lOMoAR cPSD| 49831834 BỘ MÔN CƠ SỞ - CƠ BẢN TỔ TOÁN TIN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP PHẦN 2: GIẢI TÍCH lOMoAR cPSD| 49831834
CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG CỦA HÀM MỘT
BIẾN SỐ TRONG KINH TẾ
1.1. Bổ trợ về phép tính vi phân hàm một biến số
1.1.1. Các khái niệm cơ bản về hàm một biến số * Định nghĩa
Cho các tập hợp X Y, . Ánh xạ f : X Y gọi là hàm một biến số. Tập X ược gọi là tập
xác ịnh thường ược kí hiệu là Df , tập ảnh f X( ) của ánh xạ ược gọi là tập giá trị của hàm số f
. Hàm số thường ược kí hiệu: f : X Y x f x( ) y
hoặc y f x( ).
Kí hiệu trên cho phép ta xác ịnh ược giá trị của hàm số tại iểm x, x ược gọi là biến số ộc
lập và y f x( ) là giá trị của hàm số tại x.
Nếu f ược cho bởi một biểu thức mà không nói gì thêm thì ta hiểu tập xác ịnh ở ây là tập
hợp tất cả các giá trị của x ể biểu thức có nghĩa. Ví dụ 1.1 a. Cho hàm số y
4 x2 . Tập xác ịnh là D 2,2 .
b. Hàm số y sin x có tập xác ịnh là D .
c. Hàm số y 1 log (2 x 3). Biểu thức của hàm số có iều kiện xác ịnh là 5 x
5 x 0 và x 3 0. Do ó tập xác ịnh là D 3,5 . * Hàm hợp
Cho các tập hợp X Y Z, ,
và các hàm số f : X Y g Y; : Z . Hợp của hai hàm g f, kí
hiệu g f là hàm số xác ịnh bởi
g f : X Z 2 lOMoAR cPSD| 49831834 x g f x(( ))
hay gf x( ) g f x .
Chẳng hạn, y sin x2 là hàm hợp của hai hàm số y sinu và u x2 . * Hàm ngược
Cho các tập hợp X Y,
và hàm số f : X Y là một song ánh. Khi ó, hàm số f x( ) có
hàm ngược g Y: X sao cho g f x
x, x Df và f g x x, x Dg .
Ta kí hàm ngược của hàm số f x( ) là f 1( )x . Ví dụ 1.2
a. Hàm số y 2x có hàm ngược là y log2 x . b. x 3
Hàm số y 2x
3 có hàm số ngược là y . 2 * Hàm số ơn iệu
Cho các tập hợp X Y,
và hàm số f : X Y . Ta nói hàm số f x( ) ơn iệu tăng nghiêm
ngặt (hoặc ơn iệu giảm nghiêm ngặt) trên X nếu mọi x x1, 2 X thì
x1 x2 f x( 1) f x( 2 ) (hoặc f x( 1) f x( 2 ) )
Ta nói hàm số f x( ) ơn iệu tăng (hoặc ơn iệu giảm) trên X nếu mọi x x1, 2 X thì
x1 x2 f x( 1) f x( 2 ) (hoặc f x( 1) f x( 2 ) )
Hàm số ơn iệu tăng hoặc giảm gọi chung là hàm ơn iệu. Tính ơn iệu cho ta hình dung
hình dáng của ồ thị hàm số trên X: ồ thị của hàm số ơn iệu tăng (giảm) i lên ( i xuống) từ trái sang phải. Ví dụ 1.3
a. Hàm số f x( ) x3 tăng nghiệm ngặt trên . b. Hàm số y
x (hàm phần nguyên) tăng trên toàn trực số nhưng không tăng nghiêm ngặt. 3 lOMoAR cPSD| 49831834
c. Hàm số y sin x tăng nghiêm ngặt trên các khoảng 2 k2 , 2 k2
và giảm nghiêm ngặt trong các khoảng 2 k2 , 32 k2 .
* Hàm số bị chặn
Cho các tập hợp X Y,
và hàm số f : X Y . Hàm số f x( ) bị chặn trên (hoặc chặn dưới)
trong tập X nếu tồn tại một số M sao cho
f x( ) M (hoặc f x( ) M ) với mọi x X .
