Bài giảng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12

Bài giảng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

35 18 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Môn: Toán 12

Thông tin:

63 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
TOANMATH.com
Trang 1
BÀI 3. GIÁ TRN LỚN NHẤT, GIÁ TRN NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Mục tiêu
Kiến thức
+ Biết và hiểu định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số.
+ Biết các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên một khoảng, trên một đoạn
+ Nhận biết được mố
i liên hệ của hàm số
,yfxyfux, khi biết bảng biến thiên của
hàm số
yfx
, đồ thị hàm số
yfx
hoặc đồ thị hàm số
yfx
.
Kĩ năng
+ Biết lập, đọc bảng biến thiên của một hàm số để từ đó tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
+ Tính được đạo hàm của các hàm số hợp, nhận biết được mối liên hệ của hàm số
,yfxyfux, khi biết bảng biến thiên của hàm số
yfx, đồ thị hàm số
yfx hoặc đồ thị hàm số
yfx
+ Biết chuyển bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nhiều về khảo sát hàm
một biến số
+ Tìm GTLN, GTNN của hàm số
,, yfxyfux yfux hx… khi biết bảng
biến thiên hoặc đồ thị của hàm số
yfxyfx
TOANMATH.com
Trang 2
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Cho hàm số
yfx xác định trên tập D.
+) Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số
yfx
trên tập D nếu
f
xM
với mọi
x
D
và tồn tại
0
x
D sao cho

0
f
xM.
Kí hiệu:
max
D
M
fx
+) Số
m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số
y
fx
trên tập D nếu
xm
với mọi
x
D và tồn tại
0
x
D
sao cho
0
f
xm
Kí hiệu:

min
D
mfx
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số
yfx trên tập D nếu
f
xM
với mọi
x
D và tồn tại
0
x
D
sao cho
0
f
xM
.
Kí hiệu:

max
D
M
fx
Cho hàm số
yfx xác định
trên tập D
Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số
yfx trên tập D nếu
xm
với mọi
x
D và tồn tại
0
x
D sao cho
0
f
xm
.
Kí hiệu:
min
D
mfx
TOANMATH.com
Trang 3
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm GTLN – GTNN của hàm số y = f(x) trên một khoảng
Phương pháp giải
Ta thực hiện các bước sau
Bước 1.
Tìm tập xác định (nếu đề chưa cho
khoảng).
Bước 2. Tính

yfx
; tìm các điểm mà đạo
hàm bằng không hoặc không xác định.
Bước 3.
Lập bảng biến thiên
Bước 4.
Kết luận
Lưu ý: Có thể dùng máy tính cầm tay để giải.
Bước 1. Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số
yfx
trên miền (a; b) ta sử dụng máy
tính Casio với lệnh MODE 7 (MODE 9 lập bảng
giá trị)
Bước 2. Quan sát bảng giá trị máy tính hiển thị, giá
trị lớn nhất xuất hiện là max, giá trị nhỏ nhất xuất
hiện là min.
- Ta thiết lập miền giá trị của biến x Start a End b
Step
19
ba
(có thể làm tròn để Step đẹp).
Ví dụ: Giá trị nhỏ nhất của hàm số
3
31yx x
trên khoảng (0; 2) là
A. 1 B. 3
C. 0 D. -1
Hướng dẫn giải
Hàm số liên tục trên khoảng (0; 2).
Ta có
2
33
yx
2
1
03 3
1


x
yx
x
Vì ta đang xét hàm số trên khoảng (0; 2) nên ta loại
giá trị
1x
Xét bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (0; 2)
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm
số

0; 2
min 1y
đạt tại
1
x
Chọn D
TOANMATH.com
Trang 4
Chú ý: Khi đề bài liên có các yếu tố lượng giác
sinx, cosx, tanx… ta chuyển máy tính về chế độ
Radian.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Cho hàm số

652
121
1
352

f
xxxxx
.
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.

17
max
30
fx
B.

47
max
30
fx
C.

67
max
30
fx D. Hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất
Hướng dẫn giải
Tập xác định D
Ta có
54 4
22 1 121
  fx x x x x x
Khi đó
4
012101
 fx x x x
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy

47
max
30
fx
tại
1
x
Chọn B
Ví dụ 2.
Gọi a là giá trị lớn nhất của hàm số

2
68
1
x
fx
x
trên khoảng
;1
Khi đó giá trị của biểu thức
2
68
1
a
P
a
bằng
A.
22
5
B.
6
13
C.
58
65
D.
74
101
Hướng dẫn giải
Hàm số liên tục trên khoảng

;1
Ta có


2
2
2
8128
1
xx
fx
x

TOANMATH.com
Trang 5
Khi đó


2
2;1
08 1280
1
;1
2
x
fx x x
x

 

Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy


2
;1
68 58
max 8
165
a
fx P
a


Chọn C
Ví dụ 3.
Cho hàm số

2
2
1
1



x
x
yfx
x
x
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A.
min 1
fx B.

1
min
3
fx
C.

min 3
fx
D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất
Hướng dẫn giải
Tập xác định D
Ta có

 
2
2
222
22
21221
222
1
1
11



 
xx xx
xx
yfx y
xx
xx xx
Do đó
2
02 20 1
 yx x
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy

1
min
3
fx
tại
1
x
Bài tập tự luyện dạng 1
TOANMATH.com
Trang 6
Câu 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
2
x
y
x
trên (2; 6) là
A.

2; 6
min 8y B.

2; 6
min 4y C.

2; 6
min 3y D.

2; 6
min 9y
Câu 2: Giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
1
1

xx
y
x
trên khoảng

1;  là
A.

1;
min 3

y
B.

1;
min 1

y
C.

1;
min 2

y
D.

1;
min 0

y
Câu 3: Mệnh đề nào sau đây là đúng với hàm số
2
1
5
x
y
x
trên tập xác định của nó?
A. Hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất
B. Hàm số không có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất
C. Hàm số có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất
D. Hàm số có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất
Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
2
12yx
x
trên khoảng
0; 
là
A. không tồn tại B. -3 C. 12 D. 0
ĐÁP ÁN
1-A 2-A 3-D 4-B
TOANMATH.com
Trang 7
Dạng 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn
Phương pháp giải
Bước 1.
Tính

f
x
Bước 2. Tìm các điểm
;
i
x
ab mà tại đó
0
i
fx hoặc
i
f
x không xác định
Bước 3. Tính
,,
i
f
afx fb
Bước 4. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.
Khi đó

;
max
ab
M
fx
và


;
min
ab
mfx
Chú ý:
+) Hàm số
yfx đồng biến trên đoạn [a; b] thì


max
min
f
xfb
f
xfa
+) Hàm số
yfx nghịch biến trên đoạn [a; b] thì

max
min
f
xfa
f
xfb
Bài toán 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) liên tục trên một đoạn [a; b]
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Cho hàm số
32
32 yx x . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên
[0; 3]. Giá trị của
M
m
bằng
TOANMATH.com
Trang 8
A. 8 B. 10 C. 6 D. 4
Hướng dẫn giải
Hàm số xác định và liên tục trên [0; 3]
Ta có

2
00;3
0360
20;3

 

x
yxx
x
Khi đó
02,26,32yyy
Vậy
6; 2 8Mm Mm
Chọn A.
Ví dụ 2.
Giá trị lớn nhất của hàm số
42
31yx x
trên [-1; 2] là
A. 29 B. 1 C. 3 D.
13
4
Hướng dẫn giải
Hàm số xác định và liên tục trên [-1; 2]
Ta có




32
01;2
6
46223 0 1;2
2
6
1; 2
2




x
yxxxx y x
x
Vì
 
613
01; ;2 3; 13
24





yy y y nên

1; 2
13
max
4
y
Chọn D
Ví dụ 3.
Cho hàm số
2
1
x
y
x
. Giá trị của


2
2
2; 3
2; 3
min max






yy
bằng
A. 16 B.
45
4
C.
25
4
D.
89
4
Hướng dẫn giải
Ta có

2
3
0, 1
1

yx
x
, do đó hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
;1 ; 1;
Hàm số
nghịch biến trên [2; 3].
Do đó




2; 3
2; 3
5
min 3 ; max 2 4
2
 yy yy
Vậy


2
2
2
2
2; 3
2; 3
589
min max 4
24










yy
Chọn D
TOANMATH.com
Trang 9
Ví dụ 4. Giá trị lớn nhất của hàm số

2
8
1
x
x
fx
x
trên đoạn [1; 3] bằng
A.
15
4
B.
7
2
C. 3 D.
4
Hướng dẫn giải
Hàm số

2
8
1
x
x
fx
x
liên tục trên [1; 3]

 
2
2
22
28 1 8
28
11




xx xx
xx
fx
xx


2
21;3
0280
41;3

 

x
fx x x
x
Ta thấy
  
715
1;3 ;24
24

 yy y
Vậy


1; 3
7
max
2
fx
Chọn B
Ví dụ 5.
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
2
4 yx x
Giá trị của biểu thức

P
Mm bằng
A.

221 B.
221 C. 21 D. 21
Hướng dẫn giải
Tập xác định

2; 2D
Ta có

2
22
4
1,2;2
44



xxx
yx
xx

2
0
04
22;2


x
yxx
x

222; 20;22; 2 2yyyy
Vậy
22, 2 22 2 2 2 1MmP
Chọn A
Ví dụ 6.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
32
23yx xm trên đoạn [0; 5] bằng 5 khi m bằng
A. 6 B. 10 C. 7 D. 5
Hướng dẫn giải
Hàm số xác định và liên tục trên

0; 5D
TOANMATH.com
Trang 10
Ta có
2
0
06 60
1

 

x
D
yxx
x
D
0 ; 1 1; 5 175
f
mf m f m
Dễ thấy
501, fffm nên

0; 5
min 1 1fx f m
Theo đề bài

0; 5
min 5 1 5 6  fx m m
Chọn A.
Ví dụ 7.
Gọi A, B là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
2
1

x
mm
y
x
trên đoạn [2; 3]. Tất cả
các giá trị thực của tham số m để
13
2
AB
là
A.
1; 2mm
B. 2m
C.
2m
D. 1; 2 mm
Hướng dẫn giải
Hàm số đã cho liên tục trên đoạn [2; 3]
Ta có

2
2
1
0,
1


mm
ym
x
 
2
2
3
3;22
2


mm
Ay By m m
Do đó
2
2
13 3 13
2
22 2

 
mm
AB m m
2
1
360
2


m
mm
m
Chọn A
Ví dụ 8.
Biết hàm số
32
33211 yx mx m x (với m là tham số) trên đoạn [-2; 0] đạt giá trị lớn
nhất bằng 6. Các giá trị của tham số m là
A.
1m
B.
0m
C.
3m
D.
1m
Hướng dẫn giải
Ta có
22
36 3213 2 21



y x mx m x mx m
1
0
12



x
y
x
m
Vì
21;01 yy và theo bài ra

2; 0
max 6
y nên giá trị lớn nhất không đạt tại 2; 0 xx. Do đó
giá trị lớn nhất đạt tại
1y hoặc
12ym.
Ta có

2
133,12 12 21 ymymmm
TOANMATH.com
Trang 11
- Trường hợp 1: Xét
336 1mm
Thử lại với
1m
, ta có

12;0
0
32;0



x
y
x
nên
1m
là một giá trị cần tìm.
- Trường hợp 2: Xét


2
2
12 2 5 1
12 2 16
13
212 0
22






mm
mm
m
m
Vì

2
13
20 12 2 0
22
 mm mm
nên (1) vô nghiệm
Chọn D
Bài toán 2. Tìm GTLN – GTNN của hàm số y = |f(x)| trên đoạn [a; b]
Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
Bước 1.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số
f
x trên đoạn
;ab, giả sử thứ tự là M,
m.
Bước 2.
+) Tìm

;
max max ;
ab
yMm
+) Tìm

;
min
ab
y
- Trường hợp 1:

;
.0min0
ab
Mm y
- Trường hợp 2:

;
0min
ab
mym
- Trường hợp 3:

;
0min
ab
M
yM M
Bước 3. Kết luận.
Ví dụ: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ của hàm số
2
22yx x trên đoạn [-1; 1] lần lượt là a, b thì
giá trị của
ab bằng
A. 4 B. 3
C. 0 D. 1
Hướng dẫn giải
Xét hàm
2
22 22
 fx x x f x x
220 1

f
xx x
Suy ra




1; 1
1; 1
max 1 1; min 1 3
 yf yf
Do đó giá trị lớn nhất
33 3 ya tại 1
x
và giá trị nhỏ nhất
00yb tại 13x
Vậy giá trị
303ab
Chọn B
Ví dụ mẫu
Ví dụ.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
32
92468 yx x x
trên đoạn [-1; 4] bằng
TOANMATH.com
Trang 12
A. 48 B. 52 C. -102 D. 0
Hướng dẫn giải
Bảng biến thiên của hàm số
32
92468 yx x x trên
1; 4
Suy ra bảng biến thiên của hàm số
32
92468 yx x x trên đoạn

1; 4 là
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số
32
92468 yx x x trên đoạn
1; 4 bằng 48.
Chọn A
Cách khác: Theo trường hợp 3 thì 48 0 min 48 My
Bài toán 3. Tìm tham số để GTLN của hàm số y = |f(x)| trên đoạn [α, β] bằng k
Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
Bước 1.
Tìm


;;
max max ;
f
xAB
 
Ví dụ:
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của
tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
2
1

x
mx m
y
x
trên đoạn [1; 2] bằng 2.
Số phần tử của tập S là
A. 3 B. 1
C. 4 D. 2
Hướng dẫn giải
Xét hàm số

2
1


x
mx m
yfx
x
Ta có


2
2
01;2
2
0
21;2
1



x
xx
y
x
x
TOANMATH.com
Trang 13
Bước 2.
Xét các trường hợp
+)
A
k
tìm m, thử lại các giá trị m đó
+)
B
k
tìm m, thử lại các giá trị m đó
Bước 3.
Kết luận
Mặt khác
 
21 34
1;2
23


mm
ff
Do đó

1; 2
2134
max max ;
23



mm
y
- Trường hợp 1:

1; 2
3
21
2
max 2
5
2
2


m
m
y
m
+) Với
33417
2
236

m
m (loại)
+) Với
5347
2
236

m
m
(thỏa mãn)
- Trường hợp 2:

1; 2
2
34
3
max 2
10
3
3


m
m
y
m
+) Với
2217
2
326

m
m (thỏa mãn)
+) Với
10 2 1 17
2
326

m
m
(loại)
Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn.
Chọn D
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

42
1
14 48 30
4
fx x x x m trên đoạn [0; 2] không vượt quá 30. Tổng các phần tử của S bằng
A. 108 B. 120 C. 210 D. 136
Hướng dẫn giải
Xét hàm số

42
1
14 48 30
4
gx x x x m
trên đoạn [0; 2]
Ta có
 


3
60;2
28 48 0 2 0; 2
40;2




x
gx x x gx x
x
Để



0; 2
030
30 30
max 30 0 16
14 30
230





g
m
gx m
m
g
0;1; 2;...; 15; 16m
TOANMATH.com
Trang 14
Tổng các phần tử của S là 136.
Chọn D
Ví dụ 2.
Biết giá trị lớn nhất của hàm số
2
1
4
2
yxxm
bằng 18.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
05m
B.
10 15m
C. 510m D. 15 20m
Hướng dẫn giải
Xét hàm số

2
1
4
2
gx x x
liên tục trên tập xác định [-2; 2]
Ta có
  
22
10 10,2;2
44




xx
gx gx x
xx

2
22
0
422;2
4
 

x
xx x
xx



51423
2;2 ;2
222
gg g


Do đó


2; 2
5
max
2
gx khi
2x
, suy ra giá trị lớn nhất của hàm số bằng
5
2
m
Theo bài ra
5
18 15,5
2
 mm. Vậy
15 20m
Chọn D
Bài toán 4: Tìm điều kiện tham số để GTLN của hàm số y = |f(x) + g(m)| trên đoạn [a; b] đạt GTNN
Phương pháp giải
Thực hiện các bước sau
Bước 1.
Tìm


;
;
max ; min
ab
ab
f
xfx

Ví dụ:
Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số
2
24yx xm trên đoạn [-2; 1] đạt giá trị
nhỏ nhất, giá trị của tham số m bằng
A. 1 B. 3
C. 4 D. 5
Hướng dẫn giải
Đặt

2
2
f
xx x
Ta có
22; 0 1 2;1

 fx x fx x
20;13; 1 1 fff
Do đó




2; 1
2; 1
max 3; min 1
fx fx
TOANMATH.com
Trang 15
Bước 2.
Gọi M là giá trị lớn nhất của
yfxgm thì
 
max ;
M
gm gm

22
 

g
mgm gm gm

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

g
mgm

Áp dụng bất đẳng thức
2

g
mgm

22


gm gm

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
0


gm gm

Bước 3. Kết luận min
2
M
khi

2

gm
Suy ra

2; 1
max max 5 ; 1
ymm
515 1
2
22


mm mm
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

51
3
510



mm
m
mm
(thỏa mãn)
Chọn B
Ví dụ mẫu
Ví dụ.
Để giá trị lớn nhất của hàm số
2
234yxxm đạt giá trị nhỏ nhất thì m bằng
A.
3
2
m
B.
5
3
m
C.
4
3
m
D.
1
2
m
Hướng dẫn giải
Tập xác định

0; 2D
Đặt

2
2,
f
xxxxD.
Ta có
 
2
1
01
2


x
f
xfxx
xx
00;20;11fff
Suy ra

3435
max max 3 4 ; 3 5
2


D
mm
Py mm
TOANMATH.com
Trang 16
53 3 4
1
22


mm
Dấu bằng xảy ra

3435
3
2
53 3 4 0



mm
m
mm
(thỏa mãn)
Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là nhỏ nhất khi
3
2
m
Chọn A
Bài toán 5. Tìm tham số để GTNN của hàm số y = |ax
2
+ bx + c| + mx đạt GTLN
Ví dụ 1.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
,25yfxm x x mx
đạt giá trị lớn nhất bằng
A. 2 B. 5 C. 8 D. 9
Hướng dẫn giải
Ta có
min , 0, 5,fxm f m m
Xét
2m
ta có
22
,2 2 5 2 2 5 2 5, fx x x x x x x x
Dấu bằng xảy ra tại
0x . Suy ra
min , 2 5,fx x
Do đó



min , 5,
max min , 5
min , 2 5,



fxm m
fxm
fx x
, đạt được khi
2m
Chọn B.
Tổng quát:
2
yax bxcmx
Trường hợp 1:
.0ac
max min
y
c
Đạt được khi
mb
Ví dụ 2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
,47
f
xm x x mx đạt giá trị lớn nhất bằng
A. 7 B. -7 C. 0 D. 4
Hướng dẫn giải
Phương trình
2
470xx luôn có hai nghiệm trái dấu
12
0
x
x
Trường hợp 1: Nếu
0m
Ta có
1
min , , 0,fxm fxm mx m
Xét
0m ta có
2
,0 4 7 0,fx x x x . Dấu bằng xảy ra tại
1, 2
x
x .
Suy ra
min , 0 0,fx x
Do đó



min , 0,
max min , 0
min , 0 0,
fxm m
fxm
fx x



khi 0m
Trường hợp 2: Nếu 0m
Ta có
22
min , , 0, max min , 0 fxm fx m mx m fxm
TOANMATH.com
Trang 17
So sánh cả hai trường hợp thì
max min , 0fxm khi
0m
Chọn C
Trường hợp 2:
.0maxmin 0 ac y Đạt được khi 0m
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1:
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
543
552 fx x x x trên
đoạn
1; 2
. Khi đó
M
m
có giá trị bằng
A. -6 B. 12 C. -12 D. 3
Câu 2: Trên đoạn
17
;
23



hàm số

2
22
1

xx
fx
x
đạt giá trị lớn nhất tại
A.
0
1
2
x B.
0
0x
C.
0
7
3
x D.
0
2x
Câu 3: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
246
f
xx x trên
3; 6 . Tổng
M
m có giá trị là
A. -12 B. -6 C. 18 D. -4
Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số

2
2
f
xx x trên tập xác định là
A. 2 B. -1 C. 1 D. 2
Câu 5: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

2
cos
f
xx x trên đoạn 0;
4



là
A.
 
0;
0;
4
4
1
max ; min 1
2






fx fx
B.
 
