Bài Tập Tìm x Để Biểu Thức Rút Gọn Là Số Nguyên Toán 9

CHUYÊN ĐỀ 5: TÌM x ĐỂ BIỂU THỨC RÚT GỌN LÀ SỐ NGUYÊN I/ BTRG có dạng a A = hoặc a A = cx + d c x + d
LOẠI 1: Tìm x  để A * Nếu a A = thì ta làm như sau: cx + d
+ Lập luận: A  Mẫu thức là Ư(a) + Liệt kê Ư(a)
+ Lập bảng: Mẫu thức bằng Ư(a) tìm ra x * Nếu a A = thì ta làm như sau: c x + d
+ Với điều kiện của x, ta xét hai trường hợp xảy ra:
+ Trường hợp 1: Nếu x không là số chính phương => c x + d là số vô tỉ => a A =
là số vô tỉ => A  Z (loại trường hợp này) c x + d
+ Trường hợp 2: Nếu x là số chính phương => a A =
∈ Z  c x + d ∈ Ư(a). c x + d
Khi đó lập bảng Ư(a) và tìm giá trị x thỏa mãn
Chú ý: Giá trị x  tìm được phải thoả mãn điều kiện của biểu thức rút gọn mới nhận. VD: Cho 3 A =
. Tìm x nguyên để A nguyên. 2 x +1 + Điều kiện x ≥ 0
+ Trường hợp 1: Nếu x không là số chính phương => 2 x +1 là số vô tỉ => 3 A =
là số vô tỉ => A  Z (loại trường hợp này) 2 x +1
+ Trường hợp 2: Nếu x là số chính phương => 3 A =
∈ Z  2 x +1 ∈ Ư(3). 2 x +1 2 x +1 -3 1 1 3 x -2 -1 0 1 x   T/M T/M Trang 1
LOẠI 2: Tìm x để A thường áp dụng với biểu thức rút gọn a A = . c x + d Phương pháp:
+ Xuất phát từ điều kiện x  0 rồi suy ra miền bị chặn của A(m  A  r)
+ Chọn các giá trị nguyên a thuộc miền chặn rồi giải phương trình A = a để tìm x . 1 1
+ Kết luận giá trị x thoả mãn. VD1: Cho 7 A =
. Tìm x để A . 2 x + 3 ĐK: 7 7
x  0  2 x + 3  3   . Do đó 7
0  A  mà A  A1;  2 2 x + 3 3 3 Với 7 A = 1
=1 2 x + 3 = 7  x = 4 2 x + 3 Với 7 7 1 A = 2 
= 2  2 x + 3 =  x = 2 x + 3 2 16 VD2: Cho 5 − A =
. Tìm x để A . 2 x +1 ĐK: 5 −
x  0  2 x +1  1  5 − 2 x +1
Do đó −5  A  0 mà A  A 5 − ; 4 − ; 3 − ; 2 − ;−  1 .
Giải phương trình A = giá trị nguyên => Tìm được x
II/ Biểu thức rút gọn có dạng a x + b A = c x + d
Phương pháp tách phần nguyên:
+ Lấy tử chia cho mẫu được thương là số k  và dư số m 
k (c x + d ) + m + Ta có: m A = = k + c x + d c x + d
+ Việc tìm x để A nguyên quy về bài toán tìm x để m
nguyên như phần I) c x + d VD1: Cho 2 x + 4 A =
tìm x  để A x + 3 2( x + 3) − 2 Ta có 2 A = = 2 − x + 3 x + 3 Với 2
x   A 
  x + 3Ư(2) và x là số chính phương  x . x + 3 Trang 2 VD2: Cho 2 x + 7 A =
. Tìm x để A x +1 2( x + ) 1 + 6 Ta có 6 A = = 2 + => 6 A   x +1 x +1 x +1 Với 6 6 x  0  0   6  1,2,3,4,5,  6  x x +1 x +1
BÀI TẬP VẬN DỤNG 2x 2x x
Bài 1: Cho biểu thức A = + + 2 2 x − 3x x − 4x + 3 x −1
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x nguyên để A nguyên.
Bài 2: Cho biểu thức: a + 1 a − P = 2 − 5 + ĐS: 4 P =
a + 3 a + a − 6 2 − a a − 2 a/ Rút gọn P
b/ Tìm a ∈ Z để P nguyên.  3 a a 3 1  (a − ) 1 (. a − b)
Bài 3: Cho biểu thức: P = − +  : 
a + ab + b a a − b b
a − b  2a + 2 ab + b 2   a/ Rút gọn P
b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên  − +  2 x x 1 x x 1 (x−2 x + )1
Bài 4: Cho biểu thức: A =  −  :  x − x x + x  x −1   1) Rút gọn A.
2) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.  + − 
Bài 5: Cho biểu thức: Q = x 2 x 2 x +1  − .  , với x > 0 ; x  1. x + 2 x +1 x 1  − x   a) Chứng minh rằng Q = 2 x −1
b) Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị nguyên. Trang 3 2 2 x x
Bài 6: Cho biểu thức: A = + +
x − 3 x − 4 x + 3 x −1 a) Rút gọn A
b) Tìm x Z để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Bài 7. Cho biểu thức P =  1 1  x −1 2 − :    x −1
x −1 +1 x + x −1 −1 a) Rút gọn P .
c) Tìm x để P là một số nguyên
Bài 8*: Cho biểu thức A =  1 1  x − 2 + .    x + 2 x − 2  x a) Rút gọn A.
c) Tìm tất cả các giá trị của x để 7 B =
A đạt giá trị nguyên. 3 Trang 4