Bài giảng tính đơn điệu của hàm số Toán 12

Bài giảng tính đơn điệu của hàm số Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

17 9 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Môn: Toán 12

Thông tin:

60 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
TOANMATH.com
Trang 1
CHUYÊN ĐỀ 1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THN HÀM SỐ
BÀI 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Mục tiêu
Kiến thức
+ Biết, hiểu công thức, quy tắc tính đạo hàm
+ Nắm vững tính đơn điệu của hàm số.
+ Thấy được mối liên hệ về sự biến thiên của hàm số thông qua đạo hàm của nó
+ Bi
ết quy tắc xét dấu đã học ở lớp 10.
+ Nhận biết được mối liên hệ của hàm số khi biết bảng biến thiên của hàm số
yfx ,


yfux
khi biết bảng biến thiên của hàm số
yfx
, đồ thị hàm số
yfx
hoặc đồ
thị hàm số
'yfx.
Kĩ năng
+ Biết áp dụng công thức, các quy tắc tính đạo hàm vào các hàm số cơ bản
+ Nhận diện được bảng biến thiên, đồ thị của hàm số đơn điệu trên một khoảng cụ thể.
+ Vẽ được bảng biến thiên, đồ thị các hàm số cơ bản, các hàm chứa trị tuyệt đối.
+ Vận dụng được tính ch
ất của các hàm số trùng phương, hàm số bậc ba, các hàm hữu tỷ vào giải
nhanh toán trắc nghiệm.
+ Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
y
fx ,


y
fux ,
y
fux hx
khi biết bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số
yfx
(

yfx
).
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Định nghĩa
Cho hàm số
f
xác định trên khoảng (đoạn hoặc
nửa khoảng)
K
.
Hàm số
f
gọi là đồng biến (tăng) trên
K
nếu
12 1 2
xfxfx .
Hàm số
f
gọi là nghịch biến (giảm) trên
K
nếu
Ví dụ 1: Cho hàm số

yfx
có đồ thị như hình
vẽ dưới đây.
Dựa vào đồ thị ta thấy
Hàm số đồng biến trên khoảng

1; 0 .
Hàm số nghịch biến trên khoảng
0;1
.
Ví dụ 2: Cho hàm số
yfx . Ta có bảng xét
TOANMATH.com
Trang 2
12 1 2
xfxfx
Định lí thuận
Giả sử hàm số
f
có đạo hàm trên khoảng
K
.
Nếu
0,
f
xxK

thì hàm số đồng biến trên
khoảng
K
.
Nếu
0,
f
xxK

thì hàm số nghịch biến trên
khoảng
K
.
Nếu

0,
f
xxK

thì hàm số không đổi trên
khoảng
K
.
Định lí đảo
Giả sử hàm số
f
có đạo hàm trên khoảng
K
.
Nếu hàm số
f
đồng biến trên khoảng
K
thì
0,
f
xxK

.
Nếu hàm số
f
nghịch biến trên khoảng
K
thì
0,
f
xxK
.
Lưu ý:
- Hàm số

f
x đồng biến trên
K
thì đồ thị hàm số
là đường đi lên từ trái sang phải, biểu diễn trong
bảng biến thiên là dấu mũi tên hướng lên từ trái
sang phải.
- Hàm số
f
x
nghịch biến trên
K
thì đồ thị hàm
số là đường đi xuống từ trái sang phải, biểu diễn
trong bảng biến thiên là dấu mũi tên hướng xuống
từ trái sang phải.
Xét dấu tam thức bậc hai

2
g
xaxbxc
dấu như sau:
x

1
3
1

y
0
0
Ta thấy
Hàm số đồng biến trên các khoảng

1
;;1;
3

 


Hàm số nghịch biến trên khoảng
1
;1
3



Ví dụ 3: Cho hàm số
2
256
g
xxx
.
Hàm số có

2
20
5 4.2.6 23 0
a 
 
0,gx x .
Chú ý: Định lí thuận dạng “mở rộng”:
0fx
x
K
và dấu “=” tại hữu hạn điểm
trên
K
thì hàm số nghịch biến trên
K
.
TOANMATH.com
Trang 3
0a

0
0,
0
a
gx x


;

0
0,
0
a
gx x


;

0
0,
0
a
gx x


;

0
0,
0
a
gx x


.
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Cho hàm số
f
xác định trên khoảng (đoạn hoặc nửa khoảng)
K
.
Hàm số nghịch biến
Định lí thuận
-
Nếu
0,
f
xxK
 thì hàm số nghịch biến
trên khoảng
K
.
Định lí đảo
- Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng
K
thì
0,
f
xxK
.
Định lí thuận “mở rộng”
0,
f
xxK
 và dấu bằng tại hữu hạn điểm
trên
K
thì hàm số đồng biến trên
K
.
Hàm số đồng biến
Định lí thuận
- Nếu
0,
f
xxK
 thì hàm số đồng biến
trên khoảng
K
.
Định lí đảo
- Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng
K
thì
0,
f
xxK
.
Định lí thuận “mở rộng”
0,
f
xxK
 và dấu bằng tại hữu hạn điểm
trên
K
thì hàm số nghịch biến trên
K
.
Đồ thị
- Đồ thị hàm số là đường đi xuống từ trái sang phải
Đồ thị
- Đồ thị hàm số là đường đi lên từ trái sang phải
Định nghĩa
Hàm số
f
được gọi là nghịch biến trên
K
nếu
Định nghĩa
Hàm số
f
được gọi là đồng biến trên
K
nếu
TOANMATH.com
Trang 4
12 1 2
xfxfx
.
12 1 2
x
xfxfx
.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1:
Xét tính đơn điệu của hàm số không chứa tham số
Bài toán 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số cho bởi công thức
y
fx
Phương pháp giải
Thực hiện các bước như sau:
Bước 1. Tìm tập xác định D .
Bước 2. Tính đạo hàm

yfx

.
Bước 3. Tìm các giá trị
x
mà
0fx
hoặc
những giá trị làm cho

f
x
không xác định.
Bước 4. Lập bảng biến thiên hoặc xét dấu trực tiếp
đạo hàm.
Bước 5. Kết luận tính đơn điệu của hàm số

yfx (chọn đáp án).
Ví dụ: Hàm số
3
2
352
3
x
yxx đồng biến
trên khoảng nào dưới đây?
A.
5;  . B.
;1 .
C.

2; 3
.
D.

1; 5
.
Hướng dẫn giải
Tập xác định
D
.
Ta có
2
65yxx

Ta có
2
1
0650
5
x
yxx
x
 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến
trên khoảng
1; 5 .
Chọn D.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Cho hàm số
32
3915yx x x . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng
3;1 . B. Hàm số đồng biến trên
9; 5 .
C.
Hàm số đồng biến trên . D. Hàm số đồng biến trên

5;  .
Hướng dẫn giải
Tập xác định D
Ta có
2
369yx x

Cho
1
0
3
x
y
x


.
x

1
5

y
0
0
y

13
3
19
3
TOANMATH.com
Trang 5
Từ bảng biến thiên, mệnh đề C sai.
Chọn C.
Ví dụ 2.
Các khoảng nghịch biến của hàm số
42
24yx x là
A.

1; 0 và

1;  . B.

;1 và

1;  .
C.

1; 0 và

0;1 . D.

;1 và

0;1 .
Hướng dẫn giải
Tập xác định
D
.
Ta có
3
44yxx

0
0
1
x
y
x


Bảng biến thiên của hàm số
42
24yx x như sau
Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên
1; 0 và
1;  .
Chọn A.
Ví dụ 3.
Cho hàm số
1
2
x
y
x
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên .
B. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
C.
Hàm số đồng biến trên
\2 .
D.
Hàm số đồng biến trên từng khoảng của miền xác định.
Hướng dẫn giải
Tập xác định
\2D 
.
Ta có

2
3
0,
2
yxD
x

nên hàm số
1
2
x
y
x
đồng biến trên từng khoảng của miền xác định.
Chọn D.
x

1
0
1

y
0
0
0
y

3
4
3

x

3
1

y
0
0
y

42
10

TOANMATH.com
Trang 6
Ví dụ 4. Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên ?
A.
3
2yx x . B.
2
1
x
y
x
. C.
42
3yx x . D.
32
3yx x .
Hướng dẫn giải
Tập xác định D .
Ta có
32
2320,yx xy x x
 
Vậy hàm số
3
2yx x nghịch biến trên .
Chọn A.
Ví dụ 5.
Cho hàm
2
65yxx. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng
5; 
.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng
3; 
.
C. Hàm số đồng biến trên khoảng
;1 .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng
;3 .
Hướng dẫn giải
Tập xác định

;1 5;D 
Ta có

2
3
0, 5;
65
x
yx
xx


Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
5;  .
Chọn A.
Ví dụ 6.
Hàm số
4
yx
x
 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.

0;  . B.

2; 2 . C.
2; 0 . D.
2;  .
Hướng dẫn giải
Tập xác định
\0D
.
Ta có
22
22
44
002
xx
yy x
xx



Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên
;2 và
2;  .
x

2
0
2

y
0
0
y

4


4

TOANMATH.com
Trang 7
Chọn D.
Ví dụ 7.
Cho hàm số

2019
2
1fx x . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên .
B. Hàm số đồng biến trên
;0
.
C.
Hàm số nghịch biến trên
;0 .
D.
Hàm số nghịch biến trên
.
Hướng dẫn giải
Tập xác định
D
.
Đạo hàm

 

2018 2018
22 2
2019. 1 . 1 2019. 1 . 2
f
xxx xx
 
Vì
2018
2
2019. 1 0x
,
x
nên dấu của đạo hàm cùng dấu với
x
.
Ta có

0
0
1
x
fx
x


Ta có bảng biến thiên
x

1
0
1


f
x
0
0
0

f
x

0
1
0

Vậy hàm số đồng biến trên

;0 .
Chọn B.
Chú ý:
Dấu hiệu mở rộng khi kết luận khoảng đồng biến

;0 .
Ví dụ 8. Cho hàm số
32
8cos
f
xxx x x . Với hai số thực
,ab
sao cho ab . Khẳng định nào sau
đây là đúng?
A.
f
afb . B.
f
afb .
C.

f
afb
. D.

f
afb
.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D .
Ta có
22
328sin 3217sin 0,fxxx xxx x x
 Suy ra

f
x
đồng biến trên
.
Do đó
ab fa fb .
TOANMATH.com
Trang 8
Chọn C.
Ví dụ 9.
Hàm số
2
23yx x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
;1 . B.
1; 3 . C.
1;  . D.
3;  .
Hướng dẫn giải
Tập xác định D .
Ta có


2
2
22
2
2
22 23
23 23
23
xxx
yx x x x y
xx



0220 1yx x
 
;
y
không xác định nếu
1; 3xx
.
Ta có bảng biến thiên
x

1
1
3

y
0
y

0
4
0

Hàm số đồng biến trên khoảng
1;1 và
3;  .
Chọn D.
Chú ý: -
Vì
 
2
f
xfx nên có thể xét tính đơn điệu của hàm số

2
yfx để suy ra kết quả.
- Đạo hàm

2
.
f
xfx
y
f
x
.
Bài toán 2. Xét tính đơn điệu của hàm số
y
fx
khi cho hàm số
y
fx
Phương pháp giải
Thực hiện theo ba bước như sau:
Bước 1. Tìm các giá trị
x
mà
0fx
hoặc
những giá trị làm cho
f
x
không xác định.
Bước 2. Lập bảng biến thiên hoặc xét dấu trực tiếp
đạo hàm.
Bước 3. Kết luận tính đơn điệu của hàm số
y
fx (chọn đáp án).
Ví dụ: Cho hàm số

yfx có đạo hàm trên
là
2
1fx xx
. Hàm số đã cho đồng biến trên
khoảng
A.
1;  . B.
;0 ; 1;  .
C.

0;1 . D.

;1 .
Hướng dẫn giải
Ta có

2
0
010
1
x
fx xx
x
 
Ta có bảng xét dấu
x

0
1

f
x
0
0
TOANMATH.com
Trang 9
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
1;  .
Chọn A.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Cho hàm số
f
x có đạo hàm

23
112
f
xx x x

Hàm số
y
fx
đồng biến trên khoảng nào, trong các khoảng dưới đây?
A.
1; 1
. B.
1; 2
. C.

;1
. D.

2; 
.
Hướng dẫn giải
Ta có

2
0
1
x
fx
x


Bảng xét dấu
x

1
1
2


f
x
0
0
0
Hàm số

f
x
đồng biến trên khoảng

1; 2
.
Chọn B.
Ví dụ 2. Cho hàm số

yfx
xác định trên khoảng

0; 3
có tính chất
0, 0;3fx x
 và
0fx
,
1; 2x .
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A. Hàm số
f
x đồng biến trên khoảng

0; 2 .
B. Hàm số
f
x
không đổi trên khoảng
1; 2
.
C.
Hàm số
f
x đồng biến trên khoảng

1; 3 .
D.
Hàm số
f
x đồng biến trên khoảng
0;3 .
Hướng dẫn giải
Vì
0fx
,
1; 2x
nên
f
x
là hàm hằng trên khoảng
1; 2
.
Trên các khoảng
0; 2 , 1; 3 , 0; 3 hàm số
y
fx thỏa
0fx nhưng
0fx
,
1; 2x nên

f
x
không đồng biến trên các khoảng này.
Chọn B.
Bài toán 3. Xét tính đơn điệu của hàm số

yfx
khi cho bảng biến thiên hoặc đồ thị
Phương pháp giải
Khi cho bảng biến thiên:
- Trên khoảng
;ab nếu
f
x
mang dấu
(dương) thì ta kết luận

f
x
đồng biến trên

;ab
.
Ví dụ: Cho hàm số

y
fx có bảng biến thiên
như sau:
TOANMATH.com
Trang 10
- Trên khoảng

;cd nếu

f
x
mang dấu
(âm):
thì ta kết luận

f
x
nghịch biến trên
;cd
.
Khi cho đồ thị:
- Hàm số
f
x đồng biến trên
;ab thì hàm số có
đồ thị là đường đi lên từ trái sang phải trên
;ab .
- Hàm số
f
x
nghịch biến trên
;ab
thì hàm số
có đồ thị là đường đi xuống từ trái sang phải trên
;ab .
- Trong trường hợp: Hàm số
f
x là hàm hằng
(không đổi) trên

;ab
thì hàm số có đồ thị là
đường song song hoặc trùng với trục Ox trên

;ab
x

2
0
2

y
0
0
y

3
1
3

Hàm số
yfx đồng biến trên khoảng nào dưới
đây?
A.
;0
. B.
0; 2
.
C.
2; 0
. D.
2; 
.
Hướng dẫn giải
Dựa vào bảng biến thiên, ta có
0, 0; 2yx

hàm số đồng biến trên
0; 2
.
Chọn B.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Cho hàm số
yfx có bảng biến thiên như sau
x

2

y
0
y

2f

Hỏi bảng biến thiên trên là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
A.
32
612yx x x . B.
32
612yx x x .
C.
32
44yx x x . D.
2
44yx x .
Hướng dẫn giải
Xét hàm số
32
612yx x x

2
2
312123 20,yxx x x
  , thỏa mãn.
Xét hàm số
32
612yx x x

2
2
312123 20yx x x
, x , không thoả mãn.
Xét hàm số
32
44yx x x
TOANMATH.com
Trang 11
2
2
384, 0
3
2
x
yxxy
x


không thoả mãn.
Xét hàm số
2
44yx x
24, 0 2yxy x


là nghiệm duy nhất.
Hàm số đồng biến trên
;2 , nghịch biến trên
2;  không thoả
mãn.
Chọn A.
Ví dụ 2.
Cho hàm số
yfx
có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho
đồng biến trên khoảng dưới đây nào?
A.
2; 2 . B.

0; 2 .
C.
1; 1
. D.
1; 2
.
Hướng dẫn giải
- Xét đáp án A, trên khoảng

1;1 2; 2 đồ thị hướng đi xuống hay hàm nghịch biến trên khoảng đó.
- Xét đáp án B, trên khoảng

0;1 0; 2
đồ thị có đoạn hướng đi xuống hay hàm số nghịch biến trên đó.
- Xét đáp án C, trên khoảng
1; 1 đồ thị có hướng đi xuống hay hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
- Xét đáp án D, trên khoảng
1; 2 đồ thị có hướng đi lên hay hàm số đồng biến trên khoảng đó nên chọn.
Chọn D.
Ví dụ 3. Cho hàm số
ax b
y
cx d
có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Khẳng định đúng là
A. Hàm số đồng biến trên
\1 .
B.
Hàm số đồng biến trên khoảng
;2 .
TOANMATH.com
Trang 12
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng
1;.
D.
Hàm số đồng biến trên khoảng
1;
.
Hướng dẫn giải
Nhìn vào đồ thị đã cho, ta có trên khoảng
1;
đồ thị hàm số đi lên (theo chiều từ trái qua phải) nên
hàm số đồng biến trên khoảng

1;
.
Chọn D.
Chú ý:
Kết luận hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng không viết ở dạng
\1
.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1:
Cho hàm số
y
fx
có đạo hàm trên
;ab
. Phát biểu nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số
yfx
đồng biến trên
;ab
khi
0fx
,
;
x
ab
.
B. Hàm số
yfx
đồng biến trên
;ab
khi
0fx
,
;
x
ab
.
C. Hàm số
yfx đồng biến trên
;ab khi
0fx
,
;
x
ab .
D. Hàm số
yfx đồng biến trên
;ab khi
0fx
,
;
x
ab , trong đó
0fx
tại hữu hạn
giá trị

;
x
ab
.
Câu 2: Cho hàm số
y
fx có đạo hàm trên khoảng
;ab . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Nếu
0fx
với mọi
x
thuộc
;ab
thì hàm số
f
x
nghịch biến trên
;ab
.
B.
Nếu hàm số
f
x đồng biến trên
;ab thì
0fx
với mọi
x
thuộc
;ab .
C.
Nếu hàm số
f
x đồng biến trên

;ab thì
0fx
với mọi
x
thuộc
;ab .
D. Nếu

0fx
với mọi
x
thuộc

;ab
thì hàm số

f
x
đồng biến trên

;ab
.
Câu 3: Cho hàm số

f
x đồng biến trên tập số thực
, mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Với mọi
12 1 2
x
xfxfx . B. Với mọi
12 1 2
,
x
xfxfx .
C. Với mọi
12 1 2
,
x
xfxfx . D. Với mọi
12 1 2
x
xfxfx .
Câu 4: Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu
0fx
,
;
x
ab thì hàm số
yfx đồng biến trên
;ab .
B. Nếu
0fx
,
;
x
ab
thì hàm số
yfx
đồng biến trên

;ab
.
C.
Hàm số
y
fx
đồng biến trên
;ab
khi và chỉ khi
0fx
,
;
x
ab
.
D. Hàm số
yfx đồng biến trên
;ab khi và chỉ khi
0fx
,
;
x
ab .
Câu 5: Cho hàm số
32
21yx x x . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng
1;  . B. Hàm số đồng biến trên khoảng
1
;1
3



.
TOANMATH.com
Trang 13
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng
1
;1
3



.
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng
1
;
3




.
Câu 6: Cho hàm số
32
1
1
3
yxxx
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên
;1 và nghịch biến trên
1;  .
B.
Hàm số nghịch biến trên .
C.
Hàm số đồng biến trên .
D.
Hàm số đồng biến trên
1;  và nghịch biến trên
;1 .
Câu 7: Hàm số
42
21yx x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
1; 
.
B.

;1
.
C.

;0
.
D.

0; 
Câu 8: Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng

; 
?
A.
2
1yx. B.
3
yx x. C.
4
1yx. D.
3
yx x.
Câu 9: Cho hàm số
2
3
x
y
x
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng
;  .
B. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
C. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
D. Hàm số đồng biến trên khoảng
;  .
Câu 10: Hàm số
2
2yxx nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
;1 . B.
1; 2 . C.
1;  . D.
0;1 .
Câu 11: Hàm số nào sau đây luôn đồng biến trên ?
A.
32
3yx x x. B. 1yx.
C.
32
53yx x x. D.
1
21
x
y
x
.
Câu 12: Cho hàm số
2
3yxx. Hàm số đồng biến trên khoảng nào?
A.
3
0;
2



.
B.
0;3
. C.
3
;3
2



.
D.
3
;
2




.
Câu 13: Hàm số
2
1
x
y
x
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A.
;1 . B.
1;1 . C.
;  . D.
0;  .
Câu 14: Hàm sổ
2
21
2
x
x
y
x

nghịch biến trên các khoảng
A.
;5 và
1;  . B.
5; 2 .
C.
;2 và
2;. D.
2;1 .
TOANMATH.com
Trang 14
Câu 15: Cho hàm số
yfx xác định trên tập
và có
2
54fx x x
. Khẳng định nào sau đây
đúng?
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

1; 4
.
B.
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
3;  .
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
;3
.
D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
1; 4
.
Câu 16: Cho hàm số
yfx có đạo hàm
2
2fx x
, x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
11
f
f . B.
11
f
f . C.
11
f
f . D.
11
f
f .
Câu 17: Cho hàm số
yfx có đạo hàm

2
12 3fx x xx

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng
3; 1
và
2; 
.
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng

3; 2
.
C.
Hàm số đồng biến trên các khoảng

;3 và

2;  .
D.
Hàm số đồng biến trên khoảng

3; 2 .
Câu 18: Cho hàm số

yfx liên tục trên và có đạo hàm

2018 2019
21 2fx x x x

.
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng
;3 .
B. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
1; 2 và
2;  .
C.
Hàm số nghịch biến trên khoảng
1; 2 .
D.
Hàm số nghịch biến trên khoảng
2; 2 .
Câu 19: Cho hàm số
yfx xác định trên
\2 và có bảng biến thiên như hình vẽ.
Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A.

f
x nghịch biến trên từng khoảng

;2 và

2;  .
B.

f
x đồng biến trên từng khoảng
;2 và
2;  .
C.
f
x nghịch biến trên
.
D.
f
x đồng biến trên .
Câu 20: Cho hàm số có bảng biến thiên sao. Mệnh đề nào đúng?
x

2

f
x
–
–
f
x
1


1
TOANMATH.com
Trang 15
A. Hàm số đồng biến trên
;1 1;  và nghịch biến trên
1; 0 0; 1 .
B. Hàm số đồng biến trên
;1 11; 
và nghịch biến trên
1; 1 1
.
C. Hàm số đồng biến trên
;1 1; 
và nghịch biến trên
1; 1
.
D. Hàm số đồng biến trên
;1 1; 
và nghịch biến trên
1; 0
và
0;1
.
Câu 21: Cho hàm số
yfx có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A.
1; 1
.
B.

