Thông tin
Quiz

Bài giảng ma trận và hệ phương trình tuyến tính - Toán Kinh Tế | Trường Đại học Tôn Đức Thắng

Bài giảng ma trận và hệ phương trình tuyến tính học phần Toán kinh tế - Toán Kinh Tế | Trường Đại học Tôn Đức Thắng Tài liệu được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt và đạt kết quả cao trong môn học. Mời bạn đọc đón xem!

Môn:

Toán Kinh Tế (C01120) 73 tài liệu

Trường:

Đại học Tôn Đức Thắng 3.5 K tài liệu

Thông tin:

46 trang 4 tháng trước

Tác giả:

Mai Nguyệt

docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Bài giảng ma trận và hệ phương trình tuyến tính - Toán Kinh Tế | Trường Đại học Tôn Đức Thắng

86 43 lượt tải Tải xuống

Chöông 1

MA TRAÄN - HEÄ PHÖÔNG TRÌNH TUYEÁN TÍNH

(Matrix and system of linear equations)

1. MA TRAÄN(Matrix)

1.1. Ñònh nghóa ma traän.

Moät baûng soá hình chöõ nhaät goàm

doøng vaø

coät

11 12 1n

21 22 2n

m1 m2 mn

a a a

 

 



 

 

ñöôïc goïi laø moät ma traän caáp

m n

, kyù hieäu

 

m n

A a





hay

m n

A a



 



 

, trong ñoù

chæ soá haïng naèm ôû doøng thöù

, coät thöù

cuûa ma traän

Taäp hôïp taát caû caùc ma traän caáp

m n

ñöôïc kyù hieäu laø

m n



. Vôùi

m n

A M





, soá haïng naèm ôû doøng thöù

, coät thöù

1 i m 

1 j n 

, cuûa

coøn ñöôïc k hieäu laø yù

 

Ví duï 1. Vôùi

2 3

1 2 3

A M

4 5 6



 

 

 

 

, ta coù

 

 

 

A a 1

 

A 2

 

A 3

 

A 4

 

A 5

vaø

 

A 6



1.2. Ma traän baèng nhau.

Hai ma traän

vaø

ñöôïc goïi laø baèng nhau neáu chuùng coù cuøng caáp vaø caùc soá haïng töông öùng cuûa chuùng baèng nhau töøng

ñoâi moät, nghóa laø

   

ij ij

A B

vôùi moïi

i, j

Ví duï 2. Cho hai ma traän

2 3

A, B M





p q 4 1 3 4

A , B

1 0 2 s 0 2

   

 

   

   

Ta coù

A B

neáu vaø chæ neáu

p 1

q 3

vaø

s 1

1.3. Caùc ma traän ñaëc bieät.

i) Ma traän khoâng : laø ma traän maø moïi soá haïng cuûa noù ñeàu laø soá Ma traän khoâng caáp 0.

m n

ñöôïc kyù hieäu laø

m n

hay vaén

taét laø

Ví duï 3.

2 3

0 0 0



 



 

 

laø ma traän khoâng caáp

2 3

ii) Ma traän vuoâng : laø ma traän coù soá doøng vaø soá coät baèng nhau. Ma traän vuoâng caáp

n n

ñöôïc goïi taét laø ma traän vuoâng caáp

. Taäp hôïp taát caû caùc ma traän vuoâng caáp

ñöôïc k hieäu laø yù

. Vôùi ma traän vuoâng

A M

, caùc soá haïng

 

A ,

   

22 nn

A ,..., A

ñöôïc goïi laø naèm treân ñöôøng cheùo (chính) cuûa

. Caùc soá haïng

 

A ,

   

n 1,2 1n

A ,..., A



ñöôïc goïi laø naèm treân ñöôøng cheùo phuï cuûa

Ví duï 4. Ma traän

1 2 3

A 0 6 5

2 3 5



 

 



 



 

laø moät ma traän vuoâng caáp 3.

Caùc soá haïng naèm treân ñöôøng cheùo chính laø :

     

11 22 33

A 1, A 6, A 5   

Caùc soá haïng naèm treân ñöôøng cheùo phuï laø :

     

31 22 13

A 2, A 6, A 3  

iii) Ma traän cheùo caáp

: laø ma traän vuoâng caáp

maø moïi soá haïng khoâng naèm treân ñöôøng cheùo chính ñeàu laø soá 0.

Ví duï 5. Ma traän

 

 

   

 

 

5 0 0

A 0 7 0 diag( 5, 7,0 )

0 0 0

laø moät ma traän cheùo caáp 3.

iv) Ma traän ñôn vò caáp

: laø ma traän cheùo caáp

, kyù hieäu laø

, maø moïi soá haïng naèm treân ñöôøng cheùo chính ñeàu baèng 1.

Ñeå bieåu dieãn ma traän ñôn vò, ngöôøi ta coøn duøng kyù hieäu Kronecker :

1 khi i j

0 khi i j





 







vaø khi ñoù, ma traän ñôn vò caáp ôïc vieát döôùi daïng n ñö

 

n ij

i, j 1,n

1 0 ... 0

0 1 ... 0

... ... ... ...

0 0 ... 1



 

 

  

 

 

Ví duï 6. Ma traän ñôn vò caáp 2 vaø caáp 3 laàn löôït laø

1 0

0 1

 



 

 

;

1 0 0

I 0 1 0

0 0 1

 

 



 

 

vi) Ma traän doøng (coät) : laø chæ coù moät doøng ñöôïc goïi laø moät ma traän doøng, ma traän chæ coù moät coät ñöôïc goïi laø moät ma traän

coät.

Caùc ma traän doøng vaø ma traän coät coøn ñöôïc xem nhö laø caùc vectô vaø ñöôïc laàn löôït goïi laø caùc vectô doøng vaø vectô coät Khi .

ñoù, moät ma traän coù theå xem nhö ñöôïc taïo bôûi nhieàu vectô doøng hay taïo bôûi nhieàu vectô coät. Vôùi ma traän

m n

A M





, doøng thöù

cuûa

goàm caùc phaàn töû

 

, ...,

 

vaø ñöôïc kyù hieäu laø

 

; coät thöù

goàm caùc phaàn töû

 

, ...,

 

, kyù hieäu

 

Ví duï 8. i) Ma traän

 

A 5 3 1 

laø moät ma traän doøng.

ii) Ma traän

B 0

 

 



 



 

laø moät ma traän coät.

1.6. Ma traän chuyeån vò (transpose).

Ñònh nghóa. Cho

m n

A M





, chuyeån vò cuûa

, kyù hieäu

, laø ma traän caáp

n m

xaùc ñònh bôûi

 

A A , i 1, n, j 1, m

 

   

 

Ví duï 21. Vôùi ma traän

2 3

1 2 3

A M

4 5 6



 

 

 

 

, chuyeån vò cuûa noù laø

3 2

1 4

A 2 5 M

3 6



 

 

 

 

 

Nhaän xeùt. Ma traän chuyeån vò cuûa

nhaän ñöôïc töø

baèng caùch bieán doøng cuûa

thaønh coät cuûa

(hay bieán coät cuûa

thaønh doøng cuûa

Tính chaát.

(i)

 

A A

(ii)

 

T T

A B A B  

(iii)

 

T T

AB B A

1.7. Ma traän ñoái xöùng.

Ñònh nghóa. Ma traän vuoâng

ñöôïc goïi laø ñoái xöùng, neáu

A A

Töø ñònh nghóa ta thaáy neáu

laø ma traän ñoái xöùng thì

laø ma traän vuoâng vaø caùc phaàn töû naèm ôû vò trí ñoái xöùng nhau qua

ñöôøng cheùo ñeàu baèng nhau,

   

ij ji

A A

i, j

. Ví duï 22. Ma traän i x đ ố ứng

x 1 3

A 1 y 5

3 5 z

 

 



 

 

1.3. Caùc pheùp toaùn treân ma traän.

1.3.1. Pheùp coäng hai ma traän vaø nhaân moät soá vôùi moät ma traän

Vôùi hai ma traän

m n

A, B M





h 

, ma traän toång cuûa

vaø

, k hieäu yù

A B

, laø ma traän caáp

m n

xaùc ñònh bôûi

     

ij ij ij

A B A B  

vôùi moïi

i, j

Ma traän tích cuûa

vôùi haèng soá h, k hieäu yù

, laø ma traän caáp

m n

xaùc ñònh bôûi

   

ij ij

hA h A

vôùi moïi

i, j

Ví duï 9. Vôùi

1 2 3

4 5 6

 



 

 

1 1 1



 



 

 

 

thì

2 1 4

A B

3 6 5

 

 

 

 

2 4 6

8 10 12

 



 

 

vaø

4 4 4

 

 

 

 



 

Chuù yù : Hai ma traän chæ coù theå coäng vôùi nhau khi chuùng coù cuøng caáp vaø ma traän toång coù caáp baèng caáp cuûa hai ma traän ñaõ

cho. Ma traän

 

1 .A

, kyù hieäu

A

, ñöôïc goïi laø ma traän ñoái cuûa ma traän

. Töø ñoù, ta ñònh nghóa ñöôïc pheùp tröø caùc ma traän bôûi

   

A B A B A 1 .B      

Tính chaát. Vôùi moïi ma traän

m n

A, B, C M





vaø

h, k 

, ta coù

(i)

A B B A  

(tính giao hoaùn).

(ii)

   

A B C A B C    

(tính keát hôïp).

