Bài giảng tích phân và phương pháp tính tích phân Toán 12

Bài giảng tích phân và phương pháp tính tích phân Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Môn:

Toán 12 3.8 K tài liệu

Thông tin:
70 trang 1 năm trước
Tác giả:
Student
Mai Nguyệt
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Bài giảng tích phân và phương pháp tính tích phân Toán 12

Bài giảng tích phân và phương pháp tính tích phân Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

59 30 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng 199 tài liệu

Môn: Toán 12 3.8 K tài liệu

Thông tin:

70 trang 1 năm trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
TOANMATH.com
Trang 1
CHUYÊN ĐỀ 3 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
BÀI 2: TÍCH PHÂN
Mục tiêu
Kiến thức
+ Nắm được định nghĩa và các tính chất của tích phân.
+ Nắm vững các phương pháp tính nguyên hàm và bảng nguyên hàm cơ bản để áp dụng tính tích
phân.
+ Nắm vững các tính chất tích phân của các hàm số chẵn, hàm số lẻ và các quy tắc đạo hàm của
hàm số hợp.
+ Nắm vững các ý nghĩa vật lí của đạo hàm, từ dó giải quyết các bài toán thực tế sử dụng tích
phân.
Kĩ năng
+ Hiểu rõ định nghĩa và tính chất của tích phân để vận dụng vào việc tính tích phân.
+ Sử dụng thành thạo bảng nguyên hàm và các phương pháp tính tích phân.
+ Vận dụng tích phân vào các bài toán thực tế.
TOANMATH.com
Trang 2
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
I. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
1. Định nghĩa tích phân
Định nghĩa
Cho hàm số
f x
liên tục trên đoạn
;
a b
, với
a b
Nếu
F x
là nguyên hàm của hàm số
f x
trên đoạn
;
a b
thì giá trị
F b F a
được gọi là tích phân của
hàm số
f x
trên đoạn
;
a b
.
Kí hiệu
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
(1)
Công thức (1) còn được gọi là công thức Newton –
Leibnitz; a và b được gọi là cận dưới và cận trên của
tích phân.
Ý nghĩa hình học của tích phân
Giả sử hàm số
y f x
là hàm số liên tục và không âm
trên đoạn
;
a b
. Khi đó, tích phân
b
a
f x dx
chính là
diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong
y f x
,
trục hoành Ox và hai đường thẳng
, ,
x a x b
với
.
a b
b
a
S f x dx
Chẳng hạn:
3
F x x C
là một nguyên
hàm của hàm số
2
3
f x x
nên tích phân
1
1
0
0
1 0
f x dx F x F F
3 3
1 0 1.
C C
Lưu ý: Giá trị của tích phân không phụ thuộc
vào hằng số C.
Trong tính toán, ta thường chọn
0.
C
Chẳng hạn: Hàm số
2
2 1
f x x x
có đồ
thị
C
và
2
1 0
f x x
, với
x
.
Diện tích “tam giác cong” giới hạn bởi
C
,
trục Ox và hai đường thẳng
1
x
và
1
x
là
1 1
2
1 1
2 1
S f x dx x x dx
3
1
2
1
8
.
3 3
x
x x
Lưu ý: Ta còn gọi hình phẳng trên là “hình
thang cong”.
2. Tính chất cơ bản của tích phân
Cho hàm số
f x
và
g x
là hai hàm số liên tục trên
khoảng K, trong đó K có thể là khoảng, nửa khoảng
TOANMATH.com
Trang 3
hoặc đoạn và
, , ,
a b c K
khi đó:
a. Nếu
b a
thì
0
a
a
f x dx
b. Nếu
f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
;
a b
thì
ta có:
b
b
a
a
f x dx f x f b f a
c. Tính chất tuyến tính
. . .
b b b
a a a
k f x h g x dx k f x dx h g x dx
Với mọi
, .
k h
d. Tính chất trung cận
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
, với
;
c a b
e. Đảo cận tích phân
a b
b a
f x dx f x dx
f. Nếu
0,
f x
;
x a b
thì
0
b
a
f x dx
và
0
b
a
f x dx
khi
0
f x
.
g. Nếu
, ;
f x g x x a b
thì
b b
a a
f x dx g x dx
h. Nếu
;
min
a b
m f x
và
;
max
a b
M f x
thì
Chẳng hạn: Cho hàm số
f x
liên tục, có
đạo hàm trên đoạn
1;2
thỏa mãn
1 8
f
và
2 1.
f
Khi đó
2
2
1
1
2 1 9
f x dx f x f f
Lưu ý: Từ đó ta cũng có
b
a
f b f a f x dx
và
b
a
f a f b f x dx
TOANMATH.com
Trang 4
b
a
m b a f x dx M b a
i. Tích phân không phụ thuộc vào biến, tức là ta luôn
có
...
b b b b
a a a a
f x dx f t dt f u du f y dy
II. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. Phương pháp đổi biến số
Đổi biến dạng 1
Bài toán: Giả sử ta cần tính tích phân
b
a
I f x dx
, trong đó
ta có thể phân tích
f x g u x u x
thì ta thực hiện
phép đổi biến số.
Phương pháp:
+ Đặt
u u x
, suy ra
.
du u x dx
+ Đổi cận:
x a b
u
u a
u b
+ Khi đó
u b
b
u b
u a
a u a
I f x dx g u du G u
, với
G u
là nguyên hàm của
.
g u
Đổi biến dạng 2
Dấu hiệu Cách đặt
2 2
a x
sin ; ;
2 2
x a t t
2 2
x a
sin
a
x
t
;
; \ 0
2 2
t
2 2
a x
tan ; ;
2 2
x a t t
a x
a x
.cos2 ; 0;
2
x a t t
a x
a x
.cos2 ; 0;
2
x a t t
Lưu ý: Phương pháp đổi biến số trong
tích phân cơ bản giống như đổi biến số
trong nguyên hàm, ở đây chỉ thêm bước
đổi cận.
TOANMATH.com
Trang 5
x a b x
2
sin ; 0;
2
x a b a t t
2. Phương pháp tích phân từng phần
Bài toán: Tính tích phân
.
b
a
I u x v x dx
Hướng dẫn giải
Đặt
u u x du u x dx
dv v x dx v v x
Khi đó
. .
b
b
a
a
I u v v du
(công thức tích phân từng
phần)
Chú ý: Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao
cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân
b
a
vdu
dễ tính hơn
b
a
udv
.
III. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ ĐẶC BIỆT
1. Cho hàm số
f x
liên tục trên
;
a a
. Khi đó
Đặc biệt
0
a a
a
f x dx f x f x dx
(1)
+ Nếu
f x
là hàm số lẻ thì ta có
0
a
a
f x dx
(1.1)
+ Nếu
f x
là hàm số chẵn thì ta có
0
2
a a
a
f x dx f x dx
(1.2)
và
0
1
1 2
a a
x
a
f x
dx f x dx
b
0 1
b
(1.3)
2. Nếu
f x
liên tục trên đoạn
;
a b
thì
b b
a a
f x dx f a b x dx
Hệ quả: Hàm số
f x
liên tục trên
0;1
, khi đó:
2 2
0 0
sin cos
f x dx f x dx
3. Nếu
f x
liên tục trên đoạn
;
a b
và
f a b x f x
thì
2
b b
a a
a b
xf x dx f x dx
TOANMATH.com
Trang 6
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
Định nghĩa
Cho hàm số
f x
liên tục trên đoạn
;
a b
, với
a b
. Nếu
F x
là nguyên hàm của hàm số
f x
trên đoạn
;
a b
thì giá trị
F b F a
được gọi là tích phân của hàm số
f x
trên đoạn
;
a b
.
Kí hiệu
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
Ý nghĩa hình học của tích phân
Giả sử hàm số
y f x
là hàm số liên tục và không âm trên đoạn
;
a b
. Khi đó, tích phân
b
a
f x dx
chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong
y f x
, trục hoành và hai đường thẳng
,
x a x b a b
.
b
a
S f x dx
Tính chất cơ bản của tích phân
Cho hàm số
f x
và
g x
là hai hàm số liên tục trên khoảng K, trong đó K có thể là khoảng, nửa
khoảng hoặc đoạn và
, ,
a b c K
, khi đó ta có các tính chất sau
0
b
a
f x dx
;
b
b
a
a
f x dx f x f b f a
;
. . .
b b b
a a a
k f x h g x dx k f x dx h g x dx
, với
,k h
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
, với
;
c a b
;
a b
b a
f x dx f x dx
;
0
0, ;
0 0
b
a
b
a
f x dx
f x x a b
f x dx f x
;
, ;
b b
a a
f x g x x a b f x dx g x dx
;
;
min
max
b
a b
a
a b
m f x
m b a f x dx M b a
M f x
;
....
b b b b
a a a a
f x dx f t dt f u du f y dy
TOANMATH.com
Trang 7
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng định nghĩa, tính chất
Phương pháp giải
Sử dụng các tính chất của tích phân.
Sử dụng bảng nguyên hàm và định nghĩa tích phân
để tính tích phân.
Ví dụ: Cho hàm số
f x
có đạo hàm trên đoạn
1;2
,
1 1
f
và
2 2
f
. Tích phân
2
1
I f x dx
bằng
A. 3. B. 2.
C. 1. D. 0.
Hướng dẫn giải
2
2
1
1
2 1 2 1 1.
I f x dx f x f f
Chọn C.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Giá trị của
3
0
dx
bằng
A. 3. B. 2. C. 0. D. 1.
Hướng dẫn giải
Ta có
3
3
0
0
3 0 3.
dx x
Chọn A.
Ví dụ 2: Giá trị của
2
0
sin
xdx
bằng
A. 0. B. 1. C.
1.
D.
.
2
Hướng dẫn giải
Ta có
2
2
0
0
sin cos 1.
xdx x
Chọn B.
Ví dụ 3: Cho hàm số
3
f x x
có một nguyên hàm là
F x
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2 0 16.
F F B.
2 0 1.
F F
C.
2 0 8.
F F
D.
2 0 4.
F F
Hướng dẫn giải
TOANMATH.com
Trang 8
Ta có
2
4
2
3
0
0
4 2 0
4
x
x dx F F
Chọn D.
Ví dụ 4: Giá trị của
2
1
1
2 1
I dx
x
là
A.
ln3 1.
I
B.
ln 3.
I
C.
ln 2 1.
I
D.
ln 2 1.
I
Hướng dẫn giải
2
2
1
1
1 1
ln 2 1
2 1 2
I dx x
x
1 1
ln 3 ln1 ln 3 ln 3.
2 2
Chọn B.
Ví dụ 5: Cho
1
0
2
f x dx
và
1
0
5
g x dx
. Giá trị của
1
0
2
I f x g x dx
là
A. 5. B. 7. C. 9. D. 12.
Hướng dẫn giải
1 1
0 0
2 12
I f x dx g x dx
.
Chọn D.
Ví dụ 6: Cho
2
1
3
f x dx
và
2
5
1.
f x dx
Giá trị của
5
1
I f x dx
là
A. 2. B. 4. C. 3. D.
2.
Hướng dẫn giải
5 2 5
1 1 2
I f x dx f x dx f x dx
3 1 2.
Chọn A.
Ví dụ 7: Cho
2
1
2,
f x dx
2
1
1
g x dx
. Khi đó
2
1
2 3
I x f x g x dx
bằng
A.
17.
I
B.
17
.
2
I
C.
15
.
2
I
D.
1
.
2
I
Hướng dẫn giải
Ta có
2 2 2
2
2
1
1 1 1
2 3 2 3
2
x
I x f x g x dx f x dx g x dx
TOANMATH.com
Trang 9
3 17
2.2 3 1 .
2 2
Chọn B.
Ví dụ 8: Cho
2
0
5
f x dx
. Giá trị của
2
0
2sin
I f x x dx
là bao nhiêu?
A.
3.
I
B.
5.
I
C.
6.
I
D.
7.
I
Hướng dẫn giải
2 2 2
2
0
0 0 0
2sin 2 sin 5 2cos 7.
I f x x dx f x dx xdx x
Chọn D.
Ví dụ 9: Cho
F x
là nguyên hàm của hàm số
ln
x
f x
x
. Giá trị của
1
F e F bằng
A.
0.
I
B.
1
.
2
I
C.
3
.
2
I
D.
1
.
2
I
Hướng dẫn giải
Ta có
2
1
1 1
ln ln 1
1 ln ln .
2 2
e e
e
x x
F e F dx xd x
x
Chọn D.
Ví dụ 10: Tích phân
1
2
0
1
3 2
I dx
x x
bằng
A.
4
ln .
3
I
B.
3
ln .
2
I
C.
1
ln .
2
I
D.
3
ln .
4
I
Hướng dẫn giải
Ta có
2
2 1
1 1 1
3 2 1 2 1 2
x x
x x x x x x
Suy ra
1 1
1
0
0 0
1 1
ln 1 ln 2 2ln 2 ln 3.
1 2
I dx dx x x
x x
Chọn A.
Ví dụ 11: Tích phân
3
0
cos sin
I x xdx
bằng
A.
1.
I
B.
0.
I
C.
3.
I
D.
1.
I
Hướng dẫn giải
Ta có
3 4
0
0
1 1 1
cos cos cos 0.
4 4 4
I xd x x
Chọn B.
TOANMATH.com
Trang 10
Ta có
cos sin
x x
nên
sin cos
xdx d x
Ví dụ 12: Biết tích phân
2
1
2 3
1 1
dx
I a b c
x x x x
, với
, ,a b c
. Giá trị biểu thức
P a b c
là
A.
8.
P
B.
0.
P
C.
2.
P
D.
6.
P
Hướng dẫn giải
Ta có
1 0, 1;2
x x x nên
2 2 2
2
1
1 1 1
1 1 1
2 2 1
. 1 1
x x
I dx dx dx x x
x x x x
4 2 2 3 2.
Suy ra
4, 2
a b c
nên
0.
P a b c
Chọn B.
Nhân liên hợp
1 .
x x
Ví dụ 13: Cho hàm số
f x
thỏa mãn
1
2
3
f
và
2
f x x f x
với mọi x
. Giá trị
1
f
bằng
A.
2
1 .
3
f
B.
3
1 .
2
f
C.
2
1 .
3
f
D.
1
1 .
3
f
Hướng dẫn giải
Từ
2
f x x f x
(1), suy ra
0
f x
với mọi
1;2
x .
Suy ra
f x
là hàm không giảm trên đoạn
1;2
nên
2 0
f x f
,
1;2
x
.
Chia 2 vế hệ thức (1) cho
2
f x
ta được
2
, 1;2 .
f x
x x
f x
(2)
Lấy tích phân 2 vế trên đoạn
1;2
hệ thức (2), ta được
2 2
2
2 2
2
1 1
1 1
1 1 1 3
.
2 1 2 2
f x
x
dx xdx
f x f f
f x
Do
1
2
3
f
nên suy ra
2
1 .
3
f
Chọn C.
Chú ý rằng đề bài cho
2
f , yêu cầu tính
1
f
, ta có thể sử dụng nguyên hàm để tìm hằng số C.
Tuy nhiên ta cũng có thể dựa vào định nghĩa của tích phân để xử lí.
TOANMATH.com
Trang 11
Ví dụ 14: Cho hàm số
f x
xác định trên
1
\
2
thỏa mãn
2
2 1
f x
x
và
0 1, 1 2
f f
. Khi
đó
1 3
f f bằng
A.
1 ln15.
B.
3 ln5.
C.
2 ln3.
D.
1 ln15.
Hướng dẫn giải
Ta có
0
1
0 1
f x dx f f
nên suy ra
0
1
1 0 .
f f f x dx
0
1
1 .
f x dx
Tương tự ta cũng có
3
1
3 1
f f f x dx
3
1
2
f x dx
.
Vậy
0 3
0 3
1 1
1 1
1 3 1 1 ln 2 1 ln 2 1 .
f f f x dx f x dx x x
Vậy
1 3 1 ln15.
f f
Chọn A.
Ví dụ 15: Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1
thỏa mãn
1 0
f
,
1
2
0
7
f x dx
và
1
3
0
. 1.
x f x dx
Giá trị
1
0
I f x dx
là
A. 1. B.
7
.
4
C.
7
.
5
D. 4.
Hướng dẫn giải
Ta có
1
2
0
7
f x dx
(1).
1 1
6 6
0 0
1
49 7
7
x dx x dx
(2).
và
1
3
0
14 . 14
x f x dx
(3).
Cộng hai vế (1), (2) và (3) suy ra
1
2
3
0
7 0
f x x dx
mà
2
3
7 0
f x x
TOANMATH.com
Trang 12
3
7 .
f x x
Hay
4
7
.
4
x
f x C
7 7
1 0 0 .
4 4
f C C
Do đó
4
7 7
.
4 4
x
f x
Vậy
1 1
4
0 0
7 7 7
.
4 4 5
x
f x dx dx
Chọn C.
Ví dụ 16: Cho
,
f x g x
là hai hàm số liên tục trên đoạn
1;1
và
f x
là hàm số chẵn,
g x
là hàm
số lẻ. Biết
1 1
0 0
5; 7
f x dx g x dx
.
Giá trị của
1 1
1 1
A f x dx g x dx
là
A. 12. B. 24. C. 0. D. 10.
Hướng dẫn giải
Vì
f x
là hàm số chẵn nên
1 1
1 0
2 2.5 10
f x dx f x dx
Vì
g x
là hàm số lẻ nên
1
1
0
g x dx
.
Vậy
10.
A
Chọn D.
Ví dụ 17: Cho
1
2
0
ln3
2 1
xdx
a b
x
với a, b là các số hữu tỉ. Giá trị của
a b
bằng
A.
5
.
12
B.
1
.
3
C.
1
.
4
D.
1
.
12
Hướng dẫn giải
Ta có
1 1 1
2 2 2
0 0 0
1 2 1 1 1 1 1
2 2 2 1
2 1 2 1 2 1
xdx x
dx dx
x
x x x
1
0
1 1 1 1
ln 2 1 ln 3.
4 2 1 4 6 4
x
x
Vậy
1 1 1
, .
6 4 12
a b a b
Chọn D.
TOANMATH.com
Trang 13
Ví dụ 18: Cho
2
2
1
.ln 2 .ln3
1
x
dx a b c
x
, với
, ,
a b c
là các số hữu tỷ. Giá trị của 6
a b c
bằng
A.
2.
B. 1. C. 2. D.
1.
Hướng dẫn giải
Ta có
2 2
2
2 2
1
1 1
1 1 1 1
ln 1 ln 2 ln 3
1 1 6
1 1
x
dx dx x
x x
x x
1
, 1, 1
6
a b c
nên
6 1.
a b c
Chọn D.
Kĩ thuật tích phân hữu tỉ, ở đây ta tách
1
2 1 1
2
x x
.
Ví dụ 19: Cho
3
2
2
2 3
ln 2 ln3,
x
dx a b
x x
với
,a b
. Giá trị biểu thức
2
a ab b
là
A. 11. B. 21. C. 31. D. 41.
Hướng dẫn giải
Ta có
3 3 3
2 2 2 2
2 2 2
2 3 2 1 2 2 1 2x x x
dx dx dx
x x x x x x x x
3
3
2
2
2
2
2 1 2 2
ln 2ln 2ln 1 5ln 2 4ln3
1
x
dx x x x x
x x x x
2
5
41.
4
a
a ab b
b
Chọn D.
Ví dụ 20. Biết rằng tích phân
2
2
1
5 6
ln 2 ln3 ln5,
5 6
x
dx a b c
x x
với
, ,
a b c
là các số nguyên. Giá trị
biểu thức
S a bc
là bao nhiêu?
A.
62.
S
B.
10.
S
C.
20.
S
D.
10.
S
Hướng dẫn giải
Ta có
2 2 2
2
1 1 1
5 6 5 6 9 4
5 6 2 3 3 2
x x
dx dx dx
x x x x x x
2
1
9ln 3 4ln 2 9ln 5 4ln 3 26ln 2.
x x
Suy ra
26, 4, 9.
a b c
Vậy
26 4.9 10.
S a bc
Chọn B.
TOANMATH.com
Trang 14
Ví dụ 21: Tích phân
2
0
sin
sin cos
x
A dx
x x
bằng
A.
.
2
B.
.
16
C.
.
4
D.
.
8
Hướng dẫn giải
Xét
2
0
cos
sin cos
x
B dx
x x
ta có
2
0
.
2
A B dx
2
0
sin cos
sin cos
x x
A B dx
x x
2
0
ln sin cosx x
ln1 ln1 0.
Từ đó, ta có hệ phương trình
.
2
4
0
A B
A B
A B
Chọn C.
Ví dụ 22: Cho
2
3
4 3
4
cos sin .cos 1
ln 2 ln 1 3
cos sin .cos
x x x
dx a b c
x x x
, với
, ,
a b c
là các số hữu tỉ. Giá trị abc
bằng
A. 0. B.
2.
C.
4.
D.
6.
Hướng dẫn giải
Ta có
2 2 2
3 3
4 3
2 2
4 4
cos sin .cos 1 2cos sin .cos sin
cos sin .cos
cos cos sin .cos
x x x x x x x
dx dx
x x x
x x x x
2 2
3 3
2
4 4
2 tan tan 2 tan tan
tan
cos 1 tan 1 tan
x x x x
dx d x
x x x
2
3
3
3
4
4
4
2 tan
tan tan 2ln tan 1
1 tan 2
x
x d x x
x
TOANMATH.com
Trang 15
1 2ln 2 2ln 3 1 .
Suy ra
1, 2, 2
a b c
nên
4.
abc
Chọn C.
Ví dụ 23: Cho hàm số
2
, 0
2 3 , 0
x
e m khi x
f x
x x khi x
liên tục trên
.
Biết
1
1
3 , ,f x dx ae b c a b c
. Tổng
3
T a b c
bằng
A. 15. B.
10.
C.
19.
D.
17.
Hướng dẫn giải
Do hàm số liên tục trên
nên hàm số liên tục tại
0
x
0 0
lim lim 0 1 0 1.
x x
f x f x f m m
Ta có
1 0 1
1 2
1 1 0
f x dx f x dx f x dx I I
1
0
0 0
2 2 2 2 2
2
1
1 1
1
2 16
2 3 3 3 3 3 2 3 .
3 3
I x x dx x d x x x
1
1
2
0
0
1 2.
x x
I e dx e x e
Suy ra
1
1 2
1
22
2 3 .
3
f x dx I I e
Suy ra
22
1; 2; .
3
a b c
Vậy
3 1 2 22 19.
T a b c
Chọn C.
Ví dụ 24: Biết
2
cos
1 3
x
x
dx m
. Giá trị của
2
cos
1 3
x
x
dx
bằng
A.
.
m
B.
.
4
m
C.
.
m
D.
.
4
m
Hướng dẫn giải
Ta có
2 2
2
cos cos 1
cos 1 cos2 .
1 3 1 3 2
x x
x x
dx dx xdx x dx
Suy ra
2
cos
.
1 3
x
x
dx m
Chọn A.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Giả sử
f x
là một hàm số liên tục trên khoảng
;
và
, , , ;
a b c b c
. Mệnh đề nào sau
đây sai?
A.
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
B.
.
b b c c
a a a
f x dx f x dx f x dx
TOANMATH.com
Trang 16
C.
.
b b c b
a a b c
f x dx f x dx f x dx
D.
.
b c c
a a b
f x dx f x dx f x dx
Câu 2: Cho hàm số
3
y x
có một nguyên hàm là
F x
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2 0 16.
F F B.
2 0 1.
F F
C.
2 0 8.
F F
D.
2 0 4.
F F
Câu 3: Tích phân
0
cos
e
xdx
bằng
A.
sin .
e
B.
cos .
e
C.
sin .
e
D.
cos .
e
Câu 4: Tích phân
2
0
2 1
I x dx
bằng
A.
5.
I
B.
6.
I
C.
2.
I
D.
4.
I
Câu 5: Cho
0 3
1 0
1; 3.
f x dx f x dx
Tích phân
3
1
f x dx
bằng
A. 6. B. 4. C. 2. D. 0.
Câu 6: Cho
2
2
1
f x dx
,
4
2
4.
f t dt
Giá trị của
4
2
I f y dy
là
A.
5.
I
B.
3.
I
C.
3.
I
D.
5.
I
Câu 7: Cho
50
c
a
f x dx
và
20.
c
b
f x dx
Giá trị
a
b
f x dx
bằng
A.
30.
B. 0. C. 70. D. 30.
Câu 8: Cho
1
0
2 12
f x g x dx
và
1
0
5,
g x dx
khi đó
1
0
f x dx
bằng
A.
2.
B. 12. C. 22. D. 2.
Câu 9: Cho
5
2
4
f x dx
và
5
2
3,
g x dx
khi đó
5
2
2 3
f x g x dx
bằng
A. 1. B. 12. C. 7. D.
1.
Câu 10: Cho
2
0
3;
f x dx
4
2
6
f x dx
và
4
0
8.
g x dx
Khi đó
4
0
3
f x g x dx
bằng
A. 14. B. 3. C. 17. D.
1.
Câu 11: Cho
2
1
2 5
f x g x dx
và
2
1
2 3 4
f x g x dx
. Khi đó
2
1
f x g x dx
bằng
A. 14. B. 3. C. 17. D.
1.
Câu 12: Cho hàm số
f x
liên tục trên
thỏa mãn
6
0
7
f x dx
,
10
3
8
f x dx
và
6
3
9.
f x dx
Giá
trị của tích phân
10
0
I f x dx
bằng
A.
5.
I
B.
6.
I
C.
7.
I
D.
8.
I
TOANMATH.com
Trang 17
Câu 13: Cho hàm số
f x
có đạo hàm trên đoạn
1;3
,
3 4
f
và
3
1
7
f x dx
. Khi đó
1
f
bằng
A. 3. B. 11. C.
3.
D.
11.
Câu 14: Giá trị của
2
1
1 1
e
I dx
x x
là
A.
1
.
I
e
B.
1
1.
I
e
C.
1.
I
D.
.
I e
Câu 15: Cho
2
3 1
1
x p q
e dx m e e
với
, ,m p q
và là các phân số tối giản. Giá trị
m p q
bằng
A. 10. B. 6. C.
22
.
3
D. 8.
Câu 16: Cho
3 3
2 2
1, 5
f x dx g x dx
. Để
3 3
2 2
2 3 2 10
a ax f x dx a g x dx
thì
A.
2.
a
B.
3.
a
C.
1.
a
D.
3.
a
Câu 17: Cho
,
f x g x
là các hàm số có đạo hàm liên tục trên
0;1
và
1
0
. 1
g x f x dx
,
1
0
. 2.
g x f x dx
Khi đó
1
0
.
I f x g x dx
có giá trị là
A.
3.
I
B.
1.
I
C.
2.
I
D.
1.
I
Câu 18: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm là hàm liên tục trên
thỏa mãn
0 2, 1 6
f f
. Khẳng
định nào sau đây là đúng?
A.
1
0
8.
f x dx
B.
1
0
4.
f x dx
C.
1
0
3.
f x dx
D.
1
0
12.
f x dx
Câu 19: Cho
2
1
4 2 1
f x x dx
. Khi đó
2
1
f x dx
bằng
A. 1. B.
3.
C. 3. D.
1.
Câu 20: Cho hàm số
f x
liên tục trên
và
4 4
0 3
10, 4.
f x dx f x dx
Tích phân
3
0
f x dx
bằng
A. 4. B. 7. C. 3. D. 6.
Câu 21: Với a, b là các tham số thực. Giá trị tích phân
2
0
3 2 1
b
x ax dx
bằng
A.
3 2
.
b b a b
B.
3 2
.
b b a b
C.
3 2
.
b ba b
D.
2
3 2 1.
b ab
Câu 22: Tích phân
1
0
3 1 3
x x dx
bằng
A. 12. B. 9. C. 5. D. 6.
Câu 23: Biết
3
1
2
ln
x
dx a b c
x
, với
a, , , 9.
b c c
Tổng
S a b c
là
TOANMATH.com
Trang 18
A.
7.
S
B.
5.
S
C.
8.
S
D.
6.
S
Câu 24: Tích phân
1
0
1
1
I dx
x
có giá trị bằng
A.
ln 2 1.
B.
ln 2.
C.
ln 2.
D.
1 ln 2.
Câu 25: Cho số thực
1
m
thỏa mãn
1
2 1 1.
m
mx dx
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
4;6 .
m B.
2;4 .
m C.
3;5 .
m D.
1;3 .
m
Câu 26: Biết rằng tích phân
1
2
0
1 ln 2
2
a
I dx
x x b
, với
,a b
. Biểu thức
P a b
có giá trị bằng
A.
5.
B. 3. C. 1. D.
1.
Câu 27: Cho hai tích phân
2
2
0
sin
A xdx
và
2
2
0
cos .
B xdx
Trong các khẳng định sau, khẳng định đúng
là
A.
2 .
A B
B.
.
A B
C.
.
A B
D.
1.
A B
Câu 28: Cho tích phân
5
1
2
ln 2 ln3,
1
x
dx a b c
x
với
, ,
a b c
là các số nguyên. Tích
P abc
là
A.
36.
P
B.
0.
P
C.
18.
P
D.
18.
P
Câu 29: Biết rằng hàm số
f x mx n
thỏa mãn
1 2
0 0
3, 8.
f x dx f x dx
Khẳng định nào dưới
đây là đúng?
A.
4.
m n
B.
4.
m n
C.
2.
m n
D.
2.
m n
Câu 30: Biết
2
2
2
0
5 2
ln3 ln5, , ,
4 3
x x
dx a b c a b c
x x
. Giá trị của abc bằng
A.
8.
B.
10.
C.
12.
D. 16.
Câu 31: Cho a là số thực dương, tính tích phân
1
a
I x dx
theo a.
A.
2
1
.
2
a
I
B.
2
2
.
2
a
I
C.
2
2 1
.
2
a
I
D.
2
3 1
.
2
a
I
Câu 32: Biết
2
1
ln 2 ln 3 ln5.
1 2 1
dx
a b c
x x
Khi đó giá trị
a b c
bằng
A.
3.
B.
2.
C. 1. D. 0.
Câu 33: Biết
0
2
1
3 5 1 2
ln , ,
2 3
x x
I dx a b a b
x
. Khi đó giá trị của
4
a b
bằng
A. 50. B. 60. C. 59. D. 40.
Câu 34: Cho
4
2
3
5 8
ln3 ln 2 ln5,
3 2
x
dx a b c
x x
với
, ,
a b c
là các số hữu tỉ.
TOANMATH.com
Trang 19
Giá trị của
3
2
a b c
bằng
A. 12. B. 6. C. 1. D. 64.
Câu 35: Cho
1
*
0
8 2
,
3 3
2 1
dx
a b a a b
x x
. Giá trị của
2
a b
là bao nhiêu?
A.
2 7.
a b
B.
2 5.
a b
C.
2 1.
a b
D.
2 8.
a b
Câu 36: Biết
2
1
0
2 1
ln 2,
1
x
dx n
x m
với
,
m n
là các số nguyên. Tổng
S m n
là
A.
1.
S
B.
4.
S
C.
5.
S
D.
1.
S
Câu 37: Cho
2
2
1
10
ln ,
1
x a
x dx
x b b
với
, .
a b
Tổng
P a b
là
A.
1.
P
B.
5.
P
C.
7.
P
D.
2.
P
Câu 38: Cho
3
2
2
1 5
ln ,
9 24 16
x
dx a b c
x x
với
, ,
a b c
là các số hữu tỷ. Giá trị của
9 11 22
a b c
bằng
A. 15. B.
10.
C. 7. D. 9.
Câu 39: Cho
0
2
1
3 5 1 2
ln
2 3
x x
dx a b
x
với a, b là các số hữu tỉ. Giá tị của
2
a b
bằng
A. 60. B. 50. C. 30. D. 40.
Câu 40: Cho
1
2
2
0
4 15 11
ln 2 ln 3
2 5 2
x x
dx a b c
x x
với
, ,
a b c
là các số hữu tỷ. Biểu thức .
T a c b
bằng
A. 4. B. 6. C.
1
.
2
D.
1
.
2
Câu 41: Cho
2
2
0
2 1 1
ln ln
4 4 1 2
x
dx a b c
x x
, với
, ,
a b c
là các số hữu tỷ. Giá trị của
3 10
a b c
bằng
A. 15. B.
15.
C.
14.
D. 9.
Câu 42: Cho
1
2
2
0
3
ln 2 ln 3
3 2
x
dx a b c
x x
với
, ,
a b c
là các số nguyên. Giá trị của
a b c
bằng
A.
2.
B.
1.
C. 2. D. 1.
Câu 43: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a để tích phân
1
1
5 4
a
dx
x x x
tồn tại?
A. 3. B. 5. C. Vô số. D. 0.
Câu 44: Cho hàm số
f x
liên tục trên
, có
1
0
2
f x dx
và
3
0
6.
f x dx
Tính
1
1
2 1 .
I f x dx
A.
8.
I
B.
16.
I
C.
3
.
2
I
D.
4.
I
Câu 45: Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
1 1
3
3
1 1
.
x dx x dx
B.
2019 2019
4 2 4 2
1 1
1 1 .
x x dx x x dx
TOANMATH.com
Trang 20
C.
3 3
2 2
1 1 .
x x
e x dx e x dx
D.
2
2 2
2 2
1 cos sin .
xdx xdx
Câu 46: Cho
4
2
3
1 1 1
ln ,
2 4
a
dx
x x b c
với
, ,
a b c
là các số nguyên dương và
a
b
tối giản. Giá trị của
a b c
bằng
A. 7. B.
5.
C. 14. D. 9
Câu 47: Cho
4
2 2
6
3
cos .sin
dx
I a b
x x
với
,
a b
là số thực. Giá trị của
a b
bằng
A.
1
.
3
B.
2
.
3
C.
1
.
3
D.
2
.
3
Câu 48: Cho hàm số
2
2,
a b
f x
x x
với
,
a b
là các số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện
1
1
2
2 3ln 2.
f x dx
Tổng
T a b
là
A.
1.
T
B.
2.
T
C.
2.
T
D.
0.
T
Câu 49: Xác định số a dương sao cho
2 2
0
2 2
ln3
1 2
a
x x a
dx a
x
. Giá trị của a là
A.
1.
a
B.
2.
a
C.
3.
a
D.
4.
a
Câu 50: Cho
2
1
0
2 1
ln 2,
1
x
dx a b
x
với
,
a b
là các số hữu tỉ. Giá trị của 2
a b
bằng
A.
1.
B. 6. C. 5. D. 4.
Câu 51: Cho
3
2
2
2
6 2 3 5
2ln ln ln ,
2 2
1
x x
dx a b c
x x
với
, ,
a b c
là các số hữu tỷ.
Giá trị của
2 3 5
a b c
bằng
A. 10. B.
10.
C. 8. D. 9.
Câu 52: Cho hàm số
2
3 0 1
4 1 2
x khi x
y f x
x khi x
. Tích phân
2
0
f x dx
bằng
A.
7
.
2
B.
1.
C.
5
.
2
D.
3
.
2
Câu 53: Cho tích phân
0
3
cos2 cos4 3
x xdx a b
, trong đó a, b là các hằng số hữu tỉ.
Giá trị
2
log
a
e b
bằng
A.
2.
B.
3.
C.
1
.
8
D. 0.
TOANMATH.com
Trang 21
Câu 54: Giá trị của tích phân
2
0
max sin ,cos
x x dx
bằng
A.
0.
B. 1. C.
2.
D.
1
.
2
Câu 55: Biết rằng
3
2
2
1 4
1
x x a b
dx
c
x x
, với a, b, c là các số nguyên dương.
Tổng
T a b c
bằng
A. 31. B. 29. C. 33. D. 27.
Câu 56: Biết
1
3
2
0
3
ln 2 ln 3,
3 2
x x
dx a b c
x x
với
, ,
a b c
là các số hữu tỉ. Giá trị của biểu thức
2 2
2
S a b c
bằng
A.
515.
S
B.
164.
S
C.
436.
S
D.
9.
S
Câu 57: Cho M, N là các số thực. Xét hàm số
.sin .cos
f x M x N x
thỏa mãn
1 3
f
và
1
2
0
1
.
f x dx
Giá trị của
1
4
f
bằng
A.
5 2
.
2
B.
5 2
.
2
C.
2
.
2
D.
2
.
2
Câu 58: Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn
2
1
2019. 2019
.
k
kx
e
e dx
k
Số phần tử
của tập hợp S bằng.
A. 7. B. 8. C. Vô số. D. 6.
Câu 59: Biết
3 2
2
0
cos sin
.
1 cos
x x x x b
I dx
x a c
Trong đó
, ,
a b c
là các số nguyên dương. Phân số
b
c
tối giản. Giá trị của
2 2 2
T a b c
là
A.
16.
T
B.
59.
T
C.
69.
T
D.
50.
T
Câu 60: Biết
4
2
1
1
4
x
b c
x
x e
dx a e e
x
xe
với a, b, c là các số nguyên.
Giá trị của
T a b c
bằng
A.
3.
T
B.
3.
T
C.
4.
T
D.
5.
T
Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến
Phương pháp giải
Nắm vững phương pháp đổi biến số dạng 1 và dạng 2,
cụ thể:
Đổi biến dạng 1
TOANMATH.com
Trang 22
Bài toán: Giả sử ta cần tính
,
b
a
I f x dx
trong đó ta
có thể phân tích
.
f x g u x u x
Bước 1: Đặt
,
u u x
suy ra
.
du u x dx
Bước 2: Đổi cận
x a B
u
u a
u b
Bước 3: Tính
u b
b
u b
u a
a u a
I f x dx g u du G u
Với
G u
là một nguyên hàm của
g u
.
Ví dụ 1: Giá trị của
2
0
cos .sin
I x xdx
là
A.
.
B. 0.
C.
1
.
3
D.
2
.
3
Hướng dẫn giải
Đặt
cos sin .
u x du x dx
sin . .
x dx du
Đổi cận
0 1
1
x u
x u
Khi đó
1 1
3
1
2 2
1
1 1
2
.
3 3
u
I u du u du
Chọn D.
Đổi biến dạng 2
Bài toán: Giả sử ta cần tính
b
a
I f x dx
, ta có thể
đổi biến như sau:
Bước 1: Đặt
,
x t
ta có
.
dx t dt
Bước 2: Đổi cận
x a b
t
Bước 3:
Tính
.I f t t dt g t dt G t
Với
G t
là một nguyên hàm của
.
g t
Ví dụ 2: Giá trị của
1
2
2
0
1
I x dx
là
A.
3
.
12 8
B.
3
.
12 8
C.
3
.
6 4
D.
3
.
6 4
Hướng dẫn giải
Đặt
sin cos .
x t dx tdt
Đổi cận
0 0
1
2 6
x t
x t
Khi đó
6
2
0
1 sin .cos
I t tdt
6 6
2
0 0
1
cos . 1 cos 2 .
2
t dt t dt
TOANMATH.com
Trang 23
Dấu hiệu Cách đặt
2 2
a x
sin , ;
2 2
x a t t
2 2
x a
, ; \ 0
sin 2 2
a
x t
t
2 2
a x
tan , ;
2 2
x a t t
a x
a x
.cos2 , 0;
2
x a t t
a x
a x
.cos 2 , 0;
2
x a t t
x a b x
2
sin , 0;
2
x a b a t t
6
0
1 1 1 3
sin 2 .
2 2 2 6 4
t t
Chọn A.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Giá trị của
2 3
2
5
1
4
I dx
x x
là
A.
1 3
ln .
4 5
I B.
1 5
ln .
4 3
I C.
1 5
ln .
2 3
I D.
1 3
ln .
2 5
I
Hướng dẫn giải
Đặt
2 2 2
4 4
u x x u
nên
xdx udu
Đổi cận
x
5
2 3
u 3 4
Khi đó
2 3
2 2
5
1
.
4
I xdx
x x
nên
4 4
2
2
3 3
1 1
. .
4
4
I udu du
u
u u
Suy ra
4
4
3
3
1 1 1 1 1 5
ln 2 ln 2 ln .
4 2 2 4 4 3
I du u u
u u
Chọn B.
+ Đặt
2
4
u x
.
+ Rút
2 2
4
x u
.
+ Đổi cận.
+ Phương pháp tách phân thức hữu tỉ.
TOANMATH.com
Trang 24
Ví dụ 2: Giá trị của
2
1
1 1
x
I dx
x
là
A.
11 1
ln 2.
3 2
I
B.
11
2ln 2.
3
I
C.
11
4ln 2.
3
I
D.
11 4ln 2.
I
Hướng dẫn giải
Đặt
2
1 1
u x x u
nên
2 .
dx udu
Đổi cận
x 1 2
u 0 1
Khi đó
1 1
2
2
0 0
1 4
.2 2 2 4
1 1
u
I udu u u du
u u
3
1
2
0
2 11
4 4ln 1 4ln 2.
3 3
u
u u u
Chọn C.
Đổi biến số dạng 1.
Đặt
1
u x
.
Ví dụ 3: Giá trị của
1
1 3ln .ln
e
x x
I dx
x
là
A.
116
.
135
I B.
116
.
153
I C.
153
.
116
I D.
161
.
135
I
Hướng dẫn giải
Đặt
2
1
1 3ln ln
3
u
u x x
nên
1 2
3
dx udu
x
.
Đổi cận
x 1 e
u 1 2
Khi đó
2
2 2
5 3
2
4 2
1
1 1
. 1
2 2 2 116
. .
3 3 9 9 5 3 135
u u
u u
I udu u u du
Chọn A.
Ví dụ 4: Giá trị của
2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x
I dx
x
là
A.
16
.
27
I
B.
43
.
27
I
C.
11
.
27
I
D.
34
.
27
I
Hướng dẫn giải
TOANMATH.com
Trang 25
Đặt
2
1
1 3cos cos
3
u
u x x
nên
2
sin
3
xdx udu
.
Đổi cận
x 0
2
u 2 1
Ta viết
2 2
0 0
sin 2cos 1
2cos 1
sin .
1 3cos 1 3cos
x x
x
I dx xdx
x x
Khi đó
2
1 2
3
2
2
1
2 1
1
2 1
3
2 4 4 2 34
. 2 1 .
3 9 9 3 27
u
u
I udu u du u
u
Chọn D.
Ví dụ 5: Giá trị của
2
2
2
2
0
1
x
I dx
x
là
A.
1
.
8 4
I
B.
1
.
4 8
I
C.
1
.
3 4
I
D.
1
.
8 2
I
Hướng dẫn giải
Đặt
sin cos
x t dx tdt
.
Đổi cận
x 0
2
2
u 0
4
Khi đó
2
4 4 4
2
2
0 0 0
sin .cos 1
sin 1 cos 2
2
1 sin
t t
I dt tdt t dt
t
4
0
1 1 1
sin 2 .
2 2 8 4
t t
Chọn A.
Đổi biến số dạng 2:
sin ,
x t
với
; .
2 2
t
Ví dụ 6: Giá trị của
6
2
3 2
1
9
I dx
x x
là
TOANMATH.com
Trang 26
A.
.
8
I
B.
.
36
I
C.
.
6
I
D.
.
24
I
Hướng dẫn giải
Đặt
2
3 3cos
sin sin
t
x dx dt
t t
Đổi cận
x
3 2
6
u
4
6
Khi đó
6
4
2
2
4 6
3cos 1 1
.
3 3 4 6 36
3 9
sin . 9
sin sin
t
I dt dt
t
t t
Chọn B.
Ví dụ 7: Giá trị của
1
4 2
0
1
x
I dx
x x
là
A.
3
.
4
I
B.
3
.
6
I
C.
3
.
18
I
D.
3
.
12
I
Hướng dẫn giải
Đột biến lần 1: (Dạng 1)
Đặt
2
1
.
2
u x xdx du
Đổi cận
x 0 1
u 0 1
Suy ra
1 1
2
2
0 0
1 1 1 1
.
2 1 2
1 3
2 4
I du du
u u
u
Đổi biến lần 2: (Dạng 2)
Đặt
1 3
tan .
2 2
u t
Ta có
2
3
1 tan
2
du t dt
Đổi cận
x 0 1
u
6
3
TOANMATH.com
Trang 27
Khi đó
3
6
3 3 3
.
3 3 3 6 18
I dt
Chọn C.
Ví dụ 8: Biết
2
2
0
cos
ln 2 ln3,
sin 3sin 2
x
dx a b
x x
với
,
a b
là các số nguyên.
Giá trị của 2
P a b
là
A. 3. B. 7. C. 5. D. 1.
Hướng dẫn giải
Ta có
2 2
2
0 0
cos 1
sin
sin 3sin 2 sin 1 sin 2
x
dx d x
x x x x
2
2
0
0
1 1
sin ln sin 1 ln sin 2
sin 1 sin 2
d x x x
x x
ln 2 ln1 ln 3 ln 2 2ln 2 ln3
Suy ra
2, 1 2 3.
a b a b
Chọn A.
Ví dụ 9: Biết
ln 2
0
1
ln ln ln
3 4
x x
dx
I a b c
e e c
, với
, ,
a b c
là các số nguyên tố.
Giá trị của 2
P a b c
là
A.
3.
P
B.
1.
P
C.
4.
P
D.
3.
P
Hướng dẫn giải
Ta có
ln2 ln 2
2
0 0
.
3 4 4 3
x
x x x x
dx e dx
I
e e e e
Đặt
.
x x
t e dt e dx
Đổi cận
0 1, ln 2 2.
x t x t
Khi đó
2
2 2
2
1 1
1
1 1 1 1 1 1 1
ln ln 3 ln5 ln 2 .
4 3 2 1 3 2 3 2
t
I dt dt
t t t t t
Suy ra
3, 5, 2
a b c
. Vậy
2 3.
P a b c
Chọn D.
Ví dụ 10: Biết
6
0
3
1 sin
dx a b
x c
, với
, ,a b c
và a, b, c là các số nguyên tố cùng nhau. Giá trị
của tổng
a b c
bằng
TOANMATH.com
Trang 28
A. 5. B. 12. C. 7. D.
1.
Hướng dẫn giải
Ta có
2
2
6 6 6 6
2 2 2
0 0 0 0
1
1 tan
cos
2
2
.
1 sin
cos sin 1 tan 1 tan
2 2 2 2
x
x
dx dx
I dx dx
x
x x x x
Đặt
2
1 tan 2 1 tan .
2 2
x x
t dt dx
Đổi cận
0 1; 3 3.
6
x t x t
3 3
3 3
2
1
1
2 2 3 3
.
3
dt
I
t t
Suy ra
1, 3, 3
a b c
nên
5.
a b c
Chọn A.
Lưu ý:
2
1 sin sin cos .
2 2
x x
x
Chia tử và mẫu cho
2
cos .
2
x
Ví dụ 11: Cho hàm số
y f x
liên tục trên
và
1
0
2 8.
f x dx
Giá trị của
2
2
0
I xf x dx
là
A. 4. B. 8. C. 16. D. 64.
Hướng dẫn giải
Đặt
2
2 2 2 .
x u xdx du xdx du
Đổi cận
0 0, 2 1.
x u x u
Khi đó
1 1
0 0
2 2 8.
I f u du f x dx
Chọn B.
Ví dụ 12: Cho hàm số
y f x
xác định và liên tục trên
0;