0;
0;
4
4
max ; min
46






fx fx
C.
 
0;
0;
4
4
1
max ; min 1
42






 fx fx
D.
 
0;
0;
4
4
11
max ; min
24 2






 fx fx
Câu 6: Với giá trị nào của tham số m thì hàm số

1
mx
fx
x
m
đạt giá trị lớn nhất trên đoạn
1; 3
bằng
2?
A. 7m B. 3m C. 7m D. 3m
Câu 7: Giá trị nhỏ nhất của hàm số

32
1
3
2

f
xxx m
trên đoạn

1; 1 bằng 0 khi
A. 4m B. 12m C. 0m D. 8m
Câu 8: Với những giá trị nào của tham số m thì hàm số

2
1
x
fx
x
m
đạt giá trị lớn nhất trên đoạn
2;3
bằng
1
2
?
A.
2m
B.
1m
C.
1m
D.
2m
TOANMATH.com
Trang 18
Câu 9: Giá trị lớn nhất của hàm số

32
37290 
f
xx x x m
trên đoạn [-5; 5] bằng 2018. Trong
các khẳng định dưới đây khẳng định nào đúng?
A. 1600 1700m B. 1600m C. 1500m D. 1500 1600m
Câu 10: Để giá trị lớn nhất của hàm số
3
321yfx x x m trên đoạn
0; 2
là nhỏ nhất thì giá
trị của
m thuộc khoảng nào dưới đây?
A.

0; 1 B.
1; 0 C.
1; 2 D.
2; 1
Câu 11: Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số
32
3 yx x xm trên đoạn
2; 4
,
0
m
là giá trị của
tham số
m để M đạt giá trị nhỏ nhất. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
0
15m B.
0
75 m C.
0
40 m D.
0
8m
Câu 12: Có bao nhiêu số nguyên m để giá trị nhỏ nhất của hàm số
42
38 120 4yx x x m trên đoạn
0; 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của tham số m bằng
A. 26 B. 13 C. 14 D. 27
Câu 13: Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số
42
38 120 4 yx x x m trên đoạn [0; 2] đạt giá trị nhỏ
nhất. Khi đó giá trị của tham số
m bằng
A. -12 B. -13 C. -14 D. -11
Câu 14: Xét hàm số
2
yx axb
với a, b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
1; 3 . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất thì 2ab bằng
A. 5 B. -4 C. 2 D. -3
Câu 15: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
32
39 yx x xm trên đoạn

2; 4 bằng 16. Số phần tử của S là
A. 0 B. 2 C. 4 D. 1
Câu 16: Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
3
3yx xmtrên đoạn [0; 2] bằng 3. Số phần tử của S là
A.
0 B. 2 C. 3 D. 1
Câu 17: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
32
3 yx x m
trên đoạn

2; 4 bằng 50. Tổng các phần tử của tập S là
A. 4 B. 36 C. 140 D. 0
Câu 18: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
42
119
30 20
42
yx x xm trên đoạn

0; 2 không vượt quá 20. Tổng các phần tử của S bằng
A. 210 B. -195 C. 105 D. 300
Câu 19: Cho hàm số
432
44
f
xx x xa. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số đã cho trên đoạn
0; 2
. Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn
3; 2
sao cho 2
M
m ?
A. 7 B. 5 C. 6 D. 4
TOANMATH.com
Trang 19
Câu 20: Giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
, 2020 2019yfxm x x mx
đạt giá trị lớn nhất khi
tham số
m bằng
A. 2020 B. 2019 C. 0 D. 2018
Câu 21: Giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
,610yfxm x x mx
đạt giá trị lớn nhất bằng
A. 6 B. -6 C. 0 D. 10
ĐÁP ÁN
1-B 2-C 3-B 4-A 5-C 6-A 7-D 8-C 9-A 10-A
11-D 12-D 13-B 14-B 15-D 16-B 17-A 18-C 19-D 20-A
21-C
TOANMATH.com
Trang 20
Dạng 3: TÌM GTLN-GTNN khi cho đồ thị - bảng biến thiên
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Cho hàm số
y
fx
liên tục trên
và có bảng biến thiên như hình vẽ
Giá trị lớn nhất của hàm số trên là
A.
1
max
2

y B. max 1
y C. max 1
y D. max 3
y
Hướng dẫn giải
Dựa vào bảng biên thiên ta có hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 3 tại
1
2
x
Chọn D
Ví dụ 2.
Hàm số
yfx
liên tục trên và có bảng biến thiên như hình bên dưới
Biết
48ff, khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên bằng
A. 9 B.

4f C.
8
f
D. -4
Hướng dẫn giải
Từ bảng biến thiên ta có
4, ;0fx f x và
8, 0;fx f x .
Mặt khác
48ff suy ra

;x thì
8fx f
Vậy
min 8
fx f
Chọn C
TOANMATH.com
Trang 21
Ví dụ 3. Cho hàm số
yfx
xác định trên tập hợp
3
;1 1;
2
D




và có bảng biến thiên như
sau
Khẳng định đúng là
A.
max 0
D
fx ; không tồn tại

min
D
f
x
B.
max 0
D
fx ;
min 5
D
fx
C.
max 0
D
fx
;
min 1
D
fx
D.
min 0
D
fx ; không tồn tại
max
D
f
x
Hướng dẫn giải
Dựa vào bảng biến thiên thì
 
3
max 1 0; min 5
2
D
D
fx f fx f




Chọn B
Ví dụ 4.
Cho hàm số
yfx có đồ thị trên khoảng
3; 3 như hình bên dưới
Khẳng định đúng là
A.
Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3
B. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4
C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -3
D. Hàm số không có giá trị lớn nhất
TOANMATH.com
Trang 22
Hướng dẫn giải
Từ đồ thị của hàm số
yfx ta thấy rằng hàm số
yfx xác định, liên tục và
4fx , với mọi
3; 3x
, nên hàm số không có giá trị lớn nhất
Chọn D
Ví dụ 5.
Cho hàm số
yfx liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn

0; 2 như sau
Giá trị lớn nhất
M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số
yfx trên đoạn
0; 2 là
A. 4
M
và
1m
B.
0M
và
2m
C. 2
M
và 0m D. 1
M
và 4m
Hướng dẫn giải
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy

0; 2
min 1my
khi
2x
và

0; 2
max 4My
khi
0x
Chọn A
Ví dụ 6.
Cho hàm số
yfx liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn

2; 4 như sau
Giá trị lớn nhất của hàm số
yfx trên đoạn

2; 4 bằng
A.

2f B.

0f C.

2f D.

4f
Hướng dẫn giải
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy

2; 4
max 17
y khi 4x
Chọn D
TOANMATH.com
Trang 23
Ví dụ 7. Cho hàm số

yfx liên tục trên đoạn

1; 3 và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Gọi
M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn
1; 3 . Giá trị của
M
m
bằng
A.
1 B. 3 C. 4 D. 5
Hướng dẫn giải
Dựa vào đồ thị suy ra
33; 2 2Mf mf
Vậy
5Mm
Chọn D
Ví dụ 8.
Cho hàm số
yfx liên tục trên đoạn

1; 1 và có đồ thị như hình vẽ.
Gọi
M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn
1; 1 . Giá trị của
M
m bằng
A.
0 B. 1 C. 2 D. 3
Hướng dẫn giải
Từ đồ thị ta thấy 1; 0Mm nên 1Mm
Chọn B
Ví dụ 9.
Cho đồ thị hàm số
yfx
như hình vẽ
TOANMATH.com
Trang 24
Hàm số
yfx đạt giá trị lớn nhất trên khoảng
1; 3 tại
0
x
. Khi đó giá trị của
2
00
2 2019xx bằng
bao nhiêu?
A.
2018 B. 2019 C. 2021 D. 2022
Hướng dẫn giải
Dựa vào đồ thị của hàm số
yfx
ta có bảng biến thiên như sau
Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số
yfx đạt giá trị lớn nhất trên khoảng

1; 3 tại
0
2x .
Vậy
2
00
2 2019 2019 xx
Chọn B
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1:
Cho hàm số
yfx có bảng biến thiên như sau
Biết giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là M, m. Giá trị biểu thức
22

P
Mm là
A.
1
4
P
B.
1
2
P
C. 2 D. 1
Câu 2: Cho hàm số
yfx xác định và liên tục trên khoảng

3; 2 ,
TOANMATH.com
Trang 25

2
3
lim 5, lim 3



x
x
fx fx
và có bảng biến thiên như sau
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
Hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng

3; 2
B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -5
C. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3
D. Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng

3; 2 bằng 0.
Câu 3: Cho hàm số

yfx có đồ thị trên khoảng

2; 2 như hình bên. Khẳng định đúng là
A. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2
B. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 1
C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -1
D. Hàm số không có giá trị lớn nhất
Câu 4: Cho hàm số
yfx
liên tục trên
5;3
và có bảng biến thiên như sau
TOANMATH.com
Trang 26
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số

yfx không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất trên [-5; 3)
B. Hàm số

yfx không có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất trên [-5; 3)
C. Hàm số
yfx có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất trên [-5; 3)
D. Hàm số

yfx
có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất trên [-5; 3)
Câu 5: Cho hàm số

yfx
liên tục trên
và có bảng biến thiên như sau
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số

yfx không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất
B. Hàm số

yfx không có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất
C. Hàm số

yfx có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất
D. Hàm số

yfx có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất
Câu 6: Cho hàm số

yfx
liên tục và có bảng biến thiên trong đoạn
6; 0
như sau
Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số

yfx trên đoạn
6; 0 là
A.
7M
và
0m
B.
0M
và
6m
C. 6M và 7m D. 0M và 7m
Câu 7: Cho hàm số

yfx liên tục trên đoạn

1; 4 và có bảng biến thiên như sau
TOANMATH.com
Trang 27
Mệnh đề nào sau đây sai
A. Hàm số

yfx không có giá trị lớn nhất trên khoảng
1; 4
B. Hàm số
yfx không có giá trị lớn nhất trên nửa khoảng
1; 4
C. Hàm số
yfx
không có giá trị nhỏ nhất trên nửa khoảng
1; 4
D. Hàm số
yfx không có giá trị nhỏ nhất trên đoạn

1; 4
Câu 8: Cho hàm số
yfx liên tục trên
1
\
2



và có bảng biến thiên như sau
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số

yfx
không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất
B. Hàm số

yfx không có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất
C. Hàm số
yfx có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất
D. Hàm số
yfx có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất
Câu 9: Cho hàm số
yfx liên tục trên
1; 3 và có bảng biến thiên như sau
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
2yfx bằng trên đoạn

1; 1 bằng
TOANMATH.com
Trang 28
A. -4 B. -1 C. -3 D. -2
Câu 10: Cho hàm số
yfx liên tục trên đoạn
và có đồ thị như hình vẽ
Giá trị nhỏ nhất trên đoạn
1; 1
của hàm số là
A. min 1y B. min 1y C. min 0y D. min 2y
Câu 11: Cho đồ thị hàm số
'yfx như hình vẽ
Hàm số
yfx đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; 2] tại x bằng bao nhiêu?
A.
2
3
x
B.
0x
C.
1
x
D.
2x
Câu 12: Cho hàm số


ax b
yfx
cx b
xác định và liên tục trên khoảng
1
;
2




và
1
;
2




. Đồ thị
hàm số
yfx là đường cong trong hình vẽ dưới đây
TOANMATH.com
Trang 29
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
A.


1; 0
max 0
fx f
B.

3; 0
max 3
fx f
C.


3; 4
max 4fx f D.

1; 2
max 2fx f
ĐÁP ÁN
1-B 2-A 3-A 4-D 5-D 6-A 7-D 8-B 9-D 10-A
11-C 12-B
Dạng 4: Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng cách đặt ẩn phụ
Bài toán 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
Phương pháp giải
Ghi nhớ:
Điều kiện của các Nn phụ
- N ếu
sin
11
cos

tx
t
tx
- N ếu
2
cos
01
cos

tx
t
tx
- N ếu
2
sin
01
sin

tx
t
tx
- N ếu
sin cos 2.
4




txxsnix
22 t
Bước 1. Đặt Nn phụ và tìm điều kiện cho Nn phụ
Ví dụ:
Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của
hàm số
2
2sin 2sin 1yxx là
A.
3
1;
2
 Mm
B.
3; 1Mm
C.
3
3;
2
Mm
D.
3
;3
2
Mm
Hướng dẫn giải
Đặt sintx với

1; 1t , ta được
TOANMATH.com
Trang 30
Bước 2.
Giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của hàm số theo Nn phụ
Bước 3.
Kết luận (Chọn đáp án)
2
221yt t
Khi đó

1
420 1;1
2
 yt t
Ta có


11
13
13
22
y
y
y





Do đó
3
3;
2
Mm
Chọn C
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số 2cos2 2sinyxx là
A.
9
;4
4
Mm
B. 4; 0Mm
C.
9
0;
4
Mm
D.
9
4;
4
Mm
Hướng dẫn giải
Ta có
22
2cos2 2sin 2 1 2sin 2sin 4sin 2sin 2yxx xx xx
Đặt

sin , 1; 1txt , ta được
2
422 ytt
Ta có

1
0820 1;1
4
yt t
Vì


14
10
19
44




y
y
y
nên
9
;4
4
Mm
Chọn A
Ví dụ 2.
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
cos cos 1
cos 1

xx
y
x
bằng
A.
3
2
B.
5
2
C.
7
2
D. 3
Hướng dẫn giải
Đặt cos 0 1tx t, ta được

2
1
1


tt
yft
t
với
01t
TOANMATH.com
Trang 31
Vì



2
2
2
0, 0; 1
1

tt
ft t
t
nên



 
0; 1
0; 1
3
min 0 1; max 1
2
 ft f ft f
Suy ra tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng




0; 1
0; 1
35
min max 1
22
ft ft
Chọn B
Ví dụ 3.
Giá trị lớn nhất M của hàm số
42
cos 3 sin 2 yx x là
A.
23M
B.
3M
C.
5
3
4
M
D.
33M
Hướng dẫn giải
Đặt
2
cos 0 1txt, ta được
2
31 2 yt t với
0; 1t
Ta có

3
230 0;1
2
 yt t
Vì
 
35
0 2 3; 3; 1 3
24





yy y nên
23M
Chọn A
Ví dụ 4.
Cho hàm số
2
sin 1 sin 2 2
sin 2

xm x m
y
x
(với m là tham số thực).
Giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi m bằng
A.
3
2
B.
1
2
C.
3
2
D.
1
2
Hướng dẫn giải
Xét

2
sin sin 2
sin 2

xx
fx
x
Đặt sin 1 1tx t, ta được

2
2
2

tt
ft
t
với

1; 1t
Ta có



2
2
2
01;1
4
040
41;1
2



t
tt
ft t t
t
t
Vì
 
4
1;12;01
3
 fff
nên

1; 1
max 1
ft
và

1; 1
min 2
ft
Hay
2
sin sin 2
21,
sin 2


xx
x
x
Mặt khác
 
2
sin sin 2
,2 1
sin 2


xx
ymfxmfx
x
TOANMATH.com
Trang 32
Do đó

2; 1
max max max 2 , 1 max 2 , 1


yfxm mm mm
21
21
1
max
222



mm
mm
y
Dấu bằng đạt được khi

21
3
2
210



mm
m
mm
Chọn A
Ví dụ 5.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 12cos 12sin
P
xx bằng
A.
21 B.
31
C. 1 D.
23
Hướng dẫn giải
Ta có
2
6 4 sin cos 2 1 2 sin cos 4sin cos
P
xx xx xx
Đặt
sin cos 2.sin
4




txx x
với
2
1
2sincos
2

t
txx
Xét
2
22
2
13 13
484 ;
22
64 22 2 1
13 13
48
22
 

 
 

tt khit t
yP t t t
tkhit
13 13
88 ;
22
13 13
8
22
 


 

tkhit t
y
tkhi t
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra


2
2; 2
min 4 2 3 3 1


 ft
min 3 1P
Chọn B
TOANMATH.com
Trang 33
Ví dụ 6. Giá trị lớn nhất của hàm số
sin cos 2
f
xx x trên đoạn

0;
là
A.

0;
5
max
4
y
B.

0;
max 1y
C.

0;
max 2y
D.

0;
9
max
8
y
Hướng dẫn giải
Đặt
22
sin cos2 1 2sin 1 2 tx x x t
, với

0; 0; 1xt
Ta được
2
21
f
ttt
với

0; 1t
Ta có
 
1
410 0;1
4
 ft t t
Do
 
19
01; ;10
48




ff f nên


0; 1
9
max
8
ft
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là

0;
9
max
8
y
Chọn D
Bài toán 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số khác
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Giá trị lớn nhất của hàm số
3
22
6
41
11
xx
y
xx





bằng
A.
5
2
B. -5 C.
9
2
D. 3
Hướng dẫn giải
Do
2
2
1
12
2
1

x
xx
x
Đặt
2
1
2
1

x
tt
x
Khi đó
3
461yt t với
11
;
22




t
Vì
2
12 6 0,
yt t nên hàm số đồng biến trên
11
;
22



Do đó
11
;
22
15
max
22







yy
Chọn A
Ví dụ 2.
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 19yx x lần lượt là
A.
2; 2
B.
4; 2
C.
4; 2
D.
4; 2 2
Hướng dẫn giải
Tập xác định

1; 9D
TOANMATH.com
Trang 34
Ta có

11
01 951;9
212 9


yxxx
xx
Vì
1922;54 yy y nên max 4; min 2 2yy.
Chọn D
Nhận xét: với hàm số yxa xb
;0 axbab
thì
2
0
2.

y
yab xaxb

2
2
2


yab
yabxa xb ab
Suy ra
2 ab y ab
dấu bằng luôn xảy ra.
Ví dụ 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số

13 13 yx x x x bằng
A.
5
2
B. – 2 C. – 4 D. 2
Hướng dẫn giải
Tập xác định của hàm số là
1; 3D
Đặt
 
2
2
4
13 42 13 13
2

t
tx xt xxxx
Do

2
42 13 4, 1;3 txxx
, từ đó suy ra 22t
Bài toán quy về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

2
2
2

t
g
tt trên đoạn

2; 2 .
Ta có
10 1 2;2
 gt t t
Lại có

5
22;22;1
2
 ggg
Suy ra giá trị nhỏ nhất bằng
5
2
Chọn A
Nhận xét: Với hàm số yxa xb
;0 axbab thì
2
2. yab xaxbab
 ab y ab
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1:
Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số
42
sin 4sin 5 yx x là
A. 2; 5Mm B. 5; 2Mm C. 5; 2Mm D. 2; 5 Mm
TOANMATH.com
Trang 35
Câu 2: Giá trị nhỏ nhất m của hàm số
32
cos sin cos 3 yxxx
là
A. 3m B.
113
27
m
C.
113
27
m
D. 3m
Câu 3: Giá trị lớn nhất của hàm số
2cos2 4sinyxx
trên đoạn
0;
2



là
A. 4
M
B. 2
M
C.
2M
D.
22M
Câu 4: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
42
42
3cos 4sin
3sin 2cos
x
x
y
x
x
theo thứ tự là
A.
84
;
53
B.
34
;
23
C.
11
;
23
D.
34
;
23
Câu 5: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
123 2
213 1


xx
y
xx
theo thứ tự là
A.
4
2;
5
B.
4
2;
5
C.
4
;2
5
D.
4
;2
5
Câu 6: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
6
3
2cos cos2
4
yxx
theo thứ tự là
A. 4 và
1
4
B. 4 và
1
2
C. 2 và
1
2
D.
5
4
và
1
4
Câu 7: Giá trị lớn nhất của hàm số
13yfx x x là
A.

1; 3
max 2 3
y
B.

1; 3
max 2 2
y
C.

1; 3
max 2
y D.

