Bài giảng đường tiệm cận của đồ thị hàm số Toán 12

Bài giảng đường tiệm cận của đồ thị hàm số Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

43 22 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

TOANMATH.com

Trang 1

BÀI 4. TIỆM CẬN

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được khái niệm đường tiệm cận của đồ thị hàm số, khái niệm đường tiệm cận đứng, tiệm

cận ngang của đồ thị hàm số.

+ Nhận biết được các đồ thị của hàm số có tiệm cận

+ Nắm được tính chất của các đường tiệm cận với đồ thị của hàm số

 Kĩ năng

+ Biết cách xác định phương trình đường tiệm cận của hàm số cho bởi công thức, cho bởi bảng

biến thiên.

+ Biện luận số đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số chứa tham số.

+ Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số ẩn.

+ Áp dụng các tính chất của các đường tiệm cận vào các bài toán liên quan.

TOANMATH.com

Trang 2

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Đường thẳng



y y

được gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số







y f x

nếu





lim





f x y

hoặc

lim





Đường thẳng



x x

được gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số







y f x

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:









0 0

lim ; lim

 

 

   

x x x x

f x f x ;









0 0

lim ; lim

 

 

   

x x x x

f x f x

TOANMATH.com

Trang 3

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Tiệm cận đứng

Đường thẳng



x x

được gọi là

tiệm cận đứng của đồ thị hàm số







y f x

nếu ít nhất một trong

các điều kiện sau được thỏa mãn:









0 0

lim ; lim

 

 

   

x x x x

f x f x









0 0

lim ; lim

 

 

   

x x x x

f x f x

Tiệm cận ngang

Đường thẳng



y y

được gọi là

tiệm cận ngang của đồ thị hàm số







y f x

nếu





lim





f x y

hoặc

lim





TIỆM CẬN

TOANMATH.com

Trang 4

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số khi biết biểu thức, bảng biến thiên, đồ thị

Bài toán 1. Xác định các đường tiệm cận dựa vào định nghĩa

Phương pháp giải

Dựa vào định nghĩa của đường tiệm cận

Tiệm cận ngang

Đường thẳng



y y

là đường tiệm cận ngang của

đồ thị hàm số







y f x

nếu





lim





f x y

hoặc





lim





f x y

Tiệm cận đứng

Đường thẳng



x x

là đường tiệm cận đứng của đồ

thị hàm số







y f x

nếu một trong các điều kiện

sau được thỏa mãn:









0 0

lim ; lim

 

 

   

x x x x

f x f x









0 0

lim ; lim

 

 

   

x x x x

f x f x

Ví dụ: Cho hàm số







y f x

có





lim 1





f x và

lim 1



 

Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận ngang, ta có

phương trình các đường tiệm cận ngang của đồ thị

hàm số







y f x

là



và

 

Ví dụ: Cho hàm số







y f x

có





lim



 

f x

và





lim



 

f x .

Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận đứng, ta có

phương trình các đường tiệm cận đứng của đồ thị

hàm số







y f x

là

 

và



Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho hàm số







y f x

có





lim 3



 

f x và





lim 3





f x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là



và

 

B. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là



và

 

C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang

D. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang

Hướng dẫn giải

Vì





lim 3



 

f x nên

 

là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vì





lim 3





f x

nên



là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chọn A

Ví dụ 2: Cho hàm số







y f x

có đồ thị là đường cong





và các giới hạn:

















2 2

lim 1; lim 1; lim 2; lim 2

x x

f x f x f x f x

 

 

 

   

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Đường thẳng



x là tiệm cận đứng của





TOANMATH.com

Trang 5

B. Đường thẳng



là tiệm cận ngang của





C. Đường thẳng



là tiệm cận ngang của





D. Đường thẳng



x là tiệm cận ngang của





Hướng dẫn giải

Ta có





 

lim 2



















f x

đường thẳng



là tiệm cận ngang của





Chọn B

Ví dụ 3: Cho hàm số







y f x

xác định trên khoảng





2; 1

 

và có





lim 2







f x ,





lim





 

f x .

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Đồ thị hàm số







y f x

có đúng hai tiệm cận đứng là

 

và

 

B. Đồ thị hàm số







y f x

có đúng một tiệm cận ngang là



C. Đồ thị hàm số







y f x

có đúng một tiệm cận đứng là

 

D. Đồ thị hàm số







y f x

có đúng hai tiệm cận ngang là



và

 

Hướng dẫn giải

lim ( )

f x





 

nên đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng là

 

Chọn C

Bài toán 2. Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên và đồ thị hàm

số

Phương pháp giải

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số







y f x

xác

định phương trình các đường tiệm cận đứng, tiệm

cận ngang, số các đường tiệm cận của đồ thị hàm

số







y f x

Chú ý:

- Ứng với điểm



x x

trong bảng biến thiên thì ở

dòng y phải ghi các kí hiệu -∞ hoặc +∞ (không phải

các giá trị cụ thể) thì đường thẳng



x x

mới là

đường tiệm cận đứng của đồ thị.

- Ứng với điểm -∞ hoặc +

∞ trong

bảng biến thiên

thì ở dòng y phải ghi các giá trị cụ thể

(không

phải là -∞ hoặc +∞) thì đường thẳng



y y

mới là

đường tiệm cận ngang của đồ thị.

Ví dụ: Cho hàm số







y f x

có bảng biến thiên

như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta có đường thẳng



x x

là tiệm cận đứng và đường thẳng



y y

là đường

tiệm cận ngang của đồ thị hàm số







y f x

TOANMATH.com

Trang 6

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho hàm số







y f x

xác định và có đạo hàm trên





\ 1





. Hàm số có bảng biến thiên như

hình vẽ dưới đây.

Đồ thị hàm số







y f x

có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 4 B. 1 C. 2 D. 3

Hướng dẫn giải

Từ bảng biến thiên của hàm số, ta có





lim 3 3



    

f x y là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số





lim 3 3



  

f x y

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số





lim 1





    

f x x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số









1 1

lim , lim 1

 

 

     

x x

f x f x x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Vậy hàm số có hai tiệm cận đứng là

 

, hai tiệm cận ngang là

 

Chọn A

Ví dụ 2: Cho hàm số







y f x

xác định và có đạo hàm trên





\ 2; 1





và có bảng biến thiên như sau:

Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

 

x và



B. không có tiệm cận đứng

 



Hướng dẫn giải

Từ bảng biến thiên, ta có

 

lim



 

 

nên

 

là đường tiệm cận đứng;

1 1

lim lim 2

 

 

 

x x

y y nên



không là đường tiệm cận đứng.

TOANMATH.com

Trang 7

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới.

Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số







y f x

là



và

 



và



 

và

 

và



Hướng dẫn giải

Dựa vào đồ thị, ta suy ra tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị lần lượt là các đường thẳng

1, 2

  

x y

Chọn D

Bài toán 3. Xác định các đường tiệm cận của đồ thị khi biết hàm số

Phương pháp giải

Tiệm cận của đồ thị hàm số

, 0, 0



   



ax b

y c ad bc

cx d

Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Tập xác định

 

 

 

 



Bước 2. Xác định các đường tiệm cận đứng, tiệm

cận ngang của đồ thị.

- lim





nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận

Ví dụ: Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm

số

2 3







Hướng dẫn giải

Tập xác định





\ 1





D .

Khi đó

lim lim 2

 

 

x x

y y

nên đồ thị có đường

tiệm cận ngang là



1 1

lim ; lim

 

 

   

x x

y y nên đồ thị có đường tiệm

cận đứng là



TOANMATH.com

Trang 8

ngang là



- lim





 

y nên đồ thị hàm số có đường tiệm

cận đứng là

 

Bước 3. Kết luận

Đồ thị hàm số







ax b

cx d

có hai đường tiệm cận:

Tiệm cận đứng



và tiệm cận ngang

 

Chú ý:

- Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm

số







ax b

cx d

là điểm

;

 



 

 

d a

c c

là tâm đối xứng

của đồ thị.

- Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số







ax b

cx d

cùng với hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có

chu vi là

 



 

 

a d

c c

và diện tích là

Tiệm cận của đồ thị hàm số hữu tỷ





 



f x

g x

Điều kiện xác định







g x .

Tính các giới hạn

lim ; lim







x x

y y

nếu thỏa mãn định

X—>±0O X->Xg

nghĩa của đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

thì kết luận.

Chú ý:

- Đối với hàm số phân thức hữu tỷ





 



f x

g x

với









1 1 0

... 0



     

n n

n n n

f x a x a x a x a a và









1 1 0

... 0



     

m m

m m m

g x b x b x b x b b

Khi đó:

+ Nếu



n m

thì đồ thị hàm số không có tiệm cận

ngang.

+ Nếu



n m

thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là

Vậy đồ thị hàm số

2 3







nhận đường thẳng



là tiệm cận ngang

và nhận đường thẳng



là tiệm cận đứng.

Ví dụ: Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm

số

2 3





 

x x

Hướng dẫn giải

Tập xác định là





\ 1; 3

 



Ta có

1 3

lim 0; lim ; lim

 



 

    

x x

y y

Suy ra đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là

1; 3

  

x x

và một tiệm cận ngang



TOANMATH.com

Trang 9



+ Nếu



n m

thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là



- Nếu đường thẳng



x x

là tiệm cận đứng của đồ

thị hàm số thì



x x

là nghiệm của phương trình







g x (ngược lại nghiệm của







g x chưa

chắc đã là tiệm cận đứng của đồ thị). Hay nói cách

khác



x x

là các điểm gián đoạn của hàm số.

Tiệm cận của đồ thị hàm số vô tỷ.

Đối với hàm số vô tỷ, bước quan trọng nhất để xác

định đồ thị hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận

ngang là tìm tập xác định của hàm số.

Bước

Ví dụ: Xác định tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của

đồ thị hàm số







Hướng dẫn giải

Tập xác định





1; 1

 D

Không tồn tại các giới hạn

lim ; lim

 

x x

nên đồ thị

hàm số không có tiệm cận ngang.

Mặt khác do hàm số liên tục trên khoảng





1; 1

 và









1 1

lim 1 ; lim 1

 

 

  

x x

y f y f

nên hàm số liên tục

trên đoạn





1; 1

 

Đồ thị hàm số không có tiệm

cận đứng.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số







là

2 1

x y

  

1; 2

x y

 

2; 1

x y

 

2; 1

x y

  

Hướng dẫn giải

Tập xác định





\ 2

D 



Ta có

2 2

1 1

lim ; lim

2 2

x x

 

 

 

   

 

nên



là phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

1 1

lim lim 1

2 2

x x

 

 

 

 

nên



là phương trình đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Chọn C

Ví dụ 2: Đồ thị hàm số nào sau đây nhận đường thẳng



là tiệm cận đứng?









2y x

  

TOANMATH.com

Trang 10

Hướng dẫn giải

Ta thấy hàm số





có tập xác định





\ 2

D 



và

2 2

lim ; lim

2 2

x x

 

 

   

 

nên đồ thị

hàm số có tiệm cận đứng là



Chọn A

Ví dụ 3: Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số

3 1







là





1; 3

 B.





1; 1

 C.





3; 1





1; 3

Hướng dẫn giải

Tập xác định





\ 1

D 



Ta có đường tiệm cận đứng của đồ thị là



và tiệm cận ngang của đồ thị là



, tọa độ tâm đối xứng

của đồ thị là giao của hai đường tiệm cận





1; 3

I .

Chọn D

Ví dụ 4: Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

2 1







tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có

diện tích bằng

A. 2 (đvdt) B. 3 (đvdt) C. 1 (đvdt) D. 4 (đvdt)

Hướng dẫn giải

Tập xác định





\ 1

D 



Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng



và tiệm cận ngang là



. Khi đó hình chữ nhật tạo bởi

hai đường tiệm cận và hai trục tọa độ có các kích thước là 1 và 2 nên có diện tích

1.2 2

 

(đvdt)

Chọn A

Ví dụ 5: Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số







là

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

Hướng dẫn giải

Tập xác định





\ 2

D 



2 2

lim lim

x x

 

 



   



Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng



lim lim 1

x x

 



  



Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang



lim lim 1

x x

 



   



Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang

 

Vậy số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là 3.

TOANMATH.com

Trang 11

Chọn B

Ví dụ 6: Đồ thị của hàm số

2 3

x x





 

có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

Hướng dẫn giải

Tập xác định





\ 1; 3

 



Ta có

lim 0

2 3

x x







 

nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là



1 1

lim ; lim

x x

y y

 

 

    

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là



;

3 3

lim ; lim

x x

y y

 

 

    

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là

 

Vậy đồ thị hàm số có ba tiệm cận.

Chọn A

Ví dụ 7: Đồ thị hàm số







có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1 B. 2 C. 4 D. 3

Hướng dẫn giải

Tập xác định





\ 1

 



Ta có

lim lim 1

x x

y y

 

  

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là



1 1

lim ; lim

x x

y y

 

 

    

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là



1 1

lim ; lim

x x

y y

 

 

    

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là

 

Vậy đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận

Chọn D

Ví dụ 8: Đồ thị hàm số





3 2 sin

x x x

x x

 





có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Hướng dẫn giải

Tập xác định





\ 0; 2

 



Ta có

2 2

0 0

3 2 sin 0 3.0 2 1

lim lim .1

4 0 4

x x

x x x

 

 

 

   

 

   

 

 

 

 

 

nên



không phải là đường tiệm cận

đứng.

TOANMATH.com

Trang 12





 

2 2 2

3 2 sin

1 sin

sin 2

lim lim lim

2 8

x x x

x x

  

 



  





nên đường thẳng



không là đường tiệm cận

đứng.





2 2

3 2 sin

lim lim

x x

x x x

x x

 

 

 

  



nên đường thẳng

 

là tiệm cận đứng của đồ thị.

Vậy hàm số chỉ có một đường tiệm cận đứng là

 

Chọn A

Ví dụ 9: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

9 3

x x

 





là

A. 3 B. 4 C. 2 D. 1

Hướng dẫn giải

Tập xác định









9; \ 0; 1

    

Khi đó, ta có

2 2

1 1

9 3 9 3

lim , lim 1

x x

x x x x

 

 

   

      

 

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

 

0 0

9 3 1 1

lim lim

1 9 3

x x

 

 

 

 



  

và

9 3 1

lim

x x





 





 

không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

9 3

lim 0 0

x x



 

  



là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chọn C.

Chú ý: Không tồn tại

lim



vì trong tập xác định không có x tiến tới -

∞

Ví dụ 10: Đồ thị hàm số

 

x x







có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 4 B. 2 C. 0 D. 1

Hướng dẫn giải

Tập xác định









4; 4 \ 0

D  

0 0

lim ; lim

x x

y y

 

 

   

nên đường thẳng



là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có một đường tiệm cận.

Chọn D.

Ví dụ 11: Đồ thị hàm số







có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

TOANMATH.com

Trang 13

Hướng dẫn giải

Tập xác định









1; \ 1

D    

Ta có :

lim lim 0

x x

y y

 



  



Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là



1 1 1

lim lim ; lim

x x x

y y

  

  



    



=> Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là



1 1 1

1 1

lim lim lim

x x x

  

  



    





=> Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là

 

Vậy đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.

Chọn D

Ví dụ 12: Phương trình các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

2 1 1

x x

  





là



và



Hướng dẫn giải

Tập xác định





\ 3

D 



Ta có

1 1

2 1

2 1 1

lim lim lim 3

x x x

x x

  

  

  



 

là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

1 1

2 1

2 1 1

lim lim lim 1

x x x

x x

  

  

  



 

là đường tiệm cận ngang.

Chọn B

Ví dụ 13: Biết các đường tiệm cận của đường cong

 

6 1 2

x x

C y

  





và trục tung cắt nhau tạo

thành một đa giác





. Mệnh đề nào dưới đây đúng?





là một hình chữ nhật có diện tích bằng 8





là một hình vuông có diện tích bằng 4

TOANMATH.com

Trang 14





là một hình vuông có diện tích bằng 25





là một hình chữ nhật có diện tích bằng 10

Hướng dẫn giải

Tập xác định





 

; 2 2; \ 5

 

    

 

Ta có

6 1 2

lim lim 5 5

x x

y y

 

  

   



là tiệm cận ngang của





6 1 2

lim lim 7 7

x x

y y

 

  

   



là tiệm cận ngang của





5 5

lim ; lim 5

x x

y x

 

 

     

là tiệm cận đứng của





Vậy đồ thị có ba đường tiệm cận là

5; 7; 5

y y x

  

cùng với trục tung tạo thành một hình chữ nhật có

kích thước

2 5



nên có diện tích bằng 10.

Chọn D

Ví dụ 14 : Cho hàm số

2 3

y x x x

   

. Khi đó, đồ thị hàm số

A. có tiệm cận đứng và không có tiệm cận ngang

B. có tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng

C. có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

D. không có cả tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

Hướng dẫn giải

Tập xác định





Do hàm số liên tục trên



nên đồ thị không có tiệm cận đứng

Ta có





2 3

lim lim 2 3 lim 1

2 3

x x x

y x x x

x x x

  



      

  

  

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số





lim lim 2 3

x x

y x x x

 

     

Vậy đồ thị chỉ có một đường tiệm cận ngang là

 

Chọn B

Ví dụ 15: Phương trình các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số





là



và

 



 

D. Không có tiệm cận ngang

Hướng dẫn giải

Tập xác định









; 1 1;

    

TOANMATH.com

Trang 15

Ta có

lim lim 1

x x

 

 



và

lim lim 1

x x

 



 



 

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chọn B

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Cho hàm số





y f x

 có





lim 2

f x





và





lim 2

f x



 

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là các đường thẳng



và

 

B. Đồ thị hàm số đã cho không có đường tiệm cận ngang

C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một đường tiệm cận ngang

D. Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là các đường thẳng



và

 

Câu 2: Hàm số





y f x

 xác định với mọi

 

, có





 





lim , lim , lim

f x f x

 





 

     





lim

f x



 

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng

B. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng

C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang

Câu 3: Cho hàm số





y f x

 có





lim

f x





 

và





lim 2

f x







. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Đường thẳng



là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số





y f x



B. Đồ thị hàm số





y f x

 không có tiệm cận đứng

C. Đường thẳng



là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số





y f x



D. Đường thẳng



không phải là tiệm cận của đồ thị hàm số





y f x



Câu 4: Cho hàm số





f x

xác định và liên tục trên





\ 1





có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

B. Hàm số không có đạo hàm tại

 

C. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại



D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

TOANMATH.com

Trang 16

Câu 5: Cho hàm số





y f x

 xác định trên





\ 1



, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến

thiên như hình dưới

Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 3 B. 1 C. 2 D. 4

Câu 6: Cho hàm số





y f x

 xác định trên





\ 0

R , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến

thiên như sau

Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 7: Cho hàm số





y f x

 có bảng biến thiên như sau

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

A. 3 B. 4 C. 1 D. 2

Câu 8: Cho hàm số





y f x

 có bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu

đường tiệm cận?

TOANMATH.com

Trang 17

A. 4 B. 1 C. 3 D. 2

Câu 9: Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số





y f x



có bảng biến thiên

như sau

A. 0 B. 1 C. 3 D. 2

Câu 10: Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số







là

 



Câu 11: Đồ thị của hàm số







có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 2 B. 3 C. 1 D. 4

Câu 12: Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

2 1







là

 



 

Câu 13: Hàm số nào dưới đây có đồ thị nhận đường thẳng



là đường tiệm cận?





y x

  











Câu 14: Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số

2 5

2 3







là

3 5

;

5 2

 



 

 

5 3

;

2 2

 

 

 

 

3 5

;

2 2

 

 

 

 

3 5

;

2 2

 



 

 

Câu 15: Tổng khoảng cách từ điểm





1; 2



đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số

2 1







là

A. 4 B. 2 C. 1 D. 3

Câu 16: Đồ thị hàm số





có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?

TOANMATH.com

Trang 18

A. 2 B. 1 C. 3 D. 0

Câu 17: Đường thẳng

 

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nào sau đây?







2 3 2

x x

 





2 2











Câu 18: Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

2 3

2 4

x x

 





là



 



Câu 19: Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

2 3

1 2 1

x x

 

 

là



 

Câu 20: Đồ thị hàm số

5 6

3 2

x x

 



 

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 1 B. 3 C. 0 D. 2

Câu 21: Cho hàm số

2 3 2

2 3

x x

 



 

. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận

B. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là

 

và



C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là



D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là



Câu 22: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

2 2017







là

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 23: Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị tham số

x x





 

là

A. 2 B. 1 C. 3 D. 0

Câu 24: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

1 4

2 3

x x

 



 

là

A. 0 B. 2 C. 3 D. 1

Câu 25: Đồ thị hàm số

2 3

x x

 





có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 3 B. 1 C. 2 D. 4

Câu 26: Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

4 1

 





là

1; 2

x y

 



0; 1

x y

  

1; 1

x y

  

Câu 27: Đồ thị hàm số







có bao nhiêu đường tiệm cận?

TOANMATH.com

Trang 19

A. 2 B. 0 C. 1 D. 4

Câu 28: Đồ thị hàm số nào sau đây có đúng hai đường tiệm cận ngang?

x x





















Câu 29: Gọi n, d lần lượt là số đường tiệm cận ngang và số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

 

x x







. Giá trị của n, d là

1; 2

n d

 

0; 1

n d

 

0; 2

n d

 

n d

 

Câu 30: Đồ thị hàm số

3 2

2 1

x x





 

có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1 B. 4 C. 3 D. 2

Câu 31: Phương trình các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

2 1

4 3







là



và

 



và

 

Câu 32: Đồ thị hàm số

2 1 4 4

y x x

   

có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?

A. 1 B. 0 C. 3 D. 2

Câu 33: Đồ thị hàm số

x x



 

có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 2 B. 1 C. 3 D. 4

Câu 34: Đồ thị hàm số

2 2

4 4 3 4 1

y x x x

    

có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?

A. 2 B. 0 C. 1 D. 3

Câu 35: Đồ thị hàm số

2 5 2

x x





 

có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 2 B. 1 C. 3 D. 4

ĐÁP ÁN

1-A 2-A 3-C 4-D 5-A 6-B 7-A 8-C 9-C 10-A

11-A 12-D 13-A 14-C 15-A 16-B 17-A 18-A 19-C 20-A

21-C 22-B 23-B 24-D 25-C 26-B 27-A 28-C 29-C 30-D

31-B 32-A 33-B 34-A 35-A

TOANMATH.com

Trang 20

Dạng 2: Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số chứa tham số

Bài toán 1: Tiệm cận của đồ thị hàm số

ax b

cx d







Phương pháp giải

Để tồn tại các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

ax b

cx d







thì



và

ad bc

 

Khi đó phương trình các đường tiệm cận là

+ Tiệm cận đứng

 

+ Tiệm cận ngang



Ví dụ: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ

thị hàm số

2 4

x m







có tiệm cận đứng là

 

 

 

 

Hướng dẫn giải

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là

2 4 0 2

m m

     

Chọn B

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số





2 1 1

m x

x m

 





có đường tiệm cận ngang



là



Hướng dẫn giải

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là





2 1 1 0 2 1 0m m m m m

          



Phương trình đường tiệm cận ngang là

2 1

y m

 

nên có

2 1 3 2

m m

   

Chọn C

Ví dụ 2: Tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số







có tiệm cận đứng là







\ 0







\ 1







\ 0; 1



Hướng dẫn giải

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là

0 0

1 0 1

m m

 

 



 

   

 

Chọn D

Ví dụ 3. Tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số







không có tiệm cận đứng là

TOANMATH.com

Trang 21



 

 

 

 

 

 





Hướng dẫn giải

Điều kiện để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng là

1 3 0















  





Chọn B

Ví dụ 4: Cho hàm số

ax b







. Biết đồ thị hàm số đã cho đi qua điềm





0; 1



và có đường tiệm cận

ngang là



. Giá trị

a b



bằng

A. 1 B. 0 C. 3 D. 2

Hướng dẫn giải

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là

a b

 

Do đồ thị hàm số đi qua điểm





0; 1



nên

 

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là

y a a

  

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy

a b

 

Chọn B

Ví dụ 5: Biết rằng đồ thị của hàm số





 

3 2019

a x a

x b

  



 

nhận trục hoành làm tiệm cận ngang và

trục tung làm tiệm cận đứng. Khi đó giá trị của

a b



bằng

A. 3 B. -3 C. 6 D. 0

Hướng dẫn giải

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là













3 3 2019 0

a b a

     

Phương trình các đường tiệm cận là

3 3 0 3

x b b b

y a a a

     

  

 

  

    

  

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy

a b

 

Chọn D

Ví dụ 6: Giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

x m







đi qua điểm





1; 2

A là



 



Hướng dẫn giải

Điều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận là

2 0 2

m m

   

TOANMATH.com

Trang 22

Đường tiệm cận đứng là

1 2

2 2

m m

x m

       

(thỏa mãn)

Chọn B

Ví dụ 7: Cho hàm số

x m







với tham số



. Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm

số thuộc đường thẳng nào dưới đây?