sao cho
2
1;
x x
x xf e f e
với
mọi
0;x

. Giá trị của
.ln
e
e
f x x
I dx
x
là
A.
1
.
8
I
B.
2
.
3
I
C.
1
.
12
I D.
3
.
8
I
Hướng dẫn giải
TOANMATH.com
Trang 29
Với
0;x

ta có
2
2
1
1 1 .
1
x x x
x
x xf e f e f e x
x
Đặt
ln .
t
dx
x t x e dt
x
Đổi cận
1
; 1.
2
x e t x e t
Khi đó
1 1
1 1
2 2
1
. 1 .
12
t
I t f e dt t t dt
Chọn C.
Ví dụ 13: Biết
2
0
3sin cos 11
ln 2 ln3 , ,
2sin 3cos 13
x x
dx b c b c
x x
. Giá trị của
b
c
là
A.
22
.
3
B.
22
.
3
C.
22
.
3
D.
22
.
13
Hướng dẫn giải
Phân tích
2sin 3cos 2cos 3sin
3sin cos
2sin 3cos 2sin 3cos
m x x n x x
x x
x x x x
2 3 sin 3 2 cos
2sin 3cos
m n x m n x
x x
Đồng nhất hệ số ta có
2 3 3
3 11
;
3 2 1
13 13
m n
m n
m n
.
Suy ra
2 2
0 0
3 11
2sin 3cos 2cos 3sin
3sin cos
13 13
.
2sin 3cos 2sin 3cos
x x x x
x x
dx dx
x x x x
2 2
2
0
0 0
3 11 2cos 3sin 3 11 2cos 3sin
. .
13 13 2sin 3cos 13 13 2sin 3cos
x x x x
dx x dx
x x x x
2
2
0
0
2sin 3cos
3 11 3 11
ln 2sin 3cos
26 13 2sin 3cos 26 13
d x x
dx x x
x x
3 11 11
ln 2 ln 3.
26 13 13
Do đó
11
11 26 22
13
.
3
13 3 3
26
b
b
c
c
Chọn A.
TOANMATH.com
Trang 30
Ví dụ 14: Cho hàm số
f x
liên tục trên
và thỏa mãn
4
2
0
tan . cos 2
x f x dx
và
2
2
ln
2
ln
e
e
f x
dx
x x
.
Giá trị của
2
1
4
2f x
I dx
x
là
A. 0. B. 1. C. 4. D. 8.
Hướng dẫn giải
Đặt
4 4
2 2
2
0 0.
sin .cos
tan . cos 2 . cos 2.
cos
x x
A x f x dx f x dx
x
Đặt
2
1
cos 2sin cos sin cos .
2
t x dt x xdx dt x xdx
Đổi cận
0 1
x t
và
1
.
4 2
x t
Khi đó
1
1
2
4.
f t
A dt
t
Đặt
2 2
2 2
2
ln ln . ln
2 2.
ln ln
e e
e e
f x x f x
B dx dx
x x x x
Tương tự ta có
4
1
4.
f t
B dt
t
Giá trị của
2
1
4
2
.
f x
I dx
x
Đặt
1
2 .
2
t x dx dt
Đổi cận
1 1
4 2
x t
và
2 4.
x t
Khi đó
4 1 4
1 1
1
2 2
4 4 8
f t f t f t
I dt dt dt
t t t
Chọn D.
Ví dụ 15: Cho
1
3
0
1
;
3 1
dx a b
x x
với
,
a b
là các số nguyên.
Giá trị của biểu thức
b a
a b
bằng
A. 17. B. 57. C. 145. D. 32.
Hướng dẫn giải
Giá trị của
1 1
2
3
0 0
1 1
.
3
1
3 1
1
dx
I dx
x
x
x x
x
TOANMATH.com
Trang 31
Đặt
2 2
3 2
2 .
1
1 1
x dx
t tdt dx tdt
x
x x
Đổi cận
0 3, 1 2.
x t x t
Ta có
1 2 3
3
2
2
0
3 2
1 1
3 2.
3
1
1
dx
I t dt dt t
t
x
x
x
Mà
1
3
0
1
3 1
dx a b
x x
nên suy ra
3, 2.
a b
Từ đó ta có giá trị
2 3
3 2 17.
b a
a b
Chọn A.
Ví dụ 16: Cho
1
3
1
2
1
ln
1
x a
dx b
x a b
, với
,
a b
là các số nguyên tố. Giá trị của biểu thức
2
P a b
bằng
A. 12. B. 10. C. 18. D. 15.
Hướng dẫn giải
Biến đổi
1 1 1 1
3
3 4
3
1 1 1 1
3
3 3
2 2 2 2
1 1
.
1
1
1 1
1
. 1 1
x x x
I dx dx dx dx
x x
x
x
x
x x
.
Đặt
2
3 3 4
1 1 3
1 1 2
u u udu dx
x x x
và
3
2
1
.
1
x
u
Đổi cận
1
3; 1 2.
2
x u x u
Ta có
3 3
3
2
2
2
2 2
2
2 1 1 1 3
3
ln ln 2 .
3 1 3 1 3 2
1 .
udu
du u
I
u u
u u
Suy ra
3, 2.
a b
Vậy
2 10.
P a b
Chọn B.
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Cho
4
0
2019.
f x dx
Giá trị của
2
0
2 4 2
I f x f x dx
là
A.
0.
I
B.
2019.
I
C.
4038.
I
D.
2020.
I
Câu 2: Cho hàm số
f x
liên tục trên
có
1
0
2 2
f x dx
và
2
0
1 4.
f x dx
Giá trị của
3
0
I f x dx
là
A.
5.
I
B.
4.
I
C.
6.
I
D.
7.
I
TOANMATH.com
Trang 32
Câu 3: Biết
4
1
5
f x dx
và
5
4
20.
f x dx
Giá trị của
2 ln2
2 2
1 0
4 3
x x
I f x dx f e e dx
là
A.
15
.
4
I B.
15.
I
C.
5
.
2
I
D.
25.
I
Câu 4: Biết
4
1
ln 4.
e
e
f x dx
x
Giá trị của
4
1
I f x dx
là
A.
8.
I
B.
16.
I
C.
2.
I
D.
4.
I
Câu 5: Cho
8
3
1 10
f x dx
. Giá rị của
1
0
5 4
J f x dx
là
A.
4.
J
B.
10.
J
C.
32.
J
D.
2.
J
Câu 6: Cho
9
0
27.
f x dx
Giá trị của
0
3
3
f x dx
là
A.
27.
I
B.
3.
I
C.
9.
I
D.
3.
I
Câu 7: Cho hàm số
f x
liên tục trên
thỏa mãn
4
tan cos ,f x x x
. Giá trị của
1
0
I f x dx
là
A.
2
.
8
B.
1.
C.
2
.
4
D.
.
4
Câu 8: Giá trị của
1
4
2
0
1
I x x dx
là
A.
31
.
10
B.
30
.
10
C.
31
.
10
D.
32
.
10
Câu 9: Biết
11
1
18.
f x dx
Giá trị của
2
2
0
2 3 1
I x f x dx
là
A.
5.
I
B.
7.
I
C.
8.
I
D.
10.
I
Câu 10: Giá trị của
2
2
0
sin .cos
I x xdx
là
A.
0.
I
B.
1.
I
C.
1
.
3
I
D.
3
.
24
I
Câu 11: Biết
1
2,
b
a
dx
x
trong đó
,
a b
là các hằng số dương. Giá trị của
1
ln
b
a
e
e
dx
x x
là
A.
ln 2.
I
B.
2.
I
C.
1
ln 2
I D.
1
.
2
I
Câu 12: Giả sử tích phân
5
1
1
ln3 ln5 , ,
1 3 1
I dx a b c a b c
x
. Giá trị của giá trị biểu thức
P a b c
là
TOANMATH.com
Trang 33
A.
8
.
3
P
B.
4
.
3
P
C.
5
.
3
P
D.
7
.
3
P
Câu 13: Biết rằng
2
1
ln
ln3 ln 2 ,
3
ln 2
e
x c
I dx a b
x x
với
, ,a b c
. Giá trị của giá trị biểu thức
2 2 2
P a b c
là
A.
1.
P
B.
11.
P
C.
9.
P
D.
3.
P
Câu 14: Biết rằng
1
0
ln 2 ln 3 ln5,
3 5 3 1 7
dx
a b c
x x
với
, ,
a b c
là các số hữu tỉ.
Giá trị của
a b c
bằng
A.
10
.
3
B.
5
.
3
C.
10
.
3
D.
5
.
3
Câu 15: Có bao nhiêu số
0;20
a
sao cho
5
0
2
sin sin 2 .
7
a
x xdx
A. 10. B. 9. C. 20. D. 19.
Câu 16: Biết
1
3 3
0
2 2 1 1
.ln ,
.2 ln
x x
x
x ex e
dx p
e m e n e
với
, ,
m n p
là các số nguyên dương.
Giá trị của tổng
T m n p
là
A.
5.
T
B.
6.
T
C.
8.
T
D.
7.
T
Câu 17: Biết
ln6
0
ln 2 ln 3
1 3
x
x
e
dx a b c
e
, với
, ,
a b c
là các số nguyên. Giá trị của
T a b c
là
A.
1.
T
B.
0.
T
C.
2.
T
D.
1.
T
Câu 18: Cho
3 2
3
1
3 1 ln 3 1
. .ln 1
1 ln
e
x x x
dx a e b c e
x x
, với
, ,
a b c
là các số nguyên. Giá trị của
2 2 2
P a b c
là
A.
9.
P
B.
14.
P
C.
10.
P
D.
3.
P
Câu 19: Cho hàm số
y f x
liên tục trên đoạn
1;3
, thỏa mãn
4 , 1;3
f x f x x và
3
1
2.
xf x dx
Giá trị
3
1
2
f x dx
bằng
A. 1. B. 2. C.
1.
D.
2.
Câu 20: Cho hàm số
f x
luôn nhận giá trị âm và có đạo hàm liên tục trên
thỏa mãn
2
2 1 ,f x x f x x
và
0 1
f . Giá trị của tích phân
1
0
f x dx
bằng
A.
1
.
6
B.
ln 2.
C.
3
.
9
D.
2 3
.
9
Câu 21: Cho
2
1
2.
I f x dx
Giá trị của
2
0
sin 3cos 1
3cos 1
xf x
dx
x
bằng
TOANMATH.com
Trang 34
A. 2. B.
4
.
3
C.
4
.
3
D.
2.
Câu 22: Cho
3
0
3
ln3 ln 2
3 1 3
x
dx a b c
x x
với
, ,
a b c
là các số hữu tỉ. Giá trị của
2 2 2
a b c
bằng
A. 3. B. 63. C. 81. D. 9.
Câu 23: Cho
4
0
2 3tan
5 2,
1 cos 2
x
dx a b
x
với
,a b
. Giá trị của giá trị biểu thức
A a b
là
A.
1
.
3
B.
7
.
12
C.
2
.
3
D.
4
.
3
Câu 24: Cho hàm số
2
3 1
.
5 1
x khi x
y f x
x khi x
Giá trị của
1
2
0 0
2 sin cos 3 3 2
I f x xdx f x dx
là
A.
71
.
6
I B.
31.
I
C.
32.
I
D.
32
.
3
I
Câu 25: Cho hàm số
4 2
2 12 2
x khi x
y f x
x khi x
.
Giá trị của
2
3 ln3
2 2
2
0 ln2
. 1
4 . 1
1
x x
x f x
I dx e f e dx
x
là
A.
309.
I
B.
159.
I
C.
309
.
2
I D.
3
9 150ln .
2
I
Câu 26: Biết
1
2
0
2
ln 12 ln 7,
4 7
x
dx a b
x x
với
,
a b
là các số nguyên. Giá trị của tổng
a b
bằng
A.
1.
B. 1. C.
1
.
2
D. 0.
Câu 27: Cho
2
2
1
2 1 1
ln ln
4 4 1 2
x
dx a b c
x x
, với
, ,
a b c
là các số hữu tỷ. Giá trị của
3 10
a b c
bằng
A. 15. B.
15.
C. 14. D. 9.
Câu 28: Biết
1
1 ln 2
1
ln
1 ln
e
x x
e
dx ae b
x x e
trong đó
,
a b
là các số nguyên. Khi đó tỉ số
a
b
là
A.
1
.
2
B. 1. C. 3. D. 2.
Câu 29: Biết
2
1
1
ln ,
ln
e
x
dx ae b
x x x
với
,
a b
là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức
2 2
T a ab b
là
A. 3. B. 1. C. 0. D. 8.
TOANMATH.com
Trang 35
Câu 30: Biết rằng
3
2
6
cos sin
. .ln 2, , ,
sin
x x
dx a b c a b c
x
. Giá trị của tổng
S a b c
là
A.
1.
S
B.
13
.
24
S
C.
23
.
24
S
D.
7
.
24
S
Câu 31: Cho
ln
0
ln 2.
2
x
m
x
e
dx
e
Khi đó giá trị của m là
A.
1
.
2
m
B.
2.
m
C.
4.
m
D.
0, 4.
m m
Câu 32: Biết
6
0
1
sin .cos
64
n
x xdx
và
*
.
n
Giá trị của n bằng
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Câu 33: Cho tích phân
2
0
2 cos .sin .
I x xdx
Nếu đặt
2 cos
t x
thì kết quả nào sau đây đúng?
A.
2
3
.
I tdt
B.
3
2
I tdt
C.
2
3
2 .
I tdt
D.
2
0
.
I tdt
Câu 34: Cho hàm số
f x
liên tục trên
thỏa điều kiện
2
2cos .
f x f x x
Giá trị của
2
2
I f x dx
A. 0. B.
.
2
C.
1.
D.
1.
Câu 35: Giá trị của
5
1
3 1
dx
x x
được kết quả
ln3 ln5,
I a b
với
,a b
. Giá trị
2 2
3
a ab b
là
A. 4. B. 5. C. 1. D. 0.
Câu 36: Giá trị
3
3
3
9
4
cos
2 3
1
6
sin
x
I x x e dx
gần bằng giá trị nào nhất trong các số sau đây?
A. 0,046. B. 0,036. C. 0,037. D. 0,038.
Câu 37: Biết
2
2
1
1
ln ln
ln
x
dx a b
x x x
với a, b là các số nguyên dương. Giá trị của
2 2
P a b ab
là
A. 10. B. 8. C. 12. D. 6.
Câu 38: Biết
2
2
1
2 35
3 9 1
x
dx a b c
x x
với a, b, c là các số hữu tỷ.
Giá trị của
2 7
P a b c
là
TOANMATH.com
Trang 36
A.
1
.
9
B.
86
.
27
C.
2.
D.
67
.
27
Câu 39: Biết
2
2
1
3 1
ln
ln
3 ln
x
b
dx a
x x x c
với
, ,
a b c
là các số nguyên dương và
4.
c
Tổng
a b c
bằng
A. 6. B. 9. C. 7. D. 8.
Câu 40: Có bao nhiêu giá trị của tham số m trong khoảng
0;6
thỏa mãn
0
sin 1
5 4cos 2
m
x
dx
x
?
A. 6. B. 12. C. 8. D. 4.
Câu 41: Biết rằng
1
2
0
2
2ln
1
4 3
dx a
b
x x
với a, b là các số nguyên dương.
Giá trị của
a b
bằng
A. 3. B. 5. C. 9. D. 7.
Câu 42: Cho hàm số
f x
liên tục trên
thỏa
2019
0
2.
f x dx
Khi đó tích phân
2019
1
2
2
0
ln 1
1
e
x
f x dx
x
bằng
A. 4. B. 1. C. 2. D.3.
Câu 43: Cho tích phân
2
2
2
0
2 cos cos 1 sin
ln
cos
x x x x x
c
I dx a b
x x
với
, ,
a b c
là các số hữu
tỉ. Giá trị của biểu thức
3
P ac b
là
A.
3.
P
B.
5
.
4
P
C.
3
.
2
P
D.
2.
P
Câu 44: Cho hàm số
f x
liên tục trên
0;1
thỏa mãn
2 3
6
6
3 1
f x x f x
x
. Giá trị của
1
0
f x dx
là
A. 2. B. 4. C.
1.
D. 6.
Câu 45: Cho
2
1
0
. ln
x
x
x x e
dx a e b e c
x e
với
, ,a b c
. Giá trị của 2
P a b c
là
A.
1.
P
B.
1.
P
C.
0.
P
D.
2.
P
Câu 46: Cho hàm số
f x
liên tục trên
thỏa mãn
2 3
f x f x
, x
. Biết rằng
1
0
1.
f x dx
Giá trị của tích phân
2
1
I f x dx
bằng
A.
5.
I
B.
3.
I
C.
8.
I
D.
2.
I
TOANMATH.com
Trang 37
Câu 47: Giá trị của
3
2
0
9
a
x dx
b
trong đó
,a b
và
a
b
là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức
T ab
là
A.
35.
T
B.
24.
T
C.
12.
T
D.
36.
T
Câu 48: Giá trị của
1
lim
1

