Bài tập toán 9 tuần 5 (có đáp án và lời giải chi tiết)

BÀI TẬP TOÁN 9 TUẦN 5
I. ĐẠI SỐ: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI. Bài 1.
Giải phương trình: 1 a) 4x 12  x  3  9x  27  8 3
b) 36x  36  9x+9  4x  4  42  x 1 3 x  6 1 c)  7 x  3 6 2 x 1 1 d)  x  3 3 Bài 2.
Phân tích đa thức thành nhân tử  , m ,
n a,b  0 .
a) mn  1  m  n
b) a  b  2 ab  25
c) a  4 a  5
d) a  5 a  6 Bài 3. Tính giá trị
a) Lớn nhất của biểu thức A  14 x  x
b) Nhỏ nhất của biểu thức B  x  4 x  12 x  2 Bài 4.
Tìm giá trị x nguyên để biểu thức A 
nhận giá trị nguyên. x  5 Bài 5.
Cho các số không âm a , b , c . Chứng minh: a  b 1 a)  ab . b) a  b  a  b . c) a  b   a  b . 2 2 a  b a  b
d) a  b  c  ab  bc  ca . e)  . 2 2 Bài 6.
Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a) A 
x  2  4  x .
b) B  6  x  x  2 . c) C  x  2  x . II. HÌNH HỌC: Bài 1.
Cho tam giác ABC vuông ở A , AB  6cm ; AC  8cm. a) Tính BC , ˆ ˆ B, C .
b) Phân giác của  cắt BC tại D . Tính BD , CD .
c) Từ D kẻ DE và DF lần lượt vuông góc với AB , AC . Tứ giác AEDF là hình gì?
d) Tính chu vi và diện tích tứ giác AEDF . Bài 2.
Cho tam giác ABC cạnh AB  6c ;
m AC  4, 5c ;
m BC  7, 5cm .
a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông. Tính góc B , góc C và đường cao AH của tam giác.
b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho diện tích tam giác ABC bằng diện tích tam giác BMC . Bài 3.
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH chia BC thành hai đoạn BH  5c ,
m CH  20cm . Chứng minh ˆ ˆ tgB  4tgC .
…………………………………….HẾT……………………………………. Trang 1
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT I.
ĐẠI SỐ: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI. Bài 1:
Giải phương trình: 1 a) 4x 12  x  3  9x  27  8 3
b) 36x  36  9x+9  4x  4  42  x 1 3 x  6 1 c)  7 x  3 6 2 x 1 1 d)  x  3 3 Lời giải a) ĐKXĐ: x  3 1 4x  12  x  3  x  27  8 3  1   2 1 x  3  8 
x  3  3  x  3  9  x  12 (TM )    3  b) ĐKXĐ: x  1  36x  36  9x  9  4x+4  42 
x  1  6  3  2   1 x  1  42
 x 1  7  x 1  49  x  48TM  9
c) ĐKXĐ: x  0; x  49 6    x 
3 x 6 7 x 3 3 6 1      x 
 x   x  TM 7 x  3 6 67 x  3 0 11 33 3 9  
d) ĐKXĐ: x  0; x  9 3    x 
2 x 1  x 3 2 1 1     x  3 3 x  3 0 3  5 x  6  (Vô lý vì 5 x  0 x   0; x  9 )
Vậy phương trình đãch o vô nghiệm. Bài 2:
Phân tích đa thức thành nhân tử  , m ,
n a,b  0 .
a) mn  1  m  n .
b) a  b  2 ab  25 Trang 2
c) a  4 a  5 .
d) a  5 a  6 . Lời giải a)
mn  1  m  n   mn  m    n   1   n   1  m   1 b) Ta có:
a  b  2 ab  25  a  b  2 ab   25
  a  b2 2
 5   a  b  5 a  b  5
c) a  4 a  5  a  a   5 a  5   a   1  a  5
d) a  5 a  6  a  2 a   3 a  6   a  2 a  3 Bài 3: Tính giá trị
a) Lớn nhất của biểu thức A  14 x  x
b) Nhỏ nhất của biểu thức B  x  4 x  12 . Lời giải
a) Ta có: A  x  x 
   x  2 14 49 49 7  49  0  49 Do  x  2 7  0 x   0
Vậy GTLN của A  49 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x  7  0  x  49
b) Ta có: B  x  x 
 x  x      x  2 4 12 4 4 8 2  8  8 Vì  x  2 2  0 x   0
Vậy GTNN của B  8 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x  2  0 
x  2  x  4 . x  2 Bài 4.
