Bài tập tích phân vận dụng cao có lời giải chi tiết – Lương Văn Huy Toán 12

Bài tập tích phân vận dụng cao có lời giải chi tiết – Lương Văn Huy Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Môn:

Toán 12 3.9 K tài liệu

Thông tin:
35 trang 1 năm trước
Tác giả:
Student
Mai Nguyệt
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Bài tập tích phân vận dụng cao có lời giải chi tiết – Lương Văn Huy Toán 12

Bài tập tích phân vận dụng cao có lời giải chi tiết – Lương Văn Huy Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

51 26 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng 199 tài liệu

Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu

Thông tin:

35 trang 1 năm trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
1
TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO – PHẦN I
Nội dung live – trợ giúp kì thi THPT Quốc Gia 2018.
Bài tập có sưu tập từ nguồn đề của các trường trên toàn Quốc và của các quý thầy cô trong
nhóm Vận Dụng Cao.
File giải chỉ trình bày theo cách tự luận để các em hiểu bản chất. Kỹ thuật tính nhanh và Casio
các em xem ở bài live.
Câu 1: Cho hàm số
y f x
xác định trên đoạn
0;
2
thỏa mãn
2
2
0
2
2 2 sin d
f x f x x x . Tích phân
2
0
d
f x x
bằng
A.
4
. B.
0
. C.
1
. D.
2
.
Lời giải
Chọn B
+) Đặt
I
2
2
0
2 2 sin d
4
f x f x x x
. Ta có
I
2
2 2
0
2 2 sin 2sin d
4 4
f x f x x x x
2
2
0
2sin d
4
x x
I
2
2
0
2 sin d
4
f x x x
2
2
0
2sin d
4
x x
+) Có
2
2
0
2sin d
4
x x
2
0
1 os 2 d
2
c x x
2
0
1 sin2 d
x x
2
0
1
cos2
2
|
x x
2
2
+) Mà
I
2
2
suy ra
2
2
0
2 sin d 0
4
f x x x (1).
+) Áp dụng kết quả: Nếu
f x
liên tục và không âm trên đoạn
;
a b
thì
d 0
b
a
f x x .
Dấu
" "
xảy ra khi
0
f x với mọi
;
x a b
.
Từ (1) suy ra
2 sin 0
4
f x x hay
2 sin
4
f x x .
+) Do đó
2
0
d
f x x
2
0
2 sin d
4
x x
2
0
2cos
4
|
x
0
. Chọn B.
Câu 2. (Đề tham khảo của BGD năm 2018) Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
đoạn
0;1
thỏa mãn
1 0
f ,
1
2
0
d 7
f x x
và
1
2
0
1
d
3
x f x x
. Tích phân
1
0
d
f x x
bằng
A.
7
5
. B.
1
. C.
7
4
. D.
4
.
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
2
Lời giải
Chọn A
+) Đặt
2
d 3 d
u f x
v x x
3
d d
u f x x
v x
, khi đó
1 1
1
2 3 3
0
0 0
3 d . d
x f x x x f x x f x x
+) Ta có
1
3
0
1 1 d
f x f x x
suy ra
1
3
0
d 1
x f x x
.
+) Áp dụng bất đẳng thức tích phân phân
2
2 2
d d . d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x
. Dấu
" "
xảy ra khi
f x kg x
với
k
là hằng số.
Ta có
2
3
1 d
b
a
x f x x
2
6
d . d
b b
a a
x x f x x
1
7
0
7
7
x
1
. Dấu
" "
xảy ra khi
3
f x kx
với
k
là hằng số. Mà
1
3
0
d 1
x f x x hay
1
6
0
d 1
kx x suy ra
7
k
.
+) Vậy
3
7
f x x
nên
4
7
4
f x x c
mà
1 0
f
nên
4
7
1
4
f x x
suy ra
1
0
7
d
5
f x x
. Chọn A.
Câu 3. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1
thỏa mãn
0 1
f và
1 1
2
0 0
1
2 d 3 d
9
f x f x x f x f x x
. Tích phân
1
3
0
d
f x x
bằng
A.
5
4
. B.
3
2
. C.
8
5
. D.
7
6
.
Lời giải
Chọn D
+) Áp dụng bất đẳng thức tích phân phân
2
2 2
d . d d
b b b
a a a
f x x g x x f x g x x
. Dấu
" "
xảy ra khi
f x kg x
với
k
là hằng số.
+) Ta có
2
1 1 1
2
0 0 0
d . d d
x f x f x x f x f x x
(1) nên từ giả thiết suy ra
1 1
2
0 0
1
2 d 3 d
3
f x f x x f x f x x
2
1
0
1
3 d
3
f x f x x
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
3
hay
2
1
0
1
3 d 0
3
f x f x x
1
0
1
d
3
f x f x x
và dấu
" "
ở (1) xảy ra, tức là
ta có
1
0
1
d
3
f x f x x
f x f x k
1
3
k . Từ đó tính được
3
3
3
x
f x suy
ra
1
3
0
7
d
6
f x x
. Chọn D.
Câu 4: Cho hàm số
f x
liên tục trên đoạn
0;1
và thỏa mãn
2 3
6
6
3 1
f x x f x
x
. Tính
1
0
d
f x x
A.
2
. B.
4
. C.
1
. D.
6
.
Lời giải
Chọn B
Ta có tính chất
1 1
0 0
f x dx f f x d f x
.
Theo bài ta có :
2 3
6
6
3 1
f x x f x
x
. Lấy tích phân 2 vế ta được :
1 1 1
2 3
0 0 0
6d
d 6 d
3 1
x
f x x x f x x
x
1 1 1
2 3 3
0 0 0
6d
d 2 d
3 1
x
f x x x f x x
x
1 1
0 0
6d
d 4
3 1
x
f x x
x
.
Câu 5: Cho hàm số
( )
f x
và
( )
g x
liên tục có đạo hàm trên
và thỏa mãn
0 . 2 0
f f và
( ). ( ) ( 2)
x
g x f x x x e
. Tính giá trị của tích phân
2
0
. ( )d
I f x g x x
.
A.
4
. B.
2
e
. C.
4
. D.
2
e
.
Lời giải
Chọn C.
Theo đề cho
0 . 2 0
f f suy ra
0 0
2 0
f
f
.
Ta có
( ). ( ) ( 2)
x
g x f x x x e
nên
(0). (0) 0 (0) 0.
g f g
(2). (2) 0 (2) 0.
g f g
Đặt
( ) ( )
( ) ( )
u f x du f x dx
dv g x dx v g x
.
2 2 2
2 2
0 0
0 0 0
. ( )d . ( ) ( ). ( )d . ( ) ( 2) d
x
I f x g x x f x g x g x f x x f x g x x x e x
2 . (2) 0 . (0) 4 4.
f g f g
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
4
Câu 6: Cho hàm số
( )
y f x
liên tục trên
và có đồ thị của
( )
f x
như hình vẽ.
Đặt
(0) (6) ( ) ( 2).
S f f f a f a
Tập giá trị của
S
chứa tối đa bao nhiêu số nguyên?
A.
22
. B.
23
. C.
24
. D.
25
.
Lời giải
Đáp án C.
Ta có hàm số
f
liên tục trên
và căn cứ vào đồ thị ta có
'( ) 2 0
, 0;6
4 '( ) 0
f x
x
f x
.
Suy ra
6
0 2
6
0 2
'( ) 2 4 '( ) 0
4 '( ) '( ) 2 0
a
a
a
a
f x dx f x dx
f x dx f x dx
Do đó
( ) (0) 2 4(4 ) (6) ( 2) 0
4 ( ) (0) (6) ( 2) 2(4 ) 0
f a f a a f f a
a f a f f f a a
16 2 0
2 8 0
a S
S a
Hay
2 8 16 2 .
a S a
Tuy nhiên các dấu “=” không xảy xa. Do vậy
2 8;16 2 .
D a a
Độ dài khoảng D bằng 24. Do đó khoảng D chứa tối da 24 số nguyên.
Câu 7. Cho hàm số
( )
y f x
liên tục trên đoạn
0;
a
, biết rằng với mọi
0;
x a
, ta
có
0
f x
và
2
.
f x f a x k
(với
k
là hằng số,
0
k
). Giá trị của tích phân
0
a
dx
k f x
bằng:
A.
a
k
. B.
2
a
k
. C.
2
ak
. D.
ak
Lời giải
Chọn B.
0
2
0 0 0
a a a
a
f t dt
dx dt dt
I
k
k f x k f a t
k k f t
k
f t
0 0 0
2
a a a
f t dt f t dt
kdt a
kI kI kI a I
k f t k f t k f t k
Câu 8. Cho hàm số
( )
y f x
liên tục trên đoạn
0;
a
, biết rằng với mọi
0;
x a
, ta
có
0
f x
và
. 1
f x f a x
.Giá trị của tích phân
0
1
a
dx
f x
bằng:
A.
a
. B.
2
a
. C.
2
a
. D.
ln( 1)
a a
.
Lời giải
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
5
Chọn B.
0
0 0 0
1
1 1
1
1
a a a
a
f t dt
dx dt dt
I
f x f a t
f t
f t
0 0 0
2
1 1
a a a
f t dt f t dt
dt a
I I I a I
k f t f t f t
.
Câu 9: Cho hàm số f(x) liên tục trên
[0;3]
và
1
0
( ) 2
f x dx
;
3
0
( ) 8
f x dx
. Giá trị của tích phân
1
1
|2 1|
f x dx
là:
A. 6. B. 3. C. 4. D. 5.
Lời giải
Chọn D.
Ta có:
1
2 1,
2
2 1
1
2 1,
2
x x
x
x x
nên
1
1
|2 1|
f x dx
=
0,5 1
1 0,5
2 1 (2 1)
f x dx f x dx E F
0,5
3
1 0
1
( 2 1)dx ( )
2
E f x f t dt
ta đổi biến
2 1,
t x
1 1
0,5 0
1
(2 1) ( ) ,
2
F f x dx f t dt
ta đổi biến
2 1,
t x
Vậy
1 3 1
1 0 0
1 1
|2 1| ( ) ( ) 1 4 5
2 2
f x dx f x dx f x dx
Câu 10: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên
[0;1]
thỏa mãn
1 3
f ,
1
2
0
4
[ '( )] d
11
f x x
và
1
4
0
7
d
11
x f x x . Giá trị của
1
0
d
f x x
là
A.
35
11
. B.
65
21
. C.
23
7
. D.
9
4
.
Lời giải
Chọn C.
Cách1: Xét
1
4
0
( )d
A x f x x
, Đặt
4
5
'( )dx
( )
1
d
5
du f x
u f x
dv x x
v x
1 1 1
5 5 5 5
0 0 0
1
1 1 7 3 1 7 2
( ) '( )d '( )d '( )d
0
5 5 11 5 5 11 11
A x f x x f x x x f x x x f x x
Lại có
1
10
0
1
d
11
x x
nên:
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
6
1 1 1
2
5 10
0 0 0
'( ) d 4 '( )d 4 d 0
f x x x f x x x x
1
2
5 5
0
'( ) 2 d 0 '( ) 2
f x x x f x x
6
10
( ) ( (1) 0)
3 3
x
f x C C do f
1
6
0
10 23
3 3 7
x
I dx
Cách 2: Trắc nghiệm
Từ
1
2
1
50
1
0
5
0
4
'( )
11
'( ) '( ) 2 0.
2
'( )
11
f x dx
f x f x x dx
x f x dx
Chọn
6
5
10 23
'( ) 2 ( ) .
3 3 7
x
f x x f x I
Câu 11: Xét hàm số
( )
f x
liên tục trên đoạn
0;1
và thỏa mãn 2 ( ) 3 (1 ) 1
f x f x x
. Tích
phân
1
0
( )d
f x x
bằng
A.
2
3
. B.
1
6
. C.
2
15
. D.
3
5
.
Lời giải
Chọn C.
Ta có: 2 ( ) 3 (1 ) 1
f x f x x
(1)
.
Đặt
1
t x
, thay vào
(1)
, ta được: 2 (1 ) 3 ( )
f t f t t
hay 2 (1 ) 3 ( )
f x f x x
(2)
.
Từ
(1)
&
(2)
, ta được:
3 2
( ) 1
5 5
f x x x
.
Do đó, ta có:
1
0
( )d
f x x
1 1
0 0
3 2
d 1 d
5 5
x x x x
2 4
5 15
2
15
.
Câu 12. Cho hàm số
f x
có đạo hàm trên
thỏa mãn
2017 2018
( ) 2018 ( ) 2018. .
x
f x f x x e
với
mọi
x
và
(0) 2018
f
. Tính giá trị
(1)
f
.
A.
2018
(1) 2019
f e
. B.
2018
(1) 2019
f e
. C.
2018
(1) 2018
f e
. D.
2018
(1) 2017.
f e
Lời giải
Chọn A
Ta có
2017 2018
( ) 2018 ( ) 2018. .
x
f x f x x e
2017
2018
( ) 2018 ( )
2018.
x
f x f x
x
e
1 1
2017
2018
0 0
( ) 2018 ( )
d 2018. d
x
f x f x
x x x
e
(1).
Xét
1 1 1
2018 2018
2018
0 0 0
( ) 2018 ( )
d ( ). d 2018. ( ). d
x x
x
f x f x
I x f x e x f x e x
e
Xét
1
2018
1
0
2018. ( ). d
x
I f x e x
. Đặt
2018 2018
( ) d ( )d
d 2018. d
x x
u f x u f x x
v e x v e
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
7
Do đó
1
1
2018 2018 2018
1
0
0
( ).( ) ( ). d (1). 2018.
x x
I f x e f x e x I f e
Khi đó từ (1) suy ra
1
2018 2018 2018
0
(1). 2018 (1) 2019.
I f e x f e
.
Câu 13. Cho hàm số
( )
f x
có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn
0;1
thỏa mãn
(0) 1
f
và
1 1
2
0 0
1
3 d 2 d
9
f x f x x f x f x x
.
Tính tích phân
1
3
0
d
f x x
.
A.
3
2
. B.
5
4
. C.
5
6
. D.
7
6
.
Lời giải
Chọn D.
Áp dụng BĐT Holder ta có:
2 2
1 1 1
2
2
0 0 0
1
9 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( ) ( )
9
f x f x dx f x f x dx f x f x dx
2
1 1
2 2
0 0
1
9 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 0
9
f x f x dx f x f x dx
2
1
2 2
0
1 1
9 ( ) ( ) 0 ( ) ( )
9 9
f x f x dx f x f x
3
( )
1
3 9
f x
x C
Vì
(0) 1
f
nên
1
.
3
C
Khi đó
3
1
( ) 1.
3
f x x
Vậy
1 1
3
0 0
1 7
( ) 1 .
3 6
f x dx x dx
Câu 14: Cho hàm số
y f x
liên tục trên
và thỏa mãn
2018 sin .
f x f x x x
Tính
2
2
?
I f x dx
A.
1
1009
B.
2
2019
C.
1
2019
D.
1
2018
Lời giải.
Chọn B
Theo giả thiết
2018 sin .
f x f x x x
2018 sin .
f x f x x x
suy ra
2
1
2018 1 ( ) 2017 sin .sin
2019
f x x x f x x x
.
Do đó
2 2
2 2
1 1
.sin . . cos
2019 2019
I x xdx x d x
2
2 2
2 2
2
1 1 2
cos cos . sin
2019 2019 2019
x x x dx x
.
Câu 15: Cho hàm số
y f x
có
f x
liên tục trên nửa khoảng
0;