Nếu hàm số f x( ) vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới trên X thì ta nói rằng f x( ) bị chặn
trên X . Nói cách khác, hàm số f x( ) bị chăn trong tập X nều tồn tại một số dương M sao cho
f x( ) M với mọi x X . Ví dụ 1.4
a. Hàm số y cos x bị chặn trên vì 1
cos x 1 hay cos x 1.
b. Hàm số y x 2 không bị chặn trên nhưng bị chặn dưới vì x2 0 với mọi x .
* Hàm số chẵn và hàm số lẻ
Ta nói một tập hợp X ối xứng nếu với mọi x X thì x X .
Hàm số f x( ) xác ịnh trên tập hợp ối xứng X ược gọi là hàm chẵn nếu với mọi x X ta
có f ( x) f x( ).
Chẳng hạn, các hàm số y x2; y cos x y; x là những hàm số chẵn. Đồ thị của hàm
số chẵn nhận trục tung làm trục ối xứng.
Hàm số f x( ) xác ịnh trên tập hợp ối xứng X ược gọi là hàm lẻ nếu với mọi x X ta có f ( x) f x( ).
Các hàm số y x y 3; sinx là những hàm số lẻ. Hàm số lẻ có ồ thị ối xứng qua gốc toạ ộ.
* Các hàm số thường gặp
Hàm số luỹ thừa: y x ( , 0)
Miền xác ịnh của hàm số này phụ thuộc vào . 4 lOMoAR cPSD| 49831834
+ Nếu nguyên dương thì D .
+ Nếu nguyên âm thì D \ 0 .
+ Nếu là số dương không nguyên thì D 0, .
+ Nếu Nếu là số âm không nguyên thì D 0, .
Hàm số tăng nghiêm ngặt nếu
0 và giảm nghiêm ngặt nếu
0 . Đồ thị hàm số luỹ
thừa luôn i qua iểm 1,1 .
Hàm số mũ: y ax (a 0,a 1)
Miền xác ịnh: D . Miền giá trị là 0, .
Hàm số tăng nếu a 1 và giảm nếu 0 a 1.
Đồ thị hàm số luôn i qua iểm (0,1), nằm phía trên và tiệm cận với trục hoành.
Hàm số lôgarit: y loga x a( 0,a 1) Miền xác ịnh: D 0,
. Là hàm số ngược của hàm số mũ y a x . Đồ thị hàm số ối
xứng với ồ thị hàm số mũ y a x qua ường phân giác thứ nhất. Hàm số tăng nếu
a 1 và giảm nếu 0 a 1.
Các hàm số lượng giác
+ Hàm số y sin x y; cos x. Tập xác ịnh: D , tập giá trị là 1;1 , tuần hoàn với chu kỳ 2 .
+ Hàm số y tan x. Tập xác ịnh: D \ k : k
, tập giá trị là , tăng 2 k , k
, tuần hoàn với chu kì .
nghiêm ngặt trong các khoảng 2 2 5 lOMoAR cPSD| 49831834
+ Hàm số y cot x . Tập xác ịnh: D \ k : k , tập giá trị là , tăng nghiêm ngặt
trong các khoảng k , k 1
, tuần hoàn với chu kì .
Các hàm số lượng giác ngược
+ Hàm số y arcsin .x
Hàm số y sin x tăng nghiêm ngặt trên oạn 2 , 2 nên có hàm số ngược
kí hiệu là x arcsin y . Nếu dùng chữ x ể chỉ biến số ộc lập và biến y ể chỉ biến số phụ thuộc,
thì hàm số ược kí hiệu là y arcsin x . Hàm số ,
y arcsin x có tập xác ịnh là D 1;1 , tập giá trị 2 2 . Hơn nữa hàm
số y arcsin x là hàm số lẻ và tăng.
+ Hàm số y arccos x.
Hàm số ngược của hàm số y cos x trên oạn 0,
ược kí hiệu là y arccos x.
Hàm số y arccos x có tập xác ịnh là D
1;1 , tập giá trị là 0, . Hơn nữa y
arccos x là hàm giảm.
+ Hàm số y arctan x.
Hàm số y arctan x là hàm số ngược của hàm số y tan x trong , 2 2 .
