Bài tập trắc nghiệm tích phân có đáp án và lời giải Toán 12

Bài tập trắc nghiệm tích phân có đáp án và lời giải Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

16 8 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Môn: Toán 12

Thông tin:

163 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
https://toanmath.com/
TÍCH PHÂN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Định nghĩa
Cho
f
là hàm số liên tục trên đoạn
[ ; ].ab
Giả sử
F
là một nguyên hàm của
f
trên
[ ; ].
ab
Hiệu số
() ()Fb Fa−
được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn
[;]ab
của hàm số
( ),
fx
kí hiệu là
() .
b
a
f x dx
∫
Ta dùng kí hiệu
để chỉ hiệu số
() ()Fb Fa−
. Vậy
() () () ()
b
b
a
a
f x dx F x F b F a= = −
∫
.
Nhận xét: Tích phân của hàm số
f
từ a đến b có thể kí hiệu bởi
()
b
a
f x dx
∫
hay
() .
b
a
f t dt
∫
Tích phân
đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số
f
liên tục và không âm trên đoạn
[;]
ab
thì tích phân
()
b
a
f x dx
∫
là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số
()y fx=
, trục Ox và hai đường
thẳng
,.x ax b= =
Vậy
() .
b
a
S f x dx=
∫
2.Tính chất của tích phân
1.
() 0
a
a
f x dx =
∫
2.
() ()
ba
ab
f x dx f x dx= −
∫∫
3.
() () ()
bc c
ab a
f x dx f x dx f x dx+=
∫∫ ∫
(
abc<<
)4.
.() . () ( )
bb
aa
k f x dx k f x dx k
= ∈
∫∫
5.
[ () ()] () ()
b bb
a aa
f x g x dx f x dx g x dx
±= ±
∫ ∫∫
.
B. BÀI TẬP
ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ BẢNG NGUYÊN HÀM
Câu 1: Cho hàm số , liên tục trên và số thực tùy ý. Trong các khẳng
định sau, khẳng định nào sai?
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 2: Khẳng định nào sau đây sai?
(
)
y fx=
( )
y gx=
[ ]
;ab
k
( ) ( )
dd
ba
ab
fx x fx x= −
∫∫
( )
( )
dd
bb
aa
xfx x xfx x=
∫∫
( )
d0
a
a
kf x x =
∫
( ) ( ) ( ) ( )
d dd
b bb
a aa
fx gx x fx x gx x+= +


∫ ∫∫
https://toanmath.com/
A. . B. .
C. . D. .
Câu 3: Cho hai hàm số và liên tục trên , . Khẳng định nào sau đây là khẳng
định sai?
A. . B. .
C. . D.
.
Câu 4: Cho hai số thực , tùy ý, là một nguyên hàm của hàm số trên tập . Mệnh
đề nào dưới đây là đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 5: Cho là hàm số liên tục trên đoạn và . Tìm mệnh đề đúng trong các
mệnh đề sau.
A. . B. .
C. . D. .
Câu 6: Cho hàm số liên tục trên khoảng và . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 7: Cho hàm số liên tục trên và , là một nguyên hàm của trên .
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.
A. . B. .
C. . D. .
(
)
(
)
(
)
(
)
dd
d
b bb
a aa
fx f
gx x x gx xx
+= +


∫ ∫∫
( )
( ) ( )
ddd
bbc
a ca
fx xxxx
f fx= +
∫∫∫
( ) ( )
dd
ba
ab
xfx fx x=
∫∫
(
)
( )
dd
bb
aa
x
f ft t
x
=
∫∫
(
)
fx
( )
gx
K
,
ab
K∈
(
)
( )
( )
(
)
d dd
b bb
a aa
fx gx x fx x gx x
+= +


∫ ∫∫
( ) ( )
dd
bb
aa
kfx x kfx x=
∫∫
( ) ( )
(
) (
)
d d. d
b bb
a aa
fxgxx fxxgxx=
∫ ∫∫
( ) ( )
( )
( )
d dd
b bb
a aa
fx gx x fx x gx x−= −


∫ ∫∫
a
b
( )
Fx
(
)
fx
( ) ( ) ( )
d
b
a
fx x fb fa= −
∫
( ) ( ) ( )
d
b
a
f x x Fb Fa= −
∫
( ) ( ) ( )
d
b
a
f x x Fa Fb= −
∫
( ) ( ) ( )
d
b
a
f x x Fb Fa= +
∫
( )
fx
[ ]
;ab
[ ]
;c ab
∈
( ) ( ) ( )
ddd
cb a
ac b
fx x fx x fx x+=
∫∫∫
( ) ( )
( )
ddd
bc b
aa c
fx x fx x fx x+=
∫∫∫
( ) ( ) ( )
ddd
bc c
aa c
fx x fx x fx x−=
∫∫∫
( ) ( ) ( )
ddd
ba b
ac c
fx x fx x fx x+=
∫∫∫
( )
y fx=
K
,,abc K∈
( ) ( ) ( )
ddd
bb c
ac a
fx x fx x fx x+=
∫∫∫
( ) ( )
d dt
bb
aa
fx x ft=
∫∫
( ) ( )
dd
ba
ab
fx x fx x= −
∫∫
( )
d0
a
a
fx x=
∫
(
)
f t
K
,ab K∈
( )
Ft
(
)
ft
K
( ) ( )
( )
d
b
a
Fa Fb ft t−=
∫
( ) ( )
d
b
b
a
a
ft t Ft=
∫
( ) ( )
dd
b
b
a
a
ft t ft t

=


∫∫
( ) ( )
dd
bb
aa
fx x ft t=
∫∫
https://toanmath.com/
Câu 8: Cho hàm số liên tục trên đoạn . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. .
B. .
C. , .
D. , .
Câu 9: Giả sử là hàm số liên tục trên khoảng và là ba số bất kỳ trên khoảng . Khẳng
định nào sau đây sai?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 10: Cho hàm số liên tục trên đoạn . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. . B. ,
.
C. . D. .
Câu 11: Cho là một nguyên hàm của hàm số . Khi đó hiệu số bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 12: Cho hàm số liên tục trên , có đồ thị như hình vẽ sau:
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. là diện tích hình thang . B. là dộ dài đoạn .
( )
y fx=
[ ]
;ab
( ) (
)
dd
bb
aa
fx x ft t
=
∫∫
( ) ( )
dd
ba
ab
fx x fx x= −
∫∫
(
)
d
b
a
kx ka b= −
∫
k
∀∈
(
) (
) (
)
ddd
b cb
a ac
fx x fx x fx x
= +
∫∫∫
( )
;c ab∀∈
f
K
, ,
abc
K
( )
1
a
a
f x dx =
∫
( )
(
)
ba
ab
f x dx f x dx
= −
∫∫
( )
( ) ( ) (
)
, ;
cb b
ac a
f x dx f x dx f x dx c a b+= ∈
∫∫∫
( )
( )
bb
aa
f x dx f t dt
=
∫∫
( )
y fx=
[ ]
;ab
( ) ( )
dd
ba
ab
fx x fx x= −
∫∫
( )
( )
( )
ddd
bcb
aac
fx x fx x fx x= +
∫∫∫
c∀∈
(
) (
)
dd
bb
aa
fx x ft t
=
∫∫
( )
d0
a
a
fx x
=
∫
( )
Fx
( )
fx
( )
( )
01FF
−
( )
1
0
dfx x
∫
( )
1
0
dFx x
−
∫
( )
1
0
dFx x−
∫
( )
1
0
dfx x−
∫
( )
y fx=
[ ]
;ab
( )
y fx
′
=
( )
d
b
a
fxx
′
∫
ABMN
( )
d
b
a
fxx
′
∫
BP
https://toanmath.com/
C. là dộ dài đoạn . D. là dộ dài đoạn cong .
Câu 13: Cho hai tích phân và . Giá trị của tích phân
là:
A. . B. . C. . D. Không thể xác
định.
Câu 14: Cho tích phân và . Tích phân có giá trị
là:
A. . B. . C. . D. Không thể xác
định.
Câu 15: Tích phân được phân tích thành:
A. . B. .
C. . D. .
Câu 16: Cho . Tính tích phân .
A. . B. . C. . D. .
Câu 17: Cho hàm có đạo hàm liên tục trên đồng thời , . Tính
bằng
A. . B. . C. D. .
Câu 18: Cho và . Khi đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 19: 47TCho47T hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn và , . Tính
.
A. . B. . C. . D. .
Câu 20: Cho hàm số liên tục trên và . Tính tích phân .
A. . B. . C. . D. .
( )
d
b
a
fxx
′
∫
MN
( )
d
b
a
fxx
′
∫
AB
(
)
a
a
f x dx m
−
=
∫
(
)
a
a
g x dx n
−
=
∫
( ) ( )
a
a
f x g x dx
−
−


∫
mn
−
nm−
mn
+
( )
1
b
a
I f x dx m
= =
∫
(
)
2
a
c
I f x dx n= =
∫
(
)
b
c
I f x dx=
∫
mn+
mn−
mn−−
(
)
b
a
f x dx
∫
( ) ( )
ba
cc
fx fxdx+−
∫∫
( ) ( )
ba
cc
fx fxdx−−
∫∫
( ) ( )
ba
cc
fx fxdx+
∫∫
( ) ( )
ba
cc
fx fxdx−+
∫∫
( )
1
2
d3fx x
−
=
∫
( )
1
2
2 1dI fx x
−
= −


∫
9−
3
−
3
5
( )
fx
[ ]
2;3
( )
22
f =
( )
35f =
( )
3
2
dfxx
′
∫
3−
7
10
3
( )
d7
b
a
fxx
′
=
∫
( )
5fb=
( )
fa
12
0
2
2−
( )
fx
[ ]
;ab
(
)
2fa= −
( )
4fb= −
( )
d
b
a
T fxx
′
=
∫
6T = −
2T =
6T =
2T
= −
( )
fx
[ ]
0;1
( ) ( )
1 02ff−=
( )
1
0
dfxx
′
∫
1I = −
1I =
2I =
0I =
https://toanmath.com/
Câu 21: Cho hàm số
()y fx=
thoả mãn điều kiện
(1) 12f =
,
()
fx
′
liên tục trên
và
4
1
( )d 17fxx
′
=
∫
. Khi đó
(4)f
bằng
A.
5
. B.
29
. C.
19
. D.
9
.
Câu 22: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn và thỏa mãn ; .
Giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 23: Cho hàm số , với , là các số hữu tỉ thỏa điều kiện
. Tính .
A. . B. . C. . D. .
Câu 24: Tính tích phân .
A. . B. . C. . D. .
Câu 25: Tính tích phân .
A. . B. . C. . C. .
Câu 26: Tính .
A. . B. . C. . D. .
Câu 27:
Tính tích phân
A. . B. . C. . D.
.
Câu 28: Cho hàm số . Tính tích phân .
A. . B. . C. . D. .
Câu 29: Cho hàm số . Tính tích phân .
A. . B. . C. . D. .
( )
fx
[ ]
1; 3−
( )
14
f −=
( )
37f =
( )
3
1
5d
I fxx
−
′
=
∫
20I
=
3I =
10I =
15I =
( )
2
2
ab
fx
xx
= ++
a
b
( )
1
1
2
d 2 3ln 2fx x
= −
∫
T ab= +
1
T = −
2T =
2T = −
0T =
3
0
d
2
x
I
x
=
+
∫
4581
5000
I =
5
log
2
I =
5
ln
2
I =
21
100
I = −
2018
2
1
dx
I
x
=
∫
2018.ln 2 1
I = −
2018
2I
=
2018.ln 2I =
2018
I =
1
0
1
3d
21
I xx
x

= +

+

∫
2 ln 3
+
4 ln 3+
2 ln 3+
1 ln 3
+
( )
1
2018
0
1dI x xx
= +
∫
11
2018 2019
I
= +
11
2020 2021
I = +
11
2019 2020
I = +
11
2017 2018
I
= +
( )
2
3 khi 0 1
4 khi 1 2
xx
y fx
xx
≤≤
= =
− ≤≤
( )
2
0
d
fx x
∫
7
2
1
5
2
3
2
( )
2
khi 0 1
1
2 1 khi 1 3
x
y fx
x
xx
≤≤
= =
+
− ≤≤
( )
3
0
dfx x
∫
6 ln 4+
4 ln 4+
6 ln 2+
2 2ln 2+
https://toanmath.com/
Câu 30: Cho hàm số . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Câu 31: Cho hàm số và . Hỏi có tất cả bao nhiêu số
nguyên để ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 32: Biết . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. . B. . C. . D. .
Câu 33: Đặt ( là tham số thực). Tìm để .
A. . B. . C. . D. .
Câu 34: Cho , . Khi đó bằng:
A. . B. . C. . D. .
Câu 35: Giá trị nào của để ?
A. hoặc . B. hoặc C. hoặc . D. hoặc .
Câu 36: Có bao nhiêu giá trị thực của để có
A. . B. . C. . D. Vô số.
Câu 37: Xác định số thực dương để tích phân có giá trị lớn nhất.
A. . B. . C. . D.
Câu 38: Cho là số thực thỏa mãn và . Giá trị biểu thức bằng.
A. . B. . C. . D. .
Câu 39: Tích phân có giá trị là:
A. I = 1. B. I =2. C. I = 3. D. I = 4.
Câu 40: Tích phân có giá trị là:
A. I = 1. B. I = 2. C. I = 3. D. I = 4.
( )
2
3 khi 0 1
4 khi 1 2
xx
y fx
xx
≤≤
= =
− ≤≤
( )
2
0
f x dx
∫
7
2
1
5
2
3
2
( )
2
2
6 khi 0
khi 0
xx
y fx
a ax x
≤
= =
−≥
(
)
4
1
d
I fxx
−
=
∫
a
22 0I +≥
2
3
4
5
( )
2 1d 1
b
a
xx−=
∫
1ba−=
22
1a b ab− =−−
22
1b a ba− =−+
1ab−=
( )
2
1
2 1dI mx x
= +
∫
m
m
4
I =
1m = −
2m = −
1m =
2m =
3
0
( )dfx x a
=
∫
3
2
( )d
fx x b
=
∫
2
0
( )dfx x
∫
ab−−
ba−
ab+
ab−
b
(
)
1
2 6d 0
b
xx
−=
∫
0b =
3b =
0
b =
1b =
5b =
0
b =
1b =
5b =
AD
( )
0
2 5d 4
a
x xa+=−
∫
1
0
2
m
( )
2
0
d
m
xx x−
∫
1m =
2m =
3m
=
4m =
a
2a <
( )
2
2 1d 4
a
xx+=
∫
3
1 a+
0
2
1
3
2
1
2.
I x dx=
∫
( )
1
3
1
32I x x dx
−
= ++
∫
https://toanmath.com/
Câu 41: Cho gá trị của tích phân , . Giá trị của là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 42: Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 43: Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 44: Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 45: Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 46: Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 47: Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 48: Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 49: Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
( )
1
43
1
1
2I x x dx a
−
=+=
∫
(
)
1
2
2
2
3I x x dx b
−
−
=+=
∫
a
b
4
65
P = −
12
65
P =
12
65
P = −
4
65
P =
(
)
0
3
1
2I x ax dx
−
= ++
∫
7
42
a
I
= −
9
42
a
I = −
7
42
a
I = +
9
42
a
I
= +
( )
1
2
0
I ax bx dx= +
∫
23
ab
I = +
33
ab
I
= +
22
ab
I = +
32
ab
I = +
2
2
1
2
a
I x dx
x

= +


∫
2
11
2
Ia
a
=−−+
2
31
2
Ia
a
=−−+
2
51
2
Ia
a
=−−+
2
71
2
Ia
a
=−−+
2
2
1
I x xdx
−
= −
∫
3
2
I =
1
6
I =
3
2
I = −
1
6
I = −
1
32
1
1I x x x dx
−
= + −−
∫
4
3
I =
1
2
I =
4
3
I = −
1
2
I = −
3
1
2
32
1
xx
I dx
x
−
−
−+
=
−
∫
7
6
I = −
17
6
I =
7
6
I =
17
6
I = −
2
2
2
2
1
xx
I dx
x
−
−−
=
−
∫
3 2ln3I = −
2ln3I = −
3 2ln3I = +
3 3ln 2I = −
1
3
2
1
2I ax dx
x
−
−

= +


∫
15
ln 2
16
a
I =−+
15
ln 2
16
a
I = −
15
ln 2
16
a
I = +
15
ln 2
16
a
I =−−
https://toanmath.com/
Câu 50: Biết tích phân . Giá trị của là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 51: Cho tích phân . Khẳng định nào dưới đây không đúng?
A. . B. .
C. . D. Chỉ có A và C đúng.
Câu 52: Số nghiệm nguyên âm của phương trình: với là:
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 53: Số nghiệm dương của phương trình: , với , a và b là các số hữu tỉ
là:
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 54: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để có \
A. B. C. D.
Câu 55: Cho là một nguyên hàm của hàm số trên tập và thỏa mãn
. Tính tổng .
A. . B. . C. . D. .
Câu 56: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương thỏa mãn
?
A. . B. . C. . D. .
Câu 57: Cho hàm số . Hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây
1
1
0
2
I xdx a
= =
∫
(
)
2
2
2
2
a
I x x dx= +
∫
2
17
3
I =
2
19
3
I =
2
16
3
I =
2
13
3
I =
( )
2
1
b
a
I x dx
= +
∫
( )
22
1
b bb
a aa
I x dx x dx dx
=+= +
∫ ∫∫
(
)
3
b
a
I xx
= +
33
11
33
I bb aa= +− −
3
20x ax− +=
3
1
1
e
a dx
x
=
∫
3
20x ax+ +=
1
0
2a xdx=
∫
k
( )
0
1
11
2 1 d 4lim .
k
x
x
xx
x
→
+−
−=
∫
1
.
2
k
k
=
=
1
.
2
k
k
=
= −
1
.
2
k
k
= −
= −
1
.
2
k
k
= −
=
(
)
Fx
( )
11fx x x=+ −−
( )
13F =
( )
( ) ( )
02 3
FFF+ +−
8
12
14
10
n
( )
2
2 23 1
0
1 2 3 4 ... d 2
n
n x x x nx x
−
− + + + ++ =−
∫
1
2
0
3
(
)
y fx=
(
)
y fx
′
=
https://toanmath.com/
Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục và đồ thị hàm số trên đoạn
và lần lượt bằng và . Cho . Giá trị biểu thức bằng
A. B. . C. . D. .
Câu 58: Cho và . Tìm điều kiện của để .
A. . B. . C. . D. .
Câu 59: Biết rằng hàm số thỏa mãn , và
(với , , ). Tính giá trị của biểu thức .
A. . B. . C. . D. .
TÍCH PHÂN HỮU TỈ
Câu 60: Biết với , là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Câu 61: Tích phân . Giá trị của a là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 62: Cho . Giá trị a + b là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 63:
Biết . Gọi , giá trị của thuộc khoảng nào sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Câu 64: Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D.
.
Ox
( )
y fx
′
=
[ ]
2;1−
[ ]
1; 4
9
12
(
)
13
f =
(
)
( )
24ff−+
21
9
3
2
( )
2
2
0
2dI x xmx= −−
∫
( )
1
2
0
2dJ x mx x= −
∫
m
IJ≤
3
m
≥
2m ≥
1m ≥
0
m
≥
(
)
2
f x ax bx c= ++
(
)
1
0
7
d
2
fx x= −
∫
( )
2
0
d2fx x= −
∫
( )
3
0
13
d
2
fx x=
∫
a
b
c∈
Pabc=++
3
4
P = −
4
3
P = −
4
3
P =
3
4
P =
1
1
3
5
d ln
22
x
xa b
x
−
= +
+
∫
a
b
8
81
ab =
7
24
ab+=
9
8
ab =
3
10
ab
+=
1
0
2
ln 2
1
ax
I dx
x
= =
+
∫
ln 2
1 ln 2
a
=
−
ln 2
2 2ln 2
a =
−
ln 2
1 ln 2
a
=
+
ln 2
2 2ln 2
a =
+
(
)
1
2
0
1
ln 2 ln 3
32
I dx a b b
xx
= =−+
+−
∫
1
4
1
2
1
6
1
3
(
)
2
2
0
d ln ,
1
x
x a b ab
x
=+∈
+
∫
2S ab= +
S
( )
8;10
( )
6;8
( )
4;6
( )
2;4
2
2
1
1
x
I x dx
x

= +

+

∫
10
ln 2 ln3
3
I =+−
10
ln 2 ln 3
3
I =−+
10
ln 2 ln3
3
I =−−
10
ln 2 ln 3
3
I =++
https://toanmath.com/
Câu 65: Nhận xét: Không thể dùng máy tính để tính ra kết quả như trên mà ta chỉ có thể dùng để kiểm
tra mà Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 66: Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 67: Tích phân ,với có giá trị là:
A. . B. .
C. . D. .
Câu 68: Tích phân có giá trị nhỏ nhất khi số thực dương a có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 69: Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 70: Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 71: Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 72: Giá trị của tích phân . Biểu thức có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 73: Giá trị của tích phân . Biểu thức có giá trị là:
A. . B. .
2
2
1
1
2I x dx
x

= +


∫
5
2
I =
7
2
I =
9
2
I =
11
2
I
=
1
0
2
1
ax
I ax dx
x

= −

+

∫
ln 2Ia= −
2ln 2I = −
2ln 2I =
ln 2Ia=
1
a
ax
I dx
xa

= +


∫
0a ≠
2
1
ln
2
a
Iaa
a
+
= +
2
1
ln
2
a
Iaa
a
+
= +
2
1
ln
2
a
Iaa
a
−
= +
2
1
ln
2
a
Iaa
a
−
= +
3
22
2
2ax x
I dx
ax
+
=
∫
25
2
5
1
5
5
2
2
1
b
I ax dx
x

= +


∫
7
ln 2
3
I ab= −
3 ln 2I ab
= −
7
ln 2
3
I ab= +
3 ln 2I ab
= +
1
3
1
2
b
I ax dx
x
−

= +

+

∫
ln3Ib= −
ln3
2
a
Ib= −
ln3
2
a
Ib= +
ln3Ib
=
2
2
1
e
e
x
I dx
x
+
=
∫
2
11
1I
ee
=−+
2
11
1I
ee
=−−
2
11
1I
ee
=++
2
11
1I
ee
=+−
1
0
1
x
I dx a
x
= =
+
∫
21Pa= −
1 ln 2P = −
2 2ln 2P = −
1 2ln 2P = −
2 ln 2P = −
2
2
1
e
e
xx
I dx a
x

++
= =


∫
1Pa= −
24
11
22
Pe e e=++
24
11
22
Pee e=−+ +
https://toanmath.com/
C. . D. .
Câu 74: Biết , với . Tính giá trị .
A. . B. . C. . D. .
Câu 75: Tính tích phân: .
A. . B. . C. . D. .
Câu 76: Tính tích phân .
A. . B. . C. . D. .
Câu 77: Biết với là các số nguyên. Tính
A. . B. . C. . D.
Câu 78: Biết rằng . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Câu 79: Giả sử . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Câu 80: Cho giá trị của tích phân , . Giá trị của biểu
thức là:
A. . B. .
C. . D. .
Câu 81: Giá trị của tích phân gần nhất với gái trị nào sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Câu 82: Tích phân . Giá trị của a là:
A. . B. . C. . D. .
24
11
22
Pee e=−− +
24
11
22
Pe e e=+−
0
2
1
3 51 2
d ln
23
xx
I xa b
x
−
+−
= = +
−
∫
,
ab∈
2ab+
30
40
50
60
2
1
1
d
x
Ix
x
+
=
∫
1 ln 2I = −
2ln 2
I =
1 ln 2I = +
7
4
I =
1
2
0
d
9
x
I
x
=
−
∫
11
ln
62
I =
11
ln
62
I = −
1
ln 2
6
I =
6
ln 2I =
4
2
3
d
ln 2 ln 3 ln5,
x
I abc
xx
= = ++
+
∫
,,
abc
.S abc=++
6S =
2S
=
2S = −
0.S =
(
)
5
2
1
3
d ln5 ln 2 ,
3
x a b ab Z
xx
=+∈
+
∫
20ab+=
20ab−=
0ab−=
0ab+=
2
2
0
1
d ln 5 ln 3; ,
43
x
x a b ab
xx
−
=+∈
++
∫
P ab=
8P =
6P = −
4P = −
5P = −
2, 3ab= = −
2
2
1
1
2
1
xx
I dx a
x
+
= =
+
∫
2
2
1
e
e
I dx b
x
= =
∫
Pab= −
7
ln 2 ln3
2
P =+−
3
ln 2 ln3
2
P =+−
5
ln 2 ln3
2
P =+−
1
ln 2 ln3
2
P =+−
0
32
2
1
32
2
xx
I dx
xx
−
−+
=
+−
∫
ln 2
2
−
ln 2 1−
3
ln 4
2
−
ln3
3
−
2
2
1
1 3432
ln ln
3 2 5353
ax
I dx
xx
+
= = +
++
∫
1
5
a =
2
5
a =
3
5
a =
4
5
a =
https://toanmath.com/
Câu 83: Tích phân . Giá trị của a là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 84: Biết , . Tính giá trị của biểu thức
.
A. . B. . C. . D. .
Câu 85: Biết , trong đó là hai số nguyên dương và là phân số tối
giản. Tính ta được kết quả.
A. B. C. D.
Câu 86: Biết với , , . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Câu 87: Giả sử . Khi đó giá trị là:
A. 30. B. 40. C. 50. D. 60.
Câu 88: Biết rằng . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 89: Nếu thì giá trị của là
A. . B. . C. . D. .
Câu 90: Cho , với , , là các số hữu tỉ. Tính
.
A. . B. . C. . D. .
Câu 91: Biết rằng với , , . Hỏi giá trị thuộc khoảng nào sau
đây?
A. . B. . C. . D. .
Câu 92: Biết với là các số nguyên. Tính
A. . B. . C. . D. .
2
3
1
1 17
ln
3 32
a
x
I dx
xx
+
= =
+
∫
1a =
2a =
3a =
4a =
(
)
( )
1
d .ln 1 .ln 2
12
x
xa x b x C
xx
+
= −+ − +
−−
∫
,
ab
∈
ab+
1
ab+=
5ab+=
1ab+=−
5
ab+=−
1
2
0
31 5
d 3ln
69 6
xa
x
xx b
−
= −
++
∫
,ab
a
b
ab
5.ab = −
27.
ab =
6.ab =
12.ab =
3
2
2
2
32
d ln 7 ln 3
1
xx
xa b c
xx
−+
= ++
−+
∫
a
b
c∈
23
23Ta b c=++
4T =
6T =
3T =
5
T
=
0
2
1
3 51 2
.ln
23
xx
I dx a b
x
−
+−
= = +
−
∫
2
ab+
5
2
1
3
d ln5 ln 2
3
xa b
xx
= +
+
∫
( )
,ab∈
20ab
+=
20ab−=
0ab−=
0ab+=
3
2
2
2
d ln5 ln3 3ln 2
2 31
x
xa b
xx
+
=++
−+
∫
( )
,
ab
∈
2
P ab= −
1P =
7P
=
15
2
P
= −
15
2
P =
3
2
1
3
d ln 2 ln3 ln5
32
x
xm n p
xx
+
= ++
++
∫
m
n
p
22
Sm np= ++
6S =
4S =
3S =
5S =
2
2
0
d ln
1
x
xa b
x
= +
+
∫
a
b∈
0b >
2ab+
(
)
8;10
( )
6;8
( )
4;6
( )
2;4
4
2
3
d
ln 2 ln 3 ln5
x
I abc
xx
= = ++
+
∫
,,abc
S abc=++
6S =
2S =
2S = −
0S =
https://toanmath.com/
Câu 93: Biết , với , là các số nguyên thuộc khoảng thì và là
nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Câu 94: Biết với , là các số nguyên. Tính .
A. . B. . C. . D. .
47TCâu 95: 47TBiết47T , . Giá trị của biểu thức
bằng
47TA. . B. . C. . D. .
Câu 96: Tìm giá trị của để .
A. . B. . C. . D. .
Câu 97: Cho với , là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây
đúng ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 98: Biết . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Câu 99: Cho với , , là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới
đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Câu 100: Biết . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Câu 101: Cho với , là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Câu 102: Biết tìm các giá trị của để
.
2
2
1
d 11
4 41
x
x x ab
= +
−+
∫
a
b
( )
7;3−
a
b
2
2 10xx− −=
2
4 12 0xx+−=
2
5 60xx− +=
2
90x −=
5
2
3
1
d ln
12
xx b
xa
x
++
= +
+
∫
a
b
2Sa b= −
2
S = −
5S =
2S =
10
S =
( )( )
3
0
d
ln 2 ln 5 ln 7
24
x
abc
xx
=++
++
∫
( )
,,abc∈
23a bc
+−
5
4
2
3
a
(
)(
)
4
3
1
d ln
12
xa
xx
=
−−
∫
12
4
3
1
3
3
4
1
0
11
ln 2 ln 3
12
dx a b
xx

−=+

++

∫
a
b
2ab
+=
20ab−=
2ab
+=−
20ab
+=
3
2
2
5 12
d ln 2 ln 5 ln 6
56
x
xa b c
xx
+
=++
++
∫
32S a bc=++
3
14−
2−
11−
2
2
1
1
d ln 2 ln 3 ln 5
56
xa b c
xx
= ++
++
∫
a
b
c
4abc++=
3abc
++=−
2abc++=
6abc++=
( ) ( ) ( )
2
32
1
d ln 1 2 3
6 11 6
mnp
x
xx x x C
xx x
+
= − − −+
−+−
∫
( )
4 mnp++
5
0
2
4
3
2
2
8
d ln 2 ln 5
2
x
xa b
xx
+
= +
+−
∫
a
b
3ab+=
2 11ab−=
5ab−=
2 11ab+=
1
32
0
23 1 3
d ln
22
xx
xb
xa
++
= +
+
∫
( )
,0
ab>
k
( )
2
8
1 2017
d lim
2018
ab
x
kx
x
x
→+∞
++
<
+
∫
https://toanmath.com/
A. . B. . C. . D. .
TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ
Câu 103: Tính tích phân .
A. . B. . C. . D. .
Câu 104: Biết rằng . Giá trị của là:
A. – 1. B. – 2. C. – 3. D. – 4.
Câu 105: Tích phân bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 106: Cho , . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Câu 107: Biết tích phân với , là các số thực. Tính tổng
.
A. . B. . C. . D. .
Câu 108: Tích phân có giá trị là:
A. . B. .
C. . D. .
Câu 109: Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 110: Biết rằng . Với , , là số nguyên dương. Tính .
A. . B. . C. . D. .
0
k <
0k ≠
0k >
k ∈
2
0
4 1 dI xx= +
∫
13
13
3
4
4
3
( )
1
1
0
12
6
a
I x x dx b= ++ =+
∫
3
4
ab−
2
0
1
22
I dx
x
=
+
∫
1
1
2
I
= −
22I
=
1
2
2
I
= −
22I = −
1
0
d 82
33
21
x
ab a
xx
=−+
++ +
∫
( )
*
,ab∈
2ab+
27
ab+=
28ab+=
21ab+=−
25ab+=
1
0
3
d
9
31 21
x ab
x
xx
+
=
++ +
∫
a
b
T ab= +
10
T = −
4T = −
15T =
8T
=
0
1
a
I x x dx= +
∫
( ) (
)
53
2121
4
5 3 15
aa
I
++
=++
( ) ( )
53
2121
4
5 3 15
aa
I
++
=−+
( )
( )
53
2121
4
5 3 15
aa
I
++
=+−
(
) ( )
53
2121
4
5 3 15
aa
I
++
=−−
1
1
11
x
I dx
x
−
=
+−
∫
42
2
3
I = +
42
2
3
I = −
42
1
3
I = −
42
1
3
I
= +
4
2
3
24
d
2
xx a b
Ix
c
xx
−+ −
= =
+−
∫
a
b
c
abc++
39
27
33
41
https://toanmath.com/
Câu 111: Biết với là các số nguyên dương. Tính
.
A. . B. . C. . D. .
Câu 112: Biết với , , là các số nguyên dương. Tính
.
A. . B. . C. . D. .
TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
Câu 113: Tính 19Ttích19T phân .
A. . B. . C. . D. .
Câu 114: Tính tích phân .
A. . B. . C. . D. .
Câu 115: Tích phân bằng?
A. . B. . C. . D. .
Câu 116: Biết , với , là các số hữu tỉ. Tính .
A. . B. C. . D. .
Câu 117: Số các số nguyên thỏa mãn là
A. . B. . C. . D. .
Câu 118: Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. Cả A, B, C đều
sai.
Câu 119: Có bao nhiêu số thực thuộc khoảng sao cho ?
A. . B. . C. . D. .
( )
2
1
d
22
x
a bc
xx x x
=+−
++ +
∫
,,abc
Pabc
=++
2P =
8P
=
46P =
22P =
( )
2
1
d
11
x
I a bc
x x xx
= =−−
+ ++
∫
a
b
c
Pabc=++
24P =
12
P
=
18P =
46
P
=
0
sin3 dxx
π
∫
1
3
−
1
3
2
3
−
2
3
2
0
sin d
4
I xx
π
π

= −


∫
4
I
π
=
1
I = −
0I
=
1I =
3
2
4
d
sin
x
I
x
π
π
=
∫
cot cot
34
ππ
−
cot cot
34
ππ
+
cot cot
34
ππ
−+
cot cot
34
ππ
−−
2
3
cos 3xdx a b
π
π
= +
∫
a
b
26T ab= +
3T =
1
T = −
4T = −
2T =
cot cot
34
ππ
=−+
0
cos2x d 0
m
x =
∫
643
1284
1285
642
2
0
sinI xdx
π
=
∫
1I =
0I =
1I = −
b
( )
;3
ππ
4cos 2 d 1
b
xx
π
=
∫
8
2
4
6
https://toanmath.com/
Câu 120: Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 121: Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 122: Kết quả của tích phân được viết ở dạng , . Khẳng định nào sau
đây là sai?
A. . B. . C. . D. .
Câu 123: Cho tích phân với . Tính
A. . B. . C. . D. .
Câu 124: Cho tích phân , . Tính
A.
3
−
B.
1
. C.
2−
. D.
1
3
.
Câu 125: Biết
( )
6
2
0
3
3 4sin d
6
ac
xx
b
π
π
+=−
∫
, trong đó
a
,
b
nguyên dương và
a
b
tối giản. Tính
abc++
.
A.
8
. B.
16
. C.
12
. D.
14
.
Câu 126: Cho giá trị của tích phân
( )
3
1
2
sin 2 cos
I x x dx a
π
π
−
= +=
∫
,
(
)
3
2
3
cos2 sinI x x dx b
π
π
−
= +=
∫
. Giá trị
của a + b là:
A.
3
3
4
P = +
. B.
33
42
P = +
. C.
3
3
4
P
= −
. D.
33
42
P = −
.
Câu 127: Cho giá trị của tích phân
( )
2
3
1
3
sin 3 cos3I x x dx a
π
π
−
=+=
∫
,
2
2
2
11 1
1
e
e
I dx b
xx x

= +− =

+

∫
. Giá
trịa.b gần nhất với giá trị nào sau đây?
A.
8
. B.
16
. C.
10
. D.
1
.
( )
2
2
sin cosI x x dx
π
π
−
= −
∫
1
I
=
2I =
2
I
= −
1I = −
( )
6
2
sin 2 cos3I x x dx
π
π
−
= −
∫
2
3
I =
3
4
I =
3
4
I = −
2
3
I
= −
( )
2
0
2 1 sin d
x xx
π
−−
∫
a
b∈
28ab+=
5
ab
+=
232ab−=
2ab−=
2
0
cos2
d
1 sin
x
xab
x
π
π
= +
+
∫
,a
b∈
32
1P ab
=++
9P =
29P =
11P
=
25P = −
( )
2
0
1
4 1 cos d
x xx c
ab
π
π
π

−+ = − +


∫
( )
,,
abc∈
abc−+
https://toanmath.com/
Câu 128: Tích phân
( )
2
2
sin cosI ax ax dx
π
π
−
= +
∫
, với
0a ≠
có giá trị là:
A.
2
sin sin
24 24
Ia a
a
ππ ππ


= −− +




.
B.
2
sin sin
24 24
Ia a
a
ππ ππ


= −+ +




.
C.
2
sin sin
24 24
Ia a
a
ππ ππ


= −+ −+




.
D.
2
sin sin
24 24
Ia a
a
ππ ππ


= − −+ +




.
Câu 129: Biết
π
32
2
0
cos sin π
d
1 cos
xx x x b
Ix
x ac
+−
= = −
+
∫
. Trong đó
a
,
b
,
c
là các số nguyên dương, phân số
b
c
tối giản. Tính
222
Tabc=++
.
A.
16T =
. B.
59T =
. C.
69T
=
. D.
50T =
.
Câu 130: Cho hàm số
( )
sin 2 cos2fx a xb x= −
thỏa mãn
'2
2
f
π

= −


và
3
b
a
adx =
∫
. Tính tổng
ab+
bằng:
A.
3.
B.
4.
C.
5.
D.
8.
Câu 131: Cho tích phân
0
3
cos2 cos4 d 3x xx a b
π
−
= +
∫
, trong đó
a
,
b
là các hằng số hữu tỉ. Tính
2
e log
a
b+
.
A.
2−
. B.
3−
. C.
1
8
. D.
0
.
Câu 132: Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
1
1 sin 2
y
x
=
+
với
\,
4
x kk
π
π
−

∀∈ + ∈



, biết
( )
01F =
;
() 0F
π
=
. Tính
11
12 12
PF F
ππ

=−−


.
A.
23P = −
. B.
0P =
. C. Không tồn tại
P
. D.
1P =
.
Câu 133: Cho
M
,
N
là các số thực, xét hàm số
( )
.sin π .cos πfx M x N x= +
thỏa mãn
( )
13f =
và
( )
1
2
0
1
d
π
fx x= −
∫
. Giá trị của
1
4
f

′


bằng
A.
5π2
2
. B.
5π2
2
−
. C.
π2
2
−
. D.
π2
2
.
https://toanmath.com/
Câu 134: Tích phân
(
)
2
2
0
cos 1 cosI x xdx
π
= −
∫
có giá trị là:
A.
1
43
I
π
= −
. B.
2
43
I
π
=−−
. C.
1
43
I
π
= +
. D.
2
43
I
π
=−+
.
Câu 135: Biết tích phân
2
1
3
sinI xdx a
π
π
= =
∫
. Giá trị của
1
2
2
3
1
ln 2 ln 5
a
x
I dx b c
xx
+
= = −
+
∫
. Thương số giữa b
và c là:
A. – 2. B. – 4. C. 2. D. 4.
Câu 136: Cho
(
)
(
)
3
2
6
0
0
sin3 cos cos3 sin sin 2
I x x dx a x bx c x
π
π
= + = ++
∫
. Giá trị của
324abc++
là:
A. – 1. B. 1. C. – 2. D. 2.
Câu 137: Cho
tan d
n
n
I xx=
∫
với
n∈
. Khi đó
( )
01 23 8 910
2 ...II II I II++ +++ + +
bằng
A.
( )
9
1
tan
r
r
x
C
r
=
+
∑
. B.
( )
1
9
1
tan
1
r
r
x
C
r
+
=
+
+
∑
. C.
(
)
10
1
tan
r
r
x
C
r
=
+
∑
. D.
( )
1
10
1
tan
1
r
r
x
C
r
+
=
+
+
∑
.
TÍCH PHÂN HÀM MŨ – LÔGARIT
Câu 138: Tích phân
1
0
ed
x
x
−
∫
bằng
A.
e1−
. B.
1
1
e
−
. C.
e1
e
−
. D.
1
e
.
Câu 139: Tích phân
2018
0
2d=
∫
x
Ix
bằng
A.
2018
21−
. B.
2018
21
ln 2
−
. C.
2018
2
ln 2
. D.
2018
2
.
Câu 140: Biết
4
1
1
( )d
2
fx x
−
=
∫
và.
0
1
1
( )d
2
fx x
−
−
=
∫
. Tính tích phân
4
2
0
4e 2 ( ) d
x
I fx x

= +

∫
.
A.
8
2eI
=
. B.
8
4e 2I = −
. C.
8
4eI =
. D.
8
2e 4I = −
.
Câu 141: Cho
( )
2
2
0
ed
x
t
Fx t=
∫
. Tính
( )
2F
′
.
A.
( )
4
2 4eF
′
=
. B.
( )
16
2 8eF
′
=
. C.
(
)
16
2 4eF
′
=
. D.
( )
4
2eF
′
=
.
Câu 142: Cho hàm số
( )
2
1
d
ln
x
x
gx t
t
=
∫
với
0x >
. Đạo hàm của
(
)
gx
là
A.
( )
1
ln
x
gx
x
−
′
=
. B.
( )
1
ln
x
gx
x
−
′
=
. C.
( )
1
ln
gx
x
′
=
. D.
( )
lngx x
′
=
.
https://toanmath.com/
Câu 143:
( )
3
2
3
2
d6
fx x
π
π
−
⇔=
∫
.Gọi
S
là tập hợp tất cả các số nguyên dương
k
thỏa mãn
2
1
2018.e 2018
ed
k
kx
x
k
−
<
∫
. Số phần tử của tập hợp
S
bằng.
A.
7
. B.
8
. C. Vô số. D.
6
.
Câu 144: Cho
1
0
e
d
1e
nx
n
x
Ix
−
−
=
+
∫
với
n
∈
.
Đặt
( ) ( ) ( ) ( )
12 23 34 1
1. 2 3 ...
n nn
u I I I I I I nI I n
+
= ++ ++ +++ + −
.
Biết
lim
n
uL=
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
( )
1; 0L∈−
. B.
( )
2; 1L∈− −
. C.
( )
0;1L∈
. D.
( )
1; 2L∈
.
https://toanmath.com/
C . HƯỚNG DẪN GIẢI
ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ BẢNG NGUYÊN HÀM
Câu 1. Cho hàm số , liên tục trên và số thực tùy ý. Trong các khẳng
định sau, khẳng định nào sai?
A. .
B. .
C. .
D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Dựa vào tính chất của tích phân, A, C, D đúng nên B sai.
Câu 2. Khẳng định nào sau đây sai?
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Câu 3. Cho hai hàm số và liên tục trên , . Khẳng định nào sau đây là khẳng
định sai?
A. . B. .
C. . D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Câu 4. Cho hai số thực , tùy ý, là một nguyên hàm của hàm số trên tập . Mệnh
đề nào dưới đây là đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B
( )
y fx=
( )
y gx
=
[ ]
;ab
k
( ) ( )
dd
ba
ab
fx x fx x= −
∫∫
( ) ( )
dd
bb
aa
xfx x xfx x=
∫∫
( )
d0
a
a
kf x x
=
∫
( ) (
)
( )
( )
d dd
b bb
a aa
fx gx x f x x gx x+= +


∫ ∫∫
(
)
( )
(
) (
)
ddd
b bb
a aa
fx fgx x x gx x
x
+= +


∫ ∫∫
( ) ( ) ( )
ddd
bbc
a ca
fx xxxxf fx= +
∫∫∫
( ) ( )
dd
ba
ab
xfx fx x=
∫∫
( ) ( )
dd
bb
aa
xf ft tx =
∫∫
( )
fx
( )
gx
K
,
ab K∈
( ) ( ) ( ) ( )
d dd
b bb
a aa
fx gx x f x x gx x+= +


∫ ∫∫
( )
( )
dd
bb
aa
kfx x kfx x=
∫∫
( ) (
) ( )
( )
d d. d
b bb
a aa
fxgxx fxxgxx=
∫ ∫∫
( )
( ) ( ) (
)
d dd
b bb
a aa
fx gx x fx x gx x
−= −


∫ ∫∫
a
b
( )
Fx
( )
fx
( ) ( ) ( )
d
b
a
fx x fb fa= −
∫
( ) ( ) ( )
d
b
a
f x x Fb Fa= −
∫
( ) ( )
( )
d
b
a
f x x Fa Fb
= −
∫
( )
( ) ( )
d
b
a
f x x Fb Fa= +
∫
https://toanmath.com/
Theo định nghĩa, ta có .
Câu 5. Cho là hàm số liên tục trên đoạn và . Tìm mệnh đề đúng trong các
mệnh đề sau.
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn D
.
Câu 6. Cho hàm số liên tục trên khoảng và . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Mệnh đề đúng là: .
Câu 7. Cho hàm số liên tục trên và , là một nguyên hàm của trên .
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.
A. . B. .
C. . D. .
Bài giải
Chọn A
Theo định nghĩa ta có: . Suy ra phương án A sai.
Câu 8. Cho hàm số liên tục trên đoạn . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. .
B. .
C. , .
D. , .
( )
(
) (
)
d
b
a
f x x Fb Fa
= −
∫
(
)
fx
[ ]
;ab
[ ]
;c ab∈
( ) (
) (
)
ddd
cb a
ac b
fx x fx x fx x
+=
∫∫∫
(
) (
) ( )
ddd
bc b
aa c
fx x fx x fx x
+=
∫∫∫
( ) (
) (
)
ddd
bc c
aa c
fx x fx x fx x−=
∫∫∫
( ) ( ) ( )
ddd
ba b
ac c
fx x fx x fx x
+=
∫∫∫
(
)
( )
(
)
( )
( )
(
)
dd
ba
ac
f x x f x x Fb Fa Fa Fc+ =−+−
∫∫
( ) ( )
Fb Fc= −
( )
d
b
c
fx x=
∫
( )
y fx=
K
,,abc K∈
( ) (
) (
)
ddd
bb c
ac a
fx x fx x fx x+=
∫∫∫
( ) ( )
d dt
bb
aa
fx x ft=
∫∫
( ) ( )
dd
ba
ab
fx x fx x= −
∫∫
( )
d0
a
a
fx x=
∫
( ) ( ) ( )
ddd
bc c
ab a
fx x fx x fx x+=
∫∫∫
(
)
f t
K
,ab K∈
(
)
Ft
( )
ft
K
( ) ( )
( )
d
b
a
Fa Fb ft t−=
∫
( )
( )
d
b
b
a
a
ft t Ft=
∫
( ) (
)
dd
b
b
a
a
ft t ft t

=


∫∫
( ) ( )
dd
bb
aa
fx x ft t=
∫∫
( ) ( )
d
b
b
a
a
ft t Ft=
∫
( )
( )
Fb Fa= −
( )
y fx=
[ ]
;ab
( ) ( )
dd
bb
aa
fx x ft t
=
∫∫
( ) ( )
dd
ba
ab
fx x fx x= −
∫∫
(
)
d
b
a
kx ka b= −
∫
k
∀∈
( ) ( ) (
)
ddd
b cb
a ac
fx x fx x fx x= +
∫∫∫
( )
;c ab∀∈
https://toanmath.com/
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có: .
Câu 9. Giả sử là hàm số liên tục trên khoảng và là ba số bất kỳ trên khoảng . Khẳng
định nào sau đây sai?
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có: .
Câu 10. Cho hàm số liên tục trên đoạn . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. . B. ,
.
C. . D. .
Câu 11. Cho là một nguyên hàm của hàm số . Khi đó hiệu số bằng
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có: .
Câu 12. Cho hàm số liên tục trên , có đồ thị như hình vẽ sau:
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. là diện tích hình thang . B. là dộ dài đoạn .
C. là dộ dài đoạn . D. là dộ dài đoạn cong .
Hướng dẫn giải
d
b
b
a
a
k x kx=
∫
kb ka= −
( )
kb a= −
f
K
, ,
abc
K
( )
1
a
a
f x dx =
∫
(
)
( )
ba
ab
f x dx f x dx= −
∫∫
( )
(
) (
) (
)
, ;
cb b
ac a
f x dx f x dx f x dx c a b+= ∈
∫∫∫
( )
(
)
bb
aa
f x dx f t dt=
∫∫
( ) ( )
(
)
0
a
a
f xdx Fa Fa=−=
∫
( )
y fx=
[ ]
;ab
(
) ( )
dd
ba
ab
fx x fx x
= −
∫∫
(
) ( )
( )
ddd
bcb
aac
fx x fx x fx x= +
∫∫∫
c∀∈
(
) (
)
dd
bb
aa
fx x ft t=
∫∫
( )
d0
a
a
fx x=
∫
( )
Fx
(
)
fx
( )
( )
01FF−
( )
1
0
dfx x
∫
( )
1
0
dFx x−
∫
( )
1
0
dFx x−
∫
( )
1
0
d
fx x−
∫
( )
(
)
1
0
1
d
0
fx x Fx−=−
∫
(
) ( )
10FF=−−


( ) ( )
01FF= −
( )
y fx=
[ ]
;
ab
( )
y fx
′
=
( )
d
b
a
fxx
′
∫
ABMN
( )
d
b
a
fxx
′
∫
BP
( )
d
b
a
fxx
′
∫
MN
( )
d
b
a
fxx
′
∫
AB
https://toanmath.com/
Chọn B
.
Câu 13. Cho hai tích phân và . Giá trị của tích phân
là:
A. . B. . C. . D. Không thể xác
định.
Hướng dẫn giải
Cho hai tích phân và . Giá trị của tích phân
là:
Ta có ngay kết quả: .
Chọn A
Câu 14. Cho tích phân và . Tích phân có giá trị
là:
A. . B. . C. . D. Không thể xác
định.
Hướng dẫn giải
Cho tích phân và . Tích phân có giá trị
là:
Quy tắc “nối đuôi” cho ta: .
Chọn A
Câu 15. Tích phân được phân tích thành:
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải
Tích phân được phân tích thành:
Ta có: .
Chọn A
Câu 16. Cho . Tính tích phân .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
( )
d
b
a
fxx
′
∫
( )
b
a
fx
=
( ) ( )
fb fa= −
BM PM= −
BP=
(
)
a
a
f x dx m
−
=
∫
( )
a
a
g x dx n
−
=
∫
( ) ( )
a
a
f x g x dx
−
−


∫
mn
−
nm−
mn
+
(
)
a
a
f x dx m
−
=
∫
(
)
a
a
g x dx n
−
=
∫
(
) (
)
a
a
f x g x dx
−
−


∫
( )
( )
(
) (
)
a aa
a aa
f x g x dx f x dx g x dx m n
− −−
−= − =−


∫ ∫∫
(
)
1
b
a
I f x dx m= =
∫
( )
2
a
c
I f x dx n
= =
∫
( )
b
c
I f x dx=
∫
mn+
mn−
mn
−−
( )
1
b
a
I f x dx m= =
∫
(
)
2
a
c
I f x dx n= =
∫
(
)
b
c
I f x dx=
∫
( ) ( )
( )
b ba
c ac
I f x dx f x dx f x dx m n==+=+
∫∫∫
( )
b
a
f x dx
∫
( ) ( )
ba
cc
fx fxdx+−
∫∫
( ) ( )
ba
cc
fx fxdx−−
∫∫
( ) ( )
ba
cc
fx fxdx
+
∫∫
( ) ( )
ba
cc
fx fxdx−+
∫∫
( )
b
a
f x dx
∫
( ) ( ) (
) ( ) ( )
b bc ba
a ca cc
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx=+=−
∫∫∫∫∫
( )
1
2
d3fx x
−
=
∫
( )
1
2
2 1dI fx x
−
= −


∫
9−
3−
3
5
https://toanmath.com/
Chọn C
Ta có .
Câu 17. Cho hàm có đạo hàm liên tục trên đồng thời , . Tính
bằng
A. . B. . C. D. .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có .
Câu 18. Cho và . Khi đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn D
.
Câu 19. 47TCho47T hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn và , . Tính
.
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có: .
Câu 20. Cho hàm số liên tục trên và . Tính tích phân .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có: .
Câu 21. Cho hàm số thoả mãn điều kiện , liên tục trên và
. Khi đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có .
19TCâu 22. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn và thỏa mãn ; .
Giá trị của bằng
( )
1
2
2 1dI fx x
−
= −


∫
(
)
11
22
2 ddfx x x
−−
= −
∫∫
1
2
63x
−
=−=
( )
fx
[ ]
2;3
( )
22f =
( )
35f =
(
)
3
2
dfx
x
′
∫
3
−
7
10
3
( )
( )
3
2
3
2
d
fxx fx
′
=
∫
( ) ( )
32ff= −
3=
( )
d7
b
a
fxx
′
=
∫
( )
5fb=
(
)
fa
12
0
2
2−
( )
d7
b
a
fxx
′
=
∫
( )
(
)
7fb fa⇔−=
( ) ( )
72fa fb⇔ = −=−
( )
fx
[ ]
;
ab
( )
2fa= −
( )
4fb= −
( )
d
b
a
T fxx
′
=
∫
6
T = −
2T =
6T =
2T = −
( )
d
b
a
T fxx
′
=
∫
( )
b
a
fx
=
( ) (
)
2
fb fa=−=−
(
)
fx
[ ]
0;1
( ) ( )
1 02ff−=
(
)
1
0
dfxx
′
∫
1I = −
1
I =
2I =
0I =
( ) ( ) ( ) ( )
1
0
1
d 1 02
0
f x x fx f f
′
= =−=
∫
(
)
y fx
=
(
)
1 12f =
(
)
fx
′
( )
4
1
d 17fxx
′
=
∫
( )
4f
5
29
19
9
( )
4
1
d 17
fxx
′
=
∫
( )
4
1
17fx
⇔=
( ) ( )
4 1 17ff⇔ −=
( )
4 29f⇔=
( )
fx
[ ]
1; 3−
( )
14
f −=
( )
37f =
( )
3
1
5dI fxx
−
′
=
∫
https://toanmath.com/
19TA. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn D
19T.
Câu 23. Cho hàm số , với , là các số hữu tỉ thỏa điều kiện
. Tính .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có .
Theo giả thiết, ta có . Từ đó suy ra , .
Vậy .
Câu 24. Tính tích phân .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có: .
Câu 25. Tính tích phân .
A. . B. . C. . C. .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có: .
Câu 26. Tính .
19TA.19T . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn A
19TTa có
.
Câu 27.
Tính tích phân
20
I =
3I =
10I =
15I =
(
)
3
1
5dI fxx
−
′
=
∫
( )
3
1
5 fx
−
=
( ) ( )
535 1ff= −−
5.7 5.4= −
15
=
( )
2
2
ab
fx
xx
= ++
a
b
(
)
1
1
2
d 2 3ln 2
fx x
= −
∫
T ab= +
1
T
= −
2
T =
2T = −
0T =
( )
1
1
2
dfx x
=
∫
1
2
1
2
2d
ab
x
xx

++


∫
1
1
2
ln 2
a
bx x
x

=−+ +


1 ln 2ab= ++
2 3ln 2 1 ln 2
ab
− = ++
1a =
3b = −
2T ab=+=−
3
0
d
2
x
I
x
=
+
∫
4581
5000
I =
5
log
2
I =
5
ln
2
I =
21
100
I = −
3
0
d
2
x
I
x
=
+
∫
3
0
5
ln 2 ln
2
x= +=
2018
2
1
dx
I
x
=
∫
2018.ln 2 1I
= −
2018
2I
=
2018.ln 2I =
2018I
=
2018
2
1
lnIx=
( )
2018
ln 2 ln1= −
2018.ln 2=
1
0
1
3d
21
I xx
x

= +

+

∫
2 ln 3+
4 ln 3+
2 ln 3+
1 ln 3+
1
0
1
3d
21
I xx
x

= +

+

∫
11
00
1
d3 d
21
x xx
x
= +
+
∫∫
11
00
12
ln 2 1 3.
23
x xx= ++
1
ln3 2
2
= +
ln 3 2= +
( )
1
2018
0
1dI x xx= +
∫
https://toanmath.com/
A.
. B. . C. . D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có: .
Câu 28. Cho hàm số . Tính tích phân .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
.
Câu 29. Cho hàm số . Tính tích phân .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
.
Câu 30. Cho hàm số . Tính .
UA.U . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có, .
Câu 31. Cho hàm số và . Hỏi có tất cả bao nhiêu số
nguyên để ?
A. . B. . UC.U . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
11
2018 2019
I = +
11
2020 2021
I = +
11
2019 2020
I = +
11
2017 2018
I = +
( )
1
2018
0
1dI x xx
= +
∫
(
)
1
2018 2019
0
d
xxx= +
∫
1
2019 2020
0
11
2019 2020 2019 2020
xx

=+=+


( )
2
3 khi 0 1
4 khi 1 2
xx
y fx
xx
≤≤
= =
− ≤≤
( )
2
0
dfx x
∫
7
2
1
5
2
3
2
( )
2
0
dfx x
∫
(
) (
)
12
01
dd
fx x fx x
= +
∫∫
(
)
(
)
12
2
01
3d 4 d
x x xx= +−
∫∫
2
2
32
1
1
3
4
32
xx
x

= +− =


7
2
=
( )
2
khi 0 1
1
2 1 khi 1 3
x
y fx
x
xx
≤≤
= =
+
− ≤≤
(
)
3
0
d
fx x
∫
6 ln 4+
4 ln 4+
6 ln 2+
2 2ln 2+
( ) ( ) (
)
313
0 01
dddfx x fx x fx x= +
∫∫∫
( )
13
01
2
d 2 1d
1
x xx
x
= +−
+
∫∫
( )
3
1
2
0
1
2ln 1x xx= ++ −
ln 4 6= +
( )
2
3 khi 0 1
4 khi 1 2
xx
y fx
xx
≤≤
= =
− ≤≤
( )
2
0
f x dx
∫
7
2
1
5
2
3
2
( ) ( ) ( )
1 2 12
2
23
0 1 01
12
57
34 4 1
01
2 22
x
f x dx f x dx x dx x dx x x

+ = + − = + − =+=


∫ ∫ ∫∫
( )
2
2
6 khi 0
khi 0
xx
y fx
a ax x
≤
= =
−≥
( )
4
1
d
I fxx
−
=
∫
a
22 0I +≥
2
3
4
5
( ) ( )
( )
4
0 4 04
22
0
2 23 2
1
1 0 10
0
d d 6d d 2 24 8.
2
ax
I fxx fxx xx aaxx x ax a a
−
−−

= + = + − = + − =+−


∫ ∫ ∫∫
https://toanmath.com/
.
Vậy có giá trị nguyên của thỏa mãn.
Câu 32. Biết . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có: .
Mà .
Câu 33. Đặt ( là tham số thực). Tìm để .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có .
.
Câu 34. Cho , . Khi đó bằng:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Do
Câu 35. Giá trị nào của để ?
A. hoặc . B. hoặc C. hoặc . D. hoặc .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có .
Theo bài ra, có .
Câu 36. Có bao nhiêu giá trị thực của để có
A. . B. . C. . D. Vô số.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
22 0I +≥
2
2 4 8 22 0aa⇔+− +≥
2
2 60aa⇔ −−≤
3
2
2
a⇔− ≤ ≤
{
}
1; 0;1; 2
a
a
∈
→ ∈ −
4
a
( )
2 1d 1
b
a
xx−=
∫
1ba−=
22
1a b ab− =−−
22
1b a ba− =−+
1ab−=
( )
( )
2
2 1d
b
b
a
a
x xxx
−=−
∫
( )
22
bbaa= −− −
( )
2 1d 1
b
a
xx−=
∫
22
1b ba a⇔ −− +=
22
1b a ba⇔ − =−+
(
)
2
1
2 1d
I mx x= +
∫
m
m
4I =
1
m
= −
2m = −
1m =
2m =
( )
2
1
2 1dI mx x= +
∫
( )
2
2
1
mx x
= +
( ) ( )
42 1mm= +− +
31m= +
4I =
3 14m⇔ +=
1m⇔=
3
0
( )d
fx x a
=
∫
3
2
( )d
fx x b
=
∫
2
0
( )d
fx x
∫
ab−−
ba−
ab+
ab−
3 23
0 02
( )d ( )d ( )dfx x fx x fx x= +
∫∫∫
2 33
0 02
( )d ( )d ( )dfx x fx x fx x⇔=−
∫∫∫
2
0
( )dfx x a b⇔=−
∫
b
( )
1
2 6d 0
b
xx−=
∫
0
b =
3
b =
0
b =
1b =
5
b =
0
b =
1b =
5b =
(
)
( ) ( )
( )
22 2
1
1
2 6d 6 6 1 6 6 5
b
b
x xxx bb bb− = − = − −− = − +
∫
2
1
6 50
5
b
bb
b
=
− +=⇔
=
AD
( )
0
2 5d 4
a
x xa+=−
∫
1
0
2
( )
0
2 5d 4
a
x xa+=−
∫
( )
2
0
54
a
xxa⇔+ =−
(
)
H
1yx= −
https://toanmath.com/
Câu 37. Xác định số thực dương để tích phân có giá trị lớn nhất.
A. . B. . C. . D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
.
Đặt hoặc
Lập bảng biến thiên
Vậy đạt GTLN tại .
Câu 38. Cho là số thực thỏa mãn và . Giá trị biểu thức bằng.
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có: . Theo đề: .
Vậy .
Câu 39. Tích phân có giá trị là:
A. I = 1. B. I =2. C. I = 3. D. I = 4.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Cách 1: .
Chọn C
Cách 2: Kiểm tra bằng máy tính, dễ dàng thu được kết quả như cách 1.
Câu 40. Tích phân có giá trị là:
A. I = 1. B. I = 2. C. I = 3. D. I = 4.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Cách 1: .
m
( )
2
0
d
m
xx x−
∫
1
m =
2m =
3m =
4m =
( )
2
0
d
m
P xx x= −
∫
23
0
23
m
xx

= −


23
23
mm
= −
(
)
23
23
mm
fm= −
( )
2
fm mm
′
⇒=−
( )
0
fm
′
⇒=
0m⇔=
1m =
( )
fm
1m =
a
2a <
( )
2
2 1d 4
a
xx+=
∫
3
1 a+
0
2
1
3
( )
2
2 1d
a
xx+
∫
( )
2
22
6
a
xx aa= + =−−
2
2
1
64
a
a
aa
<
⇒=
− −=
3
12a+=
2
1
2.
I x dx=
∫
2
1
2.I x dx=
∫
2
22
2
11
1
2 . 2. . 2. 3
2
x
I x dx x dx

= = = =


∫∫
( )
1
3
1
32I x x dx
−
= ++
∫
( )
1
3
1
32I x x dx
−
= ++
∫
( )
1
1
3 42
1
1
13
32 2 4
42
I x x dx x x x
−
−

= ++ = + + =


∫
https://toanmath.com/
Chọn D
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay.
Câu 41. Cho gá trị của tích phân , . Giá trị của là:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Cho gá trị của tích phân , . Giá trị của là:
Ta có:
.
.
.
Chọn C
Câu 42. Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
.
Chọn A
Câu 43. Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
.
Chọn D
Câu 44. Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
( )
1
43
1
1
2I x x dx a
−
=+=
∫
(
)
1
2
2
2
3
I x x dx b
−
−
=+=
∫
a
b
4
65
P = −
12
65
P =
12
65
P = −
4
65
P =
( )
1
43
1
1
2I x x dx a
−
=+=
∫
( )
1
2
2
2
3
I x x dx b
−
−
=+=
∫
a
b
( )
1
1
43 5 4
1
1
1
11 2 2
2
52 5 5
I x x dx x x a
−
−

= + = + =⇒=


∫
( )
1
1
2 32
2
2
2
1 3 13 13
3
32 6 6
I x x dx x x b
−
−
−
−

= + = + =− ⇒=−


∫
12
65
a
P
b
⇒==−
( )
0
3
1
2I x ax dx
−
= ++
∫
7
42
a
I
= −
9
42
a
I = −
7
42
a
I = +
9
42
a
I
= +
( )
0
3
1
2
I x ax dx
−
= ++
∫
( )
0
0
3 42
1
1
17
22
4 2 42
aa
I x ax dx x x x
−
−

= ++ = + + =−


∫
( )
1
2
0
I ax bx dx= +
∫
23
ab
I
= +
33
ab
I = +
22
ab
I = +
32
ab
I
= +
( )
1
2
0
I ax bx dx= +
∫
( )
1
1
2 32
0
0
3 2 32
a b ab
I ax bx dx x x

=+=+ =+


∫
2
2
1
2
a
I x dx
x

= +


∫
2
11
2
Ia
a
=−−+
2
31
2
Ia
a
=−−+
2
51
2
Ia
a
=−−+
2
71
2
Ia
a
=−−+
https://toanmath.com/
Tích phân , với có giá trị là:
Ta có:
.
Chọn D
Câu 45. Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
.
Từ bảng xét dấu ta được:
.
Chọn A
Câu 46. Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
Từ bảng xét dấu ta được:
.
Chọn A
Câu 47. Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
2
2
1
2
a
I x dx
x

= +


∫
0a ≠
22
2
2
2
1 1 17
2
2
a
a
I x dx x a
x xa

= + =−+ = −−


∫
2
2
1
I x xdx
−
= −
∫
3
2
I =
1
6
I =
3
2
I = −
1
6
I = −
2
2
1
I x xdx
−
= −
∫
(
)
2
0 02
fx
xx x x−=⇔=∨=
(
) (
)
02
20 2
2 2 2 32 32
110
10
11 11 3
32 32 2
I x xdx x x dx x x dx x x x x
−−
−

= − = − + − + = − +− + =


∫∫ ∫
1
32
1
1I x x x dx
−
= + −−
∫
4
3
I =
1
2
I =
4
3
I = −
1
2
I = −
1
32
1
1I x x x dx
−
= + −−
∫
( )
( )(
)
2
32
10 11011
fx
xxx x x x x+ − −= ⇔ − + = ⇔ =∨ =−

( )
1
11
32 32 4 3 2
11
1
111 4
11
432 3
I xxxdx xxxdx x x xx
−−
−

= + −− =− + −− =− + − − =


∫∫
3
1
2
32
1
xx
I dx
x
−
−
−+
=
−
∫
7
6
I = −
17
6
I =
7
6
I =
17
6
I = −
3
1
2
32
1
xx
I dx
x
−
−
−+
=
−
∫
https://toanmath.com/
.
Từ bảng xét dấu ta được:
.
Chọn C
Câu 48. Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
Từ bảng xét dấu ta được:
.
.
.
.
Chọn A
Câu 49. Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
.
Chọn C
Câu 50. Biết tích phân . Giá trị của là:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
(
)
( ) ( )
2
3
320 12012
fx
xxxxxx
− +=⇔ − + =⇔=∨=−

( )
1
11
3
2 32
22
2
32 1 1 7
22
1 32 6
xx
I dx x x dx x x x
x
−
−−
−−
−
−+

= = +− = + − =

−

∫∫
2
2
2
2
1
xx
I dx
x
−
−−
=
−
∫
3 2ln3I = −
2ln3I = −
3 2ln3I = +
3 3ln 2I = −
0
2
2
2
1
xx
I dx
x
−
−−
=
−
∫
(
) ( )
2
2
0 121
1
xx
fx fx x x x
x
−−
= ⇒ = ⇔ =−∨ = ∧ ≠
−
0 10
2 22
221
2 22
1 11
xx xx xx
I dx dx dx
x xx
−
−−−

−− −− −−
==−+

− −−

∫∫∫
1
11
22
1
22
2
22 5
2ln 1 2ln 2 2ln3
1 12 2
xx x
I dx x dx x
xx
−
−−
−−
−

−−

=− =−− − =− − − = + −


−−


∫∫
0
0
22
2
1
1
21
... 2ln 1 2ln 2
12 2
xx x
I dx x
x
−
−

−−
= ==− −=−

−

∫
12
3 2ln 3III⇒= + =−
1
3
2
1
2
I ax dx
x
−
−

= +


∫
15
ln 2
16
a
I
=−+
15
ln 2
16
a
I = −
15
ln 2
16
a
I = +
15
ln 2
16
a
I =−−
1
3
2
1
2I ax dx
x
−
−

= +


∫
1
1
34
2
2
1 15
2 ln ln 2
2 16
aa
I ax dx x x
x
−
−
−
−

= + = + =−−


∫
1
1
0
2I xdx a= =
∫
( )
2
2
2
2
a
I x x dx= +
∫
2
17
3
I =
2
19
3
I =
2
16
3
I =
2
13
3
I =
https://toanmath.com/
Biết tích phân . Giá trị của là:
Ta có:
.
Chọn C
Câu 51. Cho tích phân . Khẳng định nào dưới đây không đúng?
A. . B. .
C. . D. Chỉ có A và C đúng.
Hướng dẫn giải
Cho tích phân . Khẳng định nào dưới đây không đúng?
Ta có:
.
Phát biểu (A): đúng.
Phát biểu (B): sai.
Phát biểu (C): đúng.
Phát biểu (D): đúng.
Chọn B
Câu 52. Số nghiệm nguyên âm của phương trình: với là:
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Hướng dẫn giải
Số nghiệm nguyên âm của phương trình: với là:
Ta có: .
Chọn B
Câu 53. Số nghiệm dương của phương trình: , với , a và b là các số hữu tỉ
là:
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Hướng dẫn giải
Số nghiệm dương của phương trình: , với là:
Ta có: .
Chọn B
1
1
0
2
I xdx a
= =
∫
(
)
2
2
2
2
a
I x x dx= +
∫
(
) ( ) (
)
2
1 22
1
2 2 2 32
12
0
01
1
1 16
21 2 2
33
a
I xdx x I x x dx x x dx x x

===⇒=+=+=+=


∫ ∫∫
(
)
2
1
b
a
I x dx
= +
∫
(
)
22
1
b bb
a aa
I x dx x dx dx=+= +
∫ ∫∫
(
)
3
b
a
I xx
= +
33
11
33
I bb aa= +− −
(
)
2
1
b
a
I x dx
= +
∫
( )
2 3 33
1 11
1
3 33
b
b
a
a
I x dx x x b b a a

= + = + = +− −


∫
3
20x ax− +=
3
1
1
e
a dx
x
=
∫
3
20x ax− +=
3
1
1
e
a dx
x
=
∫
( )
( ) (
)
3
3
2
3
1
1
1
ln 3 320 12012
e
e
adxxxxxxxx
x
= = =⇒ − +=⇔ − + =⇔=∨=−
∫
3
20x ax+ +=
1
0
2a xdx
=
∫
3
20x ax+ −=
1
0
2a xdx=
∫
( )
( )
( )
1
1
23 2
0
0
2 1 20 1 2 0 1a xdx x x x x x x x= = =⇒ +−=⇔ − ++ =⇔ =
∫
https://toanmath.com/
Câu 54. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để có \
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
Mà
Khi đó:
Câu 55. Cho là một nguyên hàm của hàm số trên tập và thỏa mãn
. Tính tổng .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối:
Ta có: mà nên .
mà nên .
mà nên
.
mà nên .
Vậy .
Câu 56. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương thỏa mãn
?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn C
k
( )
0
1
11
2 1 d 4lim .
k
x
x
xx
x
→
+−
−=
∫
1
.
2
k
k
=
=
1
.
2
k
k
=
= −
1
.
2
k
k
= −
= −
1
.
2
k
k
= −
=
( )
( ) ( )
( )
( )
22
11
1
21 21
11
21d 21d21
2 4 44
k
kk
xk
xx x x
−−
− = − −= = −
∫∫
( )( )
( )
00 0
11 11
11 1
4lim 4lim 4lim 2
11
11
xx x
xx
x
x
x
xx
→→ →
+− ++
+−
= = =
++
++
( )
0
1
11
2 1 d 4lim
k
x
x
xx
x
→
+−
−= ⇔
∫
( )
(
)
2
2
2
21 1
2 21 9 .
1
4
k
k
k
k
=
−−
=⇔ −=⇔
= −
( )
Fx
( )
11fx x x=+ −−
( )
13
F =
( ) ( ) ( )
02 3FFF+ +−
8
12
14
10
( ) ( )
( ) ( )
2
1
d 2 1 23
fx x F F F
= −= −
∫
( )
22
11
d 2d 2fx x x
= =
∫∫
( )
25F =
( ) ( ) (
) ( )
1
0
d 1 03 0fx x F F F
=−=−
∫
( )
11
21
0
00
d 2d 1
f x x xx x= = =
∫∫
( )
02F =
(
) ( )
( ) ( )
0
1
d 0 12 1
fx x F F F
−
= −−=−−
∫
( )
00
20
1
11
d 2d 1f x x xx x
−
−−
= = = −
∫∫
( )
13F −=
( ) ( ) ( ) ( )
1
3
d 1 33 3fx x F F F
−
−
=−−−=−−
∫
( )
11
33
d 2d 4fx x x
−−
−−
=−=−
∫∫
(
)
37F −=
(
) ( ) ( )
0 2 3 25714FFF+ + − =++=
n
( )
2
2 23 1
0
1 2 3 4 ... d 2
n
n x x x nx x
−
− + + + ++ =−
∫
1
2
0
3
0 |
| 0
x
−∞
1−
1
+∞
1 x
+
−
+
+
1 x−
+
+
−
( )
fx
2−
2x
2
https://toanmath.com/
Ta có:
.
Thử với các giá trị đều không thỏa mãn.
Với , ta chứng minh . Dễ thấy thì đúng.
Giả sử đúng với với , . Khi đó .
Khi đó: .
Do đó đúng với . Theo nguyên lý quy nạp thì đúng.
Vậy không tồn tại số nguyên .
Câu 57. Cho hàm số . Hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây
Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục và đồ thị hàm số trên đoạn
và lần lượt bằng và . Cho . Giá trị biểu thức bằng
A. B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Theo giả thiết ta có và .
Dựa vào đồ thị ta có:
.
Tương tự ta có .
Như vậy
.
Câu 58. Cho và . Tìm điều kiện của để .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có .
(
)
2
2 23 1
0
1 2 3 4 ... d 2
n
n x x x nx x
−
− + + + ++ =−
∫
(
)
2
2 234
0
... 2
n
x nx x x x x
⇔− +++++ =−
2234
2 2 2 2 2 ... 2 2
n
n⇔− +++++=−
2 12
1 2 2 ... 2 1
n
n
−
⇔++ + + = +
22
2 1 1 2 20
nn
nn⇔−=+⇔−−=
{ }
1;2;3;4n∈
n∈
5n ≥
2
22
n
n>+
( )
1
5n =
( )
1
( )
1
nk=
k ∈
5k ≥
2
22
k
k>+
( )
1 2 22
2 2 2 22
k
k kk
+
> + = + ++
( )
2
2
2 12 1 2kk k> + ++ = + +
( )
1
1nk= +
( )
1
n
(
)
y fx=
( )
y fx
′
=
Ox
( )
y fx
′
=
[ ]
2;1−
[ ]
1; 4
9
12
(
)
13f
=
( ) ( )
24ff−+
21
9
3
2
( )
1
2
d9
fx x
−
′
=
∫
( )
4
1
d 12
fx x
′
=
∫
( )
( )
( )
( ) (
)
11
1
2
22
d d 12fx x fxx fx f f
−
−−
′′
=− =− =− −+ −
∫∫
( )
( )
1 29ff⇒− + − =
(
) ( )
4 1 12
ff−+=
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 413ff f f− + − −− + =−


( ) (
) ( )
2 421 3fff
⇔ −+ − =−
( ) ( )
2 46 3ff⇔ − + −=−
( ) ( )
2 43ff⇔ −+ =
( )
2
2
0
2dI x xmx= −−
∫
( )
1
2
0
2dJ x mx x= −
∫
m
IJ≤
3m ≥
2m ≥
1m ≥
0m ≥
( )
2
2
0
2dI x xmx= −−
∫
2
32
0
2
32
xx
mx

= −−


10
2
3
m
= −
https://toanmath.com/
.
Do đó
Câu 59. Biết rằng hàm số thỏa mãn , và
(với , , ). Tính giá trị của biểu thức .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có .
Do đó: . Vậy
TÍCH PHÂN HỮU TỈ
Câu 60. Biết với , là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
. Vậy .
Câu 61. Tích phân . Giá trị của a là:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Tích phân . Giá trị của a là:
Ta có:
( )
1
2
0
2dJ x mx x= −
∫
1
3
2
0
3
x
mx

= −


1
3
m= −
IJ
≤
10 1
2
33
mm⇔ − ≤−
3m⇔≥
( )
2
f x ax bx c
= ++
( )
1
0
7
d
2
fx x
= −
∫
( )
2
0
d2fx x= −
∫
( )
3
0
13
d
2
fx x=
∫
a
b
c∈
Pabc=++
3
4
P = −
4
3
P = −
4
3
P =
3
4
P =
(
)
32 32
0
0
d
32 32
d
d
ab ab
f x x x x cx d d cd

= ++ =++


∫
( )
( )
( )
1
0
2
0
3
0
7
d
2
d2
13
d
2
fx x
fx x
fx x
= −
= −
=
∫
∫
∫
7
32 2
8
22 2
3
9 13
93
22
ab
c
abc
a bc
++=−
⇔ ++=−
+ +=
1
3
16
3
a
b
c
=
⇔=
= −
4
3
Pabc=++=−
1
1
3
5
d ln
22
x
xa b
x
−
= +
+
∫
a
b
8
81
ab =
7
24
ab
+=
9
8
ab =
3
10
ab+=
1
1
3
5
d
22
x
x
x
−
+
∫
1
1
3
16
1d
21
x
x

= −

+

∫
(
)
1
1
3
1
6ln 1
2
xx
=−+
1 14
1 6ln 2 6ln
2 33

= − −+


18
ln
3 27
= +
18 8
.
3 27 81
ab
= =
1
0
2
ln 2
1
ax
I dx
x
= =
+
∫
ln 2
1 ln 2
a =
−
ln 2
2 2ln 2
a =
−
ln 2
1 ln 2
a =
+
ln 2
2 2ln 2
a =
+
1
0
2
ln 2
1
ax
I dx
x
= =
+
∫
https://toanmath.com/
.
Mà .
Chọn B
Câu 62. Cho . Giá trị a + b là:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Cho . Giá trị a + b là:
Ta có:
.
Chọn B
Câu 63.
Biết . Gọi , giá trị của thuộc khoảng nào sau đây
?
A.
. B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
.
Vậy .
Câu 64. Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D.
.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
Chọn A
( )
( )
11
1
0
00
21
2 1 2 ln 1 2 1 ln 2
11
ax
I dx a dx a x x a
xx

= = − = −+= −

++

∫∫
( )
ln 2
ln 2 2 1 ln 2 ln 2
2 2ln 2
Ia a= ⇔ − = ⇔=
−
(
)
1
2
0
1
ln 2 ln 3
32
I dx a b b
xx
= =−+
+−
∫
1
4
1
2
1
6
1
3
( )
1
2
0
1
ln 2 ln 3
32
I dx a b b
xx
= =−+
+−
∫
( )
11
1
2
0
00
11
1 1 1 11
44
ln 1 ln 3 ln3
32 13 4 4 4 2
I dx x x a b a b
xxxx


= = + = +− − = ⇒ == ⇒+=

+− + −


∫∫
(
)
2
2
0
d ln ,
1
x
x a b ab
x
=+∈
+
∫
2S ab= +
S
( )
8;10
( )
6;8
(
)
4;6
(
)
2;4
( )
2
22
22
00
0
0
1
d 1 d ln 1 ln 3 ln 3
3
1 12
a
xx
x x x x x ab S
b
xx
=


= −+ = − + + = = + ⇒ ⇒ =


=
++


∫∫
( )
2;4S
∈
2
2
1
1
x
I x dx
x

= +

+

∫
10
ln 2 ln3
3
I =+−
10
ln 2 ln 3
3
I =−+
10
ln 2 ln3
3
I
=−−
10
ln 2 ln 3
3
I =++
2
2
1
1
x
I x dx
x

= +

+

∫
2
22
3
22
11
1
1
1 ln 1
1 13
8 1 10
2 ln 3 1 ln 2 ln 2 ln3
33 3
xx
I x dx x dx x x
xx


= + = +− = + − +


++



= + − − +− = + −


∫∫
https://toanmath.com/
Câu 65. Nhận xét: Không thể dùng máy tính để tính ra kết quả như trên mà ta chỉ có thể dùng để kiểm
tra mà Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Cách 1: .
Chọn B
Cách 2: DÙng máy tính cầm tay.
Câu 66. Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
.
Chọn A
Câu 67. Tích phân ,với có giá trị là:
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải
Tích phân , với có giá trị là:
Ta có:
.
Chọn C
Câu 68. Tích phân có giá trị nhỏ nhất khi số thực dương a có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị nhỏ nhất khi số thực dương a có giá trị là:
Ta có:
2
2
1
1
2I x dx
x

= +


∫
5
2
I =
7
2
I =
9
2
I =
11
2
I =
2
2
1
1
2I x dx
x

= +


∫
2
2
2
2
1
1
1 17
2
2
I x dx x
xx

= + =−+ =


∫
1
0
2
1
ax
I ax dx
x

= −

+

∫
ln 2
Ia
= −
2ln 2I = −
2ln 2I =
ln 2
Ia
=
1
0
2
1
ax
I ax dx
x

= −

+

∫
( )
( )
(
)
1 11
1
1
2
0
0
0 00
2 2 ln 1 1 ln 2 ln 2
11
ax x
I ax dx a dx a xdx a x x a x a a a
xx

= − = − = − + − = − −=−

++

∫ ∫∫
1
a
ax
I dx
xa

= +


∫
0a ≠
2
1
ln
2
a
Iaa
a
+
= +
2
1
ln
2
a
Iaa
a
+
= +
2
1
ln
2
a
Iaa
a
−
= +
2
1
ln
2
a
Iaa
a
−
= +
1
a
ax
I dx
xa

= +


∫
0
a ≠
22
1
1
11
ln ln ln
2 22 2
a
a
ax x a a
I dx ax aa aa
xa a a a

−

= + = + = +− = +




∫
3
22
2
2ax x
I dx
ax
+
=
∫
25
2
5
1
5
5
3
22
2
2ax x
I dx
ax
+
=
∫
https://toanmath.com/
Vì a là số thực dương nên .
Chọn A
Câu 69. Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
.
Chọn C
Câu 70. Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
.
Chọn D
Câu 71. Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
.
Chọn D
Câu 72. Giá trị của tích phân . Biểu thức có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
3
33
22
2
22
2
2 2 2 52
22
ax x a a
I dx ax dx x x
ax a a a
+

= =+=+=+


∫∫
5 2 52
2 . 25
22
aa
I
aa
= +≥ =
2
2
1
b
I ax dx
x

= +


∫
7
ln 2
3
I ab= −
3 ln 2I ab= −
7
ln 2
3
I ab= +
3 ln 2I ab= +
2
2
1
b
I ax dx
x

= +


∫
2
2
23
1
1
7
ln ln 2
33
ba a
I ax dx x b x b
x

= +=+ =+


∫
1
3
1
2
b
I ax dx
x
−

= +

+

∫
ln3Ib= −
ln3
2
a
Ib= −
ln3
2
a
Ib= +
ln3Ib=
1
3
1
2
b
I ax dx
x
−

= +

+

∫
1
1
34
1
1
ln 2 ln 3
24
ba
I ax dx x b x b
x
−
−

= + = + +=

+

∫
2
2
1
e
e
x
I dx
x
+
=
∫
2
11
1
I
ee
=−+
2
11
1I
ee
=−−
2
11
1I
ee
=++
2
11
1I
ee
=+−
2
2
1
e
e
x
I dx
x
+
=
∫
2
22
22 2
1 11 1 11
ln 1
e
ee
ee
e
x
I dx dx x
x xx x ee
+

= = + = − =+−


∫∫
1
0
1
x
I dx a
x
= =
+
∫
21Pa= −
1 ln 2P = −
2 2ln 2P = −
1 2ln 2P = −
2 ln 2P = −
https://toanmath.com/
Giá trị của tích phân . Biểu thức có giá trị là:
Tacó:
.
Chọn C
Câu 73. Giá trị của tích phân . Biểu thức có giá trị là:
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải
Giá trị của tích phân . Biểu thức có giá trị là:
Ta có:
.
.
Chọn B
Câu 74. Biết , với . Tính giá trị .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
Vậy
Câu 75. Tính tích phân: .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có .
Câu 76. Tính tích phân .
1
0
1
x
I dx a
x
= =
+
∫
21Pa= −
(
)
11
1
0
00
1
1 ln 1 1 ln 2 1 ln 2 2 1 1 2ln 2
11
x
I dx dx x x a P a
xx

= =− =− +=−⇒=−⇒=−=−

++

∫∫
2
2
1
e
e
xx
I dx a
x

++
= =


∫
1Pa= −
24
11
22
Pe e e=++
24
11
22
Pee e=−+ +
24
11
22
Pee e=−− +
24
11
22
Pe e e=+−
2
2
1
e
e
xx
I dx a
x

++
= =


∫
1Pa= −
2
22
2 2 24
11
1 ln 1
2 22
e
ee
ee
e
xx x e e
I dx x dx x x e
xx

++

= = ++ = + + =−+ +




∫∫
24 24 24
11
22 22 22
ee ee ee
a e a e Pe
⇒=−++⇔−=−++⇔=−++
0
2
1
3 51 2
d ln
23
xx
I xa b
x
−
+−
= = +
−
∫
,
ab∈
2ab+
30
40
50
60
0
00
22
11
1
3 5 1 21 3 2 19
d 3 11 d 11 21ln 2 21.ln .
2 2 2 32
xx x
I xx x x x
xx
−−
−

+−

= = ++ = + + − = +


−−


∫∫
2 40.ab+=
2
1
1
d
x
Ix
x
+
=
∫
1 ln 2I = −
2ln 2I =
1 ln 2I = +
7
4
I =
2
1
1
d
x
Ix
x
+
=
∫
2
1
1
1dx
x

= +


∫
( )
2
1
lnxx= +
1 ln 2= +
1
2
0
d
9
x
I
x
=
−
∫
https://toanmath.com/
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có: .
Câu 77. Biết với là các số nguyên. Tính
A. . B. . C. . D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
. Ta có:
Khi đó:
Suy ra: Vậy
Câu 78. Biết rằng . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn D
và .
Ta có:
.
Câu 79. Giả sử . Tính .
A. . UB.U . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B
R
BN M
Suy ra:. Do đó: .
Câu 80. Cho giá trị của tích phân , . Giá trị của biểu
thức là:
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải
11
ln
62
I =
11
ln
62
I = −
1
ln 2
6
I =
6
ln 2I
=
1
2
0
d
9
x
I
x
=
−
∫
1
0
11 1
d
6 33
Ix
xx

= = −

−+

∫
1
0
13
ln
63
x
x
−
=
+
1 1 11
ln ln1 ln
6 2 62

= −=


4
2
3
d
ln 2 ln 3 ln5,
x
I abc
xx
= = ++
+
∫
,,abc
.S abc=++
6
S
=
2S =
2S = −
0.S =
4
2
3
dx
I
xx
=
+
∫
2
1 1 11
.
( 1) 1x x xx x x
= = −
++ +
(
)
44
4
3
2
33
d 11
d ln ln( 1) | (ln 4 ln 5) (ln 3 ln 4) 4ln 2 ln3 ln5.
1
x
I x xx
x x xx

= = − = − + = − − − = −−

++

∫∫
4, 1, 1.ab c= =−=−
2.S =
( )
5
2
1
3
d ln5 ln 2 ,
3
x a b ab Z
xx
=+∈
+
∫
20
ab+=
20ab−=
0ab
−=
0ab
+=
( )
55
5
2
1
11
3 11
d d ln ln 3 ln 5 ln 2
33
x x xx
x x xx

= − = −+=−

++

∫∫
1a
⇒=
1b = −
0ab+=
2
2
0
1
d ln 5 ln 3; ,
43
x
x a b ab
xx
−
=+∈
++
∫
P ab=
8P =
6P = −
4P = −
5P = −
( )
( )
( )
22 2
2
00 0
2
1 1 12
d d d ln 1 2ln 3 2ln5 3ln 3
0
43 1 3 1 3
xx
x x xx x
xx x x x x
− −−

= = + =− ++ + = −

++ + + + +

∫∫ ∫
6P ab= = −
2, 3ab
= = −
2
2
1
1
2
1
xx
I dx a
x
+
= =
+
∫
2
2
1
e
e
I dx b
x
= =
∫
Pab= −
7
ln 2 ln3
2
P =+−
3
ln 2 ln3
2
P =+−
5
ln 2 ln3
2
P =+−
1
ln 2 ln3
2
P =+−
https://toanmath.com/
Cho giá trị của tích phân , . Giá trị của biểu thức
có giá trị là:
Ta có:
.
.
.
Chọn B
Câu 81. Giá trị của tích phân gần nhất với gái trị nào sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Giá trị của tích phân gần nhất với gái trị nào sau đây?
Ta có:
Chọn A
Câu 82. Tích phân . Giá trị của a là:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Tích phân . Giá trị của a là:
Ta có:
.
Xét .
Xét .
2
2
1
1
2
1
xx
I dx a
x
+
= =
+
∫
2
2
1
e
e
I dx b
x
= =
∫
Pab
= −
2
22
22
1
11
1
21 5 5
1 ln 1 ln 2 ln 3 ln 2 ln 3
1 12 2 2
xx x
I dx x dx x x a
xx

+

= = +− = +− + =+−⇒=+−


++


∫∫
( )
2
2
2
1
ln 1 1
e
e
e
e
I dx x b
x
= = =⇒=
∫
3
ln 2 ln3
2
Pab=−= + −
0
32
2
1
32
2
xx
I dx
xx
−
−+
=
+−
∫
ln 2
2
−
ln 2 1
−
3
ln 4
2
−
ln3
3
−
0
32
2
1
32
2
xx
I dx
xx
−
−+
=
+−
∫
( )
( )
( )( )
0
32
2
1
0
2
0 00
22
1 11
1
32
2
1 22
22 6 9
4 4 6ln 2 6ln 2
12 2 2 2 2
xx
I dx
xx
x xx
xx x
dx dx x dx x x
xx x x
−
− −−
−
−+
=
+−
− −−

−−

= = = −+ = − + + = −


−+ + +


∫
∫ ∫∫
2
2
1
1 3432
ln ln
3 2 5353
ax
I dx
xx
+
= = +
++
∫
1
5
a =
2
5
a =
3
5
a =
4
5
a
=
2
2
1
1 3432
ln ln
3 2 5353
ax
I dx
xx
+
= = +
++
∫
2 22
2 22
1 11
11
32 32 32
ax x
I dx a dx dx
xx xx xx
+
= = +
++ ++ ++
∫ ∫∫
( )
( )
22
2
1
2
1
11
21
2ln 2 ln 1
32 2 1
42
2ln 4 3ln 3 ln 2 2 ln ln
33
x
I a dx a dx a x x
xx x x
a aa

= = − = +− +

++ + +

= −+= +
∫∫
( )
2
2
2
2
1
1
1 42
ln 1 ln 2 ln ln
32 3 3
I dx x x
xx
= = +− + =− −
++
∫
https://toanmath.com/
Theo đề bài: .
Chọn D
Câu 83. Tích phân . Giá trị của a là:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Tích phân . Giá trị của a là:
Ta có:
, với .
Theo đề bài: .
Chọn B
Câu 84. Biết , . Tính giá trị của biểu thức
.
A. . B. . UC.U . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn C
.
.
.
Nên: .
.
Vậy , . Vậy .
Câu 85. Biết , trong đó là hai số nguyên dương và là phân số tối
giản. Tính ta được kết quả.
A. B. C. UD.U
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt
Đổi cận:
Khi đó:
( ) ( )
12
42
2 1 ln 1 ln
33
III a a⇒= + = − + −
3432 4
ln ln
5353 5
Ia= + ⇒=
2
3
1
1 17
ln
3 32
a
x
I dx
xx
+
= =
+
∫
1a =
2a =
3a =
4a =
2
3
1
1 17
ln
3 32
a
x
I dx
xx
+
= =
+
∫
( )
3
3
3
23
3
3
4
14
1 111 1 3
ln ln
3 3 3 34
a aa
aa
x aa
I dx dt t
xx t
+
+
++
= ⇒= =
+
∫∫
3
3tx x= +
(
)
(
)
3
32
1 3 17
ln ln 3 14 0 2 2 7 0 2
3 4 32
aa
aa a aa a
+
= ⇔ + − =⇔ − + + =⇔=
( )( )
1
d .ln 1 .ln 2
12
x
xa x b x C
xx
+
= −+ − +
−−
∫
,ab
∈
ab+
1
ab+=
5
ab+=
1ab+=−
5ab
+=−
(
)( )
1
12 12
x AB
xx x x
−−
= +
−− − −
(
) ( )
12 1
x Ax Bx⇔−−= − + −
12
21 3
AB A
AB B
+=− =

⇔⇔

− −=− =−

( )( )
1 23
dd
12 1 2
x
xx
x x xx
+

= −

−− − −

∫∫
2ln 1 3ln 2x xC= −− − +
2a =
3b = −
1ab+=−
1
2
0
31 5
d 3ln
69 6
xa
x
xx b
−
= −
++
∫
,ab
a
b
ab
5.ab = −
27.ab =
6.ab =
12.ab =
( )
11
2
2
00
31 31
dd
69
3
xx
xx
xx
x
−−
=
++
+
∫∫
3 ;3t x dt dx x t
=+⇒ = =−
0 3; 1 4x tx t= ⇒= =⇒=
https://toanmath.com/
.
Câu 86. Biết với , , . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn A
, suy ra .
Vậy .
Câu 87. Giả sử . Khi đó giá trị là:
A. 30. B. 40. C. 50. D. 60.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
Câu 88. Biết rằng . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn D
.
Vậy .
Câu 89. Nếu thì giá trị của là
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
(
)
( )
14 4
2
22
03 3
4
3 31
3 1 3 10 10
d dt dt 3ln
3
3
t
x
Kx t
t tt t
x
−−
−

= = =−= +


+
∫∫ ∫
5 45
3ln 4 3ln 3 3ln 4, 3 . 12
6 36
a b ab= − −= −⇒= =⇒ =
3
2
2
2
32
d ln 7 ln 3
1
xx
xa b c
xx
−+
= ++
−+
∫
a
b
c∈
23
23Ta b c=++
4T =
6T =
3T =
5
T =
( )
33
2
3
2
22
2
22
32 21
d 1 d ln 1 ln 7 ln3 1
11
xx x
x xx xx
xx xx
−+ −

= − = − −+ =− + +

−+ −+

∫∫
1
1
1
a
b
c
= −
=
=
23
234
Ta b c
=++=
0
2
1
3 51 2
.ln
23
xx
I dx a b
x
−
+−
= = +
−
∫
2ab+
0
22
0
1
1
0
3 5 1 21 3 2 19
d 3 11 d 11 21ln 2 21ln
1
2 2 2 32
xx x
I xx x xx
xx
−
−

