Bài giảng tiếp tuyến của đồ thị hàm số Toán 12

Bài giảng tiếp tuyến của đồ thị hàm số Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

30 15 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Môn: Toán 12

Thông tin:

59 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
TOANMATH.com
Trang 1
CHUYÊN ĐỀ 1
BÀI 5. TIẾP TUYẾN
Mục tiêu
Kiến thức
+ Nắm được khái niệm đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số, sự tiếp xúc của hai đồ thị.
+ Hiểu được ý nghĩa của đạo hàm liên quan đến hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm.
+ Biết cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị khi biết điểm tiếp xúc, biết trước hệ số góc và
tiếp tuyến đi qua điểm cho trước.
Kĩ năng
+ Viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cho trước.
+ Biết cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết trước.
+ Biết cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm cho trước.
+ Giải được các bài toán liên quan đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
TOANMATH.com
Trang 2
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Cho hai hàm số
f x
và
g x
có đạo hàm tại điểm
0
. Ta nói rằng
hai đường cong
C :y f x
và
C : y g x
tiếp xúc với nhau tại
điểm
0 0
M x ;y
nếu M là một tiếp điểm chung của chúng.
(C) và (
C
) có tiếp tuyến chung tại M.
Điều kiện tiếp xúc:
Hai đường cong (C):
y f x
và
C : y g x
tiếp xúc với nhau
hệ phương trình
f x g x
f x g x
có nghiệm.
Nghiệm của hệ phương trình là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đó.
TOANMATH.com
Trang 3
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cho trước
Bài toán 1: Sự tiếp xúc của hai đường cong
Phương pháp giải
Cho hai đường cong (C):
y f x
và
C : y g x
. Điều kiện để hai đường cong
tiếp xúc với nhau là hệ phương trình
f x g x
f x g x
có nghiệm.
- Nghiệm
0
x x
của hệ trên là hoành độ
của tiếp điểm của hai đường cong đã cho.
- Hệ trên có bao nhiêu nghiệm thì hai
đường cong (C) và
C
tiếp xúc với nhau tại
bấy nhiêu điểm.
Ví dụ: Cho đồ thị hàm số
3
C : y x 3x 2
.
Hoành độ tiếp điểm của đồ thị (C) với trục Ox là
nghiệm của hệ
3
2
x 3x 2 0
3x 3 0
x 2;x 1
x 1
x 1
Vậy tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C) với trục hoành
là
A 1;0
.
Ví dụ mẫu
TIẾP
TUYẾN
Điều kiện tiếp xúc của hai
đồ thị hàm số:
Hai đường cong (C):
y f x
và
C : y g x
tiếp xúc với nhau khi và chỉ
khi hệ phương trình
f x g x
f x g x
có nghiệm
Nghiệm của hệ phương
trình là hoành độ tiếp điểm
của hai đường cong đó.
Khái niệm tiếp tuyến
chung của hai đồ thị hàm
số:
Cho hai hàm số
f x
và
g x
có đạo hàm tại điểm
0
x
. Ta nói rằng hai đường
cong (C):
y f x
và
C : y g x
tiếp xúc với
nhau tại điểm
0 0
M x ;y
nếu M là một tiếp điểm
chung của chúng.
Hai đường cong có tiếp
tuyến chung tại M.
TOANMATH.com
Trang 4
Ví dụ 1: Đồ thị hàm số
3
y x x 1
tiếp xúc với đường thẳng nào dưới đây?
A.
y x 1
. B.
y 2x 1.
C.
y x 1.
D.
y 2x 1.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng điều kiện tiếp xúc của hai đường cong
C : y f x
và
C : y g x
là hệ phương trình
f x g x
f x g x
có nghiệm.
Ta có
2
y 3x 1 0, x
nên các phương án B, C bị loại.
Xét phương án A.
y x 1
. Ta có hệ
3
2
x x 1 x 1
x 0
3x 1 1
.
Vậy đường thẳng
y x 1
tiếp xúc với đồ thị hàm số đã cho.
Chọn A.
Ví dụ 2. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng
y 2x m
tiếp xúc với đồ thị
hàm số
x 1
y
x 1
là
A.
7; 1
. B.
1
. C.
6
. D.
6; 1
.
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng
y 2x m
tiếp xúc với đồ thị hàm số
x 1
y
x 1
khi và chỉ khi hệ phương trình sau có
nghiệm
2
2
2
0
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
2
2
2 0
1 1
1
7
x
x
x m
x
x
x m
m
x
x m
x
x
x
x x
x
x
m
Vậy
1;7
m thì đường thẳng d tiếp xúc với (C).
Chọn A.
Ví dụ 3: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị (
m
C
) của hàm số
3 2
4 7 3
y x mx mx m
tiếp xúc với parabol
2
: 1
P y x x
. Tổng giá trị các phần tử của S bằng
A.
11
4
. B.
331
4
. C.
9
4
. D.
4
.
Hướng dẫn giải:
Để (
m
C
) tiếp xúc với (P) thì hệ phương trình sau có nghiệm:
3 2 2
2
4 7 3 1
3 8 7 2 1
x mx mx m x x
x mx m x
TOANMATH.com
Trang 5
3 2
2
4 1 7 1 3 1 0 1
3 2 4 1 7 1 0 2
x m x m x m
x m x m
Giải (1), ta có (1)
2
1 4 3 1 0
x x mx m
2
1
4 3 1 0
x
x mx m
+ Với
1
x
thay vào (2) được
2
m
+ Xét hệ
2
2
4 3 1 0 3
2 1 1 4
3 2 4 1 7 1 0
x mx m
m x m
x m x m
.
• Nếu
1
2
m thì (4) vô nghiệm.
• Nếu
1
2
m
thì (4)
1
2 1
m
x
m
.
Thay
1
2 1
m
x
m
vào (3) ta được
2
1 1
4 3 1 0
2 1 2 1
m m
m m
m m
3 2
2
1
4 11 5 2 0
4
1
m
m m m m
m
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy
1
2; ;1
4
S
nên tổng các phần tử trong S bằng
11
4
.
Chọn A.
Ví dụ 4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
3
2
1
2 2 1
3 2
x
y m x mx
tiếp xúc với đường thẳng
1
y
. Tổng giá trị các phần tử của S bằng
A. 10. B.
20
.
3
C.
8
.
3
D.
32
.
3
Hướng dẫn giải
Xét hệ phương trình
3
2
2
1
2 2 1 1 1
3 2
2 2 0 2
x
m x mx
x m x m
Giải phương trình (2) ta được
2
x m
x
.
+ Với
x m
, thay vào (1) ta được
3
2
0
0
6 6
m
m
m
m
.
+ Với
2
x
, thay vào (1), ta được
2
3
m
.
TOANMATH.com
Trang 6
Vậy tập hợp các giá trị của tham số thực để đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với đường thẳng
1
y
là
2
0;6;
3
S
nên tổng các phần tử trong S bằng
20
3
.
Chọn B.
Ví dụ 5. Biết đồ thị của hàm số
3 2
: , ,
C y x ax bx c a b c , tiếp xúc với trục hoành tại gốc tọa
độ và cắt đường thẳng
1
x
tại điểm có tung độ bằng 3. Tổng a + 2b + 3c bằng
A. 4. B. 2. C. 6. D. 3.
Hướng dẫn giải:
Vì (C) tiếp xúc với Ox tại gốc tọa độ nên
0
x
là nghiệm của hệ phương trình
3 2
2
0 0
0
3 2 0
x ax bx c b
c
x ax b
Mặt khác (C) đi qua điểm
1;3
A nên
1 3 2
a b c a .
Vậy
2 3 2.
a b c
Chọn B.
Ví dụ 6. Họ parabol
2
: 2 3 2 0
m
P y mx m x m m luôn tiếp xúc với đường thẳng d cố định
khi m thay đổi. Đường thẳng d đi qua điểm nào dưới đây?
A.
1; 8
A . B.
0; 2
B . C.
0;2
C . D.
1;8
D .
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 2
2 3 2 2 1 6 2
y mx m x m m x x x
2
1 6 2
y m x x .
Xét đường thẳng
: 6 2
d y x
thì hệ phương trình
2
1 6 2 6 2
2 1 6 6
m x x x
m x
luôn có nghiệm
1
x
với mọi
0
m
.
Vậy
m
P
luôn tiếp xúc với đường thẳng
: 6 2
d y x .
Đường thẳng d đi qua điểm
0; 2
B .
Chọn B.
Nhận xét: Nếu có thể viết lại hàm số
m
P
theo dạng
2
y m ax b cx d
thì
m
P
luôn tiếp xúc với
đường
y cx d
.
Bài toán 2. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y f x
tại điểm
0 0
;
M x y
Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
Bước 1: Tính
y f x
và
0
f x
.
Bước 2: Suy ra phương trình tiếp tuyến cần
Ví dụ: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số
3
2
y x x
tại điểm
2;8
M bằng
A. –11. B. 6.
C. 11. D. –12.
TOANMATH.com
Trang 7
tìm là
0 0 0
y f x x x y
Bước 3: Thực hiện các yêu cầu còn lại của bài
toán. Kết luận.
Chú ý:
- Nếu bài toán chỉ cho
0
x
thì ta cần tìm
0 0
y f x
và
0
f x
.
- Nếu bài toán chỉ cho
0
y
thì ta cần tìm
0
x
bằng cách giải phương trình
0
f x y
.
- Giá trị
0
f x
là hệ số góc của tiếp tuyến của
đồ thị hàm số
y f x
tại điểm
0 0
;
M x y
.
Hướng dẫn giải
Ta có
2
3 1 2 11
y x y
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm
2;8
M và
11 2 8
y x .
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là
11
k
.
Chọn A.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tiếp tuyến của đường cong
: 1
C y x x
tại điểm
3;6
M có hệ số góc bằng
A.
1
4
. B.
11
4
C.
1
4
D.
11
4
Hướng dẫn giải
Ta có
3 2
1
2 1 2 1
x x
y x
x x
.
Hệ số góc cần tìm là
3.3 2 11
3 .
4
2 3 1
y
Chọn B.
Ví dụ 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
2 3
y x x
tại điểm
1;2
M là
A.
2
y x
. B.
1
y x
. C.
3 1
y x
D.
2 2
y x
Hướng dẫn giải:
Ta có
2
3 2 1 1
y x y
Vậy phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho tại điểm
1;2
M là
1 2 1
y x x
.
Chọn B.
Ví dụ 3. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
:
C y x
tại điểm có hoành độ bằng 1 là
A.
3 3.
y x
B.
3 2.
y x
C.
3 2.
y x
D.
3 .
y x
Hướng dẫn giải
Ta có
2
3 1 3.
y x y
Do
0 0
1 1 1
x y y .
TOANMATH.com
Trang 8
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ bằng 1 là
3 1 1 3 2
y x y x .
Chọn C.
Ví dụ 4. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
4 2
1
y x x
tại điểm có tung độ bằng 1 là
A.
4.
y
B.
2.
y
C.
1.
y
D.
3.
y
Hướng dẫn giải
Gọi
0 0
;
M x y
là tiếp điểm
Ta có
4 2
0 0 0 0
1 0 0 0;1
y x x x M .
Lại có
3
4 2 0 0
y x x y
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là
1
y
.
Chọn C.
Ví dụ 5. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2 4
3
x
y
x
tại giao điểm của đồ thị với trục hoành là
A.
2 4.
y x
B.
3 1.
y x
C.
2 4.
y x
D.
2 .
y x
Hướng dẫn giải
Giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành là nghiệm của phương trình
2 4
0 2
3
x
x
x
đồ
thị hàm số cắt trục hoành tại điểm (2; 0).
Ta có
2
2
2 2
3
y y
x
.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là
2 2
y x hay
2 4
y x
.
Chọn C.
Ví dụ 6. Cho hàm số
3
3 2
y x x
có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C)
với trục tung là
A.
3 2
y x
. B.
2 1
y x
C.
2 1
y x
D.
3 2
y x
Hướng dẫn giải
Ta có
0; 2 ; y 0 3.
C Oy A
Phương trình tiếp tuyến tại
0; 2
A là
3 2
y x
.
Chọn A.
Ví dụ 7. Gọi đường thẳng
y ax b
là phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2 1
1
x
y
x
tại điểm có
hoành độ
1
x
. Giá trị
a b
bằng
TOANMATH.com
Trang 9
A. 2. B. –1. C. 1. D.
1
2
.
Hướng dẫn giải
Ta có
0 0
1
1
2
x y
Tọa độ tiếp điểm của đường thẳng
y ax b
và đồ thị hàm số
2 1
1
x
y
x
là
1
1;
2
M
.
Vì
2
3
1
y
x
nên
3
1
4
y
.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là
3 1 3 1
1
4 2 4 4
y x y x
3
4
1
1
4
a
a b
b
Chọn C.
Ví dụ 8. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tan 3
4
y x
tại điểm có hoành độ
0
6
x
là
A.
6.
6
y x
B.
6.
6
y x
C.
6.
6
y x
D.
6 1.
y x
Hướng dẫn giải
Ta có
0 0
2
3
6; 1
6 6
cos 3
4
y y x y
x
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là
6 1
y x
Chọn D.
Ví dụ 9. Gọi M là điểm thuộc đồ thị hàm số
2 1
:
1
x
C y
x
có tung độ bằng 5. Tiếp tuyến của đồ thị (C)
tại M cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B. Diện tích tam giác OAB bằng
A.
125
®vdt
6
. B.
117
®vdt
6
C.
121
®vdt
6
D.
119
®vdt
6
Hướng dẫn giải
Ta có
2
3
2;5 ; ; 2 3
1
M C y y
x
.
Phương trình tiếp tuyến tại
2;5
M
là
: 3 11
d y x .
Khi đó d cắt Ox, Oy tại
11
;0
3
A
và
11
0;11 ; 11.
3
B OA OB
TOANMATH.com
Trang 10
Vậy
1 1 11 121
. . .11 ®vdt
2 2 3 6
OAB
S OA OB
Chọn C.
Ví dụ 10. Cho hàm số
2, 0
2
x b
y ab a
ax
. Biết rằng a và b là các giá trị thỏa mãn tiếp tuyến của
đồ thị hàm số tại điểm
1; 2
A song song với đường thẳng
: 3 4 0
d x y
. Khi đó giá trị của
3
a b
bằng
A. 5. B. 4. C. –1. D. –2.
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 2
2 2
1
2 2
ab ab
y y
ax a
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng
: 3 4 0 3 4
d x y y x
nên
2
2
1 3 3
2
ab
y
a
.
Mặt khác
1; 2
A thuộc đồ thị hàm số nên
1
2 2 3.
2
b
b a
a
Khi đó ta có hệ
2
2
2
3
2
2 5 15 10 0
1
2 3
ab
a
a a a
a
b a
+ Với
2 1 2
a b ab
(loại)
+ Với
1 1
a b
( thỏa mãn điều kiện).
Khi đó ta có hàm số
1
2
x
y
x
.
2
3
1 3
2
y y
x
nên phương trình tiếp tuyến là
3 1
y x
song song với đường thẳng
3 4
y x
.
Vậy
3 2
a b
.
Chọn D.
Ví dụ 11. Trong tất cả các đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số
3 2
3 3 1
y x x x
thì đường thẳng
d có hệ số góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là
A.
6 2.
y x
B.
2 2.
y x
C.
1.
y
D.
3 1.
y x
Hướng dẫn giải
Ta có
2
3 6 3
y x x
TOANMATH.com
Trang 11
Gọi
0 0
;
M x y
thuộc đồ thị hàm số. Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến tại
0 0
;
M x y
là
2
2
0 0 0
3 6 3 3 1 6 6
k x x x
max 0
6 1
k x hay
1; 4
M .
Phương trình đường thẳng d là
6 1 4 6 2
y x y x .
Chọn A.
Nhận xét: Đối với hàm số bậc ba
3 2
y ax bx cx d
thì tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất (nhỏ nhất) là
tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị
0 0
;
U x f x
, với
0
x
là nghiệm của phương trình
0
y
.
+ Nếu
0
a
thì hệ số góc
0
k f x
là nhỏ nhất.
+ Nếu
0
a
thì hệ số góc
0
k f x
là lớn nhất.
Ví dụ 12. Cho hàm số
3 2
2 1 2
y x x m x m
có đồ thị
m
C
. Giá trị thực của tham số m để tiếp
tuyến của đồ thị
m
C
tại điểm có hoành độ
1
x
song song với đường thẳng
3 10
y x
là
A.
2.
m
B.
4.
m
C.
0.
m
D. không tồn tại m.
Hướng dẫn giải
Ta có
2
3 4 1 1 2
y x x m y m .
Tiếp tuyến của
m
C
tại điểm có hoành độ
1
x
có phương trình là
2 1 3 2 2 2
y m x m y m x m
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng
3 10
y x
nên
2 3
2 10
m
m
(vô lí)
Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn D.
Ví dụ 13. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3 2
3 9 2
f x x x x tại điểm M có hoành độ
0
x
, biết rằng
0
6
f x là
A.
9 6.
y x
B.
9 6.
y x
C.
6 9.
y x
D.
6 9.
y x
Hướng dẫn giải
Ta có
2
3 6 9, 6 6
f x x x f x x
0 0 0 0
6 6 6 6 2 24
f x x x y và
2 9
y
Phương trình tiếp tuyến tại
2;24
M là
9 2 24 9 6
y x y x .
Chọn A.
Ví dụ 14. Cho hàm số
3 2
1
f x x mx x
. Gọi k là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M có
hoành độ
1
x
. Tất cả các giá trị thực của tham số m để thỏa mãn
. 1 0
k f là
TOANMATH.com
Trang 12
A.
2
m
. B.
2 1
m
. C.
1
m
. D.
2
m
Hướng dẫn giải
Ta có
2
3 2 1 1 4 2
f x x mx k f m
.
Do đó
. 1 4 2 1
k f m m
Để
. 1 0
k f thì
4 2 1 0 2 1
m m m .
Chọn B.
Ví dụ 15. Cho hàm số
3 2
3 1 1
y x mx m x
, với m là tham số thực, có đồ thị (C). Biết rằng khi
0
m m
thì tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
0
1
x
đi qua
1;3
A . Mệnh đề nào sau đây
đúng?
A.
0
2 1
m . B.
0
1 0
m C.
0
0 1
m D.
0
1 2
m
Hướng dẫn giải
Gọi B là tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua
1;3
A khi
0
m m
Ta có
2
3 6 1
y x mx m
.
Với
0
1
x thì
0
2 1 1;2 1
y m B m và
1 5 4
y m .
Tiếp tuyến tại B của (C) có phương trình là
5 4 1 2 1
y m x m .
Do tiếp tuyến đi qua
1;3
A nên
1
2 5 4 2 1 3
2
m m m
.
Vậy
0
1
0;1
2
m
.
Chọn C.
Ví dụ 16. Cho hàm số
2
2
x
y
x
có đồ thị (C). Gọi M là một điểm thuộc (C) có khoảng cách từ M đến
trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục tung, M không trùng với gốc tọa độ O và có tọa độ
nguyên. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là
A.
8.
y
B.
64.
y
C.
12.
y
D.
9.
y
Hướng dẫn giải:
Giả sử
2
;
2
a
M a
a
là một điểm thuộc (C).
Do
; 2 ;
d M Ox d M Oy
nên
2
2
2
0
2
4
2
2
2 3
2
4
2
a
a
a
a
a
a a
a
a
a
a
a
Theo giả thiết thì M không trùng với gốc tọa độ O và có tọa độ nguyên nên
4 4; 8
a M .
TOANMATH.com
Trang 13
Khi đó
2
2
4
4 0
2
x x
y y
x
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là
8
y
.
Chọn A.
Ví dụ 17. Cho hàm số
1
2
x
y
x
có đồ thị (C) và đường thẳng
: 2 1
d y x m
( m là tham số thực).
Gọi
1 2
,
k k
là hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của d và (C). Tích
1 2
.
k k
bằng
A. 4. B.
1
4
. C. 2. D. 3.
Hướng dẫn giải
Tập xác định
\ 2
D .
Ta có
2
1
2
y
x
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d)
1
2 1
2
x
x m
x
( với
2
x
)
2
2 6 3 2 0 1
x m x m
Để đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt
khác –2.
2
2
6 8 3 2 0
4 12 0
1 0
8 2 6 3 2 0
m m
m m
m
m m
Vậy (C) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt
1 1
;
A x y
và
2 2
;
B x y
, với
1 2
,
x x
là nghiệm của phương trình
(1).
Theo định lý Vi-ét ta có
1 2
1 2
6
2
3 2
.
2
m
x x
m
x x
Ta có
1 2
2 2 2
1 2
1 2 1 2
1 1 1
. .
2 2
2 4
k k
x x
x x x x
2
1
4
3 2 6
2. 4
2 2
m m
Chọn A.
TOANMATH.com
Trang 14
Ví dụ 18. Cho hàm số
4 2
2
y x mx m
có đồ thị (C) với m là tham số thực. Gọi A là điểm thuộc đồ thị
(C) có hoành độ bằng 1. Giá trị của tham số thực m để tiếp tuyến
của đồ thị (C) tại A cắt đường tròn
2
2
: 1 4
x y
tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất là
A.
13
.
16
m B.
13
.
16
m C.
16
.
13
m D.
16
.
13
m
Hướng dẫn giải
Đường tròn
2
2
: 1 4
x y
có tâm
0;1 , 2
I R .
Ta có
3
1;1 ; 4 4 1 4 4
A m y x mx y m
.
Suy ra phương trình tiếp tuyến
: 4 4 1 1
y m x m
.
Dễ thấy
luôn đi qua điểm cố định
3
;0
4
F
và điểm F nằm trong đường tròn
.
Giả sử
cắt
tại M, N, Khi đó
2 2 2
2 ; 2 4 ;
MN R d I d I
.
Do đó MN nhỏ nhất
;
d I
lớn nhất
;
d I IF IF
.
Khi đó đường thẳng
có 1 vectơ chỉ phương
3
; 1 ; 1;4 4
4
u IF u m
nên
3 13
. 0 1. 4 4 0
4 16
u IF m m
.
Chọn B.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hai hàm số
3 2
1
: 1 2 2
C y mx m x mx
và
3
2
: 3 3 1 2 4 2
C y mx m x m tiếp xúc với nhau. Tổng giá
trị các phần tử của S bằng
A.
11
6
. B. 3. C. 1. D.
7
2
.
Câu 2: Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng
2
y x m
tiếp xúc với đồ thị
hàm số
2 3
1
x
y
x
. Tích giá trị các phần tử của S bằng
A.
1
2
. B. 4. C. –8. D. –4.
Câu 3: Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số
4 2
1 4
m
y x m x m C
tiếp xúc với đường thẳng
: 3
d y
tại hai điểm phân biệt. Tổng các phần tử
của tập S bằng
A. 14. B. 17. C. 15. D. 4.
Câu 4: Giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số
3 2
1
y x mx
tiếp xúc với đường thẳng
: 5
d y
là
A.
2.
m
B.
3.
m
C.
1.
m
D.
3.
m
TOANMATH.com
Trang 15
Câu 5: Cho hàm số
3 2
3 3 1
y x x mx m
. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị tiếp xúc
với trục hoành?
A. 0. B. 3. C. 1. D. 2.
Câu 6: Giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
2
1
1
x x
y
x
tiếp xúc với parabol
2
y x m
là
A.
2.
m
B.
0.
m
C.
1.
m
D.
3.
m
Câu 7: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
3 2
2 1 5 2
y x m x mx m
tiếp
xúc với trục hoành?
A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 8: Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng
2
x y m
là tiếp tuyến của đường
cong
3
2 4
y x x
bằng
A. 2. B. –4. C. –2. D. 4.
Câu 9: Cho hàm số
4
2
2 4
4
x
y x có đồ thị là (C). Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị
(C) tiếp xúc với parabol
2
:
P y x m
bằng
A. 6. B. 126. C. 34. D. –1.
Câu 10: Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
3 2
3 3 2 2
y x m x m x m
tiếp xúc với trục hoành bằng
A. 1. B. 3. C. –3. D. –1.
Câu 11: Trong ba đường thẳng
1 2 3
: 7 9, : 5 29, : 5 5
d y x d y x d y x
có bao nhiêu đường thẳng
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3 2
: 3 2 4
C y x x x ?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Câu 12: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3 2
3 2
y x x
tại điểm có hoành độ bằng -3 có phương trình là
A.
9 25
y x
. B.
30 25
y x
C.
9 25
y x
D.
30 25
y x
Câu 13: Đồ thị (C) của hàm số
3 1
1
x
y
x
cắt trục tung tại điểm A. Tiếp tuyến của (C) tại điểm A có
phương trình là
A.
5 1
y x
. B.
4 1
y x
C.
4 1
y x
D.
5 1
y x
Câu 14: Cho hàm số
2
1
x
y
x
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
0
x
là
A.
3 2
y x
. B.
3 2
y x
C.
3 3
y x
D.
3 2
y x
Câu 15: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số
sin 1
y x
tại điểm có hoành độ
3
bằng
A.
3
2
. B.
3
2
. C.
1
2
D.
1
2
Câu 16: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
1
x
y
x
tại giao điểm với trục hoành, cắt trục tung
tại điểm có tung độ bằng
TOANMATH.com
Trang 16
A. –1. B. 1. C. 2. D. –2.
Câu 17: Cho hàm số
2
11
8 2
x
y
có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M có hoành độ
0
2
x là
A.
1
2 7
2
y x
. B.
1
2 6
2
y x
.
C.
1
2 6
2
y x D.
1
2 7
2
y x
Câu 18: Cho hàm số
3
3 4
y x x C
. Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm
2;2
M có hệ số góc bằng
A. 45. B. 0. C. 24. D. 9.
Câu 19: Cho hàm số
3
3
y x x
có đồ thị hàm số (C). Hệ số góc k của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có
tung độ bằng 4 là
A. 9. B. 6. C. 0. D. –2.
Câu 20: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3 2
2 3
x
y
x
tại điểm có hoành độ
0
1
x
có hệ số góc bằng
A. –5. B. –13. C. 13. D. –1.
Câu 21: Cho đồ thị
2 4
:
3
x
H y
x
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) tại giao điểm của (H) và Ox
là
A.
2 4.
y x B.
2 4.
y x C.
2 4.
y x D.
2 .
y x
Câu 22: Cho hàm số
2
5
y x
, có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M có tung độ
0
1
y với hoành độ
0
0
x là
A.
2 6 6 1
y x
. B.
2 6 6 1
y x
C.
2 6 6 1
y x D.
2 6 6 1
y x
Câu 23: Cho hàm số
1
2
x
y
x
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị hàm
số với trục hoành là
A.
3 1 0
x y
. B.
3 1 0
x y
. C.
3 1 0
x y
. D.
3 1 0
x y
Câu 24: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
4 2
: 1
C y x x tại điểm có hoành độ bằng 1 là
A.
2 1.
y x
B.
2 1.
y x
C.
1.
y
D.
2 3.
y x
Câu 25: Phương trình đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số
1
2
y
x
tại điểm
1
;1
2
A
là
A.
2 2 1.
x y
B.
2 2 3.
x y
C.
2 2 1.
x y
D.
2 2 3.
x y
Câu 26: Tiếp tuyến với đồ thị hàm số
3
4 1
y x x
tại điểm có hoành độ bằng 2 có phương trình là
A.
8 17.
y x
B.
8 16.
y x
C.
8 15.
y x
D.
8 15.
y x
Câu 27: Phương trình các đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3 2
6 11 1
y x x x
tại điểm có tung độ
bằng 5 là
TOANMATH.com
Trang 17
A.
2 3; 7; 2 2.
y x y x y x
B.
2 1; 2; 2 2.
y x y x y x
C.
2 3; 7; 2 1.
y x y x y x
D.
2 1; 2; 2 1.
y x y x y x
Câu 28: Cho hàm số
2
5 4
y x x
có đồ thị (C). Phương trình các đường tiếp tuyến của (C) tại các giao
điểm của đồ thị với trục Ox là
A.
3 3
y x
và
3 12.
y x
B.
3 3
y x
và
3 12.
y x
C.
3 3
y x
và
3 12.
y x
D.
