 Câu 4:
Cho cấp số nhân u với u 2 và q 5. Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân. n 1 GV: T
A. 2; 10; 50; 250.
B. 2; 10; 50; 250. R
C. 2; 10; 50; 250.
D. 2; 10; 50; 250. Ầ N ĐÌN Lời giải. H CƯ Chọn B – u 2 0834 1 u 2 u u q 10 1 2 1 3321 q 5 u u q 50 3 2
u u q 250 33 4 3 Câu 5:
Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là: A. 720. B. 81. C. 64. D. 56. Lời giải Chọn B
Ta có cấp số nhân u có: n u 16 u k k 9 1 q u u q 81 k 2 k 1 u 36 u 4 k 1 k Câu 6:
Tìm x để các số 2; 8; x; 128 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. A. x 14. B. x 32. C. x 64. D. x 68. Lời giải Chọn B
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 68
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
Cấp số nhân 2; 8; x; 128 theo thứ tự đó sẽ là u ; u ; u ; u , ta có 1 2 3 4 u u 2 3 8 x x 32 u u x 32 1 2 2 8
x 32 x 32 2 u u 1 28 x x 1024 3 4 x 32 u u x 8 2 3 Câu 7:
Tìm tất cả giá trị của x để ba số 2x 1; x; 2x 1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. 1 1 A. x . B. x . C. x 3. D. x 3. 3 3 Lời giải Chọn A 1
Cấp số nhân 2x 1; ;
x 2x 1 2x 1 2x 2 2
1 x 3x 1 x . 3 Câu 8:
Tìm x để ba số 1 x; 9 x; 33 x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. A. x 1. B. x 3. C. x 7.
D. x 3; x 7. Lời giải Chọn B Cấp số nhân x x x
x x x2 1 ; 9 ; 33 1 33 9 x 3. Câu 9: Với giá trị ,
x y nào dưới đây thì các số hạng lần lượt là 2; x; 18; y theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân? GV: T x 6 x 10 x 6 x 6 A. . B. . C. . D. . R y 54 y 26 y 54 y 54 Ầ N ĐÌN Lời giải H CƯ Chọn C – x 18 0834 x 6 Cấp số nhân: 2 x 2 ; ;
x 18; y 324 . Vậy 3321 18 y y 5 4 x x 18 33 ;
x y 6;54 hoặc ;
x y 6;54
Câu 10: Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là x; 12; y; 192. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. x 1; y 144.
B. x 2; y 72.
C. x 3; y 48.
D. x 4; y 36. Lời giải Chọn C 12 y 144 x 12 x x 3 Câp số nhân:
x; 12; y; 192 y . y 192 y 48 2 y 2304 12 y
Câu 11: Thêm hai số thực dương x và y vào giữa hai số 5 và 320 để được bốn số 5; x; y; 320 theo thứ
tự đó lập thành cấp số nhận. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 69
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com x 25 x 20 x 15 x 30 A. . B. . C. . D. . y 125 y 80 y 45 y 90 Lời giải Chọn B u 5 1 x q 5 x 20 Cấp số nhân: 2
5; x; y; 320 x . 2
y u u q y 80 3 1 5 3 x 3 320
u u q 4 1 25
Câu 12: Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là x 6; x và .
y Tìm y , biết rằng công bội của cấp số nhân là 6. 324 1296
A. y 216. B. y . C. y .
D. y 12. 5 5 Lời giải Chọn C
Cấp số nhân x 6; x và y có công bội q 6 nên ta có 36
u x 6, q 6 1 x 5
x u u q 6 x 6 2 1 36 1296 GV: T 2 y 36.
y u u q 36x 3 2 5 5 R Ầ
Câu 13: Hai số hạng đầu của của một cấp số nhân là 2x 1 và 2
4 x 1. Số hạng thứ ba của cấp số nhân N ĐÌN là: H CƯ
A. 2x 1.
B. 2x 1. C. 3 2
8x 4 x 2x 1. D. 3 2
8x 4 x 2x 1. Lời giải – 0834 Chọn C 3321 2 4x 1
Công bội của cấp số nhân là: q
2x 1. Vậy số hạng thứ ba của cấp số nhân là: 33 2x 1
2x x 3 2 4 1 2
1 8x 4x 2x 1
Câu 14: Dãy số nào sau đây là cấp số nhân? u 1 u 1 A. 1 . B. 1 . u
u 1, n 1 u
3u , n 1 n 1 n n 1 n u u 2 1 2 C. 1 . D. . u
2u 3, n 1 n 1 n u sin , n 1 n n 1 Lời giải Chọn B
u là cấp số nhân u qu n n 1 n
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 70
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com 3
Câu 15: Cho dãy số u với u .5n. Khẳng định nào sau đây đúng? n n 2
A. u không phải là cấp số nhân. n 3
B. u là cấp số nhân có công bội q 5 và số hạng đầu u . n 1 2 15
C. u là cấp số nhân có công bội q 5 và số hạng đầu u . n 1 2 5
D. u là cấp số nhân có công bội q
và số hạng đầu u 3. n 2 1 Lời giải Chọn C 3 15 u
.5n là cấp số nhân công bội q 5 và u n 2 1 2
Câu 16: Trong các dãy số u cho bởi số hạng tổng quát u sau, dãy số nào là một cấp số nhân? n n 1 1 1 1 A. u . B. u 1.
C. u n . D. 2 u n . n n 2 3 n 3n n 3 n 3 Lời giải Chọn A n u 3 1 1 1 Dãy u 9.
là cấp số nhân có n 1 n2 3 3 q 3 GV: T
Câu 17: Trong các dãy số u cho bởi số hạng tổng quát u sau, dãy số nào là một cấp số nhân? n n R 7 Ầ
A. u 7 3 . n
B. u 7 3n. C. u .
D. u 7.3n. N n n n 3n n ĐÌN H CƯ Lời giải Chọn D – 0834 u 21 Dãy
u 7.3n là cấp số nhân có 1 3321 n q 3 33
Câu 18: Cho dãy số u là một cấp số nhân với *
u 0, n . Dãy số nào sau đây không phải là cấp số n n nhân?
