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Bài tập nguyên hàm dành cho học sinh trung bình – yếu Toán 12

103

Bài tập nguyên hàm dành cho học sinh trung bình – yếu Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng 199 tài liệu

Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mai Nguyệt

1 năm trước
Danh sách Quiz
/74
MỤC LỤC
§1 – NGUYÊN HÀM 1
| Dạng 1.1: Sử dụng nguyên hàm cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
| Dạng 1.2: Nguyên hàm có điều kiện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
| Dạng 1.3: Phương pháp đổi biến số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
| Dạng 1.4: Phương pháp từng phần. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
NGUYÊN HÀMNGUYÊN HÀM
1
C
h
ủ
đề
p Dạng 1.1. Sử dụng nguyên hàm cơ bản
1
Z
dx = x + C 2
Z
kdx = kx + C
3
Z
x
n
dx =
x
n+1
n + 1
+ C 4
Z
(ax + b)
n
dx =
1
a
(ax + b)
n+1
n + 1
+ C
5
Z
dx
x
2
= −
1
x
+ C 6
Z
dx
(ax + b)
2
= −
1
a
.
1
ax + b
+ C
7
Z
dx
x
= ln |x| + C 8
Z
dx
ax + b
=
1
a
ln |ax + b| + C
9
Z
e
x
dx = e
x
+ C
10
Z
e
ax+b
dx =
1
a
e
ax+b
+ C
11
Z
a
x
dx =
a
x
ln a
+ C
12
Z
a
αx+β
dx =
1
α
a
αx+β
ln a
+ C
13
Z
cos xdx = sin x + C
14
Z
cos(ax + b)dx =
1
a
sin(ax + b) + C
15
Z
sin xdx = −cos x + C
16
Z
sin(ax+b)dx = −
1
a
cos(ax+b)+C
17
Z
dx
cos
2
x
= tan x + C 18
Z
dx
cos
2
(ax + b)
=
1
a
tan(ax + b) + C
19
Z
dx
sin
2
x
= −cot x + C 20
Z
dx
sin
2
(ax + b)
= −
1
a
cot(ax+b)+C
21
Z
tan xdx = −ln |cos x|+ C
22
Z
tan(ax + b)dx = −
1
a
ln |cos x|+ C
23
Z
cot xdx = ln |sin x| + C
24
Z
cot(ax + b)dx =
1
a
ln |sin x| + C
25
Z
1
x
2
− a
2
dx =
1
2a
ln
x − a
x + a
+ C
26
Z
1
x
2
+ a
2
dx =
1
a
arctan
x
a
+ C
Câu 1. Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = 5x
4
− 6x
2
+ 1 là
A. 20x
3
− 12x + C. B. x
5
− 2x
3
+ x + C.
C. 20x
5
− 12x
3
+ x + C. D.
x
4
4
+ 2x
2
− 2x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 2. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x
3
+ x
2
là
A.
x
4
4
+
x
3
3
+ C. B. x
4
+ x
3
. C. 3x
2
+ 2x. D.
1
4
x
4
+
1
4
x
3
.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 3. Nguyên hàm của hàm số f(x) = 4x
3
+ x − 1 là:
A. x
4
+ x
2
+ x + C. B. 12x
2
+ 1 + C. C. x
4
+
1
2
x
2
− x + C. D. x
4
−
1
2
x
2
− x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
1
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 4. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x
2
− 1 là
A. x
3
+ C. B.
x
3
3
+ x + C. C. 6x + C. D. x
3
− x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 5. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x
2
+ 3 là
A.
x
3
3
+ 3x + C. B. x
3
+ 3x + C. C.
x
3
2
+ 3x + C. D. x
2
+ 3 + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 6. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x (1 + 3x
3
) là
A. x
2
Å
1 +
3
2
x
2
ã
+ C. B. x
2
Å
1 +
6x
3
5
ã
+ C. C. 2x
Å
x +
3
4
x
4
ã
+ C. D. x
2
Å
x +
3
4
x
3
ã
+ C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 7. Tìm họ nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) =
1
5x + 4
.
A. F (x) =
1
ln 5
ln |5x + 4| + C. B. F (x) = ln |5x + 4| + C.
C. F (x) =
1
5
ln |5x + 4| + C. D. F (x) =
1
5
ln(5x + 4) + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 8. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = e
x
+ x là
A. e
x
+ x
2
+ C. B. e
x
+
1
2
x
2
+ C.
C.
1
x + 1
e
x
+
1
2
x
2
+ C. D. e
x
+ 1 + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 9. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x + sin x là
A. x
2
+ cos x + C. B. x
2
− cos x + C. C.
x
2
2
− cos x + C. D.
x
2
2
+ cos x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x
2
+ cos x là
A. 2x − sin x + C. B.
1
3
x
3
+ sin x + C. C.
1
3
x
3
− sin x + C. D. x
3
+ sin x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
2
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e
2x
.
A.
Z
e
2x
dx = 2e
2x
+ C. B.
Z
e
2x
dx = e
2x
+ C.
C.
Z
e
2x
dx =
e
2x+1
2x + 1
+ C. D.
Z
e
2x
dx =
1
2
e
2x
+ C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 12. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 5
2x
?
A.
Z
5
2x
dx = 2.5
2x
ln 5 + C. B.
Z
5
2x
dx = 2.
5
2x
ln 5
+ C.
C.
Z
5
2x
dx =
25
x
2 ln 5
+ C. D.
Z
5
2x
dx =
25
x+1
x + 1
+ C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 13. Tìm họ nguyên hàm của hàm số y = x
2
− 3
x
+
1
x
.
A.
x
3
3
−
3
x
ln 3
−
1
x
2
+ C, C ∈ R. B.
x
3
3
− 3
x
+
1
x
2
+ C, C ∈ R.
C.
x
3
3
−
3
x
ln 3
− ln |x| + C, C ∈ R. D.
x
3
3
−
3
x
ln 3
+ ln |x| + C, C ∈ R.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 14. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =
2
4x − 3
.
A.
Z
2
4x − 3
dx =
1
4
ln |4x − 3| + C. B.
Z
2
4x − 3
dx = 2 ln
2x −
3
2
+ C.
C.
Z
2
4x − 3
dx =
1
2
ln
2x −
3
2
+ C. D.
Z
2
4x − 3
dx =
1
2
ln
Å
2x −
3
2
ã
+ C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 15. Hàm số F (x) = e
x
2
là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
A. f (x) = 2xe
x
2
. B. f (x) = x
2
e
x
2
. C. f (x) = e
x
2
. D. f (x) =
e
x
2
2x
.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 16. Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 3
−x
.
A.
3
−x
ln 3
+ C. B. −
3
−x
ln 3
+ C. C. −3
−x
+ C. D. −3
−x
ln 3 + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 17. Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = sin 5x.
A.
1
5
cos 5x + C. B. cos 5x + C. C. −cos 5x + C. D. −
1
5
cos 5x + C.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
3
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 18. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x
2
+ sin x là
A. x
3
+ cos x + C. B. 6x + cos x + C. C. x
3
− cos x + C. D. 6x − cos x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + 1 là
A. F (x) = 2x
2
+ x. B. F (x) = 2.
C. F (x) = C. D. F (x) = x
2
+ x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = e
x
+ x là
A. e
x
+ x
2
+ C. B. e
x
+
1
2
x
2
+ C.
C.
1
x + 1
e
x
+
1
2
x
2
+ C. D. e
x
+ 1 + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 21. Hàm số F (x) nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số y =
3
√
x + 1?
A. F (x) =
3
4
(x + 1)
4
3
+ C. B. F (x) =
4
3
3
p
(x + 1)
4
+ C.
C. F (x) =
3
4
(x + 1)
3
√
x + 1 + C. D. F (x) =
3
4
4
p
(x + 1)
3
+ C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 22. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) =
x
2
− x + 1
x − 1
.
A. x +
1
x − 1
+ C. B. x +
1
(x − 1)
2
+ C.
C.
x
2
2
+ ln |x − 1| + C. D. x
2
+ ln |x − 1| + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 23. Tìm tất cả nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x
2
+
x
2
.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
4
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
A.
Z
f(x) dx =
x
3
3
+
x
2
4
+ C. B.
Z
f(x) dx = x
3
+
x
2
2
+ C.
C.
Z
f(x) dx = x
3
+
x
2
4
+ C. D.
Z
f(x) dx = x
3
+
x
2
4
.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 24. Nguyên hàm của hàm số y = e
−3x+1
là
A.
1
3
e
−3x+1
+ C. B. −3e
−3x+1
+ C. C. −
1
3
e
−3x+1
+ C. D. 3e
−3x+1
+ C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 25. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = cos
x
2
.
A. F (x) = 2 sin
x
2
+ C. B. F (x) =
1
2
sin
x
2
+ C.
C. F (x) = −2 sin
x
2
+ C. D. F (x) = −
1
2
sin
x
2
+ C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 26. Tìm nguyên hàm của hàm số y = 12
12x
.
A.
Z
12
12x
dx = 12
12x−1
· ln 12 + C. B.
Z
12
12x
dx = 12
12x
· ln 12 + C.
C.
Z
12
12x
dx =
12
12x
ln 12
+ C. D.
Z
12
12x
dx =
12
12x−1
ln 12
+ C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 27. Họ nguyên hàm
Z
x
3
− 2x
2
+ 5
x
2
dx bằng
A.
x
2
2
− 2x −
5
x
+ C. B. −2x +
5
x
+ C. C. x
2
− 2x −
5
x
+ C. D. x
2
− x −
5
x
+ C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 28. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) =
1
2
√
2x + 1
.
A.
Z
f(x) dx =
√
2x + 1 + C. B.
Z
f(x) dx = 2
√
2x + 1 + C.
C.
Z
f(x) dx =
1
(2x + 1)
√
2x + 1
+ C. D.
Z
f(x) dx =
1
2
√
2x + 1 + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 29. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sin 3x là
A. 3 cos 3x + C. B.
1
3
cos 3x + C. C. −
1
3
cos 3x + C. D. −3 cos 3x + C.
| Lời giải.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
5
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 30. Tính I =
Z
dx
cos
2
x
được kết quả
A. −cot x + C. B. tan x + C. C. −tan x + C. D. cot x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 31. Tìm F (x) =
Z
6x + 2
3x − 1
dx.
A. F (x) = 2x +
4
3
ln |3x − 1| + C. B. F (x) = 2x + 4 ln |3x − 1| + C.
C. F (x) =
4
3
ln |3x − 1| + C. D. F (x) = 2x + 4 ln(3x − 1) + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 32. Tính nguyên hàm I =
Z
(2
x
+ 3
x
) dx.
A. I =
2
x
ln 2
+
3
x
ln 3
+ C. B. I =
ln 2
2
x
+
ln 3
3
x
+ C.
C. I =
ln 2
2
+
ln 3
3
+ C. D. I = −
ln 2
2
−
ln 3
3
+ C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 33. Tìm H =
Z
4
√
2x − 1 dx.
A. H =
2
5
(2x − 1)
5
4
+ C. B. H = (2x − 1)
5
4
+ C.
C. H =
1
5
(2x − 1)
5
4
+ C. D. H =
8
5
(2x − 1)
5
4
+ C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 34. Hàm số F (x) =
1
4
ln
4
x+C là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
A. f(x) =
ln
3
x
x
. B. f(x) =
1
x ln
3
x
. C. f (x) =
x
ln
3
x
. D. f (x) =
x ln
3
x
3
.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 35. Tìm
Z
Å
3
√
x
2
+
4
x
ã
dx
A.
3
5
3
√
x
5
+ 4 ln |x| + C. B.
3
5
3
√
x
5
− 4 ln |x| + C.
C. −
3
5
3
√
x
5
+ 4 ln |x| + C. D.
5
3
3
√
x
5
+ 4 ln |x| + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 36. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x + sin x là
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
6
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
A. 1 + cos x + C. B.
x
2
2
− cos x + C. C.
x
2
2
+ cos x + C. D. x
2
− cos x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 37. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =
1
x
2
là
A. −
1
x
+ C. B. x
3
+ C. C. −
1
3x
2
. D.
1
x
+ C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 38. Hàm số F (x) = 2 sin x − 3 cos x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A. f(x) = −2 cos x − 3 sin x . B. f(x) = −2 cos x + 3 sin x .
C. f(x) = 2 cos x + 3 sin x . D. f(x) = 2 cos x − 3 sin x .
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 39. Một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 3
x
− 2x là
A. F (x) =
3
x
ln 3
− x
2
− 1. B. F (x) =
3
x
ln 3
− 2.
C. F (x) =
3
x
ln 3
−
x
2
2
. D. F (x) = 3
x
ln 3 − x
2
.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 40. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x
2
+ sin x là
A. x
3
+ cos x + C. B. x
3
+ sin x + C. C. x
3
− cos x + C. D. x
3
− sin x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 41. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sin 5x + 2 là
A. 5 cos 5x + C. B. −
1
5
cos 5x + 2x + C.
C.
1
5
cos 5x + 2x + C. D. cos 5x + 2x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 42. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) =
2x
2
+ x − 1
x
2
.
A.
Z
2x
2
+ x − 1
x
2
dx = 2 +
1
x
−
1
x
2
+ C. B.
Z
2x
2
+ x − 1
x
2
dx = 2x +
1
x
+ ln |x| + C.
C.
Z
2x
2
+ x − 1
x
2
dx = x
2
+ ln |x| +
1
x
+ C. D.
Z
2x
2
+ x − 1
x
2
dx = x
2
−
1
x
+ ln |x| + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
7
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
Câu 43. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 10
x
.
A.
Z
10
x
dx =
10
x
ln 10
+ C. B.
Z
10
x
dx = 10
x
ln 10 + C.
C.
Z
10
x
dx = 10
x+1
+ C. D.
Z
10
x
dx =
10
x+1
x + 1
+ C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 44. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e
x
+ 2 sin x.
A.
Z
(e
x
+ 2 sin x) dx = e
x
− cos
2
x + C. B.
Z
(e
x
+ 2 sin x) dx = e
x
+ sin
2
x + C.
C.
Z
(e
x
+ 2 sin x) dx = e
x
− 2 cos x + C. D.
Z
(e
x
+ 2 sin x) dx = e
x
+ 2 cos x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 45. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x
2
− 2
x
.
A.
Z
f(x) dx =
x
3
3
+
2
x
ln 2
+ C. B.
Z
f(x) dx = 2x −
2
x
ln 2
+ C.
C.
Z
f(x) dx =
x
3
3
−
2
x
ln 2
+ C. D.
Z
f(x) dx = 2x − 2
x
ln 2 + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 46. Hàm số F (x) = e
x
2
là nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A. f(x) = x
2
e
x
2
+ 3. B. f(x) = 2x
2
e
x
2
+ C. C. f (x) = 2xe
x
2
. D. f(x) = xe
x
2
.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 47. Họ nguyên hàm của f(x) =
2x
4
+ 3
x
2
là
A.
2x
3
3
− 3 ln |x| + C. B.
2x
3
3
+ 3 ln x + C. C.
2x
3
3
−
3
x
+ C. D.
2x
3
3
+
3
x
+ C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 48. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + sin 2x.
A. x
2
−
1
2
cos 2x + C. B. x
2
+
1
2
cos 2x + C. C. x
2
− 2 cos 2x + C. D. x
2
+ 2 cos 2x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 49. Họ nguyên hàm của hàm số y = x
2
− 3x +
1
x
là
A. F (x) =
x
3
3
−
3
2
x
2
+ ln x + C. B. F (x) =
x
3
3
−
3
2
x
2
+ ln |x| + C.
C. F (x) =
x
3
3
+
3
2
x
2
+ ln x + C. D. F (x) = 2x − 3 −
1
x
+ C.
| Lời giải.
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1. NGUYÊN HÀM
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Câu 50. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3
x
+
1
x
2
.
A.
Z
f(x) dx = 3
x
+
1
x
+ C. B.
Z
f(x) dx =
3
x
ln 3
+
1
x
+ C.
C.
Z
f(x) dx = 3
x
−
1
x
+ C. D.
Z
f(x) dx =
3
x
ln 3
−
1
x
+ C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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p Dạng 1.2. Nguyên hàm có điều kiện
Z
f(x)d x thỏa mãn F (x
0
) = k.
Bước 1: Tìm nguyên hàm F (x) = G(x) + C (*)
Bước 2: Từ F (x
0
) = k, tìm được C.
Bước 2: Thay C vào (*) và kết luận.
Câu 1. Cho hàm số f(x) = 2x + e
x
. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) thỏa mãn
F (0) = 2019.
A. F (x) = e
x
− 2020. B. F (x) = x
2
+ e
x
− 2019.
C. F (x) = x
2
+ e
x
+ 2017. D. F (x) = x
2
+ e
x
+ 2018.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 2. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = e
2x
và F (0) =
201
2
. Giá trị F
Å
1
2
ã
là
A.
1
2
e + 200. B. 2e + 200. C.
1
2
e + 50. D.
1
2
e + 100.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 3. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) ·g(x) biết F (1) = 3, biết
Z
f(x)dx = x + 2018
và
Z
g(x)dx = x
2
+ 2019.
A. F (x) = x
3
+ 1. B. F (x) = x
3
+ 3. C. F (x) = x
2
+ 2. D. F (x) = x
2
+ 3.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 4. Cho F (x) là một nguyên hàm của f (x) =
1
x − 1
trên khoảng (1; +∞) thỏa mãn F (e+1) = 4
. Tìm F (x) .
A. F (x) = 2 ln(x − 1) + 2. B. F (x) = ln(x − 1) + 3.
C. F (x) = 4 ln(x − 1). D. F (x) = ln(x − 1) − 3.
| Lời giải.
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Câu 5. Cho F (x) là nguyên hàm của f(x) =
1
√
x + 2
thỏa mãn F (2) = 4. Giá trị F (−1) bằng
A.
√
3. B. 1. C. 2
√
3. D. 2.
| Lời giải.
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Câu 6. Tìm hàm số F (x) biết F (x) =
Z
x
3
x
4
+ 1
dx và F (0) = 1.
A. F (x) = ln(x
4
+ 1) + 1. B. F (x) =
1
4
ln(x
4
+ 1) +
3
4
.
C. F (x) =
1
4
ln(x
4
+ 1) + 1. D. F (x) = 4 ln(x
4
+ 1) + 1.
| Lời giải.
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Câu 7. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm f(x) = sin 2x và F
π
4
= 1. Tính F
π
6
.
A. F
π
6
=
5
4
. B. F
π
6
= 0. C. F
π
6
=
3
4
. D. F
π
6
=
1
2
.
| Lời giải.
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♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
10
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
Câu 8. Cho hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos 3x và F
π
2
=
14
3
thì
A. F (x) =
1
3
sin 3x +
13
3
. B. F (x) = −
1
3
sin 3x + 5.
C. F (x) =
1
3
sin 3x + 5. D. F (x) = −
1
3
sin 3x +
13
3
.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 9. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = sin x và đồ thị hàm số y = F (x) đi qua
điểm M (0; 1). Tính F
π
2
.
A. F
π
2
= 0. B. F
π
2
= 1. C. F
π
2
= 2. D. F
π
2
= −1.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 10. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x
2
+ 8 sin x và thỏa mãn F (0) = 2010.
Tìm F (x).
A. F (x) = 6x − 8 cos x + 2018. B. F (x) = 6x + 8 cos x.
C. F (x) = x
3
− 8 cos x + 2018. D. F (x) = x
3
− 8 cos x + 2019.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 11. Tính nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = e
2x
, biết F (0) = 1.
A. F (x) = e
2x
. B. F (x) = e
2x
− 1. C. F (x) = e
x
. D. F (x) =
e
2x
2
+
1
2
.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 12. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) =
1
x − 1
và F (2) = 1. Tính F (3).
A. F (3) = ln 2 − 1. B. F (3) = ln 2 + 1. C. F (3) =
1
2
. D. F (3) =
7
4
.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 13. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
x − 1
và F (3) = 1. Tính giá trị của
F (2).
A. F (2) = −1 − ln 2. B. F (2) = 1 − ln 2. C. F (2) = −1 + ln 2. D. F (2) = 1 + ln 2.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
11
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 14. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 6x + sin 3x, biết F (0) =
2
3
.
A. F (x) = 3x
2
−
cos 3x
3
+
2
3
. B. F (x) = 3x
2
−
cos 3x
3
− 1.
C. F (x) = 3x
2
+
cos 3x
3
+ 1. D. F (x) = 3x
2
−
cos 3x
3
+ 1.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 15. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin 3x thoả mãn F
π
2
= 2.
A. F (x) = −
cos 3x
3
+
5
3
. B. F (x) = −
cos 3x
3
+ 2.
C. F (x) = −
cos 3x
3
+ 2. D. F (x) = −cos 3x + 2.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 16. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e
x
+ 2x thỏa mãn F (0) =
3
2
. Tìm
F (x).
A. F (x) = e
x
+ x
2
+
5
2
. B. F (x) = 2e
x
+ x
2
−
1
2
.
C. F (x) = e
x
+ x
2
+
3
2
. D. F (x) = e
x
+ x
2
+
1
2
.
| Lời giải.
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Câu 17. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 + 2x + 3x
2
thỏa mãn F (1) = 2. Tính
F (0) + F (−1).
A. −3. B. −4. C. 3. D. 4.
| Lời giải.
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Câu 18. Nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 5x
4
−3x
2
trên tập số thực thỏa mãn F (1) = 3 là
A. x
5
− x
3
+ 2x + 1. B. x
5
− x
3
+ 3. C. x
5
− x
3
+ 5. D. x
5
− x
3
.
| Lời giải.
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Câu 19. F (x) là một nguyên hàm của hàm số y = 2 sin x cos 3x và F (0) = 0, khi đó
A. F (x) = cos 4x − cos 2x. B. F (x) =
cos 2x
4
−
cos 4x
8
−
1
8
.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
12
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
C. F (x) =
cos 2x
2
−
cos 4x
4
−
1
4
. D. F (x) =
cos 4x
4
−
cos 2x
2
+
1
4
.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 20. Cho hàm số f(x) = x
3
− x
2
+ 2x − 1. Gọi F (x) là một nguyên hàm của f(x). Biết rằng
F (1) = 4. Tìm F (x).
A. F (x) =
x
4
4
−
x
3
3
+ x
2
− x. B. F (x) =
x
4
4
−
x
3
3
+ x
2
− x + 1.
C. F (x) =
x
4
4
−
x
3
3
+ x
2
− x + 2. D. F (x) =
x
4
4
−
x
3
3
+ x
2
− x +
49
12
.
| Lời giải.
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Câu 21. Cho hàm số f(x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện f
0
(x) = x + sin x và f (0) = 1. Tìm
f(x).
A. f(x) =
x
2
2
− cos x + 2. B. f(x) =
x
2
2
− cos x − 2.
C. f(x) =
x
2
2
+ cos x. D. f(x) =
x
2
2
+ cos x +
1
2
.
| Lời giải.
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Câu 22. Một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin x + 2 cos x biết F
π
2
= 0 là
A. F (x) = 2 sin x − cos x + 2. B. F (x) = 2 sin x − cos x − 2.
C. F (x) = −2 sin x − cos x + 2. D. F (x) = sin x − 2 cos x − 2.
| Lời giải.
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Câu 23. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm là f
0
(x) =
1
2x − 1
và f (1) = 1. Giá trị f(5) bằng
A. 1 + ln 3. B. ln 2. C. 1 + ln 2. D. ln 3.
| Lời giải.
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♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
13
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
Câu 24. Cho hàm số f(x) = 2x + e
x
. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) thỏa mãn
F (0) = 0.
A. F (x) = x
2
+ e
x
− 1. B. F (x) = x
2
+ e
x
.
C. F (x) = e
x
− 1. D. F (x) = x
2
+ e
x
+ 1.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 25. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
2x
2
− 2x − 1
x − 1
thỏa mãn F (0) = −1. Tính
F (−1).
A. F (−1) = −ln 2. B. F (−1) = −2 + ln 2.
C. F (−1) = ln 2. D. F (−1) = 2 + ln 2.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 26. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) =
4
1 + 2x
và F (0)=2. Tìm F (2).
A. 4 ln 5 + 2. B. 5 (1 + ln 2). C. 2 ln 5 + 4. D. 2(1 + ln 5).
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 27. Cho f(x) =
4m
π
+sin
2
x. Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Tìm m để F (0) = 1
và F
π
4
=
π
8
.
A. m = −
3
4
. B. m =
3
4
. C. m = −
4
3
. D. m =
4
3
.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 28. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 6x + sin 3x, biết F (0) =
2
3
.
A. F (x) = 3x
2
−
cos 3x
3
+
2
3
. B. F (x) = 3x
2
−
cos 3x
3
− 1.
C. V = F (x) = 3x
2
+
cos 3x
3
+ 1. D. F (x) = 3x
2
−
cos 3x
3
+ 1.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
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Câu 29. Tìm hàm số f(x) thỏa mãn f
0
(x) =
6
3 − 2x
và f (2) = 0.
A. f(x) = −3 ln |3 − 2x|. B. f (x) = 2 ln |3 − 2x|.
C. f(x) = −2 ln |3 − 2x|. D. f (x) = 3 ln |3 − 2x|.
| Lời giải.
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Câu 30. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3
x
ln 9 thỏa mãn F (0) = 2. Tính F (1).
A. F (1) = 12 · ln
2
3. B. F (1) = 3. C. F (1) = 6. D. F (1) = 4.
| Lời giải.
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Câu 31. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) =
1
2x − 1
và F (2) = 3 +
1
2
ln 3. Tính
F (3).
A. F (3) =
1
2
ln 5 + 5. B. F (3) =
1
2
ln 5 + 3. C. F (3) = −2 ln 5 + 5. D. F (3) = 2 ln 5 + 3.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 32. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 6x + sin 3x, biết F (0) =
2
3
.
A. F (x) = 3x
2
−
cos 3x
3
+
2
3
. B. F (x) = 3x
2
−
cos 3x
3
− 1.
C. F (x) = 3x
2
+
cos 3x
3
+ 1. D. F (x) = 3x
2
−
cos 3x
3
+ 1.
| Lời giải.
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Câu 33. Tìm F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x
2
+ e
x
− 1, biết F (0) = 2.
A. F (x) = 6x + e
x
− x − 1. B. F (x) = x
3
+
1
e
x
− x + 1.
C. F (x) = x
3
+ e
x
− x + 1. D. F (x) = x
3
+ e
x
− x − 1.
| Lời giải.
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Câu 34. Cho hàm số f(x) thỏa mãn f
0
(x) = 2 − 5 sin x và f (0) = 10. Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A. f(x) = 2x + 5 cos x + 5. B. f(x) = 2x + 5 cos x + 3.
C. f(x) = 2x − 5 cos x + 10. D. f (x) = 2x − 5 cos x + 15.
| Lời giải.
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Câu 35. Cho F (x) = cos 2x − sin x + C là nguyên hàm của hàm số f(x). Tính f (π).
A. f(π) = −3. B. f (π) = 1. C. f (π) = −1. D. f (π) = 0.
| Lời giải.
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Câu 36. Cho F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) =
x
2
+ x + 1
x + 1
và F (0) = 2018. Tính F (−2).
A. F (−2) không xác định. B. F (−2) = 2.
C. F (−2) = 2018. D. F (−2) = 2020.
| Lời giải.
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Câu 37. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 + 2x + 3x
2
thỏa mãn F (1) = 2. Tính
F (0) + F (−1).
A. −3. B. −4. C. 3. D. 4.
| Lời giải.
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Câu 38. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 3x
2
+ 2e
2x
− 1, biết F (0) = 1.
A. F (x) = x
3
+ e
2x
− x + 1. B. F (x) = x
3
+ 2e
2x
− x − 1.
C. F (x) = x
3
+ e
x
− x. D. F (x) = x
3
+ e
2x
− x.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 39. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = e
2x
, biết F (0) = 1.
A. F (x) = e
2x
. B. F (x) =
e
2x
2
+
1
2
. C. F (x) = 2e
2x
− 1. D. F (x) = e
x
.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 40. Cho hàm số f(x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện f
0
(x) = x + sin x và f (0) = 1. Tìm
f(x).
A. f(x) =
x
2
2
− cos x + 2. B. f(x) =
x
2
2
− cos x − 2.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
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1. NGUYÊN HÀM
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C. f(x) =
x
2
2
+ cos x. D. f(x) =
x
2
2
+ cos x +
1
2
.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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p Dạng 1.3. Phương pháp đổi biến số
I =
Z
f [u(x)] u
0
(x)d x (*)
Đặt: t = u(x) ⇒ d t
đạo hàm 2 vế
−−−−−−−→ u
0
(x)d x thay vào (*) ta được I =
Z
f(t)dt
Câu 1. Khi tính nguyên hàm
Z
x − 3
√
x + 1
dx, bằng cách đặt u =
√
x + 1 ta được nguyên hàm nào?
A.
Z
2u
u
2
− 4
du. B.
Z
u
2
− 4
du. C.
Z
2
u
2
− 4
du. D.
Z
u
2
− 3
du.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 2. Cho hàm số F (x) =
Z
x
√
x
2
+ 2dx .Biết F
√
2
=
2
3
, tính F
√
7
.
A.
40
3
. B. 11. C.
23
6
. D. 7.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 3. Tính tích phân A =
Z
1
x ln x
dx bằng cách đặt t = ln x. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. A =
Z
dt. B. A =
Z
1
t
2
dt. C. A =
Z
tdt. D. A =
Z
1
t
dt.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 4. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e
2x
và F (0) =
3
2
.Giá trị F
Å
1
2
ã
là
A.
1
2
e +
1
2
. B.
1
2
e + 2. C. 2e + 1. D.
1
2
e + 1.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 5. Tìm nguyên hàm
Z
x
x
2
+ 7
15
dx.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
17
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
A.
1
32
(x
2
+ 7)
16
+ C. B. −
1
32
(x
2
+ 7)
16
+ C.
C.
1
2
(x
2
+ 7)
16
+ C. D.
1
16
(x
2
+ 7)
16
+ C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 6. Nếu F (x) =
Z
(x + 1)
√
x
2
+ 2x + 3
dx thì
A. F (x) =
1
2
√
x
2
+ 2x + 3 + C. B. F (x) = ln
|x + 1|
√
x
2
+ 2x + 3
+ C.
C. F (x) =
1
2
ln (x
2
+ 2x + 3) + C. D. F (x) =
√
x
2
+ 2x + 3 + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 7. Tính
Z
dx
√
1 − x
,kết quả là
A.
2
√
1 − x
+ C. B. −2
√
1 − x + C. C.
C
√
1 − x
. D.
√
1 − x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 8. Nguyên hàm
Z
1
1 +
√
x
dx bằng.
A. 2
√
x − 2 ln |
√
x + 1| + C. B. 2
√
x + C.
C. 2 ln |
√
x + 1| + C. D. 2
√
x − 2 ln |
√
x + 1| + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 9. Nếu F (x) =
Z
(x + 1)
√
x
2
+ 2x + 3
dx thì
A. F (x) =
1
2
√
x
2
+ 2x + 3 + C. B. F (x) = ln
|x + 1|
√
x
2
+ 2x + 3
+ C.
C. F (x) =
1
2
ln (x
2
+ 2x + 3) + C. D. F (x) =
√
x
2
+ 2x + 3 + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 10. Một nguyên hàm của hàm số y = x
√
1 + x
2
là:
A.
x
2
2
√
1 + x
2
3
. B.
1
3
√
1 + x
2
6
. C.
1
3
√
1 + x
2
3
. D.
x
2
2
√
1 + x
2
2
.
| Lời giải.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
18
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 11. Xét I =
Z
x
3
4x
4
− 3
5
dx .Bằng cách đặt u = 4x
4
−3, khẳng định nào sau đây đúng.
A. I =
Z
u
5
du. B. I =
1
12
Z
u
5
du. C. I =
1
16
Z
u
5
du. D. I =
1
4
Z
u
5
du.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 12. Tìm nguyên hàm
Z
x
x
2
+ 1
9
dx.
A.
1
20
(x
2
+ 1)
10
+ C. B.
1
10
(x
2
+ 1)
10
+ C.
C. −
1
20
(x
2
+ 1)
10
+ C. D. (x
2
+ 1)
10
+ C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 13. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
x ln x
thỏa mãn F
Å
1
e
ã
= 2 và F (e) =
ln 2. Giá trị của biểu thức F
Å
1
e
2
ã
+ F (e
2
) bằng
A. 3 ln 2 + 2. B. ln 2 + 2. C. ln 2 + 1. D. 2 ln 2 + 1.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 14. Cho hàm số f (x) = sin
2
2x·sin x. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm f (x).
A. y =
4
3
cos
3
−
4
5
sin
5
x + C. B. y = −
4
3
cos
3
x +
4
5
cos
5
x + C.
C. y =
4
3
sin
3
x −
4
5
cos
5
x + C. D. y = −
4
3
sin
3
x +
4
5
sin
5
x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 15. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
sin x
1 + 3 cos x
và F
π
2
= 2. Khi đó F (0)
là
A. −
2
3
ln 2 + 2. B. −
1
3
ln 2 − 2. C. −
1
3
ln 2 + 2. D. −
2
3
ln 2 − 2.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
19
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
| Lời giải.
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Câu 16. Khi tính nguyên hàm
Z
x − 3
√
x + 1
dx, bằng cách đặt u =
√
x + 1 ta được nguyên hàm nào
dưới đây?
A.
Z
2(u
2
− 4)u du. B.
Z
(u
2
− 4) du. C.
Z
2(u
2
− 4) du. D.
Z
(u
2
− 3) du.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 17. Cho nguyên hàm I =
Z
x
√
1 + 2x
2
dx, khi thực hiện đổi biến u =
√
1 + 2x
2
thì ta được
nguyên hàm theo biến mới u là
A. I =
1
2
Z
u
2
du. B. I =
Z
u
2
du. C. I = 2
Z
u du. D. I =
Z
u du.
| Lời giải.
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Câu 18. Cho hàm số F (x) =
Z
x
√
x
2
+ 1 dx. Biết F (0) =
4
3
, tính F (2
√
2).
A. 3. B.
85
4
. C. 19. D. 10.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 19. Tính I =
Z
2x − 1
√
x + 1
dx, khi thực hiện phép đổi biến u =
√
x + 1, thì được
A. I =
Z
2u
2
− 3
u
du. B. I =
Z
4u
2
− 6
du.
C. I =
Z
4u
2
− 6
u
du. D. I =
Z
2u
2
− 3
du.
| Lời giải.
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Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =
x
√
x
2
+ 1
là
A. F (x) = 2
√
x
2
+ 1 + C. B. F (x) =
√
x
2
+ 1 + C.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
20
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
C. F (x) = ln
√
x
2
+ 1 + C. D. F (x) =
1
2
√
x
2
+ 1 + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 21. Xét nguyên hàm I =
Z
x
√
x + 2 dx. Nếu đặt t =
√
x + 2 thì ta được
A. I =
Z
t
4
− 2t
2
dt. B. I =
Z
4t
4
− 2t
2
dt.
C. I =
Z
2t
4
− 4t
2
dt. D. I =
Z
2t
4
− t
2
dt.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 22. Cho tích phân I =
e
Z
1
3 ln x + 1
x
dx. Nếu đặt t = ln x thì
A. I =
1
Z
0
3t + 1
e
t
dt. B. I =
e
Z
1
3t + 1
t
dt. C. I =
e
Z
1
(3t + 1) dt. D. I =
1
Z
0
(3t + 1) dt.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 23. Tính nguyên hàm A =
Z
1
x ln x
dx bằng cách đặt t = ln x. Mệnh đề nào dưới dây đúng?