2 3
y x
và
2 12.
y x
Câu 29: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số
4 3 2
2 1
y x x x
tại điểm có hoành độ -1 bằng
A. 4. B. 3. C. –3. D. 11.
Câu 30: Gọi M là giao điểm của trục tung với đồ thị hàm số
2
: 1
C y x x
. Tiếp tuyến của (C) tại
M có phương trình là
A.
1
1.
2
y x
B.
1
1.
2
y x
C.
1.
y x
D.
1.
y x
Câu 31: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị
tan
y x
tại điểm có hoành độ
4
x
bằng
A. 2. B.
1
.
2
C.
2
.
2
D. 1.
Câu 32: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
1
y x
x
tại điểm có hoành độ
1
x
là
A.
2 1.
y x
B.
1.
y x
C.
1.
y x
D.
2.
y x
Câu 33: Cho hàm số
3 2
1
y x x x
có đồ thị (C). Tiếp tuyến tại điểm N của (C) cắt đồ thị (C) tại
điểm thứ hai là
1; 2
M . Tọa độ điểm N là
A.
2;7 .
B.
1;2 .
C.
0;1 .
D.
1;0 .
Câu 34: Gọi d là tiếp tuyến của hàm số
1
2
x
y
x
tại điểm có hoành độ bằng –3. Khi đó d tạo với hai trục
tọa độ một tam giác có diện tích bằng
A.
169
6
(đvdt). B.
121
6
(đvdt). C.
25
6
(đvdt). D.
49
6
(đvdt).
Câu 35: Cho hàm số
3 2
1
2 3 1
3
y x x x
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành
độ là nghiệm của phương trình
0
y là
A.
11
.
3
y x
B.
1
.
3
y x
C.
1
.
3
y x
D.
11
.
3
y x
Câu 36: Gọi
m
C
là đồ thị của hàm số
3 2
2 3 1 1
y x m x mx m và d là tiếp tuyến của
m
C
tại
điểm có hoành độ
1
x
. Giá trị của tham số m để d đi qua điểm
0;8
A là
A.
3.
m
B.
1.
m
C.
2.
m
D.
0.
m
Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y f x
khi biết hệ số góc
TOANMATH.com
Trang 18
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc dựa vào các quan hệ
song song, vuông góc,...
Phương pháp giải
Thực hiện theo một trong hai cách sau:
Cách 1:
Bước 1. Xác định hệ số góc k của tiếp tuyến
dựa vào giả thiết bài toán.
Bước 2. Giải phương trình
f x k
để tìm
0
x x
là hoành độ của tiếp điểm.
Tính
0 0 0 0
;
y f x M x y
.
Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là
0 0
y k x x y
Điểm
0 0
;
M x y
là tiếp điểm của tiếp tuyến
với đồ thị hàm số đã cho.
Cách 2:
Bước 1. Xác định hệ số góc k của tiếp tuyến
dựa vào giả thiết bài toán.
Bước 2. Vì tiếp tuyến có hệ số góc là k nên
phương trình tiếp tuyến có dạng
y kx b
.
Dựa vào điều kiện tiếp xúc của tiếp tuyến với
(C) ta tìm giá trị của b.
Lưu ý:
- Phương trình
f x k
có bao nhiêu nghiệm
thì có bấy nhiêu tiếp điểm.
- Một số trường hợp xác định hệ số góc của
đường thẳng thường gặp.
Cho hai đường thẳng
1 1 1 2 2 2
: ; :
d y k x b d y k x b
.
+ Trường hợp 1:
1 2 1 2
. 1.
d d k k
+ Trường hợp 2:
1 2
1 2
1 2
/ /
k k
d d
b b
+ Trường hợp 3: Góc
Ví dụ: Cho hàm số
3 2
3 2
y x x
. Lập phương
trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho biết tiếp
tuyến song song với đường thẳng
: 9 2
y x .
Hướng dẫn giải
Vì tiếp tuyến song song với
: 9 2
y x
nên hệ
số góc của tiếp tuyến là
9.
k
Ta có
2
3 6
y x x
.
Xét phương trình
2
1
3 6 9
3
x
x x
x
+ Với
1 2 1; 2
x y M có phương
trình tiếp tuyến là
9 1 2 9 7
y x y x .
+ Với
3 2 3;2
x y N có phương trình
tiếp tuyến là
9 3 2 9 25
y x y x .
Vì tiếp tuyến song song với
: 9 2
y x
nên hệ
số góc của tiếp tuyến là
9.
k
.
Phương trình tiếp tuyến có dạng
: 9
d y x b
với
2
b
.
Vì
: 9
d y x b
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3 2
3 2
y x x
nên
3 2
2
3 2 9
3 6 9
x x x b
x x
Giải hệ phương trình tìm được
7.
25.
b
b
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là
9 7
y x
hoặc
9 25
y x
.
TOANMATH.com
Trang 19
1 2
1 2
1 2
; tan
1 . k
k k
d d
k
.
Đặc biệt:
1. Nếu góc giữa
:
d y kx b
với Ox bằng
0 90
thì
tan
k
.
2. Nếu đường thẳng d cắt Ox, Oy tại hai
điểm A, B mà
.
OB m OA
thì
tan
OB
k m
OA
.
+ Trường hợp 4: Nếu đường thẳng d đi qua hai
điểm
1 1
;
A x y
và
2 2
;
B x y
thì
1 2
1 2
y y
k
x x
.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
3 1
y x x
có hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9 là
A.
9 15
y x
hay
9 1
y x
.
B.
9 15
y x
hay
9 17
y x
.
C.
9 1
y x
hay
9 17
y x .
D.
9 1
y x
hay
9 1
y x
.
Hướng dẫn giải
Ta có
2
3 3
y x
. Gọi
0 0
;
M x y
là tiếp điểm.
Vì hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9 nên
2
0 0 0
9 3 3 9 2
y x x x .
+ Với
0
2
x thì
0
3
y . Phương trình tiếp tuyến là
9 2 3 9 15
y x x .
+ Với
0
2
x thì
0
1
y . Phương trình tiếp tuyến là
9 2 1 9 17
y x x .
Chọn B.
Ví dụ 2: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2 1
1
x
y
x
song song với đường thẳng
: y x 1
?
A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.
Hướng dẫn giải
TOANMATH.com
Trang 20
Ta có
2
1
1
y
x
. Do tiếp tuyến song song với đường thẳng
: 1
y x
nên hệ số góc của tiếp tuyến là
1.
k
Xét phương trình
2
0
1
1
2
1
x
x
x
+ Với
0
x
thì
1
y
. Phương trình tiếp tuyến là
1
y x
( loại vì trùng với
).
+ Với
2
x
thì
3
y
. Phương trình tiếp tuyến là
5
y x
.
Vậy có một tiếp tuyến song song với
: 1.
y x
Chọn D.
Ví dụ 3: Gọi (C) là đồ thị của hàm số
4
y x x
. Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng
: 5 0
d x y
có phương trình là
A.
4.
y x
B.
5 3.
y x
C.
3 5.
y x
D.
2 3.
y x
Hướng dẫn giải
Ta có
3
4 1
y x
. Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm.
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1
5
y x
nên
1
. 1 5
5
k k
.
Xét phương trình
3
4 1 5 1 2.
x x y
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là
5 1 2 5 3.
y x x
Chọn B.
Ví dụ 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
3 1
y x x
song song với trục Ox là
A.
3, 1.
y y
B.
3, 2.
y y
C.
3, 1.
x x
D.
2, 1.
y y
Hướng dẫn giải
Do tiếp tuyến song song với trục Ox nên tiếp tuyến có tiếp điểm là các điểm cực trị và có phương trình
0
y y
với
0
y
là giá trị cực trị của hàm số đã cho.
Ta có
2
3 3; 0 1
y x y x
.
Do hàm số đã cho là hàm bậc ba nên các điểm cực trị là
1; 1 , 1;3
A B .
Vậy phương trình các đường tiếp tuyến cần tìm là
1; 3.
y y
Chọn A.
Ví dụ 5: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3 2
2 3 12 1
y x x x
song song với đường thẳng
:12 0
d x y
có dạng
y ax b
. Giá trị
2
a b
bằng
A. 0. B. –23. C. –23 hoặc –24. D. –24.
Hướng dẫn giải
TOANMATH.com
Trang 21
Ta có
2
6 6 12
y x x
. Do tiếp tuyến song song với đường thẳng
:12 0 12
d x y y x
nên có hệ
số góc
12
k
.
Xét phương trình
2
0
6 6 12 12
1
x
x x
x
+ Với
0
x
thì
1
y
. Phương trình tiếp tuyến là
12 1
y x
.
+ Với
1
x
thì
12
y
. Phương trình tiếp tuyến là
12 1 12 12
y x x
(loại vì tiếp tuyến trùng
với đường thẳng (d)).
Vậy tiếp tuyến cần tìm là
12 1 12; 1 2 23
y x a b a b
.
Chọn B.
Ví dụ 6: Trên đồ thị
1
:
2
x
C y
x
có bao nhiêu điểm M mà tiếp tuyến của (C) tại M song song với
đường thẳng
: 1
d x y
?
A. 1. B. 2. C. 4. D. 0.
Hướng dẫn giải
Ta có
2
1
2
y
x
.
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng
: 1 1
d x y y x
nên hệ số góc của tiếp tuyến là
1
k
.
Xét phương trình
2
1
1
1
3
2
x
x
x
.
+ Với
1
x
thì
0
y
. Phương trình tiếp tuyến là
1
y x
(loại vì tiếp tuyến trùng với đường thẳng
(d)).
+ Với
3
x
thì
2
y
. Phương trình tiếp tuyến là
3 2 5
y x x .
Vậy có một điểm
3;2
M thỏa mãn.
Chọn A.
Ví dụ 7: Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến
này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A, B thoả mãn
4
OA OB
là
A.
1 5
4 4
1 13
4 4
y x
y x
B.
1 5
4 4
1 13
4 4
y x
y x
C.
1 5
4 4
1 13
4 4
y x
y x
D.
1 5
4 4
1 13
4 4
y x
y x
TOANMATH.com
Trang 22
Hướng dẫn giải
Do tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại hai điểm A, B mà
4
OA OB
.
Khi đó
OAB
vuông tại O và ta có
1 1
tan
4 4
OB
k OAB k
OA
.
Ta có:
2
1
1
y
x
Xét phương trình
2
1 1
4
1
x
(vô nghiệm).
Xét phương trình
2
3
1 1
4 1
1
x
x
x
+ Với
3
x
thì
5
2
y
. Phương trình tiếp tuyến là
1 5 1 13
3
4 2 4 4
y x x
.
+ Với
1
x
thì
3
2
y . Phương trình tiếp tuyến là
1 3 1 5
1
4 2 4 4
y x x
Chọn C.
Ví dụ 8: Đường thẳng nào dưới đây là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2 3
2
x
y
x
chắn hai trục tọa độ một
tam giác vuông cân?
A.
2
y x
. B.
2
y x
. C.
2
y x
D.
1 3
4 2
y x
Hướng dẫn giải
Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến lần lượt với Ox, Oy.
Vì
OAB
vuông cân tại O nên
OA OB
.
Do đó
tan 1 1
OB
k OAB k
OA
.
Ta có
2
1
2
y
x
Xét phương trình
2
1
1
2
x
(vô nghiệm).
Xét phương trình
2
1
1
1
3
2
x
x
x
.
+ Với
1
x
thì
1
y
. Phương trình tiếp tuyến là
1 1 2
y x x .
TOANMATH.com
Trang 23
+ Với
3
x
thì
3
y
. Phương trình tiếp tuyến là
3 3 6
y x x .
Chọn A.
Ví dụ 9: Cho hàm số
3 2
1
1 4 3 1
3
y mx m x m x
có đồ thị là
m
C
. Tất cả các giá trị thực của
tham số m để trên đồ thị
m
C
tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc
với đường thẳng
: 2 3 0
d x y
là
A. m < 12 hoặc
2
.
3
m
B. m < 0 hoặc m > 1.
C. m < 0 hoặc
1
m
3
. D. m < 0 hoặc
2
3
m
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
1 3
: 2 3 0
2 2
d x y y x nên hệ số góc của d là
1
2
.
Do tiếp tuyến vuông góc với d nên hệ số góc của tiếp tuyến là k thì
1
. 1 2.
2
k k
Gọi
0 0
;
M x y
là tiếp điểm của tiếp tuyến với
m
C
thì
0
x
là nghiệm của phương trình
2
2 1 4 3 2
y k mx m x m .
2
2 1 2 3 0 *
mx m x m
Theo bài toán thì ta phải tìm m để (*) có duy nhất một nghiệm âm.
+ Trường hợp 1: Nếu
0
m
thì (*)
2 2 1
x x
(loại).
+ Trường hợp 2: Nếu
0
m
. Ta thấy phương trình (*) có hai nghiệm là
1
x
và
2 3
m
x
m
.
Do đó để (*) có một nghiệm âm thì
2 3
0 0
m
m
m
hoặc
2
3
m
.
Chọn D.
Ví dụ 10: Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số
4 2
2
y ax bx
tại điểm
1;1
A vuông góc với đường
thẳng
: 2 3 0
d x y
. Giá trị
2 2
a b
bằng
A. 13. B. –2. C. –5. D. 10.
Hướng dẫn giải
Ta có:
1 3
: 2 3 0
2 2
d x y y x
nên
1
2
d
k
Vì tiếp tuyến vuông góc với d nên phải có hệ số góc bằng –2.
Ta có
3 2
4 2 2 2
y ax bx x ax b
TOANMATH.com
Trang 24
Vì điểm
1;1
A là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị nên
1
x
là nghiệm của phương trình
2
2 2 2 2 2 2 2 1
x ax b a b a b
.
Mặt khác điểm A thuộc đồ thị hàm số nên
2 1 1
a b a b
.
Vậy ta có hệ
2 2
2 1 2
5.
1 3
a b a
a b
a b b
Chọn C.
Ví dụ 11: Cho hàm số
3 2
3 9 1
y x x x
có đồ thị là (C). Số tiếp tuyến của (C) tạo với đường thẳng
: 1
d y x
một góc
thỏa mãn
5
cos
41
là
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Hướng dẫn giải
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm.
Ta có
2
5 1 4
cos 0 90 tan 1
cos 5
41
.
Vì d có hệ số góc bằng –1 nên
9
1 4
tan
1
1 5
9
k
k
k
k
Ta có
2
3 6 9
y x x
.
+ Trường hợp 1:
2
0
9 2 0
2
x
k x x
x
Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến
9 1
y x
và
9 3
y x
.
+ Trường hợp 2:
2
1 9 321
27 54 80 0
9 9
k x x x
Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến là
0
1 9 321
9 9
y x y x
Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm.
Chọn D.
Ví dụ 12: Cho hàm số
4 2
1 7
8 4
y x x
có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm A thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp
tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt
1 1 2 2
; ; ;
M x y N x y
( M, N khác A ) thỏa mãn
1 2 1 2
3
y y x x
A. 0. B. 2. C. 3. D. 1.
Hướng dẫn giải
Do tiếp tuyến đi qua hai điểm
1 1 2 2
; ; ;
M x y N x y
nên hệ số góc của tiếp tuyến là
1 2
1 2
3
y y
k
x x
.
TOANMATH.com
Trang 25
Ta có
3
1 7
2 2
y x x
.
Xét phương trình
3
1 7
3 3; 1; 2.
2 2
x x x x x
Mặt khác để tiếp tuyến của hàm số trùng phương cắt được đồ thị tại hai điểm phân biệt thì tiếp điểm A chỉ
có thể chạy trong phần đồ thị từ điểm cực tiểu thứ nhất sang điểm cực tiểu thứ hai (trừ hai điểm uốn).
Khi đó phương trình
3
0
0 7 0
7
x
y x x
x
Do đó hai điểm cực tiểu là
7
x
và
7
x
nên hoành độ của tiếp điểm
0
7; 7
x
Vậy chỉ có
0 0
1; 2
x x thỏa mãn.
Chọn B.
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
ax b
y
cx d
khi biết mối quan hệ của tiếp
tuyến với các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Phương pháp giải
Với hàm số
ax b
y
cx d
( với
0; 0
c ad bc
) thì đồ thị hàm số có hai
tiệm cận là ;
d a
x y
c c
.
Gọi
;
d a
I
c c
là giao điểm của hai đường
tiệm cận ( và cũng là tâm đối xứng của đồ thị).
Khi đó tiếp tuyến tại điểm
0 0
;y
M x
bất kì
của đồ thị cắt tiệm cận đứng tại điểm
0
0
2
;
bc ad acx
d
A
c c cx d
và cắt tiệm cận
ngang tại điểm
0
2 ;
d a
B x
c c
.
Ta có
0
0
2 2
;
ad bc cx d
IA IB
c cx d c
2
4
.
ad bc
IA IB K
c
là hằng số không
đổi.
Ví dụ: Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
có đồ thị là (C).
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) sao
cho tiếp tuyến đó vuông góc với IM, I là tâm đối
xứng của (C) là
A.
3, 5.
y x y x
B.
1, 3.
y x y x
C.
1, 5.
y x y x
D.
1, 4.
y x y x
Hướng dẫn giải
Giả sử
0 0
;
M x y
là tiếp điểm,
Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận
đứng và tiệm cận ngang của đồ thị.
Theo lý thuyết trên thì M là trung điểm của AB. Do
IAB
vuông tại I mà
IM AB
nên
IAB
vuông
cân tại I
IA IB
khi đó hệ số góc của tiếp tuyến
là
1
k
.
Mà
0
2
0
1
0
1
k y x
x
nên
1
k
.
TOANMATH.com
Trang 26
Suy ra
2
2
IAB
ad bc
S
c
.
Khi đó các bài toán sau là tương đương:
Tìm điểm
M C
hoặc viết phương trình
tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến tạo với hai
tiệm cận một tam giác vuông có
a) Cạnh huyền nhỏ nhất
2 2
2 . 2
AB IA IB IA IB K
Dấu bằng xảy ra khi
IA IB
.
b) Chu vi nhỏ nhất
Ta có
2 . 2 . 2 2
IA IB AB IA IB IA IB K K
Dấu bằng xảy ra khi
IA IB
.
c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất
Ta có
1
2 2
K
R AB .
Dấu bằng xảy ra khi
IA IB
.
d) Bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất
Ta có
S K
r
p IA IB AB
Vậy r lớn nhất khi
IA IB AB
nhỏ nhất
và bằng
2 2
K K
.
Dấu bằng xảy ra khi
IA IB
.
e) Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến lớn nhất
Gọi H là hình chiếu của I lên d, ta có
2 2 2
1 1 1 2 2
. 2
K
IH
IH IA IB IA IB K
Dấu bằng xảy ra khi
IA IB
.
Nhận xét: Các câu hỏi trên thì đẳng thức đều
xảy ra khi
IA IB
nên
IAB
vuông cân tại I.
Gọi
là góc giữa tiếp tuyến d và tiệm cận ngang
2
thì
2
; ; 45
d d Ox
nên hệ số góc
của tiếp tuyến là
tan 45 1
k
.
Vậy ta có phương trình
0
2
0
0
0
1
1
2
1
x
x
x
+ Với
0
0
x thì
0
1
y . Do đó phương trình tiếp
tuyến là
1.
y x
+ Với
0
2
x
thì
0
3
y
. Do đó phương trình tiếp
tuyến là
5.
y x
Chọn C.
Ví dụ mẫu
TOANMATH.com
Trang 27
Ví dụ 1: Cho hàm số
1
1
x
y
x
có đồ thị (C). Có bao nhiêu cặp điểm A, B thuộc (C) mà tiếp tuyến tại đó
song song với nhau?
A. Không tồn tại cặp điểm đó. B. Vô số số cặp điểm.
C. 2. D. 1.
Hướng dẫn giải
Giả sử
1 1
; , B ,
1 1
a b
A a b
a b
với
; , 1
a b a b .
Do tiếp tuyến tại A, B song song với nhau nên
2 2
2 2
2
1 1
a b
y a y b
a b
a b
Do
a b
nên chỉ có
2
a b
. Vậy có vô số cặp điểm A, B thỏa mãn.
Chọn B.
Nhận xét: Hai điểm A, B phân biệt thuộc đồ thị hàm số
ax b
y
cx d
mà tiếp tuyến tại đó song song với
nhau thì A, B đối xứng với nhau qua tâm đối xứng I.
Ví dụ 2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
4 3
2 1
x
y
x
cùng với hai tiệm cận tạo thành một tam giác có diện
tích bằng
A. 6. B. 7. C. 5. D. 4.
Hướng dẫn giải
Gọi
0 0
;
M x y
là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị. Khi đó tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A, B và I
là giao điểm của hai tiệm cận.
Theo lý thuyết đã nêu thì
2 4 6
5.
4
IAB
S
.
Chọn C.
Ví dụ 3: Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
có đồ thị (C). Tiếp tuyến tại điểm
; , 0
M a b C a tạo với hai tiệm
cận của (C) một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng
2
. Giá trị của
2
a b
bằng
A. 2. B. 4. C. 8. D. 5.
Hướng dẫn giải
Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến với hai đường tiệm cận và I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Do
IAB
vuông tại I nên bán kính đường tròn ngoại tiếp
IAB
là
1
2 2 2
2
R AB AB .
Theo lý thuyết, ta có
2 2
. 4, 2 . 2 2
IA IB AB IA IB IA IB
.
Dấu " = " xảy ra khi
IA IB
. Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến
1
k
.
Mặt khác
2
1
0 1
1
k y a k
a
.
TOANMATH.com
Trang 28
Ta có
2
0
1
1
2
1
a
a
a
. Do
0 2 3.
a a b
Vậy
2 8.
a b
Chọn C.
Ví dụ 4: Gọi (C) là đồ thị của hàm số
2
2
x m
y
x
, m là tham số khác –4 và d là một tiếp tuyến của (C).
Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để d tạo với hai đường tiệm cận của (C) một tam giác có diện
tích bằng 2, tổng giá trị các phần tử của S bằng
A. –11. B. 8. C. 3. D. –8.
Hướng dẫn giải
Gọi A, B lần lượt là các giao điểm của tiếp tuyến với hai đường tiệm cận và I là giao điểm của hai tiệm
cận.
Theo lý thuyết, ta có
. 4 4 2 4
IAB
IA IB m S m
Vậy ta có
3
2 4 2
5
m
m
m
5; 3
S nên tổng các phần tử của S bằng –8.
Chọn D.
Ví dụ 5: Gọi
là tiếp tuyến tại điểm
0 0 0
; , 0
M x y x thuộc đồ thị của hàm số
2
1
x
y
x
sao cho
khoảng cách từ
1;1
I đến A đạt giá trị lớn nhất. Giá trị
0 0
.
x y
bằng
A. –1. B. 0. C. –2. D. 2.
Hướng dẫn giải
Gọi A, B là giao điểm của A với hai đường tiệm cận.
Theo lý thuyết
;
d I
lớn nhất khi
1
IA IB k
.
Mặt khác
0
2
0
1
0 1
1
k y x k
x
.
Vậy
0
2
0
0
0
1
1
2
1
x
x
x
Do
0 0 0 0 0
0 2 0 . 0
x x y x y
.
Chọn B.
Ví dụ 6: Cho hàm số
2 2
1
x
y
x
có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tạo với hai tiệm cận
một tam giác có chu vi nhỏ nhất là
A.
: 1
y x
và
: 17
y x
B.
: 1
y x
và
: 7
y x
C.
: 21
y x
và
: 7
y x
TOANMATH.com
Trang 29
D.
: 3
y x
và
: 2
y x
Hướng dẫn giải
Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến tại điểm
0 0
;
M x y C
với hai tiệm cận và I là giao điểm của hai
đường tiệm cận. Khi đó
IAB
vuông tại I.
Theo lý thuyết, chu vi
IAB
là
2 . 2 . 8 4 2
IA IB AB IA IB IA IB vì
2
4
. 16
ad bc
IA IB
c
Do đó chu vi nhỏ nhất bằng
8 4 2
khi
1
IA IB k
.
Mặt khác
0
2
0
4
0 1
1
k y x k
x
.
Vậy ta có
0
2
0
0
3
4
1
1
1
x
x
x
Với
0
3
x thì
0
4
y . Do đó phương trình tiếp tuyến là
3 4 7
y x x
Với
0
1
x thì
0
0
y . Do đó phương trình tiếp tuyến là
1 1
y x x
Chọn B.
Ví dụ 7: Cho hàm số
2 2
1
x
y
x
có đồ thị (C). Một tiếp tuyến bất kỳ với (C) cắt đường tiệm cận đứng và
đường tiệm cận ngang của (C) lần lượt tại A và B, biết
1;2
I . Giá trị lớn nhất của bán kính đường tròn
nội tiếp tam giác IAB bằng
A.
7 3 2
. B.
8 4 2
. C.
4 2 2
D.
8 3 2
Hướng dẫn giải
Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến tại điểm
0 0
;
M x y C
với hai tiệm cận và I là giao điểm của hai
đường tiệm cận và
IAB
vuông tại I.
Theo lý thuyết, ta có
2
4
. 16 8
IAB
ad bc
IA IB S
c
.
Khi đó bán kính đường tròn nội tiếp
IAB
lớn nhất xảy ra khi
4 4 2 4 2 2
2
IA IB AB
IA IB AB p
max
8
4 2 2
4 2 2
r
Chọn C.
Ví dụ 8: Cho hàm số
2
2
x
y
x
có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tạo với hai trục tọa độ một
tam giác có diện tích bằng
1
18
là
TOANMATH.com
Trang 30
A.
9 1 4 2
; .
4 2 9 9
y x y x
B.
9 31 4 2
; .
4 2 9 9
y x y x
C.
9 1 4 4
; .
4 2 9 9
y x y x
D.
9 1 4 1
; .
4 2 9 9
y x y x
Hướng dẫn giải
Gọi
2
; 2
2
a
M a a
a
là tiếp điểm của tiếp tuyến. Khi đó phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M là
2
2 4 2
2 2
2
a a
y y a x a y x a
a a
a
.
Gọi A, B lần lượt là các giao điểm của d với hai trục Ox, Oy.
Tọa độ các điểm A, B là
2 2
2
2
;0 , 0;
2
2
a a
A B
a
.
Vậy
2
4
2
2
1
3 2
1 1
.
2
2 18
3 2
2 2
3
OAB
a
a a
a
S OA OB
a
a a
a
Với
1
4 2 4 2
1 : 1
9 3 9 9
a d y x x
.
Với
2
2 9 2 9 1
: 1
3 4 3 4 2
a d y x x
Chọn A.
Ví dụ 9: Cho hàm số
2 1
2 2
x
y
x
có đồ thị (C). Gọi
0 0 0
; , 0
M x y x là điểm thuộc (C), biết tiếp tuyến
của (C) tại M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B sao cho 8
OIB OIA
S S
( I là giao hai
đường tiệm cận). Giá trị biểu thức
0 0
4
S x y
bằng
A.
13
4
. B. –2. C. 2. D.
7
4
.
Hướng dẫn giải
TOANMATH.com
Trang 31
Do góc
OIA OIB
nên
1
8
OIA
OIB
S
IA
S IB
.
Mà
tan
IA
k IBA
IB
nên
1 1
8 8
k k .
Mặt khác
0
2
0
2 1
0
8
4 1
k y x k
x
0
2
0
0
3
1 1
8 1
2 1
x
x
x
.
Do
0
0
x
nên
0 0 0 0
5
3 4 2
4
x y S x y
Chọn B.
Ví dụ 10: Cho hàm số
2 3
2
x
y
x
có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) cắt tiệm
cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho côsin góc
ABI
bằng
4
17
với
2;2
I là
A.
1 3 1 7
;
4 2 4 2
y x y x
B.
1 3 1 7
;
4 2 4 2
y x y x
C.
1 3 1 7
;
4 2 4 2
y x y x
D.
1 3 1 7
;
4 2 4 2
y x y x
Hướng dẫn giải:
Ta có
2
1 1 1
tan 1
4 4
cos
k ABI k
ABI
Giả sử
0 0
;
M x y C
thì
0
2
0
1 1
0 .
4
2
k y x k
x
Xét phương trình
0
2
0
0
0
1 1
4 4
2
x
x
x
+ Với
0
0
x
thì
0
3
2
y
. Phương trình tiếp tuyến là
1 3
4 2
y x
.