2 0

x y

 

2 0

x y

 

2 0

x y

 

y x



Hướng dẫn giải

Điều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận là

2 1 0m m

     



Phương trình các đường tiệm cận là

2 ;

x m y m

 

nên tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là





2 ;

I m m

thuộc đường thẳng

x y



Chọn C

Ví dụ 8: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

4 5

x m







có tiệm cận đứng nằm bên

phải trục tung là



và





và





Hướng dẫn giải

Điêu kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là

4 5 0

m m

    

Phương trình đường tiệm cận đứng là

x m



Để tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung thì



Vậy điều kiện cần tìm là















Chọn A.

Bài toán 2: Tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức hữu tỷ

Phương pháp giải

- Tiệm cận của đồ thị hàm số

 

f x



với A là số

thực khác 0 và





f x

là đa thức bậc



- Đồ thị hàm số

 

f x

 luôn có tiệm cận ngang

Ví dụ: Cho hàm số

2 3 1

x mx m



  

. Giá trị

của tham số thực m để đồ thị hàm số đã cho nhận

đường thẳng



là tiệm cận đứng là



TOANMATH.com

Trang 23



- Đường thẳng

x x



là tiệm cận đứng của đồ thị

hàm số

 

f x



khi và chỉ khi

là nghiệm của





f x

hay





f x



- Tiệm cận của đồ thị hàm số





 

f x

g x

 với









f x g x

là các đa thức bậc khác 0.

- Điều kiện để đồ thị hàm số





 

f x

g x

 có tiệm

cận ngang là bậc





f x



bậc





g x

- Điều kiện để đường thẳng

x x



là tiệm cận

đứng của đồ thị hàm số





 

f x

g x

 là

là nghiệm

của





g x

nhưng không là nghiệm của





f x

hoặc

là nghiệm bội n của





g x

, đồng thời là nghiệm

bội m của





f x

và

m n





Hướng dẫn giải

Điều kiện:

2 3 1 0

x mx m

   

Đặt





2 3 1

g x x mx m

   

Để đường thẳng



là tiệm cận đứng của đồ thị

hàm số đã cho thì





2 0 4 4 3 1 0 3

g m m m

       

Chọn A

Ví dụ: Giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

2 3

x x m

x m

 





không có tiệm cận đứng là



0; 1

m m

 

0; 1

m m

  

Hướng dẫn giải

Điều kiện

x m



Đặt





2 3

f x x x m

  

Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng thì

 

0 2 3 0

f m m m m





     







Chọn C.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

2 1

mx x

 





có tiệm cận đứng là





 

Hướng dẫn giải

Tập xác định

 

 

 

 



. Đặt





2 1

g x mx x

  

Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì

 

không là nghiệm của





g x

TOANMATH.com

Trang 24

0 2 0 8

2 4

g m

 

        

 

 

Chọn D

Ví dụ 2: Biết đồ thị hàm số

2 6

x mx n





  

(m, n là tham số) nhận đường thẳng



là tiệm cận

đứng, giá trị của

m n



bằng

A. 6 B. 10 C. -4 D. -7

Hướng dẫn giải

Điều kiện:

2 6 0

x mx n

   

. Đặt





2 6

g x x mx n

   



là nghiệm của





f x x

 

nên đồ thị hàm số đã cho nhận đường thẳng



là tiệm cận đứng

thì



phải là nghiệm kép của phương trình

 





1 2 7 0

2 7

2 1 0

6 0

g m n

n m

g x

m m

m n

     

 







   

  

 

  



    





Vậy

m n

  

Chọn C

Ví dụ 3: Biết đồ thị hàm số





2 1

m n x mx

x mx n

  



  

nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận. Giá

trị

m n



bằng

A. 8 B. 9 C. 6 D. -6

Hướng dẫn giải

Điều kiện

6 0

x mx n

   

Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là

y m n

 

2 0

m n

  

(1)

Đặt





(2 ) 1

f x m n x mx

   

và





g x x mx n

   

Nhận thấy





0 0



với mọi m, n nên đồ thị nhận trục tung



là tiệm cận đứng thì





0 0 6 0 6

g n n

     

. Kết hợp với (1) suy ra



Vậy

m n

 

Chọn B

Ví dụ 4: Cho hàm số

4 9

ax x

x bx

 



 

có đồ thị





(a, b là các số thực dương và



). Biết rằng





có tiệm cận ngang

y c



và có đúng một tiệm cận đứng.

Giá trị của tổng

3 24

T a b c

  

bằng

A. 8 B. 9 C. 6 D. 11

Hướng dẫn giải

TOANMATH.com

Trang 25

Điều kiện

4 9 0

x bx

  

Phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là

4 4

a a

y c

  

Đồ thị





có một tiệm cận đứng nên ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Phương trình

4 9 0

x bx

  

có nghiệm kép

x x



và không là nghiệm của

1 0

ax bx

  

144 0 12

b b

     

. Vì



nên

1 1

3 12

b a c    

Thử lại ta có hàm số

4 12 9

x x

 



 

(thỏa mãn)

Vậy

1 1

3. 12 24. 11

3 12

   

Trường hợp 2:

4 9 0

x bx

  

có hai nghiệm phân biệt và một trong hai nghiệm thỏa mãn

1 0

ax x

  

. Điều này không xảy ra vì



Chọn D

Chú ý: a; b > 0 nên mẫu số (nếu có) hai nghiệm đều âm, tử số hai nghiệm trái dấu.

Bài toán 3 Tiệm cận của đồ thị hàm số vô tỷ

Cho hàm số vô tỷ





y f x



- Tìm tập xác định D của hàm số.

- Để tồn tại tiệm cận ngang của đồ thị hàm số





y f x

 thì trong tập xác định D của hàm số phải

chứa ít nhất một trong hai kí hiệu -∞ hoặc +

∞

và

tồn tại ít nhất một trong hai giới hạn

lim



hoặc

lim



hữu hạn.

Ví dụ: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ

thị hàm số





2 1 3

m x

 





có đường tiệm cận

ngang đi qua điểm





1; 3



là



 

 



Hướng dẫn giải

Tập xác định





Ta có

lim 2 1

y m



 

nên đồ thị chỉ có một đường

tiệm cận ngang là

2 1

y m

 

Để tiệm cận ngang đi qua điểm





1; 3



thì

2 1 3 2

m m

     

Chọn C

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Biết đồ thị hàm số

2 4

y x ax bx

   

có tiệm cận ngang

 

TOANMATH.com

Trang 26

Giá trị

a b



bằng

A. 56 B. -56 C. -72 D. 72

Hướng dẫn giải

Điều kiện

4 0

ax bx

  

Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì



Khi đó, ta có





lim lim 2 4

x x

y x ax bx

 

     

 





4 4

lim lim 2 4 lim 1

4 2

x x x

a x bx

y x ax bx

ax bx x

  

  

      

  

4 0

 









 





 







 



. Vậy

2 56

a b

  

Chọn B.

Chú ý: Để

lim 1



 

thì bậc tử phải bằng bậc mẫu nên phải có

4 0

 

. Khi đó

lim





 

Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

2 3

2 1

mx x x

  





có một đường tiệm

cận ngang là



A. 0 B. Vô số C. 1 D. 2

Hướng dẫn giải

Tập xác định

 



 

 



Ta có

1 1

lim ; lim

2 2

x x

m m

y y

 

 

 

Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là

1 5

m m













  



 











Chọn D

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1: Biết rằng đồ thị hàm số

x b







có tiệm cận đứng là



, tiệm cận ngang là

 

. Khi đó

a b



bằng

A. -1 B. 2 C. 1 D. -2

Câu 2: Các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số





1 2 1

m x m

  





không có tiệm cận đứng là

TOANMATH.com

Trang 27



 

Câu 3: Cho hàm số







. Giá trị của tham số a và b để đồ thị hàm số nhận đường thẳng



làm

tiệm cận đứng và đường thẳng



làm tiệm cận ngang là

2; 2

a b

 

2; 2

a b

  

1; 2

a b

 

1; 2

a b

   

Câu 4: Giá trị của tham số m để đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

x m







đi qua điểm





1; 2

là

 



Câu 5: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

x m







không có đường tiệm cận đứng?

A. 0 B. 1 C. 3 D. 2

Câu 6: Biết đồ thị hàm số







có đường tiệm cận đứng là



và đường tiệm cận ngang là



, giá trị của

a b



bằng

A. 4 B. 0 C. 1 D. 5

Câu 7: Tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số







có tiệm cận đứng là



 

 



Câu 8: Cho hàm số

2 1

x m







với tham số



. Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm

số đã cho thuộc đường thẳng nào dưới đây?

2 0

x y

 

y x



2 0

x y

 

2 0

x y

 

Câu 9: Giá trị của tham số m để đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

x m





 

đi qua điểm





5; 2

A là

 



 

Câu 10: Cho hàm số

3 1

x n





 

. Biết đồ thị hàm số nhận trục hoành và trục tung làm tiệm cận ngang

và tiệm cận đứng. Khi đó tổng

m n



bằng

A. 0 B.



Câu 11: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số







đi

qua điểm





10; 3



là



 



 

TOANMATH.com

Trang 28

Câu 12: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

3 1

x m

 





có hai đường tiệm cận và hai

đường tiệm cận đó cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 1 là

 

 



Câu 13: Biết đồ thị của hàm số





3 2019

n x n

x m

  



 

(m, n là tham số) nhận trục hoành làm tiệm cận

ngang và trục tung là tiệm cận đứng. Tổng

m n



bằng

A. 0 B. -3 C. -9 D. 6

Câu 14: Đồ thị hàm số

 

f x

x b







đi qua điểm





1; 2

và có đường tiệm cận đứng là đường thẳng

 

. Giá trị







bằng

A. 2 B. -8 C.



D. 6

Câu 15: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số

2 1

x m

 





cắt nhau tại điểm thuộc đường thẳng

y x

 

A. 1 B. -1 C. 0 D. 2

Câu 16: Đồ thị hàm số

3 9







có đường tiệm cận đứng là

x a



và đường tiệm cận ngang là

y b



Giá trị nguyên của tham số m nhỏ nhất thỏa mãn

m a b

 

là

 



 

Câu 17: Biết đồ thị hàm số

x d







đi qua





2; 5

M và có đường tiệm cận đứng là đường thẳng



thì tổng

a d



bằng

A. 1 B. 8 C. 7 D. 3

Câu 18: Biết đồ thị của hàm số





2 1

a b x bx

x x b

  



 

có tiệm cận đứng là đường thẳng



và tiệm

cận ngang là đường thẳng



. Giá trị

a b



bằng

A. 7 B. 8 C. 10 D. 6

Câu 19: Biết đồ thị hàm số





4 1

a b x ax

x ax b

  



  

nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận thì giá

trị

a b



bằng

A. 10 B. 15 C. 2 D. -10

Câu 20: Biết đồ thị hàm số

 

3 2

x ax bx c

  





không có tiệm cận đứng. Giá trị

b c



bằng

A. 9 B. 4 C. 1 D. 7

Câu 21: Biết đồ thị hàm số

 

4 2

x ax b

 





không có tiệm cận đứng. Giá trị ab bằng

TOANMATH.com

Trang 29

A. 2 B. -1 C. -2 D. 1

Câu 22: Biết rằng đồ thị hàm số

 

3 1

x ax b

  





không có tiệm cận đứng. Giá trị ab bằng

A. -2 B. 2 C.



Câu 23: Biết đồ thị hàm số

 

5 1

x ax b

  





không có tiệm cận đứng. Giá trị

a b



bằng



Câu 24: Với các số thực dương a, b để đồ thị hàm số

a bx

 





có đúng một đường tiệm cận.

Giá trị lớn nhất của biểu thức

log



bằng

B. 2 C. -1 D. -2

ĐÁP ÁN

1-A 2-A 3-C 4-A 5-C 6-A 7-B 8-B 9-D 10-B

11-B 12-C 13-C 14-B 15-A 16-B 17-A 18-B 19-B 20-B

21-C 22-C 23-C 24-D

Dạng 3. Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm ẩn

Bài toán 1: Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số







y f x

, xác định tiệm cận của đồ thị hàm số

 



g x

với A là số thực khác 0,





g x

xác định theo





f x

Phương pháp giải

- Xác định tiệm cận đứng:

+ Số tiệm cận của đồ thị hàm số

 

g x

 là số

nghiệm của phương trình





g x



+ Dựa vào đồ thị, bảng biến thiên của hàm số





y f x

 để xác định số nghiệm của phương trình





g x



để suy ra số đường tiệm cận đứng.

- Xác định tiệm cận ngang: dựa vào nhánh vô tận

của đồ thị, bảng biến thiên của hàm số để xác định.

Ví dụ: Cho hàm số





y f x

 liên tục trên



và có

đồ thị như hình vẽ.

TOANMATH.com

Trang 30

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

 

f x





là

A. 2. B. 3.

C. 4. D. 1.

Hướng dẫn giải

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị là số nghiệm

của phương trình









1 0 1

f x f x

    

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình có ba nghiệm

nên có ba tiệm cận đứng.

Chọn B.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Cho hàm số





y f x

 liên tục trên



và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

Tổng số đường tiệm cận của hàm số

 

f x





là

A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.

Hướng dẫn giải

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị là số nghiệm của phương trình









1 0 1

f x f x

    

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số

 

f x





có

hai đường tiệm cận đứng.

Ta có

 

1 1 1

lim

1 3 1 4

f x



 

 

;

 

1 1 1

lim

1 1 1 2

f x



 

 

nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận

ngang là



và



TOANMATH.com

Trang 31

Vậy đồ thị hàm số

 

f x





có bốn đường tiệm cận.

Chọn D.

Ví dụ 2. Cho hàm số





y f x

 xác định, liên tục trên



và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới.

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

 

f x x



 

là

A. 2. B. 4. C. 3. D. 1.

Hướng dẫn giải

Đặt

t x x

 

, ta có khi

 

thì

 

và khi

 

thì

 

Mặt khác ta có

3 1 0,t x x



    



nên với mọi





phương trình

x x t

 

có duy nhất một

nghiệm x.

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị là số nghiệm của phương trình









3 0 3

f t f t

    

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có duy nhất một nghiệm nên đồ thị hàm số

 

f x x



 

có một tiệm cận đứng.

Ta có

 

1 1

lim lim 0

x t

f t

f x x

 

 



 

;

 

1 1

lim lim 0

x t

f t

f x x

 

 



 

nên đồ thị hàm số

 

f x x



 

có một tiệm cận ngang là



Vậy đồ thị có hai đường tiệm cận

Chọn A.

Ví dụ 3. Cho hàm số bậc ba









3 2

, , ,f x ax bx cx d a b c d    



có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

TOANMATH.com

Trang 32

Đồ thị hàm số

 

4 3

g x

f x



 

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

Hướng dẫn giải

Đặt

t x

 

, ta có khi

 

thì

 

Khi đó

 

lim lim 0

x t

g x

f t

 

 



nên



là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số





g x

Mặt khác

   

2 2

4 2

4 3 0 4 3

4 4

f x f x



  

 

       





 





Đồ thị hàm số





g x

có ba đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số





g x

có bốn đường tiệm cận.

Chọn C.

Bài toán 2: Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số







y f x

, xác định tiệm cận của đồ thị hàm số





 





g x

với







là một biểu thức theo x,





g x

là biểu thức theo





f x

Phương pháp giải

- Dựa vào đồ thị hàm số





y f x

 tìm nghiệm

của phương trình





g x



và xác định biểu thức





g x

- Rút gọn biểu thức





 

g x



và tìm tiệm cận đứng,

tiệm cận ngang.

Chú ý:

- Điều kiện tồn tại của







- Sử dụng tính chất nếu đa thức





g x

có nghiệm

Ví dụ: Cho hàm số bậc ba





3 2

f x ax bx cx d

   

có đồ thị như hình vẽ.

TOANMATH.com

Trang 33

là

x x



thì













0 1

g x x x g x

  , ở đó





g x

là

một đa thức.

Đồ thị hàm số

 





 

4 2

3 2 2 1

5 4

x x x

g x

x x f x

  



 

có bao

nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 2. B. 6.

C. 4. D. 3.

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định

 

1; 2

x x

f x



 



 











Với điều kiện trên, ta có

 

    

2 1

1 2 .

g x

x x f x





 

Khi đó số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số





g x

là số nghiệm của phương trình





f x



thỏa mãn

 

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình

 





0;1

x k

f x

 

 







(thỏa mãn điều kiện).

Vậy đồ thị hàm số





y g x

 có hai đường tiệm cận

đứng.

Chọn A.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Cho hàm số bậc ba





3 2

f x ax bx cx d

   

có đồ

thị như hình vẽ.

Đồ thị hàm số

 





   

3 2 1

x x x

g x

x f x f x

  



 



 

có bao nhiêu

đường tiệm cận đứng?

A. 4. B. 6.

C. 3. D. 5.

Hướng dẫn giải

TOANMATH.com

Trang 34

Điều kiện xác định

   

 

0 0

x f x

f x f x

f x







  

 

 

 





Xét phương trình









f x f x

 









   

0 1

1 2

f x















Dựa vào đồ thị ta thấy

- Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

x x

 

(loại) và



(nghiệm kép).

- Phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt







1;2

x x  ,

x x

 

Khi đó

              

2 2

1 2 3

1 2 1

f x f x f x f x a x x x x x x x x

         

 

Suy ra

 

    

1 2 3

g x

a x x x x x x x x





   

trong đó







1;2

x  ,



nên đồ thị hàm số





y g x

 có ba tiệm cận đứng là



;

x x



;

x x



Chọn C.

Ví dụ 2. Cho hàm số bậc ba





3 2

f x ax bx cx d

   

có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Đặt

 

   

x x

g x

f x f x







. Đồ thị hàm số





y g x

 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 4. B. 2. C. 5. D. 3.

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định

   





 

2 0

f x

f x f x

f x





  









Ta có

   





 

2 0

f x

f x f x

f x





  









TOANMATH.com

Trang 35

Dựa vào đồ thị ta có





f x



có hai nghiệm

x x

 

và



(nghiệm kép).

 





2 1

; 1

2 0

x x x

f x x

x x

  





  



 



Vậy biểu thức

















2 2

f x f x f x f x

  

 

 

     

1 2 3

1 .

a x x x x x x x x

     .

Khi đó ta có

 

        

2 2

1 2 3

2 1

x x

g x

f x f x a x x x x x x x



 

    

Vậy đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận đứng.

Chọn A.

Ví dụ 3. Cho





f x

là hàm đa thức bậc 6 có bảng biến thiên như sau

Đồ thị hàm số

 









   

3 4 3

x x x

g x

f x f x

  







 

 

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 3. B. 2. C. 4. D. 1.

Hướng dẫn giải

Điều kiện





 

f x

















Ta có

 





   

3 4 3 3 1

x x x x x

     

;

   





 

. 2 0

f x

f x f x

f x









   



 







Dựa vào bảng biến thiên, ta có





f x





có nghiệm là



;



(nghiệm kép);



(nghiệm kép)

      

2 2

1 2 3

f x a x x x



     với







f x



có hai nghiệm

 

2;3

x x

 





 



nên

















1 2

f x x x x x p x

   với





p x

là một đa thức

bậc 4 và





0,p x x

  



TOANMATH.com

Trang 36

Khi đó

 

      

1 2

2 .

g x

a x x x x x p x



  

Vậy đồ thị hàm số





y g x

 có ba đường tiệm cận đứng.

Chọn A.

Chú ý: Do f(x) là hàm đa thức bậc 6 nên f’(x) là hàm đa thức bậc 5.

Ví dụ 4. Cho hàm số





y f x

 là hàm đa thức bậc 6 thỏa mãn





3 1 2 0

 

và





3 3 0, 2

f a a a a

    

. Đồ thị hàm số





y f x



 như hình vẽ.

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

 

3 2 3

g x

f x x x





  

là

A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.

Hướng dẫn giải

Đặt









3 2 3

h x f x x x

   

. Điều kiện





h x



Ta có









3 2 3 3

h x f x x

 

   









0 2 1

h x f x x

 

    

Đặt

t x

 

, ta được





4 3

f t t t



  

. (*)

Vẽ đồ thị hàm số

4 3

y t t

  

vào cùng hệ trục có đồ thị hàm số





y f t



 ta được hình vẽ sau

Dựa vào đồ thị ta thấy (*) có ba nghiệm là

1; 3; 4

t t t a

   

Suy ra phương trình





h x





có nghiệm đơn

1; 1; 2 2

x x x a b

      

Ta có bảng biến thiên của





h x

như sau

TOANMATH.com

Trang 37

Vì









1 3 1 2 0

h f

   

và

         

3 2

3 2 3 2 3 3 6 12 2 0

h b f a a a f a a a a a

           

với mọi



nên phương trình





h x



có hai nghiệm phân biệt





1 2

1; 1;1

x x x x      .

Vậy đồ thị hàm số





y g x

 có hai tiệm cận đứng.

Chọn B.

Bài tập tự luyện dạng 3

Câu 1: Cho hàm số





y f x

 liên tục trên





\ 1



và có bảng biến thiên như sau

Đồ thị hàm số

 

2 5

f x





có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 0. B. 4. C. 2. D. 1.

Câu 2: Cho hàm số





y f x

 liên tục trên từng khoảng xác định và có bảng biến thiên sau

Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số

 

f x





là

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

TOANMATH.com

Trang 38

Câu 3: Cho hàm số





y f x

 có bảng biến thiên như sau

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

 

3 2

f x





là

A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

Câu 4: Cho hàm số





y f x

 liên tục trên





\ 1



và có bảng biến thiên như sau

Đồ thị hàm số

 

2 3

f x





có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.

Câu 5: Cho hàm số





y f x

 có bảng biến thiên như sau

Đồ thị hàm số

 

3 2

f x



 

có bao nhiêu tiệm cận đứng?

A. 3. B. 1. C. 0. D. 2.

TOANMATH.com

Trang 39

Câu 6: Cho hàm số bậc ba





y f x

 có đồ thị như hình vẽ

bên. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

 

2020

f x





là

A. 1. B. 2.

C. 3. D. 4.

Câu 7: Cho hàm số





y f x

 có bảng biến thiên như hình vẽ sau

Đồ thị của hàm số

 

2 1

f x





có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận ngang?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.

Câu 8: Cho hàm số





y f x

 có bảng biến thiên như hình vẽ

Đồ thị của hàm số

 

2 1

f x





có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.

Câu 9: Cho hàm số





y f x

 xác định trên





\ 1;1





, có đạo hàm trên





\ 1;1





và có bảng biến thiên

như sau

Đồ thị hàm số

 

f x





có bao nhiêu tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

Câu 10: Cho hàm số





y f x

 xác định, liên tục trên



và có bảng biến thiên như sau

TOANMATH.com

Trang 40

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

 

2 5

f x x



 

là

A. 2. B. 4. C. 3. D. 1.

TOANMATH.com

Trang 41

Câu 11: Cho hàm số bậc bốn





y f x

 có đồ thị như hình

vẽ bên. Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số









   

2 2

4 . 2

2 3

x x x

f x f x

 



 

 

 

là

A. 2. B. 5.

C. 3. D. 4.

Câu 12: Cho hàm số

       

3 1 1 3

f x x x x x

    

có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số

 

   

g x

f x f x







có bao nhiêu đường tiệm cận đứng

và tiệm cận ngang?

