Bài Tập Toán 9 Tuần 17 Có Lời Giải Chi Tiết

BÀI TẬP TOÁN 9 TUẦN 17
I. ĐẠI SỐ: ÔN TẬP VỀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1. Giải hệ phương trình: 2x − 3y = 5 − x + 4y = 6 2x − y = 3 a)  b)  c)   3 − x + 4y = 2 4x − 3y = 5 5  + y = 4x  2 5 + = 2 x − y =1 2x + 4 = 0 x x + y d)  e)  f)  x + y = 5 4x + 2y = 3 − 3 1  + = 1,7  x x + y Bài 2.
Xác định a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A và B trong mỗi trường hợp sau:
a) A(−3;3) và B (−1;2) b) A(4;− ) 1 và B (−4; ) 1
c) A(− 5; 2)và B(0; 2)
Bài 3. Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn một trong các điều kiện sau:  1 7  a) Đi qua điểm A ; 
 và song song với đường thẳng y = 2x − 3 .  2 4 
b) Cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ bằng 3 và đi qua điểm B (2; ) 1 .
c) Căt trục hoành Ox tại điểm có hoành độ bằng 2 và đi qua điểm C (1;2) .
d) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 23 .
e) Đi qua hai điểm M (1;2) và N (3;6) .
II. HÌNH H ỌC: ÔN TẬP CHƯƠNG 2 Bài 1.
Cho tam giác đều ABC , O là trung điểm của BC . Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm
di động D, E sao cho 0 DOE = 60
a) Chứng minh rằng tích B . D CE không đổi.
b) Chứng minh BOD đồng dạng với OED
c) Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB . Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với DE . Bài 2.
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB và một điểm E di động trên nửa đường tròn ( E
không trùng với A và B ). Vẽ các tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Tia AE cắt By tại
C , tia BE cắt Ax tại D .
a) Chứng minh rằng tích A . D BC không đổi.
b) Tiếp tuyến tại E của nửa đường tròn cắt Ax và By theo thứ tự tại M và N . Chứng minh rằng ba
đường thẳng MN, AB và CD đồng quy hoặc song song với nhau. Trang 1
c) Xác định vị trí của điểm E trên nửa đường tròn để diện tích tứ giác ABCD nhỏ nhất. Tính diện tích nhỏ nhất đó.
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
I. ĐẠI SỐ: ÔN TẬP VỀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1. Giải hệ phương trình 2x − 3y = 5 − 6x − 9y = 1 − 5 −y = 11 − y =11 x =14 a)           3 − x + 4y = 2  6 − x + 8y = 4 6x − 9y = 1 − 5 6x − 9.11 = 1 − 5 y =11
Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( ; x y) = (14; ) 11 x + 4y = 6  4 − x −16y = 2 − 4  1 − 9y = 1 − 9 y =1 x = 2 b)          4x − 3y = 5 4x − 3y = 5 4x − 3y = 5 4x − 3.1 = 5 y =1
Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( x, y) = (2; ) 1 2x − y = 3 2x − y = 3 2x = 2 x =1 x =1 c)          5  + y = 4x 4x − y = 5 4x − y = 5 4.1− y = 5 y = 1 −
Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( x, y) = (1;− ) 1 x − y =1 x − y =1 x = 3 x = 3 d)        x + y = 5 2x − y = 6 2.3− y = 6 y = 2
Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( x, y) = (3;2)  = −  x 2 2x + 4 = 0  2x = 4 −  x = 2 −  e)        5 − 4x + 2y = 3 − 4x + 2y = 3 − 4.  ( 2 − ) + 2y = 3 − y =  2  − 
Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( x y) 5 , = 2 − ;    2   2 5 + = 2 x x + y f)  (I ) 3 1  + = 1,7  x x + y 1 1
Đặt u = và v =
; ĐK : x  0; x  − y x x + y  1 = 2u + 5v = 2 u 
Hệ phương trình (I ) trở thành 2    3  u + v =1,7 1 v =  5 1 1 = x 2 x = 2    1 1   = y = 3  x + y 5
Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( x, y) = (2;3) Bài 2.