A. A =
Z
dt. B. A =
Z
1
t
2
dt. C. A =
Z
t dt. D. A =
Z
1
t
dt.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 24. Tìm nguyên hàm I =
Z
sin
4
x cos x dx.
A.
sin
5
x
5
+ C. B.
cos
5
x
5
+ C. C. −
sin
5
x
5
+ C. D. −
cos
5
x
5
+ C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 25. Nguyên hàm
Z
1 + ln x
x
dx (x > 0) bằng
A. x + ln
2
x + C. B. ln
2
x + ln x + C. C.
1
2
ln
2
x + ln x + C. D. x +
1
2
ln
2
x + C.
| Lời giải.
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♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
21
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
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Câu 26. Cho I =
Z
x(1 − x
2
)
2019
dx. Đặt u = 1 − x
2
khi đó I viết theo u và du ta được:
A. I = −
1
2
Z
u
2019
du. B. I = −2
Z
u
2019
du. C. I = 2
Z
u
2019
du. D. I =
1
2
Z
u
2019
du.
| Lời giải.
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Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2
√
x + 3x là
A.
4
3
x
√
x +
3x
2
2
+ C. B. 2x
√
x +
3x
2
2
+ C. C.
3
2
x
√
x +
3x
2
2
+ C. D. 4x
√
x +
3x
2
2
+ C.
| Lời giải.
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Câu 28. Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = x
2
√
4 + x
3
.
A. 2
√
4 + x
3
+ C. B.
2
9
»
(4 + x
3
)
3
+ C. C. 2
»
(4 + x
3
)
3
+ C. D.
1
9
»
(4 + x
3
)
3
+ C.
| Lời giải.
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Câu 29. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x
2
e
x
3
+1
.
A.
Z
f(x) dx = e
x
3
+1
+ C. B.
Z
f(x) dx = 3e
x
3
+1
+ C.
C.
Z
f(x) dx =
x
3
3
e
x
3
+1
+ C. D.
Z
f(x) dx =
1
3
e
x
3
+1
+ C.
| Lời giải.
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Câu 30. Tích phân
e
Z
1
dx
x(ln x + 2)
bằng
A. ln 2. B. ln
3
2
. C. 0. D. ln 3.
| Lời giải.
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Câu 31. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn
Z
f
√
x + 1
√
x + 1
dx =
2
√
x + 1 + 3
x + 5
+ C.
Nguyên hàm của hàm số f(2x) trên tập R
+
là
A.
x + 3
2 (x
2
+ 4)
+ C. B.
x + 3
x
2
+ 4
+ C. C.
2x + 3
4 (x
2
+ 1)
+ C. D.
2x + 3
8 (x
2
+ 1)
+ C.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
22
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 32. Nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin
2
2x · cos
3
2x thỏa F
π
4
= 0 là
A. F (x) =
1
6
sin
3
2x −
1
10
sin
5
2x +
1
15
. B. F (x) =
1
6
sin
3
2x +
1
10
sin
5
2x −
1
15
.
C. F (x) =
1
6
sin
3
2x −
1
10
sin
5
2x −
1
15
. D. F (x) =
1
6
sin
3
2x +
1
10
sin
5
2x −
4
15
.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 33. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
2e
x
+ 3
thỏa mãn F (0) = 10. Tìm
F (x).
A. F (x) =
1
3
(x + 10 − ln (2e
x
+ 3)).
B. F (x) =
1
3
Å
x − ln
Å
e
x
+
3
2
ãã
+ 10 + ln 5 − ln 2.
C. F (x) =
1
3
(x − ln (2e
x
+ 3)) + 10 +
ln 5
3
.
D. F (x) =
1
3
Å
x − ln
Å
e
x
+
3
2
ãã
+ 10 −
ln 5 − ln 2
3
.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 34. Tính nguyên hàm I =
Z
1
2x + x
√
x +
√
x
dx.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
23
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
A. I = −
2
√
x + x
+ C. B. I = −
2
√
x + 1
+ C.
C. I = −
2
√
x + x + 1
+ C. D. I = −
1
2
√
x + x
+ C.
| Lời giải.
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Câu 35. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =
x
2
√
x
3
+ 1
là
A.
1
3
√
x
3
+ 1
+ C. B.
2
3
√
x
3
+ 1 + C. C.
2
3
√
x
3
+ 1
+ C. D.
1
3
√
x
3
+ 1 + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 36. Nguyên hàm
Z
1 + ln x
x
dx (x > 0) bằng
A.
1
2
ln
2
x + ln x + C . B. x +
1
2
ln
2
x + C. C. ln
2
x + ln x + C. D. x + ln
2
x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 37. Cho
Z
f(x) dx = x
√
x
2
+ 1. Tìm I =
Z
x · f
x
2
dx.
A. I = x
2
√
x
4
+ 1 + C. B. I =
x
4
2
√
x
4
+ 1 + C.
C. I =
x
2
2
√
x
4
+ 1 + C. D. I = x
3
√
x
4
+ 1 + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 38. Một nguyên hàm của hàm số y =
x
3
√
2 − x
2
là
A. x
√
2 − x
2
. B. −
1
3
(x
2
+ 4)
√
2 − x
2
.
C. −
1
3
(x
2
− 4)
√
2 − x
2
. D. −
1
3
x
2
√
2 − x
2
.
| Lời giải.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
24
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 39. Nguyên hàm của hàm số f(x) =
3
√
3x + 1 là
A.
Z
f(x) dx = (3x + 1)
3
√
3x + 1 + C. B.
Z
f(x) dx =
3
√
3x + 1 + C.
C.
Z
f(x) dx =
1
3
3
√
3x + 1 + C. D.
Z
f(x) dx =
1
4
(3x + 1)
3
√
3x + 1 + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 40. Tìm các hàm số f(x) biết f
0
(x) =
cos x
(2 + sin x)
2
.
A. f(x) =
sin x
(2 + sin x)
2
+ C. B. f (x) =
1
2 + cos x
+ C.
C. f(x) = −
1
2 + sin x
+ C. D. f(x) =
sin x
2 + sin x
+ C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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p Dạng 1.4. Phương pháp từng phần
I =
Z
ud v = u.v −
Z
vdu
Đặt:
u = . . .
dv = . . .
⇔
d u
đạo hàm 2 vế
−−−−−−−→ . . . dx
v =
nguyên hàm 2 vế
−−−−−−−−−→ . . .
Nhận dạng và cách đặt: u, d v
Dạng u d v
1
Z
P (x)
sin x
cos x
d x u = P (x) d v =
sin x
cos x
d x
2
Z
P (x).
h
e
x
i
d x u = P (x) d v = e
x
d x
3
Z
P (x)
h
ln x
i
d x u =
h
ln x
i
d v = P (x)d x
Câu 1. Biết
Z
xe
2x
dx = axe
2x
+ be
2x
+ C (a, b ∈ Q) . Tính tích ab.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
25
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
A. ab = −
1
4
. B. ab =
1
4
. C. ab = −
1
8
. D. ab =
1
8
.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 2. Kết quả của I =
Z
xe
x
dx là
A. I = xe
x
− e
x
+ C. B. I = e
x
+ xe
x
+ C. C. I =
x
2
2
e
x
+ C. D. I =
x
2
2
e
x
+ e
x
+ C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 3. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = (5x + 1) e
x
và F (0) = 3. TínhF (1).
A. F (1) = 11e − 3. B. F (1) = e + 3. C. F (1) = e + 7. D. F (1) = e + 2.
| Lời giải.
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Câu 4. Tính F (x) =
Z
x sin 2xrmd x. Chọn kết quả đúng?
A. F (x) =
1
4
(2x cos 2x + sin 2x) + C. B. F (x) = −
1
4
(2x cos 2x + sin 2x) + C.
C. F (x) = −
1
4
(2x cos 2x − sin 2x) + C. D. F (x) =
1
4
(2x cos 2x − sin 2x) + C.
| Lời giải.
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Câu 5. Cho F (x) =
a
x
(ln x + b) là một nguyên hàm của hàm số f(x) =
1 + ln x
x
2
, trong đó a, b ∈ Z.
Tính S = a + b.
A. S = −2. B. S = 1. C. S = 2. D. S = 0.
| Lời giải.
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♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
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1. NGUYÊN HÀM
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Câu 6. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x cos 2x là
A.
x sin 2x
2
−
cos 2x
4
+ C. B. x sin 2x −
cos 2x
2
+ C.
C. x sin 2x +
cos 2x
2
+ C. D.
x sin 2x
2
+
cos 2x
4
+ C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 7. Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = xe
−x
. Tính F (x) biết F (0) = 1.
A. F (x) = −(x + 1) e
−x
+ 2. B. F (x) = (x + 1) e
−x
+ 1.
C. F (x) = (x + 1) e
−x
+ 2. D. F (x) = −(x + 1) e
−x
+ 1.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 8. Biết
Z
(x + 3) .e
−2x
dx = −
1
m
e
−2x
(2x + n) + C, với m, n ∈ Q. Khi đó tổng S = m
2
+ n
2
có
giá trị bằng
A. 10. B. 5. C. 65. D. 41.
| Lời giải.
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Câu 9. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x ln 2x là
A.
x
2
2
ln 2x − x
2
+ C. B. x
2
ln 2x −
x
2
2
+ C.
C.
x
2
2
(ln 2x − 1) + C. D.
x
2
2
Å
ln 2x −
1
2
ã
+ C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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27
1. NGUYÊN HÀM
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Câu 10. Họ các nguyên hàm của f(x) = x ln x là:
A.
x
2
2
ln x +
1
4
x
2
+ C. B. x
2
ln x −
1
2
x
2
+ C . C.
x
2
2
ln x −
1
4
x
2
+ C. D. x ln x +
1
2
x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 11. Hàm số f(x) thoả mãn f
0
(x) = xe
x
là:
A. (x − 1) e
x
+ C. B. x
2
+
e
x+1
x + 1
+ C. C. x
2
e
x
+ C. D. (x + 1) e
x
+ C.
| Lời giải.
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Câu 12. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = (2x + 1)e
x
là
A. (2x − 1)e
x
+ C. B. (2x + 3)e
x
+ C. C. 2xe
x
+ C. D. (2x − 2)e
x
+ C.
| Lời giải.
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Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số y = 3x(x + cos x) là
A. x
3
+ 3(x sin x + cos x) + C. B. x
3
− 3(x sin x + cos x) + C.
C. x
3
+ 3(x sin x − cos x) + C. D. x
3
− 3(x sin x − cos x) + C.
| Lời giải.
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Câu 14. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) =
x
sin
2
x
trên khoảng (0; π) là
A. −x cot x + ln (sin x) + C. B. x cot x − ln |sin x| + C.
C. x cot x + ln |sin x| + C. D. −x cot x − ln (sin x) + C.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
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1. NGUYÊN HÀM
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| Lời giải.
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Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x (1 + ln x) là
A. 2x
2
ln x + 3x
2
. B. 2x
2
ln x + x
2
. C. 2x
2
ln x + 3x
2
+ C. D. 2x
2
ln x + x
2
+ C.
| Lời giải.
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Câu 16. Tìm tất cả nguyên hàm của hàm số f(x) = (3x
2
+ 1) ln x.
A.
Z
f(x) dx = x(x
2
+ 1) ln x −
x
3
3
+ C. B.
Z
f(x) dx = x
3
ln x −
x
3
3
+ C.
C.
Z
f(x) dx = x(x
2
+ 1) ln x −
x
3
3
− x + C. D.
Z
f(x) dx = x
3
ln x −
x
3
3
− x + C.
| Lời giải.
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Câu 17. Tính F (x) =
Z
x cos x dx ta được kết quả
A. F (x) = x sin x − cos x + C. B. F (x) = −x sin x − cos x + C.
C. F (x) = x sin x + cos x + C. D. F (x) = −x sin x + cos x + C.
| Lời giải.
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Câu 18. Nguyên hàm của hàm số f(x) = x sin x là
A. F (x) = −x cos x − sin x + C. B. F (x) = x cos x − sin x + C.
C. F (x) = −x cos x + sin x + C. D. F (x) = x cos x + sin x + C.
| Lời giải.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
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1. NGUYÊN HÀM
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Câu 19. Tìm
Z
x cos 2x dx.
A.
1
2
x sin 2x −
1
4
cos 2x + C. B. x sin 2x + cos 2x + C.
C.
1
2
x sin 2x +
1
2
cos 2x + C. D.
1
2
x sin 2x +
1
4
cos 2x + C.
| Lời giải.
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Câu 20. Tìm nguyên hàm J =
Z
(x + 1)e
3x
dx.
A. J =
1
3
(x + 1)e
3x
−
1
9
e
3x
+ C. B. J =
1
3
(x + 1)e
3x
−
1
3
e
3x
+ C.
C. J = (x + 1)e
3x
−
1
3
e
3x
+ C. D. J =
1
3
(x + 1)e
3x
+
1
9
e
3x
+ C.
| Lời giải.
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Câu 21. Biết
Z
(x−2) sin 3x dx = −
(x − a) cos 3x
b
+
1
c
sin 3x+2017, trong đó a, b, c là các số nguyên
dương. Khi đó S = ab + c bằng
A. S = 15. B. S = 10. C. S = 14. D. S = 3.
| Lời giải.
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Câu 22. Hàm số f(x) thỏa mãn f
0
(x) = xe
x
là
A. (x − 1)e
x
+ C. B. x
2
+
e
x+1
x + 1
+ C. C. x
2
e
x
+ C. D. (x + 1)e
x
+ C.
| Lời giải.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
30
1. NGUYÊN HÀM
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Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = xe
x
.
A.
Z
f(x) dx = (x + 1)e
x
+ C. B.
Z
f(x) dx = (x − 1)e
x
+ C.
C.
Z
f(x) dx = xe
x
+ C. D.
Z
f(x) dx = x
2
e
x
+ C.
| Lời giải.
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Câu 24. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = x · e
2x
.
A. F (x) = 2e
2x
(x − 2) + C. B. F (x) =
1
2
e
2x
(x − 2) + C.
C. F (x) = 2e
2x
Å
x −
1
2
ã
+ C. D. F (x) =
1
2
e
2x
Å
x −
1
2
ã
+ C.
| Lời giải.
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Câu 25. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 4x ln x là
A. x
2
(2 ln x + 1) + C. B. 4x
2
(2 ln x − 1) + C.
C. x
2
(2 ln x − 1) + C. D. x
2
(8 ln x − 16) + C.
| Lời giải.
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Câu 26. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x cos 2x.
A.
x sin 2x
2
−
cos 2x
4
+ C. B. x sin 2x −
cos 2x
2
+ C.
C. x sin 2x +
cos 2x
2
+ C. D.
x sin 2x
2
+
cos 2x
4
+ C.
| Lời giải.
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♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
31
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
Câu 27. Tìm họ nguyên hàm
Z
(2x − 1) ln x dx
A. F (x) = (x
2
− x) ln x −
x
2
2
+ x + C. B. F (x) = (x
2
− x) ln x +
x
2
2
− x + C.
C. F (x) = (x
2
+ x) ln x −
x
2
2
+ x + C. D. F (x) = (x
2
− x) ln x −
x
2
2
− x + C.
| Lời giải.
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Câu 28. Biết
Z
x cos 2x dx = ax sin 2x + b cos 2x + C với a, b là các số hữu tỉ. Tính tích ab.
A. ab =
1
8
. B. ab =
1
4
. C. ab = −
1
8
. D. ab = −
1
4
.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 29. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = (2x + 1) ln x là
A. (x
2
+ x) ln x −
x
2
2
− x + C. B. (x
2
+ x) ln x − x
2
− x + C.
C. (x
2
+ x) ln x −
x
2
2
+ x + C. D. (x
2
+ x) ln x − x
2
+ x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 30. Tìm nguyên hàm J =
Z
(x + 1)e
3x
dx.
A. J =
1
3
(x + 1)e
3x
−
1
9
e
3x
+ C. B. J =
1
3
(x + 1)e
3x
−
1
3
e
3x
+ C.
C. J = (x + 1)e
3x
−
1
3
e
3x
+ C. D. J =
1
3
(x + 1)e
3x
+
1
9
e
3x
+ C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
32
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
33
MỤC LỤC
§1 – NGUYÊN HÀM 1
| Dạng 1.1: Sử dụng nguyên hàm cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
| Dạng 1.2: Nguyên hàm có điều kiện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
| Dạng 1.3: Phương pháp đổi biến số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
| Dạng 1.4: Phương pháp từng phần. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
NGUYÊN HÀMNGUYÊN HÀM
1
C
h
ủ
đề
p Dạng 1.1. Sử dụng nguyên hàm cơ bản
1
Z
dx = x + C 2
Z
kdx = kx + C
3
Z
x
n
dx =
x
n+1
n + 1
+ C 4
Z
(ax + b)
n
dx =
1
a
(ax + b)
n+1
n + 1
+ C
5
Z
dx
x
2
= −
1
x
+ C 6
Z
dx
(ax + b)
2
= −
1
a
.
1
ax + b
+ C
7
Z
dx
x
= ln |x| + C 8
Z
dx
ax + b
=
1
a
ln |ax + b| + C
9
Z
e
x
dx = e
x
+ C
10
Z
e
ax+b
dx =
1
a
e
ax+b
+ C
11
Z
a
x
dx =
a
x
ln a
+ C
12
Z
a
αx+β
dx =
1
α
a
αx+β
ln a
+ C
13
Z
cos xdx = sin x + C
14
Z
cos(ax + b)dx =
1
a
sin(ax + b) + C
15
Z
sin xdx = −cos x + C
16
Z
sin(ax+b)dx = −
1
a
cos(ax+b)+C
17
Z
dx
cos
2
x
= tan x + C 18
Z
dx
cos
2
(ax + b)
=
1
a
tan(ax + b) + C
19
Z
dx
sin
2
x
= −cot x + C 20
Z
dx
sin
2
(ax + b)
= −
1
a
cot(ax+b)+C
21
Z
tan xdx = −ln |cos x| + C
22
Z
tan(ax + b)dx = −
1
a
ln |cos x| + C
23
Z
cot xdx = ln |sin x| + C
24
Z
cot(ax + b)dx =
1
a
ln |sin x| + C
25
Z
1
x
2
− a
2
dx =
1
2a
ln
x − a
x + a
+ C
26
Z
1
x
2
+ a
2
dx =
1
a
arctan
x
a
+ C
Câu 1. Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = 5x
4
− 6x
2
+ 1 là
A 20x
3
− 12x + C. B x
5
− 2x
3
+ x + C.
C 20x
5
− 12x
3
+ x + C. D
x
4
4
+ 2x
2
− 2x + C.
| Lời giải.
Ta có
Z
5x
4
− 6x
2
+ 1
dx = x
5
− 2x
3
+ x + C.
Chọn đáp án B
Câu 2. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x
3
+ x
2
là
A
x
4
4
+
x
3
3
+ C. B x
4
+ x
3
. C 3x
2
+ 2x. D
1
4
x
4
+
1
4
x
3
.
| Lời giải.
Z
x
3
+ x
2
dx =
x
4
4
+
x
3
3
+ C.
Chọn đáp án A
Câu 3. Nguyên hàm của hàm số f(x) = 4x
3
+ x − 1 là:
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
1
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
A x
4
+ x
2
+ x + C. B 12x
2
+ 1 + C. C x
4
+
1
2
x
2
− x + C. D x
4
−
1
2
x
2
− x + C.
| Lời giải.
Phương pháp: Sử dụng nguyên hàm cơ bản
Z
x
n
dx =
x
n+1
n + 1
+ C.
Cách giải:
Z
f(x) dx = 4 ·
x
4
4
+
x
2
2
− x + C = x
4
+
1
2
· x
2
− x + C.
Chọn đáp án C
Câu 4. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x
2
− 1 là
A x
3
+ C. B
x
3
3
+ x + C. C 6x + C. D x
3
− x + C.
| Lời giải.
Ta có
Z
f(x)dx =
Z
(3x
2
− 1) dx = x
3
− x + C.
Chọn đáp án D
Câu 5. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x
2
+ 3 là
A
x
3
3
+ 3x + C. B x
3
+ 3x + C. C
x
3
2
+ 3x + C. D x
2
+ 3 + C.
| Lời giải.
Sử dụng công thức
Z
x
n
dx =
x
n+1
n + 1
+ C (n 6= −1).
Chọn đáp án A
Câu 6. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x (1 + 3x
3
) là
A x
2
Å
1 +
3
2
x
2
ã
+ C. B x
2
Å
1 +
6x
3
5
ã
+ C. C 2x
Å
x +
3
4
x
4
ã
+ C. D x
2
Å
x +
3
4
x
3
ã
+ C.
| Lời giải.
Ta có
R
f(x) dx =
R
2x (1 + 3x
3
) dx =
R
(2x + 6x
4
) dx = x
2
+
6x
5
5
+ C = x
2
Å
1 +
6x
3
5
ã
+ C.
Chọn đáp án B
Câu 7. Tìm họ nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) =
1
5x + 4
.
A F (x) =
1
ln 5
ln |5x + 4| + C. B F (x) = ln |5x + 4| + C.
C F (x) =
1
5
ln |5x + 4| + C. D F (x) =
1
5
ln(5x + 4) + C.
| Lời giải.
Ta có
Z
1
5x + 4
dx =
1
5
ln |5x + 4| + C.
Chọn đáp án C
Câu 8. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = e
x
+ x là
A e
x
+ x
2
+ C. B e
x
+
1
2
x
2
+ C.
C
1
x + 1
e
x
+
1
2
x
2
+ C. D e
x
+ 1 + C.
| Lời giải.
Z
f(x) dx =
Z
(e
x
+ x) dx = e
x
+
1
2
x
2
+ C
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
2
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
Chọn đáp án B
Câu 9. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x + sin x là
A x
2
+ cos x + C. B x
2
− cos x + C. C
x
2
2
− cos x + C. D
x
2
2
+ cos x + C.
| Lời giải.
Cách 1: Dựa vào bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản ta có
Z
(x + sin x) dx =
x
2
2
− cos x + C.
Cách 2: Lấy đạo hàm các hàm số trên ta được kết quả.
Chọn đáp án C
Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x
2
+ cos x là
A 2x − sin x + C. B
1
3
x
3
+ sin x + C. C
1
3
x
3
− sin x + C. D x
3
+ sin x + C.
| Lời giải.
Ta có:
Z
(x
2
+ cos x)dx =
1
3
x
3
+ sin x + C.
Chọn đáp án B
Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e
2x
.
A
Z
e
2x
dx = 2e
2x
+ C. B
Z
e
2x
dx = e
2x
+ C.
C
Z
e
2x
dx =
e
2x+1
2x + 1
+ C. D
Z
e
2x
dx =
1
2
e
2x
+ C.
| Lời giải.
Ta có
Z
e
2x
dx =
1
2
Z
e
2x
d(2x) =
1
2
e
2x
+ C.
Chọn đáp án D
Câu 12. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 5
2x
?
A
Z
5
2x
dx = 2.5
2x
ln 5 + C. B
Z
5
2x
dx = 2.
5
2x
ln 5
+ C.
C
Z
5
2x
dx =
25
x
2 ln 5
+ C. D
Z
5
2x
dx =
25
x+1
x + 1
+ C.
| Lời giải.
Ta có
Z
5
2x
dx =
1
2
.
5
2x
ln 5
+ C =
25
x
2 ln 5
+ C.
Chọn đáp án C
Câu 13. Tìm họ nguyên hàm của hàm số y = x
2
− 3
x
+
1
x
.
A
x
3
3
−
3
x
ln 3
−
1
x
2
+ C, C ∈ R. B
x
3
3
− 3
x
+
1
x
2
+ C, C ∈ R.
C
x
3
3
−
3
x
ln 3
− ln |x| + C, C ∈ R. D
x
3
3
−
3
x
ln 3
+ ln |x| + C, C ∈ R.
| Lời giải.
Ta có
Z
Å
x
2
− 3
x
+
1
x
ã
dx =
x
3
3
−
3
x
ln 3
−
1
x
2
+ C, C ∈ R.
Chọn đáp án D
Câu 14. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =
2
4x − 3
.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
3
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
A
Z
2
4x − 3
dx =
1
4
ln |4x − 3| + C. B
Z
2
4x − 3
dx = 2 ln
2x −
3
2
+ C.
C
Z
2
4x − 3
dx =
1
2
ln
2x −
3
2
+ C. D
Z
2
4x − 3
dx =
1
2
ln
Å
2x −
3
2
ã
+ C.
| Lời giải.
Ta có
Z
2
4x − 3
dx =
Z
1
2x −
3
2
dx =
1
2
ln
2x −
3
2
+ C.
Chọn đáp án C
Câu 15. Hàm số F (x) = e
x
2
là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
A f (x) = 2xe
x
2
. B f (x) = x
2
e
x
2
. C f (x) = e
x
2
. D f (x) =
e
x
2
2x
.
| Lời giải.
Ta có f (x) = (F (x))
0
=
Ä
e
x
2
ä
0
= 2xe
x
2
.
Chọn đáp án A
Câu 16. Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 3
−x
.
A
3
−x
ln 3
+ C. B −
3
−x
ln 3
+ C. C −3
−x
+ C. D −3
−x
ln 3 + C.
| Lời giải.
Ta có
Z
3
−x
dx = −
3
−x
ln 3
+ C.
Chọn đáp án B
Câu 17. Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = sin 5x.
A
1
5
cos 5x + C. B cos 5x + C. C −cos 5x + C. D −
1
5
cos 5x + C.
| Lời giải.
Ta có
Z
sin 5xdx =
1
5
Z
sin 5xd(5x) = −
1
5
cos 5x + C.
Chọn đáp án D
Câu 18. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x
2
+ sin x là
A x
3
+ cos x + C. B 6x + cos x + C. C x
3
− cos x + C. D 6x − cos x + C.
| Lời giải.
Z
3x
2
+ sin x
dx = 3 ·
x
3
3
− cos x + C = x
3
− cos x + C.
Chọn đáp án C
Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + 1 là
A F (x) = 2x
2
+ x. B F (x) = 2.
C F (x) = C. D F (x) = x
2
+ x + C.
| Lời giải.
Ta có
F (x) =
Z
f(x) dx =
Z
(2x + 1) dx = x
2
+ x + C.
Chọn đáp án D
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
4
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = e
x
+ x là
A e
x
+ x
2
+ C. B e
x
+
1
2
x
2
+ C.
C
1
x + 1
e
x
+
1
2
x
2
+ C. D e
x
+ 1 + C.
| Lời giải.
Ta có
Z
f(x) dx =
Z
(e
x
+ x) dx =
Z
e
x
dx +
Z
x dx = e
x
+
1
2
x
2
+ C, với C là hằng số.
Chọn đáp án B
Câu 21. Hàm số F (x) nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số y =
3
√
x + 1?
A F (x) =
3
4
(x + 1)
4
3
+ C. B F (x) =
4
3
3
p
(x + 1)
4
+ C.
C F (x) =
3
4
(x + 1)
3
√
x + 1 + C. D F (x) =
3
4
4
p
(x + 1)
3
+ C.
| Lời giải.
Ta có: I =
Z
3
√
x + 1 dx
Đặt: t =
3
√
x + 1 ⇒ t
3
= x + 1 ⇒ 3t
2
dt = dx
⇒ I =
Z
t · 3t
2
dt =
Z
3t
3
dt =
3
4
t
4
+ C =
3
4
3
p
(x + 1)
4
+ C =
3
4
(x + 1)
3
√
x + 1 + C
Vậy F (x) =
3
4
(x + 1)
3
√
x + 1 + C.
Chọn đáp án C
Câu 22. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) =
x
2
− x + 1
x − 1
.
A x +
1
x − 1
+ C. B x +
1
(x − 1)
2
+ C.
C
x
2
2
+ ln |x − 1| + C. D x
2
+ ln |x − 1| + C.
| Lời giải.
Z
x
2
− x + 1
x − 1
dx =
Z
Å
x +
1
x − 1
ã
dx =
x
2
2
+ ln |x − 1| + C.
Chọn đáp án C
Câu 23. Tìm tất cả nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x
2
+
x
2
.
A
Z
f(x) dx =
x
3
3
+
x
2
4
+ C. B
Z
f(x) dx = x
3
+
x
2
2
+ C.
C
Z
f(x) dx = x
3
+
x
2
4
+ C. D
Z
f(x) dx = x
3
+
x
2
4
.
| Lời giải.
Ta có
Z
f(x) dx =
Z
3x
2
+
x
2
dx = 3
Z
x
2
dx +
1
2
Z
x dx = x
3
+
x
2
4
+ C.
Chọn đáp án C
Câu 24. Nguyên hàm của hàm số y = e
−3x+1
là
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
5
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
A
1
3
e
−3x+1
+ C. B −3e
−3x+1
+ C. C −
1
3
e
−3x+1
+ C. D 3e
−3x+1
+ C.
| Lời giải.
Ta có:
Z
e
−3x+1
dx = −
1
3
e
−3x+1
+ C.
Chọn đáp án C
Câu 25. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = cos
x
2
.
A F (x) = 2 sin
x
2
+ C. B F (x) =
1
2
sin
x
2
+ C.
C F (x) = −2 sin
x
2
+ C. D F (x) = −
1
2
sin
x
2
+ C.
| Lời giải.
Ta có F (x) =
Z
cos
x
2
dx = 2 sin
x
2
+ C.
Chọn đáp án A
Câu 26. Tìm nguyên hàm của hàm số y = 12
12x
.
A
Z
12
12x
dx = 12
12x−1
· ln 12 + C. B
Z
12
12x
dx = 12
12x
· ln 12 + C.
C
Z
12
12x
dx =
12
12x
ln 12
+ C. D
Z
12
12x
dx =
12
12x−1
ln 12
+ C.
| Lời giải.
Ta có
Z
12
12x
dx =
1
12
·
12
12x
ln 12
+ C =
12
12x−1
ln 12
+ C.
Chọn đáp án D
Câu 27. Họ nguyên hàm
Z
x
3
− 2x
2
+ 5
x
2
dx bằng
A
x
2
2
− 2x −
5
x
+ C. B −2x +
5
x
+ C. C x
2
− 2x −
5
x
+ C. D x
2
− x −
5
x
+ C.
| Lời giải.
Ta có
Z
x
3
− 2x
2
+ 5
x
2
dx =
Z
Å
x − 2 +
5
x
2
ã
dx =
x
2
2
− 2x −
5
x
+ C.
Chọn đáp án A
Câu 28. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) =
1
2
√
2x + 1
.
A
Z
f(x) dx =
√
2x + 1 + C. B
Z
f(x) dx = 2
√
2x + 1 + C.
C
Z
f(x) dx =
1
(2x + 1)
√
2x + 1
+ C. D
Z
f(x) dx =
1
2
√
2x + 1 + C.
| Lời giải.
Z
f(x) dx =
Z
1
4
√
2x + 1
d(2x + 1) =
1
2
√
2x + 1 + C.
Chọn đáp án D
Câu 29. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sin 3x là
A 3 cos 3x + C. B
1
3
cos 3x + C. C −
1
3
cos 3x + C. D −3 cos 3x + C.
| Lời giải.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
6
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
Z
sin 3x dx =
Z
sin 3x d(3x)
3
= −
1
3
cos 3x + C.
Chọn đáp án C
Câu 30. Tính I =
Z
dx
cos
2
x
được kết quả
A −cot x + C. B tan x + C. C −tan x + C. D cot x + C.
| Lời giải.
Ta có I =
Z
dx
cos
2
x
= tan x + C.
Chọn đáp án B
Câu 31. Tìm F (x) =
Z
6x + 2
3x − 1
dx.
A F (x) = 2x +
4
3
ln |3x − 1| + C. B F (x) = 2x + 4 ln |3x − 1| + C.
C F (x) =
4
3
ln |3x − 1| + C. D F (x) = 2x + 4 ln(3x − 1) + C.
| Lời giải.
Ta có F (x) =
Z
6x + 2
3x − 1
dx =
Z
Å
2 +
4
3x − 1
ã
dx = 2x +
4
4
ln |3x − 1| + C.
Chọn đáp án A
Câu 32. Tính nguyên hàm I =
Z
(2
x
+ 3
x
) dx.
A I =
2
x
ln 2
+
3
x
ln 3
+ C. B I =
ln 2
2
x
+
ln 3
3
x
+ C.
C I =
ln 2
2
+
ln 3
3
+ C. D I = −
ln 2
2
−
ln 3
3
+ C.
| Lời giải.
Ta có I =
Z
(2
x
+ 3
x
) dx =
2
x
ln 2
+
3
x
ln 3
+ C.
Chọn đáp án A
Câu 33. Tìm H =
Z
4
√
2x − 1 dx.
A
H =
2
5
(2x − 1)
5
4
+ C. B H = (2x − 1)
5
4
+ C.
C H =
1
5
(2x − 1)
5
4
+ C. D H =
8
5
(2x − 1)
5
4
+ C.
| Lời giải.
Ta có: H =
Z
4
√
2x − 1 dx =
Z
(2x − 1)
1
4
dx =
1
2
·
(2x − 1)
1
4
+1
1
4
+ 1
+ C =
2
5
(2x − 1)
5
4
+ C.
Chọn đáp án A
Câu 34. Hàm số F (x) =
1
4
ln
4
x+C là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
A f (x) =
ln
3
x
x
. B f (x) =
1
x ln
3
x
. C f(x) =
x
ln
3
x
. D f(x) =
x ln
3
x
3
.
| Lời giải.
Ta có F
0
(x) =
1
x
ln
3
x.
Chọn đáp án A
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
7
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
Câu 35. Tìm
Z
Å
3
√
x
2
+
4
x
ã
dx
A
3
5
3
√
x
5
+ 4 ln |x| + C. B
3
5
3
√
x
5
− 4 ln |x| + C.
C −
3
5
3
√
x
5
+ 4 ln |x| + C. D
5
3
3
√
x
5
+ 4 ln |x| + C.
| Lời giải.
Z
Å
3
√
x
2
+
4
x
ã
dx =
Z
x
2
3
dx + 4
Z
1
x
dx =
3
5
x
5
3
+ 4 ln |x| + C =
3
5
3
√
x
5
+ 4 ln |x| + C.
Chọn đáp án A
Câu 36. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x + sin x là
A 1 + cos x + C. B
x
2
2
− cos x + C. C
x
2
2
+ cos x + C. D x
2
− cos x + C.
| Lời giải.
F (x) =
x
2
2
− cos x + C
Chọn đáp án B
Câu 37. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =
1
x
2
là
A −
1
x
+ C. B x
3
+ C. C −
1
3x
2
. D
1
x
+ C.
| Lời giải.
Ta có
Z
1
x
2
dx =
Z
x
−2
dx = −
1
x
+ C.
Chọn đáp án A
Câu 38. Hàm số F (x) = 2 sin x − 3 cos x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A f (x) = −2 cos x − 3 sin x . B f(x) = −2 cos x + 3 sin x .
C f(x) = 2 cos x + 3 sin x . D f(x) = 2 cos x − 3 sin x .
| Lời giải.
Ta có F
0
(x) = 2 cos x + 3 sin x.
Chọn đáp án C
Câu 39. Một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 3
x
− 2x là
A F (x) =
3
x
ln 3
− x
2
− 1. B F (x) =
3
x
ln 3
− 2.
C F (x) =
3
x
ln 3
−
x
2
2
. D F (x) = 3
x
ln 3 − x
2
.
| Lời giải.
Ta có
Z
(3
x
− 2x) dx =
3
x
ln 3
− x
2
+ C.
Chọn đáp án A
Câu 40. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x
2
+ sin x là
A x
3
+ cos x + C. B x
3
+ sin x + C. C x
3
− cos x + C. D x
3
− sin x + C.
| Lời giải.
