Bài Tập Toán 9 Tuần 10 Có Lời Giải Chi Tiết

BÀI TẬP TOÁN 9 TUẦN 10 I. ĐẠI SỐ x + 2 5 1 Bài 1. Cho biểu thức B = − + .
x + 3 x + x − 6 2 − x a) Rút gọn B ;
b) Tìm các giá trị của x để B < B . 1 3 1 Bài 2. Cho C = − + .
x +1 x x +1 x − x +1 a) Rút gọn C ;
b) Tìm các giá trị của x để C  1 .
 a a −1 a a +1 a + 2 Bài 3.
Cho biểu thức A =  −  :  . a − a
a + a  a − 2  
a) Với những giá trị nào của a thì A xác định
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm giá trị nguyên của a để A nguyên.  x 4   1 4  Bài 4. Cho M =  − . +    .
x − 2 x − 2 x 
  x + 2 x − 4  a) Rút gọn M .
b) Tính giá trị của M khi x = 4 + 2 3 .
c) Tìm giá trị của x để M  0 . 1+ 1+ a 1− 1+ a 1 Bài 5. Cho biểu thức A = + + .
1− a + 1− a 1+ a − 1+ a 1+ a
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Chứng minh rằng A luôn dương với mọi giá trị của a . Bài 6.
Cho hàm số y = f (x) = 4x + 3 .
a) Tính f (0) ; f (1) ; f (4) ; f (2) .
b) Chứng tỏ hàm số trên đồng biến. Bài 7.
Tìm tập xác định của các hàm số sau: 1 1
a) y = x +1 +
b) y = x − 2 + 2 3
c) y = 16 − x + x −1 x +1 x − 3
II. HÌNH HỌC: SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN Trang 1 Bài 8.
Cho tam giác cân ABC ( AB = AC) . Gọi E là trung điểm của BC và BD là đường cao của tam
giác ABC (D  AC) . Gọi giao điểm của AE với BD là H.
a) Chứng minh rằng bốn điểm A ; D; E; B cùng thuộc một đường tròn tâm O.
b) Xác định tâm I của đường tròn đi qua ba điểm H ; D ; C.
c) Chứng minh rằng đường tròn tâm O và đường tròn tâm I có hai điểm chung. Bài 9.
Cho đường tròn (O; R) , dây cung AB = R . Trên tia đối của tia BA lấy điểm C sao cho
BC = BA . Tia CO cắt đường tròn (O) ở D, biết R = 3cm . a) Tính góc ACD. b) Tính CD.
……………………………….Hết……………………………….
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT x + 2 5 1
Bài 1. Cho biểu thức B = − + .
x + 3 x + x − 6 2 − x a) Rút gọn B ;
b) Tìm các giá trị của x để A < A . Lời giải a) Rút gọn B ; ìï x ¹ 4
Điều kiện xác định : ïí . ï x ³ 0 ïî x + 2 5 1 x + 2 5 1 B = − + = − −
x + 3 x + x − 6 2 − x
x + 3 ( x +3)( x − 2) x − 2
( x +2)( x −2)−5−( x +3) x−4−5− x −3 x − x −12 = ( = = x + 3)( x − 2)
( x +3)( x −2) ( x +3)( x −2)
( x +3)( x −4) x −4 = ( = x + 3)( x − 2) x − 2
b) Tìm các giá trị của x để B < B .
 x − 4  0  x  4 x 16    x − 4  x − 2  0  x  2 x  4 x 16 Trước hết ta phải có  0        x − 2   x − 4  0  x  4 0  x 16 0  x  4       −    0  x  4 x 2 0 x 2 Trang 2
Ta có B < B Û B - B > 0 Û B ( B - ) 1 > 0 Û B - 1> 0 Û
B > 1 Û B > 1 x − 4 x − 2 − 2 2 − 2 −  1  −1  0 1− −1 0 
 0  x − 2  0 x − 2 x − 2 x − 2 x − 2
 x  2  0  x  4
Kết hợp với điều kiện, ta được 0  x  4 . 1 3 1 Bài 2. Cho C = − + .
