Lý thuyết phân phối xác suất | Môn toán cao cấp

lOMoAR cPSD| 49831834
PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Mục tiêu
Sau khi nghiên cứu chủ đề, học viên có khả năng: -
Phân biệt được 3 phân phối xác suất phổ biến: phân phối nhị thức, phân phối
Poisson vàphân phối bình thường. -
Tính xác suất của phân phối nhị thức và phân phối poisson khi được cung cấp các thamsố -
Xác định được phân phối xác suất của phân phối chuẩn ở một giá trị bất kì, được
phépsử dụng bảng số của phân phối chuẩn. -
Tính tỉ lệ của dân số có một đặc trưng nhất định về một đại lượng có phân phối
bìnhthường khi được cung cấp các tham số và bảng số của phân phối chuẩn.
1. Phân phối xác suất
Như đã trình bày,nếu chúng ta chỉ quan tâm đến giá trị đại lượng được xác định bởi kết cục
của phép thử,chúng ta mô tả biến cố là biến số ngẫu nhiên. Thí dụ nếu chúng ta tung 3 đồng
tiền mà chỉ quan tâm đến số đồng tiên ra mặt ngửa thì chúng ta tạo ra biến số ngẫu nhiên
X là số đồng tiền ngửa. Khi đó chúng ta có thể kí hiệu (X=1) để chỉ biến cố gồm các kết
cuộc có số đồng tiền ngửa là 1 (gồm 3 biến cố Sấp -Sấp - Ngửa; Sấp - Ngửa - Sấp; Ngửa -
Sấp - Sấp). Xác suất của biến cố này được được gọi là phân phối xác suất của X. Áp dụng
vào thí dụ trên chúng ta có phân phối xác suất của X như sau: xi Số biến cố thuận lợi f(xi)=P(X=xi) F(xi)=P(X £ x) 0 1 1/8 1/8 1 3 3/8 4/8 2 3 3/8 7/8 3 1 1/8 1
Ðịnh nghĩa: Phân phối xác suất của biến số rời rạc là một bảng mô tả những giá trị của
biến số rời rạc cùng với xác suất và xác suất tích luỹ tương ứng của nó.
Xác suất của các biến số ngẫu nhiên X được gọi là hàm khối (mass function) của X - kí
hiệu là f(x). Xác suất tích luỹ của biến số ngẫu nhiên X được gọi là hàm phân phối
(distribution function) của X và được kí hiệu là F(x)
Hai đặc tính cơ bản của phân phối xác suất của biến số rời rạc: (1) 0 £ P(X=x) £ 1 (2) S P(X=x) = 1
Có hai phân phối xác suất rời rạc được sử dụng rộng rãi nhất là phân phối nhị thức và phân
phối Poision. Chúng ta sẽ thảo luận về hai phân phối này và phân phối bình thường trong các phần sau.
2. Phân phối nhị thức
Bài toán: Giả sử chúng ta thực hiện n phép thử đồng nhất và độc lập với nhau, mỗi phép
thử có 2 kết cuộc là thành công hay thất bại với xác suất thành công trong mỗi lần thử là p.
Hãy tính xác suất có x lần thành công. lOMoAR cPSD| 49831834
Khi thực hiện n lần thử chúng ta sẽ có 2n kết cục. Trong đó số kết cục có x lần thành công
là = px(1-p)n-x và số kết cục có x lần thành công là nCr Vì vậy, xác suất có x lần thành công sau n lần thử là
P(X x) n Cx p x (1 p)(n x )
Do xác suất này phụ thuộc vào x nên nó là hàm số của x và được gọi là hàm khối xác suất
nhị thức (binomial probability mass function)
f x( ) P(X x) n Cx p x (1 p)(n x )
Thí dụ: giả sử trong một dân số nhất định, tỉ lệ sinh con trai là 52%. Nếu chúng ta xem xét
kết quả của 5 lần sinh. Để tính xác suất trong 5 lần sinh này có đúng 3 lần sinh là con trai
có thể lập luận như sau:
- Ðể trong 5 lần sinh có 3 lần sinh con trai, có 5C3 = 5!/[3!x2!] = 10 cách khác nhau (đó là
TGTTG, TTTGG, TGGTT, TTGTG, TTGGT, TGTGT, GTTTG, GGTTT, GTGTT,
GTTGT). Xác suất xảy ra của một cách như vậy = 0,523(1-0,52)2= 0,2304 x 0,1406 = 0,032.