Xác định a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A và B trong mỗi trường hợp sau: Trang 2
a) A(−3;3) và B (−1;2)
Vì A(−3;3) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b  3 = −3a + b
B (−1;2) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b  2 = −a + b  1 − =  3 − a + b = 3 a 
Suy ra ta có hệ phương trình : 2    −a + b = 2 3 b  =  2 1 − 3 Vậy a = và b = . 2 2 b) A(4;− ) 1 và B (−4; ) 1 Vì A(4;− )
1 thuộc đồ thị hàm số y = ax + b  −1 = 4a + b B (−4; )
1 thuộc đồ thị hàm số y = ax + b  1 = −4a + b  1 − 4a + b = 1 − a =
Ta có hệ phương trình :    4  4 − a + b =1 b  = 0 1 − Vậy a = và b = 0 . 4
c) A(− 5; 2)và B(0; 2)
Vì A(− 5; 2)thuộc đồ thị hàm số y = ax + b  2 = − 5a + b
B (0; 2) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b  2 = b
− 5a + b = 2 a = 0 
Ta có hệ phương trình :    b  = 2 b  = 2
Vậy a = 0 và b = 2 .
Bài 3. Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn một trong các điều kiện sau:  1 7  a) Đi qua điểm A ; 
 và song song với đường thẳng y = 2x − 3 .  2 4 
b) Cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ bằng 3 và đi qua điểm B (2; ) 1 .
c) Căt trục hoành Ox tại điểm có hoành độ bằng 2 và đi qua điểm C (1;2) .
d) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 . 3
e) Đi qua hai điểm M (1;2) và N (3;6) . Lời giải Trang 3
a) Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là (d ) : y = ax + b(a  0) . 1 7 7 1 Mà (
A ; ) (d) nên ta có: = .a + b .(1) 2 4 4 2
Vì (d) song song với đường thẳng y=2x − 3 nên a = 2 . 7 1 3
Thay a = 2 vào (1) ta có: = .2 + b  b = 4 2 4 3
Vậy phương trình đường thẳng (d ) : y = 2x + 4
b) Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là (d ) : y = ax + b(a  0)
Vì (d ) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 nên b = 3 .
Mà B(2;1)  (d)  1 = 2.a + b mà b = 3 nên: 1 = 2.a + 3  2a = −2  a = −1.
Vậy phương trình đường thẳng (d ) : y = - x + 3 .
c) Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là (d ) : y = ax + b(a  0)
Vì đường thẳng (d ) cắt trục hoành Ox tại điểm có hoành độ bằng 2 tức là điểm có x = 2; y = 0 hay
M (2;0)(d)  0 = 2.a + b  2a + b = 0 (1 )
Và có điểm C(1; 2) (d)  2 = 1.a + b  a + b = 2 ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) có a = −2;b = 4 .
Vậy phương trình đường thẳng (d ) : y = - 2x + 4
d) Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là (d ) : y = ax + b
(d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 suy ra (
A 0;3)  (d)  3 = 0.a + b  b = 3 ( 2  2 
d ) cắt trục hoành Ox tại điểm có hoành độ bằng  N ;0 (d)   3  3  2
 0 = .a + b  2a + 3b = 0 3 9
mà có b = 3 nên: 2a + 3.3 = 0  a = − 2 9
Vậy phương trình đường thẳng (d ) : y = - x + 3. 2
e) Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là (d ) : y = ax + b(a  0) .
Do (d ) đi qua điểm M (1;2) nên ta có: 2 = a + b  b = 2 − a .
Do (d ) đi qua điểm N (3;6) nên ta có: 6 = 3a + b , thay b = 2 − a vào ta được
6 = 3a + 2 − a  2a = 4  a = 2 .
Với a = 2  b = 0 .
Phương trình đường thẳng cần tìm là (d ) là y = 2x .