x +1 x x +1 x − x +1 a) Rút gọn C ;
b) Tìm các giá trị của x để C  1 . Lời giải a) Rút gọn C ;
Điều kiện xác định : x ³ 0 . 1 3 1 1 3 1 C = − + = − +
x +1 x x +1 x − x +1
x +1 ( x)3 3 x − x +1 +1 1 3 1 = − + x +1 ( x + ) 1 (x − x + ) 1 x − x +1 x − x +1 3 x +1 = ( − + x + ) 1 (x − x + ) 1
( x + )1(x− x + )1 ( x + )1(x− x + )1 ( x + )1( x x x x x − − + − + + − )1 1 3 1 1 x −1 = ( = = = x + ) 1 (x − x + ) 1
( x + )1(x− x + )1 ( x + )1(x− x + )1 x− x +1
b) Tìm các giá trị của x để C  1. x −1 x −1
x −1− x + x −1 −x + 2 x − 2 Ta có C  1  1  −1 0   0   0 x − x +1 x − x +1 x − x +1 x − x +1
−(x − 2 x + )1−1 −( x − )2 1 −1 ( x − )21 +1   0   0  −  0 2 2 2  1  3  1  3  1  3 x − + x − + x − +        2  4  2  4  2  4 2  ( x − )2 1  3 1 +1 Vì ( x − )2 1 +1  0 và x − +  0  
với mọi x nên −
 0 với mọi x Kết  2  4 2  1  3 x − +    2  4
hợp với điều kiện ta được với x ³ 0 thì C  1 . Trang 3
 a a −1 a a +1 a + 2
Bài 3. Cho biểu thức A =  −  :  . a − a
a + a  a − 2  
a) Với những giá trị nào của a thì A xác định
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm giá trị nguyên của a để A nguyên. Lời giải
a) Với những giá trị nào của a thì A xác định ìï a > 0 ï A ï
xác định khi í a ¹ 1 ïïï a ¹ 2 ïî
b) Rút gọn biểu thức A   − +  +  ( a )3 − ( a  a a a a a )3 3 3 1 +1 1 1 2  a − 2 A =  −  : = −  a − a
a + a  a     a ( a − ) 1 a ( a + ) . 2 1  − a + 2   
 ( a − )1(a+ a + )1 ( a + )1(a− a + )1 a −2  a + a +1 a − a +1 a −2   = − =  −   a ( a − ) 1 a ( a + ) . . 1  a + 2  a a  a + 2    
a + a +1− a + a −1 a − 2 a − 2 = . = 2. a a + 2 a + 2
c) Tìm giá trị nguyên của a để A nguyên. a − 2 a − 2 A = 2. . Để A nguyên thì nguyên. a + 2 a + 2 a − 2 a + 2 − 4 4 Ta có = =1− a + 2 a + 2 a + 2
Do đó, để A nguyên thì a + 2 là ước của 4 , tức là a + 2 Î {- 4;- 2;- 1;1;2; } 4 .
Suy ra a Î {- 6;- 4;- 3;- 1;0; } 2 .  x 4   1 4  Bài 4. Cho M =  − . +    .
x − 2 x − 2 x 
  x + 2 x − 4  a) Rút gọn M . Trang 4
b) Tính giá trị của M khi x = 4 + 2 3 .
c) Tìm giá trị của x để M  0 . Lời giải a) Rút gọn M .  x 4   1 4  M =  − . +   
 (Điều kiện x  0 ; x  4 )
x − 2 x − 2 x 
  x + 2 x − 4      x 4 1 4 M     = − +  x − x  ( x −2) . 2   x + 2  
( x −2)( x +2)     x 4 x − 2 4 M     = − +  x ( x ) x( x ) . 2
2   ( x 2)( x 2) ( x 2)( x 2)  − − − + − +     x − 4 x − 2 + 4 M = x ( x − ).