A. u ; u ; u ; ...
B. 3u ; 3u ; 3u ; ... 1 3 5 1 2 3 1 1 1 C. ; ; ; ...
D. u 2; u 2; u 2; ... u u u 1 2 3 1 2 3 Lời giải Chọn D
Giả sử u là cấp số nhân công bội q, thì n
Dãy u ; u ; u ; ... là cấp số nhân công bội 2 q . 1 3 5
Dãy 3u ; 3u ; 3u ; ... là cấp số nhân công bội 2 . q 1 2 3 1 1 1 1 Dãy ; ;
; ... là cấp số nhân công bội . u u u q 1 2 3
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 71
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
Dãy u 2; u 2; u 2; ... không phải là cấp số nhân. 1 2 3
Nhận xét: Có thể lấy một cấp số nhân cụ thể để kiểm tra, ví dụ u 2n. n
Câu 19: Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 3; 9; 27; 81; ... . Tìm số hạng tổng quát u của cấp số n nhân đã cho. A. n 1 u 3 .
B. u 3n. C. n 1 u 3 .
D. u 3 3n. n n n n Lời giải Chọn B u 3 1 Câp số nhân n 1 n 1 3; 9; 27; 81; ... n 9 u u q 3.3 3 . n 1 q 3 3
Câu 20: Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu bằng 2 và số hạng thứ sáu bằng 486. Tìm công bội q
của cấp số nhân đã cho. A. q 3. B. q 3. C. q 2. D. q 2. Lời giải Chọn A u 2
Theo giải thiết ta có: 1 5 5 5
486 u u q 2q q 243 q 3. 6 1 u 486 6 2
Câu 21: Cho cấp số nhân u có u 3 và q . Mệnh đề nào sau đây đúng? n 1 3 GV: T 27 16 16 27 A. u . B. u . C. u . D. u . 5 5 5 5 R 16 27 27 16 Ầ N ĐÌN Lời giải H CƯ Chọn B – u 3 4 0834 1 2 16 16 4 2 u u q 3. 3. . 5 1 q 3 81 27 3321 3 33
Câu 22: Cho cấp số nhân u có u 2 và u 8 . Mệnh đề nào sau đây đúng? n 1 2 A. S 130. B. u 256. C. S 256. D. q 4. 6 5 5 Lời giải Chọn D
u 2 1 q4 u 2 1 q 145 5 1 S u . 2. 410 5 1 u
8 u q 2q 1 q 1 4 2 1 146 S 2. 1638 6 1 4
u u q 2.44 4 512. 5 1
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 72
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
Câu 23: Cho cấp số nhân u có u 3 và q 2 . Số 192 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho? n 1
A. Số hạng thứ 5.
B. Số hạng thứ 6.
C. Số hạng thứ 7.
D. Không là số hạng của cấp số đã cho. Lời giải Chọn C n n 192 n u u q n n 3. 1 2 1 1 .2n 64 6 1 1 6 1 .2 7. 1 1 1
Câu 24: Cho cấp số nhân u có u 1 và q . Số
là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã n 1 10 103 10 cho?
A. Số hạng thứ 103.
B. Số hạng thứ 104.
C. Số hạng thứ 105.
D. Không là số hạng của cấp số đã cho. Lời giải Chọn B 1 n n 1 n chan n 1 1 1 u u q 1. n 104. 103 n 1 n 1 10 10 10 n1103
Câu 25: Một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805.
Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng? A. 18. B. 17. C. 16. D. 9. Lời giải GV: T Chọn B R n 1 n 1 n 1 8 Ầ
32805 u u q 5.3 3
6561 3 n 9. Vậy u là số hạng chính giữa của cấp số n 1 9 N ĐÌN
nhân, nên cấp số nhân đã cho có 17 số hạng. H CƯ
Câu 26: Cho cấp số nhân u có u 81 và u
9. Mệnh đề nào sau đây đúng? n n n 1 – 1 1 0834
A. q .
B. q 9.
C. q 9.
D. q . 9 9 3321 Lời giải 33 Chọn A un 9 1 Công bội 1 q u 81 9 n 1
Câu 27: Một dãy số được xác định bởi u 4 và u u
, n 2. Số hạng tổng quát u của dãy số 1 n n 1 2 n đó là: n 1 1 A. n 1 n u 2 . B. u C. u D. u 4 . n n 1 4 2 . n 1 2 . n n 2 Lời giải Chọn D u 4 u 4 n 1 1 1 n 1 1 1 1 u u q 4. . n 1 u u q 2 n 1 2 n 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 73
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
Câu 28: Cho cấp số nhân u có u 3 và q 2. Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã n 1 cho.
A. S 511.
B. S 1025. C. S 1025. D. S 1023. 10 10 10 10 Lời giải Chọn D u 3 1 q 1 2 10 10 1 S u . 3. 1023. 10 1 q 2 1 q 1 2
Câu 29: Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 1; 4; 16; 64; Gọi S là tổng của n số hạng đầu tiên n
của cấp số nhân đó. Mệnh đề nào sau đây đúng? n n 1 1 4 n 4n 1 44 1 A. n 1 S 4 . B. S . C. S . D. S . n n 2 n 3 n 3 Lời giải Chọn C u 1 1 n q 1 4n 4n 1
Cấp số nhân đã cho có 1 S u . 1. . n 1 q 4 1 q 1 4 3
Câu 30: Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội bằng 2 và tổng số các số hạng bằng 189. Tìm số hạng
cuối u của cấp số nhân đã cho. 6 A. u 32.
B. u 104.
C. u 48. D. u 96. 6 6 6 6 Lời giải GV: T Chọn D R Ầ N q 2 ĐÌN q 2 Theo giả thiết: 5 5 6 6 1 q 1 2
u u q 3.2 96. 6 1 H CƯ
S 189 u u . u 3 6 1 1 1 1 q 1 2 – 0834
Câu 31: Cho cấp số nhân u có u 6 và q 2. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho n 1 bằng 2046. Tìm . n 3321 A. n 9.
B. n 10.
C. n 11. D. n 12. 33 Lời giải Chọn B n 1 n q 1 2 Ta có n n
2046 S u . 6. 2 2 1 2 1024 n 10. n 1 1 q 1 2
Câu 32: Cho cấp số nhân u có tổng n số hạng đầu tiên là S 5n 1. Tìm số hạng thứ 4 của cấp số n n nhân đã cho. A. u 100.