+−

= = ++ = + + − = +


−
−−


∫∫
5
2
1
3
d ln5 ln 2
3
xa b
xx
= +
+
∫
(
)
,ab∈
20
ab
+=
20ab−=
0
ab−=
0
ab+=
55
2
11
3 11
dd
33
xx
x x xx

= −

++

∫∫
( )
5
1
ln | | ln | 3| ln 5 ln 2xx= −+=−
1, 1ab= = −
3
2
2
2
d ln5 ln3 3ln 2
2 31
x
xa b
xx
+
=++
−+
∫
( )
,ab∈
2P ab= −
1P =
7P =
15
2
P = −
15
2
P =
https://toanmath.com/
.
Do đó , , .
Câu 90. Cho , với , , là các số hữu tỉ. Tính
.
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
.
Câu 91. Biết rằng với , , . Hỏi giá trị thuộc khoảng nào sau
đây?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có: ,
.
Câu 92. Biết với là các số nguyên. Tính
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B
3
2
2
2
d
2 31
x
x
xx
+
−+
∫
33
22
22
1 4 3 11 1
dd
42 31 42 31
x
xx
xx xx
−
= +
−+ −+
∫∫
(
)
(
)(
)
33
2
2
22
1 1 11 1
d2 3 1 d
42 3 1 4 12 1
xx x
xx x x
= − ++
−+ − −
∫∫
3
3
2
2
2
1 11 1 2
ln 2 3 1 d
4 4 12 1
xx x
xx

= −++ −

−−

∫
3
3
2
2
2
1 11 1
ln 2 3 1 ln
4 4 21
x
xx
x
−
= −++
−
(
)
1 11 2 1
ln10 ln 3 ln ln
4 453

= −+ −


1 10 11 6
ln ln
4345
= +
( ) ( )
1 11
ln5 ln 2 ln3 ln 2 ln3 ln5
44
= +− + +−
55
ln5 ln3 3ln 2
22
=−++
5
2
a = −
5
2
b =
15
2
P
= −
3
2
1
3
d ln 2 ln3 ln5
32
x
xm n p
xx
+
= ++
++
∫
m
n
p
22
Sm np= ++
6
S =
4S =
3S =
5
S =
3
2
1
3
d
32
x
x
xx
+
++
∫
( )
( )
3
1
3
d
12
x
x
xx
+
=
++
∫
( )
( )( )
3
1
24 1
d
12
xx
x
xx
+− +
=
++
∫
( )( ) ( )( )
3
1
24 1
d
21 21
xx
x
xx xx

++
= −

++ ++

∫
33
11
21
dd
12
xx
xx
= −
++
∫∫
( )
( )
33
11
2ln 1 ln 2xx= +− +
(
)
2ln 4 2ln 2 ln 5 ln 3= − −−
4
2ln ln 5 ln 3
2

= −+


2ln 2 ln 3 ln5= +−
2
1
1
m
n
p
=
⇔=
= −
(
)
2
2
21 1 6S
⇔ = ++− =
2
2
0
d ln
1
x
xa b
x
= +
+
∫
a
b
∈
0b >
2ab+
( )
8;10
( )
6;8
( )
4;6
( )
2;4
2
22
22
00
0
1
d 1 d ln 1 ln3
1 12
xx
xx x xx
xx


= −+ = − + + =


++


∫∫
0a⇒=
3b =
23ab⇒ +=
4
2
3
d
ln 2 ln 3 ln5
x
I abc
xx
= = ++
+
∫
,,abc
S abc=++
6S =
2S =
2S = −
0S =
https://toanmath.com/
Cách 1:
.
Suy ra .
Cách 2:
Ta có:
Suy ra .
Câu 93. Biết , với , là các số nguyên thuộc khoảng thì và là
nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có .
Suy ra hoặc và , là nghiệm của phương trình .
Câu 94. Biết với , là các số nguyên. Tính .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có .
Vậy , . Suy ra .
47TCâu 95. 47TBiết47T , . Giá trị của biểu thức
bằng
47TA. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn D
47T .
47TKhi đó: .
Câu 96. Tìm giá trị của để .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn B
( )
4
44
2
3
33
1 1 43
d d ln ln ln 4ln 2 ln 3 ln5
1 1 54
x
Ix x
x x xx x
= = = = − = −−
+ ++
∫∫
4, 1a bc= = = −
2S⇒=
(
)
4 4 44
2
3 3 33
1 1 11
d d d d ln 4 ln 3 ln 5 ln 4 4ln 2 ln3 ln5
11
I x xx x
x x xx x x
= = = − =−−+ = −−
++ +
∫ ∫ ∫∫
4, 1a bc= = = −
2S⇒=
2
2
1
d 11
4 41
x
x x ab
= +
−+
∫
a
b
( )
7;3−
a
b
2
2 10
xx
−−=
2
4 12 0xx+−=
2
5 60xx− +=
2
90
x
−=
(
)
22
2
2
11
dd
4 41
21
xx
xx
x
=
−+
−
∫∫
( ) ( )
2
2
1
1
21d21
2
xx
−
=−−
∫
2
1
11
22 1x
=−⋅
−
11
62
=−+
11
62
= +
−
6
2
a
b
= −
=
2
6
a
b
=
= −
a
b
2
4 12 0xx+−=
5
2
3
1
d ln
12
xx b
xa
x
++
= +
+
∫
a
b
2Sa b= −
2S
= −
5S =
2S =
10S =
5
55
2
2
33
3
1 1 1 25 9 3
d d ln 1 ln 6 ln 4 8 ln
1 12 2 2 2
xx
xx x x x
xx
++

= + = + + = + −− =+

++

∫∫
8a
=
3b
=
2 8 2.3 2Sa b=−=− =
( )
( )
3
0
d
ln 2 ln 5 ln 7
24
x
abc
xx
=++
++
∫
(
)
,,
abc∈
23a bc+−
5
4
2
3
( )( )
3
0
d
24
x
xx++
∫
3
0
11 1
d
2 24
x
xx

= −

++

∫
( )
3
0
1
ln 2 ln 4
2
xx= +− +
111
ln5 ln 7 ln 2
222
=−+
23a bc+−
1 11
2. 3. 3
2 22
= + +=
a
( )
( )
4
3
1
d ln
12
xa
xx
=
−−
∫
12
4
3
1
3
3
4
https://toanmath.com/
Câu 97. Cho với , là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây
đúng ?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có: và
Do đó , .
Vậy .
Câu 98. Biết . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
.
.
Nên
. Vậy .
Câu 99. Cho với , , là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới
đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
.
Vậy .
Câu 100. Biết . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn D
(
)
( )
44
33
1 11
dd
12 21
xx
xx x x

= −

−− − −

∫∫
4
3
2 2 1 22 4
ln ln ln ln . ln ln
1 3 2 31 3
x
a
x
−

= =−= ==

−

4
3
a
⇒=
1
0
11
ln 2 ln 3
12
dx a b
xx

−=+

++

∫
a
b
2ab+=
20ab−=
2ab+=−
20ab+=
1
0
1
ln 1 ln 2
0
1
dx
x
x
= +=
+
∫
1
0
1
ln 2 ln 3 ln 2
0
2
dx
x
x
= +=−
+
∫
(
)
1
0
11
ln 2 ln 3 ln 2 2ln 2 ln 3
12
dx
xx

− =−−= −

++

∫
2a⇒=
1b = −
20ab+=
3
2
2
5 12
d ln 2 ln 5 ln 6
56
x
xa b c
xx
+
=++
++
∫
32S a bc=++
3
14−
2−
11−
2
5 12
56
x
xx
+
++
( )( )
5 12
23
x
xx
+
=
++
23
AB
xx
= +
++
(
)
2
32
56
A Bx A B
xx
+ ++
=
++
52
3 2 12 3
AB A
AB B
+= =

⇔

+= =

3
2
2
5 12
d
56
x
x
xx
+
++
∫
33
22
23
dd
23
xx
xx
= +
++
∫∫
33
22
2ln 2 3ln 3
xx= ++ +
3ln 6 ln5 2ln 4= −−
4ln 2 ln 5 3ln 6=− −+
3 2 11S a bc= + +=−
2
2
1
1
d ln 2 ln 3 ln 5
56
xa b c
xx
= ++
++
∫
a
b
c
4abc++=
3abc++=−
2abc++=
6abc++=
( )
22
2
2
1
11
1 11
d d ln 2 ln 3
56 2 3
x xx x
xx x x
−

= + = +− +

++ + +

∫∫
( ) ( )
ln 4 ln 5 ln3 ln 4 2ln 4 ln3 ln 5 4ln 2 ln 3 ln5= − − − = −−= −−
( )
( )
4 1 12abc+ + = +− +− =
( ) ( ) ( )
2
32
1
d ln 1 2 3
6 11 6
mnp
x
xx x x C
xx x
+
= − − −+
−+−
∫
( )
4 mnp++
5
0
2
4
https://toanmath.com/
Ta có:
.
Suy ra
.
Vậy .
Câu 101. Cho với , là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có .
Suy ra .
Câu 102. Biết tìm các giá trị của để
.
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
Mà
Mặt khác ta có .
Vậy để thì
.
( )
(
)(
)
22
32
11
6 11 6 1 2 3 1 2 3
x x ABC
xx x x x x x x x
++
= =++
−+− − − − − − −
( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )
2
23 13 12
1
123 123
Ax x Bxx Cxx
x
xx x xx x
− −+ − −+ − −
+
⇔=
−− − −− −
( )(
) ( )( ) ( )( )
2
1 23 13 12x Ax x Bxx Cxx
⇔ += − −+ − −+ − −
11
5430 5
6321 5
ABC A
ABC B
ABC C
++= =


⇒− − − = ⇔ =−


++ = =

2
32
1 111
d d5 d5 d
6 11 6 1 2 3
x
xx x x
xx x x x x
+
=−+
−+− − − −
∫ ∫∫ ∫
( )( ) (
)
55
ln 1 2 3
xx x C
−
= − − −+
( )
44mnp++ =
3
2
2
8
d ln 2 ln 5
2
x
xa b
xx
+
= +
+−
∫
a
b
3ab
+=
2 11ab−=
5ab−=
2 11
ab+=
33
2
22
8 32
dd
2 12
x
xx
xx x x
+

= −

+− − +

∫∫
33
22
3ln 1 2ln 2xx
= −− +
7ln 2 2ln 5= −
7
2
a
b
=
= −
2 11ab⇒− =
1
32
0
23 1 3
d ln
22
xx
xb
xa
++
= +
+
∫
( )
,0ab>
k
( )
2
8
1 2017
d lim
2018
ab
x
kx
x
x
→+∞
++
<
+
∫
0k <
0k ≠
0k >
k ∈
11
32
2
00
23 3
dd
22
xx
xx x
xx
++

= +

++

∫∫
1
3
0
1 13
3ln 2 3ln
3 32
xx= + +=+
3
3
a
b
=
⇒
=
9
88
d d1
ab
xx⇒==
∫∫
( )
2
8
1 2017
d lim
2018
ab
x
kx
x
x
→+∞
++
<
+
∫
( )
2
1 2017
1 lim
2018
x
kx
x
→+∞
++
⇒<
+
( )
2
2
1 2017
lim 1
2018
x
kx
k
x
→+∞
++
= +
+
(
)
2
8
1 2017
d lim
2018
ab
x
kx
x
x
→+∞
++
<
+
∫
2
11k<+
2
0
k⇒>
0k⇒≠
https://toanmath.com/
TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ
Câu 103. Tính tích phân .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có .
Câu 104. Biết rằng . Giá trị của là:
A. – 1. UBU. – 2. C. – 3. D. – 4.
Hướng dẫn giải
Biết rằng . Giá trị của là:
Ta có:
.
Chọn B
Câu 105. Tích phân bằng
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có: .
Câu 106. Cho , . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
.
Do đó , , .
Câu 107. Biết tích phân với , là các số thực. Tính tổng
.
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn D
2
0
4 1 dI xx= +
∫
13
13
3
4
4
3
2
0
4 1 dI xx= +
∫
( )
2
1
2
0
4 1 dxx= +
∫
( )
2
3
2
0
12
.41
43
x= +
13
3
=
( )
1
1
0
12
6
a
I x x dx b= ++ =+
∫
3
4
ab−
(
)
1
1
0
12
6
a
I x x dx b= ++ =+
∫
3
4
ab−
( )
( )
1
1
2
3
1
0
0
2 1 42 4 3
1 1 1, 2
23 6 3 3 4
x
I x x dx x a b a b

= + + = + + =−+ ⇒=− = ⇒− =−


∫
2
0
1
22
I dx
x
=
+
∫
1
1
2
I = −
22
I =
1
2
2
I
= −
22I = −
2
2
0
0
1
222
22
I dx x
x
= =+=−
+
∫
1
0
d 82
33
21
x
ab a
xx
=−+
++ +
∫
( )
*
,ab∈
2ab+
27
ab+=
28ab+=
21ab+=−
25ab+=
1
0
d
21
x
xx++ +
∫
( )
1
0
2 1dx xx= +− +
∫
( )
( )
( )
1
33
0
2
21
3
xx= +− +
82
23 2
33
=−+
2a =
3b =
28ab+=
1
0
3
d
9
31 21
x ab
x
xx
+
=
++ +
∫
a
b
T ab= +
10T = −
4T = −
15T =
8T =
https://toanmath.com/
Ta có
.
Câu 108. Tích phân có giá trị là:
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
Chọn B
Câu 109. Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
.
Chọn A
Câu 110. Biết rằng . Với , , là số nguyên dương. Tính .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
Suy ra , , . Vậy .
( )
( )
11 1
00 0
31 21
d d 3 1 2 1d
31 21
xx x
x
x x x xx
x
xx
+− +
= = +− +
++ +
∫∫ ∫
( ) ( )
( ) ( )
1
1
11 3 3
22 2 2
0
0
21
31 21d 31 21
93
x xxx x

= +− + = +− +


∫
16 2 1 17 17 9 3
33
9 93 9 9
−

= − −−=−=


0
1
a
I x x dx
= +
∫
( )
( )
53
2121
4
5 3 15
aa
I
++
=++
( )
( )
53
2121
4
5 3 15
aa
I
++
=−+
( )
( )
53
2121
4
5 3 15
aa
I
++
=+−
( )
( )
53
2121
4
5 3 15
aa
I
++
=−−
0
1
a
I x x dx= +
∫
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
31
22
0 0 00 0
53
53
22
00
111 11 1
2 2 22 4
= 1 1= 1 1
5 3 5 3 15
a a aa a
aa
I x x dx x x dx x dx x dx x dx
x x xx
= += + +− += + −+

+ − + +− ++


∫ ∫ ∫∫ ∫
1
1
11
x
I dx
x
−
=
+−
∫
42
2
3
I
= +
42
2
3
I = −
42
1
3
I
= −
42
1
3
I
= +
1
1
11
x
I dx
x
−
=
+−
∫
( )
(
)
1
11
3
2
11
1
2 42
11 11 1 2
33
11 11
xx
x I dx x dx x x
xx
−−
−

= ++⇒ = = ++ = + + = +

+− +−

∫∫
4
2
3
24
d
2
xx a b
Ix
c
xx
−+ −
= =
+−
∫
a
b
c
abc++
39
27
33
41
(
) ( )
4
44
22
3
33
3
2 2 25 8 2 25 4 8
d 2d 2
23 6 6
2
xx x
x xx x x
xx

−+ − −
= −− = − − = =

+−

∫∫
25a =
8b =
6c =
39abc++=
https://toanmath.com/
Câu 111. Biết với là các số nguyên dương. Tính
.
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
.
Vậy ; ; nên .
Câu 112. Biết với , , là các số nguyên dương. Tính
.
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có: , nên:
.
Mà nên . Suy ra: .
TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
Câu 113. Tính 19Ttích19T phân .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có .
Câu 114. Tính tích phân .
( )
2
1
d
22
x
a bc
xx x x
=+−
++ +
∫
,,abc
Pabc=++
2P =
8P
=
46P =
22P =
( )
2
1
d
22
x
xx x x
++ +
∫
( )
2
1
d
22
x
xx x x
=
+ ++
∫
( )
2
1
2
d
22
xx
x
xx
+−
=
+
∫
2
1
11
d
2 22
x
xx

= −

+

∫
( )
2
1
2xx= −+
2 33=+−
2a
=
3b =
3c =
8Pabc=++=
( )
2
1
d
11
x
I a bc
x x xx
= =−−
+ ++
∫
a
b
c
Pabc=++
24P =
12P =
18P =
46P =
10xx+− ≠
[
]
1; 2x
∀∈
( )
2
1
d
11
x
I
x x xx
=
+ ++
∫
( )
( )
2
1
d
11
x
xx x x
=
+ ++
∫
( )
( )
( )
( )
2
1
1d
11 1
x xx
xx x x x x
+−
=
+ ++ +−
∫
( )
( )
2
1
1d
1
x xx
xx
+−
=
+
∫
2
1
11
d
1
x
xx

= −

+

∫
( )
2
1
2 21
xx
= −+
42 23 2=−−
32 12 2
=−−
I a bc=−−
32
12
2
a
b
c
=
=
=
32 12 2 46Pabc=++= + +=
0
sin3 d
xx
π
∫
1
3
−
1
3
2
3
−
2
3
0
0
1
sin 3 d cos3
3
xx x
π
π
= −
∫
( )
12
11
33
=− −− =
2
0
sin d
4
I xx
π
π

= −


∫
https://toanmath.com/
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn C
.
Câu 115. Tích phân bằng?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có .
Câu 116. Biết , với , là các số hữu tỉ. Tính .
A. . B. C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có: . Vậy .
Câu 117. Số các số nguyên thỏa mãn là
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải.
Chọn B
Ta có
.
Vì .
Vì có tất cả số nguyên của .
Câu 118. Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. Cả A, B, C đều
sai.
Hướng dẫn giải
4
I
π
=
1
I
= −
0I =
1I
=
2
0
sin d
4
I xx
π
π

= −


∫
2
0
cos
4
x
π
π

= −


cos cos 0
44
ππ

= −− =


3
2
4
d
sin
x
I
x
π
π
=
∫
cot cot
34
ππ
−
cot cot
34
ππ
+
cot cot
34
ππ
−+
cot cot
34
ππ
−−
3
2
4
d
sin
x
I
x
π
π
=
∫
3
4
cot x
π
π
= −
2
3
cos 3xdx a b
π
π
= +
∫
a
b
26T ab= +
3T =
1T = −
4T = −
2T =
2
3
cos xdx
π
π
∫
2
3
sin
x
π
π
=
3
1
2
= −
2 6 23 1ab
+ =−=−
cot cot
34
ππ
=−+
0
cos2x d 0
m
x =
∫
643
1284
1285
642
0
11
cos2x 0 sin 2 0 sin 2 0 sin 2 0 2 ,
0
22 2
m
m
k
dx x m m m k m k
π
π
=⇔ =⇔ =⇔ =⇔ = ⇔= ∈
∫
( )
4043
0;2017 0 2017 0 1284,06
2
k
mk
π
π
∈ ⇒< < ⇔<< ≈
k ∈⇒
1284
m
2
0
sinI xdx
π
=
∫
1I =
0I =
1I = −
https://toanmath.com/
Tích phân có giá trị là:
Cách 1: .
Chọn A
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay.
Câu 119. Có bao nhiêu số thực thuộc khoảng sao cho ?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có: .
Do đó, có 4 số thực thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 120. Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Cách 1 : .
Chọn C
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay.
Câu 121. Tích phân có giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Cách 1: .
Chọn C
2
0
sinI xdx
π
=
∫
( )
2
2
0
0
sin cos 1I xdx x
π
π
= =−=
∫
b
(
)
;3
ππ
4cos 2 d 1
b
xx
π
=
∫
8
2
4
6
4cos 2 d 1
b
xx
π
=
∫
2sin 2 1
b
x
π
⇔=
1
sin 2
2
b⇔=
12
5
12
bk
bk
π
π
π
π
= +
⇔
= +
b
( )
2
2
sin cosI x x dx
π
π
−
= −
∫
1I =
2I =
2I
= −
1I = −
( )
2
2
sin cosI x x dx
π
π
−
= −
∫
( )
0;2017m∈
( )
( )
2
2
2
2
sin cos cos sin 2I x x dx x x
π
π
π
π
−
−
= − =−− =−
∫
( )
6
2
sin 2 cos3I x x dx
π
π
−
= −
∫
2
3
I =
3
4
I =
3
4
I = −
2
3
I = −
(
)
6
2
sin 2 cos3I x x dx
π
π
−
= −
∫
( )
6
6
2
2
11 3
sin 2 cos3 cos2 sin3
23 4
I x x dx x x
π
π
π
π
−
−

= − =−− =−


∫
https://toanmath.com/
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay.
Câu 122. Kết quả của tích phân được viết ở dạng , . Khẳng định nào sau
đây là sai?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B
.
Vậy , . Suy ra . Vậy B sai.
Câu 123. Cho tích phân với . Tính
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn D
.
.
Vậy .
.
Câu 124. Cho tích phân , . Tính
A.
3−
B.
1
. C.
2−
. D.
1
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
( )
( )
2
2
2
0
0
1
4 1 cos d 2 sin 1
22
x xx x x x
π
π
π
π

−+ = − + = − +


∫
.
Suy ra
2a =
,
2b =
,
1c =
nên
1abc−+=
.
Câu 125. Biết
( )
6
2
0
3
3 4sin d
6
ac
xx
b
π
π
+=−
∫
, trong đó
a
,
b
nguyên dương và
a
b
tối giản. Tính
abc++
.
A.
8
. B.
16
. C.
12
. D.
14
.
Hướng dẫn giải
(
)
2
0
2 1 sin dx xx
π
−−
∫
a
b∈
28ab+=
5ab+=
232ab−=
2ab−=
( )
( )
2
2
2
2
0
0
1
2 1 sin d cos 1 1
4 2 42
x xx x x x
π
π
ππ π
π

−− = − + = − −= − −


∫
4a =
2b =
6ab
+=
2
0
cos2
d
1 sin
x
xab
x
π
π
= +
+
∫
,a
b∈
32
1P ab=++
9
P
=
29P =
11P =
25
P
= −
2
0
cos2
d
1 sin
x
x
x
π
+
∫
2
2
0
1 2sin
d
1 sin
x
x
x
π
−
=
+
∫
2
0
1
2sin 2 d
1 sin
xx
x
π

= − +−

+

∫
2
0
1
2sin 2 d
1 cos
2
xx
x
π
π



= − +−


+−




∫
( )
2
2
0
2
0
1
2cos 2 d
2cos
24
xx x
x
π
π
π
= +−

−


∫
1
2 .2tan
2
2 24
0
x
π
π
π

=−+ − −


3
π
=−+
3, 1ab=−=
32
1 25P ab=++=−
(
)
2
0
1
4 1 cos dx xx c
ab
π
π
π

−+ = − +


∫
( )
,,abc∈
abc−+
https://toanmath.com/
Chọn D
Ta có:
(
)
(
)
66
2
00
34sin d 321cos2 d
xx x x
ππ

+ = +−

∫∫
( )
6
0
5 2cos2 d
xx
π
= −
∫
5 33
66
π
= −
.
Suy ra
5a =
,
6b =
,
3c
=
.
Vậy
14abc++=
.
Câu 126. Cho giá trị của tích phân
( )
3
1
2
sin 2 cosI x x dx a
π
π
−
= +=
∫
,
( )
3
2
3
cos2 sinI x x dx b
π
π
−
= +=
∫
. Giá trị
của a + b là:
A.
3
3
4
P = +
. B.
33
42
P = +
. C.
3
3
4
P
= −
. D.
33
42
P
= −
.
Hướng dẫn giải
Cho giá trị của tích phân
( )
3
1
2
sin 2 cosI x x dx a
π
π
−
= +=
∫
,
( )
3
2
3
cos2 sinI x x dx b
π
π
−
= +=
∫
. Giá trị
của a + b là:
Cách 1:
Ta có:
( )
3
3
1
2
2
1 33 33
sin 2 cos cos2 sin
2 42 42
I x x dx x x a
π
π
π
π
−
−

= + =− + =+ ⇒=+


∫
.
( )
3
3
2
3
3
1 33
cos2 sin sin 2 cos
2 22
I x x dx x x b
π
π
π
π
−
−

= + = − = ⇒=


∫
.
3
3
4
Pab⇒ =+= +
.
Chọn A
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay vì các giá trị rất quen thuộc học sinh có thể nhận ra.
Câu 127. Cho giá trị của tích phân
( )
2
3
1
3
sin 3 cos3I x x dx a
π
π
−
=+=
∫
,
2
2
2
11 1
1
e
e
I dx b
xx x

= +− =

+

∫
. Giá
trịa.b gần nhất với giá trị nào sau đây?
A.
8
. B.
16
. C.
10
. D.
1
.
Ta có:
( )
2
2
3
3
1
3
3
11 2 2
sin 3 cos3 cos3 sin3
33 3 3
I x x dx x x a
π
π
π
π
−
−

= + =− + =−⇒=−


∫
.
https://toanmath.com/
( ) ( )
( )
( )
2
2
2
2
11 1 1 11
ln ln 1 ln 2 ln 2 1 ln 1
12
11
ln 2 ln 2 1 ln 1
2
e
e
e
e
I dx x x e e
xx x x ee
b ee
ee

= + − = −− + = − +− ++ +

+

⇒=− ++ − ++ +
∫
. 0,2198ab⇒ ≈−
.
Chọn D
Câu 128. Tích phân
( )
2
2
sin cos
I ax ax dx
π
π
−
= +
∫
, với
0a ≠
có giá trị là:
A.
2
sin sin
24 24
Ia a
a
ππ ππ


= −− +




.
B.
2
sin sin
24 24
Ia a
a
ππ ππ


= −+ +




.
C.
2
sin sin
24 24
Ia a
a
ππ ππ


= −+ −+




.
D.
2
sin sin
24 24
Ia a
a
ππ ππ


= − −+ +




.
Hướng dẫn giải
Tích phân
( )
2
2
sin cosI ax ax dx
π
π
−
= +
∫
có giá trị là:
Ta có:
( )
2
2
2
2
2
2
11 2
sin cos cos sin sin
4
2
sin sin
24 24
I ax ax dx ax ax ax
aa a
aa
a
π
π
π
π
π
π
π
ππ ππ
−
−
−


= + =−+ = −







= −+ +




∫
.
Chọn B
Câu 129. Biết
π
32
2
0
cos sin π
d
1 cos
xx x x b
Ix
x ac
+−
= = −
+
∫
. Trong đó
a
,
b
,
c
là các số nguyên dương, phân số
b
c
tối giản. Tính
222
Tabc=++
.
A.
16T =
. B.
59T =
. C.
69T =
. D.
50T =
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
3
2
0
cos sin
d
1 cos
xx x x
Ix
x
π
+−
=
+
∫
3
2
0
sin
d
1 cos
x
xx
x
π

= −

+

∫
( )
22
00
d 1 cos sin dxx x xx
ππ
= −−
∫∫
2
2
2
0
1
cos cos
82
xx
π
π

=+−


2
1
82
π
= −
.
Như vậy
8a =
,
1b =
,
2c =
. Vậy
222
69Tabc
=++=
.
https://toanmath.com/
Câu 130. Cho hàm số
(
)
sin 2 cos2
fx a xb x= −
thỏa mãn
'2
2
f
π

= −


và
3
b
a
adx =
∫
. Tính tổng
ab
+
bằng:
A.
3.
B.
4.
C.
5.
D.
8.
Hướng dẫn giải
Chọn C
( )
' 2 cos2 2 sin 2fx a x b x
= +
' 222 1
2
f aa
π

=−⇔− =−⇔ =


1
d d 3 13 4
bb
a
ax x b b
= = ⇔ −= ⇔ =
∫∫
Vậy
1 4 5.ab
+=+=
Câu 131. Cho tích phân
0
3
cos2 cos4 d 3x xx a b
π
−
= +
∫
, trong đó
a
,
b
là các hằng số hữu tỉ. Tính
2
e log
a
b+
.
A.
2−
. B.
3−
. C.
1
8
. D.
0
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
0
3
cos2 cos 4 dx xx
π
−
∫
=
( )
0
3
1
cos6 cos 2 d
2
x xx
π
−
+
∫
0
3
11 1
sin6 sin 2
26 2
xx
π
−

= +


=
1
3
8
.
Do đó ta có
0a =
,
1
8
b
= −
. Vậy
2
e log
a
b+
=
0
2
1
e log
8
+
=
2−
.
Câu 132. Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
1
1 sin 2
y
x
=
+
với
\,
4
x kk
π
π
−

∀∈ + ∈



, biết
( )
01F =
;
() 0F
π
=
. Tính
11
12 12
PF F
ππ

=−−


.
A.
23P = −
. B.
0P =
. C. Không tồn tại
P
. D.
1P =
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
( )
( ) ( ) ( )
11 11
00
12 12 12 12
PF F FF F F FF
ππ π π
ππ
− 
 
= − =− −− + − + −
 

 

0
11
12 12
11
d d1
1 sin 2 1 sin 2
xx
xx
π
ππ
−
=−+ +
++
∫∫
.
Ta có
( )
2
2
11 1
1 sin 2
sin cos
2cos
4
x
xx
x
π
= =
+

+
−


nên
https://toanmath.com/
( )
0
0
12
12
11 1
d tan 1 3
1 sin 2 2 4 2
xx
x
π
π
π
−
−

= − = −+

+

∫
;
( )
11
11
12
12
11 1
d tan 1 3
1 sin 2 2 4 2
xx
x
π
π
π
π
π

= − = −+

+

∫
.
Vậy
1P =
.
Câu 133. Cho
M
,
N
là các số thực, xét hàm số
( )
.sin π .cos πfx M x N x= +
thỏa mãn
( )
13
f =
và
( )
1
2
0
1
d
π
fx x= −
∫
. Giá trị của
1
4
f

′


bằng
A.
5π2
2
. B.
5π2
2
−
. C.
π2
2
−
. D.
π2
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
( )
13
f
=
.sin
π .cos π 3
MN⇔+=
3N⇔=−
.
Mặt khác
( )
1
2
0
1
d
π
fx x= −
∫
(
)
1
2
0
1
.sin π 3.cos π d
π
M x xx⇔−=−
∫
1
2
0
31
cos π sin π
ππ π
M
xx

⇔− − =−


31
ππ π
M
⇔− + =−
2M⇔=
.
Vậy
( )
2sin π 3cos π
fx x x= −
nên
( )
2π cos π 3πsin πfx x x
′
= +
15
π2
42
f

′
⇒=


.
Câu 134. Tích phân
( )
2
2
0
cos 1 cosI x xdx
π
= −
∫
có giá trị là:
A.
1
43
I
π
= −
. B.
2
43
I
π
=−−
. C.
1
43
I
π
= +
. D.
2
43
I
π
=−+
.
Hướng dẫn giải
Tích phân
( )
2
2
0
cos 1 cosI x xdx
π
= −
∫
có giá trị là:
Ta biến đổi:
( )
( )
1
3
2 22
2
2 22
0 00
0
0
11 2
cos 1 cos cos 1 sin cos sin 2
3 2 2 34
t
I x xdx x x dx xdx t x x
π ππ
π
π


= − = − − =− −+ =−




∫ ∫∫
, với
sin
tx=
.
Chọn D
Câu 135. Biết tích phân
2
1
3
sinI xdx a
π
π
= =
∫
. Giá trị của
1
2
2
3
1
ln 2 ln 5
a
x
I dx b c
xx
+
= = −
+
∫
. Thương số giữa b
và c là:
A. – 2. B. – 4. C. 2. D. 4.
Hướng dẫn giải
https://toanmath.com/
Biết tích phân
2
1
3
sinI xdx a
π
π
= =
∫
. Giá trị của
1
2
2
3
1
ln 2 ln 5
a
x
I dx b c
xx
+
= = −
+
∫
. Thương số giữa b
và c là:
Ta có:
( )
2
2
1
3
3
1
sin cos
2
I xdx x
π
π
π
π
= = =
∫
.
( )
11
22
2
5
2
33
8
1
2
1 11 4 1 4 1
ln ln 2 ln 5 , 4
3 33 3 3
a
xx b
I dx dx t b c
xx xx c
++
⇒ = = = = − ⇒= =−⇒ =−
++
∫∫
.
Chọn B
Câu 136. Cho
( )
( )
3
2
6
0
0
sin3 cos cos3 sin sin 2
I x x dx a x bx c x
π
π
= + = ++
∫
. Giá trị của
324abc++
là:
A. – 1. B. 1. C. – 2. D. 2.
Hướng dẫn giải
Cho
(
)
( )
3
2
6
0
0
sin3 cos cos3 sin sin 2
I x x dx a x bx c x
π
π
= + = ++
∫
. Giá trị của
324abc++
là:
Ta có:
(
)
3
3
3
2
1
00
0
1 cos 2 1 1 1
sin3 cos sin3 cos3 sin 2
2 3 24
111
, , 3241
324
x
I x x dx x dx x x x
a b c acc
π
π
π
+

= + = + =− ++


⇒=− = =⇒++=
∫∫
Chọn B
Câu 137. Cho
tan d
n
n
I xx=
∫
với
n∈
. Khi đó
( )
01 23 8 910
2 ...II II I II
++ +++ + +
bằng
A.
( )
9
1
tan
r
r
x
C
r
=
+
∑
. B.
( )
1
9
1
tan
1
r
r
x
C
r
+
=
+
+
∑
. C.
( )
10
1
tan
r
r
x
C
r
=
+
∑
. D.
( )
1
10
1
tan
1
r
r
x
C
r
+
=
+
+
∑
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
22
tan .tan d
n
n
I x xx
−
= =
∫
2
2
1
tan . 1 d
cos
n
xx
x
−

−=


∫
( )
2
2
tan . tan d
n
n
x x xI
−
−
′
−
∫
1
2
tan
1
n
n
x
IC
n
−
−
= −+
−
1
2
tan
1
n
nn
x
II C
n
−
−
⇒+ = +
−
.
( )
01 23 8 910
2 ...II II I II++ +++ + +
=
( ) ( ) ( ) ( )
108 97 31 20
...I I II II II+ + + ++ + + +
98 2
tan tan tan
.... tan
98 2
xx x
xC= + ++ + +
9
1
tan
r
r
x
C
r
=
= +
∑
.
TÍCH PHÂN HÀM MŨ – LÔGARIT
Câu 138. Tích phân
1
0
ed
x
x
−
∫
bằng
https://toanmath.com/
A.
e1−
. B.
1
1
e
−
. C.
e1
e
−
. D.
1
e
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
1
0
1
1 e1
ed e 1
0
ee
xx
x
−−
−

=− =− −=


∫
.
Câu 139. Tích phân
2018
0
2d=
∫
x
Ix
bằng
A.
2018
21−
. B.
2018
21
ln 2
−
. C.
2018
2
ln 2
. D.
2018
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
2018
2018
2018
0
0
2 21
2d
ln 2 ln 2
−
= = =
∫
x
x
Ix
.
Câu 140. Biết
4
1
1
( )d
2
fx x
−
=
∫
và.
0
1
1
( )d
2
fx x
−
−
=
∫
. Tính tích phân
4
2
0
4e 2 ( ) d
x
I fx x

= +

∫
.
A.
8
2e
I
=
. B.
8
4e 2I
= −
. C.
8
4eI =
. D.
8
2e 4I = −
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
( ) (
)
4 14
2
2
0 01
4
e
4e 2 ( ) d 4. 2 d 2 d
0
2
x
x
I fx x fx x fx x
−
−

=+=+ +

∫ ∫∫
.
( )
88
11
2 e 1 2. 2. 2.e
22
I⇔= −+ + =
.
Câu 141. Cho
( )
2
2
0
ed
x
t
Fx t=
∫
. Tính
( )
2F
′
.
A.
( )
4
2 4eF
′
=
. B.
( )
16
2 8eF
′
=
. C.
( )
16
2 4eF
′
=
. D.
( )
4
2eF
′
=
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
( )
Gx
là nguyên hàm của hàm số
2
e
t
.
( )
( )
( )
2
0Fx Gx G⇒= −
( )
( )
2
2.F x xG x
′′
⇒=
4
2 .e
x
x=
.
( )
16
2 4.eF
′
⇒=
Câu 142. Cho hàm số
( )
2
1
d
ln
x
x
gx t
t
=
∫
với
0x >
. Đạo hàm của
( )
gx
là
A.
( )
1
ln
x
gx
x
−
′
=
. B.
( )
1
ln
x
gx
x
−
′
=
. C.
(
)
1
ln
gx
x
′
=
. D.
( )
lngx x
′
=
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Giả sử
( )
Ft
là một nguyên hàm của hàm số
1
lnt
.
Khi đó
( )
1
ln
Ft
t
′
=
hay
( )
1
ln
Fx
x
′
=
.
https://toanmath.com/
Ta có
( )
2
1
d
ln
x
x
gx t
t
=
∫
( )
( )
2
Fx Fx= −
.
Suy ra
( )
( )
( )
( )
2
g x Fx Fx
′
′
= −
(
)
(
)
2
Fx Fx
′′
= −
2
11
.2
ln ln
x
xx
= −
1
ln
x
x
−
=
.
Chú ý: ta có công thức
(
)
( )
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
..
vx
ux
ftdt vxfvx uxfux
′

′′

= −




∫
Câu 143.
(
)
3
2
3
2
d6fx x
π
π
−
⇔=
∫
.Gọi
S
là tập hợp tất cả các số nguyên dương
k
thỏa mãn
2
1
2018.e 2018
ed
k
kx
x
k
−
<
∫
. Số phần tử của tập hợp
S
bằng.
A.
7
. B.
8
. C. Vô số. D.
6
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
2
2
1
1
1
ed e
kx kx
x
k

=


∫
2
ee
kk
k
−
=
.
2
1
2018.e 2018
ed
k
kx
x
k
−
<
∫
2
e e 2018.e 2018
kk k
kk
−−
⇔<
( ) ( )
e e 1 2018 e 1
kk k
⇔ −< −
(do
k
nguyên dương).
(
)(
)
e 1 e 2018 0
kk
⇔− − <
1 e 2018
k
⇔< <
0 ln 2018 7.6k⇔<< ≈
.
Do
k
nguyên dương nên ta chọn được
kS∈
(với
{ }
1;2;3;4;5;6;7S =
).
Suy ra số phần tử của
S
là
7
.
Câu 144. Cho
1
0
e
d
1e
nx
n
x
Ix
−
−
=
+
∫
với
n∈
.
Đặt
( ) (
) ( )
( )
12 23 34 1
1. 2 3 ...
n nn
u I I I I I I nI I n
+
= ++ ++ +++ + −
.
Biết
lim
n
uL=
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
( )
1; 0L∈−
. B.
(
)
2; 1L∈− −
. C.
( )
0;1L∈
. D.
( )
1; 2L∈
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Với
n∈
,
( )
1
1
1
0
e
d
1e
nx
n
x
Ix
−+
+
−
=
+
∫
1
0
e .e
d
1e
nx x
x
x
−−
−
=
+
∫
11
00
e
ed d
1e
nx
nx
x
xx
−
−
−
= −
+
∫∫
1
0
ed
nx
n
xI
−
= −
∫
1
1
0
ed
nx
nn
I xI
−
+
⇒= −
∫
( )
1
1
1e
n
nn
II
n
−
+
⇒ += −
Do đó
( ) ( ) ( ) ( )
123
1e 1e 1e ... 1e
n
n
un
−−− −
=− +− +− ++− −
123
e e e ... e
n
n
u
−−− −
⇒ =− − − −−
https://toanmath.com/
Ta thấy
n
u
là tổng
n
số hạng đầu của một cấp số nhân lùi vô hạn với
1
1
eu
−
= −
và
1
e
q =
, nên
1
e
lim
1
1
e
n
u
−
−
=
−
1
e1
L
−
⇒=
−
(
)
1; 0L⇒ ∈−
.
https://toanmath.com/
TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1
Cho hàm số
( )
y fx=
liên tục trên đoạn
[ ; ].ab
Giả sử hàm số
()u ux=
có đạo hàm liên tục
trên đoạn
[;]ab
và
() .ux
αβ
≤≤
Giả sử có thể viết
( ) ( ( )) '( ), [ ; ],f x gu x u x x ab= ∈
với
g
liên tục
trên đoạn
[ ; ].
αβ
Khi đó, ta có
()
()
() () .
ub
b
a ua
I f x dx g u du= =
∫∫
Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân
Dấu hiệu
Có thể đặt
Ví dụ
1
Có
()fx
()
t fx=
3
3
0
1
x dx
I
x
=
+
∫
. Đặt
1tx
= +
2
Có
()
n
ax b+
t ax b= +
1
2016
0
( 1)I x x dx= +
∫
. Đặt
1tx= −
3
Có
()fx
a
()t fx=
tan 3
4
2
0
cos
x
e
I dx
x
π
+
=
∫
. Đặt
tan 3
tx
= +
4
Có
ln
dx
và x
x
lntx=
hoặc biểu thức
chứa
ln
x
1
ln
(ln 1)
e
xdx
I
xx
=
+
∫
. Đặt
ln 1tx= +
5
Có
x
e dx
x
te=
hoặc biểu thức
chứa
x
e
ln2
2
0
31
xx
I e e dx
= +
∫
. Đặt
31
x
te= +
6
Có
sin xdx
costx=
3
2
0
sin cosI x xdx
π
=
∫
. Đặt
sintx=
7
Có
cos xdx
sint xdx=
3
0
sin
2cos 1
x
I dx
x
π
=
+
∫
Đặt
2cos 1
tx
= +
8
Có
2
cos
dx
x
tantx=
2
44
42
00
11
(1 tan )
cos cos
I dx x dx
xx
ππ
= = +
∫∫
Đặt
tan
tx
=
9
Có
2
sin
dx
x
cottx=
cot cot
4
2
6
1 cos2
2sin
xx
ee
I dx dx
x
x
π
π
= =
−
∫∫
. Đặt
cottx=
BÀI TẬP
Câu 1: Cho hàm số
( )
y fx=
liên tục trên
[
]
,ab
. Giả sử hàm số
( )
u ux=
có đạo hàm liên tục trên
[ ]
,ab
và
( )
[ ]
,ux
αβ
∈
[ ]
,x ab∀∈
, hơn nữa
( )
fu
liên tục trên đoạn
[
]
,
αβ
.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
xa=
A.
( ) (
) ( )
dd
bb
aa
f ux u x x fu u
′
=


∫∫
. B.
( ) ( )
( )
( )
( )
dd
ub
b
ua a
f ux u x x fu u
′
=


∫∫
.
C.
( ) ( ) ( )
( )
( )
dd
ub
b
a ua
f ux u x x fu u
′
=


∫∫
. D.
( ) ( ) ( )
dd
bb
aa
fuxuxx fxu
′
=


∫∫
.
HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM HỮU TỈ
Câu 2: Tính tích phân
( )
3
1000
1
1.I x x dx= −
∫
https://toanmath.com/
A.
1002
2003.2
.
1003002
I =
B.
1001
1502.2
.
501501
I =
C.
1002
3005.2
.
1003002
I
=
D.
1001
2003.2
.
501501
I =
Câu 3: Giá trị của tích phân
(
) (
)
100
0
1 ... 100 dxx x x−−
∫
bằng
A.
0
. B.
1
. C.
100
. D. một giá trị khác.
Câu 4: Tích phân
2
2
0
d
3
x
x
x
+
∫
bằng
A.
17
log
23
. B.
7
ln
3
. C.
17
ln
23
. D.
13
ln
27
.
Câu 5: Cho tích phân
2
53
1
5
ln
8
dx
I ab
xx
= = +
+
∫
. Khi đó
2ab+
bằng
A.
5
2
B.
5
4
C.
5
8
D.
5
16
Câu 6: Tích phân
( )
1
5
3
2
0
1
x dx
I
x
=
+
∫
được kết quả
ln 2Ia b= −
. Giá trị a+b là:
A.
3
16
B.
13
16
C.
14
17
D.
4
17
Câu 7: Tích phân
0
2
1
2
1
x
I dx
x
−
=
+
∫
có giá trị là:
A.
ln3I =
. B.
ln 2I = −
. C.
ln3
I
= −
. D.
ln 2I =
.
Câu 8: Cho
1
2
3
0
1
ln
13
x
dx a
x
=
+
∫
,a là các số hữu tỉ. Giá trị của a là:
A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 9: Tích phân
0
2
1
2
ax
I dx
ax
−
=
+
∫
,với
2a
≠−
có giá trị là:
A.
ln 2 ln 2
2
a
I
++
=
. B.
ln 2 ln 2
2
a
I
−+
=
.
C.
ln 2 ln 2
2
a
I
−− +
=
. D.
ln 2 ln 2
2
a
I
−+ +
=
.
Câu 10: Giả sử
5
2
3
d
ln5 ln3 ln 2.( , , )=++ ∈
−
∫
x
a b c abc
xx
5
2
3
ln5 ln3 ln 2.
dx
abc
xx
=++
−
∫
Tính giá trị
biểu thức
2
2 3.S ab c=− ++
A.
3.S =
B.
6.S =
C.
0.S =
D.
2.S = −
Câu 11: Biết
1
2
2
0
2 33
d ln
21
xx
xa b
xx
++
= −
++
∫
với
a
,
b
là các số nguyên dương. Tính
22
Pa b= +
.
A.
13
. B.
5
. C.
4
. D.
10
.
https://toanmath.com/
Câu 12: Tính
( )
2
2
2
d
b
a
ax
Ix
ax
−
=
+
∫
(với
a
,
b
là các số thực dương cho trước).
A.
22
2
b
I
ab
=
+
. B.
2
b
I
ab
=
+
. C.
( )
(
)
(
)
(
)
2
11
1
ab
I
ab a
−−
=
++
. D.
2
b
I
ab
=
+
.
Câu 13: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên
và các tích phân
( )
4
0
tan d 4f xx
π
=
∫
và
( )
2
1
2
0
d2
1
xf x
x
x
=
+
∫
.
Tính tích phân
( )
1
0
dI fx x=
∫
.
A.
6I
=
. B.
2I =
. C.
3I =
. D.
1I =
.
Câu 14: Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm liên tục trên
và có đồ thị hình bên. Tính tích phân
(
)
2
1
2 1dI fx x
′
= −
∫
.
A.
2I = −
. B.
1I = −
. C.
1I =
. D.
2I =
.
HÀM VÔ TỈ
Câu 15: Cho tích phân
1
3
0
1dxx−
∫
, với cách đặt
3
1tx= −
thì tích phân đã cho bằng với tích phân nào
sau đây?
A.
1
0
3dtt
∫
. B.
1
3
0
d
tt
∫
. C.
1
2
0
3dtt
∫
. D.
1
3
0
3dtt
∫
.
Câu 16: Trong các tích phân sau, tích phân nào có cùng giá trị với
2
32
1
1I x x dx= −
∫
A.
2
1
1
1
2
t t dt−
∫
. B.
4
1
1t t dt−
∫
C.
( )
3
22
0
1t t dt+
∫
. D.
( )
3
22
1
1x x dx+
∫
.
Câu 17: Nếu
32
01
()
11
x
dx f t dt
x
=
++
∫∫
, với
1tx= +
thì
()ft
là hàm số nào trong các hàm số dưới
đây ?
A.
2
() 2 2ft t t= +
B.
2
()ft t t= −
C.
2
()ft t t= +
D.
2
() 2 2ft t t= −
4
2
2
-1
-1
2
3
3
O
1
https://toanmath.com/
Câu 18: Kết quả của
4
0
1
d
21
x
x +
∫
bằng
A.
4
. B.
5
. C.
2
. D.
3
.
Câu 19: Tích phân
1
0
d
31
x
x +
∫
bằng
A.
4
3
. B.
3
2
. C.
1
3
. D.
2
3
.
Câu 20: Cho
3
0
d ln 2 ln3
3
42 1
xa
xbc
x
=++
++
∫
với
a
,
b
,
c
là các số nguyên. Giá trị của
abc
++
bằng
A.
1
. B.
2
. C.
7
. D.
9
.
Câu 21: Biết
4
0
1
d ln 2
2 15
I xab
x
= = +
+−
∫
với
,ab
là số nguyên. Tính
S ab
= +
.
A.
3.S =
B.
3.S = −
C.
S 5.=
D.
S 7.=
Câu 22: Tính tích phân
5
1
d
31
x
xx+
∫
được kết quả
ln3 ln 5Ia b= +
. Giá trị
22
3a ab b
++
là
A.
4
. B.
5
. C.
1
. D.
0
.
Câu 23: Cho tích phân
4
0
d2
ln
3
3 21
x
I ab
x
= = +
++
∫
với
,ab∈
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
3ab−=
. B.
5ab−=
. C.
5ab+=
. D.
3ab+=
.
Câu 24: Biết
( )
3
2
1
2
1d
3
xx x a b+= −
∫
, với
,ab
là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây đúng.
A.
2ab=
. B.
ab<
. C.
ab=
. D.
3ab=
.
Câu 25: Cho
( )
2
5
d 15
ln , 5
43
4
a
x
Ia
xx
= = >
+
∫
. Khi đó giá trị của số thực
a
là
A.
2 3.
B.
2 5.
C.
3 2.
D.
2 2.
Câu 26: Cho
1
2
0
2
1
x
I dx a b
x
= = +
+
∫
. Giá trịa.b là:
A. – 1. B. – 2. C. 1. D. 2.
Câu 27: Với
,,abc R∈
. Đặt
2
2
1
4
ln
xb
I dx a
xc
−
= = −
∫
. Giá trị của tính abc là :
A.
3
B.
23−
C.
23
D.
3−
Câu 28: Cho
3
2
1
1
ln
x cd
dx a b
x
e
++
=−+
∫
với c nguyên dương và
a
,
b
,
c
,
d
,
e
là các số
nguyên tố. Giá trị của biểu thức
+++ +abcde
bằng.
https://toanmath.com/
A.
14
. B.
17
. C.
10
. D.
24
.
Câu 29: Giá trị của
7
3
3
2
0
d
1
xx
I
x
=
+
∫
được viết dưới dạng phân số tối giản
a
b
(
a
,
b
là các số nguyên
dương). Khi đó giá trị của
7ab−
bằng
A.
2
. B.
1
. C.
0
. D.
1.−
Câu 30: Giả sử
64
3
1
d2
ln
3
x
I ab
xx
= = +
+
∫
với
,ab
là số nguyên. Tính giá trị
ab−
.
A.
17−
. B.
5
. C.
5−
. D.
17
.
Câu 31: Giả sử
2
2
4
1
11
d
xb
x aa b
x c bc
+

= −

+

∫
với
,,abc∈
;
1 ,, 9abc≤≤
. Tính giá trị của biểu
thức
2
ba
ac
C
−
+
.
A.
165
. B.
715
. C.
5456
. D.
35
.
Câu 32: Tập hợp nghiệm của bất phương trình
2
0
d0
1
x
t
t
t
>
+
∫
(ẩn
x
) là:
A.
( )
;−∞ +∞
. B.
( )
;0−∞
. C.
( )
{ }
; \0−∞ +∞
. D.
( )
0;
+∞
.
Câu 33: Cho biết
7
3
3
2
0
d
1
=
+
∫
xm
x
n
x
với
m
n
là một phân số tối giản. Tính
7mn−
.
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
91
.
Câu 34: Biết
2
2
1
d 2 35
3 91
x
xab c
xx
=++
+−
∫
với
a
,
b
,
c
là các số hữu tỷ, tính
27Pa bc
=+ +−
.
A.
1
9
−
. B.
86
27
. C.
2−
. D.
67
27
.
Câu 35: Biết
( )
2
1
d
11
x
abc
xx x x
=−−
++ +
∫
với
a
,
b
,
c
là các số nguyên dương. Tính
Pabc=++
.
A.
44P =
. B.
42P =
. C.
46P =
. D.
48
P =
.
Câu 36: Giả sử
a
,
b
,
c
là các số nguyên thỏa mãn
4
2
0
2 41
d
21
xx
x
x
++
+
∫
( )
3
42
1
1
d
2
au bu c u= ++
∫
, trong
đó
21ux= +
. Tính giá trị
S abc=++
.
A.
3S =
. B.
0S =
. C.
1S =
. D.
2S =
.
Câu 37: Tích phân
1
23
2
0
1
a x ax
I dx
ax
+
=
+
∫
, với
0a ≥
có giá trị là:
A.
(
)
2
4
aa
I
−
=
. B.
(
)
2
2
aa
I
−
=
. C.
( )
2
4
aa
I
+
=
. D.
( )
2
2
aa
I
+
=
.
https://toanmath.com/
Câu 38: Tích phân
3
2
0
1
9
I dx
x
=
+
∫
có giá trị là:
A.
3 23
ln
3
I
+
= −
. B.
3 23
ln
3
I
−+
= −
. C.
3 23
ln
3
I
+
=
. D.
3 23
ln
3
I
−+
=
.
Câu 39: Tích phân
1
2
0
3 12
a
I dx
x
=
+
∫
có giá trị là:
A.
15
ln
2
3
a
I
−
=
. B.
15
ln
2
3
a
I
+
= −
.
C.
15
ln
2
3
a
I
−
= −
. D.
15
ln
2
3
a
I
+
=
.
Câu 40: Tích phân
2
2
1
2
231
4
ax
I dx
ax x
−
= = −
−
∫
. Giá trị nguyên của a là:
A.
5a =
. B.
6
a =
. C.
7a =
. D.
8a =
.
Câu 41: Cho
2
2
1
12
ln
1
1
a
dx
b
x
+
=
+
+
∫
,a và b là các số hữu tỉ. Giá trị
a
b
là:
A.
2
5
. B.
5
2
. C.
2
3
. D.
3
2
.
Câu 42: Tích phân
3
7
5
3
3
0
3
8
x
I dx
x
=
−
∫
có gái trị là:
A.
87
5
I
=
. B.
67
5
I
=
. C.
77
5
I
=
. D.
57
5
I
=
.
Câu 43: Biết
( )
4
0
2 1d 5
ln 2 ln , ,
3
2 32 1 3
xx
a b c abc
xx
+
=++ ∈
+ ++
∫
. Tính
2T abc= ++
.
A.
4
T
=
. B.
2T =
. C.
1T =
. D.
3T
=
.
Câu 44: Biết
( )
3
2
1
d1
3 2 ln 3 2 3
2
11
x
abc
xx
= + ++ −
++ +
∫
với
a
,
b
,
c
là các số hữu tỷ. Tính
Pabc=++
.
A.
1
2
P =
. B.
1P = −
.
C.
1
2
P
= −
. D.
5
2
P =
.
Câu 45: Biết rằng
1
2
0
d2
2ln
1
43
xa
b
xx

+
=


+
++

∫
với
a
,
b
là các số nguyên dương. Giá trị của
ab+
bằng
A.
3
. B.
5
. C.
9
. D.
7
.
https://toanmath.com/
Câu 46: Biết
2
3
33
2 8 11
1
1 11
2d
a
x xc
x xx b

−+ − =



∫
, với
,,
abc
nguyên dương,
a
b
tối giản và
<ca
. Tính
=++S abc
A.
51=S
. B.
67=S
. C.
39=S
. D.
75=S
.
Câu 47: Cho số thực dương
0
k >
thỏa
(
)
2
2
0
ln 2 5
dx
xk
= +
+
∫
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
3
2
k >
. B.
1
0
2
k<≤
. C.
1
1
2
k<≤
. D.
3
1
2
k<≤
.
HÀM LƯỢNG GIÁC
Câu 48: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau
A.
(
)
11
00
sin 1 d sin d
x x xx−=
∫∫
. B.
( )
11
00
cos 1 d cos dx x xx
−=−
∫∫
.
C.
2
00
cos d cos d
2
x
x xx
π
π
=
∫∫
. D.
2
00
sin d sin d
2
x
x xx
π
π
=
∫∫
.
Câu 49: Tính tích phân
π
3
3
0
sin
d
cos
x
Ix
x
=
∫
.
A.
5
2
I =
. B.
3
2
I =
. C.
π9
3 20
I = +
. D.
9
4
I =
.
Câu 50: Cho
3
2
0
sin tan ln
8
b
I x xdx a
π
= = −
∫
. Chọn mệnh đề đúng:
A.
4ab+=
B.
2
ab−=
C.
6ab =
D.
4
b
a =
Câu 51: Biết rằng
0
1
4
1
1 cos 2
I dx a
x
π
−
= =
+
∫
và
0
3
3
1
3
22
4
I x dx b
−
= += −
∫
, a và b là các số hữu tỉ.
Thương số giữa a và b có giá trị là:
A.
1
2
. B.
1
3
. C.
3
4
. D.
2
3
.
Câu 52: Cho
a
0
cos2x 1
I dx ln 3
1 2sin 2x 4
π
= =
+
∫
. Tìm giá trị của a là:
A. 3 B. 2 C. 4 D. 6
Câu 53: Biết
( )
4
2
1
0
1 tanI x dx a
π
=+=
∫
và
( )
1
1
1
23
3
2
0
0
I x x dx bx cx

=+=+


∫
, a và b là các số hữu tỉ. Giá
trị của a + b + c là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
https://toanmath.com/
Câu 54: Tích phân
3
0
sin 2
cos cos3
x
I dx
xx
π
=
+
∫
có giá trị là:
A.
1 22 21
ln ln
22 2 2 2 1
I

−−
= +


++

. B.
1 22 21
ln ln
22 2 2 21
I

−+
= −


+−

.
C.
1 22 21
ln ln
22 2 2 21
I

−−
= −


++

. D.
1 22 21
ln ln
22 2 2 2 1
I

+−
= −


−+

.
Câu 55: Tích phân
2
2
4
2 cos
sin
xx
I dx
xx
π
π
+
=
+
∫
có giá trị là:
A.
22
2
ln 1 ln
4 16 2
I
ππ


= −− +





. B.
22
2
ln 1 ln
4 16 2
I
ππ


= +− +





.
C.
22
2
ln 1 ln
4 16 2
I
ππ


= −+ +





. D.
22
2
ln 1 ln
4 16 2
I
ππ


= ++ +





.
Câu 56: Cho
( )
4
0
sin 2 ln tan 1 dx xx
π
+
∫
ln 2
ab c
π
=++
với
a
,
b
,
c
là các số hữu tỉ. Tính
11
Tc
ab
=+−
.
A.
2
T
=
. B.
4
T =
. C.
6T =
. D.
4T = −
.
Câu 57: Xét tích phân
2
0
sin 2
d
1 cos
x
Ix
x
π
=
+
∫
. Nếu đặt
1 costx= +
, khẳng định nào dưới đây là đúng?
A.
1
3
2
d .
44
tt
It
t
−
=
∫
B.
1
3
2
d .
44tt
It
t
−+
=
∫
C.
( )
2
2
1
41.dI tt= −
∫
D.
( )
2
2
1
4 1d.I tt=−−
∫
Câu 58: Cho
( )
6
0
1
sin .cos d
64
n
x xx n= ∈
∫
π
. Tìm giá trị
n
.
A.
3n =
. B.
4n =
. C.
5n =
. D.
6n =
.
Câu 59: Cho tích phân
2
3
sin
d ln 5 ln 2
cos 2
x
xa b
x
π
π
= +
+
∫
với
,.ab∈
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2 0.ab+=
B.
2 0.ab−=
C.
2 0.ab−=
D.
2 0.ab+=
Câu 60: Tích phân
( )
2
3
cos sin
cos 1 cos
x
xx
I dx
ex x
π
π
−
=
+
∫
có giá trị là:
https://toanmath.com/
A.
33
2
3
2
ln
2
ee
I
e
ππ
π

+


=
−
. B.
33
2
3
2
ln
2
ee
I
e
ππ
π

−


=
−
.
C.
33
2
3
2
ln
2
ee
I
e
ππ
π

+


=
+
. D.
33
2
3
2
ln
2
ee
I
e
ππ
π

−


=
+
.
Câu 61: Tích phân
3
6
3
sin
cos
x
I dx
x
π
π
=
∫
có giá trị là:
A.
19 17 3
2
I
+
=
. B.
4
19 17 3
2
I
+
=
. C.
19 17 3
2
I
−+
=
. D.
4
19 17 3
2
I
−
=
.
Câu 62: Tích phân
( )
3
2
3
sin
cos 3sin
x
I dx
xx
π
π
−
=
+
∫
có gái trị là:
A.
3 32 3
ln
16 8
32
I

+
= +


−+

. B.
3 32 3
ln
88
32
I

+
= +


−+

.
C.
3 32 3
ln
88
32
I

+
=−+


−+

. D.
3 32 3
ln
16 8
32
I

+
=−+


−+

.
Câu 63: Tích phân
4
22
0
1
9cos sin
I dx
xx
π
=
−
∫
có giá trị là:
A.
1
ln 2
3
I =
. B.
1
ln 2
2
I =
. C.
1
ln 2
6
I =
. D.
ln 2I =
.
Câu 64: Tích phân
(
)
2
0
sin cos 1 3
13
sin cos
a
xx
I dx
xx
++
= =
−
−
∫
. Giá trị của alà:
A.
2
a
π
= −
. B.
4
a
π
= −
. C.
3
a
π
=
. D.
6
a
π
=
.
Câu 65: Tích phân
2
3
sin
sin cos
x
I dx
xx
π
π
=
+
∫
có giá trị là:
A.
(
)
ln 3 1
12
I
π
=++
. B.
31
ln
12 4
I
π
+
= +
.
C.
31
ln
2
12 2
I
π

+


= −
.
D.
31
ln
12 2
I
π
+
= +
.
https://toanmath.com/
Câu 66: Cho biết
4
0
cos
ln 2
sin cos
x
dx a b
xx
π
π
= +
+
∫
với
a
và
b
là các số hữu tỉ. Khi đó
a
b
bằng:
A.
1
4
. B.
3
8
. C.
1
2
. D.
3
4
.
Câu 67: Biết
2018
2018 2018
0
sin
d
sin cos
a
xx
x
x xb
π
π
=
+
∫
trong đó
a
,
b
là các số nguyên dương. Tính
2
P ab= +
.
A.
8P =
. B.
10P =
. C.
6P =
. D.
12P =
.
Câu 68: Cho tích phân
2
0
sin
12cos
xdx
I
x
π
αα
=
−+
∫
(với
1
α
>
) thì giá trị của
I
bằng:
A. 2. B.
2
α
. C.
2
α
. D.
2
α
.
Câu 69: Có bao nhiêu giá trị của tham số
m
trong khoảng
( )
0;6π
thỏa mãn
0
sin 1
d
5 4cos 2
m
x
x
x
=
+
∫
?
A.
6
. B.
12
. C.
8
. D.
4
.
Câu 70: Cho
2
2
0
cos 4
d ln ,
sin 5sin 6
x
xa b
xx c
π
= +
−+
∫
tính tổng
S abc=++
.
A.
1S
=
. B.
4S =
. C.
3
S =
. D.
0S =
.
Câu 71: Cho tích phân
( )
2
2
2
0
2 cos cos 1 sin
d ln
cos
x x xx x
c
I xa b
xx
π
π
π
+ + +−
= = +−
+
∫
với
a
,
b
,
c
là các số
hữu tỉ. Tính giá trị của biểu thức
3
.
P ac b= +
A.
3P =
. B.
5
4
P =
. C.
3
2
P =
. D.
2P =
.
Câu 72: Cho
(
)
2
2
0
sin 4
d ln
cos 5cos 6
x
xa b
c
xx
π
= +
−+
∫
, với
a
,
b
là các số hữu tỉ,
0c >
. Tính tổng
S abc=++
.
A.
3S
=
. B.
0S =
. C.
1S
=
. D.
4S =
.
Câu 73: Cho
( ) ( )
2
0
4cos 2 3sin 2 ln cos 2sin d ln 2
a
x x x xxc
b
π
+ +=−
∫
, trong đó
a
,
b
,
*
c∈
,
a
b
là phân
số tối giản. Tính
T abc=++
.
A.
9T =
. B.
11T = −
. C.
5T =
. D.
7T =
.
Câu 74: Biết
32
3
63
3
sin 3
d3
1
x
x cd
ab
xx
π
π
ππ
π
−
= + ++
++
∫
với
,,,abcd
là các số nguyên. Tính
abcd+++
.
https://toanmath.com/
A.
28abcd+++ =
. B.
16abcd+++ =
. C.
14abcd+++ =
. D.
22abcd+++ =
.
Câu 75: Biết
2
6
2
6
cos 3
d
1
xx
xa
bc
xx
π
π
ππ
−
=++
++
∫
với
a
,
b
,
c
,
d
là các số nguyên. Tính
M abc=−+
.
A.
35
M =
. B.
41M =
. C.
37M = −
. D.
35M = −
.
Câu 76: Cho
( )
1
2
0
d 2018fx x
=
∫
. Tính
( )
12
0
cos2 . sin 2 d
xf x x
π
∫
.
A.
1009
2
I =
. B.
1009I =
. C.
4036I =
. D.
2018I =
.
Câu 77: Cho
f
là hàm số liên tục thỏa
( )
1
0
d7fx x
=
∫
. Tính
( )
2
0
cos . sin dI xf x x
π
=
∫
.
A.
1
. B.
9
. C.
3
. D.
7
.
Câu 78: Cho hàm số
(
)
fx
liên tục trên
và
( )
1
1
d 12fx x
−
=
∫
,
( )
2
3
3
2cos sin df x xx
π
π
∫
bằng
A.
12−
. B.
12
. C.
6
. D.
6−
.
Câu 79: Cho hàm số
( )
y fx=
liên tục trên
thỏa mãn
( )
9
1
4
fx
dx
x
=
∫
và
( )
/2
0
sin cos 2.f x xdx
π
=
∫
Tích phân
(
)
3
0
I f x dx=
∫
bằng
A.
2I =
. B.
6I =
. C.
4I =
. D.
10
I =
.
HÀM MŨ – LÔGARIT
Câu 80: Cho
2
1
1
0
d
x
I xe x
−
=
∫
. Biết rằng
2
ae b
I
−
=
. Khi đó,
ab+
bằng
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D.
4
.
Câu 81:
Nguyên
hàm
của
( )
2
sin
sin 2 .e
x
fx x=
là
A.
2
2 sin 1
sin .e
x
xC
−
+
. B.
2
sin 1
2
e
sin 1
x
C
x
+
+
+
. C.
2
sin
e
x
C+
. D.
2
sin 1
2
e
sin 1
x
C
x
−
+
−
.
Câu 82: Biết rằng
( )
1
13 2
0
3 d ,, .
53
x
ab
e x e e c abc
+
= ++ ∈
∫
Tính
.
23
bc
Ta=++
A.
6T =
. B.
9T =
. C.
10T =
. D.
5T =
.
Câu 83: Tích phân
ln12
ln5
4
x
I e dx= +
∫
có giá trị là:
https://toanmath.com/
A.
2 ln 3 ln5I =−+
. B.
2 2ln3 2ln 5I =−+
.
C.
2 2ln3 ln5I =−+
. D.
2 ln 3 2ln 5I =−−
.
Câu 84: Tìm tất cả các giá trị dương của tham số
m
sao cho
22
1 500 1
0
e d 2 .e
m
xm
xx
++
=
∫
.
A.
250 500
22 2m = −
. B.
1000
21
m
= +
. C.
250 500
22 2m = +
. D.
1000
21m
= −
.
Câu 85: Cho
3
12
0
d
e .e .e
1
x
x
a bc
x
+
= ++
+
∫
. Với
a
,
b
,
c
là các số nguyên. Tính
S abc=++
.
A.
1
S =
. B.
2S =
. C.
0S =
. D.
4S =
.
Câu 86: Cho tích phân
2
2
sin 3
0
sin cos d
x
I e x xx
π
=
∫
. Nếu đổi biến số
2
sintx
=
thì:
A.
11
00
1
dd
2
tt
I et tet

= +


∫∫
. B.
11
00
1
dd
2
tt
I et tet

= −


∫∫
.
C.
11
00
2d d
tt
I et tet

= +


∫∫
. D.
11
00
2d d
tt
I et tet

= −


∫∫
.
Câu 87: Tính
1
d
lim
1
n
x
x
n
x
e
+
→+∞
+
∫
.
A.
1−
. B.
1
. C.
e
. D.
0
.
Câu 88: Tính tích phân
2
2016
2
d.
1
x
x
Ix
e
−
=
+
∫
A.
0I
=
. B.
2018
2
2017
I =
. C.
2017
2
2017
I =
. D.
2018
2
2018
I =
.
Câu 89: Cho biết
( )
1
2
2
0
d.
2
x
xe a
x ec
b
x
= +
+
∫
với
a
,
c
là các số nguyên,
b
là số nguyên dương và
a
b
là
phân số tối giản. Tính
abc−+
.
A.
3
. B.
0
. C.
2
. D.
3−
.
Câu 90: Biết tích phân
ln6
0
e
d ln 2 ln3
1 e3
x
x
xab c=++
++
∫
, với
a
,
b
,
c
là các số nguyên. Tính
T abc=++
.
A.
1T = −
. B.
0T =
. C.
2T =
. D.
1T =
.
Câu 91: Giá trị
( )
( )
3
3
3
9
4
cos
23
1
6
sin e d
x
Ix x x
π
π
=
∫
gần bằng số nào nhất trong các số sau đây:
A.
0,046
. B.
0,036
. C.
0,037
. D.
0,038
.
Câu 92: Cho
( )
( )
2
1
0
e
d .e ln e
e
x
x
xx
xa b c
x
−
+
=++
+
∫
với
a
,
b
,
c∈
. Tính
2Pa bc=+−
.
https://toanmath.com/
A.
1
P
=
. B.
1
P
= −
. C.
0P =
. D.
2P = −
.
Câu 93: Biết
( )
2
1
0
5 6e
e
d e ln
2e 3
−
++
+
= −−
++
∫
x
x
xx
ac
xa b
x
với
a
,
b
,
c
là các số nguyên và
e
là cơ số của
logarit tự nhiên. Tính
2= ++S abc
.
A.
10=S
. B.
0=
S
. C.
5=S
. D.
9=S
.
Câu 94:
1
33
0
2 e .2 1 1 e
d ln
e.2 e ln e
xx
x
xx
xp
mn
π
ππ
++

=++

++

∫
với
m
,
n
,
p
là các số nguyên dương. Tính
tổng
S mnp
= ++
.
A.
6S =
. B.
5
S =
. C.
7S =
. D.
8S
=
.
Câu 95: Cho tam thức bậc hai
( ) ( )
2
, ,, , 0f x ax bx c a b c a= ++ ∈ ≠
có hai nghiệm thực phân biệt
12
,xx
. Tính tích phân
( )
2
2
1
2d
x
ax bx c
x
I ax b e x
++
= +
∫
.
A.
12
Ixx
= −
. B.
12
4
xx
I
−
=
. C.
0I =
. D.
12
2
xx
I
−
=
.
Câu 96: Với cách đổi biến
1 3lnux
= +
thì tích phân
1
ln
d
1 3ln
e
x
x
xx
+
∫
trở thành
A.
( )
2
2
1
2
1d
3
uu−
∫
. B.
(
)
2
2
1
2
1d
9
uu
−
∫
. C.
( )
2
2
1
2 1duu−
∫
. D.
2
2
1
21
d
9
u
u
u
−
∫
.
Câu 97: Biết
( )
e
1
1 ln 2
e1
d .e ln
1 ln e
xx
xa b
xx
++
+

= +

+

∫
trong đó
a
,
b
là các số nguyên. Khi đó tỉ số
a
b
là
A.
1
2
. B.
1
. C.
3
. D.
2
.
Câu 98: Tính tích phân
e
1
1 3ln
d
x
Ix
x
+
=
∫
bằng cách đặt
1 3lntx
= +
, mệnh đề nào dưới đây sai?
A.
2
3
1
2
9
It=
. B.
2
1
2
d
3
I tt=
∫
. C.
2
2
1
2
d
3
I tt
=
∫
. D.
14
9
I =
.
Câu 99: Biết
( )
2
2
1
31
ln
d ln
3 ln
x
b
xa
x xx c
+

= +

+

∫
với
a
,
b
,
c
là các số nguyên dương và
4
c ≤
. Tổng
abc++
bằng
A.
6
. B.
9
. C.
7
. D.
8
.
Câu 100: Biết
( )
( )
e
1
ln 3
d ln , ,
ln 2 2
x
I x a b ab Q
xx
= =+∈
+
∫
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
1ab−=
. B.
21ab+=
. C.
22
4ab+=
. D.
20
ab+=
.
Câu 101: Tích phân
(
)
2
1
ln 2 ln 1 1
e
xx
I dx
x
++
=
∫
có giá trị là:
https://toanmath.com/
A.
42 3
3
I
+
=
. B.
42 1
3
I
+
=
. C.
42 5
3
I
+
=
. D.
42 3
3
I
−
=
.
Câu 102: Tích phân
(
)
2
1
ln ln
e
I x x x dx= +
∫
có giá trị là:
A.
2Ie= −
. B.
Ie= −
. C.
Ie=
. D.
2Ie=
.
Câu 103: Biết
(
)
32
1
23
0
1
ln 3 ln
2
3
1 27 27 3 3
9
xx x x
I dx ae e e
x

++


= = ++ + −
∫
, a là các số hữu tỉ.
Giá trị của a là:
A. 9. B. – 6. C. – 9. D. 6.
Câu 104: Tích phân
2
1
2ln ln 1
e
xx
I dx
x
+
=
∫
có gái trị là:
A.
42 2
3
I
−
=
. B.
42 2
3
I
+
=
. C.
22 2
3
I
−
=
. D.
22 2
3
I
+
=
.
Câu 105: Tính
( )
2
2
1 ln
d
e
e
x
Ix
x
−
=
∫
được kết quả là
A.
13
3
. B.
1
3
. C.
5
3
. D.
4
3
.
Câu 106: Cho tích phân
1
1 3ln
d
e
x
Ix
x
+
=
∫
, đặt
1 3ln
tx= +
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2
1
2
d
3
e
I tt=
∫
. B.
2
1
2
d
3
I tt=
∫
. C.
2
2
1
2
d
3
I tt=
∫
. D.
1
2
d
3
e
I tt=
∫
.
Câu 107: Biết
1
3 ln
d
3
e
x a bc
x
x
+−
=
∫
, trong đó
a
,
b
,
c
là các số nguyên dương và
4c <
. Tính giá
trị
S abc=++
.
A.
13S =
. B.
28S =
. C.
25S =
. D.
16S =
.
Câu 108: Cho
( )
e
2
1
ln
d
ln 2
x
Ix
xx
=
+
∫
có kết quả dạng
lnI ab= +
với
0a >
,
b
∈
. Khẳng định nào sau
đây đúng?
A.
21ab = −
. B.
21ab =
. C.
31
ln
23
b
a
−+ =−
. D.
31
ln
23
b
a
−+ =
.
Câu 109: Biết
( )
2
2
1
1
d ln ln
ln
x
x ab
x xx
+
= +
+
∫
với
a
,
b
là các số nguyên dương. Tính
22
P a b ab=++
.
A.
10
. B.
8
. C.
12
. D.
6
.
Câu 110: Cho tích phân
( )
2
2
42
1 ln 1
ln 2
ln 2
e
e
xx
ae be
I dx c d
xx
++
+
= = ++
∫
. Chọn phát biểu đúng nhất:
https://toanmath.com/
A.
abcd= = =
B.
2
1
ab c
d
= = =
C. A và B đúng D. A và B sai
Câu 111: Tính tích phân
(
)
(
)
2018
0
4
ln 1 2
d
1 2 log e
x
x
Ix
−
+
=
+
∫
.
A.
( )
2018
ln 1 2 ln 2I =+−
. B.
( )
2 2018 2
ln 1 2 ln 2I =+−
.
C.
(
)
2 2018
ln 1 2 ln 4I =+−
. D.
( )
2 2018 2
ln 1 2 ln 2I
−
=+−
.
Câu 112: Cho hàm số
( )
y fx=
liên tục trên
và thỏa mãn
( )
1
ln
d.
e
fx
xe
x
=
∫
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
( )
1
0
d 1.fx x=
∫
B.
( )
1
0
d.fx x e=
∫
C.
(
)
0
d 1.
e
fx x
=
∫
D.
( )
0
d.
e
fx x e=
∫
Câu 113: Biết
( )
4
e
e
1
ln d 4fxx
x
=
∫
. Tính tích phân
( )
4
1
dI fx x=
∫
.
A.
8I =
. B.
16I
=
. C.
2
I =
. D.
4I =
.
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2
Cho hàm số
f
liên tục và có đạo hàm trên đoạn
[ ; ].ab
Giả sử hàm số
(t)x
ϕ
=
có đạo hàm và
liên tục trên đoạn
(*)
[;]
αβ
sao cho
() ,()ab
ϕα ϕβ
= =
và
()a tb
ϕ
≤≤
với mọi
[ ; ].t
αβ
∈
Khi đó:
( ) ( ()) '() .
b
a
f x dx f t t dt
β
α
ϕϕ
=
∫∫
Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng
1.
22
ax−
: đặt
| | sin ; ;
22
x a tt
ππ

= ∈−


2.
22
xa−
: đặt
||
; ; \ {0}
sin 2 2
a
xt
t
ππ

= ∈−


3.
22
xa+
:
| | tan ; ;
22
x a tt
ππ

= ∈−


4.
ax
ax
+
−
hoặc
ax
ax
−
+
: đặt
.cos2xa t
=
Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính
tích phân
3
2
2
0
1
x dx
I
x
=
+
∫
thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân
3
3
0
2
1
x dx
I
x
=
+
∫
thì nên đổi
biến dạng 1.
Câu 114: Khi tính
2
2
0
4 d,I xx= −
∫
bằng phép đặt
2sin ,xt=
thì được
A.
( )
2
0
2 1 cos2 dtt
π
+
∫
. B.
( )
2
0
2 1 cos 2 dtt
π
−
∫
. C.
2
2
0
4cos dtt
∫
. D.
2
2
0
2cos dtt
∫
.
https://toanmath.com/
Câu 115: Biết rằng
1
2
1
2
4d
3
xx a
π
−
−=+
∫
. Khi đó
a
bằng:
A.
2
. B.
1
. C.
3
. D.
2
.
Câu 116: Cho tích phân
1
2
2
0
1
1
I dx a
x
π
= =
−
∫
,a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của a là:
A.
1
2
. B.
1
3
. C.
1
4
. D.
1
6
.
Câu 117: Giá trị của
3
2
0
9d
a
xx
b
π
−=
∫
trong đó
, ab∈
và
a
b
là phân số tối giản. Tính giá trị của
biểu thức
T ab=
.
A.
35T =
. B.
24T =
. C.
12
T =
. D.
36T =
.
Câu 118: Đổi biến
2sinxt=
thì tích phân
1
2
0
d
4
x
x−
∫
trở thành
A.
6
0
dtt
π
∫
. B.
3
0
dtt
π
∫
. C.
6
0
dt
t
π
∫
. D.
6
0
dt
π
∫
.
Câu 119: Biết rằng
2
4
1
d
6
65
ab
x
xx
π
+
=
−+ −
∫
trong đó
a
,
b
là các số nguyên dương và
45ab<+ <
. Tổng
ab
+
bằng
A.
5
. B.
7
. C.
4
. D.
6
.
Câu 120: Tích phân
( )( )
3
5
2
13I x x dx
= −−
∫
có giá trị là:
A.
3
64
I
π
= −
. B.
3
38
I
π
= −
. C.
3
68
I
π
= −
. D.
3
38
I
π
= −
.
Câu 121: Tích phân
1
2
0
34
32
x
I dx
xx
+
=
+−
∫
có giá trị là:
A.
7
43 8
6
I
π
=−+
. B.
7
43 8
6
I
π
=−−
.
C.
7
43 8
6
I
π
=+−
. D.
7
43 8
6
I
π
=++
.
Câu 122: Tích phân
1
2
2
1
43
54
x
I dx
xx
−
−
=
+−
∫
có giá trị là:
A.
5
3
I
π
=
. B.
5
6
I
π
=
. C.
5
3
I
π
= −
. D.
5
6
I
π
= −
.
https://toanmath.com/
Câu 123: Cho
1
2
2
0
12 1I x x dc a b
π
=−−=+
∫
với
,
ab R
∈
. Giá trị
ab+
gần nhất với
A.
1
10
B. 1 C.
1
5
D.
2
Câu 124: Tích phân
1
2
0
1
1
I dx
x
=
+
∫
có giá trị là:
A.
2
I
π
=
. B.
3
I
π
=
. C.
4
I
π
=
. D.
6
I
π
=
.
Câu 125: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên
thỏa mãn
( )
4
tan cos=fx x
,
∀∈x
. Tính
(
)
1
0
d=
∫
I fx x
.
A.
2
8
π
+
. B.
1
. C.
2
4
π
+
. D.
4
π
.
Câu 126: Cho hàm số
f
liên tục trên đoạn
[ ]
6;5−
, có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như
hình vẽ. Tính giá trị
(
)
5
6
2d
I fx x
−
= +


∫
.
A.
2 35I
π
= +
. B.
2 34
I
π
= +
. C.
2 33I
π
= +
. D.
2 32I
π
= +
.
Câu 127: Khi đổi biến
3 tanxt=
, tích phân
1
2
0
d
3
x
I
x
=
+
∫
trở thành tích phân nào?
A.
3
0
3dIt
π
=
∫
. B.
6
0
3
d
3
It
π
=
∫
C.
6
0
3d
I tt
π
=
∫
. D.
6
0
1
d
It
t
π
=
∫
.
O
x
y
5
4−
6−
1−
3
https://toanmath.com/
HƯỚNG DẪN GIẢI
19TCâu 1. Cho hàm số
(
)
y fx
=
liên tục trên
[ ]
,ab
. Giả sử hàm số
( )
u ux=
có đạo hàm liên tục trên
[
]
,ab
và
( )
[ ]
,ux
αβ
∈
[ ]
,x ab∀∈
, hơn nữa
( )
fu
liên tục trên đoạn
[ ]
,
αβ
.
19TMệnh đề nào sau đây là đúng?19T
xa=
A.
( ) ( ) (
)
dd
bb
aa
f ux u x x fu u
′
=


∫∫
. B.
( ) ( )
( )
( )
( )
dd
ub
b
ua a
f ux u x x fu u
′
=


∫∫
.
C.
( ) ( ) ( )
( )
( )
dd
ub
b
a ua
f ux u x x fu u
′
=


∫∫
. D.
( ) ( ) ( )
dd
bb
aa
fuxuxx fxu
′
=


∫∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
( ) ( )
ddux t u x x t
′
=⇒=
.
Đổi cận
Khi
xa=
thì
(
)
t ux=
; khi
xb=
thì
( )
t ub=
.
Do đó
( ) ( ) ( )
( )
( )
dd
ub
b
a ua
f ux u x x ft t
′
=


∫∫
( )
( )
( )
d
ub
ua
fu u=
∫
.
HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM HỮU TỈ
Câu 2. Tính tích phân
( )
3
1000
1
1.I x x dx= −
∫
A.
1002
2003.2
.
1003002
I =
B.
1001
1502.2
.
501501
I =
C.
1002
3005.2
.
1003002
I
=
D.
1001
2003.2
.
501501
I =
Hướng dẫn giải
Đặt
1,xt
−=
khi
1 0; 3 2.x tx t=⇒= =⇒=
Do đó
( ) ( )
( )
22
2
1002 1001
1000 1001 1000
0
00
11
1002 1001
tt
I t t d t t t dt

= + += + = +


∫∫
1002 1001 1001
1001
2 2 2 1 1502.2
2.
1002 1001 1002 1001 501501

=+= + =


Chọn B
Câu 3. Giá trị của tích phân
( ) ( )
100
0
1 ... 100 dxx x x−−
∫
bằng
A.
0
. B.
1
. C.
100
. D. một giá trị khác.
19THướng dẫn giải
19TChọn A
19TTính 19T
( ) ( )
100
0
1 ... 100 dI xx x x=−−
∫
.
Đặt
100tx= −
ddxt⇒=−
.
Đổi cận: Khi
0x =
thì
100t =
; khi
100x =
thì
0t =
.
Do
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
1 ... 100 100 99 ... 1xx x t t t t− − = − − −−
( ) ( )( )
1 ... 99 100tt t t=−− − −
nên
( ) ( )
100
0
1 ... 100 dI xx x x=−−
∫
( ) ( )
100
0
1 ... 100 dtt t t I=−− − =−
∫
20I⇔=
0I⇔=
.
https://toanmath.com/
Câu 4. Tích phân
2
2
0
d
3
x
x
x
+
∫
bằng
A.
17
log
23
. B.
7
ln
3
. C.
17
ln
23
. D.
13
ln
27
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
2
2
0
d
3
x
x
x
+
∫
( )
2
2
2
0
11
d3
23
x
x
= +
+
∫
2
2
0
1
ln 3
2
x= +
17
ln
23
=
.
Câu 5. Cho tích phân
2
53
1
5
ln
8
dx
I ab
xx
= = +
+
∫
. Khi đó
2ab+
bằng
A.
5
2
B.
5
4
C.
5
8
D.
5
16
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
( ) ( )
22 2
53
32 42
11 1
.1 .1
dx dx x
I dx
xx
xx xx
= = =
+
++
∫∫ ∫
Đặt
2
1tx= +
, suy ra
1
2
2
dt xdx dt xdx= ⇔=
.
Đổi cận
1 2, 2 5
x tx t=⇒= = ⇒=
.
Suy ra
( )
5
2
2
11
.
2
1.
I dt
tt
=
−
∫
.
Ta cần tách tiếp
( )
2
1
1.
tt−
về dạng
( )
2
1
mt n k
t
t
+
+
−
để có thể lấy nguyên hàm được. Dễ dàng tìm
được
,,mnk
bằng phương pháp đồng nhất hệ số. Ta tìm được
1, 2, 1m nk
=−= =
.
Suy ra
( )
55 5
5
2
2
22 2
1 1 2 1 11 1 1 511 1 1 53
ln . ln 1 ln . 1 ln 4 ln
2 2 2 1 2 2 224 2 2 88
1
t
I dt x t
tt
t

−

= + = − − − = − −− = +


−

−


∫
Suy ra
13 5
,2
28 4
a b ab= =⇒+ =
.
Ta chọn phương án B.
Câu 6. Tích phân
( )
1
5
3
2
0
1
x dx
I
x
=
+
∫
được kết quả
ln 2Ia b= −
. Giá trị a+b là:
A.
3
16
B.
13
16
C.
14
17
D.
4
17
Hướng dẫn giải
Chọn A
đặt
( )
2
1tx
= +
2
23
1
1 12 1 1 5
ln 2
2 2 16
I dt
tt t

⇒= − + = −


∫
.
Câu 7. Tích phân
0
2
1
2
1
x
I dx
x
−
=
+
∫
có giá trị là:
A.
ln3I =
. B.
ln 2I = −
. C.
ln3I = −
. D.
ln 2
I =
.
Hướng dẫn giải
https://toanmath.com/
Ta nhận thấy:
(
)
2
1' 2xx+=
.
Ta đặt:
2
12
t x dt xdx= +⇒ =
.
Đổi cận:
12
01
xt
xt
=−⇒ =
=⇒=
.
(
)
1
1
2
2
1
ln ln 2I dt t
t
⇒= = =−
∫
.
Chọn B
Câu 8. Cho
1
2
3
0
1
ln
13
x
dx a
x
=
+
∫
,a là các số hữu tỉ. Giá trị của a là:
A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Hướng dẫn giải
Cho
1
2
3
0
1
ln
13
x
dx a
x
=
+
∫
. Giá trị của a là:
Ta có:
(
)
12
2
2
3
1
01
11 1
... ln ln 2 2
1 33 3
x
dx dt t a
xt
== = = ⇒=
+
∫∫
.
Chọn A
Câu 9. Tích phân
0
2
1
2
ax
I dx
ax
−
=
+
∫
,với
2a ≠−
có giá trị là:
A.
ln 2 ln 2
2
a
I
++
=
. B.
ln 2 ln 2
2
a
I
−+
=
.
C.
ln 2 ln 2
2
a
I
−− +
=
. D.
ln 2 ln 2
2
a
I
−+ +
=
.
Hướng dẫn giải
Tích phân
0
2
1
2
ax
I dx
ax
−
=
+
∫
, với
2a
≠−
có giá trị là:
Ta nhận thấy:
( )
2
2' 2ax ax+=
. Ta dùng đổi biến số.
Đăt
2
22t ax dt axdx= +⇒ =
.
Đổi cận
02
12
xt
x ta
=⇒=
=−⇒ = +
.
(
) (
)
2
2
2
2
11 1
ln ln 2 ln 2
22 2
a
a
I dt t a
t
+
+
= = = −+
∫
.
Chọn B
Câu 10. Giả sử
5
2
3
d
ln5 ln3 ln 2.( , , )=++ ∈
−
∫
x
a b c abc
xx
5
2
3
ln5 ln3 ln 2.
dx
abc
xx
=++
−
∫
Tính giá trị
biểu thức
2
2 3.S ab c=− ++
A.
3.S =
B.
6.S =
C.
0.S =
D.
2.S = −
Hướng dẫn giải
Chọn B
( )
5
5 5 55
2
3 3 33
3
1 42
ln ln ln ln 4 ln5 ln 2 ln 3 ln 2 ln3 ln5
1 1 53
dx dx dx dx x
x x xx x x x
−
= = − = = − =−−+=+−
− −−
∫ ∫ ∫∫
suy ra
1; 1; 1a bc=−==
Vậy
213 6.S = ++ =
https://toanmath.com/
Câu 11. Biết
1
2
2
0
2 33
d ln
21
xx
xa b
xx
++
= −
++
∫
với
a
,
b
là các số nguyên dương. Tính
22
Pa b= +
.
A.
13
. B.
5
. C.
4
. D.
10
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
1
2
2
0
2 33
d
21
xx
Ix
xx
++
=
++
∫
Đặt
dd
1
1
tx
tx
xt
=
= +⇒
= −
suy ra
01
12
xt
xt
= ↔=
=↔=
Khi đó
( ) ( )
2
2
2
1
2 1 3 13
dt
tt
I
t
− + −+
= =
∫
2
2
2
1
22
dt
tt
t
−+
=
∫
2
2
1
12
2 dt
tt

−+ =


∫
2
1
2
2 lntt
t

−−


3 ln 2
= −
.
Suy ra
22
3 2 13
P =+=
.
Câu 12. Tính
( )
2
2
2
d
b
a
ax
Ix
ax
−
=
+
∫
(với
a
,
b
là các số thực dương cho trước).
A.
22
2
b
I
ab
=
+
. B.
2
b
I
ab
=
+
. C.
( )( )
( )
( )
2
11
1
ab
I
ab a
−−
=
++
. D.
2
b
I
ab
=
+
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
( )
2
2
2
d
b
a
ax
Ix
ax
−
=
+
∫
2
2
1
d
b
a
a
x
x
a
x
x
−
=

+


∫
.
Đặt
a
tx
x
= +
2
d 1d
a
tx
x

⇒=−+


. Đổi cận:
1xa t a= ⇒=+
;
a
xb t b
b
=⇒= +
Khi đó:
2
1
1
d
a
b
b
a
It
t
+
+
−
=
∫
1
1
a
b
b
a
t
+
+
=
2
1
1
ab
b
a
t
+
+
=
2
1
1
b
ab a
= −
++
( )
( )
( )
( )
2
1
1
abb
ab a
−−
=
++
1k⇔=
.
Câu 13. Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên
và các tích phân
( )
4
0
tan d 4f xx
π
=
∫
và
( )
2
1
2
0
d2
1
xf x
x
x
=
+
∫
.
Tính tích phân
( )
1
0
dI fx x=
∫
.
A.
6I =
. B.
2I =
. C.
3I =
. D.
1I =
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Đặt
(
)
2
2
d
tan d 1 tan d d
1
t
t x t xx x
t
= ⇒=+ ⇒ =
+
Đổi cận
00xt=⇒=
và
1
4
xt
π
= ⇒=
Đó đó:
( )
4
0
tan d d 4f x xx
π
=
∫
( ) ( )
11
22
00
dd
44
11
ft t fx x
tx
⇒=⇒ =
++
∫∫
https://toanmath.com/
Nên
( ) (
)
( )
2
11 1
22
00 0
dd
42 d 6
11
fx x xfx x
fx x
xx
+ =+⇔ =
++
∫∫ ∫
Câu 14. Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm liên tục trên
và có đồ thị hình bên. Tính tích phân
( )
2
1
2 1dI fx x
′
= −
∫
.
A.
2I
= −
. B.
1I = −
. C.
1
I
=
. D.
2I =
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Dựa vào đồ thị hàm số ta có đồ thị hàm số
( )
y fx=
đi qua các điểm
( )
1; 1−−
,
( )
0;3
,
(
)
2; 1−
,
( )
3;3
nên hàm số
( )
32
33y fx x x
= =−+
.
Ta có:
( )
2
1
2 1dI fx x
′
= −
∫
( ) ( )
2
1
1
21d21
2
fx x
′
= −−
∫
(
)
2
1
1
21
2
fx
= −
( ) ( )
1
31
2
ff= −