thỏa mãn
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
8
2
3 1 .
x
f x f x e
Khi đó:
A.
3
2
1 1
1 0
2
1
e f f
e
B.
3
2
1 1
1 0
4
2 1
e f f
e
C.
2 2
3
1 1 8
1 0
3
e e
e f f
D.
3 2 2
1 0 1 1 8.
e f f e e
Lời giải
Chọn C.
Ta có
2
3 1
x
f x f x e
3 3 2 2
3 3
x x x x
e f x e f x e e
3 2 2
3.
x x x
e f x e e
Lấy Tích phân từ
0
đến
1
hai vễ ta được
1 1
3 2 2
0 0
( ) 3
x x x
e f x dx e e dx
1
3
1
3 2
0
0
1
( ) 3
3
x x
e f x e
2 2
3
1 1 8
1 0
3
e e
e f f
Câu 16. Cho hàm số
f x
có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn
0;1
đồng thời thỏa mãn
các điều kiện
'
0 1
f và
2
'
f x f x
. Đặt
1 0
T f f , hãy chọn khẳng định
đúng?
A.
2 1
T
. B.
1 0
T
. C.
0 1
T
. D.
1 2
T
.
Lời giải
Chọn B
Từ giả thiết ta có
'
2 2 '
' '
1
dx 1.dx dx 1.dx
d f x
f x
x c
f x
f x f x
Mà
'
0 1
f
nên
1
'
0
1
1
ln2
1
1
1
c
T
x
f x
x
Câu 17. [2D3-4] Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1
thỏa mãn
1 1
f ,
2
1
0
9
d
5
'
f xx
và
1
0
2
d
5
f x x
. Tính tích phân
1
0
d
I f x x
.
A.
3
5
I
. B.
1
4
I
. C.
3
4
I
. D.
343
48
.
Lời giải
Chọn B.
Đặt
2
2
t x x t dx tdt
. Đổi cận:
0 0
x t
;
1 1
x t
. Ta có
1
0
2
2 .
5
t f t dt
1
2 2
0
1
0
. '.
t t t f t t
f
d
2
1
0
1 . '
f t f t dt
2
1
0
1 . '
t f t dt
1
0
2
3
. '
5
t f t dt , hay
0
2
1
3
. '
5
x f x dx (1).
Hơn nữa ta có
2
1
0
9
d
5
'
f xx
(2) theo giả thiết và
1
4
0
1
5
x dx
(3).
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
9
Xét tích phân
2
2
2 2 4
1 1 1 1
0 0 0 0
' 3 ' 6 . ' 9
f x x dx f x dx x f x dx x dx
(1);(2);(3)
9 3 1
6. 9. 0
5 5 5
.
Mà
2
2
' 3
0
f x x
với mọi
0;1
x . Vậy
2
' 3
f x x
.
Do đó
3
f x x
C
. Lại có
1 1 0
f C . Vậy
3
f x x
.
Vậy
1
3
1
0 0
1
.
4
I f x dx x dx
Câu 18. Cho hàm số
( )
y f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[0;1]
đồng thời
(0) 0
f
;
(1) 1
f
và
1
2
2
0
1
'(x) 1 d
ln 1 2
f x x
. Tính tích phân
1
2
0
( )
d
1
f x
x
x
.
A.
2
1
ln 1 2
2
. B.
2
2 1
ln 1 2
2
. C.
1
ln 1 2
2
. D.
2 1 ln 1 2
.
Lời giải
Chọn C.
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
2
1 1 1
2
2
2
0 0 0
1
'(x) 1 d . d '( )d 1
1
f x x x f x x
x
.
Mặt khác
1
1
2 2
0
0
1 d ln 1 ln 1 2
|
x x x x
.
Vậy đẳng thức xảy ra, khi đó
4 2
4
2 2
'( ). 1 '( )
1 1
k k
f x x f x
x x
.
Vì
1
0
'( )d 1
f x x
nên
1
ln 1 2
k
.
Suy ra
1 1
2
1
0
2
0 0
( ) ( )
1
d ln 1 2 ( ) '( )d ln 1 2 ln 1 2
2 2
1
|
f x f x
x f x f x x
x
.
Câu 19: Cho hàm số
y f x
liên tục trên
\ 0; 1
thỏa:
2
1 , 0; 1
x x f x f x x x x và
1 2ln2.
f Biết
2 ln3 ,
f a b a b . Tính
2 2
?
a b
A.
3
4
. B.
13
4
. C.
1
2
. D.
9
2
.
Lời giải
Chọn D.
Ta có
1 1
x x f x f x x x
1
1
f x
f x
x x
2
1 1
1
f x
x x
f x
x x
x
.
1 1
x x
f x
x x
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
10
Vậy
2 2
2
1
1 1
2
. ln 1 2 ln3 1 ln 2 1 ln
1 1 3
x x
f x dx dx x x
x x
2 1 2 2 1 2
2 . 1 . 1 ln ln 3 2ln2 1 ln
3 2 3 3 2 3
f f a b
2 2
3
2 2 9
2
ln3 1 ln3 .
3
3 3 2
2
a
a b a b
b
Câu 20 : [THPT CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 4 - 2018] Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
3;3
và đồ thị hàm số
'
y f x
như hình vẽ bên. Biết
1 6
f và
2
1
2
x
g x f x . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Phương trình
0
g x có đúng hai nghiệm thuộc
3;3 .
B. Phương trình
0
g x có đúng một nghiệm thuộc
3;3 .
C. Phương trình
0
g x không có nghiệm thuộc
3;3 .
D. Phương trình
0
g x có đúng ba nghiệm thuộc
3;3 .
Lời giải
Chọn B.
Ta có
' ' 1
g x f x x
Dễ thấy từ hình vẽ ta có phương trình
' 0
g x có 3
nghiệm trên đoạn
3;3
là
3; 1; 3
.
Ta có
1 1 2 6 2 4 0
g f
3 3 8, 3 3 2.
g f g f
Ngoài ra ta có bảng biến thiên của hàm số
g x
như sau
Dựa vào đồ thị ta có diện tích hình
phẳng giới hạn bởi các đường
' ,
y f x
1,
y x
3, 1
x x
lớn
hơn diện tích hình thang
ABCD
là
6.
Do đó
1
3
' 1 6 1 3 6 3 0 3 2 2.
f x x dx f f f f
Hay
3 0
g .
Tương tự, diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
' ,
y f x
1,
y x
1, 3
x x
nhỏ hơn diện tích hình thang
EFGH
là
4.
Nên
3
1
1 ' 4 6 3 1 4 3 8 3 8 0.
x f x dx f f f f
Hay
3 0.
g
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
11
Vậy phương trình
0
g x có đúng một nghiệm thuộc
3;3 .
Câu 21: [THPT NGÔ QUYỀN HẢI PHÒNG - 2018] Cho hàm số
f x
liên tục trên
và có
2
1
d 1
f x x . Tính giới hạn của dãy số
1 3 6 4 3
. 1 ...
3 6 4 3
n
n n n n n n
u f f f f
n n n n n n n
A.
lim 2
n
u B.
2
lim
3
n
u . C.
lim 1
n
u . D.
4
lim
3
n
u .
Lời giải
Chọn B.
3 1
1 1 3 1 2.3 1
1 . 1 . 1 ... . 1
3 2.3
3 1
1 1
1
n
n
u f f f f
n n n nn
n n
n
1 3 1
1 1 3 1 2.3 1
. . 1 . 1 ... . 1
3 2.3
3 1
1 1
1
n
f n
u f f f
n n n n nn
n n
n
1 3 1
1 1 3 1 2.3 1
. . 1 . 1 ... . 1
3 2.3
3 1
1 1
1
n
f n
u f f f
n n n n n
n
n n
n
1
0
1
lim . 1 3 d
1 3
n
u f x x
x
Đặt
1 3
t x
suy ra
2
d d
3
x t t
Đổi cận
0 1; 1 2
x t x t
Suy ra
2
1
lim d
n
u f t t
.
Câu 22. Cho hàm số
f x
là một nguyên hàm của hàm số
g x
trên khoảng
3
;
4

và th
ỏa
mãn các điều kiện
2 2
2 6 8 1
f f ,
2
2
1
2 1 11
d
16
x
x
x f x
.
Tính tích phân
2
2
1
d .
f x g x
I f x x
x f x
A.
21
3ln 2
16
I . B.
21 3
ln2
32 2
I C.
21
ln 2
32
I D.
21 3
ln2
16 2
I
Lời giải
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
12
Chọn B
Ta có
2
2
2
1
2 2. .
2 d
f x f x f x
I x
x f x
Đặt
2
2
1
2 1
d
x
J x
x f x
. Khi đó:
2
2
2
1
2 1 2 2. .
2 d
x f x f x f x
J I x
x f x
2 2
2
1 1
1 2 .
11
2 2 d (1)
16
f x f x
I dx x
x f x
.
Xét
2
2
1
1 2 .
d
f x f x
K x
x f x
Ta có:
2
2 2
2
2
2 2
1
1 1
d
1 2 .
d ln
x f x
f x f x
K x x f x
x f x x f x
2 2
ln 2 2 ln 1 1
f f
Từ giả thiết suy ra :
2 2 2 2
ln 2 6 8 1 ln 1 1 ln 8 8 1 ln 1 1 ln8 3ln2
K f f f f
Thay vào (1) ta được:
11 21 21 3
2 2 3ln2 3ln2 ln2
16 16 32 2
I I
Câu 23. Cho hàm số
f x
có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn
0;1
đồng thời thỏa mãn các
điều kiện
'
0 1
f và
2
'
f x f x
. Đặt
1 0
T f f , hãy chọn khẳng định
đúng?
A.
2 1
T
. B.
1 0
T
. C.
0 1
T
. D.
1 2
T
.
Lời giải
Chọn B
Từ giả thiết ta có
'
2 2 '
' '
1
dx 1.dx dx 1.dx
d f x
f x
x c
f x
f x f x
Mà
'
0 1
f
nên
1
'
0
1
1
ln2
1
1
1
c
T
x
f x
x
Câu 24: Cho hàm số
f x
thỏa mãn
2
4
15 12
f x f x f x x x
,
x
và
0 0 1
f f . Giá trị của
2
1
f bằng ?
A.
9
2
. B.
5
2
. C.
10
. D.
8
.
Lời giải
Chọn D.
Ta có
2
f x f x f x f x f x
.
Do đó
f x f x
4
15 12 d
x x x
5 2
3 6
x x C
.
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
13
Mà
0 0 1
f f nên
f x f x
5 2
3 6 1
x x
.
Suy ra
d
f x f x x
5 2
3 6 1 d
x x x
.
Tức là
2
2
f x
6
3
2
2
x
x x C
, mà
0 1
f nên
2
2
f x
6
3
2 1
2
x
x x .
Vậy
2
1 8
f .
Câu 25: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1
và
0 1 0
f f . Biết
1
2
0
1
d
2
f x x
,
1
0
cos d
2
f x x x
. Tính
1
0
d
f x x
.
A.
. B.
1
. C.
2
. D.
3
2
.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
1 1 1
0 0 0
1
cos d cos d cos sin d
0
f x x x x f x f x x f x x x
1 1 1
0 0 0
1
1 0 sin d sin d sin d
2 2
f f f x x x f x x x f x x x
.
Áp dụng bất đẳng thức
2
2 2
d d . d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x
ta có:
2
1 1 1 1
2 2
0 0 0 0
1
1 1 1 cos2 1 sin2 1
sin d d . sin d d
0
4 2 2 2 2 4 4
x x x
f x x x f x x x x x
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
sin
f x k x
.
Từ đó ta có:
1 1 1
2
0 0 0
1
1 1 cos2 sin2
sin d sin d d 1
02 2 2 2 2
x k x k
f x x x k x x k x x k .
Suy ra
sin
f x x
.
Do đó
1 1
0 0
1
cos 2
sin .
0
x
f x dx xdx
Câu 26: Cho hàm số
f x
xác định trên
\ 1
thỏa mãn
3
'
1
f x
x
;
0 1
f và
1 2 2
f f . Giá trị của
3
f
bằng
A.
1 2ln 2
. B.
1 ln2
. C.
1
. D.
2 ln2
.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
' d
f x f x x
3
d
1
x
x
3ln 1
x C
1
2
3ln 1 1
3ln 1 1
x C khi x
f x
x C khi x
Theo giả thiết:
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
14
0 1
1 2 2
f
f f
1
1 2
1
3ln 2 2
C
C C
1
2
1
1 3ln2
C
C
3ln 1 1 khi 1
3ln 1 1 3ln2 khi 1
x x
f x
x x
Vậy
3 3ln2 1 3ln 2 1
f .
Câu 27: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên khoảng
0;

biết
2
2 3 0
f x x f x ,
0 0
f x x và
1
1
6
f . Tính giá trị của
1 1 2 3 ... 2017
P f f f f
.
A.
6059
4038
. B.
6055
4038
. C.
6053
4038
. D.
6047
4038
.
Lời giải
Chọn B
2
2 3 0
f x x f x
2 2
' '
2 3 d 2 3 d
f x f x
x x x x
f x f x
2
1
3
x x C
f x
2
1 1
1
4
3
f x f
C
x x C
Mà
1
1
6
f nên ta có
1 1
2
4 6
C
C
2
1 1 1
1 2
3 2
f x
x x
x x
1 1 2 3 ... 2017
P f f f f
1 1 1 1 1 1 1 1
1 ...
2 3 3 4 4 5 2018 2019
1 1 6055
1
2 2019 4038
.
Câu 28. Cho hàm số
f x
liên tục trên
và
2 16
f ,
2
0
d 4
f x x
. Tính
4
0
d
2
x
I xf x
.
A.
12
I
. B.
112
I
. C.
28
I
. D.
144
I
.
Lời giải
Chọn B
*) Đặt
2
2
2
x t
x
t
dx dt
; với
0 0; 4 2
x t x t
.
*)
2 2 2
2
0
0 0 0
2 2dt 4 4 | 4 dt
I tf t tdf t tf t f t
2
0
4.2. 2 4. d
f f x x
4.2.16 4.4 112
.
Câu 29: [2D3-3] Biết
F x
là một nguyên hàm của
f x
,
F x
và
f x
là các hàm liên tục trên
, thỏa mãn
2
1
1 1; 3 3
F x dx F
. Tính
3
0
I xf x dx
A.
8
I
. B.
9
I
. C.
10
I
. D.
11
I
.
Lời giải
Chọn A
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
15
*) Ta có :
2 2 3 3
1 1 0 0
1 1 1 ( 1) 1
F x dx F x d x F t dt F x dx
.
*)
3 3 3
3
0
0 0 0
| 3 3 1 8
I xf x dx xdF x xF x F x dx F
.
Câu 30: [2D3-3] Cho hàm số
f x
liên tục trên
và
1 2 0 2
f f ,
1
0
d 5
f x x
. Tính
3
0
6 d
3
x
I x f x
.
A.
61
I
. B.
63
I
. C.
65
I
. D.
67
I
.
Lời giải
Chọn B
*) Đặt
3
3
3
x t
x
t
dx dt
; với
0 0; 3 1
x t x t
.
*)
1 1 1
1
0
0 0 0
6 3 . .3 9 2 9 2 | 9 2
I t f t dt t df t t f t f t d t
1
0
9 1 2 0 9 9.2 9.5 63
f f f t dt
.
Câu 31: Cho hàm số
y f x
, liên tục trên
0;1
và thỏa mãn
1
0
1 ' 10
x f x dx
và
2 1 0 2
f f
. Tính
1
0
I f x dx
.
A.
12
I
. B.
8
I
. C.
12
I
. D.
8
I
.
Lời giải
Chọn D.
Đặt
1
'
u x du dx
dv f x dx v f x
.
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần và giả thiết bài toán, ta được:
1 1
0 0
1
10 1 ' 1 2 1 0 2
0
x f x dx x f x f x dx f f I I
2 10 8
I
.
Câu 32: Cho hàm số
f x
liên tục trên
và có
0 0
f ;
10
f x với mọi
x
. Tìm GTLN
mà
3
f có thể đạt được?
A.
30.
B.
10.
C.
60.
D.
20.
Lời giải
Chọn A
Vì
'
10 0
f x với mọi
x
nên:
3
0
10 dx 0
f x
3
0
10 0
x f x
10.3 3 10.0 0 0
f f
3 30
f
Vậy GTLN mà
3
f có thể đạt được là 30.
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
16
Câu 33: Cho hai hàm
f x
và
g x
có đạo hàm trên đoạn
1;4
và thỏa mãn hệ thức
1 1 4
. ' ; . '
f g
g x x f x x x g x
f
. Tính
d
4
1
I f x g x x
.
A.
8
ln 2
. B.
3
ln 2
. C.
6
ln2
. D.
4
ln2
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
d d
( ) ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) '( ) '( )
f x g x x f x g x f x g x x x f x g x x
.
d
( ) ( ) ( ) ( )
x f x g x f x g x x
( ) ( )
x f x g x C
( ) ( )
C
f x g x
x
Vì
(1) (1) 4
f g C C
d d
4 4
1 1
4
( ) ( ) =8ln2
x xI f x g x
x
.
Câu 34: Cho hàm số
f x
thỏa mãn
2
4
15 12
f x f x f x x x
,
x
và
0 0 1
f f . Giá trị của
2
1
f bằng ?
A.
9
2
. B.
5
2
. C.
10
. D.
8
.
Lời giải
Chọn D.
Ta có
2
f x f x f x f x f x
.
Do đó
f x f x
4
15 12 d
x x x
5 2
3 6
x x C
.
Mà
0 0 1
f f nên
f x f x
5 2
3 6 1
x x
.
Suy ra
d
f x f x x
5 2
3 6 1 d
x x x
.
Tức là
2
2
f x
6
3
2
2
x
x x C
, mà
0 1
f nên
2
2
f x
6
3
2 1
2
x
x x .
Vậy
2
1 8
f .
Câu 35: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1
và
0 1 0
f f . Biết
1
2
0
1
d
2
f x x
,
1
0
cos d
2
f x x x
. Tính
1
0
d
f x x
.
A.
. B.
1
. C.
2
. D.
3
2
.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
1 1 1
0 0 0
1
cos d cos d cos sin d
0
f x x x x f x f x x f x x x
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
17
1 1 1
0 0 0
1
1 0 sin d sin d sin d
2 2
f f f x x x f x x x f x x x
.
Áp dụng bất đẳng thức
2
2 2
d d . d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x
ta có:
2
1 1 1 1
2 2
0 0 0 0
1
1 1 1 cos2 1 sin2 1
sin d d . sin d d
0
4 2 2 2 2 4 4
x x x
f x x x f x x x x x
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
sin
f x k x
.
Từ đó ta có:
1 1 1
2
0 0 0
1
1 1 cos2 sin2
sin d sin d d 1
02 2 2 2 2
x k x k
f x x x k x x k x x k .
Suy ra
sin
f x x
.
Do đó
1 1
0 0
1
cos 2
sin .
0
x
f x dx xdx
Câu 36: Cho hàm số
f x
liên tục trên
và
2 16
f ,
2
0
d 4
f x x . Tính
4
0
d .
2
x
I xf x
A.
12.
I
B.
112.
I
C.
28.
I
D.
144.
I
Lời giải
Chọn B
Đăt
u x
,
d d
2
x
v f x
d d
u x
, 2
2
x
v f
Suy ra
4
4
0
0
2 2 d
2 2
x x
I xf f x
2
0
8 2 4 d
f f t t
112.
Câu 37 :Cho hàm số
( )
y f x
liên tục trên
và có đồ
thị
'( )
f x
như hình vẽ bên:
Biết
( ). ( ) 0
f a f b
hỏi đồ thị hàm số
( )
y f x
cắt trục hoành tại ít nhất bao nhiêu điểm?
A.
4
. B.
3
.
C.
2
. D.
1
.
Lời giải
Chọn C.
x
a
b
c
y
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
18
Từ đồ thị của
'( )
f x
ta có bảng biến thiên của hàm số
( )
y f x
sau đây:
x
'( )
f x
( )
f x
Theo đề ra và bảng biến thiên ta có:
( ). ( ) 0 ( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
f a f b f b
f a f b f a
Ta có:
'( )dx '( )dx '( )dx 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0