+ Với
0
4
x thì
0
5
2
y . Phương trình tiếp tuyến là
1 5 1 7
4
4 2 4 2
y x x
Chọn D.
Bài tập tự luyện dạng 2
TOANMATH.com
Trang 32
Câu 1: Cho hàm số
2
1
1
x x
y
x
có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường
thẳng
: 3 4 1 0
x y
là
A.
3 3
9; 7
4 4
y x y x
. B.
3 3 3 5
;
4 4 4 4
y x y x
C.
3 3 3
; 1
4 4 4
y x y x
. D.
3 3 5
3;
4 4 4
y x y x
Câu 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
3 1
y x x
có hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9 là
A.
9 13
y x
hay
9 1
y x
B.
9 13
y x
hay
9 17
y x
C.
9 1
y x
hay
9 17
y x
D.
9 1
y x
hay
9 1
y x
Câu 3: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2 1
1
x
y
x
song song với đường thẳng
: 1
y x
?
A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.
Câu 4: Gọi (C) là đồ thị của hàm số
4
y x x
. Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng
: 5 0
d x y
có phương trình là
A.
4
y x
B.
5 3
y x
C.
3 5
y x
D.
2 3
y x
Câu 5: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2 1
2
x
y
x
song song với đường thẳng
3 2 0
x y
là
A.
3 14
y x
. B.
3 14, 3 2.
y x y x
C.
3 5, 3 8.
y x y x
D.
3 8.
y x
Câu 6: Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị hàm số
3
1
f x x sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
M song song với đường thẳng
: 3 1
d y x
?
A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.
Câu 7: Cho hàm số
3
2
3 2
3
x
y x có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) có hệ số góc
9
k là
A.
9 3
y x . B.
16 9 3
y x . C.
16 9 3
y x D.
16 9 3
y x
Câu 8: Cho hàm số
3 2
3 2
y x x
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với đường
thẳng
1
: 2019
45
d y x
là
A.
45 83
y x
. B.
45 173
y x
C.
45 83
y x
D.
45 173
y x
Câu 9: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3 2
3 8 1
y x x x
song song với đường thẳng
: 2017
y x
là
A.
2018
y x
. B.
2018
y x
. C.
4.
y x
D.
4; 28
y x y x
.
Câu 10: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
2
2 2
3
x
y x x
song song với đường thẳng
2 5
y x
là
TOANMATH.com
Trang 33
A.
10
2
3
y x
và
2 2
y x
B.
2 3
y x
và
2 1
y x
C.
2 4
y x
và
2 2
y x
D.
4
2
3
y x và
2 2
y x
Câu 11: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
3 1
y x x
vuông góc với trục Oy là
A.
3, 1.
y y B.
3, 2.
y y C.
3, 1.
x x D.
2, 1.
y y
Câu 12: Gọi (C) là đồ thị của hàm số
2
2
x
y
x
. Phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường
thẳng
4
1
3
y x
là
A.
3 9 3 1
, .
4 2 4 2
x x y x
B.
3 3
, 1.
4 4
x x y x
C.
3 9 3 1
, .
4 2 4 2
x x y x D.
3 7 3 1
, .
4 2 4 2
x x y x
Câu 13: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
1
x
y
x
có hệ số góc bằng –2 là
A.
2 2, 2 4.
y x y x
B.
2 9, 2 .
y x y x
C.
2 8, 2 .
y x y x
D.
2 1, 2 .
y x y x
Câu 14: Cho hàm số
3 2
2 6 3
y x x
có đồ thị là (C). Tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng
18 51
y x
có phương trình là
A.
18 3
y x
. B.
18 13
18 51
y x
y x
. C.
18 51
y x
. D.
18 13
18 51
y x
y x
Câu 15: Cho hàm số
1
x m
y
x
có đồ thị
m
C
. Giá trị tham số thực m để tiếp tuyến của (C) tại điểm có
hoành độ bằng 0 song song với đường thẳng
3 1
y x
là
A.
2.
m
B.
3.
m
C.
2.
m
D.
1.
m
Câu 16: Cho hàm số
3 2
1
1 4 3 1
3
y mx m x m x
có đồ thị là
m
C
. Tập hợp các giá trị thực của
tham số m để trên đồ thị
m
C
tồn tại đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc
với đường thẳng
: 2 3 0
d x y
là
A.
1 1 5
0; ;
2 2 3
. B.
1 1 8
0; ;
2 2 3
. C.
1 1 2
0; ;
2 2 3
D.
1 1 2
0; ;
3 2 3
Câu 17: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
3 2
1
1 3 4 1
3
y mx m x m x
có
điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng
2019 0
x y
là
A.
1
1.
2
m B.
1
m
. C.
1
2
m
. D.
1
1
2
m .
TOANMATH.com
Trang 34
Câu 18: Cho hàm số
2 3
2
x
y
x
có đồ thị (C). Biết tiếp tuyến tại một điểm M bất kỳ của (C) luôn cắt hai
tiệm cận của (C) tại A và B. Độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng AB bằng
A.
2 2
. B.
2
. C. 2. D. 4.
Câu 19: Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
có đồ thị (C). Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để đường
thẳng
:
d y x m
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B lần lượt có
hệ số góc là
1 2
,
k k
thỏa mãn
2019 2019
1 2 1 2
1 2
1 1
2 2019
k k k k
k k
. Tổng các giá trị tất cả các phần tử của S
bằng
A. 3. B. 0. C. 6. D. 2018.
Câu 20: Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thị
2 3
:
2
x
C y
x
tại M . Đường thẳng (d) cắt các đường tiệm cận
tại hai điểm phân biệt A, B. Tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ
nhất, với I là giao điểm hai tiệm cận là
A.
5
1;1 ; 4;
3
M M
. B.
1;1 ; 3;3
M M . C.
5
1;1 ; 1;
3
M M
. D.
5
4; ; 3;3
3
M M
Câu 21: Cho hàm số
2
1
x
y
x
có đồ thị (C). Tiếp tuyến
của (C) tạo với hai đường tiệm cận một tam
giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. Khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến
bằng
A.
6
. B.
2 6
. C.
2 3
. D.
3
Câu 22: Cho hàm số
1
2 3
x
y
x
. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận đồ thị hàm số. Khoảng cách từ I đến
tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất bằng
A.
1
2
. B. 1. C.
2
. D.
5
.
Câu 23: Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
có đồ thị (C). Gọi điểm
0 0
;
M x y
với
0
1
x là điểm thuộc (C), biết
tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác
OAB có trọng tâm G nằm trên đường thẳng
: 4 0
d x y
. Giá trị của
0 0
2
x y
bằng
A.
5
.
2
B.
7
.
2
C.
5
.
2
D.
7
.
2
Câu 24: Cho hàm số
2 3
mx
y
x m
. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Tất cả các giá trị thực của
tham số m để tiếp tuyến tại một điểm bất kì của (C) cắt hai tiệm cận tại A và B sao cho
IAB
có diện tích
22
S là
A.
5
m
. B.
6
m
. C.
2
m
. D.
4
m
Câu 25: Cho hàm số
2
1
x
y
x
có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm
M C
sao cho tiếp tuyến tại M của
(C) cắt Ox, Oy tại A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng
1
4
, với O là gốc tọa độ?
TOANMATH.com
Trang 35
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 26: Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
. Tất cả các điểm M, N trên hai nhánh của đồ thị (C) sao cho các tiếp
tuyến tại M và N cắt hai đường tiệm cận tại bốn điểm lập thành một hình thang là
A.
2;5 , 0; 1 .
M N B.
7 1
3; , 1; .
2 2
M N
C.
1
2;5 , 1; .
2
M N
D. Với mọi M, N.
Câu 27: Cho hàm số
2 3
2
x
y
x
có đồ thị (C). Một tiếp tuyến của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại hai
điểm A, B thỏa mãn
2 2
AB
. Hệ số góc của tiếp tuyến đó bằng
A. –2. B.
1
.
2
C. –1. D.
2.
Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y f x
đi qua điểm M cho trước
Bài toán 1. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y f x
đi qua điểm
0 0
;
M x y
cho
trước.
Phương pháp giải
Thực hiện một trong hai cách sau
Cách 1:
Bước 1. Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k, khi
đó phương trình tiếp tuyến có dạng
0 0
.
y k x x y
Bước 2. Tìm k là nghiệm của hệ phương trình
0 0
f x k x x y
f x k
Từ đó suy ra phương trình của tiếp tuyến.
Cách 2:
Bước 1. Giả sử
;
A a f a
là tiếp điểm của
tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho nên
phương trình tiếp tuyến tại điểm A là
y f a x a f a
.
Bước 2. Do tiếp tuyến đi qua
0 0
;
M x y
nên a
là nghiệm của phương trình
0 0
f a x a f a y
.
Tìm a và suy ra phương trình tiếp tuyến.
Ví dụ: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3 2
3 6 1
y x x x
đi qua điểm
0;1
N là
A.
33
2
4
y x .
B.
33
11
4
y x
C.
33
12
4
y x
D.
33
1
4
y x
Hướng dẫn giải
Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k.
Vì tiếp tuyến đi qua
0;1
N nên phương trình tiếp
tuyến có dạng
1
y kx
.
k là nghiệm của hệ phương trình
3 2
2
6
3 6 1 1
33
3 6 6
4
k
x x x kx
k
k x x
.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là
6 1
y x
hoặc
33
1
4
y x
.
Chọn D.
TOANMATH.com
Trang 36
Gọi
0 0
;
M x y
là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ
thị hàm số đã cho. Ta có
2
3 6 6
y x x
.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng
2 3 2
0 0 0 0 0 0
3 6 6 3 6 1.
y x x x x x x x
Vì tiếp tuyến đi qua
0;1
N nên ta có
2 3 2
0 0 0 0 0 0
3 6 6 3 6 1 1
x x x x x x
0
3 2
0 0
0
0
2 3 0
3
2
x
x x
x
Với
0 0
0 1; 0 6
x y y nên phương
trình tiếp tuyến là
6 1.
y x
Với
0 0 0
3 107 33
;
2 8 4
x y y x nên
phương trình tiếp tuyến là
33
1.
4
y x
Chọn D.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho đồ thị hàm số
1
:
2
x
C y
x
. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm
2; 1
A ?
A. 2. B. 0. C. 1. D. 3.
Hướng dẫn giải
Ta có
2
1
, 2
2
y x
x
.
Gọi tọa độ tiếp điểm là
0
0
0
1
;
2
x
M x
x
với
0
2
x . Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại
điểm M là
0
0
2
0
0
1
1
2
2
x
y x x
x
x
.
Do tiếp tuyến đi qua điểm
2; 1
A nên ta có phương trình
0
0 0
2
0 0
0
2
1
1 1
2 2
2
x
x x
x x
x
( vô nghiệm).
Vậy không có tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Chọn B. .
TOANMATH.com
Trang 37
Nhận xét: Đối với đồ thị hàm số
ax b
y
cx d
thì không có tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số đi qua điểm
;
d a
I
c c
là giao điểm của hai đường tiệm cận.
Ví dụ 2: Cho hàm số
4 2
1 3
3
2 2
y x x
có đồ thị (C). Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm
3
0;
2
A
?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Hướng dẫn giải
Phương trình đường thẳng
đi qua điểm
3
0;
2
A
và có hệ số góc k có dạng
3
2
y kx
.
Để
tiếp xúc với (C) thì hệ phương trình
4 2
3
1 3 3
3 1
2 2 2
2 6 2
x x kx
x x k
có nghiệm x.
Thế (2) vào (1), ta có
4 2 3
1 3 3
3 2 6
2 2 2
x x x x x
2 2
0
2 0
2
x
x x
x
.
+ Với
1
3
0 0 : .
2
x k y
+ Với
2
3
2 2 2 : 2 2 x .
2
x k y
+ Với
3
3
2 2 2 : 2 2 x .
2
x k y
Vậy có ba tiếp tuyến thỏa mãn.
Chọn C.
Bài toán 2: Xác định các điểm M để có k tiếp tuyến của đồ thị hàm số
:
C y f x
đi qua điểm M
Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Xây dựng tọa độ điểm
;
M a b
.
Bước 2. Giả sử d là đường thẳng đi qua M và
có hệ số góc k. Khi đó phương trình đường
thẳng
:
d y k x a b
.
Bước 3. Để d là tiếp tuyến của (C) thì hệ
Ví dụ: Cho hàm số
2
1
x
y
x
có đồ thị (C) và
điển
;1
A a
. Gọi S là tập hợp các giá trị thực của
tham số a để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua
A. Tổng tất cả các phần tử của S bằng
A.
3
.
2
TOANMATH.com
Trang 38
phương trình
*
f x k x a b
f x k
có
nghiệm.
Dựa vào số nghiệm của hệ trên suy ra số
tiếp tuyến tương ứng bài toán yêu cầu.
Nhận xét:
- Nếu
f x
là hàm số bậc 2, bậc 3, bậc
nhất trên bậc nhất thì hệ (*) có bao nhiêu
nghiệm thì tương ứng với bấy nhiêu tiếp tuyến.
- Nếu
f x
là hàm số trùng phương có 3
điểm cực trị thì nếu hệ (*) có nghiệm không
phải là hoành độ của 2 điểm cực tiểu (cực đại)
thì mỗi nghiệm ứng với một tiếp tuyến của đồ
thị (C).
B.
5
.
2
C.
1
.
2
D.
1.
Hướng dẫn giải
Ta có
2
1
, 1; ;1 .
1
y x A a
x
Đường thẳng d qua
;1
A a
có hệ số góc k có
phương trình là
1
y k x a
.
Để có duy nhất một đường thẳng d là tiếp tuyến của
(C) thì hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
2
2
1 1
1
1
2
1
x
k x a
x
k
x
Thế (2) vào (1) ta có
2
1 2
1
1
1
x
x a
x
x
2
2 6 3 0 1 3
x x a x
Để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất thì
phương trình (3) có nghiệm duy nhất khác 1.
+ Trường hợp 1: (3) có nghiệm kép khác 1
9 2 6 0
3
2 6 3 0 2
a
a
a
+ Trường hợp 2: (3) có hai nghiệm phân biệt, trong
đó có một nghiệm bằng 1.
3 2 0
1
1 0
a
a
a
Vậy
3
;1
2
S
nên tổng các phần tử bằng
5
2
.
Chọn B.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho hàm số
3 2
6 2
y x x
có đồ thị (C) và điểm
;2
M m . Gọi S là tập hợp các giá trị thực
của m để qua M có hai tiếp tuyến với đồ thị (C).
TOANMATH.com
Trang 39
Tổng các phần tử của S bằng
A.
20
.
3
B.
13
.
2
C. 4. D.
16
.
3
Hướng dẫn giải
Gọi d là đường thẳng đi qua
;2
M m và có hệ số góc k.
Khi đó phương trình của d là
2
y k x m
.
Để có đúng hai tiếp tuyến của (C) đi qua M thì hệ phương trình
2
3 2
3 12
6 2 2
k x x
x x k x m
phải có hai nghiệm phân biệt.
Từ hệ trên, ta có
3 2 2
6 2 3 12 2
x x x x x m
2
2
0
2 3 2 12 0
2 3 2 12 0 *
x
x x m x m
x m x m
Để hệ có đúng hai nghiệm, ta xét các trường hợp sau
+ Trường hợp 1: Phương trình (*) có nghiệm kép khác 0
2
6
9 2 96 0
2
12 0
3
m
m m
m
m
.
+ Trường hợp 2: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 0
2
9 2 96 0
0
12 0
m m
m
m
Vậy
2
6; ;0
3
S
nên tổng các phần tử bằng
20
3
.
Chọn A.
Ví dụ 2: Cho hàm số
2
2 3
x x
có đồ thị (C) và điểm
1;
A a
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để có
đúng hai tiếp tuyến của (C) đi qua A ?
A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.
Hướng dẫn giải
Ta có hàm số
2
2 3
y x x
xác định trên
,
2
1
2 3
x
y
x x
.
Gọi k là hệ số góc của đường thẳng
đi qua
1;
A a
.
Phương trình đường thẳng
: 1
y k x a
.
Đường thẳng
tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ phương trình sau có nghiệm
TOANMATH.com
Trang 40
2
2
2 3 1 1
1
2
2 3
x x k x a
x
k
x x
Thay (2) vào (1) ta được
2
2
1
2 3 1
2 3
x
x x x a
x x
2
2 2 2
2 3 1 2 3 2 3 2
x x x a x x a x x
2
2
3
2 3
a
x x
.
Qua A có đúng hai tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt.
Xét hàm số
2
2
2 3
f x
x x
.
Ta có
2 2
2 1
; 0 1
2 3 2 3
x
f x f x x
x x x x
.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có (3) có hai nghiệm phân biệt thì
0; 2 .
a
Mà a nguyên nên
1
a
.
Chọn C.
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị hàm số
2 1
1
x
y
x
thỏa mãn tiếp tuyến tạị điểm đó của đồ thị có
hệ số góc bằng 2019?
A. Vô số. B. 0. C. 2. D. 1.
Câu 2: Cho hàm số
4 2
2
y x x
có đồ thị là (C). Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua gốc tọa
độ?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 3: Cho hàm số
3
2
2
4 2
3
x
y x x
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Phương trình tiếp tuyến của (C)
đi qua điểm
2; 2
A
là
A.
3 7
4 2
y x
. B.
3 5
4 2
y x
. C.
3 1
4 2
y x
. D.
3 1
4 2
y x
Câu 4: Cho hàm số
2
1
1
x x
y
x
có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm
1;3
M là
TOANMATH.com
Trang 41
A.
3 1; 3 .
y x y x
B.
13; 3 .
y y x
C.
3; 3 1.
y y x
D.
3; 3 .
y y x
Câu 5: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2 3
2
x
y
x
đi qua giao điểm hai đường tiệm cận?
A. Vô số. B. 2 C. 1. D. Không có.
Câu 6: Cho hàm số
2
1
4
x
f x x
có đồ thị (C). Phương trình các đường tiếp tuyến của (C) đi
qua điểm
2; 1
M
là
A.
1
y x
và
3
y x
. B.
1
y x
và
2 3
y x
C.
1
y x
và
3
y x
D.
1
y x
và
3
y x
Câu 7: Cho hàm số
3 2
3 1
y x x x
có đồ thị là (C). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham
số m để từ điểm
0;
M m
kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị (C) mà hoành độ tiếp điểm thuộc
đoạn
1;3
?
A. Vô số. B. 0. C. 60. D. 61.
Câu 8: Trên đường thẳng
3
x
, tọa độ điểm M có tung độ là số nguyên nhỏ nhất mà qua đó có thể kẻ tới
đồ thị (C) của hàm số
3 2
3 2
y x x
đúng ba tiếp tuyến phân biệt là
A.
3; 5
. B.
3; 6
. C.
3;2
D.
3;1
Câu 9: Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
2 2
2 2 1
1
x mx m
y
x
cắt trục hoành tại hai điểm phân
biệt và các tiếp tuyến của
m
C
tại hai điểm này vuông góc với nhau là
A.
0.
m
B.
2
.
3
m
C.
1.
m
D.
2
,m 1.
3
m
Câu 10: Gọi (C) là đồ thị của hàm số
2
2 1
x
y
x
và
0;
M m
là một điểm thuộc trục Oy. Tất cả các giá trị
thực của tham số m để luôn tồn tại ít nhất một tiếp tuyến của (C) đi qua M và tiếp điểm của tiếp tuyến này
với (C) có hoành độ dương là
A.
2
m
. B.
2
m
. C.
2
m
. D.
2
m
.
Câu 11: Cho hàm số
2
1
x
y
x
có đồ thị (C) và điểm
0;
A a
. Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham
số a để từ A kẻ được hai tiếp tuyến AM , AN đến (C) với M, N là các tiếp điểm và
4
MN
. Tổng giá trị
các phần tử của S bằng
A. 4. B. 3. C. 6. D. 1.
Dạng 4: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ẩn tại điểm có hoành độ
0
x x
cho trước
Phương pháp giải
Từ biểu thức của hàm ẩn, tìm cách tính
các giá trị
0 0
y f x
và
0
f x
.
Áp dụng công thức viết phương trình tiếp
Ví dụ: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm
f x
trên
thỏa mãn
2 3
1 2 1 3 ,f x x f x x
. Tiếp tuyến
TOANMATH.com
Trang 42
tuyến của đồ thị hàm số
y f x
tại điểm
có hoành độ
0
x x
.
Chú ý công thức đạo hàm của hàm số
hợp: Cho hàm số
f x
có đạo hàm trên
khoảng
,
K u u x
là hàm số xác định và
có đạo hàm trên K và có giá trị trên khoảng
K. Khi đó
.
f u u f u
.
của đồ thị hàm số
y f x
tại điểm có hoành độ
1
x
có phương trình là
A.
2
y x
.
B.
2
13
x
y
.
C.
1
13 13
x
y
D.
12
13 13
x
y
Hướng dẫn giải
Ta cần tính
1 , 1
f f
.
Từ giả thiết
2 3
1 2 1 3 , *
f x x f x x
Chọn
0
x
ta được
2 3
1 0
1 1
1 1
f
f f
f
Lấy đạo hàm hai vế (*) ta được
2
2. 1 2 .2. 1 2 1 9. 1 3 . 1 3
f x f x f x f x
.
Chọn
0
x
ta được
2
4. 1 . 1 1 9. 1 . 1
f f f f
.
+ Với
1 0
f
ta được
0 1
(vô lý nên loại).
+ Với
1
1 1 1
13
f f
nên phương trình
tiếp tuyến là
12
13 13
x
y
.
Chọn D.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên
thỏa mãn
2
2 2 1 2 12 ,f x f x x x
.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y f x
tại điểm có hoành độ bằng 1 là
A.
2 2.
y x
B.
4 6.
y x
C.
2 6.
y x
D.
4 2.
y x
Hướng dẫn giải
Ta cần tính
1 , 1
f f
.
Từ giả thiết
2
2 2 1 2 12 ,f x f x x x
. (*)
TOANMATH.com
Trang 43
Chọn
0
x
và
1
2
x
, ta được
2 0 1 0 0 1
2 1 0 3 1 2
f f f
f f f
.
Lấy đạo hàm hai vế (*) ta được
4. 2 2. 1 2 24 ,f x f x x x
Chọn
0
x
và
1
2
x
, ta được
4 0 2 1 0 0 2
4 1 2 0 12 1 4
f f f
f f f
.
Vậy
1 2; 1 4
f f
nên phương trình tiếp tuyến là
4 1 2 4 2
y x x
.
Chọn D.
Ví dụ 2: Cho các hàm số
3
, , 2
y f x y g x f f x y h x f x
có đạo hàm trên
và có
đồ thị lần lượt là
1 2 3
, ,
C C C
. Đường thẳng
2
x
cắt
1 2 3
, ,
C C C
lần lượt tại A, B, C. Biết
phương trình tiếp tuyến của
1
C
tại A và của
2
C
tại B lần lượt là
3 4
y x
và
6 13
y x
. Phương
trình tiếp tuyến của
3
C
tại C là
A.
24 23.
y x
B.
10 21.
y x
C.
12 49.
y x
D.
2 5.
y x
Hướng dẫn giải
Để giải bài toán, ta cần tính
2
h
và
2
h .
Phương trình tiếp tuyến của
1
C
tại A là
2 3 2 3
2 2 2 3 4
2 2 2 4 2 10
f f
y f x f x
f f f
Phương trình tiếp tuyến của
2
C
tại B là
2 . 2 2 2 2 . 10 2 10 6 13
y f f f x f f f f x f x
.
2 . 10 6 10 2
2 2 . 10 10 13 10 25
f f f
f f f f
Ta có
3 2 3
2 3 . 2
h x f x x f x
nên
2 12 10 24
h f
và
2 10 25
h f
.
Phương trình tiếp tuyến của
3
C
tại C là
2 2 2 24 2 25 24 23
y h x h x x
.
Chọn A.
Ví dụ 3: Cho hàm số
y f x
xác định có đạo hàm và nhận giá trị dương trên
. Biết tiếp tuyến của
hai đồ thị hàm số
y f x
và
2
f x
y g x
f x
cùng tại điểm có hoành độ
0
1
x
có hệ số góc lần lượt
là 12 và –3. Giá trị của
1
f
bằng
TOANMATH.com
Trang 44
A. 3. B. 4. C. 6. D. 2.
Hướng dẫn giải
Ta có
2 2
2 2 2
. .2 .
f x f x f x x f x
f x
g x
f x f x
Từ giả thiết ta có
1 12
f
và
1 3, 0,g f x x
2
1 . 1 2 1 . 1 1
3 3 1 4.
1 1
f f f f f
f
f f
Chọn B.
Ví dụ 4: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên
. Gọi
1 2
,
lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị
hàm số
y f x
và
2
. 4 3
y g x x f x
tại điểm có hoành độ
1
x
. Biết hai đường thẳng
1 2
,
vuông góc nhau và
1
không song song với Ox, Oy . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
3 1 2.
f
B.
1 2.
f
C.
1 2.
f
D.
2 1 2 3.
f
Hướng dẫn giải
Ta có
2 2
. 4 3 2 . 4 3 4 . 4 3
g x x f x x f x x f x
.
Ta có hệ số góc của các tiếp tuyến
1 2
,
lần lượt là
1
f
và
1 2 1 4 1
g f f
.
Theo giả thiết thì
1 . 1 1
f g
và
1 0
f
.
1 . 2 1 4 1 1
f f f
1 1
2 1 4 1 2 1 4 1 4 1 2
1
1
f f f f f
f
f
.
Chọn C.
Ví dụ 5: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm
f x
trên
thỏa mãn
3
3 1 2 1
f x x x
với mọi
x
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
3
x
là
A.
1
3
y x
. B.
1
2
3
y x
. C.
1
3
3
y x
. D.
1
2.
3
y x
Hướng dẫn giải
Để viết phương trình tiếp tuyến tại điểm
3
x
, ta cần tính
3
f
và
3
f
.
Với
1
x
suy ra
3 3
f
.
Do
3 2 3
3 1 2 1 3 3 3 1 2
f x x x x f x x
.
Với
1
1 6 3 2 3
3
x f f
.
TOANMATH.com
Trang 45
Do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là
1 1
3 3 3 3 3 2
3 3
y f x f y x y x
.
Chọn B.
Ví dụ 6: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm trên
. Gọi
1 2
,
C C
và
3
C
lần lượt là đồ thị của các
hàm số
2
,
f x g x f x
và
3
h x f x
. Biết
1 1
f
và tổng hệ số góc của hai tiếp tuyến tại điểm
có hoành độ
1
x
của
1 2
,
C C
bằng –3. Phương trình tiếp tuyến của
3
C
tại điểm có hoành độ
1
x
là
A.
2.
y x
B.
3 2.
y x
C.
1.
y x
D.
3 4.
y x
Hướng dẫn giải
Ta cần tính
1 , 1
h h
.
Ta có
2 2 3
2 , 3
g x xf x h x x f x
.
Theo giả thiết, ta có
1 1 3 1 2 1 3 1 1
f g f f f
.
Do đó
1 3 1 3
h f
và
1 1 1
h f
.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là
3 1 1 3 4
y x x
.
Chọn D.
Ví dụ 7: Cho hai hàm số
,
f x g x
đều có đạo hàm trên
và thỏa mãn
3 2 2
2 2 2 3 36 0
f x f x x g x x
, với mọi
x
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y f x
tại điểm có hoành độ
2
x
là
A.
.
y x
B.
2 3.
y x
C.
2 3.
y x
D.
.
y x
Hướng dẫn giải
Ta có
3 2 2
2 2 2 3 36 0, 1
f x f x x g x x x
Thay
0
x
vào (1) ta có
3 2
2 0
2 2 2 0
2 2
f
f f
f
Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được
2 2
3 2 . 2 12 2 3 . 2 3 2 . . 36 0. 2
f x f x f x f x x g x x g x
Thay
0
x
vào (2) ta có
2
3 2 . 2 12 2 . 2 36 0. 3
f f f f
+ Với
2 0
f
thay vào (3) thì
36 0
(vô lý).