1; 3
max 3 2
y
Câu 8: Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

2
22
3
11 yx x bằng
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
Câu 9: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

3
62
41
f
xx x
trên
đoạn
1; 1
. Khi đó tỉ số
M
m
bằng
A.
9
4
B.
9
16
C. 9 D.
4
9
ĐÁP ÁN
1-B 2-B 3-D 4-A 5-B 6-D 7-C 8-B 9-C
TOANMATH.com
Trang 36
Dạng 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Cho biểu thức
22
22
x
xy y
P
x
xy y


với
22
0xy. Giá trị nhỏ nhất của P bằng
A. 3. B.
1
3
.
C. 1. D. 4.
Hướng dẫn giải
N ếu 0y thì P =1. (1)
N ếu
0y
thì
2
22
2
22
1
.
1
xx
yy
xxyy
P
xxyy
xx
yy
 

 

 


 

 
 
Đặt
x
t
y
, khi đó
2
2
1
() .
1
tt
Pft
tt



2
2
22
22
() 0 2 2 0 1.
(1)
t
ft t t
tt



Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có
1
() .
3
Pft
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
11
() min
33
Pft P
 .
Chọn B.
Ví dụ 2.
Cho hai số thực x,y thỏa mãn 0; 0xy và 1
x
y. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
của biểu thức
11
x
y
P
yx


lần lượt là
A.
1
2
và 1.
B. 0 và 1. C.
2
3
và 1.
D. 1 và 2.
Hướng dẫn giải
TOANMATH.com
Trang 37
Ta có
2
(1) (1)( )2 122
.
11(1)(1) 12
x
yxx yy xy xy xy
P
y x x y xy x y xy



Đặt
txy ta được
22
.
2
t
P
t
Vì
0; 0 0.xy t
Mặt khác
11
12 .
44
x y xy xy t

Khi đó, bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số
22
()
2
t
gt
t
trên
1
0; .
4



Xét hàm số
22
()
2
t
gt
t
xác định và liên tục trên
1
0; .
4



Ta có
2
6
() 0
(2 )
gt
t

với
1
0;
4
t




hàm số ()
g
t nghịch biến trên đoạn
1
0; .
4



Do đó
1
0;
4
1
0;
4
12
min ( )
2
43
min
3
max ( ) (0) 1
max 1
gt g
P
gt g
P














.
Chọn C.
Ví dụ 3.
Cho x, y là các số thực thỏa mãn
22
(3)(1)5xy. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
34741
21
yxyxy
P
xy


bằng
A. 3. B. 3. C.
114
11
.
D. 23.
Hướng dẫn giải
2222
(3)(1)5 6250.xy xyxy 
222
22 2
(3 4 7 4 1) ( 6 2 5)
21
44 24(2)(2)4
21 21
yxyxy xyxy
P
xy
y xyx x y yx x y
xy xy




 
Đặt
2.tx y
2
22 2 2
(12)(3)(1) (3)(22)xy xy



2
( 2 5) 25 0 2 10.xy xy
Ta được
2
44
( ) ,0 10.
11
tt
Pft t t
tt



TOANMATH.com
Trang 38
Xét
2
2
1 (0;10)
4
() 1 0 ( 1) 4
3 (0;10)
(1)
t
ft t
t
t



Vì
114
(0) 4; (10) ; (1) 3 min 3
11
ff f P
khi
1t . Chọn A.
Ví dụ 4.
Gọi
000
,,
x
yz là ba số thực dương sao cho biểu thức
222
381
28
2( ) 4 3
P
x
yz
xy yz
xyz xz




đạt giá trị nhỏ nhất.
Tổng
000
x
yz bằng
A. 3. B. 1. C. 33. D.
3
2
.
Hướng dẫn giải
Ta có
22
381
222
22()3
P
x
yz
xy yz
yxz




381
2( ) ( ) 3
x
yz xyz xyz

  
.
Đặt
0xyzt. Khi đó
18
() ,( 0)
23
Pft t
tt

.
Ta có
'
22
3( 1)(5 3)
() 0 1
2( 3)
tt
f
tt
tt


.
Bảng biến thiên
Suy ra
3
2
P 
. Dấu “=” xảy ra
1
1
4
2
1
2
xyz
xz
yz
y
yxz







.
Do đó
000
111
1.
442
xyz
Chọn B.
Ví dụ 5.
Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
2
30
23140
xxy
xy


.
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
223
322
P
xy xy x x
bằng
TOANMATH.com
Trang 39
A. 8. B. 0. C. 12. D. 4.
Hướng dẫn giải
Với điều kiện bài toán ,0xy và
2
2
33
30
x
xxy y x
x
x

.
Lại có
2
39
2314023 1405 1490 1;
5
xy x x x x x
x





.
Từ đó
2
23
33 9
3225Pxx xx x xx
x
xx




.
Xét hàm số
'
2
99 9 9
() 5 ; 1; () 5 0; 1;
55
fx x x f x x
xx
 
 
 
 
.
Suy ra hàm số đồng biến trên
9
1;
5



9
(1) ( ) 4 ( ) 4 max min 4 ( 4) 0
5
ffxf fx P P




.
Chọn B.
Ví dụ 6.
Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn
1; 9 và ,
x
yx z. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
10 2
yyz
P
yx yz zx





bằng
A.
11
.
18
B.
1
.
3
C.
1
.
2
D.
1.
Hướng dẫn giải
Với a, b dương thỏa mãn 1ab ta có bất đẳng thức
11 2
11
1
ab
ab


.
Thật vậy

2
11 2
10
11
1
ab ab
ab
ab


đúng do
1ab .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b hoặc ab = 1.
Áp dụng bất đẳng thức trên
111 1 1 1
2
10 1 1 10
1
P
xzxx
x
yyzy
y



 




.
Đặt

1; 3
x
t
y

. Xét hàm số
2
11
()
10 1
ft
tt


trên đoạn
1; 3
.
''432
22 2
21
( ) ; ( ) 0 2 24 2 100 0
(10 ) (1 )
t
ft ft t t t t
tt


.
3
( 2)( 24 50) 0 2tt t t do

3
24 50 0, 1;3tt t .
Bảng biến thiên
TOANMATH.com
Trang 40
Suy ra
min
1
2
P
khi và chỉ khi
4
4
2
1
xy
zx
x
y
yz
x
zy
y
Chọn C.
Bài tập tự luyện dạng 5
Câu 1:
Cho các số thực x, y thay đổi nhưng luôn thỏa mãn
22
32 5xxyy. Giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
22
2
P
xxy y thuộc khoảng nào sau đây?
A. (4;7). B. (-2;1). C. (1;4). D. (7;10).
Câu 2: Cho x, y là hai số thực không âm thỏa mãn 1
x
y. Giá trị lớn nhất của biểu thức
22
22
x
yxy
P
x
yxy

là
A. max 0P . B. max 1P . C. max 1P  . D.
1
max
3
P
.
Câu 3: Cho hai số thực x, y thỏa mãn
33
2xy. Giá trị nhỏ nhất của
22
P
xy là
A. min 1.P B.
3
min 2.P C.
3
min 4.P D. min 2.P
Câu 4: Cho hai số thực x, y thỏa mãn
22
2( ) 1
x
yxy và biểu thức
44 22
7( ) 4
P
xy xy . Gọi M, m
theo thứ tự là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P. Tổng
M
m
là
A.
260
33
Mm
 .
B. 0Mm. C.
2344
825
Mm .
D.
232
25
Mm
 .
Câu 5: Cho x, y là các số thực thỏa mãn
22
1xxyy và biểu thức
44
22
1
1
xy
P
xy


. Gọi M, m thứ tự là
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P. Tổng
15
M
m
bằng
A. 17 2 6 . B. 17 6 . C. 17 2 6 . D. 17 6 .
Câu 6: Cho các số thực x, y dương thỏa mãn
1, 1
x
y
và
3( ) 4
x
yxy
. Gọi M, m thứ tự là giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của
33
22
11
3Px y
x
y




. Tổng
M
m là
TOANMATH.com
Trang 41
A.
163
4
Mm
.
B.
197
12
Mm
.
C.
673
12
Mm
.
D.
613
6
Mm
.
Câu 7: Cho các số thực dương x, y, z. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
43 3
3
34161
()
xy z
M
xyz


bằng
A.
16
25
.
B.
8
9
.
C.
9
25
.
D.
7
25
.
Câu 8: Cho a, b, c không âm phân biệt. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
222
222
111
()
()()()
Pabc
ab bc ca





bằng
A.
11 5 5
2
.
B.
10 5 5
2
.
C. 11. D. 13.
Câu 9: Xét ba số thực a; b; c thay đổi thuộc đoạn
0;3
. Giá trị lớn nhất của biểu thức
222
4( )( )( ) ( ) ( )Tabbccaabbccaabc
bằng
A.
3
2
.
B. 0. C.
81
4
.
D.
41
2
.
Câu 10: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn
0xyz
và
1
x
yz
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
223
1182
()()
P
x
yyzxzy


bằng
A. 217. B. 218. C. 219. D. 216.
Câu 11: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn
22 2
1
2
x
yz . Giá trị lớn nhất của biểu thức
444
444
111
()Pxyz
x
yz




bằng
A.
297
8
.
B.
320
9
.
C.
219
6
.
D.
412
11
.
Câu 12: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn
222
1abc. Giá trị lớn nhất của biểu thức
4
P
a b c abc bằng
A. 2 . B.
5
33
.
C. 3. D.
1
2
.
Câu 13: Cho

,, 1;4xyz và ;
x
yx z. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
23
x
yz
P
x
yyzzx


là
A.
33
34
.
B.
34
35
.
C.
35
34
D.
34
33
.
Câu 14: Cho

,, 1;4xyz và
x
y . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
(1)
40 4 2( )
8
yyz
P
yx xz
yz z


bằng
TOANMATH.com
Trang 42
A.
1
2
.
B.
2
2
.
C.
1
22
.
D.
2
.
1-C 2-B 3-C 4-C 5-A 6-A 7-A 8-A 9-C 10-D
11-A 12-A 13-D 14-A
Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số liên quan đến hàm ẩn
Bài toán 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(u(x)),y = f(u(x))±h(x)… khi
biết bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số y = f(x)
Phương pháp giải
Thực hiện theo một trong hai cách
Cách 1:
Bước 1.
Đặt t = u(x).
Đánh giá giá trị của t trên khoảng K.
Chú ý: Có thể sử dụng khảo sát hàm số, bất
đẳng thức để đánh giá giá trị của t = u(x).
Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập
và
có bảng biến thiên như sau
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của hàm số
2
(2)yfx x trên đoạn
37
;
22



. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng
định sau.
A. .10Mm . B.
2
M
m
.
C. 3Mm. D. 7Mm.
Hướng dẫn giải
Đặt
2
2tx x
.
Ta có
37 5 5
;1
22 2 2
xx




2
25
0( 1)
4
x
2
21 21
1( 1) 1 1;
44
xt




.
TOANMATH.com
Trang 43
Bước 2. Từ bảng biến thiên hoặc đồ thị của
hàm số cho ta giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số y = f(t).
Bước 3. Kết luận.
Cách 2:
Bước 1.
Tính đạo hàm
'' '
() (()).yuxfux
Bước 2. Tìm nghiệm
'' '
() (())yuxfux =0.
Bước 3. Lập bảng biến thiên.
Bước 4. Kết luận về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm số
(), (())yfxyfux
,
( ( )) ( )...yfux hx
Xét hàm số
21
(), 1;
4
yftt




.
Từ bảng biến thiên suy ra
21
1;
4
min ( ) (1) 2;mftf




21
1;
4
21
max ( ) 5
4
Mftf







2
M
m

.
Chọn B.
Ta có
''2
(2 2) ( 2 ) 0yxfxx 
2
'
2
2
1
220
7
21
2
0
21
3
21
2
2
4
12
x
x
x
xx
y
xx
x
xx
x







.
Vẽ bảng biến thiên và kết luận được
5; 2 2
M
Mm
m
.
Chọn B.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Cho hàm số ()yfx có bảng biến thiên như sau
Hàm số
(1)yfx có giá trị nhỏ nhất trên đoạn

0; 2 bằng
A. (2)f . B. (2)
f
.
C.
(1)
f
. D.
(0)
f
.
Hướng dẫn giải
Đặt
1, 0;2 0;1.tx x t
TOANMATH.com
Trang 44
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số
()yft
có giá trị nhỏ nhất

0;1
min ( ) (0).ft f
Chọn D.
Ví dụ 2.
Cho hàm số ()yfx có đồ thị như hình vẽ. Khi
đó hàm số
2
(2 )yf x đạt giá trị nhỏ nhất trên
0; 2


bằng
A. (2)f . B. (2)
f
.
C.
(1)
f
. D.
(0)
f
.
Hướng dẫn giải
Đặt
2
2tx
. Từ
22
0; 2 0 2 2 2 0 0; 2xxxt



.
Dựa vào đồ thị, hàm số ()yft có giá trị nhỏ nhất

0;2
min ( ) (2).ft f
Chọn B.
Ví dụ 3.
Cho hàm số
42
()yfx axbxc xác định và liên tục trên và có bảng biến thiên sau
Giá trị nhỏ nhất của hàm số (3)yfx trên đoạn

0; 2 là
A. 64. B. 65. C. 66. D. 67.
Hướng dẫn giải
Hàm số có dạng
42
()
f
xaxbxc. Từ bảng biến thiên ta có
42
'
(0) 3 3 3
(1) 2 2 2 ( ) 2 3
420 1
(1) 0
fc c
fabcbfxxx
ab a
f








.
Đặt
3, 0; 2 3;5tx x t .
Dựa vào đồ thị, hàm số ()yft đồng biến trên đoạn
3; 5 .
Do đó

0;2 3;5
min ( 3) min ( ) (3) 66fx ft f .
Chọn C.
TOANMATH.com
Trang 45
Bài toán 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
,  yfux yfux hx
Khi biết đồ thị của hàm số
'
()yfx
Ví dụ mẫu
Ví dụ.
Cho hàm số
()yfx
có đạo hàm và liên tục trên
.
Biết rằng đồ thị hàm số
'
()yfx như dưới đây.
Lập hàm số
2
() ()
g
xfxxx.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. (1) (1)
g
g .
B.
(1) (1)
g
g .
C.
(1) (2)
g
g
.
D.
(1) (2)
g
g
.
Hướng dẫn giải
Ta có
''
() () 2 1
g
xfx x.
Từ đồ thị hàm số
'
()yfx
và đường thẳng
21yx ta có
'
() 0gx
'
1
() 2 1 1
2
x
fx x x
x


.
Bảng biến thiên
TOANMATH.com
Trang 46
Ta chỉ cần so sánh trên đoạn
1; 2
. Đường thẳng
21yx
là đường thẳng đi qua các điểm
(1;1)A  , (1; 3)B , (2;5)C nên
đồ thị hàm số
'
()yfx và đường
thẳng
21yx
cắt nhau tại 3
điểm.
Chọn D.
Bài tập tự luyện dạng 6
Câu 1:
Cho hàm số ()yfx liên tục trên và có bảng biến thiên như sau
Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số
() (3 )ygx f x trên
0;3
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. (0)
M
f . B. (3)
f . C. (1)
M
f . D. (2)
M
f .
Câu 2: Cho hàm số ()yfx có đồ thị như hình vẽ. Gọi M, m lần
lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
3
22
x
yf



trên đoạn

0; 2 . Khi đó
M
m
bằng
A. 3 B. 1
C.
2 D. 0
Câu 3:
Cho hàm số ()yfx liên tục trên và có bảng biến thiên như sau
TOANMATH.com
Trang 47
Hàm số
(2sin )yf x đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất lần lượt là M và m. Mệnh đề nào dưới đây đúng
A. 2mM B. 2
M
m C. 0Mm D. 2Mm
Câu 4: Cho hàm số
()yfx
liên tục trên

2; 4
và có bảng biến thiên như sau
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
cos 2 4sin 3gx f x x
. Giá trị
của
M
m bằng
A. 4 B. – 4 C. 2 D. 1
Câu 5: Cho hàm số ()yfx liên tục trên và có đồ thị như hình
vẽ dưới đây. Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số
2
4yf x
trên nửa khoảng
2; 3
là
A. 3 B. – 1
C.
0 D. Không tồn tại
Câu 6:
Cho hàm số ()yfx liên tục trên và có đồ thị như hình
vẽ dưới đây.
TOANMATH.com
Trang 48
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

2
2
1
x
gx f
x



trên
; 
. Tổng
M
m bằng
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
Câu 7: Cho hàm số ()yfx liên tục trên và có đồ thị như
hình vẽ bên. Gọi M, m theo thứ tự là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm số

2yfx trên đoạn

1; 5
. Tổng
M
m
bằng
A. 9. B. 8.
C. 7. D. 1.
Câu 8:
Cho hàm số
()yfx
có bảng biến thiên như hình vẽ
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
25yf x x trên đoạn
1; 3 lần lượt là M, m. Tổng
M
m bằng
A. 13. B. 7. C. (2) 2f . D. 2.
Câu 9: Cho hàm số ()yfx liên tục trên (;)  và có đồ thị như hình vẽ
TOANMATH.com
Trang 49
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
3
31yfx x
trên đoạn

2;0
.
Tổng
M
m bằng
A. 2Mm. B.
7
2
Mm.
C.
11
2
Mm.
D. 0Mm.
Câu 10: Cho hàm số ()yfx , biết hàm số
'
()yfx có đồ thị như
hình vẽ dưới đây. Hàm số
()yfx
đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn
13
;
22



tại điểm nào sau đây?
A.
3
2
x
.
B.
1
2
x
.
C.
1
x
. D.
0x
.
Câu 11:
Cho hàm số ()yfx có đạo hàm
'
()
f
x . Hàm số
'
()yfx liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Biết
13
(1) , (2) 6
4
ff
. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số
3
() () 3 ()
g
xfx fx trên

1; 2 bằng
A.
1573
64
.
B. 198.
C.
37
4
.
D.
14245
64
.
Câu 12:
Cho hàm số ()yfx liên tục trên . Đồ thị của hàm số
'
()yfx như hình vẽ. Đặt
2
() 2 () ( 1)gx f x x. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.

3;3
min ( ) (1)
g
xg
.
B.

3;3
max ( ) (1)
g
xg
.
TOANMATH.com
Trang 50
C.

3;3
max ( ) (3)
g
xg
.
D. Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của
()
g
x
trên
3; 3 .
Câu 13:
Cho hàm số ()yfx có đồ thị
'
()yfx như hình vẽ.
Xét hàm số
32
133
( ) ( ) 2018
342
gx f x x x x
. Mệnh đề nào dưới
đây đúng?
A.

3;1
min ( ) ( 1)gx g
. B.

3;1
min ( ) (1)
g
xg
.
C.

3;1
min ( ) ( 3)gx g

.
D.