n
x
n
n
dx
e
bằng
A.
1.
B. 1. C. e. D. 0.
Câu 49: Biết
ln6
ln3
3ln ln
2 3
x x
dx
I a b
e e
với
,
a b
là các số nguyên dương. Giá trị của
P ab
là
A.
10.
P
B.
10.
P
C.
15.
P
D.
20.
P
Câu 50: Cho hàm số
f x
liên tục trên đoạn
1;4
và thỏa mãn
2 1
ln
.
f x
x
f x
x
x
Giá trị của
4
3
I f x dx
là
A.
2
3 2ln 2.
I
B.
2
2ln 2.
I
C.
2
ln 2.
I
D.
2ln 2.
I
Câu 51: Cho hai hàm số
f x
và
g x
có đạo hàm trên đoạn
1;4
và thỏa mãn hệ thức
1 1 4
.
. ; .
f g
g x x f x f x x g x
Giá trị của
4
1
I f x g x dx
là
A.
8ln 2.
B.
3ln 2.
C.
6ln 2.
D.
4ln 2.
Câu 52: Giá trị của
3
2
0
max 4,
x dx
là
A. 12. B. 21. C.
43
.
3
D. 9.
Câu 53: Giả sử
2
2
4
1
1 1x b
dx a a b
x c b c
với
, ,a b c
;
1 , , 9.
a b c
Giá trị của biểu thức
2
b a
a c
C
là
A. 165. B. 715. C. 5456. D. 35.
Câu 54: Tính tích phân
6 2
4 2
2
4
1
4 3 2
3 4,
1 8
x x
dx a b c
x
với
, ,
a b c
là các số nguyên.
Khi đó biểu thức
2 4
a b c
có giá trị bằng
A. 20. B. 241. C. 196. D. 48.
Dạng 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Phương pháp giải
TOANMATH.com
Trang 38
Bài toán: Tính tích phân
. .
b
a
I u x v x dx
Đặt
u u x du u x dx
dv v x dx v v x
Khi đó
.
b
b
a
a
I u v vdu
Chú ý: Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho
ta dễ dàng tìm được v và tích phân
b
a
vdu
dễ tính
hơn
.
b
a
udv
Ví dụ: Biết
2
0
2 ln 1 .ln ,
x x dx a b
với
*
,a b
,
b
là số nguyên tố. Giá trị của
3 4
a b
bằng
A. 42. B. 21.
C. 12. D. 32.
Hướng dẫn giải
Xét
2
0
2 ln 1 .
I x x dx
Đặt
2
1
ln 1
1
2
1
du dx
u x
x
dv xdx
v x
.
Ta có
2
2
2
2
0
0
1
1 ln 1
1
x
I x x dx
x
2
2
2
0
0
3ln 3 1 3ln 3 3ln3.
2
x
x dx x
Vậy
3, 3 3 4 21.
a b a b
Chọn B.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Giá trị của tích phân
2
ln
e
e
dx
I
x x
là
A. 1. B. 0. C.
ln 2.
D. 4.
Hướng dẫn giải
Đặt
ln .
dx
u x du
x
Đổi cận
2
1
2
x e u
x e u
.
Do đó
2
2
1
1
ln ln 2 ln1 ln 2.
du
I u
u
Chọn C.
TOANMATH.com
Trang 39
Ví dụ 2: Giá trị của tích phân
1
2 2
0
1
I x x dx
là
A.
.
2
B.
.
16
C.
.
4
D.
.
8
Hướng dẫn giải
Đặt
sin cos .
x t dx tdt
Đổi cận
0 0
.
1
2
x t
x t
/2
2 2
0
sin . 1 sin cos
I t t tdt
/2
2 2
0
sin cos
t tdt
/2
0
1
1 cos 4 .
8 16
t dt
Chọn B.
Ví dụ 3: Giá trị của tích phân
1
2
0
tan
I x xdx
là
A.
1
tan1 ln cos1 .
2
B.
1
tan1 ln cos1 .
2
C.
1
cot1 ln cos1 .
2
D.
1
cot1 ln cos1 .
2
Hướng dẫn giải
Đặt
2
.
tan
tan
u x
du dx
v x x
dv xdx
1
2
1 1
2
0 0
0
tan tan tan1 1 ln cos
2
x
I x x x x x dx x
1
tan1 ln cos1 .
2
Chọn A.
Ví dụ 4. Cho tích phân
2
1
ln
ln 2
x b
I dx a
x c
với a là số thực b và c là các số dương, đồng thời
b
c
là
phân số tối giản. Giá trị của biểu thức 2 3
P a b c
là
A.
6.
P
B.
5.
P
C.
6.
P
D.
4.
P
Hướng dẫn giải
TOANMATH.com
Trang 40
Đặt
2
ln
.
1
dx
u x
du
x
dx
dv
v
x
x
Khi đó
2
2 2
2
1 1
1
ln 1 ln 1 1 ln 2
.
2 2
x x
I dx
x x x x
Suy ra
1
1, 2, .
2
b c a
Do đó
2 3 4.
P a b c
Chọn D.
+ Ưu tiên logarit.
+ Đặt
2
ln
.
u x
dx
dv
x
Ví dụ 5: Biết
4
0
ln 2,
1 cos 2
x
dx a b
x
với
,
a b
là các số hũu tỉ.
Giá trị của
16 8
T a b
là
A.
4.
T
B.
5.
T
C.
2.
T
D.
2.
T
Hướng dẫn giải
Đặt
4 4 4
2 2
0 0 0
1
.
1 cos 2 2cos 2 cos
x x x
A dx dx dx
x x x
Đặt
2
1
tan
cos
u x du dx
dv dx v x
x
Khi đó
4
4 4
0 0
0
1 1
tan tan tan ln cos
2 2
A x x xdx x x x
1 2 1 1 1
ln ln 2 ln 2.
2 4 2 2 4 2 8 4
Vậy
1 1
,
8 4
a b
do đó
16 8 2 2 4.
a b
Chọn A.
+ Biến đổi
2
1 cos 2 2 cos .
x x
+ Ưu tiên đa thức.
TOANMATH.com
Trang 41
+ Đặt
2
.
1
cos
u x
dv dx
x
Ví dụ 6: Cho
1
2 2
0
.
x
I xe dx a e b
với
,a b
. Giá trị của tổng
a b
là
A.
1
.
2
B.
1
.
4
C.
0.
D. 1.
Hướng dẫn giải
Sử dụng phương pháp từng phần.
Đặt
2
2
.
1
2
x
x
du dx
u x
v e
dv e dx
Khi đó
1 1
1 1 1 1
2 2 2 2 2
0 0 0 0
0 0
1 1 1 1 1 1
. . . . .
2 2 2 4 4 4
x x x x
I u v v du x e e dx x e e e
Suy ra
2 2
1 1
. .
4 4
a e b e
Đồng nhất hệ số hai vế ta có
1 1
, .
4 4
a b
Vậy
1
.
2
a b
Chọn A.
+ Ưu tiên đa thức.
+ Đặt
2
.
x
u x
dv e dx
Ví dụ 7: Cho hàm số
f x
liên tục, có đạo hàm trên
,
2 16
f
và
2
0
4.
f x dx
Tích phân
4
0
2
x
xf dx
bằng
A. 112. B. 12. C. 56. D. 144.
Hướng dẫn giải
Đặt
2 2 .
2
x
t x t dx dt
Đổi cận
0 0
.
4 2
x t
x t
Do đó
4 2 2
0 0 0
4 4 .
2
x
xf dx tf t dt xf x dx
Đặt
4 4
.
u x du dx
dv f x dx v f x
Suy ra
TOANMATH.com
Trang 42
2 2 2
2
0
0 0 0
4 4 4 8 2 4 8.16 4.4 112.
xf x dx xf x f x dx f f x dx
Chọn A.
Ví dụ 8. Cho
4
2
0
ln sin 2cos
ln3 ln 2
cos
x x
dx a b c
x
với
, ,
a b c
là các số hữu tỉ.
Giá trị của abc bằng
A.
15
.
8
B.
5
.
8
C.
5
.
4
D.
17
.
8
Hướng dẫn giải
Đặt
2
ln sin 2cos
cos 2sin
.
sin 2cos
tan 2
cos
u x x
x x
du dx
x x
dx
dv
v x
x
Khi đó
4 4
4
2
0
0 0
ln sin 2cos
cos 2sin
tan 2 ln sin 2cos
cos cos
x x
x x
dx x x x dx
x x
4
0
3 2
3ln 2ln 2 1 2 tan
2
x dx
4
0
7
3ln 3 ln 2 2ln cos
2
x x
7 2 5
3ln 3 ln 2 2ln 3ln3 ln 2 .
2 4 2 2 4
Suy ra
5 1
3, , .
2 4
a b c
Vậy
18.
abc
Chọn A.
Ví dụ 9. Biết
2
1
2
1
1 ,
p
x
q
x
x e dx me n
trong đó
, , ,
m n p q
là các số nguyên dương và
p
q
là phân số tối
giản. Giá trị của
T m n p q
là
A.
11.
T
B.
10.
T
C.
7.
T
D.
8.
T
Hướng dẫn giải
Ta có
2 2 2 2
1 1 1 1
2
2 2
1 1 1 1
1 2 1 1 2 .
x x x x
x x x x
I x e dx x x e dx x e dx xe dx
Xét
2 2 2 2
1 1 1 1
2
2 2 2 2
1
2
1 1 1 1
1 1
1 . . .
x x x x
x x x x
x
I x e dx x e dx x e d x x d e
x x
TOANMATH.com
Trang 43
2 2
1 1 1 1
2 2
2 2 2
1 1
1 1
2
x x x x
x x x x
x e e d x x e xe dx
2
1 1 1
3
2 2
2 2
2
1
1 1
1
2 4 1
x x x
x x x
I xe dx x e I x e e
4, 1, 3, 2.
m n p q
Khi đó
4 1 3 2 10.
T m n p q
Chọn B.
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1
thỏa mãn
1
0
1 5, 12.
f f x dx
Giá trị của
1
0
J xf x dx
là
A.
17.
J
B.
17.
J
C.
7.
J
D.
7.
J
Câu 2: Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
0;1
thỏa mãn
1
0
2 1
x f x dx f
. Giá trị của
1
0
I f x dx
bằng
A.
2.
B. 2. C.
1.
D. 1.
Câu 3: Cho hàm số
f x
có đạo hàm
f x
và thỏa
1
0
2 1 10
x f x dx
,
3 1 0 12.
f f Giá trị
của
1
0
I f x dx
là
A.
2.
I
B.
1.
I
C.
1.
I
D.
2.
I
Câu 4: Cho hai hàm số liên tục
f x
và
g x
có nguyên hàm lần lượt là
F x
và
G x
trên đọan
1;2
. Biết rằng
3
1 1, 2 4, 1 , 2 2
2
F F G G
và
2
1
67
.
12
f x G x dx
Giá trị của
2
1
F x g x dx
là
A.
11
.
12
B.
145
.
12
C.
11
.
12
D.
145
.
12
Câu 5: Tích phân
2
1
3
x
I xe dx
nhận giá trị nào sau đây?
A.
3
1
3 6
.
e
I
e
B.
3
1
3 6
.
e
I
e
C.
3
3 6
.
e
I
e
D.
3
3 6
.
e
I
e
TOANMATH.com
Trang 44
Câu 6: Giá trị của tích phân
1
0
2 1
x
I x e dx
là
A.
5 3.
e
B.
1.
e
C.
1.
e
D.
5 1.
e
Câu 7: Giá trị của
1
ln
e
I x xdx
là
A.
1
.
2
I
B.
2
1
2 .
2
I e
C.
2.
I
D.
2
1
1 .
4
I e
Câu 8: Biết
4
2
0
ln 9 ln5 ln3 ,
x x dx a b c
trong đó a, b, c là các số nguyên. Giá trị của biểu thức
T a b c
là
A.
10.
T
B.
9.
T
C.
8.
T
D.
11.
T
Câu 9: Giá trị của tích phân
2
2
0
cos
I x xdx
được biểu diễn dưới dạng
2
. ,a b a b
. Khi đó tích
.
a b
bằng
A. 0. B.
1
.
32
C.
1
.
16
D.
1
.
64
Câu 10: Giá trị của tích phân
2
2
1
ln
I x xdx
là
A.
8 7
ln 2 .
3 9
B.
8 7
ln 2 .
3 3
C.
24ln 2 7.
D.
7
8ln 2 .
3
Câu 11: Biết
4
*
0
1
1 cos 2 ,x xdx a b
a b
. Giá trị của tích ab bằng
A. 32. B. 2. C. 4. D. 12.
Câu 12: Biết
4
0
cos 2 ,
x xdx a b
với a, b là các số hữu tỉ. Giá trị của
2
S a b
là
A.
0.
S
B.
1.
S
C.
1
.
2
S
D.
3
.
8
S
Câu 13: Giá trị của tích phân
5
4
1 ln 3
I x x dx
là
A.
19
10ln 2 .
4
B.
19
10ln 2 .
4
C.
10ln 2.
D.
19
10ln 2.
4
Câu 14: Giá trị
4
3
4 ln 4
e
K x x dx
là
A.
2
1
.
4
e
K
B.
2
2
.
2
e
K
C.
1
.
2
K
D.
2
1
.
4
e
K
Câu 15: Giá trị của tích phân
1
1 ln
e
x xdx
là
TOANMATH.com
Trang 45
A.
2
5
.
4
e
B.
2
5
.
2
e
C.
2
5
.
2
e
D.
2
5
.
4
e
Câu 16: Cho tích phân
2
1
ln .
e
I x xdx
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2 2
1
1
1
ln ln .
2
e
e
I x x x xdx
B.
2 2
1
1
ln 2 ln .
e
e
I x x x xdx
C.
2 2
1
1
ln ln .
e
e
I x x x xdx
D.
2 2
1
1
1
ln ln .
2
e
e
I x x x xdx
Câu 17: Biết
3
2
2
ln ln 3
x x dx a b
với
,
a b
là các số nguyên. Khi đó
a b
bằng
A. 1. B. 2. C. 0. D.
1.
Câu 18: Giá trị của
1
0
. .
x
x e dx
là
A.
.
B.
. .
e
C.
.
3
D.
1
.
3
Câu 19: Biết
2
1
2ln 3
e
x a
dx b
x e
với
,a b
. Giá trị của
a b
bằng
A.
2.
B.
8.
C. 2. D. 8.
Câu 20: Biết
4
*
0
1 sin 2 , .
2
b
a
x xdx a b
Giá trị của tích ab bằng
A. 6. B. 2. C. 4. D. 12.
Câu 21: Cho
2
0
2 1 .
m
x
I x e dx
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để
I m
là khoảng
;
a b
. Giá
trị của
3
P a b
là
A.
3.
P
B.
2.
P
C.
4.
P
D.
1.
P
Câu 22: Cho
2
1
2
F x
x
là một nguyên hàm của hàm số
.
f x
x
Giá trị của
1
ln
e
f x xdx
bằng
A.
2
2
3
.
2
e
I
e
B.
2
2
2
.
e
I
e
C.
2
2
2
.
e
I
e
D.
2
2
3
.
2
e
I
e
Câu 23: Cho hàm số
f x
có đạo hàm và liên tục trên
0;
2
, thỏa mãn
2
2
0
cos 10
f x xdx
và
0 3.
f
Tích phân
2
0
sin 2
f x xdx
bằng
A.
13.
B. 13. C. 7. D.
7.
Câu 24: Biết
4
2
1
log 16
ln 2
a
J x xdx
b
với
*
, ,
a
a b
b
là phân số tối giản. Giá trị của
T a b
là
TOANMATH.com
Trang 46
A.
11.
T
B.
19.
T
C.
17.
T
D.
13.
T
Câu 25: Cho
2
2
1
ln 1
ln 2 ln 3,
x
dx a b
x
với
,
a b
là các số hữu tỉ. Giá trị của
4
P a b
là
A.
0.
P
B.
1.
P
C.
3.
P
D.
3.
P
Câu 26: Giá trị của tích phân
2019
2
2
1
ln
1
x
I dx
x
là
A.
2019
2019 2019
ln 2 2
2020ln .
1 2 1 2
I B.
2019
2019 2019
2019ln 2 2
ln .
1 2 1 2
I
C.
2019
2019 2019
ln 2 2
2020ln .
1 2 1 2
I
D.
2019
2019 2019
2019ln 2 2
ln .
1 2 1 2
I
Câu 27: Biết
2
0
1 cos
a
x xdx
b
với
;a b
. Khi đó
2 2
a b
bằng
A. 14. B. 12. C. 8. D. 4.
Câu 28: Cho tích phân
2
2
0
.sin ,I x xdx a b a b
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
3.
a
b
B.
2
4.
a b
C.
1;0 .
a
b
D.
6.
a b
Câu 29: Biết
12
1
1
12
1
1
c
x
x d
a
x e dx e
x b
trong đó
, , ,
a b c d
là các số nguyên dương và các phân số
,
a c
b d
là tối giản. Giá trị của
bc ad
là
A. 12. B. 1. C. 24. D. 64.
Câu 30: Cho tích phân
2
1
1
ln . ,
e
I x xdx a e b
x
a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của
4 3
a b
là
A.
13
.
2
B.
13
.
4
C.
13
.
4
D.
13
.
2
Câu 31: Cho tích phân
4
2
0
sin 2 sin 2 1 2 1
ln ln 2
cos
2 1
x x x
dx c
x a b
(với a, b, c là các số nguyên). Khi
đó
a b c
bằng
A. 2. B. 4. C.
1.
D. 1.
Câu 32: Cho các hàm số
f x
có đạo hàm
f x
và thỏa mãn
1
0
2 1 10
x f x dx
,
3 1 0 12.
f f Giá trị của
1
0
f x dx
là
A.
1.
I
B.
2.
I
C.
2.
I
D.
1.
I
Câu 33: Biết rằng tích phân
4
4
0
1
.
2 1
x
x e
dx ae b
x
Giá trị của
2 2
T a b
là
TOANMATH.com
Trang 47
A.
1.
T
B.
2.
T
C.
3
.
2
T
D.
5
.
2
T
Câu 34: Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu
1
2 2
0
1 .
n
n
I x x dx
Giá trị của
1
lim
n
n
n
I
I

là
A. 1. B. 2. C. 3. D. 5.
Câu 35: Cho hàm số
y f x
với
0 1 1.
f f
Biết rằng
1
0
.
x
e f x f x dx a e b
. Giá trị
của
2019 2020
Q a b
là
A.
2019
2 1.
Q
B.
0.
Q
C.
2.
Q
D.
2019
2 1.
Q
Câu 36: Biết
2
1
2ln 3
e
x a
dx b
x e
với
,a b
. Giá trị của
a b
bằng
A.
2.
B.
8.
C. 2. D. 8.
Câu 37: Cho hàm số
f x
liên tục trên
và
2
0
2 16, 4.
f f x dx
Giá trị của tích phân
1
0
. 2
I x f x dx
là
A.
13.
I
B.
12.
I
C.
20.
I
D.
7.
I
Câu 38: Đặt
1
ln
e
k
k
I dx
x
, với k nguyên dương. Nếu
2
k
I e
thì khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
1;2 .
k B.
2;3 .
k C.
4;1 .
k D.
3;4 .
k
Câu 39: Cho
1
2
0
1 ln 2 ln 3
ln 2
2 4
a bc c
x x dx
x
với
, ,a b c
. Giá trị của
T a b c
là
A.
13.
T
B.
15.
T
C.
17.
T
D.
11.
T
Câu 40: Biết
2
6
2
6
cos 3
1
x x
dx a
b c
x x
với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của
M a b c
là
A.
35.
M
B.
41.
M
C.
37.
M
D.
35.
M
Dạng 4: Tính tích phân các hàm đặc biệt, hàm ẩn
Phương pháp giải
a. Cho hàm số
f x
liên tục trên
;
a a
. Khi đó
0
a a
a
f x dx f x f x dx
(1)
Chứng minh
Ví dụ 1: Tích phân
1
1
2
cos .ln
2
x
I x dx
x
bằng
A.
1.
B. 2.
C. 0. D. 1.
Hướng dẫn giải
TOANMATH.com
Trang 48
Ta có
0
0
.
a a
a a
f x dx f x dx f x dx
Xét
0
.
a
I f x dx
Đổi biến
.
x t dx dt
Đổi cận
; 0 0
x a t a x t
Khi đó
0
0 0
a a
a
I f t dt f t dt f x dx
Do đó (1) được chứng minh.
Đặc biệt
+ Nếu
f x
là hàm số lẻ thì ta có
0
a
a
f x dx
(1.1).
+ Nếu
f x
là hàm số chẵn thì ta có
0
2
a a
a
f x dx f x dx
(1.2)
Hàm số
2
cos .ln
2
x
f x x
x
xác định và liên tục
trên đoạn
1;1 .
Mặt khác, với
1;1 1;1
x x và
2 2
cos .ln cos .ln .
2 2
x x
f x x x f x
x x
Do đó hàm số
2
cos .ln
2
x
f x x
x
là hàm số lẻ.
Vậy
1
1
2
cos .ln 0
2
x
I x dx
x
.
Chọn C.
Ví dụ 2: Cho
y f x
là hàm số chẵn, liên tục trên
đoạn
6;6
.
Biết rằng
2
1
8
f x dx
và
3
1
2 3.
f x dx
Tính
6
1
.
f x dx
A.
11.
I
B.
5.
I
C.
2.
I
D.
14.
I
Hướng dẫn giải
Gọi
F x
là một nguyên hàm của hàm số
f x
trên
đoạn
6;6
ta có
3 3
1 1
2 3 2 3
f x dx f x dx
TOANMATH.com
Trang 49
+ Nếu
f x
là hàm số chẵn thì ta cũng có
1
1 2
a a
x
a a
f x
dx f x dx
b
0 1
b
(1.3).
Chứng minh (1.3):
Đặt
1
a
x
a
f x
A dx
b
(*).
Đổi biến
.
x t dx dt
Đổi cận
;
x a t a x a t a
Khi đó
1 .
.
1 1
t
a a
t t
a a
f b f t
A dt dt
b b
Hay
.
1
x
a
x
a
b f x
A dx
b
(**).
Suy ra
1
2 .
2
a a
a a
A f x dx A f x dx
3
1
1
2 3.
2
F x
Do đó
6 2 6
F F
hay
6
2
6.
f x dx
Vậy
6 2 6
1 1 2
14.
I f x dx f x dx f x dx
Chọn D.
Ví dụ 3: Tích phân
1
2020
1
1
x
x
I dx
e
có giá trị là
A.
0.
I
B.
2020
2
.
2019
I
C.
2021
2
.
2021
I
D.
2019
2
.
2019
I
Hướng dẫn giải
Áp dụng bài toán (1.3) ở cột bên trái cho hàm số
2020
f x x
và
b e
ta có
Ta có
1
2021 2021 2021
1
2020
1
1
1 2.2 2
.
2 2021 2021 2021
x
I x dx I
Chọn C.
b. Nếu
f x
liên tục trên đoạn
;
a b
thì
b b
a a
f x dx f a b x dx
Hệ quả: hàm số
f x
liên tục trên
0;1
, khi
Ví dụ 4: Cho hàm số
f x
liên tục trên
thỏa điều
kiện
2cos ,
f x f x x
với
x
.
Giá trị của
2
2
N f x dx
là
TOANMATH.com
Trang 50
đó:
2 2
0 0
sin cos
f x dx f x dx
c. Nếu
f x
liên tục trên đoạn
;
a b
và
f a b x f x
thì
2
b b
a a
a b
xf x dx f x dx
A.
1.
N
B.
0.
N
C.
1.
N
D.
2.
N
Hướng dẫn giải
Ta có
2 2
2 2
N f x dx f x dx
Suy ra
2 2
2 2
2 2cos .
N f x f x dx xdx
Vậy
2
2
0
0
2 cos 2sin 2.
N xdx x
Chọn D.
Ví dụ 5: Cho hàm số
f x
liên tục trên
và thỏa
mãn
2 2 , .
f x f x x x x
Giá trị tích phân
2
0
G f x dx
là
A.
2.
G
B.
1
.
2
G
C.
2
.
3
G
D.
1
.
3
G
Hướng dẫn giải
Ta có
2 2
0 0
2
G f x dx f x dx
Suy ra
2 2
0 0
2 2
G f x f x dx x x dx
Vậy
2
0
1 2
2 .
2 3
G x x dx
Chọn C.
Ví dụ 6: Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
đoạn
0;1
thỏa mãn
1 0,
f
1
2
0
7
f x dx
và
1
2
0
1
.
3
x f x dx
Tích phân
1
0
f x dx
bằng
TOANMATH.com
Trang 51
d. Nếu
f x
liên tục trên đoạn
;
a b
và
0
f x
với
;
x a b
thì
0
b
a
f x dx
và
0
b
a
f x dx
khi
0.
f x
A.
7
.
5
B. 1.
C.
7
.
4
D. 4.
Hướng dẫn giải
Đặt
3
2
3
du f x dx
u f x
x
dv x dx
v
Ta có
3
1 1
1
2 3
0
0 0
1
3 3
x f x
x f x dx x f x dx
1 1
3 3
0 0
1 1
. . x 1.
3 3
x f x dx x f x d
Cách 1: Ta có
1
2
0
7
f x dx
(1).
1 1
7
1
6 6
0
0 0
1 1
49 .49 7
7 7 7
x
x dx x dx
(2).
1 1
3 3
0 0
. 1 14 . 14
x f x dx x f x dx
(3).
Cộng hai vế (1), (2) và (3) suy ra
1 1 1
2
6 3
0 0 0
' 49 14 . 0
f x dx x dx x f x dx
1
2
3
0
7 0.
f x x dx
Do
1
2 2
3 3
0
7 0 7 0
f x x f x x dx
. Mà
1
2
3 3
0
7 0 7 .
f x x dx f x x
4
7
.
4
x
f x C
Mà
7 7
1 0 0 .
4 4
f C C
Do đó
4
7 7
.
4 4
x
f x
Vậy
1 1
4
0 0
7 7 7
.
4 4 5
x
f x dx dx
TOANMATH.com
Trang 52
e. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Cho hàm số
f x
và
g x
liên tục trên đoạn
;
a b
. Khi đó, ta có
2
2 2
.
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
Chứng minh
Với mọi
, ta có
2
0
f x g x
.
2 2 2
2 0
f x f x g x g x
Suy ra
2 2 2
2 0
b b b
a a a
f x dx f x g x dx g x dx
(*)
Coi (*) là tam thức bậc hai theo biến
, và vì (*)
đúng với mọi
nên ta có
0
khi và chỉ
khi
2
2 2 2
0
b b b
a a a
f x dx f x dx g x dx
2
2 2 2
.
b b b
a a a
f x dx f x dx g x dx
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
0
f x
hoặc
g x f x
, với
.
Cách 2: Tương tự như trên ta có
1
3
0
. 1
x f x dx
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có
2
1 1 1
2
2
3 3
0 0 0
7 7 7 .
x f x dx x dx f x dx
1 1
2 2
0 0
1
7 7. . .
7
f x dx f x dx
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
3
,
f x ax
với
a
.
Ta có
1 1
3 3 3
0 0
. 1 . 1 7.
x f x dx x ax dx a
Suy ra
4
3
7
7
4
x
f x x f x C
, mà
1 0
f
nên
7
.
4
C
Do đó
4
7
1 , 0;1
4
f x x x .
Vậy
1 1
4
0 0
7 7 7
.
4 4 5
x
f x dx dx
Chọn A.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho số thực
0.
a
Giả sử hàm số
f x
liên tục và luôn dương trên đoạn
0;
a
thỏa mãn
. 1.
f x f a x
Giá trị tích phân
0
1
1
a
I dx
f x
là
A.
2
.
3
a
I
B.
.
2
a
I
C.
.
3
a
I
D.
.
I a
Hướng dẫn giải
Đặt
.
t a x dt dx
Đổi cận
0 ; 0.
x t a x a t
TOANMATH.com
Trang 53
Khi đó
0 0 0 0
1 1 1
.
1
1 1 1
1
a a a a
f x
I dt dx dx dx
f a t f a x f x
f x
0 0 0
1
2 1. .
1 1
a a a
f x
I dx dx dx a
f x f x
Vậy
.
2
a
I
Chọn B.
Ta có thể chọn hàm số
1
f x
, với mọi
0;
x a
thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Khi đó
0 0
1 1
.
1 2 2
a a
a
I dx dx
f x
Ví dụ 2: Cho hàm số
f x
liên tục trên
1;1
và
2019 , 1;1 .
x
f x f x e x Tích phân
1
1
M f x dx
bằng
A.
2
1
.
2019
e
e
B.
2
1
.
e
e
C.
2
1
.
2020
e
e
D.
0.
Hướng dẫn giải
Ta có
1 1
1 1
.
M f x dx f x dx
Do đó
1 1 1
1 1 1
2020 2019 2019 .
M f x dx f x dx f x f x dx
Suy ra
1
2
1
1 1
.
2020 2020
x
e
M e dx
e
Chọn C.
Nếu
f x
liên tục trên đoạn
;
a b
thì
b
a
f x dx
b
a
f a b x dx
Ví dụ 3. Cho
f x
là một hàm số liên tục trên
thỏa mãn
2 2cos2
f x f x x
.
Giá trị tích phân
3
2
3
2
P f x dx
là
A.
3.
P
B.
4.
P
C.
6.
P
D.
8.
P
Hướng dẫn giải
TOANMATH.com
Trang 54
Ta có
3 3
2 2
3 3
2 2
P f x dx f x dx
3 3 3
2 2 2
3 3
0
2 2
2 2 2cos 2 4 sin .
P f x f x dx xdx x dx
Hay
3
3
2
2
0
0
2 sin 2 sin 2cosx 2cos 6.
P xdx xdx x
Chọn C.
Ví dụ 4: Cho
f x
là hàm số liên tục trên
thỏa mãn
sin
f x f x x
với mọi
x
và
0 1.
f
Tích phân
.e f
bằng
A.
1
.
2
e
B.
1
.
2
e
C.
3
.
2
e
D.
1
.
2
Hướng dẫn giải
Ta có
sin
f x f x x
nên
.sin , .
x x x
e f x e f x e x x
.sin
x x
e f x e x
hay
0 0
.sin
x x
e f x dx e xdx
0 0
1 1
sin cos 0 1
2 2
x x
e f x e x x e f f e
3
.
2
e
e f
Chọn C.
Để ý rằng
x x
e e
nên nếu nhân thêm hai vế của
sin
f x f x x
với
x
e
thì ta sẽ có ngay
. .sin .
x x
e f x e x
Ví dụ 4: Cho hàm số
f x
tuần hoàn với chu kì
2
và có đạo hàm liên tục thỏa mãn
0
2
f
,
2
2
4
f x dx
và
2
.cos .
4
f x xdx
Giá trị của
2019
f
.
A.
1.
B. 0. C.
1
.
2
D. 1.
Hướng dẫn giải
Bằng phương pháp tích phân từng phần ta có
TOANMATH.com
Trang 55
2
2 2
.cos .sin .sin .
f x xdx f x x f x xdx
Suy ra
2
.sin .
4
f x xdx
Mặt khác
2
2
2 2
1 cos 2 2 sin 2
sin .
2 4 4
x x x
xdx dx
Suy ra
2 2 2 2
2 2
2
0 0 0 0
2 sin sin 0 sin 0.
f x dx xf x dx xdx f x x dx
sin .
f x x
Do đó
cos .
f x x C
Vì
0
2
f
nên
0.
C
Ta được
cos 2019 cos 2019 1.
f x x f
Chọn A.
Ví dụ 5: Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1
, và
14
1 0 .
2
f f
Biết rằng
0 2 2 , 0;1
f x x x . Khi đó, giá trị của tích phân
1
2
0
f x dx
thuộc khoảng nà o sau
đây?
A.
2;4
. B.
13 14
; .
3 3
C.
10 13
; .
3 3
D.
1;3 .
Hướng dẫn giải
Do
0 2 2 , 0;1
f x x x
nên
2
0 8 , 0;1 .
f x x x
Suy ra
1 1
2
0 0
8
f x dx xdx
hay
1
2
0
4
f x dx
(1).
Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:
2
1 1 1 1
2 2 2
2
0 0 0 0
1 . 1 0
f x dx dx f x dx f f f x dx
1
2
0
7
2
f x dx
Vậy
1
2
0
7
4.
2
f x dx
Chọn C.
Bài tập tự luyện dạng 4
TOANMATH.com
Trang 56
Câu 1: Cho hàm số
f x
liên tục trên
và
2
3 2 tan ,
f x f x x
với
,
2
x k k
. Giá trị
của
4
4
f x dx
là
A.
1 .
2
B.
1.
2
C.
1 .
4
D.
2 .
2
Câu 2: Biết
0
sin 1.
f x dx
Giá trị của
0
sin
xf x dx
là
A.
1
.
2
B.
.
2
C.
.
D. 0.
Câu 3: Cho hàm số
f x
liên tục trên đoạn
1;1
và
0
f x
với mọi
1;1
x . Đặt
.
f x f x
g x
f x f x
, với mọi
1;1
x . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
1 1
1 0
2 .
g x dx g x dx
B.
1
1
0.
g x dx
C.
1 1
1 0
2 .
g x dx g x dx
D.
1
0
0.
g x dx
Câu 4: Cho hàm số
f x
liên tục trên
và các tích phân
4
0
tan 4
f x dx
và
2
1
2
0
2.
1
x f x
dx
x
Giá trị
của tích phân
1
0
I f x dx
là
A. 2. B. 6. C. 3. D. 1.
Câu 5: Cho hàm số
f x
và
g x
liên tục, có đạo hàm trên
và thỏa mãn
0 . 2 0
f f
và
' 2
x
g x f x x x e
. Giá trị của giá trị của tích phân
2
0
.
I f x g x dx
là
A.
4.
B.
2.
e
C.
4.
D.
2 .
e
Câu 6: Cho hàm số
f x
liên tục và nhận giá trị dương trên
0;1
. Biết
. 1 1
f x f x
với
0;1
x . Giá trị của tích phân
1
0
1
dx
I
f x
ta được kết quả là
A.
3
.
2
B.
1
.
2
C. 1. D. 2.
Câu 7: Xét hàm số
f x
liên tục trên đoạn
0;1
và thỏa
2
2 3 1 1
f x f x x
.
Giá trị của
1
0
f x dx
bằng
TOANMATH.com
Trang 57
A.
.
4
B.
.
6
C.
.
20
D.
.
16
Câu 8: Xét hàm số
f x
liên tục trên
0;1
và thỏa mãn điều kiện
2 2
4 . 3 1 1 .
x f x f x x
Tích
phân
1
0
I f x dx
là
A.
.
4
I
B.
.
6
I
C.
.
20
I
D.
.
16
I
Câu 9: Cho hàm số
f x
liên tục trên
và thỏa mãn
2
1
2 3 .
4
f x f x
x
Giá trị của
2
2
I f x dx
là
A.
.
20
I
B.
.
20
I
C.
.
10
I
D.
.
10
I
Câu 10: Cho hàm số
f x
liên tục thỏa mãn điều kiện
1, 0 0
f x f
và
2
1 2 1.
f x x x f x
Giá trị của
3
f là
A. 0. B. 3. C. 7. D. 9.
Câu 11: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
1;4
, đồng biến trên đoạn
1;4
và thỏa
mãn đẳng thức
2
2 . , 1;4
x x f x f x x
. Biết rằng
3
1 ,
2
f
giá trị của
4
1
I f x dx
là
A.
1186
.
45
I
B.
1174
.
45
I
C.
1222
.
45
I
D.
1201
.
45
I
Câu 12: Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
thỏa mãn
1,f x f x x
và
0 0
f
.
Giá trị lớn nhất của
1
f
là bao nhiêu?
A.
2 1
.
e
e
B.
1
.
e
e
C.
1.
e
D.
2 1.
e
Câu 13: Cho hàm số
f x
có đạo hàm xác định, liên tục và khác 0 trên đoạn
0;1
thỏa mãn
0 1
f
và
2
.
f x f x