1; 0
.
C.
;0
.
D.
0;1
.
Câu 22: Cho hàm số
yfx có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới
đây?
A.
0;1 . B.

;1 . C.
1; 1 . D.
1; 0 .
Câu 23: Hàm số
2
4yx x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
;2
. B.
;0
;
2; 4
. C.
2; 
. D.
0; 
.
x

1
0
1

y
0
0
y
1
11


5

TOANMATH.com
Trang 16
Câu 24: Hàm số
3
32yx x
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
;2
. B.
;2
;
1; 1
. C.
1;
. D.
2; 1
và
1; 
.
Dạng 2: Các bài toán chứa tham số
Bài toán 1. Tìm tham số để hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó
Bài toán 1.1. Tìm tham số để hàm số
32
yax bx cxd đơn điệu trên .
Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
Bước 1. Tính
2
32yax bxc
 (1).
Bước 2. Xét hai trường hợp
Trường hợp 1:
0a , thay trực tiếp vào (1) để xét.
Trường hợp 2:
0a , tính
2
3bac
 .
Hàm số nghịch biến trên
2
0
30
a
bac

Hàm số đồng biến trên
2
0
30
a
bac

Bước 3. Kết luận (chọn đáp án).
Ví dụ: Tìm giá trị của
m
để hàm số
322
22 21yx m x m m xm
đồng biến trên
.
Hướng dẫn giải
Tập xác định
D
.
Ta có
22
34 2 21yx m xmm

Hàm số đồng biến trên
khi và chỉ khi


2
2
30
0
0
423 210
a
mmm


2
10 13 0mm
523 523m 
Vậy với
523;523m



thì hàm số đồng
biến trên
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
thuộc đoạn
20; 2 để hàm số
32
31yx x mx
đồng biến trên
?
A. 20 . B. 2 . C. 3 . D. 23.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D .
Ta có
2
323yx xm

Hàm số trên đồng biến trên
2
3230xxm
với mọi x .
1
0
19 0
30
9
mm


Do
m là số nguyên thuộc đoạn

20; 2 nên có
1; 2mm
.
Chọn B.
TOANMATH.com
Trang 17
Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để hàm số
23 2
114ym x m xx
nghịch biến trên
khoảng
;  .
A. 3 . B. 0 . C. 1. D. 2 .
Hướng dẫn giải
Tập xác định D .
Ta có
22
31211ymx mx

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
;0y
  với x .
Với
1m ta có 1 0y
 với x nên hàm số nghịch biến trên khoảng
;  . Vậy 1m là giá
trị cần tìm.
Với
1m  ta có
1
410 1
4
yx x m
   không thỏa mãn.
• Với
1m 
ta có 0y
với
2
2
10
4220
m
x
mm



11
1
1
2
m
m


1
1
2
m
Từ các trường hợp ta được
1
1
2
m . Do
0;1mm
Vậy có hai giá trị nguyên của
m thỏa mãn.
Chọn D.
Dạng 1.2:
Tìm tham số để hàm số để hàm số
ax b
y
cx d
đơn điệu trên từng khoảng xác định
Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
Bước 1. Tập xác định
\
d
D
c




Bước 2. Tính

2
ad bc
y
cx d
Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định
0ad bc
Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định
0ad bc
Bước 3. Kết luận.
Ví dụ: Tìm tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương
m để hàm số
2
x
m
y
x
nghịch biến trên từng
khoảng xác định.
Hướng dẫn giải
Tập xác định
\2D 
.
Ta có

2
2
2
m
y
x
. Để hàm số nghịch biến trên
từng khoảng xác định thì
20 2mm
TOANMATH.com
Trang 18
Mặt khác
m
là số nguyên dương nên không tồn tại
giá trị
m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Vậy không có giá trị
m
thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Các giá trị của tham số m để hàm số
1
1
mx
y
x
đồng biến trên từng khoảng xác định của nó là
A. 1m  . B. 1m  . C. 1m . D. 1m .
Hướng dẫn giải
Tập xác định
\1D 
Ta có

2
11
1
1
mx m
yy
x
x


Xét
1m , hàm số trở thành 1y . (hàm hằng)
Xét
1m , hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó khi và chỉ khi
0, 1 1 0 1yx m m
 .
Chọn C.
Lưu ý:
Với 1m thì
0, \ 1yx
 .
Ví dụ 2.
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
1mx
y
x
m
nghịch biến trên từng khoảng xác
định là
A.
;1 . B.
1;1 . C.
1;  . D.
;1 .
Hướng dẫn giải
Tập xác định
\Dm
Ta có

2
2
1m
y
x
m
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

2
2
1
0
m
y
xm

2
10 1 1mm.
Chọn B.
Bài toán 1.3: Hàm số
yfx đơn điệu trên khoảng xác định
Phương pháp giải
Sử dụng các kiến thức
Điều kiện cần để

21
.
m
yxa gx

m
không đổi dấu khi
x
đi qua a là
0ga .
Ví dụ: Tìm các giá trị của m m để hàm số
33 2
26yxx mxm m không đổi dấu khi đi
qua
0x .
TOANMATH.com
Trang 19
Cho hàm số
yfx liên tục trên
K
và
min
K
f
xA
.
Khi đó bất phương trình

f
xm nghiệm đúng
với mọi
x
K
khi và chỉ khi
mA
.
Cho hàm số
y
fx liên tục trên
K
và
max
K
f
xB
.
Khi đó bất phương trình

f
xm nghiệm đúng
với mọi
x
K
khi và chỉ khi
mB
.
Hướng dẫn giải
Tập xác định
D .
Đặt
32
26gx x mx m m
Để hàm số không đổi dấu khi đi qua
0x thì

2
2
00 60
3
m
gmm
m

 
Với
2m  thì
42
40yxx, x
2m là một giá trị cần tìm.
Với
3m
thì
42
6yxx.
Khi đó hàm số chỉ đổi dấu khi
x
qua 6 và 6 .
Vậy
2m  là giá trị cần tìm.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hàm số
92 632 4
3 3 2 2019yx m mx m m mx đồng biến trên
A.
3
. B. 2. C. 4. D. 1.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D .
Ta có
82432 3
953 4 3 2yx mmx mmmx


35 2 3 2 3
953 4 3 2 .yx x mmx m m m xgx



với
52 32
953 4 3 2
g
xx mmxmmm .
Nếu

0
00 2
1
m
gm
m

thì y
sẽ đổi dấu khi đi qua điểm
0x  hàm số sẽ có khoảng đồng biến và nghịch biến. Do đó để hàm
số đồng biến trên
thì điều kiện cần là
00g

2
0
320 1
2
m
mm m m
m

Thử lại:
+ Với
0m có
8
90yx
, x nên hàm số đồng biến trên
.
+ Với
1m có
44
9100yx x
, x nên hàm số đồng biến trên .
TOANMATH.com
Trang 20
+ Với
2m có
44
9500yx x

,
x nên hàm số đồng biến trên
.
Vậy với
0
1
2
m
m
m
thì hàm số đã cho đồng biến trên
.
Chọn A.
Lưu ý:
Nếu
00g
thì
y
luôn đổi dấu khi
x
qua 0, do đó nếu
0gx
vô nghiệm thi sẽ luôn có một
khoảng đồng biến và một khoảng nghịch biến.
Ví dụ 2.
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
25 3 2 2
20 2019fx mx mx m m x
nghịch biến trên
. Tổng giá trị của tất cả các phần tử
thuộc
S bằng
A. 4 . B. 1. C. 1 . D. 5 .
Hướng dẫn giải
Tập xác định D .
Ta có
24 2 2
532 20
f
xmxmxmmx


23 2
532 20.
x
mx mx m m xg x



.
Để hàm số nghịch biến trên
thì
0fx
, x (*)
Nếu
0x không phải là nghiệm của
g
x thì
f
x
sẽ đổi dấu khi
x
đi qua 0x , lúc đó điều kiện (*)
không được thỏa mãn.
Do đó điều kiện cần để hàm số đồng biến trên
là
0x
là nghiệm của

2
4
0200
5
m
gx m m
m

 
Thử lại:
+ Với
4m 
thì
422 2
80 12 12 80
f
xxxx x
 , do đó
4m 
không thỏa mãn.
+ Với
5m thì
422 2
125 15 125 15 0fx x x x x
  , x do đó 5m thỏa mãn.
Vậy
5S nên tổng các phần tử của S bằng 5.
Chọn D.
Lưu ý:
f
x
đổi dấu qua các nghiệm của phương trình
2
12 80 0x.
Ví dụ 3.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
2018; 2018m  để hàm số
2
11yx mx đồng
biến trên
;  .
A. 2018 . B. 2019 . C. 2020 . D. 2017 .
TOANMATH.com
Trang 21
Hướng dẫn giải
Tập xác định
D
.
Ta có
2
1
x
ym
x

Theo yêu cầu bài toán
2
0
1
x
ym
x

,
x
.
2
1
x
m
x

,
x
.
Xét hàm số
 

222
;0
111
xx
gx g x
xxx


Bảng biến thiên
x

1

g
x
0
g
x
1
1
Vậy
1m 
mà
2018; 2018m  nên có 2018 giá trị nguyên.
Chọn A.
Ví dụ 4.
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số sin cosyxxmx đồng biến trên .
A. 22m. B. 22m.
C.
2m
.
D.
2m
.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D .
Ta có cos sinyxxm

Hàm đồng biến trên 0, cos sin 0,yx xxmx
 

sin cos ,xxmx
Xét hàm

sin cos
f
xxx
trên
Ta có
 
sin cos 2 sin 2 2, 2
4
xx x fx x maxfx




Do đó
,2fx m x maxfx m m
Chọn C.
Dạng 2:
Xét tính đơn điệu của hàm số trên khoảng
;
cho trước
Bài toán 2.1. Hàm số
32
yax bx cxd đơn điệu trên khoảng cho trước
TOANMATH.com
Trang 22
Phương pháp giải
Sử dụng kiến thức.
Giả sử phương trình
2
yax bxc
0a
có hai
nghiệm
12
,
x
x .
Khi đó
12
0xxaf


.

12
12
12
2
0
xx
xx
xx




.

12
12
12
2
0
xx
xx
xx




.

12
0
0
af
xx
af


.
Ví dụ: Tìm giá trị
m để hàm số
32
1yx x mx nghịch biến trên đoạn
2;3
.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D .
Ta có
2
32yx xm

2
03 2 0
 yxxm (1)
Để hàm số nghịch biến trên đoạn

2; 3 thì phương
trình (1) có hai nghiệm
12
,
x
x thỏa mãn
12
23
x
x . Điều này xảy ra khi và chỉ khi




0130
32 0 316 0 33
33 0 333 0
m
fmm
fm








Vậy với
33m thì hàm số đã cho nghịch biến trên
đoạn

2; 3 .
Ví dụ mẫu
Vi dụ 1.
Các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
32
2321 6 11
y
xmxmmx
đồng
biến trên khoảng
2;  là
A. 1m . B. 1m . C. 2m . D. 1m .
Hướng dẫn giải
Tập xác định D .
Ta có
2
66216 1yx mxmm

Để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
2;  thì ta xét hai trường hợp
- Trường hợp 1: Hàm số đồng biến trên 0,yx


2
0214 1010mmm (vô lí).
- Trường hợp 2: Phương trình
0y
có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn

12 1 2 12
12 1 2
0
2 2 20 40
240
xx x x xx
xx x x



TOANMATH.com
Trang 23


10
3
230 ;1
2
122 140
;1 2;
m
mmm
mm m
m





 

Chọn B.
Lưu ý:
- Hàm số đồng biến trên thì sẽ đồng biến trên khoảng
2;  .
- Bảng biến thiên của hàm số
f
xy
khi phương trình
0y
có hai nghiệm
12
,
x
x
.
Ví dụ 2. Các giá trị thực của tham số
m
để hàm số

32
1
1310
3
yxmxmx  
đồng biến trên
khoảng
0; 3 là
A.
12
7
m .
B.
12
7
m .
C. m . D.
7
12
m .
Hướng dẫn giải
Tập xác định
D
.
Ta có

2
21 3yx mxm gx

.
Do
y là hàm số bậc ba với hệ số 0a nên hàm số đồng biến trên

0;3 0y
 có hai nghiệm
12
,
x
x
thỏa mãn

12
1. 0 0
03
1. 3 0
g
xx
g



12
30
7120
7
m
m
m



.
Chọn A.
Bài toán 2.2: Tìm tham số
m đề hàm số
32
;
y
fxm ax bx cx d
đơn điệu trên đoạn có độ
dài bằng
k
Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
Bước 1. Tính
2
;32
y
fxm ax bxc


Bước 2. Hàm số đơn điệu trên
12
;0xx y
 có
hai nghiệm phân biệt
0
0a

Ví dụ: Tìm các giá trị m để hàm số
32
22 1yx x mx đồng biến trên đoạn có độ
dài bằng 2.
Hướng dẫn giải
x

1
x
2
x

y
0
0
y
TOANMATH.com
Trang 24
Theo định lý Vi-ét
12
12
b
xx
a
c
xx
a

Bước 3. Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài
bằng

2
2
12 12 12
4kxxk xx xxk
Bước 4. Giải các điều kiện để suy ra giá trị
m
cần
tìm.
Tập xác định
D .
Ta có
2
342yxxm

Vì
30a 
nên hàm số đã cho đồng biến trên
một đoạn khi và chỉ khi phương trình
0y
có hai
nghiệm phân biệt
0

2
46 0
3
mm
Theo định lý Vi-ét, ta có
12
12
4
3
2
3
xx
m
xx


Để hàm số đã cho đồng biến trên đoạn có độ dài
bằng 2 thì

2
12 12 12
244xx xx xx
16 8 5
4
93 6
m
m
Từ (1) và (2) suy ra
5
6
m là giá trị cần tìm.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Các giá trị thực của tham số m để
32
3123fx x x m x m
trên một khoảng có độ
dài lớn hơn 1 là
A. 0m . B. 0m . C.
5
0
4
m
.
D.
5
4
m 
.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D .
Ta có
2
36 1fx x xm

Hàm số đồng biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 1 khi và chỉ khi
0fx
có hai nghiệm phân biệt
12
,
x
x thỏa mãn
21
1xx.
Để
0fx
có hai nghiệm phân biệt
12
,0
 xx
360 2mm
Theo định lý Vi-ét, ta có
12
12
2
1
3
xx
m
xx

Với

2
21 12 12
5
1410450
4
xx xx xx m m
TOANMATH.com
Trang 25
Kết hợp, ta được
5
4
m 
Chọn D.
Ví dụ 2.
Các giá trị thực của tham số m để hàm số
32
23 1 6 2 3yx m x m x
nghịch biến trên
một khoảng có độ dài lớn hơn 3 là
A.
6m
. B.
0; 6m . C.
0m
. D.
0; 6mm
.
Hướng dẫn giải
Tập xác định
D
.
Ta có
2
66 16 2yx mxm

1
0
2
x
y
x
m



Hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 3
0
y có haỉ nghiệm phân biệt
12
;
x
x sao cho
12
3xx
(1)

12
3
0
12 3 33
6
m
m
m
mm
m




.
Chọn D.
Bài toán 2.3: Hàm số
ax b
y
cx d
đơn điệu trên khoảng
;
cho trước
Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
Bước 1. Hàm số xác định trên
 
;;
d
d
c
d
c
c
 



Bước 2. Tính

2
ad bc
y
cx d
.
Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định
0ad bc.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định
0ad bc
Bước 3. Kết luận
Ví dụ: Tìm các giá trị
m nguyên để hàm số
3
x
m
y
x
m
nghịch biến trên khoảng
3; 
.
Hướng dẫn giải
Tập xác định
\Dm
.
Hàm số đã cho xác định trên khoảng
3; 
khi và
chỉ khi
3m .(*)
Ta có

2
4m
y
x
m
.
Hàm số nghịch biến trên khoảng
3;  khi và chỉ
khi
40 0mm
. (* *)
Từ (*) và (* *) suy ra
0;3m .
Mà
m nguyên nên
1; 2m
.
Vậy
1; 2; 3m là các giá trị cần tìm.
TOANMATH.com
Trang 26
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số
3
4
x
y
x
m
nghịch biến trên khoảng
2; 
?
A. 1. B. 3 . C. vô số. D. 2 .
Hướng dẫn giải
Tập xác định
\4Dm
Để hàm số xác định trên
2;  thì
1
42
2
mm
Ta có

2
43
4
m
y
x
m
Hàm số nghịch biến trên khoảng
2; 0, 2;yx
 


2
43 3
0, 2; 4 3 0
4
4
m
xmm
xm

Vậy có một số nguyên
0m thỏa mãn.
Chọn A
Ví dụ 2.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
2
5
x
y
x
m
trên khoảng
;10 ?
A. 2. B. Vô số. C. 1. D. 3 .
Hướng dẫn giải
Tập xác định
\5Dm
Ta có

2
52
5
m
y
x
m
Hàm số đồng biến trên khoảng


0, ; 10
;10
5;10
yx
m



2
2
520
2
5
510
5
2
m
m
m
m
m



Do
m nên
1; 2m
.
Chọn A.
Ví dụ 3.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
4mx
y
mx
nghịch biến trên khoảng
3;1
?
TOANMATH.com
Trang 27
A. 2 . B.
3
. C. 1. D. 4 .
Hướng dẫn giải
Tập xác định
\Dm
Ta có

2
2
4m
y
mx
Hàm số nghịch biến trên khoảng


2
40
3;1
3;1
m
m



22
12
3
1
m
m
m
m



Do
m , nên 1m .
Vậy có một giá trị nguyên của tham số
m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn C.
Bài toán 2.4:
Tìm tham số để hàm số
yfx
đơn điệu trên khoảng (đoạn) D .
Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
Bước 1. Tính
y
fx

Bước 2. Chuyển về bài toán tìm tham số về một bất
phương trình nghiệm đúng với mọi
x
D .
Hàm số đồng biến trên
0,Dfx xD
,
dấu bằng tại hữu hạn điểm trên đó.
Hàm số nghịch biến trên
0,Dfx xD

,
dấu bằng tại hữu hạn điểm trên đó.
Bước 3. Kết luận (chọn đáp án).
Ví dụ: Tìm các giá trị nguyên âm của tham số m
để hàm số
42
2yx mx x
nghịch biến trên đoạn

1; 2 .
Hướng dẫn giải
Tập xác định D .
Ta có
3
44 1yxmx
 .
Hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn
1; 2 khi và
chỉ khi

0, 1; 2yx

3
44 10xmx ,
1; 2x
3
41
4
x
m
x
 ,
1; 2x

2
1;2
133
min
48
mx
x




Mà
m
nguyên âm nên
1; 2; 3; 4m 
Vậy các giá trị m cần tìm là
1; 2; 3; 4m .
Ví dụ mẫu
TOANMATH.com
Trang 28
Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên không âm của tham số
m
sao cho hàm số

42
23yx m xm
nghịch biến trên đoạn
1; 2
?
A. 2. B. Vô số. C.
3
. D. 4.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D
Ta có
32
4223 446yx mxxxm

Hàm số nghịch biến trên đoạn
1; 2 khi
0, 1; 2yx

2
4460xm ;
 
2
3
1; 2 , 1; 2
2
xmxx 

2
1;2
35
min
22
mx




Kết hợp với
m nguyên không âm suy ra
0;1; 2m
Vậy có ba giá trị nguyên không âm của
m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn C.
Ví dụ 2.
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số
4
13
42
yxmx
x

đồng biến trên
khoảng

0;  ?
A. 2. B. 1. C. 3 . D. 0 .
Hướng dẫn giải
Hàm số luôn xác định trên khoảng

0;  .
Hàm số
4
13
42
yxmx
x

đồng biến trên
0; 0, 0;yx
  và
 
33
22
33
0, 0; , 0;
22
xm x x mx
xx
  (1)
Xét hàm số

3
2
3
2
fx x
x
 trên
0; 


5
2
33
31
3
3;01
x
f
xx fx x
xx


.
Bảng biến thiên
x
0
1
5
f
x
–
0
f
x

5
2

TOANMATH.com
Trang 29

55
1
22
 mm
Mà
m
là số nguyên âm nên
2; 1m .
Vậy có hai giá trị của
m
thỏa mãn.
Chọn A.
Ví dụ 3.
Cho hàm số


343 2
1
8 1 2 2 7 12 2018
4
ymxxmxx
với
m là tham số. Số các giá trị
nguyên
m thuộc đoạn

2018; 2018 để hàm số đã cho đồng biến trên
11
;
24




là
A. 2016 . B. 2019 . C. 2010 . D. 2015 .
Hướng dẫn giải
Tập xác định D
Ta có
332
81 622712ymxx mx

Hàm số đã cho đồng biến trên
11
;
24




khi và chỉ khi
11
0, ;
24
yx







332
11
81 6227120, ;
24
mxx mx x






33
222 222mx mx x x (*),
11
;
24
x





Xét
32
2; 3 2 0,ft t tf t t t

Suy ra
f
t là hàm đồng biến trên .
Từ (*) ta có
11 2 11
22,; ,;
24 2 24
x
mx x x m x
x
 
 
 
 
 
11
;
24
27
min
22
x
mm
x




 .
Do
m nguyên và

2018; 2018m  nên có 2015 giá trị của m thỏa mãn.
Chọn D.
Ví dụ 4.
Các giá trị thực của tham số m để hàm số
2cos 3
2cos
x
y
x
m
nghịch biến trên khoảng
0;
3



là
A.
3;1 2;m  . B.
3;m  .
C.
;3m  . D.