Hàm số y arctan x có tập xác ịnh là D , tập giá trị là 2 , 2 . Hơn nữa
y arctan x là hàm số lẻ và tăng. 6 lOMoAR cPSD| 49831834
+ Hàm số y arccot x.
Hàm số y arccot x là hàm số ngược của hàm số y cot x trong 0, .
Hàm số y arccot x có tập xác ịnh D , tập giá trị là 0,
. Hơn nữa y arccot x là hàm số giảm.
Các hàm số luỹ thừa, mũ, logarit, các hàm lượng giác và hàm số lượng giác ngược ược
gọi chung là các hàm sơ cấp cơ bản. Từ những hàm sơ cấp cơ bản, bằng một số hữu hạn các
phép toán cộng, trừ nhân, chia và phép hợp hàm ta xây dựng ược những hàm phức tạp hơn và
gọi là các hàm sơ cấp.
1.1.2 Giới hạn của hàm số
* Định nghĩa và tính chất của giới hạn hàm số
Cho các tập hợp X Y,
và hàm số f : X Y . Ta nói L là giới hạn của hàm số f x( ) khi
x x0 và kí hiệu là xlim x0 f x( ) L khi và chỉ khi 0, 0: x X x, x0 f x( ) L .
Giới hạn của hàm số f x( ) khi x x0 và x x0 ược gọi là giới hạn phải của hàm số
f x( ) tại x0 và kí hiệu là xlim x0 f x( ).
Giới hạn của hàm số f x( ) khi x x0 và x x0 ược gọi là giới hạn trái của hàm số
f x( ) tại x0 và kí hiệu là xlim x0 f x( ) .
Ví dụ 1.5.Tính các giới hạn sau 3 x a. lim x 3 x 3 3 x
Ta có khi x 3 thì 3 x x 3. Do ó lim 1. x 3 x 3
x2 2x 1 x 1 b. lim x 1 x 1 7 lOMoAR cPSD| 49831834 2 2 x 2 1 1 x x x 1 x 1 x 1 1 Ta có x x 1 x 1 x 1 x 1 1 x x 1 Khi 1 x x 1 0 . x 1 1 x 2 x 2 x 1 x 1 Do ó lim 0 . x 1 x 1
Định lý: Hàm số f x( ) có giới hạn L khi x x0 khi và chỉ khi f x( ) có giới hạn trái và
giới hạn phải tại x0 và cả hai giới hạn ó phải bằng nhau và bằng L , cụ thể
xlimx f x( ) L 0
xlimx0 f x( ) xlimx f x( ) L 0
* Tính chất về giới hạn của hàm số Cho tập hợp X Y,
và các hàm số f g h X, , : Y Giả sử và Tính chất 1: lim lim x x 0 f x( ) L1 x x
0 g x( ) L2 . Khi ó 1) xlim x0 f x( ) g x( )
L1 L2 2) xlim x0 f x g x( ). ( ) L L1. 2
3) xlim x0 g xf x( )( ) LL12 4) xlim x0 . ( )f x L1 5) L xlim x
f x( ) g x() L 2 (L 0 1 2 0)
Tính chất 2: Nếu lim f x( ) L thì lim f x( ) L ( iều ngược lại không úng). Đặc x x 0 x x 0
biệt nếu lim f x( ) 0 thì lim f x( ) 0 . x x0 x x 0
Tính chất 3 (Định lý kẹp): Giả sử f x( ) g x( ) h x( ), xX \ x0 . Nếu
lim f x( ) lim h x( ) L thì lim g x( ) L. x x 0 x x 0 x x 0
* Các công thức tính giới hạn 8 lOMoAR cPSD| 49831834 1 1) lim C C 2) xlim 0 ( 0) x x 0 x sin tan 3) lim x 1 4) lim x 1 x 0 x 0 x x ln(1 e 1 5) lim x 1 6) lim x) 1 x 0 x x 0 x 7) xlim 1 1 x e 8) xlim 1 1x x 1e x x ) 9) lim 1 p x 0 x 1x e 10) xlim lnx 0 ( 0, p xp *
11) xlim x 0 (p ) e
* Đại lượng vô cùng bé, vô cùng lớn a) Định nghĩa
- Hàm số f x( ) gọi là ại lượng vô cùng bé (viết tắt là VCB) khi x x0 nếu lim f x( ) 0 . x x 0
- Hàm số f x( ) gọi là ại lượng vô cùng lớn (viết tắt là VCL) khi x x0 nếu lim f x( ) . x x0
Trong ịnh nghĩa trên thì x0 có thể hữu hạn hoặc x0 .