1=
4
2
2
-1
-1
2
3
3
O
1
https://toanmath.com/
HÀM VÔ TỈ
Câu 15. Cho tích phân
1
3
0
1dxx−
∫
, với cách đặt
3
1tx= −
thì tích phân đã cho bằng với tích phân nào
sau đây?
A.
1
0
3d
tt
∫
. B.
1
3
0
dtt
∫
. C.
1
2
0
3dtt
∫
. D.
1
3
0
3dtt
∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt
32
3
1 1 d 3dt x x t x tt= −⇒=−⇒ =−
, đổi cận:
01xt= ⇒=
,
10xt=⇒=
.
Khi đó ta có
11
3
3
00
1d 3dxx t t
−=
∫∫
.
Câu 16. Trong các tích phân sau, tích phân nào có cùng giá trị với
2
32
1
1I x x dx= −
∫
A.
2
1
1
1
2
t t dt−
∫
. B.
4
1
1t t dt−
∫
C.
( )
3
22
0
1t t dt+
∫
. D.
( )
3
22
1
1x x dx+
∫
.
Hướng dẫn giải.
Đặt
2 22
11t x t x tdt xdx= −⇒ = −⇒ =
10xt=⇒=
,
23xt= ⇒=
( )
23
32 2 2
10
11I x x dx t t dt= −= +
∫∫
Chọn C
Câu 17. Nếu
32
01
()
11
x
dx f t dt
x
=
++
∫∫
, với
1tx= +
thì
()ft
là hàm số nào trong các hàm số dưới
đây ?
A.
2
() 2 2ft t t= +
B.
2
()ft t t= −
C.
2
()ft t t= +
D.
2
() 2 2ft t t= −
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt
1tx= +
, suy ra
2
1tx
= +
,
2tdt dx=
Ta có
3 222
2
2
0 111
1
.2 ( 1).2 (2 2 )
1
11
xt
dx tdt t tdt t t dt
t
x
−
= =−=−
+
++
∫ ∫∫∫
Câu 18. Kết quả của
4
0
1
d
21
x
x +
∫
bằng
A.
4
. B.
5
. C.
2
. D.
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
2
21 21t x tx= +⇒ = +
2 d 2d d d
tt x tt x⇒ = ⇒=
.
Đổi cận:
01xt= ⇒=
,
43xt= ⇒=
.
Khi đó, ta có
4 33
3
1
0 11
1d
d d2
21
tt
x tt
t
x
= = = =
+
∫ ∫∫
.
Câu 19. Tích phân
1
0
d
31
x
x +
∫
bằng
A.
4
3
. B.
3
2
. C.
1
3
. D.
2
3
.
Hướng dẫn giải
https://toanmath.com/
19TChọn D
Đặt
31tx
= +
2
31tx⇒= +
2 d 3dtt x⇒=
2
dd
3
t
tx
⇒=
Đổi cận:
01xt= ⇒=
;
12xt=⇒=
Khi đó
12
01
d 21
.d
3
31
x
tt
t
x
=
+
∫∫
2
1
2
d
3
t=
∫
2
1
2
3
t=
2
3
=
.
Cách khác: Sử dụng công thức
d2x
ax b C
a
ax b
= ++
+
∫
thì
1
1
0
0
d2
31
3
31
x
x
x
= +
+
∫
2
3
=
.
Câu 20. Cho
3
0
d ln 2 ln3
3
42 1
xa
xbc
x
=++
++
∫
với
a
,
b
,
c
là các số nguyên. Giá trị của
abc++
bằng
A.
1
. B.
2
. C.
7
. D.
9
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt
1tx
= +
2
1
tx⇒=+
2
1xt
⇒= −
d 2d
x tt⇒=
.
Đổi cận:
02
xt=⇒=
;
34xt=⇒=
.
Khi đó:
2
2 22
23 3
22
1 11
1
16 7
.2 d d 2 3 d 3 6ln 2 12ln 2 6ln 3
42 2 2 3 3
t tt t
tt t t t t t t t
tt t

−−

= = − +− = − + − + = − +


++ +


∫ ∫∫
Suy ra
7
12
6
a
b
c
=
= −
=
1abc⇒++=
.
Câu 21. Biết
4
0
1
d ln 2
2 15
I xab
x
= = +
+−
∫
với
,ab
là số nguyên. Tính
S ab= +
.
A.
3.S =
B.
3.S = −
C.
S 5.=
D.
S 7.=
Hướng dẫn giải:
Chọn B
2
21 212d2d
01
43
t x t x tt x
xt
xt
= +⇒ = +⇒ =
=⇒=
= ⇒=
( )
4 33
3
1
0 11
15
d d 1 d 5ln 5 2 5ln 2.
55
2 15
t
I x t tt t
tt
x

= = =+ =+ −=−

−−
+−

∫ ∫∫
Suy ra:
2; 5 3.a b S ab= =−⇒ = + =−
Câu 22. Tính tích phân
5
1
d
31
x
xx+
∫
được kết quả
ln3 ln 5Ia b= +
. Giá trị
22
3a ab b
++
là
A.
4
. B.
5
. C.
1
. D.
0
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt
2
2
1 2d
31 31 d
33
t tt
txtxx x
−
= +⇒ = +⇒ = ⇒ =
.
Đổi cận:
1 2; 5 4.x tx t=⇒= =⇒=
Khi đó
https://toanmath.com/
4
2
2
2
d
1
It
t
=
−
∫
4
2
11
d
11
t
tt

= −

−+

∫
4
2
1
ln
1
t
t
−
=
+
2ln3 ln5= −
. Suy ra
2
1
a
b
=
= −
.
Do đó
22
35a ab b++ =
.
Câu 23. Cho tích phân
4
0
d2
ln
3
3 21
x
I ab
x
= = +
++
∫
với
,ab∈
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
3ab−=
. B.
5ab
−=
. C.
5ab+=
. D.
3ab+=
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
21
tx
= +
2
21tx⇒= +
ddx tt⇒=
.
Đổi cận:
01
xt= ⇒=
;
43xt= ⇒=
Khi đó
4
0
d
3 21
x
I
x
=
++
∫
3
1
d
3
tt
t
=
+
∫
3
1
3
1d
3
t
t

= −

+

∫
( )
3
1
2
3ln 3 2 3ln
3
tt=− +=+
Do đó
5ab+=
.
Câu 24. Biết
( )
3
2
1
2
1d
3
xx x a b+= −
∫
, với
,ab
là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây đúng.
A.
2
ab=
. B.
ab<
. C.
ab=
. D.
3
ab
=
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt
2 22
1 1d dt x t x tt xx= +⇒ = +⇒ =
. Đổi cận
1 2; 3 2xtx t=⇒= = ⇒=
.
Khi đó
( )
2
32
3
22
1
2
2
2
1d d 4 2
33
t
xx x tt+= = = −
∫∫
. Vậy
2.ab=
Câu 25. Cho
( )
2
5
d 15
ln , 5
43
4
a
x
Ia
xx
= = >
+
∫
. Khi đó giá trị của số thực
a
là
A.
2 3.
B.
2 5.
C.
3 2.
D.
2 2.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt
2 22
4 4 d d.t x t x tt xx= +⇒ = +⇒ =
Đổi cận:
5 3, xt= ⇒=
2
4xa t a= ⇒= +
.
22
44
2
22
33
5
dd d
4 ( 2)(t 2)
4
a aa
xx t t
I
tt
xx
++
= = =
− −+
+
∫ ∫∫
2
2
4
4
2
2
3
3
1 1 1 1 2 1 42
d ln ln 5
4 22 4 2 4
42
a
a
ta
t
tt t
a
+
+

− +−

= −= =⋅



−+ +

++

∫
.
Ta có,
( )
22
22
1 5 1 42 1 5 42 1
ln ln 5 ln , 5
43 4 43 3
42 42
aa
Ia
aa

+− +−
== ⇔ ⋅ = >⇔ =


++ ++

(
)
22
3 4 2 4 2 23
a aa⇔ +− = ++⇔=
.
Câu 26. Cho
1
2
0
2
1
x
I dx a b
x
= = +
+
∫
. Giá trịa.b là:
A. – 1. B. – 2. C. 1. D. 2.
Hướng dẫn giải
https://toanmath.com/
Cho
1
2
0
2
1
x
I dx a b
x
= = +
+
∫
. Giá trịa.b là:
Ta có:
Đặt
2
12t x dt xdx= +⇒ =
. Đổi cận
01
12
xt
xt
=⇒=
=⇒=
.
2
1
11
2 1 1, 1 . 1
2
I dt a b a b
t
⇒ = = −⇒ = =−⇒ =−
∫
.
Chọn A
Câu 27. Với
,,
abc R∈
. Đặt
2
2
1
4
ln
xb
I dx a
xc
−
= = −
∫
. Giá trị của tính abc là :
A.
3
B.
23−
C.
23
D.
3−
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đây là dạng toán tính tích phân để tránh tình trạng bấm máy tính nên chúng ta cần phải nhớ
phương pháp làm. Có hai cách để làm bài toán này là chuyển về lượng giác hoặc phá căn.
Dưới đây là một cách
Đặt
22 2
44
t x t x tdt xdx= − ⇒=−⇒ =−
0
00 0
2
22 2
33 3
3
( ) 4 2 23
1 ln 3 ln
44 4 2
23
t tdt t t
I dt dt t
tt t t
− − −

= = = + =+ =−−


−− − +
+


∫∫∫
Suy ra
3(2 3)(2 3) 3abc =− − +=−
Câu 28. Cho
3
2
1
1
ln
x cd
dx a b
x
e
++
=−+
∫
với c nguyên dương và
a
,
b
,
c
,
d
,
e
là các số
nguyên tố. Giá trị của biểu thức
+++ +abcde
bằng.
A.
14
. B.
17
. C.
10
. D.
24
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
3
2
2
1
1
d
x
xx
x
+
=
∫
.
Đặt
2
1tx= +
22
1tx⇒= +
22
ddtt xx
⇒=
ddtt xx⇒=
.
Đổi cận:
32
1 2x t
xt
⇒=
= ⇒
=
=
.
2
2
2
2
1
d
t
It
t
=
−
∫
2
2
11 1
1
21 1
d
t
tt


=+−


−+


∫
22
22
111
2 11
ddtt
tt

=+−

−+

∫∫
2
2
2
2
11
ln
21
t
t
t
−
= +
+
( )
1 11
2 2 ln ln 3 2 2
2 32
=−+ − −
38
2 2 ln
3
+
=−+
12
2 2 ln
3
+
=−+
.
Vậy
10abcde+++ +=
.
Câu 29. Giá trị của
7
3
3
2
0
d
1
xx
I
x
=
+
∫
được viết dưới dạng phân số tối giản
a
b
(
a
,
b
là các số nguyên
dương). Khi đó giá trị của
7ab−
bằng
3
2
1
1x
I dx
x
+
=
∫
https://toanmath.com/
A.
2
. B.
1
. C.
0
. D.
1.
−
Hướng dẫn giải
Chọn B
Cách 1: Tính
7
3
3
2
0
d
1
xx
I
x
=
+
∫
Đặt
3
22
3
1 dd
2
u x u u xx=+⇒ =
. Đổi cận:
01xu=⇒=
;
72xu= ⇒=
.
Vậy
(
)
( )
32
22
4
11
1
3 3 141
dd
2 2 20
uu
I u u uu
u
−
= = −=
∫∫
.
Suy ra:
141a =
,
20
b =
.
Vậy
7 1.ab−=
Cách 2: Dùng MTCT
7
3
3
2
0
d 141
7.01
20
1
xx
I
x
= = =
+
∫
.
Suy ra:
141a =
,
20b =
.
Vậy
7 1.ab−=
Câu 30. Giả sử
64
3
1
d2
ln
3
x
I ab
xx
= = +
+
∫
với
,ab
là số nguyên. Tính giá trị
ab−
.
A.
17−
. B.
5
. C.
5−
. D.
17
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
6
xt=
6
xt
⇒=
5
d 6d
x tt⇒=
.
Với
11
xt=⇒=
,
64 2xt= ⇒=
.
Khi đó
( )
22
5
2 32 2
1
32
11
61 2
d 6 1 d 2 3 6 6ln 1 6ln 11
13
t
I t tt t t t t t
tt t

= = −+− = − + − + = +

++

∫∫
.
6a⇒=
,
11b =
.Vậy
5ab−=−
.
Câu 31. Giả sử
2
2
4
1
11
d
xb
x aa b
x c bc
+

= −

+

∫
với
,,abc∈
;
1 ,, 9abc≤≤
. Tính giá trị của biểu
thức
2
ba
ac
C
−
+
.
A.
165
. B.
715
. C.
5456
. D.
35
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
22
2
2
43
11
1
1
1
dd
x
x
Ixx
xx
+
+
= =
∫∫
Đặt
2
23 3
12 1
1 2d d d dt tt x tt x
xx x
= + ⇒ =− ⇒− =
Ta được
5
2
2
23
5
2
2
1
d
3
I tt t=−=
∫
15
22 5
3 53

= −

+

.
Vậy
2a =
,
5b =
,
3c =
, suy ra
3
27
35
ba
ac
CC
−
+
= =
.
Câu 32. Tập hợp nghiệm của bất phương trình
2
0
d0
1
x
t
t
t
>
+
∫
(ẩn
x
) là:
A.
( )
;−∞ +∞
. B.
( )
;0−∞
. C.
( ) { }
; \0−∞ +∞
. D.
( )
0;+∞
.
https://toanmath.com/
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
( )
22 2
22
0
00
11
d 0 d 1 0 1 0 110
2
11
xx
x
t
t tt x
tt
>⇔ + >⇔ + >⇔ +−>
++
∫∫
22
11 0 0x xx
⇔ +>⇔ > ⇔ ≠
Câu 33. Cho biết
7
3
3
2
0
d
1
=
+
∫
xm
x
n
x
với
m
n
là một phân số tối giản. Tính
7mn−
.
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
91
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt
2
3
23 2 2
3d
1 1 3d 2d d
2
tt
t x t x t t xx xx= + ⇒=+ ⇒ = ⇒ =
.
Đổi cận: khi
01xt= ⇒=
; khi
72xt= ⇒=
( )
2
72 2
3 3 2 52
4
3
2
01 1
1
1 3 3 3 141
d .d. d.
2 2 2 5 2 20
1
x t t tt
x t t tt
t
x

−
= = −= − =

+

∫∫ ∫
.
7 141 7.20 1mn⇒− = − =
.
Câu 34. Biết
2
2
1
d 2 35
3 91
x
xab c
xx
=++
+−
∫
với
a
,
b
,
c
là các số hữu tỷ, tính
27Pa bc
=+ +−
.
A.
1
9
−
. B.
86
27
. C.
2−
. D.
67
27
.
19THướng dẫn giải
19TChọn A
19TCách 1: Ta có 19T
2
2
1
d
3 91
x
x
xx
+−
∫
(
)
2
2
1
3 9 1dxx x x= +−
∫
(
)
2
22
1
3 9 1dxxx x=−−
∫
22
22
11
3 d 9 1dxx x x x=−−
∫∫
2
2
32
1
1
9 1dx xx x=+−
∫
2
2
1
7 9 1dxx x=−−
∫
.
Tính
2
2
1
9 1dxx x−
∫
.
Đặt
2
91xt−=
22
91xt⇒ −=
d
d
9
tt
xx⇒=
.
Khi
1x =
thì
22t =
; khi
2x =
thì
35t =
.
Khi đó
2
2
1
9 1dxx x−
∫
35
35
3
22
22
d
9 27
tt t
t= =
∫
35 16
35 2
27 27
= −
.
Vậy
2
2
1
35 16
d 7 35 2
27 27
3 91
x
x
xx
=−+
+−
∫
7a⇒=
,
16
27
b =
,
35
27
c = −
.
19TVậy 19T
27
Pa bc=+ +−
32 35 1
77
27 27 9
=+ − −=−
.
Cách 2:
( )
( )
22
1
2 22
2
11
1
91d 91d91
18
xx x x x−= − −
∫∫
( )
2
3
2
2
1
1
91
27
x= −
35 35 16 2
27 27
= −
https://toanmath.com/
2
2
1
35 16
d 7 35 2
27 27
3 91
x
x
xx
⇒ =−+
+−
∫
7a⇒=
,
16
27
b
=
,
35
27
c
= −
.
19TVậy 19T
27Pa bc=+ +−
32 35 1
77
27 27 9
=+ − −=−
.
Câu 35. Biết
( )
2
1
d
11
x
abc
xx x x
=−−
++ +
∫
với
a
,
b
,
c
là các số nguyên dương. Tính
Pabc
=++
.
A.
44P =
.19T B. 19T
42P =
.19T C. 19T
46P =
.19T D. 19T
48
P =
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
19TĐặt 19T
( )
( )
( )
22
11
dd
11
11
xx
I
xx x x
xx x x
= =
++ +
+ ++
∫∫
.
Đặt
( )
1
1d d
21
xx
txx t x
xx
++
= + +⇒ =
+
( )
dd
2
1
xt
t
xx
⇔=
+
.
Khi
1x =
thì
21t = +
, khi
2
x
=
thì
32t = +
.
( )
( )
32
2 32
2
21
1
21
d d1
22
11
xt
I
tt
xx x x
+
+
+
+
= = = −
+ ++
∫∫
11
2
3 2 21

=−−

++

42 23 2=−−
32 12 4= −−
32a
⇒=
,
12b =
,
4c =
Vậy
48Pabc=++=
Câu 36. Giả sử
a
,
b
,
c
là các số nguyên thỏa mãn
4
2
0
2 41
d
21
xx
x
x
++
+
∫
(
)
3
42
1
1
d
2
au bu c u
= ++
∫
, trong
đó
21ux= +
. Tính giá trị
S abc=++
.
A.
3
S =
. B.
0S =
. C.
1S =
. D.
2S =
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
21ux
= +
2
21
ux⇒=+
2
dd
1
2
uu x
u
x
=
⇒
−
=
Khi đó
4
2
0
2 41
d
21
xx
x
x
++
+
∫
2
22
3
1
11
2 41
22
.d
uu
uu
u

−−
++


=
∫
( )
3
42
1
1
2 1 .d
2
uu u= +−
∫
Vậy
S abc=++
1212=+−=
.
Câu 37. Tích phân
1
23
2
0
1
a x ax
I dx
ax
+
=
+
∫
, với
0a ≥
có giá trị là:
A.
( )
2
4
aa
I
−
=
. B.
( )
2
2
aa
I
−
=
. C.
( )
2
4
aa
I
+
=
. D.
( )
2
2
aa
I
+
=
.
Hướng dẫn giải
Tích phân
1
23
2
0
1
a x ax
I dx
ax
+
=
+
∫
, với
0a ≥
có giá trị là:
https://toanmath.com/
Ta biến đổi:
(
)
(
)
2
11 1
23
2
22
00 0
1
1
11
ax ax
a x ax
I dx dx ax ax dx
ax ax
+
+
= = = +
++
∫∫ ∫
.
Ta nhận thấy:
(
)
2
1' 2ax ax+=
. Ta dùng đổi biến số.
Đặt
2
12t ax dt axdx= +⇒ =
.
Đổi cận
01
11
xt
x ta
=⇒=
=⇒= +
.
(
)
1
1
2
1
1
11 1
2
24 4
a
a
I tdt t a a
+
+

= = = +


∫
.
Chọn C
Câu 38. Tích phân
3
2
0
1
9
I dx
x
=
+
∫
có giá trị là:
A.
3 23
ln
3
I
+
= −
. B.
3 23
ln
3
I
−+
= −
. C.
3 23
ln
3
I
+
=
. D.
3 23
ln
3
I
−+
=
.
Hướng dẫn giải
Tích phân
3
2
0
1
9
I dx
x
=
+
∫
có giá trị là:
Đặt
2
2
2 22 2
9
91
9 99 9
x x x udx du dx
u x x du dx dx
u
x xx x

++
=+ +⇒ = + = = ⇒ =

+ ++ +

.
Đổi cận
03
3 3 32
xu
xu
=⇒=
=⇒=+
.
( )
( )
332
332
3
3
ln ln 1 2
du
Iu
u
+
+
⇒= = = +
∫
.
Chọn C
Câu 39. Tích phân
1
2
0
3 12
a
I dx
x
=
+
∫
có giá trị là:
A.
15
ln
2
3
a
I
−
=
. B.
15
ln
2
3
a
I
+
= −
.
C.
15
ln
2
3
a
I
−
= −
. D.
15
ln
2
3
a
I
+
=
.
Hướng dẫn giải
Tích phân
1
2
0
3 12
a
I dx
x
=
+
∫
có giá trị là:
Ta có:
11
22
00
1
3
3 12 4
aa
I dx dx
xx
= =
++
∫∫
.
Đặt
2
2
22
4
4
44
x x du dx
u x x du dx
u
xx
++
=+ +⇒ = ⇒ =
++
.
( )
15
15
2
2
1 15
ln ln
2
33 3
aa a
I du u
u
+
+
+
= = =
∫
.
https://toanmath.com/
Chọn D
Câu 40. Tích phân
2
2
1
2
231
4
ax
I dx
ax x
−
= = −
−
∫
. Giá trị nguyên của a là:
A.
5
a =
. B.
6
a
=
. C.
7a =
. D.
8
a
=
.
Hướng dẫn giải
Tích phân
2
2
1
2
231
4
ax
I dx
ax x
−
= = −
−
∫
. Giá trị của a là:
Ta có:
(
)
( )
2
4'2 42 2
ax x ax ax
− = −= −
.
2
2
1
12 4
2
4
ax
I dx
ax x
−
⇒=
−
∫
.
Đặt
(
)
2
4 24t ax x dt ax dx= −⇒= −
.
Đổi cận
2 48
14
x ta
x ta
= ⇒= −
=⇒= −
.
( )
48
48
4
4
11
48 4
2
a
a
a
a
I dt t a a
t
−
−
−
−
= = = −− −
∫
Theo đề bài:
2 3 1 4 8 4 2 3 1 ..... 5I aa a= −⇔ − − − = −⇔ ⇔ =
.
Câu 41. Cho
2
2
1
12
ln
1
1
a
dx
b
x
+
=
+
+
∫
,a và b là các số hữu tỉ. Giá trị
a
b
là:
A.
2
5
. B.
5
2
. C.
2
3
. D.
3
2
.
Hướng dẫn giải
Cho
2
2
1
1
ln
1
a
dx
b
x
=
+
∫
. Giá trị
a
b
là:
Ta đặt:
2
2
1
1
dt dx
tx x
t
x
=+ +⇒ =
+
.
Đổi cận
1 12
2 25
xt
xt
=⇒=+
= ⇒=+
.
( )
25
25
12
12
25
ln ln
12
dt
t
t
+
+
+
+
+
=
+
∫
.
Chọn B
Câu 42. Tích phân
3
7
5
3
3
0
3
8
x
I dx
x
=
−
∫
có gái trị là:
A.
87
5
I =
. B.
67
5
I =
. C.
77
5
I =
. D.
57
5
I =
.
Hướng dẫn giải
Tích phân
3
7
5
3
3
0
3
8
x
I dx
x
=
−
∫
có gái trị là:
Cách 1: Ta nhận thấy:
( )
32
8 '3
xx−=−
. Ta dùng đổi biến số.
Đặt
32
83t x dt x dx=−⇒=−
.
https://toanmath.com/
Đổi cận
3
08
71
xt
xt
=⇒=
= ⇒=
.
Ta có:
( )
33 3
2
777
5 23
33 3
33 3
000
38
3 3.
88 8
xt
x xx
I dx dx dx
xx x
−−
−
==−=−
−− −
∫∫∫
1
11
2 1 52
3 3 33
3
88
8
8 3 87
8. 12
55
t
I dt t t dt t t
t
−

−
⇒= = − = − =


∫∫
.
Chọn A
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay, tuy nhiên chờ máy giải cũng khá mất thời gian.
Câu 43. Biết
( )
4
0
2 1d 5
ln 2 ln , ,
3
2 32 1 3
xx
a b c abc
xx
+
=++ ∈
+ ++
∫
. Tính
2T abc
= ++
.
A.
4
T =
. B.
2T =
. C.
1T =
. D.
3T
=
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
(
)
( )
(
)
(
)
( )
( )
44 4
00 0
2211 212d
2 1d 2 1d
2 32 1 3
211212 211 212
x xx
xx xx
I
xx
xx xx
++ − ++
++
= = =
+ ++
++ ++ ++ ++
∫∫ ∫
( ) (
)
44
00
2d d
212 211
xx
xx
= −
++ ++
∫∫
.
Đặt
21 d du x uu x= +⇒ =
. Với
01xu=⇒=
, với
43xu=⇒=
.
Suy ra
.3 .3 .3 .3
1 11 1
2d d 4 1
2 d1 d
21 2 1
uu uu
I uu
uu u u

= − = − −−

++ + +

∫∫∫ ∫
( )
3
5
4ln 2 ln 1 2 4ln ln 2
1
3
uu u= − ++ + =− +
2
a⇒=
,
1b
=
,
1
c =
2.1 1 4 1T⇒ = +− =
.
Câu 44. Biết
( )
3
2
1
d1
3 2 ln 3 2 3
2
11
x
abc
xx
= + ++ −
++ +
∫
với
a
,
b
,
c
là các số hữu tỷ. Tính
Pabc=++
.
A.
1
2
P =
. B.
1P = −
.
C.
1
2
P = −
. D.
5
2
P =
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
(
)
2
33
2
11
1 1d
d
2
11
x xx
x
x
xx
+− +
=
++ +
∫∫
3
3
2
2
1
1
1 1 1d
ln
22 2
x xx
xx
x
+

=+−


∫
.
1 31
ln 3
22
I
−
= +−
Xét
3
2
2
1
1d
2
x xx
I
x
+
=
∫
Đặt
2
1 ddt x tt xx=+⇒=
( )
2
2
2
2
d
21
tt
I
t
=
−
∫
2
2
11 11
d
22 11
tt
tt


=+−


−+



∫
2
2
11 1
ln
22 1
t
t
t
−

= +

+

https://toanmath.com/
1 1 1 1 21
2 2 ln ln
2 2 32
21

−
= −+ −

+

( )
2
1 11
2 2 ln 3 ln 2 1
2 22

= −− − −


( )
1
2 2 ln 3 ln 2 1
2

= −− − −

Vậy
2
2
1
d
11
x
xx++ +
∫
(
)
1 311
ln 3 2 2 ln 3 ln 2 1
2 22
−

= + − −− − −

(
)
1 1 31
3 2 ln 3 2 3
2 2 22
= + −+ −
Vậy
1
2
Pabc=++=−
.
Câu 45. 19TBiết rằng 19T20T
1
2
0
d2
2ln
1
43
xa
b
xx

+
=


+
++

∫
19T20T với 19T
a
19T, 19T
b
19T là các số nguyên dương. Giá trị của 19T
ab+
19T
bằng
19TA.19T
3
. 19TB.19T
5
. 19TC.19T
9
. 19TD.19T
7
.
Hướng dẫn giải
19TChọn B
19TTa có 19T
(
)( )
11
2
00
dd
13
43
xx
xx
xx
=
++
++
∫∫
19TĐặt 19T
31tx x= ++ +
11 1
dd
2
31
tx
xx

⇒= +

++

( )(
)
11 3
d
2
13
xx
t
xx

++ +

⇔=

++

( )
( )
1
dd
2
13
t
tx
xx


⇔=

++

( )( )
2d d
13
tx
t
xx
⇔=
++
19T.
Khi
0x =
thì
13
t
= +
; khi
1x =
thì
22t
= +
.
1 22
2
0
13
dd
2
43
xt
t
xx
+
+
=
++
∫∫
22
13
2ln t
+
+
=
22
2ln
13
+
=
+
2
3
a
b
=
⇒
=
5ab⇒+=
.
Câu 46. Biết
2
3
33
2 8 11
1
1 11
2d
a
x xc
x xx b

−+ − =



∫
, với
,,abc
nguyên dương,
a
b
tối giản và
<ca
. Tính
=++S abc
A.
51=S
. B.
67=S
. C.
39=S
. D.
75=S
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
2
33
2 8 11
1
1 11
2dxx
x xx

−+ −



∫
2
3
23
1
12
1dxx
xx

=−+


∫
.
Đặt
3
3
22
11
t x tx
xx
= − ⇒=−
2
3
2
3d 1 d
tt x
x

⇒=+


.
Khi đó:
2
33
2 8 11
1
1 11
2dxx
x xx

−+ −



∫
3
7
4
3
0
3dtt=
∫
3
7
4
4
3
0
3 21
14
4 32
t= =
.
Vậy
67=S
.
https://toanmath.com/
Câu 47. Cho số thực dương
0k >
thỏa
(
)
2
2
0
ln 2 5
dx
xk
= +
+
∫
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
3
2
k
>
. B.
1
0
2
k<≤
. C.
1
1
2
k
<≤
. D.
3
1
2
k
<≤
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
(
)
2
lnt x xk= ++
2
2
1
x
xk
dt dx
x xk
+
+
⇒=
++
2
1
dt dx
xk
⇔=
+
Ta có
22
2
00
dx
dt
xk
=
+
∫∫
2
0
t
=
(
)
( )
2
2
0
ln ln 2 5x xk⇔ ++= +
( ) ( )
ln 2 4 ln ln 2 5kk⇔ + +− = +
( )
24
ln ln 2 5
k
k
++
⇔=+
24
25
k
k
++
⇔=+
(
)
24 25kk⇔+ += +
( )
2
4 4 44 2 5kk k⇔+++ + = +
( )
4 25 2kk⇔ += + −
(
)
(
)
2
2
2
25
4 25 4425
k
kk k
>
+
⇔
+= + +− +
( )
( )
2
2
2
25
2 5 9 45 0
k
kk
>
+
⇔
+ −+ =
2
25
0
1
k
k
k
>
+
⇔
=
=
https://toanmath.com/
HÀM LƯỢNG GIÁC
Câu 48. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau
A.
( )
11
00
sin 1 d sin dx x xx
−=
∫∫
. B.
( )
11
00
cos 1 d cos dx x xx−=−
∫∫
.
C.
2
00
cos d cos d
2
x
x xx
π
π
=
∫∫
. D.
2
00
sin d sin d
2
x
x xx
π
π
=
∫∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Xét tích phân
( )
1
0
sin 1 d
xx−
∫
Đặt
1 ddxt x t−=⇒ =−
. Khi
01xt= ⇒=
; Khi
10xt=⇒=
.
Do đó
( )
1
0
sin 1 dxx−
∫
( )
0
1
sin dtt
= −
∫
1
0
sin dtt
=
∫
1
0
sin d
xx=
∫
.
Câu 49. Tính47T tích phân 47T
π
3
3
0
sin
d
cos
x
Ix
x
=
∫
47T.
A.
5
2
I =
. B.
3
2
I =
. C.
π9
3 20
I = +
. D.
9
4
I =
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt
costx=
d sin dt xx⇒=−
.
Đổi cận:
0x
=
1t⇒=
;
π1
32
xt
= ⇒=
.
Khi đó:
1
2
3
1
1
d
It
t
−
=
∫
1
3
1
2
1
dt
t
=
∫
1
2
1
2
1
2t
−
=
13
2
22
=−+=
.
Câu 50. Cho
3
2
0
sin tan ln
8
b
I x xdx a
π
= = −
∫
. Chọn mệnh đề đúng:
A.
4ab+=
B.
2ab−=
C.
6ab =
D.
4
b
a =
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
cos sinu x du xdx= ⇒− =
Đổi cận
1
3
2
1
0
x
u
u
x
π
=
=
⇒
=
=
(
)
( )
1
1
2
1
2
2
1
1
1
2
2
1
13
ln ln 2
28
u du
u
I u du u
uu
−−


= =−=−=−




∫∫
https://toanmath.com/
Câu 51. Biết rằng
0
1
4
1
1 cos 2
I dx a
x
π
−
= =
+
∫
và
0
3
3
1
3
22
4
I x dx b
−
= += −
∫
, a và b là các số hữu tỉ.
Thương số giữa a và b có giá trị là:
A.
1
2
. B.
1
3
. C.
3
4
. D.
2
3
.
Hướng dẫn giải
Biết rằng
0
1
4
1
1 cos 2
I dx a
x
π
−
= =
+
∫
và
0
3
3
1
3
22
4
I x dx b
−
= += −
∫
. Thương số giữa a và b có giá
trị là:
Ta có:
00 0
1
2
1
44
1 11 1 1
...
1 cos 2 2 cos 2 2
I dx dx tdt
xx
ππ
−
−−
= = = = =
+
∫∫ ∫
, với
tantx=
.
( )
0
0
4
3
3
3
1
1
3 33
2 22
4 24
I x dx x
−
−

= += + = −


∫
.
13 1
,
22 3
a
ab
b
⇒= =⇒ =
.
Chọn B
Câu 52. Cho
a
0
cos2x 1
I dx ln 3
1 2sin 2x 4
π
= =
+
∫
. Tìm giá trị của a là:
A. 3 B. 2 C. 4 D. 6
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
12 2t sin x= +
đưa đến I =
∫
+
a
t
dt
π
2
sin21
1
4
1
=
4
1
lnt|
a/2sin21
1
π
+
=
4
1
ln3
suy ra
1 2 2/ 3sin a+=
suy ra a = 4.
Câu 53. Biết
( )
4
2
1
0
1 tanI x dx a
π
=+=
∫
và
( )
1
1
1
23
3
2
0
0
I x x dx bx cx

=+=+


∫
, a và b là các số hữu tỉ. Giá
trị của a + b + c là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Hướng dẫn giải
Biết
( )
4
2
1
0
1 tanI x dx a
π
=+=
∫
và
( )
1
1
1
23
3
2
0
0
I x x dx bx cx

=+=+


∫
. Giá trị của a + b + c là:
Ta có:
( )
1
44
2
1
2
0 00
1
1 tan ... 1
cos
I x dx dx tdt
x
ππ
=+= ===
∫∫∫
, với
tantx=
.
( )
1
1
1
23
3
2
0
0
12
33
I x x dx x x

=+=+


∫
.
12
1, , 2
33
a b c abc⇒ = = = ⇒++=
.
https://toanmath.com/
Chọn B
Câu 54. Tích phân
3
0
sin 2
cos cos3
x
I dx
xx
π
=
+
∫
có giá trị là:
A.
1 22 21
ln ln
22 2 2 2 1
I

−−
= +


++

. B.
1 22 21
ln ln
22 2 2 21
I

−+
= −


+−

.
C.
1 22 21
ln ln
22 2 2 21
I

−−
= −


++

. D.
1 22 21
ln ln
22 2 2 2 1
I

+−
= −


−+

.
Hướng dẫn giải
Tích phân
3
0
sin 2
cos cos3
x
I dx
xx
π
=
+
∫
có giá trị là:
Ta biến đổi:
1
2
3 33
2
0 00
1
sin 2 sin sin 1 2 1
... ln
cos cos3 cos 2 2cos 1
22 2 1
1 22 21
ln ln
22 2 2 2 1
x xx t
I dxI dx dx
xx x x
t
π ππ

−
= = = = =


+−
+


−−
= −


++

∫ ∫∫
,
với
costx=
.
Chọn C
Câu 55. Tích phân
2
2
4
2 cos
sin
xx
I dx
xx
π
π
+
=
+
∫
có giá trị là:
A.
22
2
ln 1 ln
4 16 2
I
ππ


= −− +





. B.
22
2
ln 1 ln
4 16 2
I
ππ


= +− +





.
C.
22
2
ln 1 ln
4 16 2
I
ππ


= −+ +





. D.
22
2
ln 1 ln
4 16 2
I
ππ


= ++ +





.
Hướng dẫn giải
Tích phân
2
2
4
2 cos
sin
xx
I dx
xx
π
π
+
=
+
∫
có giá trị là:
Ta có:
2
2
1
22
24
2
2
4
16 2
2 cos 1 2
... ln 1 ln
sin 4 16 2
xx
I dx dt
xx t
ππ
π
π
ππ
+
+


+
= == = +− +



+


∫∫
, với
2
sintx x
= +
.
Chọn B
Câu 56. Cho
( )
4
0
sin 2 ln tan 1 dx xx
π
+
∫
ln 2ab c
π
=++
với
a
,
b
,
c
là các số hữu tỉ. Tính
11
Tc
ab
=+−
.
A.
2T =
. B.
4T =
. C.
6T =
. D.
4T
= −
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
https://toanmath.com/
Ta có
( )
4
0
sin 2 ln tan 1 dx xx
π
+
∫
(
) (
)
4
0
1
ln tan 1 d cos2
2
xx
π
=−+
∫
( )
( )
4
4
0
0
11
cos2 ln tan 1 cos2 d ln tan 1
22
xx x x
π
π

=− ++ +

∫
4
2
0
1 11
cos2 . . d
2 tan 1 cos
xx
xx
π
=
+
∫
22
4
2
0
1 cos sin 1
.d
sin cos
2 cos
cos
xx
x
xx
x
x
π
−
=
+
∫
4
0
1 sin
1d
2 cos
x
x
x
π

= −


∫
( )
4
4
0
0
1 11
d cos
2 2 cos
xx
x
π
π
= +
∫
4
0
1
ln cos
82
x
π
π
= +
11
ln 2
84
= π−
8404T⇒ =−+=
.
Câu 57. Xét tích phân
2
0
sin 2
d
1 cos
x
Ix
x
π
=
+
∫
. Nếu đặt
1 costx= +
, khẳng định nào dưới đây là đúng?
A.
1
3
2
d .
44
tt
It
t
−
=
∫
B.
1
3
2
d .
44tt
It
t
−+
=
∫
C.
( )
2
2
1
41.dI tt= −
∫
D.
(
)
2
2
1
4 1d.I tt=−−
∫
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
sin sin
1 cos d d d 2d
2 1 cos 1 cos
xx
t xt x x t
xx
−
=+ ⇒= ⇒ =−
++
22
1 cos cos 1t x xt
⇒=+ ⇒ =−
Đổi cận
0 2; 1.
2
xtx t
= ⇒= = ⇒=
π
22
00
sin 2 d 2cos sin d
1 cos 1 cos
xx x xx
I
xx
ππ
⇒= =
++
∫∫
1 12
2 22
1
22
2( 1)( 2)d 4 ( 1)d 4 ( 1)d .t t tt tt= −− =− − = −
∫ ∫∫
Câu 58. Cho
( )
6
0
1
sin .cos d
64
n
x xx n= ∈
∫
π
. Tìm giá trị
n
.
A.
3n =
. B.
4n =
. C.
5n =
. D.
6n =
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
[Phương pháp tự luận]
Đặt
sin d cos dt x t xx= ⇒=
. Với
00xt
=⇒=
;
1
62
xt
π
= ⇒=
.
Vậy
6
0
1
sin . osxd
64
n
xc x
π
=
∫
1
1
1
1
2
2
0
0
11 1
dt | .
1 1 2 64
n
n
n
t
t
nn
+
+


⇔= = =


++


∫
11
2 32
n
n
+

⇔=


( )
1
https://toanmath.com/
Phương trình
( )
1
là phương trình hoành độ giao điểm của
1
2
n
y

=


là một hàm số giảm trên
và
11
0
32 32
n
yy
+

′
= = >


là một hàm số tăng trên
.
Vậy phương trình
( )
1
có tối đa 1 nghiệm.
Với
3n =
thay vào phương trình
( )
1
ta được:
3
1 31
2 32
+

=


( đúng).
Vậy
3n =
là nghiệm duy nhất của phương trình
( )
1
.
[Phương pháp trắc nghiệm]
Thay
3n =
vào bấm máy tính:
6
3
0
1
sin .cos d
64
x xx
π
=
∫
. Ta chọn đáp ánA.
Câu 59. Cho tích phân
2
3
sin
d ln 5 ln 2
cos 2
x
xa b
x
π
π
= +
+
∫
với
,.ab∈
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2 0.
ab
+=
B.
2 0.
ab−=
C.
2 0.ab−=
D.
2 0.ab+=
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt
cos 2
tx= +
d sin dt xx⇒=−
Đổi cận
5
32
xt
π
= ⇒=
,
2
2
xt
π
= ⇒=
2
3
sin
d
cos 2
x
x
x
π
π
+
∫
2
5
2
1
dt
t
= −
∫
5
2
2
1
d
t
t
=
∫
5
2
2
lnt=
5
ln ln 2
2
= −
ln5 2ln 2= −
Vậy ta được
1; 2ab= = −
.
Câu 60. Tích phân
( )
2
3
cos sin
cos 1 cos
x
xx
I dx
ex x
π
π
−
=
+
∫
có giá trị là:
A.
33
2
3
2
ln
2
ee
I
e
ππ
π

+


=
−
. B.
33
2
3
2
ln
2
ee
I
e
ππ
π

−


=
−
.
C.
33
2
3
2
ln
2
ee
I
e
ππ
π

+


=
+
. D.
33
2
3
2
ln
2
ee
I
e
ππ
π

−


=
+
.
Hướng dẫn giải
Tích phân
( )
2
3
3
cos sin
cos 1 cos
x
xx
I dx
ex x
π
π
−
=
+
∫
có giá trị là:
https://toanmath.com/
Ta biến đổi:
( )
( )
2
3
. cos sin
cos 1 cos
x
xx
e xx
I dx
exex
π
π
−
=
+
∫
.
Đặt
( )
cos cos sin
xx
t e x dt e x x dx= ⇒= −
.
Đổi cận
3
2
3
1
32
21
32
x te
x te
π
π
π
π
= ⇒=
= ⇒=−
.
( )
2
2
3
3
3
3
1
33
2
1
2
33
2
22
1
33 3
1
2
2
2
1
ln ln ln ln
11
22 2
e
e
e
e
ee
t ee
I dt
tt t
ee e
π
π
π
π
ππ
ππ
ππ π
−
−

+



= = = −=

++

−+ −
∫
.
Chọn A
Câu 61. Tích phân
3
6
3
sin
cos
x
I dx
x
π
π
=
∫
có giá trị là:
A.
19 17 3
2
I
+
=
. B.
4
19 17 3
2
I
+
=
. C.
19 17 3
2
I
−+
=
. D.
4
19 17 3
2
I
−
=
.
Hướng dẫn giải
Tích phân
3
6
3
sin
cos
x
I dx
x
π
π
=
∫
có giá trị là:
Ta nhận thấy:
( )
cos ' sinxx= −
. T dùng đổi biến số.
Đặt
cos sin
t x dt xdx
= ⇒=−
.
Đổi cận
1
32
3
62
xt
xt
π
π
= ⇒=
= ⇒=
.
( )
2
3
22
33
3
33
2
31 5 1
2
22
4
22 2 2
11
1
22
2
1 cos sin
sin
cos cos
1 2 19 17 3
2
5
2
xx
x
I dx dx
xx
t
I dt t t dx t t
t
ππ
ππ
−
−
= =

−−
⇒= = − = − =


∫∫
∫∫
Chọn D
Câu 62. Tích phân
( )
3
2
3
sin
cos 3sin
x
I dx
xx
π
π
−
=
+
∫
có gái trị là:
https://toanmath.com/
A.
3 32 3
ln
16 8
32
I

+
= +


−+

. B.
3 32 3
ln
88
32
I

+
= +


−+

.
C.
3 32 3
ln
88
32
I

+
=−+


−+

. D.
3 32 3
ln
16 8
32
I

+
=−+


−+

.
Hướng dẫn giải
Tích phân
( )
3
2
3
sin
cos 3sin
x
I dx
xx
π
π
−
=
+
∫
có gái trị là:
Ta có:
( )
33 3
2 22
33 3
sin sin sin
13
cos 3sin
4 sin
4 cos sin
6
22
xxx
I dx dxI dx
xx
x
xx
ππ π
ππ π
π
−− −
= = =


+
+
+






∫∫ ∫
.
Đặt
66
u x x u dx du
ππ
=+ ⇒=− ⇒ =
.
Đổi cận
36
32
xu
xu
ππ
ππ
=− ⇒=−
= ⇒=
22 2
22 2
66 6
22
22
66
sin
sin .cos sin cos
1 3.sin cos
6
66
4sin 4sin 8 sin
1 3sin cos
8 1 cos sin
u
uu
uu
I du du du
uu u
uu
du du
uu
ππ π
ππ π
ππ
ππ
π
ππ
−− −
−−

−
−

−

= = =


= −

−


∫∫ ∫
∫∫
Xét
2
1
2
6
3sin
1 cos
u
I du
u
π
π
−
=
−
∫
.
Đặt
[ ]
cos , 0; sint u u dt udu
π
= ∈ ⇒=−
.
Đổi cận
3
62
0
2
ut
ut
π
π
=− ⇒=
= ⇒=
.
0
00
1
2
3
33
2
22
3 3 1 1 3 1 3 32
n ln
1 211 2 1 2
32
dt t
I dt l
t tt t

+ +

⇒= = + = =−




− −+ −
−+



∫∫
.
Xét
2
2
2
6
cos
sin
u
I du
u
π
π
−
=
∫
.
https://toanmath.com/
Đặt
sin , ; cos
22
t u u dt udu
ππ

= ∈− ⇒ =


.
Đổi cận
1
62
1
2
ut
ut
π
π
=− ⇒=−
= ⇒=
.
1
1
2
2
1
1
2
2
11
3I du
tt
−
−

= =−=−


∫
.
(
)
12
1 3 32 3
ln
8 16 8
32
I II

+
⇒= − =− +


−+

.
Chọn D
Câu 63. Tích phân
4
22
0
1
9cos sin
I dx
xx
π
=
−
∫
có giá trị là:
A.
1
ln 2
3
I
=
. B.
1
ln 2
2
I =
. C.
1
ln 2
6
I
=
. D.
ln 2I =
.
Hướng dẫn giải
Tích phân
4
22
0
1
9cos sin
I dx
xx
π
=
−
∫
có giá trị là:
Ta biến đổi:
( )
44
22
22
00
11
9cos sin
cos 9 tan
I dx dx
xx
xx
ππ
= =
−
−
∫∫
.
Nhận thấy:
( )
2
1
tan '
cos
x
x
=
. Ta dùng đổi biến số.
Đặt
2
1
tan
cos
t x dt dx
x
= ⇒=
.
Đổi cận
00
1
4
xt
xt
π
=⇒=
= ⇒=
.
1
11
2
00
0
1 1 1 1 13 1
ln ln 2
9 63 3 63 6
t
I dt dt
t tt t
+

= = += =


− −+ −


∫∫
.
Chọn C
Câu 64. Tích phân
( )
2
0
sin cos 1 3
13
sin cos
a
xx
I dx
xx
++
= =
−
−
∫
. Giá trị của alà:
A.
2
a
π
= −
. B.
4
a
π
= −
. C.
3
a
π
=
. D.
6
a
π
=
.
Hướng dẫn giải
Tích phân
( )
2
0
sin cos 1 3
13
sin cos
a
xx
I dx
xx
++
= =
−
−
∫
. Giá trị của alà:
Ta có:
( )
sin cos
2
0
1
sin cos 1 1
1, sin cos
cos sin
sin cos
aa
a
xx
I dx t x x
t aa
xx
−
−
+

= =− = −= −

−

−
∫
.
https://toanmath.com/
Theo đề bài, ta có:
1 13
1
cos sin 3
13
casio
a
aa
π
+
− = → =
−
−
.
Chọn C
Câu 65. Tích phân
2
3
sin
sin cos
x
I dx
xx
π
π
=
+
∫
có giá trị là:
A.
( )
ln 3 1
12
I
π
=++
. B.
31
ln
12 4
I
π
+
= +
.
C.
31
ln
2
12 2
I
π

+


= −
.
D.
31
ln
12 2
I
π
+
= +
.
Hướng dẫn giải
Tích phân
2
3
sin
sin cos
x
I dx
xx
π
π
=
+
∫
có giá trị là:
Xét
2
1
3
cos
sin cos
x
I dx
xx
π
π
=
+
∫
Ta có:
2
21
23
3
1
31
13
22
13
ln
2
, sin cos
2 12 2
1
I I I dx
II
I txx
I I I dt
t
π
π
π
+
=+=
+
−
⇒= = − = +
= −=
∫
∫
.
Chọn C
Câu 66. Cho biết
4
0
cos
ln 2
sin cos
x
dx a b
xx
π
π
= +
+
∫
với
a
và
b
là các số hữu tỉ. Khi đó
a
b
bằng:
A.
1
4
. B.
3
8
. C.
1
2
. D.
3
4
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Xét
4
1
0
cos
sin cos
x
I dx
xx
π
=
+
∫
;
4
2
0
sin
sin cos
x
I dx
xx
π
=
+
∫
4
12
0
4
I I dx
π
π
⇒+= =
∫
;
4
44
12
00
0
cos sinx (sin cos ) 1
ln(sin cos ) ln 2
sin cos sin cos 2
x dx x
I I dx x x
xx xx
π
ππ
−+
−= = = + =
++
∫∫
1
I⇒=
1
ln 2
84
π
+
11
;
84
ab⇒= =⇒
1
2
a
b
=
.
https://toanmath.com/
Cách giải khác:Đặt
4
xt
π
= −
Câu 67. Biết
2018
2018 2018
0
sin
d
sin cos
a
xx
x
x xb
π
π
=
+
∫
trong đó
a
,
b
là các số nguyên dương. Tính
2P ab= +
.
A.
8P =
. B.
10P =
. C..
6P =
. D.
12P =
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Xét tích phân
2018
2018 2018
0
sin
d
sin cos
xx
Ix
xx
π
=
+
∫
.
Đặt
dd
x tx t
π
= −⇒ =−
.
Khi
0
x =
thì
t
π
=
.
Khi
x
π
=
thì
0
t
=
.
Ta có
( ) ( )
(
) (
)
2018
0
2018 2018
sin
d
sin cos
tt
It
tt
π
ππ
ππ
−−
= −
−+ −
∫
( )
2018
2018 2018
0
sin
d
sin cos
xx
x
xx
π
π
−
=
+
∫
2018 2018
2018 2018 2018 2018
00
sin sin
dd
sin cos sin cos
x xx
xx
xx xx
ππ
π
= −
++
∫∫
2018
2018 2018
0
sin
d
sin cos
x
xI
xx
π
π
= −
+
∫
.
Suy ra
2018
2018 2018
0
sin
d
2 sin cos
x
Ix
xx
π
π
=
+
∫
.
Xét tích phân
2018
2018 2018
2
sin
d
sin cos
x
Jx
xx
π
π
=
+
∫
.
Đặt
dd
2
x ux u
π
= −⇒ =−
.
Khi
2
x
π
=
thì
0u
=
.
Khi
x
π
=
thì
2
t
π
= −
.
Nên
2018
2
2018 2018
0
sin
2
d
sin cos
22
u
Ju
uu
π
π
ππ
−

−


= −
 
−+ −
 
 
∫
0
2018
2018 2018
2
cos
d
sin cos
x
x
xx
π
−
=
+
∫
.
Vì hàm số
( )
2018
2018 2018
cos
sin cos
x
fx
xx
=
+
là hàm số chẵn nên:
0
2018 2018
2
2018 2018 2018 2018
0
2
cos cos
dd
sin cos sin cos
xx
xx
xx xx
π
π
−
=
++
∫∫
Từ đó ta có:
2018
2018 2018
0
sin
d
2 sin cos
x
Ix
xx
π
π
=
+
∫
2018 2018
2
2018 2018 2018 2018
0
2
sin sin
dd
2 sin cos sin cos
xx
xx
xx xx
π
π
π
π


= +

++


∫∫
https://toanmath.com/
2018 2018
22
2018 2018 2018 2018
00
sin cos
dd
2 sin cos sin cos
xx
xx
xx xx
ππ
π


= +

++


∫∫
2018 2018 2
22
2018 2018
00
sin cos
dd
2 sin cos 2 4
xx
xx
xx
ππ
π ππ
+
= = =
+
∫∫
.
Như vậy
2a =
,
4b
=
. Do đó
2 2.2 4 8
P ab
= += +=
.
Câu 68. Cho tích phân
2
0
sin
12cos
xdx
I
x
π
αα
=
−+
∫
(với
1
α
>
) thì giá trị của
I
bằng:
A. 2. B.
2
α
. C.
2
α
. D.
2
α
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt
22 2
1 2 cos 1 2 cos d sin d
t
t x t x t xx
αα αα
α
=−+⇒=−+⇒=
Vậy
1
1
1
1
1d1 2
.
tt
It
t
α
α
α
α
α αα
+
+
−
−
= = =
∫
Câu 69. Có bao nhiêu giá trị của tham số
m
trong khoảng
( )
0;6π
thỏa mãn
0
sin 1
d
5 4cos 2
m
x
x
x
=
+
∫
?
A.
6
. B.
12
. C.
8
. D.
4
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
(
)
00
1 sin 1
d d cos
2 5 4cos 5 4cos
mm
x
xx
xx
= = −
++
∫∫
( )
0
0
11 1
d 5 4cos ln 5 4cos
4 5 4cos 4
m
m
xx
x
=− + =−+
+
∫
.
Mà
( )
0
1 1 1 5 4cos
5 4cos 5 4 0 ln 5 4cos ln
24 4 9
m
m
xx
+
+ ≥−>⇒ =− + =−
2
2
5 4cos 5 4cos 9e 5
ln 2 e cos
99 4
mm
m
−
−
++ −
⇒ =−⇔ = ⇔ =
2
9e 5
arccos 2
4
mk
−
−
⇔=± +π
( )
k ∈
.
Theo đề bài
( )
( )
( )
2
2
0
9e 5
arccos 2 0;6 1
4
2
0;6
1
9e 5
arccos 2 0;6 2
4
3
k
kk
k
m
k
kk
k
−
−
=
−
+ π∈ π ⇒ =
=
∈ π⇒
=
−
− + π∈ π ⇒ =
=
.
Với mỗi giá trị
k
trong hai trường hợp trên ta được một giá trị
m
thỏa mãn.
Vậy có
6
giá trị của
m
thỏa mãn bài toán.
https://toanmath.com/
Câu 70. Cho
2
2
0
cos 4
d ln ,
sin 5sin 6
x
xa b
xx c
π
= +
−+
∫
tính tổng
S abc=++
.
A.
1
S =
. B.
4S =
. C.
3S =
. D.
0S =
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt
sin d cos d
t x t xx= ⇒=
.
00xt=⇒=
,
1
2
xt
π
= ⇒=
.
2
2
0
cos
d
sin 5sin 6
x
x
xx
π
−+
∫
1
2
0
1
dt
56tt
=
−+
∫
1
0
11
dt
32
tt

= −

−−

∫
1
0
3
ln
2
t
t
−
=
−
3
ln 2 ln
2
= −
4
ln
3
=
1, b 0, 3ac⇒= = =
4S abc⇒ =++=
.
Câu 71. Cho tích phân
( )
2
2
2
0
2 cos cos 1 sin
d ln
cos
x x xx x
c
I xa b
xx
π
π
π
+ + +−
= = +−
+
∫
với
a
,
b
,
c
là các số
hữu tỉ. Tính giá trị của biểu thức
3
.P ac b= +
A.
3P =
. B.
5
4
P =
. C.
3
2
P =
. D.
2P =
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
( )
2
2
0
2 cos cos 1 sin
d
cos
x x xx x
Ix
xx
π
+ + +−
=
+
∫
(
)
2
2
0
cos 1 sin
d
cos
xx x
x
xx
π
+ +−
=
+
∫
2
0
1 sin
cos d
cos
x
xx x
xx
π
−

=++

+

∫
2
2
0
sin ln cos
2
x
xx x
π

=+ ++


2
1 ln
82
ππ
++=
2
2
1 ln
8
π
π
+= −
1
8
a⇒=
,
1
b =
,
2c =
.
3
P ac b= +
1
.8 1
8
= +
2
=
.
47TCâu 72. Cho 47T
( )
2
2
0
sin 4
d ln
cos 5cos 6
x
xa b
c
xx
π
= +
−+
∫
47T, với 47T
a
47T, 47T
b
47T là các số hữu tỉ, 47T
0c >
47T. Tính tổng 47T
S abc
=++
47T.
A.
3S =
. B.
0S =
. C.
1
S =
. D.
4S =
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt
costx=
d sin dt xx⇒=−
.
Đổi cận:
0x =
1t
⇒=
;
2
x
π
=
0t⇒=
Ta có:
( )
2
2
0
sin
d
cos 5cos 6
x
x
xx
π
−+
∫
0
2
1
1
d
56
t
tt
= −
−+
∫
1
0
11
d
32
t
tt

= −

−−

∫
1
0
3
ln
2
t
t
−
=
−
3
ln 2 ln
2
= −
4
ln
3
=
4
lnab
c
= +
.
https://toanmath.com/
Do đó:
1
3
0
a
c
b
=
=
=
.
Vậy
S abc=++
4
=
.
Câu 73. Cho
(
) (
)
2
0
4cos 2 3sin 2 ln cos 2sin d ln 2
a
x x x xxc
b
π
+ +=−
∫
, trong đó
a
,
b
,
*
c∈
,
a
b
là phân
số tối giản. Tính
T abc
=++
.
A.
9T =
. B.
11T = −
. C.
5
T =
. D.
7T =
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
( )
( )
2
0
4cos 2 3sin 2 ln cos 2sin dI x x x xx
π
=++
∫
(
)( ) ( )
2
0
2 cos 2sin 2cos sin ln cos 2sin dxxxx xxx
π
=+ −+
∫
.
Đặt
cos 2sintx x= +
( )
d sin 2cos dt x xx⇒=− +
.
Với
0x
=
thì
1t =
.
Với
2
x
π
=
thì
2t =
.
Suy ra
2
1
2 ln dI t tt
=
∫
(
)
2
2
1
ln dtt=
∫
( )
2
2
2
1
1
.ln dt t tt= −
∫
2
2
1
4ln 2
2
t
= −
3
4ln 2
2
= −
.
Vậy
3
2
4
a
b
c
=
=
=
9T abc⇒ =++=
.
Câu 74. Biết
32
3
63
3
sin 3
d3
1
x
x cd
ab
xx
π
π
ππ
π
−
= + ++
++
∫
với
,,,abcd
là các số nguyên. Tính
abcd
+++
.
A.
28abcd+++ =
. B.
16
abcd+++ =
. C.
14
abcd+++ =
. D.
22abcd+++ =
.
Hướng dẫn giải
ChọnA.
(
)
(
)
63
33 3
63
66
63
33 3
1 sin
sin
d d 1 sin d
1
1
xx x
x
I x x x x xx
xx
xx
ππ π
ππ π
−− −
+−
= = = +−
+−
++
∫∫ ∫
.
Đặt
t x dt dx=−⇒ =−
. Đổi cận
33
33
xt
xt
ππ
ππ
=− ⇒=
= ⇒=−
.
https://toanmath.com/
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
3 33
63 63 6 3
3 33
1 sin 1 sin 1 sinI t t t dt t t tdt x x xdx
π ππ
π ππ
−
−−
= ++ −− =− ++ =− + +
∫ ∫∫
Suy ra
( )
33
33
33
2 2 sin sin
I x x dx I x xdx
ππ
ππ
−−
= − ⇔=−
∫∫
.
3
x
(+)
sin x+
2
3
x
(–)
cos x−
6x
(+)
sin x−
6 (–)
cos x+
0
sin x+
( )
32
32
3
3
3
cos 3 sin 6 cos 6sin 2 6 3
27 3
Ix xx xx x x
π
π
ππ
π
−
= − − + =− −+
Suy ra:
27, 3, 2, 6abcd= =−=− =
. Vậy
28abcd+++ =
.
Câu 75. Biết
2
6
2
6
cos 3
d
1
xx
xa
bc
xx
π
π
ππ
−
=++
++
∫
với
a
,
b
,
c
,
d
là các số nguyên. Tính
M abc=−+
.
A.
35
M =
. B.
41
M =
. C.
37M = −
. D.
35
M = −
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
6
2
6
cos
d
1
xx
x
xx
π
π
−
++
∫
0
6
22
0
6
cos cos
dd
11
xx xx
xx
xx xx
π
π
−
= +
++ ++
∫∫
IJ= +
Xét
0
2
6
cos
d
1
xx
Ix
xx
π
−
=
++
∫
. Đặt
tx= −
(
)
m
C
; Đổi cận:
00xt= ⇒=
;
66
xt
ππ
=− ⇒=
.
Suy ra
0
2
6
cos
d
1
xx
Ix
xx
π
−
=
++
∫
(
)
( )
( )
0
2
6
cos
d
1
tt
t
tt
π
−−
= −
+− −
∫
6
2
0
cos
d
1
tt
t
tt
π
−
=
+−
∫
6
2
0
cos
d
1
xx
x
xx
π
−
=
+−
∫
.
Khi đó
6
2
6
cos
d
1
xx
x
xx
π
π
−
++
∫
66
22
00
cos cos
dd
11
xx xx
xx
xx xx
ππ
−
= +
+− ++
∫∫
6
22
0
11
cos d
11
xx x
xx xx
π

= −

++ +−

∫
6
2
0
2 cos dx xx
π
= −
∫
.
6
2
6
cos
d
1
xx
x
xx
π
π
−
++
∫
( )
2
6
0
2 sin 4 cos 4sinx xx x x
π
=−−+
2
3
2
36 3
ππ
=++
−−
.
Khi đó
2a =
;
36b = −
;
3c = −
.
Vậy
35M abc=−+=
.
Câu 76. Cho
( )
1
2
0
d 2018fx x=
∫
. Tính
( )
12
0
cos2 . sin 2 dxf x x
π
∫
.
https://toanmath.com/
A.
1009
2
I =
. B.
1009I =
. C.
4036I =
. D.
2018I =
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Xét
( )
12
0
cos2 . sin 2 dI xf x x
π
=
∫
.
Đặt
sin 2 d 2cos2 du x u xx= ⇒=
.
Đổi cận:
00
xu=⇒=
và
1
12 2
xu
π
= ⇒=
.
Khi đó
(
)
( )
11
22
00
111
d d .2018 1009
222
I fu u fx x= = = =
∫∫
.
Câu 77. Cho
f
là hàm số liên tục thỏa
( )
1
0
d7fx x=
∫
. Tính
(
)
2
0
cos . sin dI xf x x
π
=
∫
.
A.
1
. B.
9
. C.
3
. D.
7
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt
sin d cos dt x t xx= ⇒=
. Đổi cận
00xt
=⇒=
,
1
2
xt
π
= ⇒=
.
Ta có
( ) ( )
( )
11
2
0 00
cos . sin d d d 7I xf xx ftt fxx
π
= = = =
∫ ∫∫
.
Câu 78. Cho hàm số
(
)
fx
liên tục trên
và
( )
1
1
d 12fx x
−
=
∫
,
( )
2
3
3
2cos sin df x xx
π
π
∫
bằng
A.
12
−
. B.
12
. C.
6
. D.
6−
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
2cos d 2sin dt x t xx= ⇒=−
.
Đổi cận
( )
2
3
3
2cos sin df x xx
π
π
∫
( )
1
1
1
d
2
ft t
−

= −


∫
( )
1
1
1
d
2
ft t
−
=
∫
( )
1
1
1
d6
2
fx x
−
= =
∫
.
Câu 79. Cho hàm số
(
)
y fx=
liên tục trên
thỏa mãn
( )
9
1
4
fx
dx
x
=
∫
và
( )
/2
0
sin cos 2.f x xdx
π
=
∫
Tích phân
( )
3
0
I f x dx=
∫
bằng
A.
2I =
. B.
6I =
. C.
4I =
. D.
10I =
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
https://toanmath.com/
Đặt
(
)
( )
(
)
93 3
11 1
1
2 4 2.
2
fx
t x dt dx dx f t dt f t dt
xx
= ⇒= ⇒ = =→ =
∫∫∫
Đặt
(
)
( )
/2 1
00
sin cos sin cos 2.t x dt dx f x xdx f t dt
π
= ⇒= ⇒ = =
∫∫
(
)
( ) ( )
313
0 01
2 2 4.I f x dx f x dx f x dx
= = + =+=
∫∫∫
https://toanmath.com/
HÀM MŨ – LÔGARIT
Câu 80. Cho
2
1
1
0
d
x
I xe x
−
=
∫
. Biết rằng
2
ae b
I
−
=
. Khi đó,
ab+
bằng
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D.
4
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
( )
22 2
11
1 1 21
00
1
1 11
d d1
0
2 22
xx x
e
I xe x e x e
−− −
−
= =− −=− =
∫∫
Vì
2
ae b
I
−
=
⇒
1; 1ab= =
. Vậy
2ab+=
.
Câu 81.
Nguyên
hàm
của
( )
2
sin
sin 2 .e
x
fx x=
là
A.
2
2 sin 1
sin .e
x
xC
−
+
. B.
2
sin 1
2
e
sin 1
x
C
x
+
+
+
. C.
2
sin
e
x
C+
. D.
2
sin 1
2
e
sin 1
x
C
x
−
+
−
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
2
sin
sin 2 .e
x
x dx
∫
( )
2
sin 2
e d sin
x
x=
∫
2
sin
e
x
C= +
Câu 82. Biết rằng
( )
1
13 2
0
3 d ,, .
53
x
ab
e x e e c abc
+
= ++ ∈
∫
Tính
.
23
bc
Ta=++
A.
6T =
. B.
9
T =
. C.
10T =
. D.
5T =
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
2
13 13 2d 3dt x t x tt x= + ⇒=+ ⇒ =
Đổi cận:
01
xt= ⇒=
,
12
xt=⇒=
(
)
(
)
( )
12 2
2 22
13 2 2 2
1 11
01 1
3 2 d 2 d 2 22 2 .
x t t t tt
e dx te t te e t te e e e e e e
+
⇒ = = − = − = −− + =
∫∫ ∫
10
10
0
a
T
bc
=
⇒ ⇒=
= =
nên câu C đúng.
Câu 83. Tích phân
ln12
ln5
4
x
I e dx= +
∫
có giá trị là:
A.
2 ln3 ln5I =−+
. B.
2 2ln3 2ln 5I
=−+
.
C.
2 2ln3 ln 5I =−+
. D.
2 ln3 2ln 5I =−−
.
Hướng dẫn giải
Tích phân
ln12
ln5
4
x
I e dx= +
∫
có giá trị là:
Đặt:
2
2
2
4 42
4
xx x
tdt
t e t e tdt e dx dx
t
= +⇔ = +⇒ = ⇒ =
−
.
Đổi cận
ln5 3
ln12 4
xx
xx
= ⇒=
= ⇒=
.
4
4
2
2
3
3
22
2 2ln 2 2ln 3 2ln 5
42
tt
I dt t
tt
+
= =− =−+

−−

∫
.
Chọn B
Câu 84. Tìm tất cả các giá trị dương của tham số
m
sao cho
22
1 500 1
0
e d 2 .e
m
xm
xx
++
=
∫
.
https://toanmath.com/
A.
250 500
22 2m = −
. B.
1000
21
m = +
. C.
250 500
22 2m = +
. D.
1000
21m = −
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
2
1
0
ed
m
x
xx
+
∫
2
1
1
ed
m
t
tt
+
=
∫
( )
2
1
1
ee
m
tt
t
+
= −
(
)
2
21
1 1e
m
m
+
= +−
Theo bài ra
2
1
0
ed
m
x
xx
+
∫
2
500 1
2 .e
m
+
=
⇔
2
500 1
2 .e
m +
(
)
2
21
1 1e
m
m
+
= +−
500 2
2 11m⇔ = +−
( )
2
2 500
12 1m⇔ += +
2 1000 501
22
m
⇔= +
( )
500 500
22 2= +
250 500
22 2m⇒= +
.
Câu 85. Cho
3
12
0
d
e .e .e
1
x
x
a bc
x
+
= ++
+
∫
. Với
a
,
b
,
c
là các số nguyên. Tính
S abc=++
.
A.
1
S
=
. B.
2S =
. C.
0S =
. D.
4S =
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Xét
3
1
0
d
e
1
x
x
I
x
+
=
+
∫
; đặt
1
1d d
21
ux u x
x
= +⇒ =
+
.
Đổi cận:
01
xu
=⇒=
;
32xu=⇒=
2
1
e 2d
u
Iu⇒= =
∫
2
2e
1
u
=
2
2e 2e
−
2a⇒=
,
2
b
= −
,
0c =
,
0S abc=++=
.
Câu 86. Cho tích phân
2
2
sin 3
0
sin cos d
x
I e x xx
π
=
∫
. Nếu đổi biến số
2
sin
tx=
thì:
A.
11
00
1
dd
2
tt
I et tet

= +


∫∫
. B.
11
00
1
dd
2
tt
I et tet

= −


∫∫
.
C.
11
00
2d d
tt
I et tet

= +


∫∫
. D.
11
00
2d d
tt
I et tet

= −


∫∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
(
)
22
22
sin 3 sin 2
00
sin cos d . 1 sin sin .cos d
xx
I e x xx e x x xx
ππ
= = −
∫∫
.
Đặt
2
1
sin d 2sin cos d sin cos d d
2
t x t x xx x xx t= ⇒= ⇒ =
.
Đổi cận
x
0
2
π
t
0
1
Vậy
( )
1 11
0 00
11
1d d d
22
t tt
I e t t et tet

= −= −


∫ ∫∫
.
Câu 87. Tính
1
d
lim
1
n
x
x
n
x
e
+
→+∞
+
∫
.
A.
1−
. B.
1
. C.
e
. D.
0
.
https://toanmath.com/
Hướng dẫn giải
Chọn D
Tính
( )
11
dd
1
1
nn
x
x
xx
nn
x ex
I
e
ee
++
= =
+
+
∫∫
.
Đặt
dd
xx
te tex=⇒=
.
Đổi cận:
n
xn te= ⇒=
,
1
1
n
xn te
+
= +⇒=
.
Khi đó
( )
( )
( )
11
1
1
1
d 11
d ln ln 1 1 ln
1
11
nn
n
n
nn
ee
n
e
e
ee
n
t
e
I ttt
tt t t
e
e
++
+
+

= = − =−+ =+

++

+
∫∫
.
Suy ra
1
1
1
d
lim lim lim 1 ln 1 1 0
1
1
n
n
x
x xx
n
n
x
e
I
e
e
e
+
→+∞ →+∞ →+∞

+

= = + =−=

+

+

∫
.
Câu 88. Tính tích phân
2
2016
2
d.
1
x
x
Ix
e
−
=
+
∫
A.
0I =
. B.
2018
2
2017
I =
. C.
2017
2
2017
I =
. D.
2018
2
2018
I =
.
Hướng dẫn giải.
Chọn C
Đặt
ddxt x t=−⇒ =−
. Đổi cận: Với
2 2; 2 2x tx t= ⇒=− =−⇒=
Khi đó:
22
2016 2016
22
d
d
11
x
tx
t x ex
It
ee
−
−
−
−
= =
++
∫∫
, suy ra
2
2
2017 2018
2016
2
2
2
2d
2017 2017
x
I xx
−
−
= = =
∫
2017
2
2017
I⇒=
.
Câu 89. Cho biết
( )
1
2
2
0
d.
2
x
xe a
x ec
b
x
= +
+
∫
với
a
,
c
là các số nguyên,
b
là số nguyên dương và
a
b
là
phân số tối giản. Tính
abc−+
.
A.
3
. B.
0
. C.
2
. D.
3
−
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt
2ddtx t x=+⇒ =
, đổi cận
02xt=⇒=
,
13
xt=⇒=
.
Ta có
( )
1
2
2
0
e
d
2
x
x
Ix
x
=
+
∫
( )
2
2
3
2
2
2e
d
t
t
t
t
−
−
=
∫
3
2
2
2
44
1 ed
t
t
tt
−

= −+


∫
33
22
2
22
44
ed ed
tt
tt
tt
−−

= + −+


∫∫
+ Tính
3
2
1
2
ed
t
It
−
=
∫
3
2
2
e e1
t−
= = −
.
+ Tính
3
2
2
2
2
44
ed
t
It
tt
−

= −+


∫
.
Đặt
2
44
ddu ut
tt
=⇒=−
,
22
d ed e
tt
v tv
−−
= ⇒=
Ta có
3
2
2
4
ed
t
t
t
−
∫
3
2
2
4
.e
t
t
−
=
3
2
2
2
4
ed
t
t
t
−
+
∫
3
2
2
2
2
44
ed
t
It
tt
−

⇒ = −+


∫
4
e2
3
=−+
.
Suy ra
1
e1
3
I
−
= +
1a⇒=−
,
3b =
,
1c =
. Vậy
3abc−+=
.
https://toanmath.com/
Câu 90. Biết tích phân
ln6
0
e
d ln 2 ln3
1 e3
x
x
xab c=++
++
∫
, với
a
,
b
,
c
là các số nguyên. Tính
T abc=++
.
A.
1T = −
. B.
0T
=
. C.
2T =
. D.
1T
=
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt
2
e3 e32ded
xx x
t t tt x= +⇒ = +⇒ =
.
Đổi cận
ln 6 3
02
xt
xt
= =

⇒

= =

.
Suy ra
ln6 3
02
e 2d
d
1
1 e3
x
x
tt
x
t
=
+
++
∫∫
( )
3
3
2
2
2
2 d 2 2ln 1
1
tt t
t

=− =−+

+

∫
(
)
(
)
6 2ln 4 4 2ln3
=− −−
2
2 4ln 2 2ln3 4
2
a
b
c
=
=− + ⇒=−
=
.
Vậy
0T =
.
Câu 91. Giá trị
( )
( )
3
3
3
9
4
cos
23
1
6
sin e d
x
Ix x x
π
π
=
∫
gần bằng số nào nhất trong các số sau đây:
A.
0,046
. B.
0,036
. C.
0,037
. D.
0,038
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
( )
3
cos
ux
π
=
( )
23
d 3 sin du x xx
ππ
⇒=−
(
)
23
1
sin d d
3
x xx u
π
π
⇒=−
.
Khi
3
1
6
x =
thì
3
2
u =
.
Khi
3
9
4
x =
thì
2
2
u =
.
Ta có
2
2
3
2
1
ed
3
u
Iu
π
= −
∫
3
2
2
2
1
ed
3
u
u
π
=
∫
3
2
2
2
1
e
3
u
π
=
32
22
1
e e 0,037
3
π

= −≈



.
Câu 92. Cho
( )
( )
2
1
0
e
d .e ln e
e
x
x
xx
xa b c
x
−
+
=++
+
∫
với
a
,
b
,
c∈
. Tính
2Pa bc
=+−
.
A.
1P =
. B.
1P = −
. C.
0P =
. D.
2P = −
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
( )
2
1
0
e
d
e
x
x
xx
Ix
x
−
+
=
+
∫
( )
1
0
1e e
d
e1
xx
x
xx
x
x
+
=
+
∫
.
Đặt
e1
x
tx= +
⇒
( )
d 1 ed
x
t xx= +
.
Đổi cận:
01
xt=⇒=
;
1 e1xt=⇒=+
.
Khi đó:
e1
1
1
d
t
It
t
+
−
=
∫
e1
1
1
1dt
t
+

= −


∫
( )
e1
ln
1
tt
+
= −
( )
e ln e 1=−+
.
https://toanmath.com/
Suy ra:
1a
=
,
1b = −
,
1c =
.
Vậy:
22Pa bc=+ −=−
.
Câu 93. Biết
( )
2
1
0
5 6e
e
d e ln
2e 3
−
++
+
= −−
++
∫
x
x
xx
ac
xa b
x
với
a
,
b
,
c
là các số nguyên và
e
là cơ số của
logarit tự nhiên. Tính
2= ++S abc
.
A.
10=S
. B.
0=S
. C.
5=
S
. D.
9
=
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có :
( )
( )( )
( )
2
2
11
00
5 6e
2 3e
dd
2 e 2e 1
x
x
xx
xx
xx
Ix x
xx
−
++
++
= =
++ + +
∫∫
.
Đặt
( )
2e= +
x
tx
( )
d 3ed⇒=+
x
tx x
. Đổi cận :
02=⇒=xt
,
1 3e
=⇒=xt
.
( )
3e 3e
3e
2
22
d 1 3e 1
1 d ln 1 3e 2 ln
11 3
+

= = − = − + = −−

++

∫∫
tt
I tt t
tt
.
Vậy
3
=
a
,
2
=
b
,
1=c
9⇒=S
.
Câu 94.
1
33
0
2 e .2 1 1 e
d ln
e.2 e ln e
xx
x
xx
xp
mn
π
ππ
++

=++

++

∫
với
m
,
n
,
p
là các số nguyên dương. Tính
tổng
S mnp
= ++
.
A.
6S =
. B.
5S =
. C.
7S =
. D.
8
S
=
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
11 1
33
3
00 0
2 e .2 2 1 2 1
d dd
e.2 e.2 4 e.2 4
xx x x
x xx
xx
xx x x J
π
π ππ

++
=+=+=+

+ ++

∫∫ ∫
.
Tính
1
0
2
d
e.2
x
x
Jx
π
=
+
∫
. Đặt
1
e.2 e.2 ln 2d d 2 d d
e.ln 2
xx x
t xt x t
π
+=⇒ =⇔ =
.
Đổi cận: Khi
0x =
thì
et
π
= +
; khi
1x =
thì
2et
π
= +
.
1 2e
2e
e
0e
2 11 1 1 e
d d ln ln 1
e.2 eln 2 eln 2 eln 2 e
x
x
J x tt
t
π
π
π
π
ππ
+
+
+
+

= = = = +

++

∫∫
.
Khi đó
1
33
0
2 e .2 1 1 e
d ln 1
e.2 4 eln 2 e
xx
x
xx
x
π
ππ
++

=++

++

∫
4
m⇒=
,
2n =
,
1p =
. Vậy
7S =
.
Câu 95. Cho tam thức bậc hai
( ) ( )
2
, ,, , 0f x ax bx c a b c a= ++ ∈ ≠
có hai nghiệm thực phân biệt
12
,xx
. Tính tích phân
( )
2
2
1
2d
x
ax bx c
x
I ax b e x
++
= +
∫
.
A.
12
Ixx= −
. B.
12
4
xx
I
−
=
. C.
0
I =
. D.
12
2
xx
I
−
=
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
2
t ax bx c= ++
( )
2ddt ax b x⇒= +
Khi
2
1 11
2
2 22
0
0
x x t ax bx c
x x t ax bx c
= ⇒= + +=
= ⇒= + +=
. Do đó
( )
2
2
1
0
0
2 d dt 0
x
ax bx c t
x
I ax b e x e
++
=+==
∫∫
.
Câu 96. Với cách đổi biến
1 3lnux= +
thì tích phân
1
ln
d
1 3ln
e
x
x
xx+
∫
trở thành
https://toanmath.com/
A.
( )
2
2
1
2
1d
3
uu−
∫
. B.
( )
2
2
1
2
1d
9
uu−
∫
. C.
( )
2
2
1
2 1duu−
∫
. D.
2
2
1
21
d
9
u
u
u
−
∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
1 3lnux= +
2
1 3lnux⇒=+
2
1
ln
3
u
x
−
⇒=
d2
d
3
xu
u
x
⇒=
.
Khi đó
1
ln
d
1 3ln
e
x
x
xx+
∫
2
2
1
1
2
3
d
3
u
u
u
u
−
=
∫
(
)
2
2
1
2
1d
9
uu= −
∫
.
Câu 97. Biết
(
)
e
1
1 ln 2
e1
d .e ln
1 ln e
xx
xa b
xx
++
+

= +

+

∫
trong đó
a
,
b
là các số nguyên. Khi đó tỉ số
a
b
là
A.
1
2
. B.
1
. C.
3
. D.
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
( ) ( )
e e ee
1 1 11
1 ln 2 d 1 ln
1 ln 1 ln
d dd
1 ln 1 ln 1 ln
x x xx
xx x
x xx
xx xx xx
++ +
+ ++
= = +
++ +
∫ ∫ ∫∫
( )
(
)
ee
11
e1
ln 1 ln e 1 ln 1 e e ln
e
x xx
+
=++ =−++=+
.
Suy ra
1
ab= =
. Vậy
1
a
b
=
.
Câu 98. Tính tích phân
e
1
1 3ln
d
x
Ix
x
+
=
∫
bằng cách đặt
1 3lntx= +
, mệnh đề nào dưới đây sai?
A.
2
3
1
2
9
It=
. B.
2
1
2
d
3
I tt=
∫
. C.
2
2
1
2
d
3
I tt=
∫
. D.
14
9
I
=
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
e
1
1 3ln
d
x
Ix
x
+
=
∫
, đặt
1 3lntx= +
2
1 3lntx⇒=+
3
2 dt d⇒=tx
x
2d
dt
3
⇒=
tx
x
.
Đổi cận:
1=x
1⇒=t
;
e
x =
2⇒=t
.
2
2
1
2
dt
3
=
∫
t
I
2
3
1
2
9
=
t
14
9
=
.
Câu 99. Biết
( )
2
2
1
31
ln
d ln
3 ln
x
b
xa
x xx c
+

= +

+

∫
với
a
,
b
,
c
là các số nguyên dương và
4c ≤
. Tổng
abc++
bằng
A.
6
. B.
9
. C.
7
. D.
8
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
( )
22
2
11
1
3
31
dd
3 ln 3 ln
x
x
xx
x xx x x
+
+
=
++
∫∫
. Đặt
3 lntx x= +
,
1
d3 dtx
x

= +


Đổi cận
13xt=⇒=
,
2 6 ln 2xt=⇒=+
.
https://toanmath.com/
2 6 ln 2
13
1
3
d
d
3 ln
t
x
x
xx t
+
+
=
+
∫∫
6 ln 2
3
lnt
+
=
( )
ln 6 ln 2 ln3=+−
ln 2
ln 2
3

= +


2
a⇒=
,
2b =
,
3c =
. Vậy tổng
7abc++=
.
Câu 100. Biết
(
)
( )
e
1
ln 3
d ln , ,
ln 2 2
x
I x a b ab Q
xx
= =+∈
+
∫
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
1ab−=
. B.
21
ab+=
. C.
22
4ab+=
. D.
20ab+=
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt
ln 2tx= +
, suy ra
1
dt dx
x
=
.
Đổi cận:
12xt=⇒=
e3xt
=⇒=
Khi đó,
3
2
2
dt
t
I
t
−
=
∫
( )
3
2
2lntt= −
2
1 2ln
3
= +
3
1 2ln
2
= −
.
Vậy
2; 1
ab=−=
, nên
2 0.ab+=
Câu 101. Tích phân
(
)
2
1
ln 2 ln 1 1
e
xx
I dx
x
++
=
∫
có giá trị là:
A.
42 3
3
I
+
=
. B.
42 1
3
I
+
=
. C.
42 5
3
I
+
=
. D.
42 3
3
I
−
=
.
Hướng dẫn giải
Tích phân
(
)
2
1
ln 2 ln 1 1
e
xx
I dx
x
++
=
∫
có giá trị là:
Ta có:
(
)
2
2
1 11
ln 2 ln 1 1
2ln ln 1 ln
e ee
xx
xx x
I dx dx dx
x xx
++
+
= = +
∫ ∫∫
.
Xét
2
1
1
2ln ln 1
e
xx
I dx
x
+
=
∫
.
Đặt
2
2ln
ln 1
x
t x dt dx
x
= +⇒ =
.
Đổi cận
11
2
xt
xe t
=⇒=
=⇒=
.
2
2
3
1
1
1
2 42 2
33
I tdt t
−

⇒= = =


∫
.
Xét
2
1
ln
e
x
I dx
x
∫
.
Đặt
1
lnt x dt dx
x
= ⇒=
.
Đổi cận
10
1
xt
xe t
=⇒=
=⇒=
.
1
2
0
1I dt⇒= =
∫
.
12
42 1
3
III
+
⇒= + =
.
Chọn B
https://toanmath.com/
Câu 102. Tích phân
(
)
2
1
ln ln
e
I x x x dx
= +
∫
có giá trị là:
A.
2Ie= −
. B.
Ie= −
. C.
Ie=
. D.
2Ie=
.
Hướng dẫn giải
Tích phân
( )
2
1
ln ln
e
I x x x dx= +
∫
có giá trị là:
Ta biến đổi:
( )
( )
2
11
ln ln ln ln 1
ee
I x x x dx x x x dx= += +
∫∫
.
Đặt
( )
ln ln 1t x x dt x dx= ⇒= +
.
Đổi cận
10xt
xe te
=⇒=
=⇒=
.
0
e
I dt e⇒= =
∫
.
Chọn C
Câu 103. Biết
(
)
32
1
23
0
1
ln 3 ln
2
3
1 27 27 3 3
9
xx x x
I dx ae e e
x

++


= = ++ + −
∫
, a là các số hữu tỉ.
Giá trị của a là:
A. 9. B. – 6. C. – 9. D. 6.
Hướng dẫn giải
Biết
(
)
32
23
1
1
ln 3 ln
2
3
1 27 27 3 3
9
e
xx x x
I dx ae e e
x

++


= = ++ + −
∫
. Giá trị của a là:
Ta có:
( )
32
32
11
1
ln 3 ln
ln 3 3ln
1
3
3
ee
xx x x
x x xx
I dx dx
xx

++

++

= =
∫∫
Đặt
32
3
ln 3 ln 1t x x dt x
x
= +⇒= +
Đổi cận
13
13
xt
xe t e
=⇒=
=⇒=+
.
(
)
( )
(
)
(
)
13
13
3
3 23
3
3
22 2
1 3 3 3 1 9 27 27 3 3 9
33 9
e
e
I tdt t e e e e a
+
+
⇒= = = + − = + + + − ⇒=
∫
.
Chọn A
Câu 104. Tích phân
2
1
2ln ln 1
e
xx
I dx
x
+
=
∫
có gái trị là:
A.
42 2
3
I
−
=
. B.
42 2
3
I
+
=
. C.
22 2
3
I
−
=
. D.
22 2
3
I
+
=
.
Hướng dẫn giải
Tích phân
2
1
2ln ln 1
e
xx
I dx
x
+
=
∫
có gái trị là:
Ta nhận thấy:
( )
2
2ln
ln 1 '
x
x
x
+=
. Ta dùng đổi biến số.
https://toanmath.com/
Đặt
2
2ln
ln 1
x
t x dt dx
x
= +⇒ =
.
Đổi cận
11
2
xt
xe t
=⇒=
=⇒=
.
2
2
3
2
1
1
2 42 2
33
I tdx t

−
= = =


∫
.
Chọn A
Câu 105. Tính
( )
2
2
1 ln
d
e
e
x
Ix
x
−
=
∫
được kết quả là
A.
13
3
. B.
1
3
. C.
5
3
. D.
4
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt
1
ln d d
txt x
x
= ⇔=
. Với
1xe t=⇒=
;
2
2xe t
= ⇒=
( )
2
2
1 ln
d
e
e
x
Ix
x
−
=
∫
(
) ( )
2
2
23
1
1
1 11
1d 1 0
3 33
tt t= − =− − =−=
∫
Câu 106. Cho tích phân
1
1 3ln
d
e
x
Ix
x
+
=
∫
, đặt
1 3ln
tx= +
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2
1
2
d
3
e
I tt=
∫
. B.
2
1
2
d
3
I tt=
∫
. UC.U
2
2
1
2
d
3
I tt=
∫
. D.
1
2
d
3
e
I tt=
∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
21
1 3ln d
3
t x t t dx
x
=+⇒=
. Đổi cận
2; 1 1xe t x t=⇒= =⇒=
Do đó
2
2
1
2
d
3
I tt=
∫
.
Câu 107. Biết
1
3 ln
d
3
e
x a bc
x
x
+−
=
∫
, trong đó
a
,
b
,
c
là các số nguyên dương và
4c <
. Tính giá
trị
S abc=++
.
A.
13S =
. B.
28
S
=
. C.
25S =
. D.
16
S
=
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
3 lntx= +
d
2d
x
tt
x
⇒=
.
Đổi: Với
13xt=⇒=
;
2xe t=⇒=
.
1
3 ln
d
e
x
Ix
x
+
⇒=
∫
2
2
3
2dtt=
∫
2
3
3
2
3
t=
16 6 3
3
−
=
.
16a⇒=
,
6b =
,
3c =
S abc⇒ =++
25=
.
Câu 108. Cho
( )
e
2
1
ln
d
ln 2
x
Ix
xx
=
+
∫
có kết quả dạng
lnI ab= +
với
0a >
,
b∈
. Khẳng định nào sau
đây đúng?
https://toanmath.com/
A.
21ab = −
. B.
21ab =
. C.
31
ln
23
b
a
−+ =−
. D.
31
ln
23
b
a
−+ =
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt
ln 2
xt+=
ln 2xt⇔=−
1
dd
xt
x
⇒=
.
Đổi cận: khi
1
x =
thì
2
t =
; khi
ex =
thì
3t =
.
Khi đó
3
2
2
2
d
t
It
t
−
=
∫
3
2
2
12
dt
tt

= −


∫
3
2
2
ln t
t

= +


31
ln
23
= −
3
2
1
3
a
b
=
⇒
= −
.
Vậy
21
ab
= −
.
Câu 109. Biết
( )
2
2
1
1
d ln ln
ln
x
x ab
x xx
+
= +
+
∫
với
a
,
b
là các số nguyên dương. Tính
22
P a b ab=++
.
A.
10
. B.
8
. C.
12
. D.
6
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
2
2
1
1
d
ln
x
x
x xx
+
+
∫
( )
2
1
1
d
ln
x
x
xx x
+
=
+
∫
.
Đặt
ln
tx x= +
1
d1 dtx
x

⇒=+


1
d
x
x
x
+
=
.
Khi
11xt=⇒=
;
2 2 ln 2xt= ⇒=+
.
Khi đó
2 ln 2
1
dt
I
t
+
=
∫
2 ln 2
1
ln t
+
=
( )
ln ln 2 2= +
. Suy ra
2
2
a
b
=
=
.
Vậy
8P =
.
Câu 110. Cho tích phân
( )
2
2
42
1 ln 1
ln 2
ln 2
e
e
xx
ae be
I dx c d
xx
++
+
= = ++
∫
. Chọn phát biểu đúng nhất:
A.
abcd= = =
B.
2
1
ab c
d
= = =
C. A và B đúng D. A và B sai
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
( )
22
2 22
2
2
1 ln 1
ln 1 ln
ln ln
11 1 1
ln ln
ee
ee
e ee
e ee
xx
xx x
I dx dx
xx xx
x dx x dx dx
xxx x xx
++
++
= =

= ++ = + +


∫∫
∫ ∫∫
Xét
2
2
2 42
1
ln 1
22
e
e
e
e
x ee
M x dx x
x

−

=+=+ = +




∫
Xét
2
1
ln
e
e
N dx
xx
=
∫
, đặt
lntx=
, suy ra
1
dt dx
x
=
.
Đối cận
1xe t=⇒=
và
2
2xe t= ⇒=
ta được
( )
2
2
1
1
ln ln 2 ln1 ln 2
dt
Nt
t
= = = −=
∫
.
https://toanmath.com/
Vậy
42
1 ln 2
2
ee
I
−
= ++
.
Do đó
1a bcd=−= = =
. Ta chọn phương án B.
Câu 111. Tính tích phân
( )
(
)
2018
0
4
ln 1 2
d
1 2 log e
x
x
Ix
−
+
=
+
∫
.
A.
( )
2018
ln 1 2 ln 2I =+−
. B.
( )
2 2018 2
ln 1 2 ln 2I =+−
.
C.
(
)
2 2018
ln 1 2 ln 4
I
=+−
. D.
( )
2 2018 2
ln 1 2 ln 2I
−
=+−
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
( )
( )
2018
0
4
ln 1 2
d
1 2 log e
x
x
Ix
−
+
=
+
∫
( )
2018
0
2 ln 2
2 ln 1 2 d
12
x
x
x
x= +
+
∫
( )
( )
2018
0
2 ln 1 2 d ln 1 2
xx

=++

∫
Do đó
(
)
2018
2
0
ln 1 2
x
I
= +
( )
2 2018 2
ln 1 2 ln 2=+−
.
Câu 112. Cho hàm số
(
)
y fx=
liên tục trên
và thỏa mãn
( )
1
ln
d.
e
fx
xe
x
=
∫
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
( )
1
0
d 1.fx x=
∫
B.
( )
1
0
d.fx x e
=
∫
C.
(
)
0
d 1.
e
fx x
=
∫
D.
( )
0
d.
e
fx x e=
∫
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt
1
ln dt d .
tx x
x
= ⇒=
Cận:
1 0; 1x t xe t=⇒= =⇒=
( )
( ) ( )
11
10 0
ln
d d dx
e
fx
x ft t e fx e
x
==⇔=
∫∫ ∫
.
Câu 113. Biết
( )
4
e
e
1
ln d 4fxx
x
=
∫
. Tính tích phân
(
)
4
1
dI fx x
=
∫
.
A.
8I =
. B.
16
I =
. C.
2I =
. D.
4
I =
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt
lntx=
1
ddtx
x
⇒=
.
( )
4
e
e
1
ln dfxx
x
∫
( )
4
1
dft t=
∫
( )
4
1
dfx x=
∫
.
Suy ra
( )
4
1
d4I fx x= =
∫
.
x
e
4
e
t
1
4
https://toanmath.com/
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2
Cho hàm số
f
liên tục và có đạo hàm trên đoạn
[ ; ].ab
Giả sử hàm số
(t)x
ϕ
=
có đạo hàm và
liên tục trên đoạn
(*)
[;]
αβ
sao cho
() ,()ab
ϕα ϕβ
= =
và
()a tb
ϕ
≤≤
với mọi
[ ; ].t
αβ
∈
Khi đó:
( ) ( ()) '() .
b
a
f x dx f t t dt
β
α
ϕϕ
=
∫∫
Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng
1.
22
ax−
: đặt
| | sin ; ;
22
x a tt
ππ

= ∈−


2.
22
xa−
: đặt
||
; ; \ {0}
sin 2 2
a
xt
t
ππ

= ∈−


3.
22
xa
+
:
| | tan ; ;
22
x a tt
ππ

= ∈−


4.
ax
ax
+
−
hoặc
ax
ax
−
+
: đặt
.cos2xa t=
Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính
tích phân
3
2
2
0
1
x dx
I
x
=
+
∫
thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân
3
3
0
2
1
x dx
I
x
=
+
∫
thì nên đổi
biến dạng 1.
Câu 114. Khi tính
2
2
0
4 d,I xx
= −
∫
bằng phép đặt
2sin ,xt=
thì được
A.
(
)
2
0
2 1 cos2 dtt
π
+
∫
. B.
( )
2
0
2 1 cos 2 dtt
π
−
∫
. C.
2
2
0
4cos d
tt
∫
. D.
2
2
0
2cos dtt
∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt
2sin d 2cos dx t x tt= ⇒=
Đổi cận
00
2
2
xt
xt
π
=⇒=
= ⇒=
Khi đó
22
22
00
4 4sin .2cos d 4cos d .I t tt tt
ππ
=−=
∫∫
Câu 115. Biết rằng
1
2
1
2
4d
3
xx a
π
−
−=+
∫
. Khi đó
a
bằng:
A.
2
. B.
1
. C.
3
. D.
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
2sin d 2cos dx t x tt= ⇒=
.
Khi đó :
1
6
2
1
6
4 d 4cos cos dtxx t t
π
π
−
−
−=
∫∫
6
2
6
4cos dtt
π
π
−
=
∫
( )
6
6
2 2cos2 dtt
π
π
−
= +
∫
(
)
6
6
2
2 sin 2 3
3
tt
π
π
π
−
=+=+
.
https://toanmath.com/
Câu 116. Cho tích phân
1
2
2
0
1
1
I dx a
x
π
= =
−
∫
,a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của a là:
A.
1
2
. B.
1
3
. C.
1
4
. D.
1
6
.
Hướng dẫn giải
Cho tích phân
1
2
2
0
1
1
I dx a
x
π
= =
−
∫
. Giá trị của a là:
Ta có:
Đặt
sin , ; cos
22
x t t dx tdt
ππ

