Bài tập ôn tập Chương 1,2,3 - Toán Kinh Tế | Trường Đại học Tôn Đức Thắng

Bài 15. Tìm cực trị toàn cục (GTLN, GTNN) của các hàm số sau 1. Trong miền tam giác giới hạn bởi 0,2 trong miền tam giác giới hạn bởi  0, 4,xy trong miền tam giác giới hạn bởi 0, bên trong hình chữ nhật 0 5, 3 3x. Tài liệu được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

6 3 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Toán Kinh Tế (C01120)

Trường: Đại học Tôn Đức Thắng

Thông tin:

9 trang 1 ngày trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
1
Chương 1. ĐẠO HÀM RIÊNG
Bài 1. Tính các đạo hàm riêng
f
x
và
f
y
1.
2
2.
2 2
3.
2
f x, y x 1 y 2
4.
2 2
f x,y 5xy 7x y 3x 6y 2
5.
3
f x, y 2x 3y
6.
2
f x, y xy 1
7.
2 2
f x, y x y
8.
2 2
x
f x, y
x y
9.
1
f x, y
x y
10.
2/3
3
y
f x, y x
2
11.
y
f x, y arctan
x
12.
x y 1
f x, y e
13.
x
f x, y e sin x y
14.
f x, y ln x y
15.
xy
f x, y e ln y
16.
2
f x, y sin x 3y
17.
2 2
f x, y cos 3x y
18.
y
f x, y x
Bài 2. Tính các đạo hàm riêng
x
f
,
y
f
, và
z
f
.
1.
2 2
f x, y, z 1 xy 2z
2.
f x, y,z xy yz zx
3.
2 2
f x, y,z x y z
4.
1/2
2 2 2
f x, y,z x y z
5.
f x, y,z arcsin xyz
6.
f x, y,z ln x 2y 3z
7.
f x, y,z yzln xy
8.
xyz
f x, y,z e
9.
2 2 2
x y z
f x, y,z e
Bài 3. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của các hàm sau
2
1.
f x, y x y xy
2.
2
g x, y x y cos y ysin x
3.
f x, y sin xy
4.
y
h x, y xe y 1
5.
r x, y ln x y
6.
y
s x, y arctan
x
7.
2
w x,y x tan xy
8.
2
x y
w ye
9.
2
w xsin x y
10.
2
x y
w
x y
Bài 4. Tính các đạo hàm của hàm hợp sau
1.
2 2
w x y
,
cos
x t
,
sin
y t
tại
π
t
.
2.
2 2
w x y
,
cos sin , cos sin
x t t y t t
tại
0
t
.
3.
x y
w
z z
,
2 2
1
cos , sin ,x t y t z
t
tại
0
t
.
4.
2 2 2
ln
w x y z
,
cos , sin , 4
x t y t z t
, tại
3
t
.
5.
2 ln
x
w ye z
,
2
ln 1
x t
,
arctan
y t
,
t
z e
tại
1
t
.
6.
sin
w z xy
,
1
, ln ,
t
x t y t z e
tại
1
t
.
Bài 5. Tính các đạo hàm riêng
,
u v
w w
của hàm hợp sau
1.
w xy yz zx
,
x u v
,
y u v
,
z uv
tại
, 1/ 2,1
u v
.
2.
2 2 2
ln
w x y z
, sin , cos ,
v v v
x ue u y ue u z ue
tại
, 2,0
u v
.
Bài 6. Tính đạo hàm
dy
dx
của hàm ẩn
y x
xác định từ các phương trình sau
1.
3 2
2 0
x y xy
tại
1,1
2.
2
3 3 0
xy y x
tại
1,1
3.
2 2
7 0
x xy y
tại
1,2
4.
sin ln 2 0
y
xe xy y
tại
0,ln 2
Bài 7. Tính các đạo hàm riêng
x
z
và
y
z
1.
3 3
2 0
z xy yz y
tại
1,1,1
2.
1 1 1
1 0
x y z
tại
2,3,6
3.
sin sin sin 0
x y y z z x
4.
2ln 0
y z
xe ye x
Bài 8. Tìm các vector Gradient
1.
,
f x y y x
tại
2,1
2.
2 2
, ln
f x y x y
tại
1,1
3
3.
2
,
g x y xy
tại
2, 1
,
2, 1 1, 4
g
4.
2 2
,
2 2
x y
g x y
5.
, 2 3
f x y x y
6.
, arctan
x
g x y
y
Bài 9. Tính
f
1.
2 2 2
, , 2 ln
f x y z x y z z x
tại
1,1,1
.
1,1,1 3,2, 4
f
2.
3 2 2
, , 2 3 arctan
f x y z z x y z xz
tại
1,1,1
3.
1/2
2 2 2
, , ln
f x y z x y z xyz
tại
1,2, 2
4.
, , cos 1 arcsin
x y
f x y z e z y x
.
Bài 10. Tính đạo hàm theo hướng
1.
2
, 2 3
f x y xy y
tại
0
5,5
P theo hướng
4 3
u i j
,
4
D
2.
2 2
, 2
f x y x y
tại
0
1,1
P
theo hướng
12 5
u i j
.
13
8
D
3.
,
2
x y
g x y
xy
tại
0
1, 1
P
theo hướng
12 5
u i j
4.