Nhận xét: Nếu f x( ) là một VCB (VCL) khi x x0 thì
1 là một VCL (VCB) khi f x( ) x x0 . 9 lOMoAR cPSD| 49831834
b) So sánh các VCB, VCL 1) Cho ( )x ,
( )x là các VCB khi x x0 . Ta nói chúng là các VCB so sánh ược ( )x
nếu tồn tại giới hạn lim c. Khi ó x x ( )x 0
+ Nếu c hữu hạn và khác không thì ta nói ( )x , ( )x là các VCB cùng cấp khi x x0 .
+ Nếu c 0 thì ta nói ( )x là VCB cấp cao hơn ( )x khi x x0 . + Nếu c
thì ta nói ( )x là VCB cấp thấp hơn ( )x khi x x0 . 2) Cho ( )x ,
( )x là các VCL khi x x0 . Ta nói chúng là các VCL so sánh ược ( )x
nếu tồn tại giới hạn lim c. Khi ó x x ( )x 0
+ Nếu c hữu hạn và khác không thì ta nói ( )x , ( )x là các VCL cùng cấp khi x x0 .
+ Nếu c 0 thì ta nói ( )x là VCL cấp thấp hơn ( )x khi x x0 . + Nếu c
thì ta nói (x) là VCL cấp cao hơn (x) khi x x0 . Ví dụ 1.6
a. 1 cos x và 2x ều là những VCB khi x 0. Vì lim1 x x cosx limsin2 2 limsin x.sin 2 0.1 0 x 0 2x x 0 x x 0 2 x 2
Nên 1 cos x là VCB bậc cao hơn 2x. 1
b. xsin và 2x ều là những VCB khi x 0. Vì x 1 1 xsin sin x x lim lim 10 lOMoAR cPSD| 49831834 x 0 2x x 0 2 1 1
nhưng limsin không tồn tại nên xsin
và 2x là hai VCB khi x 0 không so sánh ược x 0 x x với nhau. c. sin x
sin x và x là hai VCB cùng cấp khi x 0 vì lim 1. x 0 x
c) Vô cùng bé tương ương
Hai VCB ( )x , ( )x khi x x0 ược gọi là tương ương nhau nếu ( )x lim 1. x x0
( )x Kí hiệu ( )x ( )x khi x x0 .
Tính chất: Giả sử 1( )x , 2( )x ,
1( )x , 2( )x là các VCB
khi x x0 . Khi ó
1) Quy tắc thay VCB tương ương:
Nếu 1( )x 2 ( )x , 1( )x 2 ( )x thì 1( )x 1( )x 2( )x 2( )x khi x x0 .
1( )x lim 2 ( )x . Nếu 1( )x 2 ( )x , 1( )x
2 ( )x thì x xlim 0 1( )x x x 0 2 ( )x
2) Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao ( )x
Nếu ( )x , ( )x ều là tổng của các VCB khác cấp thì giới hạn của tỉ số khi x ( )x
tiến tới x0 bằng giới hạn của tỉ số hai VCB cấp thấp nhất trong ( )x và ( )x . Cụ thể giả sử (x) 1(x) 2 (x) ... i (x) ... m(x) (x) 1(x) 2 (x) ... j (x) ... n(x)
và i ( )x là VCB cấp thấp nhất trong các VCB 1( )x , 2 ( )x ,..., m( )x . 11 lOMoAR cPSD| 49831834
j ( )x là VCB cấp thấp nhất trong các VCB
1( )x , 2( )x ,..., n( )x . x) (x) Khi ó lim ( lim i . x x (x) 0
x x0 j (x)
d) Một vài VCB áng nhớ (khi x 0) 1) sin x x 2) tan x x 3) arcsin x x 4)arctanx x 2 x 5) 1 cos x 6) ln(1 x) x 2 x 7) ex 18) 1 x 1 x, Ví dụ 1.7 1 ex 1 cos x lim a. Tính x 3 0 x 2 x ; 3 3 x
Khi x 0, ta có ex 1 x; 1 cos x 2 x . 2 1 e 1 cos x x . x Vậy limx 0 x x3
limx 0x3 2 limx 0 2xx33 12 . ln 1 tan x b. Tính limx sin3 0 x x 3
Khi x 0, ta có ln 1 tan x ln(1 x)
x; x x ; sin3 x
x . Vì x3 là VCB cấp x 3 cao hơn x (lim
0 ) nên áp dụng quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao ta ược x 0 x 12 lOMoAR cPSD| 49831834 x ln 1
sintan x limx x 3 limx 0 xx 1. lim 3 0 x x 0 x x
e) Vô cùng lớn tương ương
Hai VCL f x g x( ), ( ) khi x x0 ược gọi là tương ương nhau nếu lim f x( ) 1. x x g x( ) 0
Kí hiệu f x( ) g x( ) khi x x0 .