B. u 124.
C. u 500. D. u 624. 4 4 4 4 Lời giải Chọn C q u u q u n 1 n 1 4 Ta có 1 1 5
1 S u . n q 1 . Khi đó n 1 1 1 1 q q 1 q 5 q 5
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 74
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com 3 3
u u q 4.5 50 4 1 3n 1
Câu 33: Cho cấp số nhân u có tổng n số hạng đầu tiên là S
. Tìm số hạng thứ 5 của cấp số n n n 1 3 nhân đã cho. 2 1 5 A. u . B. u . C. 5 u 3 . D. u . 5 4 3 5 5 3 5 5 5 3 Lời giải Chọn A n u 3 1 q u 2 n 1 1 3 1 1 u Ta có 1 3 1 S 1 n q Khi đó n n 1 1 . 1 3 3 1 q q q 3 3 2 4 u u q 5 1 4 3 1 1
Câu 34: Một cấp số nhân có số hạng thứ bảy bằng
, công bội bằng . Hỏi số hạng đầu tiên của cấp số 2 4 nhân bằng bào nhiêu? 1 A. 4096. B. 2048. C. 1024. D. . 512 Lời giải Chọn B GV: T 1 q 6 4 4 R Ta có u 2048 1 Ầ 1 u 2 6 1 N
u u q 7 1 6 ĐÌN 2 4 H CƯ
Câu 35: Cho cấp số nhân u có u 6 và u 486. Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho, biết n 2 6 rằng u 0. – 3 0834 1 1 A. q 3.
B. q .
C. q .
D. q 3. 3321 3 3 33 Lời giải Chọn D
6 u u q 2 1 4 4
q 81 3 q 3. 5 4 4
486 u u q u . q q 6.q 6 1 1
Câu 36: Cho cấp số nhân u ; u ; u ; với u 1. Tìm công bội q để 4u + 5u đạt giá trị nhỏ nhất? 1 2 3 1 2 3 2 2 A. q .
B. q 0.
C. q .
D. q 1. 5 5 Lời giải Chọn A 2 2 4 4 Ta có 2 2
4u 5u 4u q 5u q 5q 4q 5q . Vậy 2 3 1 1 5 5 5
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 75
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com 4 2
min 4u 5u khi q 2 3 5 5
Câu 37: Một cấp số nhân có số hạng thứ hai bằng 4 và số hạng thứ sáu bằng 64, thì số hạng tổng quát của
cấp số nhân đó có thể tính theo công thức nào dưới đây? A. n 1 u 2 .
B. u 2n C. n 1 u 2 . D. u 2 . n n n n n Lời giải Chọn B
4 u u q u 2 Ta có 2 1 1 n 1 n 1 u u q 2.2 2n. n 1 5 4 4 64
u u q u . q q 4q q 2 6 1 1
Câu 38: Cho cấp số nhân u có công bội .
q Mệnh đề nào sau đây đúng? n u u A. k 1 u u .q . B. k 1 k 1 u .
C. u u .u .
D. u u k – 1 q. k 1 k 1 k 2 k k 1 k 2 Lời giải Chọn A
Câu 39: Cho cấp số nhân u có u 0 và q 0. Đẳng thức nào sau đây là đúng? n 1 A. 3
u u .q . B. 4
u u .q . C. 5
u u .q . D. 6
u u .q . 7 4 7 4 7 4 7 4 Lời giải Chọn A 3 GV: T u u q 4 1 u 3 u q 3 3
.q u q 7 1 4 6 u u q 7 1 R Ầ N ĐÌN
Câu 40: Cho cấp số nhân u có u 0 và q 0. Với 1 k ,
m đẳng thức nào dưới đây là đúng? n 1 k m m k mk H CƯ
A. u u .q .
B. u u .q . C. u u .q .
D. u u .q . m k m k m k m k Lời giải – 0834 Chọn C 3321 k 1 m 1 u u q u u q u q q u q m k 1 . m k m k k 1 1 1 k 33
Câu 41: Cho một cấp số nhân có n số hạng n k 5
5 . Đẳng thức nào sau đây sai?
A. u .u u .u .
B. u .u u .u .
C. u .u u .u .
D. u .u u .u . 1 n 2 n 1 1 n 5 n4 1 n 55 n 55 1 n k nk 1 Lời giải Chọn C n 1 u u u .u q u q u q
u u với k m n 1. n
k 1 m 1 . . 1 1 1 1 1 k m u 192
Câu 42: Tìm số hạng đầu
u và công bội q của cấp số nhân u biết 6 . n , 1 u 384 7 u 5 u 6 u 6 u 5 A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1 . q 2 q 2 q 3 q 3 Lời giải Chọn B
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 76
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com 5 q 2 19
2 u u q 6 1 192 . 6 384
u u q u q q 192q u 6 7 1 5 1 1 5 q u u 36
Câu 43: Cho cấp số nhân u thỏa mãn 4 2
. Chọn khẳng định đúng? n u u 72 5 3 u 4 u 6 u 9 u 9 A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1 . q 2 q 2 q 2 q 3 Lời giải Chọn B
u u u q 2 q 2 36 q 1 4 2 1 36 . 2 72
u u u q 2 q 1 u q 2 q u 6 1 1 q 36q q 2 5 3 1 1 q 1 u 8u
Câu 44: Cho cấp số nhân u thỏa mãn 20 17
. Chọn khẳng định đúng? n u u 272 1 5 A. q 2. B. q 4. C. q 4. D. q 2. Lời giải Chọn A 3 19 16 q 8 u 8u u q 8u q 1 1 q 2 20 17 272 . u u 272 u 1 q 272 u u 16 1 5 1 4 1 4 1 1 q GV: T R
Câu 45: Một cấp số nhân có năm số hạng mà hai số hạng đầu tiên là các số dương, tích của số hạng đầu Ầ N 1 ĐÌN
và số hạng thứ ba bằng 1, tích của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng . Tìm số hạng đầu 16 H CƯ
u và công bội q của cấp số nhân đã cho. 1 – 1 u 2 u 2 1 1 1 u u 0834 A. 1 2 . B. 1 . C. 1 . D. 1 2 . q q q 2 q 2 3321 2 2 33 Lời giải Chọn B u , u 0, 1 1 1 u 0 q 0 q 2 2 2 2 u .u 1 . u q 1 1 3 1 1 u 2 1 1 . 1 2 6 2 2 4 4 q u u u q u q q q 3 5 1 1 16 16
Câu 46: Cho cấp số nhân u có công bội q và thỏa n 1 1 1 1 1 u
u u u u 49 1 2 3 4 5 u u u u u . 1 2 3 4 5
u u 35 1 3 Tính 2
P u 4q . 1 A. P 24. B. P 29. C. P 34. D. P 39.