;3 2;m  .
Hướng dẫn giải
Đặt costx , với
1
0; ;1
32
xt




TOANMATH.com
Trang 30
Khi đó

23
2
t
yft
tm

\
2
m
D



.
Vì hàm số costx nghịch biến trên
0;
3
x



nên hàm số đã cho nghịch biến trên
0;
3



. Khi và chỉ
khi hàm số đồng biến trên khoảng
1
;1
2



.
Hàm số

23
2
t
yft
tm

đồng biến trên khoảng
1
;1
2



khi và khi và chỉ khi


 

2
26 1
0, ;1
2
260 3
2
;3
1; 2 1; 2
1
;1
22
m
ft t
mm
tm
m
mm
m














Chọn C.
Ví dụ 5.
Cho hàm số
3
1yxmx. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên
m
sao cho hàm số đồng biến trên
1;  . Tổng các phần tử của S bằng
A. 1. B. 3. C. 9 . D.
10
.
Hướng dẫn giải
Đặt
3
1
g
xxmx
Ta có
lim
x
gx

 . Do đó hàm số
ygx đồng biến trên
1;  khi và chỉ khi

2
3
0, 1; 3 0, 1;
0, 1;
10, 1;
gx x x m x
gx x
xmx x
 



2
2
1;
2
2
1;
min 3 , 1;
3, 1;
1
1
,1;
min , 1;
mxx
mxx
mx x
mx x
x
x













3
20;1;2
2
m
mm
m

.
Chọn B.
Lưu ý:
Vì
 
2
ygx gx nên ta có thể chuyển bài toán về xét tính đơn điệu của hàm số

2
ygx .
- Tính đạo hàm
 

2
.
g
xgx
y
g
x
.
TOANMATH.com
Trang 31
- Hàm số
32
yaxbx cxd
đồng biến trên
;

khi và chỉ khi
0y
với
;x

.
Trường hợp 1:

0, ;
0
gx x
g

Trường hợp 2:

0, ;
0
gx x
g

Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1:
Cho hàm số
32
49 5yxmx m x
với
m
là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số
m để hàm số nghịch biến trên ?
A. 6. B. 4. C. 7. D. 5.
Câu 2: Tập hợp tất cả các số thực m để hàm số
32
54 3yx x mx đồng biến trên là
A.
25
;
12




.
B.
25
;
12



.
C.
25
;
12




.
D.
25
;
12



.
Câu 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

32
1
1482
3
yxmxmx
nghịch biến trên
?
A. 9. B. 7. C. Vô số. D. 8.
Câu 4: Số giá trị m nguyên và
2018; 2018m  để hàm số


23 2
1
1131
3
ymxmxx
đồng
biến trên
là
A. 4035. B. 4037. C. 4036. D. 4034.
Câu 5: Các giá trị của tham số
m
để hàm số
2x
y
x
m
trên các khoảng xác định là
A.
2m
. B.
2m
. C.
2m
. D.
2m
.
Câu 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
2
4
x
m
y
x
đồng biến trên từng khoảng
xác định?
A. 5. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
9
1
x
m
y
mx
đồng biến trên từng khoảng
xác định?
A. 5. B. Vô số. C. 7. D. 3.
Câu 8: Cho hàm số
y
fx
có đạo hàm
24 3 2 2
21
f
xmx m xx m x
. Gọi S là tập hợp
tất cả các giá trị của tham số
m để hàm số đồng biến trên . Số phần tử của tập S là
A. 3. B. 2. C. 0. D. 1.
Câu 9: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số


25 3 2 2
11
10 20
53
f
xmxmxxmm x
đồng biến trên
.
Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng
TOANMATH.com
Trang 32
A.
5
2
.
B.
2
. C.
1
2
.
D.
3
2
.
Câu 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
1sin 3cos 5ym x xx nghịch biến
trên
?
A. Vô số. B. 10. C. 8. D. 9.
Câu 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong khoảng
2018; 2018
để hàm số
21 32cosymxm x
nghịch biến trên
?
A. 3. B. 4. C. 4014. D. 218.
Câu 12: Giá trị nguyên lớn nhất của tham số
m
để hàm số
2019
2017
1
2018
2019 2017
x
ymx
x
 đồng biến
trên mỗi khoảng xác định là
A. 2018. B. 0. C. 2. D. 1.
Câu 13: Các giá trị thực của tham số m để hàm số

32
12
123
33
yxmx mx
đồng biến trên
1;  là
A. 2m . B. 2m . C. 1m . D. 1m .
Câu 14: Tập hợp các giá trị
m
để hàm số
32
32ymx x xm đồng biến trên
3; 0 là
A.
1
;
3



.
B.
1
;
3




.
C.
1
;
3




.
D.
1
;0
3


Câu 15: Tập hợp tất cả các giác trị thực của tham số m để hàm số
32
yx mx xm nghịch biến trên
khoảng
1; 2 là
A.
11
;
4




.
B.

;1
.
C.
1;
.
D.
11
;
4



.
Câu 16: Cho hàm số
2
32 22
33331 2yx m m x m xm . Gọi S là tập hợp các giá trị thực
của tham số
m sao cho hàm số đồng biến trên
1;  . S là tập hợp con của tập hợp nào dưới đây?
A.
;0
.
B.
;2
.
C.

1;
.
D.
3; 2
.
Câu 17: Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số
32
11
234
32
yx xmxm nghịch
biến trên một đoạn có độ dài bằng 3. Tổng tất cả các phần tử của S bằng
A. 8. B. 13. C. 17. D. 9.
Câu 18: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
9mx
y
x
m
nghịch biến trên khoảng
1;  .
A. 5. B. 3. C. 2. D.
Câu 19: Gọi S là tập hợp các số nguyên m để hàm số
23
32
xm
y
x
m


đồng biến trên khoảng
;14
.
Tổng T của các phần tử trong S là
TOANMATH.com
Trang 33
A.
6T 
. B.
5T 
. C.
9T 
. D.
10T 
.
Câu 20: Gọi S là tổng các giá trị nguyên dương của tham số
m
sao cho hàm số
2
2
4
x
m
y
xm

đồng biến
trên khoảng

2021;  . Giá trị của S bằng
A. 2935144. B. 2035145. C. 2035146. D. 2035143.
Câu 21: Có bao nhiêu giá tri nguyên của tham số m để hàm số
10
2
mx
y
x
m
nghịch biến trên khoảng

0; 2
?
A. 4. B. 5. C. 6. D. 9.
Câu 22: Các giá trị của tham số m để hàm số
42
21 2yx m x m đồng biến trên khoảng
1; 5 là
A. 2m . B. 12m. C. 2m . D. 12m.
Câu 23: Các giá trị của tham số
m
để hàm số
tan 2
tan
x
y
x
m
đồng biến trên
0;
4



là
A. 2m . B. 0m hoặc 12m.
C.
12m. D. 0m .
Câu 24: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
10;10m 
để hàm số
12sin
2sin
x
y
x
m
đồng biến trên
khoảng
;
2



?
A. 1. B. 9. C. 10. D. 18.
Câu 25: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
2
3 sin tanym x x nghịch biến
;
22



?
A. 5. B. 1. C. 3. D. 4.
Câu 26: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
2
sin
cos
mx
y
x
nghịch biến trên khoảng
0;
6



?
A. 1. B. 0. C. 3. D. Vô số.
Câu 27: Cho hàm số
32
32yx x m . Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên
2019;2020m 
sao
cho hàm số đồng biến trên
3;  . Số các phần tử của S bằng
A. 2021. B. 2022. C. 2023. D. 4040.
Dạng 3: Hàm ẩn liên quan đến sự đồng biến và nghịch biến của hàm số
Bài toán 1. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
y
fx ,
y
fux ,
y
fux hx
… khi biết bảng biến thiên của hàm số m
Phương pháp giải
TOANMATH.com
Trang 34
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số
yfux ,
y
fux hx
…
.yuxfux

,
.yuxfux hx


Bước 2: Từ bảng biến thiên xác định nghiệm
phương trình
0fx
, nghiệm của bất phương
trình
0fx
và nghiệm của bất phương trình
0fx
.
Bước 3: Đánh giá các khoảng thỏa mãn
0, 0yy


Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến
của hàm số
yfx
,
yfux
,
y
fux hx …
Ví dụ: Cho hàm số
m
xác định và liên tục trên ,
có đạo hàm
f
x
thỏa mãn
x

1
0
1

f
x
0
0
0
Hàm số

1yf x
nghịch biến trên khoảng nào
dưới đây?
A.
3;1
.
B.
2; 0
.
C.

1; 3 . D.

1;  .
Hướng dẫn giải
11yf x y f x


Hàm số
1yf x nghịch biến
10 10fx fx


11 0
11 0 1 2
xx
xx






.
Vậy hàm số
1yf x có nghịch biến trên
khoảng
;0 và
0;1 , nên hàm số nghịch biến
trên
2; 0 .
Chọn B.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Cho hàm số
yfx
có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Hàm số
2
2yfx x
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
1;  . B.
3; 2 . C.
0;1 . D.
2; 0 .
Hướng dẫn giải
Đặt
2
2
g
xfx x
Ta có
2
2.2 2gx f x x x


x

2
0
3

f
x
0
0
0
TOANMATH.com
Trang 35

2
2
2
1
1
0
22
02
20
1
23
3
x
x
x
xx
gx x
xx
x
xx
x






Bảng xét dấu
g
x
x

3
2
1
0
1

22x
0

2
2
f
xx
0
0
0
0
g
x
0
0
0
0
0
Dựa vào bảng xét dấu của
g
x
suy ra hàm số
2
2
g
xfx x đồng biến trên
;3, 2;1
và
0;1
, nên hàm số đồng biến trên
0;1
.
Chọn C.
Lưu ý:
- Thông qua bảng xét dấu
fx
xác định được nghiệm của phương trình
0fx
.
- Hàm số
2
2yfx x đồng biến
đánh giá 0y
với
2
22 2yxfxx

 (giải bất phương
trình tích)
Chú ý:
Nếu
0
f
xxa thì
0
f
ux ux a .
- Bảng xét dấu
g
x
chính là bảng xét dấu của tích
2
22 2
x
fx x
.
Ví dụ 2. Cho hàm số
yfx có bảng xét dấu của đạo hàm
f
x
như sau
x

1
1
2
5

f
x
0
0
0
0
Hàm số
32
32391ygx f x x x x nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A.
2;1 . B.
2;  . C.
0; 2 . D.
;2 .
Hướng dẫn giải
Ta có
2
36932ygx x x f x


.
Hàm số
y
gx
nghịch biến khi và chỉ khi
2
0232ygx x x f x


(1).
Nhận xét:
• Xét
2; 
Với
3112 10xf
 loại.
TOANMATH.com
Trang 36
• Xét
0; 2
Với

391
10
242
xf




loại.
• Xét
;2
Với
415 60xf

loại.
Xét
2;1
thỏa mãn (1) vì

2
2
31
230
230
31
3
21
20
31
12 5
x
xx
xx
x
x
x
fx
x
x











Chọn A.
Lưu ý:
- Thông qua bảng xét dấu
fx
xác định được nghiệm của bất phương trình
0fx
và
nghiệm của bất phương trình
0fx
.
- Hàm số
ygx
nghịch biến
đánh giá 0y
.
Với dạng toán này cần tìm những giá trị của
x
sao cho
2
20
230
fx
xx


.
Dạng 2: Tìm khoảng đồng, biến nghịch biến của hàm số
,yfxyfux
khi biết đồ thị của
hàm số
yfx
Phương pháp giải
Bước 1:
Tìm đạo hàm của hàm số
y
fux
,
 

yuxfux

.
Bước 2: Từ đồ thị hàm số
yfx xác định được
hàm số
yfx
hoặc (nghiệm phương trình
0fx
, nghiệm của bất phương trình
0fx
và nghiệm của bất phương trình

0fx
).
Bước 3: Đánh giá các khoảng thỏa mãn
0, 0yy

.
Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến
của hàm số
y
fx
,
y
fux
Ví dụ: Cho hàm số
y
fx
có đồ thị như hình
bên. Hàm số

yfx
đồng biến trên khoảng
A.
1; 2 . B.
2; 3 .
C.

1; 0 . D.
1;1 .
Hướng dẫn giải
Hàm số
yfx
có
yfx


.
Hàm số
y
fx
đồng biến khi và chỉ khi
TOANMATH.com
Trang 37
00yfx

 .
Dựa vào đồ thị ta có
0fx
với mọi
0; 2x
.
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng

0; 2
.
Chọn A.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Cho hàm số
32
y
f x ax bx cx d

,,,abcd có đạo hàm trên và có đồ thị như
hình vẽ. Đặt hàm số

21ygx f x
. Hàm số

ygx
nghịch biến trên khoảng
A.

1; 0
. B.

8; 1
. C.

1; 2
. D.

0;1
.
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Hàm số
21ygx f x
có
221ygx f x


Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi
221 12110 1yfx x x


Cách 2: Hàm số

y
fx có dạng

32
y
f x ax bx cx d

,,,abcd .
Ta có

2
32
f
xaxbxc

.
Theo đồ thị, hai điểm

1; 3A và

1; 1B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

yfx .
Ta có



13
31
11
10
32 0 3
10
32 0 1
10
f
abcd a
f
abcd b
abc c
f
abc d
f













Vậy
3
31
f
xx x

3
21 21 3211ygx f x x x ;

2
62 1 6ygx x


TOANMATH.com
Trang 38

21 1 0
0
211 1
xx
gx
xx






Bảng xét dấu
x

0
1

g
x
0
0
Vậy hàm số

y
gx
nghịch biến trên

0;1
.
Chọn D.
Lưu ý:
Từ đồ thị hàm số

yfx xác định hàm

yfx . và hàm

21yfx khảo sát và tìm
khoảng nghịch biến của hàm số.
Chú ý:
Nếu hàm số
yfx
đồng biến trên
;ab
thì hàm số
f
mx n
:
Đồng biến trên
;
anbn
mm




nếu
0m .
Nghịch biến trên
;
bnan
mm




nếu
0m
.
Ví dụ 2. Cho hàm số

32
yfx axbxcxd

,,,abcd
có đồ thị như hình bên. Đặt

2
2ygx fx x.
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A.

g
x nghịch biến trên khoảng

0; 2 .
B.
g
x
đồng biến trên khoảng
1; 0
.
C.

g
x nghịch biến trên khoảng
1
;0
2



.
D.
g
x
đồng biến trên khoảng
;1
.
Hướng dẫn giải
Hàm số
32
yfx axbxcxd
, có đồ thị như hình vẽ.
Nhận xét
0; 4A và
2; 0M là hai điểm cực trị của hàm số.
Ta có



04
41
20
842 0 3
32 0 0
00
12 4 0 4
20
f
da
f
abcd b
abc c
f
abc d
f










Tìm được hàm số
32
34yx x
Ta có

32
22
23 24ygx x x x x
TOANMATH.com
Trang 39

2
22
213 2 6 2ygx x xx xx






1
2
00
1
x
gx x
x



Bảng xét dấu
x

1
1
2
0

g
x
0
0
0
Vậy
ygx nghịch biến trên khoảng
1
;0
2



.
Chọn C.
Lưu ý:
- Từ đồ thị hàm số
y
fx
xác định được hàm
y
fx
và hàm
2
2yfx x khảo sát
và tìm khoảng nghịch biến của hàm số.
- Có thể sử dụng
2
21. 2yxfxx


0y

2
210
20
x
fx x


2
2
210
20
22
x
xx
xx



Ví dụ 3. Cho hàm số bậc ba
32
yfx axbx cxd và
1ygx fmx, 0m có đồ thị
như hình vẽ. Hàm số

ygx nghịch biến trên đúng một khoảngcó độ dài bằng 3. Giá trị m là
A.
3
. B.
1
2
.
C.
2
3
.
D.
2
5
.
Hướng dẫn giải
TOANMATH.com
Trang 40
Hàm số
1ygx fmx
nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 3 nên
10 10gx mf mx f mx

 trên một khoảng có độ dài bằng 3.
Ta có

1
10
10
12 1
x
mx
m
fmx
mx
x
m



Bảng xét dấu
1fmx
x

1
m
1
m

1fmx
0
0

11
10 ;fmx x
mm




Yêu cầu của bài toán
11 2
3
3
m
mm




Chọn C.
Lưu ý:
Từ đồ thị hàm số

yfx
xác định hàm số

yfx
và
1ygx fmx
kết hợp với
phần nhận xét ở ví dụ 1 cho kết quả.
- Hàm số
f
x đồng biến trên
0; 2 Hàm số
1yfmx nghịch biến trên
0121
;
mm




có độ
dài bằng
22
3
3
m
m
 .
Bài toán 3: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
yfx ,
yfux ,
yfux hx … khi biết đồ thị của hàm số
yfx
Phương pháp giải
TOANMATH.com
Trang 41
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số
yfux ,
y
fux hx
…

yuxfux

,

.yuxfux hx


Bước 2: Từ đồ thị hàm số
y
fx
xác định
nghiệm phương trình
0fx
, nghiệm của bất
phương trình
0fx
và nghiệm của bất phương
trình
0fx
.
Bước 3: Đánh giá các khoảng thỏa mãn
0, 0yy


Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến
của hàm số
yfx ,
yfux ,
y
fux hx
…
Ví dụ: Cho hàm số
yfx . Hàm số
yfx
có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số
2
ygx fx nghịch biến trên khoảng
A.
;1
.
B.
1; 0
.
C.
0;1 . D.

1; 3 .
Hướng dẫn giải
Ta có
2
2.
g
xxfx

Để g nghịch biến thì



2
2
0
0
0
0
0
x
fx
gx
x
fx


22
22
0
2
114
10
0
12
11 4






x
x
xx
x
x
x
xx
Vậy hàm số

2
yfx nghịch biến trên các
khoảng

;2
;

1; 0
và

1; 2
.
Chọn B.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Cho hàm số
yfx . Đồ thị hàm số
yfx
như hình vẽ. Hàm số
32ygx f x
nghịch biến trên khoảng
TOANMATH.com
Trang 42
A.

;1
. B.

2; 
. C.

0; 2
. D.

1; 3
.
Hướng dẫn giải
Từ đồ thị

22
:;0
5
x
Cy fxfx
x



(1)
Mà

2. 3 2


g
xfx (2)
Từ (1) và (2) ta có

15
232 2
0320
22
32 5
1
x
x
gx f x
x
x



 


Vậy hàm số
g
x nghịch biến trên các khoảng
15
;
22



và
;1 .
Chọn A.
Lưu ý:
Thông qua đồ thị hàm số
yfx


22
0
5
x
fx
x


.

2
0
25
x
fx
x



.
Hàm số

32yf x nghịch biến
đánh giá
232 0yf x

 .
Chú ý:
Dựa vào giao điểm của đồ thị hàm số
y
fx
với trục hoành chọn hàm cụ thể thỏa mãn
225yfx x x x

232yf x

 .
Lập bảng xét dấu.
Kết luận.
Ví dụ 2. Cho hàm số
yfx liên tục trên . Hàm số
yfx
có đồ thị như hình vẽ. Hàm số

2019 2018
1
2018
x
gx f x
 trên khoảng nào dưới đây?
TOANMATH.com
Trang 43
A.
2;3
.
B.
0;1
.
C.
1; 0
.
D.
1; 2
.
Hướng dẫn giải
Ta có
11gx f x


Do đó

11 0
011
12 3
xx
yfx
xx







Vậy hàm số đồng biến trên

1; 0 .
Chọn C.
Nhận xét:
Hàm số
g
x
có
11gx f x


.
Từ đồ thị hàm số
yfx
, ta có

1
1
2
x
fx
x


11 2fx x

.
Ví dụ 3. Cho hai hàm số
f
x và
g
x có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng hai hàm số
21fx và

g
ax b có cùng khoảng nghịch biến

;mn , ,mn . Khi đó giá trị của biểu thức
4ab bằng
A.
0
. B. 2 . C. 4 . D.
3
.
Hướng dẫn giải
Hàm số
yfx nghịch biến trên khoảng

1; 3
TOANMATH.com
Trang 44
Hàm số
21yfx có
221yfx


Với
0 2.210 21012131 2

  yfx fx x x
Vậy hàm số

21yfx
nghịch biến trên khoảng

1; 2
Hàm số
y
gax b có đạo hàm
.
y
ag ax b



0
.0
22
b
x
ax b
a
yagaxb
ax b b
x
a





Nếu
2
0
bb
a
aa

Hàm số nghịch biến trên các khoảng
2
;; ;
bb
aa

 


(không thỏa mãn).
Nếu
2
0
bb
a
aa

Hàm số nghịch biến trên khoảng
2
;
bb
aa



Do hàm số có cùng khoảng nghịch biến là
1; 2
nên
22
11
2
4
22
b
a
aa
bbb
aa









.
Vậy
44ab
.
Chọn C.
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1:
Cho hàm số
y
fx
có đạo hàm liên tục trên , dấu của đạo hàm được cho bởi bảng dưới đây.
Hàm số
22yfx
nghịch biến trên khoảng nào?
x

0
2

f
x
0
0
A.
1; 1 . B.
2;  . C.
1; 2 . D.
;1 .
Câu 2: Cho hàm số
y
fx
có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
x

2
1
2
4

f
x
0
0
0
0
Hàm số
2 2019yfx nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A.
4; 2 . B.

