-
Thông tin
-
Quiz
Bài tập tóm tắt Chương 2, 3 - Toán Kinh Tế | Trường Đại học Tôn Đức Thắng
1. $10 000 is invested for 6 years at an annual simple interest rate (lãi suất năm) of 6%. (a) How much interest will be earned? (b) What is the future value of the investment at the end of the 6 years? 2. If you borrow $800 for 6 months at 6% annual simple interest, how much must you repay at the end of the 6 months? Tài liệu được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Toán Kinh Tế (C01120) 73 tài liệu
Đại học Tôn Đức Thắng 3.5 K tài liệu
Bài tập tóm tắt Chương 2, 3 - Toán Kinh Tế | Trường Đại học Tôn Đức Thắng
1. $10 000 is invested for 6 years at an annual simple interest rate (lãi suất năm) of 6%. (a) How much interest will be earned? (b) What is the future value of the investment at the end of the 6 years? 2. If you borrow $800 for 6 months at 6% annual simple interest, how much must you repay at the end of the 6 months? Tài liệu được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Môn: Toán Kinh Tế (C01120) 73 tài liệu
Trường: Đại học Tôn Đức Thắng 3.5 K tài liệu
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
BÀI TẬP TOÁN KINH TẾ
Chương 2. Toán tài chính căn bản 2.1 Lãi đơn
Lãi: I = P ⋅ r ⋅t
Giá trị tương lai: S = P + I = P + P ⋅ r ⋅ t = P(1 + r ⋅t) Bài tập:
1. $10 000 is invested for 6 years at an annual simple interest rate (lãi suất năm) of 6%.
(a) How much interest will be earned?
(b) What is the future value of the investment at the end of the 6 years?
2. If you borrow $800 for 6 months at 6% annual simple interest, how much must you repay at th end of the 6 months?
3. If you lend $3500 to a friend for 15 months at 8% annual simple interest, find the future value o the loan.
4. A couple bought some stock (cổ phiếu) for $30 per share that pays an annual dividend (cổ tứ
hằng năm) of $0.90 per share. After 1 year the price of the stock was $33. Find the simple interes
rate on the growth of their investment.
5. Janie Christopher lent $6000 to a friend for 90 days at 12%. After 30 days, she sold the note to
third party for $6000. What annual simple interest rate did the third party receive? Use 360 day in a year.
6. A student has a savings account earning 9% simple interest. She must pay $1500 for first-semes
tuition by September 1 and $1500 for second-semester tuition by January 1. How much must sh
earn in the summer (by September 1) in order to pay the first-semester bill on time and still hav
the remainder of her summer earnings grow to $1500 between September 1 and January 1?
7. What is the present value of an investment at 6% annual simple interest if it is worth $832 in months?
8. If $5000 is invested at 8% annual simple interest, how long does it take to be worth $9000?
9. Nếu bạn gửi ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất năm 5%, theo phương thức lãi đơn thì tổng số
tiền bạn thu được sau 6 năm là bao nhiêu? 10.
Nếu bạn gửi ngân hàng 50 triệu đồng với lãi suất năm 4%, theo phương thức lãi đơn thì tổng
số tiền bạn thu được sau 5 năm là bao nhiêu? 11.
Nếu bạn gửi ngân hàng 60 triệu đồng với lãi suất năm 4%, theo phương thức lãi đơn thì sau
bao lâu, tổng số tiền bạn thu được là 72 triệu đồng? 12.
Anh A gửi ngân hàng 90 triệu đồng, trong 2 năm. Tổng số tiền anh A thu được là 99 triệu
đồng. Tìm mức lãi đơn của khoản đầu tư này. 1 2.2 Lãi kép n
Chu kỳ tính lãi theo năm:
S = P (1 + r ) với n là số năm tính lãi. m⋅t r
Chu kỳ tính lãi nhỏ hơn 1 năm: S = P 1 + , ố ầ ă là số năm.
m là s l n tính lãi trong n m và t m
1. What is the future value if $8600 is invested for 8 years at 10% compounded semiannually?
2. What are the future value and the interest earned if $3200 is invested for 5 years at 8% compounded quarterly?
3. What interest will be earned if $6300 is invested for 3 years at 12% compounded monthly?
4. What present value amounts to $10,000 if it is invested for 10 years at 6% compounded annually
5. What present value amounts to $300,000 if it is invested at 7%, compounded semiannually, for 1 years?
6. If $10,000 had been invested in the Sagamore Capital Opportunity Fund on September 30, 200
it would have been worth $46,649.55 on September 30, 2014. What interest rate, compounde
annually, did this investment earn?