= ∈− ⇒ =


.
Đổi cận
00
1
26
xt
xt
π
=⇒=
= ⇒=
.
6
0
1
66
I dt a
π
π
= = ⇒=
∫
.
Chọn D
Câu 117. Giá trị của
3
2
0
9d
a
xx
b
π
−=
∫
trong đó
,
ab∈
và
a
b
là phân số tối giản. Tính giá trị của
biểu thức
T ab=
.
A.
35T =
. B.
24
T =
. C.
12T
=
. D.
36T =
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt
3sin d 3cos dx t x tt
= ⇔=
. Đổi cận:
0 0; 3
2
x tx t
π
= →= =→=
.
( )
2 22
2
2
0 00
1 cos 2 9
9 3sin .3cos d = 9cos d 9. d
24
t
I t tt tt t
π ππ
π
+
⇒= − = =
∫ ∫∫
. Vậy
9.4 36T = =
.
Câu 118. Đổi biến
2sinxt=
thì tích phân
1
2
0
d
4
x
x−
∫
trở thành
A.
6
0
dtt
π
∫
. B.
3
0
dtt
π
∫
. C.
6
0
dt
t
π
∫
. D.
6
0
dt
π
∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt
2sinxt=
, khi đó
d 2cos dx tt=
. Đổi cận
00
1
6
xt
xt
π
=⇒=
=⇒=
1
2
0
d
4
x
I
x
=
−
∫
6
2
0
2cos
d
4 4sin
t
t
t
π
=
−
∫
6
2
0
2cos
d
4cos
t
t
t
π
=
∫
6
0
2cos
d
2cos
t
t
t
π
=
∫
6
0
dt
π
=
∫
.
https://toanmath.com/
Câu 119. Biết rằng
2
4
1
d
6
65
ab
x
xx
π
+
=
−+ −
∫
trong đó
a
,
b
là các số nguyên dương và
45ab<+ <
. Tổng
ab+
bằng
A.
5
. B.
7
. C.
4
. D.
6
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
( )
22
44
11
dd
65
43
ab ab
xx
xx
x
++
=
−+ −
−−
∫∫
.
Đặt
3 2sinxt−=
,
;
22
t
ππ

∈−


,
d 2cos dx tt=
.
Đổi cận
4
x =
6
t
π
⇒=
,
xa b= +
3
arcsin
2
ab
tm
+−
⇒= =
.
2
66
2cos
dd
4 4sin
mm
t
tt
t
ππ
=
−
∫∫
6
6
m
tm
π
π
= = −
.
Theo đề ta có
m
66
ππ
−=
3
arcsin
23
ab
π
+−
⇔=
33
22
ab+−
⇒=
33ab⇔+ = +
.
Do đó
3
a
=
,
3
b
=
,
6ab+=
.
Câu 120. Tích phân
( )( )
3
5
2
13I x x dx= −−
∫
có giá trị là:
A.
3
64
I
π
= −
. B.
3
38
I
π
= −
. C.
3
68
I
π
= −
. D.
3
38
I
π
= −
.
Hướng dẫn giải
Tích phân
( )( )
3
5
2
13I x x dx= −−
∫
có giá trị là:
Ta có:
( )( ) ( )
3 33
2
2
5 55
2 22
13 3 2 1 2I x x dx x xdx x dx= − − = −− + = − −
∫ ∫∫
.
Đặt
2 sin , ; cos
22
x t t dx tdt
ππ

− = ∈− ⇒ =


.
Đổi cận
5
26
3
2
xt
xt
π
π
= ⇒=
=⇒=
.
2 22
2
22
6
6 66
1 cos2 1 1 3
1 sin .cos cos sin 2
2 2 2 68
t
I t tdt tdt dt x t
π ππ
π
π
π ππ
π
+

⇒= − = = = + = −


∫ ∫∫
.
Chọn C
Câu 121. Tích phân
1
2
0
34
32
x
I dx
xx
+
=
+−
∫
có giá trị là:
https://toanmath.com/
A.
7
43 8
6
I
π
=−+
. B.
7
43 8
6
I
π
=−−
.
C.
7
43 8
6
I
π
=+−
. D.
7
43 8
6
I
π
=++
.
Hướng dẫn giải
Tích phân
1
2
0
34
32
x
I dx
xx
+
=
+−
∫
có giá trị là:
Ta có:
( )
2
33 '32xx x+− =−
và
( )
3 4 9 23 2xx
+=− −
( ) ( )
1 1 11
2 2 22
0 0 00
7 22 2 22 2
34 7
32 32 32 32
xx
x
I dx dx dx dx
xx xx xx xx
−− −
+
⇒= = = −
+− +− +− +−
∫∫ ∫∫
.
Xét
( )
11
1
22
00
77
32
41
I dx dx
xx
x
= =
+−
−−
∫∫
.
Đặt
1 2sin , ; 2cos
22
x t t dx tdt
ππ

−= ∈− ⇒ =


.
Đổi cận
0
6
10
xt
xt
π
=⇒=−
=⇒=
.
0
1
2
6
14cos 7
6
4 4sin
t
I dt
t
π
π
−
⇒= =
−
∫
.
Xét
( )
1
2
2
0
22 2
32
x
I dx
xx
−
=
+−
∫
.
Đặt
( )
2
32 22t x x dt x dx=+−⇒=−
.
Đổi cận
03
14
xt
xt
=⇒=
=⇒=
.
( )
4
4
1
2
2
3
3
2
4 42 3I dt t
t

⇒= = = −


∫
.
12
7
43 8
6
III
π
=−= + −
.
Chọn C
Câu 122. Tích phân
1
2
2
1
43
54
x
I dx
xx
−
−
=
+−
∫
có giá trị là:
A.
5
3
I
π
=
. B.
5
6
I
π
=
. C.
5
3
I
π
= −
. D.
5
6
I
π
= −
.
Hướng dẫn giải
Tích phân
7
2
2
1
2
43
54
x
I dx
xx
−
=
+−
∫
có giá trị là:
Cách 1:
Ta có:
( )
2
54 '42xx x+− =−
và
( )
4 3 5 24 2xx−=− −
.
https://toanmath.com/
( )
7 77
2 22
2 22
1 11
2 22
24 2
43 5
54 54 54
x
x
I dx dx dx
xx xx xx
−
−
= = −
+− +− +−
∫∫∫
.
Xét
( )
77
22
1
22
11
22
55
54
92
I dx dx
xx
x
= =
+−
−−
∫∫
.
Đặt
2 3sin , ; 3cos
22
x t t dx tdt
ππ

− = ∈− ⇒ =


.
Đổi cận
7
26
1
26
xt
xt
π
π
= ⇒=
= ⇒=−
.
6
1
2
6
5.3cos 5
3
9 9sin
t
I dt
t
π
π
π
−
⇒= =
−
∫
.
Xét
( )
7
2
2
2
1
2
24 2
54
x
I dx
xx
−
=
+−
∫
.
Đặt
2
54 42
t x x dt x=+−⇒=−
.
Đổi cận
2
1 27
24
0
7 27
24
xt
I
xt
= ⇒=
⇒=
= ⇒=
.
5
3
I
π
⇒=
.
Chọn A
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay.
Câu 123. Cho
1
2
2
0
12 1I x x dc a b
π
=−−=+
∫
với
,ab R∈
. Giá trị
ab+
gần nhất với
A.
1
10
B. 1 C.
1
5
D.
2
Hướng dẫn giải
Đáp án: C
Cũng như câu 25, câu 26 cũng là một câu tích phân đòi hỏi khả năng biến đổi của các thí sinh.
Đối với câu này, chúng ta sử dụng phương pháp đưa về lượng giác.
Đặt
sin , ;
22
x tt
ππ

= ∈−


. I được viết lại là
( )
666
2
000
1 2sin cos .cos cos sin .cos (cos sin )cosI t t tdt t t tdt t t tdt
πππ
=− =−=−
∫∫∫
666 6
2
000 0
11
sin cos cos sin 2 (2 ) (cos 2 1) (2 )
44
t tdt tdt td t t d t
πππ π
−
⇔− + = + +
∫∫∫ ∫
https://toanmath.com/
66
00
cos2 sin 2 2 3 1
4 4 12 8
t tt
I
ππ
π
+−
⇔= + = +
Suy ra
31
0,175
12 8
π
−
+≈
.
Nhận xét: Hai bài toán trên chính là cách hướng có thể ra đề để tránh tình trạng sử dụng
máy tính Casio. Thí sinh hiểu bản chất và cách làm thực sự sẽ không gặp khó khăn nhiều khi
giải quyết các bài toán này.
Câu 124. Tích phân
1
2
0
1
1
I dx
x
=
+
∫
có giá trị là:
A.
2
I
π
=
. B.
3
I
π
=
. C.
4
I
π
=
. D.
6
I
π
=
.
Hướng dẫn giải
Tích phân
1
2
0
1
1
I dx
x
=
+
∫
có giá trị là:
Ta có:
1
2
0
1
1
I dx
x
=
+
∫
. Ta dùng đổi biến số.
Đặt
2
1
tan , ;
2 2 cos
x t t dx dt
t
ππ

= ∈− ⇒ =


.
Đổi cận
00
1
4
xt
xt
π
=⇒=
=⇒=
.
4
4
0
0
4
I dt t
π
π
π
⇒= = =
∫
.
Chọn C
Câu 125. Cho hàm số
(
)
fx
liên tục trên
thỏa mãn
( )
4
tan cos=fx x
,
∀∈x
. Tính
(
)
1
0
d=
∫
I fx x
.
A.
2
8
π
+
. B.
1
. C.
2
4
π
+
. D.
4
π
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt
tan=tx
. Ta có
22
2
1
1 tan 1
cos
=+=+xt
x
( )
( )
( )
4
22
22
11
cos
11
⇒ = ⇒=
++
x ft
tt
( )
(
)
11
2
2
00
1
dd
1
= =
+
∫∫
I fx x x
x
.
Đặt
tan ,
22
xu x
ππ
−

= <<


( )
2
d 1 tan dx uu⇒=+
; đổi cận:
00
xu=⇒=
;
1
4
xu
π
=⇒=
.
( )
2
44 4
4
2
22
2
2
00 0
0
2
1 tan 1 1 1 1 2
du . d cos d sin 2
cos 2 4 8
1
1 tan
cos
u
I u uu u u
u
u
u
π
π
π
ππ
++

= = ==+=



+


∫∫ ∫
https://toanmath.com/
Câu 126. Cho hàm số
f
liên tục trên đoạn
[
]
6;5
−
, có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như
hình vẽ. Tính giá trị
( )
5
6
2d
I fx x
−
= +


∫
.
A.
2 35I
π
= +
. B.
2 34I
π
= +
. C.
2 33I
π
= +
. D.
2 32
I
π
= +
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
(
)
2
1
2 khi 6 2
2
1 4 khi 2 2
21
khi 2 5
33
xx
fx x x
xx
+ − ≤ ≤−
= + − −≤≤
− ≤≤
.
( ) (
)
5 55
6 66
2d d 2 dI fx x fx x x
− −−
= += +


∫ ∫∫
(
)
22 5
2
62 2
1 21
2 d 1 4 d d 22
2 33
x x xx x x
−
−−

= + + +− + − +


∫∫ ∫
25
22
62
11
2 22 28
4 33
x
xx J x J
−
−

= + ++ − + =+


.
Tính
(
)
2
2
2
14 dJ xx
−
= +−
∫
Đặt
2sinxt=
d 2cos dx tt
⇒=
.
Đổi cận: Khi
2x
=
thì
2
t
π
= −
; khi
2x =
thì
2
t
π
=
.
(
)
( )
2
22
22
2
22
1 4 d 44cosd 42 1cos2d 42J x x tt t t
ππ
ππ
π
−
−−
= +− =+ =+ + =+
∫ ∫∫
. Vậy
32 2I
π
= +
.
Câu 127. Khi đổi biến
3 tanxt=
, tích phân
1
2
0
d
3
x
I
x
=
+
∫
trở thành tích phân nào?
A.
3
0
3d
It
π
=
∫
. B.
6
0
3
d
3
It
π
=
∫
C.
6
0
3dI tt
π
=
∫
. D.
6
0
1
d
It
t
π
=
∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt
3 tanxt=
⇒
( )
2
d 3 1 tan dx tt= +
.
Khi
0x =
thì
0t =
; Khi
1x =
thì
6
t
π
=
.
O
x
y
5
4−
6
−
1−
3
https://toanmath.com/
Ta có
1
2
0
d
3
x
I
x
=
+
∫
=
( )
( )
2
6
2
0
3 1 tan
d
3 1 tan
t
t
t
π
+
+
∫
=
6
0
3
d
3
t
π
∫
.
https://toanmath.com/
TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
BÀI TẬP
DẠNG 1:
Câu 1. Tích phân
2
3
sin , 0I x axdx a
π
π
= ≠
∫
có giá trị là:
A.
6 33
6
I
a
π
+−
=
. B.
3 33
6
I
a
π
+−
=
. C.
6 33
6
I
a
π
++
=
. D.
3 33
6
I
a
π
++
=
.
Câu 2. Biết
( )
4
0
1
1 cos2 d
x xx
ab
π
π
+=+
∫
(
, ab
là các số nguyên khác
0
). Tính giá trị
ab
.
A.
32ab =
. B.
2ab =
. C.
4ab =
. D.
12ab =
.
Câu 3. Tính tích phân
π
2
0
cos2 dI x xx=
∫
bằng cách đặt
2
d cos 2 d
ux
v xx
=
=
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
π
2 π
0
0
1
sin 2 sin 2 d
2
I x x x xx= −
∫
. B.
π
2
π
0
0
1
sin 2 2 sin 2 d
2
I x x x xx
= −
∫
.
C.
π
2 π
0
0
1
sin 2 2 sin 2 d
2
I x x x xx= +
∫
. D.
π
2 π
0
0
1
sin 2 sin 2 d
2
I x x x xx= +
∫
.
Câu 4. Biết
22
66
cos2 3 sin 2I x xdx a b xdx
ππ
ππ
π
= = +
∫∫
, a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của
a
b
là:
A.
1
12
. B.
1
24
. C.
1
12
−
. D.
1
24
−
.
Câu 5. Biết rằng
1
0
1
cos2 d ( sin 2 cos2 )
4
x xx a b c= ++
∫
với
,,abc∈
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
21abc++=−
. B.
20a bc+ +=
. C.
0abc−+=
. D.
1abc++=
.
Câu 6. Tính nguyên hàm
( 2)cos3x
( 2)sin3 sin3
x
I x xdx b x C
a
−
=− =− ++
∫
. Tính
27Ma b= +
.
Chọn đáp án đúng:
A. 6 B. 14 C. 34 D. 22
Câu 7. Biết
m
là số thực thỏa mãn
( )
2
2
0
cos 2 2 1
2
x x m dx
π
π
π
+ = +−
∫
. Mệnh đề nào sau dưới đây đúng?
A.
0m ≤
. B.
03m<≤
. C.
36m<≤
. D.
6m >
.
Câu 8. Tính tích phân
( )
3
0
sinx x x dx a b
π
ππ
+=+
∫
. Tính tích ab:
( ).
b
x
a
P x e dx
∫
( ).cos
b
a
P x xdx
∫
( ).sin
b
a
P x xdx
∫
( ). n
b
a
P x l xdx
∫
u
P(x)
P(x)
P(x)
lnx
dv
x
e dx
cos xdx
sin xdx
P(x)
https://toanmath.com/
A. 3 B.
1
3
C. 6 D.
2
3
Câu 9. Tích phân
( )
2
0
3 2 cos dx xx
π
+
∫
bằng
A.
2
3
4
ππ
−
. B.
2
3
4
ππ
+
. C.
2
1
4
ππ
+
. D.
2
1
4
ππ
−
.
Câu 10. Cho số hữu tỷ dương
m
thỏa mãn
2
0
2
.cos d
2
m
x mx x
π
π
−
=
∫
. Hỏi số
m
thuộc khoảng nào trong
các khoảng dưới đây?
A.
7
;2
4



. B.
1
0;
4



. C.
6
1;
5



. D.
58
;
67



.
Câu 11. Cho hàm số
( )
2
2 khi 0
.s n ki0hi
xx x
fx
x xx≤
+≥
=
. Tích tích phân
( )
1
dI fx x
π
−
=
∫
A.
7
6
I
π
= +
. B.
2
3
I
π
= +
. C.
1
3
3
I
π
=−+
. D.
2
2
5
I
π
= +
.
Câu 12. Tính
(
)
0
1 cos d
x xx
π
+
∫
. Kết quả là
A.
2
2
2
π
−
. B.
2
3
3
π
+
. C.
2
3
3
π
−
. D.
2
2
2
π
+
.
Câu 13. Tính tích phân
3
2
0
cos
x
dx a b
x
π
π
= +
∫
. Phần nguyên của tổng
ab+
là ?
A. 0 B. -1 C. 1 D. -2
Câu 14. Cho
2
4
2
0
tan ln
32
x
I x xdx b
a
ππ
= =−−
∫
khi đó tổng
ab
+
bằng
A. 4 B. 8 C. 10 D. 6
Câu 15. Tích phân
4
0
1 cos
x
I dx
x
π
=
+
∫
có giá trị là:
A.
tan 2ln cos
48 8
I
ππ π

= −


. B.
tan 2ln cos
48 8
I
ππ π

= +


.
C.
tan 2ln cos
44 8
I
ππ π

= −


. D.
tan 2ln cos
44 8
I
ππ π

= +


.
Câu 16. Tích phân
4
0
d ln 2
1 cos 2
x
xa b
x
π
π
= +
+
∫
, với
a
,
b
là các số thực. Tính
16 8ab−
A.
4.
B.
5.
C.
2.
D.
3.
Câu 17. Tích phân
4
0
2 sin
2 2cos
xx
I dx
x
π
−
=
−
∫
có giá trị là:
https://toanmath.com/
A.
1 23
4ln 2 ln 2
23
I
π
π

= −+ + +



. B.
1 23
2ln 2 ln 2
23
I
π
π

= −+ + −



.
C.
1 23
4ln 2 ln 2
23
I
π
π

= −+ + −



. D.
1 23
2ln 2 ln 2
23
I
π
π

= −+ + +



.
Câu 18. Tích phân
( )
32
2
6
2 cos cos
cos
x x xx x
I dx
x
π
π
++
=
∫
có giá trị là:
A.
42
52 3
324 9 4 2
I
π ππ
= + +−
. B.
42
52 3
324 9 4 2
I
π ππ
= − +−
.
C.
42
52 3
324 9 4 2
I
π ππ
= + −−
. D.
42
52 3
324 9 4 2
I
π ππ
= + ++
.
Câu 19. Cho
0
2
x
π
<<
và
0
tan d
a
x xx m
=
∫
Tính
2
0
d
cos
a
x
Ix
x

=


∫
theo
a
và
.m
A.
tan 2Ia a m
= −
. B.
2
tanI a am=−+
. C.
2
tan 2Ia a m= −
. D.
2
tan
I a am= −
.
Câu 20. Tính
( )
2
2
0
sin cos dx x xx
π
+
∫
. Kết quả là
A.
2
23
π
+
. B.
2
23
π
−
. C.
2
33
π
−
. D.
2
23
π
−
.
Câu 21. Cho tích phân
2
2
0
.sinI x xdx a b
π
π
= = +
∫
. Tính
Aab= −
Chọn đáp án đúng:
A. 7 B. 10 C. 6 D. 2
Câu 22. Với mỗi số nguyên dương
n
ta kí hiệu
( )
1
22
0
1d
n
n
I x xx= −
∫
. Tính
1
lim
n
n
n
I
I
+
→+∞
.
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
5
.
DẠNG 2:
Câu 23. Cho
( )
0
d1
a
x
xe x a= ∈
∫
. Tìm
a
?
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
e
.
Câu 24. Cho
1
22
0
d
x
I xe x ae b= = +
∫
(
,ab
là các số hữu tỷ). Khi đó tổng
ab
+
là
A.
0
. B.
1
4
. C.
1
. D.
1
2
.
Câu 25. Biết rằng tích phân
( )
1
0
21 .
x
x e dx a b e+=+
∫
, tích
ab
bằng:
A.
1
. B.
1−
. C.
15−
. D.
20
.
Câu 26. Biết
( )
1
0
23d
x
I x ex= +
∫
ae b= +
, với
,ab
là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề
đúng?
A.
2ab−=
. B.
33
28ab+=
. C.
3ab =
. D.
21ab+=
.
Câu 27. Tìm a sao cho
2
0
.e x 4
a
x
I xd= =
∫
, chọn đáp án đúng
https://toanmath.com/
A. 1 B. 0 C. 4 D. 2
Câu 28. Cho tích phân
( )
( )
1
0
13
x
I x e dx
=+−
∫
. Kết quả tích phân này dạng
I ea= −
. Đáp án nào sau
đây đúng?
A.
9
2
a =
B.
9
4
a =
C.
9
5
a =
D.
8
3
a =
Câu 29. Tính tích phân
( )
( )
1
22
0
11
44
x
I a x b e dx e=−+ =+
∫
. Tính
( )
15
12
A ab a b= +
Chọn đáp án đúng:
A. 27 B. 30 C. 16 D. 45
Câu 30. Tìm m để
( )
1
0
1
x
mx e dx e+=
∫
?
A. 0 B. -1 C.
1
2
D. 1
Câu 31. Cho
( )
2
0
2 1e d
m
x
Ix x= −
∫
. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số
m
để
Im<
là khoảng
( )
;
ab
. Tính
3
Pa b
= −
.
A.
3P
= −
. B.
2
P
= −
. C.
4
P = −
. D.
1P = −
.
Câu 32. Biết rằng tích phân
(
)
4
4
0
1
21
x
xe
dx ae b
x
+
= +
+
∫
. Tính
22
Ta b= −
A.
1T =
. B.
2T
=
. C.
3
2
T =
. D.
5
2
T =
.
Câu 33. Cho tích phân
12
1
1
12
1
1 .e .d .e
c
x
xd
a
Ix x
xb
+

= +− =


∫
, trong đó
a
,
b
,
c
,
d
là các số nguyên dương
và các phân số
a
b
,
c
d
là các phân số tối giản. Tính
bc ad−
.
A.
24
. B.
1
6
. C.
12
. D.
1
.
DẠNG 3.
Câu 34. Cho
e
1
ln dI x xx=
∫
2
.eab
c
+
=
với
a
,
b
,
c ∈
. Tính
T abc=++
.
A.
5
. B.
3
. C.
4
. D.
6
.
Câu 35. Kết quả của phép tính tích phân
( )
1
0
ln 2 1 dxx+
∫
được biểu diễn dạng
.ln3ab+
, khi đó giá trị
của tích
3
ab
bằng
A.
3.
B.
3
2
.
C.
1.
D.
.
3
2
−
Câu 36. Cho
( )
1
0
ln 1 d lnx xa b+=+
∫
,
( )
,ab
∈
. Tính
( )
3
b
a
+
.
A.
25
. B.
1
7
. C.
16
. D.
1
9
.
Câu 37. Biết tích phân
( )
2
1
4 1 ln d ln 2x xx a b−=+
∫
với
a
,
bZ∈
. Tổng
2ab+
bằng
https://toanmath.com/
A.
5.
B.
8.
C.
( )
1; 2; 1A −
D.
13.
Câu 38. Biết
(
)
3
2
1
3 ln ln ln
d
4
1
x abc
x
x
+ +−
=
+
∫
với
a
,
b
,
c
là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức
Pabc=++
bằng?
A.
46
. B.
35
. C.
11
. D.
48
.
Câu 39. Giả sử
(
) ( )
2
1
2 1 ln d ln 2 , ;
x xx a b ab
− =+∈
∫
. Khi đó
ab
+
?
A.
5
2
.
B.
2.
C.
1.
D.
3
2
.
Câu 40. Tính tích phân
(
)
2
2
1
1 ln d
I x xx
= −
∫
.
A.
2ln2 6
9
I
+
=
. B.
6ln 2 2
9
I
+
=
. C.
2ln2 6
9
I
−
=
. D.
6ln 2 2
9
I
−
=
.
Câu 41. Tích phân
1
ln
a
I x xdx=
∫
có giá trị là:
A.
22
ln 1
24
aa a
I
−
= +
. B.
22
ln 1
24
aa a
I
−
= −
.
C.
2
2
ln
1
24
aa
a
I
−
= +
. D.
2
2
ln
1
24
aa
a
I
−
= −
.
Câu 42. Kết quả tích phân
( )
( )
2
0
2 ln 1 3ln 3x x dx b++ = +
∫
. Giá trị
3 b+
là:
A.
3
B.
4
C.
5
D.
7
Câu 43. Tính tích phân
2
1
(4 3).ln 7lnI x xdx a b=+=+
∫
. Tính
( )
sin
4
ab
π
+
:
A. 1 B. -1 C. 0 D.
1
2
Câu 44. Cho tích phân

= −+ +

∫
1
2
0
3 2 ln(2 1)I x x x dx
. Xác định a biết
= −ln
I b ac
với a,b,c là
các số hữu tỉ
A. a=3 B. a=-3 C.
=
2
3
a
D.
= −
2
3
a
.
Câu 45. Cho
3
2
1
3 ln
(ln3 1) ln
( 1)
x
I dx a b
x
+
= = ++
+
∫
với a,b∈R. Tính giá trị biểu thức
42T ab= +
A. 4 B. 7 C. 5 D. 6
Câu 46. Cho tích phân . Tính
Chọn đáp án đúng:
A. 3 B. 2 C. 1 D. 1
Câu 47. Biết
1
ln
d
e
x
x ae b
x
= +
∫
với
,ab∈
. Tính
.P ab=
.
A.
4P =
. B.
8P = −
. C.
4P = −
. D.
8P =
.
Câu 48. Biết
( )
2
0
2 ln 1 d .lnx x xa b+=
∫
, với
*
,ab∈
,
b
là số nguyên tố. Tính
67ab+
.
A.
33
. B.
25
. C.
42
. D.
39
.
( )
3
2
3
6
ln sin
3
ln
cos
4
x
I dx a b
x
π
π
π

= = −



∫
36
log logAab= +
−
−
https://toanmath.com/
Câu 49. Cho
( )
1
2
0
1 ln 2 ln 3
ln 2 d
24
a bc c
xx x
x
−+

++ =

+

∫
với
a
,
b
,
c
∈
. Tính
T abc=++
.
A.
13T =
. B.
15
T
=
. C.
17
T
=
. D.
11
T =
.
Câu 50. Biết
(
)
3
3
2
ln 3 2 d ln 5 ln 2x x xa b c−+ = + +
∫
, với
,,a bc∈
. Tính
.S ab c= +
A.
60S =
. B.
23S = −
. C.
12S =
. D.
2S = −
.
Câu 51. Cho biết tích phân
(
)
( )
1
0
7
2 ln 1 d ln 2I x x xa
b
−
=+ += +
∫
trong đó
a
,
b
là các số nguyên
dương. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A.
ab
=
. B.
ab<
. C.
ab>
. D.
3
ab= +
.
Câu 52. Cho
(
)
2
2
1
ln 1
d ln 2
1
xx a
Ix
bc
x
+
= = −
+
∫
với
a
,
b
,
m
là các số nguyên dương và là phân số tối giản.
Tính giá trị của biểu thức
ab
S
c
+
=
.
A.
2
3
S =
. B.
5
6
S
=
. C.
1
2
S =
. D.
1
3
S =
.
Câu 53. Cho
1
ab> >−
. Tích phân
(
)
ln 1 d
b
a
I xx= +
∫
bằng biểu thức nào sau đây?
A.
( ) ( )
1 ln 1
b
a
I x x ab= + + −+
. B.
( )
( )
1 ln 1
b
a
I x x ba= + + −+
.
C.
( )
1
1
b
a
I
x
=
+
. D.
( )
ln 1 d
1
b
b
a
a
x
Ix x x
x
= ++
+
∫
.
Câu 54. Biết
2
e
2
2
e
1 1 e e+
d
ln ln 2
a bc
x
xx
+

−=


∫
, trong đó
a
,
b
,
c
là các số nguyên. Giá trị của
222
abc++
bằng
A.
5
. B.
3
. C.
4
. D.
9
.
Câu 55. Biết
(
)
3
2
0
ln 16 d ln 5 ln 2
2
c
x x xa b
+ =++
∫
trong đó
,,abc
là các số nguyên. Tính giá trị của
biểu thức
T abc=++
.
A.
2T
=
. B.
16T = −
. C.
2T = −
. D.
16
T =
.
Câu 56. Tính tích phân
2
2018
2
1
1
2019log d
ln 2
I x xx

= +


∫
.
A.
2017
2I =
. B.
2019
2I =
. C.
2018
2I =
. D.
2020
2I =
.
Câu 57. Biết
(
)
3
2
1
3 ln
d
1
x
Ix
x
+
=
+
∫
( )
1 ln 3 ln 2
ab=+−
,
( )
,ab∈
. Khi đó
22
ab+
bằng
A.
22
7
16
ab+=
. B.
22
16
9
ab+=
. C.
22
25
16
ab+=
. D.
22
3
4
ab+=
.
Câu 58. Biết
2
2
1
ln
d ln 2
xb
xa
xc
= +
∫
(với
a
là số hữu tỉ,
b
,
c
là các số nguyên dương và
b
c
là phân số
tối giản). Tính giá trị của
23S a bc= ++
.
A.
4S =
. B.
6S = −
. C.
6S =
. D.
5S =
.
https://toanmath.com/
Câu 59. Biết rằng
(
)
2
1
ln 1 d ln3 ln 2x xa b c
+= + +
∫
với
a
,
b
,
c
là các số nguyên. Tính
S abc=++
A.
0S =
. B.
1
S
=
. C.
2S =
. D.
2S
= −
.
Câu 60. Tính tích phân
(
) (
)
5
4
1 ln 3 dIx x x=+−
∫
?
A.
10ln 2
. B.
19
10ln 2
4
+
. C.
19
10ln 2
4
−
. D.
19
10ln 2
4
−
.
Câu 61. Biết rằng
3
2
ln d ln 3 ln 2x xx m n p= ++
∫
, trong đó
m
,
n
,
p
∈
. Khi đó số
m
là
A.
9
2
. B.
18
. C.
9
. D.
27
4
.
Câu 62. Biết
( )
4
2
0
ln 9 d ln5 ln3x x xa b c+=++
∫
, trong đó
a
,
b
,
c
là các số nguyên. Giá trị của biểu
thức
T abc=++
là
A.
10
T
=
. B.
9T =
. C.
8T =
. D.
11T =
.
Câu 63. Tích phân
(
)
1
2
0
ln 1I x x dx= +−
∫
có giá trị là:
A.
( )
21ln 21I = −+ −
. B.
( )
21ln 21I
= −− −
.
C.
( )
2 1 ln 2 1I =− ++ −
. D.
( )
2 1 ln 2 1I =− +− −
.
Câu 64. Cho tích phân
2
1
1
ln
e
I x xdx ae b
x

=+=+


∫
, a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của
23
ab−
là:
A.
13
2
. B.
13
4
. C.
13
4
−
. D.
13
2
−
Câu 65. Tính tích phân
/4
2
0
ln(sin cos )
d
cos
xx
x
x
π
+
∫
, ta được kết quả
A.
1
ln 2.
42
π
−+
B.
3
ln 2.
42
π
−
C.
3
ln 2.
42
π
−+
D.
3
ln 2.
42
π
−−
Câu 66.
Giả sử
2
2
1
4ln 1
d ln 2 ln 2
x
xa b
x
+
= +
∫
, với
,ab
là các số hữu tỷ. Khi đó tổng
4ab
+
bằng.
A.
3
. B.
5
C.
7
. D.
9
.
Câu 67. Tính tích phân
( )
1000
2
2
1
ln
.
1
x
I dx
x
=
+
∫
A.
1000
1000 1000
ln 2 2
1000ln .
12 12
I =−+
++
B.
1001
1000 1000
1000ln 2 2
ln .
12 12
I =−+
++
C.
1000
1000 1000
ln 2 2
1000ln .
12 12
I = −
++
D.
1000
1000 1000
1000ln 2 2
ln .
12 12
I = −
++
https://toanmath.com/
HƯỚNG DẪN GIẢI
DẠNG 1:
Câu 1. Tích phân
2
3
sin , 0I x axdx a
π
π
= ≠
∫
có giá trị là:
A.
6 33
6
I
a
π
+−
=
. B.
3 33
6
I
a
π
+−
=
. C.
6 33
6
I
a
π
++
=
. D.
3 33
6
I
a
π
++
=
.
Hướng dẫn giải
Tích phân
2
3
sin , 0I x axdx a
π
π
= ≠
∫
có giá trị là:
Đặt
1
sin
cos
du dx
ux
dv axdx
vx
a
=
=
⇒

=
= −
.
2
2 22
3 33
3
1 1 1 1 6 33
cos cos cos sin
6
I xx xdx xx x
aa a a a
π
π ππ
π ππ
π
π
− − +−
 
⇒= + = + =
 
 
∫
.
Chọn A
Câu 2. Biết
( )
4
0
1
1 cos2 dx xx
ab
π
π
+=+
∫
(
, ab
là các số nguyên khác
0
). Tính giá trị
ab
.
A.
32
ab =
. B.
2ab
=
. C.
4ab =
. D.
12ab =
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
( ) ( )
4
4
0
0
sin2 cos2 1 1
1 cos2 d 1
2 4 48
xx
x xx x
ab
π
π
ππ

+ = + + =+=+


∫
.
4; 8 32
a b ab⇒= =⇒ =
.
Câu 3. Tính tích phân
π
2
0
cos2 dI x xx=
∫
bằng cách đặt
2
d cos 2 d
ux
v xx
=
=
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
π
2 π
0
0
1
sin 2 sin 2 d
2
I x x x xx= −
∫
. B.
π
2
π
0
0
1
sin 2 2 sin 2 d
2
I x x x xx
= −
∫
.
C.
π
2
π
0
0
1
sin 2 2 sin 2 d
2
I x x x xx= +
∫
. D.
π
2 π
0
0
1
sin 2 sin 2 d
2
I x x x xx= +
∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
2
d cos 2 d
ux
v xx
=
=
d 2d
1
sin 2
2
u xx
vx
=
⇒
=
.
Khi đó:
π
2
0
cos2 dI x xx=
∫
π
2 π
0
0
1
sin 2 sin 2 d
2
x x x xx= −
∫
.
Câu 4. Biết
22
66
cos2 3 sin 2I x xdx a b xdx
ππ
ππ
π
= = +
∫∫
, a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của
a
b
là:
https://toanmath.com/
A.
1
12
. B.
1
24
. C.
1
12
−
. D.
1
24
−
.
Hướng dẫn giải
Biết
22
66
cos2 3 sin 2I x xdx a b xdx
ππ
ππ
π
= = +
∫∫
. Giá trị của
a
b
là:
Ta có:
2 22
2
6
6 66
1
1 1 31 1
24
cos2 sin 2 sin 2 sin 2
1
2 2 24 2 12
2
a
a
I x xdx x x xdx xdx
b
b
π ππ
π
π
π ππ
π
= −

= = − =− − ⇒ ⇒=


= −
∫ ∫∫
.
Chọn A
Câu 5. Biết rằng
1
0
1
cos2 d ( sin 2 cos2 )
4
x xx a b c= ++
∫
với
,,abc∈
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
21
abc
++=−
. B.
20a bc
+ +=
. C.
0abc−+=
. D.
1abc++=
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
dd
sin 2
d cos2 d
2
ux
ux
x
v xx
v
=
=
⇒

=
=
.
Khi đó
( )
11
1
0
00
sin 2 1 1
cos2 d | sin 2 d 2sin 2 cos2 1
22 4
xx
x xx xx= − = +−
∫∫
.
Vậy
0abc−+=
.
Câu 6. Tính nguyên hàm
( 2)cos3x
( 2)sin3 sin3
x
I x xdx b x C
a
−
=− =− ++
∫
. Tính
27Ma b= +
.
Chọn đáp án đúng:
A. 6 B. 14 C. 34 D. 22
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt
2
sin3
ux
dv xdx
= −
=
.ta được:
cos3
3
du dx
x
v
=
= −
Do đó:
( ) (
)
2 cos3 2 cos3
1 11
cos 3 sin 3 3; 6
33 39 9
xx xx
I xdx x c a b m
−−
=−+=−++⇒==⇒=
∫
Câu 7. Biết
m
là số thực thỏa mãn
( )
2
2
0
cos 2 2 1
2
x x m dx
π
π
π
+ = +−
∫
. Mệnh đề nào sau dưới đây đúng?
A.
0
m ≤
. B.
03m<≤
. C.
36m<≤
. D.
6m >
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
( )
2 22
0 00
cos 2 .cos 2x x m dx x xdx mxdx
π ππ
+= +
∫ ∫∫
IJ= +
https://toanmath.com/
+)
2
0
.cos
I x xdx
π
=
∫
Đặt
cos sin
u x du dx
dv xdx v x
= =

⇒

= =

Khi đó
2
2
0
0
.sin sin
I x x xdx
π
π
= −
∫
22
00
.sin cosxx x
ππ
= +
1
2
π
= −
.
+)
2
0
2
J mxdx
π
=
∫
2
2
0
mx
π
=
2
4
m
π
=
.
Suy ra
( )
2
2
0
cos 2 1
42
x x m dx m
π
ππ
+ = +−
∫
Theo giả thiết ta có
2
2
12 1
42 2
m
ππ π
π
+−= +−
8m⇒=
.
Câu 8. Tính tích phân
( )
3
0
sinx x x dx a b
π
ππ
+=+
∫
. Tính tích ab:
A. 3 B.
1
3
C. 6 D.
2
3
Hướng dẫn giải
Chọn B
(
)
( )
3
22
00 00 0
sin cos cos cos
00
3
x
I x dx x xdx x dx xd x x x xdx
ππ ππ π
ππ
=+=− =− +
∫∫ ∫∫ ∫
3
3
sin
0
33
x
π
π
π ππ
1
= ++ = +
Câu 9. Tích phân
( )
2
0
3 2 cos dx xx
π
+
∫
bằng
A.
2
3
4
ππ
−
. B.
2
3
4
ππ
+
. C.
2
1
4
ππ
+
. D.
2
1
4
ππ
−
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt
( )
2
0
3 2 cos dI x xx
π
= +
∫
. Ta có:
( )( )
0
1
3 2 1 cos 2 d
2
I x xx
π
= ++
∫
( ) ( ) ( )
12
00
11
3 2d 3 2cos2 d
22
x x x xx I I
ππ

= +++ =+


∫∫
.
( )
1
0
3 2dI xx
π
=+=
∫
22
0
33
22
22
xx
π
ππ

+=+


.
( )
2
0
3 2 cos2 dI x xx
π
= +
∫
. Dùng tích phân từng phần
Đặt
d 3d
32
1
d cos2 d
sin 2
2
ux
ux
v xx
vx
=
= +
⇒

=
=
.
https://toanmath.com/
Khi đó
(
)
2
0
0
13
3 2 sin 2 sin 2 d
22
I x x xx
π
π
=+−
∫
.
Vậy
22
13 3
2
22 4
I
π π ππ

= += +


.
Câu 10. 44TCho số hữu tỷ dương
m
thỏa mãn
2
0
2
.cos d
2
m
x mx x
π
π
−
=
∫
. Hỏi số
m
thuộc khoảng nào trong
các khoảng dưới đây?
44TA. 44T
7
;2
4



44T. B.
1
0;
4



. C.
6
1;
5



. D.
58
;
67



.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt
dd
1
d cos d
sin
ux
ux
v mx x
v mx
m
=
=
⇒

=
=
.
Suy ra
22
2
0
00
1
.cos d sin sin d
mm
m
x
x mx x mx mx x
mm
ππ
π
= −
∫∫
2
22 2
0
1 21
.cos .
22
m
mx
mm m
π
ππ
−

=+=


44T.
Theo giả thiết ta có
2
21 2
.1
22
m
m
ππ
−−

= ⇔=±


.
Vì
m
là 44Tsố hữu tỷ dương nên
58
1;
67
m

= ∈


.
Câu 11. Cho hàm số
( )
2
2 khi 0
.s
n k
i0
hi
xx x
fx
x xx
≤
+≥
=
. Tích tích phân
( )
1
dI fx x
π
−
=
∫
A.
7
6
I
π
= +
. B.
2
3
I
π
= +
. C.
1
3
3
I
π
=−+
. D.
2
2
5
I
π
= +
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
( ) ( ) ( )
00
lim lim 0 0
xx
fx fx f
+−
→→
= = =
nên hàm số liên tục tại
0x =
. Do đó hàm số liên tục
trên đoạn
[ ]
;1
π
−
.
Ta có:
( )
1
dI fx x
π
−
=
∫
( ) ( )
( )
01 0 1
2
12
00
d d .s d 2in
dxfx x fx x x x x x x I I
ππ
−−
= + = + +=+
∫∫∫ ∫
.
•
0
1
in.s dI
xxx
π
−
=
∫
Đặt
in ddsv x
ux
x
=
=
dd
cos
ux
v x
=
⇒
= −
(
)
0
0
1
ds
cos coI xxx x
π
π
−
−
=−+
∫
( )
0
0
incos sxx x
π
π
π
−
−
=− +=
.
•
( )
1
2
2
0
2dI x xx= +
∫
1
32
0
2
32
xx

= +


7
6
=
.
https://toanmath.com/
Vậy
12
7
6
III
π
=+=+
.
Câu 12. Tính
( )
0
1 cos dx xx
π
+
∫
. Kết quả là
A.
2
2
2
π
−
. B.
2
3
3
π
+
. C.
2
3
3
π
−
. D.
2
2
2
π
+
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt
dd
d (1 cos )d sin
ux u x
v xv v x x
= =

⇒

=+=+

Khi đó:
( )
( )
0
0
sin sin dIxxx xxx
π
π
=+ −+
∫
2
2
0
cos
2
x
x
π
π

=−−


22
2
11 2
22
ππ
π

= − ++ = −


Câu 13. Tính tích phân
3
2
0
cos
x
dx a b
x
π
π
= +
∫
. Phần nguyên của tổng
ab+
là ?
A. 0 B. -1 C. 1 D. -2
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đối với bài toán này, chúng ta sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.
Đặt
2
sin
tan
cos cos
u x du dx
dx x
dv v x
xx
= =


⇒

= = =


Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có:
( )
3
0
sin
tan
3
cos
0
xdx
Ixx
x
π
π
= −
∫
( )
( )
3
0
cos
tan
3
cos
0
dx
xx
x
π
π
= +
∫
(
)
(
)
tan ln cos ln 2
33
3
00
Ixx x
ππ
π
⇔= + = −
Suy ra
1
; ln 2
3
ab= = −
.
Tổng
1
ln2 0,1157969114
3
ab+ = − ≈−
Lưu ý khái niệm phần nguyên của x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x, vậy đáp án
đúng là đáp án B.
Nhận xét: Bài toán trên đòi hỏi khả năng biến đổi của thí sính và nhắc lại kiến thức về khái
niệm phần nguyên, sẽ có thí sinh khi đi thi đã tìm ra kết quả phân tích nhưng lúng túng trong
việc lựa chọn đáp án vì không nhớ rõ khái niệm phần nguyên.
Câu 14. Cho
2
4
2
0
tan ln
32
x
I x xdx b
a
ππ
= =−−
∫
khi đó tổng
ab
+
bằng
A. 4 B. 8 C. 10 D. 6
Hướng dẫn giải
Chọn D
https://toanmath.com/
.
Đặt
Vậy
Câu 15. Tích phân
4
0
1 cos
x
I dx
x
π
=
+
∫
có giá trị là:
A.
tan 2ln cos
48 8
I
ππ π

= −


. B.
tan 2ln cos
48 8
I
ππ π

= +


.
C.
tan 2ln cos
44 8
I
ππ π

= −


. D.
tan 2ln cos
44 8
I
ππ π

= +


.
Hướng dẫn giải
Tích phân
4
0
1 cos
x
I dx
x
π
=
+
∫
có giá trị là:
Ta biến đổi:
44
2
00
1
1 cos 2
cos
2
xx
I dx I dx
x
x
ππ
= =
+
∫∫
.
Đặt
2
cos 2tan
22
u x du dx
xx
dv dx v
= =


⇒

= =


.
44
4
00
0
cos
8
1
sin
11
2
2 tan 2 tan tan 2
2 2 2 22 8
cos
2
1
tan 4 tan 2ln cos
28 48 8
x
xx
I x dx dx
x
dt
t
ππ
π
π
ππ
ππ ππ π





⇒= − = −









=+=+


∫∫
∫
.
Chọn B
Câu 16. Tích phân
4
0
d ln 2
1 cos 2
x
xa b
x
π
π
= +
+
∫
, với
a
,
b
là các số thực. Tính
16 8ab−
4 44
22
0 00
2
4
4
0
0
11
1.
cos cos
2 32
I x dx x dx xdx
xx
xdx
π ππ
π
π
ππ

= −= −


= =
∫ ∫∫
∫
4
1
2
0
1
.
cos
I x dx
x
π
=
∫
2
tan
cos
ux
du dx
dx
vx
dv
x
=
=
⇒

=
=
4
4
4
10
0
0
tan tan ln cos ln 2
44
I x x xdx x
π
π
π
ππ
=−=+ =−
∫
2
ln 2
4 32
I
ππ
=−−
https://toanmath.com/
A.
4.
B.
5.
C.
2.
D.
3.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt
dd
d
1
d
tan
1 cos 2
2
ux
ux
x
v
vx
x
=
=

⇒

=
=

+
. Ta có
4
0
1 1 1 11 1 1 1
tan tan d ln cos ln ln 2 ,
44
2 2 82 82 84 8 4
2
00
I x x xx x a b
π
ππ
π ππ
= − = + = + = − ⇒= =−
∫
Do đó,
16 8 4
ab−=
.
Câu 17. Tích phân
4
0
2 sin
2 2cos
xx
I dx
x
π
−
=
−
∫
có giá trị là:
A.
1 23
4ln 2 ln 2
23
I
π
π

= −+ + +



. B.
1 23
2ln 2 ln 2
23
I
π
π

= −+ + −



.
C.
1 23
4ln 2 ln 2
23
I
π
π

= −+ + −



. D.
1 23
2ln 2 ln 2
23
I
π
π

= −+ + +



.
Hướng dẫn giải
Tích phân
2
3
2 sin
2 2cos
xx
I dx
x
π
π
−
=
−
∫
có giá trị là:
Ta biến đổi:
4 22
3 33
2 sin 1 sin
2 2cos 1 cos 2 1 cos
xx x x
I dx dx dx
xx x
π ππ
π ππ
−
= = −
−−−
∫∫∫
.
Xét
22
1
2
33
1
1 cos 2
sin
2
xx
I dx dx
x
x
ππ
ππ
= =
−
∫∫
.
Đặt
2
1
2cot
sin
2
2
ux
du dx
x
dv dx
v
x
=
=

⇒

=
= −

.
2
2
1
3
3
1 1 23
2 .cot 2 cot 4ln 2
2 2 22 3
xx
I x dx
π
π
π
π
π
π




⇒ = − + = −+ +







∫
.
Xét
2
2
3
1 sin
21cos
x
I dx
x
π
π
=
−
∫
.
Đặt
1 cos sint x dt xdx=− ⇒=
.
Đổi cận
1
32
1
2
xt
xt
π
π
= ⇒=
= ⇒=
.
https://toanmath.com/
( )
1
1
2
1
1
2
2
11 1 1
ln ln 2
22 2
I dt t
t
⇒= = =
∫
.
12
1 23
4ln 2 ln 2
23
III
π
π

= − = −+ + −



.
Chọn C
Câu 18. Tích phân
( )
32
2
6
2 cos cos
cos
x x xx x
I dx
x
π
π
++
=
∫
có giá trị là:
A.
42
52 3
324 9 4 2
I
π ππ
= + +−
. B.
42
52 3
324 9 4 2
I
π ππ
= − +−
.
C.
42
52 3
324 9 4 2
I
π ππ
= + −−
. D.
42
52 3
324 9 4 2
I
π ππ
= + ++
.
Hướng dẫn giải
Tích phân
( )
32
2
6
2 cos cos
cos
x x xx x
I dx
x
π
π
++
=
∫
có giá trị là:
Ta có:
( )
( )
32
2 22 2
2
3 42
6
6 66 6
2 cos cos
1
2 cos cos
cos 4
x x xx x
I dx x x dx x xdx x x x xdx
x
π ππ π
π
π
π ππ π
++

= =+ + =++


∫ ∫∫ ∫
.
Xét
2
1
6
cosI x xdx
π
π
=
∫
.
Đặt
cos sin
u x du dx
dv xdx v x
= =

⇒

= =

.
(
)
2
2
1
6
6
3
sin sin
42
I x x xdx
π
π
π
π
π
⇒= − =−
∫
.
42
2
42
1
6
1 52 3
4 324 9 4 2
I xx I
π
π
π ππ

⇒= + + = + + −


.
Chọn A
Câu 19. Cho
0
2
x
π
<<
và
0
tan d
a
x xx m=
∫
Tính
2
0
d
cos
a
x
Ix
x

=


∫
theo
a
và
.m
A.
tan 2Ia a m= −
. B.
2
tanI a am=−+
. C.
2
tan 2Ia a m= −
. D.
2
tanI a am= −
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
2
2
d 2d
1
tan
dd
os
ux
u xx
vx
vx
cx
=
=
⇒

=
=
https://toanmath.com/
2
22
0
00
d tan 2 tan d tan 2 .
cos
aa
a
x
I x x x x xx a a m
x

= =−=−


∫∫
Câu 20. Tính
( )
2
2
0
sin cos dx x xx
π
+
∫
. Kết quả là
A.
2
23
π
+
. B.
2
23
π
−
. C.
2
33
π
−
. D.
2
23
π
−
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
2
2
0
( sin )cos d
I x x xx
π
= +
∫
2
2
0
( cos sin cos )dxx xxx
π
= +
∫
1
22
2
2
00
cos d sin cos dx xx x xx I I
ππ
=+=+
∫∫
Tính
1
I
: Đặt
d cos d
ux
v xx
=
⇒
=
dd
sin
ux
vx
=
=
.
Nên
2
1
0
cos dI x xx
π
=
∫
(
)
2
22
00
0
sin | sin d cos | 1
22
x x xx x
π
ππ
ππ
= − =+=−
∫
Tính
2
I
: Đặt
sin .
ux=
Ta có
d cos d .u xx=
Đổi cận:
0 0; 1.
2
x ux u
π
=⇒= = ⇒=
1
2
2 23
2
00
1
11
sin cos d .
0
33
I x x x u du u
π
⇒= = = =
∫∫
Vậy
12
2
23
III
π
=+=−
.
Câu 21. Cho tích phân
2
2
0
.sinI x xdx a b
π
π
= = +
∫
. Tính
Aab= −
Chọn đáp án đúng:
A. 7 B. 10 C. 6 D. 2
Hướng dẫn giải
Chọn B
* Đặt
2
2 ; sinu t du tdt dv tdt=⇒= =
chọn
cosvt= −
Vậy
2
0
2 cos 2 cos
0
I t t t tdt
π
π

=−+


∫
Đặt
cosu t du dt dv tdt=⇒= =
chọn
sinvt=
1
00
sin sint sin cost 2
00
I t tdt t tdt
ππ
ππ
= =−==−
∫∫
* Do đó:
22
2 cos 4 2 8 2; 8 10
0
I tt ab A
π
π

= − − = − ⇒ = =−⇒ =


https://toanmath.com/
Câu 22. Với mỗi số nguyên dương
n
ta kí hiệu
(
)
1
22
0
1d
n
n
I x xx= −
∫
. Tính
1
lim
n
n
n
I
I
+
→+∞
.
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
5
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Cách 1. Tự luận:
Xét
(
)
1
22
0
1d
n
n
I x xx
= −
∫
. Đặt
( )
2
d1 d
n
ux
vx x x
=
= −
( )
( )
1
2
dd
1
21
n
ux
x
v
n
+
=
⇒
−−
=
+
.
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
2
11
11
22
00
0
1
11
1d 1d
1 21 21
n
nn
n
xx
I xx xx
nn n
+
++
−−
= + −= −
++ +
∫∫
( )
( )
( )
1
1
22
1
0
1
11 d
22
n
n
I xxx
n
+
+
⇒= − −
+
∫
( )
( ) ( )
11
11
2 22
1
00
1
1d1d
22
nn
n
I xxxxx
n
++
+

⇒= − − −

+

∫∫
( )
( )
11
1
21
22
n nn
I n II
n
++
⇒= + −


+
11
21
lim 1
25
nn
n
nn
II
n
In I
++
→+∞
+
⇒= ⇒ =
+
.
Cách 2. Trắc nghiệm:
Ta thấy
( )
2
01 1x≤ − ≤
với mọi
[ ]
0;1x∈
, nên
( ) ( ) ( ) ( )
11 1
1
22 22 2 22
1
00 0
1 d 1 1d 1 d
nn n
nn
I xx xxx xxxxxI
+
+
= −=≤−=− −
∫∫ ∫
,
suy ra
1
1
n
n
I
I
+
≤
, nên
1
lim 1
n
n
I
I
+
≤
. Dựa vào các đáp án, ta chọnA.
https://toanmath.com/
DẠNG 2:
Câu 23. Cho
( )
0
d1
a
x
xe x a= ∈
∫
. Tìm
a
?
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
e
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
( ) ( )
0
0
d 1 1 1 11 1
a
a
x xa
xe x x e a e a
=⇔ − = − +=⇔ =
∫
.
Câu 24. Cho
1
22
0
d
x
I xe x ae b
= = +
∫
(
,
ab
là các số hữu tỷ). Khi đó tổng
ab
+
là
A.
0
. B.
1
4
. C.
1
. D.
1
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt
2
dd
x
ux
ve x
=
=
ta có
2
dd
1
2
x
ux
ve
=
=
.
Vậy
11
2 2 2 22 22 2
00
11
1 1 11 11111
dd .
00
2 2 24 24444
x xx x
I xe x xe e x e e e e e= = − = − = − += +
∫∫
Suy ra
1
1
4
.
1
2
4
a
ab
b
=
⇒+=
=
Câu 25. Biết rằng tích phân
( )
1
0
21 .
x
x e dx a b e+=+
∫
, tích
ab
bằng:
A.
1
. B.
1−
. C.
15
−
. D.
20
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt
2 1 d 2d
dd
xx
ux u x
vex ve
=+=

⇒

= =

.
Vậy
( ) ( ) ( )
11
11
00
00
21 21 2d 21 1
x xx x
xedx xe ex xe e+ =+− =−=+
∫∫
.
Suy ra
1; 1 1a b ab
==⇒=
.
Câu 26. Biết
( )
1
0
23d
x
I x ex= +
∫
ae b= +
, với
,ab
là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề
đúng?
A.
2ab−=
. B.
33
28ab+=
. C.
3ab =
. D.
21ab+=
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
( )
1
0
23d
x
I x ex= +
∫
( )
( )
1
0
2 3d
x
xe
= +
∫
( )
1
1
0
0
23 2d
xx
x e ex=+−
∫
5 32 2ee= −− +
31e
= −
.
Vậy
3, 1ab= = −
nên
21ab+=
.
Câu 27. Tìm a sao cho
2
0
.e x 4
a
x
I xd= =
∫
, chọn đáp án đúng
https://toanmath.com/
A. 1 B. 0 C. 4 D. 2
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
2
0
.
a
x
I x e dx=
∫
. Đặt
22
2.
xx
u x du dx
dv e dx v e
= =


⇒


= =

( )
2 2 22 2
0
00
2 . 2 2 4. 2 2 4
aa
a
x x ax a
I x e e dx ae e a e⇒= − = − = − +
∫
Theo đề ra ta có:
( )
2
4 2 2 44 2
a
I ae a
=⇔ − +=⇔=
Câu 28. Cho tích phân
( )
(
)
1
0
13
x
I x e dx=+−
∫
. Kết quả tích phân này dạng
I ea= −
. Đáp án nào sau
đây đúng?
A.
9
2
a =
B.
9
4
a =
C.
9
5
a =
D.
8
3
a =
Hướng dẫn giải
Chọn A
( ) ( ) (
)
(
)
( ) ( )
( )
( )
1
1
0
0
1
1
2
0
0
1
3 33
13 3
39
13
22
x xx
xx
xx
du dx
ux
dv e dx v e dx e x
Ix ex exdx
x ex e x e
=
= +

⇒

=− =−=−
⇒= + − − −

=+ − −− =−


∫
∫
Câu 29. Tính tích phân
( )
( )
1
22
0
11
44
x
I a x b e dx e=−+ =+
∫
. Tính
( )
15
12
A ab a b= +
Chọn đáp án đúng:
A. 27 B. 30 C. 16 D. 45
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt
Câu 30. Tìm m để
( )
1
0
1
x
mx e dx e+=
∫
?
A. 0 B. -1 C.
1
2
D. 1
Hướng dẫn giải
Chọn D
( )
( )
( )
( )
2
2
21 2 2
0
1
2
1 1 1 1 1 11
1
2 2 24 2 4 44
1 11
1
2 244
45
1 11 2
1
2 44
x
x
x
du dx
uax
dv b e dx
v bx e
b
I a x bx e ab b a a e e
b
ab b a
a
A
b
a
= −
= −

⇒

= +
= +

= − + = −− + − + − + = +


−− + − =
=
⇒ ⇒=

=
−+=
https://toanmath.com/
Ta có
(
) (
)
( )
(
) (
)
(
) ( )
11 1 1
11
00
00 0 0
11
00
1 1 (e ) 1 1 1
1 11 1
x x xx xx
xx
mx e dx mx dx mx e m e d mx mx e m e dx
mx e me m e me m e m
+ =+ =+− +=+−

= + − = + −− + = + −

∫∫ ∫ ∫
Câu 31. Cho
(
)
2
0
2 1e d
m
x
Ix x
= −
∫
. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số
m
để
Im<
là khoảng
( )
;ab
. Tính
3Pa b= −
.
A.
3P = −
. B.
2P
= −
. C.
4P
= −
. D.
1P = −
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
( )
2
0
2 1e d
m
x
Ix x= −
∫
Đặt
2
2
d 2d
21
e
d ed
2
x
x
ux
ux
vx
v
=
= −
⇒

=
=
.
( )
(
)
2
22
00
2 1e
2 1ed ed
0
2
x
mm
xx
m
x
Ix x x
−
=−= −
∫∫
( )
2
22
2 1e
11
e ee 1
0
2 22
m
x mm
m
m
m
−
= +− = − +
(
)
(
)
22 2
e e 1 1e 1 0 0 1
mm m
Im m m m m
<⇔ − +<⇔ − −<⇔<<
.
Suy ra
0, 1 3 3a b ab= =⇒− =−
.
Câu 32. Biết rằng tích phân
(
)
4
4
0
1
21
x
xe
dx ae b
x
+
= +
+
∫
. Tính
22
Ta b= −
A.
1T =
. B.
2
T =
. C.
3
2
T =
. D.
5
2
T
=
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
44
00
1 12 2
2
21 21
xx
xx
I e dx e dx
xx
++
= =
++
∫∫
44
00
1
2 1.
2
21
x
x
e
x e dx dx
x

= ++

+

∫∫
.
Xét
4
1
0
21
x
e
I dx
x
=
+
∫
.
Đặt
21
x
ue
dx
dv
x
=
=
+
( )
1
2
21
1
. 21
1
2
21
2
x
du e dx
x
dx
vx
x
=
+
⇒
= = = +
+
∫
Do đó
4
4
1
0
0
.2 1 .2 1
xx
Iex exdx= +− +
∫
.
Suy ra
4
31
2
e
I
−
=
. Khi đó
31
,
22
ab
−
= =
91
2
44
T⇒=−=
.
Câu 33. Cho tích phân
12
1
1
12
1
1 .e .d .e
c
x
xd
a
Ix x
xb
+

= +− =


∫
, trong đó
a
,
b
,
c
,
d
là các số nguyên dương
và các phân số
a
b
,
c
d
là các phân số tối giản. Tính
bc ad−
.
https://toanmath.com/
A.
24
. B.
1
6
. C.
12
. D.
1
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
- Ta có:
12
1
1
12
1
1 .e .d
x
x
Ix x
x
+

= +−


∫
JK
= +
- Tính
12
1
1
12
e .d
x
x
Jx
+
=
∫
.
Đặt
1
e
dd
x
x
u
vx
+
=
=
1
2
1
d 1 e .d
x
x
ux
x
vx
+

= −

⇒

=
12
12
11
1
1
12
12
1
.e .e .d
xx
xx
Jx x x
x
++


⇒= − −




∫
145 145
12 12
1
12.e .e
12
K=−−
145
12
143
.e
12
K= −
IJK⇒=+
145
12
143
.e
12
=
.
- Theo giả thiết:
.e
c
d
a
I
b
=
với
a
,
b
,
c
,
d
là các số nguyên dương và
a
b
,
c
d
là các phân số
tối giản nên
143
12
a
b
=
và
145
12
c
d
=
143a⇒=
,
12b =
,
145c
=
,
12
d =
.
Vậy
24bc ad
−=
.
DẠNG 3.
Câu 34. Cho
e
1
ln dI x xx
=
∫
2
.e
ab
c
+
=
với
a
,
b
,
c ∈
. Tính
T abc=++
.
A.
5
. B.
3
. C.
4
. D.
6
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
ln
dd
ux
v xx
=
=
nên
2
1
dd
2
ux
x
x
v
=
=
.
e
1
ln dI x xx=
∫
e
e
2
1
1
1
ln d
22
x
x xx= −
∫
2
e1
4
+
=
.
1
1
4
a
b
c
=
⇒=
=
.
Vậy
T abc=++
6=
.
Câu 35. Kết quả của phép tính tích phân
( )
1
0
ln 2 1 dxx+
∫
được biểu diễn dạng
.ln3ab+
, khi đó giá trị
của tích
3
ab
bằng
A.
3.
B.
3
2
.
C.
1.
D.
.
3
2
−
Hướng dẫn giải
Chọn D.
12 12
11
11
12 12
1
e .d e .d
xx
xx
xx x
x
++

= +−


∫∫
https://toanmath.com/
Đặt
(
)
2
ln 2 1
dd
21
dd
ux
ux
x
vx
vx
= +
=

⇒
+

=
=
.
Ta có
( )
( )
1 11
1
0
0 00
21
ln 2 1 d ln 2 1 d ln 3 1 d
21 21
x
I x xx x x x
xx

= + = +− =−−

++

∫ ∫∫
1
0
13
ln3 ln 2 1 ln3 1
22
xx

= −− + = −


.
Khi đó
3
; 1
2
ab
= = −
. Vậy
3
3
2
ab = −
.
Câu 36. Cho
( )
1
0
ln 1 d lnx xa b+=+
∫
,
( )
,ab∈
. Tính
( )
3
b
a +
.
A.
25
. B.
1
7
. C.
16
. D.
1
9
.
Hướng dẫn giải:
Chọn
C
.
Đặt
( )
1
ln 1
dd
1
dd
1
ux
ux
x
vx
vx
= +
=

⇒
+

=
= +
.
( )
( ) (
)
( )
11
1
1
0
0
00
1
ln 1 d 1 ln 1 1 . d 2ln 2 2ln 2 1 1 ln 4
1
I x xx x x x x
x
= + = + + − + = − = −=−+
+
∫∫
.
1, 4ab⇒=− =
( )
3 16
b
a⇒+ =
.
Câu 37. Biết tích phân
( )
2
1
4 1 ln d ln 2x xx a b−=+
∫
với
a
,
bZ
∈
. Tổng
2ab+
bằng
A.
5.
B.
8.
C.
( )
1; 2; 1
A −
D.
13.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
( )
1
ln d d
d 4 1 d .
uxu x
x
vx x
= ⇒=
= −
.
Ta có
( )
( )
(
)
(
)
22
2
2
2
1
1
11
4 1 ln d 2 1 ln 2 1 d 6ln 2 6ln 2 2xxxxxx xx xx
− = − − − = −− = −
∫∫
.
Vậy
2 10ab+=
.
Câu 38. Biết
( )
3
2
1
3 ln ln ln
d
4
1
x abc
x
x
+ +−
=
+
∫
với
a
,
b
,
c
là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức
Pabc=++
bằng?
A.
46
. B.
35
. C.
11
. D.
48
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
( )
( ) (
)
33 3
3
2
1
11 1
3 ln 1 3 ln 1
d 3 ln d d 3 ln
111
1
xx
xx x
xxx
x
++

=−+ =− + +

+++

+
∫∫ ∫
33
3
1
11
3 ln 3 3 1 1 3 ln3 1 1 3 ln3
. d d ln
42 1 4 1 4 1
x
xx
x x xx x
+−−

=− ++ = + − = +

+ ++

∫∫
https://toanmath.com/
3 ln 3 3 1 3 ln3 3 ln3
ln ln ln 3 ln 4 ln 2 ln 3 ln 2
4 42 4 4
−− −
= + − = +−+ = +−
3
3 3ln3 4ln 2 3 ln 27 ln16
27 46
44
16
a
bP
c
=
+− +−
= = ⇒ = ⇒=
=
.
Câu 39. Giả sử
( ) ( )
2
1
2 1 ln d ln 2 , ;x xx a b ab− =+∈
∫
. Khi đó
ab+
?
A.
5
2
.
B.
2.
C.
1.
D.
3
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt
( )
2
1
ln
dd
d 2 1d
ux
ux
x
vx x
vx x
=
=

⇒

= −
= −
.
Ta có
(
)
( )
( )
22
2
2
1
11
2 1 ln d ln 1 d
x xx x x x x x
− =− −−
∫∫
2
2
1
1
2ln 2 2ln 2
22
x
x

= −−= −


.
Khi đó
1
2
2;ab= = −
. Vậy
3
2
ab+=
.
Câu 40. Tính tích phân
( )
2
2
1
1 ln dI x xx= −
∫
.
A.
2ln2 6
9
I
+
=
. B.
6ln 2 2
9
I
+
=
. C.
2ln2 6
9
I
−
=
. D.
6ln 2 2
9
I
−
=
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Cách 1:
( )
2
2
1
1 ln dI x xx= −
∫
Đặt
( )
2
3
d
d
ln
d 1d
3
x
u
ux
x
vx x
x
vx
=
=

⇒

= −
= −
Do đó
2 22
2
3 23 3
1
1 11
6ln 2 2
ln 1 d ln .
3 33 9 9
x xx x
I xx x xx x
  
+
=−−−=−+−=
  
  
∫
Cách 2:
( )
( )
2
22 2
33 3
2
11 1
1
2
2
23
1
1
1 ln d ln d ln d ln
33 3
2 2 2 6ln 2
ln 2 1 d .
3 3 39 9
xx x
x xx x x x x x x
xx
xx
 
− = −= − − −
 
 

+
= − − =−−=


∫∫ ∫
∫
Câu 41. Tích phân
1
ln
a
I x xdx=
∫
có giá trị là:
https://toanmath.com/
A.
22
ln 1
24
aa a
I
−
= +
. B.
22
ln 1
24
aa a
I
−
= −
.
C.
2
2
ln
1
24
aa
a
I
−
= +
. D.
2
2
ln
1
24
aa
a
I
−
= −
.
Hướng dẫn giải
Tích phân
1
ln
a
I x xdx=
∫
có giá trị là:
Đặt
2
1
ln
2
du dx
ux
x
dv xdx
x
v
=
=
⇒

=
=
.
2
2 22 2
1
1 11
ln
1
.ln .ln
2 22 4 24
a aa
a
aa
x xx x a
I x dx x
 
−
⇒= − = − = +
 
 
∫
.
Chọn C
Câu 42. Kết quả tích phân
( )
( )
2
0
2 ln 1 3ln 3x x dx b++ = +
∫
. Giá trị
3 b+
là:
A.
3
B.
4
C.
5
D.
7
Hướng dẫn giải
Chọn C
( )
( )
2
0
2 ln 1I x x dx A B= ++ =+
∫
Tính
2
2
2
0
0
24A xdx x= = =
∫
Tính
( )
( )
2
0
ln 1B x dx= +
∫
Xem:
(
)
ln 1ux
dv dx
= +
=
ta chọn được
1
1
dx
du
x
vx
=
+
= +
Dùng công thức tích phân từng phần
(
)
(
)
(
) (
)
22
2
2
0
0
00
1
ln 1 1 .ln 1 3ln 3 3ln3 2
1
x
B x dx x x dx x
x
+
= + =+ + − = −= −
+
∫∫
Vậy:
( )
( )
2
0
2 ln 1 3ln 3 2I x x dx= ++ = +
∫
Câu 43. Tính tích phân
2
1
(4 3).ln 7lnI x xdx a b=+=+
∫
. Tính
( )
sin
4
ab
π
+
:
A. 1 B. -1 C. 0 D.
1
2
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt
( )
2
ln
43
23
ux
du dx
x
dv x dx
vx x
1
=
=

⇒

= +
= +
. Khi đó
( )
( ) ( )
( )
22
2
2 22
2
23
2 3 ln 2.2 3.2 ln 2 2. 3. ln 2 3
xx
I x x x dx x dx
x
11
+
= + − = + − 1 + 1 1− +
1
∫∫
( ) ( ) ( )
( )
2 22
2
4ln 2 0 3 4ln 2 0 2 3.2 3. 4ln 2 0 4 4ln 2 6xx

=1−−+ =1−−+−1+1=1−1−=1−

1
https://toanmath.com/
Câu 44. Cho tích phân

= −+ +

∫
1
2
0
3 2 ln(2 1)
I x x x dx
. Xác định a biết
= −lnI b ac
với a,b,c là
các số hữu tỉ
A. a=3 B. a=-3 C.
=
2
3
a
D.
= −
2
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A


= −++= − + +=+


∫ ∫∫
1 11
22
12
0 00
3 2 ln(2 1) 3 2 ln(2 1)I x x x dx x x dx x dx I I
Giải
2
I
bằng phương pháp từng phần
= +
=
ln(2 1)
ux
dv dx
= −⇒ =
3
ln3 1 3
2
Ia
Câu 45. Cho
3
2
1
3 ln
(ln3 1) ln
( 1)
x
I dx a b
x
+
= = ++
+
∫
với a,b∈R. Tính giá trị biểu thức
42
T ab= +
A. 4 B. 7 C. 5 D. 6
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ở bài toán này máy tính dường như không giúp được nhiều trong việc giải quyết bài toán, đây
là bài toán sử dụng phương pháp tích phân thành phần ở mức độ vận dung.
Đặt
2
3 ln
1
1
( 1)
11
dx
ux
u
x
dx
v
x
v
x
xx
= +
=

⇔

=
−

= +=
+
++
Áp dụng công thức tính tích phân thành phần
bb
b
a
aa
udv uv vdu= −
∫∫
thì ta được
33
3
3
1
11
1
(3 ln ) (3 ln )
ln( 1)
1 11
xx dx xx
Ix
x xx
++
= − = −+
+ ++
∫
( )
( )
3 3 ln3
3
ln 4 ln 2
42
I
+

= −− −


3 31
(ln3 1) ln 2 (ln3 1) ln
4 42

= +− = ++


Vậy
31
; 4 2 31 4
42
a b T ab= = ⇒ = + =+=
Nhận xét: Điểm mấu chốt để xử lí nhanh bài toán nằm ở việc đặt
1
1
11
x
v
xx
−
= +=
++
. Một số
thí sinh chọn đáp án B vì khi làm đến
3
(ln3 1) ln 2
4
I = +−
không để ý dấu nên suy ra luôn
3
;2
4
ab= =
dẫn đến kết quả sai.
Câu 46. Cho tích phân . Tính
( )
3
2
3
6
ln sin
3
ln
cos
4
x
I dx a b
x
π
π
π

= = −



∫
36
log logAab= +
https://toanmath.com/
Chọn đáp án đúng:
A. 3 B. 2 C. 1 D. 1
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
chọn
Vậy
Câu 47. Biết
1
ln
d
e
x
x ae b
x
= +
∫
với
,
ab
∈
. Tính
.P ab=
.
A.
4P =
. B.
8
P = −
. C.
4P = −
. D.
8P =
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt
d
ln
d
d
d
d2
x
ux
u
x
x
v
vx
x
=
=

→

=

=
Suy ra
1 11
11
ln d
d 2 ln 2 2 ln 4 2 4
ee
e ee
xx
x xx xx x e
xx
= − = − =−+
∫∫
2
4
a
b
= −
⇒
=
.
Vậy
8P ab= = −
.
Câu 48. Biết
(
)
2
0
2 ln 1 d .ln
x x xa b+=
∫
, với
*
,ab∈
,
b
là số nguyên tố. Tính
67ab+
.
A.
33
. B.
25
. C.
42
. D.
39
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Xét
( )
2
0
2 ln 1 d
I xx x= +
∫
6=
. Đặt
( )
ln 1
d 2d
ux
v xx
= +
=
2
1
dd
1
1
ux
x
vx
=
⇔
+
= −
.
Ta có
( )
( )
2
2
2
2
0
0
1
1 ln 1 d
1
x
Ix x x
x
−
=− +−
+
∫
( )
2
0
3ln 3 1 dxx= −−
∫
2
2
0
3ln 3 3ln3
2
x
x

= −−=


.
Vậy
3a =
,
3b =
6 7 39ab⇒+=
.
Câu 49. Cho
( )
1
2
0
1 ln 2 ln 3
ln 2 d
24
a bc c
xx x
x
−+

++ =

+

∫
với
a
,
b
,
c
∈
. Tính
T abc=++
.
A.
13
T =
. B.
15
T =
. C.
17T =
. D.
11T =
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt
( )
ln 2
dd
ux
v xx
= +
=
2
1
d
2
4
2
u
x
x
v
=
+
⇒
−
=
.
( )
1
0
1
ln 2 d
2
xx x
x

++

+

∫
( )
1
11
2
00
0
42
ln 2 d d
2 22
x xx
x xx
x
−−
= +− +
+
∫∫
−
−
( )
cos
ln sin
sin
x
u x du dx
x
= ⇒=
2
cos
dx
dv
x
=
tanvx=
(
)
( )
33
3
2
6
66
ln sin
tan .ln sin
cos
x
I dx x x x dx
x
ππ
π
π
ππ

= = −

∫∫
https://toanmath.com/
( )
( )
1
2
1
0
0
31
ln3 2ln 2 2 2ln 2
2 22
x
xx x

−
= + − − +− +


(
)
33
ln3 2ln 2 1 2 ln 3 ln 2
24
−
= + + +− −
14ln3 16ln 2 7
4
−++
=
. Suy ra:
4
2
7
a
b
c
=
=
=
.
Vậy
13
T abc=++=
.
Câu 50. Biết
(
)
3
3
2
ln 3 2 d ln 5 ln 2x x xa b c−+ = + +
∫
, với
,,
a bc∈
. Tính
.S ab c= +
A.
60S =
. B.
23S = −
. C.
12S =
. D.
2S = −
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
(
) ( ) (
)
33
3
33 3
2
22
ln 3 2 d .ln 3 2 d ln 3 2xx xxxx x xx−+ = −+ − −+
∫∫
(
)
(
)
( )
2
3
2
2
33
3ln 20 4ln 2 d
12
xx
x
xx
−
= −−
−+
∫
( )
( )( )
( )( )
( )( )
33
22
3 1 3 1 26
3ln 20 4ln 2 d 3ln5 2ln 2 d
12 12
xx x x
xx
xx xx
+ − ++
= −− =+−
−+ −+
∫∫
( )
3
33
3
2
22
2
11
3ln 5 2ln 2 3 2 d 3ln 5 2ln 2 3 2ln 1 2ln 2
12
x x xx
xx

=+− − − =+−− −+ +

−+

∫
5ln5 4ln 2 3=−−
.
Suy ra
5; 4; 3ab c
= =−=−
. Do đó
23S ab c
= +=−
.
Câu 51. Cho biết tích phân
( ) (
)
1
0
7
2 ln 1 d ln 2I x x xa
b
−
=+ += +
∫
trong đó
a
,
b
là các số nguyên
dương. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A.
ab=
. B.
ab<
. C.
ab>
. D.
3ab= +
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt
( )
( )
2
1
dd
ln 1
1
d 2d
2
2
ux
ux
x
x
vx x
vx
=
= +

+
⇒

= +
= +
.
( )
1
1
22
0
0
14
2 ln 1 d
2 21
x xx
I xx x
x


+
= + +−


+


∫
1
0
51 3
ln 2 3 d
22 1
xx
x

= − +−

+

∫
( )
1
2
0
51
ln 2 3 3ln 1
2 22
x
xx

= − +− +


7
4ln 2
4
−
= +
.
Suy ra
4a =
,
4b =
.
Vậy
ab=
.
Câu 52. 17TCho
( )
2
2
1
ln 1
d ln 2
1
xx a
Ix
bc
x
+
= = −
+
∫
với
a
,
b
,
m
là các số nguyên dương và là phân số tối giản.
Tính giá trị của biểu thức
ab
S
c
+
=
.
https://toanmath.com/
17TA. 17T
2
3
S =
. 17TB. 17T
5
6
S =
. 17TC. 17T
1
2
S
=
. 17TD. 17T
1
3
S =
.
Hướng dẫn giải
17TChọn B
17TTính
( )
2
2
1
ln
d
1
xx
Ix
x
+
=
+
∫
.
17TĐặt
( )
2
ln
1
dd
1
x xu
xv
x
+=
=
+
1
dd
1
1
x
xu
x
v
x
+
=
⇒
−=
+
.
17TKhi đó
( )
( )
2
22
2
1
11
ln 1 1 1
d ln . d
11
1
xx x
I x xx x
x xx
x
++
= =− ++
++
+
∫∫
( )
2
1
1 11
2 ln 2 d
32
x
x
=− + ++
∫
(
)
2
1
1 1 21
2 ln 2 ln ln 2
3 2 36
x=− + ++ = −
17TVậy
2; 3; 6abc= = =
5
6
ab
S
c
+
⇒= =
.
Câu 53. Cho
1ab> >−
. Tích phân
( )
ln 1 d
b
a
I xx= +
∫
bằng biểu thức nào sau đây?
A.
( )
( )
1 ln 1
b
a
I x x ab
= + + −+
. B.
( ) ( )
1 ln 1
b
a
I x x ba= + + −+
.
C.
( )
1
1
b
a
I
x
=
+
. D.
( )
ln 1 d
1
b
b
a
a
x
Ix x x
x
= ++
+
∫
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt
( )
1
ln 1
dd
1
dd
1
ux
ux
x
vx
vx
= +
=

⇒
+

=
= +
Do đó
( )
ln 1 d
b
a
I xx= +
∫
( )
( )
( )
(
)
1 ln 1 d 1 ln 1
b
bb
b
a
aa
a
xx xxxx
=+ +− =+ +−
∫
( ) ( )
1 ln 1
b
a
x x ba= + + −+
Câu 54. Biết
2
e
2
2
e
1 1 e e+
d
ln ln 2
a bc
x
xx
+

−=


∫
, trong đó
a
,
b
,
c
là các số nguyên. Giá trị của
222
abc++
bằng
A.
5
. B.
3
. C.
4
. D.
9
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Xét tích phân:
2
e
e
1
d
ln
x
x
∫
.
Đặt
1
ln
u
x
= ⇒
;
2
1
dd
ln
ux
xx
= −
.
ddvx=
chọn
vx=
.
Khi đó
2
22
e
ee
2
e
ee
11
dd
ln ln ln
x
xx
xx x
= +
∫∫
2
e
2
2
e
1 1 e 2e
d
ln ln 2
x
xx
−+

⇔−=


∫
.
https://toanmath.com/
Do đó
1
2
0
a
b
c
= −
=
=
.
Vậy
222
5
abc
++=
Câu 55. Biết
(
)
3
2
0
ln 16 d ln 5 ln 2
2
c
x x xa b
+ =++
∫
trong đó
,,abc
là các số nguyên. Tính giá trị của
biểu thức
T abc=++
.
A.
2T
=
. B.
16T = −
. C.
2T
= −
. D.
16
T
=
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt
( )
2
ln 16
dd
ux
v xx
= +
=
2
2
2
dd
16
16
2
x
ux
x
x
v
=
+
⇒
+
=
.
Ta có:
(
)
3
2
0
ln 16 dxx x+
∫
( )
3
2
3
2
0
0
16
ln 16 d
2
x
x xx
+
= +−
∫
( )
22
33
2
00
16
ln 16
22
xx
x
+
= +−
25 9 9
ln 25 8ln16 25ln 5 32ln 2
22 2
= − −= − −
. Do đó
25, 32, 9ab c= =−=−
16T⇒=−
.
Câu 56. Tính tích phân
2
2018
2
1
1
2019log d
ln 2
I x xx

= +


∫
.
A.
2017
2I =
. B.
2019
2I =
. C.
2018
2I =
. D.
2020
2I
=
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
2
2018
2
1
1
2019log d
ln 2
I x xx

= +


∫
22
2018 2018
2
11
1
2019 log d d
ln 2
x xx x x= +
∫∫
12
1
2019
ln 2
II= +
.
Trong đó
2
2
2019
2018
2
1
1
d
2019
x
I xx= =
∫
2019
21
2019
−
=
.
và
2
2018
12
1
log dI x xx=
∫
. Đặt
2
2018
log
dd
ux
vx x
=
=
2019
1
dd
.ln 2
2019
ux
x
x
v
=
⇒
=
.
Khi đó
2
2019
12 2
1
1
.log
2019 2019.ln2
x
I xI

= −


2019 2019
2 121
.
2019 2019.ln2 2019
−
= −
2019 2019
2
2 21
2019 2019 .ln 2
−
= −
.
Vậy
2019
2I =
.
Câu 57. Biết
( )
3
2
1
3 ln
d
1
x
Ix
x
+
=
+
∫
( )
1 ln 3 ln 2ab=+−
,
( )
,ab∈
. Khi đó
22
ab+
bằng
A.
22
7
16
ab+=
. B.
22
16
9
ab+=
. C.
22
25
16
ab+=
. D.
22
3
4
ab+=
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
https://toanmath.com/
Đặt:
( )
2
1
3 ln
dd
d
1
1
1
ux
ux
x
dx
v
v
x
x
= +
=

⇔

=

= −
+
+
Khi đó:
( )
3
3
1
1
3 ln 1
d
11
x
Ix
x xx
+
=−+
++
∫
3
1
3 ln3 3 1 1
d
42 1
x
xx
+

=− ++ −

+

∫
( )
3
1
3 ln 3
ln ln 1
4
xx
−
= + −+
3 ln 3
ln3 ln 4 ln 2
4
−
= +−+
( )
3
1 ln 3 ln 2
4
=+−
22
3
25
4
16
1
a
ab
b
=
⇒ ⇒+=
=
.
Câu 58. Biết
2
2
1
ln
d ln 2
xb
xa
xc
= +
∫
(với
a
là số hữu tỉ,
b
,
c
là các số nguyên dương và
b
c
là phân số
tối giản). Tính giá trị của
23S a bc
= ++
.
A.
4
S
=
. B.
6S = −
. C.
6S
=
. D.
5
S
=
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt
2
ln
1
dd
ux
vx
x
=
=
1
dd
1
ux
x
v
x
=
⇒
= −
.
Khi đó, ta có:
2
22
22
1
11
ln ln 1
dd
xx
xx
x xx
= =−+
∫∫
2
1
11
ln 2
2 x
=−−
11
ln 2
22
=−+
.
Từ giả thiết suy ra
1
2
a
= −
,
1b =
,
2c =
.
Vậy giá trị của
4S =
.
Câu 59. Biết rằng
( )
2
1
ln 1 d ln3 ln 2x xa b c+= + +
∫
với
a
,
b
,
c
là các số nguyên. Tính
S abc=++
A.
0S =
. B.
1S =
. C.
2S =
. D.
2S = −
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt
( )
ln 1
dd
ux
vx
= +
=
1
dd
1
ux
x
vx
=
⇒
+
=
Khi đó, ta có:
( )
( )
22
11
2
ln 1 d ln 1 d
1
1
x
x xx x x
x
+ = +−
+
∫∫
2
1
1
2ln 3 ln 2 1 d
1
x
x

= −−−

+

∫
( )
2
2ln 3 ln 2 ln 1
1
xx= − −− +
( )
2ln 3 ln 2 2 ln 3 1 ln 2= − − − −+
3ln 3 2ln 2 1=−−
.
Suy ra
S abc=++
3210=−−=
.
Câu 60. Tính tích phân
( ) ( )
5
4
1 ln 3 dIx x x=+−
∫
?
https://toanmath.com/
A.
10ln 2
. B.
19
10ln 2
4
+
. C.
19
10ln 2
4
−
. D.
19
10ln 2
4
−
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt
( )
2
1
dd
ln 3
3
1
d1
2
ux
ux
x
vx
v xx
=
= −

−
⇒

= +
= +
.
( )
2
5
2
4
1
5
1
2
ln 3 d
4
23
xx
I xx x x
x
+

= + −−

−

∫
55
2
44
35 1 9 9 3 3
ln 2
22 3 3
xx
dx dx
xx
−+ −+
=−−
−−
∫∫
( )
35 1 9
ln 2 3 9ln 2 1 3ln 2
2 22

= − ++ − +


19
10ln 2
4
= −
.
Câu 61. Biết rằng
3
2
ln d ln 3 ln 2x xx m n p= ++
∫
, trong đó
m
,
n
,
p
∈
. Khi đó số
m
là
A.
9
2
. B.
18
. C.
9
. D.
27
4
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt
2
dd
ln
dd
2
ux
ux
x
v xx
v
=
=
⇔

=
=
3
2
ln dx xx
⇒=
∫
3
3
22
2
2
ln d
22
xx
xx−
∫
3
3
2
9
ln3 2ln 2
26
x
= −−
9 19
ln3 2ln 2
26
= −−
9
2
2
19
6
m
n
p
=
⇒=−
= −
Vậy
9
2
m =
.
Câu 62. Biết
( )
4
2
0
ln 9 d ln5 ln3x x xa b c+=++
∫
, trong đó
a
,
b
,
c
là các số nguyên. Giá trị của biểu
thức
T abc=++
là
A.
10T =
. B.
9T =
. C.
8T
=
. D.
11
T =
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
( )
( )
2
2
2
2
dd
9
ln 9
dd
9
2
x
ux
x
ux
v xx
x
v
=
+
= +

⇔

=
+
=
Suy ra
( ) ( )
4
44
22
22
2
00
0
9 92
ln 9 d ln 9 . d
2 29
x xx
xx x x x
x
++
+ = +−
+
∫∫
25ln 5 9ln3 8= −−
.
Do đó
25a =
,
9b = −
,
8c = −
nên
8T =
.
https://toanmath.com/
Câu 63. Tích phân
(
)
1
2
0
ln 1I x x dx
= +−
∫
có giá trị là:
A.
( )
21ln 21I = −+ −
. B.
( )
21ln 21I = −− −
.
C.
( )
2 1 ln 2 1I =− ++ −
. D.
( )
2 1 ln 2 1I =− +− −
.
Hướng dẫn giải
Tích phân
(
)
1
2
0
ln 1
I x x dx
= +−
∫
có giá trị là:
Đặt
(
)
2
2
1
ln 1
1
du dx
u xx
x
dv dx
vx
−
=
= +−

⇒
+


=
=
.
(
)
(
)
1
1
2
2
0
0
.ln 1
1
x
I x x x dx
x
⇒ = +− +
+
∫
.
Xét
1
1
2
0
1
x
I dx
x
=
+
∫
.
Đặt
2
12t x dt xdx
= +⇒ =
.
Đổi cận
01
12
xt
xt
=⇒=
=⇒=
.
( )
2
2
1
1
1
11
21
2
I dt t
t
⇒= = = −
∫
.
(
)
(
)
( )
1
2
1
0
.ln 1 2 1 ln 2 1II x x x⇒ = + +− = −+ −
.
Chọn A
Câu 64. Cho tích phân
2
1
1
ln
e
I x xdx ae b
x

=+=+


∫
, a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của
23ab−
là:
A.
13
2
. B.
13
4
. C.
13
4
−
. D.
13
2
−
Hướng dẫn giải
Cho tích phân
2
1
1
ln
e
I x xdx ae b
x

=+=+


∫
. Giá trị của
23ab
−
là:
Ta có:
1
22
1 1 1 10
1
11 5
ln ln ln ln
2 2 44
e
e ee e
xxe
I x xdx x xdx xdx x dx dt
xx


= + = + = − +=+




∫ ∫ ∫ ∫∫
, với
lntx=
.
1 5 13
, 23
44 4
a b ab⇒= =⇒ − =−
.
Chọn C
Câu 65. Tính tích phân
/4
2
0
ln(sin cos )
d
cos
xx
x
x
π
+
∫
, ta được kết quả
A.
1
ln 2.
42
π
−+
B.
3
ln 2.
42
π
−
C.
3
ln 2.
42
π
−+
D.
3
ln 2.
42
π
−−
Hướng dẫn giải
Chọn C
Trắc nghiệm bấm máy tính tích phân trừ cho từng đáp án ta được đáp án C.
https://toanmath.com/
Tự luận:
( )
/4 /4 /4
2 2 22
00 0
ln cos .(1 tan )
ln(sin cos ) ln(cos ) ln(1 tan )
dd d
cos cos cos cos
xx
xx x x
xx x
x x xx
ππ π
+
++

= = +


∫∫ ∫
/4 /4
22
00
ln(cos ) ln(1 tan )
dd
cos cos
xx
x xIJ
xx
ππ
+
=+=+
∫∫
.
Đặt
2
sin
ln cos d d
cos
1
d d , tan
cos
x
u xu x
x
v xv x
x
= ⇒=−
= =
.
( )
/4 /4
2
4
44
2
00
0
00
ln(cos ) 1
d tan .ln(cos ) tan d tan .lncos tan ln 2 1
cos 2 4
x
I xx x xxx x xx
x
ππ
π
ππ
π
= = + = +−+ =− − +
∫∫
/4
2
0
ln(1 tan )
d.
cos
x
Jx
x
π
+
=
∫
Đặt
2
1
1 tan d d .
cos
t xt x
x
=+ ⇒=
Đổi cận:
0 1, 2
4
x tx t
π
=⇒= = ⇒=
2
1
ln dJ tt=
∫
. Đặt
1
lnt d d
d d ,
u ut
t
v t vt
= ⇒=
= =
( )
2
2
1
1
ln d ln 2ln 2 1J tt t t t⇒= = − = −
∫
Vậy
/4
2
0
ln(sin cos ) 3
d ln 2.
cos 4 2
xx
x
x
π
π
+
=−+
∫
Câu 66.
Giả sử
2
2
1
4ln 1
d ln 2 ln 2
x
xa b
x
+
= +
∫
, với
,
ab
là các số hữu tỷ. Khi đó tổng
4ab+
bằng.
A.
3
. B.
5
C.
7
. D.
9
.
Hướng dẫn giải
(
)
2 2 22
2
2
22
1
1
1 1 11
4ln 1 4ln 1 1
d + d 4 ln d ln d 2ln ln 2ln 2 ln 2
xx
x x xx x x x
x xx x
+

= = += +=+


∫ ∫ ∫∫
.
Chọn D
Câu 67. Tính tích phân
( )
1000
2
2
1
ln
.
1
x
I dx
x
=
+
∫
A.
1000
1000 1000
ln 2 2
1000ln .
12 12
I =−+
++
B.
1001
1000 1000
1000ln 2 2
ln .
12 12
I =−+
++
C.
1000
1000 1000
ln 2 2
1000ln .
12 12
I
= −
++
D.
1000
1000 1000
1000ln 2 2
ln .
12 12
I = −
++
Hướng dẫn giải
Ta có
( )
( )
1000 1000 1000
1000
22 2
2
2
11 1
1
ln 1 ln 1
ln ln
11 1
1
xx
I dx xd d x
xx x
x
= =− =−+
++ +
+
∫∫ ∫
1000 1000
22
1000
1000 1000
11
ln2 1 1 1000ln 2 1 1
.
12 1 12 1
dx dx
x x xx

=− + =− +−

++ + +

∫∫
( )
1000 1000
1001
22
1000 1000 1000 1000
11
1000ln 2 1000ln 2 1000ln 2 2
ln ln 1 ln ln .
12 12 1 12 12
x
xx
x
=−+−+=−+ =−+
+ + + ++
Chọn B
| 1/163
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