Như vậy xác suất trong 5 lần sinh có 3 lần sinh là con trai là 10 x 0,032 = 0,32.
- Chúng ta cũng có thể xem 5 lần sinh là thử nghiệm nhị thức gồm 5 lần thử đồng nhất
vàmỗi lần thử có hai kết cuộc (sinh con trai và sinh con gái ) và xác suất sinh con trai là
0,52 không thay đổi trong các lần thử. Áp dụng hàm mật độ xác suất nhị thức ta được
f (3) P(X 3) 5 C3 0,523 0,48(5 3) 0,32
Thí dụ: Cho rằng 10% thanh niên trong dân số là hút thuốc lá. Để tính xác suất có đúng 2
thanh niên hút thuốc lá trong nhóm 10 thanh niên chúng ta có thể sử dụng hàm mật độ xác
suất nhị thức với n = 10, x = 2, and p = 0,1. Trong trường hợp này xác suất là 0,1937.
Thí dụ: Giả sử có 30% trẻ dưới 5 tuổi bị suy dinh duỡng. Trong một mẫu 10 trẻ dưới 5, tính
xác suất có đúng 4 bị suy dinh dưỡng. 3. Phân phối Poisson
Bài toán: Giả sử trong một đơn vị thời gian trung bình có l lần xuất hiện kết cục quan tâm.
Hãy tính xác suất trong một đơn vị thời gian có x lần xuất hiện kết cục này.
Giả định một đơn vị thời gian được chia thành N phân tử thời gian với N là một số vô cùng
lớn. Khi đó xác suất xảy ra kết cục quan tâm trong một phân tử thời gian là l/N. Khi đó bài
toán có thể được đặt dưới dạng: Thực hiện thử nghiệm nhị thức với N lần thử đồng nhất và
xác suất xảy kết cuộc quan tâm trong mỗi lần thử là l/N. Áp dụng công thức hàm mật độ
xác suất nhị thức ta được f ( )x P(X x) N Cx px (1 p)(N x ) N (N 1) ... (N x 1)
l x 1 l (N x ) x! N N N
N x l x l l ( l) l xe l x! N x 1 N x! x l e l lOMoAR cPSD| 49831834 f (X x) x!
để nắm vững các phép biến đổi đại số kể trên cần nhớ lại định nghĩa của số e (cơ số của logarithm Neper) U e lim 1 1 U U =2,7183
Bài toán: Giả sử trong một đơn vị thời gian trung bình có l lần xuất hiện kết cục quan tâm.
Hãy tính xác suất trong t đơn vị thời gian có x lần xuất hiện kết cục này.
Giả định một đơn vị thời gian được chia thành N phân tử thời gian với N là một số vô cùng
lớn. Như vậy trong t đơn vị thời gian có Nt phân tử thời gian. Xác suất xảy ra kết cục quan
tâm trong một phân tử thời gian là l/N. Khi đó bài toán có thể được phát biểu dưới dạng:
Thực hiện thử nghiệm nhị thức với Nt lần thử đồng nhất và xác suất xảy kết cuộc quan tâm
trong mỗi lần thử là l/N. Áp dụng công thức hàm mật độ xác suất nhị thức ta được
f ( )x P(X x) Nt Cx px (1 p)(Nt x) Nt
(Nt 1) ... (Nt x 1) ! x N l x 1 Nt l (Nt x x ( ) x) t x t ( t) e 1 N Nt Nx x
x x!t lN x 1 lN l ( l) x! N x!