, arctan 3 arcsin
2
y xy
h x y
x
tại
0
1,1
P theo hướng
3 2
u i j
.
5.
, ,
f x y z xy yz zx
tại
0
1, 1,2
P
theo hướng
3 6 2
u i j k
6.
2 2 2
, , 2 3
f x y z x y z
tại
0
1,1,1
P theo hướng
u i j k
7.
, , 3 cos
x
g x y z e yz
tại
0,0,0
H theo hướng
2,1, 2
v
8.
, , cos ln
yz
h x y z xy e zx
tại
1,0,1 / 2
J theo hướng
1,2,2
v
Bài 11. Tìm mặt phẳng tiếp xúc của các mặt được cho bởi các phương trình sau
1.
2 2
ln
z x y
tại
1,0,0
2.
2 2
x y
z e
tại
0,0,1
3.
z y x
tại
1,2,1
4.
2 2
4
z x y
tại
1,1,5
Bài 12. Tìm hàm tuyến tính hóa của các hàm tại điểm chỉ ra
1.
2 2
, 1
f x y x y
tại
0,0
và tại
1,1
2.
2
, 2
f x y x y tại
0,0
và tại
1,2
3.
, 3 4 5
f x y x y
tại
1,1
4.
3 4
,
f x y x y
tại
0,0
5.
, cos
x
f x y e y
tại
0,
π
2
6.
2
,
y x
f x y e
tại
1,2
7.
, ,
f x y z xy yz zx
tại
1,1,1
4
8.
2 2 2
, ,
f x y z x y z
tại
0,1,0
9.
2 2 2
, ,
f x y z x y z
tại
1,2, 2
10.
sin
, ,
xy
f x y z
z
tại
,1,
2
π
1
11.
, , cos
x
f x y z e y z
tại
0,
π
,
4
π
4
12.
, , arctan
f x y z xyz
tại
1,1, 0
Bài 13. Tìm xấp xỉ tuyến tính chuẩn của hàm số tại các điểm được chỉ ra
1.
2
, 3 5
f x y x xy
tại
2.01,0.99
2.
2 2
1 1
, 3 3 4
2 4
f x y x xy y x y
tại
2.05,2.03
3.
, 1 cos
f x y y x y
tại
0.05, 0.09
4.
2
, cos 1
f x y xy y x
tại
1.05, 2.01
5.
, cos
x
f x y e y
tại
0.05, 0.05
6.
, ln ln
f x y x y
tại
1.05,1.09
7.
, , 3 2
f x y z xz yz
tại
1.05,1.05,1.95
8.
2 2
1
, ,
4
f x y z x xy yz z
tại
1.05,1.05,1.95
9.
, , 2 3
f x y z xy yz xz
tại
0.99,1,01,0
10.
, , 2 cos sin
f x y z x y z
tại
0.05,0.05,
4
π
Bài 14. Tìm cực trị địa phương của các hàm sau
1.
2 2
, 3 3 4
f x y x xy y x y
.
2.
2 2
, 2 5 2 4 4 4
f x y xy x y x y
.
3.
2
, 3 2 5
f x y x xy x y
.
4.
2
, 5 7 3 6 2
f x y xy x x y
.
5.
2 2
, 2 2 3 4
f x y xy x y x
.
6.
2 2
, 4 6 2
f x y x xy y y
.
7.
2 2
, 2 3 4 5 2
f x y x xy y x y
8.
2 2
, 2 4 6
f x y x y x y
9.
2
, 2
f x y x xy
10.
2 2
, 56 8 16 31 1 8
f x y x y x x
11.
2 2
3
, 1
f x y x y
12.
3 3
, 2 6
f x y x y xy
13.
3 3
, 3
f x y x xy y
14.
2 3 2
, 6 2 3 6
f x y x x y xy
15.
3 3 2 2
, 3 3 8
f x y x y x y
16.
3 2 3
, 3 15 15
f x y x xy x y y
17.
3 3 2 2
, 2 2 9 3 12
f x y x y x y y
5
18.
4 4
, 4
f x y xy x y
19.
4 4
, 4
f x y x y xy
20.
2 2
1
,
1
f x y
x y
21.
1 1
,f x y xy
x y
22.
, sin
f x y y x
23.
2
, cos
x
f x y e y
24.
2 2
4
,
x y x
f x y e
25.
,
y x
f x y e ye
26.
2 2
,
y
f x y e x y
27.
2 2
,
x
f x y e x y
28.
, 2ln ln 4
f x y x y x y
29.
2
, ln
f x y x y x y
Bài 15. Tìm cực trị toàn cục (GTLN, GTNN) của các hàm số sau
1.
2 2
, 2 4 4 1
f x y x x y y
trong miền tam giác giới hạn bởi
0, 2, 2
x y y x
2.
2 2
, 1
f x y x xy y
trong miền tam giác giới hạn bởi 0, 4,
x y y x
3.
2 2
,
f x y x y
trong miền tam giác giới hạn bởi
0, 0, 2 2
x y y x
4.
2 2
, 6 2
g x y x xy y x
bên trong hình chữ nhật
0 5, 3 3
x y
5.
3 2
,
f x y x y
bên trong hình tròn
2 2
1
x y
6.
,
f x y xy
bên trong hình tròn
2 2
1
x y
7.
2 2
, 3
f x y x y x xy
bên trong hình tròn
2 2
9
x y
.
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Bài 1. Tính các tích phân sau
a)
2
6 2 , : 0 1,0 2
R
y x dxdy R x y

