Nội dung ôn tập chương 2 | Môn toán cao cấp

lOMoAR cPSD| 49831834 1
NỘI DUNG ÔN TẬP CHƯƠNG II PHẦN I. LÝ THUYẾT
Tham khảo slides thầy Nguyễn Đức Cường và slides các nhóm thuyết trình
2.1. Chất iểm, các ại lượng cơ bản của chuyển ộng của chất iểm
• Các khái niệm cơ bản (cơ học, ộng học, chuyển ộng cơ học, chất iểm, hệ
quy chiếu, ại lượng vô hướng, ại lượng vector, phương trình chuyển ộng,
quãng ường, ộ dời, quỹ ạo, phương trình quỹ ạo, vận tốc trung bình, vận
tốc tức thời, gia tốc trung bình, gia tốc tức thời, gia tốc, gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến),
• Phân loại chuyển ộng
2.2. Vectơ, hệ tọa ộ, chuyển ộng trong hệ tọa ộ vuông góc
● Hệ toạ ộ vuông góc
● Một số dạng chuyển ộng ơn giản (chuyển ộng thẳng ều, thẳng biến ổi ều,
chuyển ộng tròn ều, tròn biến ổi ều)
● Bảng tóm tắt các dạng chuyển ộng trên
● Chuyển ộng trong không gian hai chiều với gia tốc không ổi ● Chuyển ộng ném xiên
● Một số bài tập ví dụ về chuyển ộng thẳng, tròn, và chuyển ộng ném xiên
2.3. Lực quán tính, chuyển ộng dưới tác dụng của lực quán tính
● Khái niệm lực, khối lượng và trọng lượng ● Phân loại lực ● Các ịnh luật Newton
● Thời gian và không gian trong cơ học cổ iển ● Phép biến ổi Galilei
● Tổng hợp vận tốc và gia tốc ● Nguyên lý tương ối Galilei ● Lực quán tính
● Ứng dụng lực quán tính
● Một số bài tập áp dụng
2.4. Chuyển ộng của chất iểm trong trường lực không ổi
● Định nghĩa trường lực không ổi. Ví dụ
● Chuyển ộng ném xiên của vật dưới tác dụng của trọng trường
● Chuyển ộng của hạt mang iện tích dưới tác dụng của iện trường ều
2.5. Quỹ ạo chuyển ộng, một số trường hợp cơ bản. Hàm vectơ
• Định nghĩa quỹ ạo chuyển ộng. Ví dụ lOMoAR cPSD| 49831834 2
• Một số cách biểu diễn quỹ ạo chuyển ộng • Hàm vector
2.6. Lực ma-sát, ộng học lực ma-sát. Độ nhớt
• Định nghĩa và phân loại lực ma sát
• Công thức tính lực ma sát
• Sự xuất hiện lực ma sát và các yếu tố ảnh hưởng ến lực ma sát
• Lực ma sát: tác hại, và ứng dụng trong thực tiễn
• Độ nhớt: ịnh nghĩa, công thức, ứng dụng
PHẦN II. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
(Bài tập kiểm tra chỉ nằm trong các dạng bài dưới ây) Bài 1
Một chất iểm có 4 vị trí ược xác ịnh bởi 4 phương trình x (t) sau: (1) x = 2/t2 – 4/t (2) x = - 5t3 + 4t2 + 6;
(3) x = 5t2 - 3; (4) x = 3/t - 4 trong ó x là tọa ộ của chất iểm theo biến thời gian t.