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 77
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn B 1 1 1 1 1
Nhận xét: Nếu u , u , u , u , u là một cấp số nhân với công bội q thì , , , , cũng 1 2 3 4 5 u u u u u 1 2 3 4 5 1
tạo thành cấp số nhân với công bội . q 1 1 5 5 q 1 1 q u . 49 . 1 1
Do đó từ giả thiết ta có q 1 u 1 . 1 1 q 2 u u q 35 2 1 1 5 5 q 1 49 q 1 Phương trình 2 4 2 1 u .
u q 49 u q 7 . 1 4 q 1
u q q 1 1 1 1 7 Với 2 u q 7
. Thay vào 2 , ta được u 7 35 u 42 . Suy ra 2 q : vô lý. 1 1 1 42 u 28 u 28 1 1 Với 2
u q 7 . Thay vào 2 , ta được u 7 35 u 28 . Vậy hoặc . Khi đó 1 1 1 1 1 q q 2 2 2
u 4q 29. 1 u
u u 26
Câu 47: Cho cấp số nhân
u có công bội q và thỏa 1 2 3
. Tìm q biết rằng q 1. n 2 2 2 u
u u 364 1 2 3 GV: T 5 4 A. q . B. q 4. C. q . D. q 3. R Ầ 4 3 N ĐÌN Lời giải H CƯ Chọn D – 2 2 0834 u
u u 26 u 1 q q 26 2 u 2 1 q q 2 26 1 1 1 Ta có 1 2 3 . 2 2 2 2 2 4 u u u 364 2 2 4 3321 u 1 q q 364 2 1 1 2 3 u 1 q q 364 1 33 Lấy 1 chia 2 , ta
1q q 2 2 2 26 1 1 được 4 3 2 2
3q 7q 4q 7q 3 0 3q 7
q 4 0 . 2 4 2 1 q q 364 q q
t 1 loaïi 1
Đặt t q , t 2 . Phương trình trở thành 2
3t 7t 10 0 10 . q t 3 10 1 10 1 Với t , suy ra 2 q
3q 10q 3 0 q 3 hoặc q . Vì q 1 nên q 3. 3 q 3 3
Câu 48: Các số x 6 y, 5x 2 y, 8x y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số
x 1, y 2, x 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tính 2 2 x y . A. 2 2 x y 40. B. 2 2 x y 25. C. 2 2
x y 100. D. 2 2 x y 10. Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 78
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Chọn A
x 6y8x y 25x 2y Theo giả thiết ta có x
1 x 3y y 22 x 3y x 3y x 6 . 3y
1 3y 3y y 22 0 y 22 y 2 Suy ra 2 2 x y 40.
Câu 49: Ba số x; y; z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q khác 1; đồng thời các số
x; 2 y; 3z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0. Tìm giá trị của q . 1 1 1 A. q . B. q . C. q . D. q 3. 3 9 3 Lời giải Chọn A 2
y xq; z xq x 0 2
x 3xq 4xq x 2
3q 4q x 3z 2 2y 1 0 . 2
3q 4q 1 0
Nếu x 0 y z 0 công sai của cấp số cộng: x; 2 y; 3z bằng 0 (vô lí). q 1 1 Nếu 2
3q 4q 1 0 1 q q 1 . q 3 3 GV: T
Câu 50: Cho dãy số tăng a, ,
b c c theo thứ tự lập thành cấp số nhân; đồng thời a, b 8, c theo thứ R
tự lập thành cấp số cộng và a, b 8, c 64 theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính giá trị biểu Ầ N ĐÌN
thức P a b 2c. 184 92 H CƯ A. P . B. P 64. C. P . D. P 32. 9 9 – 0834 Lời giải 3321 Chọn B 2 2 33 ac b ac b 1 Ta có
a c 2b 8
a 2b 16c 2 .
ac 64 b 2 8
ac 64a b 2 8 3
Thay (1) vào (3) ta được: 2 2
b 64a b 16b 64 4a b 4 4. c 8 a
a2b 16c
Kết hợp (2) với (4) ta được: 7 5 4a b 4 4c 60 b 7
Thay (5) vào (1) ta được: c 36 7c
8 c 4c 602 2
9c 424c 3600 0
100 c 36 c . c 9
Với c 36 a 4, b 12 P 412 72 64.
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 79
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
Câu 51: Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công sai khác 0 theo thứ
tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q . Tìm . q 3 3 A. q 2. B. q 2. C. q . D. q . 2 2 Lời giải Chọn B
Giả sử ba số hạng a; ;
b c lập thành cấp số cộng thỏa yêu cầu, khi đó ; b ;
a c theo thứ tự đó lập
thành cấp số nhân công bội . q Ta có
a c 2b b 0 2
bq bq 2b . 2 2
a bq; c bq
q q 2 0
Nếu b 0 a b c 0 nên a; ;
b c là cấp số cộng công sai d 0 (vô lí). Nếu 2
q q 2 0 q 1 hoặc q 2. Nếu q 1 a b c (vô lí), do đó q 2.
Câu 52: Cho bố số a, b, c, d biết rằng a, ,
b c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân công bội q 1 ; còn ,
b c, d theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. Tìm q biết rằng a d 14 và b c 12. 18 73 19 73 20 73 21 73 A. q . B. q . C. q . D. q . 24 24 24 24 Lời giải Chọn B GV: T
Giả sử a,b,c lập thành cấp số cộng công bội .