Đặt
1 0
T f f , khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2 1.
T
B.
1 0.
T
C.
0 1.
T
D.
1 2.
T
Câu 14: Giả sử hàm số
y f x
liên tục nhận giá trị dương trên
0;

và thỏa mãn
1 1
f
,
. 3 1
f x f x x
, với mọi
0.
x
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
3 5 4.
f
B.
1 5 2.
f
C.
4 5 5.
f
D.
2 5 3.
f
Câu 15: Cho hàm số
y f x
liên tục trên
0;

thỏa mãn điều kiện
1 2ln 2
f và
2
1 . ,
x x f x f x x x
với mọi
0; .
x

Giá trị
2 ln 3,
f a b với
,a b
. Giá trị của
2 2
a b
là
TOANMATH.com
Trang 58
A.
25
.
4
B.
9
.
2
C.
5
.
2
D.
13
.
4
Câu 16: Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1
,
f x
và
f x
đều nhận giá trị dương
trên đoạn
0;1
và thỏa mãn
0 2,
f
1 1
2
0 0
. 1 2 . .
f x f x dx f x f x dx
Giá trị của
1
3
0
f x dx
là
A.
15
.
4
B.
15
.
2
C.
17
.
2
D.
19
.
2
Câu 17: Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1
thỏa mãn
1
2
0
1 1, 9
f f x dx
và
1
3
0
1
.
2
x f x dx
Tích phân
1
0
f x dx
bằng
A.
2
.
3
B.
5
.
2
C.
7
.
4
D.
6
.
5
Câu 18: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;
4
và
0.
4
f
Biết
4
2
0
8
f x dx
4
0
sin 2 .
4
f x xdx
Giá trị của tích phân
8
0
2
I f x dx
là
A.
1.
I
B.
1
.
2
I
C.
2.
I
D.
1
.
4
I
Câu 19: Cho hàm số
f x
liên tục và có đạo hàm tại mọi
0;x

đồng thời thỏa mãn điều kiện
sin cos
f x x x f x x
và
3
2
2
sin 4.
f x xdx
Khi đó
f
nằm trong khoảng nào?
A.
6;7 .
B.
5;6 .
C.
12;13 .
D.
11;12 .
Câu 20: Cho hàm số
f x
xác định và có đạo hàm liên tục trên
0;
thỏa mãn
0
cos ,
f x xdx A
0
2
f
và
2
2
0
2
A
f x dx
, với A là hằng số. Giá trị của
4
0
2
f x dx
theo A là
A. 4A. B.
.
2
A
C.
.
A
D.
2
.
A
Câu 21: Cho hàm số
f x
có đạo hàm
f x
liên tục trên đoạn
0;1
thỏa
1 0,
f
1
2
2
0
8
f x dx
và
1
0
1
cos .
2 2
x f x dx
Giá trị của
1
0
f x dx
là
TOANMATH.com
Trang 59
A.
.
2
B.
.
C.
1
.
D.
.
2
Câu 22: Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
0;
2
thỏa mãn
2
2
0
0 0,
4
f f x dx
và
2
0
sin . .
4
x f x dx
Tích phân
2
0
I f x dx
bằng
A. 1. B.
.
2
C. 2. D.
.
4
Câu 23: Cho hàm số
f x
xác định và liên tục trên
0;
2
thỏa mãn
2
2
0
2
2 2 sin .
4 2
f x f x x dx
Tích phân
2
0
f x dx
bằng
A.
.
4
B.
0.
C. 1. D.
.
2
Câu 24: Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên khoảng
0;1
và
0
f x
,
0;1
x . Biết rằng
1 3
,
2 2
f a f b
và
2 4, 0;1
x xf x f x x
. Giá trị của tích phân
23
2
6
sin .cos 2sin 2
sin
x x x
I dx
f x
theo a và b là
A.
3
.
4
a b
I
ab
B.
3
.
4
b a
I
ab
C.
3
.
4
b a
I
ab
D.
3
.
4
a b
I
ab
Câu 25: Cho hàm số
f x
có đọa hàm dương, liên tục trên đoạn
0;1
thỏa mãn
0 1
f
và
1 1
2
0 0
1
3 2 .
9
f x f x dx f x f x dx
Giá trị của tích phân
1
3
0
f x dx
là
A.
3
.
2
B.
5
.
4
C.
5
.
6
D.
7
.
6
Câu 26: Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1
thỏa mãn
1
2
0
9
1 1,
5
f f x dx
và
1
0
2
.
5
f x dx
Giá trị của tích phân
1
0
I f x dx
là
A.
3
.
5
I
B.
1
.
4
I
C.
3
4
I
D.
1
.
5
I
Câu 27: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1
và thỏa mãn
0 0
f
. Biết
1
2
0
9
2
f x dx
và
1
0
3
cos .
2 4
x
f x dx
Tích phân của
1
0
f x dx
bằng
TOANMATH.com
Trang 60
A.
1
.
B.
4
.
C.
6
.
D.
2
.
Câu 28: Cho hàm số
2020
2020ln .
x
y f x e e
Giá trị của giá trị biểu thức
1 2 ... 2019
T f f f
là
A.
2019
.
2
T
B.
1009.
T
C.
2021
.
2
T
D.
1010.
T
Câu 29: Giá trị của tổng
0 1 2 3 2017 2018
2018 2018 2018 2018 2018 2018
...
3 4 5 6 2020 2021
C C C C C C
T là
A.
1
.
4121202989
B.
1
.
4121202990
C.
1
.
4121202992
D.
1
.
4121202991
Câu 30: Cho hàm số
y f x
liên tục trên
0;1
thỏa mãn
1
0
0
xf x dx
và
0;1
max 1.
f x
Tích phân
1
0
x
I e f x dx
thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A.
5
; .
4

B.
3
; 1 .
2
e
C.
5 3
; .
4 2
D.
1; .
e

Câu 31: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm và liên tục trên
0;
4
thỏa mãn
4
0
3, 1
4 cos
f x
f dx
x
và
4
0
sin .tan . 2.
x x f x dx
Tích phân
4
0
sin .
x f x dx
bằng
A. 4. B.
2 3 2
.
2
C.
1 3 2
.
2
D. 6.
Câu 32: Cho hàm số
y f x
biết
0
f x
với mọi
1
x
,
0 1
f
và
1.
f x x f x
với mọi
1
x
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
4 3 6.
f
B.
3 2.
f
C.
2 3 4.
f
D.
3 6.
f
Câu 33: Cho hàm số
f x
có
2
3
. 2 , 0;1
f x f x f x x x x

,
0 0 1
f f
. Giá trị của
2
2
T f là
A.
43
.
30
B.
16
.
35
C.
43
.
15
D.
26
.
15
Câu 34: Cho hàm số
y f x
liên tục trên
thỏa mãn
2
2 1
3 2 2 1 4.
x x
f x f x x e
Giá trị của tích phân
2
0
I f x dx
ta được kết quả là
A.
4.
I e
B.
8.
I
C.
2.
I
D.
2.
I e
TOANMATH.com
Trang 61
Câu 35: Cho hàm số
f x
có đạo hàm trên
0;

thỏa mãn
2 1
x
x f x x f x e
, với mọi
0
x
và
1
0 .
2
f
Giá trị của
2
f là
A.
2 .
3
e
f
B.
2 .
6
e
f
C.
2
2 .
3
e
f D.
2
2 .
6
e
f
Câu 36: Cho hàm số
y f x
có
f x
liên tục trên nửa khoảng
0;

thỏa mãn
2
3 1 3. .
x
f x f x e
Khi đó
A.
3
2
1 1
1 0 .
2
3
e f f
e
B.
3
2
1 1
1 0 .
4
2 3
e f f
e
C.
2 2
3
3 3 8
1 0 .
3
e e
e f f
D.
3 2 2
1 0 3 3 8.
e f f e e
Câu 37: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm trên
thỏa mãn
3 2
1
2
2
3 . 0
f x x
x
f x e
f x
và
0 1.
f
Tích phân
7
0
.
x f x dx
bằng
A.
2 7
.
3
B.
15
.
4
C.
45
.
8
D.
5 7
.
4
Câu 38: Cho
y f x
là hàm số chẵn và liên tục trên
. Biết
1 2
0 1
1
1.
2
f x dx f x dx
Giá trị của
2
2
3 1
x
f x
dx
bằng
A. 1. B. 6. C. 4. D. 3.
Câu 39: Cho hàm số
f x
liên tục trên
. Biết
3
1
ln
7
e
f x
dx
x
,
2
0
cos .sin 3.
f x xdx
Giá trị của
3
1
2
f x x dx
là
A. 12. B. 15. C. 10. D.
10.
Câu 40: Hàm số
f x
liên tục trên
0;

. Biết rằng tồn tại hằng số
0
a
để
4
2 6,
x
a
f t
dt x
t
0.
x
Giá trị của tích phân
1
a
f x dx
là
A.
21869
.
5
B.
39364
.
9
C. 4374. D.
40
.
3
Câu 41: Cho hàm số
f x
liên tục trên
, có đạo hàm đến cấp hai trên
và thỏa mãn
2
3
. 4. . ,
x
f x f x f x f x e x

, biết
0 0
f
. Khi đó
5ln 2
5
0
.
f x dx
bằng
TOANMATH.com
Trang 62
A.
2
25ln 2
5 31 5ln 2 .
2
B.
1 355ln 2
31 .
5 2
C.
2
1 25ln 2
31 5ln 2 .
5 2
D.
355ln 2
5 31 .
2
Câu 42: Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
0;1
thỏa mãn
1
2
0
1
0 1, ,
30
f f x dx
1
0
1
2 1
30
x f x dx
. Tích phân
1
0
f x dx
bằng
A.
11
.
12
B.
11
.
4
C.
1
.
30
D.
11
.
30
Câu 43: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1
và thỏa mãn
1 0.
f
1 1
2
2
0 0
1
1 .
4
x
e
f x dx x e f x dx
Giá trị của
1
0
f x dx
là
A.
.
2
e
B.
2 .
e
C.
2
.
4
e
D.
2.
e
Câu 44: Cho hàm số
f x
liên tục trên đoạn
1;1
và
2019 2 , 1;1
x
f x f x x . Giá trị của
1
1
f x dx
bằng
A.
1
.
2019ln 2
B.
3
.
4040ln 2
C. 0. D.
5
.
2018ln 2
Câu 45: Cho hàm số
f x
liên tục trên
biết
6
1
ln
6
e
f x
dx
x
và
2
2
0
cos sin 2 2.
f x xdx
Giá trị
của
3
1
2
f x dx
bằng
A. 10. B. 16. C. 9. D. 5.
Câu 46: Cho hàm số
y f x
xác định và liên tục trên
\ 0
thỏa mãn:
2 2
. 2 1 . . 1
x f x x f x x f x
với
\ 0
x
đồng thời
1 2
f
. Giá trị của
2
1
f x dx
là
A.
ln 2 3
.
2 2
B.
1
ln 2 .
2
C.
ln 2
1.
2
D.
3
ln 2 .
2
Câu 47: Cho hàm số
f x
liên tục và dương trên
0;

thỏa mãn
2
2 4 0
f x x f x
và
1
0 .
3
f
Giá trị của tổng
0 1 2 ... 2018
a
S f f f f
b
với
, ,
a
a b
b
tối giản. Khi
đó
b a
bằng
A.
1 2020 1009
.
2 2021 2020
B. 1011. C. 1. D. 2018.
TOANMATH.com
Trang 63
Dạng 5: Một số bài toán thực tế ứng dụng tích phân
Phương pháp giải
5.1.1. Một vật chuyển động có phương trình vận
tốc
v t
trong khoảng thời gian từ
t a
đến
t b a b
sẽ di chuyển được quãng đường là:
b
a
S v t dt
Ví dụ 1: Một vật chuyển động chậm dần đều với
vận tốc
160 10 /
v t t m s
. Quãng đường mà
vật chuyển động từ thời điểm
0
t s
đến thời
điểm mà vật dừng lại là
A. 1028m. B. 1280m.
C. 1308m. D. 1380m.
Hướng dẫn giải
Khi vật dừng lại thì
160 10 0 16
v t t t
Do đó
16 16
0 0
160 10
S v t dt t dt
16
2
0
160 5 1280
t t m
.
Chọn B.
5.1.2. Một vật chuyển động có phương trình gia
tốc
a t
thì vận tốc của vật đó sau khoảng thời
gian
1 2
;
t t
là:
2
1
t
t
v a t dt
Ví dụ 2: Một chiếc ô tô chuyển động với vận tốc
v t
/
m s
, có gia tốc
2
3
/ .
2 1
a t v t m s
t
Vận tốc của ô tô sau 10 giây (làm tròn đến hàng đơn
vị) là
A. 4,6 m/s. B. 7,2 m/s.
C. 1,5 m/s. D. 2,2 m/s.
Hướng dẫn giải
Vận tốc của ô tô sau 10 giây là
10
10
0
0
3 3 3
ln 2 1 ln 21 4,6 /
2 1 2 2
v dt t m s
t
.
Chọn A.
5.1.4. Điện lượng chuyển qua tiết diện của dây dẫn
của đoạn mạch trong thời gian từ
1
t
đến
2
t
là:
2
1
t
t
Q I t dt
TOANMATH.com
Trang 64
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Một vật chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc
2
3
a t t t
. Tính quãng
đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
A.
4300
.
3
m
B. 4300 m. C. 430 m. D.
430
.
3
m
Hướng dẫn giải
Hàm vận tốc
2 3
2
3
3 .
2 3
t t
v t a t dt t t dt C
Lấy mốc thời gian lúc tăng tốc
0 10 10.
v C
Ta được
2 3
3
10.
2 3
t t
v t
Sau 10 giây, quãng đường vật đi được là
10
2 3 3 4
10
0
0
3 4300
10 10
2 3 2 12 3
t t t t
S dt t m
Chọn A.
v t a t dt
Ví dụ 2: Dòng điện xoay chiều hình sin chạy qua một đoạn mạch LC có biểu thức cường độ là
0
cos
2
i t I t
. Biết
i q
với q là điện tích tức thời ở tụ điện. Tính từ lúc
0
t
, điện lượng
chuyển qua tiết diện thẳng của dây dẫn của đoạn mạch đó trong thời gian từ 0 đến
là
A.
0
2
.
I
B. 0. C.
0
2
.
I
D.
0
.
2
I
Hướng dẫn giải
Điện lượng chuyển qua tiết diện của dây dẫn của đoạn mạch trong thời gian từ 0 đến
là
0 0
0
0
0 0
2
cos sin .
2 2
I I
Q I t dt I t dt t
Chọn C.
Q t I t dt
Ví dụ 3: Gọi
h t cm
là mức nước trong bồn chứa sau khi bơm được t giây. Biết rằng
3
1
8
5
h t t
và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây (chính xác đến
0,01cm)
TOANMATH.com
Trang 65
A. 2,67 cm. B. 2,66 cm. C. 2,65 cm. D. 2,68 cm.
Hướng dẫn giải
Mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây là
6 6
6
3 3
0
0 0
1 3
8 8 8 2,66
5 20
h t dt t dt t t cm
Chọn B.
Bài tập tự luyện dạng 5
Câu 1: Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc
160 10 /
v t t m s
. Tìm quãng đường S mà vật di
chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm
0
t s
đến thời điểm vật dừng lại.
A.
2560 .
S m
B.
1280 .
S m
C.
2480 .
S m
D.
3840 .
S m
Câu 2: Một ô tô chuyển động nhanh dần đều với vận tốc
7 /
v t t m s
. Đi được
5
s
người lái xe
phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc
2
70 / .
a m s
Quãng đường của ô tô đi được từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn là bao
nhiêu?
A.87,50 m. B. 94,00 m. C. 97,50 m. D. 96,25 m.
Câu 3: Một ô tô đang đi với vận tốc 60 km/h thì tăng tốc với gia tốc
2
2 6 /
a t t km h
. Quãng đường
ô tô đi được trong vòng 1h kể từ khi tăng tốc.
A. 26 km. B. 62 km. C. 60 km. D. 63 km.
Câu 4: Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái xe phát hiện có hàng rào chắn ngang đường ở
phía trước cách xe 45 m (tính từ đầu xe tới hàng rào) nên người lái đạp phanh. Từ thời điểm đó, xe
chuyển động chậm dần đều với vận tốc
5 20 /
v t t m s
, trong đó t là thời gian được tính từ lúc
người lái đạp phanh. Khi xe dừng hẳn, khoảng cách từ xe đến hàng rào là bao nhiêu?
A. 4 m. B. 5 m. C. 3 m. D. 6 m.
Câu 5: Cho hai chất điểm A và B cùng bắt đầu chuyển động trên trục Ox từ thời điểm
0.
t
Tại thời điểm
t, vị trí của chất điểm A được cho bởi
2
1
6 2
2
x f t t t
và vị trí của chất điểm B được cho bởi
4sin .
x g t t
Gọi
1
t
là thời điểm đầu tiên và
2
t
là thời điểm thứ hai mà hai chất điểm có vận tốc bằng
nhau. Tính theo
1
t
và
2
t
độ dài quãng đường mà chất điểm A đã di chuyển từ thời điểm
1
t
đến thời điểm
2
.
t
A.
2 2
1 2 1 2
1
4 2 .
2
t t t t
B.
2 2
1 2 1 2
1
4 2 .
2
t t t t
C.
2 2
2 1 2 1
1
2 .
2
t t t t
D.
2 2
1 2 1 2
1
2 .
2
t t t t
Câu 6: Một tia lửa được bắn thẳng đứng từ mặt đất với vận tốc 15 m/s. Hỏi sau 2,5 giây, tia lửa ấy cách
mặt đất bao nhiêu mét, biết gia tốc là
2
9,8 /
m s
?
A. 30,625m. B. 37,5m. C. 68,125m. D. 6,875m.
TOANMATH.com
Trang 66
Câu 7: Một hạt proton di chuyển trong điện trường có biểu thức gia tốc (theo
2
/
cm s
) là
2
20
1 2
a t
t
(với t tính bằng giây). Tìm hàm vận tốc v theo t, biết rằng khi
0
t
thì
30 /
v cm s
. Hàm vận tốc đó là
A.
10
.
1 2
t
B.
10
20.
1 2
t
C.
3
1 2 30.
t
D.
2
20
30.
1 2t
Câu 8: Một ô tô đang chạy với vận tốc 18 m/s thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển
động chậm dần đều với vận tốc
36 18 /
v t t m s
trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ
lúc bắt đầu hãm phanh. Quãng đường ô tô di chuyển được kể từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn là bao
nhiêu mét?
A. 5,5 m. B. 3,5 m. C. 6,5 m. D. 4,5 m.
Câu 9: Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy
luật
2
1 11
/
180 18
v t t t m s
, trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động.
Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng
chậm hơn 5 giây so với A và có gia tốc bằng
2
/
a m s
(a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 10 giây
thì đuổi kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng
A.
22 / .
m s
B.
15 / .
m s
C.
10 / .
m s
D.
7 / .
m s
Câu 10: Một ô tô đang chạy với vận tốc 19 m/s thì người lái hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều
với vận tốc
38 19 /
v t t m s
trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm
phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
A. 4,75m. B. 4,5m. C. 4,25m. D. 5 m.
Câu 11: Một ô tô đang chạy với tốc độ 10 m/s thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động
chậm dần đều với
5 10 /
v t t m s
, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu
đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
A. 0,2 m. B. 2 m. C. 10 m. D. 20 m.
Câu 12: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v
(km/h) phụ thuộc vào thời gian
t h
có đồ thị là một phần
của đường parabol có đỉnh
2;9
I và trục đối xứng song
song với trục tung như hình bên. Quãng đường s mà vật di
chuyển được trong 3 giờ đó là
A.
24,25 .
s km
B.
26,75 .
s km
C.
24,75 .
s km
D.
25,25 .
s km
TOANMATH.com
Trang 67
Câu 13: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v
(km/h) phụ thuộc vào thời gian
t h
có đồ thị như hình
bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu
chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có
đỉnh
2;9
I và trục đối xứng song song với trục tung.
Khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song
song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di
chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng
phần trăm).
A.
23,25 .
s km
B.
21,58 .
s km
C.
15,50 .
s km
D.
13,83 .
s km
Câu 14: Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu
phóng nhanh với vận tốc tăng liên tục được biểu thị bằng
đồ thị là đường cong parabol có hình bên. Biết rằng sau
10s thì xe đạt đến vận tốc cao nhất 50m/s và bắt đầu giảm
tốc. Hỏi từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao nhất thì xe
đã đi được quãng đường bao nhiêu mét?
A.
1000
.
3
m
B.
1100
.
3
m
C.
1400
.
3
m
D. 300m.
Câu 15: Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v
(km/h) phụ thuộc thời gian t
h
có đồ thị là một phần của
đường parabol cố định
1;1
I và trục đối xứng song song
với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật di
chuyển được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát.
A.
6 .
s km
B.
8 .
s km
C.
40
.
3
s km
D.
46
.
3
s km
Câu 16: Người ta thay nước mới cho một bể bơi dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu
1
280
h cm
. Giả sử
h t cm
là chiều cao của mực nước bơm được tại thời điểm t giây, biết rằng tốc độ tăng của chiều cao
nước tại giây thứ t là
3
1
3
500
h t t
. Hỏi sau bao lâu thì nước bơm được
3
4
độ sâu của hồ bơi?
TOANMATH.com
Trang 68
A. 7545,2 giây. B. 7234,8 giây. C. 7200,7 giây. D. 7560,5 giây.
Câu 17: Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc
30 5 /
v t t m s
. Quãng đường vật di
chuyển từ thời điểm
2
t s
đến khi dừng hẳn là
A. 50m. B. 30m. C. 90m. D. 40m.
Câu 18: Một vật đang chuyển động với vận tốc
20 /
v m s
thì thay đổi vận tốc với gia tốc được tính
theo thời gian t là
2
4 2 / .
a t t m s
Tính quãng đường vật đi được kể từ thời điểm thay đổi gia tốc
đến lúc vật đạt vận tốc bé nhất
A.
104
.
3
m
B.
104 .
m
C. 208m. D.
104
.
6
m
Câu 19: Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc
0
15 /
v m s
thì tăng vận tốc với gia tốc
2 2
4 / .
a t t t m s
Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc
bắt đầu tăng vận tốc.
A. 68,25m. B. 70,25m. C. 69,75m. D. 67,25m.
Câu 20: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc
1
4 /
v t t m s
. Đi được
6
s
, người
lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc
2
12 /
m s
. Tính quãng đường
S m
đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn
A.
456 .
S m
B.
240 .
S m
C.
72 .
S m
D.
96 .
m
Câu 21: Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối
thiểu 1m. Một ô tô A đang chạy với vận tốc 16m/s bỗng gặp ô tô B đang dừng đèn đỏ nên ô tô A hãm
phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc được biểu thị bởi công thức
16 4
A
v t t
(đơn vị tính
bằng m/s), thời gian tính bằng giây. Hỏi rằng để 2 ô tô A và B đạt khoảng cách an toàn khi dừng lại thì ô
tô A phải hãm phanh khi cách ô tô B một khoảng ít nhất là bao nhiêu?
A. 33 m. B. 12 m. C. 31 m. D. 32 m.
Câu 22: Một chiếc xe đua đang chạy 180 km/h. Tay đua nhấn ga để về đích kể từ đó xe chạy với gia tốc
2
2 1 /
a t t m s
. Hỏi rằng 5 s sau khi nhấn ga thì xe chạy với vận tốc bao nhiêu km/h?
A. 200. B. 243. C. 288. D. 300.
Câu 23: Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian là
2
3 .
a t t t
Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 6 giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc.
A. 136m. B. 126m. C. 276m. D. 216m.
Câu 24: Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc
2
10 /
v t t t m s
với t là thời
gian được tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay đạt vận tốc
200 /
m s
thì nó rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là
A.
500 .
m
B.
2000 .
m
C.
4000
.
3
m
D.
2500
.
3
m
Câu 25: Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn trong hồ bơi được mô hình bởi hàm số
2
1000
, 0
1 0,3
B t t
t
, trong đó
B t
là số lượng vi khuẩn trên mỗi ml nước tại ngày thứ t. Số lượng vi
TOANMATH.com
Trang 69
khuẩn ban đầu là 500 con trên một ml nước. Biết rằng mức độ an toàn cho người sử dụng hồ bơi là số vi
khuẩn phải dưới 3000 con trên mỗi ml nước. Hỏi vào ngày thứ bao nhiêu thì nước trong hồ không còn an
toàn nữa?
A. 9. B. 10. C. 11. D. 12.
Câu 26: Một ô tô đang chạy đều với vận tốc 15m/s thì phía trước xuất hiện chướng ngại vật nên người lái
đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc
2
/
a m s
. Biết ô tô
chuyển động thêm được 20 m thì dừng hẳn. Hỏi a thuộc khoảng nào dưới đây?
A.
3;4 .
B.
4;5 .
C.
5;6 .
D.
6;7 .
Câu 27: Tại một nơi không có gió, một chiếc khinh khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt
đất đã được phi công cài đặt cho chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khinh khí cầu đã chuyển động
theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật
2
10
v t t t
, trong đó t (phút) là thời gian tính
từ lúc bắt đầu chuyển động, v (t) được tính theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp
đất vận tốc v của khinh khí cầu là
A.
5 / .
v m p
B.
7 / .
v m p
C.
9 / .
v m p
D.
3 / .
v m p
Câu 28: Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy
luật
2
1 59
/
150 75
v t t t m s
, trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động.
Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng
chậm hơn 3 giây so với A và có gia tốc bằng
2
/
a m s
(a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 12 giây
thì đuổi kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng
A. 20 m/s. B. 16 m/s. C. 13 m/s. D. 15 m/s.
Đáp án và lời giải
Dạng 1. Tính tích phân bằng cách sử dụng định nghĩa, tính chất
1 – B 2 – D 3 – C 4 – B 5 – B 6 – D 7 – A 8 – C 9 – D 10 – B
11 – B 12 – B 13 – C 14 – A 15 – C 16 – B 17 – A 18 – B 19 – A 20 – D
21 – A 22 – B 23 – A 24 – C 25 – D 26 – C 27 – B 28 – A 29 – A 30 – C
31 – A 32 – D 33 – C 34 – D 35 – D 36 – A 37 – B 38 – B 39 – D 40 – B
41 – C 42 – B 43 – A 44 – D 45 – B 46 – B 47 – D 48 – C 49 – B 50 – C
51 – D 52 – A 53 – A 54 – C 55 – C 56 – A 57 – A 58 – A 59 – C 60 – C
Dạng 2. Tính bằng phương pháp đổi biến
1 – B 2 – A 3 – A 4 – D 5 – D 6 – C 7 – A 8 – C 9 – B 10 – C
11 – B 12 – B 13 – D 14 – A 15 – A 16 – D 17 – B 18 – D 19 – D 20 – C
21 – C 22 – D 23 – A 24 – B 25 – A 26 – D 27 – C 28 – B 29 – B 30 – C
31 – C 32 – A 33 – B 34 – B 35 – B 36 – C 37 – C 38 – A 39 – C 40 – A
TOANMATH.com
Trang 70
41 – B 42 – B 43 – D 44- B 45 – D 46 – A 47 – D 48 – D 49 – A 50 – B
51 – A 52 – C 53 – D 54 – B
Dạng 3. Giá trị của tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
1 - D 2 – C 3 – B 4 – A 5 – C 6 – C 7 – D 8 – C 9 – D 10 – A
11 – A 12 – A 13 – A 14 – D 15 – A 16 – D 17 – A 18 – A 19 – A 20 – A
21 – A 22 – A 23 – B 24 – B 25 – D 26 – A 27 – B 28 – C 29 – C 30 – B
31 – C 32 – A 33 – B 34 – A 35 – C 36 – A 37 – D 38 – A 39 – A 40 – A
Dạng 4. Tính tích phân các hàm đặc biệt, hàm ẩn
1 – D 2 – B 3 – C 4 – B 5 – C 6 – B 7 – A 8 – C 9 – B 10 – B
11 – A 12 – B 13 – A 14 – A 15 – B 16 – D 17 – B 18 – D 19 – B 20 – C
21 – D 22 – A 23 – B 24 – D 25 – D 26 – B 27 – C 28 – A 29 – B 30 – C
31 – B 32 – D 33 – C 34 – C 35 – D 36 – C 37 – C 38 – D 39 – A 40 – B
41 – A 42 – A 43 – D 44 – B 45 – D 46 – B 47 – A
Dạng 5. Các bài toán thực tế của tích phân
1 – B 2 – D 3 – B 4 – B 5 – A 6 – C 7 – B 8 – D 9 – B 10 – A
11 – C 12 – C 13 – B 14 – A 15 – C 16 – B 17 – D 18 – A 19 – C 20 – D
21 – A 22 – C 23 – C 24 – D 25 – B 26 – C 27 – C 28 – B
| 1/70