Z
(3x
2
+ sin x) dx = x
3
− cos x + C.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
8
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
Chọn đáp án C
Câu 41. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sin 5x + 2 là
A 5 cos 5x + C. B −
1
5
cos 5x + 2x + C.
C
1
5
cos 5x + 2x + C. D cos 5x + 2x + C.
| Lời giải.
Ta có:
Z
f(x)dx =
Z
(sin 5x + 2)dx = −
1
5
cos 5x + 2x + C.
Chọn đáp án B
Câu 42. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) =
2x
2
+ x − 1
x
2
.
A
Z
2x
2
+ x − 1
x
2
dx = 2 +
1
x
−
1
x
2
+ C. B
Z
2x
2
+ x − 1
x
2
dx = 2x +
1
x
+ ln |x| + C.
C
Z
2x
2
+ x − 1
x
2
dx = x
2
+ ln |x| +
1
x
+ C. D
Z
2x
2
+ x − 1
x
2
dx = x
2
−
1
x
+ ln |x| + C.
| Lời giải.
Z
2x
2
+ x − 1
x
2
dx =
Z
Å
2 +
1
x
−
1
x
2
ã
dx = 2x + ln |x| +
1
x
+ C.
Chọn đáp án B
Câu 43. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 10
x
.
A
Z
10
x
dx =
10
x
ln 10
+ C. B
Z
10
x
dx = 10
x
ln 10 + C.
C
Z
10
x
dx = 10
x+1
+ C. D
Z
10
x
dx =
10
x+1
x + 1
+ C.
| Lời giải.
Áp dụng công thức
Z
a
x
dx =
a
x
ln a
+ C với a > 0.
Chọn đáp án A
Câu 44. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e
x
+ 2 sin x.
A
Z
(e
x
+ 2 sin x) dx = e
x
− cos
2
x + C. B
Z
(e
x
+ 2 sin x) dx = e
x
+ sin
2
x + C.
C
Z
(e
x
+ 2 sin x) dx = e
x
− 2 cos x + C. D
Z
(e
x
+ 2 sin x) dx = e
x
+ 2 cos x + C.
| Lời giải.
Z
(e
x
+ 2 sin x) dx = e
x
− 2 cos x + C.
Chọn đáp án C
Câu 45. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x
2
− 2
x
.
A
Z
f(x) dx =
x
3
3
+
2
x
ln 2
+ C. B
Z
f(x) dx = 2x −
2
x
ln 2
+ C.
C
Z
f(x) dx =
x
3
3
−
2
x
ln 2
+ C. D
Z
f(x) dx = 2x − 2
x
ln 2 + C.
| Lời giải.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
9
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
Z
f(x) dx =
Z
(x
2
− 2
x
) dx =
x
3
3
−
2
x
ln 2
+ C.
Chọn đáp án C
Câu 46. Hàm số F (x) = e
x
2
là nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A f (x) = x
2
e
x
2
+ 3. B f (x) = 2x
2
e
x
2
+ C. C f (x) = 2xe
x
2
. D f (x) = xe
x
2
.
| Lời giải.
Ta có F
0
(x) =
Ä
e
x
2
ä
0
= (x
2
)
0
· e
x
2
= 2xe
x
2
.
Vậy F (x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = 2xe
x
2
.
Chọn đáp án C
Câu 47. Họ nguyên hàm của f(x) =
2x
4
+ 3
x
2
là
A
2x
3
3
− 3 ln |x| + C. B
2x
3
3
+ 3 ln x + C. C
2x
3
3
−
3
x
+ C. D
2x
3
3
+
3
x
+ C.
| Lời giải.
Z
2x
4
+ 3
x
2
dx =
Z
Å
2x
2
+
3
x
2
ã
dx =
2x
3
3
−
3
x
+ C.
Chọn đáp án C
Câu 48. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + sin 2x.
A x
2
−
1
2
cos 2x + C. B x
2
+
1
2
cos 2x + C. C x
2
− 2 cos 2x + C. D x
2
+ 2 cos 2x + C.
| Lời giải.
Ta có
Z
2x + sin 2x = x
2
−
1
2
cos 2x + C.
Chọn đáp án A
Câu 49. Họ nguyên hàm của hàm số y = x
2
− 3x +
1
x
là
A F (x) =
x
3
3
−
3
2
x
2
+ ln x + C. B F (x) =
x
3
3
−
3
2
x
2
+ ln |x| + C.
C F (x) =
x
3
3
+
3
2
x
2
+ ln x + C. D F (x) = 2x − 3 −
1
x
+ C.
| Lời giải.
Ta có F (x) =
Z
Å
x
2
− 3x +
1
x
ã
dx =
x
3
3
−
3
2
x
2
+ ln |x| + C.
Chọn đáp án B
Câu 50. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3
x
+
1
x
2
.
A
Z
f(x) dx = 3
x
+
1
x
+ C. B
Z
f(x) dx =
3
x
ln 3
+
1
x
+ C.
C
Z
f(x) dx = 3
x
−
1
x
+ C. D
Z
f(x) dx =
3
x
ln 3
−
1
x
+ C.
| Lời giải.
Ta có
Å
3
x
ln 3
−
1
x
+ C
ã
0
=
3
x
ln 3
ln 3
−
Å
−
1
x
2
ã
= 3
x
+
1
x
2
.
Chọn đáp án D
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
10
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
p Dạng 1.2. Nguyên hàm có điều kiện
Z
f(x)d x thỏa mãn F (x
0
) = k.
Bước 1: Tìm nguyên hàm F (x) = G(x) + C (*)
Bước 2: Từ F (x
0
) = k, tìm được C.
Bước 2: Thay C vào (*) và kết luận.
Câu 1. Cho hàm số f(x) = 2x + e
x
. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) thỏa mãn
F (0) = 2019.
A F (x) = e
x
− 2020. B F (x) = x
2
+ e
x
− 2019.
C F (x) = x
2
+ e
x
+ 2017. D F (x) = x
2
+ e
x
+ 2018.
| Lời giải.
F (x) =
Z
(2x + e
x
) dx = x
2
+ e
x
+ C.
Do F (0) = 2019 nên 0
2
+ e
0
+ C = 2019 ⇔ C = 2018.
Vậy F (x) = x
2
+ e
x
+ 2018.
Chọn đáp án D
Câu 2. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = e
2x
và F (0) =
201
2
. Giá trị F
Å
1
2
ã
là
A
1
2
e + 200. B 2e + 200. C
1
2
e + 50. D
1
2
e + 100.
| Lời giải.
Ta có F (x) =
Z
e
2x
dx =
1
2
e
2x
+ C.
Theo đề bài ta có F (0) =
201
2
⇔
1
2
e
0
+ C =
201
2
⇔ C = 100.
Vậy F (x) =
1
2
e
2x
+ 100 ⇒ F (2) =
1
2
e + 100.
Chọn đáp án D
Câu 3. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) ·g(x) biết F (1) = 3, biết
Z
f(x)dx = x + 2018
và
Z
g(x)dx = x
2
+ 2019.
A F (x) = x
3
+ 1. B F (x) = x
3
+ 3. C F (x) = x
2
+ 2. D F (x) = x
2
+ 3.
| Lời giải.
Ta có
Z
f(x)dx = x + 2018 ⇒ f (x) = (x + 2018)
0
= 1
và
Z
g(x)dx = x
2
+ 2019 ⇒ g(x) = (x
2
+ 2019)
0
= 2x.
⇒ f(x) · g(x) = 2x ⇒ F (x) =
Z
f(x) · g(x)dx = x
2
+ C.
Mặt khác F (1) = 3 ⇒ 1
2
+ C = 3 ⇒ C = 2.
Vậy F (x) = x
2
+ 2.
Chọn đáp án C
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
11
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
Câu 4. Cho F (x) là một nguyên hàm của f (x) =
1
x − 1
trên khoảng (1; +∞) thỏa mãn F (e+1) = 4
. Tìm F (x) .
A F (x) = 2 ln(x − 1) + 2. B F (x) = ln(x − 1) + 3.
C F (x) = 4 ln(x − 1). D F (x) = ln(x − 1) − 3.
| Lời giải.
Ta có F (x) =
Z
1
x − 1
dx = ln(x − 1) + C.
F (e + 1) = 4 ⇒ ln e + C = 4 ⇒ C = 3.
Vậy F (x) = ln(x − 1) + 3.
Chọn đáp án
B
Câu 5. Cho F (x) là nguyên hàm của f(x) =
1
√
x + 2
thỏa mãn F (2) = 4. Giá trị F (−1) bằng
A
√
3. B 1. C 2
√
3. D 2.
| Lời giải.
F (x) =
Z
f(x) dx =
Z
1
√
x + 2
dx = 2
√
x + 2 + C.
Theo đề bài F (2) = 4 nên 2
√
2 + 2 + C = 4 ⇔ C = 0 ⇒ F (−1) = 2
√
−1 + 2 = 2.
Vậy F (−1) = 2.
Chọn đáp án D
Câu 6. Tìm hàm số F (x) biết F (x) =
Z
x
3
x
4
+ 1
dx và F (0) = 1.
A F (x) = ln(x
4
+ 1) + 1. B F (x) =
1
4
ln(x
4
+ 1) +
3
4
.
C F (x) =
1
4
ln(x
4
+ 1) + 1. D F (x) = 4 ln(x
4
+ 1) + 1.
| Lời giải.
Ta có F (x) =
1
4
Z
1
x
4
+ 1
d(x
4
+ 1) =
1
4
ln(x
4
+ 1) + C.
Do F (0) = 1 nên
1
4
ln(0 + 1) + C ⇔ C = 1.
Vậy F (x) =
1
4
ln(x
4
+ 1) + 1.
Chọn đáp án
C
Câu 7. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm f(x) = sin 2x và F
π
4
= 1. Tính F
π
6
.
A F
π
6
=
5
4
. B F
π
6
= 0. C F
π
6
=
3
4
. D F
π
6
=
1
2
.
| Lời giải.
Ta có: F (x) =
Z
sin 2x dx = −
1
2
cos 2x + C. Biết F
π
4
= 1 ⇒ −
1
2
cos
π
2
+ C = 1 ⇒ C = 1.
Do đó F (x) = −
1
2
cos 2x + 1.
Suy ra: F
π
6
= −
1
2
cos 2 ·
π
6
+ 1 =
3
4
.
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12
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
Cách khác:
π
4
Z
π
6
sin 2x dx =
1
4
= F
π
4
− F
π
6
⇔
1
4
= 1 − F
π
6
⇔ F
π
6
=
3
4
.
Chọn đáp án C
Câu 8. Cho hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos 3x và F
π
2
=
14
3
thì
A F (x) =
1
3
sin 3x +
13
3
. B F (x) = −
1
3
sin 3x + 5.
C F (x) =
1
3
sin 3x + 5. D F (x) = −
1
3
sin 3x +
13
3
.
| Lời giải.
F (x) là một nguyên hàm của f(x) = cos 3x nên F (x) =
1
3
sin 3x + C.
Mà F
π
2
=
14
3
nên
1
3
sin
Å
3π
2
ã
+ C =
14
3
⇔ C = 5.
Chọn đáp án C
Câu 9. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = sin x và đồ thị hàm số y = F (x) đi qua
điểm M (0; 1). Tính F
π
2
.
A F
π
2
= 0. B F
π
2
= 1. C F
π
2
= 2. D F
π
2
= −1.
| Lời giải.
Ta có
π
2
Z
0
f(x) dx = F
π
2
− F (0) = F
π
2
− 1 ⇒ F
π
2
=
π
2
Z
0
sin x dx + 1 = sin x
π
2
0
+ 1 = 2.
Chọn đáp án C
Câu 10. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x
2
+ 8 sin x và thỏa mãn F (0) = 2010.
Tìm F (x).
A F (x) = 6x − 8 cos x + 2018. B F (x) = 6x + 8 cos x.
C F (x) = x
3
− 8 cos x + 2018. D F (x) = x
3
− 8 cos x + 2019.
| Lời giải.
Ta có F (x) =
Z
3x
2
+ 8 sin x
dx = x
3
− 8 cos x + C.
Mặt khác F (0) = 2010 ⇔ −8 + C = 2010 ⇔ C = 2018.
Vậy F (x) = x
3
− 8 cos x + 2018.
Chọn đáp án C
Câu 11. Tính nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = e
2x
, biết F (0) = 1.
A F (x) = e
2x
. B F (x) = e
2x
− 1. C F (x) = e
x
. D F (x) =
e
2x
2
+
1
2
.
| Lời giải.
F (x) =
Z
e
2x
dx =
1
2
· e
2x
+ C. Vì F (0) = 1 nên C =
1
2
. Vậy F (x) =
e
2x
2
+
1
2
.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
13
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
Chọn đáp án D
Câu 12. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) =
1
x − 1
và F (2) = 1. Tính F (3).
A F (3) = ln 2 − 1. B F (3) = ln 2 + 1. C F (3) =
1
2
. D F (3) =
7
4
.
| Lời giải.
Ta có F (x) =
Z
1
x − 1
dx = ln |x − 1| + C.
Theo đề F (2) = 1 ⇔ ln 1 + C = 1 ⇔ C = 1.
Vậy F (3) = ln 2 + 1.
Chọn đáp án B
Câu 13. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
x − 1
và F (3) = 1. Tính giá trị của
F (2).
A F (2) = −1 − ln 2. B F (2) = 1 − ln 2. C F (2) = −1 + ln 2. D F (2) = 1 + ln 2.
| Lời giải.
Có F (x) =
Z
f(x) dx =
Z
1
x − 1
dx = ln |x − 1| + C, mà F (3) = 1 ⇔ C = 1 − ln 2.
Vậy F (x) = ln |x − 1| + 1 − ln 2 ⇒ F (2) = 1 − ln 2.
Chọn đáp án B
Câu 14. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 6x + sin 3x, biết F (0) =
2
3
.
A F (x) = 3x
2
−
cos 3x
3
+
2
3
. B F (x) = 3x
2
−
cos 3x
3
− 1.
C F (x) = 3x
2
+
cos 3x
3
+ 1. D F (x) = 3x
2
−
cos 3x
3
+ 1.
| Lời giải.
Ta có
Z
(6x + sin 3x) dx = 3x
2
−
cos 3x
3
+ C. Mà F (0) =
2
3
nên C = 1.
Chọn đáp án D
Câu 15. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin 3x thoả mãn F
π
2
= 2.
A F (x) = −
cos 3x
3
+
5
3
. B F (x) = −
cos 3x
3
+ 2.
C F (x) = −
cos 3x
3
+ 2. D F (x) = −cos 3x + 2.
| Lời giải.
Ta có
Z
sin 3x dx = −
1
3
· cos 3x + C.
Ta có F
π
2
= 2 ⇔ C = 2.
Vậy F (x) = −
1
3
· cos 3x + 2.
Chọn đáp án B
Câu 16. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e
x
+ 2x thỏa mãn F (0) =
3
2
. Tìm
F (x).
A F (x) = e
x
+ x
2
+
5
2
. B F (x) = 2e
x
+ x
2
−
1
2
.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
14
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
C F (x) = e
x
+ x
2
+
3
2
. D F (x) = e
x
+ x
2
+
1
2
.
| Lời giải.
Ta có F (x) =
Z
f(x) dx = e
x
+ x
2
+ C.
Theo bài ra F (0) =
3
2
⇒ C + 1 =
3
2
⇒ C =
1
2
.
Vậy F (x) = e
x
+ x
2
+
1
2
.
Chọn đáp án D
Câu 17. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 + 2x + 3x
2
thỏa mãn F (1) = 2. Tính
F (0) + F (−1).
A −3. B −4. C 3. D 4.
| Lời giải.
F (x) =
Z
(1 + 2x + 3x
2
) dx = x + x
2
+ x
3
+ C.
Do F (1) = 2 nên C = −1. Suy ra F (x) = x + x
2
+ x
3
− 1, từ đó ta có F (0) + F (−1) = −3.
Chọn đáp án A
Câu 18. Nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 5x
4
−3x
2
trên tập số thực thỏa mãn F (1) = 3 là
A x
5
− x
3
+ 2x + 1. B x
5
− x
3
+ 3. C x
5
− x
3
+ 5. D x
5
− x
3
.
| Lời giải.
Ta có F (x) = x
5
− x
3
+ C, do F (1) = C = 3 nên F (x) = x
5
− x
3
+ 3.
Chọn đáp án B
Câu 19. F (x) là một nguyên hàm của hàm số y = 2 sin x cos 3x và F (0) = 0, khi đó
A F (x) = cos 4x − cos 2x. B F (x) =
cos 2x
4
−
cos 4x
8
−
1
8
.
C F (x) =
cos 2x
2
−
cos 4x
4
−
1
4
. D F (x) =
cos 4x
4
−
cos 2x
2
+
1
4
.
| Lời giải.
Ta có F (x) =
Z
2 sin x cos 3x dx =
Z
[−sin 2x + sin 4x] dx =
cos 2x
2
−
sin 4x
2
+ C.
Vì F (0) = 0, suy ra C = −
1
4
.
Vậy F (x) =
cos 2x
2
−
cos 4x
4
−
1
4
.
Chọn đáp án C
Câu 20. Cho hàm số f(x) = x
3
− x
2
+ 2x − 1. Gọi F (x) là một nguyên hàm của f(x). Biết rằng
F (1) = 4. Tìm F (x).
A F (x) =
x
4
4
−
x
3
3
+ x
2
− x. B F (x) =
x
4
4
−
x
3
3
+ x
2
− x + 1.
C F (x) =
x
4
4
−
x
3
3
+ x
2
− x + 2. D F (x) =
x
4
4
−
x
3
3
+ x
2
− x +
49
12
.
| Lời giải.
Ta có F (x) =
x
4
4
−
x
3
3
+ x
2
− x + C.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
15
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
F (1) = 4 ⇒ C =
49
12
.
Vậy F (x) =
x
4
4
−
x
3
3
+ x
2
− x +
49
12
.
Chọn đáp án D
Câu 21. Cho hàm số f(x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện f
0
(x) = x + sin x và f (0) = 1. Tìm
f(x).
A f (x) =
x
2
2
− cos x + 2. B f(x) =
x
2
2
− cos x − 2.
C f(x) =
x
2
2
+ cos x. D f(x) =
x
2
2
+ cos x +
1
2
.
| Lời giải.
Ta có f(x) =
Z
(x + sin x) dx =
x
2
2
− cos x + C. Lại có, f(0) = 1 ⇔ 1 = −1 + C ⇔ C = 2.
Vậy f(x) =
x
2
2
− cos x + 2.
Chọn đáp án A
Câu 22. Một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin x + 2 cos x biết F
π
2
= 0 là
A F (x) = 2 sin x − cos x + 2. B F (x) = 2 sin x − cos x − 2.
C F (x) = −2 sin x − cos x + 2. D F (x) = sin x − 2 cos x − 2.
| Lời giải.
Ta có
Z
(sin x + 2 cos x) dx = −cos x + 2 sin x + C.
Do F
π
2
= 0 nên C = −2. Vậy F (x) = 2 sin x − cos x − 2.
Chọn đáp án B
Câu 23. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm là f
0
(x) =
1
2x − 1
và f (1) = 1. Giá trị f(5) bằng
A 1 + ln 3. B ln 2. C 1 + ln 2. D ln 3.
| Lời giải.
Ta có f(x) =
Z
f
0
(x) dx =
Z
1
2x − 1
dx =
1
2
· ln |2x − 1| + C.
Vì f(1) = 1 nên
1
2
· ln |2 · 1 − 1| + C = 1 ⇒ C = 1.
Suy ra f(x) =
1
2
· ln |2x − 1| + 1.
Vậy f(5) =
1
2
· ln |2 · 5 − 1| + 1 = ln 3 + 1.
Chọn đáp án A
Câu 24. Cho hàm số f(x) = 2x + e
x
. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) thỏa mãn
F (0) = 0.
A F (x) = x
2
+ e
x
− 1. B F (x) = x
2
+ e
x
.
C F (x) = e
x
− 1. D F (x) = x
2
+ e
x
+ 1.
| Lời giải.
F (x) =
Z
(2x + e
x
)dx = x
2
+ e
x
+ C.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
16
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
F (0) = 0 ⇒ 1 + C = 0 ⇒ C = −1. Vậy F (x) = x
2
+ e
x
− 1.
Chọn đáp án A
Câu 25. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
2x
2
− 2x − 1
x − 1
thỏa mãn F (0) = −1. Tính
F (−1).
A F (−1) = −ln 2. B F (−1) = −2 + ln 2.
C F (−1) = ln 2. D F (−1) = 2 + ln 2.
| Lời giải.
F (x) =
Z
2x
2
− 2x − 1
x − 1
dx =
Z
Å
2x −
1
x − 1
ã
dx = x
2
− ln |x − 1| + C.
F (0) = 0 − ln 1 + C ⇒ C = −1. Vậy F (−1) = 1 − ln 2 − 1 = −ln 2.
Chọn đáp án A
Câu 26. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) =
4
1 + 2x
và F (0)=2. Tìm F (2).
A 4 ln 5 + 2. B 5 (1 + ln 2). C 2 ln 5 + 4. D 2(1 + ln 5).
| Lời giải.
Ta có: F (x) =
Z
4
1 + 2x
dx = 2 ln |1 + 2x| + C.
Mặt khác F (0) = 2 ⇔ C = 2.
Do đó F (2) = 2 ln 5 + 2 = 2(1 + ln 5).
Chọn đáp án D
Câu 27. Cho f(x) =
4m
π
+sin
2
x. Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Tìm m để F (0) = 1
và F
π
4
=
π
8
.
A m = −
3
4
.
B m =
3
4
. C m = −
4
3
. D m =
4
3
.
| Lời giải.
F (x) =
4m
π
x +
Z
1 − cos 2x
2
dx =
4m
π
x +
1
2
x −
1
4
sin 2x + C.
F (0) = 1
F
π
4
=
π
8
⇔
C = 1
m +
π
8
−
1
4
+ C =
π
8
⇒ m = −
3
4
.
Chọn đáp án A
Câu 28. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 6x + sin 3x, biết F (0) =
2
3
.
A F (x) = 3x
2
−
cos 3x
3
+
2
3
. B F (x) = 3x
2
−
cos 3x
3
− 1.
C V = F (x) = 3x
2
+
cos 3x
3
+ 1. D F (x) = 3x
2
−
cos 3x
3
+ 1.
| Lời giải.
Z
f(x) dx =
Z
(6x + sin 3x) dx = 3x
2
−
cos 3x
3
+ C.
Từ F (0) =
2
3
suy ra −
1
3
+ C =
2
3
hay C = 1.
Vậy F (x) = 3x
2
−
cos 3x
3
+ 1.
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17
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
Chọn đáp án D
Câu 29. Tìm hàm số f(x) thỏa mãn f
0
(x) =
6
3 − 2x
và f (2) = 0.
A f (x) = −3 ln |3 − 2x|. B f(x) = 2 ln |3 − 2x|.
C f(x) = −2 ln |3 − 2x|. D f(x) = 3 ln |3 − 2x|.
| Lời giải.
Ta có f(x) =
Z
6
3 − 2x
dx = −3 ln |3 − 2x| + C.
Mà f(2) = 0 nên C = 0, do đó f (x) = −3 ln |3 − 2x|.
Chọn đáp án A
Câu 30. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3
x
ln 9 thỏa mãn F (0) = 2. Tính F (1).
A F (1) = 12 · ln
2
3. B F (1) = 3. C F (1) = 6. D F (1) = 4.
| Lời giải.
Ta có F (x) =
Z
3
x
ln 9 dx = ln 9 ·
3
x
ln 3
+ C = 2 · 3
x
+ C và F (0) = 2 nên C = 0. Do đó F (1) = 6.
Chọn đáp án
C
Câu 31. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) =
1
2x − 1
và F (2) = 3 +
1
2
ln 3. Tính
F (3).
A F (3) =
1
2
ln 5 + 5. B F (3) =
1
2
ln 5 + 3. C F (3) = −2 ln 5 + 5. D F (3) = 2 ln 5 + 3.
| Lời giải.
Có F (x) =
Z
f(x) dx =
Z
1
2x − 1
dx =
1
2
ln |2x − 1| + C.
Ta có F (2) = 3 +
1
2
ln 3 ⇔
1
2
ln 3 + C = 3 +
1
2
ln 3 ⇔ C = 3.
Vậy ta có F (3) =
1
2
ln 5 + 3.
Chọn đáp án B
Câu 32. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 6x + sin 3x, biết F (0) =
2
3
.
A F (x) = 3x
2
−
cos 3x
3
+
2
3
. B F (x) = 3x
2
−
cos 3x
3
− 1.
C F (x) = 3x
2
+
cos 3x
3
+ 1. D F (x) = 3x
2
−
cos 3x
3
+ 1.
| Lời giải.
Ta có F (x) =
Z
(6x + sin 3x)dx = 3x
2
−
cos 3x
3
+ C.
Mà F (0) =
2
3
nên C = 1 ⇒ F (x) = 3x
2
−
cos 3x
3
+ 1.
Chọn đáp án D
Câu 33. Tìm F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x
2
+ e
x
− 1, biết F (0) = 2.
A F (x) = 6x + e
x
− x − 1. B F (x) = x
3
+
1
e
x
− x + 1.
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18
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
C F (x) = x
3
+ e
x
− x + 1. D F (x) = x
3
+ e
x
− x − 1.
| Lời giải.
Ta có
Z
(3x
2
+ e
x
− 1) dx = x
3
+ e
x
− x + C.
Mặt khác F (0) = 2 ⇒ C = 1 ⇒ F (x) = x
3
+ e
x
− x + 1.
Chọn đáp án C
Câu 34. Cho hàm số f(x) thỏa mãn f
0
(x) = 2 − 5 sin x và f (0) = 10. Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A f (x) = 2x + 5 cos x + 5. B f(x) = 2x + 5 cos x + 3.
C f(x) = 2x − 5 cos x + 10. D f(x) = 2x − 5 cos x + 15.
| Lời giải.
Ta có: f
0
(x) = 2 − 5 sin x ⇒ f (x) =
R
(2 − 5 sin x) dx = 2x + 5 cos x + C.
Mà f(0) = 10 ⇒ C = 5 ⇒ f (x) = 2x + 5 cos x + 5.
Chọn đáp án A
Câu 35. Cho F (x) = cos 2x − sin x + C là nguyên hàm của hàm số f(x). Tính f (π).
A f (π) = −3. B f(π) = 1. C f(π) = −1. D f (π) = 0.
| Lời giải.
f(x) = F
0
(x) = −2 sin 2x − cos x, suy ra f (π) = 1.
Chọn đáp án B
Câu 36. Cho F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) =
x
2
+ x + 1
x + 1
và F (0) = 2018. Tính F (−2).
A F (−2) không xác định. B F (−2) = 2.
C F (−2) = 2018. D F (−2) = 2020.
| Lời giải.
Z
f(x) dx =
Z
Å
x +
1
x + 1
ã
dx =
x
2
2
+ ln |x + 1| + C.
Ta có F (0) = 2018 nên C = 2018.
Suy ra F (−2) = 2020.
Chọn đáp án D
Câu 37. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 + 2x + 3x
2
thỏa mãn F (1) = 2. Tính
F (0) + F (−1).
A −3. B −4. C 3. D 4.
| Lời giải.
Ta có F (x) =
Z
(1 + 2x + 3x
2
)dx = x + x
2
+ x
3
+ c.
Mà F (1) = 2 ⇒ c = −1 hay F (x) = x + x
2
+ x
3
− 1.
Do đó F (0) + F (−1) = −3.
Chọn đáp án A
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19
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
Câu 38. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 3x
2
+ 2e
2x
− 1, biết F (0) = 1.
A F (x) = x
3
+ e
2x
− x + 1. B F (x) = x
3
+ 2e
2x
− x − 1.
C F (x) = x
3
+ e
x
− x. D F (x) = x
3
+ e
2x
− x.
| Lời giải.
Ta có
Z
f(x) dx =
Z
3x
2
+ 2e
2x
− 1
dx = x
3
+ e
2x
− x + C
Mà F (0) = 1 ⇒ 1 + C = 1 ⇔ C = 0 nên F (x) = x
3
+ e
2x
− x.
Chọn đáp án D
Câu 39. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = e
2x
, biết F (0) = 1.
A F (x) = e
2x
. B F (x) =
e
2x
2
+
1
2
. C F (x) = 2e
2x
− 1. D F (x) = e
x
.
| Lời giải.
Ta có:
F (x) =
Z
f(x) dx =
Z
e
2x
dx =
1
2
e
2x
+ C.
Theo giả thiết: F (0) = 1 ⇒ C =
1
2
. Vậy F (x) =
e
2x
2
+
1
2
.
Chọn đáp án B
Câu 40. Cho hàm số f(x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện f
0
(x) = x + sin x và f (0) = 1. Tìm
f(x).
A f (x) =
x
2
2
− cos x + 2. B f(x) =
x
2
2
− cos x − 2.
C f(x) =
x
2
2
+ cos x. D f(x) =
x
2
2
+ cos x +
1
2
.
| Lời giải.
Ta có f
0
(x) = x + sin x ⇒ f(x) =
x
2
2
− cos x + C; f(0) = 1 ⇔ −1 + C = 1 ⇔ C = 2.
Vậy f(x) =
x
2
2
− cos x + 2.
Chọn đáp án A
p Dạng 1.3. Phương pháp đổi biến số
I =
Z
f [u(x)] u
0
(x)d x (*)
Đặt: t = u(x) ⇒ d t
đạo hàm 2 vế
−−−−−−−→ u
0
(x)d x thay vào (*) ta được I =
Z
f(t)dt
Câu 1. Khi tính nguyên hàm
Z
x − 3
√
x + 1
dx, bằng cách đặt u =
√
x + 1 ta được nguyên hàm nào?
A
Z
2u
u
2
− 4
du. B
Z
u
2
− 4
du. C
Z
2
u
2
− 4
du. D
Z
u
2
− 3
du.
| Lời giải.
Đặt u =
√
x + 1, u ≥ 0 nên u
2
= x + 1 ⇒
dx = 2udu
x = u
2
− 1
.
Khi đó
Z
x − 3
√
x + 1
dx =
Z
u
2
− 1 − 3
u
.2udu =
Z
2
u
2
− 4
du.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
20
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
Chọn đáp án C
Câu 2. Cho hàm số F (x) =
Z
x
√
x
2
+ 2dx .Biết F
√
2
=
2
3
, tính F
√
7
.
A
40
3
. B 11. C
23
6
. D 7.
| Lời giải.
Ta có: F (x) =
Z
x
√
x
2
+ 2dx =
1
2
Z
√
x
2
+ 2d
x
2
+ 2
=
1
3
√
x
2
+ 2
3
+ C
Mà F
√
2
=
2
3
⇔
8
3
+ C =
2
3
⇔ C = −2
Vậy F
√
7
= 9 − 2 = 7.
Chọn đáp án D
Câu 3. Tính tích phân A =
Z
1
x ln x
dx bằng cách đặt t = ln x. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A A =
Z
dt. B A =
Z
1
t
2
dt. C A =
Z
tdt. D A =
Z
1
t
dt.
| Lời giải.
Đặt t = ln x ⇒ dt =
1
x
dx. Khi đó A =
Z
1
x ln x
dx =
Z
1
t
dt.
Chọn đáp án D
Câu 4. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e
2x
và F (0) =
3
2
.Giá trị F
Å
1
2
ã
là
A
1
2
e +
1
2
. B
1
2
e + 2. C 2e + 1. D
1
2
e + 1.
| Lời giải.
Ta có:F (x) =
Z
e
2x
dx =
1
2
e
2x
+ C.
F (0) =
3
2
⇔
1
2
+ C =
3
2
⇔ C = 1.
F
Å
1
2
ã
=
1
2
e + 1
Chọn đáp án D
Câu 5. Tìm nguyên hàm
Z
x
x
2
+ 7
15
dx.
A
1
32
(x
2
+ 7)
16
+ C. B −
1
32
(x
2
+ 7)
16
+ C.
C
1
2
(x
2
+ 7)
16
+ C. D
1
16
(x
2
+ 7)
16
+ C.
| Lời giải.
Đặt t = x
2
+ 7 ⇒ dt = 2xdx ⇒ xdx =
1
2
dt.
Ta có
Z
x
x
2
+ 7
15
dx =
1
2
Z
t
15
dt =
1
2
.
t
16
16
+ C =
1
32
x
2
+ 7
16
+ C.
Chọn đáp án A
Câu 6. Nếu F (x) =
Z
(x + 1)
√
x
2
+ 2x + 3
dx thì
A F (x) =
1
2
√
x
2
+ 2x + 3 + C. B F (x) = ln
|x + 1|
√
x
2
+ 2x + 3
+ C.
C F (x) =
1
2
ln (x
2
+ 2x + 3) + C. D F (x) =
√
x
2
+ 2x + 3 + C.
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21
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
| Lời giải.
Đặt t =
√
x
2
+ 2x + 3 ⇒ t
2
= x
2
+ 2x + 3 ⇒ 2tdt = 2 (x + 1) dx ⇒ (x + 1) dx = tdt.
Do đó F (x) =
Z
(x + 1) dx
√
x
2
+ 2x + 3
=
Z
tdt
t
= t + C =
√
x
2
+ 2x + 3 + C.
Chọn đáp án D
Câu 7. Tính
Z
dx
√
1 − x
,kết quả là
A
2
√
1 − x
+ C. B −2
√
1 − x + C. C
C
√
1 − x
. D
√
1 − x + C.
| Lời giải.
Đặt u =
√
1 − x ⇒ u
2
= 1 − x ⇒ 2udu = −dx.Ta có
Z
dx
√
1 − x
=
Z
−2udu
u
= −2
Z
du = −2u = −2
√
1 − x + C.
Chọn đáp án B
Câu 8. Nguyên hàm
Z
1
1 +
√
x
dx bằng.
A 2
√
x − 2 ln |
√
x + 1| + C. B 2
√
x + C.
C 2 ln |
√
x + 1| + C. D 2
√
x − 2 ln |
√
x + 1| + C.
| Lời giải.
Đặt
√
x = t ⇒ x = t
2
⇒ dx = 2tdt.
Z
2t
1 + t
dt =
Z
Å
2 −
2
1 + t
ã
dt = 2t − 2 ln |1 + t| + C = 2
√
x − 2 ln |
√
x + 1| + C.
Chọn đáp án D
Câu 9. Nếu F (x) =
Z
(x + 1)
√
x
2
+ 2x + 3
dx thì
A F (x) =
1
2
√
x
2
+ 2x + 3 + C. B F (x) = ln
|x + 1|
√
x
2
+ 2x + 3
+ C.
C F (x) =
1
2
ln (x
2
+ 2x + 3) + C. D F (x) =
√
x
2
+ 2x + 3 + C.
| Lời giải.
Đặt t =
√
x
2
+ 2x + 3 ⇒ t
2
= x
2
+ 2x + 3 ⇒ 2tdt = 2 (x + 1) dx ⇒ (x + 1) dx = tdt .
Do đó F (x) =
Z
(x + 1) dx
√
x
2
+ 2x + 3
=
Z
tdt
t
= t + C =
√
x
2
+ 2x + 3 + C.
Chọn đáp án D
Câu 10. Một nguyên hàm của hàm số y = x
√
1 + x
2
là:
A
x
2
2
√
1 + x
2
3
. B
1
3
√
1 + x
2
6
. C
1
3
√
1 + x
2
3
. D
x
2
2
√
1 + x
2
2
.
| Lời giải.
Đặt t =
√
x
2
+ 1 ⇒ t
2
= x
2
+ 1 ⇒ tdt = xdx.
⇒
Z
x
√
x
2
+ 1dx =
Z
t
2
dt =
t
3
3
+ C =
√
x
2
+ 1
3
3
+ C.