7. At what nominal rate, compounded quarterly, would $20,000 have to be invested to amount t $26,425.82 in 7 years?
8. A couple needs $45,000 as a down payment for a home. If they invest the $30,000 they have
8% compounded quarterly, how long will it take for the money to grow into $45,000?
9. How long does it take for an account containing $8000 to be worth $15,000 if the money is
invested at 9% compounded monthly?
10. Track the future values of two investments of $5000, one at 6.3% compounded quarterly an
another at 6.3% compounded monthly for each interest payment period for 10 years.
(a) How long does it take each investment to be worth more than $7500?
(b) What are the values of each investment after 3 years, 7 years, and 10 years?
11. Nếu bạn gửi ngân hàng 90 triệu đồng với lãi suất năm 5%, theo phương thức lãi kép, 3 tháng
tính lãi một lần thì tổng số tiền bạn thu được sau 6 năm là bao nhiêu?
12. Nếu bạn gửi ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất năm 6%, theo phương thức lãi kép, 6 tháng
tính lãi một lần thì tổng số tiền bạn thu được sau 3 năm là bao nhiêu?
13. Nếu bạn gửi ngân hàng 120 triệu đồng với lãi suất năm 6%, theo phương thức lãi kép, 9 tháng
tính lãi một lần thì tổng số tiền bạn thu được sau 4 năm là bao nhiêu?
14. Bạn gửi ngân hàng 150 triệu đồng với lãi suất năm 6%, theo phương thức lãi kép, 6 tháng tính
lãi một lần. Bạn phải đầu tư trong bao lâu để có tổng cộng 190 triệu đồng.
15. Công ty du lịch VITOURS dự định sau 2 năm nữa sẽ thành lập một đội xe du lịch có giá trị tổng
cộng khoảng 12 (tỷ đồng). Với lãi suất năm là 15,6% thì công ty phải gửi bao nhiêu tiền vào
ngân hàng để có đủ số tiền trên. Biết phương thức tính lãi kép a. Theo năm 2 b. Theo quý c. Theo tháng
16. Anh A dự định mua một chiếc ô tô sau 6 năm nữa. Hiện nay anh đang có 450 triệu đồng và anh
quyết định gửi toàn bộ số tiền này vào ngân hàng với lãi suất năm 14,5%. Hãy xác định số tiền
mà anh sẽ có được sau 6 năm nếu phương thức tính lãi suất là a. Theo năm b. Theo nửa năm c. Theo quý d. Theo tháng e. Theo ngày
f. Lãi suất được tính liên tục: rt S = Pe .
17. Công ty ABC vay ngân hàng một khoản vốn với mức lãi suất thay đổi như sau:
• 9%/năm trong 36 tháng đầu tiên
• 12%/năm trong 18 tháng tiếp theo
• 13%/năm trong 12 tháng cuối
Nếu lãi kép 6 tháng tính lãi 1 lần. Hãy xác định:
a) Nếu công ty vay 1 tỷ VNĐ thì đến ngày đáo hạn (ngày trả nợ), công ty phải trả cho ngân hàng
tổng cộng bao nhiêu tiền. Tính số tiền lãi mà ngân hàng thu được.
b) Số vốn công ty vay ban đầu nếu đáo hạn công ty phải trả cả vốn lẫn lãi là 2 tỷ VNĐ.
c) Tính lại câu a) và b) nếu áp dụng phương pháp tính lãi đơn. Giải: a) 2 (. ) 3 2 (.1.5) 2 (. ) 1 0.09 0.12 0.13 S = 1 1 + 1 + 1 + = 1.759 2 2 2
I = S − P = 1.579 − 1 = 0.759 b) 2 (.3) 2 (.1. ) 5 2 (. ) 1 0.09 0.12 0.13 2 = P 1 + 1 + 1 + 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 1 − 2. 3 2. 1.5 2. 1 0.09 0.12 0.13 ⇒ P = 2 1 + 1 + 1 + = 2 2 2 c) 0.09 0.12 0.13 S = (
P 1 + n r + n r + n r ) = 1 1 + 6. + 3. + 2. = 1.58 1 1 2 2 3 3 2 2 2
I = S − P = 0.58 3 0.09 0.12 0.13 2 = P 6. + 3. + 2. 2 2 2 −1 0.09 0.12 0.13 ⇒ P = 2 6. +3. +2. = 2 2 2
18. Công ty ABC vay ngân hàng một khoản vốn với mức lãi suất thay đổi như sau:
• 11%/năm trong 27 tháng đầu tiên;
• 10,6%/năm trong 18 tháng tiếp theo;
• 12%/năm trong 39 tháng cuối.