Hỏi: ở vị trí nào của chất iểm khi chuyển ộng theo thời gian t thì áp dụng các công thức bảng bên dưới Bài 2
Một vật chuyển ộng với vận tốc ban ầu bằng không, trong thời gian t1=5 s vật chuyển
ộng thẳng ều với gia tốc a = 2 m/s2, sau ó vật chuyển ộng thẳng ều trên quãng ường
S2 = 50 m. Xác ịnh vận tốc trung bình của vật. Đáp án: 7.5 m/s lOMoAR cPSD| 49831834 3 Bài 3
Trên hình biểu diễn sự phụ thuộc toạ ộ x của một chất iểm chuyển ộng theo thời gian
t. Hãy vẽ ồ thị sự phụ thuộc của hình chiếu ( ộ lớn) vận tốc theo thời gian. Bài 4
Trên hình biểu diễn sự phụ thuộc hình chiếu của gia tốc của một chất iểm chuyển
ộng theo thời gian t. Hãy vẽ ồ thị sự phụ thuộc của vận tốc, quãng ường và toạ ộ theo
thời gian biết chất iểm chuyển ộng thẳng theo trục ox và vận tốc và toạ ộ ban ầu của chất iểm bằng 0. a) b) Bài 5
Sự phụ thuộc nào dưới ây mô tả chuyển ộng ều? a) S=2t+3 b) S=5t2 c) S=3t d) v=4-t e) v=7
trong ó S- quãng ường (m), v- vận tốc (m/s), t – thời gian (s) Bài 6
Trên hình biểu diễn sự thay ổi toạ dộ của 3 vật chuyển ộng thẳng. Hãy xác ịnh dạng
chuyển ộng của mỗi vật và vật nào có vận tốc lớn nhất? lOMoAR cPSD| 49831834 4 Bài 7
Một chất iểm chuyển ộng trong mặt phẳng theo các phương trình x
= A1 + B1t + C1t2 y = A2 + B2t + C2t2 trong ó B1 = 7 m/s, C1 = –2
m/s2, B2 = –1 m/s, С2 = 0,2 m/s2.
Hãy xác ịnh ộ lớn của vector vận tốc và gia tốc của chất iểm tại thời gian t =5s. Đáp án: ≈ 13m/s và ≈ 4m/s2 Bài 8
Trong mặt phẳng(Oxy), chất iểm chuyển ộng với phương trình
a) Xác ịnh vị trí của chất iểm lúc t=5s. b) Xác ịnh quỹ ạo.
c) Xác ịnh vector vận tốc lúc t = 5s.
d) Tính quãng ường vật i lúc t=0 ến t=5s. Suy ra tốc ộ trung bình trên quãng ường này Bài
Xác ịnh phương trình quỹ ạo, biết phương trình chuyển ộng của chất iểm có dạng
(Trong ó A và R là các hằng số dương) lOMoAR cPSD| 49831834 5 Bài 9
Một chất iểm có phương trình chuyển ộng: x = 1 - t và y = 2t – 1 thì quỹ ạo là ường: a) Parabol
b) Tròn tâm O là gốc tọa ộ
c) Thẳng không qua gốc tọa ộ
d) Thẳng qua gốc tọa ộ Bài 10
Trong mặt phẳng Oxy, chất iểm chuyển ộng theo phương trình: x = 5 – 10sin(2t) và
y = 4 + 10sin(2t) thì quỹ ạo của chất iểm là: a) Đường Parabol b) Đường tròn c) Đường thẳng d) Đường hình sin Bài 11
Một chất iểm chuyển ộng trên trục Ox theo chiều dương, bắt ầu từ O với vận tốc 2
m/s. Gia tốc có biểu thức a=-v/2(m/s2). Tìm biểu thức vận tốc theo thời gian t. Đáp số: v(t) = 2.e-t/2 Bài 12
Một chất iểm chuyển ộng trong mặt phẳng xOy với vận tốc cho bởi: v =
+i x j (m/s). Ban ầu chất iểm ở gốc O, hãy tìm quỹ ạo của nó.
Đáp số: y= x2/2, quỹ ạo parabol Bài 13
Một hạt rời gốc toạ ộ với vận tốc ban ầu: v =3i (m/s) và sau ó chuyển ộng với gia tốc
không ổi: a =− −i 0.5 j (m/s2). Tìm vận tốc của hạt khi nó ạt vị trí có toạ ộ x cực ại.