A. 8. B. 3.

C. 4. D. 9.

Câu 13: Cho hàm bậc ba





3 2

f x ax bx cx d

   

có đồ

thị như hình vẽ bên. Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận

ngang của đồ thị hàm số

     

 

4 2

4 3

1 2

x x

x f x f x

 



 

là

A. 4. B. 5.

C. 2. D. 3.

Câu 14: Cho hàm số bậc ba





3 2

f x ax bx cx d

   

có

đồ thị như hình vẽ bên. Đồ thị hàm số

 





     

2 1

3 3

x x x

g x

x f x f x

 



 

 

 

có bao nhiêu đường tiệm

cận đứng?

A. 5. B. 4.

C. 6. D. 3.

Câu 15: Cho hàm số bậc ba





y f x

 có đồ thị hàm số

như hình vẽ bên dưới. Đồ thị hàm số

 

     

g x

x f x f x



 

 

 

có bao nhiêu tiệm cận

đứng?

A. 3. B. 0.

C. 1. D. 2.

TOANMATH.com

Trang 42

Câu 16: Cho hàm số





y f x

 có bảng biến thiên như hình vẽ sau

Tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

 

f x





là

A. 4. B. 3. C. 5. D. 2.

Câu 17: Cho hàm số





y f x

 có bảng biến thiên như hình vẽ sau

Hỏi đồ thị hàm số

   

f x f x







có bao nhiêu tiệm cận đứng?

A. 5. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 18: Cho hàm số





y f x

 có đạo hàm liên tục trên





\ 1



và có bảng biến thiên như hình vẽ sau

Đặt

 





 

2 3

f x

g x

f x







. Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số





y g x

 là

A. 4. B. 5. C. 6. D. 3.

Câu 19: Cho hàm số





y f x

 liên tục trên



và có bảng biến thiên như sau

TOANMATH.com

Trang 43

Đồ thị hàm số

 

2 1

f x







có bao nhiêu tiệm cận ngang và tiệm cận đứng?

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

Câu 20: Cho hàm số





y f x

 liên tục trên



và có bảng biến thiên như sau

Đồ thị hàm số









 

2 1

f x f x

f x

 





có tổng số tất cả các đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận

ngang là

A. 4. B. 5. C. 6. D. 7.

ĐÁP ÁN

1 – B 2 – D 3 – D 4 – C 5 – A 6 – C 7 – A 8 – C 9 – C 10 – C

11 – D 12 – C 13 – A 14 – D 15 – A 16 – A 17 – D 18 – A 19 – C 20 – C

Dạng 4. Biện luận số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài toán 1: Biện luôn số đường tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức





 



f x

g x

, với





f x

và





g x

là các đa thức

Phương pháp giải

Điều kiện đề đồ thị hàm số





 

f x

g x

 có tiệm cận

ngang khi và chỉ khi bậc





f x



bậc





g x

. Khi đó

đồ thị hàm số





 

f x

g x

 có đúng một đường tiệm

cận ngang.

Ví dụ: Xét đồ thị của hàm số





 

3 2

f x

g x

x x



 

 

Khi đó, do bậc của





f x

nhỏ hơn bậc





g x

nên

đồ thị có một đường tiệm cận ngang



Điều kiện để đồ thị hàm số





 

f x

g x



có tiệm cận

đứng

x x



Ta có

 

là nghiệm





g x



nhưng không là

nghiệm của





f x



nên

 

là tiệm cận đứng

của đồ thị hàm số.

TOANMATH.com

Trang 44

Trường hợp 1:

x x



là nghiệm của phương trình





g x



nhưng không là nghiệm của phương trình





f x



Trường hợp 2:

x x



là nghiệm bội n của phương

trình





g x



, đồng thời là nghiệm bội m của

phương trình





f x



thì

n m



Ta có

     

0 1

f x x x f x

 

với





f x

không có

nghiệm

x x



và

     

0 1

g x x x g x

  với





g x

không có nghiệm

x x



. Khi đó

 

   

 

   

0 1 1

0 1 0 1

. .

n n m

f x x x f x f x

g x

x x g x x x g x



  

 

nên

x x



là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã

cho.

Vì



là nghiệm kép của





g x



và là nghiệm

đơn của





f x



nên



là tiệm cận đứng của

đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 3 tiệm cận là



;

 

;



Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Gọi S là tập các giá trị nguyên dương của tham số m để đồ thị hàm số

2 2

2 3

x x m m





  

có

ba tiệm cận. Tổng các giá trị của tập S bằng

A. 6. B. 19. C. 3. D. 15.

Hướng dẫn giải

Điều kiện

2 2

2 3 0

x x m m

   

Ta có

lim 0



 

đồ thị hàm số luôn có một tiệm cận ngang



Số đường tiệm cận đứng của hàm số đã cho là số nghiệm khác -2 của phương trình

2 2

2 3 0

x x m m

   

nên để đồ thị hàm số

2 2

2 3

x x m m





  

có ba tiệm cận thì phương trình

2 2

2 3 0

x x m m

   

phải có hai nghiệm phân biệt khác -2.

3 13 3 13

1 3 0

2 2

3 0

0, 3

m m



 



  

 

 

 

 

 



 

 



Do m nguyên dương nên





1;2

m .

Vậy tổng các giá trị của tập S bằng 3.

Chọn C.

TOANMATH.com

Trang 45

Ví dụ 2. Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

3 2

x m

x x





 

có đúng hai đường

tiệm cận là

A. -5 B. 4 C. -1 D. 5

Hướng dẫn giải

Điều kiện

1; 2

x x

 

Vì

lim 1





nên đồ thị luôn có một đường tiệm cận ngang



với mọi m.

Ta có

3 2

x x





  







Xét





f x x m

 

. Để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì





f x

phải nhận



hoặc



là nghiệm hay





 

1 0

1 0 1

4 0 4

2 0

m m





   

 

 



 

   



 





 Với

 

, ta có hàm số

1 1

3 2 2

x x

x x x

 

 

  

nên đồ thị có hai đường tiệm cận là

2; 1

x y

 

(thỏa mãn).

 Với

 

, ta có hàm số

4 2

3 2 1

x x

x x x

 

 

  

nên đồ thị có hai đường tiệm cận là

1; 1

x y

 

(thỏa mãn).

Vậy





1; 4

  

nên tổng các giá trị m bằng -5.

Chọn A.

Ví dụ 3. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số

3 2

x x

x mx m

 



  

không có

đường tiệm cận đứng

A. -12. B. 12. C. 15. D. -15.

Hướng dẫn giải

Điều kiện

5 0

x mx m

   

Đặt









2 2

3 2, 5

f x x x g x x mx m

      

Ta có

 

f x





 







là nghiệm đơn của tử thức.

Để đồ thị không có tiệm cận đứng, ta có các trường hợp sau

Trường hợp 1. Phương trình





g x



vô nghiệm

4 20 0 2 2 6 2 2 6

m m m            .





nên





6; 5;...;2

m  

Trường hợp 2.





f x



nhận đồng thời



và



làm nghiệm

1 5 0

4 2 5 0

m m

   



  



   



TOANMATH.com

Trang 46

Thử lại, ta có

3 2

x x

 

 

 

, khi đó đồ thị hàm số



không có tiệm cận



loại.

Vậy các giá trị nguyên của m để đồ thị không có tiệm cận đứng là





6; 5;...;2;3

m   nên tổng bằng

-15.

Chọn D.

Ví dụ 4. Tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

  

2 2

2 1

2 1 4 4 1

mx x x mx





   

có

đúng một đường tiệm cận là





1;0

 B.













; 1 0

   D.









; 1 1;

   

Hướng dẫn giải

Điều kiện

2 1 0

4 4 1 0

mx x

x mx



  





  





- Với



, hàm số có dạng

4 1







Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang



Do đó



là một giá trị cần tìm.

- Với



Ta có

lim 0





nên đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang



Để đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận thì

+ Trường hợp 1. Hai phương trình





2 1 0

f x mx x

   

và





4 4 1 0

g x x mx

   

cùng vô

nghiệm

1 0

1 1

4 4 0

 





  

 

  

 



vô nghiệm

+ Trường hợp 2. Phương trình









2 2

2 1 4 4 1 0

mx x x mx

    

có nghiệm duy nhất là



. Khi đó



là nghiệm của một trong hai phương trình





f x



hoặc





g x



1 2 1 0









 



 



  





nên

 

Thử lại, với

 

thì hàm số là

    

 

2 2 2

2 1 1

2 1 4 4 1 2 1 2 1

x x x x x x x



 

        

TOANMATH.com

Trang 47

Khi đó, đồ thị hàm số đã cho có các tiệm cận đứng là

1 2,

x x

   

  

không thỏa mãn.

Vậy tập hợp tham số m cần tìm là





m .

Chọn B.

Bài toán 2: Biện luận số đường tiệm cận của đồ thị hàm số chứa căn thức

Phương pháp giải

Thực hiện theo các bước sau Ví dụ: Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm

số

3 2

x x





 

Hướng dẫn giải

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Xác định các đường tiệm cận.

- Tiệm cận ngang

+ Điều kiện cần: Để đồ thị hàm số chứa căn thức có

tiệm cận ngang thì trong tập xác định phải có các

khoảng





;

 hoặc







+ Điều kiện đủ là: Tồn tại một trong các giới hạn

lim





hoặc lim





thì đường thẳng

y a



hoặc

y b



là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

* Tiệm cận đứng: Tồn tại giá trị

để một trong

các giới hạn

lim

x x





 

hoặc

lim

x x





 

thì

x x



là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

Tập xác định





1;1

D   .

Xét hàm số

3 2

x x





 

có tập xác định là





1;1

D   nên đồ thị hàm số không có tiệm cận

ngang.

Ngoài ra,



là nghiệm của mẫu nhưng không

có lân cận trong tập xác định nên không tồn tại

lim





Ta có

 

1 1

lim lim

2 1

x x

 

 



  

 

nên đồ thị có

một tiệm cận đứng



Chú ý: Lân cận của

trong tập xác định là các

khoảng dạng









0 0

; ; ;

a x x b D



Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số







có đúng ba tiệm cận là





 

 



Hướng dẫn giải

Điều kiện

4 0



 







Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì



TOANMATH.com

Trang 48

Khi đó tập xác định của hàm số là

 

2 2

; ; \ 3

m m

   

    

 

 

   

Ta có

lim









;

lim





 



nên đồ thị hàm số

có hai tiệm cận ngang là

y m

 

Để tồn tại tiệm cận đứng



thì

2 4

  

Kết hợp lại ta có



Chọn A.

Nếu



thì

4 0

 

Ví dụ 2. Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

 

1 3

1 2

x x x

x m x m

  



   

có đúng hai

đường tiệm cận là





 







 







 



 





 









 



Hướng dẫn giải

Điều kiện

 

3 0

3; 0

1; 2

1 2 0

x x

x x m

x m x m



 

  







 

   

    







Tập xác định













; 3 0; \ 1; 2

D m

      

Ta có

lim 0, 0

y m D y



    

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì phải có một đường tiệm cận đứng.

- Với

 

thì













; 3 0; \ 1

D      .

Khi đó, ta có hàm số

 





1 3 1

2 1

1 1 3

x x x

x x

x x x x

   

 

 

   

Do đó

lim





 

và

lim





 

nên



là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

  

thỏa mãn.

- Với

 

, ta có

 





 

1 1 1

1 3 1 1

lim lim lim

1 2 4 3

2 1 3

x x x

x m x m m

x m x x x

  

    

  

    

    

 

không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Để đường

x m

  

là tiệm cận đứng thì

2 3 1

2 0 2

m m

    

 



 

    

 

TOANMATH.com

Trang 49

Khi đó

( 2)

lim

x m



  

 

(tùy theo m) nên

x m

  

là tiệm cận đứng khi

 







 







 



Kết hợp cả hai trường hợp, ta có







 



Chọn D.

Ví dụ 3. Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

y x mx

  

có tiệm cận ngang là



0 1

 



 

Hướng dẫn giải

Trường hợp 1. Với



thì hàm số là

y x

 

nên đồ thị không có tiệm cận ngang. Do đó



không phải giá trị cần tìm.

Trường hợp 2. Với



thì hàm số có tập xác định là

1 1

m m

 

 

 

 

 

nên không tồn tại

lim



và lim





đồ thị không có tiệm cận ngang.

Do đó



không phải giá trị cần tìm.

Trường hợp 3. Với



thì hàm số có tập xác định là





Xét





lim 1

x mx



   

Xét

 





1 1

lim 1 lim

x x

m x

x mx

 

 

  

 

Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì

1 0 1

m m

   

Chọn C.

Ví dụ 4. Tập tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số

3 2

mx mx





 

có bốn

đường tiệm cận phân biệt là







;

 



 

 

;

 



 

 

 

; \ 1

 



 

 

Hướng dẫn giải

Điều kiện

3 2 0

mx mx

  

. (*)

Trường hợp 1. Với



, ta có



 nên đồ thị không có đường tiệm cận.

Do đó



không phải giá trị cần tìm.

Trường hợp 2. Với



Phương trình

3 2 0

mx mx

  

có

9 8 0, 0

m m m

     

nên

Nếu

 

thì hàm số

có tập xác định là

TOANMATH.com

Trang 50





1 2

3 2 0 ;

mx mx x x x

     (với

1 2

x x

là hai nghiệm của phương

trình

3 2 0

mx mx

  

) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang, chỉ

có tối đa hai tiệm cận đứng

 

Do đó



không phải giá trị cần tìm.

Trường hợp 3. Với



Xét phương trình

3 2 0

mx mx

  

- Nếu

9 8 0 0

m m m

      

. Hàm số xác định trên



Khi đó

3 2 0,mx mx x

    



nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng mà chỉ có hai tiệm cận

ngang là

  vì

lim



 và

lim





 .

- Nếu

9 8 0

m m m

     

Khi đó, hàm số trở thành









3 2 3 2

2 2 3

8 24 18

x x

 

 



 

nên đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận

đứng và hai tiệm cận ngang.

- Nếu

9 8 0

m m m

     

Hàm số xác định trên các khoảng





;

 và







Khi đó đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là

 

Để đồ thị hàm số đã cho có bốn đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải

có hai đường tiệm cận đứng.

Vì



là nghiệm của tử





f x x

 

nên để đồ thị có hai tiệm cận

đứng thì



không phải là nghiệm của phương trình

3 2 0

mx mx

  

3 2 0 1

m m m

     

Vậy giá trị của m cần tìm là















Chọn D.

Nếu



là nghiệm của

phương trình





g x



do phương trình





g x



có hai nghiệm phân biệt

nên phương trình





g x



có một nghiệm

nữa

x a

 

thì













1 .

g x m x x a

  

Khi đó hàm số có dạng

   

1 .

m x x a





 

nên chỉ có một tiệm cận

đứng là

x a



Ví dụ 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số

 

1 1

1 2

x m x m

 



  

có hai

tiệm cận đứng?

A. 1. B. 2. C. 4. D. 3.

TOANMATH.com

Trang 51

Hướng dẫn giải

Điều kiện

 

1 2 0

x m x m

 







   





Đặt









1 2

f x x m x m

   

Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng thì phương trình





f x



có hai nghiệm phân biệt

1 2

, 1

x x

 

Trường hợp 1.





f x

có nghiệm





1 1 0 2

x f m

       

Khi đó hàm số có dạng

1 1

3 4

x x

 



 

có tập xác định là





4;D

 

nên chỉ có một tiệm cận

đứng.

Trường hợp 2.





f x

có hai nghiệm phân biệt

  

1 2 1 2

1 2

, 1 1 1 0

x x x x

x x

 





     





  



 

5 2 6

1 8 0

5 2 6

2 1 1 0 2 5 2 6

1 2

m m

m m m





 







  



 







 

          

 

 

  

 















nên

1; 0

m m

  

Chọn B.

Bài toán 3: Biện luận số đường tiệm cận của đồ thị hàm ẩn

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Cho hàm số





y f x

 liên tục trên



và





y f x



 có bảng biến thiên như sau

Đồ thị hàm số

 

2020

g x

f x m





có nhiều nhất bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Hướng dẫn giải

TOANMATH.com

Trang 52

Điều kiện





f x m



Để đồ thị hàm số

 

2020

g x

f x m





có đường tiệm cận đứng thì phương trình





f x m



phải có nghiệm.

Từ bảng biến thiên của hàm số





y f x



 suy ra phương trình





f x





có đúng hai nghiệm là

x a

x b











với 1 1

a b

   

Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số





y f x

 như sau

Suy ra phương trình





y f x

 có nhiều nhất là ba nghiệm phân biệt.

Vậy đồ thị hàm số

 

2020

g x

f x m





có nhiều nhất ba đường tiệm cận đứng.

Chọn C.

Ví dụ 2. Cho hàm số

 

2020

g x

h x m m



 

với





4 3 2

h x mx nx px qx

   





, , , , 0

m n p q m

 







0 0



. Hàm số





y h x



 có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số





g x

có hai tiệm cận đứng?

A. 2. B. 11. C. 71. D. 2019

Hướng dẫn giải

TOANMATH.com

Trang 53

Từ đồ thị suy ra





















3 2

1 4 5 3 4 13 2 15

h x m x x x m x x x



        và



nên

 

4 3 2

h x m x x x x

 

   

 

 





0 0



Đồ thị





g x

có hai đường tiệm cận đứng



phương trình





h x m m

 

có hai nghiệm phân biệt

4 3 2

15 1

x x x x m

     

có hai nghiệm phân biệt.

Đặt

 

4 3 2

f x x x x x

    .

Ta có bảng biến thiên của





f x

như sau

Vì



nên

32 35

1 ;1 ;0

3 3

m m

 

   

   

   

   

Vậy có 11 số nguyên m.

Chọn B.

Ví dụ 3. Cho hàm số





y f x

 là hàm số bậc 3. Đồ thị hàm số





y f x



 như hình vẽ dưới đây và





1 20

 

Đồ thị hàm số

 





 

f x

g x

f x m







(m là tham số thực) có bốn tiệm cận khi và chỉ khi





m f

 B.









3 1

f m f

  





m f

 









3 1

f m f

  

Hướng dẫn giải

TOANMATH.com

Trang 54

Điều kiện





f x m



Từ đồ thị hàm số





f x



, ta có bảng biến thiên hàm số





f x

là

- Nếu



thì đồ thị hàm số không có đủ bốn tiệm cận.

- Nếu



thì





 

lim 1

f x

f x m





 



Đường thẳng



là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có phương trình





f x



có một nghiệm

x a

 

vì





1 20

 

Suy ra đồ thị hàm số





g x

có bốn tiệm cận khi phương trình





f x m



có ba nghiệm phân biệt khác









3 1

a f m f

   

Chọn B.

Ví dụ 4. Cho hàm số





f x

liên tục trên



và





lim 1

f x





;





lim

f x



 

. Có bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số m thuộc





2020;2020

 để đồ thị hàm số

 

   

x x x

g x

f x f x m

 



 

có tiệm cận

ngang nằm bên dưới đường thẳng

 

A. 2. B. 0. C. 1. D. 3.

Hướng dẫn giải

Điều kiện

 

   

3; 0

0 2

2 0

x x

f x

f x f x m



  



 





  









lim

f x



 

nên khi

 

thì









2 f x f x

  

vì vậy

   

f x f x

 không có nghĩa

khi x đủ lớn. Do đó không tồn tại





lim

g x



Xét





lim

g x



Vì





lim 1

f x





nên

       

2 2

lim 2 lim 2 1

x x

f x f x f x f x

 

 

   

 

;

TOANMATH.com

Trang 55





3 3

lim 3 lim

1 1

x x

x x x

 

    

 

  

 

 

Từ đó

 

lim

2 2

g x









với

 

Khi đó đồ thị hàm số





g x

có tiệm cận ngang là đường thẳng

2 2







Để tiệm cận ngang tìm được ở trên nằm dưới đường thẳng

 

thì

3 1

1 1

2 2 2



     



Vì





nên



Chọn C.

Bài tập tự luyện dạng 4

Câu 1: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

2 3

mx x





 

có ba đường tiệm cận là















. B.









 









. C.















. D.









 









Câu 2: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

3 2

x x





 

có đúng hai đường tiệm cận?

A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.

Câu 3: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

x x

x x m

 



 

có ba đường tiệm cận là





và

 



và

 



và

 

Câu 4: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

x x m





 

có một đường tiệm cận

đứng và một đường tiệm cận ngang là





4; 12

m   B.





4;12

m  C.

 



Câu 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng





10;10

 để đồ thị hàm số

  

2 2

6 3

6 3 9 6 1

mx x x mx





   

có đúng một đường tiệm cận?

A. 6. B. 7. C. 5. D. 10.

Câu 6: Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

1 1

x mx m

 



 

có đúng hai

tiệm cận đứng là

TOANMATH.com

Trang 56

 

 

 

1 1

;

4 2

 

 

 

 





 







Câu 7: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

y x x

  

có tiệm cận ngang là

A. Không tồn tại m B.

 

và



và

 

Câu 8: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

 

2 1

1 3 1

m x x





  

có đường tiệm cận

ngang là



0 1

 





Câu 9: Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

3 1

mx mx

 





có ba đường tiệm cận là



 

 



Câu 10: Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

1 2019

2 2

x mx m

 



  

có đúng ba đường tiệm cận

là



hoặc

 

2 3

 



2 3

 

Câu 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số

 

2019 2020 12 70

x x

x m x m

   



  

có đúng hai đường tiệm cận?

A. 2019. B. 2018. C. 2021. D. 2020.

Câu 12: Tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị của hàm số







có hai tiệm cận ngang

là



. B.



. C.



. D. Không có m.

Câu 13: Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

3 3 2 2

3 2 4 3 2

y x x x x mx

      

có tiệm cận ngang. Tổng các phần tử của S bằng

A. -2. B. -3. C. 2. D. 3.

Câu 14: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

 

1 4

m x





 

có hai tiệm cận đứng

là







 



. B.



. C.



. D.



Câu 15: Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số





1 1

m x

x x

 



 

có đúng một

đường tiệm cận ngang là

A. không có giá trị nào của m thỏa mãn. B. m

 





. D.



TOANMATH.com

Trang 57

Câu 16: Tất cả các giá trị của tham số a để đồ thị hàm số

4 1

y ax x

  

có tiệm cận ngang là

 

và



. B.

 

. C.

 

. D.

 

Câu 17: Tất cả các giá trị của tham số a để đồ thị hàm số

x x

 





có tiệm cận ngang là



. B.



hoặc



. C.



. D.



Câu 18: Cho hàm số

12 4

6 2

x x

x x m

 



 

có đồ thị





. Tập hợp các giá trị của tham số thực m để





có đúng hai tiệm cận đứng là





0;9

. B.





8;9

. C.

 





 

. D.

 

 

 

Câu 19: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số





2 1 3

m x

 





có đường tiệm cận

ngang đi qua điểm





1;3

A  là



. B.

 

. C.

 

. D.



Câu 20: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

x m







có ba tiệm cận là



. B.







 



. C.







 



. D.



Câu 21: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị

2 2

2016

m x







có hai đường tiệm cận ngang

là



. B.



. C.



. D.



Câu 22: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số







có đúng một đường tiệm

cận là

1 0

  

. B.

1 0

  

. C.

 

. D.



Câu 23: Cho hàm số

 

4 3

x m

f x

x x

 



 

có đồ thị





. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc

đoạn





10;10

 để đồ thị





có đúng hai đường tiệm cận?

A. 3. B. 1. C. 0. D. 2.

Câu 24: Cho hàm số





f x

liên tục trên



và có









lim lim 2

x x

f x f x

 

 

. Gọi S là tập hợp các giá trị

của tham số m để đồ thị của hàm số

 









 

2 2

1 3

2 1 2

x f x

g x

x m x m

 

 

 



   

có tổng số tiệm cận đứng và tiệm

cận ngang bằng 2. Tổng các phần tử của S bằng

TOANMATH.com

Trang 58



. B. -2. C. -3. D.