+ Với
2 2
f
thay vào (3) thì
2 1
f
nên phương trình tiếp tuyến là
y x
.
Chọn D.
TOANMATH.com
Trang 46
Ví dụ 8: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên
thỏa mãn
3
6 3 10
f x f x x
với
mọi
x
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y f x
tại điểm có hoành độ
1
x
là
A.
2.
y x
B.
.
y x
C.
1 2
.
3 3
y x
D.
1 4
.
3 3
y x
Hướng dẫn giải
Ta cần tính
1 , 1
f f
.
Thay
1
x
vào đẳng thức
3
6 3 10
f x f x x
, ta có
3 3
1 6 1 3 10 1 6 1 7 0 1 1.
f f f f f
Theo bài ra ta có
3
6 3 10
f x f x x
đúng với mọi x nên đạo hàm hai vế ta được
2
3. . 6 3,f x f x f x x
.
Thay
1
x
vào ta có
2
3 1 . 1 6 1 3
f f f
.
Vì
1 1
f
nên
1
1
3
f
.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là
1 4
3 3
y x
.
Chọn D.
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên
thỏa mãn
3 2
2 2 1 2 4 ,f x f x x x x
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y f x
tại điểm có
hoành độ bằng 1 và bằng 0 lần lượt có dạng
y ax b
và
1 1
y a x b
. Giá trị biểu thức
1 1
2 5
3 2
a b
b a
bằng
A.
5
.
46
B.
46
.
3
C.
3
.
46
D.
46
.
5
Câu 2: Biết đồ thị các hàm số
,
y f x y g x
và
f x
y
g x
có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
0
x
và có cùng hệ số góc khác 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
1
0 .
4
f
B.
1
0 .
4
f
C.
1
0 .
4
f
D.
1
0 .
4
f
Câu 3: Cho các hàm số
,
y f x y g x
và
.
y f x g x
. Biết tiếp tuyến của đồ thị các hàm số đã
cho tại điểm
0
x
có cùng hệ số góc và khác 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
0 0 1.
f g
B.
0 0 1.
f g
C.
0 0 1.
f g
D.
0 0 1.
f g
Câu 4: Hệ số góc của các tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
1
x
của đồ thị các hàm số
;
y f x y g x
và
3
3
f x
y
g x
bằng nhau và khác 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?
TOANMATH.com
Trang 47
A.
11
1 .
4
f
B.
11
1 .
4
f
C.
11
1 .
4
f
D.
11
1 .
4
f
Câu 5: Cho hai hàm số
y f x
và
y g x
có đạo hàm trên
và
0 1
g
. Biết tiếp tuyến tại điểm
0
0
x
của ba đồ thị hàm số
1
, ,
1
f x
y f x y g x y
g x
có cùng hệ số góc và khác 0. Mệnh đề nào
sau đây đúng?
A.
3
0 , 0 1.
4
f f
B.
3
0 , 0 1.
4
f f
C.
3
0 , 0 1.
4
f f
D.
3
0 , 0 1.
4
f f
Câu 6: Cho hàm số
4
, , 2
y f x y f f x y f x
có đồ thị lần lượt là
1 2 3
, ,
C C C
. Biết tiếp
tuyến của
1 2
,
C C
tại điểm có hoành độ
0
1
x
có phương trình lần lượt là
2 1, 6 1
y x y x
.
Phương trình tiếp tuyến của
3
C
tại điểm có hoành độ
0
1
x
là
A.
12 5.
y x
B.
6 3.
y x
C.
24 21.
y x
D.
12 9.
y x
Câu 7: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm trên
. Gọi
1 2 3
, ,
C C C
lần lượt là đồ thị của các hàm số
2
, , 1
y f x y f f x y f x
. Các tiếp tuyến của
1 2
,
C C
tại điểm
0
2
x
có phương trình lần
lượt là
2 1, 4 3
y x y x
. Hỏi tiếp tuyến của
3
C
tại điểm
0
2
x
đi qua điểm nào dưới đây?
A.
2; 11 .
Q B.
2;11 .
M C.
2; 21 .
N D.
2; 21 .
P
Câu 8: Cho các hàm số
2
2
, ,
f x
y f x y f x y
f x
có đồ thị lần lượt là
1 2 3
, ,
C C C
. Hệ số góc
các tiếp tuyến của
1 2 3
, ,
C C C
tại điểm có hoành độ
0
1
x
lần lượt là
1 2 3
, ,
k k k
thỏa mãn
1 2 3
2 3 0
k k k
. Giá trị
1
f
bằng
A.
1
.
5
B.
2
.
5
C.
.
5
D.
4
.
5
Câu 9: Cho các hàm số
2
; ; 4
y f x y f f x y f x
có đồ thị lần lượt là
1 2 3
, ,
C C C
.
Đường thẳng
1
x
cắt
1 2 3
; ;
C C C
lần lượt tại M, N, P. Biết phương trình tiếp tuyến của
1
C
tại M
và của
2
C
tại N lần lượt là
3 2
y x
và
12 5
y x
và phương trình tiếp tuyến của
3
C
tại P có dạng
y ax b
. Giá trị
a b
bằng
A. 6. B. 9. C. 8. D. 7.
Câu 10: Cho hàm số
y f x
xác định và có đạo hàm trên
thỏa mãn
2 3
2 1 1 .
f x f x x
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y f x
tại điểm có hoành độ bằng 1 là
A.
1 6
.
7 7
y x
B.
1 6
.
7 7
y x
C.
1 8
.
7 7
y x
D.
1 5
.
7 7
y x
TOANMATH.com
Trang 48
Câu 11: Gọi
1 2 3
; ;
k k k
lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị các hàm số
;y g ;
f x
y f x x y
g x
tại
2
x
và thỏa mãn
1 2 3
2 0
k k k
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
1
2 .
2
f
B.
1
2 .
2
f
C.
1
2 .
2
f
D.
1
2 .
2
f
Câu 12: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm tại
1
x
. Gọi
1 2
,
d d
lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y f x
và
2 1
y g x xf x
tại điểm có hoành độ
1
x
. Biết rằng hai đường thẳng
1 2
,
d d
vuông
góc với nhau, mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
1 2.
f B.
1 2 2.
f C.
2 1 2 2.
f D.
2 1 2.
f
Dạng 5: Một số bài toán tiếp tuyến khác
Bài toán 1. Tìm các điểm trên đồ thị hàm số
y f x
mà tiếp tuyến tại các điểm đó song song với
nhau hoặc có cùng hệ số góc k.
Phương pháp giải
Giả sử hai điểm
; , ;
A A B B A B
A x f x B x f x x x
thuộc
đồ thị hàm số
y f x
mà tiếp tuyến tại hai
điểm đó song song với nhau hoặc có cùng hệ
số góc k thì
,
A B
x x
là hai nghiệm của phương
trình
f x k
.
Khi đó ta có biểu thức liên hệ giữa
,
A B
x x
.
Từ đó giải quyết yêu cầu bài toán đưa ra.
Đối với hàm số
0; 0
ax b
y c ad bc
cx d
có tâm đối xứng
là
;
d a
I
c c
. Nếu A, B là hai điểm thuộc đồ
thị có tiếp tuyến tại A, B song song với nhau
thì I là trung điểm của AB.
Ví dụ: Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
có đồ thị (H). Gọi
1 1 2 2
; , ( ; )
A x y B x y
là hai điểm phân biệt thuộc (H)
sao cho tiếp tuyến của (H) tại A, B song song với
nhau. Tổng
1 2
x x
bằng
A. 0. B. –1.
C. 2. D. 1.
Hướng dẫn giải
Ta có
2
1 3
2 1
2 1
x
y
x
x
Do tiếp tuyến của (H) tại A, B song song với nhau,
nên ta có
2 2
1 2
2 2
1 2
3 3
2 1 2 1
2 1 2 1
x x
x x
1 2 1 2
1 2 1 2
2 1 2 1
2 1 2 1 1
x x x x
x x x x
Vì
A B
nên
1 2
1
x x
.
Chọn D.
Nhận xét: Hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số
ax b
y
cx d
với
0; 0
c ad bc
mà tiếp tuyến tại
TOANMATH.com
Trang 49
A, B song song với nhau thì hai điểm A, B đối
xứng với nhau qua điểm
;
d a
I
c c
nên
2
2 .
A B I
d
x x x
c
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
có đồ thị (H). Gọi
1 1 2 2
; , ;
A x y B x y
là hai điểm phân biệt thuộc (H)
sao cho tiếp tuyến của (H) tại A, B song song với nhau. Độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng AB bằng
A.
3 2
. B.
3.
C.
6.
D.
2 6.
Hướng dẫn giải
Ta có
2
3
2 1
y
x
. Do tiếp tuyến của (H) tại A, B song song với nhau nên
1 2
1 2
2 2
1 2
1 2
3 3
1
2 1 2 1
x x
y x y x
x x
x x
Vì
1 2
x x
nên
1 2
1
x x
.
Khi đó do vai trò của A, B như nhau nên ta có thể giả sử
1
1 1
, 0
2 2
x a a
thì
1 1 3 1 1 3
; , ;
2 2 2 2 2 2
a a
A a B a
a a
.
Gọi
1 1
;
2 2
I
là giao điểm của hai đường tiệm cận.
Ta thấy
1 2
1 2
1 2
1 2
I
I
x x x
y y y
nên I là trung điểm của AB.
Ta có
2 2
2 2
3 9 9 3
; 2 .
2 2 4 4 4 4 2
a a a
IA IA
a a a
Vì I là trung điểm của AB nên
3
2 2 6
2
AB IA
.
Vậy
min
6
AB khi
2
2
2
9
3 3
4 4
a
a a
a
Chọn C.
TOANMATH.com
Trang 50
Ví dụ 2: Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
có đồ thị (H). Gọi
1 1 2 2
; , ;
A x y B x y
là hai điểm phân biệt thuộc (H)
sao cho tiếp tuyến của (H) tại A , B có cùng hệ số góc k . Biết diện tích tam giác OAB bằng
1
2
. Mệnh đề
nào dưới đây đúng?
A.
9.
k
B.
9 6.
k
C.
6 3.
k
D.
3 0.
k
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
3
2 1
y
x
Tiếp tuyến tại A, B của (H) có cùng hệ số góc k nên
1 2
,
x x
là hai nghiệm phân biệt của phương trình
2
3
0
2 1
k k
x
.
Suy ra
2
4 4 3 0 *
kx kx k nên
1 2
1 2
1
3
.
4
x x
k
x x
k
Khi đó do vai trò của A, B như nhau nên ta có thể giả sử
1
1 1
, 0
2 2
x a a
thì
1 1 3 1 1 3
; , ;
2 2 2 2 2 2
a a
A a B a
a a
.
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC nếu có
; , ;
AB a b AC c d
thì
1
2
ABC
S ad bc
.
Ta có
1 1 3 1 1 3
; , ;
2 2 2 2 2 2
a a
OA a OB a
a a
2
1 1 3 1 3 1 3 1
.
2 2 2 2 2 4 2
OAB
a a a a a
S
a a a
2
2
2
2 3 0 3
3
2
1
2 3 0
a a a
a
a a
a a
( vì a > 0).
+ Với
1 2
1
3 2; 1 .
3
a x x k
+ Với
1 2
1 1; 0 3.
a x x k
Vậy giá trị của k là
1
3;
3
k k
.
Chọn D.
Ví dụ 3: Cho hàm số
3
3 1
y x x
có đồ thị (C). Gọi
; , ;
A A B B
A x y B x y
với
A B
x x
là các điểm
thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại A, B song song với nhau và
6 37
AB . Giá trị
2 3
A B
x x
bằng
A. 15. B. 90. C. – 15. D. – 90.
TOANMATH.com
Trang 51
Hướng dẫn giải
Ta có
2
3 3
y x
.
Do tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau nên
A B
y x y x
2 2
3 3 3 3 0
A B A B
x x x x
(do
A B
x x
).
Giả sử
3 3
, 3 1 , , 3 1
A a a a B a a a
với a > 0 thuộc (C).
Khi đó
2
2 2 3 6 4 2
4 2 6 4 24 40 6 37
AB a a a a a a
6 4 2 2
4 24 40 1332 0 9 3
a a a a a
(vì a > 0)
3; 3
A B
x x
nên
2 3 15.
A B
x x
Chọn A.
Ví dụ 4: Cho hàm số
2
1
x
y
x
có đồ thị (C). Gọi A, B là hai điểm phân biệt thuộc (C) và tiếp tuyến của
(C) tại A, B song song với nhau. Đường thẳng AB cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại M, N diện tích tam giác
OMN bằng
1
4
. Độ dài đoạn MN bằng
A.
10
. B.
5
.
2
C.
3 5
.
2
D.
10
.
2
Hướng dẫn giải
Ta có
2
3
1
y
x
. Gọi
1 1 2 2
; , ;
A x y B x y
.
Khi đó
2 2
1 2 1 2 1 2
1 1 2
y x y x x x x x
.
Do đó tâm đối xứng
1;1
I của (C) là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Gọi hệ số góc của đường thẳng AB là k.
Phương trình đường thẳng AB là
1 1
y k x
.
Điều kiện để đường thẳng
: 1 1
d y k x
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B là phương trình
2
1 1 *
1
x
k x
x
có hai nghiệm phân biệt
1
x
.
Ta có
2
* 2 3 0
kx kx k
có hai nghiệm phân biệt
1
x
khi và chỉ khi
2
0
3 0 0
2 3 0
k
k k k k
k k k
Vì M, N là giao điểm của AB với Ox, Oy nên
1
;0 , 0;1
k
M N k
k
.
TOANMATH.com
Trang 52
Suy ra
2
2
2
1
1
2 1
1
2 4
2
OMN
k
k
S k k
k
k
Ta có
2
2 2
2
2 2
1
1
1 1 1
k
MN k k
k k
+ Với
5
2 .
2
k MN
+ Với
1 5
.
2 2
k MN
Vậy trong cả hai trường hợp thì
5
2
MN
.
Chọn B.
Bài toán 2: Một số dạng toán khác
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số
4 2
3 2
y x x
và có hoành độ a. Có bao nhiêu số
nguyên a sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt B, C khác A?
A. 1. B. 3. C. 2. D. 5.
Hướng dẫn giải
Ta có
3
0
4 6 ; 0
6
2
x
y x x y
x
.
2
2
12 6; 0
2
y x y x
.
Tọa độ các điểm có hoành độ a nguyên để tiếp tuyến tại điểm đó cắt trục hoành tại hai điểm thỏa mãn
6 6
2 2
1;0;1
2
;
2
a
a
a a
.
Vậy có ba giá trị nguyên của a thỏa mãn.
Chọn B.
Nhận xét: Đối với đồ thị hàm số
4 2
y ax bx c
mà đồ thị có ba điểm cực trị ( khi ab < 0) thì tiếp
tuyến của đồ thị tại các điểm có hoành độ nằm giữa hai điểm cực tiểu (cực đại), trừ điểm uốn sẽ luôn cắt
đồ thị tại hai điểm khác nữa.
TOANMATH.com
Trang 53
Ví dụ 2: Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số
4 2
3 2
y x x
và có hoành độ a . Có bao nhiêu số
nguyên a sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt B, C khác A và diện tích tam giác
OBC bằng
2 3
?
A. 1. B. 3. C. 2. D. 5.
Hướng dẫn giải
Ta có
3
0
4 6 ; 0
6
2
x
y x x y
x
.
2
2
12 6; 0
2
y x y x
.
Tọa độ các điểm có hoành độ a nguyên để tiếp tuyến tại điểm đó cắt trục hoành tại hai điểm nữa thì
6 6
2 2
1;0;1
2
2
a
a
a
+ Với
1 1;0
a A . Khi đó phương trình tiếp tuyến là
2 1
y x
.
Xét phương trình
4 2
0
3 2 2 1 1
2
x
x x x x
x
nên
0;2 , 2;6 2
OBC
B C S
(loại).
+ Với
0 0;2
a A . Khi đó phương trình tiếp tuyến là
2
y
nên
3;2 , 3;2 2 3
OBC
B C S
(thỏa mãn).
+ Với
1 1;0
a A . Khi đó phương trình tiếp tuyến là
2 1
y x
nên
0;2 , 2;6 2
OBC
B C S
(loại).
Vậy
0
a
.
Chọn A.
Ví dụ 3: Cho hàm số
1
2
x
y
x
có đồ thị (C). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m sao cho tiếp
tuyến của (C) tại điểm có hoành độ
2
x m
cắt tiệm cận đứng tại
1 1
;
A x y
, cắt tiệm cận ngang tại
2 2
;
B x y
thỏa mãn
2 1
5
x y
. Tổng giá trị các phần tử của S bằng
A. 4. B. – 2. C. – 4. D. 2.
Hướng dẫn giải
Đồ thị (C) có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là
2
x
và
1
y
.
Ta có
2
2
3 3
, 2
2
y y m
m
x
.
TOANMATH.com
Trang 54
Gọi
3
2; , 0
m
M m C m
m
, tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình là
2
3 3
2
m
y x m
m m
.
Giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng là
6
2;
m
A
m
và tiệm cận ngang là
2 2;1
B m .
Theo giả thiết ta có
2
1
6
2 2 5 2 4 6
3
m
m
m m m
m m
.
Vậy
1 2
2
m m
.
Chọn B.
Ví dụ 4: Cho hàm số
1
1
x
y
x
có đồ thị (C). Gọi A, B là hai điểm nằm
trên hai nhánh của (C) và các tiếp tuyến của (C) tại A, B cắt các đường
tiệm cận ngang và tiệm cận đứng lần lượt tại các cặp M, N và P, Q. Diện
tích tứ giác MNPQ nhỏ nhất bằng
A. 16. B. 32. C. 8. D. 4.
Hướng dẫn giải
Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Theo tính chất của tiếp tuyến đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc
nhất thì
. . 8
IM IN IP IQ
.
Ta có
1 1 1
. . . . .
2 2 2
MNPQ
S MP NQ IM IP IN IQ IM IN IP IQ IM IQ IN IP
1 1 64 1
8 8 . . 8 . 8 .2 64 16
2 2 . 2
IM IQ IN IP IN IP
IN IP
.
Vậy
min
16
S
khi
64
. . 8
.
IN IP IN IP
IN IP
hay
2 2
IN IQ IM IP
tức là MNPQ là hình
vuông.
Chọn A.
Ví dụ 5: Cho hàm số
4 3 2
1
6 7
2
y x x x
có đồ thị (C). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để
có ít nhất hai tiếp tuyến của (C) song song hoặc trùng với đường thẳng
:
d y mx
?
A. 27. B. 28. C. 26. D. 25.
Hướng dẫn giải
Giả sử
;
M a b
là tiếp điểm. Ta có
3 2
2 3 12
y x x x
.
Tiếp tuyến của (C) tại M song song hoặc trùng với đường thẳng
:
d y mx
nên a là nghiệm của phương
trình
3 2
2 3 12 *
x x x m .
TOANMATH.com
Trang 55
Để có ít nhất hai tiếp tuyến của (C) song song hoặc trùng với đường thẳng d thì phương trình (*) có ít
nhất hai nghiệm.
Xét
3 2
2 3 12
f x x x x
có
2
1
6 6 12; 0
2
x
y x x y
x
.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, để phương trình (*) có ít nhất hai nghiệm thì
20 7
m
.
Mà
m
nên
20, 19,...,6,7
m .
Vậy có 28 giá trị m thỏa mãn.
Chọn B.
Ví dụ 6: Cho đường cong
1
:
1
x
C y
x
và điểm
1;1
I . Hai điểm A và B thuộc cùng một nhánh của đồ
thị sao cho
IA IB
. Gọi
1
k
và
2
k
lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến tại A và B. Khi tiếp tuyến tại A và
B của (C) tạo với nhau một góc
15
, giá trị biểu thức
1 2
k k
bằng
A.
2 6 2 2.
B.
4 2 3 .
C.
2 6 2 2.
D.
4 2 3 .
Hướng dẫn giải
Do
IA IB
nên
1 2
. 1
k k
.
Ta có
1 2
1 2
tan15
1 .
k k
k k
1 2
2 2 3
k k
2
1 2
28 16 3
k k
2
1 2 1 2
32 16 3 4 2 3 2 6 2 2
k k k k .
Chọn A.
Nhận xét: Đối với đồ thị hàm số
ax b
y
cx d
có tâm đối xứng là I. Cho A, B là hai điểm thuộc cùng một
nhánh của đồ thị hàm số thỏa mãn
IA IB
.
Gọi
1 2
,
k k
là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại A, B.
Ta có
1 2
1
k k
c
.
TOANMATH.com
Trang 56
Bài tập tự luyện dạng 5
Câu 1: Cho hàm số
3 2
3 3
y x x
có đồ thị (C). Trên (C) có hai điểm phân biệt A và B sao cho tiếp
tuyến tại A, B có cùng hệ số góc k và O, A, B thẳng hàng. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
3 0.
k
B.
0 3.
k
C.
8 12.
k
D.
4 8.
k
Câu 2: Cho hàm số
3 2
6 9 3
y x x x
có đồ thị (C). Tồn tại hai tiếp tuyến của (C) phân biệt và có
cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy
lần lượt tại A, B sao cho
2020.
OA OB
. Có bao nhiêu giá trị của k thỏa mãn yêu cầu bài toán?
A. 0. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 3: Cho hàm số
4 2
2
y x x
có đồ thị (C). Trên đồ thị (C) có ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp
tuyến của (C) tại A, B, C có cùng hệ số góc k. Tập hợp tất cả các giá trị thực của k là
A.
8 3 8 3
; .
2 2
B.
1 1
; .
3 3
C.
8 8
; .
3 3
D.
8 3 8 3
; .
9 9
Câu 4: Cho hàm số
4 2
2
y x x
có đồ thị (C). Trên (C) có ba điểm A, B, C sao cho tiếp tuyến của (C) tại
A, B, C có cùng hệ số góc k. Biết rằng ba điểm A, B, C cùng thuộc một parabol và đỉnh I của parabol có
hoành độ là
1
6
. Tung độ của I bằng
A.
4
.
3
B.
1
.
6
C.
1
.
36
D.
1
.
6
Câu 5: Cho hàm số
3 2
3 2
y x x
có đồ thị (C). Gọi A, B là hai điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của
(C) tại A, B song song với nhau, đường thẳng AB có hệ số góc dương và tạo với hai trục tọa độ tam giác
vuông cân. Giá trị
.
A B
x x
bằng
A. – 3. B. – 1. C. – 2. D. 2.
Câu 6: Cho hàm số
1
1
x
y
x
có đồ thị (C). Gọi A, B là hai điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại
A , B song song với nhau. Khoảng cách lớn nhất từ điểm
2;3
M đến đường thẳng AB bằng
A.
13.
B.
3
.
2
C.
3 2.
D.
11.
Câu 7: Cho hàm số
3 2
3 2 1
y x x x
có đồ thị (C). Hai điểm A, B phân biệt trên (C) có hoành độ lần
lượt là
,
a b a b
. Tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và
2
AB
. Giá trị
2 3
a b
bằng
A. 4. B. 6. C. 7. D. 8.
Câu 8: Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để trên đồ thị hàm số
3 2
2 5
1 3 2
3 3
y x m x m x
tồn tại hai điểm
1 1 1 2 2 2
; , ;
M x y M x y
có tọa độ thỏa mãn
1 2
. 0
x x
sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại hai điểm đó cùng vuông góc với đường thẳng
2 1 0
x y
. Số
nguyên âm lớn nhất thuộc tập S là
A. – 1. B. – 3. C. – 2. D. – 4.
TOANMATH.com
Trang 57
Câu 9: Cho hàm số
1
2
x
y
x
có đồ thị (C). Hai điểm phân biệt A, B của (C) trong đó hoành độ của A
âm sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau và diện tích tam giác OAB bằng 1. Độ dài
đoạn thẳng OA bằng
A. 1. B.
1
.
2
C.
89
.
2
D.
89
.
2
Câu 10: Gọi A, B là hai điểm phân biệt thuộc đồ thị (C) của hàm số
4 2
3 2
y x x
sao cho tiếp tuyến
của (C) tại A và B song song với nhau. Khoảng cách giữa A và B lớn nhất bằng
A.
3
.
2
B.
3 3
.
2
C.
35
.
2
D.
6.
Câu 11: Cho hàm số
3
2018
y x x
có đồ thị (C). Xét điểm
1
A
có hoành độ
1
1
x
thuộc (C). Tiếp tuyến
của (C) tại
1
A
cắt (C) tại điểm thứ hai
2 1
A A
có tọa độ
2 2
;
x y
. Tiếp tuyến của (C) tại
2
A
cắt (C) tại
điểm thứ hai
3 2
A A
có tọa độ
3 3
;
x y
. Cứ tiếp tục như thế, tiếp tuyến của (C) tại
1
n
A
cắt (C) tại điểm
thứ hai
1
n n
A A
có tọa độ
;
n n
x y
. Giá trị
2019
x
bằng
A.
2019
2 .
B.
2018
2 .
C.
2020
2 .
D.
2017
2 .
Câu 12: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đường cong
2 4
:
x
C y
x
mà tiếp điểm có tọa độ nguyên?
A. 6. B. 8. C. 4. D. 3.
Câu 13: Có một tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số
4 3 2
3 2
y x x x
tại đúng hai điểm phân biệt M
và N với
M N
x x
. Giá trị biểu thức
N M
x x
bằng
A.
3
.
2
B.
11
.
2
C.
2 2.
D. 6.
Câu 14: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2 1
2
x
y
x
mà tiếp điểm cách đều các trục tọa độ?
A. 1. B. 3. C. 2. D. 4.
Câu 15: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
1
x
y
x
cách đều hai điểm
1; 3 , 2; 6
A B
?
A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 16: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
3
y x x
cách đều hai điểm
1;2 , 3; 6
A B
?
A. 4. B. 3. C. 2. D. 5.
Câu 17: Cho đường thẳng
y m
cắt đường cong
4 2
: 3 2
C y x x
tại hai điểm phân biệt A và B sao
cho tam giác OAB vuông tại O với m là số thực dương. Khi đó tiếp tuyến của (C) tại A và B cắt nhau tại
điểm nào dưới đây?
A.
0;40 .
M B.
0; 42 .
N C.
0; 38 .
P D.
0; 40 .
Q
Câu 18: Cho hàm số
3 2
2 3 1
y x x
có đồ thị (C). Xét điểm A thuộc (C). Gọi S là tập hợp các giá trị
thực của a sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại điểm thứ hai B (
B A
) thỏa mãn
1
.
2
a b
, trong
đó a, b lần lượt là hoành độ của A và B. Tổng giá trị các phần tử của S bằng
TOANMATH.com
Trang 58
A.
5
.
4
B.
3
.
4
C.
5
.
4
D.
3
.
4
Câu 19: Gọi A là điểm thuộc đồ thị hàm số
4 2
1 5
: 3
2 2
C y x x
sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt
(C) tại hai điểm phân biệt B; C khác A thỏa mãn
3
AC AB
(với B nằm giữa A ;C). Độ dài đoạn thẳng
OA bằng
A.
2.
B.
3
.
2
C.
14
.
2
D.
17
.
2
Câu 20: Cho đồ thị hàm số
1
:
2
x
C y
x
và
1 2
,
d d
là hai tiếp tuyến của (C) song song với nhau. Khoảng
cách lớn nhất giữa
1 2
,
d d
là
A. 3. B.
2 3.
C. 2. D.
2 2.