Đáp số: vxmax =−1.5 (j m s/ ) Bài 14
Một chất iểm chuyển ộng trên trục Ox theo chiều dương, bắt ầu từ O với vận tốc ầu
bằng không. Sau ó nó có gia tốc a=2-8x (m/s2). Hãy tìm vị trí x tại ó vận tốc ạt giá
trị cực ại. Đáp số: vmax khi x=0.25 m lOMoAR cPSD| 49831834 6 Bài 15
Một vật chuyển ộng cong ến vị trí M thì có vận tốc và gia tốc như hình
vẽ. Kết quả nào sau ây là úng và giải thích:
A. Vật sẽ chuyển ộng chậm dần về bên trái (T)
B. Vật sẽ chuyển ộng nhanh dần về bên trái (T)
C. Vật sẽ chuyển ộng chậm dần về bên phải (T)
D. Vật sẽ chuyển ộng nhanh dần về bên phải (T) Bài 16
Một chất iểm chuyển ộng trên ường tròn với vận tốc ban ầu bằng không và gia tốc
góc không ổi β=2 (rad/s2). Lúc t= 1(s) thì chất iểm có vận tốc v= 4(m/s). Tìm bán kính ường tròn. Đáp số: R= 2 m Bài 17
Một chất iểm chuyển ộng tròn ều với vận tốc dài là v=5 m/s trên một ường tròn có
bán kính R=10 m. Vận tốc góc của chất iểm là? Đáp án: 0.5 rad/s Bài 18
Một ô tô tăng tốc ều từ 10 m/s ến 20 m/s trong khoảng cách 150 m. Mỗi bánh của xe
có bán kính 250 mm. Thời gian ô tô ang tăng tốc là? Đáp án: 10 s Bài 19
Một chất iểm chuyển ộng tròn ều với vận tốc góc là ω=5 rad/s trên một ường tròn có
bán kính R=2 m. Vận tốc dài của chất iểm là? Đáp án: 10 m/s Bài 20
Một bánh xe quay chậm dần ều, trong thời gian 1 phút vận tốc góc của nó giảm từ
300 (vòng/phút) xuống còn 180 (vòng/phút). Tìm gia tốc góc của bánh xe và số vòng
nó quay ược trong thời gian 1 phút ấy. Đáp số: β=-0.21 (rad/s2) Bài 21
Một vật rơi tự do, trong 2 (s) cuối cùng trước khi chạm ất ã rơi ược một quãng ường
dài 60 (m). Cho g= 10 (m/s2). Vật ã rơi từ ộ cao bao nhiêu? Đáp số: 80 m lOMoAR cPSD| 49831834 7 Bài 22
Một người àn ông trên thuyền băng qua dòng sông ang chảy xiết bắt ầu từ iểm A
(hình vẽ). Nếu giữ lái thuyền theo hướng vuông góc với bờ thì sau t = 10 phút anh
ta ến iểm C của bờ bên kia cách iểm B theo chiều dòng chảy một oạn s=120 m. Nếu
anh ta giữ lái theo góc α hợp với ường vuông góc AB ngược với hướng dòng chảy
thì sau tα = 12.5 phút anh ta ến úng iểm B.
Hãy xác ịnh chiều rộng L của dòng sông, vận tốc của thuyền theo dòng nước, góc α,
vận tốc chảy của dòng sông u
Đáp án: L=330 m, v=0.55m/s, cosα=0.8, u = 0.33 m/s Bài 23
Hai vật ược nối với nhau bằng một
thanh cứng có chiều dài L. Chúng có
thể trượt tự do dọc theo hai thanh ray
ặt vuông góc nhau. Cho vật A chuyển
ộng sang bên trái với tốc ộ không ổi
v. Tìm tốc ộ của vật B khi góc α=600 lOMoAR cPSD| 49831834 8 Bài 24
Một hòn á ược ném từ một ộ cao nhất ịnh theo phương ngang với vận tốc v0 = 10
m/s. Tìm bán kính cong R của quỹ ạo của hòn á trong t = 3 s sau khi bắt ầu chuyển
ộng, cũng như giá trị của gia tốc pháp tuyến an và tiếp tuyến at tại thời iểm này. Gia
tốc rơi tự do g = 10 m/s2.