3;1
(3) (1)
min ( )
2
g
g
gx

.
Câu 14:
Cho hàm số ()yfx ,hàm số
'
()
f
x có đồ thị như hình vẽ
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
111
( ) (2 1) (2 1) 4
219
g
xfx x x
trên khoảng
5
0;
2



bằng
A.
111
(1)
219
f
B.
114
(4)
219
f .
C.
1
(0) 2
2
f .
D.
170
(2)
219
f .
Câu 15: Cho hàm số ()yfx . Biết hàm số
'
()yfx
có đồ thị như hình vẽ. Trên đoạn
4;3 ,hàm số
2
() 2 () (1 )
g
xfx x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm
A.
0
3x  . B.
0
4x  .
C.
0
1x  . D.
0
3x .
TOANMATH.com
Trang 51
1-D 2-A 3-A 4-A 5-A 6-C 7-C 8-B 9-B 10-C
11-A 12-B 13-A 14-D 15-C
Dạng 7. Ứng dụng của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong các bài toán thực tế
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Một chất điểm chuyển động theo quy luật
23
3
s
tt. Thời điểm t (giây) mà tại đó vận tốc

/vm s
của chất điểm chuyển động đạt giá trị lớn nhất là
A. t = 2s B. t = 5s C. t = 1s D. t =3s
Hướng dẫn giải
Ta có
  
2
2
63 3 1 33,vt s t t t vt t t

Giá trị lớn nhất của

3vt khi 1t . Chọn C
Ví dụ 2.
Một vật chuyển động theo quy luật
32
1
6
3
s
tt với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi
vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi
trong khoảng thời gian 7 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao
nhiêu?
A. 180 (m/s) B. 36 (m/s) C. 144 (m/s) D. 24 (m/s)
Hướng dẫn giải
Ta có
 
2
12vt s t t t

2120 6vt t t

Vì
636;00;735vvv nên vận tốc lớn nhất đạt được bằng 36 (m/s). Chọn B
Ví dụ 3.
Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân
được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong
t giờ được cho bởi công thức
 
2
/
1
t
ct mg L
t
. Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong
máu của bệnh nhân cao nhất?
A. 4 giờ B. 1 giờ C. 3 giờ D. 2 giờ
Hướng dẫn giải
Xét hàm số
 
2
0
1
t
ct t
t




2
2
2
10;
1
0
10;
1
t
t
ct
t
t



Bảng biến thiên
TOANMATH.com
Trang 52
Với t = 1 (giờ) thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất.
Chọn B
Ví dụ 4.
N gười ta xây một bể chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng
3
500
3
m . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây bể là
600.000
đồng /
2
m
. Hãy xác định kích thước của bể sao cho chi phí thuê nhân công thấp nhất. Chi phí đó
là
A. 75 triệu đồng B. 85 triệu đồng C. 90 triệu đồng D. 95 triệu đồng
Hướng dẫn giải
Gọi
x
m
là chiều rộng của đáy bể, khi đó chiều dài của đáy bể là

2
x
m
và

hm
là chiều cao bể
Bể có thể tích bằng
2
2
500 250
2
33
xh h
x

Diện tích cần xây

222
2
250 500
2226 2 2
3
Sxhxhxx x x
xx
 
Xét hàm
  
2
2
500 500
2, 0; 4 0 5fx x x f x x f x x
x
x


Bảng biến thiên
Do đó

0;
min 5 150fx f


Chi phí thuê nhân công thấp nhất khi diện tích xây dựng là nhỏ nhất và bằng
min
150S
Vậy giá thuê nhân công thấp nhất là 150.600000 = 90.000.000 đồng.
Chọn C
Ví dụ 5.
Bác Hoàng có một tấm thép mỏng hình tròn, tâm O, bán kính 4 dm. Bác định cắt ra một hình
quạt tròn tâm O, quấn rồi hàn ghép hai mép của hình quạt tròn lại để tạo thành một đồ vật dạng mặt nón
TOANMATH.com
Trang 53
tròn xoay (tham khảo hình vẽ). Dung tích lớn nhất có thể của đồ vật mà bác Hoàng tạo ra bằng bao nhiêu?
(bỏ qua phần mối hàn và độ dày của tấm thép)
A.
3
128 3
27
dm
B.
3
128 3
81
dm
C.
3
16 3
27
dm
D.
3
64 3
27
dm
Hướng dẫn giải
Khi hàn hai mép của hình quạt tròn, độ dài đường sinh của hình nón bằng bán kính của hình quạt tròn,
tức là
4OA dm
Thể tích của hình nón

22
11
.. .16 .
33
Vrh hh


với
04h
Ta có



2
143
.16 3 0
33
Vh h Vh h


Dựa vào bảng biến thiên, suy ra thể tích lớn nhất của hình nón là
3
128 3
27
dm
. Chọn A
Ví dụ 6.
N gười ta làm chiếc thùng phi dạng hình trụ, kín hai đáy, với thể tích theo yêu cầu là
3
2 m
.
Hỏi bán kính đáy R và chiều cao h của thùng phi bằng bao nhiêu để khi làm thì tiết kiệm vật liệu nhất
A.
1
;8
2
Rmhm
B. 1; 2
R
mh m C.
1
2;
2
Rmh m
D.
1
4;
5
Rmh m
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết ta có
2
2
2
2VRh h
R


Diện tích toàn phần của thùng phi là
TOANMATH.com
Trang 54
22
2
222
tp
SRhR R
R





Xét hàm số

2
2
fR R
R

với

0;R 
Ta có

3
22
21
2
2
R
fR R
RR

01fR R

Bảng biến thiên
Suy ra diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất khi
12Rh
Vậy để tiết kiệm vật liệu nhất khi làm thùng phi thì
1; 2Rmh m. Chọn B
Ví dụ 7.
Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như hình vẽ.
Khoảng cách từ C đến B là 1 km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 4km. Tổng chi phí
lắp đặt cho 1km dây điện trên biển là 40 triệu đồng, còn trên đất liền là 20 triệu đồng. Tính tổng chi phí
nhỏ nhất để hoàn thành công việc trên (làm tròn đến hai chữ số sau dấ
u phNy)
A. 120 triệu đồng B. 164,92 triệu đồng C. 114,64 triệu đồng D. 106,25 triệu đồng
Hướng dẫn giải
Gọi M là điểm trên đoạn thẳng AB để lắp đặt đường dây điện ra biển nối với điểm C
Đặt


2
2
414178,0;4AM x BM x CM x x x x
Khi đó tổng chi phí lắp đặt là
2
.20 40 8 17yx x x
(đơn vị: triệu đồng)

2
22
8172 4
4
20 40. 20.
817 817
xx x
x
y
xx xx


 
TOANMATH.com
Trang 55

2
12 3
081724
3
yxx xx

Ta có
 
12 3
80 20 3 114,64; 0 40 17 164,92; 4 120
3
yyy





Do đó chi phí nhỏ nhất để hoàn thành công việc là 114,64 triệu đồng.
Chọn C
Bài tập tự luyện dạng 7
Câu 1:
Một vật chuyển động theo quy luật
32
1
9
2
s
tt với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt
đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời
gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?
A. 216 (m/s) B. 30 (m/s) C. 400 (m/s) D. 54 (m/s)
Câu 2: Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường s (mét) đi được của đoàn
tàu là một hàm số của thời gian t (giây), hàm số đó là
32
6
s
tt
. Thời điểm t (giây) mà tại đó vận tốc
v(m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là
A. t = 2s B. t = 6s C. t = 8s D. t = 4s
Câu 3: Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là
32
617
s
tt t
, với t (s) là
khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (m) là quãng đường vật đi được trong khoảng
thời gian đó. Trong khoảng thời gian 6 giây đầu tiên, vận tốc v (m/s) của chất điểm đạt giá trị lớn nhất
bằng
A. 29 m/s B. 26 m/s C. 17 m/s D. 36 m/s
Câu 4: Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức
2
0,035 15Gx x x, trong đó
x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân ( x được tính bằng miligam). Liều lượng thuốc cần tiêm
(đơn vị miligam) cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là
A. x = 8 B. x = 10 C. x = 15 D. x = 7
Câu 5: Để thiết kế một chiếc bể cá không có nắp đậy hình hộp chữ nhật có chiều cao 60cm, thể tích là
3
96.000cm
, người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành là 70.000 đồng /
2
m
và loại
kính để làm mặt đáy có giá thành là 100.000 đồng /
2
m . Chi phí thấp nhất để làm bể cá là
A. 28.300 đồng B. 38.200 đồng C. 83.200 đồng D. 83.200 đồng
Câu 6: Một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật có thể tích bằng 48

3
m
và chiều dài gấp đôi chiều rộng.
Chất liệu làm đáy và bốn mặt bên của hộp có giá thành gấp ba lần giá thành của chất liệu làm nắp hộp.
Gọi h là chiều cao của hộp để giá thành làm chiếc hộp là thấp nhất. biết
m
h
n
với m, n là các số nguyên
dương nguyên tố cùng nhau. Tổng m + n bằng
A. 12 B. 13 C. 11 D. 10
Câu 7: Một người thợ xây, muốn xây một bồn chứa thóc hình trụ tròn với thể tích là
3
150m (như hình
vẽ). Đáy làm bằng bê tông, thành làm bằng tôn và nắp bể làm bằng nhôm. Biết giá thành các vật liệu như
sau: bê tông 100 nghìn đồng một
2
m , tôn 90 nghìn một
2
m và nhôm 120 nghìn đồng một
2
m . Chi phí
thấp nhất để làm bồn chứa thóc (làm tròn đến hàng nghìn) là
TOANMATH.com
Trang 56
A.
15038000 đồng B. 15037000 đồng C. 15039000 đồng D. 15040000 đồng
Câu 8: Một công ty dự kiến chi 1 tỉ đồng để sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ có dung tích 5 lít. Biết
rằng chi phí để làm mặt xung quanh của thùng đó là 100.000 đồng /
2
m , chi phí để làm mặt đáy là
120.000 đồng /
2
m
. Số thùng sơn tối đa mà công ty đó sản xuất được (giả sử chi phí cho các mối nối
không đáng kể) là
A. 58135 thùng B. 18209 thùng C. 12525 thùng D. 57582 thùng
Câu 9: Một cốc hình trụ có bán kính đáy là 2cm, chiều cao 20cm. Trong cốc đang có một ít nước, khoảng
cách giữa đáy cốc và mặt nước là 12cm (hình vẽ). Một con quạ muốn uống được nước trong cốc thì mặt
nước phải cách miệng cốc không quá 6cm. Con quạ thông minh mổ những viên đá hình cầu có bán kính
0,6cm thả vào cốc để mực nước dâng lên. Để uống được nước thì con quạ cần thả vào cốc ít nhất bao
nhiêu viên đá?
A.
30 B. 27 C. 28 D. 29
Câu 10: Một người cần đi từ khách sạn A bên bờ biển đến hòn đảo C. Biết rằng khoảng cách từ đảo C
đến bờ biển là 10km, khoảng cách từ khách sạn A đến điểm B trên bờ gần đảo C nhất là 40km. N gười đó
có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy (như hình vẽ bên). Biết kinh phí đi đường thủy
là 5 USD/km,
đi đường bộ là 3 USD/km. Hỏi người đó phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu để kinh
phí nhỏ nhất?
TOANMATH.com
Trang 57
A.
15
2
km
B.
10km
C.
65
2
km
D.
40km
Câu 11. Một ngọn hải đăng đặt ở vị trí A cách bờ biển
một khoảng AB = 5 (km). Trên bờ biển có một cái kho ở
vị trí C cách B một khoảng là 7(km). N gười canh hải
đăng có thể chèo đò từ A đến vị trí M trên bờ biển với
vận tốc 4 (km/h) rồi đi bộ từ M đến C với vận tốc 6
(km/h). Vị trí của điểm M cách B một khoảng gần nhất
với giá trị nào sau đây để người đó đến kho nhanh nhất?
A. 1, 0km B. 7,0km
C.
4,5km
D.
2,1km
Câu 12. Thầy Toản có thanh gỗ dài là 3,2 m. Thầy Toản
dự định dùng thanh gỗ để thiết kế 5 hình tam giác giống
nhau làm kệ trang trí phòng đọc sách, trong đó các tam
giác có 1 cạnh có độ dài là 24 cm (coi các mNu cắt bỏ đi
không đáng kể). Tổng diện tích của 5 tam giác có giá trị
lớn nhất là
A.
2
40 119cm B.
2
16 119cm
C.
2
480cm D.
2
960cm
Câu 13. Một kĩ sư được một công ty xăng dầu
thuê thiết kế một mẫu bồn chứa xăng với thể tích
V cho trước, hình dạng như hình vẽ bên, các kích
thước r, h thay đổi sao cho nguyên vật liệu làm
bồn xăng là ít nhất. N gười kĩ sư này phải thiết kế
kích thước h như thế nào để đảm bảo được đúng
yêu cầu mà công ty xăng dầu đã đưa ra?
A. 0h B.
3
V
h
C.
3
2hV D.
3
2
V
h
1-D 2-A 3-A 4-B 5-C 6-C 7-A 8-A 9-C 10-C
11-C 12-D 13-A
Dạng 8. Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong việc giải phương trình
Bài toán 1. Tìm m để
;0Fxm
có nghiệm trên tập D
Phương pháp giải
TOANMATH.com
Trang 58
Thực hiện theo các bước sau
Bước 1. Cô lập tham số m và đưa về dạng

f
x
g
m
Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số

f
x
trên D
Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá
trị tham số
A
m
sao cho đường thẳng
yg
m
cắt đồ thị hàm số
yf
x
Bước 4. Kết luận
Chú ý:
+)N ếu hàm số

yf
x
liên tục và có giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thì phương trình

f
x
g
m
có nghiệm khi và chỉ khi
min max
D
D
f
xgm fx
+)N ếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương
trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào
bảng biến thiên để xác định điều kiện sao cho
đường thẳng
ygm
nằm ngang cắt đồ thị hàm
Ví dụ: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m
trong đoạn
100;100
để phương trình
21
x
xm có nghiệm thực?
A. 100 B.101
C. 102 D. 103
Hướng dẫn giải
Điều kiện
1x 
Đặt
2
0
1
1
t
tx
xt


Ta được phương trình
22
21 21tt m m t t
Xét hàm số
2
21, 0
f
tttt

220 1
f
tt t

Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có
nghiệm khi
2100 2mm
Vậy có 103 giá trị nguyên m thỏa mãn
Chọn D
TOANMATH.com
Trang 59
số
yf
x
tại k điểm phân biệt
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Cho phương trình
22
221 20mx x x x
( m là tham số). Biết rằng tập hợp các
giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn
0;1 2 2


là đoạn

;ab
. Giá trị của
biểu thức
2Tab là
A.
4T B.
7
2
T
C. 3T D.
1
2
T
Hướng dẫn giải
Đặt
2
22txx
Xét hàm số

2
22tx x x
trên đoạn
0;1 2 2



2
1
01
22
x
tx t x
xx



Vì
 

02;11;1223tttnên

1; 3t
Yêu cầu của bài toán tương đương với phương trình
2
12mt t
có nghiệm thuộc đoạn

2
2
1; 3
1
t
m
t

có nghiệm thuộc đoạn
1; 3
(1)
Xét hàm số

2
2
1
t
ft
t
trên đoạn
1; 3



2
2
22
0, 1;3
1
tt
ft t
t


khi hàm số đồng biến trên đoạn
1; 3
Để phương trình (1) đã cho có nghiệm thì


1;3
1;3
min max
f
tm
f
t

17
13
24
fmf m
Vậy
17
;4
24
ab T .
Chọn A
Ví dụ 2. Giá trị nhỏ nhất của tham số m để hệ phương trình
44
2xy
x
ym



,xy
có nghiệm là
0
m
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
0
20; 15m 
B.

0
12; 8m 
C.
0
3
;0
2
m



D.
0
19
;
24
m



Hướng dẫn giải
Ta có

44
1
2
2
xy
xym


TOANMATH.com
Trang 60
Từ (1) suy ra
2yx
thay vào (2) ta được (2)

4
4
2
x
xm
(3)
Xét hàm số

4
4
2
f
xx x
có tập xác định D
 
33
33
442 0 2 2 1
f
xx x fx x x x xx


Bảng biến thiên
Hệ đã cho có nghiệm thực khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm thực
Dựa vào bảng biến thiên ta được
0
19
22;
24
mm




. Chọn D
Bài toán 2. Tìm m để bất phương trình
   
; 0;; 0;, 0;; 0F xm F xm F xm F xm
có
nghiệm trên tập D
Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
Bước 1. Cô lập tham số m và đưa về dạng

g
mfx
hoặc

g
mfx
hoặc

g
m
f
x
hoặc

g
m
f
x
Bước 2.
Khảo sát sự biến thiên của hàm số

f
x
trên D
Ví dụ: Các giá trị của tham số m để bất phương
trình
4
0
1
xm
x

có nghiệm trên khoảng

;1
là
A.
5m B. 3m 
C. 1m D. 3m
Hướng dẫn giải
Bất phương trình đã cho tương đương với
4
1
x
m
x

Xét hàm số
4
1
yx
x

trên khoảng
;1



2
22
14
4
1
11
x
y
xx





3;1
0
1;1
x
y
x



TOANMATH.com
Trang 61
Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên xác định các
giá trị của tham số m
Bước 4. Kết luận
Chú ý: N ếu hàm số
yfx
liên tục và có giá
trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất trên D thì
+) Bất phương trình

g
mfx
có nghiệm
trên D

max
D
g
m
f
x
+) Bất phương trình

g
m
f
x
nghiệm
đúng
min
D
x
Dgm fx
+) Bất phương trình

g
m
f
x
có nghiệm
trên

min
D
Dgm fx
+) Bất phương trình

g
m
f
x
nghiệm
đúng

max
D
x
Dgm fx
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, để bất phương trình
4
0
1
xm
x

có nghiệm trên khoảng

;1
thì
3m  . Chọn B
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số
0;2019m
để bất phương trình

3
22
10xm x
nghiệm đúng với mọi
1;1x 
. Số các phần tử của tập S là
A. 1 B. 2020 C. 2019 D. 2
Hướng dẫn giải
Đặt
2
1tx
, với
1;1 0; 1xt
Bất phương trình đã cho trở thành
32 32
10 1tt m mtt 
(1)
TOANMATH.com
Trang 62
Yêu cầu của bài toán tương đương với bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi
0;1t
Xét hàm số
32 2
132
f
ttt
f
ttt



00;1
0
2
0;1
3
t
ft
t



Vì

223
011;
327
ff f




nên


0;1
max 1ft
Do đó bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi
0;1t
khi và chỉ khi 1m
Mặt khác m là số nguyên thuộc
0;2019
nên
1;2;3;...;2019m
Vậy có 2019 giá trị của m thỏa mãn bài toán.
Chọn C
Ví dụ 2. Cho hàm số
yf
x
liên tục trên

1; 3
và
có đồ thị như hình vẽ.
Bất phương trình
17
f
xx xm
có
nghiệm thuộc

1; 3
khi và chỉ khi
A. 7m
B. 7m
C.
22 2m 
D. 22 2m 
Hướng dẫn giải
Xét hàm số
17Px x
trên đoạn
1; 3
Ta có
 
2
82 1.7 8 1 7 16 4PxxxxP 
Dấu bằng xảy ra khi
3x
Suy ra

1;3
max 4P
tại
3x (1)
Mặt khác dựa vào đồ thị của

f
x
ta có

1;3
max 3fx
tại 3x (2)
Từ (1) và (2) suy ra


1;3
max 1 7 7fx x x

tại 3x
Vậy bất phương trình
17
f
xx xm
có nghiệm thuộc
1; 3
khi và chỉ khi


1;3
max 1 7 7mfxx xm

. Chọn A
Bài tập tự luyện dạng 8
TOANMATH.com
Trang 63
Câu 1: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên âm của tham số m để phương trình
2
4
2
m
xx

có
nghiệm. Tập S có số phần tử là
A. 10 B. 6 C. 4 D. 2
Câu 2: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
411
x
mx
có hai
nghiệm thực phân biệt ?
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
Câu 3: Cho phương trình
2
22 4 1
x
mx x
(m là tham số). Gọi p, q lần lượt là các giá trị m nguyên
nhỏ nhất và giá trị lớn nhất thuộc
10;10
để phương trình có nghiệm. Khi đó giá trị
2Tp q
là
A. 10 B. 19 C. 20 D. 8
Câu 4: Biết rằng tập hợp tất cả giá trị của tham số m để phương trình
2
99
x
xxxm
có
nghiệm thực là
;Sab
. Tổng
ab
là
A.
31
4
ab
B.
49
4
ab
C. 10ab D.
5
2
ab
Câu 5: Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên m để bất phương trình
54
x
xm
có nghiệm?
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Câu 6: Tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình

2
628 1xxxxm
nghiệm
đúng với mọi
2;8x 
là
A.
16m
B.
15m
C.
8m
D.
216m
Câu 7: Có bao nhiêu số nguyên

2018;2018m 
để bất phương trình
42 2
222 1xx m xx
nghiệm đúng với mọi

0;1x
A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020
Câu 8: Tổng các giá trị nguyên của

20;20m 
để bất phương trình

22 22 42 22xxxmxx có nghiệm là
A. 195 B. 175 C. 165 D. 162
Câu 9: Có bao nhiêu giá trị của tham số
0;2018m
để hệ phương trình

2
2
2730
,
40
xx
xy
xxm


có
nghiệm
A. 4 B. 5 C. 2014 D. 2015
Câu 10: Cho hệ phương trình


0
1
2
2
xym
xy y


. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
0;2019m
để hệ phương trình có nghiệm?
A. 2018 B. 2019 C. 2017 D. 2016
1-C 2-B 3-B 4-A 5-D 6-B 7-A 8-D 9-A 10-A
| 1/63
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