Câu 21: Cho hàm số
3 1
1
x
y
x
có đồ thị (C). Gọi A, B là hai điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C)
tại A, B song song với nhau. Các tiếp tuyến này lần lượt cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của (C) tại M,
N (tham khảo hình vẽ). Tứ giác MNBA có chu vi nhỏ nhất bằng
A. 16. B. 12. C. 20. D. 24.
ĐÁP ÁN
DẠNG 1. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cho trước
1 – C 2 – C 3 – A 4 – D 5 – C 6 – C 7 – B 8 – D 9 – D 10 – B
11 – B 12 – A 13 – B 14 – D 15 – D 16 – D 17 – B 18 – D 19 – B 20 – B
21 – A 22 – B 23 – C 24 – A 25 – D 26 – D 27 – C 28 – A 29 – B 30 – A
31 – A 32 – B 33 – B 34 – A 35 – D 36 – D
DẠNG 2. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y f x
khi biết hệ số góc
1 – B 2 – B 3 – D 4 – B 5 – A 6 – A 7 – B 8 – D 9 – D 10 – A
11 – A 12 – A 13 – C 14 – A 15 – C 16 – C 17 – D 18 – A 19 – C 20 – B
21 – A 22 – C 23 – D 24 – C 25 – B 26 – D 27 – C
DẠNG 3. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y f x
đi qua điểm M cho trước
1 – B 2 – C 3 – C 4 – D 5 – D 6 – A 7 – D 8 – A 9 – B 10 – B
11 – D
DẠNG 4. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ẩn tại điểm có hoành độ
0
x x
cho trước
TOANMATH.com
Trang 59
1 – D 2 – B 3 – C 4 – A 5 – A 6 – A 7 – C 8 – C 9 – D 10 – C
11 – B 12 – B
Dạng 5. Một số bài toán tiếp tuyến khác
1 – C 2 – B 3 – D 4 – C 5 – A 6 – A 7 – A 8 – D 9 – A 10 – B
11 – B 12 – B 13 – B 14 – C 15 – A 16 – B 17 – C 18 – D 19 – D 20 – C
21 – D
| 1/59
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ 1 BÀI 5. TIẾP TUYẾN Mục tiêu  Kiến thức
+ Nắm được khái niệm đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số, sự tiếp xúc của hai đồ thị.
+ Hiểu được ý nghĩa của đạo hàm liên quan đến hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm.
+ Biết cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị khi biết điểm tiếp xúc, biết trước hệ số góc và
tiếp tuyến đi qua điểm cho trước.  Kĩ năng
+ Viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cho trước.
+ Biết cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết trước.
+ Biết cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm cho trước.
+ Giải được các bài toán liên quan đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số. TOANMATH.com Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Cho hai hàm số f x và gx có đạo hàm tại điểm x . Ta nói rằng 0
hai đường cong C :y  f x và C : y  gx tiếp xúc với nhau tại
điểm M x ;y nếu M là một tiếp điểm chung của chúng. 0 0 
(C) và ( C) có tiếp tuyến chung tại M. Điều kiện tiếp xúc:
Hai đường cong (C): y  f x và C : y  gx tiếp xúc với nhau  hệ phương trình f  x  gx  có nghiệm. f  x  gx
Nghiệm của hệ phương trình là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đó. TOANMATH.com Trang 2 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
Điều kiện tiếp xúc của hai Khái niệm tiếp tuyến đồ thị hàm số:
chung của hai đồ thị hàm Hai đường cong (C): số: y  f x
Cho hai hàm số f x và
và C : y  gx
tiếp xúc với nhau khi và chỉ
gx có đạo hàm tại điểm khi hệ phương trình TIẾP
x . Ta nói rằng hai đường 0 f  x  gx TUYẾN   có nghiệm cong (C): y f x và f  x  gx
C: y  gx tiếp xúc với Nghiệm của hệ phương nhau tại điểm M x ;y 0 0 
trình là hoành độ tiếp điểm
của hai đường cong đó.
nếu M là một tiếp điểm chung của chúng. Hai đường cong có tiếp tuyến chung tại M. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cho trước
Bài toán 1: Sự tiếp xúc của hai đường cong Phương pháp giải
Cho hai đường cong (C): y  f x và
Ví dụ: Cho đồ thị hàm số   3 C : y  x  3x  2 .
C: y  gx. Điều kiện để hai đường cong
Hoành độ tiếp điểm của đồ thị (C) với trục Ox là
tiếp xúc với nhau là hệ phương trình 3 x  3x  2  0 nghiệm của hệ  2  3x  3  0 f  x  gx  có nghiệm. f  x  gx x  2;x  1     x  1  x  1 
- Nghiệm x  x của hệ trên là hoành độ 0
Vậy tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C) với trục hoành
của tiếp điểm của hai đường cong đã cho. là A  1  ;0 .
- Hệ trên có bao nhiêu nghiệm thì hai
đường cong (C) và C tiếp xúc với nhau tại bấy nhiêu điểm. Ví dụ mẫu TOANMATH.com Trang 3
Ví dụ 1: Đồ thị hàm số 3
y  x  x 1 tiếp xúc với đường thẳng nào dưới đây? A. y  x 1. B. y  2x 1. C. y  x 1. D. y  2x 1. Hướng dẫn giải:
Áp dụng điều kiện tiếp xúc của hai đường cong C : y  f x và C : y  gx là hệ phương trình f  x  gx  có nghiệm. f  x  gx Ta có 2 y  3x 1  0, x
   nên các phương án B, C bị loại. 3 x  x 1  x 1
Xét phương án A. y  x 1. Ta có hệ   x  0 . 2 3  x 1 1
Vậy đường thẳng y  x 1 tiếp xúc với đồ thị hàm số đã cho. Chọn A.
Ví dụ 2. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y  2x  m tiếp xúc với đồ thị x 1 hàm số y  là x 1 A. 7;  1 . B.   1 . C.   6 . D. 6;  1 . Hướng dẫn giải: x 1 Đường thẳng y  2
 x  m tiếp xúc với đồ thị hàm số y 
khi và chỉ khi hệ phương trình sau có x 1 nghiệm  x 1 x  0  2  x  m  x 1   x 1   x 1  2  x   m   2  x  m m  1   x 1    x 1  2        x  2 2  x x x  x      2 2 2 1  1   2  0  1  m  7 Vậy m  1  ; 
7 thì đường thẳng d tiếp xúc với (C). Chọn A.
Ví dụ 3: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị ( C ) của hàm số m 3 2
y  x  4mx  7mx  3m tiếp xúc với parabol P 2
: y  x  x 1 . Tổng giá trị các phần tử của S bằng 11 331 9 A. . B. . C. . D. 4 . 4 4 4 Hướng dẫn giải:
Để ( C ) tiếp xúc với (P) thì hệ phương trình sau có nghiệm: m 3 2 2
x  4mx  7mx  3m  x  x 1  2 3
 x 8mx  7m  2x 1 TOANMATH.com Trang 4 3 x   4m   2 1 x  7m   1 x  3m 1  0   1   2 3  x  2 
4m  1 x  7m 1 0 2
Giải (1), ta có (1)   x   2 1 x  4mx  3m   1  0 x  1   2 x  4mx  3m 1  0
+ Với x  1 thay vào (2) được m  2 2 x  4mx  3m 1  0  3 + Xét hệ   2m   1 x  m 14 . 2 3  x  2 
4m  1 x  7m 1 0 1
• Nếu m  thì (4) vô nghiệm. 2 1 m 1
• Nếu m  thì (4)  x  . 2 2m 1 m 1 2  m 1   m 1  Thay x  vào (3) ta được  4m  3m 1  0 2m 1      2m 1  2m 1 m  2  1 3 2
 4m 11m  5m  2  0  m   (thỏa mãn điều kiện).  4 m 1   1  11
Vậy S  2; ;1 nên tổng các phần tử trong S bằng .  4  4 Chọn A.
Ví dụ 4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 x 1 y   m  2 2
x  2mx 1 tiếp xúc với đường thẳng y  1. Tổng giá trị các phần tử của S bằng 3 2 20 8 32 A. 10. B. . C. . D. . 3 3 3 Hướng dẫn giải 3  x 1   m  2 2 x  2mx 1  1  1
Xét hệ phương trình  3 2  2 x  
m  2 x  2m  02 x  m
Giải phương trình (2) ta được  . x  2 3 m m 0 2  
+ Với x  m , thay vào (1) ta được   m  0   . 6 m  6 2
+ Với x  2 , thay vào (1), ta được m  . 3 TOANMATH.com Trang 5
Vậy tập hợp các giá trị của tham số thực để đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với đường thẳng y  1 là  2  20 S  0
 ;6;  nên tổng các phần tử trong S bằng .  3  3 Chọn B.
Ví dụ 5. Biết đồ thị của hàm số C 3 2
: y  x  ax  bx  c  , a ,
b c   , tiếp xúc với trục hoành tại gốc tọa
độ và cắt đường thẳng x  1 tại điểm có tung độ bằng 3. Tổng a + 2b + 3c bằng A. 4. B. 2. C. 6. D. 3. Hướng dẫn giải:
Vì (C) tiếp xúc với Ox tại gốc tọa độ nên x  0 là nghiệm của hệ phương trình 3 2
x  ax  bx  c  0 b  0    2 3  x  2ax  b  0 c  0
Mặt khác (C) đi qua điểm A1;3 nên a  b  c 1  3  a  2 . Vậy a  2b  3c  2. Chọn B. Ví dụ 6. Họ parabol P y mx m x m m
luôn tiếp xúc với đường thẳng d cố định m  2 : 
 2  3   2  0
khi m thay đổi. Đường thẳng d đi qua điểm nào dưới đây? A. A1;8 . B. B 0; 2   . C. C 0;2 . D. D1;8 . Hướng dẫn giải Ta có: 2
y  mx  m   x  m   m  2 2 3 2 x  2x   1  6x  2  y  m x  2 1  6x  2 .
Xét đường thẳng d : y  6x  2 thì hệ phương trình mx  2 1  6x  2  6x  2 
luôn có nghiệm x  1 với mọi m  0 . 2  m x   1  6  6
Vậy P luôn tiếp xúc với đường thẳng d : y  6x  2 . m 
Đường thẳng d đi qua điểm B 0; 2   . Chọn B.
Nhận xét: Nếu có thể viết lại hàm số P theo dạng y max b2  
 cx  d thì P luôn tiếp xúc với m  m  đường y  cx  d .
Bài toán 2. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f x tại điểm M x ; y 0 0  Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
Ví dụ: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số
Bước 1: Tính y  f x và f  x . 3
y  x  x  2 tại điểm M 2;8 bằng 0 
Bước 2: Suy ra phương trình tiếp tuyến cần A. –11. B. 6. C. 11. D. –12. TOANMATH.com Trang 6 tìm là y  f  x x  x  y Hướng dẫn giải 0   0  0 2
Bước 3: Thực hiện các yêu cầu còn lại của bài Ta có y  3  x 1  y 2    1  1 toán. Kết luận.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm Chú ý:
M 2;8 và y  11 x  2  8 .
- Nếu bài toán chỉ cho x thì ta cần tìm 0
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là k  1  1 . y  f x và f  x . Chọn A. 0  0  0
- Nếu bài toán chỉ cho y thì ta cần tìm x 0 0
bằng cách giải phương trình f  x  y . 0
- Giá trị f x là hệ số góc của tiếp tuyến của 0 
đồ thị hàm số y  f  x tại điểm M  x ; y . 0 0  Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tiếp tuyến của đường cong C : y  x x 1 tại điểm M 3;6 có hệ số góc bằng 1 11 1 11 A.  . B. C. D.  4 4 4 4 Hướng dẫn giải x 3x  2 Ta có y  x 1   . 2 x 1 2 x 1 
Hệ số góc cần tìm là y  3.3 2 11 3   . 2 3 1 4 Chọn B.
Ví dụ 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y  x  2x  3 tại điểm M 1;2 là A. y  2  x . B. y  x 1. C. y  3x 1 D. y  2x  2 Hướng dẫn giải: Ta có 2
y  3x  2  y1  1
Vậy phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho tại điểm M 1;2 là y  x   1  2  x 1. Chọn B.
Ví dụ 3. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số C 3
: y  x tại điểm có hoành độ bằng 1 là A. y  3x  3. B. y  3x  2. C. y  3x  2. D. y  3x. Hướng dẫn giải Ta có 2 y  3x  y  1  3.
Do x  1  y  y 1  1. 0 0   TOANMATH.com Trang 7
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ bằng 1 là y  3 x   1 1  y  3x  2 . Chọn C.
Ví dụ 4. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 2
y  x  x 1 tại điểm có tung độ bằng 1 là A. y  4. B. y  2. C. y  1. D. y  3. Hướng dẫn giải
Gọi M  x ; y là tiếp điểm 0 0  Ta có 4 2
y  1  x  x  0  x  0  M 0;1 . 0 0 0 0   Lại có 3
y  4x  2x  y0  0
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  1. Chọn C. 2x  4
Ví dụ 5. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
tại giao điểm của đồ thị với trục hoành là x  3 A. y  2x  4. B. y  3x 1. C. y  2  x  4. D. y  2x. Hướng dẫn giải 2x  4
Giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành là nghiệm của phương trình  0  x  2  đồ x  3
thị hàm số cắt trục hoành tại điểm (2; 0). 2 Ta có y   y 2  2 . 2   x 3
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  2  x  2 hay y  2  x  4 . Chọn C. Ví dụ 6. Cho hàm số 3
y  x  3x  2 có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung là A. y  3x  2 . B. y  2x 1 C. y  2  x 1 D. y  3  x  2 Hướng dẫn giải
Ta có C  Oy  A0;2; y0  3.
Phương trình tiếp tuyến tại A0; 2   là y  3x  2. Chọn A. 2x 1
Ví dụ 7. Gọi đường thẳng y  ax  b là phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  tại điểm có x 1
hoành độ x  1. Giá trị a  b bằng TOANMATH.com Trang 8 1 A. 2. B. –1. C. 1. D. . 2 Hướng dẫn giải 1 2x 1
Ta có x  1  y   Tọa độ tiếp điểm của đường thẳng y  ax  b và đồ thị hàm số y  là 0 0 2 x 1  1  M 1;   .  2  3 Vì y  nên y  3 1  . x  2 1 4 3 1 3 1
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là y  x   1   y  x  4 2 4 4  3 a   4    a  b  1 1 b    4 Chọn C.    
Ví dụ 8. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  tan  3 
x  tại điểm có hoành độ x  là  4  0 6    A. y  x   6. B. y  x   6. C. y  x   6. D. y  6  x  1. 6 6 6 Hướng dẫn giải 3      Ta có y   y  6  ; x   y  1    0 0  2    6  6 cos  3  x   4 
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  6x   1 Chọn D. x 
Ví dụ 9. Gọi M là điểm thuộc đồ thị hàm số C 2 1 : y 
có tung độ bằng 5. Tiếp tuyến của đồ thị (C) x 1
tại M cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B. Diện tích tam giác OAB bằng 125 117 121 119 A. ®vdt. B. ®vdt C. ®vdt D. ®vdt 6 6 6 6 Hướng dẫn giải 3 
Ta có M 2;5C;y  ; y 2  3  . 2   x   1
Phương trình tiếp tuyến tại M 2;5 là d : y  3x 11.  11 
Khi đó d cắt Ox, Oy tại A ;0   và B   11 0;11  OA  ; OB  11.  3  3 TOANMATH.com Trang 9 1 1 11 121 Vậy S  O . A OB  . .11  OAB ®vdt 2 2 3 6 Chọn C. x  b
Ví dụ 10. Cho hàm số y  ab  2
 ,a  0 . Biết rằng a và b là các giá trị thỏa mãn tiếp tuyến của ax  2
đồ thị hàm số tại điểm A1;2 song song với đường thẳng d : 3x  y  4  0 . Khi đó giá trị của a  3b bằng A. 5. B. 4. C. –1. D. –2. Hướng dẫn giải 2  ab 2  ab Ta có: y   y 1 2    ax  2 a 22
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 3x  y  4  0  y  3x  4 nên   2    ab y 1  3   3  . a 22 1 b Mặt khác A1; 2
  thuộc đồ thị hàm số nên 2   b  2a  3. a  2  2  ab    3 2 a 2 2  
Khi đó ta có hệ a  2
 5a 15a 10  0    a  1 b  2a  3
+ Với a  2  b  1  ab  2  (loại)
+ Với a  1  b  1 ( thỏa mãn điều kiện). x 1
Khi đó ta có hàm số y  . x  2 3  y 
 y 1  3 nên phương trình tiếp tuyến là y  3x 1 song song với đường thẳng 2   x 2 y  3  x  4 . Vậy a  3b  2 . Chọn D.
Ví dụ 11. Trong tất cả các đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số 3 2
y  x  3x  3x 1 thì đường thẳng
d có hệ số góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là A. y  6x  2. B. y  2x  2. C. y  1. D. y  3x 1. Hướng dẫn giải Ta có 2 y  3x  6x  3 TOANMATH.com Trang 10
Gọi M  x ; y thuộc đồ thị hàm số. Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến tại M  x ; y là 0 0  0 0  k  3x  6x  3  3  x  2 2 1  6  6 0 0 0  k
 6  x  1 hay M 1; 4   . max 0
Phương trình đường thẳng d là y  6 x   1  4  y  6x  2 . Chọn A.
Nhận xét: Đối với hàm số bậc ba 3 2
y  ax  bx  cx  d thì tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất (nhỏ nhất) là
tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị U x ; f x
, với x là nghiệm của phương trình y  0 . 0  0 0
+ Nếu a  0 thì hệ số góc k  f  x là nhỏ nhất. 0 
+ Nếu a  0 thì hệ số góc k  f x là lớn nhất. 0  Ví dụ 12. Cho hàm số 3 2
y  x  2x  m  
1 x  2m có đồ thị C . Giá trị thực của tham số m để tiếp m 
tuyến của đồ thị C tại điểm có hoành độ x  1 song song với đường thẳng y  3x 10 là m  A. m  2. B. m  4. C. m  0. D. không tồn tại m. Hướng dẫn giải Ta có 2
y  3x  4x  m 1  y  1  m  2 .
Tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ x  1 có phương trình là m 
y  m  2 x  
1  3m  2  y  m  2 x  2m m  2  3
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y  3x 10 nên  (vô lí) 2m  10
Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D.
Ví dụ 13. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f  x 3 2
 x  3x  9x  2 tại điểm M có hoành độ
x , biết rằng f   x  6 là 0  0 A. y  9x  6. B. y  9x  6. C. y  6x  9. D. y  6x  9. Hướng dẫn giải Ta có f x 2  3
 x  6x  9, f  x  6x  6 f   x  6
  6x  6  6  x  2  y  24 và y2  9 0  0 0 0
Phương trình tiếp tuyến tại M 2;24 là y  9 x  2  24  y  9x  6 . Chọn A.
Ví dụ 14. Cho hàm số f  x 3 2
 x  mx  x 1. Gọi k là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M có
hoành độ x  1. Tất cả các giá trị thực của tham số m để thỏa mãn k. f   1  0 là TOANMATH.com Trang 11 A. m  2 . B. 2  m  1. C. m  1 . D. m  2 Hướng dẫn giải Ta có f  x 2
 3x  2mx 1 k  f   1  4  2m . Do đó k. f  
1  4  2mm   1 Để k. f  
1  0 thì 4  2mm   1  0  2   m  1. Chọn B. Ví dụ 15. Cho hàm số 3 2
y  x  3mx  m  
1 x 1 , với m là tham số thực, có đồ thị (C). Biết rằng khi
m  m thì tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x  1
 đi qua A1;3 . Mệnh đề nào sau đây 0 0 đúng? A. 2  m  1  . B. 1  m  0 C. 0  m  1 D. 1  m  2 0 0 0 0 Hướng dẫn giải
Gọi B là tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua A1;3 khi m  m 0 Ta có 2
y  3x  6mx  m 1. Với x  1
 thì y  2m 1 B 1;2m 1 và y  1  5m  4 . 0   0
Tiếp tuyến tại B của (C) có phương trình là y   5  m  4 x   1  2m 1.
Do tiếp tuyến đi qua A1;3 nên  m   1 2 5
4  2m 1  3  m  . 2 1 Vậy m   0;1 . 0   2 Chọn C. 2 x
Ví dụ 16. Cho hàm số y 
có đồ thị (C). Gọi M là một điểm thuộc (C) có khoảng cách từ M đến 2  x
trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục tung, M không trùng với gốc tọa độ O và có tọa độ
nguyên. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là A. y  8  . B. y  6  4. C. y  1  2. D. y  9  . Hướng dẫn giải: 2  a  Giả sử M  ; a
 là một điểm thuộc (C). 2   a  2  a a  0  2a 2   a 2  a 4
Do d  M;Ox  2d  M;Oy nên  2 a    a  2 2  a  a  3  2   a a  4 2  a 
Theo giả thiết thì M không trùng với gốc tọa độ O và có tọa độ nguyên nên a  4  M 4; 8  . TOANMATH.com Trang 12 2 4x  x Khi đó y   y 4  0 2   2  x
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  8  . Chọn A. x 1
Ví dụ 17. Cho hàm số y 
có đồ thị (C) và đường thẳng d : y  2x  m 1 ( m là tham số thực). x  2
Gọi k , k là hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của d và (C). Tích k .k bằng 1 2 1 2 1 A. 4. B. . C. 2. D. 3. 4 Hướng dẫn giải
Tập xác định D   \   2 . 1 Ta có y  x  22
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) x 1  2
 x  m 1 ( với x  2  ) x  2 2
 2x  6  m x  3 2m  0  1
Để đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt khác –2.
    m2    m 2 6 8 3 2  0 m  4m 12  0      m   8   2  6  m32m  0  1   0
Vậy (C) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt A x ; y và B x ;y , với x , x là nghiệm của phương trình 2 2  1 1  1 2 (1).  m  6 x  x   1 2 
Theo định lý Vi-ét ta có 2  3  2  m x .x  1 2  2 1 1 1 Ta có k .k  .  1 2
x  22 x  22 x x  2  x  x  2  4 1 2 1 2 1 2  1   4 2 3  2m m  6   2.  4  2 2    Chọn A. TOANMATH.com Trang 13 Ví dụ 18. Cho hàm số 4 2
y  x  2mx  m có đồ thị (C) với m là tham số thực. Gọi A là điểm thuộc đồ thị
(C) có hoành độ bằng 1. Giá trị của tham số thực m để tiếp tuyến  của đồ thị (C) tại A cắt đường tròn   x y  2 2 :
1  4 tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất là 13 13 16 16 A. m   . B. m  . C. m   . D. m  . 16 16 13 13 Hướng dẫn giải
Đường tròn   x  y  2 2 : 1  4 có tâm I 0;  1 , R  2 . Ta có A  m 3 1;1
; y  4x  4mx  y  1  4  4m .
Suy ra phương trình tiếp tuyến  : y  4  4m x   1 1 m .  3 
Dễ thấy  luôn đi qua điểm cố định F ;0 
 và điểm F nằm trong đường tròn   .  4 
Giả sử  cắt   tại M, N, Khi đó 2 2 MN  R  d I  2 2 ;  2 4  d I; .
Do đó MN nhỏ nhất  d I; lớn nhất  d I;  IF    IF .    3  
Khi đó đường thẳng  có 1 vectơ chỉ phương u  IF  ;1 ; u    1;4  4m nên  4    3 u IF      m 13 . 0 1. 4 4  0  m  . 4 16 Chọn B.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hai hàm số C  3 : y  mx  1 2m 2 x  2mx và C  3
: y  3mx  3 1 2m x  4m  2 tiếp xúc với nhau. Tổng giá 2   1
trị các phần tử của S bằng 11 7 A. . B. 3. C. 1. D. . 6 2
Câu 2: Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y  2x  m tiếp xúc với đồ thị 2x  3 hàm số y 
. Tích giá trị các phần tử của S bằng x 1 1 A. . B. 4. C. –8. D. –4. 2
Câu 3: Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số 4 y  x  m   2
1 x  4m C tiếp xúc với đường thẳng d : y  3 tại hai điểm phân biệt. Tổng các phần tử m  của tập S bằng A. 14. B. 17. C. 15. D. 4.
Câu 4: Giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số 3 2
y  x  mx 1 tiếp xúc với đường thẳng d : y  5 là A. m  2. B. m  3. C. m  1  . D. m  3  . TOANMATH.com Trang 14 Câu 5: Cho hàm số 3 2
y  x  3x  3mx 1 m . Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị tiếp xúc với trục hoành? A. 0. B. 3. C. 1. D. 2. 2 x  x 1
Câu 6: Giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  tiếp xúc với parabol 2 y  x  m là x 1 A. m  2  . B. m  0. C. m  1  . D. m  3.
Câu 7: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 y  x  m   2 2 1 x  5mx  2m tiếp xúc với trục hoành? A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 8: Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng x  y  2m là tiếp tuyến của đường cong 3
y  x  2x  4 bằng A. 2. B. –4. C. –2. D. 4. 4 x Câu 9: Cho hàm số 2 y 
 2x  4 có đồ thị là (C). Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị 4
(C) tiếp xúc với parabol P 2 : y  x  m bằng A. 6. B. 126. C. 34. D. –1.
Câu 10: Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 y  x  m   2
3 x  3m  2 x  2m
tiếp xúc với trục hoành bằng A. 1. B. 3. C. –3. D. –1.
Câu 11: Trong ba đường thẳng d : y  7x  9, d : y  5x  29, d : y  5
 x  5 có bao nhiêu đường thẳng 1 2 3
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số C 3 2
: y  x  3x  2x  4 ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Câu 12: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y  x  3x  2 tại điểm có hoành độ bằng -3 có phương trình là A. y  9x  25 . B. y  30x  25 C. y  9x  25 D. y  30x  25 3x 1
Câu 13: Đồ thị (C) của hàm số y 
cắt trục tung tại điểm A. Tiếp tuyến của (C) tại điểm A có x 1 phương trình là A. y  5  x 1. B. y  4x 1 C. y  4x 1 D. y  5x 1 x  2 Câu 14: Cho hàm số y 
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x  0 là x 1 A. y  3x  2 . B. y  3  x  2 C. y  3x  3 D. y  3x  2 
Câu 15: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  sin x 1 tại điểm có hoành độ bằng 3 3 3 1 1 A.  . B. . C.  D. 2 2 2 2 x  2
Câu 16: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
tại giao điểm với trục hoành, cắt trục tung x 1
tại điểm có tung độ bằng TOANMATH.com Trang 15 A. –1. B. 1. C. 2. D. –2. 2 x 11 Câu 17: Cho hàm số y  
có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M có hoành độ 8 2 x  2 là 0 1 1
A. y    x  2  7 .
B. y    x  2  6 . 2 2 1 1
C. y    x  2  6 D. y  x  2  7 2 2 Câu 18: Cho hàm số 3
y  x  3x  4C . Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M  2
 ;2 có hệ số góc bằng A. 45. B. 0. C. 24. D. 9. Câu 19: Cho hàm số 3
y  x  3x có đồ thị hàm số (C). Hệ số góc k của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có tung độ bằng 4 là A. 9. B. 6. C. 0. D. –2. 3x  2
Câu 20: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
tại điểm có hoành độ x  1 có hệ số góc bằng 2x  3 0 A. –5. B. –13. C. 13. D. –1. x 
Câu 21: Cho đồ thị  H 2 4 : y 
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) tại giao điểm của (H) và Ox x  3 là A. y  2  x  4. B. y  2  x  4. C. y  2x  4. D. y  2x. Câu 22: Cho hàm số 2
y  x  5 , có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M có tung độ
y  1 với hoành độ x  0 là 0 0
A. y  2 6 x  6  1.
B. y  2 6 x  6  1 C. y  2  6 x  6 1
D. y  2 6  x  6 1 x 1 Câu 23: Cho hàm số y 
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị hàm x  2 số với trục hoành là A. x  3y 1  0 . B. x  3y 1  0 . C. x  3y 1  0 . D. x  3y 1  0
Câu 24: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số C 4 2
: y  x  x 1 tại điểm có hoành độ bằng 1 là A. y  2x 1. B. y  2x 1. C. y  1. D. y  2x  3. 1  1 
Câu 25: Phương trình đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  tại điểm A ;1   là 2x  2  A. 2x  2y  1. B. 2x  2y  3  . C. 2x  2y  1. D. 2x  2y  3.
Câu 26: Tiếp tuyến với đồ thị hàm số 3
y  x  4x 1 tại điểm có hoành độ bằng 2 có phương trình là A. y  8  x 17. B. y  8x 16. C. y  8x 15. D. y  8x 15.
Câu 27: Phương trình các đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y  x  6x 11x 1 tại điểm có tung độ bằng 5 là TOANMATH.com Trang 16
A. y  2x  3; y  x  7; y  2x  2.
B. y  2x 1; y  x  2; y  2x  2.
C. y  2x  3; y  x  7; y  2x 1.
D. y  2x 1; y  x  2; y  2x 1. Câu 28: Cho hàm số 2
y  x  5x  4 có đồ thị (C). Phương trình các đường tiếp tuyến của (C) tại các giao
điểm của đồ thị với trục Ox là A. y  3x  3 và y  3  x 12.
