Vi tích phân hàm một biến tính | Môn toán cao cấp

Giới hạn hàm số Ví dụ. Xét hàm số fx. 𝛼(𝑥) và 𝛽(𝑥) là vô cùng bé cùng cấp. 𝛽(𝑥) là vô cùng bé cấp cao hơn 𝛼(𝑥) [𝛽(𝑥) = 𝜊(𝛼(𝑥))]  Ví dụ. Tính các giới hạn sau (sử dụng vô cùng bé tương đương). Hàm số trên xác định tại x 0, nhưng không tồn tại giới hạn khi. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem !

Môn:

Toán Cao Cấp (KTHCM) 190 tài liệu

Thông tin:
28 trang 4 tuần trước
Tác giả:
M
Ma Thu Hương
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Vi tích phân hàm một biến tính | Môn toán cao cấp

Giới hạn hàm số Ví dụ. Xét hàm số fx. 𝛼(𝑥) và 𝛽(𝑥) là vô cùng bé cùng cấp. 𝛽(𝑥) là vô cùng bé cấp cao hơn 𝛼(𝑥) [𝛽(𝑥) = 𝜊(𝛼(𝑥))]  Ví dụ. Tính các giới hạn sau (sử dụng vô cùng bé tương đương). Hàm số trên xác định tại x 0, nhưng không tồn tại giới hạn khi. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem !

34 17 lượt tải Tải xuống

Môn: Toán Cao Cấp (KTHCM) 190 tài liệu

Trường: Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh 1.7 K tài liệu

Thông tin:

28 trang 4 tuần trước

Tác giả:

Profile Ma Thu Hương
lOMoARcPSD| 49831834
1/ Gii hn hm s V d. Xt hm s
f x
x
2
1
khi
x
1
x 1
Gii.
Ta c limx 1 f x limx 1
x
x
2
1
1
limx 1
x
1
x 1
x
1
limx 1 x 1 1 1 2
Vậy lim f x 2
x 1
Tnh lim
f x , lim
f x
x 1 x 1
Gii
Ta c
lim
f x lim
x 1 x
1 x 1 lim
f x
lim
x 1 0 x 1
x 1
Suy ra lim
f x lim
f x
x 1 x 1
x
V d. Chng minh lim không tn ti
x 0 x
Gii.
V d. Cho hm f x
x
1
x
x 1
x 1
lOMoARcPSD| 49831834
Thật vậy
x
• lim lim
1
x 0x 0 x
• lim lim 1 x 0x 0
Vxlim0
x xlim0
x
suy ra không tn ti gii hn limx 0
x
(nh cht 5)
x x x
V d. Tnh cc gii hn sau
x
3
3
x
2
2 x 1 x
2
2x 2 x
2
2x 2 3
1. limx
1
2 limx 1
limx 1
3
x 3x 2
x 1 x 2
x 2 1
2. limx 0
2
2
limx 0
x
2
2
1
x
1
limx 0 x
2
21
x 1
2 x
2
1
x
1
x
1 x 1
x 2x x 2x
x
2
x
x 1 x
1
x
2
1 x 1
2
x
2
1 x
2
2x 1
lim lim x 0 x2 2x x2 1 x 1 x 0 x2 2x
x2 1 x 1
2x 2x
lim lim x 0 x2 2x x2 1 x 1 x 0 x x 2 x2
1 x 1
2 1
x
x
x
x
x
x
lOMoARcPSD| 49831834
lim x 0 x 2 x2 1
x 1 2
3. limx
x 8
x
xlim 1
10
2
x
(gii hn c dng 1
∞
đưa v gii hn e)
x 2 x
Đt t
10
, khi x th
t 0
x
2
Ta c t
10
x 2
10
x 2
10
x 2 t t
Suy ra xlim 1
10
2
x
lim 1t 0 t
2 10
t limt 0 1 t
2
. 1 t
10
t
lim 1t 0 t
2
.lim 1t 0 t
10
t
x
1.limt0 1 t
1
t
10
e
10
Cch khc
x 2 10 x
3. limx
x
x 8
2
x xlim 1
x
10
2
x
xlim 1 x10 2 10 x 2
x 2 x x10 2 x 2 10x x2 10x 10x
lOMoARcPSD| 49831834
xlim 1 x10 2 10 xlim 1 x10 2
10 xlim ex 2 exlim x 2 e10 (nh cht 4)
4. lim x3 33x2 5x 7 x3 1 3x x52 x73 xlim 1 3x
x52 x73 1 lim
x x 3x 2 x x
3
1 32 23
1
32 23
x x x x
x 1 1 3 3 limx 1 1 1x 1 x 13 x x2 limx 1 1 x1 xx32
3 limx 1 x21 xx3 2
5. lim x 1 x
1
lim x 1 x 2 lim x 1 x 2 lim x 2 3
1
x 1
1 x 1 x x
2
x 1
x 1 1 x x
2
x 1
1 x x
2
3
sin5x sin3x sin5x sin3x
6. lim lim lim 5 3 2 x 0 sin x x 0 sin x x 0 sin x
1
7. lim cosx 0 x x1
2
lim 1x 0 cosx 1 x1
2
limx 0
1 cosx 1 cos1x 1 cos1x 1 x2
1 cosx 1
x 1 cosx 1
lim 1 cos
x 0
2 x
2
1
1
x
lOMoARcPSD| 49831834
cosx
1
lim
1
cos
x
1
lime x2 exlim 0 x2 ex 0 x2 e 2 (theo nh cht 4)
x 0
x
2
3 x
2
x
3
x
lim x x 3 x2
3 x2 x
x 3 1
lim lim
x
x x x 1 32
1
1
x x
3x
1
1
lim
x
1 32
1
1
2
x x
2/So snh vô cng b
a) x 5x
2
2 x
5
; x 3x
2
2x
3
b) x sinx ; x x
2
gii
x 5
x
2
2
x
5
x
2
5 2x
3
5 2x
3
5
sin
2
Ta c
2
2
2
2
2
0
0
0
sin
2
sin
sin
1
1
2
2
2
2
lim
2
lim
lim
.1
2
2
4
4.
2
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
8
.lim
3
lim
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
2
lim
x
x
x
2
2
2
3
1
1
3
1
1
x
x
x
x
x
x
lOMoARcPSD| 49831834
a) limx
0
lim
x
0
2 3
lxim0 2
limx 0
x
3x
2 x
x 3 2x
3 2x 3
𝛼(𝑥) v𝛽(𝑥) l vô cng b cng cp
b) limx 0 x limx 0 x2 limx 0
x x limx 0 sinx x
xlim 0 1x limx 0 sin1 x xlim 0 x 1.0 0 x sin x sin x 1
x
𝛽(𝑥) l vô cng b cp cao hơn 𝛼(𝑥) [𝛽(𝑥) = 𝜊(𝛼(𝑥))]