BÀI 3. GIÁ TRN LỚN NHẤT, GIÁ TRN NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Mục tiêu Kiến thức
+ Biết và hiểu định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số.
+ Biết các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên một khoảng, trên một đoạn
+ Nhận biết được mối liên hệ của hàm số y f x, y f u x, khi biết bảng biến thiên của
hàm số y f x , đồ thị hàm số y f x hoặc đồ thị hàm số y f  x . Kĩ năng
+ Biết lập, đọc bảng biến thiên của một hàm số để từ đó tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
+ Tính được đạo hàm của các hàm số hợp, nhận biết được mối liên hệ của hàm số
y f x, y f u x, khi biết bảng biến thiên của hàm số y f x , đồ thị hàm số
y f x hoặc đồ thị hàm số y f  x
+ Biết chuyển bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nhiều về khảo sát hàm một biến số
+ Tìm GTLN, GTNN của hàm số y f x, y f u x, y f u x  hx … khi biết bảng
biến thiên hoặc đồ thị của hàm số y f x  y f  x TOANMATH.com Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Cho hàm số y f x xác định trên tập D.
+) Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y f x trên tập D nếu f x  M với mọi
x D và tồn tại x D sao cho f x M . 0  0
Kí hiệu: M  max f xD
+) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y f x trên tập D nếu f x  m với mọi
x D và tồn tại x D sao cho f x m 0  0
Kí hiệu: m  min f xD
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y f x trên tập D nếu
f x  M với mọi x D và tồn tại x D sao cho f x M . 0  0
Kí hiệu: M  max f xD Cho hàm số
y f x xác định trên tập D
Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y f x trên tập D nếu
f x  m với mọi x D và tồn tại x D sao cho f x m . 0  0
Kí hiệu: m  min f xD TOANMATH.com Trang 2
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm GTLN – GTNN của hàm số y = f(x) trên một khoảng Phương pháp giải
Ta thực hiện các bước sau
Ví dụ: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3
y x  3x 1 trên khoảng (0; 2) là A. 1 B. 3 C. 0 D. -1
Hướng dẫn giải
Hàm số liên tục trên khoảng (0; 2). Ta có 2
y  3x  3
Bước 1. Tìm tập xác định (nếu đề chưa cho x  1  khoảng). 2
y  0  3x  3   x  1
Bước 2. Tính y  f  x ; tìm các điểm mà đạo Vì ta đang xét hàm số trên khoảng (0; 2) nên ta loại
hàm bằng không hoặc không xác định. giá trị x  1 
Xét bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (0; 2)
Bước 3. Lập bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số min y  1
 đạt tại x  1 0; 2
Bước 4. Kết luận Chọn D
Lưu ý: Có thể dùng máy tính cầm tay để giải.
Bước 1. Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số y f x trên miền (a; b) ta sử dụng máy
tính Casio với lệnh MODE 7 (MODE 9 lập bảng giá trị)
Bước 2. Quan sát bảng giá trị máy tính hiển thị, giá
trị lớn nhất xuất hiện là max, giá trị nhỏ nhất xuất hiện là min.
- Ta thiết lập miền giá trị của biến x Start a End b b a Step
(có thể làm tròn để Step đẹp). 19 TOANMATH.com Trang 3
Chú ý: Khi đề bài liên có các yếu tố lượng giác
sinx, cosx, tanx… ta chuyển máy tính về chế độ Radian. Ví dụ mẫu 1 2 1
Ví dụ 1. Cho hàm số f x 6 5 2
  x x x x 1. 3 5 2
Khẳng định nào sau đây đúng? A. f x 17 max  B. f x 47 max   30  30 C. f x 67 max 
D. Hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất  30 Hướng dẫn giải
Tập xác định D  
Ta có f  x 5 4
  x x x   x   4 2 2 1 1 2x   1
Khi đó f  x    x   4 0 1 2x   1  0  x  1 Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy f x 47 max  tại x  1  30 Chọn B 6  8x
Ví dụ 2. Gọi a là giá trị lớn nhất của hàm số f x  trên khoảng  ;   1 2 x 1 6  8a
Khi đó giá trị của biểu thức P  bằng 2 a 1 22 6 58 74 A. B. C. D.  5 13 65 101
Hướng dẫn giải
Hàm số liên tục trên khoảng  ;   1 2 8x 12x  8
Ta có f  x   x  2 2 1 TOANMATH.com Trang 4 x  2 ;   1
Khi đó f x 2 0 8x 12x 8 0         1  x    ;   1  2 Bảng biến thiên 6  8a 58
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy max f x  8  P      2 ; 1 a 1 65 Chọn C 2 x x 1
Ví dụ 3. Cho hàm số y f x 
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? 2 x x 1
A. min f x  1 B. f x 1 min    3
C. min f x  3
D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất  Hướng dẫn giải
Tập xác định D   Ta có 2 x
 2x x  1 2x2x   2
y f x 1 2 2x  2  1  y    2 x x 1
x x  2 1
x x  2 2 2 1 Do đó 2
y  0  2x  2  0  x  1  Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy f x 1 min  tại x  1  3
Bài tập tự luyện dạng 1 TOANMATH.com Trang 5 2 x
Câu 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  trên (2; 6) là x  2
A. min y  8 B. min y  4 C. min y  3 D. min y  9 2; 6 2; 6 2; 6 2; 6 2 x x 1
Câu 2: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y
trên khoảng 1;   là x 1
A. min y  3 B. min y  1 C. min y  2 D. min y  0 1;  1;  1;  1;  x  1
Câu 3: Mệnh đề nào sau đây là đúng với hàm số y
trên tập xác định của nó? 2 x  5
A. Hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất
B. Hàm số không có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất
C. Hàm số có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất
D. Hàm số có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất
Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x     2 2 1
2 trên khoảng 0;   là x
A. không tồn tại B. -3 C. 1   2 D. 0 ĐÁP ÁN 1-A 2-A 3-D 4-B TOANMATH.com Trang 6
Dạng 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn Phương pháp giải
Bước 1. Tính f  x
Bước 2. Tìm các điểm x a b mà tại đó f  x
hoặc f  x không xác định i i   0 i  ; 
Bước 3. Tính f a, f x , f b i  
Bước 4. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.
Khi đó M  max f x và m  min f x a; b a; bChú ý: max 
f x  f b
+) Hàm số y f x đồng biến trên đoạn [a; b] thì  min 
f x  f a max 
f x  f a
+) Hàm số y f x nghịch biến trên đoạn [a; b] thì  min 
f x  f b
Bài toán 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) liên tục trên một đoạn [a; b] Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hàm số 3 2
y  x  3x  2 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên
[0; 3]. Giá trị của M m bằng TOANMATH.com Trang 7
A. 8 B. 10 C. 6 D. 4 Hướng dẫn giải
Hàm số xác định và liên tục trên [0; 3] x  0 0;  3 Ta có 2 y  0  3
x  6x  0   x  2   0; 3
Khi đó y 0  2, y 2  6, y 3  2
Vậy M  6; m  2  M m  8 Chọn A.
Ví dụ 2. Giá trị lớn nhất của hàm số 4 2
y  x  3x 1 trên [-1; 2] là 13
A. 29 B. 1 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải
Hàm số xác định và liên tục trên [-1; 2]  x  0  1  ; 2   6 Ta có 3 y  4
x  6x  2x 2
2x  3  y  0  x   1  ; 2  2   6 x    1  ; 2  2  6  13 13
Vì y 0  1; y    ; y 2  3  ; y   1  3  nên max y  2  4    1;  2 4 Chọn D x  2 2 2
Ví dụ 3. Cho hàm số y
. Giá trị của  min   y    max  y  bằng x 1  2; 3   2; 3  45 25 89 A. 16 B. C. D. 4 4 4
Hướng dẫn giải 3  Ta có y 
 0, x  1, do đó hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  ;  
1 ; 1;    Hàm số x  2 1 nghịch biến trên [2; 3]. 5
Do đó min y y 3  ; max y y 2  4 2; 3 2 2; 3 2 2 2      5  89 Vậy 2
 min y    max y    4      2;  3   2; 3   2  4 Chọn D TOANMATH.com Trang 8 2 x  8x
Ví dụ 4. Giá trị lớn nhất của hàm số f x  trên đoạn [1; 3] bằng x 1 15  7  A. B. C. 3 D. 4  4 2
Hướng dẫn giải 2 x  8x
Hàm số f x  liên tục trên [1; 3] x 1 2 2 x x x x
f  x 2  8   1   8 x  2x  8   x  2 1 x  2 1 x  2 1;  f  x 3 2
 0  x  2x  8  0   x  4    1; 3 7  1  5 Ta thấy y   1  ; y 3  ; y 2  4  2 4 7 
Vậy max f x  1; 3 2 Chọn B
Ví dụ 5. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2
y x  4  x
Giá trị của biểu thức P M m bằng A. 2 2   1 B. 2 2  
1 C. 2  1 D. 2 1
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   2;  2 2 x 4  x x Ta có y  1   , x   2  ; 2 2 2 4  x 4  xx  0  2
y  0  4  x x   x  2     2  ; 2
y  2  2 2; y 2  0; y2  2; y 2    2 
Vậy M  2 2, m  2
  P  2 2  2  2 2   1 Chọn A
Ví dụ 6. Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
y  2x  3x m trên đoạn [0; 5] bằng 5 khi m bằng
A. 6 B. 10 C. 7 D. 5
Hướng dẫn giải
Hàm số xác định và liên tục trên D  0; 5 TOANMATH.com Trang 9 x  0  D Ta có 2
y  0  6x  6x  0   x  1 D f 0  ; m f  
1  m 1; f 5  175  m
Dễ thấy f 5  f 0  f  
1 , m   nên min f x  f   1  m 1 0; 5
Theo đề bài min f x  5  m 1  5  m  6 0; 5 Chọn A. 2
x m m
Ví dụ 7. Gọi A, B là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y
trên đoạn [2; 3]. Tất cả x 1 13
các giá trị thực của tham số m để A B  là 2
A. m  1; m  2  B. m  2 C. m  2 D. m  1  ; m  2 Hướng dẫn giải
Hàm số đã cho liên tục trên đoạn [2; 3]  2 m m   1 Ta có y   0, m x  2 1 2
A y   m m  3 3 
; B y 2 2
m m  2 2 2 13 m m  3 13 Do đó 2 A B  
m m  2  2 2 2 m  1 2
 3m m  6  0   m  2  Chọn A
Ví dụ 8. Biết hàm số 3 2
y x  3mx  32m  
1 x 1 (với m là tham số) trên đoạn [-2; 0] đạt giá trị lớn
nhất bằng 6. Các giá trị của tham số m là
A. m  1 B. m  0 C. m  3 D. m  1 
Hướng dẫn giải Ta có 2
y  x mx   m   2 3 6 3 2
1  3x  2mx  2m 1   x  1  y  0   x  1 2m Vì y  2    1
 ; y 0  1 và theo bài ra max y  6 nên giá trị lớn nhất không đạt tại 2
x   ; x  0 . Do đó  2;  0
giá trị lớn nhất đạt tại y   1
 hoặc y 1 2m.
Ta có y     m
y   m    m2 1 3 3, 1 2 1 2 m  2 1 TOANMATH.com Trang 10
- Trường hợp 1: Xét 3
m  3  6  m  1  x  1   2  ; 0
Thử lại với m  1, ta có y  0  
nên m  1 là một giá trị cần tìm. x  3   2  ; 0 2   m  2 m  
1 2m m  2  5   1 1 2 2 1  6 
- Trường hợp 2: Xét   1 3  2   1 2m  0   m  2 2 1 3 Vì  m
m  2  0  1 2m2 m  2  0 nên (1) vô nghiệm 2 2 Chọn D
Bài toán 2. Tìm GTLN – GTNN của hàm số y = |f(x)| trên đoạn [a; b] Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
Ví dụ: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ của hàm số 2
y x  2x  2 trên đoạn [-1; 1] lần lượt là a, b thì
giá trị của a b bằng A. 4 B. 3 C. 0 D. 1
Hướng dẫn giải
Xét hàm f x 2
x  2x  2  f x  2x  2
f  x  2x  2  0  x  1
Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số f x trên đoạn a; b, giả sử thứ tự là M, Suy ra max y f  
1  1; min y f   1  3   1;  1  1;  1 m.
Do đó giá trị lớn nhất y  3
  3  a  3 tại x  1 Bước 2.
và giá trị nhỏ nhất y  0  b  0 tại x  1 3
+) Tìm max y  max M ; m  a; b +) Tìm min y a; b
- Trường hợp 1: M .m  0  min y  0 a; b
- Trường hợp 2: m  0  min y m a; b
Vậy giá trị a b  3  0  3
- Trường hợp 3: M  0  min y M  M a; bChọn B
Bước 3. Kết luận. Ví dụ mẫu
Ví dụ. Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
y x  9x  24x  68 trên đoạn [-1; 4] bằng TOANMATH.com Trang 11
A. 48 B. 52 C. -102 D. 0
Hướng dẫn giải
Bảng biến thiên của hàm số 3 2
y x  9x  24x  68 trên  1;  4
Suy ra bảng biến thiên của hàm số 3 2
y x  9x  24x  68 trên đoạn  1  ; 4 là
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
y x  9x  24x  68 trên đoạn  1;  4 bằng 48. Chọn A
Cách khác: Theo trường hợp 3 thì M  48
  0  min y  48
Bài toán 3. Tìm tham số để GTLN của hàm số y = |f(x)| trên đoạn [α, β] bằng k Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
Ví dụ: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của
tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 2 x mx   m y
trên đoạn [1; 2] bằng 2. x 1
Số phần tử của tập S là A. 3 B. 1 C. 4 D. 2
Hướng dẫn giải 2
x mx m
Xét hàm số y f x 
Bước 1. Tìm max f x  max A ; B x 1 ;  ;  2 x  2x
x  0 1; 2 Ta có y   0  x    2 1 x  2    1; 2 TOANMATH.com Trang 12 2m 1 3m  4 Mặt khác f   1  ; f 2  2 3
 2m 1 3m  4 
Do đó max y  max  ;  1; 2  2 3  - Trường hợp 1:
Bước 2. Xét các trường hợp  3 m
+) A k tìm m, thử lại các giá trị m đó 2m 1  2 max y   2   1; 2 2 5 
+) B k tìm m, thử lại các giá trị m đó m    2 3 3m  4 17 +) Với m     2 (loại) 2 3 6 5 3m  4 7 +) Với m   
  2 (thỏa mãn) 2 3 6 - Trường hợp 2:  2 m  3m 4   3 max y   2   1; 2 3 10 m    3 2 2m 1 7 +) Với m  
  2 (thỏa mãn) 3 2 6 10 2m 1 17 +) Với m      2 (loại) 3 2 6
Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn.
Bước 3. Kết luận Chọn D Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số f x 1 4 2 
x 14x  48x m  30 trên đoạn [0; 2] không vượt quá 30. Tổng các phần tử của S bằng 4
A. 108 B. 120 C. 210 D. 136
Hướng dẫn giải 1
Xét hàm số g x 4 2
x 14x  48x m  30 trên đoạn [0; 2] 4 x  6  0; 2 
Ta có g x 3
x  28x  48  gx  0  x  2 0; 2 x  4  0; 2
 g 0  30  m  30  30 
Để max g x  30      0  m  16 0; 2  g 2  30  m 14  30  
m 0;1; 2;...; 15; 1  6 TOANMATH.com Trang 13
Tổng các phần tử của S là 136. Chọn D 1
Ví dụ 2. Biết giá trị lớn nhất của hàm số 2
y  4  x x   m bằng 18. 2
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 0  m  5
B. 10  m  15
C. 5  m  10
D. 15  m  20
Hướng dẫn giải 1
Xét hàm số g x 2
 4  x x  liên tục trên tập xác định [-2; 2] 2 xx
Ta có g x 
1  gx  0  1  0, x   2  ; 2 2 2 4  x 4  xx  0 2
 4  x x    x  2   2  ; 2 2 2 4  x x   g   5   g   1 4 2  g   3 2 ; 2 ; 2  2 2 2 5 5
Do đó max g x  khi x  2 , suy ra giá trị lớn nhất của hàm số bằng  m  2;  2 2 2 5
Theo bài ra  m  18  m  15,5 . Vậy 15  m  20 2 Chọn D
Bài toán 4: Tìm điều kiện tham số để GTLN của hàm số y = |f(x) + g(m)| trên đoạn [a; b] đạt GTNN Phương pháp giải
Thực hiện các bước sau
Ví dụ: Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số 2
y x  2x m  4 trên đoạn [-2; 1] đạt giá trị
nhỏ nhất, giá trị của tham số m bằng A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
Hướng dẫn giải
Đặt f x 2  x  2x Ta có
Bước 1. Tìm   max f x;   min f x a; b a; b
f  x  2x  2; f  x  0  x  1   2  ;  1
f 2  0; f   1  3; f   1  1 
Do đó max f x  3; min f x  1  2;  1 2; 1 TOANMATH.com Trang 14
Suy ra max y  max m  5 ; m 1  2;  1
m  5  m 1
5  m m 1
Bước 2. Gọi M là giá trị lớn nhất của    2 2 2
y f x  g m thì
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
M  max  g m ;   g m
m  5  m 1  
m  3 (thỏa mãn)  
5  mm   
g m    g m
  g m    g m 1 0   2 2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
  g m    g m
  g m    g m
Áp dụng bất đẳng thức 2
  g m    g m      2 2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi   
g m    
g m  0  Chọn B   
Bước 3. Kết luận min M  khi 2  
g m    2 Ví dụ mẫu
Ví dụ. Để giá trị lớn nhất của hàm số 2
y  2x x  3m  4 đạt giá trị nhỏ nhất thì m bằng 3 5 4 1
A. m B. m C. m D. m  2 3 3 2
Hướng dẫn giải
Tập xác định D  0; 2
Đặt f x 2
 2x x , x D . 1  x
Ta có f  x 
f x  0  x  1 2 2x x
f 0  0; f 2  0; f   1  1 m   m  Suy ra P y   m m   3 4 3 5 max max 3 4 ; 3 5  D 2 TOANMATH.com Trang 15
5  3m  3m  4 1   2 2
 3m  4  3m  5  3
Dấu bằng xảy ra  
m  (thỏa mãn)  5  3 
m3m  4  0 2 3
Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là nhỏ nhất khi m  2 Chọn A
Bài toán 5. Tìm tham số để GTNN của hàm số y = |ax2 + bx + c| + mx đạt GTLN
Ví dụ 1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x m 2 ,
x  2x  5  mx đạt giá trị lớn nhất bằng
A. 2 B. 5 C. 8 D. 9
Hướng dẫn giải
Ta có min f x, m  f 0, m  5, m  
Xét m  2 ta có f x  2 2
, 2  x  2x  5  2x x  2x  5  2x  5, x  
Dấu bằng xảy ra tại x  0 . Suy ra min f x, 2  5, x   min 
f x, m  5, m   Do đó 
 max min f x, m
, đạt được khi m  2  f x   5 min , 2  5, x   Chọn B. Tổng quát: 2
y ax bx c mx Trường hợp 1: .
a c  0  max min y  c
Đạt được khi m  b
Ví dụ 2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x m 2 ,
x  4x  7  mx đạt giá trị lớn nhất bằng
A. 7 B. -7 C. 0 D. 4
Hướng dẫn giải Phương trình 2
x  4x  7  0 luôn có hai nghiệm trái dấu x  0  x 1 2
Trường hợp 1: Nếu m  0
Ta có min f x, m  f x, m  mx  0, m    1
Xét m  0 ta có f x  2
, 0  x  4x  7  0, x   . Dấu bằng xảy ra tại x x . 1, 2
Suy ra min f x, 0  0, x   min f
x, m  0, m    Do đó 
 max min f x, m  khi m  0  f  x  0 min , 0  0, x   
Trường hợp 2: Nếu m  0
Ta có min f x, m  f x , m mx  0, m    max min f x, m  0 2  2    TOANMATH.com Trang 16
So sánh cả hai trường hợp thì max min f x,m  0 khi m  0 Chọn C Trường hợp 2: .
a c  0  max min y  0 Đạt được khi m  0
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f x 5 4 3
x  5x  5x  2 trên đoạn  1;
 2 . Khi đó M m có giá trị bằng
A. -6 B. 12 C. -12 D. 3  1 7  2 x  2x  2
Câu 2: Trên đoạn  ; 
hàm số f x 
đạt giá trị lớn nhất tại 2 3    x 1 1 7
A. x   B. x  0 C. x D. x  2 0 2 0 0 3 0
Câu 3: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x  2x  4 6  x trên  3;
 6. Tổng M m có giá trị là
A. -12 B. -6 C. 18 D. -4
Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x 2
x  2  x trên tập xác định là
A.  2 B. -1 C. 1 D. 2   
Câu 5: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x 2
x  cos x trên đoạn 0;  là 4    1  
A. max f x  ; min f x  1
B. max f x  ; min f x            0; 2   0; 4 6  0; 0;  4     4   4    4   1  1 1