Chọn đáp án C
Câu 11. Xét I =
Z
x
3
4x
4
− 3
5
dx .Bằng cách đặt u = 4x
4
−3, khẳng định nào sau đây đúng.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
22
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
A I =
Z
u
5
du. B I =
1
12
Z
u
5
du. C I =
1
16
Z
u
5
du. D I =
1
4
Z
u
5
du.
| Lời giải.
Ta có u = 4x
4
− 3 ⇒ du = 16x
3
dx ⇒ x
3
dx =
du
16
; Suy ra: I =
Z
x
3
4x
4
− 3
5
dx =
1
16
Z
u
5
du.
Chọn đáp án C
Câu 12. Tìm nguyên hàm
Z
x
x
2
+ 1
9
dx.
A
1
20
(x
2
+ 1)
10
+ C. B
1
10
(x
2
+ 1)
10
+ C.
C −
1
20
(x
2
+ 1)
10
+ C. D (x
2
+ 1)
10
+ C.
| Lời giải.
Z
x
x
2
+ 1
9
dx =
1
2
Z
x
2
+ 1
9
d(x
2
+ 1) =
1
20
x
2
+ 1
10
.
Chọn đáp án A
Câu 13. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
x ln x
thỏa mãn F
Å
1
e
ã
= 2 và F (e) =
ln 2. Giá trị của biểu thức F
Å
1
e
2
ã
+ F (e
2
) bằng
A 3 ln 2 + 2. B ln 2 + 2. C ln 2 + 1. D 2 ln 2 + 1.
| Lời giải.
Ta có
Z
1
x ln x
dx =
Z
d(ln x)
ln x
= ln |ln x| + C, x > 0, x 6= 1.
Nên F (x) =
ln(ln x) + C
1
khi x > 1
ln(−ln x) + C
2
khi 0 < x < 1.
Mà F
Å
1
e
ã
= 2 nên ln
Å
−ln
1
e
ã
+C
2
= 2 ⇔ C
2
= 2; F (e) = ln 2 nên ln(ln e)+C
1
= ln 2 ⇔ C
1
= ln 2.
Suy ra F (x) =
ln(ln x) + ln 2 khi x > 1
ln(−ln x) + 2 khi 0 < x < 1.
Vậy F
Å
1
e
2
ã
+ F (e
2
) = ln
Å
−ln
1
e
2
ã
+ 2 + ln(ln e
2
) + ln 2 = 3 ln 2 + 2.
Chọn đáp án A
Câu 14. Cho hàm số f (x) = sin
2
2x·sin x. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm f (x).
A y =
4
3
cos
3
−
4
5
sin
5
x + C. B y = −
4
3
cos
3
x +
4
5
cos
5
x + C.
C y =
4
3
sin
3
x −
4
5
cos
5
x + C. D y = −
4
3
sin
3
x +
4
5
sin
5
x + C.
| Lời giải.
Ta có
Z
f (x) dx =
Z
sin
2
2x · sin x dx = 4
Z
sin
3
x · cos
2
x dx
= −4
Z
sin
2
x · cos
2
x · d (cos x) = −4
Z
1 − cos
2
x
· cos
2
x · d (cos x)
= −4
Z
cos
2
x − cos
4
x
· d (cos x) = −
4
3
cos
3
x +
4
5
cos
5
x + C.
Chọn đáp án B
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
23
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
Câu 15. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
sin x
1 + 3 cos x
và F
π
2
= 2. Khi đó F (0)
là
A −
2
3
ln 2 + 2. B −
1
3
ln 2 − 2. C −
1
3
ln 2 + 2. D −
2
3
ln 2 − 2.
| Lời giải.
Ta có F (x) =
Z
sin x
1 + 3 cos x
dx = −
1
3
Z
d(1 + 3 cos x)
1 + 3 cos x
= −
1
3
ln |1 + 3 cos x| + C.
F
π
2
= 2 ⇒ C = 2 ⇒ F (x) = −
1
3
ln |1 + 3 cos x| + 2.
Suy ra F (0) = −
1
3
ln 4 + 2 = −
2
3
ln 2 + 2.
Chọn đáp án A
Câu 16. Khi tính nguyên hàm
Z
x − 3
√
x + 1
dx, bằng cách đặt u =
√
x + 1 ta được nguyên hàm nào
dưới đây?
A
Z
2(u
2
− 4)u du. B
Z
(u
2
− 4) du. C
Z
2(u
2
− 4) du. D
Z
(u
2
− 3) du.
| Lời giải.
Đặt u =
√
x + 1 ⇒ u
2
= x + 1 ⇒ 2u du = dx. Thay vào ta được
Z
u
2
− 1 − 3
u
· 2u du = 2(u
2
− 4) du.
Chọn đáp án C
Câu 17. Cho nguyên hàm I =
Z
x
√
1 + 2x
2
dx, khi thực hiện đổi biến u =
√
1 + 2x
2
thì ta được
nguyên hàm theo biến mới u là
A I =
1
2
Z
u
2
du. B I =
Z
u
2
du. C I = 2
Z
u du. D I =
Z
u du.
| Lời giải.
Ta có: u =
√
1 + 2x
2
suy ra u
2
= 1 + 2x
2
.
Do đó
1
2
du = xdx. Suy ra I =
1
2
Z
u
2
du.
Chọn đáp án A
Câu 18. Cho hàm số F (x) =
Z
x
√
x
2
+ 1 dx. Biết F (0) =
4
3
, tính F (2
√
2).
A 3. B
85
4
. C 19. D 10.
| Lời giải.
Đặt t =
√
x
2
+ 1 ⇒ t
2
= x
2
+ 1 ⇒ t dt = x dx.
Do đó F (x) =
Z
t
2
dt =
t
3
3
+ C =
√
x
2
+ 1
3
3
+ C.
Mà F (0) =
4
3
⇒
1
3
+ C =
4
3
⇒ C = 1.
Vậy F (2
√
2) = 10.
Chọn đáp án D
Câu 19. Tính I =
Z
2x − 1
√
x + 1
dx, khi thực hiện phép đổi biến u =
√
x + 1, thì được
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
24
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
A I =
Z
2u
2
− 3
u
du. B I =
Z
4u
2
− 6
du.
C I =
Z
4u
2
− 6
u
du. D I =
Z
2u
2
− 3
du.
| Lời giải.
Đặt u =
√
x + 1 ⇒ u
2
= x + 1 ⇒
2u du = dx
x = u
2
− 1
.
Khi đó I =
Z
2x − 1
√
x + 1
dx =
Z
2 (u
2
− 1) − 1
u
· 2u du =
Z
4u
2
− 6
du.
Chọn đáp án B
Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =
x
√
x
2
+ 1
là
A F (x) = 2
√
x
2
+ 1 + C. B F (x) =
√
x
2
+ 1 + C.
C F (x) = ln
√
x
2
+ 1 + C. D F (x) =
1
2
√
x
2
+ 1 + C.
| Lời giải.
Đặt I =
Z
x
√
x
2
+ 1
dx.
Đặt t =
√
x
2
+ 1 ⇒ t
2
= x
2
+ 1 ⇒ t dt = x dx.
Ta có: I =
Z
x
√
x
2
+ 1
dx =
Z
t
t
dt =
Z
dt = t + C =
√
x
2
+ 1 + C.
Chọn đáp án B
Câu 21. Xét nguyên hàm I =
Z
x
√
x + 2 dx. Nếu đặt t =
√
x + 2 thì ta được
A I =
Z
t
4
− 2t
2
dt. B I =
Z
4t
4
− 2t
2
dt.
C I =
Z
2t
4
− 4t
2
dt. D I =
Z
2t
4
− t
2
dt.
| Lời giải.
Đặt t =
√
x + 2 ⇔ t
2
= x + 2. Vi phân hai vế ta được 2t dt = d x.
Khi đó I =
Z
t
2
− 2
· t · 2t dt =
Z
2t
4
− 4t
2
dt.
Chọn đáp án C
Câu 22. Cho tích phân I =
e
Z
1
3 ln x + 1
x
dx. Nếu đặt t = ln x thì
A I =
1
Z
0
3t + 1
e
t
dt. B I =
e
Z
1
3t + 1
t
dt. C I =
e
Z
1
(3t + 1) dt. D I =
1
Z
0
(3t + 1) dt.
| Lời giải.
Đặt t = ln x, ta có dt =
dx
x
.
Khi x = 1 thì t = 0. Khi x = e thì t = 1. Vậy I =
1
Z
0
(3t + 1) dt.
Chọn đáp án D
Câu 23. Tính nguyên hàm A =
Z
1
x ln x
dx bằng cách đặt t = ln x. Mệnh đề nào dưới dây đúng?
A A =
Z
dt. B A =
Z
1
t
2
dt. C A =
Z
t dt. D A =
Z
1
t
dt.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
25
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
| Lời giải.
Đặt t = ln x ⇒ dt =
1
x
dx.
A =
Z
1
t
dt.
Chọn đáp án D
Câu 24. Tìm nguyên hàm I =
Z
sin
4
x cos x dx.
A
sin
5
x
5
+ C. B
cos
5
x
5
+ C. C −
sin
5
x
5
+ C. D −
cos
5
x
5
+ C.
| Lời giải.
Đặt t = sin x ⇒ dt = cos x dx.
Khi đó I =
Z
t
4
dt =
t
5
5
+ C =
sin
5
x
5
+ C.
Chọn đáp án A
Câu 25. Nguyên hàm
Z
1 + ln x
x
dx (x > 0) bằng
A x + ln
2
x + C. B ln
2
x + ln x + C. C
1
2
ln
2
x + ln x + C. D x +
1
2
ln
2
x + C.
| Lời giải.
Đặt u = 1 + ln x ⇒ du =
1
x
dx. Do đó
Z
1 + ln x
x
dx =
Z
u du =
u
2
2
+ C =
(1 + ln x)
2
2
+ C =
1
2
ln
2
x + ln x + C.
Chọn đáp án C
Câu 26. Cho I =
Z
x(1 − x
2
)
2019
dx. Đặt u = 1 − x
2
khi đó I viết theo u và du ta được:
A I = −
1
2
Z
u
2019
du. B I = −2
Z
u
2019
du. C I = 2
Z
u
2019
du. D I =
1
2
Z
u
2019
du.
| Lời giải.
Ta có u = 1 − x
2
⇒ du = −2x dx ⇔ x dx = −
du
2
.
Do đó I = −
1
2
Z
u
2019
du.
Chọn đáp án A
Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2
√
x + 3x là
A
4
3
x
√
x +
3x
2
2
+ C. B 2x
√
x +
3x
2
2
+ C. C
3
2
x
√
x +
3x
2
2
+ C. D 4x
√
x +
3x
2
2
+ C.
| Lời giải.
Đặt
√
x = t ⇒ x = t
2
⇒ dx = 2tdt. Ta được
Z
2t + 3t
2
2t dt =
Z
4t
2
+ 6t
3
dt =
4
3
t
3
+
3
2
t
4
+ C =
4
3
x
√
x +
3x
2
2
+ C.
Chọn đáp án A
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
26
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
Câu 28. Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = x
2
√
4 + x
3
.
A 2
√
4 + x
3
+ C. B
2
9
»
(4 + x
3
)
3
+ C. C 2
»
(4 + x
3
)
3
+ C. D
1
9
»
(4 + x
3
)
3
+ C.
| Lời giải.
Đặt t =
√
4 + x
3
⇒ t
2
= 4 + x
3
⇒ 2tdt = 3x
2
dx ⇒ x
2
dx =
2
3
tdt.
Ta có
Z
f(x)dx =
Z
2
3
t
2
dt =
2
9
t
3
+ C =
2
9
»
(4 + x
3
)
3
+ C.
Chọn đáp án B
Câu 29. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x
2
e
x
3
+1
.
A
Z
f(x) dx = e
x
3
+1
+ C. B
Z
f(x) dx = 3e
x
3
+1
+ C.
C
Z
f(x) dx =
x
3
3
e
x
3
+1
+ C. D
Z
f(x) dx =
1
3
e
x
3
+1
+ C.
| Lời giải.
Đặt t = x
3
+ 1 ⇒ dt = 3x
2
dx ⇒
1
3
dt = x
2
dx.
Khi đó ta được
Z
f(x) dx =
Z
x
2
e
x
3
+1
dx =
1
3
Z
e
t
dt =
1
3
e
t
+ C =
1
3
e
x
3
+1
+ C.
Chọn đáp án D
Câu 30. Tích phân
e
Z
1
dx
x(ln x + 2)
bằng
A ln 2. B ln
3
2
. C 0. D ln 3.
| Lời giải.
Đặt t = ln x + 2 ⇒ dt =
dx
x
.
Đổi cận x = 1 thì t = 2 và x = e thì t = 3.
⇒
e
Z
1
dx
x(ln x + 2)
=
3
Z
2
dt
t
= ln |t|
3
2
= ln
3
2
.
Chọn đáp án B
Câu 31. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn
Z
f
√
x + 1
√
x + 1
dx =
2
√
x + 1 + 3
x + 5
+ C.
Nguyên hàm của hàm số f(2x) trên tập R
+
là
A
x + 3
2 (x
2
+ 4)
+ C. B
x + 3
x
2
+ 4
+ C. C
2x + 3
4 (x
2
+ 1)
+ C. D
2x + 3
8 (x
2
+ 1)
+ C.
| Lời giải.
Đặt t =
√
x + 1 ⇒
dx
√
x + 1
= 2 dt.
Khi đó
Z
f
√
x + 1
√
x + 1
dx =
Z
2f(t) dt.
Mà
Z
f
√
x + 1
√
x + 1
dx =
2
√
x + 1 + 3
x + 5
+ C nên
Z
2f(t) dt =
2(t + 3)
t
2
+ 4
+ C.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
27
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
Khi đó
Z
f(t) dt =
t + 3
t
2
+ 4
+ C
⇔
Z
f(2t) dt =
1
2
·
2t + 3
4t
2
+ 4
+ C
⇔
Z
f(2x) dx =
2x + 3
4 (x
2
+ 1)
+ C.
Chọn đáp án C
Câu 32. Nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin
2
2x · cos
3
2x thỏa F
π
4
= 0 là
A F (x) =
1
6
sin
3
2x −
1
10
sin
5
2x +
1
15
. B F (x) =
1
6
sin
3
2x +
1
10
sin
5
2x −
1
15
.
C F (x) =
1
6
sin
3
2x −
1
10
sin
5
2x −
1
15
. D F (x) =
1
6
sin
3
2x +
1
10
sin
5
2x −
4
15
.
| Lời giải.
Đặt t = sin 2x ⇒ dt = 2 cos 2x dx ⇒
1
2
dt = cos 2x dx.
Ta có F (x) =
Z
sin
2
2x · cos
3
2x dx=
1
2
·
Z
t
2
·
1 − t
2
dt =
1
2
·
Z
t
2
− t
4
dt
=
1
6
t
3
−
1
10
t
5
+ C =
1
6
sin
3
2x −
1
10
sin
5
2x + C.
Mà từ giả thiết ta được F
π
4
= 0 ⇔
1
6
sin
3
π
2
−
1
10
sin
5
π
2
+ C = 0 ⇔ C = −
1
15
.
Vậy F (x) =
1
6
sin
3
2x −
1
10
sin
5
2x −
1
15
.
Chọn đáp án C
Câu 33. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
2e
x
+ 3
thỏa mãn F (0) = 10. Tìm
F (x).
A F (x) =
1
3
(x + 10 − ln (2e
x
+ 3)).
B F (x) =
1
3
Å
x − ln
Å
e
x
+
3
2
ãã
+ 10 + ln 5 − ln 2.
C F (x) =
1
3
(x − ln (2e
x
+ 3)) + 10 +
ln 5
3
.
D F (x) =
1
3
Å
x − ln
Å
e
x
+
3
2
ãã
+ 10 −
ln 5 − ln 2
3
.
| Lời giải.
Ta có F (x) =
Z
f(x) dx =
Z
1
2e
x
+ 3
dx.
Đặt u = 2e
x
+ 3 ⇒ du = 2e
x
dx ⇒ dx =
du
2e
x
=
du
u − 3
.
Khi đó F (x) =
Z
1
u(u − 3)
du =
1
3
(ln |u − 3| − ln |u|) + C =
1
3
(ln(2e
x
) − ln (2e
x
+ 3)) + C.
Ta có F (0) = 10 ⇔
1
3
(ln 2 − ln 5) + C = 10 ⇔ C = 10 −
1
3
ln 2 +
1
3
ln 5.
Vậy F (x) =
1
3
(ln(2e
x
) − ln (2e
x
+ 3)) + 10 −
1
3
ln 2 +
1
3
ln 5 =
1
3
(x − ln (2e
x
+ 3)) + 10 +
ln 5
3
.
Chọn đáp án C
Câu 34. Tính nguyên hàm I =
Z
1
2x + x
√
x +
√
x
dx.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
28
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
A I = −
2
√
x + x
+ C. B I = −
2
√
x + 1
+ C.
C I = −
2
√
x + x + 1
+ C. D I = −
1
2
√
x + x
+ C.
| Lời giải.
Ta có I =
Z
1
2x + x
√
x +
√
x
dx =
Z
dx
√
x (2
√
x + x + 1)
.
Đặt t =
√
x ⇒ 2 dt =
dx
√
x
Khi đó I = 2
Z
dt
2t + t
2
+ 1
= 2
Z
dt
(t + 1)
2
= −
2
t + 1
+ C = −
2
√
x + 1
+ C.
Chọn đáp án B
Câu 35. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =
x
2
√
x
3
+ 1
là
A
1
3
√
x
3
+ 1
+ C. B
2
3
√
x
3
+ 1 + C. C
2
3
√
x
3
+ 1
+ C. D
1
3
√
x
3
+ 1 + C.
| Lời giải.
Ta có
Z
f(x) dx =
Z
x
2
√
x
3
+ 1
dx.
Đặt t =
√
x
3
+ 1 ⇒ t
2
= x
3
+ 1 ⇒ 2tdt = 3x
2
dx ⇒ x
2
dx =
2
3
tdt. (1)
Theo cách đặt ta có ⇒
Z
x
2
√
x
3
+ 1
dx =
2
3
Z
t
−1
· t dt =
2
3
Z
dt =
2
3
t + C. (2)
Từ (2) ⇒
Z
f(x) dx =
2
3
√
x
3
+ 1 + C.
Vậy
Z
f(x) dx =
2
3
√
x
3
+ 1 + C.
Chọn đáp án B
Câu 36. Nguyên hàm
Z
1 + ln x
x
dx (x > 0) bằng
A
1
2
ln
2
x + ln x + C . B x +
1
2
ln
2
x + C. C ln
2
x + ln x + C. D x + ln
2
x + C.
| Lời giải.
Xét I =
Z
1 + ln x
x
dx
Đặt t = ln x ⇒ dt =
1
x
dx. Ta được
I =
Z
(1 + t) dt = t +
t
2
2
+ C = ln x +
1
2
ln
2
x + C.
Chọn đáp án A
Câu 37. Cho
Z
f(x) dx = x
√
x
2
+ 1. Tìm I =
Z
x · f
x
2
dx.
A I = x
2
√
x
4
+ 1 + C. B I =
x
4
2
√
x
4
+ 1 + C.
C I =
x
2
2
√
x
4
+ 1 + C. D I = x
3
√
x
4
+ 1 + C.
| Lời giải.
Đặt t = x
2
⇒ dt = 2x dx. Ta có
I =
Z
f(t)
1
2
dt =
1
2
Z
f(t) dt =
1
2
t
√
t
2
+ 1 + C =
x
2
2
√
x
4
+ 1 + C.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
29
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
Chọn đáp án C
Câu 38. Một nguyên hàm của hàm số y =
x
3
√
2 − x
2
là
A x
√
2 − x
2
. B −
1
3
(x
2
+ 4)
√
2 − x
2
.
C −
1
3
(x
2
− 4)
√
2 − x
2
. D −
1
3
x
2
√
2 − x
2
.
| Lời giải.
Xét nguyên hàm I =
Z
x
3
√
2 − x
2
dx =
Z
x
2
√
2 − x
2
x dx.
Đặt u =
√
2 − x
2
, ta có x
2
= 2 − u
2
⇒ xdx = −udu, ta có
I = −
Z
2 − u
2
u
u du =
Z
u
2
− 2
du =
u
3
3
− 2u + C
=
(2 − x
2
)
√
2 − x
2
3
− 2
√
2 − x
2
+ C = −
1
3
x
2
+ 4
√
2 − x
2
+ C.
Chọn đáp án B
Câu 39. Nguyên hàm của hàm số f(x) =
3
√
3x + 1 là
A
Z
f(x) dx = (3x + 1)
3
√
3x + 1 + C. B
Z
f(x) dx =
3
√
3x + 1 + C.
C
Z
f(x) dx =
1
3
3
√
3x + 1 + C. D
Z
f(x) dx =
1
4
(3x + 1)
3
√
3x + 1 + C.
| Lời giải.
Ta có
Z
f(x) dx =
Z
3
√
3x + 1 dx.
Đặt t =
3
√
3x + 1 ⇒ t
3
= 3x + 1 ⇒ dx = t
2
dt.
Vậy
Z
f(x) dx =
Z
t
3
dt =
1
4
t
4
+ C =
1
4
(3x + 1)
3
√
3x + 1 + C.
Chọn đáp án D
Câu 40. Tìm các hàm số f(x) biết f
0
(x) =
cos x
(2 + sin x)
2
.
A f (x) =
sin x
(2 + sin x)
2
+ C. B f (x) =
1
2 + cos x
+ C.
C f(x) = −
1
2 + sin x
+ C. D f (x) =
sin x
2 + sin x
+ C.
| Lời giải.
Xét I =
Z
cos x
(2 + sin x)
2
dx.
Đặt t = 2 + sin x. Khi đó dt = cos x dx. Ta được I =
Z
dt
t
2
= −
1
t
+ C.
Suy ra I = −
1
2 + sin x
+ C.
Chọn đáp án C
p Dạng 1.4. Phương pháp từng phần
I =
Z
ud v = u.v −
Z
vdu
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
30
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
Đặt:
u = . . .
dv = . . .
⇔
d u
đạo hàm 2 vế
−−−−−−−→ . . . dx
v =
nguyên hàm 2 vế
−−−−−−−−−→ . . .
Nhận dạng và cách đặt: u, d v
Dạng u d v
1
Z
P (x)
sin x
cos x
d x
u = P (x)
d v =
sin
cos
d x
2
Z
P (x).
h
e
x
i
d x u = P (x) d v = e
x
d x
3
Z
P (x)
h
ln x
i
d x u =
h
ln x
i
d v = P (x)d x
Câu 1. Biết
Z
xe
2x
dx = axe
2x
+ be
2x
+ C (a, b ∈ Q) . Tính tích ab.
A ab = −
1
4
. B ab =
1
4
. C ab = −
1
8
. D ab =
1
8
.
| Lời giải.
Đặt
u = x
dv = e
2x
dx
⇒
du = dx
v =
1
2
e
2x
Suy ra:
Z
xe
2x
dx =
1
2
xe
2x
−
1
2
Z
e
2x
dx =
1
2
xe
2x
−
1
4
e
2x
+ C
Vậy: a =
1
2
; b = −
1
4
⇒ ab = −
1
8
.
Chọn đáp án C
Câu 2. Kết quả của I =
Z
xe
x
dx là
A I = xe
x
− e
x
+ C. B I = e
x
+ xe
x
+ C. C I =
x
2
2
e
x
+ C. D I =
x
2
2
e
x
+ e
x
+ C.
| Lời giải.
Cách 1: Sử dụng tích phân từng phần ta có
I =
Z
xe
x
dx =
Z
x de
x
= xe
x
−
Z
e
x
dx = xe
x
− e
x
+ C.
Cách 2: Ta có I
0
= (xe
x
− e
x
+ C)
0
= e
x
+ xe
x
− e
x
= xe
x
.
Chọn đáp án A
Câu 3. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = (5x + 1) e
x
và F (0) = 3. TínhF (1).
A F (1) = 11e − 3. B F (1) = e + 3. C F (1) = e + 7. D F (1) = e + 2.
| Lời giải.
Ta có F (x) =
Z
(5x + 1) e
x
dx .
Đặt
u = 5x + 1
dv = e
x
dx
⇒
du = 5dx
v = e
x
.
F (x) = (5x + 1) e
x
−
Z
5e
x
dx = (5x + 1) e
x
− 5e
x
+ C = (5x − 4) e
x
+ C.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
31
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
Mặt khác F (0) = 3 ⇔ −4 + C = 3 ⇔ C = 7.
⇒ F (x) = (5x − 4) e
x
+ 7.
Vậy F (1) = e + 7.
Chọn đáp án C
Câu 4. Tính F (x) =
Z
x sin 2xrmd x. Chọn kết quả đúng?
A F (x) =
1
4
(2x cos 2x + sin 2x) + C. B F (x) = −
1
4
(2x cos 2x + sin 2x) + C.
C F (x) = −
1
4
(2x cos 2x − sin 2x) + C. D F (x) =
1
4
(2x cos 2x − sin 2x) + C.
| Lời giải.
Đặt
u = x
dv = sin 2xdx
⇒
du = dx
v = −
1
2
cos 2x
, ta được
F (x) = −
1
2
x cos 2x +
1
2
Z
cos 2xdx = −
1
2
x cos 2x +
1
4
sin 2x + C = −
1
4
(2x cos 2x − sin 2x) + C.
Chọn đáp án C
Câu 5. Cho F (x) =
a
x
(ln x + b) là một nguyên hàm của hàm số f(x) =
1 + ln x
x
2
, trong đó a, b ∈ Z.
Tính S = a + b.
A S = −2. B S = 1. C S = 2. D S = 0.
| Lời giải.
Ta có I =
Z
f(x)dx =
Z
Å
1 + ln x
x
2
ã
dx.
Đặt
1 + ln x = u
1
x
2
dx = dv
⇒
1
x
dx = du
−
1
x
= v
khi đó
I = −
1
x
(1 + ln x) +
Z
1
x
2
dx = −
1
x
(1 + ln x) −
1
x
+ C = −
1
x
(ln x + 2) + C ⇒ a = −1; b = 2. Vậy
S = a + b = 1.
Chọn đáp án B
Câu 6. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x cos 2x là
A
x sin 2x
2
−
cos 2x
4
+ C. B x sin 2x −
cos 2x
2
+ C.
C x sin 2x +
cos 2x
2
+ C. D
x sin 2x
2
+
cos 2x
4
+ C.
| Lời giải.
I =
Z
x cos 2xdx.
Đặt
u = x
dv = cos 2xdx
⇒
du = dx
v =
1
2
sin 2x
.
Khi đó I =
1
2
x sin 2x −
1
2
Z
sin 2xdx =
1
2
x sin 2x +
1
4
cos 2x + C.
Chọn đáp án D
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32
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
Câu 7. Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = xe
−x
. Tính F (x) biết F (0) = 1.
A F (x) = −(x + 1) e
−x
+ 2. B F (x) = (x + 1) e
−x
+ 1.
C F (x) = (x + 1) e
−x
+ 2. D F (x) = −(x + 1) e
−x
+ 1.
| Lời giải.
Đặt
u = x
dv = e
−x
dx
⇒
du = dx
v = −e
−x
.
Do đó
Z
xe
−x
dx = −xe
−x
+
Z
e
−x
dx = −xe
−x
− e
−x
+ C = F (x; C).
F (0) = 1 ⇔ −e
−0
+ C = 1 ⇔ C = 2. Vậy F (x) = −(x + 1) e
−x
+ 2.
Chọn đáp án A
Câu 8. Biết
Z
(x + 3) .e
−2x
dx = −
1
m
e
−2x
(2x + n) + C, với m, n ∈ Q. Khi đó tổng S = m
2
+ n
2
có
giá trị bằng
A 10. B 5. C 65. D 41.
| Lời giải.
Đặt
u = x + 3
dv = e
−2x
dx
⇒
du = dx
v = −
1
2
e
−2x
Khi đó
Z
(x + 3) .e
−2x
dx = −
1
2
e
−2x
(x + 3) +
1
2
Z
e
−2x
dx = −
1
2
.e
−2x
(x + 3) −
1
4
e
−2x
+ C
= −
1
4
e
−2x
. (2x + 6 + 1) + C = −
1
4
e
−2x
(2x + 7) + C ⇒ m = 4; n = 7
m
2
+ n
2
= 65
Chọn đáp án C
Câu 9. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x ln 2x là
A
x
2
2
ln 2x − x
2
+ C. B x
2
ln 2x −
x
2
2
+ C.
C
x
2
2
(ln 2x − 1) + C. D
x
2
2
Å
ln 2x −
1
2
ã
+ C.
| Lời giải.
Đặt
u = ln 2x
dv = xdx
→
du =
1
x
v =
x
2
2
.
F (x) =
Z
f(x)dx =
x
2
2
. ln 2x −
Z
1
x
.
x
2
2
dx =
x
2
2
ln 2x −
x
2
4
+ C =
x
2
2
Å
ln 2x −
1
2
ã
+ C.
Chọn đáp án D
Câu 10. Họ các nguyên hàm của f(x) = x ln x là:
A
x
2
2
ln x +
1
4
x
2
+ C. B x
2
ln x −
1
2
x
2
+ C . C
x
2
2
ln x −
1
4
x
2
+ C. D x ln x +
1
2
x + C.
| Lời giải.
Z
x ln xdx
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
33
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
Đặt
xd x = dv
ln x = u
⇒
v =
1
2
x
2
du =
1
x
. Suy ra
Z
x ln xdx =
1
2
x
2
ln x −
Z
1
2
xdx =
x
2
2
ln x −
1
4
x
2
+ C.
Chọn đáp án C
Câu 11. Hàm số f(x) thoả mãn f
0
(x) = xe
x
là:
A (x − 1) e
x
+ C. B x
2
+
e
x+1
x + 1
+ C. C x
2
e
x
+ C. D (x + 1) e
x
+ C.
| Lời giải.
f
0
(x) = xe
x
⇒ f(x) =
Z
xe
x
dx.
Ta có: u = x; dv = e
x
dx.
Do đó: du = dx; v = e
x
.
⇒ f(x) =
Z
xe
x
dx = xe
x
−
Z
e
x
dx = xe
x
− e
x
+ C = (x − 1) e
x
+ C.
Chọn đáp án A
Câu 12. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = (2x + 1)e
x
là
A (2x − 1)e
x
+ C. B (2x + 3)e
x
+ C. C 2xe
x
+ C. D (2x − 2)e
x
+ C.
| Lời giải.
Ta có
Z
f(x) dx =
Z
(2x + 1)e
x
dx.
Đặt
u = 2x + 1
dv = e
x
dx
⇒
du = 2 dx
v = e
x
.
⇒
Z
(2x + 1)e
x
dx = (2x + 1)e
x
−
Z
2e
x
dx = (2x + 1)e
x
− 2e
x
+ C = (2x − 1)e
x
+ C.
Chọn đáp án
A
Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số y = 3x(x + cos x) là
A x
3
+ 3(x sin x + cos x) + C. B x
3
− 3(x sin x + cos x) + C.
C x
3
+ 3(x sin x − cos x) + C. D x
3
− 3(x sin x − cos x) + C.
| Lời giải.
Ta có I =
Z
3x(x + cos x)dx =
Z
3x
2
+ 3x cos x
dx = x
3
+ 3
Z
x cos xdx.
Tính J =
Z
x cos xdx. Đặt
x = u
cos xdx = dv
⇒
dx = du
sin x = v
.
⇒ J = x sin x −
R
sin xdx = x sin x + cos x + C.
Vậy I = x
3
+ 3(x sin x + cos x) + C.
Chọn đáp án A
Câu 14. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) =
x
sin
2
x
trên khoảng (0; π) là
A −x cot x + ln (sin x) + C. B x cot x − ln |sin x| + C.
C x cot x + ln |sin x| + C. D −x cot x − ln (sin x) + C.
| Lời giải.
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34
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
F (x) =
Z
f(x)dx =
Z
x
sin
2
x
dx.
Đặt
u = x
dv =
1
sin
2
x
dx
⇒
du = dx
v = −cot x
.
Khi đó:
F (x) =
Z
x
sin
2
x
dx = −x. cot x +
Z
cot xdx = −x. cot x +
Z
cos x
sin x
dx = −x. cot x +
Z
d (sin x)
sin x
= −x. cot x + ln |sin x| + C.
Với x ∈ (0; π) ⇒ sin x > 0 ⇒ ln |sin x| = ln (sin x).
Vậy F (x) = −x cot x + ln (sin x) + C
Chọn đáp án A
Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x (1 + ln x) là
A 2x
2
ln x + 3x
2
. B 2x
2
ln x + x
2
. C 2x
2
ln x + 3x
2
+ C. D 2x
2
ln x + x
2
+ C.
| Lời giải.
Đặt
u = 1 + ln x
dv = 4x dx
⇒
du =
1
x
dx
v = 2x
2
.
Khi đó
Z
f(x) dx = 2x
2
(1 + ln x) −
Z
2x dx = 2x
2
(1 + ln x) − x
2
+ C = 2x
2
ln x + x
2
+ C.
Chọn đáp án D
Câu 16. Tìm tất cả nguyên hàm của hàm số f(x) = (3x
2
+ 1) ln x.
A
Z
f(x) dx = x(x
2
+ 1) ln x −
x
3
3
+ C. B
Z
f(x) dx = x
3
ln x −
x
3
3
+ C.
C
Z
f(x) dx = x(x
2
+ 1) ln x −
x
3
3
− x + C. D
Z
f(x) dx = x
3
ln x −
x
3
3
− x + C.
| Lời giải.
Đặt
u = ln x
dv = (3x
2
+ 1) dx
Suy ra
du =
dx
x
v = x
3
+ x.
Từ đó ta có
Z
f(x) dx = (x
3
+ x) ln x −
Z
(x
2
+ 1) dx = x(x
2
+ 1) ln x −
x
3
3
− x + C.
Chọn đáp án C
Câu 17. Tính F (x) =
Z
x cos x dx ta được kết quả
A F (x) = x sin x − cos x + C. B F (x) = −x sin x − cos x + C.
C F (x) = x sin x + cos x + C. D
F (x) = −x sin x + cos x + C.
| Lời giải.
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35
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
Đặt
u = x
dv = cos x dx
⇒
du = dx
v = sin x
⇒ F (x) = x sin x −
Z
sin x dx = x sin x + cos x + C.
Chọn đáp án C
Câu 18. Nguyên hàm của hàm số f(x) = x sin x là
A F (x) = −x cos x − sin x + C. B F (x) = x cos x − sin x + C.
C F (x) = −x cos x + sin x + C. D F (x) = x cos x + sin x + C.
| Lời giải.
F (x) =
Z
x sin x dx, đặt
u = x
dv = sin x dx
⇒
du = dx
v = −cos x.
Khi đó F (x) = −x cos x +
Z
cos x dx = −x cos x + sin x + C.
Chọn đáp án C
Câu 19. Tìm
Z
x cos 2x dx.
A
1
2
x sin 2x −
1
4
cos 2x + C. B x sin 2x + cos 2x + C.
C
1
2
x sin 2x +
1
2
cos 2x + C. D
1
2
x sin 2x +
1
4
cos 2x + C.
| Lời giải.
Đặt
u = x
dv = cos 2x dx
⇒
du = dx
v =
1
2
sin 2x
.
Khi đó I =
Z
x cos 2x dx =
1
2
x sin 2x −
1
2
Z
sin 2x dx =
1
2
x sin 2x +
1
4
cos 2x + C.
Chọn đáp án D
Câu 20. Tìm nguyên hàm J =
Z
(x + 1)e
3x
dx.