b)
2
, : 0 4,1 2
R
x
dxdy R x y
y

c) cos , : 1 ,
π
0
R
xy ydxdy R x y

d)
sin , :
π π
0,0
R
y x y dxdy R x y

e)
, : 0 ln 2,0 ln 2
x y
R
e dxdy R x y

f)
2
, : 0 2, 0 1
xy
R
xye dxdy R x y

6
g)
3
2
, : 0 1,0 2
1
R
xy
dxdy R x y
x

h)
2 2
, : 0 1,0 1
1
R
y
dxdy R x y
x y

Bài 2. Tính tích phân bội hai trên miền tổng quát
a)
R
x
dxdy
y

biết
R
nằm trong góc phần tư thứ nhất, bao quanh bởi
, 2 , 1, 2
y x y x x x
.
b)
2 2
R
x y dxdy

, biết
R
là miền tam giác có các đỉnh là
0,0 , 1,0 , 0,1
.
c)
R
v u dudv

, biết
R
là miền tam giác trong mặt phẳng
Ouv
, nằm trong góc phần tư
thứ nhất, dưới đường
1
u v
d)
ln t dsdt
s
R
e

, biết
R
nằm trong mặt phẳng
Ost
, phía dưới dường cong
ln t
s
, từ
1
t
đến
2
t
.
e)
2
2
R
y x dxdy

, với
R
là miền bị bên trong hình vuông
1
x y
f)
R
xydxdy

, với
R
là miền bên trong tam giác giới hạn bởi
, 2 , 2
y x y x x y
.
Bài 3.
a) Tính thể tích miền giới hạn bởi mặt paraboloid
2 2
z x y
bên trong miền tam giác
, 0, 2
y x x x y
.
b) Tính thể tích miền giới hạn bởi mặt
2
z x
bên trong miền giới hạn bởi
2
2 ,
y x y x
.
Bài 4. Tính diện tích của miền
D
, biết
a)
D
là miền giới hạn bởi
0, 0, 2
x y x y
b)
D
là miền giới hạn bởi
0, 2 , 4
x y x y
c)
D
là miền giới hạn bởi
2
, 2
x y y x
d)
D
là miền giới hạn bởi
2
,
x y y y x
e)
D
là miền giới hạn bởi
, 0, 0, ln 2
x
y e y x x
f)
D
là miền giới hạn bởi ln , 2 ln ,
y x y x x e
.
Bài 5. Tính tích phân
,
D
f x y dxdy

bằng phương pháp đổi biến trong tọa độ cực, biết
a)
,
f x y xy
,
D
là hình tròn tâm góc tọa độ, bán kính 3.
b)
,
f x y x y
,
D
là miền bên trái trục
Oy
, nằm giữa hai đường tròn
2 2
1
x y
và
2 2
4
x y
.
7
c)
2 2
, cos
f x y x y
,
D
là miền nằm phía trên trục
Ox
và bên trong
2 2
9
x y
.
d)
2 2
, 4
f x y x y
,
2 2
, | 4, 0
D x y x y x
e)
2 2
,
x y
f x y e
,
D
là miền giới hạn bởi
2
4
x y
và trục
Oy
f)
,
x
f x y ye
với
D
là miền nằm trong góc phần tư thứ nhất, bên trong
2 2
25
x y
.
g)
,
f x y x
với
D
nằm bên trong
2 2 2 2
4, 2
x y x y x
.
Bài 6. Tính các tích phân bội ba sau
a)
2
E
xdxdydz

, với
2
, , | 0 2,0 4 ,0
E x y z y x y z y
b)
5
cos
E
yz x dxdydz

, với
, , | 0 1,0 , 2
E x y z x y x x z x
c)
6
E
xydxdydz

, với
E
nằm phía dưới mặt phẳng
1
z x y
và phía trên miền trong
mặt
Oxy
bị giới hạn bởi
, 0, 1
y x y x
.
d)
E
ydxdydz

, với
E
giới hạn bởi các mặt
0, 0, 0,2 x 2y z 4
x y z
.
Bài 7. Tính tích phân
, ,z
E
f x y dxdydz

trong tọa độ trụ, biết
a)
2 2
, ,
f x y z x y
và
E
là miền nằm bên trong mặt trụ
2 2
16
x y
và nằm giữa các
mặt phẳng
5, 4
z z
.
b)
3 2
, ,
f x y z x xy
và
E
là miền nằm ở góc phần tám thứ nhất, bên trong paraboloid
2 2
1
z x y
.
c)
, ,
z
f x y z e
và
E
là miền bên trong paraboloid
2 2
1
z x y
và hình trụ
2 2
5
x y
, mặt tọa độ
Oxy
.
d)
, ,
f x y z x
và
E
là miền giới hạn bởi hai mặt
0
z
,
5
z x y
, và hai hình trụ
2 2 2 2
4, 9
x y x y
e)
2
, ,
f x y z x
và
E
là miền giới hạn bởi hình trụ
2 2
1
x y
, phía trên
0
z
, phía dưới
hình nón
2 2
4 4
z x y
.
Bài 8. Tính tích phân
, ,z
E
f x y dxdydz