Nếu lãi kép 3 tháng 1 lần. Hãy xác định:
a) Nếu công ty ABC vay ngân hàng 2 tỷ đồng, tính số tiền công ty phải trả cho ngân hàng vào ngày đáo hạn.
b) Số vốn công ty vay ban đầu nếu đáo hạn công ty phải trả cả vốn lẫn lãi là 3 509 089 700 đồng.
19. Bạn A đã gửi 250 triệu đồng vào Ngân hàng Navibank với phương thức tính lãi kép theo tháng,
sau thời hạn 2 năm Bạn A đã nhận được số tiền 280 triệu đồng (nhận một lần). Hãy xác định lãi
suất năm của Ngân hàng Navibank tại thời điểm A gửi tiền.
2.3 Giá trị tương lai của dòng tiền ( n 1 + ) i − 1
Dòng tiền đầu kỳ: S = R (1 +i) i ( n 1 +i ) −1
Dòng tiền cuối kỳ: S = R i
1. Tính giá trị tương lai của một dòng tiền chi trả 15 triệu đồng ở đầu mỗi 3 tháng trong 4 năm với
lãi suất năm 5%, phương thức tính lãi kép, 3 tháng tính lãi một lần.
2. Tính giá trị tương lai của một dòng tiền chi trả 20 triệu đồng ở đầu mỗi 6 tháng trong 5 năm với
lãi suất năm 6%, phương thức tính lãi kép, 6 tháng tính lãi một lần.
3. Tính giá trị tương lai của một dòng tiền chi trả 25 triệu đồng ở đầu mỗi 9 tháng trong 5 năm với
lãi suất năm 7%, phương thức tính lãi kép, 9 tháng tính lãi một lần.
2.4 Giá trị hiện tại của dòng tiền n − 1− (1+ i )
Dòng tiền đầu kỳ: A = R +i n (1 ) i − n 1 − (1 +i)
Dòng tiền cuối kỳ: A = R n i 4
1. Tính giá trị hiện tại của một dòng tiền chi trả 15 triệu đồng ở cuối mỗi 5 tháng trong 5 năm với lãi
suất năm 5%, phương thức tính lãi kép, 5 tháng tính lãi một lần.
2. Tính giá trị hiện tại của một dòng tiền chi trả 10 triệu đồng ở cuối mỗi 3 tháng trong 4 năm với lãi
suất năm 5%, phương thức tính lãi kép, 3 tháng tính lãi một lần.
3. Cho lãi suất ngân hàng là 9% năm. Một công ty đề nghị bạn góp vốn 3500$ vào đầu năm và cam
kết sẽ trả hàng năm (vào cuối các năm) 750$ liên tục trong 7 năm. Bạn có góp vốn hay không? Giải:
Ta cần tìm giá trị hiện tại của dòng tiền mà ta nhận được trong tương lai và so sánh với số tiền mà ta bỏ ra ban đầu là 3500$.
Giá trị hiện tại của dòng tiền này là − 1 − (1 +0.09) 7 A = 750 = 3774.715 7 0.09
Như vậy, khoản tiền ta nhận được trong tương lai đáng giá
37 74.715 USD ở hiện tại. Do đó, ta nên
bỏ ra 3500 USD đầu tư vào dự án này.
4. Có 3 dự án cùng một số vốn ban đầu là 10 000$ và có các luồng thu nhập (CF) sau: Dự án A Năm 1 2 3 CF 4000$ 4000$ 4000$ Dự án B Năm 1 2 3 CF 3000$ 5000$ 4000$ Dự án C Năm 1 2 3 CF 4000$ 5000$ 3000$
Nếu phải lựa chọn một trong 3 dự án trên, bạn chọn dự án nào? Cho rằng lãi suất ngân hàng là 6%. HD:
Ta chọn dự án nào có giá trị hiện tại lớn hơn. 4000 4000 4000 P = + + A 1 + 0.06 (1 + 0.0 )2 6 (1 + 0.06)3 3000 5000 4000 P = + + B 1 + 0.06 (1 + 0.0 )2 6 (1 + 0.06)3 4000 5000 3000 P = + + C 1 + 0.06 (1 + 0.0 )2 6 (1 + 0.06)3
5. Công ty ô tô giải phóng bán xe VIOS theo 2 phương án sau:
Phương án A: Trả tiền luôn 1 lần với giá là 18000$. 5
Phương án B: Trả ngay 5000$ và nhận xe, phần còn lại trả góp theo từng quí (liên tục trong 6 quí)
mỗi quí 2459$; cho ngân hàng tính lãi suất năm là 6%, 3 tháng tính lãi 1 lần. Nếu cần mau xe bạn
chọn phương án thanh toán nào? HD:
Ta tính giá trị hiện tại của phương án B 6 − 0.06 1 − 1 + 4 P = 5000 + 2459 = 19009.38 B 0.06 4
Do đó, ta lựa chọn phương án A. (Với điều kiện có đủ tiền mặt).