A J =
1
3
(x + 1)e
3x
−
1
9
e
3x
+ C. B J =
1
3
(x + 1)e
3x
−
1
3
e
3x
+ C.
C J = (x + 1)e
3x
−
1
3
e
3x
+ C. D J =
1
3
(x + 1)e
3x
+
1
9
e
3x
+ C.
| Lời giải.
Đặt
u = x + 1
dv = e
3x
dx
⇒
du = dx
v =
1
3
e
3x
.
Suy ra J =
x + 1
3
e
3x
−
Z
1
3
e
3x
dx =
x + 1
3
e
3x
−
1
9
e
3x
+ C.
Chọn đáp án A
Câu 21. Biết
Z
(x−2) sin 3x dx = −
(x − a) cos 3x
b
+
1
c
sin 3x+2017, trong đó a, b, c là các số nguyên
dương. Khi đó S = ab + c bằng
A S = 15. B S = 10. C S = 14. D S = 3.
| Lời giải.
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36
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
Đặt
u = x − 2
dv = sin 3x dx
. Khi đó
du = dx
v = −
1
3
cos 3x.
Do đó
Z
(x − 2) sin 3x dx = −
1
3
(x − 2) cos 3x +
1
3
Z
cos 3x dx
= −
(x − 2) cos 3x
3
+
1
9
sin 3x + C
= −
(x − 2) cos 3x
3
+
1
9
sin 3x + 2017 (với C = 2017).
Như vậy a = 2, b = 3, c = 9. Do đó S = 2 · 3 + 9 = 15.
Chọn đáp án A
Câu 22. Hàm số f(x) thỏa mãn f
0
(x) = xe
x
là
A (x − 1)e
x
+ C. B x
2
+
e
x+1
x + 1
+ C. C x
2
e
x
+ C. D (x + 1)e
x
+ C.
| Lời giải.
Ta có f(x) =
Z
f
0
(x) dx =
Z
xe
x
dx.
Đặt
u = x
dv = e
x
dx
⇒
du = dx
v = e
x
. Do đó f(x) = uv −
Z
v du = xe
x
−
Z
e
x
dx = (x − 1)e
x
+ C.
Chọn đáp án A
Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = xe
x
.
A
Z
f(x) dx = (x + 1)e
x
+ C. B
Z
f(x) dx = (x − 1)e
x
+ C.
C
Z
f(x) dx = xe
x
+ C. D
Z
f(x) dx = x
2
e
x
+ C.
| Lời giải.
Đặt
u = x
dv = e
x
dx
⇒
du = dx
v = e
x
.
Khi đó, ta có
Z
xe
x
dx = xe
x
−
Z
e
x
dx = xe
x
− e
x
+ C = (x − 1)e
x
+ C.
Chọn đáp án B
Câu 24. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = x · e
2x
.
A F (x) = 2e
2x
(x − 2) + C. B F (x) =
1
2
e
2x
(x − 2) + C.
C F (x) = 2e
2x
Å
x −
1
2
ã
+ C. D F (x) =
1
2
e
2x
Å
x −
1
2
ã
+ C.
| Lời giải.
Đặt
u = x
dv = e
2x
dx
suy ra
du = dx
v =
1
2
e
2x
.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
37
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
Khi đó
I =
Z
x · e
2x
dx =
1
2
x · e
2x
−
1
2
Z
e
2x
dx =
1
2
e
2x
Å
x −
1
2
ã
+ C.
Chọn đáp án D
Câu 25. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 4x ln x là
A x
2
(2 ln x + 1) + C. B 4x
2
(2 ln x − 1) + C.
C x
2
(2 ln x − 1) + C. D x
2
(8 ln x − 16) + C.
| Lời giải.
Đặt
u = ln x
dv = 4xdx
⇒
du =
1
x
dx
v = 2x
2
.
Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần. Ta được
Z
4x ln x dx = 2x
2
ln x −
Z
2x dx = x
2
(2 ln x − 1) + C.
Chọn đáp án C
Câu 26. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x cos 2x.
A
x sin 2x
2
−
cos 2x
4
+ C. B x sin 2x −
cos 2x
2
+ C.
C x sin 2x +
cos 2x
2
+ C. D
x sin 2x
2
+
cos 2x
4
+ C.
| Lời giải.
Đặt u = x ⇒ du = dx; dv = cos 2x dx ⇒ v =
1
2
sin 2x. Suy ra
I =
Z
x cos 2x dx =
1
2
x sin 2x −
1
2
Z
sin 2x dx =
1
2
x sin 2x +
1
4
cos 2x + C.
Chọn đáp án D
Câu 27. Tìm họ nguyên hàm
Z
(2x − 1) ln x dx
A F (x) = (x
2
− x) ln x −
x
2
2
+ x + C. B F (x) = (x
2
− x) ln x +
x
2
2
− x + C.
C F (x) = (x
2
+ x) ln x −
x
2
2
+ x + C. D F (x) = (x
2
− x) ln x −
x
2
2
− x + C.
| Lời giải.
Đặt
u = ln x
dv = (2x − 1) dx
⇒
du =
1
x
dx
v = x
2
− x
F (x) =
Z
(2x − 1) ln x dx = (x
2
− x) ln x −
Z
(x − 1) dx = (x
2
− x) ln x −
x
2
2
+ x + C.
Chọn đáp án A
Câu 28. Biết
Z
x cos 2x dx = ax sin 2x + b cos 2x + C với a, b là các số hữu tỉ. Tính tích ab.
A ab =
1
8
. B ab =
1
4
. C ab = −
1
8
. D ab = −
1
4
.
| Lời giải.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
38
1. NGUYÊN HÀM
♥♥
Đặt
u = x
dv = cos 2x dx
⇒
du = dx
v =
sin 2x
2
. Khi đó
Z
x cos 2x dx =
1
2
x sin 2x −
1
2
Z
sin 2x dx
=
1
2
x sin 2x +
1
4
cos 2x + C.
Suy ra a =
1
2
, b =
1
4
⇒ ab =
1
8
.
Chọn đáp án A
Câu 29. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = (2x + 1) ln x là
A (x
2
+ x) ln x −
x
2
2
− x + C. B (x
2
+ x) ln x − x
2
− x + C.
C (x
2
+ x) ln x −
x
2
2
+ x + C. D (x
2
+ x) ln x − x
2
+ x + C.
| Lời giải.
Đặt
u = ln x
dv = (2x + 1) dx
⇒
du =
dx
x
v = x
2
+ x
. Khi đó
Z
(2x + 1) ln x dx = (x
2
+ x) ln x −
Z
(x
2
+ x) dx
x
= (x
2
+ x) ln x −
Z
(x + 1) dx
= (x
2
+ x) ln x −
x
2
2
− x + C.
Chọn đáp án
A
Câu 30. Tìm nguyên hàm J =
Z
(x + 1)e
3x
dx.
A J =
1
3
(x + 1)e
3x
−
1
9
e
3x
+ C. B J =
1
3
(x + 1)e
3x
−
1
3
e
3x
+ C.
C J = (x + 1)e
3x
−
1
3
e
3x
+ C. D J =
1
3
(x + 1)e
3x
+
1
9
e
3x
+ C.
| Lời giải.
Đặt
u = x + 1
dv = e
3x
dx
⇒
du = dx
v =
1
3
e
3x
.
Suy ra J =
x + 1
3
e
3x
−
Z
1
3
e
3x
dx =
x + 1
3
e
3x
−
1
9
e
3x
+ C.
Chọn đáp án A
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
39

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MỤC LỤC §1 – NGUYÊN HÀM 1
| Dạng 1.1: Sử dụng nguyên hàm cơ bản ...................................................................... 1
| Dạng 1.2: Nguyên hàm có điều kiện ........................................................................... 6
| Dạng 1.3: Phương pháp đổi biến số .......................................................................... 10
| Dạng 1.4: Phương pháp từng phần ........................................................................... 14 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM Chủ đề NGUYÊN HÀM 1
p Dạng 1.1. Sử dụng nguyên hàm cơ bản Z Z 1
dx = x + C 2
kdx = kx + C Z xn+1 Z
1 (ax + b)n+1 3 xndx = + C 4
(ax + b)n dx = + C n + 1 a n + 1 Z dx 1 Z dx 1 1 5 = − + C 6 = − . + C x2 x (ax + b)2 a ax + b Z dx Z dx 1 7 = ln |x| + C 8 =
ln |ax + b| + C x ax + b a Z Z 1 9
exdx = ex + C 10 eax+bdx = eax+b + C a Z ax Z 1 aαx+β 11 axdx = + C 12
aαx+βdx = + C ln a α ln a Z Z 1 13
cos xdx = sin x + C 14
cos(ax + b)dx =
sin(ax + b) + C a Z Z 1 15
sin xdx = − cos x + C 16
sin(ax+b)dx = − cos(ax+b)+C a Z dx Z dx 1 17 = tan x + C 18 =
tan(ax + b) + C cos2 x cos2(ax + b) a Z dx Z dx 1 19 = − cot x + C 20
= − cot(ax + b) + C sin2 x sin2(ax + b) a Z Z 1 21
tan xdx = − ln |cos x| + C 22
tan(ax + b)dx = − ln |cos x| + C a Z Z 1 23
cot xdx = ln |sin x| + C 24
cot(ax + b)dx = ln |sin x| + C a Z 1 1 x − a Z 1 1 x 25 dx = ln dx = arctan + C + C 26 x2 − a2 2a x + a x2 + a2 a a
Câu 1. Họ các nguyên hàm của hàm số f (x) = 5x4 − 6x2 + 1 là
A. 20x3 − 12x + C.
B. x5 − 2x3 + x + C. x4
C. 20x5 − 12x3 + x + C. D.
+ 2x2 − 2x + C. 4 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 2. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x3 + x2 là x4 x3 1 1 A. + + C.
B. x4 + x3.
C. 3x2 + 2x. D. x4 + x3. 4 3 4 4 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 3. Nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x3 + x − 1 là: 1 1
A. x4 + x2 + x + C.
B. 12x2 + 1 + C. C. x4 +
x2 − x + C. D. x4 −
x2 − x + C. 2 2 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 1 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 4. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x2 − 1 là x3
A. x3 + C. B. + x + C.
C. 6x + C.
D. x3 − x + C. 3 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 5. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x2 + 3 là x3 x3 A. + 3x + C.
B. x3 + 3x + C. C. + 3x + C.
D. x2 + 3 + C. 3 2 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 6. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x (1 + 3x3) là Å 3 ã Å 6x3 ã Å 3 ã Å 3 ã A. x2 1 + x2 + C. B. x2 1 + + C. C. 2x x + x4
+ C. D. x2 x + x3 + C. 2 5 4 4 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Câu 7. Tìm họ nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = . 5x + 4 1
A. F (x) = ln |5x + 4| + C.
B. F (x) = ln |5x + 4| + C. ln 5 1 1
C. F (x) = ln |5x + 4| + C.
D. F (x) = ln(5x + 4) + C. 5 5 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 8. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = ex + x là 1
A. ex + x2 + C. B. ex + x2 + C. 2 1 1 C. ex + x2 + C.
D. ex + 1 + C. x + 1 2 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 9. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x + sin x là x2 x2
A. x2 + cos x + C.
B. x2 − cos x + C. C. − cos x + C. D. + cos x + C. 2 2 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x2 + cos x là 1 1
A. 2x − sin x + C. B.
x3 + sin x + C. C.
x3 − sin x + C.
D. x3 + sin x + C. 3 3 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 2 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM
Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = e2x. Z Z A.
e2xdx = 2e2x + C. B.
e2xdx = e2x + C. Z e2x+1 Z 1 C. e2xdx = + C. D. e2xdx = e2x + C. 2x + 1 2 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 12. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 52x? Z Z 52x A.
52x dx = 2.52x ln 5 + C. B.
52x dx = 2. + C. ln 5 Z 25x Z 25x+1 C. 52x dx = + C. D. 52x dx = + C. 2 ln 5 x + 1 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 13. Tìm họ nguyên hàm của hàm số y = x2 − 3x + . x x3 3x 1 x3 1 A. − − + C, C ∈ R. B. − 3x + + C, C ∈ R. 3 ln 3 x2 3 x2 x3 3x x3 3x C. −
− ln |x| + C, C ∈ R. D. −
+ ln |x| + C, C ∈ R. 3 ln 3 3 ln 3 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 14. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = . 4x − 3 Z 2 1 Z 2 3 A. dx =
ln |4x − 3| + C. B. dx = 2 ln 2x − + C . 4x − 3 4 4x − 3 2 Z 2 1 3 Z 2 1 Å 3 ã C. dx = ln 2x − + C . D. dx = ln 2x − + C. 4x − 3 2 2 4x − 3 2 2 | Lời giải.
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Câu 15. Hàm số F (x) = ex2 là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? ex2
A. f (x) = 2xex2.
B. f (x) = x2ex2.
C. f (x) = ex2.
D. f (x) = . 2x | Lời giải.
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Câu 16. Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = 3−x. 3−x 3−x A. + C. B. − + C.
C. −3−x + C.
D. −3−x ln 3 + C. ln 3 ln 3 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 17. Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 5x. 1 1 A. cos 5x + C.
B. cos 5x + C.
C. − cos 5x + C.
D. − cos 5x + C. 5 5
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 3 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 18. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x2 + sin x là
A. x3 + cos x + C.
B. 6x + cos x + C.
C. x3 − cos x + C.
D. 6x − cos x + C. | Lời giải.
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Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 1 là
A. F (x) = 2x2 + x.
B. F (x) = 2.
C. F (x) = C.
D. F (x) = x2 + x + C. | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = ex + x là 1
A. ex + x2 + C. B. ex + x2 + C. 2 1 1 C. ex + x2 + C.
D. ex + 1 + C. x + 1 2 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 21. Hàm số F (x) nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số y = 3 x + 1? 3 4 4
A. F (x) = (x + 1) 3 p 3 + C .
B. F (x) = (x + 1)4 + C. 4 3 3 √ 3
C. F (x) =
(x + 1) 3 x + 1 + C.
D. F (x) = 4 p(x + 1)3 + C. 4 4 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 22. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = . x − 1 1 1 A. x + + C. B. x + + C. x − 1 (x − 1)2 x2 C.
+ ln |x − 1| + C.
D. x2 + ln |x − 1| + C. 2 | Lời giải.
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Câu 23. Tìm tất cả nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x2 + . 2
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 4 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM Z x3 x2 Z x2 A.
f (x) dx = + + C. B.
f (x) dx = x3 + + C. 3 4 2 Z x2 Z x2 C.
f (x) dx = x3 + + C. D.
f (x) dx = x3 + . 4 4 | Lời giải.
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Câu 24. Nguyên hàm của hàm số y = e−3x+1 là 1 1 A. e−3x+1 + C.
B. −3e−3x+1 + C.
C. − e−3x+1 + C.
D. 3e−3x+1 + C. 3 3 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x
Câu 25. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = cos . 2 x 1 x
A. F (x) = 2 sin + C.
B. F (x) = sin + C. 2 2 2 x 1 x
C. F (x) = −2 sin + C.
D. F (x) = − sin + C. 2 2 2 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 26. Tìm nguyên hàm của hàm số y = 1212x. Z Z A.
1212xdx = 1212x−1 · ln 12 + C. B.
1212x dx = 1212x · ln 12 + C. Z 1212x Z 1212x−1 C. 1212x dx = + C. D. 1212x dx = + C. ln 12 ln 12 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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C. x2 − 2x − + C.
D. x2 − x − + C. 2 x x x x | Lời giải.
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Câu 28. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = √ . 2 2x + 1 Z √ Z √ A.
f (x) dx = 2x + 1 + C. B.
f (x) dx = 2 2x + 1 + C. Z 1 Z 1 √ C.
f (x) dx = √ + C. D.
f (x) dx = 2x + 1 + C. (2x + 1) 2x + 1 2 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 29. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 3x là 1 1
A. 3 cos 3x + C. B. cos 3x + C.
C. − cos 3x + C.
D. −3 cos 3x + C. 3 3 | Lời giải.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 5 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A. − cot x + C.
B. tan x + C.
C. − tan x + C.
D. cot x + C. | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z 6x + 2
Câu 31. Tìm F (x) = dx. 3x − 1 4
A. F (x) = 2x +
ln |3x − 1| + C.
B. F (x) = 2x + 4 ln |3x − 1| + C. 3 4
C. F (x) =
ln |3x − 1| + C.
D. F (x) = 2x + 4 ln(3x − 1) + C. 3 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 32. Tính nguyên hàm I =
(2x + 3x) dx. 2x 3x ln 2 ln 3 A. I = + + C. B. I = + + C. ln 2 ln 3 2x 3x ln 2 ln 3 ln 2 ln 3 C. I = + + C. D. I = − − + C. 2 3 2 3 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z √ Câu 33. Tìm H = 4 2x − 1 dx. 2 5 5 A. H =
(2x − 1) 4 + C.
B. H = (2x − 1) 4 + C. 5 1 5 8 5 C. H =
(2x − 1) 4 + C. D. H =
(2x − 1) 4 + C. 5 5 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 34. Hàm số F (x) =
ln4 x + C là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số dưới đây? 4 ln3 x 1 x x ln3 x
A. f (x) = .
B. f (x) = .
C. f (x) = .
D. f (x) = . x x ln3 x ln3 x 3 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z Å√ 4 ã Câu 35. Tìm 3 x2 + dx x 3 √ 3 √ A.
3 x5 + 4 ln |x| + C. B.
3 x5 − 4 ln |x| + C. 5 5 3 √ 5 √ C. −
3 x5 + 4 ln |x| + C. D.
3 x5 + 4 ln |x| + C. 5 3 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 36. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x + sin x là
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 6 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM x2 x2
A. 1 + cos x + C. B. − cos x + C. C. + cos x + C.
D. x2 − cos x + C. 2 2 | Lời giải.
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Câu 37. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = là x2 1 1 1 A. − + C.
B. x3 + C. C. − . D. + C. x 3x2 x | Lời giải.
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Câu 38. Hàm số F (x) = 2 sin x − 3 cos x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A. f (x) = −2 cos x − 3 sin x .
B. f (x) = −2 cos x + 3 sin x .
C. f (x) = 2 cos x + 3 sin x .
D. f (x) = 2 cos x − 3 sin x . | Lời giải.
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Câu 39. Một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 3x − 2x là 3x 3x
A. F (x) = − x2 − 1.
B. F (x) = − 2. ln 3 ln 3 3x x2
C. F (x) = − .
D. F (x) = 3x ln 3 − x2. ln 3 2 | Lời giải.
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Câu 40. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x2 + sin x là
A. x3 + cos x + C.
B. x3 + sin x + C.
C. x3 − cos x + C.
D. x3 − sin x + C. | Lời giải.
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Câu 41. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 5x + 2 là 1
A. 5 cos 5x + C.
B. − cos 5x + 2x + C. 5 1 C.
cos 5x + 2x + C.
D. cos 5x + 2x + C. 5 | Lời giải.
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Câu 42. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = . x2 Z 2x2 + x − 1 1 1 Z 2x2 + x − 1 1 A. dx = 2 + − + C. B. dx = 2x + + ln |x| + C. x2 x x2 x2 x Z 2x2 + x − 1 1 Z 2x2 + x − 1 1 C.
dx = x2 + ln |x| + + C. D. dx = x2 − + ln |x| + C. x2 x x2 x | Lời giải.
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Câu 43. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 10x. Z 10x Z A. 10xdx = + C. B.
10xdx = 10x ln 10 + C. ln 10 Z Z 10x+1 C.
10xdx = 10x+1 + C. D. 10xdx = + C. x + 1 | Lời giải.
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Câu 44. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = ex + 2 sin x. Z Z A.
(ex + 2 sin x) dx = ex − cos2 x + C. B.
(ex + 2 sin x) dx = ex + sin2 x + C. Z Z C.
(ex + 2 sin x) dx = ex − 2 cos x + C. D.
(ex + 2 sin x) dx = ex + 2 cos x + C. | Lời giải.
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Câu 45. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = x2 − 2x. Z x3 2x Z 2x A.
f (x) dx = + + C. B.
f (x) dx = 2x − + C. 3 ln 2 ln 2 Z x3 2x Z C.
f (x) dx = − + C. D.
f (x) dx = 2x − 2x ln 2 + C. 3 ln 2 | Lời giải.
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Câu 46. Hàm số F (x) = ex2 là nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A. f (x) = x2ex2 + 3.
B. f (x) = 2x2ex2 + C. C. f (x) = 2xex2.
D. f (x) = xex2. | Lời giải.
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Câu 47. Họ nguyên hàm của f (x) = là x2 2x3 2x3 2x3 3 2x3 3 A.
− 3 ln |x| + C. B. + 3 ln x + C. C. − + C. D. + + C. 3 3 3 x 3 x | Lời giải.
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Câu 48. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + sin 2x. 1 1 A. x2 − cos 2x + C. B. x2 + cos 2x + C.
C. x2 − 2 cos 2x + C.
D. x2 + 2 cos 2x + C. 2 2 | Lời giải.
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Câu 49. Họ nguyên hàm của hàm số y = x2 − 3x + là x x3 3 x3 3
A. F (x) =
− x2 + ln x + C.
B. F (x) =
− x2 + ln |x| + C. 3 2 3 2 x3 3 1
C. F (x) = +
x2 + ln x + C.
D. F (x) = 2x − 3 − + C. 3 2 x | Lời giải.
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Câu 50. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x + . x2 Z 1 Z 3x 1 A.
f (x) dx = 3x + + C. B.
f (x) dx = + + C. x ln 3 x Z 1 Z 3x 1 C.
f (x) dx = 3x − + C. D.
f (x) dx = − + C. x ln 3 x | Lời giải.
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p Dạng 1.2. Nguyên hàm có điều kiện Z
f (x)d x thỏa mãn F (x0) = k.
Bước 1: Tìm nguyên hàm F (x) = G(x) + C (*)
Bước 2: Từ F (x0) = k, tìm được C.
Bước 2: Thay C vào (*) và kết luận.
Câu 1. Cho hàm số f (x) = 2x + ex. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) thỏa mãn F (0) = 2019.
A. F (x) = ex − 2020.
B. F (x) = x2 + ex − 2019.
C. F (x) = x2 + ex + 2017.
D. F (x) = x2 + ex + 2018. | Lời giải.
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Câu 2. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = e2x và F (0) = . Giá trị F là 2 2 1 1 1 A. e + 200. B. 2e + 200. C. e + 50. D. e + 100. 2 2 2 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 3. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) · g(x) biết F (1) = 3, biết
f (x)dx = x + 2018 Z và
g(x)dx = x2 + 2019.
A. F (x) = x3 + 1.
B. F (x) = x3 + 3.
C. F (x) = x2 + 2.
D. F (x) = x2 + 3. | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 4. Cho F (x) là một nguyên hàm của f (x) =
trên khoảng (1; +∞) thỏa mãn F (e + 1) = 4 x − 1 . Tìm F (x) .
A. F (x) = 2 ln(x − 1) + 2.
B. F (x) = ln(x − 1) + 3.
C. F (x) = 4 ln(x − 1).
D. F (x) = ln(x − 1) − 3. | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 5. Cho F (x) là nguyên hàm của f (x) = √
thỏa mãn F (2) = 4. Giá trị F (−1) bằng x + 2 √ √ A. 3. B. 1. C. 2 3. D. 2. | Lời giải.
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Câu 6. Tìm hàm số F (x) biết F (x) =
dx và F (0) = 1. x4 + 1 1 3
A. F (x) = ln(x4 + 1) + 1.
B. F (x) = ln(x4 + 1) + . 4 4 1
C. F (x) = ln(x4 + 1) + 1.
D. F (x) = 4 ln(x4 + 1) + 1. 4 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 7. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm f (x) = sin 2x và F = 1. Tính F . 4 6 π 5 π π 3 π 1 A. F = . B. F = 0. C. F = . D. F = . 6 4 6 6 4 6 2 | Lời giải.
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♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 10 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM π 14
Câu 8. Cho hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = cos 3x và F = thì 2 3 1 13 1
A. F (x) = sin 3x + .
B. F (x) = − sin 3x + 5. 3 3 3 1 1 13
C. F (x) = sin 3x + 5.
D. F (x) = − sin 3x + . 3 3 3 | Lời giải.
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Câu 9. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = sin x và đồ thị hàm số y = F (x) đi qua π
điểm M (0; 1). Tính F . 2 π π π π A. F = 0. B. F = 1. C. F = 2. D. F = −1. 2 2 2 2 | Lời giải.
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Câu 10. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x2 + 8 sin x và thỏa mãn F (0) = 2010. Tìm F (x).
A. F (x) = 6x − 8 cos x + 2018.
B. F (x) = 6x + 8 cos x.
C. F (x) = x3 − 8 cos x + 2018.
D. F (x) = x3 − 8 cos x + 2019. | Lời giải.
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Câu 11. Tính nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = e2x, biết F (0) = 1. e2x 1
A. F (x) = e2x.
B. F (x) = e2x − 1.
C. F (x) = ex.
D. F (x) = + . 2 2 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 12. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
và F (2) = 1. Tính F (3). x − 1 1 7
A. F (3) = ln 2 − 1.
B. F (3) = ln 2 + 1. C. F (3) = . D. F (3) = . 2 4 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 13. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
và F (3) = 1. Tính giá trị của x − 1 F (2).
A. F (2) = −1 − ln 2.
B. F (2) = 1 − ln 2.
C. F (2) = −1 + ln 2.
D. F (2) = 1 + ln 2.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 11 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 14. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 6x + sin 3x, biết F (0) = . 3 cos 3x 2 cos 3x
A. F (x) = 3x2 − + .
B. F (x) = 3x2 − − 1. 3 3 3 cos 3x cos 3x
C. F (x) = 3x2 + + 1.
D. F (x) = 3x2 − + 1. 3 3 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . π
Câu 15. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin 3x thoả mãn F = 2. 2 cos 3x 5 cos 3x
A. F (x) = − + .
B. F (x) = − + 2. 3 3 3 cos 3x
C. F (x) = − + 2.
D. F (x) = − cos 3x + 2. 3 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 16. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = ex + 2x thỏa mãn F (0) = . Tìm 2 F (x). 5 1
A. F (x) = ex + x2 + .
B. F (x) = 2ex + x2 − . 2 2 3 1
C. F (x) = ex + x2 + .
D. F (x) = ex + x2 + . 2 2 | Lời giải.
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Câu 17. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 1 + 2x + 3x2 thỏa mãn F (1) = 2. Tính
F (0) + F (−1). A. −3. B. −4. C. 3. D. 4. | Lời giải.
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Câu 18. Nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 5x4 −3x2 trên tập số thực thỏa mãn F (1) = 3 là
A. x5 − x3 + 2x + 1.
B. x5 − x3 + 3.
C. x5 − x3 + 5.
D. x5 − x3. | Lời giải.
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Câu 19. F (x) là một nguyên hàm của hàm số y = 2 sin x cos 3x và F (0) = 0, khi đó cos 2x cos 4x 1
A. F (x) = cos 4x − cos 2x.
B. F (x) = − − . 4 8 8
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 12 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM cos 2x cos 4x 1 cos 4x cos 2x 1
C. F (x) = − − .
D. F (x) = − + . 2 4 4 4 2 4 | Lời giải.
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Câu 20. Cho hàm số f (x) = x3 − x2 + 2x − 1. Gọi F (x) là một nguyên hàm của f (x). Biết rằng
F (1) = 4. Tìm F (x). x4 x3 x4 x3
A. F (x) = − + x2 − x.
B. F (x) = − + x2 − x + 1. 4 3 4 3 x4 x3 x4 x3 49
C. F (x) = − + x2 − x + 2.
D. F (x) = − + x2 − x + . 4 3 4 3 12 | Lời giải.
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Câu 21. Cho hàm số f (x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện f 0(x) = x + sin x và f (0) = 1. Tìm f (x). x2 x2
A. f (x) = − cos x + 2.
B. f (x) = − cos x − 2. 2 2 x2 x2 1
C. f (x) = + cos x.
D. f (x) = + cos x + . 2 2 2 | Lời giải.
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Câu 22. Một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin x + 2 cos x biết F = 0 là 2
A. F (x) = 2 sin x − cos x + 2.
B. F (x) = 2 sin x − cos x − 2.
C. F (x) = −2 sin x − cos x + 2.
D. F (x) = sin x − 2 cos x − 2. | Lời giải.
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Câu 23. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm là f 0(x) =
và f (1) = 1. Giá trị f (5) bằng 2x − 1 A. 1 + ln 3. B. ln 2. C. 1 + ln 2. D. ln 3. | Lời giải.
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♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 13 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM
Câu 24. Cho hàm số f (x) = 2x + ex. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) thỏa mãn F (0) = 0.
A. F (x) = x2 + ex − 1.
B. F (x) = x2 + ex.
C. F (x) = ex − 1.
D. F (x) = x2 + ex + 1. | Lời giải.
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Câu 25. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
thỏa mãn F (0) = −1. Tính x − 1 F (−1).
A. F (−1) = − ln 2.
B. F (−1) = −2 + ln 2.
C. F (−1) = ln 2.
D. F (−1) = 2 + ln 2. | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 26. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số y = f (x) =
và F (0)=2. Tìm F (2). 1 + 2x A. 4 ln 5 + 2. B. 5 (1 + ln 2). C. 2 ln 5 + 4. D. 2(1 + ln 5). | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 27. Cho f (x) =
+sin2 x. Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x). Tìm m để F (0) = 1 π π π và F = . 4 83 3 4 4 A. m = − . B. m = . C. m = − . D. m = . 4 4 3 3 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 28. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 6x + sin 3x, biết F (0) = . 3 cos 3x 2 cos 3x
A. F (x) = 3x2 − + .
B. F (x) = 3x2 − − 1. 3 3 3 cos 3x cos 3x
C. V = F (x) = 3x2 + + 1.
D. F (x) = 3x2 − + 1. 3 3 | Lời giải.
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♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 14 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM 6
Câu 29. Tìm hàm số f (x) thỏa mãn f 0(x) = và f (2) = 0. 3 − 2x
A. f (x) = −3 ln |3 − 2x|.
B. f (x) = 2 ln |3 − 2x|.
C. f (x) = −2 ln |3 − 2x|.
D. f (x) = 3 ln |3 − 2x|. | Lời giải.
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Câu 30. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x ln 9 thỏa mãn F (0) = 2. Tính F (1).
A. F (1) = 12 · ln2 3. B. F (1) = 3. C. F (1) = 6. D. F (1) = 4. | Lời giải.
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Câu 31. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = và F (2) = 3 + ln 3. Tính 2x − 1 2 F (3). 1 1 A. F (3) = ln 5 + 5. B. F (3) = ln 5 + 3.
C. F (3) = −2 ln 5 + 5. D. F (3) = 2 ln 5 + 3. 2 2 | Lời giải.
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Câu 32. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 6x + sin 3x, biết F (0) = . 3 cos 3x 2 cos 3x
A. F (x) = 3x2 − + .
B. F (x) = 3x2 − − 1. 3 3 3 cos 3x cos 3x
C. F (x) = 3x2 + + 1.
D. F (x) = 3x2 − + 1. 3 3 | Lời giải.
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Câu 33. Tìm F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x2 + ex − 1, biết F (0) = 2. 1
A. F (x) = 6x + ex − x − 1.
B. F (x) = x3 + − x + 1. ex
C. F (x) = x3 + ex − x + 1.
D. F (x) = x3 + ex − x − 1. | Lời giải.
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Câu 34. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f 0(x) = 2 − 5 sin x và f (0) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f (x) = 2x + 5 cos x + 5.
B. f (x) = 2x + 5 cos x + 3.
C. f (x) = 2x − 5 cos x + 10.
D. f (x) = 2x − 5 cos x + 15. | Lời giải.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 15 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM
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Câu 35. Cho F (x) = cos 2x − sin x + C là nguyên hàm của hàm số f (x). Tính f (π).
A. f (π) = −3.
B. f (π) = 1.
C. f (π) = −1.
D. f (π) = 0. | Lời giải.
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Câu 36. Cho F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) =
và F (0) = 2018. Tính F (−2). x + 1
A. F (−2) không xác định. B. F (−2) = 2.
C. F (−2) = 2018.
D. F (−2) = 2020. | Lời giải.
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Câu 37. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 1 + 2x + 3x2 thỏa mãn F (1) = 2. Tính
F (0) + F (−1). A. −3. B. −4. C. 3. D. 4. | Lời giải.
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Câu 38. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 3x2 + 2e2x − 1, biết F (0) = 1.
A. F (x) = x3 + e2x − x + 1.
B. F (x) = x3 + 2e2x − x − 1.
C. F (x) = x3 + ex − x.
D. F (x) = x3 + e2x − x. | Lời giải.
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Câu 39. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = e2x, biết F (0) = 1. e2x 1
A. F (x) = e2x.
B. F (x) = + .
C. F (x) = 2e2x − 1.
D. F (x) = ex. 2 2 | Lời giải.
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Câu 40. Cho hàm số f (x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện f 0(x) = x + sin x và f (0) = 1. Tìm f (x). x2 x2
A. f (x) = − cos x + 2.
B. f (x) = − cos x − 2. 2 2
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 16 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM x2 x2 1
C. f (x) = + cos x.
D. f (x) = + cos x + . 2 2 2 | Lời giải.
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p Dạng 1.3. Phương pháp đổi biến số Z I =
f [u(x)] u0(x)d x (*) đạo hàm 2 vế Z
Đặt: t = u(x) ⇒ d t −−−−−−−→ u0(x)d x thay vào (*) ta được I = f (t)dt Z x − 3 √ Câu 1. Khi tính nguyên hàm √
dx, bằng cách đặt u =
x + 1 ta được nguyên hàm nào? x + 1 Z Z Z Z A. 2u u2 − 4 du. B. u2 − 4 du. C. 2 u2 − 4 du. D. u2 − 3 du. | Lời giải.
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Câu 2. Cho hàm số F (x) =
x x2 + 2dx .Biết F 2 = , tính F 7. 3 40 23 A. . B. 11. C. . D. 7. 3 6 | Lời giải.
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Câu 3. Tính tích phân A =
dx bằng cách đặt t = ln x. Mệnh đề nào dưới đây đúng? x ln x Z Z 1 Z Z 1 A. A = dt. B. A = dt. C. A = tdt. D. A = dt. t2 t | Lời giải.
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Câu 4. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = e2x và F (0) = .Giá trị F là 2 2 1 1 1 1 A. e + . B. e + 2. C. 2e + 1. D. e + 1. 2 2 2 2 | Lời giải.
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♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 17 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM 1 1 A. (x2 + 7)16 + C. B. − (x2 + 7)16 + C. 32 32 1 1 C. (x2 + 7)16 + C. D. (x2 + 7)16 + C. 2 16 | Lời giải.
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Câu 6. Nếu F (x) = √ dx thì x2 + 2x + 3 1 √ |x + 1|
A. F (x) =
x2 + 2x + 3 + C.
B. F (x) = ln √ + C. 2 x2 + 2x + 3 1 √
C. F (x) =
ln (x2 + 2x + 3) + C.
D. F (x) =
x2 + 2x + 3 + C. 2 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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B. −2 1 − x + C. C. √ . D. 1 − x + C. 1 − x 1 − x | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A. 2 x − 2 ln | x + 1| + C.
B. 2 x + C. √ √ √
C. 2 ln | x + 1| + C.
D. 2 x − 2 ln | x + 1| + C. | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 9. Nếu F (x) = √ dx thì x2 + 2x + 3 1 √ |x + 1|
A. F (x) =
x2 + 2x + 3 + C.
B. F (x) = ln √ + C. 2 x2 + 2x + 3 1 √
C. F (x) =
ln (x2 + 2x + 3) + C.
D. F (x) =
x2 + 2x + 3 + C. 2 | Lời giải.