trong tọa độ cầu, biết
a)
2
2 2 2
, ,
f x y z x y z
và
E
là quả cầu tâm
0,0,0
O , bán kính
5
R
.
b)
2 2
, , 9
f x y z x y
và
E
là miền
2 2 2
9, 0
x y z z
.
c)
, ,
f x y z z
và
E
là miền bên trong
2 2 2
1
x y z
,
2 2 2
4
x y z
trong góc phần
tám thứ nhất.
8
d)
2 2 2
, ,
x y z
f x y z e
và
E
là miền bên trong mặt cầu
2 2 2
9
x y z
trong góc phần
tám thứ nhất.
e)
2
, ,
f x y z x
và
E
là miền bị giới hạn bởi mặt
Oxz
,
2 2
9
y x z
,
2 2
16
y x z
Chương 3. DÃY SỐ VÀ CHUỖI
Bài 1. Tính tổng riêng của các chuỗi sau:
a)
1
2 2 2 2
2 ...
3 9 27
3
n
b)
2
9 9 9
... ...
100 100 100
n
c)
1 1 1 1
...
2.3 3.4 4.5 1 2
n n
d)
5 5 5 5
... ...
1.2 2.3 3.4 1n n
Bài 2. Tính tổng của các chuỗi sau
a)
0
1
4
n
n
n
b)
0
1
4
n
n
c)
0
7
4
n
n
d)
0
5
1
4
n
n
n
e)
0
5 1
2 3
n n
n
f)
0
5 1
2 3
n n
n
g)
0
1
1
2 5
n
n n
n
h)
1
0
2
5
n
n
n
.
Bài 3. Sử dụng tiêu chuẩn tích phân, khảo sát các chuỗi sau
a)
2
1
1
n
n
b)
0.2
1
1
n
n
c)
2
1
1
4
n
n
d)
1
1
4
n
n
e)
2
1
n
n
e
f)
2
1
ln
n
n
n
Bài 4. Sử dụng tiêu chuẩn so sánh, xét sự hội tụ của các chuỗi sau
a)
2
1
1
30
n
n
b)
4
1
1
2
n
n
n
c)
1
1
1
n
n
d)
2
2
2
n
n
n n
e)
2
3/ 2
1
cos
n
n
n
f)
1
1
3
n
n
n
g)
4
1
4
4
n
n
n
h)
2
1
1
3
n
n
n
.
Bài 5. Sử dụng tiêu chuẩn so sánh, xét sự hội tụ của các chuỗi sau
a)
3 2
1
2
3
n
n
n n
b)
2
1
1
2
n
n
n
c)
2
2
1
1 1
n
n n
n n
d)
1
2
3 4
n
n
n
e)
1
5
4
n
n
n
n
f)
1
2 3
5 4
n
n
n
n
.
Bài 6. Sử dụng tiêu chuẩn tỉ số, khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau
a)
1
2
!
n
n
n
b)
1
2
3
n
n
n
c)
2
1
1 !
1
n
n
n
d)
1
1
1
2
3
n
n
n
n
e)
4
1
4
n
n
n
f)
2
1
3
ln
n
n
n n
g)
2
2
1
2 !
!3
n
n
n n
n
h)
1
5
2 3 ln 1
n
n
n
n n
.
Bài 7. Sử dụng tiêu chuẩn căn số, khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau
a)
1
7
2 5
n
n
n
b)
1
4
3
n
n
n
n
c)
1
4 3
3 5
n
n
n
n
d)
1
2
1
1
ln
n
n
e
n
9
e)
2
1
8
1
3
n
n
n
f)
1
1
sin
n
n
n
g)
2
1
1
1
n
n
n
h)
1
1
1
n
n
n
.
Bài 8. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi đan dấu
a)
1
1
1
1
n
n
n
b)
1
3/2
1
1
1
n
n
n
c)
1
1
1
1
3
n
n
n
n
d)
2
1
4
1
ln
n
n
n
e)
2
1
1
1
n
n
n
n
f)
2
1
2
1
5
1
4
n
n
n
n
g)
1
2
1
2
1
n
n
n
n
h)
1
10
1
1 !
n
n
n
n
.
Bài 9. Khảo sát sự hội tụ tuyệt đối, hội tụ có điều kiện của các chuỗi số sau
a)
1
1
1
1
10
n
n
n
b)
1
1
1
1
10
n
n
n
n
c)
1
1
1
n
n
n
d)
1
1
1
n
n
n
e)
1
3
1
1
1
n
n
n
n
f)
1
1
!
1
2
n
n
n
n
g)
1
1
1
3
n
n
n
h)
1
2
1
1
1
n
n
n
n
.
Bài 10. Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
a)
1
n
n
x
b)
1
5
n
n
x
c)
1
1 4 1
n n
n
x
d)
1
3 2
n
n
x
n
e)
1
2
10
n
n
n
x
f)
1
2
n
n
x
g)
1
2
n
n
nx
n
h)
1
1 2
n n
n
x
n
i)
1
3
n
n
n
x
n n
j)
1
1
n
n
x
n
k)
1
1
!
n
n
n
x
n
l)
1
3
!
n n
n
x
n
m)
2
1
4
n n
n
x
n
n)
3
1
1
3
n
n
n
x
n
o)
2
1
3
n
n
x
n
p)
1
1
1
3
n
n
n
x
n
q)
1
3
5
n
n
n
n x
t)
2
1
4 1
n
n
n
nx
n
u)
1
3
n
n
n
nx
v)
1
2 5
n
n
n
n x
r)
1
1
1
n
n
n
x
n
x)
1
ln
n
n
n x
y)
1
n n
n
n x
z)
1
! 4
n
n
n x
.
| 1/9
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