ĐÁP ÁN

1 – B 2 – B 3 – D 4 – A 5 – B 6 – A 7 – D 8 – C 9 – B 10 – D

11 – A 12 – A 13 – A 14 – A 15 – C 16 – C 17 – D 18 – D 19 – D 20 – C

21 – D 22 – A 23 – D 24 – A

Dạng 5. Bài toán liên quan đến đồ thị hàm số và các đường tiệm cận

Bài toán 1: Bài toán liên quan đến đường tiệm cận của đồ thị hàm số







ax b

cx d

Phương pháp giải

Đồ thị hàm số

ax b

cx d







có đường tiệm cận

khi và chỉ khi

0, 0

ad bc c

  

Khi đó, phương trình đường tiệm cận đứng là

 

Phương trình đường tiệm cận ngang là



- Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là

điểm

;

d a

c c

 



 

 

và cũng là tâm đối xứng của đồ

thị.

- Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số cùng với

hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có các

kích thước là



và

nên có chu vi là

d a

c c

 

 

 

 

và diện tích là



Ví dụ: Cho hàm số

2 1







có đồ thị





. Tọa

độ giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị





là





2; 2



. B.





2; 2

 





2;2

 . D.





2;2

Hướng dẫn giải

Ta có phương trình hai đường tiệm cận là

 

và



nên tọa độ giao điểm I của hai đường tiệm

cận là





2;2

I  .

Chọn C.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

x m







có đường tiệm cận đứng đi qua điểm





1; 2

A 

là

TOANMATH.com

Trang 59

 

. B.



. C.

m  . D.

 

Hướng dẫn giải

Ta có

2 0,

ad bc m m

    

nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng

 

Để tiệm cận đứng đi qua điểm





1; 2

A 

thì

1 2

    

Chọn B.

Ví dụ 2. Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

2 3







tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có

diện tích bằng

A. 3 (đvdt) B. 6 (đvdt) C. 1 (đvdt) D. 2 (đvdt)

Hướng dẫn giải

Phương trình các đường tiệm cận là

1; 2

x y

 

Do đó hai đường tiệm cận và hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật diện tích bằng 1.2 = 2 (đvdt).

Chọn D.

Ví dụ 3. Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

mx m







có đường tiệm cận đứng,

tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8 là

 

. B.



. C.

 

. D.

 

Hướng dẫn giải

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là

2 0 0

m m m

    

Khi đó phương trình hai đường tiệm cận là



và

y m



Theo công thức tính diện tích hình chữ nhật tạo bởi hai tiệm cận và hai trục tọa độ, ta có

S m

 .

Theo giả thiết thì

2 8 4

m m

   

Chọn D.

Ví dụ 4. Cho đồ thị hai hàm số

 

2 1

f x







và

 

g x







với



. Tất cả các giá trị thực dương

của tham số a để các tiệm cận của hai đồ thị hàm số tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 4 là



. B.



. C.



. D.



Hướng dẫn giải

Đồ thị hàm số

 

2 1

f x







có hai đường tiệm cận là

 

và



Điều kiện để đồ thị hàm số

 

g x







có tiệm cận là

2 1 0

a a

   

Với điều kiện đó thì đồ thị hàm số





g x

có hai đường tiệm cận là

 

và

y a



TOANMATH.com

Trang 60

Hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường tiệm cận của hai đồ thị trên có hai kích thước là 1 và



Theo giả thiết, ta có

2 .1 4





  



 



Vì



nên



Chọn A.

Ví dụ 5. Cho hàm số







có đồ thị





. Hai đường tiệm cận của





cắt nhau tại I. Đường thẳng

: 2

d y x b

 

(b là tham số thực) cắt đồ thị





tại hai điểm phân biệt A, B. Biết



và diện tích tam

giác AIB bằng

. Giá trị của b bằng

A. -1. B. -3. C. -2. D. -4

Hướng dẫn giải

Ta có tọa độ điểm





1;1

I .

Phương trình hoành độ giao điểm của





và d là

     

2 3 1 0 *

x b

f x x b x bx









  



     





Đường thẳng d cắt đồ thị





tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi





f x



có hai nghiệm phân biệt

khác 1

 

2 17 0

1 2 0

b b



    



   



  







Gọi

1 2

x x

là hai nghiệm của (*).

Khi đó









1 1 2 2

;2 , ;2

A x x b B x x b

 

Ta có





1 1

1; 2 1

IA x x b

   



;





2 2

1;2 1

IB x x b

   



Diện tích tam giác IAB là

     

1 2 2 1

1 2 1 1 2 1

S x x b x x b

       

  

1 2

1 1 2 17

1 1 .

2 2 2

b b

b x x b

 

     .

Theo giả thiết thì

1 2 17

4 4

b b b  



     

2 2 2

1 1 16 225 1 9

b b b





 

        



 

 





nên

 

Chọn D.

Chú ý:

- Với tam giác ABC có









; ; ;

AB a b AC c d

 

 

thì

ABC

S ad bc



  .

- Nếu phương trình bậc

hai

ax bx c

  

có

hai nghiệm phân biệt

1 2

x x

thì

1 2

x x



 

TOANMATH.com

Trang 61

Ví dụ 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn





và





lần lượt có phương trình

   

2 2

1 2 1

x y

   

và

 

1 1

x y

  

. Biết đồ thị hàm số

ax b

x c







đi qua tâm của





, đi qua

tâm của





và có các đường tiệm cận tiếp xúc với cả





và





. Tổng

a b c

 

là

A. 5. B. 8. C. 2. D. -1.

Hướng dẫn giải

Đường tròn





có tâm





1; 2

I ;



và





có tâm





1;0

I  ;



Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là

ac b

 

Gọi





là đồ thị hàm số

ax b

x c







Khi đó ta có các đường tiệm cận





là

x c

 

và

y a



Ta có

 

1 2

a b

I I C a b

a b

a c





 







 



   

 

 

 



 









Đường thẳng

x c

 

tiếp xúc với cả





và





nên

1 1

  



 



 





a b

  

Khi đó tiệm cận ngang của





là



tiếp xúc với cả









thỏa mãn bài toán.

Vậy

1; 0 2

a b c a b c

      

Chọn C.

Bài toán 2: Bài toán về khoảng cách từ điểm trên đồ thị hàm số







ax b

cx d

đến các đường tiệm cận

Phương pháp giải

Giả sử đồ thị hàm số

ax b

cx d







có các đường tiệm

cận là

  

và

 

Gọi

;

ax b

M x

cx d

 



 



 

là điểm bất kì trên đồ thị.

Khi đó

 

1 1 0

;

cx d

d d M x

c c



    

và

 

2 2

0 0

;

ax b

a ad bc

d d M

cx d c c cx d





    

 

Ví dụ: Xét hàm số

2 1







có hai đường

tiệm cận là



và



. Khi đó tích các

khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên đồ thị đến

hai đường tiệm cận là

2 1

 

 

TOANMATH.com

Trang 62

Vậy ta luôn có

1 2

ad bc

d d K



 

là một số

không đổi.

Khi đó

1 2 1 2

2 2

d d d d K

   nên





1 2

min 2

d d K

  khi

1 2

d d



 

cx d

ad bc

cx d ad bc

c c cx d





     



Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Gọi M là giao điểm của đồ thị

2 1

2 3







với trục hoành. Khi đó tích các khoảng cách từ điểm

M đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho bằng

A. 4. B. 2. C. 8. D. 6.

Hướng dẫn giải

Gọi

1 2

d d

lần lượt là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Áp dụng công thức, ta có

1 2

6 2

. 2

d d



 

Chọn B.

Ví dụ 2. Cho hàm số

2 3











. Gọi M là điểm bất kỳ trên





, d là tổng khoảng cách từ M đến

hai đường tiệm cận của đồ thị. Giá trị nhỏ nhất của d bằng

A. 10. B. 6. C. 2. D. 5.

Hướng dẫn giải

Gọi

1 2

d d

lần lượt là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Áp dụng công thức, ta có

1 2

4 3

. 1

d d

 

 

Khi đó

1 2 1 2

2 . 2

d d d d d

   

Vậy

min



Chọn C.

Ví dụ 3. Cho hàm số

1 3







có đồ thị





. Điểm M có hoành độ dương, nằm trên





sao cho

khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng gấp hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của





. Khoảng

cách từ M đến tâm đối xứng của





bằng

A. 5. B.

3 2

. C.

2 5

. D. 4.

TOANMATH.com

Trang 63

Hướng dẫn giải

Giả sử

   

0 0 0

3 1

; 0; 3

M x C x x

 



  

 



 

Đồ thị





có tiệm cận đứng

: 3

 

, tiệm cận ngang

: 3

 

và tâm đối xứng





3;3

I .

Khi đó





1 1 0

; 3

d d M x

   

và

 

2 2

;

d d M

  



Theo giả thiết

1 2 0 0

2 3 7

d d x x





      



 





(do



Vậy





7;5 2 5

M IM  .

Chọn C.

Ví dụ 4. Cho hàm số

4 5







có đồ thị





. Gọi





0 0

;

M x y

với



là một điểm thuộc đồ thị





thỏa mãn tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của





bằng 6. Giá trị của biểu thức

 

0 0

S x y

  bằng

A. 4. B. 0. C. 9. D. 1.

Hướng dẫn giải

Đồ thị





có tiệm cận đứng

: 1

  

và tiệm cận ngang

: 4

 

Gọi

 

0 0 0

4 5

; , 1, 0

M x H x x

 



   

 



 

Khi đó





1 1 0

; 1

d d M x

   

và

 

2 2 1 2

; . 9

d d M d d

    



Ta có

1 2 1 2

2 6

d d d d

  

nên





1 2

min 6

d d

 

khi

1 2 0

d d x





    



 







nên





4;7 9

M S

  

Chọn C.

Bài toán 3: Bài toán liên quan giữa tiếp tuyến và tiệm cận của đồ thị hàm số







ax b

cx d

Phương pháp giải

Giả sử đồ thị hàm số

ax b

cx d







có đồ thị





có

các đường tiệm cận là

  

 

và

Ta có các dạng câu hỏi thường gặp sau

Câu 1: Tính diện tích tam giác IAB.

1 1

2 2

IAB

ad bc

S IA IB K





  

TOANMATH.com

Trang 64

;

d a

c c

 



 

 

Gọi

;

ax b

M x

cx d

 



 



 

là điểm bất kỳ trên đồ thị.

Khi đó tiếp tuyến của





tại M là

 

ax b

ad bc

d y x x

cx d





  



Gọi

A d

  

 





 

0 0

;

ad bc

bc ad acx

A IA

c c cx d c cx d

 



 

   

 

 

 

B d

  





2 ;

cx d

d a

B x IB

c c c



 

   

 

 

Do đó

ad bc

IA IB K



 

là một số không đổi.

IAB



vuông tại I nên

1 1

2 2

IAB

ad bc

S IA IB K





  

là một số không

đổi.

Ngoài ra, ta có

A B M

x x x

y y y

 





 



nên M luôn là

trung điểm của AB.

Câu 2: Tìm điểm





M C

 hoặc viết phương trình

tiếp tuyến của





biết tiếp tuyến tạo với hai trục

tọa độ một tam giác vuông có

a) Cạnh huyền nhỏ nhất.

2 2

2 . 2

AB IA IB IA IB K

   

Dấu bằng xảy ra khi

IA IB



b) Chu vi nhỏ nhất

Ta có

2 . 2 . 2 2

IA IB AB IA IB IA IB K K

     

Dấu bằng xảy ra khi

IA IB



c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất.

Ta có

2 2

R AB 

Dấu bằng xảy ra khi

IA IB



d) Bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất.

Ta có

S K

p IA IB AB

 

 

Vậy r lớn nhất khi

IA IB AB

 

nhỏ nhất và bằng

2 2

K K

 .

Dấu bằng xảy ra khi

IA IB



e) Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến lớn nhất.

Gọi H là hình chiếu của I lên d, ta có

2 2 2

1 1 1 2 2

. 2

IA IB K

IH IA IB

      .

Dấu bằng xảy ra khi

IA IB



Nhận xét: Các câu hỏi trên thì đẳng thức đều xảy

ra khi

IA IB



nên

IAB



vuông cân tại I. Gọi



là

góc giữa tiếp tuyến d và tiệm cận ngang



thì









; ; 45

d d Ox



    

nên hệ số góc của tiếp

tuyến là

tan 45 1

    

Vậy các bài toán trong câu 2 ta quy về bài toán viết

phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

ax b

cx d







khi biết hệ số góc



hoặc

 

TOANMATH.com

Trang 65

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Cho hàm số

2 1







có đồ thị





. Tiếp tuyến của





tại điểm có hoành độ bằng 3 thuộc





cắt các đường tiệm cận của





tạo thành tam giác có diện tích bằng

A. 4. B.

2 2

 . C.

4 2 2

 . D. 2

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức, ta có

2 2 1

 

 

Chọn D.

Ví dụ 2. Cho hàm số

2 3











. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị hàm số





Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị





đạt giá trị lớn nhất bằng

. B. 1. C.

. D.

Hướng dẫn giải

Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là

3 1

;

2 2

 

 

 

Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến d tại





M C

 bất kỳ với hai đường tiệm cận.

Khi đó ta có

4 4 3 2

. 1

ad bc

IA IB

  

  

Gọi H là hình chiếu của I trên d, ta có

2 2 2

1 1 1 2 2

. 2

IA IB

IH IA IB

      .

Vậy

max

IH 

Chọn A.

Ví dụ 3. Cho hàm số

2 1







có đồ thị





. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của





. Biết

tiếp tuyến



của





tại M cắt các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang tại A và B sao cho đường

tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất. Khi đó, diện tích lớn nhất của tam giác tạo bởi



và

hai trục tọa độ thuộc khoảng nào dưới đây?





28;29

. B.





29;30

. C.





27;28

. D.





26;27

Hướng dẫn giải

Ta có

 





 



TOANMATH.com

Trang 66

Theo lý thuyết thì để diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB nhỏ nhất thì AB nhỏ nhất. Khi đó hệ

số góc của tiếp tuyến



phải là

 

y x



 

nên

 

Xét phương trình

 

2 3

y k



 





    





 





- Với

2 3 2 3

x y

     

Tiếp tuyến





: 2 3 2 3

y x      

4 2 3

y x    

Khi đó



cắt Ox, Oy tại hai điểm









4 2 3;0 , 0;4 2 3

M N 

và





4 2 3

OMN

S  

- Với

2 3 2 3

x y

     

tiếp tuyến





: 2 3 2 3

y x      

4 2 3

y x    

Khi đó



cắt Ox, Oy tại hai điểm









4 2 3;0 , 0;4 2 3

P N 

và





4 2 3 27,85

OPQ

S   

Chọn C.

Ví dụ 4. Cho hàm số







, gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng



Biết đường thẳng d cắt tiệm cận đứng của đồ thị hàm số tại điểm





1 1

;

A x y

và cắt tiệm cận ngang của đồ

thị hàm số tại điểm





2 2

;

B x y

. Gọi S là tập hợp các số m sao cho

2 1

x y

  

. Tổng bình phương các

phần tử của S bằng

A. 4. B. 9. C. 0. D. 10.

Hướng dẫn giải

Điều kiện

2 2 0

m m

   

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng

: 2

  

và tiệm cận ngang

: 1



 

Ta có

 

2 2

3 3

y y m

 

   



và

 

y m



 

Phương trình đường thẳng d là

 

3 3

y x m



    .

A d A



 

    

 

 

;





2 2;1

B d B m



    

Do đó

2 1

5 2 2 5 2 4 6 0

x y m m m







            



 



Vậy

 

3 1 10

   

Chọn D.

TOANMATH.com

Trang 67

Bài tập tự luyện dạng 5

Câu 1: Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

2 1

2018







cùng với hai trục tọa độ tạo thành hình chữ

nhật có diện tích bằng

A. 4036. B. 1009. C. 2018. D. 1.

Câu 2: Khoảng cách từ gốc tọa độ đến giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số

2 1







bằng

. B.

. C.

. D. 5.

Câu 3: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị

hàm số

2 1

m x





 

cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 3 là

m m

  

. B.

1; 3

m m

  

. C.

m m

 

. D.

m m

   

Câu 4: Cho hàm số

x n







trong đó m, n là tham số. Biết giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ

thị hàm số nằm trên đường thẳng

2 3 0

x y

  

và đồ thị hàm số đi qua điểm





0;1

A . Giá trị của

m n



bằng

A. -3. B. 3. C. 1. D. -1.

Câu 5: Cho hàm số







có đồ thị





. Có bao nhiêu điểm M thuộc





sao cho khoảng cách từ

điểm M đến đường tiệm cận ngang bằng 5 lần khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận đứng?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 6: Cho hàm số







có đồ thị





và A là điểm thuộc





. Giá trị nhỏ nhất của tổng các

khoảng cách từ A đến các đường tiệm cận của





bằng

2 2

. B. 2. C. 3. D.

2 3

Câu 7: Cho hàm số







có đồ thị là





. Tọa độ điểm M có hoành độ dương thuộc





sao cho

tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ nhất là





0; 1



. B.





2;2

. C.





1; 3



. D.





4;3

Câu 8: Cho hàm số

2 2







có đồ thị





. M là điểm thuộc





sao cho tiếp tuyến của





tại M cắt

hai đường tiệm cận của





tại hai điểm A, B thỏa mãn

2 5

AB 

. Tổng các hoành độ của tất cả các

điểm M thỏa mãn bài toán bằng

A. 5. B. 8. C. 7. D. 6.

Câu 9: Cho hàm số







có đồ thị





. Gọi d là khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận của đồ thị





đến một tiếp tuyến của





. Giá trị lớn nhất của d bằng

TOANMATH.com

Trang 68

. B.

3 3

. C.

. D.

2 2

Câu 10: Cho hàm số







có đồ thị là





. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của





. Các

điểm M trên





sao cho độ dài đoạn IM ngắn nhất là





1;1

M và





3;0

M  B.





1; 1



và





3;3

M 





1; 1



và





3;2

M  D.





1; 2



và





3; 3

 

Câu 11: Cho đồ thị





2 1







. Gọi M là điểm bất kì thuộc đồ thị





. Tiếp tuyến của đồ thị





tại M cắt hai đường tiệm cận của





tại hai điểm P và Q. Gọi G là trọng tâm tam giác IPQ (với I là giao

điểm hai đường tiệm cận của





). Diện tích tam giác GPQ là

A. 2. B. 4. C.

. D. 1.

Câu 12: Cho hàm số

2 1







có đồ thị là





. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận và









0 0 0

, 0

M x y x



là một điểm trên





sao cho tiếp tuyến của





tại M cắt hai đường tiệm cận lần

lượt tại A, B thỏa mãn

2 2

AI IB 

. Khi đó tích

0 0

x y

bằng

. B. 2. C. 1. D.

Câu 13: Tất cả giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

 

f x

x mx





 

có hai đường tiệm cận

đứng là các đường thẳng

x x



và

x x



sao cho

2 2

1 2

2 2

2 1

x x

 

là







 



. B.

2 2

  

. C.

2 5

5 2



 



   





. D.







 





Câu 14: Biết rằng đồ thị của hàm số

 

f x

x mx n





 

có hai tiệm cận đứng là

x x



và

x x



sao

cho

1 2

3 3

1 2

x x

 





 



. Giá trị

m n



bằng

A. -1. B. -7. C. 1. D. 7.

ĐÁP ÁN

1 – A 2 – C 3 – A 4 – B 5 – B 6 – A 7 – D 8 – B 9 – A 10 – B

11 – A 12 – B 13 – D 14 – C

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/68

| | Tải xuống

Preview text:

BÀI 4. TIỆM CẬN Mục tiêu  Kiến thức
+ Nắm được khái niệm đường tiệm cận của đồ thị hàm số, khái niệm đường tiệm cận đứng, tiệm
cận ngang của đồ thị hàm số.
+ Nhận biết được các đồ thị của hàm số có tiệm cận
+ Nắm được tính chất của các đường tiệm cận với đồ thị của hàm số  Kĩ năng
+ Biết cách xác định phương trình đường tiệm cận của hàm số cho bởi công thức, cho bởi bảng biến thiên.
+ Biện luận số đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số chứa tham số.
+ Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số ẩn.
+ Áp dụng các tính chất của các đường tiệm cận vào các bài toán liên quan. TOANMATH.com Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Đường thẳng y  y được gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số 0
y  f  x nếu lim f  x  y hoặc lim  y 0 x 0 x
Đường thẳng x  x được gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số 0
y  f  x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
lim f  x  ; lim f  x   ;   xx x 0 0 x
lim f  x  ; lim f  x   .   xx x 0 0 x TOANMATH.com Trang 2 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Tiệm cận đứng Tiệm cận ngang
Đường thẳng x  x được gọi là 0
Đường thẳng y  y được gọi là 0
tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
y  f  x nếu ít nhất một trong
y  f  x nếu lim f  x  y 0 x
các điều kiện sau được thỏa mãn: hoặc lim  y 0 x lim f  x   ;  lim f x     xx x 0 0 x TIỆM CẬN lim f  x   ;  lim f x     xx x 0 0 x TOANMATH.com Trang 3 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số khi biết biểu thức, bảng biến thiên, đồ thị
Bài toán 1. Xác định các đường tiệm cận dựa vào định nghĩa Phương pháp giải
Dựa vào định nghĩa của đường tiệm cận
Ví dụ: Cho hàm số y  f  x có lim f  x  1 và x Tiệm cận ngang lim  1
Đường thẳng y  y là đường tiệm cận ngang của x 0
Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận ngang, ta có
đồ thị hàm số y  f  x nếu lim f  x  y hoặc 0 x
phương trình các đường tiệm cận ngang của đồ thị lim f  x  y 0
hàm số y  f  x là y  1 và y  1  . x
Ví dụ: Cho hàm số y  f  x có lim f  x   x 2  Tiệm cận đứng
và lim f  x   .
Đường thẳng x  x là đường tiệm cận đứng của đồ x2 0
Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận đứng, ta có
thị hàm số y  f  x nếu một trong các điều kiện phương trình các đường tiệm cận đứng của đồ thị sau được thỏa mãn:
hàm số y  f  x là x  2 và x  2
lim f  x  ; lim f  x     xx x 0 0 x
lim f  x  ; lim f  x     xx x 0 0 x Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x có lim f  x  3 và lim f  x  3 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? x x
A. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là y  3 và y  3 
B. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là x  3 và x  3
C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang
D. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang Hướng dẫn giải
Vì lim f  x  3 nên y  3 là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x
Vì lim f  x  3 nên y  3 là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x Chọn A
Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x có đồ thị là đường cong C  và các giới hạn:
lim f  x 1; lim f  x  1; lim f  x  2; lim f  x  2 . Mệnh đề nào sau đây đúng? x2 x2 x x
A. Đường thẳng x  2 là tiệm cận đứng của C  TOANMATH.com Trang 4
B. Đường thẳng y  2 là tiệm cận ngang của C 
C. Đường thẳng y  1 là tiệm cận ngang của C 
D. Đường thẳng x  2 là tiệm cận ngang của C  Hướng dẫn giải  lim f x  2  Ta có x 
 đường thẳng y  2 là tiệm cận ngang của C lim  f x  2 x Chọn B
Ví dụ 3: Cho hàm số y  f  x xác định trên khoảng 2;  
1 và có lim f  x  2 , lim f  x   . x 2  x 1 
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Đồ thị hàm số y  f  x có đúng hai tiệm cận đứng là x  2 và x  1
B. Đồ thị hàm số y  f  x có đúng một tiệm cận ngang là y  2
C. Đồ thị hàm số y  f  x có đúng một tiệm cận đứng là x  1
D. Đồ thị hàm số y  f  x có đúng hai tiệm cận ngang là y  2 và y  1 Hướng dẫn giải
Do lim f (x)   nên đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng là x  1 x 1  Chọn C
Bài toán 2. Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên và đồ thị hàm số Phương pháp giải
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y  f  x xác Ví dụ: Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên
định phương trình các đường tiệm cận đứng, tiệm như sau:
cận ngang, số các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  f  x Chú ý:
- Ứng với điểm x  x trong bảng biến thiên thì ở 0
dòng y phải ghi các kí hiệu -∞ hoặc +∞ (không phải
các giá trị cụ thể) thì đường thẳng x  x mới là 0
đường tiệm cận đứng của đồ thị.
Dựa vào bảng biến thiên ta có đường thẳng x  x 0
- Ứng với điểm -∞ hoặc +∞ trong bảng biến thiên là tiệm cận đứng và đường thẳng y  y là đường 0
thì ở dòng y phải ghi các giá trị cụ thể y (không 0
tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f  x
phải là -∞ hoặc +∞) thì đường thẳng y  y mới là 0
đường tiệm cận ngang của đồ thị. TOANMATH.com Trang 5 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x xác định và có đạo hàm trên  \  
1 . Hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
Đồ thị hàm số y  f  x có bao nhiêu đường tiệm cận? A. 4 B. 1 C. 2 D. 3 Hướng dẫn giải
Từ bảng biến thiên của hàm số, ta có
lim f  x  3  y  3
 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số x
lim f  x  3  y  3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số x
lim f  x    x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x 1 
lim f  x  , lim f  x    x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x 1 x 1  
Vậy hàm số có hai tiệm cận đứng là x  1 , hai tiệm cận ngang là y  3 Chọn A
Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x xác định và có đạo hàm trên  \  2  ; 
1 và có bảng biến thiên như sau:
Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. x  2 và x  1
B. không có tiệm cận đứng C. x  2 D. x  1 Hướng dẫn giải
Từ bảng biến thiên, ta có lim y   nên x  2 là đường tiệm cận đứng; x  2  
lim y  lim y  2 nên x  1 không là đường tiệm cận đứng. x 1 x 1   TOANMATH.com Trang 6 Chọn C.
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới.
Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  f  x là A. x  1 và y  2  B. x  1 và y  2 C. x  1 và y  2 D. x  1 và y  2 Hướng dẫn giải
Dựa vào đồ thị, ta suy ra tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị lần lượt là các đường thẳng x  1  , y  2 . Chọn D
Bài toán 3. Xác định các đường tiệm cận của đồ thị khi biết hàm số Phương pháp giải
Tiệm cận của đồ thị hàm số
Ví dụ: Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm ax  2x  3  b y , c  0, ad  bc  0 số y  cx  d x 1
Thực hiện theo các bước sau:   Hướng dẫn giải Bước 1. Tập xác định   d D \   .  c 
Tập xác định D   \   1 .
Bước 2. Xác định các đường tiệm cận đứng, tiệm Khi đó lim y  lim y  2 nên đồ thị có đường
cận ngang của đồ thị. x x
tiệm cận ngang là y  2 a
- lim y  nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận x c lim y   ;
 lim y   nên đồ thị có đường tiệm x 1 x 1   cận đứng là x  1 TOANMATH.com Trang 7 ngang là  a y c
- lim y   nên đồ thị hàm số có đường tiệm   d x c cận đứng là   d x c 2x  3 Bước 3. Kết luận
Vậy đồ thị hàm số y  x 1 ax  b Đồ thị hàm số y 
có hai đường tiệm cận:
nhận đường thẳng y  2 là tiệm cận ngang cx  d
và nhận đường thẳng x  1 là tiệm cận đứng. Tiệm cận đứng  a x
và tiệm cận ngang   d y . c c Chú ý:
- Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm ax  b  d a  số y  là điểm I  ;   là tâm đối xứng cx  d  c c  của đồ thị. ax  b
- Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  cx  d
cùng với hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có  a d  ad chu vi là 2    và diện tích là  c c  2 c f x
Tiệm cận của đồ thị hàm số hữu tỷ y  g  x
Ví dụ: Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm x  1
Điều kiện xác định g  x  0 . số y  2 x  2x  3 Tính các giới hạn lim ;
y lim y nếu thỏa mãn định Hướng dẫn giải  x x 0 x X—>±0O X->Xg
Tập xác định là D   \ 1;   3
nghĩa của đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang thì kết luận.
Ta có lim y  0; lim y   ;  lim   x x 1 x 3    Chú ý:
Suy ra đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là f  x
x  1; x  3 và một tiệm cận ngang y  0
- Đối với hàm số phân thức hữu tỷ y  với g  x f  x n n 1   a x  a x  ...  a x  a a  0 và n n 1  1 0  n  g  x m m 1   b x  b x  ...  b x  b b  0 m m 1  1 0  m  Khi đó:
+ Nếu n  m thì đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
+ Nếu n  m thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là TOANMATH.com Trang 8 a y  n b m
+ Nếu n  m thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y  0
- Nếu đường thẳng x  x là tiệm cận đứng của đồ 0
thị hàm số thì x  x là nghiệm của phương trình 0
g  x  0 (ngược lại nghiệm của g  x  0 chưa
chắc đã là tiệm cận đứng của đồ thị). Hay nói cách
khác x  x là các điểm gián đoạn của hàm số. 0
Tiệm cận của đồ thị hàm số vô tỷ.
Ví dụ: Xác định tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của
Đối với hàm số vô tỷ, bước quan trọng nhất để xác 2 1  x
định đồ thị hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận đồ thị hàm số y  x  2
ngang là tìm tập xác định của hàm số. Hướng dẫn giải Bước Tập xác định D   1  ;  1
Không tồn tại các giới hạn lim y; lim nên đồ thị x x
hàm số không có tiệm cận ngang.
Mặt khác do hàm số liên tục trên khoảng 1;  1 và lim y  f   1 ; lim y  f   1 nên hàm số liên tục x 1 x 1   trên đoạn 1; 
1  Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. Ví dụ mẫu x  1
Ví dụ 1: Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  là x  2 A. x  2 y  1 B. x  1; y  2 C. x  2; y  1 D. x  2; y  1 Hướng dẫn giải
Tập xác định D   \   2 x  1 x  1 Ta có lim   ;  lim
  nên x  2 là phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x 2  x 2 x 2    x  2 x  1 x  1 lim  lim
 1 nên y  1 là phương trình đường tiệm cận của đồ thị hàm số. x x  2 x x  2 Chọn C
Ví dụ 2: Đồ thị hàm số nào sau đây nhận đường thẳng x  2 là tiệm cận đứng? 2x 2x 2 A. y  B. y  2 C. y  D. y  x  2  x  2 x  2 x TOANMATH.com Trang 9 Hướng dẫn giải 2x 2x 2x Ta thấy hàm số y 
có tập xác định D   \   2 và lim   ;  lim   nên đồ thị x  2 x 2  x 2 x 2    x  2
hàm số có tiệm cận đứng là x  2 Chọn A 3x 1
Ví dụ 3: Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số y  là x 1 A. 1; 3 B. 1;  1 C. 3;  1 D. 1; 3 Hướng dẫn giải
Tập xác định D   \   1
Ta có đường tiệm cận đứng của đồ thị là x  1 và tiệm cận ngang của đồ thị là y  3 , tọa độ tâm đối xứng
của đồ thị là giao của hai đường tiệm cận I 1; 3 . Chọn D 2x 1
Ví dụ 4: Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có x 1 diện tích bằng A. 2 (đvdt) B. 3 (đvdt) C. 1 (đvdt) D. 4 (đvdt) Hướng dẫn giải
Tập xác định D   \   1
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x  1 và tiệm cận ngang là y  2 . Khi đó hình chữ nhật tạo bởi
hai đường tiệm cận và hai trục tọa độ có các kích thước là 1 và 2 nên có diện tích S  1.2  2 (đvdt) Chọn A x  2
Ví dụ 5: Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  là x  2 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải
Tập xác định D   \   2 . x  2 lim y  lim
   Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  2 x 2 x 2   x  2 x  2 lim y  lim
 1  Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  1 x x x  2 2  x lim y  lim  1
  Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  1 x x x  2
Vậy số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là 3. TOANMATH.com Trang 10 Chọn B x  1
Ví dụ 6: Đồ thị của hàm số y 
có bao nhiêu đường tiệm cận? 2 x  2x  3 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 Hướng dẫn giải
Tập xác định D   \ 1;   3 x  1 Ta có lim
 0 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y  0 . 2 x x  2x  3 + lim y   ;
 lim y    Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x  1; x 1 x 1   + lim y   ;
 lim y    Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x  3 . x 3 x 3  
Vậy đồ thị hàm số có ba tiệm cận. Chọn A x 1
Ví dụ 7: Đồ thị hàm số y 
có bao nhiêu đường tiệm cận? x 1 A. 1 B. 2 C. 4 D. 3 Hướng dẫn giải
Tập xác định D   \   1
Ta có lim y  lim y  1  Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y  1 x x lim y   ;
 lim y    Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x  1 x 1 x 1   lim y   ;
 lim y    Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x  1 x 1 x 1  
Vậy đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận Chọn D  2x 3x  2sin x
Ví dụ 8: Đồ thị hàm số y 
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? 3 x  4x A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải
Tập xác định D   \ 0;   2 2 2
 x  3x  2  sin x  0  3.0  2 1 Ta có lim y  lim    
.1   nên x  0 không phải là đường tiệm cận 2 2 x0
x0  x  4  x  0  4 2  đứng. TOANMATH.com Trang 11  2x 3x  2sin x x  1sin x sin 2 lim y  lim  lim 
nên đường thẳng x  2 không là đường tiệm cận 3 x2 x2 x2 x  4x x  x  2 8 đứng.  2x 3x  2sin x lim y  lim
  nên đường thẳng x  2 là tiệm cận đứng của đồ thị.   3 x 2  x2 x  4x
Vậy hàm số chỉ có một đường tiệm cận đứng là x  2 . Chọn A x  9  3
Ví dụ 9: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  là 2 x  x A. 3 B. 4 C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải Tập xác định D   9
 ;   \0;   1 . Khi đó, ta có x  9  3 x  9  3 lim  , lim
   x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.  2  2 x 1   x1 x x x  x x  9  3 1 1 x  9  3 1 lim  lim  và lim   2 x 0  x 0 x x   
x  1 x 9 3 6  2 x0 x  x 6
 x  0 không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x  9  3 lim
 0  y  0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. 2 x x  x Chọn C.
Chú ý: Không tồn tại lim y vì trong tập xác định không có x tiến tới -∞ x 2 16  x
Ví dụ 10: Đồ thị hàm số y 
có bao nhiêu đường tiệm cận? x  x 16 A. 4 B. 2 C. 0 D. 1 Hướng dẫn giải Tập xác định D   4  ; 4 \   0 Do lim y   ;
 lim y   nên đường thẳng x  0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x 0 x 0  
Vậy đồ thị hàm số có một đường tiệm cận. Chọn D. x  1
Ví dụ 11: Đồ thị hàm số y 
có bao nhiêu đường tiệm cận? x 1 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 TOANMATH.com Trang 12 Hướng dẫn giải Tập xác định D   1  ;   \   1 Ta có : x  1 lim y  lim y
 0  Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y  0 x x x 1 x  1 lim y  lim   ;  lim y   x 1 x 1  x 1 x 1    
=> Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x  1 x  1 1 lim y  lim   lim   x 1 x 1  x 1 x 1     x  1
=> Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x  1
Vậy đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận. Chọn D 2 2x 1  x 1
Ví dụ 12: Phương trình các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  là x  3 A. y  1 B. y  3 và y  1 C. y  2 D. y  3 Hướng dẫn giải
Tập xác định D   \   3 1 1 2   1  2 2 2x 1  x  1 Ta có lim  lim  lim x x y  3 x x x  3 x 3 1 x
 y  3 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. 1 1 2   1  2 2 2x  1 x 1 lim  lim  lim x x 1 x x x  3 x 3 1  x
 y  1 là đường tiệm cận ngang. Chọn B 2 6x 1  x  2
Ví dụ 13: Biết các đường tiệm cận của đường cong C : y 
và trục tung cắt nhau tạo x  5
thành một đa giác H  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. H  là một hình chữ nhật có diện tích bằng 8
B. H  là một hình vuông có diện tích bằng 4 TOANMATH.com Trang 13
C. H  là một hình vuông có diện tích bằng 25
D. H  là một hình chữ nhật có diện tích bằng 10 Hướng dẫn giải Tập xác định  ;
  2    2;     \ 5 2 6x 1  x  2 Ta có lim y  lim
 5  y  5 là tiệm cận ngang của C x x x  5 2 6x 1 x  2 lim y  lim
 7  y  7 là tiệm cận ngang của C x x x  5 lim y   ;
 lim    x  5 là tiệm cận đứng của C x 5 x 5  
Vậy đồ thị có ba đường tiệm cận là y  5; y  7; x  5 cùng với trục tung tạo thành một hình chữ nhật có
kích thước 2  5 nên có diện tích bằng 10. Chọn D Ví dụ 14 : Cho hàm số 2
y  x  x  2x  3 . Khi đó, đồ thị hàm số
A. có tiệm cận đứng và không có tiệm cận ngang
B. có tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng
C. có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
D. không có cả tiệm cận đứng và tiệm cận ngang Hướng dẫn giải Tập xác định D  
Do hàm số liên tục trên  nên đồ thị không có tiệm cận đứng 2x  3
Ta có lim y  lim x  x  x     x x  2 2 3 lim 1 x 2 x  2x  3  x
 y  1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y          2 lim lim x x 2x 3 x x 
Vậy đồ thị chỉ có một đường tiệm cận ngang là y  1 Chọn B x
Ví dụ 15: Phương trình các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  là 2 x 1 A. y  1 và y  1 B. y  1 C. y  1 
D. Không có tiệm cận ngang Hướng dẫn giải Tập xác định  ;    1  1;   TOANMATH.com Trang 14 x x Ta có lim y  lim  1 và lim y  lim  1 x x 2 x 1 x x 2 x 1
 y  1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Chọn B
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Cho hàm số y  f  x có lim f  x  2 và lim f  x  2 . Mệnh đề nào sau đây đúng? x x
A. Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là các đường thẳng y  2 và y  2 
B. Đồ thị hàm số đã cho không có đường tiệm cận ngang
C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một đường tiệm cận ngang
D. Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là các đường thẳng x  2 và x  2
Câu 2: Hàm số y  f  x xác định với mọi x  1
 , có lim f x   ,
 lim  , lim f  x   , x 1  x  1  x
lim f  x   . Mệnh đề nào dưới đây đúng? x
A. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng
B. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng
C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng
D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang
Câu 3: Cho hàm số y  f  x có lim f  x   và lim f  x  2. Mệnh đề nào sau đây đúng? x 3  x 3 
A. Đường thẳng y  2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f  x
B. Đồ thị hàm số y  f  x không có tiệm cận đứng
C. Đường thẳng x  3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f  x
D. Đường thẳng x  3 không phải là tiệm cận của đồ thị hàm số y  f  x
Câu 4: Cho hàm số f  x xác định và liên tục trên  \   1
 có bảng biến thiên như sau
Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang
B. Hàm số không có đạo hàm tại x  1
C. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x  1
D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng TOANMATH.com Trang 15
Câu 5: Cho hàm số y  f  x xác định trên  \  
1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình dưới
Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận? A. 3 B. 1 C. 2 D. 4
Câu 6: Cho hàm số y  f  x xác định trên R \  
0 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau
Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 7: Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên như sau
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là A. 3 B. 4 C. 1 D. 2
Câu 8: Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận? TOANMATH.com Trang 16 A. 4 B. 1 C. 3 D. 2
Câu 9: Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f  x có bảng biến thiên như sau A. 0 B. 1 C. 3 D. 2 x  2
Câu 10: Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  là 1 x A. y  1 B. x  1 C. x  1 D. y  1 x  2
Câu 11: Đồ thị của hàm số y 
có bao nhiêu đường tiệm cận? 3  x A. 2 B. 3 C. 1 D. 4 2x 1
Câu 12: Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  là x  1 A. y  2 B. x  1 C. y  2 D. x  1
Câu 13: Hàm số nào dưới đây có đồ thị nhận đường thẳng x  2 là đường tiệm cận? 5x 1 2 1 A. y  B. y  x  2  C. y  D. y  2  x x 1 x  2 x  1 2  5x
Câu 14: Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  là 2x  3  3 5   5 3   3 5   3 5  A.  ;   B.  ;    C.  ;    D. ;     5 2   2 2   2 2   2 2  2x  1
Câu 15: Tổng khoảng cách từ điểm M 1;  2 đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  là x 1 A. 4 B. 2 C. 1 D. 3 2x
Câu 16: Đồ thị hàm số y 
có bao nhiêu đường tiệm cận ngang? 2 x  1 TOANMATH.com Trang 17 A. 2 B. 1 C. 3 D. 0
Câu 17: Đường thẳng y  1
 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nào sau đây? 1 x 2 2x  3x  2 2x  2 2 1  x A. y  B. y  C. y  D. y  1 x x  2 x  2 1 x 2 x  2x  3
Câu 18: Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  là 2x  4 A. x  2 B. x  1 C. y  1 D. x  1 2x 3x
Câu 19: Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y   là x  1 2x 1 1 1 3 A. y  2 B. x  C. y  D. y   2 2 2 2 x  5x  6
Câu 20: Đồ thị hàm số y 
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? 2 x  3x  2 A. 1 B. 3 C. 0 D. 2 2 2x  3x  2 Câu 21: Cho hàm số y 
. Mệnh đề nào sau đây sai? 2 x  2x  3
A. Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận
B. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x  1 và x  3 1
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y  2