(iii)

A A 0

(

: ma traän khoâng caáp

m n

(iv)

 

A A   0

(v)

   

h kA hk A

(vi)

 

h A B hA hB  

(vii)

 

h k A hA kA  

(viii)

1.A A

Caùc tính chaát treân ñöôïc kieåm chöùng moät caùch deã daøng vaø ñöôïc coi nhö laø baøi taäp. Taäp hôïp

m n



cuøng vôùi hai pheùp coäng

hai ma traän vaø pheùp nhaân ma traän vôùi moät soá thoûa 8 tính chaát neâu treân neân sau naøy ta noùi raèng noù coù caáu truùc cuûa moät khoâng

gian vectô (xem chöông 3).

1.3.2. Pheùp nhaân hai ma traän.

Cho hai ma traän

m n n p

A M , B M

 

 

. Ta ñònh nghóa ma traän tích cuûa hai ma traän

A, B

laø ma traän caáp

m p

, kyù hieäu

xaùc ñònh bôûi

     

           

ik ij jk

j 1

i1 1k i2 2k in nk

AB A B

A B A B ... A B



   



vôùi moïi

i 1, m , k 1, p 

Ví duï 10. Cho

3x2 2x2

1 2

2 3

A 1 1 M , B M

2 1

2 3

 

 

    

 



 

 

 

Caùc soá haïng cuûa ma traän

3 2

AB M





laàn löôït laø

     

11 1

AB A B 1.2 2( 2) 2      

     

12 1

AB A B 1.3 2.1 5    

     

21 2

AB A B 1.2 1( 2) 4       

     

22 2

AB A B 1.3 1.1 2      

     

31 3

AB A B 2.2 3( 2) 2      

     

32 3

AB A B 2.3 3.1 9    

vaø do ñoù

2 5

AB 4 2

2 9

 

 

  

 



 

Chuù yù. i) Ñeå coù theå nhaân ma traän

vôùi ma traän

, ta caàn ñieàu kieän laø soá coät cuûa ma traän

phaûi baèng soá doøng cuûa ma

traän

vaø khi ñoù :

Soá doøng cuûa ma traän tích

baèng soá doøng cuûa ma traän

vaø soá coät cuûa ma traän tích

baèng soá coät cuûa ma traän

Do ñoù, vôùi hai ma traän A, B cho tröôùc, khoâng nhaát thieát tích AB toàn taïi vaø khi tích AB toàn taïi, khoâng chaéc tích BA toàn taïi.

ii) Tích cuûa hai ma traän noùi chung khoâng coù tính giao hoaùn, nghóa laø toång quaùt ta coù

AB BA

Ví duï 11. Vôùi hai ma traän

0 1

0 0

 



 

 

0 0

1 0

 



 

 

, ta coù

1 0 0 0

AB BA

0 0 0 1

   

  

   

   

Trong tröôøng hôïp caû hai ma traän tích

vaø

toàn taïi vaø thoûa ñaúng thöùc

AB BA

, ta noùi hai ma traän

vaø

giao hoaùn

vôùi nhau. Chaúng haïn, ma traän ñôn vò

giao hoaùn vôùi moïi ma traän vuoâng

caáp

vaø

n n

I A AI A 

Toång quaùt, neáu

laø ma traän caáp

m n

, ta coù

m n

I B BI B 

, trong ñoù

laàn löôït laø caùc ma traän ñôn vò caáp

vaø

Ví duï 12. Cho

1 2 3

4 5 6

 



 

 

Ta coù

1 0 1 2 3 1 2 3

I A

0 1 4 5 6 4 5 6

     

 

     

     

1 0 0

1 2 3 1 2 3

AI 0 1 0

4 5 6 4 5 6

0 0 1

 

   

 

 

   

 

   

 

 

Ví duï 13. Cho

1 1 1

A 1 2 1

2 3 1



 

 

 

 



 

vaø

1 4 3

C 1 3 2

1 1 1

 

 

 

  

 



 

. Ta coù

1 0 0

AC CA 0 1 0 I

0 0 1

 

 

  

 

 

vaø do ñoù, hai ma traän A vaø C giao hoaùn vôùi nhau. Thöïc ra, ma traän C nhö vaäy coøn ñöôïc goïi laø ma traän nghòch ñaûo cuûa A, kyù

hieäu



1.4. Caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp treân doøng.

Ta coù 3 pheùp bieán ñoåi sô caáp treân doøng nhö sau :

i) Pheùp bieán ñoåi 1 : Hoaùn vò hai doøng

vaø

, k hieäu yù

   







i j

A A

, nhaèm ñoåi choã hai doøng

trong ma traän A, caùc doøng

coøn laïi khoâng thay ñoåi. Kyù hieäu khaùc:

( ) ( ); ;

i j i j

i j R R R R

Ví duï 14.

   



   

   

 

   

 

   

1 3

3 2 1 5 1 3 2 4

0 1 2 3 0 1 2 3

1 3 2 4 3 2 1 5

5 1 2 0 5 1 2 0

ii) Pheùp bieán ñoåi 2 : Nhaân doøng

vôùi moät soá

0 

, kyù hieäu

   

i : i

A A







, nhaèm nhaân doøng thöù

cuûa A vôùi



, caùc doøng

coøn laïi khoâng thay ñoåi. Kyù hieäu khaùc:

;

i i i

R R R

 

Ví duï 15.

   

3 : 3

1 2 3 1 2 3

A 0 1 4 0 1 4

0 0 5 0 0 1



 

   

   

 

   

   

iii) Pheùp bieán ñoåi 3 : Thay doøng

bôûi doøng

coäng vôùi



laàn doøng

, (Thay moät doøng baèng doøng ñoù coäng



laàn doøng khaùc),

kyù hieäu

     

i : i j

A A

  





, nhaèm thay doøng thöù

cuûa A baèng doøng ñoù coäng vôùi



nhaân cho doøng thöù

cuûa A, caùc doøng coøn

laïi göõ nguyeân. Kyù hieäu khaùc:

;

i i j i j

R R R R

 

 

Ví duï 16.

     

 

   

 

   

   

   

 

   

3 : 3 1

1 1 0 1 1 0

A 0 1 1 0 1 1

1 0 2 0 1 2

   

 

 



 

 

 



 

3 : (3) 2

1 1 0

0 1 1

0 0 1

(ma traän baäc thang theo doøng).

Ví duï 18. Ñöa ma traän A veà daïng tam giaùc treân, vaø coù theå bieán ñoåi tieáp tuïc ñeå ñöa ma traän A veà ma traän ñôn vò nhö sau:

 

     

 

     

     

  

     

   

     

     

( 2 ): ( 2 ) 2( 1);

( 3 ): ( 3 ) (1 );

( 4 ): ( 4 ) 3(1 ) ( 3 ): ( 3 ) ( 2 ) ( 4 ): ( 4 ) 5( 3 )

( 4 ): ( 4 ) 2( 2 )

1 1 0

1 1 0 2 1 1 0 2

1 1 0 2

2 4 1 5 0 2 1 1 0 2 1 1

1 3 0 5 0 2 0 3 0 0 1 2

3 7 3 9 0 4 3 3 0 0 5 1

 

 



 



 

1 1

2 2

0 1

0 0 1 2

0 0 0 9

1.5. Ma traän baäc thang theo doøng.

Ñònh nghóa. Ma traän baäc thang theo doøng laø ma traän maø

- ng vôùi hai doøng baát kyø, soá haïng khaùc 0 ñaàu tieân cuûa doøng döôùi luoân luoân naèm beân phaûi soá haïng khaùc 0 ÖÙ

ñaàu tieân cuûa doøng treân.

- Caùc doøng khoâng , neáu coù, seõ naèm döôùi cuøng.

*soá haïng khaùc 0 ñaàu tieân cuûa doøng goïi laø phaàn töû cô sôû cuûa doøng ñoù.

Ví duï 19.

0 1 0 3 5 7

0 0 0 2 4 6

A 0 0 0 0 3 3

0 0 0 0 0 5

0 0 0 0 0 0

 

 



 



 

 

1 0 2 0 9 6

0 2 4 4 7 1

B 0 0 0 1 0 3

0 0 0 0 0 8

0 0 0 0 0 0

 

 



 



 

 

Nhaän xeùt : Trong ma traän baäc thang theo doøng, caùc doøng khoâng (doøng chöùa toaøn soá haïng 0), neáu coù, phaûi naèm döôùi caùc

doøng khaùc khoâng (doøng coù ít nhaát moät soá haïng khaùc 0). Khi ñoù, caùc soá haïng baèng 0 ñaàu tieân treân moãi doøng taïo thaønh hình baäc

thang, moãi baäc thang chöùa ít nhaát moät coät.

Chaúng haïn, vôùi caùc ma traän trong ví duï 19, caùc soá haïng baèng 0 ñaàu tieân treân moãi doøng coù daïng

0 0 0

A 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

 

 



 

 

B 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

 

 



 

 

Chuù yù raèng, ma traän tam giaùc treân vôùi caùc soá haïng naèm treân ñöôøng cheùo khaùc 0 cuõng laø moät ma traän baäc thang vaø khi ñoù

moãi baäc thang chöùa ñuùng moät coät.

Vôùi moät ma traän

caáp

m n

baát kyø, ta luoân luoân coù theå duøng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp ñeå bieán ma traän

thaønh ma traän

baäc thang theo doøng.



Giaûi thuaät chuyeån ma traän baát kyø veà ma traän baäc thang theo doøng.

Ñeå chuyeån ma traän baát kyø veà ma traän baäc thang theo doøng, ngöôøi ta thay ñoåi caùch choïn phaàn töû truïc xoay trong giaûi thuaät

chuyeån ma traän vuoâng veà ma traän tam giaùc treân. Thay vì vò trí phaàn töû truïc xoay luoân luoân naèm treân ñöôøng cheùo, ta choïn

- Phaàn töû truïc xoay cuûa coät 1 naèm ôû doøng 1.