2 ( x − 2)( x + 2) ( x −2)( x +2) x + 2 M = x ( x − ) . 2 ( x −2)( x +2) x + 2 M = x ( x − 2)
b) Tính giá trị của M khi x = 4 + 2 3 .
Ta có x = 4 + 2 3 (thỏa mãn điều kiện) x = + = + + = ( )2 + + = ( + )2 4 2 3 3 2 3 1 3 2 3.1 1 3 1  x = 3 +1 x + 2
Thay x = 3 +1 vào biểu thức M = ta được x ( x − 2) 3 +1+ 2 3 + 3 3 + 3 3 + 3 3 + 3 M = ( = = = = 3 + ) 1 ( 3 +1− 2) ( 3 + ) 1 ( 3 − ) 1 ( 3)2 3 −1 2 −1 3 + 3
Vậy với x = 4 + 2 3 thì giá trị của M = . 2
c) Tìm giá trị của x để M  0 . Trang 5 x + 2 Ta có M =
(Điều kiện x  0 ; x  4 ) x ( x − 2) x + 2 M  0   x ( x − ) 0 2
 x − 2  0 (vì x  0 , x + 2  0 )  x  2  x  4
Kết hợp với điều kiện x  0 ; x  4 ta có x  4 .
Vậy với x  4 thì M  0 . 1+ 1+ a 1− 1+ a 1 Bài 5. Cho biểu thức A = + + .
1− a + 1− a 1+ a − 1+ a 1+ a
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Chứng minh rằng khi xác định thì A luôn dương với mọi giá trị của a . Lời giải
a) Rút gọn biểu thức A . 1+ 1+ a 1− 1+ a 1 A = + + (Điều kiện 1
−  a  1; a  0 )
1− a + 1− a 1+ a − 1+ a 1+ a 1+ 1+ a 1− 1+ a 1 A = + +
1− a ( 1− a + ) 1
1+ a ( 1+ a − ) 1 1+ a 1 1 − 1 A = + + 1− a 1+ a 1+ a 1 A = 1− a
b) Chứng minh rằng A luôn dương với mọi giá trị của a . Với 1
−  a  1; a  0 ta có 1− a  0 . Do đó 1− a  0 1 Suy ra A =  0 1− a
Vậy A luôn dương với mọi giá trị của a thỏa mãn 1
−  a  1; a  0 . Trang 6 Bài 6.
Cho hàm số y = f (x) = 4x + 3 .
a) Tính f (0) ; f (1) ; f (4) ; f (2) .
b) Chứng tỏ hàm số trên đồng biến. Lời giải
Cho hàm số y = f (x) = 4x + 3 .
a) Tính f (0) ; f (1) ; f (4) ; f (2) . f (0) = 4.0 + 3 = 3 f (1) = 4.1+ 3 = 7 f (4) = 4.4 + 3 = 19 f (2) = 4.2 + 3 = 11
b) Chứng tỏ hàm số trên đồng biến.
* Trường hợp 1. Xét hai giá trị x ; x  sao cho x  x hay x − x  0 1 2 1 2 1 2
Ta có y = f (x ) = 4x + 3; y = f (x ) = 4x + 3 1 1 1 2 2 2
f ( x − f x = 4x + 3 − 4x + 3 = 4x + 3− 4x − 3 = 4 x − x 1 ) ( 2) ( 1 ) ( 2 ) 1 2 ( 1 2 )
Ta có x − x  0 nên 4( x − x  0 hay f ( x  f x 1 ) ( 2 ) 1 2 ) 1 2
Do đó x  x thì f ( x  f x 1 ) ( 2 ) 1 2
* Trường hợp 2. Xét hai giá trị x ; x  sao cho x  x hay x − x  0 1 2 1 2 1 2
Ta có y = f (x ) = 4x + 3; y = f (x ) = 4x + 3 1 1 1 2 2 2
f ( x − f x = 4x + 3 − 4x + 3 = 4x + 3− 4x − 3 = 4 x − x 1 ) ( 2) ( 1 ) ( 2 ) 1 2 ( 1 2 )
Ta có x − x  0 nên 4( x − x  0 hay f ( x  f x 1 ) ( 2 ) 1 2 ) 1 2
Do đó x  x thì f ( x  f x 1 ) ( 2 ) 1 2
Vậy hàm số y = f (x) = 4x + 3 đồng biến với mọi x  .