Một cách tổng quát, phân phối Poisson được dùng làm mô hình cho số lần xuất hiện các
biến số thuận lợi trong một khoảng thời gian (t đơn vị thời gian) khi đã biết l, trung bình số
lần xuất hiện biến cố trong một đơn vị thời gian. Hàm khối xác suất Poisson được trình bày công thức sau
(lt)x e lt f (X x) x!
với l là tham số của phân phối và là số lần xuất hiện trung bình của biến cố trong một
khoảng thời gian nhất định (hay trong một không gian nhất định) và e=2,7183.
Thí dụ: Giả sử số lần nhập viện trong ngày cấp cứu ở một bệnh viện có phân phối Poisson
với số lần nhập viện trung bình là 3 lần/ngày. Tính xác suất
a. Vào ngày 12 tháng 8 năm 2003, có đúng 2 trường hợp cấp cứu.
b. Vào ngày 12 tháng 8 năm 2003, có 1 trường hợp cấp cứu nào.
c. Trong một tuần có 7 trường hợp cấp cứu. lOMoAR cPSD| 49831834 Tỉ suất
Số lần xuất hiện trung bình của biến cố trong một đơn vị thời gian, l, còn được gọi là tỉ
suất (rate) hay mật độ mắc mới (incidence rate). Khác với xác suất, l là đại lượng có đơn
vị. Qua hàm khối của phân phối Poisson có thể nhận xét nếu trung bình số lần xuất hiện
của biến cố trong một đơn vị thời gian là l thì trung bình số lần xuất hiện của t đơn vị thời gian là lt.
4. Phân phối xác suất của biến liên tục
Giả sử ta muốn tìm phân phối xác suất của biến liên tục (thí dụ như trọng lượng của trẻ sơ
sinh), ta có thể phân loại trọng lượng sơ sinh thành nhiều nhóm nhỏ (thí dụ như từ 2,0kg
đến < 2,1 kg, từ 2,1kg đến < 2,2 kg, v.v). Khi đó biến liên tục sẽ trở thành biến số rời rạc
và ta có thể dùng phương pháp phân phối xác suất của biến rời rạc cho loại biến số này.
Nếu chúng ta lại chia thành những nhóm nhỏ hơn, phân phối sẽ tinh vi hơn và: -
Ða giác tần suất sẽ trở thành đường cong trơn và được gọi là hàm mật độ
(densityfunction) của phân phối với kí hiệu là f(x) -
Phần diện tích ở dưới đường cong, được bao quanh bởi trục x và hai đường thẳng
vuônggóc đi qua a và b sẽ là P (a < X ≤ b). -
Phần diện tích ở dưới đường cong nằm ở bên trái của đường thẳng vuông góc đi
qua xlà xác suất biến số ngẫu nhiên nhỏ hơn hay bằng x, kí hiệu là P(X£x) hay F(x) được
gọi hàm phân phối (distribution function) của biến ngẫu nhiên X
5. Phân phối bình thường
Phân phối bình thường là phân phối xác suất liên tục phổ biến nhất. Hình 2 là đồ thị của
phân phối xác suất bình thường với trung bình là 0 và độ lệch chuẩn là 1.
Hình 1. Phân phối xác suất bình thường
- Phân phối bình thường là phân phối có hàm mật độ: 1 (x )2 /2 2 f x( ) e 2 lOMoAR cPSD| 49831834
Với là trung bình của phân phối với và 2 là phương sai là độ lệch chuẩn và phương
sai của phân phối. Để thể hiện biến số X có phân phối bình thường với trung bình là và
phương sai 2 còn có thể sử dụng kí hiệu X ~ N( , 2)
Phân phối bình thường có 4 đặc tính quan trọng sau:
- Mật độ cao nhất tập trung ở quanh giá trị , càng xa giá trị hàm mật độ càng giảm
- Hàm mật độ tiến tới zero ở các giá trị cách xa
- Hàm mật độ đối xứng qua đường thẳng đứng đi qua
- Ngoài ra từ hàm mật độ của phân phối bình thường người ta chứng minh được nếu biếnsố
có phân phối bình thường với trung bình là và độ lệch chuẩn , xác suất giá trị biến số
nằm từ trung bình – 1,96 độ lệch chuẩn đến trung bình + 1,96 độ lệch chuẩn là 95%.
