lOMoAR cPSD| 49519085
Trường Đại học Kinh Tế TP.HCM Lớp:
21C1MAT50800140.CT5 Tổ 2 BÀI TẬP ÔN K47
Phần 1: Đại số tuyến tính I. Trắc nghiệm
Câu 01: Cho ma trận: . Đặt , khi đó B suy biến khi và chỉ khi: A. m = -1 B. m = C. m = 1 D. Không tồn tại m Giải B suy biến Chọn C
Câu 02: Tìm hạng của ma trận: a) r(A)=1 b) r(A)=2 . c). r(A)=3 d). r(A)=4 Giải Vậy r(A) = 2 Câu 03: Ký hiệu A. X B. X C. X D. Các câu kia đều sai. Giải Ta có: X Chọn câu A
Câu 04: Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n. Khi đó:
a) AB BAT T T T
c) AB AB T T T lOMoAR cPSD| 49519085
b) AB BA T T T
d) AB BA Giải
Xét ma trận vuông cấp 2: Chọn câu B
Câu 05: Các phát biểu nào sau đây là sai ?
A. Hạng của ma trận không thay đổi qua các phép biến đổi sơ cấp trên dòng.
B. Ma trận nghịch đảo của A ( nếu có ) là ma trận B thỏa AB = .
C. Định thức của ma trận vuông thì luôn nhỏ hơn cấp của ma trận đó.
D. Ma trận nghịch đảo của A ( nếu có ) có định thức khác 0. Giải
A. Đúng. ( Nếu B là ma trận nhận được từ A sau hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp thì =
B. Đúng. ( Dựa trên định nghĩa của ma trận nghịch đảo )
D. Đúng. ( Dựa trên tính chất của ma trận nghịch đảo ) C sai => Chọn C
Câu 06: Phép biến đổi nào sau đây làm thay đổi tập nghiệm của hệ phương trình ?
A. Nhân cả 2 vế của một phương trình với .
B. Trừ vế theo vế hai phương trình bất kì. lOMoAR cPSD| 49519085
C. Đổi chỗ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ ba, đổi chỗ phương
trình thứ hai cho phương trình thứ tư. Giải
A,C đúng. Dựa trên các phép biến đổi tương đương của hệ phương trình. => Chọn B
Câu 07: Cho A là ma trận vuông cấp 3 thỏa mãn 3A A 2016 I3 2017 . Khi đó 3A 9I3 là :
a) -27 b) 27 c) -3 d) Một kết quả khác Giải | Chọn D
Câu 08: Cho hệ phương trình tuyến tính I:
Hệ vecto nào sau đây là một nghiệm cơ bản của hệ A. B. C. D. Giải Ta có: A= lOMoAR cPSD| 49519085
r(A) = r(A|B) = 2< n = 4 Hệ vô số nghiệm, phụ thuộc vào 2 tham số Ta viết hệ thành:
Hệ có nghiệm tổng quát là (x, y, -2x-2y, x+y)
Hệ nghiệm cơ bản của hệ: =(1, 0, -2, 1), = (0, 1, -2, 1) Chọn C
Câu 09: Đối với một hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn thì
khẳng định nào sau đây là đúng?
a) Các câu còn lại đều sai b) Là hệ Cramer nên có duy nhất nghiệm
c) Có vô số nghiệm d) Vô nghiệm Giải -
Một hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn thì phải tìm
ma trận bậc thang , dựa vào hạng của A và để kết luận nghiệm. => C, D sai do
chưa đủ dữ kiện kết luận -
Một hệ phương trình tuyến tính là hệ Cramer khi số phương trình bằng số ẩn
và định thức của ma trận hệ số khác 0. Hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất.
=> B sai do chưa có điều kiện định thức ma trận hệ số khác 0 => Chọn A
Câu 10: Cho các ma trận và . Tìm ma trận X sao cho AX = B Giải => Chọn B. lOMoAR cPSD| 49519085
Câu 11: Cho ma trận . Ký hiệu AT là ma trận chuyển vị của A. Ma trận nghịch đảo của là A. B. C. D. Giải: • AT = • B = A – 3AT = - 3 = • = -5 • B* =
• B-1 = .B* = = => Chọn D
Câu 12 : Cho A là ma trận vuông cấp n. Trong trường hợp nào sau đây thì A suy biến ?