6. Dự án A cần một số vốn ban đầu là 48.000 U
SD và thu lại được số tiền lần lượt là 10.000 USD ,
30.000 USD và 20.000 USD ở cuối các năm 1, 2 và 3. Dự án B cũng cần một số vốn ban đầu là
48.000 USD và thu lại được số tiền lần lượt là 10.000
USD , 20.000 USD và 30.000 USD ở cuối
các năm 1, 2 và 3. Nếu mức lãi suất tiền gửi hằng năm là 6% thì ta nên đầu tư vào dự án nào hơn? 6
Chương 3. Đạo hàm, Tích phân và ứng dụng 3.1 Đạo hàm:
1. Tính đạo hàm cấp 1 các hàm số sau:
2. Tìm đạo hàm cấp 2 của các hàm số sau:
3. Tìm nguyên hàm các hàm số sau:
4. Tính các tích phân sau:
3.2 Một số hàm thường gặp trong phân tích kinh tế
Hàm doanh thu (Revenue function, Total revenue function):
R (x )= p ⋅ x
• Thị trường cạnh tranh: ta có giá cạnh tranh p = p . 0
• Thị trường độc quyền: giá xác định bởi hàm cầu (demand functio p n) = f (x). R x
Hàm doanh thu trung bình (Average revenue function): R (x ) ( ) = . x
Hàm doanh thu biên (Marginal revenue function): MR(x) / = R (x), R(x ) = MR ∫
(x)dx và R( )0 = 0.
1) Suppose that demand for local cable TV service is given p by
= 80 −0.4x where is the monthly p price in dollars and
x is the number of subscribers (in hundreds). (subscribers = số lượng thuê bao
(a) Find the total revenue as a function of the number of subscribers. (Tìm hàm doanh thu)
(b) Find the number of subscribers when the company charges $50 per month for cable service.
find the total revenue for p=50 USD.
(c) How could the company attract more subscribers?
(d) Find and interpret the marginal revenue when the price is 50 USD per month. What does
suggest about the monthly charge to subscribers?
2) If the revenue function for a product is ( ) 2 60x R x = , find the marginal revenue. 2x + 1 Giải: / 120 60 x (2x + )1− 2( 2 2 60x 120x x x + 1 / ) ( )
MR (x ) = R (x ) = = = . 2x +1 (2x + )2 1 (2x +1)2
3) A firm has total revenues given by ( ) 2 60x R x =
for x units of a product. Find the maximum 2x +1
revenue from sales of that product.
4) A company handles an apartment building with 70 units. Experience has shown that if the rent
each of the units is $1080 per month, all the units will be filled, but 1 unit will become vacant f 7
each $20 increase in the monthly rate. What rent should be charged to maximize the total rev
from the building if the upper limit on the rent is $1300 per month? 5) For R(x) 2 3
= 2000x + 200x − x ,
a) find the maximum average revenue. b) show that ( R )
x attains its maximum at an x -value where
R (x) = MR(x). Giải:
a) Tìm hàm doanh thu trung bình R (x ) R (x ) 2 =
= 2000+ 200x −x x Tìm cực trị của hàm
R (x). (Tính đạo hàm, tìm nghiệm và lập bảng biến thiên)
b) Kiểm tra rằng, tại điểm x = x mà hàm R(x)đạt cực đại thì ( R x = MR x . 0 ) ( 0 ) 0
6) Cho hàm doanh thu biên của một sản phẩm M R (x ) 800 = . Tìm hàm doanh thu R(x). x + 2 HD: R(x) = MR ∫ (x) 800 dx =
dx = 800 ln x +2 + K ∫ x + 2
R(0) = 0 ⇔ 800ln 0 + 2 + K = 0 ⇔ K = 8 − 00ln 2