- Neáu sau khi bieán ñoåi xong moät coät maø phaàn töû truïc xoay luùc ñoù khaùc 0 thì phaàn töû truïc xo cuûa coät keá naèm ôû doøng keá. ay

Ngöôïc laïi, neáu phaàn töû truïc xoay baèng 0 (vaø moïi phaàn töû naèm döôùi noù cuõng baèng 0) thì phaàn töû truïc xoay cuûa coät keá naèm ôû

cuøng doøng.

Ví duï 20. Ta đ ưa ma tr n sau v d ng baäc thang theo doøng sau: ậ ề ạ như

 

   

 

   

      



   

   

   

    

   

2 2 1

3 3 1

4 4 1

R R 3R

R R R

R R 12R

1 1 2 4 5

3 1 1 2 1 0 2 5 10 14

1 1 3 6 9 0 2 5 10 14

12 2 1 2 10 0 10 25 50 70

 

 

 

 

 

 



 

 

3 3 2

4 4 2

R R R

R R 5R

1 1 2 4 5

0 2 5 10 14

0 0 0 0 0

2. ÑÒNH THÖÙC CUÛA MA TRAÄN VUOÂNG (DETERMINANT OF A SQUARE MATRIX)

Xeùt ma traän vuoâng caáp

11 1j 1n

i1 ij in

n1 nj nn

a a a

a a aA

a a a

 

 



 

 

Vôùi moãi soá haïng

(soá haïng naèm ôû doøng

vaø coät

), ma traän vuoâng caáp

n 1

nhaän ñöôïc töø

baèng caùch boû ñi doøng thöù

vaø coät thöù

ñöôïc goïi laø ma traän buø cuûa

ñoái vôùi soá haïng

, kyù hieäu laø

Ví duï 23. Vôùi

1 2 3

A 4 5 6 M

7 8 9

 

 

 

 

 

thì

5 6

8 9

 



 

 

23 33 2

1 2 1 2

A , A M

7 8 4 5

   

  

   

   

2.1. Ñònh nghóa. Cho

A M

. Ñònh thöùc cuûa A, kyù hieäu

det A

hay

, laø soá thöïc ñöôïc ñònh nghóa nhö sau :

i)Ñònh thöùc caáp 1:

 

A a

, ta coù

det A a

. Ví duï: A = (-6), thì detA = |A| = - 6.

ii) Ñònh thöùc caáp 2:

a b

c d

 



 

 

thì

  

a b

det A ad bc

c d

(nghóa laø

det A

chính laø tích caùc soá haïng treân ñöôøng cheùo chính tröø

ñi tích caùc soá haïng treân ñöôøng cheùo phu ) ï.

VD:

1 2 1 2

, 1.4 2.3

3 4 3 4

A DetA

 

     

 

 

iii) Ñònh thöùc caáp 3: Quy taéc 6 ñöôøng cheùo (ta ghi laïi coät 1 vaø coät 2 sau coät 3; sau ñoù keû 3 ñöôøng cheùo chính vaø 3 ñöôøng

cheùo phuï; Tích caùc phaàn töû treân moãi ñöôøng cheùo chính mang daáu +, tích caùc phaàn töû treân moãi ñöôøng cheùo phuï mang daáu - ).

      

1 2 3 1 2 3 1 2

1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2 2 1 3 3 2 1

1 2

1 2 3 1 2 3

a a a a a a a a

b b b b b b b b a b c a b c a b c a b c a b c a b c

c cc c c c c c

Trong thöïc haønh ta coù theå tính ñònh thöùc caáp 3 baèng caùch duøng quy taéc Sarrus sau : nhö

-Vieát theo thöù töï hai coät 1 vaø 2 sau coät thöù 3.

- Ba soá haïng mang daáu coäng trong ñònh thöùc laø tích caùc phaàn töû naèm treân ba ñöôøng song song vôùi ñöôøng cheùo chính.

- Ba soá haïng mang daáu tröø trong ñònh thöùc laø tích caùc phaàn töû naèm treân ba ñöôøng song song vôùi ñöôøng cheùo phuï.

  

  

Ví duï 24a: Ta coù

   

1 2 3 1 2

3 4 0 3 4

1 2 5 1 2

       

           1.4.5 2.0. 1 3.3. 2 3.4. 1 1.0. 2 2.3.5 16

Ví duï 24b: Tính

1 2 3

4 5 6

7 8 9

1 2 3 1 2

4 5 6 4 5

7 8 9 7 8

= 1.5.9 + 2.6.7 + 3.4.8 - – 3.5.7 1.6.8 - 249 = 0.

Baøi taäp : Tính caùc ñònh thöùc caáp 3 sau 13

        

   

1 1 1 1 1

1 0 1 1 0 0 1 1 (0 1 0) 1

1 1 0 1 1

. b)

      

0 1 1 0 1

1 0 1 1 0 0 1 1 (0 0 0) 2

1 1 0 1 1

2 1 1

0 5 2

1 3 4



= 21 d)

3 2 4

2 5 1

0 6 1

 



= -11 e)

   

          

2 1 4 2 1

6 3 2 6 3 12 8 24 ( 48 4 12) 100

4 1 2 4 1

7 6 5

1 2 1

3 2 1

= 0 g)

1 2 3

4 2 3

0 5 1



2 3 4

5 6 7

8 9 1

2 0 1

3 2 3

1 3 5



 

1 0 0

3 2 4

4 1 3



iv)Ñònh thöùc caáp n (toång quaùt): Cho ma traän

 

i j

n n

A a





. Ta goïi:

( 1) det( )

i j

ij ij

c A



 

: phaàn buø ñaïi soá cuûa a . Khi ñoù ta coù coâng

thöùc

- Khai trieån det(A) theo doøng i:



 

  

 

n n

i j

ij ij ij ij

j 1 j 1

de t A a c ( 1) a de t A

(Laáy caùc phaàn töû treân doøng i nhaân phaàn buø ñaïi soá roài coäng laïi).

- Khai trieån det(A) theo coät j:



 

  

 

n n

i j

ij ij ij ij

i 1 i 1

det A a c ( 1) a de t A

(Laáy caùc phaàn töû treân coät j nhaân phaàn buø ñaïi soá roài coäng laïi).

Töø ñònh lyù neâu treân, ta coù theå tính ñöôïc ñònh thöùc baèng caùch khai trieån theo moät doøng hay moät coät baát kyø. Trong thöïc teá,

ta löïa choïn caùc doøng hay coät ñeå khai trieån sao cho soá caùc pheùp tính caàn thöïc hieän caøng ít caøng toát, chaúng haïn khai trieån theo

doøng hay coät chöùa nhieàu soá 0 nhaát.

Ví duï 25. Xeùt

1 0 3 2

0 2 2 0

3 2 0 1

0 3 0 0



 

 



 



 

 

-Khai trieån theo doøng 4, ta coù

41 41 42 42 43 43 44 44 42 42 41 43 44

det( ) , (vì 0A a c a c a c a c a c a a a      





    

4 2

1 3 2

de t A 3 ( 1) 0 2 0 ,

3 0 1

Khai trieån theo doøng 2 ñònh thöùc ôû veá phaûi

 





    

2 2

1 2

de t A 3 2 ( 1) 42

3 1

(hoaëc duøng quy taéc 6 ñöôøng cheùo), ta ñöôïc

 

     

1 3 2 1 3 2 1 3

0 2 0 0 2 0 0 2 ...

3 0 1 3 0 1 3 0

-Khai trieån theo coät 1, ta coù

11 11 21 21 31 31 41 41 11 11 31

det( )A a c a c a c a c a c a     

= -42.

2.4. Tính chaát.

i) Vôùi hai ma traän



A, B M

sao cho

det C det A det B 

;

 

det A det A

;

 

det AB det A. det B

Chuù yù. Vôùi

A, B M

, coù theå

AB BA

nhöng ta vaãn coù

   

det AB det BA

ii) Cho

A M

h 

, ta coù

 

det hA h det A

iii) Nhöõng ma traän sau coù ñònh thöùc baèng 0:

-Ma traän coù 2 doøng tæ leä c hai coät tæ leä) . (hoặ

VD:

1 2 4

2 4 8

9 11 7

   

-Ma traän khoâng.

-Ma traän coù ít nhaát 1 doøng(hoaëc 1 coät) goàm toaøn soá 0.

iv) Ñònh thöùc cuûa ma traän tam giaùc, ma traän ñöôøng cheùo baèng tích caùc soá haïng naèm treân ñöôøng cheùo chính.

VD:

2 3 0

0 5 1 2.5.7 7

0 0 7

  

, DetI

2.5. Ñònh lyù.(Tính chaát cuûa caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp)

i) Neáu

(i) (i )

A B





thì

det B det A 

. (pheùp hoaùn ñoåi 2 doøng, hoaëc 2 coät laøm ñònh thöùc ñoåi daáu).

ii) Neáu

(i): (i)

A B





thì

   



det B det A det A .det B

.(Nhaân moät doøng(hoaëc 1 coät) vôùi soá thöïc khaùc 0, laøm ñònh thöùc

nhaân leân alpha laàn, khi tính chia l i cho alphaạ )

iii) Neáu

(i) : (i) (i )

A B

  



, thì

det B det A

(pheùp bieán ñoåi khoâng thay ñoåi ñònh thöùc).thứ 3

Ñònh lyù neâu treân ñöôïc öùng duïng trong vieäc tính ñònh thöùc cuûa moät ma traän baèng caùch bieán moät ma traän vuoâng veà ma traän

tam giaùc treân. Chuù yù raèng vôùi giaûi thuaät neâu trong phaàn 1.4, ta chæ duøng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp thöù 1 (ñònh thöùc ñoåi daáu) vaø

pheùp bieán ñoåi thöù (ñònh thöùc khoâng ñoåi). 3

Ví duï 27. Cho

1 2 3

A 4 9 6

3 2 0

 

 



 

 

Ta coù

(2) : (2) 4(1)

(3) : (3) 3(1)

1 2 3 1 2 3

A 4 9 6 0 1 6

3 2 0 0 4 9

 

   

   

  

   

 

   

, khai tri n det A theo c t 1 ta coù det(A) = a ể ộ

1 1

1 6

1.( 1)

4 9





 

 

- 33.