A. A có được từ In bởi các phép biến đổi sơ cấp trên dòng..
B. A là tổng của 2 ma trận suy biến.
C. Tổng các phần tử trên một dòng bất kỳ của A đều bằng nhau.
D. Tổng các phần tử trên một cột bất kỳ của A đều bằng 0. Giải:
Cho B = và C = là hai ma trận suy biến. Ta có: A = B + C = + = Det(A) = 0 => A suy biến Chọn B
Câu 13: Cho A là ma trận vuông cấp n thỏa điều kiện (I là ma trận đơn vị cấp n). Khi đó
A. A-1 = A-3I B. A-1 = A C. A-1 = 3I-A D. A-1 = -A Giải lOMoAR cPSD| 49519085
Câu 14: Cho A, B là các ma trận vuông cấp 4 có và . Khi đó là:
A. 36 B. 216 C. 1296 D. Các câu kia đều sai Giải
Câu 15: Trong mô hình input, output mở biết ma trận đầu vào
. Gọi x1, x2 lần lượt là giá trị đầu ra của ngành 1 và ngành 2. Khi đó nếu 1 2 (x1,x2)
= (500,600) thì tổng giá trị nguyên liệu của ngành 1 cung cấp cho ngành 2 và
ngành 2 cung cấp cho ngành 1 là: a) 400 b) 450 c) 390 d)430 Bài giải :
Giá trị nguyên liệu của ngành 1 cung cấp cho ngành 2: a12.600 = 0,3.600 = 180
Giá trị nguyên liệu của ngành 2 cung cấp cho ngành 1: a21.500 = 0,5.500 = 250
Vậy: Tổng giá trị nguyên liệu của ngành 1 cung cấp cho ngành 2 và ngành 2 cung
cấp cho ngành 1 là: 180 + 250 = 430 Đáp án: D lOMoAR cPSD| 49519085
Câu 16: Phát biểu nào sau đây sai:
A. Nếu hệ phương trình tuyến tính có đúng một nghiệm thì hạng của ma trận hệ số bằng số ẩn.
B. Nếu hệ phương trình tuyến tính AX = B có vô số nghiệm thì hệ AX = 0 có vô sốnghiệm.
C. Hệ phương trình thuần nhất AX = 0 luôn có vô số nghiệm
D. Hệ Cramer có đúng một nghiệm.
Đáp án: C. Vì hệ phương trình thuần nhất AX = 0 có thể có duy nhất nghiệm,
vô nghiệm hoặc vô số nghiệm phụ thuộc vào hạng của ma trận A.
Câu 17 , 18 : Cho hệ phương trình
Tìm m để hệ đã cho có vô số nghiệm.
a) m = -1 b) m = 1 c) m = -1 , m = 1 d) Cả 3 câu đều sai
Bài giải Chọn đáp án B
Từ hệ phương trình, ta có: d2 d2 - 2d1
Để hệ đã cho có vô số nghiệm thì r d3 d3 + d1 (A) = r () < 3 r(A) = r () = 2 m – 1 = 0 m = 1 Vậy chọn B d3 d3 – d2 lOMoAR cPSD| 49519085
Câu 19 : Trong mô hình input, output mở biết ma trận đầu vào với với . Giả sử sản
lượng của ba ngành lần lượt là 100, 120 và 140. Khi đó yêu cầu của ngành kinh tế
mở đối với 3 ngành lần lượt là:
a) (44,46,48) b) (48,44,46) c) (92,74,56) d) (56,74,92) Bài giải
Ta có ma trận hệ số đầu vào: A =
Gọi D ( d1,d2,d3) là yêu cầu của ngành kinh tế mở đối với 3 ngành
Ta có: ( I – A).X = D <=> . =
Do đó: (d1,d2,d3) = (44,46,48) Chọn câu A
Câu 20: Gọi s là số nghiệm của hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình . Ta có s lớn nhất khi: A. m ≠ 1 B. m ≠ 0 C. m = 0 D. m = 1 Bài giải
Vì s= n - r nên để s lớn nhất thì r(A) nhỏ nhất: => Chọn C II. Tự luận 1 1 1 1 2 4 3 5 A 3 5 m 1 6
Bài 01 : Cho ma trận 1 3 2 m Biện luận hạng của ma trận A theo tham số thực m. lOMoAR cPSD| 49519085 Giải TH1: TH2:
Bài 02: Trong mô hình Input – Output mở, cho ma trận hệ số đầu vào
a) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận I - A , với I là ma trận đơn vị cấp 3.