b c c
a b a
f x f x f x f c f a f c f a
.
Vì hàm số
( )
y f x
liên tục trên
nên
( )
y f x
liên tục trên
;
a b
và
( ). ( ) 0
f a f b
nên
tồn tại
1
;
x a b
sao cho
1
( ) 0
f x
.
Vì hàm số
( )
y f x
liên tục trên
nên
( )
y f x
liên tục trên
;
b c
và
( ). ( ) 0
f b f c
nên
tồn tại
2
;
x b c
sao cho
2
( ) 0
f x
.
Mặt khác
; ;
a b b c
nên đồ thị hàm số
( )
y f x
cắt trục hoành tại ít nhất tại hai
điểm.
Câu 38: Cho hàm số
f
có đạo hàm liên tục trên
1;8
và thỏa mãn
2 2 8 2
2
2
3 3 2
1 1 1 1
2
2 1
3
f x dx f x dx f x dx x dx
Tích phân
2
3
1
'
f x dx
bằng:
A.
8ln 2
27
. B.
ln 2
27
. C.
4
3
. D.
5
4
.
Lời giải
Chọn A.
Đặt
3 2
3
t x dt x dx
2 2 8 2
2
2
3 3 2
1 1 1 1
2
2 1
3
f x dx f x dx f x dx x dx

a
b
c

0
0
0
( )
f a
( )
f b
( )
f c
( )
f a
0
y
( )
f c
( )
f b
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
19
2
2 2
3 3
2
8 8 8
2 2 2
1 1 1
3 3 3
1 1
2 0
f t t t
f t
dt dt dt
t t t
2
2
8
3
1
1
3
1
0
f t t
dt
t
2 1
3 3
2
1 '
3
f t t f t t
2
2
3
1
1
8 8
' ln ln2
27 27
f x dx t .
Câu 39: Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1
và
0 1 0
f f . Biết
1
2
0
1
d
2
f x x
,
1
0
cos d
2
f x x x
. Tính
1
0
d
f x x
.
A.
. B.
1
. C.
2
. D.
3
2
.
Lời giải
Chọn C.
Đặt
cos d sin d
d d
u x u x x
v f x x v f x
. Khi đó:
1 1
1
0
0 0
cos d cos sin d
f x x x x f x f x x x
1 1 1
0 0 0
1
1 0 sin d sin d sin d
2
f f f x x x f x x x f x x x .
Cách 1: Ta có
1 1 1 1
2
2 2 2
0 0 0 0
sin d d 2 sin d sin d
f x k x x f x x k f x x x k x x
2
1
0 1
2 2
k
k k .
Do đó
1
2
0
sin d 0 sin
f x x x f x x
. Vậy
1 1
0 0
2
d sin d
f x x x x
.
Cách 2: Sử dụng BĐT Holder.
2
2 2
d d . d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x
.
Dấu “=” xảy ra
, ;
f x kg x x a b
.
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
20
Áp dụng vào bài ta có
2
1 1 1
2 2
0 0 0
1 1
sin d d . sin d
4 4
f x x x f x x x x
,
suy ra
sin
f x k x
.
Mà
1 1
2
0 0
1 1
sin d sin d 1 sin
2 2
f x x x k x x k f x x
.
Vậy
1 1
0 0
2
d sin d
f x x x x .
Câu 40: Cho hàm số
0
f x xác định, có đạo hàm trên
0;1
và thỏa mãn điều kiện
0
2
( ) 1 2018 ( )d
( ) ( )
x
g x f t t
g x f x
. Tính tích phân
1
0
( ) d
I g x x
A.
1009
2
I . B.
505
I
. C.
1011
2
I . D.
2019
2
I
Lời giải
Chọn C.
Từ giả thiết ta có
'( ) 2018 ( )
'( ) 2 '( ). ( )
g x f x
g x f x f x
2018 ( ) 2 ( ). '( )
f x f x f x
2 ( ) 1009 '( ) 0
f x f x
( ) 0
'( ) 1009
f x
f x
+ T/hợp
( ) 0
f x
(loại)
+ T/hợp
'( ) 1009 ( ) 1009
f x f x x C
Thay ngược lại ta được:
2
0
1 2018 1009 d 1009
x
t C t x C
2
2 2
0
1009
1 2018 1009 1
2
x
t Ct x C C
Suy ra
( ) 1009 1
f x x
loại vì
( ) 0 0;1
f x x
Hoặc
( ) 1009 1
f x x
Khi đó
1 1 1
0 0 0
1011
( ) d ( )d 1009 1 d
2
I g x x f x x x x
.
Câu 41: [THPT Chuyên Trần Phú, Hải Phòng, lần 2, 2018] Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục
trên đoạn
0;1
thỏa mãn
1 1
f ,
1
2
0
d 9
f x x
và
1
3
0
1
d
2
x f x x
. Tích phân
1
0
d
f x x
bằng
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
21
A.
2
3
. B.
5
2
. C.
7
4
. D.
6
5
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
4
1 1
3 1 4
0
0 0
1
d d
4 4
x f x
x f x x x f x x
1
4
0
d 1
x f x x
.
1 1 1 1
2
2
4 4 8
0 0 0 0
9 d d 18 d 81 d 0
f x x x f x x x f x x x x
4
9 0
f x x
5
9 14
5 5
x
f x
1
0
5
d
2
f x x
.
Câu 42:Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1
thỏa mãn
1 10
f ,
1
2
0
d 7
f x x
và
1
2
0
d 3
x f x x
. Tích phân
1
0
d
f x x
bằng:
A.
7
20
. B.
43
5
. C.
15
4
. D.
6
5
Câu 43: Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1
thỏa mãn
1 10
f ,
1
2
0
d 27
f x x
và
1
3
0
d 2
x f x x
. Tích phân
1
0
d
f x x
bằng:
A.
9
30
. B.
59
5
. C.
23
2
. D.
9
30
Câu 44: Cho hàm số
f x
xác định trên
\ 2;1
thỏa mãn
2
1
'
2
f x
x x
,
3 3 0
f f
và
1
0
3
f . Giá trị biểu thức
4 1 4
f f f
bằng:
A.
1 1
ln2
3 3
. B.
ln80 1
. C.
1 4
ln ln2 1
3 5
. D.
1 8
ln 1
3 5
.
Lời giải
Chọn A.
Ta có
2
2
dx
f x
x x
1 1 1
3 1 2
dx
x x
1 1
ln
3 2
x
C
x
.
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
22
Do hàm số
f x
không xác định tại
1; 2
x x
1
2
3
1 1
ln 2
3 2
1 1
ln 2 1
3 2
1 1
ln 1
3 2
x
C khix
x
x
f x C khi x
x
x
C khi x
x
3 3 0
f f
1 3
1 1 2
ln 4 ln 0
3 3 5
C C
1 3
1
ln10
3
C C .
1
0
3
f
2
1 1
ln 2
3 3
C
2
1 1
ln2
3 3
C .
4 1 4
f f f
1 2 3
1 5 1 1 1
ln ln2 ln
3 2 3 3 2
C C C
2 1 3
1 5 2
ln ln2
3 2 3
C C C
1 5 2 1 1 1
ln ln2 ln2 ln10
3 2 3 3 3 3
1 1 5 1
ln .4.2.
3 3 2 10
1 1
ln 2
3 3
.
Câu 45: Cho hàm số
y f x
xác định và liên tục trên
thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau
0,
f x x ,
2
. ,
x
f x e f x x và
1
0
2
f . Phương trinh tiếp tuyến của đồ thị tại
điểm có hoành độ
0
ln2
x
là:
A.
2 9 2ln2 3 0
x y
. B.
2 9 2ln2 3 0
x y
.
C.
2 9 2ln2 3 0
x y
. D.
2 9 2ln2 3 0
x y
.
Lời giải
Chọn A.
Ta có
2
.
x
f x e f x
2
x
f x
e
f x
ln2 ln2
2
0 0
d d
x
f x
x e x
f x
ln2
ln2
0
0
1
x
e
f x
1 1
1
ln2 0
f f
1
ln2
3
f .
Vậy
ln2 2
ln2 . ln2
f e f
2
1
2.
3
2
9
.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
2 1
ln 2
9 3
y x
2 9 2ln2 3 0
x y
.
Câu 46 : Cho hàm số
0
y f x xác định, có đạo hàm trên đoạn
0;1
và thỏa mãn:
2
0
1 2018 d , .
x
g x f t t g x f x
Tính
1
0
d .
g x x
A.
1011
.
2
B.
1009
.
2
C.
2019
.
2
D.
505.
Lời giải
Chọn A.
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
23
Ta có
0 1
g
0
1 2018 d
x
g x f t t
' 2018 2018
g x f x g x
'
2018
g x
g x
0 0
'
2018 d .
t t
g x
dx x
g x
2 1 2018
g t t
1009 1
g t t
1
0
1011
2
g t dt
.
Câu 47: Cho hàm số
2
3
0
3 3 3
x
f x f t f t dt
. Tính
'
f x
.
A.
' 2
f x . B.
3
' 1 2
f x
. C.
3
' 1 2
f x
. D.
' 2
f x .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đạo hàm hai vế ta được:
2 3 2
3
3 3 3 3 3 3
f x f x f x f x f x f x
3
3
1 2 1 2
f x f x
.
Câu 48: Cho hàm số
y f x
liên tục trên khoảng
1
;
2