Baøi taäp Tính caùc ñònh thöùc caáp 4 sau(trong tính ñònh thöùc, ñöôïc söû duïng bieán ñoåi coät) 14.



     

4 1

41 41

1 0 2 a

0 2 a

2 0 b 0 2 a

a c d( 1) 0 b 0 dc abc d

3 c 4 5 b 0

c 4 5

d 0 0 0

(Khai tri n detA theo doøng 4). ể

Caùch 2: Khai trieån detA theo coät 2.

  



   

x 1 1 1 x 1 1 x 0 0 x 1 0 0 0

1 x 1 1 1 x 1 1 1 x 1 1 1

(1) : (1) (2) (2 ') : (2 ') (1 ')

1 1 x 1 1 1 x 1 1 2 x 1

1 1 1 x 1 1 1 x 1 2 1 x

(Sau ñoù khai trieån doøng 1)

Kyù hieäu:

(2')

chæ coät 2.



  

  

      

  

1 1

11 11

1 1 1 0 1 1 1 0

0 1 1 0 1 1 0 1

1 1 0 1 (2) : (2) (1) 0 0 1 1

a c 1( 1) 1 0 1 1 0 1 1 0

1 0 1 1 (3) : (3) (1) 0 1 0 1

1 1 1 1 1 1 1 1

0 1 1 1 0 1 1 1

= -3.

 

11 11 12 12

1 1 0 0

1 1 1 0

a c a c

0 1 1 1

0 0 1 1

(khai trieån detA theo doøng 1)

Caùch 2 taïo theâm soá 0 :



        

1 1

11 11

1 1 0 0 1 1 0 0

0 1 0

1 1 1 0 0 0 1 0 1 1

( 2) : ( 2 ) (1) a c 1.( 1) 1 1 1 1

0 1 1 1 0 1 1 1 0 1

0 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

3. MA TRAÄN NGHÒCH ÑAÛO

3.1. Ñònh nghóa. Cho

A, B M

. Ta noùi

A, B

laø hai ma traän nghòch ñaûo cuûa nhau neáu

AB BA I 

. Khi ñoù, ta noùi

vaø

laø caùc

ma traän khaû nghòch.

Chuù yù: ma traän nghòch ñaûo cuûa A laø duy nhaát kyù hieäu ,

B A





3.2. Tính chaát. Neáu

1 2

A , A , A

laø nhöõng ma traän vuoâng caáp

khaû nghòch thì

(i)

 

A A





(ii)

 

1 1

1 2 2 1

A A A A



 



(iii)

   

1 T

T 1

A A





Ví duï 29. Vôùi

1 1 1

A 1 2 1

2 3 1

 

 

 

 



 

vaø

1 4 3

B 1 3 2

1 1 1

 

 

 

  

 



 

, ta coù

 

 

  

 

 

1 0 0

AB BA 0 1 0 I

0 0 1

Vaäy

A, B

khaû nghòch vaø

B A





hay

A B





3.3. Tính chaát. Ma traän

A M

khaû nghòch ( coù phaàn töû nghòch ñaûo) khi vaø chæ khi

det A 0

3.4. Giaûi thuaät tìm ma traän nghòch ñaûo



Phöông phaùp 1.

-Böôùc 1: tính detA. Neáu detA = 0 thì keát luaän A khoâng khaû nghòch, neáu

det 0A 

thì sang böôùc 2.

-Böôùc 2: Tìm caùc phaàn buø ñaïi soá

 



 

i j

ij ij

c 1 de t A

vaø laäp ma traän phaàn buø ñaïi soá

( )

C c

-Böôùc 3: AÙp duïng coâng thöùc



 

 

 

 

 

11 12 1n

1 T

21 22 2n

n1 n 2 nn

c c c

1 1

A C

de t A de t A

c c c

, (Moät chia detA, nhaân vôùi ma traän chuyeån vò caùc phaàn buø ñaïi soá).

Ví duï 30. Tìm ma traän nghòch ñaûo cuûa

1 1 1

A 1 2 1

2 3 1



 

 

 

 



 

Ta coù

det A 1

, do ñoù A khaû nghòch vaø



. Ta tìm caùc phaàn buø ñaïi soá nhö sau

 



   

1 1

2 1

c 1 1

3 1

 





   



1 2

1 1

c 1 1

2 1

 





  



1 3

1 2

c 1 1

2 3

 





  

2 1

1 1

c 1 4

3 1

 



  



2 2

1 1

c 1 3

2 1

 





   



2 3

1 1

c 1 1

2 3

 





   

3 1

1 1

c 1 3

2 1

 



   



3 2

1 1

c 1 2

1 1

 





  



3 3

1 1

c 1 1

1 2

Ta aùp duïng coâng thöùc



 

      

 

   

      

 

   

 

   

  

   

 

11 12 13

1 T

21 22 23

31 31 33

c c c

1 1 1 1 4 3

1 1 1

A C c c c 4 3 1 1 3 2

det A det A 1

3 2 1 1 1 1

c c c

Ví duï(Baøi 16a): Tìm A , vôùi

-1

1 3 7

A 2 1 2

7 1 4

 

 



 



 

Giaûi: Ta coù

det 1 0A   

suy ra A khaû nghòch. Maët khaùc

 



  

1 1

1 2

c 1 2

1 4

 



   



1 2

2 2

c 1 22

7 4

 



  



1 3

2 1

c 1 9

7 1

 



   

2 1

3 7

c 1 5

1 4

 



  



2 2

1 7

c 1 53

7 4

 



   



2 3

1 3

c 1 22

7 1

 



   

3 1

3 7

c 1 1

1 2

 



  

3 2

1 7

c 1 12

2 2

 



   

3 3

1 3

c 1 5

2 1

Vaäy ma traän nghòch ñaûo cuûa ma traän

laø



   

 

   

     

   



   

  

   

2 22 9 2 5 1

A 5 53 22 22 53 12

1 12 5 9 22 5

Phöông phaùp 2. Duøng pheùp bieán ñoåi sô caáp theo doøng.

i) Laäp ma traän

 

A I

laø ma traän goàm n doøng vaø 2n coät, trong ñoù

- n coät ñaàu cuûa

 

A I

chính laø ma traän

- n coät cuoái cuûa

 

A I

laø ma traän ñôn vò

ii) Baèng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp theo doøng, ta coù theå chuyeån ma traän

 

A I

veà ma traän

 

I B

vaø khi ñoù

B A





.(Bieán A

thaønh I thì I seõ trôû thaønh A

-1

Ví duï 31. Cho ma traän

1 1 1

A 1 2 1

2 3 1

 

 

 

 



 

Ñeå tìm ma traän nghòch ñaûo cuûa

, ta thöïc hieän caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp treân doøng

 

1 1 1 1 0 0

A I 1 2 1 0 1 0

2 3 1 0 0 1

 

 

 

 



 

     

2 : 2 1

3 : 3 2 1

1 1 1 1 0 0

0 1 2 1 1 0

0 1 3 2 0 1

 

 

 



 

 

 

 

 

 



 



 

(1): ( 1) ( 2 )

( 3 ): ( 3 ) ( 2 )

1 0 3 2 1 0

0 1 2 1 1 0

0 0 1 1 1 1

     

 

 



 

 

 

 

   

 



 

1 : 1 3 3

2 : 2 2 3

1 0 0 1 4 3

0 1 0 1 3 2 I A

0 0 1 1 1 1

Vaäy ma traän nghòch ñaûo cuûa

laø

1 4 3

A 1 3 2

1 1 1



 

 

 

  

 



 

Chuù yù. - Neáu ta khoâng theå bieán ma traän

thaønh ma traän ñôn vò, chaúng haïn

coù moät coät (hay doøng) chöùa toaøn soá 0 thì ma

traän

khoâng khaû nghòch, nghóa laø



khoâng toàn taïi.

-Trong quaù trình bieán ñoåi, ta khoâng laøm maát caùc coät ñaõ coù.

Ví duï 32. Cho ma traän

1 3 4

A 1 5 1

3 13 6



 

 

 

 



 

. Tìm ma traän nghòch ñaûo cuûa A nhö sau:

ta coù

 

1 3 4 1 0 0

A I 1 5 1 0 1 0

3 13 6 0 0 1

 



 

 

 



 

     

2 : 2 1

3 : 3 3 1

1 3 4 1 0 0

0 2 3 1 1 0

0 4 6 3 0 1

 

 



 

 

 



 

     

3 : 3 2 2

1 3 4 1 0 0

0 2 3 1 1 0

0 0 0 1 2 1

 

 



 

 

 

 

 

Qua moät soá pheùp bieán ñoåi sô caáp, ma traän

chöùa moät doøng toaøn soá 0. Vaäy ma traän

khoâng khaû nghòch.