Bài 7. Tìm tập xác định của các hàm số sau: 1 a) y = x +1 + x −1 1 b) y = x − 2 + x +1 Trang 7 c) 2 3 y = 16 − x + x − 3 Lời giải 1 a) y = x +1 + x −1 x +1 0 x  1 − Hàm số xác định     x −1  0 x  1 1
b) Với giá y = x − 2 + x +1 x  0 x  0 Hàm số xác định      x  0 x +1  0 x  1 − c) 2 3 y = 16 − x + x − 3 x  0 x  0 Hàm số xác định      x  0 x +1  0 x  1 −
II. HÌNH HỌC: SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN
Bài 8. Cho tam giác cân ABC ( AB = AC) . Gọi E là trung điểm của BC và BD là đường cao của tam giác
ABC (D  AC) . Gọi giao điểm của AE với BD là H.
a) Chứng minh rằng bốn điểm A ; D; E; B cùng thuộc một đường tròn tâm O.
b) Xác định tâm I của đường tròn đi qua ba điểm H ; D ; C.
c) Chứng minh rằng đường tròn tâm O và đường tròn tâm I có hai điểm chung. Lời giải
a) Gọi O là trung điểm của AB.
Xét ADB vuông tại D có DO là đường trung tuyến nên DO = OA = OB . Từ đó suy ra D
thuộc đường tròn tâm O bán kính AB : 2 . Xét AEB vuông tại E có EO là đường trung
tuyến nên EO = OA = OB . Từ đó suy ra E thuộc đường tròn tâm O bán kính OA. Vậy 4
điểm A, D, E, B cùng thuộc đường tròn tâm O bán kính AB : 2
b) Gọi I là trung điểm của HC. Vì HDC vuông tại D có DI là đường trung tuyến nên
DI = IH = IC . Từ đó suy ra ba điểm H, D, C thuộc đường tròn tâm I bán kính là HC : 2
(với I là trung điểm HC)
c) Vì HEC vuông tại E có EI là đường trung tuyến nên EI = IH = IC . Từ đó suy ra ba
điểm H, E, C thuộc đường tròn tâm I bán kính là HC : 2 .
Ta có: 4 điểm A, D, E, B thuộc đường tròn tâm O bán kính AB : 2 Trang 8
Ta có: 4 điểm H, D, C, E thuộc đường tròn tâm O bán kính HC : 2
Vậy hai đường tròn trên có hai điểm chung là E và D.
Bài 9. Cho đường tròn (O; R) , dây cung AB = R . Trên tia đối của tia BA lấy điểm C sao cho BC = BA .
Tia CO cắt đường tròn (O) ở D, biết R = 3cm . a) Tính góc ACD. b) Tính CD. Lời giải
a) Xét OAB có OA = OB = AB = R nên OAB đều. Từ đó suy ra: 0 0 OAC  = 60  ACD = 30
b) TH1: D nằm giữa O và C Xét OAC có: 2 2 2
OA + OC = AC (ĐL Pytago)
 R + OC = ( R)2 2 2 2 2 2
 OC = 3R  OC = R 3
Khi đó: DC = OC − OD = R 3 − R = R ( 3 − ) 1
TH2: D không nằm giữa O và C
Khi đó: DC = 2R + R ( 3 − ) 1 = R ( 3 + ) 1  HẾT  Trang 9