thỏa mãn
2 1 11
x
a
x f t dt
.
Tìm
a
A. 120. B. 60. C. 121. D. 61.
Hướng dẫn giải
Chọn B
2 1 11
x
a
x f t dt
1
2 1
f x
x
Suy ra,
1 1
2 2
1
2 1 11 2 1
1
2 1 2
2 1
1 2 1
2
2 1
x
x x
a a
a
tx dt t
d x a
t
t
2 1 11 2 1 2 1 60
x x a a
Câu 49: Cho hàm số
y f x
liên tục trên R thỏa mãn
2
0
cos
x
f t dt x x
. Tính
4
f
A.
1
4
4
f . B.
4 1
f . C.
4 4
f . D.
4 2
f .
Hướng dẫn giải
Chọn A
2
0
cos
x
f t dt x x
2 2 2
. cos sin 2 cos sin
x f x x x x xf x x x x
Thay
2
x
vào hai vế ta được
1
4 4 1 4
4
f f .
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
24
Câu 50: Cho hàm số
y f x
thỏa mãn
1
, 0
f x x x
x
và
1 1
f
. Tìm giá trị nhỏ nhất
m
của
2
f .
A.
1
ln2
2
m . B.
2 2ln2
m
. C.
1 ln2
m
. D.
5
ln2
2
m .
Hướng dẫn giải
Chọn D
2 2
1 1
1 5
2 2 1 1 1 1 ln2
2
f f f f f x dx f x dx
x
5
ln2
2
m
Câu 51: Cho hàm số
y f x
liên tục trên R thỏa mãn
2
0
1
x
f x t f t dt
. Mệnh đề nào dưới
đây đúng ?
A.
1 2 2 3
f f f
. B.
1 2 2 3
f f f
.
C.
1 2 2 3
f f f
. D.
1 2 2 3
f f f
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đạo hàm hai vế ta được
2
2
1
1 0,
1
f x x f x f x x
x
1 2 3 3 2 3
f f f f f
Câu 52: Cho hàm số
y f x
nhận giá trị dương và có đạo hàm
f x
liên tục trên R thỏa mãn
2 22
0
2018
x
f x f t f t dt
. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
1 2018
f e
. B.
1 2018
f . C.
1 2018
f . D.
1 2018
f e
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
2 2 2
2 . 0 1
f x
f x f x f x f x f x f x f x f x
f x
ln
x C
f x x C f x e
Thử vào đẳng thức đã cho suy ra
2 2 2 2 2 2 2 2 2
0
0
2 2018 . 2018 2018 2018
x
x
C x C t C x C t C C
e e e e dt e e e e e e
Vậy
. 2018
x C x C x
f x e e e e
. Suy ra
1 2018
f e
.
Câu 53: Cho hàm số
y f x
nhận giá trị dương và có đạo hàm
f x
liên tục trên R thỏa mãn
2 2
2
0
2 4 2018
x
f x f t f t dt
. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
2
1 1009
f e
. B.
1 1009
f e
. C.
1 1009
f e
. D.
2
1 1009
f e
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
25
Đạo hàm hai vế ta được :
2 2 2
4 . 2 2 0
f x f x f x f x f x f x
2
f x f x
2
2 ln 2 .
x
f x
f x x C f x k e
f x
0
k
Thử vào đẳng thức đã cho suy ra
2 4 2 4 2 4 2 4 2
0
0
2 8 2018 2 2 . 2018 2 2018 1009
x
x
x t x t
k e k e dt k e k e k k
Vậy
2 2
1009 1 1009
x
f x e f e
Câu 54: (THPT Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh lần 3-2018) Cho hàm số
( )
f x
liên tục, có đạo hàm
đến cấp 2 trên
và
9
(0) 0, '(1)
2
f f ,
1
2
0
39
[ '( )]
4
f x dx
,
1
2
0
5
( ) "( ) .
2
x x f x dx
Tính tích phân
2
0
( )
I f x dx
.
A.
14
3
. B.14. C.
7
3
. D. 7.
Lời giải
Chọn D.
Chọn
2
9 9
( ) ax , (0) 0; '( ) 2 , '(1) 2
2 2
f x bx f f x ax b f a b (1)
1
2 2 2 2 2
0
4 39
[ '( )] ( ) ( ) 2
3 4
f x ax b ax b dx a ab b
(2)
Lại có:
1 1
2 2
0 0
5 5 5 3
"( ) 2 ( ) "( ) 2 ( )
3 3 2 2
a a
f x a x x f x dx a x x dx a
(3)
Thay (3) vào (1) ta được
9
2
b Từ đây thay
,
a b
vào (2) kiểm chứng (2) đúng.
Vậy ta tìm được
2
3
( ) ( )
2
f x x x
. Vậy
2 2
2
0 0
3
( ) (x ) 7
2
I f x dx x dx
Câu 55: Cho hàm số
f x
liên tục trên
thỏa mãn
1
,
f x x x
x
và
1 1.
f Tìm giá
trị nhỏ nhất của
2 .
f
A.
3.
B.
2.
C.
5
ln2.
2
D.
4.
Lời giải
Chọn C.
Theo giả thiết
1
,
f x x x
x
nên lấy tích phân hai vế với cận từ
1
đến
2
ta
được:
2 2
1 1
1 3
d d ln2.
2
f x x x x
x
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
26
Mà
2
2
1
1
d 2 1 2 1
f x x f x f f f
nên
3
2 1 ln2.
2
f
Suy ra
5
2 ln 2.
2
f
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
, 0.
f x x x
x
Suy ra
2
ln ,
2
x
f x x C
mà
1 1
f nên
1
.
2
C
Do đó
2
1
ln .
2 2
x
f x x
Vậy giá trị nhỏ nhất của
5
2 ln2
2
f
khi
2
1
ln .
2 2
x
f x x
Câu 56: Cho hàm số
f x
và
g x
thỏa mãn
'
' ' '' '
1 1 1; 2 2 1
x 0
1
1 .
f g f g f
f x g x g x f x f x
x
Tính tích phân
2
'
1
I=
f x g x
A.
3 1
ln2
4 2
I
. B.
3 1
ln2
4 2
I
. C.
3 1
ln2
4 2
I
. D.
3 1
ln2
4 2
I
.
Lời giải
Chọn D.
' ' '' '
1
1 .
f x g x g x f x f x
x
' ' '' '
.
x xf x g x g x xf x f x
'
' ' '
g x xf x xf x g x x
'
'
xf x g x x
2
'
2
x
xf x g x C
Do
'
1 1 1
f g nên
2
'
1
2 2
x
xf x g x hay
'
1
2 2
x
f x g x
x
Lấy tích phân cận từ 1 đến 2 ta được
2 2
'
1 1
3 1 1
ln2 d d
4 2 2 2
x
x f x g x x f x g x I
x
3 1
ln2
4 2
I .
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
27
Câu 57: Cho hàm số
( )
y f x
có đạo hàm liên
tục trên
3;3
. Hàm số
y f x
có đồ thị
như hình bên dưới.
Biết
1 6
f và
2
1
2
2
x
g x f x
. Kết
luận nào sau đây đúng về số nghiệm của
phương trình
0
g x trên
3;3
.
A.
2
. B.
1
.
C.
3
. D.
0
.
Lời giải
Chọn B.
Ta có
2
1
2
2
x
g x f x
.
( ) ( ) 1
g x f x x .
3
0 1
3
x
g x x
x
.
Bảng biến thiên
1 6 1 4
f g
Từ đồ thị suy ra
1
1
3
3
1 d 4 | 4 1 3 4 3 0
f x x x g x g g g
.
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
28
Ta cũng có
3
3
1
1
1 d 4 | 4 3 1 4 3 0
x f x x g x g g g
.
Suy đồ thị
y g x
cắt trục hoành tại một điểm thuộc
3;3
.
Câu 58: Cho hàm số
y f x
liên tục trên đoạn
1
;2
2
và thỏa mãn
1 3
2
f x f
x x
,
*
x
.
Tính tích phân
2
1
2
d
f x
I x
x
.
A.
3
2
I . B.
5
2
I . C.
15
4ln 2
8
I . D.
15
4ln 2
8
I .
Lời giải
Chọn A.
Đặt:
1
t
x
1
x
t
2
1
d d
x t
t
Đổi cận:
x
1
2
2
t
2
1
2
2
2
1
2
1
1
d
1
f
t
I t
t
t
2
1
2
1 1
d
f t
t t
2
1
2
1 1
d
f x
x x
2 2
1 1
2 2
1 1
3 2 d d
f x
I x f x
x x x
2
1
2
1 1
2 d
f x f x
x x
2
1
2
1 3
. d
x
x x
2
2
1
2
3
d
x
x
Câu 59: Cho hàm số
f x
xác định trên
\ 2;1
thỏa mãn
2
1
'
2
f x
x x
,
3 3 0
f f
và
1
0
3
f . Giá trị biểu thức
4 1 4
f f f
bằng:
A.
1 1
ln2
3 3
. B.
ln80 1
. C.
1 4
ln ln2 1
3 5
. D.
1 8
ln 1
3 5
.
Lời giải
Chọn A.
Ta có
2
2
dx
f x
x x
1 1 1
3 1 2
dx
x x
1 1
ln
3 2
x
C
x
.
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
29
Do hàm số
f x
không xác định tại
1; 2
x x
1
2
3
1 1
ln 2
3 2
1 1
ln 2 1
3 2
1 1
ln 1
3 2
x
C khix
x
x
f x C khi x
x
x
C khi x
x
3 3 0
f f
1 3
1 1 2
ln 4 ln 0
3 3 5
C C
1 3
1
ln10
3
C C .
1
0
3
f
2
1 1
ln 2
3 3
C
2
1 1
ln2
3 3
C .
4 1 4
f f f
1 2 3
1 5 1 1 1
ln ln2 ln
3 2 3 3 2
C C C
2 1 3
1 5 2
ln ln2
3 2 3
C C C
1 5 2 1 1 1
ln ln2 ln2 ln10
3 2 3 3 3 3
1 1 5 1
ln .4.2.
3 3 2 10
1 1
ln 2
3 3
.
Câu 60: Cho hàm số
y f x
xác định và liên tục trên
thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau
0,
f x x ,
2
. ,
x
f x e f x x và
1
0
2
f . Phương trinh tiếp tuyến của đồ thị tại
điểm có hoành độ
0
ln2
x
là:
A.
2 9 2ln2 3 0
x y
. B.
2 9 2ln2 3 0
x y
.
C.
2 9 2ln2 3 0
x y
. D.
2 9 2ln2 3 0
x y
.
Lời giải
Chọn A.
Ta có
2
.
x
f x e f x
2
x
f x
e
f x
ln2 ln2
2
0 0
d d
x
f x
x e x
f x
ln2
ln2
0
0
1
x
e
f x
1 1
1
ln2 0
f f
1
ln2
3
f .
Vậy
ln2 2
ln2 . ln2
f e f
2
1
2.
3
2
9
.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
2 1
ln 2
9 3
y x
2 9 2ln2 3 0
x y
.
Câu 61 : Cho hàm số
0
y f x xác định, có đạo hàm trên đoạn
0;1
và thỏa mãn:
2
0
1 2018 d , .
x
g x f t t g x f x
Tính
1
0
d .
g x x
A.
1011
.
2
B.
1009
.
2
C.
2019
.
2
D.
505.
Lời giải
Chọn A.
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
30
Ta có
0 1
g
0
1 2018 d
x
g x f t t
' 2018 2018
g x f x g x
'
2018
g x
g x
0 0
'
2018 d .
t t
g x
dx x
g x
2 1 2018
g t t
1009 1
g t t
1
0
1011
2
g t dt
.
Câu 62: Cho hàm số
f x
xác định trên
\ 1;1
và thỏa mãn
2
1
1
f x
x
,
3 3 0
f f
và
1 1
2
2 2
f f
. Tính giá trị của biểu thức
2 0 4
P f f f
.
A.
9
ln 1
5
P . B.
6
1 ln
5
P . C.
1 9
1 ln
2 5
P . D.
1 6
ln
2 5
P .
Lời giải
Chọn C.
Ta có hàm số xác định trên các khoảng
; 1 1;1 1;
 
.
Khi đó
1
2
3
1 1
ln 1
2 1
1 1
ln 1 1
2 1
1 1
ln 1
2 1
x
C x
x
x
f x C x
x
x
C x
x
.
Dễ thấy
3 ; 1

;
1 1
;0; 1;1
2 2
;
3;4 1;

.
Nên
1
1
3 ln 2
2
f C
;
2
1 1
ln3
2 2
f C
;
2
0
f C
;
2
1 1
ln3
2 2
f C
;
3
1
3 ln 2
2
f C
và
3
1 3
4 ln
2 5
f C
.
Ta có
0 4
P f f
2 3
1 3
ln
2 5
C C
2 3
1 3
ln
2 5
C C
.
Mặt khác
1 1
2
2 2
f f
2 2 2
1 1
ln3 ln3 2 1
2 2
C C C .
Và
3 3 0
f f
1 3 1 3
1 1
ln2 ln 2 0 0
2 2
C C C C .
2 0 4
P f f f
1 2 3
1 1 3
ln 3 ln
2 2 5
C C C
1 9
1 ln
2 5
.
Câu 63 : Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1
thỏa mãn
1 0
f và
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
31
1 1
2
2
0 0
1
d 1 e d
4
x
e
f x x x f x x . Tính tích phân
1
0
d
I f x x
.
A.
2 e
I
. B.
e 2
I
. C.
e
2
I . D.
e 1
2
I .
Lời giải
Chọn B.
Xét
1
0
1 e d
x
A x f x x
Đặt
d 1 d
x
u f x
v x e x
d d
e
x
u f x x
v x
Suy ra
1
1
0
0
e e d
x x
A x f x x f x x
1
0
d
x
xe f x x
1
2
0
1
d
4
x
e
xe f x x
Xét
1
2 2
0
d
x
x e x
1
2 2
0
1 1 1
2 2 4
x
e x x
2
1
4
e
Ta có :
1 1 1
2
2 2
0 0 0
d 2 d d 0
x x
f x x xe f x x x e x
1
2
0
d 0
x
f x xe x
Suy ra
0, 0;1
x
f x xe x (do
2
0, 0;1
x
f x xe x
)
x
f x xe
1
x
f x x e C
Do
1 0
f nên
1
x
f x x e
Vậy
1 1
1
0
0 0
d 1 d 2 2
x x
I f x x x e x x e e
.
Câu 64 : Cho hàm số
y f x
liên tục trên
0;
và
2
0
d .sin
x
f t t x x
. Tính
4
f
A.
4
f
. B.
2
f
. C.
4
f
. D.
1
2
f
.
Lời giải
Chọn B.
Ta có
d
f t t F t
F t f t
2
0
d .sin
x
f t t x x
2
.sin
0
x
F t x x
2
0 .sin
F x F x x
2
.2 sin .cos
F x x x x x
2
.2 sin .cos
f x x x x x
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
32
4
2
f
Câu 65: [Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2018] Cho
F x
là một nguyên hàm của hàm số
( ) 1 1
f x x x
trên tập
và thảo mãn
1 3
F . Tính tổng
0 2 3
T F F F .
A.
8
. B.
12
. C.
14
. D.
10
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
2 khi 1
2 khi 1 1
2 khi 1
x
f x x x
x
.
Hàm
f x
có nguyên hàm là
2
2 khi 1
khi 1 1
2 khi 1
x m x
F x x n x
x p x
.
Vì
1 3
F nên
1
m
.
Hàm
F x
liên tục tại
1
x
nên suy ra
2
n
.
Hàm
F x
liên tục tại
1
x
nên suy ra
1
p
.
Vậy ta có
0 2 3 2 5 7 14
T F F F .
Câu 66: [Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2018] Cho hàm số
f x
có đạo hàm
f x
liên tục trên
và thỏa mãn
1;1
f x với
0;2
x . Biết
0 2 1
f f . Đặt
2
0
d
I f x x
,
phát biểu nào dưới đây đúng?
A.
;0

I
. B.
0;1
I
. C.
1;

I
. D.
0;1
I
.
Lời giải.
Chọn C
Ta có
2 1 2
0 0 1
d d d
I f x x f x x f x x
.
Đặt
d d
d d 1
u f x u f x x
v x v x
.
Khi đó:
+
1 1 1 1
1
0
0 0 0 0
1
d 1 1 d 1 1 d 1 1 d
2
f x x x f x x f x x x f x x x x .
+
2 2 2 2
2
1
1 1 1 1
1
d 1 1 d 1 1 d 1 1 d
2
f x x x f x x f x x x f x x x x
.
Vậy
1
I
.
Câu 67: [THPT Chuyên LQĐ, LAI CHÂU, lần 1, 2018] Cho hai hàm
f x
và
g x
có đạo hàm
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
33
trên đoạn
1;4
và thỏa mãn hệ thức hệ thức sau với mọi
1;4
x
1 2 1 2
1 1 2 1
' . ; ' .
( ) ( )
f g
f x g x
g x f x
x x x x
. Tính
4
1
( ). ( )
I f x g x dx
.
A.
4ln 2
. B.
4
. C.
2ln 2
. D.
2
.
Lời giải
Chọn B.
Từ giả thiết ta có
1
'( ). ( ) f x g x
x x
và
2
'( ). ( ) g x f x
x x
, suy ra
1
'( ). ( ) '( ). ( ) f x g x g x f x
x x
, hay
1
( ). ( )
f x g x
x x
.
Do đó
1 2
.
f x g x dx C
x x x
. Lại có
1 . 1 2.1 2
f g nên
0
C
.
4 4
1 1
2
( ). ( ) x x=4
I f x g x d d
x
.
Câu 68: [ Phạm Minh Tuấn, lần 3, năm 2018- Câu 38]
Cho hàm số xác định trên
\ 1;4
thỏa mãn
2 2
2 5 3
,
5 4 2 10 8
x
f x f x
x x x x
1
2 ,
6
f
0 2ln4 1,
f
2 2ln2 1
f và
1
5 ln 4.
2
f
Tính
4 1 4 3 8 ;
Q f f f
A.
1
8ln 5 ln7 2ln2
2
Q . B.
1
8ln5 ln7 2ln 2
2
Q .
C.
1
8ln 5 ln7 2ln2
2
Q . D.
1
8ln 5 ln7 2ln 2
2
Q .
Lời giải
Chọn B
Ta có
2 2
2 5 3
5 4 2 10 8
x
f x f x
x x x x
2
3
2 5 5 4
2
x f x x x f x
2 2
3 3
5 4 5 4
2 2
x x f x x x f x dx
2
3 3
5 4
2
2 4 1 4 1
x C
x x f x x C f x
x x x x
Mà
1
2
6
f
1 1
0
6 18 6
c
C
Vậy
3 3 1
2ln 4 ln 1
2
2 4 1 2 4 1
x x
f x f x dx x x C
x x x x
Xét trên
;1
 ta có
0 2ln4 1
f
1
2ln 4 ln1 2ln 4 1 1
2
C C
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
34
4 1 8ln5 2ln2 4
f
Xét trên
1;4
ta có
2 2ln2 1
f
1
2ln 2 ln1 2ln2 1 1
2
C C
4 3 8ln1 2ln2 4 2ln2 4
f
Xét trên
4;

ta có
1
5 ln 4
4
f
1 1
2ln1 ln4 ln4 ln4
2 2
C C
1 1
8 2ln4 ln7 ln 4 3ln4 ln7
2 2
f
Vậy
1
4 1 4 3 8 8ln5 ln7 2ln2
2
Q f f f
.
Câu 69. [ Phạm Minh Tuấn, lần 3, năm 2018- Câu 49]
Cho hàm số
( )
f x
dương và có đạo hàm liên tục trên
0; 1
thỏa mãn
1
0 4 1
16
f f ,
0 0; 1
f x x và
1
3
0
1
1 . dx=
8
x f x
,
3
1
2
0
1
dx=
64
f x
f x
. Tính tích phân
1
0
dx
f x
.
A.
1
24
. B.
1
32
. C.
1
8
. D.
1
4
Lời giải.
Chọn B.
Ta có:
1 1
1
3 3 2
0
0 0
1 ( )dx= 1 3 1 dx
x f x x f x x f x
mà
1
0 4 1 ,
16
f f
1
3
0
1
1 . dx=
8
x f x
Nên
1
2
0
1
1 dx=
16
x f x
.
Vì
0
f x ,
0 0; 1
f x x nên
3
2
0
f x
f x
;
1 0
x f x
0; 1
x
1
2
0
1
1 dx
16
x f x
1
2
2
3
2
3
0
1 . ' dx
f x
x f x
f x
3
2
1 1
3
3
3
2
0 0
dx. 1 dx
f x
x f x
f x
2
3
3
1 1 1
.
64 8 16
Dấu
" "
xảy ra khi và chỉ khi
3
3
2
1
f x
k x f x
f x
3
1 1
1
f x
x
f x
k
3
1
ln ln 1
f x x C
k
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
35
Do
1
0
4
f ,
1
1
16
f nên
1
ln
4
C ,
3
1
2
k
2
1
1
f x
x
1
0
1
dx
32
f x
Câu 50. THPT ĐẶNG THÚC HỨA LẦN 1- 2018
Cho hàm số
( )
f x
có đạo hàm liên tục trên
0; 1
thỏa mãn
1 1
f ,
0 0; 1
f x x và
1
2
0
9
dx=
5
f x
,
1
0
2
dx=
5
f x
. Tính tích phân
1
0
dx
I f x
.
A.
3
5
I
. B.
1
4
I
. C.
3
4
I
. D.
1
5
I
| 1/35