V d. Tnh cc gii hn sau (s dng vô cng b tương đương)
x
a) A lim
x 1 tan 0. x 1
2
Đt t x 1x t 1 khi
x
1 th t 0
A lim .tant 0 t
t
1
limt 0 t.tan
2 2
t
lim .cott 0 t
2
t
limt 0
tan
t
t
2
2
t t
Khi t 0 th tan
2 2
Suy ra A lim
t
lim
1
2
t
0
t
t
0
2 2
1
lOMoARcPSD| 49831834
b) B lim cosx x
1
x
lim 1x 0 cosx 1
1
x
limx 0
1 cosx 1 cos
1
x 1
cos
1
x 1 x
0
cosx 1
1 cosx 1 cosx 1 limx 0 ecosxx 1 exlim 0cosxx 1 limx 0
2
Khi
x
0 th cosx 1
x2
x 0 cosx 1 x 0
2
limx
0
x 0
Suy ra lim lim
x x 2
cosx 1 cosx 1 lim cosx 1
lim 1 cosx 1 cos
x 1
Vậy B
lime
x
e
x 0
x
e
0
1 x
0
x
0
c) C limx 0 ln 1 2tan x
0
sin3x 0
2
x
1
x
1
x
lOMoARcPSD| 49831834
Khi
x
0 th ln cos x ln 1
cosx 1 cosx 1 ;
ln 1 x
2
x
2
2
x2
0
ln cos
x
2
2 1
Suy
ra D lim lim x ln 1 x2 x 0 x 2
e2x 1
e) E = lim
x 0
ln 1 4x
Khi
x
0 th e
2x
1 2x ;ln 1 4x ln 1 4x 4x
e
2x
1 2x 1
Suy ra E lim lim
x 0
ln 1 4x
x 0
4x 2
f) F lim 1 x x2 1 x 0 sin4x
Khi
x
0 th 1 x x
2
1 1 x x
2 12
1
1
x x
2
1
x ; sin4x 4x
2 2
1
x x
2
1
x
1
Suy ra F lim lim x 0 sin4x x 0 4x 8
3/ Hm s liên tc
Xt nh liên tc ca hm s sau
Khi
x
0 th ln 1 2tan x 2tanx 2x ;
Suy ra C lim ln 1 2tan
x lim2x 2
x 0 sin3x x 0 3x 3 ln cos
x
d)
D
limx 2
0
ln 1 x
sin3x 3x
2
x
lOMoARcPSD| 49831834
a) y f x
1
ti
x
0
x
Hm s
y
1
không xc đnh ti
x
0, nên hm s
y
1
không liên tc ti
x
0 x x
1 x 0
f x x ti
x
0
b) y
1 x 0
Hm s trên xc đnh ti
x
0, nhưng không tn ti gii hn khi
x
0
Thật vậy, ta c lim
f x lim
1 ; lim
f x lim
1
, suy ra hm s không tn
ti gii
x 0 x 0 x x 0 x 0 x
han, nên hm s đ cho không liên tc ti
x
0
x x 1
c)
y
f x
x x 1
ti
x
1
1
Hm s trên xc đnh ti ti
x
1, xt gii hn hm s khi ti
x
1
Ta c ti lim
f x lim 1
x 0; lim
f x lim
x 1
x 1 x 1 x 1 x 1
Vlim
f x lim
f x hm s không c gii hn ti
x
1
x 1 x 1
Vậy hm s đ cho không liên tc ti
x
1, nhưng liên tc tri ti x =1 v f 1 0
1 0 x
d) y f x
1 x 1 ti x 0, x , x 1
lOMoARcPSD| 49831834
0 x ;0 1;
Hm s đ cho không liên tc ti x 0, x , x 1. Thật vậy, hm s xc đnh ti cc đim x
0, x , x 1, nhưng không tn ti gii hn ti cc đim x 0, x , x 1
Ta c
• lim
f x 0; lim
f x 1 lim
f x lim
f x
x 0 x 0 x 0 x 0
• lim
f x 1; lim
f x 1 lim
f x lim
f x
x 1
2
x 1
2
x 1
2
x 1
2
• lim
f x 1; lim
f x 0 lim
f x lim
f x
x 1 x 1 x 1 x 1
Vậy hm s đ cho liên tc bên phi ti
x
0 , liên tc tri ti x ; x 1
4/ Đo hm ca hm s
V d. Tnh đo hm ca cc hm s sau
x2 x 1
a) f x
2x 1 x 1 ti x 1
b) f x x 1 ti
x 1
Gii.
a) Ta xt đo hm tri v đo hm phi ti
x
1
lim f x f x 0 lim f x f 1 lim x2 12
x x
0
x x
0
x 1 x 1 x 1 x 1
lOMoARcPSD| 49831834
lim x 1 x 1 lim x 1 2 f 1
x 1 x 1 x 1
lim f x f x 0 lim f x f 1 lim 2x 1 12
x x
0
x x
0
x 1 x 1 x 1 x 1
lim 2x 2 lim 2 x
1 2 f 1 x 1 x 1 x 1