X~N( , 2) => P( - 1,96 Hay nói khác đi, chỉ có 5% giá trị của biến số X nằm ngoài khoảng ± 1,96 Phân phối
bình thường chuẩn hay còn gọi là phân phối chuẩn là phân phối bình thường có trung bình
là zero và độ lệch chuẩn =1. 1 z2 / 2 f z( ) e 2
Lưu ý: trong phân phối chuẩn, trục x được gọi là trục z. Phân phối bình thường có thể biến
thành phân phối chuẩn nếu ta tạo biến ngẫu nhiêu mới z = (x- )/ .
Thí dụ: Cho một phân phối bình thường, tính P(Z £ 2,71).
Thí dụ: Cho một phân phối chuẩn, tìm diện tích nằm dưới đường cong, trên trục Z, nằm giữa z=-1 và z=2.
Thí dụ: tính xác suất Z được chọn bất kì trong dân số có phân phối bình thường có giá trị từ -2,55 đến +2,55.
6. Ứng dụng phân phối bình thường
Mặc dù trong thực tế, không có một phân phối nào là phân phối bình thường một cách
chính xác, có nhiều phân phối có thể được coi là xấp xỉ bình thường. Khi đó, nếu dùng mô
hinh phân phối bình thường thì chúng ta có thể có những suy luận xác suất tiện lợi hơn rất
nhiều so với việc sử dụng những phương pháp phức tạp khác. Những phân phối được coi
là xấp xỉ bình thường là trọng lượng trẻ sơ sinh, chiều cao người trưởng thành, thương số thông minh. lOMoAR cPSD| 49831834
Hình 3. Phân phối của phần trăm so với trọng lượng chuẩn của 1750 trẻ em học sinh nhà trẻ Hoa
Hướng Dương 15, Q11, Thành phố Hồ Chí Minh (trung bình=92, độ lệch chuẩn =10) a. Ước lượng
tỉ lệ dân số có một thuộc tính nhất định
Thí dụ:Thương số thông minh trong một dân số có trung bình =100 và độ lệch chuẩn 15.
Chọn ngẫu nhiên một người trong dân số này, tính xác suất người này có thương số thông minh nhỏ hơn 120.
P(IQ<120) = P(Z<(120-100)/15) = P(Z<1,33) =0,9082
Thí dụ: Giả sử trọng lượng của đàn ông ở thành phố Hồ chí Minh có phân phối chuẩn và
có trung bình là 56 kg và độ lệch chuẩn 10 kg. Tính xác suất một người đàn ông được chọn
ngẫu nhiên có trọng lượng ở giữa 40 kg và 68 kg.
P(40 < TL < 68) = P(-1,6 < Z < 1,2) = P(Z< 1,2) – P(Z <-1,6)
Áp dụng quy tắc: muốn tìm P(Z cho số đó
P(Z có P(Z< - 1,6) = 1 - P(Z<|1,6|) Ta được:
P(40 < TL < 68) = P(-1,6 < Z < 1,2) = P(Z< 1,2) – P(Z <-1,6)
= 0,8849 – (1 – 0,9452) = 0,8301
Thí dụ: Trong thành phố Hồ chí minh có cả thẩy 1.000.000 đàn ông trên 20 tuổi. Chấp nhận
giả định ở thí dụ trên, hãy ước tính ở thành phố Hồ Chí Minh có bao người có trọng lượng lớn hơn 80 kg.
P(TL > 80) = P(Z> (80-56)/10) = P(Z>2,4) = 1- P(Z<2,4) = 1-0,9918 = 0,0082
Vì vậy số đàn ông nặng hơn 80 kg = 1.000.000 x 0,00820 = 8200 người b.