B. y  3x  3 và y  3x 12. C. y  3
 x  3 và y  3x 12.
D. y  2x  3 và y  2x 12.
Câu 29: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số 4 3 2
y  x  x  2x 1 tại điểm có hoành độ -1 bằng A. 4. B. 3. C. –3. D. 11.
Câu 30: Gọi M là giao điểm của trục tung với đồ thị hàm số C 2
: y  x  x 1 . Tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình là 1 1 A. y  x 1. B. y   x 1. C. y  x 1. D. y  x 1. 2 2 
Câu 31: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y  tan x tại điểm có hoành độ x  bằng 4 1 2 A. 2. B. . C. . D. 1. 2 2 1
Câu 32: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2
y  x  tại điểm có hoành độ x  1 là x A. y  2x 1. B. y  x 1. C. y  x 1. D. y  x  2. Câu 33: Cho hàm số 3 2
y  x  x  x 1 có đồ thị (C). Tiếp tuyến tại điểm N của (C) cắt đồ thị (C) tại
điểm thứ hai là M 1; 2
  . Tọa độ điểm N là A. 2;7. B. 1;2. C. 0;  1 . D.  1  ;0. x 1
Câu 34: Gọi d là tiếp tuyến của hàm số y 
tại điểm có hoành độ bằng –3. Khi đó d tạo với hai trục x  2
tọa độ một tam giác có diện tích bằng 169 121 25 49 A. (đvdt). B. (đvdt). C. (đvdt). D. (đvdt). 6 6 6 6 1 Câu 35: Cho hàm số 3 2
y  x  2x  3x 1 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành 3
độ là nghiệm của phương trình y  0 là 11 1 1 11 A. y  x  . B. y  x  . C. y  x  . D. y  x  . 3 3 3 3
Câu 36: Gọi C là đồ thị của hàm số 3 y  x  m   2 2 3
1 x  mx  m 1 và d là tiếp tuyến của C tại m  m 
điểm có hoành độ x  1. Giá trị của tham số m để d đi qua điểm A0;8 là A. m  3. B. m  1. C. m  2. D. m  0.
Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x khi biết hệ số góc TOANMATH.com Trang 17
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc dựa vào các quan hệ song song, vuông góc,... Phương pháp giải
Thực hiện theo một trong hai cách sau: Ví dụ: Cho hàm số 3 2
y  x  3x  2 . Lập phương Cách 1:
trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho biết tiếp
Bước 1. Xác định hệ số góc k của tiếp tuyến
tuyến song song với đường thẳng  : y  9x  2 .
dựa vào giả thiết bài toán. Hướng dẫn giải
Bước 2. Giải phương trình f  x  k để tìm
Vì tiếp tuyến song song với  : y  9x  2 nên hệ
x  x là hoành độ của tiếp điểm. 0
số góc của tiếp tuyến là k  9. Tính y  f x  M x ; y . Ta có 2 y  3x  6x . 0  0   0 0 
Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là x  1 Xét phương trình 2 3x  6x  9   x  y  k  x  x  y 3 0  0
+ Với x  1  y  2  M  1  ;2 có phương
Điểm M  x ; y là tiếp điểm của tiếp tuyến 0 0 
với đồ thị hàm số đã cho.
trình tiếp tuyến là y  9 x   1  2  y  9x  7 . Cách 2:
+ Với x  3  y  2  N 3;2 có phương trình
Bước 1. Xác định hệ số góc k của tiếp tuyến
tiếp tuyến là y  9x  3  2  y  9x  25.
dựa vào giả thiết bài toán.
Vì tiếp tuyến song song với  : y  9x  2 nên hệ
Bước 2. Vì tiếp tuyến có hệ số góc là k nên
số góc của tiếp tuyến là k  9. .
phương trình tiếp tuyến có dạng y  kx  b .
Phương trình tiếp tuyến có dạng d : y  9x  b
Dựa vào điều kiện tiếp xúc của tiếp tuyến với
(C) ta tìm giá trị của b. với b  2 . Lưu ý:
Vì d : y  9x  b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
- Phương trình f x  k có bao nhiêu nghiệm 3 2
x  3x  2  9x  b 3 2 y  x  3x  2 nên 
thì có bấy nhiêu tiếp điểm. 2 3  x  6x  9
- Một số trường hợp xác định hệ số góc của b  7.
Giải hệ phương trình tìm được
đường thẳng thường gặp.  b  2  5. Cho hai đường thẳng
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  9x  7
d : y  k x  b ; d : y  k x  b . 1 1 1 2 2 2 hoặc y  9x  25.
+ Trường hợp 1: d  d  k .k  1  . 1 2 1 2 k  k + Trường hợp 2: 1 2 d / /d  1 2 b   b 1 2 + Trường hợp 3: Góc TOANMATH.com Trang 18  k  k d ;d  1 2    tan  . 1 2 1 k . k 1 2 Đặc biệt:
1. Nếu góc giữa d : y  kx  b với Ox bằng
 0    90 thì k  tan .
2. Nếu đường thẳng d cắt Ox, Oy tại hai điểm A, B mà OB  . m OA thì  OB k tan   m . OA
+ Trường hợp 4: Nếu đường thẳng d đi qua hai y  y
điểm A x ; y và B x ;y thì 1 2 k  . 2 2  1 1  x  x 1 2 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y  x  3x 1 có hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9 là
A. y  9x 15 hay y  9x 1.
B. y  9x 15 hay y  9x 17 .
C. y  9x 1 hay y  9x 17 .
D. y  9x 1 hay y  9x 1. Hướng dẫn giải Ta có 2
y  3x  3. Gọi M  x ; y là tiếp điểm. 0 0 
Vì hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9 nên y x  2
 9  3x  3  9  x  2 . 0 0 0
+ Với x  2 thì y  3. Phương trình tiếp tuyến là y  9 x  2  3  9x 15 . 0 0
+ Với x  2 thì y  1. Phương trình tiếp tuyến là y  9x  2 1  9x 17. 0 0 Chọn B. 2x 1
Ví dụ 2: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
song song với đường thẳng  : y  x1? x 1 A. 2. B. 3. C. 0. D. 1. Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 19 1 Ta có y 
. Do tiếp tuyến song song với đường thẳng  : y  x 1 nên hệ số góc của tiếp tuyến là x  2 1 k  1. 1 x  0 Xét phương trình  1  x  2  1 x  2
+ Với x  0 thì y  1. Phương trình tiếp tuyến là y  x 1 ( loại vì trùng với  ).
+ Với x  2 thì y  3 . Phương trình tiếp tuyến là y  x  5 .
Vậy có một tiếp tuyến song song với  : y  x 1. Chọn D.
Ví dụ 3: Gọi (C) là đồ thị của hàm số 4
y  x  x . Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng
d : x  5y  0 có phương trình là A. y  x  4. B. y  5x  3. C. y  3x  5. D. y  2x  3. Hướng dẫn giải Ta có 3
y  4x 1. Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm. 1  1
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y   x nên k.  1  k  5. 5    5  Xét phương trình 3
4x 1  5  x  1  y  2.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  5 x   1  2  5x  3. Chọn B.
Ví dụ 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y  x  3x 1 song song với trục Ox là A. y  3, y  1  . B. y  3, y  2  . C. x  3, x  1. D. y  2, y  1. Hướng dẫn giải
Do tiếp tuyến song song với trục Ox nên tiếp tuyến có tiếp điểm là các điểm cực trị và có phương trình
y  y với y là giá trị cực trị của hàm số đã cho. 0 0 Ta có 2
y  3x  3; y  0  x  1.
Do hàm số đã cho là hàm bậc ba nên các điểm cực trị là A1;  1 , B  1  ;3.
Vậy phương trình các đường tiếp tuyến cần tìm là y  1  ; y  3. Chọn A.
Ví dụ 5: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y  2x  3x 12x 1 song song với đường thẳng d :12x  y  0
có dạng y  ax  b . Giá trị 2a  b bằng A. 0. B. –23. C. –23 hoặc –24. D. –24. Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 20 Ta có 2
y  6x  6x 12 . Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d :12x  y  0  y  1  2x nên có hệ số góc k  1  2 . x  0 Xét phương trình 2
6x  6x 12  12   x  1
+ Với x  0 thì y  1. Phương trình tiếp tuyến là y  12x 1.
+ Với x  1 thì y  12 . Phương trình tiếp tuyến là y  12x  
1 12  12x (loại vì tiếp tuyến trùng với đường thẳng (d)).
Vậy tiếp tuyến cần tìm là y  1
 2x 1  a  12; b  1 2a  b  23 . Chọn B. x 
Ví dụ 6: Trên đồ thị C 1 : y 
có bao nhiêu điểm M mà tiếp tuyến của (C) tại M song song với x  2
đường thẳng d : x  y  1? A. 1. B. 2. C. 4. D. 0. Hướng dẫn giải 1  Ta có y  . x 22
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d : x  y  1  y  x 1 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k  1  . 1 x  1 Xét phương trình   1  .   x  22 x  3
+ Với x  1 thì y  0 . Phương trình tiếp tuyến là y  x 1 (loại vì tiếp tuyến trùng với đường thẳng (d)).
+ Với x  3 thì y  2 . Phương trình tiếp tuyến là y  x  3  2  x  5 .
Vậy có một điểm M 3;2 thỏa mãn. Chọn A. 2x 1
Ví dụ 7: Cho hàm số y 
có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến x 1
này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A, B thoả mãn OA  4OB là  1 5  1 5 y   x   y   x   A. 4 4  B. 4 4  1 13  1 13 y   x    y   x   4 4  4 4  1 5  1 5 y   x   y   x   C. 4 4  D. 4 4  1 13  1 13 y   x    y   x   4 4  4 4 TOANMATH.com Trang 21 Hướng dẫn giải
Do tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại hai điểm A, B mà OA  4OB . OB
Khi đó OAB vuông tại O và ta có k   1 1 tan OAB    k   . OA 4 4 1 Ta có: y   x  2 1 1 1 Xét phương trình   (vô nghiệm). x  2 1 4 1 1 x  3 Xét phương trình     x  2  1 4 x  1 5
+ Với x  3 thì y  . Phương trình tiếp tuyến là 2 1 y    x   5 1 13 3    x  . 4 2 4 4 3
+ Với x  1 thì y  . Phương trình tiếp tuyến là 2 1 y    x   3 1 5 1    x  4 2 4 4 Chọn C. 2x  3
Ví dụ 8: Đường thẳng nào dưới đây là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
chắn hai trục tọa độ một x  2 tam giác vuông cân? 1 3 A. y  x  2 . B. y  x  2 . C. y  x  2 D. y  x  4 2 Hướng dẫn giải
Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến lần lượt với Ox, Oy.
Vì OAB vuông cân tại O nên OA  OB . OB Do đó k  tan  OAB   1  k  1  . OA 1 Ta có y  x  22 1 Xét phương trình  1  (vô nghiệm). x  22 1 x  1 Xét phương trình  1  .   x  22 x  3
+ Với x  1 thì y  1. Phương trình tiếp tuyến là y   x   1 1  x  2 . TOANMATH.com Trang 22
+ Với x  3 thì y  3 . Phương trình tiếp tuyến là y  x  3  3  x  6 . Chọn A. 1 Ví dụ 9: Cho hàm số 3 y  mx  m   2
1 x  4  3m x 1 có đồ thị là C . Tất cả các giá trị thực của m  3
tham số m để trên đồ thị C tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc m 
với đường thẳng d : x  2y  3  0 là 2 A. m < 12 hoặc m  . B. m < 0 hoặc m > 1. 3 1 2 C. m < 0 hoặc m  . D. m < 0 hoặc m  . 3 3 Hướng dẫn giải 1 3 1
Ta có: d : x  2y  3  0  y   x  nên hệ số góc của d là  . 2 2 2
Do tiếp tuyến vuông góc với d nên hệ số góc của tiếp tuyến là k thì  1  k.   1   k  2.    2 
Gọi M  x ; y là tiếp điểm của tiếp tuyến với C thì x là nghiệm của phương trình m  0 0  0 2
y  k  mx  2m   1 x  4  3m  2 . 2  mx  2m   1 x  2  3m  0*
Theo bài toán thì ta phải tìm m để (*) có duy nhất một nghiệm âm.
+ Trường hợp 1: Nếu m  0 thì (*)  2x  2   x  1 (loại). 2  3
+ Trường hợp 2: Nếu m  0 . Ta thấy phương trình (*) có hai nghiệm là x  1 và  m x . m 2  3m 2
Do đó để (*) có một nghiệm âm thì
 0  m  0 hoặc m  . m 3 Chọn D.
Ví dụ 10: Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 2
y  ax  bx  2 tại điểm A 1  ;  1 vuông góc với đường
thẳng d : x  2y  3  0 . Giá trị 2 2 a  b bằng A. 13. B. –2. C. –5. D. 10. Hướng dẫn giải 1 3 1
Ta có: d : x  2y  3  0  y  x  nên k  2 2 d 2
Vì tiếp tuyến vuông góc với d nên phải có hệ số góc bằng –2. Ta có 3 y  ax  bx  x  2 4 2 2 2ax  b TOANMATH.com Trang 23 Vì điểm A1; 
1 là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị nên x  1 là nghiệm của phương trình x  2 2 2ax  b  2
  22a  b  2  2a  b 1.
Mặt khác điểm A thuộc đồ thị hàm số nên a  b  2  1  a  b  1 . 2a  b  1 a  2 Vậy ta có hệ 2 2     a  b  5  . a  b  1 b  3  Chọn C. Ví dụ 11: Cho hàm số 3 2
y  x  3x  9x 1 có đồ thị là (C). Số tiếp tuyến của (C) tạo với đường thẳng 5
d : y  x 1 một góc  thỏa mãn cos  là 41 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm. 5 1 4 Ta có cos 
0   90  tan  1  . 2 41 cos  5 k  9  k 1 4
Vì d có hệ số góc bằng –1 nên tan      1 1 k 5 k    9 Ta có 2 y  3x  6x  9 . x  0 + Trường hợp 1: 2
k  9  x  2x  0   x  2
Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến y  9x 1 và y  9x  3 . 1 9  321 + Trường hợp 2: 2
k    27x  54x  80  0  x  9 9 1  9  321 
Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến là y    x    y x 0  9  9   
Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm. Chọn D. 1 7 Ví dụ 12: Cho hàm số 4 2
y  x  x có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm A thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp 8 4
tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt M  x ; y ; N x ; y ( M, N khác A ) thỏa mãn 1 1   2 2  y  y  3 x  x 1 2  1 2  A. 0. B. 2. C. 3. D. 1. Hướng dẫn giải y  y
Do tiếp tuyến đi qua hai điểm M  x ; y ; N x ; y nên hệ số góc của tiếp tuyến là 1 2 k   3. 1 1   2 2 x  x 1 2 TOANMATH.com Trang 24 1 7 Ta có 3 y  x  x . 2 2 1 7 Xét phương trình 3
x  x  3  x  3; x  1; x  2  . 2 2
Mặt khác để tiếp tuyến của hàm số trùng phương cắt được đồ thị tại hai điểm phân biệt thì tiếp điểm A chỉ
có thể chạy trong phần đồ thị từ điểm cực tiểu thứ nhất sang điểm cực tiểu thứ hai (trừ hai điểm uốn). x  0 Khi đó phương trình 3
y  0  x  7x  0   x   7
Do đó hai điểm cực tiểu là x   7 và x  7 nên hoành độ của tiếp điểm x   7; 7 0  
Vậy chỉ có x  1; x  2  thỏa mãn. 0 0 Chọn B. ax  b
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
khi biết mối quan hệ của tiếp cx  d
tuyến với các đường tiệm cận của đồ thị hàm số Phương pháp giải ax  b 2x 1 Với hàm số y  ( với Ví dụ: Cho hàm số y  có đồ thị là (C). cx  d x 1
c  0; ad  bc  0 ) thì đồ thị hàm số có hai
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) sao d a
cho tiếp tuyến đó vuông góc với IM, I là tâm đối
tiệm cận là x   ; y  . c c xứng của (C) là  d a  Gọi I  ;
A. y  x  3, y  x  5. 
 là giao điểm của hai đường  c c 
B. y  x 1, y  x  3.
tiệm cận ( và cũng là tâm đối xứng của đồ thị).
C. y  x 1, y  x  5.
Khi đó tiếp tuyến tại điểm M  x ;y bất kì 0 0 
D. y  x 1, y  x  4.
của đồ thị cắt tiệm cận đứng tại điểm Hướng dẫn giải  d 2bc  ad  acx 
Giả sử M  x ; y là tiếp điểm, 0 0  0 A  ; và cắt tiệm cận c c     cx   d 0  
Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận  d a 
đứng và tiệm cận ngang của đồ thị. ngang tại điểm B 2x  ;  . 0   c c 
Theo lý thuyết trên thì M là trung điểm của AB. Do 2ad  bc 2 cx  d
IAB vuông tại I mà IM  AB nên IAB vuông 0  Ta có IA  c  ; IB  cx  d c 0 
cân tại I  IA  IB khi đó hệ số góc của tiếp tuyến 4 ad  bc là k  1  .  I . A IB   K là hằng số không 2 c 1  Mà k  y x   0 nên k  1  . 0  2 đổi. x 1 0  TOANMATH.com Trang 25 2 ad  bc 1 x  0 Suy ra S  . Vậy ta có phương trình 0  1   IAB 2  c x  2 1 x  2  0 0
Khi đó các bài toán sau là tương đương:
+ Với x  0 thì y  1. Do đó phương trình tiếp 0 0
Tìm điểm M C hoặc viết phương trình tuyến là y  x 1.
tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến tạo với hai
+ Với x  2 thì y  3. Do đó phương trình tiếp 0 0
tiệm cận một tam giác vuông có tuyến là y  x  5.
a) Cạnh huyền nhỏ nhất Chọn C. 2 2 AB  IA  IB  2I . A IB  2K
Dấu bằng xảy ra khi IA  IB . b) Chu vi nhỏ nhất Ta có IA  IB  AB  2 I . A IB  2I . A IB  2 K  2K
Dấu bằng xảy ra khi IA  IB .
c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất 1 Ta có   K R AB . 2 2
Dấu bằng xảy ra khi IA  IB .
d) Bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất S K Ta có r   p IA  IB  AB
Vậy r lớn nhất khi IA  IB  AB nhỏ nhất và bằng 2 K  2K .
Dấu bằng xảy ra khi IA  IB .
e) Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến lớn nhất
Gọi H là hình chiếu của I lên d, ta có 1 1 1 2 2       K IH 2 2 2 IH IA IB I . A IB K 2
Dấu bằng xảy ra khi IA  IB .
Nhận xét: Các câu hỏi trên thì đẳng thức đều
xảy ra khi IA  IB nên IAB vuông cân tại I.
Gọi  là góc giữa tiếp tuyến d và tiệm cận ngang
 thì   d;  d;Ox  45 nên hệ số góc 2    2
của tiếp tuyến là k   tan 45  1  . Ví dụ mẫu TOANMATH.com Trang 26 x 1
Ví dụ 1: Cho hàm số y 
có đồ thị (C). Có bao nhiêu cặp điểm A, B thuộc (C) mà tiếp tuyến tại đó x 1 song song với nhau?
A. Không tồn tại cặp điểm đó.
B. Vô số số cặp điểm. C. 2. D. 1. Hướng dẫn giải  a 1  b 1  Giả sử A ; a , B ,    b  với a  ; b , a b  1.  a 1   b 1  2 2 a  b
Do tiếp tuyến tại A, B song song với nhau nên ya  yb    a  2  1 b  2 1 a  b  2
Do a  b nên chỉ có a  b  2 . Vậy có vô số cặp điểm A, B thỏa mãn. Chọn B. ax  b
Nhận xét: Hai điểm A, B phân biệt thuộc đồ thị hàm số y 
mà tiếp tuyến tại đó song song với cx  d
nhau thì A, B đối xứng với nhau qua tâm đối xứng I. 4x  3
Ví dụ 2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
cùng với hai tiệm cận tạo thành một tam giác có diện 2x 1 tích bằng A. 6. B. 7. C. 5. D. 4. Hướng dẫn giải
Gọi M  x ;y là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị. Khi đó tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A, B và I 0 0 
là giao điểm của hai tiệm cận. 2 4  6
Theo lý thuyết đã nêu thì S   5.. IAB 4 Chọn C. 2x 1
Ví dụ 3: Cho hàm số y 
có đồ thị (C). Tiếp tuyến tại điểm M  ;
a bC, a  0 tạo với hai tiệm x 1
cận của (C) một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2 . Giá trị của a  2b bằng A. 2. B. 4. C. 8. D. 5. Hướng dẫn giải
Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến với hai đường tiệm cận và I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Do  1
IAB vuông tại I nên bán kính đường tròn ngoại tiếp IAB là R  AB  2  AB  2 2 . 2 Theo lý thuyết, ta có 2 2 I .
A IB  4, AB  IA  IB  2I . A IB  2 2 .
Dấu " = " xảy ra khi IA  IB . Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến k  1  . 1
Mặt khác k  ya    0  k  1  . a  2 1 TOANMATH.com Trang 27 1 a  0 Ta có   1 
. Do a  0  a  2  b  3. Vậy a  2b  8. a  2  1 a  2 Chọn C. 2x  m
Ví dụ 4: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y 
, m là tham số khác –4 và d là một tiếp tuyến của (C). x  2
Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để d tạo với hai đường tiệm cận của (C) một tam giác có diện
tích bằng 2, tổng giá trị các phần tử của S bằng A. –11. B. 8. C. 3. D. –8. Hướng dẫn giải
Gọi A, B lần lượt là các giao điểm của tiếp tuyến với hai đường tiệm cận và I là giao điểm của hai tiệm cận. Theo lý thuyết, ta có I . A IB  4 m  4  S  2 m  4 IAB m  3 
Vậy ta có 2 m  4  2   m  5   S   5  ; 
3 nên tổng các phần tử của S bằng –8. Chọn D. x  2
Ví dụ 5: Gọi  là tiếp tuyến tại điểm M  x ; y , x  0 thuộc đồ thị của hàm số y  sao cho 0 0  0 x 1
khoảng cách từ I 1; 
1 đến A đạt giá trị lớn nhất. Giá trị x .y bằng 0 0 A. –1. B. 0. C. –2. D. 2. Hướng dẫn giải
Gọi A, B là giao điểm của A với hai đường tiệm cận.
Theo lý thuyết d I; lớn nhất khi IA  IB  k  1  . 1
Mặt khác k  y x    0  k  1. 0  x  2 1 0 1 x  0 Vậy 0   1   x  2  1 x  2   0 0 Do x  0  x  2
  y  0  x .y  0 . 0 0 0 0 0 Chọn B. 2x  2
Ví dụ 6: Cho hàm số y 
có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tạo với hai tiệm cận x 1
một tam giác có chu vi nhỏ nhất là
A.  : y  x 1 và  : y  x 17
B.  : y  x 1 và  : y  x  7
C.  : y  x  21 và  : y  x  7 TOANMATH.com Trang 28
D.  : y  x  3 và  : y  x  2 Hướng dẫn giải
Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến tại điểm M  x ;y  C với hai tiệm cận và I là giao điểm của hai 0 0   
đường tiệm cận. Khi đó IAB vuông tại I. 4 ad  bc
Theo lý thuyết, chu vi IAB là IA  IB  AB  2 I . A IB  2I . A IB  8  4 2 vì I . A IB   16 2 c
Do đó chu vi nhỏ nhất bằng 8  4 2 khi IA  IB  k  1  . 4
Mặt khác k  y x    0  k  1  . 0  x 12 0 4 x  3 Vậy ta có 0   1  x  2  1 x  1  0 0
Với x  3 thì y  4 . Do đó phương trình tiếp tuyến là y  x  3  4  x  7 0 0 Với x  1
 thì y  0 . Do đó phương trình tiếp tuyến là y  x   1  x 1 0 0 Chọn B. 2x  2
Ví dụ 7: Cho hàm số y 
có đồ thị (C). Một tiếp tuyến bất kỳ với (C) cắt đường tiệm cận đứng và x 1
đường tiệm cận ngang của (C) lần lượt tại A và B, biết I 1;2 . Giá trị lớn nhất của bán kính đường tròn
nội tiếp tam giác IAB bằng A. 7  3 2 . B. 8  4 2 . C. 4  2 2 D. 8  3 2 Hướng dẫn giải
Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến tại điểm M  x ; y  C với hai tiệm cận và I là giao điểm của hai 0 0   
đường tiệm cận và IAB vuông tại I. 4 ad  bc Theo lý thuyết, ta có I . A IB   16  S  8 . 2 IAB c
Khi đó bán kính đường tròn nội tiếp IAB lớn nhất xảy ra khi IA  IB    AB
IA IB 4  AB  4 2  p   4  2 2 2 8  r   4  2 2 max 4  2 2 Chọn C. 2x
Ví dụ 8: Cho hàm số y 
có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tạo với hai trục tọa độ một x  2 1
tam giác có diện tích bằng là 18 TOANMATH.com Trang 29 9 1 4 2
A. y  x  ; y  x  . 4 2 9 9 9 31 4 2 B. y  x  ; y  x  . 4 2 9 9 9 1 4 4
C. y  x  ; y  x  . 4 2 9 9 9 1 4 1
D. y  x  ; y  x  . 4 2 9 9 Hướng dẫn giải  2a  Gọi M ; a a  2   
 là tiếp điểm của tiếp tuyến. Khi đó phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M là  a  2       2a 4 2      a y y a x a y x a . 2   a  2 a  2 a  2
Gọi A, B lần lượt là các giao điểm của d với hai trục Ox, Oy. 2  2 a 2    a
Tọa độ các điểm A, B là A  ;0, B0;  . 2     a 22    a  1 4 2 1 a 1 3a  a  2 Vậy S O .   A OB    OAB   2 2a  22 2 2 18 3a  a  2 a    3 4 2 4 2 Với a  1  d : y  x 1   x  . 1   9 3 9 9 2 9  2  9 1 Với a    d : y  x  1  x  2   3 4  3  4 2 Chọn A. 2x 1
Ví dụ 9: Cho hàm số y 
có đồ thị (C). Gọi M  x ;y , x  0 là điểm thuộc (C), biết tiếp tuyến 0 0  2x  2 0
của (C) tại M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B sao cho S  8S ( I là giao hai OIB OIA
đường tiệm cận). Giá trị biểu thức S  x  4y bằng 0 0 13 7 A. . B. –2. C. 2. D. . 4 4 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 30 S IA 1 Do góc  OIA   OIB nên OIA   . S IB 8 OIB 1 1 Mà  tan   IA k IBA nên k   k   . IB 8 8 2 1
Mặt khác k  y x   0  k   0  4  x  2 1 8 0 1 1 x  3 0      . 2  x  2 1 8 x  1  0 0 5
Do x  0 nên x  3  y   S  x  4y  2 0 0 0 0 0 4 Chọn B. 2x  3
Ví dụ 10: Cho hàm số y 
có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) cắt tiệm x  2 4
cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho côsin góc  ABI bằng với I 2;2 là 17 1 3 1 7
A. y   x  ; y   x  4 2 4 2 1 3 1 7
B. y   x  ; y   x  4 2 4 2 1 3 1 7
C. y   x  ; y   x  4 2 4 2 1 3 1 7
D. y   x  ; y   x  4 2 4 2 Hướng dẫn giải: 1 1 1 Ta có k  tan  ABI  1   k   2 cos  ABI 4 4 1 1
Giả sử M  x ; y  C thì k  y x   0  k   . 0  0 0    x 22 4 0 1 1 x  0 Xét phương trình 0      x  22 4 x  4  0 0 3 1 3
+ Với x  0 thì y  . Phương trình tiếp tuyến là y   x  . 0 0 2 4 2 5 1 5 1 7
+ Với x  4 thì y  . Phương trình tiếp tuyến là y    x  4    x  0 0 2 4 2 4 2 Chọn D.