x 1
V
f
1
f
1
2 , hm s đ cho c đo hm ti x 1v
f
1 2
b) f x
x 1
x 1
x
1
x 1 x 1
Ta xt đo hm tri v đo hm phi ti
x
1
lim 0 lim f x f 1 lim x 1 0 1 f
1 f x f x
x x
0
x x
0
x 1 x 1 x 1 x 1
lim 0 lim f x f 1 lim x 1 0 1 f
1 f x f x
x x
0
x x
0
x 1 x 1 x 1 x 1
V
f
1
f
1 , hm s đ cho không c đo hm ti
x
1
Đo hm cp cao
Ta c y f x( )
1
y
1
2
x x
y
12
2x4 23 1.23
lOMoARcPSD| 49831834
x x x x
y 3 23
2.36x
2
1.2.34
x x x
y
4 1.2.34
2.3.48 x
3
1.2.3.45
x x x
...
n 1 n
1n n1n! y
x x
5/ Công thc Lepnit
V d. Tnh đo hm ca cc hm s vi cp cho trưc
a) Cho hm s
f x
2
x
3 e
x
. Tnh
f
10
x
Gii
Ta đt u x 2x 3u
n
x 0 n 2 ; v x e
x
v
n
x
e
x
n
Suy ra f 10 x 10 C10k 2 3x k ex 10 k C100 2 3x 0 ex 10 C101
2 3x 1 ex 9
k 0
C
10
0
2x 3 e
x
C
10
1
2e
x
2x 3 e
x
20e
x
2xe
x
17e
x
b/ Cho
f x
x e
2
x
. Tnh
f
20
0
Gii
Ta đt u x
2
u
n
0 n 3; v e
x
v
n
e
x
n
lOMoARcPSD| 49831834
1
4
Suy ra f
20
x
20
C20k x2 k e
x
20
k
C200 x2 0 e
x
20
C201 x2
1 e
x
19
C202 x2 2 e
x
18
k 0
C x e200 2 x C201 2xex C202 2ex f 20 0 2C e202 0 380
6/ Tnh gn đng
f x
0
x f x
0
f x
0
x
V d. Tnh gn đng cc gi tr sau
a)
4
16,1
Nhận xt
4
16 2 , ta đt
f x
4
x v chn x
0
16
;
x 0,1
14
1
43
16
1
16
43
Ta c f x x
x
f 4 4
4
4 43
Suy ra 16,1 16 16 0,1 2,003125
b) sin29
0
Nhận xt sin30
0
sin
1
, ta đt
f x
sin x v chn x
0
; x1
0
6 2 6 180
Ta c f x sin x
cosx Suy ra sin29
0
sin30
0
cos30
0
1
0
sin cos
1
3
0,4848885
6 6 180 2 2 180
7/ Đo hm ca hm n
lOMoARcPSD| 49831834
V d. Cho biu thc x
3
y
3
6xy. Tnh đo hm ca y theo x
Ta c x
3
y
3
6xy x
3
y
3
6xy 0
Cch 1. Đt F x y , x
3
y
3
6xy
Ta li c F
x
x y,
x
3
y
3
6xy 3x
2
6y; F
y
x y,
x
3
y
3
6xy
3y
2
6x
F x y
x
,
3x
2
2
6y
x
2
2
2y Suy ra y x
F x y
y
, 3y 6x y 2x
Cch 2. Ly đo hm hai v ca biu thc x
3
y
3
6xy , (xem y l hm ca x ), ta đưc
x
3
y
3
6xy
3x
2
3y y
2
6y 6xy 3x
2
6y
6x 3y
2
y
Suy ra y x 3x22 6y x22 2y
3y 6x y 2x
8/ Quy tc L’Hospital
V d. Tnh cc gii hn sau
sin3x 3cos3x 3
a) limx
0
2
x
limx 0 2
x
e 1
2e 2
x
2
2x 2 1
b) limx 2
x
limx 2
x
limx 2
x
limx 2
x
0
e 2e 4e 2e
V d. Tnh cc gii hn sau
2x 1 2
a) limx x limx x 0
e e
x3 3x2 3x2 3x3
lOMoARcPSD| 49831834
b) xlim
2
xlim
xlim
xlim
ln x 2lnx lnx 2lnx1 2lnx
x
lim 9x2 lim 9x3 x
1 x 2
2 x
c) limx 0 sin1 x 1x limx 0 xx sinsinxx limx 0
xx sinsinxx
lim 1 cosx lim sin x
0
x 0
sin x xcosx
x 0
cosx cosx xsin x
lim xln x
d) lim xx lim exln x ex 0
x 0 x 0
1
ta c lim ln
xx lim
ln x
lim
x
lim
x 0
x 0 x 0 1 x 0 1 x 0
x x
2
suy ra lim
x
x
lim
e
xln x
e
0
1
x 0 x 0
e) lim 1 x tan
x
lim
1 x
lim
1
2
x
1
2 x
1
x
x
1
cot
2 2
2 x
lOMoARcPSD| 49831834
sin
2
sin x x sin x x
cosx 1
f) lim lim lim x 0 x 1 cosx x 0 x 1 cosx x 0
1 cosx xsin x