4. HAÏNG CUÛA MA TRAÄN(Rank)

Ta chæ coù khaùi nieäm ñònh thöùc cho caùc ma traän vuoâng. Ñoái vôùi moät ma traän A baát kyø, ñònh thöùc cuûa ma traän vuoâng caáp k

nhaän ñöôïc töø A baèng caùch boû ñi moät soá doøng vaø moät soá coät cuûa A ñöôïc goïi laø moät ñònh thöùc con caáp k cuûa A. Ta coù

4.1. Ñònh nghóa. Cho ma traän

m n

A M





. Ta goïi haïng cuûa ma traän

laø soá nguyeân

thoûa

i) Moïi ñònh thöùc con cuûa A caáp lôùn hôn

ñeàu baèng 0,

ii) Trong

toàn taïi moät ñònh thöùc con caáp

khaùc 0.

Ta k hieäu haïng cuûa ma traän yù

laø

 

rank A

hay vaén taét laø

 

r A

. Khi

laø ma traän 0, ta quy öôùc

 

r A 0

Löu yù raèng

   

0 r A min m, n 

Ví duï 33. i) Ma traän

1 2 3

A 2 4 6

2 5 0

 

 



 

 

coù

 

r A 2

, vì

det A 0

vaø trong

coù ñònh thöùc con

1 2

2 5



Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/46

| | Tải xuống

Preview text:

Chöông 1
MA TRAÄN - HEÄ PHÖÔNG TRÌNH TUYEÁN TÍNH
(Matrix and system of linear equations) 1. MA TRAÄN(Matrix)
1.1. Ñònh nghóa ma traän.
Moät baûng soá hình chöõ nhaät goàm m doøng vaø n coät  a a a 11 12 1n    a a a 21 22 2n A        a a a  m1 m2 mn 
ñöôïc goïi laø moät ma traän caáp m n, kyù hieäu A  a
hay A  a   ij 
a chæ soá haïng naèm ôû doøng thöù i, coät thöù j mn ij   , trong ñoù mn ij
cuûa ma traän A .
Taäp hôïp taát caû caùc ma traän caáp m n ñöôïc kyù hieäu laø M 
, soá haïng naèm ôû doøng thöù   , m . Vôùi n A M mn
i , coät thöù j , 1 i m
1  j  n , cuûa A coøn ñöôïc ky ùhieäu laø A  . ij  1 2 3
Ví duï 1. Vôùi A   M   , ta coù , A , A , A vaø A  2 3   A  a   
1, A   2  3  4  5  6  4 5 6   11 11 12 13 21 22 23
1.2. Ma traän baèng nhau.
Hai ma traän A vaø B ñöôïc goïi laø baèng nhau neáu chuùng coù cuøng caáp vaø caùc soá haïng töông öùng cuûa chuùng baèng nhau töøng
ñoâi moät, nghóa laø A   
B vôùi moïi i, j . ij ij
Ví duï 2. Cho hai ma traän A, B  M , 23 1  p q 4 1 3 4 A  , B      .  1 0 2 s 0 2
Ta coù A  B neáu vaø chæ neáu p  1, q  3 vaø s  1.
1.3. Caùc ma traän ñaëc bieät.
i) Ma traän khoâng : laø ma traän maø moïi soá haïng cuûa noù ñeàu laø soá 0. Ma traän khoâng caáp m n ñöôïc kyù hieäu laø 0 hay vaén mn taét laø 0 .  0 0 0
Ví duï 3. 0 
laø ma traän khoâng caáp  . 23   2 3  0 0 0
ii) Ma traän vuoâng : laø ma traän coù soá doøng vaø soá coät baèng nhau. Ma traän vuoâng caáp n  n ñöôïc goïi taét laø ma traän vuoâng caáp
n . Taäp hôïp taát caû caùc ma traän vuoâng caáp n ñöôïc ky ùhieäu laø
, caùc soá haïng A n
M . Vôùi ma traän vuoâng A  Mn
, A  ,..., A 11 22 nn
ñöôïc goïi laø naèm treân ñöôøng cheùo (chính) cuûa A . Caùc soá haïng A , A
,...,A ñöôïc goïi laø naèm treân ñöôøng cheùo phuï cuûa n1 n1,2 1n A .
Ví duï 4. Ma traän  1 2  3    A  0 6 5    2 3 5   
laø moät ma traän vuoâng caáp 3.
Caùc soá haïng naèm treân ñöôøng cheùo chính laø : A  1, A  6, A  5  . 11 22 33
Caùc soá haïng naèm treân ñöôøng cheùo phuï laø : A  2, A   6, A   3 . 31 22 13
iii) Ma traän cheùo caáp n : laø ma traän vuoâng caáp n maø moïi soá haïng khoâng naèm treân ñöôøng cheùo chính ñeàu laø soá 0.
Ví duï 5. Ma traän  5 0 0  
A  0 7 0  diag( 5,    7 ,0 )    0 0 0 2
laø moät ma traän cheùo caáp 3.
iv) Ma traän ñôn vò caáp n : laø ma traän cheùo caáp n , kyù hieäu laø n
I , maø moïi soá haïng naèm treân ñöôøng cheùo chính ñeàu baèng 1.
Ñeå bieåu dieãn ma traän ñôn vò, ngöôøi ta coøn duøng kyù hieäu Kronecker : 1  khi i  j   ij  0 khi i  j
vaø khi ñoù, ma traän ñôn vò caáp n ñ ôïc
ö vieát döôùi daïng  1 0 ... 0   0 1 ... 0    . n I   ij    i, j 1  ,n ... ... ... ...   0 0 ... 1  
Ví duï 6. Ma traän ñôn vò caáp 2 vaø caáp 3 laàn löôït laø 1 0 0   1 0 ;  . 2 I    3 I  0 1 0    0 1  0 0 1  
vi) Ma traän doøng (coät) : laø chæ coù moät doøng ñöôïc goïi laø moät ma traän doøng, ma traän chæ coù moät coät ñöôïc goïi laø moät ma traän coät.
Caùc ma traän doøng vaø ma traän coät coøn ñöôïc xem nhö laø caùc vectô vaø ñöôïc laàn löôït goïi laø caùc vectô doøng vaø vectô coät. Khi
ñoù, moät ma traän coù theå xem nhö ñöôïc taïo bôûi nhieàu vectô doøng hay taïo bôûi nhieàu vectô coät. Vôùi ma traän A  M , doøng thöù m n  i
cuûa A goàm caùc phaàn töû A , A , ..., A vaø ñöôïc kyù hieäu laø A  ; coät thöù j goàm caùc phaàn töû A , A  , ..., A , kyù hieäu i1 i2 in i 1j 2 j mj  j A .
Ví duï 8. i) Ma traän A  5 3  
1 laø moät ma traän doøng.  1  ii) Ma traän   B  0 
 laø moät ma traän coät.  1   
1.6. Ma traän chuyeån vò (transpose). 3
Ñònh nghóa. Cho A  M , chuyeån vò cuûa T   . m  xaùc ñònh bôûi  n
A , kyù hieäu T
A , laø ma traän caáp n m A
 A ,i  1, n, j 1, m   ji ij  1 2 3
Ví duï 21. Vôùi ma traän A   M  
, chuyeån vò cuûa noù laø 2 3  4 5 6    1 4 T A 2 5    M . 3 2    3 6  
Nhaän xeùt. Ma traän chuyeån vò cuûa A nhaän ñöôïc töø A baèng caùch bieán doøng cuûa A thaønh coät cuûa T
A (hay bieán coät cuûa A
thaønh doøng cuûa T A ). Tính chaát. (i)  T T A  A .
(ii)   T T T A B
 A  B . (iii)  T T T AB  B A .
1.7. Ma traän ñoái xöùng.
Ñònh nghóa. Ma traän vuoâng A ñöôïc goïi laø ñoái xöùng, neáu T
A  A .
Töø ñònh nghóa ta thaáy neáu A laø ma traän ñoái xöùng thì A laø ma traän vuoâng vaø caùc phaàn töû naèm ôû vò trí ñoái xöùng nhau qua
ñöôøng cheùo ñeàu baèng nhau, A  A , i, j. Ví duï 22. Ma traän đ ố i xứng ij  ji  x 1 3   A  1 y 5    3 5 z  
1.3. Caùc pheùp toaùn treân ma traän.
1.3.1. Pheùp coäng hai ma traän vaø nhaân moät soá vôùi moät ma traän 4
Vôùi hai ma traän A, B  , yù , laø ma traän caáp m M
 xaùc ñònh bôûi n h 
, ma traän toång cuûa A vaø B, k hieäu A  B m n
A  B  A  B vôùi moïi i, j . ij
 ij  ij
Ma traän tích cuûa A vôùi haèng soá h, ky ùhieäu hA, laø ma traän caáp m n xaùc ñònh bôûi hA  h A
vôùi moïi i, j . ij  ij             
Ví duï 9. Vôùi 1 2 3 A   , 1 1 1 B    thì 2 1 4 A  B    , 2 4 6 2A    va ø 4 4 4 4  B    .  4 5 6  1  1 1    3 6 5 8 10 12  4 4  4 
Chuù yù : Hai ma traän chæ coù theå coäng vôùi nhau khi chuùng coù cuøng caáp vaø ma traän toång coù caáp baèng caáp cuûa hai ma traän ñaõ
cho. Ma traän 1.A, kyù hieäu A , ñöôïc goïi laø ma traän ñoái cuûa ma traän A . Töø ñoù, ta ñònh nghóa ñöôïc pheùp tröø caùc ma traän bôûi
A  B  A   B
   A   1  .B
Tính chaát. Vôùi moïi ma traän A, B, C Mmn vaø h, k  , ta coù
(i) A  B  B  A (tính giao hoaùn).
(ii) A  B   C  A  B  C  (tính keát hôïp).
(iii) A  0  A ( 0 : ma traän khoâng caáp m n).
(iv) A  A  0 .
(v) h kA   hk  A .
(vi) h A  B  hA  hB .
(vii) h  k A  hA  kA .
(viii) 1.A  A .
Caùc tính chaát treân ñöôïc kieåm chöùng moät caùch deã daøng vaø ñöôïc coi nhö laø baøi taäp. Taäp hôïp M
cuøng vôùi hai pheùp coäng mn
hai ma traän vaø pheùp nhaân ma traän vôùi moät soá thoûa 8 tính chaát neâu treân neân sau naøy ta noùi raèng noù coù caáu truùc cuûa moät khoâng
gian vectô (xem chöông 3). 5
1.3.2. Pheùp nhaân hai ma traän.
Cho hai ma traän A  M
. Ta ñònh nghóa ma traän tích cuûa hai ma traän A, B laø ma traän caáp  , kyù hieäu m n , B  M  n p m p AB , xaùc ñònh bôûi n
AB   A B ik ij jk j 1
 A  B  A  B
...  A  B i1 1k i2 2k in nk
vôùi moïi i  1, m , k  1, p .
Ví duï 10. Cho  1 2    2 3 A  1  1  M . 3x 2 , B   M     2x2 2  1     2 3  
Caùc soá haïng cuûa ma traän AB M laàn löôït laø 3 2
AB  A   B1  1.2  2(2)   2, 11 1
AB  A   B2  1.3  2.1  5, 12 1
AB  A   B1   1.2  1( 2
 )   4 , 21 2
AB  A   B2  1.3 1.1   2, 22 2
AB  A   B1  2.2  3(2)   2 , 31 3
AB  A   B2  2.3  3.1  9 , 32 3 vaø do ñoù  2 5   
AB  4 2 .    2 9     6
Chuù yù. i) Ñeå coù theå nhaân ma traän A vôùi ma traän B , ta caàn ñieàu kieän laø soá coät cuûa ma traän A phaûi baèng soá doøng cuûa ma
traän B vaø khi ñoù :
Soá doøng cuûa ma traän tích AB baèng soá doøng cuûa ma traän A vaø soá coät cuûa ma traän tích AB baèng soá coät cuûa ma traän B .
Do ñoù, vôùi hai ma traän A, B cho tröôùc, khoâng nhaát thieát tích AB toàn taïi vaø khi tích AB toàn taïi, khoâng chaéc tích BA toàn taïi.
ii) Tích cuûa hai ma traän noùi chung khoâng coù tính giao hoaùn, nghóa laø toång quaùt ta coù AB  BA .        
Ví duï 11. Vôùi hai ma traän 0 1 A   , 0 0 B  , ta coù 1 0 0 0 AB     BA    . 0 0     1 0    0 0  0 1
Trong tröôøng hôïp caû hai ma traän tích AB vaø BA toàn taïi vaø thoûa ñaúng thöùc AB  BA , ta noùi hai ma traän A vaø B giao hoaùn
vôùi nhau. Chaúng haïn, ma traän ñôn vò . n
I giao hoaùn vôùi moïi ma traän vuoâng A caáp n vaø n I A  A n I  A
Toång quaùt, neáu B laø ma traän caáp m n, ta coù , trong ñoù m I B  B n I  B m I , n
I laàn löôït laø caùc ma traän ñôn vò caáp m vaø n .
Ví duï 12. Cho  1 2 3 A   . 4 5 6  Ta coù
 1 0  1 2 3  1 2 3 2 I A        
 0 1  4 5 6  4 5 6  1 0 0  1 2 3    1 2 3  AI  0 1 0 3         4 5 6   4 5 6 0 0 1    1 1 1  1 4 3
Ví duï 13. Cho A  1 2 1      
 vaø C  1 3 2    . Ta coù  2 3 1      1  1 1   1 0 0  
AC  CA  0 1 0  , 3 I    0 0 1   7
vaø do ñoù, hai ma traän A vaø C giao hoaùn vôùi nhau. Thöïc ra, ma traän C nhö vaäy coøn ñöôïc goïi laø ma traän nghòch ñaûo cuûa A, kyù hieäu 1 A .