b) Tìm sản lượng của 3 ngành, biết yêu cầu của ngành mở đối với 3 ngành là D (68,86,29). Giải a. Đăt ̣
b. Sản lượng của 3 ngành là:
Bài 03: Cho hệ phương trình: Tìm mđể hệ phương trình vô số nghiệm. Tìm
nghiệm tổng quát của hệ. lOMoAR cPSD| 49519085 Bài giải
Từ hệ phương trình, ta có: d2 d2 + 3d1 = (d1, d3) d3 d3 - 2d1 dd + d
Để hệ phương trình vô số nghiệm thì r (A) = r () = 2 < 3 m + 1 = 0 m = -1 Khi đó: =
Hệ có vô số nghiệm, nghiệm tổng quát phụ thuộc 1 tham số z: Nghiệm tổng quát
Bài 04 : Xét mô hình Input-Output mở gồm 3 ngành kinh tế với ma trận hệ số đầu vào
a) Tìm tổng nguyên liệu đầu vào của ba ngành để sản xuất ra được 10 đơn vị đầu ra của từng ngành lOMoAR cPSD| 49519085
b) Tìm sản lượng ngành 1, biết rằng ngành 3 phải cung cấp cho ngành 1 với
lượng nguyên liệu giá trị 70 (đvt).
c) Nếu biết sản lượng của ngành 3 là 100, thì ngành 1 phải cung cấp chongành 3 là bao nhiêu? Giải a) Ta có:
Vậy tổng nguyên liệu đầu vào của 3 ngành là: b) Sản lượng ngành 1:
c) Sản lượng ngành 3: thì ngành 1 phải cung cấp cho ngành 3 là:
Vậy ngành 1 phải cung cấp cho ngành 3:
Bài 05: Một nhà buôn càfe trộn 3 loại café I, II, III, với nhau, có giá lần lượt là
2,3,6 (đơn vị tính là $) cho một pound, để có được 100 pound loại café có giá
4$/pound. Người này sử dụng một lượng café giống nhau cho hai loại café II và III.
Hãy xác định lượng café (tính bằng pound) cho mỗi loại café cần sử dụng để pha trộn. Giải
Gọi x, y, z (pound) lần lượt là lượng café loại I, II, III cần sử dụng để pha trộn.
Theo giả thiết, ta có hệ phương trình: (1)
Vì người này sử dụng một lượng café giống nhau cho hai loại café II và III nên y = z (1) lOMoAR cPSD| 49519085
Vậy cần sử dụng 20 pound café loại I, 40 pound café loại II và 40 pound café loại III
để có được 100 pound loại café có giá 4$/pound. Phần 2: Giải tích Câu 1: Cho hàm số: f’(-1) = = = == Chọn B
Câu 2 : Cực tiểu địa phương của hàm f(x, y) = x3 +y3 – 3xy đạt tại Ta có hệ phương trình ,
Vậy ta có A(0,0) và B (1,1) là 2 điểm dừng , ,
Tại điểm dừng A(0,0) ta có ma trận Hesse: H=
Vậy hàm không đạt cực trị địa phương tại A(0,0)
Tại điểm dừng B(1,1) ta có ma trận Hesse: H=
Vậy hàm số đạt cực tiểu địa phương tại B (1,1) Chọn B Câu 3: Giải: lOMoAR cPSD| 49519085 C đúng. Vì: B sai. Vì: A sai. Vì: Chọn C Câu 4:
a) Vì đây là dạng vô định 0/0 nên theo quy tắc L’Hospital 1 lim
ln(a x) lna (a 0) lim a x 1 x 0 x x 0 1 a Vậy câu a) sai
b) Vì đây là dạng vô định 0/0 nên theo quy tắc L’Hospitallim cos3x lim 3sin3x 0 x 0 x x 0 cos3x 1 ln(cos3 )x ln(cos3 )x
lim(cos3 )x x lime x e x xlim 0 e 0 1 x 0 x 0 sin x
lim lncosx xcosx lim cosx cos x xsin x 1 x 0 x x 0 1 Vậy câu b) sai c) Nên câu c) đúng c’) câu này lạc vào đề lOMoAR cPSD| 49519085 Vậy câu này cũng đúng d) sai Câu 5 : Chọn A = = Ta xét: • ==0
( vì khi f(x) có khả vi trong một lân cận của 0 => x) • = ( vì x ) =>
Câu 6: Cho f x( ) =2x x2 thì: a) f(x) khả vi tại x=0
b) f(x) khả vi và không liên tục tại x=0
c) f(x) liên tục và không khả vi tại x=0 d) cả a,b,c đều sai Giải: Chọn A Ta có:
=> f(x) liên tục lại x=0 Ta lại có: = = 0 => f(x) khả vi tại x=0 Câu 7 : Cho
Độ co dãn riêng của f theo x và độ co dãn riêng của f theo y tại (10,10) lần lượt là : lOMoAR cPSD| 49519085
A.3/81;100/81 B. 3/81;50/81 C. 4/81;100/81 D.4/81;50/81 Giải : Chọn C
Câu 8 : Cho hàm số : Tìm m để f(x) khả vi tại
a) m=2 b) m=1 c) m=3 d) Cả a,b,c đều sai Giải :
Áp dụng quy tắc L’Hospital : Chọn B
Câu 9: Cho a 0 và . Giả sử là điểm dừng:
A. f đạt cực đại toàn cục tại x y0, 0 B. f đạt cực tiểu toàn cục tại x y0, 0
C. f đạt cực đại toàn cục tại x y0, 0 D. Các câu kia đều sai Giải Ta có: , , ,
Ta lập được ma trận Hess:
Ta có H1 0 và fxx 2a 0. Vậy
f x y( , ) đạt cực tiểu toàn cục tại x y0, 0 . => Chọn B
Câu 10: Vi phân toàn phần của hàm số tại A. B. 0 C. D. Giải lOMoAR cPSD| 49519085
Vi phân toàn phần của hàm f x y( , )là: Ta có: Vậy => Chọn B Câu 11: Có: y’- 4y = 4e-2x (1)
Xét phương trình vi phân thuần nhất tương ứng: y’ + 4y = 0 ⟹ = -4y ⇔ = -4dx ⇔ ⟹ y = ± eC.e-4x Đặt C(x) = ± eC ⟹ y = C(x). e-4x
⟹ y’= C’(x). e-4x – 4C(x). e-4x Thay vào (1), ta được:
C’(x). e-4x – 4C(x). e-4x + C(x). e-4x = 4e-2x ⇔ C’(x) = 4e2x ⟹ C(x) = 2e2x + k Vậy: y = (2e2x + k). e-4x Xét: = 0 ⟹ A, B đúng y(0) = 2e-2x ⟹ C đúng
Vậy chọn D: phương trình (1) có đúng một nghiệm riêng y = (2+e-2x)e-2x là sai Câu 12: f(x) Xét: = = f(0) = 0
⟹ f(x) không liên tục tại x = 0 ⟹ Đáp án A,B sai.
Vì: f(x) gián đoạn tại x = 0 và bị chặn (Do f(0) = 0) lOMoAR cPSD| 49519085
Nên: f(x) khả tích tại x = 0 Chọn câu C. Câu 13: Chọn đáp án A
Chứng minh: liên tục và có đạo hàm tại Ta có: dpcm Câu 14 Chọn B
Câu 16: Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị địa phương của hàm số
, với điều kiện: , x,y > 0 Giải:
Xét hàm Lagrange: L(x,y,) = , x,y>0 Giải hệ phương trình:
Hàm L có điểm dừng là Ta
xét các đạo hàm cấp hai : ; ; ; ; Suy ra: Ma trận Hess tại: lOMoAR cPSD| 49519085
Ta có: ; = 12 < 0 ; < 0
Vậy hàm đạt cực tiểu địa phương tại với điều kiện , x, y > 0
Câu 17: Giải phương trình a.
Nếu thì không xác định. Vì vậy Chia 2 vế pt cho :
Xét phương trình thuần nhất: Ngoài nghiệm y=0, ta có:
Kết hợp nghiệm y=0, ta có nghiệm tổng quát của (2):
Xem C = C(x). Nghiệm tổng quát của (1): Thay vào (1) có:
Vậy nghiệm tổng quát của (1) là: lOMoAR cPSD| 49519085
Xét phương trình: y’’+4y’=0 (2) PT đặc trưng:
Nên nghiệm tổng quát của (2) là Ta thấy ]
Vì nên (1) có nghiệm riêng dưới dạng:
Thế vào phương trình (1) ta có:
Vậy nghiệm tổng quá của (1) là: c/ (1)
Phương trình đặc trưng:
Nghiệm tổng quát là: Y(x)
Vì 2 là nghiệm kép của PT đặc trưng nên (1) có nghiệm riêng u(x) u’(x) u”(x) Thay vào (1): u” – 4u’
Đồng nhất thức 2 vế ta có A
Vậy PT (1) có nghiệm tổng quát y(x)
Câu 18 : Cho hàm lợi ích đối với 2 sản phẩm là: U(x, y) = lnx +lny. Một người tiêu
dùng có thu nhập 36 triệu để mua 2 sản phẩm trên biết Px = 2 triệu; Py = 4 triệu. Tìm x, y Để Umax . Giải
Điều kiện ràng buộc: 2x lOMoAR cPSD| 49519085 Xét hàm Lagrange: L(x,y,λ) < , ) là điểm dừng ; ; ; ; Ma trận Hesse: H Có
Hàm U đạt cực đại toàn cục tại M