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Câu 10. Một nguyên hàm của hàm số y = x 1 + x2 là: x2 √ 1 √ 1 √ x2 √ A. 1 + x23. B. 1 + x26. C. 1 + x23. D. 1 + x22. 2 3 3 2 | Lời giải.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 18 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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x3 4x4 − 35dx .Bằng cách đặt u = 4x4 − 3, khẳng định nào sau đây đúng. Z 1 Z 1 Z 1 Z A. I = u5du. B. I = u5du. C. I = u5du. D. I = u5du. 12 16 4 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z Câu 12. Tìm nguyên hàm x x2 + 19dx. 1 1 A. (x2 + 1)10 + C. B. (x2 + 1)10 + C. 20 10 1 C. − (x2 + 1)10 + C.
D. (x2 + 1)10 + C. 20 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Å 1 ã
Câu 13. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = thỏa mãn F = 2 và F (e) = x ln x e Å 1 ã
ln 2. Giá trị của biểu thức F + F (e2) bằng e2 A. 3 ln 2 + 2. B. ln 2 + 2. C. ln 2 + 1. D. 2 ln 2 + 1. | Lời giải.
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Câu 14. Cho hàm số f (x) = sin2 2x · sin x. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm f (x). 4 4 4 4 A. y =
cos3 − sin5 x + C.
B. y = − cos3 x + cos5 x + C. 3 5 3 5 4 4 4 4 C. y = sin3 x − cos5 x + C.
D. y = − sin3 x + sin5 x + C. 3 5 3 5 | Lời giải.
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Câu 15. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = và F = 2. Khi đó F (0) 1 + 3 cos x 2 là 2 1 1 2 A. − ln 2 + 2. B. − ln 2 − 2. C. − ln 2 + 2. D. − ln 2 − 2. 3 3 3 3
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 19 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM | Lời giải.
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Câu 16. Khi tính nguyên hàm √
dx, bằng cách đặt u =
x + 1 ta được nguyên hàm nào x + 1 dưới đây? Z Z Z Z A.
2(u2 − 4)u du. B. (u2 − 4) du. C. 2(u2 − 4) du. D. (u2 − 3) du. | Lời giải.
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Câu 17. Cho nguyên hàm I =
x 1 + 2x2 dx, khi thực hiện đổi biến u =
1 + 2x2 thì ta được
nguyên hàm theo biến mới u là 1 Z Z Z Z A. I = u2 du. B. I = u2 du. C. I = 2 u du. D. I = u du. 2 | Lời giải.
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Câu 18. Cho hàm số F (x) =
x x2 + 1 dx. Biết F (0) = , tính F (2 2). 3 85 A. 3. B. . C. 19. D. 10. 4 | Lời giải.
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dx, khi thực hiện phép đổi biến u = x + 1, thì được x + 1 Z 2u2 − 3 Z A. I = du. B. I = 4u2 − 6 du. u Z 4u2 − 6 Z C. I = du. D. I = 2u2 − 3 du. u | Lời giải.
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Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = √ là x2 + 1 √ √
A. F (x) = 2 x2 + 1 + C.
B. F (x) = x2 + 1 + C.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 20 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM √ 1 √
C. F (x) = ln x2 + 1 + C.
D. F (x) = x2 + 1 + C. 2 | Lời giải.
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Câu 21. Xét nguyên hàm I =
x x + 2 dx. Nếu đặt t = x + 2 thì ta được Z Z A. I =
t4 − 2t2 dt. B. I =
4t4 − 2t2 dt. Z Z C. I =
2t4 − 4t2 dt. D. I =
2t4 − t2 dt. | Lời giải.
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Câu 22. Cho tích phân I =
dx. Nếu đặt t = ln x thì x 1 1 e e 1 Z 3t + 1 Z 3t + 1 Z Z A. I = dt. B. I = dt. C. I = (3t + 1) dt. D. I = (3t + 1) dt. et t 0 1 1 0 | Lời giải.
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Câu 23. Tính nguyên hàm A =
dx bằng cách đặt t = ln x. Mệnh đề nào dưới dây đúng? x ln x Z Z 1 Z Z 1 A. A = dt. B. A = dt. C. A = t dt. D. A = dt. t2 t | Lời giải.
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Câu 24. Tìm nguyên hàm I =
sin4 x cos x dx. sin5 x cos5 x sin5 x cos5 x A. + C. B. + C. C. − + C. D. − + C. 5 5 5 5 | Lời giải.
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dx (x > 0) bằng x 1 1
A. x + ln2 x + C.
B. ln2 x + ln x + C. C.
ln2 x + ln x + C. D. x + ln2 x + C. 2 2 | Lời giải.
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♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 21 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM
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x(1 − x2)2019 dx. Đặt u = 1 − x2 khi đó I viết theo u và du ta được: 1 Z Z Z 1 Z A. I = − u2019 du. B. I = −2 u2019 du. C. I = 2 u2019 du. D. I = u2019 du. 2 2 | Lời giải.
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Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2 x + 3x là 4 √ 3x2 √ 3x2 3 √ 3x2 √ 3x2 A. x x + + C. B. 2x x + + C. C. x x + + C. D. 4x x + + C. 3 2 2 2 2 2 | Lời giải.
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Câu 28. Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f (x) = x2 4 + x3. √ 2 » » 1 »
A. 2 4 + x3 + C. B. (4 + x3)3 + C. C. 2 (4 + x3)3 + C. D. (4 + x3)3 + C. 9 9 | Lời giải.
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Câu 29. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x2ex3+1. Z Z A.
f (x) dx = ex3+1 + C. B.
f (x) dx = 3ex3+1 + C. Z x3 Z 1 C.
f (x) dx = ex3+1 + C. D.
f (x) dx = ex3+1 + C. 3 3 | Lời giải.
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Câu 31. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và thỏa mãn √ dx = + C. x + 1 x + 5
Nguyên hàm của hàm số f (2x) trên tập + R là x + 3 x + 3 2x + 3 2x + 3 A. + C. B. + C. C. + C. D. + C. 2 (x2 + 4) x2 + 4 4 (x2 + 1) 8 (x2 + 1)
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 22 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM | Lời giải.
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Câu 32. Nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin2 2x · cos3 2x thỏa F = 0 là 4 1 1 1 1 1 1
A. F (x) = sin3 2x − sin5 2x + .
B. F (x) = sin3 2x + sin5 2x − . 6 10 15 6 10 15 1 1 1 1 1 4
C. F (x) = sin3 2x − sin5 2x − .
D. F (x) = sin3 2x + sin5 2x − . 6 10 15 6 10 15 | Lời giải.
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Câu 33. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
thỏa mãn F (0) = 10. Tìm 2ex + 3 F (x). 1
A. F (x) =
(x + 10 − ln (2ex + 3)). 3 1 Å Å 3 ãã
B. F (x) = x − ln ex + + 10 + ln 5 − ln 2. 3 2 1 ln 5
C. F (x) =
(x − ln (2ex + 3)) + 10 + . 3 3 1 Å Å 3 ãã ln 5 − ln 2
D. F (x) = x − ln ex + + 10 − . 3 2 3 | Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 34. Tính nguyên hàm I = √ √ dx. 2x + x x + x
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 23 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM 2 2 A. I = − √ + C. B. I = − √ + C. x + x x + 1 2 1 C. I = − √ + C. D. I = − √ + C. x + x + 1 2 x + x | Lời giải.
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Câu 35. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = √ là x3 + 1 1 2 √ 2 1 √ A. √ + C. B. x3 + 1 + C. C. √ + C. D. x3 + 1 + C. 3 x3 + 1 3 3 x3 + 1 3 | Lời giải.
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dx (x > 0) bằng x 1 1 A.
ln2 x + ln x + C . B. x + ln2 x + C.
C. ln2 x + ln x + C.
D. x + ln2 x + C. 2 2 | Lời giải.
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f (x) dx = x x2 + 1. Tìm I =
x · f x2 dx. √ x4 √
A. I = x2 x4 + 1 + C. B. I = x4 + 1 + C. 2 x2 √ √ C. I = x4 + 1 + C.
D. I = x3 x4 + 1 + C. 2 | Lời giải.
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Câu 38. Một nguyên hàm của hàm số y = √ là 2 − x2 √ 1 √
A. x 2 − x2. B. − (x2 + 4) 2 − x2. 3 1 √ 1 √
C. − (x2 − 4) 2 − x2.
D. − x2 2 − x2. 3 3 | Lời giải.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 24 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 39. Nguyên hàm của hàm số f (x) = 3 3x + 1 là Z √ Z √ A.
f (x) dx = (3x + 1) 3 3x + 1 + C. B.
f (x) dx = 3 3x + 1 + C. Z 1 √ Z 1 √ C.
f (x) dx = 3 3x + 1 + C. D.
f (x) dx =
(3x + 1) 3 3x + 1 + C. 3 4 | Lời giải.
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Câu 40. Tìm các hàm số f (x) biết f 0(x) = . (2 + sin x)2 sin x 1
A. f (x) = + C.
B. f (x) = + C. (2 + sin x)2 2 + cos x 1 sin x
C. f (x) = − + C.
D. f (x) = + C. 2 + sin x 2 + sin x | Lời giải.
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p Dạng 1.4. Phương pháp từng phần Z Z I =
ud v = u.v − vdu   đạo hàm 2 vế
d u −−−−−−−→ . . . dxu = . . .  Đặt: ⇔ nguyên hàm 2 vế dv = . . .
v =−−−−−−−−−→ . . .
Nhận dạng và cách đặt: u, d v Dạng u d v     Z sin x sin x 1 P (x)   d x u = P (x) d v =   d x cos x cos x Z h i 2
P (x). ex d x u = P (x)
d v = exd x Z h i h i 3
P (x) ln x d x u = ln x
d v = P (x)d x Z Câu 1. Biết
xe2xdx = axe2x + be2x + C (a, b ∈ Q) . Tính tích ab.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 25 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM 1 1 1 1 A. ab = − . B. ab = . C. ab = − . D. ab = . 4 4 8 8 | Lời giải.
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Câu 2. Kết quả của I = xexdx là x2 x2
A. I = xex − ex + C.
B. I = ex + xex + C. C. I = ex + C. D. I =
ex + ex + C. 2 2 | Lời giải.
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Câu 3. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = (5x + 1) ex và F (0) = 3. TínhF (1).
A. F (1) = 11e − 3.
B. F (1) = e + 3.
C. F (1) = e + 7.
D. F (1) = e + 2. | Lời giải.
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Câu 4. Tính F (x) =
x sin 2xrmd x. Chọn kết quả đúng? 1 1
A. F (x) =
(2x cos 2x + sin 2x) + C.
B. F (x) = − (2x cos 2x + sin 2x) + C. 4 4 1 1
C. F (x) = − (2x cos 2x − sin 2x) + C.
D. F (x) =
(2x cos 2x − sin 2x) + C. 4 4 | Lời giải.
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Câu 5. Cho F (x) =
(ln x + b) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
, trong đó a, b ∈ Z. x x2
Tính S = a + b. A. S = −2. B. S = 1. C. S = 2. D. S = 0. | Lời giải.
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♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 26 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM
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Câu 6. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x cos 2x là x sin 2x cos 2x cos 2x A. − + C.
B. x sin 2x − + C. 2 4 2 cos 2x x sin 2x cos 2x
C. x sin 2x + + C. D. + + C. 2 2 4 | Lời giải.
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Câu 7. Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = xe−x. Tính F (x) biết F (0) = 1.
A. F (x) = − (x + 1) e−x + 2.
B. F (x) = (x + 1) e−x + 1.
C. F (x) = (x + 1) e−x + 2.
D. F (x) = − (x + 1) e−x + 1. | Lời giải.
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(x + 3) .e−2xdx = −
e−2x (2x + n) + C, với m, n ∈ Q. Khi đó tổng S = m2 + n2 có m giá trị bằng A. 10. B. 5. C. 65. D. 41. | Lời giải.
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Câu 9. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x ln 2x là x2 x2 A.
ln 2x − x2 + C.
B. x2 ln 2x − + C. 2 2 x2 x2 Å 1 ã C.
(ln 2x − 1) + C. D. ln 2x − + C. 2 2 2 | Lời giải.
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♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 27 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM
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Câu 10. Họ các nguyên hàm của f (x) = x ln x là: x2 1 1 x2 1 1 A. ln x + x2 + C.
B. x2 ln x −
x2 + C . C. ln x − x2 + C.
D. x ln x + x + C. 2 4 2 2 4 2 | Lời giải.
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Câu 11. Hàm số f (x) thoả mãn f 0(x) = xex là: ex+1
A. (x − 1) ex + C. B. x2 + + C.
C. x2ex + C.
D. (x + 1) ex + C. x + 1 | Lời giải.
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Câu 12. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = (2x + 1)ex là
A. (2x − 1)ex + C.
B. (2x + 3)ex + C.
C. 2xex + C.
D. (2x − 2)ex + C. | Lời giải.
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Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số y = 3x(x + cos x) là
A. x3 + 3(x sin x + cos x) + C.
B. x3 − 3(x sin x + cos x) + C.
C. x3 + 3(x sin x − cos x) + C.
D. x3 − 3(x sin x − cos x) + C. | Lời giải.
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Câu 14. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) =
trên khoảng (0; π) là sin2 x
A. −x cot x + ln (sin x) + C.
B. x cot x − ln |sin x| + C.
C. x cot x + ln |sin x| + C.
D. −x cot x − ln (sin x) + C.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 28 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM | Lời giải.
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Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x (1 + ln x) là
A. 2x2 ln x + 3x2.
B. 2x2 ln x + x2.
C. 2x2 ln x + 3x2 + C.
D. 2x2 ln x + x2 + C. | Lời giải.
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Câu 16. Tìm tất cả nguyên hàm của hàm số f (x) = (3x2 + 1) ln x. Z x3 Z x3 A.
f (x) dx = x(x2 + 1) ln x − + C. B.
f (x) dx = x3 ln x − + C. 3 3 Z x3 Z x3 C.
f (x) dx = x(x2 + 1) ln x − − x + C. D.
f (x) dx = x3 ln x − − x + C. 3 3 | Lời giải.
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Câu 17. Tính F (x) =
x cos x dx ta được kết quả
A. F (x) = x sin x − cos x + C.
B. F (x) = −x sin x − cos x + C.
C. F (x) = x sin x + cos x + C.
D. F (x) = −x sin x + cos x + C. | Lời giải.
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Câu 18. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x sin x là
A. F (x) = −x cos x − sin x + C.
B. F (x) = x cos x − sin x + C.
C. F (x) = −x cos x + sin x + C.
D. F (x) = x cos x + sin x + C. | Lời giải.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 29 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM
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x cos 2x dx. 1 1 A. x sin 2x − cos 2x + C.
B. x sin 2x + cos 2x + C. 2 4 1 1 1 1 C. x sin 2x + cos 2x + C. D. x sin 2x + cos 2x + C. 2 2 2 4 | Lời giải.
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Câu 20. Tìm nguyên hàm J =
(x + 1)e3x dx. 1 1 1 1 A. J = (x + 1)e3x − e3x + C. B. J = (x + 1)e3x − e3x + C. 3 9 3 3 1 1 1
C. J = (x + 1)e3x − e3x + C. D. J = (x + 1)e3x + e3x + C. 3 3 9 | Lời giải.
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(x − a) cos 3x 1 Câu 21. Biết
(x−2) sin 3x dx = − +
sin 3x+2017, trong đó a, b, c là các số nguyên b c
dương. Khi đó S = ab + c bằng A. S = 15. B. S = 10. C. S = 14. D. S = 3. | Lời giải.
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Câu 22. Hàm số f (x) thỏa mãn f 0(x) = xex là ex+1
A. (x − 1)ex + C. B. x2 + + C.
C. x2ex + C.
D. (x + 1)ex + C. x + 1 | Lời giải.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 30 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM
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Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = xex. Z Z A.
f (x) dx = (x + 1)ex + C. B.
f (x) dx = (x − 1)ex + C. Z Z C.
f (x) dx = xex + C. D.
f (x) dx = x2ex + C. | Lời giải.
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Câu 24. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = x · e2x. 1
A. F (x) = 2e2x (x − 2) + C.
B. F (x) =
e2x (x − 2) + C. 2 Å 1 ã 1 Å 1 ã
C. F (x) = 2e2x x − + C.
D. F (x) = e2x x − + C. 2 2 2 | Lời giải.
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Câu 25. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x ln x là
A. x2 (2 ln x + 1) + C.
B. 4x2 (2 ln x − 1) + C.
C. x2 (2 ln x − 1) + C.
D. x2 (8 ln x − 16) + C. | Lời giải.
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Câu 26. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x cos 2x. x sin 2x cos 2x cos 2x A. − + C.
B. x sin 2x − + C. 2 4 2 cos 2x x sin 2x cos 2x
C. x sin 2x + + C. D. + + C. 2 2 4 | Lời giải.
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♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 31 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM Z
Câu 27. Tìm họ nguyên hàm
(2x − 1) ln x dx x2 x2
A. F (x) = (x2 − x) ln x − + x + C.
B. F (x) = (x2 − x) ln x + − x + C. 2 2 x2 x2
C. F (x) = (x2 + x) ln x − + x + C.
D. F (x) = (x2 − x) ln x − − x + C. 2 2 | Lời giải.
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x cos 2x dx = ax sin 2x + b cos 2x + C với a, b là các số hữu tỉ. Tính tích ab. 1 1 1 1 A. ab = . B. ab = . C. ab = − . D. ab = − . 8 4 8 4 | Lời giải.
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Câu 29. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = (2x + 1) ln x là x2
A. (x2 + x) ln x − − x + C.
B. (x2 + x) ln x − x2 − x + C. 2 x2
C. (x2 + x) ln x − + x + C.
D. (x2 + x) ln x − x2 + x + C. 2 | Lời giải.
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Câu 30. Tìm nguyên hàm J =
(x + 1)e3x dx. 1 1 1 1 A. J = (x + 1)e3x − e3x + C. B. J = (x + 1)e3x − e3x + C. 3 9 3 3 1 1 1
C. J = (x + 1)e3x − e3x + C. D. J = (x + 1)e3x + e3x + C. 3 3 9 | Lời giải.
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♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 32 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM
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♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 33 MỤC LỤC §1 – NGUYÊN HÀM 1
| Dạng 1.1: Sử dụng nguyên hàm cơ bản ...................................................................... 1
| Dạng 1.2: Nguyên hàm có điều kiện ........................................................................... 9
| Dạng 1.3: Phương pháp đổi biến số .......................................................................... 17
| Dạng 1.4: Phương pháp từng phần ........................................................................... 25 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM Chủ đề NGUYÊN HÀM 1
p Dạng 1.1. Sử dụng nguyên hàm cơ bản Z Z 1
dx = x + C 2
kdx = kx + C Z xn+1 Z
1 (ax + b)n+1 3 xndx = + C 4
(ax + b)n dx = + C n + 1 a n + 1 Z dx 1 Z dx 1 1 5 = − + C 6 = − . + C x2 x (ax + b)2 a ax + b Z dx Z dx 1 7 = ln |x| + C 8 =
ln |ax + b| + C x ax + b a Z Z 1 9
exdx = ex + C 10 eax+bdx = eax+b + C a Z ax Z 1 aαx+β 11 axdx = + C 12
aαx+βdx = + C ln a α ln a Z Z 1 13
cos xdx = sin x + C 14
cos(ax + b)dx =
sin(ax + b) + C a Z Z 1 15
sin xdx = − cos x + C 16
sin(ax+b)dx = − cos(ax+b)+C a Z dx Z dx 1 17 = tan x + C 18 =
tan(ax + b) + C cos2 x cos2(ax + b) a Z dx Z dx 1 19 = − cot x + C 20
= − cot(ax + b) + C sin2 x sin2(ax + b) a Z Z 1 21
tan xdx = − ln |cos x| + C 22
tan(ax + b)dx = − ln |cos x| + C a Z Z 1 23
cot xdx = ln |sin x| + C 24
cot(ax + b)dx = ln |sin x| + C a Z 1 1 x − a Z 1 1 x 25 dx = ln dx = arctan + C + C 26 x2 − a2 2a x + a x2 + a2 a a
Câu 1. Họ các nguyên hàm của hàm số f (x) = 5x4 − 6x2 + 1 là
A 20x3 − 12x + C.
B x5 − 2x3 + x + C. x4
C 20x5 − 12x3 + x + C. D
+ 2x2 − 2x + C. 4 | Lời giải. Z Ta có
5x4 − 6x2 + 1 dx = x5 − 2x3 + x + C. Chọn đáp án B
Câu 2. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x3 + x2 là x4 x3 1 1 A + + C.
B x4 + x3.
C 3x2 + 2x. D x4 + x3. 4 3 4 4 | Lời giải. Z x4 x3
x3 + x2 dx = + + C. 4 3 Chọn đáp án A
Câu 3. Nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x3 + x − 1 là:
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 1 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM 1 1
A x4 + x2 + x + C.
B 12x2 + 1 + C. C x4 +
x2 − x + C. D x4 −
x2 − x + C. 2 2 | Lời giải. Z xn+1
Phương pháp: Sử dụng nguyên hàm cơ bản xn dx = + C. n + 1 Z x4 x2 1 Cách giải:
f (x) dx = 4 · +
− x + C = x4 +
· x2 − x + C. 4 2 2 Chọn đáp án C
Câu 4. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x2 − 1 là x3 A x3 + C. B + x + C. C 6x + C.
D x3 − x + C. 3 | Lời giải. Z Z Ta có f (x)dx =
(3x2 − 1) dx = x3 − x + C. Chọn đáp án D
Câu 5. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x2 + 3 là x3 x3 A + 3x + C.
B x3 + 3x + C. C + 3x + C.
D x2 + 3 + C. 3 2 | Lời giải. Z xn+1 Sử dụng công thức xn dx = + C (n 6= −1). n + 1 Chọn đáp án A
Câu 6. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x (1 + 3x3) là Å 3 ã Å 6x3 ã Å 3 ã Å 3 ã A x2 1 + x2 + C. B x2 1 + + C. C 2x x + x4 + C. D x2 x + x3 + C. 2 5 4 4 | Lời giải. 6x5 Å 6x3 ã
Ta có R f (x) dx = R 2x (1 + 3x3) dx = R (2x + 6x4) dx = x2 + + C = x2 1 + + C. 5 5 Chọn đáp án B 1
Câu 7. Tìm họ nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = . 5x + 4 1 A F (x) = ln |5x + 4| + C.
B F (x) = ln |5x + 4| + C. ln 5 1 1 C F (x) = ln |5x + 4| + C. D F (x) = ln(5x + 4) + C. 5 5 | Lời giải. Z 1 1 Ta có dx = ln |5x + 4| + C. 5x + 4 5 Chọn đáp án C
Câu 8. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = ex + x là 1
A ex + x2 + C. B ex + x2 + C. 2 1 1 C ex + x2 + C.
D ex + 1 + C. x + 1 2 | Lời giải. Z Z 1
f (x) dx =
(ex + x) dx = ex + x2 + C 2
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 2 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM Chọn đáp án B
Câu 9. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x + sin x là x2 x2
A x2 + cos x + C.
B x2 − cos x + C. C − cos x + C. D + cos x + C. 2 2 | Lời giải. Z x2
Cách 1: Dựa vào bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản ta có
(x + sin x) dx = − cos x + C. 2
Cách 2: Lấy đạo hàm các hàm số trên ta được kết quả. Chọn đáp án C
Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x2 + cos x là 1 1
A 2x − sin x + C. B
x3 + sin x + C. C
x3 − sin x + C.
D x3 + sin x + C. 3 3 | Lời giải. Z 1 Ta có:
(x2 + cos x)dx =
x3 + sin x + C. 3 Chọn đáp án B
Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = e2x. Z Z A
e2xdx = 2e2x + C. B
e2xdx = e2x + C. Z e2x+1 Z 1 C e2xdx = + C. D e2xdx = e2x + C. 2x + 1 2 | Lời giải. Z 1 Z 1 Ta có e2xdx = e2xd(2x) = e2x + C. 2 2 Chọn đáp án D
Câu 12. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 52x? Z Z 52x A
52x dx = 2.52x ln 5 + C. B
52x dx = 2. + C. ln 5 Z 25x Z 25x+1 C 52x dx = + C. D 52x dx = + C. 2 ln 5 x + 1 | Lời giải. Z 1 52x 25x Ta có 52x dx = . + C = + C. 2 ln 5 2 ln 5 Chọn đáp án C 1
Câu 13. Tìm họ nguyên hàm của hàm số y = x2 − 3x + . x x3 3x 1 x3 1 A − − + C, C ∈ R. B − 3x + + C, C ∈ R. 3 ln 3 x2 3 x2 x3 3x x3 3x C −
− ln |x| + C, C ∈ R. D −
+ ln |x| + C, C ∈ R. 3 ln 3 3 ln 3 | Lời giải. Z Å 1 ã x3 3x 1 Ta có x2 − 3x + dx = − − + C, C ∈ R. x 3 ln 3 x2 Chọn đáp án D 2
Câu 14. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = . 4x − 3
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 3 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM Z 2 1 Z 2 3 A dx =
ln |4x − 3| + C. B dx = 2 ln 2x − + C . 4x − 3 4 4x − 3 2 Z 2 1 3 Z 2 1 Å 3 ã C dx = ln 2x − + C . D dx = ln 2x − + C. 4x − 3 2 2 4x − 3 2 2 | Lời giải. Z 2 Z 1 1 3 Ta có dx = dx = ln 2x − + C . 4x − 3 2x − 3 2 2 2 Chọn đáp án C
Câu 15. Hàm số F (x) = ex2 là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? ex2
A f (x) = 2xex2.
B f (x) = x2ex2.
C f (x) = ex2. D f (x) = . 2x | Lời giải. Ä
Ta có f (x) = (F (x))0 = ex2ä0 = 2xex2. Chọn đáp án A
Câu 16. Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = 3−x. 3−x 3−x A + C. B − + C.
C −3−x + C.
D −3−x ln 3 + C. ln 3 ln 3 | Lời giải. Z 3−x Ta có 3−xdx = − + C. ln 3 Chọn đáp án B
Câu 17. Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 5x. 1 1 A cos 5x + C.
B cos 5x + C.
C − cos 5x + C.
D − cos 5x + C. 5 5 | Lời giải. Z 1 Z 1 Ta có sin 5xdx =
sin 5xd(5x) = − cos 5x + C. 5 5 Chọn đáp án D
Câu 18. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x2 + sin x là
A x3 + cos x + C.
B 6x + cos x + C.
C x3 − cos x + C.
D 6x − cos x + C. | Lời giải. Z x3
3x2 + sin x dx = 3 ·
− cos x + C = x3 − cos x + C. 3 Chọn đáp án C
Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 1 là
A F (x) = 2x2 + x.
B F (x) = 2.
C F (x) = C.
D F (x) = x2 + x + C. | Lời giải. Ta có Z Z F (x) =
f (x) dx =
(2x + 1) dx = x2 + x + C. Chọn đáp án D
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 4 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM
Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = ex + x là 1
A ex + x2 + C. B ex + x2 + C. 2 1 1 C ex + x2 + C.
D ex + 1 + C. x + 1 2 | Lời giải. Ta có Z Z Z Z 1
f (x) dx =
(ex + x) dx = ex dx +
x dx = ex +
x2 + C, với C là hằng số. 2 Chọn đáp án B √
Câu 21. Hàm số F (x) nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số y = 3 x + 1? 3 4 4 A F (x) = (x + 1) 3 p 3 + C . B F (x) = (x + 1)4 + C. 4 3 3 √ 3 C F (x) =
(x + 1) 3 x + 1 + C. D F (x) = 4 p(x + 1)3 + C. 4 4 | Lời giải. Z √ Ta có: I = 3 x + 1 dx √
Đặt: t = 3 x + 1 ⇒ t3 = x + 1 ⇒ 3t2 dt = dx Z Z 3 3 3 √ ⇒ I =
t · 3t2 dt = 3t3 dt = t4 + C = 3
p(x + 1)4 + C = (x + 1) 3 x + 1 + C 4 4 4 3 √ Vậy F (x) =
(x + 1) 3 x + 1 + C. 4 Chọn đáp án C x2 − x + 1
Câu 22. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = . x − 1 1 1 A x + + C. B x + + C. x − 1 (x − 1)2 x2 C
+ ln |x − 1| + C.
D x2 + ln |x − 1| + C. 2 | Lời giải. Z x2 − x + 1 Z Å 1 ã x2 dx = x + dx =
+ ln |x − 1| + C. x − 1 x − 1 2 Chọn đáp án C x
Câu 23. Tìm tất cả nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x2 + . 2 Z x3 x2 Z x2 A
f (x) dx = + + C. B
f (x) dx = x3 + + C. 3 4 2 Z x2 Z x2 C
f (x) dx = x3 + + C. D
f (x) dx = x3 + . 4 4 | Lời giải. Z Z x Z 1 Z x2 Ta có
f (x) dx = 3x2 + dx = 3 x2 dx +
x dx = x3 + + C. 2 2 4 Chọn đáp án C
Câu 24. Nguyên hàm của hàm số y = e−3x+1 là
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 5 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM 1 1 A e−3x+1 + C.
B −3e−3x+1 + C.
C − e−3x+1 + C.
D 3e−3x+1 + C. 3 3 | Lời giải. Z 1 Ta có:
e−3x+1 dx = − e−3x+1 + C. 3 Chọn đáp án C x
Câu 25. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = cos . 2 x 1 x
A F (x) = 2 sin + C. B F (x) = sin + C. 2 2 2 x 1 x
C F (x) = −2 sin + C.
D F (x) = − sin + C. 2 2 2 | Lời giải. Z x x Ta có F (x) = cos dx = 2 sin + C. 2 2 Chọn đáp án A
Câu 26. Tìm nguyên hàm của hàm số y = 1212x. Z Z A
1212xdx = 1212x−1 · ln 12 + C. B
1212x dx = 1212x · ln 12 + C. Z 1212x Z 1212x−1 C 1212x dx = + C. D 1212x dx = + C. ln 12 ln 12 | Lời giải. Z 1 1212x 1212x−1 Ta có 1212x dx = · + C = + C. 12 ln 12 ln 12 Chọn đáp án D Z x3 − 2x2 + 5 Câu 27. Họ nguyên hàm dx bằng x2 x2 5 5 5 5 A − 2x − + C. B −2x + + C.
C x2 − 2x − + C.
D x2 − x − + C. 2 x x x x | Lời giải. Z x3 − 2x2 + 5 Z Å 5 ã x2 5 Ta có dx = x − 2 + dx = − 2x − + C. x2 x2 2 x Chọn đáp án A 1
Câu 28. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = √ . 2 2x + 1 Z √ Z √ A
f (x) dx = 2x + 1 + C. B
f (x) dx = 2 2x + 1 + C. Z 1 Z 1 √ C
f (x) dx = √ + C. D
f (x) dx = 2x + 1 + C. (2x + 1) 2x + 1 2 | Lời giải. Z Z 1 1 √
f (x) dx = √ d(2x + 1) = 2x + 1 + C. 4 2x + 1 2 Chọn đáp án D
Câu 29. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 3x là 1 1
A 3 cos 3x + C. B cos 3x + C.
C − cos 3x + C.
D −3 cos 3x + C. 3 3 | Lời giải.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 6 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM Z Z sin 3x d(3x) 1 sin 3x dx =
= − cos 3x + C. 3 3 Chọn đáp án C Z dx Câu 30. Tính I = được kết quả cos2 x
A − cot x + C.
B tan x + C.
C − tan x + C.
D cot x + C. | Lời giải. Z dx Ta có I = = tan x + C. cos2 x Chọn đáp án B Z 6x + 2
Câu 31. Tìm F (x) = dx. 3x − 1 4
A F (x) = 2x +
ln |3x − 1| + C.
B F (x) = 2x + 4 ln |3x − 1| + C. 3 4 C F (x) =
ln |3x − 1| + C.
D F (x) = 2x + 4 ln(3x − 1) + C. 3 | Lời giải. Z 6x + 2 Z Å 4 ã 4 Ta có F (x) = dx = 2 + dx = 2x +
ln |3x − 1| + C. 3x − 1 3x − 1 4 Chọn đáp án A Z
Câu 32. Tính nguyên hàm I =
(2x + 3x) dx. 2x 3x ln 2 ln 3 A I = + + C. B I = + + C. ln 2 ln 3 2x 3x ln 2 ln 3 ln 2 ln 3 C I = + + C. D I = − − + C. 2 3 2 3 | Lời giải. Z 2x 3x Ta có I =
(2x + 3x) dx = + + C. ln 2 ln 3 Chọn đáp án A Z √ Câu 33. Tìm H = 4 2x − 1 dx. 2 5 5 A H =
(2x − 1) 4 + C.
B H = (2x − 1) 4 + C. 5 1 5 8 5 C H =
(2x − 1) 4 + C. D H =
(2x − 1) 4 + C. 5 5 | Lời giải. 1 +1 Z √ Z 1 1 (2x − 1) 4 2 5 Ta có: H = 4 2x − 1 dx =
(2x − 1) 4 dx = · + C =
(2x − 1) 4 + C. 2 1 + 1 5 4 Chọn đáp án A 1
Câu 34. Hàm số F (x) =
ln4 x + C là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số dưới đây? 4 ln3 x 1 x x ln3 x A f (x) = . B f (x) = . C f (x) = . D f (x) = . x x ln3 x ln3 x 3 | Lời giải. 1 Ta có F 0(x) = ln3 x. x Chọn đáp án A
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 7 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM Z Å√ 4 ã Câu 35. Tìm 3 x2 + dx x 3 √ 3 √ A
3 x5 + 4 ln |x| + C. B
3 x5 − 4 ln |x| + C. 5 5 3 √ 5 √ C −
3 x5 + 4 ln |x| + C. D
3 x5 + 4 ln |x| + C. 5 3 | Lời giải. Z Å√ 4 ã Z 2 Z 1 3 5 3 √ 3 x2 + dx = x 3 3 dx + 4 dx =
x 3 + 4 ln |x| + C =
x5 + 4 ln |x| + C. x x 5 5 Chọn đáp án A
Câu 36. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x + sin x là x2 x2
A 1 + cos x + C. B − cos x + C. C + cos x + C.
D x2 − cos x + C. 2 2 | Lời giải. x2 F (x) = − cos x + C 2 Chọn đáp án B 1
Câu 37. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = là x2 1 1 1 A − + C. B x3 + C. C − . D + C. x 3x2 x | Lời giải. Z 1 Z 1 Ta có dx = x−2dx = − + C. x2 x Chọn đáp án A
Câu 38. Hàm số F (x) = 2 sin x − 3 cos x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A f (x) = −2 cos x − 3 sin x .
B f (x) = −2 cos x + 3 sin x .
C f (x) = 2 cos x + 3 sin x .
D f (x) = 2 cos x − 3 sin x . | Lời giải.
Ta có F 0(x) = 2 cos x + 3 sin x. Chọn đáp án C
Câu 39. Một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 3x − 2x là 3x 3x A F (x) = − x2 − 1. B F (x) = − 2. ln 3 ln 3 3x x2 C F (x) = − .
D F (x) = 3x ln 3 − x2. ln 3 2 | Lời giải. Z 3x Ta có
(3x − 2x) dx = − x2 + C. ln 3 Chọn đáp án A
Câu 40. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x2 + sin x là
A x3 + cos x + C.
B x3 + sin x + C.
C x3 − cos x + C.
D x3 − sin x + C. | Lời giải. Z
(3x2 + sin x) dx = x3 − cos x + C.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 8 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM Chọn đáp án C
Câu 41. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 5x + 2 là 1
A 5 cos 5x + C.