Bài tập tự luyện dạng 2 TOANMATH.com Trang 31 2 x  x 1 Câu 1: Cho hàm số y 
có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường x 1
thẳng  : 3x  4y 1  0 là 3 3 3 3 3 5
A. y  x  9; y  x  7 . B. y  x  ; y  x  4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 5
C. y  x  ; y  x 1. D. y  x  3; y  x  4 4 4 4 4 4
Câu 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y  x  3x 1 có hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9 là
A. y  9x 13 hay y  9x 1
B. y  9x 13 hay y  9x 17
C. y  9x 1 hay y  9x 17
D. y  9x 1 hay y  9x 1 2x 1
Câu 3: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
song song với đường thẳng  : y  x 1? x 1 A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.
Câu 4: Gọi (C) là đồ thị của hàm số 4
y  x  x . Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng
d : x  5y  0 có phương trình là A. y  x  4 B. y  5x  3 C. y  3x  5 D. y  2x  3 2x 1
Câu 5: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
song song với đường thẳng 3x  y  2  0 là x  2 A. y  3x 14 .
B. y  3x 14, y  3x  2.
C. y  3x  5, y  3x  8. D. y  3x  8.
Câu 6: Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị hàm số f  x 3
 x 1 sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
M song song với đường thẳng d : y  3x 1 ? A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. 3 x Câu 7: Cho hàm số 2 y 
 3x  2 có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) có hệ số góc 3 k  9  là A. y  9  x  3 . B. y 16  9  x  3 .
C. y 16  9 x  3 D. y 16  9  x  3 Câu 8: Cho hàm số 3 2
y  x  3x  2 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với đường 1 thẳng d : y   x  2019 là 45 A. y  4  5x  83 . B. y  45x 173 C. y  45x  83 D. y  45x 173
Câu 9: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y  x  3x  8x 1 song song với đường thẳng  : y  x  2017 là A. y  x  2018 . B. y  x  2018 . C. y  x  4.
D. y  x  4; y  x  28. 3 x
Câu 10: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 y 
 2x  x  2 song song với đường thẳng 3 y  2  x  5 là TOANMATH.com Trang 32 10 A. y  2  x  và y  2  x  2 B. y  2
 x  3 và y  2x 1 3 4 C. y  2  x  4 và y  2  x  2 D. y  2  x  và y  2  x  2 3
Câu 11: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y  x  3x 1 vuông góc với trục Oy là A. y  3, y  1  . B. y  3, y  2  . C. x  3, x  1. D. y  2, y  1. 2 x
Câu 12: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y 
. Phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường 2  x 4 thẳng y  x 1 là 3 3 9 3 1 3 3
A. x   x  , y   x  .
B. x   x, y   x 1. 4 2 4 2 4 4 3 9 3 1 3 7 3 1
C. x  x  , y  x  .
D. x   x  , y   x  . 4 2 4 2 4 2 4 2 2x
Câu 13: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
có hệ số góc bằng –2 là x 1 A. y  2  x  2, y  2  x  4. B. y  2  x  9, y  2  x. C. y  2  x  8, y  2x. D. y  2  x 1, y  2x. Câu 14: Cho hàm số 3 2
y  2x  6x  3 có đồ thị là (C). Tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng
y  18x  51 có phương trình là y  18x 13 y  18x 13 A. y  18x  3. B.  . C. y  18x  51. D.  y  18x  51 y  18x  51 x  m Câu 15: Cho hàm số y 
có đồ thị C . Giá trị tham số thực m để tiếp tuyến của (C) tại điểm có m  x 1
hoành độ bằng 0 song song với đường thẳng y  3x 1 là A. m  2  . B. m  3. C. m  2. D. m  1. 1 Câu 16: Cho hàm số 3 y  mx  m   2
1 x  4  3m x 1 có đồ thị là C . Tập hợp các giá trị thực của m  3
tham số m để trên đồ thị C tồn tại đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc m 
với đường thẳng d : x  2y  3  0 là  1   1 5   1   1 8   1   1 2   1   1 2  A. 0;  ;     . B. 0;  ;     . C. 0;  ;     D. 0;  ;      2   2 3   2   2 3   2   2 3   3   2 3  1
Câu 17: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 y  mx  m   2
1 x  3m  4 x 1 có 3
điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng x  y  2019  0 là 1 1 1 A.   m  1. B. m  1 . C.   m . D.   m  1 . 2 2 2 TOANMATH.com Trang 33 2x  3 Câu 18: Cho hàm số y 
có đồ thị (C). Biết tiếp tuyến tại một điểm M bất kỳ của (C) luôn cắt hai x  2
tiệm cận của (C) tại A và B. Độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng AB bằng A. 2 2 . B. 2 . C. 2. D. 4. 2x 1 Câu 19: Cho hàm số y 
có đồ thị (C). Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để đường x 1
thẳng d : y  x  m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B lần lượt có 1 1
hệ số góc là k , k thỏa mãn 
 2k  k  2019k k . Tổng các giá trị tất cả các phần tử của S 1 2  2019 2019 1 2 1 2 k k 1 2 bằng A. 3. B. 0. C. 6. D. 2018. x 
Câu 20: Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thị C 2 3 : y 
tại M . Đường thẳng (d) cắt các đường tiệm cận x  2
tại hai điểm phân biệt A, B. Tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ
nhất, với I là giao điểm hai tiệm cận là      5  A. M   5 1;1 ; M 4;   . B. M 1;  1 ; M 3;3. C. M   5 1;1 ; M 1;   . D. M 4; ;   M 3;3  3   3   3  x  2 Câu 21: Cho hàm số y 
có đồ thị (C). Tiếp tuyến  của (C) tạo với hai đường tiệm cận một tam x 1
giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. Khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến  bằng A. 6 . B. 2 6 . C. 2 3 . D. 3 x 1 Câu 22: Cho hàm số y 
. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận đồ thị hàm số. Khoảng cách từ I đến 2x  3
tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất bằng 1 A. . B. 1. C. 2 . D. 5 . 2 x 1 Câu 23: Cho hàm số y 
có đồ thị (C). Gọi điểm M  x ; y với x  1 là điểm thuộc (C), biết 0 0  2 x   1 0
tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác
OAB có trọng tâm G nằm trên đường thẳng d : 4x  y  0 . Giá trị của x  2y bằng 0 0 5 7 5 7 A.  . B. . C. . D.  . 2 2 2 2 2mx  3 Câu 24: Cho hàm số y 
. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Tất cả các giá trị thực của x  m
tham số m để tiếp tuyến tại một điểm bất kì của (C) cắt hai tiệm cận tại A và B sao cho IAB có diện tích S  22 là A. m  5  . B. m  6  . C. m  2  . D. m  4  2x Câu 25: Cho hàm số y 
có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm M C sao cho tiếp tuyến tại M của x 1 1
(C) cắt Ox, Oy tại A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng , với O là gốc tọa độ? 4 TOANMATH.com Trang 34 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 2x 1 Câu 26: Cho hàm số y 
. Tất cả các điểm M, N trên hai nhánh của đồ thị (C) sao cho các tiếp x 1
tuyến tại M và N cắt hai đường tiệm cận tại bốn điểm lập thành một hình thang là  7   1    A. M 2;5, N 0;  1 . B. M 3; , N 1; .     C. M   1 2;5 , N 1; .   D. Với mọi M, N.  2   2   2  2x  3 Câu 27: Cho hàm số y 
có đồ thị (C). Một tiếp tuyến của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại hai x  2
điểm A, B thỏa mãn AB  2 2 . Hệ số góc của tiếp tuyến đó bằng 1 A. –2. B.  . C. –1. D.  2. 2
Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f x đi qua điểm M cho trước
Bài toán 1. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f x đi qua điểm M x ; y cho 0 0  trước. Phương pháp giải
Thực hiện một trong hai cách sau
Ví dụ: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số Cách 1: 3 2
y  x  3x  6x 1 đi qua điểm N 0;  1 là
Bước 1. Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k, khi 33
đó phương trình tiếp tuyến có dạng A. y   x  2 . 4 y  k  x  x  y . 0  0 33 B. y   x 11
Bước 2. Tìm k là nghiệm của hệ phương trình 4 33
 f x  k x  x   y C. y   x 12 0  0  4 f   x  k 33 D. y   x 1
Từ đó suy ra phương trình của tiếp tuyến. 4 Cách 2: Hướng dẫn giải
Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k. Bước 1. Giả sử A ;
a f a là tiếp điểm của
Vì tiếp tuyến đi qua N 0;  1 nên phương trình tiếp
tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho nên
tuyến có dạng y  kx 1.
phương trình tiếp tuyến tại điểm A là
k là nghiệm của hệ phương trình
y  f a x  a  f a . k   3 2 6
Bước 2. Do tiếp tuyến đi qua M  x ; y nên a
x  3x 6x 1  kx 1  0 0     33 . 2 k  3x  6x  6 k   
là nghiệm của phương trình  4
f a x  a  f a  y .
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  6x 1 hoặc 0    0
Tìm a và suy ra phương trình tiếp tuyến. 33 y   x 1. 4 Chọn D. TOANMATH.com Trang 35
Gọi M  x ; y là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ 0 0 
thị hàm số đã cho. Ta có 2 y  3x  6x  6 .
Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng y   2
3x  6x  6x  x  3 2  x  3x  6x 1. 0 0 0 0 0 0
Vì tiếp tuyến đi qua N 0;  1 nên ta có  2 3x  6x  6x  3 2
 x  3x  6x 1  1 0 0 0 0 0 0 x  0 0 3 2 2x 3x 0      0 0 3 x   0  2
 Với x  0  y  1; y 0  6  nên phương 0 0  
trình tiếp tuyến là y  6x 1.  3 107 33 Với x    y  ; y x   nên 0 0  0  2 8 4 33
phương trình tiếp tuyến là y   x 1. 4 Chọn D. Ví dụ mẫu x 
Ví dụ 1: Cho đồ thị hàm số C 1 : y 
. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm x  2 A2;  1  ? A. 2. B. 0. C. 1. D. 3. Hướng dẫn giải 1 Ta có y  ,x  2 . x 22  x 1
Gọi tọa độ tiếp điểm là 0 M  x ;
với x  2 . Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại 0  x  2  0 0  1 x 1 điểm M là y  x  x  . 2  0  0 x 2 x  2 0 0
Do tiếp tuyến đi qua điểm A2;  1
 nên ta có phương trình 2  x x 1  0  x 0 0   1   1  ( vô nghiệm). x 22 x 2 x  2 0 0 0
Vậy không có tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài. Chọn B. . TOANMATH.com Trang 36 ax  b
Nhận xét: Đối với đồ thị hàm số y 
thì không có tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số đi qua điểm cx  d  d a  I  ; 
 là giao điểm của hai đường tiệm cận.  c c  1 3 Ví dụ 2: Cho hàm số 4 2
y  x  3x  có đồ thị (C). Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm 2 2  3  A 0;   ?  2  A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải  3  3
Phương trình đường thẳng  đi qua điểm A 0; 
 và có hệ số góc k có dạng y  kx  .  2  2 1 3 3 4 2
 x  3x   kx    1
Để  tiếp xúc với (C) thì hệ phương trình 2 2 2 có nghiệm x. 3 2x 6x  k  2 1 3 3 Thế (2) vào (1), ta có 4 2 x  3x    3 2x  6x x  2 2 2 x  0 2  x  2 x  2  0   . x   2 3
+ Với x  0  k  0   : y  . 1 2 3
+ Với x  2  k  2 2   : y  2 2 x . 2 2 3
+ Với x   2  k  2 2   : y  2 2 x . 3 2
Vậy có ba tiếp tuyến thỏa mãn. Chọn C.
Bài toán 2: Xác định các điểm M để có k tiếp tuyến của đồ thị hàm số C : y  f x đi qua điểm M Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau: x  2 Ví dụ: Cho hàm số y  có đồ thị (C) và
Bước 1. Xây dựng tọa độ điểm M  ; a b . x 1 điển A ; a 
1 . Gọi S là tập hợp các giá trị thực của
Bước 2. Giả sử d là đường thẳng đi qua M và
có hệ số góc k. Khi đó phương trình đường
tham số a để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua
thẳng d : y  k  x  a  b .
A. Tổng tất cả các phần tử của S bằng 3
Bước 3. Để d là tiếp tuyến của (C) thì hệ A. . 2 TOANMATH.com Trang 37  f
  x  k  x  a  b 5 phương trình * có B. . 2  f    x  k 1 nghiệm. C. . 2
Dựa vào số nghiệm của hệ trên suy ra số D. 1.
tiếp tuyến tương ứng bài toán yêu cầu. Nhận xét: Hướng dẫn giải
- Nếu f  x là hàm số bậc 2, bậc 3, bậc 1 Ta có y   , x  1; A ; a 1 . 2   x  
nhất trên bậc nhất thì hệ (*) có bao nhiêu 1
nghiệm thì tương ứng với bấy nhiêu tiếp tuyến. Đường thẳng d qua A ; a  1 có hệ số góc k có
- Nếu f  x là hàm số trùng phương có 3
phương trình là y  k  x  a 1 .
điểm cực trị thì nếu hệ (*) có nghiệm không
Để có duy nhất một đường thẳng d là tiếp tuyến của
phải là hoành độ của 2 điểm cực tiểu (cực đại)
(C) thì hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
thì mỗi nghiệm ứng với một tiếp tuyến của đồ    k x  a x 2 1    1 thị (C).  x 1  1  k  2 2    x   1 1 x  2 Thế (2) vào (1) ta có x  a 1  2   x  1 x 1 2
 2x  6x  a  3  0x   1 3
Để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất thì
phương trình (3) có nghiệm duy nhất khác 1.
+ Trường hợp 1: (3) có nghiệm kép khác 1
  9  2a  6  0 3    a  2  6  a  3  0 2
+ Trường hợp 2: (3) có hai nghiệm phân biệt, trong
đó có một nghiệm bằng 1.   3  2a  0    a  1 a 1  0 3  5
Vậy S   ;1 nên tổng các phần tử bằng . 2  2 Chọn B. Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hàm số 3 2
y  x  6x  2 có đồ thị (C) và điểm M m;2 . Gọi S là tập hợp các giá trị thực
của m để qua M có hai tiếp tuyến với đồ thị (C). TOANMATH.com Trang 38
Tổng các phần tử của S bằng 20 13 16 A. . B. . C. 4. D. . 3 2 3 Hướng dẫn giải
Gọi d là đường thẳng đi qua M m;2 và có hệ số góc k.
Khi đó phương trình của d là y  k  x  m  2 .
Để có đúng hai tiếp tuyến của (C) đi qua M thì hệ phương trình 2 k  3x 12x 
phải có hai nghiệm phân biệt. 3 2 x  6x  2  k  x  m 2 Từ hệ trên, ta có 3 2 x  x    2 6 2
3x 12xx  m  2 x  0 2  x 2x  3 
m  2 x 12m  0    2 2x  3 
m  2 x 12m  0 *
Để hệ có đúng hai nghiệm, ta xét các trường hợp sau
+ Trường hợp 1: Phương trình (*) có nghiệm kép khác 0      m  2 m 6 9 2  96m  0     2 . 1  2m  0 m   3
+ Trường hợp 2: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 0   m  2 9 2  96m  0    m  0 1  2m  0  2  20 Vậy S  6
 ; ;0 nên tổng các phần tử bằng .  3  3 Chọn A. Ví dụ 2: Cho hàm số 2
x  2x  3 có đồ thị (C) và điểm A1;a . Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để có
đúng hai tiếp tuyến của (C) đi qua A ? A. 3. B. 2. C. 1. D. 4. Hướng dẫn giải x 1 Ta có hàm số 2
y  x  2x  3 xác định trên  , y  . 2 x  2x  3
Gọi k là hệ số góc của đường thẳng  đi qua A1;a .
Phương trình đường thẳng  : y  k  x   1  a .
Đường thẳng  tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ phương trình sau có nghiệm TOANMATH.com Trang 39 2
 x  2x  3  kx  1 a 1   x 1   k 2 2  x  2x  3 x 1 Thay (2) vào (1) ta được 2 x  2x  3  x  1 a 2 x  2x  3
 x  x   x  2 2 2 2 2 3
1  a x  2x  3  a x  2x  3  2 2  a  3. 2 x  2x  3
Qua A có đúng hai tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt. 2 Xét hàm số f x  . 2 x  2x  3 2 x 1 Ta có f x     f  x   x  . x  2x  3 ;   0 1 2 2 x  2x  3 Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có (3) có hai nghiệm phân biệt thì a 0; 2. Mà a nguyên nên a 1. Chọn C.
Bài tập tự luyện dạng 3 2x 1
Câu 1: Có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị hàm số y 
thỏa mãn tiếp tuyến tạị điểm đó của đồ thị có x 1 hệ số góc bằng 2019? A. Vô số. B. 0. C. 2. D. 1. Câu 2: Cho hàm số 4 2
y  x  2x có đồ thị là (C). Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua gốc tọa độ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 3 2x Câu 3: Cho hàm số 2 y  
 x  4x  2 , gọi đồ thị của hàm số là (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) 3 đi qua điểm A2; 2   là 3 7 3 5 3 1 3 1 A. y   x  . B. y   x  . C. y   x  . D. y   x  4 2 4 2 4 2 4 2 2 x  x 1 Câu 4: Cho hàm số y 
có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm M 1;3 là x 1 TOANMATH.com Trang 40
A. y  3x 1; y  3x. B. y  13; y  3  x. C. y  3; y  3x 1. D. y  3; y  3  x. 2x  3
Câu 5: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
đi qua giao điểm hai đường tiệm cận? x  2 A. Vô số. B. 2 C. 1. D. Không có. 2 x
Câu 6: Cho hàm số f  x 
 x 1 có đồ thị (C). Phương trình các đường tiếp tuyến của (C) đi 4 qua điểm M 2;  1 là
A. y  x 1 và y  x  3.
B. y  x 1 và y  2x  3
C. y  x 1 và y  x  3
D. y  x 1 và y  x  3 Câu 7: Cho hàm số 3 2
y  x  x  3x 1 có đồ thị là (C). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham
số m để từ điểm M 0;m kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị (C) mà hoành độ tiếp điểm thuộc đoạn 1;  3 ? A. Vô số. B. 0. C. 60. D. 61.
Câu 8: Trên đường thẳng x  3 , tọa độ điểm M có tung độ là số nguyên nhỏ nhất mà qua đó có thể kẻ tới
đồ thị (C) của hàm số 3 2
y  x  3x  2 đúng ba tiếp tuyến phân biệt là A. 3; 5   . B. 3;6 . C. 3;2 D. 3;  1 2 2 x  2mx  2m 1
Câu 9: Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y 
cắt trục hoành tại hai điểm phân x 1
biệt và các tiếp tuyến của C tại hai điểm này vuông góc với nhau là m  2 2 A. m  0. B. m  . C. m  1  . D. m  ,m  1. 3 3 x  2
Câu 10: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y 
và M 0;m là một điểm thuộc trục Oy. Tất cả các giá trị 2x 1
thực của tham số m để luôn tồn tại ít nhất một tiếp tuyến của (C) đi qua M và tiếp điểm của tiếp tuyến này
với (C) có hoành độ dương là A. m  2 . B. m  2 . C. m  2 . D. m  2 . 2x Câu 11: Cho hàm số y 
có đồ thị (C) và điểm A0;a . Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham x 1
số a để từ A kẻ được hai tiếp tuyến AM , AN đến (C) với M, N là các tiếp điểm và MN  4 . Tổng giá trị
các phần tử của S bằng A. 4. B. 3. C. 6. D. 1.
Dạng 4: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ẩn tại điểm có hoành độ x  x cho trước 0 Phương pháp giải
Từ biểu thức của hàm ẩn, tìm cách tính
Ví dụ: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm f  x trên
các giá trị y  f x và f  x . 0  0  0  thỏa mãn
Áp dụng công thức viết phương trình tiếp  f   x 2
  x   f   x 3 1 2 1 3  , x        . Tiếp tuyến TOANMATH.com Trang 41
tuyến của đồ thị hàm số y  f  x tại điểm
của đồ thị hàm số y  f  x tại điểm có hoành độ có hoành độ x  x .
x  1 có phương trình là 0
Chú ý công thức đạo hàm của hàm số A. y  x  2 .
hợp: Cho hàm số f  x có đạo hàm trên x B. y    2 . 13
khoảng K, u  ux là hàm số xác định và x 1 C. y   
có đạo hàm trên K và có giá trị trên khoảng 13 13 x 12 K. Khi đó
 f u  u . f u. D. y    13 13 Hướng dẫn giải Ta cần tính f   1 , f   1 . Từ giả thiết  f   x 2
  x   f   x 3 1 2 1 3  , x       *  f   1  0 Chọn x  0 ta được 2 f   1   3 f   1    f   1  1
Lấy đạo hàm hai vế (*) ta được
f   x f   x 2 2. 1 2 .2. 1 2
 1 9. f 13x. f 13x .
Chọn x  0 ta được f   f   2 4. 1 . 1  1 9. f   1 . f   1 . + Với f  
1  0 ta được 0  1 (vô lý nên loại).
+ Với f      f   1 1 1 1   nên phương trình 13 x 12 tiếp tuyến là y    . 13 13 Chọn D. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn f  x  f   x 2 2 2 1 2  12x , x    .
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x tại điểm có hoành độ bằng 1 là A. y  2x  2. B. y  4x  6. C. y  2x  6. D. y  4x  2. Hướng dẫn giải Ta cần tính f   1 , f   1 .
Từ giả thiết f  x  f   x 2 2 2 1 2  12x , x    . (*) TOANMATH.com Trang 42 1 2 f 
0 f  1  0  f  0  1
Chọn x  0 và x  , ta được    . 2 2 f 
 1 f 0  3  f    1  2
Lấy đạo hàm hai vế (*) ta được 4. f 2x  2. f 1 2x  24x, x    1 4
 f 0  2 f   1  0  f 0  2
Chọn x  0 và x  , ta được    . 2 4 f  
 12 f 0 12  f     1  4 Vậy f   1  2; f  
1  4 nên phương trình tiếp tuyến là y  4 x   1  2  4x  2 . Chọn D.
Ví dụ 2: Cho các hàm số y  f  x y  g  x  f  f x y  hx  f  3 , ,
x  2 có đạo hàm trên  và có
đồ thị lần lượt là C , C , C . Đường thẳng x  2 cắt C , C , C lần lượt tại A, B, C. Biết 1   2   3  1   2   3 
phương trình tiếp tuyến của C tại A và của C tại B lần lượt là y  3x  4 và y  6x 13 . Phương 2  1 
trình tiếp tuyến của C tại C là 3  A. y  24x  23. B. y  10x  21. C. y  1  2x  49. D. y  2x  5. Hướng dẫn giải
Để giải bài toán, ta cần tính h2 và h2 .
Phương trình tiếp tuyến của C tại A là 1   f 2  3  f 2   
y  f   x    f   3 2 2 2  3x  4     2 f  
2 f 2  4  f  2  10
Phương trình tiếp tuyến của C tại B là 2 
y  f 2. f  f 2x  2  f  f 2  f 2. f 10 x  2  f 10  6x 13.  f 
 2. f 10  6  f   10  2     2 f  
2. f 10 f 10 13  f  10  25 
Ta có hx   f  3 x   2  x f  3 2 3 .
x  2 nên h2  12 f 10  24 và h2  f 10  25.
Phương trình tiếp tuyến của C tại C là 3 
y  h2 x  2  h2  24 x  2  25  24x  23. Chọn A.
Ví dụ 3: Cho hàm số y  f  x xác định có đạo hàm và nhận giá trị dương trên  . Biết tiếp tuyến của f x
hai đồ thị hàm số y  f  x và y  g  x   
cùng tại điểm có hoành độ x  1 có hệ số góc lần lượt f  2 x  0
là 12 và –3. Giá trị của f   1 bằng TOANMATH.com Trang 43 A. 3. B. 4. C. 6. D. 2. Hướng dẫn giải   f x  f  2
x . f x  f x.2x. f  2 x  Ta có gx        f   2 x  2  f   2x
Từ giả thiết ta có f   1  12 và g  1  3, f x  0, x    f   1 . f   1  2 f   1 . f   1 f   1   3     3   f 1  4. 2 f   1 f     1 Chọn B.
Ví dụ 4: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên  . Gọi  ,  lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị 1 2
hàm số y  f  x và y  g  x 2
 x . f 4x  3 tại điểm có hoành độ x  1. Biết hai đường thẳng  ,  1 2
vuông góc nhau và  không song song với Ox, Oy . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 A. 3  f   1  2. B. f   1  2. C. f   1  2. D. 2  f   1  2 3. Hướng dẫn giải Ta có g  x   2 x f  x     x f  x   2 . 4 3 2 . 4
3  4x . f 4x  3 .
Ta có hệ số góc của các tiếp tuyến  ,  lần lượt là f   1 và g  1  2 f   1  4 f   1 . 1 2
Theo giả thiết thì f   1 .g  1  1 và f   1  0 .
 f 1.2 f   1  4 f   1   1   f   1 1 2 1            . f   4 f   1 2 f   1 f   4 f   1 4 f   1 2 1 1 Chọn C.
Ví dụ 5: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm f  x trên  thỏa mãn f  3 x  3x   1  2x 1 với mọi
x   . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x  3 là 1 1 1 1 A. y  x . B. y  x  2 . C. y  x  3 . D. y  x  2. 3 3 3 3 Hướng dẫn giải
Để viết phương trình tiếp tuyến tại điểm x  3, ta cần tính f  3   và f 3 .
Với x  1 suy ra f  3    3. Do f  3
x  x    x    2 x   f  3 3 1 2 1 3 3 x  3x   1  2 .
Với x    f     f   1 1 6 3 2 3  . 3 TOANMATH.com Trang 44
Do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là
y  f   x    f   1  y  x   1 3 3 3 3  3  y  x  2 . 3 3 Chọn B.
Ví dụ 6: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm trên  . Gọi C , C và C lần lượt là đồ thị của các 3  1   2 
hàm số f  x g  x  f  2 , x  và     3 h x f x . Biết f  
1  1 và tổng hệ số góc của hai tiếp tuyến tại điểm
có hoành độ x  1 của C , C bằng –3. Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ x  1 3  1   2  là A. y  x  2. B. y  3x  2. C. y  x 1. D. y  3  x  4. Hướng dẫn giải Ta cần tính h   1 , h  1 .
Ta có gx  xf  2 x  hx 2  x f  3 2 , 3 x  .
Theo giả thiết, ta có f   1  g  1  3  f   1  2 f   1  3   f 1  1  . Do đó h  1  3 f   1  3  và h  1  f   1  1.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  3   x   1 1  3x  4 . Chọn D.
Ví dụ 7: Cho hai hàm số f  x, g  x đều có đạo hàm trên  và thỏa mãn 3 f   x 2  f   x 2 2 2
2 3  x g x  36x  0 , với mọi x   . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y  f  x tại điểm có hoành độ x  2 là A. y  x. B. y  2x  3. C. y  2  x  3. D. y  x. Hướng dẫn giải Ta có 3 f   x 2  f   x 2 2 2
2 3  x g x  36x  0, x     1  f 2  0 Thay x  0 vào (1) ta có 3 f 2 2  2 f 2  0    f  2  2
Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được 2
 f   x f   x  f   x f   x  x gx 2 3 2 . 2 12 2 3 . 2 3 2 .
 x .gx  36  0. 2 Thay x  0 vào (2) ta có 2
3 f 2. f 2 12 f 2. f 2  36  0. 3
+ Với f 2  0 thay vào (3) thì 36  0 (vô lý).
+ Với f 2  2 thay vào (3) thì f 2  1 nên phương trình tiếp tuyến là y  x . Chọn D. TOANMATH.com Trang 45
Ví dụ 8: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn  f   x 3   6 f  x  3x 10 với
mọi x   . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x tại điểm có hoành độ x  1 là 1 2 1 4 A. y  x  2. B. y  x. C. y  x  . D. y   x  . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Ta cần tính f   1 , f   1 .
Thay x  1 vào đẳng thức  f   x 3   6 f 
x  3x 10 , ta có  f    3   f         f    3 1 6 1 3 10 1   6 f 
 17  0  f  1 1. Theo bài ra ta có  f   x 3   6 f 
x  3x 10 đúng với mọi x nên đạo hàm hai vế ta được  f x 2 3.