⇒ R(x) = 800ln x +2 −800ln2
7) Cho hàm doanh thu biên của một sản phẩm MR (x ) 600 = + 2. Tìm hàm doanh thu R (x). 3 x + 1 HD: R(x) = MR ∫ (x) 600 dx = + 2 d ∫
x = 400 3x + 1 + 2x + K 3x + 1 R(0) = 0 ⇔ 400 3( )
0 +1 + 2 (0) + K = 0 ⇔ K = 4 − 00
⇒ R(x) = 400 3x + 1 + 2x − 400 −
8) Cho hàm doanh thu biên của một sản phẩm M R (x ) 30 = + 30. Tìm hàm doanh thu R(x). (2x + )2 1 HD: 8 − R(x) = MR ∫ (x) 30 15 dx = + 30 d ∫ x = + 30x + K ( + x + )2 2x 1 2 1
9) Cho hàm doanh thu biên của một sản phẩm M R (x ) 40000 = 60000− . Tìm hàm doanh thu R (x). (10+ x)2 HD: R(x) = MR ∫ (x) 40000 40000 dx = 6 0000− d ∫ x = 60000x + + K ( + )2 10 10 + x x 10)
Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm và tiêu thụ sản phẩm đó trên thị trường vớ
hàm cầu x =160 − 4p (nghìn sản phẩm). Giá
p của mỗi sản phẩm tính theo USD. Tìm hàm doanh
thu biên tại mức sản lượng x = 50 Nêu ý nghĩa đại lượng này. HD:
p = 40 − 0.25 ( ) = (= − ) = − Hàm doanh thu 2 R x px 40 0.25x x 40x 0.25 ( ) = / ( ) Hàm doanh thu biên MR x R x = 40− 0.5 ( )= − ( ) MR 50 40 0.5 50 = 1
Doanh thu sản phẩm thứ 51 nghìn xấp xỉ 15 nghìn USD. 11)
Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm và tiêu thụ sản phẩm đó trên thị trường vớ
hàm cầu p = 300 − 0.2x (x: nghìn sản phẩm, p: USD). Tìm hàm doanh thu biên tại mức sản lượng
x = 650 Nêu ý nghĩa đại lượng này. HD: ( ) = (= − ) = − Hàm doanh thu 2 R x px 300 0.2x x 300x 0.2 ( ) = / ( ) Hàm doanh thu biên MR x R x = 300− 0.4x ( )= − ( ) MR 50 300 0.4 650=
Doanh thu sản phẩm thứ 651 nghìn xấp xỉ 40 nghìn USD. Hàm chi phí: x
Ví dụ: C (x) 2 = 30x + +100 . Khi đó, C ( )
0 =100 được gọi là chi phí cố định. 10 9 C x
Hàm chi phí trung bình: C (x ) ( ) =
là chi phí trung bình mỗi sản phẩm khi sản xuấ x t sản x phẩm.
Hàm chi phí biên: MC ( ) / x = C ( ) x , C (x ) = MC ∫
(x )dx và C (0) =chi phí cố định.
1) Hàm chi phí biên của một sản phẩm
M C(x) = 6x + 4 , đơn vị USD. Chi phí sản xuất 100 sản phẩm là 31 400 USD.
a) Tìm chi phí cố định. b) Tìm hàm chi phí C (x).
c) Tìm chi phí khi sản xuất 200 sản phẩm.
2) Hàm chi phí biên của một sản phẩm M
C (x )= ( x + )12 3 2
25 , đơn vị USD. Chi phí sản xuất cố định là 11125 USD. a) Tìm hàm chi phí C (x).
b) Tìm chi phí khi sản xuất 300 sản phẩm.
3) Hàm chi phí biên của một sản phẩm M C (x ) 100 =
, đơn vị USD. Chi phí cố định là 8000 USD. x + 1 a) Tìm hàm chi phí C (x).
b) Tìm chi phí khi sản xuất 99 sản phẩm. 4) Cho hàm tổng chi phí C (x) 2
= 0,2x −0,3x +10, với x ≥ 0 là mức sản lượng. a) Tìm hàm chi phí biên MC (x ). b) Tính MC (10 )
0 . Giải thích ý nghĩa kết quả tìm được.
5) If the total cost function for a lamp is C (x) 2
= 250+ 33x + 0.1x dollars, producing how many units,
x, will result in a minimum average cost per unit? Find the minimum average cost. 6) For the cost function C (x) 2
= 25 +13x + x , show that average costs are minimized at t x h - e v alue
where C (x) =MC (x ).