Tính chất: Giả sử f x f x g x g x1( ), 2 ( ), 1( ), 2( ) là các VCL khi x x0 . Khi ó
1) Quy tắc thay VCL tương ương:
Nếu f x1( ) f x2( ), g x1( ) g x2( ) thì f x g x1( ) 1( ) f x g x2( )2( ) khi x x0 .
Nếu f x1( ) f x2( ), g x1( ) g x2( ) thì xlim x0 g xf x1( )( ) xlim x0 gf22( )( )xx . 1
2) Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp
Nếu f x g x( ), ( ) ều là tổng của các VCL khác cấp thì giới hạn của tỉ số f x( ) khi x g x( )
tiến tới x0 bằng giới hạn của tỉ số hai VCL cấp cao nhất trong f x( ) và g x( ). Cụ thể giả sử f x( ) f x1(
) f2 (x) ... f xi ( ) ... fm(x) g x( )
g x1( ) g2 (x) ... g j (x) ... gn(x)
và f xi ( ) là VCL cấp cao nhất trong các VCL f x f x1( ), 2( ),..., fm( )x . g
xj ( ) là VCL cấp cao nhất trong các VCL g x g x1( ), 2 ( ),..., g xn( ). Khi ó lim f x() lim f xi ( ) . g x x g x( 0 ) x x0 j (x) Ví dụ 1.8 13 lOMoAR cPSD| 49831834
Xét hàm số f x( ) a0 a x1 ... a xm nm (am,bn 0) .
g x( ) b0 b x1 ... b xn Ta có khi x thì a0 a x1 ... a x m m n n
m a xm b0 bx1 ... b xn b xn f x( ) a x m m Do ó xlim lim n . b x g x( ) x n
1.1.3. Hàm số liên tục
* Khái niệm hàm số liên tục
Giả sử hàm số f x( ) xác ịnh trên tập hợp X và x0 X . Hàm số f x( ) ược nếu
gọi là liên tục tại x lim 0 x x
0 f x( ) f x( 0) .
Kí hiệu x x x0 là số gia của biến số. y f x( ) f x( 0 ) là số gia của hàm số (tương
ứng với số gia x của biến số). Ta có thể phát biểu lại ịnh nghĩa hàm số liên tục như sau: Hàm
số f x( ) liên tục tại x0 nếu limx 0 y 0.
Nếu hàm số f x( ) liên tục tại mọi iểm x X thì ta nói f x( ) liên tục trên X .
Nếu hàm số f x( ) không liên tục tại x0 thì x0 ược gọi là iểm gián oạn của hàm số f x( ).
Ví dụ 1.9. Cho hàm số 1 cos2 x , x 0 x f x( ) m , x 0
Xét tính liên tục của hàm số tại x0 0.
x2 Ta có limx f x( ) lim 1 cos x 2 x 2
limx 0 x 2 12 và f (0) m . 0 0 x 14 lOMoAR cPSD| 49831834
+ Nếu m thì limx 0 f x( ) f (0) suy ra hàm số liên tục tại x0 0.
+ Nếu m thì limx 0 f x( ) f (0) suy ra hàm số gián oạn tại x0 0.