1; 2 . C.

2; 1. D.

2; 4 .
Câu 3: Cho hàm số

y
fx
có đạo hàm liên tục trên và có bảng biến thiên như sau
TOANMATH.com
Trang 45
Hàm số

2
2yfx x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.

;0
. B.

0;1
. C.

2; 
. D.

1; 2
.
Câu 4: Cho hàm số
yfx
có đạo hàm liên tục trên
và bảng biến thiên của
yfx
như sau
x

1
1
2

y
0
0
y

3
3
3

Hàm số
3
g
xfx x
đồng biến trên khoảng nào?
A.
2; 2018
.
B.
2019; 2
.
C.
1; 2
.
D.
1; 1
.
Câu 5: Cho hàm số

yfx có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
x

2
0
1


f
x
0
0
0
Đặt
 
32
11
32
ygx fx x x. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số
ygx
đồng biến trên khoảng
;1
.
B.
Hàm số
ygx đồng biến trên khoảng
1; 2 .
C.
Hàm số

ygx đồng biến trên khoảng

0;1 .
D.
Hàm số

ygx nghịch biến trên khoảng

2;1 .
Câu 6: Cho hàm số

yfx liên tục trên
và có bảng xét dấu đạo hàm như sau
x

1
1
3


f
x
0
0
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
g
xfxm đồng biến trên khoảng
0; 2 ?
A. 3. B. 4. C. 2. D. 1.
Câu 7: Cho hàm số
y
fx có đạo hàm trên và có bảng xét dấu như sau
x

2
1
2
4

f
x
0
0
0
0
x

0
2

y
0
0
y

1
3

TOANMATH.com
Trang 46
Có bao nhiêu giá trị nguyên của
m thuộc
0; 2020
để hàm số


2
g
xfxxm
nghịch biến trên
khoảng
1; 0 ?
A. 2017. B. 2018. C. 2016. D. 2015.
Câu 8: Cho hàm số bậc ba
yfx
có đồ thị như hình vẽ. Hàm số
32fx
nghịch biến trên khoảng
;
. Khi đó giá trị lớn nhất của
là
A. 9. B. 3. C. 6. D. 1.
Câu 9: Cho hàm số
32
y
f x ax bx cx d
có đồ thị dưới
đây. Đặt

2
2gx f x x
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A.
g
x nghịch biến trên khoảng
0; 2 .
B.
g
x đồng biến trên khoảng
1; 0 .
C.

g
x
nghịch biến trên khoảng
1
;0
2



.
D.
g
x đồng biến trên khoảng
;1 .
Câu 10: Cho hàm số
yfx có đồ thị như hình dưới đây. Hàm số

2019yfx
đồng biến trên khoảng
A.
1; 2 .
B.
2;3 .
C.
1; 0 .
D.
1; 1
.
Câu 11: Cho hàm số

yfx
có đồ thị dưới đây. Số giá trị nguyên
của tham số
m để hàm số
2
yfx xm nghịch biến trên
0;1 là
A. 0.
B.
1.
C.
2.
D.
3.
TOANMATH.com
Trang 47
Câu 12: Cho hàm số
yfx có đạo hàm trên
và có đồ thị hàm
f
x
như hình vẽ dưới đây. Hàm
số

2
g
xfxx đồng biến trên khoảng nào?
A.
1
;1
2



.
B.
1; 2
. C.
1
1;
2



.
D.
;1
.
Câu 13: Cho hàm số
y
fx . Hàm số
y
fx
có đồ thị như
hình vẽ bên. Hàm số
2
1yf x nghịch biến trên khoảng nào
dưới đây?
A.

3;
.
B.

3; 1
.
C.

1; 3 .
D.
0;1 .
Câu 14: Cho hàm số
y
fx liên tục trên . Biết rằng hàm số
y
fx
có đồ thị như hình vẽ bên.
Hàm số

2
5yfx nghịch biến trên khoảng trong các khoảng sau đây?
A.
;3 . B.
5; 2 .
C.
13
;
22



.
D.
2;  .
Câu 15: Cho hàm số
yfx có đạo hàm trên . Biết đồ thị hàm
số
yfx
như hình vẽ. Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham
TOANMATH.com
Trang 48
số
m
thoả mãn
2019; 2019m sao cho hàm số
g
xfxm đồng biến trên khoảng
2; 0 . Số
phần tử của tập S là
A. 2017.
B.
2019.
C.
2015.
D.
2021.
Câu 16: Cho hàm số
yfx có đạo hàm trên
và hình bên dưới
là đồ thị của đạo hàm
y
fx
.
Hàm số
2
22
g
xfxx nghịch biến trên khoảng
A.
3; 2
.
B.

2; 1
.
C.
1; 0 .
D.
0; 2 .
Câu 17: Cho hàm số
yfx có đồ thị hàm số
yfx
như hình vẽ. Hàm số

2
1
2
x
yf x x

nghịch biến trên khoảng
A.
3
1;
2



.
B.
2; 0 . C.
3;1 . D.
1; 3 .
Câu 18: Cho hàm số
yfx có đạo hàm trên
thoả
220ff
và đồ thị của hàm số
yfx
có dạng như hình
bên. Hàm số

2
yfx nghịch biến trên khoảng nào trong các
khoảng sau?
A.
3
1;
2



.
B.
1;1 .
C.

2; 1. D.

1; 2 .
TOANMATH.com
Trang 49
Câu 19: Cho hàm số

yfx . Đồ thị hàm số

yfx
như hình
bên và
220ff. Hàm số

2
3
g
xfx

nghịch biến
trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A.

2; 2 . B.

1; 2 .
C.

2; 5 . D.

5;  .
Câu 20: Cho hàm số

yfx có đồ thị hàm số
2yf x
 như hình vẽ
bên. Hàm số
yfx đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A.
2; 4
. B.
1; 3
.
C.
2;1 . D.
0;1 .
Câu 21: Cho hàm số
yfx
có đạo hàm liên tục trên
. Đồ thị hàm số
35yf x
 như hình vẽ. Hàm số
yfx nghịch biến trên khoảng nào?
A.
;8 . B.
4
;
3




.
C.
44
;
33



.
D.
8;10 .
Câu 22: Cho hàm số
yfx , hàm số
32
yfx axbxcxd
,,,abcd có đồ thị như hình
vẽ. Hàm số
g
xffx
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
1;  . B.
;2
. C.
1; 0 . D.
33
;
33




.
Câu 23: Cho hàm số
yfx có đồ thị
f
x
như hình vẽ
TOANMATH.com
Trang 50
Hỏi hàm số
2
12 63
g
xfx f xx x đồng biến trên khoảng nào cho dưới đây?
A.
;0 . B.
0;3 . C.
1; 2 . D.
3;  .
Câu 24: Cho hàm số
yfx
có đồ thị của hàm số
yfx
như hình vẽ bên. Các giá trị của m để
hàm số
1yfx m x đồng biến trên khoảng
0;3 là
A. 4m . B. 4m . C. 4m . D. 04m.
Câu 25: Cho hàm số
yfx có đạo hàm liên tục trên
và đồ thị của hàm số
yfx
như hình vẽ.
TOANMATH.com
Trang 51
Đặt
 
2
1
1 2019
2
gx f x m x m
với
m
là tham số thực. Gọi
S
là tập các giá trị nguyên
dương của
m để hàm số
ygx đồng biến trên khoảng
5; 6 . Tổng các phần tử của S bằng
A. 4. B. 11. C. 14. D. 20.
Dạng 4: Ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình, bất phương trình
Bài toán 1. Ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình
Phương pháp giải
Cho hàm số
yfx
liên tục và đồng biến (hoặc
nghịch biến) trên tập D, ta có
Với mọi
,uv D mà
f
ufv uv
Nhận xét:
00
f
xfx xx. Do đó phương
trình
0fx
có nhiều nhất một nghiệm
Ví dụ: Giải phương trình
3
313 2xx x x
Hướng dẫn giải
Điều kiện
2
3
x
Ta có
3
313 2xx x x
3
3
31 32 xx x x
Xét hàm số
3
f
ttt, 0t
Ta có
2
310ft t
, 0t
hàm số
f
t đồng biến trên
0; 
Do đó

32 32fx f x x x
2
2
2
3
1
320
x
x
x
xx


Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm
2x
và
1
x
.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Biết phương trình
3
3
27 23 1 26 1
x
xx có một nghiệm thực dương
1
6
ac
x
bd

với
,,bcd
là các số nguyên tố. Khẳng định đúng là
A.
61ad bc. B.
61ad bc.
C.

51ad bc. D.
51ad bc.
Hướng dẫn giải
Phương trình

3
3
33
27 23 1 26 1 3 3 26 1 26 1
x
xxxxx x
. (1)
TOANMATH.com
Trang 52
Xét hàm số
32
310ft t t f t t
 ,
t
Hàm số đồng biến trên
.
Phương trình (1):

3
33
3 261 3 261 27 2610fx f x x x x x
10
1123
1123
26 3
26 3
x
x
x



là nghiệm có dạng đã cho
1, 2, 23, 3
ab c d
61ad bc
.
Chọn B.
Ví dụ 2.
Biết phương trình
32
812103101101
x
xx x x có một nghiệm thực dương
ab
x
c
với
,,
abc
và
,
ac
là các số nguyên tố cùng nhau.
Khẳng định đúng là
A.

23ac b
. B.

43ac b
.
C.
23ac b
.
D.

43ac b
.
Hướng dẫn giải
Nhận xét:
- Vế trái là đa thức bậc ba, vế phải chứa căn bậc hai nên ta biến đổi để xuất hiện
3
10 1x . Ta có
 
3
10 1 10 1 10 1 2 10 1 10 1 2 10 1
x
xx x x x


Khi đó phương trình có dạng

3
3
2 101 2101ax b ax b x x
Điều kiện
1
10
x
Phương trình đã cho

3
3
21 221 101 2101
x
xx x (1).
Xét hàm số
32
2320ft t t f t t

, t
Hàm số đồng biến trên
.
Phương trình



2
210
1 21 101 21 101
21 101
x
fx f x x x
x
x



2
1
741
2
4
2710
x
x
xx


TOANMATH.com
Trang 53

7, 41, 4 4 3ab c acb .
Chọn D.
Ví dụ 3.
Biết phương trình
3
12 1
2
213
x
x
x


, có một nghiệm thực
2
ab
x
, với
,,abc
và c là số
nguyên tố. Khẳng định đúng là
A. 21ac b. B. 2ac b.
C.
21ac b. D. 2ac b.
Hướng dẫn giải
Điều kiện
13
1
x
x

Phương trình đã cho
3
2122213xx x x  
33
33 3
1 1 21 21 1 21xx x xfxfx (1)
với
3
f
ttt
Xét hàm số
3
f
ttt
, có
2
31ft t

,
t
Hàm số đồng biến trên
.
Do đó


3
66
3
32
1
210
1121
2
121
0
x
x
xx
xx
xxx






0
15
1, 5, 2 2 1
15
2
2
x
x
ab c acb
x

.
Chọn C.
Bài toán 2:
Ứng dụng tính đơn điệy vào giải bất phương trình
Phương pháp giải
Cho hàm số
yfx
liên tục và đồng biến (hoặc
nghịch biến) trên tập D , ta có
Với mọi
,:uv D f u f v u v.
Với mọi
,:uv D f u f v u v.
• Với mọi u,
Ví dụ: Cho hàm số
yfx
có
0fx
,
x . Tìm tất cả các giá trị c ủa tham số m để
2
23fm m f .
Hướng dẫn giải
Vì
0fx
, x nên hàm số đã cho đồng
biến trên
2
23
f
mmf khi và chỉ khi
22
23 230mm mm
31m .
Vậy
3;1m  là các giá trị cần tìm thỏa mãn yêu
TOANMATH.com
Trang 54
cầu đề bài.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Cho hàm số
yfx
có
0
fx
,
x . Tất cả các giá trị thực của
x
để

1
2ff
x



là
A.
1
0;
2
x



.
B.

1
;0 ;
2
x




.
C.
1
;
2
x




.
D.

1
;0 0;
2
x




.
Hướng dẫn giải
Ta có
0
fx
,
x nên hàm số
yfx
nghịch biến trên
Do đó
 
1112 1
22 0 ;0;
2
x
ff x
xxx




Chọn B.
Ví dụ 2.
Bất phương trình
32
236164 23xxx x có tập nghiệm là
;ab . Tổng
ab
có
giá trị bằng
A. 2 . B. 4. C. 5 . D. 3 .
Hướng dẫn giải
Điều kiện: 24x
Xét

32
236164
f
xxxx x trên đoạn
2; 4 .
Có


2
32
31
1
,2;4
24
23616
xx
fx x
x
xxx



, do đó hàm số đồng biến trên

2; 4 .
Bất phương trình đã cho
123 1
f
xf x
So với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là
1; 4 5Sab.
Chọn C.
Dạng 2:
Bài toán ứng dụng tính đơn điệu vào bài toán tìm điều kiện đề phương trình có nghỉệm
Phương pháp giải
Nếu hàm số
yfx liên tục và có
min
D
f
xA
,
D
max B thì phương trình

f
xgm có nghiệm thuộc tập hợp
DAgmB .
Ví dụ: Cho hàm số

3
f
xxx . Có bao nhiêu
giá trị nguyên của tham số m để phương trình

2
m
ffx x có nghiệm trên đoạn
1; 2 ?
A. 3. B. 6.
C.
9
. D.
10
.
Hướng dẫn giải
TOANMATH.com
Trang 55
Hàm số
32
310fx x x f x x
 , x
Hàm số
3
f
xxx
đồng biến trên
.
Ta có
1; 2 1 2 2 10xffxf fx
Xét phương trình

 
3
22
mm
ffx x fx fx x 


3
3
2
m
fx x

(1)
Xét


3
33 3 3 3
1; 2 ; 2 1 10 2xfxx 


3
3
9 1008fx x 

Phương trình đã cho có nghiệm
1 có nghiệm
410
9 2 1008 2 2 2
mm

4; 5; 6; 7;8;9m .
Chọn B.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Cho
3
2
m
fx x x.Tổng các giá trị nguyên của tham số m để phương trình
f
fx x
có nghiệm trên đoạn
1; 4 là
A. 6 . B. 9. C. 21. D. 22 .
Hướng dẫn giải
Đặt



tfx
tfx fttfxx
ft x

. (1)
Xét hàm số
3
22
m
gu f u u u u có
2
320gu u
, u .
Do đó
3
12
m
tx fx x x . (2)
Phương trình
f
fx x có nghiệm trên đoạn
1; 4 2 có nghiệm trên đoạn

33
1; 4 1 2 4 0;1; 2; 3; 4; 5; 6
m
m
Tổng các giá trị là
123456 21
.
Chọn C.
TOANMATH.com
Trang 56
Ví dụ 2. Cho hàm số

53
34
f
xx x m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để phương trình

3
3
f
fx m x m
có nghiệm trên đoạn
1; 2
?
A.
15
. B. 16. C.
17
. D.
18
.
Hướng dẫn giải
Đặt
 
3
3
tfxmfxtm
, kết hợp với phương trình ta có hệ phương trình


3
33
3
ft x m
f
tt fxx
fx t m



.(1)
Xét hàm số
35 3
44
g
ufuuu u m
42
512 0, 1;2gu u u u
 Hàm số đồng biến đoạn
1; 2 .
Do đó
353
123tx fx x m x x m
(2)
Với
53
1; 2 , 3 2 4 8xxx
Phương trình (2) có nghiệm trên đoạn
1; 2 3 3 4 8 1 16mm
Chọn B.
Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để phương trình
22sinsinmm x x
có
nghiệm thực?
A. 0 . B. 1. C. 3 . D. 2 .
Hướng dẫn giải
Điều kiện
sin 0x
.
Ta có
2
2 2sin sin 2 2sin sinmm x xmm x x  .
2
2sin 2 2sin sin 2sinmxmxxx (1)
Xét hàm số
2
2
f
tt t
220, 0ft t t

Hàm số
f
t
đồng biến trên
0; 
.
Phương trình


1 2sin sin 2sin sin
f
mxfxmxx
2
sin 2sin
x
xm
Đặt
sin 0;1xt t
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình
2
2ttm có nghiệm trên

0;1 .
Xét hàm số
2
2
g
tt t,

0;1t
Ta có
22; 0 1
g
ttgt t


Suy ra


0;1
0;1
0; min 1max g t g t
TOANMATH.com
Trang 57
Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
10m
Mà
m nên
0; 1mm
.
Chọn D.
Ví dụ 4.
Cho hàm số
yfx
liên tục trên
, có đồ thị như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị của tham số
m
để phương trình


3
2
2
9
3
38
mm
fx
fx

có 3 nghiệm thực phân
biệt?
A.
1
. B. 2. C. 3 . D.
4
.
Hướng dẫn giải
Phương trình


32 2
27 3 3 9 3 8m m fx fx


3
3
22
333838m m fx fx

2
338gm g f x (1)
Xét hàm số
32
310,gt t t g t t t
 nên hàm số đồng biến trên
Do đó


 


2
2
2
2
2
98
2
38
3
13 83
98
98
3
3
3
m
fx
m
fx m
m
fx
m
fx


Dựa vào hình vẽ thì phương trình (3) vô nghiệm (vì
0,
f
xx)
Do đó để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt
2 có ba nghiệm phân biệt hay
2
2
98
35
3
3
5
11
98
1
3
3
m
m
m
m

.
Chọn B.
TOANMATH.com
Trang 58
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1:
Biết nghiệm nhỏ nhất của phương trình
2
32
3
16 6 2
37643
3
xx
xxx

 có dạng
0
ac
x
b
,, *abc
,
a
b
tối giản. Giá trị của biểu thức
234
Sa b c
là
A.
2428S
. B.
2432S
. C.
2418S
. D.
2453S
.
Câu 2: Số nghiệm thực của phương trình

32
32 3 3 5 2 6 7 3
x
xxxx .
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 3: Biết phương trình
3
22 1
3
233
x
x
x


có một nghiệm dạng
0
ab
x
c
 với
,ac và b là số
nguyên tố. Tổng
P
abc bằng
A. 8. B. 7. C. 6. D. 2.
Câu 4: Biết phương trình

22
212 4 4 432 9 3 0xxxxx có nghiệm duy nhất là a.
Khi đó
A.
12a
. B.
01a
. C.
21a
. D.
10a
.
Câu 5: Bất phương trình
22
23 611 3 1
x
xxx xx  có tập nghiệm
;ab . Hiệu ba
có giá trị bằng
A. 1. B. 2. C. 3. D. 1 .
Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình

3
12 13 6 6xxxx có dạng

;ab
. Tổng ab
bằng
A. 1. B. 4. C. 2. D. 3.
Câu 7: Có bao nhiêu số nguyên thuộc đoạn

2020;2020
thỏa mãn bất phương trình

2
2
9 9 31 31 0xx xx




?
A. 4041. B. 2024. C. 2026. D. 2025.
Câu 8: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho phương trình

3
3
13 33
x
mxm
có
đúng hai nghiệm thực. Tổng các phần tử của tập S là
A. 4. B. 2. C. 6. D. 5.
Câu 9: Tập các giá trị của
m
để phương trình
6433 22
6356100xxmx mxmx có đúng hai
nghiệm phân biệt thuộc
1
;2
2



là
;Sab
. Giá trị của biểu thức 58Tab là
A. 18T . B. 43T . C. 30T . D. 31T .
Câu 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
6433 22
sin 6sin sin 15 3 sin 6 sin 10 0 xxmx mxmx vô nghiệm?
A. 3. B. 5. C. 7. D. Vô số.
TOANMATH.com
Trang 59
Câu 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để phương trình
22
2019 2019mmxx
có
nghiệm?
A. 1. B. 0. C. Vô số. D. 2.
Câu 12: Có bao nhiêu giá trị âm của tham số m để phương trình
3
3
33sinsinmm x x
có nghiệm?
A. 5. B. 2. C. 4. D. 3.
Câu 13: Cho hàm số
yfx liên tục trên
R
và có đồ thị như hình
vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình
6sin 8cos 1fx xfmm
có nghiệm x ?
A. 5.
B. 2.
C. 4.
D. 6.
Câu 14: Cho phương trình

33 3
sin 2 2 2 2 1 2 2 3 2 2x cos x cos x m cos x m cos x m . Có
bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để phương trình trên có đúng một nghiệm
2
0;
3
x


?
A. 2. B. 1. C. 4. D. 3.
Câu 15: Cho hàm số
f
x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ
Các giá trị của tham số
m
để phương trình