Hàm lợi nhuận: P (x) = R(x )−C (x)
Hàm lợi nhuận trung bình: ( ) /
MP x = P (x)
1) Cho biết hàm doanh thu và hàm chi phí (tính theo USD) của một sản phẩm R (x ) 2 = x − x C (x ) 3 2 1400 7.5 ,
= x − 6x + 140x + 750. a) Tìm hàm lợi nhuận P (x ). b) Tính P (2 ) 0 . Nêu ý nghĩa. 10
c) Tìm hàm lợi nhuận biên MP (x ) / = P (x ).
d) Tính MP (15). Nêu ý nghĩa.
e) Hãy tìm mức sản lượng tối ưu (cho lợi nhuận tối đa). Giải: a) Hàm lợi nhuận:
P (x) = R (x )− C (x ) 2
= 1400x − 7.5x −( 3 2
x − 6x + 140x + 75 ) 0 = 3 2
= −x − 1.5x + 1260x − 750. P ( ) = − − ( )2 3 20 20 1.5 20 + 1260 (2 ) 0 − 750 = 15850
Lợi nhuận khi sản xuất 20 đơn vị sản phẩm là 15850 USD.
MP(x) = P (x) =( x − − x + x − )/ / 3 2 2 1.5 1260 750 = 3
− x −3x +1260 MP( ) = − ( )2 15 3 15 −3 (15) +1260 = 540
Lợi nhuận khi bán sản xuất đơn vị sản phẩm thứ 16 xấp xỉ 540 USD. = − MP( ) x 21 2
x = 0 ⇔ − 3x − 3x + 1260 = 0 ⇔ x
= 20 ⇒ P (20)= 15850 Bảng biến thiên.
Lợi nhuận lớn nhất là 15850 USD khi sản xuất 20 đơn vị sản phẩm.
2) Cho biết hàm doanh thu và hàm chi phí của một sản phẩm ( R x) 2 = x − x C (x) 3 2 4000 33 ,
= 2x − 3x + 400x + 5000.
Hãy chọn mức sản lượng tối ưu (cho lợi nhuận tối đa).
3) Cho biết hàm doanh thu và hàm chi phí của một sản phẩm R (x ) 2 = x − x C (x ) 3 2 4350 13 ,
= x −5.5x +150x +675
Hãy chọn mức sản lượng tối ưu (cho lợi nhuận tối đa). 100
4) Hàm chi phí trung bình (tính theo USD) của một sản phẩm có đạo hàm cho Cb / ở=i: 4x+ 3− . 2 x
Biết rằng chi phí trung bình khi sản xuất 10 sản phẩm là 300 USD. ( ) ( )
a. Tìm hàm chi phí trung bình
C x Tình C 20 và nêu ý nghĩa. b. Tìm hàm chi phí ( ) C x Tình ( ) C 20 và nêu ý nghĩa. ( ) ( ) c. Tìm hàm chi phí biên
MC x Tình MC 20 và nêu ý nghĩa.
d. Giá bán của sản phẩm này cho bở p i
= 200 − 0.5x. Tìm hàm doanh thu. Hàm doanh thu trung bình
và doanh thu trung bình khi bán 20 sản phẩm. 11
e. Tìm hàm lợi nhuận và lợi nhuận lớn nhất nếu mức sản lượng không vượt quá 5 đơn vị sản phẩm. Giải: ( ) / = ( ) 100 100 a. Hàm chi phí trung bình = + − = 2 C x C x dx 4x 3 dx 2x + 3x+ +K ∫ ∫ 2 x x ( )= ⇔ ( )2 + ( ) 100 C 10 300 2 10 3 10+ + K= 300⇔ K= 6 10 ( )= 2 100 C x 2x + 3x + + 60 x ( )= ( )2+ ( )100 C 20 2 20 3 20+ + 60= 92 20
Khi sản xuất 20 đơn vị sản phẩm thì chi phí trung bình trên một sản phẩm là 925 USD. 100 b. Hàm chi phí ( )= ⋅ ( )= 2 + + + = 3 + 2 C x x C x x 2x 3x 60 2x 3x + 60x+ 1 x ( ) = ( )3 + ( ) 2+ ( ) + = ( ) C 20 2 20 3 20 60 20 100 18500 US ( )
Tổng chi phí khi sản xuất 20 đơn vị sản phẩm là 18 500 USD ( ) c. Hàm chi phí biên = 2 MC x 6x + 6x + 60 ( ) = ( )2+ ( ) MC 20 6 20 6 20+ 60= 258
Chi phí sản xuất đơn vị sản phẩm thứ 21 xấp xỉ 2580 USD. d. Hàm doanh thu ( ) = ( = − ) = − 2 R x px 200 0.5x x 200x 0.5 Hàm doanh thu trung bình ( ) ( ) R x R x = = 200− 0.5x x ( ) = − ( )
Doanh thu trung bình khi bán 20 sản phẩm R 20 200 0.5 20= 19
Nếu sản xuất 20 sản phẩm thì trung bình doanh thu mỗi sản phẩm là 190 USD. e. Hàm lợi nhuận ( ) = ( ) − ( ) = − 2 (− 3 + 2 + + ) P x R x C x 200x 0.5x 2x 3x 60x 10 = − 3 − 2 2x 3.5x 1 + 40x 1 − 00, 0≤ x≤ 5. / ( ) = − 2 P x 6x − 7x + 14 / ( ) = ⇔ − 2 P x 0 6x − 7x + 140= 0⇔ x= 4. 12 ( ) P 4.28 = 278.2 ( ) P 0 = − 100 ( ) P 5 = 262.5
Lợi nhuận lớn nhất là 278.28 USD khi sản xuất 4.28 đơn vị sản phẩm. 50
5) Hàm chi phí trung bình của một sản phẩm có đạo hàm như s/ C au
= 2x+ 5− . Biết rằng chi phí 2 x
trung bình khi sản xuất 10 sản phẩm là 100 USD. ( ) ( )
a. Tìm hàm chi phí trung bình
C x Tình C 20 và nêu ý nghĩa. b. Tìm hàm chi phí ( ) C x Tình ( ) C 10 và nêu ý nghĩa. ( ) ( ) c. Tìm hàm chi phí biên
MC x Tình MC 10 và nêu ý nghĩa.