TÍCH PHÂN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Định nghĩa
Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [ ; a b]. Hiệu số
F (b) − F (a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [ ;
a b] của hàm số f (x), b
kí hiệu là f (x) . dx ∫ a b Ta dùng kí hiệu
F (x) = F (b) − F (a) để chỉ hiệu số
F (b) − F (a) . Vậy a b b
f (x)dx = F (x) = F (b) − F (a) ∫ . a a b b
Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi f (x)dx ∫ hay f (t)dt. ∫ Tích phân a a
đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [ ; a b] thì tích phân b f (x)dx ∫
là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) , trục Ox và hai đường a b
thẳng x = a, x = . b Vậy S = f (x) . dx ∫ a
2.Tính chất của tích phân a b a 1.
f (x)dx = 0 ∫ 2.
f (x)dx = − f (x)dx ∫ ∫ a a b b c c b b 3.
f (x)dx + f (x)dx = f (x)dx ∫ ∫ ∫
( a < b < c )4. k. f (x)dx = k. f (x)dx (k ∈ ) ∫ ∫  a b a a a b b b
5. [ f (x) ± g(x)]dx =
f (x)dx ± g(x)dx ∫ ∫ ∫ . a a a B. BÀI TẬP
ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ BẢNG NGUYÊN HÀM Câu 1:
Cho hàm số y = f ( x) , y = g ( x) liên tục trên [ ;
a b] và số thực k tùy ý. Trong các khẳng
định sau, khẳng định nào sai? b a A. f
∫ (x)dx = − f
∫ (x)dx. a b b b B. xf
∫ (x)dx = x f
∫ (x)dx . a a a C. kf
∫ (x)dx = 0 . a b b b D. f
∫ (x)+ g(x)dx = f
∫ (x)dx+ g ∫ (x)dx. a a a Câu 2:
Khẳng định nào sau đây sai? https://toanmath.com/ b b b b b c A. f
∫ (x)+ g(x)dx = f
∫ (x)dx+ g
∫ (x)dx . B. f
∫ (x)dx = f
∫ (x)dx+ f
∫ (x)dx . a a a a c a b a b b C. f
∫ (x)dx = f
∫ (x)dx . D. f
∫ (x)dx = f ∫ (t)dt . a b a a Câu 3:
Cho hai hàm số f (x) và g (x) liên tục trên K , a, b∈ K . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? b b b b b A. f
∫ (x)+ g(x)dx = f
∫ (x)dx+ g
∫ (x)dx. B. kf
∫ (x)dx = k f
∫ (x)dx . a a a a a b b b C. f
∫ (x)g(x)dx = f ∫ (x)d .x g
∫ (x)dx . D. a a a b b bf
∫ (x)− g(x)dx = f
∫ (x)dx− g ∫ (x)dx . a a a Câu 4:
Cho hai số thực a , b tùy ý, F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên tập  . Mệnh
đề nào dưới đây là đúng? b b A. f
∫ (x)dx = f (b)− f (a) . B. f
∫ (x)dx = F (b)− F (a). a a b b C. f
∫ (x)dx = F (a)− F (b). D. f
∫ (x)dx = F (b)+ F (a). a a Câu 5:
Cho f ( x) là hàm số liên tục trên đoạn [ ;
a b] và c ∈[ ;
a b] . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. c b a b c b A. f
∫ (x)dx+ f
∫ (x)dx = f
∫ (x)dx. B. f
∫ (x)dx+ f
∫ (x)dx = f
∫ (x)dx. a c b a a c b c c b a b C. f
∫ (x)dx− f
∫ (x)dx = f
∫ (x)dx. D. f
∫ (x)dx+ f
∫ (x)dx = f ∫ (x)dx. a a c a c c Câu 6:
Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên khoảng K và a,b, c ∈ K . Mệnh đề nào sau đây sai? b b c b b A. f
∫ (x)dx+ f
∫ (x)dx = f
∫ (x)dx. B. f
∫ (x)dx = f ∫ (t)dt . a c a a a b a a C. f
∫ (x)dx = − f
∫ (x)dx. D. f ∫ (x)dx = 0. a b a Câu 7:
Cho hàm số f (t ) liên tục trên K và a,b ∈ K , F (t ) là một nguyên hàm của f (t ) trên K .
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau. b b b
A. F (a) − F (b) = f
∫ (t)dt . B. f
∫ (t)dt = F (t) . a a a b b   b b C. f
∫ (t)dt =  f
∫ (t)dt . D. f
∫ (x)dx = f ∫ (t)dt . a   a a a https://toanmath.com/ Câu 8:
Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [a;b] . Mệnh đề nào dưới đây sai? b b A. f
∫ (x)dx = f
∫ (t)dt . a a b a B. f
∫ (x)dx = − f
∫ (x)dx. a b b C. d k x = k ∫
(a −b) , k ∀ ∈  . a b c b D. f
∫ (x)dx = f
∫ (x)dx+ f
∫ (x)dx, c ∀ ∈( ; a b) . a a c Câu 9:
Giả sử f là hàm số liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kỳ trên khoảng K . Khẳng
định nào sau đây sai? a b a A. f
∫ (x)dx =1. B. f
∫ (x)dx = − f
∫ (x)dx . a a b c b b b b C.
f ( x) dx + f ( x) dx = f ( x) dx, c ∈ ∫ ∫ ∫ (
a;b) . D. f
∫ (x)dx = f ∫ (t)dt . a c a a a
Câu 10: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [ ;
a b] . Mệnh đề nào dưới đây sai? b a b c b A. f
∫ (x)dx= − f
∫ (x)dx . B. f
∫ (x)dx= f
∫ (x)dx+ f ∫ (x)dx , a b a a c c ∀ ∈  . b b a C. f
∫ (x)dx= f
∫ (t)dt . D. f ∫ (x)dx= 0 . a a a
Câu 11: Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) . Khi đó hiệu số F (0) − F ( ) 1 bằng 1 1 1 1 A. f
∫ (x)dx . B. −F
∫ (x)dx . C. −F
∫ (x)dx . D. − f ∫ (x)dx . 0 0 0 0
Câu 12: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên [ ;
a b] , có đồ thị y = f ′( x) như hình vẽ sau:
Mệnh đề nào dưới đây đúng? b b A. f ′
∫ (x)dx là diện tích hình thang ABMN . B. f ′
∫ (x)dx là dộ dài đoạn BP . a a https://toanmath.com/ b b C. f ′
∫ (x)dx là dộ dài đoạn MN . D. f ′
∫ (x)dx là dộ dài đoạn cong AB . a a a a a
Câu 13: Cho hai tích phân f
∫ (x)dx = m và g
∫ (x)dx = n. Giá trị của tích phân  f
∫  (x)− g(x) dx   −a −a −a là:
A. m − n .
B. n − m .
C. m + n . D. Không thể xác định. b a b
Câu 14: Cho tích phân I = f x dx = m ∫ I = f x dx = n ∫ I = f ∫ (x)dx 2 ( ) 1 ( ) và . Tích phân có giá trị a c c là:
A. m + n .
B. m − n .
C. −m − n . D. Không thể xác định. b Câu 15: Tích phân f
∫ (x)dx được phân tích thành: a b a b a A. f ∫ (x)+ − f
∫ (x)dx. B. f ∫ (x)− − f
∫ (x)dx . c c c c b a b a C. f ∫ (x)+ f
∫ (x)dx. D. − f ∫ (x)+ f ∫ (x)dx . c c c c 1 1 Câu 16: Cho f
∫ (x)dx = 3. Tính tích phân I = 2 f
∫  (x)−1dx .  2 − 2 − A. 9 − . B. 3 − . C. 3 . D. 5 . 3
Câu 17: Cho hàm f ( x) có đạo hàm liên tục trên [2; ]
3 đồng thời f (2) = 2 , f (3) = 5 . Tính f ′ ∫ (x)dx 2 bằng A. 3 − . B. 7 . C. 10 D. 3 . b Câu 18: Cho f ′
∫ (x)dx = 7 và f (b) = 5. Khi đó f (a) bằng a A. 12 . B. 0 . C. 2 . D. 2 − .
Câu 19: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a ;b] và f (a) = 2 − , f (b) = 4 − . Tính 4 7 T 4 7 T b T = f ′
∫ (x)dx . a A. T = 6 − .
B. T = 2 .
C. T = 6 . D. T = 2 − . 1
Câu 20: Cho hàm số f ( x) liên tục trên [0; ] 1 và f ( )
1 − f (0) = 2 . Tính tích phân f ′ ∫ (x)dx . 0 A. I = 1 − .
B. I = 1.
C. I = 2 . D. I = 0 . https://toanmath.com/ ′ 4 Câu 21: Cho hàm số ′
y = f (x) thoả mãn điều kiện f (1) = 12 , f (x) liên tục trên  và
f (x)dx = 17 ∫1
. Khi đó f (4) bằng A. 5 . B. 29 . C. 19 . D. 9 .
Câu 22: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 1 − ; ]
3 và thỏa mãn f (− ) 1 = 4 ; f (3) = 7 . 3
Giá trị của I = 5 f ′
∫ (x)dx bằng 1 − A. I = 20 . B. I = 3 . C. I = 10 . D. I = 15 . a b 1
Câu 23: Cho hàm số f ( x) =
+ + 2 , với a , b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện f
∫ (x)dx = 2−3ln2 2 x x 1 2
. Tính T = a + b . A. T = 1 − .
B. T = 2 . C. T = 2 − . D. T = 0 . 3 dx
Câu 24: Tính tích phân I = . ∫ x+2 0 4581 A. I = 5 . B. I = 5 log . C. I = 21 ln . D. I = − . 5000 2 2 100 2018 2 dx
Câu 25: Tính tích phân I = . ∫ x 1
A. I = 2018.ln 2 −1 . B. 2018 I = 2 .
C. I = 2018.ln 2 . C. I = 2018 . 1  1 
Câu 26: Tính I = + 3 x dx ∫  .  2x +1  0 A. 2 + ln 3 . B. 4 + ln 3 . C. 2 + ln 3 . D. 1+ ln 3 . 1 Tính tích phân 2018 I = x ∫ (1+ x)dx Câu 27: 0 1 1 A. I = + 1 1 . B. I = + 1 1 . C. I = + 1 1 . D. I = + 2018 2019 2020 2021 2019 2020 2017 2018 . 2 3  x khi 0 ≤ x ≤ 1 2
Câu 28: Cho hàm số y = f ( x) =  . Tính tích phân f
∫ (x)dx .
4 − x khi 1 ≤ x ≤ 2 0 7 5 3 A. . B. 1 . C. . D. . 2 2 2  2  khi 0 ≤ x ≤ 1 3
Câu 29: Cho hàm số y = f ( x) =  x +1 . Tính tích phân f
∫ (x)dx .
2x −1 khi 1≤ x ≤ 3 0 A. 6 + ln 4 . B. 4 + ln 4 . C. 6 + ln 2 . D. 2 + 2 ln 2 . https://toanmath.com/ 2 3  x khi 0 ≤ x ≤ 1 2
Câu 30: Cho hàm số y = f ( x) =  . Tính f
∫ (x)dx.
4 − x khi 1 ≤ x ≤ 2 0 7 5 3 A. . B. 1 . C. . D. . 2 2 2 2
6x khi x ≤ 0 4
Câu 31: Cho hàm số y = f ( x) =  và I = f
∫ (x)dx. Hỏi có tất cả bao nhiêu số 2
a − a x khi x ≥ 0 1 −
nguyên a để I + 22 ≥ 0 ? A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . b
Câu 32: Biết ∫(2x − )
1 dx = 1. Khẳng định nào sau đây là đúng? a
A. b − a = 1. B. 2 2
a − b = a − b −1 . C. 2 2
b − a = b − a +1 . D. a − b = 1. 2
Câu 33: Đặt I = (2mx + ∫ )
1 dx ( m là tham số thực). Tìm m để I = 4 . 1 A. m = 1 − . B. m = 2 − .
C. m = 1 . D. m = 2 . 3 3 2 Câu 34: Cho
f (x)dx = a , f (x)dx = b . ∫
Khi đó f (x)dx b ∫ ằng: ∫ 0 2 0
A. −a − b .
B. b − a .
C. a + b .
D. a − b . b
Câu 35: Giá trị nào của b để ∫(2x − 6)dx = 0 ? 1
A. b = 0 hoặc b = 3 .
B. b = 0 hoặc b = 1
C. b = 5 hoặc b = 0 . D. b = 1 hoặc b = 5 . a
Câu 36: Có bao nhiêu giá trị thực của AD để có ∫(2x + 5)dx = a − 4 0 A. 1. B. 0 . C. 2 . D. Vô số. m
Câu 37: Xác định số thực dương m để tích phân ∫( 2
x − x )dx có giá trị lớn nhất. 0
A. m = 1 .
B. m = 2 .
C. m = 3 . D. m = 4 2
Câu 38: Cho a là số thực thỏa mãn a < 2 và ∫(2x + )
1 dx = 4 . Giá trị biểu thức 3 1+ a bằng. a A. 0 . B. 2 . C. 1. D. 3 . 2
Câu 39: Tích phân I = 2 .
x dx có giá trị là: ∫1
A. I = 1. B. I =2.
C. I = 3. D. I = 4. 1
Câu 40: Tích phân I = ∫ ( 3
x + 3x + 2) dx có giá trị là: 1 −
A. I = 1.
B. I = 2.
C. I = 3. D. I = 4. https://toanmath.com/ 1 1 − a
Câu 41: Cho gá trị của tích phân I = ∫ ( 4 3
x + 2x dx = a I = ∫ ( 2
x + 3x dx = b 2 ) 1 ) , . Giá trị của là: b 1 − 2 − 4 A. P = − 12 . B. P = 12 . C. P = − 4 . D. P = . 65 65 65 65 0
Câu 42: Tích phân I = ∫ ( 3
x + ax + 2)dx có giá trị là: 1 − 7 a a a a A. I = − 9 . B. I = − 7 . C. I = + 9 . D. I = + . 4 2 4 2 4 2 4 2 1
Câu 43: Tích phân I = ∫( 2
ax + bx)dx có giá trị là: 0 a b a b a b a b A. I = + . B. I = + . C. I = + . D. I = + . 2 3 3 3 2 2 3 2 a  1 
Câu 44: Tích phân I = + 2x dx có giá tr ∫  ị là: 2  x  2 1 1 3 1 5 1 7 1 A. 2 I = − − + a . B. 2 I = − − + a . C. 2 I = − − + a . D. 2 I = − − + a . 2 a 2 a 2 a 2 a 2 Câu 45: Tích phân 2 I =
x − x dx có giá trị là: ∫1− 3 A. I = 1 . B. I = 3 . C. I = − 1 . D. I = − . 2 6 2 6 1 Câu 46: Tích phân 3 2 I =
x + x − x −1dx có giá trị là: ∫1− 4 A. I = 1 . B. I = 4 . C. I = − 1 . D. I = − . 3 2 3 2 3 1 − x − 3x + 2
Câu 47: Tích phân I =
dx có giá trị là: ∫ x−1 2 − 7 A. I = − 17 . B. I = 7 . C. I = 17 . D. I = − . 6 6 6 6 2 2 x − x − 2
Câu 48: Tích phân I = dx có giá tr ∫ ị là: x −1 2 −
A. I = 3 − 2 ln 3 . B. I = 2 − ln 3 .
C. I = 3 + 2 ln 3 .
D. I = 3 − 3ln 2 . 1 −  1  Câu 49: Tích phân 3 I = 2ax + dx có giá tr ∫   ị là: x  2 − 15a a a a A. I = − + 15 ln 2 . B. I = − 15 ln 2 . C. I = + 15 ln 2 . D. I = − − ln 2 . 16 16 16 16 https://toanmath.com/ 1 2
Câu 50: Biết tích phân I = 2xdx = a . Giá tr ∫ I = ∫( 2 x + 2x dx 2 ) 1 ị của là: 0 a 17 19 16 13 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 2 3 2 3 2 3 2 3 b
Câu 51: Cho tích phân I = ( 2 x + ∫
)1dx . Khẳng định nào dưới đây không đúng? a b b b b A. I = ∫( 2 x + ) 2
1 dx = x dx + dx . B. 3 I = x + x . ∫ ∫ ( )a a a a 1 1 C. 3 3 I =
b + b − a − a .
D. Chỉ có A và C đúng. 3 3 3e 1
Câu 52: Số nghiệm nguyên âm của phương trình: 3
x − ax + 2 = 0 với a = dx là: ∫ x 1 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 1
Câu 53: Số nghiệm dương của phương trình: 3
x + ax + 2 = 0 , với a = 2xdx , a và b là các s ∫ ố hữu tỉ 0 là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. k x +1 −1
Câu 54: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số k để có ∫(2x − ) 1 dx = 4 lim . \ x→0 x 1 k =1 k =1 k = 1 − k = 1 − A. . B. . C. . D. .     k = 2 k = 2 − k = 2 − k = 2
Câu 55: Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1+ x − 1− x trên tập  và thỏa mãn F ( )
1 = 3 . Tính tổng F (0) + F (2) + F ( 3 − ) . A. 8 . B. 12 . C. 14 . D. 10 . 2 −
Câu 56: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương n thỏa mãn ( 2 2 3 n 1
1− n + 2x + 3x + 4x + ... + nx )dx = 2 − ∫0 ? A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 3 .
Câu 57: Cho hàm số y = f ( x) . Hàm số y = f ′( x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây https://toanmath.com/
Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y = f ′( x) trên đoạn [ 2; −
]1 và [1;4] lần lượt bằng 9 và 12 . Cho f ( )1 = 3 . Giá trị biểu thức f ( 2
− ) + f (4) bằng A. 21 B. 9 . C. 3 . D. 2 . 2 1
Câu 58: Cho I = ∫( 2
2x − x − m)dx và J = ∫( 2
x − 2mx)dx . Tìm điều kiện của m để I ≤ J . 0 0
A. m ≥ 3 .
B. m ≥ 2 .
C. m ≥ 1 . D. m ≥ 0 . 1 7 2
Câu 59: Biết rằng hàm số ( ) 2
f x = ax + bx + c thỏa mãn f
∫ (x)dx = − , f ∫ (x)dx = 2 − và 2 0 0 3 f ∫ (x) 13 dx =
(với a , b , c ∈  ). Tính giá trị của biểu thức P = a + b + c . 2 0 3 A. P = − 4 . B. P = − 4 . C. P = 3 . D. P = . 4 3 3 4 TÍCH PHÂN HỮU TỈ 1 x − 5 Câu 60: Biết
dx = a + ln b với , là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây ∫ a b đúng? 2x + 2 1 3 8 A. ab = 7 .
B. a + b = 9 . C. ab = 3 .
D. a + b = . 81 24 8 10 1 2ax
Câu 61: Tích phân I = dx = ln 2 . Giá tr ∫
ị của a là: x +1 0 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 A. a = . B. a = . C. a = . D. a = . 1− ln 2 2 − 2 ln 2 1+ ln 2 2 + 2 ln 2 1 1 Câu 62: Cho I =
dx = a − b ln 2 + b ln 3 ∫ 2 ( )
. Giá trị a + b là: 3 + 2x − x 0 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 2 6 3 2 2 x
dx = a + ln b ∫ ( ,ab∈)
S = 2a + b S Câu 63: Biết . Gọi
, giá trị của thuộc khoảng nào sau đây? x +1 0 A. (8;10) . B. (6;8) . C. (4;6) . D. (2; 4) . 2  x Câu 64: Tích phân 2 I = x + dx có giá tr ∫  ị là: x +1  1 10 A. I = + ln 2 − 10 ln 3 . B. I = − ln 2 + 10 ln 3 . C. I = − ln 2 − ln 3. D. 3 3 3 10 I = + ln 2 + ln 3 . 3 https://toanmath.com/
Câu 65: Nhận xét: Không thể dùng máy tính để tính ra kết quả như trên mà ta chỉ có thể dùng để kiểm 2  1  I = + 2x dx ∫ tra mà Tích phân   2 có giá trị là: x  1 5 A. I = 7 . B. I = 9 . C. I = 11 . D. I = . 2 2 2 2 1  ax
Câu 66: Tích phân I = − 2ax dx ∫  có giá trị là: x +1  0
A. I = −a ln 2 . B. I = 2 − ln 2 .
C. I = 2 ln 2 .
D. I = a ln 2 . a a x
Câu 67: Tích phân I = + dx ,v ∫ 
ới a ≠ 0 có giá trị là: x a  1 2 a +1 2 a +1
A. I = a ln a +
. B. I = a ln a + . 2a 2a 2 a −1 2 a −1
C. I = a ln a +
. D. I = a ln a + . 2a 2a 3 2 2 a x + 2x
Câu 68: Tích phân I =
dx có giá trị nhỏ nhất khi số thực dương a có giá trị là: ∫ ax 2 2 1 A. 2 5 . B. . C. . D. 5 . 5 5 2  b Câu 69: Tích phân 2 I = ax + dx có giá tr ∫  ị là: x  1 7 A. I =
a − b ln 2 .
B. I = 3a − 7 b ln 2 . C. I =
a + b ln 2 .
D. I = 3a + b ln 2 . 3 3 1  bCâu 70: Tích phân 3 I = ax + dx có giá tr ∫   ị là: x + 2  1 − a a A. I = b − ln 3. B. I = − b ln 3 . C. I = + b ln 3 .
D. I = b ln 3 . 2 2 2 e x +1
Câu 71: Tích phân I =
dx có giá trị là: ∫ 2x e 1 1 1 1 1 1 1 1 A. I = 1− + . B. I = 1− − . C. I = 1+ + . D. I = 1+ − . 2 e e 2 e e 2 e e 2 e e 1 x
Câu 72: Giá trị của tích phân I = dx = a . Bi ∫
ểu thức P = 2a −1 có giá trị là: x +1 0
A. P = 1− ln 2 .
B. P = 2 − 2 ln 2 .
C. P = 1− 2 ln 2 .
D. P = 2 − ln 2 . 2 e 2 1+ x + x
Câu 73: Giá trị của tích phân I = dx ∫
 = a . Biểu thức P = a −1 có giá trị là: xe 1 1 1 1 A. 2 4 P = e + e + e . B. 2 4 P = −e + e + e . 2 2 2 2 https://toanmath.com/ 1 1 1 1 C. 2 4 P = −e − e + e . D. 2 4 P = e + e − e . 2 2 2 2 0 2 3x + 5x −1 2
Câu 74: Biết I = dx = a ln
+ b , với a b∈ . Tính giá trị a + 2b . ∫ , x − 2 3 1 − A. 30 . B. 40 . C. 50 . D. 60 . 2 x +1
Câu 75: Tính tích phân: I = dx . ∫ x 1
A. I = 1− ln 2 .
B. I = 2 ln 2 . C. I = 1+ 7 ln 2 . D. I = . 4 1 dx
Câu 76: Tính tích phân I = . ∫ 2x −9 0 1 1 A. I = 1 1 ln . B. I = − 1 ln . C. I = ln 2 . D. 6 I = ln 2 . 6 2 6 2 6 4 dx
Câu 77: Biết I =
= a ln 2 + b ln 3 + c ln 5, v ∫ a, b, c
S = a + b + . c 2 ới là các số nguyên. Tính x + x 3
A. S = 6 .
B. S = 2 . C. S = 2 − .
D. S = 0. 5 3 Câu 78: Biết rằng
dx = a ln 5 + b ln 2 a, b ∈ Z ∫ 2 (
) . Mệnh đề nào sau đây đúng? x + 3x 1
A. a + 2b = 0 .
B. 2a − b = 0 .
C. a − b = 0 .
D. a + b = 0 . 2 x −1 Câu 79: Giả sử
dx = a ln 5 + b ln 3; a, b ∈ . Tính = . ∫  P ab 2 x + 4x + 3 0
A. P = 8 . B. P = 6 − . C. P = 4 − . D. P = 5 − . 2 2 2 x + 2x e 1
Câu 80: Cho giá trị của tích phân a = 2,b = 3 − I =
dx = a , I = dx = b . Giá tr ∫ ∫ 1 2 ị của biểu x +1 x 1 e
thức P = a − b là: 7 A. P = + ln 2 − 3 ln 3 . B. P = + ln 2 − ln 3 . 2 2 5 C. P = + ln 2 − 1 ln 3 . D. P = + ln 2 − ln 3 . 2 2 0 3 2 x − 3x + 2
Câu 81: Giá trị của tích phân I =
dx gần nhất với gái trị nào sau đây? ∫ 2x + x−2 1 − ln 2 A. − . B. ln 2 − 3 1 . C. − ln 3 ln 4 . D. − . 2 2 3 2 ax +1 3 4 3 2
Câu 82: Tích phân I = dx = ln
+ ln . Giá trị của a là:
∫ 2x +3x+2 5 3 5 3 1 1 A. a = 2 . B. a = 3 . C. a = 4 . D. a = . 5 5 5 5 https://toanmath.com/ a 2 x +1 1 7
Câu 83: Tích phân I = dx = ln
. Giá trị của a là: ∫ 3x +3x 3 2 1
A. a = 1.
B. a = 2 .
C. a = 3 . D. a = 4 . x +1 Câu 84: Biết dx = . a ln x −1 + .
b ln x − 2 + C , a b ∈  . Tính giá tr ∫ , ị của biểu thức ( a + b x − ) 1 (2 − x) .
A. a + b = 1.
B. a + b = 5 .
C. a + b = 1 − .
D. a + b = 5 − . 1 3x −1 a 5 a Câu 85: Biết dx = 3ln − ∫ a,b 2 , trong đó
là hai số nguyên dương và là phân số tối x + 6x + 9 b 6 b 0
giản. Tính ab ta được kết quả. A. ab = 5. −
B. ab = 27.
C. ab = 6. D. ab = 12. 3 2 x − 3x + 2 Câu 86: Biết
dx = a ln 7 + b ln 3 + c với , ,
. Tính T = a + b + c . ∫ a b c ∈  2 3 2 3 2 x − x +1 2
A. T = 4 .
B. T = 6 .
C. T = 3 . D. T = 5 . 0 2 3x + 5x −1 2
Câu 87: Giả sử I = dx = . a ln
+ b . Khi đó giá trị a + b là: ∫ 2 x − 2 3 1 − A. 30. B. 40. C. 50. D. 60. 5 3 Câu 88: Biết rằng
dx = a ln 5 + b ln 2 a, b ∈  . Mệnh đề nào sau đây đúng? ∫ ( ) 2 x + 3x 1
A. a + 2b = 0 .
B. 2a − b = 0 .
C. a − b = 0 .
D. a + b = 0 . 3 x + 2 Câu 89: Nếu
dx = a ln 5 + b ln 3 + 3ln 2 a, b ∈  thì giá trị của P = 2a − b là ∫ ( ) 2 2x − 3x +1 2
A. P = 1 . B. P = 15 7 . C. P = − 15 . D. P = . 2 2 3 x + 3 Câu 90: Cho
dx = m ln 2 + n ln 3 + p ln 5 , với , ,
là các số hữu tỉ. Tính ∫ m n p 2 x + 3x + 2 1 2 2
S = m + n + p .
A. S = 6 .
B. S = 4 .
C. S = 3 . D. S = 5 . 2 2 x Câu 91: Biết rằng
dx = a + ln b v ∫
ới a , b∈ , b > 0. Hỏi giá trị 2a + b thuộc khoảng nào sau x +1 0 đây? A. (8;10) . B. (6;8) . C. (4;6) . D. (2; 4) . 4 dx
Câu 92: Biết I =
= a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 v ∫ a, b, c
S = a + b + c 2 ới là các số nguyên. Tính x + x 3
A. S = 6 .
B. S = 2 . C. S = 2 − . D. S = 0 . https://toanmath.com/ 2 dx 1 1 Câu 93: Biết
= + , với , là các số nguyên thuộc khoảng 7;
− 3 thì a và b là ∫ a b ( ) 2 4x − 4x +1 a b 1
nghiệm của phương trình nào sau đây? A. 2
2x − x −1 = 0 . B. 2
x + 4x −12 = 0 . C. 2
x − 5x + 6 = 0 . D. 2 x − 9 = 0 . 5 2 x + x +1 b Câu 94: Biết dx = a + ln v ∫
ới a , b là các số nguyên. Tính S = a − 2b . x +1 2 3 A. S = 2 − .
B. S = 5 .
C. S = 2 . D. S = 10 . 3 dx Câu 95: Biết
= a ln 2 + b ln 5 + c ln 7 , a,b,c ∈ . Giá tr ∫ ( )
ị của biểu thức 2a + 3b − c 4 7 T 4 7 T 4 7 T x + 2 x + 4 0 ( )( ) bằng A. 5 . B. 4 . C. 2 . D. 3 . 4 7 T 4 1
Câu 96: Tìm giá trị của a để
dx = ln a . ∫ x−1 x−2 3 ( )( ) 4 1 3 A. 12 . B. . C. . D. . 3 3 4 1  1 1  Câu 97: Cho −
dx = a ln 2 + b ln 3 ∫ 
với a , b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây
x +1 x + 2  0 đúng ?
A. a + b = 2 .
B. a − 2b = 0 .
C. a + b = 2 − .
D. a + 2b = 0 . 3 5x +12 Câu 98: Biết
dx = a ln 2 + b ln 5 + c ln 6 . Tính S = a + b + c . ∫ 3 2 2 x + 5x + 6 2 A. 3 . B. 14 − . C. 2 − . D. 11 − . 2 1 Câu 99: Cho
dx = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 với , , là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới ∫ a b c 2 x + 5x + 6 1 đây đúng?
A. a + b + c = 4 .
B. a + b + c = 3 − .
C. a + b + c = 2 .
D. a + b + c = 6 . 2 x +1 m n p Câu 100: Biết dx = ln x −1 x − 2 x − 3 + C ∫
4 (m + n + p) 3 2 ( ) ( ) ( ) . Tính .
x − 6x +11x − 6 A. 5 . B. 0 . C. 2 . D. 4 . 3 x + 8 Câu 101: Cho
dx = a ln 2 + b ln 5 với , là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng? ∫ a b 2 x + x − 2 2
A. a + b = 3 .
B. a − 2b = 11.
C. a − b = 5 .
D. a + 2b = 11 . 1 3 2 x + 2x + 3 1 3 Câu 102: Biết dx = + b ln a,b > 0 tìm các giá tr ∫ ( ) ị của k để x + 2 a 2 0 ab ( 2k + )1x+2017 dx < lim . ∫ x→+∞ x + 2018 8 https://toanmath.com/
A. k < 0 .
B. k ≠ 0 .
C. k > 0 . D. k ∈  .
TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ 2
Câu 103: Tính tích phân I =
4x +1 dx . ∫0 13 4 A. 13 . B. . C. 4 . D. . 3 3 1 a
Câu 104: Biết rằng I = x + x +1 dx = + b 2 ∫ 3 a − b 1 ( ) . Giá trị của là: 6 4 0 A. – 1. B. – 2. C. – 3. D. – 4. 2 1
Câu 105: Tích phân I = dx b ∫ ằng 2 x + 2 0 1 A. I = 1− . B. I = 1 2 2 . C. I = 2 − .
D. I = 2 − 2 . 2 2 1 dx 8 2 Câu 106: Cho = a b − a + , *
a, b ∈  . Tính a + 2b . ∫ ( ) x + 2 + x +1 3 3 0
A. a + 2b = 7 .
B. a + 2b = 8 .
C. a + 2b = 1 − .
D. a + 2b = 5 . 1 x a + b 3
Câu 107: Biết tích phân dx = v ∫
ới a , b là các số thực. Tính tổng T = a + b 3x +1 + 2x +1 9 0 . A. T = 10 − . B. T = 4 − .
C. T = 15 . D. T = 8 . a
Câu 108: Tích phân I = x x +1dx có giá tr ∫ ị là: 0 ( 5 3 a + )5 (a + )3 2 1 2 1 4 2 (a + ) 1 2 (a + ) 1 4 A. I = + + . B. I = − + . 5 3 15 5 3 15 ( 5 3 a + )5 (a + )3 2 1 2 1 4 2 (a + ) 1 2 (a + ) 1 4 C. I = + − . D. I = − − . 5 3 15 5 3 15 1 x
Câu 109: Tích phân I =
dx có giá trị là: ∫ + − − x 1 1 1 4 2 A. I = + 4 2 2 . B. I = − 4 2 2 . C. I = − 4 2 1 . D. I = +1 . 3 3 3 3 4 2 x − x + 2 a − 4 b
Câu 110: Biết rằng I = dx = . V ∫
ới a , b , c là số nguyên dương. Tính a + b + c . x + x − 2 c 3 A. 39 . B. 27 . C. 33 . D. 41 . https://toanmath.com/ 2 dx Câu 111: Biết
= a + b − c với a b c là các số nguyên dương. Tính ∫ , ,
1 x x + 2 + ( x + 2) x
P = a + b + c . A. P = 2 .
B. P = 8 .
C. P = 46 . D. P = 22 . 2 dx
Câu 112: Biết I =
= a − b − c v ∫
ới a , b , c là các số nguyên dương. Tính x +1 x + x x +1 1 ( )
P = a + b + c .
A. P = 24 .
B. P = 12 .
C. P = 18 . D. P = 46 .
TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC π
Câu 113: Tính tích phân sin 3 d x x . ∫ 1 9 T 1 9 T 0 1 2 A. − 1 . B. . C. − 2 . D. . 3 3 3 3 π 2  π 
Câu 114: Tính tích phân I = sin
− x dx . ∫    4  0 π A. I = . B. I = 1 − .
C. I = 0 . D. I = 1. 4 π 3 dx
Câu 115: Tích phân I = bằng? ∫ 2 π sin x 4 π π π π π π π π A. cot − cot . B. cot + cot . C. − cot + cot . D. − cot − cot . 3 4 3 4 3 4 3 4 π 2
Câu 116: Biết cos xdx = a + b 3 , với
, là các số hữu tỉ. Tính T = a + b . ∫ a b 2 6 π 3
A. T = 3 . B. T = 1 − C. T = 4 − . D. T = 2 . π π m
Câu 117: Số = − cot
+ cot các số nguyên thỏa mãn cos 2 x dx = 0 là ∫ 3 4 0 A. 643 . B. 1284 . C. 1285 . D. 642 . π 2
Câu 118: Tích phân I = sin xdx có giá tr ∫ ị là: 0
A. I = 1.
B. I = 0 . C. I = 1 − . D. Cả A, B, C đều sai. b
Câu 119: Có bao nhiêu số thực b thuộc khoảng (π ;3π ) sao cho 4 cos 2 d x x = 1? ∫π A. 8 . B. 2 . C. 4 . D. 6 . https://toanmath.com/ π 2
Câu 120: Tích phân I = ∫ (sin x − cos x)dx có giá trị là: π − 2
A. I = 1.
B. I = 2 . C. I = 2 − . D. I = 1 − . π 6
Câu 121: Tích phân I = ∫ (sin 2x − cos3x)dx có giá trị là: π − 2 2 A. I = 3 . B. I = 3 . C. I = − 2 . D. I = − . 3 4 4 3 π 2
Câu 122: Kết quả của tích phân ∫ (2x −1− sin x)dx được viết ở dạng a , b∈ . Khẳng định nào sau 0 đây là sai?
A. a + 2b = 8 .
B. a + b = 5 .
C. 2a − 3b = 2 .
D. a − b = 2 . π 2 cos 2x
Câu 123: Cho tích phân
dx = a + bπ v ∫
ới a, b∈. Tính 3 2
P = 1+ a + b 1+ sin x 0
A. P = 9 .
B. P = 29 .
C. P = 11 . D. P = 25 − . π 2 π 1
Câu 124: Cho tích phân ∫ (4x 1 cos x)dx π   − + = −
+ c , (a,b,c∈) . Tính a −b + c    a b  0 1 A. 3 − B. 1. C. 2 − . D. . 3 π 6 aπ c 3 Câu 125: Biết ( 2 3 + 4 sin x)dx = − ∫
, trong đó a ,b nguyên dương và a tối giản. Tính a + b + c b 6 b 0 . A. 8 . B. 16 . C. 12 . D. 14 . π π 3 3
Câu 126: Cho giá trị của tích phân I =
sin 2x + cos x dx = a ∫ , I =
cos 2x + sin x dx = b ∫ . Giá trị 2 ( ) 1 ( ) π π − − 2 3
của a + b là: 3 3 3 3 3 3 A. P = + 3 . B. P = + . C. P = − 3 . D. P = − . 4 4 2 4 4 2 2π 3 2e  1 1 1 
Câu 127: Cho giá trị của tích phân I =
sin 3x + cos 3x dx = a ∫ , I = + − dx = b ∫ . Giá 1 ( ) 2   2 π  x x x +1  − e 3
trịa.b gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 8 . B. 16 . C. 10 . D. 1. https://toanmath.com/ π 2
Câu 128: Tích phân I = ∫ (sin ax + cos ax)dx , với a ≠ 0 có giá trị là: π − 2 2   π π   π π  A. I = sin a − − sin a +      . a   2 4   2 4  2   π π   π π  B. I = sin a − + sin a +      . a   2 4   2 4  2   π π   π π  C. I = sin a − + sin −a +      . a   2 4   2 4  2   π π   π π  D. I = −sin a − + sin a +      . a   2 4   2 4  π 2 3 2
x + x cos x − sin x π b
Câu 129: Biết I = dx = − ∫
. Trong đó a , b , c là các số nguyên dương, phân số 1+ cos x a c 0 b tối giản. Tính 2 2 2
T = a + b + c . c
A. T = 16 .
B. T = 59 .
C. T = 69 . D. T = 50 .  π  b
Câu 130: Cho hàm số f ( x) = a sin 2x − b cos 2x thỏa mãn f ' = 2 −   và adx = 3 ∫
. Tính tổng a + b  2  a bằng: A. 3. B. 4. C. 5. D. 8. 0
Câu 131: Cho tích phân cos 2x cos 4 d
x x = a + b 3 ∫
, trong đó a , b là các hằng số hữu tỉ. Tính π − 3
ea + log b . 2 1 A. 2 − . B. 3 − . C. . D. 0 . 8 1  π − 
Câu 132: Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số y = với x ∀ ∈  \ 
+ kπ ,k ∈, biết 1+ sin 2x  4   π  11π 
F (0) = 1; F (π ) = 0 . Tính P = F − − F     .  12   12 
A. P = 2 − 3 .
B. P = 0 .
C. Không tồn tại P . D. P = 1 .
Câu 133: Cho M , N là các số thực, xét hàm số f ( x) = M .sin πx + N.cos πx thỏa mãn f ( ) 1 = 3 và 1 2  1  f ( x) 1 dx = − ∫
. Giá trị của f ′ bằng π    4  0 5π 2 5π 2 π 2 π 2 A. . B. − . C. − . D. . 2 2 2 2 https://toanmath.com/ π 2
Câu 134: Tích phân I = (cos x − ∫ ) 2
1 cos xdx có giá trị là: 0 π 1 π 2 π 1 π 2 A. I = − . B. I = − − . C. I = + . D. I = − + . 4 3 4 3 4 3 4 3 π 2 1 2 x +1
Câu 135: Biết tích phân I = sin xdx = a ∫ . Giá trị của I =
dx = b ln 2 − c ln 5 ∫
. Thương số giữa b 1 2 3 π x + x a 3 và c là: A. – 2. B. – 4. C. 2. D. 4. π 3 π
Câu 136: Cho I = ∫( 2
sin 3x + cos x) dx = (a cos3x + bx sin+ c sin 2x) 6 . Giá trị của 3a + 2b + 4c là: 0 0 A. – 1. B. 1. C. – 2. D. 2.
Câu 137: Cho I = tann d x x ∫
với n ∈  . Khi đó I + I + 2 I + I + ... + I + I + I bằng 0 1 ( 2 3 8 ) n 9 10 r r + r r + 9 (tan x) (tan x) 1 9 10 (tan x) (tan x) 1 10 A. ∑ + C . B. ∑ + C . C. ∑ + C . D. ∑ + C = r = r + = r = r + r 1 r 1 r 1 1 r 1 1 .
TÍCH PHÂN HÀM MŨ – LÔGARIT 1
Câu 138: Tích phân e−xdx ∫ bằng 0 1 e −1 1 A. e −1. B. −1. C. . D. . e e e 2018 Câu 139: Tích phân = 2 d ∫ x I x bằng 0 2018 2 −1 2018 2 A. 2018 2 −1. B. . C. . D. 2018 2 . ln 2 ln 2 4 1 0 1 − 4 Câu 140: Biết f (x)dx = ∫ và. f (x)dx = ∫ . Tính tích phân 2 = 4e x I
+ 2 f (x) dx ∫  . 2 2 1 − 1 − 0 A. 8 I = 2e . B. 8 I = 4e − 2 . C. 8 I = 4e . D. 8 I = 2e − 4 . 2 x 2 Câu 141: Cho ( ) = et F x dt ∫ . Tính F ′(2) . 0 A. F ′( ) 4 2 = 4e . B. F ′( ) 16 2 = 8e . C. F ′( ) 16 2 = 4e . D. F ′( ) 4 2 = e . 2 x 1
Câu 142: Cho hàm số g ( x) = dt ∫
với x > 0 . Đạo hàm của g ( x) là ln t x x − − x
A. g′( x) 1 = .
B. g′( x) 1 = .
C. g′( x) 1 = .
D. g′( x) = ln x . ln x ln x ln x https://toanmath.com/ 3π 2 Câu 143: ⇔ f
∫ (x)dx = 6.Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn 3π − 2 2 2018.ek − kx 2018 e dx < ∫
. Số phần tử của tập hợp S bằng. k 1 A. 7 . B. 8 . C. Vô số. D. 6 . 1 e−nx
Câu 144: Cho I = dx ∫ với n ∈  . n 1+ e−x 0
Đặt u =1.(I + I + 2 I + I + 3 I + I +...+ n I + I − n . n 1 2 ) ( 2 3) ( 3 4 ) ( n n 1+)
Biết lim u = L . Mệnh đề nào sau đây là đúng? n A. L ∈ ( 1 − ;0). B. L ∈ ( 2; − − ) 1 . C. L ∈ (0; ) 1 .
D. L ∈ (1; 2) . https://toanmath.com/
C . HƯỚNG DẪN GIẢI
ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ BẢNG NGUYÊN HÀM Câu 1.
Cho hàm số y = f ( x) , y = g ( x) liên tục trên [ ;
a b] và số thực k tùy ý. Trong các khẳng
định sau, khẳng định nào sai? b a A. f
∫ (x)dx = − f
∫ (x)dx. a b b b B. xf
∫ (x)dx = x f
∫ (x)dx . a a a C. kf
∫ (x)dx = 0 . a b b b D.f
∫ (x)+ g(x)dx = f
∫ (x)dx+ g ∫ (x)dx. a a a Hướng dẫn giải Chọn B
Dựa vào tính chất của tích phân, A, C, D đúng nên B sai. Câu 2.
Khẳng định nào sau đây sai? b b b b b c A.f
∫ (x)+ g(x)dx = f
∫ (x)dx+ g
∫ (x)dx . B. f
∫ (x)dx = f
∫ (x)dx+ f
∫ (x)dx . a a a a c a b a b b C. f
∫ (x)dx = f
∫ (x)dx . D. f
∫ (x)dx = f ∫ (t)dt . a b a a Hướng dẫn giải Chọn C Câu 3.
Cho hai hàm số f (x) và g (x) liên tục trên K , a, b∈ K . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? b b b b b A. f
∫ (x)+ g(x)dx = f
∫ (x)dx+ g
∫ (x)dx. B. kf
∫ (x)dx = k f
∫ (x)dx . a a a a a b b b C. f
∫ (x)g(x)dx = f ∫ (x)d .x g
∫ (x)dx . D. a a a b b bf
∫ (x)− g(x)dx = f
∫ (x)dx− g ∫ (x)dx . a a a Hướng dẫn giải Chọn C Câu 4.
Cho hai số thực a , b tùy ý, F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên tập  . Mệnh
đề nào dưới đây là đúng? b b A. f
∫ (x)dx = f (b)− f (a) . B. f
∫ (x)dx = F (b)− F (a). a a b b C. f
∫ (x)dx = F (a)− F (b). D. f
∫ (x)dx = F (b)+ F (a). a a Hướng dẫn giải Chọn B https://toanmath.com/ b
Theo định nghĩa, ta có f
∫ (x)dx = F (b)− F (a). a Câu 5.
Cho f ( x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] và c ∈[ ;
a b] . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. c b a b c b A. f
∫ (x)dx+ f
∫ (x)dx = f
∫ (x)dx. B. f
∫ (x)dx+ f
∫ (x)dx = f
∫ (x)dx. a c b a a c b c c b a b C. f
∫ (x)dx− f
∫ (x)dx = f
∫ (x)dx. D. f
∫ (x)dx+ f
∫ (x)dx = f ∫ (x)dx. a a c a c c Hướng dẫn giải Chọn D b a b f
∫ (x)dx+ f
∫ (x)dx = F (b)− F (a)+ F (a)− F (c) = F (b)− F (c) = f
∫ (x)dx . a c c Câu 6.
Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên khoảng K và a,b, c ∈ K . Mệnh đề nào sau đây sai? b b c b b A. f
∫ (x)dx+ f
∫ (x)dx = f
∫ (x)dx. B. f
∫ (x)dx = f ∫ (t)dt . a c a a a b a a C. f
∫ (x)dx = − f
∫ (x)dx. D. f ∫ (x)dx = 0. a b a Hướng dẫn giải Chọn A b c c
Mệnh đề đúng là: f
∫ (x)dx+ f
∫ (x)dx = f ∫ (x)dx. a b a Câu 7.
Cho hàm số f (t ) liên tục trên K và a,b ∈ K , F (t ) là một nguyên hàm của f (t ) trên K .
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau. b b b
A. F (a) − F (b) = f
∫ (t)dt . B. f
∫ (t)dt = F (t) . a a a b b   b b C. f
∫ (t)dt =  f
∫ (t)dt . D. f
∫ (x)dx = f ∫ (t)dt . a   a a a Bài giải Chọn A b
Theo định nghĩa ta có: f ∫ (t) b
dt = F (t ) = F (b) − F (a) . Suy ra phương án A sai. a a Câu 8.
Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [ ;
a b] . Mệnh đề nào dưới đây sai? b b A. f
∫ (x)dx = f
∫ (t)dt . a a b a B. f
∫ (x)dx = − f
∫ (x)dx. a b b C. d k x = k ∫
(a −b) , k ∀ ∈  . a b c b D. f
∫ (x)dx = f
∫ (x)dx+ f
∫ (x)dx, c ∀ ∈( ; a b) . a a c https://toanmath.com/
Hướng dẫn giải Chọn C b b Ta có: d k x = kx = −
= k (b − a) . ∫ kb ka a a Câu 9.
Giả sử f là hàm số liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kỳ trên khoảng K . Khẳng
định nào sau đây sai? a b a A. f
∫ (x)dx =1. B. f
∫ (x)dx = − f
∫ (x)dx . a a b c b b b b C.
f ( x) dx + f ( x) dx = f ( x) dx, c ∈ ∫ ∫ ∫ (
a;b) . D. f
∫ (x)dx = f ∫ (t)dt . a c a a a Hướng dẫn giải Chọn A a Ta có: f
∫ (x)dx = F (a)− F (a) = 0 . a
Câu 10. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [ ;
a b] . Mệnh đề nào dưới đây sai? b a b c b A. f
∫ (x)dx= − f
∫ (x)dx . B. f
∫ (x)dx= f
∫ (x)dx+ f ∫ (x)dx , a b a a c c ∀ ∈  . b b a C. f
∫ (x)dx= f
∫ (t)dt . D. f ∫ (x)dx= 0 . a a a
Câu 11. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) . Khi đó hiệu số F (0) − F ( ) 1 bằng 1 1 1 1 A. f
∫ (x)dx . B. −F
∫ (x)dx . C. −F
∫ (x)dx . D. − f ∫ (x)dx. 0 0 0 0 Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 Ta có: − f
∫ (x)dx = −F (x) = −F  ( )
1 − F (0) = F 0 − F 1 .  ( ) ( ) 0 0
Câu 12. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên [a;b] , có đồ thị y = f ′( x) như hình vẽ sau:
Mệnh đề nào dưới đây đúng? b b A. f ′
∫ (x)dx là diện tích hình thang ABMN . B. f ′
∫ (x)dx là dộ dài đoạn BP . a a b b C. f ′
∫ (x)dx là dộ dài đoạn MN . D. f ′
∫ (x)dx là dộ dài đoạn cong AB . a a Hướng dẫn giải https://toanmath.com/ Chọn B b f ′
∫ (x)dx = f (x)b = f (b)− f (a) = BM − PM = BP . a a a a a
Câu 13. Cho hai tích phân f
∫ (x)dx = m và g
∫ (x)dx = n. Giá trị của tích phân  f
∫  (x)− g(x) dx   −a −a −a là:
A. m − n .
B. n − m .
C. m + n . D. Không thể xác định. Hướng dẫn giải a a a Cho hai tích phân f
∫ (x)dx = m và g
∫ (x)dx = n. Giá trị của tích phân  f
∫  (x)− g(x) dx   −a −a −a là: a a a Ta có ngay kết quả:  f
∫  (x)− g(x) dx  = f
∫ (x)dx− g ∫ (x)dx m = − n . −a −a −a Chọn A b a b
Câu 14. Cho tích phân I = f x dx = m ∫ I = f x dx = n ∫ I = f ∫ (x)dx 2 ( ) 1 ( ) và . Tích phân có giá trị a c c là:
A. m + n .
B. m − n .
C. −m − n . D. Không thể xác định. Hướng dẫn giải b a b Cho tích phân I = f x dx = m ∫ I = f x dx = n ∫ I = f ∫ (x)dx 2 ( ) 1 ( ) và . Tích phân có giá trị a c c là: b b a
Quy tắc “nối đuôi” cho ta: I = f
∫ (x)dx = f
∫ (x)dx+ f
∫ (x)dx = m+ n . c a c Chọn A b Câu 15. Tích phân f
∫ (x)dx được phân tích thành: a b a b a A. f ∫ (x)+ − f
∫ (x)dx . B. f ∫ (x)− − f
∫ (x)dx . c c c c b a b a C. f ∫ (x)+ f
∫ (x)dx . D. − f ∫ (x)+ f ∫ (x)dx . c c c c Hướng dẫn giải b Tích phân f
∫ (x)dx được phân tích thành: a b b c b a Ta có: f
∫ (x)dx = f
∫ (x)dx+ f
∫ (x)dx = f
∫ (x)dx− f ∫ (x)dx . a c a c c Chọn A 1 1 Câu 16. Cho f
∫ (x)dx = 3. Tính tích phân I = 2 f
∫  (x)−1dx .  2 − 2 − A. 9 − . B. 3 − . C. 3 . D. 5 . Hướng dẫn giải https://toanmath.com/ Chọn C 1 1 1 Ta có I = 2 f
∫  (x)−1dx = 2 f
∫ (x)dx− dx = 6− x = 3 .  ∫ 1 2 − 2 − 2 − 2 − 3
Câu 17. Cho hàm f ( x) có đạo hàm liên tục trên [2; ]
3 đồng thời f (2) = 2 , f (3) = 5 . Tính f ′ ∫ (x)dx 2 bằng A. 3 − . B. 7 . C. 10 D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn D 3 3 Ta có f ′
∫ (x)dx = f (x) = f (3)− f (2) = 3. 2 2 b Câu 18. Cho f ′
∫ (x)dx = 7 và f (b) = 5. Khi đó f (a) bằng a A. 12 . B. 0 . C. 2 . D. 2 − .
Hướng dẫn giải Chọn D b f ′
∫ (x)dx = 7 ⇔ f (b)− f (a) = 7 ⇔ f (a) = f (b)−7 = 2 − . a
Câu 19. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a ;b] và f (a) = 2 − , f (b) = 4 − . Tính 4 7 T 4 7 T b T = f ′
∫ (x)dx . a A. T = 6 − .
B. T = 2 .
C. T = 6 . D. T = 2 − . Hướng dẫn giải Chọn D b Ta có: T = f ′
∫ (x)dx = f (x) b = f (b)− f (a) = 2 − a . a 1
Câu 20. Cho hàm số f ( x) liên tục trên [0; ] 1 và f ( )
1 − f (0) = 2 . Tính tích phân f ′
∫ (x)dx . 0 A. I = 1 − .
B. I = 1.
C. I = 2 . D. I = 0 . Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 Ta có: f ′
∫ (x)dx = f (x) = f ( )1− f (0) = 2 . 0 0
Câu 21. Cho hàm số y = f ( x) thoả mãn điều kiện f ( )
1 = 12 , f ′( x) liên tục trên  và 4 f ′
∫ (x)dx =17 . Khi đó f (4) bằng 1 A. 5 . B. 29 . C. 19 . D. 9 . Hướng dẫn giải Chọn B 4 Ta có f ′
∫ (x)dx =17 ⇔ f (x) 4 =17 ⇔ f (4)− f ( )1 =17 ⇔ f (4) = 29. 1 1
Câu 22. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 1 − ; ]
3 và thỏa mãn f (− ) 1 = 4 ; f (3) = 7 . 1 9 T 3
Giá trị của I = 5 f ′
∫ (x)dx bằng 1 − https://toanmath.com/
A. I = 20 .
B. I = 3 .
C. I = 10 . D. I = 15 . 1 9 T Hướng dẫn giải Chọn D 3 I = 5 f ′
∫ (x)dx = 5 f (x)3 = 5 f (3)−5 f (− )1 = 5.7−5.4 =15. 19T 1 − 1 − a b 1
Câu 23. Cho hàm số f ( x) =
+ + 2 , với a , b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện f
∫ (x)dx = 2−3ln2 2 x x 1 2
. Tính T = a + b . A. T = 1 − .
B. T = 2 . C. T = 2 − . D. T = 0 . Hướng dẫn giải Chọn C 1 1  1 a b   a  Ta có f ∫ (x)dx =
+ + 2 dx = − + b ln x + 2x
 = a +1+ b ln 2 . ∫  2  x x   x 1  1 1 2 2 2
Theo giả thiết, ta có 2 − 3ln 2 = a +1+ b ln 2 . Từ đó suy ra a = 1, b = 3 − .
Vậy T = a + b = 2 − . 3 dx
Câu 24. Tính tích phân I = . ∫ x+2 0 4581 A. I = 5 . B. I = 5 log . C. I = 21 ln . D. I = − . 5000 2 2 100 Hướng dẫn giải Chọn C 3 dx 5 Ta có: I = = ln x + 2 = ln . ∫ 3 x + 2 2 0 0 2018 2 dx
Câu 25. Tính tích phân I = . ∫ x 1
A. I = 2018.ln 2 −1 . B. 2018 I = 2 .
C. I = 2018.ln 2 . C. I = 2018 . Hướng dẫn giải Chọn C 2018 2 Ta có: I = ln x = ( 2018 ln 2 )−ln1 = 2018.ln2 . 1 1  1 
Câu 26. Tính I = + 3 x dx ∫  .  2x +1  0 A. 2 + ln 3 . B. 4 + ln 3 . C. 2 + ln 3 . D. 1+ ln 3 . 1 9 T 1 9 T Hướng dẫn giải Chọn A 1  1  1 1 1 Ta có I = + 3 x dx ∫  = dx + 3 xdx ∫ ∫ 1 9 T  2x +1  2x +1 0 0 0 1 1 1 2 = ln 2x +1 + 1 3. x x = ln 3 + 2 = ln 3 + 2 . 2 3 2 0 0 1 Tính tích phân 2018 I = x ∫ (1+ x)dx Câu 27. 0 https://toanmath.com/ 1 1 A. I = + 1 1 . B. I = + 1 1 . C. I = + 1 1 . D. I = + 2018 2019 2020 2021 2019 2020 2017 2018 . Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 1 2019 2020  x x  1 1 Ta có: 2018 I = x ∫
(1+ x)dx = ∫( 2018 2019 x + x )dx =  +  = + .  2019 2020  2019 2020 0 0 0 2 3  x khi 0 ≤ x ≤ 1 2
Câu 28. Cho hàm số y = f ( x) =  . Tính tích phân f
∫ (x)dx .
4 − x khi 1 ≤ x ≤ 2 0 7 5 3 A. . B. 1 . C. . D. . 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có 2 1 2 1 2 2 2 3 2 3xx  7 f
∫ (x)dx = f
∫ (x)dx+ f
∫ (x)dx = ∫( 2
3x )dx + ∫(4 − x)dx = + 4x  −  = = . 3  2 2 0 0 1 0 1  1 1  2  khi 0 ≤ x ≤ 1 3
Câu 29. Cho hàm số y = f ( x) =  x +1 . Tính tích phân f
∫ (x)dx .
2x −1 khi 1≤ x ≤ 3 0 A. 6 + ln 4 . B. 4 + ln 4 . C. 6 + ln 2 . D. 2 + 2 ln 2 . Hướng dẫn giải Chọn A 3 1 3 1 3 2 Ta có: f
∫ (x)dx = f
∫ (x)dx+ f ∫ (x)dx = dx + ∫ ∫(2x− )1dx x +1 0 0 1 0 1
= 2ln x +1 + (x − x) 3 1 2 = ln 4 + 6 . 0 1 2 3  x khi 0 ≤ x ≤ 1 2
Câu 30. Cho hàm số y = f ( x) =  . Tính f
∫ (x)dx.
4 − x khi 1 ≤ x ≤ 2 0 7 5 3 A. . B. 1 . C. . D. . U U 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A 1 2 1 2 2 1  x  2 5 7 Ta có, f
∫ (x)dx+ f ∫ (x) 2 dx = 3x dx + ∫ ∫(4− x) 3 dx = x + 4x  −  =1+ = . 0  2 1  2 2 0 1 0 1 2
6x khi x ≤ 0 4
Câu 31. Cho hàm số y = f ( x) =  và I = f
∫ (x)dx. Hỏi có tất cả bao nhiêu số 2
a − a x khi x ≥ 0 1 −
nguyên a để I + 22 ≥ 0 ? A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . U U Hướng dẫn giải Chọn C Ta có 4 0 4 0 4 = ∫ ( )  a x I f x dx + f
∫ (x)dx = 6x dx+ ∫ ∫(a −a x) 2 2 0 2 2 3 2 dx = 2x + ax  −
 = 2 + 4a − 8a . 1 −  2  1 − 0 1 − 0 0 https://toanmath.com/ I + 22 ≥ 0 2
⇔ 2 + 4a −8a + 22 ≥ 0 2
⇔ 2a − a − 6 ≤ 3 0 ⇔ − ≤ a ≤ 2 a∈  → a ∈{ 1 − ;0;1; } 2 . 2
Vậy có 4 giá trị nguyên của a thỏa mãn. b
Câu 32. Biết ∫(2x − )
1 dx = 1. Khẳng định nào sau đây là đúng? a
A. b − a = 1. B. 2 2
a − b = a − b −1 . C. 2 2
b − a = b − a +1 . D. a − b = 1. Hướng dẫn giải Chọn C b b
Ta có: ∫( x − ) x = ( 2 2 1 d x − x) 2 = − − ( 2 b b a − a) . a a b Mà ∫(2x − ) 1 dx = 1 2 2
⇔ b − b − a + a =1 2 2
⇔ b − a = b − a +1. a 2
Câu 33. Đặt I = (2mx + ∫ )
1 dx ( m là tham số thực). Tìm m để I = 4 . 1 A. m = 1 − . B. m = 2 − .
C. m = 1 . D. m = 2 . Hướng dẫn giải Chọn C 2
Ta có I = (2mx + ∫ )
1 dx = (mx + x) 2 2
= (4m + 2) − (m + ) 1 = 3m +1 . 1 1
I = 4 ⇔ 3m +1 = 4 ⇔ m = 1 . 3 3 2 Câu 34. Cho
f (x)dx = a , f (x)dx = b . ∫
Khi đó f (x)dx b ∫ ằng: ∫ 0 2 0
A. −a − b .
B. b − a .
C. a + b .
D. a − b . Hướng dẫn giải Chọn D 3 2 3 2 3 3 2 Do f (x)dx = f (x)dx +
f (x)dx ⇔ f (x)dx =
f (x)dx −
f (x)dx ⇔
f (x)dx = a − b ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 0 0 2 0 0 2 0 b
Câu 35. Giá trị nào của b để ∫(2x − 6)dx = 0 ? 1
A. b = 0 hoặc b = 3 .
B. b = 0 hoặc b = 1
C. b = 5 hoặc b = 0 . D. b = 1 hoặc b = 5 . Hướng dẫn giải Chọn D b b
Ta có ∫(2x − 6)dx = ( 2 x − 6x) = ( 2
b − 6b) − (1− 6) 2
= b − 6b + 5 . 1 1 b = 1 Theo bài ra, có 2
b − 6b + 5 = 0 ⇔ .  b = 5 a
Câu 36. Có bao nhiêu giá trị thực của AD để có ∫(2x + 5)dx = a − 4 0 A. 1 . B. 0 . C. 2 . D. Vô số. Hướng dẫn giải Chọn A a a
Ta có ∫(2x + 5)dx = a − 4 ⇔ ( 2
x + 5x) = a − 4 ( H ) y = x −1 0 0 https://toanmath.com/ m
Câu 37. Xác định số thực dương m để tích phân ∫( 2
x − x )dx có giá trị lớn nhất. 0
A. m = 1 .
B. m = 2 .
C. m = 3 . D. m = 4 Hướng dẫn giải Chọn A m m 2 3  x x  2 3 m m P = ∫( 2
x − x )dx =  − = − .   2 3 2 3 0  0 Đặ m m t f (m) 2 3 = − ⇒ ′( ) 2 f
m = m − m ⇒ f ′(m) = 0 ⇔ m = 0 hoặc m = 1 2 3 Lập bảng biến thiên
Vậy f (m) đạt GTLN tại m = 1. 2
Câu 38. Cho a là số thực thỏa mãn a < 2 và ∫(2x + )
1 dx = 4 . Giá trị biểu thức 3 1+ a bằng. a A. 0 . B. 2 . C. 1. D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn B 2  a < 2 Ta có: (2x + ∫ )
1 dx = ( x + x) 2 2 2
= 6 − a − a . Theo đề:  ⇒ a = 1 . a 2  − − = a 6 a a 4 Vậy 3 1+ a = 2 . 2
Câu 39. Tích phân I = 2 .
x dx có giá trị là: ∫1
A. I = 1. B. I =2.
C. I = 3. D. I = 4. Hướng dẫn giải 2 Tích phân I = 2 .
x dx có giá trị là: ∫1 2 2 2 2  x  Cách 1: I = 2 . x dx = 2. . x dx = 2. ∫ ∫   = 3 .  2  1 1 1 Chọn C
Cách 2: Kiểm tra bằng máy tính, dễ dàng thu được kết quả như cách 1. 1
Câu 40. Tích phân I = ∫ ( 3
x + 3x + 2) dx có giá trị là: 1 −
A. I = 1.
B. I = 2.
C. I = 3. D. I = 4. Hướng dẫn giải 1 Tích phân I = ∫ ( 3
x + 3x + 2) dx có giá trị là: 1 −  1 3 
Cách 1: I = ∫ (x + 3x + 2) 1 1 3 4 2 dx = x + x + 2x = 4 .    4 2  1 − 1 − https://toanmath.com/ Chọn D
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay. 1 1 − a
Câu 41. Cho gá trị của tích phân I = ∫ ( 4 3
x + 2x dx = a I = ∫ ( 2
x + 3x dx = b 2 ) 1 ) , . Giá trị của là: b 1 − 2 − 4 A. P = − 12 . B. P = 12 . C. P = − 4 . D. P = . 65 65 65 65 Hướng dẫn giải 1 1 − a
Cho gá trị của tích phân I = ∫ ( 4 3
x + 2x dx = a I = ∫ ( 2
x + 3x dx = b 2 ) 1 ) , . Giá trị của là: b 1 − 2 − Ta có:  1 1  2 2 I = x + 2x dx = x + x = ⇒ a = ∫ 1 ( ) 1 1 4 3 5 4 .    5 2  5 5 1 − 1 − − −  1 3  13 13 I = x + 3x dx = x + x = − ⇒ b = − ∫ 2 ( ) 1 1 2 3 2 .    3 2  6 6 2 − 2 − a 12 ⇒ P = = − . b 65 Chọn C 0
Câu 42. Tích phân I = ∫ ( 3
x + ax + 2)dx có giá trị là: 1 − 7 a a a a A. I = − 9 . B. I = − 7 . C. I = + 9 . D. I = + . 4 2 4 2 4 2 4 2 Hướng dẫn giải 0 Tích phân I = ∫ ( 3
x + ax + 2)dx có giá trị là: 1 − = ∫ (  aa I x + ax + 2) 0 0 1 7 3 4 2 dx = x + x + 2x = − .    4 2  4 2 1 − 1 − Chọn A 1
Câu 43. Tích phân I = ∫( 2
ax + bx)dx có giá trị là: 0 a b a b a b a b A. I = + . B. I = + . C. I = + . D. I = + . 2 3 3 3 2 2 3 2 Hướng dẫn giải 1 Tích phân I = ∫( 2
ax + bx)dx có giá trị là: 0 Ta có:  
I = ∫(ax + bx) 1 1 a b a b 2 3 2 dx = x + x = + .    3 2  3 2 0 0 Chọn D a  1 
Câu 44. Tích phân I = + 2x dx có giá tr ∫  ị là: 2  x  2 1 1 3 1 5 1 7 1 A. 2 I = − − + a . B. 2 I = − − + a . C. 2 I = − − + a . D. 2 I = − − + a . 2 a 2 a 2 a 2 a Hướng dẫn giải https://toanmath.com/ a  1  Tích phân I = + 2x dx , v ∫ 
ới a ≠ 0 có giá trị là: 2  x  2 Ta có: a a  1   1  1 7 2 2 I =
+ 2x dx = − + x = a − − . ∫    2  x   xa 2 2 2 Chọn D 2 Câu 45. Tích phân 2 I =
x − x dx có giá trị là: ∫1− 3 A. I = 1 . B. I = 3 . C. I = − 1 . D. I = − . 2 6 2 6 Hướng dẫn giải 2 Tích phân 2 I =
x − x dx có giá trị là: ∫1− Ta có: x − x =
⇔ x = ∨ x = .  2 0 0 2 f ( x)
Từ bảng xét dấu ta được:     I = x − x dx = ∫
∫ (x − x)dx+ ∫(−x + x) 0 2 2 0 2 1 1 1 1 3 2 2 2 3 2 3 2 dx = x − x + − x + x = .      3 2   3 2  2 1 − 1 − 0 1 − 0 Chọn A 1 Câu 46. Tích phân 3 2 I =
x + x − x −1dx có giá trị là: ∫1− 4 A. I = 1 . B. I = 4 . C. I = − 1 . D. I = − . 3 2 3 2 Hướng dẫn giải 1 Tích phân 3 2 I =
x + x − x −1dx có giá trị là: ∫1− Ta có:
x + x − x − =
⇔ (x − )(x + )2 3 2 1 0 1 1
= 0 ⇔ x = 1∨ x = 1 −   f ( x)
Từ bảng xét dấu ta được:   I =
x + x − x −1dx = − ∫
∫ (x + x − x− ) 1 1 1 1 1 1 4 3 2 3 2 4 3 2 1 dx = − x + x − x − x = .    4 3 2  3 1 − 1 − 1 − Chọn A 3 1 − x − 3x + 2
Câu 47. Tích phân I =
dx có giá trị là: ∫ x−1 2 − 7 A. I = − 17 . B. I = 7 . C. I = 17 . D. I = − . 6 6 6 6 Hướng dẫn giải 3 1 − x − 3x + 2 Tích phân I =
dx có giá trị là: ∫ x−1 2 − Ta có: https://toanmath.com/ x − x + = ⇔ (x − )2 3 3 2 0
1 ( x + 2) = 0 ⇔ x = 1∨ x = 2 − .  f ( x)
Từ bảng xét dấu ta được: − − 3 − x − 3x + 2   I = dx = ∫ ∫ ( 1 1 7 2 x + x − 2) 1 1 1 3 2 dx = x + x − 2x = .   x −1  3 2  6 2 − 2 − 2 − Chọn C 2 2 x − x − 2
Câu 48. Tích phân I = dx có giá tr ∫ ị là: x −1 2 −
A. I = 3 − 2 ln 3 . B. I = 2 − ln 3 .
C. I = 3 + 2 ln 3 .
D. I = 3 − 3ln 2 . Hướng dẫn giải 0 2 x − x − 2 Tích phân I = dx có giá tr ∫ ị là: x −1 2 − Ta có: − − f ( x) 2 x x 2 =
⇒ f (x) = 0 ⇔ x = 1
− ∨ x = 2 ∧ x ≠ 1 x −1
Từ bảng xét dấu ta được: 0 2 1 − 2 0 2 x − x − 2
x − x − 2  x − x − 2 I = dx = − dx ∫ ∫   + dx . ∫ x −1  x −1  x −1 2 − 2 − 1 − 1 − 1 − 2 1 − 2
x − x − 2   2   x  5 I = − dx ∫   = − − x − dx = − ∫   
− 2ln x −1  = + 2ln 2 − 2ln3. 1  x −1   x −1   2  2 2 − 2 − 2 − 0 0 2 2
x − x − 2   x  1 I = dx ∫   = ... = 
− 2ln x −1  = − 2ln 2. 2  x −1   2  2 1 − 1 −
⇒ I = I + I = 3 − 2ln 3 . 1 2 Chọn A 1 −  1  Câu 49. Tích phân 3 I = 2ax + dx có giá tr ∫   ị là: x  2 − 15a a a a A. I = − + 15 ln 2 . B. I = − 15 ln 2 . C. I = + 15 ln 2 . D. I = − − ln 2 . 16 16 16 16 Hướng dẫn giải 1 −  1  Tích phân 3 I = 2ax + dx có giá tr ∫   ị là:  x  2 − Ta có: 1 1 − −  1   a  15a 3 4 I = 2ax + dx = x + ln x = − − ln 2 . ∫      x   2  16 2 − 2 − Chọn C 1 2
Câu 50. Biết tích phân I = 2xdx = a . Giá tr ∫ I = ∫( 2 x + 2x dx 2 ) 1 ị của là: 0 a 17 19 16 13 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 2 3 2 3 2 3 2 3 Hướng dẫn giải https://toanmath.com/ 1 2
Biết tích phân I = 2xdx = a . Giá tr ∫ I = ∫( 2 x + 2x dx 2 ) 1 ị của là: 0 a Ta có:  1  16
I = 2xdx = x = 1⇒ I = x + 2x dx = x + 2x dx = x + x = ∫ ∫ ∫ 1 ( ) 2 ( ) ( ) 2 1 2 2 1 2 2 2 3 2 .   0  3  3 0 a 1 1 Chọn C b
Câu 51. Cho tích phân I = ( 2 x + ∫
)1dx . Khẳng định nào dưới đây không đúng? a b b b b A. I = ∫( 2 x + ) 2
1 dx = x dx + dx . B. 3 I = x + x . ∫ ∫ ( )a a a a 1 1 C. 3 3 I =
b + b − a − a .
D. Chỉ có A và C đúng. 3 3 Hướng dẫn giải b Cho tích phân I = ( 2 x + ∫
)1dx . Khẳng định nào dưới đây không đúng? a Ta có:   I = ∫( b b 1 1 1 2 x + ) 3 3 3 1 dx = x + x
= b + b − a − a .    3  3 3 a a Phát biểu (A): đúng. Phát biểu (B): sai. Phát biểu (C): đúng. Phát biểu (D): đúng. Chọn B 3e 1
Câu 52. Số nghiệm nguyên âm của phương trình: 3
x − ax + 2 = 0 với a = dx là: ∫ x 1 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải 3e 1
Số nghiệm nguyên âm của phương trình: 3
x − ax + 2 = 0 với a = dx là: ∫ x 1 3e 3 1 e 2 Ta có: a = dx = ∫ (ln x ) 3
= 3 ⇒ x − 3x + 2 = 0 ⇔ (x − )
1 ( x + 2) = 0 ⇔ x = 1∨ x = 2 − . 1 x 1 Chọn B 1
Câu 53. Số nghiệm dương của phương trình: 3
x + ax + 2 = 0 , với a = 2xdx , a và b là các s ∫ ố hữu tỉ 0 là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải 1
Số nghiệm dương của phương trình: 3
x + ax − 2 = 0 , với a = 2xdx là: ∫0 1 1
Ta có: a = 2xdx = ∫ ( 2x) 3
= 1⇒ x + x − 2 = 0 ⇔ (x − ) 1 ( 2
x + x + 2) = 0 ⇔ x = 1. 0 0 Chọn B https://toanmath.com/ k x +1 −1
Câu 54. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số k để có ∫(2x − ) 1 dx = 4 lim . \ x→0 x 1 k =1 k =1 k = 1 − k = 1 − A. . B. . C. . D. .     k = 2 k = 2 − k = 2 − k = 2 Hướng dẫn giải Chọn D k 2 2 k 1 k 2x −1 2k −1 1 Ta có: ∫(2x − ) 1 dx =
∫(2x− )1d(2x− ) ( ) ( ) 1 = = − 2 4 4 4 1 1 1 + − + + x + − ( x 1 )1( x 1 )1 1 1 1 Mà 4 lim = 4lim = 4lim = 2 x→0 x→0 x x ( x +1 + ) x→0 1 x +1 +1 k + − (2k − )2 −  = Khi đó: ∫( 1 1 2 k 2 x − ) x 1 1 2 1 dx = 4 lim ⇔ = 2 ⇔ (2k − ) 1 = 9 ⇔ .  x→0 x 4 k = 1 − 1
Câu 55. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1+ x − 1− x trên tập  và thỏa mãn F ( )
1 = 3 . Tính tổng F (0) + F (2) + F ( 3 − ) . A. 8 . B. 12 . C. 14 . D. 10 . Hướng dẫn giải Chọn C
Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối: −∞ 1 − 1 x +∞ 1+ x − 0 + | + 1− x + | + 0 − 2 f ( x) 2 2 2 − 2x 2 Ta có: f
∫ (x)dx = F (2)− F ( )1 = F (2)−3 mà f
∫ (x)dx = 2dx = 2 nên F 2 = 5. ∫ ( ) 1 1 1 1 1 1  f
∫ (x)dx = F ( )1− F (0) = 3− F (0) mà f ∫ (x) 2 1 dx = 2 d x x = x = 1 nên F 0 = 2 . ∫ ( ) 0 0 0 0 0 0 0 
f ( x) dx = F (0) − F (− ) 1 = 2 − F (− ∫ ) 1 mà f ∫ (x) 2 0 dx = 2 d x x = x = 1 − nên ∫ 1 − 1 − 1 − 1 − F (− ) 1 = 3 . 1 − 1 − 1 −
f ( x)dx = F (− ) 1 − F ( 3 − ) = 3− F ( 3 − ∫ ) mà f ∫ (x)dx = 2d − x = 4 − nên F 3 − = 7 . ∫ ( ) 3 − 3 − 3 −
Vậy F (0) + F (2) + F ( 3 − ) = 2 + 5 + 7 =14 . 2 −
Câu 56. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương n thỏa mãn ( 2 2 3 n 1
1− n + 2x + 3x + 4x + ... + nx )dx = 2 − ∫0 ? A. 1 . B. 2 . C. 0 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn C https://toanmath.com/ 2 − Ta có: ( 2 2 3 n 1
1− n + 2x + 3x + 4x + ... + nx )dx = 2 − ∫0 ⇔ ( − + + + +... n x n x x x x + x ) 2 2 2 3 4 = 2 − 0 2 2 3 4
⇔ 2 − 2 + 2 + 2 + 2 +...+ 2n n = 2 − 2 n 1 − 2
⇔ 1+ 2 + 2 +...+ 2 = n +1 n 2 n 2
⇔ 2 −1 = n +1 ⇔ 2 − n − 2 = 0 .
Thử với các giá trị n ∈{1; 2;3; } 4 đều không thỏa mãn.
Với n ∈  , n ≥ 5 ta chứng minh n 2 2 > n + 2 ( )
1 . Dễ thấy n = 5 thì ( ) 1 đúng. Giả sử ( )
1 đúng với n = k với k ∈  , k ≥ 5 . Khi đó k 2 2 > k + 2 . Khi đó: k 1+ > ( 2 k + ) 2 2 2 2
2 = k + k + 2 + 2 > k + k + + = (k + )2 2 2 1 2 1 + 2 . Do đó ( )
1 đúng với n = k +1 . Theo nguyên lý quy nạp thì ( ) 1 đúng.
Vậy không tồn tại số nguyên n .
Câu 57. Cho hàm số y = f ( x) . Hàm số y = f ′( x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây
Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y = f ′( x) trên đoạn [ 2; −
]1 và [1;4] lần lượt bằng 9 và 12 . Cho f ( )1 = 3 . Giá trị biểu thức f ( 2
− ) + f (4) bằng A. 21 B. 9 . C. 3 . D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn C 1 4 Theo giả thiết ta có f ′
∫ (x) dx = 9 và f ′ ∫ (x) dx =12. 2 − 1 1 1 1
Dựa vào đồ thị ta có:
f ′( x) dx = − f ′( x) dx = − f ( x) = − f (− ) 1 + f ( 2 − ∫ ∫ ) 2 − 2 − 2 − ⇒ − f ( ) 1 + f ( 2 − ) = 9 .
Tương tự ta có − f (4) + f ( ) 1 = 12 . Như vậy − f  ( ) 1 + f ( 2 − ) − − f   (4)+ f ( ) 1  = 3 − ⇔ f 2
− + f 4 − 2 f 1 = 3 −  ( ) ( ) ( ) ⇔ f ( 2 − ) + f (4) − 6 = 3 − ⇔ f ( 2 − ) + f (4) = 3 . 2 1
Câu 58. Cho I = ∫( 2
2x − x − m)dx và J = ∫( 2
x − 2mx)dx . Tìm điều kiện của m để I ≤ J . 0 0
A. m ≥ 3 .
B. m ≥ 2 .
C. m ≥ 1 . D. m ≥ 0 . Hướng dẫn giải Chọn A 2 2 3 2  2x x  10 Ta có I = ∫( 2
2x − x − m)dx =  − − mx = − 2m .   3 2 3 0  0 https://toanmath.com/ 1 1 3  x  1 J = ∫( 2
x − 2mx)dx 2 =  − mx = − m .   3 3 0  0 Do đó I ≤ 10 1 J ⇔
− 2m ≤ − m ⇔ m ≥ 3 3 3 1 7 2
Câu 59. Biết rằng hàm số ( ) 2
f x = ax + bx + c thỏa mãn f
∫ (x)dx = − , f ∫ (x)dx = 2 − và 2 0 0 3 f ∫ (x) 13 dx =
(với a , b , c ∈  ). Tính giá trị của biểu thức P = a + b + c . 2 0 3 A. P = − 4 . B. P = − 4 . C. P = 3 . D. P = . 4 3 3 4 Hướng dẫn giải Chọn B d da ba b Ta có f ∫ (x) 3 2 3 2 dx = x + x + cx
= d + d + cd .    3 2  3 2 0 0 1   f ∫ (x) 7 dx = − a b 7 2 + + = −  c   0 3 2 2   a =1 2  Do đó:  8 4  f ∫ (x)dx = 2
− ⇔  a + 2b + 2c = 2 − ⇔ b  = 3
. Vậy P = a + b + c = −  3 3 0    16 3  9 13 c = −  9a + b + 3c = f ∫ (x) 13 dx =   3   2 2 2 0 TÍCH PHÂN HỮU TỈ 1 x − 5 Câu 60. Biết
dx = a + ln b với , là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây ∫ a b đúng? 2x + 2 1 3 8 A. ab = 7 .
B. a + b = 9 . C. ab = 3 .
D. a + b = . 81 24 8 10 Hướng dẫn giải Chọn A 1 x − 5 1 1  6  1   Ta có: dx = 1− dx = (x−6ln x+ 1 1 4 1 ) 1 = 1− 6 ln 2 − + 6ln   ∫ ∫  2x + 2 2  x +1  1 2 2  3 3  1 1 3 3 3 1 8 = + 1 8 8 ln . Vậy ab = . = . 3 27 3 27 81 1 2ax
Câu 61. Tích phân I = dx = ln 2 . Giá tr ∫
ị của a là: x +1 0 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 A. a = . B. a = . C. a = . D. a = . 1− ln 2 2 − 2 ln 2 1+ ln 2 2 + 2 ln 2 Hướng dẫn giải 1 2ax Tích phân I = dx = ln 2 . Giá tr ∫ ị của a là: x +1 0 Ta có: https://toanmath.com/ 1 1 2ax  1  I = dx = 2a 1− dx = 2a ∫ ∫ 
(x −ln x +1)1 = 2a(1−ln2) . 0 x +1  x +1  0 0 Mà I = ⇔ a ( − ) ln 2 ln 2 2 1 ln 2 = ln 2 ⇔ a = . 2 − 2 ln 2 Chọn B 1 1 Câu 62. Cho I =
dx = a − b ln 2 + b ln 3 ∫ 2 ( )
. Giá trị a + b là: 3 + 2x − x 0 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 2 6 3 Hướng dẫn giải 1 1 Cho I =
dx = a − b ln 2 + b ln 3 ∫ 2 ( ) . Giá trị a + b là: 3 + 2x − x 0 Ta có:  1 1  1 1 1   1 I = dx = ∫ ∫ +  = ( x + − x − ) 1 1 1 1 4 4 ln 1 ln 3
= ln 3 ⇒ a = b = ⇒ a + b = 2 0 3 + 2x − x x +1 3 − x 4 4 4 2 0 0     . Chọn B 2 2 x
dx = a + ln b ∫ ( ,ab∈)
S = 2a + b S Câu 63. Biết . Gọi
, giá trị của thuộc khoảng nào sau đây x +1 0 ? A. (8;10) (6;8) (4;6) (2;4) . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có 2 2 2 2 2 x  1   x  a = dx = x −1+ dx = ∫ ∫  
− x + ln (x + ) 0
1  = ln 3 = a + ln b ⇒  ⇒ S = 3 . x +1  x +1   2 b   = 3 0 0 0 Vậy S ∈ (2; 4) . 2  x Câu 64. Tích phân 2 I = x + dx có giá tr ∫  ị là: x +1  1 10 A. I = + ln 2 − 10 ln 3 . B. I = − ln 2 + 10 ln 3 . C. I = − ln 2 − ln 3. D. 3 3 3 10 I = + ln 2 + ln 3 . 3 Hướng dẫn giải 2  x  Tích phân 2 I = x + dx có giá tr ∫  ị là:  x +1  1 2 2 2 3  x   1   x  2 2 I = x + dx = x +1− dx = ∫  ∫  
+ x − ln x +1   x +1   x +1   3  Ta có: 1 1 1 8  1  10 = + 2 − ln 3 − +1− ln 2 = + ln 2 − ln 3   3  3  3 Chọn A https://toanmath.com/
Câu 65. Nhận xét: Không thể dùng máy tính để tính ra kết quả như trên mà ta chỉ có thể dùng để kiểm 2  1  tra mà Tích phân I = + 2x dx có giá tr ∫  ị là: 2  x  1 5 A. I = 7 . B. I = 9 . C. I = 11 . D. I = . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải 2  1  Tích phân I = + 2x dx có giá tr ∫  ị là: 2  x  1 2 2  1   1  7 Cách 1: 2 I =
+ 2x dx = − + x = . ∫    2  x   x  2 1 1 Chọn B
Cách 2: DÙng máy tính cầm tay. 1  ax
Câu 66. Tích phân I = − 2ax dx ∫  có giá trị là: x +1  0
A. I = −a ln 2 . B. I = 2 − ln 2 .
C. I = 2 ln 2 .
D. I = a ln 2 . Hướng dẫn giải 1  ax  Tích phân I = − 2ax dx ∫  có giá trị là:  x +1  0 1 1 1  axx I = − 2ax dx = a
dx − 2a xdx = a ∫  ∫ ∫
(x −ln x +1)1 −a( 2x)1 = a(1−ln2)−a = −aln2 0 0  x +1  x +1 0 0 0 . Chọn A a a x
Câu 67. Tích phân I = + dx ,v ∫ 
ới a ≠ 0 có giá trị là: x a  1 2 a +1 2 a +1
A. I = a ln a +
. B. I = a ln a + . 2a 2a 2 a −1 2 a −1
C. I = a ln a +
. D. I = a ln a + . 2a 2a Hướng dẫn giải a a x  Tích phân I = + dx , v ∫ 
ới a ≠ 0 có giá trị là:  x a  1 Ta có: a a 2 2  a x   x a 1 a −1 I = +
dx = a ln x ∫   +
 = a ln a + − = a ln a + .  x a   2a  2 2a 2a 1 1 Chọn C 3 2 2 a x + 2x
Câu 68. Tích phân I =
dx có giá trị nhỏ nhất khi số thực dương a có giá trị là: ∫ ax 2 2 1 A. 2 5 . B. . C. . D. 5 . 5 5 Hướng dẫn giải 3 2 2 a x + 2x Tích phân I =
dx có giá trị nhỏ nhất khi số thực dương a có giá trị là: ∫ ax 2 Ta có: https://toanmath.com/ 3 3 2 2 3 a x + 2x  2   a 2  5a 2 2 I = dx = ax + dx = x + x = + ∫ ∫    axa   2 a  2 a 2 2 2 5a 2 5a 2
Vì a là số thực dương nên I = + ≥ 2 . = 2 5 . 2 a 2 a Chọn A 2  b Câu 69. Tích phân 2 I = ax + dx có giá tr ∫  ị là: x  1 7 A. I =
a − b ln 2 .
B. I = 3a − 7 b ln 2 . C. I =
a + b ln 2 .
D. I = 3a + b ln 2 . 3 3 Hướng dẫn giải 2  b  Tích phân 2 I = ax + dx có giá tr ∫  ị là:  x  1 Ta có: 2 2  b   a  7a 2 3 I = ax + dx =
x + b ln x = + b ln 2 . ∫     x   3  3 1 1 Chọn C 1  bCâu 70. Tích phân 3 I = ax + dx có giá tr ∫   ị là: x + 2  1 − a a A. I = b − ln 3. B. I = − b ln 3 . C. I = + b ln 3 .
D. I = b ln 3 . 2 2 Hướng dẫn giải 1  b  Tích phân 3 I = ax + dx có giá tr ∫   ị là:  x + 2  1 − Ta có: 1 1  b   a  3 4 I = ax + dx =
x + b ln x + 2 = b ln 3 . ∫      x + 2   4  1 − 1 − Chọn D 2 e x +1
Câu 71. Tích phân I =
dx có giá trị là: ∫ 2x e 1 1 1 1 1 1 1 1 A. I = 1− + . B. I = 1− − . C. I = 1+ + . D. I = 1+ − . 2 e e 2 e e 2 e e 2 e e Hướng dẫn giải 2 e x +1 Tích phân I =
dx có giá trị là: ∫ 2x e 2 2 2 e e x +1 e  1 1   1  1 1 I = dx = + dx = ln x − = 1+ − . ∫ ∫     2 2 2 xx x   x e e e e e Chọn D 1 x
Câu 72. Giá trị của tích phân I = dx = a . Bi ∫
ểu thức P = 2a −1 có giá trị là: x +1 0
A. P = 1− ln 2 .
B. P = 2 − 2 ln 2 .
C. P = 1− 2 ln 2 .
D. P = 2 − ln 2 . Hướng dẫn giải https://toanmath.com/ 1 x
Giá trị của tích phân I = dx = a . Bi ∫
ểu thức P = 2a −1 có giá trị là: x +1 0 Tacó: 1 1 x  1  I = dx = 1− dx = ∫ ∫ 
(x −ln x +1)1 =1−ln2 ⇒ a =1−ln2 ⇒ P = 2a −1=1−2ln2 0 x +1  x +1  0 0 . Chọn C 2 e 2 1+ x + x
Câu 73. Giá trị của tích phân I = dx ∫
 = a . Biểu thức P = a −1 có giá trị là: xe 1 1 1 1 A. 2 4 P = e + e + e . B. 2 4 P = −e + e + e . 2 2 2 2 1 1 1 1 C. 2 4 P = −e − e + e . D. 2 4 P = e + e − e . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải 2 e 2 1+ x + x
Giá trị của tích phân I = dx ∫
 = a . Biểu thức P = a −1 có giá trị là:  xe Ta có: 2 2 2 e e 2 e 2 2 4 1+ x + x   1   x e e I = dx ∫  = +1+ x dx = ln x ∫   + x +  = 1− e + + .  x   x   2  2 2 e e e 2 4 2 4 2 4 e e e e e e ⇒ a = 1− e + +
⇔ a −1 = −e + + ⇔ P = −e + + . 2 2 2 2 2 2 Chọn B 0 2 3x + 5x −1 2
Câu 74. Biết I = dx = a ln
+ b , với a b∈ . Tính giá trị a + 2b . ∫ , x − 2 3 1 − A. 30 . B. 40 . C. 50 . D. 60 . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: 0 0 2 0 2 3x + 5x −1  21   3x  2 19 I = dx = 3x +11+ dx = ∫ ∫   
+11x + 21ln x − 2  = 21.ln + . x − 2  x − 2   2  3 2 1 − 1 − 1 −
Vậy a + 2b = 40. 2 x +1
Câu 75. Tính tích phân: I = dx . ∫ x 1
A. I = 1− ln 2 .
B. I = 2 ln 2 . C. I = 1+ 7 ln 2 . D. I = . 4 Hướng dẫn giải Chọn C 2 x +1 2  1  Ta có I = dx = 1+
dx = ( x + ln x) 2 = 1+ ln 2 . ∫ ∫  xx  1 1 1 1 dx
Câu 76. Tính tích phân I = . ∫ 2x −9 0 https://toanmath.com/ 1 1 A. I = 1 1 ln . B. I = − 1 ln . C. I = ln 2 . D. 6 I = ln 2 . 6 2 6 2 6 Hướng dẫn giải Chọn A 1 1 dx 1 1  1 1  1 x − 3 1  1  1 1 Ta có: I = = I = − dx ∫  = ln = ln − ln1 = ln   . ∫ 2x −9 6  x − 3 x + 3  6 x + 3 6  2  6 2 0 0 0 4 dx
Câu 77. Biết I =
= a ln 2 + b ln 3 + c ln 5, v ∫ a, b, c
S = a + b + . c 2 ới là các số nguyên. Tính x + x 3
A. S = 6 .
B. S = 2 . C. S = 2 − .
D. S = 0. Hướng dẫn giải Chọn B 4 dx 1 1 1 1 I = . Ta có: = = − . ∫ 2x + x 2 x + x x(x +1) x x +1 3 Khi đó: 4 4 dx  1 1  I = = −
dx = ln x − ln(x +1) | = (ln 4 − ln 5) − (ln 3 − ln 4) = 4 ln 2 − ln 3 − ln 5. ∫ ∫  2 ( ) 4 3 x + xx x +1 3 3
Suy ra: a = 4, b = 1 − ,c = 1
− . Vậy S = 2. 5 3 Câu 78. Biết rằng
dx = a ln 5 + b ln 2 a, b ∈ Z ∫ 2 (
) . Mệnh đề nào sau đây đúng? x + 3x 1
A. a + 2b = 0 .
B. 2a − b = 0 .
C. a − b = 0 .
D. a + b = 0 . Hướng dẫn giải Chọn D 5 5 3  1 1  dx = −
dx = ln x − ln x + 3 = ln 5 − ln 2 ∫ ∫  ⇒ a =1 b = 1 − 2 ( )5 và . 1 x + 3xx x + 3  1 1 Ta có: + = a b 0 . 2 x −1 Câu 79. Giả sử
dx = a ln 5 + b ln 3; a, b ∈ . Tính = . ∫  P ab 2 x + 4x + 3 0
A. P = 8 . B. P = 6 − . C. P = 4 − . D. P = 5 − . U U Hướng dẫn giải Chọn B BN M R 2 2 2 x −1 x −1  1 − 2  2 dx = dx = +
dx = − ln x +1 + 2 ln x + 3 = 2ln 5 − 3ln 3 ∫ ∫ ∫  2 ( ) x + 4x + 3 x +1 x + 3
x +1 x + 3  0 0 0 ( )( ) 0
Suy ra:. Do đó: P = ab = 6 − . 2 2 2 x + 2x e 1
Câu 80. Cho giá trị của tích phân a = 2,b = 3 − I =
dx = a , I = dx = b . Giá tr ∫ ∫ 1 2 ị của biểu x +1 x 1 e
thức P = a − b là: 7 A. P = + ln 2 − 3 ln 3 . B. P = + ln 2 − ln 3 . 2 2 5 C. P = + ln 2 − 1 ln 3 . D. P = + ln 2 − ln 3 . 2 2 Hướng dẫn giải https://toanmath.com/ 2 2 2 x + 2x e 1
Cho giá trị của tích phân I =
dx = a , I = dx = b . Giá tr ∫ ∫
P = a − b 1 2 ị của biểu thức x +1 x 1 e có giá trị là: Ta có: 2 2 2 2 2 x + 2x  1   x  5 5 I = dx = x +1− dx = ∫ ∫  
+ x − ln x +1  = + ln 2 − ln3 ⇒ a = + ln 2 − ln3 1 x +1  x +1   2  2 2 1 1 1 . 2 2 e e 1 I = dx = ln x = 1⇒ b = 1 ∫ 2 ( ) . x e e 3
P = a − b = + ln 2 − ln 3 . 2 Chọn B 0 3 2 x − 3x + 2
Câu 81. Giá trị của tích phân I =
dx gần nhất với gái trị nào sau đây? ∫ 2x + x−2 1 − ln 2 A. − . B. ln 2 − 3 1 . C. − ln 3 ln 4 . D. − . 2 2 3 Hướng dẫn giải 0 3 2 x − 3x + 2
Giá trị của tích phân I =
dx gần nhất với gái trị nào sau đây? ∫ 2x + x−2 1 − Ta có: 0 3 2 x − 3x + 2 I = dx ∫ 2x + x−2 1 − 0 (x − )1( 2 0 x − 2x − 2) 0 2 0 2 x − 2x − 2  6   x  9 = dx = dx = x − 4 + dx = ∫ ∫ ∫   
− 4x + 6ln x + 2  = 6ln 2 − x −1 x + 2 x + 2  x + 2   2  2 1 − ( )( ) 1 − 1 − 1 − Chọn A 2 ax +1 3 4 3 2
Câu 82. Tích phân I = dx = ln
+ ln . Giá trị của a là:
∫ 2x +3x+2 5 3 5 3 1 1 A. a = 2 . B. a = 3 . C. a = 4 . D. a = . 5 5 5 5 Hướng dẫn giải 2 ax +1 3 4 3 2 Tích phân I = dx = ln
+ ln . Giá trị của a là:
∫ 2x +3x+2 5 3 5 3 1 Ta có: 2 2 2 ax +1 x 1 I = dx = a dx + dx . ∫ ∫ ∫ 2 2 2 x + 3x + 2 x + 3x + 2 x + 3x + 2 1 1 1 2 2 x  2 1  I = a dx = a − dx = a ∫ ∫ 
(2ln x+ 2 −ln x+1) 2 1 2 1 x + 3x + 2
x + 2 x +1 Xét 1 1 . = a ( − + ) 4 2
2 ln 4 3ln 3 ln 2 = 2a ln + a ln 3 3 2 2 1 4 2 Xét I =
dx = ln x +1 − ln x + 2 = − ln − ln ∫ 2 2 ( ) . 1 x + 3x + 2 3 3 1 https://toanmath.com/ 4 2
⇒ I = I + I = 2a −1 ln + a −1 ln 1 2 ( ) ( ) 3 3 Theo đề 3 4 3 2 4 bài: I = ln + ln ⇒ a = . 5 3 5 3 5 Chọn D a 2 x +1 1 7
Câu 83. Tích phân I = dx = ln
. Giá trị của a là: ∫ 3x +3x 3 2 1
A. a = 1.
B. a = 2 .
C. a = 3 . D. a = 4 . Hướng dẫn giải a 2 x +1 1 7 Tích phân I = dx = ln . Giá trị của a là: ∫ 3x +3x 3 2 1 Ta có: 3 a 2 a +3 +1 1 a 1 1 a + a x 1 a + 3a I = dx ⇒ dt = ln t = ln ∫ ∫ 3
t = x + 3x 3 ( ) 3 3 3 , với . 4 x + 3x 3 t 3 3 4 1 4 3 Theo đề 1 a + 3a 1 7 bài: 3 ln
= ln ⇔ a + 3a −14 = 0 ⇔ (a − 2)( 2
a + 2a + 7) = 0 ⇔ a = 2 . 3 4 3 2 Chọn B x +1 Câu 84. Biết dx = . a ln x −1 + .
b ln x − 2 + C , a b ∈  . Tính giá tr ∫ , ị của biểu thức ( a + b x − ) 1 (2 − x) .
A. a + b = 1.
B. a + b = 5 .
C. a + b = 1 − .
D. a + b = 5 − . U U Hướng dẫn giải: Chọn C −x −1 A B = + .
(x − )1(x − 2) x −1 x − 2
⇔ −x −1 = A(x − 2) + B(x − ) 1 . A + B = 1 − A = 2 ⇔  ⇔  .  2 − A − B = 1 − B = 3 − x +1  2 3  Nên: dx = − dx . ∫ ( ∫  x − ) 1 (2 − x)
x −1 x − 2 
= 2ln x −1 − 3ln x − 2 + C .
Vậy a = 2 , b = 3
− . Vậy a + b = 1 − . 1 3x −1 a 5 a Câu 85. Biết dx = 3ln − ∫ a,b 2 , trong đó
là hai số nguyên dương và là phân số tối x + 6x + 9 b 6 b 0
giản. Tính ab ta được kết quả. A. ab = 5. −
B. ab = 27.
C. ab = 6. D. ab = 12. U U Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 3x −1 3x −1 dx = dx ∫ ∫ 2 x + 6x + 9 x + 3 0 0 ( )2
Đặt t = x + 3 ⇒ dt = ; dx x = t − 3
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 3; x =1⇒ t = 4 Khi đó: https://toanmath.com/ 1 4 3x −1 3(t − 3) 4 −1  3 10   10  4 K = dx = dt = − dt = 3ln t + ∫ ( ∫ ∫    x + 3)2 2 2 tt t   t  3 0 3 3 5 4 5
= 3ln 4 − 3ln 3− = 3ln − ⇒ a = 4,b = 3 ⇒ . a b = 12 . 6 3 6 3 2 x − 3x + 2 Câu 86. Biết
dx = a ln 7 + b ln 3 + c với , ,
. Tính T = a + b + c . ∫ a b c ∈  2 3 2 3 2 x − x +1 2
A. T = 4 .
B. T = 6 .
C. T = 3 . D. T = 5 . Hướng dẫn giải Chọn A a = 1 − 3 2 3 x − 3x + 2  2x −1   dx = 1−
dx = x − ln x − x +1 = − ln 7 + ln 3 +1 ∫ ∫  b  = 1 2 2 ( )3 2 , suy ra . − +  − + 2 x x 1 x x 1  2 2 c =1  Vậy 2 3
T = a + 2b + 3c = 4 . 0 2 3x + 5x −1 2
Câu 87. Giả sử I = dx = . a ln
+ b . Khi đó giá trị a + b là: ∫ 2 x − 2 3 1 − A. 30. B. 40. C. 50. D. 60. Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 0 2 2 + − 0 3x 5x 1  21   3x  0 2 19 I = dx = 3x +11+ dx = ∫ ∫   
+11x + 21ln x − 2  = 21ln + 1 x − 2 −  x − 2   2 1 −  3 2 1 − 5 3 Câu 88. Biết rằng
dx = a ln 5 + b ln 2 a, b ∈  . Mệnh đề nào sau đây đúng? ∫ ( ) 2 x + 3x 1
A. a + 2b = 0 .
B. 2a − b = 0 .
C. a − b = 0 .
D. a + b = 0 . Hướng dẫn giải: Chọn D 5 5 3  1 1  dx = − dx ∫ ∫  2 x + 3xx x + 3  1 1
= (ln | x | −ln | x + 3|) 5 = ln 5 − ln 2. 1
Vậy a = 1,b = 1 − . 3 x + 2 Câu 89. Nếu
dx = a ln 5 + b ln 3 + 3ln 2 a, b ∈  thì giá trị của P = 2a − b là ∫ ( ) 2 2x − 3x +1 2
A. P = 1 . B. P = 15 7 . C. P = − 15 . D. P = . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có https://toanmath.com/ 3 x + 2 3 3 1 4x − 3 11 1 dx ∫ = dx + dx ∫ ∫ 2 2x − 3x +1 2 2 4 2x − 3x +1 4 2x − 3x +1 2 2 2 3 1 1 = d ∫ (2x −3x+ ) 3 11 1 2 1 + dx ∫ 2 4 2x − 3x +1 4 x −1 2x −1 2 2 ( )( ) 3 3 1 11  1 2  2
= ln 2x − 3x +1 + − dx ∫  4 4
x −1 2x −1 2 2 3 3 1 11 x −1 1 11  2 1  2
= ln 2x − 3x +1 + ln = (ln10 − ln 3) + ln − ln   4 4 2x −1 4 4  5 3  2 2 1 10 11 6 = 1 11 ln + ln
= (ln 5 + ln 2 − ln 3) + (ln 2 + ln 3− 5 5
ln 5) = − ln 5 + ln 3 + 3ln 2 . 4 3 4 5 4 4 2 2 Do đó 5 a = − 5 , b = 15 , P = − . 2 2 2 3 x + 3 Câu 90. Cho
dx = m ln 2 + n ln 3 + p ln 5 , với , ,
là các số hữu tỉ. Tính ∫ m n p 2 x + 3x + 2 1 2 2
S = m + n + p .
A. S = 6 .
B. S = 4 .
C. S = 3 . D. S = 5 . Hướng dẫn giải Chọn A 3 3 3 x + 3 x + 3
2x + 4 − ( x + ) 1 Ta có dx = dx = dx ∫ ∫ ∫ 2 x + 3x + 2 x +1 x + 2 x +1 x + 2 1 ( )( ) 1 ( )( ) 1 3  2x + 4 x +1  = ∫  −  dx x + 2 x +1 x + 2 x +1 1  ( )( ) ( )( ) 3 3 2 1 = 3 3 dx − dx ∫ ∫ = 2ln (x + ) 1
− ln (x + 2) = 2ln 4 − 2ln 2 − (ln 5 − ln 3) x +1 x + 2 1 1 1 1 m = 2  4  =  2 ln − ln 5 + ln 3  
= 2ln 2 + ln 3− ln 5 ⇔ n =1 ⇔ S = + + (− )2 2 2 1 1 = 6 .  2   p = 1 −  2 2 x Câu 91. Biết rằng
dx = a + ln b v ∫
ới a , b∈ , b > 0. Hỏi giá trị 2a + b thuộc khoảng nào sau x +1 0 đây? A. (8;10) . B. (6;8) . C. (4;6) . D. (2; 4) . Hướng dẫn giải Chọn D 2 2 2 2 2 x  1   x  Ta có: dx = x −1+ dx = ∫ ∫  
− x + ln x +1  = ln3 ⇒ a = 0, b = 3 x +1  x +1   2  0 0 0
⇒ 2a + b = 3 . 4 dx
Câu 92. Biết I =
= a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 v ∫ a, b, c
S = a + b + c 2 ới là các số nguyên. Tính x + x 3
A. S = 6 .
B. S = 2 . C. S = 2 − . D. S = 0 . Hướng dẫn giải Chọn B https://toanmath.com/ Cách 1: 4 4 4 1 1 x 4 3 I = dx = dx = ln
= ln − ln = 4ln 2 − ln 3 − ln 5 . ∫ ∫ 2 x + x x x +1 x +1 5 4 3 3 ( ) 3
Suy ra a = 4, b = c = 1 − ⇒ S = 2 . Cách 2: Ta có: 4 4 4 4 1 1 1 1 I = dx = dx = dx −
dx = ln 4 − ln 3 − ln 5 + ln 4 = 4 ln 2 − ln 3 − ln 5 ∫ ∫ ∫ ∫ 2 x + x x x +1 x x +1 3 3 ( ) 3 3
Suy ra a = 4, b = c = 1 − ⇒ S = 2 . 2 dx 1 1 Câu 93. Biết
= + , với , là các số nguyên thuộc khoảng 7;
− 3 thì a và b là ∫ a b ( ) 2 4x − 4x +1 a b 1
nghiệm của phương trình nào sau đây? A. 2
2x − x −1 = 0 . B. 2
x + 4x −12 = 0 . C. 2
x − 5x + 6 = 0 . D. 2 x − 9 = 0 . Hướng dẫn giải Chọn B 2 2 2 dx dx 2 1 2 − 1 1 1 1 Ta có = = 2x −1 d 2x −1 = − ⋅ = − + 1 1 = + . ∫ ∫ ∫( ) ( ) 2 4x − 4x +1 2x −1 2 2 2x −1 6 2 6 − 2 1 1 ( )2 1 1 a = 6 − a = 2 Suy ra  hoặc 
và a , b là nghiệm của phương trình 2
x + 4x −12 = 0 . b  = 2 b  = 6 − 5 2 x + x +1 b Câu 94. Biết dx = a + ln v ∫
ới a , b là các số nguyên. Tính S = a − 2b . x +1 2 3 A. S = 2 − .
B. S = 5 .
C. S = 2 . D. S = 10 . Hướng dẫn giải Chọn C 5 5 2 5 x + x +1  1   1  25 9 3 Ta có 2 dx = x + dx = x + ln x +1 =
+ ln 6 − − ln 4 = 8 + ln . ∫ ∫    x +1  x +1   2  2 2 2 3 3 3
Vậy a = 8 , b = 3 . Suy ra S = a − 2b = 8 − 2.3 = 2 . 3 dx Câu 95. Biết
= a ln 2 + b ln 5 + c ln 7 , a,b,c ∈ . Giá tr ∫ ( )
ị của biểu thức 2a + 3b − c 4 7 T 4 7 T 4 7 T x + 2 x + 4 0 ( )( ) bằng A. 5 . B. 4 . C. 2 . D. 3 . 4 7 T Hướng dẫn giải Chọn D 3 dx 3 1  1 1  = − 1 dx ∫  =
(ln x+ 2 −ln x+ 1 1 1
4 ) 3 = ln 5 − ln 7 + ln 2 . ∫ 4 7 T x + 2 x + 4 2  x + 2 x + 4  0 2 2 2 2 0 ( )( ) 0
Khi đó: 2a + 3b − 1 1 1 c = 2. + 3. + = 3 . 4 7 T 2 2 2 4 1
Câu 96. Tìm giá trị của a để
dx = ln a . ∫ x−1 x−2 3 ( )( ) 4 1 3 A. 12 . B. . C. . D. . 3 3 4 Hướng dẫn giải: Chọn B https://toanmath.com/ 4 4 4 1  1 1  x − 2 2 1  2 2  4 dx = − dx ∫ ∫  = ln = ln − ln = ln . = ln = ln a   x −1 x − 2
x − 2 x −1 x −1 3 2  3 1  3 3 ( )( ) 3 3 4 ⇒ a = 3 1  1 1  Câu 97. Cho −
dx = a ln 2 + b ln 3 ∫ 
với a , b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây
x +1 x + 2  0 đúng ?
A. a + b = 2 .
B. a − 2b = 0 .
C. a + b = 2 − .
D. a + 2b = 0 . Hướng dẫn giải Chọn D 1 dx 1 1 dx 1 Ta có: = ln x +1 = ln 2 và
= ln x + 2 = ln 3 − ln 2 ∫ ∫ x +1 0 x + 2 0 0 0 1 Do đó  1 1  − dx = ln 2 − ∫ 
(ln3−ln 2) = 2ln 2−ln3 ⇒ a = 2, b = 1 − .
x +1 x + 2  0
Vậy a + 2b = 0 . 3 5x +12 Câu 98. Biết
dx = a ln 2 + b ln 5 + c ln 6 . Tính S = a + b + c . ∫ 3 2 2 x + 5x + 6 2 A. 3 . B. 14 − . C. 2 − . D. 11 − . Hướng dẫn giải Chọn D 5x +12 5x +12 A B
( A+ B) x +3A+ 2B Ta có: = = + = . 2 x + 5x + 6
(x + 2)(x +3) x + 2 x +3 2 x + 5x + 6 A + B = 5 A = 2  ⇔  . 3  A + 2B = 12 B = 3 3 5x +12 3 3 2 3 Nên dx ∫ = dx + dx ∫ ∫ 3 3
= 2ln x + 2 + 3ln x + 3 2 x + 5x + 6 x + 2 x + 3 2 2 2 2 2 = 3ln 6 − ln 5 − 2ln 4 = 4
− ln 2 − ln 5 + 3ln 6 . Vậy S = 3a + 2b + c = 11 − . 2 1 Câu 99. Cho
dx = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 với , , là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới ∫ a b c 2 x + 5x + 6 1 đây đúng?
A. a + b + c = 4 .
B. a + b + c = 3 − .
C. a + b + c = 2 .
D. a + b + c = 6 . Hướng dẫn giải Chọn C 2 2  − 2 1 1 1  Ta có: dx = +
dx = ln x + 2 − ln x + 3 ∫ ∫  2 ( ) 1 x + 5x + 6
x + 2 x + 3  1 1
= (ln 4 − ln 5) − (ln 3− ln 4) = 2ln 4 − ln 3− ln 5 = 4ln 2 − ln 3− ln 5 .
Vậy a + b + c = 4 + (− ) 1 + (− ) 1 = 2 . 2 x +1 m n p Câu 100. Biết dx = ln x −1 x − 2 x − 3 + C ∫
4 (m + n + p) 3 2 ( ) ( ) ( ) . Tính .
x − 6x +11x − 6 A. 5 . B. 0 . C. 2 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn D https://toanmath.com/ 2 2 x +1 x +1 A B C Ta có: = = + + 3 2
x − 6x +11x − 6 (x − )
1 ( x − 2)( x − 3) x −1 x − 2 x − 3 2 x +1
A( x − 2)( x − 3) + B ( x − )
1 ( x − 3) + C ( x − ) 1 ( x − 2) ⇔ = (x − )
1 ( x − 2)( x − 3) (x − )
1 ( x − 2)( x − 3) 2
⇔ x +1 = A(x − 2)(x − 3) + B(x − )
1 ( x − 3) + C ( x − ) 1 ( x − 2)
A + B + C = 1 A = 1   ⇒  5
− A − 4B − 3C = 0 ⇔ B = 5 − .  
6 A + 3B + 2C = 1 C = 5   2 x +1 1 1 1 Suy ra dx = dx − 5 dx + 5 dx ∫ ∫ ∫ ∫ 3 2
x − 6x +11x − 6 x −1 x − 2 x − 3 ( − =
x − )( x − ) 5 ( x − )5 ln 1 2 3 + C .
Vậy 4(m + n + p) = 4 . 3 x + 8 Câu 101. Cho
dx = a ln 2 + b ln 5 với , là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng? ∫ a b 2 x + x − 2 2
A. a + b = 3 .
B. a − 2b = 11.
C. a − b = 5 .
D. a + 2b = 11 . Hướng dẫn giải Chọn B 3 3 x + 8  3 2  Ta có dx = −
dx = 3ln x −1 − 2 ln x + 2 = 7 ln 2 − 2ln 5. ∫ ∫ 3 3   2 x + x − 2
x −1 x + 2  2 2 2 2 a = 7 Suy ra 
⇒ a − 2b = 11 . b  = 2 − 1 3 2 x + 2x + 3 1 3 Câu 102. Biết dx = + b ln a,b > 0 tìm các giá tr ∫ ( ) ị của k để x + 2 a 2 0 ab ( 2k + )1x+2017 dx < lim . ∫ x→+∞ x + 2018 8
A. k < 0 .
B. k ≠ 0 .
C. k > 0 . D. k ∈  . Hướng dẫn giải Chọn B 1 3 2 1 1 x + 2x + 3  3  1 1 3 Ta có: 2 dx = x + dx ∫ ∫  3
= x + 3ln x + 2 = + 3ln x + 2  x + 2  3 3 2 0 0 0 a = 3 ab 9 ⇒  ⇒ dx = dx = 1 ∫ ∫ b  = 3 8 8 ab ( 2k + )1x+2017 ( 2k + )1x+2017 Mà dx < lim ⇒1 < lim ∫ x→+∞ x + 2018 x→+∞ x + 2018 8 ( 2k + )1x+2017 Mặt khác ta có 2 lim = k +1 . x→+∞ x + 2018 ab ( 2k + )1x+2017 Vậy để dx < lim thì ∫ 2 1 < k +1 2 ⇒ ≠ ⇒ k > 0 k 0 . x→+∞ x + 2018 8 https://toanmath.com/
TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ 2
Câu 103. Tính tích phân I =
4x +1 dx . ∫0 13 4 A. 13 . B. . C. 4 . D. . 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B 2 2 2 1 3 1 2 13 Ta có I = 4x +1 dx = + 2 4x 1 dx = . (4x + )2 1 = . ∫ ∫( ) 4 3 3 0 0 0 1 a
Câu 104. Biết rằng I = x + x +1 dx = + b 2 ∫ 3 a − b 1 ( ) . Giá trị của là: 6 4 0 A. – 1.
B. – 2.
C. – 3. D. – 4. U U Hướng dẫn giải 1 a Biết rằng I = x + x +1 dx = + b 2 ∫ 3 a − b 1 ( ) . Giá trị của là: 6 4 0 Ta có:  x 2  1 4 2 4 3 I = x + x +1 dx = ∫  + x +1  = − + ⇒ a = 1
− ,b = ⇒ a − b = 2 − 1 ( ) 1 1 2 ( )3 .  2 3  6 3 3 4 0 0 Chọn B 2 1
Câu 105. Tích phân I = dx b ∫ ằng 2 x + 2 0 1 A. I = 1− . B. I = 1 2 2 . C. I = 2 − .
D. I = 2 − 2 . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D 2 2 1 Ta có: I = dx = x + 2 = 2 − 2 . ∫ 0 2 x + 2 0 1 dx 8 2 Câu 106. Cho = a b − a + , *
a, b ∈  . Tính a + 2b . ∫ ( ) x + 2 + x +1 3 3 0
A. a + 2b = 7 .
B. a + 2b = 8 .
C. a + 2b = 1 − .
D. a + 2b = 5 . Hướng dẫn giải Chọn B 1 dx 1 2 Ta có ∫
= ∫( x + 2 − x +1)dx = ( (x+2) − (x+ )1 3 )1 3 3 x + 2 + x +1 0 0 0 8 2 = 2 3 − 2 + . 3 3
Do đó a = 2 , b = 3, a + 2b = 8 . 1 x a + b 3
Câu 107. Biết tích phân dx = v ∫
ới a , b là các số thực. Tính tổng T = a + b 3x +1 + 2x +1 9 0 . A. T = 10 − . B. T = 4 − .
C. T = 15 . D. T = 8 . Hướng dẫn giải Chọn D https://toanmath.com/ 1 1 x + − + x ( 3x 1 2x 1) 1 Ta có dx = dx = ∫ ∫
∫( 3x+1− 2x+1)dx 3x +1 + 2x +1 x 0 0 0 1 1  ∫ (    =
x + )1 − ( x + )1 2 x = ( x + )3 1 3 1 2 1 d 3 1 − (2x + )3 2 2 2 2 1       9 3  0 0 16   2 1  17 17 − 9 3 = − 3 − − = − 3 = .      9   9 3  9 9 a
Câu 108. Tích phân I = x x +1dx có giá tr ∫ ị là: 0 ( 5 3 a + )5 (a + )3 2 1 2 1 4 2 (a + ) 1 2 (a + ) 1 4 A. I = + + . B. I = − + . 5 3 15 5 3 15 ( 5 3 a + )5 (a + )3 2 1 2 1 4 2 (a + ) 1 2 (a + ) 1 4 C. I = + − . D. I = − − . 5 3 15 5 3 15 Hướng dẫn giải a
Tích phân I = x x +1dx có giá tr ∫ ị là: 0 Ta có: a a a a a
I = x x +1dx = ∫
∫(x+ )1 x+1dx− x+1dx = ∫ ∫(x+ )3
1 dx − ∫(x + )1 2 2 1 dx 0 0 0 0 0 a a 2    = (x + )5 2 1 − (x + )3 2 1 = (x + )5 2 1 − (x + )3 4 2 2 1 +     5  3  5 3 15 0 0 Chọn B 1 x
Câu 109. Tích phân I =
dx có giá trị là: ∫ + − − x 1 1 1 4 2 A. I = + 4 2 2 . B. I = − 4 2 2 . C. I = − 4 2 1 . D. I = +1 . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải 1 x Tích phân I =
dx có giá trị là: ∫ + − − x 1 1 1 Ta có: x x   = x +1 +1⇒ I = dx = ∫ ∫ ( x+1+ ) 1 1 1 2 1 dx = (x + )3 4 2 2 1 + x = + 2 .   x +1 −1 + − − x 1 1 3  3 1 1 − 1 − Chọn A 4 2 x − x + 2 a − 4 b
Câu 110. Biết rằng I = dx = . V ∫
ới a , b , c là số nguyên dương. Tính a + b + c . x + x − 2 c 3 A. 39 . B. 27 . C. 33 . D. 41 . Hướng dẫn giải Chọn A 2 2 3 x − x + 2  x 2  25 − 8 2 25 − 4 8 Ta có dx = ∫
∫(x− x−2)dx =  − ( x−2) 4 4 4  = = x + x − 2  2 3  6 6 3 3 3
Suy ra a = 25 , b = 8 , c = 6 . Vậy a + b + c = 39 . https://toanmath.com/ 2 dx Câu 111. Biết
= a + b − c với a b c là các số nguyên dương. Tính ∫ , ,
1 x x + 2 + ( x + 2) x
P = a + b + c .
A. P = 2 .
B. P = 8 .
C. P = 46 . D. P = 22 . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có x + 2 − x 2 ( ) 2 dx ∫ 2 dx = ∫ = dx ∫
1 x x + 2 + ( x + 2) x 1
x x + 2 ( x + 2 + x ) 1 2 x x + 2 2  1 1  = −
dx = ( x − x + 2 ) 2 = 2 + 3 − 3 . ∫   1  2 x 2 x + 2  1
Vậy a = 2 ; b = 3 ; c = 3 nên P = a + b + c = 8 . 2 dx
Câu 112. Biết I =
= a − b − c v ∫
ới a , b , c là các số nguyên dương. Tính x +1 x + x x +1 1 ( )
P = a + b + c .
A. P = 24 .
B. P = 12 .
C. P = 18 . D. P = 46 . Hướng dẫn giải Chọn D
Ta có: x +1 − x ≠ 0 , x ∀ ∈[1;2] nên: 2 dx 2 dx I = = ∫ ∫ x +1 x + x x +1 + + + 1 x ( x ) 1 ( x 1 x ) 1 ( ) 2
( x+1− x)dx
2 ( x +1 − x )dx = = ∫ ∫ + + + + − + 1 x ( x ) 1 x ( x ) 1 ( x 1 x )( x 1 x ) 1 2  1 1  = −
dx = (2 x − 2 x +1) 2 = 4 2 − 2 3 − 2 = 32 − 12 − 2 . ∫   x x +1  1 1 a = 32  Mà I =
a − b − c nên b
 = 12 . Suy ra: P = a + b + c = 32 +12 + 2 = 46 . c = 2 
TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC π
Câu 113. Tính tích phân sin 3 d x x . ∫ 1 9 T 1 9 T 0 1 2 A. − 1 . B. . C. − 2 . D. . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn D π 1 π 1 2 Ta có sin 3 d
x x = − cos 3x = − 1 − −1 = . ∫ ( ) 0 3 3 3 0 π 2  π 
Câu 114. Tính tích phân I = sin
− x dx . ∫    4  0 https://toanmath.com/ π A. I = . B. I = 1 − .
C. I = 0 . D. I = 1. 4 Hướng dẫn giải Chọn C π π 2  π   π   π   π  I = sin − x dx = cos − x   = cos − − cos = 0     . ∫ 2    4   4   4   4  0 0 π 3 dx
Câu 115. Tích phân I = bằng? ∫ 2 π sin x 4 π π π π π π π π A. cot − cot . B. cot + cot . C. − cot + cot . D. − cot − cot . 3 4 3 4 3 4 3 4 Hướng dẫn giải Chọn C π π 3 dx 3 Ta có I = = − cot x . ∫ 2 π sin x π 4 4 π 2
Câu 116. Biết cos xdx = a + b 3 , với
, là các số hữu tỉ. Tính T = a + b . ∫ a b 2 6 π 3
A. T = 3 . B. T = 1 − C. T = 4 − . D. T = 2 . Hướng dẫn giải Chọn B π 2 π Ta có: cos xdx = 3 sin x = 1− . V + = − = − π ậy 2a 6b 2 3 1. ∫ 2 π 2 3 3 π π m
Câu 117. Số = − cot
+ cot các số nguyên thỏa mãn cos 2 x dx = 0 là ∫ 3 4 0 A. 643 . B. 1284 . C. 1285 . D. 642 . Hướng dẫn giải. Chọn B Ta có m 1 m 1 kπ cos 2 x dx = 0 ⇔ sin 2x
= 0 ⇔ sin 2m = 0 ⇔ sin 2m = 0 ⇔ 2m = kπ ⇔ m = , k ∈ ∫  2 0 2 2 0 . kπ Vì m ∈ ( ) 4043 0; 2017 ⇒ 0 <
< 2017 ⇔ 0 < k < ≈1284,06 . 2 π
Vì k ∈  ⇒ có tất cả 1284 số nguyên của m . π 2
Câu 118. Tích phân I = sin xdx có giá trị là: ∫0
A. I = 1.
B. I = 0 . C. I = 1 − . D. Cả A, B, C đều sai. Hướng dẫn giải https://toanmath.com/ π 2
Tích phân I = sin xdx có giá tr ∫ ị là: 0 π 2 π
Cách 1: I = sin xdx = ∫ (−cos x) 2 =1. 0 0 Chọn A
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay. b
Câu 119. Có bao nhiêu số thực b thuộc khoảng (π ;3π ) sao cho 4 cos 2 d x x = 1? ∫π A. 8 . B. 2 . C. 4 . D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn C  π = + π b b k  Ta có: 4 cos 2 d x x = 1 b ⇔ x = 1 ⇔ = 12 π sin 2b ⇔  . ∫ 2 sin 2 1 π π 2 5 b = + kπ  12
Do đó, có 4 số thực b thỏa mãn yêu cầu bài toán. π 2
Câu 120. Tích phân I = ∫ (sin x − cos x)dx có giá trị là: π − 2
A. I = 1.
B. I = 2 . C. I = 2 − . D. I = 1 − . Hướng dẫn giải π 2
Tích phân I = ∫ (sin x − cos x)dx có giá trị là: π − 2 π 2 π
Cách 1 m ∈ (0; 2017): I = ∫ (sin x − cos x)dx = (−cos x − sin x) 2 = 2 − . π − π 2 − 2 Chọn C
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay. π 6
Câu 121. Tích phân I = ∫ (sin 2x − cos3x)dx có giá trị là: π − 2 2 A. I = 3 . B. I = 3 . C. I = − 2 . D. I = − . 3 4 4 3 Hướng dẫn giải π 6
Tích phân I = ∫ (sin 2x − cos3x)dx có giá trị là: π − 2 π π 6 6  1 1  3
Cách 1: I = ∫ (sin 2x − cos3x)dx = − cos 2x − sin 3x = − .    2 3  π π 4 − − 2 2 Chọn C https://toanmath.com/
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay. π 2
Câu 122. Kết quả của tích phân ∫ (2x −1− sin x)dx được viết ở dạng a , b∈ . Khẳng định nào sau 0 đây là sai?
A. a + 2b = 8 .
B. a + b = 5 .
C. 2a − 3b = 2 .
D. a − b = 2 . Hướng dẫn giải Chọn B π 2 π ∫( π π π
2x 1 sin x) dx ( 1 2 x x cos x) 2 2 1 π   − − = − + = − − = − −1 .   0 4 2  4 2  0
Vậy a = 4 , b = 2 . Suy ra a + b = 6 . Vậy B sai. π 2 cos 2x
Câu 123. Cho tích phân
dx = a + bπ v ∫
ới a, b∈ . Tính 3 2
P = 1+ a + b 1+ sin x 0
A. P = 9 .
B. P = 29 .