3
2
2
4
3
25
mm
fx
fx

có 3 nghiệm phân biệt là
A.
37
2
m
.
B.
5
2
m .
C.
37
2
m .
D.
5
2
m
.
ĐÁP ÁN
DẠNG 1. Xét tính đơn điệu của hàm số không chứa tham số
1-D 2-C 3-D 4-B 5-C 6-B 7-B 8-D 9-C 10-B
11-A 12-A 13-B 14-A 15-A 16-D 17-D 18-D 19-A 20-D
21-B 22-D 23-B 24-D
DẠNG 2. Các bài toán chứa tham số
TOANMATH.com
Trang 60
1-C 2-D 3-A 4-A 5-D 6-C 7-A 8-D 9-C 10-D
11-A 12-C 13-D 14-A 15-D 16-A 17-A 18-D 19-D 20-D
21-C 22-C 23-B 24-C 25-A 26-A 27-C
DẠNG 3. Hàm ẩn liên quan đến sự đồng biến và nghịch biến của hàm số
1-C 2-B 3-B 4-A 5-B 6-A 7-C 8-D 9-C 10-A
11-B 12-C 13-C 14-C 15-C 16-C 17-B 18-D 19-C 20-D
21-A 22-B 23-C 24-C 25-C
DẠNG 4. Ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình, bất phương trình
1-B 2-C 3-C 4-D 5-A 6-D 7-D 8-C 9-C 10-A
11-A 12-A 13-D 14-C 15-C
| 1/60
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ 1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THN HÀM SỐ
BÀI 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Mục tiêu Kiến thức
+ Biết, hiểu công thức, quy tắc tính đạo hàm
+ Nắm vững tính đơn điệu của hàm số.
+ Thấy được mối liên hệ về sự biến thiên của hàm số thông qua đạo hàm của nó
+ Biết quy tắc xét dấu đã học ở lớp 10.
+ Nhận biết được mối liên hệ của hàm số khi biết bảng biến thiên của hàm số y f x ,
y f u x khi biết bảng biến thiên của hàm số y f x , đồ thị hàm số y f x hoặc đồ
thị hàm số y f ' x .  Kĩ năng
+ Biết áp dụng công thức, các quy tắc tính đạo hàm vào các hàm số cơ bản
+ Nhận diện được bảng biến thiên, đồ thị của hàm số đơn điệu trên một khoảng cụ thể.
+ Vẽ được bảng biến thiên, đồ thị các hàm số cơ bản, các hàm chứa trị tuyệt đối.
+ Vận dụng được tính chất của các hàm số trùng phương, hàm số bậc ba, các hàm hữu tỷ vào giải nhanh toán trắc nghiệm.
+ Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y f x , y f u x , y f u x  hx
khi biết bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số y f x ( y f  x ).
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa
Ví dụ 1: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình
Cho hàm số f xác định trên khoảng (đoạn hoặc vẽ dưới đây. nửa khoảng) K .
Hàm số f gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu x
  x f x f x . 1 2  1  2 
Dựa vào đồ thị ta thấy
Hàm số đồng biến trên khoảng  1  ;0 .
Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;  1 . 
Hàm số f gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu Ví dụ 2: Cho hàm số y
f x . Ta có bảng xét TOANMATH.com Trang 1 x
  x f x f x dấu như sau: 1 2  1  2  x  1 1  3 y  0  0  Ta thấy Hàm số
đồng biến trên các khoảng  1  ;  ;1;     3  Định lí thuận
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K .  1 
Hàm số nghịch biến trên khoảng ;1    3 
Nếu f  x  0, x
  K thì hàm số đồng biến trên Ví dụ 3: Cho hàm số gx 2
 2x  5x  6 . khoảng K . a  2  0
Nếu f  x  0, x
  K thì hàm số nghịch biến trên Hàm số có      5  2  4.2.6  23   0 khoảng K .
g x  0, x    .
Nếu f  x  0, x
  K thì hàm số không đổi trên Chú ý: Định lí thuận dạng “mở rộng”: khoảng K .
f  x  0 x
  K và dấu “=” tại hữu hạn điểm Định lí đảo
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K .
trên K thì hàm số nghịch biến trên K .
Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng K thì
f  x  0, x   K .
Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng K thì
f  x  0, x   K . Lưu ý:
- Hàm số f x đồng biến trên K thì đồ thị hàm số
là đường đi lên từ trái sang phải, biểu diễn trong
bảng biến thiên là dấu mũi tên hướng lên từ trái sang phải.
- Hàm số f x nghịch biến trên K thì đồ thị hàm
số là đường đi xuống từ trái sang phải, biểu diễn
trong bảng biến thiên là dấu mũi tên hướng xuống từ trái sang phải.
Xét dấu tam thức bậc hai   2
g x ax bx c TOANMATH.com Trang 2 a  0 g x  x     a 0 0,   ; 0  g x  x     a 0 0,   ; 0  g x  x     a 0 0,   ; 0  g x  x     a 0 0,   . 0
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Cho hàm số f xác định trên khoảng (đoạn hoặc nửa khoảng) K .
Hàm số nghịch biến
Hàm số đồng biến Định lí thuận Định lí thuận
- Nếu f  x  0, x
  K thì hàm số nghịch biến
- Nếu f  x  0, x
  K thì hàm số đồng biến trên khoảng K . trên khoảng K . Định lí đảo Định lí đảo
- Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng K thì - Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng K thì
f  x  0, x   K .
f  x  0, x   K .
Định lí thuận “mở rộng”
Định lí thuận “mở rộng”
f  x  0, x
  K và dấu bằng tại hữu hạn điểm f x  0, x
  K và dấu bằng tại hữu hạn điểm
trên K thì hàm số đồng biến trên K .
trên K thì hàm số nghịch biến trên K . Đồ thị Đồ thị
- Đồ thị hàm số là đường đi xuống từ trái sang phải - Đồ thị hàm số là đường đi lên từ trái sang phải Định nghĩa Định nghĩa
Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu TOANMATH.com Trang 3 x
  x f x f x . x
  x f x f x . 1 2  1  2  1 2  1  2 
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số không chứa tham số
Bài toán 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số cho bởi công thức y f x Phương pháp giải
Thực hiện các bước như sau: 3 x Ví dụ: Hàm số 2 y  
 3x  5x  2 đồng biến
Bước 1. Tìm tập xác định D . 3
Bước 2. Tính đạo hàm y  f  x .
trên khoảng nào dưới đây? A. 5; . B.   ;1  .
Bước 3. Tìm các giá trị x mà f  x  0 hoặc C.  2;  3 . D. 1;5 .
những giá trị làm cho f  x không xác định.
Bước 4. Lập bảng biến thiên hoặc xét dấu trực tiếp
Hướng dẫn giải đạo hàm.
Tập xác định D   .
Bước 5. Kết luận tính đơn điệu của hàm số Ta có 2
y  x  6x  5
y f x (chọn đáp án). x 1 Ta có 2
y  0  x  6x  5  0   x  5 x  1 5  y  0  0   y  13 19 3 3 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng 1;5. Chọn D. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hàm số 3 2
y x  3x  9x 15 . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  3;  
1 . B. Hàm số đồng biến trên  9;  5   .
C. Hàm số đồng biến trên  .
D. Hàm số đồng biến trên 5; .
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   Ta có 2
y  3x  6x  9 x  1 Cho y  0   . x  3  TOANMATH.com Trang 4 x  3  1  y  0  0  42  y  10
Từ bảng biến thiên, mệnh đề C sai. Chọn C.
Ví dụ 2. Các khoảng nghịch biến của hàm số 4 2
y  x  2x  4 là A.  1  ;0 và 1;. B.   ;1  và 1;. C.  1  ;0 và 0;  1 . D.  ;    1 và 0;  1 .
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   . Ta có 3 y  4  x  4x x  0 y  0   x  1 
Bảng biến thiên của hàm số 4 2
y  x  2x  4 như sau x  1  0 1  y  0  0  0  3  3  y  4  
Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên  1;  0 và 1;. Chọn A. x 1
Ví dụ 3. Cho hàm số y
. Mệnh đề nào dưới đây đúng? x  2
A. Hàm số đồng biến trên  .
B. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
C. Hàm số đồng biến trên  \  2  .
D. Hàm số đồng biến trên từng khoảng của miền xác định.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   \  2 . 3 x 1 Ta có y   0, x
  D nên hàm số y
đồng biến trên từng khoảng của miền xác định. x  22 x  2 Chọn D. TOANMATH.com Trang 5
Ví dụ 4. Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên  ? x  2 A. 3
y  x  2x . B. y  . C. 4 2
y x  3x . D. 3 2
y x  3x . x 1
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   . Ta có 3 2
y  x  2x y  3
x  2  0, x    Vậy hàm số 3
y  x  2x nghịch biến trên  . Chọn A. Ví dụ 5. Cho hàm 2
y x  6x  5 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng 5; .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng 3; .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng   ;1  .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;3   .
Hướng dẫn giải
Tập xác định D    ;1 5; x  3 Ta có y   0, x  5; 2 x  6x  5
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 5; . Chọn A. 4
Ví dụ 6. Hàm số y x  đồng biến trên khoảng nào dưới đây? x
A. 0; . B.  2;  2 . C.  2;
 0 . D.2; .
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   \   0 . 2 2 x  4 x  4 Ta có y   y  0   0  x  2  2 2 x x Bảng biến thiên x  2  0 2  y  0   0  4    y   4
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên  ;  2   và 2; . TOANMATH.com Trang 6 Chọn D.
Ví dụ 7. Cho hàm số f x    x 2019 2 1
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên  .
B. Hàm số đồng biến trên  ;0  .
C. Hàm số nghịch biến trên  ;0  .
D. Hàm số nghịch biến trên  .
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   . 2018 2018
Đạo hàm f x
 2x  2x       2 2019. 1 . 1 2019. 1 x  . 2  x Vì   x 2018 2 2019. 1  0 , x
   nên dấu của đạo hàm cùng dấu với x . x
Ta có f  x 0  0   x  1  Ta có bảng biến thiên x  1  0 1  f  x  0  0  0  f x 1 0 0  
Vậy hàm số đồng biến trên  ;0  . Chọn B.
Chú ý: Dấu hiệu mở rộng khi kết luận khoảng đồng biến  ;0  .
Ví dụ 8. Cho hàm số f x 3 2
x x  8x  cos x . Với hai số thực a,b sao cho a b . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. f a  f b .
B. f a  f b .
C. f a  f b .
D. f a  f b .
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   .
Ta có f  x 2
x x   x   2 3 2 8 sin
3x  2x  
1  7  sin x  0, x
   Suy ra f x đồng biến trên  .
Do đó a b f a  f b . TOANMATH.com Trang 7 Chọn C. Ví dụ 9. Hàm số 2
y x  2x  3 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A.  ;    1 . B.  1;  3 .
C. 1; . D. 3; .
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   . 2 2
2x  2 x  2x  3 Ta có 2
y x  2x  3   2
x  2x  3     y 
x 2x32 2
y  0  2x  2  0  x  1; y không xác định nếu x  1;  x  3. Ta có bảng biến thiên x  1  1 3  y   0   y  4  0 0
Hàm số đồng biến trên khoảng  1;   1 và 3; . Chọn D. Chú ý: - Vì   2
f x f x nên có thể xét tính đơn điệu của hàm số 2
y f x để suy ra kết quả.
f  x. f x- Đạo hàm y  . 2 f x
Bài toán 2. Xét tính đơn điệu của hàm số y f x khi cho hàm số y f  xPhương pháp giải
Thực hiện theo ba bước như sau:
Ví dụ: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên 
Bước 1. Tìm các giá trị x mà f  x  0 hoặc là f x 2
x x  
1 . Hàm số đã cho đồng biến trên
những giá trị làm cho f  x không xác định. khoảng
Bước 2. Lập bảng biến thiên hoặc xét dấu trực tiếp A. 1;. B.  ;0  ;1; . đạo hàm. C. 0;  1 . D.   ;1  .
Bước 3. Kết luận tính đơn điệu của hàm số
Hướng dẫn giải
y f x (chọn đáp án). x  0
Ta có f  x 2
 0  x x   1  0   x 1 Ta có bảng xét dấu x  0 1  f  x  0  0  TOANMATH.com Trang 8
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 1; . Chọn A. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hàm số f x có đạo hàm f  x   x  2  x  3 1 1 2  x
Hàm số y f x đồng biến trên khoảng nào, trong các khoảng dưới đây? A.  1  ; 
1 . B. 1;2 . C.  ;   
1 . D. 2; .
Hướng dẫn giải x
Ta có f  x 2  0   x  1  Bảng xét dấu x  1  1 2  f  x  0  0  0 
Hàm số f x đồng biến trên khoảng 1;2 . Chọn B.
Ví dụ 2. Cho hàm số y f x xác định trên khoảng 0;3 có tính chất
f  x  0, x
 0;3 và f x  0, x  1;2 .
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A. Hàm số f x đồng biến trên khoảng 0;2 .
B. Hàm số f x không đổi trên khoảng 1;2 .
C. Hàm số f x đồng biến trên khoảng 1;3 .
D. Hàm số f x đồng biến trên khoảng 0;3 .
Hướng dẫn giải
Vì f  x  0, x
 1;2 nên f x là hàm hằng trên khoảng 1;2 .
Trên các khoảng 0;2,1;3,0;3 hàm số y f x thỏa f x  0 nhưng f  x  0, x  1;2 nên
f x không đồng biến trên các khoảng này. Chọn B.
Bài toán 3. Xét tính đơn điệu của hàm số y f x khi cho bảng biến thiên hoặc đồ thị Phương pháp giải
Khi cho bảng biến thiên:
Ví dụ: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên
- Trên khoảng a;b nếu f  x mang dấu  như sau:
(dương) thì ta kết luận f x đồng biến trên a;b . TOANMATH.com Trang 9 - Trên khoảng  ;
c d  nếu f  x mang dấu  (âm):
x  2  0 2  y
0
0
thì ta kết luận f x nghịch biến trên  ; c d  . y 3 3 Khi cho đồ thị:  1  
- Hàm số f x đồng biến trên a;b thì hàm số có
đồ thị là đường đi lên từ trái sang phải trên a;b .
Hàm số y f x đồng biến trên khoảng nào dưới
- Hàm số f x nghịch biến trên a;b thì hàm số đây?
có đồ thị là đường đi xuống từ trái sang phải trên A.  ;0  . B. 0;2 . a;b. C.  2;  0 . D. 2; .
- Trong trường hợp: Hàm số f x là hàm hằng
Hướng dẫn giải
(không đổi) trên a;b thì hàm số có đồ thị là Dựa vào bảng biến thiên, ta có y  0, x  0;2 
đường song song hoặc trùng với trục Ox trên  ;
a b hàm số đồng biến trên 0;2. Chọn B. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau x  2  y  0  y  f 2 
Hỏi bảng biến thiên trên là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số dưới đây? A. 3 2
y  x  6x 12x . B. 3 2
y x  6x 12x . C. 3 2
y  x  4x  4x . D. 2
y  x  4x  4 .
Hướng dẫn giải Xét hàm số 3 2
y  x  6x 12x
y   x x    x  2 2 3 12 12 3 2  0, x    , thỏa mãn. Xét hàm số 3 2
y x  6x 12x y  x x   x  2 2 3 12 12 3 2  0 , x
   , không thoả mãn. Xét hàm số 3 2
y  x  4x  4x TOANMATH.com Trang 10  2 2    3   8  4,   0 x y x x y   3 không thoả mãn.  x  2 Xét hàm số 2
y  x  4x  4 y  2
x  4, y  0  x  2 là nghiệm duy nhất.
Hàm số đồng biến trên  ;
 2 , nghịch biến trên 2; không thoả mãn. Chọn A.
Ví dụ 2. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho
đồng biến trên khoảng dưới đây nào? A.  2;
 2 . B. 0;2 . C.  1  ;  1 . D. 1;2 .
Hướng dẫn giải
- Xét đáp án A, trên khoảng  1;   1   2
 ;2 đồ thị hướng đi xuống hay hàm nghịch biến trên khoảng đó.
- Xét đáp án B, trên khoảng 0; 
1  0;2 đồ thị có đoạn hướng đi xuống hay hàm số nghịch biến trên đó.
- Xét đáp án C, trên khoảng  1  ; 
1 đồ thị có hướng đi xuống hay hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
- Xét đáp án D, trên khoảng 1;2 đồ thị có hướng đi lên hay hàm số đồng biến trên khoảng đó nên chọn. Chọn D. ax b
Ví dụ 3. Cho hàm số y
có đồ thị như hình vẽ dưới đây. cx d Khẳng định đúng là
A. Hàm số đồng biến trên  \  1 .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;  2 . TOANMATH.com Trang 11
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng  1  ; .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng  1;   .
Hướng dẫn giải
Nhìn vào đồ thị đã cho, ta có trên khoảng  1;
  đồ thị hàm số đi lên (theo chiều từ trái qua phải) nên
hàm số đồng biến trên khoảng  1  ; . Chọn D.
Chú ý: Kết luận hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng không viết ở dạng  \  1  .
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên a;b . Phát biểu nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số y f x đồng biến trên  ;
a b khi f  x  0 , x
 a;b .
B. Hàm số y f x đồng biến trên a;b khi f  x  0 , x
 a;b .
C. Hàm số y f x đồng biến trên a;b khi f  x  0 , x
 a;b .
D. Hàm số y f x đồng biến trên a;b khi f  x  0 , x
 a;b , trong đó f x  0 tại hữu hạn giá trị x  ; a b .
Câu 2: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên khoảng a;b. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Nếu f  x  0 với mọi x thuộc a;b thì hàm số f x nghịch biến trên a;b.
B. Nếu hàm số f x đồng biến trên a;b thì f  x  0 với mọi x thuộc a;b .
C. Nếu hàm số f x đồng biến trên a;b thì f  x  0 với mọi x thuộc a;b .
D. Nếu f  x  0 với mọi x thuộc  ;
a b thì hàm số f x đồng biến trên  ; a b .
Câu 3: Cho hàm số f x đồng biến trên tập số thực  , mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Với mọi x x    f x f x . B. Với mọi x , x    f x f x . 1 2  1  2  1 2  1  2 
C. Với mọi x , x    f x f x . D. Với mọi x x    f x f x . 1 2  1  2  1 2  1  2 
Câu 4: Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu f  x  0 , x
 a;b thì hàm số y f x đồng biến trên a;b.
B. Nếu f  x  0, x
 a;b thì hàm số y f x đồng biến trên a;b.
C. Hàm số y f x đồng biến trên a;b khi và chỉ khi f  x  0 , x
 a;b .
D. Hàm số y f x đồng biến trên a;b khi và chỉ khi f  x  0, x
 a;b . Câu 5: Cho hàm số 3 2
y x  2x x 1. Khẳng định nào sau đây đúng?  1 
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; . B. Hàm số đồng biến trên khoảng ;1   .  3  TOANMATH.com Trang 12  1   1 
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 
 . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;    .  3   3  1 Câu 6: Cho hàm số 3 2
y   x x x 1. Mệnh đề nào sau đây đúng? 3
A. Hàm số đồng biến trên   ;1
 và nghịch biến trên 1;.
B. Hàm số nghịch biến trên  .
C. Hàm số đồng biến trên  .
D. Hàm số đồng biến trên 1; và nghịch biến trên   ;1  . Câu 7: Hàm số 4 2
y  x  2x 1 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. 1; . B.  ;    1 . C.  ;0
 . D. 0;
Câu 8: Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng  ;   ? A. 2
y x 1. B. 3
y x x . C. 4
y x 1. D. 3
y x x . x  2
Câu 9: Cho hàm số y
. Mệnh đề nào sau đây đúng? x  3
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;   .
B. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
C. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
D. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;   . Câu 10: Hàm số 2
y  2x x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.   ;1
 . B. 1;2 . C. 1;. D. 0;  1 .
Câu 11: Hàm số nào sau đây luôn đồng biến trên  ? A. 3 2
y x x x  3 . B. y x 1 . x 1 C. 3 2
y x x  5x  3 . D. y  . 2x 1 Câu 12: Cho hàm số 2
y  3x x . Hàm số đồng biến trên khoảng nào?  3   3   3  A. 0; 
. B. 0;3 . C. ;3   . D. ;    .  2   2   2  x
Câu 13: Hàm số y
đồng biến trên khoảng nào sau đây? 2 x 1 A.  ;    1 . B.  1;   1 . C.  ;
  . D. 0;. 2 x  2x 1
Câu 14: Hàm sổ y
nghịch biến trên các khoảng x  2 A.  ;  5
  và 1;. B.  5;  2   . C.  ;  2   và  2;
  . D.  2;   1 . TOANMATH.com Trang 13
Câu 15: Cho hàm số y f x xác định trên tập  và có f  x 2
x  5x  4 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 1;4 .
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 3; .
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ;3   .