 . f x  6 f x  3  , x      .
Thay x  1 vào ta có  f   2 3
1  . f 1  6 f   1  3    . Vì f   1  1 nên f   1 1   . 3 1 4
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y   x  . 3 3 Chọn D.
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn f  x  f   x 3 2 2 2 1 2  4x  x , x
  . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f x tại điểm có 2a  5b
hoành độ bằng 1 và bằng 0 lần lượt có dạng y  ax  b và y  a x  b . Giá trị biểu thức bằng 1 1 3b  2a 1 1 5 46 3 46 A. . B. . C. . D. . 46 3 46 5 f x
Câu 2: Biết đồ thị các hàm số y  f  x, y  g  x và y 
có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x  0 g x
và có cùng hệ số góc khác 0. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. f   1 0  . B. f   1 0  . C. f   1 0  . D. f   1 0  . 4 4 4 4
Câu 3: Cho các hàm số y  f  x, y  g  x và y  f  x.g x . Biết tiếp tuyến của đồ thị các hàm số đã
cho tại điểm x  0 có cùng hệ số góc và khác 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. f 0  g 0  1.
B. f 0  g 0  1.
C. f 0  g 0  1.
D. f 0  g 0  1.
Câu 4: Hệ số góc của các tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x  1 của đồ thị các hàm số f x  3
y  f  x; y  g  x và y 
bằng nhau và khác 0. Mệnh đề nào sau đây đúng? g  x  3 TOANMATH.com Trang 46 A. f   11 1   . B. f   11 1   . C. f    11 1 . D. f   11 1  . 4 4 4 4
Câu 5: Cho hai hàm số y  f  x và y  g  x có đạo hàm trên  và g 0  1
 . Biết tiếp tuyến tại điểm f x 1
x  0 của ba đồ thị hàm số y  f x, y  g  x   , y 
có cùng hệ số góc và khác 0. Mệnh đề nào 0 g  x 1 sau đây đúng? 3 3
A. f 0   , f 0  1  .
B. f 0   , f 0  1. 4 4 3 3
C. f 0  , f 0  1.
D. f 0  , f 0  1. 4 4
Câu 6: Cho hàm số y  f  x y  f  f   x y  f   4 , ,
x  2 có đồ thị lần lượt là C , C , C . Biết tiếp 1   2   3 
tuyến của C , C tại điểm có hoành độ x  1 có phương trình lần lượt là y  2x 1, y  6x 1. 1   2  0
Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ x  1 là 3  0 A. y  12x  5. B. y  6x  3. C. y  24x  21. D. y  12x  9.
Câu 7: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm trên  . Gọi C , C , C lần lượt là đồ thị của các hàm số 1   2   3 
y  f  x y  f  f x y  f  2 , , x  
1 . Các tiếp tuyến của C , C tại điểm x  2 có phương trình lần 1   2  0
lượt là y  2x 1, y  4x  3. Hỏi tiếp tuyến của C tại điểm x  2 đi qua điểm nào dưới đây? 3  0 A. Q2;1  1 . B. M 2;1  1 . C. N  2  ; 2   1 . D. P2;2  1 . f x
Câu 8: Cho các hàm số y  f  x, y  f  2 x    , y 
có đồ thị lần lượt là C , C , C . Hệ số góc 1   2   3  f  2 x 
các tiếp tuyến của C , C , C tại điểm có hoành độ x  1 lần lượt là k ,k ,k thỏa mãn 1   2   3  0 1 2 3
k  2k  3k  0 . Giá trị f   1 bằng 1 2 3 1 2 3 4 A.  . B.  . C.  . D.  . 5 5 5 5
Câu 9: Cho các hàm số y  f x y  f  f x y  f  2 ; ;
x  4 có đồ thị lần lượt là C , C , C . 1   2   3 
Đường thẳng x  1 cắt C ; C ; C lần lượt tại M, N, P. Biết phương trình tiếp tuyến của C tại M 1  1   2   3 
và của C tại N lần lượt là y  3x  2 và y  12x  5 và phương trình tiếp tuyến của C tại P có dạng 3  2 
y  ax  b . Giá trị a  b bằng A. 6. B. 9. C. 8. D. 7.
Câu 10: Cho hàm số y  f  x xác định và có đạo hàm trên  thỏa mãn  f   x   2    f     x 3 2 1 1   x. 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x tại điểm có hoành độ bằng 1 là 1 6 1 6 1 8 1 5 A. y   x  . B. y  x  . C. y   x  . D. y  x  . 7 7 7 7 7 7 7 7 TOANMATH.com Trang 47 f x
Câu 11: Gọi k ;k ;k lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị các hàm số y  f  x;y  g x   ; y  1 2 3 g x
tại x  2 và thỏa mãn k  k  2k  0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 2 3 A. f   1 2  . B. f   1 2  . C. f   1 2  . D. f   1 2  . 2 2 2 2
Câu 12: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm tại x  1. Gọi d ,d lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 2
y  f  x và y  g  x  xf 2x  
1 tại điểm có hoành độ x  1. Biết rằng hai đường thẳng d ,d vuông 1 2
góc với nhau, mệnh đề nào sau đây đúng? A. f   1  2. B. f   1  2 2. C. 2  f   1  2 2. D. 2  f   1  2.
Dạng 5: Một số bài toán tiếp tuyến khác
Bài toán 1. Tìm các điểm trên đồ thị hàm số y  f x mà tiếp tuyến tại các điểm đó song song với
nhau hoặc có cùng hệ số góc k. Phương pháp giải Giả sử hai điểm x 1 Ví dụ: Cho hàm số y  có đồ thị (H). Gọi 
Ax ; f x , Bx ; f x x  x thuộc 2x 1 A A B  B  A B 
A x ; y , B(x ; y ) là hai điểm phân biệt thuộc (H) 1 1  2 2
đồ thị hàm số y  f  x mà tiếp tuyến tại hai
sao cho tiếp tuyến của (H) tại A, B song song với
điểm đó song song với nhau hoặc có cùng hệ nhau. Tổng x  x bằng 1 2
số góc k thì x , x là hai nghiệm của phương A B A. 0. B. –1. trình f x  k . C. 2. D. 1.
Khi đó ta có biểu thức liên hệ giữa x , x . Hướng dẫn giải A B
Từ đó giải quyết yêu cầu bài toán đưa ra.  x 1    3 Ta có y   Đối với hàm số    2x 1 2x  2 1 ax  b y 
c  0;ad  bc  0 có tâm đối xứng
Do tiếp tuyến của (H) tại A, B song song với nhau, cx  d nên ta có  d a  là I  ; 
. Nếu A, B là hai điểm thuộc đồ 3 3  c c      2x 1  2x 1 2 2  1 2  2 2 2x 1 2x 1 1   2 
thị có tiếp tuyến tại A, B song song với nhau
thì I là trung điểm của AB. 2x 1  2x 1 x  x 1 2 1 2     2  x 1  2  x 1 x  x  1 1 2 1 2
Vì A  B nên x  x  1 . 1 2 Chọn D.
Nhận xét: Hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số ax  b y 
với c  0;ad  bc  0 mà tiếp tuyến tại cx  d TOANMATH.com Trang 48
A, B song song với nhau thì hai điểm A, B đối  d a 
xứng với nhau qua điểm I  ;  nên c c    2d x  x  2x   . A B I c Ví dụ mẫu x 1
Ví dụ 1: Cho hàm số y 
có đồ thị (H). Gọi A x ; y , B x ;y là hai điểm phân biệt thuộc (H) 1 1   2 2 2x 1
sao cho tiếp tuyến của (H) tại A, B song song với nhau. Độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng AB bằng A. 3 2 . B. 3. C. 6. D. 2 6. Hướng dẫn giải 3 Ta có y 
. Do tiếp tuyến của (H) tại A, B song song với nhau nên 2x  2 1     yx   y x  3 3 x x 1 2    1 2   2x  2 1 2x  2 1 x  x  1 1 2 1 2
Vì x  x nên x  x  1 . 1 2 1 2 1 1
Khi đó do vai trò của A, B như nhau nên ta có thể giả sử x  a  ,a  0 thì 1 2 2  1 1 a  3   1 1 a  3  A a  ; , B  a  ;     .  2 2 2a   2 2 2a   1 1  Gọi I ; 
 là giao điểm của hai đường tiệm cận.  2 2  x  x  1  2x Ta thấy 1 2 I 
nên I là trung điểm của AB. y  y  1  2y 1 2 I 2 2   a 3  a 9 a 9 3 Ta có IA  ;  IA    2 .    2 2  2 2a  4 4a 4 4a 2 3
Vì I là trung điểm của AB nên AB  2IA  2  6 . 2 2 a 9 Vậy AB  6 khi 2   a  3  a  3 min 2 4 4a Chọn C. TOANMATH.com Trang 49 x 1
Ví dụ 2: Cho hàm số y 
có đồ thị (H). Gọi A x ; y , B x ; y là hai điểm phân biệt thuộc (H) 1 1   2 2  2x 1 1
sao cho tiếp tuyến của (H) tại A , B có cùng hệ số góc k . Biết diện tích tam giác OAB bằng . Mệnh đề 2 nào dưới đây đúng? A. k  9. B. 9  k  6  . C. 6  k  3. D. 3  k  0. Hướng dẫn giải 3 Ta có: y   2x  2 1
Tiếp tuyến tại A, B của (H) có cùng hệ số góc k nên x , x là hai nghiệm phân biệt của phương trình 1 2 3   k  k  0 . 2x  2 1 x  x  1 1 2  Suy ra 2
4kx  4kx  k  3  0* nên  k  3 x .x   1 2  4k 1 1
Khi đó do vai trò của A, B như nhau nên ta có thể giả sử x  a  ,a  0 thì 1 2 2  1 1 a  3   1 1 a  3  A a  ; , B  a  ;     .  2 2 2a   2 2 2a    1
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC nếu có AB   ; a b, AC   ; c d  thì S  ad  bc . A  BC 2   1
1 a  3    1 1 a  3  Ta có OA  a  ; , OB   a  ;      2 2 2a   2 2 2a  2
1  a 1  a  3  a 1  a  3 1 a  3 1  S   .   O  AB     2  2  2a  2  2a 4 a 2 2 2 a  3 a  2a  3  0 a  3   2     ( vì a > 0). 2 a a  2a  3  0 a  1 1
+ Với a  3  x  2; x  1  k   . 1 2 3
+ Với a  1  x  1; x  0  k  3. 1 2 1
Vậy giá trị của k là k  3; k   . 3 Chọn D. Ví dụ 3: Cho hàm số 3
y  x  3x 1 có đồ thị (C). Gọi A x ;y , B x ;y với x  x là các điểm A A B B  A B
thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại A, B song song với nhau và AB  6 37 . Giá trị 2x  3x bằng A B A. 15. B. 90. C. – 15. D. – 90. TOANMATH.com Trang 50 Hướng dẫn giải Ta có 2 y  3x  3.
Do tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau nên yx  y x A   B  2 2
 3x  3  3x  3  x  x  0 (do x  x ). A B A B A B Giả sử A 3 a a  a   B 3 , 3 1 ,  , a a  3a   1 với a > 0 thuộc (C).
Khi đó AB  a   a  a2 2 2 3 6 4 2 4 2 6
 4a  24a  40a  6 37 6 4 2 2
 4a  24a  40a 1332  0  a  9  a  3 (vì a > 0)  x  3; x  3  nên 2x  3x  15. A B A B Chọn A. x  2
Ví dụ 4: Cho hàm số y 
có đồ thị (C). Gọi A, B là hai điểm phân biệt thuộc (C) và tiếp tuyến của x 1
(C) tại A, B song song với nhau. Đường thẳng AB cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại M, N diện tích tam giác 1
OMN bằng . Độ dài đoạn MN bằng 4 5 3 5 10 A. 10 . B. . C. . D. . 2 2 2 Hướng dẫn giải 3 Ta có y 
. Gọi A x ; y , B x ; y . 1 1   2 2  x  2 1
Khi đó y x   y x    x  2 1  x  2 1  x  x  2 . 1 2 1 2 1 2
Do đó tâm đối xứng I 1; 
1 của (C) là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Gọi hệ số góc của đường thẳng AB là k.
Phương trình đường thẳng AB là y  k x   1 1 .
Điều kiện để đường thẳng d : y  k x  
1 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B là phương trình
x  2  kx  11* có hai nghiệm phân biệt x 1. x 1 Ta có   2
*  kx  2kx  k  3  0 có hai nghiệm phân biệt x  1 khi và chỉ khi k  0  2
k  k k  3  0  k  0  k  2k  k  3  0  k 1 
Vì M, N là giao điểm của AB với Ox, Oy nên M ;0 , N   0;1 k.  k  TOANMATH.com Trang 51    k  2 k 2 1 1 Suy ra S 2 k k        O  MN  2 1 1 2 k 4 k   2 2 k 1  1 
Ta có MN  k  2   1   k  2 2 1 1 2  2 k k    5 + Với k  2  MN  . 2 1 5 + Với k   MN  . 2 2 5
Vậy trong cả hai trường hợp thì MN  . 2 Chọn B.
Bài toán 2: Một số dạng toán khác Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số 4 2
y  x  3x  2 và có hoành độ a. Có bao nhiêu số
nguyên a sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt B, C khác A? A. 1. B. 3. C. 2. D. 5. Hướng dẫn giải x  0 Ta có 3 y  4x  6x; y  0     6  . x    2 2 2
y  12x  6; y  0  x   . 2
Tọa độ các điểm có hoành độ a nguyên để tiếp tuyến tại điểm đó cắt trục hoành tại hai điểm thỏa mãn  6 6   a   2 2   a  1  ;0;  1 .  2 a   ;a     2
Vậy có ba giá trị nguyên của a thỏa mãn. Chọn B.
Nhận xét: Đối với đồ thị hàm số 4 2
y  ax  bx  c mà đồ thị có ba điểm cực trị ( khi ab < 0) thì tiếp
tuyến của đồ thị tại các điểm có hoành độ nằm giữa hai điểm cực tiểu (cực đại), trừ điểm uốn sẽ luôn cắt
đồ thị tại hai điểm khác nữa. TOANMATH.com Trang 52
Ví dụ 2: Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số 4 2
y  x  3x  2 và có hoành độ a . Có bao nhiêu số
nguyên a sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt B, C khác A và diện tích tam giác OBC bằng 2 3 ? A. 1. B. 3. C. 2. D. 5. Hướng dẫn giải x  0 Ta có 3 y  4x  6x; y  0     6  . x    2 2 2
y  12x  6; y  0  x   . 2
Tọa độ các điểm có hoành độ a nguyên để tiếp tuyến tại điểm đó cắt trục hoành tại hai điểm nữa thì  6 6   a   2 2   a  1  ;0;  1  2 a    2 + Với a  1
  A1;0 . Khi đó phương trình tiếp tuyến là y  2x   1 . x  0 Xét phương trình 4 2 x 3x 2 2  x 1       x  1  
nên B 0;2,C2;6  S  2 (loại). O  BC x  2 
+ Với a  0  A0;2 . Khi đó phương trình tiếp tuyến là y  2 nên B  3;2,C 3;2  S  2 3 O  BC (thỏa mãn).
+ Với a  1  A1;0 . Khi đó phương trình tiếp tuyến là y  2x   1 nên
B 0;2,C2;6  S  2 (loại). OBC Vậy a  0 . Chọn A. x 1
Ví dụ 3: Cho hàm số y 
có đồ thị (C). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m sao cho tiếp x  2
tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x  m  2 cắt tiệm cận đứng tại A x ; y , cắt tiệm cận ngang tại 1 1 
B  x ;y thỏa mãn x  y  5. Tổng giá trị các phần tử của S bằng 2 2  2 1 A. 4. B. – 2. C. – 4. D. 2. Hướng dẫn giải
Đồ thị (C) có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là x  2 và y  1. 3 3 Ta có y  , y m  2  . 2   x  2 2 m TOANMATH.com Trang 53  m  3  Gọi M m  2;  
 C,m  0 , tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình là  m  3 m  3 y  x  m  2  . 2   m m  m  6 
Giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng là A 2  ; 
và tiệm cận ngang là B 2m  2;  1 . m    m  6 m  1 Theo giả thiết ta có 2
 2m  2  5  2m  4m  6  . m  m  3  Vậy m  m  2 . 1 2 Chọn B. x 1
Ví dụ 4: Cho hàm số y 
có đồ thị (C). Gọi A, B là hai điểm nằm x 1
trên hai nhánh của (C) và các tiếp tuyến của (C) tại A, B cắt các đường
tiệm cận ngang và tiệm cận đứng lần lượt tại các cặp M, N và P, Q. Diện
tích tứ giác MNPQ nhỏ nhất bằng A. 16. B. 32. C. 8. D. 4. Hướng dẫn giải
Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Theo tính chất của tiếp tuyến đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất thì IM.IN  I . P IQ  8 . 1 1 1 Ta có S  M . P NQ  IM  IP IN  IQ 
IM IN  IP IQ  IM IQ  IN IP MNPQ     . . . .  2 2 2 1       IM IQ  IN IP 1 64 1 8 8 . .  8 
 IN.IP  8  .2 64  16   . 2 2  IN.IP  2 64 Vậy S  16 khi
 IN.IP  IN.IP  8 hay IN  IQ  IM  IP  2 2 tức là MNPQ là hình min IN.IP vuông. Chọn A. 1 Ví dụ 5: Cho hàm số 4 3 2
y  x  x  6x  7 có đồ thị (C). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để 2
có ít nhất hai tiếp tuyến của (C) song song hoặc trùng với đường thẳng d : y  mx ? A. 27. B. 28. C. 26. D. 25. Hướng dẫn giải Giả sử M  ;
a b là tiếp điểm. Ta có 3 2 y  2x  3x 12x .
Tiếp tuyến của (C) tại M song song hoặc trùng với đường thẳng d : y  mx nên a là nghiệm của phương trình 3 2
2x  3x 12x  m * . TOANMATH.com Trang 54
Để có ít nhất hai tiếp tuyến của (C) song song hoặc trùng với đường thẳng d thì phương trình (*) có ít nhất hai nghiệm. x  1 Xét f  x 3 2  2x  3x 12x có 2
y  6x  6x 12; y  0   . x  2 Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, để phương trình (*) có ít nhất hai nghiệm thì 20  m  7 .
Mà m  nên m 20, 1  9,...,6,  7 .
Vậy có 28 giá trị m thỏa mãn. Chọn B. x 
Ví dụ 6: Cho đường cong C 1 : y  và điểm I 1; 
1 . Hai điểm A và B thuộc cùng một nhánh của đồ x 1
thị sao cho IA  IB . Gọi k và k lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến tại A và B. Khi tiếp tuyến tại A và 1 2
B của (C) tạo với nhau một góc 15, giá trị biểu thức k  k bằng 1 2 A. 2 6  2 2. B. 4 2  3. C. 2 6  2 2. D. 4 2  3. Hướng dẫn giải Do IA  IB nên k .k  1. 1 2 k  k Ta có 1 2 tan15  1 k .k 1 2  k  k  2 2  3 1 2  
 k  k 2  28 16 3 1 2
 k  k 2  32 16 3  k  k  4 2  3  2 6  2 2 . 1 2 1 2 Chọn A. ax  b
Nhận xét: Đối với đồ thị hàm số y 
có tâm đối xứng là I. Cho A, B là hai điểm thuộc cùng một cx  d
nhánh của đồ thị hàm số thỏa mãn IA  IB .
Gọi k , k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại A, B. 1 2 1 Ta có k k  . 1 2 c TOANMATH.com Trang 55
Bài tập tự luyện dạng 5 Câu 1: Cho hàm số 3 2
y  x  3x  3 có đồ thị (C). Trên (C) có hai điểm phân biệt A và B sao cho tiếp
tuyến tại A, B có cùng hệ số góc k và O, A, B thẳng hàng. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 3  k  0. B. 0  k  3. C. 8  k  12. D. 4  k  8. Câu 2: Cho hàm số 3 2
y  x  6x  9x  3 có đồ thị (C). Tồn tại hai tiếp tuyến của (C) phân biệt và có
cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy
lần lượt tại A, B sao cho OA  2020.OB . Có bao nhiêu giá trị của k thỏa mãn yêu cầu bài toán? A. 0. B. 3. C. 2. D. 1. Câu 3: Cho hàm số 4 2
y  x  2x có đồ thị (C). Trên đồ thị (C) có ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp
tuyến của (C) tại A, B, C có cùng hệ số góc k. Tập hợp tất cả các giá trị thực của k là  8  3 8 3   1 1   8  8   8  3 8 3  A.  ; .  B. ; . C. ; . D.  ; . 2 2           3 3   3 3  9 9   Câu 4: Cho hàm số 4 2
y  x  2x có đồ thị (C). Trên (C) có ba điểm A, B, C sao cho tiếp tuyến của (C) tại
A, B, C có cùng hệ số góc k. Biết rằng ba điểm A, B, C cùng thuộc một parabol và đỉnh I của parabol có 1
hoành độ là . Tung độ của I bằng 6 4  1 1 1  A. . B. . C. . D. . 3 6 36 6 Câu 5: Cho hàm số 3 2
y  x  3x  2 có đồ thị (C). Gọi A, B là hai điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của
(C) tại A, B song song với nhau, đường thẳng AB có hệ số góc dương và tạo với hai trục tọa độ tam giác
vuông cân. Giá trị x .x bằng A B A. – 3. B. – 1. C. – 2. D. 2. x 1 Câu 6: Cho hàm số y 
có đồ thị (C). Gọi A, B là hai điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại x 1
A , B song song với nhau. Khoảng cách lớn nhất từ điểm M 2;3 đến đường thẳng AB bằng 3 A. 13. B. . C. 3 2. D. 11. 2 Câu 7: Cho hàm số 3 2
y  x  3x  2x 1 có đồ thị (C). Hai điểm A, B phân biệt trên (C) có hoành độ lần lượt là ,
a ba  b . Tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và AB  2 . Giá trị 2a  3b bằng A. 4. B. 6. C. 7. D. 8.
Câu 8: Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để trên đồ thị hàm số 2 5 3 y   x  m   2
1 x  3m  2 x  tồn tại hai điểm M x ;y , M x ; y có tọa độ thỏa mãn 1  1 1  2  2 2  3 3
x .x  0 sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại hai điểm đó cùng vuông góc với đường thẳng x  2y 1  0 . Số 1 2
nguyên âm lớn nhất thuộc tập S là A. – 1. B. – 3. C. – 2. D. – 4. TOANMATH.com Trang 56 x 1 Câu 9: Cho hàm số y 
có đồ thị (C). Hai điểm phân biệt A, B của (C) trong đó hoành độ của A x  2
âm sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau và diện tích tam giác OAB bằng 1. Độ dài đoạn thẳng OA bằng 1 89 89 A. 1. B. . C. . D. . 2 2 2
Câu 10: Gọi A, B là hai điểm phân biệt thuộc đồ thị (C) của hàm số 4 2
y  x  3x  2 sao cho tiếp tuyến
của (C) tại A và B song song với nhau. Khoảng cách giữa A và B lớn nhất bằng 3 3 3 35 A. . B. . C. . D. 6. 2 2 2 Câu 11: Cho hàm số 3
y  x  2018x có đồ thị (C). Xét điểm A có hoành độ x  1 thuộc (C). Tiếp tuyến 1 1
của (C) tại A cắt (C) tại điểm thứ hai A  A có tọa độ  x ; y . Tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại 2 2  1 2 1 2
điểm thứ hai A  A có tọa độ  x ;y . Cứ tiếp tục như thế, tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại điểm 3 3  3 2 n 1 
thứ hai A  A có tọa độ  x ; y . Giá trị x bằng n n  n n 1  2019 A. 2019 2 . B. 2018 2 . C. 2020 2 . D. 2017 2 . x 
Câu 12: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đường cong C 2 4 : y 
mà tiếp điểm có tọa độ nguyên? x 1 A. 6. B. 8. C. 4. D. 3.
Câu 13: Có một tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số 4 3 2
y  x  3x  2x tại đúng hai điểm phân biệt M
và N với x  x . Giá trị biểu thức x  x bằng M N N M 3 11 A. . B. . C. 2 2. D. 6. 2 2 2 x   1
Câu 14: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
mà tiếp điểm cách đều các trục tọa độ? x  2 A. 1. B. 3. C. 2. D. 4. x  2
Câu 15: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
cách đều hai điểm A1;3, B2; 6  ? x 1 A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 16: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y  x  3x cách đều hai điểm A1;2, B  3  ; 6  ? A. 4. B. 3. C. 2. D. 5.
Câu 17: Cho đường thẳng y  m cắt đường cong C 4 2
: y  x  3x  2 tại hai điểm phân biệt A và B sao
cho tam giác OAB vuông tại O với m là số thực dương. Khi đó tiếp tuyến của (C) tại A và B cắt nhau tại điểm nào dưới đây? A. M 0;40. B. N 0;42. C. P0;38. D. Q0; 4  0. Câu 18: Cho hàm số 3 2
y  2x  3x 1 có đồ thị (C). Xét điểm A thuộc (C). Gọi S là tập hợp các giá trị 1
thực của a sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại điểm thứ hai B ( B  A ) thỏa mãn . a b   , trong 2
đó a, b lần lượt là hoành độ của A và B. Tổng giá trị các phần tử của S bằng TOANMATH.com Trang 57 5 3 5 3 A. . B.  . C.  . D. . 4 4 4 4 1 5
Câu 19: Gọi A là điểm thuộc đồ thị hàm số C 4 2
: y  x  3x  sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt 2 2
(C) tại hai điểm phân biệt B; C khác A thỏa mãn AC  3AB (với B nằm giữa A ;C). Độ dài đoạn thẳng OA bằng 3 14 17 A. 2. B. . C. . D. . 2 2 2 x 
Câu 20: Cho đồ thị hàm số C 1 : y 
và d , d là hai tiếp tuyến của (C) song song với nhau. Khoảng 2x 1 2
cách lớn nhất giữa d , d là 1 2 A. 3. B. 2 3. C. 2. D. 2 2. 3x 1 Câu 21: Cho hàm số y 
có đồ thị (C). Gọi A, B là hai điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) x 1
tại A, B song song với nhau. Các tiếp tuyến này lần lượt cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của (C) tại M,
N (tham khảo hình vẽ). Tứ giác MNBA có chu vi nhỏ nhất bằng A. 16. B. 12. C. 20. D. 24. ĐÁP ÁN
DẠNG 1. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cho trước 1 – C 2 – C 3 – A 4 – D 5 – C 6 – C 7 – B 8 – D 9 – D 10 – B 11 – B 12 – A 13 – B 14 – D 15 – D 16 – D 17 – B 18 – D 19 – B 20 – B 21 – A 22 – B 23 – C 24 – A 25 – D 26 – D 27 – C 28 – A 29 – B 30 – A 31 – A 32 – B 33 – B 34 – A 35 – D 36 – D
DẠNG 2. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f x khi biết hệ số góc 1 – B 2 – B 3 – D 4 – B 5 – A 6 – A 7 – B 8 – D 9 – D 10 – A 11 – A 12 – A 13 – C 14 – A 15 – C 16 – C 17 – D 18 – A 19 – C 20 – B 21 – A 22 – C 23 – D 24 – C 25 – B 26 – D 27 – C
DẠNG 3. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f x đi qua điểm M cho trước 1 – B 2 – C 3 – C 4 – D 5 – D 6 – A 7 – D 8 – A 9 – B 10 – B 11 – D
DẠNG 4. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ẩn tại điểm có hoành độ x  x cho trước 0 TOANMATH.com Trang 58 1 – D 2 – B 3 – C 4 – A 5 – A 6 – A 7 – C 8 – C 9 – D 10 – C 11 – B 12 – B
Dạng 5. Một số bài toán tiếp tuyến khác 1 – C 2 – B 3 – D 4 – C 5 – A 6 – A 7 – A 8 – D 9 – A 10 – B 11 – B 12 – B 13 – B 14 – C 15 – A 16 – B 17 – C 18 – D 19 – D 20 – C 21 – D TOANMATH.com Trang 59