Đáp án: an ≈ 3.16m/s2; at ≈ 9.49 m/s2, R=316.2 m Bài 25
Một vật ược ném từ gốc toạ ộ với vận tốc 50 m/s dưới năm góc ném khác nhau (150,
300, 450, 600 và 750) như hình vẽ. Hãy so sánh thời gian bay của vật ở các góc ném
nêu trên. Và tìm góc ném ể vật i xa nhất (theo phương ngang) Bài 26
Một vật ném ngang từ trên cao. Vận tốc vật khi chạm ất hợp với phương ngang một
góc 600 và có ộ lớn 30 m/s. Lấy g=10 (m/s2) và bỏ qua sức cản của không khí. Tìm
bán kính cong của quỹ ạo tại iểm chạm ất. Đáp số: R=180 (m) Bài 27
Một vật khối lượng m=1 kg ược ném theo phương nằm ngang với vận tốc ban ầu
bằng 2 m/s từ ộ cao h=10 m. Cho g = 9.8 m/s2.
a) Tìm quỹ ạo chuyển ộng của vật
b) Tìm vận tốc của vật khi chạm ất
c) Tìm quãng ường mà vật i ược theo phương ngang cho ến khi chạm ất Bài 28
Ném quả bóng về phía bức tường với vận tốc 25 m/s và tạo một góc 0 = 400 so với
phương nằm ngang. Bức tường cách iểm ném d = 22 m (xem hình vẽ bên). Hỏi:
iểm bóng chạm bức tường cao hơn iểm ném bóng là bao nhiêu? Đáp án: 12m Bài 29
Một người i xe máy chuyển ộng với vận tốc 15m/s ingang qua một viên cảnh sát
ang ứng yên. Viên cảnh sát bắt ầu uổi theo người ó với gia tốc 2m/s2 ngay khi người
i xe máy i ngang qua. Hãy tính:
a) Thời gian cần thiết ể viên cảnh sát uổi kịp người i xe máy?
b) Vận tốc và quãng ường viên cảnh sát i ược khi uổi kịp người i xe máy? lOMoAR cPSD| 49831834 9 Bài 30
Trong một cuộc chạy ua nước rút 100m, hai vận ộng viên A và B cùng cán ích sau
10,2 s. Để ạt ược tốc ộ cao nhất, vận ộng viên A mất 2 s, còn vận ộng viên B mất 3s;
sau ó họ chạy với vận tốc không ổi. Hãy tính:
a) Gia tốc của từng vận ộng viên?
b) Tốc ộ cao nhất của từng người?
c) Tại thời iểm 6s sau khi xuất phát, vận ộng viên nào ở phía trước, và trước vận ộng viên kia bao xa? Bài 31 Bài 32
Một quả cầu ược buộc vào ầu sợ dây dài 0.5m. Tại góc
lệch của dây là θ=200, tốc ộ của quả cầu là 1.5 m/s.
a) Tìm ộ lớn của gia tốc hướng tâm của quả cầu tại thời iểm ó
b) Tìm ộ lớn của gia tốc toàn phần của quả cầu tại thời iểm ó lOMoAR cPSD| 49831834 10 Bài 33
Một người trượt tuyết rời ường trượt
theo phương ngang với tốc ộ 25m/s.
Đường nối giữa vị trí ban ầu và vị trí
tiếp ất tạo với phương ngang một gọc
350. Tìm vị trí tiếp ất. Bài 34
Một người ứng trên ỉnh của một tảng á
hình bán cầu bán kính R và á một quả
bóng (ban ầu ứng yên trên ỉnh của tảng
á) ể cho nó vận tốc ngang vi.
a) Tốc ộ ban ầu tối thiểu của quả
bóng phải là bao nhiêu ể nó không
bị và vào tảng á sau ó?