C. P = 11 . D. P = 25 − . Hướng dẫn giải Chọn D π π π 2 cos 2x 2 2 1− 2 sin x 2  1  dx ∫ = dx ∫ = 2 − sin x + 2 − dx ∫  1+ sin x 1+ sin x  1+ sin x  0 0 0 π   π 2   1 π =  1 2 − sin x + 2 −
dx . = 2cos x + 2x − dx ∫ ( ) 2 2 ∫   π   0  x π  0 1+ cos − x     2 0 2 cos −     2    2 4  π 1 x π 2 π   = − + − .2 tan −   2 = 3 − +π . 2  2 4  0 Vậy a = 3, − b =1. 3 2
P = 1+ a + b = 25 − . π 2 π 1
Câu 124. Cho tích phân ∫ (4x 1 cos x)dx π   − + = −
+ c , (a,b,c∈) . Tính a −b + c    a b  0 1 A. 3 − B. 1. C. 2 − . D. . 3 Hướng dẫn giải Chọn B π 2 π π 1
Ta có ∫(4x 1 cos x)dx ( 2 2x x sin x) 2 π   − + = − + = − +1   . 0  2 2  0
Suy ra a = 2 , b = 2 , c = 1 nên a − b + c = 1. π 6 aπ c 3 Câu 125. Biết ( 2 3 + 4 sin x)dx = − ∫
, trong đó a ,b nguyên dương và a tối giản. Tính a + b + c b 6 b 0 . A. 8 . B. 16 . C. 12 . D. 14 . Hướng dẫn giải https://toanmath.com/ Chọn D Ta có: π π π 6 6 ∫(3+ 4sin x) 6 2 dx = 3 + 2 ∫  (1−cos2x)dx
= ∫(5− 2cos2x)dx 0 0 0 5π 3 3 = − . 6 6
Suy ra a = 5 , b = 6 , c = 3 .
Vậy a + b + c = 14 . π π 3 3
Câu 126. Cho giá trị của tích phân I =
sin 2x + cos x dx = a ∫ , I =
cos 2x + sin x dx = b ∫ . Giá trị 2 ( ) 1 ( ) π π − − 2 3
của a + b là: 3 3 3 3 3 3 A. P = + 3 . B. P = + . C. P = − 3 . D. P = − . 4 4 2 4 4 2 Hướng dẫn giải π π 3 3
Cho giá trị của tích phân I =
sin 2x + cos x dx = a ∫ , I =
cos 2x + sin x dx = b ∫ . Giá trị 2 ( ) 1 ( ) π π − − 2 3 của a + b là: Cách 1: Ta có: π π 3   I = ∫ ( x + x) 3 1 3 3 3 3 sin 2 cos
dx = − cos 2x + sin x = + ⇒ a = + . 1    2 π π  4 2 4 2 − − 2 2 π π 3   I = ∫ ( x + x) 3 1 3 3 cos 2 sin dx = sin 2x − cos x = ⇒ b = . 2    2  π π 2 2 − − 3 3 3
⇒ P = a + b = + 3 . 4 Chọn A
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay vì các giá trị rất quen thuộc học sinh có thể nhận ra. 2π 3 2e  1 1 1 
Câu 127. Cho giá trị của tích phân I =
sin 3x + cos 3x dx = a ∫ , I = + − dx = b ∫ . Giá 1 ( ) 2   2 π  x x x +1  − e 3
trịa.b gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 8 . B. 16 . C. 10 . D. 1. Ta có: 2π 2π 3   I = ∫ ( x + x) 3 1 1 2 2 sin 3 cos 3
dx = − cos 3x + sin 3x = − ⇒ a = − . 1    3 3  π π 3 3 − − 3 3 https://toanmath.com/ 2 2 e e  1 1 1   1  1 1 I = + − dx = ln x − − ln x +1 = ln 2 −
+ − ln 2e +1 + ln e +1 ∫ 2     2 ( ) ( )  x x x +1   x  2e e e e 1 1 ⇒ b = − + + ln 2 − ln (2e + ) 1 + ln (e + ) 1 2e e ⇒ . a b ≈ 0 − , 2198 . Chọn D π 2
Câu 128. Tích phân I = ∫ (sin ax + cos ax)dx , với a ≠ 0 có giá trị là: π − 2 2   π π   π π  A. I = sin a − − sin a +      . a   2 4   2 4  2   π π   π π  B. I = sin a − + sin a +      . a   2 4   2 4  2   π π   π π  C. I = sin a − + sin −a +      . a   2 4   2 4  2   π π   π π  D. I = −sin a − + sin a +      . a   2 4   2 4  Hướng dẫn giải π 2
Tích phân I = ∫ (sin ax + cos ax)dx có giá trị là: π − 2 Ta có: π π π 2     π  I = ∫ ( ax + ax) 2 2 1 1 2 sin cos dx = − cos ax + sin ax =    sin ax −    π  a a  π a   4  −  π − − 2 . 2 2 2   π π   π π  = sin a − + sin a +      a   2 4   2 4  Chọn B π 2 3 2
x + x cos x − sin x π b
Câu 129. Biết I = dx = − ∫
. Trong đó a , b , c là các số nguyên dương, phân số 1+ cos x a c 0 b tối giản. Tính 2 2 2
T = a + b + c . c
A. T = 16 .
B. T = 59 .
C. T = 69 . D. T = 50 . Hướng dẫn giải Chọn C π π 2 3
x + x cos x − sin x 2 3  sin x  Ta có I = dx ∫ = x ∫ − dx  1+ cos x  1+ cos x  0 0 π π π 2 2 2 2 π   2 π = 1 1 d x x − ∫ ∫(1−cos x)sin d x x 2 =
+ cos x − cos x   = − . 8  2  8 2 0 0 0
Như vậy a = 8, b =1, c = 2 . Vậy 2 2 2
T = a + b + c = 69 . https://toanmath.com/  π  b
Câu 130. Cho hàm số f ( x) = a sin 2x − b cos 2x thỏa mãn f ' = 2 −   và adx = 3 ∫
. Tính tổng a + b  2  a bằng: A. 3. B. 4. C. 5. D. 8. Hướng dẫn giải Chọn C
f '( x) = 2a cos 2x + 2bsin 2x  π  f ' = 2 − ⇔ 2 − a = 2 − ⇔ a = 1    2  b b d
a x = dx = 3 ⇔ b −1 = 3 ⇔ b = 4 ∫ ∫ a 1
Vậy a + b = 1+ 4 = 5. 0
Câu 131. Cho tích phân cos 2x cos 4 d
x x = a + b 3 ∫
, trong đó a , b là các hằng số hữu tỉ. Tính π − 3
ea + log b . 2 1 A. 2 − . B. 3 − . C. . D. 0 . 8 Hướng dẫn giải Chọn A 0 0 0 1 1  1 1  Ta có: π cos 2x cos 4 d x x ∫ = π
∫ (cos6x+cos2x)dx = sin 6x + sin 2x   = 1 3 . − 2 − 2  6 2  π 8 3 3 − 3 Do đó ta có 1 1
a = 0 , b = − . Vậy ea + log b = 0 e + log = 2 − . 8 2 2 8 1  π − 
Câu 132. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số y = với x ∀ ∈  \ 
+ kπ ,k ∈, biết 1+ sin 2x  4   π  11π 
F (0) = 1; F (π ) = 0 . Tính P = F − − F     .  12   12 
A. P = 2 − 3 .
B. P = 0 .
C. Không tồn tại P . D. P = 1 . Hướng dẫn giải Chọn D  π −  11π    π   11π  Ta có P = F − F = − F      (0) − F − + F    (π ) − F + F   (0)− F (π )  12   12    12    12  0 π 1 1 = − dx + dx +1 ∫ ∫ . + + π 1 sin 2x π 1 sin 2x 11 −12 12 1 1 1 Ta có = = nên 1+ sin 2x (sin x + cos x)2  π  2 2 cos x −    4  https://toanmath.com/ 0 0 1 1  π  1 dx = tan x − = ∫   ( 1−+ 3); 1+ sin 2x 2  4 π π  2 − − 12 12 π π 1 1  π  1 dx = tan x − = ∫   ( 1−+ 3). 1+ sin 2x 2  4 11  π π 2 11 12 12 Vậy P = 1 .
Câu 133. Cho M , N là các số thực, xét hàm số f ( x) = M .sin πx + N.cos πx thỏa mãn f ( ) 1 = 3 và 1 2  1  f ( x) 1 dx = − ∫
. Giá trị của f ′ bằng π    4  0 5π 2 5π 2 π 2 π 2 A. . B. − . C. − . D. . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có f ( )
1 = 3 ⇔ M .sin π + N.cos π = 3 ⇔ N = 3 − . 1 1 2 1 2 1
Mặt khác f ( x) dx = − ∫
⇔ ∫(M.sin πx −3.cosπx)d = − π x π 0 0 1 2  M 3  1 ⇔ − 3 M 1 cos πx − sin π = −  ⇔ − + = − ⇔ = π π x M 2 .   π π π π 0  1  5π 2
Vậy f ( x) = 2sin πx − 3cos πx nên f ′( x) = 2π cos πx + 3π sin πx ⇒ f ′ =   .  4  2 π 2
Câu 134. Tích phân I = (cos x − ∫ ) 2
1 cos xdx có giá trị là: 0 π 1 π 2 π 1 π 2 A. I = − . B. I = − − . C. I = + . D. I = − + . 4 3 4 3 4 3 4 3 Hướng dẫn giải π 2
Tích phân I = (cos x − ∫ ) 2
1 cos xdx có giá trị là: 0 Ta biến đổi: π π π π 1 2 = ∫(  t    π I cos x − ) 2
1 cos xdx = cos x ∫ (1−sin x) 2 3 2 1 1 2 2 2 2 dx − cos xdx = ∫ t −  − x + sin 2x = −    3  2  2  3 4 0 0 0 0 0
, với t = sin x . Chọn D π 2 1 2 x +1
Câu 135. Biết tích phân I = sin xdx = a ∫ . Giá trị của I =
dx = b ln 2 − c ln 5 ∫
. Thương số giữa b 1 2 3 π x + x a 3 và c là: A. – 2.
B. – 4. C. 2. D. 4. Hướng dẫn giải https://toanmath.com/ π 2 1 2 x +1
Biết tích phân I = sin xdx = a ∫ . Giá trị của I =
dx = b ln 2 − c ln 5 ∫ . Thương số giữa b 1 2 3 π x + x a 3 và c là: Ta có: π 2 π
I = sin xdx = (cos x) 1 2 = ∫ . 1 π π 2 3 3 1 2 1 2 x +1 x +1 1 4 1 4 1 b ⇒ I = dx = dx = ln t
= ln 2 − ln 5 ⇒ b = ,c = − ⇒ = 4 − ∫ ∫ . 2 3 3 ( ) 25 x + x x + x 3 3 3 3 3 c a 1 8 2 Chọn B π 3 π
Câu 136. Cho I = ∫( 2
sin 3x + cos x) dx = (a cos3x + bx sin+ c sin 2x) 6 . Giá trị của 3a + 2b + 4c là: 0 0 A. – 1. B. 1.
C. – 2. D. 2. Hướng dẫn giải π 3 π Cho I = ∫( 2
sin 3x + cos x) dx = (a cos3x + bx sin+ c sin 2x) 6 . Giá trị của 3a + 2b + 4c là: 0 0 Ta có: π π π 3 = ∫(  + x    I sin 3x + cos x) 3 3 1 cos 2 1 1 1 2 dx = sin 3x +
dx = − cos 3x + x + sin 2x ∫ 1      2   3 2 4  0 0 0 1 1 1
⇒ a = − ,b = ,c = ⇒ 3a + 2c + 4c =1 3 2 4 Chọn B
Câu 137. Cho I = tann d x x ∫
với n ∈  . Khi đó I + I + 2 I + I + ... + I + I + I bằng 0 1 ( 2 3 8 ) n 9 10 r r + r r + 9 (tan x) (tan x) 1 9 10 (tan x) (tan x) 1 10 A. ∑ + C . B. ∑ + C . C. ∑ + C . D. ∑ + C = r = r + = r = r + r 1 r 1 r 1 1 r 1 1 . Hướng dẫn giải Chọn A n−  1 n−2 2 − ′ I = tan . x tan d x x = ∫ 2 tan . x −1 dx = ∫ n 2 tan . x ∫
(tan x) dx − I n   2  − cos xn 2 n 1 tan − x = − I + C n−2 n −1 n 1 tan − x ⇒ I + I = + C . n n−2 n −1
I + I + 2 I + I + ... + I
+ I + I =(I + I + I + I +...+ I + I + I + I 10 8 ) ( 9 7 ) ( 3 1) ( 2 0 ) 0 1 ( 2 3 8 ) 9 10 9 8 2 tan x tan x tan x 9 = + + tanr x .... +
+ tan x + C = ∑ + C . 9 8 2 = r r 1
TÍCH PHÂN HÀM MŨ – LÔGARIT 1
Câu 138. Tích phân e−xdx ∫ bằng 0 https://toanmath.com/ 1 e −1 1 A. e −1. B. −1. C. . D. . e e e Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 −   x − − x 1 e 1 Ta có: e dx = −e = − −1 = ∫   . 0  e  e 0 2018 Câu 139. Tích phân = 2 d ∫ x I x bằng 0 2018 2 −1 2018 2 A. 2018 2 −1. B. . C. . D. 2018 2 . ln 2 ln 2 Hướng dẫn giải Chọn D 2018 2018 x 2018 x 2 2 −1 I = 2 dx = = ∫ . ln 2 ln 2 0 0 4 1 0 1 − 4 Câu 140. Biết f (x)dx = ∫ và. f (x)dx = ∫ . Tính tích phân 2 = 4e x I
+ 2 f (x) dx ∫  . 2 2 1 − 1 − 0 A. 8 I = 2e . B. 8 I = 4e − 2 . C. 8 I = 4e . D. 8 I = 2e − 4 . Hướng dẫn giải Chọn A 4 2 x 1 − 4 x e 4 Ta có 2 I = 4e
+ 2 f (x) dx = 4. + 2 f ∫
∫ (x)dx+ 2 f ∫ (x)dx   . 2 0 0 0 1 − ⇔ I = 2( 1 1 8 e − ) 8 1 + 2. + 2. = 2.e . 2 2 2 x 2 Câu 141. Cho ( ) = et F x dt ∫
. Tính F ′(2) . 0 A. F ′( ) 4 2 = 4e . B. F ′( ) 16 2 = 8e . C. F ′( ) 16 2 = 4e . D. F ′( ) 4 2 = e . Hướng dẫn giải Chọn C 2
Gọi G ( x) là nguyên hàm của hàm số et .
⇒ F (x) = G( 2 x ) − G (0) ⇒ F′(x) = 4 x G′( 2 2 . x ) = 2 .ex x . ⇒ F′( ) 16 2 = 4.e 2 x 1
Câu 142. Cho hàm số g ( x) = dt ∫
với x > 0 . Đạo hàm của g ( x) là ln t x x − − x
A. g′( x) 1 = .
B. g′( x) 1 = .
C. g′( x) 1 = .
D. g′( x) = ln x . ln x ln x ln x Hướng dẫn giải Chọn A 1
Giả sử F (t ) là một nguyên hàm của hàm số . ln t Khi đó F′(t) 1 = hay F′( x) 1 = . ln t ln x https://toanmath.com/ 2 x 1 Ta có g ( x) = dt ∫ = ( 2
F x ) − F ( x) . ln t x ′ 1 1 x − Suy ra ′( ) = ( ( 2 g x
F x ) − F ( x)) = ′( 2
F x ) − F′( x) = .2x − 1 = . 2 ln x ln x ln x ′ v( x)  
Chú ý: ta có công thức  f
∫ (t)dt = v′(x).f v(x) −u′(x).f u(x)       u  (x)  3π 2 Câu 143. ⇔ f
∫ (x)dx = 6.Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn 3π − 2 2 2018.ek − kx 2018 e dx < ∫
. Số phần tử của tập hợp S bằng. k 1 A. 7 . B. 8 . C. Vô số. D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn A 2 2   k k − kx 1 Ta có: e d = ekx x ∫ 2 e e   = .  kk 1 1 2 2018.ek − k k k − − kx 2018 e dx < ∫ 2 e e 2018.e 2018 ⇔ < k k k 1 ek (ek )1 2018(ek ⇔ − < − )
1 (do k nguyên dương). (ek )1(ek ⇔ − − 2018) < 0 1 ek ⇔ <
< 2018 ⇔ 0 < k < ln 2018 ≈ 7.6 .
Do k nguyên dương nên ta chọn được k ∈ S (với S = {1; 2;3; 4;5;6; } 7 ).
Suy ra số phần tử của S là 7 . 1 e−nx
Câu 144. Cho I = dx ∫ với n ∈  . n 1+ e−x 0
Đặt u =1.(I + I + 2 I + I + 3 I + I +...+ n I + I − n . n 1 2 ) ( 2 3) ( 3 4 ) ( n n 1+)
Biết lim u = L . Mệnh đề nào sau đây là đúng? n A. L ∈ ( 1 − ;0). B. L ∈ ( 2; − − ) 1 . C. L ∈ (0; ) 1 .
D. L ∈ (1; 2) . Hướng dẫn giải Chọn A 1 −(n+ ) 1 − − − e x 1 e nx.e x 1 1 1 −nx e nx Với n ∈  , − I = dx ∫ = dx ∫ = e dx − dx ∫ ∫
= e nxdx − I ∫ n 1 + − − 1+ e−x 1+ e x 1+ e x n 0 0 0 0 0 1 ⇒ 1 I
= e−nxdx − I ∫ ⇒ I + I = 1− e−n n 1 + n ( ) n 1 + n n 0 Do đó u = ( 1 − − )+( 2 − − )+( 3 1 e 1 e
1− e− ) + ...+ (1− e−n − n n ) 1 − 2 − 3
⇒ u = −e − e − e− −...− e−n n https://toanmath.com/ 1 Ta thấy −
u là tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân lùi vô hạn với 1 u = −e và q = , nên n 1 e 1 e− − 1 − lim u = ⇒ L = ⇒ L ∈ ( 1 − ;0) . n 1 e −1 1− e https://toanmath.com/
TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1
y = f ( x) Cho hàm số liên tục trên đoạn [ ;
a b]. Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục
trên đoạn [a;b] và α ≤ u(x) ≤ β. Giả sử có thể viết f (x) = g(u(x))u'(x), x∈[a;b], với g liên tục
trên đoạn [α;β]. Khi đó, ta có b u (b) I = f (x)dx = g(u)du. ∫ ∫ a u (a)
Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân Dấu hiệu Có thể đặt Ví dụ 3 3 x dx 1 Có f (x) t = f (x) I = ∫
. Đặt t = x +1 0 x + 1 1 2 Có ( + )n ax b
t = ax + b 2016 I = x(x + 1) dx ∫
. Đặt t = x −1 0 π tan x+3 e 3 Có f (x) a
t = f (x) 4 I = dx ∫
. Đặt t = tan x + 3 2 0 cos x dx
t = ln x hoặc biểu thức e ln xdx 4 Có và ln x I = ∫
. Đặt t = ln x +1 x chứa ln x 1 x(ln x + 1) x
t = e hoặc biểu thức ln 2 2 x x = + x = + 5 Có x I e 3e 1dx ∫ . Đặt t 3e 1 e dx 0 chứa x e π 6 Có sin xdx t = cos x 3 2 I = sin x cos xdx ∫
. Đặt t = sin x 0 3 π sin x 7 Có cos xdx t = sin xdx I = dx ∫
Đặt t = 2cos x +1 0 2 cos x + 1 π π 1 1 dx 2 4 4 I = dx = (1 + tan x) dx ∫ ∫ 8 Có t = tan x 4 2 0 0 2 cos x cos x cos x
Đặt t = tan x π dx cot x cot x e e 9 Có t = cot x 4 I = dx = dx ∫ ∫
. Đặt t = cot x 2 π sin x 2 1 − cos 2x 2sin x 6 BÀI TẬP Câu 1:
Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên [a,b] . Giả sử hàm số u = u ( x) có đạo hàm liên tục trên
[a,b] và u(x)∈[α,β] x
∀ ∈[a,b], hơn nữa f (u) liên tục trên đoạn [α, β ].
Mệnh đề nào sau đây là đúng? x = a u(b) b b b A. f u
∫  (x)u′
 ( x)dx = f
∫ (u)du . B. f u
∫  (x)u′
 ( x)dx = f
∫ (u)du . a a u(a) a u(b b ) b b C. f u
∫  (x)u′  ( x)dx = f
∫ (u)du . D. f u
∫  (x)u′
 ( x)dx = f ∫ (x)du . a u(a) a a
HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM HỮU TỈ 3 1000 Câu 2:
Tính tích phân I = x ( x − ∫ )1 . dx 1 https://toanmath.com/ 1002 2003.2 1001 1502.2 1002 3005.2 1001 2003.2 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 1003002 501501 1003002 501501 100 Câu 3: Giá trị của tích phân x
∫ (x− )1...(x−100)dx bằng 0 A. 0 . B. 1. C. 100 .
D. một giá trị khác. 2 x Câu 4: Tích phân dx ∫ bằng 2 x + 3 0 1 7 7 1 7 1 3 A. log . B. ln . C. ln . D. ln . 2 3 3 2 3 2 7 2 dx 5 Câu 5: Cho tích phân I = = a ln + b ∫
. Khi đó a + 2b bằng 5 3 1 x + x 8 5 5 5 5 A. B. C. D. 2 4 8 16 1 5 x dx Câu 6: Tích phân I = ∫ = − (
được kết quả I a ln 2 b . Giá trị a+b là: + x )3 2 0 1 3 13 14 4 A. B. C. D. 16 16 17 17 0 2x Câu 7: Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 2 x +1 1 −
A. I = ln 3 .
B. I = − ln 2 .
C. I = − ln 3 . D. I = ln 2 . 1 2 x 1 Câu 8: Cho dx = ln a ∫
,a là các số hữu tỉ. Giá trị của a là: 3 x +1 3 0 A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. 0 ax Câu 9: Tích phân I = dx ∫ ,với a ≠ 2
− có giá trị là: 2 ax + 2 1 − ln 2 + ln a + 2 ln 2 − ln a + 2 A. I = . B. I = . 2 2 − ln 2 − ln a + 2 − ln 2 + ln a + 2 C. I = . D. I = . 2 2 5 dx 5 dx Câu 10: Giả sử
= a ln 5 + bln 3 + cln 2.(a,b,c ∈ ) ∫ 
= a ln 5 + b ln 3 + c ln 2. ∫ Tính giá trị 2 x − x 2 x − x 3 3 biểu thức 2 S = 2
− a + b + 3c .
A. S = 3.
B. S = 6.
C. S = 0. D. S = 2. − 1 2 2x + 3x + 3 Câu 11: Biết
dx = a − ln b ∫
với a , b là các số nguyên dương. Tính 2 2
P = a + b . 2 x + 2x +1 0 A. 13 . B. 5 . C. 4 . D. 10 . https://toanmath.com/ b 2 a − x
Câu 12: Tính I = x ∫
(với a , b là các số thực dương cho trước). + a (a x ) d 2 2 2b b
(a − )1(b − )1 b A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 2 2 a + b 2 a + b ( 2
a + b )(a + ) 1 2 a + b π 4 1 2 x f ( x)
Câu 13: Cho hàm số f ( x) liên tục trên  và các tích phân f
∫ (tan x)dx = 4 và dx = 2 ∫ . 2 x +1 0 0 1 Tính tích phân I = f
∫ (x)dx . 0
A. I = 6 .
B. I = 2 .
C. I = 3 . D. I = 1.
Câu 14: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị hình bên. Tính tích phân 2 I = f ′(2x − ∫ ) 1 dx . 1 4 3 2 -1 2 O 1 3 -1 2 A. I = 2 − . B. I = 1 − .
C. I = 1. D. I = 2 . HÀM VÔ TỈ 1 3
Câu 15: Cho tích phân 3 1− xdx ∫
, với cách đặt t = 1− x thì tích phân đã cho bằng với tích phân nào 0 sau đây? 1 1 1 1 A. 3 tdt ∫ . B. 3 t dt ∫ . C. 2 3 t dt ∫ . D. 3 3 t dt ∫ . 0 0 0 0 2
Câu 16: Trong các tích phân sau, tích phân nào có cùng giá trị với 3 2 I = x x −1dx ∫ 1 2 1 4 3 3 A. t t −1dt ∫ . B. t t −1dt ∫ C. ( 2t + ∫ ) 2 1 t dt . D. ( 2x + ∫ ) 2 1 x dx . 1 2 1 0 1 3 2 x Câu 17: Nếu dx = f (t)dt ∫ ∫
, với t = 1+ x thì f (t) là hàm số nào trong các hàm số dưới 1+ 1+ x 0 1 đây ? A. 2
f (t) = 2t + 2t B. 2
f (t) = t − t C. 2
f (t) = t + t D. 2
f (t) = 2t − 2t https://toanmath.com/ 4 1
Câu 18: Kết quả của dx ∫ bằng 2x +1 0 A. 4 . B. 5 . C. 2 . D. 3 . 1 dx
Câu 19: Tích phân ∫ bằng 3x +1 0 4 3 1 2 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 3 3 x a Câu 20: Cho dx =
+ b ln 2 + c ln 3 ∫
với a , b , c là các số nguyên. Giá trị của a + b + c 4 + 2 x +1 3 0 bằng A. 1. B. 2 . C. 7 . D. 9 . 4 1
Câu 21: Biết I =
dx = a + b ln 2 ∫
với a,b là số nguyên. Tính S = a + b . 2x +1 − 5 0
A. S = 3. B. S = 3. − C. S = 5. D. S = 7. 5 dx
Câu 22: Tính tích phân ∫
được kết quả I = a ln 3 + b ln 5 . Giá trị 2 2
a + ab + 3b là x 3x +1 1 A. 4 . B. 5 . C. 1. D. 0 . 4 dx 2
Câu 23: Cho tích phân I = = a + b ln ∫
với a,b ∈  . Mệnh đề nào sau đây đúng? 3 + 2x +1 3 0
A. a − b = 3 .
B. a − b = 5 .
C. a + b = 5 .
D. a + b = 3 . 3 2 Câu 24: Biết 2 x x +1dx = ∫
(a− b), với a,b là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây đúng. 3 1
A. a = 2b .
B. a < b .
C. a = b .
D. a = 3b . a dx 1 5 Câu 25: Cho I = = ln , 5 a > ∫
. Khi đó giá trị của số thực a là 2 ( ) + 4 3 5 x x 4 A. 2 3. B. 2 5. C. 3 2. D. 2 2. 1 x Câu 26: Cho I =
dx = a 2 + b ∫
. Giá trịa.b là: 2 + 0 x 1 A. – 1. B. – 2. C. 1. D. 2. 2 2 4 − x b
Câu 27: Với a,b, c ∈ R . Đặt I = dx = a − ln ∫
. Giá trị của tính abc là : x c 1 A. 3 B. 2 − 3 C. 2 3 D. − 3 3 2 x +1 c + d Câu 28: Cho
dx = a − b + ln ∫
với c nguyên dương và a , b , c , d , e là các số x e 1
nguyên tố. Giá trị của biểu thức a + b + c + d + e bằng. https://toanmath.com/ A. 14 . B. 17 . C. 10 . D. 24 . 7 3 x dx a
Câu 29: Giá trị của I = ∫
được viết dưới dạng phân số tối giản
( a , b là các số nguyên 3 2 + b 0 1 x
dương). Khi đó giá trị của a − 7b bằng A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 1. − 64 dx 2
Câu 30: Giả sử I = = a ln + b ∫ với −
a, b là số nguyên. Tính giá trị a b . 3 x + x 3 1 A. 17 − . B. 5 . C. 5 − . D. 17 . 2 2 1+ x 1  bCâu 31: Giả sử dx = a a − b ∫ 
 với a,b,c ∈  ; 1 ≤ a,b,c ≤ 9 . Tính giá trị của biểu 4 x c b + c  1 thức b a C − 2a+ . c A. 165 . B. 715 . C. 5456 . D. 35 . x t
Câu 32: Tập hợp nghiệm của bất phương trình dt > 0 ∫ (ẩn x ) là: 2 + 0 t 1 A. ( ; −∞ +∞) . B. ( ; −∞ 0). C. ( ; −∞ +∞) \{ } 0 . D. (0; +∞) . 7 3 m Câu 33: Cho biết d = ∫ x m x với
là một phân số tối giản. Tính m − 7n . 3 2 + n n 0 1 x A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 91. 2 x Câu 34: Biết
dx = a + b 2 + c 35 ∫
với a , b , c là các số hữu tỷ, tính P = a + 2b + c − 7 2 + − 1 3x 9x 1 . 1 86 67 A. − . B. . C. 2 − . D. . 9 27 27 2 dx Câu 35: Biết
= a − b − c ∫
với a , b , c là các số nguyên dương. Tính x x +1 + x +1 x 1 ( )
P = a + b + c .
A. P = 44 .
B. P = 42 .
C. P = 46 . D. P = 48 . 4 2 3 2x + 4x +1 1
Câu 36: Giả sử a , b , c là các số nguyên thỏa mãn dx ∫ = ∫( 4 2
au + bu + c)du , trong 2x +1 2 0 1
đó u = 2x +1 . Tính giá trị S = a + b + c . A. S = 3 .
B. S = 0 .
C. S = 1 . D. S = 2 . 1 2 3 a x + ax
Câu 37: Tích phân I = dx ∫
, với a ≥ 0 có giá trị là: 2 + 0 ax 1 a (a − 2) a (a − 2) a (a + 2) a (a + 2) A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 4 2 4 2 https://toanmath.com/ 3 1
Câu 38: Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 2 + 0 x 9 3 + 2 3 3 − + 2 3 3 + 2 3 3 − + 2 3 A. I = − ln . B. I = − ln . C. I = ln . D. I = ln . 3 3 3 3 1 a
Câu 39: Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 2 + 0 3x 12 a 1− 5 a 1+ 5 A. I = ln . B. I = − ln . 3 2 3 2 a 1− 5 a 1+ 5 C. I = − ln . D. I = ln . 3 2 3 2 2 ax − 2
Câu 40: Tích phân I = dx = 2 3 −1 ∫
. Giá trị nguyên của a là: 2 − 1 ax 4x
A. a = 5 .
B. a = 6 .
C. a = 7 . D. a = 8 . 2 1 2 + a a Câu 41: Cho dx = ln ∫
,a và b là các số hữu tỉ. Giá trị là: 2 x +1 1+ b b 1 2 5 2 3 A. . B. . C. . D. . 5 2 3 2 3 7 5 3x
Câu 42: Tích phân I = dx ∫ có gái trị là: 3 3 − 0 8 x 87 67 77 57 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 5 5 5 5 4 2x +1dx 5 Câu 43: Biết
= a + b ln 2 + c ln ∫
(a,b,c∈). Tính T = 2a +b + c. 2x + 3 2x +1 + 3 3 0
A. T = 4 .
B. T = 2 .
C. T = 1. D. T = 3. 3 dx 1 Câu 44: Biết
= a 3 + b 2 + c + ln 3 2 − 3 ∫
với a , b , c là các số hữu tỷ. Tính 2 ( ) + + + 2 1 1 x 1 x
P = a + b + c . 1 1 5 A. P = . B. P = 1 − . C. P = − . D. P = . 2 2 2 1 dx  2 + a  = 2ln ∫     2 x + 4x + 3 1+ b
Câu 45: Biết rằng 0 
 với a , b là các số nguyên dương. Giá trị của a +b bằng A. 3 . B. 5 . C. 9 . D. 7 . https://toanmath.com/ 2  1 1 1  a Câu 46: Biết 3 3 3 ∫ x− + 2 − dx =
c , với a,b, c nguyên dương, a tối giản và c < a . Tính 2 8 11   x x x b b 1  
S = a + b + c
A. S = 51 .
B. S = 67 .
C. S = 39 . D. S = 75 . 2 dx
Câu 47: Cho số thực dương k > 0 thỏa = ln 2 + 5 ∫
. Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 ( ) + 0 x k 3 1 1 3 A. k > . B. 0 < k ≤ . C. < k ≤ 1 . D. 1 < k ≤ . 2 2 2 2 HÀM LƯỢNG GIÁC
Câu 48: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau 1 1 1 1 A. sin
∫ (1− x)dx = sin d x x ∫ . B. cos
∫ (1− x)dx = − cos d x x ∫ . 0 0 0 0 π π π 2 π x 2 x
C. cos dx = cos d x x ∫ ∫ . D. sin dx = sin d x x ∫ ∫ . 2 2 0 0 0 0 π 3 sin x
Câu 49: Tính tích phân I = dx ∫ . 3 cos x 0 5 3 π 9 9 A. I = . B. I = . C. I = + . D. I = . 2 2 3 20 4 π 3 b Câu 50: Cho 2
I = sin x tan xdx = ln a − ∫
. Chọn mệnh đề đúng: 8 0
A. a + b = 4
B. a − b = 2
C. ab = 6 D. b a = 4 0 1 0 3
Câu 51: Biết rằng I = dx = a ∫ và 3 3 I =
x + 2dx = b 2 − ∫
, a và b là các số hữu tỉ. 1 + π 1 cos 2x 4 − 1 − 4
Thương số giữa a và b có giá trị là: 1 1 3 2 A. . B. . C. . D. . 2 3 4 3 π a cos 2x 1 Câu 52: Cho I = dx = ln 3 ∫
. Tìm giá trị của a là: 1+ 2 sin 2x 4 0 A. 3 B. 2 C. 4 D. 6 π 4  
Câu 53: Biết I = ∫ ( 2
1+ tan x dx = a và I = x + x dx = ∫
bx + cx  , a và b là các số hữu tỉ. Giá 2 ( ) 1 1 1 2 3 3 1 ) 0   0 0
trị của a + b + c là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. https://toanmath.com/ π 3 sin 2x
Câu 54: Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: cos x + cos 3x 0 1  2 − 2 2 −1  1  2 − 2 2 +1  A. I = ln + ln    . B. I = ln − ln    . 2 2 2 + 2 2 +1   2 2 2 + 2 2 −1   1  2 − 2 2 −1  1  2 + 2 2 −1  C. I = ln − ln    . D. I = ln − ln    . 2 2 2 + 2 2 +1   2 2 2 − 2 2 +1   π 2 2x + cos x
Câu 55: Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 2 + π x sin x 4 2 2  π   π 2  2 2  π   π 2  A. I = ln  −1 − ln +    . B. I = ln  +1 − ln +  .    4  16 2    4  16 2   2 2  π   π 2  2 2  π   π 2  C. I = ln  −1 + ln +    . D. I = ln  +1 + ln +  .    4  16 2    4  16 2   π 4 1 1 Câu 56: Cho = π + +
sin 2x ln (tan x + ∫ ) 1 dx a
b ln 2 c với a , b , c là các số hữu tỉ. Tính T = + − c a b 0 .
A. T = 2 .
B. T = 4 .
C. T = 6 . D. T = 4 − . π 2 sin 2x
Câu 57: Xét tích phân = + I = dx ∫ . Nếu đặt t
1 cos x , khẳng định nào dưới đây là đúng? 1+ cos x 0 1 3 − 1 3 − + 2 A. 4t 4t 4t 4t I = dt. ∫ B. I = dt. ∫ C. I = 4 ( 2 t − ∫ )1dt. D. t t 2 2 1 2 I = 4 − ( 2t − ∫ )1dt. 1 π 6 n 1 Câu 58: Cho sin .
x cos xdx = (n∈ ∫
) . Tìm giá trị n . 64 0
A. n = 3 .
B. n = 4 .
C. n = 5 . D. n = 6 . π 2 sin x
Câu 59: Cho tích phân
dx = a ln 5 + b ln 2 ∫  +
với a, b ∈ . Mệnh đề nào dưới đây đúng? π cos x 2 3
A. 2a + b = 0.
B. a − 2b = 0.
C. 2a − b = 0.
D. a + 2b = 0. π 2 cos x − sin x
Câu 60: Tích phân I = ∫ có giá trị là: π ( dx x e cos x + ) 1 cos x 3 https://toanmath.com/ π π   π π   3 3 e e + 2 3 3 e e − 2     A. I = ln . B. I = ln . 2π 2π 3 e − 2 3 e − 2 π π   π π   3 3 e e + 2 3 3 e e − 2     C. I = ln . D. I = ln . 2π 2π 3 e + 2 3 e + 2 π 6 3 sin x
Câu 61: Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: π cos x 3 19 +17 3 4 19 +17 3 19 − +17 3 4 19 −17 3 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 2 2 2 2 π 3 sin x
Câu 62: Tích phân I = ∫ có gái trị là: π + − ( dx cos x 3 sin x)2 3 3  3 + 2  3 3  3 + 2  3 A. I = ln   +   . B. I = ln   +   . 16 − 3 + 2 8   8 − 3 + 2 8   3  3 + 2  3 3  3 + 2  3 C. I = − ln   +   . D. I = − ln   +   . 8 − 3 + 2 8   16 − 3 + 2 8   π 4 1
Câu 63: Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 2 2
9 cos x − sin x 0 1 1 1 A. I = ln 2 . B. I = ln 2 . C. I = ln 2 . D. I = ln 2 . 3 2 6 a sin x + cos x 1+ 3
Câu 64: Tích phân I = = ∫ ( dx
. Giá trị của alà:
sin x − cos x)2 1− 3 0 π π π π A. a = − . B. a = − . C. a = . D. a = . 2 4 3 6 π 2 sin x
Câu 65: Tích phân I = dx ∫ + có giá trị là: π sin x cos x 3 π π 3 +1 A. I = + ln ( 3 + ) 1 . B. I = + ln . 12 12 4  3 +1 ln   π 2   π 3 +1 C. I = − D. I = + ln . 12 2 . 12 2 https://toanmath.com/ π 4 cos x a
Câu 66: Cho biết
dx = aπ + b ln 2 ∫
với a và b là các số hữu tỉ. Khi đó bằng: sin x + cos x b 0 1 3 1 3 A. . B. . C. . D. . 4 8 2 4 π 2018 sin a x x π Câu 67: Biết d x = ∫
trong đó a , b là các số nguyên dương. Tính P = 2a + b . 2018 2018 sin x + cos x b 0
A. P = 8 .
B. P = 10 .
C. P = 6 . D. P = 12 . π sin xdx
Câu 68: Cho tích phân I = ∫
(với α > 1 ) thì giá trị của I bằng: 2 − α +α 0 1 2 cos x α 2 A. 2. B. . C. 2α . D. 2 α . m sin x 1
Câu 69: Có bao nhiêu giá trị của tham số m trong khoảng (0;6π) thỏa mãn dx = ∫ ? 5 + 4 cos x 2 0 A. 6 . B. 12 . C. 8 . D. 4 . π 2 cos x 4 Câu 70: Cho dx = a ln + b, ∫
tính tổng S = a + b + c . 2
sin x − 5sin x + 6 c 0
A. S = 1 .
B. S = 4 .
C. S = 3 . D. S = 0 . π 2 2
x + (2x + cos x) cos x +1− sin x c
Câu 71: Cho tích phân 2 I =
dx = aπ + b − ln ∫
với a , b , c là các số x + cos x π 0
hữu tỉ. Tính giá trị của biểu thức 3 P = ac + . b 5 3
A. P = 3 . B. P = . C. P = . D. P = 2 . 4 2 π 2 sin x 4 Câu 72: Cho = + ∫ c > ( x a
b , với a , b là các số hữu tỉ, 0 . Tính tổng cos x) d ln 2 − 5cos x + 6 c 0
S = a + b + c .
A. S = 3 .
B. S = 0 .
C. S = 1 . D. S = 4 . π 2 a * a
Câu 73: Cho (4 cos 2x + 3sin 2x) ln (cos x + 2sin x) dx = c ln 2 − ∫
, trong đó a , b , c ∈ , là phân b b 0
số tối giản. Tính T = a + b + c . A. T = 9 . B. T = 11 − .
C. T = 5 . D. T = 7 . π 3 3 2 sin x π 3π Câu 74: Biết dx = + + cπ + d 3 ∫
với a, b, c, d là các số nguyên. Tính 6 3 π 1+ + a b x x − 3
a + b + c + d . https://toanmath.com/
A. a + b + c + d = 28 .
B. a + b + c + d = 16 . C. a + b + c + d = 14 . D.
a + b + c + d = 22 . π 6 2 x cos x π 3π Câu 75: Biết dx = a + + ∫
với a , b , c , d là các số nguyên. Tính M = a − b + c . 2 π 1+ + b c x x − 6
A. M = 35 .
B. M = 41. C. M = 37 − . D. M = 35 − . 1 π 2 12
f ( x) dx = 2018 ∫ cos 2 .
x f (sin 2x) dx ∫ Câu 76: Cho 0 . Tính 0 . 1009 A. I = .
B. I = 1009 .
C. I = 4036 .
D. I = 2018 . 2 π 1 2
Câu 77: Cho f là hàm số liên tục thỏa f
∫ (x)dx = 7. Tính I = cos .xf ∫
(sin x)dx . 0 0 A. 1. B. 9 . C. 3 . D. 7 . 2π 1 3
Câu 78: Cho hàm số f ( x) liên tục trên  và f
∫ (x)dx =12, f ∫ (2cos x)sin d x x bằng 1 − π 3 A. 12 − . B. 12 . C. 6 . D. 6 − . 9 f ( x ) π /2
Câu 79: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên  thỏa mãn dx = 4 ∫ và f
∫ (sin x)cos xdx = 2. x 1 0 3 Tích phân I = f
∫ (x)dxbằng 0
A. I = 2 .
B. I = 6 .
C. I = 4 . D. I = 10 . HÀM MŨ – LÔGARIT 1 2 − ae − b Câu 80: Cho 1 x I = xe dx ∫
. Biết rằng I =
. Khi đó, a + b bằng 2 0 A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 4 . ( ) 2 sin = sin 2 .e x f x x
Câu 81: Nguyên hàm của là 2 sin x 1 + 2 sin x 1 − 2 − e 2 e A. 2 sin 1 sin .e x x + C . B. + C sin e x + C . D. + C 2 sin x + . C. 1 2 sin x − . 1 1 + a b b c
Câu 82: Biết rằng 1 3x 2 3e dx = e + e + c ( a, , b c ∈ ∫
). Tính T = a + + . 5 3 2 3 0
A. T = 6 .
B. T = 9 .
C. T = 10 .
D. T = 5 . ln12 Câu 83: Tích phân x I = e + 4dx ∫ có giá trị là: ln 5 https://toanmath.com/
A. I = 2 − ln 3 + ln 5 .
B. I = 2 − 2 ln 3 + 2 ln 5 .
C. I = 2 − 2 ln 3 + ln 5 .
D. I = 2 − ln 3 − 2 ln 5 . m 2 2
Câu 84: Tìm tất cả các giá trị dương của tham số m sao cho x 1 + 500 m 1 e x dx 2 .e + = ∫ . 0 A. 250 500 m = 2 2 − 2 . B. 1000 m = 2 +1 . C. 250 500 m = 2 2 + 2 . D. 1000 m = 2 −1 . 3 + x x d Câu 85: Cho 1 2 e = .e a + .e b + c ∫
. Với a , b , c là các số nguyên. Tính S = a + b + c . x +1 0
A. S = 1 .
B. S = 2 .
C. S = 0 . D. S = 4 . π 2 2
Câu 86: Cho tích phân sin x 3 I = e sin x cos d x x ∫ . Nếu đổi biến số 2
t = sin x thì: 0 1 1 1   1 1 1   A. t =  d t I
e t + te dt ∫ ∫  . B. t =  d t I
e t − te dt ∫ ∫  . 2  2 0 0  0 0  1 1   1 1   C. = 2 t  d t I
e t + te dt ∫ ∫  . D. = 2 t  d t I
e t − te dt ∫ ∫  . 0 0  0 0  n 1 + dx lim ∫ →+∞ 1 x x + e Câu 87: Tính n . A. 1 − . B. 1. C. e . D. 0 . 2 2016 x
Câu 88: Tính tích phân I = d . x ∫ x e +1 2 − 2018 2017 2018
A. I = 0 . B. 2 2 2 I = . C. I = . D. I = . 2017 2017 2018 1 2 x x e a Câu 89: Cho biết = + ∫ ( x
e c với a , c là các số nguyên, b là số nguyên dương và a là x + 2) d . 2 b b 0
phân số tối giản. Tính a − b + c . A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 3 − . ln 6 ex
Câu 90: Biết tích phân
dx = a + b ln 2 + c ln 3 ∫
, với a , b , c là các số nguyên. Tính x + + 0 1 e 3
T = a + b + c . A. T = 1 − .
B. T = 0 .
C. T = 2 . D. T = 1. 9 3 4 3 cos π x Câu 91: Giá trị 2 I = x sin ∫ ( 3 π x ) ( ) e
dx gần bằng số nào nhất trong các số sau đây: 1 3 6 A. 0, 046 . B. 0, 036 . C. 0, 037 . D. 0, 038 . ( 2 1 x + x)ex Câu 92: Cho = + − dx = .e a + b ln + c ∫
với a , b , c ∈  . Tính P a 2b c . − x (e ) x + e 0 https://toanmath.com/
A. P = 1 . B. P = 1 − .
C. P = 0 . D. P = 2 − . ( 2 1
x + 5x + 6)ex ae + c Câu 93: Biết
dx = ae − b − ln ∫
với a , b , c là các số nguyên và e là cơ số của x + 2 + e−x 3 0
logarit tự nhiên. Tính S = 2a + b + c . A. S = 10 .
B. S = 0 .
C. S = 5 . D. S = 9 . 1 3 x 3
π x + 2 + ex .2x 1 1  e  Câu 94: dx = + ln p + ∫ π 
 với m , n , +
p là các số nguyên dương. Tính e.2x m e ln n  e + π  0
tổng S = m + n + p .
A. S = 6 .
B. S = 5 .
C. S = 7 .
D. S = 8 .
Câu 95: Cho tam thức bậc hai f ( x) 2
= ax + bx + c, (a, ,
b c ∈ , a ≠ 0) có hai nghiệm thực phân biệt x
x , x . Tính tích phân I = ∫ (2ax + b) 2 2 ax +bx+c e dx . 1 2 1 x x − x x − x
A. I = x − x . B. 1 2 I = .
C. I = 0 . D. 1 2 I = . 1 2 4 2 e ln x
Câu 96: Với cách đổi biến u = 1+ 3ln x thì tích phân dx ∫ trở thành x 1+ 3ln x 1 2 2 2 2 2 2 2 2 u −1 A. ( 2u − ∫ )1du . B. ( 2u − ∫
)1du . C. 2 ( 2u − ∫ )1du. D. du ∫ . 3 9 9 u 1 1 1 1 e ( x + ) 1 ln x + 2  e +1 a Câu 97: Biết dx = . a e + b ln ∫ 
 trong đó a , b là các số nguyên. Khi đó tỉ số là 1+ x ln x  e  b 1 1 A. . B. 1. C. 3 . D. 2 . 2 e 1+ 3ln x
Câu 98: Tính tích phân I = dx ∫
bằng cách đặt t = 1+ 3ln x , mệnh đề nào dưới đây sai? x 1 2 2 2 2 2 2 14 A. 3 I = t . B. I = tdt ∫ . C. 2 I = t dt ∫ . D. I = . 9 1 3 3 9 1 1 2 (3x + )1  ln b Câu 99: Biết dx = ln a + ∫ 
 với a , b , c là các số nguyên dương và c ≤ 4 . Tổng 2
3x + x ln xc  1
a + b + c bằng A. 6 . B. 9 . C. 7 . D. 8 . e ln x 3
Câu 100: Biết I = dx = a ln
+ b, a,b ∈Q ∫
. Mệnh đề nào sau đây đúng? x ln x + 2 2 1 ( ) ( )
A. a − b = 1.
B. 2a + b = 1 . C. 2 2
a + b = 4 .
D. a + 2b = 0 . e ln x ( 2 2 ln x +1 + ) 1
Câu 101: Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: x 1 https://toanmath.com/ 4 2 + 3 4 2 +1 4 2 + 5 4 2 − 3 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 3 3 3 3 e
Câu 102: Tích phân I = x ∫ ( 2
ln x + ln x) dx có giá trị là: 1 A. I = 2 − e .
B. I = −e .
C. I = e .
D. I = 2e .  1  3 2
ln x + 3x ln x + x 1    3  2
Câu 103: Biết I = dx = ∫ ( 2 3
1+ ae + 27e + 27e − 3 3 ) , a là các số hữu tỉ. x 9 0
Giá trị của a là: A. 9. B. – 6. C. – 9. D. 6. e 2 2 ln x ln x +1
Câu 104: Tích phân I = dx ∫ có gái trị là: x 1 4 2 − 2 4 2 + 2 2 2 − 2 2 2 + 2 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 3 3 3 3 2 e ( − x)2 1 ln
Câu 105: Tính I = dx ∫
được kết quả là x e 13 1 5 4 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 e 1+ 3ln x
Câu 106: Cho tích phân I = dx ∫
, đặt t = 1+ 3ln x . Khẳng định nào sau đây đúng? x 1 2 e 2 2 2 2 2 e A. 2 I = t dt ∫ . B. I = tdt ∫ . C. 2 I = t dt ∫ . D. I = tdt ∫ . 3 3 3 3 1 1 1 1 e 3 + ln x a − b c Câu 107: Biết dx = ∫
, trong đó a , b , c là các số nguyên dương và c < 4 . Tính giá x 3 1
trị S = a + b + c . A. S = 13 .
B. S = 28 .
C. S = 25 . D. S = 16 . e ln x
Câu 108: Cho I = ∫ = + (
x có kết quả dạng I
ln a b với a > 0 , b ∈  . Khẳng định nào sau x ln x + 2) d 2 1 đây đúng? 3 1 3 1 A. 2ab = 1 − .
B. 2ab = 1 . C. b − + ln = − . D. b − + ln = . 2a 3 2a 3 2 x +1 Câu 109: Biết
dx = ln ln a + b ∫
với a , b là các số nguyên dương. Tính 2 2
P = a + b + ab . 2 ( )
x + x ln x 1 A. 10 . B. 8 . C. 12 . D. 6 . 2 2 + + e ( x ) 4 2 1 ln x 1 ae + be
Câu 110: Cho tích phân I = dx = + c + d ln 2 ∫
. Chọn phát biểu đúng nhất: e x ln x 2 https://toanmath.com/ 1
A. a = b = c = d B. 2 a = b = c =
C. A và B đúng D. A và B sai d 2018 ln (1+ 2x )
Câu 111: Tính tích phân I = dx ∫ . 1+ 2−x log e 0 ( ) 4 A. I = ( 2018 ln 1+ 2 )−ln2. B. 2 I = ( 2018 + ) 2 ln 1 2 − ln 2 . C. 2 I = ( 2018 ln 1+ 2 )−ln4. D. 2 I ( 2018 − = + ) 2 ln 1 2 − ln 2 . e f (ln x)
Câu 112: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên  và thỏa mãn dx = . e ∫
Mệnh đề nào sau đây đúng? x 1 1 1 e e A. f
∫ (x)dx =1. B. f
∫ (x)dx = .e C. f
∫ (x)dx =1. D. f
∫ (x)dx = .e 0 0 0 0 4 e 1 4 Câu 113: Biết f
∫ (ln x) dx = 4. Tính tích phân I = f
∫ (x)dx . x e 1
A. I = 8 .
B. I = 16 .
C. I = 2 . D. I = 4 .
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2
Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên đoạn [ ;
a b]. Giả sử hàm số x = ϕ(t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn (*) [α; β ]
sao cho ϕ(α ) = a,ϕ(β ) = b và a ≤ ϕ(t) ≤ b với mọi t ∈[α; β ]. Khi đó: b β f (x)dx =
f (ϕ(t))ϕ '(t)dt. ∫ ∫ a α
Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng  π π  1. 2 2
a − x : đặt x |
= a | sin t; t ∈ − ;    2 2  | a |  π π  2. 2 2
x − a : đặt x = ; t ∈ − ; \ {0}   sin t  2 2   π π  3. 2 2
x + a : x |
= a | tan t; t ∈ − ;    2 2  a + x a − x 4. hoặc : đặt x = . a cos 2t a − x a + x
Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính 3 2 x dx 3 3 x dx tích phân I = ∫
thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân I = ∫ thì nên đổi 2 + 0 2 + 0 x 1 x 1 biến dạng 1. 2
Câu 114: Khi tính 2 I = 4 − x dx, ∫
bằng phép đặt x = 2sin t, thì được 0 π π 2 2 2 2 A. 2
∫ (1+cos2t)dt . B. 2
∫ (1−cos2t)dt . C. 2 4 cos d t t ∫ . D. 2 2 cos d t t ∫ . 0 0 0 0 https://toanmath.com/ 1 2π
Câu 115: Biết rằng 2 4 − x dx = + a ∫
. Khi đó a bằng: 3 1 − A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 2 . 1 2 1
Câu 116: Cho tích phân I = dx = aπ ∫
,a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của a là: 2 − 0 1 x 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 3 4 6 3 a a
Câu 117: Giá trị của 2 9 − x dx = π ∫
trong đó a, b ∈  và là phân số tối giản. Tính giá trị của b b 0
biểu thức T = ab .
A. T = 35 .
B. T = 24 .
C. T = 12 . D. T = 36 . 1 dx
Câu 118: Đổi biến x = 2sin t thì tích phân ∫ trở thành 2 − 0 4 x π π π π 6 3 6 dt 6 A. tdt ∫ . B. tdt ∫ . C. ∫ . D. dt ∫ . t 0 0 0 0 a+ b 1 π
Câu 119: Biết rằng dx = ∫
trong đó a , b là các số nguyên dương và 4 < a + b < 5 2 − + − 6 4 x 6x 5
. Tổng a + b bằng A. 5 . B. 7 . C. 4 . D. 6 . 3
Câu 120: Tích phân I = ∫ (x − )
1 (3 − x)dx có giá trị là: 5 2 π 3 π 3 π 3 π 3 A. I = − . B. I = − . C. I = − . D. I = − . 6 4 3 8 6 8 3 8 1 3 + 4x
Câu 121: Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 2 + − 0 3 2x x 7π 7π A. I = − 4 3 + 8. B. I = − 4 3 − 8 . 6 6 7π 7π C. I = + 4 3 −8. D. I = + 4 3 + 8. 6 6 1 2 4x − 3
Câu 122: Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 2 + − 1 − 5 4x x 5π 5π 5π 5π A. I = . B. I = . C. I = − . D. I = − . 3 6 3 6 https://toanmath.com/ 1 2 Câu 123: Cho 2 I =
1− 2x 1− x dc = aπ + b ∫
với a,b ∈ R . Giá trị a + b gần nhất với 0 1 1 A. B. 1 C. D. 2 10 5 1 1
Câu 124: Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 2 x +1 0 π π π π A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 2 3 4 6 1
Câu 125: Cho hàm số f ( x) liên tục trên  thỏa mãn f ( x) 4 tan
= cos x , ∀x ∈  . Tính I = ∫ f (x)dx 0 . π + 2 2 + π π A. . B. 1. C. . D. . 8 4 4
Câu 126: Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ 6;
− 5] , có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như 5
hình vẽ. Tính giá trị I =  f
∫  (x)+ 2dx  . 6 − y 3 6 − 4 − O x 5 1 −
A. I = 2π + 35 .
B. I = 2π + 34 .
C. I = 2π + 33 .
D. I = 2π + 32 . 1 dx
Câu 127: Khi đổi biến x = 3 tan t , tích phân I = ∫
trở thành tích phân nào? 2 x + 3 0 π π π π 3 6 3 6 6 1 A. I = 3dt ∫ . B. I = dt ∫ C. I = 3 d t t ∫ . D. I = dt ∫ . 3 t 0 0 0 0 https://toanmath.com/ HƯỚNG DẪN GIẢI
y = f ( x) [a,b]
u = u ( x) Câu 1. Cho hàm số liên tục trên . Giả sử hàm số
có đạo hàm liên tục trên 1 9 T [a,b]
u ( x) ∈[α, β ] x ∀ ∈[a,b] f (u) [α,β] và , hơn nữa liên tục trên đoạn .
Mệnh đề nào sau đây là đúng? x = a 1 9 T 1 9 T u(b) b b b A. f u
∫  (x)u′
 ( x)dx = f
∫ (u)du . B. f u
∫  (x)u′
 ( x)dx = f
∫ (u)du . a a u(a) a u(b b ) b b C. f u
∫  (x)u′  ( x)dx = f
∫ (u)du . D. f u
∫  (x)u′
 ( x)dx = f ∫ (x)du . a u(a) a a Hướng dẫn giải Chọn C
Đặt u (x) = t ⇒ u′(x)dx = dt . Đổi cận
Khi x = a thì t = u ( x) ; khi x = b thì t = u (b) . u(b b ) u(b) Do đó f u
∫  (x)u′  ( x)dx = f
∫ (t)dt = f ∫ (u)du . a u(a) u(a)
HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM HỮU TỈ 3 1000 Câu 2.
Tính tích phân I = x ( x − ∫ )1 . dx 1 1002 2003.2 1001 1502.2 1002 3005.2 1001 2003.2 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 1003002 501501 1003002 501501 Hướng dẫn giải
Đặt x −1 = t, khi x =1⇒ t = 0;
x = 3 ⇒ t = 2. 2 2 1002 1001 2  t t
Do đó I = ∫(t + ) 1000 1 t d (t + ) 1 = ∫( 1001 1000 t + t )dt =  +  1002 1001 0 0 0 1002 1001 1001 2 2  2 1  1502.2 1001 = + = 2 + = .   1002 1001 1002 1001 501501 Chọn B 100 Câu 3. Giá trị của tích phân x
∫ (x− )1...(x−100)dx bằng 0 A. 0 . B. 1. C. 100 .
D. một giá trị khác. Hướng dẫn giải 1 9 T Chọn A 1 9 T 100 Tính I = x
∫ (x− )1...(x−100)dx . 1 9 T 1 9 T 0
Đặt t =100 − x ⇒ dx = −dt .
Đổi cận: Khi x = 0 thì t =100 ; khi x =100 thì t = 0. Do x ( x − )
1 ...( x −100) = (100 − t )(99 − t )...(1− t )( t − ) = t − (t − )
1 ...(t − 99)(t −100) nên 100 100 I = x
∫ (x− )1...(x−100)dx = − t
∫ (t − )1...(t −100)dt = −I ⇔ 2I = 0 ⇔ I = 0. 0 0 https://toanmath.com/ 2 x Câu 4. Tích phân dx ∫ bằng 2 x + 3 0 1 7 7 1 7 1 3 A. log . B. ln . C. ln . D. ln . 2 3 3 2 3 2 7 Hướng dẫn giải Chọn C 2 2 x 2 1 1 1 Ta có: dx ∫ = d ∫ ( 2x +3 2 = ln x + 1 7 3 = ln . 2 ) 2 x + 3 2 x + 3 2 2 3 0 0 0 2 dx 5 Câu 5. Cho tích phân I = = a ln + b ∫
. Khi đó a + 2b bằng 5 3 1 x + x 8 5 5 5 5 A. B. C. D. 2 4 8 16 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 2 2 2 dx dx x I = = = dx ∫ ∫ ∫ 5 3 3 x + x x ( 2 x + ) 4 x ( 2 1 1 1 . 1 . x + ) 1 Đặ 1 t 2
t = x +1, suy ra dt = 2xdx ⇔ dt = xdx . 2
Đổi cận x =1⇒ t = 2, x = 2 ⇒ t = 5 . 5 1 1 Suy ra I = . dt ∫ . 2 (t − )2 2 1 .t 1 mt + n k Ta cần tách tiếp + ( về dạng
để có thể lấy nguyên hàm được. Dễ dàng tìm t − )2 1 .t (t − )2 1 t được , m ,
n k bằng phương pháp đồng nhất hệ số. Ta tìm được m = 1
− , n = 2, k =1. Suy ra 5 5 5   5 1 1 2 − t 1 1 1 1 1 5 1  1  1 1 5 3 I =  + dt  = x − − t − = − − − = + ∫   2 t  (t − ) ln . ln 1 ln . 1 ln 4 ln 2 2 1  2 2 t −1 2 2 2 2  4  2 2 8 8 2 2 2  1 3 5 Suy ra a = , b = ⇒ a + 2b = . 2 8 4 Ta chọn phương án B. 1 5 x dx Câu 6. Tích phân I = ∫ = − (
được kết quả I a ln 2 b . Giá trị a+b là: + x )3 2 0 1 3 13 14 4 A. B. C. D. 16 16 17 17 Hướng dẫn giải Chọn A 2 đặ 1  1 2 1  1 5 t t = ( 2 1+ x ) ⇒ I = − + dt = ln 2 − ∫  . 2 3 2  t t t  2 16 1 0 2x Câu 7. Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 2 x +1 1 −
A. I = ln 3 .
B. I = − ln 2 .
C. I = − ln 3 . D. I = ln 2 . Hướng dẫn giải https://toanmath.com/ Ta nhận thấy: ( 2 x + ) 1 ' = 2x . Ta đặt: 2
t = x +1 ⇒ dt = 2xdx .  = − ⇒ = 1 1 Đổ x 1 t 2 1 i cận:  . ⇒ I = dt = ∫ (ln t ) = −ln2.
x = 0 ⇒ t = 1 t 2 2 Chọn B 1 2 x 1 Câu 8. Cho dx = ln a ∫
,a là các số hữu tỉ. Giá trị của a là: 3 x +1 3 0 A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Hướng dẫn giải 1 2 x 1 Cho dx = ln a ∫ . Giá trị của a là: 3 x +1 3 0 Ta có: 1 2 2 x 1 1 dx = = dt = ∫ ∫ ( t ) 2 1 ... ln = ln 2 ⇒ a = 2 . 3 1 x +1 3t 3 3 0 1 Chọn A 0 ax Câu 9. Tích phân I = dx ∫ ,với a ≠ 2
− có giá trị là: 2 ax + 2 1 − ln 2 + ln a + 2 ln 2 − ln a + 2 A. I = . B. I = . 2 2 − ln 2 − ln a + 2 − ln 2 + ln a + 2 C. I = . D. I = . 2 2 Hướng dẫn giải 0 ax Tích phân I = dx ∫ , với a ≠ 2 − có giá trị là: 2 ax + 2 1 − Ta nhận thấy: ( 2
ax + 2)' = 2ax . Ta dùng đổi biến số. Đăt 2
t = ax + 2 ⇒ dt = 2axdx .  = ⇒ = Đổ x 0 t 2 i cận  . x = 1
− ⇒ t = a + 2 2 1 1 I = dt = ∫ ( t ) 2 1 ln
= (ln 2 − ln a + 2 ) . a+2 2t 2 2 a+2 Chọn B 5 dx 5 dx Câu 10. Giả sử
= a ln 5 + bln 3+ cln 2.(a,b,c ∈ ) ∫ 
= a ln 5 + b ln 3+ c ln 2. ∫ Tính giá trị 2 x − x 2 x − x 3 3 biểu thức 2 S = 2
− a + b + 3c .
A. S = 3.
B. S = 6.
C. S = 0. D. S = 2. − Hướng dẫn giải Chọn B 5 5 5 5 5 dx dx dx dx x −1 4 2 = = − = ln
= ln − ln = ln 4 − ln 5 − ln 2 + ln 3 = ln 2 + ln 3 − ln 5 ∫ ∫ ∫ ∫ 2 x − x x x −1 x −1 x x 5 3 3 3 ( ) 3 3 3 suy ra a = 1
− ;b = 1;c = 1 Vậy S = 2 +1+ 3 = 6. https://toanmath.com/ 1 2 2x + 3x + 3 Câu 11. Biết
dx = a − ln b ∫
với a , b là các số nguyên dương. Tính 2 2
P = a + b . 2 x + 2x +1 0 A. 13 . B. 5 . C. 4 . D. 10 . Hướng dẫn giải Chọn A 1 2 2x + 3x + 3 Ta có I = dx ∫ 2 x + 2x +1 0  =  = ↔ = Đặ dt dx x 0 t 1
t t = x +1 ⇒  suy ra  x = t −1
x =1 ↔ t = 2 2 2 (t − )2 2 1 + 3(t − ) + 2 2 − + 2 Khi đó 1 3 2t t 2  1 2   2  I = dt = ∫ dt = ∫ 2 − + dt = ∫  2t − ln t −   2 t 2 t 2  t t   t  1 1 1 1 = 3− ln 2 . Suy ra 2 2 P = 3 + 2 = 13 . b 2 a − x
Câu 12. Tính I = x ∫
(với a , b là các số thực dương cho trước). + a (a x ) d 2 2 2b b
(a − )1(b − )1 b A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 2 2 a + b 2 a + b ( 2
a + b )(a + ) 1 2 a + b Hướng dẫn giải Chọn C a − b 2 b 1 a − x I = x ∫ 2 x = dx ∫ . + 2  aa (a x ) d 2 2 a + x    x  Đặ aaa t t = + x ⇒ dt = − +1 dx
 . Đổi cận: x = a ⇒ t = 1+ a ; x = b ⇒ t = + b x 2  xb a + 2 b a a+b b +b
(a −b)(b − ) Khi đó: 1 − 1 b 1 b b 1 1 I = dt ∫ = = = − = 2 t t t 2 a + b 1+ a ( 2
a + b )(a + ) 1 1+a 1+a 1+a ⇔ k = 1 . π 4 1 2 x f ( x)
Câu 13. Cho hàm số f ( x) liên tục trên  và các tích phân f
∫ (tan x)dx = 4 và dx = 2 ∫ . 2 x +1 0 0 1 Tính tích phân I = f
∫ (x)dx . 0
A. I = 6 .
B. I = 2 .
C. I = 3 . D. I = 1. Hướng dẫn giải: Chọn A Đặ dt
t t = tan x ⇒ dt = ( 2
1 + tan x )dx ⇒ = dx 2 1 + t Đổ π
i cận x = 0 ⇒ t = 0 và x = ⇒ t =1 4 π 1 f (t) 1 dt f ( x) Đó đó: 4 dx f ∫ (tan x)d d x x = 4 ⇒ = 4 ⇒ = 4 ∫ ∫ 2 2 1+ t 1+ x 0 0 0 https://toanmath.com/ 1 f ( x) 1 2 dx x f ( x) 1 dx Nên +
= 4 + 2 ⇔ f x dx = 6 ∫ ∫ ∫ 2 2 ( ) 1+ x 1+ x 0 0 0
Câu 14. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị hình bên. Tính tích phân 2 I = f ′(2x − ∫ ) 1 dx . 1 4 3 2 -1 2 O 1 3 -1 2 A. I = 2 − . B. I = 1 − .
C. I = 1. D. I = 2 . Hướng dẫn giải Chọn C
Dựa vào đồ thị hàm số ta có đồ thị hàm số y = f ( x) đi qua các điểm ( 1 − ;− ) 1 , (0;3) , (2; ) 1 −
, (3;3) nên hàm số y = f ( x) 3 2
= x − 3x + 3 . 2 2 1 1 1 Ta có: I = f ′(2x − ∫ ) 1 dx = f ′(2x − ) 1 d (2x − ∫
)1 = f (2x − ) 2 1
=  f (3) − f ( ) 1    = 1 2 1 2 2 1 1 https://toanmath.com/ HÀM VÔ TỈ 1 3
Câu 15. Cho tích phân 3 1− xdx ∫
, với cách đặt t = 1− x thì tích phân đã cho bằng với tích phân nào 0 sau đây? 1 1 1 1 A. 3 tdt ∫ . B. 3 t dt ∫ . C. 2 3 t dt ∫ . D. 3 3 t dt ∫ . 0 0 0 0 Hướng dẫn giải Chọn D Đặ 3 3 2
t t = 1− x ⇒ x = 1− t ⇒ dx = 3
− t dt , đổi cận: x = 0 ⇒ t =1, x =1⇒ t = 0. 1 1 Khi đó ta có 3 3
1− xdx = 3 t dt ∫ ∫ . 0 0 2
Câu 16. Trong các tích phân sau, tích phân nào có cùng giá trị với 3 2 I = x x −1dx ∫ 1 2 1 4 3 3 A. t t −1dt ∫ . B. t t −1dt ∫ C. ( 2t + ∫ ) 2 1 t dt . D. ( 2x + ∫ ) 2 1 x dx . 1 2 1 0 1 Hướng dẫn giải. Đặt 2 2 2 t =
x −1 ⇒ t = x −1 ⇒ tdt = xdx
x = 1 ⇒ t = 0 , x = 2 ⇒ t = 3 2 3 3 2 I = x x −1dx = ( 2t + ∫ ∫ ) 2 1 t dt 1 0 Chọn C 3 2 x Câu 17. Nếu dx = f (t)dt ∫ ∫
, với t = 1+ x thì f (t) là hàm số nào trong các hàm số dưới 1+ 1+ x 0 1 đây ? A. 2
f (t) = 2t + 2t B. 2
f (t) = t − t C. 2
f (t) = t + t D. 2
f (t) = 2t − 2t Hướng dẫn giải Chọn D
Đặt t = 1+ x , suy ra 2t =1+ x , 2tdt = dx 3 2 2 2 2 x t −1 Ta có 2 dx =
.2tdt = (t −1).2tdt = (2t − 2t)dt ∫ ∫ ∫ ∫ 1+ 1+ x 1+ t 0 1 1 1 4 1
Câu 18. Kết quả của dx ∫ bằng 2x +1 0 A. 4 . B. 5 . C. 2 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt 2
t = 2x +1 ⇒ t = 2x +1 ⇒ 2tdt = 2dx ⇒ tdt = dx .
Đổi cận: x = 0 ⇒ t =1, x = 4 ⇒ t = 3 . 4 3 3 Khi đó, ta có 1 tdt 3 dx = = dt = t = 2 ∫ ∫ ∫ . 1 2x +1 t 0 1 1 1 dx
Câu 19. Tích phân ∫ bằng 3x +1 0 4 3 1 2 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 3 Hướng dẫn giải https://toanmath.com/ Chọn D 1 9 T Đặ t t t = 3x +1 2
⇒ t = 3x +1 ⇒ 2tdt = 2 3dx ⇒ dt = dx 3
Đổi cận: x = 0 ⇒ t =1; x =1⇒ t = 2 1 2 2 2 Khi đó dx 2 1 = 2 2 .tdt ∫ ∫ = dt ∫ = 2 t = . 3x +1 3 t 3 3 3 0 1 1 1 1 1 dx 2 dx 2
Cách khác: Sử dụng công thức =
ax + b + C ∫ thì = 3x +1 ∫ 2 = . ax + b a 3x +1 3 3 0 0 3 x a Câu 20. Cho dx =
+ b ln 2 + c ln 3 ∫
với a , b , c là các số nguyên. Giá trị của a + b + c 4 + 2 x +1 3 0 bằng A. 1. B. 2 . C. 7 . D. 9 . Hướng dẫn giải Chọn A
Đặt t = x +1 2 ⇒ t = x +1 2
⇒ x = t −1 ⇒ dx = 2tdt .
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 2; x = 3 ⇒ t = 4 . Khi đó: 2 2 2 2 3 2 3 t −1 t − t  6   t  7 2 2 .2tdt = dt = t − 2t + 3 − dt = ∫ ∫ ∫ 
 − t + 3t − 6ln t + 2  = −12ln 2 + 6ln 3 4 + 2t t + 2  t + 2   3  3 1 1 1 1 a = 7  Suy ra b  = 12
− ⇒ a + b + c = 1. c = 6  4 1
Câu 21. Biết I =
dx = a + b ln 2 ∫
với a,b là số nguyên. Tính S = a + b . 2x +1 − 5 0
A. S = 3. B. S = 3. − C. S = 5. D. S = 7. Hướng dẫn giải: Chọn B 2 t =
2x +1 ⇒ t = 2x +1 ⇒ 2tdt = 2dx
x = 0 ⇒ t = 1
x = 4 ⇒ t = 3 4 3 3 1 t  5  I = dx = dt = 1+ dt = ∫ ∫ ∫ 
(t +5ln t −5 )3 = 2−5ln2. 1 2x +1 − 5 t − 5  t − 5  0 1 1
Suy ra: a = 2;b = 5
− ⇒ S = a + b = 3 − . 5 dx
Câu 22. Tính tích phân ∫
được kết quả I = a ln 3 + b ln 5 . Giá trị 2 2
a + ab + 3b là x 3x +1 1 A. 4 . B. 5 . C. 1. D. 0 . Hướng dẫn giải Chọn B 2 Đặ t −1 2tdt t 2
t = 3x +1 ⇒ t = 3x +1 ⇒ x = ⇒ dx = . 3 3
Đổi cận: x =1⇒ t = 2; x = 5 ⇒ t = 4. Khi đó https://toanmath.com/ 4 4 2 4  1 1  t −1 a = 2 I = dt ∫ = − dt ∫  = ln = 2ln 3− ln 5 . Suy ra  . 2 t −1
t −1 t +1 t +1 b  = 1 − 2 2 2 Do đó 2 2
a + ab + 3b = 5 . 4 dx 2
Câu 23. Cho tích phân I = = a + b ln ∫
với a,b ∈  . Mệnh đề nào sau đây đúng? 3 + 2x +1 3 0
A. a − b = 3 .
B. a − b = 5 .
C. a + b = 5 .
D. a + b = 3 . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt t = 2x +1 2
⇒ t = 2x +1 ⇒ dx = tdt .
Đổi cận: x = 0 ⇒ t =1; x = 4 ⇒ t = 3 4 3 3 Khi đó dx tdt  3  2 I = ∫ = ∫ = 1− dt ∫
 = (t − 3ln t + 3 ) 3 = 2 + 3ln 3 + 2x +1 3 + tt + 3  1 3 0 1 1
Do đó a + b = 5 . 3 2 Câu 24. Biết 2 x x +1dx = ∫
(a− b), với a,b là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây đúng. 3 1
A. a = 2b .
B. a < b .
C. a = b .
D. a = 3b . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt 2 2 2 t =
x +1 ⇒ t = x +1 ⇒ tdt = d
x x . Đổi cận x = 1 ⇒ t = 2; x = 3 ⇒ t = 2 . 2 3 2 3 Khi đó t 2 2 2 x x +1dx = t dt = = ∫ ∫
(4− 2). Vậy a = 2 .b 3 3 1 2 2 a dx 1 5 Câu 25. Cho I = = ln , 5 a > ∫
. Khi đó giá trị của số thực a là 2 ( ) + 4 3 5 x x 4 A. 2 3. B. 2 5. C. 3 2. D. 2 2. Hướng dẫn giải Chọn A Đặt 2 2 2 t =
x + 4 ⇒ t = x + 4 ⇒ tdt = d x .
x Đổi cận: x = 5 ⇒ t = 3, 2
x = a ⇒ t = a + 4 . 2 2 a a +4 a +4 d x x dt dt I = = = ∫ ∫ ∫ 2 2 2 + t − 4 (t − 2)(t+ 2) 5 x x 4 3 3 2 2 a +4 a +4 2 1  1 1  1 t 2 1  a 4 2  − + − = − dt = ln = ln ∫   5⋅  .  − +  +  2 4 t 2 t 2 4 t 2 4  + + 3 3 a 4 2   2 2 1 5 1  a 4 2  + − 1 5 a + 4 − 2 1 Ta có, I == ln ⇔ ln 5⋅  = ln , a > 5 ⇔ =  2 ( )  2 4 3 4 + + 4 3 + + 3 a 4 2 a 4 2   ⇔ ( 2 a + − ) 2 3 4 2 =
a + 4 + 2 ⇔ a = 2 3 . 1 x Câu 26. Cho I =
dx = a 2 + b ∫
. Giá trịa.b là: 2 + 0 x 1 A. – 1. B. – 2. C. 1. D. 2. Hướng dẫn giải https://toanmath.com/ 1 x Cho I =
dx = a 2 + b ∫ . Giá trịa.b là: 2 + 0 x 1 Ta có:  = ⇒ = Đặ x 0 t 1 t 2
t = x +1 ⇒ dt = 2xdx . Đổi cận  .
x = 1⇒ t = 2 2 1 1 ⇒ I = dt =
2 −1 ⇒ a = 1, b = 1 − ⇒ . a b = 1 − ∫ . 2 t 1 Chọn A 2 2 4 − x b
Câu 27. Với a,b, c ∈ R . Đặt I = dx = a − ln ∫
. Giá trị của tính abc là : x c 1 A. 3 B. 2 − 3 C. 2 3 D. − 3 Hướng dẫn giải Chọn D
Đây là dạng toán tính tích phân để tránh tình trạng bấm máy tính nên chúng ta cần phải nhớ
phương pháp làm. Có hai cách để làm bài toán này là chuyển về lượng giác hoặc phá căn. Dưới đây là một cách Đặt 2 2 2 t =
4 − x ⇒ t = 4 − x ⇒ tdt = −xdx 0 0 0 2 0 t( t − dt) t  4   t − 2  2 − 3 I = = dt = 1+ dt = t + ln = − 3 − ln ∫ ∫ ∫     2 2 2 4 − t t − 4  t − 4   t + 2  2 + 3 3 3 3 3
Suy ra abc = − 3(2 − 3)(2 + 3) = − 3 3 2 x +1 c + d Câu 28. Cho
dx = a − b + ln ∫
với c nguyên dương và a , b , c , d , e là các số x e 1
nguyên tố. Giá trị của biểu thức a + b + c + d + e bằng. A. 14 . B. 17 . C. 10 . D. 24 . Hướng dẫn giải Chọn C 3 2 3 2 x +1 x +1 I = dx = d x x ∫ ∫ . 2 x x 1 1 Đặt 2 t = x +1 2 2
⇒ t = x +1 ⇒ 2tdt = 2 d
x x ⇒ tdt = d x x .  = ⇒ = Đổ x 1 t 2 i cận:  .
x = 3 ⇒ t = 2 2 2 t 2  1  1 1  2 2 1  1 1  I = dt ∫ = 1+ − dt ∫    = dt + − dt ∫ ∫   2 t −1 
2  t −1 t +1 2
t −1 t +1 2 2 2 2 2 − + 2 1 t 1 = 1 1 1 t + ln = 2 − 2 + ln − ln (3− 3 8 2 2 ) = 2 − 2 + ln 2 2 t +1 2 3 2 3 2 1+ 2 = 2 − 2 + ln . 3
Vậy a + b + c + d + e = 10 . 7 3 x dx a
Câu 29. Giá trị của I = ∫
được viết dưới dạng phân số tối giản
( a , b là các số nguyên 3 2 + b 0 1 x
dương). Khi đó giá trị của a − 7b bằng https://toanmath.com/ A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 1. − Hướng dẫn giải Chọn B 7 3 x dx
Cách 1: Tính I = ∫ 3 2 + 0 1 x Đặ 3 t 3 2 2 u = 1+ x ⇒ u du = d
x x . Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1 ; x = 7 ⇒ u = 2 . 2 ( 3u − ) 2 2 2 1 3 u 3 141 Vậy I = du =
( 4u −u)du = ∫ ∫ . 2 u 2 20 1 1
Suy ra: a = 141, b = 20 .
Vậy a − 7b = 1. 7 3 x dx 141
Cách 2: Dùng MTCT I = = 7.01 = ∫ . 3 2 + 20 0 1 x
Suy ra: a = 141, b = 20 .
Vậy a − 7b = 1. 64 dx 2
Câu 30. Giả sử I = = a ln + b ∫ với −
a, b là số nguyên. Tính giá trị a b . 3 x + x 3 1 A. 17 − . B. 5 . C. 5 − . D. 17 . Hướng dẫn giải Chọn C Đặ 6 t x = t 6 ⇒ x = t 5
⇒ dx = 6t dt .
Với x = 1 ⇒ t = 1, x = 64 ⇒ t = 2 . 2 5 2 Khi đó 6t  1  2 2 I = dt = 6 t − t + 1 −
dt = 2t − 3t + 6t − 6 ln t + 1 = 6ln +11 ∫ ∫  . 3 2 ( 3 2 ) 21 t + tt + 1  3 1 1
⇒ a = 6 , b =11.Vậy a − b = 5 − . 2 2 1+ x 1  bCâu 31. Giả sử dx = a a − b ∫ 
 với a,b,c ∈  ; 1 ≤ a,b,c ≤ 9 . Tính giá trị của biểu 4 x c b + c  1 thức b a C − 2a+ . c A. 165 . B. 715 . C. 5456 . D. 35 . Hướng dẫn giải Chọn D 1 + 2 2 2 1 2 1+ x x I = dx = dx ∫ ∫ 4 3 x x 1 1 Đặ 1 2 1 t 2 t = 1+ ⇒ 2tdt = − dx ⇒ t − dt = dx 2 3 3 x x x 5 2 2 Ta đượ 1   c 2 3 I = − t dt = t ∫ 1 5 = 2 2 − 5   . 5 3 3  5 + 3  2 2
Vậy a = 2 , b = 5 , c = 3, suy ra b−a 3 C = C = 35 . 2a+c 7 x t
Câu 32. Tập hợp nghiệm của bất phương trình dt > 0 ∫ (ẩn x ) là: 2 + 0 t 1 A. ( ; −∞ +∞) . B. ( ; −∞ 0). C. ( ; −∞ +∞) \{ } 0 . D. (0; +∞) . https://toanmath.com/ Hướng dẫn giải Chọn C x 1 x 1 x t Ta có dt > 0 ⇔ d ∫ ∫ ( 2t + ) 2 2 1 > 0 ⇔ t +1 > 0 ⇔ x +1 −1 > 0 2 2 + 2 0 + 0 t 1 0 t 1 2 2
⇔ x +1 > 1 ⇔ x > 0 ⇔ x ≠ 0 7 3 m Câu 33. Cho biết d = ∫ x m x với
là một phân số tối giản. Tính m − 7n . 3 2 + n n 0 1 x A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 91. Hướng dẫn giải Chọn B 2 Đặ 3t dt t 3 2 3 2 2
t = 1+ x ⇒ t = 1+ x ⇒ 3t dt = 2 d x x ⇒ d x x = . 2
Đổi cận: khi x = 0 ⇒ t =1; khi x = 7 ⇒ t = 2 2 7 3 2 3 2 2 x t −1 3t 3  t t  dx = . dt = . ∫ ∫ ∫(t −t) 5 2 3 141 4 dt = . −  = . 3 2 + t 2 2 2  5 2  20 0 1 x 1 1 1
⇒ m − 7n = 141− 7.20 = 1. 2 x Câu 34. Biết
dx = a + b 2 + c 35 ∫
với a , b , c là các số hữu tỷ, tính P = a + 2b + c − 7 2 + − 1 3x 9x 1 . 1 86 67 A. − . B. . C. 2 − . D. . 9 27 27 Hướng dẫn giải 1 9 T Chọn A 1 9 T 2 x 2 2 Cách 1: Ta có dx ∫ = x ∫ ( 2
3x + 9x −1)dx = ∫( 2 2
3x − x 9x −1)dx 1 9 T 1 9 T 2 + − 1 3x 9x 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2
= 3x dx − x 9x −1dx ∫ ∫ 3 2
= x + x 9x −1dx ∫ 2
= 7 − x 9x −1dx ∫ . 1 1 1 1 1 2 Tính 2
x 9x −1dx ∫ . 1 Đặ t t t 2 9x −1 = t 2 2 ⇒ 9x −1 = d t ⇒ d x x = . 9
Khi x = 1 thì t = 2 2 ; khi x = 2 thì t = 35 . 2 35 35 3 Khi đó 2 tdt t
x 9x −1dx ∫ = t = ∫ 35 16 = 35 − 2 . 9 27 27 27 1 2 2 2 2 2 x 35 16 16 35 Vậy dx = 7 − 35 + 2 ∫ ⇒ a = 7 , b = , c = − . 2 + − 27 27 27 27 1 3x 9x 1
Vậy P = a + 2b + c − 32 35 1 7 = 7 + − − 7 = − . 1 9 T 1 9 T 27 27 9 2 2 1 2 1 3 1 35 35 16 2 Cách 2: 2
x 9x −1dx = ( 2 9x − ) 1 d ( 2 2 9x − ∫ ∫ )1 = ( 2 9x − )2 1 = − 18 27 27 27 1 1 1 https://toanmath.com/ 2 x 35 16 ⇒ 16 35 dx = 7 − 35 + 2 ∫ ⇒ a = 7 , b = , c = − . 2 + − 27 27 27 27 1 3x 9x 1
Vậy P = a + 2b + c − 32 35 1 7 = 7 + − − 7 = − . 1 9 T 1 9 T 27 27 9 2 dx Câu 35. Biết
= a − b − c ∫
với a , b , c là các số nguyên dương. Tính x x +1 + x +1 x 1 ( )
P = a + b + c .
A. P = 44 .
B. P = 42 .
C. P = 46 . D. P = 48 . 1 9 T 1 9 T 1 9 T 1 9 T 1 9 T 1 9 T Hướng dẫn giải Chọn D 2 2 Đặ dx dx t I = = ∫ ∫ . 1 9 T 1 9 T x x +1 + x +1 x + + + 1 ( ) 1 x ( x ) 1 ( x x 1) Đặ x +1 + x dx dt t t = x + x +1 ⇒ dt = ⇔ = 2 .
x ( x + ) dx 2 1 x ( x + ) 1 t
Khi x = 1 thì t = 2 +1, khi x = 2 thì t = 3 + 2 . 2 3 + 2 3 + 2 dx dt 1   I = = 2 = 2 − ∫ ∫ 1 1 = 2 − −   x x + x + x + t t  3 + 2 2 +1  1 ( ) 1 ( 1) 2 + 2 1 2 1 +
= 4 2 − 2 3 − 2 = 32 − 12 − 4 ⇒ a = 32 , b =12 , c = 4
Vậy P = a + b + c = 48 4 2 3 2x + 4x +1 1
Câu 36. Giả sử a , b , c là các số nguyên thỏa mãn dx ∫ = ∫( 4 2
au + bu + c)du , trong 2x +1 2 0 1
đó u = 2x +1 . Tính giá trị S = a + b + c . A. S = 3 .
B. S = 0 .
C. S = 1 . D. S = 2 . Hướng dẫn giải Chọn D  d u u = dxu = 2x +1 2 ⇒ u = 2x +1 2 ⇒  u −1 x =  2 2 2 2  u −1  u −1 2 + 4 +1     4 2 3 3
Khi đó 2x + 4x +1  2   2  1 dx ∫ = .d u u ∫ = ( 4 2 u + 2u − ∫ )1.du 2x +1 u 2 0 1 1
Vậy S = a + b + c = 1+ 2 −1 = 2 . 1 2 3 a x + ax
Câu 37. Tích phân I = dx ∫
, với a ≥ 0 có giá trị là: 2 + 0 ax 1 a (a − 2) a (a − 2) a (a + 2) a (a + 2) A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 4 2 4 2 Hướng dẫn giải 1 2 3 a x + ax Tích phân I = dx ∫
, với a ≥ 0 có giá trị là: 2 + 0 ax 1 https://toanmath.com/ 2 3 + ax ( 2 1 1 ax a x ax + ) 1 1 Ta biến đổi: I = dx = dx = ∫ ∫ ∫( 2 ax ax +1 dx . 2 2 ) + + 0 ax 1 0 ax 1 0 Ta nhận thấy: ( 2 ax + )
1 ' = 2ax . Ta dùng đổi biến số. Đặt 2
t = ax +1 ⇒ dt = 2axdx .  = ⇒ = Đổ x 0 t 1 i cận  .
x = 1⇒ t = a +1 a 1 + a 1 + 1  1  1 2 I = tdt = t = a ∫   (a + 2) . 2  4  4 1 1 Chọn C 3 1
Câu 38. Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 2 + 0 x 9 3 + 2 3 3 − + 2 3 3 + 2 3 3 − + 2 3 A. I = − ln . B. I = − ln . C. I = ln . D. I = ln . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải 3 1 Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 2 + 0 x 9 2   + + Đặ x x x 9 udx du dx t 2
u = x + x + 9 ⇒ du = 1+  dx = dx = ⇒ = . 2 2 2 2  + 9  + 9 + 9 u x x x x + 9
x = 0 ⇒ u = 3 Đổ  i cận  .
x = 3 ⇒ u = 3+ 3 2 3+3 2 du + ⇒ I = = ∫
(ln u )3 3 2 = ln 1+ 2 . 3 ( ) u 3 Chọn C 1 a
Câu 39. Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 2 + 0 3x 12 a 1− 5 a 1+ 5 A. I = ln . B. I = − ln . 3 2 3 2 a 1− 5 a 1+ 5 C. I = − ln . D. I = ln . 3 2 3 2 Hướng dẫn giải 1 a Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 2 + 0 3x 12 Ta có: 1 1 a a 1 I = dx = dx ∫ ∫ . 2 2 3x +12 3 + 0 0 x 4 2 Đặ x + x + 4 du dx t 2 u = x + x + 4 ⇒ du = dx ⇒ = . 2 2 + 4 u x x + 4 1+ 5 1+ 5 a 1 a + I = du = ∫ ( u) a 1 5 ln = ln . 3 u 3 3 2 2 2 https://toanmath.com/ Chọn D 2 ax − 2
Câu 40. Tích phân I = dx = 2 3 −1 ∫
. Giá trị nguyên của a là: 2 − 1 ax 4x
A. a = 5 .
B. a = 6 .
C. a = 7 . D. a = 8 . Hướng dẫn giải 2 ax − 2 Tích phân I = dx = 2 3 −1 ∫ . Giá trị của a là: 2 − 1 ax 4x Ta có: ( 2
ax − 4x)' = 2ax − 4 = 2(ax − 2) . 2 1 2ax − 4 ⇒ I = dx ∫ . 2 2 − 1 ax 4x Đặt 2
t = ax − 4x ⇒ dt = (2ax − 4) dx .  = ⇒ = − Đổ x 2 t 4a 8 i cận  .
x =1⇒ t = a − 4 4a−8 1 1 − I = dt = ∫
( t)4a 8 = 4a−8− a−4 2 a−4 − t a 4
Theo đề bài: I = 2 3 −1 ⇔ 4a −8 − a − 4 = 2 3 −1 ⇔ ..... ⇔ a = 5 . 2 1 2 + a a Câu 41. Cho dx = ln ∫
,a và b là các số hữu tỉ. Giá trị là: 2 x +1 1+ b b 1 2 5 2 3 A. . B. . C. . D. . 5 2 3 2 Hướng dẫn giải 2 1 a a Cho dx = ln ∫ . Giá trị là: 2 x + b b 1 1 Ta đặ dt dx t: 2
t = x + x +1 ⇒ = . 2 t x +1  = ⇒ = + Đổ x 1 t 1 2 i cận  .
x = 2 ⇒ t = 2 + 5 2+ 5 dt ∫ ( + + = t ) 2 5 2 5 ln ln . 1+ 2 t 1+ 2 1+ 2 Chọn B 3 7 5 3x
Câu 42. Tích phân I = dx ∫ có gái trị là: 3 3 − 0 8 x 87 67 77 57 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 5 5 5 5 Hướng dẫn giải 3 7 5 3x Tích phân I = dx ∫ có gái trị là: 3 3 − 0 8 x Cách 1: Ta nhận thấy: ( 3 − x ) 2 8 ' = 3
− x . Ta dùng đổi biến số. Đặt 3 2
t = 8 − x ⇒ dt = 3 − x dx . https://toanmath.com/
x = 0 ⇒ t = 8 Đổ  i cận  . 3
x = 7 ⇒ t =1 3 3 3 7 5 7 2 3 7 2 3x 3 − x .x 3 − x (8 −t) Ta có: I = dx = − dx = − dx ∫ ∫ ∫ 3 3 3 3 3 3 − − − 0 8 x 0 8 x 0 8 x 1 1 1 2 1 5 2 t − 8  −   3  87 3 3 3 3 ⇒ I = dt = ∫
∫t −8.t dt
 =  t −12t  = . 3 t 5 5     8 8 8 Chọn A
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay, tuy nhiên chờ máy giải cũng khá mất thời gian. 4 2x +1dx 5 Câu 43. Biết
= a + b ln 2 + c ln ∫
(a,b,c∈). Tính T = 2a +b + c. 2x + 3 2x +1 + 3 3 0
A. T = 4 .
B. T = 2 .
C. T = 1. D. T = 3. Hướng dẫn giải Chọn C 4 4 4 2 + +
( 2x+1+ )1−( 2x+1+2)d 2 1d 2 1d x x x x x I = = = ∫ ∫ ∫ 2x + 3 2x +1 + 3 + + + + + + + + 0 0 ( 2x 1
)1( 2x 1 2) 0 ( 2x 1 )1( 2x 1 2) 4 4 2dx dx = − ∫ ∫ . + + + + 0 ( 2x 1 2) 0 ( 2x 1 ) 1
Đặt u = 2x +1 ⇒ d
u u = dx . Với x = 0 ⇒ u = 1 , với x = 4 ⇒ u = 3 . .3 .3 .3 .3 2 d u u d u u  4   1  Suy ra I = − = 2 − du − 1− du ∫ ∫ ∫  ∫  u + 2 u +1  u + 2   u +1  1 1 1 1 = (u − u + + u + ) 3 5 4 ln 2 ln 1 = 2 − 4ln + ln 2 1 3
⇒ a = 2, b =1, c =1 ⇒ T = 2.1+1− 4 =1. 3 dx 1 Câu 44. Biết
= a 3 + b 2 + c + ln 3 2 − 3 ∫
với a , b , c là các số hữu tỷ. Tính 2 ( ) + + + 2 1 1 x 1 x
P = a + b + c . 1 1 5 A. P = . B. P = 1 − . C. P = − . D. P = . 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C ( 2 3 3 1 + x − 1+ x )d 3 d x x 3 2  1 1  x 1+ x dx Ta có = ∫ ∫ = ln x + x −   ∫ . 2 + + + 2x 2  2 2  2x 1 1 x 1 x 1 1 1 1 3 −1 = ln 3 + − I 2 2 3 2 x 1+ x dx Xét I = ∫ 2 2x 1 Đặt 2
t = 1+ x ⇒ tdt = d x x 2 2 2 t dt 2 1  1 1 1    1  1 t −1 I = ∫ = t + − dt ∫    = t + ln   2 ( 2 t −1 2  2
t −1 t +1   2  2 t +1 2 ) 2  2 https://toanmath.com/ 1  1 1 1 2 −1 = 2 − 2 + ln − ln  2 2 3 2 2 +1    − − − ( − 1 =  − − − −   )2 1 1 1  = 2 2 ln 3 ln 2 1  2 2 ln 3 ln  ( 2 )1 2  2 2  2  2 dx 1 3 −1 1 Vậy ∫ = ln 3 +
− 2 − 2 − ln 3 − ln ( 2 −  )1 2 + + + 2 2 2  1 1 x 1 x 1 1 3 1 = 3 + 2 − + ln (3 2 −3) 2 2 2 2 1
Vậy P = a + b + c = − . 2 1 dx  2 + a  = 2ln ∫     2 x + 4x + 3 1+ b
Câu 45. Biết rằng 0 
 với a , b là các số nguyên dương. Giá trị của a +b 1 9 T 1 9 T 2 0 1 9 T 2 0 1 9 T 1 9 T 1 9 T 1 9 T 1 9 T 1 9 T bằng A. 3 . B. 5 . C. 9 . D. 7 . 1 9 T 1 9 T 1 9 T 1 9 T 1 9 T 1 9 T 1 9 T 1 9 T Hướng dẫn giải Chọn B 1 9 T 1 1 dx dx Ta có = ∫ ∫ 1 9 T 1 9 T 2 + + + + 0 x 4x 3 0 (x ) 1 ( x 3)
Đặt t = x + 3 + x +1 1 9 T 1 9 T   1  1 1  ⇒ 1 x +1 + x + 3 dt = + dx   ⇔ dt =   2  x + 3 x +1  2  ( x + ) 1 ( x + 3)      1 t ⇔ 2dt dx dt =   ⇔ =  ( .
x + )( x + ) dx 2 1 3    t (x + )1(x + 19T 3)
Khi x = 0 thì t = 1+ 3 ; khi x = 1 thì t = 2 + 2 . 1 2+ 2 dx dt + a = 2 = + 2 ∫ ∫ 2 2 = 2 2 2 ln t = 2ln ⇒ 
⇒ a + b = 5 . 2 + + t 1+ 3 1+ 3 b  = 3 0 x 4x 3 1+ 3 2  1 1 1  a Câu 46. Biết 3 3 3 ∫ x− + 2 − dx =
c , với a,b, c nguyên dương, a tối giản và c < a . Tính 2 8 11   x x x b b 1  
S = a + b + c
A. S = 51 .
B. S = 67 .
C. S = 39 . D. S = 75 . Hướng dẫn giải Chọn C 2  2 1 1 1  1  2  Ta có 3 3 ∫ x − + 2 − dx 3 = x − 1+ dx ∫   . 2 8 11   x x x 2 3 x x  1   1 Đặt 1 1  2  3 3 t = x − ⇒ t = x − 2 ⇒ 3t dt = 1+ dx   . 2 2 x x 3  x  7 3 7 2   4 3 Khi đó: 1 1 1 4 3 21 3 4 3 3 ∫ x − + 2 −
dx = 3t dt ∫ 3 = t = 14 . 2 8 11   x x x 4 32 1   0 0 Vậy S = 67 . https://toanmath.com/ 2 dx
Câu 47. Cho số thực dương k > 0 thỏa = ln 2 + 5 ∫
. Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 ( ) + 0 x k 3 1 1 3 A. k > . B. 0 < k ≤ . C. < k ≤ 1 . D. 1 < k ≤ . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C x 1 + 2 Đặ x + k 1 t t = ( 2 ln x +
x + k ) ⇒ dt = dx ⇔ dt = dx 2 x + x + k 2 x + k 2 2 dx 2 Ta có = dt ∫ ∫ 2 = t ⇔ ln( 2
x + x + k ) = ln(2 + 5 ) 2 + 0 0 0 x k 0 + + ⇔ 2 4 k
ln (2 + 4 + k ) − ln k = ln(2 + 5 ) ⇔ ln = ln(2 + 5) k 2 + 4 + k ⇔ = 2 + 5 k
⇔ 2 + 4 + k = (2 + 5) k ⇔ + + k + + k = ( + )2 4 4 4 4 2 5 k ⇔
4 + k = (2 + 5 )k − 2  2  2 k >  >  k  2 + 5 ⇔  2 + 5 ⇔   2  4 + k = 2  (2+ 5  ) k −(9+4 5) 
(2+ 5)2 2k +4−4(2+ 5)k k = 0  2 k >   2 + 5 ⇔  k = 0 k =1 https://toanmath.com/ HÀM LƯỢNG GIÁC
Câu 48. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau 1 1 1 1 A. sin
∫ (1− x)dx = sin d x x ∫ . B. cos
∫ (1− x)dx = − cos d x x ∫ . 0 0 0 0 π π 2 x
C. cos dx = cos d x x ∫ ∫ . D. 2 0 0 π π 2 x sin dx = sin d x x ∫ ∫ . 2 0 0 Hướng dẫn giải Chọn A 1 Xét tích phân sin ∫ (1− x)dx 0
Đặt 1− x = t ⇒ dx = −dt . Khi x = 0 ⇒ t =1; Khi x =1⇒ t = 0 . 1 0 1 1 Do đó sin
∫ (1− x)dx = sint
∫ (−dt) = sintdt ∫ = sin d x x ∫ . 0 1 0 0 π 3 sin x
Câu 49. Tính tích phân I = dx ∫ . 4 7 T 4 7 T 3 4 7 T cos x 0 5 3 π 9 9 A. I = . B. I = . C. I = + . D. I = . 2 2 3 20 4 Hướng dẫn giải Chọn B
Đặt t = cos x ⇒ dt = −sin d x x . Đổ π 1
i cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = ⇒ t = . 3 2 1 2 1 1 Khi đó: 1 − 1 1 − I = dt ∫ = dt ∫ = 1 3 = − + 2 = . 3 t 3 t 2 1 2t 2 2 1 1 2 2 π 3 b Câu 50. Cho 2
I = sin x tan xdx = ln a − ∫
. Chọn mệnh đề đúng: 8 0
A. a + b = 4
B. a − b = 2
C. ab = 6 D. b a = 4 Hướng dẫn giải Chọn C
Đặt u = cos x ⇒ −du = sin xdx  π  1 = = Đổ x u i cận   3 ⇒ 2   x = 0 u = 1 1 2 ( 2 1 − u )(−du) 1 1 2  1   u  3 I = =
− u du = lnu − = ln 2 − ∫ ∫    uu  2 1 8   1 1 2 2 https://toanmath.com/ 0 1 0 3
Câu 51. Biết rằng I = dx = a ∫ và 3 3 I =
x + 2dx = b 2 − ∫
, a và b là các số hữu tỉ. 1 + π 1 cos 2x 4 − 1 − 4
Thương số giữa a và b có giá trị là: 1 1 3 2 A. . B. . C. . D. . 2 3 4 3 Hướng dẫn giải 0 1 0 3 Biết rằng I = dx = a ∫ và 3 3 I =
x + 2dx = b 2 − ∫
. Thương số giữa a và b có giá 1 + π 1 cos 2x 4 − 1 − 4 trị là: Ta có: 0 0 0 1 1 1 1 1 I = dx = dx = ... = tdt = ∫ ∫ ∫
, với t = tan x . 1 2 + π 1 cos 2x 2 π cos x 2 2 1 − − − 4 4 0 0 3   3 3 3 3 I = x + 2dx = ∫ (x + 2)4 3 = 2 − . 4   − − 2 4 1 1 1 3 a 1
⇒ a = ,b = ⇒ = . 2 2 b 3 Chọn B π a cos 2x 1 Câu 52. Cho I = dx = ln 3 ∫
. Tìm giá trị của a là: 1+ 2 sin 2x 4 0 A. 3 B. 2 C. 4 D. 6 Hướng dẫn giải Chọn C + 2π 1 2 sin a Đặ 1 dt 1 + π 1
t t = 1 + 2sin2x đưa đến I = ∫ = lnt| 1 2sin 2 / a = ln3 4 t 1 4 4 1
suy ra 1 + 2sin2 / a = 3 suy ra a = 4. π 4  
Câu 53. Biết I = ∫ ( 2
1+ tan x dx = a và I = x + x dx = ∫
bx + cx  , a và b là các số hữu tỉ. Giá 2 ( ) 1 1 1 2 3 3 1 )   0 0 0
trị của a + b + c là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Hướng dẫn giải π 4   Biết I = ∫ ( 2
1+ tan x dx = a và I = x + x dx = ∫
bx + cx  . Giá trị của a + b + c là: 2 ( ) 1 1 1 2 3 3 1 )   0 0 0 Ta có: π π 4 I = ∫ ( 1 2 1+ tan x dx =
dx = ... = tdt = 1 ∫ ∫
, với t = tan x . 1 ) 4 1 2 cos x 0 0 0  
I = ∫(x + x ) 1 1 1 1 2 2 3 3
dx =  x + x  . 2 3 3   0 0 1 2
⇒ a = 1,b = ,c = ⇒ a + b + c = 2 . 3 3 https://toanmath.com/ Chọn B π 3 sin 2x
Câu 54. Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: cos x + cos 3x 0 1  2 − 2 2 −1  1  2 − 2 2 +1  A. I = ln + ln    . B. I = ln − ln    . 2 2 2 + 2 2 +1   2 2 2 + 2 2 −1   1  2 − 2 2 −1  1  2 + 2 2 −1  C. I = ln − ln    . D. I = ln − ln    . 2 2 2 + 2 2 +1   2 2 2 − 2 2 +1   Hướng dẫn giải π 3 sin 2x Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: cos x + cos 3x 0 π π π 1 3 3 3 2 sin 2x sin x sin x 1  2t −1  I = dxI = dx = dx = ... = ∫ ∫ ∫ ln  2   cos x + cos 3x cos 2x 2 cos x −1 2 2 2t +1   Ta biến đổi: 0 0 0 1 , 1  2 − 2 2 −1  = ln − ln    2 2 2 + 2 2 +1  
với t = cos x . Chọn C π 2 2x + cos x
Câu 55. Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 2 + π x sin x 4 2 2  π   π 2  2 2  π   π 2  A. I = ln  −1 − ln +    . B. I = ln  +1 − ln +  .    4  16 2    4  16 2   2 2  π   π 2  2 2  π   π 2  C. I = ln  −1 + ln +    . D. I = ln  +1 + ln +  .    4  16 2    4  16 2   Hướng dẫn giải π 2 2x + cos x Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 2 + π x sin x 4 2 π π 1 + 2 4 2 2 2x + cos x 1  π   π 2  Ta có: I = dx = ... = dt = ln ∫ ∫  +1 − ln +  , với 2
t = x + sin x . 2   + π x sin x t  4  16 2 2 π   2 + 4 16 2 Chọn B π 4 1 1 Câu 56. Cho = π + +
sin 2x ln (tan x + ∫ ) 1 dx a
b ln 2 c với a , b , c là các số hữu tỉ. Tính T = + − c a b 0 . A. T = 2 .
B. T = 4 .
C. T = 6 . D. T = 4 − . Hướng dẫn giải Chọn B https://toanmath.com/ π π 4 4 1
Ta có sin 2x ln (tan x + ∫ ) 1 dx = − ln (tan x + ∫ ) 1 d (cos 2x) 2 0 0 π π 1 = − x ( x + ) 4 4 1 cos 2 ln tan 1 + cos 2 d x ln ∫ (tan x +  )1 2 2 0 0 π π 4 1 1 1 4 2 2 − = 1 cos x sin x 1 cos 2 . x . dx ∫ = . dx ∫ 2 2 tan x +1 cos x 2 2 sin x + cos x cos x 0 0 cos x π π π 4 1  sin x  4 = 1 4 1 1 1− dx ∫  = x + d ∫ (cos x) 2  cos x  2 2 cos x 0 0 0 π π 1 4 = + 1 1 ln cos x
= π − ln 2 ⇒ T = 8 − 4 + 0 = 4 . 8 2 8 4 0 π 2 sin 2x
Câu 57. Xét tích phân = + I = dx ∫ . Nếu đặt t
1 cos x , khẳng định nào dưới đây là đúng? 1+ cos x 0 1 3 − 1 3 − + 2 A. 4t 4t 4t 4t I = dt. ∫ B. I = dt. ∫ C. I = 4 ( 2 t − ∫ )1dt. D. t t 2 2 1 2 I = 4 − ( 2t − ∫ )1dt. 1 Hướng dẫn giải Chọn C − Đặ sin x sin x
t t = 1+ cos x ⇒ dt = dx ⇒ dx = 2d − t 2 1+ cos x 1+ cos x 2 2
⇒ t = 1+ cos x ⇒ cos x = t −1 Đổ π
i cận x = 0 ⇒ t = 2; x = ⇒ t = 1. 2 π π 1 1 2 2 2 sin 2x dx 2 cos x sin d x x ⇒ 2 2 2 = − − = − − = − I = = ∫ ∫ 2(t 1)( 2)dt 4 (t 1)dt 4 (t 1)dt. ∫ ∫ ∫ 1+ cos x 1+ cos x 0 0 2 2 1 π 6 n 1 Câu 58. Cho sin .
x cos xdx = (n∈ ∫
) . Tìm giá trị n . 64 0
A. n = 3 .
B. n = 4 .
C. n = 5 . D. n = 6 . Hướng dẫn giải Chọn A
[Phương pháp tự luận] Đặ π 1
t t = sin x ⇒ dt = cos d
x x . Với x = 0 ⇒ t = 0 ; x = ⇒ t = . 6 2 π 1 n 6 n 1 + 2 n 1 + 1  t      n + n 1 1 1 n 1 Vậy ( ) sin . x os c xdx = ∫ 2 ⇔ t dt = | = . = ∫ 1 1     ⇔ =   1 64 0  n +1 n +1  2  64  2  32 0 0 https://toanmath.com/ n Phương trình ( )  1 
1 là phương trình hoành độ giao điểm của y =   là một hàm số giảm trên  2  +    n 1 1 và y = y′ = > 0 
 là một hàm số tăng trên  . 32  32  Vậy phương trình ( ) 1 có tối đa 1 nghiệm. 3  1  3 +1
Với n = 3 thay vào phương trình ( ) 1 ta được: =   ( đúng).  2  32
Vậy n = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình ( ) 1 .
[Phương pháp trắc nghiệm] π 6 1
Thay n = 3 vào bấm máy tính: 3 sin . x cos d x x = ∫
. Ta chọn đáp ánA. 64 0 π 2 sin x
Câu 59. Cho tích phân
dx = a ln 5 + b ln 2 ∫  +
với a, b ∈ . Mệnh đề nào dưới đây đúng? π cos x 2 3
A. 2a + b = 0.
B. a − 2b = 0.
C. 2a − b = 0.
D. a + 2b = 0. Hướng dẫn giải Chọn A
Đặt t = cos x + 2 ⇒ dt = −sin d x x Đổ π 5 π i cận x =
⇒ t = , x = ⇒ t = 2 3 2 2 π 5 2 sin x 2 1 2 1 dx ∫ = − = = 5 = − = ln 5 − 2ln 2 + dt ∫ dt ∫ 5 2 ln t ln ln 2 2 π cos x 2 t t 2 5 2 3 2
Vậy ta được a = 1;b = 2 − . π 2 cos x − sin x
Câu 60. Tích phân I = ∫ có giá trị là: π ( dx x e cos x + ) 1 cos x 3 π π   π π   3 3 e e + 2 3 3 e e − 2     A. I = ln . B. I = ln . 2π 2π 3 e − 2 3 e − 2 π π   π π   3 3 e e + 2 3 3 e e − 2     C. I = ln . D. I = ln . 2π 2π 3 e + 2 3 e + 2 Hướng dẫn giải 2π 3 cos x − sin x Tích phân I = ∫ có giá trị là: π ( dx x e cos x + ) 1 cos x 3 https://toanmath.com/ π 2 x
e .(cos x − sin x)
Ta biến đổi: I = ∫ . π ( dx x e cos x + ) 1 x e cos x 3 Đặt x = cos x t e
x ⇒ dt = e (cos x − sin x) dx . π  π 1 3
x = ⇒ t = e Đổ  3 2 i cận  . 2π  2π 1 3 x = ⇒ t = − e  3 2 π π   2π 2π 1 1 2π π 3 3 3 −  + e 3 − e e e 2  2 2 3 3 1  te e   I = = = − = ∫   π π π . +  + π t (t ) dt ln ln ln ln π 2 2 1 t 1 1  3e 3 3 3 1 − + − 3 e 2 e 2 e 2 e 2 2 Chọn A π 6 3 sin x
Câu 61. Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: π cos x 3 19 +17 3 4 19 +17 3 19 − +17 3 4 19 −17 3 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải π 6 3 sin x Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: π cos x 3
Ta nhận thấy: (cos x) ' = − sin x . T dùng đổi biến số.
Đặt t = cos x ⇒ dt = −sin xdx .  π 1 x = ⇒ t =  Đổ  3 2 i cận  .  π 3 x = ⇒ t =  6 2 π π 2 2 ( 2 3 1− cos x)sin sin x x I = dx = dx ∫ ∫ π cos x π cos x 3 3 3 3 3 2 2 2 2 3 1 5 1 4 t −1  −   2  19 −17 3 2 2 2 2 ⇒ I = dt = ∫
∫ t −t dx =  t −2t  = t 5 1 1     2 1 2 2 2 Chọn D π 3 sin x
Câu 62. Tích phân I = ∫ có gái trị là: π + − ( dx cos x 3 sin x)2 3 https://toanmath.com/ 3  3 + 2  3 3  3 + 2  3 A. I = ln   +   . B. I = ln   +   . 16 − 3 + 2 8   8 − 3 + 2 8   3  3 + 2  3 3  3 + 2  3 C. I = − ln   +   . D. I = − ln   +   . 8 − 3 + 2 8   16 − 3 + 2 8   Hướng dẫn giải π 3 sin x Tích phân I = ∫ có gái trị là: π + − ( dx cos x 3 sin x)2 3 Ta có: π π π 3 3 3 sin x sin x sin x I = = = ∫ ∫ ∫ . π ( dx dxI dx
cos x + 3 sin x)2 2 2 π  1 3  π   π  − − 4  cos x + sin x − 4 sin x + 3 3  3    2 2   6    Đặ π π t u = x +
⇒ x = u − ⇒ dx = du . 6 6  π π x = − ⇒ u = −  Đổ  3 6 i cận  π π x = ⇒ u =  3 2 π  π  π π π π sin u −   − 2 2 sin u. cos sin cos u 2  6  1 3.sin u − cos 6 6 u I = du = du = du ∫ ∫ ∫ 2 2 2 π 4 sin u π 4 sin u 8 π sin u − − − 6 6 6 π π   2 2 1  3 sin u cos u  = du − du  ∫ ∫ 2 2  8 − π 1 cos u π sin u  − −   6 6  π 2 3 sin u Xét I = du ∫ . 1 2 − π 1 cos u − 6
Đặt t = cosu,u ∈[0;π ] ⇒ dt = −sinudu .  π 3 u  = − ⇒ t = Đổ  i cận 6 2  .  π u = ⇒ t = 0  2 0 0 0 3dt 3  1 1  3  t +1  3  3 + 2  ⇒ I = = + dt = l n = − ln ∫ ∫       . 1 2   1− t 2
1− t 1+ t  2  t −1 3  2 − 3 + 2   3 3 2 2 2 π 2 cos u Xét I = du ∫ . 2 2 π sin u − 6 https://toanmath.com/  π π Đặ 
t t = sin u, u ∈ − ; ⇒ dt = cosudu   .  2 2   π 1 u = − ⇒ t = −  Đổ  6 2 i cận  π . u  = ⇒ t =1  2 1 1 1  1 1 3  3 + 2  3 I = du = − = 3 − ∫ . ⇒ I =
(I − I = − ln  + . 1 2 ) 2   2 tt   1  8 16 − 3 + 2 8 1 −   − 2 2 Chọn D π 4 1
Câu 63. Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 2 2
9 cos x − sin x 0 1 1 1 A. I = ln 2 . B. I = ln 2 . C. I = ln 2 . D. I = ln 2 . 3 2 6 Hướng dẫn giải π 4 1 Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 2 2
9 cos x − sin x 0 π π 4 4 1 1 Ta biến đổi: I = dx = dx ∫ ∫ . 2 2 2
9 cos x − sin x cos x ( 2 9 − tan x 0 0 ) 1
Nhận thấy: (tan x) ' =
. Ta dùng đổi biến số. 2 cos x Đặ 1
t t = tan x ⇒ dt = dx . 2 cos x
x = 0 ⇒ t = 0 Đổ  i cận  π . x = ⇒ t =1  4 1 1 1 1 1  1 1   1 3 + t  1 I = dt = + dt = ln = ln 2 ∫ ∫    . 2 9 − t 6  3 − t 3 + t   6 3 − t  6 0 0 0 Chọn C a sin x + cos x 1+ 3
Câu 64. Tích phân I = = ∫ ( dx
. Giá trị của alà:
sin x − cos x)2 1− 3 0 π π π π A. a = − . B. a = − . C. a = . D. a = . 2 4 3 6 Hướng dẫn giải a sin x + cos x 1+ 3 Tích phân I = = ∫ ( dx . Giá trị của alà:
sin x − cos x)2 1− 3 0 Ta có: sin a−cos a a sin x + cos x  1 1 I = = − = − = − ∫ ( dx t x x   . sin x − cos x) 1, sin cos 2  t  cos a − sin a 0 1 − https://toanmath.com/ Theo đề 1 1+ 3 π bài, ta có: −1 casio =  → a = . cos a − sin a 1− 3 3 Chọn C π 2 sin x
Câu 65. Tích phân I = dx ∫ + có giá trị là: π sin x cos x 3 π π 3 +1 A. I = + ln ( 3 + ) 1 . B. I = + ln . 12 12 4  3 +1 ln   π 2   π 3 +1 C. I = − D. I = + ln . 12 2 . 12 2 Hướng dẫn giải π 2 sin x Tích phân I = dx ∫ + có giá trị là: π sin x cos x 3 π 2 cos x Xét I = dx ∫ 1 + π sin x cos x 3 π  2
I = I + I = dx ∫ 2 1  1+ 3 π ln  I − I π Ta có: 2 3 2 3  ⇒ I = = − ,
t = sin x + cos x . 1 2 12 2  1
I = I − I = dt ∫ 3 1 t  1 3 +  2 2 Chọn C π 4 cos x a
Câu 66. Cho biết
dx = aπ + b ln 2 ∫
với a và b là các số hữu tỉ. Khi đó bằng: sin x + cos x b 0 1 3 1 3 A. . B. . C. . D. . 4 8 2 4 Hướng dẫn giải Chọn C π π 4 cos x 4 sin x Xét I = dx ∫ ; I = dx ∫ 1 sin x + cos x 2 sin x + cos x 0 0 π 4 π
⇒ I + I = dx = ∫ ; 1 2 4 0 π π π 4 4 4 cos x − s inx
d (sin x + cos x) 1 I − I = dx =
= ln(sin x + cos x) = ln 2 ∫ ∫ 1 2 sin x + cos x sin x + cos x 2 0 0 0 ⇒ π 1 1 1 a 1 I =
+ ln 2 ⇒ a = ; b = ⇒ = . 1 8 4 8 4 b 2 https://toanmath.com/ π
Cách giải khác:Đặt x = − t 4 π 2018 sin a x x π Câu 67. Biết d x = ∫
trong đó a , b là các số nguyên dương. Tính P = 2a + b . 2018 2018 sin x + cos x b 0
A. P = 8 .
B. P = 10 .
C.. P = 6 . D. P = 12 . Hướng dẫn giải Chọn A π 2018 x sin x Xét tích phân I = d x ∫ . 2018 2018 sin x + cos x 0
Đặt x = π − t ⇒ d x = −dt .
Khi x = 0 thì t = π .
Khi x = π thì t = 0 . 0 (π −t) 2018 sin (π −t) π (π − x) 2018 sin x Ta có I = − d t ∫ = d x ∫ 2018 sin (π −t) 2018 + cos (π −t 2018 2018 + π ) sin x cos x 0 π 2018 π 2018 sin x x sin x = π d x − d x ∫ ∫ 2018 2018 2018 2018 sin x + cos x sin x + cos x 0 0 π 2018 sin x = π d x − I ∫ . 2018 2018 sin x + cos x 0 π 2018 π sin x Suy ra I = d x ∫ . 2018 2018 2 sin x + cos x 0 π 2018 sin x Xét tích phân J = d x ∫ . 2018 2018 + π sin x cos x 2 Đặ π t x =
− u ⇒ d x = − d u . 2 π Khi x = thì u = 0 . 2 π
Khi x = π thì t = − . 2 π  π  2018 − sin − u   2  2  0 2018 cos x Nên J = − d u ∫ =  π   π  d x ∫ . 2018 2018 + 2018 2018 π sin x cos x 0 sin − u + cos − u     −  2   2  2 cos x
Vì hàm số f ( x) 2018 = là hàm số chẵn nên: 2018 2018 sin x + cos x π 0 2018 2 2018 cos x cos x dx = d x ∫ ∫ 2018 2018 2018 2018 + + π sin x cos x sin x cos x 0 − 2 Từ đó ta có: π   π 2018 π π sin x 2 2018 2018 π  sin x sin xI = d x ∫ = d x + d x ∫ ∫ 2018 2018   2 sin x + cos x 2018 2018 2018 2018 2 sin x + cos x + π sin x cos x 0  0   2  https://toanmath.com/ π π   2 2018 2 2018 π  sin x cos x  = d x + d x  ∫ ∫ 2018 2018 2018 2018  2 sin x + cos x sin x + cos x  0 0    π π 2 2018 2018 2 2 π sin x + cos x π π = d x = d x = ∫ ∫ . 2018 2018 2 sin x + cos x 2 4 0 0
Như vậy a = 2 , b = 4 . Do đó P = 2a + b = 2.2 + 4 = 8 . π sin xdx
Câu 68. Cho tích phân I = ∫
(với α > 1 ) thì giá trị của I bằng: 2 − α +α 0 1 2 cos x α 2 A. 2. B. . C. 2α . D. 2 α . Hướng dẫn giải Chọn D Đặ t t 2 2 2
t = 1− 2α cos x + α ⇒ t = 1− 2α cos x + α ⇒ dt = sin d x x α α 1 + 1 tdt 1 α 1 + 2 Vậy I = = .t = ∫ α 1 α t α − α α 1 − m sin x 1
Câu 69. Có bao nhiêu giá trị của tham số m trong khoảng (0;6π) thỏa mãn dx = ∫ ? 5 + 4 cos x 2 0 A. 6 . B. 12 . C. 8 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn A 1 m sin m x 1 Ta có = dx = − d ∫ ∫ (cos x) 2 5 + 4 cos x 5 + 4 cos x 0 0 1 m 1 m = − ∫ ( + x) 1 d 5 4 cos = − ln 5 + 4cos x . 4 5 + 4 cos x 4 0 0 1 1 m 1 5 + 4 cos m
Mà 5 + 4 cos x ≥ 5 − 4 > 0 ⇒
= − ln (5 + 4cos x) = − ln 2 4 4 9 0 2 5 + 4 cos m 5 + 4 cos m 9e− − − 5 2 ⇒ ln = 2 − ⇔ = e ⇔ cos m = 9 9 4 2 9e− − 5 ⇔ m = ± arccos
+ k2π (k ∈) . 4  k = 0 2  9e− − 5  arccos
+ k2π∈(0;6π) ⇒ k =1  4   k = 2 Theo đề 
bài m ∈ (0;6π) ⇒  .  k = 1 2  9e− − 5  − arccos
+ k2π∈(0;6π) ⇒ k = 2  4   k = 3  
Với mỗi giá trị k trong hai trường hợp trên ta được một giá trị m thỏa mãn.
Vậy có 6 giá trị của m thỏa mãn bài toán. https://toanmath.com/ π 2 cos x 4 Câu 70. Cho dx = a ln + b, ∫
tính tổng S = a + b + c . 2
sin x − 5sin x + 6 c 0
A. S = 1 .
B. S = 4 .
C. S = 3 . D. S = 0 . Hướng dẫn giải Chọn B Đặ π
t t = sin x ⇒ dt = cos d
x x . x = 0 ⇒ t = 0 , x = ⇒ t = 1. 2 π 1 2 cos x 1 1 1  1 1  t − 3 3 dx ∫ = dt ∫ = − dt ∫  = ln = ln 2 − 4 ln = ln 2
sin x − 5sin x + 6 2 t − 5t + 6
t − 3 t − 2  t − 2 2 3 0 0 0 0
⇒ a = 1, b = 0,c = 3 ⇒ S = a + b + c = 4 . π 2 2
x + (2x + cos x) cos x +1− sin x c
Câu 71. Cho tích phân 2 I =
dx = aπ + b − ln ∫
với a , b , c là các số x + cos x π 0
hữu tỉ. Tính giá trị của biểu thức 3 P = ac + . b 5 3
A. P = 3 . B. P = . C. P = . D. P = 2 . 4 2 Hướng dẫn giải Chọn D π π 2 2
x + (2x + cos x) cos x +1− sin x (x + cos x)2 2 +1− sin x Ta có I = dx ∫ = dx ∫ x + cos x x + cos x 0 0 π π 2  1− sin x  2 2   2 π π 2 π = x 2 x + cos x + dx ∫ 
=  + sin x + ln x + cos x  = +1+ ln = +1− ln  x + cos x   2  8 2 8 π 0 0 1
⇒ a = , b = 1, c = 2 . 3 P = ac + 1 b = .8 +1 = 2 . 8 8 π 2 sin x 4 Câu 72. Cho dx = a ln + b ∫
, với a , b là các số hữu tỉ, c > 0 . Tính tổng 4 7 T 4 7 T ( 4 7 T 4 7 T 4 7 T 4 7 T 4 7 T 4 7 T 4 7 T 4 7 T
cos x)2 − 5cos x + 6 c 0
S = a + b + c . 47T
A. S = 3 .
B. S = 0 .
C. S = 1 . D. S = 4 . Hướng dẫn giải Chọn D
Đặt t = cos x ⇒ dt = −sin d x x . Đổ π
i cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 0 2 Ta có: π 1 2 0 1 sin x ∫ 1 = −  1 1  − = − t 3 = 3 = − ( x dt ∫ dt ∫  ln ln 2 ln 2 cos x) d 2 − 5cos x + 6 t − 5t + 6
t − 3 t − 2  t − 2 2 0 1 0 0 4 = 4 ln = a ln + b . 3 c https://toanmath.com/ a =1 Do đó: c = 3 . b = 0 
Vậy S = a + b + c = 4 . π 2 a * a
Câu 73. Cho (4 cos 2x + 3sin 2x) ln (cos x + 2sin x) dx = c ln 2 − ∫
, trong đó a , b , c ∈ , là phân b b 0
số tối giản. Tính T = a + b + c . A. T = 9 . B. T = 11 − .
C. T = 5 . D. T = 7 . Hướng dẫn giải Chọn A π 2
I = ∫ (4cos 2x + 3sin 2x)ln (cos x + 2sin x)dx 0 π 2 = 2
∫ (cos x+ 2sin x)(2cos x−sin x)ln(cos x+ 2sin x)dx . 0
Đặt t = cos x + 2sin x ⇒ dt = (−sin x + 2cos x)dx .
Với x = 0 thì t = 1. π Với x = thì t = 2 . 2 2 2 2 2 t
Suy ra I = 2t ln tdt ∫ = ln td ∫
( 2t) = (t .lnt) 2 2 2 − tdt ∫ = 4ln2− 3 = 4ln 2 − . 1 2 2 1 1 1 1 a = 3  Vậy b
 = 2 ⇒ T = a + b + c = 9 . c = 4  π 3 3 2 sin x π 3π Câu 74. Biết dx = + + cπ + d 3 ∫