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO – PHẦN I
Nội dung live – trợ giúp kì thi THPT Quốc Gia 2018.
Bài tập có sưu tập từ nguồn đề của các trường trên toàn Quốc và của các quý thầy cô trong
nhóm Vận Dụng Cao.
File giải chỉ trình bày theo cách tự luận để các em hiểu bản chất. Kỹ thuật tính nhanh và Casio
các em xem ở bài live.    Câu 1:
Cho hàm số y f x xác định trên đoạn 0;  thỏa mãn 2      2     2 2  f xf x 2    2 2 sin x  dx    
. Tích phân  f xdx bằng   4  2 0  0   A. . B. 0 . C. 1 . D. . 4 2 Lời giải Chọn B  2     +) Đặt I  2
  f x  2 2 f xsin x  d   x . Ta có   4 0    2        2    I  2  2
f x  2 2 f x 2 sin x   2 sin x  d     x  2 sin x  d    x   4   4  4 0  0    2 2     2    I   2
f x  2 sin x  d   x  2 sin x  d    x   4  4 0  0     2    2      2 1      2 +) Có 2 2 sin x  dx    1  o c s 2x   
  dx   1  sin 2xdx 2  x  cos2  x |    4  0   2  2 2 0  0   0   2 2   2     +) Mà I
suy ra   f x  2 sin x  dx  0   (1). 2   4 0  b
+) Áp dụng kết quả: Nếu f x liên tục và không âm trên đoạn  ; a b 
 thì  f xdx  0 . a
Dấu "  " xảy ra khi f x  0 với mọi x  a; b   .      
Từ (1) suy ra f x  2 sin x   0 
hay f x  2 sin x  . 4       4    2 2        +) Do đó  d   f x x 2 sin x  dx    2  2cos x   |   0 . Chọn B.  4  0  4 0 0   Câu 2.
(Đề tham khảo của BGD năm 2018) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 1 1 1 2 1 đoạn 0;1 2 
 thỏa mãn f 1  0 ,  
f x dx  7   và  d   x f x x . Tích phân  d  f x x 3 0 0 0 bằng 7 7 A. . B. 1 . C. . D. 4 . 5 4 1
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 Lời giải Chọn A u  1 1  f x d  u f   xdx 1 +) Đặt 2 3 3    , khi đó 3
x f xdx x . f x  x f   xdx 2 d 3  v  3x d 0  xv   x 0 0 1 1
+) Ta có 1  f 1 3  x f  
xdx suy ra 3 
x f xdx  1 . 0 0 2  bb b
+) Áp dụng bất đẳng thức tích phân phân   f xgx 2
x    f x 2 d d .
x g xdx. Dấu    aa a
"  " xảy ra khi f x  kg x với k là hằng số. 2 1  bb b 7 x Ta có 3 1  x f   
xdx  x x f    x 2 6 d .  dx  7
 1 . Dấu "  " xảy ra khi      7 aa a 0 1 1 f x 3 
kx với k là hằng số. Mà 3 
x f xdx  1 hay 6 d  1  kx x suy ra k  7  . 0 0 7 7
+) Vậy f  x 3
 7x nên f x 4  
x c mà f 1  0 nên f x   4 1 x  suy ra 4 4 1   7 d   f x x . Chọn A. 5 0
Câu 3. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 
 thỏa mãn f 0  1 và 1 1 1 f  
xf x  x f   3  x  2 f x 1 2 d 3  dx . Tích phân  d  f x x bằng  9  0 0  0 5 3 8 7 A. . B. . C. . D. . 4 2 5 6 Lời giải Chọn D 2 b bb
+) Áp dụng bất đẳng thức tích phân phân 2  f x 2 d .
x g xdx    f xgxdx . Dấu   a aa
"  " xảy ra khi f x  kgx với k là hằng số. 2 1 1 1   +) Ta có d . x f    x 2
f xdx f   
xf xdx (1) nên từ giả thiết suy ra   0 0  0  2 1 1 1 1   1 2 f  
xf xdx  3  f   x 2
f x dx    
 3  f xf xdx  3   3 0 0  0  2
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 2 1  1  1 1 hay 3 
  f xf xdx    0  
f xf xdx  và dấu "  " ở (1) xảy ra, tức là  3   3 0  0 1  
 f xf x 1 dx   1 x  3 ta có 3  0  k
. Từ đó tính được f x 3  suy  3 3
f xf x   k  1 7 ra 3  d   f x x . Chọn D. 6 0
Câu 4: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0;1 2 3 6 
 và thỏa mãn f x  6x f x   . Tính 3x  1 1  d  f x x 0 A. 2 . B. 4 . C. 1 . D. 6 . Lời giải Chọn B 1 1
Ta có tính chất f xdx  
f f xdf x . 0 0 6
Theo bài ta có : f x 2  6x f  3 x  
. Lấy tích phân 2 vế ta được : 3x  1 1 1 1 x 1 1 1 6dxf x 2
x   x f  3 x  6d d 6 dx  
  f x 2
dx  2 x f  3 x d 3 x    0 0 0 3x  1 0 0 0 3x  1 1 1 x
  f x 6d dx   4  . 0 0 3x  1
Câu 5: Cho hàm số f (x) và (
g x) liên tục có đạo hàm trên  và thỏa mãn f 0. f 2  0 và 2 ( ). (  )  (  2) x g x f x x x
e . Tính giá trị của tích phân I   f x.g (x)dx . 0 A. 4 . B. e  2 . C. 4 . D. 2  e . Lời giải Chọn C. f   0  0
Theo đề cho f 0. f 2  0 suy ra  . f   2  0  Ta có ( ). (  )  (  2) x g x f x x x e nên ( g 0). f (
 0)  0  g(0)  0 . ( g 2). f (  2)  0  ( g 2)  0.
u f (x)
du f  (x)dx Đặt    . dv g (  x)dx
v g(x)   2 2 2 2 2
   . ( )d   . ( )  ( ). ( )d    . ( )  (  2) d  x I f x g x x f x g x g x f x x f x g x x x e x 0 0 0 0 0  f 2. (
g 2)  f 0. ( g 0)  4  4. 3
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
Câu 6: Cho hàm số y f (x) liên tục trên  và có đồ thị của f (
x) như hình vẽ.
Đặt S f (0)  f (6)  f ( )
a f (a  2). Tập giá trị của S chứa tối đa bao nhiêu số nguyên? A. 22 . B. 23 . C. 24 . D. 25 . Lời giải Đáp án C.
f '(x)  2  0
Ta có hàm số f liên tục trên  và căn cứ vào đồ thị ta có  ,x  0; 6 . 4 f '(x) 0      a 6
  f '(x)2dx  4 f '(x)dx   0        Suy ra 0 a2  a 6
 4  f '(x) dx   f '(x)  2 dx  0         0 a2
f (a)  f (0)  2a  4(4  a)  f (6)  f (a  2)  0 1
 6  2a S  0 Do đó   
4a f (a)  f (0)  f (6)  f (a  2)  2(4  ) a  0 
S  2a  8  0 
Hay 2a  8  S  16  2 . a
Tuy nhiên các dấu “=” không xảy xa. Do vậy D  2a  8;16  2a.
Độ dài khoảng D bằng 24. Do đó khoảng D chứa tối da 24 số nguyên. Câu 7.
Cho hàm số y f (x) liên tục trên đoạn 0;a , biết rằng với mọi x 0;a , ta
có f x  0 và f xf a x 2 .
k (với k là hằng số, k  0 ). Giá trị của tích phân a dx  bằng: k f x 0   a a ak A. . B. . C. . D. ak k 2k 2 Lời giải Chọn B. a 0 a a dx dt dt
f t dt I         
k f x
k f a t k k k f t a   2 0 0 0   
k f ta   a a f t dt kdt
f t dt akI
kI kI    a I     k f t k f t k f t 2k 0   0   0   Câu 8.
Cho hàm số y f (x) liên tục trên đoạn 0;a , biết rằng với mọi x 0;a , ta a dx
có f x  0 và f x. f a x 1.Giá trị của tích phân  bằng: 0 1  f xa A. a . B. . C. 2a .
D. a ln(a 1) . 2 Lời giải 4
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 Chọn B. a 0 a a dx dt dt
f t dt I         1  0 1  f xa 1 
f a t  0 0  1 1  f t   f t a   a a f t dt dt
f t dt aI   I I    a I     . k f t 1 f t 1 f t 2 0   0   0   1 3
Câu 9: Cho hàm số f(x) liên tục trên [0;3] và ( )  2  f x dx ; ( )  8  f x dx
. Giá trị của tích phân 0 0 1
f |2x 1  | dx là: 1  A. 6. B. 3. C. 4. D. 5. Lời giải Chọn D.  1 2
x  1,x    Ta có: 2 2x  1   nên 1
2x  1,x    2 1 0 ,5 1
f |2x 1  | dx = f  2
x  1dx
f (2x  1)dx E    F 1 1  0,5 0,5 3 1 E
f (2x  1)dx  f (t)  
dt ta đổi biến t  2  x  1, 2 1 0 1 1 1 F
f (2x  1)dx f (t)dt,  
ta đổi biến t  2x  1, 2 0,5 0 1 3 1 1 1
Vậy  f |2x 1  | dx
f (x)dx
f (x)dx  1  4  5   2 2 1 0 0 1 4
Câu 10: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn f 1  3 , 2 [ '( )] d   f x x 11 0 1 7 1 và 4  d   x f x x . Giá trị của  d  f x x là 11 0 0 35 65 23 9 A. . B. . C. . D. . 11 21 7 4 Lời giải Chọn C. 1
du f '(x)dx u   f (x)  Cách1: Xét 4
A x f (x)d  x , Đặt    4 1 5
dv x dx v x 0    5 1 1 1 1 1  5 1 5 7 3 1 5 7 5 2 A x f (x) 
x f '(x)dx   
x f '(x)dx
x f '(x)dx     5 0 5 11 5 5 11 11 0 0 0 1 1 Lại có 10d   x x nên: 11 0 5
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 1 1 1 2 5 10
f '(x) dx  4 x f '(x)dx  4 x dx  0      0 0 0 1
  f '(x)  2x 2 5 5
dx  0  f '(x)  2x 0 6 x 10  f (x)   C C
(do f (1)  0) 3 3 1 6  x 10  23  I   dx     3 3 7 0  
Cách 2: Trắc nghiệm 1  2 4
f '(x) dx     1  11 Từ 0 5  
f '(x)  f '(x)  2x dx  0. 1    5   2 0
x f '(x)dx   11  0 6 x Chọn 5 10 23 f '(x)  2
x f (x)    I  . 3 3 7
Câu 11: Xét hàm số f (x) liên tục trên đoạn 0;1 
 và thỏa mãn 2 f (x)  3 f (1  x)  1  x . Tích 1 phân ( )d  f x x bằng 0 2 1 2 3 A. . B. . C. . D. . 3 6 15 5 Lời giải Chọn C.
Ta có: 2 f (x)  3 f (1 x)  1  x (1) .
Đặt t  1  x , thay vào (1) , ta được: 2 f (1  t)  3 f (t)  t hay 2 f (1  x)  3 f (x)  x (2) . 3 2
Từ (1) & (2) , ta được: f (x)  x  1 x . 5 5 1 1 1 3 2 2 4 2 Do đó, ta có: ( )d  f x x x dx  1 x d   x    . 5 5 5 15 15 0 0 0
Câu 12. Cho hàm số f x có đạo hàm trên  thỏa mãn 2017 2018 ( )  2018 ( )  2018. . x f x f x x e với
mọi x   và f (0)  2018 . Tính giá trị f (1) . A. 2018 f (1)  2019e . B. 2018 f (1) 2019   e . C. 2018 f (1)  2018e . D. 2018 f (1)  2017.e Lời giải Chọn A f (
x)  2018 f (x) Ta có 2017 2018 (  )  2018 ( )  2018. . x f x f x x e 2017   2018.x 2018x e 1 1 f (
x)  2018 f (x) 2017  dx  2018.x d  x (1). 2018xe 0 0 1 1 1 f (
x)  2018 f (x) Xét 2018x 2018 I  dx f (  x).e
dx  2018. f (x). x e d  x 2018 x   e 0 0 0 1
u f (x) d  u    f (  x)dx Xét 2018  2018. ( ). d   1  x I f x e x . Đặt  2018x 2018 d xv  2018.e d  xv  e 0  6
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 1 1 Do đó 2  018 x 2018x 2018
I f (x).(e )  f (  x).e
dx I f (1).e  2018. 1  0 0 1 Khi đó từ (1) suy ra 2018 2018 2018
I f (1).e  2018  x
f (1)  2019.e . 0
Câu 13. Cho hàm số f (x) có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn 0;1 
 thỏa mãn f (0)  1 và 1 1  1 3 f
  x  f x 2 1 3   dx  2 f   x     
xf xdx . Tính tích phân  f   d   x .  9 0  0 0 3 5 5 7 A. . B. . C. . D. . 2 4 6 6 Lời giải Chọn D.
Áp dụng BĐT Holder ta có: 2 2 1 1 1   2 1     2 9  f (
x)  f (x)     dx  4  f (
x) f (x)dx   4 f (x) f (x)   dx   9   0    0  0 2 1 1     2 1 2  9  f (
x) f (x)  
dx  4 f (
x) f (x)dx  0    9 0   0 2 1   3 f (x) 2 1 2 1 1  9  (  ) ( )    0  (  ) ( )   f x f x dx f x f x   x C 9 9  3 9 0  1
Vì f (0)  1 nên C  . Khi đó 3 1 f (x)  x  1. 3 3 1 1 3  1  7
Vậy  f (x) dx x  1 dx  .       3   6 0 0
Câu 14: Cho hàm số y f x liên tục trên  và thỏa mãn f x  2018 f x  xsin . x Tính  2
I   f xdx?   2 1 2 1 1 A. B. C. D.  1009 2019 2019 2018 Lời giải. Chọn B
Theo giả thiết f x  2018 f x  x sin .
x f x  2018 f x  xsin . x 1 suy ra  2
2018  1 f (x)  2017xsin x f x  . x sin x . 2019   2 2 1 1 Do đó I  . x sin . x dx   . 
x dcos x 2019 2019     2 2     2 1   1  2 2 2   x cos x  cos . x dx  sin x   . 2019    2019    2019  2   2   2 
Câu 15: Cho hàm số y f x có f x liên tục trên nửa khoảng 0;    thỏa mãn 7
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404      2 3  1 x f x f x e . Khi đó: 1 1 1 1 A. 3
e f 1  f 0    B. 3
e f 1  f 0    2 2 e  1 2 4 2 e  1 e  1 e  1  8 3  2  2
C. e f 1  f 0   D. 3
e f    f     2 e   2 1 0 1 e  1  8. 3 Lời giải Chọn C. Ta có   x     2 3  1    x f x f x e 3  x   3  x    2x 2 3  x e f x e f x e e  3 3     2 x 2   x e f x e e  3.  
Lấy Tích phân từ 0 đến 1 hai vễ ta được 1 1 1 3 1 3x  2x 2 x 1  ( )  x e f x dx e e  3  3 2  e f x x    dx ( )  e  3   0   3 0 0 0
 2e 1 2e 1  8 3
e f 1  f 0   3
Câu 16. Cho hàm số f x có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn 0;1 
 đồng thời thỏa mãn 2 các điều kiện ' f 0  1 và '  f x   f x  
. Đặt T f 1  f 0 , hãy chọn khẳng định đúng?
A. 2  T  1 .
B. 1  T  0 .
C. 0  T  1 .
D. 1  T  2 . Lời giải Chọn B f  x '
d f x    1 Từ giả thiết ta có dx  1.dx  dx  1.dx   x      c    2     2 ' ' '  f x f x f x      c  1 1  1 Mà ' f 0  1  nên   T     ln 2 '   f x 1   x  1 0  x  1
Câu 17. [2D3-4] Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 
 thỏa mãn f 1  1 , 1 1 2 1  '  f x 2 9  dx    và  d   f x x
. Tính tích phân I   f xdx . 5 5 0 0 0 3 1 3 343 A. I  . B. I  . C. I  . D. . 5 4 4 48 Lời giải Chọn B. Đặt 2
t x x t dx  2tdt . Đổi cận: x  0  t  0 ; x  1  t  1 . Ta có 1 2 1 1 1 1  2 .
t f tdt 2
t . f t 2  t . f ' 
tdt f 1 2  t . f '  tdt 2  1  . '