* Liên tục một phía
Giả sử hàm số f x( ) xác ịnh trên tập hợp X và x0 X .
- Hàm số f x( ) ược gọi là liên tục phải tại x0 nếu xlim x0 f x( ) f x( 0 ) .
- Hàm số f x( ) ược gọi là liên tục trái tại x0 nếu xlim x0 f x( ) f x( 0 ) .
Định lý: Hàm số f x( ) liên tục tại x0 khi và chỉ khi f x( ) vừa liên tục trái vừa liên tục
phải tại x0 . Nói cách khác, lim lim
f x( ) liên tục tại x0 x x0 f x( ) x
x0 f x( ) f x( 0) sinx x , x 0
Ví dụ 1.10. Xét hàm số f x( ) 1 , x 0 . 2x 3, x 0 sin x Ta có lim f x( ) lim
1f (0) nhưng lim f x( ) lim 2 x 3 3 1. x 0 x 0 x x 0 x 0
Vậy f x( ) liên tục phải tại x 0 nhưng gián oạn tại x 0 .
* Tính chất của hàm số liên tục
1) Hàm số sơ cấp liên tục tại mọi iểm thuộc tập xác ịnh.
2) Nếu f x g x( ), ( ) các hàm số liên tục tại x0 thì các hàm số f x( ) g x( ), f x g x( ). ( ),
f x( ) g x( 0) 0 , f x( ) g x( ) f x( 0) 0 cũng liên
tục tại x0 . g x( ) 15 lOMoAR cPSD| 49831834
3) Tính liên tục của hàm hợp: Giả sử các hàm số f x g x( ), ( ) xác ịnh trên tập hợp
X Y, và x0 . Nếu f : X Y liên tục tại x0 và g Y:
liên tục tại y0 f x( 0) thì hàm hợp
g f : X cũng liên tục tại x0 . * Hàm số liên tục trên một oạn
- Hàm số f x( ) ược gọi là liên tục trên khoảng a b, nếu f x( ) liên tục tại mọi iểm x a b, .
- Hàm số f x( ) ược gọi là liên tục trên oạn a b, nếu f x( ) liên tục trên khoảng a
b, và f x( ) liên tục phải tại x a , liên tục trái tại x b.
- Hàm số f x( ) ược gọi là liên tục trên nửa khoảng a b, (tương ứng a b, ) nếu f
x( ) liên tục trên khoảng a b, và f x( ) liên tục phải tại x a (tương ứng liên tục trái tại x b).
- Đồ thị hàm số liên tục trong một khoảng ược biểu diễn bằng một ường liền nét.
1.1.4. Đạo hàm và vi phân cấp 1 * Đạo hàm a) Định nghĩa
Cho hàm số f x( ) xác ịnh trong khoảng a b, và x0 a b, . Gọi x x x0,
y f x( ) f x( 0 ) lần lượt là số gia của biến số và số gia của hàm số tại x0 . Giới hạn hữu y
hạn (nếu có) của tỉ số x khi x
0 gọi là ạo hàm của hàm số tại x0 và kí hiệu là f '(x0 ).
Như vậy: f '(x0 ) limx 0
yx hay f '(x0 ) limx 0 f x( 0 xx) f x( 0 ) .
f x( ) f x( 0 ) . lim
Nhận xét: vì x x x0 0 x x0 nên f '(x0 ) x x 0 x x0 16 lOMoAR cPSD| 49831834
Ví dụ 1.10. Xét hàm số f x( ) sin x. Ta có lim f x( ) f x( 0 ) lim sin
sin x sin x0 lim 2 0 x 2x0 2cos x x x x0 x x x x x x 0 x x0 0 x x0 0 sin x x x 2 0 xlim cosx0 x 2 . x x 0 0 cos x0 2
Do ó f x'( 0 ) cos x0 với mọi x0 .
Định lý: Nếu hàm số f x( ) có ạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại iểm ó.
Lưu ý: Điều ngược lại chưa chắc xảy ra. Thật vậy, ta thấy hàm số y f x( ) x liên tục
tại x0 0 nhưng không có ạo hàm tại x0 0.
b) Đạo hàm một phía xác ịnh trên Cho hàm số f x( ) a b, và x0
a b, . Các giới hạn (nếu tồn tại)
f ' (x0 ) xlim x0 f x( )x
xf x0( 0 ) và f ' (x0 ) xlim x0 f x( )x xf x0( 0 )
Gọi là ạo hàm một phía, lần lượt là ạo hàm phải và ạo hàm trái của f x( ) tại x0 .