sin x cosx 1 lim
lim
x 0
sin x sin x xcosx
x 0
2cosx cosx
xsin x 3
1
g) lim x2 ln x
ln x x lim x2 0 lim lim
x 0 x 0
2
x 0 2
3
x 0 2
x x
h) limx 0 1 x1 1 limx 0 ex ex x1 1x
limx 0 ex ex x1 1x
x e
limx
0
x ex 1 x limx 0 x exx x 1
e 1 xe
e e xe 2
3
1 x cos x khi
a) Xc nh m ể hàm
f x
liên tc tại
x
0.
b) Tính
f
0 với m tìm ược ở câu a.
Gii
Ví d. Cho hàm số
f x
x
m
x 0
khix 0
1
lOMoARcPSD| 49831834
a) Hm s
f x
liên tc ti
x
0 khi ch khi lim
f x
f
0
x 0
Ta c
• f 0 m
3 13 1 23
• lim f x lim 1 x cos x lim 1 x cos x lim 3 1 x sin x 1
x 0 x 0 x x 0 x x 0 1 3
Vậy hàm
f x
 cho liên tc tại
x
0 khi
m
b) Tính
f
0 với m tìm ược ở câu a
Ta c
3
1 x cos x 1
limx
f x
f
0 lim
x
3
lim
3 1
3
x 32cos x x
0 x 0 x 0 x x 0 3x
13
1
2
3 23
limx 0 3 1 x 32cos x x limx 0 3 3 1 x 3sin x 1 limx 0 1 x 3sin x 1
3x 6x 6x
2 1 x 53 3cos x 7
lim 3 3 7 f 0 x 0 6
6 18
Vậy f 0
9/ Khai triển Taylor và khai triển Maclaurin
f x 0 f x0 x x0 f x0 x x0 2 n
x x0 n x x0 n
f x( )
0
!
f
x
n
lOMoARcPSD| 49831834
1! 2!
f x( ) f 0 f 0 x f 0 x2 f n 0 xn xn
1! 2! n!
V d.
a) Khai trin hm s f x x
5
x
3
–3x
2
1 theo ly tha ca x
–1
.
p dng nh gn đng
f
2,1
Gii
Ta c
• x
0
1 ; f 1 1 +
5
1 –3.1
3 2
1 0
• f x 5x
4
3x
2
–6x f 1 5.1
4
3.1 –6.1
2
2
• f x 20x
3
6 –6x f 1 20.1
3
6.1–6 20
• f
3
x 60x
2
6 f
3
1 60.1
2
6 66
• f 4 x 120x f 4 1 120
•
f
5
x 120
f
5
1 120
f x f 1 f 1 x 1 1 f 1 x 1 2 f 3 1 x 1 3
1! 2! 3!
f 4 1 x 1 4 f 5 1 x 1 5
x 1 5
4! 5!
lOMoARcPSD| 49831834
Suy ra f x 0
2
x
1
20
x
1
2
66
x
1
3
120
x
1
4
120
x
1
5
x
1
5
2! 3! 4! 5!
Vậy f x 2 x 1 10 x 1
2
11 x 1
3
5 x 1
4
x 1
5
x 1
5
p dng nh gn đng
f
2,1 f 2,1 2 2 ,1 1 10 2,1 1
2
11 2,1 1
3
5 2 ,1 1
4
2,1 1
5
37,87 02 1
b) Xc đnh 3 s hng đu ên trong khai trin f x x
5
5 x
3
x theo ly tha ca x 2
Gii
Ta c x
0
2 ; f 2 2
5
5 2.
3
2 6
• f x 5x
4
15x
42
1 f 2 5.2 15.2
2
1 21
• f x 20x
3
30x f 2 20.2
3
30.2 100
Suy ra f x f 2 f 2 x 2 1 f 2 x 2 2 ... x 2 n
1! 2!
621 x 2 50 x 2
2
... x 2
n
Vậy 3 s hng đu ên trong khai trin f x x
5
5 x
3
x theo ly tha ca x 2 ln lưt
l 6; 21 x 2 ; 50 x 2
2
.
c) Khai trin hm s
f x
3
x theo công thc Taylor đn luỹ tha bậc 5 ca
x
1 , vi phn dư
Peano
Gii
Ta c x
0
1 ; f 1
3
1 1
lOMoARcPSD| 49831834
• f x 1 x 23 f 1 1
3 3
•
f
x 1 2 x 53 2 x 53 f 1 2
3 3 9 9
• f 3 x 2 5 x 83 10 x 83 f 3 1 10
9 3 27 27
• f 4 x 10 8 x 113 80 x 113 f 4 1 80
27 3 81 81
•
f
5
x
80 11
x
14
3
880
x
14
3
f
5
1
880
81 3 243 2 34
f x f 1 f 1 x 1 1 f 1 x 1 2 f 3 1 x 1 3
1! 2! 3!
f 4 1 x 1 4 f 5 1 x 1 5
x 1 5
4! 5!
2 10 80 880
Suy ra
f x
1
1
x
1
9
x
1
2
27
x
1
3
81
x
1
4
243
x
1
5
x
1
5
3 2! 3! 4! 5!
Vậy
f x
1
1
x
1
1
x
1
2
5
x
1
3
10
x
1
4
22
x
1
5
x
1
5
3 9 81 243 729
| 1/28