t f tdt 5 0 0 0 0 0 1 1 2 3    3 . '  t f t dt , hay 2 . '    x f x dx (1). 5 5 0 0 1 9 1 1 Hơn nữa ta có  '  f x 2  dx  4   (2) theo giả thiết và   x dx (3). 5 5 0 0 8
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 Xét tích phân 1 1 1 1 (1);( 2);( 3) 9 3 1  2
f 'x  3x dx   f '  x 2 2 2
dx  6 x . f '  x 4 dx  9    x dx   6.  9.  0 . 5 5 5 0 0 0 0
Mà  f x  x 2 2 ' 3
 0 với mọi x  0;1 
 . Vậy f x 2 '  3x .
Do đó f x 3
x C . Lại có f 1  1  C  0 . Vậy f x 3  x . 1 1 1
Vậy I   f x 3
dx x dx  .  4 0 0
Câu 18. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] đồng thời f (0)  0 ; f (1)  1 và 1 1 2 f (x) 2 1  f '(x) 1 x dx     . Tính tích phân d  x . 2 0 ln 1 2  0 1  x 1 2  1 1 A. 2 ln 1 2  . B. 2
ln 1 2 . C. ln1 2 . D.  2   1 ln 1 2 . 2 2 2 Lời giải Chọn C.
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có 2 1 1 1 2   2 1  f '(x) 1  x d . x dx    
f '(x)dx  1   . 2 0 0 1  x  0  1 1 Mặt khác 2 1  d  ln  x x  2
x  1 x   ln 1 2 . 0 |   0 k k
Vậy đẳng thức xảy ra, khi đó 4 2
f '(x). 1  x   f '(x)  . 4 2 2 1 x 1 x 1 1 Vì '( )d  1  f x x nên k  . 0 ln 1 2  1 1 2 f (x) f (x) 1 1 Suy ra dx  ln 
1 2 f(x) f '(x)dx ln  1 2  ln 1  2 . 0 | 2   2 2 0 1  x 0 Câu 19: Cho hàm số
y f x liên tục trên   \ 0;   1 thỏa:
x x   f x  f x 2 1
x x,x  0;   1 và f 1  2
 ln 2. Biết f 2  a bln 3 a,b . Tính 2 2
a b  ? 3 13 1 9 A. . B. . C. . D. . 4 4 2 2 Lời giải Chọn D.
Ta có xx  1 f  x  f x  xx   1 f xx f xx
f x 
 1  f x   xx  1 x  x  2 1 x  1 1 
f xx x  .   x 1   x    1 9
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 2  2 2  x x 2
Vậy  f x. dx dx   
x  ln x 1   2  ln3 1 ln 2  1 ln 1 x  1 x    1 3 1 1
f   2  f   1 2 2    a b  1    2 2 . 1 . 1 ln ln 3 2 ln 2  1  ln 3 2 3 3 2 3  3 a  2 2   2 2 2 9 
a b ln 3  1  ln 3    a b  . 3 3 3 2 b     2
Câu 20 : [THPT CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 4 - 2018] Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 3; 3 
 và đồ thị hàm số y f ' x như hình vẽ bên. Biết f 1  6 và x  2 1
g x  f x 
. Mệnh đề nào sau đây đúng? 2
A. Phương trình g x  0 có đúng hai nghiệm thuộc  3  ; 3 .  
B. Phương trình g x  0 có đúng một nghiệm thuộc 3; 3 .  
C. Phương trình g x  0 không có nghiệm thuộc 3; 3 .  
D. Phương trình g x  0 có đúng ba nghiệm thuộc 3; 3 .   Lời giải Chọn B.
Ta có g'x  f 'x  x  1
Dễ thấy từ hình vẽ ta có phương trình g'x  0 có 3
nghiệm trên đoạn 3; 3   là 3; 1; 3 .
Ta có g 1  f  
1  2  6  2  4  0
g 3  f 3  8, g 3  f  3    2.
Ngoài ra ta có bảng biến thiên của hàm số g x như sau
Dựa vào đồ thị ta có diện tích hình
phẳng giới hạn bởi các đường
y f 'x , y x  1, x  3, x  1 lớn
hơn diện tích hình thang ABCD là 6. Do đó 1  '
f x x 1 dx  6  f 1  f 3  6  f 3  0  f  3    2  2.   3 Hay g  3    0 .
Tương tự, diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f 'x , y x  1,
x  1, x  3 nhỏ hơn diện tích hình thang EFGH là 4. 3 Nên   1  '  x
f x dx  4  6  f 3  f 1  4  f 3  8  f 3  8  0.   Hay g 3  0. 1 10
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
Vậy phương trình g x  0 có đúng một nghiệm thuộc 3; 3 .  
Câu 21: [THPT NGÔ QUYỀN HẢI PHÒNG - 2018] Cho hàm số f x liên tục trên  và có 2
f xdx  1 . Tính giới hạn của dãy số 1 1        n n n n n n u   f f f f n    3  6 4  3 . 1        ...    n 3   n n 6   n n 4n 3       n         2 4 A. lim u  2 B. lim u  . C. lim u  1. D. lim u  . n n 3 n n 3 Lời giải Chọn B.   1  1  3  1  2.3  1  3n   1  u   f f f f n 1  .  1    .  1   ...  .  1  n 3   n 2.3    n 3n  1  n  1    1    1     n n n    f 1 1  1  3  1  2.3  1  3n 1   u   .  . f  1    . f  1   ...  .  f 1   n n n 3   n 2.3    n 3n  1  n  1    1    1     n n n    f     1 1  1 3 1 2.3 1  3n 1       u   . . f  1    . f  1   ...  . f 1     nn n 3   n 2.3      n  3n 1   n    1 1  1     n n n  1 1  lim u  . f x x n   13 d 0 1  3x 2
Đặt t  1  3x suy ra dx tdt 3
Đổi cận x  0  t  1; x  1  t  2 2 2 2 Suy ra lim u f t t . n  d   3 3 1  3 
Câu 22. Cho hàm số f x là một nguyên hàm của hàm số gx trên khoảng ;   và thỏa 4    2 2 2 2x  1 11
mãn các điều kiện  f 2  6  8  f   1      , dx   .
x   f x 2 16 1   
2 f x  g x Tính tích phân I f x d .  x 2  
1 x   f x   21 21 3 21 21 3 A. I   3 ln 2 . B. I   ln 2 C. I   ln 2 D. I   ln 2 16 32 2 32 16 2 Lời giải 11
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 Chọn B
2  f x 2 2
  2. f x. f x Ta có 2   I  d  x
x   f x 2 1    2 2 2x  1
2 2x  1  2  f x  2. f x. f x Đặt J    d 
x . Khi đó: J  2I  d  x 2
x   f x 2 1 
x   f x    1     2 2 11
1  2 f x. f x 
 2I  2dx  dx (1)   . 16
x   f x 2 1 1   
2 1 2 f x. f x Xét K  d  x
x   f x 2 1   
1  2 f x. f x 2 2
2 d x f x 2 Ta có:   2 K  dx   ln x   f x 2  2   x f x x f x 1   1   1   2
f     2 ln 2 2 ln 1 f 1 Từ giả thiết suy ra : K
   f   2    
  f   2    
  f   2      f   2 ln 2 6 8 1 ln 1 1 ln 8 8 1 ln 1 1      ln 8  3 ln 2 11 21 21 3
Thay vào (1) ta được: 2I  2   3 ln 2   3 ln 2  I   ln 2 16 16 32 2
Câu 23. Cho hàm số f x có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn 0;1 
 đồng thời thỏa mãn các 2 điều kiện ' f 0  1  và '  f x   f xT f    . Đặt
1 f 0 , hãy chọn khẳng định đúng?
A. 2  T  1 .
B. 1  T  0 .
C. 0  T  1 .
D. 1  T  2 . Lời giải Chọn B f  x '
d f x    1 Từ giả thiết ta có dx  1.dx  dx  1.dx   x      c    2     2 ' ' '  f x f x f x      c  1 1  1 Mà '
f 0  1 nên   T     ln 2 '   f x 1   x  1 0  x  1 2
Câu 24: Cho hàm số f x thỏa mãn  f x  f x f  x 4
 15x  12x , x   và
f 0  f 0  1 . Giá trị của 2 f 1 bằng ? 9 5 A. . B. . C. 10 . D. 8 . 2 2 Lời giải Chọn D. 2 
Ta có  f x f x   f x  f x f  x .
Do đó f x f x   4
15x  12xdx 5 2
 3x  6x C . 12
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
Mà f 0  f 0  1 nên f x f x 5 2
 3x  6x  1 .
Suy ra  f x f xdx   5 2
3x  6x  1dx . 2 f x 6 2 x f x 6 x Tức là 3 
 2x x C , mà f 0  1 nên 3 
 2x x  1 . 2 2 2 2 Vậy 2 f 1  8 .
Câu 25: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 
 và f 0  f 1  0 . Biết 1 1 1 2   1  d   f x x ,    cos d   f x x x . Tính  d  f x x . 2 2 0 0 0 1 2 3 A.  . B. . C. . D. .   2 Lời giải Chọn C. 1 1 1 1
Ta có f xcosxdx  cosxdf x  f x cosx   f xsin     xdx 0 0 0 0 1 1 1
f   f   f x  xx f x  x           x   f x x 1 1 0 sin d sin d sin dx     . 2 2 0 0 0 2  bb b
Áp dụng bất đẳng thức  f xgx 2
x   f x 2 d d .
x g xdx ta có:  aa a 2 1 1 1 1 1   1 1  cos 2x 1  x sin 2x  1
  f x x 2
x   f x 2 x  x 1 sin d d . sin dx  dx     4 2 2 2  2 4      0 4 0 0 0 0 .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f x  k sin x . Từ đó ta có: 1 1 1 1 1  cos 2x k  sin 2x  1 k
  f x 2 sin  d x x k sin 
xdx k dx x    k  1  . 2 2 2  2    0 2 0 0 0
Suy ra f x  sin x . 1 1 cos x 1 2
Do đó  f xdx  sin xdx    .   0  0 0
Câu 26: Cho hàm số f x xác định trên   \  1 
thỏa mãn f x 3 '  ; f 0  1 và x  1
f 1  f  2
   2 . Giá trị của f 3 bằng A. 1  2 ln 2 . B. 1  ln 2 . C. 1 . D. 2  ln 2 . Lời giải Chọn C. 3
Ta có f x  f '
 xdx  d 
x  3ln x  1  C x  1 3 ln 
x 1C khi x  1  f x 1   3 ln 
x 1  C khi x  1  2 Theo giả thiết: 13
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404   f 0  1 C  1 C  1 1 1       f   1  f  2    2
3 ln 2  C C  2 C  1  3 ln 2   1 2  2 3ln 
x 1 1 khi x  1 
f x   3ln 
x 1  1 3ln 2 khi x  1 
Vậy f 3  3 ln 2  1  3ln 2  1.
Câu 27: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên khoảng 0;  biết
f x   x   2 2
3 f x  0 ,
f x  0 x  0 và f   1 1  . Tính giá trị của 6
P  1 f 1  f 2  f 3  ...  f 2017 . 6059 6055 6053 6047 A. . B. . C. . D. . 4038 4038 4038 4038 Lời giải Chọn B f 'x  f 'x
f x   x    f x 2 2 3   0     2x  3  dx  2x  3 dx 2  2     f x  f x     1 2 1 1 
x  3x C f x   f 1  2   f x
x  3x C 4  C 1 1 1 1 1 Mà f   1 1  nên ta có 
C  2  f x    6 4  C 6 2 x  3x  2 x  1 x  2
P  1 f 1  f 2  f 3  ...  f 2017 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6055  1        ...    1    . 2 3 3 4 4 5 2018 2019 2 2019 4038 2 4  x
Câu 28. Cho hàm số f x liên tục trên  và f 2  16 ,  f xdx  4 . Tính I xf  d    x . 0 0  2 
A. I  12 . B. I  112 . C. I  28 . D. I  144 . Lời giải Chọn B xx  2t *) Đặt t   
; với x  0  t  0; x  4  t  2 . 2 dx  2  dt 2 2 2 *) I  2tf  
t2dt  4 tdf t  4tf t 2| 4 f t dt 0    0 0 0 2
 4.2. f 2  4. f xdx  4.2.16  4.4  112 . 0
Câu 29: [2D3-3] Biết F x là một nguyên hàm của f x , F x và f x là các hàm liên tục trên  2 3
, thỏa mãn  F x  
1 dx  1; F 3  3 . Tính I   xf xdx 1 0
A. I  8 . B. I  9 . C. I  10 . D. I  11 . Lời giải Chọn A 14
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 2 2 3 3
*) Ta có : 1   F x 1dx  F x 1 (
d x  1)   F tdt   F xdx  1. 1 1 0 0 3 3 3
*) I   xf xdx   xdF x  xF x 3|  F x dx  3F 3 1  8 . 0      0 0 0 1
Câu 30: [2D3-3] Cho hàm số f x liên tục trên  và f 1  2 f 0  2 ,  f xdx  5 . Tính 0 3 x I      6  xf  d   x . 0  3  A. I  61. B. I  63 . C. I  65 . D. I  67 . Lời giải Chọn B xx  3t *) Đặt t   
; với x  0  t  0; x  3  t  1 . 3 dx  3  dt 1 1 1
*) I   6  3t. f t.3dt  9 2 tdf t  9 2 tf t 1 | 9 f t d 2    t 0      0 0 0 1
 9  f 1  2 f 0  9 f tdt  9.2  9.5  63    . 0 1
Câu 31: Cho hàm số y f x , liên tục trên 0;1 
 và thỏa mãn  x  1f ' xdx  10 và 0 1
2 f 1  f 0  2 . Tính I   f xdx . 0 A. I  12 . B. I  8 . C. I  12 . D. I  8 . Lời giải Chọn D. u x  1  du    dx Đặt    .
dv f 'xdx v     f x 
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần và giả thiết bài toán, ta được: 1 1 1 10   x  
1 f 'xdx   x  
1 f x   f xdx  2 f 1 f 0  I  2  I 0   0 0
I  2  10  8 .
Câu 32: Cho hàm số f x liên tục trên  và có f 0  0 ; f  x  10 với mọi x   . Tìm GTLN
mà f 3 có thể đạt được? A. 30. B. 10. C. 60. D. 20. Lời giải Chọn A 3 Vì '
10  f x  0 với mọi x   nên: 10   
f x dx  0   0 3  1
 0x f x  0  1
 0.3  f 3  1
 0.0  f 0  f 3    0      30 0
Vậy GTLN mà f 3 có thể đạt được là 30. 15
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
Câu 33: Cho hai hàm f x và g x có đạo hàm trên đoạn 1; 4 
 và thỏa mãn hệ thức  4  f   1  g   1  4  . Tính I  
f x  gx d   x .
g x   .
x f 'x ; f x   . x g'x  1 A. 8 ln 2 . B. 3 ln 2 . C. 6 ln 2 . D. 4 ln 2 . Lời giải Chọn A
Ta có f (x)  g(x)  x f '(x)  g'(x)   f (x)  (
g x) dx  x f '(x)  g '(x) d         x . C
 x f (x)  (
g x)   f (x)  g(x) d     
x  x f (x)  ( g x)   
C f (x)  g(x)   x
Vì f (1)  g(1)  C C  4  4 4 4
I   f (x)  g(x) dx  dx=8ln2     . x 1 1 2 Câu 34: Cho hàm số
f x thỏa mãn  f x  f x f  x 4
 15x  12x , x   và
f 0  f 0  1 . Giá trị của 2 f 1 bằng ? 9 5 A. . B. . C. 10 . D. 8 . 2 2 Lời giải Chọn D. 2
Ta có  f x f x 
  f x  f x f  x .
Do đó f x f x   4
15x  12xdx 5 2
 3x  6x C .
Mà f 0  f 0  1 nên f x f x 5 2
 3x  6x  1 .
Suy ra  f x f xdx   5 2
3x  6x  1dx . 2 f x 6 2 x f x 6 x Tức là 3 
 2x x C , mà f 0  1 nên 3 
 2x x  1 . 2 2 2 2 Vậy 2 f 1  8 .
Câu 35: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 
 và f 0  f 1  0 . Biết 1 1  1 2   1 d   f x x ,    cos d   f x x x . Tính  d  f x x . 2 2 0 0 0 1 2 3 A.  . B. . C. . D. .   2 Lời giải Chọn C. 1 1 1 1