1
Chương 1. ĐẠO HÀM RIÊNG f f
Bài 1. Tính các đạo hàm riêng và x y 1.   2 f x, y  2x 3y  4 2.   2 2 f x, y  x  xy  y 3.     2 f x, y x   1 y 2 4.   2 2
f x, y  5xy  7x  y 3x 6y  2 5.      3 f x, y 2x 3y 6.      2 f x, y xy 1 7.   2 2 f x, y  x  y x 8. f x, y  2 2 x  y 9.   1 f x, y  x  y 2/3   10. 3 y f x, y  x     2    11.   y f x, y  arctan  x    12.   x y 1 f x, y e    13.   x
f x, y  e sin x  y 
14. f x, y  ln x  y  15.   xy f x, y  e ln y 16.   2 f x, y  sin x 3y 17. 2 2
f x, y  cos 3x  y  18.   y f x, y  x
Bài 2. Tính các đạo hàm riêng f , f , và f . x y z 1.   2 2 f x, y, z  1 xy  2z
2. f x, y,z  xy  yz  zx 3.   2 2 f x, y, z  x  y  z  4.        1/2 2 2 2 f x, y, z x y z
5. f x, y,z  arcsin xyz
6. f x, y,z  ln x  2y  3z 
7. f x, y,z  yzlnxy 8.   xyz f x, y, z e  2 2 2 x y z 9. f x, y,z   e   
Bài 3. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của các hàm sau 2
1. f x, y  x  y  xy 2.   2
g x, y  x y  cos y  y sin x 3. f x, y  sin xy 4.   y h x, y  xe  y 1
5. r x, y  ln x y   6.   y s x, y arctan    x  7.   2 w x, y  x tan xy 8. 2 x y w ye   9.   2 w x sin x y  x  y 10. w  2 x  y
Bài 4. Tính các đạo hàm của hàm hợp sau 1. 2 2
w  x  y , x  cost , y sin t tại t  π . 2. 2 2 w  x  y , x cos t s  in t, y cos t s  in t tại t  0 . 1 3. x y w   , 2 2
x  cos t, y  sin t, z  tại t  0 . z z t 4. w   2 2 2
ln x  y  z  , x cost, y sin t, z 4 t , tại t  3. 5.  2 x w ye  ln z , x   2 ln t   1 , y  arctant , t z e tại t 1 . 6. w  z  sinxy , 1 , ln , t x t y t z e     tại t  1.
Bài 5. Tính các đạo hàm riêng w ,w của hàm hợp sau u v
1. w  xy  yz zx , x u v , y  uv , z  uv tại  , u  v 1/ 2,  1 . 2. w   2 2 2 ln x  y  z  , v  sin , v  cos , v x ue u y ue u z ue tại u,  v  2,0 .
Bài 6. Tính đạo hàm dy của hàm ẩn y  
x xác định từ các phương trình sau dx 1. 3 2
x 2y  xy  0 tại 1,1 2. 2
xy  y  3x 3 0 tại  1  ,1 3. 2 2
x  xy  y  7  0 tại 1,  2 4. y
xe sin xy  y ln 2 0 tại 0,ln 2
Bài 7. Tính các đạo hàm riêng z và z x y 1. 3 3
z xy  yz  y 2  0 tại 1,1,  1 1 1 1 2.
   1 0 tại  2,3,6 x y z
3. sin x  y sin  y  zsin z   x  0 4. y z xe  ye  2 ln x  0
Bài 8. Tìm các vector Gradient
1. f x ,y  y x tại 2,  1 2. f x y   2 x  y  2 , ln tại 1,1 3 3. g x y  2 ,  xy tại 2,  1 , g  2,  1 1, 4   2 2 x y 4. g x, y   2 2 5. f x ,y  2x  3y   6.    , arctan x g x y      y  Bài 9. Tính f  1. f x y z  2 2 2 , , x  y  2z z
 lnx tại 1,1,1 . f 1,1,  1 3, 2,  4 2. f x y z  3  z   2 2 , , 2 3 x y z  arcta  n xz  tại 1,1,  1 1  /2 3. f x y z    2 2 2 , , x  y z 
 lnxyz  tại 1,2,2 4.  , ,  x y f x y z  e cosz  y   1 arcsinx .
Bài 10. Tính đạo hàm theo hướng 1. f x y  2
,  2xy  3y tại P 5,5 theo hướng u  4i  3 , D  4  0   j 2. f x y  2 2
,  2x  y tại P 1,1 theo hướng u12i 5 . 13 0   j D   8 x y 3. g x, y  tại P 1, 1
 theo hướng u12i5 j 0   xy  2     4. y xy
h x ,y  arctan    3 arcsin    tại   .  P 1,1 theo hướng u 3i 2 0   j x   2 
5. f x ,y ,z   xy yz zx tại P 1,1, 2 theo hướng u 3i 6 j2k 0   6. f x y z  2 2 2
, ,  x  2y  3z tại P 1,1,1 theo hướng u  i  j  k 0   7.  , ,  3 x g x y z
e cos yz tại H 0, 0,0 theo hướng v  2,1,2 8.  , ,  cos yz h x y z