q Khi đó theo giả thiết ta có: 2 R b
aq, c aq 2 Ầ aq d 2aq 1 N b d 2c ĐÌN
a d 14 2 a d 14 2 H CƯ
aq q 12 3 b c 12 –
Nếu q 0 b c 0 d (vô lí) 0834 3321
Nếu q 1 b ;
a c a b c 0 (vô lí). 33 12 Vậy q 0, q
1, từ (2) và (3) ta có: d 14 a và a thay vào (1) ta được: 2 q q 2 3 12q 14q 14q 12 24q 3 2 12q 7q 13 q 6 0 2 2 2 q q q q q q q 73 1 19 2
12q 19q 6 0 q 24 19 73
Vì q 1 nên q . 24
Câu 53: Gọi S 111111... 111...1 ( n số 1) thì S nhận giá trị nào sau đây? 10n 1 10n 1 A. S . B. S 10 . 81 81 10n 1 1 10n 1 C. S 10 . n D. S 10 n . 81 9 9
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 80
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn D 1 1 110n Ta có S 9 99 999 ... 99...9 . 1 0. n . 9 n so 9 9 1 10 21.3b b Câu 54: Biết rằng 2 10
S 1 2.3 3.3 ...11.3 a
. Tính P a . 4 4 A. P 1. B. P 2. C. P 3. D. P 4. Lời giải Chọn C Từ giả thiết suy ra 2 3 11
3S 3 2.3 3.3 ...11.3 . Do đó 11 11 1 3 1 21.3 1 21 2 10 11 11 11
2S S 3S 1 3 3 ...3 10.3 11.3 S .3 . 1 3 2 2 4 4 11 1 21.3 21.3b 1 1 11 Vì S a
a , b 11 P 3. 4 4 4 4 4 4
Câu 55: Một cấp số nhân có ba số hạng là , a ,
b c (theo thứ tự đó) trong đó các số hạng đều khác 0 và
công bội q 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 1 1 1 1 1 1 1 2 A. . B. . C. . D. . 2 a bc 2 b ac 2 c ba a b c Lời giải GV: T Chọn B R Ầ 1 1 N Ta có 2 ac b 2 ĐÌN b ac H CƯ
Câu 56: Bốn góc của một tứ giác tạo thành cấp số nhân và góc lớn nhất gấp 27 lần góc nhỏ nhất. Tổng
của góc lớn nhất và góc bé nhất bằng: – 0834 A. 0 56 . B. 0 102 . C. 0 252 . D. 0 168 . 3321 Lời giải 33 Chọn C
Giả sử 4 góc A, B, C, D (với A B C D ) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thỏa yêu cầu với công bội . q Ta có q A B C D 360 A 3 2 3
1 q q q 360 A 9
A D 252. 3 D 27 A Aq 27A 3
D Aq 243
Câu 57: Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nữa diện
tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích
của đế tháp (có diện tích là 2
12 288 m ). Tính diện tích mặt trên cùng. A. 2 6 m . B. 2 8 m . C. 2 10 m . D. 2 12 m . Lời giải Chọn A
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 81
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com 1
Diện tích bề mặt của mỗi tầng (kể từ 1) lập thành một cấp số nhân có công bội q và 2 12 288 u
6 144. Khi đó diện tích mặt trên cùng là 1 2 6144 10 u u q 6 11 1 10 2
Câu 58: Một du khách vào chuồng đua ngựa đặt cược, lần đầu đặt 20000 đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp
đôi lần tiền đặt cọc trước. Người đó thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần thứ 10. Hỏi du khác trên thắng hay thua bao nhiêu? A. Hòa vốn. B. Thua 20000 đồng.
C. Thắng 20000 đồng. D. Thua 40000 đồng. Lời giải Chọn C
Số tiền du khác đặt trong mỗi lần (kể từ lần đầu) là một cấp số nhân có u 20 000 và công bội 1 q 2.
Du khách thua trong 9 lần đầu tiên nên tổng số tiền thua là: u 9 1 p 1
S u u ... u 10220000 9 1 2 9 1 p
Số tiền mà du khách thắng trong lần thứ 10 là 9
u u . p 10240000 10 1
Ta có u S 20 000 0 nên du khách thắng 20 000. 10 9 GV: T R Ầ N ĐÌN H CƯ – 0834 3321 33
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 82
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG 2
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM n Câu 1:
Cho dãy số u với u
. Ba số hạng đầu tiên của dãy số u lần lượt là n n n 3n 1 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 2 3 A. ; ; . B. ; ; . C. ; ; . D. ; ; . 2 4 27 2 4 26 2 4 25 2 3 28 Lời giải Chọn B 1 1 1 1 1 Câu 2: Cho dãy số: ; ; ; ;
; Số hạng tổng quát của dãy số này là 2 3 4 5 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 A. u . B. u . C. u . D. u . n n 1 3 3 n n 1 3 n 3n n n 1 3 Lời giải Chọn C n 1 Câu 3:
Cho dãy số u với u
. Phát biểu nào sau đây đúng? n n n 2
A. Dãy số tăng và bị chặn.
B. Dãy số giảm và bị chặn.
C. Dãy số giảm và bị chặn dưới.
D. Dãy số giảm và bị chặn trên. Lời giải Chọn B GV: T n 1 1 u 1 n R n 2 n 2 Ầ N ĐÌN 1 1 * u 1 1 u , n n 1 n 3 n 2 n H CƯ
Vậy dãy số u là dãy số giảm. n – 0834 3321 1 1 1 * u 1 1, n
. Vậy dãy số u bị chặn trên * u 1 , n . Vậy dãy n n n 2 n n 2 2 33
số u bị chặn dưới. Vậy dãy số u bị chặn. n n Câu 4:
Cho cấp số cộng u có số hạng đầu u , công sai d . Khi đó, với n 2 ta có n 1
A. u u d .
B. u u n 1 d . n 1 n 1
C. u u n 1 d .
D. u u n 1 d . n 1 n 1 Lời giải Chọn B Câu 5:
Cho cấp số cộng u có u 3 và u 1 . Khi đó n 1 2 A. u 4 . B. u 2 . C. u 5 . D. u 7 . 3 3 3 3 Lời giải Chọn C
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 83
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
u u d 1 3 d d 4 2 1
u u 2d 3 4 .2 5 3 1 Câu 6:
Cho cấp số cộng u có số hạng đầu u 1
và công sai d 3. Khi đó S bằng n 1 5 A. 11. B. 50. C. 10. D. 25. Lời giải Chọn D 5 2 1 5 1 3 S 25 5 2 Câu 7:
Có bao nhiêu số thực x để 2x 1; x ; 2x 1 theo thứ tự lập thành cấp số nhân? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn B
x 2x 1 q Do 2x 1; ;
x 2x 1 lần lượt tạo thành cấp số nhân. Gọi công bội là q Ta có: . 2x 1 xq x 2x 1 y ra: 2 2
x 4x 1 2x 1 x 3 3 GV: T x hoặc x 3 3 R Ầ N Câu 8:
Một tam giác có số đo các góc lập thành cấp số nhân có công bội q 2 . Số đo các góc của tam ĐÌN
giác đó lần lượt là H CƯ 2 4 2 4 2 4 A. ; ; . B. ; ; . C. ; ; . D. ; ; . – 6 3 2 5 5 5 6 6 6 7 7 7 0834 Lời giải 3321 Chọn D 33
Gọi 3 góc của tam giác đó là: u; 2u; 4u
Ta có: u 2u 4u u 7 2 4
Vậy 3 góc của tam giác là , , 7 7 7 BÀI TẬP TỰ LUẬN 3n 1 Câu 9:
Xét tính tăng, giảm của dãy số u với u n n 2n Lời giải n n 1 n 3n 1 3 1 3 1 3 1 u . Ta có: * u u , n n 2n n 1 n 1 n n 2 2n 2 2 2 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 84
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
Vậy dãy số u là dãy số tăng. n 2n 1
Câu 10: Xét tính bị chặn của dãy số u với u n n n 2 Lời giải 2n 1 3 u 2 n n 2 n 2 Ta có: * u 2, n
. Vậy dãy số u bị chặn trên. n n 1 * u , n
. Vậy dãy số u bị chặn dưới. n n 2
Suy ra, dãy số u bị chặn. n
Câu 11: Tìm số hạng đầu u và công sai d của cấp số cộng u , biết: n 1 5
u 10u 0 u u 60 a) 1 5 b) 7 15 S 14; 2 2
u u 1170. 4 4 12 Lời giải
5u 10u 40d 0 1 1 GV: T
5u 10u 0 1
5u 40d 0 u 8 1 5 a)
4 2u 3d 1 1 1 S 14 14 2u 3d 7 d 3 R 4 1 Ầ 2 N ĐÌN
u 6d u 14d 60
2u 20d 60 u u 60 1 1 1 H CƯ 7 15 b) 2 2 u u 1170 4 12
u 3d u 11d 1170 u 3d u 11d 1170 1 2 1 2 1 2 1 2 – 0834 u 30 10d 1 2 2 3321 u 3d
u 11d 1170 1 1 33 Suy ra: 2 2
(30 10d 3d) (30 10d 11d) 1170 d 3 2 2 2 900 420d 49d 900 60d d 1170 50d 360d 630 0 21 d 5
Khi d 3 thì u 0 1 21 Khi d thì u 12 1 5
Câu 12: Tìm số hạng đầu u và công bội q của cấp số nhân u , biết: n 1 u 96 u u 72 a) 5 ; b) 4 2 . u 192 u u 144 6 5 3 Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 85
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com 4 u 96
u q 96 q 2 5 1 a) 5 u 192 u .q 192 u 6 6 1 1 3
u u 72
u .q u q 72 q 2 4 2 1 1 b) 4 2 u u 144
u .q u q 144 u 8 5 3 1 1 1
Câu 13: Giả sử một quần thể động vật ở thời điểm ban đầu có 110000 cá thề, quần thể này có tỉ lệ sinh là
12% năm, xuất cư là 2% /năm, tử vong là 8% / năm. Dự đoán số cá thể của quần thể đó sau hai năm. Lời giải
Số cá thể của quần thể qua các năm tạo thành cấp số nhân có công bội là:
q 1 0,12 0, 02 0, 08 1, 02
Số cá thể sau hai năm là: 2
110000.1, 02 114444 (cá thể).
Câu 14: Một cây đàn organ có tần số âm thanh các phim liên tiếp tạo thành một cấp số nhân. Cho biết tần
số phim La Trung lả 400 Hz và tần số của phím LaCao cao hơn 12 phím là 800 Hz
(nguổn: https:// vi.wikipedia.org/wiki/Organ). Tìm công bội của cẩp số nhân nói trên (làm tròn
kết quả đến hàng phần nghìn). Lời giải 800 Ta có: 12 q
2 . Suy ra: q 1, 06 . 400 GV: T
Câu 15: Dân số Việt Nam năm 2020 là khoảng 97,6 triệu người (theo Niên giảm thống kê năm 2020). R
Nếu trung bình mỗi năm tăng 1,14% thì ưởc tính dân số Việt Nam năm 2040 là khoảng bao Ầ N ĐÌN
nhiêu người (làm tròn kết quả đến hàng trăm nghìn)? Lời giải H CƯ
Ước tính dân số Việt Nam năm 2040 là: 20
97, 6.(1 0, 0114) 122, 4 (triệu người). – 0834
BÀI TẬP TỔNG ÔN CHƯƠNG 2 3321
PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM 33 Câu 1:
Khẳng định nào sau đây là sai? A. Dãy số có 1 u . a 3n . B. Hiệu số u u 3.a . n 1 n 1 n
C. Với a 0 thì dãy số tăng.
D. Với a 0 thì dãy số giảm. Lời giải Chọn B Ta có n 1 u u .3 a .3n a .3n a 3 1 2 .3n a . n 1 n Câu 2:
Cho dãy số u với u 2n 1. Dãy số u là dãy số n n n
A. Bị chặn trên bởi 1. B. Giảm.
C. Bị chặn dưới bởi 2. D. Tăng. Lời giải Chọn D * n ta có: u
u 2 n 1 1 2n 1 2 0 nên u
u vậy dãy số u tăng. n n 1 n n 1 n
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 86
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Câu 3:
Cho cấp số cộng u có u 3 và công sai d 7 . Hỏi kể từ số hạng thứ mấy trở đi thì các số n 1
hạng của u đều lớn hơn 2018 ? n A. 287 . B. 289 . C. 288 . D. 286 . Lời giải Chọn B 2022
Ta có: u u n 1 d 3 7 n
1 7n 4 ; u 2018 7n 4 2018 n n 1 n 7 Vậy n 289 . Câu 4:
Xác định số hàng đầu u và công sai d của cấp số cộng u có u 5u và u 2u 5 . n 1 9 2 13 6
A. u 3 và d 4 .
B. u 3 và d 5 .
C. u 4 và d 5 .
D. u 4 và d 3 . 1 1 1 1 Lời giải Chọn A u
8d 5 u d 1 1
Ta có: u u n 1 d . Theo đầu bài ta có hpt: n 1
u 12d 2 u 5d 5 1 1
4u 3d 0 u 3 1 1 .