D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 1;4 .
Câu 16: Cho hàm số y f x có đạo hàm f  x 2
x  2 , x   . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f   1  f  
1 . B. f   1  f  
1 . C. f   1  f  
1 . D. f   1  f   1 .
Câu 17: Cho hàm số y f x có đạo hàm f  x   x  2
1 2  x x  3 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng  3;    1 và 2; .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  3;  2.
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng  ;  3
  và 2; .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng  3;  2.
Câu 18: Cho hàm số y f x liên tục trên  và có đạo hàm f  x   x   x  2018  x  2019 2 1 2 .
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;  3   .
B. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 1;2 và 2; .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;2 .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  2;  2 .
Câu 19: Cho hàm số y f x xác định trên  \ 
2 và có bảng biến thiên như hình vẽ. x  2 
f  x – – 1 
f x  1
Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. f x nghịch biến trên từng khoảng  ;
 2 và 2; .
B. f x đồng biến trên từng khoảng  ;
 2 và 2; .
C. f x nghịch biến trên  .
D. f x đồng biến trên  .
Câu 20: Cho hàm số có bảng biến thiên sao. Mệnh đề nào đúng? TOANMATH.com Trang 14 x  1  0 1  y  0   0  11   y 1   5
A. Hàm số đồng biến trên  ;   
1  1; và nghịch biến trên  1;  0 0;  1 .
B. Hàm số đồng biến trên  ;   
1  11; và nghịch biến trên  1  ;1  1 .
C. Hàm số đồng biến trên  ;   
1  1; và nghịch biến trên  1  ;  1 .
D. Hàm số đồng biến trên  ;   
1  1; và nghịch biến trên  1  ;0 và 0;  1 .
Câu 21: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A.  1  ;  1 . B.  1  ;0 . C.  ;0
 . D. 0;  1 .
Câu 22: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 0;  1 . B.  ;    1 . C.  1  ;  1 . D.  1;  0 . Câu 23: Hàm số 2
y x  4x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.  ;  2 . B.  ;0
 ; 2;4 . C. 2; . D. 0;. TOANMATH.com Trang 15 Câu 24: Hàm số 3
y x  3x  2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A.  ;  2   . B.  ;  2   ;  1  ;  1 . C.  1
 ; . D.  2;    1 và 1; .
Dạng 2: Các bài toán chứa tham số
Bài toán 1. Tìm tham số để hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó
Bài toán 1.1. Tìm tham số để hàm số 3 2
y ax bx cx d đơn điệu trên . Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
Ví dụ: Tìm giá trị của m để hàm số Bước 1. Tính 2
y  3ax  2bx c (1). 3
y x  m   2 x   2 2 2 m  2m   1 x m
Bước 2. Xét hai trường hợp đồng biến trên  .
Trường hợp 1: a  0 , thay trực tiếp vào (1) để xét.
Hướng dẫn giải
Trường hợp 2: a  0 , tính 2
  b  3ac .
Tập xác định D   . a  0 2 2
Hàm số nghịch biến trên    
Ta có y  3x  4m  2 x m  2m 1 2
  b  3ac  0
Hàm số đồng biến trên  khi và chỉ khi a  0
Hàm số đồng biến trên    2 3    0
  b  3ac  0 a 0     0   4
 m  22  3   2 m  2m   1  0
Bước 3. Kết luận (chọn đáp án). 2
m 10m 13  0
 5  2 3  m  5  2 3
Vậy với m  5  2 3;5  2 3   thì hàm số đồng biến trên  Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  20  ;2 để hàm số 3 2
y x x  3mx 1 đồng biến trên  ?
A. 20 . B. 2 . C. 3 . D. 23.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   . Ta có 2
y  3x  2x  3m
Hàm số trên đồng biến trên 2
  3x  2x  3m  0 với mọi x   .   0 1
 1 9m  0  m  3  0 9
Do m là số nguyên thuộc đoạn  20
 ;2 nên có m 1;m  2. Chọn B. TOANMATH.com Trang 16
Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để hàm số y   2 m   3
x  m   2 1
1 x x  4 nghịch biến trên khoảng  ;   .
A. 3 . B. 0 . C. 1. D. 2 .
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   . Ta có y   2 m   2 3
1 x  2m   1 x 1
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  ;
   y  0 với x    .
Với m  1 ta có y  1   0 với x
   nên hàm số nghịch biến trên khoảng  ;
  . Vậy m 1 là giá trị cần tìm. 1
Với m  1 ta có y  4
x 1  0  x    m  1  không thỏa mãn. 4 2 m 1 0 • Với m  1
 ta có y  0 với x      2
  4m  2m  2  0  1   m  1    1   m  1  2 1    m 1 2 1
Từ các trường hợp ta được   m  1. Do m    m 0;  1 2
Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa mãn. Chọn D. ax b
Dạng 1.2: Tìm tham số để hàm số để hàm số y
đơn điệu trên từng khoảng xác định cx d Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
Ví dụ: Tìm tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương  d x m
Bước 1. Tập xác định D   \  
m để hàm số y  nghịch biến trên từng  c x  2 ad bc khoảng xác định.
Bước 2. Tính y  cx d2
Hướng dẫn giải
Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định Tập xác định D   \   2 .
ad bc  0 2  m Ta có y 
. Để hàm số nghịch biến trên
Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định x  22
ad bc  0
từng khoảng xác định thì 2  m  0  m  2
Bước 3. Kết luận. TOANMATH.com Trang 17
Mặt khác m là số nguyên dương nên không tồn tại
giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Vậy không có giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài. Ví dụ mẫu mx 1
Ví dụ 1. Các giá trị của tham số m để hàm số y
đồng biến trên từng khoảng xác định của nó là x 1
A. m  1. B. m  1.
C. m  1. D. m  1.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   \   1 mx 1 m 1 Ta có y   y  x 1 x  2 1
Xét m  1, hàm số trở thành y  1. (hàm hằng)
Xét m  1, hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó khi và chỉ khi y  0, x   1
  m 1  0  m 1. Chọn C.
Lưu ý: Với m  1 thì y  0, x    \  1 . mx 1
Ví dụ 2. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y
nghịch biến trên từng khoảng xác x m định là A.  ;    1 . B.  1;   1 .
C. 1; . D.   ;1  .
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   \  m 2 m 1 Ta có y  x m2 2 m 1
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định  y   0 x m2 2  m 1 0  1   m 1. Chọn B.
Bài toán 1.3: Hàm số y f x đơn điệu trên khoảng xác định Phương pháp giải
Sử dụng các kiến thức
Ví dụ: Tìm các giá trị của m m để hàm số
Điều kiện cần để y x a2m 1  
.g x m  3 y x  3 2
x  2mx m m  6 không đổi dấu khi đi
không đổi dấu khi x đi qua a là g a  0 . qua x  0 . TOANMATH.com Trang 18
Cho hàm số y f x liên tục trên K và
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   .
min f x  A . K
Đặt g x 3 2
x  2mx m m  6
Khi đó bất phương trình f x  m nghiệm đúng Để hàm số không đổi dấu khi đi qua x  0 thì
với mọi x K khi và chỉ khi m A.    g   2 m 2
0  0  m m  6  0 
Cho hàm số y f x liên tục trên K và m  3
max f x  B . Với m  2  thì 4 y x  2
x  4  0, x    K
Khi đó bất phương trình f x  m nghiệm đúng  m  2
 là một giá trị cần tìm. 4 2
với mọi x K khi và chỉ khi m B .
Với m  3 thì y x x  6 .
Khi đó hàm số chỉ đổi dấu khi x qua 6 và  6 . Vậy m  2
 là giá trị cần tìm. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hàm số 9
y x   2 m m 6 x   3 2
m m m 4 3 3 2
x  2019 đồng biến trên 
A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 1.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   . Ta có 8
y  x   2 m m 4 x   3 2
m m m 3 9 5 3 4 3 2 x 3 5
y  x x    2
m mx   3 2
m m m 3 9 5 3 4 3 2
  x .g x  với g x 5  x   2
m mx   3 2 9 5 3
4 m  3m  2m. m  0
Nếu g 0  0  m  2 m 1 
thì y sẽ đổi dấu khi đi qua điểm x  0  hàm số sẽ có khoảng đồng biến và nghịch biến. Do đó để hàm
số đồng biến trên  thì điều kiện cần là g 0  0 m  0  m 2
m  3m  2  0  m 1 m  2  Thử lại: + Với m  0 có 8
y  9x  0 , x
   nên hàm số đồng biến trên  . + Với m  1 có 4 y  x  4
9x 10  0 , x
   nên hàm số đồng biến trên  . TOANMATH.com Trang 19 + Với m  2 có 4 y  x  4
9x  50  0 , x
   nên hàm số đồng biến trên  . m  0
Vậy với m  1 thì hàm số đã cho đồng biến trên  . m  2  Chọn A.
Lưu ý: Nếu g 0  0 thì y luôn đổi dấu khi x qua 0, do đó nếu g x  0 vô nghiệm thi sẽ luôn có một
khoảng đồng biến và một khoảng nghịch biến.
Ví dụ 2. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số f x 2 5 3
 m x mx   2 m m   2
20 x  2019 nghịch biến trên  . Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng A. 4  . B. 1. C. 1  . D. 5 .
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   . Ta có f  x 2 4 2
  m x mx   2 5 3
2 m m  20 x 2 3
x  m x mx    2 5 3
2 m m  20  .xg x  .
Để hàm số nghịch biến trên  thì f  x  0 , x    (*)
Nếu x  0 không phải là nghiệm của g x thì f  x sẽ đổi dấu khi x đi qua x  0 , lúc đó điều kiện (*) không được thỏa mãn.
Do đó điều kiện cần để hàm số đồng biến trên  là x  0 là nghiệm của    g x 2 m 4
 0  m m  20  0   m  5 Thử lại:
+ Với m  4 thì f  x 4 2 2
  x x x  2 80 12
12  80x  , do đó m  4 không thỏa mãn.
+ Với m  5 thì f  x 4 2 2  
x x  x  2 125 15
125x 15  0 , x
   do đó m  5 thỏa mãn. Vậy S   
5 nên tổng các phần tử của S bằng 5. Chọn D.
Lưu ý: f  x đổi dấu qua các nghiệm của phương trình 2
12  80x  0 .
Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  2018  ; 2018 để hàm số 2
y x 1  mx 1 đồng biến trên  ;   .
A. 2018 . B. 2019 .
C. 2020 . D. 2017 . TOANMATH.com Trang 20
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   . x Ta có y   m 2 x 1 x
Theo yêu cầu bài toán y   m  0 , x    . 2 x 1 xm  , x    . 2 x 1 x x
Xét hàm số g x 
; g x   0 2 2 x 1 x 1 2 x   1 Bảng biến thiên x  1  g x  0  g x 1 1  Vậy m  1  mà m  2018 
; 2018 nên có 2018 giá trị nguyên. Chọn A.
Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của m   để hàm số sin y
x  cos x mx đồng biến trên  .
A.  2  m  2 .
B.  2  m  2 .
C. m  2 . D. m  2 .
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   .
Ta có y  cos x  sin x m
Hàm đồng biến trên   y  0, x
    cos x  sin x m  0, x   
 sin x  cos x  , m x   
Xét hàm f x  sin x  cos x trên    
Ta có sin x  cos x  2 sin x    2  f   x  2, x
    max f x  2  4  
Do đó f x  , m x
    max f x  m m  2  Chọn C.
Dạng 2: Xét tính đơn điệu của hàm số trên khoảng ;   cho trước
Bài toán 2.1. Hàm số 3 2
y ax bx cx d đơn điệu trên khoảng cho trước TOANMATH.com Trang 21 Phương pháp giải Sử dụng kiến thức. Ví dụ: Tìm giá trị m để hàm số Giả sử phương trình 2
y ax bx c a  0 có hai 3 2
y x x mx 1 nghịch biến trên đoạn 2;  3 .
nghiệm x , x . Hướng dẫn giải 1 2 Khi đó
Tập xác định D   .
x    x af   0 . Ta có 2
y  3x  2x m 1 2   2   yx x  2
 0  3x  2x m  0 (1)
  x x  1 2 . 1 2
x  x   0  1  2 
Để hàm số nghịch biến trên đoạn 2;  3 thì phương
x x  2
x x   
trình (1) có hai nghiệm x , x thỏa mãn 1 2 . 1 2 1 2
x   x    0  1  2 
x  2  3  x . Điều này xảy ra khi và chỉ khi 1 2 af    0
x      x  .    1 2 af 0 1 3m  0     0   3
f 2  0  3
 16  m  0  m  33 3  f  3 0 3  
 33  m  0
Vậy với m  33 thì hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn 2;  3 . Ví dụ mẫu
Vi dụ 1. Các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 3
y x   m   2 2 3 2
1 x  6mm   1 x 1 đồng
biến trên khoảng 2; là
A. m  1. B. m  1.
C. m  2 . D. m  1.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   . Ta có 2
y  6x  62m  
1 x  6mm   1
Để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 2; thì ta xét hai trường hợp
- Trường hợp 1: Hàm số đồng biến trên   y  0, x   
     m  2 0 2
1  4mm  
1  0  1  0 (vô lí).
- Trường hợp 2: Phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn   0 
x x  2  x  2  x  2  0  x x  4  0 1 2 1 2 1 2
x x  2 x x  4  0  1 2  1 2  TOANMATH.com Trang 22 m  1   0    3  2m 3  0  m m  ;   1 m
 m     m   2 1 2 2 1  4  0  m    ;1 2; Chọn B.
Lưu ý: - Hàm số đồng biến trên thì sẽ đồng biến trên khoảng 2; .
- Bảng biến thiên của hàm số f x  y khi phương trình y  0 có hai nghiệm x , x . 1 2 x  x x  1 2 y  0  0  y 1
Ví dụ 2. Các giá trị thực của tham số m để hàm số 3
y   x  m   2
1 x  m  3 x 10 đồng biến trên 3 khoảng 0;3 là 12 12 7 A. m  . B. m  .
C. m   . D. m  . 7 7 12
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   . Ta có 2
y  x  2m  
1 x m  3  g x.
Do y là hàm số bậc ba với hệ số a  0 nên hàm số đồng biến trên 0;3  y  0 có hai nghiệm x , x 1 2  1.  g 0  0
thỏa mãn x  0  3  x  1 2  1.  g  3  0  m3 0 12  m  7m 12  . 0 7 Chọn A.
Bài toán 2.2: Tìm tham số m đề hàm số y f x m 3 2 ;
ax bx cx d đơn điệu trên đoạn có độ
dài bằng k Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
Bước 1. Tính y  f  x m 2 ;
 3ax  2bx c
Ví dụ: Tìm các giá trị m để hàm số 3 2
Bước 2. Hàm số đơn điệu trên  x ; x y  0 có y  x  2x  2mx 1 đồng biến trên đoạn có độ 1 2  dài bằng 2.  
hai nghiệm phân biệt   0 a  0 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 23 b
Tập xác định D   . x x   1 2 Theo định lý Vi-ét a  Ta có 2 y  3
x  4x  2m cx x  1 2  a Vì a  3
  0 nên hàm số đã cho đồng biến trên
Bước 3. Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài một đoạn khi và chỉ khi phương trình y  0 có hai
bằng k x x k   x x 2 2  4x x k
nghiệm phân biệt    0 1 2 1 2 1 2 2
Bước 4. Giải các điều kiện để suy ra giá trị m cần  4  6m  0  m   3 tìm.  4 x x   1 2
Theo định lý Vi-ét, ta có 3  2mx x   1 2  3
Để hàm số đã cho đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 2 thì
x x  2   x x 2  4x x  4 1 2 1 2 1 2 16 8m 5    4  m  9 3 6 5
Từ (1) và (2) suy ra m  là giá trị cần tìm. 6 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Các giá trị thực của tham số m để f x 3 2
 x  3x  m  
1 x  2m  3 trên một khoảng có độ dài lớn hơn 1 là 5 5
A. m  0 . B. m  0 .
C.   m  0 . D. m   . 4 4
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   .
Ta có f  x 2  3
x  6x m 1
Hàm số đồng biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 1 khi và chỉ khi f  x  0 có hai nghiệm phân biệt
x , x thỏa mãn x x  1. 1 2 2 1
Để f  x  0 có hai nghiệm phân biệt x , x    0 1 2
 3m  6  0  m  2  x x  2 1 2 
Theo định lý Vi-ét, ta có  1 m x x  1 2  3 5
Với x x  1   x x 2  4x x 1  0  4m  5  0  m   2 1 1 2 1 2 4 TOANMATH.com Trang 24 5
Kết hợp, ta được m   4 Chọn D.
Ví dụ 2. Các giá trị thực của tham số m để hàm số 3
y x  m   2 2 3
1 x  6m  2 x  3 nghịch biến trên
một khoảng có độ dài lớn hơn 3 là
A. m  6 . B. m 0;6 .
C. m  0 . D. m  0;m  6 .
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   . Ta có 2
y  6x  6m  
1 x  6m  2 x  1  y  0   x  2  m
Hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 3
y  0 có haỉ nghiệm phân biệt x ; x sao cho x x  3 (1) 1 2 1 2  1   2  mm  3 m  0      . 1
  2  m  3 m  3  3    m  6 Chọn D. ax b
Bài toán 2.3: Hàm số y
đơn điệu trên khoảng ;   cho trước cx d Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
Ví dụ: Tìm các giá trị m nguyên để hàm số
Bước 1. Hàm số xác định trên 3x m y
nghịch biến trên khoảng 3; .  d x m     d
;     ;  c  
Hướng dẫn giải c d    
Tập xác định D   \  m . c ad bc
Hàm số đã cho xác định trên khoảng 3; khi và
Bước 2. Tính y  . cx d2 chỉ khi m  3 .(*)
Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định 4  m Ta có y  .
ad bc  0 . x m2
Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định Hàm số nghịch biến trên khoảng 3; khi và chỉ
ad bc  0 khi 4
m  0  m  0 . (* *)
Bước 3. Kết luận
Từ (*) và (* *) suy ra m 0;  3 .
Mà m nguyên nên m 1;  2 . Vậy m 1;2; 
3 là các giá trị cần tìm. TOANMATH.com Trang 25 Ví dụ mẫu x  3
Ví dụ 1. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y
nghịch biến trên khoảng x  4m 2; ?
A. 1. B. 3 . C. vô số. D. 2 .
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   \ 4   m 1
Để hàm số xác định trên 2; thì 4
m  2  m   2 4m  3 Ta có y  x  4m2
Hàm số nghịch biến trên khoảng 2;  y  0, x  2; 4m  3 3   0, x
  2;  4m  3  0  m  2   x  4m 4
Vậy có một số nguyên m  0 thỏa mãn. Chọn A x  2
Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  trên khoảng  ;  1  0 ? x  5m
A. 2 . B. Vô số. C. 1. D. 3 .
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   \ 5   m 5m  2 Ta có y  x 5m2
y  0, x    ;  1  0
Hàm số đồng biến trên khoảng  ;  1  0     5  m    ;  1  0    2 5m  2  0 m  2     m  2 5 5  m  1  0 5 m  2
Do m   nên m 1;  2 . Chọn A. mx  4
Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y
nghịch biến trên khoảng m x  3;   1 ? TOANMATH.com Trang 26
A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 .
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   \   m 2 m  4 Ta có y  m x2 2 m  4  0
Hàm số nghịch biến trên khoảng  3;   1   m  3;   1  2   m  2   m  3   1  m  2  m 1
Do m   , nên m  1.
Vậy có một giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.
Bài toán 2.4: Tìm tham số để hàm số y f x đơn điệu trên khoảng (đoạn) D . Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
Ví dụ: Tìm các giá trị nguyên âm của tham số m
Bước 1. Tính y  f  x để hàm số 4 2
y x  2mx x nghịch biến trên đoạn
Bước 2. Chuyển về bài toán tìm tham số về một bất 1;2.
phương trình nghiệm đúng với mọi x D .
Hướng dẫn giải
Hàm số đồng biến trên D f  x  0, x
  D , Tập xác định D   .
dấu bằng tại hữu hạn điểm trên đó. Ta có 3
y  4x  4mx 1.
Hàm số nghịch biến trên D f  x  0, x
  D , Hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn 1;2 khi và
dấu bằng tại hữu hạn điểm trên đó.
chỉ khi y  0, x  1;2
Bước 3. Kết luận (chọn đáp án). 3
 4x  4mx 1  0 , x  1;2 3 4x 1  m   , x  1;2 4x  1  33 2
m  min x       1;2  4x  8
Mà m nguyên âm nên m  1  ; 2  ; 3  ;  4
Vậy các giá trị m cần tìm là m  1;  2  ; 3  ;  4 . Ví dụ mẫu TOANMATH.com Trang 27
Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên không âm của tham số m sao cho hàm số 4
y  x   m   2 2 3 x m
nghịch biến trên đoạn 1;2?
A. 2 . B. Vô số. C. 3 . D. 4 .
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   Ta có 3
y   x   m   x x 2 4 2 2 3 4
x  4m  6
Hàm số nghịch biến trên đoạn 1;2 khi y  0, x  1;2 3 2  4