với a, b, c, d là các số nguyên. Tính 6 3 π 1+ + a b x x − 3
a + b + c + d .
A. a + b + c + d = 28 .
B. a + b + c + d = 16 . C. a + b + c + d = 14 . D.
a + b + c + d = 22 . Hướng dẫn giải ChọnA. π π π + − sin x ( 6 3 3 3 1 x x )sin x 3 I = dx = dx = ∫ ∫ ∫ ( 6 3 1+ x − x sin d x x . 6 6 6 3 ) + + + − π π 1 1 x x x x π − − − 3 3 3  π π x = − ⇒ t =  Đặ  3 3
t t = −x ⇒ dt = −dx . Đổi cận  π π .
x = ⇒ t = −  3 3 https://toanmath.com/ π π π − 3
I = ∫ ( 1+ t + t )sin( t − )(−dt) 3
= − ∫ ( 1+t +t ) 3 6 3 6 3 sin tdt = − ∫ ( 6 3
1+ x + x )sin xdx π π π − − 3 3 3 π π 3 3 Suy ra 2I = ∫ ( 3 2 − x sin x) 3 dx ⇔ I = − x sin xdx ∫ . π π − − 3 3 3 x (+) + sin x 2
3x (–) − cos x
6x (+) − sin x 6 (–) + cos x 0 + sin x π π π
I = ( x cos x − 3x sin x − 6x cos x + 6sin x) 3 2 3 3 2 3 = − − π + π 2 6 3 − 27 3 3
Suy ra: a = 27, b = 3 − , c = 2
− , d = 6 . Vậy a + b + c + d = 28 . π 6 2 x cos x π 3π Câu 75. Biết dx = a + + ∫
với a , b , c , d là các số nguyên. Tính M = a − b + c . 2 π 1+ + b c x x − 6
A. M = 35 .
B. M = 41. C. M = 37 − . D. M = 35 − . Hướng dẫn giải Chọn A π π 6 x cos x 0 6 x cos x x cos x Ta có dx ∫ = dx + dx ∫ ∫ = I + J 2 π 1+ x + x 2 2 π 1+ x + x 1+ x + x − 0 − 6 6 0 x cos x π π Xét I = dx ∫
. Đặt t = −x (C ; Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 ; x = − ⇒ t = . m ) 2 π 1+ x + x 6 6 − 6 π π 0 x cos x 0 t − cos( t − ) 6 t − cost 6 −x cos x Suy ra I = dx ∫ = ∫ (−dt) = dt ∫ = dx ∫ . 2 π 1+ x + x π 2 2 1+ ( t − )2 − 1+ t − t 1+ x − x − t 0 0 6 6 π π π 6 6 6 Khi đó x cos x −x cos x x cos x dx ∫ = dx + dx ∫ ∫ 2 π 1+ x + x 2 2 1+ x − x 1+ x + x − 0 0 6 π π 6  1 1  6 = x cos x ∫  − dx 2 = 2
− x cos x dx ∫ . 2 2  + + + −  0 1 x x 1 x x 0 π 6 π x cos x 2 π π 3 dx ∫ = ( 2 2
− x sin x − 4x cos x + 4sin x) 6 = 2 + + . 2 π 1+ x + x 0 36 − 3 − − 6
Khi đó a = 2 ; b = 36 − ; c = 3 − .
Vậy M = a − b + c = 35 . 1 π 2 12
f ( x) dx = 2018 ∫ cos 2 .
x f (sin 2x) dx ∫ Câu 76. Cho 0 . Tính 0 . https://toanmath.com/ 1009 A. I = .
B. I = 1009 .
C. I = 4036 .
D. I = 2018 . 2 Hướng dẫn giải Chọn B π 12 Xét I =
cos 2x. f (sin 2x ) dx ∫ . 0
Đặt u = sin 2x ⇒ du = 2cos2xdx . π Đổ 1
i cận: x = 0 ⇒ u = 0 và x = ⇒ u = . 12 2 1 1 2 2 Khi đó 1 I = f (u ) 1 u = f ( x ) 1 d dx = .2018 = 1009 ∫ ∫ . 2 2 2 0 0 π 1 2
Câu 77. Cho f là hàm số liên tục thỏa f
∫ (x)dx = 7. Tính I = cos .xf ∫
(sin x)dx . 0 0 A. 1. B. 9 . C. 3 . D. 7 . Hướng dẫn giải Chọn D Đặ π
t t = sin x ⇒ dt = cos d
x x . Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0 , x = ⇒ t = 1. 2 π 2 1 1 Ta có I = cos . x f ∫
(sin x)dx = f
∫ (t)dt = f ∫ (x)dx = 7. 0 0 0 2π 1 3
Câu 78. Cho hàm số f ( x) liên tục trên  và f
∫ (x)dx =12, f ∫ (2cos x)sin d x x bằng 1 − π 3 A. 12 − . B. 12 . C. 6 . D. 6 − . Hướng dẫn giải Chọn C
Đặt t = 2cos x ⇒ dt = 2 − sin d x x . Đổi cận 2π 3 1 −  1  1 1 1 1 f ∫ (2cos x)sin d x x = f ∫ (t) − dt   = f ∫ (t)dt = f ∫ (x)dx = 6. π  2  2 2 1 1 − 1 − 3 9 f ( x ) π /2
Câu 79. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên  thỏa mãn dx = 4 ∫ và f
∫ (sin x)cos xdx = 2. x 1 0 3 Tích phân I = f
∫ (x)dxbằng 0
A. I = 2 .
B. I = 6 .
C. I = 4 . D. I = 10 . Hướng dẫn giải Chọn C https://toanmath.com/ 9 1 f ( x ) 3 3
Đặt t = x ⇒ dt = dx ⇒ dx = 2 f ∫
∫ (t)dt = 4 → f ∫ (t)dt = 2. 2 x x 1 1 1 π /2 1
Đặt t = sin x ⇒ dt = cos dx ⇒ f
∫ (sin x)cos xdx = f ∫ (t)dt = 2. 0 0 3 1 3 I = f
∫ (x)dx = f
∫ (x)dx+ f
∫ (x)dx = 2+ 2 = 4. 0 0 1 https://toanmath.com/ HÀM MŨ – LÔGARIT 1 2 − ae − b Câu 80. Cho 1 x I = xe dx ∫
. Biết rằng I =
. Khi đó, a + b bằng 2 0 A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 − 2 2 2 − − − e x 1 x 1 1 x 1 Ta có 1 1 I = xe dx = − e d ( 2 1− x ) 1 = − e = ∫ ∫ 2 2 0 2 0 0 ae − b Vì I =
⇒ a = 1;b = 1 . Vậy a + b = 2 . 2 ( ) 2 sin = sin 2 .e x f x x
Câu 81. Nguyên hàm của là 2 sin x 1 + 2 sin x 1 − 2 − e 2 e A. 2 sin 1 sin .e x x + C . B. + C sin e x + C . D. + C 2 sin x + . C. 1 2 sin x − . 1 Hướng dẫn giải Chọn C 2 2 2 Ta có sin sin sin 2 .e x x dx ∫ sin x = ∫ ( 2 e
d sin x) = e x + C 1 + a b b c
Câu 82. Biết rằng 1 3x 2 3e dx = e + e + c ( a, , b c ∈ ∫
). Tính T = a + + . 5 3 2 3 0
A. T = 6 .
B. T = 9 .
C. T = 10 .
D. T = 5 . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt 2
t = 1+ 3x ⇒ t = 1+ 3x ⇒ 2tdt = 3dx
Đổi cận: x = 0 ⇒ t =1, x =1⇒ t = 2 1 2 ⇒ 3 + x =2 t d =2 t t − d = 2 t t e dx te t te e t te − e
= 2 2e − e − e + e = 2e . ∫ ∫ ∫ 0 1 ( 2 21 ) ( 2 2 1 3 ) ( 2 2 ) 2 1 1 1 a =10 ⇒ 
⇒ T =10 nên câu C đúng. b  = c = 0 ln12 Câu 83. Tích phân x I = e + 4dx ∫ có giá trị là: ln 5
A. I = 2 − ln 3 + ln 5 .
B. I = 2 − 2 ln 3 + 2 ln 5 .
C. I = 2 − 2 ln 3 + ln 5 .
D. I = 2 − ln 3 − 2 ln 5 . Hướng dẫn giải ln12 Tích phân x I = e + 4dx ∫ có giá trị là: ln 5 Đặ tdt x x x 2 t: 2
t = e + 4 ⇔ t = e + 4 ⇒ 2tdt = e dx ⇒ dx = . 2 t − 4  = ⇒ = Đổ x ln 5 x 3 i cận  .
x = ln12 ⇒ x = 4 4 4 2 2tt + 2  I =
dt = 2 t − 2 ln = 2 − 2ln 3 + 2ln 5 ∫   . 2 t − 4  t − 2  3 3 Chọn B m 2 2
Câu 84. Tìm tất cả các giá trị dương của tham số m sao cho x 1 + 500 m 1 e x dx 2 .e + = ∫ . 0 https://toanmath.com/ A. 250 500 m = 2 2 − 2 . B. 1000 m = 2 +1 . C. 250 500 m = 2 2 + 2 . D. 1000 m = 2 −1 . Hướng dẫn giải Chọn C m + + 2 m m Ta có x 1 e x + dx ∫ 2 1 = et t dt ∫ = ( et − et t ) 2 1 ( ) 2 2 1 1 1 e m m + = + − 0 1 1 m 2 2 Theo bài ra x 1 e x + dx ∫ 2 500 1 2 .e m + = ⇔ 500 1 2 .e m + ( ) 2 2 1 1 1 e m m + = + − 500 2 ⇔ 2 = m +1 −1 0 ⇔ m + = ( + )2 2 500 1 2 1 2 1000 501 ⇔ m = 2 + 2 500 = ( 500 2 2 + 2) 250 500 ⇒ m = 2 2 + 2 . 3 + x x d Câu 85. Cho 1 2 e = .e a + .e b + c ∫
. Với a , b , c là các số nguyên. Tính S = a + b + c . x +1 0
A. S = 1 .
B. S = 2 .
C. S = 0 . D. S = 4 . Hướng dẫn giải Chọn C 3 + x x d 1 Xét 1 I = e ∫
; đặt u = x +1 ⇒ du = dx . x +1 2 x +1 0
Đổi cận: x = 0 ⇒ u =1; x = 3 ⇒ u = 2 2 ⇒ = 2 eu I 2du = ∫ 2eu = 2
2e − 2e ⇒ a = 2 , b = 2
− , c = 0 , S = a + b + c = 0 . 1 1 π 2 2
Câu 86. Cho tích phân sin x 3 I = e sin x cos d x x ∫ . Nếu đổi biến số 2
t = sin x thì: 0 1 1 1   1 1 1   A. t =  d t I
e t + te dt ∫ ∫  . B. t =  d t I
e t − te dt ∫ ∫  . 2  2 0 0  0 0  1 1   C. = 2 t  d t I
e t + te dt ∫ ∫  . D. 0 0  1 1   = 2 t  d t I
e t − te dt ∫ ∫  . 0 0  Hướng dẫn giải Chọn B π π 2 2 2 2 Ta có sin x 3 sin = sin cos d x I e x x x = e . ∫ ∫ ( 2 1− sin x)sin . x cos d x x . 0 0 Đặ 1 t 2
t = sin x ⇒ dt = 2 sin x cos d
x x ⇒ sin x cos d x x = dt . 2 Đổi cận π x 0 2 t 0 1 1 1 1 1   t 1 Vậy = ∫ (1− )d t =  d t I e t t
e t − te dt ∫ ∫  . 2 2 0 0 0  n 1 + dx lim ∫ →+∞ 1 x x + e Câu 87. Tính n . A. 1 − . B. 1. C. e . D. 0 . https://toanmath.com/ Hướng dẫn giải Chọn D n 1 + n 1 + d x x e dx Tính I = = ∫ ∫ . 1 x x + e e (1 x + e n n ) Đặt x = ⇒ d x t e
t = e dx . Đổi cận: n
x = n ⇒ t = e , 1 1 n x n t e + = + ⇒ = . 1 n 1 + n 1 + + e e n+ 1 Khi đó dt 1 1 e n  = = − d = ∫ ∫ (ln −ln +1 ) 1 e I t t t = +   . e t t +  t t +  n ( ) ( ) 1 ln 1 n 1 n 1 e e e + n e  1  + n 1 + 1 d  n xe Suy ra lim = lim I = lim ∫ 1+ ln  =1−1 = 0. →+∞ 1 x x x→+∞ x + e →+∞ 1 ne +  ne  2 2016 x
Câu 88. Tính tích phân I = d . x ∫ x e +1 2 − 2018 2017 2018
A. I = 0 . B. 2 2 2 I = . C. I = . D. I = . 2017 2017 2018 Hướng dẫn giải. Chọn C Đặt x = t
− ⇒ dx = −dt . Đổi cận: Với x = 2 ⇒ t = 2; − x = 2 − ⇒ t = 2 2 2 − 2016 2 2016 x − 2 2017 2018 Khi đó: t x e dx x 2 2017 I = dt = ∫ 2016 2I = x dx = = ∫ 2 − ∫ , suy ra ⇒ I = . t e +1 1 x + e 2017 2017 2017 2 2 − 2 − 2 − 1 2 x x e a Câu 89. Cho biết = + ∫ ( x
e c với a , c là các số nguyên, b là số nguyên dương và a là x + 2) d . 2 b b 0
phân số tối giản. Tính a − b + c . A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 3 − . Hướng dẫn giải Chọn D
Đặt t = x + 2 ⇒ dt = dx , đổi cận x = 0 ⇒ t = 2, x =1⇒ t = 3 . 1 2 − ex x 3 (t − 2)2 t 2 e 3  4 4  3 3 −   t − 4 4 − Ta có I = ∫ = t 2 = − + 2 t 2 = + − + ( x dt ∫ 1 e dt ∫  e dt e dt ∫ ∫  2 2 2 x + 2) d 2 tt t   t t  0 2 2 2 2 3 − + Tính t 2 I = e dt ∫ 3 t −2 = e = e −1. 1 2 2 3  4 4  − + Tính t 2 I = − + e dt ∫ . 2   2  t t  2 Đặ 4 4 t u =
⇒ du = − dt , t −2 t −2 dv = e dt ⇒ v = e 2 t t 3 3 4 3 3 − 4 − 4 −  4 4  − Ta có t 2 e dt ∫ 2 = .et t 2 + e dt ∫ t 2 ⇒ I = − + e dt ∫ 4   = − e + 2 . t t 2 t 2 2  t t  3 2 2 2 2 1 − Suy ra I = e +1 ⇒ a = 1
− , b = 3 , c =1. Vậy a − b + c = 3 . 3 https://toanmath.com/ ln 6 ex
Câu 90. Biết tích phân
dx = a + b ln 2 + c ln 3 ∫
, với a , b , c là các số nguyên. Tính x + + 0 1 e 3
T = a + b + c . A. T = 1 − .
B. T = 0 .
C. T = 2 . D. T = 1. Hướng dẫn giải Chọn B Đặt x 2
= e + 3 ⇒ = ex + 3 ⇒ 2 d = ex t t t t dx .  =  = Đổ x ln 6 t 3 i cận  ⇒  . x = 0 t  = 2 ln 6 x 3 3 e 2tdt 3  2  Suy ra dx = ∫ ∫ = 2 − dt = ∫ 
(2t −2ln t +1) = (6−2ln4)−(4−2ln3) x + + 1+ t 2  1+ t  0 1 e 3 2 2 a = 2 
= 2 − 4ln 2 + 2ln 3 ⇒ b  = 4 − . c = 2  Vậy T = 0 . 9 3 4 3 cos π x Câu 91. Giá trị 2 I = x sin ∫ ( 3 π x ) ( ) e
dx gần bằng số nào nhất trong các số sau đây: 1 3 6 A. 0, 046 . B. 0, 036 . C. 0, 037 . D. 0, 038 . Hướng dẫn giải Chọn C Đặ 1 t u = ( 3 cos π x ) 2 ⇒ u = − π x ( 3 d 3 sin π x )d x 2 ⇒ x sin ( 3
π x )d x = − du . 3π 1 3 Khi x = thì u = . 3 6 2 9 2 Khi x = thì u = . 3 4 2 2 3 3 2 1 2 1 3 2   2 1 1 Ta có = − eu I d u ∫ = eu d u ∫ = eu 2 2 = e − e  ≈ 0,037 . 3π 3π π   2 3 3π 3 2   2 2 2 ( 2 1 x + x)ex Câu 92. Cho = + − dx = .e a + b ln + c ∫
với a , b , c ∈  . Tính P a 2b c . − x (e ) x + e 0
A. P = 1 . B. P = 1 − .
C. P = 0 . D. P = 2 − . Hướng dẫn giải Chọn D ( 2 1 x + x)ex 1 ( x + ) 1 ex ex x Ta có: I = dx ∫ = dx ∫ . x + e−x ex x +1 0 0 Đặt = ex t x +1 ⇒ d = (1+ )ex t x dx .
Đổi cận: x = 0 ⇒ t =1; x =1⇒ t = e +1. e 1 + − e 1 + + Khi đó: t 1  1  I = dt ∫ = 1− dt ∫   = (t − t ) e 1 ln = e − ln (e + ) 1 . tt  1 1 1 https://toanmath.com/
Suy ra: a = 1, b = 1 − , c =1.
Vậy: P = a + 2b − c = 2 − . ( 2 1
x + 5x + 6)ex e a + c Câu 93. Biết dx = e a − b − ln ∫
với a , b , c là các số nguyên và e là cơ số của x + 2 + e−x 3 0
logarit tự nhiên. Tính S = 2a + b + c . A. S = 10 .
B. S = 0 .
C. S = 5 . D. S = 9 . Hướng dẫn giải Chọn D 1 ( 2
x + 5x + 6) x 1 e
(x + 2)(x +3) 2ex Ta có : I = dx = dx ∫ ∫ . x + 2 + e−x x + 2 ex +1 0 0 ( ) Đặt = ( + 2)ex t x ⇒ d = ( + 3)ex t x
dx . Đổi cận : x = 0 ⇒ t = 2 , x = 1 ⇒ t = 3e . 3e 3e tdt  1  I = = − t = ∫ ∫  (t − t + )3e 3e +1 1 d ln 1 = 3e − 2 − ln . 2 t +1  t +1  3 2 2
Vậy a = 3, b = 2 , c = 1 ⇒ S = 9 . 1 3 x 3
π x + 2 + ex .2x 1 1  e  Câu 94. dx = + ln p + ∫ π 
 với m , n , +
p là các số nguyên dương. Tính e.2x m e ln n  e + π  0
tổng S = m + n + p . A. S = 6 .
B. S = 5 .
C. S = 7 .
D. S = 8 . Hướng dẫn giải Chọn C 1 3 x 3 x 1 x 1 π x + 2 + ex .2  2  1 2x 1 Ta có 3 dx = ∫ ∫x + dx = + dx = + J π ∫ + . e.2x  π + e.2x  4 π + e.2x 4 0 0 0 1 2x x x x 1 Tính J = dx ∫ π + = ⇒ = ⇔ = π . Đặt e.2 t e.2 ln 2dx dt 2 dx dt . + e.2x e.ln 2 0
Đổi cận: Khi x = 0 thì t = π + e ; khi x =1 thì t = π + 2e . 1 x π +2e 2 1 1 1 π +2e 1  e  J = dx = dt = ln t = ln 1+ ∫ ∫   . x π +e π + e.2 e ln 2 t e ln 2 e ln 2  e + π  0 π +e 1 3 x 3
π x + 2 + ex .2x 1 1  e  Khi đó dx = + ln 1+ ∫ ⇒ = π   m
4 , n = 2 , p = 1. Vậy S = 7 . + e.2x 4 e ln 2  e + π  0
Câu 95. Cho tam thức bậc hai f ( x) 2
= ax + bx + c, (a,b,c∈,a ≠ 0) có hai nghiệm thực phân biệt x
x , x . Tính tích phân I = ∫ (2ax + b) 2 2 ax +bx+c e dx . 1 2 1 x x − x x − x
A. I = x − x . B. 1 2 I = .
C. I = 0 . D. 1 2 I = . 1 2 4 2 Hướng dẫn giải Chọn C Đặt 2
t = ax + bx + c ⇒ dt = (2ax + b) dx 2
x = x ⇒ t = ax + bx + c = 0 x 0 Khi 1 1 1 
. Do đó I = ∫ (2ax +b) 2 2 ax +bx+c e d t x = e dt = 0 ∫ . 2
x = x ⇒ t = ax + bx + c = 0  1 x 0 2 2 2 e ln x
Câu 96. Với cách đổi biến u = 1+ 3ln x thì tích phân dx ∫ trở thành x 1+ 3ln x 1 https://toanmath.com/ 2 2 2 2 2 2 2 2 u −1 A. ( 2u − ∫ )1du . B. ( 2u − ∫
)1du . C. 2 ( 2u − ∫ )1du. D. du ∫ . 3 9 9 u 1 1 1 1 Hướng dẫn giải Chọn B 2 u −1 x u u = 1+ 3ln x 2
⇒ u = 1+ 3ln x ⇒ ln x = d 2 ⇒ = du . 3 x 3 2 u −1 e 2 2 Khi đó ln x 2u 2 dx ∫ 3 = du ∫ = ( 2u − ∫ )1du . x 1+ 3ln x u 3 9 1 1 1 e ( x + ) 1 ln x + 2  e +1 a Câu 97. Biết dx = . a e + b ln ∫ 
 trong đó a , b là các số nguyên. Khi đó tỉ số là 1+ x ln x  e  b 1 1 A. . B. 1. C. 3 . D. 2 . 2 Hướng dẫn giải Chọn B e ( x + ) e e e 1 ln x + 2
1+ x ln x +1+ ln x d (1+ x ln x) Ta có: dx = dx = dx + ∫ ∫ ∫ ∫ 1+ x ln x 1+ x ln x 1+ x ln x 1 1 1 1 e +1 e
= x + ln (1+ x ln x) e = e −1+ ln 1+ e = e + ln . 1 1 ( ) e a
Suy ra a = b = 1 . Vậy = 1. b e 1+ 3ln x
Câu 98. Tính tích phân I = dx ∫
bằng cách đặt t = 1+ 3ln x , mệnh đề nào dưới đây sai? x 1 2 2 2 2 2 2 14 A. 3 I = t . B. I = tdt ∫ . C. 2 I = t dt ∫ . D. I = . 9 1 3 3 9 1 1 Hướng dẫn giải Chọn B e 1+ 3ln x 2t dx I = dx ∫
, đặt t = 1+ 3ln x 2 ⇒ t = 1+ 3 3ln x ⇒ 2tdt = dx ⇒ dt = . x x 3 x 1
Đổi cận: x =1 ⇒ t =1; x = e ⇒ t = 2 . 2 2 2 = 2 2 14 dt ∫ t I 3 = t = . 3 9 1 9 1 2 (3x + )1  ln b Câu 99. Biết dx = ln a + ∫ 
 với a , b , c là các số nguyên dương và c ≤ 4 . Tổng 2
3x + x ln xc  1
a + b + c bằng A. 6 . B. 9 . C. 7 . D. 8 . Hướng dẫn giải Chọn C 1 + 2 ( x + ) 2 3 3 1  1  Ta có d x x = dx ∫ ∫
. Đặt t = 3x + ln x , dt = 3+ dx   2
3x + x ln x 3x + ln xx  1 1
Đổi cận x =1⇒ t = 3 , x = 2 ⇒ t = 6 + ln 2 . https://toanmath.com/ 1 + 2 3 6+ln 2 dt x +   dx = ∫ ∫ 6 ln 2 = ln t = ln (6 + ln 2) − ln 2 ln 3 = ln 2 +   3x + ln x t 3  3  1 3
⇒ a = 2, b = 2 , c = 3. Vậy tổng a + b + c = 7 . e ln x 3
Câu 100. Biết I = dx = a ln
+ b, a,b ∈Q ∫
. Mệnh đề nào sau đây đúng? x ln x + 2 2 1 ( ) ( )
A. a − b = 1.
B. 2a + b = 1 . C. 2 2
a + b = 4 .
D. a + 2b = 0 . Hướng dẫn giải Chọn D Đặ 1
t t = ln x + 2 , suy ra dt = dx . x
Đổi cận: x =1⇒ t = 2 x = e ⇒ t = 3 3 − Khi đó, t 2 I = dt ∫ = (t − 2 2 ln t ) 3 = 1+ 3 2 ln =1− 2ln . t 2 3 2 2 Vậy a = 2;
− b =1, nên a + 2b = 0. e ln x ( 2 2 ln x +1 + ) 1
Câu 101. Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: x 1 4 2 + 3 4 2 +1 4 2 + 5 4 2 − 3 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải e ln x ( 2 2 ln x +1 + ) 1 Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: x 1 Ta có: e ln x ( 2 2 ln x +1 + ) 1 e 2 2 ln x ln x +1 e ln x I = dx = dx + dx ∫ ∫ ∫ . x x x 1 1 1 e 2 2 ln x ln x +1 Xét I = dx ∫ . 1 x 1 Đặ 2 ln x t 2
t = ln x +1 ⇒ dt = dx . x  = ⇒ = 2 2 Đổ x 1 t 1  2  4 2 − 2 i cận  . 3 ⇒ I = tdt = t = ∫   .
x = e ⇒ t = 2 1  3  3 1 1 e ln x Xét I dx ∫ . 2 x 1 Đặ 1
t t = ln x ⇒ dt = dx . x  = ⇒ = 1 Đổ x 1 t 0 i cận  . ⇒ I = dt = 1 ∫ .
x = e ⇒ t = 1 2 0 4 2 +1
⇒ I = I + I = . 1 2 3 Chọn B https://toanmath.com/ e
Câu 102. Tích phân I = x ∫ ( 2
ln x + ln x) dx có giá trị là: 1 A. I = 2 − e .
B. I = −e .
C. I = e .
D. I = 2e . Hướng dẫn giải e
Tích phân I = x ∫ ( 2
ln x + ln x) dx có giá trị là: 1 e e
Ta biến đổi: I = x ( 2
ln x + ln x) dx = x ln x (ln x + ∫ ∫ )1dx. 1 1
Đặt t = xln x ⇒ dt = (ln x + ) 1 dx .  = ⇒ = e Đổ x 1 t 0 i cận 
. ⇒ I = dt = e ∫ .
x = e ⇒ t = e 0 Chọn C  1  3 2
ln x + 3x ln x + x 1    3  2
Câu 103. Biết I = dx = ∫ ( 2 3
1+ ae + 27e + 27e − 3 3 ) , a là các số hữu tỉ. x 9 0
Giá trị của a là: A. 9. B. – 6. C. – 9. D. 6. Hướng dẫn giải  1  3 2 x + x x + x e ln 3 ln    3  2 Biết I = dx = ∫ ( 2 3
1+ ae + 27e + 27e − 3 3 ) . Giá trị của a là: x 9 1 Ta có:  1  3 2 x + x x + x e ln 3 ln 3   e ln x + 3  3 x  ( 2 3ln 1 x + x) I = dx = dx ∫ ∫ x 3 x 1 1 Đặ 3 t 3 2
t = ln x + 3x ⇒ dt = ln x +1 x  = ⇒ = Đổ x 1 t 3 i cận  .
x = e ⇒ t = 1+ 3e 1+3e 2 + ⇒ I = tdt = ∫ ( t )1 3e 2 2 = 1+ 3e − 3 3 =
1+ 9e + 27e + 27e − 3 3 ⇒ a = 9 3 3 3 ( ( )3 3 ) ( 2 3 ) 9 3 . Chọn A e 2 2 ln x ln x +1
Câu 104. Tích phân I = dx ∫ có gái trị là: x 1 4 2 − 2 4 2 + 2 2 2 − 2 2 2 + 2 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải e 2 2 ln x ln x +1 Tích phân I = dx ∫ có gái trị là: x 1 2 ln x Ta nhận thấy: ( 2 ln x + ) 1 ' =
. Ta dùng đổi biến số. x https://toanmath.com/ Đặ 2 ln x t 2
t = ln x +1 ⇒ dt = dx . x  = ⇒ = Đổ x 1 t 1 i cận  .
x = e ⇒ t = 2 2 2 3  2  4 2 − 2 2 I = tdx = ∫  t  = . 3 3   1 1 Chọn A 2 e ( − x)2 1 ln
Câu 105. Tính I = dx ∫
được kết quả là x e 13 1 5 4 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B Đặ 1
t t = ln x ⇔ dt =
dx . Với x = e ⇒ t = 1 ; 2
x = e ⇒ t = 2 x 2 e ( − x)2 1 ln 2 2 2 1 3 1 1 I = dx ∫
= (1−t) dt = − (1−t) = − 0 = ∫ x 1 3 3 3 e 1 e 1+ 3ln x
Câu 106. Cho tích phân I = dx ∫
, đặt t = 1+ 3ln x . Khẳng định nào sau đây đúng? x 1 2 e 2 2 2 2 2 e A. 2 I = t dt ∫ . B. I = tdt ∫ . C. 2 I = t dt ∫ . D. I = tdt ∫ . U U 3 3 3 3 1 1 1 1 Hướng dẫn giải Chọn C Đặ 2 1
t t = 1+ 3ln x ⇒ tdt =
dx . Đổi cận x = e ⇒ t = 2; x = 1 ⇒ t = 1 3 x 2 Do đó 2 2 I = t dt ∫ 3 1 . e 3 + ln x a − b c Câu 107. Biết dx = ∫
, trong đó a , b , c là các số nguyên dương và c < 4 . Tính giá x 3 1
trị S = a + b + c . A. S = 13 .
B. S = 28 .
C. S = 25 . D. S = 16 . Hướng dẫn giải Chọn C Đặ x t t = 3 + d
ln x ⇒ 2tdt = . x
Đổi: Với x =1⇒ t = 3 ; x = e ⇒ t = 2 . e 3 + ln x 2 ⇒ 2 − I = dx ∫ 2 = 2 t dt ∫ 2 3 = 16 6 3 t = . x 3 3 3 1 3
⇒ a =16 , b = 6, c = 3 ⇒ S = a + b + c = 25 . e ln x
Câu 108. Cho I = ∫ = + (
x có kết quả dạng I
ln a b với a > 0 , b ∈  . Khẳng định nào sau x ln x + 2) d 2 1 đây đúng? https://toanmath.com/ 3 1 3 1 A. 2ab = 1 − .
B. 2ab = 1 . C. b − + ln = − . D. b − + ln = . 2a 3 2a 3 Hướng dẫn giải Chọn A
Đặt ln x + 2 = t ⇔ ln x = t − 1 2 ⇒ dx = dt . x
Đổi cận: khi x =1 thì t = 2; khi x = e thì t = 3 .  3 = 3 − 3 3 a  Khi đó t 2 1 2   2  3 1  2 I = dt ∫ = − dt ∫  = ln t +   = ln − ⇒  . 2 t 2  t t   t  2 3 1 2 2 2 b  = −  3 Vậy 2ab = 1 − . 2 x +1 Câu 109. Biết
dx = ln ln a + b ∫
với a , b là các số nguyên dương. Tính 2 2
P = a + b + ab . 2 ( )
x + x ln x 1 A. 10 . B. 8 . C. 12 . D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn B 2 x +1 2 x +1 Ta có dx ∫ = dx ∫ . 2
x + x ln x x x + ln x 1 ( ) 1 Đặ   x +1 t t = x + 1 ln x ⇒ dt = 1+ dx   = dx .  x x
Khi x = 1 ⇒ t = 1; x = 2 ⇒ t = 2 + ln 2 . 2+ln 2  = Khi đó dt + a 2 I = ∫ 2 ln 2 = ln t = ln (ln 2 + 2) . Suy ra  . t 1 b  = 2 1 Vậy P = 8 . 2 2 + + e ( x ) 4 2 1 ln x 1 ae + be
Câu 110. Cho tích phân I = dx = + c + d ln 2 ∫
. Chọn phát biểu đúng nhất: e x ln x 2 1
A. a = b = c = d B. 2 a = b = c =
C. A và B đúng D. A và B sai d Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 2 2 + + e ( x ) 2 2 1 ln x 1 e
x ln x +1+ ln x I = dx = dx ∫ ∫ e x ln e x x ln x 2 2 2 e  1 1 e   1 e  1 = x + + dx = x + dx + dx ∫   ∫   ∫ ex x ln e e x   x x ln x 2 e 2 2 4 2 e  1   xe − e Xét M = x + dx = ∫    + ln x  = +1 ex   2  2 e 2 e 1 1 Xét N = dx ∫
, đặt t = ln x , suy ra dt = dx . e x ln x x
Đối cận x = e ⇒ t =1 và 2
x = e ⇒ t = 2 ta được 2 dt N = = ∫
(ln t ) 2 = ln2−ln1= ln2 . 1 1 t https://toanmath.com/ 4 2 e − e Vậy I = +1+ ln 2 . 2 Do đó a = b
− = c = d =1. Ta chọn phương án B. 2018 ln (1+ 2x )
Câu 111. Tính tích phân I = dx ∫ . 1+ 2−x log e 0 ( ) 4 A. I = ( 2018 ln 1+ 2 )−ln2. B. 2 I = ( 2018 + ) 2 ln 1 2 − ln 2 . C. 2 I = ( 2018 ln 1+ 2 )−ln4. D. 2 I ( 2018 − = + ) 2 ln 1 2 − ln 2 . Hướng dẫn giải Chọn B 2018 ln (1+ 2x ) 2018 2x 2018 x ln 2 Ta có I = dx ∫ = 2 ln ∫ (1+ 2 ) dx = 2 ln ∫ (1+ 2x)d ln  (1+ 2x  ) 1+ 2−x log e 1+ 2x 0 ( ) 4 0 0 Do đó ln (1 2x I = + ) 2018 2 2 = ( 2018 + ) 2 ln 1 2 − ln 2 . 0 e f (ln x)
Câu 112. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên  và thỏa mãn dx = . e ∫
Mệnh đề nào sau đây đúng? x 1 1 1 e e A. f
∫ (x)dx =1. B. f
∫ (x)dx = .e C. f
∫ (x)dx =1. D. f
∫ (x)dx = .e 0 0 0 0 Hướng dẫn giải Chọn B Đặ 1
t t = ln x ⇒ dt d = .
x Cận: x = 1 ⇒ t = 0; x = e ⇒ t = 1 x e f (ln x) 1 1 dx = f ∫
∫ (t)dt = e ⇔ f ∫ (x)dx = e . x 1 0 0 4 e 1 4 Câu 113. Biết f
∫ (ln x) dx = 4. Tính tích phân I = f
∫ (x)dx . x e 1
A. I = 8 .
B. I = 16 .
C. I = 2 . D. I = 4 . Hướng dẫn giải Chọn D Đặ 1
t t = ln x ⇒ dt = dx . x x e 4 e t 1 4 4 e 4 4 f ∫ ( x) 1 ln dx = f
∫ (t)dt = f ∫ (x)dx. x e 1 1 4 Suy ra I = f ∫ (x)dx = 4. 1 https://toanmath.com/
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2
Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên đoạn [ ;
a b]. Giả sử hàm số x = ϕ(t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn (*) [α; β ]
sao cho ϕ(α ) = a,ϕ(β ) = b và a ≤ ϕ(t) ≤ b với mọi t ∈[α; β ]. Khi đó: b β f (x)dx =
f (ϕ(t))ϕ '(t)dt. ∫ ∫ a α
Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng  π π  1. 2 2
a − x : đặt x |
= a | sin t; t ∈ − ;    2 2  | a |  π π  2. 2 2
x − a : đặt x = ; t ∈ − ; \ {0}   sin t  2 2   π π  3. 2 2
x + a : x |
= a | tan t; t ∈ − ;    2 2  a + x a − x 4. hoặc : đặt x = . a cos 2t a − x a + x
Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính 3 2 x dx 3 3 x dx tích phân I = ∫
thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân I = ∫ thì nên đổi 2 + 0 2 + 0 x 1 x 1 biến dạng 1. 2
Câu 114. Khi tính 2 I = 4 − x dx, ∫
bằng phép đặt x = 2sin t, thì được 0 π π 2 2 2 2 A. 2
∫ (1+cos2t)dt . B. 2
∫ (1−cos2t)dt . C. 2 4 cos d t t ∫ . D. 2 2 cos d t t ∫ . 0 0 0 0 Hướng dẫn giải Chọn A
Đặt x = 2sin t ⇒ dx = 2costdt Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0 π x = 2 ⇒ t = 2 π π 2 2 Khi đó 2 2 I =
4 − 4 sin t.2costdt = 4 cos d t t. ∫ ∫ 0 0 1 2π
Câu 115. Biết rằng 2 4 − x dx = + a ∫
. Khi đó a bằng: 3 1 − A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn C
Đặt x = 2sin t ⇒ dx = 2costdt . π π π 1 6 6 6 Khi đó : 2 4 − x dx = 4 cos t cos t dt ∫ ∫ 2 = 4cos tdt ∫ = ∫ (2+ 2cos2t)dt 1 − π π π − − − 6 6 6 π = ( π 2t + sin 2t ) 2 6 = + 3 π . − 3 6 https://toanmath.com/ 1 2 1
Câu 116. Cho tích phân I = dx = aπ ∫
,a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của a là: 2 − 0 1 x 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 3 4 6 Hướng dẫn giải 1 2 1 Cho tích phân I = dx = aπ ∫ . Giá trị của a là: 2 − 0 1 x Ta có:  π π Đặ 
t x = sin t, t ∈ − ; ⇒ dx = costdt   .  2 2 
x = 0 ⇒ t = 0 Đổ  i cận  1 π . x = ⇒ t =  2 6 π 6 π 1 I = dt = ⇒ a = ∫ . 6 6 0 Chọn D 3 a a
Câu 117. Giá trị của 2 9 − x dx = π ∫
trong đó a, b ∈  và là phân số tối giản. Tính giá trị của b b 0
biểu thức T = ab . A. T = 35 .
B. T = 24 .
C. T = 12 . D. T = 36 . Hướng dẫn giải Chọn D Đặ π
t x = 3sin t ⇔ dx = 3cos tdt . Đổi cận: x = 0 → t = 0; 3 x = → t = . 2 π π π 2 + t ⇒ I = 9 − ∫ (3sint) 2 2 2 1 cos 2 9 2
.3cos tdt = 9 cos tdt = 9. dt = π ∫ ∫ . Vậy T = 9.4 = 36 . 2 4 0 0 0 1 dx
Câu 118. Đổi biến x = 2sin t thì tích phân ∫ trở thành 2 − 0 4 x π π π π 6 3 6 dt 6 A. tdt ∫ . B. tdt ∫ . C. ∫ . D. dt ∫ . t 0 0 0 0 Hướng dẫn giải Chọn D
x = 0 ⇒ t = 0
Đặt x = 2sin t , khi đó dx = 2costdt . Đổi cận  π  x = 1 ⇒ t =  6 π π π π 1 dx 6 2 cos t 6 2 cos t 6 2 cos t 6 I = ∫ = dt ∫ = dt ∫ = dt ∫ = dt ∫ . 2 − 2 − 2 2 cos t 0 4 x 0 4 4 sin t 0 4 cos t 0 0 https://toanmath.com/ a+ b 1 π
Câu 119. Biết rằng dx = ∫
trong đó a , b là các số nguyên dương và 4 < a + b < 5 2 − + − 6 4 x 6x 5
. Tổng a + b bằng A. 5 . B. 7 . C. 4 . D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn D a+ b + 1 a b 1 Ta có dx = dx ∫ ∫ . 2 −x + 6x − 5 4 − ( x − 3)2 4 4 Đặ  π π 
t x − 3 = 2 sin t , t ∈ − ; 
 , dx = 2costdt .  2 2  Đổ π a + b −
i cận x = 4 ⇒ t = , x = a + 3 b ⇒ t = arcsin = m . 6 2 m 2 cos m t π m dt = dt ∫
∫ = t π = m− . 2 π 4 − 4 sin t π 6 6 6 6 Theo đề π π a + b − π a + b − ta có m− = 3 ⇔ arcsin = 3 3 ⇒ =
⇔ a + b = 3 + 3. 6 6 2 3 2 2
Do đó a = 3, b = 3 , a + b = 6. 3
Câu 120. Tích phân I = ∫ (x − )
1 (3 − x)dx có giá trị là: 5 2 π 3 π 3 π 3 π 3 A. I = − . B. I = − . C. I = − . D. I = − . 6 4 3 8 6 8 3 8 Hướng dẫn giải 3
Tích phân I = ∫ (x − )
1 (3 − x)dx có giá trị là: 5 2 Ta có: 3 3 3 I = ∫ (x − ) 1 (3 − x)dx = 3
− − x + 2xdx = 1− ∫ ∫ (x − 2)2 2 dx . 5 5 5 2 2 2  π π Đặ 
t x − 2 = sin t, t ∈ − ; ⇒ dx = costdt   .  2 2   5 π x = ⇒ t =  Đổ  2 6 i cận  π . x = 3 ⇒ t =  2 π π π π 2 2 2 2 1+ cos 2t 1  1  π 3 2 2 ⇒ I =
1− sin t .cos tdt = cos tdt = dt = x + sin 2t = − ∫ ∫ ∫   . 2 2  2 π π π π  6 8 6 6 6 6 Chọn C 1 3 + 4x
Câu 121. Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 2 + − 0 3 2x x https://toanmath.com/ 7π 7π A. I = − 4 3 + 8. B. I = − 4 3 − 8 . 6 6 7π 7π C. I = + 4 3 −8. D. I = + 4 3 + 8. 6 6 Hướng dẫn giải 1 3 + 4x Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 2 + − 0 3 2x x Ta có: ( 2
3 + 3x − x )' = 3 − 2x và 3 + 4x = 9 − 2(3 − 2x) 1 1 3 + 4x 7 − 2 (2 − 2x) 1 1 7 2 (2 − 2x) ⇒ I = dx = dx = dx − dx ∫ ∫ ∫ ∫ . 2 2 2 2 + − + − + − + − 0 3 2x x 0 3 2x x 0 3 2x x 0 3 2x x 1 1 7 7 Xét I = dx = dx ∫ ∫ . 1 2 3 + 2x − x 4 − ( x − )2 0 0 1  π π Đặ 
t x −1 = 2 sin t, t ∈ − ; ⇒ dx = 2costdt   .  2 2   π  = ⇒ = − Đổ x 0 t i cận  6 .
x =1⇒ t = 0 0 14 cos t 7π ⇒ I = dt = ∫ . 1 2 π − 6 4 4 sin t − 6 1 2 (2 − 2x) Xét I = dx ∫ . 2 2 + − 0 3 2x x Đặt 2
t = 3 + 2x − x ⇒ dt = (2 − 2x) dx .  = ⇒ = Đổ x 0 t 3 i cận  .
x = 1⇒ t = 4 4 4 1 2   2 ⇒ I = dt = 4 ∫ t  = 4 2 − 3 . 2 ( ) t   3 3 7π
I = I − I = + 4 3 − 8. 1 2 6 Chọn C 1 2 4x − 3
Câu 122. Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 2 + − 1 − 5 4x x 5π 5π 5π 5π A. I = . B. I = . C. I = − . D. I = − . 3 6 3 6 Hướng dẫn giải 7 2 4x − 3 Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 2 + − 1 5 4x x 2 Cách 1: Ta có: ( 2
5 + 4x − x )' = 4 − 2x và 4x − 3 = 5 − 2(4 − 2x) . https://toanmath.com/ 7 7 7 2 2 2 4x − 3 5 2 (4 − 2x) I = dx = dx − dx ∫ ∫ ∫ . 2 2 2 + − + − + − 1 5 4x x 1 5 4x x 1 5 4x x 2 2 2 7 7 2 2 5 5 Xét I = dx = dx ∫ ∫ . 1 2 5 + 4x − x 9 − ( x − 2)2 1 1 2 2  π π Đặ 
t x − 2 = 3sin t, t ∈ − ; ⇒ dx = 3costdt   .  2 2   7 π x = ⇒ t =  Đổ  2 6 i cận  . 1 π
x = ⇒ t = −  2 6 π 6 5.3cos t 5π ⇒ I = dt = ∫ . 1 2 π − 3 9 9 sin t − 6 7 2 2 (4 − 2x) Xét I = dx ∫ . 2 2 + − 1 5 4x x 2 Đặt 2
t = 5 + 4x − x ⇒ dt = 4 − 2x .  1 27 x = ⇒ t =  Đổ  2 4 i cận  ⇒ I = 0 . 2 7 27 x = ⇒ t =  2 4 5π ⇒ I = . 3 Chọn A
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay. 1 2 Câu 123. Cho 2 I =
1− 2x 1− x dc = aπ + b ∫
với a,b ∈ R . Giá trị a + b gần nhất với 0 1 1 A. B. 1 C. D. 2 10 5 Hướng dẫn giải Đáp án: C
Cũng như câu 25, câu 26 cũng là một câu tích phân đòi hỏi khả năng biến đổi của các thí sinh.
Đối với câu này, chúng ta sử dụng phương pháp đưa về lượng giác. Đặ  π π 
t x = sin t, t ∈ − ; 
 . I được viết lại là  2 2  π π π 6 6 I =
1− 2 sin t cos t .cos tdt = ∫
∫ (cost −sint) 6
2 .costdt = (cost − sin t)costdt ∫ 0 0 0 π π π π 6 6 6 6 1 − 1 2
⇔ − sin t costdt + cos tdt = sin 2td (2t) +
(cos 2t +1)d (2t) ∫ ∫ ∫ ∫ 4 4 0 0 0 0 https://toanmath.com/ π π 6 6 cos 2t sin 2t + 2t π 3 −1 ⇔ I = + = + 4 4 12 8 0 0 π 3 −1 Suy ra + ≈ 0,175 . 12 8
Nhận xét: Hai bài toán trên chính là cách hướng có thể ra đề để tránh tình trạng sử dụng
máy tính Casio. Thí sinh hiểu bản chất và cách làm thực sự sẽ không gặp khó khăn nhiều khi
giải quyết các bài toán này. 1 1
Câu 124. Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 2 x +1 0 π π π π A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 2 3 4 6 Hướng dẫn giải 1 1 Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 2 x +1 0 Ta có: 1 1 I = dx ∫
. Ta dùng đổi biến số. 2 x +1 0  π π Đặ  1
t x = tan t, t ∈ − ; ⇒ dx = dt   . 2  2 2  cos t
x = 0 ⇒ t = 0 Đổ  i cận  π . x = 1 ⇒ t =  4 π 4 π π 4
⇒ I = dt = t = ∫ . 0 4 0 Chọn C 1
Câu 125. Cho hàm số f ( x) liên tục trên  thỏa mãn f ( x) 4 tan
= cos x , ∀x ∈  . Tính I = ∫ f (x)dx 0 . π +2 2 + π π A. . B. 1. C. . D. . 8 4 4 Hướng dẫn giải Chọn A Đặ 1 1 1
t t = tan x . Ta có 2 2
= 1+ tan x = 1+ t 4 ⇒ cos x = ⇒ f t = 2 ( ) 2 cos x (1+t ) (1+t )2 2 2 1 1
I = ∫ f (x) 1 dx = ∫ ( x . 1+ x ) d 2 2 0 0 Đặ  π − π  π t x = tan u , < x <   ⇒ x = ( 2 d
1+ tan u )du ; đổi cận: x = 0 ⇒ u = 0 ; x = 1⇒ u = .  2 2  4 π π π π 4 2 4 4 4 1+ tan u 1 1  1 1  2 + π 2 I = ∫ ( = u = u u = u + u = ∫ ∫   1+ tan u ) du . d cos d sin 2 2 2 2 2  1  cos u  2 4  8 0 0 0 0   2  cos u https://toanmath.com/
Câu 126. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ 6;
− 5] , có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như 5
hình vẽ. Tính giá trị I =  f
∫  (x)+ 2dx  . 6 − y 3 6 − 4 − O x 5 1 −
A. I = 2π + 35 .
B. I = 2π + 34 .
C. I = 2π + 33 .
D. I = 2π + 32 . Hướng dẫn giải Chọn D
1 x + 2 khi −6 ≤ x ≤ 2 − 2  f ( x) 2 = 1
 + 4 − x khi − 2 ≤ x ≤ 2 2 1
x − khi 2 ≤ x ≤ 5 3 3  Ta có . 5 5 5 I =  f
∫  (x)+ 2dx = f
∫ (x)dx+ 2 dx ∫ 6 − 6 − 6 − 2 − 2  1    = x + 2 dx + ∫   ∫ (1+ 4− x ) 5 2 1 2 dx + x − dx + 22 ∫   2   3 3  6 − 2 − 2 2 − 5  1   1 x  2 2 = x + 2x + J + x − + 22 = J + 28     .  4   3 3  6 − 2 2 Tính J = ∫ ( 2 1+ 4 − x )dx 2 −
Đặt x = 2sin t ⇒ dx = 2costdt . π π
Đổi cận: Khi x = 2 thì t = − ; khi x = 2 thì t = . 2 2 π π 2
J = ∫ (1+ 4 − x ) 2 2 2 2 dx = 4 + 4 cos tdt = 4 + 2 ∫
∫ (1+cos2t)dt = 4+ 2π . Vậy I = 32+ 2π . 2 − π π − − 2 2 1 dx
Câu 127. Khi đổi biến x = 3 tan t , tích phân I = ∫
trở thành tích phân nào? 2 x + 3 0 π π π π 3 6 3 6 6 1 A. I = 3dt ∫ . B. I = dt ∫ C. I = 3 d t t ∫ . D. I = dt ∫ . 3 t 0 0 0 0 Hướng dẫn giải Chọn B
Đặt x = 3 tan t ⇒ x = ( 2 d
3 1+ tan t )dt . π
Khi x = 0 thì t = 0 ; Khi x = 1 thì t = . 6 https://toanmath.com/ π π 1 2 dx 6 3 (1+ tan t ) 6 3 Ta có I = ∫ = dt ∫ = dt ∫ . 2 x + 3 3( 2 1+ tan t 3 0 ) 0 0 https://toanmath.com/
TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau: b b b b P(x). x e dx ∫
P(x).cos xdx ∫
P(x).sin xdx ∫
P(x).l n xdx ∫ a a a a u P(x) P(x) P(x) lnx dv x e dx cos xdx sin xdx P(x) BÀI TẬP DẠNG 1: π 2 Câu 1.
Tích phân I = x sin axdx, 0 a ≠ ∫ có giá trị là: π 3 π + 6 − 3 3 π + 3− 3 3 π + 6 + 3 3 π + 3+ 3 3 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 6a 6a 6a 6a π 4 1 π Câu 2. Biết (1+ x)cos 2 d x x = + ∫
( a, b là các số nguyên khác 0 ). Tính giá trị ab . a b 0
A. ab = 32 .
B. ab = 2 .
C. ab = 4 . D. ab = 12 . π 2 u  = x Câu 3. Tính tích phân 2 I = x cos 2 d x x ∫ bằng cách đặt 
. Mệnh đề nào dưới đây đúng? dv = cos 2 d x x 0 π π 1 1 A. 2 π I = x sin 2x − xsin 2 d x x ∫ . B. 2 π I = x sin 2x − 2 xsin 2 d x x ∫ . 0 2 0 2 0 0 π π 1 1 C. 2 π I = x sin 2x + 2 xsin 2 d x x ∫ . D. 2 π I = x sin 2x + xsin 2 d x x ∫ . 0 2 0 2 0 0 π π 2 2 a Câu 4.
Biết I = x cos 2xdx = aπ 3 + b sin 2xdx ∫ ∫
, a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của là: π π b 6 6 1 1 1 1 A. . B. . C. − . D. − . 12 24 12 24 1 1 Câu 5.
Biết rằng x cos 2 d x x =
(a sin 2 + b cos 2 + c) ∫
với a,b, c ∈  . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 4 0
A. 2a + b + c = 1 − .
B. a + 2b + c = 0 .
C. a − b + c = 0 .
D. a + b + c = 1. (x − 2) cos 3 x Câu 6.
Tính nguyên hàm I = (x − 2) sin 3xdx = −
+ bsin 3x + C ∫
. Tính M = a + 27b . a Chọn đáp án đúng: A. 6 B. 14 C. 34 D. 22 π 2 π Câu 7.
Biết m là số thực thỏa mãn x ∫ (cos x+ 2m) 2 dx = 2π +
−1. Mệnh đề nào sau dưới đây đúng? 2 0
A. m ≤ 0 .
B. 0 < m ≤ 3 .
C. 3 < m ≤ 6 . D. m > 6 . π Câu 8. Tính tích phân x ∫ (x+sin x) 3
dx = aπ + bπ . Tính tích ab: 0 https://toanmath.com/ 1 2 A. 3 B. C. 6 D. 3 3 π Câu 9. Tích phân ∫(3x + 2) 2
cos x dx bằng 0 3 3 1 1 A. 2 π −π . B. 2 π +π . C. 2 π +π . D. 2 π −π . 4 4 4 4 π 2m π − 2
Câu 10. Cho số hữu tỷ dương m thỏa mãn . x cos d mx x = ∫
. Hỏi số m thuộc khoảng nào trong 2 0
các khoảng dưới đây?  1   6   5 8   0; 1; ; 7        A. ; 2   . B.  4  . C.  5  . D.  6 7  .  4  1 I = f ∫ (x)dx 2
2x + x khi x ≥ 0
Câu 11. Cho hàm số f ( x) =  . Tích tích phân −π  .s x in x khi x ≤ 0 7 2 1 2 A. I = + π . B. I = + π .
C. I = − + 3π . D. I = + 2π . 6 3 3 5 π Câu 12. Tính x
∫ (1+cos x)dx . Kết quả là 0 2 π 2 π 2 π 2 π A. − 2 . B. + 3. C. − 3. D. + 2 . 2 3 3 2 π 3 x
Câu 13. Tính tích phân
dx = aπ + b ∫
. Phần nguyên của tổng a + b là ? 2 cos x 0 A. 0 B. -1 C. 1 D. -2 x 4 2 π π Câu 14. Cho 2
I = x tan xdx = − ln b − ∫
khi đó tổng a + b bằng a 32 0 A. 4 B. 8 C. 10 D. 6 π 4 x
Câu 15. Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 1+ cos x 0 π π  π  π π  π  A. I = tan − 2ln cos   . B. I = tan + 2ln cos   . 4 8  8  4 8  8  π π  π  π π  π  C. I = tan − 2ln cos   . D. I = tan + 2ln cos   . 4 4  8  4 4  8  π 4 x Câu 16. Tích phân
dx = aπ + b ln 2 ∫
, với a , b là các số thực. Tính 16a − 8b 1+ cos 2x 0 A. 4. B. 5. C. 2. D. 3. π 4 2x − sin x
Câu 17. Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 2 − 2 cos x 0 https://toanmath.com/ 1  2π 3  1  2π 3  A. I =  π − + + 4ln 2 + ln 2   . B. I =  π − + + 2ln 2 − ln 2   . 2 3   2 3   1  2π 3  1  2π 3  C. I =  π − + + 4ln 2 − ln 2   . D. I =  π − + + 2ln 2 + ln 2   . 2 3   2 3   π ( 3x +2x) 2 2
cos x + x cos x
Câu 18. Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: π cos x 6 4 2 5π 2π π 3 4 2 5π 2π π 3 A. I = + + − . B. I = − + − . 324 9 4 2 324 9 4 2 4 2 5π 2π π 3 4 2 5π 2π π 3 C. I = + − − . D. I = + + + . 324 9 4 2 324 9 4 2 π a a 2  x
Câu 19. Cho 0 < x < và x tan d x x m = ∫ Tính I = dx ∫  theo a và . m 2  cos x  0 0
A. I = a tan a − 2m . B. 2
I = −a tan a + m . C. 2
I = a tan a − 2m . D. 2
I = a tan a − m . π 2 Câu 20. Tính ∫ ( 2 x + sin x)cos d
x x . Kết quả là 0 π 2 π 2 π 2 π 2 A. + . B. − . C. − . D. − . 2 3 2 3 3 3 2 3 2 π
Câu 21. Cho tích phân 2 I =
x.sin xdx = aπ + b ∫
. Tính A = a − b 0 Chọn đáp án đúng: A. 7 B. 10 C. 6 D. 2 1 n I
Câu 22. Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu 2 I = x − x x ∫ . Tính 1 lim n+ . n ( 2 1 ) d n→+∞ I 0 n A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 5 . DẠNG 2: a Câu 23. Cho x
xe dx = 1(a ∈ ∫ ) . Tìm a ? 0 A. 0 . B. 1. C. 2 . D. e . 1 Câu 24. Cho 2 x 2
I = xe dx = ae + b ∫
( a, b là các số hữu tỷ). Khi đó tổng a + b là 0 1 1 A. 0 . B. . C. 1. D. . 4 2 1
Câu 25. Biết rằng tích phân ∫(2 + ) 1 x x e dx = a + .
b e , tích ab bằng: 0 A. 1. B. 1 − . C. 15 − . D. 20 . 1
Câu 26. Biết = ∫(2 + 3) x I x
e dx = ae + b , với a, b là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề 0 đúng?
A. a − b = 2 . B. 3 3
a + b = 28 .
C. ab = 3 .
D. a + 2b = 1 . a x
Câu 27. Tìm a sao cho 2 I = . x e x d = 4 ∫
, chọn đáp án đúng 0 https://toanmath.com/ A. 1 B. 0 C. 4 D. 2 1
Câu 28. Cho tích phân = ∫( + ) 1 ( x I x
e − 3) dx . Kết quả tích phân này dạng I = e − a . Đáp án nào sau 0 đây đúng? 9 9 9 8 A. a = B. a = C. a = D. a = 2 4 5 3 1 15 x 1 1
Câu 29. Tính tích phân I = ∫(a − x)( 2 b + e ) 2 dx = + e . Tính A =
ab (a + b) 4 4 12 0 Chọn đáp án đúng: A. 27 B. 30 C. 16 D. 45 1 ∫( + )1 x mx e dx = e Câu 30. Tìm m để 0 ? 1 A. 0 B. -1 C. D. 1 2 m Câu 31. Cho = (2 − ∫ ) 2 1 e x I x
dx . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để I < m là khoảng (a;b) 0
. Tính P = a − 3b . A. P = 3 − . B. P = 2 − . C. P = 4 − . D. P = 1 − . 4 ( + ) 1 x x e
Câu 32. Biết rằng tích phân 4
dx = ae + b ∫ . Tính 2 2
T = a − b 2x +1 0 3 5
A. T = 1.
B. T = 2 . C. T = . D. T = . 2 2 12 1 1 c x+   a
Câu 33. Cho tích phân I = 1+ x − .e x .dx = .ed ∫  
, trong đó a , b , c , d là các số nguyên dương  x b 1 12 a c và các phân số ,
là các phân số tối giản. Tính bc − ad . b d 1 A. 24 . B. . C. 12 . D. 1. 6 DẠNG 3. e + Câu 34. Cho I = x ln d x x ∫ 2 .e a b =
với a , b , c ∈  . Tính T = a + b + c . c 1 A. 5 . B. 3 . C. 4 . D. 6 . 1
Câu 35. Kết quả của phép tính tích phân ln (2x + ∫ )
1 dx được biểu diễn dạng .
a ln 3 + b , khi đó giá trị 0 của tích 3 ab bằng 3 3 A. 3. B. . C. 1. D. − . 2 2 1 ( b a, b ∈ ) (a +3) Câu 36. Cho ln
∫ (x+ )1dx = a +lnb , . Tính . 0 1 1 A. 25 . B. . C. 16 . D. . 7 9 2
Câu 37. Biết tích phân ∫(4x − ) 1 ln d
x x = a ln 2 + b với a , b ∈ Z . Tổng 2a + b bằng 1 https://toanmath.com/ A. 5. B. 8. C. A(1; − 2; ) 1 D. 13. 3 3 + ln x
a + ln b − ln c Câu 38. Biết = ∫ (
với a , b , c là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức x + ) dx 2 1 4 1
P = a + b + c bằng? A. 46 . B. 35 . C. 11. D. 48 . 2
Câu 39. Giả sử (2x − ) 1 ln d
x x = a ln 2 + b, (a;b ∈ ∫
) . Khi đó a + b ? 1 5 3 A. . B. 2. C. 1. D. . 2 2 2 2
Câu 40. Tính tích phân I = (x − ∫ )1lnxdx. 1 2 ln 2 + 6 6 ln 2 + 2 2 ln 2 − 6 6 ln 2 − 2 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 9 9 9 9 a
Câu 41. Tích phân I = x ln xdx ∫ có giá trị là: 1 2 2 a ln a 1− a 2 2 a ln a 1− a A. I = + . B. I = − . 2 4 2 4 2 2 a ln a 1− a 2 2 a ln a 1− a C. I = + . D. I = − . 2 4 2 4 2
Câu 42. Kết quả tích phân ∫ (2x + ln (x + )
1 )dx = 3ln 3 + b . Giá trị 3 + b là: 0 A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 2 (a +b)π
Câu 43. Tính tích phân I = (4x + 3).ln xdx = 7 ln a + b ∫ . Tính sin : 4 1 1 A. 1 B. -1 C. 0 D. 2 1 2
Câu 44. Cho tích phân I = 3x − 2x + ln(2x + 1) ∫
dx . Xác định a biết I = b ln a − c với a,b,c là 0 các số hữu tỉ 2 2 A. a=3 B. a=-3 C. a = a 3 D. = − 3 . 3 3 + ln x Câu 45. Cho I =
dx = a(ln 3 +1) + ln b ∫
với a,b∈R. Tính giá trị biểu thức T = 4a + 2b 2 (x +1) 1 A. 4 B. 7 C. 5 D. 6 π ln (sin x)  3 
Câu 46. Cho tích phân 3 I = dx = a ln ∫   − bπ π . Tính A = log a + log b 2  3 cos x  4 3 6 6   Chọn đáp án đúng: A. − 3 B. 2 C. − 1 D. 1 e ln x Câu 47. Biết
dx = a e + b ∫
với a,b ∈  . Tính P = . a b . x 1
A. P = 4 . B. P = 8 − . C. P = 4 − . D. P = 8 . 2
Câu 48. Biết 2x ln ∫
(x + )1dx = .alnb , với *
a, b ∈  , b là số nguyên tố. Tính 6a + 7b . 0 A. 33 . B. 25 . C. 42 . D. 39 . https://toanmath.com/ 1 2  1 
a ln 2 − bc ln 3 + c
Câu 49. Cho x ln ∫ (x + 2)+ dx = = + +  
với a , b , c ∈  . Tính T a b c . x + 2  4 0
A. T = 13 .
B. T = 15 .
C. T = 17 . D. T = 11. 3 Câu 50. Biết ln
∫ ( 3x −3x+2)dx = aln5+bln2+c, với a, ,bc∈ . Tính S = .ab+c 2
A. S = 60 . B. S = 23 − .
C. S = 12 . D. S = 2 − . 1 7 −
Câu 51. Cho biết tích phân I = ( x + 2) ln ( x + ) 1 dx = a ln 2 + ∫
trong đó a , b là các số nguyên b 0
dương. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. a = b .
B. a < b .
C. a > b .
D. a = b + 3 . 2 x + ln x a 1 I = dx = ln 2 − ∫ x+1 b c 1 ( )2 Câu 52. Cho
với a , b , m là các số nguyên dương và là phân số tối giản. a + b S =
Tính giá trị của biểu thức c . 2 5 1 1 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 3 6 2 3 b
Câu 53. Cho a > b > 1
− . Tích phân I = ln (x + ∫ )
1 dx bằng biểu thức nào sau đây? a b b
A. I = ( x + ) 1 ln ( x + ) 1
− a + b .
B. I = ( x + ) 1 ln ( x + ) 1
− b + a . a a b b 1 b x C. I = ( .
D. I = x ln ( x + ) 1 + dx ∫ . x + ) 1 a x +1 a a 2 e 2  1 1  ae + be+c Câu 54. Biết − dx = ∫  
, trong đó a , b , c là các số nguyên. Giá trị của 2
 ln x ln x  2 e 2 2 2
a + b + c bằng A. 5 . B. 3 . C. 4 . D. 9 . 3 c
Câu 55. Biết x ln ( 2
x +16)dx = a ln 5 + b ln 2 + ∫
trong đó a,b, c là các số nguyên. Tính giá trị của 2 0
biểu thức T = a + b + c . A. T = 2 . B. T = 16 − . C. T = 2 − . D. T = 16 . 2  1 
Câu 56. Tính tích phân 2018 I = 2019 log x + x dx ∫ . 2   ln 2  1 A. 2017 I = 2 . B. 2019 I = 2 . C. 2018 I = 2 . D. 2020 I = 2 . 3 3 + ln x
Câu 57. Biết I = ∫ = a (1+ ln 3) − . Khi đó 2 2 + (
b ln 2 , (a,b ∈ ) a b bằng x + ) dx 2 1 1 7 16 25 3 A. 2 2 a + b = . B. 2 2 a + b = . C. 2 2 a + b = . D. 2 2 a + b = . 16 9 16 4 2 ln x b Câu 58. Biết dx = a ln 2 + ∫
(với a là số hữu tỉ, b , c là các số nguyên dương và b là phân số 2 x c c 1
tối giản). Tính giá trị của S = 2a + 3b + c . A. S = 4 . B. S = 6 − .
C. S = 6 .
D. S = 5 . https://toanmath.com/ 2
Câu 59. Biết rằng ln
∫ (x+ )1dx = aln3+bln2+c với a, b , c là các số nguyên. Tính S = a +b+c 1
A. S = 0 .
B. S = 1 .
C. S = 2 . D. S = 2 − . 5
Câu 60. Tính tích phân I = ∫(x + )
1 ln ( x − 3) dx ? 4 19 19 19 A. 10 ln 2 . B. 10 ln 2 + . C. −10ln 2 . D. 10 ln 2 − . 4 4 4 3
Câu 61. Biết rằng x ln x dx = m ln 3 + n ln 2 + p ∫
, trong đó m , n , p ∈ . Khi đó số m là 2 9 27 A. . B. 18 . C. 9 . D. . 2 4 4
Câu 62. Biết x ln
∫ ( 2x +9)dx = aln5+bln3+c, trong đó a, b , c là các số nguyên. Giá trị của biểu 0
thức T = a + b + c là A. T = 10 .
B. T = 9 .
C. T = 8 . D. T = 11. 1
Câu 63. Tích phân I = ln ∫ ( 2
1+ x − x)dx có giá trị là: 0 A. I = 2 −1+ ln ( 2 − ) 1 . B. I = 2 −1− ln ( 2 − ) 1 .
C. I = − 2 +1+ ln ( 2 − ) 1 .
D. I = − 2 +1− ln ( 2 − ) 1 . e  1 
Câu 64. Cho tích phân 2 I = x +
ln xdx = ae + b ∫ 
, a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của 2a − 3b là: x  1 13 13 13 13 A. . B. . C. − . D. − 2 4 4 2
π /4 ln(sin x + cos x)
Câu 65. Tính tích phân dx ∫
, ta được kết quả 2 cos x 0 π 1 π 3 π 3 π 3 A. − + ln 2. B. − ln 2. C. − + ln 2. D. − − ln 2. 4 2 4 2 4 2 4 2 2 4ln x +1 2
dx = a ln 2 + b ln 2 ∫ +
Câu 66. Giả sử
, với a,b là các số hữu tỷ. Khi đó tổng 4a b bằng. x 1 A. 3 . B. 5 C. 7 . D. 9 . 1000 2 ln x
Câu 67. Tính tích phân I = ∫ ( x + ) . dx 2 1 1 1000 ln 2 2 1001 1000 ln 2 2 A. I = − +1000ln . B. I = − + ln . 1000 1000 1+ 2 1+ 2 1000 1000 1+ 2 1+ 2 1000 ln 2 2 1000 1000 ln 2 2 C. I = −1000ln . D. I = − ln . 1000 1000 1+ 2 1+ 2 1000 1000 1+ 2 1+ 2 https://toanmath.com/ HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1: π 2 Câu 1.
Tích phân I = x sin axdx, 0 a ≠ ∫ có giá trị là: π 3 π + 6 − 3 3 π + 3− 3 3 π + 6 + 3 3 π + 3+ 3 3 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 6a 6a 6a 6a Hướng dẫn giải π 2
Tích phân I = x sin axdx, 0 a ≠ ∫ có giá trị là: π 3 du = dx  = Đặ u x  t  ⇒  1 . dv = sin axdx v = − cos x  a π π π π 2 2 2 2  1 −  1  1 −   1  π + 6 − 3 3 ⇒ I = x cos x + cos xdx = x cos x + sin x =   ∫     .  a  π aa  π  a  π π 6a 3 3 3 3 Chọn A π 4 1 π Câu 2. Biết (1+ x)cos 2 d x x = + ∫
( a, b là các số nguyên khác 0 ). Tính giá trị ab . a b 0
A. ab = 32 .
B. ab = 2 .
C. ab = 4 . D. ab = 12 . Hướng dẫn giải Chọn A π π 4 ∫(   π π + x) x x = ( + x) 4 sin 2x cos 2x 1 1 1 cos 2 d 1 + = + = +   .  2 4  4 8 a b 0 0
⇒ a = 4;b = 8 ⇒ ab = 32 . π 2 u  = x Câu 3. Tính tích phân 2 I = x cos 2 d x x ∫ bằng cách đặt 
. Mệnh đề nào dưới đây đúng? dv = cos 2 d x x 0 π π 1 1 A. 2 π I = x sin 2x − xsin 2 d x x ∫ . B. 2 π I = x sin 2x − 2 xsin 2 d x x ∫ . 0 2 0 2 0 0 π π 1 1 C. 2 π I = x sin 2x + 2 xsin 2 d x x ∫ . D. 2 π I = x sin 2x + xsin 2 d x x ∫ . 0 2 0 2 0 0 Hướng dẫn giải Chọn A du = 2 d x x 2 u  = x  Ta có:  ⇒  1 . dv = cos 2 d x x v = sin 2x  2 π π Khi đó: 1 2 I = x cos 2 d x x ∫ 2 π
= x sin 2x − xsin 2 d x x ∫ . 0 2 0 0 π π 2 2 a Câu 4.
Biết I = x cos 2xdx = aπ 3 + b sin 2xdx ∫ ∫
, a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của là: π π b 6 6 https://toanmath.com/ 1 1 1 1 A. . B. . C. − . D. − . 12 24 12 24 Hướng dẫn giải π π 2 2 a
Biết I = x cos 2xdx = aπ 3 + b sin 2xdx ∫ ∫ . Giá trị của là: π π b 6 6 Ta có: π π π  1 π a = − 2 2 2  2  1  1 π 3 1  24 a 1
I = x cos 2xdx = x sin 2x − sin 2xdx = − − sin 2xdx ⇒ ∫   ∫ ∫  ⇒ =  2  π π 2 π 24 2 1 π b 12  = − 6 b 6 6 6  2 . Chọn A 1 1 Câu 5.
Biết rằng x cos 2 d x x =
(a sin 2 + b cos 2 + c) ∫
với a,b, c ∈  . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 4 0
A. 2a + b + c = 1 − .
B. a + 2b + c = 0 .
C. a − b + c = 0 .
D. a + b + c = 1. Hướng dẫn giải Chọn C du = dx  = Đặ u x  t  ⇒  sin 2x . dv = cos 2 d x x v =  2 1 1 x sin 2x 1 1 Khi đó 1 x cos 2 d x x = | − sin 2 d x x = 2 sin 2 + cos 2 −1 ∫ ∫ . 0 ( ) 2 2 4 0 0
Vậy a − b + c = 0 . (x − 2) cos 3 x Câu 6.
Tính nguyên hàm I = (x − 2) sin 3xdx = −
+ bsin 3x + C ∫
. Tính M = a + 27b . a Chọn đáp án đúng: A. 6 B. 14 C. 34 D. 22 Hướng dẫn giải Chọn A  =  = − du dx Đặ u x 2  t  .ta được:  cos 3x dv = sin 3xdx v = −  3
Do đó: (x−2)cos3x 1 (x − 2)cos3x 1 1 I = − + cos 3xdx = −
+ sin 3x + c ⇒ a = 3;b = ⇒ m = 6 ∫ 3 3 3 9 9 π 2 π Câu 7.
Biết m là số thực thỏa mãn x ∫ (cos x+ 2m) 2 dx = 2π +
−1. Mệnh đề nào sau dưới đây đúng? 2 0
A. m ≤ 0 .
B. 0 < m ≤ 3 .
C. 3 < m ≤ 6 . D. m > 6 . Hướng dẫn giải Chọn D π π π 2 x ∫ (cos x+ 2m) 2 2 dx = .
x cos xdx + 2mxdx ∫ ∫ = I + J 0 0 0 https://toanmath.com/ π 2 +) I = . x cos xdx ∫ 0  =  = Đặ u x du dx t  ⇒  dv = cos xdxv = sin x π π 2 π π Khi đó π 2 I = . x sin x − sin xdx ∫ 2 2 = . x sin x + cos x = −1. 0 2 0 0 0 π 2 π 2 π +) J = 2mxdx ∫ 2 2 = mx = m . 4 0 0 π 2 π π Suy ra x ∫ (cos x+ 2m) 2 dx = m + −1 4 2 0 2 π π π Theo giả thiết ta có 2 m +
−1 = 2π + −1 ⇒ m = 8 . 4 2 2 π Câu 8. Tính tích phân x ∫ (x+sin x) 3
dx = aπ + bπ . Tính tích ab: 0 1 2 A. 3 B. C. 6 D. 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B π π π π π x π π
I = x dx + x sin xdx = x dx − xd ∫ ∫ ∫ ∫ (cos x) 3 2 2 =
− (xcos x) + cos xdx ∫ 3 0 0 0 0 0 0 0 3 π π 1 3 =
+π + sin x = π +π 3 0 3 π Câu 9. Tích phân ∫(3x + 2) 2
cos x dx bằng 0 3 3 1 1 A. 2 π −π . B. 2 π +π . C. 2 π +π . D. 2 π −π . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn B π
Đặt I = ∫(3x + 2) 2
cos x dx . Ta có: 0 π π π    1 1 1 I =
∫(3x+ 2)(1+cos2x)dx = ∫(3x+ 2)dx+ ∫(3x+ 2)cos2xdx = (I + I . 1 2 ) 2 2 2 0 0 0  π π   3  3 I = 3x + 2 dx = ∫ 2 2 x + 2x = π + 2π   . 1 ( )  2  2 0 0 π
I = 3x + 2 cos 2xdx ∫
. Dùng tích phân từng phần 2 ( ) 0 du = 3dx  = + Đặ u 3x 2  t  ⇒  1 .
dv = cos 2x dx v = sin 2x  2 https://toanmath.com/ π π π Khi đó 1 3 3 I =
3x + 2 sin 2x − sin 2x dx ∫ = 0 + (cos 2x) = 0 . 2 ( ) 2 2 4 0 0 0  1  3  3 Vậy 2 2 I = π + 2π = π +π   . 2  2  4 π 2m π − 2 . x cos d mx x = ∫ 2
Câu 10. Cho số hữu tỷ dương m thỏa mãn 0
. Hỏi số m thuộc khoảng nào trong 4 T
các khoảng dưới đây?  1   6   5 8   0; 1; ; 7        A. ; 2   . B.  4  . C.  5  . D.  6 7  . 4 T 4 T  4  4T Hướng dẫn giải Chọn D du = dx  = Đặ u x  t  ⇒  1 . dv = cos d mx x v = sin mx  m π π π π 2m 2m 2m x 1 π 1 m  π − 2  1 Suy ra . x cos d mx x = sin mx − sin d mx x ∫ ∫ 2 = + .cos mx = .   . m m 2 2 2 2m m  2  4 T m 0 0 0 0  π − 2  1 π − 2 Theo giả thiết ta có . = ⇔ m = 1 ±   . 2  2  m 2  5 8  m = 1∈ ;  
Vì m là số hữu tỷ dương nên  6 7  . 4 T 2  + ≥ 1 f ( x) 2x x khi x 0 =  I = f ∫ (x)dx  .s x in x khi x ≤ 0 Câu 11. Cho hàm số . Tích tích phân −π 7 2 1 2 A. I = + π . B. I = + π .
C. I = − + 3π . D. I = + 2π . 6 3 3 5 Hướng dẫn giải Chọn A
Ta có: lim f ( x) = lim f ( x) = f (0) = 0 nên hàm số liên tục tại x = 0 . Do đó hàm số liên tục + − x→0 x→0 trên đoạn [ π − ] ;1 . 1 0 1 0 1 Ta có: I = f
∫ (x)dx = f
∫ (x)dx+ f ∫ (x)dx = .s x in d x x + ∫ ∫( 2
2x + x)dx = I + I . 1 2 −π −π 0 −π 0 0 • I = .s x in d x x ∫ 1 −π  =  = Đặ u x du dx t  ⇒  dv = sin d x xv = −cos x 0
I = (−x cos x) 0 + cos d x x ∫ = (−x cos x) 0 0 + sin x = π . 1 −π −π −π −π 1 1 3 2   • 2x x 7 I = ∫( 2
2x + x dx =  +  = . 2 )  3 2  6 0 0 https://toanmath.com/ 7
Vậy I = I + I = +π . 1 2 6 π Câu 12. Tính x
∫ (1+cos x)dx . Kết quả là 0 2 π 2 π 2 π 2 π A. − 2 . B. + 3. C. − 3. D. + 2 . 2 3 3 2 Hướng dẫn giải Chọn A  =  = Đặ u x du dx t  ⇒ 
dv = (1+ cos x)dv
v = x + sin x π π 2   2 2 Khi đó: π x  π  π
I = x ( x + sin x) − ∫(x + sin x)dx 2
= π −  − cos x 2 = π −  +1+1 = − 2 0  2   2  2 0 0 π 3 x
Câu 13. Tính tích phân
dx = aπ + b ∫
. Phần nguyên của tổng a + b là ? 2 cos x 0 A. 0 B. -1 C. 1 D. -2 Hướng dẫn giải Chọn B
Đối với bài toán này, chúng ta sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.  u = xdu = dx Đặ   t  dx ⇒  sin x dv = v = tan x =   2  cos x  cos x π π sin xdx
Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có: I = ( x tan x) 3 3 − ∫ cos x 0 0 π π π π π = ( d x x tan x) 3 (cos ) 3 + ∫
⇔ I = ( x tan x) 3 + ln (cos x) 3 = − ln 2 cos x 3 0 0 0 0 1 Suy ra a = ;b = − ln 2 . 3 1 Tổng a + b = − ln 2 ≈ 0 − ,1157969114 3
Lưu ý khái niệm phần nguyên của x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x, vậy đáp án đúng là đáp án B.
Nhận xét: Bài toán trên đòi hỏi khả năng biến đổi của thí sính và nhắc lại kiến thức về khái
niệm phần nguyên, sẽ có thí sinh khi đi thi đã tìm ra kết quả phân tích nhưng lúng túng trong
việc lựa chọn đáp án vì không nhớ rõ khái niệm phần nguyên. x 4 2 π π Câu 14. Cho 2
I = x tan xdx = − ln b − ∫
khi đó tổng a + b bằng a 32 0 A. 4 B. 8 C. 10 D. 6 Hướng dẫn giải Chọn D https://toanmath.com/ π π π 4 4 4  1  1 I = x −1 dx = . x dx − xdx ∫   ∫ ∫ 2 2  cos x  cos x 0 0 0 π 4 π 2 π π 4 xdx = = ∫ 0 2 32 0 π 4 1 I = . x dx . ∫ 1 2 cos x 0 u  = x   = Đặ du dx t  dx ⇒  dv =  v = tan x 2  cos x π π π 4 π π 4 4
I = x tan x
− tan xdx = + ln cos x = − ln 2 ∫ 1 0 0 4 4 0 2 π π Vậy I = − ln 2 − 4 32 π 4 x
Câu 15. Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 1+ cos x 0 π π  π  π π  π  A. I = tan − 2ln cos   . B. I = tan + 2ln cos   . 4 8  8  4 8  8  π π  π  π π  π  C. I = tan − 2ln cos   . D. I = tan + 2ln cos   . 4 4  8  4 4  8  Hướng dẫn giải π 4 x Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 1+ cos x 0 π π 4 4 x 1 x Ta biến đổi: I = dx = I dx ∫ ∫ . 1+ cos x 2 x 2 0 0 cos 2 u  = xdu = dx Đặ   t  x ⇒  x . 2 dv = cos dx v = 2 tan    2  2 π π π    x  4 4 sin 4 1  x x  1  π π  2 ⇒ I = 2x tan − 2 tan dx =   ∫  tan − 2 dx ∫   2  2  2 2 2 8 x 0 0  0 cos       2  . π cos 8 π π 1 π π  π  = tan + 4 dt = tan + 2ln cos ∫   2 8 t 4 8  8  1 Chọn B π 4 x Câu 16. Tích phân
dx = aπ + b ln 2 ∫
, với a , b là các số thực. Tính 16a − 8b 1+ cos 2x 0 https://toanmath.com/ A. 4. B. 5. C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải Chọn A u  = x du = dx Đặ   t  dx ⇒  1 . Ta có dv = v = tan x    1+ cos 2x  2 π π π 1 1 π 1 π 1 1 π 1 1 1 4 I = x tan x 4 − tan d x x = + ln cos x 4 = + ln
= − ln 2 ⇒ a = ,b = − ∫ 0 2 2 8 2 8 2 2 8 4 8 4 0 0
Do đó, 16a −8b = 4 . π 4 2x − sin x
Câu 17. Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: 2 − 2 cos x 0 1  2π 3  1  2π 3  A. I =  π − + + 4ln 2 + ln 2   . B. I =  π − + + 2ln 2 − ln 2   . 2 3   2 3   1  2π 3  1  2π 3  C. I =  π − + + 4ln 2 − ln 2   . D. I =  π − + + 2ln 2 + ln 2   . 2 3   2 3   Hướng dẫn giải π 2 2x − sin x Tích phân I = dx ∫ − có giá trị là: π 2 2 cos x 3 π π π 4 2 2 2x − sin x x 1 sin x Ta biến đổi: I = dx = dx − dx ∫ ∫ ∫ − − − . π 2 2 cos x π 1 cos x 2 π 1 cos x 3 3 3 π π 2 2 x 1 x Xét I = dx = dx ∫ ∫ . 1 − π 1 cos x 2 x 2 π sin 3 3 2 u  = xdu = dx  Đặ   t 1 dv = dx ⇒  x . x v = 2 − cot  2  sin  2  2 π π   2 2 1  x x  1  2π 3  ⇒ I = 2 − . x cot + 2 cot dx =   ∫  π − + + 4ln 2 . 1  2  2  π π 2 2 3     3  3  π 2 1 sin x Xét I = dx ∫ . 2 2 − π 1 cos x 3
Đặt t =1− cos x ⇒ dt = sin xdx .  π 1 x = ⇒ t =  Đổ  3 2 i cận  π . x = ⇒ t =1  2 https://toanmath.com/ 1 1 1 1 1 1 ⇒ I = dt = ln t = ln 2 ∫ . 2 ( ) 2 t 2 2 1 1 2 2 1  2π 3 
I = I − I =  π − + + 4ln 2 − ln 2 . 1 2   2 3   Chọn C π ( 3x +2x) 2 2
cos x + x cos x
Câu 18. Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: π cos x 6 4 2 5π 2π π 3 4 2 5π 2π π 3 A. I = + + − . B. I = − + − . 324 9 4 2 324 9 4 2 4 2 5π 2π π 3 4 2 5π 2π π 3 C. I = + − − . D. I = + + + . 324 9 4 2 324 9 4 2 Hướng dẫn giải π ( 3x +2x) 2 2
cos x + x cos x Tích phân I = dx ∫ có giá trị là: π cos x 6 Ta có: π ( π π π π 3 x + 2x) 2 2 2
cos x + x cos x   I = dx = ∫ ∫(x +2x) 2 2 2 1 3 4 2
dx + x cos xdx = x + x + x cos xdx ∫   ∫ . cos x  4 π π π π  π 6 6 6 6 6 π 2
Xét I = x cos xdx ∫ . 1 π 6  =  = Đặ u x du dx t  ⇒  . dv = cos xdxv = sin x π π π
⇒ I = (xsin x) 2 3 2 − sin xdx = − ∫ . 1 π π 4 2 6 6 π 4 2 2  1  5π 2π π 3 4 2 ⇒ I = x + x + I = + + −   . 1  4  π 324 9 4 2 6 Chọn A π a a 2  x
Câu 19. Cho 0 < x < và x tan d x x m = ∫ Tính I = dx ∫  theo a và . m 2  cos x  0 0
A. I = a tan a − 2m . B. 2
I = −a tan a + m . C. 2
I = a tan a − 2m . D. 2
I = a tan a − m . Hướng dẫn giải Chọn C 2 u  = x   = Đặ du 2 d x x t  1 ⇒  dv = dx  v = tan x 2  os c x https://toanmath.com/ a 2 a ax  2 2 I =
dx = x tan x − 2x tan d x x a = tan a − 2 . m ∫  ∫ 0  cos x  0 0 π 2 Câu 20. Tính ∫ ( 2 x + sin x)cos d
x x . Kết quả là 0 π 2 π 2 π 2 π 2 A. + . B. − . C. − . D. − . 2 3 2 3 3 3 2 3 Hướng dẫn giải Chọn D π 2 Ta có: 2
I = (x + sin x) cos d x x ∫0 π 2 2
= (x cos x + sin x cos x)dx ∫0 π π 2 2 2 = x cos d
x x + sin x cos d
x x = I + I ∫ ∫ 1 2 0 0 u  = x du = dx Tính I : Đặt  ⇒  . 1 dv = cos d x xv = sin x π 2 Nên I = x cos d x x ∫ 1 0 π π π ( π π = xsin x) 2 2 2 | − sin d x x = + cos x | = −1 ∫ 0 0 2 2 0 π
Tính I : Đặt u = sin .
x Ta có du = cos d x .
x Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 0; x = ⇒ u = 1. 2 2 π 2 1 1 1 1 π 2 2 2 3
⇒ I = sin x cos d x x = u du = u = . ∫ ∫
Vậy I = I + I = − . 2 3 0 3 1 2 2 3 0 0 2 π
Câu 21. Cho tích phân 2 I =
x.sin xdx = aπ + b ∫
. Tính A = a − b 0 Chọn đáp án đúng: A. 7 B. 10 C. 6 D. 2 Hướng dẫn giải Chọn B * Đặt 2
u = t ⇒ du = 2tdt;
dv = sin tdt chọn v = − cost  π π  Vậy 2 I = 2  t
− cost + 2 t costdt ∫  0 0  
Đặt u = t ⇒ du = dt
dv = cos tdt chọn v = sin t π π π π I =
t sin tdt = t sint − sintdt = cost = 2 − ∫ ∫ 1 0 0 0 0  π  * Do đó: 2 2 I = 2  t
− cost − 4 = 2π − 8 ⇒ a = 2;b = 8 − ⇒ A = 10 0   https://toanmath.com/ 1 n I
Câu 22. Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu 2 I = x − x x ∫ . Tính 1 lim n+ . n ( 2 1 ) d n→+∞ I 0 n A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 5 . Hướng dẫn giải Chọn A
Cách 1. Tự luận: du = dx 1 u  = xnn 1 + Xét 2 I = x − x x ∫ . Đặt  ⇒  −( 2 1− x ) . n ( 2 1 ) d v = x  ( n 2 d 1− x ) dx  = 0 v 2 (n +  )1 + −x( n 1− x ) 1 1 2 1 1 + + I = + − x x = − x x ∫ ∫ n ( ) 1 n 1 1 n 1 d (1 ) 1 2 2 n + (n + ) d 1 2 1 2 n +1 0 ( ) 0 0 1 1 + ⇒ I = − x − x x ∫ n+ ( n 1 )(1 ) 1 2 2 d 1 2 (n + 2) 0 1 1  + +  ⇒ I =  − x x − x − x x ∫ ∫  n+ ( n n 1 ) 1 1 d (1 ) 1 2 2 2 d 1 2 (n + 2) 0 0  1 + ⇒ I 2n 1 I I =
2 n +1 I − I n 1 + n 1 ⇒ = ⇒ lim + =1 n 1 +  +  2 (n + 2) ( ) n n 1 I 2n + . 5 n→+∞ I n n
Cách 2. Trắc nghiệm: Ta thấy ≤ ( 2 0
1− x ) ≤ 1 với mọi x ∈[0; ] 1 , nên 1 + I = x − x x = x − x − x x ≤ x − x x = I ∫ ∫ ∫ , n+ ( n n n 1 ) 1 d (1 ) (1 ) 1 1 2 2 2 2 2 2 d ( 2 1 d 1 ) n 0 0 0 I I suy ra n 1 + ≤ 1, nên n 1 lim
+ ≤ 1. Dựa vào các đáp án, ta chọnA. I I n n https://toanmath.com/ DẠNG 2: a Câu 23. Cho x
xe dx = 1(a ∈ ∫ ) . Tìm a ? 0 A. 0 . B. 1. C. 2 . D. e . Hướng dẫn giải Chọn B a a xd = 1 ⇔ ∫ ( − ) 1 x = ( − ) 1 a xe x x e a
e +1 = 1 ⇔ a = 1. 0 0 1 Câu 24. Cho 2 x 2
I = xe dx = ae + b ∫
( a, b là các số hữu tỷ). Khi đó tổng a + b là 0 1 1 A. 0 . B. . C. 1. D. . 4 2 Hướng dẫn giải Chọn D du = dx u  = x Đặ  t  ta có  1 . 2 d x v = e dx 2 x v = e  2 1 1 x 1 1 x 1 x 1 1 1 x 1 1 1 1 1 Vậy 2 2 2 2 2 2 2 2
I = xe dx = xe − e dx = e − e
= e − e + = e + . ∫ ∫ 2 0 2 2 4 0 2 4 4 4 4 0 0  1 a =  4 1 Suy ra  ⇒ a + b = . 1 2 b  =  4 1
Câu 25. Biết rằng tích phân ∫(2 + ) 1 x x e dx = a + .
b e , tích ab bằng: 0 A. 1. B. 1 − . C. 15 − . D. 20 . Hướng dẫn giải Chọn A u  = 2x +1 du = 2dx Đặt  ⇒  . d x v = e d x xv = e 1 1 1 1 Vậy ∫(2 + ) 1 x = (2 + ) 1 x − 2 xd = ∫ (2 − ) 1 x x e dx x e e x x e = e +1. 0 0 0 0
Suy ra a = 1;b = 1 ⇒ ab = 1 . 1
Câu 26. Biết = ∫(2 + 3) x I x
e dx = ae + b , với a, b là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề 0 đúng?
A. a − b = 2 . B. 3 3
a + b = 28 .
C. ab = 3 .
D. a + 2b = 1 . Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 1 = ∫( 1 2 + 3) x I x
e dx = ∫(2 + 3)d( x x
e ) = (2 + 3) x − 2 x x e e dx ∫
= 5e − 3 − 2e + 2 = 3e −1. 0 0 0 0
Vậy a = 3,b = 1
− nên a + 2b = 1 . a x
Câu 27. Tìm a sao cho 2 I = . x e x d = 4 ∫
, chọn đáp án đúng 0 https://toanmath.com/ A. 1 B. 0 C. 4 D. 2 Hướng dẫn giải Chọn D a  =  = x u x du dx   Ta có: 2 I = . x e dx ∫ . Đặt  ⇒ xx 0 2 2
dv = e dx v = 2.e a a x a x a x a 2 2 2 2 ⇒ I = 2 . x e
− 2 e dx = 2ae − 4.e = 2 ∫ (a − 2) 2 e + 4 0 0 0 a
Theo đề ra ta có: I = ⇔ (a − ) 2 4 2
2 e + 4 = 4 ⇔ a = 2 1
Câu 28. Cho tích phân = ∫( + ) 1 ( x I x
e − 3) dx . Kết quả tích phân này dạng I = e − a . Đáp án nào sau 0 đây đúng? 9 9 9 8 A. a = B. a = C. a = D. a = 2 4 5 3 Hướng dẫn giải Chọn A u  = x +1 du = dx    ⇒  dv =  ( xe −3)dx v = 
∫( xe −3)dx = ( xe −3x)  ⇒ I = (x + ) 1 ( x e − 3x) 1 1
− ∫ ( xe −3x)dx 0 0 1 (   = x + ) 1 ( x e − 3x) 1 x 3 9 2 − e − x = e −   0  2  2 0 1 15 x 1 1
Câu 29. Tính tích phân I = ∫(a − x)( 2 b + e ) 2 dx = + e . Tính A =
ab (a + b) 4 4 12 0 Chọn đáp án đúng: A. 27 B. 30 C. 16 D. 45 Hướng dẫn giải Chọn D Đặt du = −dx u  = a − x    ⇒  dv =  ( 2x b + e ) 1 2x dx v = bx + e  2      
I = (a − x) 1 b x 1 1 1 1 1 1 2 1 bx + e
= ab − b − a + − +      (a − ) 2 2 1 + e = + e 0   2   2 2 4   2 4  4 4  1 b 1 1 ab − b − a + − =  a = 1 2 2 4 4  ⇒  ⇒ A = 45 1  (  = a − ) 1 1 b 2 1 + = 2 4 4 1 ∫( + )1 x mx e dx = e Câu 30. Tìm m để 0 ? 1 A. 0 B. -1 C. D. 1 2 Hướng dẫn giải Chọn D https://toanmath.com/ Ta có 1 1 1 1
∫(mx+ )1 xedx = ∫(mx+ )1dx(ex) = (mx+ ) 1 1 x x e − m e d
∫ (mx+ )1 = (mx+ ) 1 1 x x e − m e dx ∫ 0 0 0 0 0 0 = (mx + ) 1 1 1 x x
e  − me  = (m + )
1 e −1− me + m = e + m −1     0 0 m Câu 31. Cho = (2 − ∫ ) 2 1 e x I x
dx . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để I < m là khoảng ( ; a b) 0
. Tính P = a − 3b . A. P = 3 − . B. P = 2 − . C. P = 4 − . D. P = 1 − . Hướng dẫn giải Chọn A m = (2 − ∫ ) 2 1 e x I x dx 0 du = 2dx  = − Đặ u 2x 1  t 2 x  ⇒  . 2 x e dv = e dx v =  2 m x m − (2m − ) 2 1 e m 1 1 m I = ∫( x m 2x − ) x (2 ) 2 1 e 2 2 1 e dx = − e xdx ∫ 2 x m 2 = + − e = e m − e m +1 2 0 2 2 2 0 0 0 2m 2m < ⇔ − + < ⇔ ( − )( 2 e e 1 1 e m I m m m m − )
1 < 0 ⇔ 0 < m < 1 .
Suy ra a = 0, b = 1 ⇒ a − 3b = 3 − . 4 ( + ) 1 x x e
Câu 32. Biết rằng tích phân 4
dx = ae + b ∫ . Tính 2 2
T = a − b 2x +1 0 3 5
A. T = 1.
B. T = 2 . C. T = . D. T = . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B 4 4 x +1 x + 4 4 x   x 1 2 2 1 e Ta có x I = e dx = e dx ∫ ∫ =  2x +1. x e dx + dx ∫ ∫  . 2x +1 2 2x +1 2  2x +1 0 0 0 0  4 x e Xét I = dx ∫ . 1 2x +1 0 xdu = e dx x u  = e  Đặ   t  dx ⇒  dx 1 ( x + )12 2 1 dv =  v = = . = 2x +1 ∫   2x +1 2x +1 2 1  2 4 Do đó 4 x = . 2 +1 x I e x
− e . 2x +1dx ∫ . 1 0 0 4 3e −1 − Suy ra I = . Khi đó 3 1 a = , b = 9 1 ⇒ T = − = 2 . 2 2 2 4 4 12 1 1 c x+   a
Câu 33. Cho tích phân I = 1+ x − .e x .dx = .ed ∫  
, trong đó a , b , c , d là các số nguyên dương  x b 1 12 a c và các phân số ,
là các phân số tối giản. Tính bc − ad . b d https://toanmath.com/ 1 A. 24 . B. . C. 12 . D. 1. 6 Hướng dẫn giải Chọn A 12 1 1 12 1 12 1 x+   x+ 1 x+   - Ta có: = 1+ − .e x I x .dx ∫   = e x .d + − e x x x
.dx = J + K ∫ ∫    x   x  1 1 1 12 12 12 12 1 x+ - Tính = e x J .dx ∫ . 1 12 1 1    1 x+  x+ x  = − Đặ  x = du 1 e .dx   t u e  2 ⇒   x  dv = dx  v = x 12 1 12 1  145 145 145 x+   1 x+  ⇒ = 1 143  .e x  − − .e x J x x .dx ∫   12 12 =12.e − .e − K 12 = .e − K     1 x 12 12 1 12 12 145 ⇒ 143 I = J + K 12 = .e . 12 c a a c
- Theo giả thiết: I =
.ed với a , b , c , d là các số nguyên dương và , là các phân số b b d a 143 c 145 tối giản nên = và =
⇒ a =143 , b =12 , c =145 , d =12 . b 12 d 12
Vậy bc − ad = 24 . DẠNG 3. e + Câu 34. Cho I = x ln d x x ∫ 2 .e a b =
với a , b , c ∈  . Tính T = a + b + c . c 1 A. 5 . B. 3 . C. 4 . D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn D  1 du = dx u  = ln x  x Ta có:  nên  . dv = d x x 2 xv =  2 a = 1 e e 2 e x 1 2 e + 1  I = x ln d x x ∫ = ln x − d x x ∫ = . ⇒ b  = 1 . 2 2 4 1  1 1 c = 4 
Vậy T = a + b + c = 6 . 1
Câu 35. Kết quả của phép tính tích phân ln (2x + ∫ )
1 dx được biểu diễn dạng .
a ln 3 + b , khi đó giá trị 0 của tích 3 ab bằng 3 3 A. 3. B. . C. 1. D. − . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D. https://toanmath.com/ u  = ln (2x + ) 2  = Đặ 1 du dx t  ⇒  2x +1 . dv = dx v = x 1 1 1 1 2x  1  Ta có I = ln
∫ (2x+ )1dx = xln(2x+ )1 − dx = ln 3 − 1− dx ∫ ∫  0 2x +1  2x +1  0 0 0 1  1  3
= ln 3 − x − ln 2x +1 = ln 3 −1   .  2  2 0 Khi đó 3 3 a = ;b = 1 − . Vậy 3 ab = − . 2 2 1 ( b a, b ∈ ) (a +3) Câu 36. Cho ln
∫ (x+ )1dx = a +lnb , . Tính . 0 1 1 A. 25 . B. . C. 16 . D. . 7 9 Hướng dẫn giải: Chọn C . u  = ln (x + ) 1  = Đặ 1 du dx t  ⇒  x +1 . dv = dx v = x +1 1 1 I = ln
∫ (x+ )1dx = (x+ )1ln(x+ )1 1 − ∫(x + ) 1 1 1 .
dx = 2 ln 2 − x = 2 ln 2 −1 = 1 − + ln 4 . 0 0 x +1 0 0 ⇒ b a = 1
− ,b = 4 ⇒ (a + 3) =16 . 2
Câu 37. Biết tích phân ∫(4x − ) 1 ln d
x x = a ln 2 + b với a , b ∈ Z . Tổng 2a + b bằng 1 A. 5. B. 8. C. A(1; − 2; ) 1 D. 13. Hướng dẫn giải Chọn C  1  = ⇒ = Đặ u ln x du dx t  x . dv = (4x −  ) 1 d . x 2 2 2 2 Ta có ∫(4x − ) 1 ln d
x x = x (2x − )
1 ln x − ∫(2x − ) 1 dx = 6 ln 2 − ( 2
x − x) = 6ln 2 − 2 . 1 1 1 1
Vậy 2a + b = 10 . 3 3 + ln x
a + ln b − ln c Câu 38. Biết = ∫ (
với a , b , c là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức x + ) dx 2 1 4 1
P = a + b + c bằng? A. 46 . B. 35 . C. 11. D. 48 . Hướng dẫn giải Chọn A 3 3 3 3 3 + ln x  1  3 + ln x 1 Ta có dx = − 3 + ln x d = − + d 3 + ln x ∫ ∫   ∫ 2 ( ) ( ) x +1  x +1 x +1 x +1 1 ( ) 1 1 1 3 3 3 3 + ln 3 3 1 1 3 − ln 3  1 1  3 − ln 3 x = − + + . dx = + − dx = + ln ∫ ∫  4 2 x +1 x 4  x x +1 4 x +1 1 1 1 https://toanmath.com/ 3 − ln 3 3 1 3 − ln 3 3 − ln 3 = + ln − ln = + ln 3 − ln 4 + ln 2 = + ln 3 − ln 2 4 4 2 4 4 a = 3 3 + 3ln 3 − 4 ln 2 3 + ln 27 − ln16  = = ⇒ b  = 27 ⇒ P = 46. 4 4 c =16  2
Câu 39. Giả sử (2x − ) 1 ln d
x x = a ln 2 + b, (a;b ∈ ∫
) . Khi đó a + b ? 1 5 3 A. . B. 2. C. 1. D. . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D  1 u  = ln x   = Đặ du dx t  ⇒  x . dv =  (2x − )1dx 2
v = x − x 2 2 2 Ta có (2x − ) 1 ln d x x = ( 2
x − x)ln x − ( x − ∫ ∫ )1dx 1 1 1 2 2  x  1
= 2ln 2 −  − x = 2ln 2 − .  2  2 1 Khi đó 1 3 a = 2;b = − . Vậy a + b = . 2 2 2 2
Câu 40. Tính tích phân I = (x − ∫ )1lnxdx. 1 2 ln 2 + 6 6 ln 2 + 2 2 ln 2 − 6 6 ln 2 − 2 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 9 9 9 9 Hướng dẫn giải Chọn B 2 2 Cách 1: I = (x − ∫ )1ln xdx 1  dx d =  = ln u u x  Đặ   x t  ⇒  dv =  ( 2x −  ) 3 1 dx xv = − x  3 2 2 2 3 2 2 3 3  x   x   x   x  6 ln 2 + 2
Do đó I =  − x ln x  − ∫ −1 dx  =  − x ln x  +  − x = .  3   3   3   9  9 1 1 1 1 Cách 2: 2 2 ∫(       x − ) 2 3 3 2 3 x x x 2 1 ln d x x = ln d x ∫ 
− x =  − xln x − ∫ − xd(ln x)  3   3   3  1 1 1 1 2 2 2 3 2  x  2  x  2 + 6 ln 2
= ln 2 − ∫ −1dx = − − x = . 3  3  3  9  9 1 1 a
Câu 41. Tích phân I = x ln xdx ∫ có giá trị là: 1 https://toanmath.com/ 2 2 a ln a 1− a 2 2 a ln a 1− a A. I = + . B. I = − . 2 4 2 4 2 2 a ln a 1− a 2 2 a ln a 1− a C. I = + . D. I = − . 2 4 2 4 Hướng dẫn giải a
Tích phân I = x ln xdx ∫ có giá trị là: 1  1 du = dx  =  Đặ u ln xx t  ⇒  . 2 dv = xdx xv =  2 a a a 2 a 2 2 2 2  xxx   x a ln a 1− a ⇒ I = .ln x   − dx = .ln x ∫   −   = + .  2  2  2   4  2 4 1 1 1 1 Chọn C 2
Câu 42. Kết quả tích phân ∫ (2x + ln (x + )
1 )dx = 3ln 3 + b . Giá trị 3 + b là: 0 A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 Hướng dẫn giải Chọn C 2
I = ∫ (2x + ln (x + )
1 ) dx = A + B 0 2 2 Tính 2 A = 2xdx = x = 4 ∫ 0 0 2 Tính B = (ln(x + ∫ ) 1 )dx 0  dx u  = ln (x + ) 1 du = Xem:  ta chọn được  x +1 dv = dx v = x +1
Dùng công thức tích phân từng phần 2 = ∫ ( x + B ln ( x + ) 1 ) dx = ( x + ) 1 .ln ( x + ) 2 2 1 2 1 −
dx = 3ln 3 − x = 3ln 3 − 2 ∫ 0 0 0 0 x +1 2
Vậy: I = ∫ (2x + ln (x + ) 1 )dx = 3ln 3 + 2 0 2 (a +b)π
Câu 43. Tính tích phân I = (4x + 3).ln xdx = 7 ln a + b ∫ . Tính sin : 4 1 1 A. 1 B. -1 C. 0 D. 2 Hướng dẫn giải Chọn B  1 u  = ln x   = Đặ du dx t  . Khi đó  =  ( ⇒  x dv 4x + 3) dx 2
v = 2x +3x = ( x + x I 2x + 3x) 2 2 2 2 3 2 ln x − dx = ( 2 2.2 + 3.2)ln 2 − ( 2 2.1 + 3. ) 2
1 ln1− (2x + 3)dx 1 ∫ ∫ x 1 1 = 4 1 ln 2 − 0 − ( 2 2
x + 3x) = 14ln 2 − 0 − ( 2 2 + 3.2) − ( 2 1 + 3. )
1  = 14ln 2 − (10 − 4) =14ln 2 − 6  1 https://toanmath.com/ 1 2
Câu 44. Cho tích phân I = 3x − 2x + ln(2x + 1) ∫
dx . Xác định a biết I = b ln a − c với a,b,c là 0 các số hữu tỉ 2 2 A. a=3 B. a=-3 C. a = a 3 D. = − 3 . Hướng dẫn giải Chọn A 1 1 1 I =  2
3x − 2x + ln(2x +1) dx =  2
3x − 2xdx + ln(2x +1) dx = I + ∫  ∫  ∫  I 1 2 0 0 0 u = ln(2x +1)
Giải I2 bằng phương pháp từng phần  dv = dx 3
I = ln3 −1⇒ a = 3 2 3 3 + ln x Câu 45. Cho I =
dx = a(ln 3 +1) + ln b ∫
với a,b∈R. Tính giá trị biểu thức T = 4a + 2b 2 (x +1) 1 A. 4 B. 7 C. 5 D. 6 Hướng dẫn giải Chọn A
Ở bài toán này máy tính dường như không giúp được nhiều trong việc giải quyết bài toán, đây
là bài toán sử dụng phương pháp tích phân thành phần ở mức độ vận dung. Đặt  dx u  = 3 + ln x u =    xdx ⇔  v = 1 − x  2   (x +1) v = +1 =  x +1 x +1 b b b
Áp dụng công thức tính tích phân thành phần udv = uv − vdu ∫ ∫ thì ta được a a a 3 3 3 (3 + ln x)x dx (3 + ln x)x 3 I = − = − ln(x +1) ∫ 1 x +1 x +1 x +1 1 1 1  3(3+ ln 3) 3  I =  −  −(ln 4 − ln 2) 4 2   3 3  1 
= (ln 3 +1) − ln 2 = (ln 3 +1) + ln   4 4  2  3 1 Vậy a = ;b =
⇒ T = 4a + 2b = 3+1 = 4 4 2 1 − x
Nhận xét: Điểm mấu chốt để xử lí nhanh bài toán nằm ở việc đặt v = +1 = x +1
x + . Một số 1 3
thí sinh chọn đáp án B vì khi làm đến I =
(ln 3 +1) − ln 2 không để ý dấu nên suy ra luôn 4 3 a =
;b = 2 dẫn đến kết quả sai. 4 π ln (sin x)  3 
Câu 46. Cho tích phân 3 I = dx = a ln ∫   − bπ π . Tính A = log a + log b 2  3 cos x  4 3 6 6   https://toanmath.com/ Chọn đáp án đúng: A. − 3 B. 2 C. − 1 D. 1 Hướng dẫn giải Chọn C Đặ x t u = ( x) cos ln sin ⇒ du = dx sin x dx dv =
chọn v = tan x 2 cos x π π 3 ln (sin x) π 3 Vậy I = dx = tan .
x ln x sin x  − dx ∫ ∫ 2  ( ) 3 π cos x π 6 π 6 6 e ln x Câu 47. Biết
dx = a e + b ∫
với a,b ∈  . Tính P = . a b . x 1
A. P = 4 . B. P = 8 − . C. P = 4 − . D. P = 8 . Hướng dẫn giải Chọn B u  = ln x  dx   = Đặ du t  dx →  x dv =    x dv = 2 x e ln e  = − e d e e x x a Suy ra
dx = 2 x ln x − 2
= 2 x ln x − 4 x = 2 − e + 4 ∫ ∫ 2 ⇒  . 1 1 1 x x b  = 4 1 1 Vậy P = ab = 8 − . 2
Câu 48. Biết 2x ln ∫ (x + ) 1 dx = . a ln b , với *
a, b ∈  , b là số nguyên tố. Tính 6a + 7b . 0 A. 33 . B. 25 . C. 42 . D. 39 . Hướng dẫn giải Chọn D  1 2 u  = ln (x + ) 1 du = dx
Xét I = 2x ln ( x + ∫ ) 1 dx = 6 . Đặt  ⇔  x +1 . dv = 2 d x x 0 2
v = x −1 2 2 2 2 2 2 x −1  x  Ta có I = ( 2 x − ) 1 ln ( x + ) 1 − dx ∫ = 3ln 3 − (x − ∫ ) 1 dx = 3ln 3 −  − x  = 3ln3. 0 x +1  2  0 0 0
Vậy a = 3, b = 3 ⇒ 6a + 7b = 39 . 1 2  1 
a ln 2 − bc ln 3 + c
Câu 49. Cho x ln ∫ (x + 2)+ dx = = + +  
với a , b , c ∈  . Tính T a b c . x + 2  4 0
A. T = 13 .
B. T = 15 .
C. T = 17 . D. T = 11. Hướng dẫn giải Chọn A  1 du = u  = ln (x + 2)  Đặ  x + 2 t  ⇒  . dv = d x x 2 x − 4 v =  2 1   1 2 1 1 x − 4 x − 2 x x ∫ (x + ) 1 ln 2 + dx   = ln ( x + 2) − dx + dx ∫ ∫  x + 2  2 2 x + 2 0 0 0 0 https://toanmath.com/ 1 2 3 − 1  x  − = 3 3 ln 3 + 2 ln 2 − 
− 2x  + (x − 2ln(x + 2))1 = ln 3 + 2 ln 2 + +1− 2(ln 3− ln 2) 0 2 2  2  2 4 0 a = 4 1 − 4ln 3 +16ln 2 + 7 =  . Suy ra: b  = 2 . 4 c = 7 
Vậy T = a + b + c = 13 . 3 Câu 50. Biết ln
∫ ( 3x −3x+2)dx = aln5+bln2+c, với a, ,bc∈ . Tính S = .ab+c 2
A. S = 60 . B. S = 23 − .
C. S = 12 . D. S = 2 − . Hướng dẫn giải Chọn B 3 3 3 Ta có ln
∫ ( 3x −3x+2)dx = .xln( 3x −3x+2) − dxln ∫ ( 3x −3x+2) 2 2 2 x ( 2 3 3x − 3) = 3ln 20 − 4ln 2 − ∫ ( x − ) dx 2 1 x + 2 2 ( ) 3 3x ( x + ) 3 1 3( x − ) 1 ( x + 2) + 6 = 3ln 20 − 4ln 2 − dx = 3ln 5 + 2 ln 2 − dx ∫ ∫ x −1 x + 2 x −1 x + 2 2 ( )( ) 2 ( )( ) 3  
= 3ln 5 + 2ln 2 − (3x) 3 1 1 3 3 − 2 −
dx = 3ln 5 + 2 ln 2 − 3 − 2 ln x −1 + 2 ln x + 2 ∫  2 2 2
x −1 x + 2  2 = 5ln 5 − 4ln 2 − 3.
Suy ra a = 5;b = 4 − ;c = 3
− . Do đó S = ab + c = 23 − . 1 7 −
Câu 51. Cho biết tích phân I = ( x + 2) ln ( x + ) 1 dx = a ln 2 + ∫
trong đó a , b là các số nguyên b 0
dương. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. a = b .
B. a < b .
C. a > b .
D. a = b + 3 . Hướng dẫn giải Chọn A  1  =  ( = x + ) du dx u ln 1  Đặ  x +1 t  ⇒  . dv =  (x + 2) 2 dx xv = + 2x  2 1 2 1  x   + 1 = 5 1  3   + x  (x + ) 2 1 x 4x I 2 ln 1  − dx ∫ = ln 2 − x + 3 − dx ∫   2  2 x +1  2 2  x +1  0 0 0 1 2 5 1  x  − = 7 ln 2 −
+ 3x − 3ln (x +  )1 = 4ln2+ . 2 2  2  4 0
Suy ra a = 4 , b = 4 . Vậy a = b . 2 x + ln x a 1 I = dx = ln 2 − ∫ x+1 b c 1 ( )2 Câu 52. Cho
với a , b , m là các số nguyên dương và là phân số tối giản. 1 7 T a + b S =
Tính giá trị của biểu thức c . https://toanmath.com/ 2 5 1 1 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 1 7 T 1 7 T 1 7 T 1 7 T 1 7 T 1 7 T 1 7 T 1 7 T 3 6 2 3 Hướng dẫn giải Chọn B 1 7 T 2 x + ln x I = dx ∫ x+1 1 ( )2 Tính . 1 7 T 1  + x
x + ln x = u dx = du    x  ⇒ 1  dx = dv 1  − = v Đặ (x +  )2 1  + t x 1 . 1 7 T 2 2 2 x + ln x 1 1+ x 1 2 I = dx = − x + ln x + . dx ∫ ∫ 1 = − (2 + ln 2) 1 1 + + 2 ( ) + + + dx ∫ Khi đó x 1 x 1 x x 1 1 ( ) 1 1 3 2 x 1 1 7 T 1 = − ( + ) 1 2 2 1 2 ln 2 + + ln x = ln 2 − 1 3 2 3 6 a + b 5 = = = ⇒ S = = Vậy a 2;b 3; c 6 c 6 . 1 7 T b
Câu 53. Cho a > b > 1
− . Tích phân I = ln (x + ∫
)1dx bằng biểu thức nào sau đây? a b b
A. I = ( x + ) 1 ln ( x + ) 1
− a + b .
B. I = ( x + ) 1 ln ( x + ) 1
− b + a . a a b 1 b b x C. I = ( .
D. I = x ln ( x + ) 1 + dx ∫ . x + ) 1 a x +1 a a Hướng dẫn giải Chọn Bu  = ln (x + ) 1  = Đặ 1 du dx t  ⇒  x +1 dv = dx v = x +1 b b Do đó b b b I = ln ( x + ∫ ) 1 dx = ( x + ) 1 ln ( x + ) 1 − dx = ∫ (x + ) 1 ln ( x + ) 1 − x a a a a a = (x + ) b 1 ln ( x + ) 1 − b + a a 2 e 2  1 1  e a + e b +c Câu 54. Biết − dx = ∫  
, trong đó a , b , c là các số nguyên. Giá trị của 2
 ln x ln x  2 e 2 2 2
a + b + c bằng A. 5 . B. 3 . C. 4 . D. 9 . Hướng dẫn giải Chọn A 2 e 1 Xét tích phân: dx ∫ . ln x e Đặ 1 1 t u = ⇒ ; du = −
dx . dv = dx chọn v = x . ln x 2 x ln x 2 2 2 e e e 2 e 2 Khi đó 1 x 1  1 1  −e + 2e dx = + dx ∫ ∫ ⇔ − dx = ∫   . 2 ln x ln x ln x 2
 ln x ln x  2 e e e e https://toanmath.com/ a = 1 − Do đó b  = 2 . c = 0  Vậy 2 2 2
a + b + c = 5 3 c
Câu 55. Biết x ln ( 2
x +16)dx = a ln 5 + b ln 2 + ∫
trong đó a,b, c là các số nguyên. Tính giá trị của 2 0
biểu thức T = a + b + c . A. T = 2 . B. T = 16 − . C. T = 2 − . D. T = 16 . Hướng dẫn giải Chọn B  2x du = dx u  = ( 2 ln x +16)  2 Đặ  x +16 t  ⇒  .  2 dv = d x x x +16 v =  2 3 2 3 x +16 2 3 2 3 x +16 x Ta có: x ln
∫ ( 2x +16)dx = ln ( 2 x +16) 3 − x dx ∫ = ln ( 2 x +16) − 2 2 2 0 0 0 0 0 25 9 9 = ln 25 − 8 ln16 −
= 25ln 5 − 32ln 2 − . Do đó a = 25,b = 32 − ,c = 9 − ⇒ T = 16 − . 2 2 2 2  1 
Câu 56. Tính tích phân 2018 I = 2019 log x + x dx ∫ . 2   ln 2  1 A. 2017 I = 2 . B. 2019 I = 2 . C. 2018 I = 2 . D. 2020 I = 2 . Hướng dẫn giải Chọn B 2  1  2 2 1 1 2018 I = 2019 log x + x dx ∫ 2018 2018 = 2019 x log d x x + x dx ∫ ∫ = 2019I + I . 2   ln 2  2 ln 2 1 2 ln 2 1 1 1 2 2 2019 2019 − Trong đó x 2 1 2018 I = x dx = ∫ = . 2 2019 2019 1 1  1 du = dx 2 u  = log x  . x ln 2 và 2018 I = x log d x x ∫ . Đặt 2  ⇒  . 1 2 2018 dv = x dx 2019 x 1 v =  2019 2 2019   2019 2019 − 2019 2019 − Khi đó x 1 2 1 2 1 2 2 1 I = .log x   − I = − . = − . 1 2 2  2019  2019.ln 2 2019 2019.ln 2 2019 2 2019 2019 .ln 2 1 Vậy 2019 I = 2 . 3 3 + ln x
Câu 57. Biết I = ∫ = a (1+ ln 3) − . Khi đó 2 2 + (
b ln 2 , (a,b ∈ ) a b bằng x + ) dx 2 1 1 7 16 25 3 A. 2 2 a + b = . B. 2 2 a + b = . C. 2 2 a + b = . D. 2 2 a + b = . 16 9 16 4 Hướng dẫn giải Chọn C https://toanmath.com/  1 u  = 3 + ln x du = dx  Đặ   x t:  dx ⇔  dv =  (  x +  )2 1 1 v = −  x +1 3 3 3 Khi đó: 3 + ln x 1 3 + ln 3 3  1 1  I = − + dx ∫ = − + + − dx ∫  x +1 x x +1 4 2  x x +1 1 1 ( ) 1 3 − ln 3 =
+ (ln x − ln x +1) 3 1 4  3 3 − ln 3  = = + 3 a 25 ln 3 − ln 4 + ln 2 = (1+ ln3) −ln 2 2 2 ⇒  4 ⇒ a + b = . 4 4 16 b  =1 2 ln x b Câu 58. Biết dx = a ln 2 + ∫
(với a là số hữu tỉ, b , c là các số nguyên dương và b là phân số 2 x c c 1
tối giản). Tính giá trị của S = 2a + 3b + c . A. S = 4 . B. S = 6 − .
C. S = 6 .
D. S = 5 . Hướng dẫn giải Chọn A  1 u  = ln x du = dx  Đặ   x t  1 ⇒  . dv = dx  1  2  x v = −  x Khi đó, ta có: 2 2 2 2 ln x ln x 1 = 1 1 1 1 dx = − + dx ∫ ∫ = − ln 2 − = − ln 2 + . 2 2 x x x 2 x 2 2 1 1 1 1 1
Từ giả thiết suy ra a = − , b = 1, c = 2 . 2
Vậy giá trị của S = 4 . 2
Câu 59. Biết rằng ln
∫ (x+ )1dx = aln3+bln2+c với a, b , c là các số nguyên. Tính S = a +b+c 1
A. S = 0 .
B. S = 1 .
C. S = 2 . D. S = 2 − . Hướng dẫn giải Chọn A  1 u  = ln (x + )  = Đặ 1 du dx t  ⇒  x +1 dv = dx v = x 2 2
Khi đó, ta có: ∫ (x + ) x = x (x + ) 2 x ln 1 d ln 1 − dx ∫ 1 x +1 1 1 2  1  = 2ln 3 − ln 2 − 1− dx ∫  = −
− (x − x + ) 2 2 ln 3 ln 2 ln 1  x +1  1 1
= 2ln 3 − ln 2 − (2 − ln 3−1+ ln 2) = 3ln 3− 2ln 2 −1.
Suy ra S = a + b + c = 3 − 2 −1 = 0 . 5
Câu 60. Tính tích phân I = ∫(x + )
1 ln ( x − 3) dx ? 4 https://toanmath.com/ 19 19 19 A. 10 ln 2 . B. 10 ln 2 + . C. −10ln 2 . D. 10 ln 2 − . 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn D  1 u = x u  = ln (x −3) d d  Đặ  x − 3 t  ⇒  . dv = x +1 1 2
v = x + x  2 1 2 5 x + x  1  5 2 2 − + − + I = x + x   ( x − ) 2 ln 3 − dx ∫ 5 5 35 1 x 9 9 x 3 3 = − −  ln 2 dx dx ∫ ∫ 2  4 x − 3 − − 4 2 2 x 3 x 3 4 4 35 1  9  = 19 ln 2 − + 3 + 9ln 2 −   (1+ 3ln 2) =10ln 2 − . 2 2  2  4 3
Câu 61. Biết rằng x ln x dx = m ln 3 + n ln 2 + p ∫
, trong đó m , n , p ∈ . Khi đó số m là 2 9 27 A. . B. 18 . C. 9 . D. . 2 4 Hướng dẫn giải Chọn A du = dx  = Đặ u ln x  t 2  ⇔  x dv = d x x v =  2  9 m =  3 3 3 2 2 3 2 3  ⇒ x x 9 x
x ln x dx = ∫ ln x − dx ∫ = ln 3 − 2ln 2 − 9 19 = ln 3 − 2ln 2 − ⇒ n = 2 − 2 2 2 6 2 6 2  2 2 2 19  p = −  6 9 Vậy m = . 2 4
Câu 62. Biết x ln
∫ ( 2x +9)dx = aln5+bln3+c, trong đó a, b , c là các số nguyên. Giá trị của biểu 0
thức T = a + b + c là A. T = 10 .
B. T = 9 .
C. T = 8 . D. T = 11. Hướng dẫn giải Chọn C  2x u = xu  = ln( d d 2 x + 9)  ( 2x +9) Đặt  ⇔  2 dv = d x xx + 9 v =  2 4 4 2 4 2 x + 9 x + 9 2x Suy ra x ln ∫ ( 2x +9)dx = ln ( 2 x + 9) − . dx ∫ = 25ln 5 − 9ln 3−8 . 2 2 2 x + 9 0 0 0
Do đó a = 25 , b = 9 − , c = 8 − nên T = 8. https://toanmath.com/ 1
Câu 63. Tích phân I = ln ∫ ( 2
1+ x − x)dx có giá trị là: 0 A. I = 2 −1+ ln ( 2 − ) 1 . B. I = 2 −1− ln ( 2 − ) 1 .
C. I = − 2 +1+ ln ( 2 − ) 1 .
D. I = − 2 +1− ln ( 2 − ) 1 . Hướng dẫn giải 1 Tích phân I = ln ∫ ( 2
1+ x − x)dx có giá trị là: 0  − u  = ln ( 1 2 1+ x − x) du = dx Đặ  t 2  ⇒  1+ x . dv = dx v = x ⇒ = ( x I . x ln ( 2 x +1 − x) 1 1 + dx ∫ . 2 0 + 0 x 1 1 x Xét I = dx ∫ . 1 2 + 0 x 1 Đặt 2
t = x +1 ⇒ dt = 2xdx .  = ⇒ = Đổ x 0 t 1 i cận  .
x = 1⇒ t = 2 2 1 1 ⇒ I = dt = ∫ ( t)2 = 2 −1. 1 2 1 t 1
⇒ I = I + ( .xln( x +1− x) 1 2 = 2 −1+ ln 2 −1 . 1 ( ) 0 Chọn A e  1 
Câu 64. Cho tích phân 2 I = x +
ln xdx = ae + b ∫ 
, a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của 2a − 3b là: x  1 13 13 13 13 A. . B. . C. − . D. − 2 4 4 2 Hướng dẫn giải e  1  Cho tích phân 2 I = x +
ln xdx = ae + b ∫ 
. Giá trị của 2a − 3b là:  x  1 Ta có: e e e e 2 e 1 2  1  1  xx e 5 I = x +
ln xdx = x ln xdx + ln xdx = ∫  ∫ ∫  ln x  − dx + dt = + ∫ ∫
, với t = ln x .  x x  2  2 4 4 1 1 1 1 0 1 1 5 13
⇒ a = ,b = ⇒ 2a − 3b = − . 4 4 4 Chọn C
π /4 ln(sin x + cos x)
Câu 65. Tính tích phân dx ∫
, ta được kết quả 2 cos x 0 π 1 π 3 π 3 π 3 A. − + ln 2. B. − ln 2. C. − + ln 2. D. − − ln 2. 4 2 4 2 4 2 4 2 Hướng dẫn giải Chọn C
Trắc nghiệm bấm máy tính tích phân trừ cho từng đáp án ta được đáp án C. https://toanmath.com/ π /4 π /4 π
ln(sin x + cos x) ln (cos . x (1+ tan x))
/ 4  ln(cos x) ln(1+ tan x)  Tự luận: dx = dx = + dx ∫ ∫ ∫   2 2 2 2 cos x cos x  cos x cos x  0 0 0 π /4 π /4 ln(cos x) ln(1+ tan x) = dx +
dx = I + J ∫ ∫ . 2 2 cos x cos x 0 0  sin x
u = ln cos x ⇒ du = − dx  Đặ  cos x t  . 1 dv = dx , t v = an x 2  cos x π /4 π /4 ln(cos x) π π π 1 π 2 4 4 I = dx = tan . x ln(cos x) + tan d x x = tan . x ln cos x + −x + tan x = − ln 2 − +1 ∫ ∫ 2 ( ) 4 0 0 0 cos x 2 4 0 0 π /4 ln(1+ tan x) 1 J = d . x ∫
Đặt t = 1+ tan x ⇒ dt = d . x 2 cos x 2 cos x 0 π
Đổi cận: x = 0 ⇒ t =1, x = ⇒ t = 2 4  2 1 u
 = lnt ⇒ du = dt 2 2
J = ln t dt ∫ . Đặt  t
⇒ J = ln t dt = ∫
(t lnt −t) = 2ln 2−1 1 1
dv = dt , v = t 1
π /4 ln(sin x + cos x) π 3 Vậy dx = − + ln 2. ∫ 2 cos x 4 2 0 2 4ln x +1 2
dx = a ln 2 + b ln 2 ∫ +
Câu 66. Giả sử
, với a,b là các số hữu tỷ. Khi đó tổng 4a b bằng. x 1 A. 3 . B. 5 C. 7 . D. 9 . Hướng dẫn giải 2 2 2 2 4 ln x +1  4ln x 1  dx = + dx = 4 ln d x ∫ ∫  ∫ (ln x) 2 1 2 2 2 +
dx = 2 ln x + ln x = 2ln 2 + ln 2 ∫ . 1 1 xx x x 1 1 1 1 Chọn D 1000 2 ln x
Câu 67. Tính tích phân I = ∫ ( x + ) . dx 2 1 1 1000 ln 2 2 1001 1000 ln 2 2 A. I = − +1000ln . B. I = − + ln . 1000 1000 1+ 2 1+ 2 1000 1000 1+ 2 1+ 2 1000 ln 2 2 1000 1000 ln 2 2 C. I = −1000ln . D. I = − ln . 1000 1000 1+ 2 1+ 2 1000 1000 1+ 2 1+ 2 Hướng dẫn giải 1000 1000 1000 1000 2 2 2 2 ln x 1 ln x 1
Ta có I = dx = − ln xd = − + d ln x ∫ ∫ ∫ 2 ( ) x +1 x +1 x +1 x +1 1 ( ) 1 1 1 1000 1000 1000 2 2 ln 2 1 1 1000 ln 2  1 1  = − + . dx = − + − dx ∫ ∫   1000 1000 1+ 2 x +1 x 1+ 2  x x +1 1 1 1000 1000 1000 ln 2 1000 ln 2 x 1000 ln 2 2 = −
+ ln x − ln x +1 = − + ln = − + ln . 1000 ( ) 2 2 1001 1000 1000 1000 1+ 2 1+ 2 x +1 1+ 2 1+ 2 1 1 Chọn B https://toanmath.com/
Document Outline

