Bài tập ma trận định thức | Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh

Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên
9.1 Chứng minh rằng: Định thức sẽ bằng không nếu:
a/ Trong định thức có hai dòng (hay hai cột) giống nhau. b/ Trong định thức có hai
dòng (hay hai cột) tỷ lệ với nhau. c/ Trong định thức có một dòng (hay một cột) là tổ hợp
tuyến tính của các dòng (hay các cột) còn lại của định thức.
9.2 Chứng minh rằng: Trong một định thức, tổng các tích của các phần tử của một
dòng (hoặc một cột) với phần bù đại số của các phần tử tương ứng của một dòng (hoặc cột) khác đều bằng 0.
9.3 Giả sử A (aij )n n , A ,A ,1 2 ,An là các cột của A. Chứng minh rằng: detA 0 hệ véc tơ
A ,A ,1 2 ,An là hệ véc tơ độc lập tuyến tính.
9.4 Chứng minh rằng: các phép biến đổi sơ cấp thực hiện trên một ma trận không là
thay đổi hạng của ma trận đó. 9.5 Cho A
aij m n , B là ma trận vuông không suy biến cấp m. Chứng minh rằng rank B.A rankA.
Còn nếu A aij m n , B là ma trận vuông không suy biến cấp n thì rank A.B rankA . Còn nếu A
aij n n , B là ma trận vuông không suy biến cấp n thì rank A.B rank B.A rankA .
9.6 Nếu A và B là các ma trận vuông cấp n có A.B B.A thì:
a/ (A B)2 A2 2A.B B2 ; b/ (A B)(A B) A2 B2 ; c/(A B)3 A3 3A .B2 3A.B2 B3
9.7 Chứng minh rằng: Nếu ma trận vuông A có A 2 thì các ma trận A E vµ A E là những ma trận không suy biến.
9.8 Định thức cấp n sẽ thay đổi thế nào nếu:
a/ Đổi dấu tất cả các phần tử của nó. b/ Viết các cột (hay các
dòng của nó) theo thứ tự ngược lại.
9.9 Cho A là ma trận vuông cấp n và nếu detA det(kA). Hãy tính k.
9.12 Chứng minh rằng: Nếu detA 2 thì các phần tử của ma trận nghịch đảo không thể
gồm toàn các số nguyên. 1 2 4 5 7 0
9.16 Cho các ma trận A 3 1 ; B 0 2 ; C 42 9 8 2 3 1 4
Hãy tính a/3A 2B ; b/ 5A 4B 2C 5 2 9.17 Cho A 7 4 ; B 32 1 5 Tìm A AC và B BC . 1 3 1 3 4 3 2 X 9.18 Cho A 35 1 ; B
12 12 . Tìm X biết a/ 2A 3X B; b/ 3A 3 ; 1
9.19 Tính: a/ A với 4 A
0 10 0 ; b/ B với 3 B cosasinacosasina a b
9.20 Chứng minh rằng: ma trận X c d thoả mãn phương trình: lOMoAR cPSD| 46988474 1 lOMoAR cPSD| 46988474
Bài tâ฀p ma trâ฀n - đ i฀nh thú฀c This is a preview
Do you want full access? Go Premium and unlock all 17 pages Access to all documents Get Unlimited Downloads
Bài tâ฀p ma trâ฀n - đ i฀nh thú฀c
Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên
Sử dụng tính
các chất của định thứ c, t
ính các định thức từ bài 3 2 đến bài 36 : 9.32 9.33 a/ ; b/ . . . 0 1 . . . 0 9.34 . . . 0 a/ ; b/ . . . 0 9.35 ; 9.36 a/ ; b/ ; c/ .
9.37 Cho ma trận A cấp có dạng: , các phần tử dạng
; E là ma trận đơn vị cấp 10. Chứng minh rằng: .