xy  e  lnzx tại J 1, 0,1 / 2 theo hướng v  1, 2,  2
Bài 11. Tìm mặt phẳng tiếp xúc của các mặt được cho bởi các phương trình sau 1. 2 2
z  lnx  y  tại 1, 0,  0 2 2 2.  x  y  z  e tại 0,0,1
3. z  y  x tại 1,2,1 4. 2 2
z  4x  y tại 1,1,5
Bài 12. Tìm hàm tuyến tính hóa của các hàm tại điểm chỉ ra 1. f x y 2 2
,  x  y  1 tại 0,0 và tại 1,  1
2. f x yx  y  2 ,
2 tại 0,0 và tại 1, 2
3. f x ,y 3x 4y  5 tại 1,1 4. f x y  3 4 ,  x y tại 0,  0  π 5.  ,  x
f x y  e cosy tại 0,      2  6.   2 , y x f x y e   tại 1,2
7. f x ,y ,z   xy yz zx tại 1,1,1 4 8. f x y z  2 2 2
, ,  x  y z tại 0,1, 0 9. f x y z  2 2 2
, ,  x y z tại 1,2,2 sin xy π  10. f x ,y ,z     tại  ,1,1     z 2   π π  11.  , ,  x f x y z e  co  s y z  tại 0, ,     4 4
12. f x ,y ,z   arctanxyz  tại 1,1,0
Bài 13. Tìm xấp xỉ tuyến tính chuẩn của hàm số tại các điểm được chỉ ra 1. f x y 2
,  x  3xy  5 tại 2.01,0.99 1 1 2. f x ,y 2 2
 x  xy  y  3x  3y  4 tại  2.05,2.0  3 2 4
3. f x ,y  1 y x cosy tại 0.05, 0  .09 4. f x y 2 ,  xy  y cosx   1 tại 1.05, 2.0  1 5.  ,  x
f x y  e cosy tại 0.05,0.0  5
6. f x ,y  lnx  lny tại 1.05,1.09
7. f x,y ,z  xz  3yz  2 tại 1.05,1.05,1.95 1 8. f x ,y ,z  2 2
 x xy  yz  z tại 1.05,1.05,1.95 4
9. f x ,y ,z  xy  2yz  3xz tại 0.99,1,01,0  π
10. f x ,y ,z   2 co  s x si  n y z  tại 0  .05,0.05,      4
Bài 14. Tìm cực trị địa phương của các hàm sau 1. f x y 2 2
,  x  xy  y  3x 3y  4 . 2. f x y 2 2
,  2xy  5x  2y  4x  4y  4. 3. f x y 2
,  x  xy  3x  2y  5 . 4. f x y 2
,  5xy  7x  3x 6y  2 . 5. f x y 2 2
,  2xy  x  2y  3x  4 . 6. f x y 2 2
,  x  4xy  y  6y  2. 7. f x y  2 2
,  2x  3xy  4y  5x  2y 8. f x y 2 2
,  x  y  2x  4y  6 9. f x y  2 ,  x  2xy 10. f x y  2 2
,  56x  8y  16x  31 1 8x 11. f x ,y  3 2 2  1 x  y 12. f x y 3 3 ,  x  y  2xy  6 13. f x y  3 3 ,  x  3xy  y 14. f x y  2 3 2
,  6x  2x  3y  6xy 15. f x y 3 3 2 2
,  x  y  3x  3y  8 16. f x y  3 2 3
,  x  3xy  15x  y  15y 17. f x y  3 3 2 2
,  2x  2y  9x  3y  12y 5 18. f x y  4 4 ,  4xy x  y 19. f x y  4 4 ,  x  y  4xy 1 20. f x ,y  2 2 x  y 1 21. f  x  1 1 , y   xy x y 22. f x ,y  y sinx 23.   2 , x f x y  e cosy 24.   2 2 4 , x y x f x y e    25.  ,  y x f x y e  ye 26.      2 2 , y f x y e x  y  27.    2 2 , x f x y e x  y 
28. f x ,y  2lnx  lny  4x y
29. f x y  x  y  2 , ln x  y
Bài 15. Tìm cực trị toàn cục (GTLN, GTNN) của các hàm số sau 1. f x y  2 2
,  2x  4x  y  4y  1 trong miền tam giác giới hạn bởi x 0, y 2, y 2x 2. f x y 2 2
,  x  xy  y  1 trong miền tam giác giới hạn bởi x 0, y 4, y x 3. f x y  2 2
,  x  y trong miền tam giác giới hạn bởi x  0, y  0, y  2 x  2 4. g x y 2 2 ,
 x xy  y 6x  2 bên trong hình chữ nhật 0  x 5, 3   y 3 5. f x y  3 2
,  x  y bên trong hình tròn 2 2 x  y  1
6. f x ,y  xy bên trong hình tròn 2 2 x  y 1 7. f x y  2 2
,  x  y  3x xy bên trong hình tròn 2 2 x  y 9 . Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Bài 1. Tính các tích phân sau a)  2 6 y  2  x dxdy,
R : 0  x 1, 0  y  2 R b)
x dxd ,y R:0 x 4,1 y 2  2 y R c) xy cos ydxd , y R : 1 x ,  0  y π  R d) y si  n x  ydxdy, R : π   x  0, 0  y π  R e) xy e dxd , y