Ta có f xcosxdx  cosxdf x  f xcosx   f xsin     xdx 0 0 0 0 16
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 1 1 1
f   f   f x  xx f x  x           x   f x x 1 1 0 sin d sin d sin dx     . 2 2 0 0 0 2  bb b
Áp dụng bất đẳng thức  f xgx 2
x   f x 2 d d .
x g xdx ta có:  aa a 2 1 1 1 1 1   1 1  cos 2x 1  x sin 2x  1
  f x x 2
x   f x 2 x  x 1 sin d d . sin dx  dx     4 2 2 2  2 4      0 4 0 0 0 0 .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f x  k sin x . Từ đó ta có: 1 1 1 1 1  cos 2x k  sin 2x  1 k
  f x 2 sin  d x x k sin 
xdx k dx x    k  1  . 2 2 2  2    0 2 0 0 0
Suy ra f x  sin x . 1 1 cos x 1 2
Do đó  f xdx  sin xdx    .   0  0 0 2 4  x
Câu 36: Cho hàm số f x liên tục trên  và f 2  16 ,  f xdx  4 . Tính I xf  d .   x  2  0 0  A. I  12. B. I  112. C. I  28. D. I  144. Lời giải Chọn B x   x
Đăt u x , dv f  d 
x  du  dx , v  2 f 2       2  4 4   x    x  2 Suy ra I  2xf      2 f d 
x  8 f 2  4 f tdt  112. 2     2    0  0 0
Câu 37 :Cho hàm số y f (x)liên tục trên  và có đồ y
thị f '(x) như hình vẽ bên:
Biết f (a). f (b)  0 hỏi đồ thị hàm số y f (x)
cắt trục hoành tại ít nhất bao nhiêu điểm? a b c x A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1 . Lời giải Chọn C. 17
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
Từ đồ thị của f '(x) ta có bảng biến thiên của hàm số y f (x) sau đây: x  a b c  f '(x)  0  0  0  f b ( ) f (x) f (a) f (c) f (b)
Theo đề ra và bảng biến thiên ta có:
f (a). f (b)  0  f (b)  0 y  0    
f (a)  f (b) f (a)  0   f (a) f (c) b c c
Ta có: f '(x)dx   f '(x)dx 
f '(x)dx  0 
f (c)  f (a)  0 
f (c)  f (a)  0    . a b a
Vì hàm số y f (x) liên tục trên  nên y f (x) liên tục trên a; b 
 và f (a). f (b)  0 nên
tồn tại x a; b sao cho f (x )  0 . 1   1
Vì hàm số y f (x) liên tục trên  nên y f (x) liên tục trên b; c 
 và f (b). f (c)  0 nên
tồn tại x b; c sao cho f (x )  0 . 2   2 Mặt khác  ;
a b  b; c   nên đồ thị hàm số y f (x) cắt trục hoành tại ít nhất tại hai điểm.
Câu 38: Cho hàm số f có đạo hàm liên tục trên 1  ; 8   và thỏa mãn 2 2 8 2   f x  2
dx   f x  2 2 dx
f xdx   x 12 3 3 2 dx   3 1 1 1 1 2 3 Tích phân  '  f x   dx bằng: 1 8 ln 2 ln 2 4 5 A. . B. . C. . D. . 27 27 3 4 Lời giải Chọn A. Đặt 3 2
t x dt  3x dx 2 2 8 2   f x  2
dx   f x  2 2 dx
f xdx   x 12 3 3 2 dx   3 1 1 1 1 18
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 2 2 2     2 f t 3 3 1 t 1    t  8  f t 8 8    dt 2       dt dt  0  2  2  2 1 3 1 3 1 3 t t t 2 2   8 f t 3  1   t   dt  0   1  1 3    t  2 1 2 2 3 8 8  f t 2 3
t  1  f 't 3  t   '
f x dx  ln t  ln 2 . 3   27 27 1 1
Câu 39: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 
 và f 0  f 1  0 . Biết 1 1  1 2   1 d   f x x ,    cos d   f x x x . Tính  d  f x x . 2 2 0 0 0 1 2 3 A.  . B. . C. . D. .   2 Lời giải Chọn C.
u  cos x d
u  sin    xdx Đặt    . Khi đó:
dv f xdx v     f x  1 1
f xcosxdx  cosxf x 1   f xsin    xdx 0 0 0 1 1 1
   f    f     f x
xx   f x
xx f x x 1 1 0 sin d sin d sin dx     . 2 0 0 0 1 1 1 1 2 Cách 1: Ta có 
f x  k sinx 2
 dx   f xdx  2kf xsinx 2 2 dx k sin  xd   x 0 0 0 0 2 1 k   k   0  k  1 . 2 2 1 1 1 2 2 Do đó 
f x  sinx dx  0  f x  sinx  
. Vậy  f xdx  sin 
xdx  .  0 0 0
Cách 2: Sử dụng BĐT Holder. 2  bb b
 f xgx 2
x   f x 2 d d .
x g xdx .  aa a
Dấu “=” xảy ra  f x  kg x ,x  a; b   . 19
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 2 1 1 1 1   1 Áp dụng vào bài ta có
  f xsinx 2
dx   f x 2 d . x sin 
xdx  , 4 4  0  0 0
suy ra f x  k sin x . 1 1 1 1
Mà f x sin x 2 dx
k sin xdx
k  1  f x  sin    x . 2 2 0 0 1 1 2
Vậy  f xdx  sin 
xdx  .  0 0
Câu 40: Cho hàm số f x  0 xác định, có đạo hàm trên 0;1 
 và thỏa mãn điều kiện  x
g(x)  1  2018 f (t)d  t 1 
. Tính tích phân I
g(x) dx 0   2
g(x)  f (x) 0  1009 1011 2019 A. I  . B. I  505 . C. I  . D. I 2 2 2 Lời giải Chọn C.
g '(x)  2018 f (x) Từ giả thiết ta có 
 2018 f (x)  2 f (x). f '(x)
g '(x)  2 f '(x). f (x)   f (x)  0  2 f (x) 1
 009  f '(x)  0  
  f '(x) 1009 
+ T/hợp f (x)  0 (loại)
+ T/hợp f '(x)  1009  f (x)  1009x C x
Thay ngược lại ta được: 1  2018 1
 009t C  dt   1009x    C 2 0 x  1009   1  2018 t Ct   
1009x C2 2 2  C  1  2  0
Suy ra f (x)  1009x  1 loại vì f (x)  0x  0;1  
Hoặc f (x)  1009x  1 1 1 1 1011 Khi đó I  (
g x) dx f (x)dx  1009x  1dx     . 2 0 0 0
Câu 41: [THPT Chuyên Trần Phú, Hải Phòng, lần 2, 2018] Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 1 1 1 2 1 trên đoạn 0;1 3 
 thỏa mãn f 1  1 ,  
f x dx  9   và  d   x f x x . Tích phân  d  f x x 2 0 0 0 bằng 20
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 2 5 7 6 A. . B. . C. . D. . 3 2 4 5 Lời giải Chọn B 1 4 x f x 1 3   1 1
Ta có  x f x 1 4 dx  
x f x dx 4  
x f xdx  1. 0    4 4 0 0 0 1 1 1 1  2
f x  9x  dx   f   x 2 4 4
 dx  18 x f   x 8
dx  81 x dx  0  f     x 4  9x  0 0 0 0 0 5 x 1 5  f x 9 14      d   f x x . 5 5 2 0
Câu 42:Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 
 thỏa mãn f 1  10 , 1 1 1    f x 2  dx  7 2  
và  x f xdx  3 . Tích phân  d  f x x bằng: 0 0 0 7 43 15 6 A. . B. . C. . D. 20 5 4 5
Câu 43: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 
 thỏa mãn f 1  10 , 1 1 1    f x 2  dx  27 3  
và  x f xdx  2 . Tích phân  d  f x x bằng: 0 0 0 9 59 23 9 A.  . B. . C. . D. 30 5 2 30 1
Câu 44: Cho hàm số f x xác định trên   \ 2  ; 
1 thỏa mãn f 'x  , f  3
   f 3  0 2 x x  2 và f   1 0 
. Giá trị biểu thức f 4  f 1  f 4 bằng: 3 1 1 1 4 1 8 A. ln 2  . B. ln 80  1. C. ln  ln 2  1 . D. ln  1 . 3 3 3 5 3 5 Lời giải Chọn A. dx 1  1 1  1 x  1
Ta có f x      ln  C . 2  dx x    x  2 3 x  1 x   2  3 x  2 21
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404  1 x  1 ln  C khi x  2   1 3 x  2    1 x  1
Do hàm số f x không xác định tại x  1; x  2
  f x   ln
C khi  2  x  1 2 3 x  2   1 x  1  ln  C khi x  1 3  3 x  2  1 1 2 1
f 3  f 3  0  ln 4  C  ln  C  0 C C   ln 10 . 1 3 3 3 5 1 3 3 1 1 1 1 f   1 0    ln 2  C   C   ln 2 . 3 2 3 3 2 3 3 1 5 1 1 1 1 5 2
f 4  f  
1  f 4  ln  C  ln 2  C  ln  C
ln  ln 2  C C C 1 2 3 3 2 3 3 2 2 1 3 3 2 3 1 5 2 1 1 1 1 1  5 1  1 1 
ln  ln 2   ln 2  ln10   ln .4.2.   ln 2 . 3 2 3 3 3 3 3 3  2 10    3 3
Câu 45: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau
f x  0,x   , f xx 2
 e . f x ,x   và f   1 0 
. Phương trinh tiếp tuyến của đồ thị tại 2
điểm có hoành độ x  ln 2 là: 0
A. 2x  9y  2 ln 2  3  0 .
B. 2x  9y  2 ln 2  3  0 .
C. 2x  9y  2 ln 2  3  0 .
D. 2x  9y  2 ln 2  3  0 . Lời giải Chọn A. ln 2 f x ln 2  f  x ln 2    ln 2 1 Ta có   2   x f x
e . f x    x e   d  x e dx      x e  2   x f x 2 f x
f x  0 0    0     0 1 1    1  f   1 ln 2  . f ln 2 f 0 3 2  1  2  Vậy f   ln 2 2
ln 2  e . f ln 2  2  .  . 3    9 2 1
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y   x  ln 2   2x  9y  2 ln 2  3  0 . 9 3
Câu 46 : Cho hàm số y f x  0 xác định, có đạo hàm trên đoạn 0;1   và thỏa mãn: x 1
g x  1  2018 f tdt, g x 2  
f x. Tính  d .  g x x 0 0 1011 1009 2019 A. . B. . C. . D. 505. 2 2 2 Lời giải Chọn A. 22
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 Ta có g 0  1 x
g x  1  2018 f tdt 0 g' xt '  t g x
g 'x  2018 f x  2018 g x   2018  dx  2018 d .   x g x 0 g x 0 1 1011
 2  gt  
1  2018t g t  1009t  1      g t dt . 2 0 x 2
Câu 47: Cho hàm số f x 3  3 
f t  3 f t  3dt . Tính f 'x . 0
A. f 'x  2 .
B. f x 3 '  1 2 .
C. f x 3 '  1  2 .
D. f 'x  2  .
Hướng dẫn giải Chọn C Đạo hàm hai vế ta được: f x 
fx2  fx    fx3   f x2 3 3 3 3 3
 3 f x  3
f x  3   fx 3 1 2  1  2 .  1  x
Câu 48: Cho hàm số y f x liên tục trên khoảng  ;  
thỏa mãn 2x  1  11   f tdt . 2    a Tìm a A. 120. B. 60. C. 121. D. 61. Hướng dẫn giải Chọn B x 1
2x  1  11   f tdt   f xa 2x  1 x x x 1 1 1 1 
Suy ra, 2x  1  11  dt   2t   2 1
d 2t  1  2t  12  2x  1  2a  1 a 2t  1 2 a a
2x  1  11  2x  1  2a  1  a  60 2 x
Câu 49: Cho hàm số y f x liên tục trên R thỏa mãn f tdt x cos 
x . Tính f 4 0 A. f   1 4  .
B. f 4  1 .
C. f 4  4 .
D. f 4  2 . 4 Hướng dẫn giải Chọn A 2 x
f tdt x cos  x   2 x f  2 x  
x  x
x  xf  2 . cos sin 2
x   cos x  x sinx 0
Thay x  2 vào hai vế ta được f     f   1 4 4 1 4  . 4 23
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
Câu 50: Cho hàm số y f x thỏa mãn f  x 1  x
,x  0 và f 1  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất m x của f 2 . 1 5 A. m   ln 2 .
B. m  2  2 ln 2 .
C. m  1  ln 2 . D. m   ln 2 . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D 2 2 5
f     f    f    f    f
 xdx f    1  5 2 2 1 1 1  x dx  1   ln 2       m   ln 2  x  2 2 1 1 x
Câu 51: Cho hàm số y f x liên tục trên R thỏa mãn f x 2  1   t f   t 
dt . Mệnh đề nào dưới 0 đây đúng ?
A. f 1  f 2  2 f 3 .
B. f 1  f 2  2 f 3 .
C. f 1  f 2  2 f 3 .
D. f 1  f 2  2 f 3 . Hướng dẫn giải Chọn B 1
Đạo hàm hai vế ta được f x 2
 1  x f  x  f x   0,x 2 1 x
f 1  f 2  f 3  f 3  2 f 3
Câu 52: Cho hàm số y f x nhận giá trị dương và có đạo hàm f x liên tục trên R thỏa mãn x f x 2    
  f t2   f t2    
dt  2018 . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?     0
A. f 1  2018e .
B. f 1  2018 .
C. f 1  2018 .
D. f 1  2018e . Hướng dẫn giải Chọn D 2 2 2 f x
2 f x. f x   f x   f x   f x  f x  0  f x  f x   1 f x ln           x C f x x C f x e
Thử vào đẳng thức đã cho suy ra x x 2C 2x 2C 2t 2C 2x 2C 2t 2  2  2018   .  2018  C  2018  C e e e e dt e e e e e e  2018  0 0 Vậy   x 
C x. C  2018 x f x e e e
e . Suy ra f 1  2018e .
Câu 53: Cho hàm số y f x nhận giá trị dương và có đạo hàm f x liên tục trên R thỏa mãn x 2 f x 2   4  
  f t2   f t2    
dt  2018 . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?     0 A. f   2 1  1009e .
B. f 1  1009e .
C. f 1  1009e . D. f   2 1  1009e . Hướng dẫn giải Chọn D 24
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 2 2 2
Đạo hàm hai vế ta được : 4 f x. f x  2 f x   f x   f x  2 f x  0 f x
f  x  2 f x   
f x  x C f x 2 2 ln 2  k. x e k  0 f x
Thử vào đẳng thức đã cho suy ra x x 2 4x 2 4t 2 4 x 2 4t 2 2k e
 8k e dt  2018  2k e  2k .e
 2018  2k  2018  k  1009  0 0 Vậy   2  x f x e f   2 1009 1  1009e
Câu 54: (THPT Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh lần 3-2018) Cho hàm số f (x) liên tục, có đạo hàm 9 1 39 1 5
đến cấp 2 trên  và f (0)  0, f '(1)  , 2 [ '( )]   f x dx , 2 (  ) "( )  .  x x f x dx Tính tích phân 2 4 2 0 0 2
I f (x)  dx . 0 14 7 A. . B.14. C. . D. 7. 3 3 Lời giải Chọn D. Chọn 2 9 9
f (x)  ax  bx, f (0)  0; f '(x)  2ax b, f '(1)   2a b  (1) 2 2 1 2 2 2 4 2 2 39
[ f '(x)]  (ax b)  (ax b) dx
a  2ab b   (2) 3 4 0 1 1 5a 5a 5 3 Lại có: 2 2
f "(x)  2a  (x x) f "(x)dx  2a (x x)dx     a    (3) 3 3 2 2 0 0 9
Thay (3) vào (1) ta được b
Từ đây thay a,b vào (2) kiểm chứng (2) đúng. 2 3 2 2 3 Vậy ta tìm được 2
f (x)  (x x) . Vậy 2
I f (x)dx
(x  x)dx  7   2 2 0 0
Câu 55: Cho hàm số f x liên tục trên 
 thỏa mãn f x 1 x ,    