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ 3 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI 2: TÍCH PHÂN Mục tiêu  Kiến thức
+ Nắm được định nghĩa và các tính chất của tích phân.
+ Nắm vững các phương pháp tính nguyên hàm và bảng nguyên hàm cơ bản để áp dụng tính tích phân.
+ Nắm vững các tính chất tích phân của các hàm số chẵn, hàm số lẻ và các quy tắc đạo hàm của hàm số hợp.
+ Nắm vững các ý nghĩa vật lí của đạo hàm, từ dó giải quyết các bài toán thực tế sử dụng tích phân.  Kĩ năng
+ Hiểu rõ định nghĩa và tính chất của tích phân để vận dụng vào việc tính tích phân.
+ Sử dụng thành thạo bảng nguyên hàm và các phương pháp tính tích phân.
+ Vận dụng tích phân vào các bài toán thực tế. TOANMATH.com Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
I. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN 1. Định nghĩa tích phân Định nghĩa Chẳng hạn:   3
F x  x  C là một nguyên
Cho hàm số f  x liên tục trên đoạn  ; a b , với a  . b
hàm của hàm số f  x 2  3x nên tích phân
Nếu F  x là nguyên hàm của hàm số f  x trên đoạn 1 f xdxFx 1 F 1F0
 ;ab thì giá trị F b F a được gọi là tích phân của 0 0
hàm số f  x trên đoạn  ; a b .   3  C  3 1 0  C  1. b
Lưu ý: Giá trị của tích phân không phụ thuộc b Kí hiệu f
 xdx  F x  F b F a (1) vào hằng số C. a a
Trong tính toán, ta thường chọn C  0.
Công thức (1) còn được gọi là công thức Newton –
Leibnitz; a và b được gọi là cận dưới và cận trên của tích phân.
Ý nghĩa hình học của tích phân
Chẳng hạn: Hàm số f  x 2  x  2x 1 có đồ
Giả sử hàm số y  f  x là hàm số liên tục và không âm b
thị C  và f  x   x  2 1  0 , với x    . trên đoạn  ;
a b . Khi đó, tích phân f  xdx  chính là a
diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  f  x ,
trục hoành Ox và hai đường thẳng x  a, x  , b với a  . b
Diện tích “tam giác cong” giới hạn bởi C  ,
trục Ox và hai đường thẳng x  1  và x  1 1 1 là S  f  x dx   2 x  2x    1dx 1 1 3 1  x  8 b 2   x  x  .   S  f  xdx  3 1   3 a
Lưu ý: Ta còn gọi hình phẳng trên là “hình thang cong”.
2. Tính chất cơ bản của tích phân
Cho hàm số f  x và g  x là hai hàm số liên tục trên
khoảng K, trong đó K có thể là khoảng, nửa khoảng TOANMATH.com Trang 2 hoặc đoạn và a, , b c  K, khi đó: a a. Nếu b  a thì f  xdx  0
Chẳng hạn: Cho hàm số f  x liên tục, có a
b. Nếu f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn  ;
a b thì đạo hàm trên đoạn 1;2 thỏa mãn ta có: f  
1  8 và f 2  1. b Khi đó f 
 xdx  f x b f b f a a 2 2 a f 
 xdx  f x  f 2 f  1  9 1 1
Lưu ý: Từ đó ta cũng có b
f b  f a  f   xdx a b
và f a  f b  f   xdx a c. Tính chất tuyến tính b b b k. f
  x .hgxdx  k f   xdx .h g  xdx a a a Với mọi k, h  .  d. Tính chất trung cận b c b f  xdx  f  xdx  f
 xdx , với c ;ab a a c e. Đảo cận tích phân a b f  xdx   f  xdx b a b f. Nếu f x  0, x  a;b thì f  xdx  0 và a b f
 xdx  0 khi f x  0. a
g. Nếu f  x  g  x, x  a;b thì b b f  xdx  g  xdx a a
h. Nếu m  min f  x và M  max f  x thì a;b a;b TOANMATH.com Trang 3 b mb  a  f
 xdx  M ba a
i. Tích phân không phụ thuộc vào biến, tức là ta luôn có b b b b f  xdx  f  tdt  f  udu  f  ydy ... a a a a
II. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. Phương pháp đổi biến số Đổi biến dạng 1 b
Bài toán: Giả sử ta cần tính tích phân I  f  xdx, trong đó a
ta có thể phân tích f  x  g u xu x thì ta thực hiện Lưu ý: Phương pháp đổi biến số trong phép đổi biến số.
tích phân cơ bản giống như đổi biến số Phương pháp:
trong nguyên hàm, ở đây chỉ thêm bước
+ Đặt u  u  x , suy ra du  u x d . x đổi cận. + Đổi cận: x a b u u a u b b ub ub + Khi đó I  f  xdx  g  udu  Gu , với G u   ua a u a 
là nguyên hàm của g u. Đổi biến dạng 2 Dấu hiệu Cách đặt 2 2 a  x     x  a sin t;t   ;  2 2    2 2 x  a a      x  ; t  ; \  0 sin t  2 2    2 2 a  x     x  a tan t;t   ;    2 2  a  x    x  . a cos 2t;t  0;   a  x  2  a  x    x  . a cos 2t;t  0;   a  x  2  TOANMATH.com Trang 4 x  ab  x    x  a  b  a 2 sin t;t  0;  2   
2. Phương pháp tích phân từng phần b
Chú ý: Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao
Bài toán: Tính tích phân I  u  x.vxdx b a
cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân vdu  Hướng dẫn giải a b u   u  x du  u  xdx dễ tính hơn udv Đặt  .    dv  v  xdx v   v  x a b
Khi đó I  u.v b  . v du a 
(công thức tích phân từng a phần)
III. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ ĐẶC BIỆT
1. Cho hàm số f  x liên tục trên  ; a a. Khi đó a a Đặc biệt f  xdx   f
 x f xdx  (1) a 0 a
+ Nếu f  x là hàm số lẻ thì ta có f  xdx  0 (1.1) a a a
+ Nếu f  x là hàm số chẵn thì ta có f  xdx  2 f  xdx (1.2) a 0 a f  x 1 a và dx  f x dx   0  b   1 (1.3) x   1 b 2 a 0 b b
2. Nếu f  x liên tục trên đoạn  ; a b thì f  xdx  f  a b xdx a a   2 2
Hệ quả: Hàm số f  x liên tục trên 0;  1 , khi đó: f  sin xdx  f  cos xdx 0 0 b b a  b
3. Nếu f  x liên tục trên đoạn  ;
a b và f a  b  x  f  x thì xf  xdx  f  xdx 2 a a TOANMATH.com Trang 5 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Định nghĩa
Cho hàm số f  x liên tục trên đoạn  ;
a b , với a  b . Nếu F  x là nguyên hàm của hàm số f  x trên đoạn  ;
a b thì giá trị F b  F a được gọi là tích phân của hàm số f x trên đoạn  ; a b . b b Kí hiệu f
 xdx  F x  F b F a a a
Ý nghĩa hình học của tích phân b
Giả sử hàm số y   f  x là hàm số liên tục và không âm trên đoạn  ;
a b. Khi đó, tích phân f  x dx  a
chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  f  x , trục hoành và hai đường thẳng
x  a, x  b a  b . b S  f  xdx a
Tính chất cơ bản của tích phân
Cho hàm số f  x và g  x là hai hàm số liên tục trên khoảng K, trong đó K có thể là khoảng, nửa
khoảng hoặc đoạn và a, ,
b c  K , khi đó ta có các tính chất sau b b b f  xdx  0 ; f 
 xdx  f x  f b  f a ; a a a b b b k. f
 x .hgxdx  k f   xdx  .h g
 xdx , với k,h a a a b c b a b f  xdx  f  xdx  f
 xdx , với c ;ab; f  xdx   f  xdx ; a a c b a b   f  xdx  0  b b f  x  0, x   ; a b a   ; f  x  g  x, x   ; a b  f  xdx  g  xdx b  f
 xdx  0  f x  0 a a a m  min f  x   b b b b b a;b    mb  a  f
 xdx  M b  a ; f  xdx  f  tdt  f  udu  f  ydy .... M  max f  x   a a a a a a;b  TOANMATH.com Trang 6 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng định nghĩa, tính chất Phương pháp giải
Ví dụ: Cho hàm số f x có đạo hàm trên đoạn 1;2 , f   1  1 và f 2  2 . Tích phân 2 I  f   xdx bằng 1 A. 3. B. 2. C. 1. D. 0. Hướng dẫn giải
Sử dụng các tính chất của tích phân. 2 2
Sử dụng bảng nguyên hàm và định nghĩa tích phân I  f 
 xdx  f x  f 2 f  1  211. 1 để tính tích phân. 1 Chọn C. Ví dụ mẫu 3
Ví dụ 1: Giá trị của dx  bằng 0 A. 3. B. 2. C. 0. D. 1. Hướng dẫn giải 3 Ta có 3 dx  x  3  0  3.  0 0 Chọn A.  2
Ví dụ 2: Giá trị của sin xdx  bằng 0  A. 0. B. 1. C. 1  . D. . 2 Hướng dẫn giải  2  Ta có 2 sin xdx   cos x  1.  0 0 Chọn B.
Ví dụ 3: Cho hàm số   3
f x  x có một nguyên hàm là F  x . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. F 2  F 0  16. B. F 2  F 0  1.
C. F 2  F 0  8.
D. F 2  F 0  4. Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 7 2 4 2 x Ta có 3 x dx   4  F  2  F 0 4 0 0 Chọn D. 2 1
Ví dụ 4: Giá trị của I  dx  là 2x 1 1 A. I  ln 3 1. B. I  ln 3. C. I  ln 2 1. D. I  ln 2 1. Hướng dẫn giải 2 2 1 1 I  dx  ln 2x 1  2x 1 2 1 1 1     1 ln 3 ln1  ln 3  ln 3. 2 2 Chọn B. 1 1 1 Ví dụ 5: Cho f  xdx  2 và g
 xdx  5. Giá trị của I   f
 x 2gxdx  là 0 0 0 A. 5. B. 7. C. 9. D. 12. Hướng dẫn giải 1 1 I  f  xdx 2 g  xdx 12. 0 0 Chọn D. 2 2 5 Ví dụ 6: Cho f  xdx  3 và f
 xdx 1. Giá trị của I  f  xdx là 1 5 1 A. 2. B. 4. C. 3. D. 2  . Hướng dẫn giải 5 2 5 I  f  xdx  f  xdx  f  xdx 1 1 2  3    1  2. Chọn A. 2 2 2 Ví dụ 7: Cho f
 xdx  2, gxdx  1   . Khi đó I  x  2 f   x 3g x d  x  bằng 1 1 1 17 15 1 A. I  17. B. I  . C. I  . D. I  . 2 2 2 Hướng dẫn giải 2 2 2 2 2 x Ta có I  x  2 f   x 3g x d  x   2 f   xdx 3 g  xdx 2 1 1  1  1 TOANMATH.com Trang 8 3      17 2.2 3 1  . 2 2 Chọn B.   2 2 Ví dụ 8: Cho f
 xdx  5 . Giá trị của I   f   x 2sin xdx  là bao nhiêu? 0 0 A. I  3. B. I  5. C. I  6. D. I  7. Hướng dẫn giải    2 2 2  I   f
  x 2sin xdx  f   x 2
dx  2 sin xdx  5  2cos x  7.  0 0 0 0 Chọn D.
Ví dụ 9: Cho F  x là nguyên hàm của hàm số   ln x f x 
. Giá trị của F e  F   1 bằng x 1 3 1 A. I  0. B. I   . C. I  . D. I  . 2 2 2 Hướng dẫn giải e e 2 ln ln e x x 1 Ta có F e  F   1  dx  ln xd   ln x   . x 2 1 2 1 1 Chọn D. 1 1 Ví dụ 10: Tích phân I  dx  bằng 2 x  3x  2 0 4 3 1 3 A. I  ln . B. I  ln . C. I  ln . D. I  ln . 3 2 2 4 Hướng dẫn giải 1 x  2 x  1 1 1 Ta có    2 x  3x  2 x   1  x  2 x 1 x  2 1 1 1 1 1 Suy ra I  dx  dx   
ln x1 ln x  2   2ln2ln3. x 1 x  2 0 0 0 Chọn A.  Ví dụ 11: Tích phân 3 I  cos x sin xdx  bằng 0 A. I  1. B. I  0. C. I  3. D. I  1  . Hướng dẫn giải  1    1 1 Ta có 3 I   cos xd  cos x 4   cos x     0.    4  0 4 4 0 Chọn B. TOANMATH.com Trang 9
Ta có cos x  sin x nên sin xdx  d cos x 2 dx
Ví dụ 12: Biết tích phân I   a 2  b 3  c  , với a, ,
b c   . Giá trị biểu thức x 1 x  x x 1 1   P  a  b  c là A. P  8. B. P  0. C. P  2. D. P  6. Hướng dẫn giải Ta có x 1  x  0, x  1;2 nên 2 2 2 x 1  x 1 1 I  dx  dx  dx     2 x 2 x1 2 x. x 1 x x 1 1 1 1 1
 4 2  2 3  2. Suy ra a  4,b  c  2
 nên P  a  b  c  0. Chọn B.
Nhân liên hợp x 1  x.
Ví dụ 13: Cho hàm số f  x thỏa mãn f   1
2   và       2 f x x f x  f 3
 với mọi x   . Giá trị   1 bằng A. f   2 1  . B. f   3 1  . C. f   2 1   . D. f   1 1  . 3 2 3 3 Hướng dẫn giải
Từ       2 f x x f x  
 (1), suy ra f  x  0 với mọi x 1;2.
Suy ra f  x là hàm không giảm trên đoạn 1;2 nên f  x  f 2  0 , x  1;2 . f  x
Chia 2 vế hệ thức (1) cho    2 f x    ta được  x,x  1; 2 . (2) 2    f x  
Lấy tích phân 2 vế trên đoạn 1;2 hệ thức (2), ta được 2 f  x 2 2 2 2  1    x  1 1 3 dx  xdx            .  f   x 2  f    x 1 2 1 f 1 f 2 2 1 1        Do f   1
2   nên suy ra f   2 1   . 3 3 Chọn C.
Chú ý rằng đề bài cho f 2 , yêu cầu tính f  
1 , ta có thể sử dụng nguyên hàm để tìm hằng số C.
Tuy nhiên ta cũng có thể dựa vào định nghĩa của tích phân để xử lí. TOANMATH.com Trang 10 1 
Ví dụ 14: Cho hàm số f  x xác định trên  \   thỏa mãn f  x 2 
và f 0  1, f   1  2 . Khi 2 2x 1 đó f   1  f 3 bằng A. 1   ln15. B. 3  ln 5. C. 2   ln 3. D. 1   ln15. Hướng dẫn giải 0 0
Ta có f  xdx  f 0  f    1 nên suy ra f   1  f 0  f   xd .x 1 1 0 1 f   xd .x 1  Tương tự ta cũng có 3 f 3  f   1  f   xdx 1 3  2   f   xdx. 1 0 3 0 3 Vậy f   1  f 3  1   f   xdx  f   xdx  1   ln 2x 1  ln 2x 1 . 1  1 1 1 Vậy f   1  f 3  1   ln15. Chọn A. 1
Ví dụ 15: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  1 thỏa mãn f   1  0 ,  f   x 2 dx  7  0 1 1 và 3 x . f  
xdx  1. Giá trị I  f  xdx là 0 0 7 7 A. 1. B. . C. . D. 4. 4 5 Hướng dẫn giải 1 Ta có  f   x 2 dx  7  (1). 0 1 1 1 6 6 x dx   49x dx  7   (2). 7 0 0 1 và 3 14x . f   xdx  1  4 (3). 0
Cộng hai vế (1), (2) và (3) suy ra 1  f   x 2 3  7x  dx  0   mà  f  x 2 3  7x   0   0 TOANMATH.com Trang 11  f x 3  7x . 4 7x Hay f  x    C. 4 f   7 7
1  0    C  0  C  . 4 4 4 7x 7 Do đó f  x    . 4 4 1 1 4  7x 7  7 Vậy f  xdx    dx  .    4 4  5 0 0 Chọn C.
Ví dụ 16: Cho f  x, g  x là hai hàm số liên tục trên đoạn 1; 
1 và f  x là hàm số chẵn, g  x là hàm 1 1 số lẻ. Biết f  xdx  5; g  xdx  7. 0 0 1 1 Giá trị của A  f  xdx  g  xdx là 1 1 A. 12. B. 24. C. 0. D. 10. Hướng dẫn giải 1 1
Vì f  x là hàm số chẵn nên f  xdx  2 f  xdx  2.5 10 1 0 1
Vì g  x là hàm số lẻ nên g  xdx  0 . 1 Vậy A  10. Chọn D. 1 xdx Ví dụ 17: Cho  a  b ln 3 
với a, b là các số hữu tỉ. Giá trị của a  b bằng 2x  2 0 1 5 1 1 1 A. . B.  . C. . D. . 12 3 4 12 Hướng dẫn giải 1 1 1 xdx 1 2x 1 1 1  1 1    Ta có  dx     dx     2x  2 1 2 2x  2 1 2  2x 1 2x   2  0 0 0 1   1 1  1 1           x  ln 2x  1 1 ln 3. 4 2 1 4   0 6 4  1 1 1
Vậy a   ,b   a  b  . 6 4 12 Chọn D. TOANMATH.com Trang 12 2 x Ví dụ 18: Cho dx  a  . b ln 2  . c ln 3  , với a, ,
b c là các số hữu tỷ. Giá trị của 6a  b  c bằng x  2 1 1 A. 2  . B. 1. C. 2. D. 1  . Hướng dẫn giải 2 2   2 x 1 1  1  1 Ta có dx     dx  ln x 1     ln 2  ln 3      x  2 1  x 1 x   2 1   x 1 1 6 1 1  1
 a   ,b  1,c  1 nên 6a  b  c  1  . 6 Chọn D. 1
Kĩ thuật tích phân hữu tỉ, ở đây ta tách x  2x 1  1 . 2 3 2x  3 Ví dụ 19: Cho dx  a ln 2  b ln 3, 
với a,b   . Giá trị biểu thức 2 a  ab  b là 2 x  x 2 A. 11. B. 21. C. 31. D. 41. Hướng dẫn giải 3 3 3 2x  3 2x 1 2  2x 1 2  Ta có dx  dx   dx    2 2  2 2  x  x x  x  x  x x  x  2 2 2 3  2x 1 2 2     dx   
ln x  x 2ln x 2ln x1 3 2  5  ln 2  4ln 3 2  x  x x x 1 2 2 a  5 2    a  ab  b  41. b   4 Chọn D. 2 5x  6
Ví dụ 20. Biết rằng tích phân
dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5, 
với a,b, c là các số nguyên. Giá trị 2 x  5x  6 1
biểu thức S  a  bc là bao nhiêu? A. S  6  2. B. S  10. C. S  20. D. S  1  0. Hướng dẫn giải 2 2 2 5x  6 5x  6  9 4  Ta có dx  dx   dx    2   x  5x  6 x  2 x  3  x  3 x  2  1 1    1
 9ln x  3  4ln x  2  2  9ln5  4ln 3 26ln 2. 1
Suy ra a  26,b  4,c  9. Vậy S  a  bc  2  6  4.9 10. Chọn B. TOANMATH.com Trang 13  2 sin x Ví dụ 21: Tích phân A  dx  bằng sin x  cos x 0     A. . B. . C. . D. . 2 16 4 8 Hướng dẫn giải  2 cos x Xét B  dx  ta có sin x  cos x 0  2  A  B  dx  .  2 0  2 sin x  cos x A  B  dx  sin x  cos x 0  
 ln sin x  cos x  2 0  ln1 ln1  0.
Từ đó, ta có hệ phương trình   A  B    2  A  B  . 4 A B  0 Chọn C.  3 2 cos x  sin . x cos x 1 Ví dụ 22: Cho
dx  a  b ln 2  c ln 1 3 
, với a,b,c là các số hữu tỉ. Giá trị abc 4 3     cos x sin . x cos x 4 bằng A. 0. B. 2  . C. 4  . D. 6  . Hướng dẫn giải   3 2 3 2 2 cos x  sin . x cos x 1 2cos x  sin . x cos x  sin x Ta có dx  dx   4 3 2   cos x sin . x cos x  cos x  2 cos x  sin . x cos x 4 4   3 2 3 2 2  tan x  tan x 2  tan x  tan x  dx  d tan x   2    cos x 1 tan x  1 tan x   4 4   3 2   3 2 tan x  3  tan x         x d tan x 2ln tan x 1 1 tan   2     4 4 4 TOANMATH.com Trang 14
1 2ln 2  2ln  3  1. Suy ra a 1,b  2  ,c  2 nên abc  4  . Chọn C. x e  m, khi x  0 
Ví dụ 23: Cho hàm số f x   liên tục trên  . 2 2x 3 x , khi x  0 1 Biết
f xdx  ae  b 3  ca, , b c  
. Tổng T  a  b  3c bằng 1  A. 15. B. 1  0. C. 1  9. D. 1  7. Hướng dẫn giải
Do hàm số liên tục trên  nên hàm số liên tục tại x  0
 lim f  x  lim f x  f 0  1 m  0  m  1. x 0 x 0   1 0 1 Ta có f  xdx  f  xdx f  xdx  I  I 1 2 1  1  0 I  2x 3  x dx  
 3 x 1 d 3 x  2  3 x  0 0 0 16 2 2 2 2 2 2 3  x  2 3  . 1 1 1  3 1  3
   x  1   x I e dx e  x 1 1  e  2. 2 0 0 1 22 22 Suy ra f
 xdx  I  I  e 2 3  . Suy ra a 1;b  2;c   . 1 2 1 3 3
Vậy T  a  b  3c  1 2  22  1  9. Chọn C.  2 cos x  2 cos x Ví dụ 24: Biết dx  m  . Giá trị của dx  bằng 1 3x 1 3x     A.   . m B.  . m C.   . m D.  . m 4 4 Hướng dẫn giải  2  2 cos x cos x  1  Ta có 2 dx  dx  cos xdx   x dx        x x 1 cos2  . 1 3 1 3 2      2 cos x Suy ra dx    . m  1 3x  Chọn A.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Giả sử f  x là một hàm số liên tục trên khoảng ;   và a,b,c,b  c ;   . Mệnh đề nào sau đây sai? b c b b bc c A. f  xdx  f  xdx  f  xd .x B. f  xdx  f  xdx  f  xd .x a a c a a a TOANMATH.com Trang 15 b bc b b c c C. f  xdx  f  xdx f  xd .x D. f  xdx  f  xdx f  xd .x a a bc a a b Câu 2: Cho hàm số 3
y  x có một nguyên hàm là F  x . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. F 2  F 0  16. B. F 2  F 0  1.
C. F 2  F 0  8.
D. F 2  F 0  4. e Câu 3: Tích phân cos xdx  bằng 0 A. sin . e B.  cos . e C. sin . e D. cos . e 2
Câu 4: Tích phân I  2x    1 dx bằng 0 A. I  5. B. I  6. C. I  2. D. I  4. 0 3 3 Câu 5: Cho f  xdx 1; f
 xdx  3. Tích phân f  xdx bằng 1 0 1 A. 6. B. 4. C. 2. D. 0. 2 4 4 Câu 6: Cho f
 xdx 1,  f tdt  4  . Giá trị của I  f   ydy là 2 2 2 A. I  5. B. I  3. C. I  3  . D. I  5  . c c a Câu 7: Cho f  xdx  50 và f
 xdx  20. Giá trị f xdx  bằng a b b A. 3  0. B. 0. C. 70. D. 30. 1 1 1 Câu 8: Cho  f
 x2gxdx 12  và g
 xdx  5, khi đó f xdx  bằng 0 0 0 A. 2  . B. 12. C. 22. D. 2. 5 5 5 Câu 9: Cho f  xdx  4 và g
 xdx  3, khi đó 2 f
 x3gx dx  bằng 2 2 2 A. 1. B. 12. C. 7. D. 1  . 2 4 4 4 Câu 10: Cho f  xdx  3; f  xdx  6 và g
 xdx 8. Khi đó 3f
 x gxdx  bằng 0 2 0 0 A. 14. B. 3. C. 17. D. 1  . 2 2 2 Câu 11: Cho  f
 x 2gxdx  5  và 2 f
 x3gx dx  4   . Khi đó  f
 x gxdx  bằng 1 1 1 A. 14. B. 3. C. 17. D. 1  . 6 10 6
Câu 12: Cho hàm số f  x liên tục trên  thỏa mãn f  xdx  7, f  xdx  8 và f  xdx  9. Giá 0 3 3 10
trị của tích phân I  f  xdx bằng 0 A. I  5. B. I  6. C. I  7. D. I  8. TOANMATH.com Trang 16 3
Câu 13: Cho hàm số f  x có đạo hàm trên đoạn 1;  3 , f 3  4 và f 
 xdx  7 . Khi đó f  1 bằng 1 A. 3. B. 11. C. 3  . D. 1  1. e  1 1 
Câu 14: Giá trị của I   dx  là 2   x x  1 1 1 A. I  . B. I  1. C. I  1. D. I  . e e e 2 Câu 15: Cho 3x 1     p q e
dx m e  e  với m, p,q  và là các phân số tối giản. Giá trị m  p  q bằng 1 22 A. 10. B. 6. C. . D. 8. 3 3 3 3 3 Câu 16: Cho f  xdx 1, g
 xdx  5. Để a  2ax3f  x dx  
a2g xdx 10 thì 2 2 2 2 A. a  2. B. a  3  . C. a  1. D. a  3. 1
Câu 17: Cho f  x, g  x là các hàm số có đạo hàm liên tục trên 0;  1 và g
 x.f xdx 1, 0 1 1 g
 x.f xdx  2. Khi đó I f  x.gx     dx  có giá trị là 0 0 A. I  3. B. I  1. C. I  2. D. I  1  .
Câu 18: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm là hàm liên tục trên  thỏa mãn f 0  2, f   1  6 . Khẳng
định nào sau đây là đúng? 1 1 1 1 A. f   xdx 8. B. f   xdx  4. C. f   xdx  3. D. f   xdx 12. 0 0 0 0 2 2 Câu 19: Cho 4 f  x2xdx 1  . Khi đó f  x dx  bằng 1 1 A. 1. B. 3  . C. 3. D. 1  . 4 4 3
Câu 20: Cho hàm số f  x liên tục trên  và f  xdx 10, f
 xdx  4. Tích phân f xdx  bằng 0 3 0 A. 4. B. 7. C. 3. D. 6. b
Câu 21: Với a, b là các tham số thực. Giá trị tích phân  2 3x  2ax   1dx bằng 0 A. 3 2 b  b a  . b B. 3 2 b  b a  . b C. 3 2 b  ba  . b D. 2 3b  2ab 1. 1
Câu 22: Tích phân 3x   1 x  3 dx bằng 0 A. 12. B. 9. C. 5. D. 6. 3 x  2 Câu 23: Biết dx  a  b ln c  , với a, ,
b c  ,c  9. Tổng S  a  b  c là x 1 TOANMATH.com Trang 17 A. S  7. B. S  5. C. S  8. D. S  6. 1 1 Câu 24: Tích phân I  dx  có giá trị bằng x 1 0 A. ln 2 1. B.  ln 2. C. ln 2. D. 1 ln 2. m
Câu 25: Cho số thực m  1 thỏa mãn 2mx 1 dx  1. 
Khẳng định nào sau đây đúng? 1 A. m 4;6. B. m 2;4. C. m 3;5. D. m 1;3. 1 1 a ln 2
Câu 26: Biết rằng tích phân I  dx  
, với a,b   . Biểu thức P  a  b có giá trị bằng 2 x  x  2 b 0 A. 5  . B. 3. C. 1. D. 1  .   2 2 Câu 27: Cho hai tích phân 2 A  sin xdx  và 2 B  cos xd . x 
Trong các khẳng định sau, khẳng định đúng 0 0 là A. A  2 . B B. A  . B C. A   . B D. A  B  1. 5 x  2 Câu 28: Cho tích phân
dx  a  b ln 2  c ln 3,  với a, ,
b c là các số nguyên. Tích P  abc là x 1 1 A. P  3  6. B. P  0. C. P  1  8. D. P  18. 1 2
Câu 29: Biết rằng hàm số f  x  mx  n thỏa mãn f  xdx  3, f
 xdx 8. Khẳng định nào dưới 0 0 đây là đúng? A. m  n  4. B. m  n  4. C. m  n  2. D. m  n  2  . 2 2 x  5x  2 Câu 30: Biết
dx  a  b ln 3  c ln 5, a,b,c  
 . Giá trị của abc bằng 2   x  4x  3 0 A. 8  . B. 1  0. C. 1  2. D. 16. a
Câu 31: Cho a là số thực dương, tính tích phân I  x dx  theo a. 1 2 a 1 2 a  2 2 2  a 1 2 3a 1 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 2 2 2 2 2 dx Câu 32: Biết
 a ln 2  bln 3 c ln 5. 
Khi đó giá trị a  b  c bằng x 1 2x 1 1    A. 3  . B. 2. C. 1. D. 0. 0 2 3x  5x 1 2 Câu 33: Biết I  dx  a ln  , b 
a,b. Khi đó giá trị của a  4b bằng x  2 3 1  A. 50. B. 60. C. 59. D. 40. 4 5  8 Câu 34: Cho  ln 3 ln 2  ln 5,  x dx a b c
với a,b, c là các số hữu tỉ. 2 x  3x  2 3 TOANMATH.com Trang 18 Giá trị của 3 2a bc bằng A. 12. B. 6. C. 1. D. 64. 1 dx 8 2 Câu 35: Cho  a b  a    *
a,b   . Giá trị của a  2b là bao nhiêu? x  2  x 1 3 3 0 A. a  2b  7. B. a  2b  5. C. a  2b  1  . D. a  2b  8. 2 1 x  2 1 Câu 36: Biết dx   n ln 2,  với ,
m n là các số nguyên. Tổng S  m  n là 0 x 1 m A. S  1. B. S  4. C. S  5  . D. S  1  . 2  x  10 a Câu 37: Cho 2 x  dx   ln ,   với a,b  .  Tổng P  a  b là  x 1 b b 1 A. P  1. B. P  5. C. P  7. D. P  2. 3 1 5x Câu 38: Cho dx  a ln b  c, 
với a,b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của 9a 11b  22c bằng 2 9x  24x 16 2 A. 15. B. 1  0. C. 7. D. 9. 0 2 3x  5x 1 2 Câu 39: Cho dx  a ln  b 
với a, b là các số hữu tỉ. Giá tị của a  2b bằng x  2 3 1 A. 60. B. 50. C. 30. D. 40. 1 2 4x 15x 11 Câu 40: Cho dx  a  b ln 2  c ln 3 
với a,b,c là các số hữu tỷ. Biểu thức T  . a c  b bằng 2 2x  5x  2 0 1  1 A. 4. B. 6. C. . D. . 2 2 2 2x 1 1 Câu 41: Cho dx  ln a  ln b  c 
, với a,b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của 3a  b 10c 2   4x  4x 1 2 0 bằng A. 15. B. 1  5. C. 14. D. 9. 1 2 x  3 Câu 42: Cho dx  a  b ln 2  c ln 3 
với a,b, c là các số nguyên. Giá trị của a  b  c bằng 2 x  3x  2 0 A. 2  . B. 1  . C. 2. D. 1. 1a dx
Câu 43: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a để tích phân  tồn tại? x x  5 x  4 1    A. 3. B. 5. C. Vô số. D. 0. 1 3 1
Câu 44: Cho hàm số f  x liên tục trên  , có f  xdx  2 và f
 xdx  6. Tính I  f   2x 1d .x 0 0 1 3 A. I  8. B. I  16. C. I  . D. I  4. 2
Câu 45: Khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 2019 2019 A. 3 3 x dx  x dx .   B. 4 2 x  x 1 dx   4 2 x  x    1d .x 1 1  1 1 TOANMATH.com Trang 19   3 3 C. x    1 x e x dx  e  x    1d .x D. 2 2 2 1   cos xdx  sin xd .   x  2  2    2 2 4 1 1 a 1 a Câu 46: Cho dx  ln  ,  với a, ,
b c là các số nguyên dương và tối giản. Giá trị của 2 x x  2 4 b c b 3   a  b  c bằng A. 7. B. 5  . C. 14. D. 9  4 dx Câu 47: Cho I   a  b 3 