u 2d 5 d 4 1 Câu 5:
Cho cấp số cộng u có u 12 , u 18 . Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng n 4 14 này. A. S 24 . B. S 26 . C. S 25 . D. S 24 . 16 16 16 16 GV: T Lời giải Chọn D R Ầ N u 3d 12 u 21 ĐÌN
Gọi d là công sai của cấp số cộng. Theo giả thiết, ta có 1 1 . u 13d 18 d 3 1 H CƯ 2u 15d .16 1 Khi đó, S 8 42 45 24 . 16 – 2 0834 Câu 6:
Cho cấp số cộng u biết u 18 và 4S S . Tìm số hạng đầu tiên u và công sai d của cấp n 5 n 2n 1 3321 số cộng. 33
A. u 2 ; d 4 .
B. u 2 ; d 3 .
C. u 2 ; d 2 .
D. u 3 ; d 2 . 1 1 1 1 Lời giải Chọn A
Ta có: u 18 u 4d 18 1 . 5 1 n n 1 d 2n 2n 1 d 4S S 4 nu 2nu
4u 2nd 2d 2u 2nd d n 2n 1 1 2 2 1 1
2u d 0 2 . 1 Từ
1 và 2 suy ra u 2 ; d 4 . 1 Câu 7:
Bốn số tạo thành một cấp số cộng có tổng bằng 28 và tổng các bình phương của chúng bằng
276 . Tích của bốn số đó là : A. 585 . B. 161. C. 404 . D. 276 .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 87
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn A
Gọi 4 số cần tìm là a 3r , a r , a r , a 3r .
a 3r a r a r a 3r 28 a 7 a 7 Ta có: . a 3r 2
2 a r 2 a r2 a 3r2 276 r 4 r 2
Bốn số cần tìm là 1, 5 , 9 , 13 có tích bằng 585 . u
3u u 2 1 Câu 8:
Cho cấp số cộng u thỏa 5 3 2
. Tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng là. n
3u 2u 3 4 7 4 A. 24 4 . B. 274 . C. 253 . D. 285 . Lời giải Chọn D
Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu là u và công sai là d . 1 u
3u u 2 1 u
4d 3 u 2d u d 21 3
u 9d 2 1 1 1 1 Khi đó, 5 3 2 1 3u 2u 3 4 3
u 6d 2 u 3d 34 u 12d 3 4 1 1 7 4 1 u 2 1 . d 3 15 GV: T Từ đó suy ra S
. 2.2 15 1 . 3 285 15 2 . R u 3 Ầ N Câu 9:
Cho dãy số u biết 1 , * n
. Tìm số hạng tổng quát của dãy số u . n n ĐÌN u 3u n 1 n H CƯ
A. u 3n . B. 1 u 3n . C. 1 u 3n . D. n 1 u n . n n n n – Lời giải 0834 Chọn A 3321 u Ta có n 1 3 . 33 un
Do đó dãy số u là một cấp số nhân với u 3 , công bội q 3 . n 1
Vậy số hạng tổng quát của cấp số nhân là: 1 u u . n q 1 3.3n 3n . n 1
u u u 13
Câu 10: Cho cấp số nhân u thỏa mãn: 1 2 3
. Tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân un n u u 26 4 1 là A. S 3280 . B. S 9841. C. S 3820 . D. S 1093 . 8 8 8 8 Lời giải Chọn A
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 88
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com 2 3
u u u 13 u 1 q q 13 1 q 1 26 Ta có : 1 2 3
q 1 2 q 3 u u 26 2 3
1 q q 13 4 1 u q 1 26 1 u 1 . 1 1 8 1 3 S 3280 . 8 1 3 PHẦN 2 : TỰ LUẬN
Câu 11: Tìm giá trị x dương nhỏ nhất thỏa mãn ba số sin x, sin 2x, 3 cos x lập thành cấp số cộng. Lời giải
Theo bài ra, ba số sin x, sin 2x, 3 cos x lập thành cấp số cộng nên suy ra 1 3
sin x 3 cos x 2 sin 2x sin x cos x sin . x cos sin
.cos x sin 2x 2 2 3 3 2x x k 2 x k 2 3 3 sin x sin 2x k Z 3 2 k 2 2x x k 2 x 3 9 3 2
Nghiệm dương x nhỏ nhất sẽ ứng với k 0 . Vậy x hoặc x . 3 9
Câu 12: Chứng minh rằng ba số dương a,b,c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi các GV: T 1 1 1 số , ,
theo thứ tự lập thành cấp số cộng. R Ầ b c c a a b N ĐÌN Lời giải H CƯ 1 1 1 Ba số , ,
lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi b c c a a b – 0834 1 1 1 1 3321 c a b c a b b c 33 b a c b
c a b c a b c a
b a b a c b c b
b a c b a, ,
b c lập thành cấp số cộng.
Câu 13: Chu vi của một đa giác là 45 cm, số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng với công sai
d 3cm . Biết cạnh lớn nhất là 15 cm, tính số cạnh của đa giác đó. Lời giải
Gọi cạnh nhỏ nhất của đa giác là u và số cạnh của đa giác là n. 1
Ta có 15 u n 1 .3 hay u 18 3n 0 n 6 . 1 1
Tổng các cạnh là 45 cm, ta có
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 89
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
n 15 18 3n 45 hay 2
3n 33n 90 0 . 2 Giải phương trình với *
n N ; n 6 , ta được n 5 .
Câu 14: Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết rằng:
a) Tổng của chúng bằng 15 và tích của chúng bằng 105.
b) Tổng của chúng bằng 21 và tổng bình phương của chúng bằng 155. Lời giải
Gọi ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng là a, b, c a c 2b * .