Tài liệu khác của Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh

Preview text:

lOMoAR cPSD| 49831834
1/ Giới hạn hàm số Ví dụ. Xét hàm số f x x2 1 khi x 1 x 1 Giải. x 1 x Ta có lim x 1 x 1 f x limx 1 x2 1 limx 1 x 1
1 limx 1 x 1 1 1 2 Vậy lim f x 2 x 1 x 1
Ví dụ. Cho hàm f x x 1 x x 1 Tính lim f x , lim f x x 1 x 1 Giải Ta có lim f x lim x 1 x 1 x 1 lim f x lim x 1 0 x 1 x 1 Suy ra lim f x lim f x x 1 x 1 x
Ví dụ. Chứng minh lim không tồn tại x 0 x Giải. lOMoAR cPSD| 49831834 Thật vậy x x x • lim lim 1 x x 0x 0 x x x
x • lim lim 1 x 0x 0 x x
Vì xlim0 x xlim0 suy ra không tồn tại giới hạn limx 0 (tính chất 5) x x x
Ví dụ. Tính các giới hạn sau x3 3x2 2 x 1 x2 2x 2 x2 2x 2 3 1. lim 1 x 2 limx 1 lim x 1 3 x 3x 2 x 1 x 2 x 2 1 x 1 2. x 1 lim 2 2 x 0 2 limx 0 2 limx 0 x2 21 x 1 2 x2 1 x x 1 1 x 1 x 2x x 2x x 2x x 1 x 1 x2 1 x 1 2
x2 1 x2 2x 1
lim lim x 0 x2 2x x2 1 x 1
x 0 x2 2x x2 1 x 1 2x 2x
lim lim x 0 x2 2x x2 1 x 1 x 0 x x 2 x2 1 x 1 2 1 lOMoAR cPSD| 49831834 lim x 0 x 2 x2 1 x 1 2 3. limx x 8 x xlim 1 10 2
x (giới hạn có dạng 1∞
đưa về giới hạn e) x 2 x 10 Đặt t , khi x thì t 0 x 2 Ta có t
10 x 2 10 x 2 10 x 2 t t Suy ra xlim 1 10 2 x lim 1t 0
t 2 10 t limt 0
1 t 2 . 1 t 10 t lim 1 t 0 t 2 .lim 1t 0 t 10 t x 1.lim 10 t0 1 t 1 t e10 Cách khác x 2 10 x 3. limx xx 82 x xlim 1 x10 2 x xlim 1 x10 2 10 x 2 x 2 x x10 2 x 2 10x x2 10x 10x lOMoAR cPSD| 49831834 xlim 1 x10 2 10 xlim 1 x10 2 10
xlim ex 2 exlim x 2 e10 (tính chất 4)
4. lim x3 33x2 5x 7 x3 1 3x x52 x73 xlim 1 3x x52 x73 1 lim x x 3x 2 x x3 1 32 23 1 32 23 x x x x x 1 1 3 3 limx 1 1 1x 1 x 13 x x2 limx 1 1 x1 xx32 3 limx 1 x21 xx3 2 5. lim x 1 x 1 lim x 1 x 2 lim x 1 x 2 lim x 2 3 1 x 1 1 x 1 x x2 x 1 x 1 1 x x2 x 1 1 x x2 3 sin5x sin3x sin5x sin3x 6. lim lim lim
5 3 2 x 0 sin x x 0 sin x x 0 sin x 1 7. lim cos x 0 x x12 lim 1x 0 cosx 1 x12 limx 0
1 cosx 1 cos1x 1 cos1x 1 x2 1 cosx 1 1 2 x 1 lim 1 cosx 0 x 1 cosx 1 2 x lOMoAR cPSD| 49831834 2 sin 1 2 cosx 1 cosx lim 1 lime x2 exlim 0 e e x2 x 0 x2 2 (theo tính chất 4) 2 2 x 2 x 2 sin x sin sin 2 1 1 Ta c ó 2 2 2 lim 2 lim lim 2 2 .1 x 0 x 0 x 0 x x 4 x 2 2 4. 4 2 2 2 2 2 x 3 x x x 3 x x 2 2 8 .lim x 3 x x lim x x 2 2 x 3 x x x 0 lim x2 3
x2 x 3 x 2 2 x x x
lim x x 3 x2 3 3 x2 x x 1 x 2 3 2 1 x 1 x 1 2 x 3 1 x x x lim lim x x x 1 32 1 1 x x 3x 1 1 lim x 1 32 1 1 2 x x 2/So sánh vô cùng bé a)
x 5x2 2 x5 ; x 3x2 2x3 b)
x sinx ; x x2 giải x 5x2 2x5 x2 5 2x3 5 2x3 5 lOMoAR cPSD| 49831834 a) lim x 0 limx 0 2 3 lxim0 2 limx 0 x 3x
2 x x 3 2x 3 2x 3
𝛼(𝑥) và 𝛽(𝑥) là vô cùng bé cùng cấp b) lim x 0 x limx 0 x2 limx 0 x x limx 0 sinx x
xlim 0 1x limx 0 sin1 x xlim 0 x 1.0 0 x sin x sin x 1 x
𝛽(𝑥) là vô cùng bé cấp cao hơn 𝛼(𝑥) [𝛽(𝑥) = 𝜊(𝛼(𝑥))]
Ví dụ. Tính các giới hạn sau (sử dụng vô cùng bé tương đương) x
a) A lim x 1 tan 0. x 1 2
Đặt t x 1x
t 1 khi x 1 thì t 0 A lim .tan t t t 0 t
t 1 limt 0 t.tan 2 2 lim .cott 0 t 2 lim t t 0 tan t 2 2 t t Khi t 0 thì tan 2 2 t 1 Suy ra A lim lim 2 t 0 t t 0 2 2 1 lOMoAR cPSD| 49831834 b) B lim cos x x 1x lim 1x 0 cosx 1 1x limx 0 1 cosx 1 1 cos x 1 x cos x 1 1 0 cosx 1 1 x limx 0 1 cosx 1 cosx 1
limx 0 ecosxx 1 exlim 0cosxx 1 2 x
Khi x 0 thì cosx 1 2 x2 2 x 0 cosx 1 x 0 limx 0 x 0 Suy ra lim lim x x 2 cosx 1 cosx 1 lim cosx 1 1 x Vậy B lim 1 cosx 1 cosx 1 lime x e x 0 x e0 1 x 0 x 0
c) C limx 0 ln 1 2tan x 0 sin3x 0
Khi x 0 thì ln 1 2tan x 2tanx 2x ; lOMoAR cPSD| 49831834 Suy ra C lim ln 1 2tan Khi x 0 thì ln cos x ln 1 x lim2x 2 cosx 1 cosx 1 ; sin3x 3x x 0
sin3x x 0 3x 3 ln cos ln 1 x2 x2 2 x x2 D d) limx 2 0 ln 1 x 2 x ln cos x 2 1 0 2 Suy ra D lim lim x ln 1