với a,b là số thực. Giá trị của a  b bằng 2 2  cos . x sin x 6 1 2 1 2 A.  . B. . C. . D.  . 3 3 3 3 a b
Câu 48: Cho hàm số f  x 
  2, với a,b là các số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện 2 x x 1 f
 xdx  23ln2. Tổng T  a b là 1 2 A. T  1  . B. T  2. C. T  2  . D. T  0. a 2 2 x  2x  2 a
Câu 49: Xác định số a dương sao cho dx   a  ln 3  . Giá trị của a là x 1 2 0 A. a  1. B. a  2. C. a  3. D. a  4  . 1 2  2x 1 Câu 50: Cho dx  a  b ln 2,  
với a,b là các số hữu tỉ. Giá trị của 2a  b bằng  x 1  0 A. 1  . B. 6. C. 5. D. 4. 3 2 6x  x  2 3 5 Câu 51: Cho    
với a,b, c là các số hữu tỷ. x dx 2ln a ln b ln c, 2 x 1 2 2 2 
Giá trị của 2a  3b  5c bằng A. 10. B. 1  0. C. 8. D. 9. 2 3x khi 0  x  1 2
Câu 52: Cho hàm số y  f  x   . Tích phân f  xdx  bằng 4  x khi 1  x  2 0 7 5 3 A. . B. 1. C. . D. . 2 2 2 0
Câu 53: Cho tích phân  cos 2x cos 4xdx  a  b 3 
, trong đó a, b là các hằng số hữu tỉ.  3 Giá trị a e  log b bằng 2 1 A. 2  . B. 3  . C. . D. 0. 8 TOANMATH.com Trang 20  2
Câu 54: Giá trị của tích phân max  sin x,cos  x dx bằng 0 1 A. 0. B. 1. C. 2. D. . 2 3 2 x  x 1 a  4 b Câu 55: Biết rằng dx  
, với a, b, c là các số nguyên dương. x  x 1 c 2
Tổng T  a  b  c bằng A. 31. B. 29. C. 33. D. 27. 1 3 x  3x Câu 56: Biết
dx  a  b ln 2  c ln 3, 
với a,b,c là các số hữu tỉ. Giá trị của biểu thức 2 x  3x  2 0 2 2 S  2a  b  c bằng A. S  515. B. S  164. C. S  436. D. S  9  .
Câu 57: Cho M, N là các số thực. Xét hàm số f  x  M.sin x  N.cos x thỏa mãn f   1  3 và 1 2  1  f  x 1
dx   . Giá trị của f  bằng     4  0 5 2 5 2  2  2 A. . B.  . C.  . D. . 2 2 2 2 2 2019. k e  kx 2019
Câu 58: Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn e dx  .  Số phần tử k 1 của tập hợp S bằng. A. 7. B. 8. C. Vô số. D. 6.  2 3 2 x  x cos x  sin x  b b Câu 59: Biết I  dx   .  Trong đó a, ,
b c là các số nguyên dương. Phân số 1 cos x a c c 0
tối giản. Giá trị của 2 2 2 T  a  b  c là A. T  16. B. T  59. C. T  69. D. T  50. 4 1 x x  e Câu 60: Biết b c  dx  a  e  e 
với a, b, c là các số nguyên. 2 4 x x xe 1
Giá trị của T  a  b  c bằng A. T  3  . B. T  3. C. T  4  . D. T  5  .
Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến Phương pháp giải
Nắm vững phương pháp đổi biến số dạng 1 và dạng 2, cụ thể: Đổi biến dạng 1 TOANMATH.com Trang 21 b 
Bài toán: Giả sử ta cần tính I  f
 xdx, trong đó ta Ví dụ 1: Giá trị của 2 I  cos . x sin xdx  là a 0
có thể phân tích f  x  g uxu x. A. . B. 0. 1 2 C. . D. . 3 3 Hướng dẫn giải
Bước 1: Đặt u  u  x, suy ra du  u x d . x
Đặt u  cos x  du  sin . x dx  sin . x dx  du. Bước 2: Đổi cận x  0  u  1 Đổi cận x a B  x    u  1  u u a u b Bước 3: Tính 1 1 3 1 2 Khi đó 2     2    .  u I u du u du 3  3 b ub 1 ub 1 1 I  f  x dx  g u du G    u Chọn D.   ua a u a 
Với G u là một nguyên hàm của g u . Đổi biến dạng 2 b
Bài toán: Giả sử ta cần tính I  f  xdx, ta có thể 1 a 2 2 đổi biến như sau:
Ví dụ 2: Giá trị của I  1 x dx  là 0  3  3 A.  . B.  . 12 8 12 8  3  3 C.  . D.  . 6 4 6 4 Hướng dẫn giải
Bước 1: Đặt x   t, ta có dx  t dt.
Đặt x  sin t  dx  costdt. Bước 2: Đổi cận x  0  t  0  x a b Đổi cận  1  x   t   t    2 6  Bước 3: 6 Khi đó 2 I  1 sin t.cos tdt     0 Tính I  f
 t.tdt  g  tdt  Gt      6 6 1 2  cos t.dt   1cos2t.dt
Với G t là một nguyên hàm của g t . 2 0 0 TOANMATH.com Trang 22 Dấu hiệu Cách đặt 1  1   1   3  6  t  sin 2t      .   2 2 a  x     2  2  0 2 6 4 x  a sin t,t   ;    2 2    Chọn A. 2 2 x  a a      x  ,t  ; \   0 sin t  2 2    2 2 a  x     x  a tan t,t   ;    2 2  a  x    x  . a cos 2t,t  0;   a  x  2  a  x    x  . a cos 2t,t  0;   a  x  2  x  ab  x    x  a  b  a 2 sin t,t  0;  2    Ví dụ mẫu 2 3 1
Ví dụ 1: Giá trị của I  dx  là 2  5 x x 4 1 3 1 5 1 5 1 3 A. I  ln . B. I  ln . C. I  ln . D. I  ln . 4 5 4 3 2 3 2 5 Hướng dẫn giải Đặt 2 2 2
u  x  4  x  u  4 nên xdx  udu Đổi cận x 5 2 3 u 3 4 2 3 1 4 4 1 1 Khi đó I  .xdx  nên I  .udu  d . u   2 2   2u 4 u u  4 3  2 5 x x 4 3 4 4 1  1 1  1 1 5 Suy ra I   du   
ln u 2 ln u  2   ln . 4  u  2 u  2  4 3 4 3 3 Chọn B. + Đặt 2 u  x  4 . + Rút 2 2 x  u  4 . + Đổi cận.
+ Phương pháp tách phân thức hữu tỉ. TOANMATH.com Trang 23 2 x
Ví dụ 2: Giá trị của I  dx  là 1 x 1 1 11 1 11 11 A. I   ln 2. B. I   2ln 2. C. I   4ln 2. D. I  11 4ln 2. 3 2 3 3 Hướng dẫn giải Đặt 2
u  x 1  x  u 1 nên dx  2udu. Đổi cận x 1 2 u 0 1 1 2 1 u 1  4  Khi đó 2 I  .2udu  2u  2u  4  du    1 u  u 1 0 0 3 1  2u  11 2   u  4u  4ln u 1   4ln 2.    3 0  3 Chọn C. Đổi biến số dạng 1. Đặt u  x 1. e 1 3ln x.ln x
Ví dụ 3: Giá trị của I  dx  là x 1 116 116 153 161 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 135 153 116 135 Hướng dẫn giải 2 u 1 1 2
Đặt u  1 3ln x  ln x  nên dx  udu . 3 x 3 Đổi cận x 1 e u 1 2 u. 2 2 u   2 5 3 2 1 2 2 2  u u  116 Khi đó I  . udu    4 2 u  u du    .   3 3 9 9 5 3 1 135 1 1   Chọn A.  2 sin 2x  sin x
Ví dụ 4: Giá trị của I  dx  là 1 3cos x 0 16 43 11 34 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 27 27 27 27 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 24 2 u 1 2
Đặt u  1 3cos x  cos x  nên sin xdx   udu . 3 3 Đổi cận x 0  2 u 2 1   2 sin x 2cos x   2 1 2 cos x 1 Ta viết I  dx  sin xd . x   1 3cos x 1 3cos x 0 0 2  u 1 2 1 1   2 3 2 3    2  4 4  2u  34 Khi đó I  .  udu      2 2u   1 du    u   . u  3  9 9  3 1  27 2 1 Chọn D. 2 2 2 x
Ví dụ 5: Giá trị của I  dx  là 2 0 1 x  1  1  1  1 A. I   . B. I   . C. I   . D. I   . 8 4 4 8 3 4 8 2 Hướng dẫn giải
Đặt x  sin t  dx  costdt . Đổi cận x 0 2 2 u 0  4    4 2 4 4 sin t.cos t 1 Khi đó 2 I  dt  sin tdt    1cos2tdt 2 1 sin t 2 0 0 0 1  1    1 4  t  sin 2t   .   2  2  0 8 4 Chọn A. Đổi biến số dạng 2:     x  sin t, với t   ; .  2 2    6 1
Ví dụ 6: Giá trị của I  dx  là 2  3 2 x x 9 TOANMATH.com Trang 25     A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 8 36 6 24 Hướng dẫn giải 3 3cost Đặt x   dx  dt 2 sin t sin t Đổi cận x 3 2 6 u   4 6   6 4 3  cost 1 1      Khi đó I  dt  dt    .      3 9 3  3  4 6  36 2 sin t.  9 4 2 6 sin t sin t Chọn B. 1 x
Ví dụ 7: Giá trị của I  dx  là 4 2 x  x 1 0  3  3  3  3 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 4 6 18 12 Hướng dẫn giải
Đột biến lần 1: (Dạng 1) 1 Đặt 2 u  x  xdx  du. 2 Đổi cận x 0 1 u 0 1 1 1 1 1 1 1 Suy ra I  du  du.   2 2 2 u  u 1 2 0 0  1  3 u      2  4
Đổi biến lần 2: (Dạng 2) 1 3 3 Đặt u   tan t. Ta có du   2 1 tan t dt 2 2 2 Đổi cận x 0 1 u   6 3 TOANMATH.com Trang 26  3 3 3      3 Khi đó I  dt    .    3  3  3 6  18 6 Chọn C.  2 cos x Ví dụ 8: Biết dx  a ln 2  b ln 3, 
với a,b là các số nguyên. 2 sin x  3sin x  2 0
Giá trị của P  2a  b là A. 3. B. 7. C. 5. D. 1. Hướng dẫn giải   2 2 cos x 1 Ta có dx  d sin x   2 sin x  3sin x  2 sin x 1 sin x  2 0 0       2 1 1      d 
 sin x  ln sin x 1  ln sin x  2  2  sin x 1 sin x  2  0 0
 ln 2  ln1 ln 3 ln 2  2ln 2  ln 3 Suy ra a  2,b  1   2a  b  3. Chọn A. ln 2 dx 1 Ví dụ 9: Biết I   a  b  c  , với a, ,
b c là các số nguyên tố. x  x ln ln ln  0 e  3e  4 c
Giá trị của P  2a  b  c là A. P  3  . B. P  1  . C. P  4. D. P  3. Hướng dẫn giải x ln 2 dx ln 2 e dx Ta có I   .   x x 2 0 0 e  3e  4 x e  4 x e  3 Đặt x x t  e  dt  e d . x
Đổi cận x  0  t  1, x  ln 2  t  2. Khi đó 2 2 1 1 2 1 1  1 t 1 1 I  dt   dt  ln  ln 3  ln 5  ln 2 .   2     1 1 t  4t  3 2  t 1 t  3  2 t  3 1 2
Suy ra a  3,b  5, c  2 . Vậy P  2a  b  c  3. Chọn D.  6 dx a 3  b Ví dụ 10: Biết   , với a,b ,c  
 và a, b, c là các số nguyên tố cùng nhau. Giá trị 1 sin x c 0
của tổng a  b  c bằng TOANMATH.com Trang 27 A. 5. B. 12. C. 7. D. 1  . Hướng dẫn giải 1    x   2 x  2 cos 1 tan 6 6 6 6 dx dx   2  2 Ta có I dx      d . x     2 2 2 1 sin x 0 0  x x  0  x  0  x  cos  sin 1 tan 1 tan        2 2   2   2  x  x  Đặt 2
t  1 tan  2dt  1 tan d . x   2  2  
Đổi cận x  0  t  1; x   t  3 3. 6 3 3 3 3 2dt 2  3  3 I     .  2 t t 1 3 1 Suy ra a  1
 ,b  3,c  3 nên a  b  c  5. Chọn A. Lưu ý: 2  x x   x  1 sin x  sin  cos .   Chia tử và mẫu cho 2 cos .    2 2   2  1
Ví dụ 11: Cho hàm số y  f  x liên tục trên  và f  2xdx  8. 0 2 Giá trị của I  xf   2xdx là 0 A. 4. B. 8. C. 16. D. 64. Hướng dẫn giải Đặt 2
x  2u  2xdx  2du  xdx  du.
Đổi cận x  0  u  0, x  2  u  1. 1 1 Khi đó I  f  2udu  f  2xdx 8. 0 0 Chọn B.
Ví dụ 12: Cho hàm số y  f  x xác định và liên tục trên 0; sao cho 2   x  x x xf e f e  1; với e f  x.ln x
mọi x 0; . Giá trị của I  dx  là x e 1 2 1 3 A. I   . B. I   . C. I  . D. I  . 8 3 12 8 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 28  x x x x 1
Với x 0; ta có x  xf e   f e  1 f e  2 2   1 . x 1 x dx Đặt ln t x  t  x  e  dt  . x 1
Đổi cận x  e  t  ; x  e  t  1. 2 1 1 t 1 Khi đó I  t. f
 e dt  t1tdt  . 12 1 1 2 2 Chọn C.  2 3sin x  cos x 11 b Ví dụ 13: Biết dx  ln 2  b ln 3  c , 
b,c. Giá trị của là 2sin x  3cos x 13 c 0 22 22 22 22 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 13 Hướng dẫn giải 3sin x  cos x
m 2sin x  3cos x  n2cos x  3sin x Phân tích  2sin x  3cos x 2sin x  3cos x
2m 3nsin x  3m  2ncos x  2sin x  3cos x 2m  3n  3 3 11
Đồng nhất hệ số ta có   m  ; n   . 3  m  2n  1  13 13   3 11 2 2
2sin x  3cos x 2cos x 3sin x 3sin x  cos x Suy ra 13 13 dx  d . x   2sin x  3cos x 2sin x  3cos x 0 0   2  2  3 11 2cos x  3sin x  3 x  x   . dx   x 11 2 cos 3sin 2  d . x   13 13 2sin x 3cos x    13 0 13 2sin x  3cos x 0 0  2 3 11 d 2sin x  3cos x 3 11    2   dx   ln 2sin x  3cos x  26 13 2sin x  3cos x 26 13 0 0  11 b  3 11 11     13 b 11 26 22 ln 2  ln 3. Do đó    .  26 13 13 3 c 13 3 3 c   26 Chọn A. TOANMATH.com Trang 29  4 2 e f  2 ln x
Ví dụ 14: Cho hàm số f  x liên tục trên  và thỏa mãn tan . x f   2 cos xdx  2 và dx  2  . x ln x 0 e 2 f 2x Giá trị của I  dx  là x 1 4 A. 0. B. 1. C. 4. D. 8. Hướng dẫn giải   4 4 sin . x cos x Đặt A  tan . x f   2 cos xdx  2  .f   2 cos x dx  2. 2  cos x 0 0. 1 Đặt 2
t  cos x  dt  2sin x cos xdx   dt  sin x cos xd . x 2  1 1 f t
Đổi cận x  0  t  1 và x   t  . Khi đó A  dt  4.  4 2 t 1 2 2 e f ln x 2 2 e ln . x f  2 ln x Đặt B  dx  2  dx  2.   2 x ln x x ln x e e 4 f t Tương tự ta có B  dt  4.  t 1 2 f 2x 1 Giá trị của I  d . x 
Đặt t  2x  dx  dt. x 2 1 4 1 1
Đổi cận x   t  và x  2  t  4. 4 2 4 f t  1 f t 4 f t Khi đó I  dt  dt  dt  4  4  8    t t t 1 1 1 2 2 Chọn D. 1 1 Ví dụ 15: Cho dx  a  b; 
với a,b là các số nguyên. x 3x  3 0 1
Giá trị của biểu thức b a a  b bằng A. 17. B. 57. C. 145. D. 32. Hướng dẫn giải 1 1 1 1 dx Giá trị của I  dx  .   x 3x   x  3 1 x  2 3 0 0 1 x 1 TOANMATH.com Trang 30 x  3 2 dx Đặt t   2tdt  dx   tdt. x 1 x  2 1 x  2 1
Đổi cận x  0  t  3, x  1 t  2. 1 2 3 3 1 dx 1 Ta có I   t dt  dt  t  3  2.    2   x  3 x  t 0   1 2 3 2 x 1 1 1 Mà dx  a  b  nên suy ra a  3,b  2. x 3x  3 0 1 Từ đó ta có giá trị b a 2 3 a  b  3  2  17. Chọn A. 1 x 1  a  Ví dụ 16: Cho dx  ln  b 
, với a,b là các số nguyên tố. Giá trị của biểu thức 3   x 1 a  b 1  2 P  2a  b bằng A. 12. B. 10. C. 18. D. 15. Hướng dẫn giải 1 1 1 1 3 x x 1 x 1 Biến đổi I  dx  dx  dx  . dx     . 3 4 x 1  1  x 1 1 3 1 1 1 1 x 1     3 . x 1 1 2 2 2 3 2 3  x  x x 1 1 3 1 Đặt 2 u  1  u  1  2udu   dx và 3 x  . 3 3 4 x x x 2 u 1 1
Đổi cận x   u  3; x  1  u  2. 2 2udu 3 3 3 2 du 1 u 1 1  3  Ta có 3 I      ln  ln  2 .    2 u   2 1 .u 3 u 1 3 u 1 3  2 2  2 2
Suy ra a  3,b  2. Vậy P  2a  b 10. Chọn B.
Bài tập tự luyện dạng 2 4 2 Câu 1: Cho f
 xdx  2019. Giá trị của I   f
 2x f 42x dx  là 0 0 A. I  0. B. I  2019. C. I  4038. D. I  2020. 1 2 3
Câu 2: Cho hàm số f  x liên tục trên  có 2 f  xdx  2và f
 x 1dx  4.Giá trị của I  f  xdx là 0 0 0 A. I  5. B. I  4. C. I  6. D. I  7. TOANMATH.com Trang 31 4 5 2 ln 2 Câu 3: Biết f  xdx  5 và f
 xdx  20. Giá trị của  4 3     2x 2x I f x dx f e e dx là 1 4 1 0 15 5 A. I  . B. I  15. C. I  . D. I  25. 4 2 4 e 1 4 Câu 4: Biết f
 ln x dx  4. Giá trị của I  f  xdx là x e 1 A. I  8. B. I  16. C. I  2. D. I  4. 8 1 Câu 5: Cho f
 x  1dx 10. Giá rị của J  f  5x 4dx là 3 0 A. J  4. B. J  10. C. J  32. D. J  2. 9 0 Câu 6: Cho f
 xdx  27. Giá trị của f   3  xdx là 0 3  A. I  27. B. I  3  . C. I  9. D. I  3. 1
Câu 7: Cho hàm số f  x liên tục trên  thỏa mãn f  x 4 tan  cos x, x
   . Giá trị của I  f  xdx 0 là   2 2    A. . B. 1. C. . D. . 8 4 4 1 4
Câu 8: Giá trị của I  x   2 1 x  dx là 0 31 30 31 32 A.  . B. . C. . D. . 10 10 10 10 11 2 Câu 9: Biết f
 xdx 18. Giá trị của I  x2 f  2 3x   1 dx là 1 0 A. I  5. B. I  7. C. I  8. D. I  10.  2 Câu 10: Giá trị của 2 I  sin . x cos xdx  là 0 1 3  A. I  0. B. I  1. C. I  . D. I  . 3 24 b b 1 e 1 Câu 11: Biết dx  2, 
trong đó a,b là các hằng số dương. Giá trị của dx  là x x x a ln a e 1 1 A. I  ln 2. B. I  2. C. I  . D. I  . ln 2 2 5 1
Câu 12: Giả sử tích phân I  dx  a  b ln 3  c ln 5 
a,b,c . Giá trị của giá trị biểu thức 1 3x 1 1 P  a  b  c là TOANMATH.com Trang 32 8 4 5 7 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 3 3 3 3 e ln x c Câu 13: Biết rằng I  dx  a ln 3  bln 2  ,  với a, ,
b c   . Giá trị của giá trị biểu thức x ln x  22 3 1 2 2 2 P  a  b  c là A. P  1. B. P  11. C. P  9. D. P  3. 1 dx Câu 14: Biết rằng
 a ln 2  bln 3 c ln 5,  với a, , b c là các số hữu tỉ. 3x  5 3x 1  7 0
Giá trị của a  b  c bằng 10 5 10 5 A.  . B.  . C. . D. . 3 3 3 3 a 2
Câu 15: Có bao nhiêu số a 0;20  sao cho 5 sin x sin 2xdx  .  7 0 A. 10. B. 9. C. 20. D. 19. 1 3 x 3  x  2  ex 2x 1 1  e  Câu 16: Biết dx   .ln p  ,  với , m ,
n p là các số nguyên dương. x     . e 2 m e ln n  e    0
Giá trị của tổng T  m  n  p là A. T  5. B. T  6. C. T  8. D. T  7. ln 6 x e Câu 17: Biết dx  a  b ln 2  c ln 3  , với a, ,
b c là các số nguyên. Giá trị của T  a  b  c là x 0 1  e  3 A. T  1  . B. T  0. C. T  2. D. T  1. e  3 3x   2 1 ln x  3x 1 Câu 18: Cho 3 dx  . a e  b  . c ln 
e  1 , với a,b,c là các số nguyên. Giá trị của 1 x ln x 1 2 2 2 P  a  b  c là A. P  9. B. P  14. C. P  10. D. P  3.
Câu 19: Cho hàm số y  f  x liên tục trên đoạn 1; 
3 , thỏa mãn f 4  x  f  x, x  1;  3 và 3 3 xf  xdx  2  . Giá trị 2 f xdx  bằng 1 1 A. 1. B. 2. C. 1  . D. 2  .
Câu 20: Cho hàm số f  x luôn nhận giá trị âm và có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn 1
f  x   x    f   x 2 2 1  , x   
 và f 0  1. Giá trị của tích phân  f xdx bằng 0 1  3 2 3 A.  . B.  ln 2. C.  . D.  . 6 9 9  2 2 sin xf  3cos x 1 Câu 21: Cho I  f
 xdx  2. Giá trị của dx  bằng 3cos x 1 1 0 TOANMATH.com Trang 33 4 4 A. 2. B.  . C. . D. 2  . 3 3 3 x  3 Câu 22: Cho dx  a ln 3  b ln 2  c  với a, ,
b c là các số hữu tỉ. Giá trị của 2 2 2 a  b  c 3 x 1  x  3 0 bằng A. 3. B. 63. C. 81. D. 9.  4 2  3tan x Câu 23: Cho dx  a 5  b 2, 
với a,b   . Giá trị của giá trị biểu thức A  a  b là 1 cos 2x 0 1 7 2 4 A. . B. . C. . D. . 3 12 3 3  2 x  3 khi x 1 2 1
Câu 24: Cho hàm số y  f  x   . Giá trị của I  2 f  sin xcos xdx 3 f  32xdx 5  x khi x  1  0 0 là 71 32 A. I  . B. I  31. C. I  32. D. I  . 6 3  x khi x 
Câu 25: Cho hàm số y  f  x 4 2   .  2  x 12 khi x  2 . x f  2 3 x 1 ln 3 Giá trị của 2 I  dx  4 x e . f    2 1 x  e dx là 2 0 x 1 ln 2 309 3 A. I  309. B. I  159. C. I  . D. I  9 150 ln . 2 2 1 x  2 Câu 26: Biết dx  a ln 12  b ln 7, 
với a,b là các số nguyên. Giá trị của tổng a  b bằng 2 x  4x  7 0 1 A. 1  . B. 1. C. . D. 0. 2 2 2x 1 1 Câu 27: Cho dx  ln a  ln b  c  , với a, ,
b c là các số hữu tỷ. Giá trị của 3a  b 10c 2   4x  4x 1 2 1 bằng A. 15. B. 1  5. C. 14. D. 9. e x   1 ln x  2  e 1 a Câu 28: Biết dx  ae  b ln  
 trong đó a,b là các số nguyên. Khi đó tỉ số là 1 x ln x  e  b 1 1 A. . B. 1. C. 3. D. 2. 2 e x 1 Câu 29: Biết dx  ln ae  b , 
với a,b là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức 2   x  x ln x 1 2 2 T  a  ab  b là A. 3. B. 1. C. 0. D. 8. TOANMATH.com Trang 34  2 3 cos x  sin x Câu 30: Biết rằng dx  . a   b  . c ln 2,a, , b c  
 . Giá trị của tổng S  a  b  c là  sin x 6 13 23 7 A. S  1. B. S  . C. S  . D. S  . 24 24 24 x ln m e Câu 31: Cho dx  ln 2. 
Khi đó giá trị của m là 0 x e  2 1 A. m  . B. m  2. C. m  4. D. m  0, m  4. 2  6 n 1 Câu 32: Biết sin . x cos xdx   và *
n   . Giá trị của n bằng 64 0 A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.  2 Câu 33: Cho tích phân I  2  cos x.sin xd . x 
Nếu đặt t  2  cos x thì kết quả nào sau đây đúng? 0  2 3 2 2 A. I  tdt.  B. I  tdt.  C. I  2 tdt.  D. I  tdt.  3 2 3 0
Câu 34: Cho hàm số f  x liên tục trên  thỏa điều kiện f  x  f x 2  2cos . x  2 Giá trị của I  f  xdx   2  A. 0. B. . C. 1. D. 1  . 2 5 dx Câu 35: Giá trị của 
được kết quả I  a ln 3  b ln 5, với a,b   . Giá trị 2 2 a  ab  3b là x 3x 1 1 A. 4. B. 5. C. 1. D. 0. 9 3 4 3 Câu 36: Giá trị I  x sin  x  cos 2 3 x  e
dx gần bằng giá trị nào nhất trong các số sau đây? 1 3 6 A. 0,046. B. 0,036. C. 0,037. D. 0,038. 2 x 1 Câu 37: Biết dx  ln ln a  b 
với a, b là các số nguyên dương. Giá trị của 2 2 P  a  b  ab 2   x  x ln x 1 là A. 10. B. 8. C. 12. D. 6. 2 x Câu 38: Biết dx  a  b 2  c 35 
với a, b, c là các số hữu tỷ. 2 1 3x  9x 1
Giá trị của P  a  2b  c  7 là TOANMATH.com Trang 35 1 86 67 A.  . B. . C. 2  . D. . 9 27 27 2 3x   1  ln b  Câu 39: Biết dx  ln a  
với a,b,c là các số nguyên dương và c  4. 2   3x  x ln x  c  1 Tổng a  b  c bằng A. 6. B. 9. C. 7. D. 8. m sin x 1
Câu 40: Có bao nhiêu giá trị của tham số m trong khoảng 0;6  thỏa mãn dx   ? 5  4cos x 2 0 A. 6. B. 12. C. 8. D. 4. 1 dx  2  a  Câu 41: Biết rằng  2ln  
 với a, b là các số nguyên dương. 2 x  4x  3  1 b   0  
Giá trị của a  b bằng A. 3. B. 5. C. 9. D. 7. 2019
Câu 42: Cho hàm số f  x liên tục trên  thỏa f
 xdx  2. Khi đó tích phân 0 2019 e 1  x f  ln 2x 1 dx bằng 2  x 1 0 A. 4. B. 1. C. 2. D.3.  2 2
x  2x  cos xcos x 1 sin x c Câu 43: Cho tích phân 2 I  dx  a  b  ln  với a, , b c là các số hữu x  cos x  0
tỉ. Giá trị của biểu thức 3 P  ac  b là 5 3 A. P  3. B. P  . C. P  . D. P  2. 4 2 6
Câu 44: Cho hàm số f  x liên tục trên 0;  1 thỏa mãn f  x 2  6x f  3 x   . Giá trị của 3x 1 1 f  xdx  là 0 A. 2. B. 4. C. 1  . D. 6.  2 1 x  x x e Câu 45: Cho dx  . a e  b ln e  c  với a, ,
b c   . Giá trị của P  a  2b  c là x   x  e 0 A. P  1. B. P  1  . C. P  0. D. P  2  . 1
Câu 46: Cho hàm số f  x liên tục trên  thỏa mãn f 2x  3 f  x , x    . Biết rằng f  xdx 1. 0 2
Giá trị của tích phân I  f  xdx bằng 1 A. I  5. B. I  3. C. I  8. D. I  2. TOANMATH.com Trang 36 3 a a Câu 47: Giá trị của 2 9  x dx   
trong đó a,b   và là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức b b 0 T  ab là A. T  35. B. T  24. C.T  12. D. T  36. n 1  dx
Câu 48: Giá trị của lim  bằng  1 x n e n A. 1  . B. 1. C. e. D. 0. ln 6 dx Câu 49: Biết I   3ln a  ln b 
với a,b là các số nguyên dương. Giá trị của P  ab là x e  2 x e  3 ln3 A. P  10. B. P  1  0. C. P  15. D. P  20. f 2 x   1 ln x
Câu 50: Cho hàm số f  x liên tục trên đoạn 1;4 và thỏa mãn f  x   . Giá trị của x x 4 I  f  xdx là 3 A. 2 I  3  2 ln 2. B. 2 I  2 ln 2. C. 2 I  ln 2. D. I  2ln 2.
Câu 51: Cho hai hàm số f  x và g  x có đạo hàm trên đoạn 1;4 và thỏa mãn hệ thức  f    1  g   1  4 4  Giá trị của I   f
 x gxdx  là g
  x  x f  x f  x  x g x. . ; . 1 A. 8ln 2. B. 3ln 2. C. 6ln 2. D. 4 ln 2. 3
Câu 52: Giá trị của max 2 4, x dx  là 0 43 A. 12. B. 21. C. . D. 9. 3 2 2 1 x 1  b  Câu 53: Giả sử dx  a a  b  với a, , b c   ; 1  a, ,
b c  9. Giá trị của biểu thức 4   x c  b  c  1 b a C  là 2ac A. 165. B. 715. C. 5456. D. 35. 6  2 2 4 2 4   3 2 Câu 54: Tính tích phân  3     4,  x x dx a b c với a, , b c là các số nguyên. 4   x 1 8 1 Khi đó biểu thức 2 4
a  b  c có giá trị bằng A. 20. B. 241. C. 196. D. 48.
Dạng 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần Phương pháp giải TOANMATH.com Trang 37 b 2
Bài toán: Tính tích phân I  u  x.vxd .x Ví dụ: Biết 2x ln 
1 xdx  .aln ,b với * a,b   , a 0
b là số nguyên tố. Giá trị của 3a  4b bằng A. 42. B. 21. C. 12. D. 32. Hướng dẫn giải 2 Xét I  2x ln  1 xd .x u   u  x du  u  xdx 0 Đặt    dv  v  xdx v   v  x  u     x 1 ln 1 du  dx Đặt    1 x . Khi đó dv  2xdx  2 v  x 1 b b I   . u v  vdu  2 2 2 x 1 2 a Ta có I  x   1 ln  x   1  dx  a 0 x 1 0 2 2 2  x 
 3ln 3 x  1dx  3ln3  x  3ln 3.    2 0 0 
Vậy a  3,b  3  3a  4b  21. Chọn B.
Chú ý: Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho b
ta dễ dàng tìm được v và tích phân vdu  dễ tính a b hơn ud . v  a Ví dụ mẫu 2 e dx
Ví dụ 1: Giá trị của tích phân I   là x ln x e A. 1. B. 0. C. ln 2. D. 4. Hướng dẫn giải dx Đặt u  ln x  du  . x x  e  u 1 Đổi cận  . 2 x  e  u  2 2 2 du Do đó I 
 ln u  ln 2  ln1  ln 2.  u 1 1 Chọn C. TOANMATH.com Trang 38 1
Ví dụ 2: Giá trị của tích phân 2 2 I  x 1 x dx  là 0     A. . B. . C. . D. . 2 16 4 8 Hướng dẫn giải
Đặt x  sin t  dx  costdt. x  0  t  0  Đổi cận   . x  1 t   2  /2 2 2 I  sin t. 1 sin t costdt  0  /2 2 2  sin t cos tdt  0  /2 1     1 cos 4t  dt  . 8 16 0 Chọn B. 1
Ví dụ 3: Giá trị của tích phân 2 I  x tan xdx  là 0 A.    1 tan1 ln cos1  . B.    1 tan1 ln cos1  . 2 2 C.    1 cot1 ln cos1  . D.    1 cot1 ln cos1  . 2 2 Hướng dẫn giải u   x du  dx Đặt    . 2 dv  tan xdx  v  tan x  x    x  I x tan x  x  1 1 2  tan x  x 1 2
dx  tan11 ln cos x   0  2 0 0      1 tan1 ln cos1  . 2 Chọn A. 2 ln x b b
Ví dụ 4. Cho tích phân I  dx   a ln 2 
với a là số thực b và c là các số dương, đồng thời là x c c 1