b) Với tốc ộ ban ầu này, quả bóng sẽ
chạm ất cách chân tảng á bao xa? Bài 35 Bài 36
Từ một quả khí cầu ang bay lên theo phương thẳng ứng với vận tốc không ổi. Để xác
ịnh ộ cao của khí cầu, người ta thả một tải trọng từ khí cầu theo phương ngang tại lOMoAR cPSD| 49831834 11
thời iểm chúng ở ộ cao h. Tải trọng này ến Trái ất trong t1 = 5 s. Xác ịnh ộ cao H của
khí cầu tại thời iểm tải trọng chạm ất. Đáp án: H=122.6 m Bài 37
Từ một iểm ở ộ cao h cách mặt ất người ta ném một vật theo hướng hợp với phương
ngang một góc với vận tốc ban ầu v0. Xác ịnh:
1) Độ cao cực ại H cách mặt ất mà vật có thể ạt ược
2) Quãng ường bay l và ộ lớn của vector vận tốc tại iểm tiếp ất vk. Đáp án: 1) H=h + 2 0 sin2 /2g
2) l = tВ 0 cos ; v 2
k = v0 +2gh lOMoAR cPSD| 49831834 12 Bài 38
Một hòn á ược ném từ nóc một ngôi nhà với góc ném 30◦ hợp với phương ngang
hướng lên trên và tốc ộ ban ầu là 20 m/s. Cho ộ cao toà nhà là 45 m. Tính vận tốc
(m/s) theo phương ngang của hòn á khi chạm ất. Đáp án: 17.32 m/s Bài 39 Bài 40 lOMoAR cPSD| 49831834 13 Bài 41 Bài 42 Bài 43 Bài 44
Một vật khối lượng m=10kg ược thả từ iểm A có ộ cao h=3m. Quỹ ạo không ma sát,
trừ oạn nằm ngang giữa B và C có chiều dài L=6m. Vật chuyển ộng ến cuối quỹ ạo,
chạm vào 1 lò xo và nén nó một oạn Δx=0.2 m từ vị trí cân bằng. Độ cứng của lò xo
là k=2250N/m. Hãy xác ịnh hệ số ma sát trượt µk của oạn nhám BC. lOMoAR cPSD| 49831834 14 Bài 45
Một vật chuyển ộng với vận tốc ban ầu v0 = 6 m/s, ầu tiên trượt theo một rãnh không
ma sát, rồi i lên một mặt phẳng cao hơn vị trí ban ầu h=1,1 m, sau ó i trên oạn nhám
một khoảng d và dừng lại. Tìm d , biết hệ số ma sát trượt tại oạn nhám là k = 0,6. Bài 46 lOMoAR cPSD| 49831834 15 Bài 47 Cho hai lực 𝐹⃗⃗⃗ 1 = y𝑖
𝐹⃗⃗⃗ 2 = x𝑖 + y𝑗
Hỏi lực nào là lực thế? Bài 48
Một khối m ược ặt trên mặt phẳng
nghiêng nhám. Góc nghiêng ược tăng
dần cho ến khi vật bắt ầu trượt. Hãy xác
ịnh hệ số ma sát khi ó. Bài 49
Xe khối lượng 1 tấn chuyển ộng thẳng
ều trên mặt phẳng nghiêng có góc
nghiêng α = 30°. Tính lực kéo của ộng
cơ ể duy trì trạng thái chuyển ộng biết hệ số ma sát bằng 0,2 Bài 50
Một ô tô khối lượng 1,5 tấn chuyển ộng
thẳng ều trên ường. Hệ số ma sát giữa
bánh xe và mặt ường là 0,08. Tính lực phát ộng ặt vào xe. lOMoAR cPSD| 49831834 16 Bài 51
Xác ịnh ộ nhớt ộng học của nước ở 20oC, biết ở nhiệt ộ này nước có khối lượng riêng
là 998 kg/m3 và ộ nhớt ộng lực học xấp xỉ bằng 0,001 Pa.s Bài 52
Hai lực F1 and F2 ược ặt vào hộp cơm và hộp cơm trượt không ma sát trên mặt sàn
với vận tốc bằng hằng số (xem hình vẽ). Ta giảm góc nghiêng của lực F1 nhưng
không thay ổi giá trị ộ lớn của F1. Trong trường hợp ó, ể giữ
cho vận tốc của hộp cơm vẫn là hằng số, chúng ta tăng, giảm
hay giữ nguyên ộ lớn của lực F2? Bài 53
Một vật có khối lượng m1=3,7 kg ặt trên mặt nghiêng không ma sát với góc 30o, ược
nối với vật m2= 2,3 kg qua hệ thống dây và ròng rọc (hình bên dưới). Giả sử dây và
ròng rọc có khối lượng và ma sát không áng kể. Gia tốc hai vật và lực căng dây có
giá trị là bao nhiêu m/s2 và N? Bài 54
Vật có khối lượng m trượt trong mặt phẳng ngang dưới tác dụng của lực kéo F như
hình. Cho hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng ngang là µ, gia tốc trọng trường
là g. Tìm biểu thức của lực ma sát: lOMoAR cPSD| 49831834 17 Bài 55
Vật có khối lượng m trượt trong mặt phẳng nghiêng dưới tác dụng của trọng lực như
hình. Cho hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng nghiêng là µ, gia tốc trọng trường
là g. Tìm biểu thức của lực ma sát: Bài 56
Vật có khối lượng m trượt với vận tốc không ổi trong mặt phẳng ngang dưới tác dụng
của lực kéo F như hình. Cho hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng ngang là µ,
gia tốc trọng trường là g. Tìm biểu thức của lực ma sát: Bài 57
Vật có khối lượng m trượt trong mặt phẳng ngang dưới tác dụng của lực kéo F như
hình. Cho hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng ngang là µ, gia tốc trọng trường
là g. Tìm biểu thức của lực ma sát: Bài 58
Một vật khối lượng m có thể trượt không ma sát trên mặt phẳng nghiên của một nêm.