x2 x 0 x 2 e2x 1 e) E = lim x 0 ln 1 4x
Khi x 0 thì e2x 1 2x ;ln 1 4x ln 1 4x 4x e2x 1 2x 1 Suy ra E lim lim
x 0 ln 1 4x x 0 4x 2 f) F lim 1 x x2 1 x 0 sin4x 1
Khi x 0 thì 1 x x2 1 1 x x2 12 1
x x2 1 x ; sin4x 4x 2 2 1 x x x2 1 1
Suy ra F lim lim x 0 sin4x x 0 4x 8 3/ Hàm số liên tục
Xét tính liên tục của hàm số sau lOMoAR cPSD| 49831834
a) y f x 1 tại x 0 x 1 1 Hàm số y
không xác định tại x 0, nên hàm số y
không liên tục tại x 0 x x 1 x 0 f x x tại x 0 b) y 1 x 0
Hàm số trên xác định tại x 0, nhưng không tồn tại giới hạn khi x 0 1 Thật vậy, ta có lim f x lim 1 ; lim f x lim
, suy ra hàm số không tồn tại giới x 0 x 0 x x 0 x 0 x
han, nên hàm số đã cho không liên tục tại x 0 x x 1 y x c) f x x x 1 tại 1 1
Hàm số trên xác định tại tại x 1, xét giới hạn hàm số khi tại x 1 Ta có tại lim f x lim 1 x 0; lim f x lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Vì lim f x
lim f x hàm số không có giới hạn tại x 1 x 1 x 1
Vậy hàm số đã cho không liên tục tại x 1, nhưng liên tục trái tại x =1 vì f 1 0 1 0 x d) y f x 1 x 1
tại x 0, x , x 1 lOMoAR cPSD| 49831834 0 x ;0 1;
Hàm số đã cho không liên tục tại x 0, x , x 1. Thật vậy, hàm số xác định tại các điểm x
0, x , x 1, nhưng không tồn tại giới hạn tại các điểm x 0, x , x 1 Ta có • lim f x 0; lim f x 1 lim f x lim f x x 0 x 0 x 0 x 0
• lim f x 1; lim f x 1
lim f x lim f x x 12 x 12 x 12 x 12 • lim f x 1; lim f x 0 lim f x lim f x x 1 x 1 x 1 x 1
Vậy hàm số đã cho liên tục bên phải tại x 0 , liên tục trái tại x ; x 1
4/ Đạo hàm của hàm số
Ví dụ. Tính đạo hàm của các hàm số sau x2 x 1 a) f x
2x 1 x 1 tại x 1
b) f x x 1 tại x 1 Giải.
a) Ta xét đạo hàm trái và đạo hàm phải tại x 1 lim f x
f x 0 lim f x f 1 lim x2 12 x x x x 0 0 x 1 x 1 x 1 x 1 lOMoAR cPSD| 49831834 lim x 1
x 1 lim x 1 2 f 1 x 1 x 1 x 1 lim f x
f x 0 lim f x
f 1 lim 2x 1 12 x x x x 0 0 x 1 x 1 x 1 x 1 lim 2x 2 lim 2 x 1 2 f
1 x 1 x 1 x 1 x 1 Vì f
1 f 1 2 , hàm số đã cho có đạo hàm tại x 1và f 1 2
b) f x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
Ta xét đạo hàm trái và đạo hàm phải tại x 1 lim 0 lim f x f 1 lim x 1 0 1 f 1 f x f x x x x x 0 0 x 1 x 1 x 1 x 1 lim 0 lim f x f 1 lim x 1 0 1 f 1 f x f x x x x x 0 0 x 1 x 1 x 1 x 1 Vì f 1 f 1
, hàm số đã cho không có đạo hàm tại x 1 Đạo hàm cấp cao 1
Ta có y f x( ) y 12 x x y 12 2x4 23 1.23 lOMoAR cPSD| 49831834 x x x x y 3 23 2.36x2 1.2.34 x x x y 4 1.2.34 2.3.48 x3 1.2.3.45 x x x ... n 1 n 1n n1n! y x x 5/ Công thức Lepnit
Ví dụ. Tính đạo hàm của các hàm số với cấp cho trước
a) Cho hàm số f x
2x 3 ex . Tính f 10 x Giải Ta đặt u x
2x 3u n x 0 n 2 ; v x
ex v n x ex n Suy ra f 10
x 10 C10k 2 3x k
ex 10 k C100 2 3x 0 ex 10 C101 2 3x 1 ex 9 k 0 C 0 1 10
2x 3 ex C10 2ex 2x 3 ex 20ex 2xex 17ex
b/ Cho f x x e2 x . Tính f 20 0 Giải Ta đặt u x 2
u n 0 n 3; v ex v n ex n lOMoAR cPSD| 49831834 Suy ra f 20 x 20 C k 20k x2 k ex 20 C200 x2 0 ex 20 C201 x2 1 ex 19 C202 x2 2 ex 18 k 0
C x e200 2 x C201 2xex C202 2ex f 20 0 2C e202 0 380 6/ Tính gần đúng
f x 0 x f x 0 f x0 x
Ví dụ. Tính gần đúng các giá trị sau a) 4 16,1
Nhận xét 4 16 2 , ta đặt f x
4 x và chọn x0 16; x 0,1 14 1 43 16 1 16 43 Ta có f x x x f 4 4 4 4 43 1 Suy ra 16,1 16 4 16 0,1 2,003125 b) sin290 1 Nhận xét sin300 sin
, ta đặt f x sin x và chọn x0 ; x10 6 2 6 180 Ta có f
x sin x cosx Suy ra sin290 sin300 cos300 10 sin cos 1 3 0,4848885 6 6 180 2 2 180
7/ Đạo hàm của hàm ẩn lOMoAR cPSD| 49831834
Ví dụ. Cho biểu thức x3 y3 6xy. Tính đạo hàm của y theo x
Ta có x3 y3 6xy x3 y3 6xy 0
Cách 1. Đặt F x y , x3 y3 6xy Ta lại có Fx
x y, x3 y3 6xy
3x2 6y; Fy
x y, x3 y3 6xy 3y2 6x F x y , x 3x22 6y
x22 2y Suy ra y x F x yy ,