phân số tối giản. Giá trị của biểu thức P  2a  3b  c là A. P  6. B. P  5. C. P  6  . D. P  4. Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 39  dx u   ln x du     Đặt x  dx   . dv  1  2  x v   x 2 2 2  ln x 1   ln x 1 1 ln 2 Khi đó I   dx     .  2   x 1 x  x x  1 2 2 1 1 Suy ra b  1, c  2, a 
. Do đó P  2a  3b  c  4. 2 Chọn D. + Ưu tiên logarit. u   ln x  + Đặt  dx . dv   2  x  4 x Ví dụ 5: Biết dx  a  b ln 2, 
với a,b là các số hũu tỉ. 1 cos 2x 0
Giá trị của T  16a  8b là A. T  4. B. T  5. C. T  2. D. T  2  . Hướng dẫn giải    4 4 4 x x 1 x Đặt A  dx  dx  d . x    2 2 1 cos 2x 2 cos x 2 cos x 0 0 0 u   x  du  dx  Đặt  1 dv  dx  v  tan x  2  cos x Khi đó     4 1 1      4 A  x tan x  tan xdx     
xtan xln cos x  4  2 0 2  0 0       1   2  1   1   1    ln    ln 2   ln 2.     2 4 2 2    4 2  8 4 1 1  Vậy a  ,b 
do đó 16a  8b  2  2  4. 8 4 Chọn A. + Biến đổi 2 1 cos 2x  2 cos . x + Ưu tiên đa thức. TOANMATH.com Trang 40 u   x  + Đặt  1 . dv  dx  2  cos x 1 Ví dụ 6: Cho 2x 2 I  xe dx  . a e  b 
với a,b   . Giá trị của tổng a  b là 0 1 1 A. . B. . C. 0. D. 1. 2 4 Hướng dẫn giải
Sử dụng phương pháp từng phần. du  dx u   x  Đặt    x 1 . 2 2 x dv  e dx v  e  2 1 1 1 1 1 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 Khi đó 2 2 2 2 2 I  u.v  . v du  . x e  e dx  . x e  e  e  .   0 2 0 2 2 0 4 0 4 4 0 0 1 1 Suy ra 2 2 . a e  b  e  . 4 4 1 1 1
Đồng nhất hệ số hai vế ta có a  ,b  . Vậy a  b  . 4 4 2 Chọn A. + Ưu tiên đa thức. u  x + Đặt  . 2x dv  e dx 2
Ví dụ 7: Cho hàm số f  x liên tục, có đạo hàm trên  , f 2 16 và f
 xdx  4. Tích phân 0 4  x  xf  dx    bằng  2  0 A. 112. B. 12. C. 56. D. 144. Hướng dẫn giải x
Đặt t   x  2t  dx  2dt. 2 x  0  t  0 4 2 2  x  Đổi cận  . Do đó xf  dx  4tf      tdt  4xf   xd .x x  4  t  2  2  0 0 0 u   4x  du  4dx  Đặt    dv  f   xdx v  f  x. Suy ra TOANMATH.com Trang 41 2 2 2 2 4xf   xdx  4xf  x  4 f 
 xdx  8f 24 f
 xdx  8.164.4 112. 0 0 0 0 Chọn A.  4 ln sin x  2cos x Ví dụ 8. Cho
dx  a ln 3  b ln 2  c  với a, , b c là các số hữu tỉ. 2 cos x 0 Giá trị của abc bằng 15 5 5 17 A. . B. . C. . D. . 8 8 4 8 Hướng dẫn giải u
  ln sin x  2cos x  cos x  2sin x  du  dx Đặt  dx   sin x  2cos x . dv  2   v  tan x  2 cos x Khi đó   4 ln sin x  2cos x  4    x  x dx
tan x  2ln sin x  2cos x cos 2sin 4  dx  2 cos x 0 cos x 0 0  4  3 2   3ln 
  2ln 2  1 2tan xdx  2    0 7 
 3ln 3  ln 2  x  2ln cos x  4 2 0 7  2 5   3ln 3  ln 2   2ln  3ln 3  ln 2  . 2 4 2 2 4 5 1
Suy ra a  3,b   ,c   . Vậy abc  18. 2 4 Chọn A. 2 1 p x p
Ví dụ 9. Biết x  2 1 x q e dx  me  n, trong đó , m ,
n p, q là các số nguyên dương và là phân số tối q 1
giản. Giá trị của T  m  n  p  q là A. T  11. B. T  10. C. T  7. D. T  8. Hướng dẫn giải Ta có 2 1 2 1 2 1 2 1  2 x x x x  1 x
  2  2  1 x  2  1 x  2 x I x e dx x x e dx x e dx xe d . x  1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 x x x 1 x  1   x  Xét I   2 x   2 2 2 1 x e dx  x . x e . dx  x . x e d x   x x d e 1        2 x  x  1 1 1 1   TOANMATH.com Trang 42 1 2 2 1     2 x x     2 1 2 2 1 2 x x x x x   2 x x e e d x x e xe dx  1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 3 x   2 x 2 x x x x 2  I  2xe dx  x e  I  x e  4e 1 1  1 1 1
 m  4, n  1, p  3, q  2.
Khi đó T  m  n  p  q  4 1 3  2  10. Chọn B.
Bài tập tự luyện dạng 3 1
Câu 1: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  1 thỏa mãn f   1  5, f  xdx 12. 0 1 Giá trị của J  xf   xdx là 0 A. J  1  7. B. J  17. C. J  7. D. J  7  . 1
Câu 2: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên 0;  1 thỏa mãn x  f 
  x2 dx  f   1. Giá trị của 0 1 I  f  xdx bằng 0 A. 2  . B. 2. C. 1  . D. 1. 1
Câu 3: Cho hàm số f  x có đạo hàm f  x và thỏa 2x  
1 f  xdx  10 , 3 f  
1  f 0 12. Giá trị 0 1 của I  f  xdx là 0 A. I  2. B. I  1. C. I  1  . D. I  2  .
Câu 4: Cho hai hàm số liên tục f  x và g  x có nguyên hàm lần lượt là F  x và G  x trên đọan 2  3 67
1; 2. Biết rằng F  
1  1, F 2  4,G   1  ,G 2  2 và f
 xGxdx  . Giá trị của 2 12 1 2 F  x g  xdx  là 1 11 145 11 145 A. . B.  . C.  . D. . 12 12 12 12 2 Câu 5: Tích phân  3 x I xe dx 
nhận giá trị nào sau đây? 1  3 3e  6 3 3e  6 3 3e  6 3 3e  6 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 1 e 1 e e e TOANMATH.com Trang 43 1
Câu 6: Giá trị của tích phân  2    1 x I x e dx là 0 A. 5e  3. B. e 1. C. e 1. D. 5e 1. e
Câu 7: Giá trị của I  x ln xdx  là 1 1 1 1 A. I  . B. I   2 e  2. C. I  2. D. I   2 e   1 . 2 2 4 4 Câu 8: Biết x ln
  2x 9dx  aln5bln3 ,c trong đó a, b, c là các số nguyên. Giá trị của biểu thức 0 T  a  b  c là A. T  10. B. T  9. C. T  8. D. T  11.  2
Câu 9: Giá trị của tích phân 2 I  x cos xdx 
được biểu diễn dưới dạng 2 .
a   ba,b . Khi đó tích 0 . a b bằng 1 1 1 A. 0. B.  . C.  . D.  . 32 16 64 2
Câu 10: Giá trị của tích phân 2 I  x ln xdx  là 1 8 7 8 7 7 A. ln 2  . B. ln 2  . C. 24 ln 2  7. D. 8ln 2  . 3 9 3 3 3  4 1 
Câu 11: Biết 1 xcos 2xdx    * a,b  
  . Giá trị của tích ab bằng a b 0 A. 32. B. 2. C. 4. D. 12.  4
Câu 12: Biết x cos 2xdx  a  b , 
với a, b là các số hữu tỉ. Giá trị của S  a  2b là 0 1 3 A. S  0. B. S  1. C. S  . D. S  . 2 8 5
Câu 13: Giá trị của tích phân I  x   1 ln  x  3dx là 4 19 19 19 A. 10ln 2  . B. 10ln 2  . C. 10 ln 2. D. 10ln 2. 4 4 4 e4
Câu 14: Giá trị K   x  4lnx  4dx là 3 2 e 1 2 e  2 1 2 e 1 A. K  . B. K  . C. K  . D. K  . 4 2 2 4 e
Câu 15: Giá trị của tích phân  x   1ln xdx là 1 TOANMATH.com Trang 44 2 e  5 2 e  5 2 e  5 2 e  5 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 4 e Câu 16: Cho tích phân 2 I  x ln xd . x 
Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 1 e e e e A. 2 2 I  x ln x  x ln xd . x  B. 2 2 I  x ln x  2 x ln xd . x  2 1 1 1 1 e e 1 e e C. 2 2 I  x ln x  x ln xd . x  D. 2 2 I  x ln x  x ln xd . x  1 2 1 1 1 3 Câu 17: Biết ln
  2x  xdx  aln3b với a,b là các số nguyên. Khi đó a b bằng 2 A. 1. B. 2. C. 0. D. 1  . 1
Câu 18: Giá trị của . . x x e dx  là 0  1 A. . B. . . e C. . D. . 3 3 e 2ln x  3 a Câu 19: Biết dx   b 
với a,b   . Giá trị của a  b bằng 2 x e 1 A. 2  . B. 8  . C. 2. D. 8.  4 a
Câu 20: Biết 1 xsin 2xdx   * a,b  
 . Giá trị của tích ab bằng 2b 0 A. 6. B. 2. C. 4. D. 12. m Câu 21: Cho  2    2 1 x I x e d .
x Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để I  m là khoảng a;b . Giá 0
trị của P  a  3b là A. P  3  . B. P  2  . C. P  4  . D. P  1  . 1 f  x e Câu 22: Cho F  x 
là một nguyên hàm của hàm số . Giá trị của f   xln xdx bằng 2 2x x 1 2 e  3 2 2  e 2 e  2 2 3  e A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 2 2e 2 e 2 e 2 2e     2
Câu 23: Cho hàm số f  x có đạo hàm và liên tục trên 0; 2  , thỏa mãn f   xcos xdx 10 và 2    0  2 f 0  3. Tích phân f  xsin2xdx bằng 0 A. 1  3. B. 13. C. 7. D. 7  . 4 a a
Câu 24: Biết J  x log xdx  16   với *
a,b   , là phân số tối giản. Giá trị của T  a  b là 2 b ln 2 b 1 TOANMATH.com Trang 45 A. T  11. B. T  19. C. T  17. D. T  13. 2 ln 1  Câu 25: Cho  ln 2  ln 3,  x dx a b
với a,b là các số hữu tỉ. Giá trị của P  a  4b là 2 x 1 A. P  0. B. P  1. C. P  3. D. P  3  . 2019 2 ln x
Câu 26: Giá trị của tích phân I  dx  là x  2 1 1 2019 ln 2 2 2019 2019ln 2 2 A. I    2020ln . B. I    ln . 2019 2019 1 2 1 2 2019 2019 1 2 1 2 2019 ln 2 2 2019 2019ln 2 2 C. I   2020ln . D. I   ln . 2019 2019 1 2 1 2 2019 2019 1 2 1 2  2   a Câu 27: Biết  x   1 cos xdx   với ; a b   . Khi đó 2 2 a  b bằng b 0 A. 14. B. 12. C. 8. D. 4. 2  Câu 28: Cho tích phân 2 I 
x.sin xdx  a  ba,b  
 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 0 a a A.  3. B. 2 a  b  4  . C. 1;0. D. a  b  6. b b 12 1 1 c x   a a c Câu 29: Biết 1 x d  x  e dx  e    trong đó a, ,
b c, d là các số nguyên dương và các phân số ,  x  b b d 1 12
là tối giản. Giá trị của bc  ad là A. 12. B. 1. C. 24. D. 64. e  1  Câu 30: Cho tích phân 2 I  x  ln xdx  . a e  , b  
a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của 4a  3b là  x  1 13 13 13 13 A. . B. . C.  . D.  . 2 4 4 2  4 sin 2x  x sin x  2 1 2 1 Câu 31: Cho tích phân dx   ln  c ln 2 
(với a, b, c là các số nguyên). Khi 2 cos x a b 2 1 0 đó a  b  c bằng A. 2. B. 4. C. 1  . D. 1. 1
Câu 32: Cho các hàm số f  x có đạo hàm f  x và thỏa mãn 2x   1 f  x dx 10 , 0 1 3 f  
1  f 0  12. Giá trị của f  x dx  là 0 A. I  1. B. I  2. C. I  2. D. I  1. 4    1 x x e
Câu 33: Biết rằng tích phân 4 dx  ae  . b  Giá trị của 2 2 T  a  b là 2x 1 0 TOANMATH.com Trang 46 3 5 A. T  1. B. T  2. C. T  . D. T  . 2 2 1 n I
Câu 34: Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu 2 I  x  x dx Giá trị của 1 lim n là n   2 1  . n I 0 n A. 1. B. 2. C. 3. D. 5. 1
Câu 35: Cho hàm số y  f  x với f 0  f   1  1. Biết rằng x e  f
  x f xdx  .aeb  . Giá trị 0 của 2019 2020 Q  a  b là A. 2019 Q  2 1. B. Q  0. C. Q  2. D. 2019 Q  2 1. e 2ln x  3 a Câu 36: Biết dx   b 
với a,b  . Giá trị của a  b bằng 2 x e 1 A. 2. B. 8. C. 2. D. 8. 2
Câu 37: Cho hàm số f  x liên tục trên  và f 2 16, f  xdx  4. 0 1
Giá trị của tích phân I  . x f   2xdx là 0 A. I  13. B. I  12. C. I  20. D. I  7. e k Câu 38: Đặt I  ln dx
I  e  thì khẳng định nào sau đây là đúng? k 
, với k nguyên dương. Nếu 2 1 x k A. k 1;  2 . B. k 2;  3 . C. k 4;  1 . D. k 3;  4 . 1 2  1  a ln 2  bc ln 3  c Câu 39: Cho x ln  x  2 dx   với a, ,
b c   . Giá trị của T  a  b  c là  x 2    4 0 A. T  13. B. T  15. C. T  17. D. T  11.  6 2 x cos x  3 Câu 40: Biết dx  a   
với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của M  a  b  c là 2  1 x  x b c  6 A. M  35. B. M  41. C. M  37. D. M  35.
Dạng 4: Tính tích phân các hàm đặc biệt, hàm ẩn Phương pháp giải
a. Cho hàm số f  x liên tục trên  ; a a. Khi đó 1 2  x
Ví dụ 1: Tích phân I  cos . x ln dx  bằng 2  x a a 1  f  xdx   f
 x f xdx  (1) A. 1  . B. 2. a 0 C. 0. D. 1. Chứng minh Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 47 a 0 a Ta có f  xdx  f  xdx  f  xd .x  a a 0 0 Xét I  f
 xd .x Đổi biến x  t  dx  dt. a
Đổi cận x  a  t  a; x  0  t  0 Khi đó 0 a a I  f
 tdt  f   tdt  f  xdx a 0 0
Do đó (1) được chứng minh. Đặc biệt  x
+ Nếu f  x là hàm số lẻ thì ta có Hàm số f  x 2  cos . x ln xác định và liên tục 2  x a trên đoạn 1;  1 . f  xdx  0 (1.1). a
Mặt khác, với x  1  ;  1  x 1;  1 và        x 2 x 2 x f x cos .ln  cos . x ln   f  x. 2  x 2  x  x Do đó hàm số f  x 2  cos . x ln là hàm số lẻ. 2  x 1 2  x Vậy I  cos . x ln dx  0  . 2  x 1  Chọn C.
Ví dụ 2: Cho y  f  x là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn 6;6. 2 3 Biết rằng f  xdx  8 và f  2xdx  3. 1 1 6 Tính f  xd .x 1 A. I  11. B. I  5. C. I  2. D. I  14. Hướng dẫn giải
+ Nếu f  x là hàm số chẵn thì ta có
Gọi F  x là một nguyên hàm của hàm số f  x trên a a f  xdx  2 f  xdx (1.2) đoạn 6;6 ta có a 0 3 3 f  2xdx  3  f  2xdx  3 1 1 TOANMATH.com Trang 48 1  F 2x 3 3. 2 1 6
Do đó F 6  F 2  6 hay f  xdx  6. 2 6 2 6
Vậy I   f xdx   f xdx   f xdx 14. 1  1 2 Chọn D. 1 2020 x  Ví dụ 3: Tích phân I dx  có giá trị là x e 1 1  2020 2 A. I  0. B. I  . 2019 2021 2 2019 2 C. I  . D. I  . 2021 2019 Hướng dẫn giải
+ Nếu f  x là hàm số chẵn thì ta cũng có
Áp dụng bài toán (1.3) ở cột bên trái cho hàm số f  x 2020  a x và  ta có f  x b e 1 a dx  f x dx   0  b  1 (1.3). x   1 b 2 Ta có a a 1 2021 1 2021 2021 Chứng minh (1.3): 1 x 2.2 2 2020 I  x dx    I  .  2 2021  2021 2021 a f  x 1 1 Đặt A  dx  (*). 1 x  b Chọn C. a Đổi biến x  t   dx  dt.
Đổi cận x  a  t  a; x  a  t  a a f   1 a t b . f t Khi đó A  dt  dt    t     . 1 b 1 t  b a a a x b . f  x Hay A  dx  (**). 1 x  b a a 1 a Suy ra 2A  f  xdx  A  f  xd .x 2 a a
b. Nếu f  x liên tục trên đoạn  ; a b thì
Ví dụ 4: Cho hàm số f  x liên tục trên  thỏa điều b b
kiện f  x  f x  2cos x, với x    . f  xdx  f  a b xdx a a  2
Hệ quả: hàm số f  x liên tục trên 0;  1 , khi Giá trị của N  f  xdx là   2 TOANMATH.com Trang 49 đó: A. N  1. B. N  0.   C. N  1. D. N  2. 2 2 f  sin xdx  f  cos xdx Hướng dẫn giải 0 0   2 2 Ta có N  f  xdx  f  xdx     2 2   2 2 Suy ra 2N   f
  x f xdx  2cos xd .x       2 2  2  Vậy 2
N  2 cos xdx  2sin x  2.  0 0 Chọn D.
Ví dụ 5: Cho hàm số f  x liên tục trên  và thỏa
mãn f  x  f 2  x  x2  x, x   .  2 Giá trị tích phân G  f  xdx là 0 1 A. G  2. B. G  . 2 2 1 C. G  . D. G  . 3 3 Hướng dẫn giải 2 2 Ta có G  f  xdx  f  2 xdx
c. Nếu f  x liên tục trên đoạn a;b và 0 0 2 2
f a  b  x  f  x thì Suy ra 2G   f
  x f xdx  x   2 xdx 0 0 b b    a  b xf x dx  f  xdx 2 1 2 2 Vậy G  x  2 xdx  . a a 2 3 0 Chọn C.
Ví dụ 6: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên 1 đoạn 0;  1 thỏa mãn f   1  0,  f   x 2 dx  7  và 0 1 1 1 2 x f 
xdx  . Tích phân f xdx  bằng 3 0 0 TOANMATH.com Trang 50 7 A. . B. 1. 5 7 C. . D. 4. 4 Hướng dẫn giải        du f  x dx u f x  Đặt   3  x
d. Nếu f  x liên tục trên đoạn a;b và 2 dv  x dx v   3 b f  x  0 với x   ; a b thì f  xdx  0 và 1 3 1 1 x f x 1 Ta có 2  x f x   3 dx   x f   xdx a 3 0 3 0 0 b f
 xdx  0 khi f x  0. 1 1 1 1 3   x . f   x 3 dx   x . f   x x d  1  . a 3 3 0 0 1 2 Cách 1: Ta có  f   x dx  7  (1). 0 1 7 1 1 x 1 1 6 6 x dx    49x dx  .49  7   (2). 7 0 7 7 0 0 1 1 3 x . f   x 3 dx  1 14x . f   xdx  1  4 (3). 0 0
Cộng hai vế (1), (2) và (3) suy ra 1 1 1  f '  x 2 6 3
 dx  49x dx  14x . f     xdx  0 0 0 0 1   f  x 2 3  7x  dx  0.   0 1 2 2 Do  f  x 3  7x   0   f   x 3  7x  dx  0     . Mà 0 1  f   x 2 3
 7x  dx  0  f x 3  7  x .   0 4   7x f x    C. 4 Mà f   7 7
1  0    C  0  C  . 4 4 4 7x 7 Do đó f  x    . 4 4 1 1 4  7x 7  7 Vậy f  xdx    dx  .  4 4  5 0 0 TOANMATH.com Trang 51 1
Cách 2: Tương tự như trên ta có 3 x . f  xdx  1  
e. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 0
Cho hàm số f  x và g  x liên tục trên đoạn Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có  2 ; a b . Khi đó, ta có 1 1 1       7  7 x f  
xdx  7x 2 dx.  f   x 2 3 3  dx 2  0   0   0  b b b        f  xg x 2 dx    f  x 2 dx . g  xdx 1 1  1 2 2 a   a   a   7  7. .  f 
 x dx   f    x d .x 7  Chứng minh 0 0
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f  x 3  ax , với
Với mọi    , ta có  f 
x  g x 2  0  . a   . 2 2
  f x   f x g  x 2 2  g x  0 1 1 Ta có 3 x . f   x 3 3 dx  1 x .ax dx  1   a  7  . Suy ra  0 0 b b b 2 2  f  xdx  f  xgx 2 2 dx  g  xdx  0 4 7x Suy ra f  x 3  7  x  f x    C , mà a a a 4 (*) 7
Coi (*) là tam thức bậc hai theo biến  , và vì (*) f   1  0 nên C  . 4
đúng với mọi    nên ta có   0 khi và chỉ 7 Do đó f  x   4 1 x , x  0;  1 . khi 4 2 b b b      1 1 4  7x 7  7 2  f  x 2 dx    f  x 2 dx  g  xdx  0 Vậy f  xdx    dx  .   4 4  5 a   a  a  0 0 2 b b b      Chọn A. 2   f  x 2 dx    f  x 2 dx  g  xdx.  a   a  a 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi f  x  0 hoặc
g  x   f  x, với   .  Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho số thực a  0. Giả sử hàm số f  x liên tục và luôn dương trên đoạn 0;a thỏa mãn a 1
f  x. f a  x 1. Giá trị tích phân I  dx  là 1 f x 0   2a a a A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . a 3 2 3 Hướng dẫn giải
Đặt t  a  x  dt  d .
x Đổi cận x  0  t  a; x  a  t  0. TOANMATH.com Trang 52 a 1 a 1 a 1 a f  x Khi đó I  dt  dx  dx  d .     x 1 f a  t 1 f a  x 1 1 f x 0   0   0 0   1 f x a 1 a   a f x  a 2I  dx  dx  1.dx  . a    Vậy I  . 1 f x 1 f x 2 0   0   0 Chọn B.
Ta có thể chọn hàm số f  x  1, với mọi x 0;a thỏa mãn yêu cầu đề bài. a 1 a 1 a Khi đó I  dx  dx  .   1 f x 2 2 0   0
Ví dụ 2: Cho hàm số f  x liên tục trên 1;  1 và    2019   x f x f x  e , x   1  ;  1 . Tích phân 1 M  f  xdx bằng 1  2 e 1 2 e 1 2 e 1 A. . B. . C. . D. 0. 2019e e 2020e Hướng dẫn giải 1 1 Ta có M  f  xdx  f  xd .x 1 1 1 1 1 Do đó 2020M  2019 f  xdx f  xdx   f
  x2019 f xd .x  1 1 1 1 2 1 e  x 1 Suy ra M  e dx  .  2020 2020e 1  Chọn C. b
Nếu f  x liên tục trên đoạn  ; a b thì f  x dx   a b  f  a b xdx a
Ví dụ 3. Cho f  x là một hàm số liên tục trên  thỏa mãn f  x  f x  2  2cos 2x . 3 2 Giá trị tích phân P  f  xdx là 3  2 A. P  3. B. P  4. C. P  6. D. P  8. Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 53 3 3 2 2 Ta có P  f  x dx  f    x dx 3 3   2 2 3 3 3 2 2 2  2P   f
  x f xdx 
2  2cos 2xdx  4 sin x d . x    3 3 0   2 2 3  2  3 Hay 2
P  2 sin xdx  2 sin xdx  2  cosx  2cos x  6.   0 0   Chọn C.
Ví dụ 4: Cho f  x là hàm số liên tục trên  thỏa mãn f  x  f  x  sin x với mọi x và f 0 1.
Tích phân e . f   bằng e 1 e 1 e  3  1 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải
Ta có f  x  f  x  sin x nên x   x    x e f x e f x  e .sin , x x   .    x      x e f x   e .sin x x  x   hay e f  x dx  e .sin xdx    0 0   x     1 x e f x   e  x 
x  e f    f   1 sin cos 0  e       1 0 2 0 2    e f   e 3  . 2 Chọn C. Để ý rằng  x  x e
 e nên nếu nhân thêm hai vế của f x  f  x  sin x với x e thì ta sẽ có ngay  x.   x e f x  e .sin . x    
Ví dụ 4: Cho hàm số f  x tuần hoàn với chu kì và có đạo hàm liên tục thỏa mãn f  0   , 2  2       f    x 2 dx   và f
 x.cos xdx  . Giá trị của f 2019 .  4  4 2 2 1 A. 1. B. 0. C. . D. 1. 2 Hướng dẫn giải
Bằng phương pháp tích phân từng phần ta có TOANMATH.com Trang 54      f
 x.cos xdx   f x.sin x  f        x.sin xd .x Suy ra f  x.sin xdx .   4 2  2 2 2   1 cos 2x 2x  sin 2x    Mặt khác 2 sin xdx  dx   .   2  4      4 2 2 2 Suy ra     2 2 2 2  f 
  x 2 dx 2 sin xf   
xdx  sin xdx  0   f     x 2 2  sin x dx  0.  0 0 0 0     f  x  sin .
x Do đó f  x  cos x  C. Vì f  0   nên C  0.  2 
Ta được f  x  cos x  f 2019   cos 2019   1  . Chọn A.
Ví dụ 5: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 
1 , và f    f   14 1 0  . Biết rằng 2 1
0  f  x  2 2x,x 0; 
1 . Khi đó, giá trị của tích phân  f   x 2 dx  thuộc khoảng nà o sau 0 đây? 13 14  10 13  A. 2;4 . B. ; .   C. ; .   D. 1;3.  3 3   3 3  Hướng dẫn giải
Do 0  f  x  2 2x, x  0; 
1 nên   f x2 0  8x, x  0;  1 . 1 1 1 Suy ra  f   2   x 2  dx  8xdx   hay  f   x dx  4  (1). 0 0 0
Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: 2 1 1 1 1    f 
 xdx  1 d .x  f  
 x 2 dx   f     1  f 0 2    f    x 2 2  dx   0  0 0 0 1 7    f   x 2 dx 2  0 1 7 Vậy   f   x 2 dx  4. 2  0 Chọn C.
Bài tập tự luyện dạng 4 TOANMATH.com Trang 55 
Câu 1: Cho hàm số f  x liên tục trên  và f x  f  x 2 3 2  tan x, với x
   k , k  . Giá trị 2  4 của f  xdx là   4     A. 1 . B. 1. C. 1 . D. 2  . 2 2 4 2   Câu 2: Biết f
 sin xdx 1. Giá trị của xf  sin xdx là 0 0 1  A. . B. . C. . D. 0. 2 2
Câu 3: Cho hàm số f  x liên tục trên đoạn 1; 
1 và f  x  0 với mọi x  1  ;  1 . Đặt   g  x f  x f  x 
, với mọi x 1; 
1 . Mệnh đề nào sau đây đúng? f  x. f x 1 1 1 A. g  xdx  2 g  xd .x B. g  xdx  0. 1 0 1 1 1 1 C. g  xdx  2 g  xd .x D. g  xdx  0. 1 0 0  4 1 2 x f  x
Câu 4: Cho hàm số f  x liên tục trên  và các tích phân f  tan xdx  4 và dx  2.  Giá trị 2 x 1 0 0 1 của tích phân I  f  xdx là 0 A. 2. B. 6. C. 3. D. 1.
Câu 5: Cho hàm số f  x và g  x liên tục, có đạo hàm trên  và thỏa mãn f 0. f 2  0 và 2
  '     2 x g x f x x x
e . Giá trị của giá trị của tích phân I  f  x.gxdx là 0 A. 4. B. e  2. C. 4. D. 2  . e
Câu 6: Cho hàm số f  x liên tục và nhận giá trị dương trên 0; 
1 . Biết f  x. f 1 x 1 với 1 dx x  0; 
1 . Giá trị của tích phân I   ta được kết quả là 1 f x 0   3 1 A. . B. . C. 1. D. 2. 2 2
Câu 7: Xét hàm số f  x liên tục trên đoạn 0; 
1 và thỏa f  x  f   x 2 2 3 1  1 x . 1 Giá trị của f  x dx  bằng 0 TOANMATH.com Trang 56     A. . B. . C. . D. . 4 6 20 16
Câu 8: Xét hàm số f  x liên tục trên 0; 
1 và thỏa mãn điều kiện x f  2 x   f   x 2 4 . 3 1  1 x . Tích 1 phân I  f  xdx là 0     A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 4 6 20 16 1
Câu 9: Cho hàm số f  x liên tục trên  và thỏa mãn 2 f  x  3 f x  . 2 4  x 2 Giá trị của I  f  xdx là 2      A. I   . B. I  . C. I   . D. I  . 20 20 10 10 Câu 10: Cho hàm số
f  x liên tục thỏa mãn điều kiện f  x  1  , f 0  0 và f  x 2
x 1  2x f  x 1. Giá trị của f  3 là A. 0. B. 3. C. 7. D. 9.
Câu 11: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;4, đồng biến trên đoạn 1;4 và thỏa 4
mãn đẳng thức x  x f  x   f    x 2 2 .  , x   
1;4. Biết rằng f   3
1  , giá trị của I  f  xdx là 2 1 1186 1174 1222 1201 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 45 45 45 45
Câu 12: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn f  x  f  x 1, x
   và f 0  0.
Giá trị lớn nhất của f   1 là bao nhiêu? 2e 1 e 1 A. . B. . C. e 1. D. 2e 1. e e
Câu 13: Cho hàm số f  x có đạo hàm xác định, liên tục và khác 0 trên đoạn 0; 
1 thỏa mãn f 0  1 và  f    x 2   f  
x. Đặt T  f  1 f 0 , khẳng định nào sau đây đúng? A. 2  T  1. B. 1  T  0. C. 0  T  1. D. 1  T  2.
Câu 14: Giả sử hàm số y  f  x liên tục nhận giá trị dương trên 0; và thỏa mãn f   1  1,
f  x  f  x. 3x 1, với mọi x  0. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 3  f 5  4. B. 1  f 5  2. C. 4  f 5  5. D. 2  f 5  3.
Câu 15: Cho hàm số y  f  x liên tục trên 0; thỏa mãn điều kiện f   1  2  ln 2 và
x  x   f  x  f  x 2 1 .
 x  x, với mọi x 0;. Giá trị f 2  a  bln 3, với a,b . Giá trị của 2 2 a  b là TOANMATH.com Trang 57 25 9 5 13 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 4
Câu 16: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 
1 , f  x và f  x đều nhận giá trị dương 1 1 trên đoạn 0; 
1 và thỏa mãn f 0  2,  f 
 x. f x 2 1 dx  2 f    x. f xd .x   Giá trị của 0 0 1  f  x 3 dx  là 0 15 15 17 19 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 2 1
Câu 17: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  1 thỏa mãn f   1  1,  f   x 2 dx  9  và 0 1 1 1 3 x f