C. max f x   ; min f x  1 D. max f x 
 ; min f x            0; 4 2   0; 2 4 2  0; 0;  4     4   4    4  mx
Câu 6: Với giá trị nào của tham số m thì hàm số f x 1 
đạt giá trị lớn nhất trên đoạn 1;  3 bằng x m 2?
A. m  7 B. m  3  C. m  7  D. m  3 1
Câu 7: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x 3 2
 x  3x m trên đoạn  1  ;  1 bằng 0 khi 2
A. m  4 B. m  12 C. m  0 D. m  8 x 1
Câu 8: Với những giá trị nào của tham số m thì hàm số f x 
đạt giá trị lớn nhất trên đoạn 2 x m  1 2;  3 bằng ? 2
A. m  2 B. m  1 C. m  1 D. m  2 TOANMATH.com Trang 17
Câu 9: Giá trị lớn nhất của hàm số f x 3 2
x  3x  72x  90  m trên đoạn [-5; 5] bằng 2018. Trong
các khẳng định dưới đây khẳng định nào đúng?
A. 1600  m  1700 B. m  1600 C. m  1500 D. 1500  m  1600
Câu 10: Để giá trị lớn nhất của hàm số y f x 3
x  3x  2m 1 trên đoạn 0; 2 là nhỏ nhất thì giá
trị của m thuộc khoảng nào dưới đây? A. 0;  1 B.  1;
 0 C. 1; 2 D.  2;    1
Câu 11: Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số 3 2
y x  3x x m trên đoạn 2; 4 , m là giá trị của 0
tham số m để M đạt giá trị nhỏ nhất. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 1  m  5 B. 7   m  5  C. 4
  m  0 D. m  8  0 0 0 0
Câu 12: Có bao nhiêu số nguyên m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 2
y x  38x 120x  4m trên đoạn
0; 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của tham số m bằng
A. 26 B. 13 C. 14 D. 27
Câu 13: Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số 4 2
y x  38x 120x  4m trên đoạn [0; 2] đạt giá trị nhỏ
nhất. Khi đó giá trị của tham số m bằng
A. -12 B. -13 C. -14 D. -11
Câu 14: Xét hàm số 2
y x ax b với a, b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn  1  ; 
3 . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất thì a  2b bằng
A. 5 B. -4 C. 2 D. -3
Câu 15: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 3 2
y x  3x  9x m trên đoạn  2;
 4 bằng 16. Số phần tử của S là
A. 0 B. 2 C. 4 D. 1
Câu 16: Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 3
y x  3x m trên đoạn [0; 2] bằng 3. Số phần tử của S là
A. 0 B. 2 C. 3 D. 1
Câu 17: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 3 2
y x  3x m trên đoạn  2;
 4 bằng 50. Tổng các phần tử của tập S là
A. 4 B. 36 C. 140 D. 0
Câu 18: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 1 19 4 2 y x
x  30x m  20 trên đoạn 0; 2 không vượt quá 20. Tổng các phần tử của S bằng 4 2
A. 210 B. -195 C. 105 D. 300
Câu 19: Cho hàm số f x 4 3 2
x  4x  4x a . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số đã cho trên đoạn 0; 2 . Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn  3;
 2 sao cho M  2m?
A. 7 B. 5 C. 6 D. 4 TOANMATH.com Trang 18
Câu 20: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x m 2 ,
x  2020x  2019  mx đạt giá trị lớn nhất khi tham số m bằng
A. 2020 B. 2019 C. 0 D. 2018
Câu 21: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x m 2 ,
x  6x 10  mx đạt giá trị lớn nhất bằng
A. 6 B. -6 C. 0 D. 10 ĐÁP ÁN
1-B 2-C 3-B 4-A 5-C 6-A 7-D 8-C 9-A 10-A
11-D 12-D 13-B 14-B 15-D 16-B 17-A 18-C 19-D 20-A 21-C TOANMATH.com Trang 19
Dạng 3: TÌM GTLN-GTNN khi cho đồ thị - bảng biến thiên Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hàm số y f x liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình vẽ
Giá trị lớn nhất của hàm số trên  là 1
A. max y   B. max y  1
C. max y  1 D. max y  3  2   
Hướng dẫn giải 1
Dựa vào bảng biên thiên ta có hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 3 tại x   2 Chọn D
Ví dụ 2. Hàm số y f x liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình bên dưới Biết f  4
   f 8 , khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên  bằng
A. 9 B. f  4
  C. f 8 D. -4
Hướng dẫn giải
Từ bảng biến thiên ta có f x  f  4
 , x  ;
 0 và f x  f 8, x 0;   . Mặt khác f  4
   f 8 suy ra x  ;
   thì f x  f 8
Vậy min f x  f 8  Chọn C TOANMATH.com Trang 20  
Ví dụ 3. Cho hàm số y f x xác định trên tập hợp D     3 ; 1  1; 
và có bảng biến thiên như 2    sau Khẳng định đúng là
A. max f x  0 ; không tồn tại min f xD D
B. max f x  0 ; min f x   5 D D
C. max f x  0 ; min f x  1  D D
D. min f x  0 ; không tồn tại max f xD D
Hướng dẫn giải  
Dựa vào bảng biến thiên thì
f x  f    f x 3 max 1 0; min  f   5   D D  2  Chọn B
Ví dụ 4. Cho hàm số y f x có đồ thị trên khoảng 3; 3 như hình bên dưới Khẳng định đúng là
A. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3
B. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4
C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -3
D. Hàm số không có giá trị lớn nhất TOANMATH.com Trang 21
Hướng dẫn giải
Từ đồ thị của hàm số y f x ta thấy rằng hàm số y f x xác định, liên tục và f x  4 , với mọi x   3;
 3 , nên hàm số không có giá trị lớn nhất Chọn D
Ví dụ 5. Cho hàm số y f x liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn 0; 2 như sau
Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y f x trên đoạn 0; 2 là
A. M  4 và m  1
B. M  0 và m  2
C. M  2 và m  0 D. M  1 và m  4 Hướng dẫn giải
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy m  min y  1 khi x  2 và M  max y  4 khi x  0 0; 2 0; 2 Chọn A
Ví dụ 6. Cho hàm số y f x liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn 2; 4 như sau
Giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên đoạn 2; 4 bằng
A. f 2 B. f 0 C. f 2 D. f 4 Hướng dẫn giải
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy max y  17 khi x  4  2;  4 Chọn D TOANMATH.com Trang 22
Ví dụ 7. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 1; 
3 và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn  1;  3. Giá trị của
M m bằng
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 Hướng dẫn giải
Dựa vào đồ thị suy ra
M f 3  3; m f 2  2 
Vậy M m  5 Chọn D
Ví dụ 8. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 1; 
1 và có đồ thị như hình vẽ.
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn  1;  1. Giá trị của
M m bằng
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Hướng dẫn giải
Từ đồ thị ta thấy M  1; m  0 nên M m  1 Chọn B
Ví dụ 9. Cho đồ thị hàm số y f  x như hình vẽ TOANMATH.com Trang 23
Hàm số y f x đạt giá trị lớn nhất trên khoảng 1; 
3 tại x . Khi đó giá trị của 2
x  2x  2019 bằng 0 0 0 bao nhiêu?
A. 2018 B. 2019 C. 2021 D. 2022
Hướng dẫn giải
Dựa vào đồ thị của hàm số y f  x ta có bảng biến thiên như sau
Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số y f x đạt giá trị lớn nhất trên khoảng 1;  3 tại x  2 . 0 Vậy 2
x  2x  2019  2019 0 0 Chọn B
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau
Biết giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là M, m. Giá trị biểu thức 2 2
P M m là 1 1
A. P B. P C. 2 D. 1 4 2
Câu 2: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên khoảng 3; 2 , TOANMATH.com Trang 24
lim f x  5
 , lim f x  3 và có bảng biến thiên như sau x 3   x 2 
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng 3; 2
B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -5
C. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3
D. Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng  3;  2 bằng 0.
Câu 3: Cho hàm số y f x có đồ thị trên khoảng 2; 2 như hình bên. Khẳng định đúng là
A. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2
B. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 1
C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -1
D. Hàm số không có giá trị lớn nhất
Câu 4: Cho hàm số y f x liên tục trên  5;
 3 và có bảng biến thiên như sau TOANMATH.com Trang 25
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số y f x không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất trên [-5; 3)
B. Hàm số y f x không có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất trên [-5; 3)
C. Hàm số y f x có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất trên [-5; 3)
D. Hàm số y f x có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất trên [-5; 3)
Câu 5: Cho hàm số y f x liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số y f x không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất
B. Hàm số y f x không có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất
C. Hàm số y f x có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất
D. Hàm số y f x có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất
Câu 6: Cho hàm số y f x liên tục và có bảng biến thiên trong đoạn  6;  0 như sau
Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y f x trên đoạn  6;  0 là
A. M  7 và m  0
B. M  0 và m  6
C. M  6 và m  7
D. M  0 và m  7
Câu 7: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 1; 4 và có bảng biến thiên như sau TOANMATH.com Trang 26
Mệnh đề nào sau đây sai
A. Hàm số y f x không có giá trị lớn nhất trên khoảng 1; 4
B. Hàm số y f x không có giá trị lớn nhất trên nửa khoảng  1;  4
C. Hàm số y f x không có giá trị nhỏ nhất trên nửa khoảng  1;  4
D. Hàm số y f x không có giá trị nhỏ nhất trên đoạn 1; 4  1 
Câu 8: Cho hàm số y f x liên tục trên  \   và có bảng biến thiên như sau  2
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số y f x không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất
B. Hàm số y f x không có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất
C. Hàm số y f x có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất
D. Hàm số y f x có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất
Câu 9: Cho hàm số y f x liên tục trên  1; 
3 và có bảng biến thiên như sau
Giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x  2 bằng trên đoạn 1;  1 bằng TOANMATH.com Trang 27
A. -4 B. -1 C. -3 D. -2
Câu 10: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn  và có đồ thị như hình vẽ
Giá trị nhỏ nhất trên đoạn  1;  1 của hàm số là A. min y  1
B. min y  1 C. min y  0 D. min y  2 
Câu 11: Cho đồ thị hàm số y f ' x như hình vẽ
Hàm số y f x đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; 2] tại x bằng bao nhiêu? 2 A. x
B. x  0 C. x  1 D. x  2 3 ax b  1   1 
Câu 12: Cho hàm số y f x   
xác định và liên tục trên khoảng ;    và ;     . Đồ thị cx b  2   2 
hàm số y f x là đường cong trong hình vẽ dưới đây TOANMATH.com Trang 28
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
A. max f x  f 0 B. max f x  f  3    1;  0 3; 0
C. max f x  f 4 D. max f x  f 2 3; 4 1; 2 ĐÁP ÁN
1-B 2-A 3-A 4-D 5-D 6-A 7-D 8-B 9-D 10-A 11-C 12-B
Dạng 4: Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng cách đặt ẩn phụ
Bài toán 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác Phương pháp giải
Ghi nhớ: Điều kiện của các Nn phụ
Ví dụ: Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của t  sin x hàm số 2
y  2sin x  2sin x 1 là - N ếu  1   t  1  t  cos x 3 A. M  1
 ; m   t  cos x 2 - N ếu   0  t  1 2
t  cos x
B. M  3; m  1  t  sin x 3
C. M  3; m   - N ếu   0  t  1 2 2
t  sin x 3   
D. M  ; m  3 
- N ếu t  sin x  cos x  2.sni x    2  4    2  t  2
Hướng dẫn giải
Bước 1. Đặt Nn phụ và tìm điều kiện cho Nn phụ Đặt sin t x với t  1;  1, ta được TOANMATH.com Trang 29 2
y  2t  2t 1
Bước 2. Giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị 1 
Khi đó y  4t  2  0  t    1  ;  1
nhỏ nhất của hàm số theo Nn phụ 2 y 1  1   Ta có y   1  3   1  3  y        2  2
Bước 3. Kết luận (Chọn đáp án) 3
Do đó M  3; m   2 Chọn C Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số
y  2 cos 2x  2sin x là 9
A. M  ; m  4  B. 4; M m  0 4 9 9
C. M  0; m  
D. M  4; m   4 4
Hướng dẫn giải Ta có y x x   2  x 2 2 cos 2 2sin 2 1 2sin  2sin x  4
 sin x  2sin x  2
Đặt t  sin x, t 1;  1 , ta được 2 y  4
t  2t  2 1 Ta có y  0  8
t  2  0  t    1  ;  1 4   y 1  4   9 Vì y   1  0
nên M  ; m  4   4  1  9  y      4  4 Chọn A 2
cos x  cos x 1
Ví dụ 2. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  bằng cos x 1 3 5 7
A. B. C. D. 3 2 2 2
Hướng dẫn giải 2 t t 1
Đặt t  cos x  0  t  1, ta được y f t  với 0  t  1 t 1 TOANMATH.com Trang 30 2 t  2t 3
Vì f t 
 0, t  0; 1 nên min f t  f 0  1; max f t  f   1  2   t  1 0; 1 0; 1 2
Suy ra tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng f t  f t 3 5 min max  1  0; 1 0; 1 2 2 Chọn B
Ví dụ 3. Giá trị lớn nhất M của hàm số 4 2
y  cos x  3 sin x  2 là
A. M  2  3 B. M  3 5 C. M   3
D. M  3  3 4
Hướng dẫn giải Đặt 2
t  cos x  0  t  1, ta được 2
y t  3 1 t  2 với t 0;  1 3
Ta có y  2t  3  0  t   0;  1 2  3  5
Vì y 0  2  3; y
   3; y   1  3  nên M  2  3 2  4   Chọn A 2
sin x  m  
1 sin x  2m  2
Ví dụ 4. Cho hàm số y
(với m là tham số thực). sin x  2
Giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi m bằng 3 1 3 1
A. B. C. D.  2 2 2 2
Hướng dẫn giải 2
sin x  sin x  2
Xét f x  sin x  2 2 t t  2 Đặt sin t x  1
  t  1, ta được f t 
với t 1;  1 t  2 2 t  4tt  0   1  ;  1
Ta có f t 2 
 0  t  4t  0    t  22 t  4    1  ;  1 4  Vì f   1  ; f   1  2  ; f 0  1
 nên max f t  1
 và min f t  2  3 1; 1  1;  1 2
sin x  sin x  2 Hay 2    1  , x sin x  2 2
sin x  sin x  2 Mặt khác y
m f x  m ,   2  f x  1  sin x  2 TOANMATH.com Trang 31
Do đó max y  max f x  m  max m  2 , m 1  max m  2 , m 1  2;  1
m  2  m 1
m  2  m   1 1  max y    2 2 2
m  2  m 1  3
Dấu bằng đạt được khi  m    
m  2m   1  0 2 Chọn A
Ví dụ 5. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  1  2 cos x  1  2sin x bằng
A. 2 1 B. 3 1 C. 1 D. 2  3
Hướng dẫn giải Ta có 2
P  6  4sin x  cos x  2 1 2sin x  cos x  4sin xcos x    2 1
Đặt t  sin x  cos x  2.sin x  
 với  2  sin cos  t t x x  4  2  1   3 1   3 2
4t  8t  4 khi t  ; t   Xét 2 2 2 2
y P  6  4t  2 2t  2t 1    1   3 1   3 2 4  t  8 khit   2 2  1   3 1   3 8
t  8 khi t  ; t   2 2  y    1   3 1   3 8  t khit   2 2 Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra min f t  4  2 3   3  2 1  2; 2    min P  3 1 Chọn B TOANMATH.com Trang 32
Ví dụ 6. Giá trị lớn nhất của hàm số f x  sin x  cos 2x trên đoạn 0;   là 5 9
A. max y B. max y  1 C. max y  2 D. max y  0;   4 0;   0;   0;   8
Hướng dẫn giải Đặt 2 2
t  sin x  cos 2x  1 2sin x  1 2t , với x 0;    t 0;  1
Ta được f t 2  2
t t 1với t 0;  1 1
Ta có f t  4
t 1  0  t   0;  1 4  1  9 9
Do f 0  1; f  ;   f  
1  0 nên max f t   4  8 0; 1 8 9
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là max y  0;   8 Chọn D
Bài toán 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số khác Ví dụ mẫu 3  x  6x
Ví dụ 1. Giá trị lớn nhất của hàm số y  4  1  bằng 2  2  x 1 x 1 5 9
A. B. -5 C. D. 3 2 2
Hướng dẫn giải x 1 Do 2
x 1  2 x   2 x 1 2 x 1 Đặt t   t  2 x 1 2  1 1  Khi đó 3
y  4t  6t 1 với t   ;  2 2     1 1  Vì 2
y  12t  6  0, t nên hàm số đồng biến trên  ;  2 2     1  5
Do đó max y y     1 1   ;  2  2  2 2   Chọn A
Ví dụ 2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 1  x  9 lần lượt là
A. 2; 2 B. 4; 2 C. 4; 2 D. 4;2 2
Hướng dẫn giải
Tập xác định D  1; 9 TOANMATH.com Trang 33 1 1 Ta có y  
 0  x 1  x  9  x  5  1; 9
2 x 1 2 x  9 Vì y  
1  y 9  2 2; y 5  4 nên max y  4; min y  2 2 . Chọn D
Nhận xét: với hàm số y x a  x b a x  ;
b a b  0 thìy  0   2
y a b  2 x a. x b 2
y a b   2
y a b  
x a  x b  2a b
Suy ra a b y  2 a b dấu bằng luôn xảy ra.
Ví dụ 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 1  3  x   x  
1 3  x bằng 5  A.
B. – 2 C. – 4 D. 2 2
Hướng dẫn giải
Tập xác định của hàm số là D   1  ;  3 2 4  Đặt 2  1  3    4  2    1 3       1 3    t t x x t x x x x 2 Do 2
t  4  2  x  
1 3  x  4, x  1  ;  3 , từ đó suy ra 2   t  2 2 t
Bài toán quy về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số g t 
t  2 trên đoạn  2;  2 . 2
Ta có gt  t 1  0  t  1    2  ; 2 
Lại có g     g    g   5 2 2; 2 2; 1  2 5 
Suy ra giá trị nhỏ nhất bằng 2 Chọn A
Nhận xét: Với hàm số y x a  x b a x  ;
b a b  0 thì 2
y a b  2 x a. x b a b
  a b y a b
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1: Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số 4 2
y  sin x  4sin x  5 là A. 2; M m  5  B. 5; M m  2 C. 5; M m  2  D. 2;
M   m  5  TOANMATH.com Trang 34
Câu 2: Giá trị nhỏ nhất m của hàm số 3 2
y   cos x  sin x  cos x  3 là 113 113
A. m  3 B. m   C. m D. m  3 27 27   
Câu 3: Giá trị lớn nhất của hàm số y  2 cos 2x  4sin x trên đoạn 0;  là 2   
A. M  4 B. M  2 C. M   2 D. M  2 2 4 2
3cos x  4sin x
Câu 4: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  theo thứ tự là 4 2
3sin x  2cos x 8 4 3 4 1 1 3 4 A. ; B.  ; C. ; D. ;  5 3 2 3 2 3 2 3
x 1  2 3  x  2
Câu 5: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  theo thứ tự là