3y 6x y 2x
Cách 2. Lấy đạo hàm hai vế của biểu thức x3 y3 6xy , (xem y là hàm của x ), ta được x3 y3 6xy
3x2 3y y2 6y 6xy 3x2 6y
6x 3y2 y Suy ra y x
3x22 6y x22 2y 3y 6x y 2x 8/ Quy tắc L’Hospital
Ví dụ. Tính các giới hạn sau sin3x 3cos3x 3 a) lim 0 x 2x lim x 0 2x e 1 2e 2 x2 2x 2 1 b) limx 2x limx
2x limx 2x limx 2x 0 e 2e 4e 2e
Ví dụ. Tính các giới hạn sau 2x 1 2 a) limx x limx x 0 e e x3 3x2 3x2 3x3 lOMoAR cPSD| 49831834 b) xlim 2 xlim xlim xlim ln x 2lnx lnx 2lnx1 2lnx x lim 9x2 lim 9x3 x 1 x 2 2 x c) limx 0 sin1 x 1x limx 0 xx sinsinxx limx 0 xx sinsinxx lim 1 cosx lim sin x
0 x 0 sin x xcosx x 0 cosx cosx xsin x lim xln x
d) lim xx lim exln x ex 0 x 0 x 0 1 ln x x ta có lim ln xx lim lim lim x 0 x 0 x 0 1 x 0 1 x 0 x x2
suy ra lim xx lim exln x e0 1 x 0 x 0 x 1 e) lim 1 x tan lim 1 x lim 2 x 1 2 x 1 x x 1 cot 2 2 2 x lOMoAR cPSD| 49831834 sin 2 sin x x sin x x cosx 1 f) lim lim
lim x 0 x 1 cosx x 0 x 1 cosx x 0 1 cosx xsin x sin x cosx 1 lim lim
x 0 sin x sin x xcosx
x 0 2cosx cosx xsin x 3 1 g) lim x2 ln x 1 lim ln x x lim x2 0 lim x 0 x 0 2 x 0 23 x 0 2 x x h) limx 0 1 x1 1 limx 0 ex ex x1 1x limx 0 ex ex x1 1x x e lim 0 x
x ex 1 x limx 0 x exx x 1 e 1 xe e e xe 2 3 1 x cos x khi
Ví dụ. Cho hàm số f x x x 0 m khix 0
a) Xác ịnh m ể hàm f x liên tục tại x 0. b) Tính f
0 với m tìm ược ở câu a. Giải lOMoAR cPSD| 49831834
a) Hàm số f x liên tục tại x 0 khi chỉ khi lim f x f 0 x 0 Ta có • f 0 m 3 13 1 23
• lim f x lim 1 x cos x lim 1 x
cos x lim 3 1 x sin x 1 x 0 x 0 x x 0 x x 0 1 3
Vậy hàm f x ã cho liên tục tại x 0 khi m b) Tính f
0 với m tìm ược ở câu a Ta có 3 1 x cos x 1 lim f x x f 0 lim x
3 lim 3 13 x 32cos x x 0 x 0 x 0 x x 0 3x 1 13 2 3 23
limx 0 3 1 x 32cos x x limx 0 3 3 1 x 3sin x 1 limx 0 1 x 3sin x 1 3x 6x 6x
2 1 x 53 3cos x 7 lim 3 3 7 f 0 x 0 6 6 18 Vậy f 0
9/ Khai triển Taylor và khai triển Maclaurin f 0 x f x 0 f x0 x x0 f x0
x x0 2 n n! x x0 n x x0 n f x( ) lOMoAR cPSD| 49831834 1! 2!
f x( ) f 0 f 0 x f 0 x 2 f n 0 xn xn 1! 2! n! Ví dụ.
a) Khai triển hàm số f x x5 x3 –3x2 1 theo lũy thừa của x –1 .
Áp dụng tính gần đúng f 2,1 Giải Ta có
• x0 1 ; f 1 1 +5 1 –3.13 2 1 0 • f
x 5x4 3x2 –6x f 1 5.14 3.1 –6.12 2 • f
x 20x3 6 –6x f 1 20.13 6.1–6 20
• f 3 x 60x2 6 f 3 1 60.12 6 66 • f 4
x 120x f 4 1 120
• f 5 x 120 f 5 1 120
f x f 1 f 1 x 1 1 f 1 x 1 2 f 3 1 x 1 3 1! 2! 3! f 4 1 x 1 4 f 5 1 x 1 5 x 1 5 4! 5! lOMoAR cPSD| 49831834 120 120
Suy ra f x 0 2 x 1
20 x 1 2 66 x 1 3 x 1 4 x 1 5 x 1 5 2! 3! 4! 5!
Vậy f x 2 x 1 10 x 1 211 x 1 35 x 1 4 x 1 5 x 1 5
Áp dụng tính gần đúng f 2,1 f 2,1 2 2 ,1 1 10 2,1 1 2 11 2,1 1 3 5 2 ,1 1 4 2,1 1 5 37,87 02 1
b) Xác định 3 số hạng đầu tiên trong khai triển f x x5 5 x3 x theo lũy thừa của x 2 Giải
Ta có x0 2 ; f 2 25 5 2. 3 2 6 • f
x 5x4 15x42 1 f 2 5.2 15.22 1 21 • f
x 20x3 30x f 2 20.23 30.2 100
Suy ra f x f 2 f 2 x 2 1 f 2 x 2 2 ... x 2 n 1! 2!
621 x 2 50 x 2 2... x 2 n
Vậy 3 số hạng đầu tiên trong khai triển f x x5 5 x3 x theo lũy thừa của x 2 lần lượt
là 6; 21 x 2 ; 50 x 2 2.
c) Khai triển hàm số f x
3 x theo công thức Taylor đến luỹ thừa bậc 5 của x 1 , với phần dư Peano Giải
Ta có x0 1 ; f 1 31 1 lOMoAR cPSD| 49831834 • f
x 1 x 23 f 1 1 3 3 • f
x 1 2 x 53 2 x 53 f 1 2 3 3 9 9 • f 3 x 2 5
x 83 10 x 83 f 3 1 10 9 3 27 27 • f 4 x 10 8
x 113 80 x 113 f 4 1 80 27 3 81 81 • f 5 x 80 11
x 143 880 x 143 f 5 1 880 81 3 243 2 34
f x f 1 f 1 x 1 1 f 1 x 1 2 f 3 1 x 1 3 1! 2! 3! f 4 1 x 1 4 f 5 1 x 1 5 x 1 5 4! 5! 2 10 80 880 9 81
Suy ra f x 1 1 x 1 x 1 2 27 x 1 3 x 1 4 243 x 1 5 x 1 5 3 2! 3! 4! 5!
Vậy f x 1 1 x 1
1 x 1 2 5 x 1 3
10 x 1 4 22 x 1 5 x 1 5 3 9 81 243 729