Định lý: Hàm số f x( ) có ạo hàm tại x0 khi và chỉ khi nó có ạo hàm trái, ạo hàm phải tại
x0 và chúng bằng nhau và bằng f x'( 0 ), tức là
f x( ) có ạo hàm tại x0 f ' (x0 ) f ' (x0 ) f x' ( 0 )
c) Đạo hàm trên một khoảng, một oạn Cho hàm số f x( ) trên oạn a b, 17 lOMoAR cPSD| 49831834
- Hàm số f x( ) ược gọi là có ạo hàm trên khoảng a b, nếu f x( ) có ạo hàm tại mọi iểm x0 a b, .
- Hàm số f x( ) ược gọi là có ạo hàm trên oạn a b, nếu f x( ) có ạo hàm trên khoảng
a b, và có ạo hàm phải tại x a , có ạo hàm trái tại x b.
d) Các quy tắc tính ạo hàm
1) Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số
Nếu các hàm số u x v x( ), ( ) có ạo hàm trên khoảng a b, thì các hàm số u v ( )x ,
ku ( )x (với k
là hằng số) và uv ( )x cũng có ạo hàm trên khoảng a b, và
+ u v ' u' v' + ku ' ku' +
uv ' u v' uv'
Hơn nữa nếu v x( ) 0, x a b, thì ' + u ' u v' 2 uv v v
2) Đạo hàm của hàm hợp Nếu hàm số u
( )x có ạo hàm tại iểm x0 và hàm số y f u( ) có ạo hàm tại iểm tương ứng u0
(x0) thì hàm hợp y x( ) f
( )x có ạo hàm tại iểm x0 và ạo hàm của hàm hợp
( ạo hàm của y theo x) ược tính theo công thức:
y x'( 0 ) f u'( 0 ) '(x0 )
Công thức trên có thể viết dưới dạng: y ' ' ' x y uu . x .
3) Đạo hàm của hàm ngược
Giả sử hàm số f x( ) có ạo hàm tại x0 và g x( ) là hàm ngược của f x( ) . Khi ó, nếu f x'( 0
) 0 và g x( ) liên tục tại iểm y0 f x( 0 ) thì g x( ) có ạo hàm tại y0 và 18 lOMoAR cPSD| 49831834 g y'(0 ) 1 . f '(x0 )
e) Bảng ạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản Các hàm sơ cấp cơ bản Các hàm hợp x ' x 1 u ' u 1.u' 1 1 ' 12 ' u2' x x u u ex ' ex eu ' u e' u
ax ' ax ln a
au ' u a'u ln a ln x ' 1 x ln u ' u' u loga x ' 1 xln a loga u ' u' uln a sin x ' cos x sin u ' u 'cosu cos x ' sin x cosu ' u 'sin u tan x ' 12 1 tan2 x cos x ' tan u ' u2 u' 1 tan2 u cos u cot x ' 12 1 cot2 x sin x cot u ' u ' 2 u' 1 1 cot2 u sin u arcsin x ' 2 1 x arcsin u ' u ' arctan x ' 19 lOMoAR cPSD| 49831834 arctan u ' 2 1 u 1 u2 u'
f) Ý nghĩa hình học của ạo hàm
Đạo hàm của hàm số f x( ) tại iểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến của ồ thị hàm số
ó tại iểm M x( 0, f x( 0)).
Như vậy nếu hàm số f x( ) có ạo hàm tại iểm x0 thì tiếp tuyến của ồ thị hàm số tại iểmM
x( 0, f x( 0)) có phương trình là: y f '(x0) x x0 f x( 0). * Vi phân a) Định nghĩa
Hàm số f x( ) ược gọi là khả vi tại iểm x0
a b, nếu tồn tại số A ( A chỉ phụ thuộc
vào x0 và f x( )) sao cho số gia của của hàm số f x( ) tại x0 có thể biểu diễn dưới dạng
f x( 0 ) A x O. ( x) 20