R: 0  x ln 2,0  y ln 2  R f) 2 xy xye dxdy,
R : 0  x  2, 0  y 1  R 6 3 g) xy dxdy ,
R : 0  x  1, 0 y  2  2 x 1 R h) y dxd , y
R : 0  x 1, 0  y  1  2 2 x y 1  R
Bài 2. Tính tích phân bội hai trên miền tổng quát x a) dxdy 
biết R nằm trong góc phần tư thứ nhất, bao quanh bởi y R
y  x, y  2x, x  1, x  2 . b)   2 2
x  y dxdy , biết R là miền tam giác có các đỉnh là 0,0,1, 0,0,  1 . R
c)  v  ududv , biết R là miền tam giác trong mặt phẳng Ouv , nằm trong góc phần tư R
thứ nhất, dưới đường u v  1 d) s e ln 
tdsdt , biết R nằm trong mặt phẳng Ost, phía dưới dường cong s  lnt, từ R t  1 đến t  2. e)   2
y 2x dxdy , với R là miền bị bên trong hình vuông x  y 1 R f) xydxdy 
, với R là miền bên trong tam giác giới hạn bởi y  x, y  2x,x  y  2 . R Bài 3.
a) Tính thể tích miền giới hạn bởi mặt paraboloid 2 2
z  x  y bên trong miền tam giác
y  x, x  0, x  y  2 .
b) Tính thể tích miền giới hạn bởi mặt 2
z  x bên trong miền giới hạn bởi 2 y  2 x , y  x .
Bài 4. Tính diện tích của miền D , biết
a) D là miền giới hạn bởi x  0,y  0,x  y  2
b) D là miền giới hạn bởi x 0, y 2 , x y  4
c) D là miền giới hạn bởi 2 x  y , y  x  2
d) D là miền giới hạn bởi 2 x  y  y , y  x 
e) D là miền giới hạn bởi x
y  e , y  0,x  0,x  ln 2
f) D là miền giới hạn bởi y  ln , x y  2 ln , x x  e . Bài 5. Tính tích phân f x , y dxdy 
bằng phương pháp đổi biến trong tọa độ cực, biết D
a) f x, y xy , D là hình tròn tâm góc tọa độ, bán kính 3.
b) f x ,y x y , D là miền bên trái trục Oy, nằm giữa hai đường tròn 2 2 x  y  1 và 2 2 x  y  4. 7 c) f x y  2 2 ,
cos x  y , D là miền nằm phía trên trục Ox và bên trong 2 2 x  y  9 . d) f x y 2 2 ,  4x  y , D    x  2 2
, y | x  y  4, x  0 e)   2 2 , x y f x y e  
, D là miền giới hạn bởi 2 x  4  y và trục Oy f)  ,  x
f x y  ye với D là miền nằm trong góc phần tư thứ nhất, bên trong 2 2 x  y  25.
g) f x, y  x với D nằm bên trong 2 2 2 2
x  y  4,x  y  2x .
Bài 6. Tính các tích phân bội ba sau a) 2 xdxdydz  , với E    x y z 2
, , | 0  y  2,0  x  4 y ,0  z  y E b) yz x 5 cos dxdydz  , với E  
 x,y,z| 0 x 1,0 y x,x z  2x E c) 6xydxdydz 
, với E nằm phía dưới mặt phẳng z  1x  y và phía trên miền trong E
mặt Oxy bị giới hạn bởi y  x , y 0, x 1 . d) ydxdydz 
, với E giới hạn bởi các mặt x  0,y  0,z  0, 2 x 2 y z 4. E Bài 7. Tính tích phân f x ,y , z dxdydz 
trong tọa độ trụ, biết E a) f x y z  2 2 , ,
 x  y và E là miền nằm bên trong mặt trụ 2 2
x  y  16 và nằm giữa các mặt phẳng z  5  , z 4 . b) f x y z 3 2 , ,
 x xy và E là miền nằm ở góc phần tám thứ nhất, bên trong paraboloid 2 2 z 1x  y . c)  , ,  z
f x y z  e và E là miền bên trong paraboloid 2 2
z  1 x  y và hình trụ 2 2
x  y  5, mặt tọa độ Oxy .
d) f x,y ,z x và E là miền giới hạn bởi hai mặt z  0, z  x y 5 , và hai hình trụ 2 2 2 2 x  y  4, x  y  9 e) f x y z  2 , ,
 x và E là miền giới hạn bởi hình trụ 2 2
x  y 1, phía trên z  0 , phía dưới hình nón 2 2 z  4x 4  y . Bài 8. Tính tích phân f x ,y , z dxdydz 
trong tọa độ cầu, biết E a) f x y  z  x  y  z 2 2 2 2 , ,
và E là quả cầu tâm O0,0,0, bán kính R 5. b) f x y z  2 2 , ,
 9x  y và E là miền 2 2 2 x  y  z  9, z  0.