a b c 15
a b c 15 a) Theo bài ra, ta có
, kết hợp với * , ta được a c 2b abc 105 abc 105 3 b 15 b 5 a 3 a 7
a c 2b c 10 a b 5 hoặc b 5 . abc 105 5 a 10 a 105 c 7 c 3
a b c 21
a b c 21 b) Theo bài ra, ta có
, kết hợp với * , ta được a c 2b 2 2 2
a b c 155 2 2 2
a b c 155 3b 21 b 7 a 5 a 9 GV: T
a c 2b
c 14 a b 7 hoặc b 7 . 2 2 2 2 2 2 R
a b c 155 a 14 a c 9 7 155 c 5 Ầ N ĐÌN
Câu 15: Cho ba số a,b,c theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Chứng minh rằng H CƯ 2 2
a 2bc c 2ab và a bc b c2 2 8 2 . – 0834 Lời giải
Vì a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng suy ra a c 2b . 3321 Ta có 2 2
a 2bc c 2ab a ca c 2b c a a ca c 2b 0 33 Suy ra 2 2 2 2
a 2bc c 2ab 0 a 2bc c 2ab điều phải chứng minh. 2 2 Lại có 2
a bc b c 2
a a c c a c 2 2 2 2 8 2 4 2
a 4ac 4c a 4ac 4c 2 2 Suy ra 2
a bc b c 2 8 2
0 a 8bc 2b c điều phải chứng minh. u 2 1
Câu 16: Cho dãy số u xác định bởi . n
u 4u 9, n 1 n 1 n
a) Chứng minh dãy số v với v u 3, n 1 là một cấp số nhân. n n n
b) Tìm công thức tổng quát của dãy số u . n Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 90
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com
a) Ta có v u 3 , suy ra v u
3 4u 9 3 . Do đó n 1 n 1 n n n v 4u 9 u n n 3 4 3 n 1 4 . v u 3 u 3 n n n
Vậy v là cấp số nhân với số hạng đầu v u 3 2 3 5 và công bội q 4 . n 1 1 v 5
b) Do v là cấp số nhân với 1
nên số hạng tổng quát của n 1 n 1 v v .q 5.4 . n q 4 n 1
Suy ra công thức tổng quát của dãy số u là n 1 u v 3 5.4 3 . n n n u u 51 1 5
Câu 17: Cho cấp số nhân có . u u 102 2 6
a) Tìm số hạng đầu tiên và công bội
b) Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên.
c) Tổng của bao nhiêu số hạng đầu sẽ bằng 765.
d) Số 12288 là số hạng thứ mấy? Lời giải u u 51 u u q 51 u 4 4 1 q 51 1 u 3 1 5 Ta có 1 1 1 . 5 4 GV: T u u 102 u
q u q 102 u q 1 q 102 q 2 2 6 1 1 1 R Ầ
a) Vậy số hạng đầu u 3 và công bội q 2 . N 1 ĐÌN 10 10 H CƯ 1 q 1 2
b) Tổng của 10 số hạng đầu tiên S u . 3. 3069 . 10 1 1 q 1 2 – 0834 1 n q 1 2n 3321
c) Ta có S u . 3.
765 n 8 . Vậy tổng của 8 số hạng đầu tiên bằng n 1 1 q 1 2 33 765.
d) Giả sử u 12288 . Theo công thức tổng quát của cấp số nhân, ta có n n 1 n 1 u u .q 12288 3.2 n 13 . n 1
Vậy 12288 là số hạng thứ 13 của cấp số nhân.
Câu 18: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp sống nhân n u , biết u u 15 u 8u a) 5 1 . b) 20 17 . 4 u 2 u 6 3 u 5 u 240 u
u u 65 u
u u 10 c) 1 3 5 . d) 2 4 5 . 1 u 7 u 325 3 u 5 u 6 u 20 Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 91
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com u 4 4 1 q u u u q u 1 15 1 15 15 a) Ta có 5 1 1 1 . 3 u u 6 u
q u q 6 u q 2 4 2 1 1 1 q 1 6 2 2 q 1 15 1 u Lấy 1 chia 2 , ta được 2
2q 5q 2 0 q 2 hoặc q . Vậy 1 1 hoặc q 6 2 q 2 1 u 16 1 . q 2 19 16 3 u 8u u q 8u q q 8 u 12 b) Ta có 20 17 1 1 1 . 2 4 2 4 3 u 5 u 240 q 2 1 u q 1 u q 240 1 u q 1 u q 240 u 2 4 2 4 1 1 q q u u u u u q u q 65 1 65 65 c) Ta có 1 3 5 1 1 1 . 6 u u 325 u u q 325 u 6 1 7 1 1 1 1 q 325 2 6 1 q 325 u u Lấy 2 chia 1 , ta được 2
1 q 5 q 2 . Vậy 1 5 hoặc 1 5 . 2 4 1q q 65 q 2 q 2 u q 2 3 3 4 1 1 q q u u u u q u q u q 10 1 10 10 d) Ta có 2 4 5 1 1 1 . 2 4 5 2 u u u 20 u
q u q u q 20 u q 2 3 3 5 6 1 1 1 1 1 q q 20 2 u GV: T Lấy 2 chia
1 , ta được q 2 . Vậy 1 1 . q 2 R Ầ N
Câu 19: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp sống nhân n u , biết ĐÌN u 1 H CƯ 1 S 40 a) 8 3 1 . b) 4 . S S 680 8 8 – 2 0834 Lời giải 3321 33 u 1 1 u 1 1 u 1 a) Ta có 1 8 8 8 3 1 q 1 3 1 . S u . q 3 8 1 2 q1 2 4 q 1 u . 40 1 1 S 40 q 1 b) Ta có 4 . 8 8 S 680 q 1 u . 680 2 1 q 1 8 u u Lấy 2 chia cho 1 , ta được 4 4
q 1 17 q 16 q 2 . Vậy 1 3 hoặc 1 8 . q 2 q 2
Câu 20: Tìm ba số khác nhau tạo thành cấp số cộng có tổng bằng 6, biết rằng nếu hoán đổi vị trí số hạng
thứ nhất và số hạng thứ hai đồng thời giữ nguyên số hạng thứ ba ta được cấp số nhân. Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 92
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
WEB: Toanthaycu.com Gọi ba số cần tìm là . 1 u , 2 u , 3 u với 1 u 2 u 3 u 1 u ● nên . 1 u , 2 u , 3
u tạo thành cấp số cộng với công sai d 0 1 u , 2 u 1 u d, 3 u 1 u 2d
Hơn nữa, u u u 6 u u du 2d . 1 2 3 1 1 1 6 1 u d 2 ●
tạo thành cấp số nhân 2 u , 1 u , 3
u tạo thành cấp số nhân hay 1 u d, 1 u , 1 u 2d u
d u 2d 2 1 1 1 u 2 u u d u d
d u 22 2 u 2 2 1 2 . 1 1 1 1 1 u 1 u 2 1 u 8 0 1 u 4 Với , suy ra : không thỏa mãn. 1 u 2 d 0 Với , suy ra
. Vậy ba số cần tìm là . 1 u 4 d 6 4, 2, 8 GV: T R Ầ N ĐÌN H CƯ – 0834 3321 33
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 93