B − cos 5x + 2x + C. 5 1 C
cos 5x + 2x + C.
D cos 5x + 2x + C. 5 | Lời giải. Z Z 1 Ta có: f (x)dx =
(sin 5x + 2)dx = − cos 5x + 2x + C. 5 Chọn đáp án B 2x2 + x − 1
Câu 42. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = . x2 Z 2x2 + x − 1 1 1 Z 2x2 + x − 1 1 A dx = 2 + − + C. B dx = 2x + + ln |x| + C. x2 x x2 x2 x Z 2x2 + x − 1 1 Z 2x2 + x − 1 1 C
dx = x2 + ln |x| + + C. D dx = x2 − + ln |x| + C. x2 x x2 x | Lời giải. Z 2x2 + x − 1 Z Å 1 1 ã 1 dx = 2 + −
dx = 2x + ln |x| + + C. x2 x x2 x Chọn đáp án B
Câu 43. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 10x. Z 10x Z A 10xdx = + C. B
10xdx = 10x ln 10 + C. ln 10 Z Z 10x+1 C
10xdx = 10x+1 + C. D 10xdx = + C. x + 1 | Lời giải. Z ax Áp dụng công thức axdx =
+ C với a > 0. ln a Chọn đáp án A
Câu 44. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = ex + 2 sin x. Z Z A
(ex + 2 sin x) dx = ex − cos2 x + C. B
(ex + 2 sin x) dx = ex + sin2 x + C. Z Z C
(ex + 2 sin x) dx = ex − 2 cos x + C. D
(ex + 2 sin x) dx = ex + 2 cos x + C. | Lời giải. Z
(ex + 2 sin x) dx = ex − 2 cos x + C. Chọn đáp án C
Câu 45. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = x2 − 2x. Z x3 2x Z 2x A
f (x) dx = + + C. B
f (x) dx = 2x − + C. 3 ln 2 ln 2 Z x3 2x Z C
f (x) dx = − + C. D
f (x) dx = 2x − 2x ln 2 + C. 3 ln 2 | Lời giải.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 9 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM Z Z x3 2x
f (x) dx =
(x2 − 2x) dx = − + C. 3 ln 2 Chọn đáp án C
Câu 46. Hàm số F (x) = ex2 là nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A f (x) = x2ex2 + 3.
B f (x) = 2x2ex2 + C.
C f (x) = 2xex2.
D f (x) = xex2. | Lời giải. Ä
Ta có F 0(x) = ex2ä0 = (x2)0 · ex2 = 2xex2.
Vậy F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) = 2xex2. Chọn đáp án C 2x4 + 3
Câu 47. Họ nguyên hàm của f (x) = là x2 2x3 2x3 2x3 3 2x3 3 A
− 3 ln |x| + C. B + 3 ln x + C. C − + C. D + + C. 3 3 3 x 3 x | Lời giải. Z 2x4 + 3 Z Å 3 ã 2x3 3 dx = 2x2 + dx = − + C. x2 x2 3 x Chọn đáp án C
Câu 48. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + sin 2x. 1 1 A x2 − cos 2x + C. B x2 + cos 2x + C.
C x2 − 2 cos 2x + C.
D x2 + 2 cos 2x + C. 2 2 | Lời giải. Z 1 Ta có
2x + sin 2x = x2 − cos 2x + C. 2 Chọn đáp án A 1
Câu 49. Họ nguyên hàm của hàm số y = x2 − 3x + là x x3 3 x3 3 A F (x) =
− x2 + ln x + C. B F (x) =
− x2 + ln |x| + C. 3 2 3 2 x3 3 1 C F (x) = +
x2 + ln x + C.
D F (x) = 2x − 3 − + C. 3 2 x | Lời giải. Z Å 1 ã x3 3 Ta có F (x) = x2 − 3x + dx =
− x2 + ln |x| + C. x 3 2 Chọn đáp án B 1
Câu 50. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x + . x2 Z 1 Z 3x 1 A
f (x) dx = 3x + + C. B
f (x) dx = + + C. x ln 3 x Z 1 Z 3x 1 C
f (x) dx = 3x − + C. D
f (x) dx = − + C. x ln 3 x | Lời giải. Å 3x 1 ã0 3x ln 3 Å 1 ã 1 Ta có − + C = − − = 3x + . ln 3 x ln 3 x2 x2 Chọn đáp án D
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 10 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM
p Dạng 1.2. Nguyên hàm có điều kiện Z
f (x)d x thỏa mãn F (x0) = k.
Bước 1: Tìm nguyên hàm F (x) = G(x) + C (*)
Bước 2: Từ F (x0) = k, tìm được C.
Bước 2: Thay C vào (*) và kết luận.
Câu 1. Cho hàm số f (x) = 2x + ex. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) thỏa mãn F (0) = 2019.
A F (x) = ex − 2020.
B F (x) = x2 + ex − 2019.
C F (x) = x2 + ex + 2017.
D F (x) = x2 + ex + 2018. | Lời giải. Z F (x) =
(2x + ex) dx = x2 + ex + C.
Do F (0) = 2019 nên 02 + e0 + C = 2019 ⇔ C = 2018.
Vậy F (x) = x2 + ex + 2018. Chọn đáp án D 201 Å 1 ã
Câu 2. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = e2x và F (0) = . Giá trị F là 2 2 1 1 1 A e + 200. B 2e + 200. C e + 50. D e + 100. 2 2 2 | Lời giải. Z 1 Ta có F (x) = e2x dx = e2x + C. 2201 1 201
Theo đề bài ta có F (0) = ⇔ e0 + C = ⇔ C = 100. 2 2 2 1 1 Vậy F (x) =
e2x + 100 ⇒ F (2) = e + 100. 2 2 Chọn đáp án D Z
Câu 3. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) · g(x) biết F (1) = 3, biết
f (x)dx = x + 2018 Z và
g(x)dx = x2 + 2019.
A F (x) = x3 + 1.
B F (x) = x3 + 3.
C F (x) = x2 + 2.
D F (x) = x2 + 3. | Lời giải. Z Ta có
f (x)dx = x + 2018 ⇒ f (x) = (x + 2018)0 = 1 Z và
g(x)dx = x2 + 2019 ⇒ g(x) = (x2 + 2019)0 = 2x. Z
⇒ f (x) · g(x) = 2x ⇒ F (x) =
f (x) · g(x)dx = x2 + C.
Mặt khác F (1) = 3 ⇒ 12 + C = 3 ⇒ C = 2.
Vậy F (x) = x2 + 2. Chọn đáp án C
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 11 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM 1
Câu 4. Cho F (x) là một nguyên hàm của f (x) =
trên khoảng (1; +∞) thỏa mãn F (e + 1) = 4 x − 1 . Tìm F (x) .
A F (x) = 2 ln(x − 1) + 2.
B F (x) = ln(x − 1) + 3.
C F (x) = 4 ln(x − 1).
D F (x) = ln(x − 1) − 3. | Lời giải. Z 1 Ta có F (x) =
dx = ln(x − 1) + C. x − 1
F (e + 1) = 4 ⇒ ln e + C = 4 ⇒ C = 3.
Vậy F (x) = ln(x − 1) + 3. Chọn đáp án B 1
Câu 5. Cho F (x) là nguyên hàm của f (x) = √
thỏa mãn F (2) = 4. Giá trị F (−1) bằng x + 2 √ √ A 3. B 1. C 2 3. D 2. | Lời giải. Z Z 1 √ F (x) =
f (x) dx = √
dx = 2 x + 2 + C. x + 2 √ √
Theo đề bài F (2) = 4 nên 2 2 + 2 + C = 4 ⇔ C = 0 ⇒ F (−1) = 2 −1 + 2 = 2. Vậy F (−1) = 2. Chọn đáp án D Z x3
Câu 6. Tìm hàm số F (x) biết F (x) =
dx và F (0) = 1. x4 + 1 1 3
A F (x) = ln(x4 + 1) + 1. B F (x) = ln(x4 + 1) + . 4 4 1 C F (x) = ln(x4 + 1) + 1.
D F (x) = 4 ln(x4 + 1) + 1. 4 | Lời giải. 1 Z 1 1 Ta có F (x) = d(x4 + 1) = ln(x4 + 1) + C. 4 x4 + 1 4 1 Do F (0) = 1 nên ln(0 + 1) + C ⇔ C = 1. 4 1 Vậy F (x) = ln(x4 + 1) + 1. 4 Chọn đáp án C π π
Câu 7. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm f (x) = sin 2x và F = 1. Tính F . 4 6 π 5 π π 3 π 1 A F = . B F = 0. C F = . D F = . 6 4 6 6 4 6 2 | Lời giải. Z 1 π 1 π Ta có: F (x) =
sin 2x dx = − cos 2x + C. Biết F = 1 ⇒ − cos
+ C = 1 ⇒ C = 1. 2 4 2 2 1
Do đó F (x) = − cos 2x + 1. 2 π 1 π 3 Suy ra: F = − cos 2 · + 1 = . 6 2 6 4
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 12 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM Cách khác: π 4 Z 1 π π 1 π π 3 sin 2x dx = = F − F ⇔ = 1 − F ⇔ F = . 4 4 6 4 6 6 4 π 6 Chọn đáp án C π 14
Câu 8. Cho hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = cos 3x và F = thì 2 3 1 13 1 A F (x) = sin 3x + .
B F (x) = − sin 3x + 5. 3 3 3 1 1 13 C F (x) = sin 3x + 5.
D F (x) = − sin 3x + . 3 3 3 | Lời giải. 1
F (x) là một nguyên hàm của f (x) = cos 3x nên F (x) = sin 3x + C. 3 Å ã π 14 1 3π 14 Mà F = nên sin + C = ⇔ C = 5. 2 3 3 2 3 Chọn đáp án C
Câu 9. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = sin x và đồ thị hàm số y = F (x) đi qua π
điểm M (0; 1). Tính F . 2 π π π π A F = 0. B F = 1. C F = 2. D F = −1. 2 2 2 2 | Lời giải. π π 2 2 π Z π π π Z 2 Ta có
f (x) dx = F − F (0) = F − 1 ⇒ F =
sin x dx + 1 = sin x + 1 = 2. 2 2 2 0 0 0 Chọn đáp án C
Câu 10. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x2 + 8 sin x và thỏa mãn F (0) = 2010. Tìm F (x).
A F (x) = 6x − 8 cos x + 2018.
B F (x) = 6x + 8 cos x.
C F (x) = x3 − 8 cos x + 2018.
D F (x) = x3 − 8 cos x + 2019. | Lời giải. Z Ta có F (x) =
3x2 + 8 sin x dx = x3 − 8 cos x + C.
Mặt khác F (0) = 2010 ⇔ −8 + C = 2010 ⇔ C = 2018.
Vậy F (x) = x3 − 8 cos x + 2018. Chọn đáp án C
Câu 11. Tính nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = e2x, biết F (0) = 1. e2x 1
A F (x) = e2x.
B F (x) = e2x − 1.
C F (x) = ex. D F (x) = + . 2 2 | Lời giải. Z 1 1 e2x 1 F (x) = e2x dx =
· e2x + C. Vì F (0) = 1 nên C = . Vậy F (x) = + . 2 2 2 2
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 13 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM Chọn đáp án D 1
Câu 12. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
và F (2) = 1. Tính F (3). x − 1 1 7
A F (3) = ln 2 − 1.
B F (3) = ln 2 + 1. C F (3) = . D F (3) = . 2 4 | Lời giải. Z 1 Ta có F (x) =
dx = ln |x − 1| + C. x − 1
Theo đề F (2) = 1 ⇔ ln 1 + C = 1 ⇔ C = 1. Vậy F (3) = ln 2 + 1. Chọn đáp án B 1
Câu 13. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
và F (3) = 1. Tính giá trị của x − 1 F (2).
A F (2) = −1 − ln 2.
B F (2) = 1 − ln 2.
C F (2) = −1 + ln 2.
D F (2) = 1 + ln 2. | Lời giải. Z Z 1 Có F (x) =
f (x) dx =
dx = ln |x − 1| + C, mà F (3) = 1 ⇔ C = 1 − ln 2. x − 1
Vậy F (x) = ln |x − 1| + 1 − ln 2 ⇒ F (2) = 1 − ln 2. Chọn đáp án B 2
Câu 14. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 6x + sin 3x, biết F (0) = . 3 cos 3x 2 cos 3x
A F (x) = 3x2 − + .
B F (x) = 3x2 − − 1. 3 3 3 cos 3x cos 3x
C F (x) = 3x2 + + 1.
D F (x) = 3x2 − + 1. 3 3 | Lời giải. Z cos 3x 2 Ta có
(6x + sin 3x) dx = 3x2 − + C. Mà F (0) = nên C = 1. 3 3 Chọn đáp án D π
Câu 15. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin 3x thoả mãn F = 2. 2 cos 3x 5 cos 3x
A F (x) = − + .
B F (x) = − + 2. 3 3 3 cos 3x
C F (x) = − + 2.
D F (x) = − cos 3x + 2. 3 | Lời giải. Z 1 Ta có sin 3x dx = − · cos 3x + C. 3 π Ta có F = 2 ⇔ C = 2. 2 1
Vậy F (x) = − · cos 3x + 2. 3 Chọn đáp án B 3
Câu 16. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = ex + 2x thỏa mãn F (0) = . Tìm 2 F (x). 5 1
A F (x) = ex + x2 + .
B F (x) = 2ex + x2 − . 2 2
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 14 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM 3 1
C F (x) = ex + x2 + .
D F (x) = ex + x2 + . 2 2 | Lời giải. Z Ta có F (x) =
f (x) dx = ex + x2 + C. 3 3 1 Theo bài ra F (0) = ⇒ C + 1 = ⇒ C = . 2 2 2 1
Vậy F (x) = ex + x2 + . 2 Chọn đáp án D
Câu 17. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 1 + 2x + 3x2 thỏa mãn F (1) = 2. Tính
F (0) + F (−1). A −3. B −4. C 3. D 4. | Lời giải. Z F (x) =
(1 + 2x + 3x2) dx = x + x2 + x3 + C.
Do F (1) = 2 nên C = −1. Suy ra F (x) = x + x2 + x3 − 1, từ đó ta có F (0) + F (−1) = −3. Chọn đáp án A
Câu 18. Nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 5x4 −3x2 trên tập số thực thỏa mãn F (1) = 3 là
A x5 − x3 + 2x + 1.
B x5 − x3 + 3.
C x5 − x3 + 5.
D x5 − x3. | Lời giải.
Ta có F (x) = x5 − x3 + C, do F (1) = C = 3 nên F (x) = x5 − x3 + 3. Chọn đáp án B
Câu 19. F (x) là một nguyên hàm của hàm số y = 2 sin x cos 3x và F (0) = 0, khi đó cos 2x cos 4x 1
A F (x) = cos 4x − cos 2x. B F (x) = − − . 4 8 8 cos 2x cos 4x 1 cos 4x cos 2x 1 C F (x) = − − . D F (x) = − + . 2 4 4 4 2 4 | Lời giải. Z Z cos 2x sin 4x Ta có F (x) =
2 sin x cos 3x dx =
[− sin 2x + sin 4x] dx = − + C. 2 2 1
Vì F (0) = 0, suy ra C = − . 4 cos 2x cos 4x 1 Vậy F (x) = − − . 2 4 4 Chọn đáp án C
Câu 20. Cho hàm số f (x) = x3 − x2 + 2x − 1. Gọi F (x) là một nguyên hàm của f (x). Biết rằng
F (1) = 4. Tìm F (x). x4 x3 x4 x3 A F (x) = − + x2 − x. B F (x) = − + x2 − x + 1. 4 3 4 3 x4 x3 x4 x3 49 C F (x) = − + x2 − x + 2. D F (x) = − + x2 − x + . 4 3 4 3 12 | Lời giải. x4 x3 Ta có F (x) = −
+ x2 − x + C. 4 3
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 15 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM 49
F (1) = 4 ⇒ C = . 12 x4 x3 49 Vậy F (x) = − + x2 − x + . 4 3 12 Chọn đáp án D
Câu 21. Cho hàm số f (x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện f 0(x) = x + sin x và f (0) = 1. Tìm f (x). x2 x2 A f (x) = − cos x + 2. B f (x) = − cos x − 2. 2 2 x2 x2 1 C f (x) = + cos x. D f (x) = + cos x + . 2 2 2 | Lời giải. Z x2 Ta có f (x) =
(x + sin x) dx =
− cos x + C. Lại có, f (0) = 1 ⇔ 1 = −1 + C ⇔ C = 2. 2 x2 Vậy f (x) = − cos x + 2. 2 Chọn đáp án A π
Câu 22. Một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin x + 2 cos x biết F = 0 là 2
A F (x) = 2 sin x − cos x + 2.
B F (x) = 2 sin x − cos x − 2.
C F (x) = −2 sin x − cos x + 2.
D F (x) = sin x − 2 cos x − 2. | Lời giải. Z Ta có
(sin x + 2 cos x) dx = − cos x + 2 sin x + C. π Do F
= 0 nên C = −2. Vậy F (x) = 2 sin x − cos x − 2. 2 Chọn đáp án B 1
Câu 23. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm là f 0(x) =
và f (1) = 1. Giá trị f (5) bằng 2x − 1 A 1 + ln 3. B ln 2. C 1 + ln 2. D ln 3. | Lời giải. Z Z 1 1 Ta có f (x) =
f 0(x) dx = dx =
· ln |2x − 1| + C. 2x − 1 2 1 Vì f (1) = 1 nên
· ln |2 · 1 − 1| + C = 1 ⇒ C = 1. 2 1 Suy ra f (x) =
· ln |2x − 1| + 1. 2 1 Vậy f (5) =
· ln |2 · 5 − 1| + 1 = ln 3 + 1. 2 Chọn đáp án A
Câu 24. Cho hàm số f (x) = 2x + ex. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) thỏa mãn F (0) = 0.
A F (x) = x2 + ex − 1.
B F (x) = x2 + ex.
C F (x) = ex − 1.
D F (x) = x2 + ex + 1. | Lời giải. Z F (x) =
(2x + ex)dx = x2 + ex + C.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 16 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM
F (0) = 0 ⇒ 1 + C = 0 ⇒ C = −1. Vậy F (x) = x2 + ex − 1. Chọn đáp án A 2x2 − 2x − 1
Câu 25. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
thỏa mãn F (0) = −1. Tính x − 1 F (−1).
A F (−1) = − ln 2.
B F (−1) = −2 + ln 2.
C F (−1) = ln 2.
D F (−1) = 2 + ln 2. | Lời giải. Z 2x2 − 2x − 1 Z Å 1 ã F (x) = dx = 2x −
dx = x2 − ln |x − 1| + C. x − 1 x − 1
F (0) = 0 − ln 1 + C ⇒ C = −1. Vậy F (−1) = 1 − ln 2 − 1 = − ln 2. Chọn đáp án A 4
Câu 26. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số y = f (x) =
và F (0)=2. Tìm F (2). 1 + 2x A 4 ln 5 + 2. B 5 (1 + ln 2). C 2 ln 5 + 4. D 2(1 + ln 5). | Lời giải. Z 4 Ta có: F (x) =
dx = 2 ln |1 + 2x| + C. 1 + 2x
Mặt khác F (0) = 2 ⇔ C = 2.
Do đó F (2) = 2 ln 5 + 2 = 2(1 + ln 5). Chọn đáp án D 4m
Câu 27. Cho f (x) =
+sin2 x. Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x). Tìm m để F (0) = 1 π π π và F = . 4 83 3 4 4 A m = − . B m = . C m = − . D m = . 4 4 3 3 | Lời giải. 4m Z 1 − cos 2x 4m 1 1 F (x) = x + dx = x + x − sin 2x + C. π 2 π 2 4  F (0) = 1 C = 1  π  3 = ⇔ ⇒ m = − . π 8 π 1 π 4 Fm + − + C = 4  8 4 8 Chọn đáp án A 2
Câu 28. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 6x + sin 3x, biết F (0) = . 3 cos 3x 2 cos 3x
A F (x) = 3x2 − + .
B F (x) = 3x2 − − 1. 3 3 3 cos 3x cos 3x
C V = F (x) = 3x2 + + 1.
D F (x) = 3x2 − + 1. 3 3 | Lời giải. Z Z cos 3x
f (x) dx =
(6x + sin 3x) dx = 3x2 − + C. 3 2 1 2 Từ F (0) = suy ra − + C = hay C = 1. 3 3 3 cos 3x
Vậy F (x) = 3x2 − + 1. 3
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 17 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM Chọn đáp án D 6
Câu 29. Tìm hàm số f (x) thỏa mãn f 0(x) = và f (2) = 0. 3 − 2x
A f (x) = −3 ln |3 − 2x|.
B f (x) = 2 ln |3 − 2x|.
C f (x) = −2 ln |3 − 2x|.
D f (x) = 3 ln |3 − 2x|. | Lời giải. Z 6 Ta có f (x) =
dx = −3 ln |3 − 2x| + C. 3 − 2x
Mà f (2) = 0 nên C = 0, do đó f (x) = −3 ln |3 − 2x|. Chọn đáp án A
Câu 30. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x ln 9 thỏa mãn F (0) = 2. Tính F (1).
A F (1) = 12 · ln2 3. B F (1) = 3. C F (1) = 6. D F (1) = 4. | Lời giải. Z 3x Ta có F (x) =
3x ln 9 dx = ln 9 ·
+ C = 2 · 3x + C và F (0) = 2 nên C = 0. Do đó F (1) = 6. ln 3 Chọn đáp án C 1 1
Câu 31. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = và F (2) = 3 + ln 3. Tính 2x − 1 2 F (3). 1 1 A F (3) = ln 5 + 5. B F (3) = ln 5 + 3.
C F (3) = −2 ln 5 + 5.
D F (3) = 2 ln 5 + 3. 2 2 | Lời giải. Z Z 1 1 Có F (x) =
f (x) dx = dx =
ln |2x − 1| + C. 2x − 1 2 1 1 1 Ta có F (2) = 3 + ln 3 ⇔ ln 3 + C = 3 + ln 3 ⇔ C = 3. 2 2 2 1 Vậy ta có F (3) = ln 5 + 3. 2 Chọn đáp án B 2
Câu 32. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 6x + sin 3x, biết F (0) = . 3 cos 3x 2 cos 3x
A F (x) = 3x2 − + .
B F (x) = 3x2 − − 1. 3 3 3 cos 3x cos 3x
C F (x) = 3x2 + + 1.
D F (x) = 3x2 − + 1. 3 3 | Lời giải. Z cos 3x Ta có F (x) =
(6x + sin 3x)dx = 3x2 − + C. 3 2 cos 3x Mà F (0) =
nên C = 1 ⇒ F (x) = 3x2 − + 1. 3 3 Chọn đáp án D
Câu 33. Tìm F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x2 + ex − 1, biết F (0) = 2. 1
A F (x) = 6x + ex − x − 1.
B F (x) = x3 + − x + 1. ex
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 18 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM
C F (x) = x3 + ex − x + 1.
D F (x) = x3 + ex − x − 1. | Lời giải. Z Ta có
(3x2 + ex − 1) dx = x3 + ex − x + C.
Mặt khác F (0) = 2 ⇒ C = 1 ⇒ F (x) = x3 + ex − x + 1. Chọn đáp án C
Câu 34. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f 0(x) = 2 − 5 sin x và f (0) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A f (x) = 2x + 5 cos x + 5.
B f (x) = 2x + 5 cos x + 3.
C f (x) = 2x − 5 cos x + 10.
D f (x) = 2x − 5 cos x + 15. | Lời giải.
Ta có: f 0(x) = 2 − 5 sin x ⇒ f (x) = R (2 − 5 sin x) dx = 2x + 5 cos x + C.
Mà f (0) = 10 ⇒ C = 5 ⇒ f (x) = 2x + 5 cos x + 5. Chọn đáp án A
Câu 35. Cho F (x) = cos 2x − sin x + C là nguyên hàm của hàm số f (x). Tính f (π).
A f (π) = −3.
B f (π) = 1.
C f (π) = −1.
D f (π) = 0. | Lời giải.
f (x) = F 0(x) = −2 sin 2x − cos x, suy ra f (π) = 1. Chọn đáp án B x2 + x + 1
Câu 36. Cho F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) =
và F (0) = 2018. Tính F (−2). x + 1
A F (−2) không xác định. B F (−2) = 2.
C F (−2) = 2018.
D F (−2) = 2020. | Lời giải. Z Z Å 1 ã x2
f (x) dx = x + dx =
+ ln |x + 1| + C. x + 1 2
Ta có F (0) = 2018 nên C = 2018. Suy ra F (−2) = 2020. Chọn đáp án D
Câu 37. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 1 + 2x + 3x2 thỏa mãn F (1) = 2. Tính
F (0) + F (−1). A −3. B −4. C 3. D 4. | Lời giải. Z Ta có F (x) =
(1 + 2x + 3x2)dx = x + x2 + x3 + c.
Mà F (1) = 2 ⇒ c = −1 hay F (x) = x + x2 + x3 − 1.
Do đó F (0) + F (−1) = −3. Chọn đáp án A
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 19 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM
Câu 38. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 3x2 + 2e2x − 1, biết F (0) = 1.
A F (x) = x3 + e2x − x + 1.
B F (x) = x3 + 2e2x − x − 1.
C F (x) = x3 + ex − x.
D F (x) = x3 + e2x − x. | Lời giải. Z Z Ta có
f (x) dx =
3x2 + 2e2x − 1 dx = x3 + e2x − x + C
Mà F (0) = 1 ⇒ 1 + C = 1 ⇔ C = 0 nên F (x) = x3 + e2x − x. Chọn đáp án D
Câu 39. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = e2x, biết F (0) = 1. e2x 1
A F (x) = e2x. B F (x) = + .
C F (x) = 2e2x − 1.
D F (x) = ex. 2 2 | Lời giải. Ta có: Z Z 1 F (x) =
f (x) dx = e2x dx = e2x + C. 2 1 e2x 1
Theo giả thiết: F (0) = 1 ⇒ C = . Vậy F (x) = + . 2 2 2 Chọn đáp án B
Câu 40. Cho hàm số f (x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện f 0(x) = x + sin x và f (0) = 1. Tìm f (x). x2 x2 A f (x) = − cos x + 2. B f (x) = − cos x − 2. 2 2 x2 x2 1 C f (x) = + cos x. D f (x) = + cos x + . 2 2 2 | Lời giải. x2
Ta có f 0(x) = x + sin x ⇒ f (x) =
− cos x + C; f (0) = 1 ⇔ −1 + C = 1 ⇔ C = 2. 2 x2 Vậy f (x) = − cos x + 2. 2 Chọn đáp án A
p Dạng 1.3. Phương pháp đổi biến số Z I =
f [u(x)] u0(x)d x (*) đạo hàm 2 vế Z
Đặt: t = u(x) ⇒ d t −−−−−−−→ u0(x)d x thay vào (*) ta được I = f (t)dt Z x − 3 √ Câu 1. Khi tính nguyên hàm √
dx, bằng cách đặt u =
x + 1 ta được nguyên hàm nào? x + 1 Z Z Z Z A 2u u2 − 4 du. B u2 − 4 du. C 2 u2 − 4 du. D u2 − 3 du. | Lời giải.  √
dx = 2udu Đặt u =
x + 1, u ≥ 0 nên u2 = x + 1 ⇒ . x = u2 − 1 Z x − 3 Z u2 − 1 − 3 Z Khi đó √ dx = .2udu = 2 u2 − 4du. x + 1 u
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 20 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM Chọn đáp án C Z √ √ 2 √
Câu 2. Cho hàm số F (x) =
x x2 + 2dx .Biết F 2 = , tính F 7. 3 40 23 A . B 11. C . D 7. 3 6 | Lời giải. Z √ 1 Z √ 1 √ Ta có: F (x) = x x2 + 2dx = x2 + 2d x2 + 2 = x2 + 23 + C 2 3 √ 2 8 2 Mà F 2 = ⇔ + C = ⇔ C = −2 3 3 3 √ Vậy F 7 = 9 − 2 = 7. Chọn đáp án D Z 1
Câu 3. Tính tích phân A =
dx bằng cách đặt t = ln x. Mệnh đề nào dưới đây đúng? x ln x Z Z 1 Z Z 1 A A = dt. B A = dt. C A = tdt. D A = dt. t2 t | Lời giải. 1 Z 1 Z 1
Đặt t = ln x ⇒ dt = dx. Khi đó A = dx = dt. x x ln x t Chọn đáp án D 3 Å 1 ã
Câu 4. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = e2x và F (0) = .Giá trị F là 2 2 1 1 1 1 A e + . B e + 2. C 2e + 1. D e + 1. 2 2 2 2 | Lời giải. Z 1 Ta có:F (x) = e2xdx = e2x + C. 2 3 1 3 F (0) = ⇔ + C = ⇔ C = 1. 2 2 2 Å 1 ã 1 F = e + 1 2 2 Chọn đáp án D Z Câu 5. Tìm nguyên hàm x x2 + 715dx. 1 1 A (x2 + 7)16 + C. B − (x2 + 7)16 + C. 32 32 1 1 C (x2 + 7)16 + C. D (x2 + 7)16 + C. 2 16 | Lời giải. 1
Đặt t = x2 + 7 ⇒ dt = 2xdx ⇒ xdx = dt. 2 Z 1 Z 1 t16 1 Ta có x x2 + 715dx = t15dt = . + C = x2 + 716 + C. 2 2 16 32 Chọn đáp án A Z (x + 1)
Câu 6. Nếu F (x) = √ dx thì x2 + 2x + 3 1 √ |x + 1| A F (x) =
x2 + 2x + 3 + C.
B F (x) = ln √ + C. 2 x2 + 2x + 3 1 √ C F (x) =
ln (x2 + 2x + 3) + C. D F (x) =
x2 + 2x + 3 + C. 2
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 21 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM | Lời giải. √ Đặt t =
x2 + 2x + 3 ⇒ t2 = x2 + 2x + 3 ⇒ 2tdt = 2 (x + 1) dx ⇒ (x + 1) dx = tdt. Z (x + 1) dx Z tdt √ Do đó F (x) = √ = = t + C =
x2 + 2x + 3 + C. x2 + 2x + 3 t Chọn đáp án D Z dx Câu 7. Tính √ ,kết quả là 1 − x 2 √ C √ A √ + C.
B −2 1 − x + C. C √ . D 1 − x + C. 1 − x 1 − x | Lời giải. √ Đặt u =
1 − x ⇒ u2 = 1 − x ⇒ 2udu = −dx.Ta có Z dx Z −2udu Z √ √ = = −2
du = −2u = −2 1 − x + C. 1 − x u Chọn đáp án B Z 1 Câu 8. Nguyên hàm √ dx bằng. 1 + x √ √ √
A 2 x − 2 ln | x + 1| + C.
B 2 x + C. √ √ √
C 2 ln | x + 1| + C.
D 2 x − 2 ln | x + 1| + C. | Lời giải. √ Đặt
x = t ⇒ x = t2 ⇒ dx = 2tdt. Z 2t Z Å 2 ã √ √ dt = 2 −
dt = 2t − 2 ln |1 + t| + C = 2 x − 2 ln | x + 1| + C. 1 + t 1 + t Chọn đáp án D Z (x + 1)
Câu 9. Nếu F (x) = √ dx thì x2 + 2x + 3 1 √ |x + 1| A F (x) =
x2 + 2x + 3 + C.
B F (x) = ln √ + C. 2 x2 + 2x + 3 1 √ C F (x) =
ln (x2 + 2x + 3) + C. D F (x) =
x2 + 2x + 3 + C. 2 | Lời giải. √ Đặt t =
x2 + 2x + 3 ⇒ t2 = x2 + 2x + 3 ⇒ 2tdt = 2 (x + 1) dx ⇒ (x + 1) dx = tdt . Z (x + 1) dx Z tdt √ Do đó F (x) = √ = = t + C =
x2 + 2x + 3 + C. x2 + 2x + 3 t Chọn đáp án D √
Câu 10. Một nguyên hàm của hàm số y = x 1 + x2 là: x2 √ 1 √ 1 √ x2 √ A 1 + x23. B 1 + x26. C 1 + x23. D 1 + x22. 2 3 3 2 | Lời giải. √ Đặt t =
x2 + 1 ⇒ t2 = x2 + 1 ⇒ tdt = xdx. √ Z √ Z t3 x2 + 13 ⇒ x x2 + 1dx = t2dt = + C = + C. 3 3 Chọn đáp án C Z Câu 11. Xét I =
x3 4x4 − 35dx .Bằng cách đặt u = 4x4 − 3, khẳng định nào sau đây đúng.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 22 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM Z 1 Z 1 Z 1 Z A I = u5du. B I = u5du. C I = u5du. D I = u5du. 12 16 4 | Lời giải. du Z 1 Z
Ta có u = 4x4 − 3 ⇒ du = 16x3dx ⇒ x3dx = ; Suy ra: I =
x3 4x4 − 35dx = u5du. 16 16 Chọn đáp án C Z Câu 12. Tìm nguyên hàm x x2 + 19dx. 1 1 A (x2 + 1)10 + C. B (x2 + 1)10 + C. 20 10 1 C − (x2 + 1)10 + C.
D (x2 + 1)10 + C. 20 | Lời giải. Z 1 Z 1 x x2 + 19dx =
x2 + 19 d(x2 + 1) = x2 + 110. 2 20 Chọn đáp án A 1 Å 1 ã
Câu 13. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = thỏa mãn F = 2 và F (e) = x ln x e Å 1 ã
ln 2. Giá trị của biểu thức F + F (e2) bằng e2 A 3 ln 2 + 2. B ln 2 + 2. C ln 2 + 1. D 2 ln 2 + 1. | Lời giải. Z 1 Z d(ln x) Ta có dx =
= ln |ln x| + C, x > 0, x 6= 1. x ln x ln x
 ln(ln x) + C1 khi x > 1 Nên F (x) =
 ln(− ln x) + C2 khi 0 < x < 1. Å 1 ã Å 1 ã Mà F = 2 nên ln − ln
+ C2 = 2 ⇔ C2 = 2; F (e) = ln 2 nên ln(ln e) + C1 = ln 2 ⇔ C1 = ln 2. e e 
 ln(ln x) + ln 2 khi x > 1 Suy ra F (x) =
 ln(− ln x) + 2 khi 0 < x < 1. Å 1 ã Å 1 ã Vậy F + F (e2) = ln − ln
+ 2 + ln(ln e2) + ln 2 = 3 ln 2 + 2. e2 e2 Chọn đáp án A
Câu 14. Cho hàm số f (x) = sin2 2x · sin x. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm f (x). 4 4 4 4 A y =
cos3 − sin5 x + C.
B y = − cos3 x + cos5 x + C. 3 5 3 5 4 4 4 4 C y = sin3 x − cos5 x + C.