Chẩn đoán cho cá nhân
Thí dụ: Theo tổ chức y tế thế giới, đứa trẻ 32 tháng bình thường có trọng lượng trung bình
là 14 kg với độ lệch chuẩn là 1,5 kg. Một đứa trẻ 32 tháng nặng 13 kg có phải là bất bình
thường về dinh dưỡng hay không? lOMoAR cPSD| 49831834
Ðể trả lời câu hỏi này chúng ta phải xét hiện tượng đứa trẻ 32 tháng nặng 13 kg có phổ biến hay không.
P(TL <13) = P(Z < - 0,66) = 1 – P(Z>0,66) = 1 – 0,7454 = 0,2546
Vì có đến 25,46% trẻ 32 tháng có trọng lượng 13 kg hay nhẹ hơn nên cân nặng này không phải là bất thường.
Ðứa trẻ 32 tháng nặng 9 kg có phải là bất thường về dinh dưỡng hay không?
Tương tự như câu hỏi trước đó, chúng ta phải xét hiện tượng đứa trẻ 32 tháng nặng 9 kg có phổ biến hay không.
P(TL <9) = P(Z < - 2,66) = 1 – P(Z>2,66) = 1 – 0,9961 = 0,0039
Nghĩa là trong 1000 trẻ chỉ có khoảng 4 trẻ có trọng lượng 9 kg hay nhẹ hơn. Vì vậy đứa
trẻ này được xem là suy dinh dưỡng.
Người ta quy ước nếu xác suất xảy ra một trị số nào đó hay cực đoan hơn trị số đó nhỏ
hơn 5% thì trị số đó là bất thường. Áp dụng tính chất thứ tư của phân phối bình thường,
điều này có thể phát biểu là nếu giá trị nào nằm ngoài khoảng ± 1,96 là giá trị bất thường
và giá trị nằm trong khoảng ± 1,96 là giá trị bình thường. Phát biểu theo cách khác nếu
khoảng cách giữa một trị số đến giá trị trung bình lớn hơn 1,96 lần độ lệch chuẩn (tương
ứng với |Z|>1,96) thì giá trị đó là bất bình thường. Và giá trị tương ứng với | Z|<1,96 là giá trị bình thường.
Thí dụ: nếu đường huyết có phân phối bình thường với trung bình là 100 mg% và độ lệch
chuẩn là 10 mg%. Hỏi khoảng giá trị bình thường của đường huyết là bao nhiêu? Khoảng
giá trị bình thường của đường huyết tương ứng với - 1,96 < Z < 1,96 hay
100 - 1,96 10 < đường huyết < 100 + 1,96 10 hay từ 80-120 mg% Bài tập
Bài tập phân phối nhị thức
1. Giả sử bệnh nhân bị viêm màng não có tỉ lệ tử vong là 10%. Trong khoa lây của bệnh
viện, hiện có 10 bệnh nhân bị viêm màng não. Tính xác suất: a. Không có ai sống sót
b. Có ít nhất hai người bị chết
c. Có đúng 3 người bị chếtBài giải:
Có thể xem diễn tiến của một bệnh nhân viêm màng não là một phép thử. Như vậy
quan sát 10 phép thử đồng nhất và độc lập với nhau, mỗi phép thử có 2 kết cuộc là
thành công hay thất bại với xác suất thành công trong mỗi lần thử là 0,9. Gọi X là
số lần thành công ta có
f x( ) P(X x) n Cx p x (1 p)(n x )
a. Xác suất không có ai sống sót = Xác suất số thành công bằng 0 = P(X=0)=
= 10C0 p0(1-p)(10-0) =10C10 . 0,90.0,110 =10!/(0!10!).0,110=1/(1010) Xác
suất là 1 phần mười tỉ. b. Ta có
P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+.......+P(X=10) = 1
It nhất hai người bị chết nghĩa là là có từ 0 đến 8 người sống. Do đó, xác suất có ít
nhất hai người bị chết là: lOMoAR cPSD| 49831834
P(X=0)+P(X=1)+.......+P(X=8) = 1- P(X=9)-P(X=10) Với
P(X=10) = 10C10 p10(1-p)(10-10) = 0,910 = 0,3486
Và P(X=9) = 10C9 p9(1-p)(10-9) = 0,99 = 0,3874
Nên xác suất có ít nhất 2 người bị chết bằng: 1 - 0,3486 - 0,3874 = 0,264 c.