c) f x, y, z z và E là miền bên trong 2 2 2 x  y  z  1 , 2 2 2
x  y  z  4 trong góc phần tám thứ nhất. 8 d)   2 2 2 , , x y z f x y z e   
và E là miền bên trong mặt cầu 2 2 2
x  y z 9 trong góc phần tám thứ nhất. e) f x y z 2 , ,
 x và E là miền bị giới hạn bởi mặt Oxz , 2 2 y  9 x z , 2 2 y  16  x  z
Chương 3. DÃY SỐ VÀ CHUỖI
Bài 1. Tính tổng riêng của các chuỗi sau: 2 2 2 2 9 9 9 a) 2     ...  b)  ...  ... 1 3 9 27 3n 2 100 100 100n 1 1 1 1 5 5 5 5 c)    ... d)   ...  ... 2.3 3.4 4.5 n 1   n 2 1.2 2.3 3.4 n n   1
Bài 2. Tính tổng của các chuỗi sau    1 n    a)  b) 1  c) 7  d)   n 5 1 n n 4n n  4n n  4n n 0  4 0 0 0   5 1    5 1    1    1 n   n 1 2  e)    f)     g)     h)  . n n n n   n   2n 3n    n 5 n  2 5 n  2 3 n 0 0 0   0
Bài 3. Sử dụng tiêu chuẩn tích phân, khảo sát các chuỗi sau  1  1  1 a)  b)  c)  2 0.2 2  n  n 4 n 1  n n 1 n 1    ln  2 n  d) 1  e)  2n  e f)   n  n 4 1 n 1 n 1  n
Bài 4. Sử dụng tiêu chuẩn so sánh, xét sự hội tụ của các chuỗi sau  1  n 1  1  n  2 a)  b)  c)  d)  2 4 2  n   n   n  n n  n 1 n 2 n 30 1 1 1 n 2  2 cos n  1  n  4  n 1  e)  f)  g)  h)  . 3/ 2 4  n  4 2  n n 3n n 1  n 1 n 1 n 1  n  3
Bài 5. Sử dụng tiêu chuẩn so sánh, xét sự hội tụ của các chuỗi sau  n  2  n 1  n n   1 a)  b)  c)  3 2 2 2  n  n   n  n 2  n   1  n   1 n 2 n 1 3 1  2n  5n   2n 3 n d)  e)  f)   . n      n n 5 4  n  n4 n n 1 3 4  1 1
Bài 6. Sử dụng tiêu chuẩn tỉ số, khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau  2n  2    n   1 !  n 1 2 a)  b) n  c)  d)  n1  n   n3 n 1  n 2 n 3n n 1 ! 1 1 n 1  4  n  2 3 2  n n 2 !  n e) n  f)  5 g)  h) n  . 2  n  n  n 1 2 3ln  1 n  n !3 n 1  4n n  n ln n 1 n 1
Bài 7. Sử dụng tiêu chuẩn căn số, khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau  n 1  7  4n   4n  3 n    1   a)  b)  c)   d) 2  ln e  n    n       n  n 3 5 n 1  3n   n 1  2 n 5 1 n 1    n   9 2  8   1    1 n   1 e)  f)  sinn g)  1 h)  . 2  n    n  1 n n 1   1    n 3   n 1 n n 1 n 1    n 
Bài 8. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi đan dấu    1  1 a)   1 1 n b)   1 1 n 3/2  n n 1  n n 1   n 1 n 4 c)    1 1 d)   1  3n n  ln n 1 n  n2 1   2    n  n 5 e)   1 n n f)   1 1 2   2    n  n 4 n n 1 1 1    n n 2 n g)   n 10 1   1 h)   1 . 2   n n 1 ! 1   n 1  n
Bài 9. Khảo sát sự hội tụ tuyệt đối, hội tụ có điều kiện của các chuỗi số sau    n 1 n  1 n 1 a)   1 1 b)    1 1 c)   1   n  10n  n n 10 n 1 1 n 1  n   1  n   n  n ! d) 
e)  n1  n  1 f)    1 1   3  n   n  n  2 n 1 n 1  1 n 1  1   n 1   n  1 g)   1   h)    1 1 n .   2   n   n 3 1 n 1 n
Bài 10. Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa    a) n  n n n x b) x   5 c)  1   4 x 1    n 1  n 1  n 1    3 n x   2 n  x  2  d)  e)  f)  2xn n 10n n 1  n 1 n 1   n n n nx    1  x  2  n x g)  h)  i)   n n 1  n 2 n 1  n n 1  n n3   n x   1 n    1 n x  3n n x j)  k)  l)  n n! n  ! n 1  n 1 n 1  2 4 n n n   x 1    n m) x  n)  o) x  3 2 n  n 3n n1 n 1 n 1  n  3   n n 1 1 n x    n  x  3  n p)  q)  t) nx   n  n  2 1 4 n 1 n  5n n 1  n 3 1  n    1 n  u) nx  v)  n 2x 5n n r)  1 n    x n   n  n 1  3 n 1  n 1    x)  ln n n n x y) n n n x  z) n! x   4 . n 1  n 1  n1