x  4m  6  0 ; x  1;2 2
m x  , x  1;2 2  3  5 2
m  min x      1;2  2  2
Kết hợp với m nguyên không âm suy ra m 0;1;  2
Vậy có ba giá trị nguyên không âm của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C. 1 3
Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số 4
y x mx  đồng biến trên 4 2x khoảng 0; ?
A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 0 .
Hướng dẫn giải
Hàm số luôn xác định trên khoảng 0; . 1 3 Hàm số 4
y x mx
đồng biến trên 0;  y  0, x  0; và 4 2x 3 3 3  x m   0, x  0; 3  x    , m x   0; (1) 2 2   2x 2x 3
Xét hàm số f x 3  x  trên 0; 2 2x 3 3 5 x 1 2 
f  x  3x  
; f x  0  x  1. 3 3   x x Bảng biến thiên x 0 1 5
f  x – 0   
f x 5 2 TOANMATH.com Trang 28   5 5 1  m   m   2 2
Mà m là số nguyên âm nên m  2;    1 .
Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn. Chọn A. 1
Ví dụ 3. Cho hàm số y   3 8m   4 3
1 x  2x  2m  7 2
x 12x  2018 với m là tham số. Số các giá trị 4  1  1  
nguyên m thuộc đoạn  2018 
;2018 để hàm số đã cho đồng biến trên ;  là 2 4   
A. 2016 . B. 2019 .
C. 2010 . D. 2015 .
Hướng dẫn giải
Tập xác định D   Ta có y   3 m   3 2 8
1 x  6x  22m  7 x 12  1  1    1  1  
Hàm số đã cho đồng biến trên ; 
khi và chỉ khi y  0, x   ; 2 4     2 4      1  1  3   8m   3 2
1 x  6x  22m  7 x 12  0, x   ;  2 4        1 1
mx3   mx   x  3 2 2 2
2  2 x  2 (*), x   ;  2 4    Xét f t 3
t t f t 2 2 ;
 3t  2  0, t   
Suy ra f t là hàm đồng biến trên  .  1  1   x  2  1  1  
Từ (*) ta có 2mx x  2, x   ;  m  , x   ;  2 4  2x  2 4      x  2 7  m  min  m   .  1  1   ; 2x 2  2 4   
Do m nguyên và m  2
 018;2018 nên có 2015 giá trị của m thỏa mãn. Chọn D. 2cos x  3   
Ví dụ 4. Các giá trị thực của tham số m để hàm số y
nghịch biến trên khoảng 0;   là 2 cos x m  3  A. m  3;   1 2; . B. m  3;   . C. m  ;  3   .
D. m  ;    3 2; .
Hướng dẫn giải     1  Đặt c
t  os x , với x  0;  t  ;1      3   2  TOANMATH.com Trang 29 t
Khi đó y f t 2 3  2t mm D   \   .  2        Vì hàm số cos t
x nghịch biến trên x  0; 
 nên hàm số đã cho nghịch biến trên 0;   . Khi và chỉ  3   3   1 
khi hàm số đồng biến trên khoảng ;1   .  2  t   1 
Hàm số y f t 2 3 
đồng biến trên khoảng ;1   khi và khi và chỉ khi 2t m  2       f   t 2m 6 1   0, t   ;1     2t m2  2   2  m  6  0 m  3         m    m 1;2 m m       1;2 1   ; 3  ;1    2  2  Chọn C.
Ví dụ 5. Cho hàm số 3
y x mx 1 . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên m sao cho hàm số đồng biến trên
1; . Tổng các phần tử của S bằng
A. 1. B. 3. C. 9 . D. 10.
Hướng dẫn giải
Đặt g x 3
x mx 1
Ta có lim g x   . Do đó hàm số y g x đồng biến trên 1; khi và chỉ khi x
gx  0, x  1; 2 3
x m  0, x  1;   
g x  0, x  1; 3
x mx 1  0, x  1;      m  min  2 2 3x , x m x x  1; 3 , 1;        1;     1   2 m x , x  1;   1 2      
m  min x  , x     1;  x 1;   x
 m  3  m  2 m0;1; 2 m  . 2 Chọn B. Lưu ý: Vì    2 y
g x g x nên ta có thể chuyển bài toán về xét tính đơn điệu của hàm số 2
y g x.
g x.g x
- Tính đạo hàm y  . 2 g x TOANMATH.com Trang 30 - Hàm số 3 2
y ax bx cx d đồng biến trên ; khi và chỉ khi y  0 với x
 ; .
gx  0, x  ; Trường hợp 1: g     0
gx  0, x  ; Trường hợp 2: g     0
Bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1: Cho hàm số 3 2
y  x mx  4m  9 x  5 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số m để hàm số nghịch biến trên  ?
A. 6. B. 4. C. 7. D. 5.
Câu 2: Tập hợp tất cả các số thực m để hàm số 3 2
y x  5x  4mx  3 đồng biến trên  là  25   25   25   25 A.  ;   . B.  ;   . C. ;     . D. ;    .  12   12   12  12    1
Câu 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 3
y   x  m   2
1 x  4m 8 x  2 3 nghịch biến trên  ?
A. 9. B. 7. C. Vô số. D. 8. 1
Câu 4: Số giá trị m nguyên và m 2018;2018 để hàm số y   2 m   3
1 x  m   2
1 x  3x 1 đồng 3 biến trên  là
A. 4035. B. 4037. C. 4036. D. 4034. x  2
Câu 5: Các giá trị của tham số m để hàm số y
trên các khoảng xác định là x m
A. m  2 . B. m  2 . C. m  2 . D. m  2 . 2 x m
Câu 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y
đồng biến trên từng khoảng x  4 xác định?
A. 5. B. 3. C. 2. D. 1. 9x m
Câu 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y
đồng biến trên từng khoảng mx 1 xác định?
A. 5. B. Vô số. C. 7. D. 3.
Câu 8: Cho hàm số y f x có đạo hàm f  x 2 4
m x  m   3 2
x x   2 2 m  
1 x . Gọi S là tập hợp
tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên  . Số phần tử của tập S là
A. 3. B. 2. C. 0. D. 1.
Câu 9: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số f x 1 1 2 5 3 2
m x mx 10x   2
m m  20 x đồng biến trên  . 5 3
Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng TOANMATH.com Trang 31 5 1 3 A. . B. 2  . C. . D. . 2 2 2
Câu 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  m  
1 sin x  3cos x  5x nghịch biến trên  ?
A. Vô số. B. 10. C. 8. D. 9.
Câu 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong khoảng 2018;2018 để hàm số
y  2m  
1 x  3m  2cos x nghịch biến trên  ?
A. 3. B. 4. C. 4014. D. 218. 2019 x 1
Câu 12: Giá trị nguyên lớn nhất của tham số m để hàm số y  
mx  2018 đồng biến 2017 2019 2017x
trên mỗi khoảng xác định là
A. 2018. B. 0. C. 2. D. 1. 1 2
Câu 13: Các giá trị thực của tham số m để hàm số 3
y x  m   2
1 x  2m  3 x  đồng biến trên 3 3 1; là
A. m  2 . B. m  2 . C. m  1. D. m  1.
Câu 14: Tập hợp các giá trị m để hàm số 3 2
y mx x  3x m  2 đồng biến trên  3;  0 là  1    1    1    1  A. ;    . B. ;   . C. ;    . D.  ;0    3   3   3   3 
Câu 15: Tập hợp tất cả các giác trị thực của tham số m để hàm số 3 2
y x mx x m nghịch biến trên khoảng 1;2 là  11  11 A. ;     . B.  ;    1 . C.  1  ;. D. ;    .  4  4   
Câu 16: Cho hàm số y x  m m   x  m  2 3 2 2 2 3 3 3 3
1 x m  2 . Gọi S là tập hợp các giá trị thực
của tham số m sao cho hàm số đồng biến trên 1; . S là tập hợp con của tập hợp nào dưới đây? A.  ;0  . B.  ;  2 . C.  1
 ; . D.  3;  2. 1 1
Câu 17: Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
y x x  2mx  3m  4 nghịch 3 2
biến trên một đoạn có độ dài bằng 3. Tổng tất cả các phần tử của S bằng
A. 8. B. 13. C. 17. D. 9. mx  9
Câu 18: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y
nghịch biến trên khoảng x m 1;.
A. 5. B. 3. C. 2. D. x  2m  3
Câu 19: Gọi S là tập hợp các số nguyên m để hàm số y
đồng biến trên khoảng  ;  1  4 . x  3m  2
Tổng T của các phần tử trong S là TOANMATH.com Trang 32
A. T  6 . B. T  5 . C. T  9 . D. T  10 . 2 2x m
Câu 20: Gọi S là tổng các giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số y  đồng biến x m  4
trên khoảng 2021; . Giá trị của S bằng
A. 2935144. B. 2035145. C. 2035146. D. 2035143. mx 10
Câu 21: Có bao nhiêu giá tri nguyên của tham số m để hàm số y
nghịch biến trên khoảng 2x m 0;2?
A. 4. B. 5. C. 6. D. 9.
Câu 22: Các giá trị của tham số m để hàm số 4
y x  m   2 2
1 x m  2 đồng biến trên khoảng 1;5 là
A. m  2 . B. 1  m  2 . C. m  2 . D. 1  m  2 . tan x  2   
Câu 23: Các giá trị của tham số m để hàm số y  đồng biến trên 0;   là tan x m  4  A. m  2 .
B. m  0 hoặc 1  m  2 .
C. 1  m  2 . D. m  0 . 1 2sin x
Câu 24: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  10
 ;10 để hàm số y  đồng biến trên 2sin x m    khoảng ;   ?  2 
A. 1. B. 9. C. 10. D. 18.
Câu 25: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y   2
m  3sin x  tan x nghịch biến      ;   ?  2 2 
A. 5. B. 1. C. 3. D. 4. m  sin x
Câu 26: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y
nghịch biến trên khoảng 2 cos x    0;   ?  6 
A. 1. B. 0. C. 3. D. Vô số. Câu 27: Cho hàm số 3 2
y x  3x  2  m . Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên m 2019;2020 sao
cho hàm số đồng biến trên 3; . Số các phần tử của S bằng
A. 2021. B. 2022. C. 2023. D. 4040.
Dạng 3: Hàm ẩn liên quan đến sự đồng biến và nghịch biến của hàm số
Bài toán 1. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y f x, y f u x ,
y f u x  hx … khi biết bảng biến thiên của hàm số m Phương pháp giải TOANMATH.com Trang 33
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số y f u x , Ví dụ: Cho hàm số m xác định và liên tục trên  , 
y f u x  hx …
có đạo hàm f x thỏa mãn x 
y  u x. f u x , y  u x. f u x  hx 1  0 1  f  x  0  0  0 
Bước 2: Từ bảng biến thiên xác định nghiệm
phương trình f  x  0, nghiệm của bất phương
Hàm số y f 1 x nghịch biến trên khoảng nào
trình f  x  0 và nghiệm của bất phương trình dưới đây?
f  x  0 . A.  3;   1 . B.  2;  0 .
Bước 3: Đánh giá các khoảng thỏa mãn
C. 1;3 . D. 1; .
y  0, y  0
Hướng dẫn giải
Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến
y f 1 x  y   f 1 x của hàm số
y f x ,
y f u x , Hàm số
y f 1 x nghịch biến
y f u x  hx …
  f 1 x  0  f 1 x  0 1   x 1 x  0    .  1  1 x  0 1   x  2
Vậy hàm số y f 1 x có nghịch biến trên khoảng  ;0   và 0; 
1 , nên hàm số nghịch biến trên 2;0 . Chọn B. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau x  2  0 3  f x  0  0  0   
Hàm số y f  2
x  2x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. 1; . B. 3;2 . C. 0;  1 . D. 2;0 .
Hướng dẫn giải
Đặt g x  f  2 x  2x
Ta có g x  f  2
x  2x.2x  2 TOANMATH.com Trang 34 x  1 x  1    2 x  0     g xx 2x 2 0      x  2  2
x  2x  0   x  1 2 x 2x 3     x  3 
Bảng xét dấu g xx  3 2  1  0 1  2x  2    0    f  2 x  2x  0  0   0  0  g x  0  0  0  0  0 
Dựa vào bảng xét dấu của g x suy ra hàm số g x  f  2
x  2x đồng biến trên  ;  3  , 2  ;  1 và 0; 
1 , nên hàm số đồng biến trên 0;  1 . Chọn C.
Lưu ý: - Thông qua bảng xét dấu f  x  xác định được nghiệm của phương trình f  x  0.
- Hàm số y f  2
x  2x đồng biến đánh giá y  0 với y   x   f  2 2 2
x  2x (giải bất phương trình tích) Chú ý:
Nếu f x  0  x a thì f u x  0  u x  a .
- Bảng xét dấu g x chính là bảng xét dấu của tích x   f  2 2 2
x  2x.
Ví dụ 2. Cho hàm số y f x có bảng xét dấu của đạo hàm f  x như sau x  1  1 2 5  f  x  0  0  0  0 
Hàm số y g x  f x   3 2 3
2  x  3x  9x 1 nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. 2; 
1 . B. 2; .
C. 0;2 . D.  ;  2   .
Hướng dẫn giải
Ta có y  g x 2
 3x  6x  9  3 f 2  x.
Hàm số y g x nghịch biến khi và chỉ khi
y  g x 2
 0  x  2x  3  f 2  x (1). Nhận xét: • Xét 2;
Với x  3   
1  12  f   1  0  loại. TOANMATH.com Trang 35 • Xét 0;2 3 9  1  Với x     1   f    0    loại. 2 4  2  • Xét  ;  2  
Với x  4   
1  5  f 6  0  loại. Xét  2;   1 thỏa mãn (1) vì 2
x  2x  3  0 3  x  1 2
x  2x  3  0                f    x x x 2  x 2 1 3 3 1  0  1 
  2  x  5  3  x  1 Chọn A.
Lưu ý: - Thông qua bảng xét dấu f  x  xác định được nghiệm của bất phương trình f  x  0 và
nghiệm của bất phương trình f  x  0 .
- Hàm số y g x nghịch biến đánh giá y  0 .
f 2  x  0
Với dạng toán này cần tìm những giá trị của x sao cho . 2
x  2x  3  0
Dạng 2: Tìm khoảng đồng, biến nghịch biến của hàm số y f x, y f u x khi biết đồ thị của
hàm số y f x Phương pháp giải
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số y f u x , Ví dụ: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình
y  u xf u x .
bên. Hàm số y   f x đồng biến trên khoảng
Bước 2: Từ đồ thị hàm số y f x xác định được
hàm số y f x hoặc (nghiệm phương trình
f  x  0, nghiệm của bất phương trình f  x  0
và nghiệm của bất phương trình f  x  0 ).
Bước 3: Đánh giá các khoảng thỏa mãn
y  0, y  0 .
A. 1;2 . B. 2;3.
Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến
của hàm số y f x , y f u x
C. 1;0 . D. 1;  1 .
Hướng dẫn giải
Hàm số y   f x có y   f  x .
Hàm số y   f x đồng biến khi và chỉ khi TOANMATH.com Trang 36
y  0  f  x  0 .
Dựa vào đồ thị ta có f  x  0 với mọi x 0;2.
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 0;2 . Chọn A. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hàm số    3 2 y
f x ax bx cx d a,b,c,d   có đạo hàm trên  và có đồ thị như
hình vẽ. Đặt hàm số y g x  f 2x  
1 . Hàm số y g x nghịch biến trên khoảng
A. 1;0 . B. 8;  1 .
C. 1;2 . D. 0;  1 .
Hướng dẫn giải
Cách 1: Hàm số y g x  f 2x  
1 có y  g x  2 f 2x   1
Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi
y  2 f 2x   1  1
  2x 1  1  0  x 1
Cách 2: Hàm số y f x có dạng    3 2 y
f x ax bx cx d a,b,c, d   .
Ta có f  x 2
 3ax  2bx c .
Theo đồ thị, hai điểm A1;3 và B 1; 
1 là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x . Ta có  f   1  3
a b c d  3 a  1  f  1  1 
a b c d  1  b   0      f   1  0
3a  2b c  0 c  3      f     3 
a  2b c  0 d  1 1 0 Vậy f x 3
x  3x 1
y g x  f x     x  3 2 1 2 1  32x   1 1;
y  g x   x  2 6 2 1  6 TOANMATH.com Trang 37       g x 2x 1 1 x 0  0    2x 1 1 x 1 Bảng xét dấu x  0 1  g x  0  0 
Vậy hàm số y g x nghịch biến trên 0;  1 . Chọn D.
Lưu ý: Từ đồ thị hàm số y f x  xác định hàm y f x. và hàm y f 2x  
1  khảo sát và tìm
khoảng nghịch biến của hàm số. Chú ý:
Nếu hàm số y f x đồng biến trên  ;
a b thì hàm số f mx n:
a n b n Đồng biến trên ; 
nếu m  0 . m m
b n a n Nghịch biến trên ; 
nếu m  0 . m m
Ví dụ 2. Cho hàm số    3 2 y
f x ax bx cx d a,b,c, d  
có đồ thị như hình bên. Đặt y g x  f  2
x x  2 .
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A. g x nghịch biến trên khoảng 0;2 .
B. g x đồng biến trên khoảng  1  ;0 .  1 
C. g x nghịch biến trên khoảng  ;0   .  2 
D. g x đồng biến trên khoảng  ;    1 .
Hướng dẫn giải Hàm số    3 2 y
f x ax bx cx d , có đồ thị như hình vẽ.
Nhận xét A0;4 và M 2;0 là hai điểm cực trị của hàm số.  f 0  4 d  4 a  1  f 2  0 8
a  4b  2c d  0 b  3  Ta có      f 0  0
3a  2b c  0 c  0     f     12 
a  4b c  0 d  4 2 0 Tìm được hàm số 3 2
y x  3x  4 3 2
Ta có y g x   2
x x     2 2
3 x x  2  4 TOANMATH.com Trang 38
y g x   x    x x  2 2   2 2 1 3 2
6 x x  2       1 x    2 g x 0     x  0  x  1    Bảng xét dấu x  1  1  0  2 g x  0  0  0   1  
Vậy y g x nghịch biến trên khoảng ;0   .  2  Chọn C.
Lưu ý: - Từ đồ thị hàm số y f x xác định được hàm y f x và hàm y f  2
x x  2  khảo sát
và tìm khoảng nghịch biến của hàm số.
- Có thể sử dụng y   x   f  2 2 1 .
x x  2 y  0 2x 1  0   f    2
x x  2  0 2x 1  0 2 
x x  2  0  2
x x  2  2 
Ví dụ 3. Cho hàm số bậc ba    3 2 y
f x ax bx cx d và y g x   f mx  
1 , m  0 có đồ thị
như hình vẽ. Hàm số y g x nghịch biến trên đúng một khoảngcó độ dài bằng 3. Giá trị m là 1 2 2
A. 3 . B. . C. . D. . 2 3 5
Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 39 Hàm số
y g x   f mx  
1 nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 3 nên
g x  mf mx  
1  0  f mx  
1  0 trên một khoảng có độ dài bằng 3.  1  x  mx 1  0  Ta có    1  0 m f mx    mx 1  2  1 x   m
Bảng xét dấu f mx   1 x  1  1  m m
f mx   1  0  0   
f mx   1 1 1  0  x   ;  m m     1 1  2
Yêu cầu của bài toán  3    m     m m  3 Chọn C.
Lưu ý: Từ đồ thị hàm số y f x  xác định hàm số y f x và y g x  f mx   1 kết hợp với
phần nhận xét ở ví dụ 1 cho kết quả.  0 1 2 1
- Hàm số f x đồng biến trên 0;2  Hàm số y   f mx  
1 nghịch biến trên ;   có độ m m  2 2 dài bằng
 3  m . m 3
Bài toán 3: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y f x , y f u x ,
y f u x  hx … khi biết đồ thị của hàm số y f x Phương pháp giải TOANMATH.com Trang 40
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số y f u x , Ví dụ: Cho hàm số y f x . Hàm số y f x
y f u x  hx …
có đồ thị như hình vẽ.
y  u xf u x , y  u x. f u x  hx
Bước 2: Từ đồ thị hàm số y f  x xác định
nghiệm phương trình f  x  0, nghiệm của bất
phương trình f  x  0 và nghiệm của bất phương
trình f  x  0 .
Bước 3: Đánh giá các khoảng thỏa mãn
y  0, y  0
Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến Hàm số      2 y g x
f x  nghịch biến trên khoảng của hàm số
y f x ,
y f u x , A.  ;    1 . B.  1;  0 .
y f u x  hx … C. 0;  1 . D. 1;3 .
Hướng dẫn giải
Ta có g x  x f  2 2 . x  x  0  f    2 x   0
Để g nghịch biến thì g x  0   x  0  f    2 x   0 x  0  2 2 x  2   1
  x  1 4    x   1   x  0 x  0 1   x  2  2 2  x  1  1  x  4 Vậy hàm số   2 y
f x  nghịch biến trên các khoảng  ;  2   ;  1;  0 và 1;2 . Chọn B. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hàm số y f x . Đồ thị hàm số y f  x như hình vẽ. Hàm số y g x  f 3 2x
nghịch biến trên khoảng TOANMATH.com Trang 41 A.  ;   
1 . B. 2; .
C. 0;2 . D. 1;3 .
Hướng dẫn giải   x
Từ đồ thị Cy f  xf  x 2 2 : ;  0   (1) x  5
Mà g x  2.
f 3 2x (2) 1 5  2   3 2x  2  
Từ (1) và (2) ta có    0  3  2   0 x g x f x     2 2 3  2x  5 x  1   1 5 
Vậy hàm số g x nghịch biến trên các khoảng ;   và  ;    1 .  2 2  Chọn A.
Lưu ý: Thông qua đồ thị hàm số y f  x     f  x 2 x 2  0   . 5  x    f  xx 2  0   . 2  5  x
Hàm số y f 3 2x nghịch biến đánh giá y  2
f 3 2x  0 . Chú ý:
Dựa vào giao điểm của đồ thị hàm số y f  x với trục hoành chọn hàm cụ thể thỏa mãn
y f  x   x  2 x  2 x  5 y  2
f 3 2x.
Lập bảng xét dấu. Kết luận.
Ví dụ 2. Cho hàm số y f x liên tục trên  . Hàm số y f  x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số
      2019 2018x g x f x 1 
trên khoảng nào dưới đây? 2018 TOANMATH.com Trang 42
A. 2;3. B. 0;  1 . C.  1
 ;0 . D. 1;2 .
Hướng dẫn giải
Ta có g x  f  x   1 1 x    x
Do đó y   f  x   1 1 0 0 1  1    x 1  2 x  3
Vậy hàm số đồng biến trên  1  ;0 . Chọn C.
Nhận xét: Hàm số g x có g x  f  x   1 1. x  
Từ đồ thị hàm số y f  x, ta có f  x 1  1   x  2
f  x  1  1
  x  2 .
Ví dụ 3. Cho hai hàm số f x và g x có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng hai hàm số f 2x   1 và
g ax b có cùng khoảng nghịch biến  ; m n , ,
m n   . Khi đó giá trị của biểu thức 4a b bằng A. 0 . B. 2  . C. 4  . D. 3 .
Hướng dẫn giải
Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng 1;3 TOANMATH.com Trang 43