2 x 1  3  x 1 4  4 4 4  A. 2;
B. 2; C. ;  2 D. ;  2 5 5 5 5 3
Câu 6: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 6
y  2cos x  cos 2x theo thứ tự là 4 1 1 1 5 1
A. 4 và B. 4 và C. 2 và D. và 4 2 2 4 4
Câu 7: Giá trị lớn nhất của hàm số y f x  x 1  3  x là
A. max y  2 3 B. max y  2 2 C. max y  2 D. max y  3 2 1; 3 1; 3 1; 3 1; 3
Câu 8: Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y
x    x 2 2 2 3 1 1 bằng
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
Câu 9: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x  x    x 3 6 2 4 1 trên M đoạn  1; 
1. Khi đó tỉ số bằng m 9 9 4 A. B. C. 9 D. 4 16 9 ĐÁP ÁN
1-B 2-B 3-D 4-A 5-B 6-D 7-C 8-B 9-C TOANMATH.com Trang 35
Dạng 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến Ví dụ mẫu 2 2
x xy y
Ví dụ 1. Cho biểu thức P  với 2 2
x y  0 . Giá trị nhỏ nhất của P bằng 2 2
x xy y 1
A. 3. B. . C. 1. D. 4. 3 Hướng dẫn giải
 N ếu y  0 thì P =1. (1) 2  x   x   1 2 2    
x xy yy   y
 N ếu y  0 thì P    . 2 2 2
x xy yx   x   1
y   y      x 2 t t 1
Đặt t  , khi đó P f (t)  . y 2 t t 1 2 2  t  2 2 f (  t)   0  2
t  2  0  t  1  . 2 2 (t t 1) Bảng biến thiên 1
Dựa vào bảng biến thiên ta có P f (t)  . (2) 3 1 1
Từ (1) và (2) suy ra P f (t)   min P  . 3 3 Chọn B.
Ví dụ 2. Cho hai số thực x,y thỏa mãn x  0; y  0 và x y  1. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất x y
của biểu thức P   lần lượt là y 1 x 1 1 2
A. và 1. B. 0 và 1. C. và 1. D. 1 và 2. 2 3 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 36 2 x y
x(x 1)  y( y 1)
(x y)  2xy 1 2  2xy Ta có P      . y 1 x 1
(x 1)( y 1)
xy x y 1 2  xy 2  2t
Đặt t xy ta được P  . 2  t
Vì x  0; y  0  t  0. 1 1
Mặt khác 1  x y  2 xy xy   t  . 4 4 2  2t  1 
Khi đó, bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số g(t)  trên 0; . 2  t  4   2  2t  1 
Xét hàm số g(t) 
xác định và liên tục trên 0; . 2  t  4   6   1  Ta có g (  t)   0 với t   0; 2   (2  t)  4    1 
hàm số g(t) nghịch biến trên đoạn 0; .  4      1  2
min g(t)  g      2  1   0;  4  3   min P  Do đó  4    3 .
max g(t)  g(0)  1 max P 1  1   0;   4   Chọn C.
Ví dụ 3. Cho x, y là các số thực thỏa mãn 2 2
(x  3)  ( y 1)  5 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2
3y  4xy  7x  4y 1 P  bằng x  2y 1 114
A. 3. B. 3 . C. . D. 2 3 . 11 Hướng dẫn giải 2 2 2 2
(x  3)  ( y 1)  5  x y  6x  2 y  5  0. 2 2 2
(3y  4xy  7x  4 y 1)  (x y  6x  2y  5) P x  2y 1 2 2 2
4y  4xy x x  2 y  4
(2y x)  (x  2 y)  4   x  2y 1 x  2y 1
Đặt t x  2 . y   x   y
   x   y    2 2 2 2 2 (1 2 ) ( 3) ( 1) ( 3) (2 2) 2
 (x  2y  5)  25  0  x  2y 10. 2 t t  4 4
Ta được P f (t)   t  , 0  t  10. t 1 t 1 TOANMATH.com Trang 37 4 t  1(0;10) Xét 2 f (  t) 1
 0  (t 1)  4  2 (t 1)  t  3  (0;10) 114
Vì f (0)  4; f (10) 
; f (1)  3  min P  3 khi t  1. Chọn A. 11
Ví dụ 4. Gọi x , y , z là ba số thực dương sao cho biểu thức 0 0 0 3 8 1 P   
đạt giá trị nhỏ nhất. 2 2 2
2x y  8yz
2(x y z )  4xz  3 x y z
Tổng x y z bằng 0 0 0 3
A. 3. B. 1. C. 3 3 . D. . 2 Hướng dẫn giải 3 8 1 Ta có P    2 2
2x y  2 2yz
2y  2(x z)  3 x y z 3 8 1    .
2(x y z) (x y z)  3 x y z 1 8
Đặt x y z t  0 . Khi đó P f (t)   ,(t  0) . 2t t  3
3(t 1)(5t  3) Ta có ' f (t)   0  t 1. 2 2 2t (t  3) Bảng biến thiên  1
x y z 1 x z  3   
Suy ra P   . Dấu “=” xảy ra 4  y  2z   . 2 1
y x zy    2 1 1 1
Do đó x y z     1. Chọn B. 0 0 0 4 4 2 2
x xy  3  0
Ví dụ 5. Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện  .
2x  3y 14  0
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 2 2 3
P  3x y xy  2x  2x bằng TOANMATH.com Trang 38
A. 8. B. 0. C. 12. D. 4. Hướng dẫn giải 2 x  3 3
Với điều kiện bài toán x, y  0 và 2
x xy  3  0  y   x  . x x Lại có  3   9 2 
2x  3y 14  0  2x  3 x
14  0  5x 14x  9  0  x  1;   . x  5     2  3   3  9 Từ đó 2 3 P  3x x   x x
 2x  2x  5x      .  x   x x 9  9 9  9 Xét hàm số '
f (x)  5x  ; x   1;
f (x)  5   0; x   1;   . 2 x 5 x  5      9
Suy ra hàm số đồng biến trên 1;  5    9 
f (1)  f (x)  f  4
  f (x)  4  max P  min P  4  ( 4  )  0   . Chọn B.  5 
Ví dụ 6. Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn 1;9 và x y, x z . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức y 1  y z P      bằng
10y x 2  y z z x  11 1 1 A.
. B. . C. . D. 1. 18 3 2 Hướng dẫn giải 1 1 2
Với a, b dương thỏa mãn ab  1 ta có bất đẳng thức   .
1 a 1 b 1 ab 2 1 1 2 Thật vậy  
  a b  ab  
1  0 đúng do ab  1.
1 a 1 b 1 ab
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b hoặc ab = 1.   1 1  1 1  1 1
Áp dụng bất đẳng thức trên P        . x 2 z x x 10 1 1     10 x    1 yy z y y x 1 1 Đặt  t 1; 
3 . Xét hàm số f (t)   trên đoạn 1;  3 . y 2 10  t 1 t 2t 1 ' ' 4 3 2 f (t)  
; f (t)  0  t  2t  24t  2t 100  0 . 2 2 2 (10  t ) (1 t) 3
 (t  2)(t  24t  50)  0  t  2 do 3
t  24t  50  0, t  1;  3 . Bảng biến thiên TOANMATH.com Trang 39 x  4y  z x 1  
Suy ra P  khi và chỉ khi   y zx  4y min 2      xz  2y   1   y Chọn C.
Bài tập tự luyện dạng 5
Câu 1: Cho các số thực x, y thay đổi nhưng luôn thỏa mãn 2 2
3x  2xy y  5 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
P x xy  2 y thuộc khoảng nào sau đây?
A. (4;7). B. (-2;1). C. (1;4). D. (7;10).
Câu 2: Cho x, y là hai số thực không âm thỏa mãn x y  1. Giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 x y xy P  là 2 2
x y xy 1
A. max P  0 . B. max P  1. C. max P  1
 . D. max P  . 3
Câu 3: Cho hai số thực x, y thỏa mãn 3 3
x y  2 . Giá trị nhỏ nhất của 2 2
P x y là
A. min P  1. B. 3 min P  2. C. 3
min P  4. D. min P  2.
Câu 4: Cho hai số thực x, y thỏa mãn 2 2
2(x y )  xy  1 và biểu thức 4 4 2 2
P  7(x y )  4x y . Gọi M, m
theo thứ tự là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P. Tổng M m là 260  2344 232 
A. M m
. B. M m  0 . C. M m
. D. M m  . 33 825 25 4 4 x y 1
Câu 5: Cho x, y là các số thực thỏa mãn 2 2
x xy y  1 và biểu thức P  . Gọi M, m thứ tự là 2 2 x y 1
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P. Tổng M 15m bằng
A. 17  2 6 . B. 17  6 . C. 17  2 6 . D. 17  6 .
Câu 6: Cho các số thực x, y dương thỏa mãn x  1, y  1 và 3(x y)  4xy . Gọi M, m thứ tự là giá trị lớn  1 1 
nhất và giá trị nhỏ nhất của 3 3
P x y  3  
. Tổng M m là 2 2   x y  TOANMATH.com Trang 40 163 197 673 613
A. M m
. B. M m
. C. M m
. D. M m  . 4 12 12 6 4 3 3
3x  4 y 16z 1
Câu 7: Cho các số thực dương x, y, z. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  bằng 3
(x y z) 16 8 9 7 A. . B. . C. . D. . 25 9 25 25
Câu 8: Cho a, b, c không âm phân biệt. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức  1 1 1  2 2 2
P  (a b c )    bằng 2 2 2 (a b) (b c) (c a)      11 5 5 10  5 5 A. . B.
. C. 11. D. 13 . 2 2
Câu 9: Xét ba số thực a; b; c thay đổi thuộc đoạn 0; 
3 . Giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2
T  4 (a b)(b c)(c a)  (ab bc ca)  (a b c ) bằng 3 81 41
A.  . B. 0. C. . D. . 2 4 2
Câu 10: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x y z  0 và x y z  1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 8 2 P     bằng 2 2 3 (x y) ( y z) xz y
A. 217. B. 218. C. 219. D. 216. 1
Câu 11: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn 2 2 2
x y z . Giá trị lớn nhất của biểu thức 2  1 1 1  4 4 4
P  (x y z )    bằng 4 4 4   x y z  297 320 219 412 A. . B. . C. . D. . 8 9 6 11
Câu 12: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn 2 2 2
a b c  1. Giá trị lớn nhất của biểu thức
P a b c  4abc bằng 5 1 A. 2 . B. . C. 3 . D. . 3 3 2
Câu 13: Cho x, y, z 1;4 và x y; x z . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y z P    là 2x  3y y z z x 33 34 35 34 A. . B. . C. D. . 34 35 34 33 2 ( y 1) y z
Câu 14: Cho x, y, z 1;4 và x y . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P    40y  4x
8yz z 2(x z) bằng TOANMATH.com Trang 41 1 2 1 A. . B. . C. . D. 2 . 2 2 2 2
1-C 2-B 3-C 4-C 5-A 6-A 7-A 8-A 9-C 10-D 11-A 12-A 13-D 14-A
Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số liên quan đến hàm ẩn
Bài toán 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(u(x)),y = f(u(x))±h(x)… khi
biết bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số y = f(x) Phương pháp giải
Thực hiện theo một trong hai cách
Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập  và
có bảng biến thiên như sau
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y f (x  2x) trên đoạn  3 7   ; 
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng 2 2    định sau. M
A. M .m  10 . B.  2 . m
C. M m  3. D. M m  7 . Cách 1: Hướng dẫn giải
Bước 1. Đặt t = u(x). Đặt 2
t x  2x .
Đánh giá giá trị của t trên khoảng K.  3 7  5 5
Chú ý: Có thể sử dụng khảo sát hàm số, bất Ta có x   ;    x 1   2 2    2 2
đẳng thức để đánh giá giá trị của t = u(x). 25 2  0  (x 1)  4 2 21  21  1
  (x 1) 1   t  1  ;   . 4  4  TOANMATH.com Trang 42
Bước 2. Từ bảng biến thiên hoặc đồ thị của  21
Xét hàm số y f (t),t  1  ;   .
hàm số cho ta giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất  4  của hàm số y = f(t).
Từ bảng biến thiên suy ra
m  min f (t)  f (1)  2;  21 1;   4     21
M  max f (t)  f  5    21 1;   4   4    M   2 . m
Bước 3. Kết luận. Chọn B. Cách 2: Ta có ' ' 2
y  (2x  2) f (x  2x)  0
Bước 1. Tính đạo hàm ' ' '
y u (x) f (u(x)). x 1 2x  2  0 
Bước 2. Tìm nghiệm ' ' '
y u (x) f (u(x)) =0.  7 2 x  2x  1  x    2 '   2 y 0
x  2x 1   . 3  x    21 2    2 x 2x   4 x 1 2
Bước 3. Lập bảng biến thiên.
Vẽ bảng biến thiên và kết luận được
Bước 4. Kết luận về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ M
M  5;m  2   2.
nhất của hàm số y f (x), y f (u(x)) , m
y f (u(x))  h(x)... Chọn B. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hàm số
y f (x) có bảng biến thiên như sau
Hàm số y f ( x 1) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;2 bằng A. f ( 2
 ) . B. f (2) .
C. f (1) . D. f (0) . Hướng dẫn giải
Đặt t x 1 , x
 0;2  t 0;  1 . TOANMATH.com Trang 43
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số y f (t) có giá trị nhỏ nhất min f (t)  f (0). 0; 1 Chọn D. Ví dụ 2. Cho hàm số
y f (x) có đồ thị như hình vẽ. Khi đó hàm số 2
y f (2  x ) đạt giá trị nhỏ nhất trên 0; 2    bằng A. f ( 2
 ) . B. f (2) .
C. f (1) . D. f (0) . Hướng dẫn giải Đặt 2
t  2  x . Từ 2 2
x  0; 2   0  x  2  2  2  x  0  t 0;2   .
Dựa vào đồ thị, hàm số
y f (t) có giá trị nhỏ nhất min f (t)  f (2). 0;2 Chọn B.
Ví dụ 3. Cho hàm số 4 2
y f (x)  ax bx c xác định và liên tục trên  và có bảng biến thiên sau
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
y f (x  3) trên đoạn 0;2 là
A. 64. B. 65. C. 66. D. 67. Hướng dẫn giải Hàm số có dạng 4 2
f (x)  ax bx c . Từ bảng biến thiên ta có  f (0)  3 c  3 c  3    4 2
f (1)  2  a b c  2  b   2
  f (x)  x  2x  3.  '  f (1)  0 4a 2b 0    a  1  
Đặt t x  3, x 0;2  t 3;5.
Dựa vào đồ thị, hàm số
y f (t) đồng biến trên đoạn 3;5.
Do đó min f (x  3)  min f (t)  f (3)  66 . 0;2 3;5 Chọn C. TOANMATH.com Trang 44
Bài toán 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f ux, y f ux  hx
Khi biết đồ thị của hàm số '
y f (x) Ví dụ mẫu
Ví dụ. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm và liên tục trên  .
Biết rằng đồ thị hàm số '
y f (x) như dưới đây. Lập hàm số 2
g(x)  f (x)  x x .
Mệnh đề nào sau đây đúng? A. g( 1
 )  g(1) . B. g( 1
 )  g(1) .
C. g(1)  g(2) .
D. g(1)  g(2) . Hướng dẫn giải Ta có ' '
g (x)  f (x)  2x 1. Từ đồ thị hàm số '
y f (x) và đường thẳng y  2x 1 ta có ' g (x)  0 x  1 '
f (x) 2x 1      x  1  . x  2  Bảng biến thiên TOANMATH.com Trang 45
Ta chỉ cần so sánh trên đoạn  1;
 2. Đường thẳng y  2x 1
là đường thẳng đi qua các điểm ( A 1  ; 1
 ) , B(1;3) , C(2;5) nên đồ thị hàm số '
y f (x) và đường
thẳng y  2x 1 cắt nhau tại 3 điểm. Chọn D.
Bài tập tự luyện dạng 6 Câu 1: Cho hàm số
y f (x) liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau
Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số y g(x)  f (3  x) trên 0; 
3 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. M f (0) . B. M f (3) . C. M f (1) . D. M f (2) . Câu 2: Cho hàm số
y f (x) có đồ thị như hình vẽ. Gọi M, m lần 3  x
lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f   2  2 
trên đoạn 0;2 . Khi đó M m bằng
A. 3 B. 1 C. 2 D. 0
Câu 3: Cho hàm số y f (x) liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau TOANMATH.com Trang 46
Hàm số y f (2sin x) đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất lần lượt là M và m. Mệnh đề nào dưới đây đúng
A. m  2M B. M  2m C. M m  0 D. M m  2
Câu 4: Cho hàm số y f (x) liên tục trên 2;4 và có bảng biến thiên như sau
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số g x  f  2
cos 2x  4sin x  3 . Giá trị
của M m bằng
A. 4 B. – 4 C. 2 D. 1
Câu 5: Cho hàm số y f (x) liên tục trên  và có đồ thị như hình
vẽ dưới đây. Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số y f  2 4  x
trên nửa khoảng  2; 3   là
A. 3 B. – 1
C. 0 D. Không tồn tại
Câu 6: Cho hàm số y f (x) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. TOANMATH.com Trang 47  2x
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số g x  f  trên  ;   . Tổng 2   x 1 M m bằng
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 Câu 7: Cho hàm số
y f (x) liên tục trên  và có đồ thị như
hình vẽ bên. Gọi M, m theo thứ tự là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm số y f x  2  trên đoạn  1
 ;5 . Tổng M m bằng A. 9. B. 8. C. 7. D. 1.
Câu 8: Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f  2
x  2x  5  trên đoạn  1; 
3lần lượt là M, m. Tổng M m bằng
A. 13. B. 7. C. (2
f )  2 . D. 2.
Câu 9: Cho hàm số y f (x) liên tục trên ( ;
 ) và có đồ thị như hình vẽ TOANMATH.com Trang 48
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f  3
x  3x 1  trên đoạn 2;0.
Tổng M m bằng 7 11
A. M m  2
 . B. M m   . C. M m  
. D. M m  0 . 2 2
Câu 10: Cho hàm số y f (x) , biết hàm số '
y f (x) có đồ thị như
hình vẽ dưới đây. Hàm số y f (x) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 1 3 ; 
tại điểm nào sau đây? 2 2    3 1
A. x  . B. x  . 2 2
C. x  1 . D. x  0 .
Câu 11: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm '
f (x) . Hàm số '
y f (x) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ. Biết 13 f ( 1  ) 
, f (2)  6 . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 4 của hàm số 3
g(x)  f (x)  3 f (x) trên 1;2 bằng 1573 A. . B. 198 . 64 37 14245 C. . D. . 4 64 Câu 12: Cho hàm số
y f (x) liên tục trên  . Đồ thị của hàm số '
y f (x) như hình vẽ. Đặt 2
g(x)  2 f (x)  (x 1) . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. min g(x)  g(1) .
B. max g(x)  g(1) .   3;3   3;3 TOANMATH.com Trang 49
C. max g(x)  g(3) . D. Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của g(x) trên  3;  3 .   3;3 Câu 13: Cho hàm số
y f (x) có đồ thị '
y f (x) như hình vẽ. 1 3 3 Xét hàm số 3 2
g(x)  f (x)  x x x  2018 . Mệnh đề nào dưới 3 4 2 đây đúng?
A. min g(x)  g( 1
 ) . B. min g(x)  g(1) .  3;   1  3;   1 g( 3  )  g(1)
C. min g(x)  g( 3
 ) . D. min g(x)  .  3;   1  3;   1 2
Câu 14: Cho hàm số y f (x) ,hàm số '
f (x) có đồ thị như hình vẽ 1 11  5
Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 g(x)  f (2x 1) 
(2x 1)  4x trên khoảng 0; bằng 2 19  2   1 11 1 14 1 1 70 A. f (1)  B. f (4)  . C.
f (0)  2 . D. f (2)  . 2 19 2 19 2 2 19 Câu 15: Cho hàm số
y f (x) . Biết hàm số '
y f (x)
có đồ thị như hình vẽ. Trên đoạn 4;  3 ,hàm số 2
g(x)  2 f (x)  (1 x) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm A. x  3  . B. x  4  . 0 0 C. x  1
 . D. x  3. 0 0 TOANMATH.com Trang 50
1-D 2-A 3-A 4-A 5-A 6-C 7-C 8-B 9-B 10-C 11-A 12-B 13-A 14-D 15-C
Dạng 7. Ứng dụng của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong các bài toán thực tế Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Một chất điểm chuyển động theo quy luật 2 3
s  3t t . Thời điểm t (giây) mà tại đó vận tốc
v m / s của chất điểm chuyển động đạt giá trị lớn nhất là
A. t = 2s B. t = 5s C. t = 1s D. t =3s Hướng dẫn giải
Ta có v t  st  t t vt   t  2 2 6 3 3 1  3  3, t   
Giá trị lớn nhất của v t  3 khi t 1. Chọn C 1
Ví dụ 2. Một vật chuyển động theo quy luật 3 2
s   t  6t với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi 3
vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi
trong khoảng thời gian 7 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?
A. 180 (m/s) B. 36 (m/s) C. 144 (m/s) D. 24 (m/s) Hướng dẫn giải
Ta có v t  st 2
 t 12t
vt  2
t 12  0  t  6