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y  2 2x  2017
Câu 22: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  là x 1 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3 x  x
Câu 23: Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị tham số y  là 2 x  x  2 A. 2 B. 1 C. 3 D. 0 2 1 4  x
Câu 24: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  là 2 x  2x  3 A. 0 B. 2 C. 3 D. 1 2 x  2x  3
Câu 25: Đồ thị hàm số y 
có bao nhiêu đường tiệm cận? x  2 A. 3 B. 1 C. 2 D. 4 4  x  1
Câu 26: Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  là x 1 A. x  1; y  2 B. x  1 C. x  0; y  1  D. x  1; y  1 x 1
Câu 27: Đồ thị hàm số y 
có bao nhiêu đường tiệm cận? 2 4  x TOANMATH.com Trang 18 A. 2 B. 0 C. 1 D. 4
Câu 28: Đồ thị hàm số nào sau đây có đúng hai đường tiệm cận ngang? 2 x  x x  2 x  2 2 4  x A. y  B. y  C. y  D. y  x  2 x  2 x 1 x 1
Câu 29: Gọi n, d lần lượt là số đường tiệm cận ngang và số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 1 x y   . Giá trị của n, d là x   1 x A. n  1; d  2 B. n  0; d  1 C. n  0; d  2 D. n  d  1 2 3x  2
Câu 30: Đồ thị hàm số y 
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận? 2x 1  x A. 1 B. 4 C. 3 D. 2 2x 1
Câu 31: Phương trình các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  là 2 4x  3 A. y  1 B. y  1 và y  1 C. y  2 D. y  2 và y  2
Câu 32: Đồ thị hàm số 2
y  2x 1 4x  4 có bao nhiêu đường tiệm cận ngang? A. 1 B. 0 C. 3 D. 2 2x
Câu 33: Đồ thị hàm số y 
có bao nhiêu đường tiệm cận? 2 x 1  x A. 2 B. 1 C. 3 D. 4
Câu 34: Đồ thị hàm số 2 2
y  4x  4x  3  4x  1 có bao nhiêu đường tiệm cận ngang? A. 2 B. 0 C. 1 D. 3 2 x  4
Câu 35: Đồ thị hàm số y 
có bao nhiêu đường tiệm cận? 2 2x  5x  2 A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 ĐÁP ÁN 1-A 2-A 3-C 4-D 5-A 6-B 7-A 8-C 9-C 10-A 11-A 12-D 13-A 14-C 15-A 16-B 17-A 18-A 19-C 20-A 21-C 22-B 23-B 24-D 25-C 26-B 27-A 28-C 29-C 30-D 31-B 32-A 33-B 34-A 35-A TOANMATH.com Trang 19
Dạng 2: Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số chứa tham số ax  b
Bài toán 1: Tiệm cận của đồ thị hàm số y  cx  d Phương pháp giải
Để tồn tại các đường tiệm cận của đồ thị hàm số Ví dụ: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ ax  b 2x  4 y 
thì c  0 và ad  bc  0 thị hàm số y  có tiệm cận đứng là cx  d x  m
Khi đó phương trình các đường tiệm cận là A. m  2  d B. m  2
+ Tiệm cận đứng x   c C. m  2 a + Tiệm cận ngang y  D. m  2 c Hướng dẫn giải
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là 2m  4  0  m  2  Chọn B Ví dụ mẫu 2m   1 x 1
Ví dụ 1: Giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số y 
có đường tiệm cận ngang y  3 x  m là A. m  1 B. m  0 C. m  2 D. m  3 Hướng dẫn giải
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là m m   2 2
1 1  0  2m  m 1  0  m   
Phương trình đường tiệm cận ngang là y  2m 1 nên có 2m 1  3  m  2 . Chọn C x 1
Ví dụ 2: Tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  có tiệm cận đứng là mx 1 A.  B.  \   0 C.  \   1 D.  \ 0;  1 Hướng dẫn giải m  0 m  0
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là    1 m  0 m  1 Chọn D x  3
Ví dụ 3. Tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y 
không có tiệm cận đứng là mx 1 TOANMATH.com Trang 20  1 1 A.  B. 0;  C.   D.   0  3 3 Hướng dẫn giải
Điều kiện để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng là m  0 m  0    1  1   3m  0 m   3 Chọn B ax  b
Ví dụ 4: Cho hàm số y 
. Biết đồ thị hàm số đã cho đi qua điềm A0;  
1 và có đường tiệm cận x  1
ngang là y  1. Giá trị a  b bằng A. 1 B. 0 C. 3 D. 2 Hướng dẫn giải
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là a  b  0
Do đồ thị hàm số đi qua điểm A0;   1 nên b  1
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y  a  a  1 (thỏa mãn điều kiện) Vậy a  b  0 Chọn B a  3 x  a  2019
Ví dụ 5: Biết rằng đồ thị của hàm số y 
nhận trục hoành làm tiệm cận ngang và x  b  3
trục tung làm tiệm cận đứng. Khi đó giá trị của a  b bằng A. 3 B. -3 C. 6 D. 0 Hướng dẫn giải
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là a  3b  3  a  2019  0
Phương trình các đường tiệm cận là x  b  3 b  3  0 b   3       (thỏa mãn điều kiện)  y  a  3 a  3  0 a  3 Vậy a  b  0 Chọn D x  1
Ví dụ 6: Giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  đi qua điểm 2x  m A1; 2 là A. m  4 B. m  2 C. m  4 D. m  2 Hướng dẫn giải
Điều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận là m  2  0  m  2 TOANMATH.com Trang 21 m m
Đường tiệm cận đứng là x    
 1  m  2 (thỏa mãn) 2 2 Chọn B mx 1
Ví dụ 7: Cho hàm số y 
với tham số m  0 . Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm x  2m
số thuộc đường thẳng nào dưới đây? A. x  2y  0 B. 2x  y  0 C. x  2 y  0 D. y  2x Hướng dẫn giải
Điều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận là 2 2m 1  0  m    .
Phương trình các đường tiệm cận là x  2 ;
m y  m nên tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là I 2 ;
m m thuộc đường thẳng x  2y Chọn C 4x  5
Ví dụ 8: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 
có tiệm cận đứng nằm bên x  m phải trục tung là 5 A. m  0 và m  B. m  0 4 3 C. m  0 và m  D. m  0 4 Hướng dẫn giải 5
Điêu kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là 4m  5  0  m  4
Phương trình đường tiệm cận đứng là x  m
Để tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung thì m  0 m  0 
Vậy điều kiện cần tìm là  5 m   4 Chọn A.
Bài toán 2: Tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức hữu tỷ Phương pháp giải A 2
- Tiệm cận của đồ thị hàm số y 
với A là số Ví dụ: Cho hàm số y  . Giá trị f  x 2 x  2mx  3m 1
thực khác 0 và f  x là đa thức bậc n  0.
của tham số thực m để đồ thị hàm số đã cho nhận
đường thẳng x  2 là tiệm cận đứng là A - Đồ thị hàm số y  luôn có tiệm cận ngang f  x A. m  3 B. m  2 TOANMATH.com Trang 22 y  0 . C. m  3
- Đường thẳng x  x là tiệm cận đứng của đồ thị D. m  2 0 A Hướng dẫn giải hàm số y 
khi và chỉ khi x là nghiệm của f  x 0 Điều kiện: 2 x  2mx  3m 1  0 f  x hay f  x  0 Đặt g  x 2  x  2mx  3m 1 0 
Để đường thẳng x  2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho thì
g 2  0  4  4m  3m 1  0  m  3 Chọn A f x
Ví dụ: Giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
- Tiệm cận của đồ thị hàm số y  với g  x 2 2x  3x  m y 
không có tiệm cận đứng là
f  x, g x là các đa thức bậc khác 0. x  m A. m  0 f x
- Điều kiện để đồ thị hàm số y  có tiệm B. m  1 g  x C. m  0; m  1
cận ngang là bậc f  x  bậc g  x . D. m  0; m  1 
- Điều kiện để đường thẳng x  x là tiệm cận 0 Hướng dẫn giải f x Điều kiện x  m
đứng của đồ thị hàm số y  là x là nghiệm g  x 0 Đặt f  x 2  2x  3x  m
của g  x nhưng không là nghiệm của f  x hoặc Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng thì
x là nghiệm bội n của g  x , đồng thời là nghiệm m  0 0 f m 2
 0  2m  3m  m  0   m  1
bội m của f  x và m  n Chọn C. Ví dụ mẫu 2 mx  2x 1
Ví dụ 1: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  có tiệm cận đứng là 2x  1 A. m  8 B. m  0 C. m  4 D. m  8  Hướng dẫn giải  1 
Tập xác định D   \   . Đặt g  x 2  mx  2x 1  2 1
Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì x   không là nghiệm của g  x 2 TOANMATH.com Trang 23  1  m  g   0   2  0  m  8    2  4 Chọn D x 1
Ví dụ 2: Biết đồ thị hàm số y 
(m, n là tham số) nhận đường thẳng x  1 là tiệm cận 2 x  2mx  n  6
đứng, giá trị của m  n bằng A. 6 B. 10 C. -4 D. -7 Hướng dẫn giải Điều kiện: 2
x  2mx  n  6  0 . Đặt g  x 2  x  2mx  n  6
Do x  1 là nghiệm của f  x  x 1 nên đồ thị hàm số đã cho nhận đường thẳng x  1 là tiệm cận đứng
thì x  1 phải là nghiệm kép của phương trình
g             g  x 1 2m n 7 0 n 2m 7 m 1  0       2 2
  m  n  6  0 m  2m 1  0 n  5  Vậy m  n  4. Chọn C 2m  n 2x  mx 1
Ví dụ 3: Biết đồ thị hàm số y 
nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận. Giá 2 x  mx  n  6 trị m  n bằng A. 8 B. 9 C. 6 D. -6 Hướng dẫn giải Điều kiện 2 x  mx  n  6  0
Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y  2m  n  2m  n  0 (1) Đặt f  x 2
 (2m  n)x  mx 1 và g x 2  x  mx  n  6
Nhận thấy f 0  0 với mọi m, n nên đồ thị nhận trục tung x  0 là tiệm cận đứng thì
g 0  0  n  6  0  n  6 . Kết hợp với (1) suy ra m  3 . Vậy m  n  9 Chọn B 2 ax  x 1
Ví dụ 4: Cho hàm số y 
có đồ thị C (a, b là các số thực dương và ab  4 ). Biết rằng 2 4x  bx  9
C có tiệm cận ngang y  c và có đúng một tiệm cận đứng.
Giá trị của tổng T  3a  b  24c bằng A. 8 B. 9 C. 6 D. 11 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 24 Điều kiện 2 4x  bx  9  0 a a
Phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y    c 4 4
Đồ thị C có một tiệm cận đứng nên ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Phương trình 2
4x  bx  9  0 có nghiệm kép x  x và không là nghiệm của 0 2 ax  bx  1  0 1 1 2
 b 144  0  b  12 . Vì b  0 nên b  12  a   c  3 12 1 2 x  x 1 Thử lại ta có hàm số 3 y  (thỏa mãn) 2 4x 12x  9 1 1 Vậy T  3. 12  24.  11 3 12 Trường hợp 2: 2
4x  bx  9  0 có hai nghiệm phân biệt và một trong hai nghiệm thỏa mãn 2
ax  x 1  0 . Điều này không xảy ra vì ab  4 . Chọn D
Chú ý: a; b > 0 nên mẫu số (nếu có) hai nghiệm đều âm, tử số hai nghiệm trái dấu.
Bài toán 3 Tiệm cận của đồ thị hàm số vô tỷ
Cho hàm số vô tỷ y  f  x
Ví dụ: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ 2m   2 
- Tìm tập xác định D của hàm số. 1 x 3 thị hàm số y  có đường tiệm cận 4
- Để tồn tại tiệm cận ngang của đồ thị hàm số x 1
y  f  x thì trong tập xác định D của hàm số phải ngang đi qua điểm A1;  3 là
chứa ít nhất một trong hai kí hiệu -∞ hoặc +∞ và A. m  0
tồn tại ít nhất một trong hai giới hạn lim y hoặc B. m  1 x lim y hữu hạn. C. m  2 x D. m  2 Hướng dẫn giải Tập xác định D  
Ta có lim y  2m  1 nên đồ thị chỉ có một đường x
tiệm cận ngang là y  2m  1
Để tiệm cận ngang đi qua điểm A1;  3 thì 2m 1  3  m  2  Chọn C Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Biết đồ thị hàm số 2
y  2x  ax  bx  4 có tiệm cận ngang y  1 TOANMATH.com Trang 25 Giá trị 3 2a  b bằng A. 56 B. -56 C. -72 D. 72 Hướng dẫn giải Điều kiện 2 ax  bx  4  0
Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì a  0 Khi đó, ta có y          2 lim lim 2x ax bx 4 x x  a  x  bx  lim y  lim x  ax  bx     x x  2 4   4 2 4 2 lim 1 x 2 ax  bx  4  2x a  4  0  a  4   b  . Vậy 3 2a  b  5  6 1     b  4  a  2 Chọn B. b
Chú ý: Để lim y  1 thì bậc tử phải bằng bậc mẫu nên phải có a  4  0 . Khi đó lim y  x x  a  2 2 mx  x  2x  3
Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y  có một đường tiệm 2x 1 cận ngang là y  2 ? A. 0 B. Vô số C. 1 D. 2 Hướng dẫn giải 1 
Tập xác định D   \   2 m  1 m 1 Ta có lim y  ; lim y  x 2 x 2 m 1  2  m  3
Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là 2 y  2    m 1    m  5  2  2 Chọn D
Bài tập tự luyện dạng 2 ax  1
Câu 1: Biết rằng đồ thị hàm số y 
có tiệm cận đứng là x  2 , tiệm cận ngang là y  3  . Khi đó x  b a  b bằng A. -1 B. 2 C. 1 D. -2 m   1 x  2m  1
Câu 2: Các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 
không có tiệm cận đứng là x 1 TOANMATH.com Trang 26 1 A. m  2 B. m  C. m  1 D. m  1 2 ax  1 Câu 3: Cho hàm số y 
. Giá trị của tham số a và b để đồ thị hàm số nhận đường thẳng x  1 làm bx  2 1
tiệm cận đứng và đường thẳng y  làm tiệm cận ngang là 2 A. a  2; b  2 B. a  2; b  2  C. a  1; b  2 D. a  1; b  2  mx 1
Câu 4: Giá trị của tham số m để đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  đi qua điểm A1; 2 2x  m là A. m  2 B. m  4 C. m  5 D. m  2 x  m
Câu 5: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y 
không có đường tiệm cận đứng? mx  1 A. 0 B. 1 C. 3 D. 2 ax  1
Câu 6: Biết đồ thị hàm số y 
có đường tiệm cận đứng là x  2 và đường tiệm cận ngang là bx  2
y  3 , giá trị của a  b bằng A. 4 B. 0 C. 1 D. 5 mx  2
Câu 7: Tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y  có tiệm cận đứng là x 1 A. m  2 B. m  2  C. m  2  D. m  2 2mx 1 Câu 8: Cho hàm số y 
với tham số m  0 . Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm x  m
số đã cho thuộc đường thẳng nào dưới đây? A. 2x  y  0 B. y  2x C. x  2 y  0 D. x  2y  0 x  3
Câu 9: Giá trị của tham số m để đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  đi qua điểm x  m 1 A5; 2 là A. m  1 B. m  6 C. m  4 D. m  4 mx  1 Câu 10: Cho hàm số y 
. Biết đồ thị hàm số nhận trục hoành và trục tung làm tiệm cận ngang x  3n 1
và tiệm cận đứng. Khi đó tổng m  n bằng 1 1 2 A. 0 B.  C. D. 3 3 3 mx  5
Câu 11: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  đi x  1
qua điểm M 10;  3 là 1 A. m  5 B. m  3 C. m  3 D. m   2 TOANMATH.com Trang 27 3x 1
Câu 12: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 
có hai đường tiệm cận và hai x  2m
đường tiệm cận đó cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 1 là 1 1 1 1 A. m   B. m   C. m   D. m  6 3 6 6 n  3 x  n  2019
Câu 13: Biết đồ thị của hàm số y 
(m, n là tham số) nhận trục hoành làm tiệm cận x  m  3
ngang và trục tung là tiệm cận đứng. Tổng m  2n bằng A. 0 B. -3 C. -9 D. 6 ax 
Câu 14: Đồ thị hàm số f  x 1 
đi qua điểm M 1; 2 và có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x  b
x  2 . Giá trị f   1 bằng 1 A. 2 B. -8 C.  D. 6 2 2x  m 1
Câu 15: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  2 x  m
cắt nhau tại điểm thuộc đường thẳng y  x 1? A. 1 B. -1 C. 0 D. 2 x  2
Câu 16: Đồ thị hàm số y 
có đường tiệm cận đứng là x  a và đường tiệm cận ngang là y  b . 3x  9
Giá trị nguyên của tham số m nhỏ nhất thỏa mãn m  a  b là A. m  1 B. m  2 C. m  0 D. m  3 ax  1
Câu 17: Biết đồ thị hàm số y 
đi qua M 2; 5 và có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x  1 x  d thì tổng a  d bằng A. 1 B. 8 C. 7 D. 3 a  2b 2x  bx 1
Câu 18: Biết đồ thị của hàm số y 
có tiệm cận đứng là đường thẳng x  1 và tiệm 2 x  x  b
cận ngang là đường thẳng y  0 . Giá trị a  2b bằng A. 7 B. 8 C. 10 D. 6 4a  b 2x  ax 1
Câu 19: Biết đồ thị hàm số y 
nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận thì giá 2 x  ax  b 12 trị a  b bằng A. 10 B. 15 C. 2 D. -10 3 2 x  ax  bx  c
Câu 20: Biết đồ thị hàm số y 
không có tiệm cận đứng. Giá trị b  c bằng x  2 2 A. 9 B. 4 C. 1 D. 7 4 2 x  ax  b
Câu 21: Biết đồ thị hàm số y 
không có tiệm cận đứng. Giá trị ab bằng x  2 1 TOANMATH.com Trang 28 A. 2 B. -1 C. -2 D. 1 3x  1  ax  b
Câu 22: Biết rằng đồ thị hàm số y 
không có tiệm cận đứng. Giá trị ab bằng x  2 1 15 15 A. -2 B. 2 C. D.  16 16 5x 1  ax  b
Câu 23: Biết đồ thị hàm số y 
không có tiệm cận đứng. Giá trị a  2b bằng x  32 11 29 39 27 A.  B. C.  D.  4 8 8 8 a  bx  2
Câu 24: Với các số thực dương a, b để đồ thị hàm số y 
có đúng một đường tiệm cận. x  2 b
Giá trị lớn nhất của biểu thức log bằng a 1  2 1 A. B. 2 C. -1 D. -2 2 ĐÁP ÁN 1-A 2-A 3-C 4-A 5-C 6-A 7-B 8-B 9-D 10-B 11-B 12-C 13-C 14-B 15-A 16-B 17-A 18-B 19-B 20-B 21-C 22-C 23-C 24-D
Dạng 3. Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm ẩn
Bài toán 1: Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y  f  x, xác định tiệm cận của đồ thị hàm số  A y
với A là số thực khác 0, g  x xác định theo f  x g  x Phương pháp giải
- Xác định tiệm cận đứng:
Ví dụ: Cho hàm số y  f  x liên tục trên  và có A
+ Số tiệm cận của đồ thị hàm số y 
là số đồ thị như hình vẽ. g  x
nghiệm của phương trình g  x  0 .
+ Dựa vào đồ thị, bảng biến thiên của hàm số
y  f  x để xác định số nghiệm của phương trình
g  x  0 để suy ra số đường tiệm cận đứng.
- Xác định tiệm cận ngang: dựa vào nhánh vô tận
của đồ thị, bảng biến thiên của hàm số để xác định. TOANMATH.com Trang 29
Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 1 y  là f  x 1 A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. Hướng dẫn giải
Số đường tiệm cận đứng của đồ thị là số nghiệm
của phương trình f  x 1  0  f  x  1  .
Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình có ba nghiệm
nên có ba tiệm cận đứng. Chọn B. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hàm số y  f  x liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. 1
Tổng số đường tiệm cận của hàm số y  là f  x 1 A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. Hướng dẫn giải
Số đường tiệm cận đứng của đồ thị là số nghiệm của phương trình f  x 1  0  f  x  1  . 1
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số y  có f  x 1
hai đường tiệm cận đứng. 1 1 1 1 1 1 Ta có lim   ; lim 
 nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận
x f  x 1 3 1
4 x f  x 1 11 2 1 1 ngang là y  và y  . 4 2 TOANMATH.com Trang 30 1
Vậy đồ thị hàm số y 
có bốn đường tiệm cận. f  x 1 Chọn D.
Ví dụ 2. Cho hàm số y  f  x xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. 1
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  là f  3 x  x  3 A. 2. B. 4. C. 3. D. 1. Hướng dẫn giải Đặt 3
t  x  x , ta có khi x   thì t   và khi x   thì t   . Mặt khác ta có 2 t  3x 1  0, x
   nên với mọi t   phương trình 3
x  x  t có duy nhất một nghiệm x.
Số đường tiệm cận đứng của đồ thị là số nghiệm của phương trình
f t   3  0  f t  3  . 1
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có duy nhất một nghiệm nên đồ thị hàm số y  f  3 x  x  3
có một tiệm cận đứng. 1 1 1 1 Ta có lim   ; lim  lim
 0 nên đồ thị hàm số x f  lim 0 3
x  x  3 t f t  3 x f  3
x  x  3 t f t  3 1 y 
có một tiệm cận ngang là y  0 . f  3 x  x  3
Vậy đồ thị có hai đường tiệm cận Chọn A.
Ví dụ 3. Cho hàm số bậc ba f  x 3 2
 ax  bx  cx  d a, ,
b c, d   có đồ thị như hình vẽ dưới đây. TOANMATH.com Trang 31 1
Đồ thị hàm số g  x 
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang? f  2 4  x   3 A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Hướng dẫn giải Đặt 2
t  4  x , ta có khi x   thì t   . 1
Khi đó lim g  x  lim
 nên y  0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số g x . x t f t  0  3 4  x  2 x   6
Mặt khác f 4  x  3  0  f 4  x  2 2 2  3     2 4  x  4 x  0
 Đồ thị hàm số g x có ba đường tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số g  x có bốn đường tiệm cận. Chọn C.
Bài toán 2: Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y  f  x, xác định tiệm cận của đồ thị hàm số   x y 
với   x là một biểu thức theo x, g  x là biểu thức theo f  x g  x Phương pháp giải
- Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x tìm nghiệm Ví dụ: Cho hàm số bậc ba f  x 3 2    
của phương trình g  x  0 và xác định biểu thức ax bx
cx d có đồ thị như hình vẽ. g  x .  x - Rút gọn biểu thức
và tìm tiệm cận đứng, g  x tiệm cận ngang. Chú ý:
- Điều kiện tồn tại của   x .
- Sử dụng tính chất nếu đa thức g  x có nghiệm TOANMATH.com Trang 32
là x  x thì g  x  x  x .g x , ở đó g x là  2x 3x 2 2x1 1   0  1   0
Đồ thị hàm số g  x  có bao 4 2 một đa thức. x 5x 4 f x
nhiêu đường tiệm cận đứng? A. 2. B. 6. C. 4. D. 3. Hướng dẫn giải  1 x    2 
Điều kiện xác định x  1; x  2 .  f x  0   Với điều kiện trên, ta có  g x 2x 1   . x   1  x  2. f  x
Khi đó số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
g  x là số nghiệm của phương trình f x  0 1 thỏa mãn x   . 2
Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình    f  x x k 0;  1  0  
(thỏa mãn điều kiện). x  2
Vậy đồ thị hàm số y  g  x có hai đường tiệm cận đứng. Chọn A. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hàm số bậc ba   3 2
f x  ax  bx  cx  d có đồ thị như hình vẽ.  2x 3x 2 x1
Đồ thị hàm số g  x  có bao nhiêu 2
x  f  x  f x  
đường tiệm cận đứng? A. 4. B. 6. C. 3. D. 5. Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 33 x 1 x 1  
Điều kiện xác định x  0   f x  0 .  2 f  x f x 0    f   x  1  f  x  0   1 Xét phương trình 2
f  x  f  x  0   .  f   x  1 2
Dựa vào đồ thị ta thấy
- Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x  x  1 (loại) và x  2 (nghiệm kép). 1
- Phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt x  1, x  x  1; 2 , x  x  2 . 2   3 Khi đó
f  x  f  x  f  x  f   x 1  a  x  x x  22 2 2 x 1 x  x x  x 1   2   3  x 1 Suy ra g  x  , 2
a x  x  x x  2 x  x x  x 1    2   3 
trong đó x  1 , x  1; 2 , x  2 nên đồ thị hàm số y  g  x có ba tiệm cận đứng là x  2 ; x  x ; 2   1 3 2 x  x . 3 Chọn C.
Ví dụ 2. Cho hàm số bậc ba   3 2
f x  ax  bx  cx  d có đồ thị như hình vẽ dưới đây. 2 x  x Đặt g  x 
. Đồ thị hàm số y  g  x có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? 2 f  x  2 f  x A. 4. B. 2. C. 5. D. 3. Hướng dẫn giải  f x  0 Điều kiện xác định 2
f  x  2 f  x  0   .  f   x  2  f  x  0 Ta có 2
f  x  2 f  x  0   .  f   x  2 TOANMATH.com Trang 34
Dựa vào đồ thị ta có f  x  0 có hai nghiệm x  x  0 và x  1 (nghiệm kép). 1 x  x  x ;1 2  1   f  x  2  x  0  . x  x  1 3  Vậy biểu thức 2
f  x  2 f  x  f  x  f  x  2  
 a  x  x  x  2 2 1 .x x  x x  x . 1  2   3  2 x  x 1 Khi đó ta có g  x   . 2 f  x  2 f  x 2 a x   1  x  x x  x x  x 1   2   3 
Vậy đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận đứng. Chọn A.