9.38 a/ Dùng công thức khai triển định thức, tính các định thức sau: lOMoAR cPSD| 46988474 3
Bài tâ฀p ma trâ฀n - đ i฀nh thú฀c lOMoAR cPSD| 46988474 lOMoAR cPSD| 46988474
Bài tâ฀p ma trâ฀n - đ i฀nh thú฀c
Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên
9.45 Chứng minh rằng một ma trận có hạng bằng r bao giờ cũng viết được thành tổng
của r ma trận có hạng bằng 1.
9.46 Cho hai ma trận cùng cấp A và B, chứng minh rằng rank(A B) rankA rankB .
9.47 Xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ a/ A1 ( 1,0, 3,1); A2 (1, 2,1,3); A3 (2,1,1, 1); A4 (4, 3,3,5) b/ B1 ( 1,0, 3,2); B2 (1, 2,1,0); B3 (2,0,1, 1); B4 (2, 3,3,1)
9.48 a/ Cho hệ véc tơ A1 (2,3,5); A 2 (3,7,8); A3 (1, 6, ); X (1,3,5) .
Tìm giá trị của để véc tơ X biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ A ,A ,A1 2 3 . b/ Cho hệ véc tơ A ( 6,7,3, 2);A (1,3,2,7);A ( 4,18,10,3);X (1,8,5, ) 1 2 3
Tìm giá trị của để véc tơ X biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ A ,A ,A1 2 3 . c/ Cho
hệ véc tơ A1 (1, 1,a); A2 (3,2,2); A3 (4,3,1); C (2,1,3) .
Tìm giá trị của a để véc tơ C biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ A ,A ,A1 2 3 . d/ Cho hệ véc tơ A (4,5,3, 1);A (1, 7,2, 3);A ( 4,1, 1,3);C ( 2,8,a,4) 1 2 3
Tìm giá trị của a để véc tơ C biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ A ,A ,A1 2 3 . 9.49
Tìm hạng và một cơ sở của hệ véc tơ sau, biểu diễn các véc tơ còn lại theo cơ sở đó:
a/ A1 (1,2, 1,3); A2 (0,3, 3,7); A3 (7,5,2,0); A4 (2,1,1, 1) b/ A1 (2,1,1,3,5); A2
(1,2,1,1,3); A3 (7,1,6,0,4); A4 (3,4,4,1,2); A (3,1,3,2,1) 5
9.50 Cho A ,A ,1 2 K ,Am là hệ m véc tơ n chiều độc lập tuyến tính. Nếu mỗi véc tơ của
hệ đều bổ sung thêm thành phần thứ n 1 thì hệ m véc tơ n 1 chiều mới là độc lập tuyến
tính hay phụ thuộc tuyến tính?
9.51 Cho A ,A ,1 2 K ,Am là hệ m véc tơ n chiều phụ thuộc tuyến tính. Nếu mỗi véc tơ của
hệ đều bớt đi thành phần thứ n thì hệ m véc tơ n 1 chiều mới là độc lập tuyến tính hay
phụ thuộc tuyến tính? Giải n
9.2:  Chứng minh:
a Akj ij chính là công thức khai triển theo dòng i của định thức: 5
Bài tâ฀p ma trâ฀n - đ i฀nh thú฀c j 1
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . . ak1 ak2 . . . akn
dòng i . . . . . . . . . . . . (*1) ak1 ak2 . . . akn
dòng k . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . ann This is a preview
Do you want full access? Go Premium and unlock all 17 pages Access to all documents Get Unlimited Downloads lOMoAR cPSD| 46988474 Improve your grades
Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên Upload
trong đó n 2 . Mà định thức (*1) có hai dòng giống nhau nên định thShare your documents to unlock ức bằng không n a Akj ij 0 j 1
9.3  Điều kiện cần: Cho Free Trial A aij n n có detA 0 , ta cần chứng minh hệ véc tơ dòng Get 30 days of free Premium
(hoặc cột) của ma trận là độc lập tuyến tính. Giả sử ngược lại hệ véc tơ dòng (hoặc cột) của
ma trận là phụ thuộc tuyến tính, theo hệ quả 9.3.5 thì
detA 0, mâu thuẫn với giả
thiết. Mâu thuẫn đó chứng tỏ Already Premium?hệ véc tơ dòng (hoặc cột) của ma trận là độc lập tuyến tính.Log in
– Điều kiện đủ: Giả sử hệ n véc tơ dòng (hoặc cột) của ma trận là độc lập tuyến tính, theo định
nghĩa của hạng của hệ véc tơ thì rank A ,A ,...,A1 2 n n , theo định lý 9.5.1 thì rankA n , theo định
nghĩa hạng của ma trận thì detA 0. □
9.5  Do B là ma trận không suy biến nên tồn tại B 1 . Xét ma trận ghép A B 1 , nhân
vào bên trái của ma trận này với B, ta được B. A B 1 B.A B.B 1 B.A E . Đó chính là phép khử
toàn phần thực hiện trên ma trận B 1 nó là các phép biến đổi sơ cấp thực hiện trên ma trận
A để được B.A rank B.A rankA .