d. Giá bán của sản phẩm này cho bởi là 100 USD và mức sản lượng không vượt quá 100 sản phẩm.
Tìm hàm doanh thu. Hàm lợi nhuận và lợi nhuận lớn nhất.
6) A small business has weekly costs of ( ) 2 x
C x = 100 + 30x +
, where x is the number of units 10
produced each week. The competitive market price for this business’s product is $46 per unit.
Find the marginal profit. (Tìm hàm lợi nhuận). Giải: Hàm doanh thu: (
R x) = px = 46x Hàm lợi nhuận: ( ) = ( )− ( ) 2 x P x R x
C x = 46x −100 + 30x + 10 2 x = 16x −100 − . 10
7) If the profit function for a product is P (x) 2 3
= 5600x + 85x − x − 200 000 dollars, selling how many
items, x , will produce a maximum profit? Find the maximum profit.
8) A manufacturer estimates that its product can be produced at a total co C st x of = ( ) 3 4500 + 100x + x
dollars. If the manufacturer’s total revenue from the sale x of units is dollars,
R (x) = 4600x
determine the level of production
x that will maximize the profit. Find the maximum profit.
9) A firm can produce only 1000 units per month. The monthly total cost is given b
C (x ) = 300 + 200x dollars, where is the number produced. If the total revenue is given by x R(x) 1 2 = 250x −
x dollars, how many items,
x , should the firm produce for maximum profit? 100 Find the maximum profit. 13 10)
A firm has monthly average costs, in dollars, given by ( ) 100 x C x = + 30 + where x is the x 10
number of units produced per month. The firm can sell its product in a competitive market for $16
per unit. If production is limited to 600 units per month, find the number of units that give
maximum profit, and find the maximum profit. 11)
The weekly demand function for xunits of a product sold by only one firm p is = 1 600 − x 2
dollars, and the average cost of production and sale C is x
( ) = 300 +2x dollars.
(a) Find the quantity that will maximize profit.
(b) Find the selling price at this optimal quantity.
(c) What is the maximum profit? Giải: Hàm doanh thu R (x ) 1 2 = px = 6 00 − x x
= 600x − 0.5x 2
Hàm chi phí C (x )= xC (x) = x ( + x ) 2 300 2 = 300x + 2x Hàm lợi nhuận:
P(x) = R(x)− C (x) 2
= 600x − 0.5x − ( 2 300x + 2x ) 2 = 300x − 2.5x 2 12)
Hàm cầu của một sản phẩm x
p = 7000− 10x −
USD, hàm chi phí trung bình là 3 C (x) 40000 = + 600 + 8x . x
(a) Find the quantity that will maximize profit. (Tìm mức sản lượng để lợi nhuận cực đại)
(b) Find the selling price at this optimal quantity. (Tìm giá bán khi đó)
(c) What is the maximum profit? (Tìm lợi nhuận cực đại khi đó)
Giải: Hàm doanh thu: R(x) 2 3 x x 2
= p ⋅ x = 7000 −10x − x = 7000x −10x − . 3 3 Hàm chi phí:
C (x ) = xC (x ) 40000 2 = x
+600 +8x = 40000 +600x +8x . x Hàm lợi nhuận:
P (x) = R(x) −C (x) 3 x 2
= 7000x −10x − − ( 2
40000 + 600x + 8x ) 3 3 x 2 = −
− 18x + 6400x − 4000, x ≥ 0. 3 / P (x) 2
= 6400 − 36x − x . 14 x = 1 − 00 / P (x ) 2
= 0 ⇔ 6400 − 36x − x = 0 ⇔ x = ⇒ P ( ) 625472 64 64 = 3 Bảng biến thiên.