  • 4.TÍCH PHÂN ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ TP CƠ BẢN_ĐÔNG NQA
    • TÍCH PHÂN
      • A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
      • B. BÀI TẬP
      • ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ BẢNG NGUYÊN HÀM
      • TÍCH PHÂN HỮU TỈ
      • TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ
      • TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
      • TÍCH PHÂN HÀM MŨ – LÔGARIT
        • C . HƯỚNG DẪN GIẢI
      • ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ BẢNG NGUYÊN HÀM
      • TÍCH PHÂN HỮU TỈ
      • TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ
      • TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
      • TÍCH PHÂN HÀM MŨ – LÔGARIT
  • 5. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN_ĐÔNG NQA
    • TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ
    • PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1
    • BÀI TẬP
      • HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM HỮU TỈ
      • HÀM VÔ TỈ
      • HÀM LƯỢNG GIÁC
      • HÀM MŨ – LÔGARIT
      • PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2
    • HƯỚNG DẪN GIẢI
      • HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM HỮU TỈ
      • HÀM VÔ TỈ
      • HÀM LƯỢNG GIÁC
      • HÀM MŨ – LÔGARIT
      • PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2
  • 6. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN_ĐÔNG NQA
    • TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
    • BÀI TẬP
      • DẠNG 1:
      • DẠNG 2:
      • DẠNG 3.
    • HƯỚNG DẪN GIẢI
      • DẠNG 1:
      • DẠNG 2:
      • DẠNG 3.