Ví dụ 3. Cho f  x là hàm đa thức bậc 6 có bảng biến thiên như sau x   2 3 x  4x  3
Đồ thị hàm số g  x 
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
f  x  f  x  2   A. 3. B. 2. C. 4. D. 1. Hướng dẫn giải  f    x  0 Điều kiện  .  f   x  2  f  x  0
Ta có  x  x  x    x  2 2 3 4 3 3  x   1 ; f  x. f
  x  2  0    .  f   x  2
Dựa vào bảng biến thiên, ta có
f  x  0 có nghiệm là x  1; x  2 (nghiệm kép); x  3 (nghiệm kép)
 f x  ax  x  2 x  2 1 2 3 với a  0 . x  x  1
f  x  2 có hai nghiệm 1 
nên f  x  x  x
x  x .p x với p x là một đa thức 1   2    x  x  2;3  2   bậc 4 và p x  0, x    . TOANMATH.com Trang 35 1 Khi đó g  x  .
a  x  22  x  x x  x .p x 1   2   
Vậy đồ thị hàm số y  g  x có ba đường tiệm cận đứng. Chọn A.
Chú ý: Do f(x) là hàm đa thức bậc 6 nên f’(x) là hàm đa thức bậc 5.
Ví dụ 4. Cho hàm số y  f  x là hàm đa thức bậc 6 thỏa mãn 3 f   1  2  0 và f a 3 3  a  3a  0, a
  2 . Đồ thị hàm số y  f x như hình vẽ. x 1
Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g  x  là 3 f  x  2 3  x  3x A. 0. B. 2. C. 1. D. 3. Hướng dẫn giải
Đặt h x  f  x   3 3
2  x  3x . Điều kiện h x  0 .
Ta có h x  f  x   2 3
2  3x  3 , h x   f x   2 0 2  x 1.
Đặt t  x  2 , ta được f t 2  t  4t  3. (*) Vẽ đồ thị hàm số 2
y  t  4t  3 vào cùng hệ trục có đồ thị hàm số y  f t ta được hình vẽ sau
Dựa vào đồ thị ta thấy (*) có ba nghiệm là t  1; t  3; t  a  4 .
Suy ra phương trình h x  0 có nghiệm đơn x  1
 ; x  1; x  a  2  b  2 .
Ta có bảng biến thiên của h x như sau TOANMATH.com Trang 36 Vì h   1  3 f  
1  2  0 và h b  f a  a  3  a    f a 3 2 3 2 3 2 3
 a  3a  6a 12a  2  0
với mọi a  4 nên phương trình h x  0 có hai nghiệm phân biệt x  x  1; x  x  1;1 . 1 2  
Vậy đồ thị hàm số y  g  x có hai tiệm cận đứng. Chọn B.
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Cho hàm số y  f  x liên tục trên  \  
1 và có bảng biến thiên như sau 1 Đồ thị hàm số y 
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? 2 f  x  5 A. 0. B. 4. C. 2. D. 1.
Câu 2: Cho hàm số y  f  x liên tục trên từng khoảng xác định và có bảng biến thiên sau 1
Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số y  là f  x  5 A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. TOANMATH.com Trang 37
Câu 3: Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên như sau 2
Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  là 3 f x  2 A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Câu 4: Cho hàm số y  f  x liên tục trên  \  
1 và có bảng biến thiên như sau 1 Đồ thị hàm số y 
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? 2 f  x  3 A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.
Câu 5: Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên như sau 1 Đồ thị hàm số y 
có bao nhiêu tiệm cận đứng? f 3  x  2 A. 3. B. 1. C. 0. D. 2. TOANMATH.com Trang 38
Câu 6: Cho hàm số bậc ba y  f  x có đồ thị như hình vẽ 2020
bên. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  là f  x 1 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 7: Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên như hình vẽ sau 1
Đồ thị của hàm số y 
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận ngang? 2 f x 1 A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Câu 8: Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên như hình vẽ 1
Đồ thị của hàm số y 
có bao nhiêu đường tiệm cận? 2 f x 1 A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Câu 9: Cho hàm số y  f  x xác định trên  \ 1; 
1 , có đạo hàm trên  \ 1; 
1 và có bảng biến thiên như sau 1 Đồ thị hàm số y 
có bao nhiêu tiệm cận đứng và tiệm cận ngang? f  x 1 A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 10: Cho hàm số y  f  x xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau TOANMATH.com Trang 39 1
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  là f  3 x  2x  5 A. 2. B. 4. C. 3. D. 1. TOANMATH.com Trang 40
Câu 11: Cho hàm số bậc bốn y  f  x có đồ thị như hình
vẽ bên. Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
 2x  4. 2x  2x y  là  f   x 2   2 f  x  3 A. 2. B. 5. C. 3. D. 4.
Câu 12: Cho hàm số f  x   x   x  2 3 1  x   1  x  3
có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số  g  x x 1 
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng 2 f  x  9 f  x và tiệm cận ngang? A. 8. B. 3. C. 4. D. 9.
Câu 13: Cho hàm bậc ba   3 2
f x  ax  bx  cx  d có đồ
thị như hình vẽ bên. Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận 4 2 x  4x  3
ngang của đồ thị hàm số y   là x   1  2 f  x  2 f  x A. 4. B. 5. C. 2. D. 3.
Câu 14: Cho hàm số bậc ba   3 2
f x  ax  bx  cx  d có
đồ thị như hình vẽ bên. Đồ thị hàm số  2x  2x    1 x g x  
có bao nhiêu đường tiệm x  3 2
 f  x  3 f x   cận đứng? A. 5. B. 4. C. 6. D. 3.
Câu 15: Cho hàm số bậc ba y  f  x có đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới. Đồ thị hàm số   x g x   có bao nhiêu tiệm cận x   2
1  f x  f  x   đứng? A. 3. B. 0. C. 1. D. 2. TOANMATH.com Trang 41
Câu 16: Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên như hình vẽ sau 1
Tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  là 2 f x e  3 A. 4. B. 3. C. 5. D. 2.
Câu 17: Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên như hình vẽ sau 4 x 1
Hỏi đồ thị hàm số y 
có bao nhiêu tiệm cận đứng? 2 f  x  4 f x A. 5. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 18: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên  \  
1 và có bảng biến thiên như hình vẽ sau 2 f x  3 Đặt g  x   
. Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  g  x là f x 1 A. 4. B. 5. C. 6. D. 3.
Câu 19: Cho hàm số y  f  x liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau TOANMATH.com Trang 42 1 Đồ thị hàm số y 
có bao nhiêu tiệm cận ngang và tiệm cận đứng? 2 f x 1 e  1 A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 20: Cho hàm số y  f  x liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau 2
f  x  2 f  x 1 Đồ thị hàm số y 
có tổng số tất cả các đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận 2 f  x  9 ngang là A. 4. B. 5. C. 6. D. 7. ĐÁP ÁN 1 – B 2 – D 3 – D 4 – C 5 – A 6 – C 7 – A 8 – C 9 – C 10 – C 11 – D 12 – C 13 – A 14 – D 15 – A 16 – A 17 – D 18 – A 19 – C 20 – C
Dạng 4. Biện luận số đường tiệm cận của đồ thị hàm số f  x
Bài toán 1: Biện luôn số đường tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức y  , với f  x và g  x
g  x là các đa thức Phương pháp giải f  x
Ví dụ: Xét đồ thị của hàm số
Điều kiện đề đồ thị hàm số y  có tiệm cận g  x x 1 f  x y   . 3 x  3x  2 g  x
ngang khi và chỉ khi bậc f  x  bậc g  x . Khi đó f  x
Khi đó, do bậc của f  x nhỏ hơn bậc g  x nên đồ thị hàm số y 
có đúng một đường tiệm g  x
đồ thị có một đường tiệm cận ngang y  0 . cận ngang. f x Ta có x  2
 là nghiệm g x  0 nhưng không là
Điều kiện để đồ thị hàm số y  có tiệm cận g  x
nghiệm của f  x  0 nên x  2 là tiệm cận đứng đứng x  x 0 của đồ thị hàm số. TOANMATH.com Trang 43
Trường hợp 1: x  x là nghiệm của phương trình  0
Vì x  1 là nghiệm kép của g  x 0 và là nghiệm
g  x  0 nhưng không là nghiệm của phương trình đơn của f x  0 nên x 1 là tiệm cận đứng của f  x  0 . đồ thị hàm số.
Trường hợp 2: x  x là nghiệm bội n của phương Vậy đồ thị hàm số có 3 tiệm cận là 0 y  0 ; x  2  ; x 1.
trình g  x  0 , đồng thời là nghiệm bội m của
phương trình f  x  0 thì n  m . Ta có     m f x x  x . f x với f x không có 1   0  1   nghiệm x  x và     n g x x  x .g x với 0  1   0
g x không có nghiệm x  x . Khi đó 1   0 f  x  m x  x . f x f x 0  1   1   y    g  x  n x  x . nm g x x  x .g x 0  1    0  1  
nên x  x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã 0 cho. Ví dụ mẫu x  2
Ví dụ 1. Gọi S là tập các giá trị nguyên dương của tham số m để đồ thị hàm số y  có 2 2 x  2x  m  3m
ba tiệm cận. Tổng các giá trị của tập S bằng A. 6. B. 19. C. 3. D. 15. Hướng dẫn giải Điều kiện 2 2 x  2x  m  3m  0 .
Ta có lim y  0  đồ thị hàm số luôn có một tiệm cận ngang y  0. x
Số đường tiệm cận đứng của hàm số đã cho là số nghiệm khác -2 của phương trình x  2 2 2
x  2x  m  3m  0 nên để đồ thị hàm số y 
có ba tiệm cận thì phương trình 2 2 x  2x  m  3m 2 2
x  2x  m  3m  0 phải có hai nghiệm phân biệt khác -2.  2 3  13 3  13 1   m  3m  0   m      2 2 . 2 m  3m  0 m  0,m  3
Do m nguyên dương nên m 1;  2 .
Vậy tổng các giá trị của tập S bằng 3. Chọn C. TOANMATH.com Trang 44 2 x  m
Ví dụ 2. Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  có đúng hai đường 2 x  3x  2 tiệm cận là A. -5 B. 4 C. -1 D. 5 Hướng dẫn giải
Điều kiện x  1; x  2 .
Vì lim y  1 nên đồ thị luôn có một đường tiệm cận ngang y  1 với mọi m. x x  1 Ta có 2 x  3x  2   . x  2 Xét   2
f x  x  m . Để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì f  x phải nhận x  1 hoặc  f   1  0 m 1  0 m  1  x  2 là nghiệm hay      .  f  2  0 m  4  0 m  4  2    x 1 x 1
Với m  1, ta có hàm số y  
nên đồ thị có hai đường tiệm cận là x  2; y  1 2 x  3x  2 x  2 (thỏa mãn). 2    x 4 x 2
Với m  4 , ta có hàm số y  
nên đồ thị có hai đường tiệm cận là x  1; y  1 2 x  3x  2 x 1 (thỏa mãn). Vậy S   1  ; 
4 nên tổng các giá trị m bằng -5. Chọn A. 2 x  3x  2
Ví dụ 3. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y  không có 2 x  mx  m  5
đường tiệm cận đứng A. -12. B. 12. C. 15. D. -15. Hướng dẫn giải Điều kiện 2 x  mx  m  5  0 . Đặt f  x 2  x  x  g x 2 3 2,  x  mx  m  5. x  Ta có f  x 1  0  
là nghiệm đơn của tử thức. x  2
Để đồ thị không có tiệm cận đứng, ta có các trường hợp sau
Trường hợp 1. Phương trình g  x  0 vô nghiệm 2
  m  4m  20  0  2
  2 6  m  2  2 6 . Do m   nên m 6  ; 5  ;...;  2 1   m  m  5  0
Trường hợp 2. f  x  0 nhận đồng thời x  1 và x  2 làm nghiệm    m  3 . 4  2m  m  5  0 TOANMATH.com Trang 45 2 x  3x  2 Thử lại, ta có y 
 1, khi đó đồ thị hàm số y  1 không có tiệm cận  loại. 2 x  3x  2
Vậy các giá trị nguyên của m để đồ thị không có tiệm cận đứng là m  6  ; 5  ;...;2;  3 nên tổng bằng -15. Chọn D. 2x 1
Ví dụ 4. Tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y   có 2 mx  2x   1  2 4x  4mx   1
đúng một đường tiệm cận là A.  1  ;  0 B.   0 C.  ;    1   0 D.  ;    1  1; Hướng dẫn giải 2 mx  2x 1  0 Điều kiện  . 2 4x  4mx 1  0 1
- Với m  0 , hàm số có dạng y  . 2 4x 1
Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang y  0 .
Do đó m  0 là một giá trị cần tìm. - Với m  0 .
Ta có lim y  0 nên đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang y  0 . x
Để đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận thì
+ Trường hợp 1. Hai phương trình f  x 2
 mx  2x 1  0 và g x 2
 4x  4mx 1  0 cùng vô nghiệm 1   m  0 m 1      vô nghiệm 2 4m  4  0 1  m  1 1
+ Trường hợp 2. Phương trình  2 mx  x   2 2 1 4x  4mx  
1  0 có nghiệm duy nhất là x  . Khi đó 2 1
x  là nghiệm của một trong hai phương trình f  x  0 hoặc g  x  0 2 m  0 m  0   4   .  m  1  1   2m 1  0 Do m  0 nên m  1.
Thử lại, với m  1 thì hàm số là 2x 1 1 y    2 x  2x   1  2 4x  4x   1  2 x  2x   1 2x   1 TOANMATH.com Trang 46 1
Khi đó, đồ thị hàm số đã cho có các tiệm cận đứng là x  1 2, x   m  1 không thỏa mãn. 2
Vậy tập hợp tham số m cần tìm là m   0 . Chọn B.
Bài toán 2: Biện luận số đường tiệm cận của đồ thị hàm số chứa căn thức Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
Ví dụ: Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm 2 1 x số y  . 3 x  3x  2 Hướng dẫn giải
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Tập xác định D  1;  1 .
Bước 2. Xác định các đường tiệm cận. 2 1 x - Tiệm cận ngang Xét hàm số y  có tập xác định là 3 x  3x  2
+ Điều kiện cần: Để đồ thị hàm số chứa căn thức có D 1; 1 nên đồ thị hàm số không có tiệm cận
tiệm cận ngang thì trong tập xác định phải có các ngang. khoảng  ;  a hoặc  ; b .
Ngoài ra, x  2 là nghiệm của mẫu nhưng không
+ Điều kiện đủ là: Tồn tại một trong các giới hạn có lân cận trong tập xác định nên không tồn tại
lim  a hoặc lim  b thì đường thẳng y  a hoặc x x lim y . x 2 
y  b là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. 2 1 x
* Tiệm cận đứng: Tồn tại giá trị x để một trong Ta có lim y  lim
  nên đồ thị có 0 x 1 x 1   2  x 1 x
các giới hạn lim y   hoặc lim y   thì một tiệm cận đứng x 1. x     0 x x 0 x
x  x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho
Chú ý: Lân cận của x trong tập xác định là các 0 0 khoảng dạng  ; a x ; x ;b  D 0   0  Ví dụ mẫu 2 mx  4
Ví dụ 1. Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 
có đúng ba tiệm cận là x  3 4 4 A. m  B. m  0 C. 0  m  D. m   9 9 Hướng dẫn giải 2 mx  4  0 Điều kiện  . x  3
Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì m  0 . TOANMATH.com Trang 47  2   2  Nếu m  0 thì 2 mx  4  0
Khi đó tập xác định của hàm số là D   ;    ; \       3 .  m   m  2 mx  4 2 mx  4 Ta có lim  m ; lim
  m nên đồ thị hàm số x x  3 x x  3
có hai tiệm cận ngang là y   m 2 4
Để tồn tại tiệm cận đứng x  3 thì 3   m  . m 9 4
Kết hợp lại ta có m  . 9 Chọn A. 2 x 1 x  3x
Ví dụ 2. Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  có đúng hai 2 x  m   1 x  m  2 đường tiệm cận là m  1  m  2  m  1 A. m   B.  m  2 C.  D.   m  3  m  2 m  3 Hướng dẫn giải 2 x  3x  0 x  3  ; x  0 Điều kiện    . 2 x   m   1 x  m  2  0 x  1; x  m  2
Tập xác định D   ;   
3 0; \1;m   2 Ta có lim y  0, m
  D  y  0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x
Để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì phải có một đường tiệm cận đứng.
- Với m  3 thì D  ;  3 0; \  1 . 2 x 1 x  3x 1
Khi đó, ta có hàm số y   . 2 x  2x 1 x  1 2 x 1 x  3x 
Do đó lim y   và lim y   nên x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số  m  3 thỏa mãn. x 1  x 1  - Với m  3 , ta có 2 x 1 x  3x 1 1 lim y  lim  lim  2 x 1  x 1  x  m   x 1 1 x  m  2  x  m   2
x   x  x  4m 3 2 1 3 
 x  1 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. m  2  3  m  1
Để đường x  m  2 là tiệm cận đứng thì   .  m 2 0     m  2 TOANMATH.com Trang 48 m  1  Khi đó lim
y   (tùy theo m) nên x  m  2 là tiệm cận đứng khi  m  2. x ( m 2)     m  3 m 1
Kết hợp cả hai trường hợp, ta có  . m  2  Chọn D.
Ví dụ 3. Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 2
y  x  mx  1 có tiệm cận ngang là A. m  1 B. 0  m  1 C. m  1 D. m  1 Hướng dẫn giải
Trường hợp 1. Với m  0 thì hàm số là y  x  1 nên đồ thị không có tiệm cận ngang. Do đó m  0
không phải giá trị cần tìm.  1 1 
Trường hợp 2. Với m  0 thì hàm số có tập xác định là D   ; 
 nên không tồn tại lim y  m m  x
và lim y  đồ thị không có tiệm cận ngang. x
Do đó m  0 không phải giá trị cần tìm.
Trường hợp 3. Với m  0 thì hàm số có tập xác định là D   . Xét     .   2 lim x mx 1 x  1 m x 1 Xét lim x  mx   . x  1   2 2 lim x 2 x  mx 1
Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì 1 m  0  m  1. Chọn C. x 1
Ví dụ 4. Tập tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y  có bốn 2 mx  3mx  2
đường tiệm cận phân biệt là  9   8   8  A. 0; B. ;    C. ;    D. ;  \     1  8   9   9  Hướng dẫn giải Điều kiện 2 mx  3mx  2  0 . (*) x 1
Trường hợp 1. Với m  0 , ta có y 
nên đồ thị không có đường tiệm cận. 2
Do đó m  0 không phải giá trị cần tìm.
Trường hợp 2. Với m  0 . Phương trình 2 mx  3mx  2  0 có 2   9m  8m  0, m   0 nên
Nếu   0 thì hàm số có tập xác định là TOANMATH.com Trang 49 2
mx  3mx  2  0  x x ; x (với x , x là hai nghiệm của phương D   1 2  1 2 trình 2
mx  3mx  2  0 ) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang, chỉ
có tối đa hai tiệm cận đứng
Do đó m  0 không phải giá trị cần tìm.
Trường hợp 3. Với m  0 . Xét phương trình 2 mx  3mx  2  0 . 8 - Nếu 2
  9m  8m  0  0  m  . Hàm số xác định trên  . 9 Khi đó 2 mx  3mx  2  0, x
   nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng mà chỉ có hai tiệm cận 1 1 1  ngang là y   vì lim  và lim  . m x m x m 8 - Nếu 2
  9m  8m  0  m  . 9 3 x  2 3 x  2
Khi đó, hàm số trở thành y  
nên đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận 2 8x  24x 18 2 2x  3
đứng và hai tiệm cận ngang. 8
Nếu x  1 là nghiệm của - Nếu 2
  9m  8m  0  m  . 9
phương trình g  x  0 ,
Hàm số xác định trên các khoảng  ;  x và  x ; . 2  1 
do phương trình g  x  0 1
Khi đó đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y   . có hai nghiệm phân biệt m nên phương trình
Để đồ thị hàm số đã cho có bốn đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải
g  x  0 có một nghiệm
có hai đường tiệm cận đứng.
Vì x  1 là nghiệm của tử f  x  x 1 nên để đồ thị có hai tiệm cận nữa x  a  1 thì g  x  m x   1 .x  a .
đứng thì x  1 không phải là nghiệm của phương trình 2
mx  3mx  2  0  m  3m  2  0  m  1 . Khi đó hàm số có dạng   x 1 8 y  m 
Vậy giá trị của m cần tìm là  9 . m x   1 . x  a m  1
nên chỉ có một tiệm cận Chọn D. đứng là x  a . 1 x  1
Ví dụ 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y  có hai 2 x  1 m x  2m tiệm cận đứng? A. 1. B. 2. C. 4. D. 3. TOANMATH.com Trang 50 Hướng dẫn giải x  1  Điều kiện  . 2 x   1 m x  2m  0 Đặt f  x 2
 x  1 m x  2m
Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng thì phương trình f  x  0 có hai nghiệm phân biệt x , x  1  . 1 2
Trường hợp 1. f  x có nghiệm x  1   f   1  0  m  2 . 1 x  1
Khi đó hàm số có dạng y 
có tập xác định là D  4; nên chỉ có một tiệm cận 2 x  3x  4 đứng.   0 
Trường hợp 2. f  x có hai nghiệm phân biệt x , x  1   x 1 x 1  0 1 2  1  2  x  x  2   1 2 m  5  2 6    1 m2 8m  0   m  5  2 6  
 2m 1 m 1  0    2  m  5  2 6 1  m 2      m  2    m  3
Do m   nên m  1;m  0 Chọn B.
Bài toán 3: Biện luận số đường tiệm cận của đồ thị hàm ẩn Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hàm số y  f  x liên tục trên  và y  f  x có bảng biến thiên như sau 2020
Đồ thị hàm số g  x 
có nhiều nhất bao nhiêu đường tiệm cận đứng? f  x  m A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 51
Điều kiện f  x  m . 2020
Để đồ thị hàm số g  x 
có đường tiệm cận đứng thì phương trình f  x  m phải có nghiệm. f  x  m x  a
Từ bảng biến thiên của hàm số y  f  x suy ra phương trình f  x  0 có đúng hai nghiệm là  x  b
với 1  a  1  b .
Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số y  f  x như sau
Suy ra phương trình y  f  x có nhiều nhất là ba nghiệm phân biệt. 2020
Vậy đồ thị hàm số g  x 
có nhiều nhất ba đường tiệm cận đứng. f  x  m Chọn C. 2020
Ví dụ 2. Cho hàm số g  x  với   4 3 2
h x  mx  nx  px  qx .  , m , n p, q  ,m  0 , h x 2  m  m
h 0  0 . Hàm số y  h x có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số g  x có hai tiệm cận đứng? A. 2. B. 11. C. 71. D. 2019 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 52
Từ đồ thị suy ra h x  m x   x   x    m 3 2 1 4 5 3
4x 13x  2x 15 và m  0 nên   h  x 13 4 3 2  m x  x  x  15x   do h0  0 .  3 
Đồ thị g  x có hai đường tiệm cận đứng  phương trình   2
h x  m  m có hai nghiệm phân biệt 13 4 3 2  x 
x  x  15x  m 1 có hai nghiệm phân biệt. 3 13 Đặt f  x 4 3 2  x  x  x  15x . 3
Ta có bảng biến thiên của f  x như sau  3  2   35  Vì m  0 nên m 1 ;1  m  ; 0     .  3   3  Vậy có 11 số nguyên m. Chọn B.
Ví dụ 3. Cho hàm số y  f  x là hàm số bậc 3. Đồ thị hàm số y  f  x như hình vẽ dưới đây và f   1  20 . f x  20
Đồ thị hàm số g  x   
(m là tham số thực) có bốn tiệm cận khi và chỉ khi f  x  m A. m  f 3
B. f 3  m  f   1 C. m  f   1
D. f 3  m  f   1 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 53
Điều kiện f  x  m .
Từ đồ thị hàm số f  x , ta có bảng biến thiên hàm số f  x là
- Nếu m  20 thì đồ thị hàm số không có đủ bốn tiệm cận. f  x  20 - Nếu m  20 thì lim
  Đường thẳng y  1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.  f  x 1 x  m
Ta có phương trình f  x  20 có một nghiệm x  a  3 vì f   1  20 .
Suy ra đồ thị hàm số g  x có bốn tiệm cận khi phương trình f  x  m có ba nghiệm phân biệt khác
a  f 3  m  f   1 . Chọn B.
Ví dụ 4. Cho hàm số f  x liên tục trên  và lim f  x  1; lim f  x   . Có bao nhiêu giá trị x x 2 x  3x  x
nguyên của tham số m thuộc 2020;2020 để đồ thị hàm số g  x  có tiệm cận 2 f  x 2  f x  m
ngang nằm bên dưới đường thẳng y  1. A. 2. B. 0. C. 1. D. 3. Hướng dẫn giải x  3;x  0 
Điều kiện 0  f  x  2   2 f  x 2  f x  m  0 
Do lim f  x   nên khi x   thì   2
2 f x  f  x   vì vậy   2
2 f x  f  x không có nghĩa x
khi x đủ lớn. Do đó không tồn tại lim g  x . x Xét lim g  x . x Vì lim f  x  1 nên f  x 2  f x   f x 2 lim 2 lim 2  f x  1   ; x x x TOANMATH.com Trang 54 3 3 lim x  x  x    x  2 3  lim x  3  2  1 1  x     Từ đó g  x 3 lim  với m  1  . x 2m  2 3 
Khi đó đồ thị hàm số g  x có tiệm cận ngang là đường thẳng y  . 2m  2
Để tiệm cận ngang tìm được ở trên nằm dưới đường thẳng y  1 thì 3 1  1  1  m  2m  2 2 Vì m   nên m  0 . Chọn C.
Bài tập tự luyện dạng 4 x 1
Câu 1: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 
có ba đường tiệm cận là 2 mx  2x  3    1 m  0 m  0 m  0 m     A.  5 . B. m  1  . C.  1 . D. m  1  .  m  m  0  1     1 m  3 m   3  5 2 mx 1