 xdx  . Tích phân f xdx  bằng 2 0 0 2 5 7 6 A. . B. . C. . D. . 3 2 4 5      
Câu 18: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  và f  0.   Biết 4     4     4  4  8 2 f  xdx  , f 
 xsin2xdx   . Giá trị của tích phân I  f  2xdx là 8 4 0 0 0 1 1 A. I  1. B. I  . C. I  2. D. I  . 2 4
Câu 19: Cho hàm số f  x liên tục và có đạo hàm tại mọi x 0; đồng thời thỏa mãn điều kiện 3 2
f  x  xsin x  f  x  cos x và f  xsin xdx  4
 . Khi đó f   nằm trong khoảng nào?  2 A. 6;7. B. 5;6. C. 12;13. D. 11;12. 
Câu 20: Cho hàm số f  x xác định và có đạo hàm liên tục trên 0;  thỏa mãn f  xcos xdx  ,A 0      2A 4 f  0   và  f x 2 2 dx  
, với A là hằng số. Giá trị của f  2xdx theo A là  2   0 0 A A A. 4A. B. . C. . D. 2  . A 2  1 2 
Câu 21: Cho hàm số f  x có đạo hàm f  x liên tục trên đoạn 0;  1 thỏa f  
1  0,  f x2 dx   8 0 1    1 1 và cos x f
   xdx  . Giá trị của f xdx  là  2  2 0 0 TOANMATH.com Trang 58  1  A. . B.  . C. . D. . 2  2     2 
Câu 22: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên 0; 2 
thỏa mãn f 0  0,  f    x dx  và 2     4 0   2  2 sin . x f 
xdx  . Tích phân I  f  xdx bằng 4 0 0   A. 1. B. . C. 2. D. . 2 4   
Câu 23: Cho hàm số f  x xác định và liên tục trên 0;  thỏa mãn 2      2     2   2 2 f
  x2 2 f xsin x  dx  .   Tích phân f  xdx bằng  4    2 0 0   A. . B. 0. C. 1. D. . 4 2
Câu 24: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên khoảng 0; 
1 và f  x  0 , x 0;  1 . Biết rằng  1   3  f  a, f      b và
x  xf  x  2 f  x  4, x  0;  1 . Giá trị của tích phân 2  2       3 2 sin . x cos x  2sin 2x I  dx  theo a và b là 2  f sin x 6 3a  b 3b  a 3b  a 3a  b A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 4ab 4ab 4ab 4ab
Câu 25: Cho hàm số f  x có đọa hàm dương, liên tục trên đoạn 0; 
1 thỏa mãn f 0 1 và 1 1   1 f   x f 3    x 2 1 3   dx  2 f   
x f xd .x Giá trị của tích phân  f  x dx là 9     0 0 0 3 5 5 7 A. . B. . C. . D. . 2 4 6 6 1 9
Câu 26: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  1 thỏa mãn f   1  1,  f   x 2 dx   và 5 0 1 1 f   x 2
dx  . Giá trị của tích phân I  f  xdx là 5 0 0 3 1 3 1 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 5 4 4 5
Câu 27: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 
1 và thỏa mãn f 0  0. Biết 1 9 1  x 3 1 2 f  x dx   và f 
 xcos dx  . Tích phân của f xdx  bằng 2 2 4 0 0 0 TOANMATH.com Trang 59 1 4 6 2 A. . B. . C. . D. .     x  
Câu 28: Cho hàm số y  f  x 2020  2020ln e
 e . Giá trị của giá trị biểu thức   T  f  
1  f 2 ... f 2019 là 2019 2021 A. T  . B. T  1009. C. T  . D. T  1010. 2 2 0 1 2 3 2017 2018 C C C C C C
Câu 29: Giá trị của tổng 2018 2018 2018 2018 2018 2018 T     ...  là 3 4 5 6 2020 2021 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4121202989 4121202990 4121202992 4121202991 1
Câu 30: Cho hàm số y  f  x liên tục trên 0;  1 thỏa mãn xf
 xdx  0 và max f x 1. Tích phân 0; 1 0 1 x I  e f
 xdx thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? 0  5   3   5 3  A.  ;   .   B. ;e 1 .   C.  ; .   D. e 1;.  4   2   4 2      4    f  x
Câu 31: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm và liên tục trên 0;  thỏa mãn f  3, dx  1    và 4     4  cos x 0   4 4 sin . x tan . x f   x dx  2.  Tích phân sin . x f   xdx bằng 0 0 2  3 2 1 3 2 A. 4. B. . C. . D. 6. 2 2
Câu 32: Cho hàm số y  f  x biết f  x  0 với mọi x  1
 , f 0 1 và f x  x 1. f  x với mọi
x  1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 4  f 3  6. B. f 3  2. C. 2  f 3  4. D. f 3  6.
Câu 33: Cho hàm số f  x có  f x2  f x f  x 3 .  x  2x, x  0; 
1 , f 0  f 0 1. Giá trị của 2 T  f 2 là 43 16 43 26 A. . B. . C. . D. . 30 35 15 15
Câu 34: Cho hàm số y  f  x liên tục trên  thỏa mãn f x f  x x  2x 2x 1 3 2 2 1 e        4. 2
Giá trị của tích phân I  f
 xdx ta được kết quả là 0 A. I  e  4. B. I  8. C. I  2. D. I  e  2. TOANMATH.com Trang 60
Câu 35: Cho hàm số f  x có đạo hàm trên 0; thỏa mãn   2       1   x x f x x f x  e , với mọi x  0 và f   1
0  . Giá trị của f 2 là 2 e e 2 e 2 e A. f 2  . B. f 2  . C. f 2  . D. f 2  . 3 6 3 6
Câu 36: Cho hàm số y  f  x có f  x liên tục trên nửa khoảng 0; thỏa mãn      2 3  1 3. x f x f x e  . Khi đó 1 1 1 1 A. 3 e f   1  f 0   . B. 3 e f   1  f 0   . 2 e  3 2 2 2 e  3 4 e  3 e  3  8 3  2  2 C. e f   1  f 0  . D. 3
e f    f     2 e   2 1 0 3 e  3  8. 3 3 2 f x x  2x
Câu 37: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm trên  thỏa mãn 3 f  x   1 .e   0 và f 0 1. 2 f  x 7 Tích phân . x f  x dx  bằng 0 2 7 15 45 5 7 A. . B. . C. . D. . 3 4 8 4 1 2 1
Câu 38: Cho y  f  x là hàm số chẵn và liên tục trên  . Biết f  xdx  f
 xdx 1. Giá trị của 2 0 1 2 f  x dx  bằng 3x 1 2 A. 1. B. 6. C. 4. D. 3.  3 e f ln x 2
Câu 39: Cho hàm số f  x liên tục trên  . Biết dx  7  , f
 cos x.sin xdx  3. Giá trị của x 1 0 3
 f x 2xdx là 1 A. 12. B. 15. C. 10. D. 1  0. x f t
Câu 40: Hàm số f  x liên tục trên 0; . Biết rằng tồn tại hằng số a  0 để dt  2 x  6,  4 t a a x
  0. Giá trị của tích phân f  xdx  là 1 21869 39364 40 A. . B. . C. 4374. D.  . 5 9 3
Câu 41: Cho hàm số f  x liên tục trên  , có đạo hàm đến cấp hai trên  và thỏa mãn 5ln 2      2 3 . 4.   .    x f x f x f x f x   e , x    5  
 , biết f 0 0. Khi đó f  x.dx  bằng 0 TOANMATH.com Trang 61 2  25ln 2  1  355ln 2  A. 531  5ln 2. B. 31 .    2  5  2  2 1  25ln 2   355ln 2  C. 31  5ln 2. D. 5 31 .   5  2   2  1 1
Câu 42: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên 0; 
1 thỏa mãn f 0  1,  f   x 2 dx  ,  30 0 1 1  x   f x 1 2 1 dx    . Tích phân f  xdx  bằng 30 0 0 11 11 1 11 A. . B. . C. . D. . 12 4 30 30
Câu 43: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  1 và thỏa mãn f   1  0. 1 1 2  1  f   x 2 dx   x  e x e f  x 1 1 dx 
. Giá trị của f  x dx  là 4 0 0 0 e 2 e A. . B. 2  . e C. . D. e  2. 2 4
Câu 44: Cho hàm số f  x liên tục trên đoạn 1; 
1 và    2019    2x f x f x ,x 1;  1 . Giá trị của 1 f  xdx bằng 1 1 3 5 A. . B. . C. 0. D. . 2019ln 2 4040ln 2 2018ln 2  6 e f ln x  2
Câu 45: Cho hàm số f  x liên tục trên  biết dx  6  và f   2
cos xsin 2xdx  2. Giá trị x 1 0 3
của  f x  2dx bằng 1 A. 10. B. 16. C. 9. D. 5. Câu 46: Cho hàm số
y  f  x xác định và liên tục trên  \  0 thỏa mãn: 2 2 2
x . f x  2x   1 . f  x  .
x f  x 1 với x   \  0 đồng thời f  
1  2 . Giá trị của f  xdx  là 1 ln 2 3 1 ln 2 3 A.   . B.  ln 2  . C.  1. D.  ln 2  . 2 2 2 2 2
Câu 47: Cho hàm số f  x liên tục và dương trên 0; thỏa mãn f  x   x   2 2 4 f  x  0 và a a f   1
0  . Giá trị của tổng S  f 0  f  
1  f 2 ... f 2018  với a ,b  , tối giản. Khi 3 b b đó b  a bằng 1  2020 1009  A.  . B. 1011. C. 1. D. 2018. 2  2021 2020    TOANMATH.com Trang 62
Dạng 5: Một số bài toán thực tế ứng dụng tích phân Phương pháp giải
5.1.1. Một vật chuyển động có phương trình vận Ví dụ 1: Một vật chuyển động chậm dần đều với
tốc v t trong khoảng thời gian từ t  a đến vận tốc vt 160 10t m / s . Quãng đường mà
t  ba  b sẽ di chuyển được quãng đường là:
vật chuyển động từ thời điểm t  0s đến thời b
điểm mà vật dừng lại là S  v  tdt A. 1028m. B. 1280m. a C. 1308m. D. 1380m. Hướng dẫn giải
Khi vật dừng lại thì v t 160 10t  0  t 16 16 16 Do đó S  v
 tdt  16010tdt 0 0  160t 5t  16 2  1280m . 0 Chọn B.
5.1.2. Một vật chuyển động có phương trình gia Ví dụ 2: Một chiếc ô tô chuyển động với vận tốc
tốc a t  thì vận tốc của vật đó sau khoảng thời 3
v t m / s , có gia tốc a t  vt   2 m / s . 2t 1 gian t ;t là: 1 2 
Vận tốc của ô tô sau 10 giây (làm tròn đến hàng đơn t2 vị) là v  a  tdt A. 4,6 m/s. B. 7,2 m/s. 1 t C. 1,5 m/s. D. 2,2 m/s. Hướng dẫn giải
Vận tốc của ô tô sau 10 giây là 10 10 3 3 3 v  dt  ln 2t 1  ln 21  4,6  m / s. 2t 1 2 0 2 0 Chọn A.
5.1.4. Điện lượng chuyển qua tiết diện của dây dẫn
của đoạn mạch trong thời gian từ t đến t là: 1 2 t2 Q  I  tdt 1 t TOANMATH.com Trang 63 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Một vật chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc a t 2  3t  t . Tính quãng
đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. 4300 430 A. . m B. 4300 m. C. 430 m. D. . m 3 3 Hướng dẫn giải 3t t
Hàm vận tốc v t  a
 tdt  3t t  2 3 2 dt    C. 2 3
Lấy mốc thời gian lúc tăng tốc  v 0 10  C 10. 2 3 3t t Ta được v t   10. 2 3
Sau 10 giây, quãng đường vật đi được là 10 2 3 3 4 10  3t t   t t  4300 S     10 d  t    10t   m  2 3   2 12 0  3 0 Chọn A. v t  a  tdt
Ví dụ 2: Dòng điện xoay chiều hình sin chạy qua một đoạn mạch LC có biểu thức cường độ là    i t  I cos t 
. Biết i  q với q là điện tích tức thời ở tụ điện. Tính từ lúc t  0 , điện lượng 0    2  
chuyển qua tiết diện thẳng của dây dẫn của đoạn mạch đó trong thời gian từ 0 đến là   2I 2I  I A. 0 . B. 0. C. 0 . D. 0 .    2 Hướng dẫn giải 
Điện lượng chuyển qua tiết diện của dây dẫn của đoạn mạch trong thời gian từ 0 đến là             Q  I  t I 2I 0  0 dt  I cos t  dt  sin t   .  0      2    2  0  0 0 Chọn C. Q t   I tdt 1
Ví dụ 3: Gọi h tcm là mức nước trong bồn chứa sau khi bơm được t giây. Biết rằng ht  3  t  8 5
và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây (chính xác đến 0,01cm) TOANMATH.com Trang 64 A. 2,67 cm. B. 2,66 cm. C. 2,65 cm. D. 2,68 cm. Hướng dẫn giải
Mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây là 6 6   h  t 1 3 dt  t  8dt   t 8 6 3 3 t  8  2,66cm 5  20    0 0 0 Chọn B.
Bài tập tự luyện dạng 5
Câu 1: Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v t 160 10t m / s . Tìm quãng đường S mà vật di
chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t  0s đến thời điểm vật dừng lại. A. S  2560 . m B. S  1280 . m C. S  2480 . m D. S  3840 . m
Câu 2: Một ô tô chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v t  7t m / s . Đi được 5s người lái xe
phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a    2
70 m / s . Quãng đường của ô tô đi được từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn là bao nhiêu? A.87,50 m. B. 94,00 m. C. 97,50 m. D. 96,25 m.
Câu 3: Một ô tô đang đi với vận tốc 60 km/h thì tăng tốc với gia tốc a t   t  2
2 6 km / h  . Quãng đường
ô tô đi được trong vòng 1h kể từ khi tăng tốc. A. 26 km. B. 62 km. C. 60 km. D. 63 km.
Câu 4: Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái xe phát hiện có hàng rào chắn ngang đường ở
phía trước cách xe 45 m (tính từ đầu xe tới hàng rào) nên người lái đạp phanh. Từ thời điểm đó, xe
chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t  5
 t  20m / s, trong đó t là thời gian được tính từ lúc
người lái đạp phanh. Khi xe dừng hẳn, khoảng cách từ xe đến hàng rào là bao nhiêu? A. 4 m. B. 5 m. C. 3 m. D. 6 m.
Câu 5: Cho hai chất điểm A và B cùng bắt đầu chuyển động trên trục Ox từ thời điểm t  0. Tại thời điểm 1
t, vị trí của chất điểm A được cho bởi x  f t 2
 6  2t  t và vị trí của chất điểm B được cho bởi 2
x  g t  4sin t. Gọi t là thời điểm đầu tiên và t là thời điểm thứ hai mà hai chất điểm có vận tốc bằng 1 2
nhau. Tính theo t và t độ dài quãng đường mà chất điểm A đã di chuyển từ thời điểm t đến thời điểm 1 2 1 t . 2 1 1
A. 4  2t  t    2 2 t  t .
B. 4  2t  t    2 2 t  t . 1 2 1 2  1 2 1 2  2 2 1 1 C. 2t  t    2 2 t  t . D. 2t  t    2 2 t  t . 1 2 1 2  2 1 2 1  2 2
Câu 6: Một tia lửa được bắn thẳng đứng từ mặt đất với vận tốc 15 m/s. Hỏi sau 2,5 giây, tia lửa ấy cách
mặt đất bao nhiêu mét, biết gia tốc là 2 9,8 m / s ? A. 30,625m. B. 37,5m. C. 68,125m. D. 6,875m. TOANMATH.com Trang 65 20
Câu 7: Một hạt proton di chuyển trong điện trường có biểu thức gia tốc (theo 2 cm / s ) là a t   1 2t2
(với t tính bằng giây). Tìm hàm vận tốc v theo t, biết rằng khi t  0 thì v  30cm / s. Hàm vận tốc đó là 10 10 20 A. . B.  20. C.  t  3 1 2    30. D.  30. 1 2t 1 2t 1 2t2
Câu 8: Một ô tô đang chạy với vận tốc 18 m/s thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển
động chậm dần đều với vận tốc v t  36t 18m / s trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ
lúc bắt đầu hãm phanh. Quãng đường ô tô di chuyển được kể từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn là bao nhiêu mét? A. 5,5 m. B. 3,5 m. C. 6,5 m. D. 4,5 m.
Câu 9: Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy 1 11 luật v t 2  t 
t m / s , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. 180 18
Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng
chậm hơn 5 giây so với A và có gia tốc bằng a  2
m / s  (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 10 giây
thì đuổi kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng A. 22 m / . s B. 15 m / . s C.10 m / . s D. 7 m / . s
Câu 10: Một ô tô đang chạy với vận tốc 19 m/s thì người lái hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều
với vận tốc v t  38t 19m / s trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm
phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 4,75m. B. 4,5m. C. 4,25m. D. 5 m.
Câu 11: Một ô tô đang chạy với tốc độ 10 m/s thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động
chậm dần đều với v t  5t 10m / s , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu
đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 0,2 m. B. 2 m. C. 10 m. D. 20 m.
Câu 12: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v
(km/h) phụ thuộc vào thời gian t h có đồ thị là một phần
của đường parabol có đỉnh I 2;9 và trục đối xứng song
song với trục tung như hình bên. Quãng đường s mà vật di
chuyển được trong 3 giờ đó là A. s  24, 25 k . m B. s  26,75 k . m C. s  24,75 k . m D. s  25, 25 k . m TOANMATH.com Trang 66
Câu 13: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v
(km/h) phụ thuộc vào thời gian t h có đồ thị như hình
bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu
chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có
đỉnh I 2;9 và trục đối xứng song song với trục tung.
Khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song
song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di
chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). A. s  23, 25 k . m B. s  21,58 k . m C. s  15,50 k . m D. s  13,83 k . m
Câu 14: Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu
phóng nhanh với vận tốc tăng liên tục được biểu thị bằng
đồ thị là đường cong parabol có hình bên. Biết rằng sau
10s thì xe đạt đến vận tốc cao nhất 50m/s và bắt đầu giảm
tốc. Hỏi từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao nhất thì xe
đã đi được quãng đường bao nhiêu mét? 1000 1100 A. . m B. . m 3 3 1400 C. . m D. 300m. 3
Câu 15: Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v
(km/h) phụ thuộc thời gian t h có đồ thị là một phần của
đường parabol cố định I 1; 
1 và trục đối xứng song song
với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật di
chuyển được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát. A. s  6 k . m B. s  8 k . m 40 46 C. s  k . m D. s  k . m 3 3
Câu 16: Người ta thay nước mới cho một bể bơi dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu h  280 cm . Giả sử 1
h t  cm là chiều cao của mực nước bơm được tại thời điểm t giây, biết rằng tốc độ tăng của chiều cao 1 3
nước tại giây thứ t là ht  3 
t  3 . Hỏi sau bao lâu thì nước bơm được độ sâu của hồ bơi? 500 4 TOANMATH.com Trang 67 A. 7545,2 giây. B. 7234,8 giây. C. 7200,7 giây. D. 7560,5 giây.
Câu 17: Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t  30  5t m / s . Quãng đường vật di
chuyển từ thời điểm t  2s đến khi dừng hẳn là A. 50m. B. 30m. C. 90m. D. 40m.
Câu 18: Một vật đang chuyển động với vận tốc v  20m / s thì thay đổi vận tốc với gia tốc được tính
theo thời gian t là a t    t  2
4 2 m / s . Tính quãng đường vật đi được kể từ thời điểm thay đổi gia tốc
đến lúc vật đạt vận tốc bé nhất 104 104 A. . m B. 104 . m C. 208m. D. . m 3 6
Câu 19: Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc v  15m / s thì tăng vận tốc với gia tốc 0 a t 2  t  t  2
4 m / s . Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc
bắt đầu tăng vận tốc. A. 68,25m. B. 70,25m. C. 69,75m. D. 67,25m.
Câu 20: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v t  4t m / s . Đi được 6s, người 1    
lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc   2
12 m / s  . Tính quãng đường S m đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn A. S  456 . m B. S  240 . m C. S  72 . m D. 96 . m
Câu 21: Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối
thiểu 1m. Một ô tô A đang chạy với vận tốc 16m/s bỗng gặp ô tô B đang dừng đèn đỏ nên ô tô A hãm
phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc được biểu thị bởi công thức v t   16  4t (đơn vị tính A
bằng m/s), thời gian tính bằng giây. Hỏi rằng để 2 ô tô A và B đạt khoảng cách an toàn khi dừng lại thì ô
tô A phải hãm phanh khi cách ô tô B một khoảng ít nhất là bao nhiêu? A. 33 m. B. 12 m. C. 31 m. D. 32 m.
Câu 22: Một chiếc xe đua đang chạy 180 km/h. Tay đua nhấn ga để về đích kể từ đó xe chạy với gia tốc a t  t   2 2
1 m / s  . Hỏi rằng 5 s sau khi nhấn ga thì xe chạy với vận tốc bao nhiêu km/h? A. 200. B. 243. C. 288. D. 300.
Câu 23: Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian là a t 2
 t  3t. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 6 giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc. A. 136m. B. 126m. C. 276m. D. 216m.
Câu 24: Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc v t 2
 t 10t m / s với t là thời
gian được tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay đạt vận tốc
200m / s thì nó rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là 4000 2500 A. 500 . m B. 2000 . m C. . m D. . m 3 3
Câu 25: Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn trong hồ bơi được mô hình bởi hàm số Bt 1000 
,t  0 , trong đó B t là số lượng vi khuẩn trên mỗi ml nước tại ngày thứ t. Số lượng vi 1 0,3t2 TOANMATH.com Trang 68
khuẩn ban đầu là 500 con trên một ml nước. Biết rằng mức độ an toàn cho người sử dụng hồ bơi là số vi
khuẩn phải dưới 3000 con trên mỗi ml nước. Hỏi vào ngày thứ bao nhiêu thì nước trong hồ không còn an toàn nữa? A. 9. B. 10. C. 11. D. 12.
Câu 26: Một ô tô đang chạy đều với vận tốc 15m/s thì phía trước xuất hiện chướng ngại vật nên người lái
đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc 2 a m / s . Biết ô tô
chuyển động thêm được 20 m thì dừng hẳn. Hỏi a thuộc khoảng nào dưới đây? A. 3;4. B. 4;5. C. 5;6. D. 6;7.
Câu 27: Tại một nơi không có gió, một chiếc khinh khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt
đất đã được phi công cài đặt cho chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khinh khí cầu đã chuyển động
theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v t 2
10t  t , trong đó t (phút) là thời gian tính
từ lúc bắt đầu chuyển động, v (t) được tính theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp
đất vận tốc v của khinh khí cầu là A. v  5m / . p B. v  7 m / . p C. v  9 m / . p D. v  3m / . p
Câu 28: Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy 1 59 luật v t 2  t 
t m / s , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. 150 75
Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng
chậm hơn 3 giây so với A và có gia tốc bằng a  2
m / s  (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 12 giây
thì đuổi kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng A. 20 m/s. B. 16 m/s. C. 13 m/s. D. 15 m/s. Đáp án và lời giải
Dạng 1. Tính tích phân bằng cách sử dụng định nghĩa, tính chất 1 – B 2 – D 3 – C 4 – B 5 – B 6 – D 7 – A 8 – C 9 – D 10 – B 11 – B 12 – B 13 – C 14 – A 15 – C 16 – B 17 – A 18 – B 19 – A 20 – D 21 – A 22 – B 23 – A 24 – C 25 – D 26 – C 27 – B 28 – A 29 – A 30 – C 31 – A 32 – D 33 – C 34 – D 35 – D 36 – A 37 – B 38 – B 39 – D 40 – B 41 – C 42 – B 43 – A 44 – D 45 – B 46 – B 47 – D 48 – C 49 – B 50 – C 51 – D 52 – A 53 – A 54 – C 55 – C 56 – A 57 – A 58 – A 59 – C 60 – C
Dạng 2. Tính bằng phương pháp đổi biến 1 – B 2 – A 3 – A 4 – D 5 – D 6 – C 7 – A 8 – C 9 – B 10 – C 11 – B 12 – B 13 – D 14 – A 15 – A 16 – D 17 – B 18 – D 19 – D 20 – C 21 – C 22 – D 23 – A 24 – B 25 – A 26 – D 27 – C 28 – B 29 – B 30 – C 31 – C 32 – A 33 – B 34 – B 35 – B 36 – C 37 – C 38 – A 39 – C 40 – A TOANMATH.com Trang 69 41 – B 42 – B 43 – D 44- B 45 – D 46 – A 47 – D 48 – D 49 – A 50 – B 51 – A 52 – C 53 – D 54 – B
Dạng 3. Giá trị của tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần 1 - D 2 – C 3 – B 4 – A 5 – C 6 – C 7 – D 8 – C 9 – D 10 – A 11 – A 12 – A 13 – A 14 – D 15 – A 16 – D 17 – A 18 – A 19 – A 20 – A 21 – A 22 – A 23 – B 24 – B 25 – D 26 – A 27 – B 28 – C 29 – C 30 – B 31 – C 32 – A 33 – B 34 – A 35 – C 36 – A 37 – D 38 – A 39 – A 40 – A
Dạng 4. Tính tích phân các hàm đặc biệt, hàm ẩn 1 – D 2 – B 3 – C 4 – B 5 – C 6 – B 7 – A 8 – C 9 – B 10 – B 11 – A 12 – B 13 – A 14 – A 15 – B 16 – D 17 – B 18 – D 19 – B 20 – C 21 – D 22 – A 23 – B 24 – D 25 – D 26 – B 27 – C 28 – A 29 – B 30 – C 31 – B 32 – D 33 – C 34 – C 35 – D 36 – C 37 – C 38 – D 39 – A 40 – B 41 – A 42 – A 43 – D 44 – B 45 – D 46 – B 47 – A
Dạng 5. Các bài toán thực tế của tích phân 1 – B 2 – D 3 – B 4 – B 5 – A 6 – C 7 – B 8 – D 9 – B 10 – A 11 – C 12 – C 13 – B 14 – A 15 – C 16 – B 17 – D 18 – A 19 – C 20 – D 21 – A 22 – C 23 – C 24 – D 25 – B 26 – C 27 – C 28 – B TOANMATH.com Trang 70