1.4. Caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp treân doøng.
Ta coù 3 pheùp bieán ñoåi sô caáp treân doøng nhö sau :
i j
i) Pheùp bieán ñoåi 1 : Hoaùn vò hai doøng i vaø j , ky ùhieäu A 
 A , nhaèm ñoåi choã hai doøng i, j trong ma traän A, caùc doøng
coøn laïi khoâng thay ñoåi. Kyù hieäu khaùc: (i ) (j );R R ; R R. i j i j Ví duï 14.  3 2 1 5   1 3 2 4       0 1 2 3 
 1 3  0 1 2 3  A        1 3 2 4 3 2 1 5        
 5 1 2 0 
 5 1 2 0 
ii) Pheùp bieán ñoåi 2 : Nhaân doøng i :  i
i vôùi moät soá   0 , kyù hieäu    
A  A , nhaèm nhaân doøng thöù i cuûa A vôùi , caùc doøng
coøn laïi khoâng thay ñoåi. Kyù hieäu khaùc: R  ; R  R. i i i Ví duï 15. 1 2 3   1 2 3     1 3 :   3   5   A  0 1
4  0 1 4      0 0 5   0 0 1     
iii) Pheùp bieán ñoåi 3 : Thay doøng i bôûi doøng i coäng vôùi  laàn doøng j , (Thay moät doøng baèng doøng ñoù coäng  laàn doøng khaùc), kyù hieäu
i :i   j A 
 A  , nhaèm thay doøng thöù i cuûa A baèng doøng ñoù coäng vôùi  nhaân cho doøng thöù j cuûa A, caùc doøng coøn
laïi göõ nguyeân. Kyù hieäu khaùc: R R   ; R R   . i i j i j Ví duï 16.   1 1 0    1 1 0   1 1 0   
3: 3 1  
3 : (3) 2  
A   0 1 1    0 1 1  
 0 1 1  (ma traän baäc thang theo doøng).     1 0 2 0 1       2 0 0   1 8
Ví duï 18. Ñöa ma traän A veà daïng tam giaùc treân, vaø coù theå bieán ñoåi tieáp tuïc ñeå ñöa ma traän A veà ma traän ñôn vò nhö sau:    1 1 0 2 1 1 0 2  1 1 0 2   1 1 0 2 
( 2 ):( 2 )   2( 1);  
( 3 ):( 3 )(1 );     1 1
 2 4 1 5
( 4 ):( 4 )3(1 ) 0 2 1 1
( 3 ):( 3 )( 2 ) 0 2 1 1
( 4 ):( 4 )  0 1   A     5( 3  )      2 2
( 4 ):( 4 ) 2( 2 )      1 3 0 5  0 2 0 3  0 0 1 2   0 0 1 2         3 7 3 9   0 4 3 3  0 0 5 1   0 0 0   9
1.5. Ma traän baäc thang theo doøng.
Ñònh nghóa. Ma traän baäc thang theo doøng laø ma traän maø
- ÖÙng vôùi hai doøng baát kyø, soá haïng khaùc 0 ñaàu tieân cuûa doøng döôùi luoân luoân naèm beân phaûi soá haïng khaùc 0
ñaàu tieân cuûa doøng treân.
- Caùc doøng khoâng , neáu coù, seõ naèm döôùi cuøng.
*soá haïng khaùc 0 ñaàu tieân cuûa doøng goïi laø phaàn töû cô sôû cuûa doøng ñoù. Ví duï 19.  0 1 0 3 5 7   1 0 2 0 9 6   0 0 0 2 4 6       0 2 4 4 7 1    A  0 0 0 0 3
3  , B   0 0 0 1 0 3      0 0 0 0 0 5   0 0 0 0 0 8    0 0 0 0 0 0      0 0 0 0 0 0  
Nhaän xeùt : Trong ma traän baäc thang theo doøng, caùc doøng khoâng (doøng chöùa toaøn soá haïng 0), neáu coù, phaûi naèm döôùi caùc
doøng khaùc khoâng (doøng coù ít nhaát moät soá haïng khaùc 0). Khi ñoù, caùc soá haïng baèng 0 ñaàu tieân treân moãi doøng taïo thaønh hình baäc
thang, moãi baäc thang chöùa ít nhaát moät coät.
Chaúng haïn, vôùi caùc ma traän trong ví duï 19, caùc soá haïng baèng 0 ñaàu tieân treân moãi doøng coù daïng 9  0        0 0 0   0   A  0 0 0 0
, B   0 0 0      0 0 0 0 0   0 0 0 0 0    0 0 0 0 0 0      0 0 0 0 0 0
Chuù yù raèng, ma traän tam giaùc treân vôùi caùc soá haïng naèm treân ñöôøng cheùo khaùc 0 cuõng laø moät ma traän baäc thang vaø khi ñoù
moãi baäc thang chöùa ñuùng moät coät.
Vôùi moät ma traän A caáp m n baát kyø, ta luoân luoân coù theå duøng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp ñeå bieán ma traän A thaønh ma traän
baäc thang theo doøng.
 Giaûi thuaät chuyeån ma traän baát kyø veà ma traän baäc thang theo doøng.
Ñeå chuyeån ma traän baát kyø veà ma traän baäc thang theo doøng, ngöôøi ta thay ñoåi caùch choïn phaàn töû truïc xoay trong giaûi thuaät
chuyeån ma traän vuoâng veà ma traän tam giaùc treân. Thay vì vò trí phaàn töû truïc xoay luoân luoân naèm treân ñöôøng cheùo, ta choïn
- Phaàn töû truïc xoay cuûa coät 1 naèm ôû doøng 1.
- Neáu sau khi bieán ñoåi xong moät coät maø phaàn töû truïc xoay luùc ñoù khaùc 0 thì phaàn töû truïc xoa
y cuûa coät keá naèm ôû doøng keá.
Ngöôïc laïi, neáu phaàn töû truïc xoay baèng 0 (vaø moïi phaàn töû naèm döôùi noù cuõng baèng 0) thì phaàn töû truïc xoay cuûa coät keá naèm ôû cuøng doøng.
Ví duï 20. Ta đ ưa ma trậ n sau về dạ ng baäc thang theo doøng như sau:  
R R 3R  1 1 2 4 5
1  1  2 4 5 
 1 1 2 4 5    2 2 1
R R R  
R  R  R   3 3 1 3 3 2 R R 5R  0 2 5 10 
 3 1 1 2 1 
R R 12R 0 2 5 10 14  14     4  4  1  4 4 2   
    . 1 1 3 6 9 0 2 5 10     14   0 0 0 0 0         12  2 1  2  10
 0 10 25  50  70   0 0 0 0 0 
2. ÑÒNH THÖÙC CUÛA MA TRAÄN VUOÂNG (DETERMINANT OF A SQUARE MATRIX)
Xeùt ma traän vuoâng caáp n 10  a a a 11 1 j 1n      A  a   i1 aij ain .        a a a   n1 nj nn 
Vôùi moãi soá haïng
 nhaän ñöôïc töø i
a (soá haïng naèm ôû doøng j
i vaø coät j ), ma traän vuoâng caáp n 1
A baèng caùch boû ñi doøng thöù i
vaø coät thöù j ñöôïc goïi laø ma traän buø cuûa A ñoái vôùi soá haïng a , kyù hieäu laø ij A . ij  1 2 3
Ví duï 23. Vôùi A 4 5 6   M thì 3    7 8 9    5 6 ,  1 2  1 2 . 1 A 1   A  , A       M 8 9 23 33 2   7 8 4 5    
2.1. Ñònh nghóa. Cho A  M . Ñònh thöùc cuûa A, kyù hieäu n
det A hay A , laø soá thöïc ñöôïc ñònh nghóa nhö sau :
i)Ñònh thöùc caáp 1: A   , ta coù 6. 1 a 1  det A 
. Ví duï: A = (-6), thì detA = |A| = - 1 a 1
ii) Ñònh thöùc caáp 2:  a b a b A   thì det A 
 ad  bc (nghóa laø det A chính laø tích caùc soá haïng treân ñöôøng cheùo chính tröø c d   c d
ñi tích caùc soá haïng treân ñöôøng cheùo phuï ) . 1 2 1 2 VD: A  , DetA  1.4 2.3   . 3 4 3 4  
iii) Ñònh thöùc caáp 3: Quy taéc 6 ñöôøng cheùo (ta ghi laïi coät 1 vaø coät 2 sau coät 3; sau ñoù keû 3 ñöôøng cheùo chính vaø 3 ñöôøng
cheùo phuï; Tích caùc phaàn töû treân moãi ñöôøng cheùo chính mang daáu +, tích caùc phaàn töû treân moãi ñöôøng cheùo phuï mang daáu -) . a a a a a a a a 1 2 3 1 2 3 1 2 b b b  b b b b b
 a b c  a b c  a b c  a b c  a b c  . 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2 2 1 3 3 a 2 b 1 c c c c c c c c c 1 2 3 1 2 3 1 2 11
Trong thöïc haønh ta coù theå tính ñònh thöùc caáp 3 baèng caùch duøng quy taéc Sarrus nhö sau :
-Vieát theo thöù töï hai coät 1 vaø 2 sau coät thöù 3.
- Ba soá haïng mang daáu coäng trong ñònh thöùc laø tích caùc phaàn töû naèm treân ba ñöôøng song song vôùi ñöôøng cheùo chính.
- Ba soá haïng mang daáu tröø trong ñònh thöùc laø tích caùc phaàn töû naèm treân ba ñöôøng song song vôùi ñöôøng cheùo phuï.    a a a a a 1 2 3 1 2 b b b b b 1 2 3 1 2 c c c c c 1 2 3 1 2   
Ví duï 24a: Ta coù 1 2 3 1 2 3 4 0 3
4  1.4.5  2.0. 1  3.3. 2  3.4. 1  1.0. 2  2.3.5  16 .
1 2 5 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2
Ví duï 24b: Tính 4 5 6 = 4 5 6 4 5= 1.5.9 + 2.6.7 + 3.4.8 – 3.5.7 - 1.6.8 - 249 = 0. 7 8 9 7 8 9 7 8 Baøi taäp 1 :
3 Tính caùc ñònh thöùc caáp 3 sau 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1
a) 1 0 1 1 0  0  1  1  (0  1  0)  1 .
b) 1 0 1 1 0  0  1  1  (0  0  0)  2 .
1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 2 1 1 3 2  4 
2 1 4 2 1
c) 0 5 2 = 21
d) 2 5 1 = -11 e) 6
3 2 6 3  12  8  24 ( 48  4 12)  100 1 3  4 0 6 1 4 1 2 4 1 12 7 6 5 1 2 3 2 3 4 2 0 1 1 0 0
f) 1 2 1 = 0 g) 4 2  3
h) 5 6 7 i) 3 2  3 j) 3 2 4  3 2 1 0 5 1 8 9 1 1  3  5 4 1 3
iv)Ñònh thöùc caáp n (toång quaùt): Cho ma traän  A   i j c   A i a j  . Ta goïi:
( 1) det( ) : phaàn buø ñaïi soá cuûa aij. Khi ñoù ta coù coâng n n  ij ij thöùc
- Khai trieån det(A) theo doøng i: n n i  de t A  a c  (   j 1)
a de t A (Laáy caùc phaàn töû treân doøng i nhaân phaàn buø ñaïi soá roài coäng laïi). ij ij ij ij  j 1  j 1
- Khai trieån det(A) theo coät j: n n i  de t A  a c     j ( 1)
a de t A (Laáy caùc phaàn töû treân coät j nhaân phaàn buø ñaïi soá roài coäng laïi). ij ij ij ij i 1 i 1
Töø ñònh lyù neâu treân, ta coù theå tính ñöôïc ñònh thöùc baèng caùch khai trieån theo moät doøng hay moät coät baát kyø. Trong thöïc teá,
ta löïa choïn caùc doøng hay coät ñeå khai trieån sao cho soá caùc pheùp tính caàn thöïc hieän caøng ít caøng toát, chaúng haïn khai trieån theo
doøng hay coät chöùa nhieàu soá 0 nhaát. 1 0 3 2    0 2 2 0  
Ví duï 25. Xeùt A    .  3 2 0 1    0 3 0 0  
-Khai trieån theo doøng 4, ta coù det( ) A a c a c  a c a c  , a (v c ì a a  0 a . 41 41 42 42 43 43 44 44 42 42 41 43 44 1 3 2 4 