Để chứng minh rank A.B rankA , ta lấy chuyển vị B , (B ) vµ A1 aji n m . Xét ma trận ghép A
(B )1 , nhân vào bên trái của ma trận này với B , ta được
B. A (B )1 B A B.(B )1 (AB) E (vì B.(B )1 (B .B1 ) E). Như vậy từ ma trận A, nhờ các phép chuyển
vị và các phép biến đổi sơ cấp, ta đã thu được ma trận A.B
Bài tâ฀p ma trâ฀n - đ i฀nh thú฀c rank A.B rankA □
9.7  Ta có det A E A E det A E det A E (*1) Vì AE EA nên det A E A E det A2 E2
, do A2 nên det A2 E2 det E2 ( 1)n 0 det A E 0 và det A E 0 các ma trận A E và A E là những ma trận không suy biến.
9.8 a/ Việc đổi dấu tất cả các phần tử của định thức cấp n đồng nghĩa với việc đổi dấu
tất cả n dòng của định thức. Ta đã biết việc đổi dấu các phần tử trên một dòng của định
thức làm cho định thức đổi dấu. Vì vậy việc đổi dấu tất cả các phần tử của định thức cấp
n làm cho định thức được nhân với ( 1)n . b/ Đối với định thức cấp chẵn (n 2k ) thì việc
viết các dòng (hay các cột của nó)
theo thứ tự ngược lại đồng nghĩa với việc đổi chỗ k cặp dòng: dòng 1 và dòng 2k cho
nhau; dòng 2 và dòng 2k 1 cho nhau; … dòng k và dòng k 1. Ta cũng đã biết: khi đổi chỗ
2 dòng nào đó cho nhau thì định thức đổi dấu. Do đó khi viết các dòng của định thức cấp
2k theo thứ tự ngược lại, định thức được nhân với ( 1)k . Chẳng hạn khi làm như vậy đối
với định thức cấp 2 thì định thức đổi dấu, còn với định thức cấp 4 thì định thức không đổi dấu.
Đối với định thức cấp lẻ (n 2k 1) thì việc viết các dòng (hay các cột của nó) theo thứ
tự ngược lại đồng nghĩa với việc đổi chỗ k cặp dòng: dòng 1 và dòng 2k 1 cho nhau; dòng
2 và dòng 2k cho nhau; … dòng k và dòng k 2 . Do đó khi viết các dòng của định thức
cấp 2k 1 theo thứ tự ngược lại, định thức cũng được nhân với ( 1)k . Chẳng hạn khi làm
như vậy đối với định thức cấp 3 thì định thức đổi dấu, còn với định thức cấp 5 thì định thức không đổi dấu. lOMoAR cPSD| 46988474
Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên
Như vậy khi viết các dòng (hay các cột) của định thức theo thứ tự ngược lại thì các
định thức cấp 4k và 4k 1 không thay đổi, các định thức cấp 4k 1 vµ 4k 2 sẽ đổi dấu (k nguyên dương).