II. HÌNH H ỌC: ÔN TẬP CHƯƠNG 2 Trang 4 Bài 1.
Cho tam giác đều ABC , O là trung điểm của BC . Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm
di động D, E sao cho 0 DOE = 60
a) Chứng minh rằng tích B . D CE không đổi.
b) Chứng minh BOD đồng dạng với OED
c) Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB . Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với DE . Lời giải A E D O C B a) Ta có : BOC =180
BOD+DOE+EOC =180
DOE = 60 (gt) 
 BOD + EOC = 120 ( ) 1 Xét BOD có: 0
BOD + OBD + BDO =180 (t / c)  0 OBD  = 60 (gt) 0
 BOD + ODB =120 (2)
+ Từ (1) và (2) suy ra BDO = COE
BDO = COE(cmt)
+ Xét BOD, CEO có  0
DBO = OCE = 60 (gt)  BO  D# C  O
E (g − g) 2 BD BO BC BC BC + Vì  D BO ∽ CE  O  =  B . D CE = B . O CO = . = CO CE 2 2 4 Trang 5
Mà BC không đổi nên tích B .
D CE cũng không đổi BD DO BD DO BD BO
b) + Từ chứng minh trên B  OD ∽ C  EO  =  = ( vì OC=OB)  = CO OE BO OE OD OE  BD BO  =
+ Xét BOD, OE  D có OD OE  BOD  ∽ O
 ED(c − g − c)  0
DBO = DOE = 60 ( t g ) + Từ B  OD ∽ OED   BDO = O E
D suy ra DO là phân giác góc BDE (3)
c) + Vì ABC đều, có O là trung điểm của BC nên AO là tia phân giác của góc BAC (4)
+ Từ (3) và (4) kết hợp đường tròn tâm O tiếp xúc với AB (gt) suy ra O là tâm đường tròn bàng tiếp góc
A của tam giác ADE . Từ đó suy ra đường tròn này cũng tiếp xúc với DE (đpcm) Bài 2.
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB và một điểm E di động trên nửa đường tròn ( E
không trùng với A và B ). Vẽ các tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Tia AE cắt By tại
C , tia BE cắt Ax tại D .
d) Chứng minh rằng tích A . D BC không đổi.
e) Tiếp tuyến tại E của nửa đường tròn cắt Ax và By theo thứ tự tại M và N . Chứng minh rằng ba
đường thẳng MN, AB và CD đồng quy hoặc song song với nhau.
f) Xác định vị trí của điểm E trên nửa đường tròn để diện tích tứ giác ABCD nhỏ nhất. Tính diện tích nhỏ nhất đó. Lời giải D C M E N N' S A O B
a) Vì Ax, By là các tiếp tuyến của (O)  Ax ⊥  = 90o  + = 90o AB DAB ADB ABD . 1
Xét tam giác AEQ có EO = AO = BO = AB  A
 EB vuông tại E  + = 90o EAB EBA 2
Suy ra ADB = EAB . Trang 6
Xét ABD và BCA có: = = 90o DAB ABC
, ADB = EAB (Chứng minh trên)  A  DB ∽ B
 AC (g − g) . AD AB 2  =  A .
D BC = AB mà AB là bán kính, không đổi nên A .
D BC không đổi. (đpcm). AB BC
b) Xét (O) có tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến tại E cắt nhau tại M suy ra MA = ME  MAE  cân tại M  MAE = MEA. Mà + = 90o, + = 90o MAE MDE MEA MED
 MDE = MED  M
 DE cân tại M suy ra ME = MD 
MA = MD (1). Chứng minh tương tự ta có N là trung điểm của BC .
*TH1: Nếu AB / /CD  AB / /CD / /MN .
*TH2: Nếu AB cắt CD . Gọi S là giao điểm của AB và CD , SM cắt BC tại N ' . BN '
CN '  SN ' 
Vì AD / /BC (cùng vuông góc với AB ), áp dụng định lý Ta- lét ta có: = =  (2) AM DM  SM 
Từ (1) và (2) suy ra BN ' = CN '  N ' là trung điểm của BC  N  N '  MN đi qua S hay
AB,CD, MN đồng quy tại S (đpcm).
c) Vì AD / /BC nên tứ giác ABCD là hình thang vuông
AB ( AD + BC)  S =
= R AD + BC  R AD BC = R AB = R R = R ABCD ( ) 2 2 2 . 2 2 .2 4 2
Dấu bằng xảy ra khi AD = BC  MN / / AB  E là điểm chính giữa của nửa đường tròn.
Vậy khi E là điểm chính giữa của nửa đường tròn thì tứ giác ABCD có diện tích nhỏ nhất và min 2 S = 4R . ABCD HẾT Trang 7