Xác suât có đúng 3 người bị chết là = Xác suất có 7 người sống:
P(X=7) = 10C7 p7(1-p)(10-7) = 120 . 0,97 . 0,13 = 0,0574.
Bài tập phân phối Poisson
Biết rằng số chuột trung bình trong mỗi hộ gia đình ở Cần thơ là 1,4 con. Nếu số chuột tuân
theo phân phối Poisson, tính xác suất ở một gia đình nhất định có: a. Không có con chuột nào? b. Có một con chuột?
c. Có từ 3 con chuột trở lên?Bài giải: a. Sử dụng công thức x l e l f ( )x P(X=x) = x!
với l = 1,4 và x = 0 ta được P(X=0) = 0,247 x 1,40 / 0! = 0,247
b. P(X=1) = 0,247 x 1,41 / 1! = 0,346
c. Vì P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X³3) =1 Ta có P(X(3) = 1 - P(X=0) - P(X=1) - P(X=2)
Với P(X=0) = 0,247 x 1,40 / 0! = 0,247
P(X=1) = 0,247 x 1,41 / 1! = 0,346
P(X=2) = 0,247 x 1,42 / 2! = 0,242
Nên P(X ³ 3) = 1 - 0,247 - 0,346 - 0,242 = 0,165
Phân phối bình thường 1.
Hãy liệt kê 10 biến số ngẫu nhiên mà anh chị nghĩa rằng nó là phân phối xấp xỉ bìnhthường. 2.
Nếu hàm lượng cholesterol huyết thanh là phân phối xấp xỉ bình thường với
trungbình là 200mg/100 ml và độ lệch chuẩn là 20 mg/100ml. Tính xác suất một cá nhân
được chọn ngẫu nhiên có giá trị cholesterol (a) từ 180 đến 200 mg/100ml (b) lớn hơn 225
mg/100 ml (c) nhỏ hơn 150 mg/100ml (d) giữa 190 và 210 mg/100 ml. Bài giải
1. Những biến số có phân phối xấp xỉ bình thường là : chiều cao của đàn ông trưởng
thành, trọng lượng trẻ sơ sinh, hemoglobin máu, Hct, đường huyết, chu vi vòng
cánh tay, nhịp tim, tuổi dậy thì của phụ nữ, cholesterol huyết thanh, tỉ trọng nước tiểu.
2.a. P(180 < cholesterol £ 200) = P{(180-200)/20 < Z £ (200-200)/20}
= P(-1 < Z £ 0) = P(0 < Z £ 1) = P(Z £ 1) - P(Z £ 0) = 0,8413 - 0,5 = 0,3413
2.b. P(cholesterol > 225) = 1-P(cholesterol £ 225) = 1- P{Z £ (225-200)/20} lOMoAR cPSD| 49831834
= 1 - P(Z £ 1,25) = 1 - 0,8944 = 0,1056 2.c.
P(cholesterol £ 150) = P{Z £ (150-200)/20} = P{Z £ -2,5}= P{Z
>2,5}= 1-P{Z £ 2,5}=1-0,9938=0,0062
2.d. P(190 < cholesterol £ 210) = P{(190-200)/20 < Z £ (210-200)/20} = P(-0,5 <
Z £ 0,5) = P(Z £ 0,5) - P(Z £ -0,5) = P(Z £ 0,5) - P(Z >0,5)= P(Z £ 0,5) - 1
+ P(Z £ 0,5)=2 x 0,6915 - 1 = 0,3830.