9.9 Vì det(kA) k detAn nên k detAn detA . Nếu detA 0 thì det(kA) detA đúng với mọi k.
Còn nếu detA 0 thì kn 1 k 1 nếu n lẻ; k 1 nếu n chẵn.
9.10 Chứng minh rằng: Nếu A A 1 thì A2n E; A2n 1 A n 0,1,2,3,  Từ giả thiết A A 1 A2 A A1 E A2n E n E n nguyên dương n A2n 1 A nguyên dương. □ 7
Bài tâ฀p ma trâ฀n - đ i฀nh thú฀c
9.11 Chứng minh rằng: Nếu A, B là các ma trận vuông cùng cấp thoả mãn AB BA và detA 0 thì A B1 BA 1 .  A B1 A BAA11 A ABA11 BA 1 . □
9.12 Chứng minh rằng: Nếu detA 2 thì các phần tử của ma trận nghịch đảo không thể
gồm toàn các số nguyên.  Do detA 2 0
tồn tại ma trận nghịch đảo A 1 A.A 1 E (detA).(detA 1 1 ) det(A.A )1 detE 1 vì detA 2 detA 1 A 1 không 2
thể toàn các số nguyên.
9.21 Chứng minh rằng: không tồn tại các ma trận vuông cùng cấp A và B sao cho AB
BA E , trong đó E là ma trận đơn vị cùng cấp với A và B.
Từ sự tồn tại của các ma trận AB và BA kéo theo A và B là các ma trận vuông cùng cấp. Giả sử A aij n n ; B bij n n; AB cij n n; BA dij
n n . Gọi VAB BA là tổng các n
phần tử trên đường chéo chính của ma trận AB BA VAB BA (cii d )ii 1 n n n n n n n a bikki b aikki a bik ki a bki ik
0 . Trong khi đó tổng các phần i 1 k 1 k 1 i 1 k 1 k 1 i
tử trên đường chéo chính của ma trận đơn vị E là VE n. Vậy không tồn tại các ma trận
vuông cùng cấp A và B sao cho AB BA E . x x2 x3 . . . x n a1 a12 a13 . . . a1n
9.29 Phương trình det a 2 3 n 2 a2 a2 . . . a2
0 (với điều kiện a1, a2, …, an–1
. . . . . . . . . . . . . . . an 1 a2n 1 a3n 1 . . . ann 1
là các hằng số khác nhau và khác 0) là phương trình bậc n nên nó có tối đa là n nghiệm. Dễ dàng thấy K
x1 0, x2 a , x1 3 a ,2 , xn an 1 là n nghiệm khác nhau của phương trình, vì vậy
nó chỉ có các nghiệm ấy mà thôi □ 1 ( 1)2 ( 2)2 ( 3)2 1 ( 1) 2 ( 2) 2 ( 3) 2 9.30 a/ D 1 ( 1)2 ( 2)2 ( 3)2 1 ( 1)2 ( 2)2 ( 3)2 1 ( 1)2 ( 2)2 ( 3)2 lOMoAR cPSD| 46988474
Bài tâ฀p ma trâ฀n - đ i฀nh thú฀c 9
Bài tâ฀p ma trâ฀n - đ i฀nh thú฀c This is a preview
Do you want full access? Go Premium and unlock all 17 pages Access to all documents Get Unlimited Downloads
Bài tâ฀p ma trâ฀n - đ i฀nh thú฀c lOMoAR cPSD| 46988474 11
Bài tâ฀p ma trâ฀n - đ i฀nh thú฀c lOMoAR cPSD| 46988474 lOMoAR cPSD| 46988474
Bài tâ฀p ma trâ฀n - đ i฀nh thú฀c 13
Bài tâ฀p ma trâ฀n - đ i฀nh thú฀c This is a preview