D y = − sin3 x + sin5 x + C. 3 5 3 5 | Lời giải. Z Z Z Ta có
f (x) dx =
sin2 2x · sin x dx = 4
sin3 x · cos2 x dx Z Z = −4
sin2 x · cos2 x · d (cos x) = −4
1 − cos2 x · cos2 x · d (cos x) Z 4 4 = −4
cos2 x − cos4 x · d (cos x) = − cos3 x + cos5 x + C. 3 5 Chọn đáp án B
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 23 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM sin x π
Câu 15. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = và F = 2. Khi đó F (0) 1 + 3 cos x 2 là 2 1 1 2 A − ln 2 + 2. B − ln 2 − 2. C − ln 2 + 2. D − ln 2 − 2. 3 3 3 3 | Lời giải. Z sin x 1 Z d(1 + 3 cos x) 1 Ta có F (x) = dx = −
= − ln |1 + 3 cos x| + C. 1 + 3 cos x 3 1 + 3 cos x 3 π 1 F
= 2 ⇒ C = 2 ⇒ F (x) = − ln |1 + 3 cos x| + 2. 2 3 1 2
Suy ra F (0) = − ln 4 + 2 = − ln 2 + 2. 3 3 Chọn đáp án A Z x − 3 √
Câu 16. Khi tính nguyên hàm √
dx, bằng cách đặt u =
x + 1 ta được nguyên hàm nào x + 1 dưới đây? Z Z Z Z A
2(u2 − 4)u du. B (u2 − 4) du. C 2(u2 − 4) du. D (u2 − 3) du. | Lời giải. √ Đặt u =
x + 1 ⇒ u2 = x + 1 ⇒ 2u du = dx. Thay vào ta được Z
u2 − 1 − 3 · 2u du = 2(u2 − 4) du. u Chọn đáp án C Z √ √
Câu 17. Cho nguyên hàm I =
x 1 + 2x2 dx, khi thực hiện đổi biến u =
1 + 2x2 thì ta được
nguyên hàm theo biến mới u là 1 Z Z Z Z A I = u2 du. B I = u2 du. C I = 2 u du. D I = u du. 2 | Lời giải. √ Ta có: u =
1 + 2x2 suy ra u2 = 1 + 2x2. 1 1 Z Do đó
du = xdx. Suy ra I = u2 du. 2 2 Chọn đáp án A Z √ 4 √
Câu 18. Cho hàm số F (x) =
x x2 + 1 dx. Biết F (0) = , tính F (2 2). 3 85 A 3. B . C 19. D 10. 4 | Lời giải. √ Đặt t =
x2 + 1 ⇒ t2 = x2 + 1 ⇒ t dt = x dx. √ Z t3 x2 + 13 Do đó F (x) = t2 dt = + C = + C. 3 3 4 1 4 Mà F (0) = ⇒ + C = ⇒ C = 1. 3 3 3 √ Vậy F (2 2) = 10. Chọn đáp án D Z 2x − 1 √ Câu 19. Tính I = √
dx, khi thực hiện phép đổi biến u = x + 1, thì được x + 1
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 24 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM Z 2u2 − 3 Z A I = du. B I = 4u2 − 6 du. u Z 4u2 − 6 Z C I = du. D I = 2u2 − 3 du. u | Lời giải.  √
2u du = dx Đặt u =
x + 1 ⇒ u2 = x + 1 ⇒ . x = u2 − 1 Z 2x − 1 Z 2 (u2 − 1) − 1 Z Khi đó I = √ dx = · 2u du = 4u2 − 6 du. x + 1 u Chọn đáp án B x
Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = √ là x2 + 1 √ √
A F (x) = 2 x2 + 1 + C. B F (x) = x2 + 1 + C. √ 1 √
C F (x) = ln x2 + 1 + C. D F (x) = x2 + 1 + C. 2 | Lời giải. Z x Đặt I = √ dx. x2 + 1 √ Đặt t =
x2 + 1 ⇒ t2 = x2 + 1 ⇒ t dt = x dx. Z x Z t Z √ Ta có: I = √ dx = dt =
dt = t + C = x2 + 1 + C. x2 + 1 t Chọn đáp án B Z √ √
Câu 21. Xét nguyên hàm I =
x x + 2 dx. Nếu đặt t = x + 2 thì ta được Z Z A I =
t4 − 2t2 dt. B I =
4t4 − 2t2 dt. Z Z C I =
2t4 − 4t2 dt. D I =
2t4 − t2 dt. | Lời giải. √ Đặt t =
x + 2 ⇔ t2 = x + 2. Vi phân hai vế ta được 2t dt = dx. Z Z Khi đó I =
t2 − 2 · t · 2t dt =
2t4 − 4t2 dt. Chọn đáp án C e Z 3 ln x + 1
Câu 22. Cho tích phân I =
dx. Nếu đặt t = ln x thì x 1 1 e e 1 Z 3t + 1 Z 3t + 1 Z Z A I = dt. B I = dt. C I = (3t + 1) dt. D I = (3t + 1) dt. et t 0 1 1 0 | Lời giải. dx
Đặt t = ln x, ta có dt = . x 1 Z
Khi x = 1 thì t = 0. Khi x = e thì t = 1. Vậy I = (3t + 1) dt. 0 Chọn đáp án D Z 1
Câu 23. Tính nguyên hàm A =
dx bằng cách đặt t = ln x. Mệnh đề nào dưới dây đúng? x ln x Z Z 1 Z Z 1 A A = dt. B A = dt. C A = t dt. D A = dt. t2 t
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 25 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM | Lời giải. 1
Đặt t = ln x ⇒ dt = dx. x Z 1 A = dt. t Chọn đáp án D Z
Câu 24. Tìm nguyên hàm I =
sin4 x cos x dx. sin5 x cos5 x sin5 x cos5 x A + C. B + C. C − + C. D − + C. 5 5 5 5 | Lời giải.
Đặt t = sin x ⇒ dt = cos x dx. Z t5 sin5 x Khi đó I = t4 dt = + C = + C. 5 5 Chọn đáp án A Z 1 + ln x Câu 25. Nguyên hàm
dx (x > 0) bằng x 1 1
A x + ln2 x + C.
B ln2 x + ln x + C. C
ln2 x + ln x + C. D x + ln2 x + C. 2 2 | Lời giải. 1
Đặt u = 1 + ln x ⇒ du = dx. Do đó x Z 1 + ln x Z u2 (1 + ln x)2 1 dx = u du = + C = + C =
ln2 x + ln x + C. x 2 2 2 Chọn đáp án C Z Câu 26. Cho I =
x(1 − x2)2019 dx. Đặt u = 1 − x2 khi đó I viết theo u và du ta được: 1 Z Z Z 1 Z A I = − u2019 du. B I = −2 u2019 du. C I = 2 u2019 du. D I = u2019 du. 2 2 | Lời giải. du
Ta có u = 1 − x2 ⇒ du = −2x dx ⇔ x dx = − . 2 1 Z Do đó I = − u2019 du. 2 Chọn đáp án A √
Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2 x + 3x là 4 √ 3x2 √ 3x2 3 √ 3x2 √ 3x2 A x x + + C. B 2x x + + C. C x x + + C. D 4x x + + C. 3 2 2 2 2 2 | Lời giải. √ Đặt
x = t ⇒ x = t2 ⇒ dx = 2tdt. Ta được Z Z 4 3 4 √ 3x2
2t + 3t2 2t dt =
4t2 + 6t3 dt = t3 + t4 + C = x x + + C. 3 2 3 2 Chọn đáp án A
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 26 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM √
Câu 28. Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f (x) = x2 4 + x3. √ 2 » » 1 »
A 2 4 + x3 + C. B (4 + x3)3 + C. C 2 (4 + x3)3 + C. D (4 + x3)3 + C. 9 9 | Lời giải. √ 2 Đặt t =
4 + x3 ⇒ t2 = 4 + x3 ⇒ 2tdt = 3x2dx ⇒ x2dx = tdt. 3 Z Z 2 2 2 » Ta có f (x)dx = t2dt = t3 + C = (4 + x3)3 + C. 3 9 9 Chọn đáp án B
Câu 29. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x2ex3+1. Z Z A
f (x) dx = ex3+1 + C. B
f (x) dx = 3ex3+1 + C. Z x3 Z 1 C
f (x) dx = ex3+1 + C. D
f (x) dx = ex3+1 + C. 3 3 | Lời giải. 1
Đặt t = x3 + 1 ⇒ dt = 3x2 dx ⇒
dt = x2 dx. 3 Z Z 1 Z 1 1 Khi đó ta được
f (x) dx =
x2ex3+1 dx = et dt = et + C = ex3+1 + C. 3 3 3 Chọn đáp án D e Z dx Câu 30. Tích phân bằng x(ln x + 2) 1 3 A ln 2. B ln . C 0. D ln 3. 2 | Lời giải. dx
Đặt t = ln x + 2 ⇒ dt = . x
Đổi cận x = 1 thì t = 2 và x = e thì t = 3. e 3 3 Z dx Z dt 3 ⇒ = = ln |t| = ln . x(ln x + 2) t 2 1 2 2 Chọn đáp án B √ √ Z f x + 1 2 x + 1 + 3
Câu 31. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và thỏa mãn √ dx = + C. x + 1 x + 5
Nguyên hàm của hàm số f (2x) trên tập + R là x + 3 x + 3 2x + 3 2x + 3 A + C. B + C. C + C. D + C. 2 (x2 + 4) x2 + 4 4 (x2 + 1) 8 (x2 + 1) | Lời giải. √ dx Đặt t = x + 1 ⇒ √ = 2 dt. x + 1 √ Z f x + 1 Z Khi đó √ dx =
2f (t) dt. x + 1 √ √ Z f x + 1 2 x + 1 + 3 Z 2(t + 3) Mà √ dx = + C nên
2f (t) dt = + C. x + 1 x + 5 t2 + 4
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 27 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM Khi đó Z t + 3
f (t) dt = + C t2 + 4 Z 1 2t + 3 ⇔
f (2t) dt = · + C 2 4t2 + 4 Z 2x + 3 ⇔
f (2x) dx = + C. 4 (x2 + 1) Chọn đáp án C π
Câu 32. Nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin2 2x · cos3 2x thỏa F = 0 là 4 1 1 1 1 1 1 A F (x) = sin3 2x − sin5 2x + . B F (x) = sin3 2x + sin5 2x − . 6 10 15 6 10 15 1 1 1 1 1 4 C F (x) = sin3 2x − sin5 2x − . D F (x) = sin3 2x + sin5 2x − . 6 10 15 6 10 15 | Lời giải. 1
Đặt t = sin 2x ⇒ dt = 2 cos 2x dx ⇒
dt = cos 2x dx. 2 Z 1 Z 1 Z Ta có F (x) =
sin2 2x · cos3 2x dx= ·
t2 · 1 − t2 dt = ·
t2 − t4 dt 2 2 1 1 1 1 = t3 − t5 + C = sin3 2x − sin5 2x + C. 6 10 6 10 π 1 π 1 π 1
Mà từ giả thiết ta được F = 0 ⇔ sin3 − sin5
+ C = 0 ⇔ C = − . 4 6 2 10 2 15 1 1 1 Vậy F (x) = sin3 2x − sin5 2x − . 6 10 15 Chọn đáp án C 1
Câu 33. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
thỏa mãn F (0) = 10. Tìm 2ex + 3 F (x). 1 A F (x) =
(x + 10 − ln (2ex + 3)). 3 1 Å Å 3 ãã B F (x) = x − ln ex + + 10 + ln 5 − ln 2. 3 2 1 ln 5 C F (x) =
(x − ln (2ex + 3)) + 10 + . 3 3 1 Å Å 3 ãã ln 5 − ln 2 D F (x) = x − ln ex + + 10 − . 3 2 3 | Lời giải. Z Z 1 Ta có F (x) =
f (x) dx = dx. 2ex + 3 du du
Đặt u = 2ex + 3 ⇒ du = 2ex dx ⇒ dx = = . 2ex u − 3 Z 1 1 1 Khi đó F (x) = du =
(ln |u − 3| − ln |u|) + C =
(ln(2ex) − ln (2ex + 3)) + C. u(u − 3) 3 3 1 1 1 Ta có F (0) = 10 ⇔
(ln 2 − ln 5) + C = 10 ⇔ C = 10 − ln 2 + ln 5. 3 3 3 1 1 1 1 ln 5 Vậy F (x) =
(ln(2ex) − ln (2ex + 3)) + 10 − ln 2 + ln 5 =
(x − ln (2ex + 3)) + 10 + . 3 3 3 3 3 Chọn đáp án C Z 1
Câu 34. Tính nguyên hàm I = √ √ dx. 2x + x x + x
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 28 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM 2 2 A I = − √ + C. B I = − √ + C. x + x x + 1 2 1 C I = − √ + C. D I = − √ + C. x + x + 1 2 x + x | Lời giải. Z 1 Z dx Ta có I = √ √ dx = √ √ . 2x + x x + x
x (2 x + x + 1) √ dx Đặt t =
x ⇒ 2 dt = √x Z dt Z dt 2 2 Khi đó I = 2 = 2 = − + C = − √ + C. 2t + t2 + 1 (t + 1)2 t + 1 x + 1 Chọn đáp án B x2
Câu 35. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = √ là x3 + 1 1 2 √ 2 1 √ A √ + C. B x3 + 1 + C. C √ + C. D x3 + 1 + C. 3 x3 + 1 3 3 x3 + 1 3 | Lời giải. Z Z x2 Ta có
f (x) dx = √ dx. x3 + 1 √ 2 Đặt t =
x3 + 1 ⇒ t2 = x3 + 1 ⇒ 2tdt = 3x2dx ⇒ x2dx = tdt. (1) 3 Z x2 2 Z 2 Z 2 Theo cách đặt ta có ⇒ √ dx =
t−1 · t dt = dt = t + C. (2) x3 + 1 3 3 3 Z 2 √ Từ (2) ⇒
f (x) dx = x3 + 1 + C. 3 Z 2 √ Vậy
f (x) dx = x3 + 1 + C. 3 Chọn đáp án B Z 1 + ln x Câu 36. Nguyên hàm
dx (x > 0) bằng x 1 1 A
ln2 x + ln x + C . B x + ln2 x + C.
C ln2 x + ln x + C.
D x + ln2 x + C. 2 2 | Lời giải. Z 1 + ln x Xét I = dx x 1
Đặt t = ln x ⇒ dt = dx. Ta được x Z t2 1 I =
(1 + t) dt = t + + C = ln x + ln2 x + C. 2 2 Chọn đáp án A Z √ Z Câu 37. Cho
f (x) dx = x x2 + 1. Tìm I =
x · f x2 dx. √ x4 √
A I = x2 x4 + 1 + C. B I = x4 + 1 + C. 2 x2 √ √ C I = x4 + 1 + C.
D I = x3 x4 + 1 + C. 2 | Lời giải.
Đặt t = x2 ⇒ dt = 2x dx. Ta có Z 1 1 Z 1 √ x2 √ I =
f (t) dt =
f (t) dt = t t2 + 1 + C = x4 + 1 + C. 2 2 2 2
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 29 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM Chọn đáp án C x3
Câu 38. Một nguyên hàm của hàm số y = √ là 2 − x2 √ 1 √
A x 2 − x2. B − (x2 + 4) 2 − x2. 3 1 √ 1 √ C − (x2 − 4) 2 − x2.
D − x2 2 − x2. 3 3 | Lời giải. Z x3 Z x2 Xét nguyên hàm I = √ dx = √ x dx. 2 − x2 2 − x2 √ Đặt u =
2 − x2, ta có x2 = 2 − u2 ⇒ xdx = −udu, ta có Z 2 − u2 Z u3 I = − u du = u2 − 2 du = − 2u + C u 3 √ (2 − x2) 2 − x2 √ 1 √ =
− 2 2 − x2 + C = − x2 + 4 2 − x2 + C. 3 3 Chọn đáp án B √
Câu 39. Nguyên hàm của hàm số f (x) = 3 3x + 1 là Z √ Z √ A
f (x) dx = (3x + 1) 3 3x + 1 + C. B
f (x) dx = 3 3x + 1 + C. Z 1 √ Z 1 √ C
f (x) dx = 3 3x + 1 + C. D
f (x) dx =
(3x + 1) 3 3x + 1 + C. 3 4 | Lời giải. Z Z √ Ta có
f (x) dx = 3 3x + 1 dx. √
Đặt t = 3 3x + 1 ⇒ t3 = 3x + 1 ⇒ dx = t2 dt. Z Z 1 1 √ Vậy
f (x) dx = t3 dt = t4 + C =
(3x + 1) 3 3x + 1 + C. 4 4 Chọn đáp án D cos x
Câu 40. Tìm các hàm số f (x) biết f 0(x) = . (2 + sin x)2 sin x 1 A f (x) = + C. B f (x) = + C. (2 + sin x)2 2 + cos x 1 sin x
C f (x) = − + C. D f (x) = + C. 2 + sin x 2 + sin x | Lời giải. Z cos x Xét I = dx. (2 + sin x)2 Z dt 1
Đặt t = 2 + sin x. Khi đó dt = cos x dx. Ta được I = = − + C. t2 t 1 Suy ra I = − + C. 2 + sin x Chọn đáp án C
p Dạng 1.4. Phương pháp từng phần Z Z I =
ud v = u.v − vdu
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 30 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM   đạo hàm 2 vế
d u −−−−−−−→ . . . dxu = . . .  Đặt: ⇔ nguyên hàm 2 vế dv = . . .
v =−−−−−−−−−→ . . .
Nhận dạng và cách đặt: u, d v Dạng u d v     Z sin x sin 1 P (x)   d x u = P (x) d v =   d x cos x cos Z h i 2
P (x). ex d x u = P (x)
d v = exd x Z h i h i 3
P (x) ln x d x u = ln x
d v = P (x)d x Z Câu 1. Biết
xe2xdx = axe2x + be2x + C (a, b ∈ Q) . Tính tích ab. 1 1 1 1 A ab = − . B ab = . C ab = − . D ab = . 4 4 8 8 | Lời giải.   du = dxu = x  Đặt ⇒ 1
dv = e2xdxv = e2x  2 Z 1 1 Z 1 1 Suy ra: xe2xdx = xe2x − e2xdx = xe2x − e2x + C 2 2 2 4 1 1 1 Vậy: a = ; b = − ⇒ ab = − . 2 4 8 Chọn đáp án C Z
Câu 2. Kết quả của I = xexdx là x2 x2
A I = xex − ex + C.
B I = ex + xex + C. C I = ex + C. D I =
ex + ex + C. 2 2 | Lời giải.
Cách 1: Sử dụng tích phân từng phần ta có Z Z Z I = xexdx =
x dex = xex −
exdx = xex − ex + C.
Cách 2: Ta có I0 = (xex − ex + C)0 = ex + xex − ex = xex. Chọn đáp án A
Câu 3. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = (5x + 1) ex và F (0) = 3. TínhF (1).
A F (1) = 11e − 3. B F (1) = e + 3. C F (1) = e + 7. D F (1) = e + 2. | Lời giải. Z Ta có F (x) =
(5x + 1) exdx .   u = 5x + 1 du = 5dx Đặt ⇒ .
 dv = exdxv = ex Z
F (x) = (5x + 1) ex −
5exdx = (5x + 1) ex − 5ex + C = (5x − 4) ex + C.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 31 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM
Mặt khác F (0) = 3 ⇔ −4 + C = 3 ⇔ C = 7.
⇒ F (x) = (5x − 4) ex + 7. Vậy F (1) = e + 7. Chọn đáp án C Z
Câu 4. Tính F (x) =
x sin 2xrmd x. Chọn kết quả đúng? 1 1 A F (x) =
(2x cos 2x + sin 2x) + C.
B F (x) = − (2x cos 2x + sin 2x) + C. 4 4 1 1
C F (x) = − (2x cos 2x − sin 2x) + C. D F (x) =
(2x cos 2x − sin 2x) + C. 4 4 | Lời giải.   du = dxu = x  Đặt ⇒ 1 , ta được
dv = sin 2xdxv = − cos 2x  2 1 1 Z 1 1 1
F (x) = − x cos 2x +
cos 2xdx = − x cos 2x +
sin 2x + C = − (2x cos 2x − sin 2x) + C. 2 2 2 4 4 Chọn đáp án C a 1 + ln x
Câu 5. Cho F (x) =
(ln x + b) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
, trong đó a, b ∈ Z. x x2
Tính S = a + b. A S = −2. B S = 1. C S = 2. D S = 0. | Lời giải. Z Z Å 1 + ln x ã Ta có I = f (x)dx = dx. x2   1 1 + ln x = u  dx = du   Đặt ⇒ x 1 khi đó 1  dx = dv   − = v x2  x 1 Z 1 1 1 1 I = − (1 + ln x) + dx = − (1 + ln x) − + C = −
(ln x + 2) + C ⇒ a = −1; b = 2. Vậy x x2 x x x
S = a + b = 1. Chọn đáp án B
Câu 6. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x cos 2x là x sin 2x cos 2x cos 2x A − + C.
B x sin 2x − + C. 2 4 2 cos 2x x sin 2x cos 2x
C x sin 2x + + C. D + + C. 2 2 4 | Lời giải. Z I =
x cos 2xdx.   du = dxu = x  Đặt ⇒ 1 .
dv = cos 2xdxv = sin 2x  2 1 1 Z 1 1 Khi đó I = x sin 2x − sin 2xdx = x sin 2x + cos 2x + C. 2 2 2 4 Chọn đáp án D
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 32 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM
Câu 7. Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = xe−x. Tính F (x) biết F (0) = 1.
A F (x) = − (x + 1) e−x + 2.
B F (x) = (x + 1) e−x + 1.
C F (x) = (x + 1) e−x + 2.
D F (x) = − (x + 1) e−x + 1. | Lời giải.   u = x du = dx Đặt ⇒ .
dv = e−xdxv = −e−x Z Z Do đó
xe−xdx = −xe−x +
e−xdx = −xe−x − e−x + C = F (x; C).
F (0) = 1 ⇔ −e−0 + C = 1 ⇔ C = 2. Vậy F (x) = − (x + 1) e−x + 2. Chọn đáp án A Z 1 Câu 8. Biết
(x + 3) .e−2xdx = −
e−2x (2x + n) + C, với m, n ∈ Q. Khi đó tổng S = m2 + n2 có m giá trị bằng A 10. B 5. C 65. D 41. | Lời giải.   du = dxu = x + 3  Đặt ⇒ 1
dv = e−2xdx
v = − e−2x  2 Z 1 1 Z 1 1 Khi đó
(x + 3) .e−2xdx = − e−2x (x + 3) +
e−2xdx = − .e−2x (x + 3) −
e−2x + C 2 2 2 4 1 1
= − e−2x. (2x + 6 + 1) + C = − e−2x (2x + 7) + C ⇒ m = 4; n = 7 4 4 m2 + n2 = 65 Chọn đáp án C
Câu 9. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x ln 2x là x2 x2 A
ln 2x − x2 + C.
B x2 ln 2x − + C. 2 2 x2 x2 Å 1 ã C
(ln 2x − 1) + C. D ln 2x − + C. 2 2 2 | Lời giải.  1  du = u = ln 2xx Đặt → . x2
dv = xdx  v = 2 Z x2 Z 1 x2 x2 x2 x2 Å 1 ã F (x) = f (x)dx = . ln 2x − . dx = ln 2x − + C = ln 2x − + C. 2 x 2 2 4 2 2 Chọn đáp án D
Câu 10. Họ các nguyên hàm của f (x) = x ln x là: x2 1 1 x2 1 1 A ln x + x2 + C.
B x2 ln x − x2 + C . C ln x − x2 + C.
D x ln x + x + C. 2 4 2 2 4 2 | Lời giải. Z x ln xdx
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 33 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM   1 v = x2
xd x = dv  Z 1 Z 1 x2 1 Đặt ⇒ 2 . Suy ra
x ln xdx = x2 ln x − xdx = ln x − x2 + C. 1 2 2 2 4  ln x = u  du = x Chọn đáp án C
Câu 11. Hàm số f (x) thoả mãn f 0(x) = xex là: ex+1
A (x − 1) ex + C. B x2 + + C.
C x2ex + C.
D (x + 1) ex + C. x + 1 | Lời giải. Z
f 0(x) = xex ⇒ f (x) = xexdx.
Ta có: u = x; dv = exdx.
Do đó: du = dx; v = ex. Z Z ⇒ f (x) =
xexdx = xex −
exdx = xex − ex + C = (x − 1) ex + C. Chọn đáp án A
Câu 12. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = (2x + 1)ex là
A (2x − 1)ex + C.
B (2x + 3)ex + C.
C 2xex + C.
D (2x − 2)ex + C. | Lời giải. Z Z Ta có
f (x) dx =
(2x + 1)ex dx.   u = 2x + 1  du = 2 dx Đặt ⇒
 dv = ex dxv = ex. Z Z ⇒
(2x + 1)ex dx = (2x + 1)ex −
2ex dx = (2x + 1)ex − 2ex + C = (2x − 1)ex + C. Chọn đáp án A
Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số y = 3x(x + cos x) là
A x3 + 3(x sin x + cos x) + C.
B x3 − 3(x sin x + cos x) + C.
C x3 + 3(x sin x − cos x) + C.
D x3 − 3(x sin x − cos x) + C. | Lời giải. Z Z Z Ta có I =
3x(x + cos x)dx =
3x2 + 3x cos x dx = x3 + 3
x cos xdx.   Z  x = u  dx = du Tính J =
x cos xdx. Đặt ⇒ .
 cos xdx = dv  sin x = v
⇒ J = x sin x − R sin xdx = x sin x + cos x + C.
Vậy I = x3 + 3(x sin x + cos x) + C. Chọn đáp án A x
Câu 14. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) =
trên khoảng (0; π) là sin2 x
A −x cot x + ln (sin x) + C.
B x cot x − ln |sin x| + C.
C x cot x + ln |sin x| + C.
D −x cot x − ln (sin x) + C. | Lời giải.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 34 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM Z Z x F (x) = f (x)dx = dx. sin2 x   u = x  du = dx Đặt ⇒ 1 . dv = dxv = − cot x  sin2 x Khi đó: Z x Z Z cos x Z d (sin x) F (x) =
dx = −x. cot x +
cot xdx = −x. cot x +
dx = −x. cot x + sin2 x sin x sin x
= −x. cot x + ln |sin x| + C.
Với x ∈ (0; π) ⇒ sin x > 0 ⇒ ln |sin x| = ln (sin x).
Vậy F (x) = −x cot x + ln (sin x) + C Chọn đáp án A
Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x (1 + ln x) là
A 2x2 ln x + 3x2.
B 2x2 ln x + x2.
C 2x2 ln x + 3x2 + C.
D 2x2 ln x + x2 + C. | Lời giải.   1  du = dxu = 1 + ln x  Đặt ⇒ x
 dv = 4x dx
v = 2x2. Z Z Khi đó
f (x) dx = 2x2 (1 + ln x) −
2x dx = 2x2 (1 + ln x) − x2 + C = 2x2 ln x + x2 + C. Chọn đáp án D
Câu 16. Tìm tất cả nguyên hàm của hàm số f (x) = (3x2 + 1) ln x. Z x3 Z x3 A
f (x) dx = x(x2 + 1) ln x − + C. B
f (x) dx = x3 ln x − + C. 3 3 Z x3 Z x3 C
f (x) dx = x(x2 + 1) ln x − − x + C. D
f (x) dx = x3 ln x − − x + C. 3 3 | Lời giải.   dx  du = u = ln x  Đặt Suy ra x
 dv = (3x2 + 1) dx
v = x3 + x. Từ đó ta có Z Z x3
f (x) dx = (x3 + x) ln x −
(x2 + 1) dx = x(x2 + 1) ln x − − x + C. 3 Chọn đáp án C Z
Câu 17. Tính F (x) =
x cos x dx ta được kết quả
A F (x) = x sin x − cos x + C.
B F (x) = −x sin x − cos x + C.
C F (x) = x sin x + cos x + C.
D F (x) = −x sin x + cos x + C. | Lời giải.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 35 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM   u = x  du = dx Z Đặt ⇒
⇒ F (x) = x sin x −
sin x dx = x sin x + cos x + C.
 dv = cos x dxv = sin x Chọn đáp án C
Câu 18. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x sin x là
A F (x) = −x cos x − sin x + C.
B F (x) = x cos x − sin x + C.
C F (x) = −x cos x + sin x + C.
D F (x) = x cos x + sin x + C. | Lời giải.   Z u = x  du = dx F (x) =
x sin x dx, đặt ⇒
 dv = sin x dx
v = − cos x. Z
Khi đó F (x) = −x cos x +
cos x dx = −x cos x + sin x + C. Chọn đáp án C Z Câu 19. Tìm
x cos 2x dx. 1 1 A x sin 2x − cos 2x + C.
B x sin 2x + cos 2x + C. 2 4 1 1 1 1 C x sin 2x + cos 2x + C. D x sin 2x + cos 2x + C. 2 2 2 4 | Lời giải.    du = dxu = x  Đặt ⇒ 1 .
 dv = cos 2x dxv = sin 2x  2 Z 1 1 Z 1 1 Khi đó I =
x cos 2x dx = x sin 2x − sin 2x dx = x sin 2x + cos 2x + C. 2 2 2 4 Chọn đáp án D Z
Câu 20. Tìm nguyên hàm J =
(x + 1)e3x dx. 1 1 1 1 A J = (x + 1)e3x − e3x + C. B J = (x + 1)e3x − e3x + C. 3 9 3 3 1 1 1
C J = (x + 1)e3x − e3x + C. D J = (x + 1)e3x + e3x + C. 3 3 9 | Lời giải.    du = dxu = x + 1  Đặt ⇒ 1 .
 dv = e3x dxv = e3x  3 x + 1 Z 1 x + 1 1 Suy ra J = e3x − e3x dx = e3x − e3x + C. 3 3 3 9 Chọn đáp án A Z
(x − a) cos 3x 1 Câu 21. Biết
(x−2) sin 3x dx = − +
sin 3x+2017, trong đó a, b, c là các số nguyên b c
dương. Khi đó S = ab + c bằng A S = 15. B S = 10. C S = 14. D S = 3. | Lời giải.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 36 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM     u = x − 2 du = dx Đặt . Khi đó 1  
dv = sin 3x dxv = − cos 3x. 3 Do đó Z 1 1 Z
(x − 2) sin 3x dx = − (x − 2) cos 3x + cos 3x dx 3 3 (x − 2) cos 3x 1 = − + sin 3x + C 3 9 (x − 2) cos 3x 1 = − +
sin 3x + 2017 (với C = 2017). 3 9
Như vậy a = 2, b = 3, c = 9. Do đó S = 2 · 3 + 9 = 15. Chọn đáp án A
Câu 22. Hàm số f (x) thỏa mãn f 0(x) = xex là ex+1
A (x − 1)ex + C. B x2 + + C.
C x2ex + C.
D (x + 1)ex + C. x + 1 | Lời giải. Z Z Ta có f (x) =
f 0(x) dx = xex dx.   u = x du = dx Z Z Đặt ⇒
. Do đó f (x) = uv −
v du = xex −
ex dx = (x − 1)ex + C.
dv = ex dxv = ex Chọn đáp án A
Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = xex. Z Z A
f (x) dx = (x + 1)ex + C. B
f (x) dx = (x − 1)ex + C. Z Z C
f (x) dx = xex + C. D
f (x) dx = x2ex + C. | Lời giải.   u = x du = dx Đặt ⇒ .
dv = ex dxv = ex Khi đó, ta có Z Z
xex dx = xex −
ex dx = xex − ex + C = (x − 1)ex + C. Chọn đáp án B
Câu 24. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = x · e2x. 1
A F (x) = 2e2x (x − 2) + C. B F (x) =
e2x (x − 2) + C. 2 Å 1 ã 1 Å 1 ã
C F (x) = 2e2x x − + C. D F (x) = e2x x − + C. 2 2 2 | Lời giải.    du = dxu = x  Đặt suy ra 1
 dv = e2x dxv = e2x.  2
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 37 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM Khi đó Z 1 1 Z 1 Å 1 ã I =
x · e2x dx = x · e2x − e2x dx = e2x x − + C. 2 2 2 2 Chọn đáp án D
Câu 25. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x ln x là
A x2 (2 ln x + 1) + C.
B 4x2 (2 ln x − 1) + C.
C x2 (2 ln x − 1) + C.
D x2 (8 ln x − 16) + C. | Lời giải.   1 du = dxu = ln x  Đặt ⇒ x
dv = 4xdx
v = 2x2.
Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần. Ta được Z Z
4x ln x dx = 2x2 ln x −
2x dx = x2 (2 ln x − 1) + C. Chọn đáp án C
Câu 26. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x cos 2x. x sin 2x cos 2x cos 2x A − + C.
B x sin 2x − + C. 2 4 2 cos 2x x sin 2x cos 2x
C x sin 2x + + C. D + + C. 2 2 4 | Lời giải. 1
Đặt u = x ⇒ du = dx; dv = cos 2x dx ⇒ v = sin 2x. Suy ra 2 Z 1 1 Z 1 1 I =
x cos 2x dx = x sin 2x − sin 2x dx = x sin 2x + cos 2x + C. 2 2 2 4 Chọn đáp án D Z
Câu 27. Tìm họ nguyên hàm
(2x − 1) ln x dx x2 x2
A F (x) = (x2 − x) ln x − + x + C.
B F (x) = (x2 − x) ln x + − x + C. 2 2 x2 x2
C F (x) = (x2 + x) ln x − + x + C.
D F (x) = (x2 − x) ln x − − x + C. 2 2 | Lời giải.   1   u = ln x  du = dx Đặt ⇒ x  
 dv = (2x − 1) dx
v = x2 − x Z Z x2 F (x) =
(2x − 1) ln x dx = (x2 − x) ln x −
(x − 1) dx = (x2 − x) ln x − + x + C. 2 Chọn đáp án A Z Câu 28. Biết
x cos 2x dx = ax sin 2x + b cos 2x + C với a, b là các số hữu tỉ. Tính tích ab. 1 1 1 1 A ab = . B ab = . C ab = − . D ab = − . 8 4 8 4 | Lời giải.
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 38 ♥♥ 1. NGUYÊN HÀM    du = dxu = x  Đặt ⇒ sin 2x . Khi đó
 dv = cos 2x dxv =  2 Z 1 1 Z
x cos 2x dx = x sin 2x − sin 2x dx 2 2 1 1 = x sin 2x + cos 2x + C. 2 4 1 1 1 Suy ra a = , b = ⇒ ab = . 2 4 8 Chọn đáp án A
Câu 29. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = (2x + 1) ln x là x2
A (x2 + x) ln x − − x + C.
B (x2 + x) ln x − x2 − x + C. 2 x2
C (x2 + x) ln x − + x + C.
D (x2 + x) ln x − x2 + x + C. 2 | Lời giải.   dx  du = u = ln x  Đặt ⇒ x . Khi đó
 dv = (2x + 1) dx
v = x2 + x Z Z
(x2 + x) dx
(2x + 1) ln x dx = (x2 + x) ln x − x Z
= (x2 + x) ln x − (x + 1) dx x2
= (x2 + x) ln x − − x + C. 2 Chọn đáp án A Z
Câu 30. Tìm nguyên hàm J =
(x + 1)e3x dx. 1 1 1 1 A J = (x + 1)e3x − e3x + C. B J = (x + 1)e3x − e3x + C. 3 9 3 3 1 1 1
C J = (x + 1)e3x − e3x + C. D J = (x + 1)e3x + e3x + C. 3 3 9 | Lời giải.    du = dxu = x + 1  Đặt ⇒ 1 .
 dv = e3x dxv = e3x  3 x + 1 Z 1 x + 1 1 Suy ra J = e3x − e3x dx = e3x − e3x + C. 3 3 3 9 Chọn đáp án A
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 39
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  • NGUYEN HAM-TRUNG BINH-YEU(dongke)
    • NGUYÊN HÀM
      • 124 Dạng 1.1: Sử dụng nguyên hàm cơ bản
      • 124 Dạng 1.2: Nguyên hàm có điều kiện
      • 124 Dạng 1.3: Phương pháp đổi biến số
      • 124 Dạng 1.4: Phương pháp từng phần
  • NGUYEN HAM-TRUNG BINH-YEU
    • NGUYÊN HÀM
      • 124 Dạng 1.1: Sử dụng nguyên hàm cơ bản
      • 124 Dạng 1.2: Nguyên hàm có điều kiện
      • 124 Dạng 1.3: Phương pháp đổi biến số
      • 124 Dạng 1.4: Phương pháp từng phần

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