Câu 2: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y 
có đúng hai đường tiệm cận? 2 x  3x  2 A. 3. B. 2. C. 1. D. 4. 2 x  x  2
Câu 3: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 
có ba đường tiệm cận là 2 x  2x  m A. m  1 B. m  1 và m  8 C. m  1 và m  8 D. m  1 và m  8  x  2
Câu 4: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 
có một đường tiệm cận 2 x  4x  m
đứng và một đường tiệm cận ngang là A. m 4;1  2 B. m 4;12 C. m  4 D. m  12
Câu 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng 10;10 để đồ thị hàm số 6x  3 y  
có đúng một đường tiệm cận? 2 mx  6x  3 2 9x  6mx   1 A. 6. B. 7. C. 5. D. 10. 1 x  1
Câu 6: Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  có đúng hai 2 x  mx  3m tiệm cận đứng là TOANMATH.com Trang 55  1  1 1   1  A. 0;   B. ; C. 0;  D. 0;  2  4 2   2    m
Câu 7: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 2 y  x  1  x có tiệm cận ngang là 2 A. Không tồn tại m B. m  2 C. m  1 và m  2 D. m  2 và m  2 2x 1
Câu 8: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  có đường tiệm cận 1 m 2x  3x 1 ngang là A. m  1 B. 0  m  1 C. m  1 D. m  1 2 mx  3mx  1
Câu 9: Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y 
có ba đường tiệm cận là x  2 1 1 1 A. m  0 B. 0  m  C. 0  m  D. m  2 2 2 x 1  2019
Câu 10: Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y 
có đúng ba đường tiệm cận 2 x  2mx  m  2 là A. m  2 hoặc m  1  B. 2  m  3 C. m  2 D. 2  m  3 2
x  2019x  2020 12 70
Câu 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y  2 x  m   1 x  m
có đúng hai đường tiệm cận? A. 2019. B. 2018. C. 2021. D. 2020. x 1
Câu 12: Tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y  có hai tiệm cận ngang 2 mx 1 là A. m  0 . B. m  0 . C. m  0 . D. Không có m.
Câu 13: Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 3 3 2 2
y  x  3x  2  4x  3x  2  mx có tiệm cận ngang. Tổng các phần tử của S bằng A. -2. B. -3. C. 2. D. 3. x  1
Câu 14: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  có hai tiệm cận đứng m x  2 1  4 là m  0 A.  . B. m  1. C. m  0 . D. m  0 . m  1  m   1 x 1
Câu 15: Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y  có đúng một 2 x  x 1
đường tiệm cận ngang là
A. không có giá trị nào của m thỏa mãn. B. m    . C. m  1. D. m  0 . TOANMATH.com Trang 56
Câu 16: Tất cả các giá trị của tham số a để đồ thị hàm số 2
y  ax  4x  1 có tiệm cận ngang là 1 1 A. a  2
 và a  . B. a   . C. a  2  . D. a  1. 2 2 2 x  x 1
Câu 17: Tất cả các giá trị của tham số a để đồ thị hàm số y  có tiệm cận ngang là 2 ax  2 A. a  0 . B. a  1 hoặc a  4 . C. a  0 . D. a  0 . 2 12  4x  x Câu 18: Cho hàm số y 
có đồ thị C . Tập hợp các giá trị của tham số thực m để m  2 x  6x  2m
C có đúng hai tiệm cận đứng là m   9   9  A. 0;9 . B. 8;9. C. 4;   . D. 4;   .  2   2  2m   2 1 x  3
Câu 19: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  có đường tiệm cận 4 x 1 ngang đi qua điểm A 1  ;3 là A. m  0 . B. m  1. C. m  2 . D. m  2 . x  3
Câu 20: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  có ba tiệm cận là 2 x  m m  0 m  0 A. m  0 . B.  . C.  . D. m  0 . m  9 m  9  mx  3
Câu 21: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị y 
có hai đường tiệm cận ngang 2 2 m x  2016 là A. m  0 . B. m  0 . C. m  0 . D. m  0 . 2 mx 1
Câu 22: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 
có đúng một đường tiệm x 1 cận là A. 1  m  0 . B. 1  m  0 . C. m  1  . D. m  0 . x  m  3
Câu 23: Cho hàm số f  x 
có đồ thị C  . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc 2 x  4x  3
đoạn 10;10 để đồ thị C  có đúng hai đường tiệm cận? A. 3. B. 1. C. 0. D. 2.
Câu 24: Cho hàm số f  x liên tục trên  và có lim f x  lim f  x  2 . Gọi S là tập hợp các giá trị x x x   2 1  f  x  3
của tham số m để đồ thị của hàm số g  x   
có tổng số tiệm cận đứng và tiệm 2 x  2m   2 1 x  m  2
cận ngang bằng 2. Tổng các phần tử của S bằng TOANMATH.com Trang 57 1 3 A.  . B. -2. C. -3. D. . 2 2 ĐÁP ÁN 1 – B 2 – B 3 – D 4 – A 5 – B 6 – A 7 – D 8 – C 9 – B 10 – D 11 – A 12 – A 13 – A 14 – A 15 – C 16 – C 17 – D 18 – D 19 – D 20 – C 21 – D 22 – A 23 – D 24 – A
Dạng 5. Bài toán liên quan đến đồ thị hàm số và các đường tiệm cận ax  b
Bài toán 1: Bài toán liên quan đến đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  cx  d Phương pháp giải ax  b 2x 1 Đồ thị hàm số y 
có đường tiệm cận Ví dụ: Cho hàm số y 
có đồ thị C  . Tọa cx  d x  2
khi và chỉ khi ad  bc  0,c  0 .
độ giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị
Khi đó, phương trình đường tiệm cận đứng là C  là d x   . A. 2;2 . B. 2; 2  . c a C. 2;2 . D. 2;2
Phương trình đường tiệm cận ngang là y  . c Hướng dẫn giải
- Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là Ta có phương trình hai đường tiệm cận là x  2  d a  điểm I  ;
và y  2 nên tọa độ giao điểm I của hai đường tiệm 
 và cũng là tâm đối xứng của đồ  c c  cận là I  2  ;2 . thị. Chọn C.
- Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số cùng với
hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có các d a kích thước là  và nên có chu vi là c c  d a  ad C  2    và diện tích là S   c c  2 c Ví dụ mẫu mx 1
Ví dụ 1. Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y 
có đường tiệm cận đứng đi qua điểm 2x  m A1; 2 là TOANMATH.com Trang 58 A. m  2 . B. m  2 . C. m  2 . D. m  1. Hướng dẫn giải m Ta có 2 ad  bc  m  2  0, m
 nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x   . 2 m
Để tiệm cận đứng đi qua điểm A1; 2 thì   1   m  2 . 2 Chọn B. 2x  3
Ví dụ 2. Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có x 1 diện tích bằng A. 3 (đvdt) B. 6 (đvdt) C. 1 (đvdt) D. 2 (đvdt) Hướng dẫn giải
Phương trình các đường tiệm cận là x  1; y  2 .
Do đó hai đường tiệm cận và hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật diện tích bằng 1.2 = 2 (đvdt). Chọn D. 2mx  m
Ví dụ 3. Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 
có đường tiệm cận đứng, x 1
tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8 là 1 A. m  2  . B. m  2 . C. m   . D. m  4 . 2 Hướng dẫn giải
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là 2m  m  0  m  0 .
Khi đó phương trình hai đường tiệm cận là x  1 và y  2m .
Theo công thức tính diện tích hình chữ nhật tạo bởi hai tiệm cận và hai trục tọa độ, ta có S  2m .
Theo giả thiết thì 2m  8  m  4  . Chọn D. x  ax  1
Ví dụ 4. Cho đồ thị hai hàm số f  x 2 1  và g  x 1 
với a  . Tất cả các giá trị thực dương x  1 x  2 2
của tham số a để các tiệm cận của hai đồ thị hàm số tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 4 là A. a  6 . B. a  4 . C. a  3 . D. a  1 . Hướng dẫn giải x 
Đồ thị hàm số f  x 2 1 
có hai đường tiệm cận là x  1 và y  2 . x  1 ax  1
Điều kiện để đồ thị hàm số g  x 1 
có tiệm cận là 2a 1  0  a  . x  2 2
Với điều kiện đó thì đồ thị hàm số g  x có hai đường tiệm cận là x  2 và y  a . TOANMATH.com Trang 59
Hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường tiệm cận của hai đồ thị trên có hai kích thước là 1 và a  2 . a  6
Theo giả thiết, ta có a  2 .1  4   . a  2 Vì a  0 nên a  6 . Chọn A. x  1
Ví dụ 5. Cho hàm số y 
có đồ thị C . Hai đường tiệm cận của C  cắt nhau tại I. Đường thẳng x 1
d : y  2x  b (b là tham số thực) cắt đồ thị C  tại hai điểm phân biệt A, B. Biết b  0 và diện tích tam 15 giác AIB bằng . Giá trị của b bằng 4 A. -1. B. -3. C. -2. D. -4 Hướng dẫn giải
Ta có tọa độ điểm I 1;  1 .
Phương trình hoành độ giao điểm của C  và d là  x  1 x 1   2x  b   . x 1  f   x 2
 2x  b  3 x  b 1  0 *
Đường thẳng d cắt đồ thị C  tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi f  x  0 có hai nghiệm phân biệt 2
  b  2b 17  0 khác 1    .     b   f 1  2   0
Gọi x , x là hai nghiệm của (*). 1 2
Khi đó A x ;2x  b , B x ;2x  b . 1 1   2 2   
Ta có IA   x 1;2x  b 1 ; IB   x 1;2x  b 1 . Chú ý: 2 2  1 1  - Với tam giác ABC có 1
Diện tích tam giác IAB là S 
x 1 2x  b 1  x 1 2x  b 1   1  2   2  1  2
AB  a;b; AC  c;d  2 1    1  b   1 b 2b 17 1 x  x  b 1 . . thì S  ad  bc . 1 2  2 2 2 A  BC 2 2 b  1 b  2b  17 - Nếu phương trình bậc 15 Theo giả thiết thì  4 4 hai 2 ax  bx  c  0 có hai nghiệm phân biệt    
b  2 b  2     b  2 b 2 1 1 16 225 1  9     . b  4   x , x thì x  x  1 2 1 2 Do b  0 nên b  4 . a Chọn D. TOANMATH.com Trang 60
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn C và C lần lượt có phương trình 2  1   ax  b x  2   y  2 1 2  1 và  x  2 2
1  y  1. Biết đồ thị hàm số y 
đi qua tâm của C , đi qua 1  x  c
tâm của C và có các đường tiệm cận tiếp xúc với cả C và C . Tổng a  b  c là 2  1  2  A. 5. B. 8. C. 2. D. -1. Hướng dẫn giải
Đường tròn C có tâm I 1;2 ; R  1 và C có tâm I 1  ;0 ; R  1. 2   2  1   1  1 2
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là ac  b  0 . ax  b
Gọi C là đồ thị hàm số y  . x  c
Khi đó ta có các đường tiệm cận C là x  c và y  a . a  b  2 c  1     Ta có c 1 I , I  C    a  b . 1 2   a  b  0   a  c 1  c 1     c 1  1 
Đường thẳng x  c tiếp xúc với cả C và C nên   c  0 2  1   c 1  1   a  b  1
Khi đó tiệm cận ngang của C là y  1 tiếp xúc với cả C , C thỏa mãn bài toán. 2  1 
Vậy a  b  1;c  0  a  b  c  2 . Chọn C. ax  b
Bài toán 2: Bài toán về khoảng cách từ điểm trên đồ thị hàm số y 
đến các đường tiệm cận cx  d Phương pháp giải ax  b 2x 1
Giả sử đồ thị hàm số y 
có các đường tiệm Ví dụ: Xét hàm số y  có hai đường cx  d x 1 d a
tiệm cận là x  1 và y  2 . Khi đó tích các
cận là  : x   và  : y  . 1 c 2 c
khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên đồ thị đến  ax  b  Gọi 0 M  x ;
là điểm bất kì trên đồ thị. 2 1 0  cx  d
hai đường tiệm cận là d   1.  0  1 d cx  d Khi đó d  d M ;  0  x   và 1 1 0 c c   ax  b a ad  bc d d M ;   0    . 2 2 cx  d c c cx  d 0  0  TOANMATH.com Trang 61 ad  bc Vậy ta luôn có d .d   K là một số 1 2 2 c không đổi. Khi đó d  d  2 d d  2 K nên 1 2 1 2
min d  d  2 K khi d  d 1 2  1 2 cx  d ad  bc       . c c cx  d  cx d2 0 ad bc 0 0 Ví dụ mẫu 2x 1
Ví dụ 1. Gọi M là giao điểm của đồ thị y 
với trục hoành. Khi đó tích các khoảng cách từ điểm 2x  3
M đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho bằng A. 4. B. 2. C. 8. D. 6. Hướng dẫn giải
Gọi d , d lần lượt là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. 1 2 6  2
Áp dụng công thức, ta có d .d   2. 1 2 4 Chọn B. 2x  3
Ví dụ 2. Cho hàm số y 
C . Gọi M là điểm bất kỳ trên C  , d là tổng khoảng cách từ M đến x  2
hai đường tiệm cận của đồ thị. Giá trị nhỏ nhất của d bằng A. 10. B. 6. C. 2. D. 5. Hướng dẫn giải
Gọi d , d lần lượt là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. 1 2 4  3
Áp dụng công thức, ta có d .d   1. 1 2 1
Khi đó d  d  d  2 d .d  2 . 1 2 1 2 Vậy d  2 . min Chọn C. 1 3x
Ví dụ 3. Cho hàm số y 
có đồ thị C  . Điểm M có hoành độ dương, nằm trên C sao cho 3  x
khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng gấp hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của C  . Khoảng
cách từ M đến tâm đối xứng của C  bằng A. 5. B. 3 2 . C. 2 5 . D. 4. TOANMATH.com Trang 62 Hướng dẫn giải  3x 1 Giả sử 0 M  x ;   C x  0; x  3 . 0    0 0  x  3  0 
Đồ thị C có tiệm cận đứng  : x  3, tiệm cận ngang  : y  3 và tâm đối xứng I 3;3 . 1 2 8
Khi đó d  d M ;   x  3 và d  d M ;   . 2  2  1  1  0 x  3 0 16 x  7 Theo giả thiết 0 d  2d  x  3    x  7 (do x  0 ). 1 2 0  0 x  3 x  1 0 0  0
Vậy M 7;5  IM  2 5 . Chọn C. 4x  5
Ví dụ 4. Cho hàm số y 
có đồ thị H  . Gọi M  x ; y với x  0 là một điểm thuộc đồ thị 0 0  x  1 0
H  thỏa mãn tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của H  bằng 6. Giá trị của biểu thức S   x  y 2 bằng 0 0 A. 4. B. 0. C. 9. D. 1. Hướng dẫn giải
Đồ thị H  có tiệm cận đứng  : x  1
 và tiệm cận ngang  : y  4. 1 2  4x  5  Gọi 0 M  x ;   H , x  1  , x  0 . 0   0 0 x  1  0  9
Khi đó d  d M ;   x 1 và d  d M ;    d .d  9 . 2  2  1  1  0 1 2 x 1 0
Ta có d  d  2 d d  6 nên min d  d  6 khi 1 2  1 2 1 2 9 x  2 0 d  d  x 1   . 1 2 0  x 1 x  4  0  0 Do x  0 nên M  4  ;7  S  9 . 0 Chọn C. ax  b
Bài toán 3: Bài toán liên quan giữa tiếp tuyến và tiệm cận của đồ thị hàm số y  cx  d Phương pháp giải ax  b
Ta có các dạng câu hỏi thường gặp sau
Giả sử đồ thị hàm số y  có đồ thị C  có cx  d
Câu 1: Tính diện tích tam giác IAB. d a
các đường tiệm cận là  : x   ,  : y  và 1 2 ad  bc 1 1 c 2 c S  I . A IB   K . I  AB 2 2 c 2 TOANMATH.com Trang 63  d a 
Câu 2: Tìm điểm M  C hoặc viết phương trình I  ;   .  c c 
tiếp tuyến của C  biết tiếp tuyến tạo với hai trục  ax  b  Gọi 0 M  x ;
là điểm bất kỳ trên đồ thị. 0 
tọa độ một tam giác vuông có cx  d  0 
a) Cạnh huyền nhỏ nhất.
Khi đó tiếp tuyến của C  tại M là 2 2 AB  IA  IB  2I . A IB  2K . ad  bc ax  b d : y  x  x  .
Dấu bằng xảy ra khi IA  IB . 2  0  0 cx  d  cx  d 0 0 b) Chu vi nhỏ nhất Gọi A  d   1 Ta có  d 2bc  ad  acx  2 ad  bc IA  IB  AB  2 I . A IB  2I . A IB  2 K  2K 0    A ;  .     IA  c c cx d   c cx  d 0    0 
Dấu bằng xảy ra khi IA  IB . B  d  
c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất. 2  d a  2cx  d 1 K 0   B 2x  ;  IB   . Ta có R  AB  0   c c  c 2 2
Dấu bằng xảy ra khi IA  IB . 4 ad  bc Do đó I . A IB 
 K là một số không đổi. 2 c
d) Bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. Do IAB vuông tại I nên S K Ta có r   p IA  IB  AB 1 2 ad  bc 1 S  I . A IB   K là một số không I  AB
Vậy r lớn nhất khi IA  IB  AB nhỏ nhất và bằng 2 2 c 2 đổi. 2 K  2K . x  x  2x
Dấu bằng xảy ra khi IA  IB . Ngoài ra, ta có A B M  nên M luôn là y  y  2y 
e) Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến lớn nhất. A B M
Gọi H là hình chiếu của I lên d, ta có trung điểm của AB. 1 1 1 2 2 K      IH  . 2 2 2 IH IA IB I . A IB K 2
Dấu bằng xảy ra khi IA  IB .
Nhận xét: Các câu hỏi trên thì đẳng thức đều xảy
ra khi IA  IB nên IAB vuông cân tại I. Gọi  là
góc giữa tiếp tuyến d và tiệm cận ngang  thì 2
  d;  d;Ox  45 nên hệ số góc của tiếp 2   
tuyến là k   tan 45  1.
Vậy các bài toán trong câu 2 ta quy về bài toán viết
phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ax  b y 
khi biết hệ số góc k  1 hoặc k  1. cx  d TOANMATH.com Trang 64 Ví dụ mẫu 2x 1
Ví dụ 1. Cho hàm số y 
có đồ thị C . Tiếp tuyến của C  tại điểm có hoành độ bằng 3 thuộc x 1
C cắt các đường tiệm cận của C tạo thành tam giác có diện tích bằng A. 4. B. 2  2 . C. 4  2 2 . D. 2 Hướng dẫn giải 2 2  1
Áp dụng công thức, ta có S   2 . 1 Chọn D. x 1
Ví dụ 2. Cho hàm số y 
C . Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị hàm số C  . 2x  3
Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị C  đạt giá trị lớn nhất bằng 1 A. . B. 1. C. 2 . D. 5 . 2 Hướng dẫn giải  3 1 
Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là I ;    2 2 
Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến d tại M  C bất kỳ với hai đường tiệm cận. 4 ad  bc 4 3  2 Khi đó ta có I . A IB    1. 2 c 4 1 1 1 2 2
Gọi H là hình chiếu của I trên d, ta có     2  IH  . 2 2 2 IH IA IB I . A IB 2 2 Vậy IH  . max 2 Chọn A. 2x 1
Ví dụ 3. Cho hàm số y 
có đồ thị C . Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của C . Biết x  2
tiếp tuyến  của C  tại M cắt các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang tại A và B sao cho đường
tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất. Khi đó, diện tích lớn nhất của tam giác tạo bởi  và
hai trục tọa độ thuộc khoảng nào dưới đây? A. 28;29 . B. 29;30 . C. 27;28 . D. 26;27. Hướng dẫn giải 3 Ta có y   0 . x  22 TOANMATH.com Trang 65
Theo lý thuyết thì để diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB nhỏ nhất thì AB nhỏ nhất. Khi đó hệ
số góc của tiếp tuyến  phải là k  1. Do y  0, x  nên k  1  . 3  x  2  3
Xét phương trình y  k   1    . x  22 x   2  3
- Với x  2  3  y  2  3  Tiếp tuyến  : y   x  2  3  2  3 1  
 y  x  4  2 3 .
Khi đó  cắt Ox, Oy tại hai điểm M 4  2 3;0, N 0;4  2 3 và S   . OMN  2 1 4 2 3 1 2
- Với x  2  3  y  2  3  tiếp tuyến  : y   x  2  3  2  3 1  
 y  x  4  2 3 .
Khi đó  cắt Ox, Oy tại hai điểm P 4  2 3;0, N 0;4  2 3 và S    . OPQ  2 1 4 2 3 27,85 1 2 Chọn C. x 1
Ví dụ 4. Cho hàm số y 
, gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng m  2 . x  2
Biết đường thẳng d cắt tiệm cận đứng của đồ thị hàm số tại điểm A x ; y và cắt tiệm cận ngang của đồ 1 1 
thị hàm số tại điểm B  x ; y . Gọi S là tập hợp các số m sao cho x  y  5 . Tổng bình phương các 2 2  2 1 phần tử của S bằng A. 4. B. 9. C. 0. D. 10. Hướng dẫn giải
Điều kiện m  2  2  m  0 .
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng  : x  2 và tiệm cận ngang  : y  1 . 3 3 m  Ta có y   y m  2  và y m   3 2  . 2   x  2 2 m m 3 m  3
Phương trình đường thẳng d là y  x  m  2  . 2   m m  m  6  A  d    A 2  ; 
 ; B  d    B 2m  2;  1  m  m  6 m  1 Do đó 2 x  y  5   2m  2 
 5  2m  4m  6  0  . 2 1 m  m  3  Vậy S   2 2 3  1  10 . Chọn D. TOANMATH.com Trang 66
Bài tập tự luyện dạng 5 2x  1
Câu 1: Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
cùng với hai trục tọa độ tạo thành hình chữ x  2018
nhật có diện tích bằng A. 4036. B. 1009. C. 2018. D. 1. 2x  1
Câu 2: Khoảng cách từ gốc tọa độ đến giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  x  1 bằng A. 3 . B. 2 . C. 5 . D. 5.
Câu 3: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị mx  1 hàm số y 
cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 3 là 2m  1 x 3 3 3 A. m  1; m   . B. m  1; m  3 . C. m  1; m  . D. m  1; m   . 2 2 2 mx 1 Câu 4: Cho hàm số y 
trong đó m, n là tham số. Biết giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ x  n
thị hàm số nằm trên đường thẳng x  2y  3  0 và đồ thị hàm số đi qua điểm A0;  1 . Giá trị của m  n bằng A. -3. B. 3. C. 1. D. -1. x  2 Câu 5: Cho hàm số y 
có đồ thị C . Có bao nhiêu điểm M thuộc C  sao cho khoảng cách từ x  3
điểm M đến đường tiệm cận ngang bằng 5 lần khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận đứng? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. x  1 Câu 6: Cho hàm số y 
có đồ thị C  và A là điểm thuộc C . Giá trị nhỏ nhất của tổng các x 1
khoảng cách từ A đến các đường tiệm cận của C  bằng A. 2 2 . B. 2. C. 3. D. 2 3 . x  2 Câu 7: Cho hàm số y 
có đồ thị là C  . Tọa độ điểm M có hoành độ dương thuộc C sao cho x  2
tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ nhất là A. 0;  1  . B. 2;2 . C. 1; 3   . D. 4;3. 2x  2 Câu 8: Cho hàm số y 
có đồ thị C . M là điểm thuộc C  sao cho tiếp tuyến của C  tại M cắt x  2
hai đường tiệm cận của C  tại hai điểm A, B thỏa mãn AB  2 5 . Tổng các hoành độ của tất cả các
điểm M thỏa mãn bài toán bằng A. 5. B. 8. C. 7. D. 6. x  2 Câu 9: Cho hàm số y 
có đồ thị C . Gọi d là khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận của đồ thị x  1
C đến một tiếp tuyến của C. Giá trị lớn nhất của d bằng TOANMATH.com Trang 67 A. 2 . B. 3 3 . C. 3 . D. 2 2 . x  3 Câu 10: Cho hàm số y 
có đồ thị là C . Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của C . Các x  1
điểm M trên C  sao cho độ dài đoạn IM ngắn nhất là A. M 1;1 và M 3  ;0 B. M 1;1 và M 3  ;3 2   1   2   1   C. M 1;1 và M 3;2 D. M 1; 2  và M 3  ;3 2   1   2   1   2x  1
Câu 11: Cho đồ thị C  : y 
. Gọi M là điểm bất kì thuộc đồ thị C  . Tiếp tuyến của đồ thị C  x 1
tại M cắt hai đường tiệm cận của C  tại hai điểm P và Q. Gọi G là trọng tâm tam giác IPQ (với I là giao
điểm hai đường tiệm cận của C ). Diện tích tam giác GPQ là 2 A. 2. B. 4. C. . D. 1. 3 2x 1 Câu 12: Cho hàm số y 
có đồ thị là C . Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận và x  1 M  x , y
x  0 là một điểm trên C sao cho tiếp tuyến của C  tại M cắt hai đường tiệm cận lần 0 0   0 
lượt tại A, B thỏa mãn 2 2
AI  IB  40 . Khi đó tích x y bằng 0 0 1 15 A. . B. 2. C. 1. D. . 2 4 x  1
Câu 13: Tất cả giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số f  x 
có hai đường tiệm cận 2 x  mx 1 2 2 x x
đứng là các đường thẳng x  x và x  x sao cho 1 2   7 là 1 2 2 2 x x 2 1 m  2 2  m  5 m  5 A.  . B. 2  m  2 . C.  . D.  . m  2  5  m  2 m   5 x 1
Câu 14: Biết rằng đồ thị của hàm số f  x 
có hai tiệm cận đứng là x  x và x  x sao 2 x  mx  n 1 2 x  x  5 cho 1 2  . Giá trị m  n bằng 3 3 x  x  35  1 2 A. -1. B. -7. C. 1. D. 7. ĐÁP ÁN 1 – A 2 – C 3 – A 4 – B 5 – B 6 – A 7 – D 8 – B 9 – A 10 – B 11 – A 12 – B 13 – D 14 – C TOANMATH.com Trang 68

Bài giảng đường tiệm cận của đồ thị hàm số Toán 12

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Chuyên đề giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số từ cơ bản đến nâng cao

Chuyên đề ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Toán 12

Chuyên đề khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số từ cơ bản đến nâng cao

Ôn kiến thức, luyện kỹ năng bài giảng tính đơn điệu của hàm số

Ôn kiến thức, luyện kỹ năng bài giảng cực trị của hàm số