Vậy sản xuất 64 sản phẩm thì lợi nhuận lớn nhất và lợi nhuận lớn nhất 6là
2 5472. Khi đó, giá bán mỗi 3 sản phẩm là p = − ( ) 2 64 14984 7000 10 64 − = ≈ 4994.667. 3 3 / 13)
Hàm chi phí trung bình của một sản phẩm thỏ C a (x) 2 1 6x− = −
+ . Biết rằng chi phí trung bình 6
khi sản xuất 6 sản phẩm là 10 USD.
a) Tìm hàm chi phí trung bình C (x).
b) Tìm C (20) và nêu ý nghĩa.
c) Công ty phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm để chi phí trung bình là nhỏ nhất. d) Tìm hàm chi phí
C (x). Tìm C (20) và nêu ý nghĩa. e) Tìm hàm chi phí biên
MC (x ). Tìm MC (20) và nêu ý nghĩa.
f) Nếu giá bản sản phẩm cho bởi hàm cầu
p = 20 − 0.5x. Tìm hàm doanh thu, hàm lợi nhuận và
mức sản lượng để lợi nhuận lớn nhất. Tìm lợi nhuận lớn nhất đó. 14)
Một doanh nghiệp độc quyền sản xuất một loại sản phẩm trên thị trường có hàm cầ 1 x = 30 − , p và hàm chi phí C (x ) 2 = x + 6x + 7. 2
a) Tìm mức sản lượng x để lợi nhuận doanh nghiệp thu được trong ngắn hạn là lớn nhất.
b) Tính chi phí biên tại mức sản lượngx = 5 . Cho biết ý nghĩa. 15)
Hàm cầu và hàm chi phí của một nhà đọc quyền là p : = − x C (x) 2 200 ,
= x . Trong đó, p -giá;
x -sản lượng. Tìm mức sản lượng và mức giá cho lợi nhuận cực đại. 16)
Hàm chi phí biên và doanh thu biên (tính theo nghìn USD) của một sản phẩm cho b MC (x) = (x + )0.1 1.1 100 và MR(x) 500 =
+ 3 với x : nghìn sản phẩm. Chi phí cố định là 2x + 9
200000 USD và doanh nghiệp không sản xuất quá 200 nghìn sản phẩm.
a. Tìm hàm lợi nhuận P (x) . b. Tính / P (10 ) 0 và nêu ý nghĩa.
c. Tìm mức sản lượng để lợi nhuận lớn nhất. Tìm lợi nhuận lớn nhất đó. Giải: a. Hàm chi phí: C (x ) = MC ∫
(x )dx = ∫ (x + )0.1dx = (x + )1.1 1.1 100 100 + K 15
Chi phí cố định C ( ) = ⇔ ( )1.1 0 200 100
+ K = 200 ⇔ K = 41.51
C (x ) =(x + )1.1 100 + 41.51 Hàm doanh thu: R(x) = MR ∫ (x) 500 dx = + 3 ∫
dx = 500 2x + 9 + 3x + K 2x + 9 R( ) 0 = 0 ⇔ 500 2 ( ) 0 + 9 + 3( )
0 + K = 0 ⇔ K = 1 − 500
R(x ) = 500 2x + 9 + 3x − 1500 Hàm lợi nhuận
P (x) = R(x )− C (x )= 500 2x + 9 + 3x − 1500− ( x + 10 )1.1 0 + 41.51
= 500 2x + 9 + 3x − (x + 100)1.1 − 1541.51, 0 ≤ x ≤ 200 b. P (x) 500 = +3 1 − .1 (x +100)0.1 / 2x + 9 P ( ) 500 100 = + 3 − 1. ( 1 100 + 10 )0.1 / 0 = 25.777 2(100) + 9
Nếu tăng sản lượng từ 100 nghìn lên 101 nghìn sản phẩm, lợi nhuận tăng xấp xỉ 25.777 nghìn USD. c. P ( ) x = 0 vô nghiệm trên [0,200]. ( ) P 0 = −1541.51 ( ) P 200= 8639.6
Lợi nhuận lớn nhất là 8639.68USD khi sản xuất 200 nghìn sản xuất. 16