Tìm giá trị x nguyên để biểu thức A 
nhận giá trị nguyên. x  5 Lời giải x  0  x  0  x  0
+) Điều kiện xác định:       x 5  0  x  5 x  25 x  2 x  5  7 7 +) A   1 x  5 x  5 x  5
+) Trường hợp 1: Nếu x không là số chính phương
 x  5 là số vô tỉ Trang 3  7 A  1 là số vô tỉ x  5
 AZ loaïi
+) Trường hợp 2: Nếu x là số chính phương 7 7 A  1 là số nguyên 
là số nguyên  x  5Ö 7 x  5 x  5 x  5 7  1 1 7 x 2  4 6 12 x loaïi 16 thoûa maõn
36 thoûa maõn 144 thoûa maõn
Vậy x 16 , x  36 , x  144 là các giá trị cần tìm. Bài 5.
Cho các số không âm a , b , c . Chứng minh: a  b a)  ab . 2 b) a  b  a  b . 1 c) a  b   a  b . 2
d) a  b  c  ab  bc  ca . a  b a  b e)  . 2 2 Lời giải a  b a)  ab . 2
Với a, b  0 ta có:  a  b 2  0
 a  b  2 ab  0
 a  b  2 ab a  b 
 ab ñpcm 2 a  b
Vậy với a, b  0 thì  ab . 2
Dấu "  " xảy ra khi a  b  0 
a  b  a  b  0 . b) a  b  a  b . Trang 4
Với a, b  0 ta có: 2 ab  0
 a  b  2 ab  a  b
   2    2 a b a b
 a  b  a  b ñpcm
Vậy với a, b  0 thì a  b  a  b .  a  0 a  0
Dấu "  " xảy ra khi ab  0     .   b  0 b 0 1 c) a  b   a  b . 2 2 2  1   1 
Với a, b  0 ta có: a   b   0      2   2  1 1
 a  a   b  b   0 4 4 1
 a  b   a  b ñpcm 2 1
Vậy với a, b  0 thì a  b   a  b . 2  1  1  1 a   0 a  a      2  2  4 Dấu "  " xảy ra khi      1 1 1  b 0  b b       2  2  4
d) a  b  c  ab  bc  ca . 2 2 2 Với a, ,
b c  0 ta có:  a  b   b  c    c  a   0
 a  2 ab  b  b  2 bc  c  c  2 ca  a  0
 a  b  b  c  c  a  2 ab  2 bc  2 ca
 2a  b  c  2 ab  2 bc  2 ca
 a  b  c  ab  bc  ca ñpcm Vậy với a, ,
b c  0 thì a  b  c  ab  bc  ca .
 a  b  0 
Dấu "  " xảy ra khi  b  c  0  a  b  c  a  b  c
 c  a  0  Trang 5 a  b a  b e)  . 2 2
Với a, b  0 ta có:  a  b 2  0
 a  b  2 ab  0
 a  b  2 ab
 2a  b  a  b  2 ab
       2 2 a b a b
 2a b  a  b a  b a  b   ñpcm 2 2 a  b a  b
Vậy với a, b  0 thì  . 2 2
Dấu "  " xảy ra khi a  b  0 
a  b  a  b  0 . Bài 6.
Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a) A 
x  2  4  x .
b) B  6  x  x  2 . c) C  x  2  x . Lời giải
Với a, b  0 ta có:  a  b 2  0
 a  b  2 ab  0
 a  b  2 ab
 2a  b  a  b  2 ab
       2 2 a b a b
 2a b  a  b
Vậy với a, b  0 thì 
2a  b  a  b . Dấu "  " xảy ra khi a  b  0 .   1 a) A 
x  2  4  x . Trang 6 x  2  0 x  2
+) Điều kiện xác định:     2  x  4 4  x  0 x  4 +) Áp dụng   1 ta có: A 
x  2  4  x  2 x  2  4  x  A  2 2  x  4
Vậy giá trị lớn nhất của A là 2 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi   x  3.