Hàm số y f 2x  
1 có y  2 f 2x   1
Với y  0  2. f 2x  
1  0  f 2x  
1  0  1  2x 1  3  1  x  2
Vậy hàm số y f 2x  
1 nghịch biến trên khoảng 1;2
Hàm số y g ax b có đạo hàm y  .
a gax b  b x       
ax b  0  .  0 a y a g ax b   
ax b  2  2  bx   a b 2  b
Nếu a  0    a a
b   2  b
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;   ; ;     (không thỏa mãn).  a   ab 2  b
Nếu a  0    a a  2  b b
Hàm số nghịch biến trên khoảng ;    a a  2  b  2 1  1   aa a  2 
Do hàm số có cùng khoảng nghịch biến là 1;2 nên     . b bb4   2   2   aa
Vậy 4a b  4 . Chọn C.
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên  , dấu của đạo hàm được cho bởi bảng dưới đây.
Hàm số y f 2x  2 nghịch biến trên khoảng nào? x  0 2  f  x  0  0  A.  1  ; 
1 . B. 2; . C. 1;2 . D.  ;    1 .
Câu 2: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau x  2  1  2 4  f  x  0  0  0  0  Hàm số y  2
f x  2019 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A.  4;  2 . B.  1  ;2 . C.  2;    1 . D. 2;4 .
Câu 3: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau TOANMATH.com Trang 44 x  0 2  y  0  0  1  y  3
Hàm số y f  2
x  2x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.  ;0
 . B. 0; 
1 . C. 2; . D. 1;2 .
Câu 4: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên  và bảng biến thiên của y f  x như sau x  1  1 2  y  0  0  y  3 3  3
Hàm số g x  f x  3x đồng biến trên khoảng nào?
A. 2;2018 . B.  2  019; 2
 . C. 1;2 . D.  1  ;  1 .
Câu 5: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau x  2  0 1  f  x  0  0  0  1 1
Đặt y g x  f x 3 2
x x . Khẳng định nào dưới đây là đúng? 3 2
A. Hàm số y g x đồng biến trên khoảng   ;1  .
B. Hàm số y g x đồng biến trên khoảng 1;2 .
C. Hàm số y g x đồng biến trên khoảng 0;  1 .
D. Hàm số y g x nghịch biến trên khoảng  2;   1 .
Câu 6: Cho hàm số y f x liên tục trên  và có bảng xét dấu đạo hàm như sau x  1  1 3  f  x  0   0 
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x  f x m đồng biến trên khoảng 0;2 ?
A. 3. B. 4. C. 2. D. 1.
Câu 7: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên  và có bảng xét dấu như sau x  2  1 2 4  f  x  0  0  0  0  TOANMATH.com Trang 45
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc 0;2020 để hàm số     2 g x
f x x m nghịch biến trên khoảng  1  ;0 ?
A. 2017. B. 2018. C. 2016. D. 2015.
Câu 8: Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số f 3x  2 nghịch biến trên khoảng
;  . Khi đó giá trị lớn nhất của   là
A. 9. B. 3. C. 6. D. 1. Câu 9: Cho hàm số    3 2 y
f x ax bx cx d có đồ thị dưới
đây. Đặt g x  f  2x x  2
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. g x nghịch biến trên khoảng 0;2 .
B. g x đồng biến trên khoảng  1  ;0 .  1 
C. g x nghịch biến trên khoảng  ;0   .  2 
D. g x đồng biến trên khoảng  ;    1 .
Câu 10: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình dưới đây. Hàm số y  2019 
f x đồng biến trên khoảng A. 1;2 . B. 2;3. C.  1  ;0 . D.  1  ;  1 .
Câu 11: Cho hàm số y f x có đồ thị dưới đây. Số giá trị nguyên
của tham số m để hàm số   2 y
f x x m nghịch biến trên 0;  1 là A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. TOANMATH.com Trang 46
Câu 12: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên  và có đồ thị hàm f  x như hình vẽ dưới đây. Hàm số     2 g x
f x x đồng biến trên khoảng nào?  1   1  A. ;1 
 . B. 1;2 . C. 1  ;   . D.  ;    1 .  2   2 
Câu 13: Cho hàm số y f x . Hàm số y f  x có đồ thị như
hình vẽ bên. Hàm số y f  2
1 x  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  3; . B.  3;  1 . C. 1; 3. D. 0;  1 .
Câu 14: Cho hàm số y f x liên tục trên  . Biết rằng hàm số y f  x có đồ thị như hình vẽ bên.
Hàm số y f  2
x  5 nghịch biến trên khoảng trong các khoảng sau đây? A.  ;  3   . B.  5;  2   .  1 3  C. ; 
 . D. 2; .  2 2 
Câu 15: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên  . Biết đồ thị hàm
số y f  x như hình vẽ. Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham TOANMATH.com Trang 47
số m thoả mãn m  2019 
;2019 sao cho hàm số g x  f x m đồng biến trên khoảng  2;  0 . Số phần tử của tập S là A. 2017. B. 2019. C. 2015. D. 2021.
Câu 16: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên  và hình bên dưới
là đồ thị của đạo hàm y f  x .
Hàm số g x   f   x 2 2 2
x nghịch biến trên khoảng A.  3;  2   . B.  2;    1 . C.  1  ;0 . D. 0;2 . 2 x
Câu 17: Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f  x như hình vẽ. Hàm số y f 1 x   x 2
nghịch biến trên khoảng  3  A. 1  ;   . B.  2;  0 . C.  3;   1 . D. 1;3 .  2 
Câu 18: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên  thoả f  2
   f 2  0 và đồ thị của hàm số y f x có dạng như hình bên. Hàm số    2 y f x
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?  3  A. 1  ;   . B. 1;  1 .  2  C. 2;  1 . D. 1;2 . TOANMATH.com Trang 48
Câu 19: Cho hàm số y f x . Đồ thị hàm số y f  x như hình
bên và f 2  f 2  0 . Hàm số g x   f   x 2 3    nghịch biến
trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A. 2;2 . B. 1;2 .
C. 2;5 . D. 5; .
Câu 20: Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f 2  x như hình vẽ
bên. Hàm số y f x đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. 2;4 . B. 1;3 . C. 2;  1 . D. 0;  1 .
Câu 21: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên  . Đồ thị hàm số
y f 3x  5 như hình vẽ. Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng nào?  4   4  4  A.  ;8
  . B.  ;   . C. ; 
 . D. 8;10 .  3   3 3 
Câu 22: Cho hàm số y f x , hàm số    3 2 y
f x ax bx cx d a,b,c, d   có đồ thị như hình
vẽ. Hàm số g x  f f  x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?  3 3 
A. 1; . B.  ;
 2 . C. 1;0 . D.  ;   . 3 3   
Câu 23: Cho hàm số y f x có đồ thị f  x như hình vẽ TOANMATH.com Trang 49
Hỏi hàm số g x  f x    f   x 2 1 2
x  6x  3 đồng biến trên khoảng nào cho dưới đây? A.  ;0
 . B. 0;3 . C. 1;2 . D. 3; .
Câu 24: Cho hàm số y f x có đồ thị của hàm số y f  x như hình vẽ bên. Các giá trị của m để
hàm số y f x  m  
1 x đồng biến trên khoảng 0;3 là
A. m  4 . B. m  4 . C. m  4 . D. 0  m  4 .
Câu 25: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên  và đồ thị của hàm số y f  x như hình vẽ. TOANMATH.com Trang 50 1
Đặt g x  f x m   x m  2
1  2019 với m là tham số thực. Gọi S là tập các giá trị nguyên 2
dương của m để hàm số y g x đồng biến trên khoảng 5;6. Tổng các phần tử của S bằng
A. 4. B. 11. C. 14. D. 20.
Dạng 4: Ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình, bất phương trình
Bài toán 1. Ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình Phương pháp giải
Cho hàm số y f x liên tục và đồng biến (hoặc Ví dụ: Giải phương trình 3
nghịch biến) trên tập D, ta có
x x  3x   1 3x  2
Với mọi u,v D mà f u  f v  u v
Hướng dẫn giải 2
Nhận xét: f x  f x x x . Do đó phương Điều kiện x  0  0 3
trình f x  0 có nhiều nhất một nghiệm Ta có 3
x x  3x   1 3x  2
x x   x  3 3 3 1  3x  2 Xét hàm số   3
f t t t , t  0
Ta có f t 2
 3t 1  0 , t   0
 hàm số f t đồng biến trên 0;
Do đó f x  f  3x  2  x  3x  2  2 x x  2   3  x  1 2 
x 3x  2  0
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x  2 và x  1. Ví dụ mẫu a 1 c
Ví dụ 1. Biết phương trình 3 3
27x  23x 1  26x 1 có một nghiệm thực dương x   với b 6 d ,
b c, d là các số nguyên tố. Khẳng định đúng là
A. 6a d   b c 1.
B. 6a d   b c 1.
C. 5a d   b c 1.
D. 5a d   b c 1.
Hướng dẫn giải Phương trình x x  
x    x3 3 3
x   x   3 27 23 1 26 1 3 3 26 1  26x 1 . (1) TOANMATH.com Trang 51
Xét hàm số f t 3
t t f t 2
 3t 1  0 , t   
 Hàm số đồng biến trên  .
Phương trình (1): f 3x  f  3 26x 1 3 3
 3x  26x 1  27x  26x 1  0 x  1   0 1 1 23   1 1 23  x   
là nghiệm có dạng đã cho x   2 6 3  2 6 3
a 1,b  2,c  23,d  3
 6a d   b c 1. Chọn B.
Ví dụ 2. Biết phương trình 3 2
8x 12x 10x  3  10x  
1 10x 1 có một nghiệm thực dương a b x  với a, ,
b c   và a,c là các số nguyên tố cùng nhau. c Khẳng định đúng là
A. 2a c  b  3 .
B. 4a c  b  3.
C. 2a c  b  3.
D. 4a c  b  3 .
Hướng dẫn giải Nhận xét:
- Vế trái là đa thức bậc ba, vế phải chứa căn bậc hai nên ta biến đổi để xuất hiện  x  3 10 1 . Ta có  x  
x    x     x     x 3 10 1 10 1 10 1 2 10 1 10 1  2 10x 1
Khi đó phương trình có dạng ax b  ax b   x  3 3 2 10 1  2 10x 1 1 Điều kiện x  10
Phương trình đã cho   x     x     x  3 3 2 1 2 2 1 10 1  2 10x 1 (1).
Xét hàm số f t 3
t t f t 2 2
 3t  2  0 , t   
 Hàm số đồng biến trên  . Phương trình     
f x    f x   2x 1 0 1 2 1 10
1  2x 1  10x 1   2x   2 1  10x 1  1 x  7  41   2  x  2 4
2x 7x 1 0 TOANMATH.com Trang 52
a  7,b  41,c  4  4a c  b  3. Chọn D. x 1  2 1 a b
Ví dụ 3. Biết phương trình 
, có một nghiệm thực x  , với a, ,
b c   và c là số 3 2x 1  3 x  2 2
nguyên tố. Khẳng định đúng là
A. 2ac b 1.
B. ac b  2 .
C. 2ac b 1 .
D. ac b  2 .
Hướng dẫn giải x  Điều kiện  13 x  1 
Phương trình đã cho   x   x    x   3 2 1 2 2  2x 1  3
  x  3  x    x  3 3 3 
x   f x    f  3 1 1 2 1 2 1 1 2x 1 (1) với   3
f t t t Xét hàm số   3
f t t t , có f t 2  3t 1, t
    Hàm số đồng biến trên  .     1 2x 1 0   x  Do đó   3
1  x 1  2x 1     x   6  x  6 3 2 1 2 1 3 2
x x x  0 x  0 1 5   1 5  x
a  1,b  5,c  2  2ac b 1. x  2  2 Chọn C.
Bài toán 2: Ứng dụng tính đơn điệy vào giải bất phương trình Phương pháp giải
Cho hàm số y f x liên tục và đồng biến (hoặc Ví dụ: Cho hàm số y f x có f  x  0,
nghịch biến) trên tập D , ta có x
   . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để
Với mọi u, v D : f u  f v  u v . f  2
m  2m  f 3 .
Với mọi u, v D : f u  f v  u v .
Hướng dẫn giải • Với mọi u,
Vì f  x  0, x
   nên hàm số đã cho đồng
biến trên   f  2
m  2m  f 3 khi và chỉ khi 2 2
m  2m  3  m  2m  3  0  3   m 1. Vậy m  3;  
1 là các giá trị cần tìm thỏa mãn yêu TOANMATH.com Trang 53 cầu đề bài. Ví dụ mẫu  1 
Ví dụ 1. Cho hàm số y f x có f  x  0 , x
   . Tất cả các giá trị thực của x để ff   2 là  x   1    A. x  0;   .
B. x   1 ;0  ;   .  2   2   1    C. x   ;    .
D. x   1 ;0  0;   .  2   2 
Hướng dẫn giải
Ta có f  x  0 , x
   nên hàm số y f x nghịch biến trên   1  1 1 2x  1  Do đó f
f 2   2   0  x  ;  0  ;       x x x  2  Chọn B.
Ví dụ 2. Bất phương trình 3 2
2x  3x  6x 16  4  x  2 3 có tập nghiệm là a;b . Tổng a b có giá trị bằng A. 2  . B. 4. C. 5 . D. 3 .
Hướng dẫn giải Điều kiện: 2   x  4 Xét f x 3 2
 2x  3x  6x 16  4  x trên đoạn  2;  4 . 3 2 x x   1 1
Có f  x   , x   2
 ;4 , do đó hàm số đồng biến trên  2;  4. 3 2
2x  3x  6x 16 2 4  x
Bất phương trình đã cho  f x  f   1  2 3  x  1
So với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là S  1;4  a b  5 . Chọn C.
Dạng 2: Bài toán ứng dụng tính đơn điệu vào bài toán tìm điều kiện đề phương trình có nghỉệm Phương pháp giải Nếu hàm số
y f x liên tục và có Ví dụ: Cho hàm số   3
f x x x . Có bao nhiêu
min f x  A , max B thì phương trình giá trị nguyên của tham số m để phương trình D D
     2m f f x x
có nghiệm trên đoạn 1;2?
f x  g m có nghiệm thuộc tập hợp A. 3 . B. 6.
D A g m  B . C. 9 . D. 10 .
Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 54 Hàm số f x 3
x x f x 2
 3x 1  0 , x     Hàm số   3
f x x x đồng biến trên  . Ta có x
 1;2  f  
1  f x  f 2  2  f x  10 Xét phương trình    m       3 2        2m f f x x f x f x x     3 3    2m f x x  (1) Xét x       f   x 3 3 3 3 3 3 1;2 ;2 1   x  10  2     f   x 3 3 9   x 1008 
Phương trình đã cho có nghiệm    1 có nghiệm m 4 m 10
 9  2 1008  2 2  2
m 4;5;6;7;8;  9 . Chọn B. Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho   3    2m f x x x
.Tổng các giá trị nguyên của tham số m để phương trình f f x  x
có nghiệm trên đoạn 1;4 là
A. 6 . B. 9. C. 21. D. 22 .
Hướng dẫn giải t   f x
Đặt t f x     . (1)   
f t  t f x  x f t x
Xét hàm số      3    2  2m g u f u u u u có gu 2
 3u  2  0 , u    .
Do đó        3 1    2m t x f x x x . (2)
Phương trình f f x  x có nghiệm trên đoạn 1;4  2 có nghiệm trên đoạn   3 m 3
1;4  1  2  4  m 0;1;2;3;4;5;  6
Tổng các giá trị là 1 2  3  4  5  6  21. Chọn C. TOANMATH.com Trang 55
Ví dụ 2. Cho hàm số f x 5 3
x  3x  4m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình     3 3 f f x
m x m có nghiệm trên đoạn 1;2?
A. 15 . B. 16. C. 17 . D. 18 .
Hướng dẫn giải Đặt t
f xm f x 3 3   
t m , kết hợp với phương trình ta có hệ phương trình  f t 3  x m 3 3      .(1) f   xf t t f x x 3      t m
Xét hàm số g u  f u 3 5 3
u u  4u  4m gu 4 2
 5u 12u  0, u
 1;2  Hàm số đồng biến đoạn 1;2.
Do đó    t x f x 3 5 3 1
x m x  2x  3m (2) Với x   5 3
1; 2 ,3  x  2x  48
 Phương trình (2) có nghiệm trên đoạn 1;2  3  3m  48  1 m 16 Chọn B.
Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình m  2 m  2sin x  sin x có nghiệm thực?
A. 0 . B. 1. C. 3 . D. 2 .
Hướng dẫn giải
Điều kiện sin x  0 . Ta có 2
m  2 m  2sin x  sin x m  2 m  2sin x  sin x . 2
m  2sin x  2 m  2sin x  sin x  2sin x (1)
Xét hàm số f t 2  t  2t
f t  2t  2  0, t
  0  Hàm số f t đồng biến trên 0; . Phương trình  
1  f m  2sin x   f sin x  m  2sin x  sin x 2
 sin x  2sin x m
Đặt sin x t t 0  ;1
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình 2
t  2t m có nghiệm trên 0;  1 .
Xét hàm số g t 2
t  2t , t 0;  1
Ta có gt  2t  2; gt  0  t 1
Suy ra max g t  0;min g t  1 0; 1 0; 1 TOANMATH.com Trang 56
Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1   m  0
Mà m   nên m  0;m  1  . Chọn D.
Ví dụ 4. Cho hàm số y f x liên tục trên  , có đồ thị như hình vẽ. 3 9m m
Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình 2
f x  3 có 3 nghiệm thực phân 2
3 f x  8 biệt?
A. 1. B. 2. C. 3 . D. 4 .
Hướng dẫn giải Phương trình 3 
m m   2
f x   2 27 3 3 9
3 f x  8
  m  m   f x 3 3 2 2 3 3 3
8  3 f x  8
g m  g  2 3
3 f x  8 (1)
Xét hàm số g t 3
t t gt 2
 3t 1  0, t
   nên hàm số đồng biến trên  2  m  3  m  8  f x 9 8  2  Do đó   2
1  3 f x 3 2  8  3m   9m  8   2 f  x 2   m   3  f x 9 8   3  3
Dựa vào hình vẽ thì phương trình (3) vô nghiệm (vì f x  0, x  )
Do đó để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt  2 có ba nghiệm phân biệt hay 2  9m 8  35   3 m  3  5   . 2  9m 8  11   1 m   3  3 Chọn B. TOANMATH.com Trang 57
Bài tập tự luyện dạng 4 2 16x  6x  2 a c
Câu 1: Biết nghiệm nhỏ nhất của phương trình 3 2 3
3x  7x  6x  4  3 có dạng x  3 0 ba
a,b, c   * , tối giản. Giá trị của biểu thức 2 3 4
S a b c là b
A. S  2428 . B. S  2432 . C. S  2418 . D. S  2453 .
Câu 2: Số nghiệm thực của phương trình  x   3 2 3 2 3
3x  5  2x  6x  7x  3 .
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. x  2  2 1 a b
Câu 3: Biết phương trình 
có một nghiệm dạng x
 0 với a,c  và b là số 3 2x  3  3 x  3 c
nguyên tố. Tổng P a b c bằng
A. 8. B. 7. C. 6. D. 2.
Câu 4: Biết phương trình  x   2 
x x   x 2 2 1 2 4 4 4
3 2  9x  3  0 có nghiệm duy nhất là a. Khi đó
A. 1  a  2 . B. 0  a  1. C. 2  a  1. D. 1  a  0 .
Câu 5: Bất phương trình 2 2
x  2x  3  x  6x 11  3  x x 1 có tập nghiệm a;b . Hiệu b a có giá trị bằng
A. 1. B. 2. C. 3. D. 1  .
Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình  x   3
1 2 x 1  3 x  6   x  6 có dạng a;b. Tổng a b bằng
A. 1. B. 4. C. 2. D. 3.
Câu 7: Có bao nhiêu số nguyên thuộc đoạn  2020 
; 2020 thỏa mãn bất phương trình
x  x 2       x  ?    2 9 9 3 1 x  3   1  0 
A. 4041. B. 2024. C. 2026. D. 2025.
Câu 8: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho phương trình  x  3 3
1  3  m  3 3x m có
đúng hai nghiệm thực. Tổng các phần tử của tập S là
A. 4. B. 2. C. 6. D. 5.
Câu 9: Tập các giá trị của m để phương trình 6 4 3 3
x x m x   2  m  2 6 3 5
x  6mx 10  0 có đúng hai 1  nghiệm phân biệt thuộc ; 2 
là S  a;b . Giá trị của biểu thức T  5a  8b là 2   
A. T  18 . B. T  43 . C. T  30 . D. T  31.
Câu 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 6 4 3 3 x x m x   2  m  2 sin 6sin sin 15 3
sin x  6msin x 10  0 vô nghiệm?
A. 3. B. 5. C. 7. D. Vô số. TOANMATH.com Trang 58
Câu 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2 2
2019m  2019m x x có nghiệm?
A. 1. B. 0. C. Vô số. D. 2.
Câu 12: Có bao nhiêu giá trị âm của tham số m để phương trình 3 3
m  3 m  3sin x  sin x có nghiệm?
A. 5. B. 2. C. 4. D. 3.
Câu 13: Cho hàm số y f x liên tục trên R và có đồ thị như hình
vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình
f 6sin x  8cos x  f mm  
1  có nghiệm x   ? A. 5. B. 2. C. 4. D. 6.
Câu 14: Cho phương trình
x   cos x   3
cos x m   3 3 sin 2 2 2 2
1 2cos x m  2  3 2cos x m  2 . Có  2 
bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình trên có đúng một nghiệm x  0;   ?  3 
A. 2. B. 1. C. 4. D. 3.
Câu 15: Cho hàm số f x liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ 3 4m m
Các giá trị của tham số m để phương trình 2
f x  3 có 3 nghiệm phân biệt là 2
2 f x  5  37 5 37  5 A. m  . B. m  . C. m  . D. m  . 2 2 2 2 ĐÁP ÁN
DẠNG 1. Xét tính đơn điệu của hàm số không chứa tham số
1-D 2-C 3-D 4-B 5-C 6-B 7-B 8-D 9-C 10-B
11-A 12-A 13-B 14-A 15-A 16-D 17-D 18-D 19-A 20-D 21-B 22-D 23-B 24-D
DẠNG 2. Các bài toán chứa tham số TOANMATH.com Trang 59
1-C 2-D 3-A 4-A 5-D 6-C 7-A 8-D 9-C 10-D
11-A 12-C 13-D 14-A 15-D 16-A 17-A 18-D 19-D 20-D
21-C 22-C 23-B 24-C 25-A 26-A 27-C
DẠNG 3. Hàm ẩn liên quan đến sự đồng biến và nghịch biến của hàm số
1-C 2-B 3-B 4-A 5-B 6-A 7-C 8-D 9-C 10-A
11-B 12-C 13-C 14-C 15-C 16-C 17-B 18-D 19-C 20-D
21-A 22-B 23-C 24-C 25-C
DẠNG 4. Ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình, bất phương trình
1-B 2-C 3-C 4-D 5-A 6-D 7-D 8-C 9-C 10-A
11-A 12-A 13-D 14-C 15-C TOANMATH.com Trang 60