Vì v 6  36;v0  0;v7  35 nên vận tốc lớn nhất đạt được bằng 36 (m/s). Chọn B
Ví dụ 3. Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân
được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong t
t giờ được cho bởi công thức c t 
mg / L . Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong 2   t 1
máu của bệnh nhân cao nhất?
A. 4 giờ B. 1 giờ C. 3 giờ D. 2 giờ Hướng dẫn giải t
Xét hàm số c t  t  0 2   t 1 2      ct 1 t t 1 0;       t  0 2 2 t  1  0; 1     Bảng biến thiên TOANMATH.com Trang 51
Với t = 1 (giờ) thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất. Chọn B
Ví dụ 4. N gười ta xây một bể chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 500 3
m . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây bể là 3 600.000 đồng / 2
m . Hãy xác định kích thước của bể sao cho chi phí thuê nhân công thấp nhất. Chi phí đó là
A. 75 triệu đồng B. 85 triệu đồng C. 90 triệu đồng D. 95 triệu đồng Hướng dẫn giải
Gọi x m là chiều rộng của đáy bể, khi đó chiều dài của đáy bể là 2xm và hm là chiều cao bể 500 250 Bể có thể tích bằng 2 2x h   h  2 3 3x 250 500
Diện tích cần xây S  2 xh  2xh 2 2 2  2x  6x  2x   2x 2 3x x 500 500 
Xét hàm f x 2 
 2x ,x  0; f x 
 4x f x  0  x  5 2   x x Bảng biến thiên
Do đó min f x  f 5  150 0;
Chi phí thuê nhân công thấp nhất khi diện tích xây dựng là nhỏ nhất và bằng S 150 min
Vậy giá thuê nhân công thấp nhất là 150.600000 = 90.000.000 đồng. Chọn C
Ví dụ 5. Bác Hoàng có một tấm thép mỏng hình tròn, tâm O, bán kính 4 dm. Bác định cắt ra một hình
quạt tròn tâm O, quấn rồi hàn ghép hai mép của hình quạt tròn lại để tạo thành một đồ vật dạng mặt nón TOANMATH.com Trang 52
tròn xoay (tham khảo hình vẽ). Dung tích lớn nhất có thể của đồ vật mà bác Hoàng tạo ra bằng bao nhiêu?
(bỏ qua phần mối hàn và độ dày của tấm thép) 128 3 128 3 16 3 64 3 A. 3 dm B. 3 dm C. 3 dm D. 3 dm 27 81 27 27 Hướng dẫn giải
Khi hàn hai mép của hình quạt tròn, độ dài đường sinh của hình nón bằng bán kính của hình quạt tròn,
tức là OA  4dm 1 1 Thể tích của hình nón 2
V  .r .h  . 2
16  h .h với 0  h  4 3 3 1 4 3
Ta có V h  . 2
16  3h   V h  0  h  3 3 128 3
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra thể tích lớn nhất của hình nón là 3 dm . Chọn A 27
Ví dụ 6. N gười ta làm chiếc thùng phi dạng hình trụ, kín hai đáy, với thể tích theo yêu cầu là 3 2 m .
Hỏi bán kính đáy R và chiều cao h của thùng phi bằng bao nhiêu để khi làm thì tiết kiệm vật liệu nhất 1 1 1 A. R  ;
m h  8m B. R  1 ;
m h  2m C. R  2 ;
m h m D. R  4 ; m h m 2 2 5 Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta có 2 2
V   R h  2  h  2 R
Diện tích toàn phần của thùng phi là TOANMATH.com Trang 53 2 2 2 S 2 Rh 2 R 2      R tp    R  2
Xét hàm số f R 2
R  với R 0; R 2 2 3 R   1
Ta có f R  2R   2 2 R R
f R  0  R 1 Bảng biến thiên
Suy ra diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất khi R  1  h  2
Vậy để tiết kiệm vật liệu nhất khi làm thùng phi thì R  1 ;
m h  2m . Chọn B
Ví dụ 7. Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như hình vẽ.
Khoảng cách từ C đến B là 1 km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 4km. Tổng chi phí
lắp đặt cho 1km dây điện trên biển là 40 triệu đồng, còn trên đất liền là 20 triệu đồng. Tính tổng chi phí
nhỏ nhất để hoàn thành công việc trên (làm tròn đến hai chữ số sau dấu phNy)
A. 120 triệu đồng B. 164,92 triệu đồng C. 114,64 triệu đồng D. 106,25 triệu đồng Hướng dẫn giải
Gọi M là điểm trên đoạn thẳng AB để lắp đặt đường dây điện ra biển nối với điểm C
Đặt AM x BM   x CM     x2 2 4 1 4
 17 8x x , x 0;4
Khi đó tổng chi phí lắp đặt là 2 y  .20 x
 40 x 8x 17 (đơn vị: triệu đồng) 2 x  4
x  8x 17  2 x  4 y  20  40.  20. 2 2 x  8x 17 x  8x 17 TOANMATH.com Trang 54 12  3 2
y  0  x  8x 17  24  x  x  3 12  3  Ta có y
  80  20 3 114,64; y 0  40 17  164,92; y 4 120  3   
Do đó chi phí nhỏ nhất để hoàn thành công việc là 114,64 triệu đồng. Chọn C
Bài tập tự luyện dạng 7 1
Câu 1: Một vật chuyển động theo quy luật 3 2
s   t  9t với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt 2
đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời
gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?
A. 216 (m/s) B. 30 (m/s) C. 400 (m/s) D. 54 (m/s)
Câu 2: Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường s (mét) đi được của đoàn
tàu là một hàm số của thời gian t (giây), hàm số đó là 3 2 s t
  6t . Thời điểm t (giây) mà tại đó vận tốc
v(m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là
A. t = 2s B. t = 6s C. t = 8s D. t = 4s
Câu 3: Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là 3 2 s t
  6t 17t , với t (s) là
khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (m) là quãng đường vật đi được trong khoảng
thời gian đó. Trong khoảng thời gian 6 giây đầu tiên, vận tốc v (m/s) của chất điểm đạt giá trị lớn nhất bằng
A. 29 m/s B. 26 m/s C. 17 m/s D. 36 m/s
Câu 4: Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức G x 2
 0,035x 15  x , trong đó
x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân ( x được tính bằng miligam). Liều lượng thuốc cần tiêm
(đơn vị miligam) cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là
A. x = 8 B. x = 10 C. x = 15 D. x = 7
Câu 5: Để thiết kế một chiếc bể cá không có nắp đậy hình hộp chữ nhật có chiều cao 60cm, thể tích là 3
96.000cm , người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành là 70.000 đồng / 2 m và loại
kính để làm mặt đáy có giá thành là 100.000 đồng / 2
m . Chi phí thấp nhất để làm bể cá là
A. 28.300 đồng B. 38.200 đồng C. 83.200 đồng D. 83.200 đồng
Câu 6: Một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật có thể tích bằng 48  3
m  và chiều dài gấp đôi chiều rộng.
Chất liệu làm đáy và bốn mặt bên của hộp có giá thành gấp ba lần giá thành của chất liệu làm nắp hộp. m
Gọi h là chiều cao của hộp để giá thành làm chiếc hộp là thấp nhất. biết h
với m, n là các số nguyên n
dương nguyên tố cùng nhau. Tổng m + n bằng
A. 12 B. 13 C. 11 D. 10
Câu 7: Một người thợ xây, muốn xây một bồn chứa thóc hình trụ tròn với thể tích là 3 150m (như hình
vẽ). Đáy làm bằng bê tông, thành làm bằng tôn và nắp bể làm bằng nhôm. Biết giá thành các vật liệu như
sau: bê tông 100 nghìn đồng một 2
m , tôn 90 nghìn một 2
m và nhôm 120 nghìn đồng một 2 m . Chi phí
thấp nhất để làm bồn chứa thóc (làm tròn đến hàng nghìn) là TOANMATH.com Trang 55
A. 15038000 đồng B. 15037000 đồng C. 15039000 đồng D. 15040000 đồng
Câu 8: Một công ty dự kiến chi 1 tỉ đồng để sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ có dung tích 5 lít. Biết
rằng chi phí để làm mặt xung quanh của thùng đó là 100.000 đồng / 2
m , chi phí để làm mặt đáy là 120.000 đồng / 2
m . Số thùng sơn tối đa mà công ty đó sản xuất được (giả sử chi phí cho các mối nối không đáng kể) là
A. 58135 thùng B. 18209 thùng C. 12525 thùng D. 57582 thùng
Câu 9: Một cốc hình trụ có bán kính đáy là 2cm, chiều cao 20cm. Trong cốc đang có một ít nước, khoảng
cách giữa đáy cốc và mặt nước là 12cm (hình vẽ). Một con quạ muốn uống được nước trong cốc thì mặt
nước phải cách miệng cốc không quá 6cm. Con quạ thông minh mổ những viên đá hình cầu có bán kính
0,6cm thả vào cốc để mực nước dâng lên. Để uống được nước thì con quạ cần thả vào cốc ít nhất bao nhiêu viên đá?
A. 30 B. 27 C. 28 D. 29
Câu 10: Một người cần đi từ khách sạn A bên bờ biển đến hòn đảo C. Biết rằng khoảng cách từ đảo C
đến bờ biển là 10km, khoảng cách từ khách sạn A đến điểm B trên bờ gần đảo C nhất là 40km. N gười đó
có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy (như hình vẽ bên). Biết kinh phí đi đường thủy
là 5 USD/km, đi đường bộ là 3 USD/km. Hỏi người đó phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu để kinh phí nhỏ nhất? TOANMATH.com Trang 56 15 65 A.
km B. 10km C.
km D. 40km 2 2
Câu 11. Một ngọn hải đăng đặt ở vị trí A cách bờ biển
một khoảng AB = 5 (km). Trên bờ biển có một cái kho ở
vị trí C cách B một khoảng là 7(km). N gười canh hải
đăng có thể chèo đò từ A đến vị trí M trên bờ biển với
vận tốc 4 (km/h) rồi đi bộ từ M đến C với vận tốc 6
(km/h). Vị trí của điểm M cách B một khoảng gần nhất
với giá trị nào sau đây để người đó đến kho nhanh nhất?
A. 1,0km B. 7,0km
C. 4,5km D. 2,1km
Câu 12. Thầy Toản có thanh gỗ dài là 3,2 m. Thầy Toản
dự định dùng thanh gỗ để thiết kế 5 hình tam giác giống
nhau làm kệ trang trí phòng đọc sách, trong đó các tam
giác có 1 cạnh có độ dài là 24 cm (coi các mNu cắt bỏ đi
không đáng kể). Tổng diện tích của 5 tam giác có giá trị lớn nhất là A. 2 40 119cm B. 2 16 119cm C. 2 480cm D. 2 960cm
Câu 13. Một kĩ sư được một công ty xăng dầu
thuê thiết kế một mẫu bồn chứa xăng với thể tích
V cho trước, hình dạng như hình vẽ bên, các kích
thước r, h thay đổi sao cho nguyên vật liệu làm
bồn xăng là ít nhất. N gười kĩ sư này phải thiết kế
kích thước h như thế nào để đảm bảo được đúng
yêu cầu mà công ty xăng dầu đã đưa ra? 3 V
A. h  0 B. h   3 V C. 3
h  2 V D. h  2
1-D 2-A 3-A 4-B 5-C 6-C 7-A 8-A 9-C 10-C 11-C 12-D 13-A
Dạng 8. Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong việc giải phương trình
Bài toán 1. Tìm m để F  ;
x m  0 có nghiệm trên tập D Phương pháp giải TOANMATH.com Trang 57
Thực hiện theo các bước sau
Ví dụ: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong đoạn  100 
;100 để phương trình
2 x 1  x m có nghiệm thực? A. 100 B.101 C. 102 D. 103
Bước 1. Cô lập tham số m và đưa về dạng Hướng dẫn giải
f x  g m Điều kiện x  1  t  0
Đặt t x 1   2 x t 1 Ta được phương trình 2 2
2t t 1 m m t   2t 1
Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f x Xét hàm số f t 2
 t  2t 1,t  0 trên D
f t   2t  2  0  t  1 Bảng biến thiên
Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá Từ bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có
trị tham số Am sao cho đường thẳng nghiệm khi m  2 1
 00  m  2
y g m cắt đồ thị hàm số y f x
Bước 4. Kết luận
Vậy có 103 giá trị nguyên m thỏa mãn Chú ý: Chọn D
+)N ếu hàm số y f x liên tục và có giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thì phương trình
f x  g m có nghiệm khi và chỉ khi
min f x  g m  max f xD D
+)N ếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương
trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào
bảng biến thiên để xác định điều kiện sao cho
đường thẳng y g m nằm ngang cắt đồ thị hàm TOANMATH.com Trang 58
số y f x tại k điểm phân biệt Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho phương trình m  2x x    2 2
2 1  x  2x  0 ( m là tham số). Biết rằng tập hợp các
giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 0;1 2 2  
 là đoạn a;b . Giá trị của
biểu thức T  a  2b là 7 1
A. T  4 B. T C. T  3 D. T  2 2 Hướng dẫn giải Đặt 2
t x  2x  2
Xét hàm số t x 2
x  2x  2 trên đoạn 0;1 2 2    t xx 1 
t  0  x  1 2 x  2x  2
Vì t 0  2;t  
1  1;t 1 2 2  3nên t 1;  3
Yêu cầu của bài toán tương đương với phương trình m t   2
1  t  2 có nghiệm thuộc đoạn   2 t  2 1;3  m
có nghiệm thuộc đoạn 1;  3 (1) t 1 2 t  2
Xét hàm số f t  trên đoạn 1;  3 t 1 2  
f tt 2t 2   0, t
  1;3 khi hàm số đồng biến trên đoạn 1;  3 2   t   1
Để phương trình (1) đã cho có nghiệm thì min f t  m  max f t 1; 3 1; 3
f    m f   1 7 1 3    m  2 4 1 7
Vậy a   ;b   T  4 . Chọn A 2 4
x y  2
Ví dụ 2. Giá trị nhỏ nhất của tham số m để hệ phương trình 
x, y   có nghiệm là m 4 4
x y m 0
Mệnh đề nào dưới đây đúng?  3   1 9 
A. m  20; 15 B.
m  12; 8 C. m  ;0 D. m  ; 0   0   0      2  0  2 4  Hướng dẫn giải
x y  2   1 Ta có  4 4
x y m2 TOANMATH.com Trang 59
Từ (1) suy ra y  2  x thay vào (2) ta được (2)  x    x4 4 2  m (3)
Xét hàm số f x  x    x4 4 2
có tập xác định D  
f  x  x    x3  f  x   x    x3 3 3 4 4 2 0 2
x  2  x x 1 Bảng biến thiên
Hệ đã cho có nghiệm thực khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm thực  1 9 
Dựa vào bảng biến thiên ta được m  2  m  2  ; . Chọn D 0    2 4 
Bài toán 2. Tìm m để bất phương trình F  ;
x m  0; F  ;
x m  0; F x, m  0; F x;m  0 có nghiệm trên tập D Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
Ví dụ: Các giá trị của tham số m để bất phương 4 trình x
m  0 có nghiệm trên khoảng x 1   ;1  là A. m  5 B. m  3  C. m  1 D. m  3
Bước 1. Cô lập tham số m và đưa về dạng Hướng dẫn giải
g m  f x hoặc
g m  f x hoặc Bất phương trình đã cho tương đương với
g m  f x hoặc g m  f x 4 x   m x 1 4
Xét hàm số y x  trên khoảng   ;1  x 1 4 x  2 1  4
Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y  1  x  2 1 x  2 1
f x trên D  x  3 ;   1  y  0   x  1 ;    1 TOANMATH.com Trang 60 Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, để bất phương trình
Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên xác định các 4 x
m  0 có nghiệm trên khoảng   ;1  giá trị của tham số m x 1 thì m  3  . Chọn B
Bước 4. Kết luận
Chú ý: N ếu hàm số y f x liên tục và có giá
trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất trên D thì
+) Bất phương trình g m  f x có nghiệm
trên D  g m  max f xD
+) Bất phương trình g m  f x nghiệm đúng x
  D g m  min f xD
+) Bất phương trình g m  f x có nghiệm
trên D g m  min f xD
+) Bất phương trình g m  f x nghiệm đúng x
  D g m  max f xD Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m 0;2019 để bất phương trình
x m    x 3 2 2 1
 0 nghiệm đúng với mọi x  1;  
1 . Số các phần tử của tập S là A. 1 B. 2020 C. 2019 D. 2 Hướng dẫn giải Đặt 2
t  1 x , với x 1;  1  t 0;  1
Bất phương trình đã cho trở thành 3 2 3 2
t t 1 m  0  m t t 1 (1) TOANMATH.com Trang 61
Yêu cầu của bài toán tương đương với bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi t 0;  1
Xét hàm số f t 3 2
t t   f t 2 1  3t  2t t  00;  1 f t 0     2  t  0;  1  3  
Vì f    f   2 23 0 1  1; f   
nên max f t 1  3  27 0; 1
Do đó bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi t 0; 
1 khi và chỉ khi m 1
Mặt khác m là số nguyên thuộc 0;2019 nên m1;2;3;...;  2019
Vậy có 2019 giá trị của m thỏa mãn bài toán. Chọn C
Ví dụ 2. Cho hàm số y f x liên tục trên  1  ;  3 và
có đồ thị như hình vẽ.
Bất phương trình f x  x 1  7  x m có nghiệm thuộc  1  ;  3 khi và chỉ khi A. m  7 B. m  7
C. m  2 2  2
D. m  2 2  2 Hướng dẫn giải
Xét hàm số P x 1  7  x trên đoạn  1;  3 Ta có 2
P  8  2  x  
1 .7  x  8   x  
1  7  x  16  P  4
Dấu bằng xảy ra khi x  3
Suy ra max P  4 tại x  3 (1)  1;   3
Mặt khác dựa vào đồ thị của f x ta có max f x  3 tại x  3 (2) 1; 3
Từ (1) và (2) suy ra max  f x  x 1  7  x   7 tại x  3  1;   3
Vậy bất phương trình f x  x 1  7  x m có nghiệm thuộc  1;  3 khi và chỉ khi
m  max  f x  x 1  7  x   m  7 . Chọn A  1;   3
Bài tập tự luyện dạng 8 TOANMATH.com Trang 62 m
Câu 1: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên âm của tham số m để phương trình 2
x  4  x  có 2
nghiệm. Tập S có số phần tử là
A. 10 B. 6 C. 4 D. 2
Câu 2: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4x m 1  x 1 có hai
nghiệm thực phân biệt ?
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
Câu 3: Cho phương trình 2
2x  2mx  4  x 1(m là tham số). Gọi p, q lần lượt là các giá trị m nguyên
nhỏ nhất và giá trị lớn nhất thuộc 10;10để phương trình có nghiệm. Khi đó giá trị T p  2q là
A. 10 B. 19 C. 20 D. 8
Câu 4: Biết rằng tập hợp tất cả giá trị của tham số m để phương trình 2
x  9  x  x  9x m có
nghiệm thực là S   ;
a b. Tổng a b là 31 49 5
A. a b
B. a b
C. a b  10 D. a b  4 4 2
Câu 5: Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên m để bất phương trình x  5  4  x m có nghiệm?
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Câu 6: Tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình x    x  x 2 6 2 8
x m 1 nghiệm
đúng với mọi x 2;8là
A. m  16 B. m  15 C. m  8 D. 2   m 16
Câu 7: Có bao nhiêu số nguyên m  2018 
; 2018 để bất phương trình 4 2 2
x x  2m  2  2x x 1
nghiệm đúng với mọi x 0;  1
A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020
Câu 8: Tổng các giá trị nguyên của m 20;20 để bất phương trình
x  2 2  x2x  2  m  4 2  x  2x  2 có nghiệm là A. 19  5 B. 17  5 C. 16  5 D. 16  2 2
2x  7x  3  0
Câu 9: Có bao nhiêu giá trị của tham số m 0;2018 để hệ phương trình 
x, y có 2
x  4x m  0 nghiệm
A. 4 B. 5 C. 2014 D. 2015
x y m  0    1
Câu 10: Cho hệ phương trình 
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 0;2019
xy y  2 2 
để hệ phương trình có nghiệm?
A. 2018 B. 2019 C. 2017 D. 2016
1-C 2-B 3-B 4-A 5-D 6-B 7-A 8-D 9-A 10-A TOANMATH.com Trang 63