x  2  4  x
b) B  6  x  x  2 . 6  x  0 x  6
+) Điều kiện xác định:     2   x  6 x  2  0 x  2  +) Áp dụng  
1 ta có: B  6  x  x  2  26  x  x  2  B  4  2   x  6
Vậy giá trị lớn nhất của B là 4 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi   x  2
6  x  x  2 c) C  x  2  x . x  0 x  0
+) Điều kiện xác định:     0  x  2 2  x  0 x  2 +) Áp dụng   1 ta có: C 
x  2  x  2 x  2  x C  2 0  x  2
Vậy giá trị lớn nhất của C là 2 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi   x 1. x  2  x II. HÌNH HỌC: Bài 1.
Cho tam giác ABC vuông ở A , AB  6cm ; AC  8cm. a) Tính BC , ˆ ˆ B, C .
b) Phân giác của  cắt BC tại D . Tính BD , CD .
c) Từ D kẻ DE và DF lần lượt vuông góc với AB , AC . Tứ giác AEDF là hình gì?
d) Tính chu vi và diện tích tứ giác AEDF . Lời giải A F E C B D
a) Theo định lý Py-ta-go ta có Trang 7 2 2 2 2 2 2 2         BC AB AC BC AB AC 6 8 10cm . AB 6 3 ' ' ' ˆ ˆ ˆ sinC     C  36 5
 2  B  90  36 5  2  53 8  . BC 10 5
b) Theo tính chất của đường phân giác ta có: BD AB 6 3 BD 3 BD 3 30         BD  cm . CD AC 8 4 CD  BD 4  3 BC 7 7 30 40
CD  BC  BD  10   cm . 7 7
c) Tứ giác AEDF có ˆ ˆ ˆ
A  E  F  90 nên AEDF là hình chữ nhật. Lại có đường chéo AD
đồng thời là tia phân giác nên AEDF là hình vuông. d) Ta có DE  AB    DE// AC . AC  AC  Theo định lý Talet : BD ED BD 30 / 7 24   ED  .AC  .8  cm . BC AC BC 10 7 24 96
Chu vi hình vuông AEDF : P  .4  cm . 7 7 2  24  576
Diện tích hình vuông AEDF : 2 S   cm   .  7  49 Bài 2.
Cho tam giác ABC cạnh AB  6c ;
m AC  4, 5c ;
m BC  7, 5cm .
a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông. Tính góc B , góc C và đường cao AH của tam giác.
b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho diện tích tam giác ABC bằng diện tích tam giác BMC . Lời giải A M C K B H a) Ta có: 2 2 2 2     AB AC 6 4,5 56, 25 2 2  BC  7,5 56, 25 2 2 2
 BC  AB  AC  ABC  vuông tại A. Trang 8 AC 4, 5 3 ' ' ˆ ˆ ˆ sin B     B  36 5  2  C  53 8  . BC 7, 5 5 A . B AC 6.4, 5
AH.BC  AB.AC  AH    3,6cm . BC 7, 5 b) Phần thuận:
Kẻ MK vuông góc với BC tại K . Ta có 1 S  AH.BC ABC  2 1 S  MK.BC M  BC 2 S  S
 AH  MK  3,6cm . A  BC A  BC
Vậy M di chuyển trên đường thẳng d song song với BC , cách BC một khoảng bằng AH hay 3,6 cm. Phần đảo
Lấy điểm M d . Kẻ M K
   BC . Vì d cách BC một khoảng bằng AH nên M K    AH . Do đó 1 1 S        M K .BC AH.BC S . M BC  2 2 ABC Kết luận:
Tập hợp các điểm M sao cho diện tích tam giác ABC bằng diện tích tam giác BMC là đường thẳng
song song với BC , cách BC một khoảng bằng AH hay 3,6 cm. Có 2 đường thẳng như thế. Bài 3.
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH chia BC thành hai đoạn BH  5c ,
m CH  20cm . Chứng minh ˆ ˆ tgB  4tgC . Lời giải A B 5 20 H C AH AH
Trong tam giác vuông HAB ta có ˆ tgB   BH 5 AH AH
Trong tam giác vuông HAC ta có ˆ tgC   CH 20 Do đó ˆ ˆ tgB  4tgC .  HẾT  Trang 9