de t A  3  ( 2 1)  0 2 0 , 3 0 1
Khai trieån theo doøng 2 ñònh thöùc ôû veá phaûi 13 3  2 2 2 1 2 de t A   (1)   42 3 1
(hoaëc duøng quy taéc 6 ñöôøng cheùo), ta ñöôïc 1 3 2 1 3 2 1 3 0 2
0  0 2
0 0 2  ...  ? 3 0 1 3 0 1 3 0
-Khai trieån theo coät 1, ta coù det( ) A a c a c a  c a  c a  c a= -42. 11 11 21 21 31 31 41 41 11 11 31 2.4. Tính chaát.
i) Vôùi hai ma traän A, B  M sao cho n
det C  det A  det B ;   T det A
det A ; det AB  det A.det B .
Chuù yù. Vôùi A, B  M , coù theå 
nhöng ta vaãn coù det  A 
B  det BA. n AB BA
ii) Cho A  Mn , h  , ta coù   n
det hA  h det A.
iii) Nhöõng ma traän sau coù ñònh thöùc baèng 0:
-Ma traän coù 2 doøng tæ leä (hoặ c hai coät tæ leä) . 1 2 4 VD: 2   4  8 9 11 7
-Ma traän khoâng.
-Ma traän coù ít nhaát 1 doøng(hoaëc 1 coät) goàm toaøn soá 0.
iv) Ñònh thöùc cuûa ma traän tam giaùc, ma traän ñöôøng cheùo baèng tích caùc soá haïng naèm treân ñöôøng cheùo chính. 14 2 3 0 VD: 0
5  1 2.5.7 7 , DetIn = 1 0 0 7
2.5. Ñònh lyù.(Tính chaát cuûa caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp) i) Neáu (i) (i ) A  
 B thì det B   det A . (pheùp hoaùn ñoåi 2 doøng, hoaëc 2 coät laøm ñònh thöùc ñoåi daáu). 1 ii) Neáu (i): (i)
A  B thì det B   det A  det A 
. det B .(Nhaân moät doøng(hoaëc 1 coät) vôùi soá thöïc khaùc 0, laøm ñònh thöùc 
nhaân leân alpha laàn, khi tính chia lạ i cho alpha) iii) Neáu
(i) : (i)  (i ) A  
 B , thì det B  det A (pheùp bieán ñoåi thứ
3 khoâng thay ñoåi ñònh thöùc).
Ñònh lyù neâu treân ñöôïc öùng duïng trong vieäc tính ñònh thöùc cuûa moät ma traän baèng caùch bieán moät ma traän vuoâng veà ma traän
tam giaùc treân. Chuù yù raèng vôùi giaûi thuaät neâu trong phaàn 1.4, ta chæ duøng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp thöù 1 (ñònh thöùc ñoåi daáu) vaø
pheùp bieán ñoåi thöù 3 (
ñònh thöùc khoâng ñoåi).  1 2 3
Ví duï 27. Cho   A  4 9 6    3 2 0   Ta coù 1 2 3  1 2 3  1  6  
(2) : (2) 4(1)  
A  4 9 6  0 1 6  1.( 1)  
, khai triể n det A theo cộ t 1 ta coù det(A) = a11.c11 = 1 1  - 33 .
(3) :  (3)  3(1)     4  9 3 2 0  0 4 9       
Baøi taäp14 .Tính caùc ñònh thöùc caáp 4 sau(trong tính ñònh thöùc, ñöôïc söû duïng bieán ñoåi coät) 1 0 2 a 0 2 a a) 2 0 b 0     4 1   2 a a c d( 1) 0 b 0 dc
 abc d (Khai triể n detA theo doøng 4). 41 41 3 c 4 5 b 0 c 4 5 d 0 0 0
Caùch 2: Khai trieån detA theo coät 2. 15 x 1 1 1
x  1 1  x 0 0 x  1 0 0 0 b) 1 x 1 1 1 x 1 1 1 x 1 1 1
(1) : (1)  (2)
(2 ') : (2 ')  (1 ')
(Sau ñoù khai trieån doøng 1) 1 1 x 1 1 1 x 1 1 2 x 1 1 1 1 x 1 1 1 x 1 2 1 x
Kyù hieäu: (2') chæ coät 2. 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1
c) 1 1 0 1 (2)  : (2)  (1) 0 0 1 1 1   a c  1  1 ( 1)
1 0 1  1 0 1 1 0 = -3. 1 0 1 1 (3) 
: (3)  (1) 0  11 11 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
d) 1 1 1 0  a c
 a c (khai trieån detA theo doøng 1) 11 11 12 12 0 1 1 1 0 0 1 1 Caùch 2: t aïo theâm soá 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0  1 1 ( 2 )  : ( 2 )  (1)
 a c  1.( 1 1 1) 1 1 1    1. 11 11 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
3. MA TRAÄN NGHÒCH ÑAÛO
3.1. Ñònh nghóa. Cho A, B  . Ta noùi n M
A, B laø hai ma traän nghòch ñaûo cuûa nhau neáu AB  BA  . Khi ñoù, ta noùi n I
A vaø B laø caùc
ma traän khaû nghòch.
Chuù yù: ma traän nghòch ñaûo cuûa A laø duy nhaát, k yù hieäu 1 B A  .
3.2. Tính chaát. Neáu 1
A , A2, A laø nhöõng ma traän vuoâng caáp n khaû nghòch thì 16 
(i)    1 1 A  A .
(ii) A A  1  1  1  . 1 2  A 2 A1 1  T
(iii)  T   1 A A    .  1 1 1  1  4 3    1 0 0      
Ví duï 29. Vôùi A  1  2 1 
 vaø B  1 3 2 
 , ta coù AB  BA  0 1 0    I . 3  2 3 1      1 1 1      0 0 1
Vaäy A, B khaû nghòch vaø 1 B A  hay 1 A B  .
3.3. Tính chaát. Ma traän A   n
M khaû nghòch ( coù phaàn töû nghòch ñaûo) khi vaø chæ khi det A 0.
3.4. Giaûi thuaät tìm ma traän nghòch ñaûo 1 A .
Phöông phaùp 1.
-Böôùc 1: tính detA. Neáu detA = 0 thì keát luaän A khoâng khaû nghòch, neáu det A  0thì sang böôùc 2.
-Böôùc 2: Tìm caùc phaàn buø ñaïi soác 1
de t A vaø laäp ma traän phaàn buø ñaïi soá C (  c ) . ij  ij   ij ij
-Böôùc 3: AÙp duïng coâng thöùc  c c c T  11 12 1n   1 1  c c c  1 A  T C   21 22
2n  , (Moät chia detA, nhaân vôùi ma traän chuyeån vò caùc phaàn buø ñaïi soá). de t A de t A      c c c n1 n 2 nn  17  1 1  1
Ví duï 30. Tìm ma traän nghòch ñaûo cuûa A  1 2 1      2 3 1   
Ta coù det A  1, do ñoù A khaû nghòch vaø 1
A . Ta tìm caùc phaàn buø ñaïi soá nhö sau 2 1 1 2 1 1 1 3 1 2 c 1 1, c 1 1 , c 1 1 , 13        12         11  11     3 1  2 1 2 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 c 1 4 , c 1 3 , c 1 1, 23         22       21        3 1 2 1 2 3 1 1 3 2 1 1 3 3 1 1 c 1 3 , c 1 2 , c 1 1 . 33        32        31   31      2 1 1 1 1 2  c c c T
 1 1 1 T 1 4 3   11 12 13 
Ta aùp duïng coâng thöùc  1 1 1     1 A  T C  c c c   4 3 1
 1 3 2 21 22 23     det A det A   1  c c c 3    2 1 1    1 1 31 31 33       1 3 7
Ví duï(Baøi 16a): Tìm A-1, vôùi   A  2 1 2   .  7 1 4    
Giaûi: Ta coù det A  1
 0 suy ra A khaû nghòch. Maët khaùc 1 2 1 2 2 2 1 3 2 1 2 1 3 7 2 2 1 7 c , c , c , c , c , 22     1  21     1   13     1  12     1   11
 111    2 22 9 5 53 1 4 7 4 7 1 1 4 7 4 1 3 3 1 3 7 3 2 1 7 3 3 1 3 c 1 22 , c 1 1, c 1 12 , c 1 5 . 33        32       31        23  23     7 1 1 2 2 2 2 1  T 2  22 9   2 5 1 
Vaäy ma traän nghòch ñaûo cuûa ma traän 1    
A laø  1 A   5 53
22   22 53 12 . 1     1 12 5     9 22 5  18
Phöông phaùp 2. Duøng pheùp bieán ñoåi sô caáp theo doøng.
i) Laäp ma traän A
laø ma traän goàm n doøng vaø 2n coät, trong ñoù n I 
- n coät ñaàu cuûa A chính laø ma traän n I  A .
- n coät cuoái cuûa A n
I  laø ma traän ñôn vò n I .
ii) Baèng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp theo doøng, ta coù theå chuyeån ma traän A veà ma traän  vaø khi ñoù 1 n I B  n I  B A  .(Bieán A
thaønh I thì I seõ trôû thaønh A-1) .  1 1  1  
Ví duï 31. Cho ma traän A  1  2 1   .  2 3 1   
Ñeå tìm ma traän nghòch ñaûo cuûa A , ta thöïc hieän caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp treân doøng  1 1  1 1 0 0  1 1 1 1 0 0        A  
2 : 2   1 3 I   1  2 1 0 1 0  
  0 1 2 1 1 0
3 :  3  2  1     2 3 1 0 0 1      0 1 3 2 0 1    1 0 3 2 1 0   1 0 0 1 4 3   1 : 1 3 3   (1 ):( 1)        ( 2 )   0 1 2 1 1 0   0 1 0
1 3 2   1 I A   3 2 : 2 2 3  ( 3 )  : ( 3    ) ( 2 )         0 0 1 1     1 1 0 0 1 1   1 1   1  4 3  
Vaäy ma traän nghòch ñaûo cuûa  
A laø 1 A  1 3 2   .  1 1 1    
Chuù yù. - Neáu ta khoâng theå bieán ma traän A thaønh ma traän ñôn vò, chaúng haïn A coù moät coät (hay doøng) chöùa toaøn soá 0 thì ma
traän A khoâng khaû nghòch, nghóa laø 1
A khoâng toàn taïi.
-Trong quaù trình bieán ñoåi, ta khoâng laøm maát caùc coät ñaõ coù. 19 1 3 4 
Ví duï 32. Cho ma traän A 1 5 1   
 . Tìm ma traän nghòch ñaûo cuûa A nhö sau:  3 13 6    ta coù  1 3 4 1 0 0
2 :  2  1   1 3 4  1 0 0  1 3 4  1 0 0   
3 :  3  3  1      A I
3 : 3 2 2  . 3   1 5 1  0 1 0  
 0 2 3 1 1 0     0 2 3  1 1 0    3 13 6 0 0 1         0 4 6 3 0 1   0 0 0 1  2  1  
Qua moät soá pheùp bieán ñoåi sô caáp, ma traän A chöùa moät doøng toaøn soá 0. Vaäy ma traän A khoâng khaû nghòch.
4. HAÏNG CUÛA MA TRAÄN(Rank)
Ta chæ coù khaùi nieäm ñònh thöùc cho caùc ma traän vuoâng. Ñoái vôùi moät ma traän A baát kyø, ñònh thöùc cuûa ma traän vuoâng caáp k
nhaän ñöôïc töø A baèng caùch boû ñi moät soá doøng vaø moät soá coät cuûa A ñöôïc goïi laø moät ñònh thöùc con caáp k cuûa A. Ta coù
4.1. Ñònh nghóa. Cho ma traän A 
. Ta goïi haïng cuûa ma traän m M n 
A laø soá nguyeân r thoûa
i) Moïi ñònh thöùc con cuûa A caáp lôùn hôn r ñeàu baèng 0 ,
ii) Trong A toàn taïi moät ñònh thöùc con caáp r khaùc 0.
Ta ky ùhieäu haïng cuûa ma traän A laø rank A hay vaén taét laø r A. Khi A laø ma traän 0, ta quy öôùc r A  0 .
Löu yù raèng 0  r  A  mi  n m,  n .
Ví duï 33. i) Ma traän 1 2 3    A  2 4 6    2 5 0  
coù r A  2 , vì det A  0 vaø trong A coù ñònh thöùc con 1 2  0 . 2 5 20