Do you want full access? Go Premium and unlock all 17 pages Access to all documents Get Unlimited Downloads 14 lOMoAR cPSD| 46988474
Bài tâ฀p ma trâ฀n - đ i฀nh thú฀c lOMoAR cPSD| 46988474 15
Bài tâ฀p ma trâ฀n - đ i฀nh thú฀c 16 lOMoAR cPSD| 46988474
Bài tâ฀p ma trâ฀n - đ i฀nh thú฀c
Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên của hệ véc tơ A ,A , ( 1 2 K ,A n r
n ). Không mất tính tổng quát, có thể giả thiết hệ r
đó là r véc tơ đầu tiên: A ,A , 1 2 K ,A r Ak z Ajk j k r 1,n j 1 r r r A A ,A ,1 2 K ,A ,r z j,r 1A ,j z j,r 2A ,j K z j,nA j j 1 j 1 j 1 A ,142431
, K ,, z123 1231,r 1A , z1 1,r 2A ,1 K ,z A{1n 1
14444444244444443r cét ®Çu cét r+1 cét r+2 cét n ma trËn 1
,A ,2 , K , , z123 142432,r 1A , z22,r 2A ,2 K ,z A{2n 2 L 1442443
1444444442444444443r cét ®Çu cét r+1 cét r+2 cét n ma trËn 2
, , K , ,A , zr 123 123r,r 1A , zrr,r 2A ,r K ,z A{rn r
. Theo nhận xét: mỗi ma trận trong số 1442443
1444444442444444443r cét ®Çu cét r+1 cét r+2 cét n ma trËn r
tổng của r ma trận trên đều có hạng là 1, đó là điều phải chứng minh.
9.46 Giả sử A ,A , là các cột ma trận A;
là các cột của ma trận B. 1 2 K ,A n B ,B ,1 2 K ,B n
Giả sử rankA r rank A ,A ,1 2 K ,An r tồn tại hệ con r véc tơ độc lập tuyến tính cực đại của hệ A ,A ,
. Không làm mất tính tổng quát, có thể giả thiết r véc tơ đó là hệ r véc tơ 1 2 K ,A n
đầu tiên của hệ: A ,A , K ,A (r n) 1 2 r r Ak z Ajk j k 1,n . Cũng vậy, rankB s rank B ,B ,1 2 K ,Bn s có hệ s j 1
véc tơ độc lập tuyến tính cực đại của B ,B , là B ,B , K ,B (s n) 1 2 K ,B n 1 2 s s B
biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ k z Bjk j k 1,n Ak B k j 1 lOMoAR cPSD| 46988474
Bài tâ฀p ma trâ฀n - đ i฀nh thú฀c
A ,A ,1 2 K ,A ,B ,B ,r 1 2 K ,B s k 1,n rank A ,A ,1 2 K ,A ,B ,B ,n 1 2 K ,B n r s rankA rankB rank(A B) rankA rankB.
9.47 Ta biết rằng: “Nếu hạng của một hệ véc tơ bằng số véc tơ của hệ thì hệ véc tơ đó
là hệ véc tơ độc lập tuyến tính; còn nếu hạng của một hệ véc tơ ít hơn số véc tơ của hệ
thì hệ véc tơ đó là hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính”. Vì vậy ta chỉ cần tính rank A ,A ,A ,A1
2 3 4 . b/ Gọi A là ma trận tạo bởi hệ véc tơ A ,A ,A ,A1 2 3 4 , do hạng của một ma trận bằng
hạng của hệ véc tơ dòng hay hệ véc tơ cột của ma trận đó nên ta tính hạng của ma trận: 1 2 3 4 1 A 1 1 1 3 1 3 5 7 5 3 2 3 4 1 4 18 lOMoAR cPSD| 46988474
Bài tâ฀p ma trâ฀n - đ i฀nh thú฀c