Hỏi phải ẩy nêm trượt sang phải với gia tốc tối thiểu A bằng bao nhiêu ể m ứng yên ối với nêm. lOMoAR cPSD| 49831834 18 Bài 59
Một vật khối lượng m có thể trượt không ma sát trên mặt phẳng nghiên của một nêm.
Nêm trượt sang trái với gia tốc không ổi A. Gia tốc A phải thỏa mãn iều kiện gì ể m ứng yên ối với nêm? Bài 60
Một xe trượt khối lượng m trượt xuống từ ỉnh một ngọn ồi hình bán cầu phủ ầy tuyết
(không ma sát). Giả sử vận tốc ban ầu của xe là không áng kể. Hãy tìm góc ϕ ứng
với khi xe bắt ầu rời khỏi ngọn ồi. Bài 61
Cho hệ như hình vẽ. Gọi a0, a1, a2 là gia tốc của m0, m1, m2 ối với hê quy chiếu mặt
ất. Tìm hệ thức liên hệ giữa ba gia tốc. Bài 62
Cho cơ hệ như hình vẽ, khối lượng ròng rọc và dây treo không áng kể, M= 1kg,
m=0.5kg, g=10 m/s2. Áp lực (N) giữa M và m là bao nhiêu? lOMoAR cPSD| 49831834 19 Bài 63
Cho cơ hệ như hình vẽ. Hệ số ma sát giữa vật m và bề mặt thẳng ứng của khối vuông
là k=0.1. Cho g=10m/s2. Để m không trượt xuống, cần cho khối vuông chuyển ộng
sang phải với gia tốc A tối thiểu là bao nhiêu? Bài 64
Một quả khúc côn cầu trên băng có vận
tốc ban ầu là 20 m/s. Cho quãng ường nó
chuyển ộng ược trên băng là 115 m. Hãy
xác ịnh hệ số ma sát trượt giữa nó và băng. Bài 65
Một vật khối lượng m trượt lên một mặt phẳng nghiêng góc α với vận tốc ầu 𝑣0. Hệ
số ma sát giữa vật với mặt phẳng nghiên là k. Tìm quãng ường vật i ược cho ến khi dừng lại. lOMoAR cPSD| 49831834 20 Bài 66
Một vật khối lượng m=100 kg sẽ chuyển ộng ều lên một mặt phẳng nghiên có góc
nghiêng α = 30 0 nếu chịu tác ộng của lực kéo F = 600 N dọc theo mặt phẳng nghiêng.
Khi thả vật ra, vật sẽ chuyển ộng xuống với gia tốc bằng bao nhiêu? Bài 67
Cho cơ hệ như hình vẽ. Hệ số ma sát giữa m và M, giữa M và sàn là k. Để M chuyển
ộng ều, trước khi m rơi khỏi nó, thì F phải thỏa mãn F=k(M+2m)g Bài 68
Khi m ược kéo trượt ều như hình vẽ. Hệ số ma sát giữa m và mặt phẳng nghiêng là
k. Để F là nhỏ nhất thì góc β phải thỏa mãn iều kiện nào sau ây? a) β=arcsink b) β=arccosk c) β=arctank d) β=arccotk