x   và f 1  1. Tìm giá x
trị nhỏ nhất của f 2. 5 A. 3. B. 2. C.  ln 2. D. 4. 2 Lời giải Chọn C.
Theo giả thiết f x 1 x ,    
x   nên lấy tích phân hai vế với cận từ 1 đến 2 ta x được: 2 2 f   x  1  3 dx x  dx   ln 2.     x  2 1 1 25
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 2 2 Mà 
f xdx f x  f 2  f 1  f 2  1 nên f   3 2  1   ln 2. 1 2 1 Suy ra f   5 2   ln 2. 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f x 1  x  , x  0. x 2 x 1
Suy ra f x 
 ln x C, mà f 1  1 nên C  . 2 2 2 x 1
Do đó f x   ln x  . 2 2 2 x 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của f   5 2 
 ln 2 khi f x   ln x  . 2 2 2
Câu 56: Cho hàm số f x và g x thỏa mãn '
f 1  g 
1  1; f 2 g 2  f 1     x   0 '
1  f x '
g x  g x '' . f x 1 '    f x   x  2
Tính tích phân I= f x 'g x 1 3 1 3 1 3 1 3 1 A. I   ln 2 .
B. I    ln 2 . C. I   ln 2 .
D. I    ln 2 . 4 2 4 2 4 2 4 2 Lời giải Chọn D. '  
1  f x '
g x  g x ' . f x 1 '   f x  x  '
x xf x '
g x  g x '' xf x ' . 
f x  
g xxf x ' ' '
xf x '   g x    x
xf xg x ' '      x 2 ' x
xf xg x   C 2 2 x 1 x 1 Do '
f 1  g   1  1 nên '
xf xg x   hay '
f xg x   2 2 2 2x
Lấy tích phân cận từ 1 đến 2 ta được 2 2 3 1  x 1  '  ln 2   dx   
f xg xdx f xgx  I 4 2  2 2x 1  1 3 1
I    ln 2 . 4 2 26
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
Câu 57: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên 3; 3 
 . Hàm số y f   x có đồ thị như hình bên dưới. 2  x  1 
Biết f 1  6 và gx  f x  2  . Kết  2 
luận nào sau đây đúng về số nghiệm của
phương trình g x  0 trên 3; 3   . A. 2 . B. 1 . C. 3 . D. 0 . Lời giải Chọn B. 2  x  1 
Ta có g x  f x  2 . 2    g (  x)  f (
x)  x  1 . x  3  g x    0  x  1  . x  3  Bảng biến thiên
f 1  6  g1  4 1
Từ đồ thị suy ra  
f x x 1 d
x  4  g x 1
|  4  g 1  g 3  4  g 3  0 .    3       3 27
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 3 Ta cũng có 
 x  1  f x d
x  4  g x 3
|  4  g 3  g 1  4  g 3  0   . 1       1
Suy đồ thị y g x cắt trục hoành tại một điểm thuộc 3; 3   .  1   
Câu 58: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn ; 2 * 
và thỏa mãn f x 1 3 2  f  , x   . 2       x x 2 f x Tính tích phân I  d  x . x 1 2 3 5 15 15 A. I  . B. I  . C. I  4 ln 2  . D. I  4 ln 2  . 2 2 8 8 Lời giải Chọn A. 1 1 1 Đặt: t   x   dx   dt x t 2 t Đổi cận: 1 x 2 2 1 t 2 2  1  f 2   2 2  t  1 1  1  1  1  I  d  t  dt  dx 2 1  f    f   t t t x x 1 1   1   2 t 2 2 2 f x 2 1  1  2 1   1  2 1 3 2 3  3I  2 dx f d     x  2
  f x  f d   x  . d  x  d  x x x x x x x x 2 x 1 1   1    1 1 2 2 2 2 2 1
Câu 59: Cho hàm số f x xác định trên   \ 2  ; 
1 thỏa mãn f 'x  , f  3
   f 3  0 2 x x  2 và f   1 0 
. Giá trị biểu thức f 4  f 1  f 4 bằng: 3 1 1 1 4 1 8 A. ln 2  . B. ln 80  1. C. ln  ln 2  1 . D. ln  1 . 3 3 3 5 3 5 Lời giải Chọn A. dx 1  1 1  1 x  1
Ta có f x      ln  C . 2  dx x    x  2 3 x  1 x   2  3 x  2 28
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404  1 x  1 ln  C khi x  2   1 3 x  2    1 x  1
Do hàm số f x không xác định tại x  1; x  2
  f x   ln
C khi  2  x  1 2 3 x  2   1 x  1  ln  C khi x  1 3  3 x  2  1 1 2 1
f 3  f 3  0  ln 4  C  ln  C  0 C C   ln 10 . 1 3 3 3 5 1 3 3 1 1 1 1 f   1 0    ln 2  C   C   ln 2 . 3 2 3 3 2 3 3 1 5 1 1 1 1 5 2
f 4  f  
1  f 4  ln  C  ln 2  C  ln  C
ln  ln 2  C C C 1 2 3 3 2 3 3 2 2 1 3 3 2 3 1 5 2 1 1 1 1 1  5 1  1 1 
ln  ln 2   ln 2  ln10   ln .4.2.   ln 2 . 3 2 3 3 3 3 3 3  2 10    3 3
Câu 60: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau
f x  0,x   , f xx 2
 e . f x ,x   và f   1 0 
. Phương trinh tiếp tuyến của đồ thị tại 2
điểm có hoành độ x  ln 2 là: 0
A. 2x  9y  2 ln 2  3  0 .
B. 2x  9y  2 ln 2  3  0 .
C. 2x  9y  2 ln 2  3  0 .
D. 2x  9y  2 ln 2  3  0 . Lời giải Chọn A. ln 2 f x ln 2  f  x ln 2    ln 2 1 Ta có   2   x f x
e . f x    x e   d  x e dx      x e  2   x f x 2 f x
f x  0 0    0     0 1 1    1  f   1 ln 2  . f ln 2 f 0 3 2  1  2  Vậy f   ln 2 2
ln 2  e . f ln 2  2  .  . 3    9 2 1
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y   x  ln 2   2x  9y  2 ln 2  3  0 . 9 3
Câu 61 : Cho hàm số y f x  0 xác định, có đạo hàm trên đoạn 0;1   và thỏa mãn: x 1
g x  1  2018 f tdt, g x 2  
f x. Tính  d .  g x x 0 0 1011 1009 2019 A. . B. . C. . D. 505. 2 2 2 Lời giải Chọn A. 29
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 Ta có g 0  1 x
g x  1  2018 f tdt 0 g' xt '  t g x
g 'x  2018 f x  2018 g x   2018  dx  2018 d .   x g x 0 g x 0 1 1011
 2  gt  
1  2018t g t  1009t  1      g t dt . 2 0 1
Câu 62: Cho hàm số f x xác định trên   \ 1  ; 
1 và thỏa mãn f x  , f  3
   f 3  0 2 x  1  1   1  và f   f  2 
. Tính giá trị của biểu thức P f 2  f 0  f 4 . 2   2      9 6 1 9 1 6
A. P  ln  1.
B. P  1  ln .
C. P  1  ln . D. P  ln . 5 5 2 5 2 5 Lời giải Chọn C.
Ta có hàm số xác định trên các khoảng ; 1     1
 ;1 1;  .  1 x  1 ln  C x    1 1   2 x  1    1 x  1
Khi đó f x   ln  C 1  x  1 . 2   2 x  1   1 x  1  ln  C x  1 3    2 x  1   1 1  Dễ thấy   3 ; 1   ; 
; 0; 1;1 ; 3;  4 1;  .  2 2  1  1  1  1  1
Nên f 3  ln 2  C ; f  
ln 3  C ; f 0  C ; f  ln 3  C ; 1 2   2 2   2  2  2  2  2 1 3 f   1 3 
ln 2  C và f 4  ln  C . 3 2 3 2 5 1 3 1 3
Ta có P f 0  f 4  C  ln  C  ln  C C . 2 3 2 5 2 3 2 5  1   1  1 1  Mặt khác ff  2   ln 3  C
ln 3  C  2  C  1 . 2   2  2 2 2     2 2 1 1  Và f  3
   f 3  0  ln 2  C
ln 2  C  0  C C  0 . 1 3 1 3 2 2 1 1 3 1 9
P f 2  f 0  f 4  ln 3  C C  ln  C  1  ln . 1 2 3 2 2 5 2 5
Câu 63 : Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 
 thỏa mãn f 1  0 và 30
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 1 1 2 e 1  f   x 2 
x  x   x f x  1 d 1 e dx   
. Tính tích phân I   f xdx . 4 0 0 0 e e  1
A. I  2  e .
B. I  e  2 . C. I  . D. I  . 2 2 Lời giải Chọn B. 1 Xét      1 ex A x
f xdx 0 u   f x d  u f   xdx Đặt    dv x x  x 1e d  xv xe  1 1 1 2 1 1 Suy ra  ex    ex A x f x x f  
xdx     x
xe f xdx   d   x e xe f x x 0 4 0 0 0 1 1  2 e x 1 1 1  1 Xét 2 2 d  x x e x 2 2  e x x     2 2 4  4 0  0 1 1 1 1 2 2 Ta có :      d  2 x     2 2 d  x f x x xe f x x x e dx  0  f x   
 x  xe  dx  0 0 0 0 0 Suy ra    x f x
xe  0,x  0;1 x
 (do  f  x  xe 2  0,x  0;1   )
     x f x
xe     1  x f x x e C
Do f 1  0 nên    1   x f x x e 1 1 1
Vậy    d  1  xd  2   x I f x x x e x x ee  2 . 0 0 0 2 x
Câu 64 : Cho hàm số y f x liên tục trên 0;   
 và f tdt  . x sin  
x . Tính f 4 0    
A. f   .
B. f   .
C. f   . D. f  1  . 4 2 4 2 Lời giải Chọn B. Ta có  d 
f t t F t  Ft  f t 2 x 2 x
f tdt  . x sin  
x  F t  .
x sin x 0 0  F  2
x   F 0  .
x sin x  F 2
x .2x  sinx   .
x cos x  f  2
x .2x  sinx   .
x cos x 31
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 f    4  2
Câu 65: [Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2018] Cho F x là một nguyên hàm của hàm số
f (x)  1 x  1  x trên tập  và thảo mãn F 1  3 . Tính tổng T F 0  F 2  F  3   . A. 8 . B. 12 . C. 14 . D. 10 . Lời giải Chọn C 2 khi x  1 
Ta có f x  2x khi  1  x  1. 2 khi x  1  2x m khi x  1 
Hàm f x có nguyên hàm là F x 2  x n
khi  1  x  1 . 2x p khi x  1 
Vì F 1  3 nên m  1 .
Hàm F x liên tục tại x  1 nên suy ra n  2 .
Hàm F x liên tục tại x  1
 nên suy ra p  1.
Vậy ta có T F 0  F 2  F 3  2  5  7  14 .
Câu 66: [Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2018] Cho hàm số f x có đạo hàm f x liên tục trên 2
 và thỏa mãn f x1;1 
 với x 0; 2 . Biết f 0  f 2  1. Đặt I   f xdx , 0
phát biểu nào dưới đây đúng?
A. I ;0 .
B. I  0;1 . C. I  1  ;    .
D. I  0;1 . Lời giải. Chọn C 2 1 2
Ta có I f xdx f xdx   
f xdx . 0 0 1 
u f x 
du f  x dx Đặt    . d  v  d  xv x  1  Khi đó: 1 1 1 1 1 1
+ f xdx   x  1 f x  x 1 f xdx  1  1  xf xdx  1 1  xdx      . 0 2 0 0 0 0 2 2 2 2 2 1
+ f xdx  x  1 f x  x 1 f xdx  1 x  
1 f xdx  1  x 1dx      . 1 2 1 1 1 1 Vậy I  1.
Câu 67: [THPT Chuyên LQĐ, LAI CHÂU, lần 1, 2018] Cho hai hàm f x và gx có đạo hàm 32
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 trên đoạn 1  ; 4 
 và thỏa mãn hệ thức hệ thức sau với mọi x  1  ; 4    f   1  2g 1  2  4 
. Tính I   f (x). ( g x)    dx .  f x 1 1  g x 2 1 ' . ; '   . 1 x x ( g x) x x f (x)  A. 4 ln 2 . B. 4 . C. 2 ln 2 . D. 2 . Lời giải Chọn B. 1 2
Từ giả thiết ta có f '(x).g(x) 
và g'(x). f (x)   , suy ra x x x x 1  1
f '(x).g(x)  g'(x). f (x)  
, hay  f (x).g(x)     . x x x x
Do đó f xg x 1 2 .   dx   
C . Lại có f 1.g 1  2.1  2 nên C  0 . x x x 4 4 2
I   f (x). ( g x) x d dx=4     . 1 1 x
Câu 68: [ Phạm Minh Tuấn, lần 3, năm 2018- Câu 38] 2x  5 3
Cho hàm số xác định trên   \ 1;  4 thỏa mãn
f x f x  , 2     2 x  5x  4 2x  10x  8 f   1 2   ,
f 0  2ln 4  1,
f 2  2 ln 2 1 và f   1 5  ln 4. Tính 6 2 Q  4 f  1
   4 f 3  f 8; 1 1
A. Q  8 ln 5  ln 7  2 ln 2 .
B. Q  8 ln 5  ln 7  2 ln 2 . 2 2 1 1
C. Q  8 ln 5  ln 7  2 ln 2 .
D. Q  8 ln 5  ln 7  2 ln 2 . 2 2 Lời giải Chọn B 2x  5 3 Ta có
f x f x  2     2 x  5x  4 2x  10x  8 3
 2x  5 f x   2
x  5x  4 f  x  2   2
x x   f x  3     2
x x   f x 3 5 4 5 4  dx    2 2 x C   2
x x   f x 3 
x C f x 3 5 4   2
2 x  4x 1 x  4 x   1 1  c 1 Mà f   1 2       C  0 6 6 18 6 3x 3x 1
Vậy f x 
f x 
dx  2 ln x  4  ln x  1   C
2 x  4x  1
2 x  4x 1 2 1 Xét trên ; 
1 ta có f 0  2 ln 4  1  2 ln 4  ln1  C  2 ln 4  1  C  1 2 33
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
 4 f 1  8 ln 5  2 ln 2  4 1
Xét trên 1; 4 ta có f 2  2 ln 2 1  2 ln 2  ln1  C  2 ln 2 1  C  1 2
 4 f 3  8ln1  2ln 2  4  2  ln 2  4 1 1
Xét trên 4;  ta có f   1
5  ln 4  2 ln 1 ln 4  C  ln 4  C  ln 4 4 2 2  f   1 1
8  2 ln 4  ln 7  ln 4  3ln 4  ln 7 2 2
Vậy Q f    f    f   1 4 1 4 3
8  8 ln 5  ln 7  2 ln 2 . 2
Câu 69. [ Phạm Minh Tuấn, lần 3, năm 2018- Câu 49]
Cho hàm số f (x) dương và có đạo hàm liên tục trên 0; 1 
 thỏa mãn f    f   1 0 4 1  , 16 3 1
1  f x 3 1    1
f x  0x  0; 1 
 và  x  1 . f xdx= , dx=  . Tính tích phân 8 2 64 0
0  f  x   1  dx  f x . 0 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. 24 32 8 4 Lời giải. Chọn B. Ta có: 1 1 1
x 13 f (x)dx=x 13 f x  3
 x 12 f xdx 0 0 0 1 3 1 
mà f    f   1 0 4 1 
, x 1 . f xdx= 16 8 0 1 2 1
Nên x 1 f xdx= . 16 0  f x 3 
Vì f x  0 , f  x  0x 0; 1     nên
 0 ;  x  1 f x  0 x  0; 1  
f x 2      1 1 1  f x   2 2 
 x 12 f xdx  
   x  1 3
.  f 'x dx    16 2 0 0 3  f x           f x 3 2 1 1    2   1  1  1  dx.     x 13 3 3 f x dx  3 3  .  2     64  8    16
0  f  x  0   
Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi  f x 3    f x 1 1 1
k x  13 f x  
 ln  f x 
ln x  1  C 2    
f x f x 3 k x  1 3 k   34
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 1 1 1 1 1 Do f   1 0  , f   1 1  nên C  ln ,
 2  f x    dx   f x 4 16 4 3 kx 12 32 0
Câu 50. THPT ĐẶNG THÚC HỨA LẦN 1- 2018
Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên 0; 1 
 thỏa mãn f 1  1 , 1 1 1 2 9 2
f x  0x  0; 1   và  
f x dx=  
,  f x dx= . Tính tích phân I   f xdx . 5 5 0 0 0 3 1 3 1 A. I  . B. I . C. I  . D. I  5 4 4 5 35